Assurance Non Vie [PDF]

Zitiervorschau

17/11/2022

Assurance non vie

EL ATTAR Abderrahim. FSJES, AIN SEBAA CASABLANCA.

Assurance non vie

Pr. EL ATTAR

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Assurance non vie Activité de la compagnie d’assurance non vie (d’un point de vue actuariel) Optimisation de la tarification des risques  Optimisation de la réassurance

Minimisation des risques

 La segmentation des risques  La compensation des risques (calcul des primes de l’assurance, cotisations)  La mutualisation des risques (calcul des prestations)

Critères de richesse de la compagnie d’assurance non vie

 La probabilité de ruine  La VaR, et CTE

Prédire le plus justement les prestations futures  Méthodes de provisionnement

La nature de portefeuille   Pr. EL ATTAR

Lois des charges des sinistres Lois de fréquence des sinistres Assurance non vie

20 2sur 46

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Assurance non vie Contenu du cours Chapitre 1. Tarification en assurance non vie Chapitre 2. Modélisation des risques en assurance non vie Chapitre 3. Probabilité de ruine et nouvelles mesures de risque Chapitre 4. Les provisions techniques en assurances non vie

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Assurance non vie Chapitre 1. Tarification en assurance non vie

EL ATTAR Abderrahim

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (1) PLAN 1.1. Définition de l’assurance et de la réassurance 1.2. Les différents types d’assurance 1.3. Principe de la tarification des risques en assurance non vie 1.3.1. La segmentation des risques 1.3.2. La compensation des risques 1.3.3. La mutualisation des risques 1.3.4. Variables tarifaires 1.4. Tarification des traités de réassurance 1.4.1. Réassurance proportionnelle 1.4.2. Réassurance non proportionnelle 1.5. Mode de tarification 1.6. Chargement de sécurité 1.7. Prime pure 1.8. Prime nette 1.9. Prime commerciale 1.10. Bénéfice technique 1.11. Coefficient de sécurité

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (2) 1.1. Définition de l’assurance et de la réassurance  L'assurance est une opération par laquelle une personne (l'assureur) s'engage à réaliser une prestation, dans le cadre d'un contrat (police), au profit d'un autre individu (l'assuré) lors de la survenance d'un risque et moyennant le paiement d'une cotisation (prime). Réf: journaldunet.fr/business  La réassurance est l’assurance des sociétés d’assurances. Parfois appelée assurance secondaire.

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (3) 1.1. Définition de l’assurance et de la réassurance La définition de l’assurance repose sur 6 parties qui entrent en jeu au sein d’une opération d’assurance : L’assureur (compagnie d'assurances) est une entreprise qui fournit des services d'assurance à des clients qui deviennent des assurés. L’assuré est la personne à laquelle s'applique les garanties du contrat d'assurance. Il s’agit de la personne exposée au risque. La police d’assurance est le contrat d’assurance, preuve matérielle de l’accord entre l’assureur et l’assuré. Elle contient les garanties, les conditions d’engagement de l’assureur envers l’assuré, les obligations de l’assuré, etc. La prestation est le montant que l'assureur doit prendre en charge en cas de sinistre, afin d'indemniser les assurés. La prime de l’assurance est la contribution que l’assuré doit payer pour pouvoir bénéficier de la couverture d'assurance en cas de sinistre. Pr. EL ATTAR

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (4) 1.1. Définition de l’assurance et de la réassurance Le risque est la survenance d'un événement incertain et aléatoire, susceptible de causer un dommage moral, matériel et corporel ou une perte, contre lequel une personne s'assure (un accident, un incendie, un vol, une inondation, etc.). D’un point de vue actuariel : Risque (en assurance non‐vie) = charges des sinistres

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (5) 1.2. Les différents types d’assurance On distingue 2 catégories d’assurances : ASSURANCES "NON VIE"

Assurances Assurances de de Biens Responsabilité (automobiles, Civile de habitation, biens l'assuré et de professionnels, celle sa famille catastrophes pour les naturelles, dommages de construction…) ces tiers Les assurances de dommage (IARD)

