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German Pages 276 Year 2009
Serge Zacher Übungsbuch Regelungstechnik
Serge Zacher
Übungsbuch Regelungstechnik Klassische, modell- und wissensbasierte Verfahren 4., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 316 Abbildungen, 105 Aufgaben mit Lösungen und 40 MATLAB-Simulationen STUDIUM
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.
Die ersten beiden Auflagen erschienen unter dem Titel „Musteraufgaben Regelungstechnik“ im Eigenverlag des Autors. 3. Auflage 2007 4., überarbeitete und erweiterte Auflage 2010 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010 Lektorat: Reinhard Dapper | Walburga Himmel Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: STRAUSS GMBH, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0462-4
V
Vorwort zur 4. Auflage
Das Buch beinhaltet klausurrelevante Muster-Aufgaben mit Lösungen, die der Verfasser während seiner fast zwanzigjährigen Lehrtätigkeit an Fachhochschulen Wiesbaden, Darmstadt und Fulda angeboten hat. Das Buch soll dem Leser helfen, Lehrinhalte besser zu verstehen und Sicherheit für eine bevorstehende Prüfung verschaffen. Wie in vorherigen Auflagen sind die Aufgaben nach dem Schwierigkeitsgrad in fünf Kategorien von der einfachsten Stufe M bis zur höchsten Stufe MNOPQ eingeteilt. Bei allen Aufgaben sind die Lösungsschritte lückenlos angegeben, die Lösungen sind teilweise mit MATLAB / Simulink von The Math Works Inc. unterstützt. Gegenüber der 3. Auflage sind die Aufgaben anders gegliedert und zwar in zwölf Kapitel nach klassischen Themen der linearen, nichtlinearen, digitalen, adaptiven Regelung, Mehrgrößen- und Zustandsregelung, sowie nach relativ neuen Kapiteln der modellbasierten und wissensbasierten Regelungstechnik. Zu jedem Kapitel findet man eine kurze Einführung, in der die Hinweise zur Lösung oder die bereits gelösten Muster-Aufgaben geschildert sind. Das Buch beinhaltet auch eine kompakte Formelsammlung, die die Lösung erleichtern soll. Die Formelsammlung sowie einige Lösungen des Übungsbuches sind mit HTML programmiert, mit Flash MX animiert und im Internet auf den Verlags- und AutorenWebseiten ausgestellt: www.viewegteubner.de
www.szacher.de
Somit eignet sich das Buch zum Selbststudium bzw. zum E-Learning, was mit dem Übergang zu kürzeren Studienzeiten der Bachelor- und Master-Studiengäng besondere Bedeutung gewinnt. Da das Übungsbuch heute auch als e-book in mehreren Bibliotehken zugänglich ist, kann man die Aufgaben am Monitor anzeigen, durch die onlineFormelsammlung navigieren und den animierten Lösungen folgen. Die Aufgaben sind für Studenten der Elektrotechnik und des Maschinenbaus geeignet. Bei der Gestaltung von Lösungswegen wurden auch die Probleme der mathematischen Behandlung von Regelkreisen berücksichtigt, die häufig bei Studenten des sogenannten dualen Studiums, d. h. bei berufsintegrierten ingenieurtechnischen Studiengängen an Fachhochschulen (BIS und KIS), auftreten. Als eine FH-interne Broschüre mit 30 Aufgaben entstand das vorliegende Buch aus überarbeiteten alten Klausuren und hat sich in fünf-sechs Jahren rasant zu einer Sammlung aus mehr als hundert Aufgaben und MATLAB-Simulationen entwickelt. Dass nach der dritten Auflage in 2007 nun die vierte Auflage des Buches im Vieweg+Teubner Verlag erscheint, weist auf das Interesse von Studenten zu klassischen und neuen Kapiteln der Regelungstechnik. Andererseits kann es dem Erfolg des Lehrbuches von Manfred Reuter, Serge Zacher „Regelungstechnik für Ingenieure“ verbucht werden, dessen 12. Auflage 2008 erschien und nach dessen Themenbereichen die Übungsaufgaben im vorliegenden Buch behandelt sind, so dass das Übunsgbuch als Ergänzung zum erwähnten Lehrbuch dienen kann.
VI
Vorwort zur 4. Auflage
Zum Schluss möchte ich auf eine „Besonderheit“ der 4. Auflage hinweisen. In allen Lehrbüchern, die ich bisher verfasst habe, war immer neben Lehrinhalten ein innovatives Verfahren beschrieben. Im Buch „Neuronale Netze für Ingenieure“ (1998) war es ein neuer Algorithmus eines Netzes mit Antineuronen. Das Buch „Automatisierungstechnik Aufgaben“ (1998) stellte zum ersten Mal neben rationalen Übertragungsgliedern mit dem Laplace-Operator s = jω auch regelungstechnische Glieder mit dem irrationalen Operator s =
jω vor. Das Buch „SPS-Programmierung mit Funktionsbausteinsprache“ bein-
haltet das Konzept einer selbstlernenden SPS und die Realisierung einer Steuerung mit Softwareagenten. Im Buch „Duale Regelungstechnik“ findet man eine etwas andere Klassifizierung von LTV-Gliedern (linear time-variate), die dann zum Entwurf von neuen wissenbasierten Reglern, so genannten Trial-Elementen, wie Fuzzy-Regler ohne FuzzyLogik und neuronale Netze ohne Backpropagation, führten. Solche hybride Regelkreise sind auch im bereits erwähnten Buch „Regelungstechnik für Ingenieure“ an einem Beispiel verdeutlicht. Nun ist das vorliegende Buch keine Ausnahme in diesem Sinne, d. h. eine Innovation erwartet den Leser auch hier in einer Aufgabe. Doch in welcher Aufgabe, möchte ich an dieser Stelle nicht erläutern und würde mich für ein Feedback von Lesern sehr freuen. Für die Anregungen und Unterstützung bei Buchpublikationen möchte ich den beteiligten Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern des Vieweg+Teubner Verlags, insbesondere dem Verlagsbereichsleiter, Herrn Ewald Schmitt, und dem Cheflektor Elektrotechnik-IT, Herrn Reinhard Dapper, sowie seinem gesamten Mitarbeiter-Team, für die stets gute und jederzeit konstruktive Zusammenarbeit herzlich danken. Zum Dank bin ich auch dem ehemaligen Mitarbeiter des Verlages, Herrn Günter Schenk, verpflichtet, der mich bei jedem Treffen auf Buchmessen oder im Verlag zum Verfassen dieses Übungsbuches anregte. Wiesbaden, im September 2009
Serge Zacher
VII
Inhaltsverzeichnis Formelzeichen................................................................................................................... X Hinweise Aufgaben Lösungen 1 Linearisierung .....................................................................1 1.1 Dynamisches und statisches Verhalten .........................................6 .................. 119 1.2 Statische Kennlinie .......................................................................6 .................. 120 1.3 Statisches Kennlinienfeld .............................................................7 .................. 120 1.4 Grafische Linearisierung ..............................................................7 .................. 121 1.5 Analytische Linearisierung ...........................................................7 .................. 121 1.6 Analytische und grafische Linearisierung.....................................8 .................. 122 1.7 Linearisierung und Wirkungsplan.................................................9 .................. 123 1.8 Maximaler Proportionalbeiwert....................................................9 .................. 124 1.9 Arbeitspunkt ...............................................................................10 .................. 124 1.10 Wechsel des Arbeitspunktes .......................................................10 .................. 125 1.11 Werte im Beharrungszustand......................................................10 .................. 125 2 Regelkreisverhalten........................................................... 11 2.1 Statisches Verhalten (1)..............................................................14 .................. 126 2.2 Statisches Verhalten (2)..............................................................14 .................. 127 2.3 Beharrungszustand......................................................................15 .................. 128 2.4 Bleibende Regeldifferenz und Regelfaktor.................................15 .................. 128 2.5 Regelfaktor .................................................................................15 .................. 128 2.6 Parallelschaltung.........................................................................16 .................. 129 2.7 Reihen- und Kreisschaltung........................................................16 .................. 130 2.8 Wirkungsplan und Sprungantwort ..............................................16 .................. 131 2.9 Windkraftanlage .........................................................................17 .................. 131 2.10 Bleibende Regeldifferenz ..........................................................18 .................. 132 2.11 Übertragungsfunktion einer Festplatte.......................................18 .................. 133 3 Stabilität............................................................................. 19 3.1 Hurwitz-Stabilitätskriterium (1)..................................................26 .................. 135 3.2 Hurwitz-Stabilitätskriterium (2)..................................................26 .................. 135 3.3 Nyquist-Stabilitätskriterium (1) ..................................................27 .................. 136 3.4 Nyquist-Stabilitätskriterium (2) ..................................................27 .................. 138 3.5 Nyquist-Stabilitätskriterium (3) ..................................................28 .................. 139 3.6 Phasenreserve (1) .......................................................................29 .................. 140 3.7 Phasenreserve (2) .......................................................................29 .................. 140 3.8 Phasenreserve (3) .......................................................................30 .................. 143 3.9 Stabile und instabile Strecken.....................................................31 .................. 144 3.10 Instabile Strecke 1. Ordnung ......................................................31 .................. 145 3.11 Kabelbruch im Stellungsregelkreis .............................................32 .................. 146 3.12 Instabile Strecke 2. Ordnung ......................................................32 .................. 147
VIII
4
5
6
7
8
9
Inhaltsverzeichnis
Hinweise Aufgaben Lösungen Reglereinstellung............................................................... 33 4.1 Betragsoptimum .......................................................................... 39 .................. 151 4.2 Symmetrisches Optimum.............................................................39 .................. 151 4.3 Optimale Reglereinstellung (1).................................................... 39 .................. 153 4.4 Optimale Reglereinstellung (2).................................................... 40 .................. 153 4.5 Positionsregelung einer Roboterhand .......................................... 40 .................. 154 4.6 Optimale Reglereinstellung (3).................................................... 41 .................. 154 4.7 Füllstandsregelung (1) ................................................................. 41 .................. 155 4.8 Füllstandsregelung (2) ................................................................. 42 .................. 156 4.9 Werkzeugmaschine...................................................................... 44 .................. 158 Kaskadeneregelung........................................................... 47 5.1 Kaskadenregelung (1)..................................................................51 .................. 162 5.2 Kaskadenregelung (2)..................................................................52 .................. 163 5.3 Kaskadenregelung (3)..................................................................52 .................. 165 5.4 Lageregelung ............................................................................... 53 .................. 166 5.5 Reaktor mit Wärmeaustauscher ................................................... 54 .................. 167 5.6 Override-Regelung ...................................................................... 54 .................. 169 Mehrgrößenregelung ........................................................ 55 6.1 Molekularfilter............................................................................. 67 .................. 171 6.2 Zwei-Tank-System ......................................................................68 .................. 172 6.3 Stabilität ......................................................................................68 .................. 177 6.4 Diagonalregler ............................................................................. 69 .................. 179 6.5 Entkopplungsregler (1)................................................................ 69 .................. 182 6.6 Entkopplungsregler (2)................................................................ 70 .................. 183 Zustandsregelung .............................................................. 71 7.1 Regelung einer Doppel-I-Strecke ................................................ 77 .................. 186 7.2 Zustandsrückführung ................................................................... 77 .................. 188 7.3 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit.............................................. 77 .................. 189 7.4 Zustandsbeobachter ..................................................................... 78 .................. 190 7.5 Polverschiebung .......................................................................... 78 .................. 193 7.6 Optimale LQ-Regelung ...............................................................78 .................. 194 Adaptive Regelung ............................................................ 79 8.1 Identifikation (1).......................................................................... 80 .................. 195 8.2 Identifikation (2).......................................................................... 80 .................. 195 8.3 Identifikation (3).......................................................................... 81 .................. 197 8.4 Gain-Scheduling ..........................................................................82 .................. 199 8.5 Adaptiver Zustandsregler ............................................................ 82 .................. 200 Nichtlineare und unstetige Glieder.................................. 83 9.1 Zweipunktregler ohne Schaltdifferenz.........................................86 .................. 202 9.2 Zweipunktregler mit Grundlast....................................................86 .................. 204 9.3 Temperaturregelung .................................................................... 87 .................. 205 9.4 Digitaler Zweipunktregler ........................................................... 91 .................. 209 9.5 Regelkreis mit einer Sättigung..................................................... 92 .................. 210
Inhaltsverzeichnis
IX
Hinweise Aufgaben Lösungen 10 Digitale Regelung ............................................................93 10.1 Quasikontinuierliche Regelung (1) ..........................................95 .................. 212 10.2 Quasikontinuierliche Regelung (2) ..........................................95 .................. 214 10.3 Digitale Regler (1)....................................................................96 .................. 215 10.4 Digitale Regler (2)....................................................................97 .................. 216 10.5 Digitale Regler (3)....................................................................97 .................. 217 10.6 Digitalisierung (1) ....................................................................98 .................. 218 10.7 Digitalisierung (2) ....................................................................98 .................. 221 10.8 Differenzengleichung ...............................................................99 .................. 224 10.9 Differenzengleichung und Stabilität .........................................99 .................. 226 10.10 z-Übertragungsfunktion ............................................................99 .................. 227 10.11 z-Übertragungsfunktion und Stabilität ....................................100 .................. 227 11 Modellbasierte Regelung ..............................................101 11.1 Kompensationsregler (1) .........................................................103 .................. 230 11.2 Kompensationsregler (2) .........................................................103 .................. 230 11.3 Kompensationsregler (3) .........................................................103 .................. 231 11.4 Smith-Prädiktor .......................................................................104 .................. 233 11.5 PFC-Regelkreis........................................................................104 .................. 238 12 Wissensbasierte Regelung.............................................105 12.1 Klimaanlage.............................................................................113 .................. 239 12.2 Ofenheizung ............................................................................114 .................. 240 12.3 Statische Kennlinie des Fuzzy-Reglers....................................115 .................. 241 12.4 Optimierung des Fuzzy-Reglers ..............................................115 .................. 241 12.5 Einzelschicht-KNN..................................................................116 .................. 243 12.6 Mehrschicht-KNN ...................................................................116 .................. 244 12.7 Mustererkennung .....................................................................117 .................. 244 12.8 Stabilitätsgrenze ......................................................................117 .................. 245 Literaturverzeichnis ..........................................................................247 Formelsammlung ..............................................................................249 Sachwortverzeichnis .........................................................................257
X
Formelzeichen A, B, C, D
Matrizen der Zustandsbeschreibung
a0, a1, a2, a3 Koeffizienten der Differentialgleichung b
Koeffizient, Schnittpunkt einer Geraden mit der Ordinaten-Achse
b0
Koeffizient der Differentialgleichung
C0, C1
Integrierkonstanten
C(s), C(0)
Koppelfaktor, statischer Koppelfaktor
c0
Koeffizient der Differentialgleichung
D, D1, D2
Hauptdeterminante, Teildeterminanten
d
Muster-Ausgang eines Neurons
e
Regeldifferenz
eakt
aktuelle Regeldifferenz eines Fuzzy-Reglers
e(∞)
bleibende Regeldifferenz e(t) bei t → ∞
f
Funktion, Frequenz
G
Erfüllungsgrad eines Fuzzy-Reglers
G(jω)
Frequenzgang
|G(jω)|dB
Amplitudengang in dB
G(s)
Übertragungsfunktion
G0(s)
Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises
GM(s)
Übertragungsfunktion des gewünschten Regelkreisverhaltens
GR(s)
Übertragungsfunktion des Reglers
GS(s)
Übertragungsfunktion der Regelstrecke
Gv(s)
Übertragungsfunktion des Vorwärtszweigs
Gw(s)
Führungsübertragungsfunktion
Gz(s)
Störübertragungsfunktion
H
Durchhang, Sollwert eines Dead-Beat-Reglers
i, iE
Strom
J
Massenträgheitsmoment
j = −1
imaginäre Einheit
KDR
Differenzierbeiwert des Reglers
KIS, KIR
Integrierbeiwert der Strecke, Integrierbeiwert des Reglers
KPRkrit
kritischer Proportionalbeiwert des Reglers
Formelzeichen K0
Kreisverstärkung
KPR
Proportionalbeiwert des Reglers
KPr
Proportionalbeiwert des Smith-Prädiktors
KPS
Proportionalbeiwert der Strecke
KPw
Proportionalbeiwert des geschlossenen Kreises (Führungsverhalten)
KPSy
Proportionalbeiwert der Strecke beim Stellverhalten
KPSz,KPz
Proportionalbeiwert der Strecke beim Störverhalten
L
Leistung, Länge
l
Länge
M
Moment, Masse, Matrix von Messwerten
m
Steigung einer Geraden, Masse, Zugehörigkeitsfunktion
N ( xˆe )
Beschreibungsfunktion eines nichtlineares Gliedes
n
Drehzahl, Anzahl von Halbwellen, Ordnung der Übertragungsfunktion
P
Leistung, Gewicht, Parameter
p
Druck, Polstelle
Q
Durchflussmenge
QB, QS
Beobachtbarkeitsmatrix, Steuerbarkeitsmatrix
RF
reeller (statischer) Regelfaktor
T
Zeitkonstante, Periodendauer
TA
Abtastzeit
Tan, Taus
Anregelzeit, Ausregelzeit
TE
Ersatzzeitkonstante
Tg
Ausgleichszeit
Tn
Nachstellzeit
TR
Verzögerungszeitkonstante des Reglers
Tt
Totzeit
Tu
Verzugszeit
Tv
Vorhaltzeit
Tw
Zeitkonstante des geschlossenen Kreises (Führungsverhalten)
t
Zeit
U, UR, US
Spannung, Spannung am Reglerausgang, am Streckenausgang
UM
Spannung am Eingang eines Motors
ümax
maximale Überschwingweite
u
Spannung, Stellgröße, Eingangsvektor
XI
XII
Formelzeichen
V
Ventil, Volumen, Verstärkungsgrad
W
Gewicht eines Neurons
w
Führungsgröße, Sollwert
wˆ
Höhe des Eingangssprungs der Führungsgröße
X
Regelgröße, Weg
XE
Regelbereich eines Kreises mit Zweipunktregler
X0
Regelgröße im Arbeitspunkt
x
Regelgröße (Abweichung vom Arbeitspunkt), Weg
x(t)
Sprungantwort, Zustandsvektor
x(∞)
Beharrungswert bei t → ∞
xˆe
Amplitude der Eingangsschwingung eines nichtlinearen Gliedes
xB
Sättigungszone eines nichtlinearen Gliedes
xd
Schaltdifferenz eines Zweipunktreglers
xk
digitalisierte Ausgangsgröße, Lösung der Differenzengleichung
x0
Amplitude der Dauerschwingung
Y
Stellgröße
Y0
Stellgröße im Arbeitspunkt
y
Stellgröße (Abweichung vom Arbeitspunkt), Ausgang eines Neurons
yakt
aktuelle Stellgröße eines Fuzzy-Reglers
Z
Störgröße
Z0
Störgröße im Arbeitspunkt
z
Störgröße (Abweichung vom Arbeitspunkt), Nullstelle
zˆ
Höhe des Eingangssprungs der Störgröße
Δ
Kennzeichnung von Größenänderung
Φ, Φ0
Winkel, Winkel im Arbeitspunkt
ϑ
Dämpfungsgrad
α
Aktivierung, Winkel
αR
Phasenreserve
η
Lernschrittkonstante
ϕ , ϕ(ω)
Winkel (Abweichung vom Arbeitspunkt), Phasengang
ν
Ausgangsgröße eines verdeckten Neurons
θ
Schwellenwert eines Neurons
ω
Kreisfrequenz, Winkelgeschwindigkeit
ωD
Durchtrittskreisfrequenz
1
Aufgaben
1 Linearisierung Hinweise zur Lösung Das dynamische Verhalten einer nichtlinearen Regelstrecke wird analytisch mit einer Differentialgleichung (DGL) beschrieben, wie z. B. unten für eine Strecke mit der Regelgröße X(t), Stellgröße Y(t) und Störgröße Z(t):
0,02 X (t ) + 0,5 X (t ) + X (t ) = 5Y (t ) + 8Y 2 (t ) + Z (t ) − Y (t ) ⋅ Z (t ) Das statische Verhalten einer nichtlinearen Regelstrecke wird mit einer algebraischen Gleichung beschrieben, die aus der DGL abgeleitet werden kann. Dafür setzt man in der DGL alle Ableitungen gleich Null, da die Strecken üblicherweise mit NullAnfangsbedingungen untersucht werden. Für das obige Beispiel gilt:
X (t ) = 0
X (t ) = 0
Y (t ) = 0
Es ergibt sich für das statische Verhalten der nichtlinearen Regelstrecke:
X (t ) = 8Y 2 (t ) + Z (t ) − Y (t ) ⋅ Z (t ) Nach der Linearisierung in einem Arbeitspunkt (Y0, X0) wird eine beliebige nichtlineare Strecke X = f (Y, Z) wie folgt beschrieben:
x = K PSy y + K PSz z Hier sind: x, y, und z – Abweichungen der entsprechenden Größen X, Y und Z vom Arbeitspunkt (Y0, X0), d. h. x = X − X 0 bzw. X = X 0 + x ; y = Y − Y0 usw.
§ ∂X · § ∂X · K PSy = ¨ ¸ und K PSz = ¨ ¸ − Proportionalbeiwerte bei Eingang Y und Z © ∂Y ¹0 © ∂Z ¹ 0 Im obigen Beispiel gelten:
§ ∂X · K PSy = ¨ ¸ = 2 ⋅ 8 ⋅ Y0 + 0 − Z 0 = 16Y0 − Z 0 © ∂Y ¹ 0 § ∂X · K PSz = ¨ ¸ = 0 + 1 − Y0 = 1 − Y0 © ∂Y ¹0
S. Zacher, Übungsbuch Regelungstechnik, DOI 10.1007/978-3-8348-9754-1_1, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010
2
Aufgaben
Das statische Verhalten einer Regelstrecke wird grafisch in Form eines Kennfeldes gegeben, wie beispielsweise unten im Bild mit dem Arbeitspunkt A gezeigt. X
Tangente
Z = 0,3
Z = 0,6
5 Z0 = 0,9
B
4
Z = 1,2
A X0 = 3
Z = 1,5 C
2
Z = 1,8
D 1 0
5
Y0= 10 15
20
25 Y
Die Proportionalbeiwerte KPSy und KPSz stellen Steigungen im Arbeitspunkt A zu entsprechenden Kurven X = f (Y) und X = f (Z) dar und werden angenähert wie folgt berechnet:
XA − XD § ΔX · K PSy = ¨ ¸ = YA − YD © ΔY ¹ 0 X − XC § ΔX · . K PSz = ¨ ¸ = B Δ Z © ¹0 Z B − Z C Da die Kurve X = f (Z) explizit nicht gegeben ist, wird anstelle der Tangentensteigung die Steigung einer Sekante bestimmt. Dies erfolgt, indem man
zwei Punkte wählt, z. B. die Punkte B und C, die gleichmäßig von Arbeitspunkt Z0 entfernt sind. Im obigen Beispiel heißt es, Punkt B mit Z0−0,3 und Punkt C mit Z0+0,3:
K PSy =
3 − 1,5 = 0,15 10 − 0
K PSz =
4−2 = −3,33 . 0,6 − 1,2
Die negativen Proportionalbeiwerte werden im Wirkungsplan durch Blöcke mit positiven Kennwerten bezeichnet. Das Minus-Vorzeichen wird außerhalb des Blocks bei einer Additionsstelle berücksichtigt (siehe Beispiel unten). Die linearisierte Regelstrecke (links) z(s) y(s)
x = 0,15 y − 3,33 z
KPSz KPSy
−
wird im Wirkungsplan mit positiven Proportionalbeiwerten K PSy = 0,15 und
x(s)
+
K PSz = 3,33 dargestellt.
Bei der Linearisierung von Regelstrecken soll man die Schaltungsregel beachten, wie unten an einem Beispiel der Reihenschaltung erklärt ist. Die linearisierte Strecke (links)
z(s) y(s)
x = K PSy y + K PSz z
KP1 +
KP2
+
KP3
x(s)
hat folgende Proportionalbeiwerte:
K PSy = K P2 K P3 K PSz = K P1 K P3 .
1 Linearisierung
3
Muster-Aufgabe mit Lösung: Stoffbahn In der Textilindustrie wird oft die Stoffbahn über Walzen geführt. Erleiden Stoffbahnen beim Aufbereiten Längeänderungen oder weisen die abführenden und die zuführenden Walzen verschiedene Drehgeschwindigkeiten ωG und ωZ auf, entsteht zwischen den Walzen einen Durchhang H (siehe Bild unten). Um eine Faltenbildung und ein Reißen der Stoffbahn zu vermeiden, wird der Durchhang H (Regelgröße) konstant gehalten. Zuführende Walzen
Abführende Walzen Stoffbahn
x(t)
ωZ
Getriebe
ωG Motor ωM
Lichtstrom
Fotozelle
+
UF
Durchhang H
−
+
UA
−
Die Drehgeschwindigkeit ωG der abführenden Walze soll über einen Motor mit der Ankerspannung UA (Stellgröße) eingestellt werden. Von einer analogen Lichtschranke, auf die je nach der Größe des Durchhanges verschiedene Lichtströme und entsprechende Spannungen UF (Messgröße) auftreten, soll die Regeldifferenz Ue = U H − U F gebildet und dem Regler weiter gegeben werden. Die Drehgeschwindigkeit ωZ der zuführenden Walze wird als Störgröße betrachtet. Im Arbeitspunkt beträgt die Drehgeschwindigkeit
ωG0 = 900 1/min, der Durchhang (Führungsgröße) ist dabei H0 = 100 mm.
4
Aufgaben
a) Das nichtlineare Kennlinienfeld der Regelstrecke ist rechts gegeben. Bestimmen Sie die Proportionalbeiwerte KPy und KPz der linearisierten Regelstrecke für kleine Abweichungen vom folgenden Arbeitspunkt:
X /mm 250 200 150
X0 = 100 mm 100
Y0 = 900 1/min
Z= 1200 1/min Z= 1100 Z= 1000 Z= 900 Z= 800
50 0 800
1000
1200
Y / 1/min
§ ΔX · K PSy = ¨ ¸ © ΔY ¹0
Lösung:
K PSy =
X /mm
Kennlinie des Reglers
(150 − 0) mm (800 − 1100) 1/min
K PSy = −0,5
250
mm 1 / min
200 150 A 100
Z= 1200 min-1 Z= 1100 Z= 1000 Z= 900 Z= 800
C
50
B
0 800
1000
1200
Y / min-1
§ ΔX · K PSz = ¨ ¸ © ΔZ ¹ 0
K PSz =
(150 − 50) mm (1000 − 800)1/min
K PSz = 0,5
mm 1 / min
b) Die Regelstrecke (siehe Kennlinienfeld oben) wird mit einem P-Regler mit dem Proportionalbeiwert KPR = 0,5 min-1 /mm geregelt. Im geregelten Zustand befindet sich die Regelstrecke im folgenden Arbeitspunkt: Y0 = 900 1/min Z0 = 900 1/min. Wie groß wird der reelle Regelfaktor RF bei einem Sprung der Störgröße von
zˆ = −100 min -1 ?
1 Linearisierung
5
Lösung: Der Regelfaktor RF zeigt, inwieweit sich die Regelung einer Strecke nach dem Einsatz eines Reglers verbessert hat. Die Regelgröße bei der Regelung mit einem Regler wird xm.R bezeichnet. Fehlt der Regler im Regelkreis, so wird die Regelgröße xo.R bzw. „ohne Regler“ bezeichnet. Die Wirkungspläne unten sollen diese Bezeichnungen erläutern.
xm.R. (∞) =
K PR K PS wˆ 1 + K PR K PS
xo.R. (∞) = 0 ⋅ wˆ
xm.R. (∞) =
K PZ K PS zˆ 1 + K PR K PS
xo.R. (∞) = K PZ K PS zˆ
z w
e
z
KPZ +
KPR
−
KPS
+
x m.R.
w
KPZ +
e −
+
KPS
x o.R.
In diesem Buch wird nur der statische Regelfaktor betrachtet, der nach folgenden Regeln für das Führungs- und Störverhalten ermittelt wird: Führungsverhalten:
RF =
em.R. (∞) wˆ − xm.R. (∞ ) wˆ − xm.R. (∞) wˆ − xm.R. (∞) = = = eo.R. (∞) wˆ − xo.R. (∞ ) wˆ − 0 wˆ
Störverhalten:
RF =
em.R. (∞) wˆ − xm.R. (∞) 0 − xm.R. (∞) xm.R. (∞ ) . = = = eo.R. (∞) wˆ − xo.R. (∞ ) 0 − xo.R. (∞ ) xo.R. (∞)
Nun bestimmen wir den Regelfaktor für das betrachtete Beispiel. Aus dem Kennlinienfeld der Strecke folgt, dass sich für einen Störsprung z = − 100 min-1 ergibt xo.R (∞) = 100 mm − 50 mm = 50 mm (Punkt B). Die Kennlinie des Reglers mit
K PR =
min -1 ΔY 100 min -1 = = 0,5 ΔX 200 mm mm
wird in das Diagramm eingetragen. Damit wird die Regelstrecke zusammen mit dem Regler betrachtet, d. h. es handelt sich hier um die Regelgröße xm.R. . Für den Störsprung z = 100 min-1 ergibt sich aus dem Diagramm: xm.R (∞) = 100 mm − 70 mm = 30 mm
x (∞) 30 mm Daraus folgt: RF = m.R. = = 0,6 . xo.R. (∞) 50 mm
(Punkt C)
6
Aufgaben
Aufgaben: Linearisierung 1.1 Dynamisches und statisches Verhalten...................................................... M Die Stellgröße Y(t) = UR einer Regelstrecke wurde stufenweise in regelmäßigen Abständen vergrößert. Der zeitliche Verlauf der mit dem Sensor gemessenen Regelgröße (Abstand) X(t) = US ist unten im Diagramm dargestellt. UR
X ,Y / V 10 8
X(t)
6 MontageRoboter
Y(t)
Sensor
4
X US
2 UR = Y Stellgröße
US = X Regelstrecke Regelgröße
0
1
2
3
4
5
t/s
a) Skizzieren Sie die statische Kennlinie der Regelstrecke X = f (Y), indem Sie zunächst die Messpunkte in das Diagramm X = f (Y) eintragen und dazwischen einen glatten Verlauf annehmen. b) Linearisieren Sie die Kennlinie grafisch im Arbeitpunkt Y0 = 4 V durch eine Tangente und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente X = mY + b. c) Durch Parallelverschiebung von Koordinatenachsen Y und X in Arbeitspunkt (Y0, X0) beschreiben Sie die linearisierte Gleichung (Tangente) mit Hilfe von kleinen Abweichungen vom Arbeitspunkt x und y in folgender Form: (X −X0) = m(Y − Y0) bzw. x = my. Die Variablen x und y sind: x = X − X0 und y = Y − Y0. d) Schätzen Sie den maximalen Fehler zwischen linearisierter und wirklicher Kennlinie im Intervall (1 V ≤ Y ≤ 7 V) ab.
1.2 Statische Kennlinie ...................................................................................... M Das dynamische Verhalten einer Regelstrecke wird mit folgenden DGL beschrieben:
T ⋅ X (t ) + X (t ) = K ⋅ Y 2 (t ) mit K = 1,5 und T = 0,6 s. Geben Sie die statische Kennlinie X = f (Y) an und linearisieren Sie die Kennlinie rechnerisch und grafisch für kleine Abweichungen x und y vom Arbeitspunkt Y0 = 2.
1 Linearisierung
7
1.3 Statisches Kennlinienfeld ........................................................................ MN Das statische Kennlinienfeld einer Regelstrecke ist gegeben, wobei X, Y und Z entsprechend die Regel-, Stell- und Störgröße sind. a) Linearisieren Sie die Strecke für kleine Abweichungen vom Arbeitspunkt: Y0 = 900 min-1
X /mm 250 200 Z= 970 1/min 150
Z= 950 Z= 900 Z= 880 Z= 850
100
X0 = 150 mm 50
b) Bestimmen Sie die Abweichung der Regelgröße x der linearisierten Strecke vom Arbeitspunkt:
Z= 820 850
Y = 950 min-1
900
950
Y / 1/min
Z = 950 min-1
1.4 Grafische Linearisierung ........................................................................ MN Das statische Kennlinienfeld einer Regelstrecke ist gegeben, wobei X, Y und Z entsprechend die Regel-, Stell- und Störgröße sind. Nach der Linearisierung für kleine Abweichungen vom Arbeitspunkt X0, Y0 und Z0 entstand die folgende Gleichung: x = 0,375y + KPz z a) Wie groß sind X0, Y0 im Arbeitspunkt, wenn Z0 = 40 ist? b) Wie groß ist KPz?
X Z = 10 5
Z = 20 Z = 30
4
Z = 40 3
Z = 50
2
Z = 60
1
0
2
4
6
8
10 Y
1.5 Analytische Linearisierung ..................................................................... MN In welchem Arbeitspunkt befindet sich die linearisierte Regelstrecke
x = K Py y + K Pz z mit Parametern KPy = −2 und KPz = 5, wenn das statische Verhalten der nichtlinearen Regelstrecke durch die Gleichung
X =
8 Y
2
+ 3Z 2
beschrieben wird?
8
Aufgaben
1.6 Analytische und grafische Linearisierung............................................. MN Ein Roboter mit drei Gelenken ist im Bild gezeigt. a) Das Gelenk 1 wird durch die Gleichung
(t ) + 5Α (t ) + A(t ) = 0,8U (t ) + 0,1B (t ) − 0,5U (t )Β (t ) 2Α
ϕ 3
beschrieben, wobei A, U und B entsprechend die Eingangs-, Ausgangs- und Störgröße des Gelenkes 1 sind. Die Werte im Arbeitspunkt sind gegeben:
2 β
U0 = 0,4 B0 = 2 1 α
Bestimmen Sie die linearisierte Gleichung des statischen Verhaltens der Strecke für kleine Abweichungen α, u und β vom Arbeitspunkt A0, U0 und B0. Ω
b) Das statische Kennlinienfeld des Gelenks 2 ist im Bild neben gegeben, wobei UM, Ω, und Φ entsprechend die Eingangs-, Ausgangs- und Störgröße des Gelenks 2 sind. Linearisieren Sie die Strecke für kleine Abweichungen vom Arbeitspunkt
1000
Φ = 50
900
Φ = 60
800
Φ = 70 Φ = 80 Φ = 90
700
UM = 50
Φ0 = 70 und bestimmen Sie die Proportionalbeiwerte KPu und KPϕ der linearisierten Gleichung:
600 500 30
40
50
60
70 UM
ω = K Pu ⋅ u M + K Pϕ ⋅ ϕ . c) Das statische Verhalten des Gelenks 3 wird durch die Gleichung X = 2Y⋅Φ beschrieben, wobei X, Y und Φ entsprechend die Regel-, Stell- und Störgröße sind. Nach der Linearisierung für kleine Abweichungen vom Arbeitspunkt X0, Y0 und Φ0 entstand die folgende Gleichung: x = 160y + 100ϕ Wie groß sind X0, Y0 und Φ0 im Arbeitspunkt?
1 Linearisierung
9
1.7 Linearisierung und Wirkungsplan...................................................... MNO Das nichtlineare Kennlinienfeld einer Regelstrecke ist rechts gezeigt. Die Stellgröße und Störgröße im Arbeitspunkt sind:
X
Z=23 Z=24
Z=20
5
Z=25
4
Y0 = 4
Z=26 3
Z0 = 24
2
Der Wirkungsplan unten zeigt das linearisierte Verhalten der Strecke für kleine Abweichungen vom Arbeitspunkt.
1
Berechnen Sie die Proportionalbeiwerte KP1 und KP2 für die unten gezeigten Wirkungspläne.
0
2
4
6
8
10 Y
z
a) y
KP1
+
KP2 −
z
b) y
x
−
+
KP1
x KP2
1.8 Maximaler Proportionalbeiwert ......................................................... MNO Die statische Kennlinie einer Regelstrecke ist rechts im Bild gezeigt, wobei sind:
X E Z1= 0,1
10 D
X - Regelgröße Y - Stellgröße Z - Störgröße a) In welchem Arbeitspunkt A, B, C, D oder E oder F ist der Proportionalbeiwert KPsy der Strecke maximal? b) Linearisieren Sie die statische Kennlinie der Strecke im Arbeitspunkt F und bestimmen Sie die Proportionalbeiwerte KPSy und KPSz. c) Bestimmen Sie den Proportionalbeiwert KP1 im Arbeitspunkt C, wenn der Wirkungsplan der Strecke gegeben ist (s. Bild rechts) und KP2 = 11,5 beträgt.
Z2= 0,2
8 F
Z3= 0,3
6 C
Z4= 0,4
4
Z5= 0,4
2 B A 0
2
4
6
8
10
z y
KP1
+
−
x KP2
Y
10
Aufgaben
1.9 Arbeitspunkt ............................................................................................ MN X /mm
Das nichtlineare Kennlinienfeld der Regelstrecke ist im Bild rechts gegeben. Nach der Linearisierung der Regelstrecke ergibt sich der Proportionalbeiwert:
250 200 150
KPz = 0,5 mm/min-1 Bestimmen Sie, in welchem Arbeitspunkt A, B oder C die Regelstrecke linearisiert wurde und bestimmen Sie den Proportionalbeiwert KPy in diesem Arbeitspunkt.
B C
A
100
Z= 1200 1/min Z= 1100 Z= 1000 Z= 900 Z= 800
50 0 800
1000
1200
Y / 1/min
1.10 Wechsel des Arbeitspunktes ................................................................. MN Das nichtlineare statische Kennlinienfeld einer Regelstrecke ist im Bild rechts gegeben.
X
Z= 1 Z= 0 Z= − 1
Nach der Linearisierung für kleine Abweichungen vom Arbeitspunkt A ergeben sich folgende Proportionalbeiwerte:
Z= 9 Z= 7 Z= 5
KPy = 5
A
KPz = − 2,25
B
Bestimmen Sie die Proportionalbeiwerte KPy und KPz im Arbeitspunkt B. Y 0
1.11 Werte im Beharrungszustand................................................................... M Das nichtlineare statische Kennlinienfeld X = f (Y, Z) einer proportionalen Regelstrecke wurde für kleine Abweichungen vom Arbeitspunkt A mit X0 = 2,8
Y0 = 2
Z0 = 0
linearisiert. Nach der Linearisierung ergeben sich die folgenden Proportionalbeiwerte: KPSy = 5 und KPSz = − 2,25. Bestimmen Sie den Wert X1 der Regelgröße im Beharrungszustand, wenn sich die Eingänge sprunghaft folgendermaßen ändern:
y die Störgröße Z von Z0 = 0 auf Z1 = 1 y die Stellgröße Y von Y0 = 2 auf Y1 = 2,5
11
2 Regelkreisverhalten Hinweise zur Lösung Das dynamische Verhalten eines regelungstechnischen Gliedes mit der Ausgangsgröße x(t) nach einem Eingangssprung yˆ wird mit Differentialgleichungen oder mit Übertragungsfunktionen beschrieben. Aus einer Übertragungsfunktion G(s) kann man nach Grenzwertsätzen die Werte der Ausgangsgröße x(t) in statischen Zuständen zum Beginn des Übergangsprozesses bei t = 0
x(0) = lim x(t ) t →0
und zum Ende bei t → ∞
x(∞) = lim x(t ) t →∞
ermitteln. Unter Beachtung, dass es bei t = 0 für den Laplace-Operator s → ∞ gilt, und umgekehrt, bei t → ∞ wird s → 0, ergeben sich folgende Formeln:
x(0) = lim G ( s ) yˆ s →∞
und x(∞) = lim G ( s) yˆ . s →0
Für proportionale Glieder wie
G (s) =
KP (1 + sT1 )(1 + sT2 )
bedeutet dies, dass im Endzustand nur der Proportionalbeiwert KP berücksichtigt wird:
x(∞) = lim G ( s ) yˆ = K P yˆ s →0
Dies gilt auch für die Schaltungen von Übertragungsgliedern, wie die nachfolgenden Tabellen zeigen. Dynamisches Verhalten x( s ) = GS ( s ) yˆ
Wirkungsplan
y(s)
GS1(s)
GS2(s)
x(s)
GS1(s) y(s)
+
GS2(s)
+
Im Beharrungszustand für proportionale Glieder bei t → ∞
Reihenschaltung
GS ( s) = GS1 ( s)GS2 ( s )
x(∞) = K PS1K PS2 yˆ
Parallelschaltung
x(s)
GS ( s ) = GS1 ( s ) + GS2 ( s )
x(∞) = ( K PS1 + K PS2 ) yˆ
S. Zacher, Übungsbuch Regelungstechnik, DOI 10.1007/978-3-8348-9754-1_2, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010
12
Aufgaben
Dasselbe gilt für den gesamten geschlossenen Regelkreis, wie unten gezeigt ist. z(s) w(s)
GSz(s)
e(s) −
GR (s)
Ggeschl ( s ) =
− +
GSy(s)
GR ( s )GSy ( s ) 1 + GR ( s )GSy ( s )
Störverhalten: wˆ = 0
Gz ( s ) =
x( s ) = Gw ( s ) wˆ x( s ) = Gz ( s ) zˆ
Führungsverhalten: zˆ = 0
Gw ( s ) =
x(s)
Gvorwärts ( s) 1 + Gvorwärts ( s )Grückführ ( s )
GSz ( s )GSy ( s ) 1 + GR ( s )GSy ( s )
für proportionale Glieder bei t → ∞ K PR K PSy und x(∞) = K Pw wˆ K Pw = 1 + K PR K PSy für proportionale Glieder bei t → ∞ K PSz K PSy und x(∞) = K Pz zˆ K Pz = 1 + K PR K PSy
Die Regeldifferenz nach einem Eingangssprung wˆ oder zˆ wird im Führungs- und Störverhalten einheitlich ermittelt:
e(t ) = wˆ − x(t ) Im Beharrungszustand t → ∞ entspricht dies dem folgenden Zusammenhang:
e(∞ ) = wˆ − x(∞) Jedoch unterscheiden sich die Regelgrößen nach einem Eingangssprung wˆ oder zˆ und unterliegen folgenden Formeln. y nach einem wˆ -Sprung (Führungsverhalten)
x( s ) = Gw ( s )wˆ bzw. im Beharrungszustand: x(∞) = lim Gw ( s ) wˆ s →0
y nach einem zˆ -Sprung (Störverhalten)
x( s ) = Gz ( s ) zˆ bzw. im Beharrungszustand: x(∞) = lim Gz ( s ) zˆ s →0
Für Regelkreise, die wenigstens ein I-Glied beinhalten, kann die bleibende Regeldifferenz nach einer einfachen Faustformel bestimmt werden. Die Faustformel geht aus der Tatsache hervor, dass die Eingangsgröße eines I-Gliedes im Beharrungszustand gleich Null sein muss, ansonsten wird kein Beharrungszustand erreicht. Dabei werden auch die Eigenschaften der P-Glieder im Beharrungszustand berück1 sichtigt: xaus (∞) = K P xein (∞) xein (∞) = xaus (∞) . KP
2 Regelkreisverhalten
2 Regelkreisverhalten
13
Muster-Aufgabe mit Lösung: Der Wirkungsplan des Regelkreises mit einem P-Regler mit KPR = 3 ist unten gegeben: -1 T2 = 0,6 s T3 = 0,4 s KPG = 0,01 KIS = 1 s KPS = 30 T1 = 0,1 s
w
+
e
z
KPS ,T1
KPR
1,T2
+
y
KPG
KIS
1,T3
x
+
−
Wie groß ist die bleibende Regeldifferenz e(∞): a) bei einem Eingangssprung der Störgröße zˆ = 9 ? Dabei ist wˆ = 0 . b) bei einem Eingangssprung der Führungsgröße wˆ = 9 ? Dabei ist zˆ = 0 . Lösung: Im Beharrungszustand ist die Eingangsvariable des I-Gliedes gleich Null.
w
+
e
y
−
z
KPS ,T1
KPR
1,T2 y1
+ y2
KPG
0
KIS
1,T3 0
0
a) Im Beharrungszustand für Störverhalten zˆ = 9 und wˆ = 0 :
y2 (∞) + zˆ = 0
y2 (∞) = 0 − zˆ
y2 (∞) = − zˆ = −9
y1 (∞) = − zˆ = −9 y (∞) =
1 1 9 ⋅ y1 (∞ ) = ⋅ ( −9 ) = − = −0,3 K PS K PS 30
e (∞ ) =
1 1 0,3 ⋅ y (∞ ) = ⋅ (−0,3) = − = −0,1 . K PR K PR 3
b) Im Beharrungszustand für Führungsverhalten wˆ = 9 und zˆ = 0 :
y2 (∞) + zˆ = 0
y2 (∞) = 0 − zˆ
y1 (∞) = 0 y (∞) =
1 1 ⋅ y1 (∞) = ⋅0 = 0 K PS K PS
e( ∞ ) =
1 1 ⋅ y (∞) = ⋅0 = 0 . K PR K PR
y 2 (∞ ) = 0
x
14
Aufgaben
Aufgaben: Regelkreisverhalten 2.1 Statisches Verhalten (1)........................................................................ MNO Betrachtet wird das statische Verhalten eines Regelkreises. Das Kennlinienfeld der Strecke und die Kennlinie des Reglers sind unten im Bild gezeigt. Bestimmen Sie:
X
4
Z= 4 Z= 5 Z= 6 Z= 7
3
Z= 8
2
Z= 9
5
a) Wie groß sind die Proportionalbeiwerte KPSy und KPSz im Arbeitspunkt Y0 = 4 und Z0 = 7? b) Wie groß ist der Proportionalbeiwert des Reglers KPR? c) Wie groß ist der Sollwert W ?
1 Regler 0
2
4
6
8
10
Y
d) Wie groß ist die bleibende Regeldifferenz e(∞) nach einem Störsprung von zˆ = −3 ? e) Wie groß ist die Stellgröße Y im Beharrungszustand nach dem Störsprung zˆ = −3 ?
