Automatsko upravljanje - analiza linearnih sustava 953604529-X [PDF]

Zitiervorschau

Izdavač

Kigen d.o.o. Zagreb Za izdavača

Nenad Lihtar Recenzenti

Prof. dr. se. Branko Novaković Prof. dr. se. Sejid Tešnjak Prof. dr. se. Boris Tovornik Grafički urednik

Nedjeljko Zarić (Wl .ZAR.D. ci.o.o) Crteže izradili

lvan Šmuk, Nedjeljko Zarić, prof. dr. se. Zoran Vukić Lektura i korektura

Vera Vujović Fikret Cacan Tisak

ZT Zagraf, Zagreb Objavljivanje ovog sveučilišnog udžbenika odobrio je Senat Sveučilišta u Zagrebu, rješenjem broj 02-1582/3-2004. od 14. prosinca 2004. Naslovnica

Dimitrije Popović OMAGGIO A LEONARDO, olovka u boji, 65x50 cm, 1983. Ni jedan dio ove knjige ne smije se umnožavati bez prethodne suglasnosti Izdavača i Autora.

CIP - Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i sveučilišna knjižnica - Zagreb UDK 681.51 (075.8)

VUKIĆ, Zoran Automatsko upravljanje : analiza linearnih sustava I Zoran Vukić, Ljubomir Kuljača. - Zagreb : Kigen, 2004. (Udžbenici Sveučilišta u Zagrebu Manualia Universitatis studiorum Zagrabiensis) =

Bibliografija. - Kazcrl9:: ISBN 953-6045-29-X

' ·

• � '·:

.

. .

I. Automatsko upra\Jljanje �: �1g�rni . . : sustavi. 1. Kuljača, l:jubbmir

441028089

ISBN 953-6970-01-5

Prof. dr. se. Zoran Vukić Prof. dr. se. Ljubomir Kuljača

Automatsko upravljanje - analiza linearnih sustava

g

Zagreb, 2005.

Predgovor

Udžbenik se bavi pretežito analizom linearnih sustava automatskog upravljanja. Krajem dvadesetog stoljeća, nova saznanja i tehnološke mogućnosti znatno su dop1inijela razvoju ovog područja. U odnosu na udžbenik istih autora, bilo je nužno barem neka od tih saznanja ugraditi u ovaj novi udžbenik. Iako se udžbenik bavi analizom linearnih sustava upravljanja, takoder daje i neke komponente sinteze. To se osobito odnosi na sedmo poglavlje u ko­ jemu su obradeni pokazatelji kvalitete sustava automatskog upravljanja te deseto poglavlje, u kojemu su navedeni eksperimentalni postupci postavljanja parametara PID regulatora. De­ seto poglavlje zamišljeno je kao most prema drugim postupcima sinteze. Usvojena znanja koja nudi ovaj udžbenik korisno će poslužiti u pripremi za sintezu linearnih sustava uprav­ ljanja. Završno poglavlje daje uvod u stohastičke sustave upravljanja,pa čitatelju otvara jedno važno i zanimljivo područje. Autori pretpostavljaju da čitatelji(ce) imaju prethodno usvojena znanja iz teorije sustava i signala, matematičke analize, teorije kompleksne varijable te line­ arne algebre. Također se pretpostavlja aktivno poznavanje barem jednog od matematičkih ® programskih keta za simulaciju i/ili linearnu algebru kao što su npr. Matlab/Simulink 1,

@

Mathematica R �,i slično. Želja je autora da ovaj udžbenik korisno posluži onima koji slušaju kolegije iz linearnih sustava upravljanja, onima koji se bave automatikom ili ih ona zanima. Nadamo se da će ovaj udžbenik biti od koristi svakome koga zanima to važno i vrlo propul­ zivno područje,jer daje temelje nužne za daljnje usavršavanje u automatici. Naša zahvalnost upućena je našim kolegama na domaćim i inozemnim sveučilištima i is­ traživačkim institutima s kojima smo surađivali, razvili prijateljske odnose i od kojih smo mnogo naučili o automatskom upravljanju. Zahvaljujemo i našim sponzorima, bez čije po­ moći tiskanje ovog udžbenika ne bi bilo moguće. Posebno se zahvaljujemo našem prijatelju akademskom slikaru Dimitriju Popoviću, te našim brojnim studentima koji su nam svojim odgovornim i savjesnim radom bili inspiracija i zbog kojih smo se upustili u pisanje ovog djela. Ovu knjigu posvećujemo svojim obiteljima, kojima smo zbog toga uskratili mnoge trenutke zajedništva. U Zagrebu, listopad, 2004.

1MathWorks. Ine. SAD. 2 Wolfram Research. SAD.

Autori

Sadržaj

1. Automatsko upravljanje susta\ima - osnovni pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Pojam dinamičkog sustaYa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 1.2 Klasifikacija susta\"a .. . ........... . ....... ........... ...... ....... 3 1.2.1 Vremenski nepromjenjivi i vremenski promjenjivi sustavi ............ 4 1.2.2 Deterministički, nedeterministički i stohastički sustavi .............. 5 1.2.3 Linearni i nelinearni sustavi ... ................................ 6 1.2.4 Sustavi s koncentriranim i raspodijeljenim parametrima ... . . ........ 8 1.2.5 Kontinuirani i diskretni sustavi . . ..... . .. . .............. ...... 1O 1.2.6 Skalarni i multivarijabilni sustavi .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I O 1.2.7 Sustavi s memorijom i sustavi bez memorije ................... . 1 1 1.2.8 Kauzalni i nekauzalni sustavi ................................. 12 1.3 Sustavi automatskog upravljanja . . .. . .. . . 13 1.3.1 Blok dijagram - osnovni simboli ............................... 1 7 1.3.2 Objekt automatskog upravljanja ... . .. . ..... 18 1.3.3 Temeljne strukture automatskog upravljanja sustavima . . . . . . . . . . . . 22 1.3.4 Temeljni zahtjevi kojima trebaju udovoljiti dinamička svojstva sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

2. Matematički opis kontinuiranih linearnih sustava 2.1 2.2 2.3 2.4

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Koncept stanja sustava ........... ................................ 5 8 Prikaz dinamičkog sustava varijablama stanja ..... .................... 59 61 Statički i dinamički režimi rada .. .. .... . . . Linearizacija matematičkog modela ............... ................... 6 3 2.4.1 Grafički postupci linearizacije ......................... ... .... 64 2.4.2 Analitički postupak linearizacije ................... ............ 6 7 Ulazno/izlazni opis dinamičkog sustava ........... ............ ........ 7 4 2.5.1 Operatorski prikaz ......................................... 7 4 81 Odzivi linearnog vremenski nepromjenjivog sustava ............ . ... 2.6.1 Konvolucijslci integral .. ... . . . ... . . ... 83 2.6.2 Slobodan i prinudan odziv ....... . ............................ 90 2.6.3 Jednostrana Laplaceova transformacija. ..... ................... 92 2.6.4 Inverzna Laplaceova transformacija . .... . . . . .. . 95 2.6.5 Funkcija prijenosa ili prijenosna funkcija . . . .. 101 . ... . . ..... .. 12 3 2.6.6 Prirodni i forsirani odziv .. .. ..... .. ..... . 129 2.6.7 Analiza odziva linearnog sustava ... Odziv sustava prvog reda .......... . .......................... .... 1 40 2.7.1 Sustav prvog reda bez konačne nule ......... ........... ....... 140 2.7.2 Sustav prvog reda s jednom konačnom nulom . .... . .. . .. 1 4 5 Odziv sustava drugog reda 147 .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

2.5 2.6

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

2.7

2.8

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

IV

2. 9

2.8. 1

Odziv sustava drugog reda bez konačnih nula. .. . .. . . . . . . . .. . . ..

2.8. 2

Odziv sustava drugog reda s jednom konačnom nulom . . . .. . . . . . . .

157

Frekvencijske karakteristike dinamičkih komponenata . . . ... . . . . . .. . . . . .

160

.

2. 9. 1

Frekvencijska karakteristika - Nyquistov prikaz . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 4

2. 9. 2

Frekvencijska karakteristika - Bodeov prikaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

2. 9. 3

Frekvencijska karakteristika - Nicholsov prikaz . . .. .. . . . . . . .. .. . .

.

3. Elementarne dinamičke komponente sustava automatskog upravljanja 3. 1

Pozicijske dinamičke komponente

.

.

.

.

.

.

...

.

.

.

.

.

.

...

.

.

.

.

.

.

.

.

. . . . . 181

.. ... . .

.

.

3. 4

4.

181

Proporcionalna komponenta (P - komponenta) . . . . . . . . .. ... . . . . .. 1 82

3. 1. 2

Aperiodska (inercijska) komponenta prvog reda

3. 1.3

Aperiodska (inercijska) komponenta drugog reda

3. 1. 4

Oscilatoma komponenta drugog reda s prigušenjem . .. . .. . . . . . . . .

3.1. 5

Oscilatoma komponenta drugog reda bez prigušenja .. .. .. . . . . . . . 194

.

. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 83

(PT 2 komponenta). . . . . . . .. .. . . . . . .. .. . . . . .. . . ... . . . . .. . .

3. 3

1 79

3 .1.1

(PT 1 - komponenta)

3.2

1 47

1 87 191

.

Integracijske dinamičke komponente . . . . .. . . . .. . .. . . . . .. . .. ... . . ... . 196 3. 2. 1

Idealna integracijska komponenta (I - komponenta) . . . . . . . . . . . . . .. 1 96

3. 2. 2

Realna integracijska komponenta . . . . . .... . . . . .. . .. . . . . . . . .. .. 197

3. 2. 3

Proporcionalno integracijska komponenta

(PI

komponenta). .. . .... 199

Derivacijske dinamičke komponente . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

20 1

3.3. 1

Idealna derivacijska komponenta (D- komponenta)

3. 3. 2

Realna derivacijska komponenta . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . . . . . . .

20 2

3. 3. 3

Proporcionalno derivacijska komponenta

20 5

Neminimalno-fazne dinamičke komponente

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

(PD komponenta). . . . .. .. .

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

207

3. 4. 1

Stabilna neminimalno-fazna komponenta prvog reda

3. 4. 2

Nestabilna neminimalno-fazna komponenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 9

3. 4. 3

Transcendentne dinamičke komponente

Matematički modeli i strukturne (blok) sheme

...

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...

.

.

.

.

. . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

20 1

.

.

.

...

.

...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...

20 7 21 2

215

4. 1

Uvod

4. 2

Matematičko modeliranje . . . . .. . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 16

4. 3

Funkcije prijenosa i strukturne (blok) sheme . . . .. . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . .

231

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

5 . Stabilnost sustava automatskog upravljanja 5. 1

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

2 15

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . ... . . 2 3 9 5. 1. 1

Ravnotežna stanja i koncepti stabilnosti . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

5. 1. 2

Stabilnost ravnotežnih stanja nelineamog sustava temeljem stabilnosti ravnotežnih stanja lineariziranog sustava

5. 2

.

24 1

. . . . .. . . . . .

24 5

Stabilnost po Ljapunovu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

248

.

V 5 .2. 1

Definicije stabilnosti

5. 2.2

Izravna metoda Ljapunova

5.2. 3

Stabilnost ravnotežnih stanja vremenski nepromjenjivih sustava .. .. 2 5 6

.

. . .. . . . . . .. . . . . . ... . . . . . . ..... .. ... .. . 2 48 .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

25 3

5. 2.4

Formiranje moguće funkcije Ljapunova kod linearnih sustava

5.2. 5

Funkcija Ljapunova u drugim primjenama ... ... . . .... ... .. . . . .

26 2

5.2. 6

Stabilnost ravnotežnih stanja sustava po prvoj metodi Ljapunova

26 6

5. 2.7

Uvjeti stabilnosti ravnotežnih stanja linearnih sustava automatskog

.

.

..

. 25 9

.

.

.

upravljanja. . . . . . .. . .. . . .... . . ... .. .. . .... . .. . . . . ... . . . 2 67 5. 3

.

Ulazno-izlazna (BIBO) stabilnost

5. 4

Potpuna stabilnost

5. 5

Pozitivno linearan sustav

5. 6

Algebarski kriteriji stabilnosti

5.7

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

. . . . . ...... . . . . .... . . . .. .... .. . .. 270

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

. . .

.

27 1 27 4 276 27 6

5.6. 2

Hurwitzov kriterij ( 1895). . ..... .... . ..... . . . ... . . . .. ... . . . . .

284

Frekvencijski kriteriji stabilnosti . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

288

Nyquistov kriterij (193 2) . . .. . . . . . .. . . . . . ......... . . . . . . . . . .. 288

5.7. 2

Nyquistov kriterij - formulacija Cypkina .

5.7.3

Nyquistov kriterij - fo1mulacija Leonhard - Mihailova (1938) . .. . . .. 2 97

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

2 94

Stabilnost ravnotežnih stanja sustava automatskog upravljanja s .

.

.

.. 30 1

5.8.1

Stabilnost ravnotežnih stanja sustava s iracionalnim

. . . . . . ... . .... .. ... . .. .. . . . . .. ..... .... .

301

5.8.2

Stabilnost ravnotežnih stanja sustava s kašnjenjem. . . . . ... . .. . . .. .

30 3

komponentama

.

Relativna stabilnost - amplitudno i fazno osiguranje 5. 9. 1

5. 10

.

Routhov kriterij ( 1877) . . . . . . ... . . . .. . ... . . . . . . . . . . ...... . . .

iracionalnim i transcendentnim dinamičkim komponentama

5. 9

.

... .

5.6.l

5.7.1

5.8

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. ..

.

.

. .. .

.

.

.

.

.

.

..

307

Relativna stabilnost uvjetno stabilnih sustava . .... .... . . . .. . . ... 3 1O .

Utjecaj parametara malih iznosa na stabilnost

.

6. Analiza utjecaja parametara sustava na stabilnost

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

. ..

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. ..

.

3 12

315

6. 1

Postupak krivulje mjesta korijena

6.2

Postupak D - rastavljanja

6. 3

Strukturna stabilnost sustava automatskog upravljanja

. . . . . .... .. . .. . . .

339

6.4

Stabilnost ravnotežnih stanja vremenski promjenjivih sustava.. .. . . ... .. . .

3 41

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

. . .. . ....... ..... . . . . . .. .. . . . .... ... . . . . .

3 16 332

6. 4. l

Postupak zamrzavanja koeficijenata . . . ... ... . . . . .. ...... . .. ...

3 41

6.4.2

Robusna stabilnost - za nestrukturiranu neizvjesnost

3 42

6.4.3

Robusna stabilnost - za strukturiranu neizvjesnost (polinomski pristup) ..

7. Pokazatelji kvalitete

.

.

.

...

.

.

.. . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . .

.

.

.

. ...... ... . . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

36 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

7. 1

Što treba znati o projektiranju sustava automatskog upravljanja

7.2

Točnost sustava automatskog upravljanja

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

. .

. .

.

. .

..

.

.

.

. .

.

.

. .

. .

381 388

7. 2. 1

Analiza točnosti u ustaljenom režimu rada . .. .. . . . .. .. . . . .. .. ..

7. 2. 2

Izbor parametara p o zadanoj točnosti . .. .. .. ........ ... .. . . . .. . 407

7. 2. 3

Pogreška u ustaljenom stanju i tip sustava .

7. 2.4

Učinak raspodjele pojačanja na pogrešku u ustaljenom stanju .. . . . . .

419

7. 2. 5

Integralne ocjene kvalitete

420

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

7.3

Princip unutarnjeg modela

7. 4

Osjetljivost sustava automatskog upravljanja

.

.

.

.

.

. . .

...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . ... . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

. .

.. . .

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

3 94 411

43 2

. 436

VI 7.4.1 Projektni zahtjevi za robustan sustav upravljanja . . .

7.5

.

.

. . .

.

.

.

.

.

.

.

450

.. ... ... ........ ... ..... ........ ......... .. ... 452

Pokazatelji kvalitete iz frekvencijskog područja .

.

.

Analiza linearnih sustava opisanih varijablama stanja 8.1

.

Ocjena kvalitete sustava automatskog upravljanja po prijelaznoj funkciji

8.

.

.

7.5.1 7.6

.

Pokazatelji kvalitete iz vremenskog područja. . .... .. ........ ......... 45 1

Uvod

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

454

.

.

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

.... ......... .......... .. ..... ........ ......... ......... 459

.

8.2

Stanje sustava

8.3

Vektor stanja i prostor stanja. ..... .. ..... . .. ..... ..... ....... ..... 466

8.4

Opis nekih tehničkih sustava pomoću varijabli stanja

8.5

Matematički model po varijablama stanja iz

.

....... ....... ....... .. ......... ... ......... ..... 46 3 .

funkcije prijenosa

8.6

.

.

.

8.5.1

Direktni postupak

8.5.2

Paralelni postupak

8.5.3

Serijski postupak

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.. .... ........ .... 46 8

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.. 479

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.. 48 1

.

.

.

.

.

.

.

.

479

.. ...... ... .... ........ .... ...... .. ...... 48 2

Matematički model po varijablama stanja iz diferencijalne jednadžbe sustava 8.6.l

Standardni postupak

8.6.2

Opći postupak

.

.

.

..

.

.

.

. ... .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

486

.... ....... . .... ..... ....... .. ........ 48 6

..... .. ..... .. ....... ...... .. ... .... .. ..... 48 8

8.7

Linearna transformacija vektora stanja

8.8

Rješenje jednadžbi stanja

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

49 0

....... .. ...... ... ..... ....... .... ...... 49 2

8.8.1

Slobodan odziv multivarijabilnog sustava . ....... ...... . . .. .... 49 4

8.8.2

Svojstvena vrijednost. . ..... . .... ...... ........... ....... ... 49 6

8.8.3

Svojstveni vektor ...... ......... ........ . ........ ......... 49 6

.

.

8.8.4

Slobodan odziv pomoću Laplaceove transformacije ....

8.8.5

Proračun matrice prijelaza stanja. ..... ..... ....... . ... . ... ... 505

8.8.6

Ukupan odziv pobuđenog sustava . ....... .......... ......... .. 508

8.8.7

Ukupan odziv pobuđenog sustava primjenom L-transformacije

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

50 2

.

.

.

.

.

.

.

5 10

8.9

Matrica prijenosa ...... .. ....... .. .......... ......... .......... . 513

8.10

Uloga svojstvenih vektora u odzivu zatvorenog sustava

8.9.1

Matrica prijenosa zatvorenog sustava

8.11 Kanonička transformacija

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

8.11.l Dijagonalizacija matrice dinamike sustava 8.12

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.. .

