Caiet de Vacanta. Matematica - Clasa 6 - Maria Zaharia [PDF]

Zitiervorschau

Maria Zahafia

Caiet de vacanti

M atematice Clasa a VI-a Suport teoretic, exercifii Ei probleme aplicative Edilia

a

II-a, revizuiti

Editura Paralela 45

AN_ MA< (AB'-

€up:'ims

mghic

:

PR:

AX,GEBRA Capitolul I. MULTIMEA NUMERELOR NATIIRALE

1.2.

Descompunerea numerelor naturale in produs de numere prime. Determinarea celui

mai mare divizor comun gi celui mai mic multiplu comun. Propdeta! ale divizibilitdfi ln mullimea numerelor nahrrale

Capitolul II. RAPOARTE $I PROPORTII - {21:'

2.3. i8

Concentralia unei

solulii

........"....'.'..'...........

17

lei 2.7. Marimi direct propor{ionale 2.8. Mirimi invers propo4ionale 2.9. Regula de trei simpld ..............

r,z|:

25 27

2.10. Elemente de organizare a datelor. ProbabilitdJi

3.1. 2 lgt-

23

Capito|ul III. MULTIMEA NUMERELOR iNTREGI Numdr inheg. Reprezentarea pe axa numerelor. Opusul qi modulul unui numir intreg.

ComparareaEiordonateanumerelorintregi................ 3.2. Operalii cu numere intregi 3.3.

r 6le

29

Ecualii, inecuajii qi probleme care contextul numerelor

se rezolvA cu

33 36

ajutorul ecualiilor sau inecualiilor in

intregi

43

Capitolul IV. MULTIMEA NUMERELOR RATIONALE

4.1.

Numdr ralional. Reprezentarea pe axa numerelor Opusul qi modulul unui num[r ralional. Compararea Ei ordonarea numerelor

=35";

raflonale

49

54 4.2. Operalli c.;numere ralionale 4.3. Ecualii in mu[imea numerelor ralionale. Probleme care se rezolvd cu ajutorul ecua,tiilor ................. 63

GEOMETITTE t este .4C

=

')BD;

5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

Capitolul V. NOIIIJNI GEOMf,TRICE FUNDAMENTALE Unghiuri. Unghiuri opuse la virf. Congruenla unghiurilor opuse la virf .................... Unghiuri formate in jurul unui punct. Suma misurilor unghiurilor in jurul unui punct....'....'...-.-....... Unghiwi suplementare. Unghiuri complementare Unghiuri adiacente. Bisectoarea unui unghi. Construclia bisectoarei unui unghi .......'..'....'.......-..-.--.

70 72 74

76

5.5.

Drepte paralele. Constructie intuitive prin translalie. Unghiuri formate de dou6 drepte

5.6.

Axioma paralelelor. Criterii de ................................ g4 Drepte perpendiculare in plan. oblice. Aplicalii practice in poligoane qi corpuri geometrice.

5.7

.

paralelism

Distanla de la un punct

5.8. 5.9.

1a

o

dreapt6......................

Mediatoarea unui segment. Construclia mediatoarei unui segment. Simetria fald de o Cerc. Arc de cerc. Unghi la centru. Misuri

...............

5.10. Poziliile unei drepte falA de un cerc. Poziliile relative a doud

6.1. 6.2. 6.3. 6.4.

6.5.

g9

dreapta..........

cercuri

Capitolul VI. TRIUNGHIUL Triunghi. Definilie. Elemente. Clasificare. Perimetrul triunghiului. Suma misurilor unghiurilor unui triunghi. Unghi exterior unui triunghi ...................... Construclia triunghiurilor InegalitdJi intre elementele triunghiului ................ Linii importante in triunghi 6.4.1. Bisectoarele unghiurilor unui triunghi. Cerc inscris in triunghi..................... 6.4.2. Mediatoarele lafirilor unui triunghi. Cerc circumscris unui triunghi 6.4.3. indUimile unui triunghi. Ortocentrul triunghiului .................. 6.4.4. Medianele unui tdunghi. Centrul de greutate al triunghiului Congruenla triunghiurilor oarecare. Criterii de congmenli a triunghiurilor:

LUL,ULU,LLL 6.6.