2.2 Statisches Verhalten (2).................................................................... MNOP Das nichtlineare Kennlinienfeld der Regelstrecke X = f(Y, Z) ist im Bild unten gegeben. Die Strecke wird mit einem P-Regler mit dem Kennwert KPR geregelt. Im Arbeitspunkt A, bei dem W =2 ist, erzeugt der Regler die Stellgröße Y0 = 3. Wird keine Stellgröße erzeugt, bzw. Y = 0, ist der Streckenausgang X = 5. X
Z=6
a) Bestimmen Sie den Proportionalbeiwert des Reglers KPR.
Z=7 Z=8
5
Z=9
4 3
Z=10
2 1
0
1
2
3
4
5
Y
b) Wie groß sind die bleibende Regeldifferenz e(∞) und der Regelfaktor RF nach einem Sprung der Störgröße zˆ = −2 ? c) Tragen Sie die Kennlinie eines anderen P-Reglers mit K*PR durch den Arbeitspunkt A in das Bild links so ein, dass beim Eingangssprung der Störgröße zˆ = −2 die bleibende Regeldifferenz e(∞) den Wert 0,5 beträgt, d. h. e(∞) = 0,3. Wie groß wird dabei K*PR?
2 Regelkreisverhalten
15
2.3 Beharrungszustand...................................................................................... M z(s) w(s)
GS1(s)
e(s)
GR (s)
−
x(t)
−
GS2(s)
+
x(s)
5 4 3
Gegeben ist die Sprungantwort eines Regelkreises mit dem P-Regler bei einem Störsprung zˆ = −5 und die Teilstrecken mit KPS1 = 2 und KPS2 = 0,9: K GS1 = PS1 1 + sT1
GS2 =
2 1 0 0
1,0
2,0 t (sec)
K PS 2 . 1 + sT2
Wie groß ist der Proportionalbeiwert KPR des Reglers?
2.4 Bleibende Regeldifferenz und Regelfaktor ............................................... M x(t)
Gegeben ist die Sprungantwort eines Regelkreises x(t) nach dem Eingangssprung der Führungsgröße wˆ = 9 .
10 8 6
a) Wie groß ist die bleibende Regeldifferenz?
4 2 0
10
20
30
40
50
t/s
60
b) Wie groß ist der reelle Regelfaktor RF ?
2.5 Regelfaktor ................................................................................................... M x(t) 4
Die Sprungantwort eines Regelkreises x(t) ist links gezeigt.
2
Der reelle (statische) Regelfaktor ist RF(0) = 0,5. Wie groß ist der Eingangssprung der Führungsgröße w? 0
1,0
2,0
3,0
4,0
t/s
16
Aufgaben
2.6 Parallelschaltung ..................................................................................MNO Der Wirkungsplan einer Regelstrecke als Parallelschaltung ist unten gezeigt. Die Parameter der Teilstrecke (P-T1-Glied) sind gegeben: KP1 = 3 und T1 = 8 s. Bestimmen Sie die Kennwerte (Proportionalbeiwert und Zeitkonstanten) der Übertragungsfunktion der Gesamtstrecke, deren Stellgröße y und Regelgröße x ist.
KP1 , T1 +
y
x
+
2.7 Reihen- und Kreisschaltung............................................................. MNOP Gegeben sind der Wirkungsplan und die Sprungantwort einer Regelstrecke bei einem Eingangssprung
y
yˆ = 0,5.
G1(s) + G2(s) –
x
x(t)
Die Übertragungsfunktion G2(s) ist gegeben:
2,5 2,0
1 G 2 ( s) = . s
1,5
Bestimmen Sie die Kennwerte der
1,0
Übertragungsfunktion G1(s).
0,5 0
1,0
2,0
t /s
2.8 Wirkungsplan und Sprungantwort................................................. MNOP Gegeben sind der Wirkungsplan und die Sprungantwort einer Regelstrecke mit der Stellgröße y und der Regelgröße x bei einem Sprung der Eingangsgröße yˆ = 0,5. Gegeben ist KPS3 = 2. Bestimmen Sie die Parameter K IS1 und K PS2. x(t) 3,0
KIS1 +
y KPS2
+
KPS3
2,0 x 1,0
0
0,5
1,0
1,5 t /s
2 Regelkreisverhalten
17
2.9 Windkraftanlage ...................................................................................MNO Der Wirkungsplan einer Regelstrecke mit Regelgröße x(t) bzw. u(t), Stellgröße y(t) bzw. ϕ(t) und Störgröße z(t) bzw. iE(t) ist unten gezeigt.
ϕ
KPS2
ϕ
ϕ
iE KPS1 , T1
KIS
ϕ
+
−
+
u
+
KPS3
u
KPS1 = 1,7
Gegeben sind:
T1 = 0,5 s
KPS2 = 0,1
KIS = 2 s-1
KPS3 = 0,1
a) Welche der unten gezeigten Kurven entspricht der Sprungantwort der Regelgröße x(t) bzw. u(t) beim Stellverhalten, d. h. bei einem Sprung der Eingangsgröße von ϕˆ = 0,5? b) Nun wird die Regelstrecke mit einem Regler GR(s) geregelt. Der Regler hat die Übertragungsfunktion
G R ( s ) = K DR ⋅ s ⋅ (1 + sTv )(1 + s ⋅10Tv ) und soll vollkompensiert werden. Die Kennwerte des Reglers sind: Tv = 0,5 s und KDR = 2,35 s. Welche der unten gezeigten Kurven entspricht der Sprungantwort der Regelgröße x(t) bzw. u(t) beim Eingangssprung der Störgröße iE(t) von iˆE = 100? x(t)
x(t)
x(t)
10
10
10
5
5
5
0
1
t
0
2
t
0
x(t)
x(t)
x(t)
10
10
10
5
5
5
0
4
t
0
5
t
3
0
t
6
t
18
Aufgaben
2.10 Bleibende Regeldifferenz ...................................................................... MN Der Wirkungsplan einer Regelstrecke und die Parameter sind im Bild unten gezeigt. Die Strecke soll mit dem P-Regler geregelt werden. KPS = 0,2 y
T1 = 0,2 s
z 1, T2 = 2,5 s 1, T3 = 1,8 s
+
KIS = 0,25 s -1 x
+
Ergänzen Sie den Wirkungsplan und bestimmen Sie die bleibende Regeldifferenz: a) nach einem Sprung der Störgröße zˆ = 0,2 , wenn der Proportionalbeiwert des Reglers
KPR = 4 beträgt. b) nach einem Sprung der Führungsgröße wˆ = 2 , wenn der Proportionalbeiwert des Reglers mit KPR = 10 eingestellt wird.
2.11 Übertragungsfunktion einer Festplatte ........................................ MNOP Eine PC-Festplatte wird mit der folgenden DGL beschrieben:
a 2 x(t ) + a1 x (t ) + a0 x(t ) = b0 ⋅ y (t ) wobei sind:
Y
a2 = 0,01 a1 = 0,004 a0 = 10 b0 = 0,05. a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion der Regelstrecke. b) Wie groß ist der Dämpfungsgrad der Regelstrecke? c) Bestimmen Sie die Sprungantwort x(t) der Regelstrecke, wenn die Stellgröße y(t) sprunghaft um yˆ = 1 geändert wird.
X
19
3 Stabilität Hinweise zur Lösung Stabilität ist eine Eigenschaft des Regelkreises, nach Änderung der Eingangsgröße einen Beharrungszustand zu erreichen. In den Beispielen unten sind die Kreise 1 und 2 stabil. x(t)
x(t)
x(t)
1
3
w
w
4
w
2 0
t
0
0
t
t
Stabilität eines linearen Systems hängt nicht von den Eingangsgrößen ab, wichtig ist nur die Lage von Nullstellen der charakteristischen Gleichung des geschlossenen Systems
1 + G0 ( s ) = 0 Ein Regelkreis ist stabil, wenn alle Polstellen in der linken s-Halbebene liegen bzw. negative Realteile haben. Liegt ein Pol auf der imaginären Achse oder in der rechten s-Halbebene, wird der Kreis grenzstabil oder instabil. Von der Lage der Polstellen sind auch die Gütekriterien des Regelkreises abhängig (Dämpfungsgrad ϑ , Überschwingung ümax, An- und Ausregelzeiten TAn und TAus, Eigenkreisfrequenz ωd und Periodendauer Td). x(t)
Einhüllende 1 − e
−ϑ ⋅ω0 ⋅t
ümax
2
s +
2ϑ s +1 ω0
ωd = ω0 ⋅ 1 − ϑ 2 2π Td = ωd
Periode Td t
0
ümax
Ausregelzeit TAus
ϑ 0 stabil Anzahl der Halbwellen:
n=
1
ϑ2
−1 ≈
1
ϑ
t
0
Im
Im s1 s2
t
0
Im
s2
Re
s2
t
0 Im
s1
s1 Re
t
0
Im
s1 Re
S. Zacher, Übungsbuch Regelungstechnik, DOI 10.1007/978-3-8348-9754-1_3, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010
s2
t
0
Re
s1 s2 Re
20
Aufgaben
Stabilitätskriterien greifen auf Sätze über die Lage von Polstellen, ohne deren exakten Werte zu bestimmen, zurück. Stabilitätskriterium nach Hurwitz: Notwendig und hinreichend sind für die Stabilität eines geschlossenen Regelkreises folgende Bedingungen: 1. Bedingung: Alle Koeffizienten an, an-1, ... a2, a1 und a0 der Differentialgleichung
d n x(t )
d n −1 x(t )
d 2 x(t )
dx(t ) + a0 x(t ) = 0 dt dt dt dt bzw. der charakteristischen Gleichung des geschlossenen Systems an
n
+ an
n −1
+ ... + a2
2
+ a1
an s n + an s n −1 + ... + a2 s 2 + a1s + a0 = 0 müssen vorhanden sein, 2. Bedingung: Alle Koeffizienten an, an-1, ... a2, a1, a0 müssen positives Vorzeichen besitzen, d.h. an> 0; an-1 > 0; ... a2 > 0; a1 > 0 und a0 > 0. 3. Bedingung (gilt nur für Systeme 3. Ordnung): a2 a1 > a1a0 Vereinfachtes Stabilitätskriterium nach Nyquist: Das vereinfachte Kriterium gilt nur für die Regelkreise, die im aufgeschnittenen Zustand stabil sind oder ein I-Glied beinhalten. Nach dem Nyquist-Kriterium wird die Stabilität des geschlossenen Kreises Gw(s) anhand des Frequenzgangs G0(jω) des aufgeschnittenen Kreises bestimmt. Die Stabilitätsbedingung: G0 dB = 0
ϕ = −180°
G0
dB
0 dB
20 lg KPRKPS
stabil G0 dB < 0
ω
ωD
ϕ (ω)
ω
ωπ
Der Regelkreis wird stabil, wenn bei der Durch−180° trittskreisfrequenz ω D der zugehörige Phasenwinkel ϕ (ω D) > −180° wird bzw. wenn der zugehörige Punkt des Phasengangs oberhalb der (−180°)-Linie liegt. Andererseits wird der Regelkreis stabil, wenn bei der Frequenz ωπ, bei der der Phasengang ϕ (ωπ ) = −180° ist, der Amplitudengang unterhalb der 0-dBLinie liegt bzw. ⏐G0 (jωπ)⏐dB < 0. Bei ⏐G0 (jωπ)⏐dB > 0 wird der Regelkreis instabil. Bei ⏐G0 (jωπ)⏐dB = 0 befindet sich der Regelkreis im kritischen Zustand (grenzstabil). G0
instabil G0 dB > 0
dB
20 lg KPRKPS 0 dB
ϕ (ω) − 180°
ωD ωπ
ω ω
G0
dB
0 dB
ϕ (ω) − 180°
20 lg KPRKPS
ωD
grenzstabil G0 dB = 0
ω
ωπ
ω
3 Stabilität
21
Vollständiges Stabilitätskriterium nach Nyquist: Um die Stabilität des geschlossenen Regelkreises zu bestimmen, wird die Übertragungsfunktion G0(s) und das Bode-Diagramm des aufgeschnittenen Regelkreises betrachtet. Die Gesamtanzahl der Pole:
n = np + nn + ni n Ordnung der Übertragungsfunktion np Anzahl der positiven Pole (in der rechten s-Ebene bzw. mit positivem Realteil Re > 0) ni Anzahl der Pole auf der imaginären Achse (mit Re = 0) nn Anzahl der negativen Pole( in der linken s-Ebene bzw. mit negativem Realteil Re < 0) G0
dB
G0
dB >
0
G0
dB
0 dB
0
G0
dB
0 dB berücksichtigt. Wird die (−180°)-Linie von unten nach oben geschnitten, ist der Schnittpunkt S+ positiv; Wird diese Linie von oben nach unten geschnitten, ist der Schnittpunkt S− negativ. Punkte, wo der Phasengang die (−180°)-Linie nur tangiert, nennt man Halbschnittpunkte. Sie werden als S0,5 und entsprechendem Vorzeichen bezeichnet, wie z. B. der Punkt S−0,5 im Bild oben. Die Anzahl der Schnittpunkte: ap Anzahl der positiven Schnittpunkte an Anzahl der negativen Schnittpunkte Achtung: die Halbschnittpunkte S+0,5 oder S−0,5 werden zur Hälfte gezählt.
22
Aufgaben Fall 1: Kreise ohne oder nur mit einem I-Anteil, d. h. mit ni = 0 oder ni = 1. Wenn die Bedingung
ap − an =
np 2
erfüllt ist, wird der geschlossene Kreis stabil. Fall 2: Kreise mit einem doppelten I-Anteil, d. h. mit ni = 2. Wenn die Bedingung
ap − an =
np + 1 2
erfüllt ist, wird der geschlossene Kreis stabil. Beispiel: Gegeben ist das Bode-Diagramm eines aufgeschnittenen Kreises mit KPR = 1. Gegeben ist auch die Anzahl der positiven Polstellen:
G 0 ( j ω ) dB
20 dB
np = 0
10 dB 0 dB
10−3
10−2
10−1
ωDkrit1
ω
ni = 0
ϕ0(ω) 0°
ω
−90°
und die Anzahl der Polstellen auf der imaginären Achse: Es soll die Stabilität des geschlossenen Kreises bestimmt werden. Lösung:
−180°
S−
S+
−270°
Bei KPR = 1 ist der geschlossene Regelkreis im kritischen Zustand bzw. befindet sich an der Stabilitätsgrenze.
Wird KPR > 1, werden die Anzahl der positiven Schnittpunkte ap = 1 und die Anzahl der negativen an = 1 betragen. Laut Fall 1 des obigen Kriteriums wird der Kreis stabil:
ap − an =
np 2
=0.
Bei KPR < 1 sind ap = 1 und an = 2, somit wird der Kreis instabil:
ap − an = −1 ≠
np 2
.
3 Stabilität
23
Muster-Aufgabe mit Lösung: Invertiertes Pendel Der senkrecht stehende Stab befindet sich auf einer Plattform, die fest auf einem Förderband gebunden ist. Durch die Bewegungen des Bandes bzw. der Plattform nach links und nach rechts soll der Stab stabilisiert werden. Regelgröße ist der Winkel X, der mit einem Sensor erfasst wird. Stellgröße Y ist die auf die Plattform wirkende Kraft.
X
Pendel Führungsstangen Band
Rollen
Motor
Y
UM
Die Übertragungsfunktion der Regelstrecke und die Parameter sind gegeben:
GS ( s ) =
K PS (1 + sT1 )(s 2T22 − 1)
KPS = 25
T1 = 10 s
T2 = 0,25 s
a) Prüfen Sie die Stabilität der Regelstrecke nach dem Hurwitz-Kriterium. b) Prüfen Sie die Stabilität des Regelkreises mit dem P-Regler nach dem NyquistStabilitätskriterium, wenn der Proportionalbeiwert des Reglers KPR = 1 ist. c) Das inverse Pendel soll mit dem vollkompensierten PID-Regler mit dem Proportionalbeiwert KPR = 1 stabilisiert werden. Prüfen Sie die Stabilität des geschlossenen Regelkreises und ggf. fügen Sie eine Nullstelle in die Übertragungsfunktion des offenen Kreises ein, und zwar so, dass der Regelkreis stabil wird. d) Bestimmen Sie die Sprungantwort des nach dem vorherigen Punkt c) eingestellten Regelkreises und bestimmen Sie die Gütekriterien (Überschwingung, Dämpfungsgrad, Ausregelzeit, Anregelzeit). Lösung: a) Die Regelstrecke mit Polstellen
GS ( s ) =
K PS (1 + sT1 )(s 2T22
− 1)
s1 = −
1 T1
s2 =
ist instabil, weil der reelle Teil von Polstelle s2 positiv ist.
1 T2
s3 = −
1 T2
24
Aufgaben
Das folgt auch aus dem Hurwitz-Kriterium, weil die Koeffizienten der charakteristischen Gleichung a2 und a0 negativ sind:
s 3 T22T1 + s 2 T22 + s ⋅ ( −T1 ) + (, −1) = 0 . , ,
a3
a2
a0
a1
b) Das Bode-Diagramm des aufgeschnittenen Kreises mit dem P-Regler
GS ( s) =
K PR K PS (1 + sT1 )( s 2T22 − 1)
mit K PR = 1
ist unten gezeigt. Bei (1/T1) sind die Änderungen des Amplituden- und Phasenganges wie üblich −20 dB und −90°. Bei (1/T2) ändert sich der Amplitudengang um −40 dB, der Phasengang hat an dieser Stelle keine Änderung, weil es bereits bei der Anfangsphase −180° berücksichtigt wurde. Der Regelkreis ist instabil, weil der Phasengang einen negativen Schnittpunkt im positiven Bereich des Amplitudenganges (von 0 bis ωD) hat, während G0(s) eine Polstelle in der rechten s-Ebene besitzt, d. h. die Nyquist-Stabilitätsbedingung ist nicht erfüllt. G0
dB
(1/ T1 ) = 0,1 s
(1/ T2 ) = 4 s
40dB −20 dB/Dek 20dB −60 dB/Dek
20 log(KPRKPS) 0,1
0dB 0,01 ϕ(ω)
ωD
1
ω, s-1
ω, s-1 −90° − 180° − 270°
c) Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises mit dem PID-Regler:
G0 ( s ) =
K PR (1 + sTn )(1 + sTv ) K PS . ⋅ sTn ( sT1 − 1)(sT1 + 1)(1 + sT2 )
Nach der Kompensation mit Tn = T1 = 10 s und Tv = T2 = 0,25 s
3 Stabilität
25
ergibt sich G 0 ( s) =
K PR K PS . sTn ( sT1 − 1)
Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises:
Gw ( s ) =
G0 ( s ) K PR K PS . = 1 + G0 ( s ) sTn ( sT1 − 1) + K PR K PS
Aus der charakteristischen Gleichung
s 2 TnT1 + s ⋅ (−Tn ) + K PR K PS = 0 , a2
a1
a0
erkennt man, dass der Regelkreis instabil ist, weil a1 negativ ist. Fügt man eine neue Nullstelle in die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises
G0 ( s ) =
K PR K PS (1 + sTz ) sTn ( sT1 − 1)
ein, ändert sich die charakteristische Gleichung wie folgt:
s 2 TnT1 + s ⋅ ( K PR K PSTz − Tn ) + K PR K PS = 0 . , a2
a1
a0
Die Zeitkonstante Tz wird so eingestellt, dass die Bedingung a1 > 0 erfüllt und der Regelkreis stabil wird: K PR K PSTz − Tn > 0
Tz >
10 s bzw. Tz > 0,4 . 1 ⋅ 25
d) Simulation mit MATLAB. Die Sprungantwort ist im Bild rechts gezeigt. Die Gütekriterien sind: y Bleibende Regeldifferenz e(∞) = 0 y Dämpfungsgrad:
ϑ ≈ 0,8 y Maximale Überschwingweite: ümax = 15 %
Tz >
Tn K PR K PS
26
Aufgaben
y Anregelzeit: TAn ≈ 2 s y Ausregelzeit bei Toleranz ± 4 %: TAus ≈ 14 s Das MATLAB-Skript bei Tz = 5 s ist unten gezeigt. KpR= 1; KpS = 25; Kp=KpR*KpS; Tn = 10; T1 = 10; Tz = 5; b1 = Tz*Kp; b0 = Kp; a2 = Tn*T1; a1 = b1 − Tn; a0 = b0; den1 = [a2, a1, a0]; num1 = [0, b1, b0]; step (num1, den1)
Aufgaben: Stabilität 3.1 Hurwitz-Stabilitätskriterium (1)................................................................ M Die Regelung erfolgt nach folgender DGL:
x(t ) + a2 x(t ) + a1 x (t ) + (1 − 2 K PR ) x(t ) = b0 w(t ) − c0 z (t ) , wobei sind: x(t) – Regelgröße
w(t) – Führungsgröße
z(t) – Störgröße
Die Parameter der DGL sind gegeben: a2 = 0,2
a1 = 3
b0 = 0,1
c0 = 0,8
Für welche KPR - Werte wird der Regelkreis stabil?
3.2 Hurwitz-Stabilitätskriterium (2)............................................................ MN Eine instabile Regelstrecke GS(s) soll mit dem P-Regler GR(s) = KPR geregelt werden, wobei y(t) – Eingangs- und x(t) – Ausgangsgrößen sind. Die Streckenparameter sind gegeben:
GS ( s ) = KPS = 4
K PS (1 + sT1 )(sT2 − 1) T1 = 1 s
T2 = 1,5 s
Für welchen Bereich von KPR wird der Regelkreis stabil?
3 Stabilität
27
3.3 Nyquist-Stabilitätskriterium (1)............................................................. MN Der Wirkungsplan einer Regelung der Sendeleistung eines Handy ist mit folgenden Parametern gegeben: KIS = 0,1 s-1, KPS = 50 und Tt = 0,1 s. Prüpfen Sie die Stabilität des geschlossenen Kreises, wenn KPR = 1 ist. KPR
KIS
KPS
Tt
w
x
+
−
3.4 Nyquist-Stabilitätskriterium (2)...................................................... MNOP Der angenäherte Amplitudengang eines aufgeschnittenen Regelkreises mit dem P-Regler mit KPR = 1 ist unten gezeigt. a) Prüfen Sie die Stabilität des geschlossenen Kreises. Hinweis: Tragen Sie den Phasengang in das Diagramm ein. G0 dB 20dB
0dB
ϕ(ω)
0,1
1
10
ω, s-1
ω, s-1
-90° -180° -270° -360°
b) Nun wird der Regelkreis mit einem PID-Regler mit KPR = 1 geregelt. Bestimmen Sie die Zeitkonstanten des Reglers Tn und Tv nach der Kompensationsregel. Hinweis: Bestimmen Sie zuerst die Parameter der Übertragungsfunktion des Kreises mit dem P-Regler bzw. die Zeitkonstanten der Regelstrecke.
28
Aufgaben
3.5 Nyquist-Stabilitätskriterium (3).......................................................... MNO Das Bode-Diagramm eines offenen Regelkreises mit KPR = 4 ist unten gegeben.
G0
dB
60dB 40dB 20dB 0dB ϕ(ω)
0,01
0,1
1
0,01
0,1
1
10 ω, s-1
ω, s-1
-90° -180° -270° -360° a) Welche der unten gezeigten Sprungantworten des geschlossenen Regelkreises entspricht dem oben gezeigten Bode-Diagramm? (Die Antwort begründen). Tragen Sie die richtige Antwort in das Diagramm 6, falls alle Diagramme 1 bis 5 falsch sind. x(t)
x(t)
w
x(t) w
w
x
3
x 1
0
t
2
0
t
x(t)
x(t) w
x
0
t
x(t) x
w
6
w
x 0
4
t
0
5
t
0
b) Bei welchem Wert von KPR befindet sich der Regelkreis an der Stabilitätsgrenze?
t
3 Stabilität
29
3.6 Phasenreserve (1) ..................................................................................... MN Gegeben ist das Bode-Diagramm des aufgeschnittenen Regelkreises mit dem P-Regler mit KPR = 1.
Bestimmen Sie den Proportionalbeiwert des P-Reglers KPR, bei dem die Phasenreserve des Kreises
αR = 45° erreicht. G0 dB 0dB
-20dB
0,1
1
10
-40dB
ω, s-1
ω, s-1
ϕ(ω) -90° -180° -270° -360°
3.7 Phasenreserve (2) ...........................................................................MNOPQ Gegeben ist der Regelkreis, der aus einer P-T1-Regelstrecke und einen I-Regler gebildet ist. Der Proportionalbeiwert der Regelstrecke ist KPS = 2,
die Zeitkonstante ist T1 = 1 s.
a) Bestimmen Sie den Integrierbeiwert KIR des Reglers so, dass die Phasenreserve des Regelkreises αR = 45° beträgt. b) Wie groß ist dabei der Dämpfungsgrad des Regelkreises? c) Wie ändert sich die Phasenreserve, wenn die Regelstrecke mit einer Totzeit von Tt = 0,4 s ergänzt wird?
30
Aufgaben
3.8 Phasenreserve (3) ..................................................................................MNO Der Füllstand eines Reaktors wird mit dem P-Regler geregelt.
Y
Die Übertragungsfunktion der Regelstrecke ist gegeben:
.. .. .. ..
K GS ( s ) = IS ⋅ e −sTt . s Das Bode-Diagramm des aufgeschnittenen Regelkreises mit KPR = 1 ist unten gezeigt.
X
W
a) Bestimmen Sie den Proportionalbeiwert KPR des P-Reglers, bei dem die Phasenreserve αR = 45° erreicht wird. b) Nun wird die Totzeit Tt der Regelstrecke verdoppelt, d. h. Tt* = 2 ⋅ Tt . Wie soll der Proportionalbeiwert des P-Reglers geändert werden, um auch in diesem Fall die Phasenreserve αR = 45° zu behalten? G0 dB 20dB
0dB
ϕ(ω)
0°
1
10
100
1
10
100
− 90°
− 180°
− 270°
3 Stabilität
ω, s-1
ω, s-1
3 Stabilität
31
3.9 Stabile und instabile Strecken ............................................................. MNO Die unten gezeigten Strecken bestehen aus P-Gliedern und I-Gliedern mit:
KP = 2 K I = 0,5 s-1 Welche Strecken sind stabil? P +
P
P
P
P
+
−
+
−
−
+
−
I
A
+
I
I
B
I
I
C
−
P
P
+
I −
P
+
+
P
I
I
D
P
I
P
E
−
+
3.10 Instabile Strecke 1. Ordung ........................................................MNOPQ Eine instabile P-T1-Strecke soll mit dem PD-T1-Regler geregelt werden:
GS ( s ) =
K PS 1 − sT1
GR ( s ) = K PR
1 + sTv . 1 + sTR
Gegeben sind: KPS = 0,25 Tv = T1 = 0,1 s.
Die Zeitkonstante TR ist vernachlässigbar klein. Bestimmen Sie den Proportionalbeiwert des Reglers KPR, bei dem der Regelkreis stabil wird.
32
Aufgaben
3.11 Kabelbruch im Stellungsregelkreis............................................MNOPQ Der Durchfluss eines Reaktors wird mit einem PI-Regler geregelt, wobei das Ventil mit einem eigenem Stellungsregler ausgestattet ist (siehe Wirkungsplan unten). Der PI-Regler ist mit Kennwerten KPR und Tn eingestellt.
z
KPRneu , Tn neu w
KPR1, Tv1
1, TR y1
e
+ −
−
1, T2
+
x1
1, T3 x
Stellungsregler
Nach einem Kabelbruch entsteht die Mitkopplung im Stellungskreis des Ventils (im Bild oben ist nicht gezeigt), so dass die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises wie folgt beschrieben wird: G0 ( s) =
K PR K Pw (1 + sTn ) . sTn (1 + sT3 )( sTw − 1)
Die Parameter KPw und Tw beziehen sich auf den Stellungskreis, sie sind im Bild oben nicht gezeigt. Die Kennwerte KPR und Tn werden umgestellt und betragen nun KPRneu und Tn neu. Nach der Umstellung von Parametern des PI-Reglers entsteht: G0 ( s ) =
K PRneu K Pw (1 + sTw ) . Tn neu (1 − sTw )
Bestimmen Sie, bei welchem Wert von KPRneu der Gesamtregelkreis stabil wird.
3.12 Instabile Strecke 2. Ordnung......................................................MNOPQ Der Wirkungsplan des Regelkreises und die Streckenparameter sind in der Abbildung gegeben. Bestimmen Sie die Einstellung des Reglers so, dass der Regelkreis stabil wird. KPS = 3,2 T1 = 0,025 s
KPR , Tv , TR
KIS2 = 20 s-1
KIS3 = 222,2 s-1 x
w +
−
− GR(s)
+ GS1(s)
−
− GS2(s)
GS3(s)
33
4 Reglereinstellung Hinweise zur Lösung Ziegler-Nichols-Verfahren: Im kritischen Zustand bzw. an der Stabilitätsgrenze liegt wenigstens eine Polstelle auf der imaginären Achse in der s-Ebene. Der Dämpfungsgrad ist dabei ϑ = 0 ; im Regelkreis entstehen die ungedämpften Schwingungen. Ausgehend aus den kritischen Werten des Proportionalbeiwertes KPRkrit und der kritischen Periodendauer Tkrit sind die empfohlenen Kenngrößen nach der Ziegler-Nichols Tabelle für verschiedene Reglertypen unten gezeigt. Parameter
P-Regler
PI-Regler
PID-Regler
KPR
0,5⋅ KPRkrit
0,45⋅ KPRkrit
0,6⋅⋅ KPRkrit
Tn
-
0,83⋅⋅Tkrit
0,5⋅⋅ Tkrit
Tv
-
-
0,125⋅ Tkr
Die oben angegebene Tabelle gibt die günstige Einstellung des Störverhaltens. Der Regelverlauf ist dabei mit ca. ϑ = 0,2 bis ϑ = 0,3 schwach gedämpft. Betragsoptimum: Die Idee des Verfahrens besteht darin, den Betrag Gw (ω ) des Frequenzganges des geschlossenen Regelkreises Gw ( s) =
G0 ( s ) möglichst konstant und zwar nahe Eins zu 1 + G0 ( s )
halten, d. h. Gw (ω ) = 1 . Dies erfolgt, wenn der Dämpfungsgrad ϑ =
1 2
ist.
Die Lösungen für zwei Standardtypen von aufgeschnittenen Kreisen sind unten gegeben. Grundtyp A (mit I-Anteil)
G0 ( s ) =
K PR K PS K IS s (1 + sT1 ) 1
Grundtyp B (ohne I-Anteil)
K PR K PS (1 + sT1 )(1 + sT2 ) Reglereinstellung (allgemein) G0 ( s ) =
(T1 + T2 ) 2
1 − 2 4ϑ K PS K IST1 K 4ϑ K PST1T2 PS Reglereinstellung (optimal nach dem Betragsoptimum) 1 (T1 + T2 ) 2 1 K PRopt = K = − PRopt 2 K PS K IST1 2 K PST1T2 K PS
K PR =
2
K PR =
S. Zacher, Übungsbuch Regelungstechnik, DOI 10.1007/978-3-8348-9754-1_4, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010
34
Aufgaben
In Sonderfällen vereinfachen sich die Formeln wie folgt: Grundtyp A (mit I-Anteil) K PR K PS G0 ( s ) = sTn (1 + sT1 )
K PRopt =
Grundtyp B (ohne I-Anteil), wenn T2 >> T1
Tn 2 ⋅ K PS ⋅ T1
K PRopt ≈
T2 2 ⋅ K PS ⋅ T1
Die vorkommenden Sprungantworten und Güteparameter sind unten gezeigt. x(t)
x(t) xm = 4,3%
Grundtyp B
Grundtyp A
w0
w0
Tan ≈ 4,7 T1
0
0
t
Taus ≈ 11 T1
xm= 4,3%
Tan ≈ 4,7 T1 Taus ≈ 11 T1
e( ∞ ) =
w0 1 + K PR K PS
x(∞ ) = t
K PR K PS ⋅ w0 1 + K PR K PS
Symmetrisches Optimum: Hat die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises zwei I-Glieder und wird sie beispielsweise wie folgt dargestellt
G0 ( s ) =
K PR K PS K IS 2
s Tn
⋅
(1 + sTn )(1 + sTv ) , (1 + sT1 )(1 + sT2 )(1 + sT3 )
kann der Regler so eingestellt werden, dass der Phasenwinkel ϕ0(ωd) bei der Durchtrittsfrequenz ωd ein Maximum erreicht. Unten sind die optimalen Einstellregeln und die Sprungantwort gezeigt. Zuerst wird die zweitgrößte Zeitkonstante, z. B. T3 mit Tv kompensiert: x(t)
Tv = Tzweitgrößt . xm= 43,4%
w0
± 2%
Dann werden ggf. die restlichen Zeitkonstanten (hier: T1 und T2) zusammengefasst:
TE = T1 + T2 Dies ist dann zugelassen, wenn 0 Tan ≈ 3,1 T1 Taus ≈ 18 T1
t
T1 ≥ 5T2 ist. Daraus werden die Zeitkonstante Tn bestimmt und KPR berechnet: 1 Tn = 4TE . K PRopt = 2 K PS K ISTE
4 Reglereinstellung
35
Muster-Aufgabe mit Lösung: Regelung eines Robotergelenks KPϕ , T2
ϕ KPu , T1 w
Controller
+
−
uM
1, T3
KIβ
ω
β
+
−
Der Wirkungsplan des Regelkreises für die Regelung eines Robotergelenks ist im Bild oben gezeigt. Die Parameter der Regelstrecke sind gegeben: KPϕ = 3,5
KPu = 2,8
KIβ = 0,9 s-1
T1 = 0,120 s
T2 = 0,069 s
T3 = 0,021 s
a) Das Robotergelenk wird mit dem P-Regler geregelt. Bestimmen Sie den kritischen Proportionalbeiwert des Reglers KPRkrit, bei dem sich der Regelkreis an der Stabilitätsgrenze befindet. b) Ermitteln Sie anhand der Ziegler-Nichols-Tabelle den Proportionalbeiwert des P-Reglers. c) Nun wird der P-Regler mit KPR = 8,5 eingestellt. Wie groß ist die bleibende Regeldifferenz nach dem Sprung ϕˆ = 0,1 ? d) Der Regler in dem oben gezeigten Wirkungsplan ist ein PD-Regler. Ermitteln Sie die Einstellparameter des Reglers nach dem Betragsoptimum. e) Das Robotergelenk soll mit dem PI-Regler geregelt werden. Berechnen Sie die optimalen Kennwerte des Reglers KPR und Tn nach einem geeigneten Verfahren. f) Das Robotergelenk in dem oben gezeigten Wirkungsplan wird nun mit dem PID-Regler geregelt. Ermitteln Sie die Einstellparameter des Reglers nach dem symmetrischen Optimum. Lösung: a) Der kritische Proportionalbeiwert des geschlossenen Regelkreises. Die Übertragungsfunktionen des aufgeschnittenen und geschlossenen Kreises:
G0 ( s ) =
K PR K Pu K Iβ s (1 + sT1 )(1 + sT3 )
36
Aufgaben
K PR K Pu K Iβ Gw ( s) =
G0 ( s) = 1 + G0 ( s)
K PR K Pu K Iβ s(1 + sT1 )(1 + sT3 ) . = K PR K Pu K Iβ K PR K Pu K Iβ + s (1 + sT1 )(1 + sT3 ) 1+ s(1 + sT1 )(1 + sT3 )
Charakteristische Gleichung:
K PR K Pu K Iβ + s(1 + sT1 )(1 + sT3 ) = 0 s 3 T1T3 + s 2 (T1 + T3 ) + s⋅ 1 + K PR K Pu K Iβ = 0 , ,
a3
a2
a3 = 0,00252
a1
a0
a2 = 0,141
a1 = 1
a0 = 2,52 ⋅ K PR
Die erste und die zweite Bedingungen des Hurwitz-Stabilitätskriteriums sind bei positiven Proportionalbeiwerten erfüllt: 1. Bedingung:
a3 ≠ 0
a2 ≠ 0
a1 ≠ 0
a0 ≠ 0
2. Bedingung:
a3 > 0
a2 > 0
a1 > 0
a0 > 0
Die 3. Bedingung wird erfüllt, wenn
a2 a1 > a3a0 ist. Bei a2 a1 = a3a0 befindet sich der Regelkreis an der Stabilitätsgrenze. Daraus ergibt sich der gesuchte kritische Wert des Proportionalbeiwertes:
0,141 ⋅ 1 = 0,00252 ⋅ 2,52 ⋅ K PRkrit K PRkrit =
0,141 = 22,2 0,00252 ⋅ 2,52
b) Der Proportionalbeiwert des P-Reglers nach der Ziegler-Nichols-Tabelle:
K PR =
1 K PRkrit 2
K PR =
22,2 = 11,1 2
c) Die bleibende Regeldifferenz beim Störverhalten mit ϕˆ = 0,1 Die Übertragungsfunktionen des Störverhaltens:
K Pϕ K Iβ Gz ( s ) =
Gvz ( s ) = 1 + G0 ( s )
s (1 + sT2 )(1 + sT3 ) K PR K Pu K Iβ 1+ s (1 + sT1 )(1 + sT3 )
4 Reglereinstellung
Gz ( s ) =
37
1 + sT1 . ⋅ K PR K Pu K Iβ + s (1 + sT1 )(1 + sT3 ) 1 + sT2 K Pϕ K Iβ
Die Regelgröße im Beharrungszustand nach dem Grenzwertsatz:
§ K Pϕ K Iβ 1 + sT1 ·¸ ⋅ x(∞ ) = lim Gz ( s ) ⋅ zˆ = lim ¨ ⋅ zˆ s →0 s → 0¨© K PR K Pu K Iβ + s (1 + sT1 )(1 + sT3 ) 1 + sT2 ¸ ¹ K Pϕ K Iβ
x (∞ ) = x (∞) =
K PR K Pu K Iβ
⋅ zˆ =
K Pϕ K PR K Pu
⋅ zˆ
3,5 ⋅ 0,1 = 0,0147 8,5 ⋅ 2,8
Die bleibende Regeldifferenz:
e(∞) = wˆ − x(∞ ) = 0 − 0,0147 = −0,0147
d) Die optimale Einstellung des PD-Reglers
G0 ( s ) =
K PR (1 + sTv ) K Pu K Iβ s (1 + sT1 )(1 + sT3 )
Kompensation:
Tv = T1 = 0,12 s Nach dem Betragsoptimum für Grundtyp A
G0 ( s ) =
K PR K Pu K Iβ s (1 + sT3 )
werden die optimalen Kennwerte des PD-Reglers berechnet:
K PR =
1 1 = = 9,45 . 2 K Pu K IβT3 2 ⋅ 2,8 ⋅ 0,9 s -1 ⋅ 0,021 s
e) Die optimale Einstellung des PI-Reglers
K PR (1 + sTn ) K Pu K Iβ G0 ( s) = 2 s Tn (1 + sT1 )(1 + sT3 ) Die Bedingung
T1 ≥ 5T3
38
Aufgaben
ist erfüllt, so wird die Ersatzzeitkonstante gebildet:
TE = T1 + T3 = 0,12 s + 0,021 s = 0,141s Nach dem symmetrischen Optimum für
G0 ( s ) =
K PR K Pu K Iβ (1 + sTn ) s 2Tn (1 + sTE )
werden die optimalen Kennwerte des PI-Reglers berechnet:
Tn = 4T E = 4 ⋅ 0,141s = 0,564 s K PR =
1 2 K Pu K IβTE
K PR =
1 2 ⋅ 2,8 ⋅ 0,9 s -1 ⋅ 0,141 s
= 1,4
f) Die optimale Einstellung des PID-Reglers
G0 ( s) =
K PR (1 + sTn )(1 + sTv ) K Pu K Iβ s 2Tn (1 + sT1)(1 + sT3 )
.
Kompensation:
Tv = T3 = 0,021 s Nach dem symmetrischen Optimum für
G0 ( s ) =
K PR K Pu K Iβ (1 + sTn ) s 2Tn (1 + sT1 )
werden die optimalen Kennwerte des PID-Reglers berechnet:
Tn = 4T1 = 4 ⋅ 0,12 s = 0,48 s K PR =
1 1 = = 1,65 . 2 K Pu K IβTE 2 ⋅ 2,8 ⋅ 0,9 s -1 ⋅ 0,12 s
4 Reglereinstellung
39
Aufgaben: Reglereinstellung 4.1 Betragsoptimum........................................................................................... M Der Wirkungsplan eines Regelkreises mit dem PID-Regler ist unten gezeigt.
G1 ( s ) =
K PS 1 + sT1
z G3(s)
1 G2 ( s ) = 1 + sT2
w +
1 G3 ( s ) = 1 + sT3 G4 ( s ) =
e GR(s)
y
− G1(s)
G2(s)
−
x G4(s)
+
1 1 + sT4
Gegeben sind: KPS = 50
T1 = 0,1 s
T2 = 0,05 s
T3 = 0,2 s
T4 = 0,01 s
Bestimmen Sie die optimale Einstellung des PID-Reglers nach dem Betragsoptimum.
4.2 Symmetrisches Optimum........................................................................ MN Das Bild zeigt einen Regelkreis mit dem PID-Regler, der optimal eingestellt werden soll. KPR , Tn , Tv
KPS , T1
1, T2
1, T3
1, T4
KIS
y
e
w
x
−
Die Übertragungsfunktion der Regelstrecke ist gegeben:
GS ( s ) =
K PS K IS , s (1 + sT1 )(1 + sT2 )(1 + sT3 )(1 + sT4 )
wobei sind: KPS = 0,5
KIS = 1 s-1
T1 = 1 s
T2 = 0,5 s
T3 = 3 s
T4 = 8 s
Berechnen Sie die optimalen Kennwerte des Reglers KPR , Tn und Tv .
4.3 Optimale Reglereinstellung (1)............................................................... MN Unten ist der Wirkungsplan einer Regelstrecke gezeigt, die mit einem PID-Regler geregelt werden soll. Ergänzen Sie den Wirkungsplan mit dem Regler und der Rückführung. Bestimmen Sie die optimalen Kennwerte des Reglers nach einem geeigneten Verfahren.
y
KPS = 0,2 T1 = 2,5 s
T2 = 0,5 s
T3 = 2,1 s x
40
Aufgaben
4.4 Optimale Reglereinstellung (2)............................................................... MN Das Bild unten zeigt einen Regelkreis mit dem PID-Regler. KPR, Tn, Tv w + −
GS(s)
x
Die Übertragungsfunktion der Regelstrecke mit Parametern KPS = 0,9
T1 = 5 s
T2 = 10 s
T3 = 1 s
ist gegeben:
GS ( s) =
K PS 2
(1 + sT1 ) (1 + sT2 )(1 + sT3 )
.
Berechnen Sie die optimalen Kennwerte des Reglers KPR , Tn und Tv.
4.5 Positionsregelung einer Roboterhand................................................ MNO Motor
Sensor
Roboterhand
x
y
Die Position einer Roboterhand wird mit einem PID-Regler geregelt. Der Wirkungsplan des Regelkreises ist unten gezeigt. Die Parameter der Regelstrecke sind: KPS = 30
w
+
T1 = 0,1 s
KPS ,T1
KPR ,Tn ,Tv y
−
T2 = 0,6 s
1,T2
T3 = 0,4 s
KPG
1,T3
KPG = 0,01
KIS
KIS =1 s
x
Regler
Bestimmen Sie die Kennwerte des PID-Reglers nach einem optimalen Verfahren.
-1
4 Reglereinstellung
41
4.6 Optimale Reglereinstellung (3)............................................................ MNO Der Wirkungsplan einer Regelstrecke und die Parameter sind unten gezeigt. Die Regelstrecke soll mit dem PD-Regler geregelt werden. KPS = 0,2 y
T1 = 0,2 s
z 1, T2 = 2,5 s 1, T3 = 1,8 s
+
KIS = 0,25 s -1 x
+
a) Ergänzen Sie den Wirkungsplan oben so, dass daraus ein Regelkreis mit dem PDRegler entsteht. b) Bestimmen Sie die Kennwerte des PD-Reglers nach einem optimalen Verfahren.
4.7 Füllstandsregelung (1)..........................................................................MNO Der Füllstand eines Reaktors wird mit dem PI-Regler geregelt. Der Wirkungsplan des Füllstandsregelkreises ist unten gezeigt. Die Parameter der Füllstandsregelstrecke sind: KPS = 0,6 T1 = 0,1 s T2 = 0,6 s KIS = 1,75 s-1
KPR w
+
− GR(s)
KPS ,T1
1,T2
KIS
Füllstand f
−
Bestimmen Sie die optimalen Kennwerte des vollkompensierten PI-Reglers nach einem geeigneten Verfahren.
42
Aufgaben
4.8 Füllstandsregelung (2)...................................................................... MNOP Menge QA
Das Bild links zeigt einen Reaktor, dessen Füllstand geregelt werden soll.
V1 Produkt A
M
Menge QB
V2
Der aktuelle Füllstand F wird in die Spannung AI1 umgewandelt. Der Sollwert W wird vom Potentiometer AI3 manuell eingegeben.
Produkt B
AI1 Füllstand F
+
F
AV1
Ventilhub Y
AI3
Die Zufluss-Ventile V1 und V2, sowie der Motor M (Mixer) werden mit binären Signalen angesteuert.
Sollwert W
Messumformer
Das Stellventil AV1 soll mit einem P-Regler geregelt werden.
Regler
a) Skizzieren Sie den Wirkungsplan der Füllstandsregelung.
Produkt-Ablauf Produktmenge QP
b) Unten sind der Eingangssprung y(t) und die Sprungantwort x(t) einer Regelstrecke gegeben. Im Anfangszustand ist y(t) = 0 und x(t) = 10. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion der Regelstrecke und deren Parameter.