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

5 15

.

5 16

.

.

5 19

.

.

5 19

.

Osmotrivost i upravljivost linearnog sustava .......................... 5 30 8.12.1 Osmotrivost linearnog sustava ....... .. ..... . .. ...... ........ 530 .

8.12.2 Dohvatljivost i upravljivost linearnog sustava .................... 5 36 8.13

9.

Promatranje sustava u prostoru stanja. ... .. ...... ......... ....... ... 543 .

Linearni diskretni sustavi automatskog upravljanja

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549

.

.

9.1

Uvod

9.2

Pojam i podjela diskretnih sustava automatskog upravljanja

9.3

Primjeri diskretnih sustava .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

549

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

560

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

565

9.4

Spektralna analiza procesa uzorkovanja .. .......... ....... ......... .. 56 8

9.5

Impulsni element i njegova svojstva . 9.5.1

9.6

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

575

Teorem o uzimanju uzoraka ................................. 58 0

Element za formiranje - rekonstruktor

.

.

. .. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

... 58 1

V II

9.7

9.6.l

Ekstrapolator nultog reda. ... .. .... .......... .. ...... ... .... 5 8 4

9.6.2

Ekstrapolator prvog reda

.

.

.

.

.

.

.

.....

Preporuke za izbor frekvencije uzorkovanja

.

.

.

.

.

.

.

.

.

... .... .

. . .. .... .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.....

. . . .

.

.

.

..

.

.

58 8

.

59 1

9.7.1 Izbor periode uzorkovanja za obradu signala .. .... ... ..... .. ... . 59 1 9.7.2 9.8 9.9

9. 10

Izbor periode uzorkovanja za upravljanje

.

.

Pretfiltriranje - kondicioniranje signala . .... .. .

Z-transforrnacija

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Svojstva Z-transforrnacije za desne sekvence

9.9.2

Postupci određivanja Z-transforrnacije .

9.9.3

Postupci određivanja inverzne Z-transforrnacije

Funkcija prijenosa linearnog diskretnog sustava

.

.

.

.

.

.

.

.

9.9.l

.

.

. .. .

.

.

.....

.

.

.

.

.

.

.

.

.... .

.... . . .

.

.

.

.

.

. . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .. .

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

59 3

.. 596

.

.

.

.

599

.

.

.

.

608

.

.

609

.

.

.

.

.

.

.. 6 12

. . .. .. .... .... ..... .. . 6 18

9.10.1 Funkcije prijenosa otvorenih i zatvorenih diskretnih sustava .. . ..... 6 2 1 9.11 Modificirana Z-transformacija

.

.

.

. . .

.

.

. . .

.

.

.

.

.... ...

.

.

.

.

.

.

.� .. .

.

.

.

628

9.1 1.1 Svojstva modificirane Z-transforrnacije. .. .. .... . . .. .... .. ... . 6 29 .

9.11.2 Veza Laplaceove i modificirane Z-transformacije

.

.

. . .. . .

.

.

.

.

9.11.3 Postupci za određivanje inverzne modificirane Z-transformacije 9.12

.

.

.

.

.

.

. 6 30 .

631

Preslikavanje s-ravnine kompleksnih frekvencija na kompleksnu z-ravn1nu

.

.... .. .... ... .. ... .... ..... ... ...... .... ... ... . .. 6 39

9.1 2.1 Preslikavanje nula iz s-ravnine uz-ravninu. ...... .. ... .... ... . 64 8 9. 1 3

Postupci diskretizacije ..... ...... .... ... ......... .. . .... .... .... . 649 9.13.l Diskretizacija kojom se zadržava impulsni odziv .... ... .

.

.

.

.

. .. .

.

650

9.13.2 Diskretizacija kojom se zadržava prijelazna karakteristika (ZOH

diskretizacija) ... .. ..... .. ....... .... ... ......... ... .... 650 9.1 3.3 Postupak usklađenih polova-nula

.

... .. ... ... .... . .... .. .. .... 6 5 1

9.13.4 Bilinearna (Tustin) transformacija .....

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. ...... . .

.

.

.

.

.

.

654

9.13.5 Diskretizacija aproksimacijom derivacije s Euler (unaprijednom)

diferencijom: ........... .. ... .. .. ...... . .. ..... .... .. ... 6 59 9.13.6 Diskretizacija aproksimacijom derivacije s Euler (kauzalnom)

diferencijom ... .. . .

9.14

.

.

.

.

.

.

.

.

. . .

.

.

Matematički modeli linearnih diskretnih sustava 9.14.l Jednadžba diferencija .. ...

.

.

.

.... .

.

.

. ... ... .

.

9.14.2 Matematički model po varijablama stanja

.

.

9.15

.

9.1 5.l Upravljivost i dohvatljivost

.

.

.

.

.

.

.. . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.... .

.

.

.

.

.

..

.

.. .. ... .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.. .

.

.

.

........

. .. . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

660

. 66 1

.

....

.

66 1

.

.

.

66 3

.

680

.

.

.

....

.

... . . 6 8 5 .

.

. .. .. ...... .. . ... .. ... .. ..... .. .. 6 8 5

9.1 5.2 Osmotrivost i obnovljivost. .. . .

9.16

.

Upravljivost i osmotrivost diskretnog sustava ...

.

.

.....

9.14.3 Matematički modeli po operatorima . .. . .

.

.

. .

.

.

..

.

.

.

.

...

.

.

.

.

.

.. . .

.

.

.

..

.

.

.

.

.

69 0

Analiza stabilnosti diskretnih sustava . ...... .. ...... .... .. . .. ...... .. 69 5 9.16.1 Algebarski postupci analize stabilnosti . .. . ... .... .. .. ... ...... 696 .

9.16.2 Frekvencijski postupci analize stabilnosti

.

.

.

.

.

..

.

9.16.3 Analiza stabilnosti po Ljapunovu (izravna metoda) 9.1 6.4 KMK u analizi stabilnosti .. . .

9.1 7

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

69 7

.. ...... ...... 7 06

. ... . .

.

.

. . . .

.

.

.

.

.

. 7 08

Analiza točnosti linearnih diskretnih sustava ..... ... ..... ........ ... . . 7 10

10. Tipični

regulatori.

.

.

.

.

. ... .... . .

.

10.1 Osnovni tipovi regulatora

.

.

....

.

.

.

.

.

. .. .

.

.

.

.

.

.

.

. ....... . . . .

. ...... ... .

.

.

.

..

.

.

.

.

...

.

.

.

.

.

.

.

·',

. . . 715

. ako su poznate pobude na sustav od trenutka do

stanja x(t o ) = [ x1 (to) x2 (to) t t0 , t.

Xn (to)

t0

Matematički model linearnog vremenski nepromjenjivog sustava s koncentriranim para­ metrima općenito se opisuje sljedećim matematičkim modelom, [29]:

gdje su:

x(t) = [ X1 X2 u(t) = [ U1 U2 y(t) = [ Y1 Y2

x(t) = Ax(t) + Bu(t)

(2.4)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

(2.5)

Xn ] T - 1 x n vektor varij abli stanja sustava up ] T - 1 x p vektor pobudnih signala na sustav Yq ] T - 1 x vektor izlaznih signala sustava q

61

A B C D

x n matrica dinamike linearnog sustava x p matrica (raspodjele) upravljanja - q x n matrica (raspodjele) mjerenja stanja na izlazu - q x p matrica direktne raspodjele ulaznih signala na izlazu sustava -

-

n

n

Izbor varij abli stanja nije jednoznačan. Različiti skupovi varij abli stanja mogu se primje­ njivati, no obično je prikladno uporabiti one varijable koje imaju fizikalni smisao i koje se, ako je moguće, mogu mjeriti. Prednosti matematičkog modela po varij ablama stanja jesu: 1 . Daje prikladnu i kompaktnu formu opisa dinamike sustava te omogućuje primjenu do­ stignuća linearne algebre.

2. Označavanje jednako za sve linearne vremenski nepromjenjive (LTI44) sustave omogućuje i da se rješenja dobiju primj enom istih postupaka rješavanja.

3. Matematički model po varij ablama stanja (interni opis) idealan je za digitalno računalo, što je izuzetno važno kod računalom vođenih sustava automatskog upravljanja te za analizu složenijih linearnih sustava i sl. 4. Interni opis daje kompletniji opis sustava od ulazno/izlaznog opisa.

2.3

Statički i dinamički režimi rada

Pri analizi i sintezi sustava automatskog upravljanja razmatraju se statički i dinamički režimi rada. Analiza sustava automatskog upravljanja sastoji se u određivanju statičkih i dinamičkih karakteristika svake pojedine komponente sustava kao i čitavog sustava. Osnovni zadatak statičkog proračuna sastoji se u određivanju i osiguranju zadane točnosti rada sustava u ustaljenom (statičkom ili ravnotežnom) stanju. Ravnotežno stanje moguće je definirati = O. Pri kao stanje koje sustav zadržava ako na njega ne djeluje vanjska pobuda45 dinamičkoj analizi određuje se ponašanje sustava tijekom prij elaza iz jednog ravnotežnog stanja u drugo ravnotežno stanj e. Sa fizikalnog staj ališta tijekom tog prij elaza stanje sustava može se okarakterizirati kao stanje koje postoji za vrijeme promjene energetskih uvjeta, kada se energija prelijeva iz jednog skladišta u drugo. Općenito su realni sustavi u biti nelinearni, ali pri određenim uvjetima u velikom broju slučajeva moguće ih je analizirati primj enom linearne teorije. Statički i dinamički režim rada sustava određuje se statičkim i dinamičkim režimima rada tipičnih dinamičkih komponenata sustava. Statička svojstva neke dinamičke komponente određena su njenomjednadžbom statike ili statičkom karakteristikom, kojom j e prikazana funkcijska ovisnost izlazne Yss = l i m y(t) i ulazne Uss = lim veličine u

u(t)

t-+oo

statičkom, odnosno ustaljenom stanju:

Ys s =

t-+OO

y(uss )

u(t)

(2.6)

Općenito, statička karakteristika (2.6) može biti linearna, nelinearna, analitička i neana­ litička, a određuje se analitičkim i eksperimentalnim postupcima. U teorij i linearnih sustava baratamo analitičkim linearnim i lineariziranim statičkim karakteristikama. Eksperimentalno određivanje statičke karakteristike obavlja se tako da se zadaju kon­ stantni iznosi pobude = = ·u88 i da se u ustaljenom stanju sustava46 snime odgo-

u(t)

u0

44engl. Linear Time Invariant (LTI). 45 Ako postoji vanjska pobuda, ona je konstantna i ograničena u(t) = konst < oo. 46Nakon završetka prij elaznog procesa tj. nakon što je sustav došao u ustaljeni režim rada.

62 varajući iznosi izlazne veličine (odziva) y(t) = y0 = veličina47 w = w0 = W88 (slika 2. 1 ). w

U;0 (t)

(t)

Sustav

Yss , uz konstantne iznose poremećajnih Yss Y;o ° Y2 o y, ---

y (t) Y; (t)

U;o

u1 o

(a)

U20

u.Io u,,

(c)

(b)

Slika 2. 1 : Prikaz određivanja statičke karakteristike Odstupanje izlazne veličine od ustaljenog iznosa y0 predstavlja odstupanj e !:::.. y od uspo­ stavljenog ravnotežnog stanja. Pri analitičkom određivanju statičke karakteristike = y(U88 ) određuje se jednadžba statike u obliku:

Yss

f (uss , Yss ) = O

(2.7)

Za analizu dinamike nekog procesa potrebno je obično odrediti neka njegova svojstva od kojih su najznačajnija:

1 . stabilnost, 2. karakter prijelaznog procesa, Pored analize statike i dinamike nekog sustava često nas zanimaju i svojstva kao što su npr. : •

• •

•

•

• •

robusnost (osjetljivost na promjene parametara48), točnost praćenja referentne veličine tijekom prijelaznog režima rada - dinamička točnost, točnost praćenja referentne veličine u ustaljenom režimu rada - statička točnost, osjetljivost na šum i poremećaje49, upravljivost50/osmotrivost5 1 , ustaljivost52/detektivost53, te druga svojstva.

47Mjerljivih (v ) i nemjerljivih (w) . 48Ako su promjene parametara infinitezimalno male, tada se radi o osjetljivosti sustava. Ako promjene parametara nisu infinitezimalno male tada govorimo o robusnosti sustava. 49Za sustav kažemo da je invarijantan na šum ili poremećaj ako nije osjetljiv na šum (poremećaj) tj. djelovanje šuma (poremećaja) nema nikakav utjecaj na sustav. 50 engl. Controllability. 5 1 engl. Observability. 5 2 engl. Stabilizability. 53engl. Detectability.

63 Performanse sustava uključuju u sebi sva predhodno navedena svojstva i zadatak sinteze je da pobolj ša performanse sustava. Teoretska analiza statike i dinamike provodi se na temelju matematičkog modela koji je kod većine linearnih vremenski nepromjenj ivih sustava određen: •

ulazno/izlaznim modelom - linearnim diferencijalnim jednadžbama n tog reda s kon­ stantnim koeficijentima, -

n

diy(t)

m

di u(t)

L a ; --;Jji = L b; --;Jji i =O

•

i=O

gdje je za kauzalni sustav n ::O:

unutarnjim modelom po varij ablama stanja - skupom prvog reda

x(t) y (t)

Ax(t) + Bu(t) Cx(t) + Du(t)

n

m

(2.8)

diferencijalnih j ednadžbi

(2.9)

Matematički modeli realnih komponenata su naj češće nelinearni i zbog toga složeni za rj ešavanje, pa se zbog toga obično lineariziraju. No, linearizacijom se dobivaj u matematički modeli koji mogu relativno dobro opisati statičko i dinamičko ponašanje u okolini radne točke (ravnotežnog stanja) samo uz određene pretpostavke, među koj ima je najvažnija ona o malim promjenama varij abli oko radne točke.

2.4

Linearizacija matematičkog modela

Svi sustavi koje susrećemo u praksi su nelinearni. Analiza i sinteza takvih sustava je vrlo složena jer nelinearni matematički modeli nisu prikladni za rješavanje. Naime, za razliku od linearnih sustava, danas još ne postoj i zaokružena teorij a rješavanja nelinearnih difrerencijal­ nih jednadžbi, koja bi davala opće rezultate za sve nelinearne sustave. Zbog toga su rješenj a koja dobijemo z a određen nelinearni sustav svojstvena obično samo tom sustavu i n e mogu se proširiti na ostale nelinearne sustave. Međutim, nelinearni matematički model moguće je linearizirati ovisno o zadanom režimu rada. Linearizacij om nelinearnog sustava oko jednog ravnotežnog stanja54 dobiti će se linearni matematički model kojim će se dinamika nelin­ earnog sustava moći objasniti u okolini odabranog ravnotežnog stanja. Pri tome treba imati u vidu da l inearni model neće moći objasniti neka ponašanja koja se kod nelinearnih sustava mogu pojaviti. Oprez je dakle nužan, jer supstitucija nelinearnog matematičkog modela lin­ earnim nije uvijek moguća. Naime, ta supstitucij a daje zadovoljavajuće rezultate samo ako u okolini odabranog ravnotežnog stanja prevladavaj u linearni učinci. Ako, međutim prevla­ davaju nelinearni, tada će se linearizacijom samo pogoršati vjerodostojnost opisa dinamike sustava, te će u tom slučaju uporaba lineariziranog matematičkog modela rezultirati krivim zaključcima. U inženjerskoj praksi se vrlo često rabe konvencionalni postupci linearizacije, [95], [ 1 76] . Ovi postupci se primjenjuju u slučajevima, kada je statička karakteristika sustava ili elementa sustava, glatka funkcija. Razlikuj u se grafički i analitički postupci l inearizacije.

54Za razliku od linearnog, nelinearni sustav može imati više od jednog ravnotežnog stanja. Ona, pored toga, općenito mogu biti različitih svojstava.

64 2.4.1

Grafički postupci linearizacije

Grafički postupci se koriste za glatke statičke karakteristike koje se mogu grafički prikazati. Linearizacija se postiže postupkom tangente ili usrednjavanja (sekante). Linearizaciju je moguće provesti ovim postupcima samo ako u okolini odabrane radne točke statička karak­ teristika ima mala odstupanja, odnosno onda kada aproksimacijski pravac ostaje u blizini ne­ linearne karakteristike. Što je veće područje unutar kojega postoji dobro približenje aproksi­ macijskog pravca i nelinearne karakteristike, to je linearizacija bolja, pa se može očekivati da će se linearizirani model moći upotrijebiti za više radnih točaka. Temeljni zahtjev na linea­ rizirani model je da bude upotrebljiv za što više različitih radnih točaka u kojima se sustav tijekom rada može naći.

2.4.1.1 Postupak tangente Postupak se može prikazati na slici 2.2 koja prikazuje linearizaciju statičke karakteristike sustava u nekoj radnoj točci 0 1 (x0, YRr ) . Uz pretpostavku da su oscilacije sustava unutar predviđenih granica, statičku karakteristiku moguće je aproksimirati tangentom s varijablama llx i llYN ·

o

xo

X

( b)

(a}

Slika 2.2: Linearizacij a glatke nelinearne statičke karaktersitike tangentom

llyN = K

·

llx

(2. 1 0)

U slijednim sustavima oscilacije u radnoj točci nisu dozvoljene pa se statička karakteri­ stika aproksimira jednadžbom tangente u ishodištu, slika 2.2.b:

YN = Kx

(2.1 1)

65

2.4 . 1.2 Postupak usrednjavanja (postupak sekante) Postupak je prikazan na slici 2.3.

X

o

(a)

( b)

X

Slika 2.3 : Linearizacija glatke nelinearne statičke karakteristike sekantom Primjenjuje se u inženjerskoj praksi onda kada se grafički prikaz nelinearne statičke karakteristike unutar područja promjene pobude - xm < x < Xm može aproksimirati pravcem:

YN = Ksx

(2. 1 2)

gdje je Ks = tan a. Sekante mogu aproksimirati bolj e od tangenti (linija T), kao što je pokazano na slici 2.3a) gdje se vidi da je sekanta (linija točnija od tangente (linije T), osim u okolini točke x = YN O. Koeficijent nagiba sekante Ks moguće je još bolje od­ rediti primjenom postupka najmanjih kvadrata (slika 2.3b ). Ovdje je krivulja statičke karak­ teristike YN = f(x) aproksirnirana pravcem YN = Kx, kod kojega je nagib K proračunat iz jednadžbe:

S)

=

min

[E']

�

min

[t,

(Kx, - YN; )'

]

(2. 1 3)

tj . suma kvadrata razlike sekantnih točaka (Kxi ) i točaka nelinearne funkcije (YNi = f(x)) mora biti minimalna. Kako bi se dobio ekstrem, jednadžbu treba derivirati i rezultat izjed­ načiti s nulom:

dE2

dK

n

=

L 2(Kxi - YNi)Xi = 0 i= l

odnosno: n

n

K L: xr = L YNi xi i=l i=l

(2. 1 4)

66

Iz (2. 1 4) slijedi:

K

=

n L YNiXi i=l n L XT i= l

(2. 1 5)

Aproksimirajući statičku karakteristiku s bilo kojom od ovih dviju metoda, moguće je za mnoge nelinearne sustave provesti linearizaciju i analizu temeljiti na dobivenom linearizira­ nom matematičkom modelu.

