Beskrivande geometri 8258509500 [PDF]

Zitiervorschau

Fritjof Sandnes

BESKRIVENDE GEOMETRI

Bokmål

NB Rana Depotblblloteket

Yrkesopplæring ans 1995

© 1995, Yrkesopplæring ans 1. utgave, 1. opplag Godkjent av Nasjonalt læremiddelsenter i august 1995. Godkjenning er knyttet til fastsatt læreplan av juni 1994. Godkjenning gjelder så lenge læreplanen er gyldig.

Lay-out og sats: Scalare Data Omslag: Stein Davidsen. Motivene er av Albrecht Diirer, Oscar Reutersvård, Giovanni Battista, Piranesi og forfatteren Illustrasjoner: Fritjof Sandnes Printed in Norway by PDC Printing Data Center as, 1930 Aurskog 1995 ISBN 82-585-0950-0

Det må ikke kopieres fra denne boka i strid med åndsverkloven og fotografiloven eller i strid med avtaler om kopiering inngått med KOPINOR, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndraging, og kan straffes med bøter eller fengsel.

Forord

Innføring i konstruksjonstegning er beregnet på tegning, form og farge VK1 i clen videregående skole. Foruten perspektivkontruksjon og projeksjonstegning, som nå heter beskrivende geometri, blir også skyggekonstruksjon behandlet - både innenfor projeksjonstegning og perspektivkonstruksjon. Skyggekonstruksjon kan betraktes som tilleggsstoff spesielt beregnet på elever som arbeider fort.

Boka kan også brukes som en form for oppslagsverk for dem som har behov for å løse problemer innenfor emnene som boka tar opp. Perspektivkonstruksjon vil være nyttig som supplement til faget fri­ håndstegning.

Stavanger i 1995 Fritjof Sandnes

2

Innhold

Side 1 5

12

21 23 25 26

35

36 39 42 45 54 58 58 61

70

Forord BESKRIVENDE GEOMETRI PROJEKSJONSTEGNING Matematiske grunnformer. Konstruksjon av mangekanter (Likesidet trekant innskrevet i en sirkel. Kvadrat, innskrevet i en sirkel. Femkant, innskrevet i en sirkel) Konstruksjon av mangekanter når en av kantene er gitt (Trekanten, kvadratet, femkanten, sekskanten, åttekanten og tikanten) Konstruksjon av ellipser Konstruksjon av ovaler Opptrekking av linjer Projeksjonstegning Konstruksjon av forskjellige geometriske romfigurer Prismer Pyramider Kjegler Hjelpeplan og hjelpelinjer Skråplan Deling av linjer i like store deler Målestokk Skyggekonstruksjon (tilvalgsstoff) Utfolding av romfigurer

73

OPPGAVER I BESKRIVENDE GEOMETRI

83 85 89

PERSPEKTJVKONSTRUKSJON Frontperspektiv Variasjon av øyehøyden og distansen Bruk av distansepunktet Delt distanse som konstruksjonsmodell Skråperspektiv Retningspunkt og delingspunkt ved skråperspektiv Perspektiv av en sirkel Skråflater i perspektivet (tilvalgsstoff) Konstruksjon av parallelle lin­ jer med lik avstand mellom lin­ jene Perspektivisk skyggekonstruk­ sjon (tilvalgsstoff) Skyggen av en sirkelflate Når lyset kom merfra ett punkt Repetisjon av viktige regler i perspektivkonstruksjon

93 96

98 104 109 112

115

116

120 121 122

123

AKSONOMETRI

125

OPPGAVER I PERSPEKTIV­ KONSTRUKSJON

3

4

BESKRIVENDE GEOMETRI

Beskrivende geometri — projeksjonstegning Projeksjonstegning er en tegnemetode innenfor konstruksjonstegning, der tredimen­ sjonale objekter blir beskrevet ved hjelp av konstruksjon på en todimensjonal flate for eksempel på et ark papir. For å få et totalt bilde av objektet eller tingen må vi van­ ligvis kunne se minst tre av sidene.

Vi skal gi et eksempel: Figur 1 viser en rektangulær kasse i vanlig perspektivtegning. Vi ser langsiden, som vi målsetter til 30 cm. Vi ser kortsiden, som vi målsetter til 20 cm. Høyden er 10 cm. Vi har altså to synlige, utvendige sider, og vi har ingen vanskelighet med å se bunnen i kassen, som er den tredje siden. Hvis vi vil lage en slik kasse, er perspektivskissen riktig plassert - tilstrekkelig som arbeidstegning. Men vi kan ikke ta linjalen og måle direkte på tegningen, for eksempel for å finne tykkelsen på sidene. Det kunne vi bare ha gjort dersom kassen hadde hatt det vi kaller sann størrelse.

FIGUR I

En linje er sann når den står vinkelrett - 90 grader - på synsretningen. På figur 2 ser vi at linjen AB er vinkelrett i forhold til synsretningen, som er markert med en pil. Vi kan legge linjalen vinkelrett på synsretningen og finne den nøyaktige lengden. På figur 3 ser vi at AB ikke er vinkelrett på synsretningen, og at vi med linjalen ikke har mulighet til å måle den nøyaktige størrelsen på AB.

5

BESKRIVENDE GEOMETRI

For å kunne måle direkte på tegningen må vi tenke oss at vi ser kassen uendelig langt fra oss - for eksempel ovenfra. Hvis vi plasserer oss uendelig høyt over kassen, vil alt som heter perspektiv forsvinne, og kassen vil se ut slik som figur 4 viser.

Vi bruker den samme prosessen hvis vi vil

se de andre sidene. De to sidene blir betraktet fra et punkt som ligger uendelig langt borte.

FIGUR 4

Det ville være en umulig oppgave å tegne pa denne maten. Vi snakker her om prin­ sipper. I virkeligheten foretar vi en bestem­ melse av den målestokken vi vil tegne i. Målestokk omtaler vi i et senere kapittel. Vi går tilbake til eksemplet med kassen og setter av malene 30 cm, 20 cm og 10 cm

på de tre sidene. Figurene 4, 5 og 6 viser dette. Vi merker oss at vi skriver de faktis­ ke malene, men at vi har forminsket teg­ ningen. 30 cm er blitt til 6 cm, 20 cm er blitt til 4 cm, og 10 cm er blitt til 2 cm. Brøkene 6/30, 4/20 og 2/10 tilsvarer alle brøken 1/5. Eller skrevet pa en annen måte: 1:5. Det vil si at vi tegner kassen i målestokk 1 : 5.

FIGUR 6

6

BESKRIVENDE GEOMETRI

Vi setter de tre tegningene sammen på en spesiell måte. Dette kaller vi for en konstruksjonsmodell, og den er vist på figur 7. Den vannrette flaten kaller vi horisontal­ planet = HP. Den ene loddrette flaten kaller vi vertikalplanet = VP, og det andre lodd­ rette planet kaller vi sideplanet = SP. Det kan godt være to sideplan, slik vi ser på figur 8, en forenklet arkitekttegning.

FIGUR 8

7

BESKRIVENDE GEOMETRI

Alle plan har den samme funksjonen, nemlig å vise objektet i henholdsvis grunnriss, oppriss eller sideriss. Det er ofte objektets form som bestemmer forholdet til de to vertikalplanene. Vanligvis plasserer vi den lengste siden - som på kassen i eksemplet opp mot vertikalplanet = VP. Hvis objektet dessuten har en markert front, vil denne siden som regel komme i vertikalplanet. Begrepet projeksjonstegning kommer av det latinske ordet projisere, som enklest kan oversettes med "a overføre". På en tegning overfører vi fra ett plan til et annet - punkt for punkt og linje for linje.

Overføringslinjene er alltid vinkelrette på det planet de skal overføres til. Med utgangspunkt i konstruksjonsmodellen som er vist på figur 7, foregår denne projiseringen slik vi ser på figur 10.

VP

FIGUR 10

Et kort sammendrag :

Figur 9 viser det perspektiviske bildet vi ser fra et punkt som er uendelig langt borte. Vi ser at kassens hovedmål er 30 x 20 cm - tegnet i målestokk, men vist perspektivisk. Vi ser også at veggtykkelsen er markert som en dobbelstrek på HP.

Tilsvarende kan vi se kassens langside ved å projisere fra punkter på horisontalplanet = HP opp til vertikalplanet = VP. Konstruksjonslinjene føres langs horisontalplanet fram til vertikalplanet. Den opprinnelige dobbellinjen som beskriver tykkelsen på sidene i kassen, er blitt delvis erstattet med én brutt og én ubrutt linje på sideplanet = SP. Den brutte linjen viser at linjen er usynlig. Den usynlige linjen kommer bare fram 8

BESKRIVENDE GEOMETRI

på sideplanet. Det har sammenheng med at vi i eksemplet har valgt å legge kortsidene utenpå langsidene. Det framgår tydelig av perspektivskissen (se figur 1). Høyden på 10 cm setter vi av både på vertikalplanet VP og sideplanet SP. Vi ser at i dette eksemplet er det hjørnene vi benytter som utgangspunkt for projise­ ring. I tillegg har vi markert sidens tykkelse. Dette er gjort for å forenkle selve framstil­ lingen. Forenklingen er vist på figur 9, der vi kaller disse hjørnene - de utvendige hjørnene - for ABCD og EFGH. Da finner vi at punktene A og D faller sammen på vertikalplanet VP. Det samme gjelder punktene B og C, E og H, F og G, og tilsvarende på sideplanet SP.

Nå ville det være umulig - i alle fall upraktisk - å operere med tre flater, slik modellen ser ut. Hvis vi bretter ut de to planene VP og SP, vil vi få alle tre planene på ett plan, slik figur 11 viser.

BESKRIVENDE GEOMETRI

Na nærmer vi oss en mer praktisk tegnemetode. Når vi endelig dreier sideplanet opp slik som pilene viser, er vi kommet fram til en konstruksjonsmodell som i all sin enkel­ het kan løse de fleste tegneoperasjoner som gar på projeksjonstegning.

Pa tegnearket som blir festet til tegnebrettet, ser det hele ut som på figur 12.

FIGUR 12

10

BESKRIVENDE GEOMETRI

Den vannrette, markerte linjen kaller vi grunnlinjen = GR.L. Den loddrette linjen som krysser GR.L, viser forholdet til sideplanet.

Vi har na en logisk sammenheng mellom de tre bildene: horisontalprojeksjonen på HP, vertikalprojeksjonen på VP og sideprojeksjonen på SP. Figur 12 viser også de viktigste redskapene vi bruker i beskrivende geometri: tegne­ brett, hovedlinjal, passer og vinkelhake. Vi benytter oss av to typer vinkelhaker nemlig den vinkelhaken som viser vinklene 30, 60 og 90 grader, og den vinkelhaken som viser vinklene 45, 45 og 90 grader (se figur 13). Ved å sette sammen to vinkel­ haker med hovedlinjalen kan vi konstruere flere vinkler:

For å kunne gjennomføre en konstruksjonstegning må vi ofte føre inn et hjelpeplan. Dette blir nærmere forklart i et senere avsnitt. På figur 12 kan vi lese ikke bare hvor stor kassen er, men også hvor den star på planet. Vi kan måle oss til at den står 10 cm fra vertikalplanet VP og 10 cm fra sideplanet SP. Dette har praktisk betydning når vi tegner flere ting som star i forhold til hverandre for eksempel nar vi skal tegne innredningen av et rom med stoler, skap og bord i for­ hold til vegger og i forhold til hverandre.

BESKRIVENDE GEOMETRI

Matematiske grunnformer Konstruksjon av mangekanter Vi skal ta for oss det vi kaller regulære mangekanter.

En regulær (reg .) mangekant er en mangekant som kan innskrives i en sirkel, eller som kan omskrive en sirkel, og der alle kantene er like store (se figur 14).

Trekant innskrevet i en sirkel

Trekant omskrevet en sirkel

Vinkler: BAC=60 grader; ACB =60 grader; CBA = 60 grader

LIKESIDET TREKANT INN­ SKREVET I EN SIRKEL Alle sidene i trekanten er like store som navnet sier. Alle vinklene mellom sidene er 60 grader. Før vi setter i gang selve konstruksjonen, må vi vite hvor­ dan trekanten skal plasseres. Figur 15 viser litt av denne tankegangen.

Fiuuk io

12

Hvis vi starter med å tegne de to diametrene som pa tegnearket er henholds­ vis vannrett og loddrett, har vi et godt utgangspunkt for følgende konstruk­ sjon: Vi benytter passeren til konstruk-

BESKRIVENDE GEOMETRI

sjonen. Vi går ut fra toppunktet C (Cl, C2 og C3) og avsetter sirkelens radius seks ganger rundt sirkellinjen. På den måten har vi også faktisk konstruert en sekskant. Annethvert av disse punktene blir hjørner i en likesidet trekant (se figur 16).

Da vi gikk ut fra punktet C på sirkellinjen, fikk vi en trekant der A og B danner den naturlige grunnlinjen i trekanten. Det punktet på sirkellinjen vi velger som utgangs­ punkt, bestemmer hvilken vinkel den motstående trekantsiden (siden AB) får i forhold til en vannrett linje. Dette blir ofte et poeng i oppgaveløsninger, og det har absolutt betydning når vi bruker projeksjonstegning til arbeidstegninger i det praktiske arbeids­ livet. Figur 17 viser at trekantsiden AB (Al-Bl, A2-B2 og A3 -B3) i forhold til en vann­ rett linje er henholdsvis parallell med, vinkelrett på og parallell med den vannrette linjen. Vi bruker disse symbolene: parallell med = ||

vinkelrett på = ±

hlUUK 1/

Figur 14 viser en likesidet trekant både innskrevet i en sirkel og med en sirkel innskrevet i trekanten.

13

BESKRIVENDE GEOMETRI

KVADRAT INNSKREVET I EN SIRKEL Vi tegner en diameter som danner 45 grader med en vannrett linje. De to skjæringspunktene med sirkellinjen blir to hjørner i kvadratet - B og D. En vannrett linje gjennom B treffer sirkellinjen i punktet A, og en tilsvar­ ende vannrett linje gjennom D treffer sirkellinjen i punktet C. Kvadratet er konstruert med fire like store sider inn­ skrevet i en sirkel med en gitt radius (se figur 18).

FEMKANT INNSKREVET I EN SIRKEL Før vi starter med selve konstruksjonen av en femkant, ma vi vite plasseringen av femkanten i forhold til en vannrett eller loddrett linje. Sirkelen er gitt på forhånd, og vi starter med to diametrer - vinkelrett på hverandre. Starten på selve konstruksjonen bestemmer som vanlig hvordan femkanten kommer til å se ut i forhold til vannrett og loddrett. Figur 19 viser noen slike stillinger.

14

BESKRIVENDE GEOMETRI

Punkt 1 viser alltid femkantens toppunkt. Konstruksjonen foretas på sirkeldelens punkt 1, 2 og 3- Vi starter med de to diametrene - henholdsvis loddrett og vannrett. Diametrene i en sirkel er de linjene som går gjennom sirkelens sentrum og begrenses av sirkellinjen. Vi halverer radius til høyre for sentrum ved a plassere passerspissen i punktet 2 og radius i passeråpningen, og vi får punktet A. Det øverste punktet på sirkel­ linjen - skjæringspunktet med den loddrette diameteren - kaller vi B. Punktet B er samtidig punkt 1 (se figur 19). Sett passerspissen i punktet A og passerens tegnespiss i punktet B. Drei tegnespissen ned mot venstre til den samme diameteren som passer­ spissen er plassert på. Dette punktet kaller vi C. BC er siden i femkanten. Punktet C føres ut på sirkellinjen ved hjelp av sirkelslaget med punktet B som sentrum (se figur 20).

De fleste mangekanter kan konstrueres ut fra de enkle konstruksjonene vi nettopp har vist. Når det gjelder de andre mangekantene, slik som sjukanten, nikanten, ellevekanten og sa videre, finnes det en tilnærmet riktig konstruksjonsmetode som vi skal vise på 15

BESKRIVENDE GEOMETRI

figur 21. Den kan for øvrig brukes ved konstruksjon av alle mangekanter innskrevet i en sirkel. Vi konstruerer en sirkel med en gitt radius og en loddrett linje - diameter gjennom sentrum. Den vannrette linjen gjennom sentrum forlenges godt forbi skjæ­ ringspunktet med sirkelen pa begge sider. Vi kaller den loddrette diameteren for AB med punktet A nederst. Vi slår en sirkel med A som sentrum og sirkelens diameter som radius. De to skjæringspunktene med den vannrette linjen kaller vi X og Y. Vi deler opp linjen AB i like mange deler som vi vil ha kanter i mangekanten - for eksempel sju, som pa figur 21.

Når vi skal dele inn en linje i like store deler, gjør vi det slik vi har vist på figur 22: Vi trekker en linje som vi beskriver som AB. AB skal deles i sju like store deler. Ved hjelp av en av vinkelhakene setter vi av en linje som går ut fra punktet A. Ved hjelp av malepinnen - linjalen med centimetermal - avsetter vi sju like store deler i retning fra A til C. Disse delingspunktene benevner vi 1, 2, 3, 4, 5, 6 og 7. Vi forbinder punktet 7 med punktet B og konstruerer linjer mellom alle punktene, slik at de blir parallelle med linjen 7B. Alle linjenes skjæringspunkter pa linjen AB viser linjen AB oppdelt i sju like store deler.

16

BESKRIVENDE GEOMETRI

1

Vi går tilbake til figur 21 og trekker linjer fra henholdsvis X eller Y gjennom de seks delingspunktene på AB (linjen er delt i sju). Vi lar linjene skjære sirkellinjen. På denne maten oppnår vi en mangekant som er dobbel i forhold til utgangspunktet. I vart eksempel far vi en 14-kant, men bruker vi bare annethvert punkt på sirkellinjen. får vi det vi var ute etter, nemlig en regulær sjukant innskrevet i en sirkel. Vi har med andre ord fatt punktene C, D og E. Vi trekker parallelle linjer - også parallelle med linjen XY - gjennom C, D og E til de treffer sirkellinjen og gir oss punktene F, G og H. Vi har konstruert sjukanten BCDEFGHB. Alle mangekanter kan konstrueres på denne måten.

