Baustatik: Theorie und Beispiele 5. Aufl. (Klassiker der Technik) [5., unveränd. Aufl.] 9783540367727, 9783540367734, 3540367721 [PDF]

Zitiervorschau

Klassiker der Technik Die „Klassiker der Technik"sind unvemnderte Neuauflagen traditionsreicher ingenieurwissenschaftlicher Werke. Wegen ihrer didaktischen Einzigartigkeit und der Zeitlosigkeit ihrer Inhalte gehoren sie zur Standardliteratur des Ingenieurs, wenn sie auch die Darstellung modernster Methoden neueren Biichern iiberlassen. So erschliefien sich die Hintergriinde vieler computergestiitzter Verfahren dem Verstandnis nur durch das Studium des klassischen, fundamentaleren Wissens. Oft bietet ein „Klassiker" einen Fundus an wichtigen Berechnungs- oder Konstruktionsbeispielen, die auchfiir viele moderne Problemstellungen als Musterlosungen dienen konnen.

Kurt Hirschfeld

Baustatik Theorie und Beispiele 5., unveranderte Auflage

Mit 1911 Abbildungen

^ Spri ringer

Professor Dr.-Ing. habil. Kurt Hirschfeldf Prof. em. Technische Universitat Berlin

ISBN-10 3-540-36772-1 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-36772-7 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-10 3-540-64422-9 4. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York

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Vorwort zur Reprintausgabe 1984 Schneller als erwartet ist die Reprintauflage 1982 vergriffen, sicher ein gutes Zeichen der Beliebtheit des auch heute noch gern benutzten Lehr- und Nachschlagewerkes der Baustatik fiir Studierende und Ingenieure in der Praxis. Der Verlag hat sich daher entschlossen, einen unveranderten Nachdruck herauszubringen. Demzufolge gilt auch das Vorwort zur Reprintauflage 1982 unverandert! Es wurde ledigKch ein inzwischen bemerkter Rechenfehler im Beispiel 65, Seite 482, beseitigt. An dieser Stelle rnochte ich mich nochmals herzlich bedanken bei den vielen Freunden meines Buches und ebenso bei denen, die mich auf Unstimmigkeiten aufrnerksam gemacht haben. Nicht zuletzt gilt mein Dank dem Springer-Verlag flir sein tiefes Verstandnis und den verlegerischen Weitblick sowie fiir die saubere Ausfiihrung des schwierigen Drucksatzes dieses Buches, das die Zusammenarbeit mit dem Verlag zu einem wahren GenuB werden lieB. Aachen, im Frtihjahr 1984

Kurt Hirschfeld

Vorwort zur Reprintausgabe Die 3. Auflage des Buches ,,Hirschfeld - Baustatik" ist ausverkauft. Eine rege Nachfrage von Studierenden und Ingenieuren der Praxis hat den Verlag veranlaftt, an einen unveranderten Nachdruck zu denken, bei dem lediglich sich eingeschlichene Druckfehler berichtigt werden sollten. Die Resonanz dieses Buches ist unter den Benutzern im In- und Ausland erfreulicherweise sehr stark. So ist das Werk allenthalben als Standardwerk gekennzeichnet und auch in anderen Sprachen erschienen: 1975 in griechischer Dbersetzung, im Verlag Moschos Giurdas PubHshers Athen 1975 in spanischer Ubersetzung im Verlag Editorial Reverte, S.A. Barcelona — Bogota — Buenos Aires — Caracas — Mexico und 1971 auszugsweise in japanischer Sprache in Nagoya, Japan. Ab 1. Januar 1978 sind nun im Bauwesen nur noch die neuen, gesetzlich festgelegten SI-Einheiten (Systeme International d'Unites, Stand 1977) zugelassen. Da in der vorliegenden Auflage die neuen MaKeinheiten noch nicht verwendet sind, erscheint es mir niitzlich zu sein, hier im Vorwort kurz darauf einzugehen. Bei der Umstellung auf die gesetzliche Krafteinheit Newton (N), (Ikp = 9,80665 N), wird zur Erleichterung der Umrechnung bei alien Baunormen 1 kp = 10 N gesetzt. Es ergeben sich dann mit den Bezeichnungen N = Newton, kN = Kilonewton und MN = Meganewton folgende Gegeniiberstellungen: 1 kp = 10 N = 10"2 kN = 10"5 MN, 1 kp/cm^ = 10 N/cm^ = ^ N / m m ^ = 0,1 N/mm^; 1 Mp = 10 kN, 1 Mp/cm^ = 10 kN/cm^ = ^

kN/mm^ = 0,1 kN/mm^;

1 Mp/m^ = 10 kN/m2 = 10^ N/m^.

Vorwort zur Reprintausgabe Die Beriicksichtigung der SI-Einheiten wiirde eine Neuberechnung der Zahlenbeispiele erforderlich machen und demzufolge einen Neudruck fur die nachste Auflage. Das wurde aber bei dem umfangreichen Werk Zeit erfordern und Kosten verursachen, was sich auf den Preis des Buches sehr fiihlbar auswirken wiirde. Abschliefiend mochte ich beinerken, daR die Statik durch die Wahl der verwendeten Krafteinheiten nicht beriihrt wird. Ich wiirde mich daher freuen, wenn auch diese Reprintausgabe als Lehr- und Nachschlagebuch dieseibe Gegenliebe wie auch ihre Vorgangerinnen finden wiirde. Es bleibt mir noch, dem Springer-Verlag meinen herzHchen Dank auszudrucken fiir sein Interesse an meiner Arbeit, fiir die verstandnisvolle und harmonische Zusammenarbeit und nicht zuletzt fiir die saubere und ansprechende Ausfuhrung. Aachen, im Sommer 1982 Kurt Hirschfeld

BAUSTATIK Theorie und Beispiele Kurt Hirschfeld

Dritte neubearbeitete Auflage

Erster Teil Seite 1-768

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1969

Vorwort zur dritten Auflage Die dritte Auflage, zum Teil umgearbeitet und erweitert, erscheint in zwei Banden. Das Werk ist dadurch im Gebrauch handlicher, was sicher als angenehm empfunden werden wird. Im ersten Teil werden die Grundlagen und gangigen Verf ahren statisch bestimmter und unbestimmter Systeme behandelt. Neu aufgenommen wurde die kinematische Untersuchung eines unterspannten Riisttragers sowie die Theorie der Fiinfmomentengleichung einschlieBlich einiger Zahlenbeispiele. Im zweiten Teil sind die Sonderkapitel zur ebenen und raumlichen Stabstatik enthalten. Neu bzw. umgearbeitet ist die Theorie der Kreisplatten. Ftir verschiedene Lagerungen und Belastungen, zentralsymmetrisch und antimetrisch wirkend, sind Formelzusammenstellungen und Beispiele gebracht worden. Ferner sind die Zahlentafeln 30 bis 39 im Anhang umgearbeitet, programmiert und auf einen Elektronenrechner CD 6400 des Rechenzentrums der TH Aachen neu gerechnet und unverandert im Druck wiedergegeben. Einige Zahlenbeispiele, die von der Anderung der Tafeln betroffen wurden, muBten umgerechnet werden. Die vorliegenden vorteilhafteren Zahlentafeln gestatten eine ftihlbare Verkiirzung der Rechenzeit. Neu aufgenommen wurde noch eine Einfiihrung in das Reduktionsverfahren mit einigen Hinweisen zur Benutzung digitaler Rechenanlagen. Fiir die technische Krafteinheit [Mp] wurde wegen der angenehmeren und vielfach noch gebrauchlichen Schreibweise die Bezeichnung [t] beibehalten. Zum SchluB ist es mir eine angenehme Aufgabe, mich bei meinen ehemaligen luid jetzigen Assistenten fiir ihre Unterstiitzung bei der Bearbeitung der vorliegenden Auflage herzlichst zu bedanken. Insbesondere gilt mein Dank meinem langjahrigen treuen Mitarbeiter Herm Dozent Dr.-Ing. S. BOSNIAKOWSKI fiir seine aufopfernde Hilfe und kritische Einstellung zu alien auftretenden Fragen. Auch meinem immer regen langjahrigen Mitarbeiter Herm Dozent Dr.-Ing. K. H. LAERMANN sowie den Herren Dr.-Ing. E. HAKE, Dipl.-Ing. D. BORKENSTEIN und Dipl.Ing. K. D. BRATZ gebiihrt fiir ihren Einsatz mein uneingeschrankter Dank. SchlieBlich ist es mir ein Bediirfnis, dem Springer-Verlag fiir die vorbildliche Zusammenarbeit, das groBziigige Eingehen auf jeden Wunsch und nicht zuletzt fiir den sauberen Druck und die mustergiiltige Ausstattung des Buches zu danken. A a c h e n , im Sommer I969 K. Hirschfeld

