Aritmetik, algebra, geometri [version 29 Mar 2010 ed.] [PDF]

Zitiervorschau

ARITMETIK, ALGEBRA, GEOMETRI Här finns material till olika inledande kurser i aritmetik, algebra och geometri: 

Ett häfte om "Tal, rester och polynom"  En omarbetad version av samma häfte (mera detaljerat avsnitt om restaritmetiker, uppräkneliga mängder är inte med) "Talsystem och restaritmetiker"  ( rättelser)  Stenciler till kurser i lärarutbildningen MAL200/LMA100: 

INNEHÅLL: AVSNITT 1: MATEMATIKENS SPRÅK  ÖVNING 1: MATEMATIKENS SPRÅK  ÖVNING 2: MÄNGDER OCH MÄNGDOPERATIONER  ÖVNING 3: DELBARHET OCH PRIMTAL  AVSNITT 4: RESTARITMETIKER  ÖVNING 4: RESTARITMETIKER  ÖVNING 5: MATEMATISK INDUKTION  AVSNITT 6: INDUKTIVA OCH DEDUKTIVA RESONEMANG  ÖVNING 6: INDUKTIVA OCH DEDUKTIVA RESONEMANG  ÖVNING 7: KOMPLEXA TAL  ÖVNING 8: POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER  ÖVNING 9: RELATIONER OCH FUNKTIONER  AVSNITT 10: MÄNGDER MED ALGEBRAISKA OPERATIONER  ÖVNING 10: MÄNGDER MED ALGEBRAISKA OPERATIONER  AVSNITT 11: TALBEGREPPET  ÖVNING 11: TALBEGREPPET  AVSNITT 12: GEOMETRI  AVSNITT 13: ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT  ÖVNING 13: ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT 

AVSNITT 14: KOMBINATORIK   

1

TAL, RESTER OCH POLYNOM Juliusz Brzezinski

Med all s¨akerhet har Du redan m¨ott olika typer av tal: naturliga, hela, rationella, reella och komplexa. Vad ¨ar det som skiljer olika talm¨angder? Finns det andra typer av tal? Vad menas egentligen med ett tal? Vi skall f¨ors¨oka svara p˚ a dessa fr˚ agor genom att analysera olika egenskaper hos olika talm¨angder. Men svaren ¨ar inte alltid enkla, och riktigt tillfredsst¨allande svar kr¨aver ibland djupare kunskaper som f¨orst ¨ar tillg¨angliga i senare kurser. Vi skall beteckna med: N de naturliga talen, Z de hela talen, Q de rationella talen, R de reella talen, C de komplexa talen. : m, n ∈ Z, n 6= 0}. Det ¨ar inte Vi har N = {1, 2, 3, ...}, Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...}, Q = { m n lika l¨att att beskriva alla reella och komplexa tal. Vi skall f¨ors¨oka g¨ora det i de f¨orsta fyra avsnitten d¨ar vi visar hur och varf¨or man definierar olika typer av tal. D¨arefter kommer vi att bekanta oss med andra algebraiska system som har mycket gemensamt med talen. I avsnitt 5 diskuterar vi restaritmetiker som ¨ar n¨ara besl¨aktade med heltalen och har stor betydelse inom talteorin och datatekniken. I avsnitt 6 utvidgar vi n˚ agot v˚ ara kunskaper om polynom med koefficienter i olika talomr˚ aden. I sista avsnittet ˚ aterkommer vi till talen och f¨ors¨oker j¨amf¨ora storleken av olika talm¨angder.

1. TALRINGAR OCH TALKROPPAR Alla tal kan adderas och multipliceras. Detta betyder att om a och b ¨ar tv˚ a tal s˚ a kan man bilda deras summa a + b och deras produkt ab. Det ¨ar mycket viktigt att om X betecknar n˚ agot av talomr˚ adena ovan s˚ a (1)

a, b ∈ X ⇒ a + b, ab ∈ X,

dvs summa och produkt av tv˚ a naturliga tal ¨ar ett naturligt tal och samma g¨aller f¨or alla andra talm¨angder Z, Q, R, C. Hur ¨ar det med de tv˚ a andra r¨aknes¨atten – subtraktion och division? Om man kr¨aver att (2)

a, b ∈ X ⇒ a − b ∈ X,

s˚ a ¨ar det inte m¨ojligt att v¨alja X = N, ty trots att t ex 2, 3 ∈ N s˚ a 2 − 3 = −1 ∈ / N. D¨aremot kan X vara lika med Z, Q, R, C. Hur a¨r det med

2

(3)

a, b ∈ X ⇒

a ∈ X? b

F¨orst och fr¨amst m˚ aste man till¨agga att b 6= 0 (varf¨or?). Det ¨ar klart att N och Z saknar egenskapen (3) ty t ex 2, 3 ∈ Z, men 32 ∈ / Z. Alla andra talomr˚ aden Q, R och C uppfyller villkoret (3) (med b 6= 0). Man s¨ager att Q, R och C ¨ar slutna med avseende p˚ a de fyra r¨aknes¨atten. Z a¨r inte sluten med avseende p˚ a division, och N a¨r inte sluten med avseende p˚ a subtraktion och division. Det visar sig att just slutenheten med avseende p˚ a olika operationer (h¨ar de fyra r¨aknes¨atten) har en stor betydelse n¨ar det g¨aller skillnader mellan olika talomr˚ aden. Av den anledningen har man inf¨ort f¨oljande begrepp: (1.1) Definition. Man s¨ager att en talm¨angd K ¨ar en talkropp om 1 ∈ K och K ¨ar sluten m a p de fyra r¨aknes¨atten dvs om a, b ∈ K s˚ a a ± b, ab ∈ K, och i fall b 6= 0, a ∈ K. b Som exempel kan vi n¨amna kroppen av de rationella talen Q, de reella talen R och de komplexa talen C. Finns det andra talkroppar? Svaret a¨r att det finns m˚ anga fler t o m o¨andligt m˚ anga. Innan vi konstruerar andra talkroppar l˚ at oss t¨anka en stund p˚ a N och Z som inte a¨r kroppar men a¨nd˚ a m˚ aste anses som mycket viktiga talm¨angder. Heltalen ¨ar den enklaste talm¨angd som kallas f¨or ring: (1.2) Definition. Man s¨ager att en talm¨angd R ¨ar en talring om 1 ∈ R 1 och R ¨ar sluten m a p addition, subtraktion och multiplikation dvs om a, b ∈ R s˚ a a ± b, ab ∈ R. Heltalen Z a¨r en talring. Det a¨r ocks˚ a klart att varje talkropp a¨r en talring. N a¨r inte en ring (ibland s¨ager man att den ¨ar en halvring). Hur kan man konstruera talringar och talkroppar? Vi visar en enkel sats som ¨ar ett specialfall av en mycket allm¨an konstruktion av talringar och talkroppar 2 . (1.3) Sats. L˚ at R vara en talring och l˚ at α vara ett tal s˚ adant att α ∈ / R men α2 ∈ R. D˚ a bildar alla tal a + bα, d¨ar a, b ∈ R, en talring som betecknas med R[α]. Om R ¨ar en kropp s˚ a ¨ar ocks˚ a R[α] en kropp. Innan vi bevisar satsen l˚ at oss titta p˚ a n˚ agra intressanta exempel: √ √ √ (1.4) Exempel. (a) L˚ at R = Z och l˚ at α = 2. D˚ a har vi 2 ∈ / Z och ( 2)2 = 2 ∈ Z. Satsen s¨ager att talen: √ a + b 2, d¨ar a, b ∈ Z, bildar en ring. Om vi i st¨allet f¨or Z v¨aljer R = Q f˚ ar vi att talen √ a + b 2, d¨ar a, b ∈ Q, 1 2

Ibland avst˚ ar man fr˚ an att kr¨ ava att 1 ∈ R. Den allm¨ ana konstruktionen behandlas i forts¨ attningskurser i algebra.

3

√

√ bildar en kropp. Detta betyder bl a att √ kvoten av tv˚ a tal a + b 2 och c + d 2 6= 0 med c, d ∈ Q m˚ aste kunna skrivas som e + f 2, d¨ar e, f ∈ Q. L˚ at oss pr¨ova: √ √ √ √ 1+ 2 (1 + 2)(3 − 2 2) √ = √ √ = −1 + 2. 3+2 2 (3 + 2 2)(3 − 2 2) Det h¨ar kan inte vara n˚ agon ¨overraskning – det finns m˚ anga liknande exempel i grundskolans l¨arob¨ocker ! √ √ (b) √ I st¨allet f¨or α = 2 kan man v¨alja α = a, d¨ar a √ adant ¨ar ett godtyckligt heltal √ s˚ ¨ de att a ∈ / Q. P˚ a s˚ a s¨att f˚ ar vi o¨andligt m˚ anga ringar Z[ a ] och kroppar Q[ a ]. Ar √ verkligen olika? Det ¨ar ganska l¨att att visa att f¨or olika primtal p ¨ar kropparna Q[ p ] olika (se ¨ovning 5). Allts˚ a existerar o¨andligt m˚ anga olika kroppar d¨arf¨or att primtalen bildar en o¨andlig m¨angd. (c) En mycket intressant ring f˚ ar man d˚ a man v¨aljer R = Z och α = i. Vi har i2 = −1 ∈ Z. Enligt satsen bildar talen a + bi, d¨ar a, b ∈ Z, en ring. Tal av denna typ kallas Gaussiska heltal 3 . De spelar en viktig roll i algebraisk talteori. L˚ at oss nu bevisa satsen: Bevis av (1.3): L˚ at x = a + bα, y = c + dα ∈ R[α]. Vi vill visa att R[α] ¨ar en ring dvs att x ± y, xy ∈ R[α]. Vi har x ± y = (a + bα) ± (c + dα) = (a ± c) + (b ± d)α ∈ R[α] samt xy = (a + bα)(c + dα) = (ac + bdα2 ) + (ad + bc)α ∈ R[α]. Om R ¨ar en kropp, vill vi visa att x, y ∈ R[α] och y 6= 0 ger x/y ∈ R[α]. Detta ¨ar lite sv˚ arare. H¨ar har vi: x a + bα (a + bα)(c − dα) ac − bdα2 bc − ad = = = 2 + α = e + f α, y c + dα (c + dα)(c − dα) c − d2 α2 c2 − d2 α2 d¨ar ac − bdα2 bc − ad ∈ R och f = 2 ∈R 2 2 2 c −d α c − d2 α2 ty R ¨ar en kropp. Allts˚ a A/B ∈ R[α]. Beviset kan te sig avslutat men det finns en punkt som kr¨aver eftertanke. Vi vet att c + dα 6= 0 och vi f¨orl¨anger br˚ aket x/y med c − dα. F˚ ar vi g¨ora det? Med andra ord, a¨r e=

3 C.F. Gauss (30/4 1777 - 23/2 1855) var en tysk matematiker; en av de mest betydelsefulla i matematikens historia.

4

c − dα 6= 0? Antag motsatsen dvs att c − dα = 0. Om d 6= 0, f˚ ar vi α = c/d ∈ R vilket strider mot antagandet om α. Om d = 0, s˚ a ger c − dα = 0 att c = 0, vilket betyder att c + dα = 0 – en mots¨agelse igen! Allts˚ a ¨ar c − dα 6= 0 och v˚ art bevis ¨ar fullst¨andigt. 2 L˚ at oss ˚ aterkomma till allm¨anna funderingar ¨over talen och deras egenskaper. V˚ ara kunskaper om olika talomr˚ aden bygger p˚ a v˚ ar f¨orm˚ aga att hantera talen. I praktiken betyder det att vi f¨oljer olika regler n¨ar vi utf¨or olika r¨akneoperationer. Vad ¨ar det f¨or regler? Du kan s¨akert n¨amna eller skriva ut s˚ adana regler som t ex associativiteten f¨or addition: a + (b + c) = (a + b) + c, eller kommutativiteten f¨or multiplikation: ab = ba. Hur ¨ alla lika viktiga? N¨ar kan man vara s¨aker p˚ m˚ anga s˚ adana regler finns det? Ar a att man har alla n¨odv¨andiga regler? S˚ adana fr˚ agor har sysselsatt m˚ anga m¨anniskor och svaren p˚ a dem bygger p˚ a matematisk forskning under en ganska l˚ ang tidsperiod. H¨ar f¨oljer en f¨orteckning ¨over de viktigaste r¨aknelagarna i en talm¨angd R i vilken de kan vara uppfyllda eller ej – allt beror p˚ a hur man v¨aljer R : Addition: (a) slutenhet: (b) associativitet: (c) kommutativitet: (d) neutralt element: (e) motsatt element:

∀a,b∈R ∀a,b,c∈R ∀a,b∈R ∃0∈R ∀a∈R ∀a∈R ∃a0 ∈R

a, b ∈ R ⇒ a + b ∈ R, (a + b) + c = a + (b + c), a + b = b + a, 0 + a = a, a + a0 = 0 (a0 betecknas med −a).

Multiplikation: (f) slutenhet: (g) associativitet: (h) kommutativitet: (i) neutralt element: (j) inverst element:

∀a,b∈R ∀a,b,c∈R ∀a,b∈R ∃1∈R ∀a∈R ∀a∈R\{0} ∃a0 ∈R

a, b ∈ R ⇒ ab ∈ R, (ab)c = a(bc), ab = ba, 1a = a, aa0 = 1 (a0 betecknas med a−1 ).

Addition och multiplikation: (k) distributivitet:

∀a,b,c∈R

a(b + c) = ab + ac.

Alla dessa regler g¨aller d˚ a R r en talkropp t ex Q, R eller C. Om R = Z s˚ a g¨aller alla r¨aknelagar med undantag av (j) – t ex 2 ∈ Z, men 1/2 ∈ / Z. Egenskapen (j) ger just skillnaden mellan en talkropp och en talring. I en talkropp g¨aller alla r¨aknelagarna (a) – (k), medan i en talring g¨aller alla utom (j). R¨aknelagarna (a) - (k) ¨ar grunden f¨or all manipulation med talen och man m˚ aste vara medveten om deras giltighet i det talomr˚ ade man vill arbeta med. De ¨ar ocks˚ a meningsfulla i andra sammanhang t ex n¨ar a, b, c ¨ar funktioner eller matriser (som dyker upp i forts¨attningen av kursen). Eftersom samma formella r¨aknelagar g¨aller f¨or m˚ anga olika matematiska objekt introducerar man helt allm¨ant begreppen ring och kropp p˚ a f¨oljande s¨att: (1.5) Definition. En m¨angd R vars element kan adderas med hj¨alp av “ + ” och multipliceras med hj¨alp av “ · ” 4 kallas en ring om operationerna “ + ” och “ · ” uppfyller villkoren (a) - (i) och (k). Man s¨ager att R ¨ar en kropp om dessutom 1 6= 0 och villkoret (j) g¨aller. 4

I st¨ allet f¨ or a · b, d¨ ar a, b ∈ R, skriver man oftast ab.

5

Vi skall inte uppeh˚ alla oss vid exempel p˚ a ringar och kroppar som inte ¨ar talringar eller talkroppar d¨arf¨or att v˚ art huvudintresse just nu g¨aller talen. Men vi kommer i kontakt med m˚ anga viktiga ringar och kroppar i efterf¨oljande delen av dessa anteckningar. Anledningen till att vi redan nu introducerar dessa begrepp ¨ar att i n¨asta avsnitt beh¨over vi dem vid n˚ agra tillf¨allen. L˚ at oss slutligen j¨amf¨ora den sista definitionen med definitionerna (1.1) och (1.2) av talkropp och talring. I de sistn¨amnda f¨orekommer subtraktion och division som inte finns i (1.5). F¨orklaringen ¨ar att subtraktion och division kan definieras i efterhand med hj¨alp av addition och multiplikation. (1.6) Definition. (a) Om R ¨ar en ring och a, b ∈ R s˚ a s¨ager man att a − b = a + (−b) ¨ar skillnaden mellan a och b. (b) Om R ¨ar en kropp och a, b ∈ R, b 6= 0, s˚ a s¨ager man att a : b = ab−1 a med ab .) ¨ar kvoten av a genom b. (Kvoten betecknas ocks˚ ¨ VNINGAR O 1. Vilka av f¨oljande talm¨angder ¨ar ringar? Vilka av dem ¨ar kroppar? a) {0, 1}, √ b) a + b 3, d¨ar a, b ∈ Z, √ c) a + b 5, d¨ar a, b ∈ Q, √ d) a + b 2, d¨ar a, b ∈ Z, √ √ e) a + b 3 2 + c 3 4, d¨ar a, b, c ∈ Z, √ √ f) a + b 2 + c 3, d¨ar a, b, c ∈ Z. 2. Visa att i varje ring R g¨aller f¨oljande likheter: a) a0 = 0 d˚ a a ∈ R, b) (−1)(−1) = 1, c) −(−a) = a d˚ a a ∈ R, d) (−a)b = −ab d˚ a a, b ∈ R, e) (−a)(−b) = ab d˚ a a, b ∈ R.

6

3. a) Visa att alla tal av typ √ √ √ a + b 2 + c 3 + d 6, d¨ar a, b, c, d ∈ Q, bildar en kropp. (Ledning. Visa att

√

√ 3∈ / Q[ 2] och utnyttja sats (1.3)).

¨ det m¨ojligt att skriva talet b) Ar √

1 √ √ 2+ 3+ 6

1+ √ √ √ p˚ a formen a + b 2 + c 3 + d 6, d¨ar a, b, c, d ¨ar rationella tal? G¨or det om Du ser en enkel l¨osning! c) Hur kan man generalisera a)? 4. Motivera att binomialsatsen g¨aller i varje ring. √ √ 5. a) Visa att Q[ 2] 6= Q[ 3]. b) F¨ors¨ok generalisera a) och ge exempel p˚ a o¨andligt m˚ anga olika kroppar.

2. FR˚ AN DE REELLA TALEN TILL DE NATURLIGA V˚ ara exempel i avsnitt 1 visar att det finns m˚ anga olika talringar och talkroppar. P˚ a vilket s¨att intar Z, Q, R och C en s¨arst¨allning bland dem? Ett kort svar som kr¨aver m˚ anga f¨orklaringar ¨ar f¨oljande: Z ¨ar den minsta talringen, Q ¨ar den minsta talkroppen, R ater ordningsrelationen ≤ och C ¨ar den st¨orsta talkrop¨ar den st¨orsta talkroppen som till˚ pen ¨overhuvudtaget. Man inser s¨akert att alla dessa svar f¨oruts¨atter att man vet vad ett tal ¨ar. Svaret p˚ a den fr˚ agan ¨ar inte enkelt och det tog en mycket l˚ ang tid i m¨ansklighetens utveckling innan man kunde komma till ett tillfredsst¨allande svar. Trots det har man sedan en l˚ ang tid tillbaka kunnat r¨akna med alla typer av tal och utveckla vetenskapliga teorier som bygger p˚ a ber¨akningar och som framg˚ angsrikt beskriver v¨arlden runt omkring oss. De naturliga talen ¨ar med all s¨akerhet lika gamla som den m¨anskliga civilisationen, rationella tal (˚ atminstone positiva) ¨ar n¨astan lika gamla, negativa tal (hela, rationella och reella) anv¨andes f¨or ungef¨ar 1000 ˚ ar sedan, och komplexa tal introducerades under 1500-talet. D¨arf¨or finns det inte n˚ agon st¨orre anledning till oro om v˚ ara svar inte visar sig bli fullst¨andiga. Vi skall f¨ors¨oka f¨orklara olika aspekter av talbegreppet utan att f¨oruts¨atta n˚ agra st¨orre f¨orkunskaper. Mera tillfredsst¨allande f¨orklaringar v¨antar den som l¨aser forts¨attningskurser i matematik. Det finns tv˚ a m¨ojligheter att introducera talbegreppet. Den ena ¨ar att b¨orja med de naturliga talen och f¨ors¨oka steg f¨or steg konstruera andra typer av tal. Den metoden ter sig naturlig och tilltalande men den ¨ar mycket arbetsam och, tyv¨arr, ganska l˚ ang om man vill kontrollera alla detaljer. Vi skall ber¨atta om den i n¨asta avsnitt. Den andra m¨ojligheten utg˚ ar fr˚ an att man kan hantera talen om man vet vilka regler som styr deras anv¨andning. Det r¨acker om man kommer o¨verens om dessa regler och f¨oljer

7

dem f¨or att kunna anv¨anda talen, men man beh¨over inte bry sig om hur de ¨ar konstruerade. En s˚ adan inst¨allning till talen ¨ar mycket praktisk, men en matematiker vill g¨arna veta hur talen konstrueras (och alla andra som anv¨ander talen m˚ aste tro p˚ a m¨ojligheten av dessa konstruktioner). Man kan j¨amf¨ora den inst¨allningen med inst¨allningen till tekniken - om man har l¨ast en instruktionsbok till en TV-apparat s˚ a vet man hur man anv¨ander den utan att beh¨ova veta hur den ¨ar konstruerad (eller att den finns). En beskrivning av en programvara ¨ar troligen ¨annu b¨attre som j¨amf¨orelse - man f˚ ar en f¨orteckning ¨over kommandon och deras effekt utan att beh¨ova veta hur programvaran ¨ar konstruerad eller om den finns tillg¨anglig. Vi skall f¨ors¨oka beskriva de egenskaper som karakteriserar de reella talen. Valet av dessa egenskaper ¨ar ett resultat av matematisk forskning huvudsakligen under 1800-talet. De reella talen spelar en mycket central roll. ˚ A ena sidan har alla m¨anniskor en intuitiv uppfattning om dessa tal som kommer fr˚ an erfarenheten av att r¨akna och m¨ata i vardagslivet. ˚ A andra sidan bygger alla vetenskaper, och bland dem matematiken sj¨alv, p˚ a de reella talens egenskaper. Som vi redan vet bildar de reella talen en kropp. Men det finns m˚ anga kroppar s˚ a att man m˚ aste v¨alja egenskaper som utm¨arker just den. En viktig egenskap ¨ar att man kan j¨amf¨ora de reella talen med hj¨alp av ≤ – de reella talen bildar en ordnad kropp. L˚ at oss definiera helt allm¨ant vad detta betyder: (2.1) Definition. Man s¨ager att en kropp K ¨ar ordnad om den inneh˚ aller en delm¨angd P s˚ adan att: (a) om x ∈ K s˚ a g¨aller exakt ett av de tre alternativen: x ∈ P eller x = 0 eller −x ∈ P, (b) om x, y ∈ P s˚ a g¨aller att x + y ∈ P och xy ∈ P. Man s¨ager att P ¨ar m¨angden av de positiva elementen i K. Det ¨ar klart att i K = R kan vi v¨alja P = alla positiva reella tal. Detta betyder att R ¨ar en ordnad kropp. Q ¨ar ocks˚ a ordnad d¨arf¨or att vi kan v¨alja P = alla positiva rationella tal. Vi skall visa senare att C inte a¨r en ordnad kropp (det ¨ar enkelt att visa om man vet att i2 = −1). Vi skall uppeh˚ alla oss en stund vid definitionen (2.1). Man kan definiera: (2.2)

x > y (eller y < x) om x − y ∈ P

Man brukar ocks˚ a skriva x ≥ y (eller y ≤ x) om x > y eller x = y. x > 0 betyder att x − 0 ∈ P dvs x ∈ P ; x < 0 betyder att 0 − x ∈ P dvs −x ∈ P. Om K ¨ar en ordnad kropp s˚ a kan man definiera de naturliga och de rationella talen i K. F¨orst observerar vi att 1 > 0(1 ∈ K ¨ar neutralt f¨or multiplikation – se definition (1.5)(i)). Vi vet att 1 6= 0 s˚ a att 1 ∈ P eller −1 ∈ P . Antag att −1 ∈ P . D˚ a ¨ar 1 = (−1)(−1) ∈ P 5 enligt (b) i (2.1). Detta ger att b˚ ade 1 och −1 tillh¨or P vilket strider mot (a) i (2.1). D¨arf¨or m˚ aste 1 ∈ P . De naturliga talen i K f˚ ar vi som 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1, . . . vilka definitionsm¨assigt betecknas med 1,2,3,4,.... Observera att 1 < 2 < 3 < 4... d¨arf¨or att 2 − 1 = 1 > 0, 3 − 2 = 1 > 0, 4 − 3 = 1 > 0 osv. Heltalen i K definieras som: alla 5

Ang˚ aende likheten (−1)(−1) = 1 se o ¨vning 2 i avsnitt 1.