Füllstand x(t)
Abflussventilhub y(t) 10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
t/s
0
10
20
30
40
50
60
t/s
4 Reglereinstellung
43
c) Der Füllstand f(t) beträgt im Anfangszustand 10V. Nachdem das Ventil y(t) sprunghaft geöffnet wird, ändert sich der Füllstand wie im Diagramm unten gezeigt ist. Ventilhub y(t)
Füllstand f(t) 10
10 8
8
6
6
4
4
2
2
0
t
0
1
2
3
4
5
t
Welcher Wirkungsplan unten entspricht der oben gegebenen Sprungantwort? K D = 1,67 T1 = 5 s
y
f
K PS = 1,67
y
f
−
1
2
K D = 8,33 T1 = 5 s
y 4
f
K IS = 1,3 s -1 f y 5
K IS = 2,0 s -1 f y 7
K IS = 0,33 s -1 f y 8
K PS = 1,67
y
f
−
3
K IS = 1,3 s -1 y 6
y 9
f
−
K IS = 0,33 s -1
f
−
Unabhängig von vorherigen Aufgaben wird die Regelstrecke mit folgender Übertragungsfunktion beschrieben:
G0 ( s) =
K PR ⋅ K PS ⋅ K IS s ⋅ (1 + sT1 ) ⋅ (1 + sT2 )
mit KPS = 0,1; T1 = 1 s; T2 = 5 s; KIS = 2,5 s-1. d) Der Füllstand wird mit dem P-Regler geregelt. Bestimmen Sie den Proportionalbeiwert des P-Reglers nach der Ziegler-Nichols-Tabelle. e) Die Regelung erfolgt mit dem PD-Regler. Bestimmen Sie die Kennwerte des PDReglers nach einem geeigneten Verfahren.
44
Aufgaben
4.9 Werkzeugmaschine........................................................................... MNOP
Der Kompaktregler vereint die Regelalgorithmen mit den Anzeige- und Bedienfunktionen, wie z. B. der oben im Bild rechts gezeigte (mit freundlicher Genehmigung von JUMO) Prozess- und Programmregeler IMAGO 500. Das Bild oben links zeigt den Support einer Werkzeugmaschine, der durch die Spindel mit der Gewindesteigung a [mm/Umdr] translatorisch bewegt wird. Der Werkzeugschlitten wird von einem Gleichstrommotor angetrieben. (Die Ankerinduktivität sei vernachlässigbar klein). Die Spindel dreht sich mit der Drehzahl n(t) mit Dimension [1/min]. Der vom Werkzeugschlitten zurückgelegte Weg x(t) in [mm] ist die Regelgröße. Die Stellgröße ist die Klemmenspannung des Motors y(t) in [V]. Als Regelstrecke wird die Werkzeugmaschine mittels einer Reihenschaltung von zwei Gliedern, P-T1-Glied für den elektrischen und I-Glied für den mechanischen Teil, wie unten gezeigt, aufgefasst. Die Zeitkonstante des P-T1-Gliedes ist gegeben: T1 = 0,05 s Der Proportional- und Integrierbeiwert sind von der Gewindesteigung a abhängig. y(t)
KPS , T1
n(t)
KIS
Ke 0,2 ⋅ a K e = 5,43 [mm/Umdr⋅Vmin] K PS =
x(t)
-1
-1
K IS = K m ⋅ a mit K m = 2 [s /min ] a) Die statische Kennlinie des elektrischen Teils der Regelstrecke ist rechts gezeigt. Der Eingang ist die Spannung Y [V], der Ausgang ist die Drehzahl N [1/min]. Die Kennlinie soll für kleine Abweichungen vom Arbeitspunkt Y0 = 35 V linearisiert werden. Bestimmen Sie die Gewindesteigung a.
N [1/min] 1200 1150
1100 1050 1000 950 20
25
30
35
40
Y [V]
4 Reglereinstellung
45
b) Unabhängig vom vorherigen Punkt ist die Gewindesteigung gegeben: a = 1 mm/Umdr Es wird nur der elektrische Teil der Strecke (P-T1-Glied) betrachtet: Ke =5,43 [mm/Umdr⋅Vmin] T1 = 0,05 s Welche Sprungantwort entspricht dem Eingangssprung yˆ = 1,84 [V]? a)
n 50 min -1
n
T1
0
100
b)
n
e)
T1
0
n
c)
T1
f)
n
T1
t n
g)
1sec t
t /sec
t /sec
d)
n
1sec
t /sec
t / sec
n min -1
T1
1sec
t
h)
T1
1sec
t
c) Im Bild unten ist der Wirkungsplan der Drehzahlregelung mit dem P-Regler gezeigt. z
KPR w
+
e
− GR(s)
yR
+
−y
1, TR
KPS ,T1
n
GS(s)
Die Gewindesteigung und die Zeitkonstante sind: a = 3 mm/Umdr TR = 0,01 s Alle anderen Streckenparameter sind in der Aufgabenstellung gegeben. Bestimmen Sie die optimale Reglereinstellung des P-Reglers nach dem Betragsoptimum.
46
Aufgaben
d) Der Wirkungsplan der Positionsregelung mit dem PD-Regler ist unten gezeigt. Die Parameter der Regelstrecke sind in der Aufgabenstellung gegeben. Der PD-Regler soll kompensiert werden. z
KPR ,Tv w
+
yR
e
− GR(s)
−y
+
KPS ,T1
KIS n
x
GS(s)
Für den Werkzeugschlitten mit der Gewindesteigung a = 3 mm/Umdr stellt die Störübertragungsfunktion das P-T2-Glied dar, d. h.
Gz ( s ) =
− K Pz . (1 + sTw )(1 + sT1 )
Bestimmen Sie KPR so, dass KPz = 0,02 wird. e) Nun wird der betrachtete Werkzeugschlitten durch einen neuen mit der Gewindesteigung a = 1 mm/Umdr ersetzt, die Kennwerte KPR und Tv des PD-Reglers bleiben jedoch unverändert, wie im Punkt a. Wie ändert sich der Proportionalbeiwert KPz des Kreises mit dem neuen Werkzeugschlitten? f) Die Gesamtstrecke wird mit einem PI-Regler geregelt. Die Streckenparameter sind in der Aufgabenstellung gegeben, die Gewindesteigung ist a = 5 mm/Umdr. Der Proportionalbeiwert KPR des PI-Reglers ist gegeben: KPR = 0,17 Bei welchen Werten der Nachstellzeit Tn wird der geschlossene Kreis mit der nachfolgend gegebenen charakteristischen Gleichung stabil?
s 2Tn (1 + sT1 ) + K PR K PS K IS (1 + sTn ) = 0
47
5 Kaskadenregelung Hinweise zur Lösung Man kann neben einem konventionellen Regler, der Hauptregler genannt wird, einen zweiten Regler in einen Regelkreis einsetzen, so dass ein Teil der Regelstrecke, und folglich der gesamte Regelkreis, mittels dieses zusätzlichen Reglers als Hilfsregler genannt, besser geregelt wird. Solche Verfahren, die aus verschachtelten Regelkreisen bestehen, nennt man vermaschte Regelkreise. In diesem Kapitel werden die Aufgaben der vermaschten Regelung vorgestellt, die nur die Kaskadenregelung und ihre Option, die so genannte Begrenzungsregelung (OverrideRegelung), betreffen. Die Kaskadenregelung ist gut bekannt und wird sehr oft in der Regelungstechnik eingesetzt (siehe Wirkungsplan unten). z w2
+
−
GR2(s)
w1
+
−
GR1(s)
x1
GS1(s)
GS2(s)
x2
Beim Entwurf solcher Kaskadenstrukturen beginnt man mit der mathematischen Beschreibung bzw. Übertragungsfunktion des inneren Regelkreises, auch Hilfsregelkreis oder Folgeregelkreis genannt, der den Folgeregler GR1(s) und die Teilstrecke GS1(s) beinhaltet. Zuerst wird dafür die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises
G01( s ) = GR1 ( s )GS1 ( s ) bestimmt, dann die Führungsübertragungsfunktion des geschlossenen Kreises:
Gw1 ( s ) =
G01( s ) GR1( s)GS1 ( s ) = . 1 + G01( s ) 1 + GR1( s)GS1 ( s )
Der gesamte geschlossene innere Kreis wird damit wie ein Glied Gw1 dargestellt, wie im Bild unten erklärt ist.
w2
e2
z1 GR2
w1
e1
GR1
y1G
w1
GS1
x1
GS2
S. Zacher, Übungsbuch Regelungstechnik, DOI 10.1007/978-3-8348-9754-1_5, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010
x2
48
Aufgaben
Dann werden nacheinander die Übertragungsfunktionen des aufgeschnittenen G02(s) und ggf. des geschlossenen Gw2(s) Hauptregelkreises, auch Führungsregelkreis genannt, bestimmt.
G02 ( s ) = GR2 ( s )Gw1 ( s )GS2 ( s ) = GR2 ( s ) ⋅
GR1 ( s )GS1 ( s ) ⋅ GS2 ( s ) 1 + GR1 ( s )GS1 ( s )
Die Auslegung von Kaskadenstrukturen wird im Folgenden an einem Beispiel erklärt. Bei der Begrenzungsregelung (Override-Regelung) wird die Hilfsregelgröße in einen Regelkreis als Begrenzung der Hauptregelgröße eingeführt. Die Begrenzungsregelung ist also für Strecken geeignet, bei denen sowohl die Regelgröße x auf den vorgegebenen Sollwert w gebracht, als auch eine weitere Größe x1 die vorgegebenen Grenzwerte gmax und/oder gmin nicht überschreiten/unterschreiten darf. Der Wirkungsplan einer Begrenzungsregelung ist unten gezeigt. Sollwert
gmin
−
+
GoR1(s) Hauptregler
Sollwert
w
+
Begrenzungsregler
GR(s)
− Sollwert
gmax
+
−
z Auswahlbox
Max
x
x1
Min
+
GS1(s)
GS2(s)
Teilstrecke
Teilstrecke
Begrenzungsregler
GoR2(s)
Als Beispiel kann man die Aufheizphase eines Ofens betrachten. In der Aufheizphase wird der Sollwert w (Temperatur) durch eine Rampe bis zum Erreichen des Arbeitspunktes geändert. Die Regelgröße x (Temperatur) soll dem Sollwert w folgen, es wird jedoch dabei gefordert, dass die Regelgröße x einen bestimmten Wert, z. B. die Temperatur des Heizelements xover, nicht überschreitet, wie links im Zeitdiagramm gezeigt ist. Im Allgemeinen wird der Entwurf einer Override-Regelung wie einer Kaskadenregelung unter Beachtung der Umschaltung mittels der Auswahlbox durchgeführt.
5 Kaskadenregelung
49
Muster-Aufgabe einer Kaskadenregelung mit Lösung Ein Roboter mit drei Gelenken ist im Bild rechts gezeigt. Prinzipiell kann man folgende Regelungsarten unterscheiden: •
Kraftregelung, um definierte Kräfte/ Drehmomente auf die Arbeitsumgebung anzuwenden.
ϕ 3 2
•
Lageregelung, d.h. eine gewünschte Roboterbewegung unabhängig von Kräften/Momenten zu garantieren.
•
Hybride Regelung, d.h. Mischformen, bei denen zwischen Lage- und Kräfteregelung aufgabenspezifisch umgeschaltet wird.
β
1 α
Bei der Regelung eines Roboters geht es um die: y externe Regelung bzw. die Regelung des industriellen Fertigungsprozesses. y interne Regelung bzw. die Regelung von Gelenken des Roboters. Dafür werden die Messwerte über die Gelenkwinkel α, β, ϕ und Gelenkgeschwindigkeiten ω1, ω2, ω3 erfasst. Die interne und externe Roboterregelung sind im Wirkungsplan unten gezeigt. Die Parameter sind gegeben: KPϕ = 3,5
KPu = 2,8
KIβ = 0,9 s-1
KP4 = 0,2
T1 = 0,073 s
T2 = 0,069 s
T3 = 0,021 s
T4 = 0,009 s
ϕ KPR2, Tn2
w +
−
KPR1, Tv1 +
−
uM
KPϕ , T2 KPu , T1
−
KIβ
β
KP4, T4 x
+
a) Bestimmen Sie die optimalen Kennwerte des PI-Reglers KPR2 und Tn2 nach einem geeigneten Verfahren, wenn KPR1 = 25,5 und Tv1 = 0,073 s sind. b) Nach einer sprunghafter Änderung ϕˆ = 0,1 erreicht der Roboterarm im Beharrungszustand die Position x(∞) = 0,0056. Wie groß wird dabei der Winkel β(∞)?
50
Aufgaben
Lösung: a) Optimale Kennwerte des PI-Führungsreglers. Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Folgeregelkreises:
G01 ( s ) = K PR1 (1 + sTv1 ) ⋅
K Pu K Iβ ⋅ 1 + sT1 s
Unter Beachtung
Tv1 = T1 = 0,073 s folgt daraus
G01 ( s ) =
K PR1K Pu K Iβ s
und die Übertragungsfunktion des geschlossenen Folgeregelkreises
Gw1 ( s ) =
1 1 1+ G01 ( s )
=
1 s 1+ K PR1K Pu K Iβ
=
1 1 + sTw1
mit
Tw1 =
1 1 = = 0,016 s . K PR1K Pu K Iβ 25,5 ⋅ 2,8 ⋅ 0,9 s -1
Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Führungsregelkreises:
G02 ( s ) =
K PR2 (1 + sTn2 ) 1 K P4 . ⋅ ⋅ sTn2 1 + sTw1 1 + sT4
Die Kompensation
Tn 2 = Tw1 = 0,016 s führt zum Grundtyp A:
G02 ( s ) =
K PR2 K P4 . sTn2 (1 + sT4 )
Der Führungsregler wird nach dem Betragsoptimum eingestellt:
K PR2 =
Tn2 2 ⋅ K P4 ⋅ T4
K PR2 =
0,016 s = 4,44 . 2 ⋅ 0,2 ⋅ 0,009 s
5 Kaskadenregelung
51
b) Beim Störverhalten mit dem Eingangssprung der Störgröße ϕˆ = 0,1 erreicht die Regelgröße im Beharrungszustand den Wert
x(∞) = 0,0056 . Aus der Beschreibung des dynamischen Verhaltens (die Laplace-transformierte Ein/Ausgang-Beziehung bzw. die Übertragungsfunktion)
x( s ) = G4 ( s ) ⋅ β ( s )
x( s) =
K P4 ⋅ β (s) 1 + sT4
ergibt sich im Beharrungszustand bei s → 0 bzw. t → ∞:
x(∞) = K P4 ⋅ β (∞)
β (∞) =
x(∞) 0,0056 = = 0,62 s -1 . K P4 0,009 s
Aufgaben: Kaskadenregelung 5.1 Kaskadenregelung (1)........................................................................... MNO a) Bestimmen Sie die optimale Einstellung des Reglers GR2(s) nach dem Betragsoptimum, wenn K IR1 = 2,5 s-1; KPS1 = 0,2; KPS2 = 0,08 und T2 = 1,5 s gegeben sind. KPR2 , Tn2 w2
KIR1
e
−
−
KPS1
w1 G R2(s)
x1
KPS2, T2
x2
GR1(s)
b) Der Wirkungsplan einer Kaskadenregelung und die Parameter sind unten gezeigt. KPS1 = 5
KPS2 = 3 KPR1 , Tn1
KPR2 , Tn2 w2
w1
e −
− GR2(s)
T1 = 3 s KPS1, T1
T2 = 1,5 s x1
KPS2, T2
x2
GR1(s)
Kompensieren Sie den Folgeregler GR1(s) und bestimmen Sie den Proportionalbeiwert KPR1 so, dass die Zeitkonstante des Folgeregelkreises Tw1 = T1/20 wird.
52
Aufgaben
5.2 Kaskadenregelung (2)....................................................................MNOPQ Gegeben ist der Wirkungsplan einer Kaskadenregelung mit Parametern: KPR2 w2
e2
w1
KPR1 = 10
KIS1= 1 s-1
z x1
KIS2= 0,5 s-1
x2
a) Bestimmen Sie den optimalen Proportionalbeiwert KPR2 des Führungsreglers nach einem geeigneten Verfahren. b) Unabhängig von der Lösung zum Punkt a) ist gegeben KPR2 = 5. Wie groß ist dabei der Dämpfungsgrad des Hauptregelkreises? c) Wie groß ist die bleibende Regeldifferenz e2(∞) bei einem Sprung der Störgröße zˆ = 0,5 , wenn KPR2 = 5 ist? d) Wie groß wird die Regelgröße x2(∞) im Beharrungszustand nach einem Sprung der Führungsgröße von wˆ 2 = 0,2 ? Dabei ist zˆ = 0 .
5.3 Kaskadenregelung (3)....................................................................... MNOP Ergänzen Sie den unten gezeigten Wirkungsplan der Regelstrecke so, dass daraus eine Kaskadenregelung für die Hilfsregelgröße x1 mit einem PFolgeregler (Hilfsregler) mit KPR1 = 10 und einem P-Führungsregler mit KPR2 = 30 entsteht.
y
z
KPS = 0,08 T1 = 9 s
T2 = 1 s x1
-1 − KIS = 0,2 s
T3 = 0,2 s +
x
Wie groß wird die bleibende Regeldifferenz e(∞) bei einem Sprung der Störgröße von der Höhe zˆ = 2 (dabei ist wˆ = 0 )?
5 Kaskadenregelung
53
5.4 Lageregelung ..................................................................................MNOPQ Bearbeitungskraft
ϕsoll
Werkstück Maschinentisch
ML Kaskadenregler
Stromrichter
M MM
uM
DrehmomentMessung
uω
ωIst
WinkelgeschwindigkeitsMessung
uIst
ϕIst
Verfahrwinkel Messung
Zur Lageregelung von elektrischen Antrieben und Industrierobotern werden häufig Kaskadenstrukturen verwendet. Dabei wird ein schnellerer Anstieg des Drehmoments erreicht, weil neben dem Verfahrwinkel auch die Winkelgeschwindigkeit und Antriebsmoment zusätzlich zurückgeführt werden.
Der Wirkungsplan der Lageregelung einer Antriebsmaschine mit Kaskadenstruktur ist unten dargestellt. Der Verfahrwinkel ϕIst ist Hauptregelgröße mit dem Sollwert ϕSoll. Die Hilfsregelgrößen sind die Vorschubgeschwindigkeit ωIst und das Motordrehmoment MM. Die Parameter der Regelstrecke sind: KP3 = 1,2 KPR3
ϕSoll
+
KP4 = 0,4
−
GR3
KPR2, Tn2
+
−
GR2
+ −
T3 = 0,00984 s KPR1 uS
KP3, T3
KI2 = 0,2 s-1
T4 = 0,004 s ML MM −
GR1
KP4, T4
ωIst
KI2
ϕIst
+
Die Lageregelung soll mit folgenden Reglern erfolgen:
y Der erste unterlagerte Regler GR1(s) ist P-Regler mit KPR1 = 6.
y Der zweite unterlagerte Winkelgeschwindigkeitsregler GR2(s) ist PI-Regler. y Der Führungsregler (Hauptregler) GR3(s) ist P-Regler mit KPR3 = 2,5. Bestimmen Sie: a) die optimalen Kennwerte des Reglers GR2(s). b) die bleibende Regeldifferenz ϕIst(∞) beim Störverhalten, wenn der P-Hauptregler mit KPR2 = 5 eingestellt wird und der Eingangssprung der Störgröße ML = 0,5 beträgt.
54
Aufgaben
5.5 Reaktor mit Wärmeaustauscher ..................................................... MNOP
Die Wärmezufuhr eines Reaktors erfolgt durch Dampf über einen Wärmeaustauscher. Die Hauptregelgröße ist die Reaktionstemperatur x, die Hilfsregelgröße ist die Wassertemperatur x1 am Eingang des Reaktors. Der Reaktor wird nach der unten gezeigten Kaskadenregelung mit dem PID-Folgeregler (Hilfsregler) mit Kennwerten KPR1 = 60; Tn1 = 18 s und Tv1 = 16 s geregelt. Die Parameter der Strecke sind: KPS1 = 0,1
T1 = 18 s
T2 = 16 s
KPS3 = 0,1
T3 = 2 s
Bestimmen Sie die optimale Einstellung des Führungsreglers (Hauptreglers) GR2(s). KPR2 , Tn2
KPS1, T1
KPR1, Tn1, Tv1
1, T2
KPS3, T3 x
x1
y
w
−
−
5.6 Override-Regelung ........................................................................MNOPQ Ergänzen Sie den unten gezeigten Wirkungsplan mit einem Override-Regler so, dass die Bedingung x < xover bei gleicher Führungsgröße wover = w erfüllt wird, und bestimmen Sie die Kennwerte KPR und Tn des Hauptreglers GR.
+
xover
y
w
−
KPS2, T2
KPS1, T1
KPR, Tn
x
KPS1 = 0,5 KPS2 = 3
GR(s)
GS1(s)
GS2(s)
T1 = 1,8 s T2 = 2,5 s
Der Override-Regler GRover soll mit dem Proportionalbeiwert KPRover = KPR eingestellt werden. Bestimmen Sie die Nachstellzeit Tnover des Override-Reglers und skizzieren Sie die Sprungantworten von x und xover nach einem Sprung von wˆ = wˆ over = 1 .
55
6 Mehrgrößenregelung Muster-Aufgabe mit Lösungen Im Bild unten ist ein doppelwandiges Reaktionsgefäß gezeigt, dessen Füllstand x1 und die Temperatur x2 geregelt werden. Im Innenraum des Gefäßes befindet sich das Produkt. Das Füllen des Gefäßes erfolgt mit dem Ventil V1, zum Leeren dient das Ablaufventil AV1. In den Zwischenraum wird ein Heizmittel bzw. ein Kühlmittel hineingepumpt. Das Stellventil für die Temperaturregelung ist AV2. Die Steuerung des Kühlmittels erfolgt mittels des Ventils V4. Produkt-Zulauf
Ventil V1 Ventil AV2
Heizen
AO1
AI1 y1
x2
F
AI2
FüllstandIstwert
T
x1
Kühlen
TemperaturIstwert
Ventil V4 Ventil AV1
AO2
y2
Produkt-Ablauf
Das Reaktionsgefäß als Regelstrecke hat zwei Regelgrößen, Füllstand x1 und Temperatur x2, die mit Hilfe von Sensoren AI1 und AI2 aufgenommen werden. Die Regelstrecke hat auch zwei Stellgrößen, y1 und y2, wie unten im Wirkungsplan gezeigt ist. KIS1 y1
y2
Ventil AV1
Ventil AV2 AO2
Füllstand
−
AO1
AI1
x1
+
KP12
KP21 ,T21
1, Tt21
KP22 ,T22a
1, T22b
− +
Temperatur
AI2
x2
S. Zacher, Übungsbuch Regelungstechnik, DOI 10.1007/978-3-8348-9754-1_6, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010
Da die beiden Regelgrößen, x1 und x2, miteinander durch die Blöcke G21(s) und G12(s), wie im Wirkungsplan gezeigt, gekoppelt sind, handelt es sich hier um eine MIMORegelstrecke in P-kanonischer Struktur.
56
Aufgaben
Die Füllstandregelstrecke ist I-Glied mit der Übertragungsfunktion
G11 ( s ) =
K IS1 s
mit KIS1 = 0,1 s−1. Für das Temperaturverhalten wird das Reaktionsgefäß wie eine Reihenschaltung von zwei P-T1-Gliedern dargestellt:
G22 ( s) =
K P22 (1 + sT22a )(1 + sT22b )
mit KP22 = 0,8 T22a = 6 s T22b = 98 s Das erste Verkopplungsglied G21(s) beschreibt den starken Einfluss des Füllstands auf die Temperatur:
G21 ( s ) =
K P21 ⋅ e − sTt 21 1 + sT21
mit KP21 = 0,58 T21 = 94 s Tt21 = 36 s Das zweite Verkopplungsglied ist P-Glied mit einem relativ kleinen Proportionalbeiwert
G12 ( s ) = K P12 mit KP12 = 0,01, d. h. der Einfluss der Temperatur auf den Füllstand ist wesentlich kleiner. Nachfolgend werden verschiedene Möglichkeiten der Regelung des Reaktionsgefäßes diskutiert: a) mit zwei separaten Regelkreisen b) mit einem Diagonalregler c) mit einem Entkopplungsregler
6 Mehrgrößenregelung
57
a) zwei separate Regelkreise: Zuerst betrachten wir den Fall, wenn der Füllstand und die Temperatur mit zwei separaten Regelkreisen geregelt werden. Angenommen, dass ein P-Regler für die Füllstandsregelung und ein PI-Regler für die Temperaturregelung eingesetzt werden, bestimmen wir die optimalen Kennwerte der beiden Regler. Wir ignorieren dafür die Verkopplung der Regelstrecke, wie unten gezeigt, und entwerfen zwei voneinander unabhängige separate Regler.
+ w1
KPR1
KIS1
+
+
x1
+
K12
KPR2 , Tn2 w2
−
e1
K21 , T21
1 , Tt21
K22 , T22a
1 , T22b
e2
+
−
x2
−
Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen 1. Einzelregelkreises
G01 ( s ) = K PR1 ⋅
K IS1 s
und die entsprechende Übertragungsfunktion des geschlossenen 1. Einzelregelkreises
Gw1 ( s ) =
mit
Tw1 =
1 1 1+ G01 ( s )
=
1 1 1+ s ⋅ K PR1K IS1
=
1 1 + sTw1
1 . K PR1K IS1
Der 1. Einzelregelkreis hat damit das P-T1-Verhalten und ist bei beliebigen Werten des Proportionalbeiwertes KPR1 stabil. Es gibt mehrere Gütekriterien, nach welchen der Proportionalbeiwert KPR1 gewählt werden kann, z. B. hier wird gewählt:
K PR1 = 10
58
Aufgaben
In diesem Fall wird die Zeitkonstante des geschlossenen Kreises
Tw1 =
1 1 = = 1s , K PR1K IS1 10 ⋅ 0,1 s -1
was viel kleiner ist als die Zeitkonstanten der Temperaturregelstrecke. Für den 2. Einzelregelkreis
G02 ( s) =
K PR2 (1 + sTn 2 ) K P 22 ⋅ sTn 2 (1 + sT22a ) (1 + sT22b )
folgt nach der Kompensation Tn2 = T22b = 98 s der Grundtyp A G02 ( s) =
K PR2 K P 22 , sTn 2 (1 + sT22a )
woraus sich nach dem Betragsoptimum die optimale Einstellung des Reglers ergibt:
K PR2 =
Tn 2 2T22a K P 22
K PR2 =
98 s = 10,2 . 2 ⋅ 6 s ⋅ 0,8
b) Regelung mit einem Diagonalregler: Entwerfen wir nun einen Diagonalregler für die Regelung der verkoppelten Strecke und bestimmen wir seine Kennwerte. Danach prüfen wir die Stabilität des MIMORegelkreises. Im Fall eines Diagonalreglers erfolgt die Einstellung von Einzelregelkreisen wie im vorherigen Punkt, nur nicht für die Originalstrecken GS11(s) und GS22(s), sondern für die Ersatzstrecken G*S11(s) und G*S22(s). Die Übertragungsfunktionen für Ersatzstrecken werden unter der Annahme hergeleitet, dass keine Änderungen von Störgrößen vorhanden sind und dass nur eine von beiden Führungsgrößen, w1 oder w2 sich ändert. Auf diese Weise kommt man zu folgenden Übertragungsfunktionen von Ersatzstrecken * G11 ( s ) = G11 ( s )[1 − C ( s )Gw 2 ( s )] * ( s ) = G22 ( s)[1 − C ( s)Gw1 ( s)] , G22
die dann für den Entwurf von Einzelreglern GR1(s) und GR2(s) angewendet werden. Die auf diese Weise optimal eingestellten Einzelregler nennt man Diagonalregler, weil solche Struktur in der Matrixform einer Diagonalmatrix entspricht.
6 Mehrgrößenregelung
59
Der Vorteil des Diagonalreglers bzw. der Vorteil der Reglereinstellung nach Ersatzstrecken besteht nämlich darin, dass die MIMO-Strecke optimal geregelt wird, wenn sich die Führungsgrößen w1 und w2 nicht gleichzeitig ändern. Ansonsten hat der Diagonalregler keine Vorteile gegenüber der Einstellung von zwei separaten Reglern. Wie aus den obigen Formeln für G*S11(s) und G*S22(s) ersichtlich, soll der dynamische Koppelfaktor C(s) beim Entwurf des Diagonalreglers berücksichtigt werden. Im betrachteten Fall hat der dynamische Koppelfaktor eine komplizierte Form:
K P 21 − sTt21 ⋅ K P12 e G21 ( s ) G12 ( s ) 1 + sT21 C (s) = = . K P 22 G11 ( s ) G22 ( s ) K IS1 ⋅ s (1 + sT22a ) (1 + sT22b ) Um den analytischen Entwurf des Diagonalreglers zu ermöglichen, wird C(s) üblicherweise durch den statischen Koppelfaktor C(0) ersetzt:
C (0) = lim C ( s) s→ 0
Im betrachteten Beispiel ist es nicht möglich, weil wegen eines I-Gliedes gilt
K P 21 − sTt21 e ⋅ K P12 1 + sT21 =0 C (0) = lim C ( s) = lim K P 22 s →0 s → 0 K IS1 ⋅ s (1 + sT22a ) (1 + sT22b ) und es keinen Unterschied von Einzelreglern gibt: * G11 ( s) = G11 ( s) * ( s) = G22 ( s) . G22
Aus diesem Grund wird der Koppelfaktor C(s) nicht durch den statischen Koppelfaktor C(0) ersetzt, sondern vereinfacht, indem das Totzeitglied durch ein P-T1-Glied angenähert wird: e − sTt21 ≈
1 1 + sT t21
Daraus folgt:
K P 21 K P12 ⋅ 1 + sT21 1 + sTt 21 C ( s) = K IS1 K P 22 ⋅ s (1 + sT22a ) (1 + sT22b ) C (s) =
s ⋅ (1 + sT22a ) (1 + sT22b ) K P12 K P 21 s ⋅ (1 + sT22a ) (1 + sT22b ) ⋅ = CD ⋅ K IS1 K P 22 (1 + sT21 )(1 + sTt 21 ) (1 + sT21 )(1 + sTt 21 )
60
mit
Aufgaben
CD =
K P 21K P12 . K IS1K P 22
Die nächste Vereinfachung besteht darin, dass man anstelle
(1 + sT22a ) (1 + sT22b ) (1 + sT21 )(1 + sTt 21 ) unter Beachtung
T22 b ≈ T21 Tt 21 − T22a = T0 den folgenden Ausdruck betrachtet:
1 . 1 + sT0 Der dynamische Koppelfaktor reduziert sich damit zu
C ( s) =
mit
CD =
sCD 1 + sT0
K P 21K P12 −0,58 ⋅ 0,01 = = −0,0725 s K IS1 K P 22 0,1 s -1 ⋅ 0,8
T0 = Tt 21 − T22a = 36 s − 6 s = 30 s . Danach bestimmt man die Übertragungsfunktionen von aufgeschnittenen Regelkreisen, wie es im Punkt a) bereits gemacht wurde:
G01 ( s) = K PR1 ⋅
G02 (s ) =
K IS1 s
K PR2 K P 22 mit Tn2 = T22b = 98 s. sTn 2 (1 + sT22a )
Dann ermittelt man die Übertragungsfunktionen des ersten geschlossenen Regelkreises
Gw1 ( s) =
1 1 mit Tw1 = (siehe der vorherige Punkt a) 1 + sTw1 K PR1K IS1
und die Übertragungsfunktionen des zweiten geschlossenen Regelkreises:
Gw 2 ( s) =
1 1 1+ G01 ( s)
=
1 sTn 2 (1 + sT22a ) 1+ K PR2 K P 22
6 Mehrgrößenregelung
Gw 2 ( s) =
61
K PR2 K P 22 . K PR2 K P 22 + sTn 2 (1 + sT22a )
Der Einfachheit halber werden anstelle Gw1(s) und Gw2(s) in die Übertragungsfunktionen von Ersatzstrecken * G11 ( s ) = G11 ( s )[1 − C ( s )Gw 2 ( s)] * G22 ( s ) = G22 ( s)[1 − C ( s)Gw1 ( s)]
die statischen Grenzwerte Gw1(0) und Gw2(0) eingeführt:
1 =1 s → 0 1 + sTw1
Gw1 (0) = lim Gw1 ( s ) = lim s →0
K PR2 K P 22 =1. s → 0 K PR2 K P 22 + sTn 2 (1 + sT22a )
Gw2 (0) = lim Gw2 ( s) = lim s →0
Daraus ergibt sich * ( s) = G11 ( s)[1 − C ( s )] = G11
* ( s ) = G22 ( s )[1 − C ( s )] = G22
K IS1 s
§ s ⋅ CD · ¸¸ ⋅ ¨¨1 − © 1 + sT0 ¹
§ K P 22 s ⋅ CD · ¸ ⋅ ¨¨1 − (1 + sT22a ) (1 + sT22b ) © 1 + sT0 ¸¹
bzw. * G11 (s ) =
K IS1 (1 + sT0 − sCD ) K IS1 (1 + sTv0 ) = s (1 + sT0 ) s (1 + sT0 )
* G22 ( s) =
K P 22 (1 + sTv 0 ) (1 + sT22a ) (1 + sT22b )(1 + sT0 )
mit Tv 0 = T0 − CD = 30 s − (−0,0725 s) = 30,07 s . Die Übertragungsfunktionen von aufgeschnittenen Einzelkreisen: * G01 ( s ) = GR1 ( s )G11 (s) =
K PR1K IS1 (1 + sTv 0 ) s (1 + sT0 )
* G02 ( s ) = GR 2 (s )G11 (s) =
K PR2 K P22 (1 + sTn 2 )(1 + sTv 0 ) . sTn 2 (1 + sT22a ) (1 + sT22b )(1 + sT0 )
Kompensation:
Tn 2 = T22b = 98 s .
62
Aufgaben
Die Übertragungsfunktionen von geschlossenen Einzelkreisen:
Gw1 ( s) =
K PR1K IS1 (1 + sTv 0 ) s (1 + sT0 ) + K PR1K IS1 (1 + sTv0 )
Gw 2 ( s ) =
K PR2 K P22 (1 + sTv 0 ) . sTn 2 (1 + sT22a )(1 + sT0 ) + K PR2 K P22 (1 + sTv 0 )
Die charakteristische Gleichung des 1. Kreises:
s(1 + sT0 ) + K PR1K IS1 (1 + sTv 0 ) = 0 s 2T0 + s(1 + K PR1K IS1Tv 0 ) + K PR1 K IS1 = 0 mit
a2 = T0 = 30 a1 = 1 + K PR1K IS1Tv 0 = 1 + K PR1 ⋅ 0,1 ⋅ 30,07 = 1 + 3K PR1 a0 = K PR1K IS1 = 0,1K PR1 Die charakteristische Gleichung 2. Ordnung ist nach dem Hurwitz-Stabilitätskriterium stabil bei allen positiven Werten von KPR1. Hier wird gewählt:
K PR1 = 3,5 Dabei beträgt der Dämpfungsgrad des 1. Einzelkreises
a2 s 2 + a1s1 + a0 = 0
1 a2 °a = 2 ° 0 ω0 ® ° a1 = 2ϑ °¯ a0 ω0
1
ω02
s2 +
4ϑ 2 =
2ϑ +1 = 0 ω0 s
a12 a 2 a0
bzw.
ϑ=
1 + 3K PR1 2 0,1T0 K PR1
= 1,7 .
Die charakteristische Gleichung des 2. Einzelkreises
sTn2 (1 + sT22a )(1 + sT0 ) + K PR 2 K P22 (1 + sTv 0 ) = 0 bzw.
a3 s 3 + a2 s 2 + a1s1 + a0 = 0
6 Mehrgrößenregelung mit
63
a3 = Tn 2T22aT0 = 98 ⋅ 6 ⋅ 30 = 17640 a2 = Tn 2 (T22a + T0 ) = 98 ⋅ (6 + 30) = 3528 a1 = Tn 2 + K PR2 K P22Tv 0 = 98 + K PR 2 ⋅ 0,8 ⋅ 30,07 = 98 + 24,06 K PR 2 a0 = K PR 2 K P22 = 0,8K PR 2 .
Die Stabilitätsbedingungen nach dem Hurwitz-Kriterium: 1. Bedingung: ai ≠ 0 2. Bedingung: ai > 0 3. Bedingung: a2 a1 > a3a0 Setzt man die Werte ein
3528 ⋅ (98 + 24,06 K PR2 ) > 17640 ⋅ 0,8K PR2 , so werden diese Bedingungen für alle positiven Werte von KPR2 erfüllt. Somit wird der optimale Wert KPR2 aus dem vorherigen Punkt a) übernommen:
K PR 2 = 10,2 Das Bild unten zeigt das Simulink-Programm des betrachteten Beispiels mit den gewählten Kennwerten von beiden Reglern.
Die Simulation bei getrennten Eingangssprüngen von Führungsgrößen w1 bei t = 10 s und w2 bei t = 90 s bestätigt, dass die Dämpfungsgrade ϑ1 und ϑ2 von Einzelregelkreisen den
64
Aufgaben
rechnerisch ermittelten Werten entsprechen (ϑ1 = 1,7 beim 1. Kreis für x1 und ϑ2 = 0,707 beim 2. Kreis für x2) und dass die Verkopplung zwischen beiden Kreisen minimal ist.
Um die Stabilität eines MIMO-Regelkreises mit dem Diagonalregler zu prüfen, soll man die folgenden drei charakteristischen Gleichungen untersuchen:
y für den 1. Einzelkreis:
1 + G01 ( s ) = 0
y für den 2. Einzelkreis:
1 + G02 ( s) = 0
y für die Verkopplung:
1 − C ( s)Gw1 ( s)Gw 2 ( s) = 0
Der 1. Einzelkreis der 2. Ordnung
a2 s 2 + a1s1 + a0 = 0 ist nach dem Hurwitz-Stabilitätskriterium stabil, weil alle Koeffizienten positiv sind:
a2 = T0 = 30 a1 = 1 + 3K PR1 = 1 + 3 ⋅ 3,5 = 11,5 a0 = 0,1K PR1 = 0,1 ⋅ 3,5 = 0,35 Der 2. Einzelkreis der 3. Ordnung
a3 s 3 + a2 s 2 + a1s1 + a0 = 0 ist nach dem Hurwitz-Stabilitätskriterium stabil, weil alle Koeffizienten positiv sind:
6 Mehrgrößenregelung
65
a3 = Tn 2T22aT0 = 17640 a2 = Tn 2 (T22a + T0 ) = 3528 a1 = 98 + 24,06 K PR 2 = 98 + 24,06 ⋅ 10,2 = 343,4 a0 = 0,8K PR 2 = 0,8 ⋅ 10,2 = 8,16 und die Bedingung a2 a1 > a3 a0 erfüllt ist. Die charakteristische Gleichung der Verkopplung
1 − C ( s)Gw1 ( s)Gw 2 ( s) = 0 mit
C ( s) =
sC D 1 + sT0
Gw1 ( s) =
1 1 + sTw1
Gw 2 ( s) =
K PR2 K P 22 K PR2 K P 22 + sTn 2 (1 + sT22a )
wird wie folgt dargestellt:
(1 + sT0 )(1 + sTw1 )( K PR2 K P 22 + sTn 2 + s 2Tn 2T22a ) − sCD K PR2 K P 22 = 0 . Setzen wir die gegebenen Werte ein T0 = 30
Tw1 = 1
KPR2 = 10,2
KP22 = 0,8
Tn2 = 98
T22a = 6
CD = −0,00725, so ergibt sich daraus die charakteristische Gleichung der 4. Ordnung
17640s 4 + 21168s 3 + 38708s 2 + 98,6s + 8,16 = 0 , deren Lösung mit MATLAB a = [17640 21168 38708 98.6 8.16]; roots (a)
die folgenden Nullstellen mit negativen Realteilen hat:
− 0.5988 + 1.3538i − 0.5988 − 1.3538i − 0.0012 + 0.0145i − 0.0012 − 0.0145i d. h. die Verkopplung ist auch stabil, und damit ist das Gesamtsystem stabil. c) Regelung mit einem Entkopplungsregler Lassen wir die Einstellung des Füllstands- und Temperaturreglers so, wie es im vorherigen Punkt für einen Diagonalregler vorgenommen wurde, und entwerfen wir daraus die entkoppelte Regelung.
66
Aufgaben
+ w1
KPR1
KIS1
+
GR12(s)
KPR2 , Tn2
+
K21 , T21
1 , Tt21
K22 , T22a
1 , T22b
e2
+
−
Die Einstellung von Einzelreglern wird vom Diagonalregler übernommen:
GR1 ( s ) = K PR1 GR 2 ( s ) =
K PR2 (1 + sTn 2 ) sTn 2
mit K PR1 = 3,5 mit K PR2 = 10,2
Tn2 = 98 s
Für die Entkopplungsglieder gilt es:
G ( s ) K P12 sK P12 GR12 ( s ) = 12 = = = sK D12 G11 ( s ) K IS1 K IS1 s mit K D12 =
K P12 0,01 = = 0,1 s K IS1 0,1 s -1
K P21 K P21 ⋅ e − sTt 21 (1 + sT21 )(1 + sTt 21 ) G (s) 1 + sT21 = ≈ GR 21 ( s ) = 21 K P22 K P22 G22 ( s ) + + (1 sT22a )(1 sT22b ) (1 + sT22a )(1 + sT22b ) bzw.
GR 21( s) =
(1 + sT22a ) K P21 (1 + sT22a )(1 + sT22b ) ⋅ ≈ K PR21 ⋅ K P22 (1 + sT21 )(1 + sTt 21) (1 + sTt 21 )
mit K PR21 = 0,725 .
x1
+
K12
GR21(s)
w2
−
e1
−
x2
6 Mehrgrößenregelung
67
Aufgaben: Mehrgrößenregelung 6.1 Molekularfilter......................................................................................MNO Im Bild links ist der Ausschnitt aus dem Prozessbild einer verfahrenstechnischen Anlage gezeigt. Der Farbstoff (Stoff B) soll aus der vermischten Flüssigkeit (A+B) mittels eines Molekularfilters getrennt werden. Der Molekularfilter besteht aus den in einer Plastikpatrone zusammengefassten Hohlfaser-Membranen. Das Stoffgemisch fließt quer zur Filtermembran und verursacht eine Druckdifferenz, welche den Durchfluss durch den Filter bestimmt. Die Änderung des Durchflusses beeinflusst die Konzentration der Lösung, die ihrerseits die Filtratsrate und folglich die Druckdifferenz beeinträchtigt. Die Druckdifferenz ist die Regelgröße x1, der Durchfluss ist die Regelgröße x2. Die Stellgrößen y1 und y2 sind die Hübe von Stellventilen bzw. die Abweichungen der Hübe von entsprechenden Arbeitspunkten. Der Wirkungsplan des Filters als MIMO-Regelstrecke ist unten gezeigt. KP11 , T11 y1
x1
+ +
KP12
KP11 = 2 T11
=5s
KP12 = 3 KP21
KP21 = 5 KP22 = 1,5
y2
KP22 , T22
+
+ x 2
T22 = 2,5 s
Bestimmen Sie die Sprungantworten von Regelgrößen x1(t) und x2(t), wenn sich beide Eingangsgrößen y1(t) und y2(t) gleichzeitig sprungförmig ändern, nämlich:
yˆ1 = 0,5
yˆ 2 = 0,8
68
Aufgaben
6.2 Zwei-Tank-System.........................................................................MNOPQ Ein System aus zwei Tanks, die miteinander verbunden sind, ist unten gezeigt. Die Regelgrößen sind Füllstände X1 und X2. Die Stellgrößen sind Hübe von Stellventilen Y1 und Y2. Ändert sich der Füllstand in einem Tank, so wird diese Änderung über das Verbindungsrohr zur Änderung des Füllstandes des zweiten Tanks führen.
Beschreiben Sie das Zwei-Tank-System mit Differentialgleichungen bzw. mit Übertragungsfunktionen in P-kanonischer Form.
6.3 Stabilität..........................................................................................MNOPQ Bestimmen Sie, bei welchen Proportionalbeiwerten KR1 und KR2 der geschlossene Mehrgrößenregelkreis stabil wird, wenn beide PI-Einzelregler vollkompensiert sind. KP11 = 1 −
KP22 = 2
KPR1, Tn1
KP12 = 1
KP21 = 0,5
K11 , T11
e1
w1
T11 = 1 s
x1
+
+
+
K12
K21
KPR2, Tn2 w2 +
e2 −
K22 , T22
+ +
x2
T22 = 2 s
6 Mehrgrößenregelung
69
6.4 Diagonalregler................................................................................... MNOP a) Bestimmen Sie die Einstellung des unten gezeigten Diagonalreglers mit zwei I-Reglern nach dem Betragsoptimum.
w1
−
e1
+
w2
+
GR1(s)
y1
G11(s)
x1
+ +
e2
GR2(s)
GR1 ( s) =
K IR1 s
GR2 ( s ) =
K IR2 s
G12(s)
G11 ( s) =
1 1+ s
G21(s)
G22 ( s ) =
2 1 + 2s
+
y2 G22(s)
G12 ( s) = 1
x2
+
G21 ( s ) = 0,5
−
b) Eine MIMO-Regelstrecke in P-kanonischer Struktur wird mit einem Diagonalregler geregelt, wie im obigen Bild, jedoch sind hier GR1(s) I-Regler und GR2(s) PI-Regler. Die Übertragungsfunktionen und die Parameter der Regelstrecke sind:
G11 ( s ) =
K P11 1 + sT11
G21 ( s ) =
K P21 1 + sT21
G12 ( s) = K P12
G22 ( s ) =
K P22 (1 + sT22a )(1 + sT22b )
KP11 = 0,5
K22 = 0,4
KP12 = 0,2
KP21 = 0,1
T11 = 1,1 s
T22a = 6 s
T22b = 19 s
T21 = 8 s
Bestimmen Sie die optimalen Kennwerte KIR1 und KPR2, Tn2 nach einem geeigneten Verfahren (Betragsoptimum oder symmetrisches Optimum).
