Bord Enspt 2016 [PDF]

Zitiervorschau

ICORP ICORP ENCYCLOPEDIA Edition 2016

ICORE L’ incontournable de la préparation au concours d’entrée à

L’ ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DES POSTES ET TELECOMMUNICATION (ENSPT)

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Cet ouvrage est la propriété intellectuelle de l’entreprise INTELLIGENTSIA CORPORATION. Il est donc régit par les lois de la propriété intellectuelle Toute reproduction integrale ou partielle de cet ouvrage ou d’une partie de cet ouvrage sur quelque support que ce soit est strictement interdite sans l’autorisation expresse de l’entreprise INTELLIGENTSIA CORPORATION. Tout intervenant s’expose à des poursuites judiciaires pouvant donner lieu à des sanctions d’ordre pénale.

Cet ouvrage est dédié à toutes les personnes qui ont obtenu leur admission dans les grandes écoles scientifiques, d’ingénierie et de médecine du Cameroun avec le concours de près ou de loin de la maison INTELLIGENTSIA CORPORATION. Vous faites notre fierté car vous êtes la preuve que tout le monde peut y arriver...

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Dédicaces

Note de l’équipe I-CORP Chers(ères) élèves, Arrêtez de vous fier à ceux qui disent et ou pensent que vous n’êtes pas capables de grandchose ; le seul fait d’être rentré en possession de cet ouvrage montre, à n’en point douter, combien ambitieux vous pouvez être. Vous avez porté votre choix sur une Ecole d’ingénierie, cet ouvrage est vôtre ; mais là commence votre « calvaire ». Votre intellect sera en effet soumis à toutes formes de difficultés des plus basiques aux plus affinées. Notre ultime objectif est de vous faire comprendre que vous partez sur le même pied d’égalité que n’importe quel élève du même niveau académique que vous. La différence résidera en ce que vous aurez su prendre l’ascendant psychologique sur le reste de vos camarades au jour du concours. La Motivation, le sens du Sacrifice et de l’effort, le Don de soi-même, l’Abnégation a toutes épreuves, l’Endurance devant l’adversité, l’Humilité sont les qualités que vous devrez posséder pour atteindre vos ambitions les plus folles quel que soit le domaine dans lequel vous aurez décidé de vous lancer. Il peut arriver que vous buttiez sur des difficultés apparemment insurmontables, le plus important sera alors de savoir vous rapprocher de la source « idéale » pour avoir de plus amples éclairages. Dès à présent commencez ou continuez à croire en vous et en votre potentiel sans toutefois cédé aux diverses pressions. « A tes résolutions répondra le succès ;Sur tes sentiers brillera la lumière. » Votre motivation se doit d’être canalisée par les citations et conseils que regorge cet ouvrage. Prenez donc le temps en introduction de chaque sous-partie d’en analyser la signification.

E-mail : [email protected] site Web : www.intelligentsiacorporation.com Tel : 671 83 97 97 698 22 22 77 L’équipe INTELLIGENTSIA CORPORATION

Parce qu’ils ont été présents depuis la conception jusqu’à la version actuelle en passant par les nombreuses mises à jour de cet ouvrage et aussi et surtout par devoir de conscience nous tenons à remercier tous ceux qui y ont activement participés de près ou de loin par leurs conseils ou par leurs actions. Ceux sont entre autres et sans être exhaustifs : Les enseignants de l’ENSPT qui nous ont soutenus dans l’élaboration des corrigés ; Les élèves-ingénieurs de l’ENSP et l’ensemble des enseignants du groupe intelligentsia corporation ; La direction technique du groupe intelligentsia corporation ; La direction générale du groupe intelligentsia corporation ; La direction des affaires académiques du groupe intelligentsia corporation sous la coordonation de Noula Gires, élève-ingénieur en cinquième année génie mécanique à l’ENSP pour l’élaboration de ce livre ; Le Dr. Takam, enseignant de mathématique à l’école Nationale Supérieure Polytechnique de Yaoundé ; Le groupe AsTEX Edition pour l’édition de qualité de ce document sous la coordination de : (Ngansob Yves, Tchonang Magellan, Kana Abel...) ; Les differents superviseurs de région.

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Remerciements

Préface L’orientation académique et socio-professionnelle est une question de taille pour le jeune camerounais. Dans la situation de « flou » général observée, il est très difficile pour le jeune qui se pose sérieusement la question « que vais-je devenir après le bac ? » De facilement trouver ses repères. Et pour cause : Une transition pour la plus part absente du secondaire au supérieur ; La faiblesse, voir le manque d’informations relatifs à une orientation solide ; L’ignorance générale de ce qu’est un concours et de comment s’y prendre pour le réussir ; La nécessité d’obtention de documents solides et complets préparant l’élève dans les aspects les plus importants ; En dernier lieu la corruption jusque-là déplorée dans notre pays, qui met en avant comme critère de réussite les capacités financières et relationnelles de la famille du candidat et non ses aptitudes. Pour ce dernier cas, il est à noter c’est une voie très risquée qui se solde pour beaucoup par un échec lamentable, mais aussi que, pour le bonheur de tous, les meilleurs n’ont jamais besoin de suivre cette voix. Une solution, faire ressortir le meilleur qui sommeille en chaque individu. C’est le but que c’est donnée l’entreprise INTELLIGENTSIA CORPORATION, depuis plus de cinq ans déjà leader de l’orientation professionnelle et de la préparation aux concours d’entrée dans les grandes écoles scientifiques au Cameroun. Pour une meilleure préparation individuelle des apprenants, elle a mis sur pied la collection ICORP- ENCYCLOPEDIA qui est un document indispensable à la préparation aux concours. En effet, elle propose des cours, des explications pratiques, des méthodes prouvées pour booster les résultats, un grand nombre de sujets corrigés des dernières années de presque tous les concours d’entrée dans les grandes écoles au Cameroun. C’est ainsi que dans cette collection, on distinguera : Le « PI », guide de référence pour la préparation du concours d’entrer à l’École Nationale Supérieure Polytechnique de Yaoundé (ENSP) L’ « I-BRAIN », guide de référence pour la préparation du concours commun d’admission aux études médicales ; Le « SIGMA », guide de référence pour la préparation du concours d’entrée à l’École Nationale Supérieure des Travaux Publics (ENSTP) L’ « EPSILON », guide de référence pour la préparation du concours d’entrée à l’École de Géologie et d’Exploitation Minière (EGEM) Les « ITORE-MATH, ITORE-PHYS, ITORE-CHIM, ITORE-BIO » qui sont des guides pour l’entrée aux différentes filières scientifiques de l’École Normale Supérieure (ENS) Et pleins d’autres (ICORE (ENSPT), THE ROAD TO FASA (FASA), THETA (FGI), ...)

Cette dernière édition de la collection ICORP-ENCYCLOPEDIA n’aura pas fini de surprendre, tant dans la diversité des secrets qu’elle met à la disposition des étudiants que dans la facilité de manipulation.Une nouvelle configuration des ouvrages, une mise en page actualisée et une réédition des équations, figures et citations en début de partie en améliorent convivialité, lisibilité et donc compréhension

C’est un nouveau concept qui s’offre au candidat, qui n’a plus devant lui un ramassis d’épreuves disposés souvent de façon hasardeuse où il est très difficile de se retrouver et où on a de la peine à lire les images. Chaque document de cette collection est un tout en soit, conçu pour faciliter la navigation des candidats et pour rendre les sujets aussi clairs que possible. Chaque épreuve s’inscrit dans une logique comme faisant partie d’un tout, où chaque exercice a une numérotation globale pour sa partie avec juxtaposé à lui le numéro de la page où se trouve la correction. Ainsi, plus besoin de trop se fatiguer, où même de s’inquiéter.

WAMBA William Clerk -Diplômé de l’ENSP-Option Génie civil-PDG groupe ICORP-

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Nous avons proposé des éléments de solutions pour ces sujets notamment. Pour éviter que le lecteur ne tombe dans la facilité, nous recommandons aux candidats de se mettre dans les conditions d’examen pour traiter ces sujets sachant que chaque épreuve a une durée limitée.

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Sommaire 1

Résumé de cours de Maths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Chapitre 1 Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1 Comportement global d’une suite

13

2 Suites convergentes

13

3 Suites divergentes.

14

4 Opération sur les limites (Croissances comparées)

14

5 Suites particulières

14

6 Raisonnement par récurrence

18

Chapitre 2 Trigonométrie, sommation numérique, intégrale . . . . . . . . . . . . . . 21

2

1 Trigonométrie circulaire

21

2 Trigonométrie Hyperbolique

21

3 Rappels de quelques primitives usuelles

22

4 Sommation numérique

23

5 Applications du calcul intégral

26

Résumé de cours de physique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

Chapitre 3 Analyse dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1 Introduction

33

2 Notion de mesure

33

3 Système d’unités

33

4 Les équations aux dimensions (E.A.D)

34

5 Exemples d’équations aux dimensions

34

6 L’analyse dimentionnelle

34

Chapitre 4 La notion de quantité de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

8

1 La notion d’énergie

37

2 La notion de chaleur

37

3 Notion de quantité de chaleur (Q)

38

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4 Capacité thermique d’un calorimètre

39

5 Expression de la quantité de chaleur échangée par un corps qui subit un changement d’état

40

Chapitre 5 Régimes transitoires et circuits électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3

4

5

6

7

1 Définition

43

2 Charge et décharge d’un dipôle RC

43

3 Bobines inductives et dipôles RL

46

Epreuve de Mathématiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 4 Epreuve de mathématiques 2009

51

5 Epreuve de mathématiques 2010

53

6 Epreuve de mathématiques 2011

55

7 Epreuve de mathématiques 2012

56

8 Epreuve de mathématiques 2013

58

9 Epreuve de mathématiques 2014

60

Corrigés de Mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 10 Corrigé de mathématiques 2009

65

11 Corrigé de mathématiques 2010

70

12 Corrigé de mathématiques 2011

74

13 Corrigé de mathématiques 2012

77

14 Corrigé de mathématiques 2013

82

15 Corrigé de mathématiques 2014

84

Epreuves de Physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 16 Épreuve de Physique 2009

91

17 Épreuve de physique 2010

92

18 Épreuve de physique 2011

94

19 Épreuve de physique 2012

96

20 Épreuve de physique 2013

98

Corrigé physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 21 Corrigé de physique 2009

103

22 Corrigé de Physique 2010

105

23 Corrigé de physique 2011

108

24 Corrigé de physique 2012

110

25 Corrigé de physique 2013

114

Epreuves d’anglais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 26 Epreuve d’anglais 2009

123

9

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27 Epreuve d’anglais 2010

126

28 Epreuve d’anglais 2012

130

29 Epreuve d’anglais 2013

132

30 Epreuve d’anglais 2014

134

31 Epreuve Langue français 2010

135

8 9

Sujets - culture générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Corrigés anglais et culture générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 32 Corrigé d’anglais 2009

143

33 Corrigé d’anglais 2010

144

34 Corrigé d’anglais 2012

146

35 Corrigé d’anglais 2013

147

36 Corrigé d’anglais 2014

148

37 Corrigé-culture générale

149

10

Partie

1 R ÉSUMÉ DE COURS

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DE

M ATHS « La seule chose absolue dans un monde comme le nôtre, c’est l’humour » Albert Einstein

11

Suites numériques

1

Chapitre

Il s’agit d’un résumé comportant les résultats essentiels. Les exercices d’applications ont été conçus pour montrer les principaux aspects des notions à acquerir.

Rappel (Définition) Une suite est une application u de N dans R. L’image de l’entier n par l’application u se note u(n) ou un . L’ensemble des termes de la suite se note (un )n∈N . un est appelé terme général de la suite (un ).

1I

Comportement global d’une suite

Monotonie. La suite (un ) est croissante (resp. décroissante) lorsque pour tout entier n, un+1 ≥ un (resp. un+1 ≤ un ). Dans les deux cas, (un ) est dite monotone. Lorsque un = f (n), la suite (un ) a le même sens de variation que la fonction f .

Attention : Cette propriété est fausse si (un ) est définie par une relation du type un+1 = f (un ). I

Suites mojorées, minorées, bornées. La suite (un ) est mojorée (resp. minorée) s’il existe un réel M (resp. m) tel que pour tout entier n, un ≤ M (resp. un ≥ m).

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La suite (un ) est bornée si elle est majorée et minorée c’est-à-dire s’il existe deux réels M et m tel que pour tout entier n, m ≤ un ≤ M .

2-

Suites convergentes

Définition La suite (un ) converge vers le réel l si la quantité | un − l | peut être rendu aussi petite que l’on veut pour n assez grand. On note : lim un = l. n−→+∞

T héorèmes de comparaison. Si à partir d’un certain rang, | un − l |≤ vn et si (vn ) converge vers 0, alors (un ) converge vers l. 13

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Si à partir d’un certain rang, vn ≤ un ≤ wn et si (vn ) et (wn ) convergent vers l,alors (un ) converge vers l. Si (un ) et (vn ) convergent vers l et si à partir d’un certain rang un ≤ vn , alors

lim

n−→+∞

un ≤

lim

n−→+∞

vn .

Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente.

3-

Suites divergentes.

Définition La suite (un ) a pour limite +∞ si un peut être rendu aussi grand que l’on veut pour n assez grand. On note alors : lim un = +∞. n−→+∞

La suite (un ) diverge lorsqu’elle admet une limite infinie. I T héorème de comparaison. Si à partir d’un certain rang, un ≥ vn , et si

4-

lim

n−→+∞

vn = +∞, alors

lim

n−→+∞

un = +∞.

Opération sur les limites (Croissances comparées)

ln n = 0. n−→+∞ nα ln n Si α < 0, lim = +∞. n−→+∞ nα Si α > 0,

lim

nα = +∞. n−→+∞ an nα Si a > 1 et α quelconque, lim = 0. n−→+∞ an Si 0 < a < 1 et α quelconque,

lim

NB : Notons que en cas d’indétermination, an l’emporte sur nα qui l’emporte sur ln n.

5-

Suites particulières

I. Suites arithmétiques et géométriques. Définition La suite (un ) est arithmétique s’i existe un réel r tel que, pour tout entier n, un+1 − un = r. La suite (un ) est géométrique s’i existe un réel r tel que, pour tout entier n, un+1 = run . Dans les deux cas, r est appelé la raison de la suite. I Propriétés On note Sn =

n X

uk = u0 + u1 + ... + un et p désigne un entier naturel quelconque.

k=p

On suppose que la suite (un ) a pour premier terme up .

14

CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES

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Suite arithmétique un = up + (n − p)r 1er terme + dernier terme Sn = nb de termes × 2 up + un = (n − p + 1) 2 Si r > 0, lim un = +∞ n→+∞

Suite géométrique un = up rn−p 1 − raisonnb de termes Sn = 1er terme 1 − raison 1 − rn−p+1 = up × si r 6= 1 1−r Si | r |< 1, lim un = 0 n→n+∞

Si r < 0, lim un = −∞

Si | r |> 1, (un ) diverge

n→+∞

Exercice résolu On veut montrer que A = 0, 3636... est rationnel. Pour cela, on considère la suite géométrique de premier terme 1 u1 = 0, 36 et de raison ; On pose Sn = u1 + u2 + ... + un . 100 1 Calculer u2 , u3 , S1 , S2 , S3 . 2 Donner une écriture décimale de Sn . On admet que

lim

n−→+∞

Sn = A.

3

a. En considérant que Sn est la somme des termes d’une suite géométrique, donner une autre écriture de Sn . 4 b. En déduire que lim Sn = . n−→+∞ 11 4 Conclure. Solution    1 1 2 1 Par hypothèse, u2 = .0, 36 = 0, 0036 ; u2 = .0, 36 = 0, 000036. 100 100 On a donc : S1 = u1 = 0, 36 ; S1 = u1 + u2 = 0, 3636 ; S1 = u1 + u2 + u3 = 0, 363636.   1 n−1 2 On généralise les caculs précédents. On a : un = .0, 36 = 0, 0000...00 | {z } 100 

36.

(n−1) f ois le groupe 00

On en déduit que Sn = 0,

3636...3636 | {z } .

n f ois le groupe 36

3

1 − qn a. On sait que Sn = u1 + u2 + ... + un = u1 , 1−q  n 1     1− 4 1 n 100 donc Sn = 0, 36 × = 1− . 1 11 100 1− 100  n     1 1 n 1 b. On a lim = 0, car 0 ≤ < 1. On en déduit que lim 1 − =1 n→+∞ n→+∞ 100 100 100 4 et lim Sn = . n→+∞ 11

4 On a trouvé deux expressions de lim Sn (au 2) et au 3.b)) ; elles sont égales, donc A = 0, 3636... = n→+∞

est bien un rationnel.

4 11

Remarque. En supposant les opérations habituelles valables sur les développements décimaux illimités, on peut calculer plus rapidement A. En effet, A = 0, 3636... 100A = 36, 3636... En soustrayant ces égalités membre à membre, on obtient 99A = 36 ; donc A = 5. SUITES PARTICULIÈRES

36 4 = . 99 11

15

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II. Suites récurrentes. Suites récurrentes d’ordre 2(à coefficients réels. u0 et u1 donn´ es Ce sont les suites définies par : , a, b ∈ R. ∀n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun . Méthode : On résout l’équation caractéristique : r2 − ar − b = 0.  Si elle admet deux racines réelles distinctes, r1 et r2 , alors un = αr1n + βr2n , α, β ∈ R.  Si elle admet une racine double r0 , alors un = (αn + β)r0n .  Si elle admet deux racines complexes conjuguées r = ρeiθ et r = ρe−iθ , alors un = αρn cos(nθ) + βρn sin(nθ). Les constantes α et β se déterminent à l’aide de u0 et u (1 . u0 = 0 , u1 = 1 Il est à noter que pour a = b = 1, la suite définie par est appelé suite de ∀n ∈ N, un+2 = un+1 + un . Fibonacci. Exemple ( u0 = 1 , u1 = 2 On considère la suite définie par : ∀n ∈ N, un+2 = 2un+1 + 3un . 3 1 Question : Démontrer que : un = × 3n + × (−1)n . En déduire que (un ) est croissante 4 4 Equation caractéristique : r2 − 2r − 3 = 0. ∆ = 4 + 4 × 3 = 16 = 42 . Donc on a deux solutions réelles r1 = −1 et r2 = 3. Ainsi, ∀ n ∈ N, un = αr1n + βr2n , α, β ∈ R. Déterminons α et β : ( ( u0 = 1 = α + β α+β =1 ⇔ On a : 1 1 u1 = 2 = α × 1 + β × 3 −α + 3β = 2 3 1 3 1 La résolution de ce système donne α = et β = . D’où un = (−1)n + × 3n . 4 4 4 4 Exercice résolu Partie A. Suites recurrentes linéaires d’ordre 2. Soit a et b deux constantes réelles. On considère une suite (un )n∈N vérifiant ∀n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun .. On suppose que l’équation d’inconnue x, x2 = ax + b admet au moins une solution α. Démontrer que la suite (vn ) définie par : vn = un+1 − αun est géométrique de raison a − α. Partie B. (Suite de Fibonacci). On appelle suite de Fibonacci la suite (Fn )n∈N définie par : ( F0 = 0, F1 = 1 ∀n ∈ N, Fn+2 = Fn+1 + Fn . 1 Calculer F2 , F3 et F4 . 2 Résoudre dans R l’équation x2 = x + 1. on notera λ la solution positive et ϕ la solution négative. 3 En utilisant la partie A, exprimer Fn en fonction de n, de λ et de ϕ. En déduire

lim

n−→+∞

Fn .

Fn+1 . Fn n X 5 Démontrer que ∀n ∈ N, Fk = Fn+2 − 1. 4 Déterminer

lim

n−→+∞

k=0

Solution.

16

CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES

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Partie A. Soit n ∈ N. vn+1 = un+2 − λun+1 = (aun+1 + bun ) − λun+1 . Or λ étant solution de x2 = ax + b, b = λ2 −aλ = −(a−λ)λ. Donc vn+1 = aun+1 −(a−λ)λun −λun+1 = (a−λ)un+1 −(a−λ)λun = (a−λ)(un+1 −λun ). Ainsi, ∀n ∈ N, vn+1 = (a − λ)vn ; ce qui signifie que (vn )n est une suite géométrique de raison q = a − λ. Partie B. 1 F2 = F1 + F2 = 1 ; F3 = F2 + F1 = 2 ; F4 = F3 + F2 = 3. √ √ 1+ 5 1− 5 2 φ= et ϕ = . 2 2 3

D’après la partie A, on peut √dire que la suite (vn )n de terme général vn = Fn+1 − φFn est géométrique 1− 5 de raison q = 1 − φ = = ϕ. 2n Donc ∀n ∈ N, vn = v0 × q = (F1 − φF0 ) × ϕn = ϕn . De façon analogue, on peut dire √ que la suite (wn )n de terme général wn = Fn+1 − ϕFn est géométrique 1 + 5 = φ. de raison q 0 = 1 − ϕ = 20n Donc ∀n ∈ N, wn = w0 × q = (F1 − ϕF0 ) × φn = φn . Soit n ∈ N. Nous avons donc

(

Fn+1 − φFn = ϕn (L1 ) Fn+1 − ϕFn = φn (L2 )

En soustrayant membre à membre ces deux égalités (L2 − L1 ), on obtient (φ − ϕ)Fn = φn − ϕn . Or √ φ n − ϕn . φ − ϕ = 5 donc Fn = √ 5 φ > 1 donc lim φn = +∞. De plus, −1 < ϕ < 1 ; donc lim ϕn = 0. On en déduit que lim Fn = n→+∞ n→+∞ n→+∞ +∞.  n+1 ϕ 1 − n+1 n+1 − ϕn+1 φ φ F φ n+1  n = n × 4 ∀n ∈ N∗ , = n n Fn φ −ϕ φ ϕ 1− φ ϕ F 1 − x(xn ) |ϕ| 1 n+1 En posant x = , on obtient ∀n ∈ N∗ , = φ× ; Or | ϕ |< 1 et | φ |> 1 ; donc < 0. (n + 1)!

1 1 1 −1 + − = < 0. La suite (vn ) est donc strictement (n + 1)! (n + 1)(n + 1)! n.n! n.(n + 1)(n + 1)!

décroissante. 1 vn − un = → 0 quand n → +∞. n.n! Les tois points précédents montrent que les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes. Elles convergent donc vers la même limite e. p 2 Supposons par l’absurde que e est rationnel, c-à-d : e = , p ∈ N, q ∈ N∗ . On a : uq < e < vq (1) q (remarquons que l’indice choisi est justement égal au dénominateur de e.) Les inégalités strictes viennent de la croissance stricte de (un ) et de la décroissance stricte de (vn ). En multipliant (1) par qq!, ona : uq × qq! < p.q! < uq × q.q! + 1.. Les deux extrêmes sont des entiers consécutifs (les dénominateurs se simplifient). L’entier p.q! se trouve donc strictement compris entre deux entiers consécutifs, ce qui est contradictoire. e n’est donc pas un nombre rationnel.

6-

Raisonnement par récurrence

Pour prouver qu’une propriété P(n) est vraie pour tout entier naturel n ≥ n0 , on peut montrer que : P(n0 ) est vraie ; Si P(n) est vraie, alors P(n + 1) l’est aussi. Remarque Surtout n’oubliez pas la première vérification ! Le raisonnement par récurrence est très souvent utilisé dans les exercices sur les suites, notamment pour établir des inéquations du type | un − l |≤ rn × | u0 − l |. Exercice résolu (Etudier la convergence vers le point fixe d’une fonction)

18

CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES

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On cherche à approximer la solution α d’une équation f (x) = x sur I à l’aide de la suite définie par u0 ∈ I et un+1 = f (un ). Calculer une valeur approchée de α lorsque f (x) = 4 −

ln x sur I = [3, 4] et u0 = 3. 4

Indication. 1 Montrer que, pour tout n ∈ N, un ∈ I. 1 . 12 3 Montrer en utilisant l’inégalité des accroissements finis que, pour tout n ∈ N, | un+1 −α |≤ k | un −α |. 2 Montrer que, pour tout x ∈ I, | f 0 (x) |≤ k, avec k =

4 En déduire par récurrence que pour tout n ∈ N, | un − α |≤ k n | u0 − α |. 5 Conclure que (un ) converge vers α, et triuver une valeur approchée de α à 10−4 près. Solution 1 Par récurrence sur n. I On a déjà u0 ∈ [3, 4] = I. I Supposons que un ∈ I et montrons que un+1 ∈ I.

2 3

4

5

ln 3 ln 4 ≤ un+1 ≤ 4 − . un ∈ I et la fonction ln étant croissante sur R+ ∗ , on a : ln 3 ≤ ln un ≤ ln 4 ; d’où 4 − 4 4 ln 4 ln 3 Comme 4 − ' 3, 65 et 4 − ' 3, 73, on en déduit que un+1 ∈ I. 4 4 Ainsi, d’après le principe de la démonstration par récurrence, on a bien un ∈ I pour tout entier naturel n. 1 1 | f 0 (x) |= ; et comme x ∈ I, on a | f 0 (x) |≤ puisque x ≥ 3. 4x 12 1 un et α appartiennent à I et | f 0 (x) |≤ sur I ; donc d’après l’inégalité des accroissements finis, | 12 1 1 f (un ) − f (α) |≤ | un − α | ; soit | un+1 − α |≤ | un − α | vu que f (α) = α. 12 12  0  0 1 1 I | u0 − α |≤ × | u0 − α | étant donné que = 1. 12 12 n 1 I | un − α |≤ × | u0 − α | alors d’après le (3), 12  n+1 1 1 | un+1 − α | × | un − α |≤ × | u0 − α |. 12 12 Donc, par récurrence, | un − α |≤ ()n × | u0 − α | pour tout entier naturel n.  n 1 1 Comme | |≤ 1, donc × | u0 − α | tend vers 0 quand n tend vers +∞ ; ainsi (un ) converge vers α. 12 12  n 1 −4 Pour que un soit une valeur approchée de α à 10 près, il suffit que ≤ 10−4 , soit n ≥ 4. 12 u4 est donc une valeur approchée de α à 10−4 près, et on obtient numériquement : u4 ' 3, 72535.

6. RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE

19

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20

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CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUES

Trigonométrie, sommation numérique, intégrale

1-

2

Chapitre

Trigonométrie circulaire

Les fonctions sin, cos, tan et co tan sont bien connues de tous : h π πi La fonction x 7−→ sin x réalise une bijection strictement croissante de − ; . Elle admet donc une récih π2 π2i proque, notée Arcsin ou Asin (lire Arc sinus) définie de [−1; 1] vers − ; . 2 2 La fonction x 7−→ cos x réalise une bijection strictement décroissante de [0; π] vers [−1; 1]. Elle admet donc une réciproque, notée Arccos ou Acos (lire Arc cosinus) définie de [−1; 1] vers [0; π]. h π πi La fonction x 7−→ tan x réalise une bijection strictement croissante de − ; vers R.Elle admet donc une 2 2 h π πi réciproque, notée Arctan ou Atan (Arc tangente) définie de ] − ∞; +∞[ vers − ; . 2 2 La fonction cotan réalise une bijection strictement décroissante de [0; π] vers R.Elle admet donc une réciproque, notée Arccotan ou Acotan (Arc cotangente) définie de [−∞; +∞ vers [0; π].

2-

Trigonométrie Hyperbolique

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Considérons 2 poteaux de même taille. Sur chaque poteau, on accroche le bout d’une corde. La corde pend en prenant la forme d’une courbe très particulière. Durant de très longues années, les mathématiciens ont cru qu’il s’agissait d’une parabole. C’est après de longues recherches qu’on s’est rendu compte qu’il ne s’agissait pas d’une , mais d’une courbe particulière appelée La chaînette.

2.1

Définitions

Fonction Cosinus hyperbolique : ex + e−x C’est la fonction définie par f (x) = . Elle est notée cosh ou ch. C’est la fonction dont la courbe 2 est représentative de la fameuse chaînette. Fonction Sinus hyperbolique : ex − e−x . Elle est notée sinh ou sh. 2 Fonction Tangente hyperbolique : sh(x) C’est la fonction définie par f (x) = . Elle est notée tanh ou th. ch(x) C’est la fonction définie par f (x) =

21

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Fonction Cotangente hyperbolique : C’est la fonction définie par f (x) =

2.2

1 ch(x) = . Elle est notée cotanh ou coth. th(x) sh(x)

Propriétés

On a les propriétés suivantes pour les fonctions hyperboliques :

ch(a + b) = ch(a).ch(b) + sh(a).sh(b) sh(a + b) = sh(a).ch(b) + ch(a).sh(b) th(a) + th(b) th(a + b) = 1 + th(a)th(b) ch(2x) = ch2 (x) + sh2 x ch2 (x) − sh2 (x) = 1

2.3

Réciproques

La fonction sh réalise une bijection strictement croissante de R vers R. Elle admet donc une réciproque, notée Argsinh ou Argsh (lire Argument sinus hyperbolique) définie de R vers R. La fonction ch est définie sur R et réalise une bijection strictement croissante de [0; +∞[ vers [1; +∞[.Elle admet donc une réciproque, notée Argcosh ou Argch (lire Argument cosinus hyperbolique) définie de [1; +∞[ vers [0; +∞[ La fonction th réalise une bijection strictement croissante de R vers ]−1; 1[. Elle admet donc une réciproque, notée Argtanh ou Argth (Argument tangentehyperbolique) définie de ] − 1; 1[ vers R. La fonction cotanh réalise une bijection strictement décroissante de R∗ vers ] − ∞; −1[∪]1; +∞[. Elle admet donc une réciproque, notée Argcotanh ou Argcoth (Argument cotangente hyperbolique) définie de ] − ∞; −1[∪]1; +∞[ vers R∗ .

3-

Rappels de quelques primitives usuelles

Dans le tableau qui suit, u est une fonction quelconque de x définie sur R.

22

CHAPITRE 2. TRIGONOMÉTRIE, SOMMATION NUMÉRIQUE, INTÉGRALE

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[u(x)]r+1 u0 (x) [u(x)]r dx = + c, où r ∈ R \ {1} r+1 Z u0 (x) cos(u(x))dx = sin(u(x)) + c Z u0 (x) sin(u(x))dx = − cos(u(x)) + c Z 0 u (x) dx = ln |u(x)| + c u(x) Z u0 (x) dx = arctan u(x) + c 1 +Z u2 (x) Z u0 (x) dx = u0 (x)(1 + tan2 u(x))dx = tan u(x) + c 2 u(x) cos Z u0 (x) p dx = arcsin u(x) + c = − arccos u(x) + c, (−1 ≤ u(x) ≤ 1) 1 − u2 (x) Z u0 (x) dx = cot u(x) + c 2 Z sin u(x) u0 (x)eu(x) dx = eu(x) + c Z u0 (x) p dx = arg sinh u(x) + c 1 + u2 (x) Z u0 (x) p dx = arg cosh u(x) + c 2 Z u 0(x) − 1 u (x) dx = arg tanh u(x) + c 1 − u2 (x) Z

44.1

Sommation numérique

Rappels

Une suite arithmétique de raison r (donc définie par Un+1 = Un + r) vérifie, pour tous p et n n X

Uk =

k=p

(Up + Un )(n − p + 1) . 2

Une suite géométrique de raison q (donc définie par Un+1 = q.Un ) vérifie, pour tous p et n n X

Uk =

k=p

1 − q n−p+1 Up . 1−q

En notation indicielle, on a : +∞ X

Un = lim

n=n0

4.2

n→+∞

n X

Uk .

k=n0

Méthodes de sommations

4.2. 1 Sommes télescopiques 4. SOMMATION NUMÉRIQUE

23

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Une somme Sn est dite télescopique si elle peut se mettre sous la forme Sn =

n X

Uk où (Un )n6=n0 est une suite

k=0

pouvant se mettre sous la forme Un = Vn+1 − V n ; (Vn )n6=n0 étant elle aussi une suite numérique. Pour de telles sommes, on a :

Sn = =

=

n X k=n0 n X k=n0 n X

Uk Vk+1 − Vk Vk+1 −

k=n0

=

n X

Vk

k=n0

n+1 X

Vk+1 −

k=n0 +1

n X

Vk

k=n0 n X

= Vn+1 +



n X

Vk − Vn0 +

k=n0 +1

 Vk 

k=n0 +1

= Vn+1 − Vn0 Exemple Calculer Sn =

n X k=1

1 . k(k + 1)

On voit bien que pour Uk =

1 . k(k + 1)

1 1 1 − = −(Vk+1 − Vk ) avec Vk = . k k+1 k  n n n n X X X X Vk = −(Vn+1 − V1 ) = − Vk+1 + −(Vk+1 − Vk ) = − Uk = Donc : Sn = On a Uk =

k=1

k=1

k=1

k=1

 1 −1 . n+1

n d’où Sn = . n+1

4.2. 2 Sommes de Riemann n−1 n b−aX b−aX f (xk ) ou sous la forme Sn = f (xk ) n n k=0 k=1 b−a où f est une fonction continue sur [a; b] et xk = a + k . On montre que pour une telle somme, on a : n

Il s’agit de sommes pouvant se mettre sous la forme Sn =

Z lim Sn =

n→+∞

b

f (x)dx. a

Exemple

√ √ √ 1 + 2 + ... + n √ Calculer lim In avec In = . n→+∞ n n

24

CHAPITRE 2. TRIGONOMÉTRIE, SOMMATION NUMÉRIQUE, INTÉGRALE

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On peut écrire : r r # 1 2 n + + ... + n n n r n 1−0X k = n n

1 In = n

"r

k=1

n √ 1X 1−0 = f (xk ) avec xk = 0 + k et f (x) = x n n k=1

On remarque une somme de Riemann associée à la fonction f dans l’intervalle [0, 1] après division de cet intervalle en n parties égales.   Z 1 Z 1 √ 2 3 1 xdx = Ainsi, lim In = f (x)dx = x2 . n→+∞ 3 0 0 0 2 lim In = . 3

n→+∞

4.3

Technique d’intégration (fonctions trigonométriques) Z

On veut calculer

f (x)dx, où f est une fonction faisant apparaitre des fonctions trigonométriques.

4.3. 1 Trigonométrie circulaire Si f (x)dx est invariant par le changement de : i. x en −x, poser u = cos x ii. x en π − x, poser u = sin x iii. x en π + x, poser u = tan x Ces règle sont appelés les règles de Bioche. Exemple Z dx Calcul de . cos x d(π − x) −dx dx = = . cos(π − x) − cos x cos x du On pose alors u = sin x, donc du = cos xdx =⇒ dx = cos x. Alors Z Z dx du = cos x cos2 x Z du = 1 − sin2 x du = 1 − u2  Z  1/2 1/2 = + du 1−u 1+u 1 1 + u = ln . 2 1 − u On remarque que,

Z D’où

dx 1 1 + sin x = ln . cos x 2 1 − sin x

4. SOMMATION NUMÉRIQUE

25

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Remarque   x 1 − t2 Lorsqu’aucun de ces changements ne marchent, on peut essayer t = tan . et donc, cos x = , sin x = 2 1 + t2 2t 2t , tan x = . 1 + t2 1 − t2 Exemple Z π dx Calcul de I = . 0 1 + sin x   x . Pour x = 0, t = 0 et pour x = π, t = ∞. Posons t = tan 2   x 2dt t = tan ⇔ x = 2 arctan t ; soit dx = . 2 1 + t2 2dt   Z ∞ Z ∞ 2dt −2 ∞ 1 + t2 = = 2. D’où I = = 2t (1 + t)2 1+t 0 0 0 1+ 1 + t2 Donc I = 2. D’autres techniques ferons l’objet du cours magistral.

55.1

Applications du calcul intégral

Calcul de la longueur d’une courbe plane

Il s’agit d’une courbe ayant deux composantes x et y. Elle est donnée soit par une équation paramétrique soit par une équation cartésienne. Cas de la donnée d’une équation paramétrique ( x = x(t) Soit y = y(t) l’équation de cette courbe. La longueur de la courbe pour t ∈ [t1 ; t2 ] est assimilée à la distance parcourue par un Z t2 mobile dont les coordonnées sont données par le système précédent. Il est connu en physique que L = ds, où t1 − ds = vdt est l’abscisse curviligne infinitésimal et v la norme du vecteur vitesse → v (x0 (t), y 0 (t)). La longueur de la courbe pour t ∈ [t1 ; t2 ] est donc donnée par : Z t2 q L= (x0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt t1

Cas de la donnée d’une équation cartésienne On se ramène au cas précédent en utilisant la paramétrisation « triviale » ( x = x(t) = t y = y(t) = f (x) = f (t) On a donc : Z

t2

L=

q 1 + (f 0 (t))2 dt

t1

26

CHAPITRE 2. TRIGONOMÉTRIE, SOMMATION NUMÉRIQUE, INTÉGRALE

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où y = f (x) est une équation cartésienne.

5.2

Surface d’une courbe fermée

Considérons une courbe fermée plane enfermant une surface S. L’équation de cette courbe doit être donnée sous forme paramétrique x = f (t) et y = f (t). Lorsque le paramètre t décrit un intervalle donné [a; b], l’ensemble des points M (x(t), y(t)) décrit la courbe. Dans ce cas, l’aire de la surface enfermée est donnée par : b

Z S=

y(t)x0 (t)dt.

a

5.3

Surface latérale d’un solide de l’espace obtenue par rotation autour de l’axe (OX) et(OY ) d’une courbe du plan

Soit la courbe C du plan définie par y = f (x) dans l’intervalle [a; b]. Lorsque C tourne autour de l’axe des abscisses, l’aire de la surface latérale du solide obtenu est donnée par : Z bq S = 2π


2 1 + f 0 (x) dx

a

Pour une fonction exprimée sous la forme x = g(y), l’aire de la surface générée par la révolution de g(y) Autour de l’axe Oy est donnée par la formule : Z bq
2 S = 2π 1 + g 0 (y) dy a

5.4

Calcul d’un volume de révolution

Dans le cas particulier où le solide est obtenu en faisant tourner une surface autour de l’axe (Oz), chaque tranche est un cercle dont le rayon est y = f (z) où f (z) est l’équation de la courbe formant le contour de la surface. Le disque a donc une surface égale à π(f (z))2 et l’on en déduit que : Z V =

b

π(f (z))2 dz

a

Exemple Calculer le volume du solide engendré par la rotation autour de l’axe des abscisses de la courbe représentative dans un repère orthonormal (O,~i, ~j) de la fonction sinus sur [0; π]. La section du solide par le plan d’abscisse x est undisque de rayon | f (x) |= sin x pour x ∈ [0, π]. 2 Son aire  π Z πx. Z πest S(x) = π sin 1 − cos 2x π 1 2 V=π sin xdx = π dx = x − sin 2x 2 2 2 0 0 0 π2 Soit V = . 2 5. APPLICATIONS DU CALCUL INTÉGRAL

27

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5.5

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Centre de gravité

Centre de gravité d’une courbe plane Le centre de gravité d’une courbe plane a ses coordonnées (xG , yG ) définies par : P P mx my xG = P et yG = P . m m Soit f la fonction définie sur un intervalle [a; b]], les coordonnées du centre de gravité deviennent p Rb Rb p 0 (x)2 dx 1 + f f (x) 1 + f 0 (x)2 dx x et yG = a R b p xG = Ra b p 1 + f 0 (x)2 dx 1 + f 0 (x)2 dx a a Centre de gravité d’aire plane Soit f la fonction définie sur un intervalle [a; b]], les coordonnées du centre de gravité sont données par : Rb a

xG = R b a

Rb

f (x)2 dx et yG = Rab . f (x)dx f (x)dx a

xf (x)dx

Exercice résolu.

On veut calculer le volume d’un cône de révolution de hauteur h et de base de rayon R. On munit l’espace d’un − → − → − → repère orthonormal (O; i , j , k ) comme l’indique la figure. 1 Calculer la distance P M en fonction de h, R et z. 2 En déduire l’aire S(z) de la section du cône par le plan de côte z. 3 Calculer le volume V du cône.

Solution. PM OP z = , soit P M = R × . AB OA h 2 π.R 2 La section est un disque de centre P et de rayon P M ; donc S(z) = π.P M 2 = z2. h2 3 S est une fonction polynôme dérivable sur [0, h], donc :  3 h Z h Z π.R2 h 2 πR2 z πR2 V= S(z)dz = z dz = × = h. h2 0 h2 3 0 3 0 1 Les droites (P M ) et (AB) étant parallèles, d’après la propriété de Thales,

Remarque : On trouve V =

28

1 × B × h, où B est l’aire de la base du cône. 3 CHAPITRE 2. TRIGONOMÉTRIE, SOMMATION NUMÉRIQUE, INTÉGRALE

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Quelques exercices d’entrainement. (à vous de jouer ! ! !) Exercice 1. Soit f la fonction définie sur [0, 1] par f (x) = sin πx. 1 T racer la courbe représentative (C) de f . (unité 8 cm). Z 1 sin πxdx ; et interpréter graphiquement cette intégrale. 2 Calculer I = 0        1 1 2 n−1 3 Pour n ≥ 2, on pose : Sn = f (0) + f +f + ... + f . Interpréter graphiquement Sn n n n n et faire une figure lorsque n = 8. (n−1)π π 2π 2 4 Prouver que 1 + ei n + ei n + ... + ei n = π . 1 − ei n π 2π (n − 1)π 1 En déduire que : sin + sin + ... + sin = π . n n n tan 2n 2 5 a. Prouver finalement que lim Sn = . n−→+∞ π b. Comparer au résultat du 2 et interpréter graphiquement. Exercice 2. 2 On s’intéresse dans Z 2 cet exercice à une suite de nombres rationnels qui converge vers vers e . On définit 1 ∀n ∈ N∗ , In = (2 − x)n ex dx. n! 0 1 Calculer I1 . 2 Etablir que ∀n ∈ N∗ , 0 ≤ In ≤

2n 2 (e − 1). n!

3 A l’aide d’une intégration par partie, montrer que ∀n ∈ N∗ , In+1 = In − 4 Démontrer par récurrence que e2 = 1 + 5 On pose ∀n ∈ N∗ , un =

2n+1 . (n + 1)!

2 22 2n + + ... + + In . 1! 2! n!

2n . n!

un+1 1 et prouver que ∀n ≥ 3, un+1 ≤ un . un 2  n−3 1 b. En déduire que ∀n ≥ 3, 0 ≤ un ≤ u3 . 2 a. Calculer

lim In .   2 22 2n 7 Justifier enfin que : e2 = lim 1+ + + ... + . n−→+∞ 1! 2! n! 6 En déduire

lim

n−→+∞

un , puis

n−→+∞

Exercice 3. But de l’exercice : approcher ln(1 + a) par un polynôme de degré 5 lorsque a ∈ [0; +∞[. Soit a dans l’intervalle Z a Z a dt (t − a)k dt. [0; +∞[ ; on note I0 (a) = et ∀k ∈ N, on pose Ik (a) = k+1 0 1+t 0 (1 + t) 1 Calculer I0 (a) en fonction de a. 2 A l’aide d’une intégration par partie, exprimer I1 (a) en fonction de a. (−1)k+1 ak+1 + Ik (a), ∀k ∈ N. k+1 1 1 1 1 4 Soit P le polynôme défini sur R par p(x) = x5 − x4 + x3 − x2 + x. 5 4 3 2 Démontrer en calculant I2 (a), I3 (a) et I4 (a) que I5 (a) = ln(1 + a) − P (a). 3 A l’aide d’une intégration par partie, démontrer que Ik+1 (a) =

5. APPLICATIONS DU CALCUL INTÉGRAL

29

ENSPT 2016 © Intelligentsia corporation Z 5 Soit J(a) =

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a

(t − a)5 dt. Calculer J(a).

0

(t − a)5 ≥ (t − a)5 . (1 + t)6

6 a. Démontrer que ∀t ∈ [0, a],

b. Démontrer que ∀a ∈ [0, +∞], J(a) ≤ I5 (a) ≤ 0. a6 . 6 8 Déterminez, en justifiant votre réponse, un intervalle sur lequel P (a) est une valeur approchée de ln(1 + a) à 103 près. 7 En déduire que ∀a ∈ [0, +∞], | ln(1 + a) − P (a)| ≤

Exercice 4. Z On pose pour n ∈ N : In =

π 2

sinn xdx. (Intégrale de Wallis)

0

1 Calculer I0 , I1 . Donner une relation de récurrence entre In et In−1 . 2 Montrer que : I2n =

(2n)! π 2n 2 (n!)2 2

I2n+1 =

,

22n (n!)2 (2n + 1)!

In+1 = 1. n→+∞ In √ π 4 Montrer par récurrence que : ∀n ≥ 1, nIn In−1 = . En déduire lim In et lim In n. n→+∞ n→+∞ 2 "   # 1 × 3 × 5 × ... × (2n − 1) 2 1 5 Montrer que : lim n = . (formule de Wallis) n→+∞ 2 × 4 × 6 × ... × 2n π 3 Montrer que la suite (In ) est décroissante, donc convergente. En déduire que lim

Exercice 5. α est un réel strictement positif différent de 1. Z 2π 1 Vérifier que l’intégrale : I = ln(1 − 2α cos x + α2 )dx est bien définie. 0

2 Montrer que

n Y

(1 − 2α cos

k=1

2kπ + α2 ) = (αn − 1)2 . n

2π ln 3 Montrer que I = lim n→+∞ n

n Y

! 2kπ 2 (1 − 2α cos +α ) . n

k=1

4 En déduire la valeur de I.

30

CHAPITRE 2. TRIGONOMÉTRIE, SOMMATION NUMÉRIQUE, INTÉGRALE

Partie

2 R ÉSUMÉ DE COURS

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DE PHYSIQUE

« La seule chose absolue dans un monde comme le nôtre, c’est l’humour » Albert Einstein

31

Analyse dimensionnelle

1-

3

Chapitre

Introduction

L’analyse dimensionnelle est basée sur un principe simple de physique : la formulation d’un phénomène physique doit être dimensionnellement homogène, c’est-à-dire que son expression en fonction des paramètres dont il dépend doit être indépendante du système d’unités choisi et les dimensions (dans le sens « unités ») attachées à chaque monôme de l’expression doivent être analogues à la dimension du phénomène. Les dimensions étant respectées, toute expression représentant un phénomène physique peut être mise sous une forme adimensionnelle.

2-

Notion de mesure

Mesurer une grandeur, c’est déterminer le rapport entre cette grandeur et une autre de même espèce, choisie comme unité. Par exemple, l’unité de la grandeur longueur est le "mètre". On dira donc par exemple que le pourtour de telle aire est de 500 mètres. Ainsi, chaque grandeur définie par le

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3-

Système d’unités

La civilisation technique et la science ont conduit l’homme à multiplier les grandeurs usuelles et à systématiser le choix de leurs unités. Un système d’unités est alors défini par le choix d’unités fondamentales, d’où toutes les autres peuvent être déduites par des formules ou des relations de définition. Dans le Système International (S.I.) universellement adopté, on a convenu de choisir 7 Unités de base : 1 Trois unités d’origine mécanique : le mètre, le kilogramme, et la seconde 2 Une unité de nature électrique : l’ampère 3 Deux unités dites thermodynamiques : la mole et le kelvin 4 Une unité photométrique : le candela. Les relations de définitions se mettent généralement sous la forme : G = Aα B β C γ Où G, A, B, C, ... sont des grandeurs , α, β, γ des nombres. A, B, C, ... représentent par exemple les unités fondamentales, lorsque G est une grandeur relative à une , « nouvelle » unité. 33

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4-

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Les équations aux dimensions (E.A.D)

Les équations aux dimensions sont des relations, entre rapports d’unités, identiques aux relations de définition ; elles sont utiles pour : l’homogénéité des formules (mathématiques et autres) effectuer des changements d’unités l’analyse dimensionnelle, valable pour le cas d’une fonction qui est le produit de plusieurs grandeurs.

Parmi les sept unités de base du S. I., seules les quatre premières ont été retenues comme fondamentales en mécanique, et seront alors utilisées dans les équations aux dimensions. Il s’agit nommément des unités suivantes : 1 le mètre, unité principale des mesures de longueur, a pour symbole dimensionnel la lettre L. 2 le kilogramme, unité de la grandeur inerte masse, a pour symbole M. 3 la seconde qui sert à exprimer le temps est représentée par la lettre T. 4 l’ampère qui mesure l’intensité d’un courant électrique serait symbolisé par I, mais l’usage veut qu’on utilise plutôt le coulomb (unité de la charge électrique, symbole dimensionnel Q comme quatrième unité fondamentale, et ceci pour des raisons de simplicité des formules, la relation Q = l.t définissant par ailleurs ces deux grandeurs l’une par rapport à l’autre.

5-

Exemples d’équations aux dimensions

Nous présentons ci-dessous un tableau donnant respectivement les indications suivantes en colonnes, pour quelques grandeurs physiques : 1 l’appellation courante (exemple : longueur) et le symbole (exemple :l) dans les expressions littérales usuelles 2 Le symbole dimensionnel (exemple : L) 3 le nom de l’unité dans le S.I. (exemple : mètre) 4 le symbole de cette unité dans le S.I. (exemple : m)

6-

L’analyse dimentionnelle

L’analyse dimensionnelle est une science qui permet de prévoir le comportement de certains systèmes physiques à réalisation délicate. Elle utilise les relations de définitions entre grandeurs. Exemple, on sait que la résistance de l’air varie avec la masse volumique p de l’air, avec la surface S du solide en contact avec l’air, et enfin avec la vitesse V du mobile. On peut alors supposer cette résistance (force) sous la forme : F = λ.S a .ρb .V c ; où λ est une constante sans dimension. Or on a les équations aux dimensions suivantes : [F ] = M.L.T −2 [S] = L2 [ρ] = M.L−3 [V ] = L.T −1 M.L.T −2 = [λ].(L2 )a .(M.L−3 )b .(L.T −1 )c

34

CHAPITRE 3. ANALYSE DIMENSIONNELLE

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[λ] = 1 car λ est une constante réelle. Par identification des exposants de M, L, T il vient que : b = 1 ; c = 2 ; 2a − 3b + c = 1 Ainsi, (a, b, c) = (1, 1, 2) F

6. L’ANALYSE DIMENTIONNELLE

= λ.S.ρ.V 2

35

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CHAPITRE 3. ANALYSE DIMENSIONNELLE

La notion de quantité de chaleur

11.1

4

Chapitre

La notion d’énergie

Définition

Définition L’énergie est une grandeur physique qui représente la capacité d’un corps ou d’un système à : 1 Déformer ou déplacer un corps. 2 Élever la température ou changer l’état physique d’un corps. L’unité de l’énergie dans le SI est le joule (j), il existe d’autres unités tel que le wattheure (W h) et 1W h = 3600j, l’électron volt (1eV = 1, 6x10 − 19j).

1.2

Les différentes formes d’énergies

L’énergie existe sous plusieurs formes qui peuvent se transformer d’une à l’autre, les principales formes sont : L’énergie électrique, mécanique, chimique, nucléaire, calorifique · · · . L’énergie calorifique se manifeste sous forme de chaleur.

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22.1

La notion de chaleur

Effets des échanges de chaleur

Le transfert de chaleur peut avoir pour effet : 1 De faire varier la température d’un corps ou système. 2 De provoquer un changement d’état physique. 3 De favoriser une réaction chimique. Les échanges de chaleur peuvent se faire soit par la conduction (bâton en fer chauffé, la chaleur se propage tout au long de celui-ci), la convection (une eau chauffée, la partie inférieure chauffée monte donnant place à celle 37

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supérieure), et par rayonnement (une eau dans un verre et placé au soleil s’échauffe grâce au rayonnement du soleil.

33.1

Notion de quantité de chaleur (Q)

Enceinte adiabatique

Un enceinte adiabatique est une enceinte qui ne permet pas les échanges de chaleur avec l’extérieur. Pour mesurer les quantités de chaleur, généralement on utilise des appareils appelés calorimètres. Ceux-ci sont des récipients fermés dont les parois sont constituées d’isolant thermique. Ces parois ne permettent pas d’échanges de chaleur avec l’extérieur : Les calorimètres sont donc considérés comme des enceintes adiabatiques.

3.2

Principe des échanges de chaleur

Lorsque plusieurs corps sont dans une enceinte adiabatique, la somme algébrique des quantités de chaleur échangées pour atteindre l’équilibre thermique est nulle : X

3.3

Q=0

Expression de la quantité de chaleur échangé par un corps ne subissant pas de changement d’état.