Vorwort zur ersten Auflage Es gibt bereits eine Reihe sehr guter Statikbiicher. Dennoch habe ich mich zu dem vorliegenden Lehrbuch entschlossen, in dem Theorie und Beispiele etwa gleich stark betont zu Worte kommen. Der Inhalt ist eine z. T. gekurzte, z. T. aber auch erweiterte Vorlesung iiber Baustatik, die ich in den letzten 10 Jahren an der RheinischWestfalischen Technischen Hochschule Aachen fiir Bauingenieure gehalten habe. Der erlauternde Text ist klar, aber nicht zu breit gehalten. Die vielen Zahlenbeispiele sind sorgfaltig ausgewahlt, kapitelweise nach Schwierigkeitsgraden geordnet und vollkommen durchgerechnet. AUe fiir die jeweihge Aufgabe erforderlichen Rechnungen sind auch wirkUch hingeschrieben. Der Leser kann also jeden Rechenschritt genau verfolgen und sieht z. B. dariiber hinaus, welche Proben anzustellen sind und wie die Durchfiihrung im einzelnen zweckmaBig zu handhaben ist. Da es besonders in der Praxis darauf ankommt, moglichst schnell in den Besitz des Ergebnisses zu gelangen, so diirften, diesem Umstand Rechnung tragend, die im Kapitel VIII aufgenommenen Hilfstafeln geeignet sein, den sonst erforderlichen Zeitaufwand fiihlbar zu ermaBigen. Um den Preis in erschwinglichen Grenzen zu halten, durfte der Umfang des Buches liicht zu groB werden. Diese mir aus okonomischen Gesichtspunkten gestellten Bedingungen verlangten eine Beschrankung in der Auswahl und Darstellung des Stoffes. Mit Ausnahme des Kapitels VI wurde deswegen nur die Stabstatik behandelt und dabei die dem Ermessen des Verfassers als wichtig erscheinenden Verfahren herausgegriffen und anschaulich erlautert. Die durch die gewahlte Kiirze bei den Erlauterungen ermoglichte Platzeinsparung kam den Beispielen zugute. Um dem Leser des Buches auch Gelegenheit zu geben, weitere Beispiele selbst zu rechnen, ist in VII eine groBere Anzahl von Cbungsaufgaben zusammengestellt. Die Belohnung fiir das ernste Studium wird der Erwerb der Fahigkeit sein, ein Tragwerk nicht nur berechnen zu konnen, sondern gleichzeitig die fiir die statische Untersuchung zweckmaBigste Methode zu erkennen. Der gesamte Stoff ist in sechs Kapitel eingeteilt. Im Kapitel I befinden sich einleitend die allgemeinen Grundlagen der Baustatik. Welter ist dort eingehend die Feststellung des Gra,des der statischen Unbestimmtheit beschrieben, sowie fiir einige Flachenformen die Errechnung von Querschnittswerten hoherer Ordnung im einzelnen vorgefiihrt. Im Kapitel II ist das Verfahren der Kinematik behandelt und wegen seiner Anschaulichkeit und weiteren Vorziige besonders breit dargestellt. Der groBe Vorteil dieses Verfahrens tritt u. a. unverkennbar bei der Ermittlung von EinfluBlinien in Erscheinung. Kapitel III ist Gegenstand der Beschreibung von Formanderungen und verschiedenen Verfahren zu deren Bestimmung. Da die Kenntnis der Formanderungen fiir die statisch unbestimmten Tragwerke in den meisten Fallen eine notwendige Voraussetzung zur Berechnung der tJberzahligen ist, wurden die 11 Abschnitte dieses Kapitels in dem ihrer Bedeutung entsprechenden Umfang behandelt. Kapitel IV ist dem Verfahren zur Auflosung linearer Gleichungen gewidmet. In den meisten Fallen sind fiir die Ermittlung der statisch Unbestimmten Elastizitatsgleichungen aufzustellen, deren Auflosung dem weniger Geiibten zuweilen Schwierigkeiten bereitet. Aus diesem Grunde schien es geboten, die Erlauterungen in einem dem praktischen Rechnen angemessenen Umfang zu halten und durch verschiedene

Vorwort zur ersten Auflage

V

Zahlenbeispiele zu unterstiitzen. Auf die unterschiedliche Leistungsfahigkeit der Rechenmaschinen wurde dabei weitgehendst Riicksicht genommen. Im Kapitel V sind verschiedene Berechnungsverfahren vorgefiihrt, solche fiir Schnittkraft- und EinfluBlinienermittlungen mit besonderer Betonung des Drehwinkel- und Festpunktverfahrens sowie der iterativen Verfahren. Beim Drehwinkel — wie auch beim CROSS-Verfahren wurde die Rechnung auch auf Tragwerke mit gekriimmten Riegeln ausgedehnt. Ebenso wurde hier wie bei dem KraftgroBenverfahren (Zo-Methode), in der Theorie und durch Beispiel untermauert, auf die BeeinfluBbarkeit der Schnittkrafte und Bodenpressungen durch den Einspanngrad der Fundamentsohle hingewiesen. Statt der — besonders bei mehreren Stabanschliissen in einem Knoten — oft uniibersichtlichen Zahleneintragungen in die Systemskizze beim Momentenausgleich nach CROSS wurde zum Teil die viel iibersichtlichere Form der Tabelle gewahlt. Desgleichen wurde das Verfahren von KANI, das sich in der Praxis neben CROSS groBer Beliebtheit erfreut, in seinen theoretischen Zusammenhangen ausfiihrhch erlautert. Die Zahlenbeispiele sind oftmals dieselben wie bei anderen Verfahren, so daB der Leser ein Gefiihl fiir die ZweckmaBigkeit des zu wahlenden Verfahrens und den erforderlichen Arbeitsaufwand gewinnt. Durch die Spannbetonbauweise erhielt der Vierendeeltrager wieder erhohte Bedeutung. Aus diesem Grunde schien es gerechtfertigt, dafiir einen besonderen Abschnitt vorzusehen. Fiir die wesentlichsten Belastungsfalle wurden geschlossene Formeln entwickelt und auf einige Zahlenbeispiele angewandt. Der daran anschlieBende Abschnitt erstreckt sich auf die Berechnung von Nebenspannungen in Fachwerktragern. Im Kapitel VI sind Moglichkeiten der Berechnung des Balkens und der Kreisplatte auf elastischer Unterlage gezeigt und schlieBlich im Kapitel VIII, wie schon bemerkt, einige fiir die Rechnungen nutzliche und zeiteinsparende Hilfstafeln zusammengestellt. Das Buch wird abgeschlossen mit einer Literaturschau und einem Schlagwortverzeichnis. Am Rande sei noch bemerkt, daB weder in der Stoffauswahl noch in der Zusammenstellung der Literatur Vollstandigkeit angestrebt wurde. Es ware mir Freude und Lohn der Arbeit zugleich, wenn das Buch in dieser Form bei den Studierenden und den Bauingenieuren in der Praxis die Aufnahme finden wiirde, die ich zu erwarten gewagt habe und die mir die Kraft zur Cbernahme dieses Arbeitsaufwandes gegeben hat. AbschlieBend ist es mir ein besonderes Bediirfnis, meinen Assistenten, den Herren Dr.-Ing. G. BUSCHER, Dipl.-Ing. S. BOSNIAKOWSKI, Dipl.-Ing. F. K. KAYMER und Dipl.-Ing. K. H. LAERMANN fiir ihre tatkraftige, uneigenniitzige und wertvoUe Mitarbeit herzlichst zu danken. Ohne diese Hilfe ware es schwerlich moglich gewesen, dieses Werk mit den vielen Zahlenrechnungen und Abbildungen in der kurzen Zeit fertigzustellen. Nicht zuletzt gilt mein ganz besonderer Dank dem Springer-Verlag, der mit stets klarem Blick auf meine Wiinsche eingegangen ist und dieser umfangreichen Arbeit mit dem schwierigen Druck die dem Verlag eigene, gute Ausstattung angedeihen lieB. A a c h e n , im Herbst 1958 K. Hirschfeld

Inhaltsverzeichnis Erster Teil (S. 1-768) I. Einiges iiber die Grundlagen der Baustatik i. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Einfiihrung Lehre von den Kraften Anwendung auf einfachste statische Systeme •. . . . Gleiohgewichtsbedingungen in der Ebene Grundformen der Tragwerke Darstellung von Auflagerungsmoglichkeiten Bestimmung des Grades der statischen Unbestimmtheit Berechnung von Tragheitsmoment, Zentrifugalmoment und Schwerpunkt . . . Parabelkonstruktionen

II. Der statisch bestimmte ebene Trager A. VoUwandtrager unter ruhender Belastung 1. Grundlagen 2. Das Schnittverfahren a) Der Trager auf zwei Stiitzen b) Der Krag- oder Freitrager c) Der Trager mit iiberkragendem Ende d) Der Gerbertrager e) Trager unter Lastmomenten f) Der Dreigelenkbogen g) Der verstarkte Balken niit Zwischengelenken 3. Beziehung zwischen Biegemoment, Querkraft und Belastung B. Fachwerktrager unter ruhender Belastung 1. 2. 3. 4.