8

naturliga tal x, deras motsatta −x samt 0 (se (1.5)(e)) dvs 0, ±1, ±2, ±3, ±4, .... De rationella talen definieras som alla kvoter ab−1 , d¨ar a, b ¨ar hela och b 6= 0 (se (1.6)). B˚ ade Q och R ¨ar ordnade kroppar s˚ a att en definition av de reella talen m˚ aste bygga p˚ a en annan egenskap (ut¨over det att R ¨ar ordnad). Innan vi formulerar en l¨amplig egenskap, l˚ at oss ˚ aterkomma f¨or en stund till definitionen av en ordnad kropp. I en s˚ adan kropp kan man definiera absolutbelopp: ½ (2.3)

|x| =

x om x ≥ 0, −x om x < 0.

Man kan ocks˚ a s¨aga vad det betyder att en f¨oljd x1 , x2 , x3 , ... g˚ ar mot 0. Man s¨ager s˚ a om det f¨or varje naturligt tal n finns ett N s˚ adant att |xi | < n1 d˚ a i > N . Nu kan vi formulera en grundl¨aggande egenskap som skiljer Q f r˚ an R. L˚ at x1 , x2 , ..., xi , ... vara en v¨axande och begr¨ansad f¨oljd av rationella tal dvs x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xi ≤ ... och det finns ett tal B s˚ a att xi ≤ B d˚ a i = 1, 2, .... Vad kan man s¨aga om gr¨ansv¨ardet limi→∞ xi ? ¨ gr¨ansv¨ardet ett rationellt tal? L˚ Fr˚ an analyskursen vet vi att gr¨ansv¨ardet existerar. Ar at oss betrakta ett exempel. Definiera xn = 1, a1 a2 ...an , n ≥ 1, d¨ar ai ¨ar i :te siffran i decimalutvecklingen av

√

2 dvs

x1 = 1, 4, x2 = 1, 41, x3 = 1, 414 , x4 = 1, 4142 , ....... ¨ a ¨ar Det ¨ar klart att alla xn ¨ar rationella √ och att f¨oljden ¨ar v¨axande och begr¨ansad. And˚ det ocks˚ a klart att limn→∞ xn = √ 2 dvs f¨oljden konvergerar mot ett icke-rationellt tal √ 2 (se n¨asta avsnitt f¨or bevis att 2 inte ¨ar rationellt). Men gr¨ansv¨ardet ¨ar ett reellt tal och det ¨ar sant helt allm¨ant att en v¨axande och begr¨ansad f¨oljd av reella tal konvergerar mot ett reellt tal. Man s¨ager att de reella talen bildar en fullst¨andig kropp 6 . Allm¨ant har man f¨oljande begrepp: (2.4) Definition. En ordnad kropp kallas fullst¨andig om varje v¨axande och begr¨ansad f¨oljd av kroppens element konvergerar mot ett element i kroppen. Mera exakt, om K ¨ar en ordnad kropp s˚ a ¨ar den fullst¨andig om f¨or varje f¨oljd x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn ≤ ... s˚ adan att xn ∈ K och det finns B ∈ K s˚ a att xn ≤ B d˚ a n = 1, 2, ... man kan hitta x ∈ K s˚ a att limn→∞ xn = x. Nu kan vi definiera de reella talen: (2.5) Definition. Man s¨ager att K ¨ar m¨angden av de reella talen om K ¨ar en ordnad och fullst¨andig kropp. Dessa f˚ a ord d¨oljer ett ganska sammansatt matematiskt inneh˚ all: K ¨ar en kropp dvs 6

Detta bevisas i analyskurser med hj¨ alp av sk supremumaxiomet som a ¨r ekvivalent med den egenskapen

9

uppfyller villkoren (a) - (k) i (1.5), K ¨ar ordnad dvs upfyller (a) och (b) i (2.1), och slutligen ¨ar K fullst¨andig dvs uppfyller (2.4). Nu kan man st¨alla tv˚ a fr˚ agor: Finns det en ordnad och fullst¨andig kropp? Hur m˚ anga ordnade och fullst¨andiga kroppar finns det? Man beh¨over inte veta svaret p˚ a dessa tv˚ a fr˚ agor f¨or att kunna r¨akna med de reella talen d¨arf¨or att (2.5) ¨ar en exakt f¨orteckning ¨over alla grundl¨aggande egenskaper hos dessa tal och det r¨acker att f¨olja dem och deras logiska konsekvenser. Men svaren p˚ a dessa tv˚ a fr˚ agor ¨ar mycket viktiga inte bara f¨or en matematiker (en matematiker vill dessutom se sj¨alv hur man kommer fram till svaren). De ¨ar f¨oljande: Det finns ordnade och fullst¨andiga kroppar. Om K1 och K2 ¨ar tv˚ a s˚ adana s˚ a finns det en bijektiv funktion f : K1 → K2 (dvs enentydig och p˚ a hela K2 ) som uppfyller f (a + b) = f (a) + f (b), f (ab) = f (a)f (b) och om a > 0 s˚ a ¨ar f (a) > 0 7 . Intuitivt s¨ager existensen av f att K1 och K2 skiljer sig bara n¨ar det g¨aller beteckningar dvs om a ∈ K1 s˚ a kan f (a) uppfattas som ett annat namn p˚ a a. Addition och multiplikation i K1 o¨vers¨atter man med hj¨alp av f till addition och multiplikation i K2 . Likas˚ a positiva element ur K1 ¨overg˚ ar med hj¨alp av f i positiva element i K2 . I den meningen a¨r kroppen av de reella talen entydig. Vi vet redan att om vi har de reella talen s˚ a kan vi definiera de naturliga, hela och rationella. P˚ a s˚ a s¨att har vi en m¨ojlighet att tillfredsst¨alla v˚ art behov av n˚ agorlunda ordentlig presentation av talbegreppet. Men ¨aven om den f¨or m˚ anga ¨andam˚ al ¨ar helt tillfredsst¨allande, g˚ ar vi ett steg l¨angre i n¨asta avsnitt och f¨ors¨oker beskriva konstruktioner av olika talm¨angder. ¨ VNINGAR O 1. a) Best¨am decimalutvecklingen av talen

3 11

och 17 .

b) Motivera att decimalutvecklingen av ett rationellt tal ¨ar periodiskt. (Ledning. Analysera divisionsproceduren i samband med decimalutvecklingen av ett br˚ ak m .) n Anm¨ arkning. Man visar ganska enkelt att om ett reellt tal har periodisk decimalutveckling s˚ a ¨ar det rationellt. ¨ de at a och b vara irrationella tal. Vad kan man s¨aga om talen a−1 och ab ? Ar 2. L˚ ocks˚ a irrationella? 3. F¨orklara varf¨or 0,999... = 1. I alla uppgifter nedan ¨ar K en ordnad kropp och a, b, c ∈ K. 4. Visa att K har f¨oljande egenskaper: a) a < b ⇒ a + c < b + c, b) a < b och c > 0 ⇒ ac < bc, 7

En s˚ adan funktion f kallas isomorfism (och man s¨ ager att K1 och K2 a ¨r isomorfa ordnade kroppar).

10

c) hur f¨or¨andras b) d˚ a man ers¨atter a < b med a ≤ b? 5. Visa att relationen a ≤ b ¨ar en partiell ordning i K dvs a) a ≤ a (reflexivitet), b) a ≤ b och b ≤ a ⇒ a = b (antisymmetri), c) a ≤ b och b ≤ c ⇒ a ≤ c (transitivitet). 6. Visa att a) |ab| = |a||b|, b) |a + b| ≤ |a| + |b| (triangelolikheten). ¨ f¨oljande implikationer sanna eller falska? 7. Ar a) a < b ⇒ a2 < b2 , b) a < b ⇒ a3 < b3 ? 8. a) De naturliga talen bildar en v¨axande f¨oljd 1 < 2 < 3 ... . Visa att den inte ¨ar begr¨ansad. (Ledning. Utnyttja fullst¨andigheten av de reella talen s˚ a som den formuleras p˚ a sid. 574 i analysboken). b) Visa “Arkimedes princip”: Om a, b a¨r tv˚ a positiva reella tal s˚ a finns det ett naturligt tal n s˚ a att na > b. c) L˚ at a, b vara tv˚ a reella tal och l˚ at a < b. Visa att det finns ett rationellt tal s˚ adant att a
1. V¨alj d¨arefter minsta m s˚ a att m > nb).

3. FR˚ AN DE NATURLIGA TALEN TILL DE REELLA I detta avsnitt visar vi hur olika talomr˚ aden kan konstrueras. Behovet av s˚ adana konstruktioner ins˚ ag man under 1800-talet d˚ a utvecklingen av matematiken gick s˚ a l˚ angt att intuitiva f¨orest¨allningar om talen inte l¨angre kunde accepteras. Man f¨ors¨okte konstruera olika talomr˚ aden genom att utg˚ a fr˚ an de naturliga talen och succesivt g˚ a till de hela, rationella, reella och komplexa. Den v¨agen ¨ar ganska l˚ ang, arbetsam (man m˚ aste kontrollera m˚ anga detaljer), och det v¨arsta, r¨att s˚ a tr˚ akig om man bortser fr˚ an mera allm¨anna principer som styr dessa konstruktionr och har betydelse i andra sammanhang. D¨arf¨or beh¨ovs m¨ojligen ett varningens ord att inte f¨ordjupa sig i dessa detaljer och inte ta inneh˚ allet i detta avsnitt p˚ a fullt allvar. De ¨aldsta talen ¨ar de naturliga (och de ¨ar mest naturliga d¨arf¨or att de ¨ar de ¨aldsta). Varifr˚ an kommer de? En stor tysk matematiker L.Kronecker sade n˚ agon g˚ ang att “Gud skapade de naturliga talen, allt annat a¨r m¨anniskans skapelse”. Det vore f¨or enkelt med

11

detta svar men det ¨ar mycket djupsinnigt. Den enda m¨ojligheten att definiera de naturliga talen ¨ar den metod som vi anv¨ande i f¨orra avsnittet f¨or att definiera de reella: Man kan beskriva deras grundl¨aggande egenskaper. Varifr˚ an kommer de egenskaper som betraktas som grundl¨aggande? Svaret ¨ar att de kommer fr˚ an m¨ansklighetens erfarenhet av experimentel hantering av talen och det faktum att de regler som man har f¨oljt under en mycket l˚ ang tid ger en bild av verkligheten som ¨overensst¨ammer med v˚ ara observationer. En analys av s˚ adana regler kunde g¨oras enbart av matematiker. Det var R. Dedekind 8 9 och G. Peano som f¨oreslog ett urval av s˚ adana grundl¨aggande regler under senare delen av 1800-talet. Den mest k¨anda definitionen kommer fr˚ an G. Peano och l˚ ater s˚ a h¨ar: (3.1) Definition. En m¨angd N med en funktion som mot varje element n ∈ N ordnar ett element n∗ ∈ N kallas m¨angden av de naturliga talen om f¨oljande villkor ¨ar uppfyllda: (a) Det finns ett utvalt element 1 ∈ N ; (b) Om n ∈ N s˚ a n∗ 6= 1; (c) Om m, n ∈ N och m∗ = n∗ s˚ a m = n; (d) Om X ⊆ N och (d1 ) 1 ∈ X, (d2 ) ∀n n ∈ X ⇒ n∗ ∈ X, s˚ a ¨ar X = N. Intuitivt betyder n∗ talet n + 1 (n∗ kallas efterf¨oljaren till n). Sista villkoret (d) kallas ofta “induktionsaxiomet”(det behandlas n¨armare i samband med matematisk induktion). L¨agg m¨arke till att man inte n¨amner addition och multiplikation i definitionen. De definieras i efterhand. Peanos definition ¨overenst¨ammer v¨al med v˚ ar intuition, den ¨ar l¨att att f¨orst˚ a, den ¨ar kort och elegant. Den uppfyller m˚ anga av de kriterier som man vill uppfylla n¨ar man definierar ett matematiskt objekt. Vidare kan man h¨arleda ur den definitionen alla k¨anda egenskaper hos de naturliga talen. Men hur ¨ar det egentligen med existensen och entydigheten av den m¨angden? N¨ar det g¨aller entydigheten ¨ar svaret enkelt: Man kan visa att om N1 och N2 ¨ar tv˚ a m¨angder som uppfyller villkoren i definitionen (3.1) s˚ a ¨ar de isomorfa vilket betyder att det finns en bijektiv funktion f : N1 → N2 s˚ adan att f (1) = 1 samt f (n∗ ) = f (n)∗ (j¨amf¨or ett liknande p˚ ast˚ aende om de reella talen i samband med definitionen (2.5)). Existensen av de naturliga talen vilar p˚ a v˚ ar ¨overtygelse om att ˚ atminstone en m¨angd av de naturliga talen existerar – n¨amligen den som under m¨ansklighetens historia s˚ a troget och framg˚ angsrikt har tj¨anat till att r¨akna, resonera och dra korrekta slutsatser om v¨arlden runt omkring oss. Med andra ord ¨ar existensen av de naturliga talen ett axiom. H¨ar har vi n¨armat oss matematikens grunder som har mycket gemensamt med vetenskapernas filosofi. Alla andra talomr˚ aden kan nu succesivt konstrueras: De hela talen fr˚ an de naturliga, de rationella fr˚ an de hela, de reella fr˚ an de rationella och de komplexa fr˚ an de reella 10 . 8

Richard Dedekind (1831-1916) en tysk matematiker. Giuseppe Peano (1858-1932) en italiensk matematiker. 10 En anm¨ arkning ¨ ar p˚ a sin plats. N¨ ar vi sade i f¨ orra avsnittet att det g˚ ar att bevisa existensen av de reella talen s˚ a menade vi just att det var m¨ ojligt att konstruera dessa tal fr˚ an de naturliga. Vi visade ocks˚ a att om man har de reella talen s˚ a kan man konstruera de naturliga som 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, . . . osv. 9

12

Nu skall vi b¨orja v˚ ar vandring fr˚ an de naturliga talen till de reella (och de komplexa i n¨asta avsnitt). Vi utel¨amnar m˚ anga detaljer och begr¨ansar oss till allm¨anna id´eer. Det finns tv˚ a huvudorsaker till att talbegreppet utvidgades. Det f¨orsta var behov i samband med m¨atningar. Man uppt¨ackte mycket tidigt att det beh¨ovdes br˚ aktal f¨or att uttrycka dimensioner (l¨angder och areor) av jordlotter. Men icke-rationella tal d¨ok upp ar se det i samband med konstruktionen av de reella ¨aven i samband med m¨atningar (vi f˚ talen). Den andra orsaken har en mera abstrakt karakt¨ar. Nya typer av tal beh¨ovdes f¨or att kunna l¨osa ekvationer. Ett typiskt exempel ¨ar de komplexa talen. P˚ a 1500-talet k¨ande man formeln: x1,2

p =− ± 2

r

p2 −q 4

f¨or l¨osningar till andragradsekvationen x2 +px+q = 0. L¨oser man ekvationen x2 −3x+2 = 0 s˚ a f˚ ar man√enligt den formeln√ x1 = 1 och x2 = 2. Tar man i st¨allet x2 − 2x + 2 = 0 s˚ a blir x1 = 1 + −1 och x2 = 1 − −1 . En del m¨anniskor √ skulle kanske s¨aga att ekvationen x2 − 2x + 2 = 0 i s˚ a fall saknar l¨ o sningar d¨ a rf¨ o r att −1 ¨ar helt mening. Andra √ √ utan 2 skulle √ acceptera symbolen −1 , tillskriva den egenskapen att ( −1) = −1 och s¨atta in 1 + −1 i ekvationen x2 − 2x + 2 = 0. D˚ a ¨ar √ √ √ √ (1 + −1)2 − 2(1 + −1) + 2 = 1 + 2 −1 + (−1) − 2 − 2 −1 + 2 = 0 √ dvs 1 + −1 ¨ar en l¨osning till ekvationen. S˚ a gjorde n˚ agra italienska matematiker under √ 1500-talet. Om man anser att 1 + −1 b¨or uppfattas som en l¨osning till ekvationen x2 − 2x + 2 = 0 s˚ a√b¨or man ocks˚ a ha en bra f¨orklaring till varf¨or. Det g¨aller att motivera anv¨andningen av −1 . Det tog 300 ˚ ar innan man kunde ge en tillfredsst¨allande f¨orklaring och konstruera rent formellt de komplexa talen (vi g¨or det i n¨asta avsnitt). Men exakt samma situation som med de komplexa talen har man med de hela, rationella och reella. Om man fr˚ agar ett barn om x s˚ adant att 2 + x = 3 s˚ a f˚ ar man svaret x = 1. Tar man ist¨allet 3 + x = 2 riskerar man att bli utskrattad. Ekvationen 2 + x = 3 kan l¨osas i m¨angden av de naturliga talen, men 3 + x = 2 kr¨aver ett nytt talomr˚ ade - de hela talen (i synnerhet de negativa). P˚ a liknande s¨att g˚ ar det att dela 4 i tv˚ a lika delar (dvs l¨osa 2x = 4) i heltalen, men det g˚ ar inte att dela 3 i tv˚ a lika delar i den m¨angden (dvs l¨osa 2x = 3) - det beh¨ovs rationella tal f¨or att g¨ora det. Slutligen kan man hitta ett rationellt tal som multiplicerat med sig sj¨alvt ger 4 (dvs l¨osa x2 = 4), men det g˚ ar inte att hitta ett rationellt tal som multiplicerat med sig sj¨alvt ger 2 (dvs l¨osa x2 = 2) – f¨or att g¨ora det beh¨ovs ett nytt talomr˚ ade. Det naturliga ¨onskem˚ alet att polynomekvationer alltid skall g˚ a att l¨osa, tvingar oss s˚ aledes att succesivt utvidga talomr˚ aden. Om det finns en slutstation f¨or denna utvidgningsprocess f˚ ar vi veta i n¨asta avsnitt. S˚ a l˚ at oss b¨orja! Fr˚ an de naturliga talen till de hela. Ekvationen 3 + x = 5 definierar x = 2 som sin l¨osning. Samma l¨osning ger 4 + x = 6, 5 + x = 7 osv. Man kan uppfatta 2 som paret (5,3) eller (6,4) eller (7,5) osv. Paret (a, b) ger l¨osningen till b + x = a med a > b. Paren (a, b) och (c, d) ger samma x om a − b = c − d dvs a + d = b + c. Men det finns par (a, b) med a = b och a < b. Har de en liknande tolkning ? T ex kan (3,5) uppfattas som l¨osningen till 5 + x = 3. En s˚ adan l¨osning finns inte bland de naturliga talen men sj¨alva tolkningen ger en id´e hur man kan definiera heltalen. L˚ at oss betrakta alla par (a, b) d¨ar a, b ∈ N. Vi s¨ager att (a, b) och (c, d) tillh¨or samma

13

klass (eller definierar samma heltal) d˚ a och endast d˚ a a + d = b + c 11 . Alla par som tillh¨or samma klass som (a, b) betecknas med [(a, b)]. En s˚ adan klass kallar vi f¨or ett heltal och kommer ¨overens om f¨oljande beteckningar:  om a > b,  a−b 0 om a = b, [(a, b)] =  −(b − a) om a < b. T ex ¨ar [(1, 3)] = −2 och paren (1,3), (2,4), (3,5) osv tillh¨or samma klass. Vidare definierar man addition och multiplikation av heltal: [(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)], [(a, b)][(c, d)] = [(ac + bd, ad + bc)] 12 . Nu kan man kontrollera att heltalen bildar en ring men att g˚ a igenom alla detaljer ¨ar ganska omst¨andligt (se ¨ovning 3). Fr˚ an de hela talen till de rationella. Konstruktionen ¨ar n¨astan identisk med den f¨orra. Ekvationen 2x = 1 definierar 1/2 . Samma l¨osning ger 4x = 2, 6x = 3 osv. Vi kan uppfatta 1/2 som paren (1,2), (2,4), (3,6) osv. −1/2 f˚ ar man som t ex (−1, 2), (−2, 4) osv. Allm¨ant kan l¨osningen till bx = a uppfattas som paret (a, b). Observera att b 6= 0. Tv˚ a par (a, b) och (c, d) ger samma rationella tal om ab = dc . Men vi vill undvika br˚ ak (de skall ju definieras!). D¨arf¨or skriver vi villkoret p˚ a formen ad = bc. Nu kan vi starta v˚ ar konstruktion. Betrakta alla par (a, b) s˚ adana att a, b ∈ Z och b 6= 0. Man s¨ager att (a, b) och (c, d) , d 6= 0, tillh¨or samma klass om ad = bc. Alla par som tillh¨or klassen av (a, b) betecknas med [(a, b)]. En s˚ adan klass kallar vi f¨or ett rationellt tal och inf¨or beteckningen [(a, b)] =

a (eller a : b). b

t ex ¨ar [(1, 3)] = 13 och paren (1,3), (2,6), (3,9) tillh¨or samma klass (definierar samma rationella tal). Nu kan vi definiera addition och multiplikation av rationella tal: a c ad + bc + = , b d bd ac ac = , bd bd och kontrollera att man verkligen f˚ ar en kropp (se ¨ovning 4). Observera att: 11

Om man har l¨ ast avsnitt 3.4 i kursboken s˚ a inser man att (a, b)R(c, d) ⇐⇒ a + d = b + c

ar en ekvivalensrelation och “samma klassbetyder samma ekvivalensklass. ¨ T¨ ank p˚ a [(a, b)] och [(c, d)] som a − b och c − d. D˚ a¨ ar

12

(a − b)(c − d) = (ac + bd) − (ad + bc) = [(ac + bd, ad + bc)].

14

a c a+c + = , 1 1 1 ac ac = , 11 1 dvs talen a1 adderas och multipliceras precis som heltalen a. Man kommer ¨overens om att skriva a1 = a s˚ a att de vanliga heltalen kan betraktas som en delm¨angd till de rationella talen. Fr˚ an de rationella talen till de reella. Den biten av v¨agen ¨ar lite annorlunda och utg¨or ett mycket st¨orre steg ¨an de tv˚ a f¨oreg˚ aende. F¨orst och fr¨amst hittar man l¨att ekvationer med rationella koefficienter som saknar rationella l¨osningar, t ex x2 = 2 (se nedan). S˚ adana ekvationer kr¨aver en utvidgning av de rationella talen. Men det finns en annan mycket viktig anledning till att man inser behovet av nya tal. Man uppt¨ackte mycket tidigt att rationella tal inte ¨ar tillr¨ackliga f¨or att kunna m¨ata l¨angder av str¨ackor. F¨oljande klassiska exempel spelade en mycket viktig roll i matematikens utveckling. Betrakta en kvadrat och anta att man har fixerat en enhet e s˚ adan att kvadratens sida rymmer exakt n enheter och dess diagonal m enheter (m och n ¨ar naturliga tal). ¡

¡

¡

me ¡ ¡

ne

¡

¡

¡

ne

√ Nu vet vi att (ne)2 + (ne)2 = (me)2 s˚ a att 2n2 = m2 dvs 2 = m . Detta visar att n √ 13 om e finns s˚ a ¨ar 2 ett rationellt tal. Pythagoras √ och hans elever visste mycket v¨al att det inte var fallet (vi skall visa om en stund att 2 inte ¨ar rationellt). Sin uppt¨ackt om f¨orh˚ allandet mellan kvadratens sida och dess diagonal betraktade de som n˚ agot som stred mot naturens ordning och f¨ors¨okte hemligh˚ alla under en tid. Men konsekvensen blev att Euklides 14 kort d¨arefter kunde utveckla geometrin och l¨aran om reella tal som m˚ att p˚ a str¨ackor. √ Hur visar man att 2 inte ¨ar rationellt? Vi skall visa det genom√att utnyttja entydigheten av primfaktoruppdelningar av de naturliga talen. Antag att 2 ¨ar rationellt dvs att √ m , 2= n d¨ar m, n a¨r naturliga tal. D˚ a a¨r 2n2 = m2 . Eftersom m2 och n2 a¨r kvadrater av heltal inneh˚ aller de ett j¨amnt antal primfaktorer 2 (m¨ojligen 0 s˚ adana faktorer). Allts˚ a f¨orekommer 2 som primfaktor i 2n2 ett udda antal g˚ anger, medan i m2 √ ett j¨amnt antal g˚ anger s˚ a att 2 2 2 2 2n 6= m . Detta mots¨ager likheten 2n = m och visar att 2 inte kan vara rationellt. L˚ at oss nu konstruera de reella talen. Vi kan inte l¨angre anv¨anda oss av tekniken med par av rationella tal. Men vi kan utnyttja f¨oljder av rationella tal. Reella tal (enligt 13 14

Pythagoras (572-500 f Kr) Euklides (ca 350 f Kr)

15

gymnasiekunskaper) ¨ar decimaltal av typen A = a, a1 a2 ...an ..., d¨ar a ¨ar heltasdelen och 0, a1 a2 ...an ... a¨r decimaldelen av A. Varje s˚ adant tal kan approximeras med rationella tal — f¨oljden: x1 = a, a1 , x2 = a, a1 a2 , x3 = a, a1 a2 a3 , ........ xn = a, a1 a2 a3 ...an , ......... best˚ ar av rationella tal och konvergerar mot A dvs limn→∞ xn = A. T ex ¨ar f¨or A = π: x1 = 3, 1 , x2 = 3, 14 , x3 = 3, 141 , ....... x8 = 3, 14159265 , ........ L˚ at nu A vara ett positivt tal. F¨oljden {x1 , x2 , ..., xn , ...} = {xn }∞ ar d˚ a av ra1 best˚ tionella tal , den ¨ar v¨axande och begr¨ansad (ty xn ≤ A f¨or alla n). Vi vet att en s˚ adan f¨oljd alltid har ett gr¨ansv¨arde. Tv˚ a f¨oljder {xn } och {x0n } har samma gr¨ansv¨arde d˚ a 0 och endast d˚ a deras skillnad g˚ ar mot 0 dvs limn→∞ (xn − xn ) = 0. Positiva reella tal ¨ar allts˚ a gr¨ansv¨arden av v¨axande och begr¨ansade f¨oljder av rationella tal och tv˚ a f¨oljder definierar samma reella tal som sina gr¨ansv¨arden om deras skillnad g˚ ar mot 0. Men vi kan inte definiera reella tal som gr¨ansv¨arden av s˚ adana f¨oljder s˚ a l¨ange de reella talen inte ¨ar konstruerade d¨arf¨or att en s˚ adan definition skulle f¨oruts¨atta att de reella talen ¨ a identifierar vi varje reellt tal med ett gr¨ansv¨arde p˚ (dvs gr¨ansv¨ardena) ¨ar k¨anda. And˚ a f¨oljande s¨att. (H¨ar b¨orjar den formella definitionen.) Betrakta alla v¨axande och begr¨ansade f¨oljder {x1 , x2 , ..., xn , ...} = {xn }∞ ar xn 1 , d¨ ∞ 0 ∞ a f¨oljder {xn }1 och {xn }1 tillh¨or samma ¨ar positiva rationella tal. Man s¨ager att tv˚ klass (definierar samma reella tal) om deras skillnad {xn − x0n }∞ 1 konvergerar mot 0 dvs 0 ∞ limn→∞ (xn − xn ) = 0. Alla f¨oljder som tillh¨or klassen av {xn }1 betecknas med [{xn }∞ 1 ]. En s˚ adan klass kallar man f¨or ett positivt reellt tal. Nu kan man definiera addition och multiplikation av de positiva reella talen: 0 ∞ 0 ∞ [{xn }∞ 1 ] + [{xn }1 ] = [{xn + xn }1 ],

0 ∞ 0 ∞ [{xn }∞ 1 ][{xn }1 ] = [{xn xn }1 ].