L’expérience montre qu’au cours de l’échauffement d’un corps, la quantité de chaleur Q reçue par celui-ci est proportionnelle à sa masse et à la variation de sa température. Ainsi, m représentant la masse de ce corps, et ∆θ la variation de température subit par le corps, nous aurons Q/m.∆θ = cte.

Cette constante généralement notée C, dépend de la nature du corps et est appelée chaleur massique ou encore capacité thermique massique de la substance constituant le corps.

Q ∆θ

= CQ = m.C.∆θ = m.C.(θf − θi )

avec Q(j), m(kg), ∆θ(K) ou 0 C et C(J/kg/K).

38

CHAPITRE 4. LA NOTION DE QUANTITÉ DE CHALEUR

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Exemple : CH2 O = 4190j/kg/K, T (K) = t(0 C) + 273

Remarque : 1 Il existe une autre unité pour la quantité de chaleur : La calorie (cal) et 1cal = 4, 18j 2 Dans l’expression Q = m.C.(θf − θi ), le produit m.C généralement noté K est appelé capacité thermique ou capacité calorifique du corps considéré d’où Q = K∆θ

Exercice d’application : On mélange dans une enceinte adiabatique 5L d’eau à 250 C avec 7L d’eau à 600 C. Quelle est la température finale prise par l’eau contenu dans l’enceinte ?

Solution :

L’enceinte étant adiabatique,

P

V1 = 5l,

θ1 = 250 C

V2 = 7l,

θ2 = 600 C

Q = 0 ←→ Q1 + Q2 = 0

Q1 = m1 Ce (θf − θ1 ) et Q2 = m2 Ce (θf − θ2 ) D’où m1 Ce (θf − θ1 ) + m2 Ce (θf − θ2 ) = 0 ↔ m1 Ce θf + m2 Ce θf = m1 Ce θ1 + m2 Ce (θ2 θf

= (m1 Ce θf + m2 Ce θf )/(m1 Ce + m2 Ce ) = (m1 θ1 + m2 θ2 )/(m1 + m2 )

Or m1 = ρ1 V1 et m2 = ρ2 V2 d’où θf

= (ρ1 V1 θ1 + ρ2 V2 θ2 )/(ρ1 V1 + ρ2 V2 ) orρ1 = ρ2

d0 o

θf = (V1 θ1 + V2 θ2 )/(V1 + V2 )

4-

Capacité thermique d’un calorimètre

Généralement, le calorimètre participe aux échanges thermiques. Il faut donc prendre en compte la valeur de sa capacité thermique C ou K. Dans ce cas, la température initiale du calorimètre est la même que celle de l’eau initialement présente dans le calorimètre. 4. CAPACITÉ THERMIQUE D’UN CALORIMÈTRE

39

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Exercice d’application : Considérons un calorimètre de capacité thermique C, contenant une masse m1 d’eau à la température θ1 . On y introduit une masse m2 d’eau à la température θ2 . Une fois l’équilibre thermique atteint, on note la température finale θf . Exprimons la capacité thermique C de ce calorimètre en fonction de m1 , m2 , θ1 , θ2 , Ce et θf .

Solution : P L’enceinte étant adiabatique, Q = 0 ↔ Q1 + Q2 + Q3 = 0 Q1 = m1 Ce (θf − θ1 ) , Q2 = m2 Ce (θf − θ2 ) et Q3 = C(θf − θ1 ), on a alors : C(θf − θ1 ) + m2 Ce (θf − θ2 ) + m1 Ce (θf − θ1 ) = 0, d’où

C = [m1 Ce (θf − θ1 ) + m2 Ce (θf − θ2 )] /(θ1 − θf )

(4.1)

Remarque : On appelle valeur en eau d’un calorimètre généralement notée µ(lire mu) la masse d’eau qui recevant la même quantité de chaleur que le calorimètre subirait la même élévation de température que ce calorimètre. On a donc la relation suivante liant capacité thermique d’un calorimètre et sa valeur eau :C = µCe avec µ(kg).

Exercice d’application : Dans un calorimètre contenant 300g d’eau à 220 C, on plonge un morceau de plomb de masse 100g pris à la température de 1200 C.Sachant que la valeur en eau du calorimètre est 35g, déterminer la température du milieu à l’équilibre thermique. On donne Ce = 4190j/kg/Ket ; Cpb = 1300j/kg/K.

Solution : Eau(m1 = 300g, θ1 = 220 C, Ce = 4190j/kg/K) plomb (m2 = 100g, θ2 = 1200 C, Ce = 1300j/kg/K) Calorimètre (µ = 35g, θf =?) X Q = 0 ⇐⇒↔ Q1 + Q2 + Q3 = 0

(4.2)

m1 Ce (θf − θ1 ) + m2 Cpb (θf − θ2 ) + K(θf − θ1 ) = 0 or Kµ = Ce d’où m1 Ce (θf − θ1 ) + m2 Cpb (θf − θ2 ) + µCe (θf − θ1 ) = 0 ↔ m1 Ce θf + m2 Cpb θf + µCe θf = m1 Ce θ1 + m2 Cpb θ2 + µCe θ1 d’où θf = (m1 Ce θ1 + m2 Cpb θ2 + µCe θ1 )/(m1 Ce + m2 Cpb + µCe )

(4.3)

A.N : θf = 30, 30 C

5-

Expression de la quantité de chaleur échangée par un corps qui subit un changement d’état

La matière se présente sous trois états physiques à savoir, l’état solide liquide et gazeux. Très souvent, pour passer d’un état à un autre, la matière peut : soit céder de la chaleur au milieu extérieur,

40

CHAPITRE 4. LA NOTION DE QUANTITÉ DE CHALEUR

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soit en recevoir. On appelle chaleur latente de fusion d’un corps pur généralement notée Lf , la quantité de chaleur à fournir à l’unité de masse de ce corps pris à sa température de fusion pour l’emmener entièrement à l’état liquide. Cette transformation s’effectue à température constante. Dans le SI, la chaleur latente s’exprime en j/kg. Dans le cas où l’on veut faire fondre une masse m d’un corps pris à sa température de fusion, la quantité de chaleur nécessaire pour la fusion totale de ce corps est donnée par la relation Q = mLf . On appelle chaleur latente de vaporisation d’un corps pur notée Lv , la quantité de chaleur qu’il faut fournir à l’unité de masse de ce corps pur pris à la température de vaporisation pour l’emmener entièrement à l’état vapeur. Pendant ce changement la température reste constante. La chaleur latente de vaporisation s’exprime en j/kg. Ainsi, pour vaporiser entièrement un liquide de masse m pris à sa température de vaporisation, la quantité de chaleur nécessaire donnée par la relation Q = mLv . Il faut noter que si la température de fusion d’un corps est θf u par exemple, θvap sa température de vaporisation, la quantité de chaleur à fournir à une masse m pris à l’état solide à la température θi pour l’amener à l’état vapeur à la température θf se calcule par l’expression :

Q = mCS (θf u − θi ) + mLf + mCliq (θvap − θf us ) + mLv + mCvap (θf − θvap ).

(4.4)

41

5. EXPRESSION DE LA QUANTITÉ DE CHALEUR ÉCHANGÉE PAR UN CORPS QUI SUBIT UN CHANGEMENT D’ÉTAT

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42

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CHAPITRE 4. LA NOTION DE QUANTITÉ DE CHALEUR

Régimes transitoires et circuits électriques

1-

5

Chapitre

Définition

Définition On appelle régime transitoire le comportement d’un système entre deux régimes permanent

2-

Charge et décharge d’un dipôle RC

C’est un dipôle formé de l’association en série d’un condensateur et d’un conducteur ohmique de résistance R. La charge d’un condensateur est donnée par : q = C.UAB où C est la capacité du condensateur.

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Circuit RC

1 Charge condensateur

2 Déharge condensateur

43

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2.1

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Observations

1 Lorsque le générateur délivre la tension positive UM N = E, la tension UAB aux bornes du condensateur augmente jusqu’à la valeur maximale UAB max = E : on dit que le condensateur se charge. 2 Pendant les phases où le générateur délivre une tension nulle, la tension UAB décroit puis s’annule : le condensateur se décharge Le régime est transitoire tant que la tension aux bornes du condensateur varie ; lorsue cette tension devient constante ( 0V ou E) le régime permanent est atteint. (Oscillogramme présentant la charge et la décharge du condensateur)

Remarque : Lorsque la résistance R ou la capacité C augmente on constate que les phénomènes de charge ou de décharge deviennent plus lents et le régime permanent est moins vite atteint .

2.2

Constante de temps

Elle caractérise la rapidité avec laquelle le régime permanent est atteint. τ = RC en secondes.

2.3

Énergie électrique emmagasinée par un condensateur

Le condensateur emmagasine et restitue de l’énergie sous forme électrique : 1 1 1 El = CU 2 = qU = Cq 2 2 2 2

2.4

Equation différentielle d’évolution du circuit et résolution

La loi d’additivité des tensions nous donne : UM N = Ri + UC dUC UM N = RC + UC dt dUC uC UM N + = dt RC RC Pendant la charge :

dUC UC E + = dt RC RC La résolution de cette équation différentielle nous donne : UM N = E =⇒

    t t UC = E 1 − e− RC = E 1 − e− τ

44

CHAPITRE 5. RÉGIMES TRANSITOIRES ET CIRCUITS ÉLECTRIQUES

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Pendant la décharge : dUC UC + =0 dt RC La résolution de cette équation différentielle nous donne : UM N = 0 =⇒

t

t

UC = Ee− RC = Ee− τ Ces solutions traduisent bien la forme des courbes observées. Pendant la charge

  t On a UC = E 1 − e− Z Première méthode
Pour t = Z, UC = E 1 − e−1 = 0, 63E. Ainsi Z est le temps au bout duquel la tension aux bornes du condensateur est égale à 65% de sa valeur finale E (UC = 0, 63E). Deuxième méthode     t dUC 1 −t On a : UC = E 1 − e− Z =⇒ = e Z . dt Z E t. Z L’intersection de cette courbe avec l’asymptote horizontale se fait à : E y = E =⇒ t = E =⇒ t = Z. Z Z est donc l’abscisse du point d’intersection de la tangente à l’origine à la courbe UC (t) est la droite UC = E. L’équation de la tangente à la courbe UC (t) à t = 0 est y =

Pendant la décharge

2. CHARGE ET DÉCHARGE D’UN DIPÔLE RC

45

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Première méthode t

On a : UC (t) = Ee− Z . Pour t = Z, UC = 0, 37E. Z est donc la date à laquelle la tension résiduelle aux bornes du condensateur est 37% de sa valeur intiale. Deuxième méthode t dUC 1 = − Ee− Z . dt Z dUC 1 (0) = − E. dt Z 1 Tangente : y = − Et. Z Intersection : y = −E =⇒ t = Z.

33.1

Bobines inductives et dipôles RL

Bobine

Toute variation de courant dans une bobine provoque l’apparition d’une f.é.m. aux bornes du dipôle. e = −L

di . dt

Pour une bobine résistive d’inductance L et de résistance r, la tension à ses bornes s’écrit : u = ri − e = ri + L

3.2

di . dt

Observations

Lorque le générateur délivre une tension constante UM N = E, l’intensité du courant croit jusqu’à atteindre une valeur maximale constante, mais cette augmentation est lente. Lorsque UM N = 0, l’intensité du courant décroit jusqu’à s’annuler ;cette extinction de courant est aussi lente. L’établissement et l’extinction du courant, lent à atteindre, sont conformes à la loi de LENZ.

46

CHAPITRE 5. RÉGIMES TRANSITOIRES ET CIRCUITS ÉLECTRIQUES

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3.3

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Constante de temps

L C’est le quotient τ = P . R

3.4

Equation différentielle d’évolution du circuit et résolution

La loi d’additivité des tensions permet d’écrire : UM N = Ri + L

di dt

UM N di R + i= dt L L Cette équation traduit l’évolution du courant en fonction du temps. Pendant l’établissement du courant : UM N = E =⇒ Les solutions sont de la forme : i=

di R UM N + i= . dt L L

 t E 1 − e− τ . R

Pendant l’interruption du courant : UM N = 0 =⇒ Les solutions sont de la forme : i=

3.5

di R + i = 0. dt L

E −t e τ. R

Energie emmagasinée

L’énergie emmagasinée par la bobine est sous forme magnétique : 1 Emagn = Li2 . 2

3. BOBINES INDUCTIVES ET DIPÔLES RL

47

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CHAPITRE 5. RÉGIMES TRANSITOIRES ET CIRCUITS ÉLECTRIQUES

Partie

3 E PREUVE DE

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M ATHÉMATIQUES « La seule chose absolue dans un monde comme le nôtre, c’est l’humour » Albert Einstein

49

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4-

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Epreuve de mathématiques 2009

Exercice 1 √ 1 1 1 Calculer le nombre A = Ln(ln e e) + ln e2 − ln 3 + 2 ln √ où e se désigne la base du logarithme népérien. e e 2 Résoudre dans R les équations suivantes : (E1 ) : 4e2x − 9 = 0 3

(E2 ) : e2x − 4 = −3ex

a. Résoudre dans R3 , le système suivant :    2x + y + z = 1 (S) : x + 2y + z = 1   x + y + 2z = 1 b. En déduire la solution dans R3 du système :  x y z   2e + e + e = 1 (S 0 ) : ex + 2ey + ez = 1   x e + ey + 2ez = 1

Exercice 2 Plusieurs enfants se réunissent pour acheter un ballon de football. Chacun doit payer 200FCFA. Au dernier moment, trois d’entre eux ne peuvent pas payer et les autres doivent alors payer chacun 250 FCFA. 1 Déterminer le nombre d’enfants qui ont cotisé. 2 Quel est le prix du ballon ?

Exercice 3 Dans un jeu de 32 cartes, on tire simultanément et au hasard quatre carte. 1 Déterminer le nombre de tirage possibles. 2 Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : – A : « obtenir une carte de chaque couleur » – B : « obtenir exactement un as » – C : « n’obtenir aucun as » – D : « obtenir au moins deux as »

Exercice 4 On considère la fonction f définie par : f (x) =

2(6x2 − x + 6) 12x2 + 11x − 5

1 Donner le domaine de définition f . 2 Déterminer trois réels a, b et c tels que f (x) = a + 4. EPREUVE DE MATHÉMATIQUES 2009

b c + 3x − 1 4x + 5

51

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 1 3 En déduire les primitives de f sur l’intervalle ; +∞ . 3

Exercice 5 On considère la fonction numérique f définie sur R par : f (x) =

x+1 ex

1 Calculer les limites de f aux bornes de son domaine de définition. x 2 a. Montrer que la dérivée de f est f 0 telle que f 0 (x) = − x . e b. En déduire le sens de la variation de f et dresser sur tableau de variation. 3 Déterminer les cordonnées des points d’intersection de la courbe (Cf ) de f avec les axes des coordonnées. 4 Tracer la courbe (Cf ) de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O,~i, ~j). 5 Soit g la fonction définie par : (g(x) = f (x) − 2. Construire la courbe (Cg ) dans le même repère que (Cf ).

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5-

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Epreuve de mathématiques 2010

Exercice 1 Une urne contient trois boules vertes, quatre boules rouges et cinq boules bleues, indiscernables au toucher. On tire simultanément deux boules de l’urne. 1

a. Calculer la probabilité de tirer deux boules vertes. b. Calculer la probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes.

2 Lorsqu’on tire une boule bleue, on marque 1 point ; si une boule rouge est tirée alors on perd 1 point et si une boule verte est tirée alors on marque 0 point. On désigne par X le nombre de points marquée. a. Déterminer la loi de probabilité de X. b. Calculer l’espérance mathématique, la variance de l’écart type de X.

Exercice 2 On considère le sytème suivant :    −2x + 3y − 8z = −9 (S) : x − y + 3z = 6   3x − 2y + 13z = 15 1 Utiliser la méthode du pivot de Gauss pour résoudre le système (S). 2 Déduire de la question 1) les solutions de chacun des systèmes suivants :  2 3   − ln(x ) + ln(y ) − 8 ln z = −9 (S 0 ) : ln x − ln y + 3 ln z = 6   3 2 ln(x ) − ln(y ) + 13 ln z = 15  x y z   −2e + 3e − 8e = −9 (S”) : ex − ey + 3ez = 6   x y z 3e − 2e + 13e = 15

Exercice 3 Soit la fonction f définie de R vers R par : f (x) = −x3 + 2x2 − 2x + 1 1 Calculer f (1), puis déterminer les réels a, b et c tels que ; f (x) = (x − 1)(ax2 + bx + c). 2 Résoudre dans R, l’équation f (x) = 0. 3 On pose P (x) = x2 + x − 1 a. Déterminer le signe de P (x). b. Résoudre dans R, l’inéquation : −e3x + 2e2x − 2ex + 1 ≥ 0. 5. EPREUVE DE MATHÉMATIQUES 2010

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Exercice 4 On considère la fonction f définie de R vers R par : f (x) = −xex + 2ex 1

a. Déterminer le domaine de définition de f . b. Calculer : lim f (x)

x→−∞

2

lim

x→+∞

f (x) x

lim f (x)

x→+∞

a. Calculer la dérive de f et étudier son signe. b. En déduire les variations de f . c. Dresser le tableau de variation de f .

3 Recopier et compléter le tableau ci-dessus (les valeurs de f (x) seront données au centième près) : x

-2,5

-2

-1

0

0,5

f (x) 4 Tracer la courbe (C) de f dans un repère orthonormé du plan. 5 On définit la fonction F sur R par F (x) = (3 − x)ex . a. Calculer F 0 (x) et conclure. b. Déterminer la primitive de f sur R qui s’annule en 0.

54

1

2

2,5

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6-

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Epreuve de mathématiques 2011

Consignes Répondez à toutes les questions. Vos réponses pour chaque partie des exercices doivent être bien libellées.

Exercice 1 1

a. En développant

2 comme élément simple ou par autre moyen démontrer que : −1

4r2

n X r=1

b. calculer la valeur exacte de :

20 X r=11

1 2 =1− 4r2 − 1 2n + 1

1 2 =1− 4r2 − 1 2n + 1

2 On veut résoudre dans C l’équation z 3 + 6z + 20 = 0. a. Démontrer que 1 + 3i est une racine de l’équation z 3 + 6z + 20 = 0. b. Chercher les autres racines de l’équation. c. Tracer sur un seul diagramme les trois points représentant les racines de l’équation. d. Démontrer que ces trois points sont les vertices d’un triangle rectangle.

Exercice 2 Dans un campus universitaire, à l’issue d’une compétition d’athlétisme, 1250 athlètes subissent un test antidopage. Le teste n’est pas sûr à 100%, certains athlètes peuvent être dopés et avoir cependant un test négatif et, de même, des athlètes non dopés peuvent avoir un texte positif. Le tableau ci-dessous donne la répartition des 1250 athlètes en fonction du résultat du test et de l’état réel de l’athlète :

Athlète non dopé Athlète dopé

Test négatif

Test positif

1188 1

12 49

Si A et B sont deux évènements, on notera A¯ l’évènement contraire de A, P (A) la probabilité de l’évènement A, PB (A) la probabilité conditionnelle de A sachant B. 1 On choisit au hasard un athlète. Déterminer la probabilité des évènements suivants : – S : « l’athlète est non dopé » – T : « le test est positif ». T – S T : « l’athlète est non dopé et le test est positif ». 2 On choisit au hasard un athlète non dopé. Quelle est la probabilité qu’il ait un test positif ? 3 Les évènements « le test est positif » et « l’athlète est dopé » sont-ils indépendants ? 4 Sachant que le test est positif quelle est la probabilité que l’athlète soit non dopé ?

6. EPREUVE DE MATHÉMATIQUES 2011

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7-

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Epreuve de mathématiques 2012

Exercice 1 Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses produits. On admet que lors du premier appel téléphonique, la probabilité que le correspondant ne décroche pas est 0,4 et que s’il décroche, la probabilité pour qu’il réponde au questionnaire est 0,3. On pourra construire un arbre pondéré. 1 On note : – D1 l’évènement : « la personne décroche au premier appel ». – R1 l’évènement : « la personne répond au questionnaire lors du premier appel ». Calculer la probabilité de l’évènement R1 . Lorsqu’une personne ne décroche pas au premier appel, on la contacte une seconde fois. La probabilité pour que le correspondant ne décroche pas la seconde fois est 0,3 et la probabilité pour qu’il réponde au questionnaire sachant qu’il décroche est 0,2. Si une personne ne décroche pas lors du second appel, on ne tente plus de le contacter. 2 On note : – D2 l’évènement « la personne décroche au second appel ». – R2 l’évènement « la personne ne répond pas au questionnaire lors du second appel ». – R l’évènement : « la personne répond au questionnaire ». a. Montrer que la probabilité de l’évènement R est 0,236. b. Sachant qu’une personne a répondu au questionnaire, calculer la probabilité pour que la réponse ait été donné lors du premier appel. (on donnera la réponse arrondie au millième). c. Un enquêteur a une liste de 25 personnes à contacte. Les sondages auprès de personnes d’une même liste sont indépendants. Quelle est la probabilité pour que 20% des personnes répondent au questionnaire ? (on donnera la réponse arrondie au millième.

Exercice 2 Sylvain et Marthe arrivent au marché et achètent deux produits vivriers. Sylvain achète 40 piments et 10 haricots verts et donne 110 FCFA à la vendeuse. Marthe achète 70 piments et 20 haricots verts et donne 200 FCFA à la vendeuse. On souhaite déterminer le prix d’un piment et celui d’un haricot vert. On note x = prix d’un piment, y = prix d’un haricot vert. 1

a. Ecrire les deux équations respectées par x et y. b. Résoudre le système d’équations et donne le prix de chaque produit. c. Grace à un changement de variable judicieux résoudre les systèmes d’équations suivant :  4 1   + = 11 x + 3 2y − 1 7 2   + = 20 x + 3 2y − 1

2 And 20 green beans and gives 200 FCFA to the saleswoman. We wish to determine the prise of one pepper and that of one green bean. We note x = prise of one pepper and y = price of one green bean.

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a. Write the two equations respected by x and y. b. Solve the system of equations and give the price of each product. c. Due to a judicious change of variable, solve the system of equations that follows  4 1   + = 11 x + 3 2y − 1 7 2   + = 20 x + 3 2y − 1 3 Solve graphically on a plane axis (O, I, J) the following system of equations : (

4x + y < 11 7x + 2y > 20

Problème Partie A Given g, the function of R toward R, defined by : g(x) =

x2 + x + 2 x−1

1 Determine the whole definition of g. 2 Determine the real numbers a, b and c such that for all real x different from 1 : g(x) = ax + b +

c x−1

Partie B Given f the function of R towards R, defined by : f (x) = x + 2 +

4 x−1

(Cf ) designates the representative curve of f in plane axes (O, I, J) such that 1 cm represents one unit on each of the axes. (x − 3)(x + 1) 1 a. Prove that f 0 (x) = (x − 1)2 b. Determine the sing of f 0 (x) following the values of x and construct the table of the variation of f . 2

a. Prove that the right (D) of the equation y = x + 2 is an asymptote to (C{). b. Prove that the right (T ) of the equation x = 1 equal an asymptote to (C{).

3

a. Prove that f (1 − x) + f (1 + x) = 6. b. Deduce that the point K(1, 3) is a centre of symmetry for (C{). c. Carefully construct (C{) in the plane axes (O, I, J). d. Deduce on the same axes curve (C}) of the function g defined by g(x) = |f (x)|.

7. EPREUVE DE MATHÉMATIQUES 2012

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8-

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Epreuve de mathématiques 2013

Exercice 1 On considère la matrice M=

! a c b d

(a, b, c, d) ∈ R4

1 Calculer M 2 . 2 Montrer qu’il existe deux nombres réels λ,µ tels que : M 2 − λM − µI2 = O2 Où I2 est la matrice identité et O2 la matrice nulle. 3 En supposant que det M 6= 0 exprimer M −1 en fonction de M . 4 Montrer que l’ensemble des matrices A ∈ M2 (R) telles que : A = αM + βI2

(α, β) ∈ R2

est un sous espace vectoriel de M2 (R). 5 Déduire que A est stable pour la multiplication des matrices. ! 1 2 6 Appliquer les résultats ci-dessus à la matrice M = 2 1

Exercice 2 Soit l’équation du second degré y = x2 + 2x − 3. Factoriser et trouver les coordonnées de l’extremum. Est-ce un maximum ou un minimum ? Tracer la courbe de y pour les valeurs de x comprises entre −4 et 2. Trouver la surface de la portion de courbe en dessous de la droite y = 5. 1 En utilisant le même système d’axe et de coordonné tracer la courbe y = x + 1. 2 Ecrire les abscisses des points d’intersection des deux courbes et trouver une équation simple qui a pour solution ces points.

Exercice 3 Soient les fonctions f , g et h définies dans R par : f : x 7−→x2 − 3 g : x 7−→3x + 1 2 h : x 7−→ x − 1 3 1 Exprimer dans le même esprit les fonctions g ◦ f , f ◦ g, g −1 ◦ h−1 et g ◦ h. 2 Résoudre l’équation f (g(x)) − g(f (x)) − 18 = 0 en exprimant les réponses en valeurs absolues. 3 Soient |x1 | et |x2 | les solutions de cette équation. Calculer (g ◦ h ◦ f )(|x1 |) et (g ◦ h ◦ f )(|x2 |).

Exercice 4

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r

c2 (x − a) . b a. Exprimer x en fonction des autres variables.

1 Etant donné

c2

=

b. Trouver les valeurs de x pour lesquelles b ≤ 3 et a = c = 2. c. Trouver l’ensemble des solutions de x à partir de l’intersection des deux ensembles suivants : S1 = {0, 1, 2, · · ·, 16} 2 Résoudre les systèmes d’équations suivants : ( 3x = 2y (S1 ) : 2 x + xy + y 2 = 0

8. EPREUVE DE MATHÉMATIQUES 2013

S2 = {1, 3, 5, 7, 11, 13}

( (S2 ) :

3x + y = 5 x2 + xy = 3

59

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9-

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Epreuve de mathématiques 2014

Exercice 1 On considère la fonction définie par 1

f (x) = xe x . Etudier les variations et construire la courbe représentative de f .