2.4.1.3 Algebarska linearizacija

f

Za veliki broj nelinearnih funkcija jedne varijable y = ( x) koje se često susreću u praksi, za male iznose promjena argumenta 6x prikladno je primijeniti izraze dobivene algebarskom aproksimacijom. Najčešće se koriste aproksimacije dane u tabeli 2. 1 .

Tabela 2.1. Nelinearna funkcija

Linearna aproksimacija

1 l + 6x

l - 6x

( 1 + 6xf

l + n6x

n (n - 1)

vl + 6x

1 1 + 2 6x

1 - - · 6x2 8

1 vl + 6x

1 1 - - 6x

3 - · 6x2 8

ijl + 6x

1+

1 ijl + 6x

1 1 - -6x 3

2

1 6x 3

l + 6x 1 + (In a) 6x

Prvi zanemareni član

2

.

6x2

- � · 6x 2 9 2 - · 6x2 9 1 - . 6x- ?

2

(ln a) 2

2

. 6x2

sin 6x, sinh 6x

6x

- �6 · 6x 3 ' �6 · 6x3

cos 6x, cosh 6x

1

� 6r; 2 . - � 6x 2

2

·

,

2

·

tan 6x, tanh 6x

6x

1 1 - 6x 3 - - · 6x 3 ' 3 3

ln ( 1 + 6x)

6x

-�2 · 6x 2

·

67 2.4.2

Analitički postupak linearizacije

Analitički postupak linearizacije u okolini radne točke temelji se na zamjeni nelinearnog sustava linearnim. Linearizacija se provodi aproksimacijom nelinearne funkcije s Taylorovim redom u nominalnoj radnoj točki, odnosno u statičkom radnom režimu. Postupak se primje­ njuje na glatkim nelinearnim funkcijama s malim otklonima od radne točke. Ovaj uvjet obično je zadovoljen kod sustava automatskog upravljanja koji rade u režimu stabilizacije. Razvoj u Taylorov red sigurno je jedna od najkorisnijih formula koje se susreću u analizi nelinearnih jednadžbi. Razvoj skalarne funkcije po jednoj varijabli u Taylorov red daje:

y = j(x) f(:r0 6.r) f(.ro ) [ djd:(r.r) ] o 6.r + � [ d2dxj. (x)2 ] o 6x2 + ... [ d'. f(:r) ] o 6.r'0, x x [ d'J;: J 0 2, x x0, X = XO + 6x 6y 6x,j(x0 + 6:r) y y0 y0 6y f(x0 ) + J (x0 + 6x) 6y f(x0 + 6;r) f(x0 ) Kex K K = 6x6y = J (xo + 6x)6x - J (xo ) djdx(:r) y + y0 j(xy 0=+yOex)+ 6y,- j(x0 ) K (x - x0) 6y = K6x (x6y0 , y0) 6x. y j(x) 6y = K6x (x0, y0), (x, 6yy). y 6x x y = Kx +

+

(2.16)

2!

1 +i! ---aT

+

·

·

·

gdje:

gdje je

J

i = L

označava da se i -ta derivacija funkcije po varijabli ...

:x .

OJ.' predstavlja otklone (varijacije) varijable

oko radne točke

predstavlja otklone varijable

=

promjena

y

=

+

računa u radnoj točki

oko radne točke

koji su rezultat

=

Zanemarenjem članova višeg reda u izrazu (2.16) dobiti će se linearizirani model: =

gdje je nagib linearne aproksimacije radnoj točki: tan a

=

�

+

isti kao i nagib tangente na nelinearnoj krivulji u

�

/x-xo

Prema tome:

a kako je

X

=

X

O

=

O X te također

� to iz gornje jednadžbe slijedi:

te da Može se zaključiti da je linearizirani model ovisan o odabranoj radnoj točki opisuje ponašanje sustava samo u okolini te točke, jer povezuje otklone varijabli sa otklo­ nima varijable Analitička linearizacija razvojem u Taylorov red može se interpretirati kao aproksimacija krivulje tangencijalnim pravcem u radnoj točki u ravnini Ako radna točka postane novo ishodište koordinatnog sustava, tada je moguće zamijeniti sa i sa pa samo tada možemo pisati: =

68

(x0 , u0 , y0) y f(x, u) f (xo + D.x,uo + D.u) = f(xo , uo) + [df�;u)] ° D.x + [ df��u)] ° D.u+ 2_ { [d2 f(x,u)] 0 2 [d2 f(x,u)] 0 2 } dx2 x + du2 u + 2! 0 } 1 { [ d2 f(x,u)] 2 + 2! dxdu D.xD.u + ° [ d �� ° f ) �; d [ u ] f(xo + D.x,uo + D.u) f(xo ,uo) + D.x + f u)] D.u D.y = f(x0, u0) + KxD.x + Ku u Kx [ df(x,u)] O _ [ df(x,u)] lx=x0 ,u==u0 Ku [ df(x,u)] lx=xO ,u=uo

Razvoj u Taylorov red funkcije dviju varijabli

oko radne točke

=

glasi:

6

6

-

· · ·

Linearna aproksimacija će sada biti: �

b.

gdje su:

_

-

----;r;-

-

-

.'

----;r;-

_

--cr;;-

Kao i u slučaju grafičke interpretacije aproksimacije pravcem skalarne funkcije po jed­ noj varijabli,

i ovdje je moguća grafička interpretacija linearizacije funkcije dviju varijabli.

Naime, linearizacija nelinearne plohe

y f (x, u) =

u prostoru

(x, u, y)

se može grafički in­

terpretirati kao aproksimacija te plohe u tom prostoru s tangencijalnom ravninom u radnoj točki

(x0 , u0 , y0).

Prema tome, analitičkim postupkom linearizacije razvojem u Taylorov

red, nelinearna funkcija sa

v

varijabli, koja je opisana plohom u

v -

dimenzijskom pros­

toru55, zamjenjuje se tangencijalnom ravninom u radnoj točki, tj . linearnom vezom malih otklona varijabli s koeficijentima proporcionalnosti (linearizacije) koji su jednaki parcijalnim derivacijama nelinearne funkcije u odabranoj radnoj točki.

Primjer 2.3 Dinamika nelinearnog nepobudenog sustava opisanaje diferencijalnom jednadžbom: ( ) -;Jj2 O

d2y(t) + a1� dy(t) + K smy . t= se kaofazne varijable odaberu: x1 y(t) te x 2 = d��t ) , tada se matematički model sustava može prikazati s dvije diferencijalne jednadžbe prvog reda: dx1(t) . � = x 1 = x2 fi (x1,x2 ) dx2(t) . . � = x 2 -Ksmx1 - ai x2 h(x1,x2) =

Ako

=

=

=

Nagib faznih trajektorija ufaznoj ravninije:

N

= ::i:2 -Ksin x1 - aix2 X1

=

55 Indeks v predstavlja broj pobuda na nelinearni sustav.

Xz

69

f(x) = [ h((xx1i,, xx2)2) ] Kako ravnotežna stanje ovog sustava postoji kada je x(t) = f(x0) = O , slijedi da će gdje je k O te kada je x 1 = ovaj sustav imati više ravnotežnih stanja, kadaje x 2 cijeli broj. U okolini ovih ravnotežnih stanja (za male promjene varijabli) nelinearni sustav Općenito se prema tome nepobuđeni nelinearni sustav može prikazati matematičkim mo­ delom: /i :X( t) = tj.

br,

=

[ �� J [ �� J + [ z�� J

ponašati će se kao linearni. Promjenefaznih varijabli oko ravnotežne točke mogu se iskazati sa: odnosno u vektorskojformi:

= f(x)

=

x = x0 + !'::.x

a) Razvoj funkcije x(t) u Taylorov red u okolini radne točke zanemarenje članova višeg reda dati će:

gdjeje:

[ z�� J [ -KO -a1 1 ] [ 6x1 6x2 !ili

� 8x 2

Jacobijana (Jx ) se proračunava u radnoj točki Svojstvene vrijednosti matrice J x su:

lo

= O;

X1

= o uz

x = [ XX21 ] = O

matrica Jacobijana

>-1 ,2 = - 2 ± V(a21 ) 2 a1

X2

K -

Može se zaključiti da će ovaj nelinearan sustav u toj radnoj točki stabilno raditi (singularna točkaje ili stabilan čvor ilifokus, što ovisi o amplitudama koeficijenata i K). = 7f, uz b) Razvoj funkcije x( t) = u Taylorov red u okolini radne točke = O; zanemarenje članova višeg reda, dati će:

f(x)

ax1 2

x1

] [ i -�1 ] [ z:� ] = Jx!'::.x [ z�� Matrica Jacobijana J ima sada svojstvene vrijednosti >-1,2 = - 2ai ± V( 2a1 ) 2 + K x

tj. jedna svojstvena vrijednost će biti pozitivna a druga negativna, te će u ovoj ravnotežnoj točki sustav imati singularitet tipa sedla. U svim točkamafazne ravnine, osim u točkama koje se nalaze na separatrisi56 doći će do raspirivanja fazne trajektorije (fazna trajektorija će se udaljavati od radne točke - ravnotežnog stanja). Može se zaključiti da je ova radna točka nestabilna. •

5 6 Separatrisa - specifična fazna trajektorija (ploha) koja dijeli faznu ravninu (prostor) na područja s različitim ponašanjem sustava. Preostale fazne trajektorije sustava ne sjeku separatrisu!

70

Ovaj primjer pokazuje sljedeće: •

• • •

•

za razliku od linearnog, nelinearni sustav može posjedovati više ravnotežnih stanja linearizacijom će se dobiti matematički model koji vrijedi samo za male promjene varijabli oko jednog ravnotežnog stanj a, linearizirani model nije u stanju objasniti ponašartje sustava osim u okolini onog ravno­ težnog stanja oko kojeg je obavljena linearizacija, za razliku od nelinearnog modela, linearizirani model ima lokalni karakter i valj a ga koristiti samo u lokalnom područj u oko ravnotežnog stanja oko kojeg je linearizacija i provedena, linearni modeli imaju globalni karakter u smislu da proširuju na čitav fazni prostor lokalna svojstva zatečena u okolini radne točke (ravnotežnog stanja) oko koje j e line­ arizacija obavljena.

Gornja zapažanja su općenita i mogu se primijeniti za bilo koji red sustava! Po istom postupku moguće je obaviti linearizaciju nelinearnih multivarijabilnih sustava koji se mogu opisati matematičkim modelom:

f [t, x(t) , u(t)] h [t , x(t) , u(t)]

x(t) y (t ) gdje su:

x(t) = [ x1 xz u(t) = [ u1 Uz y (t) = [ Y1 Yz f�1 x , u)

=

[ [

Xn ] T _ vektor varijabli stanja nelinearnog sustava, up ] T - vektor p upravljačkih signala nelinearnog sustava, Yq ] T - vektor q izlaznih signala nelinearnog sustava, „„

„„

f1 (t, X1 , Xz, Xn, u1 , Up) fz (t, X1, X2, Xn, u1 , ... , Up ) ..„ .

fn (t , X1, Xz, ... , Xn, U1 ' ... , Up)

svaku komponentu stanja sustava,

h(t, x , u)

=

(2. 1 7)

hi (t, x1 , xz, ... , xn, u1, ... , up) hz (t , X1 , Xz, ... , Xn, u1 , ... , up ) .

hq(t , X1 , X2 , ... , Xn, u1 , ... , Up )

11-

vekto< nelinearnih funkcija za

vekto< nelinearnih funkcija za

svaku komponentu izlaznog signala. U slučaju daje nelinearni sustav vremenski nepromjenjiv te uz pretpostavku da je kontinurano derivabilna u ravnotežnom stanju57 (x0 , moguće je iskoristiti matrice Jaco­ biane Jx i Ju, za aproksimaciju nelinearnog matematičkog modela sustava

u0 ),

5 7 (xo , uO ) je ravnotežno stanje ako vrijedi f(x0 , u 0 ) = O.

f(x, u)

f(x, u).

71 Razvoj u Taylorov red multivarijabilne funkcije

!x(t) = f(x, u) = f(x0, u0 ) + Vx f(x0 , u0 ) (x(t) - x0] + V u f( x0 , u.0 ) [u(t) - u0] + o [x(t) , u(t)]

�," : =.:- ::�: :

gdje je: Vx =

�

f(x, u) je izražen s:

c

r�

d�

1 � ::::::::r� � : ::��

nabla operator parcijalnih derivacija funkcije po varijabli x, cij alnih a a pera1or ac ii 0

8 fn 8xn

radnoj točlci (x0, u0 ),

[ g[� ofn OUp

-

8 fn 8xn

1-

Jacobian n x

p

a proračmrnra u

matrica proračunata u

o [x(t), u(t)] ostatak Taylorovog reda (sadrži članove višeg reda). Ako ostatak reda o(x, u) zadovoljava: lim (x,u)->(x0 , u0 )

o(x, u)

}lx - xo lz + Ju - uo lz

=0

tada s e može reći d a ć e aproksimacij a biti točna do prvog člana reda. Ako se promjena varijabli oko ravnotežnog stanja definira s: -6.x(t)

uz

-6.u(t) = u(t) - u0 te f(x0 , u0 ) = O , imati ćemo:

= x(t) - x0

pretpostavku fiksiranih ravnotežnih stanja, tj . !:_x o

dt

=

te

O uz

(2. 1 8) Jednadžba (2. 1 8) predstavlja lineariziranu dinamiku nelinearnog vremenski nepromje­ njivog multivarijabilnog sustava oko ravnotežnog stanja (x0 , u0 ) . Linearizacija algebarske (izlazne) jednadžbe (druga jednadžba u (2. 1 7)) može se iste pretpostavke provesti na sličan način. Dobiti će se za slučaj vremenski nepromjenjivog su­ stava Taylorov red:

X1

uz

y (t) = h (x , u) = h (x0 , u0) + C [x(t) - x0] + o [x(t) , u(t) ] gdje:

C=

r

f2fu..

!!!!,i

O n :

Ox 1

8hq 8x1

o [x(t) , u(t)]

-

q x n matrica Jacobiana

!!!!s__

OXn

-

ostatak Taylorovog reda (sadrži članove višeg reda).

72

(u = O), h(x) x0, y(t) = h (x) = h(x0) + CD.x(t) + o [x(t)]

Za nelinearan nepobuđen sustav u radnoj točki

te ako je funkcija

kontinuirano derivabilna

razvoj u Taylorov red će dati:

Ako h(x0) = O te ako ostatak reda zadovolj ava: lim

x->xo

= Vlxo(x)_ o 2 xl

= lim

6.x-> O

j o(xo + D.x) j = O ! D.x (

aproksimacij a će biti točna do prvog člana reda i dana je sa:

gdj e je

C

[= hh2(X1,1(x1,X2,X2,. .....„, xXn)n) l

D.y(t) ::::; C D.x(t)

-

q x n matrica Jacobiana definirana sa:

C = h (x)VT

hq(X1, X2, ... , Xn)

Za q

= n matrica Jacobiana C postaje kvadratna n x

n matrica.

Uobičaj eno je da se koordinatni sustav pomakne u radnu točku te da se matematički model

dinamike LTI sustava prikaže u obliku:

x(t) = Ax(t) + Bu(t)

dok se izlazni vektor LTI sustava prikazuje obično u obliku (uz

y(t)

=

D = O):

Cx(t)

Stanje nepobuđenog linearnog vremenski nepromjertj ivog (LTI) sustava moguće je opisati homogenom diferencij alnom jednadžbom n-tog reda (ulazno/izlazni opis):

n dix(t) dnx(t) l dn- l x(t) . + a1x + a x = O . x = . . anai+ an + + az 1 n n o 6 dt dt i=O dti �

.

(2. 1 9)

_ __

ili sa n diferencijalnih j ednadžbi prvog reda (interni opis):

x(t) = Ax(t)

gdje su:

ai Ax(t) = [ xi(t) x2 (t) -

(2.20)

koeficijenti diferencijalne j ednadžbe (2. 1 9)

matrica dinamike sustava reda n

xn Xn- 1 (t)t Xn (t) (- 1 x

Startje sustava u bilo kojem trenutku

n vektor stanja.

određeno je poznavanjem koordinate

x

i njenih

derivacija (slijedi iz (2.20) ili iz rješenja (2.20)). Geometrij ska interpretacij a općeg rješenja

73 jednadžbe (2.20) biti će familija krivulja u n-dimenzijskom prostoru definiranom s koordi­ natama x, x, . . . , x Cn -I) . Taj prostor naziva sefazni prostor ili prostor stanja, dok se krivulje koje predstavljaju rješenja jednadžbe (2.20) zovu fazne trajektorije ili trajektorije stanja5 8 . Familija svih faznih trajektorij a dobivenih iz svih mogućih početnih uvjeta ima naziv fazni portret ili portret stanja. U bilo kojem trenutku stanje sustava (2.20) određeno je točkom (točkama) na faznoj trajektorij i (u faznom prostoru) koja odgovara tom trenutku t. Koeficijenti a0 , , an nepobuđenog sustava mogu biti: • konstantni za LTI sustav (linearna jednadžba), · ·

•

•

·

vremenski promjenjivi za vremenski promjenj iv sustav (linearna jednadžba s promje­ njivim koeficijentima), ili funkcije varij abli x ( t) i njenih derivacija x(i l ( t) za nelinearan sustav (nelinearna je­ dnadžba).