F¨or att nu konstruera de negativa reella talen och talet 0 m˚ aste man upprepa sama konstruktion som ledde oss fr˚ an de naturliga talen till de hela: Man betraktar alla par (a, b), d¨ar a och b a¨r positiva reella tal, och man identifierar (a, b) med (c, d) om a + d = b + c. Kontrollen att man f˚ ar en kropp, att den ¨ar ordnad och fullst¨andig ¨ar ganska l˚ ang men inte s¨arskilt sv˚ ar (detaljerna behandlas n¨armare i forts¨attnigskurser i matematik 15 ). 15

Vanligen brukar man i st¨ allet f¨ or v¨ axande och begr¨ ansade f¨ oljder betrakta godtyckliga f¨ oljder av rationella tal x1 , x2 , ..., xn , ... s˚ adana att avst˚ andet mellan talen xi och xj g˚ ar mot 0 d˚ a i och j v¨ axer dvs |xi − xj | → 0 d˚ a i, j → ∞. F¨ oljder av den typen kallas Cauchyf¨ oljder.

16

¨ VNINGAR O √

1. a) Visa att 3 ¨ar icke-rationellt genom att j¨amf¨ora antalet primfaktorer 3 i likheten 3n2 = m2 till v¨anster och till h¨oger. √ b) Visa p˚ a liknande s¨att att p ¨ar icke-rationellt d˚ a p ¨ar ett godtyckligt primtal. c) Har Du n˚ agra f¨orslag till hur man kan generalisera b)? 2. a) Visa att talet 2 log5 ¨ar icke-rationellt. b) Kan Du f¨oresl˚ a n˚ agra andra tal i st¨allet f¨or 5 i a) f¨or att samma p˚ ast˚ aende skall g¨alla. 3. Betrakta alla par (a, b), d¨ar a, b ∈ N och visa att relationen (a, b)R(c, d) ⇐⇒ a + d = b + c ¨ar en ekvivalensrelation. Motivera d¨arefter att det finns en bijektion mellan ekvivalensklasserna och heltalen. 4. a) N¨ar har ett rationellt tal

a b

en invers? Skriv inversen p˚ a formen [(c, d)].

b) Kontrollera att om [(a, b)] = [(a0 , b0 )]

och

[(c, d)] = [(c0 , d0 )]

a rationella tal (ab0 = a0 b och cd0 = c0 d) s˚ a g¨aller ¨ar tv˚ a c a0 c0 ac a 0 c0 + = 0 + 0 och = 0 0 b d b d bd b d (dvs summan och produkten av tv˚ a rationella tal beror inte p˚ a hur dessa tal representeras i form av br˚ ak).

¨ 4. KOMPLEXA TAL OCH VARLDEN BAKOM DEM Vi vet redan fr˚ an f¨orra avsnittet att behovet av de komplexa talen uppt¨acktes i samband med andragradsekvationer med reella koefficienter. En s˚ a enkel ekvation som 2 x = −1 saknar reella l¨osningar. Antag att vi har en kropp K som inneh˚ aller de reella talen R och s˚ adan att det finns α ∈ K som satisfierar ekvationen x2 = −1 dvs α2 = −1. H¨ar har vi precis situationen ur sats (1.3): α ∈ / R men α2 = −1 ∈ R. Enligt den satsen bildar a + bα, d¨ar a, b ∈ R , en kropp. Det finns en mycket l˚ ang tradition att α betecknas med i (ibland j) kroppen har vi: 16

16

. I den

“i” kommer fr˚ an ordet “imagin¨ ar”. Det finns ett mycket intressant val av terminologi n¨ ar det g¨ aller nya typer av tal. De naturliga talen bland de hela kallas positiva, de ¨ ovriga negativa. Br˚ aktalen bland de reella kallas rationella, de ¨ ovriga irrationella. Komplexa talen a + bi har realdel a och en imagin¨ ardel b. Allts˚ a var allt nytt negativt, irrationellt och imagin¨ art (samt en l˚ ang tid impopul¨ art)

17

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i , (4.1) (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. ¨ s˚ An a l¨ange har vi inte n˚ agon formell konstruktion av de komplexa talen (vi sade ju “Antag att en kropp K...”). Men vi har i alla fall en klar bild av hur en kropp som inneh˚ aller l¨osningen till x2 = −1 m˚ aste se ut. Konstruktionen a¨r mycket enkel. Id´en a¨r (som flera g˚ anger tidigare) att uppfatta nya tal som par av redan k¨anda: a + bi kan uppfattas som (a, b), d¨ar a, b ∈ R. (4.2) Definition. Med komplexa tal menar man alla par (a, b), d¨ar a, b ∈ R, som adderas och multipliceras p˚ a f¨oljande s¨att: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc). M¨angden av de komplexa talen betecknas med C. Beteckningen (a, b) ¨ar lite omst¨andlig. D¨arf¨or observerar man att: (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0), dvs paren (a,0) adderas och multipliceras precis som vanliga reella tal a. Man kommer a att R ⊂ C. D¨arefter noterar man att (0, 1)(0, 1) = ¨overens om att skriva (a, 0) = a s˚ (−1, 0) = −1. Man betecknar (0, 1) = i. Nu har vi (0, b) = (b, 0)(0, 1) = bi s˚ a att (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + bi och vi f˚ ar v˚ ara gamla beteckningar (4.1). Det som ˚ aterst˚ ar ¨ar kroppstrukturen: (4.3) Sats. De komplexa talen a + bi, d¨ar a, b ∈ R och i2 = −1, bildar en kropp. Satsen visas l¨att, men beviset tar lite tid d¨arf¨or att man m˚ aste kontrollera alla villkor (a) - (k) i definitionen (1.5). (H¨ar h¨anvisar vi till kursboken och o¨vningarna.) Innan vi tittar p˚ a m¨ojligheten att g˚ a vidare med liknande konstruktioner l˚ at oss summera v˚ ara kunskaper. Nu kan vi s¨aga att med ett tal menar man alltid ett komplext tal. I synnerhet kan det vara fr˚ aga om ett naturligt, helt, rationellt eller reellt tal. Med en talring (eller talkropp) menas alltid en ring (eller kropp) best˚ aende av tal. Z ¨ar den minsta talringen d¨arf¨or att om R ¨ar en talring s˚ a g¨aller att 1 ∈ R vilket ger att 1 + 1, 1 + 1 + 1, ... ∈ R dvs R inneh˚ aller de naturliga talen. Vidare m˚ aste 0 ∈ R och −x ∈ R om x ∈ R s˚ a att R inneh˚ aller Z. Q ¨ar den minsta talkroppen d¨arf¨or att varje kropp K inneh˚ aller Z och d¨armed ocks˚ a alla tal ab , d¨ar a, b ∈ Z och b 6= 0, dvs K ⊇ Q. De reella talen bildar den st¨orsta ordnade talkroppen. L˚ at oss f¨orst konstatuera att C inte a¨r ordnad. Antag n¨amligen att man kan v¨alja en m¨angd P av positiva element i C.

18

D˚ a ¨ar i ∈ P eller −i ∈ P . I varje fall ¨ar (±i)2 = −1 ∈ P vilket ¨ar om¨ojligt ty redan 1 ∈ P (se sid. 8). Man visar (men det ¨ar inte helt banalt) att om en talkropp kan ordnas s˚ a kan den inte inneh˚ alla n˚ agot komplext tal a + bi med b 6= 0 dvs den ligger i R. I den meningen ¨ar R den st¨orsta ordnade talkroppen. De komplexa talen bildar den st¨orsta talkroppen. I vilken mening? Man kan fr˚ aga sig som tidigare om det finns polynomekvationer, den g˚ angen med komplexa koefficienter, som inte kan l¨osas i komplexa talomr˚ adet. Svaret p˚ a den fr˚ agan kommer fr˚ an C.F. Gauss som ˚ ar 1799 visade f¨oljande sats: (4.4) Polynomalgebrans fundamentalsats. Varje polynomekvation av positiv grad med komplexa koefficienter har en komplex l¨osning. Satsen s¨ager att om p(X) = an X n + ... +a1 X + a0 , d¨ar ai ∈ C, n > 0 och an 6= 0 s˚ a ¨ar p(z) = 0 f¨or ett komplext tal z ∈ C. Man s¨ager ocks˚ a att kroppen av de komplexa talen ¨ar algebraiskt sluten. Det finns flera olika bevis f¨or den satsen men alla kr¨aver lite st¨orre f¨orkunskaper 17 . Den sista satsen s¨ager att det inte finns n˚ agot vidare behov att utvidga komplexa talkroppen p g a ol¨osbara polynomekvationer. I den meningen bildar de komplexa talen den st¨orsta talkroppen. Men en l˚ ang tid innan man var medveten om detta, uppt¨ackte man matematiska objekt som kunde anv¨andas till att beskriva och utforska naturen och som i m˚ anga avseenden liknade talen. M¨ojligen har Du h¨ort s˚ adana termer som vektor, matris, kvaternion eller tensor. Vektorer och matriser ¨ar upps¨attningar av tal som ocks˚ a kan adderas och multipliceras p˚ a ett l¨ampligt s¨att. De ger en m¨ojlig generalisering av talbegreppet (Du m¨oter dem i forts¨attningen av kursen). Kvaternioner, som enklast kan beskrivas med hj¨alp av matriser, ¨ar ett annat exempel p˚ a en algebraisk struktur som ligger mycket n¨ara de komplexa talen. Vi skall avsluta detta avsnitt genom att s¨aga n˚ agra ord om just kvaternioner. W.R. Hamilton 18 som gav en formell definition av komplexa tal i form av reella talpar f¨ors¨okte g˚ a vidare med sin id´e och betrakta par av komplexa tal. Han ville definiera addition och multiplikation av s˚ adana par och m¨ojligen f˚ a en ny kropp. Faktum ¨ar att det finns m˚ anga kroppar som inneh˚ aller de komplexa talen, men de m˚ aste alltid inneh˚ alla element som inte uppfyller n˚ agon polynomekvation med komplexa koefficienter (enkla exempel p˚ a s˚ adana kroppar f˚ ar vi se i avsnitt 6). D¨arf¨or ¨ar det inte l¨angre m¨ojligt att konstruera en kropp st¨orre ¨an C vars element uppfyller polynomekvationer med komplexa koefficienter. Hamilton lyckades dock att konstruera en struktur som har den egenskapen och som uppfyller alla r¨aknelagar f¨or en kropp med bara ett undantag. P˚ a Brougham Bridge i Dublin d¨ar Hamilton bodde finns idag en tavla med f¨oljande text: “Here as he walked by on the 16th of October 1843 Sir William Rowan Hamilton in a flash of genius discovered the fundamental formula for quaternion multiplication i2 = j 2 = k 2 = ijk = −1 and cut it in on a stone of this bridge”. Han publicerade sina resultat ˚ ar 1853. Konstruktionen av kvaternioner, som spelar en mycket viktig roll i m˚ anga matematiska och fysikaliska teorier, ¨ar f¨oljande. % 19 Betrakta alla par (z1 , z2 ), d¨ar z1 , z2 ¨ar komplexa tal. Definiera (z1 , z2 ) + (z10 , z20 ) = (z1 + z10 , z2 + z20 ), 17

Beviset ges i kursen “Analytiska funktioner”. Ett n¨ astan rent algebraiskt bevis i “Galoisteori”. W.R. Hamilton (1805-1865). 19 De avsnitt av texten som b¨ orjar och slutar med % kommer inte att omfattas av skrivningen. 18

19

och

(z1 , z2 )(z10 , z20 ) = (z1 z10 − z2 z¯20 , z1 z20 + z¯10 z2 ),

d¨ar z¯ = a − bi(z konjugat) om z = a + bi. Man observerar att (z1 , 0) + (z10 , 0) = (z1 + z10 , 0), och

(z1 , 0)(z10 , 0) = (z1 z10 , 0).

Detta visar att de komplexa talen kan identifieras med paren (z, 0). D¨arf¨or skriver vi (z, 0) = z. Beteckna ocks˚ a (0, 1) = j och (0, i) = k. Vi har j 2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 2 och k = (0, i)(0, i) = (−1, 0) = −1. Dessutom har vi (0, c + di) = (0, c) + (0, di) = (c, 0)(0, 1) + (d, 0)(0, i) = cj + dk. D¨arf¨or kan vi skriva: q = (a + bi, c + di) = (a + bi, 0) + (0, c + di) = a + bi + cj + dk. Detta ¨ar en typisk kvaternion. Man kan kontrollera direkt att ijk = −1 (se ¨ovning 1). Men f¨or att snabbt kunna r¨akna med kvaternioner ¨ar det b¨ast att kontrollera f¨oljande multiplikationsregler:

ij = -ji = k,

¶ 7 ¶

jk = -kj = i, ki = -ik = j.

¶

j

¶

¶

S

S

S

S

¶ ¶ i¾

S

S w S

k

Vi ser att multiplikation av kvaternioner inte ¨ar kommutativ. L˚ at oss sammanfatta: (4.5) Sats. Alla kvaternioner a + bi + ci + dk, d¨ar i2 = j 2 = k 2 = −1 och ij = −ji = k bildar en algebraisk struktur H som uppfyller alla villkor i definitionen av en kropp med undantag av multiplikationens kommutativitet. Dessutom uppfyller varje kvaternion en andragradsekvation med reella koefficienter. F¨or det sista p˚ ast˚ aendet i satsen se o¨vning 2. Ibland s¨ager man att H a¨r en ickekommutativ kropp (men termerna skevkropp eller divisionsring ¨ar ocks˚ a vanliga). Satsen a¨r l¨att att bevisa (men f¨or att undvika l˚ anga ber¨akningar a¨r det enklast att anv¨anda matriser). ¨ VNINGAR O 1. Skriv f¨oljande kvaternioner p˚ a formen a + bi + cj + dk : a) (1 + i)(1 + j) , b) (i + j + k)2 , c) (1 + 2i + 3j + 4k)(1 − 2i − 3j − 4k) ,

20

d) ijk 2. a) Visa att q = 1+i+j +k och q¯ = 1−i−j −k satisfierar ekvationen x2 −2x+4 = 0. b) Visa att q = a + bi + cj + dk satisfierar en kvadratisk ekvation med reella koefficienter.

5. RESTARITMETIKER I detta avsnitt f˚ ar vi se ringar och kroppar av en annorlunda karakt¨ar. De ¨ar n¨ara besl¨aktade med heltalen och har en mycket stor betydelse inom talteorin och dess till¨ampningar i datalogi och datateknik. N¨ar man adderar eller multiplicerar tv˚ a tal som t ex +

128 39 . .7

×

128 43 . .4

s˚ a best¨ammer man f¨orst den sista siffran. De operationer som leder till resultatet kallas addition och multiplikation modulo 10. Man adderar 8+9 p˚ a vanligt s¨att, men sista siffran a liknande s¨att har vi 3 ·8 = 24, men som sista ¨ar resten av 8 + 9 vid division med 10. P˚ siffran f˚ ar vi 4 dvs resten av 24 vid division med 10. Om talen ¨ar givna i bin¨ara systemet (bas 2) som t ex +

1011 101 . . .0

×

1011 111 . . .1

s˚ a r¨aknar man modulo 2 dvs f¨orst som vanligt, men d¨arefter tar man resten vid division med 2. Operationerna modulo 10 eller 2 eller modulo ett godtyckligt annat naturligt tal har stor betydelse. Man kan s¨aga att de ger n¨armev¨arden till vanliga smmor och produkter av heltal (t ex en helt vanlig minir¨aknare brukar r¨akna med heltal modulo N = 108 eller 1010 ). I restaritmetiker arbetar man med rester av heltal vid division med ett fixerat naturligt tal n. Vi skall f¨oruts¨atta att n > 1, ty annars har vi bara resten 0. Om a a¨r ett heltal s˚ a ¨ar a = nq + r, d¨ar q ¨ar kvoten och r ¨ar resten. Resten r kan alltid v¨aljas s˚ a att 0 ≤ r < n dvs det finns n stycken rester : 0, 1, ..., n − 1. Deras m¨angd betecknas ofta med Zn (eller Z/(n)). Vi skall skriva r = [a]n f¨or att uttrycka det faktum att r ¨ar resten vid division av a med n. F¨oljande egenskaper hos rester kommer att utnyttjas m˚ anga g˚ anger: (5.1) Lemma. [a]n = [b]n d˚ a och endast d˚ a n|a − b 20 . Med andra ord ger a och b samma rest vid division med n d˚ a och endast d˚ a n ¨ar en delare till deras skillnad a − b. 20 Man skriver a|b och s¨ ager att “a ¨ ar en delare till b” om b = aq f¨ or n˚ agot heltal q. Man s¨ ager ocks˚ a att b ¨ ar en multipel av a. Om a inte a ¨r en delare till b skriver man a|/b.

21

Bevis. Om [a]n = [b]n s˚ a ¨ar a = nq1 + r och b = nq2 + r vilket ger a − b = n(q1 − q2 ) dvs n|a − b. Omv¨ant, l˚ at n|a − b dvs a − b = nq. Om a = nq1 + r1 och b = nq2 + r2 s˚ a ¨ar a − b = n(q1 − q2 ) + r1 − r2 dvs r1 − r2 = (a − b) − n(q1 − q2 ) = n[q − (q1 − q2 )]. Detta betyder att n|r1 − r2 . Men 0 ≤ r1 , r2 < n s˚ a att r1 − r2 ¨ar delbart med n endast om r1 − r2 = 0 dvs [a]n = [b]n . 2 Exempel. (a) [3]5 = [−2]5 ty 5|3 − (−2) = 5. (b) [n − 1]n = [−1]n ty n|(n − 1) − (−1) = n. (5.2) Anm¨ arkning: C.F. Gauss introducerade en mycket viktig beteckning f¨or att uttrycka likheten [a]n = [b]n (dvs n|a − b). Han skrev: a≡b

(mod n)

vilket utl¨ases “a ¨ar kongruent med b modulo n”. Relationen “ ≡ ” kallas kongruens (h¨ar modulo n). Vi kommer att anv¨anda den beteckningen ganska ofta. Kan man helt allm¨ant addera och multiplicera rester (precis som de sista siffrorna vid addition och multiplikation av heltal)? Det a¨r helt klart att det g˚ ar men en formell definition ¨ar n¨odv¨andig. Vi skall skriva ⊕ och ¯ f¨or att ha en distinktion mellan addition av vanliga heltal och rester. Men den distinktionen a¨r inte n¨odv¨andig (man kan skriva “ + ” och “ · ” om man s˚ a vill). (5.3) Definition. [a]n ⊕ [b]n = [a + b]n och [a]n ¯ [b]n = [ab]n . Definitionen s¨ager att summan av resterna [a]n och [b]n f˚ ar man genom att addera talen a och b p˚ a vanligt s¨att och d¨arefter ta resten vid division av a + b med n. Samma sak g¨aller f¨or produkten. H¨ar finns det dock en liten detalj som kr¨aver en stunds eftertanke. Om man har tv˚ a helt godtyckliga heltal a och b som slutar, l˚ at oss s¨aga, p˚ a 3 och 8 dvs [a]10 = 3 och [b]10 = 8 s˚ a f˚ ar man alltid samma slutsiffra f¨or a + b och ab dvs [a + b]10 = 1 och [ab]10 = 4. G¨aller samma sak helt allm¨ant d˚ a man ers¨atter 10 med n˚ agon annan modul t ex 3 eller 4? Med andra ord ¨ar h¨oger led i definitionen (5.3) alltid samma oberoende av a och b till v¨anster? Fr˚ agan kan ocks˚ a formuleras s˚ a h¨ar: ¨ar definitionen (5.3) korrekt? L˚ at oss kontrollera att den ¨ar helt korrekt! L˚ at: [a]n = [a0 ]n och [b]n = [b0 ]n .

(5.4) Vi vill visa att (5.5)

[a + b]n = [a0 + b0 ]n och [ab]n = [a0 b0 ]n .

Med beteckningen “ ≡ ” betyder det att a ≡ a0

(mod n) och b ≡ b0

(mod n))

22

ger

a + b ≡ a0 + b0

(mod n) och ab ≡ a0 b0

(mod n)

dvs kongruenser, precis som likheter, kan adderas och multipliceras ledvis. Bevis. [a]n = [a0 ]n och [b]n = [b0 ]n betyder att a − a0 = nq1 och b − b0 = nq2 . Allts˚ a ¨ar (a + b) − (a0 + b0 ) = n(q1 + q2 ) , dvs Vidare ¨ar

[a + b]n = [a0 + b0 ]n . ab − a0 b0 = (a − a0 )b + a0 (b − b0 ) = n(q1 b + q2 a0 )

dvs

[ab]n = [a0 b0 ]n .2

Nu kan vi konstatera f¨oljande: (5.6) Sats. Alla rester vid division med n bildar en ring Zn med avseende p˚ a addition och multiplikation av rester: [a]n ⊕ [b]n = [a + b]n och [a]n ¯ [b]n = [ab]n .