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ASSURANCES "VIE" REASSURANCES

Assurances Santé (Accidents, maladie, Assurances vie invalidité, (survie, décès, retraite...) Réassurance vie et incapacité, non-vie frais médicaux…)

Les assurances de personnes

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (6) 1.2. Les différents types d’assurance L'assurance-vie est une forme d'assurance dont l'objet est de garantir le versement d'une certaine somme d'argent (capital ou rente) lorsque survient un événement lié à l'assuré : son décès ou sa survie. L'assurance non‐vie regroupe l'ensemble des contrats de type IARD abréviation de (Incendie, Accidents et Risques Divers) et des assurances santé. IARD + Assurances Santé Dans le cadre des assurances professionnelles, les assurances chômage ou la perte d’emploi sont rattachables à la catégorie d’assurances vie.

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (7) 1.2. Les différents types d’assurance L’assurance vie et l’assurance non-vie se sont historiquement développées à des périodes distinctes et en suivant des méthodes de calcul différentes. Cette différence des méthodes vient principalement du fait que les risques associés à chacun de ces domaines ont des caractéristiques différentes.

D’un point de vue actuariel

Risque =

en assurance non‐vie Charges des sinistres

en assurance vie

Durée de vie restante de la personne assurée

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (8) 1.3. Principe de tarification en en assurance non vie L’opération d’assurance consiste à transférer de tout ou partie des risques (charges des sinistres) pesant sur l’assuré vers la compagnie d’assurance.

Comment calculer le tarif d'un contrat d'assurance? L’assureur procède par :  La segmentation des risques  La compensation des risques  La mutualisation des risques

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (9) 1.3. Principe de tarification en en assurance non vie 1.3.1. La segmentation des risques  La segmentation est une technique permettant à un assureur de classer les risques

··

(hétérogènes) selon certains critères (variables de tarification) pour établir son tarif. ·  L’ensemble hétérogène initial des risques est alors divisé en groupes homogènes.

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (10) 1.3. Principe de tarification en en assurance non vie 1.3.1. La segmentation des risques Un ensemble de portefeuilles homogènes

·· Portefeuille hétérogène ·

C1 , , Cn

composé de k contrats (polices)

C1 , , Ck

C1 , , Cm Segmentation

Portefeuille approprié

. . .

C1 , , Cl Pr. EL ATTAR

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Nouveau contrat

Cj 14

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (11) 1.3. Principe de tarification en en assurance non vie 1.3.2. La compensation des risques La compensation des risques, sur base actuarielle, consiste à déterminer la prime de l’assurance (cotisation) que l’assuré doit payer pour pouvoir bénéficier de la couverture d'assurance en cas de sinistre.

La prime d'assurance payée par l'assuré est composée de deux parties :  La prime pure : c'est le montant du sinistre moyen auquel devra faire face l'assureur pour le risque.  Les frais de commerce : les frais de gestion (agents généraux ou courtier), les frais généraux (les taxes, les impôts, les commissions, etc). La prime d'assurance est modifiée en fonction de la politique commerciale de la compagnie d'assurances.

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (12) 1.3. Principe de tarification en en assurance non vie 1.3.2. La compensation des risques Calcul de la prime pure Supposons un assureur bénéficiant d’un portefeuille constitué d’un grand nombre N de risques (charges des sinistres) X 1 , , X N correspondent aux polices (contrats) respectives

C1 ,, CN

(homogènes).

Les risques

X 1 , , X N

sont des variables aléatoires, indépendants et identiquement

distribuées (de même loi), de la moyenne et la variance respectivement

 et  2 .