U faznom prostoru područje oko koordinatnog ishodišta

��: = O, i = O,

1,

· · ·

,

n

-

1,

jest područje ravnotežnog stanja i ono je od posebnog interesa. Naime, za linearne sustave, fazne trajektorij e imaju isto ponašanje u čitavom faznom prostoru. Drugim riječima, pozna­ vanje faznog portreta (faznih trajektorija) u području malih otklona dovoljno je da se zaključi o ponašanju sustava u čitavom faznom prostoru. Kažemo da su za linearni sustav lokalna i globalna svojstva jednaka. Kod nelinearnih sustava to ne mora biti tako. Naime, kod njih se oblik faznih trajektorij a (svojstva sustava) može razlikovati od jednog do drugog faznog podprostora faznog pros­ tora. Fazni portret nelinearnog sustava bogatiji je od faznog portreta linearnog sustava, jer općenito nelinearan sustav može imati različita dinamička ponašanja u različitim dijelovima faznog prostora. Pa ipak može se pokazati da se bilo koji nelinearni sustav definiran anali­ tičkom funkcijom može u okolini ravnotežnog stanja aproksimirati linearnim sustavom. U tom slučaju se lokalno ponašanje takvog sustava može potpuno opisati linearnom teorij om. Ne treba zaboraviti da linearna teorij a tada vrij edi samo u okolini lokalnog ravnotežnog stanja sustava, odnosno radne točke oko koje je provedena linearizacija. Prema tome, lokalno kva­ litativno ponašanje od (2. 1 7) je određeno svojstvenim vrij ednostima matrice LTI sustava A, koje označavamo sa .\ (i = 1 , 2 . . . n) . Za sustave drugog reda, priroda svojstvenih vrij ednosti matrice A može se jasnije uočiti ako se prisjetimo da je karakteristični polinom matrice A:

>.2 - tr(A)>. + det(A) gdje tr(A) predstavlja trag matrice59, dok je det(A) determinanta matrice A. Diskrimi­ nanta b. definirana je s: b. = [tr(A)] 2 - 4 det(A) (2.21) te su svojstvene vrij ednosti matrice A :

� [tr(A)

±

�]

(2.22)

Analizom fazne ravnine linearnog sustava drugog reda može se zaključiti o oblicima faznih trajektorij a nelineamog sustava s lokalnim promjenama od ravnotežne točke koja se razmatra. Dok je za linearni sustav oblik faznih trajektorij a globalnog karaktera i isti je u 58Izraz faznih trajektorija koristi se skoro isključivo kod grafoanalitičkih postupaka. 5 9Zbroj dijagonalnih elemenata matrice A .

74

čitavoj faznoj ravnini, za nelinearni sustav on će vrijediti samo "u malom", tj . u okolini ravnotežne točke oko koje je linearizacija provedena. Postupak faznih trajektorija pogodan je za analizu nepobudenih nelinearnih sustava prvog i drugog reda uz početne uvjete različite od nula. Kada je nelinearni sustav višeg reda, postu­ pak faznih trajektorij a nije prikladan zbog složenosti procedure i nemogućnosti grafičkog prikaza fazne trajektorije ili faznog portreta. Prikazani postupci linearizacije nelinearnih diferencijalnih jednadžbi primj enjuju se u slučajevima kada se nelinearnosti mogu prikazati analitičkim funkcijama, a promjene varijabli u odnosu na (odabrani) statički režim mogu se smatrati dovoljno malenim. Tim uvjetima udovoljava velik broj kontinuiranih sustava auto­ matskog upravljanja.

2.5

Ulazno/izlazni opis dinamičkog sustava

2.5.1

Operatorski prikaz

U teoriji automatskog upravljanja prikladno je linearne diferencijalne jednadžbe prikazati u operatorskom obliku, [28]. Pri tome se na lijevoj strani jednadžbe nalaze izlazna veličina i pripadne derivacije, dok su na desnoj strani smještene sve ulazne veličine i pripadne derivacije. S tog stajališta opći oblik diferencijalne j ednadžbe LTI sustava može se predočiti izrazom:

dny(t) u(t) . t) + aoy(t) = bm -dm-. aiy( an+ . . + dtm D,+ . . . + b1 u. (t) bou(t) dtn +

Ako se umjesto derivacije uvede operator deriviranja te primijeni u gornjoj jednadžbi, dobiti će se operatorski prikaz ulazno/izlaznog matematičkog modela LTI sustava:

(bm'Dm + bm- lvm-l + +b1D + bo )u(t )

gdje je operator deriviranja:

· ·

i = 1 , 2, . . . i njegova inverzija:

Jednadžba (2.23) može se pisati

(2.24)

ef 1 d= d u t D u(t) J

u

(2.23)

(2.25)

skraćenom obliku:

A (D)y(t) = B (D) u (t) = an'Dn + an - 1 D11 - 1 + . . . + ai'D + ao AB (D) (D) bmĐm + bm- 1v=- 1 +A(D) . . . + biD + bo . . . = av-l nn - < i n, b0

(2.26)

gdje su:

Ako je v

=

v

koeficijenata polinoma O, dok je preostalih ::; f::. O, tada slijedi: =

jednako nuli, odnosno ako vrijedi: a 0 v + 1 koeficijenata različito od nule,

a1 ai f::. =

O,

75 te imamo astatički sustav v-tog reda s polinomima: (2.27) (2.28) gdje su:

Cl'i = ,Bi =

a; -

a,,

i = 0, 1, 2 . .

;

b� ; b

,V

(2.29)

i = O, 1 , 2 . . . , m

(2.30)

Kv =

.

bo ;

(2.3 1 )

av

Sustavi kod kojih je v koeficijenata polinoma A ( D) jednako nuli nazivaju se sustavi s astatizmom v-tog reda, ili astatički sustavi v-tog reda. Za razliku od nj ih, sustavi kod kojih je v = O nazivaju se statički sustavi. Astatički sustavi v-tog reda su sustavi koji imaju v

čistih integratora i koji mogu pratiti bez pogreške postavne veličine (referentne signale) tipa

r(t) = tv -I S(t) To znači da astatički sustav prvog reda prati bez pogreške naređenu poziciju (r(t) = S(t)), astatički sustav drugog reda prati bez pogreške brzinu (r(t) = tS(t)), dok astatički sustav trećeg reda bez pogreške prati zadana ubrzanje (r(t) = t2 S(t)) i td. U slučajevima kada na sustav ili na dio sustava djeluje više poremećajnih veličina w 1 , w2, .. wK,

.

opća jednadžba (2.23) poprima oblik:

A (V) h.y = B ( V) !:lu + 2= Ci (D) h. wi ·

i=l

,

(2.32)

Kao što se vidi u matematičkom modelu (2.32) pojavljuje se dodatna komponenta uslijed tih poremećaja. Ako djeluje samo jedan poremećaj (K, = 1), tada se dodatna komponenta može izraziti sa60: (2.33) gdje su:

Ci

Ti = -o ;

C

i = O, 1 , 2 . . , q .

Kw =

Co

(2.34) (2.35)

av

-

Iz (2.27, 2.28 i 2.33) slijede dimenzije parametara (2.29, 2.30, 2.34, 2.3 1 i 2.35).

[ai ] = sn - v - i ; [,6;] = s= -i ; [r;] = sq-i ; [y] Kv - [ s - v ,. K - M s u] [w] Parametrima ai , Pi i Ti određene su vremenske konstante sustava, a koeficijenti Kv -

w

-V

i

Kw u slučajevima kada ulazne i izlazne veličine imaju istu dimenziju imaju naziv koeficijenti

pojačanja sustava.

U daljnjem tekstu će se iz praktičnih razloga u diferencijalnim jednadžbama izostaviti simbol h., tj. otkloni izlaznih i ulaznih varijabli od zadanih ustaljenih (statičkih) iznosa bit će označeni s y umjesto h.y, odnosno s u umjesto !:lu. 60Radi kratkoće ne piše se indeks i = 1 u polinomu C (V) .

76 Iz (2.32), (2.29), (2.30) i (2.34) uz r;, = 1 , slijedi opći standardni oblik diferencijalnih jednadžbi u parametarskom obliku (ulazno/izlazni model), koji se koristi u teorij i automatske regulacije:

A (D) Dv y(t) = Kv B (D) u(t) + Kw C (D) w(t)

odakle:

(2.36)

B (D) C (D) y (t) = Kl/ Dl/A (D) u(t) + KW Dl/A (D) w(t)

Izraz (2.36) vrij edi za astatičke sustave v-tog reda. Za statičke sustave (v izlazni matematički model je:

odakle:

(2.37) =

O) ulazno/

A (D) y (t) = B (D) u(t) + C (D) w(t)

(2.38)

B (D) C (D) y(t) = A (D) u(t) + A (D) w(t)

(2.39)

Primjer 2.4 Na slici 2.4a,b prikazana je shema (a) i statičke karakteristike (b) istosmjer­ nog elektromotora s nezavisnom uzbudom. Pri određivanju diferencijalnejednadžbe motora primjenjuje se drugi Newtonov zakon:

dD

ldt = Md - MT

(2.40)

gdjeje: n - kutna brzina osovine motora I - moment inercije rotacijskih masa sveden na osovinu motora Md - moment vrtnje motora Mr - moment tereta na osovini motora.

u b

a

Slika 2.4: Električka shema (a) i mehanička statička karakteristika istosmjemog motora (b)

Veličina Md ovisi o kutnoj brzini D i o iznosu napona armature Md = A1d (D, u). Mo­ ment opterećenja osovine motora ovisi o kutnoj brzini n i vremenu t; 111r = Af (D , t). Te ovisnosti obično se zadaju grafički, a određene su uglavnom tipom motora i karakterom opterećenja. Tipične mehaničke karakteristike istosmjernog motora s nezavisnom uzbudom prikazane su na sl. 2.4b. Kako je iz grqfičkog prikaza vidljivo, funkcije Md(D,) i Mr (D) su nelinearne analitičke funkcije argumenata O; odnosno, jednadžba (2.29) je nelinearna dife­ rencijalnajednadžba. Iz grafičkog prikaza (sl. 2.4b) za u = u0; n = n° slijedi statički režim rada motora (radna točka, kojom se obično određuju nominalni uvjeti rada). r

M� = M�

(2.4 1 )

77

Razlaganjem funkcija 1\,Jd (D. ) i ;_1Jy (D, t) u Taylorov red u odnosu na točku (D0 , u0 ) i zanemarenjem članova viših odprvog reda, slijedi: u

Md

= f\Ido +

f\fy

=

8Md o 8.Md o ( on ) .6. D + ( au ) .6.u (

Mi +

o [)QT ) .6.D + .6.Mt (t)

8M

I

(2.42) (2.43)

Uvrštenjem (2. 42) i (2.43) u (2.40) proizlazi: D dt

Id

=

8Md o 8Md o - 8Mr o ( 8D ) .6.D + ( 8u ) .6.u ( 8D ) .6.D - .6.Mr (t)

(2.44)

Sređivanjem (2.44) slijedi lineariziranajednadžba (2.40). D dt

d I+

[(

8Mr o 8Md o 8Md o -- ) - ( - ) .6.D = - .6.Mr (t) + ( - ) .6.u au an an ]

(2.45)

Jednadžba (2.45) svodi se na standardni oblik tako da se najprije napiše u obliku s bezdimen­ zijskim koeficijentima. Radi toga se svi koeficijenti podijele sa nominalnim iznosom momenta motora f\In: � : I +

_

. .6.!vfy (t) Mn

�"

+

[

(

a::ir

)

0 a:i, ) _

(

-l- 8Md o .6.u Mn ( 8u )

0 "!l ]

(2.46)

Analogno, varijable .6.D i .6.u svode se na bezdimenzijske tako da se iskazuju u relativnim iznosima. U tu svrhu odabiru se neki konstantni iznosi s kojima se dijele veličine .6.D i .6.u. Vrlo često se za konstantni iznos izlazne veličine odabire njen nominalni iznos, a za kon­ stantni iznos ulazne veličine odabire se maksimalni iznos. Ujednadžbi (2.46) najprikladnije je uvesti bezdimenzijske varijable: y u

.6.D Dn .6.u

(2.47) (2.48)

Umax

gdjeje:

Dn - nominalni iznos brzine vrtnje

- maksimalni napon armature motora. Iz (2.46), (2.47) i (2.48) proizlazi: Umax

l D Dn Dn _ 8Mr 0 1d + Dn Mn dt Mn [ ( 8D )

_

_

8Md 0 .6.D ( oD ) ] Dn

.6.Mr (t) Umax 8Md o .6.u + Mn Mn ( OU ) Umax

(2.49)

Iz (2.49) i (2.36) dobiva se operatorski oblik linearne diferencijalne jednadžbe motora: (a1 V + a ) y(t) = b u(t) - w(t) o o

(2.50)

78

g4Jeje: F

��;

u � �:, ; dn nn dt 1

c:n o - ( ] [nn ; Umax8�( 8M)°d )�.o � a,, I lvf = a1 M n n OU = bo d ( �) dy(t) = Vy (t) '

a

dt

=

dt

-

Standardni oblik diferencijalne jednadžbe (2.50) dobiva se dijeljenjem cijele jednadžbe s koeficijentom + 1) y(t) = Ku(t) Kww(t) (2.51) g4Je su: = vremenska konstanta motora ao

ao :

T1 -a1 [s] bo -[y] - oe ClJen . . . t pOJacanJa . motora u odnosu na vouecu ve l"zcznu u ( t) K=a0 [u] Kw =

k

-a0 -[[y]J 1

w

(T1 'D

fi

,J

'

v•

koefiCIJent poJacanJa motora u odnosu na poremeca;nu vel zcznu " 0 0

0

o

o

0

0

v•

w

(t) . •

Primjer 2.5 Na slici 2.5 prikazanaje električka shema i statička karakteristika asinkronog dvofaznog motora.

n a

b

Slika 2.5: Električka shema (a) i statička karakteristika (b) asinhronog dvofaznog motora.

Pri određivanju linearne diferencijalnejednadžbe asinkronog dvojaznog motora, može se nelinearna statička karakteristika AJ(n) zamijeniti sekantom6 1 . Ovaj motor često se koristi u sustavima automatske regulacije kao servo-motor u izvršnim mehanizmima sustava. U sta­ toru motora smješten je uzbudni namotaj s uzbudnim naponom u 1 i upravljački namotaj na koji se obično dovodi napon s elektroničkog pojačala. U uprm'ljačkom namotaju ugrađen je kondenzator c pomoću kojeg se postiže e = 90° medu naponima i U2 . Fazni po­ mak potreban je za stvaranje obrtnog magnetskog polja. Jednadžba momenata asinkronog dvofaznog motoraje:

U1

dfl Md = Mr + I­ dt

6 1 Linearizacija sekantom.

(2.52)

79

gdje su:

Jld Jld ( u 2 . D) moment vrtnje motora Jlr moment tereta na osovini motora I - moment inercije rotacijskih masa sveden na osovinu motora. Lineari:::irana statička karakteristika Jld (u2. Sl) određenajejednadžbom sekante: (2.53) Jld = .uJ - K1Sl = K2u2 - K1D -

=

-

Iz (2. 52) i (2. 53) slijedi linearna diferencijalna jednadžba: I dt

+ K1D = K2u2

dD

-

Alr

odnosno u operatorskom obliku: (2.54)

gdjeje:

a 1 = I : ao K1 ; V = dtd Dijeljenjem jednadžbe (2. 54) s koeficijentom a0, dolazimo do standardnog oblika linearne =

diferencijalne jednadžbe asinkronog dvofaznog motora: (T1 V +

1) y(t)

=

Ku(t) - Kww (t)

gdjeje: T1

=

K2 ao K = ao : Kw = �; ao y(t) = D; u(t) = u2; w (t) = Mr

!_;

·

•

Primjer 2 .6 Na slici 2. 6 prikazana je shema elektromagnetskog detektora napona. Detek­ tor se sastoji odjezgre elektromagneta 1, zavojnice 2 i povratne opruge 3.

I

�

u

n

I

I

I

I

o I

I

I

I

I

�- y

I

2

�

u

n

I

1

Slika 2.6: Shema elektromagnetskog detektora napona

u,

Ulazna veličina detektora je napon a izlazna veličinaje pomakjezgre opisujejednadžbom gibanjajezgre ijednadžbom elektromagnetskih procesa:

mjj(t) + µy(t) + F1 (y) = F2 (i, y)

y.

Detektor se (2.5 5)

80

gdjeje:

- masa dijelova koji se gibaju µ koeficijent trenja Fi (y) - sila opruge Fz (i, y) - privlačna sila elektromagneta.

m

Jednadžba elektromagnetskih procesajest:

dif!( t) ----;ft + i(t)R = u(t)

gdjeje:

if! ( t) = Li ( t) magnetski tok elektromagneta L = L(y) induktivitet zavojnice R omski otpor zavojnice.

-

-

-

Jednadžba detektora može se pisati u obliku:

di(t) . dL dy(t) . L -- + i ( t) - · -- + i ( t )R = u ( t ) dy dt dt

(2.56)

Prvi član ujednadžbi (2.56) predstavlja elektromotornu silu samoindukcije, a drugi član elek­ tromotornu silu koja nastaje promjenom induktiviteta L do koje dolazi zbog gibanja jezgre elektromagneta. Statički režim elektromagneta slijedi iz (2.55) i (2.56): Fi (y) = Fz (i , y) Ri(t) = u(t)

(2.57)

Rješenje jednadžbi (2.57) dobiva se obično grafičkim postupkom (slika 2. 7).

i2 i1

i=

* = konst. y

u

a

b

Slika 2.7: Statički režim (a) i statička karakteristika (b) detektora napona

Statička karakteristika detektora (slika 2. 7b) odreduje se iz grafičkog rješenja statičkog režima (slika 2. 7a). Linearizacija jednadžbi (2.55) i (2.56) provodi se analogno postupku primijenjenom u primjeru linearizacije istosmjernog elektromotora s nezavisnom uzbudom. Kao rezultat linearizacije slijedi sustav od dvije linearne diferencijalnejednadžbe: d�y d2 �y 8F 0 /\ 8F 0 . µ-- + [ ( 1 ) - ( 2 ) ] LJ.Y m-oy dt2 + dt ay

-

-

d�i ·O dL . d�y /\ Lo -- + i ( - ) 0 -- + R LJ.Z dt dt dy

(2.58) ·u

(2. 59)

81

Uvođenjem relativnih iznosa varijabli,

D..y y=Yn ;

U =

D..u

--

Umax

;

i = -D..i.-i , i zamjenom 1J = dtd n

slijedi operatorski oblikjednadžbi (2.58) i (2.59):

(m1J2 + µ1J + a) y(t) (L0 + R) i(t) + a1 1Jy(t)

bi(t) u(t)

(2.60) (2.6 1 )

gdjeje: (2.62)

Iz (2. 61) proizlazi:

i (t ) .