AUgemein . Bildungsgesetze Arten der Fachwerke Berechnungsverfahren a) Stabkraftermittlung nach CREMONA b) Schnittverfahren a) Graphisches Verfahren nach CULMANN jS) Rechnerisches Verfahren nach RITTER 5. Das K-Fachwerk

C. EinfluBlinien bei VoUwandsystemen 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

AUgemein Der einfache VoUwandtrager Der Kragtrager Der Gerbertrager Der Dreigelenkbogen Der Stabbogen Die Hangebriicke

1 1 2 9 10 10 11 13 20 27 29 29 29 30 30 37 38 41 42 45 48 54 56 56 57 57 57 57 59 59 59 60 62 62 63 65 66 68 70 70

Inhaltsverzeichnis D. EinfluBlinien bei Fachwerken 1. Das Strebenfachwerk 2. Fachwerk mit beliebig geneigtem Ober- und Untergurt 3. Das Standerfachwerk 4. Das K-Fachwerk III. Das Verfahren der Kinematik i. 2. 3. 4. 5.

6. 7.

8. 9.

AUgemein Die Bewegung der starren Scheibe Die zwanglaufige kinematische Kette Polplane EinfluBlinien mit Hilfe von Polplanen a) Anwendung auf das Fachwerk b) Anwendung auf den Gerbertrager c) Anwendung auf den Dreigelenkbogen EinfluBlinien fiir die Kernpunktmomente d) Anwendung auf andere Tragwerke Feststellung der Verschieblichkeit mit Hilfe von Polplanen Das Verfahren der F'-Figuren a) Verfahren der um 90° gedrehten Geschwindigkeiten . . ' b) Verfahren der wirklichen Geschwindigkeiten Feststellung der Verschieblichkeit mit Hilfe der F'-Figur Berechnung einer Schnittkraft mit Hilfe der jp'-Figur

IV. Formanderungen 1. Die elastischen Formanderungen a) Stabdehnung infolge einer Normalkraft b) Formanderung infolge eines Biegemomentes c) Formanderung infolge einer Querkraft d) Formanderung infolge eines Drehmomentes e) Formanderung infolge einer Temperaturanderung f) Zusammenstellung der einzelnen FormanderungsgroBen 2. Formanderungsarbeit a) AUgemein b) Arbeit der auBeren Krafte c) Arbeit der inneren Krafte (Formanderungsarbeit) 3. Das Prinzip der virtuellen Verriickungen und der virtuellen Arbeiten bei elastischen Korpern a) Entwicklung am Fachwerk b) Entwicklung am Stabwerk c) Zusammenfassung d) Anwendung der Arbeitsgleichung auf die vier Grundaufgaben 4. Die Satze von der Gegenseitigkeit der elastischen Formanderungen a) Satz von BETTI von der Gegenseitigkeit der Verschiebungsarbeit b) Satz von MAXWELL von der Gegenseitigkeit der elastischen Formanderungen

VII 70 70 73 74 77 77 77 77 79 80 82 82 85 87 90 92 98 100 100 112 114 116 120 120 121 121 124 125 131 132 132 132 133 134 135 135 136 137 137 139 139 140

5. Satz von CASTIGLIANO

141

6. Die Mohrschen Satze a) Zeichnerisches Verfahren b) Rechnerisches Verfahren 7. Auswertung von Formanderungsintegralen a) AUgemein b) Auswerteformel c) Benutzung der MfM^-Taieln d) Stab mit veranderlichem Tragheitsmoment e) Numerische Integration 8. Das Verfahren der o>-Zahlen 9. Verfahren derW^-Gewichte a) AUgemein

143 144 145 149 149 150 151 151 152 153 I6I 161

VIII

Inhaltsverzeichnis

b) IF„-Gewichte a m Stabwerk a) EinfluB der Momente auf die Formanderungen 1. W„-Gewicht fur den einfachen Trager 2. W„-Gewicht iiber deui Auflager 3. W„-Gewicht in einem Gelenkpunkt /3) EinfluB der Querkrafte auf die Formanderungen y) EinfluB der Normalkrafte auf die Formanderungen d) W„-Gewichte infolge Temperaturanderung 1. GleichmaBige Temperaturanderung 2. UngleichmaSige Temperaturanderung c) W„-Gewichte a m Fachwerk 10. Der Williotsche Verschiebungsplan a) AUgemein b) Stabe a und b an ein starres Widerlager angeschlossen c) Stabe a und b an ein elastisches Widerlager angeschlossen d) Verschiebungsplane ganzer Fachwerke e) Beispiele 11. Formanderungen an statisch bestimmten Tragwerken

151 162 162 163 154 I7I 172 177 177 177 I77 185 185 185 186 187 I90 198

V. Verfahren zur Auflosung linearer Gleichungen

202

1. Auflosung mit Hilfe von Determinanten

202

a) AUgemein b) Einiges iiber Determinanten c),Auflosung von linearen Gleichungen d) Anwendung auf Elastizitatsgleichungen

202 202 205 205

2. Eliminationsverfahren a) AUgemein b) Das gewohnliche Eliminationsverfahren

207 207 208

c) Das Eliminationsverfahren von GAUSS

212

d) Der mechanisierte Algorithmus e) Auflosung eines Systems dreigliedriger Gleichungen f) Die unbestimmte Auflosung linearer Gleichungssysteme

218 229 232

VI. Berechnung statisch unbestimmter Systeme 1. K r a f t g r o B e n v e r f a h r e n

. ." .

236 _

235

a) Rechnung mit statisch bestimmtem Grundsystem 235 a) Als Unbekannte wird eine Kraft gewahlt 237 Beispiel 1: Trager auf 3 Stiitzen 238 Beispiel 2 ; Zweigelenkrahmen 240 j8) Als Unbekannte wird ein Moment gev^ahlt 241 Beispiel 3 : Trager auf 3 Stiitzen unter Beriicksichtigung der Querkrafte 242 y) Weitere Anwendungsbeispiele 244 Beispiel 4 : Trager auf 3 Stiitzen mit Biegelinien 244 Beispiel 5: Trager auf 3 Stiitzen mit veranderlichem Tragheitsmomentenverlauf 249 Beispiel 5: Fachwerk 252 Beispiel 7: Fachwerktrager auf 3 Stiitzen 254 Beispiel 8: Zweistieliger ZweigeschoBrahmen 257 Beispiel 9: Elastisch gestiitzter Durchlauftrager mit biegesteifer Endstutze 260 Beispiel 10: Zweigelenkrahmen mit gekriimmtem Riegel und Zugband. . 263 Beispiel 1 1 : Rahmenartiges Tragwerk 266 Beispiel 12: Zweigelenkbogen mit halbkreisformigem Riegel 271 Beispiel 13 : Zweistieliger Rahm^en unter Beriicksichtigung einer elastischen Einspannung 277 b) Rechnung mit statisch unbestimmtem Grundsystem 283 Beispiel 14: Zweifeldtrager, an den Enden eingespannt 283 Beispiel 15: Zweigelenkrahmen mit mittlerer Pendelstiitze 284 Beispiel 16: Zweigelenkrahmen mit gekriimmtem Riegel und Zugband . . . 286 Beispiel 17: Elastisch gekoppelte, eingespannte Trager 290

Inhaltsverzeichnis c) Rechnung mit geschatzten Unbekannten Beispiel 18: Zweigelenkrahmen Beispiel 19: Trager auf 3 Stiitzen

1. Formanderungsproben Beispiel 20: Einhiiftiger eingespannter Rahmen Beispiel 2 1 : Trapezrahmen, ein Stiel eingespannt, ein Stiel gclenTiig gelagert 2. Der Reduktionssatz a) Stabwerk b) Fachwerk Beispiel 22: Beiderseits eingespannter Trager Beispiel 23 : Einseitig eingespannter Trager e) Torsion am statisch unbestimnaten Trager