Mathématiquement, la compensation des risques se traduit par la loi des grands nombres. La prime pure : c'est le montant du sinistre moyen auquel devra faire face l'assureur pour le risque, à savoir :

Prime pure 

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1 N

N

X i 1

en loi i

E  X i    pour N assez grand N  

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (13) 1.3. Principe de tarification en en assurance non vie 1.3.2. La compensation des risques Calcul de la prime d'assurance La prime d'assurance payée par l'assuré (commerciale) s’obtient en ajoutant à la prime pure les frais généraux de commerce. Elle s’exprime sous la forme suivante :

pcom  p pure  frais de commerce (frais de gestion, taxes, impots, commissions, etc)

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (14) 1.3. Principe de tarification en en assurance non vie 1.3.3. La mutualisation des risques  Le principe de la mutualisation des risques consiste à payer pour les autres

·· ·

sachant que peut-être un jour, ce sera pour soi-même. Par exemple, sur cinq polices, une seule est confrontée à un sinistre. Les cinq cotisations versées permettent alors de payer les dommages de cette dernière.  La mutualisation permet de calculer le montant que l'assureur doit prendre en charge en cas de sinistre, afin d'indemniser des assurés .  Le Provision pour sinistres à payer est montant utilisé pour payer les sinistres pris en charge par la compagnie d'assurance.  Les méthodes de calcul de provisions en assurance non vie se basent sur les données historiques. Pr. EL ATTAR

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (15) 1.3. Principe de tarification en en assurance non vie 1.3.3. La mutualisation des risques Portefeuille homogène composé de N polices (homogènes)

X 1 , , X N

Les risques sont i.i.d Compensation

Tarification

Mutualisation

Assuré

Assureur

Prime de cotisation (prime commerciale) Pcom  E ( X i )  frais de commerce

Prime d'indemnité Provision pour sinistres à payer

Prime pure

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (16) 1.3. Principe de tarification en en assurance non vie 1.3.4. Variables tarifaires Pour chaque police, la tarification est déterminée en fonction d’un certain nombre de variables, appelées variables tarifaires. Généralement, les variables tarifaires appartiennent à l’une des catégories suivantes :  Caractéristiques de l’assuré : âge, sexe, etc. ;  Caractéristiques du bien assuré : ancienneté ou modèle d’une voiture, type de construction, etc. ;  Caractéristiques de la région géographique : densité de la population, zone rurale ou urbaine, etc.

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (17) 1.4. Tarification des traités de réassurance  Toute compagnie d’assurance doit protéger sa compagnie contre le risque de perte, en transférant une partie du risque à une deuxième compagnie d'assurance (réassureur). À son tour, le réassureur doit fournir une protection contre les grosses réclamations et réaliser un équilibre financier pour la compagnie d’assurance..  Le risque est reparti entre l’assureur et le réassureur proportionnellement à la rétention de l'un et à l'acceptation de l'autre.

Risque

La part de l’assureur

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La part du réassureur

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (18) 1.4. Tarification des traités de réassurance Soit un portefeuille composé de N (risques) variables aléatoires positives représentant les charges des sinistres X 1 ,, X N correspondent aux polices respectives C1 , , C N (homogènes). X i  X iA  X iR , i  1,.., N  R X iA  f  X i ,   est la part de l’assureur et X i  g  X i ,   la part du réassureur,

où  paramètre des traités de la réassurance .

f et g sont deux fonctions aléatoires mesurables à valeurs dans



caractérisent la forme de réassurance choisie par la compagnie d’assurance; 0  X iR  X i , i  1,.., N  Pr. EL ATTAR 16/11/2022

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (19) 1.4. Tarification des traités de réassurance En général, il existe deux formes de réassurance: la réassurance proportionnelle et la réassurance non proportionnelle. Formes de réassurance

Réassurance non proportionnelle

Réassurance proportionnelle

Quote-part «quota share»

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Excédent de plein «surplus»

Excédent de sinistre «excess of loss»

Excédent de perte «stop loss»

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (20)

1.4. Tarification des traités de réassurance 1.4.1. Réassurance proportionnelle La forme de réassurance proportionnelle limite la responsabilité du réassureur à une proportion



du risque X i .   0,1 appelée le facteur de proportionnalité (taux

de cession). Dans ce cas, le réassureur assume le risque X iR   X i et la portion

X iA  1    X i retenue par la cédante. i  1,.., N  . On a toujours :

X i  X iA  X iR , i  1,.., N 

La réassurance proportionnelle propose deux types de contrats : - Quote-part (quota share) noté QP- Excédent de plein (surplus) noté SP.