_

-

u (t) - a 1 1Jy(t) LO + R

(2.63)

Uvrštenjem (2. 63) u (2. 60) i sređivanjem proizlazi:

(2.64)

Dijeljenjem (2. 64) s koeficijentom ao dobivamo standardni oblik diferencijalne jednadžbe elektromagnetskog detektora napona: (2.65) •

2.6

Odzivi linearnog vremenski nepromjenjivog sustava

Linearan vremenski nepromjenjivi (LTI) sustav može se opisati ulazno/izlaznim (2.8) ili internim (2.9) matematičkim modelom. Odziv LTI sustava moguće je dobiti rješenjem: • linearne diferencijalne jednadžbe n-tog reda ili •

skupa n linearnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda uz poznate početne uvjete i poznatu pobudu koja djeluje na sustav.

Pored ovog načina, odziv LTI sustava moguće je dobiti i primjenom konvolucijskog množenja odnosno rješavanjem konvolucijskog integrala, [29] . U oba slučaja prikladno je koristiti Laplaceovu transformaciju za dobivanje odziva LTI sustava. Ovisno o postupku rješavanja dobiti će se različite vrste odziva, no ukupni odziv uvijek će morati biti isti bez obzira koji postupak primjenjivali.

m koja se kotrlja (bez trenja) ravnom plohom i na koju djeluje pobuda - sila F(t). Dinamiku sustava moguće je opisati primjenom Newtonovog zakona gibanja za kruto tijelo: Primjer 2.7 Kao primjer može poslužiti kugla konstantne mase

dv(t) F(t) = m · a(t) = m · -­ dt

(2.66)

82

gdje su v(t) - brzina kugle [m/s] ; a(t) - ubrzanje [m/s2 ] ; F(t) - vektor ukupne sile koja djeluje na kuglu [N] . Ako se kao izlazna varijabla ovog sustava odabere brzina kugle y(t) = v(t), tada će rješenje (2.66) biti izražena sa:

v(t)

=

t

� j F(T)dT -

(2.67)

=

Primjena Newtonovog zakona gibanja krutog tijela podrazumijeva izbor prikladnog koordi­ natnog sustava. Tek tada znamo napr. što znači pozitivan pomak i sl. U našem primjeru gibanje na desno će biti pozitivno gibanje. Izraz (2. 67) pokazuje daje brzina kugle u bilo ko­ jem trenutku t rezultat djelovanja sile na kuglu tijekom čitave prošlosti tj. od T = - oo do T = t. Da bismo riješili taj problem, trebali bismo poznavati kakva je sila djelovala na kuglu u prošlosti, pa sve do trenutka t. Ako pretpostavimo dapoznajemo kakva sila djeluje na kuglu od nekog trenutka t0 = o - , tadaje moguće rješenje (2. 67) izraziti kao:

v(t) = �

t

t

J F(T)dT � J F(T)dT + � J F(T)dT

-

o-

=

(X)

= ...___..., -

v(O-)

(2.68)

o'-...,-.'

Iz izraza (2.68) slijedi da će brzina kugle ovisiti ne samo o sili koja na kuglu djeluje od trenutka t0 do trenutka t, već također i o početnoj brzini koju je kugla imala u trenutku t0. Početna brzina kugle rezultatje djelovanja sile na kuglu od -oo do to i definiranaje s:

v(o - ) Prema tome zaključujemo sljedeće:

=

o-

� j F(T)dT - (X)

1.

brzina kugle u nekom trenutku t može se jednoznačna odrediti ako poznajemo pobudu (silu) koja na kuglu djeluje od -oo do t .

2.

kako nije realno očekivati da će se poznavati pobuda kojaje djelovala na sustav tijekom prošlosti do trenutka to, postoji jošjedna mogućnost rješenja problema - ali samo ako poznajemo: (1) (2)

početnu brzinu kugle (početno stanje), a isto tako i silu (pobudu) koja na kuglu djeluje odpočetnog trenutka t0 do t.

Početna brzina (početni uvjeti) sadrži informacije o cjelokupnoj prošlosti sustava koje su nužne da bi se našio jednoznačna rješenje problema. Umjesto da poznajemo djelovanje pobude do trenutka t0, kada počinjemo razmatrati i sami qjelovati na sustav, dovoljno je poznavati početne uvjete sustavajer oni sažimaju memoriju sustava o pobudama koje su na njega djelovale tijekom prošlosti, sve do trenutka t0. •

83 2.6.1

Konvolucijski integral

U obradi signala često se koriste dvije osnovne vrste množenja: • = obično množenje dvaju signala:

•

y(t) g(t) u(t) konvolucijsko množenje dvaju signala: y(t) g(t) u(t) ·

*

=

Konvolucijsko množenje se iz vremenskog područja preslikava u frekvencijsko područje Fourierovom transformacijom kao obično množenje. Konvolucijsko svojstvo se prema tome može izraziti s [ 1 30]: :F y(t) = g(t) u(t) =} Y(w) = G(w ) · U (w) *

Međutim, obično množenje se iz vremenskog područja preslikava u frekvencij sko po­ dručje Fourierovom transformacijom kao konvolucijsko množenje, pa se modulacijsko svoj­ stvo može izraziti s:

1 :F y(t) = g(t) u(t) =} Y(w ) = 27f [G ( w)

*

·

U(w )]

U gornj im izrazima pretpostavlja se da postoje Fourierove transformacije od

u(t).

y(t), g(t) i

Svojstva konvolucijskog množenja su: 1 . Konvolucija bilo koje funkcije s delta (Dirac) funkcijom 8(t) daje tu istu funkciju: *

g(t) r5(t) = g(t)

2. Konvolucija j e specifično množenje kod kojega vrijedi: * * ( 1 ) Zakon komutativnosti: (2) (3)

g(t) u(t) u(t) g(t) Zakon distributivnosti : g(t) [u1 (t) + u2 (t)] = g(t) u 1 (t) + g(t) u2 (t) Zakon asocijativnosti: g(t) [u(t) x(t)] [g(t) u(t)] x(t) =

*

*

*

*

*

=

*

*

Konvolucijsko množenje dviju kontinuiranih funkcij a rješava se pomoću konvolucijskog integrala, koj i je: *

y(t) = g(t) u(t)

ef d=

t

t

J g(t - T)u(T)dT J g(T)u(t - T)dT d ef

=

-oo

(2.69)

-oo

Zanima li nas odziv LTI sustava prikazanog na slici 2.8, on se može dobiti primjenom (2.69), gdje su sada kontinuirane funkcije odziv sustava, pobuda na sustav te sustava.

y(t)

težinskafunkcija

u(t)

u(t)

y(t )= g(t)* u (t )

g (t)

g(t)

_

Slika 2.8: Odziv LTI sustava konvolucijom Iz analize konvolucij skog integrala (2.69) slij edi da - T ) predstavlja težinski faktor koji opisuje s kolikom težinom prošle pobude T) , - oo < T < utječu na sadašnj i odziv

u(

g(t

t

84 sustava y(t).Težinskafunkcija pobudu:

y(t) = g(t) * O(t) d=ef

sustava definirana je kao odziv LTI sustava na delta (Dirac) t

I

ef g (t - r)O(r)dr d=

- oo

t

I g(r)O(t - T) dT = g(t)

- oo

Delta funkcija je funkcija koja ima smisla jedino kao podintegralna funkcija. Naime, ona ne postoj i za t i=- O dok je tamo gdje postoj i u t = O nedefinirana jer je njezin iznos oo :

o(t) =

{

o \ft i=- o

oo za t = O

Kao podintegralna funkcija, ona daje: oo

o+

J o(t)dt = o-J o(t)dt = 1

-

oo

Zbog tog svojstva ona igra istu ulogu koju ima 1 u običnome množenju, tj. da konvolu­ cijsko množenj e bilo koje funkcije s 6(t) ne mijenja tu funkciju: f(t) * o (t ) = j(t). U teorij i sustava ona je važna stoga što pobuđuje sustav s jediničnom energijom pa se sustavi, pobuđeni signalom iste energije i trenutnog postojanja mogu lakše međusobno uspoređivati. Težin­ ska funkcija vrlo je važna u teoriji linearnih sustava, jer sustav iskazuje kroz odziv težinske funkcije svoja bitna svojstva. Treba napomenuti da se 6(t) ne može u stvarnosti realizirati te da ona predstavlja matematičku idealizaciju kratkotrajnog impulsa kojim je moguće pobuditi sustav. Temeljno svojstvo 6(t) funkcije je njezino svojstvo uzorkovanja62: +oo

J f(T)6(t - a)dT

-

oo

=

f(a)

Kako o(t) nije funkcija u običnom smislu (nije definirana tamo gdje postoji u može se reći da je svojstvo uzorkovanja njeno pravo određenje.

t = O),

Primjer 2.8 Potrebno je odrediti odziv LTI sustava na jediničnu skokovitu pobudu u(t) = S(t). Sustav ima težinsku funkciju: l . g(t)

=

e-ats(t) gdjeje a > O, (kauzalan sustav)

62engl.Sampling (sifting) property.

85

1

u(t) 0.75 0.5 0.25

o

-1

-0.5

o

0.5

t(s)

Slika 2.9: Težinska funkcija kauzalnog sustava

2.

g(t) =

{

eatza t < o gdjeje a > O, (nekauzalan sustav) e -atza t > 0 u (t)

t(s)

Slika 2 . 1 O: Težinska funkcija nekauzalnog sustava

86

Kako možemo birati koju od dviju funkcija ćemo zrcalna okrenuti oko osi ordinate i pomaknuti za iznos t, ovdje ćemo se odlučiti da to bude pobuda, pa imamo: y(t) = g (t)

*

de f

u(t) =

t

J g (T)u(t - T)dT

- oo

Na slici 2. 1 1 su za slučaj kauzalnog sustava (1) nacrtane: pobuda u( T) = S( T ), težinska funkcija g( T) (uz pretpostavku da je a > O), zrcalna slika pobude oko osi ordinate u( -T) = S ( -T) koja je pomaknuta u desno za slučaj t > O pa imamo u(t - T) = S(t - T), te podintegralnafankcija g(T)u(t - T).

u( ")

1 ' u(t-'L) ( Slika 2. 1

1:

Prikaz težinske funkcije kauzalnog sustava i pobude

Sustav (1) je kauzalanjerje g (t) = O za t < O, a za t < O vrijedit će g( T)u(t - T) = O, što znači daje za odziv u ovom primjeru dovoljno promatrati integral: y(t)

=

t

g(T)u(t - T)dT J o -

Za t > Oje:

g(T)u(t - T) = Prema tomeje: y(t)

za O < T < t O za ostale T

t

=

J e -aT dT = - �a e -aT o-I = �a ( 1 - e -at ) S(t)

o-

Za slučaj a pobudu.

{ e-aT

= 2 na slici 2. 12 je prikazan odziv kauzalnog sustava najediničnu skokovitu

87 0.6

y (t)

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 o

o

2

3

4

t[s]

5

Slika 2. 12: Odziv kauzalnog sustava prvog reda na skokovitu pobudu

Za slučaj nekauzalnog sustava (2) prikaz istih signala kao i u slučaju (I) danje na slici 2. 13. g(,; )

u(,; } 1

1

" u(t- ,;)

g(,; )u(t- ,;)

Slika 2. 1 3 : Težinska funkcija nekauzalnog sustava i skokovita pobuda

Sustav je nekauzalan jer je g ( t) i= O za t < O, pa će za t < O odziv postojati iako je pobuda u(t) = S(t) = O za t < O. Naime, g(T)u(t - T) i= O za t < O što znači daje za odziv

88

u ovom primjeru nužno promatrati integral od -oo do t:

y(t) =

t

o-

t

-oo

-oo

o-

J g(T)u(t - T)dT = J g(T)u(t - T)dT + J g(T)u(t - T)dT

Imamo:

g(T)u(t - T) = eaT · 1 za t < O Dokje za t > O:

g(T)u(t - T)

=

{

e- aT za O


T

t


.t) S(t)

S(t)

S(t)

tS(t)

e>.1t S(t)

e)..2 t S(t)

e>.tS(t)

e ts ( )

tn S(t)

e>.t S( t)

tm S(t)

tn S(t)

>.

e - at cos (/3t +

. ts(t)

Tabela 2.2.

* fi ( t )

cos(cp-8)

e V(a+ >. )2 +(32

)..t

_

e - t

]

cos((Jt+cp-8) S(t) y'(a+ >.)2 +(32

( )

-/3 e = arctan a+ >.

Tabela 2.2 pokazuje da je rješavanje konvolucijskog integrala prilično složeno. Zbog teškoća kod rješavanja konvolucijskog integrala za složenije vrste funkcija, nužno je primje­ nom Laplaceove transformacije prijeći u kompleksno s p'Oaručje, tamo riješiti diferencijalnu jednadžbu ili konvoluciju, te rješenje iz kompleksnog područja ponovno vratiti u vremensko područje. Primj enom Laplaceove transformacije konvolucij sko se množenje u Laplaceovom području pretvara u obično množenje, koje se mnogo jednostavnije rješava.

Primjer 2.9 sa:

Odziv kauzalnog, linearnog, vremenski nepromjenjivog (LTI) sustava dan je

J g(t oo Primjena Laplaceove transformacije daje: y ( t)

=

t

ef g(t) * u(t) d=

-

T)u(T)dT d=ef

J g (T)u(t - T)dT oo t

-

90

Kako je za kauzalan sustav g(t) = O za t < O, onda slijedi da će g(t - T)S(t - T) = O za T > t, pa imamo:

J g(t - T)u(T)dT = J g(t - T)S(t - T)u(T)dT t

-

t

00

o

Laplaceova transformacija dat će: Y ( s)

={, { i

g(t - T ) S(t - T)u(T)dT

o

}

=

7 o

g(t - T)S(t - T)e-s t dt ·

l o

u(T)dT

Naime, zbog g(t - T)S(t - T) = O, za T > t gornja granica integrala može se proširiti do oo . Zamjenom t T = >. te dt = d>. slijedi: -

Y( s ) =

CX>

J

g(>.)e-s(A+T) d>.

o

Prema tome:

J u(T)dT = J g(>.)e-s>.. d>-· f u(T)e-sTdT 00

(X)

(X)

o

o

o

y (t) = g(t) * u (t)

U( s )

G(s)

�

Y ( s ) = G( s ) · U ( s ) •

2.6.2 Slobodan i prinudan odziv Izraz (2.69) pokazuje da je moguće njegovom primjenom odrediti odziv bilo kojeg LTI sustava ako poznajemo njegovu težinsku funkciju i pobudu koja na njega djeluje od oo do t. Ako se konvolucijski integral podijeli na dva dijela dobiti će se da je ukupan odziv LTI sustava dan sa: -

J

o-

y (t)

=

- oo

g(t - T )u(T)dT + slobodan odziv

Yzi

J g(t - T)u(T)dT t

o-

prinudan odziv Yzs

Ovdje se sa o- označilo početno vrijeme to- od kojega započinje razmatranje sustava i od kojega na dalje poznaj emo pobudu koja djeluje na sustav. Indeks - označava da su u tom trenutku mogući diskontinuiteti u pobudi. Npr. jedinična skokovita pobuda u trenutku O ima: u(o-) = O, dok je u(o+ ) = l . Dio odziva LTI sustava na pobudu koja je djelovala do trenutka o- naziva se slobodan odziv63 (Yzi (t) ;Vt > o + ), dok se dio odziva na pobudu koja djeluje na sustav od trenutka o- na dalje naziva prinudan odziv64 (Yz (t) ;Vt > o+ ).

s

Primjer 2.10 LTi sustav ima težinsku fankciju g(t) = e-at ; Vt > O. Kako je g(t) = O; Vt < O, može se zaključiti da je sustav kauzalan! Odziv na jediničnu skokovitu pobudu 63 engl. Zero-input response. 64engl. Zero-state response.

u ( t ) = S(t)

=

91

1; Vt > O, dat će:

jo

o-

y(t ) =

j

-

oo

t

e- aT S(t - T)dT + slobodan odziv Yz ;

-

e

-aT

S (t - T )dT

prinudan odziv y z s

Težinska funkcija jednaka je nuli za - oo < T < o - te će prvi integral biti jednak nuli, odnosno sustav neće imati slobodnog odziva (Yzi = O). Ukupan odziv (vidi sliku 2. 12) će se prema tome sastojati samo odprinudnog odziva i biti će: y(t ) = Yzs (t )

=

t

e- aT dT = J o

1

a - - e- T

-

a

1 ( 1 - e- ar ) ; Vt > o.

t I =-

o- a

•

Rješenje dobiveno u ovom jednostavnom primjeru moguće je poopćiti te reći da se ukupan odziv svakog LTI sustava sastoji iz zbroja dvaju odziva: slobodnog odziva (y2;) i prinudnog odziva (Yzs)

y(t ) = Yzi (t ) + Yzs (t ) Slobodan odziv može se definirati kao odziv LTI sustava za t > t0 : l . kada nema pobude u ( t) = O; Vt > t0 ili 2 . na pobudu koja je na sustav djelovala do trenutka t0 (u (t ) =I- O; Vt < to ) ili 3. na početne uvjete uz u ( t ) = O; Vt > t0

Slobodan odziv pokazuje kako će sustav trošiti u prošlosti sakupljenu energiju kada je prepušten sam sebi. Naime, energetska skladišta su se do trenutka t0 popunjavala energijom, koja se oslobađa (troši) nakon to, jer na sustav od tog trenutka više ne djeluje nikakva pobuda. Slobodan odziv sastoji se isključivo od prirodnih modova (ponašanja) sustava, koji imaju oblik eksponencijalne funkcije e>.;t (i = 1, 2, . . . , n ) . Sustav se najlakše oslobađa energije po prirodnom modu. Sustav također najmanji otpor daje signalu koji ima oblik njegovog prirodnog moda. Pojava rezonancije se upravo time i objašnjava. Prinudan odziv moguće je definirati kao odziv sustava na pobudu u ( t) =I- O; Vt > to, uz pretpostavku da je sustav pokrenut s praznim skladištima energije (nulti početni uvjeti). Skladišta energije biti će prazna ako je u ( t ) = O; Vt < t0. Za razliku od slobodnog odziva, prinudni odziv pored prirodnih modova ( e>.; t ) sadrži i komponente koje su posljedica djelo­ vanja pobude i koje imaju oblik pobude. Kako je linearnost sustava bila prij e definirana temeljem samo prinudnog odziva sustava (uz prazna skladišta energije) nužno je ovdje proširiti definiciju linearnog sustava.