KONSTRUKSJON AV MANGEKANTER NÅR EN AV KANTENE ER GITT Vi har konstruert mangekanter innskrevet i en sirkel. I dette avsnittet skal vi vise hvor­ dan vi konstruerer de samme mangekantene nar en av sidene er gitt. En artig måte å gjøre dette på er å konstruere flere mangekanter på den ene siden, slik at de får en felles side i mangekanten. Dette har vi vist på figur 29.

Den siden som er oppgitt i mangekantene, kaller vi AB. Selv om det er artig å konstruere flere mangekanter oppa hverandre, skal vi her kon­ struere dem hver for seg.

17

BESKRIVENDE GEOMETRI

Trekanten - figur 23 Med AB som radius slår vi to sirkelslag - først med A og deretter med B som sentrum. Vi far skjæringspunktet mellom de to sirkelslagene som det tredje hjørnet i trekanten.

Kvadratet - figur 24 Vi konstruerer normalene på henholdsvis A og B. Deretter slår vi et sirkelslag med for eksempel B som sentrum og kanten AB som

radius. Skjæringspunktet mellom sirkelslaget og normalen på B gir oss det tredje hjørnet i kvadratet. Det siste hjørnet i kvadratet finner vi ved å foreta den samme konstruksjonen med A som sentrum.

Femkanten - figur 25 Vi konstruerer en normal på midten av siden AB og avsetter på normalen tilsvarende leng­ den AB fra midtpunktet på AB og oppover. Vi kaller dette punktet for X. Vi konstruerer en linje fra punktet A gjennom punktet X og videre oppover til høyre, slik at lengden fra X tilsvarer halve lengden AB. Dette punktet kaller vi Y. Vi slår et sirkelslag til venstre med radius A-Y med passerspissen i A og blyantspissen i Y og får punktet Z. Z blir det tredje hjørnet i femkanten. Med siden AB som radius slår vi sirkelslag med henholdsvis A og B som sen­ trum, og vi slår ett sirkelslag med Z som sen­ trum. Dermed får vi to nye skjæringspunkter - E og C - som blir de to siste hjørnene i fem­ kanten.

18

BESKRIVENDE GEOMETRI

Sekskanten - figur 26 Toppunktet i trekanten blir sen­ trum i en sirkel som er omskrevet den sekskanten vi skal konstruere. Da er det bare å sette av lengden AB langs hele sirkellinjen, og der­ med er sekskanten konstruert.

FIGUR 27

Åttekanten - figur 27 Det er mange måter å konstruere en åttekant på. En enkel måte er denne: Kanten AB er gitt. Vi slår de to sirkelslagene med kanten AB som radius og med henholdsvis A og B som sentrum. Vi konstruerer vinkler på 45 grader, både ut fra A (til venstre) og ut fra B (til høyre). Da har vi fått de to hjørnene H og C. Normalen på AB gjennom hjørne­ ne A og B gir oss kvadratet midt i åttekantens omskrevne sirkel med sentrum S. Vi for­ lenger noen av de linjene vi allerede har konstruert, og slår sirkelen med S som sen­ trum og med SA = SB som radius. Skjæringspunktene mellom disse linjene og sirkel­ linjen gir resten av hjørnene i åttekanten.

19

BESKRIVENDE GEOMETRI

Tikanten - figur 28 Med punktet Z som sentrum og lengden AY

som radius far vi sirkel­ linjen som omskriver tikanten (se figur 25). Tikanten får vi ved a av­ sette lengden AB langs denne sirkellinjen.

20

BESKRIVENDE GEOMETRI

Konstruksjon av ellipser En ellipse er en form som kan uttrykkes matematisk, pa samme måte som en sirkel kan det. Enkelt sagt er en sirkel en ellipse med bare ett brennpunkt - sirkelens sen­ trum. Ellipsen er karakterisert ved to brennpunkter, organisert i forhold til de to aksene - den store aksen og den lille aksen. Figur 30 beskriver en ellipse i detalj. Den store aksen = 2a, den lille aksen = 2b, F1A = F2A = a, m+n =ml +nl = m2+n2 , osv = 2a.

21

BESKRIVENDE GEOMETRI

Vi skal vise to måter å konstruere en ellipse pa. Den første metoden kan knapt kalles en kon­ struksjon. Den holder seg imidlertid strengt til prinsippet for en ellipse (se figur 31). Redskap­ ene er en tynn trad og to knappenåler og selv­ følgelig en blyant. Figur­ en taler for seg selv. Den andre metoden er bygd på det enkle prin­ sippet om at en ellipse er en sirkel sett under en bestemt vinkel (se figur 32). Vi tegner en sirkel med diameter lik den store aksen i den ellipsen vi vil konstruere.

22

BESKRIVENDE GEOMETRI

Vi konstruerer to diagonaler i en sirkel med diameter DB. Det er 90 grader mellom diagonalene - og begge diagonalene danner 45 grader med en vannrett linje. Vi ten­ ker oss nå at vi dreier sirkelen omkring den vannrette diagonalen DB i sirkelen, slik at vi, fra den plassen øyet hadde da sirkelen så ut som en sirkel, får et "perspektiv" av en sirkel. Sirkelens vannrette diameter DB er den samme, mens sirkelens opprinnelige loddrette diameter AG er blitt forminsket til A1C1. Punktene E, F, G og H forflytter seg loddrett til de treffer diagonalene i rektanglet som er omskrevet ellipsen vi skal fram til i punktene X, Y, Z og Æ. Nå gjenstår det å tegne linjen gjennom punktene D, X, Al, Y, B, Z, Cl og Æ på frihånd.

Konstruksjon av ovaler En oval kan ikke uttrykkes matematisk, det vil si gjennom en enkel ligning. Selve for­ men er tilpasset de konstruksjonsmetodene vi benytter. Vi skal vise to metoder. Vi bestemmer oss for den store aksen AB (se figur 33). Denne linjen blir delt opp i tre like store deler, og vi får punktene sl og s2. Vi slår to sirkler med sl og s2 som sen­ trum. Radius er sl-A = s2-B. Vi får de to skjæringspunktene s3 og s4. Vi trekker linjer fra s4 gjennom sl og s2 til de treffer sirkellinjen i de to sirklene vi nettopp har tegnet.

23

BESKRIVENDE GEOMETRI

Det gir oss punktene X og Y. Når vi trekker linjer fra s3 gjennom punktene sl og s2, får vi punktene Z og Æ, som tilsvarer punktene X og Y på den andre siden av ovalen. Da gjenstår det a trekke opp selve ovalen. Vi setter passerspissen i punktet sl, og med radius sl-A trekker vi buen Z-A-X. Vi gjør det tilsvarende med utgangspunkt i punktet s2. Da får vi buen Æ-B-Y. Endelig bruker vi passeren og konstruerer buene X-Y og ZÆ, med sentrum i henholdsvis s4 og s3.

Den andre konstruksjonen (se figur 34) har sirkelen som utgangspunkt. Her er formen helt avhengig av den vinkelen - v - vi bestemmer. Vi starter med å konstruere en sirkel innskrevet i et kvadrat. Grunnlinjen i kvadratet kaller vi AB. Denne linjen står fast, og vi omformer kvadratet til et trapes ved å dreie siden AD mot punktet E, bestemt av vinkel­ en v. Vi trekker diagonalen AF og normalen ned mot BF fra punktet E, og vi får punktet I. Vi trekker normalen fra B og ned mot AE til punktet G. Da har vi fatt skjærings­ punktene sl og s2. Opptrekkingen skjer med passeren. Først setter vi passerspissen i henholdsvis B og E og konstruerer buene som tangerer sidene i trapeset - punktene G, H, I og J. Helt til slutt setter vi passerspissen i punktene sl og s2 og konstruerer buene som tangerer sidene i trapeset, og som fortsetter buene med sl og s2 som sentrum.

24

BESKRIVENDE GEOMETRI

Opp trekking av linjer Det har etter hvert blitt en felles standard for opptrekking av linjer. Hvis vi bare bruker svarte streker, skal alle hjelpelinjer og konstruksjonslinjer trekkes med tynn strek 0,25 eller 0,18 mm. Dette gjelder også hjelpeplan og hjelpefigurer. Den tykke streken - 0,50 mm - vil alltid markere en konkret, reell linje. Den synlige kanten er en sam­ menhengende strek. Den usynlige, men samtidig reelle kanten vises med en stiplet strek (se figur 35).

Hvis vi benytter rød og blå strek, er standarden denne:

-

Alle konstruksjonslinjer trekkes opp med rød strek - 0,25 eller 0,18 mm

-

Alle hjelpefigurer og hjelpeplan trekkes opp med blå strek - 0,25 eller 0,18 mm

-

Alle reelle - synlige og usynlige - kanter trekkes med svart strek - 0,50 mm

-

Alle synlige kanter tegnes med tett strek

-

Alle usynlige kanter tegnes med stiplet strek.

0,5 M M

OJ^/o.25 MM

0,5 MM FIGUR 35

En konstruksjonslinje er en linje som forbinder et punkt i ett plan med et tilsvarende punkt i et annet eller flere andre plan. En konstruksjonslinje er alltid vinkelrett på den grunnlinjen GR.L. den skal passere fra det ene til det andre planet (se figur 36). Punkt­ ene A og B på HP finner vi igjen på VP projisert vinkelrett på GR.L. På SP skjer den samme overføringen. Sirkelslagene sørger for at punktene A og B har samme avstand fra VP også i SP. 25

BESKRIVENDE GEOMETRI

FIGUR 36

Proj eksj onstegning Vi har allerede beskrevet prinsippene for projeksjonstegning. Vi har tatt for oss de for­ skjellige mangekantene, vi har beskrevet de forskjellige hovedplanene som inngår i konstruksjonen, og vi har dertil definert hvordan konstruksjonslinjene virker i sam­ menhengen. Nå skal vi se hvordan prinsippene for konstruksjonstegning virker i praksis. En enkel og samtidig vakker figur er terningen. Først skal vi løse denne oppgaven: Konstruer projeksjonene på HP og VP av en terning med sider på 40 mm, som står på HP med to sideflater parallell - | - med VP og 10 mm fra VP.

En liten skisse av terningen, som på figur 37, er den første, praktiske tilnærmingen når vi skal løse oppgaven. En slik skisse er praktisk selv om oppgaven kan synes vanske­ lig og innviklet, og faktisk spesielt da. Dessuten skal vi markere terningens hjørner med bokstaver. Først nå kan vi på skissen markere at vertikalplanet er 10 mm fra ter­ ningen.

26

BESKRIVENDE GEOMETRI

Deretter går vi over til tegnebrettet (se figur 38). Først tegner vi grunnlinjen GR.L. Da har vi horisontalplanet HP under GR.L. og vertikalplanet VP over GR.L.

HP

FIGUR 38

27

BESKRIVENDE GEOMETRI

Legg merke til at nar vi betrak­ ter HP, er GR.L. et bilde pa VP (figur 38 b), og nar vi betrak­ ter VP, er GR.L. et bilde pa HP (figur 38 a). Når du bretter et A4-ark, kan du lett se dette forholdet mellom horisontalprojeksjonen HP og grunnlinjen GR.L. og mellom GR.L. og vertikalprojeksjonen VP. Dette er vist på figur 39.

396

Pa tegnebrettet tegner vi kvadratet, som er det bildet vi får av terningen når vi ser den ovenfra - altså på HP. Vi plasserer kvadratet 10 mm fra GR.L. Da har vi tegnet - eller konstruert projeksjonen av - terningen på HP (se figur 40 a).

FIGUR 40 a

28

FIGUR 40 b

BESKRIVENDE GEOMETRI

Nå skal vi projisere (overføre) dette bildet - horisontalprojeksjonen - til vertikalprojeksjonen. Her bruker vi konstruksjonslinjene fra alle punktene på horisontalprojek­ sjonen, og de skal - som vi har sagt tidligere - være vinkelrette på GR.L. Konstruk­ sjonslinjene føres videre opp på horisontalplanet så høyt som terningen er (se figur 40 b). Vi gjentar merkingen av hjørnene, og vi finner da, slik det også framgår av den første skissen av terningen, at punktene A, B, C og D ligger på horisontalplanet, altså på GR.L. Punktene E, F, G og H markerer terningens toppflate og ligger 4 cm over GR.L. Når vi nå skal trekke opp de endelige linjene som viser terningen i de to projeksjonene, skal vi også huske på de standardsymbolene vi allerede har nevnt. Vi markerer alle hjørnene fra A til H. Vi legger merke til at to og to punkter faller sammen både på HP og VP, for eksempel A/E.

Vi tenker oss at vi forandrer stillingen på terningen, og da er det noen nye begreper vi må benytte. Oppgaven vi skal løse, er denne: Konstruer projeksjonene på HP og VP av en terning som står på HP, slik at to av side­ flatene danner 30 grader med VP. Vinkelåpningen er til høyre. Nærmeste avstand til VP er W mm. Terningens sider er 40 mm.

Vi skal forklare noen av begrepene i oppgaven:

"Vinkelåpning til høyre" og "vinkelåpning til venstre": På figurene 41 og 42 ser vi at vinklene åpner seg mot henholdsvis høyre og venstre.

FIGUR 42

29

BESKRIVENDE GEOMETRI

Når en sideflate danner for eksem­ pel 30 grader med VP, er det natur­ lig a tenke seg forlengelsen av flaten til den treffer VP, eller forlengelsen av projeksjonen på HP til den treffer

GR.L.

"Nærmeste avstand til VP er 10 mm." I dette eksemplet gjelder det hele terningen, men i andre eksempler

vil vi oppdage at det er et punkt på grunnflaten som har en bestemt avstand til grunnlinjen GR.L. Vi kan nevne toppunktet T i horisontalprojeksjonen av en pyramide.

I andre tilfeller finner vi at det gjelder den totale horisontalprojeksjonen, for eksempel - som en kurio­ sitet - en pyramide som står pa HP med toppen ned og grunnflaten opp.

30

BESKRIVENDE GEOMETRI

Tilbake til oppgaven (se figur 47). Vi markerer en enkel strek, parallell med GR.L. og 10 mm fra denne. På denne streken velger vi et tilfeldig punkt som vi kaller A. Gjen­ nom A trekker vi en linje som danner 30 grader (vinkelåpning til høyre) med linjen som er parallell med GR.L. Fra punktet A maler vi 40 mm og finner punktet D.

Det er klargjørende å lage en perspektivskisse av den situasjonen som blir beskrevet, slik vi har gjort det pa figur 46.

31

BESKRIVENDE GEOMETRI

Fra punktene A og D trekker vi linjer mot venstre som danner 60 grader med GR.L. Deretter avsetter vi 4 em langs hver av linjene, og vi far punktene B og C. Da har vi klar horisontalprojeksjonen av terningen, nar den star pa HP med to sideflater pa skrå - 30 grader - i forhold til VP. Vi har markert grunnflaten med punktene A, B, C og D. Men den flaten som danner toppflaten, dekker noyaktig grunnflaten, og hjørnene E, F, G og H faller sammen med A, B, C og D (se figur 48). Sa gjenstår det a projisere overføre - alle punkter og linjer fra HP til VP. Vi starter med punktene A og E. Kon­ struksjons! injen fra disse punktene går vinkelrett på GR.L. Punktet A ligger på GR.L, mens punktet E ligger 40 mm over GR.L. Hvis vi går gjennom den samme prosessen for alle de andre punktene, har vi faktisk også konstruert vertikalprojeksjonen - etter at vi har bundet sammen punktene med en vannrett strek som markerer toppflaten E, F, G og H (se figur 47). Når vi trekker opp projeksjonene, skal vi legge merke til at kanten AE er usynlig og følgelig skal trekkes med stiplet strek. Alle andre kanter er synlige eller faller sammen med kanter som er synlige, og skal tegnes med heltrukket strek (se figur 48, trinn 1). Men som ledd i en mer omfattende oppgave er alle linjer å oppfatte utelukkende som konstruksjonslinjer. Til slutt skal vi vippe terningen over kanten CD, og oppgaven lyder:

Konstruer en terning som står på HP, slik at en av grunnflatekantene AB danner 60 grader med GR.L. (vinkelåpning til venstre), og A ligger nærmest GR.L. og 1O mm fra denne. De andre hjørnene i grunnflaten benevnes med G og D. Terningen vippes rundt

grunnflatekanten CD mot høyre, slik at grunnflaten danner en vinkel med HP på 45 grader. Vis håde horisontalprojeksjonen og vertikalprojeksjonen.

Legg merke til at når en terningflate har en vinkel med vertikalplanet på 60 grader, har den tilstøtende flaten en vinkel pa 30 grader med HP (se figur 46).

Vi kjenner igjen terningen og dens plassering fra forrige oppgave (se figur 48, trinn 1). Men oppgaven lar seg ikke løse på samme måte. Vinkelen med HP på 45 grader vil i begge projeksjonene være det vi sier er usann. EN VINKEL VISER DET SANNE ANTALLET GRADER NÅR DEN BETRAKTES SLIK AT SYNSRETNINGEN ER VINKELRETT PÅ VINKELEN. JAMFØR DEFINISJONEN AV SANN STØRRELSE PÅ EN LINJE (DVS. AV LENGDEN PÅ EN LINJE).

Tilbake til den siste oppgaven. Vi må sette inn et hjelpeplan parallelt med kanten BC (se figur 48, trinn 2). Vi markerer dette planet med en linje i en tilfeldig avstand fra BC. Det som skjer, er egentlig at vi oppretter et såkalt hjelpe-VP. Vi må projisere (over­ føre) punktene som vi allerede har på HP, opp pa planet "hjelpe-VP". Vi har allerede lært at selve overføringen skal foregå vinkelrett på grunnlinjen til hjelpeplanet, slik at punktene fra A til H får sin rette plass pa figuren. Alle slike konstruk­ sjoner må foregå trinnvis. 32

BESKRIVENDE GEOMETRI

Neste trinn (se figur 48, trinn 3) blir å vippe terningen om kanten CD slik at grunnflaten danner 45 grader med HP. Grunnflaten er flaten med hjørnene A, B, C og D. Vi dreier terningen om CD og markerer i første omgang linjen uten begrensning. A/B flytter seg langs buen med A/B - C/D som radius - 40 mm. Hele terningbildet er blitt forandret i og med vippingen. Neste trinn - trinn 4 - går ut på å føre punktene fra hjelpeplanet og tilbake og ned pa HP. Vi kan like godt si "føre opp" ettersom hjelpeplanet ligger nederst på arket.