Bevis. Vi vet redan att summan och produkten av rester ¨ar rester (detta ger villkoren (a) och (f) i definitionen (1.5)). Associativiteten: ([a]n ⊕ [b]n ) ⊕ [c]n = [a]n ⊕ ([b]n ⊕ [c]n ) f˚ ar vi enkelt ty V L = ([a]n ⊕ [b]n ) ⊕ [c]n = [a + b]n ⊕ [c]n = [(a + b) + c]n , och HL = [a]n ⊕ ([b]n ⊕ [c]n ) = [a]n ⊕ [b + c]n = [a + (b + c)]n , s˚ a att V L = HL. Lika enkelt ¨ar det med kommutativiteten: [a]n ⊕ [b]n = [a + b]n = [b + a]n = [b]n ⊕ [a]n . Vi har [a]n ⊕ [0]n = [a + 0]n = [a]n dvs [0]n ¨ar neutral f¨or addition. Likheten [a]n ⊕ [−a]n = [0]n

23

s¨ager att [−a]n ¨ar motsatt till [a]n . De ¨ovriga villkoren i definitionen (1.5) l¨amnar vi som ¨ovning. 2 L˚ at oss som exempel skriva ut additions och multiplikationstabellerna f¨or Z3 : ⊕ [0]3 [1]3 [2]3

[0]3 [0]3 [1]3 [2]3

[1]3 [1]3 [2]3 [0]3

[2]3 [2]3 [0]3 [1]3

¯ [0]3 [1]3 [2]3

[0]3 [0]3 [0]3 [0]3

[1]3 [0]3 [1]3 [2]3

[2]3 [0]3 [2]3 [1]3

Ofta kommer vi att utel¨amna [ ]n n¨ar det a¨r klart vilka rester vi menar. T ex a¨r tabellerna f¨or Z4 f¨oljande: ⊕ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

¯ 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

I praktiska till¨ampningar (utanf¨or matematiken) ¨ar Z2 en av de viktigaste ringarna: Den har f¨oljande r¨aknelagar: ⊕ 0 0 0 1 1

1 1 0

¯ 0 0 0 1 0

1 0 1

En viktig fr˚ aga ¨ar om det kan intr¨affa att Zn ¨ar en kropp. L˚ at oss repetera att Zn ¨ar en kropp om villkoret (j) i definitionen (1.5) g¨aller dvs om till varje r ∈ Zn , r 6= 0, existerar en invers r0 s˚ a att r ¯ r0 = 1. Man inser l¨att att Z2 , Z3 och Z5 ¨ar kroppar. F¨or Z2 ¨ar det klart (1 ¯ 1 = 1). I Z3 har vi 1 ¯ 1 = 1 och 2 ¯ 2 = 1 s˚ a att b˚ ade 1 och 2 har invers. I Z5 a klart ty 1 ¯ 1 = 1, 2 ¯ 3 = 1 och 4 ¯ 4 = 1 s˚ a att 1,2,3 och 4 har invers. Z4 ¨ar det ocks˚ a att 2 ¯ r = 1). ¨ar inte en kropp d¨arf¨or att 2 saknar invers (man kan inte hitta r ∈ Z4 s˚ N¨ar ¨ar Zn en kropp? Svaret ¨ar, ganska ¨overraskande, att Zn ¨ar en kropp d˚ a och endast d˚ a n ¨ar ett primtal. Vi skall bevisa det om en stund som ett resultat av en mera allm¨an observation. I en godtycklig ring R kan det finnas flera element ut¨over 1 som har invers. Om R a har alla element 6= 0 invers. Bland heltalen Z finns det bara tv˚ a som har ¨ar en kropp s˚ heltalig invers – det a¨r 1 och −1. Allm¨ant har man f¨oljande begrepp: (5.7) Definition. Ett element a i en ring R kallas en enhet om a har invers dvs om det finns a0 ∈ R s˚ a att aa0 = 1. Vi skall hitta alla rester som har invers i Zn . Tag t ex Z4 . H¨ar ¨ar 1 ¯ 1 = 1 och 3 ¯ 3 = 1 s˚ a att 1 och 3 har invers (men inte 2). I Z7 har alla rester 6= 0 inverser ty 7 a¨r ett primtal och s˚ aledes ¨ar Z7 en kropp: 1 ¯ 1 = 1, 2 ¯ 4 = 1, 3 ¯ 5 = 1. (5.8) Sats. r ∈ Zn har invers d˚ a och endast d˚ a r och n saknar gemensamma delare 6= 1 dvs SGD(r, n) = 1.

24

V˚ art bevis av satsen utnyttjar en mycket viktig egenskap som Du kommer att m¨ota m˚ anga g˚ anger: L˚ at a, b vara tv˚ a heltal. D˚ a finns det heltal x, y s˚ adana att ax + by = SGD(a, b)21 .

(5.9)

Bevis. Om SGD(r, n) = 1 s˚ a finns det tv˚ a heltal x, y s˚ adana att rx + ny = 1 Allts˚ a ¨ar [rx + ny]n = [1]n . Men [ny]n = [0]n s˚ a att [rx]n = [r]n ¯ [x]n = [1]n dvs [x]n ¨ar inversen till [r]n = r. Omv¨ant. L˚ at [r]n ¯ [r0 ]n = [1]n dvs [rr0 ]n = [1]n . Enligt (5.1) f˚ ar vi n|rr0 − 1 dvs rr0 − 1 = nq s˚ a att rr0 − nq = 1. Den likheten s¨ager att SGD(r, n) = 1 ty en gemensam delare d > 0 till r och n ¨ar en delare till 1 dvs d = 1. 2 Nu f˚ ar vi omedelbart: (5.10) Fo a och endast d˚ a n ¨ar ett primtal. ¨ljdsats. Zn ¨ar en kropp d˚ Bevis. Om n = p ¨ar ett primtal s˚ a har varje rest r 6= 0 invers d¨arf¨or att resterna 1, 2, ..., p−1 i Zp saknar gemensamma delare med p (dvs SGD(r, p) = 1 d˚ a r = 1, 2, ..., p− 1. Om d¨aremot n a¨r sammansatt dvs n = kl, d¨ar 1 < k < n och 1 < l < n s˚ a a¨r SGD(k, n) = k > 1 vilket inneb¨ar att resten k saknar invers enligt (5.8). 2 Nu skall vi g˚ a igenom n˚ agra mycket ber¨omda satser i talteorin som enkelt kan bevisas med hj¨alp av restaritmetiker. P˚ a senare ˚ ar visade det sig att dessa satser har mycket v¨asentliga till¨ampningar i samband med datorber¨akningar och dators¨akerhet. Men talteori (fast lite mer avancerad) har ocks˚ a kommit in i teoretisk fysik i samband med str¨angteorin. Vi skall b¨orja med en sats som visades redan ˚ ar 1682 av G.W. Leibniz 22 , men som kallas Wilsons sats. John Wilson levde senare ¨an Leibniz och l¨amnade matematiken f¨or juridik. (5.11) Wilson’s sats. Om p ¨ar ett primtal s˚ a ¨ar p|(p − 1)! + 1. Innan vi bevisar satsen l˚ at oss betrakta ett exempel. Tag p = 13. Satsen s¨ager att 13|12!+1. Modulo 13 har vi 1 ¯ 1 = 1, 2 ¯ 7 = 1, 3 ¯ 9 = 1, 4 ¯ 10 = 1, 5 ¯ 8 = 1, 6 ¯ 11 = 1, 12 ¯ 12 = 1. Allts˚ a ¨ar (modulo 13): 1 ¯ 2 ¯ 3 ¯ 4 ¯ 5 ¯ 6 ¯ 7 ¯ 8 ¯ 9 ¯ 10 ¯ 11 ¯ 12 = = 1 ¯ (2 ¯ 7) ¯ (3 ¯ 9) ¯ (4 ¯ 10) ¯ (5 ¯ 8) ¯ (6 ¯ 11) ¯ 12 = 12 = −1 21

Denna likhet ¨ ar en mycket enkel konsekvens av Euklides algoritm. Se sidan 51 i kursboken. Gottfrid Wilhelm Leibniz (1/7 1646 – 14/11 1716) var en framst˚ aende tysk matematiker som skapade differential och integralkalkylen (oberoende av I.Newton). 22

25

dvs 13|12! + 1. Bevis. Betrakta kroppen Zp . Vi skall ber¨akna [(p − 1)!]p = [1 · 2 · ... · (p − 1)]p och visa att [(p − 1)!]p = [−1]p vilket ¨ar just satsens inneh˚ all. Varje faktor r i produkten 1 ¯ 2 ¯ ... ¯(p − 1) har sin invers s modulo p dvs r ¯ s = 1. Om r 6= s s˚ a kan man utel¨amna b˚ ade r och s. Men det kan intr¨affa att r = s dvs r ¯r = 1. 2 N¨ar? Vi har [r ]p = [1]p d˚ a och endast d˚ a p|r2 − 1 = (r − 1)(r + 1) dvs p|r − 1 eller p|r + 1. Men 0 ≤ r ≤ p − 1 s˚ a att r = 1 eller r = p − 1. Allts˚ a finns det tv˚ a faktorer i produkten 1 ¯ 2 ¯ ... ¯(p − 1) som ¨ar kvar: 1 och p − 1 dvs 1 ¯ 2 ¯ ... ¯ (p − 1) = 1 ¯ (p − 1) . Men p − 1 ≡ −1 (mod p) s˚ a att [(p − 1)!]p = [−1]p , vilket visar satsen. 2 (5.12) Anm¨ arkning: Wilsons sats karakteriserar primtalen i den meningen att om n|(n− 1)! + 1 s˚ a a¨r n ett primtal (vi l¨amnar detta p˚ ast˚ aende som en bra och enkel o¨vning – se ¨ovning 5). Man kan testa med hj¨alp av datorer om n ¨ar ett primtal genom att dividera (n − 1)! + 1 med n. Men den metoden a¨r inte s¨arskilt bra d¨arf¨or att (n − 1)! v¨axer mycket snabbt med n. Nu vill vi visa en av de mest ber¨omda satserna inom talteorin – Fermats 23 lilla sats (om den stora f˚ ar du h¨ora under f¨orel¨asningarna). Vi beh¨over dock en enkel observation som har en mycket allm¨an karakt¨ar: (5.13) Proposition. L˚ at R vara en ring. a enheter a och b i R ocks˚ a ¨ar en enhet. (a) Produkten av tv˚ (b) Om a ¨ar en enhet i R och ax = ay, d¨ar x, y ∈ R, s˚ a ¨ar x = y. (c) Om a ¨ar en enhet i R och x1 , x2 , ..., xn ¨ar olika element i R s˚ a ¨ar ocks˚ a ax1 , ax2 , ..., axn olika. Bevis. (a) Om aa0 = 1 och bb0 = 1 s˚ a (ab)(a0 b0 ) = 1 dvs ab ¨ar en enhet. (b) Man kan multiplicera ax = ay med a−1 vilket ger x = y. (c) Om xi 6= xj s˚ a ¨ar axi 6= axj ty axi = axj ger enligt (b) att xi = xj . 2 Nu kan vi visa Fermats lilla sats: (5.14) Fermats lilla sats. Om p ¨ar ett primtal och a ¨ar ett heltal s˚ a ¨ar p|ap − a (dvs p a ≡ a (mod p)). Tag ett exempel f¨orst. Om p = 5 och a = 3 f˚ ar vi 5|35 − 3 = 240. Bevis. Om p|a s˚ a ¨ar p˚ ast˚ aendet klart. L˚ at oss anta d˚ a att p /| a dvs r = [a]p 6= 0. Betrakta resterna 1, 2, ..., p − 1 ∈ Zp och l˚ at oss multiplicera alla dessa rester med r 6= 0. D˚ a f˚ ar vi (p − 1) olika enheter i Zp (se (5.13) (a) och (c)) : 1 ¯ r, 2 ¯ r, ..., (p − 1) ¯ r 23

Pierre de Fermat (20/8 1601 − 12/1 1663).

26

Allts˚ a˚ aterf˚ ar vi resterna 1, 2, ..., p − 1 (eventuellt i n˚ agon annan ordning). I varje fall ¨ar 1 ¯ r ¯ 2 ¯ r ¯ ... ¯ (p − 1) ¯ r = 1 ¯ 2 ¯ ... ¯ (p − 1). Nu kan vi stryka 1, 2, ..., p − 1 till v¨anster och till h¨oger (se (5.13)(b)) och vi f˚ ar rp−1 = 1 dvs [ap−1 ]p = [1]p vilket betyder att p|ap−1 − 1. Men i s˚ a fall ¨ar ocks˚ a p|a(ap−1 − 1) = ap − a. 2 Fermats lilla sats har en generalisering som visades 100 ˚ ar senare av L. Euler 24 . (Eulers sats utg¨or grunden f¨or konstruktionen av de mest anv¨anda krypteringssystemen inom dators¨akerhetstekniken — s˚ a kallade RSA-krypton. Se ¨ovningarna). Innan vi visar Eulers sats m˚ aste vi s¨aga n˚ agra ord om Eulers funktion ϕ. Hur m˚ anga rester i Zn har invers? Antalet s˚ adana rester betecknas med ϕ(n). Funktionen ϕ(n) kallas Eulers funktion. Enligt villkoret i (5.8) har vi: (5.15)

ϕ(n) = antalet r s˚ adana att 0 ≤ r < n och SGD(r, n) = 1.

Det ¨ar l¨att att ber¨akna: ϕ(1) = 1, ϕ(2) = 1, ϕ(3) = 2, ϕ(4) = 2, ϕ(5) = 4, ϕ(6) = 2, ϕ(7) = 6, ϕ(8) = 4, ϕ(9) = 6, ϕ(10) = 4 osv. Vi ˚ aterkommer till Eulers funktion i samband med ¨ovningarna. Nu kan vi formulera och bevisa Eulers sats: (5.16) Eulers sats. L˚ at a och n vara heltal s˚ adana att SGD(a, n) = 1. D˚ a ¨ar n|aϕ(n) − 1 (dvs aϕ(n) ≡ 1

(mod n)).

F¨orst ett exempel. Om n = 10 och a = 3 s˚ a ¨ar 10|34 − 1 = 80 (ty ϕ(10) = 4). %Bevis. Betrakta restklassringen Zn . Enligt f¨oruts¨attningen ¨ar r = [a]n 6= 0 en enhet i Zn (ty SGD(a, n) = 1). L˚ at r1 , r2 , ..., rϕ(n) vara alla enheter i Zn , och l˚ at oss multiplicera alla dem med r. D˚ a f˚ ar vi ϕ(n) olika produkter som alla ¨ar enheter (se (5.13) (a) och (c)): r ¯ r1 , r ¯ r2 , . . . , r ¯ rϕ(n) . Allts˚ a f˚ ar vi alla enheter i Zn igen (m¨ojligen i en annan ordning). I varje fall ¨ar r ¯ r1 ¯ r ¯ r2 ¯ . . . . ¯ r ¯ rϕ(n) = r1 ¯ r2 ¯ . . . . ¯ rϕ(n) . Nu kan vi stryka r1 , r2 , ..., rϕ(n) till v¨anster och till h¨oger (se (5.13) (b)) och vi f˚ ar rϕ(n) = 1 24 Leonard Euler (15/4 1707 - 18/9 1783), schweizisk matematiker, den st¨ orste matematikern under 1700-talet och en av de mest betydelsefulla i matematikens historia.

27

dvs [aϕ(n) ]n = [1]n vilket betyder att n|aϕ(n) − 1. 2 % Vi skall avsluta detta avsnitt med a¨nnu en ber¨omd sats som a¨r ca 2000 ˚ ar gammal. Satsen heter Kinesiska restsatsen och s¨ager f¨oljande: (5.17) Kinesiska restsatsen. Om n1 , n2 , ..., nk ¨ar parvis relativt prima heltal (dvs SGD(ni , nj ) = 1 d˚ a i 6= j) och r1 , r2 , ..., rk ¨ar godtyckliga heltal s˚ a existerar ett heltal x s˚ adant att x ≡ r1

(mod n1 ), x ≡ r2

(mod n2 ), ... , x ≡ rk

(mod nk ).

Dessutom finns det bara ett s˚ adant x modulo n1 n2 · · · nk (dvs ett x med 0 ≤ x < n1 n2 · · · nk ). Betrakta ett exempel. Om vi vill hitta x s˚ a att x l¨amnar resten 2 vid division med 3, resten 3 vid division med 4 och resten 4 vid division med 5 s˚ a betyder det att x skall uppfylla (5.18)

x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 4), x ≡ 4 (mod 5).

H¨ar ¨ar x = 59 den enda l¨osningen modulo 60 = 3 · 4 · 5. V˚ art bevis ger ocks˚ a information om hur man hittar x (se exempel (5.21)). %Bevis. L˚ at n = n1 n2 ...nk . Betrakta Zni . Enligt f¨oruts¨attningen har vi SGD(ni , nni ) = 1. n D¨arf¨or ¨ar ni en enhet modulo ni dvs det finns xi ∈ Zn s˚ a att [ eller med andra ord,

n xi ]ni = [1]ni , ni

n xi ≡ 1 (mod ni ) ni

Nu p˚ ast˚ ar vi att (5.19)

x=

n n n x1 r1 + x2 r2 + . . . + xk rk n1 n2 nk

¨ar den s¨okta l¨osningen. F¨or att kontrollera det, observera f¨orst att [

n xi ]nj = 0 d˚ a i 6= j ni

ty nj | nni . D¨arf¨or har vi: [x]ni = [

n n n n x1 r1 ]ni + [ x2 r2 ]ni + . . . + [ xk rk ]ni = [ xi ri ]ni = [ri ]ni n1 ni nk ni

dvs x ≡ ri (mod ni ) a l¨osningar dvs [x]ni = [x0 ]ni d˚ a i = 1, 2, ..., k s˚ a ¨ar ni |x − x0 . Men Om x och x0 ¨ar tv˚ 025 a att n = n1 n2 ...nk |x − x dvs [x]n = [x0 ]n . 2 % talen n1 , n2 , ..., nk ¨ar relativt prima s˚ 25

Om a|c och b|c samt SGD(a, b) = 1 s˚ a ab|c.

28

Hur hittar man x rent praktiskt? Det ¨ar klart att man beh¨over xi dvs man m˚ aste l¨osa n xi ≡ 1 (mod ni ) ni

(5.20)

Detta betyder att man vill finna tal xi s˚ adana att

n x ni i

− 1 = ni q dvs

n xi − ni q = 1. ni H¨ar k¨anner vi igen (5.9) med a = nni , b = ni , x = xi och y = −q. xi hittar man mycket enkelt med hj¨alp av Euklides algoritm. (5.21) Exempel. Vi ˚ aterkommer till (5.18) d¨ar n1 = 3, n2 = 4, n3 = 5 och r1 = 2, r2 = 3, r3 = 4. Allts˚ a ¨ar n = n1 n2 n3 = 60 och man m˚ aste l¨osa kongruenserna (5.20) dvs 20x1 ≡ 1 (mod 3), 15x2 ≡ 1 (mod 4), 12x3 ≡ 1 (mod 5). Man hittar mycket l¨att (utan Euklides algoritm) att x1 = 2, x2 = 3, x3 = 3. Allts˚ a a¨r x=

n n n x1 r1 + x2 r2 + x3 r3 = 359 n1 n2 n3

s˚ a att den enda l¨osningen modulo 60 ¨ar 59 ( 359 ≡ 59 (mod 60). ¨ VNINGAR O 1. Best¨am sista siffran av talen 77

a) 21991 , b) 1320 , c)77 . 2. Best¨am resten vid division av a) 3100 med 7, b) 21000 med 3,5,11,13,

c) 9999 med 13.

(Ledning. Visa f¨orst att 992 ≡ −1 (mod 13) n

3. a) Fermat p˚ astod att talen Fn = 22 + 1, n = 0, 1, 2, ... ¨ar primtal. Det ¨ar verkligen sant d˚ a n = 0, 1, 2, 3, 4. Visa det! (en minir¨aknare kan vara till hj¨alp). 5

b) Ett hundra ˚ ar senare visade L.Euler att 641|F5 = 22 + 1 = 232 + 1 = 4294967297. Visa det genom att r¨akna i Z641 och utnyttja f¨oljande likheter: 641 = 5 · 27 + 1 = 5 4 + 24 . 4. a) F¨or 2500 ˚ ar sedan p˚ astod kinesiska matematiker att om ett heltal n > 1 ¨ar en n delare till 2 − 2 s˚ a m˚ aste n vara ett primtal. Detta p˚ ast˚ aende ¨ar sant d˚ a n < 341 men 341|2341 − 2 trots att 341 inte ¨ar ett primtal. Visa det! (Ledning. 341 = 11 · 31 och 210 − 1 = 1023 = 3 · 11 · 31.)

29

Anm¨ arkning. P.Fermat k¨ande den kinesiska hypotesen och han visste att hans tal n Fn = 22 + 1 hade egenskapen Fn |2Fn − 2 Det var grunden f¨or hans p˚ ast˚ aende att Fn var primtal. b) Visa att Fn |2Fn − 2. 5. Visa att omv¨andningen till Wilsons sats g¨aller, dvs om n|(n − 1)! + 1 s˚ a ¨ar n ett primtal. 6. a) Visa att 101|13 + 23 + ... + 1003 . (Ledning. R¨akna i Z101 ). b) Visa att m|1k + 2k + ... + (m − 1)k d˚ a k och m ¨ar positiva udda heltal. P −1 7. a) Ber¨akna inverser a−1 till alla a ∈ Z7 , a 6= 0. Ber¨akna ocks˚ a a , a ∈ Z7 , a 6= 0. b) L˚ at p vara ett udda primtal. Visa att om 1+

1 1 a + ... + = , 2 p−1 b

d¨ar a, b ¨ar heltal s˚ a ¨ar p|a. (Ledning. Utnyttja att Zp ¨ar en kropp). 8. Visa att om x2 + y 2 = z 2 , d¨ar x, y, z ¨ar heltal s˚ a finns det bland dessa tal ett som ¨ar delbart med 3, ett med 4 och ett med 5. a n ¨ar ett heltal. 9. Visa att 30|n5 − n d˚ 10. L˚ at p, q vara tv˚ a olika primtal och n = pq. Visa att: a) ϕ(n) = (p − 1)(q − 1), b) aϕ(n)+1 ≡ a

(mod n).

Anm¨ arkning. Man kan visa helt allm¨ant att ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) d˚ a SGD(a, b) = 1. Beviset ¨ar inte sv˚ art. P˚ ast˚ aendet i b) g¨aller allm¨ant d˚ a n ¨ar en produkt av olika primtal. Man f˚ ar en generalisering av Fermats lilla sats – om n = p s˚ a ¨ar ϕ(n) = p−1 och ϕ(n) + 1 = p. 11. RSA-krypteringssystem

26

.

a) V¨alj tv˚ a olika primtal p, q och ber¨akna n = pq (p, q ¨ar vanligen mycket stora, s¨ag, av storleksordningen 10100 ). b) Ber¨akna ϕ(n) = (p − 1)(q − 1) och v¨alj e s˚ a att SGD(e, ϕ(n)) = 1. Ber¨akna a¨ven d, s˚ a att ed ≡ 1 (mod ϕ(n)). 26

Konstruktionen av systemet publicerades av R.L.Rivest, A.Shamir och L.Adleman 1978.

30

c) Publicera n, e och en ordbok f¨or ¨overs¨attning av meddelanden till exempel: A = 10, B = 11, ..., Z = 35 (d˚ a n > 35) d) Den som vill s¨anda meddelanden till Dig krypterar med hj¨alp av den k¨anda funktionen E(r) = re , r ∈ Zn Du ¨ar den ende (f¨orhoppningsvis) som kan dekryptera med hj¨alp av funktionen D(r) = rd d ¨ar hemligt och

D ◦ E(r) = D(re ) = red = r

Visa den sista likheten! (Ledning. ed = 1 + ϕ(n)m f¨or ett heltal m ≥ 1. Utnyttja 10b)!) Anm¨ arkning. RSA-systemet tillh¨or sk ¨oppennyckelkrypton dvs kryperingsfunktionen E ¨ar allm¨ant k¨and. Vad g¨or den som vill dekryptera? Funktionen D ¨ar inversen till E och f¨or att hitta den beh¨over man d. d ¨ar l¨osningen till ed = 1 i Zϕ(n) och f¨or att hitta d beh¨over man p och q som inte ¨ar k¨anda. Men n ¨ar k¨ant s˚ a att man m˚ aste kunna faktorsera n. H¨ar ligger styrkan hos RSA-systemet. Faktoriseringsalgoritmer tar en mycket l˚ ang tid. De b¨asta k¨anda algoritmerna f¨or primfaktoruppdelning av 1 5 n kr¨aver ca n r¨akneoperationer. Om p och q ¨ar ca 10100 s˚ a ¨ar n = 10200 . Om 40 37 en r¨akneoperation tar ca 1 µs s˚ a kr¨avs det 10 µs = 10 ˚ ar f¨or att genomf¨ora 6 ber¨akningarna f¨or n (10 datorer var och en kapabel att utf¨ora en r¨akneoperation p˚ a 1 µs skulle beh¨ova 102 ˚ ar f¨or att klara dessa ber¨akningar!) e) L˚ at n = 17 · 23 = 391. V¨alj krypteringsnyckeln e = 3 och kryptera NE6J (med “ordbokensom i (c)). Ber¨akna d och dekryptera 121 268 358. 12. Best¨am det minsta positiva heltalet n som l¨amnar resterna 1,2,3,4,5 vid division med respektive 2,3,4,5,6. 13. Best¨am alla n s˚ adana att 4|n, 9|n + 1, 25|n + 2. 14. L˚ at x0 vara den minsta positiva l¨osningen till x ≡ r1

(mod n1 ), x ≡ r2

(mod n2 ), ..., x ≡ rk

(mod nk ),

d¨ar ni ¨ar positiva relativt prima heltal. Visa att varje annan l¨osning ¨ar x0 + nq d¨ar n = n1 n2 . . . nk och q ∈ Z.