6.5 Entkopplungsregler (1) .................................................................... MNOP Die Übertragungsfunktionen und die Parameter einer MIMO-Regelstrecke in V-kanonischer Struktur sind gegeben:
G11 ( s ) =
K P11 1 + sT11
K P22 G22 ( s ) = 1 + sT22
V12 ( s ) =
K P12 1 + sT12
V21 ( s ) =
K P21 1 + sT21
70
Aufgaben KP11 = 1
KP22 = 2
KP12 = 1
KP21 = 0,5
T11 = 1 s
T22 = 2 s
T12 = 0,1 s
T21 = 0,1 s
GR11 ( s) =
Die beiden Hauptregler sind I-Regler:
K R11 s
GR 22 ( s) =
K R 22 s
Der Wirkungsplan des entkoppelten Regelkreises ist unten gezeigt. Die Abgriffsorte von Eingangssignalen der Entkopplungsglieder GR12(s) und GR21(s) sind die Regeldifferenzen e1 und e2.
w1
−
e1
+
+
+ +
w2
+
GR11(s)
e2
−
GR12(s)
V12(s)
GR21(s)
V21(s)
+ + GR22(s) +
x1
G11(s)
−
x2 G22(s)
−
Bestimmen Sie die Kennwerte von Hauptreglern KR11 und KR22, sowie die Übertragungsfunktionen von Entkopplungsgliedern GR12(s) und GR21(s).
6.6 Entkopplungsregler (2) .................................................................MNOPQ Eine MIMO-Regelstrecke ist gegeben: KP11 = 1,25
T11 =1,5 s
KP12 = 3
T12 =5 s
KP21 = 1,67
T21 =8 s
KP22 = 5
T22 = 0,1 s
KP11 ,T11 y1 KP12 ,T12
K IR1 s
G R2 ( s) =
x2
+
KP21 ,T21
Die Hauptregler sind I-Regler:
G R1 ( s ) =
+
K IR2 s
a) Entwerfen Sie einen Diagonalregler. b) Bestimmen Sie Übertragungsfunktionen von Entkopplungsgliedern GR12(s) und GR21(s).
KP22 ,T22 y2
+ +
x2
71
7 Zustandsregelung Muster-Aufgabe mit Lösung: Polzuweisung Ein steuerbares und beobachtbares System
x = Ax + Bu y = Cx + Du + Ed ist wie folgt gegeben:
1· § 0 ¸¸ A = ¨¨ © − 5 − 2¹
§ 0· B = ¨¨ ¸¸ ©1¹
C = (1 0)
§ 0· E = ¨¨ ¸¸ . © 2¹
D=0
d
Kd w
.
x
u N
+
−
+
B
−
+
+
´ ¶
x
y +
C
A
K
Ky
Bestimmen Sie die Rückführmatrizen der Zustandsrückführung K, der Störgrößenaufschaltung Kd und des Vorfilters N (siehe Wirkungsplan oben), wenn die gewünschten Polstellen sind:
p1 = −2 p 2 = −5 Lösung: Aus der in der Regelungsnormalform gegebenen Dynamikmatrix A folgt:
§ 0 A = ¨¨ © − a0
1· ¸ − a1 ¸¹
a0 = 5 a1 = 2
Aus der gewünschten charakteristischen Gleichung ergeben sich die Koeffizienten: S. Zacher, Übungsbuch Regelungstechnik, DOI 10.1007/978-3-8348-9754-1_7, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010
72
Aufgaben
( s − p1 )(s − p2 ) = s 2 + (− p1 − p2 ) s + p1 p2 = 0
a R1
aR0
a R 0 = (−2)(−5) = 10 a R1 = −(−2) − (−5) = 7
Die Matrix der Zustandrückführung K wird nach folgender Formel bestimmt:
K = ( a R 0 − a0
a R1 − a1 ) ⋅ T −1 ,
§ eT · wobei T die Transformationsmatrix ist: T −1 = ¨ T2 ¸ . ¨ e A¸ © 2 ¹ Die Elemente dieser Matrix werden mit Hilfe der Steuerbarkeitsmatrix QS bestimmt:
1· §0 ¸¸ QS = ¨¨ ©1 − 2¹
§ 2 1· ¸¸ QS−1 = ¨¨ © 1 0¹
eT2 = (1 0)
. 1 · § 0 ¸¸ = (0 1) eT2 A = (1 0)¨¨ ©− 5 − 2¹
Somit ist die Transformationsmatrix:
§ eT · § 1 0 · ¸. T −1 = ¨ T2 ¸ = ¨¨ ¨ e A ¸ © 0 1 ¸¹ © 2 ¹ Die gesuchte Matrix der Zustandsrückführung K ergibt sich daraus wie folgt:
§ 1 0· § 1 0· ¸¸ = (5 5) ⋅ ¨¨ ¸¸ = (5 5) . K = (10 − 5 7 − 2) ⋅ ¨¨ © 0 1¹ © 0 1¹ Die Matrix der Störgrößenaufschaltung Kd wird direkt nach der bekannten Formel unter Beachtung
( B ' B) −1 B' = (0 1) berechnet:
§ 0· K d = ( B ' B) −1 B ' E = (0 1) ¨¨ ¸¸ = 2 . © 2¹ Um die Matrix des Vorfilters N nach der Formel
N = −(C ( A − BK ) −1 B ) −1 zu bestimmen, werden nacheinander folgende Berechnungen gemacht:
1 · § 0· 1 · § 0 § 0 ¸¸ ¸¸ − ¨¨ ¸¸(5 5) = ¨¨ A − BK = ¨¨ © − 10 − 7 ¹ © − 5 − 2¹ © 1¹ 1 · § 0 ¸¸ ( A − BK ) −1 = ¨¨ © − 10 − 7 ¹
−1
§ − 0,7 − 0,1· ¸ = ¨¨ 0 ¸¹ © 1
7 Zustandsregelung
73
§ − 0,7 − 0,1· ¸ = (− 0,7 − 0,1) C ( A − BK ) −1 = (1 0) ¨¨ 0 ¸¹ © 1 § 0· C ( A − BK ) −1 B = (− 0,7 − 0,1) ¨¨ ¸¸ = −0,1 ©1¹ Letztendlich wird die Matrix N bestimmt:
N = −(C ( A − BK ) −1 B ) −1 = −( −0,1) −1 = 10 .
Muster-Aufgabe mit Lösung: Entwurf eines Zustandsbeobachters Ein steuerbares und beobachtbares System
x = Ax + Bu y = Cx + Du ist wie folgt gegeben:
1· § 0 ¸¸ A = ¨¨ © − 2 − 5¹
§1· B = ¨¨ ¸¸ © 2¹
C = (2 1)
.
x
u
B
+
+
´ ¶
D =0.
x
y C
A y − yM
L
+ −
.
xM B
+
+
´ ¶ A
yM
xM C
xM
Bestimmen Sie die Rückführmatrix des Beobachters L, wenn die gewünschten Pole sind:
p1 = p2 = −2 . Lösung: Wie in der vorherigen Aufgabe wird die Transformationsmatrix bestimmt, jedoch diesmal an den Beobachter angepasst. Wiederholen wir also die Schritte der obigen Aufgabe:
74
Aufgaben
§ 0 A = ¨¨ © − a0
1· ¸ − a1 ¸¹
a0 = 2 a1 = 5
( s − p1 )(s − p2 ) = s 2 + (− p1 − p2 ) s + p1 p2 = 0
a B1
aB0
a B 0 = (−2)(−2) = 4 a B1 = −( −2) − (−2) = 4
Die Steuerbarkeitsmatrix QS wird für den Beobachter folgendermaßen angepasst:
QS = (C ′ A′C ′) . Unter Beachtung der gegebenen Werte
C = (2 1)
§ 2· C ' = ¨¨ ¸¸ ©1¹
1· § 0 ¸¸ A = ¨¨ © − 2 − 5¹
§ 0 − 2 ·§ 2 · § − 2 · ¸¸¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ A'C ′ = ¨¨ © 1 − 5 ¹© 1 ¹ © − 3 ¹
ergibt sich
QS = (C ′
§ 2 − 2· ¸¸ . A′C ′) = ¨¨ ©1 − 3¹
Daraus bestimmt man die inverse Matrix und letztendlich die Transformationsmatrix T:
§ 2 − 2· ¸¸ QS−1 = ¨¨ © 1 − 3¹
−1
eT2 = (0,25 − 0,5)
§ eT · T = ¨ T2 ¸ ¨ e A′ ¸ © 2 ¹
−1
§ 0,75 − 0,5 · §¨ e1T ·¸ ¸¸ = T = ¨¨ © 0,25 − 0,5 ¹ ¨© e2 ¸¹ eT2 A′ = (− 0,5 2 )
§ 0,25 − 0,5 · ¸ = ¨¨ 2 ¸¹ © − 0,5
−1
§8 2· ¸¸ . = ¨¨ ©2 1¹
Unter Beachtung (T −1 )′ = (T ′) −1 bzw.
(T
−1
−1 −1 § § 8 2 ·′ · § 8 2· § 0,25 − 0,5 · ¨ ¸ ¸¸ ¸ = ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸ )′ = ¨ ¨¨ 2 1¹ 2 ¸¹ − 0,5 ¨© 2 1¹ ¸ © © © ¹
wird die Rückführmatrix L des Beobachters bestimmt:
§ a − a0 · § 0,25 − 0,5 ·§ 4 − 2 · § 0,25 − 0,5 ·§ 2 · § 1 · ¸¸ = ¨¨ ¸¨ ¸=¨ ¸¨ ¸ = ¨ ¸ . L = (T −1 )′ ⋅ ¨¨ B 0 2 ¸¹¨© 4 − 5 ¸¹ ¨© − 0,5 2 ¸¹¨© − 1¸¹ ¨© − 3 ¸¹ © a B1 − a1 ¹ © − 0,5
7 Zustandsregelung
75
Muster-Aufgabe mit Lösung: Lineare quadratische optimale Regelung Gegeben ist das System x = 2 x + 3u mit Anfangsposition der Regelgröße
x(0) = x0 = 4 . Es soll die Steuergröße
u = − Kx so bestimmt werden, dass das Gütefunktional (LQ-Integral) bei dem Übergang zur Endposition
x (∞) = 0 unter Annahme Q = 32 und R = 9 minimiert wird:
J=
∞
∞
0
0
³ x(t )Qx(t)dt + ³ u(t )Ru(t )dt .
Lösung: Die Lösung der dynamischen Gleichung x = Ax + Bu mit der Steuergröße u = − Kx ist
x(t ) = x0 e ( A − BK )t . Setzen wir diese Lösung in das Gütekriterium ∞
J=
∞
∞
∞
∞
³ x(t)Qx(t)dt + ³ u(t)Ru(t)dt = ³ (2 x − 3u) Qdt + ³ Ru dt =³ (Q + RK 2
0
0
0
2
0
0
ein, so ergibt sich ∞
J=
³ (Q + RK )[4e 2
∞
( 2 − 3 K )t 2
³
] dt = 16 (Q + RK 2 )e 2( 2 − 3 K )t dt
0
0
bzw. die Lösung des Integrals:
Q + RK 2 2( 2 − 3K ) J = 16 e 2(2 − 3K )
∞ ° Q + RK 2 =® − 16 ° 2( 2 − 3 K ) 0 ¯ ∞
für (2 − 3K ) > 0 für (2 − 3K ) < 0
2
) x 2 (t )dt
76
Aufgaben
Nach der Aufgabenstellung soll dieses Integral minimiert werden:
∂J =0 ∂K bzw.
K2 −
4 Q K − =0. 3 R
Daraus folgt die Lösung:
K1,2 =
2 4 Q ± + . 3 9 R
Es wird nur die positive Lösung K > 0 genommen, ansonsten wird das System instabil. Somit ist die Antwort:
K=
2 4 Q 2 4 32 8 + + = + + = = 2,67 . 3 9 R 3 9 9 3
Diese Aufgabe kann auch nach der Riccati-Gleichung
A' P + PA − PBR −1B' P + Q = 0 gelöst werden. Setzen wir in diese Gleichung die gegebenen Werte
A=2
Q = 32
B=3
R=9
ein, so ergibt sich die quadratische Gleichung
p 2 − 4 p − 32 = 0 mit der Lösung:
p1,2 = 2 ± 2 2 + 32 = 2 ± 6 . Es wird nur die positive Lösung gewählt p =8 und in die folgende Formel für Zustandsrückführung
K = R −1B ' P eingesetzt, woraus die Antwort resultiert:
K=
1 ⋅ 3 ⋅ 8 = 2,67 . 9
7 Zustandsregelung
77
Aufgaben: Zustandsregelung 7.1 Regelung einer Doppel-I-Strecke ........................................................ MNO Die Regelstrecke besteht aus zwei I-Gliedern
GS ( s) =
K IS1 K IS2 ⋅ s s
mit K IS1 = K IS2 = 1 s -1 (siehe Wirkungsplan unten). u k
+
1 s
− +
1 s
x
k1
+ k2
Bestimmen Sie die Koeffizienten k1 und k2 der Zustandsrückführung so, dass der Dämpfungsgrad ϑ des Regelkreises zwischen 0,3 und 0,4 liegt.
7.2 Zustandsrückführung....................................................................... MNOP Bestimmen Sie die Matrix K der Zustandsrückführung für das System
x (t ) = Ax (t ) + Bu(t ) y (t ) = Cx (t ) 1· §1 ¸ mit A = ¨¨ 5 − 6 ¸¹ ©
§2 · B = ¨¨ ¸¸ © 5,5 ¹
§ 0· C = ¨¨ ¸¸ , © 1¹
wenn die gewünschten Polstellen wie folgt gegeben sind:
p1 = −2 + j p 2 = −2 − j
7.3 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit.................................................... MNO Prüfen Sie die Steuerbarkeit und die Beobachtbarkeit des folgenden Systems:
x1 = 2 x1 ° ® x2 = 3 x1 − 4 x2 + 3,5u °y = x 1 ¯
78
Aufgaben
7.4 Zustandsbeobachter.......................................................................MNOPQ Entwerfen Sie einen Zustandsbeobachter für das System
x (t ) = Ax (t ) + Bu(t ) y(t ) = Cx (t )
§ − 2 1· ¸ mit A = ¨¨ ¸ © 0 − 1¹
§ 0· B = ¨¨ ¸¸ ©1¹
§1· C = ¨¨ ¸¸ © 0¹
mit gewünschten Polstellen:
p1 = p2 = −3 .
7.5 Polverschiebung .............................................................................MNOPQ Gegeben ist ein Regelkreis, bestehend aus einem vollkompensierten PD-Regler und einer P-T3 Strecke (siehe Wirkungsplan unten). KPR = 4 TV= 10 s
1, T1= 5 s
1, T3= 4 s
1, T2= 10 s
x
w
+ −
s1
Im 0,5
Der Regelkreis hat komplexe Polstellen s1 und s2, die links in der s-Ebene gezeigt sind.
0,25 −1,0
−0,5
Entwerfen Sie eine Zustandsrückführung so, dass beide Polstellen in die Position
0
Re
−0,25 s2
p1 = p2 = − 1 verschoben werden.
−0,5
7.6 Optimale LQ-Regelung .................................................................... MNOP Die unten gezeigte Regelstrecke soll optimal aus dem Anfangszustand x(0) = 5 in den Endzustand x(∞) = 0 überführt werden. Bestimmen Sie den Proportionalbeiwert k1 der Rückführung so, dass das LQ-Integral KI = 1
b=2
x
u
+
−
+
−
a = 10
k1
J=
∞
∞
0
0
³ x(t )Qx(t)dt + ³ u(t )Ru(t )dt
mit gegebenen Q =1 und R = 1 minimiert wird.
79
8 Adaptive Regelung Hinweise zur Lösung Ein adaptiver Regler soll während der gesamten Regelung permanent die Strecke identifizieren und, ausgehend aus den somit festgestellten Streckenparametern, seine eigenen Kennwerte optimal einstellen. Davon unterscheidet sich die robuste Regelung, bei der die Einstellung des Reglers nur einmal erfolgt, jedoch so, dass sie bei möglichen Änderungen von Streckenparametern immer noch effektiv bleibt. Die robuste Regelung wird im Buch nicht behandelt. Die Behandlung der beiden Stufen der adaptiven Regelung, nämlich der Identifikation und der optimalen Reglereinstellung, wird den Rahmen dieses Buches sprengen. Somit ist hier nur auf einige Methoden verwiesen. Aufgaben 8.1 und 8.2: Eine Strecke soll aus dem Zusammenhang Sprungantwort / Eingangssprung identifiziert werden. Es handelt sich also entweder um eine grafische Tangentenmethode oder um eine analytische Annäherung nach Pade und Taylor, bei denen eine proportionale Regelstrecke mit Verzögerung wie ein P-T1-Glied mit der Totzeit dargestellt wird:
GS ( s ) ≈
K PS − sTt e . 1 + sT1
Aufgabe 8.3: Die experimentell aufgenommene Matrix von Messwerten soll durch ein Modellpolynom, wie z. B. Volterra-Sequence-Modell, beschrieben werden, wofür der Fehler bzw. die Differenz zwischen Strecken- und Modellausgängen nach RLS-Algorithmus (Roots Least Squares) minimiert wird. Aufgabe 8.4: In einer klassischen LTI-Regelstrecke (linear time-invariant) wird nun die zeitliche Änderung von Parametern berücksichtigt und in Form einer festgelegten Funktion, entweder analytisch, grafisch oder tabellarisch gegeben. Somit stellt die Strecke ein regelungstechnisches LTV-Glied (linear time-variate) dar. Die Lösung besteht darin, dass der Regler zu jedem Zeitpunkt optimal nach einem klassischen Verfahren, wie Betragsoptimum, eingestellt wird. Ist man in der Lage, daraus einen Algorithmus herzuleiten, so dass die Streckenparameter nach der gegebenen Tabelle oder Funktion eingesetzt werden, spricht man über Gain-Scheduling. Aufgabe 8.5: Eine Regelstrecke wird bei dieser Aufgabe wieder wie eine LTV-Strecke mit gegebener Funktion der Parameteränderung dargestellt, die Lösung jedoch erfolgt im Zustandsraum mittels Polzuweisungsmethode. Es werden die gewünschten Polstellen vorgegeben. Die Zustandrückführung wird so bestimmt, dass die gewünschten Polstellen für alle möglichen Werte von Parametern gewährleistet werden.
S. Zacher, Übungsbuch Regelungstechnik, DOI 10.1007/978-3-8348-9754-1_8, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010
80
Aufgaben
Aufgaben: Adaptive Regelung 8.1 Identifikation (1) ...................................................................................... MN Die experimentell ermittelte Sprungantwort x(t) einer Regelstrecke nach einem Eingangssprung y(t) ist unten gezeigt. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion und die Parameter der Regelstrecke.
8.2 Identifikation (2) ................................................................................... MNO Gegeben ist die experimentell ermittelte Matrix von Messwerten M, wobei y(t) und x(t) die Ein- und Ausgangsgrößen der zu identifizierenden Regelstrecke sind.
t
y(t)
x(t)
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
0.0 0.0 0.0 40.0 40.0 40.0 40.0 40.0 40.0 40.0
10.550 10.367 10.587 12.841 14.726 16.663 18.490 20.909 23.381 26.052
t
y(t)
x(t)
t
y(t)
x(t)
5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0
40 40 40 40 40 40 40 40 40 40
28.803 32.279 36.350 40.884 45.918 51.755 57.803 64.763 70.954 76.111
10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0 13.5 14.0 14.5 15.0
40 40 40 40 40 40 40 40 40 40
80.713 83.968 86.113 87.791 88.583 88.782 89.166 89.440 89.758 89.895
Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion und die Parameter der Regelstrecke.
8 Adaptive Regelung
81
8.3 Identifikation (3) ............................................................................MNOPQ Das Bild unten zeigt einen Stoßdämpfer, der als Regelstrecke 2. Ordnung (m = 2) identifiziert werden soll. Die Regelgröße ist die Position des Wagens x. Die Stellgröße ist durch die Unregelmäßigkeit des Weges u bedingt. Gegeben ist die Matrix von Messwerten M (siehe Tabelle unten) bzw. die experimentell aufgenommene und gefilterte Sprungantwort des Ausgangsvektors x . k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
u(k) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
x(k) Wagen
0 0.1094 0.3704 0.6844 0.9709 1.1788 1.2884 1.3060 1.2552 1.1667 1.0699 0.9872 0.9316 0.9082 0.9283 0.9573
x Stoßdämpfer
u
Der Stoßdämpfer soll im Zustandsraum wie folgt beschrieben werden:
x = Ax + Bu y = Cx + Du
Es wird angenommen, dass C = [ 1 1] und D = 0 sind. Bestimmen Sie die Modellparameter a1, a2, b1, b2 bzw. den Parameter-Vektor P nach dem LMS-Verfahren (Least Mean Squares):
ª a1 º « » a P = « 2» « b1 » « » ¬ b2 ¼
y = M ⋅P
P = ( M T M ) −1 M T ⋅ x
82
Aufgaben
8.4 Gain-Scheduling....................................................................................MNO Die Programmregler, wie z. B. TSC / PSC von Wachendorff Prozesstechnik, verfügen über Programmier-, Bedien- und Kontrollfunktionen, die auch eine Anpassung an veränderliche Streckenparameter ermöglichen. Die Parameter der Strecke werden vom Regler über Selbstoptimierung ermittelt. Die Algorithmen können in vier verschiedenen Programmen gespeichert und nach einem Zeitplan abgearbeitet werden. Die nachfolgende Aufgabe soll zeigen, wie die Kennwerte des Reglers an die zeitlichen Änderungen optimal nach dem Gain-Scheduling-Algorithmus angepasst werden können. Der Wirkungsplan einer I-T1-Strecke, die mit dem P-Regler optimal geregelt werden soll, ist unten gezeigt. Die Streckenparameter K und T sind nicht konstant, sondern ändern sich abhängig von einem Parameter u, wie in der Tabelle angegeben. Bestimmen Sie die Kennwerte des P-Reglers so, dass
u
T
K
0
2
1
400
4.9
2.5
800
22
11
die Regelung bei allen Werten von u optimal erfolgt. z
KPR w
e
+
− GR(s)
1 ,T
−
K x
+
GS(s)
Die Kennwerte des P-Reglers sollen so umgestellt werden, dass die Regelung bei jedem Wert von u optimal erfolgt.
8.5 Adaptiver Zustandsregler ................................................................ MNOP Gegeben ist eine instabile Regelstrecke, die mit proportionaler Rückführung geregelt werden soll, wie unten im Bild gezeigt ist. u k
1
+
− +
1 − sT1
1 1 + sT2
x
k1
+ k2
Die Parameter der Regelstrecke T1 und T2 sind nicht konstant, sondern ändern sich mit der Zeit. Die Änderung der Parameter ist viel langsamer als die Ausregelzeit, so dass T1 und T2 zu jedem Zeitpunkt konstant betrachtet werden: T1 = 15 + 0,8 t
T2 = 35 + 0,08 t
Bestimmen Sie die Koeffizienten k1, k2 und k so, dass zu jedem Zeitpunkt die Regelung mit dem optimalen Dämpfungsgrad ca. ϑ = 0,7 erfolgt. Dafür sollen die Polstellen
p1 = a + bj
p2 = a − bj
folgende Werte besitzen: a = −1 und b = 1.
83
9 Nichtlineare und unstetige Glieder im Regelkreis Hinweise zur Lösung In diesem Kapitel werden Aufgaben mit folgenden Regelkreisgliedern betrachtet (die statischen Kennlinien der Ein-Ausgangsgrößen sind unten gezeigt): y Zweipunktregler ohne Schaltdifferenz y ymax
ymin
•
0
e
Zweipunktregler mit Schaltdifferenz ±xd
•
Sättigung mit Begrenzung ±xB
y xa
ymax 0
xB
e
0
ymin
xe
xB
xd
xd
Zweipunktregler ohne Schaltdifferenz:
w
e
+ −
ymax
y
KPS, T1
1, Tt x
ymin
Der Wirkungsplan ist im Bild links gezeigt. Es wird angenommen, dass der Sollwert symmetrisch zwischen den Beharrungszuständen x(0) und x(∞) liegt.
Die Annäherungsformeln zur Bestimmung der Amplitude der Dauerschwingung x0, sowie der Schwingungsperiode T0 und Schwingungsfrequenz f0 nach den gegebenen Zeitkonstanten der Strecke T1 und Tt wird aus der Sprungantwort x(t) hergeleitet und in folgender Form dargestellt:
XE 2 = x0 T1 Tt
x0 =
X E Tt ⋅ 2 T1
T0 = 4Tt
f0 =
wobei X E = x(∞) − x(0) ist. S. Zacher, Übungsbuch Regelungstechnik, DOI 10.1007/978-3-8348-9754-1_9, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010
1 , T0
84
Aufgaben
Beispielsweise hat die Dauerschwingung x(t) folgende Parameter bei T1 = 10 s; Tt = 5 s und XE = 10:
x0 =
X E Tt 10 5 ⋅ = ⋅ = 2,5 2 T1 2 10
T0 = 4Tt = 40 s
f0 =
1 = 0,025 s-−1 T0
Die Sprungantwort und die Parameter der Dauerschwingung sind unten grafisch ermittelt. x (t) T1 10 7,5
Tt
Tt 2x0
w=5
0
Tt
Tt
Tt
2,5 10
20
Tt
30
40
50
60
70 t/ s
30
40
50
60
70 t/ s
Tt T0
y(t) 240 120 0
10
20
Zweipunktregler mit Schaltdifferenz:
± xd , ymax w
e
+ −
y
KPS, T1
Der Wirkungsplan ist im Bild links gezeigt. Es wird angenommen, dass der Sollwert symmetrisch zwischen den Beharrungszuständen x(0) und x(∞) liegt.
x
ymin
x (t) 10
T1
7,5 2x0
w=5 2,5 T 0
10
T
T 20 T0
T
T 30
t/ s
xd xd
Die Annäherungsformel gilt in diesem Fall nicht, dagegen entsteht im links gezeigten Beispiel des Regelkreises mit T1 = 15 s der folgende Zusammenhang: x0 = x E wie es aus der links gezeigten Sprungantwort ersichtlich ist. Wird auch die Totzeit Tt vorhanden sein, soll die Pendelamplitude grafisch ermittelt werden.
9 Nichtlineare und unstetige Glieder im Regelkreis
85
Nichtlinearer Regelkreis: Das Beispiel eines Regelkreises mit einer Sättigung in der Rückführung ist im Bild rechts gezeigt. Es entstehen die Dauerschwingungen mit der Frequenz ω und der Amplitude xˆe , wenn folgende Gleichung eine reelle Lösung hat: z KPR KIS KPS , T1 1 1 , T2 w N ( xˆe ) = − x + G0 ( jω ) Die Beschreibungsfunktion N ( xˆe ) des nichtlinearen Gliedes (in diesem Beispiel eines linearen Gliedes mit der Sättigung) ist:
N ( xˆe ) =
2
π
+
− GR(s)
+
GS1(s)
GS2(s) xB
xa
N (xe)
GS3(s) xe
KPM GM(s)
(α1 + sin α1 ⋅ cos α1 )
x mit α1 = arcsin B . xˆe Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises ist
G0 ( s ) = GR ( s )GS1 ( s )GS2 ( s )GS3 ( s )GM ( s ) bzw. G0 ( s ) =
K PR K PS K IS K PM , s (1 + sT1 )(1 + sT2 )
woraus sich der negative inverse Frequenzgang wie folgt ergibt:
−
1 1 =− [ −ω 2 (T1 + T2 ) + jω (1 − ω 2T1T2 )] . G0 ( jω ) K I0
Nach Zweiortskurvenverfahren soll zuerst der Schnittpunkt des negativen inversen Frequenzgangs mit der positiv reellen Achse bestimmt werden:
ª 1 º Im«− »=0 ¬ G0 ( jω) ¼
−
1 [ω (1 − ω 2T1T2 )] = 0 . K I0
Daraus wird die Frequenz der Dauerschwingung bestimmt:
ωd =
1 . T1T2
Die Amplitude der Dauerschwingung wird aus der Gleichung für den entsprechenden Realteil berechnet:
ª º 1 1 Re « − ⋅ [−ω 2 (T1 + T2 )] . »=− ω G ( j ) K K K K 0 d ¼ PR PS IS PM ¬
86
Aufgaben
Aufgaben: Nichtlineare und unstetige Glieder 9.1 Zweipunktregler ohne Schaltdifferenz ...................................................... M Die Temperatur eines Ofens wird mit einem Zweipunktregler y e w x ohne Schaltdifferenz geregelt. Die Regelstrecke besteht aus ei+ − ymin nem P-T1-Glied mit Zeitkonstante T1 = 15 s und einem Totzeitglied mit Tt = 5 s. Die maximal erreichbare Temperatur bei dem eingeschalteten Regler ist 90 °C, die minimale Temperatur beim ausgeschalteten Regler ist 20 °C. Bestimmen Sie die Amplitude der Arbeitsschwingung x0 der Regelgröße x(t), wenn die Führungsgröße wS = 55° C beträgt.
ymax
KPS, T1
1, Tt
9.2 Zweipunktregler mit Grundlast .......................................................... MNO Die Strecke soll mit einem Zweipunktregler geregelt werden. Die Sprungantwort der Strecke bei dem Sprung der Stellgröße von uS = 26 auf uS = 36 ist unten gezeigt. a) Der Zweipunktregler hat keine Schaltdifferenz. Mit welcher Grundlast UGL wird der Regelvorgang ohne bleibende Regeldifferenz erfolgen, wenn der Sollwert MMsoll = 1,8 ist? Wie groß ist die Amplitude der Dauerschwingung x0? Hinweis: Mit der Grundlast soll die symmetrische Lage des Sollwertes innerhalb des Regelbereiches XE erreicht werden. b) Bestimmen Sie die Amplitude der Arbeitsschwingung x0 der Regelgröße x(t), wenn der Sollwert MMsoll = 1,5 ist und der Zweipunktregler die Schaltdifferenz xd = ± 0,3 hat. MM (t) 3,0 2,4 1,8 1,2 0,6 0 36 34 32 30 28 26
10
20
30
40
50
60
20
30
40
50
60
70
t /ms
uS (t)
10
70 t /ms
9 Nichtlineare und unstetige Glieder im Regelkreis
87
9.3 Temperaturregelung......................................................................... MNOP
Die Temperatur TA eines Lüfters wird mit der Umgebungstemperatur TE verglichen. Daraus wird die Temperaturdifferenz TA − TE gebildet, die in Spannung UT umgewandelt wird. Die Aufgabe der Regelung besteht darin, die Spannung UT konstant zu halten. Der Sollwert UTsoll wird von einem Potentiometer gegeben (das Potentiometer ist im Bild unten nicht gezeigt). ∼220 V NetzspannungsStabilisator
Luft
∼220 V
UA−UE
UA
TA Y=UH
X = UT
Heizwendel
Verstärker
UE
Tyrotakt
Luft
TE M Z=UM
Das statische Kennlinienfeld der Regelstrecke UT = f (UH, UM) ist gegeben. Beim Arbeitspunkt sind in das Diagramm auch die statischen Kennlinien von zwei P-Reglern, nämlich R1 und R2, mit unterschiedlichen Proportionalbeiwerten § ΔU H · ¸¸ K PR = ¨¨ © ΔU M ¹ 0 eingetragen.
UT /V 10
UM = 4 V
8
UM = 6 V
6
UM = 8 V
4
UM = 10 V R1
2
0
R2 2
4
6
8
10 UH /V
88
Aufgaben
a) Linearisieren Sie die Strecke für kleine Abweichungen vom Arbeitspunkt UH0 = 6 V
UM0 = 6 V
und bestimmen Sie die Werte von KPSy und KPSz. b) Die Strecke soll mit einem P-Regler geregelt werden. Wie groß ist der Proportionalbeiwert KPR des P-Reglers mit der statischen Kennlinie R2? Wie groß ist der statische Regelfaktor RF, wenn R1 die statische Kennlinie des Reglers ist. c) Der Wirkungsplan des Lüfters als der Regelstrecke ist unten gegeben.
uH
KPS = 0,75 T1 = 3 s
T2 = 5 s
T3 = 20 s
uT
Welche Sprungantwort entsteht nach dem Eingangssprung uH = 24 V? UT(t)
UT(t)
UT(t)
24 V
24 V
24 V
12 V
12 V
12 V 1
0
t
UT(t)
2
0
UT(t)
24 V
3
0
t
t
UT(t)
24 V
24 V 5
12 V
6
12 V 4
0
12 V
0
t
t
0
t
d) Unten sind der Eingangssprung y(t) = uH und die Sprungantwort x(t) = uT des Lüfters gegeben. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion der Regelstrecke. Temperatur x(t)
y(t) 10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
t/s
0
10
20
30
40
50
60
t/s
9 Nichtlineare und unstetige Glieder im Regelkreis
89
e) Der Wirkungsplan der Temperaturregelung mit dem PI-Regler ist unten gezeigt. Der Regler soll kompensiert werden. Bei welchem Proportionalbeiwert KPR des PI-Reglers wird der geschlossene Kreis stabil? KPS = 0,75 T1 = 3 s
KPR , Tn uH
uTsoll
T2 = 5 s
T3 = 20 s
uT
Hinweis: Bestimmen Sie die charakteristische Gleichung des geschlossenen Regelkreises und prüfen Sie diese nach dem Hurwitz-Stabilitätskriterium. f) Nun wird die Temperaturdifferenz mit dem PID-Regler geregelt und zwar mit der Motorspannung UM als Stellgröße (siehe den Wirkungsplan unten). KPR , Tn , Tv uTsoll
KPS , T1
1, T2
uM
+
1, T3
uT
−
Der Proportionalbeiwert der Regelstrecke ist gegeben: KPS = 0,75. Das Bode-Diagramm der Regelstrecke ist unten gezeigt. Bestimmen Sie die Kennwerte des Reglers nach dem Betragsoptimum. 0
⏐G⏐dB −50
−100
ϕ
0 −90°
−180° −270° 10-2
10-1
100
ω
90
Aufgaben
g) Die Temperaturdifferenz soll mit einem Zweipunktregler ohne Schaltdifferenz geregelt werden. Die Stellgröße (Heizung) wird mit der Spannung UH eingeschaltet (24 V) oder ausgeschaltet (0 V).
Luft
∼220 V
UA−UE
UA
TA Y=UH
X = UT
Heizwendel
Verstärker
UE
TE
Luft
M Z=UM
Als Zweipunktregler wird eine SPS mit folgenden Ein-/Ausgangsadressen konfiguriert: •
UT (Regelgröße X)
Adresse
%3:00002
•
UH (Stellgröße Y)
Adresse
%0:00001
•
UTsoll (Führungsgröße W)
Adresse
%3:00004
•
Die Sprungantwort der Regelstrecke bei einem Sprung UH = 24 V ist im Bild unten gezeigt. Bestimmen Sie die Amplitude der Arbeitsschwingung x0, wenn zur Adresse %3:00004 ein Wert von 16000 eingegeben wird. x (t)=UT / V
T1
10 7,5 5,0 2,5 Tt 0
10
20
30
40
50
60
70 t/ s
10
20
30
40
50
60
70 t/ s
y(t)= UH / V 24 12 0
9 Nichtlineare und unstetige Glieder im Regelkreis
91
9.4 Digitale Zweipunktregler ........................................................................ MN a) Gegeben ist die Regelstrecke
GS ( s) =
K PS mit KPS = 0,75 und T1 = 4,5 s. 1 + sT1
Die Strecke wird mit einem digitalen Zweipunktregler ohne Schaltdifferenz geregelt. Die Parameter des Zweipunktreglers sind: Abtastzeit
TA = 0,2 s
Stellgrößen
ymax = 24 V ymin = 0 V
Welche der unten gezeigten Sprungantworten (x0 ist die Amplitude der Dauerschwingung) entsteht nach dem Eingangssprung w = 9 V?
Hinweis: Der Regelkreis darf quasikontinuierlich behandelt werden. x(t)
x(t)
24
24
x0= 0,2
x(t)
x0= 0,2
24 3
12
12 1
0
t
x(t)
12 2
0
x(t)
24
24
12 4
t
6
12 0
0
x(t)
x0= 0,27
24
x0= 0,27
t
t
12 5
0
x0= 0,2
t
0
x0= 0,27 t
b) Die unten gezeigte Regelstrecke wird mit einem digitalen Zweipunktregler ohne Schaltdifferenz geregelt. Die Regelstrecke besteht aus einem P-T1-Glied mit der Zeitkonstante T1 = 17 ms und einem Totzeitglied mit Tt = 10 ms.
w
+
e
-
ymax ymin
y
x P-T1
Tt
Der maximal erreichbare Wert der Regelgröße beim eingeschalteten Regler ist 2,4, der minimale Wert beim ausgeschalteten Regler ist 0. Wie groß darf die Abtastzeit TA des Reglers werden, damit die Amplitude der Dauerschwingung der Regelgröße x0 < 1,0 wird, wenn die Führungsgröße w = 1,2 ist?
Hinweis: Der Regelkreis darf quasikontinuierlich behandelt werden.
92
Aufgaben
9.5 Regelkreis mit einer Sättigung .....................................................MNOPQ Der Wirkungsplan eines Regelkreises mit einer I-T2-Strecke und einem Messfühler ist unten gezeigt. Die Strecke wird mit dem P-Regler geregelt.
z w
+
KPR
+ +
− GR(s)
KPS , T1
KIS
1 , T2
GS1(s)
GS2(s) xa
xB N (xe)
x
GS3(s) xe
KPM GM(s)
Die Parameter der Regelstrecke sind gegeben: KPS = 0,25 KIS = 2 s-1 T1 = 1 s T2 = 4 s Der Messfühler verhält sich als lineares P-Glied mit dem Proportionalbeiwert KPM = 1 mit Sättigung (siehe statische Kennlinie unten). xa xB 0
xe
− xB
a) Wie ist das Stabilitätsverhalten des Regelkreises, wenn der P-Regler mit KPR = 5 eingestellt ist? b) Bei welchem Wert von KPR treten im Regelkreis keine Dauerschwingungen auf?
93
10 Digitale Regelung Hinweise zur Lösung Quasikontinuierliche Regelung: Unter bestimmten Bedingungen, z. B. wenn die Abtastfrequenz höher als die Eigenfrequenz des Regelkreises ist bzw. wenn die Abtastzeit TA kleiner als die Ausgleichszeit Tg der Regelstrecke ist, d. h.
TA
0 >0 +1 +1 0 +1 −1 >0 0 +1 0 y = −1 , wenn α < 0 Damit ergibt sich für das gesamte Stabilitätsgebiet die folgende Tabelle, woraus ein System von vier Ungleichungen gebildet wird.
Teilgebiet A B C D
vedeckte Neuronen v1 v2 −1 +1 +1 −1
+1 +1 −1 −1
+ 0,5 − 0,5 − θ °+ 0,5 + 0,5 − θ ° ® °− 0,5 + 0,5 − θ °¯ − 0,5 − 0,5 − θ
Ausgangsneuron Aktivierung α 0,5 − 0,5 − θ > 0 0,5 + 0,5 − θ > 0 −0,5 + 0,5 − θ > 0 −0,5 − 0,5 − θ < 0
Ist-Wert y +1 +1 +1 −1
Soll-Wert d +1 +1 +1 −1
>0 >0 >0
−1 < θ < 0
0
y = −1 bei α < 0. Bestimmen Sie die Grenze zwischen Eingangsklassen ± 1, die das KNN gelernt hat.
12.6 Mehrschicht-KNN.................................................................................. MN Welche logische Funktion (AND, OR, XOR) hat das unten gezeigte KNN gelernt? θv = − 2,2
x1 W = − 6,4 W = − 6,4
+ +
− v1
θy = − 6,3 W = − 4,2 W = − 9,4 W = − 4,2
+
−
+ y +
x2
Die Eingänge x1, x2 und der Ausgang y sind binär (0, 1). Das verdeckte Neuron besitzt die statische sigmoide Kennlinie:
v1 =
1 1 + e −α
Das Ausgangsneuron hat die Zweipunkt-Kennlinie:
°° y = 1 ® °y = 0 ¯°
wenn
½ α y > 0° °
wenn
α y < 0°
¾ ¿°
Hinweis: Da die Neuronen nur zwei Werte annehmen können, überprüfen Sie alle möglichen Eingangskombinationen (0, 0); (0, 1); (1, 0); (1, 1). Die Aktivierungswerte werden wie folgt berechnet:
12 Wissensbasierte Regelung
117
α v = −6,4 ⋅ x1 − 6,4 ⋅ x2 − (−2,2) α y = −4,2 ⋅ x1 − 4,2 ⋅ x2 − 9,4 ⋅ v1 − (−6,3)
12.7 Mustererkennung ...............................................................................MNO Ein künstliches neuronales Netz (siehe Bild zu Aufgabe 12.5) mit den folgenden Anfangsgewichten und dem Schwellenwert
x2 20
W1 = 8 10
W2 = 100
θ = 1500
-200
-100
soll trainiert werden, um das rechts gezeigte Diagramm zu erkennen:
100 200
0
300
x1
-10
d = −1 bei Kreis
-20
d = + 1 bei Kreuz Die Lernschrittweite ist η = 0,025. a) Welche Gewichte W1neu und W2neu werden nach dem ersten Lernschritt mit x1 = 200 und x2 = 10 eingestellt? b) Hat das KNN nach dem ersten Schritt korrekt gelernt oder soll das Lernen fortgesetzt bzw. sollen die Gewichte weiter verändert werden?
12.8 Stabilitätsgrenze..................................................................................MNO Ein Neuron mit zwei Eingängen x1
x1 = Tn x2 = KPR wurde trainiert, die stabilen Kreise (d = −1) von instabilen Regelkreisen (d = +1) zu unterscheiden.
x2
W1
θ −
W2
+
α
+
y 0
y
α
Die Transferfunktion ist: y = 1 bei α > 0 und y = −1 bei α < 0 a) Die Grenze zwischen stabilen und instabilen Gebieten ist im Bild rechts gezeigt. Die Gewichte des erfolgreich trainierten Neurons betragen: W1 = −14
W2 = 20
KPR 5 3 1 0
instabil
nze Gre
stabil Tn
118
Aufgaben
Nach bestimmter Zeit ändern sich die Parameter der Regelstrecke, und die Grenze zwischen Klassen nimmt eine neue Position ein, wie im Bild unten gezeigt ist.
KPR 5
instabil
Dementsprechend wurde das Neuron erneut trainiert und mit neuen Gewichten W1 und W2 eingestellt, um die neue Klassenverteilung zu erkennen. Der Schwellenwert θ wird dabei nicht geändert.
ze en r G
3 stabil
1 0
Tn
Bestimmen Sie den neuen Wert des Gewichtes W2, mit dem die Grenze im Bild links korrekt erkannt wird.
b) Die Grenze zwischen stabilen und instabilen Gebieten ist oben im Bild rechts gezeigt. Gegeben ist, dass der Schwellenwert des korrekt trainierten Neurons θ = 5 ist. KPR
instabil 5
Gre
Nach bestimmter Zeit verschiebt sich die Grenze zwischen Klassen parallel nach oben, wie im Bild links gezeigt ist.
nze
3 1 0
stabil Tn
Mit welchem Schwellenwert θ wird das Neuron auch die neue Klassenverteilung im Bild links korrekt erkennen, falls die Gewichte W1, W2 dabei unverändert bleiben?
119
Lösungen
Lösungen zum Kapitel 1: Linearisierung Lösung zu Aufgabe 1.1 a) Die statische Kennlinie X = f(Y) ist im Bild unten gezeigt. b) Im Arbeitspunkt A wird die Tangente eingetragen. Die Steigung der Tangente ergibt (10 − 8)V 2 § ΔX · sich aus dem Steigungsdreieck: m = K Py = ¨ = = 0,67 . ¸X =X = 0 (7 − 4)V 3 © ΔY ¹ Y =Y0
X /V
Aus dem Diagramm kann man den Wert b = 5,2 V ablesen.
10 X0= 8
Damit ist die Gleichung der Tangente
A
X = m ⋅Y + b
6
bzw.
X = (0,67 ⋅ Y + 5,2)V .
4
c) Verschiebt man den Koordinatenanfang in Arbeitspunkt A, wird die Tangente durch die Gleichung x = m ⋅ y beschrieben, wobei sind:
2
0
2
Y0= 4
6
8
Y/V
x = ( X − 8) V y = (Y − 4) V
d) Bei Y = 1 V hat die nichtlineare Regelstrecke den Ausgangswert X = 4 V (siehe das Diagramm). Der Ausgang der linearisierten Regelstrecke wird aus dem Diagramm als die Ordinate der Tangente bei Y = 1 V abgelesen, nämlich X = 5,9 V. Der Fehler zwischen linearisierten und wirklichen Regelstrecken bei Y = 1V beträgt 5,9 V − 4 V = 1,9 V. Für Y = 7 V gilt 10 V − 9,3 V = 0,7 V. Damit wird der maximale Fehler von der Linearisierung gleich 1,9 V bei y = −3 V und beträgt 16% von der Ordinate des Arbeitspunktes. Im Arbeitspunkt ist der Fehler von der Linearisierung gleich Null.
S. Zacher, Übungsbuch Regelungstechnik, DOI 10.1007/978-3-8348-9754-1, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010
120
Lösungen
Lösung zu Aufgabe 1.2 Für das statische Verhalten gilt: X (t ) = X (t ) = 0 . Aus der gegebenen DGL
T ⋅ X (t ) + X (t ) = K ⋅ Y 2 (t ) entsteht damit die statische Kennlinie
X = K ⋅ Y 2 bzw. X = 1,5 ⋅ Y 2 . Die grafische Linearisierung:
12 − 0 § ΔX · K PSy = ¨ =6 ¸ = 3 −1 © ΔY ¹ 0 Die analytische Linearisierung:
§ dX · K PSy = ¨ ¸ = (2 ⋅ 1,5 ⋅ Y ) 0 = 2 ⋅ 1,5 ⋅ Y0 = 2 ⋅ 1,5 ⋅ 2 = 6 © dY ¹ 0
Lösung zu Aufgabe 1.3 a) Im Arbeitspunkt wird eine Tangente zur Kennlinie eingetragen. Daraus folgt:
200 − 150 50 § ∂X · K PSy = ¨ mm / min −1 = mm / min −1 = −2 mm / min −1 ¸ = ∂ Y 875 − 900 − 25 © ¹0 Zwei Punkte Z1 und Z2 mit gleichen Ordinaten Y0 = 900 min-1 werden gewählt, z. B. Z1 = Z0 + 20 min-1 = 900 min-1 Z2 = Z0 − 20 min-1 = 860 min-1. Daraus folgt:
180 − 110 70 § ∂X · mm / min −1 = 1,75 mm / min −1 K PSz = ¨ mm / min −1 = ¸ = ∂ − 40 Z 900 860 © ¹0 b) Die Antwort ergibt sich aus der linearisierten Gleichung: x = K PSy ⋅ y + K PSz ⋅ z = −2 mm / min −1 ⋅ y + 1,75 mm / min −1 ⋅ z
y = (950 − 900) min -1 = 50 min -1 z = (950 − 880) min -1 = 70 min -1 x = −2 mm / min −1 ⋅ 50 min -1 + 1,75 mm / min −1 ⋅ 70 min -1 = 22,5 mm
Lösungen zum Kapitel 1: Linearisierung
121
Lösung zu Aufgabe 1.4 X
Aus der gegebenen Gleichung
x = K PSy y + K PSz z
5
bzw.