Exercice 2 1 Calculer les limites aux bornes du domaine de définition de la fonction h définie par : h(x) =

1 ax − (x + 1)2 (x − 1)2

(On discutera selon les valeurs du paramètre réel a.) 2 Etudier la continuité au point 1 de la fonction f définie par : ( x si x < 1 2 f (x) = x + 1 si x ≥ 1 (On fera une représentation graphique pour illustrer le résultat)

Exercice 3 1 Evaluer les expressions suivantes : 1 − cos 2x a. lim x→0 x2 2 2x − 2x + 3 b. lim x→∞ 3x2 + 1 Z 2 x2 + 1 c. dx 2 1 x + 3x + 4 2 Une boite rectangulaire avec le dessus ouvert est construite pour avoir un volume de 12 m3 . Le cout par mètre carré de matériel utilisé est de 400 F pour le dessous, 300 frs pour les deux côtés opposés et 200 F pour les deux autres côtés opposés. Trouver les dimensions de la boite qui minimise le cout.

Exercice 4 Les recettes des Télécommunications sont passées de 3 × 109 F CF A à 6 × 109 F CF A en 3 ans. 1 Calculer le taux d’accroissement global sur la période. 2 Calculer le taux d’accroissement annuel moyen.

Exercice 5 On considère la matrice :

60

  0 0 1   A = 2 1 0 1 0 0

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1 Calculer A2 et A3 . 2 Déterminer A2 + A − I (I est la matrice identité d’ordre 3). En déduire A4 , A5 , A6 en fonction de A2 , A et I. 3 Déterminer, si elle existe, la matrice A−1 , inverse de A.

9. EPREUVE DE MATHÉMATIQUES 2014

61

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Partie

4 C ORRIGÉS DE

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M ATHÉMATIQUES « La seule chose absolue dans un monde comme le nôtre, c’est l’humour » Albert Einstein

63

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10-

Corrigé de mathématiques 2009

EXERCICE 1 1 Calcul de A. √ 1 1 A = ln ln e e + ln e2 − ln 3 + 2 ln √ e e 1 1 = ln ln e1+ 2 + 2 + 3 − 2 × 2 = ln 3 − ln 2 + 4 2 Résolution des équations : (E1 ) : 4e2x − 9 = 0. 4e2x − 9 = 0 ⇔(2ex )2 − 32 = 0 ⇔(2ex − 3)(2ex + 3) = 0 ⇔2ex − 3 = 0 car 2ex + 3 6= ∀x ∈ R ⇔   3 ⇔x = ln 2    3 ⇒S = ln 2

ex =

3 2

(E2 ) : e2x − 4 = −3ex ⇔ (ex )2 + 3ex − 4 = 0. Posons X = ex > 0 On obtient l’équation X 2 + 3X − 4 = 0. ∆ = 25 donc cette dernière équation admet deux solutions X1 et X2 données par : X1 =

−3 − 5 = −4 2

et

X2 =

−3 + 5 =1 2

Comme nous cherchons X > 0 seule X2 convient. Donc ex = 1 ⇔ x = 0 ⇒ S = {0}.    2x + y + z = 1 (E1 ) 3 3 a. Résolvons dans R le système (S) : x + 2y + z 1 (E2 ) E1 − E2 ⇒ −3y − z = −1 (E20 )   x + y + +2z = 1 (E3 ) 0 E1 − E3 ⇒ −y − 3z = −1 (E3 ) E20 − 3E30 ⇒ 8z = 2 (E”3 ) On obtient donc le système suivant :    2x + y + z = 1 (E1 ) −3y − z = −1 (E20 )   8z = 2 (E”3 ) 1 (E”3 ) ⇒ z = . 4 3 1 (E”3 ) dans (E20 ) entraine −3y = − ⇒ y = 4 4 (E”3 ) et (E20 ) dans (E1 ) entrainent : 2x +  Donc S =

1 1 1 ; ; 4 4 4

1 1 1 1 + = 1 ⇒ 2x = ⇒ x = 4 4 2 4



10. CORRIGÉ DE MATHÉMATIQUES 2009

65

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b. Déduisons la résolution du système :   

2ex + ey + ez = 1 (E1 ) (S 0 ) : ex + 2ey + ez 1 (E2 )   x e + ey + +2ez = 1 (E3 ) En posant X = ex , Y = ey , Z = ez on retouve le système (S) de la question 2.a). Il vient donc que 1 X=Y =Z= . 4 1 1 1 x X = ⇔ e = ⇔ x = ln = − ln 4. 4 4 4 Donc S = {(− ln 4; − ln 4; − ln 4)}

EXERCICE 2 1 Déterminons le nombre d’enfant qui ont cotisé. Soit x le nombre d’enfant qui ont cotisé. Au départ, il y avait x + 3 enfants, le prix du ballon est donc 200(x + 3) A la fin, x enfant ont cotisé donc le prix du ballon est aussi 250x Alors 200(x + 3) = 250x ⇒ 200x + 600 = 250x ⇒ −50x = −600 ⇒ x = 12 Donc 12 enfants ont cotisé. 2 Prix du ballon. Ce prix est 250x = 250x12 = 3000F Ce prix est donc 3000F.

EXERCICE 3 1 Nombre de tirages possibles : 4 C32 =

34! 32 × 31 × 30 × 29 = = 35960 4! × 28! 4×3×2

Il y’a donc 35960 tirage possibles. 2 Calcul de probabilité. P (A) =

card(A) C 1 × C81 × C81 × C81 4096 = 8 = 4 card(Ω) 35960 C32

P (B) =

card(B) C1 × C3 4 × 3276 = 4 4 28 = card(Ω) 35960 C32

Calcul de P (D). 1ère méthode : P (D) =

2 + C3 × C1 + C4 C42 × C29 4 28 4 4 C32

¯ :  obtenir au plus 1 as . 2ère méthode : Soit l’évèlement D 2 3 1 ¯ = C28 + C4 × C28 (ou alors P (D) ¯ = P (B) + P (C)). En appliquant P (D) = 1 − P (D), ¯ on Alors P (D) 4 C32 obtient P (D).

EXERCICE 4

66

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1 Domaine de définition de f . f (x) existe si et seulement si 12x2 + 11x − 5 6= 0. ∆ = 361 > 0. Donc le polynôme 12x2 + 11x − 5 admet deux racines x1 et x2 . x1 =

−11 − 19 5 =− 2 × 12 4

x2 =

−11 + 19 1 = 2 × 12 3

Donc,       1 5 5 1 [ 1 5 [ Df = R/{ ; − } = −∞; − − ; ; +∞ 3 4 4 4 3 3 2 Déterminons les réels a, b et c. 2(6x2 − x + 6) b c 2(6x2 − x + 6) a(3x − 1)(4x + 5) + b(4x + 5) + c(3x − 1) = a + + ⇔ = 2 2 12x + 11x − 5 3x − 1 4x + 5 12x + 11x − 5 (3x − 1)(4x + 5) 2 (12a)x + (11a + 4b + 3c)x + (−5a + 5b − c) 12x2 − 2x + 12 ⇔ = 12x2 + 11x − 5 12x2 + 11x − 5 ⇒(12a)x2 + (11a + 4b + 3c)x + (−5a + 5b − c) = 12x2 − 2x + 12   12a = 12  ⇒ 11a + 4b + 3c = −2   −5a + 5b − c = 12 ⇒a = 1; b = 2; c = −7 7 2 − ⇒f (x) = 1 + 3x − 1 4x + 5   1 3 Déduisons les primitives de f sur l’intervalle ; +∞ . 3  Z Z  2 7 f (x) dx = 1+ − dx 3x − 1 4x + 5 Z Z 7 2 dx − dx =x + 3x − 1 4x + 5 2 7 =x + ln |3x − 1| + ln |4x + 5| + k 3 4

Les primitives de f sur R sont données par F (x) = x + x

−∞

−

2 7 ln |3x − 1| + ln |4x + 5| + k 3 4

5 4

1 3

3x − 1

−

−

4x + 5

−

|3x − 1|

-(3x-1)

|4x + 5|

-(4x+5) 0 4x+5

0

k∈R

+

0

k∈R

+∞ + +

-(3x-1) 0 3x − 1 4x+5



 1 Les primitives de f sur l’intervalle ; +∞ sont données par : 3 F (x) = x +

10. CORRIGÉ DE MATHÉMATIQUES 2009

2 7 ln(3x − 1) + ln(4x + 5) + k 3 4

k∈R

67

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EXERCICE 5 1 Domaine de définition : Df = R. Limites aux bornes de Df . x+1 lim f (x) = lim = lim x→+∞ x→+∞ ex x→+∞



x 1 + x x e e

 =0

x+1 = −∞ x→−∞ ex

lim f (x) = lim

x→−∞

2

a. Montrons que f 0 (x) = −

x . ex ex − (x + 1)ex e2x x −xe = 2x e x =− x e

f 0 (x) =

b. Sens de variation et tableau de variation de f . Comme ∀x ∈ R, ex > 0 ; On a : ∀x ∈] − ∞; 0[f 0 (x) > 0 ⇒f est strictement croissante. ∀x ∈]0; +∞[f 0 (x) < 0 ⇒f est strictement décroissante. Tableau de variation de f . −∞

x f 0 (x)

+∞

0 +

0

−

1 f (x) −∞

0

3 oordonnée des points d’intersection de la courbe avec les deux axes de coordonnées. Avec l’axe des abscisses. Résolvons l’équation f (x) = 0. f (x) = 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = −1 Donc c’est le point A(−1; 0). vec l’une des ordonnées f (0) = 1. Donc ce point est B(0; 1) 4 Tracé de la courbé (Cf ).

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5 Tracé de la courbe (Cg ). La courbe (Cg ) de g est l’image de la courbe (Cf ) par la translation de vecteur ~u(0; −2).(Voir figure ci-dessus).

10. CORRIGÉ DE MATHÉMATIQUES 2009

69

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11-

Corrigé de mathématiques 2010

EXERCICE 1 1

a. Probabilité de tirer deux boules vertes. Soit A l’évènement : ´ tirer deux boules vertes ˇ. Calculons P (A). P (A) =

1 card A C2 = 23 = cardΩ 22 C12

b. Soit B l’évènement ´ tirer deux boules de couleurs différentes ˇ. Calculons P(B). P (B) = 2

card B C 1 × C41 + C31 × C41 + C41 × C51 47 = 3 = 2 cardΩ 66 C12

a. Loi de probabilité de X.  Déterminons d’abords l’ensemble X(Ω) des valeurs de X. X(Ω) = {0; 1; −1; 2; −2}.  Probabilité des éléments de X(Ω). 23 C31 × C41 + C32 = 2 66 C12 1 1 C ×C 15 P {X = 1} = 3 2 5 = 66 C12

P {X = 0} =

C31 × C41 12 = 2 66 C12 10 P {X = 2} = 66 6 P {X = −2} = 66

P {X = −1} =

b. Calculer l’espérance mathématique, la variance de l’écart type de X. – Espérance E(X). E(X) =

5 X

xk × P (X = k) =

k=1

– Variance V ar(X) =

E(X 2 )

−

11 66

(E(X))2 . 2

E(X ) =

5 X

x2k × P (X = k) =

k=1

Donc, 91 V ar(X) = − 66 – Ecart type σX =

 2 1 535 = 6 396

p V (X). r σX =

EXERCICE 2

70

535 396

91 66

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   −2x + 3y − 8z = −9 1 Résolvons le système (S) : x − y + 3z = 6   3x − 2y + 13z = 15

(E1 ) (E2 ) (E3 )

E1 + 2E2 ⇒ y − 2z = 3

(5.1)

3E1 + 3E2 ⇒ 5y + 2z = 3 ( y − 2z = 3 (E20 ) De (5.1) et (5.2) on obtient le système : 5y + 2z = 3 (E30 )

(5.2)

−5E20 + E30 ⇒ 12z = −12

(5.3)

On obtient donc le système :    −2x + 3y − 8z = −9 y − 2z = 3   12z = −12

(E1 ) (E20 ) (5.3)

De l’équation (5.3) on obtient z = −1. (5.3) dans (E20 ) ⇒ y + 2 = 3 ⇒ y = 1. (5.3) et (E20 ) dans (E1 ) ⇒ −2x + 3 + 8 = −9 ⇒ x = 10. S = {(10; 1; −1)} 2 Déduction des solutions des systèmes (S 0 ) et (S”).  2 3   − ln(x ) + ln(y ) − 8 ln z = −9 (S 0 ) : ln x − ln y + 3 ln z = 6   3 2 ln(x ) − ln(y ) + 13 ln z = 15

(E1 ) (E2 ) (E3 )

Contraintes : x > 0; y > 0; z > 0. Résolution : (S 0 ) est équivalent à    −2 ln(x) + 3 ln(y) − 8 ln z = −9 ln x − ln y + 3 ln z = 6   3 ln(x) − 2 ln(y) + 13 ln z = 15

(E1 ) (E2 ) (E3 )

Posons X = ln x; Y = ln y; Z = ln z. On obtient le système :   (E1 )  −2X + 3Y − 8Z = −9 X − Y + 3Z = 6 (E2 ) ⇒ X = 10 Y = 1 Z = −1 ⇒ ln x = 10 ; ln y = 1 ; ln z = −1   3X − 2Y + 13Z = 15 (E3 ) D’où x = e10

y = 1 z = e−1 .  S = (e10 ; e; e−1 )

 x y z   −2e + 3e − 8e = −9 (S”) : ex − ey + 3ez = 6   x y z 3e − 2e + 13e = 15 Posons X = ex ; Y = ey ; Z = ez . On obtient aussi le système (S) , Donc X = 10; Y = 1; Z = −1. Alors Z = −1 est impossible car Z > 0. Donc S = ∅.

EXERCICE 3 f (x) = −x3 + 2x2 − 2x + 1 11. CORRIGÉ DE MATHÉMATIQUES 2010

71

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1 Calculons f (1). f (1) = (1)3 + 2 × (1)2 − 2 × (1) + 1 = 0 2 Déterminons les réels a, b et c. f (x) = (x − 1)(−x2 + x − 1). Donc a = −1 3

c = −1.

b=1

a. Signe de P (x). ∆ = 12 − 4 × (−1)(−1) = −3 < 0. Donc P n’admet pas de racine réel et ∀x ∈ R, P (x) < 0. b. Résolvons l’équation −e3x + 2e2x − 2ex + 1 ≥ 0. −e3x + 2e2x − 2ex + 1 ≥ 0 ⇔ −(ex )3 + 2(ex )2 − 2ex + 1 ≥ 0 Posons ex = X , on obtient : −X 3 + 2X 2 − 2X + 1 ≥ 0 ⇔≥ f (X) ≥ 0 ⇔ (X − 1)P (X) ≥ 0 Comme ∀x ∈ R, P (x) < 0, alors (X − 1)P (X) ≥ 0 ⇔ X − 1 ≤ 0 ⇔ ex ≤ 1 ⇔ x ≤ ln 1 = 0 Donc S =] − ∞; 0[.

EXERCICE 4 1

a. Df = R. b.

lim f (x) = lim (−xex + 2ex ) = 0 car lim xex = lim ex = 0.

x→−∞

x→−∞

x→−∞

x→−∞

lim f (x) = lim (−xex + 2ex ) = lim (−x + 2)ex = −∞.

x→+∞

x→+∞

x→+∞

 −xex + 2ex x   x −xe + 2ex = lim x→+∞ x   2 x = lim e −1 + x→+∞ x

f (x) = lim x→+∞ x x→+∞ lim

=−∞ 2



car

lim ex = +∞

x→+∞

a. Dérivée de f et son signe. f 0 (x) = ex − xex + 2ex = (1 − x)ex Comme ex > 0∀x ∈ R alors le signe de f 0 peut être comme suit :

si x ∈] − ∞; 1]f 0 (x) ≥ 0 si x ∈ [1; +∞[f 0 (x) ≤ 0 b. f est décroissante sur l’intervalle [1; +∞[ et croissante sur l’intervalle ] − ∞; 1]. c. Tableau de variation de f .

72

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x

Powered by AsTEX Edition −∞

f 0 (x)

+∞

1 +

0

−

e f (x) 0

−∞

3 Evident. 4 Tracé de la courbe (Cf ).

5

a. Calculons F 0 (x). F 0 (x) = −ex + (3 − x)ex = −xex + 2ex = f (x) On peut donc conclure que F est une primitive de f . b. Primitive de f qui s’annule en 0. les primitives de f sont de la forme (3 − x)ex + k, k ∈ R. Soit G la primitive qui s’annule en 0. Alors G vérifie G(0) = 0 ⇔ k = −3. Donc G(x) = (3 − x)ex − 3

11. CORRIGÉ DE MATHÉMATIQUES 2010

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12-

Corrigé de mathématiques 2011

EXERCICE 1 1

2 1 =1− . −1 2n + 1 2 a b Cherchons a et b des réels tels que 2 = + . 4r − 1 2r − 1 2r + 1 Pn

a. Démontrons que

r=1

4r2

2 a b 2(a + b)r + a − b 2 = + ⇔ = 2 4r2 − 1 2r − 1 2r + 1 (2r − 1)(2r + 1) 4r − 1 ⇔2(a + b)r + a − b = 2 car (2r − 1)(2r + 1) = 4r2 − 1 ⇒2a + 2b = 0 et a − b = 2 ⇒a = −b = 1 Donc

1 1 2 = − . Il s’ensuit que : −1 2r − 1 2r + 1  n  n X X 1 1 2 = − 4r2 − 1 2r − 1 2r + 1

4r2

r=1

=

r=1 n X

f (r − 1) − f (r) où f (r) =

r=1

1 2r + 1

=f (0) − f (n) car nous avons ici une somme télescopique 1 =1 − 2n + 1 2 1 =1− . −1 2n + 1 P 2 b. Calculons la valeur exacte de 20 . r=11 2 4r − 1 On a alors

Pn

r=1

4r2

20 X r=11

10 20 X X 2 2 2 = + 4r2 − 1 4r2 − 1 4r2 − 1 r=1 20 X

r=11 20 X

⇒

r=11 20 X

r=11

2

2 = 2 4r − 1

10

X 2 2 − 2 2 4r − 1 4r − 1 r=1 r=1 r=11     20 X 2 1 1 ⇒ = 1− − 1− 4r2 − 1 2 × 20 + 1 2 × 10 + 1

⇒

2 40 20 = − −1 41 21

4r2

a. Montrons que 1 + 3i est une racine de l’équation (E) : z 3 + 6z + 20 = 0. (1 + 3i)3 + 6(1 + 3i) + 20 =1 + 9i − 27 − 27i + 18i + 20 =(1 − 27 + 6 + 20) + i(9 − 27 + 18) =0 Donc 1 + 3i est une racine de l’équation (E).

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b. Cherchons les autres racines. z 3 + 6z + 20 −z 3 + (1 + 3i)z 2 (1 + 3i)z 2 + 6z + 20 −(1 + 3i)z 2 + (−8 + 6i)z (−2 + 6i)z + 20 -(-2+6i)z-20 0

z2

z − (1 + 3i) + (1 + 3i)z − 2 + 6i

Donc z 3 + 6z + 20 = (z − (1 + 3i))(z 2 + (1 + 3i)z − 2 + 6i). Résolvons l’équation z 2 + (1 + 3i)z − 2 + 6i = 0. ∆ = (1 + 3i)2 − 4(−2 + 6i) = −18i. Déterminons une racine de ∆. Soit δ = x + iy tel que δ 2 = ∆, alors on le système suivant :   x2 − y 2 = 0  2xy = −18 ⇒ x = 3 et b = −3 ou x = −3 et b = 3   2 2 a + b = 18 Car xy < 0. Il vient que δ = 3 − 3i ou δ = −3 + 3i.(Prenons δ = 3 − 3i). Les racine de cette dernière équation sont données par : −1 − 3i + 3 − 3i −1 − 3i − 3 + 3i = −2 et z2 = = 1 − 3i 2 2 c. Soient A ; B et C trois points Tels que A(1 + 3i), B(1 − 3i)et C(−2) Plaçons A, B et C. z1 =

d. Démontrons que ces trois points sont de des vertices (sommets) d’un triangle rectangle. zC − zA Il suffit de montrer que ∈ iR, on aura donc montré que ABC est un triangle rectangle en C. zC − zB zC − zA −2 − 1 − 3i = zC − zB −2 − 1 + 3i 1+i = 1−i =2i ∈ iR

12. CORRIGÉ DE MATHÉMATIQUES 2011

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Donc le triangle ABC est rectangle en C.

EXERCICE 2 T 1 Déterminons P (S), P (T ) et P (S T ). 1188 + 12 1200 – P (S) = = 1250 1250 12 + 49 61 – P (S) = = 1250 1250 T 12 6 – P (S T ) = = 1250 625 2 Ici on veut calculer la probabilité de choisir un athlète qui a un test positif sachant qu’il est non dopé. On veut donc calculer PS (T ). 6 T 12 P (S T ) = 625 = PS (T ) = 1200 P (S) 1200 1250 3 P (S) × P (T ) 6= P (S

T

T ), donc ces événements ne sont pas independants.

4 Ici on veut calculer PT (S). 6 T P (S T ) 12 625 PT (S) = = = 61 P (T ) 61 1250

76

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13-

Corrigé de mathématiques 2012

EXERCICE 1 1 Calculons P (R1 ). On a : P (D1 ) = 0, 4 et P (R1 /D1 ) = 0, 3. Donc ; \ \ P (R1 ) =P (R1 D1 ) + P (R1 D1 )
=P (R1 /D1 ) × P (D1 ) + P R1 /D1 × P (D1 )
=P (R1 /D1 ) × P (D1 ) car P R1 /D1 = 0 =P (R1 /D1 ) × (1 − P (D1 )) Donc P (R1 ) = 0, 3 × 0, 6 = 0, 18. 2

a. Montrons que P (R) = 0, 236. P (R) = P (R1 ) + P (R2 )   On a déjà P (D2 ) = 0, 3 et P ( (R2 /D2 ) /D1 = 0, 2. Donc, \ \ P (R2 ) =P (R2 D2 ) + P (R2 D2 )

(5.4)


=P (R2 /D2 ) × P (D2 ) + P R1 /D2 × P (D2 )
=P (R2 /D2 ) × P (D2 ) car P R2 /D2 = 0

P (R2 ) = P (R2 /D2 ) × P (D2 )

(5.5)

Or \ D1 ) + P (R2 /D2 ) D1 )   =P [(R2 /D2 )/D1 ] × P (D1 ) + P (R2 /D2 )/D1 × P (D1 )   =P (R2 /D2 )/D1 × P (D1 ) car P [(R2 /D2 )/D1 ] = 0

P (R2 /D2 ) =P (R2 /D2 )

\

=0, 08 En remplaçant cette valeur dans (5.5), on obtient P (R2 ) = 0, 056. En remplaçant cette valeur dans (5.4), on obtient P (R) = 0, 18 + 0, 056 = 0, 236. b. On veut calculer P (R1 /R). T P (R1 R) P (R1 /R) = P (R) P (R1 ) = car R1 ⊂ R P (R) c. Probabilité pour que 20% des personnes répondent au questionnaire Soit X la variable aléatoire égale au nombre de personnes qui ont répondu au questionnaire parmi les 25 personnes. Alors X suit la loi binomiale de paramètre p = P (R) = 0236 et n = 25. On veut calculer P X = 5. On a : 5 5 P (X = 5) = C25 p (1 − p)2 5 − 5

13. CORRIGÉ DE MATHÉMATIQUES 2012

77

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EXERCICE 2

1

a. Ecrivons les équations respectées par x et y. Pour Paul : 40x + 10y = 110 Pour Marthe : 70x + 20y = 200 ( b. Résolvons le système

40x + 10y = 110 70x + 20y = 200

(

40x + 10y = 110 ⇔ 70x + 20y = 200

(

4x + y = 11 7x + 2y = 20

(E1 ) (E2 )

−2E1 + E2 ⇒x = 2 (E3 ) (E3 ) dans (E1 ) ⇒y = 3

Donc S = {(2; 3)}. Donc un piment coûte 2 francs et un haricot vert coûte 3 francs. 1 4 + x + 3 2y − 1 c. Résolvons le système d’équation : 7 2   + x + 3 2y − 1   

= 11 = 20

1 Contraintes : x 6= −3 et y 6= . 2 1 1 et Y = . x+3 2y − 1 ( 4X + Y = 11 On obtient alors le système 7X + 2Y = 20 Résolution : Posons X =

(E1 ) (E2 )

D’après la question b) on a : X = 2 et Y = 3. Il vient que x = −

5 2 et y = . 2 3

  5 2 Donc S = − ;y = . 2 3 2 Version anglaise de la question 1) ( 3 Résolvons graphiquement le système d’inéquations

4x + y < 11 . 7x + 2y > 20

Pour ce faire, nous allons construire les droites d’équations : 4x + y = 11 et 7x + 2y = 20 puis nous allons hachurer l’ensemble solution. L’ensemble solutions est la partie hachuré deux fois sur la figure ci-dessous.

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Problème PARTIE A 1 Déterminons le domaine de définition de g. g(x) existe si et seulement si x − 1 6= 0 ⇔ x 6= 1 S Donc Dg =] − ∞; 1[ ]1; +∞[. 2 Déterminons a, b et c tel que g(x) = ax + b +

c . x−1

x2 + x + 2 −x2 + x 2x + 2 −2x + 2 4

x−1 x+2

Donc a = b = 1 et c = 4.

PARTIE B 1

a. Montrons que f 0 (x) =

(x − 3)(x + 1) . (x − 1)2 4 (x − 1)2 (x − 1)2 − 4 = (x − 1)2 (x − 1 − 2)(x − 1 + 2) = (x − 1)2 (x − 3)(x + 1) = (x − 1)2

f 0 (x) =1 −

13. CORRIGÉ DE MATHÉMATIQUES 2012

79

ENSPT 2016 © Intelligentsia corporation Donc f 0 (x) =

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(x − 3)(x + 1) . (x − 1)2

b. Signe de f 0 (x) et tableau de variation de f .  Signe de f 0 (x). Ce signe est donné par la dernière ligne du tableau c-dessous : −∞

x

−1

x−3

−

x+1

−

(x − 1)2

−

(x − 3)(x + 1) (x − 1)2

+

0

1 −

−

−

−

+

−

+

−

0

+∞

3

0

−

−

0

0

+

+

 Tableau de variation de f . x

−∞

f 0 (x)

−1 +

0

1

+∞

3

−

−

0

+

+∞

−1

+∞

f (x) −∞ 2

−∞

7

a. Montrons que la droite d’équation y = x + 2 est une asymptote à (Cf )). 

