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Automatique - Représentation Externe
1. Commande. Modèle d’un processus
AUTOMATIQUE REPRESENTATION EXTERNE
TR 1.
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1. Commande. Modèle d’un processus
0. Préambule Plan du cours
AUTOMATIQUE CONTINUE 1. Commande. Modèle d’un processus 2. Performances d'un Système : Stabilité - Précision - Rapidité 3. Correction d'un Système Asservi Linéaire (SAL)
AUTOMATIQUE DISCRETE 4. SALs échantillonnés 5. Correction numérique - Régulateurs standards 6. Performances d'un SAL échantillonné : Stabilité - Précision - Rapidité 7. Synthèse des correcteurs numériques - Réponse pile
ANNEXE 8. Logique floue TR 1.
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1. Commande. Modèle d’un processus
Bibliographie
[1] H. Bühler
« Réglages échantillonnés »
PPR
[5] K. Ogata
« Discrete Time Control systems »
Prentice
[7] M. Rivoire / J.L. Ferrier
« Automatique »
Eyrolles
[8] Y. Sévely
« Systèmes et asservissements linéaires échantillonnés » Dunod
[9] Y. Thomas
« Signaux & systèmes linéaires »
TR 1.
Masson
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1. Commande. Modèle d’un processus
1. Commande. Modèle d’un processus COMMANDE
1. Introduction Automatique : Objectif : contrôler, commander un système. Domaines d'application : - commande de processus industriels (domaines initiaux) - économie, gestion, géophysique, biologie, etc... - Systèmes temps réel, capteurs - actionneurs : Constituants de l'automatique : - Théorie des systèmes. - Asservissement (≡ régulation). - Commande - Commande optimale. - Identification. Automatique Continue : Signaux / systèmes mis en jeu sont continus (≡ à TC). Ex.: régulation de la vitesse d'un moteur. Automatique Discrète : ∃ Signaux / systèmes mis en jeu discrets (≡ à TD). Ex. : séquenceur programmable de perçage de pièces.
TR 1.
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1. Commande. Modèle d’un processus
Représentation Externe :
Représentation Fréquentielle
Système représenté par sa FT
Représentation Interne : Système décrit par son état
x& = f ( x , u )
Représentation Temporelle
x
dans le plan de phase
( x , x& )
( u : entrée)
Exemples de régulation : - Puissance de frappe des touches du clavier d’un ordinateur contrôlée par le retour (feedback) du toucher (perception tactile) - Puissance vocale assujettie au retour (perception auditive). - Direction d’automobile corrigée (perception visuelle) ...
Exemple : Asservissement de la direction de vol d’un vaisseau spatial, décrit dans le plan de phase : Contrôle de la direction de vol (l’inclinaison % verticale au sol) d'un vaisseau spatial.
TR 1.
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On veut
θ0 = θ
1. Commande. Modèle d’un processus
( θ 0 : direction de consigne) :
θ
fusées de direction Commande en Boucle Ouverte (non asservie)
u0
(BO)
θ
Système
→ Déterminer le couple de commande
u0 tel que θ
=
Commande directe insuffisante car « aveugle » :
Perturbations
u0 TR 1.
+ Système
+
θ 6
θ0
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1. Commande. Modèle d’un processus
Commande en Boucle Fermée (≡ asservie) (BF) (SB: Système Bouclé)
Variations de la sortie prises en compte par un feedback ( Γ : couple)
Exemple de retour le plus simple :
v = − Γ si θ < θ 0 si θ = θ 0 v = 0 v = Γ si θ > θ 0 Commande en tout ou rien :
Perturbations
u0
+
e
+ −
Système
+
v Γ −Γ
θ0
La commande se fait par l'erreur : - si pas de perturbation : - si perturbation : TR 1.
θ
θ =θ0 θ ≠θ0
θ
e = u0 − v v = 0 → e = u0 → v≠0
→
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1. Commande. Modèle d’un processus
Inconvénient : fortes oscillations de
θ
autour de
θ0.
→ amélioration: introduction d'une bande morte (dead zone)
[ − ε ,+ ε ] autour de θ 0 :
v = − Γ si θ < θ 0 − ε si θ 0 − ε ≤ θ ≤ θ 0 + ε v = 0 v = Γ si θ > θ 0 + ε
u0
e
+ −
v
θ0 −ε −Γ
TR 1.