Nå må vi holde tunga rett i munnen. Vi må være svært nøyaktige når vi markerer punktene, og når vi har fått alle punktene på plass, skal de projiseres (overføres) til VP. Høydene som hvert enkelt punkt (hjørne) får på VP, tar vi fra hjelpeplanet (trinn 5). Disse overfører vi ved hjelp av en egen konstruksjon. På den maten finner vi alle punktene på VP, og konstruksjonen er klar. Selve opptrekkingen kan saktens være komplisert nok. Vi må spørre oss selv: Hvilke av kantene er synlige, og hvilke er usynlige?

33

BESKRIVENDE GEOMETRI VP

VP

34

BESKRIVENDE GEOMETRI

Hjelpeplan er det så mye å si om at vi skal komme tilbake til det i et eget avsnitt. Men først skal vi ta for oss konstruksjonen av andre mulige figurer, som også kommer til a gå igjen i oppgaver i konstruksjonstegning.

Konstruksjon av forskjellige geometriske romfigurer Definisjoner:

EN REGULÆR MANGEKANT ER EN MANGEKANT SOM KAN INNSKRIVES I EN SIRKEL. OG DER ALLE KANTENE ER LIKE STORE.

EN REGULÆR MANGEKANTET ROMFIGUR ER EN FIGUR MED EN REGULÆR. MANGEKANTET GRUNNFLATE DER AKSEN OG HØYDEN FALLER SAMMEN.

35

BESKRIVENDE GEOMETRI

Prismer Prismet blir beskrevet ut fra den mangekantede grunnflaten: trekantet, firkantet, femkantet og sa videre. Prismets bøyde er avstanden - normalavstanden - mellom ende­

flatene (mangekantene). Flatene som forbinder de to endeflatene, kalles sideflater. Disse sideflatene er alltid rektangler. I ett tilfelle er sideflatene kvadratiske - da har vi en terning. Kantene som begrenser sideflatene, kalles sidekanter, på samme mate som kantene som begrenser grunnflaten, kalles grunnflatekanter (se figur 49).

FIGUR 50

36

BESKRIVENDE GEOMETRI

Nar vi sier at en romfigur ikke er regulær, mener vi for elet første at grunnflaten og toppflaten ikke er regulære mangekanter. For det andre mener vi at høyden og aksen ikke faller sammen (se figur 50).

I vår sammenheng og i samtlige oppgaver holder vi oss til regulære mangekanter og figurer. Et unntak er prismene, der bade grunnflaten og toppflaten ofte kan være et rektangel (se figur 51).

Vi har tidligere løst noen oppgaver som har med terningen å gjøre. 1 dette avsnittet skal vi ta for oss prismet. Da er det viktig å ha den terminologien som hører med, klart for seg. Dette er oppgaven vi skal løse: Konstruer de to projeksjonene på HP og VP av et prisme som ligger på HP med to av sideflatene 45 grader i forhold til VP. Vinkelåpningen er til høyre. Grunnflaten har målene 40 x 20 mm, og prismets høyde er 80 mm. Nærmeste avstand til VP er 20 mm.

Legg merke til at vi ikke sier at prismet står pa grunnflaten. Dette er først og fremst et praktisk spørsmål. Vi forutsetter at nar vi sier "star pa", så mener vi star med grunn­ flaten på horisontalprojeksjonen HP (se figur 51 b). Dette gjelder for øvrig samtlige figurer innenfor de rammene vi setter for oppgavene. Nar vi skriver i oppgavene at en figur ligger på horisontalplanet HP (se figur 51 a), mener vi at den ligger med en av sideflatene sine på HP. Bruk eksemplet med terningen når du løser denne oppgaven. Vi viser løsningen perspektivisk pa figur 52. Ifølge oppgaveteksten finnes det to løs­ ninger på oppgaven. "To av sideflatene" gir oss også den løsningen at prismet kan sta

slik som figur 52 b viser. 37

BESKRIVENDE GEOMETRI

Konstruer et prisme som ligger på en an de minste sideflatene, slik at grunnflaten dan­ ner 60 grader med VP. Vinkelåpningen er til høyre. Prismet har samme mål som i opp­ gaven på forrige side, og nærmeste avstand til VP er 10 mm.

38

BESKRIVENDE GEOMETRI

De to sideflatene er henholdsvis 40 x 80 mm og 20 x 80 mm. Da sier det seg selv at det er rektanglet 20 x 80 mm som ligger på HP (se figur 53). Legg ogsa merke til hvilken kant som blir usynlig, og som skal markeres med stiplet strek. Når det gjelder videre­ føring av oppgaven med vipping og skrastilling av prismet, viser vi til oppgaven som omtaler terningen.

Pyramider En regulær pyramide hestar av en grunnflate som er en regulær mangekant. Siden vi bare arbeider med regulære pyramider, faller høyden sammen med pyramidens akse (jf. prismet under). For sammenligningens skyld viser vi på figurene 54 a og 54 b både en regulær og en irregulær pyramide. Figur 55 viser en regulær pyramide med beskriv­ ende tekst.

39

BESKRIVENDE GEOMETRI

Konstruer en sekskantet pyramide. Grnnnflatekantene er 30 mm og pyramidens høyde 80 mm i projeksjonene på HP og VP når den ligger på en av sideflatene og aksen er parallell med VP. Toppunktet er til høyre. Nærmeste avstand til VP er 10 mm. Vi skal vise løsningen trinn for trinn pa figur 56, og cia rna vi tenke oss situasjonen like før vi legger pyramiden necl pa en sideflate med toppunktet til høyre. Siden aksen skal være parallell med vertikalplanet VP, må vi plassere to av grnnnflatekantene vinkelrett på grunnlinjen. Da kan vi vippe pyramiden om kanten BC, og aksen blir || VP.

I en sekskanlet pyramide er grnnnflatekantene lik radius i den omskrevne sirkelen. Vi konstruerer en sirkel med radius 30 mm = grunnflatekantene og setter passerspis­ sen øverst, i punktet A, 10 mm fra grunnlinjen. Med passeren ser vi at vi na kan finne de andre hjørnene i grunnflaten - B, C, D, E og F. Sentrum i sirkelen er projeksjonen av

toppunktet T. Samtidig ser vi at to av grnnnflatekantene, BC og EF, er vinkelrette pa grunnlinjen GR.L. Så gjenstår det å projisere (overføre) alle punktene pa horisontalplanet HP opp pa vertikalplanet VP. Når vi kommer til trinn 2 i oppgaven, må vi vippe pyra­ miden omkring grunnflatekanten BC helt til toppunktet ligger pa horisontalplanet. 1 denne prosessen skal vi legge merke til hvordan de andre punktene beveger seg. Pa horisontalplanet er dette mar­ kert som lineære piler. Pa ver­ tikalplanet er bevegelsene sir­ kulære. Vertikalprojeksjonen er den som først blir markert.

40

BESKRIVENDE GEOMETRI

Deretter blir alle punktene pa VP overført til HP. Konstruksjonslinjene (overføringslin­ jene) fra VP til HP krysser bevegelseslinjene som vi fikk pa HP. Punktene A, B, C, D, E, F og T pa HP finner vi som skjæringspunkter mellom disse linjene.

En regulær mangekantet pyramide består av: grunnflate = Gr.fl.

grunnflatekanter = Gr.fl. kant sidekanter = Sk.

sideflater = Sfl. pyramidens høyde = H

sideflatens høyde = h toppunktet = T

41

BESKRIVENDE GEOMETRI

Vi skal kommentere sideflatens høyde. De øvrige benevnelsene skulle være greie a forstå. Sideflatene vil være likebente trekanter: trekanten ABT = trekanten BCT, tre­ kanten CDT og endelig trekanten DAT, der AT = BT = GT = DT (se figur 55). Normalen fra toppunktet T ned pa grunnflatekanten AB er trekantens og sideflatens hovde. Det

er viktig a merke seg forskjellen pa pyramidens høyde og sideflatenes høyde.

Kjegler Når "pyramiden" har en sirkelflate som grunnflate, kaller vi den en kjegle. Det er de samme reglene og benevnelsene som gjelder. Kjeglens høyde er normalavstanden mellom toppunktet og grunnflaten, markert på figur 57 a med stor H. Sideflatens høyde er avstanden fra toppunktet - vi kan ogsa her si normalavstanden fra toppunktet - og ned til sirkellinjen som begrenser grunnflaten. Vi kan godt si det slik at sideflatens høyde, = liten h, er lik kjeglens sidekant, = liten s. I forbindelse med utfoldingsoppgaver av en regulær kjegle er det viktig a merke seg dette (se figurene 57 a og b).

Konstruer en kjegle i to projeksjoner, der radius i grunnflatens sirkel er 30 mm. og kjeglens høyde er 60 mm. Kjeglen ligger på HP slik at sideflatens berøring med HP er parallell med GR.L. og 40 mm fra denne.

42

BESKRIVENDE GEOMETRI

Her får vi et nytt problem som vi må løse. Først av alt må vi - som i forrige oppgave tenke oss trinnet før oppgaven egentlig blir løst. Vi må tenke oss at kjeglen står pa HP med sentrum i grunnflatens sirkel - som faller sammen med projeksjonen av toppunk­ tet pa HP - 40 mm fra GR.L. Deretter vippes kjeglen mot høyre eller venstre til top­ punktet hviler på HP (se figur 58). Oppgaven sier ingenting om at toppunktet skal være til høyre eller venstre. Da står vi fritt i valget. Det punktet A som kjeglen vippes omkring, ligger 40 mm fra VP. Kjeglen kommer da også til a hvile på HP med linjen AT på sideflaten. Vi oppdager at kjeglens grunnflate, som egentlig er en sirkelflate med radius 30 mm, blir omformet som projeksjon pa HP. Det kommer av at vi ikke ser sel­ ve flaten vinkelrett på den.

På figur 59 skal vi vise hvordan vi konstruerer en slik sirkel i forkortning.

Når vi har konstruert sirkelen og plassert den riktig i forhold til GR.L., tegner vi to sett med diagonaler. De er parvis vinkelrette på hverandre. Det ene paret er vinkelrett pa og parallelt med VP. Det andre diagonalparet er konstruert slik at diagonalene danner 45 grader med VP. Vi får skjæringspunktene mellom diagonalene og sirkellinjen, og disse benevner vi fra 1 til 8. Vi overfører alle disse punktene til projeksjonen pa VP og markerer de samme punktene. Bortsett fra punktene 3 og 7 faller punktene 2 og 4, 1

43

BESKRIVENDE GEOMETRI

og 5 og 6 og 8 sammen pa VP. Nar vi vipper sirkelflaten til høyre, vil alle punktene pa HP danne lineære bevegelser mot høyre. Det er selvfølgelig projeksjonen av bevegel­ sen som blir lineære bevegelser, pa samme mate som da vi svingte pyramiden om en grunnflatekant. Hvis vi for eksempel stanser vippingen av sirkelflaten akkurat nar den danner 45 grader (135 grader) med HP, kan vi overføre punktene pa VP ned pa HP, og i skjæringspunktene mellom punktenes bevegelse mot høyre pa HP og overførings­ linjene fra de tilsvarende punktene pa VP ned pa HP kan vi pa frihand tegne en ellipse som går gjennom alle punktene.

En kjegle består av: grunnflate = Gr.fl. = sirkelflate med en oppgitt radius

sideflate = s.fl. kjeglens høyde = H sideflatens høyde = h = normalavstanden fra toppunktet til sirkellinjen (grunnflatens omkrets) toppunktet = T

44

BESKRIVENDE GEOMETRI

Hjelpeplan og hjelpelinjer Det hender ofte at vi ikke kan konstruere et såkalt sant bilde av en figur bare ved hjelp av HP, VP og SP. Vi har allerede vært inne på dette i konstruksjonen av en ter­ ning. Nå skal vi vise og beskrive et annet enkelt eksempel (se figur 60).

Del 1: En regulærfirkantet pyramide står på HP slik at AB og CD danner 15 grader med GR.L. Vinkelåpningen er til venstre (se figur 57). Grunnflatekantene er 40 mm, ogpyramidens høyde er 60 mm. Pyramidens nærmeste avstand til VP eller GR.L. er på 10 mm fra A.

Del 2:

Et plan skjærer gjennom HP- og VP-projeksjonen og selve figuren slik at sporet i HP er vinkelrett på VP og dessuten 20 mm fra pyramidens venstre hjørne, nemlig hjørnet B. Planet har en vinkel i forhold til HP på 50 grader. Vinkelåpningen er til høyre. Følgelig hlir sporet i VP 30 graderfra HP-fra sporets skjæringspunkt med GR.L - X. Finn snittlinjene i hegge plan.

Del 3: Konstruer en utfald­ ing av oppgaven.

Oppgaven er tredelt. Del 1 skulle være lett å løse på bak­ grunn av det vi har gått gjennom til nå.

45

BESKRIVENDE GEOMETRI

Vi konstruerer pyramiden slik den ifølge oppgaven star pa HP og i to projeksjoner. Pa figur 61 har vi vist hvordan vi med våre hjelpemidler - hovedlinjal og to vinkelhaker kan konstruere en vinkel på 15 grader, slik det star beskrevet i oppgaven.

Vinkelhaken med vinklene 30, 60 og 90 grader plasseres med trekantens hypotenus på hovedlinjalen og vinkelen pa 30 grader til høyre. Den andre vinkelhaken, den med

vinklene 45, 45 og 90 grader, plasseres oppa den første vinkelhakens største katet med en av sine to like store kateter. Hvordan 15 grader oppstar, kan du se av figur 61. 15 grader kan også konstrueres med passer, men det er langt mer tungvint. 15 grader far vi ved å halvere først en vinkel på 60 grader og deretter halvere vinkelen pa 30 grader. Dette er vist pa figur 62.

FIGUR 61

FIGUR 62

46

BESKRIVENDE GEOMETRI

Nå skal vi konsentrere oss om plan som skjærer gjennom en figur, i vårt tilfelle en pyramide. Et plan som ikke er parallelt med horisontalplanet HP, vil nødvendigvis danne en vinkel med dette. Der planet skjærer horisontalplanet, får vi en linje som ligger både på skråplanet og på horisontalplanet. Denne linjen kaller vi sporet i HP. Hvis synsretningen er vinkelrett på vertikalplanet VP, er også sporet vinkelrett pa grunnlinjen GR.L. Den vinkelen som vi ser på vertikalplanet VP, blir da en sann vinkel, og vi kjenner den igjen fra horisontalplanet - vinkelen V. Planets skjæringslinje med vertikalplanet VP er sporet i VP (se figur 63). Andre plan som skjærer gjennom figuren i forskjellige vinkler i forhold til HP og VP, skal bli behørig drøftet i et senere kapittel. Før vi fortsetter med den tredelte oppgaven, skal vi se litt på to alternativer.

Figur 65: Planet skjærer gjennom en figur og er vinkelrett på vertikalplanet VP og parallellt med horisontalplanet HP. Figur 64: Planet er vinkelrett både pa vertikalplanet VP og pa horisontalplanet HP.

Et plan som er vannrett, vil skjære gjennom VP og dele figuren i to. Vi markerer dette med en tett strek parallelt med GR.L. Avstanden fra streken til GR.L. viser samtidig

47

BESKRIVENDE GEOMETRI

FIGUR 64

FIGUR 65

hvor høyt over HP planet ligger (se figur 65). Et plan som er loddrett, vil skjære gjen­ nom både HP og VP. Her vil også figuren deles i to (se figur 64). Her finnes det mange variasjoner. Det som imidlertid er felles, er at når vi fører inn et plan i konstruksjonssystemet, vil det alltid komme en skjæringslinje mellom det nye planet og figuren som planet skjærer gjennom. Denne skjæringslinjen på figuren kaller vi for spor eller snittlinje.

Vi skal følge konstruksjonen av del 2 av oppgaven trinn for trinn. Vi går ut fra konstruksjonen av pyramiden, slik vi har løst del 1. Hjørnet B i grunnfla­ ten ligger lengst til venstre på horisontalplanet HP, og skråplanets spor i horisontalsporet HP ligger 20 mm til venstre for B. Da kan vi tegne sporet i H vinkelrett pa grunnlinjen GR.L. Fra sporets skjæringspunkt med grunnlinjen GR.L. konstruerer vi sporet på vertikalplanet VP. Dette sporet viser akkurat den vinkelen skråplanet har med horisontalplanet, nemlig 30 grader. Vi ser på en måte både under og over skrå­ planet, og begge deler blir synlige for øyet når vi ser inn mot vertikalplanet VP. Ser vi derimot ned mot horisontalplanet HP, oppdager vi at vi bare kan se toppen av pyra­ miden - vel å merke hvis skråplanet er ugjennomsiktig. Dette er et poeng vi skal ta med. I oppgavene i denne boka veksler vi mellom gjennomsiktige og ugjennomsiktige skraplan. Forskjellen er vist på figur 66 a og 66 b. Dermed deler planet pyramiden i to: en del over planet (toppdelen) og en del under planet (grunnflatedelen). Pa vertikalplanet VP blir ikke bildet annerledes enn slik det er blitt sa langt i konstruksjonen. Men i HP blir bildet annerledes. Vi vil ganske fort

48

BESKRIVENDE GEOMETRI

FIGUR 66 a viser et gjennomsiktig skråplan

FIGUR 66 b viser et ugjennomsiktig skråplan

49

BESKRIVENDE GEOMETRI

oppdage at det er nyttig a benevne alle hjørner og toppunktet med bokstaver nar vi skal projisere (overføre) skjæringspunktene mellom planet og pyramidens sidekanter ned pa tilsvarende punkt i HP. Vi begynner med AT pa vertikalplanet VP og kaller dette skjæringspunktet for E. Konstruksjonslinjen fra E i VP og ned pa HP treffer den samme sidekanten AT. og vi far punktet E i HP. Slik fortsetter vi med de tre andre punktene som utgjør snittflaten E, F, G og H. Her har vi ikke benyttet oss av noen form for hjelpeplan, slik overskriften sier. Men na skal vi konstruere en utfolding av pyramiden, det vil si at vi legger alle sideflatene og grunnflaten side om side, slik at vi far et sakalt sant bilde av alle deler av pyramiden

pa en tegning - ogsa av de skjæringslinjene (snittlinjene) som vi får nar skråplanet skjærer gjennom pyramiden.