4 lim (f (x) − y) = lim x+2+ − (x + 2) x→+∞ x→+∞ x−1 4 =0 = lim x→+∞ x − 1 De même,

lim

x→+inf ty



(f (x) − y) = 0. Donc la droite (D) d’équation y = x + 2 est asymptote oblique à

(Cf )). b. Montrons que la droite (T ) d’équation x = 1 une asymptote à (Cf ). lim f (x) = −∞ et

x→1


Donc la droite (T ) d’équation x = 1 une asymptote à (Cf ). 3

a. Montrons que f (1 + x) + f (1 − x) = 6. 4 4 + (1 + x) + 2 + (1 + x) − 1 (1 + x) − 1 4 4 =3 − x + − + 3 + x + x x =6

f (1 − x) + f (1 + x) =(1 − x) + 2 +

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b. Déduisons que K(1; 3) est un centre de symétrie à (Cf ). On a d’après 2.b) f (1 + x) + f (1 − x) = 6 = 2 × 3. Donc le point K(1; 3) est un centre de symétrie à (Cf ). c. Tracé de (Cf ).

d. Voir figure ci-dessus.

13. CORRIGÉ DE MATHÉMATIQUES 2012

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14-

Corrigé de mathématiques 2013

EXERCICE 1 On considère M =

! a c . b d

1 Calculons M 2 . M2 = M × M =

! ! a c a c = b d b d

! a2 + bc ac + dc ab + db bc + d2

2 Montrons qu’il existe des réels λ, µ tels que M 2 − λM + µI2 = O2 . χM (x) = det(M − xI2 ) a − x c = b d − x =x2 − (a + d)x + ad − bc D’après le théorème de cayley-hamilton l’endomorphisme associé à la matrice M est racine de χM . Donc M 2 − (a + d)M + (ad − bc)I2 = O2 . Il suiffit de prendre λ = a + d et µ = bc − ad. 3 Supposons det M 6= 0. Alors on a : M −1 4 Posons A = {A ∈ M2 (R), A = αM + βI2 ;

1 = det M

! d −c −b a

α, β ∈ R}. Montrons que A est un s.e.v.

– A= 6 ∅ car O2 ∈ A – A ⊂ M2 (R) – Soient λ, µ ∈ R ; A1 , A2 ∈ M2 (R), montrons que λA1 + µA2 . A1 ∈ A ⇒A1 = α1 M + β1 I2

α1 , β1 ∈ R

A2 ∈ A ⇒A2 = α2 M + β2 I2

α2 , β2 ∈ R

⇒λA1 + µA2 = λ(α1 M + β1 I2 ) + µ(α2 M + β2 I2 ) ⇒λA1 + µA2 = (α1 λ + µα2 )M + (λβ1 + µβ2 )I2 ⇒λA1 + µA2 ∈ A car α1 λ + µα2 , λβ1 + µβ2 ∈ R 5 D’après le produit de deux matrices de A se met sous la forme M 2 − λM + µI2 qui est encore une matrice de A. 6 Evident.

EXERCICE 2  y = x2 + 2x − 3 = (x − 1)(x + 3)  Extremum (−1, −4),c’est un minimum.  Evident.  Evident.

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EXERCICE 3 2 f : x 7−→ x2 − 3 ; g : x 7−→ 3x + 1 ; h : x 7−→ x − 1. 3 1 Expression des fonctions. g ◦ f : x 7−→g(f (x)) = 3(x2 − 3) + 1 = 3x2 − 8 f ◦ g : x 7−→f (g(x)) = (3x + 1)2 − 3 = 9x2 + 6x − 2   2 x − 1 + 1 = 2x − 2 g ◦ h : x 7−→g(h(x)) = 3 3 3x + 1 g −1 ◦ h−1 : x 7−→(h ◦ g)−1 (x) = 6 2 Resolvons l’équation (f ◦ g)(x) − (g ◦ f )(x) − 18 = 0. (f ◦ g)(x) − (g ◦ f )(x) − 18 = 0 ⇔9x2 + 6x − 2 − 3x2 + 8 − 18 = 0 ⇒6x2 + 6x − 12 = 0 ⇒6(x − 1)(x + 2) = 0 ⇒SR = {2; 1}

|x1 | = 2, |x2 | = 1

3 (g ◦ h ◦ f )(|x1 |) = 2(|x1 |2 − 3) − 2 = 0

EXERCICE 4 1

a. Exprimer x en fonction des autres variables. r c2 (x − a) c2 (x − a) 2 c = ⇔c4 = b b ⇒x − a = bc2 ⇒x = a + bc2 b. Valeurs de x pour a = c = 2 et b ≤ 3. a = c = 2 et b ≤ 3 ⇒x = 4b + 2, b ≤ 3 ⇒χ = {4b + 2, b ≤ 3} c.

2 ( (S1 ) :

x2

3x = 3y + xy + y 2 = 19

(1) 3 9 (1) dans (2) ⇒ x2 + x2 + x2 = 19 2 4 (2) 19 2 x = 19 4 ⇒x2 = 4

⇒

⇒x = ±2 et y = ±3 Le système (S2 ) se resoud de façon similaire.

14. CORRIGÉ DE MATHÉMATIQUES 2013

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15-

Corrigé de mathématiques 2014

EXERCICE 1 1

f (x) = xe x , étudions les variations de f .  Domaine de définition : Df = R\ {0}  Calcule des limites aux bornes de Df : lim f (x) = 0

lim f (x) = +∞

x→0−

x→0+

lim f (x) = −∞

x→−∞

lim f (x) = +∞

x→+∞

 Etude des asymptotes. 1 f (x) lim = lim e x = 1 x→+∞ x x→+∞ 1

lim (f (x) − x) = lim (xe x − x)

x→+∞

x→+∞

1

= lim (e x − 1) = 0 x→+∞

Donc la droite y = x + 1 est asymptote oblique à (Cf ).  Dérivée et tableau de variation de f . 1

f 0 (x) = e x x

−∞

f 0 (x)

  1 1− x

f 0 (x) = 0 ⇔ x = 1

0 −

+

0

0 +∞

 Représentation graphique.

84

−

+ +∞

f (x) −∞

+∞

1

e

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EXERCICE 2 1 Enoncée incomplète. 2 Etudions la continuité de la fonction f . lim f (x) =

x→1−

3 2

lim f (x) = 2

x→1+

Donc lim f (x) 6= lim f (x). D’où la fonction f n’est pas continue en 1. x→1−

x→1+

1 Représentation graphique : Il s’agit ici de représenter deux demies droites affine d’équation y = x + 1 et 2 y = x + 1 discontinues en x=1.

EXERCICE 3 1 Evaluons les expressions. a. Posons f (x) = 1 − cos 2x et g(x) = x2 . Les fonctions f et g sont dérivables en 0 et f (0) = g(0). De plus Donc d’après le théorème de l’hôpital on a : f (x) f 0 (x) f 0 (0) = lim 0 = 0 =2 x→0 g (x) x→0 g(x) g (0) lim

b.

2x2 − 2x + 3 2 = 2 x→+∞ 3x + 1 3 lim

c. Z

2

1

Z x2 + 1 1 2 3x2 + 3 dx = dx x3 + 3x + 4 3 1 x3 + 3x + 4 2 1 = ln(x3 + 3x + 4) 1 3 1 = (ln 3 − ln 2) 3

2 soient x , y , z les dimensions d’une boite rectangulaire. 15. CORRIGÉ DE MATHÉMATIQUES 2014

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Déterminons les dimensions de la boite qui minimise le coût. Notons C1 : le coût de la surface du dessous. C2 : le coût des vues de gauche et droite C3 : le coût des vues de face et d’arrière C : le coût total V : le volume On a les équations suivantes C1 = 400xy

C2 = 2(300yz)

C3 = 2(200xz)

C = C1 + C2 + C3 ⇒C = 400x(y + z) + 600yz 4800 4800 12 ⇒C = + + 600yz car 12 = V = xyz ⇒ x = z y yz   2  ∂C = 0  ∂ C ≥ 0   ∂y ∂y 2 Coût minimal ⇒ et 2C ∂C   ∂   = 0 ≥ 0 ∂z ∂z 2  4800   − + 600z = 0 y2 ⇒   − 4800 + 600z = 0 z2 2 ⇒zy = yz 2   y= z ⇒ 12  x= z2

EXERCICE 4 1 Soit θ, R0 la recette en début d’année et R3 la recette après 3 ans. R3 = R0 (1 + θ) ⇒ θ =

R3 −1 R0

A.N : θ = 1

Soit un accroissement global de 100%. 2 Soit α le taux d’accroissement annuel moyen. R3 = R0 (1 + α)(1 + α)(1 + α) ⇒R3 = R0 (1 + α)3 r R3 ⇒α = 3 −1 R0 ⇒α = 0, 2599 soit sensiblement 26% D’où le taux d’accroissement annuel moyen est de 26%.

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EXERCICE 5  

0 0 1   A = 2 1 0 1 0 0

1 Calculons A2 et A3 .  0  2 A = A × A = 2 1  1  3 2 A = A × A = 2 0

  0 1 0   1 0 × 2 0 0 1   0 1 0   1 2 × 2 0 0 1

  0 1 1   1 0 = 2 0 0 0   0 1 0   1 0 = 4 0 0 1

 0 1  1 2 0 0  0 1  1 2 0 0

2 Déterminons A2 + A − I. 

       1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1         A2 + A − I = 2 1 2 + 2 1 0 − 0 1 0 = 4 1 2 = A3 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 Déduisons A4 , A5 et A6 en fonction de A2 , A et I. A4 =A3 × A =(A2 + A − I)A

car A3 = A2 + A − I

=2A2 − I A5 =A4 × A =2A3 + A2 − I × A2 − I × A =3A2 + 2A − A − A2 − 2I =2A2 + A − 2I 3 Déterminons si A−1 exite. 0 0 1 det A = 2 1 0 = −1 1 0 0 det A = −1 6= 0 Donc donc A est inversible. Déterminons la matrice des cofacteurs de A. 

 0 0 −1   Cof (A) =  0 −1 0  −1 2 2 Ainsi on a :



A−1

15. CORRIGÉ DE MATHÉMATIQUES 2014

 0 0 1 1 t   = Cof (A) = 0 1 −2 det A 1 0 0

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Partie

5 E PREUVES DE

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P HYSIQUE « La seule chose absolue dans un monde comme le nôtre, c’est l’humour » Albert Einstein

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16-

Épreuve de Physique 2009

EXERCICE 1 On dispose d’une cellule photoélectrique dont la cathode est en césium de longueur d’onde seuil λ0 = 0, 66µm. 1 Calculer l’énergie minimale w0 qu’il faut fournir pour extraire un électron de ce métal. 2 On applique entre l’anode et la cathode une différence de potentiel lumineuse de longueur d’onde λ0 = 0, 40 νm. a. Calculer l’énergie w et la quantité de mouvement p d’un photon incident. b. Calculer la vitesse maximale dans l’hypothèse non relativiste, d’un électron. i. Qui sort de la cathode ii. Qui arrive sur l’anode. c. source lumineuse précédente est supposée ponctuelle et isotrope (c’est-à-dire qu’elle rayonne de façon uniforme dans toutes les directions de l’espace). La photo cathode de surface S = 4cm2 est située a une distance R = 1 m de la source. Le rendement quantique de la cellule est de 0,3%, l’intensité du courant de saturation est de 0, 02mA lorsqu’on établit une tension suffisamment élevée pour atteindre la saturation. i. Qu’appelle-t-on pour une cellule photoélectrique, courant de saturation ? ii. Calculer la puissance rayonnante totale P reçue par la photo-cathode ? iii. En déduire la puissance rayonnante totale PT émise par la source. N.B : On rappelle que la surface d’une sphère de rayon R est S = 4πR2 et donne : Masse de l’électron : me = 9, llx10 − 31 Kg Constante de Planck : h = 6, 64x10−34 J.s Charge élémentaire : e = l, 6 × 10−19 C vitesse de la lumière : C = 3 × 108 m.s−1

EXERCICE 2 L’équation horaire du mouvement un X = 3 cos(2π + π2 ) (X en cm) 1 Quelle est la nature de ce mouvement ? 2 Déterminer la caractéristique de ce mouvement 3 Quelle est la longueur du segment décrit par le mobile M ? 4 Quelle sont la position initial et la vitesse initial du mobile ? 5 Calculer la phase ψe à l’instant t = 1 s 6 Récrit l’équation horaire du mobile à l’aide de la fonction sinus 7 Quelle est la vitesse du mobile a un instant t quelconque ? 8 En déduire la vitesse maximale et la vitesse t = 0, 25 s 9 Établir l’équation différentielle du mouvement de M et en déduire son accélération au passage par le point d’abscisse X = 1 cm

16. ÉPREUVE DE PHYSIQUE 2009

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17-

Épreuve de physique 2010

EXERCICE 1 Un parachutiste de masse totale m = 100 Kg saute a partie d’un hélicoptère en vol stationnaire d’une altitude de 3000 m . Durant la phase de son saut la vitesse passe à 180Km/h , Puis a l’ouverture du parachute la vitesse décroit jusqu’à 18km/h , la vitesse garde en suite cette valeur jusqu’à la atterrissage sur un plateau situé 500 m d’altitude dans la problème on considéra que l’intensité de la pesanteur reste voisin de sa valeur au sol g = 9, 8N/Kg 1 Calculer l’énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre lorsqu’il vient juste de quitte l’hélicoptère immobile par rapport à la terre, par convention l’énergie terrestre du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre est pris nulle au niveau de la mer (Z = 0) 2 Calculer l’énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur juste avant son atterrissage 3 L’énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur est-elle reste constante ? quelle est le travail de frottement de l’air sur la parachutiste ? 4 La force de frottement elle set constante durant le saut ? quelle était la valeur de cette force de frottement durant la dernière phase du saut à la vitesse constante de 18 Km/h 5 De quelle hauteur devrait se faire une chute libre sans vitesse initial pour que la vitesse à l’arrivée sur le sol soit également de 18 Km/h

EXERCICE 2 Un skieur de masse 80 Kg est tracté a la vitesse constante, sur la piste représenté ci- dessous, par une perche qui exerce une force F d’intensité 600 N. L’action totale de la piste sur le skieur est représentée par la force R On donne a = 20 deg b = 60◦ ; g = 9, 8N.Kg −1 ; OA = 300 m

1 Calculer la dénivellation h=BA entre les points B et A. − → − → − → − → − → − → − → − → 2 Connaissant l’angle orienté ( i ; j ) = +90◦ = + π2 rad calculer les angles orientés : ( i ; P ), ( j ; P ), ( i ; F ) − → − → et ( j ; F ) → − → − → − → − 3 Calculer les valeurs numériques des coordonnées des forces P et F dans la base i , j → − → − 4 Cette base i , j est associée au référentiel terrestre supposé Galiléen. a. Énoncer la réciproque du principe d’inertie. → − b. Calculer les coordonnées de la force R . Que vaut la force de frottement due aux aspérités de la piste et des skis ?

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− − → − → → − → c. Calculer la valeur des angles ( i , R ) et ( j , R )

17. ÉPREUVE DE PHYSIQUE 2010

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18-

Épreuve de physique 2011

EXERCICE 1 1 La capacité thermique massique de l’eau est e = 4, 18Kj/Kg/ deg C. Combien faut-il fournir de chaleur pour élever la température d’un litre d’eau de 12deg C à 40 deg C ? a. 115 Kj b. 116 Kj c. 117 kj d. 118 Kj 2 L’énergie cinétique d’une boule sphérique de masse m = 2 kg qui roule sans glisser sur une table horizontale à la vitesse de 4m/s est : a. E=22,4 J b. E=2,24 J c. E=0,224J 3 Un conducteur est parcouru par un courant de 0,3A.quel est le nombre d’électron qui le traversent pendant une minute ? a. 5, 25 × 1019 b. 8, 75 × 1O17 c. 3, 15 × 119 4 Parti sans vitesse, un skieur de masse m descend le long d’une pente de longueur 1, la dénivellation est h. évaluer sa vitesse lorsqu’il est au bas de la pente. On donne m=80kg : a. 15m/s b. 32m/s c. 64m/s 5 Quel est la valeur de la résistance d’un fil d’alliage résistif cupro-nickel (ρ = 0.4Ω.m2 .m−1 ). De section 0, 1 m2 et de longueur 3m a. 10Ω b. 11Ω c. Ω d. 13Ω 6 Un générateur de courant est caractérisé par sa tension à vide E = 200 v et par sa résistance interne r = 10 Ω. Il débite dans une résistance R ; pour que la puissance fournie par le générateur soit maximale. Quelle valeur faut-il donner à R ? a. R = 31 Ω b. R = 20 Ω c. R = 15 Ω d. R = 10 Ω 7 Un objet est lancé depuis le sol avec un angle de 45deg par rapport à l’horizontale et à la vitesse de 10m. les frottements étant négligés, et g = 10m/s2

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8 A quelle distance tombera-t-il ? a. x = 10 m b. x=12m c. x=14m d. x=15m 9 A quelle hauteur monte-t-il ? a. y= 6,5m b. y= 3,5m c. y= 4,5m . d. y= 2,5m 10 Calculer, en année terrestre. La période de révolution de la planète mercure de masse m = 0, 055m0 (m0 = 6357kg) . a. 0,243 b. 0,610 c. 1,870 d. 0,274 e. 0,254

18. ÉPREUVE DE PHYSIQUE 2011

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Épreuve de physique 2012

EXERCICE 1 1 On produit un phénomène d’onde stationnaire le long d’une corde. Pour une longueur de corde 1m. et pour une fréquence du vibreur de 25Hz, la corde vibre en formant 5 fuseaux stables : quelle est la célérité des ondes sur corde ? 2 La célérité constante de 10 m/s, on fait varier la fréquence du vibreur entre 18 et 42 Hz, quelles sont les fréquences du vibreur pour lesquelles la corde vibre en formant des fuseaux stables.

EXERCICE 2 Un point S1 de la surface d’un liquide au repos est aminé d’un mouvement vertical, de faible amplitude, d’équation y(S1 ) = a sin(ωt) (fréquence de 100 Hz, amplitude de 0, 4 mm, sens positif des élongations en surface est 20 cm/s. on supposera dans le problème que le mouvement se propage sans amortissement s. 1 Calculer la pulsation du mouvement. a. Établir l’équation du mouvement d’un point M situé à la distance d de S1 . b. Représenter l’aspect de la surface du liquide, dans un plan vertical passant par Si, aux instants t1 = 3, 5 × 10−2 s et t2 = 3, 75 × 102 s (Échelle : 1cm représentera 1mm). 2 Un deuxième point S2 de la surface est aminé d’un mouvement vertical de même fréquence, de même amplitude d’équation y(S2) = a sin(ωt + ψ) avec (ψ 6= 0. On posera S1 S2 = 2d1 . a. Déterminer la plus faible valeur de ψ pour qu’en 0, milieu de S1 S2 , l’amplitude soit nulle. b. Déterminer la plus faible valeur de ψ pour qu’en 0, milieu de S1 S2 , l’amplitude a soit égale à a. Cette valeur de ψ étant réalisée, à quelle condition le mouvement du point 0 est-il en concordance de phase avec le mouvement de S1 (le mouvement de S1 est supposé non perturbé par S2 ) ? 3 Un troisième point S3 situé à la même distance de 0 que St et S2 est animé d’un mouvement vertical de même fréquence d’équation y(S3 ) = b sin(ωt+ψ). La distance d1 étant quelconque, déterminer b et la valeur déterminée dans 2.b), pour que l’amplitude de O soit nulle.

EXERCICE 3 Partie A Soit un ressort idéal vertical à spire non jointives de coefficient de raideur k, de longueur à vide l0 . Une de ses extrémité étant fixée on accroche à l’autre extrémité un objet S de centre d’inertie G, de masse m, d’épaisseur négligeable devant la longueur du ressort qui est alors égale à 11 A.N. l0 = 12, 0cm ; l1 = 14, 0cm ; m = 100 g ; g = 10m/s 1 Calculer le coefficient de raideur k du ressort

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Partie B Le solide S fixé au ressort est alors astreint à se déplacer suivant la ligne de plus grande pente d’une pente d’un plan incliné d’un angle a par rapport à l’horizontale. S étant au repos, la longueur du ressort est alors l2 = 11, 5 cm. G est en G0 . Les positions respectives du centre de masse G de (S) sont repérés sur un axe (x0 x) parallèle à la ligne de plus grande pente orientée vers le haut. Soit î un vecteur unitaire sur cet axe. Les frottements seront considérés. 1 Calculer l’angle a du plan incliné ; → − 2 On déplace légèrement le solide S et on amené son centre de masse de G0 en G1 tel que G0 G1 = x1 i avec x1 = +4, 5 cm et on l’abandonne sans vitesse initiale. A l’instant de date t, le centre de masse de S est G → − situé entre G0 et G1 tel que G0 G1 = x i a. Établir l’équation différentielle du mouvement du solide S sur le plan incliné. b. Quelle est l’équation horaire du mouvement ? c. Calculer la période propre des oscillations T

19. ÉPREUVE DE PHYSIQUE 2012

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Épreuve de physique 2013

EXERCICE 1 Un satellite artificiel de masse m = 600 kg gravite autour de la terre à une altitude constante z = 300 km . − Calculer son poids → p en admettant que la terre est une sphère de rayon R = 6400 km et que l’intensité de la pesanteur g0 au niveau de la mer est 9,8 N/kg

EXERCICE 2 Un hélicoptère est maintenu immobile en l’air par le pilote, une corde est fixée sous l’appareil et pend verticalement, sa longueur étant L = 20 m. On considère que la corde se comporte comme une tige rigide homogène de masse m = 9 kg. On prend g = 9,80 m/s2. 1 A la suite d’une secousse, la corde effectue, dans un plan vertical, des oscillations de faible amplitude ; calculer leur période. 2 On accroche à l’extrémité de la corde une charge sphérique pleine et homogène de rayon R = 0,5 cm et de masse M = 40 kg. Calculer la nouvelle période des oscillations de faible amplitude. N.B. :Le moment d’inertie d’une tige de longueur L et de masse m, par rapport à un axe perpendiculaire à cette tige passant par son centre de gravité est mL2 /12 . Le moment d’inertie d’une sphère pleine homogène de rayon 2 R et de masse M ; par rapport un axe passant par son centre est M R2 5

EXERCICE 3 1 Qu’entendez-vous en électrostatique par : a. potentiel b. Intensité électrique 2 Deux plaques parallèles A et B sont placées verticalement à une distance d = 30 cm et sont reliées aux pôles d’un générateur électrostatique qui maintient un potentiel V = 10.000 volts entre les deux plaques. Montrer clairement dans un schéma la forme et la direction des lignes de force entre A et B avec la plaque A reliée au pôle positif. 3 Un pendule électrique, composé d’une boule métallique de masse m = 2g attachée au bout d’une corde isolante et inextensible est placé dans l’espace entre les 2 plaques. Le pendule dévie de 30deg de la verticale vers la plaque A. Quelle est la valeur et le signe de la charge sur la boule métallique. 4 Quel serait le travail fourni par la force électrostatique pour déplacer la boule de la plaque A vers la plaque B.

EXERCICE 4 On dispose d’un condensateur de capacité C = 2, 5µF chargé sous une tension constante U = 20 V. Calculer sa charge Q ainsi que l’énergie électrique emmagasinée W. 1 . Les armatures de ce condensateur chargé sont reliées à une bobine d’inductance 25 mH dont on néglige la résistance.

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A un instant comme origine des temps, on ferme l’interrupteur K. L’intensité i(t) du courant est comptée positivement quand le courant circule dans le sens des aiguilles d’une montre. On appelle Q(t) la charge de l’armature reliée au point A et on précise qu’à l’instant z = 0, cette armature est chargée positivement. a. Établir l’équation différentielle de ce circuit oscillant. Calculer ω0 , la pulsation à la résonance. b. Établir les expressions des fonctions Q(t) et i(t). Dans ces expressions les valeurs numériques des coefficients sont calculées. c. Donner les expressions des fonctions Wc (t) et WL (t) des énergies stockées dans le condensateur et la bobine. Dans ces expressions les valeurs numériques des coefficients sont calculées. Quelles est la relation entre Wc (t) et WL (t) et la valeur W trouvée au 1.