2
4
x = 0,375 y + K PSz ⋅ z folgt: K PSy = 0,375 .
3
Dann werden verschiedene Punkte
2
3 B
Z = 30 Z = 40 Z = 50
A3 A2
auf der Kennlinie Z0 = 40 geprüft,
Z = 60
C 1
z. B. Punkte A1, A2, A3, um festzustellen, welcher davon die Tangente mit der folgenden Steigung hat:
K PSy
Z = 20
1
A1
0
2
4
6
8
10 Y
§ ΔX · =¨ ¸ = 0,375 © ΔY ¹ 0
Tangente 1 zum Punkt A1:
K PSy =
5−0 = 0,71 7,8 − 0,8
Tangente 2 zum Punkt A2:
K PSy =
2 − 0,5 = 0,375 4−0
Tangente 3 zum Punkt A3:
K PSy =
2,6 − 1,1 = 0,183 6−0
Der gesuchte Arbeitspunkt ist damit der Punkt A2. Für diesen Punkt wird der Proportionalbeiwert KPSz mittels zwei Punkten B und C bestimmt:
X − X C 2,7 − 1,4 1,3 § ΔX · K PSz = ¨ = = = −0,065 . ¸ = B Δ Z Z Z − 30 − 50 − 20 © ¹0 B C
Lösung zu Aufgabe 1.5 Es gilt im Arbeitspunkt:
8 ⋅ 2 ⋅ Y0 8⋅2 § ∂X · = − 3 = −2 K PSy = ¨ ¸ =− 4 ∂ Y © ¹0 Y0 Y0 § ∂X · K PSz = ¨ ¸ = 3 ⋅ 2 ⋅ Z0 = 5 , © ∂Z ¹ 0
woraus folgt: Y03 = 8 Y0 = 2
und
Z0 =
5 Z 0 = 0,83 . 6
122
Lösungen
Lösung zu Aufgabe 1.6 (t ) = A (t ) = 0 . Damit entsteht: a) Für das statische Verhalten gilt: A
A = 0,8 ⋅ U + 0,1 ⋅ B − 0,5 ⋅ U ⋅ B . Daraus folgt die linearisierte Gleichung
x = K PSu ⋅ u + K PSβ ⋅ β mit
§ ∂A · K PSu = ¨ ¸ = (0,8 + 0 − 0,5 ⋅ B ) 0 = 0,8 − 0,5 ⋅ 2 = −0,2 © ∂U ¹ 0 § ∂A · K PSβ = ¨ ¸ = (0 + 0,1 − 0,5 ⋅ U ) 0 = 0,1 − 0,5 ⋅ 0,4 = −0,1 . © ∂B ¹ 0
§ ΔΩ K PSu = ¨¨ © ΔU M
b)
· 750 − 620 130 ¸¸ = = = 4,3 50 − 20 30 ¹0
§ ΔΩ · Ω − Ω C 850 − 700 150 ¸¸ = B K PSϕ = ¨¨ = = = −7,5 60 − 80 − 20 © Δϕ ¹ 0 ϕ B − ϕ C Ω Φ = 50
1000
Φ = 60
900 B
Φ = 70
800 A 700
Φ = 80 Φ = 90
C
600 500 30
40
50
60
70 UM
c) Aus der gegebenen Gleichung der linearisierten Regelstrecke
x = K PSy ⋅ y + K PSϕ ⋅ ϕ = 160 y + 100ϕ folgt
K PSy = 160 und K PSϕ = 100 .
Lösungen zum Kapitel 1: Linearisierung
123
Andererseits gilt
§ ∂X · K PSy = ¨ ¸ = 2 ⋅ Φ 0 = 160 © ∂Y ¹ 0 § ∂X · K PSϕ = ¨ ¸ = 2 ⋅ Y0 = 100 , © ∂Φ ¹ 0 woraus folgt
Φ0 = Y0 =
160 = 80 2
100 = 50 , 2
d. h. der Arbeitspunkt befindet sich im Punkt C: X 0 = 800 .
Lösung zu Aufgabe 1.7 Die Tangentensteigung aus dem Kennlinienfeld ist
2,1 − 0,9 § ΔX · K PSy = ¨ = 0,3 . ¸ = 4−0 © ΔY ¹0 X
Für Punkte B und C gilt
Z = 23 Z = 24
Z = 20
3 − 1,5 § ΔX · K PSz = ¨ = −0,75 . ¸ = © ΔZ ¹ 0 23 − 25
5 Z = 25 4 B
3
Z = 26
A 2
C
1
Aus dem Wirkungsplan ist es in beiden Fällen K P2 = K Pz bzw. K P2 = 0,75 (es wird nur der Betrag berücksichtigt, weil das Vorzeichen „−“ bereits im Wirkungsplan eingetragen wurde). a)
0
2
4
6
8
10 Y
Aus dem Wirkungsplan ergibt sich:
K P1 = K Py = 0,3
b) Aus dem Wirkungsplan ergibt sich entsprechend der Regel für die Reihenschaltung:
2,1 − 0,9 § ΔX · K PSy = K P1 K P2 = ¨ = 0,3 ¸ = 4−0 © ΔY ¹ 0 K P1 =
K PSy K P2
=
0,3 = 0,4 . 0,75
124
Lösungen
Lösung zu Aufgabe 1.8 a) Die maximale Steigung hat die
X E 10
Tangente zum Punkt C, d. h.
Z1= 0,1
§ ΔX · K PSy = ¨ ¸ = max . © ΔY ¹ 0
D Z2= 0,2
8 F 6
Z3= 0,3
b) Im Punkt F ist die Steigung der Tangente § ΔX · K PSy = ¨ ¸ =0. © ΔY ¹ 0
C Z4= 0,4
4
Z5= 0,4
2 B
8−4 § ΔX · K PSz = ¨ ¸ = Δ Z 0,2 − 0,4 © ¹0 K PSz = −20 .
A 0
2
4
6
8
10
Y
c) Im Punkt C aus dem statischen Kennlinienfeld:
10 − 0 § ΔX · K PSy = ¨ = 3,3 ¸ = © ΔY ¹0 5,2 − 2,2 Aus dem Wirkungsplan:
K PSy = K P1K P2
K P1 =
K PSy K P2
=
3,3 = 0,29 11,5
Lösung zu Aufgabe 1.9 § ΔX · K PSz = ¨ ¸ © ΔZ ¹ 0 Für Punkt A:
K PSz =
150 − 50 = 0,5 mm⋅min 1000 − 800
Für Punkt B:
K PSz =
130 − 70 = 0,3 mm⋅min 1000 − 800
Für Punkt C:
K PSz =
120 − 70 = 0,25 mm⋅min 1000 − 800
Antwort: Der Arbeitspunkt ist Punkt A mit
150 − 100 § ΔX · K PSy = ¨ = −0,5 mm⋅min. ¸ = Δ Y 800 − 900 © ¹0
Lösungen zum Kapitel 1: Linearisierung
Lösung zu Aufgabe 1.10
125 Z= 9
X Z= 7
Im Arbeitspunkt A:
Z= 1
§ ΔX · K Py = ¨ ¸ =5 © ΔY ¹ A
Z= 0 Z= − 1
Im Arbeitspunkt B:
K Py
C
§ ΔX · =¨ ¸ =5 © ΔY ¹ B
Im Arbeitspunkt A:
K Pz
E
A
§ ΔX · =¨ ¸ = −2,25 © ΔZ ¹ A
ΔX = X C − X D
D
ΔZ = Z C − Z D = −1 − 1 = −2
0
ΔX = X E − X F = X C − X D Daraus folgt:
− 2,25 =
ΔX −2
Z= 5
ΔX = −2,25 ⋅ (−2) = 4,5
Im Arbeitspunkt B:
4,5 4,5 § ΔX · = − 1,125 K Pz = ¨ ¸ = © ΔZ ¹ B 5 − 9 − 4
Lösung zu Aufgabe 1.11 Die Abweichungen vom Arbeitspunkt sind:
y = Y1 − Y0 = 2,5 − 2 = 0,5 z = Z1 − Z 0 = 1 − 0 = 1 Somit ergibt sich:
x = K PSy y + K PSz z = 5 ⋅ 0,5 + (−2,25) ⋅ 1 = 0 . Daraus wird der gesuchte Wert der Regelgröße bestimmt:
X 1 = X 0 + x = 2,8 + 0 = 2,8 .
B
ΔX
F Y
126
Lösungen
Lösungen zum Kapitel 2: Regelkreisverhalten Lösung zu Aufgabe 2.1 a) Die Proportionalbeiwerte der Regelstrecke werden aus dem Bild wie folgt berechnet: X Z= 4 Z= 5 Z= 6 Z= 7
5 4
Z= 8
3
ΔY
A
ΔX
Z= 9
2
1
ΔZ
4 −1 § ΔX · K PSy = ¨ = 0,375 ¸ = © ΔY ¹ 0 8 − 0 3−2 § ΔX · K PSz = ¨ = −0,5 ¸ = © ΔZ ¹ 0 6 − 8
ΔX
0
2
4
6
8
10
Y
b) Der Proportionalbeiwert des Reglers wird auch grafisch aus dem statischen Diagramm (siehe Bild unten) ausgelesen: X Z= 4 Z= 5 Z= 6 Z= 7
5 B
4
e(∞)
ΔX
3 X X0
C
Z= 8 A Z= 9
2 Regler
1 Y0
Y 0
10 − 0 § ΔY · K PR = −¨ = 2,5 ¸=− 0−4 © ΔX ¹
2
4
6
8
10
Y
ΔY
c) Der Sollwert W ist die entsprechende Ordinate des Arbeitspunktes A, d. h.
W = X 0 = 2,5 (nicht verwechseln mit der Abweichung w = 0 !). d) Die bleibende Regeldifferenz e(∞) nach einem Störsprung von zˆ = −3 beträgt
e(∞) = w − x(∞) = 0 − 0,5 = −0,5 . Andererseits gilt es auch: e(∞) = W − X (∞) = 2,5 − 3 = −0,5 .
Lösungen zum Kapitel 2: Regelkreisverhalten
127
e) Die Stellgröße Y im Beharrungszustand bei t → ∞ nach dem Störsprung zˆ = −3 entspricht der Abszisse des Punktes C, nämlich:
X ( ∞) = 3
Y (∞) = 2,3
Lösung zu Aufgabe 2.2 a) Um den Proportionalbeiwert des Reglers KPR zu bestimmen, tragen wir die Kennlinie des Reglers in das gegebene Diagramm des statischen Kennlinienfeldes der Strecke ein. X
Z=6
D
5
Es wird dabei aus zwei Punkten ausgegangen:
Z=7 Z=8 Z=9
B
- aus dem Arbeitspunkt A mit
4 3
Y0 = 3 und X0 = W = 2; - aus dem Punkt D mit
C Z=10
C*
K*PR
2 1
0
Y = 0 und X = 5.
A
Der Proportionalbeiwert des Reglers KPR wird als negierter Kehrwert der Steigung der Geraden DA bestimmt:
KPR 1
2
3
4
5
§ ΔY · K PR = −¨ ¸ =1. © ΔX ¹
Y
b) Nach einem Sprung der Störgröße zˆ = −2 bzw. von Z0 = 9 auf Z = 7 wechselt der Regelkreis vom Arbeitpunkt A mit X0 = W = 2 zu einem neuen Beharrungszustand im Punkt C mit X(∞) = 3. Somit ist die bleibende Regeldifferenz
e (∞ ) = W − X ( ∞ ) = 2 − 3 = − 1 . Der statische Regelfaktor beim Störverhalten ist:
RF (0) =
em.R. (∞) xm.R. (∞) . = eo.R. (∞) xo.R. (∞)
Aus dem obigen Bild kann man entnehmen:
xo.R. (∞) = W − X B = 2 − 4,5 = −2,5
(Punkt B)
xm.R. (∞) = W − X C = 2 − 3 = −1
(Punkt C)
Daraus folgt für den Regler mit dem Proportionalbeiwert KPR= 1:
RF (0) =
xm.R. (∞) −1 = = 0,4 . xo.R. (∞) − 2,5
128
Lösungen
c) Wenn die bleibende Regeldifferenz von e(∞) = 0,3 nach dem Sprung der Störgröße zˆ = −2 gewünscht ist, soll die Kennlinie des Reglers bei gleichem Arbeitspunkt A durch den Punkt C* durchlaufen. Aus der entsprechenden Geraden C*A ergibt sich folgendermaßen der gewünschte Proportionalbeiwert KPR:
1− 3 § ΔY · K *PR = −¨ = 6,7 . ¸=− 2,3 − 2 © ΔX ¹
Lösung zu Aufgabe 2.3 Aus der Sprungantwort folgt, dass die Regelgröße im Beharrungszustand bei t → ∞ ist
x(∞) = 1 (bei Störverhalten sind zˆ = −5 und wˆ = 0 ). Aus dem Wirkungsplan: x (∞ ) =
− K PS1 K PS2 ⋅ zˆ 1 + K PR K PS2
1=
−2 ⋅ 0,9 ⋅ (−5) 1 + K PR ⋅ 0,9
K PR = 8,89 .
Lösung zu Aufgabe 2.4 Aus dem Diagramm für Sprungantwort nach dem Sprung wˆ = 9 :
x (∞) = 8 . Daraus folgt: a)
e(∞ ) = wˆ − x(∞) = 9 − 8 = 1
b)
RF (0) =
wˆ − xm.R. (∞) 9 − 8 1 = = = 0,11 wˆ 9 9
Lösung zu Aufgabe 2.5 Aus der Sprungantwort nach dem Sprung wˆ bestimmt man
x (∞) = 4 . Setzt man diesen Wert als xm.R. (∞ ) in die Formel des reellen Regelfaktors, so ergibt sich:
RF (0) =
wˆ − xm.R. (∞ ) = 0,5 wˆ
x (∞ ) 4 wˆ = m.R. = =8. 1 − 0,5 0,5
wˆ − xm.R. (∞ ) = 0,5 ⋅ wˆ
wˆ − 0,5 ⋅ wˆ = xm.R. (∞)
Lösungen zum Kapitel 2: Regelkreisverhalten
129
Lösung zu Aufgabe 2.6 Die Übertragungsfunktion der Parallelschaltung von zwei Gliedern ist:
GS ( s ) = GS1 ( s ) + GS2 ( s ) . Setzen wir die Werte GS1 ( s ) =
K P1 und GS2 ( s ) = 1 ein, so ergibt sich: 1 + sT1
§ T1 · ¸ (1 + K P1 ) ⋅ ¨¨1 + s + K P1 ¸¹ K P1 (1 + sTv ) 1 K P1 K P1 + 1 + sT1 © +1 = = = GS ( s) = 1 + sT1 1 + sT1 1 + sT1 1 + sT1 K PS = 1 + K P1 = 1 + 3 = 4 Tv =
T1 = 2s. 1 + K P1
Die gegebene Parallelschaltung wird wie unten gezeigt simuliert. Die Sprungantwort x wird bei dem Sprung der Stellgröße y = 0,5 simuliert und im Command Window mit dem Befehl plot(t, x) abgerufen.
Die Sprungantwort ist unten für verschiedene Achsen-Skalierungen gezeigt. Es ergibt sich ein PP-T1-Glied mit dem Proportionalbeiwert KPS = 4 und mit der Zeitkonstante Tv = 2 s.
130
Lösungen
Lösung zu Aufgabe 2.7 Aus der Sprungantwort erkennt man, dass die Strecke ein PP-T1-Glied mit der Übertragungsfunktion
x(t) T1 2,5
GS ( s ) =
2,0
K PS ⋅ (1 + sTv ) ist. 1 + sT1
1,5 x(∞)=KPS y^
1,0 KPS
Tv y^ T1
0,5 0
1,0
2,0
t /s
Die Parameter der Regelstrecke werden aus dem Zeitdiagramm (Sprungantwort) nach dem Schnittpunkt der Tangente mit dem Beharrungswert
T1 = 1 s und dem Wert der Ausgangsgröße x(t) im Beharrungszustand
x (∞) = 2 abgelesen:
K PS ⋅ yˆ = 2 . Aus dem letzten Ausdruck ergibt sich bei der gegebenen Sprunghöhe
yˆ = 0,5 , der Proportionalbeiwert der Gesamtstrecke
K PS =
2,0 = 4. 0,5
Für den Anfangswert der Sprungantwort gilt aus dem Zeitdiagramm
K PS ⋅
Tv ⋅ yˆ = 1,0 , T1
woraus die Zeitkonstante Tv der Gesamtstrecke berechnet wird:
Tv =
1,0 ⋅ T1 1⋅1 s = = 0,5 s . K PS ⋅ yˆ 4 ⋅ 0,5
Die gesamte Regelstrecke besteht laut Wirkungsplan aus zwei Teilstrecken und stellt die Reihenschaltung von G1(s) und
Lösungen zum Kapitel 2: Regelkreisverhalten
131
1 G2 ( s ) 1 = s = 1 1 + G2 ( s ) 1 + 1+ s s dar. Damit ist die Übertragungsfunktion der gesamten Regelstrecke:
GS ( s ) = G1 ( s ) ⋅
K ⋅ (1 + sTv ) 1 = PS . 1+ s 1 + sT1
Daraus ergibt sich die gesuchte Übertragungsfunktion:
G1 ( s) =
K PS ⋅ (1 + sTv )(1 + s) . 1 + sT1
Die Parameter sind: KPS = 4
Tv = 0,5 s
T1 =1 s
Lösung zu Aufgabe 2.8 Aus der Sprungantwort wird abgelesen: K PS ⋅ yˆ = 1,5 und Tn = 1,25 s. Aus dem Wir-
K · § kungsplan ergibt sich: GS ( s ) = ¨ K PS2 + IS1 ¸ ⋅ K PS3 . Diese Übertragungsfunktion wird s ¹ © in die Form eines PI-Gliedes gebracht, woraus die gesuchten Parameter resultieren: § · K K PS3 K IS1 ¨¨1 + s PS2 ¸¸ K K ( K + sK PS2 ) IS1 ¹ © = , GS ( s ) = PS3 IS1 s s K PS3 K IS1 ⋅ GS ( s ) =
K PS2 K IS1
§ K ¨1 + s PS2 ¨ K IS1 ©
K s ⋅ PS2 K IS1
· ¸ ¸ ¹
=
K PS (1 + sTn ) . sTn
Lösung zu Aufgabe 2.9 a) Es gilt für die Regelgröße u ( s ) = GS ( s ) ⋅ ϕˆ , wobei GS ( s ) wie folgt bestimmt wird:
K GS ( s ) = PS1 ⋅ 1 + sT1
* K PS3 =
K IS s 1+
K IS ⋅ K PS3 s
=
1 1 = = 10 K PS3 0,1
* K PS1 K PS3 ⋅ 1 + sT1 1 + sT3*
T3* =
P-T2-Glied
1 = 5s K IS K PS3
132
Lösungen
Im Beharrungszustand erreicht die Regelgröße den Wert * u (∞) = lim GS ( s)⋅ ϕˆ = K PS1 K PS3 ⋅ ϕˆ = 1,7 ⋅10 ⋅ 0,5 = 8,5 , die Antwort ist Kurve 5.
s →0
b) Für den aufgeschnittenen Kreis: * K DR ⋅ s ⋅ (1 + sTv ) ⋅ (1 + 10sTv ) ⋅ K PS1 ⋅ K PS3
G0 ( s ) =
(1 + sT1 )(1 + sT3* )
.
Nach der Kompensation mit Tv = T1 = 0,5 s kürzen sich auch 10Tv = 5 s = T3* , so dass für Störverhalten gilt:
G z ( s) =
G vz ( s) K PS2 = * 1 + G 0 ( s ) 1 + sK DR K PS1 K PS3
P-T1-Glied.
Im Beharrungszustand: u (∞) = lim G z ( s )⋅ iˆE = K PS2 ⋅ iˆE = 0,1 ⋅100 = 10 bzw. Kurve 1. s →0
Lösung zu Aufgabe 2.10 KPS = 0,2 T1 = 0,2 s
KPR w
e
y
z 1, T2 = 2,5 s 1, T3 = 1,8 s y1 y3 y2 +
+
KIS = 0,25 s -1 y4
Diese Aufgabe wird nach der Faustformel gelöst. a) Im Beharrungszustand beim Störverhalten mit zˆ = 0,2 und wˆ = 0 :
y4 (∞) = 0 (Eingang des I-Gliedes) y4 (∞) = y3 (∞) + zˆ
y3 (∞) = y4 (∞) − zˆ = 0 − 0,2 = −0,2
y1 (∞) = y2 (∞) = y3 (∞) = −0,2 y (∞ ) =
1 1 0,2 ⋅ y1 (∞ ) = ⋅ (−0,2) = − = −1 K PS K PS 0,2
e (∞ ) =
1 1 1 ⋅ y (∞ ) = ⋅ (−1) = − = −0,25 . K PR K PR 4
a) Im Beharrungszustand beim Führungsverhalten wˆ = 2 und zˆ = 0 :
y4 (∞) = 0 (Eingang des I-Gliedes)
x
Lösungen zum Kapitel 2: Regelkreisverhalten
y4 (∞) = y3 (∞) + zˆ
133
y3 (∞) = y4 (∞) − zˆ = 0 − 0 = 0
y1 (∞) = y2 (∞) = y3 (∞) = 0 y (∞) =
1 1 ⋅ y1 (∞) = ⋅0 = 0 K PS K PS
e (∞ ) =
1 1 ⋅ y (∞ ) = ⋅0 = 0. K PR K PR
Lösung zu Aufgabe 2.11 a) Zuerst wird die gegebene DGL
a2 x(t ) + a1x (t ) + a0 x(t ) = b0 ⋅ y (t ) in Normalform gebracht:
b a2 a x(t ) + 1 a1x (t ) + x(t ) = 0 ⋅ y (t ) a0 a0 a0 a2 0,01 = = 0,001 a0 10 a1 0,004 b 0,05 = = 0,0004 und 0 = = 0,005 . a0 10 a0 10 0,001 ⋅ x(t ) + 0,0004 ⋅ x (t ) + x(t ) = 0,005 ⋅ y (t ) Daraus folgt die Übertragungsfunktion der Regelstrecke als P-T2-Glied:
GS ( s) =
0,005 0,001 ⋅ s 2 + 0,0004 ⋅ s + 1
.
b) Die Standardform eines P-T2-Gliedes mit dem Dämpfungsgrad ϑ und der Kennkreisfrequenz ω0 ist unten gezeigt:
GS ( s) =
1
ω02
K PS . 2ϑ s2 + s +1
ω0
Aus dem Vergleich mit der Übertragungsfunktion der Festplatte folgen zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten:
1 °° 2 = 0,001 ω ® 0 2 ° ϑ = 0,0004 °¯ ω0
1 2 °° ω0 = 0,001 ® 2ϑ ° = 0,0004 °¯ ω0
ω0 = 31,6 s -1 ϑ = 0,0062
134
Lösungen
c) Die Sprungantwort der Regelstrecke nach einem Einheitssprung ist unten gezeigt. MATLAB-Skript: Gs = tf (0.005, [0.01, 0.004, 10]); % b0 = 0,05; a2 = 0,01; % a1 = 0,004; a0 = 10; t = 0:0.001:2.0; % von t = 0 bis t = 2 % mit Δt = 0.001 T = t'; x = step (Gs, T); plot (T, x, ’k’); grid;
K PS = K PS3 K IS1 ⋅ Tn =
K PS2 1,5 = K PS2 K PS3 = =3 K IS1 yˆ
K PS2 = 1,25 s K IS1
K IS1 =
K PS2 = 1,5
1,5 = 1,2 s -1 . 1,25 s
Die gegebene Regelstrecke wird wie folgt simuliert.
Die simulierte Sprungantwort ist im Bild links gegeben. Sie entspricht dem PI-Glied
GS ( s ) =
K PS (1 + sTn ) sTn
mit
K PS = 3 Tn = 1,25s .
Lösungen zum Kapitel 3: Stabilität
135
Lösungen zum Kapitel 3: Stabilität Lösung zu Aufgabe 3.1 1. Hurwitz-Bedingung: 1 − 2 ⋅ K PR ≠ 0
K PR ≠ 0,5
2. Hurwitz-Bedingung: 1 − 2 ⋅ K PR > 0
K PR < 0,5
3. Hurwitz-Bedingung: a1 ⋅ a 2 < a 3 ⋅ a 0 0,2 ⋅ 3 > 1 ⋅ (1 − 2 K PR ) K PR > 0,2 Antwort: 0,2 < K PR < 0,5 .
Lösung zu Aufgabe 3.2 Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen und des geschlossenen Regelkreises:
G 0 ( s) =
K PR K PS (1 + sT1 )( sT2 − 1)
G w ( s) =
G 0 ( s) K PR K PS . = 1 + G 0 ( s) (1 + sT1 )(sT2 − 1) + K PR K PS
Die charakteristische Gleichung 2. Ordnung des geschlossenen Regelkreises:
(1 + sT1 )(sT2 − 1) + K PR K PS = 0
s 2 T1T2 + s(T2 − T1 ) + ( K PR K PS − 1) = 0 .
Es gelten folgende Hurwitz-Bedingungen: 1. Bedingung: T2 − T1 ≠ 0 und K PR K PS − 1 ≠ 0
T2 ≠ T1 und K PR K PS ≠ 1
2. Bedingung: T2 − T1 > 0 und K PR K PS − 1 > 0
T2 > T1 und K PR K PS > 1
Die Bedingung T2 > T1 ist für gegebene Werte erfüllt. Aus der Bedingung K PR K PS > 1 folgt die Antwort: K PR > 0,25 . Der gegebene Regelkreis, der bestehend aus einer instabilen Regelstrecke und einem P-Regler GR(s) = KPR, wird mit folgenden Werten von KPR simuliert: •
bei K PR > 0,25
der Kreis wird stabil
•
bei K PR ≤ 0,25
der Kreis wird instabil
136
Lösungen
Sprungantwort bei KPR = 0,2
Sprungantwort bei KPR = 0,4
Sprungantwort bei KPR = 0,8
Lösung zu Aufgabe 3.3 Die Übertragungsfunkiton des aufgeschnittenen Kreises:
G0 ( s ) = K PR
K IS K PSe − sTt . s
Bei KPR = 1 wird KI0 = KPRKPSKIS = 5 s-1. Da es sich hier um ein I-Glied handelt, hat die Durchtrittsfrequenz ωD den gleichen Wert wie KI0, d. h.
ωD = 5 s-1. Der Phasengang des I-Gliedes ist eine Gerade bei −90°, die durch das Totzeitglied nach unten gekrümmt wird, so dass der Phasenwinkel bei ωD = 5 s-1 beträgt
ϕ(ωD) = −90° − ωD Tt = −90° −(5⋅0,1) Rad = −90° −28,65° = −118,65° und damit oberhalb −180° liegt. Der Regelkreis ist stabil.
Lösungen zum Kapitel 3: Stabilität
137
Die Simulation erfolgt mit folgenden Werten von KPR: •
bei K PR = 1
der Kreis ist stabil
•
bei K PR = 3,16
der Kreis ist instabil
Die simulierten Sprungantworten sind unten gezeigt.
Sprungantwort bei KPR = 1
Sprungantwort bei KPR = 3,16
Der kritische Proportionalbeiwert KPRkrit des Reglers ergibt sich aus den Bedingungen
ϕ (ω D ) = −90° − ωDTt = −180° und
ωD = K I0 = K PR K PS K IS , woraus folgen
ωD =
π 2Tt
= 15,7 s -1
und
K PR =
15,7 = 3,14 . K PS K IS
138
Lösungen
Lösung zu Aufgabe 3.4 a) Der geschlossene Regelkreis ist nach dem Nyquist-Stabilitätskriterium stabil, da der Phasengang des aufgeschnittenen Regelkreises bei der Durchtrittsfrequenz (ca. 0,55 s-1) oberhalb der −180°-Linie liegt.
1 T1
G0 dB 20dB
1 KI0 T 2
0,1
0 dB
1 T3
ω, s-1
10
1
ω, s-1
ϕ(ω) -90° -180° -270° -360°
b) Aus dem Amplitudengang wird abgelesen: KI0 = 0,8 s-1
T1 = 1/0,4 = 2,5 s
T2 = 1/1 = 1 s
Die Übertragungsfunktion des Kreises mit P-Regler:
G 0 ( s) =
K I0 (1 + sT2 ) 2 s (1 + sT1 )(1 + sT3 ) 2
Die Übertragungsfunktion des Kreises mit dem PID-Regler:
G0 ( s) =
K PR K I0 (1 + sT2 ) 2 (1 + sTn )(1 + sTv ) s 2 Tn (1 + sT1 )(1 + sT3 ) 2
Die Kompensation erfolgt nach der Regel: Tn = Tgrößte = T1 = 2,5 s Tv = Tzweitgrößte = T3 = 0,25 s
T3 =1/4 = 0,25 s
Lösungen zum Kapitel 3: Stabilität
139
Lösung zu Aufgabe 3.5 a) Nach dem Nyquist-Stabilitätskriterium ist der geschlossene Regelkreis stabil, da der Phasengang des aufgeschnittenen Regelkreises bei der Durchtrittsfrequenz (ca. 2,2 s-1) unterhalb der −180°-Linie liegt. Einem instabilen Verhalten entspricht die Sprungantwort mit ungedämpften Schwingungen, also das Diagramm 5. b) Um den Regelkreis zu stabilisieren, soll die 0-dB-Linie nach oben um 20 dB verschoben werden, wie im Bild unten gezeigt ist. Dabei ist die Phasenreserve ϕR = 0, und der Regelkreis befindet sich an der Stabilitätsgrenze. G0
dB
60dB ΔdB = 20 dB
40dB
Neue 0-dB-Linie
20dB 0dB ϕ(ω)
0,01
0,1
1
0,01
0,1
1
10 ω, s-1
ω, s-1
-90° -180° -270° -360°
Der Proportionalbeiwert des Reglers wird wie folgt berechnet: ΔdB = 20 dB bzw. 20 lg(ΔK) = 20 dB. Daraus folgt: ΔK = 10 KRRneu = KPRalt / ΔK = 4 / 10 = 0,4. Antwort: der Regelkreis befindet sich an der Stabilitätsgrenze bei KPRkrit = 0,4. Bei KPRkrit > 0,4 wird der geschlossene Regelkreis instabil.
140
Lösungen
Lösung zu Aufgabe 3.6 G0 dB 0dB
-20dB
ω, s-1
0,1
1
ΔdB = 32 dB
10 Neue 0-dB-Linie
-40dB
ω, s-1
ϕ(ω) -90° -180°
αR = 45°
-270° -360° Wie in der vorherigen Aufgabe, soll die 0-dB-Linie verschoben werden, in diesem Fall um ΔdB = 32 dB nach unten, um die Phasenreserve von 45° zu erreichen. Daraus folgt: 20 lg(ΔK) = 32 dB
ΔK = 39,9
KRRneu = KPRalt ⋅ΔK = 1⋅39,9 = 39,9.
Lösung zu Aufgabe 3.7 a) Die Übertragungsfunktion des I-Reglers:
G R (s) =
Die Übertragungsfunktion der P-T1-Strecke:
GS ( s ) =
K IR . s
K PS . 1 + sT1
Damit ist die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises:
G 0 ( s ) = G R ( s ) ⋅ GS ( s )
G0 ( s) =
K IR K PS . s (1 + sT1 )
Unter Annahme KIR = 1 s-1 werden folgende Parameter berechnet:
K I0 = K IR K PS = 2 s-1, 1 / T1 = 1 / 1s = 1 s-1.
Lösungen zum Kapitel 3: Stabilität
141
Daraus ergibt sich das Bode-Diagramm des aufgeschnittenen Regelkreises. G0 dB
KI0 = 2 s-1
20dB
0dB
−20 dB/Dek neue 0-dB-Linie ΔdB = 6 dB 10
1
0,1
ω, s-1
−40 dB/Dek ϕ(ω)
0°
0,1
1
1/Tt = 2,25 s-1
ω, s-1
10
− 90° ϕ Totzeit − 180°
αR = 45°
ohne Totzeit
αR mit Totzeit
57,3° mit Totzeit
−270°
Der Integrierbeiweit des I-Reglers wird für ΔdB = 6 dB wie folgt berechnet: 20 lg(ΔK) = 6 dB
ΔK =1,996
K IRneu = K IRalt ⋅
1 = 0,5 s-1. ΔK
b) Der Dämpfungsgrad wird aus der Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises berechnet:
K IR K PS G0 ( s ) K IR K PS s (1 + sT1) Gw ( s ) = = = 2 1 + G0 ( s ) 1 + K IR K PS s T1 + s + K IR K PS s (1 + sT1) G w ( s) =
K IR K PS § · T1 1 +s + 1¸¸ K IR K PS ¨¨ s 2 K IR K PS © K IR K PS ¹
=
1 T 1 1 s2 +s +1 K IR K PS K IR K PS
. Aus dem Vergleich mit der Standardform eines P-T2-Gliedes
142
Lösungen
Gw ( s ) =
1 1 2ϑ s2 2 + s +1
ω0
ω0
folgt das System aus zwei Gleichungen, woraus der Dämpfungsgrad bestimmt wird:
T1 1 ° 2 = K K IR PS ° ω0 ® 1 ° 2ϑ = ° ω0 K IR K PS ¯
ϑ=
1 2
1 K IR K PST1
bzw. für KIR = 0,5 s-1; KPS = 2 und T1 = 1 s
ϑ=
1 1 1 = = 0,5 . 2 0,5 ⋅ 2 ⋅ 1 2
c) Wird im Regelkreis eine Totzeit eingeführt, ändert sich der Phasengang wie im BodeDiagramm gezeigt ist, d. h. zu jedem Wert der Phase ϕ (ω ) wird die Phase des Totzeitgliedes addiert:
ϕ mitTotzeit (ω ) = ϕ ohneTotzeit (ω ) − ϕTotzeit (ω ) wobei ϕTotzeit (ω ) = −ωTt ist. Zum Beispiel, bei der Frequenz
ω=
1 Tt
ist die Phase des Totzeitgliedes:
ϕTotzeit = −
1 ⋅ Tt bzw. ϕTotzeit = −1 Rad oder ϕTotzeit = −57,3°. Tt
Bei der Frequenz ω =
π Tt
ist die Phase der Totzeit ϕTotzeit = −
π Tt
⋅ Tt bzw.
ϕTotzeit = −π Rad oder ϕTotzeit = −180°. Um die Phasenreserve zu bestimmen, soll der Phasenwinkel bei der Durchtrittsfrequenz ωD betrachtet werden. Aus dem Bode-Diagramm kann man erkennen, dass für die neue 0-dB-Linie gilt:
ω D = 1 s-1 ϕTotzeit (ωD ) = −1 ⋅ Tt = −0,44 Rad bzw. ϕTotzeit (ωD ) = −0,44 ⋅ 57,3° = −25,2° .
Lösungen zum Kapitel 3: Stabilität
143
Aus dem Bode-Diagramm folgt für die Durchtrittfrequenz ω D = 1 s-1, dass die Phasenreserve α R = 45° des Regelkreises ohne Totzeit um ϕTotzeit (ω D ) = −25,2° verschlechtert wird:
α Rmit Totzeit = α R − ϕTotzeit = 45° − 25,2° = 19,8° .
Lösung zu Aufgabe 3.8 a) Aus dem Bode-Diagramm des aufgeschnittenen Regelkreises bestimmt man, dass die 0-dB-Linie um ΔdB = 10 dB nach oben verschoben werden soll, um die Phasenreserve von α R = 45° zu erreichen (Punkt A). Daraus ergibt sich der Proportionalbeiweit KPR: 20 lg(ΔK) = 10 dB
G0
ΔK = 3,2
K PRneu = K PRalt ⋅
1 1 = = 0,31 . ΔK 3,2
dB
20dB b) neue 0-dB-Linie a) neue 0-dB-Linie ΔdB = 15 dB 0dB
10
1
ϕ(ω) 0° 1
ΔdB = 10 dB 100
100
10
ω, s-1
ω, s-1
-90°
αR = 45°
B
A
-180° Regelkreis mit Tt Regelkreis mit 2Tt -270°
b) Wird die Totzeit Tt verdoppelt, d.h. Tt* = 2 ⋅ Tt* , verdoppelt sich der Phasenwinkel des Totzeitgliedes:
ϕ t* = −ωTt* = 2 ⋅ ϕ t .
144
Lösungen
Der Phasengang wird dementsprechend nach unten verschoben, z. B. im Punkt A wird der Phasenwinkel des Totzeitgliedes nicht 45°, sondern 90° betragen. Um die Phasenreserve von α R = 45° zu erreichen (Punkt B), soll die 0-dB-Linie um ΔdB = 15 dB nach oben verschoben werden, d. h. 20 lg(ΔK) = 15 dB
ΔK = 5,6
K PRneu = K PRalt ⋅
1 1 = = 0,18 . ΔK 5,6
Lösung zu Aufgabe 3.9 A) Ein gegengekoppeltes I-Glied hat das P-T1-Verhalten. Somit stellt die gesamte Strecke eine Reihenschaltung von P-T1-Gliedern mit dem zweiten I-Glied dar und ist instabil:
0,5 2 2 0,5 2 . ⋅ ⋅ s ⋅ = GS ( s ) = 2 1 + s 1 + s 1 + 0,5 s s(1 + s) (1 + 2s ) s B) Beide I-Glieder sind gegengekoppelt. Die Strecke ist stabil:
0,5 2 0,5 ⋅ s ⋅ 0 , 5 1+ s 1+ s 2 2 s . ⋅ = GS ( s ) = 0,5 1+ s (1 + s)( s 2 + s + 1) 2 0,5 1+ ⋅ s ⋅ 1 + s 1 + 0,5 s s C) Beide I-Glieder sind zuerst in einer Reihe geschaltet, erst dann sind sie gegengekoppelt. Die Strecke ist instabil:
2 0,5 0,5 ⋅ ⋅ 2 2 s = . ⋅ 1+ s s GS ( s ) = 1 + s 1 + 2 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 (1 + s )(2s 2 + 2s + 1) 1+ s s s D) Wie im Punkt B ist die Strecke stabil. E) Der Wirkungsplan ähnelt einer Kaskadenschaltung mit dem inneren Kreis
G0 ( s) = 2 ⋅
1 4 ⋅2 = s −1 s −1
und mit dem gesamten äußeren Kreis
Gw ( s ) =
4 4 = . s −1+ 4 s + 3
Die Strecke ist stabil.
Lösungen zum Kapitel 3: Stabilität
145
Lösung zu Aufgabe 3.10 Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises:
G0 ( s ) = K PR K PS
1 + sTv 1 − sT1
Der Kreis hat einen Pol mit positivem Realteil np = 1 und keine Polstellen auf der imaginären Achse ni = 0. Es wird zuerst angenommen:
K PR = 1 bzw. 20 log K PR K PS = −12 dB Das entsprechende Bode-Diagramm ist unten gezeigt, wobei KPRKPS als K0 bezeichnet ist. Nach der Aufgabenstellung ist
⏐G⏐dB 0 dB
10−2
10−1
ΔdB
20 lgK0
100
ω
+20 dB/Dek −20 dB/Dek
− 20 dB 1/T1
ϕ(ω)
90° 0°
− 90°
10−2
10−1
S0 = +
1 2
ϕ1(ω)
100
ω
ϕ(ω)=ϕ1(ω)+ϕ2(ω) ϕ2(ω)
− 180°
Tv = T1 = 0,1 s und die Null- und Polstelle haben gleiche Realteile, jedoch mit unterschiedlichen Vorzeichen, so dass sich die positiven und negativen Steigungen des Amplitudengangs im Bode-Diagramm gegenseitig kompensieren. Die Stabilitätsbedingung nach dem vollständigen Nyquist-Kriterium ist ap − an = 0,5.
Diese Bedingung wird erst dann erfüllt, wenn die 0-dB-Linie um
ΔdB = 12 dB bzw. ΔK = 4 nach unten verschoben wird, weil dann der einzige halbe positive Schnittpunkt
S0 = +
1 2
in Betracht kommt. Der geschlossene Kreis wird stabil bei KPR > ΔK
bzw.
KPR > 4.
Wir zeigen unten, wie die instabilen Strecken korrekt simulieret werden. Zuerst simulieren wir die stabile Strecke
G ( s) =
1 1 + 0,1s
num = [1]; den = [0.1 1]; bode (num, den); tf (num, den)
Die instabile Strecke
146
Lösungen
G ( s) =
1 1 − 0,1s
soll jedoch folgendermaßen dargestellt und simuliert werden
G (s) =
1 , − 1 + 0,1s
num = [1]; den = [0.1 −1]; bode(num, den)
um den Phasengangs korrekt nach der Formel
ϕ (ω ) = −π + arctan(ωT ) auszugeben. Ansonsten wird der Phasengang im Bereich von 0° bis 90° angezeigt, was nicht korrekt ist. Möglich ist auch die folgende Eingabeoption:
s = tf(‚s’); Kp = 1; G0 = Kp/(0.1*s−1); tf (G0); margin(G0)
Dasselbe gilt für die Übertragungsfunktion
G0 ( s ) =
1 + sTv , 1 − sT1
die mit dem positiven Wert von sT1 eingegeben wird:
G0 ( s) =
1 + sTv sT1 − 1
G0 = (0.25+0.025*s) / (0.1*s − 1); margin(G0);
Lösung zu Aufgabe 3.11 Nach der Korrektuur hat der aufgeschnittene Regelkreis G0 ( s ) =
1 + sTw K PRneu K Pw (1 + sTw ) K PRneu K Pw 1 + sTw = K0 = ⋅ ( 1 ) 1 1 − sTw Tn neu − sTw Tn neu − sTw
folgende Polstellen: np = 1 , ni = 0 und nn = 1 . Die Nyquist-Stabilitätsbedingung
ap − an =
np 2
wird erfüllt, wenn ap = 0,5 und an = 0,5 ist.
Lösungen zum Kapitel 3: Stabilität
147
Laut Lösung der vorherigen Aufgabe soll dafür die Bedingung 20 lg K 0 > 0 bzw. K 0 > 1 gelten, d. h. K PRneu K Pw > 1. Tn neu
Der Kreis wird also stabil bei
K PRneu >
Tn . K Pw
Lösung zu Aufgabe 3.12 Zunächst werden die Kennwerte des PD-T1-Reglers
GR ( s ) =
K PR (1 + sTv ) 1 + sTR
als Näherungswerte beliebig, z. B. wie folgt, angenommen: KPR = 1; Tv = 0,05 s und TR = 0,1Tv = 0,005 s Aus den Übertragungsfunktionen der einzelnen Glieder GS1 ( s ) =
K PS1 1 + sT1
GS2 ( s ) =
K IS2 s
GS3 ( s ) =
K IS3 s
werden die Übertragungsfunktionen des aufgeschnittenen Kreises bestimmt: K IS2 K IS3 ⋅ K PR (1 + sTv ) K PS1 s s G0 ( s ) = ⋅ ⋅ 1 + sTR 1 + sT1 1 − K IS2 ⋅ K IS3 s s
G0 ( s ) =
K PR (1 + sTv ) K PS1 K IS2 K IS3 ⋅ ⋅ 2 1 + sTR 1 + sT1 s − K IS2 K IS3
G0 ( s ) =
K PR (1 + sTv ) K PS1 ⋅ ⋅ 1 + sTR 1 + sT1 s 2
1 1 −1 K IS2 K IS3
Bezeichnet man in der letzten Formel 1 = T22 K IS2 K IS3
bzw. T2 =
1 = K IS2 K IS3
1 222,2 s -1 ⋅ 20 s -1
= 0,015 s ,
148
Lösungen
wird die Übertragungsfunktion wie folgt dargestellt: G0 ( s ) =
K PR (1 + sTv ) K PS K PR K PS (1 + sTv ) . ⋅ = 2 2 1 + sTR (1 + sT1 )( s T2 − 1) (1 + sTR )(1 + sT1 )( s 2T22 − 1)
Aus der charakteristischen Gleichung
(1 + sTR )(1 + sT1 )( s 2T22 − 1) = 0
(1 + sTR )(1 + sT1 )( sT2 − 1)( sT2 + 1) = 0
erhält man: n=4
Ordnung der charakteristischen Gleichung
nn = 3
Anzahl der Pole in der linken s-Ebene
np = 1
Anzahl der Pole in der rechten s-Ebene
ni = 0
Anzahl der Pole auf der imaginären Achse.