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (21)

1.4. Tarification des traités de réassurance 1.4.1. Réassurance proportionnelle  Réassurance en quote-part «quota share» : c’est un contrat de réassurance proportionnel où le facteur de proportionnalité (taux de cession)   0,1 est constant pour tous les risques réassuré, tel que :

X iR   X i

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et

X iA  1    X i , i  1,.., N 

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (22)

1.4. Tarification des traités de réassurance 1.4.1. Réassurance proportionnelle  Réassurance en quote-part «quota share» : Exemple : Soit un portefeuille composé de 4 risques (charges des sinistres) :

X 1  3 000 dh; X 2  2 000 dh; X 3  1800 dh; X 4  1000 dh correspondent au taux de cession :   0, 4 (40 %). Le réassureur en cas de sinistre total assume le risque 3120 dh :

 X 1   X 2   X 3   X 4  3 00 0  0, 4  2 00 0  0, 4  180 0 0, 4  100 0  0, 4  3120 Pr. EL ATTAR 16/11/2022

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (23) 1.4. Tarification des traités de réassurance 1.4.1. Réassurance proportionnelle  Réassurance en excédent de plein «surplus» : les «surplus» ont un taux de cession  i  0  varie selon le montant maximal  mi  0 i 1,..., N i 1,..., N et le montant minimal  ai  0 i 1,..., N de la couverture de réassurance que la cédante conserve à sa charge pour chaque risque, où mi  ai , i  1,..., N . Dans ce cas, on a :

X iR   i X iR

et

X iA  1   i  X i , i  1,.., N 

où les taux de cession :

i 

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.

mi  ai ,  i  0,1 , i  1,..., N  mi

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (24) 1.4. Tarification des traités de réassurance 1.4.1. Réassurance proportionnelle  Réassurance en excédent de plein «surplus» : Exemple : Soit un portefeuille composé de 4 risques (charges des sinistres) :

X 1  3 000 dh; X 2  2 000 dh; X 3  1800 dh; X 4  1000 dh correspondent aux taux de cession respectifs:

1  0,1;  2  0,5;  3  0, 6;  4  0, 2 Le réassureur en cas de sinistre total assume le risque 2580 dh:

1 X 1   2 X 2   3 X 3   4 X 4  3 00 0  0,1  2 00 0  0,5  180 0 0,6  100 0  0, 2

 2580 Pr. EL ATTAR 16/11/2022

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (25) 1.4. Tarification des traités de réassurance 1.4.2. Réassurance non proportionnelle Le contrat de la réassurance non proportionnelle est un contrat dépendant de deux paramètres : la priorité L et la portée P . La priorité est le seuil à partir duquel le réassureur intervient dans la prise en charge du sinistre, et la portée est une limite à l’engagement du réassureur.

C

La somme de la priorité et de la portée correspond à une

L

P

valeur appelée plafond (capacité), C  L  P . La réassurance non proportionnelle propose deux types de contrats : - Excédent de sinistres (Excess of loss) noté XS Excédent de perte annuelle (Stop-Loss) noté SL.

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (26) 1.4. Tarification des traités de réassurance 1.4.2. Réassurance non proportionnelle  Réassurance en excédent de sinistre «excess of loss» : C’est un contrat de réassurance non proportionnel où la priorité L est applicable à chaque réclamation individuelle. Tels que :

 N  X R  min  P,  max  0, X i  L   et  i 1 

XA  X XR

où, X , X A et X R sont respectivement la charge de sinistre totale, la charge de sinistre totale pour la cédante et la charge de sinistre totale pour le réassureur . La notation pratique est la suivante : portée XS priorité ( P XS L). Par exemple, 300 XS 1000 correspond à un traité en «excédent de sinistre» de portée P= 300 et de priorité L=1000.