EXERCICE 5 Un galvanomètre à cadre mobile dont la résistance est de 25Ω est dévié à pleine échelle quand il est traversé par un courant de 4 mA. Comment peut-on convertir ce galvanomètre à milliampère mètre dévié à pleine échelle quand il est traversé par un courant de 50mA. 100 1 Un courant alternatif de 0,2 A efficace et de fréquence Hz traverse un circuit série constitué d’une 2π résistance R = 20 U d’une self L = 0, 15 H et d’une capacité de 500F . Calculer la tension alternative a. A travers chaque composant b. A travers R et L ensemble. c. A travers L et C ensemble. d. A travers R, L, C ensemble. Quelle est la puissance dissipée dans chaque composant

20. ÉPREUVE DE PHYSIQUE 2013

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Partie

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C ORRIGÉ PHYSIQUES « La seule chose absolue dans un monde comme le nôtre, c’est l’humour » Albert Einstein

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Corrigé de physique 2009

EXERCICE 1 λ0 = 0, 66µm 1 Calcule de W0 hC W0 = hν = ⇒ A.N : W0 = 3, 02.10−19 J = 1, 89 eV λ0 2 a. Calcule de l’énergie W et la quantité de mouvement p d’un photon incident → Energie W hC W = ⇒ A.N : W = 4, 98.10−19 J λ → Quantité de mouvement : W h ⇒ A.N : p = 1, 66.10−27 kg.m.s−1 p= = λ c 3 Calcul de la vitesse a. Qui sort de la cathode : W = W0 + Emax ⇒ Emax = W − W0 1 2 ⇒ V = W − W0 2 max r 2(W − W0 ) ⇒ Vmax = m A.N : Vmax = 6, 56.105 m.s−1 b. L’énergie qui arrive à la cathode ∆Ec =

X

→ − W ( F ext ) ⇒

1 1 2 mVA2 − mVmax 2 2 r 2eVAC 2 ⇒ VA = + Vmax m

A.N : VA = 1, 98.106 m.s−1 c. Définition : Cellule photoélectrique : C’est un groupe d’effet photo émissif permettant la circulation d’un courant électrique sous effet de la lumière. Courant de saturation : C’est l’intensité limité lorsque tous les électrons expulsés par la cathode arrivent à l’anode. d. Calculons la puissance rayonnante totale P : n Is hν Is hν P = N hν ; Is = ne , ⇒ = × ⇒n= N e P eP Is hν −2 ⇒P = ⇒ A.N : P = 2, 075.10 W ne e. En déduire la ) puissance rayonnante totale PT émise par la source : S → PT S ⇒ PT = P s s → P 2 4πR Or, S = 4πR2 ⇒ P ⇒ A.N : PT = 6, 52 W s 21. CORRIGÉ DE PHYSIQUE 2009

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EXERCICE 2 1 C’est un mouvement sinusoïdal 2 Les caractéristiques de ce mouvement → L’amplitude max Xmax = 3cm → La pulsation et période 2π ⇒ T = 1s ω0 = 2π ; T = ω ⇒ La phase π ϕ= 2 3 La longueur du segment décrit par M L = 2Xmax ⇒ L = 6cm 4 Déterminons : → La vitesse initiale (t=0)  π On a :x˙ = −0, 06π sin 2π + 2 x˙ = 0, 06π m.s−1 → A t = 0, On a :x = 0 5 La phase ϕ du mouvement à t = 1 s 5π π ϕ= = 2π + 2 2 6 Écriture à l’aide de la fonctionsin  π x = 0, 03 cos 2πt + 2 h π πi = 0, 03 cos 2πt. cos − sin 2πt sin 2πt sin 2 2 = 0, 03 sin 2πt 7 La vitesse du mobile à l’instant t : x(t) ˙ = −0, 06π cos 2πt 8 Déduction : → x˙ max = 0, 06π m.s−1 → La vitesseà l’instant t = 0, 25 s π x = 0, 06 cos 2πt +  2 π x(t) ˙ = 0, 06π cos 2πt + 2   π x ¨(t) = 0, 06π 2 cos 2πt + 2 x 1 2 = 2 ⇒x ¨ + 4π x = 0 x ¨ 4π → L’accélération en M x = 1 cm On a : x ¨ = −4π 2 x ⇒ x ¨ = −4π 2 cm.s−1 = −0, 04π 2 m.s−1

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Corrigé de Physique 2010

EXERCICE 1 1 L’énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre lorsqu’il vient juste de quitter l’hélicoptère immobile par rapport à la terre.

Em0 = Ec0 + Ep0 pendant la phase saut : 1 On a : V0 = 180 km.h−1 = 50 m.s−1 et Ec0 = mV02 2 Juste après qu’il quitte l’avion :h = 3000 On a : Ep0 = mgh0 1 Em0 = 2mV02 + mgh0 A.N : Em0 = 3, 065.106 J 2 l’énergie du parachutiste dans le champ de pesanteur juste avant son atterrissage 1 Em = mV 2 + mgz 2 Em = 4, 91250 J 3 L’énergie n’est pas constante car ∆m 6= 0 Pour calculer de la force de frottements , on applique le théorème de l’énergie cinétique c’est-àXle travail → − dire :∆C = W ( F ext ) → − ⇒ Ec1 − Ec0 + mg(h1 − h0 ) + W ( f ) → − W ( f ) = (Ec1 + mgh1 ) − (mgh0 + Ec0 ) → − ⇒ W ( f ) = −2, 57376 × 106 J 4 La force de frottement n’est pas resté constante pendant le saut car au cours de la chute, la vitesse augmente donc la force de frottement doit également croitre afin de freiner le parachutiste. Durant la dernière phase 1 1 TEC : mV12 − mV02 = mgd − f d 2 2 1 2 − m(V1 − V02 ) + mgd ⇒f = 2 d ⇒ A.N : f = 1029, 5 N 5 hauteur pour une chute libre : 1 1 D’après le TEC : mVf2 − mV02 = mgh 2  2 1 2 Vf − V02 = gh ⇒ 2 Vf2 − V02 ⇒h= ⇒ A.N : h = 1, 27 m 2g

EXERCICE 2 22. CORRIGÉ DE PHYSIQUE 2010

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1 Calculons la dénivellation h = BA si l’on considère le triangle OAB on a : AB sin α = ⇒ AB = OA sin α OA ⇒ A.N : AB = 273, 88 m 2 Calculons les angle orientés. Le schéma équivalent de la figure est :

π → − → − On a : ( i , j ) = ; α = −20◦ ; β = −60c irc → − − → − → −2 ( i ,→ p ) = ( i , − j ) + α = −90◦ − 20◦ = −120◦ → − − ⇒ ( i ,→ p ) = −120 π → − → → − → − − ( j , p ) = ( j , − i ) + ( + α) (carα < 0) 2→ − − = 90◦ + (90◦ − 20◦ ) ⇒ ( j , → p ) = 160◦ − → − → ( i , F ) = −β = 60◦ − π → − → ( j , F ) = −( + α)(Car β < 0) 2 − → − → = −(90◦ − 60◦ ) ⇒ ( j , F ) = −30◦ → − → − → − − 3 Valeurs numériques des coordonnées de F et → p dans ( i , j ) → − → − − Px = −P sin 20 Dans la base ( i , j ), → p Py = −P cos 20 Or P = mg = 80 × 9, 8 = 784 N P = 268, 14 N x → − p Py = −736, 72 N P = → − Fx = F cos 60 300 x F = Fy = F sin 60 Py = 519, 61 4

a. Réciproque du principe de l’inertie : Si un système est au repos ou animé d’un mouvement rectiligne uniforme, alors la somme des forces extérieures exercée sur lui est égale au vecteur nul : → − b. Coordonnées de R D’après le principe ci-dessus on a : X→ − → −−→ − → − VG = Cte ⇒ F ext = O → − → − → − → − D’où F + P + R = O

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D’après les axes du mouvement : ( ( ( → − Rx + Fx + Px = 0 Rx = −Px − Fx Rx = −31, 86 N ⇒ ⇒R = Ry + Fy + Py = 0 Ry = −Fy − Py Ry = 217, 11 N c. Calcule de la valeur des angles, appelons − → − → γ = (− i , R ) Ry 217, 11 = tan γ = = −6, 81 ⇒ γ = −81, 65◦ Rx −31, 86 − − π → − → → − → − → − → → − → − ( i , R ) = ( i , j ) + ( j , R ) = ( i , j ) + ( + γ) 2 90 + (90 − 81, 65) = 98, 35◦ − → − → Donc ( j , R ) = π2 + γ = 90 − 81, 65 = 8, 35◦ − → − → ⇒ ( j , R ) = 8, 35◦

22. CORRIGÉ DE PHYSIQUE 2010

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Corrigé de physique 2011

EXERCICE 1 1 La capacité thermique massique de l’eau est e = 4, 18 Kj/Kg/◦ C on sait que W = me Ce ∆θ avec ∆θ = 40 − 12 = 28◦ C ⇒ W = 117, 04 Kj W = 117 Kj,

Réponse c

2 m = 2 kg, v = 4m/s 1 1 E = mV 2 = .2.16 = 16 J 2 2 Pas de réponse 3 I = 0, 3 A ; q = It = n|e| avec |e| = 1, 6.10−19 C It ⇒ n = 11, 25.1019 ⇒n= |e| pas de réponse 4 v0 = 0 m/s d’après le théorème de l’énergie cinétique : √ 1 1 mV 2 − mV02 = mgh = mgl sin α ⇒ V1 = 2gh 1 2 5 Quel est la valeur de la résistance d’un fil d’alliage résistif cupro-nickel (ρ = 0, 4 Ω.m2 .m−1 ). De section 0, 1 m2 et de longueur 3 m ρl = 12Ω R= s Réponse c 6 E=200V , V = 10 Ω, R =? E On a : I = R +r   rE E E2 E2 ⇒P = E− = −r R+r R+r R+r (R + r)2 2 2 E 2rRE P0 = − + 2 (R + r) (R + r)2 E2 2rR2 P0 = 0 ⇒ − = − (R + r)2 (R + r)2 2r ⇒ 1= R+r ⇒ R + r = 2r ⇒ R=r Donc P 0 = 0 ⇒ R = r ⇒ r est extremum. On a : E 2 rE 2 p(r) = − 2r4 4r2 4 4.10 4.10 = − 20 40 = 103 W

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lim = 0, lim = 0

x→−∞

x→+∞

En faisant le tableau de variation, on remarque que r est un maximum de P . D’où P est maximal pour R = r = 10 Ω R = 10 Ω 7 Un objet est lancer depuis le sol avec un angle de 45◦ par rapport à l’horizontale et à la vitesse de 10 m les frottements étant négligés et g = 10 m/s2 ◦ α = 45 10 m/S 2 ( , VO = 10 m/s; g =( → − ax = 0 vx = V0 cos α ax = ⇒V = ay = −g Vy = −gt + V0 sin α   x = V0 cos αt (1) ⇒ 1  y = − gt + V0 sin αt (2) 2 x (1) ⇒ t = (3) V0 cos α (3) dans (2) donne x2 1 + x tan α y=− g 2 2 V0 cos2 α a. A quelle distance tombera t-il ?   gxp 1 + tan α = 0 y=0 ⇒ xp − 2 2V02 cos2 α gxp 1 sin α ⇒ − = − tan α = − 2 2 2 2V0 cos α cos α 2 sin α cos αV02 ⇒ xp = ⇒ A.N : xp = 10 m g

x = 10 m Réponse a b. A quelle hauteur monte t-il ? A la flèche, Vy = 0 V0 sin α ⇒ −gtF = −V0 sin α ⇒ tF = g   1 V0 sin α 2 V02 sin2 α ⇒ yF = − g + 2 g g V02 sin2 α ⇒ yF = 2g ⇒ yF = 2, 5 m y = 2, 5 m Réponse d 8 Calculer, en année terrestre. La période de révolution de la planète mercure de masse m = 0, 055 m0 (m0 = 6357)

23. CORRIGÉ DE PHYSIQUE 2011

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Corrigé de physique 2012

EXERCICE 1 1 Quelle est la célérité des ondes sur corde ? 2 2N l nλ ⇒ λ = l; C = N λ = ⇒ C = 10 m/s l= 2 n n 2 Fréquence du vibreur pour lesquelles la corde vibre en formant des fuseaux stables. Il s’agit de la fréquence du mouvement comprise entre 18 Hz et 42 Hz. Soit n le nombre de fuseaux stables, faisons varier n et déterminons ces fréquences (n ∈ N) 2N l nC ,C = ⇒N = = 5n n 2l Or, 18 ≤ 5n ≤ 42 ⇒ 3, 6 ≤ n ≤ 8, 4 n = 4; N = 20 Hz n = 5; N = 25 Hz n = 6; N = 30 Hz n = 7; N = 35 Hz n = 8; N = 40 Hz Toutes les fréquences comprises entre 18 Hz et 42 Hz

18 ≤ f ≤ 42

EXERCICE 2 1 Calcule de la pulsation du mouvement. On a :ω = 2πf or f = 100 Hz ω = 200 rad/s = 628, 32 Hz a. Etablir l’équation du mouvement d’un point M situé à la distance d de SI.  d Ys1 (t) = Ys1 (t − t1 ) = Ys1 t − v    d YM (t) = 0, 4 sin 200π t − v YM (t) = 0, 4 sin (200πt − 10πd) b. Représenter l’aspect de la surface du liquide, dans un plan vertical passant par S1 , aux instants t1 = 3?5 × 10−2 s et t2 = 3, 75 × 10−2 s( Echelle 1 cm représentera 1 mm) 2 Un deuxième point S2 de la surface est animée d’un mouvement vertical de même fréquence, de même amplitude d’équation Y (S2 ) = a sin (ωt + ϕ) avec ϕ > 0 On posera S1 S2 = 2d1 a. Déterminer la plus faible valeur de ϕ pour qu’en 0, milieu de S1 S2 , l’amplitude nulle. L’amplitude de l’onde résultante en ce point vaut : ϕ2 − ϕ1 ϕ A = 2a cos = 2a cos 2 2 ϕ ϕ π A = 0 ⇔ cos = 0 ⇒ = + 2kπ, k ∈ Z 2 2 2 ⇒ ϕ = π + 4πk, k ∈ Z ⇒ ϕ = π(4π + 1) k ∈ Z

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b. Déterminons la plus faible valeur de ϕ pour qu’en 0, milieu de S1 S2 , l’amplitude a soit égale à a. ϕ2 − ϕ1 ϕ A = 2a cos = 2a cos 2 ϕ 2 A=a ⇔ 2 cos = 1 2π  ϕ  = + 2kπ   2 3 ⇒ ou    ϕ = − π + 2kπ 2 3 2π + 4kπ ϕ = 3 k∈Z ⇒ ou 2π ϕ = − + 4kπ 3 2π Ainsi la plus petite valeur positive de ϕ vaut 3 Cette valeur de ϕ étant réalisé, a quelle condition le mouvement du point 0 est-il en concordance de phase avec le mouvement de S1 est supposé non perturbé par S2 ? A condition que : ϕ0 − ϕS1 = 2kπ Un troisième point S3 situé à la même distance de O que S1 et S2 est animé d’un mouvement vertical de même fréquence d’équation Y (S3 ) = b sin (ωt + ϕ). La distance d1 étant quelconque, déterminer b et la valeur déterminée dans b), pour que l’amplitude de 0 soit nulle. Y (S3 ) = b sin (ωt + ϕ) déterminons les valeurs de b et ϕ Y0 = a sin ωt + a sin ωt cos ϕ + (a + b) cos ωt sin ϕ = a sin ωt + (a + b) sin ωt cos ϕ + (a + b) cos ωt sin ϕ = (a + (a + b) cos ϕ) sin ωt + (a + b) cos ωt sin ϕ

EXERCICE 3

→ − → − → − 1 A l’équilibre du ressort lorsque le rend a longueur l1 on a P + T = O ⇒ P = T mg Soit mg = k(l1 − l0 ), ⇒ k = l1 − l0 A.N : l0 = 12, 0 cm; l1 = 14, 0 cm; m = 100 g; g = 10 m/s 0, 1 × 10 1 A.N : k = = = 50 N/m 0, 14 − 0, 12 0, 2 24. CORRIGÉ DE PHYSIQUE 2012

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2 Le solide S fixé au ressort est alors astreint à se déplacer suivant la ligne de plus grande pente d’un plan incliné d’un angle α par rapport à l’horizontale (Voir figure). S étant au repos, la longueur du ressort est (S) alors l1 = 11, 5 cm G est en G0 . Les positions respectives du centre de masse G et S sont repérées sur → − un axe x0 x parallèle à la ligne de plus grande pente orientée vers le haut. Soit i un vecteur unitaire sur cet axe. Les frottements seront considérées a. Calculer l’angle α du plan incliné ; ; A : Xl’équilibre −−→ → − Fext = O → − → − → − → − P +T +R =O → − Suivant i , on a : −Px + T = 0 −mg sin α + k(l1 − l0 ) = 0 ⇔ α = arcsin A.N : α = 14, 4◦ 3



k(l1 − l0 ) mg



a. Équation différentielle du mouvement de S − → → − − → → − → − Appliquons le TCI au solide : P + Rn + f + T = O Sur x0 x, −mg sin α + k∆l + kx − g = −m¨ x A l’équilibre, le terme −mg sin α + k∆l s’annule. On a alors k f kx − f = m¨ x ⇒ m¨ x + kx = f ⇒ x ¨+ x= m m L’équation différentielle du mouvement de (S) est : k f x ¨+ x= m m b. Quelle est l’équation horaire du mouvement ? f Une solution particulière est :x(t) = k La solution homogène est x(t) = Xm sin (ω0 t + ϕ) D’où au final, f x(t) = + Xm sin (ω0 t + ϕ) k r k avec ω0 = et Xm = 4, 5 cm m π A t = 0, x˙ = 0 on a dont f Xm ω0 cos ϕ = 0 ⇒ cos ϕ = 0 ⇒ ϕ =− + 2 f A t = 0, Xm = x, on a donc Xm = + Xm sin (ϕ) k

112

ENSPT 2016 © Intelligentsia corporation C’est-à-dire sin ϕ = 1 − En conclusion, f x(t) = + Xm sin k

r

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π f < 1 donc, sin ϕ = −1 ⇒ ϕ = − kXm 2 k π t− m 2

!

c. Calculer la période des oscillations T r m 2π T = = 2π ⇒ A.N : T = 0, 28 s ω k

24. CORRIGÉ DE PHYSIQUE 2012

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Corrigé de physique 2013

EXERCICE 1 m = 600 kg Z = 300 km Calcul du poids du satellite R2 R2 gz = ⇒ g = g0 P = mgz or z g0 (R + Z)2 (R + Z)2 mR2 D’où P = g0 (R + Z)2   6400 2 A.N : P = 600 × × 9, 8 ⇒ P = 5365, 22 N 6700

EXERCICE 2 L = 20 m, m = 9 Kg, g = 9, 8 m/s2 a. Calcul de la période

  L sin θ = J∆ θ¨ MF ext 2  PL ⇔ θ¨ + sin θ = 0 2J∆   PL ¨ θ petit ⇔ θ + θ = 0 Car sin θ ≈ θ 2J∆ r 2J∆ T = 2π PL 1 Or J∆ = mL2 d’où on a à faire une tige 12 s r  2mL2 L T = 2π ⇒ T = 2π 12mgL 6g r 20 A.N :T = 2 × 3, 14 6 × 9, 8 = J∆ θ¨ ⇔ −P

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T = 3, 66 s 4 R = 0, 5 cm et M = 40 kg Calcul de T 0

On a : MF ext = J∆ θ¨ ⇒ Mp1 + Mp2 = (J1 + J2 )θ¨ P1 L Mp1 = − sin θ et MP 2 = −P2 L sin θ 2 1 P1 L J1 = mL2 ⇒ − sin θ − P2 L sin θ = (J1 + J2 )θ¨ 12 2  2 P1 L 2 J2 = M R ⇒ − + P2 sin θ = (J1 + J2 )θ¨ 5 2   P L + 2P L 1 2 θ petit ⇒ sin θ ≈ θ ⇔ θ¨ + θ = 0 Car sin θ ≈ θ 2J2 − J1 P1 L + 2P2 L mgL + 2M gl   = 1 2 2J2 − J1 2 2 mL + M R 2 12 5 mgL + 2M gL = ∆ 4 mL2 + M R2 6 5 gL(m + 2) = 1 4 mL2 + M R2 6 5 D’où v u1 u mL2 + 4 M R2 t 5 T 0 = 2π 6 gL(m + 2M ) s 1 × 9 × (20)2 + 54 × 40 × (0, 4)2 A.N :T 0 = 2 × 3, 14 6 9, 8 × 20(9 + 2 × 40) T 0 = 1, 17 s

EXERCICE 3 1

a. On entend par potentiel l’effet qui engendre le déplacement des charges dans un circuit fermé

25. CORRIGÉ DE PHYSIQUE 2013

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b. Intensité électrique, c’est la circulation des électrons dans un circuit fermé.

2 M = 2 kg : Valeur et signe de la charge sur la boule métallique.

X −−→ → → − → − → − → − − Fext = 0 ⇒ P + F + T = O Suivant (x0 x) F − T sin α = 0 ⇒ F = T sin α

(1)

Suivant (y 0 y) on a P − T cos α = 0 ⇒ P = T cos α (1) F ⇒ = tan α ⇒ F = P tan α (2) P ⇒ F = mg tan α Or F =

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k|q|2 |q|V = |q|E = 2 d d

(4)

(2)

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(3) et (4) ⇒

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|q|v dmg tan α = mg tan α ⇒ |q| = d v

0, 3 × 2 × 10−3 × 9, 8 × tan 300 104 −6 |q| = 0, 34 × 10 C A.N : |q| =

Puisque la boule est attirée par les charges positives |q| = −q D’où q < 0 c’est-à-dire q = −0, 34 × 10−4 → − 3 Travail fourni par F WAB = |q|v A.N : WAB = 0, 34 × 10−6 × 10−4 Soit WAB = 0, 34 × 10−2 J

EXERCICE 4 1 c = νF U = 20 V Calcul de Q et W 1 Q2 2 C A.N :Q = 2, 5 × 10−6 × 20 1 W = × 2, 5 × (2, 5)2 2

Q = CU et W =

Q = 2, 5 × 10−5 C

W = 500 J

2 L = 25 mH a. Équation différentielle de circuit q(t) c Ldi dQ(t) , i= dt dt Ld2 q(t) dt2 d2 Q(t) d2 Q(t) 1 D’où, + Q(t) = 0 ⇔ + ω02 Q(t) = 0 dt2 LC dt2    UC =    On a : UC + UL = 0 or UL =      U L =

ω0 = √ A.N :

1 LC

ω0 = =

1 p 25 × 10−3 × 2, 5 × 10−6 4 × 103

ω0 = 4.103 s−1 Expression de Q(t) et i(t) d2 Q(t) 1 + Q(t) = 0 est une équation différentielle dont l’une des solutions est de la forme 2 dt LC   1 Q(t) = Qmax sin √ LCt + ϕ 25. CORRIGÉ DE PHYSIQUE 2013

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π A t = 0, Q(t) = Qmax ⇒ sin ϕ = 1 ⇒ ϕ = 2   π 1 + D’où Q(t) = Qmax sin √ 2 LC Qmax = CU = 25 × 10−6 × 20 = 5 × 10−5 C dQ(t) i(t) = dt   Qmax 1 π i(t) = √ cos √ t+ 2 LC LC b. Expression de Wc (t) et de WL (t) 1 Q2max 1 Wc (t) = et WL = Li2 (t) 2 C 2   1 Q2max π 2 √1 Wc (t) = sin t+ 2 C 2 LC     1 Q2max 1 1 π = 1 − cos 2 × √ t+ × 2 C 2  LC 2  2 1 Q2max 1 − cos √ = t+π 4 C LC   1 π 1 Q2max cos2 √ t+ WL (t) = 2 C 2   LC   1 π 1 Q2max 1 × 1 + cos 2 × √ t+ = 2 C 2  LC 2  1 Q2max 2 = t+π 1 + cos √ 4 C LC 1 Q2max ensuite remplacer Faire le calcul numérique de 4 C Relation entre Wc (t) et WL (t)      π π 1 1 Q2max 2 √1 2 On a : Wc (t) + WL (t) = t+ t+ sin + cos √ 2 C 2 2 LC LC 1 Q2max Soit Wc (t) + WL (t) = =W 2 C D’où Wc (t) + WL (t) = W

EXERCICE 5 1 Déterminons R0 tel que 25 × 4 = 50 × R0 ⇒ R0 = 2 Ω Il faut modifier la résistance du galvanomètre en remplaçant par une résistance de 2 Ω 2 Calcul de la tension alternative 100 I = 0, 2 A f = Hz ⇒ W = 2πf = 100s−1 2π R = 20 Ω, L = 0, 15H C = 500 F a. A travers chaque composant √ UR = Ri(t) avec i(t) = 0, 2 2 sin 100t √ UR = 4 2 sin 100t √ Ldi(t) UL = ⇒ UL = LωI 2 cos 100t dt ⇒ UL = 0, 15 × 100 × 0, 2 cos 100t √ Ainsi UL = 3 2 cos 100t

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√ √ 1 R I 2 1 1 UC = i(t)dt = − cos 100t ⇒ UC = − × × 0, 2 2 cos 100t C 500 100 √Cω D’où UC = −4.10−6 2 cos 100t b. A travers R et L ensemble, p √ R2 + (Lω)2 I 2 sin (100t + ϕ) R 240 cos ϕ = p ⇒ cos ϕ = √ 2 2 400 + 152 R + (Lω)   240 ϕ = arccos √ 400 + 152 URL =

√ 240 sin(100t + ϕ) URL = 0, 2 2 √ 400 + 152 c. à travers L et C s

 1 2 1 1 1 1 ZLC = Lω − = |Lω − | = Lω − Cω Cω Cω Cω Cω 1 1 Lω − Cω Cω = +∞ ⇒ ϕ0 = π tan ϕ0 = 0 2 d. A travers R, L, C ensemble √ URLC = ZI 2 sin(100t + ϕ00 ) s Z=

R2

  1 2 + Lω − Cω 



    R 00 = arctan  s  ⇒ ϕ   2  2    1 1 R2 + Lω − R2 + Lω − Cω Cω √ Calcul de ϕ00 et de ZI 2 et remplacer dans URLC √ URLC = ZI 2 sin(100t + ϕ00 ) Puissance dissipée dans chaque composant : dans la résistance P = RI ⇒ P = 20 × 0, 2 ⇒ P = 4watt tan ϕ00 = s

R

P2 = 0 watt et P3 = 0 watt

25. CORRIGÉ DE PHYSIQUE 2013

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Partie

7 E PREUVES

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D ’ ANGLAIS

« La seule chose absolue dans un monde comme le nôtre, c’est l’humour » Albert Einstein

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Epreuve d’anglais 2009

EXERCICE 1 ( complete the texts with words from the box (5 mks)) I can’t stand doing nothing. 1 really (1) ——————– holidays where people lie on the beach ail day. - 1 can’t understand it. 1 absolutely (2)—————-doing exercise so 1 get up early every day and run for ten kilometers before breakfast. I’m not very (3) —————-on team sports like football. When 1 go on holiday, I do water sport like surfing and sailing. I quite (4)————————–walking and cycling tool My wihfa1so doesn’t (5)— ——————–walking and cycling.