FIGUR 67

Vi begynner med grunnflaten, som er et kvadrat (se figur 67). Legg merke til at vi ikke

opererer med HP og VP i denne delen av oppgaven. Egentlig tenker vi oss bare hori­ sontalplanet som det planet utfoldingen er plassert på. Sideflatene har sitt utgangspunkt i kvadratet, og vi konstruerer en av sideflatene i til­ knytning til den høyre grunnflatekanten. Dette er selvfølgelig tilfeldig, ettersom vi kan ta utgangspunkt i hvilken som helst av de fire grnnnflatekantene. Na stoter vi pa et problem. Hvor lang er egentlig sidekanten? Det eneste vi har fatt oppgitt, er pyramidens

50

BESKRIVENDE GEOMETRI

høyde. Da må vi gå tilbake til løsningen - som vi har gjentatt pa figur 68 - og se pa for eksempel HP-projeksjonen av sidekanten BT med skjæringspunktet F. I VP ser vi at denne kanten ikke er vinkelrett pa synsretningen og folgelig ikke viser sann størrelse. Men i HP-projeksjonen kan vi svinge kanten BT med T som omdreiningspunkt, slik at kanten BT blir parallell med GR.L. Da ser vi at BIT star vinkelrett pa synsretningen nar vi betrakter bildet på vertikalprojeksjonen VP. Overfører vi det nye punktet for B - Bl - opp til VP, far vi den sanne lengden av sidekanten BT = BIT = alle de andre side­ kantene. Denne lengden kan vi na bruke nar vi skal fortsette utfoldingen. Vi måtte alt­ så føre inn en hjelpekonstruksjon for å kunne komme videre i oppgaven. Denne hjelpekonstruksjonen trenger vi når vi nå skal tegne inn snittlinjene i utfoldingen. Alle snittlinjepunktene E, F, G og H føres fram til den sanne lengden av sidekanten BIT. Da har vi fått sann lengde av sidekantdelene AET, BFT. CGT og DHT. Dermed er hele opp­ gaven løst.

FIGUR 68

51

BESKRIVENDE GEOMETRI

Det er ikke alltid vi kan bruke en slik forenklet metode. Ofte må vi sette inn et hjelpe­ plan. Vi har allerede brukt et slikt hjelpeplan da vi loste oppgaven med vipping av terningen. Her skal vi lose en oppgave der vi pa nytt må sette inn et hjelpeplan: Konstruer en regulærfirkantet pyramide med samme mål som i den forrige oppgaven. Pyramiden står på HP slik at to grunnflatekanter danner 30 grader med GR.L. Vinkelåpningen er til venstre. Grunnflatens hjørner benevnes A, B, C og D, og D ligger nær­ mest og 10 mm fra GR.L. AD og BC danner 30 grader med GR.L. (se figur 69). Tegn de

to projeksjonene i HP og VP når pyramiden vipper omkring grunnflatekanten AB, slik at grunnflaten danner 30 grader med HP.

FIGUR 69, del I

Første del blir som i forrige oppgave. Vi starter fra dette trinnet og går inn i oppgaven idet vi setter inn et hjelpeplan, vinkelrett pa den kanten grunnflaten skal dreie om 30 grader. Vi konstruerer bildet på hjelpeplanet ved a overføre alle punktene på HP og ned på hjelpeplanet. Vi vipper pyramiden opp i den bestemte vinkelen og overfører punktene - nå fra hjelpeplanet og opp til HP. 52

BESKRIVENDE GEOMETRI

Deretter overfører vi alle høyder fra hjelpeplanet til VP. Til slutt finner vi de endelige punktene i VP, og vi kan trekke opp og gjøre ferdig konstruksjonen (se figur 69, del 2). Legg merke til hvordan vi overfører høydene i hjelpeplanet til de nye punktene på VP. Vi overfører alle høyder ved å parallellforskyve høydene fra hjelpeplanet opp mot høyre, delvis også ved hjelp av sirkelslag helt opp til vertikalprojeksjonen. Følg hjørnet C pa vandringen fra hjelpeplanet ned pa horisontalplanet og fra hjelpeplanet opp på vertikalplanet. Det er nødvendig å merke seg at hjelpeplanet også er et vertikalplan, men sett fra en annen vinkel.

53

BESKRIVENDE GEOMETRI

Sammendrag: EN HJELPELINJE ELLER ET HJELPEPLAN ER ET INNSLAG I KONSTRUKSJONEN SOM GJØR DET MULLG Å GÅ VIDERE- DET ER SÅ Å SL ET SKRITT TIL SLDEN FOR Å KUNNE GÅ ET SKRITT FRAM. DETTE SKRITTET TIL SIDEN SKAL GL OSS EN MULIGHET TIL Å BETRAKTE FLGUREN ELLER DELER AV DEN SLLK AT VL FÅR ET SANT BLLDE. ET BILDE ER SANT NÅR VINKELEN, FLATEN ELLER KANTEN ER VINKELRETT PÅ SYNSRETNINGEN.

Skråplan Vi har snakket om plan som skjærer gjennom en figur under forskjellige vinkler med HP, men vinkelrett pa VP (se figur 71). Na skal vi ta for oss konstruksjonen av plan som skjærer figuren, slik at planet danner en viss vinkel - ikke vinkelrett pa - bade til HP og VP. Det er faktisk sporene, som vi har omtalt tidligere, som viser dette forhol­ det. Pa figur 72 skal vi vise det tidligere omtalte planet, og pa figur 74 skal vi vise hvordan forholdet mellom spor og vinkler virker når vinklene ikke er vinkelrette pa noen av de to hovedplanene. 54

BESKRIVENDE GEOMETRI

55

BESKRIVENDE GEOMETRI

På figur 73 er vinkelen i VP sann, fordi sporet i HP er vinkelrett på synsretningen. Vi kaller punktet der sporene møtes på GR.L., for X. Hvis vi tenker oss at vi vrir litt på sporet i HP (se figur 74) med X som omdreiningspunkt, finner vi den sanne vinkelen ved å sette inn et hjelpeplan vinkelrett på sporet i horisontalplanet HP. Hvis sporet i HP danner 45 grader med GR.L., vil en enkel konstruksjon gi oss den sanne, nøyaktige vinkelen med HP. Det er denne vinkelen vi har bruk for når vi plasserer en figur som blir overskåret av dette planet. Selve konstruksjonen av det sanne planet beskriver vi slik: Hvis vi tenker oss et loddrett snitt gjennom planet på HP, vil vi få to nye spor. Sporet i LIP kan vi nærmest kalle for grunnlinjen i hjelpeplanet. Vi skriver gr.l. med små bok­ staver i motsetning til den egentlige grunnlinjen, som vi som kjent skriver med store bokstaver - GR.L. Hvis vi har dette loddrette snittet klart for oss, oppdager vi at det sporet det setter i VP, må være en loddrett linje med utgangspunkt i punktet Y på GR.L. Denne loddrette linjen skjærer sporet i VP i punktet P. Hvis vi slår en sirkel med YP som radius til den treffer normalen fra Y på gr.l. i hjelpeplanet, vil skjæringspunktet være det samme punktet P som vi har i sporet på VP. Alle høyder som finnes i en kon­ struksjon med en figur som blir overskåret av dette planet, blir overført på samme måte som vi fant punktet P. Punktet Y på gr.l. ligger også på GR.L. På figurene 75 og 76 viser vi to skissemessige konstruksjoner i forbindelse med det oppgitte planet, der sporene i henholdsvis HP og VP danner ulike vinkler med grunnlinjen GR.L., og der ingen av vinklene er 90 grader. Figurene i de to eksemplene har ulike stillinger i for­ hold til HP, VP og det skjærende planet. I begge tilfellene konstruerer vi den vanlige projeksjonen pa HP og VP - som om figuren ikke ble overskåret av noe plan. Sa må vi 56

BESKRIVENDE GEOMETRI

tegne inn planet helt fram til den fasen i prosessen der vi finner den sanne vinkelen. Vi viste dette pa figur 74 med kommentarer. Deretter konstruerer vi et oppriss fra hori­ sontalprojeksjonen pa hjelpevertikalplanet. Vi oppdager at planet som skjærer gjen­ nom figuren, treffer sidekantene forskjelllig. Legg merke til bokstavbenevningene og følg markeringen fra HP opp til hjelpeplanet. Følg overføringene videre fra hjelpeplanet opp til høyre og opp til vertikalplanet VP.

57

BESKRIVENDE GEOMETRI

Deling av linjer i like store deler

Når en linje skal deles opp i x antall like store deler, finnes det en konstmksjonsmetode som er sikker a bruke. Vi skal vise et eksempel på figur 77: Linjen AB skal deles opp i fem like store deler. Vi forutsetter at AB delt på fem ikke gir oss et rent tall. Dersom linjen AB var 100 mm, var det nok å avsette 20 mm fem ganger langs linjen fra A til B. Ut fra punktet A mot punktet X avsetter vi fem like store deler og får punktet X som det femte punktet i konstruksjonen. Vinkelen BAX er tilfeldig

valgt. De øvrige punktene nummererer vi 1, 2, 3 og 4. Ved hjelp av hovedlinjalen og en vinkelhake parallellforskyver vi linjen BX og trekker linjene gjennom punktene 1, 2, 3 og 4. Da er linjen AB delt opp i fem like store deler.

Målestokk Når vi skal tegne - konstruere - en kasse som er 300 x 200 x 100 mm (som i eksemp­ let i begynnelsen av boka), kan det være naturlig å tegne den i full størrelse. Da skriver vi på tegningen at den er tegnet i målestokk 1:1. Denne skrivemåten viser oss at et hvilket som helst mål på tegningen er identisk med målet på den gjenstanden vi skal tegne. Med andre ord: Tegningen er i full størrelse. I de aller fleste tilfeller er det upraktisk, for ikke a si umulig, a tegne i målestokk 1 : 1. Vi må redusere størrelsen pa tegningen i forhold til den virkelige størrelsen. Vi kan for eksempel tegne i halv stør­ relse. Det vil si i målestokk 1 : 2. Da er 10 mm pa tegningen lik 20 mm i virkeligheten. Tilsvarende vil målestokk 1 : 10 si oss at 10 mm pa tegningen representerer 100 mm i virkeligheten.

58

BESKRIVENDE GEOMETRI

FIGUR 78

MÅLESTOKK

2:1

I noen tilfeller - for eksempel når vi tegner smykker - tegner vi i målestokk 2:1. Det vil si at smykket tegnes dobbelt så stort som det skal bli i virkeligheten (se figur 78). Målestokken gjør oss i stand til å beskrive virkeligheten pa en nøyaktig eller tilnærmet nøyaktig måte. Utgangspunktet for målestokken er at 10 mm på tegningen tilsvarer en bestemt lengde i virkeligheten. Det blir en vane å lese målestokken på en tegning. Er målestokken 1 : 50, og en er vant til å tegne i målestokk, ser en størrelsesforholdet for seg med det samme.

MÅLESTOKK FIGUR 79

59

BESKRIVENDE GEOMETRI

Er en mindre vant til a lese målestokken pa en tegning, kan det være lettere a lese målestokken pa denne måten: Hvis målestokken er beskrevet som 1 : 50, kan dette leses som at 10 mm er lik 500 mm i virkeligheten. Det er igjen det samme som at 2 em pa tegningen er lik 100 cm i virkeligheten. Det vil si at 2 cm på tegningen representerer 1 meter i virkeligheten. En tegning i liten målestokk har vanligvis færre detaljer enn en tegning i en større målestokk. Figurene 79 og 80 viser det samme utsnittet i to for­ skjellige målestokker.

f

—

—.—_ r

MÅLESTOKK FIGUR 80

60

Å:5o

BESKRIVENDE GEOMETRI

I oversiktstegninger og kartsammenheng er målestokken atskillig mindre enn den vi nettopp beskrev. Her er noen eksempler:

1 : 1000

1 cm tilsvarer 1000 cm = 10 meter

1 : 5000

1 cm tilsvarer 5000 cm = 50 meter (det vil si at 2 cm tilsvarer 100 meter)

1 : 10000

1 cm tilsvarer 10 000 cm =100 meter

1 : 25000

1 cm tilsvarer 25 000 cm = 250 meter

Skyggekonstruks j on Når vi skal konstruere skygger i forbindelse med projeksjonstegning, må vi bestemme en naturlig innfallsvinkel for lysstrålene. Skyggene er helt avhengige av disse lysstrålene og blir også bestemt av dem. En naturlig vinkel er 45 grader både på vertikalplanet og horisontalplanet. Legg merke til at 45 grader IKKE er den reelle - sanne - vinkelen, men projeksjonen av den. Studer figurene 81 og 82 nøye.

Kommentar til figurene 81 og 82: Vi tenker oss en stang AB, som kaster skygge når lyset kommer fra venstre og ned mot høyre. Projeksjonene av lysstrålene pa henholdsvis vertikalplanet VP og horisontalplanet HP er 45 grader. Det første vi søker etter, er lysplanet, som for det første går gjennom

61

BESKRIVENDE GEOMETRI

den loddrette stangen, og som for det andre inneholder selve lysstralen. Sporet mellom det loddrette lysplanet og horisontalplanet HP viser skyggen pa horisontalplanet. Sporet mellom lysplanet og vertikalplanet VP viser hvordan skyggen fortsetter opp fra hori­ sontalplanet HP på vertikalplanet VP. Lysstralen som gar ut fra B (stangens toppunkt), følger en linje som er bestemt av lysstralens vertikalprojeksjon VP. I konstruksjonen er stangen bare konstruert som en strek, uten noen tykkelse. Skyggen er derfor en frihandsskygge i forhold til tykkelsen. Figur 82 viser hvor enkel konstruksjonen er. Dette er en konstruksjonsmetode som brukes i alle skyggekonstruksjoner, også i de mest kompliserte.

VP

HP

FIGUR 82

Konstruksjonsmetoden går ut på å la lysstralen passere punkter på figuren og finne disse punktene (skyggepunktene) på horison­ talplanet HP og verti­ kalplanet VP. Alle slike punkter vi finner, er grensepunkter mellom den belyste flaten og slagskyggen. Slagskyg­ gen er den direkte skyggen som figuren kaster nar den blir be­ lyst. Den skyggen som kommer fram pa figuren på grunn av fravær av lys, kaller vi selvskygge. Dette er vist på figur 83- I våre eksempler og oppgaver konsentrerer vi oss bare om slagskyggen.

62

BESKRIVENDE GEOMETRI

I noen eksempler skal vi vise konstruksjonen av skygger.

Figur 84, Eksempel 1: Et prisme står på HP - 30 mm fra VP og med to sider parallelle med VP. Prismet har målene 50 x 50 x 100 mm. Prismet kaster skygger, og lysstrålene projiseres på hen­ holdsvis vertikalplanet VP og horisontalplanet HP. Lysstrålene kommer fra venstre og inn mot prismet til høyre. Prismet konstrueres i målestokk 1 : 2.

FIGUR 84 a

FIGUR 84 b

Vi tegner først alle lysstrålene gjennom alle punktene som begrenser linjene eller kantene på prismet. Vi tar bare med dem som har betydning for konstruksjonen. Som vi tidlig­ ere har sagt, er det svært praktisk å markere alle hjørnene fra A til H. Når vi følger lys­ strålene gjennom punktene F, G og H, må vi følge dem langs projeksjonen både på HP og VI3. Da oppdager vi noe som vi må legge godt merke til: Vi ser først på lysstralen gjennom punktet F. Projeksjonen av lysstralen tegner vi i retning mot VP (se figur 85). Den samme lysstrålen - eller projeksjonen av lysstralen - gjennom punktet F, slik vi ser den i VP mot HP, treffer grunnlinjen GR.L. til høyre for horisontalprojeksjonens

63

BESKRIVENDE GEOMETRI

skjæring med GR.L. Vi ser pa perspektivskissen på figur 86 og pa projeksjonstegningen av den

samme terningen på figur 87 hvordan dette virker. På skissen ser vi at det lysplanet som lysstra­ len ligger i, gir oss to spor - ett i vertikalplanet W og ett i horison­ talplanet HP. Lysstrålen ligger i lysplanet, og på figuren ser vi at lysstrålen går ut fra for eksempel hjørnet H. Den treffer lysplanets spor i ver­ tikalplanet VP i punktet sH, som er skyggepunktet av H. På den samme figuren ser vi akkurat det samme når det gjelder skyggen av hjørnet G. Skyggepunktet av G, sG, ligger i lysplanets spor pa vertikalplanet VP. Vi tenker oss lysplan gjennom alle punktene på en figur i dette eksemplet, et prisme.

FIGUR 86

64

BESKRIVENDE GEOMETRI

Av dette kan vi trekke en konklusjon som kan ha status som regel i skygge­ konstruksjon: NÅR PROJEKSJONENE PÅ HP OG VP AV EN LYSSTRÅLE GJENNOM ET PUNKT SKJÆRER HVERANDRE PÅ GR.L., BETYR DET AT SKYGGEPUNKTET LIGGER PÅ GR.L.