Das Bode-Diagramm des aufgeschnittenen Kreises G0(jω) mit den Eckfrequenzen
ωv =
1 1 1 1 = 20 s −1 , ω1 = = 40 s −1 , ω2 = = 66,7 s −1 , ωR = = 200 s −1 Tv T1 T2 TR
und dem Anfangswert des Amplitudenganges
G0 (0) dB = 20 lg K PR K PS = 20 lg 3,2 = 10 dB ist unten gezeigt. Dabei gilt, wie oben bestimmt wurde: nn = 3, np = 1 und ni = 0. G0
1 Tv
dB
20dB
1 T1
1 T2
+20 dB/Dek
− 40 dB/Dek
ωdkr
0 dB/Dek 0dB
10
1 TR
2
3
4
5
6 7 8
neue 0dB-Linie 2
102
3
ΔdB
6 7 8
ω / s−1
ωd − 60 dB/Dek
ϕ( ω)
10
2
3
4
5
6 7 8 9 102
0°
S0,5+
−270°
3
4
5
6 7 8
ω / s−1
−90° −180°
2
S−
Lösungen zum Kapitel 3: Stabilität
149
Im Anfangsbereich verläuft die Asymptote des Amplitudengangs mit der Steigung 0 dB/Dek, wie es bei stabilen Kreisen ohne I-Anteil der Fall ist. Der Phasengang fängt jedoch wegen einer Polstelle mit positivem Realteil nicht bei 0°, wie bei stabilen Kreisen ohne I-Anteil, sondern bei −180° an und wird bei jeder Eckfrequenz um ± 90° geändert, außer der Eckfrequenz ω2, die der Polstelle mit positivem Realteil entspricht und folglich keine Phasenänderung hat. Man stellt fest, dass dieses Bode-Diagramm mit jeweils einem Schnittpunkt S+0,5 und S− bzw. mit ap = 0,5, an = 1 und ap − an = −0,5 einem instabilen Kreis entspricht, da die geforderte Stabilitätsbedingung für ni = 0 bei gegebenem np = 1 nicht erfüllt ist:
ap − an = −0,5 ≠
np 2
.
Verringert man den Proportionalbeiwert KPR des Reglers um
ΔK = 3,2 bzw. verschiebt man die 0-dB-Linie um
ΔdB ≈ 10 dB nach oben, so wird der Schnittpunkt S− nicht mehr berücksichtigt. Dabei wird ap = 0,5 und an = 0, so dass die Nyquist-Stabilitätsbedingung für np = 1 erfüllt wird:
ap − an = 0,5 =
np 2
.
Der kritische Proportionalbeiwert des Reglers beträgt damit
K PRkr = K PR ⋅
1 = 0,316 . ΔK
Die weitere Verkleinerung von KPR ist nicht möglich, weil bei
K PR < K PRkr
150
Lösungen
auch der Schnittpunkt S+0,5 nicht mehr berücksichtigt wird, was auf die Instabilität des Kreises hinweist. Damit stellt man fest, dass die Stabilitätsbedingung nur bei einem exakten Wert von
K PRkr = 0,316 erfüllt wird, was praktisch nicht realisierbar ist. Da sich der Regelkreis durch die Wahl des Proportionalbeiwertes KPR nicht stabilisieren lässt, soll der Phasengang korrigiert werden. Die Idee einer solchen Korrektur besteht darin, dass eine Nullstelle bei TN = T1 = 0,025 s eingeführt wird, so dass die Streckenzeitkonstante kompensiert wird. Der Phasengang ändert sich und der Schnittpunkt S− wird aus dem positiven Bereich des Amplitudengangs nach rechts verschoben bzw. aus der Betrachtung ausgenommen. Der Regelkreis mit dem Schnittpunkt S0,5+ wird stabil für alle Werte von 0 dB < (20 lgKPR) < 10 dB bzw. 0,32 < KPR < 1 wie unten gezeigt ist. G0
20dB
0dB
ϕ(ω)
1 1 = T1 TN
1 Tv
dB
+20 dB/Dek
1 T2
1 TR
ωd
− 20 dB/Dek 2
10
2
3
4
5
6 7 8 9 10 2
10
2
3
4
5
6 7 8 9 10 2
0°
3
ω / s−1
2
3
S0,5+
−270°
4
5
6 7 8
ω / s−1
−90° −180°
− 40 dB/Dek 4 5 6 7 8
S−
Lösungen zum Kapitel 4: Reglereinstellung
151
Anmerkung: Eine mit dem MATLAB erstelltes Bode-Diagramm wird genau berechnet und sich natürlich von dem obigen, nach der angenäherten Asymptotenmethode skizzierten, Bode-Diagramm unterschieden. Um die beiden Bode-Diagramme einander anzupassen, wird es empfohlen, beim MATLAB anstelle TR = 0,1Tv = 0,005 s einen kleineren Wert, z. B. TR = 0,0025 s oder TR = 0,00025 s einzusetzen.
Lösungen zum Kapitel 4: Reglereinstellung Lösung zu Aufgabe 4.1 Der PID-Regler in der multiplikativen Form: G R ( s ) =
K PR (1 + sTn )(1 + sTv ) sTn
Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises: G0 ( s) = GR ( s) ⋅ G1 ( s ) ⋅ G 2 ( s) ⋅ G 4 ( s )
G 0 ( s) =
K PR (1 + sTn )(1 + sT v ) K PS 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ sTn 1 + sT1 1 + sT2 1 + sT4
Nach der Kompensation mit Tn = Tgrößte = T1 und Tv = Tzweitgrößte = T2 ergibt sich:
G0 ( s ) =
K PR K PS (Grundtyp A) sTn (1 + sT4 )
Nach dem Betragsoptimum: K PRopt =
Tn T1 0,1 s = = = 0,1 2 K PST4 2 K PST4 2 ⋅ 50 ⋅ 0,01 s
Lösung zu Aufgabe 4.2 G0 (s) =
K PR K PS K IS (1 + sTn )(1 + sT v ) 2
s Tn (1 + sT1 )(1 + sT2 )(1 + sT3 )(1 + sT4 )
Die Kompensation nach dem symmetrischen Optimum Tv = Tzweitgrößte = T3 = 3 s, dann die Bildung der Ersatzzeitkonstante: TE = T1 + T2 + T4 = 1 s + 0,5 s + 8 s = 9,5 s Tn = 4TE = 38 s. Nach dem symmetrischen Optimum:
K PR =
1 1 = = 0,1 2 K PS K ISTE 2 ⋅ 0,5 ⋅ 1 s -1 ⋅ 9,5 s
⇐ für aufgeschnittenen Kreis
152
Lösungen
Der PID-Regler wird mit Hilfe eines Zero-Pole-Blocks von der Simulink-Bibliothek mit den folgenden Parametern dargestellt:
K ( s + z1 )( s + z2 ) s( s + p1 ) •
Zeros
[ −z1 −z2 ]
•
Poles
[0
•
Gain
[K]
−p1 ]
Für einen PID-T1-Regler mit den obigen Kennwerten KPR, Tn, Tv und eigener Zeitverzögerung T1 kann die Übertragungsfunktion wie folgt dargestellt werden:
§ § 1 · 1 · Tn ¨¨ s + ¸¸ ⋅ Tv ¨¨ s + ¸¸ T T K (1 + sTn )(1 + sTv ) K PR n¹ v¹ © GR ( s) = PR . = ⋅ © sTn (1 + sT1 ) Tn § 1· sT1¨¨ s + ¸¸ T1 ¹ © Die Eingabeparameter des Zero-Pole-Blocks sind damit:
K=
K PR Tv 0,1 ⋅ 3 = = 0,3 T1 1
z1 = −
1 1 =− Tn 38
p1 = −
1 1 = − = −1 T1 1
z2 = −
1 1 =− Tv 3
Der simulierte Wirkungsplan des Regelkreises und die Sprungantwort sind unten gezeigt.
Lösungen zum Kapitel 4: Reglereinstellung
153 Die Sprungantwort entspricht dem symmetrischen Optimum mit folgenden Gütekriterien: - Überschwingweite ümax = 43% - Ausregelzeit Taus = 18TE = 171 s - Anregelzeit Tan = 4,7TE = 44,7 s
Antwort zu Aufgabe 4.3 KPR ,Tn , Tv KPS ,T1 y
w
+
1,T2
1,T3
x
−
K PR K PS (1 + sTn )(1 + sTv ) wird mit Tn = 2,5 s und sTn (1 + sT1 )(1 + sT2 )(1 + sT3 ) Tv = 2,1 s kompensiert, woraus sich der Grundtyp A des Betragsoptimums ergibt:
Die Übertragungsfunktion G0 ( s ) =
K PR =
Tn 2,5 s = = 12,5 . 2 K PST2 2 ⋅ 0,2 ⋅ 0,5 s
Lösung zu Aufgabe 4.4 Zuerst wird die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises bestimmt:
G 0 ( s) =
K PR K PS (1 + sTn )(1 + sTv ) sTn (1 + sT1 ) 2 (1 + sT2 )(1 + sT3 )
.
Nach der Kompensation mit Tn = Tgrößte = T2 = 10 s und Tv = Tzweitgrößte = T1 = 5 s entsteht
G0 (s) =
K PR K PS . sTn (1 + sT1 )(1 + sT3 )
Um diese Übertragungsfunktion in Form eines Grundtyps A darzustellen, soll die Ersatzzeitkonstante gebildet werden. Da die Bedingung T3 ≥ 5T1 erfüllt ist, gilt: TE = T1 + T3 = 1 s + 5 s = 6 s. Nach dem Betragsoptimum berechnet man den Proportionalbeiwert des Reglers:
K PR =
Tn 10 s 10 = = = 0,93 . 2 K PSTE 2 ⋅ 0,9 ⋅ 6 s 10,8
154
Lösungen
Lösung zu Aufgabe 4.5 Die Übertragunsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises ist unten gezeigt:
G0 ( s) =
K PR K PS K PG K IS (1 + sTn )(1 + sTv ) s 2Tn (1 + sT1 )(1 + sT2 )(1 + sT3 )
.
Da im Kreis zwei Glieder mit I-Anteilen vorhanden sind, handelt es sich um den Fall des symmetrischen Optimums. Dementsprechend wird die Kompensation Tv = Tzweitgrößte = T3 = 0,4 s gemacht und dann die Ersatzzeitkonstante gebildet (die Bedingung T2 > 5 T1 ist erfüllt): TE = T1 + T2 = 0,1 s + 0,6 s = 0,7 s. Die Nachstellzeit des Reglers wird nach der Formel Tn = kTE bei k = 4 berechnet: Tn = 4TE = 2,8 s. Nach dem symmetrischen Optimum:
K PR =
1 2 K PS K PG K ISTE
=
1 2 ⋅ 30 ⋅ 0,01 ⋅ 1 s -1 ⋅ 0,7 s
= 2,38
Lösung zu Aufgabe 4.6 KPS = 0,2 T1 = 0,2 s
KPR ,Tv w
e
y
z 1, T2 = 2,5 s 1, T3 = 1,8 s y1 y3 y2 +
+
KIS = 0,25 s -1 y4
x
Die Übertragungsfunktionen von einzelnen Gliedern des Regelkreises:
GR ( s ) = K PR (1 + sTv ) G1 ( s) =
K PR 1 + sT1
G2 ( s ) =
1 1 + sT2
G3 ( s ) =
1 1 + sT3
G4 ( s ) =
K IS s
Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises als Reihenschaltung:
G0 ( s ) = GR ( s )G1 ( s )G2 ( s )G3 ( s )G4 ( s ) G0 ( s) =
K PR K PS K IS (1 + sTv ) s (1 + sT1 )(1 + sT2 )(1 + sT3 )
Die Kompensation erfolgt mit Tv = Tgrößte = T2 = 2,5 s.
Lösungen zum Kapitel 4: Reglereinstellung
155
Da die Bedingung T3 > 5T1 erfüllt ist, kann die Ersatzzeitkonstante gebildet werden: TE = T1 + T3 = 0,2 s + 1,8 s = 2 s. Setzt man nun die bereits ermittelten Werte von Tv und TE in die Formel für die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises, so ergibt sich:
G0 ( s) =
K PR K PS K IS . s(1 + sT1 )
Dies entspricht dem Grundtyp A. Der optimale Proportionalbeiwert des Reglers KPR wird nach dem Betragsoptimum berechnet:
K PRopt =
1 2 K PS K ISTE
K PRopt =
1 2 ⋅ 0,2 ⋅ 0,25s −1 ⋅ 2 s
=5.
Lösung zu Aufgabe 4.7 Die Übertragungsfunktionen von Teilstrecken:
G1 ( s ) =
K PR 1 + sT1
G2 ( s ) =
1 1 + sT2
G3 ( s ) = −
K IS s
Da die Strecke mit „−“ Vorzeichen behaftet ist, soll auch die Übertragungsfunktion des Reglers negativ vorkommen, um die Mittkopplung im Regelkreis zu vermeiden:
GR ( s ) = −
K PR (1 + sTn ) . sTn
Die Übertragungsfunktionen des aufgeschnittenen Regelkreises als Reihenschaltung:
K K K (1 + sTn ) G0 ( s ) = 2PR PS IS s Tn (1 + sT1 )(1 + sT2 ) Da im Regelkreis zwei Glieder mit I-Anteil vorhanden sind, handelt es sich hier um den Fall des symmetrischen Optimums. Die Bedingung T2 > 5 T1 ist erfüllt, es wird die Ersatzzeitkonstante gebildet: TE = T1 + T2 = 0,1 s + 0,6 s = 0,7 s. Die Kennwerte des Reglers werden nach dem symmetrischen Optimum berechnet: Tn = 4TE = 2,8 s
K PR =
1 1 = = 0,68 . 2 K PS K ISTE 2 ⋅ 0,6 ⋅ 1,75 s -1 ⋅ 0,7 s
156
Lösungen
Lösung zu Aufgabe 4.8 a) Der Wirkungsplan der Füllstandsregelung Produkt A V1
Binäre Steuerung: Wenn e > 0, dann yS = 1
Produkt B V2
z
Produkt -Ablauf
Revers
Sollwert AI3
yS
Füllstand F
y
w
Regler
+
−
AV1
−
−
Reaktor
x
Messfühler AI1
b) Die Übertragungsfunktion der Füllstandsstrecke Die Sprungantwort entspricht einem I-Glied mit Totzeit
x(t) 10
Tt = 10 s .
8 6
Δx = 10
4
Der Integrierbeiwert KIS ist negativ und wird durch die Steigung der Kennlinie bestimmt:
K IS ⋅ yˆ ⋅ Δt = Δx .
2
Bei yˆ = 4 folgt daraus 0
Tt
10
20
30
40
50
60
Δt = 40
Die gesuchte Übertragungsfunktion ist damit
GS ( s ) =
K IS − sTt ⋅e . s
t/s
K IS =
Δx 1 ⋅ Δt yˆ
K IS =
−10 = −0,0625 s −1 . 40 s ⋅ 4
Lösungen zum Kapitel 4: Reglereinstellung
157
c) Die Sprungantwort der Füllstandsstrecke. Aus dem Vergleich mit dem vorherigen Beispiel ergibt sich:
Tt = 0 s K IS =
Δx 1 −10 ⋅ = = −0,33 s . Δt yˆ 5 s ⋅ 6
Die gesuchte Übertragungsfunktion ist im betrachteten Fall
GS ( s) =
K IS , s
was dem Zeitdiagramm 9 entspricht. d) Die Einstellung des P-Reglers nach der Ziegler-Nichols-Tabelle. Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises:
G0 ( s ) =
K PR K PS K IS . s (1 + sT1 )(1 + sT2 )
Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises:
Gw ( s) =
G0 ( s) K PR K PS K IS . = 1 + G0 ( s) s(1 + sT1 )(1 + sT2 ) + K PR K PS K IS
Die charakteristische Gleichung 3. Ordnung
s(1 + sT1 ) ⋅ (1 + sT2 ) + K PR K PS K IS = 0 T1T2 ⋅ s 3 + (T1 + T2 ) ⋅ s 2 + s + K PR K PS K IS = 0 mit Koeffizienten:
a3 = T1T2 = 5 s 2 a2 = T1 + T2 = 6 s a1 = 1 a0 = K PR K PS K IS = K PR ⋅ 0,25 s −1 Nach dem Hurwitz-Stabilitätskriterium: a 2 ⋅ a 1 > a 3 ⋅a 0 bzw. 6⋅1 > 5 ⋅0,25⋅KPR
KPR < 4,8
Der kritische Proportionalbeiwert des Reglers, bei dem sich der geschlossene Regelkreis im grenzstabilen Zustand befindet, ist KPRkrit = 4,8.
158
Lösungen
Nach der Ziegler-Nichols-Tabelle wird: KPR = 0,5⋅KPRkrit = 2,4. e) Die optimale Einstellung des PD-Reglers Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises:
G0 ( s ) =
K PR (1 + sTv ) K PS K IS . s (1 + sT1 )(1 + sT2 )
Kompensation: Tv = Tgrößte = T2 = 5 s Damit ergibt sich die Übertragungsfunktion von Grundtyp A:
G0 ( s ) =
K PR K PS K IS s (1 + sT1 )
Der Proportionalbeiwert des Reglers nach dem Betragsoptimum:
K PR =
1 1 = =2 2 K PS K IST1 2 ⋅ 0,1 ⋅ 2,5 s −1 ⋅ 1 s
Lösung zu Aufgabe 4.9 a) Die Abhängigkeit des Proportionalbeiwertes der Regelstrecke von der Gewindesteigung ist gegeben: KPSy =
43 . 0,2a
Um den Proportionalbeiwert der Regelstrecke im Arbeitspunkt zu bestimmen, wird die Tangente im Arbeitspunkt eingetragen. Daraus wird der Proportionalbeiwert KPSy =
1150 − 1050 = 6,67 35 − 20
und folglich die Gewindesteigung berechnet: a=
5,43 = 4,07 . 6,67 ⋅ 0,2
b) Der Proportionalbeiwert des elektrischen Teils der Regelstrecke bei dem gegebenen Wert der Gewindesteigung a:
Lösungen zum Kapitel 4: Reglereinstellung
KPS =
159
5,43 = 27,15 0,2a
Im Beharrungszustand erreicht die Ausgangsgröße der Regelstrecke (P-T1-Glied) n(∞) = 27,15⋅1,84 = 49,9. Die Antwort ist Bild „a“. c) Die optimale Eintsellung des Drehzahlreglers. Zunächst werden die Übertragungsfunktionen und die Parameter von einzelnen Gliedern des Regelkreises bestimmt:
GR ( s ) = K PR mit KPS =
Regler:
Strecke: GS ( s ) =
5,43 = 9,05 (P-Glied) 0,2 ⋅ 3
K 1 ⋅ PS 1 + sTR 1 + sT1
(Reihenschaltung von zwei P-T1-Gliedern)
Dann bestimmt man die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises als Reihenschaltung von Regler und Strecke:
G0 ( s ) = GR ( s )GS ( s ) = K PR ⋅
K 1 ⋅ PS . 1 + sTR 1 + sT1
Diese Übertragungsfunktion entspricht dem Grundtyp B, welcher mit der folgenden Formel optimal eingestellt wird (Betragsoptimum):
K PR =
(TR + T1 ) 2 1 − . 2 K PSTRT1 K PS
Daraus ergibt sich für die gegebenen Werte von Parametern: KPR = 0,288. d) Die optimale Einstellung des Lagereglers. Zuerst wird die Übertragungsfunktion G0(s) des aufgeschnittenen Regelkreises als Reihenschaltung von Regler und Strecke bestimmt:
G0 ( s ) = GR ( s )GS ( s ) = K PR (1 + sTv ) ⋅
K PS K IS ⋅ . 1 + sT1 s
Nach der Kompensation mit der größten Zeitkonstante der Regelstrecke wird die Störübertragungsfunktion bestimmt
Gz ( s ) =
Gvz ( s ) , 1 + G0 ( s )
160
Lösungen
wobei G0(s) die kompensierte Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises
G0 ( s) =
K PR K PS K IS s
und Gvz(s) die Vorwärts-Übertragungsfunktion der Regelstrecke ist. Im betrachteten Fall ist Gvz(s) die Übertragungsfunktion der Regelstrecke:
Gvz ( s ) = GS ( s ) =
K PS K IS . ⋅ 1 + sT1 s
Setzt man G0(s) und Gvz(s) in die Formel für die Störübertragungsfunktion, so ergibt sich:
K PS K IS K PS K IS ⋅ ⋅ G ( s) 1 + sT1 s 1 + sT1 s = = Gz ( s) = vz K K K s + K PR K PS K IS 1 + G0 ( s) 1 + PR PS IS s s K PS K IS Gz ( s) = . ( s + K PR K PS K IS )(1 + sT1 ) Um KPz aus diesem Ausdruck zu bestimmen, soll die obige Übertragungsfunktion in die Normalform gebracht werden. Dafür wird im Nenner das Glied KPRKPSKIS ausgeklammert:
Gz ( s ) =
Gz ( s ) =
Gz ( s ) =
K PS K IS § · 1 K PR K PS K IS ⋅ ¨¨ s + 1¸¸ ⋅ (1 + sT1 ) K K K © PR PS IS ¹ 1 § · 1 K PR ⋅ ¨¨ s + 1¸¸ ⋅ (1 + sT1 ) © K PR K PS K IS ¹ 1 1 ⋅ K PR § 1 ¨¨1 + K PR K PS K IS ©
· s ¸¸ ⋅ (1 + sT1 ) ¹
.
Daraus erkennt man den Proportionalbeiwert und die Zeitkonstante
K Pz = Tz =
1 K PR
1 , K PR K PS K IS
so dass die obige Übertragungsfunktion in Normalform dargestellt wird:
Lösungen zum Kapitel 4: Reglereinstellung
Gz ( s ) =
161
K Pz . (1 + sTz )(1 + sT1 )
Aus dem Ausdruck
K Pz =
1 K PR
folgt für den gegebenen Wert von KPz = 0,02 der gesuchte Proportionalbeiwert des Reglers:
K PR =
1 1 = = 50 . K Pz 0,02
e) Wird ein neuer Werkzeugschlitten mit einer anderen Gewindesteigung a eingesetzt, ändert sich KPz nicht, da KPS KIS = 54,3 konstant bleibt! f) Die Stabilität des geschlossenen Regelkreises wird nach dem HurwitzStabilitätskriterium geprüft. Die gegebene charakteristische Gleichung wird zunächst als Polynom dargestellt:
s 2Tn (1 + sT1 ) + K PR K PS K IS (1 + sTn ) = 0 s 2Tn + s 3T1Tn + K PR K PS K IS + sTn K PR K PS K IS = 0 s 3T1Tn + s 2Tn + sTn K PR K PS K IS + K PR K PS K IS = 0 . In dem so erhaltenen Polynom der 3. Ordnung bezeichnet man die Koeffizienten:
a3 s 3 + a2 s 2 + a1s + a0 = 0 a3 = Tn T1 a 2 = Tn a1 = Tn K PR K PS K IS a0 = K PR K PS K IS . Nach dem Hurwitz-Stabilitätskriterium für Systeme 3. Ordnung ist der geschlossene Regelkreises stabil, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind: 1. Bedingung:
Alle Koeffizienten sind vorhanden
a3 ≠ 0 2. Bedingung:
a2 ≠ 0
a1 ≠ 0
a0 ≠ 0
erfüllt
a0 > 0
erfüllt
Alle Koeffizienten sind positiv
a3 > 0
a2 > 0
a1 > 0
162
Lösungen
3. Bedingung: Das Produkt von Koeffizienten a2a1 („innere“ Koeffizienten des Polynoms) ist größer als Produkt von Koeffizienten a3a0 („äußere“ Koeffizienten):
a2 a1 > a3a0 . Aus dieser Bedingung folgt
Tn K PR K PS K IS ⋅ Tn > TnT1 ⋅ K PR K PS K IS , woraus man nach der Kürzung von Tn die Stabilitätsbedingung bestimmen kann:
Tn > T1 . Für den gegebenen Wert T1 = 0,05 s ergibt sich daraus: Tn > 0,05 s
Lösungen zum Kapitel 5: Kaskadenregelung Lösung zu Aufgabe 5.1 a)
G01 ( s ) =
K IR1 K PS1 s
Gw1 ( s ) =
K IR1K PS1 K IR1K PS1 = s + K IR1K PS1 K IR1 K PS1 (1 + sTw1 )
Tw1 =
1 1 = =2s K IR1K PS1 2,5s −1 ⋅ 0,2
Daraus folgt für den Hauptregelkreis
G02 ( s ) =
K PR2 (1 + sTn2 ) 1 ⋅ sTn2 1 + sT
⋅ w1
K PS2 . 1 + sT2
Nach der Kompensation Tn2 = Tw1 = 2 s ergibt sich Grundtyp A:
G02 ( s) =
K PR2 K PS2 . sTn2 (1 + sT2 )
Nach dem Betragsoptimum:
K PR2 =
Tn2 2s = = 8,3 . 2 ⋅ K PS2 ⋅ T2 2 ⋅ 0,08 ⋅ 1,5 s
Lösungen zum Kapitel 5: Kaskadenregelung
163
Das Simulationsprogramm mit Simulink ist unten gezeigt. Mit dem Befehl plot(t, x), eingegeben im Command Window von MATLAB, wird die Sprungantwort des Hauptregelkeirses (Führungsregelkreis) ausgegeben.
b) Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Folgeregelkreises:
G01 ( s ) =
K PR1K PS1 (1 + sTn1 ) . sTn1 (1 + sT1 )
Nach der Kompensation Tn1 = T1 = 3 s wird die Übertragungsfunktion vereinfacht:
G01 ( s ) =
K PR1K PS1 . sTn1
Daraus folgt die Übertragungsfunktion des geschlossenen Folgeregelkreises:
Gw1 ( s ) =
Tw1 =
1 1 1+ G01 ( s )
=
1 1 = Tn1 1 + sTw1 1+ s K PR1K PS1
T K Tn1 5 = 1 und K PR1 = PS1 = = 0,25 . K PR1K PS1 20 20 20
Lösung zu Aufgabe 5.2 a) Entwurf der optimalen Einstellung des Führungsreglers:
G01 ( s ) =
K PR1K IS1 s
164
Lösungen
Gw1 ( s) =
Tw1 =
G01 ( s) = 1 + G01 ( s)
1 1+
1 G01 ( s)
=
1 1+
s K PR1 K IS1
=
1 1 + sTw1
1 = 0,1 s K PR1K IS1
G02 ( s ) = K PR 2 =
K PR2 K IS2 s (1 + Tw1 )
Betragsoptimum, Grundtyp A
1 1 = = 10 . 2 K IS2Tw1 2 ⋅ 0,5 ⋅ 0,1
b) Der Dämpfungsgrad des Führungsregelkreises bei KPR2 = 5:
G02 ( s ) = K PR2 ⋅ Gw 2 ( s ) =
Gw 2 ( s ) =
1 1 + sTw1
1 1 1+ G02 ( s )
=
⋅
K IS2 s
K PR2 K IS2 1 = 2 s (1 + sTw1 ) K PR2 K IS2 + s + s Tw1 1+ K PR2 K IS2 K PR2 K IS2
§ · Tw1 1 +s + 1¸¸ K PR2 K IS2 ¨¨ s 2 K K K K PR2 IS2 PR2 IS2 © ¹
.
Daraus folgt das System aus zwei Gleichungen:
Tw1 1 ° 2 =K PR2 K IS2 ° ω0 ® 1 ° 2ϑ = ° ω0 K PR2 K IS2 ¯
ϑ=
1 2
1 K PR2 K IS2Tw1
bzw. für KPR2 = 5; KIS2 = 0,5 s-1 und Tw1 = 0,1 s ergibt sich der Dämpfungsgrad:
ϑ=
1 1 1 = =1. 2 5 ⋅ 0,5 ⋅ 0,1 2 ⋅ 0,5
c) Die bleibende Regeldifferenz beim Störverhalten mit zˆ = 0,5 : Im Beharrungszustand wird die Eingangsvariable des I-Gliedes gleich Null. Daraus folgt:
x1 (∞) = − zˆ = −0,5 . Weiterhin gilt es für den Folgeregelkreis:
x1 (∞) = K Pw ⋅ w1 (∞)
w1 (∞) =
1 ⋅ x1 (∞) . K Pw
Lösungen zum Kapitel 5: Kaskadenregelung
165
Der Proportionalbeiwert des geschlossenen Folgeregelkreises
1 1 + sTw1
Gw1 ( s ) =
ist K Pw = 1 , woraus folgt w1 (∞) =
1 K Pw
⋅ (− zˆ ) = −0,5 .
Ähnlich gilt es für den P-Führungsregler mit K PR2 = 5 :
w1 (∞) = K PR2 ⋅ e2 (∞) , woraus die gesuchte bleibende Regeldifferenz bestimmt wird:
e2 ( ∞ ) =
1 1 ⋅ w1 (∞) = ⋅ (−0,5) = −0,1 . K PR2 5
d) Die Regelgröße x(∞) im Beharrungszustand beim Führungsverhalten mit wˆ = 0, 2 : Im Beharrungszustand wird die Eingangsvariable des I-Gliedes gleich Null. Da zˆ = 0 ist, folgt daraus:
x1 (∞) = 0 w1 (∞) =
1 ⋅ x1 (∞) = 0 K Pw
e2 ( ∞ ) =
1 ⋅ w1 (∞) = 0 . K PR2
Für die bleibende Regeldifferenz gilt bekanntlich
e2 (∞) = wˆ − x2 (∞) , woraus die gesuchte Regelgröße bestimmt werden kann:
x2 (∞) = wˆ − e2 (∞ ) = 0,2 .
Lösung zu Aufgabe 5.3 Die Übertragungsfunktion des offenen Hilfregelkreises ist:
G01 ( s ) =
K PR1K PS . 1 + sT1
Der geschlossene Hilfsregelkreis wird mit folgender Übertragungsfunktion beschrieben:
Gw1 ( s ) =
K PR1K PS K IR1K PS = 1 + sT1 + K PR1K PS (1 + K PR1K PS )(1 + sTw1 )
166
Lösungen
K w1 = Tw1 =
K PR1K PS 10 ⋅ 0,08 = 0,44 = 1 + K PR1K PS 1 + 10 ⋅ 0,08
T1 9s = = 5s . 1 + K PR1K PS 1 + 10 ⋅ 0,08
Die bleibende Regeldifferenz wird nach der Faustformel bestimmt, d.h. wenn der Eingang des I-Gliedes im Beharrungszustand gleich null ist, dann
x1 (∞) = zˆ = 2 und
e (∞ ) =
1 1 ⋅ x1 (∞) = ⋅ 2 = 0,15 . K PR2 K w1 30 ⋅ 0,44
Lösung zu Aufgabe 5.4 a) Die optimale Einstellung des Reglers GR2(s). KPR3
ϕSoll
+
−
GR3
KPR1
KPR2, Tn2
+
−
GR2
+
−
uS
KP3, T3
MM
KP4, T4
ωIst
KI2
ϕIst
GR1
Die Übertragungsfunktionen des inneren Folgekreises:
G01 ( s ) = Gw1 ( s ) =
Gw1 ( s ) =
K PR1K P3 1 + sT3 1 1 1+ G01 ( s )
=
K PR1K P3 = K PR1K P3 + 1 + sT3
K PR1K P3 § · T3 ¸ ( K PR1K P3 + 1) ⋅ ¨¨1 + s K PR1K P3 + 1 ¸¹ ©
K Pw1 1 + sTw1 K Pw1 = Tw1 =
K PR1K P3 6 ⋅ 1,2 = 0,88 = 1 + K PR1K P3 1 + 6 ⋅ 1,2
T3 0,00984 = = 0,0012 s . 1 + K PR1K P3 1 + 6 ⋅ 1,2
Die Übertragungsfunktionen des zweiten (mittleren) Folgekreises:
Lösungen zum Kapitel 5: Kaskadenregelung
G02 ( s) =
167
K PR2 (1 + sTn2 ) K P4 K Pw1 . sTn2 (1 + sT4 )(1 + sTw1 )
Nach der Kompensation mit Tn2 = Tgrößte = T4 = 0,004 s ergibt sich der Grundtyp A G02 ( s ) =
K PR2 K P4 K Pw1 . sTn2 (1 + sTw1 )
Die Reglereinstellung nach dem Betragsoptimum: K PR2 =
Tn2 0,004 s = = 4,74 . 2 K P4 K Pw1Tw1 2 ⋅ 0,4 ⋅ 0,88 ⋅ 0,0012 s
b) Die Übertragungsfunktionen des geschlossenen inneren Folgekreises Gw1(s) und des aufgeschnittenen zweiten (mittleren) Folgekreises G02(s) wurden im vorherigen Punkt bestimmt. Daraus ergibt sich für den geschlossenen zweiten Folgekreis: G02 ( s) Gw2 ( s) = = 1 + G02 ( s)
K P4 1 + sT4 Gz2 ( s ) = = 1 + G02 ( s )
K PR2 K P4 K Pw1 K PR2 K P4 K Pw1 sTn2 (1 + sTw1 ) = K K K sTn2 (1 + sTw1 ) + K PR2 K P4 K Pw1 1 + PR2 P4 Pw1 sTn2 (1 + sTw1 )
K P4 1 + sT4 . K PR2 K P4 K Pw1 1+ sTn2 (1 + sTw1 )
Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Hauptregelkreises beim Störverhalten: sK P 4Tn2 (1 + sTw1 ) K K I2 ⋅ I2 s = [ sTn2 (1 + sTw1 ) + K PR2 K P4 K Pw1 ](1 + sT4 ) s . Gz ( s ) = K 1 + G0 ( s) 1 + K PR3Gw2 ( s ) I2 s Gz2 ( s) ⋅
Im Beharrungszustand resultiert dies in Null:
x(∞) = lim Gz ( s) ⋅ zˆ = 0 . s→0
Damit ist die bleibende Regeldifferenz beim Störverhalten ( wˆ = 0 ) auch gleich Null:
e(∞ ) = wˆ − x(∞) = 0 .
Lösung zu Aufgabe 5.5 Die optimale Einstellung einer Kaskadenregelung wird normalerweise vom Folgeregelkreis angefangen:
G01 ( s ) =
K PR1K PS1 (1 + sTn1 )(1 + sTv1 ) . sTn1 (1 + sT1 )(1 + sT2 )
168
Lösungen
Nach der Kompensation Tn1 = T1 = 18 s und Tv1 = T2 = 16 s ist die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Folgeregelkreises
G01 ( s ) =
K PR1K PS1 . sTn1
Daraus folgen zuerst die Übertragungsfunktion des geschlossenen Folgeregelkreises
Gw1 ( s ) =
1 1+
1 G01 ( s )
=
1 1 = Tn1 1 + sTw1 1+ s K PR1K PS1 Tw1 =
Tn1 18 s = = 3s K PR1K PS1 60 ⋅ 0,1
und dann die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Führungsregelkreises:
G02 ( s ) =
1 K PR2 (1 + sTn2 ) ⋅ sTn2 1 + sT
w1
⋅
K PS3 . 1 + sT3
Nach der Kompensation Tn2 = Tw1 = 3 s ergibt sich der Grundtyp A:
G02 ( s ) =
K PR2 K PS3 . sTn2 (1 + sT3 )
Nach dem Betragsoptimum:
K PR2 =
Tn2 3s = = 7,5 . 2 K PS2T2 2 ⋅ 0,1 ⋅ 2 s
Die optimale Einstellung des Führungsregelkreises:
KPR2 = 7,5
Tn2 = 3 s
Wie die Sprungantwort des Regelkreises x 2 (t ) beim Eingangssprung wˆ 2 = 1 zeigt, erfolgt die simulierte Regelung nach dem Betragsoptimum: - Dämpfungsgrad
ϑ = 0,7 - Überschwingweite ümax = 4,3% - Ausregelzeit Taus = 11T2 = 16,5 s - Anregelzeit Tan = 4,7T2 = 7 s Sprungantwort x 2 (t ) bei wˆ 2 = 1
Lösungen zum Kapitel 5: Kaskadenregelung
169
Lösung zu Aufgabe 5.6 Der Wirkungsplan des Override-Regelkreises ist unten gezeigt.
wover
−
KPRover, Tnover yover
+
xover
min KPR, Tn
GS1(s)
w
+
KPS2, T2
KPS1, T1
GRover(s)
x GS2(s)
y
−
GR(s)
Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Hauptregelkreises:
G0 ( s) =
K PR (1 + sTn ) K PS1 K PS2 ⋅ ⋅ . sTn 1 + sT1 1 + sT2
Nach der Kompensation mit
Tn = T2 = 2,5 s ergibt sich die Übertragungsfunktion
G0 ( s ) =
K PR K PS1K PS2 , sTn (1 + sT1 )
für die die optimale Einstellung des Reglers nach dem Betragsoptimum berechnet wird:
K PR =
Tn 2,5 s = 2 K PS1K PS2T1 2 ⋅ 0,5 ⋅ 3 ⋅1,8 s
bzw.
K PR = 0,46 . Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Override-Regelkreises:
G0over ( s ) =
K PRover (1 + sTnover ) K PS1 . ⋅ sTnover 1 + sT1
Nach der Kompensation mit
Tnover = T1 = 1,8 s ergibt sich:
170
Lösungen
G0 ( s ) =
K PRover K PS1 sTnover
Gwover ( s ) =
G0over ( s ) K PRover K PS1 1 . = = 1 + G0over ( s ) sTnover + K PRover K PS1 1 + sTwover
Unter Beachtung
K PRover = K PR stellt man fest, dass der geschlossene Override-Regelkreis ein P-T 1-Verhalten mit folgender Zeitkonstante hat:
Twover =
Tnover Tnover 1,8s = = K PRover K PS1 K PR K PS1 0,46 ⋅ 0,5
bzw.
Twover = 8 s. Die skizzierten Sprungantworten des Hauptregelkreises und des Override-Regelkreises nach einem Sprung der Führungsgröße sind unten gezeigt. x(t) Twover = 8 s xover x 1,25 1,00 0,75
Anregelzeit Tan ≈ 4,7 T1 = 8,5 s Umschaltpunkt
0,50
Ausregelzeit Taus ≈ 11 T1 = 19,8 s
0,25 0
5
10
15
20
Tan = 4,7T1 Taus = 11T1
Die Umschaltung von y auf yover erfolgt bei ca. t = 7 s, so dass die geforderte Begrenzung x < xover erfüllt wird.
t/s
Lösungen zum Kapitel 6: Mehrgrößenregelung
171
Lösungen zum Kapitel 6: Mehrgrößenregelung Lösung zu Aufgabe 6.1 Die Beschreibung einer MIMO-Regelstrecke in P-kanonischer Struktur ist unten gezeigt:
x1 (t ) = x11 (t ) + x12 (t ) ® ¯ x2 (t ) = x21 (t ) + x22 (t )
x1 ( s) = x11 ( s) + x12 ( s) ® ¯ x2 ( s ) = x21 ( s ) + x22 ( s )
x1 ( s ) = G11 ( s ) yˆ1 + G12 ( s ) yˆ 2 ® ¯ x2 ( s ) = G21 ( s ) yˆ1 + G22 ( s ) yˆ 2 Setzt man die gegebenen Übertragungsfunktionen und Eingangssprünge
G11 ( s ) =
K P11 1 + sT11
G12 ( s ) = K P12
y1 = 0,5
G22 ( s ) =
K P22 1 + sT22
G21 ( s ) = K P21
y2 = 0,8
in die obige Formel ein, so ergibt sich:
K P11 °° x1 ( s ) = 1 + sT yˆ1 + K P12 yˆ 2 11 ® K P22 ° x2 ( s ) = K P21 yˆ1 + yˆ 2 . °¯ 1 + sT22 Beide Sprungantworten entsprechen einem PP-T1-Verhalten, wie unten im Bild gezeigt ist. Im Beharrungszustand erreichen die Regelgrößen folgende Werte:
x1 (∞) = K P11 yˆ1 + K P12 yˆ 2 = 2 ⋅ 0,5 + 3,0 ⋅ 0,8 = 3,4 ® ¯ x2 (∞ ) = K P21 yˆ1 + K P22 yˆ 2 = 5 ⋅ 0,5 + 1,5 ⋅ 0,8 = 3,7 x1
T11 = 5 s KP11 y1= 1 KP12 y2= 2,4
0 x2
t T22 = 2,5 s KP22 y2= 1,2 KP21 y1= 2,5
0
t
172
Lösungen
Lösung zu Aufgabe 6.2 Das mathematische Modell der Regelstrecke stellt ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen dar, welches mit Hilfe von Bilanzgleichungen aus den physikalischen Gesetzen hergeleitet wird. Zunächst wird ein Beispiel mit dem einzelnen Tank betrachtet, wie im Bild links gezeigt ist.
yzu Qzu x X
A yab
X0
Qab
Ist M die Masse im Behälter 1, so wird die zeitliche Änderung der Masse während einer Zeitspanne Δt von der Änderungen des Zuflusses mzu und mab Abflusses abhängig:
ΔM = mzu ⋅ Δt − mab ⋅ Δt .
Für die kurze Zeitspanne Δt → dt wird es gelten:
ΔM = mzu − mab Δt
dM = mzu − mab dt
M (t ) = mzu (t ) − mab (t ) .
Die so erhaltene Differentialgleichung kann man umschreiben, indem man an Stelle der Masse das Volumen einführt: M = ȡV
mzu = ȡQzu
mab = ȡQab
Hier sind: V − das Volumen der Flüssigkeit im Behälter, Qzu und Qab − die pro Zeiteinheit zu- bzw. abfließenden Mengen der Flüssigkeit. Aus der obigen Differentialgleichung wird:
V (t ) = Qzu (t ) − Qab (t ) . Auch diese DGL lässt sich umschreiben, indem man anstelle des Volumens den Flüssikeitsstand X einführt. Dafür bezeichnet man den Querschnitt des Tanks A:
V (t ) = A ⋅ X (t ) . Durch Differentiation nach der Zeit folgt daraus
V (t ) = A ⋅ X (t ) und folglich
A ⋅ X (t ) = Qzu (t ) − Qab (t ) . Man kann annehmen, dass die pro Zeit zufließende Menge Qzu proportional dem Ventilhub Y ist
Qzu = k ⋅ Yzu und dass der Abfluss konstant ist:
Lösungen zum Kapitel 6: Mehrgrößenregelung
173
Qab = Qab0 = konst bzw. Yab = Yab0 = konst. Das mathematische Modell des Einzeltanks sieht damit wie folgt aus:
A ⋅ X (t ) = k ⋅ Yzu (t ) − Qab0 . Aus dieser DGL erhält man durch die Integration:
X (t ) =
³
1 [k ⋅ Yzu (t ) − Qab0 ] dt + C . A
Im gewünschten Zustand wird das Zufluss-Ventil so eingestellt, dass der gewünschte Füllstand X = X0 erreicht wird:
k ⋅ Yzu (t ) = Qab0 und X (t ) = 0 . Daraus folgt
X0 =
³
1 [k ⋅ Yzu (t ) − Qab0 ] dt + C A
bzw.
C = X0 . Die mathematische Beschreibung der Füllstandsstrecke wird damit
X (t ) =
³
1 [k ⋅ Yzu (t ) − k ⋅ Yab (t )] dt + X 0 A
bzw.
X (t ) − X 0 =
³
k [Yzu (t ) − Yab (t )] dt . A
Führt man die folgenden Bezeichnungen ein
x(t ) = X (t ) − X 0 y (t ) = Yzu (t ) − Yab (t ) K IS =
k , A
entstehen die DGL und die korrespodierende Übertragungsfunktion des I-Gliedes:
³
x(t ) = K IS y (t ) dt x( s) =
K IS y(s) s
x( s ) = GS ( s ) y ( s ) .