EXERCICE 2 [Underline the correct answer from those in brackets (5mks)] 1 Where will you find your thumb (on you foot, on your hand, on your face, in your eye) 2 Which does not belong to this group (jaw, chin, cheek, toe) 3 I work in an office. 1 am a (blue collar worker, white collar worker, servant, night watch) 4 Which word is different (happy, glad, miserable, pleased) 5 Before you take an exam, you m.ght feel (disappointed, shy, nervous, self-conscious)

EXERCICE 3 [ Match the statements to the responses. Write in the spaces provided (5mks)] 1 I’ m hungry——————————————–a. 50 was I 2 I don’t like cats——————————b. neither was I 3 I went to the cinema last night —————————–c. Neither do I 4 I love rock music ———————————- d. neither can I 5 I don’t do any work today—————————e. Neither did I 6 I can’t swim —————————————f. 50 did I 7 I’ m not a tourist ——————————— g. So did I 8 I was born in Paris————————————h. so do I 9 I can play the piano ——————————–i. Neither am I 10 I wasn’t here yesterday —————————– j. 50 am I

EXERCICE 4 [Fill the blank spaces with the correct answer chosen from those in the bracket (5mks)] 1 You should—————————harder next term. (works, worked, work, working) 2 He————————–play football. (doesn’t, do not, doing not, did not ) 3 Samba is the ———————— student in our class. (more Intelligent, most intelligent, intelligentest, intelligent than) 4 The water ———————- he drank was dirty. (which, who, whom, why) 5 Angèle doesn’t eat bread ————————-7 (did she, doesn’t she, isn’t it, does she) 26. EPREUVE D’ANGLAIS 2009

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6 One of the women was wearing ————————–evening dress. (a, any, an, some) 7 When I—————————English in primary, 1 always confused the tenses. (were learn, was learning, was learn, was learned). 8 Lowe is ———————than his father. (tall, the tallest, tallest, taller) 9 Last year Ekongolo————————-his exams 50 he had to repeat the 1st year. (was not passed, did not pass, did not passed, does not pass) 10 Please give this letter to —————————(her, she, she’s, hers)

EXERCICE 5 [COMPREHENSION (10MKS)] Read the following passage and answer the questions below ENVIRONMENTAL DEGRADATION Our planet is in danger ; our environment is increasingly becoming unsafe ! The air we breathe, the water we drink, the seas we fish in, the soils we farm, the animals and plants around are ail in danger. Today, many places which were known to be cold are becoming very hot, the dessert is advancing and consuming more fertile lands and the industries are polluting the air as more gases and wastes escape from factories. Refuse, oil, spillage and pesticides are damaging our rivers and seas. The forest, which gives us timber and paper, are being destroyed causing soil erosion and making wildlife homeless. The richer countries of the world are greatly responsible for industrial pollution. In developing countries, poverty is causing people to overgraze grasslands, cut trees for new and firewood and to farm on poor soil for food. Large areas Of forest, about the size of the south west province Of Cameroon, disappear every year ; Trees are cut down for timber, furniture, paper and fuel. They are also destroyed provide land for new villages and towns. But trees have many important uses. They protect land from heavy down pour of ram and their roots help to hold the soil together. ln our forests, there may be plants and animals, which could help in the discovery of new medicines. Ali those are being destroyed at an alarming rate. This will cause us a lot of problems our environment in the near future. The Immediate result will be the depletion of the layer leading to an increase in heat oil over the world. Secondly, the soil will lose its fertility as erosion will have swept away the top 5011. This will result to hunger and increased poverty. Thirdly, the countryside willies its beauty as green plants will have been ail destroyed. Questions : 1 What aspects of the environment are in danger ? (2mks) 2 What is happening to formerly cold places ? (2mks) 3 Who is responsible for industrial pollution ? (2mks) 4 Describe the size of areas of forest that disappear each year (2mks) 5 Give four proposals can help to protect our environment (2mks)

EXERCICE 6 [ESSAY (10mks)] Write an essay of between 100-150 words in any ONE or the following topics 1 Write a newspaper article on the importance of globalisation and what our country stands to benefit from this international relation.

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2 Describe the career you have chosen. Say why you have chosen it and how the society is going to benefit from your choice. 3 Write a letter to the Minister of Posts and Telecommunications. Suggest ways on improving postal services in Cameroon.

26. EPREUVE D’ANGLAIS 2009

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Epreuve d’anglais 2010

SECTION A Reading Comprehension My father’s bedroom was as plain and unpretentious as an in the house. It was infancy little better than a broad passage, eleven meters wide and fifteen meters long. A door and window faced on no a fly screened veranda. Until 1928 he used to sleep regularly on a hard from bed on this veranda, but then after he sought refuge from the cold in his room and later surrendered himself to the luxury of a spring mattress. The furniture was plain, consisting of a three-quarter bed, wash-stand, wardrobe, cupboard and chairs. There were numerous photographs on the walls, mostly of members of the family in their youth and of grandchildren. Crude little sketches made of various grand children in their early years of infancy were thumbed-tacked on to the walls. My father was a careful and fastidious person. He would neatly fold his clothes before putting them away and there was no disorder. In this room he kept a tin of biscuits and a tin of peppermints. These he used very sparingly himself on occasion but really they were there in a lure for his grandchildren. These small folk were to be found there with their grandfather at all times, both parties obviously enjoying the exchange of credentials. Though their parents felt differently, no matter how unorthodox their entertainment. As he lay on his bed reading, they could pile their toys on his boots on top of him, or clamber all over him. His beard never failed to intrigue them and he had to answer endless questions. We have sometimes arrived on the scene to find them shining his touch into his mouth, the fond patient good naturedly submitting to their attentions. There can be no doubt that my father derived great joy from the presence of little children. They seemed to denote to him the wild, unspoiled, basic human animal from which we have drifted on our devious ways of life, often with any distinct credit to our simple origins. They seemed to rest his mind tonic. The younger they were, the more fuss he made of them. And at the same time they were also a protection to him when very talkative visitors arrived ; for, by drawing attention to the children he usually succeeded in diverting the conversation. Question : 1 Which homonym had the writer in mind when he chooses to use word “plain” in this passage ? a. Pain

b. pen

c. plane

d. pane

2 Which plural term can best associate itself with the singularity of “furniture” in the passage a. Furnitures

b. furniturs

c. furniture

d. furniture

3 The expression "sought refuge from the cold in his room" means : a. Danger

b. hostility

c. shame

d. shelter

c. chairs

d. pots

4 The components of his furniture consisted of : a. Baby-cot

b. photographs

5 From the family member’s photograph thumbed tacked on the wall, we draw the impression that the father was :

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b. harsh

c. lover of his family

d. hated his family

6 What thing in father’s house consisted of the knick-knack that gives him pleasure ? a. Years of infancy

b. family youth

in

their

c. Keen family sense

d. photograph

7 Write the word that is used in that can best replace "comfort" without altering its contextual meaning : a. At

b. times

c. think

d. solace

8 "He had to answer" "endless question" which word from the list has the same contextual meaning as "endless" a. Intrigue

b. attention

c. interminable

d. short-lined

9 Which word from the passage shows that he kept biscuits and peppermints to attract his fastidiousness ? a. Large

b. attention

c. interminable

d. short lived

10 Complete the following with suitable expressions : many of, much of, some, some of, one of , all , half , there. a. How ——————– of you have understood my explanation ? b. ——————–us have, sir, but I think one or two of us would like to hear it c. Have you finished reading that passage ? I haven’t had time to read —————— of it d. Nasty accident that. Yes Bill lost—————- of his fingers, so he’s only got one finger left on one hand e. —————————your res is flat. Oh ! So it is. But I think it will take us for as the next service station. f. I don’t like going to the cinema. How unusual——————–people enjoy films. 11 In catch of the following sentences out are given two possible verb forms in bracket, choose the one that you think makes better sense. a. When they pulled me out of the streams they —————-me some dry clothes. i. Gave

ii. was reading

b. When he saw the joke he—————-into laughter. i. Burst

ii. was bursti

c. I ——————- a book when I felt a snake slide over my feet. i. Read

ii. was reading

d. When my friend finally left I ——————– to bed at once. i. Went

ii. was going

SECTION 2 : GRAMMAR 27. EPREUVE D’ANGLAIS 2010

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1 Use the verb in brackets correctly to complete each statement. . ( ring, cut, fast, drink, campel). a. The pilot was........................................ to land el in Douala because of the bad weather. b. The technician inadvertently his finger with the knife. c. He was stupidly—————-by the Ume the party actually started. d. She....................................the only chance she had to obtain. e. The old woman had...........................................the bell until she fainted, 2 Complete the (following sentences with the connect structures or items. a. Peter and Mary could not get married again,................ ? b. She isn’t the lady you have bell looking for,...................... ? c. We expect the plane 10 touch the ground........................ ? d. She could not pass her exams............................... ? e. Which will you.......................Coffee or tea ?

SECTION 3 : VOCABULARY 1 Fill in the blanks in the sentences with words in their correct forms. (clatter, shriek, jostle, temper, busl1e) a. The baby had a rather bad................and would kick and bite when he is angry. b. The people at the bus-stop pushed, shoved and .....................one another climb into the crowded bus. c. The iron fell down the staircse with a................ that could be heard throughout the house. d. Mother...............about the house and trying to get everything ready for the big party in the evening. e. The children ran ........... their mothers as 1 he band of the masquerade carne closer. 2 Complete the following with the most appropriate word.

a. b. c. d. e. f. g. h. i. j.

SYNONYMS

ANTONYMS

Abandon Abundant Amend Candid Fager Bright Brave Educate Emotion excess

Beautiful Distant Rise Sweet Busy Start Friend Bright Win bless

SECTION 4 : TRANSLATION 1 Translate the following into English a. Nous allons au village trios fois par ans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Parfois il envoie des cadeaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Si nous dépêchons, nous serons à l’heure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Est-ce que vous savez ce qu’est ce bâtiment ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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e. Montre-moi le terrain du footbal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Translate the following into French a. You nustn’ t turn left . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. It seems as if our plan be perfect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Is your house more comfortable than mine ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Yes, that sounds as if it will be nice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. The more I listen, the less 1 understand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SECTION 5 : READING COMPREHENSION Head the passage below and answer the questions (hat follow it). There was once a very rich man who wanted to build a house. Ile employed four people who could really do the job. There was an architect, a carpenter, a builder, and. an electrician. The architect was asked to design a house that showed how rich the owner was. The builder had to mould the bricks and build the house. The carpenter’s job was to roof the house and put at the doors, windows and wall decorations. The electrician had to take care of all the electrical installation ; making sure that there can never be an y short circuit in the house. They all did their job very well and the rich man was very happy. He was so happy that .he started crying. The four technicians were very surprised and asked him what the matter was. But he only cried the more and told to go away and come tomorrow. The four men went away wondering what has hapl1cned to their master. They even wondered what could make a rich, powerful, and inf1uential man like their master to cry like a little orphan. However, they came back the following day. Then the rich saw them again, he started crying and this lime even lauder. They asked him again what was wrong and he told them to go and come again tomorrow, when they came again, the man saw them and cried rolling on the ground saying "tomorrow, tomorrow, and tomorrow." And "tomorrow" never ended poor technicians ! What a job ! Questions 1 What did the rich man want to do ? 2 List the people he employed. 3

a. Did the people be employed do their job very well ? b. how t1id t hl’ rich man feel when the house was built ?

4 What did the rich man do every time he’ saw the technicians ? 5 Did the rich man ever pay the workers 6 what lesson do you learn from Ibis passage ?. 7 Suggest a possible title for the text.

27. EPREUVE D’ANGLAIS 2010

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Epreuve d’anglais 2012

SECTION A : GRAMMAR 1 Put the verbs in brackets in their correct tenses. Write the answers in the spaces provided. a. Had it not been for the intervention of forces of law and order the demonstrator..................people from going to work. (to prevent) b. When we arrived at MrZambo’s, his wife told us that he..................for Buea an hour before. (for leave) c. Our Geography teacher taught us that the moon..................round the earth. (to revolve) d. When I went tomy village, I saw many changes : for example, many schools.................. (to build) e. John went to the USA this morning, by this time tomorrow, he .......................Washington. CD (to arrive) 2 Choose the correct word or expression to MI in the blank spaces. a. The starter of the car is spoilt, there is....................we can do, we’d better go on foot (anything, something, nothing) b. Parents should take an active part in children’s education,............................should teachers. (so, neither, nor) c. The player.................leg was broken was taken to hospital. (Which, whose, whom). d. Many people in our cities.................walking to work because of poverty. (areused to, used to, used) e. I know everyone here, let me..................the introductions. (Made, to make, make)

SECTION B : VOCABULARY 1

a. There are two kinds of fertilizers : organic fertilizers from living matters and minerals or ................................... fertilizers from lifeless substances (chemical, composed, compost) b. Thanks to progress in telecommunications, it is now possible to link one computer inCameroun with another in Canada through the ................... (wireless, internet, modem). c. Three babies out of twenty die each year in some parts of Africa.................. has become rife in our society (child death, children death, infant mortality). d. If it rains tomorrow, the meeting will surely be to............. a later date. (put off, put on, put out) e. Etoube was very strong ; his .......... was such that no villager could beat him. (force, strength, fear)

2 Transform the underlined words in the following sentences as indicated. Write your answer in the space provided. a. Despite ail Chat I told him, he was still not convinced.(From a noun) b. Our team is quite formidable and strong.(From a noun) c. The child jumped from a height of seven meters and sustained an injury. (from an adjective) d. Of the two answers, Peter’s was the better one. (Give the opposite)

SECTION C : CONIPREHENSION Read the passage carefully and answer the questions below it in complete and correct English sentences. Use your own words as far as possible.

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Dealing with oil pollution A major problem in the world today is oil pollution on the oceans. When a big oil spill occurs at the sea ; theimmediate problem is to treat it quickly before it spreads and drifts far. Slicks are attacked chemically by spraying them with detergent chemicals. The effect is to, emulsify the oil, that is, to break it up into tiny bubbles. These bubbles are then attacked by bacteria which are always present in the sea, and the oil is literally digested. Such huge quantities of detergent are required for large oil slicks that the spraying ship sometimes runs out of detergent before the whole slick has been treated. While any supply of the detergent is being reduced, without doubt, the already high costs of the man oeuvre are increased. A new detergent called "SYNPERONIC OSD20" claims the a great improvement on earlier kinds. It is said to be twelve times as effective as its predecessor. It is economical, too, say the manufacturers. Although it is more expensive per liter than the old detergent its greater effectiveness makes it much cheaper in terms of the cost of treating a given area of oily water. This may do little to allay the fears of the conservationists. They say detergents cause more damage to plants and animals than oil does. While they agree that the process speeds up the dispersal of the oil, they argue that bacteria would eventually de the same thing without the hazards introduced by detergents. Perhaps the final claim for this new product will satisfy the conservationists. Laboratory tests have pronounced it safe to marine animals. Questions 1 Why is oil pollution a problem in oceans ? 2 How do people prevent a problem big oil spills from causing much damage ? 3 Explain how detergents speed up dispersal of the oil 4 According to the manufacturers, how is SYNPERONIC OSD20 an improvement of oil slicks ? 5 Why do conservationists believe that detergents are not essential in the treatment of oil sticks ?

SECTION D : ASSAY Write an essay of between 200 and 250 words on any ONE of the following topics 1 Modem technological developments have done more harm than good. Do you agree ? 2 Imagine that you the minister of environment write a speech that you will deliver onwhat people should do to, protect our environment. 3 The problem of unemployment in my country. You may want to write about causes, effect, and possible solutions. 4 Why I will like to become a telecommunication engineer.

28. EPREUVE D’ANGLAIS 2012

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Epreuve d’anglais 2013

SECTION 1 :READING COMPREHENSION Read this passage and answer the questions following. Once, it would have been regarded as ml ideal development project, a straightforward way of generating large amounts of money with which to reduce pover1y. Today, it looks a lot more complicated. The proposal to build an oil pipeline between Chad and Cameroon promises to bring jobs, government revenues, private investment, economic growth and regional cooperation to a troubled, impoverished area of the world. The 1100 km pipeline would, of course, be costly to fund - an estimated S350 million. But the returns could be extensive and though the price of the core comlJ1odity - crude oil - may f1uctuate, the product is the basis of modern industrial society and will be in demand for the foreseeable future. In addition, several of the world’s biggest companies support the scheme. So does the World Bank. So what is the problem ? None, as far as the scheme’s supp011ers are concerned. Let’s get on with it, they say, and help end the poverty which plagues the countries at each end of the pipe. Delay, warned a group of businessmen in Douala recent]y, would have ‘enormous and far-reaching’ effects on the economy, particularly in the oil and hotel sectors. A few years ago, that would have been the end of the story. The project would have been launched with a confident fanfare. Nowadays, however, getting 1he go-ahead is beset by difficulties. Environmentalists such as Jean Nke Ndih, leader of Defense de l’environnement camerounais (Defence of the Cameroon Environment) complain that construction of the pipeline will damage forests and farms. In addition, they argue, construction will produce social upheaval, leading inevitably to a variety of ills, including the spread of diseases. Lorry routes, they point out, are often almost identical with epidemiological maps tracking the spread of AIOS. The lives of vulnerable people, such as the Cameroonian pygmies, will be totally disrupted, they say, and many fanners will lose their land, almost certainly without receiving proper compensation. When the pipeline is complete, runs the argument, highly polluting leaks will occur - as was the case in the area inhabited by Nigeria’s Ogoni people, which led to a popular backlash and severe repression, culminating in the execution of eight Ogoni leaders including the writer Ken Sera- Wiwa. Questions 1 Give two advantages expected from the project. 2 Give two disadvantages that the project may cause. 3 How many countries arc affected by the project ? Name them. 4 Who is Supporting the project ? Who is opposing it ? 5 Where else in Africa was such a project carried out ? What happened, and with what results. 6 Suggest a heading for this passage.

SECTION 2 : GRAMMAR 1 What is the noun [on11ed from reduce ? 2 Give the adjective formed from poverty. 3 What is the singular of people ? 4 Give the opposite of complicated ; 5 Which is the correct sentence ?

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a. 1l1e children’s clothes are clean b. The children’s clothes are clean. 6 Put this sentence in the plural : The boy has eaten his food. 7 Which is the correct sentence ? a. John is the tallest of the three boys. b. John is the taller of the three boys. 8 Which is the correct sentence ? a. Mary sleep soundly b. Mary sleeps soundly c. Mary sleeps sound.

SECTION 3 : SYNTAX 1 Rewrite these sentences so that the participial phrase at the beginning will agree with the noun. a. Young and inexperienced, the task seemed easy to me. b. Being in a dilapidated condition, l was able to buy the house cheap. 2 Put the following sentence in the passive voice : Several of the world’s biggest companies Support the scheme. 3 Put this sentence in direct speech : The man said that he was ill. 4 Put the following sentence in the active voice : The school was built by our parents.

SECTION D : ESSAY Write au essay of about 250 words on one of the following topics : 1 Life is easier in the village than in town. 2 Education is the best investment.

29. EPREUVE D’ANGLAIS 2013

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Epreuve d’anglais 2014

SECTION 1 : READING COMPREHENSION Read the following passage carefully. Suggest a title for it. Then write a clear, simple and coherent summary of it. Your summary should not exceed 100 words nor be less than 90 words. We are faced with a situation where many civil society organizations (CSOs) cannot fulfill their mandate or their role because, more often than not, financial circumstances force them to undertake such assignments, whilst not being able to bring their members’ opinions to the attention of the powers that be, nor to get them listened to. In fact, a member of the government once said to us at Naturama : "We did not ask you to reflect on our environmental policy, we asked you to go and plant trees." Just how can we get our voice heard, our message heeded ? Many CSOs do not have the right information and communication skills to persuade others to listen properly. We have to organize ourselves so that when we send delegations to meet with government representatives, our people present our message in such a manner (avoiding arrogance !) that it forces their discussion partners to consider us seriously. Right now, many of our organizations lack the communication skills and powers of persuasion to do this. My conclusion is that we have to invest in communication. The Canadian government has set up a support program called “Strengthening civil society in the Sahel”, working with a small number of trade unions, NGOs and community bodies. The program aims to help CSOs expand their social base, to improve their management and to increase their financial autonomy. Other organizations such as the World Bank take a different approach, encouraging governments to contract CSOs to be involved in project implementation. The result is that some CSOs have access to finance and resources and can operate more competitively, but their members have not really been mobilized ; in a way, the silence and complicity of such CSOs have been bought. (287 words) Translate the following passage into English. Démocratie et développement “Il n’y a pas de démocratie sans développement, mais il n’y a pas non plus de vrai développement sans démocratie. . . En restant à l’écart de la révolution démocratique, l’Afrique se condamnerait elle-même à rester à l’écart de la révolution économique, c’est-à-dire de l’établissement d’une croissance durable". Par la suite, la liaison entre la démocratisation et l’octroi de l’aide publique au développement sera clairement affirmée par le défunt Président François Mitterand, au sommet des Chefs d’Etats d’Afrique et de France, dans son allocution de la Baule : "lorsque je dit démocratie, j’ai naturellement un schéma tout prêt : système représentatif, élections libres, multipartisme, liberté de la presse, indépendance de la magistrature, refus de la censure, voilà le schéma dont nous disposons". Et d’ajouter qu’il appartient aux Etats africains souverains de choisir leur voie et d’en déterminer les étapes et l’allure, avant de conclure que "la France liera tout son effort de contribution aux efforts qui seront accomplis pour aller vers plus de libertés".

SECTION 2 : ESSAY Write an essay of about 300 words on one of the following topics. Pay particular attention to grammar, spelling, paragraphing and neat work. 1 The challenges you hope to face when you leave school. 2 The role of telecommunications in the development of our country.

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Epreuve Langue français 2010

Partie A : COMPREHENSION DE TEXTE La chasse est en Afrique un sport agréable parce que le gibier abonde, mais dangereux, parce qu”on se laisse facilement entraîner au-delà de l’instant raisonnable auquel on doit s’arrêter... . Il y’a quelques années, un groupe de voyageurs descendit un matin pour chasser sur la rive gauche très giboyeuse entre Tombouctou et Bourem. Il était accompagné d’un chasseur giboyeuse entre Tombouctou et Bourem. Il était accompagné d’un chasseur du ’pays. Ils se prédirent. Le chasseur revient seul, guidé par les coups de fusil que, des chalands, titaiei1tppur servir de signa de ralliement aux deux absents. Il raconta que son compagnon avait refusé de le suivre pour rentrer, et qu’ils s’étaient séparés pour s’en aller chacun dans sa direction qu’il croyait la meilleure Au bout de trois des Touaregs ramenèrent le cadavre du malheureux voyageur avec son fusil. Il était ,mort de soif à plus de trente - cinq kilomètres des bords du fleuve. Questions : 1 Quels sont les risques de chasse en Afrique ? 2 Pourquoi l’un des voyageurs choisit-il de chasser plutôt sur la rive gauche ? 3 Quel malheur lui arrivera-t-il ? 4 Ce voyageur était -il prudent ? Justifiez votre réponse. 5 Que signifie « très giboyeuse » ? 6 Apres combien de temps avait - on ramené le corps du voyageur perdu.

Partie B : VOCABULAIRE Vous transformerez chacune des phrases suivantes sur le modèle : On organise le secours

L’organisation du secours

1 Le train arrive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 L’avion atterrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Les spectateurs sortent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 On ferme le magasin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Le chat fuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 On dévalue la monnaie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vspace0.5cm

Partie C : GRAMMAIRE Complétez les phrases suivantes à l’aide de la conjonction de subordination qui convient : Au cas où, tellement que, dès que, pour que, parce que. 1 Il est fatigué..................... il a trop travaillé 2 Bébé pleure ....................... maman lui donne le lait 3 Le chasseur rentre ............................ la nuit tombe 4 Le riais ....................... j’ai dû sortir de la salle 5 Je voudrais .................. tu viennes .........................j’entendrais parler de quelque chose, je t’en informerais. 31. EPREUVE LANGUE FRANÇAIS 2010

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PARTIE 4 : REDACTION Traiter le sujet ci-dessous en 205 à 300 mots) Vous avez poursuivi un voleur dans votre quartier. Racontez.

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Partie

8 S UJETS - CULTURE

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GÉNÉRALE

« La seule chose absolue dans un monde comme le nôtre, c’est l’humour » Albert Einstein

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Sujet A : TIC et village planétaire : Quel impact ? (ENSPT 2012) Sujet B : Le développement de la science et de la Technologie suffit – il pour garantir le bonheur de l’humanité (ENSPT 2013) Sujet C : « d’aucuns disent qu’une vie réussie passe par l’école. D’autres estiment que l’argent est le principal facteur » Qu’en pensez-vous ? (ENSPT 2010) Sujet D : La diversité culturelle est-elle un obstacle à l’intégration nationale ? Répondre à cette question en vous appuyant sur la situation au Cameroun aujourd’hui. Sujet E : « La corruption peut-elle disparaitre dans la société moderne ? » le candidat s’attardera sur les causes et les manifestations de ce phénomène dans notre société avant d’envisager les moyens de le juguler. Sujet F : « Le mal africain aujourd’hui, c’est le mal de son élite » commenter cette phrase de M. EDEM KODJO, ancien secrétaire général de l’OUA. Sujet G : Les mass médias sont une épée a doubles tranchant. On peut les utiliser soit pour construire une nation, soit pour la détruire. Qu’en pensez-vous ? appuyez votre réponse par des exemples concrets. Sujet H : « le téléphone, l’internet, la radio, la télévision et les journaux ont tué la littérature et les relations sociales » Qu’en pensez-vous ? Sujet I : (inspecteur 2014) La corruption peut-elle disparaître dans la société modern ? Le candidat s’attardera sur les causes et les manifestations de ce phénomène dans notre société avant d’envisager les moyens de le juguler. Sujet J : La téléphonie rurale, est-elle aujourd’hui une priorité dans notre pays ? Discuter en justifiant vos arguments. (contrôleurs 2014)

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Partie

9 C ORRIGÉS ANGLAIS ET CULTURE

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GÉNÉRALE

« La seule chose absolue dans un monde comme le nôtre, c’est l’humour » Albert Einstein

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Corrigé d’anglais 2009

EXERCICE 1 : Complete the texts with words from the box 1=Hate

2=Love

3=Keen

4=Like

5=Mind

EXERCICE 2 : Underline the correct answer from those in brakets 1 on your hand ; 2 toe 3 white collar worker 4 miserable 5 self-conscious

EXERCICE 3 : Match the statements to the responses. 1 so am I 2 Meither do I 3 so did I 4 so do I 5 neither do I 6 neither can I 7 neither can I 8 so was I 9 san can I 10 neither was I

EXERCICE 4 : 1 Work 2 Doesn’t 3 most intelligent 4 which 5 does she 6 an 7 was learning 8 taller 9 did not pass a 10 her

32. CORRIGÉ D’ANGLAIS 2009

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Corrigé d’anglais 2010

SECTION A : Reading Comprehension Questions 1 plane 2 3 shelter 4 shelter 5 hash 6 family in their youth 7 8 interminable 9 10 Complete the following with suitable expressions : a. many b. some of c. much d. many e. f. some 11 In catch of the following sentences out are given two possible verb forms in bracket, choose the one that you think makes better sense. a. Gave b. burst c. was reading d. went

SECTION 2 : GRAMMAR 1 Use the verb in brackets correctly to complete each statement. ( ring, cut, fast, drink, campel). a. compelled b. cut c. drank d. lost e. rung 2 Complete the (following sentences with the connect structures or items. a. Could they

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b. is she c. don’t we d. because e. prefer to have

SECTION 3 : VOCABULARY 1 Fill in the blanks in the sentences with words in their correct forms. a. Temper b. jostled c. clatter d. busted e. shriek 2 Complete de following with the most appropriate word

a. b. c. d. e. f. g. h. i. j.