294 294 295 296 297 298 299 299 300 300

Trager unter auBermittigen Vertikal^ 302 Trager unter der Last einer halbkreis302 Trager unter der Last einer dreieck304 Trager unter der Last einer cosinus-

f) EinfluBlinien

304 305

1. EinfluBlinien fiir Schnittkrafte a) EinfluBlinien fiir n = 1-fach unbestimmte Tragwerke Beispiel 28: Zweifeldtrager Beispiel 29: Zweifeldtrager, im GrundriC abgewinkelt Beispiel 30: Zweifeldtrager mit waagerechter auBermittiger Einzellast. Beispiel 3 1 : Zweifeld-Fachwerktrager mit einer auf einem Schwimmer ruhenden Mittelstiitze Beispiel 32: Fachwerkbogen mit Zugband Beispiel 33: Langersche Balken b) EinfluBlinien fiir mehrfach statisch unbestimmte Systemc a) Bestimmungen mit Hilfe der (S-Zahlen . Beispiel 34: Durchlauftrager Beispiel 35: Zweifeldtrager, im GrundriB gekriimmt Beispiel 36: Fachwerktrager mit biegesteifem Obergurt /S) Bestimmung am {n — 1)-fach statisch unbcstimmten System . . . Beispiel 3 7 : Dreifeldtrager mit Gelenk 2. EinfluBlinien fiir Formanderungen Beispiel 38: Rahmen Beispiel 39: Euigespannter Einfeldtrager mit Kragarm Beispiel 40: Rahmen Beispiel 41 : Rahmenartiges Tragwerk g) Verfahren der Gruppenlasten 1. Gruppenlasten a) AUgemein b) Beispiele Beispiel 42: Beispiel 43 : Beispiel 44: Beispiel 45: Beispiel 46:

293 293 294

d) Formanderungsproben und Reduktionssatz

Beispiel 24: Beiderseits eingespannter lasten Beispiel 25; Beiderseits eingespannter formigen Kragplatte Beispiel 26: Beiderseits eingespannter formigen Kragplatte Beispiel 27: Beiderseits eingespannter formigen Kragplatte

IX

Dreifeldtrager Rahmentragwerk, « = 4 Eingespannter ZweigeschoBrahmen, K = 6 Zweigeschossiges Rahmentragwerk, « = 9 Tragerrost, K = 4

2. Lastgruppen a) AUgemein b) Erlauterungsbeispiele 1. Beispiel: Dreifeldtrager 2. Beispiel: Dreistieliger Rahmen 3. Beispiel: Tragerrost

305 305 307 309 311 315 318 323 327 327 328 330 341 350 351 350 355 36I 364 366 37O 37O 37O 373 373 379 382 388 398 403 403 404 404 404 405

X

Inhaltsverzeichnis c) Zahlenbeispiele Beispiel47: Dreistieliger Rahmen Beispiel 48: Silozelle mit Mittelwand Beispiel 49: Tragerrost 1. Beriicksichtigung der Verdrehungssteifigkeit 2. Vemachlassigung der Verdrehungssteifigkeit 3. Elastischer Schwerpunkt a) AUgemein b) Beispiele Beispiel 50: Geschlossener Rahmen Beispiel 5 1 : Eingespannter Bogen mit aufgestandertem Gerberbalken . Beispiel 52: Kreisring unter Einzellasten in der Ringebene Beispiel 53: Silozelle mit Mittelwand h) Dreimomentengleichung i. AUgemein 2. Dreimomentengleichung bei auf Feldlange konstantem Tragheitsmoment. a) Aufstellung der Dreimomentengleichung b) Bestimmung der Belastungsglieder c) Beispiele Beispiel 54: Zweifeldtrager Beispiel 55: Trager mit einseitiger Einspannung Beispiel 56: Trager mit beiderseitiger Einspannung Beispiel 57: Eingespannter Rahmen unter Erddruck Beispiel 58: Rechteckige Silozelle 3. Dreimomentengleichung bei auf Feldlange veranderlichem Tragheitsmomentenverlauf a) Aufstellung der Dreimomentengleichung b) Beispiele Beispiel .59: Zweifeldtrager Beispiel 60: Dreifeldtrager i) Viermomentengleichung 1. Aufstellung 2. Beispiele Beispiel 6 1 : Beispiel 62: Beispiel 63 :

der Viermomentengleichung Einhiiftiger Rahmen Rahmenkreuz mit gelenkiger Endlagerung Rahmentragwerk

k) Fiinfmomentengleichung 1. AUgemein 2. Federkonstanten 3. Fiinfmomentengleichung bei feldweise konstantem Tragheitsmoment . . a) Aufstellung der Gleichung b) Bestimmung der Belastungsglieder 4. Fiinfmomentengleichung bei auf Feldlange veranderlichem Tragheitsmoment Beispiel 64 : Tragerrost Beispiel 65: Sechsfeldtrager, auf Pontons gelagert 2. F o r m a n d e r u n g s v e r f a h r e n A. Das Drehwinkelverfahren 1. AUgemeines und Bezeichnungen 2. Zusammenhang zwischen Stabendmomenten und FormanderungsgroBen . a) Der beiderseits fest eingespannte Stab b) Der an einem Ende fest eingespannte, am anderen Ende frei drehbar verschieblich gelagerte Stab 3. Anzahl der zu berechnenden FormanderungsgroBen

405 405 406 408 408 419 420 420 424 424 427 435 437 448 448 449 449 451 453 453 453 454 4 54 454 455 455 457 457 459 462 462 463 463 464 464 465 465 466 466 466 468 469 470 482 489 489 489 491 491 492 493

Inhaltsverzeichnis 4. Rahmentragwerke rtiit unverschieblichetn Knotennetz bei feldweise konstantem Tragheitsmoment Beispiel 1: Rahmenkreuz mit Endeinspannung Beispiel2: Mehrstieliges Rahmentragwnrk Beispiel 3; Rahmentragwerk mit Gelenken an den Auflagerpunkten . . Beispiel 4: Dreistieliger ZweigeschoBrahmen unter einer Riegellast q = const. 5. Rahmentragwerke m,it verschieblichem Knotennetz a) AUgemeines b) Aufstellen dfer Gleichungen c) Beispiele Beispiel 5: Zweistieliger ZweigeschoBrahmen Beispiel 6: Stockwerkrahmen unter horizontalen Einzellasten . . . . 6. Knoten- und Verschiebungsgleichungen bei Rahmenstaben mit veranderlichem Tragheitsmoment a) Der beiderseits elastisch eingespannte Stab b) Der einseitig elastisch eingespannte, auf der anderen Seite frei drehbar gelagerte Stab Beispiel 7: Dreistieliger Rahmen mit veranderlichem Tragheitsmoment 7. Sonderfalle nicht gerade verlaufender Rahmenstabe a) Rahmenriegel in der Mitte abgewinkelt b) Rahmenriegel parabolisch gekriimmt c) Zusammenstellung der Beiwerte fur die Drehwinkelgleichungen . . . d) Beispiele Beispiel 8: Rahmen mit geknickt verlaufendem Riegel Beispiel 9: Rahmentragwerk mit parabolisch gekriimmten Riegeln . . 8. EinfluBlinien a) EinfluBlinien fiir Stabendmomente bei feldweise konstantem Tragheitsmoment b) EinfluBlinien fiir Feldmomente bei feldweise konstantem Tragheitsmoment c) EinfluBlinien fiir Stabendmomente bei veranderlichem Tragheitsmoment d) EinfluBlinien fiir Feldmomente bei veranderlichem Tragheitsmoment . e) EinfluBlinien fiir Querkrafte f) EinfluBlinien fiir Normalkrafte Beispiel 10: EinfluBlinie fiir ein Stabendmoment Festpunktverfahren i. AUgemein 2. Der Durchlaufbalken a) Rechnerisches Verfahren a) Berechnung der Festpunkte jS) Berechnung der Stiitzenmomente eines belasteten Feldes bei Belastung nur dieses Feldes y) Rechnungsgang fiir den durchlaufenden Balken S) Lastfall Stiitzensenkung , b) Zeichnerisches Verfahren a) Ermittlung der Festpunkte fS) Bestimm.ung der Stiitzenmomente eines belasteten Feldes bei Belastung nur dieses Feldes y) Bestimmung von Kreuzlinienabschnitten 3. Rahmentragwerke a) Berechnung der Festpunkte b) Rechnungsgang fiir unverschiebliche Rahmentragwerke c) Rechnungsgang fiir verschiebliche Rahmentragwerke 4. EinfluBlinien a) Ermittlung von EinfluBlinien fiir die Stiitzenmomente eines durchlaufenden Balkens b) Ermittlung von EinfluBlinien fiir die Stabendmomente von Rahmentragwerken c) Ermittlung von EinfluBlinien fiir die Feldmomente eines durchlaufenden Balkens d) Ermittlung von EinfluBlinien fiir die Feldmomente von Rahmentragwerken