Av dette kan vi utlede følgende:

FIGUR 87

SKYGGEPUNKTET LIGGER PÅ HP NÅR HORISONTALSPORETS SKJÆ­ RINGSPUNKT MED GR.L. LIGGER TIL HØYRE FOR VERTIKALSPORETS SKJÆRINGSPUNKT MED GR.L. SKYG­ GEPUNKTET LIGGER PA NORMAL­ EN PA GR.L. UT FRA SPORETS SKJÆ­ RING MED GR.L.

Tilsvarende kan vi si: NAR HORISONTALSPORETS SKJÆRINGSPUNKT MED GRUNNLINJEN LIGGER TIL VENSTRE FOR VERTIKALSPORETS SKJÆRINGSPUNKT MED GR.L., LIGGER SKYGGE­ PUNKTET PÅ VP.

En annen regel skal vi også ta med. Den gjelder skyggen av en kant, altså minst to punkter: NAR EN LINJE ELLER KANT KASTER SKYGGE PÅ ET PLAN SOM ER PARALLELT MED LINJEN/KANTEN, BLIR SKYGGEN AV LINJEN/KANTEN PARALLELL MED LINJEN/KANTEN. Dette er vist på figur 87. Kanten FG er parallell med vertikalplanetplanet, og da blir også skyggen parallell med kanten FG.

65

BESKRIVENDE GEOMETRI

Figur 88 a og b, Eksempel 2: En regulær trekantet pyramide står på HP slik at én side i grunnflaten er vinkelrett på GR.L. Målene framgår av skissen på figur 88 a. Konstruer skyggen på HP og VP.

66

BESKRIVENDE GEOMETRI

For å gjøre kommentaren til figurene 90 a og b litt tydeligere skal vi på perspektivskissen (figur 89) vise et forlenget horisontalplan og et forlenget vertikalplan.

Det hender ofte at vi må tenke oss at både HP og VP blir forlenget ut over den grensen som GR.L. setter. Det vil si at vi i visse posisjoner må finne skyggepunktet i et forlenget horisontalplan eller et forlenget vertikalplan. Det er det vi må gjøre i dette tilfellet (se figur 88). Vi må først og fremst finne skyggepunktet av toppunktet T. Skyggepunktet kaller vi sT. Vi plasserer lysplanet gjennom toppunktet T og tenker oss at HP er for­ lenget. Ifølge den tidligere nevnte regelen skulle skyggepunktet ligge pa HP når vertikallyssporets skjæringspunkt med GR.L. lå til venstre for horisontal-lyssporets skjærings­ punkt med GR.L. Men regelen gjelder det synlige HP, ikke det forlengede HP. For a finne skyggen av kantene TC og TA må vi vite skyggepunktet bade pa det forlengede HP og på det ordinære VP. Skyggen pa det forlengede HP kaller vi sTl. Fra dette punktet trekker vi linjer til henholdsvis punktet A og C. Da får vi de to skjæringspunkt­ ene X og Y. Så finner vi det ordinære skyggepunktet på VP. Det kaller vi sT2. Når vi na trekker linjene fra sT2 til henholdsvis X og Y, har vi konstruert den skyggen som var oppgaven, både på HP og VP. Vi skal vise på en skisse (se figurene 90 a, b og c) hvor­ dan vi skal konstruere nar vi må forlenge horisontalplanet og vertikalplanet - først ved et forlenget horisontalplan (se figur 89)- PH og PV er punktet P's horisontalprojeksjon og vertikalprojeksjon. 67

BESKRIVENDE GEOMETRI

P-VP-20

Vertikalprojeksjonen av lysstralen gjennom punktet P - HP - treffer vertikalplanet VP i punktet X. Ved et forlenget vertikalplan VP forlenger vi lysstralen som går gjennom punktet X. Den tilsvarende horisontalprojeksjonen av lysstralen treffer grunnlinjen i punktet Y. Skjæringspunktet mellom lysstralen pa W og normalen nedover fra punktet Y gir oss skyggepunktet sPl på det forlengede vertikalplanet. Figur 90 b viser et forlenget horisontalplan. Lysstrålen på vertikalplanet VP treffer grunnlinjen i punktet X. Lysplanet - horisontalprojeksjonen forbi punktet Y - treffer normalen på punktet X i skyggepunktet sP2. Skyggepunktet på vertikalplanet VI3 finner vi på normalen opp fra punktet Y.

De konstruksjonsreglene som vi har benyttet oss av i oppgaveløsningen hittil, kan hjelpe oss gjennom nær sagt alle mulige skyggeoppgaver. Poenget er at vi alltid betrakter en linje som sammensatt av minst to punkter. Nettopp dette skal vi tenke på nar vi nå skal konstruere skyggen av en sirkelflate.

Figur 82, Eksempel 3: En sirkelflate kaster skygger på HP og VP. Sirkelflaten står på HP, slik at den er parallell med VP og 60 mm fra VP. Radius er 50 mm.

68

BESKRIVENDE GEOMETRI

FIGUR 91

Vi konstruerer sirkelen og deler sirkellinjen opp i åtte like store deler. Denne kon­ struksjonen skal være velkjent fra tidligere sirkelkonstruksjoner. Vi markerer disse delene ved å gi hvert punkt et tall fra 1 til 8. Vi må markere tallene på projeksjonene både på HP og VP (se figur 91). Her må vi benytte oss av et forlenget VP for a finne "skyggepunktet" av sirkelens sentrum C. Samtidig må vi huske den regelen vi formet slik:

NAR EN LINJE ER PARALLELL MED ET PLAN SOM LINJENS SKYGGE FALLER PA, BLIR SKYGGEN PARALLELL MED LINJEN. Dette gjelder også om linjen er buet, slik sirkellinjen er. Det vil i vårt tilfelle si oss at vi må finne "skyggepunktet" for sentrum i sirkelen, nemlig sC. Da er det bare å bruke passeren og konstruere en sirkel med radius 50 mm. Den delen av sirkelen som er

69

BESKRIVENDE GEOMETRI

over GR.L., markerer sirkelflatens skygge på VP. Neste trinn blir a forlenge HP og finne skyggepunktene fra og med sl til og med s8. Disse punktene vil delvis være pa det normale HP og delvis pa det forlengede HP. Vi oppdager fort at de to skyggene vi har tegnet, har to felles skyggepunkter pa GR.L. Skyggen på HP er en ellipse, og skyggen på VP er en sirkel. Vi ser ogsa at noe av skyggen er skjult av sirkelflaten. Oppgaven er løst.

Utfolding av romfigurer Vi har alle en eller annen gang gjort en pappeske flat. Da har vi på en måte foretatt en

utfolding (se figurene 92 og 93). Hvis vi ser på pappesken som et ledd i en projek­ sjonstegning, vil løsningen se ut som pa figur 94. Etter utfoldingen ser vi pappeskens bunn og sider tydelig.

FIGUR 93

70

BESKRIVENDE GEOMETRI

71

BESKRIVENDE GEOMETRI

Nå skal vi arbeide med en litt mer komplisert oppgave: En regulær firkantet pyramide står på HP slik at AB og CD danner 15 grader med GR.L. Vinkelåpningen er til venstre. Et plan skjærer gjennom figuren slik at sporet i HP er vinkelrett på VP og dessuten 20 mm fra pyramidens venstre hjørne (hjørnet B). Planet har en vinkel i forhold til HP på 30 grader. Vinkelåpningen er til høyre. Følgelig hl i sporet i VP 30 graderfra HP-sporets skjæringspunkt med GR.L.

Konstruer projeksjonene i HP og VP og finn snittlinjene i hegge plan. Grnnnflatekantene er 40 mm, ogpyramidens høyde er 60 mm. Pyramidens nærmeste avstand til VP eller GR.L. er på 10 mm. Konstruer en utfolding av oppgaven. Denne oppgaven har vi vært innom tidligere. Vi må finne den sanne linjen for hver av sidekantene over planet, nemlig kantene ET, FT, GT og HT. I konstruksjon har vi valgt å svinge sidekanten DT slik at den i VP blir vinkelrett på synsretningen (se figur 95). Vi fører punktene E, F, G og H bort til denne sanne sidekanten og får alle de punktene vi søker etter. Vi kan dermed foreta utfoldingen. Først tegner vi kvadratet som er grunnflaten. Vi markerer hjørnene A, B, C og D. Ved hjelp av passeren finner vi DT og AT. Med den samme passeråpningen og med T som sentrum slår vi buen som skal gi oss resten av punktene på pyramiden. Vi overfører alle sanne lengder som vi har funnet i løpet av konstruksjonen, til utfoldingen, og får markert grunnflaten, sideflatene og snittlinjene som planet har skapt. Legg merke til at det ikke er noen usynlige linjer her. Alle kantene med snittlinjer viser et sant bilde av de elementene som sammen utgjør den plansnittede pyramiden. Legg merke til den konstruktive overføringen av punkter ved hjelp av passer og hovedlinjal/vinkelhake. Denne måten hjelper oss til a kontrol­ lere at vi har med det rette punktet å gjøre.

FORKORTELSER

HP = HORISONTLPLAN VP = VERTIKALPLAN SP = SIDEPLAN GR.L = GRUNNLINJE REG. = REGULÆR 1 = VINKELRETT PÅ || = PARALLELL MED R = RADIUS GR.FL. = GRUNNFLATE GR.FL.KANT = GRUNNFLATEKANT S.FL. = SIDEFLATE S. FL. KANT = SIDEFLATEKANT T = TOPPUNKT H = HØYDE

72

BESKRIVENDE GEOMETRI

Oppgaver i beskrivende geometri

I cle følgende oppgavene er figurenes mål angitt på skissene ved siden av hver oppgave, eller de står i oppgaveteksten.

1

Konstruer et firkantet prisme i to projek­ sjoner. Det står på HP, slik at de to lengste gr.fl.kantene er || VP. Prismet står 10 mm fra VP.

2 Konstruer det samme prismet i to projek­ sjoner. Det står på HP og de to lengste gr.fl.kantene danner 30 grader med GR.L. Vinkelåpningen er til høyre. Nærmeste avstand til VP er 10 mm. 3 Konstruer det samme prismet i to projek­ sjoner når prismet står slik at de to korteste gr.fl.kantene er || GR.L. Prismet står 20 mm fra VP. Vipp prismet om den venstre gr.fl.kanten slik at gr.fl. danner en vinkel på 45 grader med HP.

73

BESKRIVENDE GEOMETRI

5 Konstruer i to projeksjoner to terninger som star slik i forhold til hverandre som skissen viser. Vipp begge terningene mot hverandre slik at to av kantene faller sam­ men. Bruk hjelpeplan.

6 Konstruer i to projeksjoner et reg. trekantet prisme som står på HP med en gr.fl.kant 1 GR.L. Prismet står 10 mm fra VP. Gr.fl.kantene er 40 mm. Høyden er 80 mm. 7 Konstruer i to projeksjoner et reg. trekantet prisme som står på HP med en gr.fl.kant X GR.L. Radius i grunnflatens omskrevne sirkel er 40 mm.

OPPGAVE 6 OG 7

74

BESKRIVENDE GEOMETRI

8 Konstruer i to projeksjoner en reg. trekantet pyramide som står på HP, der den omskrevne sirkelen til gr.fl. har en radius pa 40 mm. Sidekantene er 80 mm. En av gr.fl.kantene er ± GR.L. Nærmeste avstand til VP er 20 mm. 9 Konstruer den samme pyramiden i to projeksjoner der en av gr.fl.kantene dan­ ner 45 grader med GR.L. Vinkelåpningen er til høyre. Nærmeste avstand til VP er 10 mm. To løsninger. 10 Ta utgangspunkt i oppgave nr. 9. En terning med sider på 50 mm star på HP til høyre for pyramiden - 20 mm fra pyramiden og 20 mm fra VP. To av sidene er ± VP. Vipp terningen til venstre slik at den hviler på pyramiden. Tegn i to pro­ jeksjoner.

11 Ta utgangspunkt i oppgave nr. 8. Den høyre gr.fl.kanten er _L GR.L. En terning med sider 50 mm star pa HP 20 mm til høyre for pyramiden og 20 mm fra VP. To av s.fl. er ± VP. Vipp pyramiden til høyre til den hviler på terningen. Tegn to projeksjoner. 12 Ta utgangspunkt i oppgave nr. 9. En terning med sider pa 50 mm star pa HP slik at to av gr.fl.kantene er || den gr.fl.kanten pa pyramiden som er lengst borte fra GR.L. og 20 mm fra grunnflatekanten. Terningen star 80 mm fra VP. Vipp pyra­ miden mot terningen om den samme gr.fl.kanten, til pyramiden hviler pa ter­ ningen. Tegn i to projeksjoner og bruk hjelpeplan.

Finn sann lengde av følgende projeksjoner: 13 VP-projeksjonen av ab er 12 cm.

75

BESKRIVENDE GEOMETRI

14

VP-projeksjonen av ab er 12 cm.

OPPGAVE 14

76

BESKRIVENDE GEOMETRI

16

Konstruer en reg. femkantet pyramide med gr.fl. innskrevet i en sirkel med r = 60 mm. Pyramidens høyde er 80 mm. En gr.fl.kant - den som er lengst borte fra GR.L. - er || VP. Pyramiden står 10 mm fra VP.

17

Konstruer en reg. femkantet pyramide med gr.fl. innskrevet i en sirkel med r = 60 mm. Pyramidens høyde er 80 mm. En gr.fl.kant danner 30 grader med GR.L. Vinkelåpning til høyre.

18

Konstruer en reg. femkantet pyramide med gr.fl.kanter på 50 mm. En av kantene er 1 GR.L. Pyramidens sidekanter er 80 mm. Den gr.fl.kanten som er 1 GR.L., ligger 30 mm fra denne.

19

Konstruer en utfolding av pyramiden i oppgave nr. 18.

20

Konstruer en kjegle med radius i gr.fl. på 50 mm. Den står 10 mm. fra VP. Høyden er 80 mm. Kjeglen vipper om et punkt som ligger på en diagonal i gr.fl. Diago­ nalen danner 45 grader med GR.L. Vinkelåpning til venstre. 45 grader blir altså vridningsvinkelen i forhold til VP. Den vippes slik at den hviler mot VP med topppunktet. Konstruer kjeglen i to projeksjoner og bruk hjelpeplan.

21

Konstruer en utfolding av oppgave nr. 20.

Finn den sanne flaten ABC fra følgende projeksjoner: 22

HP-projeksjonens kant AB er 120 mm.

OPPGAVE 22

77

BESKRIVENDE GEOMETRI

23

HP-projeksjonens kant AB er 120 mm. Bruk sideplan.

OPPGAVE 23

24

25

Sett sammen romfigurene A og B og konstruer i to projeksjoner: A

En terning med sider på 50 mm står på HP med to s.fl. 30 grader i forhold til VP. Vinkelåpning til venstre. Terningen er 20 mm fra VP.

B

En reg. trekantet pyramide står på HP med gr.fl.kanter på 50 mm. En av gr.fl.kantene faller sammen med den høyre gr.fl.kanten i terningen. Pyra­ midens høyde er 80 mm.

Sett sammen romfigurene A og B og konstruer i to projeksjoner:

A

En reg. trekantet pyramide står på HP med en gr.fl.kant || GR.L. og 10 mm

fra denne. Gr.fl.kantene er 60 mm, og høyden er 80 mm. B

78

Et reg. firkantet prisme med gr.fl.kanter på 20 mm og høyde på 60 mm skjær­ er gjennom pyramiden slik at begge aksene skjærer hverandre 30 mm over HP. Prismets akse er || med HP og har en vinkel i forhold til VP på 30 grader. Vinkelåpning til venstre. Pyramidens akse skjærer prismets akse pa midten.

BESKRIVENDE GEOMETRI

26

Konstruer en kjegle som står 10 mm fra GR.L. Kjeglens gr.fl. har en radius på 50 mm, og kjeglens høyde er 80 mm. Et gjennomsiktig plan skjærer gjennom kjeglen. Planet er || HP og 40 mm over HP.

27

Konstruer en utfolding av kjeglen i oppgave nr. 26 med snittlinjen inntegnet.

28

Konstruer en reg. femkantet pyramide som står på HP med en gr.fl.kant AB som danner 45 grader med GR.L. Vinkelåpning til høyre. Sentrum i gr.fl. - pyra­ midens toppunkt - ligger 45 mm fra GR.L. Radius i den omskrevne sirkel er 40 mm. Gr.fl.kanten AB ligger til venstre, og A ligger nærmest GR.L. De andre hjørnene får i naturlig rekkefølge benevnelsene C, D og E. Et ugjennomsiktig plan skjærer gjennom pyramiden slik at sporene som planet setter i HP og VP, blir henholds­

vis 45 og 30 grader. Største avstand i HP fra kanten AB er 20 mm. 29

Konstruer en utfolding av pyramiden i oppgave nr. 28 med snittlinjene inntegnet.

30

Som oppgave nr. 28, men sporene i HP og VP er henholdsvis 30 og 45 grader.

31

Som oppgave nr. 28, men sporet i HP som er 45 grader i forhold til GR.L., er slik plassert at planet treffer pyramidens akse 30 mm over HP.

Konstruer skyggene av følgende figurer og ut fra gitte projeksjoner: 32

Et prisme som står på HP.

33

Et prisme som svever 30 mm over HP.

79

BESKRIVENDE GEOMETRI

34

Et prisme som star på HP med en av gr.fl.kantene 30 grader i forhold til GR.L. Vinkelåpning til høyre.

35

Et prisme som svever 30 mm over HP, med en av gr.fl.kantene 30 grader i for­ hold til GR.L. Vinkelåpning til høyre.

OPPGAVE 34

80

OPPGAVE 35

BESKRIVENDE GEOMETRI

36

En pyramide som star pa HP med en av gr.fl.kantene ± GR.L.

37

Den samme pyramiden som i oppgave nr. 36, men den er vippet omkring den gr.fl.kanten som er ± GR.L.

OPPGAVE 36

OPPGAVE 37

81

BESKRIVENDE GEOMETRI

38

82

En spiralfigur. Bruk de oppgitte malene og lag et alternativ’ med mal som er for­ doblet.