97 101

104 10g

1ll 115 11g

l2I 123 127

Congn.renla triunghiurilor dreptunghice. Criterii de congruenli a triunghiurilor

dreptunghice: CC, IC, CU,

6.7.

93

ru...

130

Metoda triunghiurilor congruente. Propfetatea punctelor de pe bisectoarea unui unghi. Proprietatea punctelor de pe mediatoarea unui

segment......................... 133 6.8. Proprietili ale kiunghiului isoscel. Proprietdfi als trirrnghiului echi1atera1................. 139 6.9. ProprietiJi ale triunghiului dreptunghic. Teorema lui Pitagora ..................-........... I4j TESTE RECAPtr I]LATIVE TESTUL 1 TESTUL 2 . . TESTUL3 TESTUL 4 TESTUL 5 TESTUL 6

SOI,UTII

t54 155 156 158 160

t6r 163

Multimi

bine determinate gi distincte numite

b) Mullimile se noteazd cu

, cu sau

indici: A, B, C, ...". , At, A2, A3, .....

.

cu.... d) Mu{imea care nu af,e nici un element se numette mu{imi

c) Elementele unei

cu simbolul ........

l"

se

noteaz[

............. : a,b,.....

.

a) Dacd, A este o mubime qi.r este un element al ei, atunci

notlm.....

....... 9i citim

Orice mufime poate fi datd ln trei moduri: a) explicit, prin

.

b) implicit, c) cu

4,

ajutorul unor diagrane Venn-Euler

Mu$imea numerelor naturale mai mici dec6t 5 rcprezentati: a) explicit este

M:

b) printr-o proprietate caracteristi cd este M = c) cu ajutorul diagramei Venn-Euler este:

a t.

O mulflme

I

a) mu{ime de exemplu:

se nume$te:

finiti

dacd

mu[imea divizorilor numdrului 6 este Du ..............

b) mu[ime

inliniti

nnui numdr natural este................. ..... .. ..

6.

.

qi se noteazi

b) O mullime se nume$te numericd dacd

l.

firi

, de exemplu: mullimea multip

..

Num[rul de elemente ale unei mu[imi

I

.

.

Mu:

se noteazd

cu....................... qi cardD

."4,* -I .

dac6 in caz contrar spunem cd .......... $i not[m b) Mullimi1e I : {x x e N- qi x < 4} qi B = { 1, 2, 3, 4} sunt a)

Doui mu[imi,4

gi

B sunt egale

..... qi notdm

I

qi

notlm c)

M: {1,2,3} qi N= {a, b, c} sunt

Mullimile

........... si notdm

... , insi au acelaqi numdr de elemente, mai precis card

U"

a) O

mulfimel

este

submu(ime a mu[imii

I

M:

dacd..............,.................

;;;;";;;;",;";

:,

I nu este element al mul{imii B, atunci ............... qi notlm y. a) Mullimea vidd este submullime

'@

b) Dac[ cel pulin un element al mullimii

;,;';";;il";.;;;;r;u r * r.uu,, adicd . c) Mullimea

vidi

qi mul{imea

a) Reuniunea a

doui rnultimi

I

..

a) Intersectia a

qi notdm

gi

. ..... .....

B este q1

.

b)DacdA: {1,3,5} qiB: {3, 5,7},attnciA

!1.

B

.

,'..'.,.....,'......

scriemlUA:..... .

c

insiqi sunt ...............

restul submullimilor sunt submullimi

t0.

A

doui multimi

I

qi

Ua: . .

".......

AUB

B este .... ...... ....... ... qi

scrieml nB =...........

....

ANB

A-B*B-A

---*b) Analizdnd diagramele de mai jos, avem reprezentati o mulfime in figura

notEm

fis.1

notdm

t.{.

a) SubmulJimile

2

fig.

mullimii

M:

Jis. 3

{a, b, c} sunt

b) Num[rul de submullimi ale unei mullimi

I

este ...............

15-

s"

16.

Completali spaliile libere pentru a obline propozilii adevdrate.

considerd mullimile

I

= {0, 1,2,3)

a) intr-o muliime nu conteazd ordinea

B:

{b, o, c}

sunt..............

