30 7 3MB
Maria Zahafia
Caiet de vacanti
M atematice Clasa a VI-a Suport teoretic, exercifii Ei probleme aplicative Edilia
a
II-a, revizuiti
Editura Paralela 45
AN_ MA< (AB'-
€up:'ims
mghic
:
PR:
AX,GEBRA Capitolul I. MULTIMEA NUMERELOR NATIIRALE
1.2.
Descompunerea numerelor naturale in produs de numere prime. Determinarea celui
mai mare divizor comun gi celui mai mic multiplu comun. Propdeta! ale divizibilitdfi ln mullimea numerelor nahrrale
Capitolul II. RAPOARTE $I PROPORTII - {21:'
2.3. i8
Concentralia unei
solulii
........"....'.'..'...........
17
lei 2.7. Marimi direct propor{ionale 2.8. Mirimi invers propo4ionale 2.9. Regula de trei simpld ..............
r,z|:
25 27
2.10. Elemente de organizare a datelor. ProbabilitdJi
3.1. 2 lgt-
23
Capito|ul III. MULTIMEA NUMERELOR iNTREGI Numdr inheg. Reprezentarea pe axa numerelor. Opusul qi modulul unui numir intreg.
ComparareaEiordonateanumerelorintregi................ 3.2. Operalii cu numere intregi 3.3.
r 6le
29
Ecualii, inecuajii qi probleme care contextul numerelor
se rezolvA cu
33 36
ajutorul ecualiilor sau inecualiilor in
intregi
43
Capitolul IV. MULTIMEA NUMERELOR RATIONALE
4.1.
Numdr ralional. Reprezentarea pe axa numerelor Opusul qi modulul unui num[r ralional. Compararea Ei ordonarea numerelor
=35";
raflonale
49
54 4.2. Operalli c.;numere ralionale 4.3. Ecualii in mu[imea numerelor ralionale. Probleme care se rezolvd cu ajutorul ecua,tiilor ................. 63
GEOMETITTE t este .4C
=
')BD;
5.1. 5.2. 5.3. 5.4.
Capitolul V. NOIIIJNI GEOMf,TRICE FUNDAMENTALE Unghiuri. Unghiuri opuse la virf. Congruenla unghiurilor opuse la virf .................... Unghiuri formate in jurul unui punct. Suma misurilor unghiurilor in jurul unui punct....'....'...-.-....... Unghiwi suplementare. Unghiuri complementare Unghiuri adiacente. Bisectoarea unui unghi. Construclia bisectoarei unui unghi .......'..'....'.......-..-.--.
70 72 74
76
5.5.
Drepte paralele. Constructie intuitive prin translalie. Unghiuri formate de dou6 drepte
5.6.
Axioma paralelelor. Criterii de ................................ g4 Drepte perpendiculare in plan. oblice. Aplicalii practice in poligoane qi corpuri geometrice.
5.7
.
paralelism
Distanla de la un punct
5.8. 5.9.
1a
o
dreapt6......................
Mediatoarea unui segment. Construclia mediatoarei unui segment. Simetria fald de o Cerc. Arc de cerc. Unghi la centru. Misuri
...............
5.10. Poziliile unei drepte falA de un cerc. Poziliile relative a doud
6.1. 6.2. 6.3. 6.4.
6.5.
g9
dreapta..........
cercuri
Capitolul VI. TRIUNGHIUL Triunghi. Definilie. Elemente. Clasificare. Perimetrul triunghiului. Suma misurilor unghiurilor unui triunghi. Unghi exterior unui triunghi ...................... Construclia triunghiurilor InegalitdJi intre elementele triunghiului ................ Linii importante in triunghi 6.4.1. Bisectoarele unghiurilor unui triunghi. Cerc inscris in triunghi..................... 6.4.2. Mediatoarele lafirilor unui triunghi. Cerc circumscris unui triunghi 6.4.3. indUimile unui triunghi. Ortocentrul triunghiului .................. 6.4.4. Medianele unui tdunghi. Centrul de greutate al triunghiului Congruenla triunghiurilor oarecare. Criterii de congmenli a triunghiurilor:
LUL,ULU,LLL 6.6.