PERSPEKTIVKONSTRUKSJON

Perspektivkons truksj on

Perspektiv er et begrep som sier noe om det vi ser. Vi opplever alltid verden i et visst perspektiv - vi ser den gjennom våre egne øyne, fra et bestemt ståsted. Begrepet kommer av det latinske ordet PERSPICERE, som betyr a "se gjennom". Hva som faktisk skjer på netthinnen og videre gjennom det sensoriske nervesystemet og fram til den delen av hjernen som registrerer og tolker alle signalene fra reseptorene i øyet, skal vi la ligge.

Derimot kan vi trekke fram det bildet som danner seg nar vi står på en rett vei og ser den forsvinne i horison­ ten langt, langt der framme. Se figur 96. Vi ser at veikantene møtes i ett punkt. Vi ser likeledes at ledningsmastene blir kortere og kortere og sa å si forsvin­ ner i det samme punktet.

Da kan vi formulere noe vi kan kalle for grunnregel nr. 1:

FIGUR 96

ALLE PARALLELLE LINJER REELLE ELLER IMAGINÆRE HAR ETE FELLES RETNLNGSPUNKT.

En imaginær linje er en tenkt linje. I vart eksempel far vi en tenkt linje som går gjen­ nom alle toppene pa mastene.

Perspektivkonstruksjon er å tegne det bildet vi ønsker a konstruere ut fra de prinsip­ pene som gjelder nar vi ser direkte med øynene. I det bildet som vi tenker oss at vi ser, er øyets plassering helt vesentlig. Vi skal etter hvert komme fram til den konstruk-

PERSPEKTIVKONSTRUKSJON

sjonsmodellen som vi kommer til a bruke. Men la oss først se litt pa dette med øyets plasse­ ring foran et motiv og den avgjørende innflytelsen dette har pa det bildet vi ser. På figur­ ene 97 og 98 viser vi det samme bildet, men med forskjellige plasseringer av øyet. I var ter­ minologi kalles plasseringen av øyet for øyebøyden. Noen enkle forklaringer som gjelder øyets plassering: FIGUR 97

ØYEHØYDEN er øyets plasse­ ring over en tenkt grunnflate. Star vi pa en vei, et golv eller en apen plass, vil dette være den tenkte grunnflaten. Ved perspektivkonstruksjonen av en figur som star på et bord, er det naturlig at bordflaten er den tenkte grunnflaten. DISTANSEN er øyets avstand til et tenkt bildeplan. En bestemt avstand vil her være det vi kal­ ler for en normalavstand. Den er cirka 1 1/2 ganger bildets utstrekning. Noen ganger vil dette være bredden av bildet, og andre ganger vil det være høyden.

HORISONTEN er en tenkt, vannrett linje som gar gjennom øyet. FIGUR 98

HOVEDVERTIKALEN er en tenkt, loddrett linje som gar gjennom øyet.

HOVEDPUNKTET er skjærings­ punktet mellom horisonten og

84

PERSPEKTIVKONSTRUKSJON

hovedvertikalen. Det er samtidig retningspunktet for alle linjer som er vinkelrette på bildeplanet (frontperspektiv).

Alle disse begrepene vil dukke opp med jevne mellomrom både i teksten, illustrasjon­ ene, modellene og oppgavene, slik at vi etter hvert vil bli godt kjent med dem.

Vi bruker ofte begrepet TENKT LINJE. Når vi arbeider med perspektivkonstruksjon, må vi alltid være klar over at vi på en måte står utenfor og betrakter DEN SOM SER. På figur 99 viser vi sammenhengen de forskjellige begrepene står i. Samtidig er denne modellen en demonstrasjon av at vi betrakter den som ser.

Frontperspektiv Dette er den enkleste av de to perspektivformene vi benytter oss av. Den andre kaller vi SKRÅPERSPEKTIV. Frontperspektiv gir uttrykk for en plassering av øyet i forhold til motivet der alle hovedlinjer er enten parallelle med synsretningen eller vinkelrette på denne. På figur 100 har vi plassert motivet i frontperspektiv. Vi ser at terningens sider enten er parallelle med eller vinkelrette på synsretningen. Det vannrette planet var det vi kalte grunnplanet, og det vertikale planet vil vi etter hvert få grundig kjennskap til. Det er det vi kaller bildeplanet. Det er et tenkt plan som vi overfører det bildet som øyet ser, til.

85

PERSPEKTIVKONSTRUKSJON

Bildeplanet er alltid vinkelrett på synsretningen. Det vi gjør når vi konstruerer et frontperspektiv, og som vi viser pa modellen under, er å følge øyets synsstråle gjennom alle hjørnene pa terningen, og helt spesielt der de treffer bildeplanet. Vi må for hvert punkt tenke oss et loddrett plan som gar bade gjennom øyet og punktet pa terningen, og samtidig legge merke til de sporene som kommer i skjæringen mellom dette loddrette planet og a) bildeplanet og b) grunnplanet.

Vi trekker linjen - synsstrålen - fra øyet 0 til punktet C på terningen. Det perspektiviske punktet av punktet pC må da ligge på den loddrette linjen fra lysstrålens skjæring med bildeplanet BP. Slik finner vi de perspektiviske punktene på bildeplanet av punktene D, G og H på terningen. Punktene A, B, F og E ligger på bildeplanet og er allerede plassert. Da kan vi notere oss det vi kan kalle grunnregel nr. 2:

ALLE KANTER, LINJER ELLER PUNKTER SOM LIGGER I BILDEPLANET, ER SANNE LINJER. Terningflaten ABFE kan derfor tegnes i sann størrelse. Hvordan dette ser ut på tegne­ brettet, ser vi pa figur 101. Vi må tenke oss at vi ser prosessen ovenfra. Vi ser terningen

sta på grunnflaten like bak bildeplanet - i forhold til øyet. Terningflaten ABFE vil danne utgangspunktet for perspektivkonstruksjonen. Prosessen er å ta punkt for punkt og finne perspektivpunktene slik som beskrevet ovenfor. Tegningen slik den er i utgangs-

86

PERSPEKTIVKONSTRUKSJON

punktet - se figur 101 - kalles et geometrisk bilde, mens det bildet vi skal konstruere, er et perspektivisk bilde.

87

PERSPEKTIVKONSTRUKSJON

FIGUR 103

Av det vi har beskrevet til nå, følger noen nye prinsipielle grunnregler.

Grunnregel nr. 3: ALLE VANNRETTE, PARALLELLE LINJER HAR FELLES RETNINGSPUNKT PÅ HORI­ SONTEN. Et unntak er det for alle vannrette, parallelle linjer som dessuten er parallel­ le med bildeplanet (se skissene på figur 102 og figur 103).

Grunnregel nr. 4: ALLE VANNRETTE PARALLELLE LINJER SOM ER VINKELRETTE PÅ BILDEPLANET, HAR FELLES RETNINGSPUNKT I HOVEDPUNKTET HP. Se figur 104.

88

PERSPEKTIVKONSTRUKSJON

Variasjon av øyehøyden og distansen Vi skal gjennom noen eksempler vise hvordan det perspektiviske bildet nettopp blir preget av øyehøyden og distansen. Poenget er å lage et konstruert bilde så nær det “normale” som mulig. Først ser vi på øyehøyden pa figurene 105, 106, 107 og 108.

FIGUR 105

FIGUR 107

H V

FIGUR 108

HP

89

PERSPEKTIVKONSTRUKSJON

Vi ser at ved en sakalt normal øyehøyde - figur 105 - far vi bildet fordelt godt rundt hovedpunktet. I de to neste skissene, figurene 106 og 107, ser vi at ved stor øyehøyde er det bunnen og toppens overflate som dominerer. Ekstremt stor øyehøyde gir oss det vi kaller fugleperspektiv. Da far vi egentlig et dobbeltperspektiv. Vi far et perspek­

tiv innover mot det ordinære forsvinningspunktet i hovedpunktet. Det blir forsvin­ ningspunkt for alle vannrette, parallelle linjer. Dessuten far vi et perspektiv for alle loddrette, parallelle linjer, og det ligger langt under horisonten (se figur 107). Dette er en virkning som vi ikke tar hensyn til i vanlig perspektivkonstruksjon. Det vil føre for langt a gå inn i en sapass komplisert konstruksjon. I vår sammenheng (videre­ gående skole) kan vi, etter a ha konstruert pa vanlig måte med ekstremt stor øyehøyde, foreta en justering pa frihånd der vi oppnår den samme virkningen. Skissen pa figur 107 viser en slik justering.

Pa figur 108 viser vi det vi kaller froskeperspektiv. Det er et perspektiv der horisonten ligger under grunnflaten og hele figuren ligger over horisonten.

90

PERSPEKTIV­ KONSTRUKSJON

Når det gjelder distansen eller øyets avstand til bildeplanet. far vi også det vi kan kalle et normalbilde. Det skal være tilnærmet slik øyet oppfatter det perspektivet som ligger foran. Vi må være klar over at enhver perspektivkonstruksjon egentlig er en teoretisk konstruksjon. Det er bare i ett eneste punkt at konstruksjonen er det vi kunne kalle “riktig”, og det er i hovedpunktet HP. I var sammenheng kommer vi langt med den enkle formen for perspektivkonstruksjon som vi presenterer her. Når det gjelder den ekstremt korte distansen pa figur 110 (vi regner at en normaldistanse er omkring en og en halv ganger bildets utstrekning som pa figur 109), sa oppdager vi en forlegning innover i rommet. Rommet virker atskillig dypere enn det er i virkeligheten. Omvendt blir det ved ekstremt lang distanse - da blir bildet flatt. Bakveggen kommer nesten fram i bildeplanet (se figur 111). Vi skal gjennomgå den enkleste formen for frontperspektiv.

Terningen er et godt utgangspunkt. Vi skal følge synsstråler og synsstråleplan fra punkter pa terningen til vi har konstruert de forskjellige punktene på bildeplanet.

Figur 112, fase 1 og 2: Så langt i konstruksjonen ser vi terningen ovenfra, og vi far benevnelsene fra A til H.

FASE I

FASE 2

91

PERSPEKTIVKONSTRUKSJON

I fase 3 har vi plassert øyet 0. Fremdeles ser vi terningen ovenfra. Vi ser pa en som ser på terningen. Øyet representerer en som ser.

FASE 5

h/bp GR.U

FIGUR I 12

92

Når vi nå går over til selve perspektivkonstruksjonen, veksler vi hele tiden mellom det geometriske hildet - sett ovenfra - og perspektivkonstruksjonen. De fire hjørnene A, B, F og E ligger i bildeplanet, og på vårt ark ser dette ut som i fase 4. Her skjer ingen forminskning. Når vi nå bruker synsstralene, fin­ ner vi de perspektiviske punktene pa bilde­ planet. Her må vi vekselvis se på fase 4 og fase 5. Vi følger synsstralene fra 0 til punkte­ ne C og G. Synsstrålen treffer bildeplanet i punktet X. Et eller annet sted på den loddrette linjen opp fra punktet X må de perspektiviske punktene av C og G ligge. Linjen fra B til C og linjen fra F til G er begge vinkelrette pa bildeplanet, og de har derfor retningspunktet i hovedpunktet HP. Vi konstruerer disse linje­ ne i retning mot HP og far da to skjærings-

PERSPEKTIV­ KONSTRUKSJON

punkter, som er de perspektiviske punktene av C og G. Når vi gjennomfører denne konstruksjonsmetoden med synsstråler også til punktene D og H, får vi alle de per­ spektiviske punktene vi trenger. 1

SYNSSTRÅLENE TIL FIGURENS HJØRNER GIR OSS DE PERSPEKTIVISKE PUNKTENE PÅ BILDEPLANET. DISSE HJØRNENE MÅ LIGGE PA DET SPORET SOM DET

LODDRETTE LYSPLANET TEGNER PÅ BILDEPLANET, og 2 ALLE KANTER SOM ER VINKELRETTE PÅ BILDEPLANET, HAR RETNINGSPUNKTET SITT I HP.

Bruk av distansepunktet 1 eksemplet med en terning, der som kjent alle kantene er like store, så vi at vi kunne tegne det perspektiviske bildet uten annen hjelp enn synsstrålene og hjelpelinjer fra tenkte loddrette plan. Når vi nå skal utvide antallet hjelpemidler i perspektivkonstruk­ sjon til også å omfatte distansepunktet, skal vi ta for oss et rektangulært rom med malene 200 x 100 x 100 mm. Målene er tilpasset våre tegnebrett. Vi kunne like godt gitt prismet benevnelsen "en eske" eller "et rom". Men først må vi bli fortrolige med hva distansepunktet er. Vi har allerede nevnt at distansen er øyets avstand til bildeplanet. Hvis vi setter av distansen fra hovedpunktet og ut på begge sider langs horisonten, far vi ett punkt pa venstre side og ett punkt på høyre side. Begge punktene har samme avstand fra hovedpunktet, som representerer øyet i bildeplanet. Dette er illustrert på figur 113.

Trekker vi linjer fra øyepunktet til disse to punktene, ser vi at vinkelen mellom horisonten og en tenkt linje mellom de to punktene og øyepunk­ tet blir 45 grader (se figur 114). Disse to punktene kaller vi for distansepunkter. Vi benevner dem med bok­ staven D. Ut fra det som nettopp er sagt, kan vi notere oss det vi kan kalle for grunnregel nr. 5:

DISTANSEPUNKTET D ER RETNINGS­ PUNKT FOR ALLE PARALLELLE OG VANNRETTE LINJER SOM DANNER 45 GRADER MED BILDEPLANET. FIGUR

93

PERSPEKTIVKONSTRUKSJON

Det er denne grunnregelen vi skal følge når vi na konstruerer perspektivet av et rek­

tangulært rom på 200 x 100 x 100 mm. Vi går ut fra en målestokk på 1 : 5. Vi tegner først det geometriske bildet der alle punkter er plassert (se figur 115), og viser deretter en perspektivisk skisse av den samme situasjonen (se figur 116). Vi husker at alle kanter og hjørner som ligger i bildeplanet, også blir en sann del av perspektiv-

94

PERSPEKTIV­ KONSTRUKSJON

konstruksjonen. Det vil si at vi kan tegne dem inn i det perspektiviske bildet med en gang. Det gjelder punktene 1, 2, 5 og 6 (se figur 115). Vi avsetter 100 mm til venstre for punktet 2 og kaller dette punktet X. I målestokk 1 : 5 blir 100 mm det samme som 20 mm = 2 cm.

FIGUR 116

I^OYEDPUtHcT^T- HP

FIGUR 117

Kommentar til figur 117: Når vinklene er som figuren viser, blir AB = BC. Vi har linjen AB og skal finne punktet C loddrett ut fra B. En linje som går ut fra A, slik at vinkelen med linjen AB blir 45 grader, vil skjære linjen ut fra B i punktet C, slik at AB = BC. Dette er et prinsipp som vi ofte benytter oss av.

95

PERSPEKTIVKONSTRUKSJON

Vi trekker de perspektiviske linjene fra alle hjørnene i bildeplanet og innover i rommet. Disse linjene er vinkelrette på bildeplanet, og ifølge grunnregel nr. 4 skal de ha sitt felles retningspunkt i HP - hovedpunktet. En linje trukket fra punktet X til distansepunktet D pa horisonten skjærer den perspektiviske linjen fra punktet 1 til HP i punktet 4. Her har vi brukt det enkle matematiske prinsippet som er vist på figur 117: Katetene i en rettvinklet trekant er like store når de to andre vinklene er 45 grader. Da gjenstår det bare å fullføre perspektivkonstruksjonen. Vi tar utgangspunkt i punktet 5. Kanten 5-8 er loddrett og parallell med kanten 1-4. Punktet 6 ligger på bildeplanet BP. Kanten 6-7 har retning mot hovedpunktet HP. Samtidig har vi tidligere funnet punktet 3, og punktet 7 ligger loddrett over punktet 3- Punktet 8 ligger loddrett over punktet 4. Det er helt klart at det ville vært like enkelt å løse denne oppgaven pa samme måte som opp­ gaven med perspektivkonstruksjon av en terning. Der brukte vi synsstrålene gjennom alle punktene. Men ofte - i mer kompliserte oppgaver - lønner det seg å bruke dis­ tansepunktet slik vi har vist det her. Når vi senere kommer inn på det vi kaller kon­ struksjon ved hjelp av delingspunkter, er det de samme prinsippene vi bygger på, men med utgangspunkt i andre vinkler med bildeplanet. Det kapitlet kaller vi RETNINGS­ PUNKT OG DELINGSPUNKT VED SKRÅPERSPEKTIV.

Delt distanse som konstruksjonsmodell Delt distanse beskrives gjerne som 1/2 D, 1/3 D, 1/10 D og så videre. Det hender at vi ønsker et forholdsvis stort utsnitt av et perspektivisk bilde. Da trenger vi et stort tegnebrett og et tilsvarende stort tegneark for å få med oss alle nødvendige konstruksjonspunkter - først og fremst øyepunktet. Det er i slike situasjoner vi bruker det vi kaller DELT DISTANSE. Vi skal et øyeblikk gå tilbake til eksemp­ lene på figurene 115 og 116 og til per­ spektivkonstruksjonen av det rektangu­ lære rommet. Vi har gjentatt konstruk­ sjonen på figur 119 i mindre målestokk og har markert med en stiplet linje den arkstørrelsen vi har til disposisjon. Vi ser at både øyepunktet og distansepunktet faller utenfor arket.