θ
Système Γ
θ0 θ0 +ε
θ
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Automatique - Représentation Externe
1. Commande. Modèle d’un processus
Equations du système (cas de régulation sans bande morte) J : moment d’inertie du vaisseau.
&& J Couples = θ ∑ RFD :
(couple = moment de force)
Jθ&& = e = u 0 − v = u 0 + Γ si θ < θ 0 u0 si θ = θ 0 u 0 − Γ si θ > θ 0 u0 + Γ u0 + Γ & & & & θ θ θ = → = + t 0 .θ < θ 0 : J J u0 + Γ 2 & → θ = t + θ 0t + θ 0 2J u0 & & θ = J
u0 & & → θ = + θ t 0 .θ = θ 0 : J u0 2 & → θ = t + θ 0t + θ 0 2J u0 − Γ u0 − Γ & & & & θ = → θ = + θ t 0 .θ > θ 0 : J J u0 − Γ 2 & → θ = t + θ 0t + θ 0 2J TR 1.
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→ Cycle de régulation (cas où
1. Commande. Modèle d’un processus
θ 0 = 0) :
θ&
0
θ
Exemple similaire : Régulation de la direction d’un véhicule automobile : Feedback visuel pour corriger les perturbations (pavé ...) écartant le véhicule de la direction de consigne. - commande analogique : observation de la route en permanence - commande échantillonnée : observation de la route à intervalles de temps réguliers
TR 1.
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1. Commande. Modèle d’un processus
2. Structure générale d'un asservissement Asservissement continu d'un processus continu Comparateur x(t)
+
e(t) = x(t) - r(t) -
r(t)
x: u: r : e: y:
Correcteur Contrôleur analogique
u(t)
Processus continu
y(t)
Capteur analogique
entrée, ou consigne (commande de l’asservissement) commande (du processus) retour, ou feedback erreur sortie
Asservissement numérique d'un processus continu
x(t)
+ r(t)
TR 1.
Calculateur Correcteur e (kT) u(kT) uA (t) e(t) q Contrôleur Processus CAN CNA numérique continu
y(t)
Capteur analogique
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1. Commande. Modèle d’un processus
Asservissement échantillonné d'un processus continu
x(t)
+ -
Calculateur Bloqueur d'ordre 0 Correcteur u*(t) uB (t) e(t) e*(t) Contrôleur Processus B 0 continu échantillonneur numérique
r(t)
y(t)
Capteur analogique
Asservissement numérique d'un processus numérique u(k)
x(k)
Calculateur
CNA
TR 1.
Processus continu
CAN
Processus numérique
≡
y(k)
Processus numérique
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1. Commande. Modèle d’un processus
Fonctionnement d’un asservissement (l'asservissement obéit à la commande) - Fonctionnement en suiveur (≡ poursuite) : . L’entrée de commande (consigne) varie. . La sortie doit varier dans le même sens que la consigne (elle ne doit pas la contrer, s’y opposer). . Les perturbations peuvent être ignorées pour qualifier en 1ère approximation ce type de fonctionnement.
- Fonctionnement en régulation : . L’entrée (consigne) est constante (réglable). . La sortie doit être constante malgré les perturbations. . L’entrée de perturbations doit être contrée. Structure de l’asservissement → commande par la consigne et non par les perturbations.
TR 1.
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1. Commande. Modèle d’un processus
3. Représentation externe TEMPS CONTINU x(t)
TEMPS DISCRET
h(t) y(t) = x(t) * h(t)
TL (monolatérale) ↓ X(p)
H(p)
H ( p) =
(causalité)
Y(p) = H(p) X(p) ( si CI nulles)
Y ( p) X ( p) : FT du système
H ( p) = TL[ h( t )] m
H ( p) =
xk
y k = xk * hk
TZ (monolatérale) ↓ (causalité) z = epT X(z) H (z ) =
H (z) =
i
→
n>m
Opérations Temps - Fréquence (p)
TR 1.