174
Lösungen
Die DGL des Zwei-Tank-Systems werden analog dem Beispiel für einen Einzeltank hergeleitet. Der Einfachheit halber wird angenommen, dass alle Tanks den gleichen Querschnitt A haben und dass es beim 2. Tank keinen Abfluss nach außen gibt.
y1 Qzu A
x1 X1
A x2 X X02 2
Qab1 = Qzu2
X01
y2 Qab
Für den ersten Tank gilt
A ⋅ X 1 (t ) = Qzu − Qab1 = k ⋅ Y1 (t ) − Qab1 , wobei in diesem Fall an die Stelle des konstanten Abfluss Qab1 die pro Zeit abfließende Menge tritt, welche proportional der Differenzenhöhe X1 − X2 ist:
Qab1 = ka ( X 1 − X 2 ) . Damit erhält man für den 1. Tank
A ⋅ X 1 (t ) = k ⋅ Y1 (t ) − k a ⋅ [ X 1 (t ) − X 2 (t )] . Für kleine Abweichungen vom Arbeitspunkt (X01, Y01) gilt wie im vorherigen Beispiel
A ⋅ x1 (t ) = −ka x1 (t ) + ka x2 (t ) + ky1 (t ) bzw. in Normalform
T11 ⋅ x1 (t ) = − x1 (t ) + x2 (t ) + K11 y1 (t ) mit Bezeichnungen: x1 (t ) = X 1 (t ) − X 01
y1 (t ) = Y1 (t ) − Y01 K11 =
k ka
T11 =
A ka
Die Bilanzgleichung für den zweiten Tank:
A ⋅ X 2 (t ) = Qzu2 (t ) − Qab (t ) , wobei Qzu2 = k a ⋅ ( X 1 − X 2 ) und Qab = k ⋅ Y2 . Analog der vorherigen Herleitung erhält man für den 2. Tank
A ⋅ x 2 (t ) = ka x1 (t ) − ka x2 (t ) − ky2 (t ) bzw. in Normalform
Lösungen zum Kapitel 6: Mehrgrößenregelung
175
T22 ⋅ x 2 (t ) = x1 (t ) − x 2 (t ) − K 22 y 2 (t ) . mit Bezeichnungen: x2 (t ) = X 2 (t ) − X 02
y2 (t ) = Y2 (t ) − Y02 K 22 =
k ka
T22 =
A ka
Die mathematische Beschreibung des Zwei-Tank-Systems stellt damit das folgende System von gewöhnlichen DGL dar:
T11 ⋅ x1 (t ) = − x1 (t ) + x2 (t ) + K11 y1 (t ) ® ¯T22 ⋅ x 2 (t ) = x1 (t ) − x2 (t ) − K 22 y2 (t ) Man erhält daraus die korrespondierende Laplace-Transformation:
sT11x1 ( s ) = − x1 ( s ) + x2 ( s ) + K11 y1 ( s ) (1 + sT11 ) x1 ( s ) = x2 ( s ) + K11 y1 ( s ) ® ® ¯ sT22 x2 ( s ) = x1 ( s ) − x2 ( s ) − K 22 y2 ( s ) ¯(1 + sT22 ) x2 ( s ) = x1 ( s ) − K 22 y2 ( s ) 1 K11 °° x1 ( s ) = 1 + sT x2 ( s) + 1 + sT y1 ( s) 11 11 ® 1 K 22 ° x2 ( s ) = y2 ( s ) x1 ( s) − °¯ 1 + sT22 1 + sT22 bzw. die Übertragungsfunktion der MIMO-Regelstrecke in V-kanonischer Form:
x1 ( s ) = G11 ( s ) ⋅ [V12 ( s ) x2 ( s ) + y1 ( s )] ® ¯ x2 ( s ) = G22 ( s ) ⋅ [V21 ( s ) x1 ( s ) − y2 ( s )] mit folgendem Wirkungsplan und einzelnen Übertragungsfunktionen: K11 , T11
y1
x1
+ +
1/ K22
1/ K11
y2
−
+
K22 , T22
x2
G11 ( s ) =
K11 1 + sT11
V12 ( s ) =
1 K11
G22 ( s ) =
K 22 1 + sT22
V21 ( s ) =
1 K 22
176
Lösungen
Um das Zwei-Tank-System in P-kanonischer Form darzustellen, soll das oben geschriebene Gleichungssystem
(1 + sT11 ) x1 ( s ) = x2 ( s ) + K11 y1 ( s ) ® ¯(1 + sT22 ) x2 ( s ) = x1 ( s ) − K 22 y2 ( s ) gelöst werden:
x2 ( s ) = K11 y1 ( s) (1 + sT11 ) x1 ( s) − ® x s sT x s K − ( ) + ( 1 + ) ( ) = − 1 22 2 22 y 2 ( s) ¯ Nachfolgend ist die Lösung nach der Cramerschen Regel gezeigt. Zuerst wird die Hauptdeterminante bestimmt:
D=
1 + sT11
−1
−1
1 + sT22
= (1 + sT11 )(1 + sT22 ) − 1 = s(T11 + T22 + sT11T22 )
§ · T T D = s ⋅ (T11 + T22 ) ⋅ ¨¨1 + s 11 22 ¸¸ = sTS1 (1 + sTS2 ) T11 + T22 ¹ © mit
TS1 = T11 + T22 TS2 =
T11T22 T11 + T22
Dann bestimmt man die Teildeterminanten
D1 =
D2 =
−1
K11 y1 ( s)
− K 22 y2 ( s ) 1 + sT22 1 + sT11 −1
K11 y1 ( s) − K 22 y 2 ( s)
= K11 (1 + sT22 ) y1 ( s ) − K 22 y2 ( s )
= − K 22 (1 + sT11) y 2 ( s ) + K11 y1 ( s ) ,
woraus die Lösung resultiert:
x1 ( s ) =
K 22 D1 K11 (1 + sT22 ) y2 (s) = y1 ( s ) − sTS1 (1 + sTS2 ) D sTS1 (1 + sTS2 ) G11 ( s )
x1 ( s ) =
G12 ( s )
K (1 + sT11 ) D2 K11 y2 (s) . = y1 ( s ) − 22 sTS1 (1 + sTS2 ) D sTS1 (1 + sTS2 ) G 21 ( s )
G22 ( s )
Lösungen zum Kapitel 6: Mehrgrößenregelung
177
Lösung zu Aufgabe 6.3 Die Übertragungsfunktionen des Regelkreises sind gegeben:
G11 ( s ) =
K P11 1 + sT11
G12 ( s ) = K P12
GR1 =
K PR1 (1 + sTn1 ) sTn1
GR 2 =
K PR2 (1 + sTn2 ) . sTn2
G22 ( s ) =
K P22 1 + sT22
G21 ( s ) = K P21
Die Stabilität eines MIMO-Regelkreises mit dem Diagonalregler wird anhand von drei charakteristischen Gleichungen geprüft:
− für den ersten Hauptregelkreis bei dem abgeschalteten zweiten Regler − für den zweiten Hauptregelkreis bei dem abgeschalteten ersten Regler − für den gesamten gekoppelten Kreis Damit soll das folgende System geprüft werden:
1 + GR1 ( s ) ⋅ G11( s ) = 0 °° 1 + GR2 ( s )G22 ( s ) = 0 ® °1 − C ( s )G ( s )G ( s ) = 0 °¯ w1 w2 Der erste Hauptregelkreis bei dem abgeschalteten zweiten Regler ist nach dem HurwitzStabilitätskriterium stabil
1+
K PR1 (1 + sTn1 ) K P11 ⋅ =0 sTn1 1 + sT11
sTn1 (1 + sT11) + K PR1K P11 (1 + sTn1 ) = 0 s 2 ⋅ Tn1T11 + s ⋅ Tn1 (1 + K PR1K P11 ) + K PR1K P11 = 0 , a2
a1
a0
da alle Koeffizienten der charakteristischen Gleichung 2. Ordnung positiv sind. Dasselbe gilt für den zweiten Hauptregelkreis. Für den gesamten gekoppelten Regelkreis wird zuerst der Koppelfaktor berechnet:
C ( s) =
C (s) =
G21 ( s) ⋅ G12 ( s ) K P21 ⋅ K P12 = K P11 K P22 G11 ( s ) ⋅ G22 ( s ) ⋅ 1 + sT11 1 + sT22 K P21K P12 (1 + sT11 )(1 + sT22 ) . K P11K P22
178
Lösungen
Dann wird die Übertragungsfunktion des ersten geschlossenen Kreises unter Beachtung der Kompensation
Tn1 = T11 = 1 s bestimmt:
G01 ( s ) = GR1 ( s ) ⋅ G11 ( s ) =
K PR1 ⋅ (1 + sTn1 ) K P11 ⋅ 1 + sT11 sTn1
K R1K P11 G01 ( s ) sTn1 GR1 ( s ) ⋅ G11 ( s ) = = Gw1 ( s ) = K R1K P11 1 + G01 ( s ) 1 + GR1 ( s ) ⋅ G11 ( s ) 1+ sTn1 Gw1 ( s ) =
K Pw1 1 K PR1K P11 K PR1K P11 = = ⋅ sTn1 + K PR1K P11 K PR1K P11 § · 1 + sTw1 Tn1 ¨¨1 + s ¸ K PR1K P11 ¸¹ ©
mit
K Pw1 = 1;
Tw1 =
1 Tn1 . = K PR1K P11 K PR1
Ensprechend gilt für den zweiten Hauptregelkreis: Tn2 = T22 = 2 s
Gw 2 ( s ) =
K Pw1 1 + sTw1
mit
K Pw2 = 1;
Tw 2 =
2 1 Tn 2 = = . K PR2 K P 22 2 K PR2 K PR2
Damit ist die charakteristische Gleichung des gekoppelten Kreises
1 − C ( s )Gw1 ( s )Gw 2 ( s ) = 0 1−
K P21K P12 (1 + sT11 )(1 + sT22 ) 1 1 ⋅ ⋅ =0. K P11 K P22 1 + sTw1 1 + sTw 2
Nach einigen Vereinfachungen
1−
0,5 ⋅ 1 (1 + sT11 )(1 + sT22 ) 1 ⋅ ⋅ =0 1 1 1⋅ 2 1+ s ⋅ 1+ s ⋅ K PR1 K PR2
Lösungen zum Kapitel 6: Mehrgrößenregelung
1−
179
0,25 ⋅ K PR1K PR 2 (1 + sT11 )(1 + sT22 ) =0 ( s + K PR1 )(s + K PR2 )
( s + K PR1 )( s + K PR2 ) − 0,25 ⋅ K PR1K PR2 (1 + sT11 )(1 + sT22 ) = 0 ergibt sich folgende Gleichung der 2. Ordnung:
s 2 (1 − 0,5 K PR1K PR2 ) + s ( K PR1 + K PR2 − 0,75K PR1K PR2 ) + 0,75K PR1K PR2 = 0 . Nach dem Hurwitz-Stabilitätskriterium wird der Regelkreis stabil, wenn alle Koeffizienten dieser charakteristischen Gleichung positiv sind: 1.
a2 > 0
1 − 0,5 ⋅ K PR1K PR2 > 0
2.
a1 > 0
K PR1 + K PR2 − 0,75 ⋅ K PR1K PR2 > 0
K PR1 + K PR2 > 0,75 ⋅ K PR1K PR2
0,75K PR1 K PR2 > 0
3.
a0 > 0
K PR1K PR2 < 2
K PR1K PR2 > 0
Wird beispielsweise für den ersten Hauptregler K PR1 = 4 gewählt, wird der Regelkreis nach der 1. Bedingung bei
K PR2
0 .
Lösung zu Aufgabe 6.4 a) Die Führungsübertragungsfunktion des 1. Regelkreises beim abgeschalteten 2. Einzelregler ist
G01 ( s) =
K IR1K P11 s(1 + sT11 )
Gw1 ( s ) =
K IR1K P11 . s (1 + sT11 ) + K IR1K P11
Es gilt für das statische Verhalten, d. h. für t → ∞ bzw. s → 0: Gw1 (0) = 1 . Die Führungsübertragungsfunktion des 2. Regelkreises beim abgeschalteten 1. Einzelregler ist:
G01 ( s) =
K IR1K P11 s (1 + sT11 )
Gw1 ( s ) =
K IR1K P11 s (1 + sT11 ) + K IR1K P11
und damit für das statische Verhalten, d. h. für t → ∞ bzw. s → 0: Gw2 (0) = 1 . Der statische Koppelfaktor der Regelstrecke errechnet sich zu:
180
Lösungen
C0 =
G21 (0) ⋅ G12 (0) K P 21K P12 0,5 ⋅ 1 = = = 0,25 . G11 (0) ⋅ G22 (0) K P11K P 22 1⋅ 2
Daraus ergeben sich die äquvivalenten Regelstrecken: * G11 ( s ) = G11 ( s ) ⋅ [1 − C0Gw2 (0)] = G11( s ) ⋅ (1 − C0 ) * G22 ( s) = G22 ( s) ⋅ [1 − C0Gw1 (0)] = G22 ( s) ⋅ (1 − C0 ) .
Die Übertragungsfunktion des offenen 1. Hauptregelkreises entspricht dem Grundtyp A
G*01 ( s ) = GR1 ( s )G*11 ( s) =
K IR1 K P11 0,75 K IR1K P11 ⋅ (1 − C0 ) = s 1 + sT11 s (1 + sT11 )
und kann nach dem Betragsoptimum optimal eingestellt werden:
K IR1 =
1 = 0,67 s −1 . 2 ⋅ 0,75 K P11T11
Analog ergibt sich die optimale Reglereinstellung für den 2. Hauptregelkreis
G*02 ( s) = GR 2 ( s)G*22 ( s ) =
0,75K IR2 K P 22 s (1 + sT22 )
K IR2 = 0,17 s −1 .
b) Der Wirkungsplan eines Regelkreises, bestehend aus der MIMO-Regelstrecke in P-kanonischer Struktur und eines Diagonalreglers, ist unten gezeigt. Der Diagonalregler besteht aus dem I-Regler GR1(s) und dem PI-Regler GR2(s).
KPR1
+ w1
K11 , T11
−
e1
+
x1
+
K12
K21 , T21
KPR2 , Tn2 w2
+
e2
−
K22 , T22a
1 , T22b
+ +
x2
Lösungen zum Kapitel 6: Mehrgrößenregelung
181
Zunächst werden die einzelnen Regelkreise separat betrachtet:
G01 ( s) = GR1 ( s ) ⋅ G11 ( s ) = G02 ( s) = GR2 ( s) ⋅ G22 ( s) =
K IR1 K11 ⋅ s 1 + sT11 K PR2 (1 + sTn 2 ) K 22 . ⋅ sTn 2 (1 + sT22a )(1 + sT22b )
Nach der Kompensation mit
Tn2 = T größte = T22b = 19 s ergeben sich folgende Übertragungsfunktionen für geschlossene Reglkreise:
Gw1 ( s ) =
G01 ( s ) K IR1K11 = 1 + G01 ( s ) s (1 + sT11 ) + K IR1K11
Gw 2 ( s ) =
G02 ( s ) K PR2 K 22 . = 1 + G02 ( s ) sTn 2 (1 + sT22a ) + K PR2 K 22
Dann wird der Koppelfaktor ermittelt
K 21 1 + sT21 G ( s) ⋅ G12 ( s) C ( s) = 21 = K K 22 ( ) ( ) G11 s ⋅ G22 s 11 ⋅ 1 + sT11 (1 + sT22a ) ⋅ (1 + sT22b ) K12 ⋅
und zwecks Vereinfachung durch den statischen Koppelfaktor ersetzt:
C (0) = lim C ( s) = s →0
K12 K 21 0,2 ⋅ 0,1 = 0,1 . = K11K 22 0,5 ⋅ 0,4
Die resultierenden Regelstrecken sind damit: * G11 ( s ) = G11( s ) ⋅ [1 − C (0) ⋅ Gw2 ( s )] * G22 ( s) = G22 ( s) ⋅ [1 − C (0) ⋅ Gw1 ( s)] .
Zwecks Vereinfachung werden Gw1(s) und Gw2(s) durch die Grenzwerte Gw1(0) und Gw2(0) im Beharrungszustand bei t → ∞ bzw. s → 0 angenähert, d. h.
Gw1 (0) = lim Gw1 ( s ) =
K IR1K11 =1 K IR1K11
Gw 2 (0) = lim Gw 2 ( s) =
K PR2 K 22 =1. K PR2 K 22
s →0
s →0
Die vereinfachten resultierenden Regelstrecken sind damit:
182
Lösungen
* G11 ( s) = G11 ( s) ⋅ [1 − C (0)] =
* G22 ( s ) = G22 ( s ) ⋅ [1 − C (0)] =
0,9 ⋅ K11 1 + sT11 0,9 ⋅ K 22 . (1 + sT22a )(1 + sT22b )
Die Reglereinstellung erfolgt nach dem Betragsoptimum, Grundtyp A: * * G01 ( s) = GR1 ( s) ⋅ G11 ( s) =
0,9 K IR1K11 s (1 + sT11 )
* * G02 ( s) = GR2 ( s) ⋅ G22 ( s) =
0,9 K PR2 K 22 . sTn 2 (1 + sT22a )
Die optimalen Kennwerte von beiden Reglern (Diagonalregler) sind:
K IR1 =
1 1 = = 1,01 s -1 2 ⋅ 0,9 K11 ⋅ T11 2 ⋅ 0,5 ⋅ 0,9 ⋅ 1,1 s
K PR2 =
Tn2 19 s = = 4,39 . 2 ⋅ 0,9 K P 22 ⋅ T22a 2 ⋅ 0,4 ⋅ 0,9 ⋅ 6 s
Lösung zu Aufgabe 6.5 Der erste Hauptregler wird nach dem Betragsoptimum, Grundtyp A, eingestellt:
G01 ( s ) = GR11 ( s ) ⋅ G11 ( s ) = K R11 =
K R11 K P11 ⋅ s 1 + sT11
1 1 = = 0,5 s -1 . 2 K P11T11 2 ⋅ 1 ⋅ 1 s
Die ähnliche Formel gilt für den zweiten Regler:
K R22 =
1 1 = = 0,125 s -1 . 2 K P22T22 2 ⋅ 2 ⋅ 2 s
Die Entkopplung erfolgt durch die folgende Reglereinstellung:
GR12 ( s ) = GR22 ( s ) ⋅ G22 ( s ) ⋅ V12 ( s ) GR12 ( s ) = bzw.
K R22 K P22 K K R22 K P22 K P12 ⋅ ⋅ P12 = s 1 + sT22 1 + sT12 s (1 + sT22 )(1 + sT12 )
Lösungen zum Kapitel 6: Mehrgrößenregelung
GR12 ( s ) =
183
K R12 s (1 + sT22 )(1 + sT12 )
mit
K R12 = K R22 K P22 K P12 = 0,17 s -1 ⋅ 2 ⋅ 1 = 0,34 s -1 T22 = 2 s T12 = 0,1 s Analog gilt für das zweite Entkopplungsglied
GR21( s ) = GR11( s ) ⋅ G11 ( s ) ⋅ V21( s ) GR21 ( s ) =
K R11 K P11 K K R11K P11K P21 ⋅ ⋅ P21 = s 1 + sT11 1 + sT21 s(1 + sT11)(1 + sT21 )
GR21 ( s) =
K R21 s(1 + sT11)(1 + sT21 )
bzw.
mit
K R21 = K R11K P11K P21 = 0,5 s -1 ⋅ 1 ⋅ 0,5 = 0,25 s -1 T11 = 1 s T21 = 0,1 s .
Lösung zu Aufgabe 6.6 a) Entwurf des Diagonalreglers.
w1
−
KP11 , T11
KIR1 y1
e1
G11
+
x1
+
GR1
+
KP12 , T12 G12 KP21, T21 G21
KIR2 w2
e2
+
−
KP22 , T11
y2 GR2
+ +
G22
x2
184
Lösungen
Die gesamte MIMO-Strecke ist symmetrisch, so die Lösung anhand eines einzelnen Regelkreises gezeigt wird:
G01 ( s ) = GR1 ( s ) ⋅ G11 ( s ) = Gw1 ( s ) =
K IR1 K P11 ⋅ s 1 + sT11
G01 ( s ) K IR1K P11 = . 1 + G01 ( s ) s (1 + sT11 ) + K IR1K P11
Der geschlossene Regelkreis sowie der Koppelfaktor werden durch deren Grenzwerte bei t → ∞ bzw. s → 0 angenähert:
Gw1 (0) = lim Gw1 ( s ) = s →∞
C (0) = lim C ( s) = s →∞
K IR1 K P11 =1 K IR1 K P11
K12 K 21 3 ⋅ 1,67 = 0,8 . = K11K 22 1,25 ⋅ 5
Die resultierende Regelstrecke ist damit: * G11 ( s ) = G11 ( s ) ⋅ [1 − C (0) ⋅ Gw2 ( s )] =
0,2 K P11 . 1 + sT11
Der Regelkreis mit der resultierenden Strecke * * G01 ( s) = GR1 ( s) ⋅ G11 ( s) =
0,2 K IR1 K P11 s (1 + sT11 )
wird nach dem Betragsoptimum für Grundtyp A eingestellt:
K IR1 =
1 1 = = 4,55 . 2 ⋅ 0,2 K P11 ⋅ T11 2 ⋅ 0,5 ⋅ 0,2 ⋅ 1,1 s
Ähnliche Formel gilt für den zweiten Regler:
K IR2 =
Tn2 19 s = = 19,8 . 2 ⋅ 0,2 K P 22 ⋅ T22a 2 ⋅ 0,4 ⋅ 0,2 ⋅ 6 s
b) Entwurf des Entkopplungsreglers. Die Werte von KIR1 und KIR2 wurden im vorherigen Punkt berechnet:
K IR1 = 4,55 K IR2 = 19,8 Für den im vorherigen Punkt auch berechneten Koppelfaktor
C (0) = C0 = 0,8
Lösungen zum Kapitel 7: Zustandsregelung
185
ergibt sich
1 1 1 = = = 5. 1 − C0 1 − 0,8 0,2 Der Wirkungsplan des Entkopplungsreglers ist unten gezeigt.
w1
−
e1
KP11 , T11
KIR1 1 1−C0 KPR12
+ GR11
x1
+
+
−
G11
+
KP12, T12
G12 KPR21
GR12 GR12
KIR2 w2
+
e2
−
1 1−C0
+
KP21, T21 G21
−
KP22 , T22
+
+
x2
G22
GR22
Die Entkopplung erfolgt mit den folgenden Übertragungsfunktionen:
GR12 ( s ) =
G12 ( s ) G11 ( s )
K P12 3 1 + sT11 1 + sT11 G ( s ) 1 + sT12 K P12 1 + sT11 GR12 ( s) = 12 = ⋅ = ⋅ = 2,4 ⋅ = K P11 G11 ( s) K P11 1 + sT12 1,25 1 + sT12 1 + sT12 1 + sT11 GR 21( s ) =
G21 ( s) G22 ( s )
K P 21 G ( s ) 1 + sT21 K P 21 1 + sT22 1 + sT22 GR 21 ( s ) = 21 = ⋅ == 0,334 ⋅ = . K P 22 G22 ( s ) K P 22 1 + sT21 1 + sT21 1 + sT22
186
Lösungen
Lösungen zum Kapitel 7: Zustandsregelung Lösung zu Aufgabe 7.1 Um den gewünschten Dämpfungsgrad ϑ zwischen 0,3 und 0,4 zu erreichen, soll der Regelkreis folgende Polstellen besitzen:
p1 = −1 + 2 j p 2 = −1 − 2 j Da hier der Regelkreis relativ einfach ist, wird kein Übergang zu den Zustandgleichungen gemacht, sondern die Aufgabe wird mit Übertragunsgsfunktionen gelöst.
u k
+
1 s
− +
1 s
x
k1
+ k2
Die Übertragungsfunktion des inneren Regelkreises
1 1 1 / k1 1 1 s = = mit Tw = . Gw1 ( s) = = 1 k1 1 + ⋅ k1 s + k1 k1§¨1 + s 1 ·¸ 1 + sTw ¨ s k1 ¸¹ © Die Übertragungsfunktion des Hauptregelkreises:
1 / k1 1 s ( 1 + sTw ) s Gw ( s ) = = 1 k 2 / k1 1 + Gw1 ( s ) ⋅ k 2 1 + s s (1 + sTw ) Gw1 ( s )
Gw ( s ) = Gw ( s ) = Gw ( s ) =
1 / k1 1 / k1 = s (1 + sTw ) + k2 / k1 s 2 (1 / k1 ) + s + k 2 / k1 1 / k1 (1 / k1 )(s 2 + k1s + k 2 ) 1 2
s + k1s + k 2
.
Lösungen zum Kapitel 7: Zustandsregelung
187
Die gewünschte Übertragungsfunktion mit Polstellen p1,.2 = −1 ± 2 j ist
Gw ( s ) =
1 1 1 = 2 = 2 . ( s − p1 )( s − p2 ) s − s ( p1 + p2 ) + p1 ⋅ p2 s + 2s + 5
Aus der Gegenüberstellung von beiden Übertragungsfunktionen
1 2
s + k1s + k 2
=
1 2
s + 2s + 5
ergeben sich die gesuchten Koeffizienten der Rückführung: k1 = 2 k2 = 5. Der Verstärkungsgrad k ergibt sich aus der Bedingung für den Beharrungszustand:
1 / k1 ⋅k =1 k 2 / k1
k=5
Das entsprechende Simulink-Programm und die Sprungantwort mit dem gewünschten Dämpfungsgrad sind unten gezeigt.
188
Lösungen
Lösung zu Aufgabe 7.2 Das gegebene System ist instabil. Dies kann man mit Hilfe einer Simulink-Simulation mit gegebenen Matrizen feststellen: A = [ 1, 1; 5, −6]; B = [ 2; 5.5]; C = [ 0, 1]; D = 0;
Das MATLAB-Programm zur Ermittlung der Rückführmatrix K ist: A = [ 1, 1; 5, −6]; % B = [ 2; 5.5]; C = [ 0, 1]; D = 0; p1 = −2 + j;
p2 = conj(p1);
% gewünschte Polstellen
P = [p1; p2]
% gewünschte Pol-Matrix P = [−2 + j, −2 − j]
K = place(A, B, P)
% Rückführmatrix
§ 1,0602 · ¸¸ . Die somit berechnete Rückführmatrix ist K = ¨¨ © − 0,5673 ¹ Die Sprungantwort des gegebenen Systems ohne Rückführung (links) entspricht dem gegebenen instabilen System. Mit Rückführung (rechts) wird das System stabil.
Lösungen zum Kapitel 7: Zustandsregelung
189
Das Simulink-Modell des Regelkreises mit der Zustandsrückführung ist unten gezeigt.
Lösung zu Aufgabe 7.3 Ein System in allgemeiner Form mit den Dimensionen n, p und q, beschrieben durch Zustands- und Beobachtungsgleichungen, ist unten gezeigt:
x (t ) = Ax (t ) + Bu(t )
A = [ n × n] ; B = [ p × n ]
Dimensionen:
y(t ) = Cx (t ) + Du(t )
C = [ n × q ] ; D = [q × p ]
x (t ) = [1 × n] Zustandsvektor u(t ) = [1 × p] Eingangsvektor y (t ) = [1 × q] Messvektor Das gegebene System wird in entsprechende Matrizenform umgewandelt:
x1 = 2 ⋅ x1 + 0 ⋅ x2 + 0 ⋅ u x 2 = 3 ⋅ x1 − 4 ⋅ x2 + 3,5 ⋅ u
A=
−2
0
3
−4
B=
mit lenght(A) = 2
0 3,5
C= 1 0
y = x1 + 0 ⋅ x2
Daraus werden die Steuerbarkeits- und Beobachtbarkeitsmatrix gebildet: die Steuerbarkeitsmatrix
QS =
die Beobachtbarkeitsmatrix
QB =
0
0
3,5 − 14 0
1
3 −4
mit rank(QS) = 1
mit rank(QB) = 2
190
Lösungen
Das betrachtete System ist: a) beobachtbar, weil rank(QB) = length(A) ist. b) nicht steuerbar, weil rank(QS) ≠ length(A) ist. Die MATLAB-Befehle zur Prüfung der Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit: A = [ −2, 0;
3, −4];
B = [ 0; 3.5]; C = [ 1, 0]; length(A)
% Eingabe
% Dimension der Matrix A
Co = ctrb (A, B) % Steuerbarkeitsmatrix QS rank(Co) % Rang der Matrix QS Ob = obsv (A, C) % Beobachtbarkeitsmatrix QB rank(Ob) % Rang der Matrix QB
Lösung zu Aufgabe 7.4 Das gegebene System
x (t ) = Ax (t ) + Bu(t ) y (t ) = Cx (t ) § − 2 1· ¸ mit A = ¨¨ ¸ © 0 − 1¹
§ 0· B = ¨¨ ¸¸ ©1¹
§1· C = ¨¨ ¸¸ © 0¹
wird in MATLAB wie folgt eingegeben: A = [−2, 1; 0, −1] B = [ 0; 1] C = [ 1, 0] Daraus bestimmt man mit dem Befehl eig(A) die Eigenwerte des gegebenen Systems: s1 = −2 s2 = −1 Somit ist das gegebene System stabil. Die gewünschten Polstellen p1 = p 2 = − 3 befinden sich auch auf der reellen Achse in der linken s-Halbebene, sind jedoch vom Koordinatenanfang weiter entfernt, was einer größeren Phasenreserve entspricht. Der Entwurf des Beobachters erfolgt nach folgenden Schritten. Zuerst wird die Rückführmatrix definiert:
§k · K = ¨¨ 1 ¸¸ . © k2 ¹ Danach bestimmt man die Matrix des Modells (Beobachters):
Lösungen zum Kapitel 7: Zustandsregelung
191
§ − (2 + k1 ) 1 · ¸. AM = A − KC = ¨¨ − 1¸¹ © − k2 Daraus kann man die folgende Matrix bilden sI − AM bzw.
§ 1 0 · § − (2 + k1 ) 1 · § s + 2 + k1 − 1 · ¸=¨ ¸, ¸¸ − ¨¨ s ⋅ ¨¨ − 1¸¹ ¨© k 2 s + 1¸¹ © 0 1 ¹ © − k2 aus deren Determinante sich die charakteristische Gleichung des Beobachters ergibt:
det( sI − AM ) = 0 bzw.
( s + 2 + k1 )( s + 1) − (−k 2 ) = 0 s 2 + (3 + k1) s + 2 + k1 + k 2 = 0 . Die charakteristische Gleichung des Systems mit gewünschten Polstellen p 1 = p2 = −3 wird folgendermaßen bestimmt:
( s − s1 )(s − s2 ) = ( s + 3)( s + 3) = s 2 + 6 s + 9 = 0 . Aus dem Vergleich von Koeffizienten dieser charakteristischen Gleichungen mit den Koeffizienten der charakteristischen Gleichung des Beobachters folgt die Lösung:
3 + k1 = 6 ® ¯2 + k1 + k 2 = 9
k1 = 3 k2 = 4
Die Zustandsgleichung des Beobachters
xM (t ) = AM x (t ) M + Bu(t ) + K ⋅ [ y (t ) − yM (t )] beinhalten die Dynamikmatrix
§−5 1 · ¸¸ AM = ¨¨ © − 4 − 1¹ und die Zustandrückführung
§ 3· K = ¨¨ ¸¸ . © 4¹ Das MATLAB-Skript zur Ermittlung der Rückführmatrix des Zustandsbeobachters ist unten gegeben: A = [−2, 1; 0, −1]; B = [ 0; 1]; C = [ 1, 0];
192
Lösungen p1 = −3 ; p2 = −3 ; P = [p1; p2] ; % gewünschte Polstellen P = [−10 + 5j, −10 − 5j] Kob = acker(A’, C’, P);
% Rückführmatrix
K = Kob’;
% transponierte Rückführmatrix K = [3; 4]
AM = A − K*C
% Modell-Matrix AM= [−5, 1; −4, −1];
subplot(311); plot(t,x); subplot(312);plot(t,xM); subplot(313); plot(t,xe);
Das Simulink-Modell und die Simulationsergebnisse sind unten gezeigt.
⇐ Regelgröße x(t)
⇐ Modellausgang xM(t)
⇐ Messgröße y(t) bzw. xE(t)
Lösungen zum Kapitel 7: Zustandsregelung
193
Lösung zu Aufgabe 7.5 Die Übertragungsfunktion des aufgeschniten Kreises unter Beachtung der Kompensation
Tv = T2 = 10 s sieht wie folgt aus:
G0 ( s ) =
4 . (1 + 5s )(1 + 10s )
Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises ist:
Gw ( s ) =
G0 ( s ) 4 bzw. x( s ) = Gw ( s) w( s ) . = 1 + G0 ( s ) 4 + (1 + 5s )(1 + 10s )
Daraus resultieren die Zustandsgleichungen
x = Ax + Bu y = Cx
1 · § 0 ¸ mit A = ¨¨ − 0 , 25 − 0 ,45 ¸¹ ©
§ 0· B = ¨¨ ¸¸ ©1¹
C = (0,2 0) .
Für aktuelle Polstellen s1 und s2 ergibt sich aus der Matrix A: Für gewünschte Polstellen p1 = p2 = −1 ergibt sich:
a0 = 0,25 a1 = 0,45. a R 0 = p1 p2 = 1 a R1 = − p1 − p2 = 2.
Die Steuerbarkeitsmatrix und die Inverse sind:
QS = ( B
1 · §0 ¸¸ BA) = ¨¨ © 1 − 0,45 ¹
§ 0,45 QS−1 = ¨¨ © 1
1· ¸. 0 ¸¹
Daraus wird die Transformationsmatrix bestimmt:
§ eT · § 1 0 · ¸. T −1 = ¨ T2 ¸ = ¨¨ ¨ e A ¸ © 0 1 ¸¹ © 2 ¹ Die Zustandsrückführung
K = ( a R 0 − a0
a R1 − a1 ) ⋅ T −1
wird wie folgt berechnet: §1 0· §1 0· ¸¸ = (0,75 1,55) ⋅ ¨¨ ¸¸ = (0,75 1,55) . K = (1 − 0,25 2 − 0,45) ⋅ ¨¨ 0 1 © ¹ ©0 1¹
194
Lösungen
Lösung zu Aufgabe 7.6 Die Lösung ergibt sich aus der Riccati-Gleichung
A' P + PA − PBR −1B' P + Q = 0 mit gegebenen Kennwerten
a = A = −10 b=B=2 c = C =1 q = Q =1 r = R =1 wie folgt: 2
k=
2
a q − 10 §a· § 10 · 1 + ¨ ¸ + = + ¨ ¸ + = −5 + 5,099 = 0,099 b r 2 ©b¹ © 2¹ 1
bzw. k = 0,099 und
p=
2
2
§ ra · qr − 10 1 § 10 · + ¨¨ ¸¸ + = + ¨ ¸ + = −2,5 + 2,5495 = 0,0495 2 2 2 4 4 4 © ¹ b b ©b ¹ ra
Das LQ-Integral für den gegebenen Angfangszustand x(0)= x0 = 5 wird nach folgender Formel berechnet:
J = x0′ Px0 = 5 ⋅ 0,0495 ⋅ 5 = 1,2375
J = 1,2375 .
Zur Kontrolle ist unten das MATLAB-Skript gegeben: A = [ -10 ]; B = [2]; C = [1]; x0 = [5]; Q=[1]; R = 1; [K, S, E] = lqr(A, B, Q, R); sys_cl = ss(A-B*K, B ,C, D); initial (sys_cl, x0) J = x0'*S*x0
Lösungen zum Kapitel 8: Adaptive Regelung
195
Lösungen zum Kapitel 8: Adaptive Regelung Lösung zu Aufgabe 8.1 Aus dem Verlauf der Sprungantwort ist erkennbar, dass es sich um ein P-Glied mit Verzögerung größerer Ordnung, d.h. mit n ≥ 2 handelt:
GS ( s) =
K PS . (1 + sT1 )(1 + sT2 )...(1 + sTn )
Die grafische Lösung nach der Tangentenmethode ist im Bild unten gezeigt. Die Regelstrecke wird durch ein P-T1-Glied und ein Totzeitglied angenähert:
GS ( s) ≈
K PS − sTt e . 1 + sT1
Zunächst wird die Tangente zur Sprungantwort im Punkt mit der maximalen Steigung (Punkt A) eingetragen. Dann werden die Zeitkonstanten, wie im Bild gezeigt, abgelesen: T1 = 3,5 s Tt = 1,5 s Die Ein- und Ausgangsgrößen im Arbeitspunkt: Y0 = 50 X0 = 5 Im Beharrungszustand: Y1 = 90 X1 = 116 Die Abweichungen vom Arbeitspunkt sind:
yˆ = 90 − 50 = 40 x(∞) = 116 − 5 = 115 Daraus ergibt sich: K PS =
x (∞) = 2,875 yˆ
Lösung zu Aufgabe 8.2 Die Messwerte-Datei wird als M.txt gespeichert und nach MATLAB importiert. Die Spalten der Matrix M werden als Variablen zeit, in und out dargestellt: zeit = M( : , 1); in =
M( : , 2);
out = M( : , 3);
196
Lösungen
Aus dem Verlauf der Sprungantwort stellt man fest, dass die Regelstrecke wie ein P-T1K PS − sTt Glied mit Totzeit approximiert werden kann: GS ( s) = e . 1 + sT1
T Weiterhin kann man die Totzeit nach Pade oder nach Taylor mit Tp = t approximieren: 2 e − sTt ≈ e − sTt ≈
1 − sTp
(nach Pade, 1. Ordnung)
1 + sTp 1 (1 + sTp ) 2
(nach Taylor, 2. Ordnung)
Nachfolgend wurde sich für die Vereinfachung nach Taylor entschieden. Damit ist die vereinfachte Übertragungsfunktion der Regelstrecke:
GS ( s ) =
K PS − sTt K PS 1 e ≈ ⋅ . 1 + sT1 1 + sT1 (1 + sTp ) 2
Die Parameterschätzung wird mit Anfangswerten von T1, Tt und KPS angefangen, die nach dem Tangentenverfahren ermittelt werden: T1 = 5,5
Tp = 4,5
K = 0,8
Das entsprechende MATLAB-Skript: num = [K]; den = [T1*Tp^2
Tp^2+2*T1*Tp
T1+2*Tp
1];
step(num,den) Die Streckenparameter werden schrittweise geändert, bis die beste Annäherung an die experimentelle Sprungantwort erfolgt. Die gewählten Werte im betrachteten Fall sind: T1 = 0,1 s
Tt = 7 s
KPS = 0,8 s Um die Regelstrecke besser zu identifizieren, soll die Ordnung n des approximierenden Polynoms erhöht werden. Der Zähler num und der Nenner den werden mit Hilfe der Funktion pade von Control System Toolbox (MATLAB) für die Totzeit T berechnet: [num, den]=pade(T,n)
Lösungen zum Kapitel 8: Adaptive Regelung
197
Lösung zu Aufgabe 8.3 Die experimentell aufgenommene Sprungantwort wird abgetastet und durch den Parameter-Vektor P beschrieben:
ª x (k ) º ª − x(k − 1) « x(k − 1) » «− x(k − 2) « »=« « x (k − 2)» « − x(k − 3) « » « ¬ x(k − 3) ¼ ¬− x(k − 4)
− x(k − 2) u (k − 1) − x (k − 3) u (k − 2) − x(k − 4) u (k − 3) − x(k − 5) u (k − 4)
u (k − 2)º ª a1 º « » u (k − 3) »» «a2 » ⋅ u (k − 4)» « b1 » » « » u (k − 5) ¼ ¬b2 ¼
Zuerst wird die Matrix M von Messwerten nach MATLAB importiert und im Workspace gespeichert. Aus dieser Matrix werden dann die Zeit t, der Eingangssprung y und die Sprungantwort x als entsprechende Spalten 1, 2 und 3 extrahiert: t = M( : , 1); y = M( : , 2); x = M( : , 3); Die experimentell aufgenommene Sprungantwort wird grafisch dargestellt: plot(t, x, ’r’)
% ’r’ für red
Danach erfolgt die Identifikation nach folgendem MATLAB-Skript: u (1:laenge(x)) = 1
% Schrittlänge
K1 = 10000;
% Anfangswert von K1
K2 = 1;
% K2 liegt zwischen 1 und 0,95
m = 2;
% Ordnung der Strecke
p = zeros(2*m, 1);
% Anfangswerte des Parameter-Vektors p
E = eye(2*m);
% Einheitsmatrix der Dimension (2m x 2m)
P = K1 * E;
% Anfangswert der Güte-Matrix P
K3 = zeros(2*m, 1);
% Anfangswert von K3
K3_t = K3';
% Aktueller Wert von K3
N = 10;
% Für verschiedene Werte 1 < N < laenge(x) − 1
for i = 1 : N for j = 0:(m−2) K3 (m−j, 1) = K3 (m−j−1, 1); K3 (2*m−j, 1)=K3 (2*m−j−1, 1); end K3 (1, 1)= − x(i); K3 (m+1, 1) = u(i); K3_t = K3';
198
Lösungen p_korr = P*K3/(K3_t*P*K3 + K2);
% Korrektur-Vektor p_korr
p = p + p_korr * ( x(i+1) − K3_t * p);
% Aktueller Wert von p
P = (E − p_korr*K3_t) * P;
% Aktueller Wert der Güte-Matrix P
end p
% Der geschätzte Parameter-Vektor p
xm(1) = 0;
% Anfangswert der Regelgröße xm(1)
xm(2) = 0;
% Anfangswert der Regelgröße xm(2)
for i = 3:laenge(x)
% Modellausgang xm
xm(i) = −p(1) * xm (i−1) − p(2)*xm (i−2) + p(3)* u(i−1) + p(4)* u(i−2); end plot (T, x, ‘r’, T, xm', 'k');
% Messwerte und Modellausgang
grid;
% Gitternetz
xlabel ('t/s');
% Achsen-Beschriftung
Nach der Ausführung des Programms ergeben sich die gesuchten Systemparameter: p = −1.4960 0.7030 0.1094 0.0978 Die resultierende Sprungantwort des Modells xm(t) bei N = 10 und die experimentell ermittelte Sprungantwort x(t) nach der Matrix M sind unten gezeigt. 1 .4
x(t) 1 .2
xm
1
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
0 0
t /s 2
4
6
8
10
12
Lösungen zum Kapitel 8: Adaptive Regelung
199
Lösung zu Aufgabe 8.4 Nach dem Betragsoptimum (Grundtyp A)
G0 ( s ) =
K PR K s (1 + sT )
wird der Proportionalbeiwert des P-Reglers wie folgt berechnet:
K PR =
1 . 2 ⋅ K ⋅ 0,1 ⋅ T
Die tabellarisch gegebene Parameteränderung der Regelstrecke
T=
2 a0
K=
T 2
wird mittels einer exponentiellen Funktion approximiert:
a 0 = 200e
−
u 200
− 199e
−
u 199 .
Setzt man die obigen Werte in die Formel für KPR, so ergibt sich die optimale Regelung bei allen Werten von Parameter u:
K PR =
1 2⋅
T ⋅ 0,1 ⋅ T 2
=
1 0,1 ⋅ T 2
= 500e
−
u 200
− 497,5e
−
u 199
.
Das MATLAB-Skript und das Simulink-Modell des adaptiven Regelkreises sind unten gegeben: a0 = 200*exp(−u/200) − 199*exp(−u/199); T = 2/a0; K = T/2; KPR = 1 / (2 * K * T * 0.1);
200
Lösungen
Lösung zu Aufgabe 8.5 Die Übertragungsfunktion des inneren Kreises:
1 1 − sT1 1 1 1 Gw1 ( s) = = = ⋅ k1 1 − sT + k 1 + k 1 1 1 1 − s T1 1+ 1 − sT1 1 + k1 Bezeichnet man
K w1 =
1 T und Tw1 = 1 , 1 + k1 1 + k1
so ergibt sich für den inneren Regelkreis:
Gw1 ( s ) =
K w1 . 1 − sTw1
Die Übertragungsfunktion des gesamten Kreises:
K w1 1 (1 − sTw1 )(1 + sT2 ) 1 + sT2 Gw ( s ) = = k2 k 2 K w1 1 + Gw1 ( s) ⋅ 1+ 1 + sT2 (1 − sTw1 )(1 + sT2 ) Gw1 ( s ) ⋅
Gw ( s ) =
K w1 . (1 − sTw1 )(1 + sT2 ) + k 2 K w1
Die Übertragungsfunktion des gesamten Kreises mit gewünschten Polstellen:
Gw ( s ) = Daraus folgt:
bzw.
k k k . = = 2 ( s − p1 )( s − p2 ) ( s + a − bj )( s + a + bj ) s + 2a ⋅ s + ( a 2 + b 2 ) k 2
2
2
s + 2a ⋅ s + ( a + b )
=
K w1 2
s T2Tw1 + s (T2 − Tw1 ) + (1 + k 2 K w1 )
K w1 T2Tw1 . = s 2 + 2a ⋅ s + (a 2 + b 2 ) s 2 + s ⋅ T2 − Tw1 + 1 + K w1k 2 T2Tw1 T2Tw1 k
kK w1 = 1 bzw. k = k1 + k 2 + 1 . 1 + k 2 K w1 Es ergibt sich nach der Polzuweisung-Methode: Im Beharrungszustand gilt
T2 − Tw1 = 2a T2Tw1
k1 = 2aT1 + (T1 / T2 ) − 1
Lösungen zum Kapitel 8: Adaptive Regelung
1 + k 2 K w1 = a2 + b2 T2Tw1
201
k2 = −( a 2 + b 2 )T1T2 − k1 − 1 .
Für die Simulation wird zuerst im Command-Window von MATLAB das folgende Skript eingetragen, dann das unten gezeigte Simulink-Modell gestartet. Im betrachteten Fall wird die Sprungantwort bei t = 30 s ermittelt. t = 30;
% Aktuelle Zeit t
T1 = 1.5 + 0.01* t;
% Zeitabhängigkeit des Streckenparameters T1
T2 = 3.5 + 0.1* t;
% Zeitabhängigkeit des Streckenparameters T2
a = −1 ;
% Realteil der gewünschten Polstellen p1, p2
b = 1;
% Imaginäre Teile der gewünschten Pollstellen
k1 = 2*a* T1 + (T1 / T2) −1;
% Rückführkoeffizient k1
k2 = − (a^2+ b^2)*T1*T2 − k1 −1;
% Rückführkoeffizient k2
k = k1 + k2 + 1;
% Verstärkungsgrad k des Vorwärtszweiges
Die berechneten Parameter des Regelkreises bei t = 30 s sind unten gezeigt. Die Sprungantwort hat den gewünschten Dämpfungsgrad von ϑ = 0,7 bei allen Werten von Streckenparametern T1 und T2 T1 = 1,8 s T2 = 6,5 s k1 = − 4,3231 k2 = − 20,0769 k = − 23,4
202
Lösungen
Lösungen zum Kapitel 9: Nichtlineare und unstetige Glieder Lösung zu Aufgabe 9.1 Gegeben sind: Tu = T t = 5 s Tg = T1 = 15 s XE = 90° − 20° = 70° Der Sollwert wS = 55° befindet sich in der Mitte des Regelbereiches XE = 70°, d. h. es handelt sich hier um die symmetrische Lage der Führungsgröße, und die angenäherte analytische Lösung ist möglich:
x0 =
X E Tu 70° 5 s ⋅ = ⋅ = 11,7° . 2 Tg 2 15 s
Zeigen wir nun, wie ein Regelkreis mit einem Zweipunktregler mit MATLAB/Simulink simuliert wird. Der Wirkungsplan ist unten gezeigt.
Die Regelstrecke ist das P-T1-Glied mit der Zeitkonstante T1 = 20 s und mit der Totzeit Tt = 5 s. Der Proportionalbeiwert der Strecke ist KPS = 2. Die Regelgröße soll mit einem idealen Zweipunktregler, d. h. ohne Schaltdifferenz bzw. ohne Hysterese, beim Sollwert w=1 konstant gehalten werden.
Lösungen zum Kapitel 9: Nichtlineare und unstetige Glieder
203
Der ideale Zweipunktregler (ohne Schaltdifferenz bzw. Hysterese) wird mit dem RelayBlock aus der Simulink-Bibliothek simuliert. Die Parameter werden wie folgt eingegeben: Swich on point
eps
Swich off point
eps
Output when on
1
Output when off
0
Berechen wir zuerst die Amplitude der Arbeitsschwingung nach der angenäherten Formel
x0 =
X E Tt ⋅ . 2 T1
Bei gegebenen Werten von
XE = 2
Tt = 5 s
Tt = 20 s
ergibt sich die Antwort:
x 0 = 0,25 . Aus der simulierten Sprungantwort (im Bild rechts) kann man den genauen Wert der Amplitude ablesen:
x 0 = 0,22 Wie ändert sich das Regelverhalten, wenn der analoge Zweipunktregler durch einen digitalen mit der Abtastzeit TA ersetzt wird? Bekanntlich entsteht dabei im Regelkreis eine zusätzliche Totzeit:
TtR =
TA . 2
Unten ist gezigt, wie diese Totzeit im Wirkungsplan berücksichtigt wird.