96

PERSPEKTIV­ KONSTRUKSJON

I eksemplet på figur 120 har vi benyttet 1/2 distanse. Det vil si at når vi avsetter målet for å finne punktet X, som egentlig skal være 100 mm, må vi avsette det halve målet, nemlig 50 mm. Nå løser vi oppgaven i målestokk 1 : 2, og da blir de totale målene 100 x 50 x 50 mm. I målestokk 1 : 2 blir halve lengden ut fra punktet 2 lik 25 mm. Vårt konstruksjonspunkt Y ligger på hovedvertikalen HV. En linje fra Y til det halve distansepunktet D/2 gir oss punktet X, som er figurens punkt 3. Fra punktet 3 trekker

97

PERSPEKTIVKONSTRUKSJON

vi en linje som er parallell med grunnlinjen. Linjen 1-4 har retning mot hovedpunktet HR Linjen fra punktet 3 skjærer linjen fra punktet 1 mot hovedpunktet HP i punktet 4. Ut fra punktene 3 og 4 finner vi de andre punktene pa figuren. Som vi ser, ville vi fatt nøyaktig den samme løsningen hvis vi hadde brukt hel distanse og gått ut fra et punkt Yl som la 50 mm til venstre for punktet 2 (se figur 120). Det gir oss denne regelen:

NAR VI BRUKER DELT DISTANSE, MA VI OGSÅ DELE OPP - I SAMME FORHOLD DE MALENE VI BRUKER FOR A KONSTRUERE PUNKTENE VI ER UTE ETTER I DET PERSPEKTIVISKE BILDET.

Skråperspektiv Med skråperspektiv mener vi et perspektiv der de fleste kantene verken er parallelle med eller vinkelrette på bildeplanet. Vi skal enda en gang gå tilbake til terningen og følge den perspektiviske konstruksjonsutviklingen (se figurene 121 og 122). Oppgaven er formet slik :

Konstruer det perspektiviske bildet av et terninglikt rom, slik det er vist på figur 125. Terningen er 30 x 30 x 30 mm. Distansen er 60 mm, og øyehøyden er 1 7 mm. Kanten AB danner en vinkel på 30 grader, og kanten BC danner dermed en vinkel på 60 gra­ der med bildeplanet BP.

98

PERSPEKTIV­ KONSTRUKSJON

Vi gjenkjenner konstruksjonsmodellen med horisont, bildeplan, grunnplan og hovedvertikal. Det nye vi oppdager i denne modellen, er at ved skraperspektiv får vi to retningspunkt. Vi legger merke til at hvis vi står i et rom og vender kroppen og blikket mot et hjørne (se figur 123), ser vi at den høyre flaten har retning mot venstre, og den venstre flaten har retning mot høyre. Hvis vi plasserer oss sentralt i hjørnet, vil den høyre flaten peke like langt mot venstre som den venstre flaten vil peke mot høyre. Det betyr at den vinkelen de to flatene har i forhold til synsretningen vår, er på 45 grader. Hvis vi snur oss til venstre, oppdager vi en forandring av retningen på de to flatene. Vi ser at begge flatene har retning lenger mot høyre (se figur 128). Det er naturligvis kantene i rommet som finner sine retningspunkt. Siden den virkeligheten vi skal konstruere et perspektiv fra, er slik at de fleste kantene er vinkelrette på hverandre (jf. terningen på figur 125), vil retningspunktene også være bestemt av det (se også figur 129). Konstruksjonen med bakgrunn i perspektivskissen på figur 123 har vi vist pa det geo­ metriske bildet av rommet på figur 124.

99

PERSPEKTIVKONSTRUKSJON

FIGUR 123

Når det gjelder terningrommet som er vist på figurene 125 og 126, finner vi retningspunktene etter at vi har plassert terningen slik vi ønsker å betrakte den. Deretter teg­ ner vi konstruksjonsmodellen slik vi har beskrevet tidligere, med horisont H og hovedvertikal HV. Avstanden mellom grunnlinjen GR.L. og horisonten H er den som blir oppgitt som øyehøyden. Vi konstruerer en linje gjennom øyepunktet 0, både mot høyre og venstre på den geometriske tegningen (se figur 126 a) og i de vinklene vi ønsker. Vi har valgt vinklene 60 og 30 grader mot henholdsvis høyre og venstre, som viser den oppgitte eller selwalgte distansen fra bildeplanet (= øyets avstand fra bilde­ planet). I vårt eksempel faller bildeplanets spor i grunnflaten sammen med horisonten.

100

PERSPEKTIV­ KONSTRUKSJON

Men det er verd å merke seg at bildeplanet kan plasseres på tegningen nær sagt hvor som helst - vi gjør det som er mest praktisk i konstruksjonsprosessen. Linjene som vi trakk fra øyepunktet 0 i henholdsvis 60 og 30 grader mot horisonten, skal være paral­ lelle med terningrommets kanter (se figur 126 a). Skjæringspunktene med horisonten gir oss begge retningspunktene, Rv og Rh.

Når vi nå fortsetter konstruksjonen, husker vi på at alle kanter og hjørner som ligger i bildeplanet, er sanne størrelser. I vårt eksempel gjelder det kanten BF. Den kan vi med en gang tegne inn i bildeplanet. I vårt eksempel har vi fortsatt konstruksjonen ved hjelp av synsstrålene fra øyet, og de går som kjent fra øyepunktet 0 til hvert av hjør­ nene i terningrommet. Der synsstrålene treffer bildeplanet BP, trekker vi en loddrett linje. Da vet vi at et eller annet sted på den loddrette linjen ligger de andre hjørnene. La oss forfølge to av kantene, kanten AB og kanten EF. De er begge parallelle med konstruksjonslinjen Ø-Rv, og Rv er retningspunkt for alle linjer som har en bestemt vinkel i forhold til horisonten H - i vårt tilfelle 30 grader. Kantene AB og EF konstrueres i retning mot Rv med B og F som utgangspunkt. De vil skjære den loddrette linjen vi konstruerte for et øyeblikk siden gjennom punktet, der synsstrålen fra øyepunktet 0 mot hjørnene A og E traff bildeflaten. Da har vi funnet punktene A, B, E og F. Det er nøyaktig den samme konstruksjon når det gjelder de andre hjørnene - punktene - i terningrommet. Figur 126 b viser konstruksjonen.

101

PERSPEKTIVKONSTRUKSJON

FIGUR 125

102

PERSPEKTIV­ KONSTRUKSJON

103

PERSPEKTIVKONSTRUKSJON

Vi skal på figur 127 benytte en annen konstruksjonsmetode. Den gar ut på a trekke linjer fra terningrommets hjørner og loddrett tilbake til bildeplanet. I og med at disse linjene er vinkelrette på bildeplanet, vil de i det perspektiviske bildet få retningspunkt i hovedpunktet HP. På den måten skaffer vi oss i første omgang punktene A, C og D. Ut fra disse punktene finner vi de andre punktene - hjørnene - i terningrommet. Sam­ menlign figurene 126 b og 127.

Retningspunkt og delingspunkt ved skråperspektiv Retningspunktene finner vi ved å definere de vinklene sidene i objektet har i forhold til bildeplanet (se figur 128). Vinklene er henholdsvis 60 og 30 grader. For enkelhets skyld skal vi lage det perspektiviske bildet av et rektangel med sider på 30 og 15 mm. Vi tegner ikke inn noe grunnriss i denne konstruksjonsmodellen, slik vi gjorde det tid­ ligere, men plasseringen i forhold til hovedvertikal og bildeplan er som på figur 129.

HV

104

PERSPEKTIV­ KONSTRUKSJON

Delingspunktene har egentlig samme funksjon som distansepunktet D. Vi husker at for å måle innover i rommet - i retning av HP fra et punkt B - avsatte vi det aktuelle målet AB langs grunnlinjen. Fra punktet A trekker vi en linje mot distansepunktet D, og vi finner skjæringspunktet C. Da skal AB være lik BC (se figur 130).

FIGUR 130

105

PERSPEKTIVKONSTRUKSJON

På figur 131 har vi tegnet konstruksjonsmodellen for retningspunkt og delingspunkt. Vi skal forklare modellen.

Retningspunktene blir bestemt slik det er vist på figur 129. Delingspunktene finner vi ved å svinge øyepunktet ned mot horisonten med henholdsvis Rv-0 og Rh-0 som radius. Sirkelslagenes skjæring med horisonten H gir oss delingspunktene dh og dv. Hvis vi trekker en linje fra 0 til delingspunktet dv, vil denne linjen danne en viss vinkel med bildeplanet, og dv vil være et felles retningspunkt for alle linjer som har denne vinkelen i forhold til bildeplanet.

106

PERSPEKTIV­ KONSTRUKSJON

Dette kan vi utnytte på samme mate som vi utnyttet distansepunktet D for å finne en bestemt lengde innover i rommet (se figur 130). Vi skal vise et enkelt eksempel (se figur 132) og går ut fra eksemplet på figur 130. Vi skal male en viss lengde innover i rommet fra punktet B, som har retning mot Rv. Lengden kaller vi AB. Hvis vi konstru­ erer en linje fra A til dv, vil denne linjen skjære linjen fra B til Rv i punktet C. La oss analysere denne figuren. Da finner vi at linjen B-C-Rv er 60 grader i forhold til bilde­ planet. Hvis vi går et øyeblikk tilbake til figur 131, finner vi at en linje Ø-dv også er 60 grader i forhold til bildeplanet. Det vil si at alle linjer som går mot dv, har en vinkel pa 60 grader i forhold til BP. Så går vi fram til figur 132. Linjen A-C-dv er rettet mot dv og har følgelig en vinkel i forhold til bildeplanet på 60 grader. Da må den tredje vinkelen i trekanten ABC også være 60 grader, og vi har med en likesidet trekant å gjøre. Det vil si at AB = BC = CA. Det samme skjer hvis vi skal måle innover mot Rh (se figur 133). Da blir vinkelen Ø-dh-Rh = vinkelen dh-Ø- Rh = 75 grader (180 -minus 30, delt på 2). Linjen A-Rh danner 30 grader med BP. Linjen B-dh skjærer linjen A-Rh i punktet C. Denne linjen danner 30 grader med BP. Vinkelen ABdh er 75 grader. Da må vinkelen ACB også være 75 grader. Som kjent er summen av alle innvendige vinkler i en tre­ kant 180 grader, og når to av vinklene er 75 grader, må den tredje vinkelen være 30 grader. Det vi si at vinkelen ABC = vinkelen ACB. Vi har en likebent trekant der AB = AC. Dette gir oss muligheten til å konstruere et perspektiv uten å måtte ha et grunnriss inne i konstruksjonen.

107

PERSPEKTIVKONSTKUKSJON

Dessuten gir det oss en mulighet å lage tilnærmet riktige frihåndsperspektiver, og det vil vi vise ved et eksempel pa figur 134. Her ser vi at hele konstruksjonsmodellen er gjort skissemessig. Det er ingen nøyaktig tegning. Men den hjelper oss til å fa for­ holdsvis riktige mal.

Vi vet at bygningen er 7,50 m lang, og at den er 5,00 m bred. Vi benytter målestokken 1 : 100. Ved hjelp av de to delingspunktene finner vi hovedmålene til huset på perspektivskissen. Hvor mye eller hvor lite vi vil gjøre av konstruksjon i en perspektivskisse, er opp til den enkelte. Takvinkelen finner vi ved å trekke en av linjene opp mot en loddrett linje over retningspunktet til venstre, Rv. Det punktet vil da være ret­ ningspunkt for alle linjer som har den takvinkelen vi har valgt. Slik kan vi veksle mel­ lom en fri tegning ut fra det vi ser, og en tilnærmet målsetting som en hjelp til perspektivtegningen.

108

PERSPEKTIV­ KONSTRUKSJON

Perspektiv av en sirkel Vi skal først ta for oss en sirkel i frontperspektiv.

EN SIRKEL SOM ER PARALLELL MED BP, FORBLLR EN SIRKEL NÅR VL SER DEN L FORSKJELLLGE AVSTANDER LNNOVER L DETPERSPEKTLVLSKE BLLDET

Figur 135 viser noen rør som ligger i ulike avstander i forhold til BP. Her ser vi at røråpningene - sirklene - er parallelle med BP. Betingelsen er at rørlengdene har retning mot hovedpunktet HP.

Hvis derimot rørlengdene går mot et retningspunkt til høyre eller til venstre for HP, får vi en perspektivisk sirkel. Konstruksjonen av en slik perspektivisk sirkel skal vi vise på figur 136. Mer nøyaktig kan vi si at hvis sirkelen ikke er parallell med BP, uansett front- eller skråperspektiv, får den ellipseform. Vi konstruerer en sirkel pa grunnlinjen. Grunnlinjen markerer bildeplanet. Vi deler sir­ kelen opp i åtte like store deler og projiserer (overfører) punktene på sirkellinjen til en loddrett linje på punktet A. Vi konstruerer linjer fra den loddrette linjen innover mot et retningspunkt på horisonten. I vårt eksempel er dette retningspunktet det samme som hovedpunktet HP. Vi finner distansepunktet D - eller rettere sagt D/2 - og fra punktet A avsetter vi mot høyre sirkelens halve diameter og får punktet B. Se omtale av dette under avsnittet DELT DISTANSE SOM KONSTRUKSJONSMODELL. Ifølge det vi har lært, kan vi finne diameteren innover i rommet ved å trekke en linje fra punktet B til den halve distansen og punktet D/2, og vi får skjæringspunktet C. På punktet C reiser vi en normal som vil skjære linjen fra det øverste punktet på den loddrette linjen på A,

109

PERSPEKTIVKONSTRUKSJON

den linjen som er rettet mot HP. Da har vi fatt det perspektiviske kvadratet som sirkelen er innskrevet i. Vi konstruerer de to diagonalene, og de vil skjære de linjene vi har tegnet innover mot HP, slik at vi får punktene fra 1 til 8. Da gjenstår det a tegne ellip­ sen så nøyaktig som mulig. Vi far den samme konstruksjon når sirkelen ligger, og dette er vist på figur 137.

I 10

PERSPEKTIV­ KONSTRUKSJON

En sirkel i skråperspektiv må konstrueres etter samme prisipp som vi benytter i frontperspektiv. Vi skal vise et eksempel på figurene 138 og 139-

FIGUR 139

PERSPEKTIVKONSTRUKSJON

Vi konstruerer elet geometriske bildet AX ved å ta utgangspunkt i sirkelens plassering i forhold til BP og konstruerer en halvsirkel i bildeplanet. Vi finner punktene 1. 2, 3, 4 og 5. Vi tar utgangspunkt i retningspunkt Rv, som viser den posisjonen sirkelflaten har i forhold til BP. Vi konstruerer en normal fra X pa GR.L. og en linje inn mot HP. Denne linjen skjærer den perspektiviske linjen fra A til Rv i punktet C. Vi finner det samme punktet hvis vi avsetter sirkelens diameter på grunnlinjen fra punkt 1 (A) og mot ven­ stre, og fra dette punktet konstruerer en linje innover mot delingspunktet dv. Vi far det omskrevne kvadratet (jf. grunnregel nr. 4). Konstruksjonen videre folger samme prin­ sipp som forrige eksempel.

Skråflater i perspektivet Vi tenker oss en mal slik den er vist skravert, nederst til høyre pa figur 140.

FIGUR 140

112

PERSPEKTIV­ KONSTRUKSJON

Den viser to flater som har stigninger på henholdsvis 15 og 30 grader. På hgur 140 skal vi vise løsningen ved hjelp av delingspunkt, og på figur 141 skal vi vise løsningen ved hjelp av en geometrisk tegning.

Vi bestemmer retningspunktene Rv og Rh og delingspunktene dh og dv. I dette eksemplet er retningene bestemt ut fra vinklene 30 og 60 grader i forhold til BP. Vi har til na bare operert med vannrette, parallelle linjer. De har som kjent felles retnings­ punkt på horisonten. Når vi har med skråflater å gjøre, gjelder de samme reglene blant annet at alle parallelle linjer har felles retningspunkt. De to kantene som begrenser flaten, er parallelle og har felles retningspunkt. Dette retningspunktet kan vi konstruere. Hovedretningen på grunnplanet er at hovedlinjene går i retning mot Rh - 30 grader i forhold til BP. Altså må dette nye retningspunktet eller -punktene ligge på en loddrett linje oppover fra Rh. Det vil si at vi må konstruere én vinkel på 15 grader og én vinkel på 30 grader fra øyepunktet 0 og oppover til de treffer den loddrette linjen fra Rh. Rent praktisk gjør vi det på den måten at vi svinger øyepunktet ned på horisonten med Rh som sentrum. Da kommer vi til delingspunktet dh. Fra dette punktet konstru­ erer vi de to vinklene på 15 og 30 grader i retning mot normalen som vi reiste på ret­ ningspunktet til høyre, Rh. Dermed har vi funnet retningspunktene som på figuren er benevnt som RI5/30 og R3O/3O. (Dette skal leses slik: retningspunkt mot 30 grader på horisonten, som er løftet opp 15 grader i forhold til horisonten.) Den videre utviklingen av løsningen skulle være kjent fra før.

113

PERSPEKTIVKONSTRUKSJON

Kommentar til figur 141:

Skråflatenes retningspunkt er konstruert på samme måte som i forrige eksempel, men her er dette bare en kontroll, siden vi bare har fulgt det geometriske forbildet og benyttet oss av retningspunkt og hovedpunkt. For øvrig er konstruksjonsmaten kjent.

I 14

PERSPEKTIV­ KONSTRUKSJON

Konstruksjon av parallelle linjer med lik avstand mellom linjene Det er ett forhold som ofte går igjen når den samme avstanden skal gjentas innover i rommet. Vi skal konstruere et eksempel (se figur 142). Vi kan tenke oss at dette er en serie med lyktestolper eller gjerdestolper. En rekke loddrette linjer, med høyde AX og like avstander mellom linjene, forsvinner innover mot hovedpunktet.

FIGUR 142

Fra punktet A trekker vi linjen inn mot HP eller et annet retningspunkt. I vårt tilfelle er det hovedpunktet HP, siden alle de loddrette linjene har en grunnretning mot HP. Vi konstruerer den loddrette linjen på A og deler AX i to. Egentlig kunne vi nå avsette fra punktet A alle de like avstandene bortover langs GR.L. og ført linjer inn mot distanse­ punktet. Da hadde vi fått en nøyaktig konstruksjon også i forhold til andre elementer i perspektivet. Men vi kan også velge et tilfeldig punkt b på horisonten og bruke det som delingspunkt. Forskjellen blir da at avstandene Al, Bl, Cl og så videre i det per­ spektiviske bildet blir mindre eller større, avhengig av hvor vi plasserer punktet b. I vår konstruksjon (se figur 142) er det bare det første punktet B som har interesse. 115

PERSPEKTIVKONSTRUKSJON

Det viser nemlig den avstanden vi ønsker mellom de loddrette linjene. Vi trekker skrålinjen fra A gjennom YB2 til den treffer den øverste linjen fra X til HP i punktet XC3. Punktet YB2 ligger pa den loddrette linjen opp fra Bl. Så fører vi en ny skrålinje fra Bl gjennom YC2 og opp til linjen XHP - i punktet XD3. Slik kan vi fortsette til vi har fått det antallet parallelle linjer som vi ønsker oss.