97 101
104 10g
1ll 115 11g
l2I 123 127
Congn.renla triunghiurilor dreptunghice. Criterii de congruenli a triunghiurilor
dreptunghice: CC, IC, CU,
6.7.
93
ru...
130
Metoda triunghiurilor congruente. Propfetatea punctelor de pe bisectoarea unui unghi. Proprietatea punctelor de pe mediatoarea unui
segment......................... 133 6.8. Proprietili ale kiunghiului isoscel. Proprietdfi als trirrnghiului echi1atera1................. 139 6.9. ProprietiJi ale triunghiului dreptunghic. Teorema lui Pitagora ..................-........... I4j TESTE RECAPtr I]LATIVE TESTUL 1 TESTUL 2 . . TESTUL3 TESTUL 4 TESTUL 5 TESTUL 6
SOI,UTII
t54 155 156 158 160
t6r 163
Multimi
bine determinate gi distincte numite
b) Mullimile se noteazd cu
, cu sau
indici: A, B, C, ...". , At, A2, A3, .....
.
cu.... d) Mu{imea care nu af,e nici un element se numette mu{imi
c) Elementele unei
cu simbolul ........
l"
se
noteaz[
............. : a,b,.....
.
a) Dacd, A este o mubime qi.r este un element al ei, atunci
notlm.....
....... 9i citim
Orice mufime poate fi datd ln trei moduri: a) explicit, prin
.
b) implicit, c) cu
4,
ajutorul unor diagrane Venn-Euler
Mu$imea numerelor naturale mai mici dec6t 5 rcprezentati: a) explicit este
M:
b) printr-o proprietate caracteristi cd este M = c) cu ajutorul diagramei Venn-Euler este:
a t.
O mulflme
I
a) mu{ime de exemplu:
se nume$te:
finiti
dacd
mu[imea divizorilor numdrului 6 este Du ..............
b) mu[ime
inliniti
nnui numdr natural este................. ..... .. ..
6.
.
qi se noteazi
b) O mullime se nume$te numericd dacd
l.
firi
, de exemplu: mullimea multip
..
Num[rul de elemente ale unei mu[imi
I
.
.
Mu:
se noteazd
cu....................... qi cardD
."4,* -I .
dac6 in caz contrar spunem cd .......... $i not[m b) Mullimi1e I : {x x e N- qi x < 4} qi B = { 1, 2, 3, 4} sunt a)
Doui mu[imi,4
gi
B sunt egale
..... qi notdm
I
qi
notlm c)
M: {1,2,3} qi N= {a, b, c} sunt
Mullimile
........... si notdm
... , insi au acelaqi numdr de elemente, mai precis card
U"
a) O
mulfimel
este
submu(ime a mu[imii
I
M:
dacd..............,.................
;;;;";;;;",;";
:,
I nu este element al mul{imii B, atunci ............... qi notlm y. a) Mullimea vidd este submullime
'@
b) Dac[ cel pulin un element al mullimii
;,;';";;il";.;;;;r;u r * r.uu,, adicd . c) Mullimea
vidi
qi mul{imea
a) Reuniunea a
doui rnultimi
I
..
a) Intersectia a
qi notdm
gi
. ..... .....
B este q1
.
b)DacdA: {1,3,5} qiB: {3, 5,7},attnciA
!1.
B
.
,'..'.,.....,'......
scriemlUA:..... .
c
insiqi sunt ...............
restul submullimilor sunt submullimi
t0.
A
doui multimi
I
qi
Ua: . .
".......
AUB
B este .... ...... ....... ... qi
scrieml nB =...........
....
ANB
A-B*B-A
---*b) Analizdnd diagramele de mai jos, avem reprezentati o mulfime in figura
notEm
fis.1
notdm
t.{.
a) SubmulJimile
2
fig.
mullimii
M:
Jis. 3
{a, b, c} sunt
b) Num[rul de submullimi ale unei mullimi
I
este ...............
15-
s"
16.
Completali spaliile libere pentru a obline propozilii adevdrate.
considerd mullimile
I
= {0, 1,2,3)
a) intr-o muliime nu conteazd ordinea
B:
{b, o, c}
sunt..............