XI 494 494 495 497 499 500 500 500 503 503 507 511 511 514 51 5 519 519 522 523 523 523 527 532 532 533 533 534 534 534 534536 536 536 536 536 539 540 541 542 542 543 543 546 546 548 548 549 549 551 552 554

XII

Inhaltsverzeichnis 5. Beispiele Beispiel 1 1 : Durchlaufbalken mit konstantem Tragheitsmoment . 1. Rechnerische Losung 2. Zeichnerische Losung Beispiel 12; Durchlaufbalken mit veranderlichem Tragheitsmoment Beispiel 13: Unverschiebliches Rahmentragwerk m i t veranderlichem heitsmoment Beispiel 14: Verschiebliches Rahmentragwerk Beispiel 15: Verschieblicher Durchlaufrahmen m i t veranderlichem heitsmoment

. . . . . . Trag-

555 555 556 558 558 566 575

Trag-

3. I t e r a t i o n s v e r f a h r e n A. Momentenausgleichsverfahren von CROSS

1. Tragwerke mit feldweise konstantem Tragheitsmoment a) AUgemein b) Bezeichnungen und Rechnungsgrundlagen a) Vorzeichenfestsetzung ;8) Steifigkeiten k y) Verteilungszahlen jj, d) Fortleitungs- oder tJbertragungszahlen y E) Zusammenstellung der Begriffe c) Unverschiebliche Tragwerke a) AUgemeine Erlauterung zur Durchfiihrung des Ausgleichsverfahrens /S) Beispiele Beispiel 1: Durchlaufbalken Beispiel 2 : Durchlaufbalken Beispiel 3 : Durchlaufbalken Beispiel 4 : Zweistieliger eingespannter Rahmen Beispiel 5: Unverschieblicher Rahmen y) Ausnutzung der Symmetrie von Tragwerk und Last 1. Tragwerke mit Feldsymmetralen Beispiel 6: Durchlaufbalken Beispiel 7: Zweistieliger Rahmen 1. Feste Eiaspannung der Stiele 2. Elastische Einspannung der Stiele in den Boden . Beispiel 8: Stockwerkrahmen 2. Tragwerke mit Auflager- oder Knotensymmetralen Beispiel 9: Durchlaufbalken Beispiel 10: Dreistieliger Rahmen Beispiel 11: Rahmen mit schragen AuBenstielen d) Verschiebliche Tragwerke a) AUgemein jS) Ermittlung der Festhaltekrafte 1. Bei verhinderter waagerechter Verschiebung der Knotenpunkte 2. Bei verhinderter lotrechter Verschiebung der Knotenpunkte . . y) Ermittlung des Stockwerkschubes 6) Abhangigkeit zwischen Verschiebung und Moment e) Beispiele Beispiel 12: Verschieblicher dreistieliger Rahmen Beispiel 13: Eingeschossiger dreistieliger Rahmen Beispiel 14: Zweigeschossiger Rahmen Beispiel 15: Eingespannter Rahmen mit schragen Staben f) Die Belastungsumordnung bei symmetrischen Stabwerken . . . . 1. Bei Knotensymmetralen 2. Bei Feldsymmetralen Beispiel 16: Eingeschossiger symmetrischer dreistieliger Rahmen. . e) Verschiebliche Tragwerke, Momentenermittlung in einem Rechengang a) AUgemein |8) Der beiderseitig elastisch eingespannte Stab y) Der an einem Ende eingespannte, a m anderen Ende frei drehbar gelagerte Stab 6) Beispiele Beispiel 17: Dreistieliger Rahmen Beispiel 18: Dreigeschossiger unsymmetrischer Rahmen Beispiel 19: Zweigeschossiger symmetrischer Rahmen

580 59I 591

591 59I 592 592 592 595 596 596 596 596 600 600 600 601 603 604 606 606 606 606 606 607 609 610 610 612 612 616 616 618 618 619 619 620 622 622 629 631 634 640 640 641 642 648 648 649 651 652 652 654 658

Inhaltsverzeichnis

XIII

2. Tragwerke mat veranderlichem Tragheitsmoment a) AUgemein b) Bezeichaungen und Rechnungsgrundlagen a.) Ubertragungszahlen y ;S) Steifigkeiten k y) Verteilungszahlen /i (5) Festeinspannmomente c) Zusaimnenfassung sowie Benutzung von Tafelwerten d) Beispiele . , Beispiel 20: Durchlaufbalken mit Vouten Beispiel 2 1 : Dreistieliger Rahmen Beispiel 22: Symmetrischer Rahmen (U-Bahnprofil) Beispiel 2 3 : KontroUe der Zahlenrechnung e) Rahmen mit gekriimmten Riegeln a) AUgemein /S) Rechnungsgrundlagen und Vorzeichenfestsetzung y) Bestimmung der Steifigkeiten und Fortleitungszahlcn

^ > 1036 Beispiel 23 (Bild I 23) j ^ 1 ^ - — ^ ^ ^ r^^—^ 1041 Beispiel 24 (Bild I 24) / Zl 123 Izii 1044 c) Raumliche Stabwerke . . 1049 a) Theorie 1049 jS) Zahlenbeispiele . . . . 1051 Beispiel 25 (Bild I 25) . 1051 Beispiel 26 (Bild I 26) . 1055 Beispiel 27 (Bild I 27) . fzs IlS l27. 1057 y) Das Momentenausgleichsverfahren von CROSS 1062 1062 Beispiel 28 (Bild I 28) 1062 Beispiel 29 (Bild I 29)

6) Verfahren mit der Differentialgleichung, angewandt auf den 1. AUgemeines und 2. Formanderungen 3. Zahlenbeispiele Beispiel 30 (Bild Beispiel 31 (Bild Beispiel 32 (Bild Beispiel 33 (Bild

l!8 i

I29.

Kreisringtrager Bezeichnungen und Schnittkrafte I I I I

IO62 1062 1064 1065 IO65 1071 1074 1083

30) 31) 32) 33)

133 "TO 6. Rippenkuppeln

1092

a) Einfuhrung 1092 b) AUgemeine Darstellung der Berechnung 1094 I. Rippenkuppeln unter rotationssymmetrischer Last 1094 II. Rippenkuppeln unter antimetrischer Belastung zweicr, in einer Meridianebene liegender Rippen 1097 1. Berechnung der Knotenkrafte 1097 2. Vertikale Knotenverschiebungen a m Laternenring I099 3. Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der VcrschicbungsgroBen 1099 4. Endgiiltige Knotenkrafte 1100 I I I . Rippenkuppeln unter symmetrischer Belastung zweier, in einer Meridianebene liegender Rippen 1101 1. Berechnung der Knotenkrafte 1101 2. Berechnung der radialen Knotenverschiebungen eines polygonalen Ringes 1102 a) Der Ring wird durch symmetrische Krafte belastet 1102 /3) Der Ring wird durch zwei symmetrische Einheitslasten beansprucht 1102 y) Bestimmung der Radialverschiebungen 1103 3. Berechnung der radialen Knotenverschiebungen eines Kreisringes . . 1104 a) Der Ring wird durch symmetrische Krafte belastet . . . •. . . 1 1 0 4 /?) Der Ring wird durch zwei symmetrische Einheitslasten beansprucht 1105 y) Bestimmung der Radialverschiebungen 1105 6) Naherungslosungen 1105 Hirsohfeia, Baustatik, 3. Aufl.

a

XVIII

Inhaltsverzeichnis 4. Biegemomente in einem RiBg infolge einer Belastung, die zur Achse I—I symmetrisch und zur A c h s e / / — / / antimetrisch wirkt a) Der polygonale Ring /S) Der Kreisring c) Anwendungsbeispiele Beispiel 34: Rippenkuppel unter rotationssymmetrischer Belastung (Bild I 34) Beispiel35: Rippenkuppel unter beliebiger Belastung (Bild I 35) a) Antimetrische Belastung zweier Rippen (Bild 137a—c) . . b) Symmetrisclie Belastung zweier Rippen (Bild I 37 a—c) . . c) Belastung einer Rippe (Bild I 37a—c) Beispiel 36: Berechnung einer Rippenkuppel nach dem Verfahren von DiscHiNGER (Bild I 36)