Perspektivisk skyggekonstruksjon Når vi har konstruert et perspektivisk bilde, finner vi det både naturlig og riktig å kon­ struere skyggene som kanskje mer enn noe annet er med på å fremheve figurens form. Da må vi først og fremst bestemme lyskilden og den retning lysstrålene skal ha. Hvis vi sammenligner lyskilden med sollyset, finner vi at lysstrålene må være parallelle som om lyskilden er uendelig langt borte. Det er vi selv som bestemmer hvordan lysstrålene skal komme inn i perspektivet. Vi skal vise tre forskjellige alternativer når det gjelder den retningen lysstrålene kan ha i forhold til BP. Vi skal i alle tre alternativene konstruere skyggen av et høyt, firkantet prisme som kaster skygge på det grunnplanet det står på, og på et trinn umiddelbart ved siden av.

Alternativ 1, figur 143 Lyset har retning mot Rv på 60 grader, og det har en vinkel på 45 grader i forhold til det horisontale grunnplanet prismet står på. Først må vi finne retningspunktet for alle parallelle linjer som har sin hovedretning i Rv, men som samtidig har en vinkel på 45 grader i forhold til horisontalplanet. Selve konstruksjonsmåten er kjent fra et tidligere kapittel - konstruksjon av skråflater. De eneste to lysstrålene vi trenger å konstruere, er de to som går gjennom punktene A og B. De har retning mot R45/60. De loddrette lysplanene som går gjennom punktene A og B og har retning mot Rv, gir oss lyssporene Ls. Disse begrenser også skyggen. Skjæringspunktene mellom lysstrålene og lyssporene gir oss skyggen av punktene A og B.

116

PERSPEKTIV­ KONSTRUKSJON

FIGUR 143

117

PERSPEKTIVKONSTRUKSJON

Alternativ 2, figur 144

Lyset har retning mot Rh og har 30 grader i forhold til horisontalplanet. For å finne retningspunktet for de parallelle lysstrålene må vi ved hjelp av konstruksjon finne lysstralenes retningspunkt. I prinsippet blir det samme konstruksjon som i alternativ 1. De to loddrette lysplanene som har retning mot Rh, gir oss to lysspor som skjærer lysstrålene gjennom punktene A og B. Dermed er skyggen konstruert.

118

PERSPEKTIV­ KONSTRUKSJON

Alternativ 3, figur 145 Lysstrålene er parallelle med bildeplanet og har en vinkel på 30 grader i forhold til horisontalplanet. Her skal vi legge merke til at lysstrålene ikke far et felles retnings­ punkt. Det har sammenheng med at linjer som er parallelle med bildeplanet, ikke får noen perspektivisk virkning. De får en sann retning på 45 grader i forhold til horison­ talplanet.

Når vi skal konstruere de forskjellige lysstrålene gjennom de aktuelle punktene (hjørne­ ne) på det høye prismet, må vi alltid tenke i såkalte lysplan. Det gjorde vi også da vi konstruerte skyggene i projeksjonstegning og skyggene i alternativene 1 og 2. Lysplanene lager spor på de flatene de treffer. Vi benevner toppflaten med hjørnene A, B, C og D og konstruerer lysplan gjennom alle punktene, unntatt gjennom punktet D. Grunnen er ganske enkelt den at lysplanet blir liggende inne i skyggen. Når vi samtidig trekker lysstrålene fra punktene B og C, finner vi skjæringspunktene som begrenser skyggen.

119

PERSPEKTIVKONSTRUKSJON

Helt til skitt skal vi vise hvordan skyggen av en sirkelflate blir (figur 146), og skyggen nar lyset kommer fra ett punkt i rommet (figur 147).

Skyggen av en sirkelflate Sirkelflaten konstrueres på vanlig måte, med åtte konstruerte punkter. Lyset har ret­ ning mot R30/30. Skyggen finner vi ved å konstruere skyggepunktene av alle disse punktene på sirkelflaten. I begge skyggeeksemplene våre velger vi retningspunktene Rv, 60 grader og Rh, 30 grader. I dette eksemplet er lysstrålenes vinkel med horison­ talplanet på 30 grader. Vi konstruerer lysstrålenes retningspunkt med utgangspunkt i dh og finner punktet X, som blir retningspunkt for alle lysstråler som både har hoved­ retning mot Rh og mot punktet X. Vi må konstruere lysplanene for hvert av de åtte punktene på sirkelen. Som tidligere beskrevet søker vi etter skjæringspunktene mellom lysstrålene og sporene fra lysplanene. Det blir åtte skyggepunktet, og skyggen er klar.

120

PERSPEKTIV­ KONSTRUKSJON

Når lyset kommer fra ett punkt Lyset kommer fra ett punkt, og dette punktet må helt klart defineres i rommet. Også her gjelder det enkle prinsippet at vi må finne lysplanene og de sporene de setter, og vi må konstruere lysstrålene gjennom de punktene som er aktuelle. I dette tilfellet er det punktene A, B og C. Skjæringspunktene gir oss skyggepunktene. Vi skal følge en lysstråle - den som kommer fra punktet X og går gjennom punktet A på det høye pris­ met. Lysplanet som er loddrett, går gjennom punktet A, gjennom det loddrette punktet under lyspunktet X, som vi kan kalle Y, og videre gjennom punktet D - det loddrette punktet på horisontalplanet under punktet A. Lyssporet fortsetter loddrett over punktet E til det treffer punktet F. Deretter fortsetter lyssporet parallelt med grunnlinjen til det treffer lysstrålen fra lyspunktet X i punktet A - skyggepunktet A.

121

PERSPEKTIVKONSTRUKSJON

Repetisjon av viktige regler i perspektivkonstruksjon GRUNNREGEL NR. 1:

ALLE PARALLELLE LINJER - REELLE ELLER IMAGINÆRE - HAR ETT FELLES RET­ NINGSPUNKT.

GRUNNREGEL NR. 2:

ALLE KANTER, LINJER ELLER PUNKTER SOM LIGGER I BILDEPLANET. ER SANNE. Det vil si at cle viser sann størrelse.

GRUNNREGEL NR. 3: ALLE VANNRETTE, PARALLELLE LINJER HAR FELLES RETNINGSPUNKT PA HORI­ SONTEN H.

GRUNNREGEL NR. 4: ALLE VANNRETTE, PARALLELLE LINJER SOM ER VINKELRETTE PA BILDEPLANET, HAR FELLES RETNINGSPUNKT I HOVEDPUNKTET HP PÅ HORISONTEN H.

122

AKSONOMETRI

Aksonometri

En måte å anskueliggjøre et motiv eller et objekt på er å konstruere det aksonometrisk. Det er en tegnemetode som til en viss grad erstatter perspektivet. Vi skal vise et eksempel som illustrerer både likheten med og forskjellen fra perspektivet. Vi går tilbake til figur 1 helt i begynnelsen av boka - en kasse som hadde målene 30 x 20 x 10 cm.

FIGUR 148

AK$ONOM£T42I5K

TECN/NC

123

AKSONOMETR.I

Vi fant den gangen ut at hvis vi målsatte perspektivskissen, kunne vi uten vanskelighet lage kassen etter denne tegningen. Det vi ikke kunne, var a se hvor tykke veggene i kassen skulle være, hvis ikke de ogsa var målsatt.

Nar vi konstruerer aksonometrisk, går vi ut fra et aksonomikors, slik figur 148 viser. Vi har en loddrett akse og to andre akser der vinkelen mellom aksene på papiret blir 120 grader. Vinkelen mellom aksene er i virkeligheten 90 grader (se figur 148).

Nå avsetter vi de riktige malene pa de tre aksene: 30 cm langs x-aksen, 20 cm langs yaksen og 10 cm langs z-aksen. Alle malene tar utgangspunkt i punktet O. Den aksonometriske tegningen er i målestokk 1 : 5 og målsatt i den størrelsen vi vil ha.

124

PERSPEKTIVKONSTRUKSJON

Oppgaver i perspektivkonstruksjon

Konstruer perspektivet i følgende oppgaver. Distansen er 180 mm og øyehøyden er gitt i hver oppgave.

1

Konstruer frontperspektivet av en eske på 200 x 100 x 100 mm og med øyehøyde på 40 mm. Hovedvertikalen ligger 75 mm til høyre for venstre kant.

OPPGAVE I

2 Konstruer perspektivet av den samme esken når hovedvertikalen ligger 75 mm til venstre for høyre kant. Øyehøyden er 140 mm.

125

PERSPEKTIV­ KONSTRUKSJON

3 Konstruer perspektivet av et rom med fire vinduer og en døråpning.

4 Konstruer perspektivet av en vinkeltrapp med seks trinn og repos. Hovedvertikalen ligger 20 mm til høyre for venstre trappekant. Øyehøyden er 90 mm.

126

PERSPEKTIV­ KONSTRUKSJON

5

Konstruer skråperspektivet i rommet i oppgave nr. 3- Fronten har en vinkel pa 30 grader i forhold til bildeplanet. Hovedvertikalen går gjennom det venstre hjørnet innerst i rommet. Øyehøyden er 60 mm.

OPPGAVE 5

6 Konstruer perspektivet av en sekskantet stjerne innskrevet i en sirkel med radius 80 mm. Hovedvertikalen ligger 15 mm til venstre for sentrum i sirkelen. Øyehøyden er 62 mm.

127

PERSPEKTIVKONSTR.UKSJON

7 Konstruer skråperspektivet av bygningsblokkene A og B. Blokk A er pa fire etasjer, og blokk B er på to + sju etasjer. De sju øverste etasjene henger 20 mm utenfor vegglinjen i blokk A. Hovedvertikalen går gjennom et av hjørnene i blokk A. Øye­ høyden er 10 mm. Marker etasjene i perspektivet. Blokkene har en vinkel pa 45 grader i forhold til bildeplanet.

8 Konstruer perspektivet av fem rør med radius 20 mm og lengder på 120 mm. Røret lengst til høyre ligger helt framme i bildeplanet. De andre rørene ligger med ulik avstand til bildeplanet. Hovedvertikalen går gjennom sentrum av rør nr. 2 fra ven­ stre. Øyehøyden er 100 mm.

128

PERSPEKTIV­ KONSTRUKSJON

9 Konstruer skråperspektivet av et byggefelt med tre eneboliger. Feltet ligger i en skråning som danner 15 grader med horisonten. Hovedvertikalen gar gjennom det venstre hjørnet nederst på feltet. Øyehøyden er 80 mm. Skråningen har samtidig en vinkel pa 60 grader i forhold til bildeplanet.

OPPGAVE 9

129

PERSPEKTIV­ KONSTRUKSJON

10 Konstruer skyggen som en apen kasse kaster pa horisontalplanet nar lyset har ret­ ning mot et høyre retningspunkt pa 60 grader. Lysstrålene danner 30 grader med horisontalplanet. Kassen, se skissen, er 80 x 40 x 40 mm. Distansen er 150 mm. og øyehøyden er 50 mm.

11 Konstruer skyggene som et spann kaster på horisontalplanet når lyset har retnings­ punktet sitt ned mot det høyre retningspunktet på 45 grader. Lysstrålene danner 30 grader med horisontalplanet. Hovedvertikalen gar gjennom sentrum av spannet, som har radius på 50 mm og høyde på 100 mm. Øyehøyden er 150 mm. Velg selv distansen.

130

PERSPEKTIVKONSTRUKSJON

12 Konstruer skyggen som lyset lager på et veggparti med gesims og inntrukket del av veggen. Perspektivet har retningspunkt 30 grader mot høyre. Lyset har retning mot dette punktet, 30 grader under horisonten. Øyehøyden er 30 mm, og hoved­ vertikalen går gjennom gesimsens venstre hjørne i utspringet.

131

BESKRIVENDE GEOMETRI

13 Konstruer skyggen som en søyle kaster pa den flaten den star pa, og pa en liten trapp i umiddelbar nærhet. Øyehøyden er 115 mm. Lysstrålene har retning 30 grader under Rh pa 30 grader.

OPPGAVE 13

132

Stikkord

A akse, 21, 22, 23, 35, 37, 78, 124 aksonometri, 123, 124

B

bilcleplan, 84, 85, 86, 88, 91, 99, 101, 104

D delingspunkt, 16, 17, 96, 104, 105, 106, 108, 112, 113 delt distanse, 96, 98, 109 den lille aksen, 21 den store aksen. 21,22 ,23 diameter, 14, 15, 16, 22, 23, 109, 112 distanse, 84, 89, 91 93, 96, 100 distansepunkt, 93, 96, 104, 115

E ellipse, 21, 22, 23, 44, 70, 109

F femkant, 14, 15, 18, 36 forlenget horisontalplan, 67, 68 forlenget vertikalplan, 67, 68 frihåndsperspektiv, 108 frontperspektiv, 85, 86, 91, 109, 111

froskeperspektiv, 90 fugleperspektiv, 90

G GR.L.ll, 25, 27, 29, 31, 40, 42 grunnflate, 30, 32, 33, 35, 36 grunnflatekant, 32, 36, 42, 44, 50, 52, 72 grunnriss, 8, 104, 106

H hjelpefigur, 25 hjelpelinje, 25, 45, 54, 93 hjelpeplan, 11, 25, 32, 33, 35, 45, 50, 52, 56, 74, 75, 77 horisont, 83, 88, 90, 93, 96, 98, 100, 106, 109, 113, 115 horisontalplan, 7, 8, 27, 29, 37, 47, 50, 53, 61, 67, 118 horisontalprojeksjon, 10, 28, 29, 30, 32, 37, 57, 63, 64 hovedpunkt, 84, 88, 90, 91, 92, 93, 104, 109, 114, 115 hovedvertikal, 84, 85, 97, 99, 100, 104

K kjegle, 42, 43, 44 konstruksjonslinje, 8, 25, 29, 32, 41, 50, 101 konstruksjonsmodell, 7, 8, 10, 96, 99, 100, 104, 106, 109 kvadrat, 14, 18, 19, 24, 28, 50, 72, 110, 112

L likesidet trekant, 12, 13, 107 lysplan, 61, 62, 64, 67, 68, 93 lysspor, 67, 116, 118, 121 lysstråle, 61. 62, 63, 64, 65, 68

M mangekant, 12, 15, 16, 17, 26, 35 mangekantet pyramide, 41 målestokk, 6, 8, 58, 59, 60, 61

O oppriss, 8, 57 opptrekking av linje, 25 oval, 23, 24

I imaginær, 83, 122 imaginær linje, 83, 122 irregulær, 39

P parallell med (||), 13, 31, 40, 42, 51, 65, 68, 69, 72, 96

133

passer. 11, 12, 14, 18, 24, 25, 40 perspektiv, 6, 23, 83, 90, 91, 94, 115 perspektivisk skyggekonstruk-

sjon, 116 perspektivkonstruksjon, 83, 84, 85, 86, 90, 91. 96, 120 perspektivskisse, 5, 9, 31, 64, 94, 99, 108 prisme, 36, 37, 38, 39, 63, 64, 73, 74, 78 projeksjonstegning, 5, 8, 10,

sideriss, 8

U

sirkel, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 22 sirkel i forkortning, 43 sirkellinje, 13, 14, 15, 17, 19, 23 sirkelslag, 15, 18, 19, 25, 53, 106 sjukant, 15, 17 skjæringslinje (snittlinje), 47, 48, 50 skjæringspunkt, 14, 15, 16, 18,

usynlig, 8, 25, 32, 72 utfolding, 42, 50, 51, 70

V vertikalplan, 7, 8, 9, 11, 26, 27, 32, 40, 48 vertikalprojeksjon, 11, 28, 29,

19, 23, 24, 41, 43, 84, 116 skraflate, 112, 113, 114, 116 skråperspektiv, 85, 96, 98, 99,

32, 40, 51. 53, 62 vinkelhake, 11, 16, 46, 58, 72 vinkelrett på (±), 5, 13, 14,

13, 26, 61, 63, 70, 119 projisere, 8, 9, 25, 29, 32, 33, 40, 50, 63, 109 pyramide, 30, 39, 40, 41, 42, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 72

104, 109 skråplan, 47, 48, 50, 54 skyggekonstruksjon, 61, 62,

25, 32, 43, 47, 54 vinkelåpning til høyre, 29, 31, 37, 38 vinkelåpning til venstre, 29, 32, 45

R regulær, 12, 17, 35, 37, 39, 41 retningspunkt, 83, 85, 88, 92,

sporet i HP, 45, 47, 56, 72 sporet i VP, 45, 47, 56, 72 synlig, 5, 25, 32, 33, 67 synsretning, 5, 32, 47, 51, 54, 72, 86, 99 synsstråle, 84, 86, 91, 92, 93, 96 synsstråleplan, 91

93, 96, 99 romfigur, 35, 37, 70

S sann størrelse, 5, 32, 57, 86, 122 sekskant, 13, 19 sekskantet pyramide, 40 selvskygge, 62 sideflate, 26, 29, 30, 32, 36, 37 sideflatens høyde, 41, 42, 44 sidekant, 36, 41, 42, 50, 51, 57, 72 sideplan, 7, 8, 9, 10, 11, 72

134

65, 116 slagskygge, 62 spor, 54

0 øyehøyde, 84, 89, 90, 98, 100 øyepunkt, 93, 96, 100, 101, 106, 113

Å åttekant, 19

T tegnebrett, 10, 11, 27, 28, 86,

93, 96 terning, 26, 28, 29, 30, 32, 39 tikant, 20 toppunkt, 13, 15, 19, 30, 40, 44 trekant, 12, 13, 18, 19, 36