6. POLYNOMRINGAR Varje ring R ger upphov till polynom med koefficienter i R dvs alla uttryck

31

f (X) = a0 + a1 X + a2 X 2 + . . . + an X n d¨ar ai ∈ R. ai kallas koefficienter till f (X) och n kallas dess grad om an 6= 0. Polynom kan adderas och multipliceras p˚ a v¨alk¨ant s¨att: Om f (X) = a0 + a1 X + a2 X 2 + . . .

och g(X) = b0 + b1 X + b2 X 2 + . . . 27

s˚ a ¨ar f (X) + g(X) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )X + (a2 + b2 )X 2 + ... och f (X)g(X) = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 )X + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 )X 2 + ... dvs koefficienten f¨or X k i summan f (X) + g(X) ¨ar ak + bk och f¨or produkten f (X)g(X) a¨r a0 bk + a1 bk−1 + ... + ak b0 . Med dessa operationer bildar alla polynom med koefficienter i R en ny ring som betecknas med R[X]. Man kan s˚ aledes betrakta ringar Z[X], Q[X], R[X], C[X] med koefficienter i olika talringar och talkroppar, men ¨aven Z2 [X], Z3 [X] och allm¨ant Zn [X] dvs polynom med koefficienter i ringar av rester. Alla dessa ringar spelar en mycket viktig roll i hela matematiken och har stor betydelse f¨or olika typer av till¨ampningar (inte minst g¨aller det ringarna Zn [X]). Vi skall i n˚ agon m˚ an formalisera definitionen av begreppen polynom och polynomring i en anm¨arkning som avslutar detta avsnitt. D¨ar f¨orklarar vi ocks˚ a hur man kan tolka beteckningen X. V˚ art s¨att att skriva polynom efter v¨axande potenser av X ¨ar inte alls n¨odv¨andigt men det underl¨attar definitionen av addition och multiplikation av polynom. N¨ar det g¨aller formella ting finns det dock n˚ agra saker som vi vill s¨aga redan nu. Ett polynom med alla koefficienter lika med 0 kallas nollpolynomet och det har ingen grad (fast ibland tillskriver man ett s˚ adant polynom graden −1). Alla polynom av graden 0 samt nollpolynomet kallas ofta f¨or konstanta polynom (dvs f (X) = a0 , a0 ∈ K). Vi skriver f (X), g(X), men man kan skriva kortare f, g. I synnerhet betyder f 6= 0 att f inte ¨ar nollpolynomet. Om f 6= 0 och g 6= 0 s˚ a ¨ar grad(f g) = grad f + grad g. Man kan ber¨akna f (X) f¨or X = a ∈ R. D˚ a f˚ ar vi polynomets f v¨arde i punkten a dvs f (a) = a0 + a1 a + ... +an an . Om f (a) = 0 s˚ a s¨ager man att a ¨ar ett nollst¨ alle till f (eller en rot till ekvationen f (X) = 0). V˚ art st¨orsta intresse kommer att koncentreras kring polynomringarna K[X], d¨ar K adana ringar som har l˚ angtg˚ aende kon¨ar en kropp. Det finns en intressant aspekt av s˚ sekvenser f¨or hela matematiken: Det finns m˚ anga likheter mellan heltalsringen Z och polynomringarna K[X]. Den f¨orsta ¨ar divisionsalgoritmen: (6.1) Sats. Om f, g ∈ K[X] och g 6= 0 s˚ a finns det polynom q, r ∈ K[X] s˚ adana att f = gq + r,

d¨ar grad r < grad g eller r = 0.

27 Man kan alltid f¨ oruts¨ atta att f och g har lika m˚ anga termer genom att “f¨ orl¨ anga”ett av polynomen med ett antal termer med koefficienter 0.

32

Polynomen q och r (som kallas kvoten och resten vid division av f med g) ¨ar entydigt definierade av f och g. Bevis. Hur man rent praktiskt hittar q och r (dvs hur man utf¨or divionsalgoritmen) vet vi fr˚ an gymnasiekursen (f¨or repetition se kursboken). Det faktum att q och r tillh¨or K[X] framg˚ ar av ber¨akningsmetoden — n¨ar man r¨aknar ut q och r anv¨ander man bara de fyra r¨aknes¨atten som till¨ampas p˚ a koefficienterna av f och g. D¨arf¨or har q och r sina koefficienter i K. Entydigheten av q och r bevisas p˚ a f¨oljande s¨att. Antag att ¨aven f = gq1 + r1 , d¨ar q1 , r1 ∈ K[X] och grad r1 < grad g eller r1 = 0. D˚ a har vi (∗)

gq + r = gq1 + r1

dvs r − r1 = g(q1 − q) vilket betyder att g|r − r1 6= 0 28 . Men om r − r1 6= 0 s˚ a ¨ar grad (rr1 ) < grad g s˚ a att g inte kan vara delare till r − r1 . Allts˚ a ¨ar r − r1 = 0 dvs r = r1 . Likheten (∗) ovan ger gq = gq1 s˚ a att q = q1 ty g 6= 0. 2 N¨ar man har divisionsalgoritmen kan man utf¨ora Euklides algoritm f¨or att r¨akna ut st¨orsta gemensamma delaren (SGD) till tv˚ a polynom f och g (precis som man r¨aknar ut SGD 29 till tv˚ a heltal . En annan viktig konsekvens av divisonsalgoritmen ¨ar en sats k¨and redan fr˚ an gymnasiekursen: (6.2) Faktorsatsen. Resten vid division av ett polynom f (X) med X − a ¨ar f (a). I synnerhet ¨ar X − a en delare till f (X) d˚ a och endast d˚ a f (a) = 0. Bevis. Enligt divisionsalgoritmen har vi: (∗∗)

f (X) = (X − a)q(X) + r(X),

d¨ar r(X) a¨r ett konstant polynom (d¨arf¨or att X − a har graden 1). L˚ at r(X) = r (en konstant) och ber¨akna v¨anster och h¨ogerled i (∗∗) ovan f¨or X = a. D˚ a ¨ar (6.3)

f (a) = r.

dvs resten vid division av f (X) med X − a ¨ar f (a). Det sista p˚ ast˚ aendet i faktorsatsen (som f¨or ¨ovrigt oftast kallas fakorsatsen) f¨oljer nu direkt ur (6.3): Om X − a ¨ar en delare till f (X) dvs r = 0 s˚ a ¨ar f (a) = 0 dvs a ¨ar ett nollst¨alle till f (X). Om a ¨ar ett nollst¨alle till f (X) dvs f (a) = 0 s˚ a ¨ar r = 0 dvs X − a ¨ar en delare till f (X). 2 Ett mycket viktigt begrepp som vi vill diskutera nu ¨ar motsvarigheten till primtalen i 28

Delbarheten kan definieras i en godtycklig ring. Om a, b ∈ R s˚ a s¨ ager man att a ¨ ar en delare till b (och skriver a|b) om det finns q ∈ R s˚ a att b = aq. 29 N¨ ar det g¨ aller definitionen av SGD och Euklides algoritm h¨ anvisar vi till kursboken.

33

polynomringar: (6.4) Definition. Man s¨ager att ett polynom f ∈ K[X] ¨ar reducibelt i K[X] om f = gh, d¨ar g, h ∈ K[X] och 1 ≤ grad g < grad f , 1 ≤ grad h < grad f . Ett polynom av grad minst 1 som inte ¨ar reducibelt kallas irreducibelt. Man s¨ager att en delare g till f s˚ adan att 1 ≤ grad g < grad f ¨ar ¨akta 30 . D¨arf¨or ¨ar f reducibelt om det har en ¨akta delare, och irreducibelt om dess grad ¨ar minst 1 och det saknar ¨akta delare. Ur definitionen f¨oljer att polynomen av graden 1 alltid ¨ar irreducibla. Ett irreducibelt polynom f saknar icke-triviala delare. Men det har triviala delare — a och af , d¨ar a ∈ K och a 6= 0. Man har n¨amligen f = a( a1 f ) och f = (af ) a1 . Enligt v˚ ar definition saknar ett irreducibelt polynom andra delare ¨an de triviala. Det ¨ar mycket viktigt att begreppen reduciblelt och irreduciblet polynom inte g¨aller f¨or konstanta polynom. Varf¨or ¨ar detta s˚ a viktigt kommer vi att f¨orklara n¨ar vi diskuterar faktoruppdelningar av polynom. Nu skall vi g˚ a igenom n˚ agra exempel p˚ a irreducibla polynom i olika polynomringar. (6.5) Polynomringen C[X]. I samband med v˚ ar diskussion av komplexa tal n¨amnde vi (polynom)algebrans fundamentalsats (se(4.4)) som s¨ager att varje ickekonstant polynom med komplexa koefficienter har ett komplext nollst¨alle. Detta betyder att om f ∈ C[X] och grad f ≥ 1 s˚ a ¨ar f (z1 ) = 0 f¨or ett komplext tal z1 . Enligt faktorsatsen har vi f (X) = (X − z1 )f1 (X). H¨ar ¨ar grad f1 = grad f − 1. Om grad f1 ≥ 1 s˚ a har f1 ett komplext nollst¨alle z2 . Nu ger faktorsatsen att f1 (X) = (X − z2 )f2 (X) s˚ a att f (X) = (X − z1 )(X − z2 )f2 (X). Vi kan forts¨atta faktoruppdelningen av f (X) tills vi f˚ ar f (X) = (X − z1 )(X − z2 )...(X − zn )fn (X), d¨ar fn (X) ¨ar ett konstant polynom. Detta resonemang leder till f¨oljande resultat: (6.6) Sats. Varje icke-konstant polynom f ∈ C[X] ¨ar en produkt av f¨orstagradspolynom. Allts˚ a ¨ar varje polynom f ∈ C[X] av grad ≥ 2 reduciblet och alla irreducibla polynom i C[X] ¨ar f¨orstagradspolynomen. (6.7) Polynomringen R[X]. Situationen med irreducibla polynom i den ringen ¨ar lite mera komplicerat ¨an i C[X]. Men man kan fortfarande ganska l¨att beskriva alla irreducibla polynom. F¨orst noterar vi f¨oljande hj¨alpresultat: (6.8) Lemma. f ∈ R[X] och z ¨ar ett komplext tal s˚ a ¨ar f (z) = f (¯ z ). I synnerhet, om z ¨ar ett nollst¨alle till f (X) dvs f (z) = 0, s˚ a ¨ar ocks˚ a z¯ ett nollst¨alle till f (X) dvs f (¯ z ) = 0. 30

I st¨ allet f¨ or “¨ aktas¨ ager man ocks˚ a “icketrivial”.

34

Bevis. L˚ at f (X) = an X n + an−1 X n−1 + ... + a1 X + a0 , d¨ar ai ∈ R. D˚ a ¨ar

31

f (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . a1 z + a0 = a ¯n z¯n + a ¯n−1 z¯n−1 + ... + a ¯1 z¯ + a ¯0 = f (z), ty a ¯i = ai d¨arf¨or att ai a¨r reella. 2 Nu ¨ar det mycket l¨att att bevisa f¨oljande sats om faktorgruppdelningar i R[X] : (6.9) Sats. Varje icke-konstant reellt polynom ¨ar en produkt av irreducibla faktorer av grader 1 eller 2. Allts˚ a ¨ar varje reellt polynom av grad ≥ 3 reducibelt och alla irreducibla polynom i R[X] ¨ar f¨orstagradspolynom och andragradpolynom utan reella nollst¨allen. Bevis. L˚ at f (X) ∈ R[X]. Vi visar satsen genom induktion efter graden av f (X). Om f (X) har graden 1 s˚ a ¨ar p˚ ast˚ aendet klart (f (X) ¨ar irreducibelt). Antag att p˚ ast˚ aendet g¨aller f¨or alla polynom av graden < n. Vi vill visa att att det ocks˚ a g¨aller f¨or alla polynom av graden n. L˚ at f (X) vara ett s˚ adant polynom. Om f (X) har ett reellt nollst¨alle a s˚ a a¨r: f (X) = (X − a)f1 (X) enligt faktorsatsen, och grad f1 = n − 1. Enligt induktionsantagandet ¨ar f1 en produkt av f¨orsta och andragradspolynom utan reella nollst¨allen s˚ a att detsamma g¨aller f¨or f (X). Om f (X) saknar reella nollst¨allen s˚ a ¨ar f (z) = 0 f¨or ett icke-reellt tal z. Enligt faktorsatsen ¨ar f (X) = (X − z)f1 (X). Enligt lemma (6.8) ¨ar f (¯ z ) = 0 s˚ a att (¯ z − z)f1 (z) = 0, vilket ger f1 (¯ z ) = 0 ty z¯ − z 6= 0 (om z¯ − z = 0 s˚ a ¨ar z reellt!). Genom att till¨ampa faktorsatsen p˚ a f1 (X) f˚ ar vi nu f1 (X) = (X − z¯)f2 (X) s˚ a att f (X) = (X − z)(X − z¯)f2 (X) Vi har (X − z)(X − z¯) = X 2 − pX + q, d¨ar p = z + z¯ och q = z z¯ ¨ar reella tal. D¨arf¨or ¨ar ocks˚ a f2 (X) ett reellt polynom (kvoten 2 av f (X) genom X − pX + q) och grad f2 = n − 2. Polynomet X 2 − pX + q ¨ar ett andragradspolynom utan reella nollst¨allen. Om f2 (X) ¨ar ett konstant polynom s˚ a ¨ar p˚ ast˚ aendet klart. Annars s¨ager induktionsantagandet att f2 (X) ¨ar en produkt av f¨orstagradspolynom eller andragradspolynom utan reella nollst¨allen s˚ a att samma p˚ ast˚ aende g¨aller f¨or f (X). 31

Om z = a + bi s˚ a z¯ = a − bi. Vi har z1 + z2 = z¯1 + z¯2 ochz1 z2 = z¯1 z¯2

samt z¯ = z d˚ a och endast d˚ aza ¨r reellt.

35

Sista meningen i satsen ¨ar en direkt konsekvens av dess f¨orsta del. 2 Det f¨oljer ur satsen att t ex polynomet X 4 + 4 ¨ar reduciblet i R[X]. Det ¨ar inte alltid l¨att att hitta en faktoruppdelning. H¨ar har vi t ex: X 4 + 4 = (X 4 + 4X 2 + 4) − 4X 2 = (X 2 + 2)2 − (2X)2 = (X 2 − 2X + 2)(X 2 + 2X + 2).

(6.10) Polynomringen Q[X]. Situationen h¨ar ¨ar mycket mera sammansatt ¨an i C[X] och R[X]. Det finns inte n˚ agon k¨and beskrivning av alla irreducibla polynom, men man vet att f¨or varje n ≥ 1 finns o¨andligt m˚ anga irreducibla polynom av graden n. T ex ¨ar alla polynom X n − p, d¨ar n ≥ 1 och p ¨ar ett godtyckligt primtal, irreducibla. Detta p˚ ast˚ aende f¨oljer direkt av f¨oljande mycket k¨anda resultat: (6.11) Eisensteins kriterium.32 Om f (X) = an X n + an X n−1 + ... +a1 X + a0 , d¨ar ai ∈ Z, och det finns ett primtal p s˚ adant att p|an , p|an−1 , ..., p|a1 , p|a0 och p2/| a0 , s˚ a ¨ar f (X) irreducibelt i Q[X]. Se o¨vning 5 f¨or ett bevis av Eisensteins kriterium. Slutligen a¨gnar vi n˚ agra ord ˚ at polynomringarna Zp [X]. Dessa ringar har en stor praktisk betydelse (s¨arskilt f¨or p = 2) i kodningsteori och kryptologi (t ex felkorrigering i datorminnen och s¨akerhetssystem f¨or data¨overf¨oring). Vi har inte n˚ agon m¨ojlighet att f¨ordjupa oss i den problematiken. Men det finns kurser i till¨ampad algebra, d¨ar man kan bekanta sig med dessa aspekter samt kurser i algebra och talteori, d¨ar man studerar rent matematiska till¨ampningar p˚ a dessa intressanta ringar. (6.12) Polynomringarna Zp [X]. I dessa ringar finns det ocks˚ a irreducibla polynom av godtyckliga grader (precis som i Q[X]), men det finns exakta formler f¨or deras antal och mycket effektiva algoritmer f¨or att kunna testa irreducibiliteten (beroende p˚ a mycket viktiga tekniska till¨ampningar finns det f¨ardiga programpaket f¨or dessa ¨andam˚ al). L˚ at oss ¨agna en stund ˚ at Z2 [X] som ¨ar den enklaste, och f¨or till¨ampningarna, den viktigaste, bland ringarna Zp [X]. Man kan skriva ut alla polynom av given grad n : grad 0: 1 grad 1: X, X + 1 grad 2: X 2 , X 2 + 1, X 2 + X, X 2 + X + 1 grad 3: X 3 , X 3 + 1, X 3 + X, X 3 + X + 1, X 3 + X 2 , X 3 + X 2 + 1, X 3 + X 2 + X, X3 + X2 + X + 1 osv. Bland dessa polynom kan man hitta alla irreducibla: 32

Ferdinand Eisenstein (16/4 1823 − 11/11 1852) en mycket framst˚ aende tysk matematiker.

36

grad 1: X, X + 1 grad 2: X 2 + X + 1 grad 3: X 3 + X + 1, X 3 + X 2 + 1. F¨or att kontrollera att t ex X 2 + X + 1 ¨ar irreducibelt finner vi l¨att att alla reducibla polynom av grad 2 a¨r X 2 , X(X + 1) = X 2 + X och (X + 1)2 = X 2 + 1 (observera att 2X = 0 ty 2 ≡ 0 (mod 2)!). X 2 + X + 1 finns inte bland dem, vilket betyder att det inte kan faktoriseras i produkt av tv˚ a polynom av grad 1. P˚ a liknande s¨att kan man skriva ut alla reducibla polynom av grad 3 och konstatera att X 3 + X + 1 och X 3 + X 2 + 1 inte finns bland dem. F¨or andra faktoriseringsmetoder och en till¨ampning se o¨vningarna. Som vi n¨amnde tidigare p˚ aminner ringarna K[X] mycket om heltalen (analogin ¨ar starkast d˚ a K = Zp ). Irreducibla polynom p˚ aminner om primtalen. Vi vet att varje naturligt tal 6= 1 har en faktoruppdelning i produkt av primtal t ex 10 = 2 · 5 = 5 · 2. Om man betraktar heltalen Z s˚ a har man ocks˚ a 10 = (−2) · (−5) = (−5) · (−2), dvs 10 f˚ ar tv˚ a “nyafaktoruppdelningar. Talen ±p, d¨ar p ¨ar ett primtal, har exakt samma egenskap som irreducibla polynom — de saknar ¨akta delare. Man kan kalla s˚ adana tal f¨or irreducibla (heltal). Om man till˚ ater ±1 som faktorer, f˚ ar man o¨andligt m˚ anga faktoruppdelningar som t ex 10 = 2 · 5 · 1 = 2 · 5 · 1 · 1 = 2 · 5 · (−1) · (−1) osv. Det ¨ar orsaken till att man inte betraktar ±1 som irreducibla tal (dvs primtal) trots att de saknar ¨akta delare. F¨or polynom har man en liknande situation. t ex ¨ar i Q[X] : 1 1 X 2 − 1 = (X − 1)(X + 1) = 2(X − 1) (X + 1) = 3(X − 1) (X + 1) 2 3 osv. Konstanterna 6= 0 kan alltid skrivas in i en faktoruppdelning precis som faktorerna ±1 i heltalsfallet. I polynomringarna K[X] betraktas d¨arf¨or inte konstanterna 6= 0 som irreducibla polynom (eller reducibla polynom). Konstanterna 6= 0 ¨ar polynom som har invers (a · a1 = 1 d˚ a a 6= 0). Som vi vet, kallas s˚ adana element f¨or enheter (se def. (5.7)). ±1 ¨ar de enda enheterna i Z, konstanterna 6= 0 ¨ar de enda enheterna i K[X]. F¨oljande sats visar p˚ a en l˚ angtg˚ aende likhet mellan primtal och irreducibla polynom: (6.13) Sats. Varje icke-konstant polynom i K[X] ¨ar en produkt av irreducibla polynom. Om f ∈ K[X] och f = p1 p2 ...pr = p01 p02 ...p0s , a ¨ar r = s och man kan numrera faktorerna d¨ar p1 , p2 , ..., pr och p01 , p02 , ..., p0s ¨ar irreducibla s˚ p˚ a ett s˚ adant s¨att att pi = ai p0i f¨or en l¨amplig konstant ai ∈ K. Satsen s¨ager att tv˚ a olika faktoruppdelningar av samma (icke-konstanta) polynom har lika

37

m˚ anga irreducibla faktorer, och dessutom kan dessa faktorer paras ihop s˚ a att faktorerna i samma par skiljer sig s˚ a n¨ar som p˚ a en konstant (man s¨ager ocks˚ a att s˚ adana faktorer ¨ar associerade). Bevis. Existensen av faktoruppdelningen visas med hj¨alp av induktion efter graden av f . Om grad f = 1 s˚ a ¨ar saken klar. Antag att p˚ ast˚ aendet g¨aller f¨or alla polynom av grad < n och l˚ at grad f = n > 1. Om f ¨ar irreducibelt s˚ a ¨ar p˚ ast˚ aendet klart (det finns bara en irreducibel faktor p1 = f ). Om f ¨ar reducibelt dvs f = gh, d¨ar 1 ≤ grad g < grad f och 1 ≤ grad h < grad f , s˚ a s¨ager induktionsantagandet att b˚ ade g och h har faktoruppdelningar i produkt av irreducibla polynom s˚ a att detsamma g¨aller f¨or f . Vi utel¨amnar beviset f¨or andra delen av satsen dvs entydigheten. Den visas p˚ a precis samma s¨att som entydigheten av primfaktoruppdelningar av heltalen. 2 Vi skall avsluta detta avsnitt med n˚ agra ord om definitionen av polynomringarna R[X]. Du beh¨over inte betrakta dessa ord s¨arskilt allvarligt. De ¨ar t¨ankta som en f¨orklaring f¨or den som k¨anner att det vore bra med en mera stringent definition av begreppet polynom. Men man kan klara sig ganska l¨ange utan den stringensen. Ett polynom kan n¨amligen uppfattas som en o¨andlig f¨oljd (a0 , a1 , a2 , ...) d¨ar ai ∈ R. F¨or den f¨oljden skall det finnas ett n s˚ adant att ai = 0 d˚ a i > n. Polynom adderas och multipliceras enligt f¨oljande definition: (a0 , a1 , a2 , ...) + (b0 , b1 , b2 , ...) = (a0 + b0 , a1 + b1 , a2 + b2 , ...) och (a0 , a1 , a2 , ...)(a0 , a1 , a2 , ...) = (a0 b0 , a0 b1 + a1 b0 , a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 , ...) Vad ¨ar X och hur kan man skriva om polynom till den v¨albekanta formen a0 + a1 X + a2 X 2 + ... + an X n ? Man definierar: X = (0, 1, 0, 0, ...). D˚ a ¨ar

X 2 = (0, 0, 1, 0, ...), X 3 = (0, 0, 0, 1, ...),

och allm¨ant X n = (0, 0, ..., 0, 1, 0, ...), d¨ar an = 1 och ai = 0 d˚ a i 6= n. Vidare observerar man att polynomen (a0 , 0, 0, ...) adderas och multipliceras som elementen i R : (a0 , 0, ...) + (b0 , 0, ...) = (a0 + b0 , 0, ...), och (a0 , 0, ...)(b0 , 0, ...) = (a0 b0 , 0, ...). D¨arf¨or kommer man ¨overens om att bet¨ackna (a0 , 0, ...) med a0 . Man observerar ocks˚ a att

38

(0, 0, ..., 0, an , 0, ...) = (an , 0, 0, ...)(0, 0, ..., 0, 1, 0, ...) = an X n Om nu (a0 , a1 , ..., an , ...) ¨ar ett polynom d¨ar ai = 0 d˚ a i > n s˚ a ¨ar (a0 , a1 , ..., an , ...) = (a0 , 0, 0, ...) + (0, a1 , 0, ...) + (0, 0, 0, ..., an , ...) = = a0 + a1 X + ... + an X n och vi f˚ ar v˚ ara v¨albekanta polynom. ¨ VNINGAR O 1. Visa att f¨oljande polynom a¨r irreducibla: a) X 2 + 2X + 2 i R[X], b) X 3 − 2 i Q[X], c) X 2 + 1 i Z3 [X], d) X 4 + X + 1 i Z2 [X]. 2. Faktoruppdela polynomet X 4 +2X 2 +9 i irreducibla faktorer i Q[X], R[X] och C[X]. 3. Faktoruppdela X 4 + 1 i irreducibla faktorer i Q[X], R[X] och C[X]. 4. L˚ at K vara en kropp och l˚ at f ∈ K[X]. Visa att a) Om grad f ≥ 2 och f har ett nollst¨alle i K s˚ a ¨ar f reducibelt i K[X]. b) Om grad f = 2 eller 3 s˚ a ¨ar f reducibelt i K[X] d˚ a och endast d˚ a f har nollst¨allen i K. c) Konstruera ett exempel som visar att b) inte g¨aller d˚ a grad f = 4. d) L¨os uppgifterna 1 a)-c) med hj¨alp av b). 5. Bevisa Eisensteins kriterium: Om ett polynom f (x) = an X n + an−1 X n−1 + ... + a1 X + a0 har hela koefficienter ai och p|/an , p|an−1 , ..., p|a1 , p|a0 samt p2/| a0 f¨or ett primtal p s˚ a ¨ar f (X) irreducibelt i Z[X]. Ledning. (bevisskiss). L˚ at

f (X) = (bk X k + bk−1 X k−1 + ... + b1 X + b0 )(cl X l + cl−1 X l−1 + ... + c1 X + c0 )

39

d¨ar 1 ≤ k < n och 1 ≤ l < n. D˚ a ¨ar a0 = b0 c0 och p|b0 eller p|c0 men ej b˚ ada (varf¨or?). L˚ at p|b0 och p|/c0 . Visa succesivt att p|b1 , p|b2 , ..., p|bk genom att studera likheterna: a0 = b0 c0 , a1 = b0 c1 + b1 c0 , a2 = b0 c2 + b1 c1 + b2 c0 , ... ak = b0 ck + b1 ck−1 + ... + bk−1 c1 + bk c0 . ¨ p|bk m¨ojligt? (Observera att an = bk cl !). Ar Anm¨ arkning. Ett resultat k¨ant som Gauss lemma s¨ager att om ett heltaligt polynom ¨ar irreducibelt i Z[X] s˚ a ¨ar det irreducibelt i Q[X]. Detta resultat ter sig ganska sj¨alvklart (om man t¨anker lite p˚ a det) men dess bevis ¨ar inte helt banalt 33 . 6. % Betrakta f¨oljande krets

L

-

6

6 ¾

¾

s0

¾

s1

¾

s2

¾

s3

klocksignal

¾

fig 1

Den fungerar s˚ a att under verkan av en klocksignal ¨overg˚ ar inneh˚ allet i vart av ett av registren s1 , s2 , s3 till det f¨oreg˚ aende registret, s0 emiteras och s3 ers¨attes med s4 = s1 + s0 (dvs efter 1 tidsenhet inneh˚ aller registren s1 , s2 , s3 , s4 ). Allm¨ant har man sn+4 = sn+1 + sn d˚ a n = 0, 1, 2, . . . . a) Skriv ut den emiterade sekvensen d˚ a s0 = 1, s1 = 0, s2 = 1, s3 = 1 och “ + ” betyder bin¨ar addition. Hur l˚ ang ¨ar perioden av den sekvensen. 33

Gauss lemma visas i kursen “Grupper, ringar och kroppar”.