9i
B: {f lx e A}. Scrie! elementele
...................
......
,
mulgimilor:
mullimilel ={a,b,c}gi
...... pentru ce sunt formate din.......
b) Mu(imea literelor din care este format cuvdntul ,,elemenf' este C = c) MulJimea cifrelor este o ..... in timp ce mullimea numerelor naturale este o mullime
mullime
17.
S" dd mullimea
M:
{x e N-, x S 3}. a) Scrieli mullimea Mprin enumerarea
elem entelor, M
:
b) SubmulJimile improprii ale mullimii M sunt ................... c) Submullimile proprii ale multimii Msunt
\r
18. )
t9.
ci sunt indeplinite a) {t,a,3} c {1,2,3,4\;
Determinali a, qtiind
a) Determinali perechile (x,
simultan condifiile:
b) {1, a,3}
c
{1, 3, 4, s}.
y) qtiind cd {2, x, a} c. {1, 2, y, 3} . b) Determinali perechile (x, y) qtiind cd sunt lndeplinite simultan condiliile: t) {2,3,4} c {3,x,y,4}; 1i) {3,x,y,al c. {2.3,4,s,61.
Solu[ie:
b) intre elementul a gi mu{imea
M:
{a, b, c} existii rela}ia de
qi notdm
c) intre mullimile A = {1, 2} qi B = {0, 1, 2, 3} existi relalia de
?{"
Se considerd
mulllmea M
a) Elementele
mu[imii M
: {V.X
t
rl,
:
Z}
sunt
b) Submul,timile lui M formate din cdte doud elemente sunt c) Submullimile lui M formare din cdte trei elemente
?3.
sunt ........
Completali spaliile punctate astfel incdt sd oblineli propozilii adevlrate.
a)AUB-{x1xeA"""..............."......xe8}; c)A\B:{xlxeA.................."".....xe8}; OAoA:{x1xeA.........................-re.B}; d)B\l:{xlxeB .....xeA}.
?1" Anakali, cu atenfie, diagrama gi specifica{i
dacd propoziliile ce urmeaz[ sunt adevArate sau
false:
aeA)8........; b eA)8......".; {b,d}=A08....... ; d e A)B ........ ; e e A\B ".......; {a,c} cA UA .". . ?.{. S" consider[ doud mullirni oarecare I qi B.
.
a)DacdA|1B: AU B, atunci b)Dacd A c B
?5.
qi
.."........
B c A, atunci .
.
Scrie{i informalia corccti care completeazd spaliile punctate: a) Cel mai mare divizor propriu al
b) Cardinalul multjmii
a
mulimii
Oo, este
seste ...........
c) Cel mai mic element al mu[imii tulu1 t18 este ... d) Din mu[imea n4r, elementele de forma
2&.
oace,4.=
{0,1,2,4} EiB: {0,2,5,6},atunci:
17" O.t'rnirruli Solillie:.."..........
ab sunt
mullimile M
qi
N, qtiind cI MU
l/
:
{1, 2, 3, 4, 5}, M n N = {2, 3, 4\
qi
N\
M:
{5 }.
H*,
se consider6 mu{im ea
M:
B: M+ A: .................................... b)AnB : M> A:.................................... a)
I B:
{1,2, 3}. scrieti doue mulfimi
AU
c)A\B:M+A
;
e N- ll
qi 48 sunt numere pare qi cum 3a + 46 + 2c: 48 3a este numdr par :> 4 este numar . par qi cum a este numdr prim a 2 3 2 + 4b + 2c 48 4b + 2c 48 - 6 4b + 2c 42 | : 2 >2b+ c-21.Clrm2b este numdr par gi 21 este numdr impar c este numdr impar qi prim qi avem: c=3 2b = 18 D = 9 (nu este numArprim); c=5 2b = 16 b = 8 (nu este numdrprim);
+ : >
:
=>
:
:
+
=
= >
= = c:7=>2b:14+b:7; c:11:+2b:10>b:5; c: 13 => 2b : 8 + D : 4 (nu este numer prim);
c:17+2b:4>b=2.