204
Lösungen
Die simulierten Sprungantworten des Regelkreises mit dem digitalen Zweipunktregler bei verschiedenen Werten von Abtastzeit sind unten gezeigt. Man sieht, wie sich die Totzeit und Amplitude der Arbeitsschwingung davon abhängig ändern.
Sprungantwort mit TA = 1 s
Sprungantwort mit TA = 5 s
Lösung zu Aufgabe 9.2 a) Der Sollwert Mmsoll = 1,8 liegt nicht in der Mitte des Regelbereiches XE = 3. Die symmetrische Lage des Sollwertes wird erreicht, wenn XE um 20% gekürzt wird, so dass XE = 3,0 – 0,6 = 2,4 wird. Der maximale Wert der Stellgröße uS = 36 − 26 = 10 soll dafür auch um 20% kleiner sein, d. h. die Grundlast wird UGL = 2 betragen. Tg
MM (t) 3,0 2,4
x0
Tu
Tu
MMsoll
1,8 Tu
Tu
1,2
x0
0,6 0 36 34 32 30 28 26
Tu
10
20
30
40
50
60
70
t /ms
uS (t)
UGL 10
20
30
40
50
60
70 t /ms
Lösungen zum Kapitel 9: Nichtlineare und unstetige Glieder
205
Ermittlung der Amplitude der Dauerschwingung x0 : • grafische Lösung (siehe Diagramm oben) x0 = 0,9 • analytische Lösung bei Tu = 10 ms und Tg = 17 ms:
X E Tu 3,0 − 0,6 10 ms ⋅ = ⋅ = 0,7 . 2 Tg 2 17 ms
x0 =
b) Die oben gegebene Formel gilt nur für Zweipunktregler ohne Schaltdifferenz. Im Fall eines Zweipunktreglers mit Schaltdifferenz wird die Amplitude der Dauerschwingung x0 grafisch ermittelt, wie unten gezeigt wird. Aus dem Diagramm folgt x0 = 0,9. MM (t) 3,0 Umschaltpunkt des Reglers
2,4 1,8 1,2
xd
x0
Tu xd
x0
Umschaltpunkt des Reglers
0,6 0
Tu
MM soll
Tu
10
20
30
40
Lösung zu Aufgabe 9.3
70
t /ms
UM = 4 V
10
6,8V − 0V = = 0,8 10V − 1,5V
K PSz =
60
UT /V
a) Die Linearisierung:
K PSy
50
4,9V − 3,5V = −0,35 4V − 8V
UM = 6 V
8 6,8
UM = 8 V
6 4,9
UM = 10 V
4 3,5
b) Das statische Verhalten des Regelkreises mit dem P-Regler. Es gilt für die Kennlinie R2:
K PR
ΔY 10V − 0V = = = 1,47 . ΔX 8V − 1,2V
R1
2,8
2 1,2
0
1,5
R2 2
4
Der statische Regelfaktor wird nach folgender Formel bestimmt
RF =
1 1 + K PR K PSy
,
6
8
10 UH /V
206
Lösungen
wobei sind: K PSy =
K PR = Daraus ergibt sich:
6,8V − 0V = 0,8 10V − 1,5V ΔY 10V − 0V = = 3,125 (für Kennlinie R1). ΔX 6V − 2,8V RF =
1 1 = = 0,29 . 1 + K PR K PSy 1 + 3,125 ⋅ 0,8
c) Die Sprungantworten der Regelstrecke nach dem Sprung der Stellgröße uH = 24 V. Die Strecke ist das P-T3-Glied mit
x(∞) = K PS ⋅ Uˆ H = 0,75 ⋅ 24V = 18V . Die Lösung ist damit Sprungantwort 4. 9.3.d) Die Übertragungsfunktion der Temperaturregelstrecke.
x(t)
Tu
GS ( s ) =
Tg
8
K PS ⋅ e − sTu 1 + sTg
Tu = 10 s
6
KPS ^y
4 2
Tg = 20 s K PS ⋅ yˆ = 8 K PS =
0
10
20
30
40
50
60
t/s
K PS = 1,33
e) Die Einstellung des PI-Reglers. P-T3-Strecke:
GS ( s ) =
K PS (1 + sT1 )(1 + sT2 )(1 + sT3 )
PI-Regler:
GR (s) =
K PR (1 + sTn ) sTn
Offener Kreis:
G0 ( s ) =
K PS K PR (1 + sTn ) ⋅ sTn (1 + sT1 )(1 + sT2 )(1 + sT3 )
Nach der Kompensation mit Tn = T3 = 20 s wird:
G0 ( s) =
K PR K PS sTn (1 + sT1 )(1 + sT2 )
G w ( s) =
G0 ( s) K PR K PS . = 1 + G0 ( s ) sTn (1 + sT1 )(1 + sT2 ) + K PR K PS
Charakteristische Gleichung:
8 8 = yˆ 6
Lösungen zum Kapitel 9: Nichtlineare und unstetige Glieder
207
sTn (1 + sT1 )(1 + sT2 ) + K PR K PS = 0 s 3 ⋅ Tn T1T2 + s 2 ⋅ Tn (T1 + T2 ) + s ⋅ T, K PR K PS = 0 n + a3
a2
a1
a3 = Tn ⋅ T1 ⋅ T2 = 20s ⋅ 3s ⋅ 5s = 300 s
a0 3
a2 = Tn ⋅ (T1 + T2 ) = 20s ⋅ (3s + 5s) = 160 s 2 a1 = Tn = 20 s a 0 = K PR K PS = K PR ⋅ 0,75 Bei KPR > 0 sind nach Hurwitz-Kriterium die 1. und 2. Bedingung erfüllt: a3 ≠ 0
a2 ≠ 0
a1 ≠ 0
a0 ≠ 0
a3 > 0
a2 > 0
a1 > 0
a0 > 0
Die 3. Bedingung a2 ⋅ a1 > a3 ⋅ a0 bzw. Tn (T1 + T2 ) ⋅ Tn > Tn T1T2 ⋅ K PR ⋅ 0,75 wird bei folgenden Werten von KPR erfüllt:
K PR
1, ( ) G j ω 0 d ¼ ¬ gibt es keine reelle Lösung der Gleichung
N ( xˆe ) = −
1 G0 ( jω)
bzw. keinen Schnittpunkt der Ortskurve N ( xˆe ) mit dem negativen inversen Frequenz1 , so dass die Antwort ist: gang − G0 ( jω)
0,52 ⋅ 5 >1 K PR ⋅ 0,25 ⋅ 2 ⋅ 1
KPR < 2,5.
Unten sind die Ortskurven für KPR = 5 (Stabilität im Kleinen) und KPR = 1,67 (unbegrenzte Stabilität, keine Dauerschwingungen) gezeigt.
−1
Im KPR = 5
0,5
ω
/s
KPR = 1,67
xˆ e xB ∞
0,2
5
1
0,4 0,5
N ( xˆe ) 1 0,4
1,5
2
Re
s−
1
ω/
212
Lösungen
Lösungen zum Kapitel 10: Digitale Regelung Lösung zu Aufgabe 10.1 Mit dem Einsatz eines digitalen Reglers wird die Totzeit
Tt =
TA 2
in den Regelkreis eingeführt. Es gilt nach dem Nyquist-Stabilitätskriterium im kritischen Zustand: KI0 = KPR KPS KIS = 2,5 ⋅ 0,4 ⋅ 0,2 s-1= 0,2 s-1
ωπ = 0,2 s −1 bzw. der Phasenwinkel
ϕ (ωπ ) = −π
ϕ (ωπ ) = −
π π + ϕ Tt (ωπ ) = − − ωπ Tt = −π . 2 2
Daraus werden die benötigten Totzeit und Abtastzeit berechnet:
Tt =
π 2 ⋅ ωπ
= 7,85 s
TA = 2Tt = 15,7 s
Der Kreis wird bei TA < 15,7 s stabil. Der Wirkungsplan des gegebenen Regelkreises mit den Streckenparametern KIS = 0,2 s-1 KPS = 0,4 wird zuerst mit dem analogen P-Regler mit KPR = 2,5 simuliert (siehe unten).
Lösungen zum Kapitel 10: Digitale Regelung
213 Die Sprungantwort des Regelkreises mit analogem P-Regler beim Eingangssprung wˆ 0 = 2 ist im Bild links gezeigt. Dann wird der analoge P-Regler durch den digitalen P-Regler mit verschiedenen Abtastzeiten TA ersetzt. Es ist folgendes Verhalten zu erwarten:
• mit TA > 31,4 s
instabil
• mit TA = 31,4 s
Stabilitätsgrenze
• mit TA < 31,4 s
stabil
Der simulierte Regelkreis und die Sprungantworten mit digitalem P-Regler mit verschiedenen Abtastzeiten sind unten gezeigt: a) TA = 1 s; b) TA = 4 s c) TA = 5 s
a)
c)
b)
214
Lösungen
Lösung zu Aufgabe 10.2 Durch Einsatz des digitalen Reglers entsteht die Totzeit: Tt = TA /2 = 0,2 s⋅/2 = 0,1 s. Zusammen mit der vorhandenen Totzeit T2 = 0,4 s ergibt sich eine gesamte Totzeit von T2 + T1= 0,4 s + 0,1 s = 0,5 s. Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises
G0 ( s ) =
K PR (1 + sTn )(1 + sTv ) K PS ⋅ ⋅ e − s (T2 + Tt ) sTn 1 + sT1
nach der Kompensation mit Tn = T1 = 0,5 s wird
G0 ( s ) =
K PR K PS (1 + sTv ) − s (T2 +Tt ) ⋅e . sTn
Daraus werden folgende Werte berechnet:
K I0 =
K PR K PS 1,25 ⋅ 0,8 = = 2 s −1 0,5 s Tn
1 1 = = 20 s −1 Tv 0,05 s
1 1 = = 2 s −1 T2 + Tt 0,4s + 0,1s
Die Phasenreserve wird aus dem nachfolgenden Bode-Diagramm ermittelt:
α R = 90° − 57,3° = 32,7° KI0=2 G0 dB 20dB
0dB
0,1
1/Tv = 20 1/(T2 + Tt )= 2
ω, s-1
10
1
ω, s-1
ϕ(ω)
ohne Totzeit
-90° -180°
ϕt =57,3° αR =32,7°
ϕt =180°
-270° mit Totzeit (T2 + Tt ) -360°
Lösungen zum Kapitel 10: Digitale Regelung
215
Antwort zu Aufgabe 10.3 Die Phasenreserve des Kreises mit analogem Regler beträgt
αAnalog = 60°. Die Totzeit wegen Abtastung: Tt = TA/2 = (0,033 s /2) = 0,0165 s. Bei
ω = 1 / Tt = (1 / 0,0165s) = 60,6 s-1 entsteht die Phasenverschiebung von 57,3°. Bei
ω = π / Tt = (π / 0,0165s) = 190,3 s-1 entsteht die Phasenverschiebung von 180°. Das Bode-Diagramm des offenen Kreises mit digitalem Regler GDig ist unten skizziert.
G0 dB 20dB
0dB
Neue 0-dB-Linie 1
100
10
ΔdB
ω, sec-1
ω, sec-1
ϕ(ω) -90° -180°
ϕAnalog
-57,3°
αDig = αAnalog ϕDig
-180°
-270° -360° Um
αDig = αAnalog = 60° zu erhalten, soll KPR um ΔdB = 12 dB verkleinert werden, d. h.
ΔdB = 20 lg(ΔK)
ΔK = 4
KPRneu = KPRalt / ΔK = 208,5 / 4 = 52,1.
216
Lösungen
Antwort zu Aufgabe 10.4 Der digitale PI-Regler mit der Totzeit Tt = TA /2 = 0,2 s⋅/2 = 0,1 s:
GR ( s ) =
K PR (1 + sTn ) − sTt ⋅e sTn
Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises:
G0 ( s ) =
K PS2 K PR (1 + sTn ) ⋅ ⋅ e − sTt sTn (1 + sT2 )(1 + sT3 )
Nach der Kompensation mit Tn = T3 = 0,6 s wird
G0 ( s ) =
K PR K PS2 ⋅ e − sTt . sTn (1 + sT2 )
Daraus werden folgende Werte unter Annahme KPR = 1 berechnet und in das BodeDiagramm eingetragen:
K I0 =
K PR K PS2 1 ⋅ 0,9 = = 1,5 s −1 Tn 0,6 s
1 1 = = 5 s −1 T2 0,2 s
1 1 = = 10 s −1 . Tt 0,1s
Der Proportionalbeiwert des Reglers wird aus dem nachfolgenden Bode-Diagramm ermittelt: 20 lg(ΔK) = 6 dB G0 dB
ΔK =1,996 KIo = 1,5 s-
20dB
0dB
K IRneu = K PRalt ⋅ ΔK = 1,996
1/T2 = 5 s-1 1/Tt = 10 s-1
−20 dB ΔdB = 6 dB 0,1
1
ω, s-1
10 −40 dB
ϕ(ω)
neue 0-dB-Linie
0°
ω, s-1
-90°
-180°
αR = 45°
ohne Totzeit 57,3° mit Totzeit
-270°
Lösungen zum Kapitel 10: Digitale Regelung
217
Antwort zu Aufgabe 10.5 a) Aus dem Amplitudengang wird abgelesen: KI0 = 3 s-1
T1 = 1 / 4 = 0,25 s.
Die Übertragungsfunktion des Kreises mit dem analogen P-Regler:
G0 ( s) =
K I0 s(1 + sT1 )
Damit gehört der Regelkreis zum Grundtyp A. Nach dem Betragsoptimum:
K PR =
1 1 = = 0,67 . 2 K I0T1 2 ⋅ 3 ⋅ 0,25 s
b) Nun wird der Regelkreis mit der Totzeit Tt = TA /2 = 0,1 s /2 = 0,05 s
ergänzt. Der entsprechende Phasengang ist unten im Bode-Diagramm gezeigt. Daraus ergibt sich für die Stabilitätsgrenze nach dem Nyquist-Stabilitätkriterium: 20 lg(ΔK) = 15 dB
ΔK = 5,8
K IRneu = K PRalt ⋅ ΔK = 5,8 .
KI0 = 3 s−1 1/ T1 = 4 s−1
G0 dB 20dB
1/Tt = 20 s-1 π/Tt = 62,8 s-1
−20 dB/Dek 0dB
0,1
1 ΔdB = 15 dB
ωD
ω, s-1
10
−40 dB/Dek neue 0-dB-Linie
ϕ(ω)
ω, s-1
−90° − 180°
ohne Totzeit 57,3°
− 270° − 360°
180° mit Totzeit Tt
218
Lösungen
Lösung zu Aufgabe 10.6 Digitalisierung von Algorithmen
a)
Grundglied
Übertragungsfunktion
P-Regler
GR ( s ) = K PR
Differentialgleichung Differenzengleichung x(t ) = K PR ⋅ e(t )
xk +1 = K PR ⋅ ek
³
K PR e(t )dt Tn dx(t ) Tn = K PR ⋅ e(t ) dt x −x Tn k +1 k = K PR ⋅ ek TA x(t ) =
b)
GR ( s ) =
I-Regler
K PR sTn
xk +1 = xk + K PR
c)
GR ( s) = K PR
PI-Regler
(1 + sTn ) sTn
TA ⋅ ek Tn
³
x (t ) = K PR e(t ) + K IR e(t )dt xk +1 =
xkP+- Anteil 1
+
xkP+- Anteil 1
xk +1 = K PR ek + xk + K IR TA ek dx(t ) + x(t ) = K PS ⋅ y (t ) dt x −x T1 k +1 k + xk = K PS ⋅ yk TA T1
d)
P-T1-Strecke
GS ( s ) =
K PS 1 + sT1
T1xk +1 = T1xk − TA xk + K PSTA yk xk +1 = xk + K PS
T TA yk − A xk T1 T1
Konfigurierung mit IEC-Funktionsbausteinen: a) P-Regler SUB_INT w %3:00002 x %3:00003
e
MUL_REAL
y
INT_TO_REAL
REAL_TO_INT %4:00001
KpR
LIMIT_REAL −32000.0 32000.0
MN IN MX
Y
Lösungen zum Kapitel 10: Digitale Regelung
219
b) I-Regler w
SUB_INT
%3:00002 %3:00003 x
e
INT_TO_REAL
DIV_REAL Ki
KpR Tn
ADD_REAL
MUL_REAL e Ki TA
%4:00001 REAL_TO_INT
y0 yk
y
LIMIT_REAL −32000.0
e = w− x KpR = K PR
32000.0
yk
Y
MN IN MX
K PR Tn
Ki =
TA = TA
c) PI-Regler P_REGLER SUB_INT w %3:00002 x %3:00003
y
ADD_INT
e
%4:00001
I_REGLER
d) P-T1-Strecke LIMIT_REAL
%4:00001 y
INT_TO_REAL
−32000.0 32000.0
MUL_REAL
MN IN MX
xk
Y
REAL_TO_INT
MUL_REAL
SUB_REAL
ADD_REAL
y xk
KpS DIV_REAL 1 T1
TA
%4:00002
xk
220
Lösungen
Grundglied
Differentialgleichung Differenzengleichung dx(t ) T1 + x(t ) = K IS y (t )dt dt
Übertragungsfunktion
³
2
T1 e)
I-T1-Strecke
GS ( s) =
K IS s(1 + sT1 )
T1
d x(t ) dt
2
+
xk +1 − xk TA2
dx(t ) = K IS y (t ) dt − T1
xk − xk −1 TA2
xk +1 = 2 xk −1 − xk + K IS
GR ( s) = K PR f)
PI-Regler mit P-T2-Strecke
GS ( s ) =
(1 + sTn ) sTn
= K IS yk
T A2 yk T1
xk +1 = K PR ek + xk + K IR TA ek
K PS1 K PS2 ⋅ 1 + sT1 1 + sT2
xk +1 = xk + K PS
G0 ( s) = GR ( s )GS ( s ) = K PR
T TA yk − A xk T1 T1
(1 + sTn ) K PS1 K PS2 ⋅ ⋅ sTn 1 + sT1 1 + sT2
Grundtyp A Tn = 2 K PS1K PS2T1
Kompensation: Tn = T2 = 81 s Betragsoptimum: K PR
K PR = GR ( s ) = K PR g)
P-Regler mit I-T1-Strecke
GS ( s) =
K IS s(1 + sT1 )
81 s = 8,44 2 ⋅ 0,8 ⋅ 6 s xk +1 = K PR ⋅ ek xk +1 = 2 xk −1 − xk + K IS
G0 ( s) = GR ( s)GS ( s) = K PR ⋅ Betragsoptimum: K PR =
K IS s(1 + sT1 )
TA2 yk T1
Grundtyp A
1 1 = = 10 2 K IST1 2 ⋅ 0,1 s -1 ⋅ 0,5 s
Lösungen zum Kapitel 10: Digitale Regelung
221
Lösung zu Aufgabe 10.7 a) Die Abtastzeit beträgt TA = 0,01 s und ist viel kleiner als die Zeitkonstante der Regelstrecke T1. Die Bedingung
TA
5T2 erfüllt ist, werden die Zeitkonstanten zusammengefasst: TE = T2 + T3= 0,6 s + 3 s = 3,6 s. Für die Übertragungsfunktion
G0 =
K PR K IS2 s(1 + sTE )
folgt nach dem Betragsoptimum die optimale Einstellung des PD-Reglers:
K PR =
1 1 1 = = = 13,8 . 2 K IS2TE 2 ⋅ 0,01 s-1 ⋅ 3,6 s 0,072
Der mit dem Simulink programmierte geschlossene Regelkreis ist unten gezeigt.
Der Zero-Pole-Block
K ( s + z1 ) s( s + p1 ) wird wie ein PD-T1-Regler und I-Teilstrecke eingestellt:
235
236
Lösungen
G ( s ) = K PR
§ 1 · ¸ Tv ¨¨ s + ¸ T v ¹ © ⋅ § 1 · sT1 ¨¨ s + ¸¸ T 1¹ ©
mit
K=
K PR ⋅ Tv 13,5 ⋅ 12 s = = 270 T1 0,6 s
z1 = −
1 1 =− Tv 12
p1 = −
1 1 =− . T1 0,6
Die Sprungantwort nach einem Eingangsprung der Führungsgröße wˆ = 1 (Bild oben) entspricht dem Betragsoptimum. c) Entwurf des Regelkreises mit dem modellbasierten Regler. Da der Regelkreis wegen Abtastung die Totzeit
T Tt = A = 0,1 s 2 besitzt, kann man dafür einen Smith-Prädiktor entwerfen. Die Übertragungsfunktion des Smith-Prädiktors ist
GR ( s ) =
K Pr ( s )
1 + K Pr ( s )GS2 ( s )(1 − e − sTt )
,
wobei für den Kompensationsregler gilt
K Pr ( s) =
K Pw 1 0,2 s(1 + sT2 )(1 + sT3 )(1 + sT4 ) ⋅ = ⋅ 1 − K Pw GS2 ( s) 1 − 0,2 K IS2
K Pr ( s ) =
0,25 s (1 + sT2 )(1 + sT3 )(1 + sT4 ) . K IS2
Daraus ergibt sich die gesuchte Übertragungsfunktion des Smith-Prädiktors:
GR ( s ) =
s (1 + sT2 )(1 + sT3 )(1 + sT4 ) 1 . ⋅ 4 K IS2 1 + 0,25 ⋅ (1 − e − sTt )
Der Regelkreis mit dem digitalen Smith-Prädiktor mit der Abtastzeit TA = 0,2 s
Lösungen zum Kapitel 11: Modellbasierte Regelung
237
für das gewünschte P-Verhalten des geschlossenen Kreises
G wsoll ( s ) = K Pw mit KPw = 0,2 ist im Bild unten gezeigt. Strecke
Regler w
+
KPr
–
–
GS
e
-sTt
x
+ GS
-sTt – e
Das Totzeitglied e − sTt entspricht dem Transport Delay-Block mit Tt = 0,1 s. Die Übertragungsfunktion des Kompensationsreglers KPr ist wie oben:
K Pr ( s ) =
0,25 ⋅ s (1 + sT1 )(1 + sT 2 )(1 + sT3 ) . K IS
Das Simulink-Programm des Smith-Prädiktors ist unten gezeigt.
238
Lösungen
Die theoretisch ermittelten Kennwerte wurden während der Simulation nachgestellt. Um die Realisierung von Zero-Pole-Blöcken zu ermöglichen, wurden zusätzliche Polstellen eingeführt, deren Werte experimentell ermittelt wurden. Im Bild links ist die Sprungantwort des Regelkreises mit dem Smith-Prädiktor gezeigt. Der Regler ist für das gewünschte P-Verhalten
G wsoll ( s ) = K Pw mit KPw = 0,2 eingestellt.
Lösung zu Aufgabe 11.5 Der Regelkreis mit der PFC-Regelung und die Sprungantwort sind unten gezeigt.
1.5 90 s+1 W =1
mit PFC-Regler
Kps =1.5;Ts =30 s
1
1/1.5
10 s+1 KpM=1;TpM =10 s
Gain 1.4 1.2
Zum Vergleich ist die Sprungantwort eines Kreises mit dem PI-Regler mit K PR = 0,55 und Tn = 35 s bei wˆ = 1
mit PI-Regler
1 mit PFC-Regler 0.8
GR ( s ) =
0.6 0.4 0.2 0 0
50
100
150
200
250
300
350
400
K PR (1 + sTn ) sTn
in das Diagramm links eingetragen, woraus die Vorteile der PFC-Regelung ersichtlich sind (Überschwingung, Ausregelzeit).
Lösungen zum Kapitel 12: Wissensbasierte Regelung
239
Lösungen zum Kapitel 12: Wissensbasierte Regelung Lösung zu Aufgabe 12.1 Der Fuzzy-Regler hat zwei Eingänge, deren Fuzzy-Sets mit aktuellen Werten unten gezeigt sind. Bei der aktuellen Temperatur Takt = 20 ist die Eingangs-Zugehörigkeitsfunktion mnorm = 1, gleichzeitig hat die Eingangs-Zugehörigkeitsfunktion bei der aktuellen Luftfeuchtigkeit Fakt = 40 zwei aktive Werte: mnormal = 0,25 mfeucht = 0,5. m
sehr kalt
1,0
kalt
norm warm
m
sehr warm
trocken
normal
feucht
1,0 Gschwach Gaus
0,5
0,5
0,0
−10
0
Temperatur
10
30
40
50
Takt
0,0 10
20
30
Luftfeuchtigkeit
50 Fakt
Aus der Regelbasis erkennt man, dass dabei die folgenden Regeln gelten: Regel A:
Wenn T = norm und F = normal, dann L = aus
Regel B:
Wenn T = norm und F = feucht, dann L = schwach
Luftfeuchtigkeit
Temperatur
sehr kalt kalt norm warm sehr warm trocken stark mittel schwach mittel stark aus schwach mittel normal mittel schwach stark mittel schwach mittel stark feucht
Dementsprechend bildet man die Wertepaare und bestimmt daraus nach der UNDVerknüpfungsoperation (Minimum-Operator) die Erfüllungsgrade G für jede Regel: Regel A:
mnorm = 1 UND mnormal = 0,25
Gaus = min{1; 0,25} = 0,25
Regel B:
mnorm = 1 UND mfeucht = 0,5
Gschwach = min{1; 0,5} = 0,5
240
Lösungen
Da die Regeln nur teilweise erfüllt werden, schneiden die Erfüllungsrade G entsprechende Abschnitte von Ausgangs-Zugehörigkeitsfunktionen ab und bilden eine Fläche. Nach der Fuzzy-Logik werden die Regeln gleichzeitig erfüllt, d. h. die Flächen werden nach der ODER-Operation (Maximum-Operator) verknüpft. m
aus
schwach
1,0 Gschwach
mittel
stark
0,5
Gaus 0,0 20
30 yakt
40
50
60
Luftzufuhr
Der aktuelle Wert yakt der Stellgröße wird nach der Schwerpunktmethode berechnet. Nach dieser Methode entspricht yakt dem Schwerpunkt der besagten Fläche und wird angenähert nach der folgenden Formel berechnet:
yakt =
Gaus ⋅ yaus + Gschwach ⋅ yschwach + Gmittel ⋅ ymittel + Gstark ⋅ ystark Gaus + Gschwach + Gmittel + Gstark
Im betrachteten Fall sind alle Erfüllungsrade bis auf Gaus und Gschwach gleich Null. Die Schwerpunkte von einzelnen Ausgangs-Zugehörigkeitsfunktionen sind: yaus ≈ 23 yschwach = 30 Daraus ergibt sich:
y akt =
0,25 ⋅ 23 + 0,5 ⋅ 30 = 27,67 . 0,25 + 0,5
Lösung zu Aufgabe 12.2 Lösung aus dem Regelkreisverhalten:
x(∞) = 1,8
y (∞) =
1 1 ⋅ x (∞ ) = ⋅ 1,8 = 4,5 K PS 0,4
Lösung nach der Schwerpunktmethode bei t = 3 s für y small = 2,5 und y big = 12,5 :
e(∞) = 2 − x(∞) = 1 − 1,8 = 0,2
G zero = 0,8 und G positiv = 0,2
Lösungen zum Kapitel 12: Wissensbasierte Regelung
y akt =
241
0,8 ⋅ 2,5 + 0,2 ⋅12,5 = 4,5 . 0,8 + 0,2
Die P-T1-Strecke mit KPS = 0,4 und T1 = 5 s soll mit dem Fuzzy-Regler ohne bleibende Regeldifferenz geregelt werden.
Lösung zu Aufgabe 12.3 Da hier immer nur eine Zugehörigkeitsfunktion aktiv ist, wird die aktuelle Stellgröße durch den entsprechenden aktiven Sigmoid-Wert bestimmt, z. B. bei eakt = 0:
mnegativ ⋅ y minus + mnull ⋅ y zero + mpositiv ⋅ y plus
yakt =
mnegtiv + mnull + mpositiv
=
mnull ⋅ yzero = yzero mnull
Daraus folgt die statische Kennlinie: y
y Bei −0,3 ≤ eakt ≤ −0,1 mnegativ = 1 und yakt = yminus = −10
10
y Bei −0,1 < eakt < 0,1 mnull y Bei
5 e
= 1 und yakt = yzero = 0
−0,4
0,1 ≤ eakt ≤ 0,3
−0,2
mpositiv = 1 und yakt = yplus = 10
0
0,2
0,4
−10
Lösung zu Aufgabe 12.4 Nach der Schwerpunktmethode wird der aktuelle Wert der Stellgröße wie folgt berechnet
yakt =
Gsmall ⋅ ysmall + Gzero ⋅ y zero + Gbig ⋅ ybig , Gsmall + Gzero + Gbig
wobei G die Erfüllungsgrade und y die Koordinaten von Singleton’s sind. Im betrachteten Fall gibt es zu jeder Regel nur eine Zugehörigkeitsfunktion m, d. h. die logischen Verknüpfungen nach UND oder OR entfallen, und es wird einfach G = m.
m(e)
small middle
m(y)
big
1,0 0,8 0,6 0,4 0,2
slow
1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0
0,2
0,4
0,6
e
0
2
very fas
fast
4
6
8
10
242
Lösungen
Im Intervall 0 < eakt < 0,6 werden die Werte yakt berechnet und in der Tabelle unten zusammengefasst: y für eakt = 0,05 msmall (e) = 0,5
mslow (y) = 0,5 = Gslow
mmiddle (e) = 0,25
mfast (y) = 0,25 = Gfast
yakt =
Gslow ⋅ yslow + Gfast ⋅ yfast 0,5 ⋅ 0 + 0,25 ⋅ 4 = 1,33 = 0,5 + 0,25 Gslow + Gfast
y für eakt = 0,1
mmiddle (e) = 0,5 yakt =
mfast (y) = 0,5 = Gfast
Gfast ⋅ yfast = yfast = 4 Gfast
y für eakt = 0,4 mmiddle (e) = 0,5
mfast (y) = 0,5 = Gfast
mbig (e) = 0,5
mfvery fast (y) = 0,5 = Gvery fast
y akt =
y
Gfast ⋅ y fast + G very fast ⋅ y very fast Gfast
eakt
0
m(e)
small = 1
m(y)
slow = 1
yakt
0
0,1 siehe oben
0,3 middle =1
fast =1
fast =1
4
4
8 6 4 2 0,2
0,4
0,6
0,5 ⋅ 4 + 0,5 ⋅ 10 =7 0,5 + 0,5
0,2 middle =1
10
0
=
e
4
0,4 siehe oben 7
0,5
0,6
big = 1
big = 1
very fast =1 10
very fast =1 10
Die statische Kennlinie (Bild links) ist nicht optimal. Eine optimale Kennlinie soll bei großen Regeldifferenzen e einen großen Verstärkungsgrad (Steigung der Kennlinie) besitzen, um die Regeldifferenz schnell zu beseitigen. Dagegen soll bei kleineren Regeldifferenzen der Verstärkungsgrad klein sein, um die Überschwingungen zu vermeiden.
Lösungen zum Kapitel 12: Wissensbasierte Regelung
243
Die Optimierung des Fuzzy-Reglers erfolgt durch Variierung von Fuzzy-Sets. Eine Option ist unten gezeigt. m(e)
small middle
m(y)
big
1,0 0,8 0,6 0,4 0,2
slow
1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0
0,2
0,4
0,6
e
0
2
very fast
fast
4
6
8
10
y
Die Änderung von Eingangs-Zugehörigkeitsfunktionen führt zu den Änderungen von Stellgrößen in zwei Punkten:
y für eakt = 0,1
yakt =
y
mslow (y) = 1 = Gfast
mmiddle (e) = 0,35
mfast (y) = 0,35 = Gfast
Gsmall ⋅ ysmall + Gfast ⋅ yfast 1 ⋅ 0 + 0,35 ⋅ 4 = = 1,03 1 + 0,35 Gsmall + Gfast
y für eakt = 0,2
yakt =
msmall (e) = 1
msmall (e) = 0,5
mslow (y) = 0,5 = Gfast
mmiddle (e) = 0,7
mfast (y) = 0,7 = Gfast
Gsmall ⋅ ysmall + Gfast ⋅ y fast 0,5 ⋅ 0 + 0,7 ⋅ 4 = = 2,33 0,5 + 0,7 Gsmall + Gfast
Die resultierende statische Kennlinie (Bild links) entspricht einem optimalen Regler mit dem nichtlinearen Verstärkungsgrad, so dass große Regeldifferenzen schneller beseitigt werden. Der Verstärkungsgrad wird kleiner, je mehr sich die Regelgröße dem Sollwert nähert, so dass die Überschwingungen möglichst vermieden werden.
10 8 6 4 2 0
0,2
0,4
0,6
e
Lösung zu Aufgabe 12.5 Die Grenze zwischen den zu erkennenden Klassen entspricht der Geraden
x 2 = ax1 + b mit
a=−
W1 4 2 θ = − = 0,8 und b2 = = = 0,4 . W2 5 5 W2
244
Lösungen
Lösung zu Aufgabe 12.6 Da die Eingangsneuronen binär sind und nur zwei Werte ± 1 annehmen, kann man alle möglichen Eingangskombinationen (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) rechnerisch überprüfen. Dafür wird zuerst die Aktivierung des verdeckten Neurons nach der gegebenen Formel berechnet:
α v = −6,4 ⋅ x1 − 6,4 ⋅ x2 − (−2,2)
° ° ® ° °¯
α v = −6,4 ⋅ 0 − 6,4 ⋅ 0 + 2,2 = 2,2 α v = −6,4 ⋅ 0 − 6,4 ⋅ 1 + 2,2 = −4,2 α v = −6,4 ⋅ 1 − 6,4 ⋅ 0 + 2,2 = −4,2 α v = −6,4 ⋅ 1 − 6,4 ⋅ 1 + 2,2 = −10,6
Der Ausgang des verdeckten Neurons wird nach der sigmoiden Kennlinie berechnet:
v1 =
1 1+ e
−α
v1 = 0,91 ° ° v1 = 0,01 ® ° v1 = 0,01 °¯ v1 = 0,00
bei ( x1; x2 ) = (0; 0) bei ( x1; x2 ) = (0; 1) bei ( x1; x2 ) = (1; 0) bei ( x1; x2 ) = (1; 1)
Die Aktivierung des Ausgangsneurons und dessen Ausgangswert:
α y = −4,2 ⋅ x1 − 4,2 ⋅ x2 − 9,4 ⋅ v1 − ( −6,3) ° ° ® ° ° ¯
α y = −4,2 ⋅ 0 − 4,2 ⋅ 0 − 9,4 ⋅ 0,91 + 6,3 = −2,3 α y = −4,2 ⋅ 0 − 4,2 ⋅ 1 − 9,4 ⋅ 0,01 + 6,3 = 1,3 α y = −4,2 ⋅ 1 − 4,2 ⋅ 0 − 9,4 ⋅ 0,01 + 6,3 = 1,3 α y = −4,2 ⋅ 1 − 4,2 ⋅ 1 − 9,4 ⋅ 0,00 + 6,3 = −2,1
y = 1, wenn α y > 0 ½ ® y = 0, wenn α < 0¾ y ¯ ¿ x1 0 0 1 1
x2 0 1 0 1
y 0 1 1 0
Lösung zu Aufgabe 12.7 a) Bei x1 = 200 und x2 = 10 ist d = −1 (Kreis). Daraus folgt:
Die Ein-/Ausgangswerte des Netzes sind links in der Tabelle zusammengefasst. Aus dieser Funktionstabelle ist die vom neuronalen Netz gelernte logische Funktion (XOR) ersichtlich.
Lösungen zum Kapitel 12: Wissensbasierte Regelung
245
α = W1 x1 + W2 x2 − θ = 8⋅200 + 100⋅10 − 1500 = 1100 > 0 y = +1 Δ = d − y = −1 −1 = −2 W1neu = W1 + ηΔ x1 = 8 + 0,025⋅(−2)⋅200 = −2 W2neu = W2 + ηΔ x2 = 100 + 0,025⋅(−2)⋅10 = 99,5 b)
W1 −2 =− = 0,02 W2 99,5
20
θ
10
a=− b=
W2
=
x2
1500 = 15,07 99,5
Die Grenze ist im Bild eingetragen. Nach
-200 -100 0
dem ersten Lernschritt erkennt das KNN
-10
die Musterverteilung korrekt.
-20
100 200
300
x1
Lösung zu Aufgabe 12.8 a) Die Gleichung der Grenzgeraden des Neurons
K PR = −m ⋅ Tn + b erhält man aus der Gleichung der Aktivierungsfunktion bei
α =0 bzw. bei
α = W1 ⋅ Tn + W2 ⋅ K PR − θ = 0 , woraus folgt
K PR = −
θ W1 ⋅ Tn + =0 W2 W2
mit
m=− b=
W1 W2
θ W2
.
Die Anfangswerte des erfolgreich trainierten Neurons sind gegeben. Daraus berechnet man die Steigung der Grenzgerade:
m=−
W1 14 =− = −0,7 . W2 20
246
Lösungen
Aus dem ersten Diagramm des trainierten Neurons kann man ablesen, dass b = 1 ist und folglich
b=
θ W2
=1
θ 20
=1
θ = 20 .
Nachdem sich die Parameter der Regelstrecke ändern, ändern sich die Gewichte W1 und W2 sowie die Lage der Geraden. Die neue Gleichung der Grenzgeraden ist
K PR = −m* ⋅ Tn + b* mit
b* = 2 . Da der Schwellenwert des Neurons dabei nicht geändert wird, gilt
b* =
θ W2*
=
20 W2*
=2,
woraus man den gesuchten Wert des Gewichtes erhält:
W2* =
θ 2
=
20 = 10 . 2
b) Bei Parallelverschiebung der Grenzgeraden ohne Änderung von Gewichten wird der Schwellenwert nicht geändert, d. h.
θ = 5.
247
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249
Formelsammlung Grundbegriffe und statisches Verhalten Übertragungsfunktion und Wirkungsplan Reihenschaltung:
y
G ( s ) = G1 ( s ) ⋅ G 2 ( s )
G1(s)
Grenzwertsatz:
x(∞) = lim x(t ) = lim G W ( s) ⋅ wˆ
x
G2(s)
t →∞
x(0) = lim x(t ) = lim GW ( s ) ⋅ wˆ
Parallelschaltung: y
G ( s) = G1 ( s) ± G 2 ( s )
G1(s)
t →0
x
e(∞ ) = wˆ − x(∞)
Gv ( s ) 1 + Gv ( s)Gr ( s )
y +
V0 = K PR K PS K Pr Kreisverstärkung
x
GV(s) –
Reeller Regelfaktor: e (∞ ) RF (0) = m.R. eo.R. (∞)
Gr(s)
Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen G0(s) und geschlossenen Regelkreises: w +
e –
GV(s)
Gz ( s ) =
Y (t ) = Y0 + y (t )
RF (0) =
Gvz ( s) 1 + G0 ( s)
(mit I-Anteil )
G (s) 1 + G (s)
⇐
e
+
G (s)
K Py = K PZ
∂f ∂Y
∂f = ∂Z
0
ΔX ΔY
0
ΔX ≅ ΔZ
≅
K Pw ( s ) =
X0 0
0
K PR K PS 1 + K PR K PS x
x Z
0
statisches PT-Verhalten
x
–
X
x ( ∞) RF (0) = m.R. xo.R. (∞)
wˆ − xm.R (∞) wˆ
Wirkungsplan w
Linearisierung: X (t ) = X 0 + x(t )
RF (0) = 0
für Führungsverhalten für Störverhalten Störverhalten:
Beispiel: dynamisches Verhalten ⇐ Gw (s) =
1 1 + V0
G0 ( s ) = Gv ( s ) ⋅ Gr ( s )
Führungsverhalten: Gv ( s ) 1 + G0 ( s )
RF (0) =
(Kreise ohne I-Anteil)
x
r Gr(s)
Gw ( s) =
s →∞
Bleibende Regeldifferenz:
G2(s)
Gegenkopplung:
G ( s) =
s →0
y Y
Y0
X0
y 0 Y0
nichtlineare linearisierte Funktion
X = f (Y , Z )
S. Zacher, Übungsbuch Regelungstechnik, DOI 10.1007/978-3-8348-9754-1, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010
x = K Py ⋅ y + K PZ ⋅ z
250
Formelsammlung
Dynamisches Verhalten Regelbarkeit Tg/Tu; Übergangsfunktion h(t) h (t)
h (t)
h (t) Tg
Tg
t
0 T =0 g Tu = 0
0 T =0 u T ≠0 g Tu= 0
groß = ∞
t
0
h (t)
P-T2-Glied: Sprungantwort
t Tu
0
T > Tu g
G (s) =
h (t) Tg
Tg = 0 t
0
Tu T < Tu g
ω02
t
ϑ=0
h (t)
ϑ 0
dB
ωπ ω
αR
TAus =
Hurwitz-Stabilitätskriterium
G 0(jω)
dB
T −ϑ ⋅ω 0 ⋅ d 2 e
Anzahl der Halbwellen:
Im
Nyquist-Stabilitätskriterium: G 0(jω)
ωd
Ausregelzeit: t
Re
Re
2π
Überschwingweite:
ü max % =
t t
s +1
ω d = ω 0 1−ϑ 2
ϑ>1
h (t)
ω0
Eigenkreisfrequenz:
Dämpfungsgrad ϑ , Übergangsfunktion h(t), s-Ebene ϑ a3⋅ a0 Kompensationsregeln PI-/PID-Regler
PD-Regler
Tn = Tgrößte T v = Tzweitgrößte
Tv = Tgrößte
Formelsammlung
251
Regelgüte und Reglereinstellung Sprungantwort des Führungsverhaltens ümax
x(t)
Ziegler-Nichols-Verfahren, Schwingungsversuch mit P-Regler:
Einhüllende 1±e−υω 0t 2 bis 4% Toleranzband, bezogen auf x(∞)
x(∞) Td/2 t 0
Tn
TV
P-
0,5KPRkr
−
−
PI-
0,4KPRkr
0,85Tkr
−
PID- 0,6KPRkr
0,5Tkrit
0,12Tkr
TAn TAus
Grundtyp A (mit I-Anteil):
G0 ( s ) =
y
KPR
KPS ,TE
KIS
G0 ( s ) =
für B.O. K PR =
y
x
1
1 2 K PS K ISTE
KPR
ϑ=
für B.O.
1
t
K PR =
x
(T1 + TE ) 2 2
4ϑ K PST1TE
−
1 K PS
(T1 + TE ) 2 1 − 2 K PST1TE K PS
Grundtyp B
ümax= 4,3%
0
e( ∞ ) =
x( ∞ )= t
1 1+ K PR⋅K PS K PR⋅K PS 1+ K PR⋅K PS
T Aus = 11 ⋅TE
TAus = 11⋅TE
B.O.-Sonderfall G0 ( s ) =
K PR =
TAn= 4,7 ⋅T E
TAn= 4,7⋅TE
1 ,T1
Betragsoptimum für Grundtyp B:
2
Grundtyp A
1
KPS ,TE
1
h(t)
ümax= 4,3%
K PR K PS (1 + sT1 )(1 + sTE )
Allgemein: K PR =
4ϑ 2 K PS K ISTE
Betragsoptimum für Grundtyp A:
h(t)
Grundtyp B (ohne I-Anteil):
K PR K PS K IS s (1 + sTE )
Allgemein: K PR =
0
KPR
K PR K PS sTn (1 + sTE ) Tn 2 K PSTE
B.O. Annäherung für T1 >> T E :
K PR ≈
T1 2 K PSTE
252
Formelsammlung
Reglereinstellung und Regelungsvarianten Symmetrisches Optimum (S.O.):
G0 ( s ) =
K PR K PS K IS (1 + sTn )
KIS
KPR ,Tn KPS ,TE
y
x
2
s Tn (1 + sTE ) Regelkreisverhalten des S.O.:
Kompensationsregeln für S.O.:
§ 90° − α R · k = cot 2 ¨ ¸ 2 © ¹
Tn = k ⋅ TE
Tn = k ⋅ Tgrößte Tv = Tzweitgrößte
1
K PR =
Bode-Diagramm des S.O.:
k ⋅ K PS ⋅ K IS ⋅ TE
Reglereinstellung nach dem S.O. für k = 4 α R = 37°
Tn = 4 ⋅ TE k G0(jω)
dB
K PRopt
√k
√k 4 √k
− 20 dB/Dek KIo
ϕ(ω)
ω
1 2TE
x(t) ümax= 43,4%
− 40 dB/Dek
ωD
1 Tn
ωD =
Sprungantwort beim Führungsverhalten (Sprunghöhe w = 1)
− 40 dB/Dek 0 dB
1 = 2 K PS K ISTE
±2 %
1
1 TE
ω
t 0 TAn= 3,1 ⋅TE
αR
−180°
TAus = 18 ⋅TE
Kaskadenregelung:
Störgrößenaufschaltung:
Folgeregelkreis: G01 ( s ) = GR1 ( s )GS1 ( s )
z
Führungsregelkreis: +
Zweipunktregler ohne Schaltdifferenz:
X E Tu ⋅ 2 Tg
1 Gr ( s)
GR (s)
GS(s)
– –
x
+
T0 = 4 ⋅ T t (symmetr.Lage) G Z ( s ) = GVZ ( s ) = 0 GVZ ( s ) = 0 1 + G0 ( s )
Regler mit Rückführung: GR ( s) =
GVZ (s)
+
G02 ( s) = GR2 ( s )Gw1 ( s )GS2 ( s )
x0 =
GRZ (s)
w
e
+
+ –
x
–
KV(s)→∞ Gr(s)
Quasikontinuierliche Abtastregelung: y
TA
1)
G( s) =
Glied
1
ω 02
x = K PS ⋅ y
ω02
x +
x(t) x(∞) ∧ KPS ⋅ y
ϕ (ω ) t
G dB T1
20 log KPS
ϕ(ω)
0,63⋅x(∞)
2ϑ
ω0
x(∞) ∧ KPS ⋅ y
G dB Tg
20 log KPS
ϕ(ω) Tu
x + x = K PS y
ω -20 dB/Dek
6 dB
ω -40 dB/Dek
t -180°
K PS 2ϑ s + s +1
ω0
3dB
-90°
t
x(t)
ω
ϕ(ω )
-90°
2
periodisch (0