40

Anm¨ arkning. En krets av den typen kallas f¨or ett linj¨art ˚ aterkopplat skiftregister. S˚ adana kretsar har en stor betydelse i radarkommunikation, kryptering, kodning, avkodning och slumptalsgenerering. Ofta ¨ar man intresserad av l˚ anga icke-periodiska signalsekvenser. Allm¨ant betraktar man kretsar:

L

6 ¶³

6 ¶³

µ´

µ´

ct

¾

-

s0

¾

...

ct−1

s1

L 6 ¶³

6 ¶³

µ´

µ´

st−2 ¾

st−1 ¾

c2

¾ ...

L c1

¾

klocksignal

fig 2

d¨ar sn+t = c1 sn+t−1 + c2 sn+t−2 + ... + ct−1 sn+1 + ct sn d˚ a n = 0, 1, 2, ... . si och ci beh¨over inte vara 0 eller 1 — de kan tillh¨ora en godtycklig ring ( men om de ¨ar 0 eller 1 och “ ⊕ ” betyder bin¨ar addition s˚ a f¨orenklas kretsen som i fig 1). Man s¨ager att p(X) = X t − c1 X t−1 − c2 X t−2 − ... − ct−1 X − ct ¨ar kopplingspolynomet till skiftregistret i fig 2. t ex ¨ar kopplingspolynomet f¨or kretsen i fig. 1: p(X) = X 4 − X − 1 (dvs p(X) = X 4 + X + 1 ty -1 = 1 i Z2 ). Man visar att om p(X) ¨ar irreduciblet i Z2 [X] s˚ a a¨r l¨angden av perioden av s0 , s1 , s2 , ..., sn , ... en delare till 2l − 1. Man visar ocks˚ a att det finns irreducibla polynom f¨or vilka man f˚ ar exakt l¨angden 2l − 1 (s˚ adana polynom kallas primitiva). b) Visa att polynomet X 5 + X 2 + 1 ¨ar irreducibelt i Z2 [X] och konstruera ett linj¨art ˚ aterkopplat skiftregister med detta polynom som kopplingspolynom. Motivera att kretsen genererar en icke-periodisk signalsekvens av l¨angden 31.%

¨ ¨ ¨ 7 UPRAKNELIGA OCH ICKE-UPPRAKNELIGA TALMANGDER. ¨ det m¨ojligt att j¨amf¨ora storleken av olika talm¨angder? Har det n˚ Ar agon mening om ¨ man s¨ager att det finns fler irrationella tal ¨an rationella? Ar det ¨overhuvudtaget m¨ojligt att j¨amf¨ora storleken av o¨andliga m¨angder? S˚ adana fr˚ agor sysselsatte m¨anniskor f¨or l¨ange sedan och svaren p˚ a dem hade mycket viktiga konsekvenser f¨or hela matematiken.

41

Storleken av tv˚ a m¨angder, med ett ¨andligt antal element var, kan j¨amf¨oras genom att man r¨aknar antalet element i dem. Den metoden ¨ar oanv¨andbar om tv˚ a m¨angder ¨ar o¨andliga. Men det finns ett s¨att att j¨amf¨ora ¨andliga m¨angder som kan generaliseras till o¨andliga. I st¨allet f¨or att r¨akna antalet element i tv˚ a m¨angder A och B f¨or att avg¨ora vilken av dessa tv˚ a som inneh˚ aller flest element, kan man f¨ors¨oka para ihop elementen i A med elementen i B s˚ a att mot olika element i A svarar olika element i B och varje element i B tillh¨or n˚ agot par. Om det ¨ar m¨ojligt s˚ a kan man s¨aga att A och B har lika m˚ anga element. Om det finns element i B som inte tillh¨or n˚ agot par, s˚ a ¨ar slutsatsen att B inneh˚ aller fler element ¨an A. Om man inte har lyckats para ihop elementen i A och B d¨arf¨or att elementen i B har tagit slut innan alla element i A fick ett par s˚ a kan man s¨aga att A har fler element ¨an B. Formellt har man f¨oljande definition: (7.1) Definition. Man s¨ager att tv˚ a m¨angder A och B har samma kardinalitet om det finns en bijektiv funktion f : A → B. Detta betyder att mot varje a ∈ A svarar b = f (a) ∈ B p˚ a ett s˚ adant s¨att att mot olika a svarar olika b och att varje b svarar mot n˚ agot a. Paren ¨ar (a, f (a)). Intuitivt betyder existensen av f att A och B har lika m˚ anga element. Den intuitionen leder till en del agra exempel. ¨overraskningar som vi visar med hj¨alp av n˚ (7.2) Exempel. N och Z har samma kardinalitet (¨ar “lika stora”). F¨or att visa det kan vi bilda en f¨oljd av heltalen: 0 ↓ 1

1 ↓ 2

−1 ↓ 3

2 ↓ 4

−2 ↓ 5

3 ↓ 6

−3 . . . ↓ 7 ...

och numrera heltalen i ¨ovre raden med hj¨alp av de naturliga talen som pilarna ner˚ at visar. P˚ a det s¨attet f˚ ar vi en bijektion mellan N och Z. Man kan definiera f : Z → N mera formellt: ½ 2n om n > 0, f (n) = −2n + 1 om n ≤ 0. En m¨angd som har samma kardinalitet som N kallas uppr¨ aknelig. V˚ art sista exempel s¨ager att Z ¨ar uppr¨aknelig. Man kan s¨aga att en m¨angd A ¨ar uppr¨aknelig om dess element kan anordnas i en f¨oljd a1 , a2 , a3 , ... , d¨arf¨or att en bijektion f : N → A numrerar elementen i A med hj¨alp av de natuliga talen: f (1) = a1 , f (2) = a2 , f (3) = a3 , ... osv. Nu vill vi visa att Q ¨ar uppr¨aknelig, men l˚ at oss innan dess g¨ora en mycket enkel observation som kommer att visa sig mycket nyttig: (7.3) Lemma. Om A ¨ar en uppr¨aknelig m¨angd och B ¨ar en ¨andlig eller uppr¨aknelig m¨angd s˚ a ¨ar A ∪ B uppr¨aknelig. Bevis. Om a1 , a2 , a3 , ... ¨ar f¨oljden av alla element i A och b1 , b2 , b3 , ... ¨ar f¨oljden av alla element i B (den f¨oljden kan vara ¨andlig), s˚ a kan man bilda f¨oljden a1 , b1 , a2 , b2 , a3 , b3 , ... som inneh˚ aller alla element i A ∪ B m¨ojligen med upprepningar. Nu kan vi stryka ur den f¨oljden varje element vid dess upprepade f¨orekomst och d˚ a f˚ ar vi en f¨oljd av alla element i A ∪ B. Detta visar att A ∪ B a¨r uppr¨aknelig. 2

42

(7.4) Exempel. Q ¨ar uppr¨aknelig. F¨orst visar vi att m¨angden av positiva rationella tal ¨ar uppr¨aknelig. F¨or att g¨ora det skriver vi ut alla positiva rationella tal i form av tabellen:

1 1

2 1

1 / 1 / 1 2 4 B 3 ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥£ ¥ ¥¥ £¥¥ 2

2

2 4

...

3

3 3

3 4

...

4 2

4 3

4 4

...

.. .

.. .

.. .

3 B 2 ¥¥ ¥¥ ¥ ¥ ¥ ¥¥ ¥¥ ² ¥¥¥ £¥¥

3 1

4 1

¥2 ¥¥ ¥ ¥¥ £¥¥

.. .

...

Den omfattar alla positiva rationella tal med en del upprepningar. Nu kan man bilda en f¨oljd av dessa tal genom att tilldela dem i tur och ordning de naturliga talen 1,2,3,... d˚ a man startar i 11 och f¨oljer pilen i enlighet med fig 2. Man hoppar ¨over de tal som man redan har p˚ atr¨affat. Allts˚ a ¨ar: 1 1

↓ 1

1 2

↓ 2

2 1

↓ 3

3 1

↓ 4

1 3

↓ 5

1 4

↓ 6

2 3

...

↓ 7 ...

(Man hoppar h¨ar ¨over 22 = 11 ). Detta visar att positiva rationella tal bildar en uppr¨aknelig m¨angd. Men ¨aven negativa rationella tal bildar en uppr¨aknelig m¨angd (man kan byta alla tecken i fig 2 och resonera som tidigare eller utnyttja funktionen f (x) = −x som ger en bijektion mellan alla positiva och alla negativa rationellea tal). Om vi nu tar A = alla positiva rationella tal och B = alla negativa rationella tal s˚ a f˚ ar vi enligt Lemma (7.3) att Q = A ∪ B ∪ {0} ¨ar uppr¨aknelig (A ∪ B ¨ar uppr¨aknelig som union av tv˚ a uppr¨akneliga m˚ angder och (A ∪ B) ∪ {0} a¨r uppr¨aknelig som union av en uppr¨aknelig och en a¨ndlig m¨angd). Nu ger vi exempel p˚ a en mycket viktig icke-uppr¨aknelig m¨angd: (7.5) Sats. R ¨ar inte uppr¨aknelig. Bevis. Antag motsatsen dvs att man kan bilda en f¨oljd av alla reella tal. D˚ a kan man ocks˚ a bilda en f¨oljd av alla reella tal i intervallet (0,1) (som en delf¨oljd av alla reella tal):

43

x1 = 0, a11 a12 a13 ...a1n ... x2 = 0, a21 a22 a23 ...a2n ... .................. xi = 0, ai1 ai2 ai3 ...ain ... .................. d¨ar ain ¨ar n : te decimalsiffran i en decimalutveckling av xi . Betrakta nu talet x = 0, b1 b2 b3 ...bn ..., d¨ar

½ bi =

1 2

om aii 6= 1, om aii = 1.

Trots at talet x ligger i intervallet (0, 1) kan det inte finnas bland talen x1 , x2 ,...,xi , ... d¨arf¨or att i:te decimalsiffran av x inte ¨ar lika med i:te decimalsiffran av xi s˚ a att x 6= xi 34 f¨or i = 1, 2, .... 2 Den sista satsen visades av G. Cantor35 1872. En av dess konsekvenser ¨ar att de irrationella talen ¨ar “fler”¨an de rationella d¨arf¨or att de irrationella talen bildar en ickeuppr¨aknelig m¨angd, medan de rationella, en uppr¨aknelig. Tag n¨amligen, A = rationalla tal och B = irrationella tal. D˚ a ¨ar R = A ∪ B och eftersom A ¨ar uppr¨aknelig s˚ a m˚ aste B vara ickeuppr¨aknelig ty annars ¨ar A ∪ B uppr¨aknelig enligt Lemma (7.3). G.Cantor visade ett annat resultat om talm¨angder som spelade en mycket viktig roll i matematikens utveckling och bef¨aste betydelsen av hans teori. Detta var hans bevis av att de sk transcendenta talen (som t ex π och e) ¨ar fler ¨an de algebraiska. L˚ at oss f¨orklara begreppen algebraiskt och transcendent tal: (7.6) Definition. Man s¨ager att ett tal ¨ar algebraiskt om det uppfyller en icke-trivial36 polynomekvation med rationella koefficienter. Ett tal som inte ¨ar algebraiskt kallas transcendent. Det ¨ar mycket l¨att att ge exempel p˚ a algebraiska tal:√1 uppfyller ekvationen X − 1 = 0, varje rationellt tal a uppfyller ekvationen X − a = 0, 2 uppfyller ekvationen X 2 − 2 = 0, √ 2 ¨ i uppfyller ekvationen X + 1 = 0, osv. Detta betyder att 1, 2, i ¨ar algebraiska tal. Aven √ √ α = 2 + 3 ¨ar algebraiskt fast det ¨ar lite sv˚ arare att hitta en ekvation med rationella koefficienter som α uppfyller. Men: √ √ α2 = 5 + 2 6 dvs α2 − 5 = 2 6 √ √ vilket ger (α2 − 5)2 = 24 dvs α4 − 10α2 + 1 = 0. Detta visar att α = 2 + 3 satisfierar f (X) = X 4 − 10X 2 + 1 = 0. Det ¨ar betydligt sv˚ arare att ge exempel p˚ a transcendenta tal dvs s˚ adana tal som inte uppfyller n˚ agon icketrivial ekvation med rationella koefficienter. De f¨orsta exemplen p˚ a 34 x kan inte ha tv˚ a olika decimalutvecklingar d¨ arf¨ or att om ett tal har tv˚ a olika decimalutvecklingar s˚ a har en av dem o¨ andligt m˚ anga siffror 0, och den andra, o¨ andligt m˚ anga siffror 9. 35 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) en tysk matematiker som lade grunden f¨ or den moderna m¨ angdteorin. 36 Den triviala a ar f a ¨r f (X) = 0, d¨ ¨r nollpolynomet. Varje tal uppfyller den ekvationen.

44

s˚ adana tal konstruerades av J. Liouville 37 1844. Men f¨orst 1873 visade C. Hermite 38 att talet e k¨ant fr˚ an analyskursen som limn→∞ (1 + n1 )n ¨ar transcendent. Kort d¨arefter 1874 visade G.Cantor att de transcendenta talen bildar en icke-uppr¨aknelig m¨angd genom att visa att de algebraiska talen ¨ar uppr¨akneliga. Hans argument var f¨oljande: C = A ∪ B, A = de algebraiska talen och B = de transcendenta talen. Eftersom A ¨ar uppr¨aknelig (vi skall visa det snart) och C ¨ar icke-uppr¨aknelig (C inneh˚ aller ju R som inte ¨ar uppr¨aknelig) s˚ a m˚ aste B vara icke-uppr¨aknelig (se lemma (7.3) igen!). Allts˚ a ¨ar det fler transcendenta tal ¨an algebraiska. Trots det ¨ar det mycket sv˚ arare att ge exempel p˚ a transcendenta tal 39 40 a algebraiska . Det tog ytterliggare n˚ agra ˚ ar innan F.Lindeman visade 1882 att ¨an p˚ √ 2 talet π ¨ar transcendent. Fortfarande visste man inte d˚ a om t ex 2 var transcendent. Den fr˚ agan avancerade till ett av 23 stora matematiska problem som formulerades ˚ ar 1900 av en mycket framst˚ aende tysk matematiker D. Hilbert 41 . I sitt sjunde problem fr˚ agade han om talen ab , d¨ar a ¨ar rationellt 6= 0, 1 och b ¨ar icke-rationellt ¨ar transcendenta. Problemet l¨ostes oberoende av en rysk matematiker A.O.Gelfond och en tysk matematiker T.Schneider√som 1934 visade att s˚ adana tal verkligen ¨ar transcendenta (A.O.Gelfond 2 visade att 2 ¨ar transcedent redan 1929). %Innan vi visar G.Cantors resultat om algebraiska tal beh¨over vi n˚ agra enkla och allm¨anna resultat om uppr¨akneliga m¨angder. Det f¨orsta av dem l¨amnar vi som en ¨ovning (se ¨ovning 2): (7.7) Proposition. L˚ at A vara en uppr¨aknelig m¨angd. (a) Om f : B → A ¨ar en injektion och B ¨ar o¨andlig s˚ a ¨ar B uppr¨aknelig. (b) Om f : A → B ¨ar en surjektion och B ¨ar o¨andlig s˚ a ¨ar B uppr¨aknelig. (7.8) Proposition. Om A ¨ar en uppr¨aknelig m¨angd s˚ a ¨ar ocks˚ a A × A uppr¨aknelig. Mera allm¨ant ¨ar A × A × ... × A (n faktorer) uppr¨aknelig. Bevis. Man kan bevisa p˚ ast˚ aendet p˚ a precis samma s¨att som uppr¨akneligheten av Q (se exempel (7.4)). Men vi ger ett annat bevis. L˚ at a1 , a2 , a3 , ... vara element i A. Betrakta funktionen: f :A×A→N i j

0

0

dr f (ai , aj ) = 2 3 . Den a¨r injektiv d¨arf¨or att (ai , aj ) 6= (a0i , a0j ) implicerar att 2i 3j 6= 2i 3j (entydigheten av primfaktoruppdelningar !). p˚ a det s¨attet har A × A samma kardinalitet som en o¨andlig delm¨angd till N s˚ a att A×A ¨ar uppr¨aknelig enligt (7.7). F¨or att generalisera till n faktorer A bevh¨ovs det en mycket enkel induktion som vi utel¨amnar. 2 Slutligen visar vi en generalisering av (7.3): (7.9) Proposition.Om A1 , A2 , ... ¨ar uppr¨akneliga s˚ a ¨ar unionen A1 ∪A2 ∪... uppr¨aknelig. Bevis. F¨or varje i har vi P −n! Joseph Liouville (1809-1882) en fransk matematiker. Enligt hans resultat ¨ ar t ex talet ∞ transcendent. n=1 2 38 Charles Hermite (1822-1901) en fransk matematiker. 39 Men faktum ¨ ar att det ocks˚ a¨ ar mycket sv˚ arare att ge exempel p˚ a irrationella tal ¨ an p˚ a rationella! 40 Ferdinand Lindeman (1852-1939) var en tysk matematiker mest k¨ and just f¨ or resultatet om talet π. 41 David Hilbert (1862-1943). Hilberts problemlista har spelat en oerh¨ ort stor roll i 1900-talets matematiska forskning. 37

45

Ai = {ai1 , ai2 , ..., ain , ...}. Betrakta funktionen: f : N × N → A1 ∪ A2 ∪ ... s˚ adan att f (i, j) = aij . Den ¨ar surjektiv och m¨angden N × N ¨ar uppr¨aknelig (enligt (7.8)). Allts˚ a ¨ar ocks˚ a A1 ∪ A2 ∪ ... uppr¨aknelig. 2 Nu kan vi visa Cantors sats: (7.10) Sats. De algebraiska talen bildar en uppr¨aknelig m¨angd. Bevis. F¨orst visar vi att alla polynom med rationella koefficienter bildar en uppr¨aknelig m¨angd. Ett polynom a0 + a1 X + ... + an X n kan uppfattas som en f¨oljd (a0 , a1 , ..., an ). L˚ at An = m¨angden av alla polynom av grad ≤ n (samt nollpolynomet). D˚ a ¨ar An = Q × Q × ... × Q s˚ a att An ¨ar uppr¨aknelig enligt (7.8). Men m¨angden av alla polynom ¨ar A1 ∪A2 ∪...∪An ∪... och den ¨ar uppr¨aknelig enligt (7.9). Nu kan vi ordna alla algebraiska tal i en f¨oljd. F¨orst ordnar vi i en f¨oljd alla 6= 0 polynom med rationella koefficienter. F¨or vart och ett av dessa polynom skriver vi ut dess nollst¨allen i en godtycklig ordning. P˚ a det s¨attet f˚ ar vi en f¨oljd av alla algebraiska tal med upprepningar (samma tal kan vara ett nollst¨alle till flera polynom). Nu stryker vi ur den f¨oljden varje tal vid dess upprepade f¨orekomst. D˚ a f˚ ar vi en f¨oljd med varje algebraiskt tal representerat exakt en g˚ ang. 2 % ¨ VNINGAR O 1. Visa att f¨oljande intervall har samma kardinalitet: a) [a, b] och [c, d], d¨ar a 6= b och c 6= d, b) [a, b] och (a, b), d¨ar a 6= b, c) (0, 1) och (0, ∞). 2. Visa sats (7.7). 3. Visa att m¨angden av alla intervall [a, b], d¨ar a, b ¨ar rationella ¨ar uppr¨aknelig. a en r¨at linje ¨ar uppr¨aknelig. 4. Visa att varje m¨angd av parvis disjunkta str¨ackor p˚ 5. Visa att f¨oljande tal a¨r algebraiska: √ √ √ √ a) 2 + i, b) 3 5 , c) 2 + 3 + 1. ¨ dessa tal 6. L˚ at a, b vara transcendenta tal. Vad kan man s¨aga om a + b, ab, a−1 ? Ar transcendenta ? Anm¨ arkning. I senare kurser i algebra visar man att de algebraiska talen bildar en kropp.