IX. Reduktionsverfahren 1. Einfilhrung 2. Entwicklung des Verfahrens fiir deu Tragerabschnitt a) Das Gleichungssystem fiir die charakteristischen GrSBen b) Ermittlung der BelastungsgroBen c) Das Gleichungssystem als Matrizengleichung 3. Einfeldtrager a) Die Verkniipfung mehrerer Abschnitte b) Die Randbedingungen c) Berechnung der Schnittkraite und Verformungen d) Beispiel 1: Einfeldtrager mit Einzellast e) Zusammenfassende Erlauterung 4. Durchlauftrager a) Feldgrenzen und Sprungvektoren b) Das Ablosen der Konstanten c) Die Berechnung der Vektoren 4|b( und !),_» d) Beispiel 2 : Zweifeldtrager mit Gleichlast p 5. Allgemeines Rechenschema a) Aufbau b) Beispiel 3 : Zweifeldtrager mit gemischter Belastung 6. Einflueiinien . a) Allgemein b) Beispiel 4 : Einseitig eingespannter Trager 7. Programmierung des Reduktionsverfahrens a) Allgemein b) Bezeichnungen und Indizes c) Ablaufdiagramm X. Aufgaben XI Hilfstafeln 1 2 3 4 5 6:

Vorzeichenregeln fiir einige Verfahren der Statik Schwerpunkte von T-Querschnitten Tragheitsmomente von T-Querschnitten Auflagerdrucke und Biegemomente von Krag- und Einfeldtragem Einspannmomente und Horizontalschiibe fiir parabelformige Rahmenstabe mit I = IJcosq) infolge verschiedener Lasten Momente und Horizontalschiibe fiir geknickt verlaufende Rahmenstabe infolge verschiedener Lasten

1107 H07 1108 1109 1109 1112 1112 1114 III9 1123

1125 1125 1126 1126 1127 1128 1129 1129 1129 II3I 1131 1135 1135 1135 1137 1138 1139 1142 1142 1144 1147 1147 1148 1150 1150 1151 1152 1154 II67 II67 1168 H69 II70 1178 1180

Inhaltsverzeichnis

XIX

Einspannmomente und Auflagerkrafte beim kreisformigen Bogen mit / = const. 1182 infolge lotrechter Gleichlast Einspannmomente und Auflagerkrafte beim kreisformigen Bogen mit I = const. 1182 infolge waagerechter Gleichlast 1183 9: Belastungsglieder 2 und 31 (Kreuzlinienabschnitte) 10: Zahlenwerte 13: Zahlenwerte fiir y, k und JWf(J) fiir Stabe mit / = CXD an einem Ende . . . 14: Zahlenwerte fiir y, k und M{A) fiir symmetrische Stabe mit / = 00 an beiden Enden H i l f s w e r t e fiir d e n D u r c h l a u f t r a g e r 15: Trager unter feldweiser Gleichlast 16: Trager unter feldweise wirkenden Einzellasten (je 1 Last) 17: Trager unter feldweise wirkenden Einzellasten (je 2 Lasten) 18: Trager unter feldweiser Dreiecksbelastung 19: Stiitzmomente in Abhangigkeit von den Belastungsgliedern E i n f l u B z a h l e n fiir d e n E i n f e l d t r a g e r 20: Gelenkig gelagerter Trager 2 1 : Einseitig eingespannter Trager 22: Beidseitig eingespannter Trager E i n f l u B z a h l e n fiir d e n B o g e n u n d fiir d e n g e k n i c k t v e r l a u f e n d e n Rahmenstab 23: Kreisformiger Bogen mit / - = const 24: Parabelformiger Bogen mit / = IJcos

'-Achse bezogen

ly = J

x'dF.

(F)

Abb. 80

I m Unterschied zum Tragheitsmoment wird das Zentrifugalmoment (Deviationsmoment) erklart als die Summe aller P r o d u k t e a u s den Flachenelementen u n d deren rechtwinkligen Abstanden von beiden Achsen. Auf das Achsensystem x — y bezogen, betragt es Ixy = f xydF.

m

Auf einen P u n k t bezogen, ergibt sich das polare Tragheitsmoment I p . Setzt m a n in 'r^dF die Beziehung r^ ^ x^ -^ y^ ein, so wird

Ip = / (** + y') dF = Jx^ dF +J y^ dF = Ix + ly. (#)

{,!•)

(F)

Bei aufeinander senkrecht scehenden Achsen ist also das polare Tragheitsmoment gleich der Summe der beiden axialen Tragheitsmomente. I n diesem Zusammenhang diirften noch einige Merksatze erwahnenswert sein: 1. D a s statische Moment des Gesamtquerschnitts in bezug auf seine Schwerachse ist gleich Null. 2. Das Zentrifugalmoment in bezug auf ein Symmetrie-Achsensystem ist gleich Null; dabei gentigt es schon, daB eine Achse Symmetrieachse ist. 3. Die beiden einander zugeordneten Achsen, fiir die das Zentrifugalmoment gleich Null wird, nennt m a n konjugierte Achsen. 4. Wahrend die Tragheitsmomente n u r positiv werden konnen, kann das Zentrifugalmoment auch negativ sein.

21

8. Berechnung von Tragheitsmoment, Zentrifugalmoment und Schwerpunkt

b) tlbergang auf andere Achsensysteme a) Parallelverschiebung des Achsensystems. Durch Parallelverschiebung des Achsensystems um f und r] (Abb. 81) entstehen die Tragheitsmomente I^ = jyidF = j (ys + n?dF = f yjdF + 2rj f ysdF + 7^^ JdF, ly = jx^dF = j{x> + ifdF = / x^.dF + 2^fxsdF + PfdF. Da das statische Moment bezogen auf die Schwerachse gleich Null ist, so entfallen die beiden Glieder Irj J ys dF sowie 2i J Xs dF und es wird Ix = Ix. + Ffl^ bzW. Iy = Iy.+FS^. (4) Diese Ausdriicke (4), als Steinerscher Satz bekannt, zeigen, daB das Tragheitsmoment einer Flache in bezug auf eine zur Schwerachse parallele Achse groBer ist als das auf die Schwerachse bezogene, und zwar um das Produkt aus der Flache und dem Quadrat des Schwerpunktabstandes dieser Flache von der betrachteten Achse. Ist z. B. Ix gegeben und /j gesucht (Abb. 82), so braucht man nicht den Weg liber die Schwerachse zu gehen, sondern kann unmittelbar folgern: ys

I. = I.. + fyl

1

ys •

Zieht man die obere Gleichung von der unteren ab, so verbleibt 7 _ r , E/,,2 (5) Ii = Ix+F(yl+2y.,y^).

^

Abb. 81

Fiir das Zentrifugalmoment einer Flache gilt fxp = f

xydF.

(F)

Abb. 82

Mit X = Xg + S

Abb. 83

und

y = y^ -\- r] wird dann

Ixy = f(xs + i){ys +rj)dF == J xsysdF + ^ J ysdF + rj f XgdF + ir; f dF, Ixp = Ix.y. + F^rj. (6) Eine VergroBerung des auf die Schwerachse bezogenen Zentrifugalmomentes tritt also nur bei gleichzeitiger Verschiebung beider Bezugsachsen auf. In diesem Falle ist der Zuwachs gleich dem Produkt aus der Flache und deren beiden Schwerpunktabstanden. /3) Drehung des Achsensystems. Die Transformation der Momente zweitcr Ordnung bei Drehung des Achsensystems gestaltet sich wie folgt (Abb. 83): Gegeben: Ix, ly, I.xy I gesucht: Ii, /,, Ii^,-

22

I- Kiniges fiber die Grundlagen der Baustatik

Unter Einfiihrung der Koordinaten i = X cosoi + y sina, r] = y cosa — x sina wird Ii = jrfdF = cos'^oi f y^dF + sin^oi f x^dF — 2 sina cosa J x y dF, I^=fPdF = cos2a f x^dF -h sin^a f y^dF + 2smxcosa f XydF. Ii^ = JirjdF = sinix c o s a / y*dF — sina cosa / x'^ dF + + (cos^a — sin^a) f xy dF.