9i

B: {f lx e A}. Scrie! elementele

...................

......

,

mulgimilor:

mullimilel ={a,b,c}gi

...... pentru ce sunt formate din.......

b) Mu(imea literelor din care este format cuvdntul ,,elemenf' este C = c) MulJimea cifrelor este o ..... in timp ce mullimea numerelor naturale este o mullime

mullime

17.

S" dd mullimea

M:

{x e N-, x S 3}. a) Scrieli mullimea Mprin enumerarea

elem entelor, M

:

b) SubmulJimile improprii ale mullimii M sunt ................... c) Submullimile proprii ale multimii Msunt

\r

18. )

t9.

ci sunt indeplinite a) {t,a,3} c {1,2,3,4\;

Determinali a, qtiind

a) Determinali perechile (x,

simultan condifiile:

b) {1, a,3}

c

{1, 3, 4, s}.

y) qtiind cd {2, x, a} c. {1, 2, y, 3} . b) Determinali perechile (x, y) qtiind cd sunt lndeplinite simultan condiliile: t) {2,3,4} c {3,x,y,4}; 1i) {3,x,y,al c. {2.3,4,s,61.

Solu[ie:

b) intre elementul a gi mu{imea

M:

{a, b, c} existii rela}ia de

qi notdm

c) intre mullimile A = {1, 2} qi B = {0, 1, 2, 3} existi relalia de

?{"

Se considerd

mulllmea M

a) Elementele

mu[imii M

: {V.X

t

rl,

:

Z}

sunt

b) Submul,timile lui M formate din cdte doud elemente sunt c) Submullimile lui M formare din cdte trei elemente

?3.

sunt ........

Completali spaliile punctate astfel incdt sd oblineli propozilii adevlrate.

a)AUB-{x1xeA"""..............."......xe8}; c)A\B:{xlxeA.................."".....xe8}; OAoA:{x1xeA.........................-re.B}; d)B\l:{xlxeB .....xeA}.

?1" Anakali, cu atenfie, diagrama gi specifica{i

dacd propoziliile ce urmeaz[ sunt adevArate sau

false:

aeA)8........; b eA)8......".; {b,d}=A08....... ; d e A)B ........ ; e e A\B ".......; {a,c} cA UA .". . ?.{. S" consider[ doud mullirni oarecare I qi B.

.

a)DacdA|1B: AU B, atunci b)Dacd A c B

?5.

qi

.."........

B c A, atunci .

.

Scrie{i informalia corccti care completeazd spaliile punctate: a) Cel mai mare divizor propriu al

b) Cardinalul multjmii

a

mulimii

Oo, este

seste ...........

c) Cel mai mic element al mu[imii tulu1 t18 este ... d) Din mu[imea n4r, elementele de forma

2&.

oace,4.=

{0,1,2,4} EiB: {0,2,5,6},atunci:

17" O.t'rnirruli Solillie:.."..........

ab sunt

mullimile M

qi

N, qtiind cI MU

l/

:

{1, 2, 3, 4, 5}, M n N = {2, 3, 4\

qi

N\

M:

{5 }.

H*,

se consider6 mu{im ea

M:

B: M+ A: .................................... b)AnB : M> A:.................................... a)

I B:

{1,2, 3}. scrieti doue mulfimi

AU

c)A\B:M+A

;

e N- ll




qi 48 sunt numere pare qi cum 3a + 46 + 2c: 48 3a este numdr par :> 4 este numar . par qi cum a este numdr prim a 2 3 2 + 4b + 2c 48 4b + 2c 48 - 6 4b + 2c 42 | : 2 >2b+ c-21.Clrm2b este numdr par gi 21 este numdr impar c este numdr impar qi prim qi avem: c=3 2b = 18 D = 9 (nu este numArprim); c=5 2b = 16 b = 8 (nu este numdrprim);

+ : >

:

=>

:

:

+

=

= >

= = c:7=>2b:14+b:7; c:11:+2b:10>b:5; c: 13 => 2b : 8 + D : 4 (nu este numer prim);

c:17+2b:4>b=2.