TALSYSTEM OCH RESTARITMETIKER Juliusz Brzezinski

MATEMATISKA INSTITUTIONEN ¨ CHALMERS TEKNISKA HOGSKOLA ¨ GOTEBORGS UNIVERSITET ¨ GOTEBORG 2002

¨ FORORD Detta h¨afte handlar om talsystem, restaritmetiker och polynomringar i anslutning till kursen “MAL 200”. F¨orst visar vi hur och varf¨ or man definierar olika typer av tal. D¨ arefter kommer vi att bekanta oss med andra algebraiska system som har mycket gemensamt med talen. I avsnitt 2 diskuteras restaritmetiker som g¨ or det m¨ ojligt att visa flera mycket intressanta egenskaper hos heltalen. I avsnitt 3 utvidgar vi v˚ ara kunskaper om polynom med koefficienter i olika talomr˚ aden. Om du har n˚ agra kommentarer, uppt¨ acker n˚ agra tryckfel eller har f¨ orslag till f¨ orb¨ attringar av texten skicka g¨arna e-mail till jub at math.chalmers.se (Julius Brzezinski).

v

INNEH˚ ALL

1 TALBEGREPPET

1

2 RESTARITMETIKER

23

3 POLYNOMRINGAR

37

vii

AVSNITT 1

TALBEGREPPET Med all s¨akerhet har Du redan m¨ott olika typer av tal: naturliga, hela, rationella, reella och komplexa. Vad ¨ar det som skiljer olika talm¨ angder? Finns det andra typer av tal? Vad menas egentligen med ett tal? Vi skall f¨ ors¨ oka svara p˚ a dessa fr˚ agor genom att analysera olika egenskaper hos olika talm¨angder. Men svaren ¨ ar inte alltid enkla, och riktigt tillfredsst¨ allande svar kr¨aver ibland djupare kunskaper som f¨ orst ¨ ar tillg¨ angliga i senare kurser. Vi skall beteckna med: N de naturliga talen, Z de hela talen, Q de rationella talen, R de reella talen, C de komplexa talen. ar inte lika Vi har N = {1, 2, 3, ...}, Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...}, Q = { m n : m, n ∈ Z, n 6= 0}. Det ¨ l¨att att beskriva alla reella och komplexa tal. Vi skall f¨ ors¨ oka g¨ ora det i detta avsnitt och visa hur och varf¨or man definierar olika typer av tal. Alla tal kan adderas och multipliceras. Detta betyder att om a och b ¨ ar tv˚ a tal s˚ a kan man bilda deras summa a + b och deras produkt ab. Det ¨ ar mycket viktigt att om X betecknar n˚ agot av talomr˚ adena ovan s˚ a

(1)

a, b ∈ X ⇒ a + b, ab ∈ X, 1

2

AVSNITT 1. TALBEGREPPET

dvs summa och produkt av tv˚ a naturliga tal ¨ ar ett naturligt tal och samma g¨ aller f¨ or alla andra talm¨angder Z, Q, R, C. Hur ¨ ar det med de tv˚ a andra r¨ aknes¨ atten – subtraktion och division? Om man kr¨aver att

(2)

a, b ∈ X ⇒ a − b ∈ X,

s˚ a ¨ar det inte m¨ojligt att v¨alja X = N, ty trots att t ex 2, 3 ∈ N s˚ a 2 − 3 = −1 ∈ / N. D¨ aremot kan X vara lika med Z, Q, R, C. Hur ¨ ar det med

(3)

a, b ∈ X ⇒

a ∈ X? b

F¨orst och fr¨amst m˚ aste man till¨agga att b 6= 0 (varf¨ or?). Det ¨ ar klart att N och Z saknar egenskapen (3) ty t ex 2, 3 ∈ Z, men 23 ∈ / Z. Alla andra talomr˚ aden Q, R och C uppfyller villkoret (3) (med b 6= 0). Man s¨ager att Q, R och C ¨ ar slutna med avseende p˚ a de fyra r¨ aknes¨ atten. Z ¨ar inte sluten med avseende p˚ a division, och N ¨ ar inte sluten med avseende p˚ a subtraktion och division. Det visar sig att just slutenheten med avseende p˚ a olika operationer (h¨ ar de fyra r¨aknes¨atten) har en stor betydelse n¨ ar det g¨ aller skillnader mellan olika talomr˚ aden. Av den anledningen har man inf¨ort f¨oljande begrepp:

angd K ¨ ar en talkropp om 1 ∈ K och K ¨ ar sluten (1.1) Definition. Man s¨ager att en talm¨ a m a p de fyra r¨aknes¨atten dvs om a, b ∈ K s˚ a a ± b, ab ∈ K, och i fall b 6= 0, b ∈ K. ¤ Som exempel kan vi n¨amna kroppen av de rationella talen Q, de reella talen R och de komplexa talen C. Finns det andra talkroppar? Svaret ¨ ar att det finns m˚ anga fler t o m o¨ andligt m˚ anga. Innan vi konstruerar andra talkroppar l˚ at oss t¨ anka en stund p˚ a N och Z som inte ¨ ar kroppar men ¨and˚ a m˚ aste anses som mycket viktiga talm¨ angder. Heltalen ¨ ar den enklaste talm¨ angd som kallas f¨or ring:

angd R a (1.2) Definition. Man s¨ager att en talm¨ ¨r en talring om 1 ∈ R och R a ¨r sluten m a p addition, subtraktion och multiplikation dvs om a, b ∈ R s˚ a a ± b, ab ∈ R. ¤

Heltalen Z ¨ar en talring. Det ¨ar ocks˚ a klart att varje talkropp ¨ ar en talring. N ¨ ar inte en talring. Hur kan man konstruera talringar och talkroppar? Vi visar en enkel sats som ¨ ar ett specialfall av en mycket allm¨an konstruktion av talringar och talkroppar (den allm¨ anna konstruktionen behandlas i forts¨attningskurser i algebra).

(1.4)

3

(1.3) Sats. L˚ at R vara en talring och l˚ at α vara ett tal s˚ adant att α ∈ / R men α2 ∈ R. D˚ a bildar alla tal

a + bα, d¨ ar a, b ∈ R, en talring som betecknas med R[α]. Om R ¨ ar en kropp s˚ a¨ ar ocks˚ a R[α] en kropp.

Innan vi bevisar satsen l˚ at oss titta p˚ a n˚ agra intressanta exempel:

(1.4) Exempel. (a) L˚ at R = Z och l˚ at α = Satsen s¨ager att talen: √ a + b 2,

√ √ √ 2. D˚ a har vi 2 ∈ / Z och ( 2)2 = 2 ∈ Z.

d¨ ar a, b ∈ Z,

bildar en ring. Om vi i st¨allet f¨or Z v¨ aljer R = Q f˚ ar vi att talen √ a + b 2, d¨ ar

a, b ∈ Q,

√ √ bildar en kropp. Detta betyder bl a att√ kvoten av tv˚ a tal a + b 2 och c + d 2 6= 0 med ar e, f ∈ Q. L˚ at oss pr¨ ova: c, d ∈ Q m˚ aste kunna skrivas som e + f 2, d¨ √ √ √ √ 1+ 2 (1 + 2)(3 − 2 2) √ = √ √ = −1 + 2. 3+2 2 (3 + 2 2)(3 − 2 2) Det h¨ar kan inte vara n˚ agon o¨verraskning – det finns m˚ anga liknande exempel i grundskolans l¨arob¨ocker ! √ √ (b) I st¨allet f¨or α = 2 kan man v¨alja α = a, d¨ ar a ¨ ar ett godtyckligt heltal s˚ adant att √ √ √ ¨ de verkligen a∈ / Q. P˚ a s˚ a s¨att f˚ ar vi o¨andligt m˚ anga ringar Z[ a ] och kroppar Q[ a ]. Ar √ olika? Det ¨ar ganska l¨att att visa att f¨ or olika primtal p ¨ ar kropparna Q[ p ] olika (se ¨ ovning 5). Allts˚ a existerar o¨ andligt m˚ anga olika kroppar d¨ arf¨ or att primtalen bildar en o¨ andlig m¨ angd. (c) En mycket intressant ring f˚ ar man d˚ a man v¨ aljer R = Z och α = i. Vi har i2 = −1 ∈ Z. Enligt satsen bildar talen

a + bi, d¨ ar a, b ∈ Z,

4

AVSNITT 1. TALBEGREPPET

en ring. Tal av denna typ kallas Gaussiska heltal ∗ . De spelar en viktig roll i algebraisk talteori. ¤

L˚ at oss nu bevisa satsen: Bevis av (1.3): L˚ at x = a + bα, y = c + dα ∈ R[α]. Vi vill visa att R[α] ¨ ar en ring dvs att x ± y, xy ∈ R[α]. Vi har

x ± y = (a + bα) ± (c + dα) = (a ± c) + (b ± d)α ∈ R[α] samt

xy = (a + bα)(c + dα) = (ac + bdα2 ) + (ad + bc)α ∈ R[α]. Om R ¨ar en kropp, vill vi visa att x, y ∈ R[α] och y 6= 0 ger x/y ∈ R[α]. Detta ¨ ar lite sv˚ arare. H¨ar har vi: x a + bα (a + bα)(c − dα) ac − bdα2 bc − ad = = = 2 + 2 α = e + f α, 2 2 y c + dα (c + dα)(c − dα) c −d α c − d2 α2 d¨ar

e=

ac − bdα2 bc − ad ∈ R och f = 2 ∈R 2 2 2 c −d α c − d2 α2

ty R a¨r en kropp. Allts˚ a x/y ∈ R[α]. Beviset kan te sig avslutat men det finns en punkt som kr¨ aver eftertanke. Vi vet att c+dα 6= 0 och vi f¨orl¨anger br˚ aket x/y med c − dα. F˚ ar vi g¨ ora det? Med andra ord, ¨ ar c − dα 6= 0? Antag motsatsen dvs att c − dα = 0. Om d 6= 0, f˚ ar vi α = c/d ∈ R vilket strider mot antagandet om α. Om d = 0, s˚ a ger c − dα = 0 att c = 0, vilket betyder att c + dα = 0 – en mots¨ agelse igen! Allts˚ a ¨ar c − dα 6= 0 och v˚ art bevis ¨ ar fullst¨ andigt. ¤ L˚ at oss ˚ aterkomma till allm¨anna funderingar ¨ over talen och deras egenskaper. V˚ ara kunskaper om olika talomr˚ aden bygger p˚ a v˚ ar f¨orm˚ aga att hantera talen. I praktiken betyder det att vi f¨oljer olika regler n¨ar vi utf¨or olika r¨ akneoperationer. Vad ¨ ar det f¨ or regler? Du kan s¨ akert n¨amna eller skriva ut s˚ adana regler som t ex associativiteten f¨ or addition: a+(b+c) = (a+b)+c, ¨ eller kommutativiteten f¨or multiplikation: ab = ba. Hur m˚ anga s˚ adana regler finns det? Ar ∗

C.F. Gauss (30/4 1777 - 23/2 1855) var en tysk matematiker – en av de mest betydelsefulla i matematikens historia.

(1.5)

5

alla lika viktiga? N¨ar kan man vara s¨ aker p˚ a att man har alla n¨ odv¨ andiga regler? S˚ adana fr˚ agor har sysselsatt m˚ anga m¨anniskor och svaren p˚ a dem bygger p˚ a matematisk forskning under en ganska l˚ ang tidsperiod. H¨ar f¨ oljer en f¨ orteckning ¨ over de viktigaste r¨ aknelagarna i en talm¨angd R i vilken de kan vara uppfyllda eller ej – allt beror p˚ a hur man v¨ aljer R : (1.5) Egenskaperna hos addition och multiplikation: Addition: (a) slutenhet: (b) associativitet: (c) kommutativitet: (d) neutralt element: (e) motsatt element:

∀a,b∈R ∀a,b,c∈R ∀a,b∈R ∃0∈R ∀a∈R ∀a∈R ∃a0 ∈R

a, b ∈ R ⇒ a + b ∈ R, (a + b) + c = a + (b + c), a + b = b + a, 0 + a = a, a + a0 = 0 (a0 betecknas med −a).

Multiplikation: (f) slutenhet: (g) associativitet: (h) kommutativitet: (i) neutralt element: (j) inverst element:

∀a,b∈R ∀a,b,c∈R ∀a,b∈R ∃1∈R ∀a∈R ∀a∈R\{0} ∃a0 ∈R

a, b ∈ R ⇒ ab ∈ R, (ab)c = a(bc), ab = ba, 1a = a, aa0 = 1 (a0 betecknas med a−1 ).

Addition och multiplikation: (k) distributivitet:

∀a,b,c∈R

a(b + c) = ab + ac.

Alla dessa regler g¨aller d˚ a R ¨ar en talkropp t ex Q, R eller C. Om R = Z s˚ a g¨ aller alla r¨aknelagar med undantag av (j) – t ex 2 ∈ Z, men 1/2 ∈ / Z. Egenskapen (j) ger just skillnaden mellan en talkropp och en talring. I en talkropp g¨ aller alla r¨ aknelagarna (a) – (k), medan i en talring g¨aller alla utom (j). R¨aknelagarna (a) – (k) ¨ar grunden f¨ or all manipulation med talen och man m˚ aste vara medveten om deras giltighet i det talomr˚ ade man vill arbeta med. Andra r¨ aknelagar som t ex (i) a0 = 0 d˚ a a ∈ R, (ii) (−1)(−1) = 1, (iii) −(−a) = a d˚ a a ∈ R, (iv) (−a)b = −ab d˚ a a, b ∈ R, (v) (−a)(−b) = ab d˚ a a, b ∈ R, kan man bevisa om man vet att R ¨ar en ring (se ¨ ovningar). I sj¨ alva verket kan man definiera allm¨anna begrepp ring och kropp i vilka dessa r¨ aknelagar kan h¨ arledas:

6

AVSNITT 1. TALBEGREPPET

(1.6) Definition. Man s¨ager att en m¨ angd R vars element kan adderas under en operation “+” och multipliceras under en operation “·” ¨ ar en ring om dessa operationer har alla egenskaper (1.5) (a) – (k) med undantag av (j). Om alla egenskaper (a) – (k) g¨ aller s˚ a s¨ ager man att R ¨ar en kropp. ¤

Vi m¨oter andra ringar och kroppar ¨ an talringar och talkroppar i senare avsnitt om restaritmetiker och polynomringar. I samband med definitionerna av begreppen ring och kropp har du s¨ akert observerat att man inte n¨amner subtraktion och division. F¨ orklaringen ¨ ar att subtraktion och division kan definieras i efterhand med hj¨alp av addition och multiplikation:

a s¨ ager man att (1.7) Definition. (a) Om R ¨ar en ring och a, b ∈ R s˚

a − b = a + (−b) ¨ar skillnaden mellan a och b. (b) Om R ¨ar en kropp och a, b ∈ R, b 6= 0, s˚ a s¨ ager man att

a : b = ab−1 a med ab . ¨ar kvoten av a genom b. Kvoten betecknas ocks˚

¤

V˚ art syfte i detta avsnitt ¨ar att f¨orklara hur man definierar talbegreppet. Som vi redan vet finns det o¨andligt m˚ anga olika talringar och talkroppar. P˚ a vilket s¨ att intar Z, Q, R och C en s¨arst¨allning bland dem? Ett kort svar som kr¨ aver m˚ anga f¨ orklaringar ¨ ar f¨ oljande: Z ¨ ar den minsta talringen, Q a¨r den minsta talkroppen, R a r den st¨ o rsta talkroppen som till˚ ater ¨ ordningsrelationen ≤ och C ¨ar den st¨ orsta talkroppen ¨ overhuvudtaget. Man inser s¨ akert att alla dessa svar f¨oruts¨atter att man vet vad ett tal ¨ ar. Svaret p˚ a den fr˚ agan ¨ ar inte enkelt och det tog en mycket l˚ ang tid i m¨ansklighetens utveckling innan man kunde komma till ett tillfredsst¨allande svar. Trots det har man sedan en l˚ ang tid tillbaka kunnat r¨ akna med alla typer av tal och utveckla vetenskapliga teorier som bygger p˚ a ber¨ akningar och som framg˚ angsrikt beskriver v¨arlden runt omkring oss. De naturliga talen ¨ ar med all s¨ akerhet lika gamla som den m¨anskliga civilisationen, rationella tal (˚ atminstone positiva) ¨ ar n¨ astan lika gamla, negativa tal (hela, rationella och reella) anv¨andes f¨ or ungef¨ ar 1000 ˚ ar sedan, och komplexa tal introducerades under 1500-talet. D¨arf¨or finns det inte n˚ agon st¨ orre anledning till oro om v˚ ara svar inte visar sig bli fullst¨andiga. Vi skall f¨ ors¨ oka f¨ orklara olika aspekter av talbegreppet utan att f¨oruts¨atta n˚ agra st¨orre f¨orkunskaper. Mera tillfredsst¨ allande f¨ orklaringar v¨ antar den som l¨aser forts¨attningskurser i matematik.

(1.8)

7

Det finns tv˚ a m¨ojligheter att introducera talbegreppet. Den ena ¨ ar att b¨ orja med de naturliga talen och f¨ors¨oka steg f¨or steg konstruera andra typer av tal. Den metoden ter sig naturlig och tilltalande men den ¨ar mycket arbetsam och, tyv¨ arr, ganska l˚ ang om man vill kontrollera alla detaljer. Vi skall ber¨atta om den senare i detta avsnitt. Den andra m¨ojligheten utg˚ ar fr˚ an att man kan hantera talen om man vet vilka regler som styr deras anv¨andning. Det r¨acker om man kommer ¨ overens om dessa regler och f¨ oljer dem f¨or att kunna anv¨anda talen, men man beh¨ over inte bry sig om hur de ¨ ar konstruerade. En s˚ adan inst¨allning till talen ¨ar mycket praktisk, men en matematiker vill g¨ arna veta hur talen konstrueras (och alla andra som anv¨ ander talen m˚ aste tro p˚ a m¨ ojligheten av dessa konstruktioner). Man kan j¨amf¨ora den inst¨ allningen med inst¨ allningen till tekniken – om man har l¨ast en instruktionsbok till en TV-apparat s˚ a vet man hur man anv¨ ander den utan att beh¨ova veta hur den ¨ar konstruerad (eller att den finns). En beskrivning av en programvara ar en f¨ orteckning ¨ over kommandon och deras ¨ar troligen ¨annu b¨attre som j¨amf¨orelse – man f˚ effekt utan att beh¨ova veta hur programvaran a r konstruerad eller om den finns tillg¨ anglig. ¨ Vi skall f¨ors¨oka beskriva de egenskaper som karakteriserar de reella talen. Valet av dessa egenskaper ¨ar ett resultat av matematisk forskning huvudsakligen under 1800-talet. De reella talen spelar en mycket central roll. ˚ A ena sidan har alla m¨ anniskor en intuitiv uppfattning om dessa tal som kommer fr˚ an erfarenheten av att r¨ akna och m¨ ata i vardagslivet. ˚ A andra sidan bygger alla vetenskaper, och bland dem matematiken sj¨ alv, p˚ a de reella talens egenskaper. Som vi redan vet bildar de reella talen en kropp. Men det finns m˚ anga kroppar s˚ a man m˚ aste v¨alja egenskaper som utm¨arker just den. En viktig egenskap ¨ ar att man kan j¨ amf¨ ora de reella talen med hj¨alp av ≤ – de reella talen bildar en ordnad kropp. L˚ at oss definiera helt allm¨ ant vad detta betyder: (1.8) Definition. Man s¨ager att en kropp K ¨ ar ordnad om den inneh˚ aller en delm¨ angd P s˚ adan att: (a) om x ∈ K s˚ a g¨aller exakt ett av de tre alternativen: x ∈ P eller x = 0 eller −x ∈ P, (b) om x, y ∈ P s˚ a g¨aller att x + y ∈ P och xy ∈ P. Man s¨ager att P a¨r m¨angden av de positiva elementen i K.

¤

Det ¨ar klart att i K = R kan vi v¨alja P = alla positiva reella tal. Detta betyder att R ¨ ar en ordnad kropp. Q ¨ar ocks˚ a ordnad d¨ arf¨ or att vi kan v¨ alja P = alla positiva rationella tal. Vi skall senare visa att C inte a¨r en ordnad kropp (det a ¨r enkelt att visa om man vet att 2 i = −1). Vi skall uppeh˚ alla oss en stund vid definitionen (1.8). Man kan definiera:

(1.9)

x>y

(eller y < x) om

x − y ∈ P.

8

AVSNITT 1. TALBEGREPPET

Man brukar ocks˚ a skriva x ≥ y (eller y ≤ x) om x > y eller x = y. x > 0 betyder att x − 0 ∈ P dvs x ∈ P ; x < 0 betyder att 0 − x ∈ P dvs −x ∈ P. Om K ¨ar en ordnad kropp s˚ a kan man definiera de naturliga och de rationella talen i K. F¨orst observerar vi att 1 > 0 (1 ∈ K ¨ ar neutralt f¨ or multiplikation). Vi vet att 1 6= 0 s˚ a att 1 ∈ P eller −1 ∈ P . Antag att −1 ∈ P . D˚ a¨ ar 1 = (−1)(−1) ∈ P enligt (b) i (1.8). Detta ger att b˚ ade 1 och −1 tillh¨or P vilket strider mot (a) i (1.8). D¨ arf¨ or m˚ aste 1 ∈ P . De naturliga talen i K f˚ ar vi som

1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1, . . . vilka definitionsm¨assigt betecknas med 1,2,3,4,.... Observera att 1 < 2 < 3 < 4... d¨ arf¨ or att 2 − 1 = 1 > 0, 3 − 2 = 1 > 0, 4 − 3 = 1 > 0 osv. Heltalen i K definieras som: alla naturliga tal x, deras motsatta tal −x samt 0 dvs 0, ±1, ±2, ±3, ±4, .... De rationella talen definieras som alla kvoter ab−1 , d¨ar a, b ¨ar hela och b 6= 0 (se (1.7)). B˚ ade Q och R ¨ar ordnade kroppar s˚ a en definition av de reella talen m˚ aste bygga p˚ a en annan egenskap (ut¨over det att R a¨r ordnad). Innan vi formulerar en l¨ amplig egenskap, l˚ at oss ˚ aterkomma f¨or en stund till definitionen av en ordnad kropp. I en s˚ adan kropp kan man definiera absolutbelopp: ½ (1.10)

|x| =

x om x ≥ 0, −x om x < 0.

Man kan ocks˚ a s¨aga vad det betyder att en f¨ oljd x1 , x2 , x3 , ... g˚ ar mot 0. Man s¨ ager s˚ a om det f¨or varje naturligt tal n finns ett N s˚ adant att |xi | < n1 d˚ a i > N . Nu kan vi formulera en grundl¨aggande egenskap som skiljer Q fr˚ an R. L˚ at x1 , x2 , ..., xi , ... vara en v¨ axande och begr¨ansad f¨oljd av rationella tal dvs x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xi ≤ ... och det finns ett tal B s˚ a att xi ≤ B d˚ a i = 1, 2, .... Vad kan man s¨ aga om gr¨ ansv¨ ardet limi→∞ xi ? I analyskurser visas ¨ gr¨ansv¨ att gr¨ansv¨ardet existerar. Ar ardet ett rationellt tal? L˚ at oss betrakta ett exempel. Definiera

xn = 1, a1 a2 ...an , d¨ar ai ¨ar i :te siffran i decimalutvecklingen av x1 = 1, 4, x2 = 1, 41, x3 = 1, 414, x4 = 1, 4142, ...

n ≥ 1,

√ 2 dvs

(1.12)

9

¨ a¨ Det ¨ar klart att alla xn ¨ar rationella och att f¨ oljden ¨ ar v¨ axande och begr¨ ansad. And˚ ar det √ √ 2 dvs f¨ o ljden konvergerar mot ett icke-rationellt tal 2 (vi ocks˚ a klart att limn→∞ x = √ n visar om en stund att 2 inte ¨ar rationellt). Men gr¨ ansv¨ ardet ¨ ar ett reellt tal och det ¨ ar sant helt allm¨ant att en v¨axande och begr¨ ansad f¨ oljd av reella tal konvergerar mot ett reellt tal. Man s¨ager att de reella talen bildar en fullst¨ andig kropp† . Allm¨ ant har man f¨ oljande begrepp: (1.11) Definition. En ordnad kropp kallas fullst¨ andig om varje v¨ axande och begr¨ ansad f¨oljd av kroppens element konvergerar mot ett element i kroppen. ¤ Mera exakt, om K ¨ar en ordnad kropp s˚ a¨ ar den fullst¨ andig om f¨ or varje f¨ oljd x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn ≤ ... s˚ adan att xn ∈ K och det finns B ∈ K s˚ a att xn ≤ B d˚ a n = 1, 2, ... man kan hitta x ∈ K s˚ a att limn→∞ xn = x. Nu kan vi definiera de reella talen: (1.12) Definition. Med reella tal menar man elementen i en ordnad och fullst¨ andig kropp K. ¤ Dessa f˚ a ord d¨oljer ett ganska sammansatt matematiskt inneh˚ all: K ¨ ar en kropp dvs uppfyller villkoren (a) – (k) p˚ a sidan 5, K ¨ar ordnad dvs upfyller (a) och (b) i (1.8), och slutligen ¨ ar K fullst¨andig dvs uppfyller (1.11). Nu kan man st¨ alla tv˚ a fr˚ agor: Finns det en ordnad och fullst¨ andig kropp? Hur m˚ anga ordnade och fullst¨andiga kroppar finns det? Man beh¨ over inte veta svaret p˚ a dessa tv˚ a fr˚ agor f¨ or att kunna r¨ akna med de reella talen d¨arf¨or att (1.12) ¨ar en exakt f¨orteckning ¨ over alla grundl¨ aggande egenskaper hos dessa tal och det r¨acker att f¨olja dem och deras logiska konsekvenser. Men svaren p˚ a dessa tv˚ a fr˚ agor a ¨r mycket viktiga inte bara f¨or en matematiker (en matematiker vill dessutom se sj¨ alv hur man kommer fram till svaren). De ¨ar f¨oljande: Det finns ordnade och fullst¨ andiga kroppar. Om K1 och K2 ¨ar tv˚ a s˚ adana s˚ a finns det en bijektiv funktion f : K1 → K2 (dvs enentydig och p˚ a hela K2 ) som uppfyller f (a+b) = f (a)+f (b), f (ab) = f (a)f (b) och om a > 0 s˚ a¨ ar f (a) > 0‡ . Intuitivt s¨ager existensen av f att K1 och K2 skiljer sig bara n¨ ar det g¨ aller beteckningar dvs om a ∈ K1 s˚ a kan f (a) uppfattas som ett annat namn p˚ a a. Addition och multiplikation i K1 a positiva element ¨overs¨atter man med hj¨alp av f till addition och multiplikation i K2 . Likas˚ ur K1 ¨overg˚ ar med hj¨alp av f i positiva element i K2 . I den meningen ¨ ar kroppen av de reella talen entydig. Vi vet redan att om vi har de reella talen s˚ a kan vi definiera de naturliga, hela och rationella. P˚ a s˚ a s¨att har vi en m¨ojlighet att tillfredsst¨ alla v˚ art behov av n˚ agorlunda ordentlig presentation av talbegreppet. Men ¨aven om den f¨ or m˚ anga ¨ andam˚ al ¨ ar helt tillfredsst¨ allande, g˚ ar vi † ‡

Detta bevisas i analyskurser med hj¨ alp av supremumaxiomet som ¨ ar ekvivalent med den egenskapen. En s˚ adan funktion f kallas isomorfism och man s¨ ager att K1 och K2 a ¨r isomorfa ordnade kroppar.