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (27) 1.4. Tarification des traités de réassurance 1.4.2. Réassurance non proportionnelle  Réassurance en Excédent de perte «stop loss» : C’est un contrat de réassurance non proportionnel où la priorité L est applicable au total de la réclamation. Tels que :   N  X R  min  P, max  0,  X i  L   et  i 1  

XA  X XR

où, X , X A et X R sont respectivement la charge de sinistre totale, la charge de sinistre totale pour la cédante et la charge de sinistre totale pour le réassureur . La notation pratique est la suivante : portée SL priorité ( P SL L). Par exemple, 300 SL 1000 correspond à un traité en «excédent de perte» de portée P= 300 et de priorité L=1000.

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (28) 1.4. Tarification des traités de réassurance 1.4.2. Réassurance non proportionnelle Remarque:  Le traité de réassurance en XS peut traduire comme suit :

0 si X i  L N    X R  min  P,  max  0, X i  L    X R    X i  L  si L  X i  P  L  i 1   i 1  P si X i  P  L N

 Réassurance en SL peut traduire comme suit :

0 si X  L N  X R  min  P, max  0, X  L    X R   X  L si L  X  P  L , avec X   X i i 1  P si X  P  L  Pr. EL ATTAR 16/11/2022

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (29) 1.4. Tarification des traités de réassurance En résumé Réassurance non proportionnelle

Réassurance proportionnelle

Quote-part «quota share»

 X iR   X i  A  X i  1    X i    0,1 i  1,.., N   

Excédent de plein «surplus»

 X iA  1   i  X i X R   X  i m i ai   i i ,   0,1 , m  a  0 i i i  i mi i  1,.., N  

Pr. EL ATTAR

Excédent de perte «stop loss»

Excédent de sinistre «excess of loss»

 R  N   X  min  P,  max  0, X i  L     i 1  A R  X  X  X

 R   N   X  min  P, max  0,  X i  L     i 1   X A  X  X R 

L  P 0

Assurance non vie

33 33

Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (30) 1.5. Mode de tarification Le mode de tarification est défini par une fonction



définie comme suit :



: V 

X  X  où V est l’ensemble des variables aléatoires à valeurs réelles positives.



est appelé aussi «principe de prime».

Les propriétés principales d’un principe de prime sont :  Marge de sécurité positive :   X   E  X   Additivité :   X  Y     X    Y  ,  Proportionnalité :   aX   a  X  ,

  X , Y  V indépendants

a0

 Invariance par translation :   X  a     X   a ,  Plafonnement : Pr. EL ATTAR

a0

  X   X max Assurance non vie

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (31) 1.5. Mode de tarification Exemples  Principe de l’espérance mathématique :   X   1    E  X  ,   0  Principe de l'écart-type :   X   E  X    Var  X  ,   0  Principe exponentiel :   X  

1 ln   exp   X   ,   0 

 Principe du risque ajusté :   X  





  S X  x 

dx , 0    1

0

où S X est la fonction de survie de la variable aléatoire X . Remarque : le paramètre  est significativement interprété comme le chargement de sécurité. Pr. EL ATTAR

Assurance non vie

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (32)

1.6. Chargement de sécurité  Le chargement de sécurité  est un paramètre qui permet de réaliser une marge de sécurité positive pour la compagnie d’assurance, i.e :   X   E  X  . Tels que

E  X  est l’espérance mathématique du risque X , et   X  est le mode de

tarification utilisé par la compagnie d’assurance.  Par exemple, pour un mode de tarification d’espérance mathématique le chargement de sécurité vient se multiplier par la prime pure pour obtenir les frais de fonctionnement, ces derniers vient s’ajouter à la prime pure pour déterminer la prime nette.