∑b z
i
i=0 n
i=0
Réalisabilité (causalité)
↔
i
i
i=0
∫
∑a z i
∑b p
↔
Y(z) = H(z) X(z) ( si CI nulles)
Y (z ) X ( z ) : FT du système
m
i
i
i
d dt
H(z)
H ( z ) = TZ [ hk ]
∑a p i=0 n
hk
Réalisabilité (causalité) → n ≥ m Opérations Temps - Fréquence (z)
⋅p
−
↔
⋅( z − 1)
÷p
∑
↔
÷ ( z − 1)
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1. Commande. Modèle d’un processus
4. Relations fondamentales d'un système bouclé (TC)
Système Bouclé à retour unitaire X(p)
+
E(p)
Y(p)
H(p)
≡ X(p)
Y(p)
H'(p)
R(p)
Y ( p) = H ( p) E ( p) = H ( p)[ X ( p) − R ( p) ] = H ( p)[ X ( p) − Y ( p) ]
Y ( p) H ( p) = X ( p) 1 + H ( p)
→
Y ( p) = H ′ ( p) X ( p)
H ′ ( p) =
H ( p) 1 + H ( p)
H ( p) : FTBO : Y ( p) H ′( p) : FTBF : H ′( p) = X ( p) TR 1.
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Automatique - Représentation Externe
1. Commande. Modèle d’un processus
Système Bouclé à retour non unitaire X(p)
E(p)
+
H(p)
Y(p) ≡
X(p)
-
E(p)
+
H(p)
K(p)
R(p)
-
R(p)
1 K(p)
Y(p)
≡ X(p)
T'(p)
R(p)
1 K(p)
Y(p)
R(p)
K(p)
∆
∆
avec : T ( p) = H ( p) K ( p)
et :
T ′ ( p) =
T ( p) 1 + T ( p)
X ( p) Y ( p ) = H ( p )[ X ( p ) − R( p )] = H ( p )[ X ( p ) − K ( p )Y ( p )] = H ( p ) K ( p ) − Y ( p) K ( p)
Y ( p) H ( p) 1 T ( p) = = X ( p) 1 + K ( p) H ( p) K ( p) 1 + T ( p) E ( p) 1 Y ( p) 1 = = X ( p) H ( p) X ( p) 1 + T ( p)
R( p) E ( p)
T ( p) = H ( p) K ( p) : FTBO
T ( p) =
1 T ′ ( p) : FTBF K ( p)
1 Y ( p) ′ T ( p) = X ( p) K ( p)
TR 1.
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1. Commande. Modèle d’un processus
Système Bouclé à comparateur +/+ : X(p)
+
E(p)
H(p)
Y(p) ≡ X(p)
G(p)
Y(p) ≡ X(p)
+
+
E(p)
Y(p)
H(p)
-
R(p)
R(p)
K(p)
-K(p)
H ( p) G ( p) = 1 − K ( p) H ( p) Performances d'un système bouclé - Rapidité - Précision - Stabilité Exemple : autofocus de caméra vidéo : - Rapidité : Correction de la mise au point rapide % à la variation de la prise de vue. - Précision : Mise au point précise sinon images floues. - Stabilité:
TR 1.
Correction de la mise au point → écarts ou oscillations de la netteté dont l’amplitude doit diminuer avec le temps.
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1. Commande. Modèle d’un processus
Autre exemple : - Système d’antiblocage des roues (ABS) Dilemmes Les performances présentent des dilemmes : Exemple : Ê Précision → Déstabilisation du système. Exemple : Phénomène de larsen 5. Causalité En automatique, les signaux et systèmes mis en jeu sont généralement causaux : l'asservissement se fait en temps réel (≡ on-line).
TR 1.
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1. Commande. Modèle d’un processus
MODELE D'UN PROCESSUS 1. Le signal de commande 1.1. Commande analogique Erreur
ε = yc − y
évaluée en permanence
+
y c (t )
ε (t )
y (t ) Ex. : Le conducteur d’un véhicule a l'oeil rivé sur la route. Le signal de commande u est alors ajusté en permanence par le correcteur pour corriger l'erreur.
yc (t )
+
ε (t )
Contrôleur
Correcteur
u(t )
y(t )
Processus
y
TR 1.
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Automatique - Représentation Externe
a)
1. Commande. Modèle d’un processus
Commande la plus simple : TOUT OU RIEN
ε >0 ε 0 u ↑ La commande intégrale améliore la précision du système
ε 0)
p +1
H (iω ) = - Réponse Fréquentielle :
k
ω ω 1 + 2mi − ω 0 ω 0
2
2.2.1. Etude fréquentielle | H(iω ) |dB
| H(iω ) |
H0 dB = k dB = 20log k 0 dB
6 dB
ω r ω0 m≥
Arg[ H(iω )]
2 2
(si k > 0)
0° -90 ° -180 °
H0 = k
ω
(échelle log.)