Definicija (Linearan sustav). Kažemo daje sustav linearan ako vrijedi: 1 . aditivnost slobodnog i prinudnog odziva sustava y( t ) = Yzi ( t)

+ Yzs ( t)

2. načelo superpozicije (aditivnost i homogenost) za slobodan odziv Yzi ( t ) 3. načelo superpozicije (aditivnost i homogenost) za prinudan odziv Yzs ( t )

Jedino ako su sva tri uvjeta zadovoljena može se reći daje sustav linearan.

92

2.6.3 Jednostrana Laplaceova transformacija Jednostrana Laplaceova transformacija primjenjuje se za rješavanje linearnih diferenci­ jalnih jednadžbi, odnosno određivanje odziva sustava na pobudu primj enom konvolucijskog integrala.

Kao što je pokazano, rješenje konvolucijskog množenja dviju funkcija u vre­

menskom području zahtijeva rješavanje konvolucijskog integrala, što j e vrlo često složeno i nedjelotvofr{o. Primj enom Laplaceove transformacije konvolucijsko množenje pretvara se u obično množenje. Jednostrana Laplaceova transformacija definirana je s:

CXJ

X+ (s) = C+ {x(t) } d� J x(t)e- st dt

(2.70)

o+

gdj e su: s

kompleksna varijabla (frekvencija),

x(t) - original funkcija e-st - j ezgra transformacije.

s = a + jw ; w

= 2Kf

Da bi Laplaceova transformacija postojala mora podintegralna funkcija (original)

x(t)

biti:

1.

po odsj ečcima kontinuirana u bilo kojem konačnom intervalu za područje

2. eksponencijalnog reda kako t

--+ oo tj .

lim e-at lx(t) I

t->oo

odnosno Laplaceova transformacija mora konvergirati

00

J

o+

--+

O

;

t > O,

'r/a > O (a

realni),

lx(t)e-at l dt < oo .

lim e - at lx(t) I ----+ O za a > ae te također ako lim e-at lx(t) I --+ oo za a < ae t->CXJ t ->oo tada se ae zove apscisa konvergencije. Prema tome, ako Laplaceova transformacija X+ (s) postoji za neku kompleksnu frekvenciju npr. so = ao + jw o , tada ona također postoji za sve Re s 2: O"o . Najmanji iznos ao naziva se apscisa konvergencije (min ao = a e) , dok se {s : Re s 2: a} naziva područje postojanja, odnosno definicije Laplaceove transformacije X+ ( s ) = C+ { x( t)} . Da bi Laplaceova transformacija neke funkcije postojala, nužno je Ako

da ta funkcij a raste sporije od eksponencijalne funkcije te da postoji u području definicij e.

t, sinwt, t sinwt imaju apscisu konvergencije ue = O, dok e-a.t , te-a.t , e-o:t sinwt imaju apscisu konvergencije ue = -a. Funkcije koj e rastu brže od eksponenci­

Funkcije kao što su:

jalne funkcije nemaju Laplaceovu transformaciju, jer nije moguće odrediti prikladnu apscisu konvergencije

CTe ·

Takve funkcije su napr.:

et2 , tet2 , et2 sin wt

i sl. Međutim, ove funkcije

mogu posjedovati Laplaceovu transformaciju samo ako su ograničenog trajaaja. Tako npr., funkcija

f (t) = et2

za O O odnosno

CT

+ jw + ). > O.

93

Prema tome, uvjet apsolutne konvergencije integrala će biti O" > ->... U tom će slučaju biti:

G(s) = s A+ >.. ;

uz uvjet J > ->..

Kao što vidimo eksponencijalnafzmkcija (original) proizvodi pol u kompleksnoj ravnini j Im =

G ( s) Re {G( s)} +

{ G ( s)} .

lim e- ut jAe-.At l --> O ako65 je O" > ->..

t --+oc teje apscisa konvergencije O"c

=

->...

Apscisu konvergencije moguće je interpretirati preko polova racionalne funkcije odgovara realnom dijelu pola kojije najdalje udesno u ravnini (dominantni pol).

s

G ( s).

O" c

• U slučaj u da funkcija ima diskontinuitet u ishodištu tada jednostrana Laplaceova transformacija (2.70) [,+ ne može dati točan rezultat. Tako npr. ako želimo odrediti Laplaceovu transformaciju delta (Dirne) funkcije dobiti će se krivi rezultat:

L+ {8(t) }

X

= / 8(t)e-stdt = O o+

Zbog toga je nužno za takve slučajeve primjenjivati sljedeći izraz za jednostranu Laplaceovu transformaciju:

=

X_(s) = [, _ {x(t) } d:;j / x (t)e-stdt

(2. 7 1 )

o-

Pomoću ovako definirane Laplaceove transformacije dobiti ć e s e točan rezultat u slučaju kada original ima diskontinuitet u ishodištu. Primjena (2.7 1 ) na delta funkciju dat će točan rezultat:

[, _ {8(t) }

00

=

/ 8 (t) e-stdt = 1

o-

Prema tome, može se zaključiti da će u slučaju da original nema diskontinuitet u ishodištu, x(o-) x(o+ ) , biti:

=

[, + {x(t) }

[,_ {x(t) }

dok će u slučaju da original ima diskontinuitet u ishodištu, x(o-) # x(o + ) , biti: =

C + {x(t) } # [,_ {x(t)} Zbog tog razloga ćemo se u ovom udžbeniku služiti definicijom jednostrane Laplaceove transformacije dane izrazom (2.7 1 ) . Treba naglasiti da ;:,_ transformacija ima općenito ista svojstva kao i C + transformacija s iznosima u o- korištenima umjesto iznosa u o+. No postoji jedna iznimka koja se odnosi na teorem o početnoj vrijednosti. Neka je original x(t) kontinuirana funkcija po vremenu za t > o+ , sa skokovitim diskontinuitetom u ishodištu, x( o - ) # x( o+) te sa _ koja je racionalna funkcija po kompleksnoj varijabli Tada će teorem o početnoj vrij ednosti dati:

X (s)

s.

lim

S --+ CQ

sX_ (s) = x(o+ ) # x (o- )

94 Teorem o početnoj vrijednosti daje iznos funkcije u o+bez obzira na to koju jednostranu Laplaceouvu transformaciju primjenili. U slučaju da ima impulse u ishodištu, tada će teorem o početnoj vrijednosti biti neuporabljiv, jer će dati lim = oo . Modifikacija

x(t)

S-->00

sX_ (s)

X_ (s) izrazi kao: X_(s) = ao + ais + · + apsP + Xp(s)

kojom se rješava ovaj problem traži da se

·

gdje je

·

Xp(s) striktno pravilna racionalnafunkcija66 . Tada će biti: x (o+ )

= slim sXp(s) --- oo

Primjer 2.12 Za skokovitu pobudu

u(t) = AS(t) =

{A

za t 2: O O za t < O '

Laplaceova transformacijaje: 00

1 A - st 00I = U(s) = J AS(t) · e - st dt = - A-e s o- s o-

• Kako se u inženjerskoj praksi obično susreću standardni oblici signala, češće se koriste tablice Laplaceove transformacije, nego što se .L transformacija računa rj ešavanjem integrala. Osnovna svojstva (teoremi), kao i tablice Laplaceove transformacije dane su u prilogu. U inženjerskoj praksi danas se za tu svrhu koriste programski paketi kao što su Mathematica67 , MuPAD68, Maple69 Mathcad70 i sl. pomoću kojih se j ednostavno i pouzdano mogu odrediti tražene transformacije.

2.6.3.1 Polovi i nule racionalne analitičke funkcije po kompleksnoj varijabli

s = + jw

Za racionalnu funkciju po kompleksnoj varij abli 1) ili prigušuj e (C(O) < 1) konstantnu pobudu nakon istitranog prolaznog odziva,

5. Pojačanje na visokim frekvencijama je

G(s) bm /sn - m �

bm ,

j er je na visokim frekvencijama

U slučaju da na astatički sustav djeluju poremećaj i, tada iz njegove diferencijalne jed­ nadžbe u operatorskom obliku (2.36) slijedi (2.37), odnosno:

C (D) w(t) u(t) + Kw y(t) = Kv vBv A(D) v v A (D) (D)

(2.77)

Ako se u izrazu (2.77) operator deriviranja D zamij eni sa kompleksnom frekvencijom s, slijedi:

Y(s)

(s) Kv sBv A( s)(s) U(s) + Kw sC v A (s) W(s) G(s)

�

gdje su:

Gw (s )

"'-...-"

G(s)U(s) + Gw(s)W(s) = Yi(s) + Y2 (s)

G(s) - funkcija prij enosa u odnosu na pobudu u, G(s) = �i:\ l w(s )=O Gw(s) - funkcija prij enosa u odnosu na poremećajnu veličinu w, Gw(s) = ����)

(2.78)

l u(s)=O

1 03 Za slučaj

v

=

O će biti:

· ( ) = B (s) U ( v C (s) W ( I s n s) s ) + A.

(s)

(s)

A Jednadžbe (2.78) prikladno je prikazivati u grafičkom obliku (slika 2 . 1 6), gdje se izlazna veličina svakog od elementa blok dijagrama dobiva kao rezultat umnoška ulazne veličine i funkcije prijenosa dinamičke komponente zapisane unutar elementa blok dijagrama.

�) a

Y(s)

e

Slika 2. 1 6: Blok dijagram komponenata Grafički prikaz (slika 2. 16) naziva se blok dijagramom ili strukturnom shemom dinamičke komponente, pod čim se podrazumijeva grafički prikaz j ednadžbi koje povezuju Laplaceove transformacije izlaznih i ulaznih varijabli. U slučaju da na linearnu dinamičku komponentu djeluje veći broj vanjskih veličina, funkcije prijenosa i strukturne sheme određuju se primje­ nom načela superpozicije (slika 2. 1 7). w, w2

w,

G(s)

Slika 2. 1 7 : Prikaz funkcija prij enosa principom superpozicije Izlazna veličina dinamičke komponente (slika 2. 1 7) jest:

y (s)

l

= G (s) u (s) + LGwi (s) wi (s)

gdje je:

Gw i (s) =

y ( s) , Wi (s)

i =l

uz U (s) = O

(2.79)

(2.80)

Općenito, strukturne sheme složenijih dinamičkih komponenata ili sustava sastoje se iz međusobno povezanih strukturnih shema jednostavnij ih dinamičkih komponenata.

1 04 Razlikuju se tri načina povezivanja: serijska veza, paralelna veza i povratna veza. Kod serijskog povezivanja dinamičkih komponenata, izlazna veličina prethodne komponente isto­ dobno je ulazna veličina slijedeće komponente (slika 2 . 1 8). Razumijeva se da se razmatraju komponente s usmjerenim djelovanjem, tj . djelovanja se prenose samo u j ednom smjeru od ulaza prema izlazu; naime, pri promjeni ulazne veličine dolazi do promjene izlazne veličine, ali promjena izlazne veličine ne utječe na promjenu ulazne veličine. Svojstvo usmjerenog djelovanja zapravo se postiže pojačanjem snage ulazne veličine.

a

b

Slika 2. 1 8 : Serijska veza komponenata. Funkcija prijenosa dinamičke komponente prikazane strukturnom shemom (slika 2. 1 8) Je:

gdje je:

n G (s) = II Gi (s) =G 1 (s) G2 (s) G3 (s) . . . Gn (s) i= l (s) . Gi. ( s ) = ui+l i = 1 ' 2' . . . ' n ui (s) ' .

(2. 8 1 )

(2.82)

Kod paralelnog povezivanja dinamičkih komponenata sve komponente imaju istu ulaznu veličinu a izlazna veličina dobiva se zbrajanjem izlaznih veličina svih komponenata (slika 2. 1 9).

U(s),

U(s)

�

- ct - V

-,--

Slika 2. 1 9: Paralelna veza komponenata Funkcija prij enosa strukturne sheme (slika 2 . 1 9) je:

gdje je:

Y (s) = G (s) = n G (s) L i U (s) i= l

(s) · G.i ( s ) = Yi U (s) '

i· = 1 , 2 , . . . , n

Strukturna shema povezivanja dinamičkih komponenata povratnom n a slici 2.20.

(2.83)

(2.84)

vezom prikazana j e

105 Primjenom načela povratne veze postižu se stabilizacijska i dinamička svojstva sustava. Općenito, povratna veza može biti pozitivna ili negativna. U sustavima automatskog uprav­ ljanja u pravilu se primjenjuje negativna povratna veza (slika 2.20a), a pozitivna povratna veza (slika 2.20b), primjenjuje se u nekim specifičnim slučajevima u svojstvu dopunske povratne veze.

U(s)

E(s)

Y,(s)

Y(s)

G,(s)

-

G,(s) G(s)- 1 +G1(s)G2(s) _

G2(S)

U(s)

E(s)

a Y(s)

G1(s)

-

G,(s) G(s) 1 -G1(s)G2(s)

+ Y1(s)

G2(S)

b

Slika 2.20: Spoj komponenata s povratnom vezom

G1(s) G2 (s):

Funkcija prij enosa dinamičke komponente (slika 2.20a) određuje se pomoću prijenosnih funkcija i

(s) G1 (s) E (s) E (s) U(s) -Y (s) 1 Y1 (s) G2 (s) Y (s) Y (s) = G1 (s) U (s) - G1 (s) G2 (s) Y (s) YU (s)(s) GGi 1(s)(s)G (s) - G ( 2 YU (s)(s) = GiGi(s)(s)G (s) = G (s) 2 y

(2.85) (2.86) (2.87)

Uvrštenjem (2.86) i (2.87) u (2.85) i sređivanjem, dobivamo:

odnosno:

_

8

1+ ) Analogno tome, za dinamičku komponentu (slika 2.20.b), proizlazi:

1-

(2.88)

(2 . 89)

(2.90)

Od posebnog interesa u teorij i sustava automatskog upravljanja su dinamičke komponente (sustavi), obuhvaćene jediničnom negativnom povratnom vezom (slika 2.2 1 ). Funkcija prij enosa dinamičke komponente (slika 2.2 1 ) proizlazi iz (2.85, 2.86, 2.87) uz

G2(s) G1(s) = Go(s). =

1,

i

G( ) - YU (s)(s) _- GGoo (s) 8

_

1+

(2.91 )

Jednadžbe (2.8 1 ), (2. 83), (2.89) i (2. 9 1 ) vrlo često se primjenjuju u teorij i sustava au­ tomatskog upravljanja, a posebno u teoriji linearnih vremenski nepromjenj ivih sustava. U

1 06 udžbeniku će se funkcija prijenosa zatvorenog kruga označavati sa Gcl (s) , kako bi se jasno razlikovala od općenite oznake prijenosne funkcije G(s) . E(s)

U(s)

G0(s)

Y(s)

.,___...__

1

Slika 2.2 1 : Sustav s jediničnom povratnom vezom

2.6.5.1 Uloga polova u odzivu sustava Funkcije koje se nazivaju funkcije prijenosa ili prijenosne funkcije opisuju ulazno-izlaznu dinamiku sustava koji ima prazna skladišta energij e. One zbog toga nisu u stanju u potpunosti opisati linearan sustav, [42]. Naime iz definicije (2. 75) slijedi da je:

Yzs (s)

= G(s)U(s)

odnosno pomoću funkcije prij enosa moguće je odrediti samo prinudan odziv sustava. To znači da, kada god koristimo funkciju prijenosa u analizi i sintezi LTI sustava, u potpunosti zanemarnjemo slobodan odziv sustava. Pored toga, funkcija prijenosa ne mora uvijek u pot­ punosti karakterizirati LTI sustav, što će se najbolj e vidjeti na sljedećem primjern.

Primjer 2.22 Kao primjer možemo navesti LTI sustav trećeg reda opisan sljedećom dife­ rencijalnom jednadžbom:

ii (t) + jj (t) - y(t) - y (t ) = u (t) - u(t) Laplaceova transformacija uz nulte početne uvjete daje: ( s3 + s2 - s - 1) Y (s) = ( s2 - 1 ) U (s) pa imamo: _ Y(s) _ B(s) _ s2 - l s2 - l G (s) A(s) - s3 + s2 - s - 1 U(s) (s - l) (s + 1 ) 2 Ako nas zanima da lije s = 1 pol od racionalnefankcije G(s) , dobiti ćemo: G(l)

[ ]

[ O Ovaj rezultat pokazuje da partikularna Tješenje (forsirani odziv) poprima oblik pobude s 2 predstavlja eksponent težinskim koeficijentom (ponderom) G(s) l s =2 = G(2 ) gdje . t ) e eksponencijalne pobude u(t = 3 2

Yp (t) =

[G(s)u(t)]1 s=2

=

·

s

=

Primjer 2.32 LTI sustav opisanje diferencijalnomjednadžbom: jj( t ) + 3i; (t )

+ 2y(t) = u (t ) + 3u ( t )

•

128

Na taj sustav qjeluje eksponencijalna pobuda oblika:

u (t )

=

ke9t

;

Vt > O

Za tajje sustav partikularna Fješenje dano sa (Tabela 2.3.):

Yp (t ) - (G(s ) . k eqt] 1

s=q

-

q+3 q+3 . k eqt ) . k e qt ., 2 (q + 1 ) (q + 2 q + 3q + 2

w

vt > O

a) Ako je q = -3, partikularna rješenje (forsirani odzi1� neće postojati, odnosno, ukupni odziv sadržavati će samo prirodni dio odziva (homogeno rješenje) y (t) Yh(t). Iako na su­ stav cfjeluje pobuda u (t) = ke-3t , izlazni signal neće sadržavati komponentu koja bi popri­ mila oblik pobude (yp). Sustav kao da poništava eksponencijalnu pobudu koja ima ekspo­ nent jednak korijenu polinoma u brojniku od G(s). Ovo se svojstvo može eksperimentalno pokazati i predstavljajedno od "fizikalnih " svojstava nule LTI sustava. b) Ako je q = O , na sustav djeluje konstantna pobuda pajepartikularna Fješenje: =

3 Yp (t) = G(O) · k = 2 · k Odavde proizlazi daje partikularna rješenje jednako odzivu u ustaljenom (statičkom) stanju stabilnog sustava. Za stabilne sustave koji imaju perzistentnu (trajnu) pobudu vr#jedi: Yss(t) = Yp (t)

=

(2. 1 05)

lim Yz s (t)

t-. oo

c) Za q = - 1 ili q = - 2 ćemo imati G(-1) = G(- 2 ) prirrifenom Tabele 2.3. ne mogu odrediti partikularna Fješenja.

oo pa se u tom slučaju

Možemo zaključiti sljedeće: l . Za dani ulazno/izlazni opis LTI sustava s G(s) te 2. Pobudu oblika u(t)

=

N

� kieq;t od kojih je svaki qi =I Pi , bit će:

i=l

Yp(t) (1)

ako qi = Zi

(2)

ako qi = Pi, tada će biti:

===?