Pr. EL ATTAR

Assurance non vie

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (33)

1.7. Prime pure La prime pure est le montant du sinistre moyen auquel devra faire face l'assureur pour le risque.. Soit

X

une variable aléatoire qui représente la charge des sinistres relative à une

police (contrat) déterminée au cours d’une période d’assurance. Mathématiquement, la prime pure est égale (approximativement) à l'espérance des risques :

Ppure  E  X 

Pr. EL ATTAR

Assurance non vie

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (34) 1.8. Prime nette  La prime nette est le montant reçu ou souscrit sur les polices d'assurance lorsque les primes sont engagées ou payées, et les primes de retour sont déduites des primes brutes.  La prime nette est obtenue par l’ajout à la prime pure les frais de fonctionnement (frais de gestion).  La prime nette (pour un mode de tarification d’espérance mathématique) est donnée par :

Pnette  Ppure 

 Ppure frais de fonctionnement

 E( X )  où

 est le chargement de sécurité.

Pr. EL ATTAR

 E( X ) frais de fonctionnement

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (35) 1.9. Prime commerciale La prime commerciale c'est un montant déterminé par la compagnie d'assurance qui permet de régler les engagements des assurés (cotisations) que doit payer par l’assuré pour pouvoir bénéficier de la couverture d'assurance en cas de sinistre. La prime commerciale s’obtient en ajoutant à la prime nette les frais de commerce. Elle est donné par :

pcom  p pure  frais de commerce  frais de fonctionnement  frais généraux  commissions, impôts, taxes... 

pcom  p pure  frais de fonctionnement  frais généraux pnette

pcom  pnette  frais généraux  commissions, taxes, impôts, taxes...

Pr. EL ATTAR

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (36)

1.10. Bénéfice technique Avant l’opération de la réassurance : Le bénéfice technique (ou résultat technique) est obtenu en soustrayant aux primes collectées pendant une période donnée, les charges de l’assureur. N

B    Pi  X i  i 1

Pi

: primes collectées

X i : charges des sinistres (charges de l’assureur) N

: nombre des sinistres

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (37)

1.10. Bénéfice technique Après l’opération de la réassurance : Le bénéfice technique (ou résultat technique) est obtenu en soustrayant aux primes collectées pendant une période donnée, les primes chargées de la réassurance et les charges de l’assureur. Supposons que la compagnie d’assurance applique un principe de prime  pour couvrir les charges de la réassurance :

B    Pi    X iR   X iA  N

i 1

Les portions

X 

A i i  1,...,N  

et

X 

R i i  1,...,N  

sont liées aux traités (formes) de la

réassurance choisies par la compagnie d’assurance.

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (38) 1.11. Coefficient de sécurité Notons

u  0 le capital initial des réserves affectées aux risques.

Le coefficient de sécurité est défini par :

CS 

u  E  S  var  S 

où S est la charge totale des sinistres. et  est le chargement de sécurité de la compagnie d’assurance. Telles que E  S  et var  S  sont respectivement l’espérance et la variance de la charge totale des sinistres.  Le coefficient de sécurité permet de calculer la probabilité de ruine d’une compagnie d’assurance. Pr. EL ATTAR

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Chapitre 1. Tarification en assurance non vie (39) Références 1.

A. Charpentier (2017-2018), Actuariat de l’Assurance Non-Vie, ENSAE, Université de Rennes 1.

2.

A. El Attar , M. Elhachloufi et Z. A. Guennoun (2017), An Inclusive Criterion For An Optimal Choice Of Reinsurance, Vol. 12, Issue 04, Annals of Financial Economics (World Scientific).

3.

Fouad Marri (2020), Tarification en assurance non vie, INSEA, Maroc, Support de cours.

4.

Frédéric Planchet (2003-2004), Assurance non vie, Institut de Science Financière et d'Assurances, France, Support de cours.

5.

Ben Dbabis (2012), Modèles et méthodes actuarielles pour l’évaluation quantitative des risques en environnement Solvabilité II, Thèse de doctorat, Université Paris Dauphine.

6.

Charpentier (2014), Approches statistiques du risque, chapitre 3: Mesures de risque, Éditions Technip, Paris.

7.

Charpentier & Denuit (2005), Mathématiques de l’assurance non vie: Tome II : Tarification, Economica.

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