m
1 : régime hyper-amorti (apériodique) :
2 pôles réels de H(p) :
p 1 = − mω 0 ± ω 0 m 2 − 1 2
Im p Re p t t − − τ τ 1 2 e 1 e e 1 e y(t) = k1+ − − Γ(t) Γ(t) = k1+ 2 2 2 2 2 2 2 m −1 m+ m −1 m− m −1 2 m −1 m+ m −1 m− m −1 p1t
p2t
∆ 1 1 τ1 = − τ2 = − en posant : p1 et p2 ∆
y(t) y (∞) = H0 ⋅ 1 = k ⋅ 1 = k 0.95 ⋅ y (∞)
0
TR 1.
tr
t
t r : temps de réponse à 95 %
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Automatique - Représentation Externe
•
1. Commande. Modèle d’un processus
m = 1 : régime critique (apériodique) :
1 pôle double réel de H(p) :
p0 = − mω 0 = −ω 0
Im p Re p
t − −ω 0t τ y (t ) = k 1 − e (1 + ω 0t ) Γ(t ) = k 1 − e (1 + ω 0t ) Γ(t ) ∆ 1 τ =− avec : p0
[
]
y(t) y ( ∞) = H 0 ⋅ 1 = k ⋅ 1 = k 0.95 ⋅ y(∞)
0
TR 1.
tr
t
t r : temps de réponse à 95 %
32
Automatique - Représentation Externe
•
1. Commande. Modèle d’un processus
0 < m < 1 : régime sous-amorti (pseudo-périodique) :
2 2 pôles complexes conjugués de H(p) : ( σ = mω 0 ; ω ′0 = ω 0 1 − m )
p1 = − mω 0 ± iω 0 1 − m 2 = −σ ± iω ′0 2
Im p
1 ∆ 1 =− τ =− Re ( p1 ) Re ( p 2 ) ∆
Re p
t − τ e e y (t ) = k 1 − sin (ω 0′ t + ψ ) Γ (t ) = k 1 − sin (ω 0′ t + ψ ) Γ(t ) 2 1− m2 1 m − − mω 0 t
ψ = arccos m = arcsin 1 − m 2
∆
ϕ=
( cosψ = m
ω0 ϕ ψ − mω 0
π − ψ = arcsin m = arccos 1 − m 2 2 y(t)
Im p ω 0′ Re p
ω ′0 : pseudo - pulsation
1 .05 ⋅ y ( ∞ )
y(∞) = H0 ⋅1= k ⋅1= k
π T0′ = 2 : pseudo - période ω ′0
0 .95 ⋅ y ( ∞ )
0
TR 1.
sin ψ = 1 − m 2 )
T0′
tr
t
t r : temps de réponse à 95 %
33
Automatique - Représentation Externe
1. Commande. Modèle d’un processus
2.2.3. Dualité Temporel - Fréquentiel Temps
Fréquence
• amortissement
m
• Temps de réponse
• amortissement
tr
• Pulsation
m
ω0
Re[pôles ] = − mω 0
tr •
petit ≡
Re[pôles ]
élevé ≡ système rapide
H0
•
ω0
élevé
H0
2.2.4. Rapidité Rapidité vue d’après le temps de réponse (échelle log.)
t rω 0 1000
600
300 50 20
3
m (échelle log.)
1 0.01
A
0.5 0.7 1
100
ω0
fixé, le temps de réponse minimal est obtenu pour m = 0.7
TR 1.
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Automatique - Représentation Externe
1. Commande. Modèle d’un processus
Rapidité vue d’après le lieu des pôles
Im p
p1
p2
Re p
p1*
tr
TR 1.
petit ≡
Re[pôle ]
élevé ≡ système rapide
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Automatique - Représentation Externe
1. Commande. Modèle d’un processus
2.3. Systèmes d'ordre supérieur à 2 Système dont la FT
H ( p ) , du k ième ordre,admet donc k
pôles.
H ( p)
peut être décomposée en produit de plusieurs FT (éléments simples). → Réponse du système = somme des réponses des sous-systèmes. Réponse plus fortement marquée par les pôles situés près de l'axe imaginaire (pôles dominants) car ils correspondent aux Ctes de Temps les plus élevées ( Re( pôle ) est en
−1/τ
).