(7)

Werden die Extremalwerte der Tragheitsmomente gesucht, so sind die Tragheitsmomente auf die Hauptachsen zu beziehen. Unter Hauptachsen versteht man diejenigen aufeinander senkrecht stehenden Achsen, fur die das Zentrifugalmoment / { , verschvsdndet. Unter Heranziehung der Additionstheoreme cos^a — sin^a = cos2« und cosa sina = | s i n 2 a lauten die Ausdriicke /f = Ix cos^a + ly sin^a — IxysinZa, / , = Ipcos^a + Ixsin*a + /aj, sin2 a, ^

{7a)

ler, = {Ix — / v ) i s i n 2 a + /a;yC0s2a. Differenzieren wir die erste der vorstehenden Gleichungen und setzen dabei da

'

so folgt daraus

bei dem sich die Extremwerte von /{ und / , ergeben. Diese werden als Haupttragheitsmomente I^ und /g, die zugeordneten senkrecht aufeinander stehenden Achsen als Hauptachsen bezeichnet. Setzt man (8) in die dritte Gleichung von (7a) ein, so verschwindet das Zentrifugalmoment !(,,. Es sei noch bemerkt, daB sich die Summe der Tragheitsmomente bei einer Drehung des Koordinatensystems nicht andert. Es ist

Iz+Iy

= I(+Iri = Il + Ii = Ip.

Mit den beiden ersten Gleichungen von (7 a) und mit (8) ergeben sich nach einigen Umformungen die Haupttragheitsmomente h = max/{ = ? ( / * + I«) + k{Ix-

ly) C0s2a (1 + tg22a) >,

= Wx + ly) + \^[Ix-Iy?+^Ily.

It = ^nIn =

(9)

Wx+Iy)-\W7^^^WTJlly

Diese Beziehimgen lassen sich an einer einfachen graphischen Konstruktion, dem Mohrschen Tragheitskreis, darstellen (Abb. 84). Auf der Abszissenachse werden die Tragheitsmomente Ix, If, auf der Ordinatenachse die Zentrifugalmomente Ixy abgetragen. Damit kann der Mittelpunkt des Tragheitskreises bestimmt werden. Er besitzt die Abszisse — {Ix + ly) und die Ordinate Null.

8. Berechnung von Tragheitsmoment, Zentrifugalmoment und Schwerpunkt

23

Der Radius des Kreises ist durch die Verbindungslinie des Kreismittelpunktes mit dem Endpunkt einer der aufgetragenen 7a;j,-0rdinaten festgelegt. Der Schnittpunkt des Kreises mit der Abszissenachse liefert die Haupttragheitsmomente Zj, I^. Die Richtigkeit dieser Konstruktion geht aus dem Vergleich der Beziehungen (9) mit den geometrischen Zusammenhangen der Abb. 84 hervor, z. B. bei Anwendung des Satzes von Pythagoras.

Abb. S4

Umgekehrt lassen sich aus den Haupttragheitsmomenten J^, 7, auch die Tragheitsmomente Ix, ly und das Zentrifu^moment Ixy berechnen, die sich fflr ein um den Winkel cp gegen die Hauptachsen gedrehtes A;y-System ergeben. Aus der Abb. 84 folgt unmittelbar Ix-

^{h+h)+{{h-h)cos2q>. (10)

ly = ^ ( A + -^2) - -^ (A - -^2) cos29>,

+ ^ ( ^ i - ^ 2 ) s i n 2 9J.

Ixy —

Das gleiche Ergebnis hatte sich auch durch entsprechende Umformung aus (7 a) ergeben. c) Anwendungen a) Der masselose schrage Stab. Aus der Proportionalitatsbetrachtung (Abb. 85) folgt ds = —dy und damit

i. f—1 ^ — — 1^ = 71 j y'^y— " s i L s L i ! ^ 12 •

Abb. 85

Sofern die ar-Achse nicht durch den Schwerpunkt des Stabes verlauft (Abb. 86), ergibt sich mit Hilfe des Steinerschen Satzes Ix = Is + se^.

Ix = '-{t + seK Mit Si = yg — yi wird

Ix

12

+S

(a±a).

^3: = J (y! + yiy2 + yi)

24

I. Einiges iiber die Grundlagen der Baustatik

/3) Das Dreieck (Abb. 87). Auf die Spitze des Dreiecks bezogen:

0

auf die Basis bezogen: h 12 '

auf die Schwerlinie bezogen: Abb. 87

Is = Ix.-Fy' "1

1 ~i—""^ ' "^t , -

.rl

=

36

y) Zusammengesetzte Rechteckquerschnitte (Abb. 88 bis 90).

Ix.^Ix.-Fx\ Abb. 88

y

Oder auch

11

r,

F = Fi + F^,

s,< -e. r\

U. = h +

.

Iz+^e\^

(Auswertung hierzu siehe Tafel XI, 3).

Abb. 89

Si.r^.h

I

T

%

Ix. = h + h + h +

f--s,.r,.i,

eg

+ ^ (^1 ^2«?2 + F^F,e\,+

F,F,el,).

Abb. 90

II. Schwerpunkte a) Allgemein at) Schwerpunkt einer Linie (Abb. 91). . ,

s Xg = J as x; sy, = fdsy:

fxds

Xs = -

\

;

(11)

y, = '——.

/3) Schwerpunkt einer Flache (Abb. 92). F Xs = JdF x; Abb 91

Fyg=^ JdFy;

xs = '

F ys •• JydF

; (12) Abb. 9 2

25

8. Berechnung von Tragheitsmoment, Zentrifugalmoment und Schwerpunkt

b) Anwendungen auf die Parabelflache Schwerpunkt eines Parabelzwickels (Abb. 93)y = ya (T-)"

« = 3 gewahlt

Flache:

4- ' 0

°0

statisches Moment: S = I y x dx = -§ j x* dx

5

'

3Vfo_l_ _ 1 „

Schwerpunkt:

5

yo^o

5

"'

In den nachstehenden Abb. 94 und 95 sind fiir die am haufigsten vorkommenden Parabelflachen die Schwerpunktiagen angegeben. — fa^

1

^\a-~ i

I

_1

1* 1

\

p \

\ 11

1 4ft 1

^ 7

a — quadn^ische Parobel

b

\ f r

a — kubische Portjbel

Abb. 9+

Abb. 95

III. Z u s a m m e n f a s s e n d e s Beispiel ( P a r a b e l f l a c h e ) a) Flache (Abb. 96) y^ =2px, y = ^2px; fiir X = a und y = b wird b^ = 2 pa und nach Division beider Gleichungen

F = I y dx = b \ — dx = - ^ / J J y « la J 0

0

A;"'* ^A;

= — -7= a 1/a ; 3 l/a ' '

' 0

F='^ab. 3 b) GroBen, bezogen auf die i/-Achse (Abb. 96) a) Statisches Moment a

a

My = / ydxx =

a

b /— xdx = --=: /

«. = ii.v.

•a2^.

x'I'dx,

26

I. Einiges iiber die Grundlagen der Baustatik

P) Schwerpunkt -a«6 5

My

^. = ^

3

= — =

-«.

— ab

y) Tragheitsmoment

Abb. 96

0

0

6) Widerstandsmoment

W,i/i

— ?

= 0,076i8 a^b. 0,ii4275 a^b.

W,y r -

1st A; Symmetrie- oder Schwerachse, so wird

c) Gr5Ben bezogen auf die x-Achse a) Statisches Moment (Abb. 97) » M^==J{a-x)dyy; x = 0

^yiO*

= ajydy — ^jy^dy; 6>

Ma, = a—2 Abb. 97

^6* 6« 4

a6» 4

•

jS) Schwerpunkt aft" y»^

-a6

y) Tragheitsmoment (Abb. 98) Beitrag des Streifens y dx: dix = J y^dxdy. Zunachst wird dx = const, gesetzt. Es wird dann V

y^dy = Abb. 98

b^

dx—.

iT-

a

Ix = (dU = Uy^dx=Ar

f x'I'dx = -^a'l-

^^.ab'.

27

9. Parabelkonstruktionen

Ein anderer Weg, Ix zu bestimmen, ist unter Heranziehung der Abb. 97 folgender: 6

b

Ix = / (^^ — x) dyy^ =j\a

Ix = ajy^dy

— -^ y^j y% ^y;

— ~jy*dy

0

=^ab^,

0

Oder unter Verwendung von Doppelintegralen x='a

Ix=

ya

\ dx x=0

i y^dy=

I y

0

dx,

*—0

a

Ix==T-Tr xl'dx = --^-Tx'i'\ 3 a''J 3 «/• 5

=—abK 15

|0

d) Widerstandsmoment

:Ix-Fyt

2

,,

2

= j-^ab^

ab

(I')'

W':tB = /> — COD,

/M = M„,ax = f y3"/'= f V J ^ ' = 17^^' = 0,06415/-/^ Zeichnerische Konstruktion (Abb. 103). Gegeben: Sehnenlange s, Scheitelhohe /.