=

N

L G(qi) · ki eq; t i =l

G(qi) = O te ne postoji partikularno rješenje

•

ut G(s) (s + 1)1(s + 5) 2 :s [ (s+st 1)\s + 5) (s+ 1 ) ests=- 1 dds [ se+ 5 ] 2 l s= - 1 l 2 [ - 1 2 est + __ t est ] (s + 5) s + 5 ls=- 1 1 -t 41 te-t) = ( 1 + 2t) e 2 (16 e

Primjer 2.33 Za LTI sustav sa

larno će rješenje biti:

Yp (t)

te pobudu ( )

=

-8

+

1

-t

1 29 =

2 e- t partiku-

(2. 1 06)

Na slici 2.27 prikazanjeforsirani odziv dan sa (2. 106). 0.2

y(t) 0 . 1

-

01 .

-O .2

.,_____,__-"----'--__j_---'--' 8 7 3 4 5 6 2 o t[s]

Slika 2.27: Partikulamo rje šenje (forsirani odziv) •

2.6. 7 Analiza odziva linearnog sustava

Razmatra se linearan, vremenski nepromjenjiv sustav s težinskom funkcijom g(t), na ko­ eqt . Odziv se može odrediti primjenom konvolu­ jega djeluje eksponencijalna pobuda u ( t) cije, kao:

=

y(t) = g(t) u (t ) *

Kako je za slučaj jednostrukih realnih i različitih polova:

slijedi da će onda biti:

,C

( ) G(s) B(s) A(s) = �� s-pi

{g t }

KPi

=

=

n g(t) = L KPi ep; t i=l

1 30 Odziv je:

n

n

*

y(t ) = L Ciep;t + L Kp; [eqt ep; t ] i=l i=l

Uz pomoć tabele konvolucije (Tabela 2.2.) slijedi:

Yzs

Yzi

Yzi

ako uvedemo umjesto

Yzs

K - p; = bi, imamo: q - pi Yzi ,..-"--.,

Yzs �

n

n

Yzs �

y(t) = L Ciep;t + L biep; t + G(q) eqt ..._,__., i=l i=l Yv ako uvedemo umjesto ci

(2. 1 07)

Yh

+ bi = ai, imamo:

y(t)

=

Li=l aiep;t + G(q)eqt n

'-.,,.-" Y>i

..._,__., Yp

(2. 1 08)

Prema tome može se zaključiti da odziv LTI sustava na eksponencijalnu pobudu u(t) = eqt sadrži: • komponentu istog oblika kao i pobuda, ali s ponderom G(q) - forsirani odziv sustava yp(partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe) •

samo prirodne modove sustava - prirodni odziv sustava Yh (homogeno rješenje)

Taj isti odziv također sadrži: • dio odziva uvjetovan početnim uvjetima - slobodni odziv sustava Yzi •

komponentu odziva uslijed pobude ali uz nulte početne uvjete - prinudni odziv sustava Yzs ·

Kada se svi prirodni modovi iz slobodnog odziva i iz prinudnog odziva (vidi (2. 1 07)) skupe zajedno dobiti će se prirodni odziv sustava (vidi (2. 1 08)).

2.6.7.1 Prolazni (tranzijentni) i ustaljeni odziv Pored navedene podjele odziva LTI sustava moguća je i podjela odziva na sljedeće kom­ ponente:

131 1 . Pmlazni (privremeni) odziv (tranzijentni odziv) 87. To j e onaj dio odziva LTI sustava koji se s vremenom prigušuje i nestaje. 2. Ustaljeni odziv (odziv u ustaljenom (statičkom) stanju) 88 . To je onaj dio odziva koji preostane nakon što je prolazni odziv nestao i koji stalno postoji. Može se reći da općenito vrij edi:

prirodni odziv # prolazni odziv orsirani odziv # ustalj eni odziv f Primjer 2.34 Linearan, vremenski nepromjerzjiv sustav opisanje diferencijalnomjednadžbom:

d��)

-

Na pobudu u(t) = eqt ukupan odzivje:

y (t)

=

>.y(t) = Ku(t)

>.. Ce t + G( q) eqt

'-....-"' Yh

'-....--'

Ovisno o tome kakavje >. i q, imati ćemo odzive kako slijedi:

Prirodni

Forsirani

Prolazni

Ustaljeni

>. < O i q < O

Ce>-.t

G( q) eqt

Ce>-.t + G(q)eqt

o

>. < O i q > O

Ce>-.t

G( q) eqt

Ce>-.t

G(q ) eqt

>. > O i q < O

C e>-.t

G( q) eqt

G( q) eqt

Ce>-.t

>. > O i q > O

C e>-.t

G( q) eqt

o

Ce >-.t + G(q)eqt

Gornji primjer pokazuje da je samo za stabilne sustave (>. < O) koji su podvrgnuti trajnoj (perzistentnoj) pobudi (q > O):

prirodni odziv = prolazni odziv forsirani odziv = ustalj eni odziv 87

88

engl. Transient response engl. Steady-state response.

132

2.6.7.2 Početni uvjeti s lijeva i s desna Kod klasičnog rješavanja linearne diferencijalne jednadžbe koriste se početni uvjeti s desna y(O+ ) , y(O+ ) , y(O+) . . . , y(n-ll (o+), dok se kod rješavanja primjenom Laplaceove transformacije koriste početni uvjeti s lijeva y(o - ) , y(o - ) , y(o-) . . . , y(n-l) (o- ) . Pokazano je da klasično rješenje daje prirodni odziv (homogeno rješenje) i forsirani odziv (partikulamo rješenje), dok primjena Laplaceove transformacije daje slobodni i prinudni odziv. Ako su­ stav nema konačnih nula, tada se diskontinuiteti koje pobuda eventualno ima, neće odraziti u diskontinuitete početnih uvjeta, što znači da će u tom slučaju početni uvjeti s lijeva i s desna biti isti. Međutim, ako sustav ima konačnih nula, tada će se diskontinuitet pobude odraziti u diskontinuitete na početnim uvjetima, što ovisi o broju konačnih nula. Tako će se u slučaju da je n = m, diskontinuitet pobude prebaciti izravno na izlaz sustava. Ako je broj konačnih nula n > m = 1, tada će se diskontinuitet pojaviti na prvoj derivaciji izlaznog signala, dok se na samom izlaznom signalu neće pojaviti, tj. y(o-) = y(O+) ali y (o - ) # y(O+). Isto tako za slučaj n > m = 2 bit će y(o-) = y(o+) , ali y(o-) # y(o+) i y(o-) # y(o+) . Može se reći da će se diskontinuitet pojaviti na najvišoj derivaciji koja je jednaka broju konačnih nula sustava. Da bi se dobili početni uvjeti s desna, nužno je integrirati m puta diferencijalnu jednadžbu u granicama od o- do o+ . Tako primjerice za sustav dan sa: y(t) na koji djeluje pobuda:

+ 6y(t) + IOy(t) = u (t) + 2u(t)

{

2 cos 4t za t 2: O O za t < O Zbog m = 1 ,diskontinuitet očekujemo na y(o-) # y(o+) te jednom integriramo: u(t) =

j

o+

[ii (t)

+ 6y(t) + IOy(t)] dt =

o-

j

o+

[u (t)

+ 2u(t) ] dt

o-

Kako je u(o- ) = O, u(o+) = 2 , pa zbog u(t) = O, za t < O slijedi da je: y(o- ) y(o- ) = O te rješavanjem integrala slijedi:

odakle je: Slično za sustav dan sa: y(t )

+ 6y(t) + l Oy(t) = u (t) + 2u (t) + u(t)

istu pobudu zbog n = m = 2 (odnosno n m = O), diskontinuitet možemo očekivati na y(o-) # y(o+) , ali i na y(o-) # y(o+ ) , pa moramo obaviti dvostruku integraciju da bismo dobili y(o+ ) :

uz

-

o+ o+

odakle je:

o+ o +

J J [ii (t) + 6y(t) + lOy(t)] dt = J J [u (t) + 2u (t) + u(t)] dt

o- o-

o- o -

1 33 te: dok jednostruka integracija:

j [ii(t) + 6y(t) + lOy(t)] dt = j [u(t) + 2u(t) - 3u(t)] dt o�

o+

o-

o-

daje:

y (o+ ) - y (o - ) + 6 [y (o+ ) - y(o - ) ] = u (o+ ) - u(o - ) + 2[u(o+) - u(o - )] '-v-" o

kako je

'-v-" 2

'-v-" o

u(o+ ) = u(o- ) = O, to je:

'-v-" 2

'-v-" o

y(o+) = -s

Kao što se vidi, početni nagib odziva u ovom slučaju biti će negativan, iako je početni iznos pobude u(O+) = 2. Uzrok treba tražiti u konačnoj nuli sustava (z1 = 1) koja se nalazi u desnoj poluravnini s ravnine.

Primjer 2.35 Za sustav dan sa linearnom diferencijalnom jednadžbom:

jj(t) + 4y(t) + 3y(t) = 5u(t) + 10u(t) početnih uvjeta: y(o- ) = sustav djeluje pobuda: a)

1 ° , y(o-) 3

O, u(o-) = 1, potrebno je odrediti odziv, ako na

=

u(t) =

{ 3t 1+zal zat t O> O

(2. 1 09)

:S

3 u(t) 2

o

-----------

I I I I

�

------ -----------------------

'

O

t[s]

Slika 2.28: Pobuda bez diskontinuiteta (2. 1 09) u t

b) u( t)

=

{ 3tl zazatt .;t u klasi

je prirodnog odziva, pa je prema tome slobodni odziv član takve klase signala. Kao što je prije spomenuto, za razliku od slobodnog odziva koji se može pokusno odrediti, prirodni

odziv najčešće nije moguće pokusno odrediti. Sustav ne daje otpor signalima koji su u ob­ liku njegovih prirodnih modova, j er on po tim modovima oslobađa svoju energiju, pa tada imamo učinak kao da na vatru nalijevamo benzin - pojavu rezonancije. Rezonancija se često susreće u tehničkim sustavima i ona je rezultat djelovanj a pobude na sustav koja ima oblik prirodnog moda sustava. Rezonancija je osobito izražena kod prirodnih modova koji odgo­ varaju konjugirano kompleksnim svojstvenim vrijednostima. Ako sustav pobudimo s har­ moničkom pobudom frekvencije koja je ista kao i frekvencija konjugirano kompleksnog para svojstvenih vrijednosti sustava, doći će do izrazite rezonancije.

2. 7

Odziv sustava prvog reda

Sustav prvog reda ima samo j edno skladište energije i zbog toga njegov odziv ne može imati oscilatomo ponašanje. Često se sustavi višeg reda aproksimiraju sustavom prvog reda, pogotovo ako su to spori sustavi, odnosno, ako imaju veliku inerciju. To se osobito koristi u procesnoj industrij i za kemijske procese koji se sporo odvij aju, ali i u nekim drugim pri­ mjenama, npr. kod aproksimacije dinamike broda, dinamikom sustava prvog reda (tzv. model Nomoto-a).

2.7.1

Sustav prvog reda bez konačne nule

Diferencijalna j ednadžba sustava prvog reda bez konačne nule ima oblik:

al'f;(t) + ao y (t) Funkcija prij enosa u

=

bo u (t)

obliku nula/polova je:

k

s +p gdje su:

k= p =

bo .. lnosti· · - koefi CIJent proporc1ona ai ao - pol sustava ai

-

-

Ako se obavi pretvorba na

dimenzijski (Bodeov) oblik90 dobiti će se:

K 1 + sT gdj e su:

90Vidi (7.67).

141

K

=

b

_Q_

koeficijent pojačanja odgovarajuće dimenzij e, koja ovisi o fizikalnoj dimenziji

ao koju imaju odziv i pobuda sustava, a i = � vremenska konstanta dimenzije vremena npr. [s]. T ao p =

-

-

Naziv dimenzijski oblik funkcije prijenosa koristi se j er je u toj formi dimenzija odnosa ulaznog i izlaznog signala koncentrirana u dimenziji koeficijenta pojačanja, dok se komple­ ksna frekvencija s [rad/ s] množi uvijek sa vremenskom konstantom T [s] , što znači da je sva dimenzija odnosa izlaz/ulaz u koeficijentu K. Također, u Bodeovom obliku doprinos polinoma (bez korij ena u ishodištu91 ) u brojniku i nazivniku je u ustaljenom stanju dan sa:

A(O) = 1 B(O) = 1 pa je sav doprinos ostao na koeficijentu pojačanja K. Ako je T > O (a 1 > O i a0 > O ) , odziv se ustaljuje te kažemo da je sustav stabilan. ustaljenom stanju uz pobudu u(t) = S(t) i nulte početne uvjete, prinudni će odziv biti: bo limsG(s) · � = limsYz G(O) Yz s (oo) s--+ 0 s (s) = slimsG(s)U(s) --+O s--+O ao S lim.A(s) 0 S--+ limB(s) 0 S--+

=

U

=

=

Primjer 2.36 Za sustav dan sa linearnom diferencijalnom jednadžbom:

Ty(t) + y(t) = Ku(t) i nulte početne uvjete, prinudni odziv na jediničnu skokovitu pobudu danje sa:

Yz s (t) K(l e-t/T ); \:ft � O Na slici 2.34 dani su odzivi za slučaj T 1 [s) te uz K 1; 0.8 i 0.5 respektivno. =

-

=

=

1 .2

y(t)

1

K= 1 K=0.8

0.8 ---

0. 6

-

-

K=0.5

////

I I I / I ,, I I / / I I /

/

0.4 0.2 o

-

--

I I

',/

o

1

2

3

4

5

6

7

8

t [s]

Slika 2.34: Odziv sustava prvog reda na jediničnu skokovitu pobudu (T

0.5)

91 B (s) = s"B(s) , A(s) = sv A(s)

= l[s], K = 1 ; 0.8 i

142 Kao što se na slici vidi, štoje pojačanje K veće, toje izlazni signal bliže narinutoj pobudi, odnosno točnost praćenja ulaznog signala je veća. Tako za K = 1 ::=::} y( ) 1, za K 0.8 ::=::} y( ) = 0.8, za K = 0.5 ::=::} y(00) = 0.5. Ako sa Ess = Uss - Yss označimo razliku ulaza (pobude) i izlaza (odziva) u ustaljenom stanju, tada slijedi da će se povećanjem pojačanja poboljšati točnost u ustaljenom (statičkom) stanju. Ovo zapažanje vrijedi i za sustave višeg reda, pa se može reći da općenito vrijedi: =

oo

oo

=

Pojačanj e veće � Točnost veća Kako je u sva tri slučaja vremenska konstanta bila ista (I' = l [s]), na odzivima možemo uočiti da je sustav došao približno do ustaljenog stanja za približno t8 � (4 -7 5 ) T [s] . Ovo vrijeme naziva se vrijeme smirivanja92 , jer unutar tog vremena istitra prolazni (trazijentni) dio odziva i nakon toga preostane samo ustaljeni dio odziva, [37]. Prolazni (tranzijentni) dio odziva prigušuje se po anvelopi (eksponencijalnoj funkciji) koja potpuno nestaje u t = oo, što bi značilo da treba neizmjerno dugo čekati dok se ne istitra prolazni dio odziva. Kako je za inženjersku praksu to nepraktično, potrebno je postaviti određenu mjeru blizine odziva ustaljenom stanju. Tabela 2.4. daje iznose anvelope (eksponencijalnefunkcije) ovisno o vre­ menskoj konstanti sustava: t

T 2T 3T 4T 4.6T 5T

e - t /T

0.368 0.135 0.050 0.018 0.010 0.007

Tabela 2.4.

€ (%)

36.8 13.5 5.0 1.8 1.0 0.7

•

Primjer 2.37 Anvelopa po kojoj se tranzijentni odziv sustava prigušuje danaje sa e -t/T i

nacrtanaje na slici 2. 35.

exp(-t/T)

1 -.----����----, 0,9 0,8 0,7 0,6 ' I 0,5 I ! 0,4 0,3 0,2 I O, 1 ------------- ---.-i \.----1---� -+ -l--I--'-����,,,,_,.__, o 0,5 1 1 ,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 · - · - -- - - - - · - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

I

t/T

Slika 2.35: Anvelopa odziva sustava prvog reda 92 engl. Settling time.

1 43

Kao što vidimo, do unutar ±5% ustaljenog stanja dolazi se za 3 vremenske konstante, dok se do unutar ±13 ustaljenog stanja dolazi za 4.6 vremenskih konstanti, pa se može reći daje za inženjersku praksu sustav postigao ustaljeno stanje kada se približio ustaljenom stanju na ±13 njenog iznosa. Za koji postotak se odlučiti (±13, ±23, ±53 ili neki drugi) razlikuje se od slučaja do slučaja. Zajednu vremensku konstantu odziv postigne 36.8% svog ustaljenog iznosa. Prema tome, za sustav prvog reda mogućeje iz odziva najediničnu skokovitu pobudu odrediti njegovu vremensku konstantu T, tako da se u ishodištu povuče tangenta na odzivnu krivulju te ondje gdje ona siječe ustaljeni iznos odziva spusti okomica na vremensku os i očita njezin iznos. Na tom iznosu odziv ima 36.8% svog ustaljenog odziva! Također se u ustaljenom stanju može očitati iznos koeficijenta pojačanja tako da se očita Yss te U88 , odakleje: Sustavprvog reda ima proporcionalno ponašanje koje se na njegovom izlazu pojavljuje nakon vremena smirivanja (t8), te se zbog toga rabi pojam proporcionalno ponašanje s usporen­ jem prvog reda. Skraćeno to pišemo kao PTl ponašanje, gdje P označava proporcionalno ponašanje, dok Tl označava da se radi o usporenju prvog reda. Na slici 2.36 danje prinudni odziv istog sustava uz konstantno pojačanje (K = 1 ) , te prom­ jenjiv iznos vremenske konstante T = 0.5, 1 i 5 [s]. Prinudni odziv će biti dan sa:

Yzs (t) = (1 - e -t/ T ) ; Vt 2" 0 1 .2 T=0.5 - ---- - --------:.:.: --;; --;. ----

y(t)

0.8 0.6 0.4 0.2

/ I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

I I I

/

I I I I I

/

? � /

,,.. -- --/ /

--� ------�-:".: - -"="=I -�

O -+-�-+-�--t��+-�-+-�--t�--1 2 o 1 7 5 6 4 3 8 t[s]

Slika 2.36: Prinudni odziv PTI sustava uz konstantno pojačanje (K vremenske konstante = 1 i [s]

T 0.5, 5

= 1), te promjenjiv iznos

Prema slici 2.36 vidimo da je brži onaj sustav kojemu je vremenska konstanta manja. Ovaj zaključakje općenit te se može reći da:

Vr emenska konstanta manja {===? Sustav brži

1 44

Na obje slike mogućeje uočiti daje za sustav prvog reda (bez konačne nule) početni nagib tangente u ishodištu y(o+ ) > O, ako je u(o+) > O. Daje npr. pobuda bila u(O + ) < O, tada bi ovaj sustav imao y(o+ ) < O. To znači da taj sustav u početnom trenutku kreće u pravom smjeru - prema narinutoj pobudi, odnosno prema svom budućem ustaljenom stanju. Budući da ovaj sustav nema konačne nule, onda se diskontinuiteti s ulaza (pobude) ne prenašaju na izlaz. Sve sustave prvog reda karakterizira početni nagib tangente y(O+ ) # O. Pol ovog sustava je na negativnoj realnoj osi (ako je T > O) a sustav je stabilan. Kako se vremenska konstanta smanjuje, tako se pol pomiče više u lijevo po negativnoj realnoj osi, udaljavajući se od imaginarne osi jw. Tako su za T1 = 0.5, T2 = 1 i T3 2 [s] polovi na P 1 -2, P2 - 1 i p3 = - 0.5 vidi sliku 2.37. =

=

=

-

j co

-1

-2

s -

0 5 .