Cum numerele trebuie sd fie diferite dou[ cdte doui,

rezultdcda=2,6:5

gi

c=

clutate.

b)a+2b+4c:36

S"

Determinali cifrele distincte a gi 6, asrfel incdt

"b

qi b" si fie numere prime.

11 sunt numerele

5.

O.

Determinafi numerele nahrale de forma

"a

, gtiinO cd suma dinne

''. '' ''

Z

:'' ' '' ' '''

-I .

Dacd abc este numdr prim, calculali c6.ti divizori are numirul abcabc

;.

;;;.;"

:.,.-;;,"

;;;"

;";,,;"

";.

;"

qi ba este pdtrat perfect.

.

";;;;",,,.,,;:;;

b) Care este cel mai mare numdr de dou[ cifre caxe are exact patru divizori? le.

/a

V.

a) Cel mai mare divizor comun al numerelor naturale a gi b se prescurteazh

gi se noteazd cu

.

b) Pentru a calcula c.m.m.d.c.

-

te numar

?1.?----r

se procedeazd

astfel:

se descompun se iau

factorii

;i avem:

f0.

a) Cel mai mic multiplu comun al numerelor nahrale a qi D se prescurte azd .................................

qi se noteazi cu

b) Pentru a calcula c.m.m.m.c. se procedeazd astfel:

-

Nmerele

ll.

se descompun se iau

factorii

Catcutag cel mai mare divizor comun qi cel mai mic multiplu comun al numerelor: a) 840 qi 672 840 84

42

2.5

2

2

672 336

2

168

2 2

840=23.5.3-7; 672:2s.3.7;

21

3

84

1

7

7

42

2

$a0;

21

J

$a0;672):23 .3 .7 =

7

7

1

I

6721

:

2s . 5 . 3 . 7

= 3360:

168.

b) 67s qi 864 "t

864

675

,..^.-".]

'

I

Pentru c,

D

e N, avem (a, b)

.[a,bl: o. b

I

aceastAproprie#;;, a)a-l92qib:144

Verificafl

t92

144

lg2:.............. Qe2;

......

450

b=224.

.

lr92; r44l

192.r44:........ 9i

144:........

A\:

(192;1441'1192;1441:

b)" :450

,

I=

(D2:144\.n92:t44i:

J

450:................ (4sQ224)

;

224: l4s0;2241=

(450;224).14s0;2241

450.224

I ........... t-

ele,

Scrieli perechile de numere prime intre ele care 2 : 2; 9 32; 4 : 22; 14 : 2. 7 ; (2, 9) | + 2 qi 9 sunt prime intre ele; (2, 4) : 2 2 qi 4 nu sunt prime ?ntre ele;

:

:

=

se

pot forma cu numerele: 9,2, 4 qi 14.

i j

i

)

Doui sau mai multe numere naturale care au cel mai mare divizor comun egal cu 1 se numesc z wnere prime tntre

.-:

I

'

--.

!5"

In mullimea numerelor naturale, divizibilitatea are urmitoarele proprietii: a) Reflexivitate, b) Antisimetrie, c) Tranzitivitate, d) Dacd a I b qi a I c, atunci a e) Dacd a I b . c qi (a, b) = l, aturrci a I

t6.

I

a) Determinali toate numerele nafurale de forma

2ry dlizibilecn15.

b) Determinali toate numerele naturale de forma 3.r1y divizibile cu 6.

--:l I

,*l:

Rezolvane:a)15l2xya5l2xy;3l2xy qi(5,3)=1.Dar5lZ*y

e

oye {0,5}e 2-y.{2-0,2.5}

ex e {1, 4, 7 | o Zr0. {210, 240, 270l.Cum 3 | 2.r5 e3l(2+ x+ 5)e3l(7+r)e x e {2,5,s} e 2x5 e {225,255,285}. Numerele cautate sunt: 210,

Cum 3 | 2x0

3 | (2 + x + 0) 11 =i:

??.

afla;i cel mai mic numbr nahral care impdrfit pe rdnd La6,15 qi.24 ddresturile 4, 13 qi, respectiv,22. RezOlvare:Fieanumdrulcdutat.Dinteoremaimpdrfiriicurest,D:i.C+R,R