→ On peut souvent négliger les pôles éloignés de l'axe imaginaire par rapport aux pôles dominants. Exemple (lieu des pôles) : 3ème ordre (3 pôles) constitué d’un sous-système du 1er ordre (pôle
p 2 ) et d’un sous-système du 2nd ordre (pôles p1
et
p1* )
Im p
p1
Re p
p2
p1*
Pôle dominant (≡ mode lent) situé le plus près de l’axe imaginaire : → 3ème ordre ∼ 1er ordre (pôle TR 1.
p 2 ). 36
p2
Automatique - Représentation Externe
1. Commande. Modèle d’un processus
H (iω ) k H ( p) = Exemple : Représentation d’un 1er ordre : 1 + τp (avec : τ > 0 , k > 0 ( k > 1 ))
3. Représentation graphique de la Réponse Fréquentielle
Représentation de Bode H(iω) dB 0 dB
H(iω) dB =20logH(iω)
ω
1 1
0
ϕ = Arg[ H(iω) ]
τ
0°
ω = 0−
ω = −∞
ω
ω =0 ω
+
ω = +∞
ω
Limité à p = iω ( ω > 0 ) Contour de Bromwich :
p = iω (ω < 0)
γ
ϕ = Arg[ H (iω ) ]
Courbe paramétrée en ω Domaine de variation de p
Limité à p = iω ( ω ≥ 0 )
iθ p =r e (r ∞) θ i p=ε e (ε 0)
Avantage : Générale, puissante.
Inconvénient :
Inconvénient :
TR 1.
ω =∞
Re(p)
Avantage : Visuelle et simple. Pas générale (stabilité).
ϕ
p = iω (ω > 0)
θ 0
0 dB 0°
ω
Domaine de variation de p
Im(p)
ω =0
Re[H( p )]
Courbe paramétrée en
Domaine de variation de p
H (iω ) dB -90°
(échelle log
-90 °
Représentation de Black
ω 0
Im[H( p )]
(échelle lo
τ ϕ
Représentation de Nyquist
Plus abstraite.
Avantage : Prédiction du SB à partir de la BO. Inconvénient : Pas générale (stabilité).
37
Automatique - Représentation Externe
1. Commande. Modèle d’un processus
Passage de la représentation de Bode aux Représentation de Nyquist/Black :
Rappel : passage des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires
Im[ H (iω )] x 0
ϕ y
ψ
Re[ H (iω )]
M
ω .
H (iω ) = x + iy
.
M = H (iω ) =
.
M dB = 20 log M = 20 log H (iω ) = H (iω ) dB
x2 + y2
y Arctg = . ϕ = Arg [ H (iω )] x .ψ TR 1.
= ϕ − 2π = ϕ 38
Automatique - Représentation Externe
1. Commande. Modèle d’un processus
4. ANNEXE : Représentations de Bode de RF élémentaires Gain complexe
H (iω )
ω H (iω ) = i ω0 H (iω ) =
ω i ω0
0 dB
n
1
H (iω ) dB
Octave :
Pente :
Décade :
f
→ 10 f
ω
ω0
(échelle log.)
(-1)
ω
ω0
(échelle log.)
(échelle log.)
(+1) Courbe réelle
(échelle log.)
ω0
ϕ
ω
(échelle log.)
(-1)
(+n) Courbe réelle Courbe asymptotique
ω
(échelle log.)
ω0
ω0
(échelle log.)
0
(échelle log.)
Courbe réelle
ω0
ω0
0
−π / 4 −π / 2
ω
ω
(échelle log.)
(échelle log.)
Courbe réelle Courbe asymptotique
ϕ nπ / 2 nπ / 4 0
ω
Courbe asymptotique
π /2 π /4
ϕ ω0
ω
−π / 2
0
ω
ω0
nπ / 2
ω
ω0
0
ϕ
(+n)
Courbe réelle
3n dB 0 dB
π /2
ϕ
Courbe asymptotique
H (iω ) dB
Arg [ H (iω )] 0
Courbe asymptotique
0 dB -3 dB
n
2f
(échelle log.)
H (i ω ) dB
ω 1+ i ω0
→
ω0
3 dB 0 dB
ω H(iω) = 1+ i ω0
f
ω
H (iω ) dB 0 dB
ω H (iω ) = 1 + i ω0 H (iω ) =
(+1) 0 dB
Phase
ϕ
H (iω ) dB
H (iω ) dB
1
ω H (iω ) = i ω0
Module H (iω ) dB = 20 log H (iω )
Courbe asymptotique Courbe réelle
ω0
ω
(échelle log.)
(-n) ≡ pente de -20 ndB/décade ≡ pente de -6 n dB/octave (+n) ≡ pente de +20n dB/décade ≡ pente de +6 n dB/octave
__________
TR 1.
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