Slika 2.37: Položaj polova ovisno o vremenskoj konstanti T

•

Za slučaj da slika 2.37 predstavlja sliku polova sustava trećeg reda s funkcijom prij enosa:

K G( s) = ( s---p3-) P2_)_(s--P 1_)_(s----

Tada pol koji se nalazi najbliže imaginarnoj osi (u našem slučaju p3) zovemo dominantni pol, jer njegova je dinamika najsporija pa on zbog toga dominira u odzivu budući da vrij edi:

Najprije će se prigušiti prirodni mod od pola p1, zatim od pola p2 , a tek na kraju od pola p3 . U slučaju da su polovi p1 i pz udaljeni na lijevo od dominantnog pola za iznos -7 · I P3 1 tada ih možemo zanemariti u odzivu, j er oba moda brže nestanu tako da su vidljivi tek u početnim trenucima odziva. Za slučaj g(t) = e - 6t + e -3t + e- o .5t odzivi pojedinih komponenata zasebno i ukupni odziv g(t) dani su na slici 2.38.

(6 8)

145 3 2.5 g(t)

2 1 .5 1

0.5 o

o

0.5

1

1 .5

2

2.5

3

4

3.5

4.5

5

t[s]

Slika 2.38: Težinska funkcij a sustava trećeg reda (polovi realni i različiti) s dominantnim polom Kao što vidimo najbrži je prirodni mod e-Bt, zatim e-3t . Oni se priguše već unutar 0.6, odnosno l.3[s]. Treći (dominantan) pol daje najinertniji prirodni mod koji definira glavnu dinamiku po kojoj će se sustav ponašati.

2.7.2 Sustav prvog reda s jednom konačnom nulom Ovakvi sustavi imaju diferencijalnu jednadžbu: =

a 1 iJ(t) + aoy(t) b1 u(t) + bou(t) Odnosno funkciju prijenosa:

bis + bo G( s) = ais + ao

=

sr K . l1 ++ sT

gdje su:

T aaoi - vremenska konstanta, [s] =

r

=

-

:�

-

konstanta prethođenja,

[s]

K = abo pojačanje odgovarajuće dimenzije. o Rješenje diferencijalne jednadžbe ima isti eksponencijalni oblik kao i u slučaju sustava -

prvog reda bez konačne nule, no zbog konačne nule granični uvjeti su sada drugačiji. Naime, diskontinuitet pobude se zbog n = m = 1 prebacuje s ulaza izravno na izlaz.

Primjer 2.38 Radijednostavnosti, nekaje a 1 jalnajednadžba glasi:

=

=

y(t) + y(t) _]Z__u(t) + u(t) =

l

=

a0 1, b0 = 1 te b 1 - l/z1 . Diferenci­

1 46

dokjefunkcija prijenosa:

G(s)

1-

1 -

z1

s

l+s

=

Zbog konačne nule (z1) je n = m = 1, granični su uvjeti diskontinuirani i na izlaznom signalu, jerjedinična skokovita pobuda ima diskontinuitet u početnom trenutku. Tako imamo:

j [y(t) + y(t)] dt j [- :1 u(t) o+

o+

=

o-

odakle:

+ u(t)

o-

imamo:

J dt

y(o+) = z1 1

- -

Ukupni odziv na jediničnu skokovitu pobudu jest:

y(t) = Yh (t) + Yp(t) Kako je y(o+ )

=

_ ..l. z1

=

C+1

y(t) =

=

Ce - t + 1

1 ===?- C1 = - 1 - ukupnije odziv dan sa: Z1

( _.!._) z1 -1 -

e- t + 1 "-v-' Yv(t )

prirodni odziv

;

\;ft 2: O

Na slici 2.39 dan je odziv sustava prvog reda na jediničnu skokovitu pobudu, s jednom ko­ načnom nulom u z1 = -0.2 (odziv kreće s y(O) 5) , z1 = oo (odziv kreće s y(O) = O), z1 0.2 (odziv kreće s y(O) = -5), i z1 0. 1 (odziv kreće s y(O) = - 10) . =

=='

=

5 2.5

y(t) o

-2.5 -5 -7.5 -10 o

2

3

4

5

t[s]

Slika 2.39: Odziv sustava prvog reda na skokovitu pobudu s konačnom nulom na -0.2, oo, 0.2 i 0 . 1

1 47

Kao što vidimo konačna nula ima dramatičan učinak na odziv sustava. •

y(O +) vrijedi:

=

s

= -0.2), tada je početni odziv O , te je istog predznaka kao i Yss > O. Može se postaviti da

Kada se nula nalazi u lijevoj poluravnini

-� = 5 > Z1

Yss y(O+ ) ·

•

ravnine

>

O

Kada se konačna nula približava ishodištu, njezin učinak na odziv je sve izraženiji, jer i diskontinuitet je sve izraženiji, budući da je

•

y( o+)

=

-

� . Kada bi konačna nula

Z1

= O), odziv bi imao 8 impuls u trenutku O. Kada konačna nula prijeđe u desnu poluravninu s ravnine (z1 = 0.2) , početni odziv j e y(O+) � = -5 < O, tj . suprotnog je predznaka od Ys s > O. pala u ishodište

•

(z1

=

-

(z1

Z1

nimalno fazni sustavi93

,odnosno,

stveno je da im je početni odziv

Yss ( t )

=

l im

t-+ oo

s

ravnine nazivaju se nemi­ inverzno nestabilni sustavi. Za ove sustave svoj­ y(O+) suprotnog predznaka od ustaljenog odziva

Sustavi koji imaju konačnu nulu u desnoj poluravnini

Yzs (t). Za njih vrijedi:

Yss y(O+ ) < O ·

•

2.8

Odziv sustava drugog reda

2.8.1

Odziv sustava drugog reda bez konačnih nula

Sustav drugog reda vrlo je čest u analizi sustava automatskog upravljanja. Njegova dife­ rencijalna jednadžba ima oblik:

a2jj (t) + a l'f1 (t) + ao y(t) = bou ( t) Ako se zbog jednostavnosti uzme da je a 2 = 1 te da a0 = bo, imati ćemo forsirani odziv: Yp(t) = G(O) = b0/ao = 1 , dok će prirodni odziv biti: Yh(t) = C1 eP1t + C2 eP2t . Ovisno o rješenjima karakteristične jednadžbe, moguća su oscilatorna ili neoscilatorna (aperiodska) 94 ponašanja. Uobičajeno se opća diferencijalna jednadžba drugog reda piše pomoću: • •

faktora prigušenja95 , ( prirodne frekvencije96,

Tako će biti:

Wn

a 1 = 2(wn, ao

=

bo = w; te imamo:

jj (t) + 2(wn fJ (t) + w�y(t) = w� u (t) 930 čemu će više biti riječi kasnije. 94Neperiodička ponašanja. 95engl. Damping ratio. 96engl. Natura! frequency.

148 Funkcija prij enosa je:

2 G( s ) = s2 + 2(wWn s + w� n

a polovi su:

Pl,2 = -(wn ± wn I.

Fi

Ovisno o faktoru prigušenja ( mogući su sljedeći odzivi: 1 ::::=:::::} R-=l pa imamo različite i realne polove p1 #realnoj osi.

>O

(>

p2 na negativnoj

Odziv na jediničnu skokovitu pobudu biti će aperiodski i prigušen97 (slika 2.40):

y(t)

=

1 C1 e ( - ( +JZ2=I) wn t + C2 e ( - ( - JZ2=I)w n t + '-v-' Yp( t ) Yh( t)

- ----------------- -- ---::.:-;;.;-----i y(t)

0.8 0.6 0.4 0.2 2

3

4

5

6

7

8

t[s] Slika 2.40: Aperiodski odziv sustava drugog reda bez konačnih nula (w n =

2.

(=

= = -(wn - Odziv na

1 ::::=:::::} R-=l = te su polovi realni i dvostruki P l P2 jediničnu skokovitu pobudu je aperiodski, kritično prigušen98 (slika 2.41):

O

y(t)

9 7engl. Overdamped 98engl. Critically damped.

=

1, ( > 1)

1 C1e - (wn t + C2 te - (wn t + '-v-' Yp (t ) Yh(t )

149 1 .2 �-------�

y(t)

1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - -

0.8 0.6 0.4 0.2 2

3

4

5

6

7

8

t[s]

Slika 2.4 1 : Aperiodski odziv sustava drugog reda (wn =

3.

O


R-=! = -j te su polovi konjugirano kompleksni na imaginarnoj osi = ±jwn. Odziv je harmonički (sa frekvencijom wn) bez prigušenja (slika 2.44):

Pi, 2

151

y(t) 1 .5

0.5

20

15

10

5

t[s]

Slika 2.44: Oscilatorni odziv uz ( = 5.

( < O ===} realni dio polova je pozitivan ( - (wn > pa kažemo da je sustav nestabilan!

2.8.1.l

O

O), što znači da se odziv raspiruje,

Pokazatelji kvalitete

Za razliku od sustava prvog reda koji su imali početni nagib tangente y(O+ ) � O, sustavi drugog reda bez konačnih nula imaju početni nagib tangente y (O+) = O, što znači da im odzivna funkcija ima točku infleksije. Oscilatorni odziv s prigušenjem ima gornju anvelopu koja s gornje strane ograničava amplitude oscilacija: e - ć;w „ t

l+ � yl -(

te donju anvelopu, koja s donje strane ograničava oscilacije: 1-

e - C:wnt

-

--

JI=?

Na slici 2.4 5 prikazane su obje anvelope. Kako se oscilacije prigušuju po ovim an­ velopama, može se reći da je vremenska konstanta koja definira dinamiku smirivanja pri­ jelaznog procesa dana sa:

1T=(w

(2. 1 1 6)

n

te će se i sustav drugog reda ustaliti za oko 3 do 5 vremenskih konstanta (vidi Tabelu 2.4.), odnosno: (3 7 5) = (3 7 5) T = (2. 1 1 7)

ts

(wn

U slučaju da je vrijeme smirivanja odabrano s približenjem ustaljenom stanju unutar

±1%, tada je:

ts

= (4.6 w

n

-­

(2. 1 1 8)

152

2 ',, 1 .75 y(t) 1 .5

1 .25 1 0.75 /' /

0.5

,,,,,,...-

....

/ 0.25 „,/, o ...__----!--+---1---+--l o 2.5 5 7.5 1 0 1 2.5 1 5 1 7.5 20 22.5 25

t[s]

p,

-p

2.

3.

CTm ) 0.6 (1 - 100

(2. 1 26)

4.6 ­ (w n > - i s

(2. 1 27)

2.5 > ­ wn ir

(2. 1 28)

Poznavanjem (, cr = (wn i Wn moguće j e tada u s ravnini nacrtati dozvoljeno područje za polove sustava drugog reda bez konačnih nula. Tako npr. u slučaju da tražimo da sustav ima crm _::; 15%, ts _::; 2 [s], a tr _::; [s] imati ćemo:

0

( �) = 0 1

8

CTm ) = 0.6 1 - 100 0.6 ( 1 - 100 4.6 4.6 r" wn > - = - = 0.23 > (-

- i8 20 2.5 2.5 > = Wn ir 8 =

- -

0.31

.5

1 57 Dozvoljeno (zasjenjeno) područje za polove sustava drugog reda bez konačnih nula koji ima tražene pokazatelje kvalitete prikazano je na slici 2.50.

jro

sro"

s

=,���2S

,/

Slika 2.50: Dozvoljeno područje (zasjenjeno) za polove sustava drugog reda za Jm :::; t8 :=:; te tr :=:; [s]

20 [s],

8

15 %,

Relacije (2. 1 26), (2. 127) i (2. 128) pokazuju da ako želimo imati brži sustav treba polove zatvorenog kruga pomaknuti u lijevo dalje od imaginarne osi:

ts "-,, ===? i (wn l / Također, ako tražimo kraće vrij eme porasta (brži odziv na promjene pobude) tada treba povećati prirodnu frekvenciju sustava:

tr "-,, ===? Wn /

Nadvišenje će biti manje ako je faktor prigušenja veći: 2.5 Prij elazna funkcija h (t) i težinska funkcija g(t) određene su izrazima: (3. 75)

W d = Wn p;

:p =

arctan

�

---

�

(3.76)

(3.7 7) Prijelazna funkcija h(t) i težinska funkcija g(t) imaju prigušene oscilacije (slika 3 .7a). g

b

a

Slika 3.7: Prij elazna (a) i težinska funkcija (b) oscilatome komponente Vrij eme smirivanja prij elaznog procesa t8 određuje se kao vremenski interval nakon kojeg vrijedi nejednadžba: (3.78) I h (t) h (oo) I ::::; .6. -

=

Veličina .6. se obično kreće u granicama: .6.

(0.01 -;- 0.05) K

(3.79)

1 94 Određivanjem ekstremajednadžbe (3. 75) dobit ćemo maksimalni iznos prijelazne funkcije:

hrnax = Mp = K [l + ev'1-�2 J = K [I + M] odnosno njezin relativni iznos u odnosu na ustaljeno stanje hss ( t) h ( oo) : hrna��)( oo) 100 [%] = ev'���2 . 100 [%] �

(3.80)

'-v-"' M

=

rTm

(3 . 8 1 )

.

=

Frekvencijske karakteristike oscilatome komponente prikazane su na slici 3 .8. lm

GQffi) K

lm

ro=O

Re

A

1 G Qro)

Re

...- - -

- -- -- �-......

'

'

\

,

ro=O

1 /K

ep

I I I I

L ep 20logK

1 80° (J)

(!)

o -90° -180°

Slika 3.8: Frekvencijske karakteristike oscilatome komponente drugog reda

3.1.5 Oscilatorna komponenta drugog reda bez prigušenj a Oscilatoma komponenta drugog reda bez prigušenja opisuje se diferencijalnom jedna­ džbom oblika: (T2 D2 + (3 .82)

1)

y(t) Ku(t) =

Sve karakteristike ove komponente proizlaze iz karakteristika oscilatome komponente drugog reda za � = O: Funkcija prijenosa:

G (s) = l +Ks 2 T2

(3.83)

1 95 Prijelazna funkcija:

· S (t) t · S (t)

h (t) = K (l- COS Wnt)

Težinska funkcija: Frekvencijska karakteristika:

g (t)

=

Kwn sin wn

G (j w) Amplitudna frekvencijska karakteristika:

=

A (w) =

1

II

(3.84) (3.85)

K w2T2

(3.86)

K - w2T2 1

(3.87)

-

Fazna frekvencijska karakteristika:

1

za O < w < ­ -

- y

(3.88)

1 za - < w < oo y -

= .q,

Asimptotska logaritamska karakteristika La (w) ne razlikuje se od asimptotske karakte­ ristike oscilatome komponente. Stvarna karakteristika L (w) na lomnoj frekvenciji w teži beskonačnosti (slika 3 .9).

lm

w=oo

K

lm

1 GOw)

YK

' ' '

'

'

Re

-1 80° f--'--

w=O

'

L 201ogK

h

g

o

-1 80°

· - · - · - · - · - · - · - · - · - · - · -----

Slika 3.9: Vremenske i frekvencijske odzivne karakteristike oscilatome komponente bez prigušenja Kao primjeri oscilatome komponente bez prigušenja mogu se navesti idealni LC četveropol ili oscilatomo gibanje umjetnog zemljinog satelita u režimu gravitacijske stabilizacije.

1 96

3.2

Integracijske dinamičke komponente

U integracijske dinamičke komponente ubraj aju se komponente kod kojih je u ustaljenom y(t), proporcionalna integralu ulazne veličine u(t).

(statičkom) režimu izlazna veličina

Dinamička svoj stva integracijskih komponenata opisuju se diferencij alnom j ednadžbom oblika:

A (D) y (t) gdje je

3.2.1

A(D)

-

K

D u(t)

=

polinom koji udovoljava uvjetu

A (O)

(3 .89) =

1.

Idealna integracijska komponenta (I - komponenta)

Idealna integracij ska komponenta (I - komponenta) vrlo često se primjenj uje u struk­ turnim shemama sustava automatskog upravljanja. Dinamika ove komponente (integratora) opisuje se j ednadžbom

(3.89) za A(D) = 1 : y (t) =

Za

�u(t) = K J u(t)dt

(3.90)

u( t) = S(t) , iješenje j ednadžbe (3.90), odnosno prij elazna funkcija jest: h (t) = K · t · S (t)

dok je težinska funkcija:

dh (t) = g (t) dt

Funkcija prijenosa integratora je:

G (s ) dok je njegova frekvencijska karakteristika:

G (jw)

K

= -:-

JW

=

=

K · S (t)

K s

K -j W

(3.93)

=

K =

w

-

K L (w) = 20 log ­ w 7f

Jednadžbama

(3.92)

=K

- e-J 2 W

Amplitudna i fazna frekvencijska karakteristika proizlaze

A (w)

(3. 9 1 )

=