WORDS Abandon Abundant Amend Candid Fager Bright Brave Educate Emotion excess

SYNONYMS I give up a lot franc keen clear courageous train, teach feeling to large, too many

WORDS Beautiful Distant Rise Sweet Busy Start Friend Bright Win bless

ANTONYMS ugly sait, near set bitter idle end enemy dark loose curse.

SECTION 4 : TRANSLATION 1 Translate the following into English a. Nous allons au village trios fois par ans : we go un the village three (3) times a year. b. Parfois il envoie des cadeaux : sometimes he sends pesents c. Ci nous nous dépêchons, nous serons à l’heure : if we hurry up we will be con time. d. Est-ce que vous savez ce qu’est ce bâtiment ? Do you know what this building is ? e. Montre-moi le terrain du football : show me the football playing ground. 2 Translate the following into French a. You mustn’t turn left : vous ne devez pas vous tourner à gauche b. It seems as if our plan’s be perfect. c. Is your house more comfortable than mine ? Est-ce que ta maison est plus confortable que la mienne ? d. Yes, that sounds as if i twill be nice : oui cela l’air d’être bien. e. The more I listen, the less I understand : plus j’écoute moins je comprend.

33. CORRIGÉ D’ANGLAIS 2010

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Corrigé d’anglais 2012

SECTION A 1

a. Prevented b. Had left c. Revolves d. Revolves e. Should arrive

2

a. Nothing b. So c. Whose d. Are used to e. Make

SECTION B 1

a. Chemica b. Internet c. Infant mortality d. Put out ? e. Strength

2

a. Conviction b. Strength c. High d.

SECTION D 1 When a big spills occurs at the sea, the immediate problem is to treat it quickly before it spreads and drift far. 2 Slicks are attacked chemically by spraying them with detergent chemicals. The detergent breaks the oil slicks up into tiny bubbles which are been attacked by bacteria which are always present in the sea. 3 SYNPERONIC OSD20 is an improvement of oil slick because it is economical in terms of treating a given area of oily water. 4 Conservationist believe that detergent causes more damage to plants and animals than oil does. Also they believe that bacteria would do the same without the use of any detergent.

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Corrigé d’anglais 2013

SECTION 1 1 The two advantages expected from the project are – Bringing job and – Regional cooperation 2 The two disadvantages that the project may cause are : – Somage of forest – The spreading of diseases 3 Two(02) countries : Chad and Cameroon 4 Several of the wold’s biggest companies and the worlds bank support the project. Environmentalist such as Jean Nke Ndih was against ir. 5 In Nigeria, polluting leaks occurred in the area inhabited by Nigerias Ogoni people, which led to popular backlash and severe repression, culminating in the execution of 8 ogou leaders including the writer ken Sera-Wiwa. 6 Chad- Cameroun pipeline

SECTION 2 1 Reduction 2 Poor 3 People 4 Uncomplicated 5

(a)

6 The boys have eaten their food 7

(a)

8

(b)

SECTION 3 1 The task seemed easy to me even though. I was yours and inexperienced. I was able to buy the house cheap even though I was in a dilapidated condition. 2 The scheme is supported by several of the world’s biggest companies 3 The man says "I am ill" 4 Our parent built the school

35. CORRIGÉ D’ANGLAIS 2013

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Corrigé d’anglais 2014

SECTION 1 Title : Civil Society Organizations and their problems CSOs are faced with a situation wherein they cannot fulfill their mandate. This is because of their financial circumstances ; their incapability neither to bring their member’s opinions to the attention of powers, nor to get them listened to. This has made a member of the government at Naturama to say : "We did not ask you to reflect on our environmental policy, we asked you to go and plant trees". Many CSOs do not have the right information and communication skills to persuade others listen properly. Efforts have been made so that when we send our delegations to meet with government representatives, our message should be considered. To expand CSOs social base, improve their management and increase their financial autonomy, the Canadian government has set up a program called “Strenghtening civil society in the Sahel”. The result of this is that some CSOs have access to finance and resources and can operate more competitively.

SECTION 2 "There is no democracy without development, but there is either no real development without democracy . . . By staying away from the democratic revolution, Africa would condemn itself to stay away from the economic revolution that is from the establishment of a sustainable growth". Afterward, the connection between the democratization and the granting of the public aid in the development will clearly be asserted by the deceased President François Mitterand, at the top of the Heads of state of Africa and France, in its speech of Baule : " when I says democracy, I have naturally a ready-made plan : representative system, free elections, multiparty system, freedom of the media, independence of the judiciary, refusal of the censorship, here is the plan which we have ". And to add that it is up to the sovereign African States to choose their way and to determine the stages and the speed(look), before concluding that " France will bind(connect) all its effort of contribution to the efforts which will be carried out(achieved) to g

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Corrigé-culture générale

Sujet A : TIC et village planétaire : Quel impact ? (ENSPT 2012) Résumé L’avènement des nouvelles technologies représente une formidable mutation pour notre société en ce sens qu’elle permet entre autres de s’instruire, s’informer, se divertir, ou de communiquer dans de meilleures conditions en abolissant toute notion de distance, de frontière. Elle offre donc un nouveau mode de fonctionnement de la société qui passe de la société industrielle à la société de l’information. Nous assistons cependant aussi, de manière parallèle, à une transformation radicale du comportement des hommes que ce soit dans les milieux : professionnel, familial, pédagogique ou dans les relations sociales en général. Au vu de ces remarques nous sommes donc tentés de se poser les questions suivantes : Quels sont les risques et les dangers des TIC sur nos sociétés et nos rapports sociaux, tant dans le domaine éducatif, professionnel que familial ? Quels avantages et bénéfices pouvons-nous en tirer dans ces domaines ? 1

Les NTIC : de nouvelles pratiques sociales Dans cette partie il s’agira de démontrer brièvement comment notre société s’est transformée et comment sont nées de nouvelles habitudes avec les technologies de l’information et de la communication. a. Dans le domaine professionnel. Du modèle de Taylor avec des structures hiérarchisées, nous sommes passés à un modèle réseau, un modèle de regroupement au fonctionnement indépendant ou sous forme de projet. Ces changements dans le domaine professionnel présentent deux visages. Dans un premier temps, le salarié d’aujourd’hui bénéficie de plus d’autonomie, de marge de manœuvre et est amené à prendre plus d’initiatives que par le passé. Dans l’autre, la seule obtention d’un diplôme ou d’un titre professionnel ne garantit pas aujourd’hui la maitrise des fonctions réparties par métier. Il faut ajouter à cela une formation spéciale à la maitrise et à la manipulation des outils des technologies de l’information fortement présente dans tous les services. Les frontières des entreprises, qui autre fois étaient bien limitées, sont devenues poreuses, avec l’avènement des technologies de l’information et de la communication. Le travail peut même mordre sur la vie familiale des employés à cause de la possibilité du "travail à domicile", un nouveau système qui ne définit pas l’espace de travail et dont les tâches peuvent s’effectuer à domicile. b. Dans le domaine du e-learning. L’évolution très rapide des TIC et les énormes potentialités dont elles regorgent ont contribué au développement de nouvelles formes d’éducation et d’approches pédagogiques qui étaient inimaginables il y a quelques années. L’usage des NTIC a donc permis de créer un nouveau mode de transmission des connaissances. Son intégration dans la sphère éducative à une très longue histoire jonchée de réticences et de débats houleux. Cela a entrainé des changements d’organisation au sein du système éducatif.

2

Apports et limites des NTIC au niveau social a. Les apports (Les avantages et bénéfices tirés des TIC) Dans l’ensemble, les TIC ont favorisé la circulation et la structuration de l’information. i. Dans les liens familiaux / loisirs Les NTIC ont apportés au sein de la famille des outils supplémentaires de communication et de loisirs permettant différents modes d’usages et cela de manière indépendante pour chacun. Ainsi

37. CORRIGÉ-CULTURE GÉNÉRALE

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des appareils comme le téléphone mobile permettent des relations plus intimes et plus fréquentes avec son réseau d’amis ou de proches. L’arrivée d’Internet dans les foyers a également permis à chacun de multiplier les modes mais aussi le nombre de communications à travers les différents outils qu’offre le réseau. Comme la messagerie instantanée qui permet de rester en contact quasipermanent avec ses amis ou famille. Ou encore la visio-conférence qui apporte un côté plus humain avec des relations éloignées. Mais aussi de nouvelles pratiques de relations, basées sur un système de communautés d’intérêts aves lesquelles chacun peut se lier ou se délier, ou bien perpétuer sur le réseau virtuel les communautés auxquelles nous appartenons dans le vie de tous les jours. Puis les blogs ou pages personnelles permettant à tout un chacun de partager une aventure, sa vie intime, ses passions avec sa famille, ses amis ou encore le monde entier. En somme ces TIC apportent de nouvelles pratiques de communication plus intenses mais aussi plus individuelles qui prolongent les relations de la vie "réelle" ou en créent de nouvelles, apportant une sociabilité très forte, individuelle, mais avec plus de monde. ii. Dans l’entreprise Les technologies de l’information et de la communication ont permis aux entreprises un gain de performance non négligeable gérant au mieux les agendas avec des outils de synchronisation ou encore en mettant en place des systèmes de travail collaboratif. Ceci a bouleversé les schémas hiérarchiques, les mettant plus à plats et forçant les acteurs à adopter de nouvelles mentalités, où chacun à un rôle organisationnel au sein du groupe et parfois forçant la confiance entre chacun. La communication quant à elle se trouve amplifiée, de la messagerie électronique à la messagerie instantanée, impliquant les acteurs internes mais aussi externes, ajoutant de nouvelles transversalités. iii. Dans le secteur pédagogique C’est dans l’éducation à distance que nous pouvons le mieux observer le rôle des TIC. D’ailleurs ce sont ces même technologies de l’information et de la communication qui ont rendu possible ce type d’enseignement, dont la pratique la plus constructive se trouve dans la méthode du collaboratif. En effet, aujourd’hui Internet et les outils dont nous disposons permettent de révolutionner le système éducatif et les rapports enseignants-enseignés mais également entre étudiants. L’apprentissage collaboratif en ligne, outre le fait de pouvoir suivre des cours de chez de soi ou de son lieu de travail, apporte de nouvelles pratiques sociales. Ainsi il est possible d’étudier avec des personnes venant des quatre coins du monde apportant une dimension multiculturelle. En effet ce système d’apprentissage repose sur l’échange de compétences, de savoir, d’idées etc., entre étudiants, chacun apprenant de l’autre dans un but commun. Un réseau social se crée à l’intérieur du campus virtuel, c’est comme cela que nous les nommons, entre élèves d’une même promotion qui s’organisent de manière autonome autour de forums et de rendez-vous synchrones. Dans les écoles "classiques" les liens sociaux générés par les TIC sont moins marqués, l’exemple de pratique la plus courante étant le site web d’école renforçant le rapport Parents-élèves-enseignants. b. Les limites (les risques et dangers sur nos sociétés et nos rapports sociaux) i. Dans le secteur pédagogique Les formations en e-learning comportent le risque d’un certain isolement par rapport au monde extérieur, voire d’une rupture des liens sociaux pour certaines personnes. En effet, l’ordinateur peut devenir une base qui se suffit à elle-même, c’est-à-dire qui ne pousse pas à aller chercher des informations en allant à la rencontre d’autres personnes (enseignants, étudiants, ou recherche en bibliothèque). Les liens sociaux peuvent alors facilement se restreindre au monde virtuel. Les difficultés liées à l’utilisation des TIC proviennent d’une perte des repères spatio-temporels classiques. Ce problème est accentué avec Internet. Les technologies informatiques provoquent une

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modification du repérage dans l’espace, à la fois de l’écran d’ordinateur et du réseau virtuel d’Internet. Ce qui implique d’adopter une gestion rigoureuse du temps dans toute session pédagogique faisant appel aux TIC. D’un autre point de vue, l’ordinateur peut aussi être considéré comme un vecteur de médiation sociale, mais dans ce cas il reste néanmoins limité par la rigidité de la technique. Celle-ci peut être atténuée par deux biais : le travail en groupe et l’aptitude du formateur à rendre ses élèves capables de transférer les connaissances acquises sur écran à d’autres sujets et d’autres contextes. ii. Dans le secteur du travail et de l’économie Dans le domaine commercial et financier, l’usage des TICS a renforcé le développement de certaines pratiques de fraudes : prélèvements bancaires frauduleux, vente de contrefaçons sur des site d’ecommerce, détournement du système boursier, etc. Les TICS peuvent induire une notion de transparence qui peut par exemple avoir des répercussions sur le contrôle de la productivité en entreprise et qui peut donc introduire une forme nouvelle de pression sur les employés. iii. Dans les liens familiaux / loisirs L’ordinateur a maintenant une place centrale au sein des loisirs, il est une plateforme multifonctions permettant des loisirs variés : lecteur DVD, jeux vidéo, photos, musiques, outil de communication entre amis ou familles (chat), etc. Seulement, on sait que certaines personnes (en particulier les adolescents) peuvent restés de longues heures face à leur ordinateur, notamment avec l’addiction aux jeux vidéo. Ainsi, cette pratique peut être à l’origine de la fragilisation des liens familiaux. Plus l’outil informatique se développe et plus il se banalise, ainsi chacun des membres d’une famille peut avoir maintenant son propre ordinateur. Cela peut entraver les moments de réunion familiale et chacun peut s’isoler avec sa machine. Couplé avec l’ordinateur, l’être humain pourrait s’auto-suffire en se procurant tout ce dont il a besoin sans sortir de chez lui. Ainsi, il n’aurait plus la nécessité d’aller chercher ce qui lui manque auprès de ses relations familiales ou amicales. Ainsi, les TICS pourraient participer au délitement du lien social. Conclusion La question reste ouverte : Est-ce les TIC qui influencent la société ou bien n’ont-elles fait simplement qu’interpréter les besoins de celle-ci ? Nous répondrons qu’il s’agit d’un mouvement dialectique qui intègre ces deux aspects.

37. CORRIGÉ-CULTURE GÉNÉRALE

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Sujet E : « La corruption peut-elle disparaitre dans la société moderne ? » le candidat s’attardera sur les causes et les manifestations de ce phénomène dans notre société avant d’envisager les moyens de le juguler. Résumé L’actualité est souvent jalonnée de scandales liés à la corruption et ce dans n’importe quel domaine. Associée à la malversation, celle-ci désigne ou bien le fait d’obtenir quelque chose autrement que par le mérite, ou bien le fait d’agir en servant les intérêts peu scrupuleux d’une tierce personne, l’un allant rarement sans l’autre. Ainsi dans le premier cas la corruption peut prendre la forme de pots-de-vin versés contre avantage, par exemple pour l’achat d’un emploi dans une entreprise. Dans le deuxième cas, elle peut se matérialiser par du chantage d’intérêts ou par une échange de services rendus en dehors de tout cadre légal. Dans les deux cas, la corruption fait intervenir les notions de malhonnêteté et d’injustice. 1 Causes – Mauvaise gouvernance : cadre législatif flou, système judiciaire inadéquat, manque de transparence et de responsabilisation, manque de liberté de la presse ; – Absence de toute politique anti-corruption préventive et de prise de conscience de l’importance des questions comme l’éthique professionnelle, les conflits d’intérêts (pour éviter par exemple que les personnes entrent dans les conseils municipaux pour y défendre leurs propres intérêts fonciers, entrepreneuriaux ou autres ; manque de réflexe de se "désengager" de certaines décisions), le refus des cadeaux et autres avantages qui finissent par créer des relations troubles ou mal perçues par les tiers (y compris les cadeaux de fin d’année) ; – Institutions faibles : fonctionnaires à forte autorité ayant peu de comptes à rendre, responsables officiels attirés par des rémunérations coupables et ayant des salaires faibles, facteurs culturels ayant trait au mode de contrôle dans l’administration ou à la croyance au « droit aux bénéfices » des responsables administratifs. – Faibles salaires : l’administration publique de nombreux États prévoit des salaires relativement faibles pour certains de leurs agents ; typiquement les médecins, les policiers, les douaniers, par exemple, sont les victimes faciles de systèmes où la culture admet qu’il n’est pas besoin de les payer [de manière décente] étant donné qu’ils peuvent tirer un avantage occulte de leurs fonctions. – Culture administrative et corporatiste peu propice générant des craintes et qui dissuade toute dénonciation (ou simple remise en cause d’un système affecté) par les éléments intègres ou simplement désireux d’appliquer les règles existantes ; esprit de revanche du groupe et des supérieurs imposant des sanctions déguisées au lieu de valoriser l’intégrité. – Aspects culturels : le développement de la corruption est quelquefois attribué partiellement à des perversions de valeurs culturelles, lorsque par exemple la notion de respect ou de soumission à l’autorité est détournée de ses objectifs. 2

Effets de la corruption La corruption est un désastre créé par l’homme et les pauvres en sont les plus touchés. C’est parce que la corruption a pour résultats, entre autres, les coûts élevés pour l’accès à l’éducation et au service de santé, les mauvaises normes de santé et de sécurité, les risques environnementaux, les violations des droits humains, le non-accès à une justice efficace et le faible revenus dans les pays pauvres ; état entrainant des services publics de piètre qualité. En outre, la corruption affecte négativement les différents groupes comme les femmes, les enfants, les personnes vulnérables et les pauvres, les personnes handicapées, les personnes vivant avec le VIH, les personnes âgées, les réfugiés et personnes déplacées. Les femmes sont affectées à la suite d’inégalités entre les sexes par rapport à leur accès aux droits fonciers et aux postes de décision.

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Violation des droits d’humains Il est important de noter que la corruption n’est pas un crime sans victime, mais qu’elle viole les droits humains. L’identification de la relation entre la corruption et les droits humains est importante pour influencer les détenteurs d’obligations telles que les membres du Parlement, la magistrature, les agents de droit, la confrérie des banquiers et des hommes d’affaires, les médias et le public en général dans la promotion de mesures anti-corruption. Les normes minimales des droits humains énoncées par les instruments internationaux des droits humains et appliquées dans les législations nationales imposent des obligations tripartites sur les États et participent à l’identification des détenteurs de droits et les ayants droit dans la lutte contre la corruption. Ce sont des obligations nécessaires pour atteindre, protéger et promouvoir les droits humains. Quelques exemples précis des droits qui sont universellement violés par des pratiques de corruption. a. Les violations du droit à la santé b. Violations du droit à l’éducation c. Les violations du droit à l’alimentation d. Les violations du droit au logement décent 3 Aspects négatifs de la corruption la corruption a un impact négatif sur la réalisation des droits humains et et sape les stratégies de réduction de la pauvreté. Les effets négatifs de la corruption sur le développement incluent : – Mauvaise orientation du développement (mauvaise affectation de ressources) ; – Violation des droits humains – Endettement accru – Pénurie de taxes et d’autres revenus nationaux – L’évasion fiscale – Détérioration de la qualité des produits – Des risques accrus pour la sécurité, l’accès inégal aux services publics tels que le passeport, le permis de conduire – La corruption tue – L’inefficacité économique, avec un effet répulsif à l’égard des investisseurs, paralysie de l’esprit de développement d’un pays particulier – Ecart dans la richesse et affaiblissement de la cohésion sociale ; – Perte de crédibilité et de réputation des gens, des institutions et les professions telles que la police et la douane ; – Perte et affaiblissement de la démocratie – Affaiblissement de l’égalité entre les sexes – Affaiblissement de l’Etat de droit et des mécanismes constitutionnels de contrôle ; – Soutien à la dictature, aux mouvements armés des rebelles et 4 Les conséquences de la corruption a. Les conséquences économiques de la corruption – Détérioration de la croissance économique et provocation de déficits énormes. Les experts de la Banque Mondiale estiment que la chute des taux de croissance en Afrique et certains pays d’Asie est due à la corruption politique qui entraîne un manque à gagner de plus de 2% du PIB par an ; – hausse du coût de l’activité commerciale et des dépenses administratives suite à la complicité entre les responsables dans le secteur privé ; – complexité et blocages dans la concrétisation des affaires ; – la corruption déforme le paysage économique et commercial ; 37. CORRIGÉ-CULTURE GÉNÉRALE

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– altération économique dans le secteur public à travers l’investissement de l’argent public dans des projets capitalistiques encourageants la corruption et transactions non réglementaires ; – la corruption permet également le non-respect des normes en matière de construction et de préservation de l’environnement et la dégradation des prestations et services publics et augmente la pression sur le budget de l’Etat ; – fuite des capitaux à l’étranger. b. Les conséquences de la corruption sur la politique et les institutions A côté des effets néfastes sur l’activité économique, la corruption donne un coup dur au processus de la démocratie et de bonne gouvernance : – Ce phénomène use les capacités financières des institutions gouvernementales (vente et achet des postes de responsabilité) et limite leur légitimité ; – a corruption juridique met en danger la suprématie de loi et frappe de plein fouet la garantie de validité des contrats – la dépravation en matière des élections et des instances élues, diminuent les interpellations, déforme la représentativité parlementaire et réduit la confiance des citoyens et citoyennes en les opérations électorales.

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Sujet E : La pluralité des cultures est-elle un obstacle à l’intégrité nationale ?

Résumé La formulation du sujet autour du mot « obstacle » à connotation négative nous amène à comprendre tout d’abord la pluralité comme une source de divergences, qui s’oppose ainsi à l’unité. Mais encore faut-il s’entendre sur le sens d’unité, qui suggère avant tout l’harmonie. Or cette harmonie implique-t-elle forcément l’uniformité ou peut-elle exister au-delà des différences ? 1 Les inconvénients de la diversité culturelle À bien des égards, la diversité est un avantage important pour une société industrialisée. Diversité fournit des ressources de main-d’œuvre et la vitalité culturelle des premiers pays du monde qui, autrement, seraient gravement affectés par le vieillissement des populations. Toutefois, cela ne signifie pas que la diversité est sans difficultés. Inconvénients notables de la diversité culturelle sont les barrières linguistiques, les tensions sociales et l’indifférence civique. Il convient de noter que ce ne sont pas des raisons pour éviter la diversité, mais plutôt, les facteurs à prendre en considération la façon dont la société se comporte vers un avenir plus diversifié. a. Les barrières linguistiques L’un des principaux inconvénients de la diversité culturelle est sa tendance à créer des barrières linguistiques. La ségrégation sociale se produit souvent lorsque les locuteurs de deux langues mutuellement incompréhensibles vivent côte à côte. Les barrières linguistiques sont généralement temporaires, mais la ségrégation résultant peut durer, comme illustré dans les quartiers distincts et des ghettos ethniques. En conséquence de ce phénomène, les gouvernements du monde entier exigent maintenant les immigrants éventuels à apprendre la langue officielle de leur pays. b. La tension sociale Stress social peut se produire en raison des différences culturelles et linguistiques. En Europe, par exemple, la tension entre la minorité musulmane et la majorité essentiellement laïque est souvent attribuée à l’incommensurabilité des valeurs islamiques et laïques. La culture des tensions seraient exacerbées par les différences économiques, les populations musulmanes européennes sont souvent désavantagées en matière d’emploi en raison du manque de possibilités d’éducation. c. Les questions de travail Parfois, des problèmes peuvent surgir de la diversité culturelle en milieu de travail. Employés originaires de certaines régions se sentent parfois victimes de discrimination institutionnelle divers lieux de travail, les instruments perçoivent la diversité qui est une forme de discrimination à rebours. 2 Pourquoi la diversité est-elle importante ? La diversité culturelle est une force motrice du développement, non seulement concernant la croissance économique, mais aussi pour mener une vie plus épanouissante intellectuellement, affectivement, moralement et spirituellement. a. Un dialogue interculturel pour la paix entre les nations L’échange équitable ainsi que le dialogue entre les civilisations, les cultures et les peuples, basés sur la compréhension et le respect mutuels, représentent des conditions indispensables pour construire une cohésion sociale et pour la réconciliation entre les peuples. b. Un dialogue interreligieux pour un respect mutuel 37. CORRIGÉ-CULTURE GÉNÉRALE

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L’apprentissage du dialogue est un processus autant personnel que sociétal. Accroître les aptitudes et les capacités au dialogue implique une volonté d’ouverture non dénuée d’esprit critique. Le dialogue nous concerne tous : des décideurs et responsables aux membres individuels de chaque communauté. Indépendamment des grandes conférences internationales de sensibilisation, c. Pour l’avenir d’un pays, du monde : culture et développement Placer la culture au cœur du développement est un investissement capital dans l’avenir d’un pays, la condition du succès d’une mondialisation bien comprise qui prenne en compte les principes de la diversité culturelle. Le développement est inséparable de la culture. À cet égard, le défi majeur est de convaincre les décideurs politiques et locaux, nationaux et internationaux d’intégrer les principes de la diversité culturelle et les valeurs du pluralisme culturel dans les politiques publiques, les mécanismes et les pratiques, notamment par le biais de partenariats public-privés. L’objectif est, d’une part, d’intégrer la culture dans toutes les politiques de développement, qu’ils soient liés à l’éducation, la science, la communication, la santé, l’environnement ou le tourisme culturel et, d’autre part, à soutenir le développement du secteur culturel par le biais de la création d’industries. En contribuant de cette manière à la réduction de la pauvreté, la culture offre des avantages importants en termes de cohésion sociale.

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Note de l’éditeur AsTEX Edition est un groupe d’experts dans les traitements de textes à base du logiciel LATEX. Ce groupe, constitué de jeunes professeurs des lycées, a été mis sur pieds pour satisfaire de façon efficace tous ceux et celles qui désireraient monter des documents (livres, anales, magazines, journaux etc) de nature scientique ou pas de qualité et unique en leurs genre. Avec AsTEX Edition, donnez plus de couleur à vos documents, présenter votre modèle et nous ferons le reste ! ! !

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