Binomul Lui Newton PDF [PDF]

Zitiervorschau

Binomul lui Newton

Teoremă ( formula lui Newton): Fie 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ , 𝑛 ∈ ℕ\{0} . Atunci are loc: (𝒂 + 𝒃)𝒏 = 𝑪𝟎𝒏 𝒂𝒏 + 𝑪𝟏𝒏 𝒂𝒏

𝟏

𝒃 + 𝑪𝟐𝒏 𝒂𝒏

𝟐 𝟐

𝒃 + ⋯ + 𝑪𝒌𝒏 𝒂𝒏

𝒌 𝒌

𝒃 + ⋯ + 𝑪𝒏𝒏 𝒃𝒏 , 𝟎 ≤ 𝒌 ≤ 𝒏.

Observații: 1. Dacă 𝑛 = 2 ⟹ (𝑎 + 𝑏) =𝐶 𝑎 + 𝐶 𝑎𝑏 + 𝐶 𝑏 = 𝑎 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 Dacă 𝑛 = 3 ⟹ (𝑎 + 𝑏) = 𝐶 𝑎 + 𝐶 𝑎 𝑏 + 𝐶 𝑎𝑏 + 𝐶 𝑏 = 𝑎 + 3𝑎 𝑏 + 3𝑎𝑏 + 𝑏 2. Coeficienții 𝐶 , 𝐶 , … , 𝐶 se numesc coeficienții binomiali ai dezvoltării binomului lui Newton. 3. 𝑇

=𝐶 𝑎

𝑏 este termenul de rang k+1 , unde 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛.

4. Numerele 𝐶 , 𝐶 , 𝐶 , … sunt coeficienții binomiali ai termenilor de rang impar; 𝐶 , 𝐶 , 𝐶 , … sunt coeficienții binomiali ai termenilor de rang par.

numerele

5. A se face diferența între coeficientul binomial al unui termen și coeficientul numeric al acelui termen. De exemplu, (1 − 2𝑥) = 𝐶 + 𝐶 (−2𝑥)+𝐶 (−2𝑥) + 𝐶 (−2𝑥) + 𝐶 (−2𝑥) + 𝐶 (−2𝑥) . În dezvoltarea binomului, 𝑇 = 𝐶 (−2𝑥) . Aici coeficientul binomial este 𝐶 , iar coeficientul numeric al termenului este 𝐶 ∙ (−2) . 6. Dezvoltarea binomului lui Newton are 𝑛 + 1 termeni. 7. Coeficienții binomiali ai termenilor egal depărtați de termenii extremi sunt egali: 𝐶 =𝐶 ; 𝐶 =𝐶 8. Dacă 𝑎 = 𝑏 = 1 ⟹

;…; 𝐶 = 𝐶

;… .

𝑪𝟎𝒏 + 𝑪𝟏𝒏 + 𝑪𝟐𝒏 + ⋯ + 𝑪𝒏𝒏 = 𝟐𝒏 .

9. Dacă 𝑎 = 1, 𝑏 = −1 ⟹ 𝐶 − 𝐶 + 𝐶 − 𝐶 + ⋯ + (−1) 𝐶 = 0 , de unde rezultă 𝑪𝟎𝒏 + 𝑪𝟐𝒏 + 𝑪𝟒𝒏 + ⋯ = 𝑪𝟏𝒏 + 𝑪𝟑𝒏 + 𝑪𝟓𝒏 + ⋯ = 𝟐𝒏 𝟏 . Aplicații: 1. Determinați termenul care conține 𝑥 în dezvoltarea (𝑥 + 2) . Rezolvare: Scriem formula termenului general : 𝑇 conține 𝑥 ⟹ 9 − 𝑘 = 7 ⟹ 𝑘 = 2 ⟹ 𝑇 = 𝐶 𝑥 2 .

=𝐶 𝑎

2. Determinați termenul care nu conține x în dezvoltarea 2𝑥 − 1

√

𝑏 =𝐶 𝑥

.

2 . Acest termen

Rezolvare: 𝐶 2

Scriem formula termenului general : 𝑇

(−1) 𝑥

=𝐶 𝑎

⟹ 72 − 𝑘 − = 0 ⟹ 𝑘 = 54 ⟹ 𝑇

𝑏 = 𝐶 (2𝑥)

Rezolvare: 𝑇 ℚ⟹

=𝐶

√2

+ ∈ℤ ⟹

√2

.

. Acest termen este rațional dacă 2

=𝐶 2

=

.

=𝐶 2

3. Să se determine numărul termenilor raționali ai dezvoltării √2 + √2

−𝑥

∈

∈ ℤ ⟹ 6 | (176 + 𝑘) ⟹ 176 + 𝑘 = 180, 186, …

Deoarece 0 ≤ 𝑘 ≤ 88 ⟹ 𝑘 = 4, 10, 16, … , 88. Observăm că valorile lui k sunt de forma 𝑘 = 4 + 6𝑙, 𝑙 ∈ ℕ. Rezultă 𝑙 ∈ {0, 1, … , 14}. Deci sunt 15 termeni raționali.

Exerciții: Manual, p. 275 - 2, 3, 4, 5, 6, 7, 21, 22

Aplicații:

Rezolvați următoarele exerciții:

1. Determinați al șaselea termen al dezvoltării 3𝑥 − 2. Determinați coeficientul lui 𝑎 3. În dezvoltarea 𝑎 √𝑎 + √

din dezvoltarea

, 𝑥 > 0. .

√𝑎 +

suma coeficienților binomiali de rang impar este egală cu 128. Găsiți

termenul care îl conține pe 𝑎 . 4. Determinați suma coeficienților dezvoltării (2𝑥 − 3𝑦) 5. Calculați câți termeni iraționali are dezvoltarea

.

√3 + √5

2

.