Cum numerele trebuie sd fie diferite dou[ cdte doui,
rezultdcda=2,6:5
gi
c=
clutate.
b)a+2b+4c:36
S"
Determinali cifrele distincte a gi 6, asrfel incdt
"b
qi b" si fie numere prime.
11 sunt numerele
5.
O.
Determinafi numerele nahrale de forma
"a
, gtiinO cd suma dinne
''. '' ''
Z
:'' ' '' ' '''
-I .
Dacd abc este numdr prim, calculali c6.ti divizori are numirul abcabc
;.
;;;.;"
:.,.-;;,"
;;;"
;";,,;"
";.
;"
qi ba este pdtrat perfect.
.
";;;;",,,.,,;:;;
b) Care este cel mai mare numdr de dou[ cifre caxe are exact patru divizori? le.
/a
V.
a) Cel mai mare divizor comun al numerelor naturale a gi b se prescurteazh
gi se noteazd cu
.
b) Pentru a calcula c.m.m.d.c.
-
te numar
?1.?----r
se procedeazd
astfel:
se descompun se iau
factorii
;i avem:
f0.
a) Cel mai mic multiplu comun al numerelor nahrale a qi D se prescurte azd .................................
qi se noteazi cu
b) Pentru a calcula c.m.m.m.c. se procedeazd astfel:
-
Nmerele
ll.
se descompun se iau
factorii
Catcutag cel mai mare divizor comun qi cel mai mic multiplu comun al numerelor: a) 840 qi 672 840 84
42
2.5
2
2
672 336
2
168
2 2
840=23.5.3-7; 672:2s.3.7;
21
3
84
1
7
7
42
2
$a0;
21
J
$a0;672):23 .3 .7 =
7
7
1
I
6721
:
2s . 5 . 3 . 7
= 3360:
168.
b) 67s qi 864 "t
864
675
,..^.-".]
'
I
Pentru c,
D
e N, avem (a, b)
.[a,bl: o. b
I
aceastAproprie#;;, a)a-l92qib:144
Verificafl
t92
144
lg2:.............. Qe2;
......
450
b=224.
.
lr92; r44l
192.r44:........ 9i
144:........
A\:
(192;1441'1192;1441:
b)" :450
,
I=
(D2:144\.n92:t44i:
J
450:................ (4sQ224)
;
224: l4s0;2241=
(450;224).14s0;2241
450.224
I ........... t-
ele,
Scrieli perechile de numere prime intre ele care 2 : 2; 9 32; 4 : 22; 14 : 2. 7 ; (2, 9) | + 2 qi 9 sunt prime intre ele; (2, 4) : 2 2 qi 4 nu sunt prime ?ntre ele;
:
:
=
se
pot forma cu numerele: 9,2, 4 qi 14.
i j
i
)
Doui sau mai multe numere naturale care au cel mai mare divizor comun egal cu 1 se numesc z wnere prime tntre
.-:
I
'
--.
!5"
In mullimea numerelor naturale, divizibilitatea are urmitoarele proprietii: a) Reflexivitate, b) Antisimetrie, c) Tranzitivitate, d) Dacd a I b qi a I c, atunci a e) Dacd a I b . c qi (a, b) = l, aturrci a I
t6.
I
a) Determinali toate numerele nafurale de forma
2ry dlizibilecn15.
b) Determinali toate numerele naturale de forma 3.r1y divizibile cu 6.
--:l I
,*l:
Rezolvane:a)15l2xya5l2xy;3l2xy qi(5,3)=1.Dar5lZ*y
e
oye {0,5}e 2-y.{2-0,2.5}
ex e {1, 4, 7 | o Zr0. {210, 240, 270l.Cum 3 | 2.r5 e3l(2+ x+ 5)e3l(7+r)e x e {2,5,s} e 2x5 e {225,255,285}. Numerele cautate sunt: 210,
Cum 3 | 2x0
3 | (2 + x + 0) 11 =i:
??.
afla;i cel mai mic numbr nahral care impdrfit pe rdnd La6,15 qi.24 ddresturile 4, 13 qi, respectiv,22. RezOlvare:Fieanumdrulcdutat.Dinteoremaimpdrfiriicurest,D:i.C+R,R