A b b . 103

II. Der statisch bestimmte ebene Trager A. VoUwandtrager unter ruhender Belastung 1. Grundlagen Unter einem Trager auf zwei Stiitzen, auch einfacher Balken genannt, versteht man einen auf Biegung beanspruchten Stab, der an dem einen Ende gelenkig unverschieblich und an seinem anderen Ende gelenkig verschieblichgelagertist (Abb. 1). Der einfache Balken yjn verlauft im GrundriB gerade und muB zu seiner vertikalen Mittelebene symmetrisch ausgebildet sein. Die Kraftebene muB mit der Balkenmittelebene Y'—x — > zusammenfalien. Die Schnittkrafte werden auf das L t -^ uiiverformte Tragwerk bezogen.

A

Abb. 1

Die drei Gleichgewichtsbedingungen

2 ' ^ = o,

2 ' y = o,

j^M = o,

bzw. reichen aus, um die Auflagerkrafte und Schnittkrafte zu bestimmen. Als Schnittkrafte werden die an den gedachten Schnittstellen entstehenden inneren Krafte (Normalkrafte N, Querkrafte Q und Biegemomente M) bezeichnet. Die Querkraft Qx ist gleich der Summe der senkrecht zur Stabachse wirkenden Komponenten aller links oder rechts vom Schnitt x angreifenden Krafte.

30

II. Der statisch bestimmte ebene Trager

Die Normalkrap. Nx ist gleich der Summe der parallel zur Stabachse wirkenden Komponenten aller links oder rechts vom Schnitt x angreifenden Krafte. Das Biegemoment Mx ist gleich der Summe der statischen Momente aller links oder rechts vom Schnitt x angreifenden Krafte in bezug auf den Schwerpunkt dieses Querschnittes. Sofem auf den Balken Schraglasten wirken, sind sie zu zerlegen in Komponenten senkrecht und parallel zur Balkenachse. Die senkrecht zur Balkenachse wirkenden Komponenten erzeugen Querkrafte und Momente, diejenigen in Richtung der Balkenachse Normalkrafte bzw. Normalkrafte und Momente. Bei den weiteren Untersuchungen oder Rechnungen ist eine einheitliche Vorzeichenfestsetzung unerlaBlich. Wir bezeichnen als positiv, wenn das an einem Stabelement wirkende Moment M so dreht, daB bei der Stabverbiegung die gezogene Faser des Stabes unten liegt (gestrichelte Linie) (Abb. 2 a), wenn die Querkraft Q am Stabelement links vom Schnitt nach oben oder rechts vom Schnitt nach unten gerichtet ist (Abb. 2 b), wenn die Normalkraft N vom Schnittufer weggerichtet ist, also eine Zugkraft darstellt (Abb. 2c). Abb. 3

2, Das Schnittverfahren a) Der Trager auf zwei Stiitzen Ftir den Trager auf zwei Stiitzen unter einer Einzellast sollen die Querkraftund Momentenlinie bestimmt werden (Abb. 3). Zunachst sind die Auflagerkrafte (Reaktionen) zu berechnen. Sie gelten im Sinne der Eintragung in (Abb. 3) als positiv und ergeben sich aus der Gleichgewiditsbedingung ^M = 0 um das Auflager B bzw. A als Drehpunkt gemaB B -I

Al-Ph

0,

woraus

A

0,

woraus

B =

Pb

folgt

bzw. gemaB

Bl-Pa

Pa

folgt.

Als Kontrolle der Richtigkeit kann die Gleichgewichtsbedingung ^V — 0 verwendet werden. Demzufolge muB sein A + B — P = 0. Im vorliegenden Falle ist H = 0, da keine waagerechten Lasten vorhanden sind. Die Querkraft ist im Auflager A gleich der Auflagerreaktion. Sie bleibt bis zum Angriffspunkt von P konstant, da zwischen A und P keine auBeren Krafte angreifen. Es gUt Qx = A {x^a), Qx = A -P= -B(x^a). Das Biegemoment Mx, meist einfach mit Moment bezeichnet, betragt an der Stelle x^ a (zweckmaBig von A ausgehen, da dann der Momentenanteil von P nicht in der Gleichung erscheint) Mx = A X = — x.

31

A. Vollwandtrager unter ruhender Belastung. — Das Schnittverfahren

an der Stelle x'^a

(zweckmaBig von B ausgehen) M^ = Bx'--

Pa I

•X .

Das maximale Biegemoment tritt an der Stelle auf, an der die Querkraft das Vorzeichen andert; das ist unter der Last P, also bei x = a bzw. x' = h. Es ist max M — Aa —

Pah

Ftir den Trager auf zwei Stiitzen unter Gleichlast sind die Querkraft- und Momentenflache zu bestimmen (Abb. 4). Der Rechengang entspricht dem des vorstehenden Beispiels. Die Entwicklung kann daher, ohne noch einmal naher darauf einzugehen, wiedergegeben werden. Auflagerkrafte:

^

B.tl. Querkrafte:

z. B. wird fur x — Q

Q.

Q. =

A=tl

und entsprechend fiir x = I

n -

^^

Biegemomente: Mx = A X .y—^^x{i-x). Das maximale Moment tritt an der Stelle x^ auf, an der die Querkraft gleich Null wird Oder das Vorzeichen wechselt (gefahrdeter Querschnitt genannt). Es mu6 also sein Qx^^A-pXo'^^O und daraus XQ = ^ = '^^ = - . Durch Einsetzen von x = Xa = -zva. den obigen Ausdruck fiir Mx wird max M = Pl^

—-('—"^

Fiir den durch eine Streckenlast beanspruchten A Trager (Abb. 5) sind die Auflager- und Schnittkrafte zu bestimmen. Auflagerkrafte: {pc)a (pc)b

^ =

links von p:

•*

Qx = +A = pbc —^-,

Bereich von p: Qx = A — px = ^—^ rechts von p: Qx= — B =

j—.

h •-*

-

So-

+

B

Querkrafte:

miNiiiii

^ x u 'R-pc

t

K

^0

M

^^^^^+

px.

}•xr\ Abb. 5

pc^

32

II. Der statisch bestimmte ebene Trager

Gefahrdeter Querschnitt: Q^--= A

-P

«o = 0,

a^o

c

+ «o-

A

somit Xo =-a-~ Eiegemomente: links von

P-

M^ =•A

X =

pbc '

X,

I

Bereich von p: Mx = A x — ^-^ = ^—r- x rechts von p: M i m Schnitt x = a — —

2

M^ = B (I — x) = —-"- {I — x]

bzw. x=0:

2

M M im Schnitt x •

a

bzw.

=

A(.-t].

X == — : 2

P M =

Aa

maxM = i ~

A P'^'

2/

[l{2a — c) +

bc].

Trager unter Dreieckslast

(Abb. 6)

Auflagerdriicke: A =

1 pi 3 2

6^

'

3 2

3 '^

Querkrafte:

0'

max Trager unter Dreieckslast, deren Spitze das andere Auflager nicht erreicht (Abb. 7). Auflagerkrafte:

Pal2 _

^ ,

\ i

Pal,

a\

pa^ a i pa^

Querkrafte:

9._^_t±±._|.(,-i)-|(.-|)«,

„s»,, {x^a).

A. VoUwandtrager unter rubender Belastung. — Das Schnittveriahren Gefahrdeter

33

Querschnitt: ^

p{a

— XQ) a — XQ _

61

^

0,

2a — = (a - . XoY

Biegemomente:

M^=

B(l-

X) - p{x)^^-^

M^ = B{l-x)

2

pa^ = ^-^

= ^ { l - X) - f^{a-x)\

3

(x^a),

(l-x).

(x^a)

Fiir X = XQ wird

Mx-)-V^

P0 ?^ r m ^=nT^ # -•—X—•

; ~"~+^

^~llz^

Uaj3Abb. 7

Trager unter einer farahelformigen

Last (Abb. 8).

Lastverteilung:

Auflagerkrafte:

=^pl.

A^B Querkrafte: 3t

»

0

0

_pj_ _±p ([^ _ ^\ "~ 3

Hirschfeld, Baustatik, 3- Aufl.

7^\ 2

3/'

J>

M

34

I I . Der statisch bestimmte ebene Trager

Biegemomente: X

M: •

=

Ax-lpii)di(x-i) 0 X

= j X -'^Jli^

- i^ (I + X) + ii x]d^

'ih^'-r.^

pi

^'-[x--^(2lx^-x')j.

M. =

Gefahrdeter Querschnitt: Aus Symmetriegriinden tritt das maximale Moment bei x = x^

auf:

Kontrolle: Setzt man x in Qx ein, so wird