10

AVSNITT 1. TALBEGREPPET

ett steg l¨angre och f¨ors¨oker beskriva konstruktioner av olika talm¨ angder. Behovet av s˚ adana konstruktioner ins˚ ag man under 1800-talet d˚ a utvecklingen av matematiken gick s˚ a l˚ angt att intuitiva f¨orest¨allningar om talen inte l¨ angre kunde accepteras. Man f¨ ors¨ okte konstruera olika talomr˚ aden genom att utg˚ a fr˚ an de naturliga talen och succesivt g˚ a till de hela, rationella, reella och komplexa. Den v¨agen a¨r ganska l˚ ang, arbetsam (man m˚ aste kontrollera m˚ anga detaljer), och det v¨arsta, r¨att s˚ a tr˚ akig om man bortser fr˚ an mera allm¨ anna principer som styr dessa konstruktioner och har betydelse i andra sammanhang. D¨ arf¨ or beh¨ ovs m¨ ojligen ett varningens ord att inte f¨ordjupa sig i alla detaljer och inte ta v˚ ar genomg˚ ang p˚ a fullt allvar. (1.13) De naturliga talen. De ¨aldsta talen ¨ ar de naturliga (och de ¨ ar mest naturliga d¨ arf¨ or att de ¨ar de ¨aldsta). Varifr˚ an kommer de? En stor tysk matematiker L.Kronecker sade n˚ agon g˚ ang att “Gud skapade de naturliga talen, allt annat ¨ ar m¨ anniskans skapelse”. Det vore f¨ or enkelt med detta svar men det ¨ar mycket djupsinnigt. Den enda m¨ ojligheten att definiera de naturliga talen ¨ar den metod som vi anv¨ ande tidigare f¨ or att definiera de reella: Man kan beskriva deras grundl¨aggande egenskaper. Varifr˚ an kommer de egenskaper som betraktas som grundl¨aggande? Svaret a¨r att de kommer fr˚ an m¨ ansklighetens erfarenhet av experimentell hantering av talen och det faktum att de regler som man har f¨ oljt under en mycket l˚ ang tid ammer med v˚ ara observationer. En analys av s˚ adana ger en bild av verkligheten som ¨overensst¨ § ¶ regler kunde g¨oras enbart av matematiker. Det var R. Dedekind och G. Peano som f¨ oreslog ett urval av s˚ adana grundl¨aggande regler under senare delen av 1800-talet. Den mest k¨ anda definitionen kommer fr˚ an G. Peano och l˚ ater s˚ a h¨ ar: (1.14) Definition. Med naturliga tal menar man elementen i en m¨ angd N som satisfierar f¨oljande villkor: (a) det finns ett utvalt element 1 ∈ N; (b) det finns en injektiv funktion som mot varje element n ∈ N ordnar ett element n∗ ∈ N s˚ a ∗ att n 6= 1; (c) om X ⊆ N och (d1 ) 1 ∈ X, (d2 ) ∀n n ∈ X ⇒ n∗ ∈ X, s˚ a ¨ar X = N.

¤

Intuitivt betyder n∗ talet n + 1 (n∗ kallas efterf¨ oljaren till n). Sista villkoret (d) kallas ofta “induktionsaxiomet”(det behandlas n¨ armare i samband med matematisk induktion). L¨ agg m¨arke till att man inte n¨amner addition och multiplikation i definitionen. De definieras i § ¶

Richard Dedekind (1831-1916) en tysk matematiker. Giuseppe Peano (1858-1932) en italiensk matematiker.

(1.14)

11

efterhand. Peanos definition ¨overenst¨ ammer v¨ al med v˚ ar intuition, den ¨ ar l¨ att att f¨ orst˚ a, den anga av de kriterier som man vill uppfylla n¨ ar man ¨ar kort och elegant. Den uppfyller m˚ definierar ett matematiskt objekt. Vidare kan man ur den definitionen h¨ arleda alla k¨ anda egenskaper hos de naturliga talen. Men hur ¨ ar det egentligen med existensen och entydigheten av den m¨ angden? N¨ ar det g¨ aller entydigheten ¨ar svaret enkelt: Man kan visa att om N1 och N2 ¨ ar tv˚ a m¨ angder som uppfyller villkoren i definitionen (1.14) s˚ a ¨ar de isomorfa vilket betyder att det finns en bijektiv funktion f : N1 → N2 s˚ adan att f (1) = 1 samt f (n∗ ) = f (n)∗ (j¨ amf¨ or ett liknande p˚ ast˚ aende om de reella talen p˚ a sidan 9). Existensen av de naturliga talen vilar p˚ a v˚ ar o vertygelse ¨ om att ˚ atminstone en m¨angd av de naturliga talen existerar – n¨ amligen den som under m¨ansklighetens historia s˚ a troget och framg˚ angsrikt har tj¨ anat till att r¨ akna, resonera och dra korrekta slutsatser om v¨arlden runt omkring oss. Med andra ord ¨ ar existensen av de naturliga talen ett axiom. H¨ar har vi n¨ armat oss matematikens grunder som har mycket gemensamt med vetenskapernas filosofi.

Alla andra talomr˚ aden kan nu succesivt konstrueras: De hela talen fr˚ an de naturliga, de rationella fr˚ an de hela, de reella fr˚ an de rationella och de komplexa fr˚ an de reella. N¨ ar vi sade tidigare att det g˚ ar att bevisa existensen av de reella talen s˚ a menade vi just att det var m¨ojligt att konstruera dessa tal fr˚ an de naturliga. Nu skall vi b¨orja v˚ ar vandring fr˚ an de naturliga talen genom rationella och reella till de komplexa. Vi utel¨amnar m˚ anga detaljer och begr¨ ansar oss till allm¨ anna id´eer. Det finns tv˚ a huvudorsaker till att talbegreppet utvidgades. Det f¨ orsta var behov i samband med m¨atningar. Man uppt¨ackte mycket tidigt att det beh¨ ovdes br˚ aktal f¨ or att uttrycka dimensioner (l¨angder och areor) av jordlotter. Men icke-rationella tal d¨ ok upp ¨ aven i samband med m¨atningar (vi f˚ ar se det i samband med konstruktionen av de reella talen). Den andra orsaken har en mera abstrakt karakt¨ar. Nya typer av tal beh¨ ovdes f¨ or att kunna l¨ osa ekvationer. Ett typiskt exempel ¨ar de komplexa talen. P˚ a 1500-talet k¨ ande man till formeln:

x1,2

p =− ± 2

r

p2 −q 4

f¨or l¨osningar till andragradsekvationen x2 + px + q = 0. L¨ oser man ekvationen x2 − 3x + 2 = 0 s˚ a f˚ ar man enligt allet x2 − 2x + 2 = 0 s˚ a √ den formeln x1√= 1 och x2 = 2. Tar man i st¨ blir x1 = 1 + −1 och x2 = 1 − −1 . En del m¨ anniskor skulle kanske s¨ aga att ekvationen √ x2 − 2x + 2 = 0 i s˚ a√ fall saknar l¨osningar d¨ arf¨ or att −1 √ ar helt utan mening. Andra skulle ¨ √ acceptera symbolen −1 , tillskriva den egenskapen att ( −1)2 = −1 och s¨ atta in 1 + −1 i ekvationen x2 − 2x + 2 = 0. D˚ a ¨ar

(1 +

√ √ √ √ −1)2 − 2(1 + −1) + 2 = 1 + 2 −1 + (−1) − 2 − 2 −1 + 2 = 0

12

AVSNITT 1. TALBEGREPPET

√ dvs 1 + −1 ¨ar en l¨osning till√ekvationen. S˚ a gjorde n˚ agra italienska matematiker under 1500osning till ekvationen x2 − 2x + 2 = 0 talet. Om man anser att 1 + −1 b¨or uppfattas som en l¨ s˚ a ha en bra f¨orklaring till varf¨ or. Det g¨ aller att motivera anv¨ andningen av √a b¨or man ocks˚ −1. Det tog 300 ˚ ar innan man kunde ge en tillfredsst¨ allande f¨ orklaring och rent formellt konstruera de komplexa talen. Men exakt samma situation som med de komplexa talen har man med de hela, rationella och reella. Om man fr˚ agar ett barn om x s˚ adant att 2 + x = 3 s˚ a f˚ ar man svaret x = 1. Tar man ist¨allet 3 + x = 2 riskerar man att bli utskrattad. Ekvationen 2 + x = 3 kan l¨osas i m¨angden av de naturliga talen, men 3 + x = 2 kr¨ aver ett nytt talomr˚ ade – de hela talen (i synnerhet de negativa). P˚ a liknande s¨ att g˚ ar det att dela 4 i tv˚ a lika delar (dvs l¨osa 2x = 4) i heltalen, men det g˚ ar inte att dela 3 i tv˚ a lika delar i den m¨ angden (dvs l¨osa 2x = 3) – det beh¨ovs rationella tal f¨ or att g¨ ora det. Slutligen kan man hitta ett rationellt tal som multiplicerat med sig sj¨alvt ger 4 (dvs l¨ osa x2 = 4), men det g˚ ar inte att hitta ett rationellt tal som multiplicerat med sig sj¨ alvt ger 2 (dvs l¨ osa x2 = 2) – f¨ or att g¨ ora det beh¨ ovs ett nytt talomr˚ ade. Det naturliga ¨onskem˚ alet att polynomekvationer alltid skall g˚ a att l¨ osa, tvingar oss s˚ aledes att succesivt utvidga talomr˚ aden. Om det finns en slutstation f¨ or denna utvidgningsprocess f˚ ar vi veta lite senare. S˚ a l˚ at oss b¨ orja! (1.15) Fr˚ an de naturliga talen till de hela. Ekvationen 3 + x = 5 definierar x = 2 som sin l¨osning. Samma l¨osning ger 4 + x = 6, 5 + x = 7 osv. Man kan uppfatta 2 som paret (5,3) eller (6,4) eller (7,5) osv. Paret (a, b) ger l¨ osningen till b + x = a med a > b. Paren (a, b) och (c, d) ger samma x om a − b = c − d dvs a + d = b + c. Men det finns par (a, b) med a = b och a < b. Har de en liknande tolkning ? T ex kan (3,5) uppfattas som l¨ osningen till 5 + x = 3. En s˚ adan l¨osning finns inte bland de naturliga talen men sj¨ alva tolkningen ger en id´e hur man kan definiera heltalen. L˚ at oss betrakta alla par (a, b) d¨ar a, b ∈ N. Vi s¨ ager att (a, b) och (c, d) tillh¨ or samma klass (eller definierar samma heltal) d˚ a och endast d˚ a a+d=b+c Alla par som tillh¨or samma klass som (a, b) betecknas med [(a, b)]. En s˚ adan klass kallar vi f¨or ett heltal och kommer ¨overens om f¨ oljande beteckningar:  om a > b,  a−b 0 om a = b, [(a, b)] =  −(b − a) om a < b. T ex ¨ar [(1, 3)] = −2 och paren (1,3), (2,4), (3,5) osv tillh¨ or samma klass. Vidare definierar man addition och multiplikation av heltal:

[(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)],

[(a, b)][(c, d)] = [(ac + bd, ad + bc)].k k

T¨ ank p˚ a [(a, b)] och [(c, d)] som a−b och c−d. D˚ a¨ ar (a−b)(c−d) = (ac+bd)−(ad+bc) = [(ac+bd, ad+bc)].

(1.17)

13

Nu kan man kontrollera att heltalen bildar en ring men att g˚ a igenom alla detaljer ¨ ar ganska omst¨andligt (se en av ¨ovningarna).

(1.16) Fr˚ an de hela talen till de rationella. Konstruktionen ¨ ar n¨ astan identisk med den f¨orra. Ekvationen 2x = 1 definierar 1/2. Samma l¨ osning ger 4x = 2, 6x = 3 osv. Vi kan uppfatta 1/2 som paren (1,2), (2,4), (3,6) osv. −1/2 f˚ ar man som t ex (−1, 2), (−2, 4) osv. Allm¨ant kan l¨osningen till bx = a uppfattas som paret (a, b). Observera att b 6= 0. Tv˚ a par a c (a, b) och (c, d) ger samma rationella tal om b = d . Men vi vill undvika br˚ ak (de skall ju definieras!). D¨arf¨or skriver vi villkoret p˚ a formen ad = bc. Nu kan vi starta v˚ ar konstruktion. Betrakta alla par (a, b) s˚ adana att a, b ∈ Z och b 6= 0. Man s¨ ager att (a, b) och (c, d) , d 6= 0, tillh¨or samma klass om ad = bc. Alla par som tillh¨ or klassen av (a, b) betecknas med [(a, b)]. En s˚ adan klass kallar vi f¨or ett rationellt tal och inf¨ or beteckningen

[(a, b)] =

a (eller a : b). b

t ex ¨ar [(1, 3)] = 31 och paren (1,3), (2,6), (3,9) tillh¨ or samma klass (definierar samma rationella tal). Nu kan vi definiera addition och multiplikation av rationella tal:

a c + b d

=

ad + bc , bd

ac bd

=

ac , bd

och kontrollera att man verkligen f˚ ar en kropp (se ¨ ovningar). Observera att:

a c + 1 1

=

a+c , 1

ac 11

=

ac , 1

dvs talen a1 adderas och multipliceras precis som heltalen a. Man kommer ¨ overens om att skriva a1 = a s˚ a att de vanliga heltalen kan betraktas som en delm¨ angd till de rationella talen. an de rationella talen till de reella. Den biten av v¨ agen ¨ ar lite annorlunda och (1.17) Fr˚ utg¨or ett mycket st¨orre steg ¨an de tv˚ a f¨ oreg˚ aende. F¨ orst och fr¨ amst hittar man l¨ att ekvationer 2 med rationella koefficienter som saknar rationella l¨ osningar, t ex x = 2 (se nedan). S˚ adana ekvationer kr¨aver en utvidgning av de rationella talen. Men det finns en annan mycket viktig

14

AVSNITT 1. TALBEGREPPET

anledning till att man inser behovet av nya tal. Man uppt¨ ackte mycket tidigt att rationella tal inte ¨ar tillr¨ackliga f¨or att kunna m¨ata l¨ angder av str¨ ackor. F¨ oljande klassiska exempel spelade en mycket viktig roll i matematikens utveckling. Betrakta en kvadrat och anta att man har fixerat en enhet e s˚ adan att kvadratens sida rymmer exakt n enheter och dess diagonal m enheter (m och n a¨r naturliga tal).

¡

¡

¡

me ¡ ¡

ne

¡

¡

¡

ne

√ Nu vet vi att (ne)2 + (ne)2 = (me)2 s˚ a att 2n2 = m2 dvs 2 = m n . Detta visar att om e √ ∗∗ och hans elever visste mycket v¨ finns s˚ a a¨r 2 ett rationellt tal. Pythagoras al att det inte √ ar rationellt). Sin uppt¨ ackt om f¨ orh˚ allandet var fallet (vi skall visa om en stund att 2 inte ¨ mellan kvadratens sida och dess diagonal betraktade de som n˚ agot som stred mot naturens ordning och f¨ors¨okte hemligh˚ alla under en tid. Men konsekvensen blev att Euklides †† kort d¨arefter kunde utveckla geometrin och l¨ aran om reella tal som m˚ att p˚ a str¨ ackor. √ att utnyttja entydigheten av Hur visar man att 2 inte ¨ar rationellt? Vi skall visa det genom √ primfaktoruppdelningar av de naturliga talen. Antag att 2 ¨ ar rationellt dvs att √ m 2= , n d¨ar m, n ¨ar naturliga tal. D˚ a ¨ar 2n2 = m2 . Eftersom m2 och n2 ¨ ar kvadrater av heltal inneh˚ aller de ett j¨amnt antal primfaktorer 2 (m¨ ojligen 0 s˚ adana faktorer). Allts˚ a f¨ orekommer 2 2 2 som primfaktor i 2n ett udda antal g˚ anger, medan i m√ ett j¨ amnt antal g˚ anger s˚ a att 2n2 6= m2 . Detta mots¨ager likheten 2n2 = m2 och visar att 2 inte kan vara rationellt. L˚ at oss nu konstruera de reella talen. Vi kan inte l¨ angre anv¨ anda oss av tekniken med par av rationella tal. Men vi kan utnyttja f¨ oljder av rationella tal. Reella tal (enligt gymnasiekunskaper) ¨ar decimaltal av typen A = a, a1 a2 ...an ..., d¨ ar a ¨ ar heltasdelen och 0, a1 a2 ...an ... ¨ ar decimaldelen av A. Varje s˚ adant tal kan approximeras med rationella tal – f¨ oljden: x1 = a, a1 , x2 = a, a1 a2 , x3 = a, a1 a2 a3 , ... ∗∗ ††

Pythagoras (572-500 f Kr) Euklides (ca 350 f Kr)

(1.18)

15

xn = a, a1 a2 a3 ...an , ... best˚ ar av rationella tal och konvergerar mot A dvs limn→∞ xn = A. T ex ¨ ar f¨ or A = π: x1 = 3, 1 , x2 = 3, 14 , x3 = 3, 141 , ... x8 = 3, 14159265 , ... L˚ at nu A vara ett positivt tal. F¨oljden {x1 , x2 , ..., xn , ...} = {xn }∞ ar d˚ a av rationella 1 best˚ tal , den ¨ar v¨axande och begr¨ansad (ty xn ≤ A f¨ or alla n). Vi vet att en s˚ adan f¨ oljd alltid 0 har ett gr¨ansv¨arde. Tv˚ a f¨oljder {xn } och {xn } har samma gr¨ ansv¨ arde d˚ a och endast d˚ a deras skillnad g˚ ar mot 0 dvs limn→∞ (xn − x0n ) = 0. Positiva reella tal ¨ ar allts˚ a gr¨ ansv¨ arden av v¨axande och begr¨ansade f¨oljder av rationella tal och tv˚ a f¨ oljder definierar samma reella tal som sitt gr¨ansv¨arde om deras skillnad g˚ ar mot 0. Men vi kan inte definiera reella tal som gr¨ansv¨arden av s˚ adana f¨oljder s˚ a l¨ange de reella talen inte ¨ ar konstruerade d¨ arf¨ or att en s˚ adan ¨ definition skulle f¨oruts¨atta att de reella talen (dvs gr¨ ansv¨ ardena) ¨ ar k¨ anda. And˚ a identifierar vi varje reellt tal med ett gr¨ansv¨arde p˚ a f¨ oljande s¨ att. (H¨ ar b¨ orjar den formella definitionen.) ar positiva Betrakta alla v¨axande och begr¨ansade f¨ oljder {x1 , x2 , ..., xn , ...} = {xn }∞ ar xn ¨ 1 , d¨ 0 }∞ tillh¨ rationella tal. Man s¨ager att tv˚ a f¨oljder {xn }∞ och {x o r samma klass (definierar n 1 1 0 ∞ samma reella tal) om deras skillnad {xn − xn }1 konvergerar mot 0 dvs limn→∞ (xn − x0n ) = 0. ∞ Alla f¨oljder som tillh¨or klassen av {xn }∞ adan klass kallar man 1 betecknas med [{xn }1 ]. En s˚ f¨or ett positivt reellt tal. Nu kan man definiera addition och multiplikation av de positiva reella talen:

0 ∞ 0 ∞ [{xn }∞ 1 ] + [{xn }1 ] = [{xn + xn }1 ],

0 ∞ 0 ∞ [{xn }∞ 1 ][{xn }1 ] = [{xn xn }1 ].

F¨or att nu konstruera de negativa reella talen och talet 0 m˚ aste man upprepa sama konstruktion som ledde oss fr˚ an de naturliga talen till de hela: Man betraktar alla par (a, b), d¨ ar a och b ¨ar positiva reella tal, och man identifierar (a, b) med (c, d) om a + d = b + c. Kontrollen att man f˚ ar en kropp, att den ¨ar ordnad och fullst¨ andig ¨ ar ganska l˚ ang men inte s¨ arskilt sv˚ ar (detaljerna behandlas n¨armare i forts¨ attnigskurser i matematik † ).

† Vanligen brukar man i st¨ allet f¨ or v¨ axande och begr¨ ansade f¨ oljder betrakta godtyckliga f¨ oljder av rationella tal x1 , x2 , ..., xn , ... s˚ adana att avst˚ andet mellan talen xi och xj g˚ ar mot 0 d˚ a i och j v¨ axer dvs |xi − xj | → 0 d˚ a i, j → ∞. F¨ oljder av den typen kallas Cauchyf¨ oljder.

16

AVSNITT 1. TALBEGREPPET

(1.18) Fr˚ an de reella talen till de komplexa. Vi vet redan att behovet av de komplexa talen uppt¨acktes i samband med andragradsekvationer med reella koefficienter. En s˚ a enkel 2 ekvation som x = −1 saknar reella l¨ osningar. Antag att vi har en kropp K som inneh˚ aller de reella talen R och s˚ adan att det finns α ∈ K som satisfierar ekvationen x2 = −1 dvs α2 = −1. Man kontrollerar utan st¨orre sv˚ arigheter (se (1.3)) att talen

a + bα, d¨ ar a, b ∈ R , bildar en kropp. Det finns en mycket l˚ ang tradition att α betecknas med i (ibland j) ‡ . I den kroppen har vi:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i , (1.19) (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. ¨ s˚ An a l¨ange har vi inte n˚ agon formell konstruktion av de komplexa talen (vi sade ju “Antag att en kropp K...”). Men vi har i alla fall en klar bild av hur en kropp som inneh˚ aller l¨ osningen 2 till x = −1 m˚ aste se ut. Konstruktionen ¨ ar mycket enkel. Id´en ¨ ar (som flera g˚ anger tidigare) att uppfatta nya tal som par av redan k¨ anda: a + bi kan uppfattas som (a, b), d¨ ar a, b ∈ R.

(1.20) Definition. Med komplexa tal menar man alla par (a, b), d¨ ar a, b ∈ R, som adderas och multipliceras p˚ a f¨oljande s¨att:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc). M¨angden av de komplexa talen betecknas med C.

¤

Beteckningen (a, b) ¨ar lite omst¨andlig. D¨ arf¨ or observerar man att:

(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), ‡

“i” kommer fr˚ an ordet “imagin¨ ar”. Det finns ett mycket intressant val av terminologi n¨ ar det g¨ aller nya typer av tal. De naturliga talen bland de hela kallas positiva, de ¨ ovriga negativa. Br˚ aktalen bland de reella kallas rationella, de ¨ ovriga irrationella. Komplexa talen a + bi har realdel a och en imagin¨ ardel b. Allts˚ a var allt nytt negativt, irrationellt och imagin¨ art (samt en l˚ ang tid impopul¨ art).

(1.22)

17

(a, 0)(b, 0) = (ab, 0), dvs paren (a,0) adderas och multipliceras precis som vanliga reella tal a. Man kommer ¨ overens om att skriva (a, 0) = a s˚ a att R ⊂ C. D¨ arefter noterar man att (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1. Man betecknar (0, 1) = i. Nu har vi (0, b) = (b, 0)(0, 1) = bi s˚ a att

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + bi och vi f˚ ar v˚ ara gamla beteckningar (1.19). Det som ˚ aterst˚ ar ¨ ar kroppstrukturen: (1.21) Sats. De komplexa talen a + bi, d¨ ar a, b ∈ R och i2 = −1, bildar en kropp.

Satsen visas l¨att, men beviset tar lite tid d¨ arf¨ or att man m˚ aste kontrollera alla villkor (a) – (k) p˚ a sidan 5. Innan vi tittar p˚ a m¨ojligheten att g˚ a vidare med liknande konstruktioner l˚ at oss summera v˚ ara kunskaper. Nu kan vi s¨aga att med ett tal menar man alltid ett komplext tal. I synnerhet kan det vara fr˚ aga om ett naturligt, helt, rationellt eller reellt tal. Med en talring (eller talkropp) menas alltid en ring (eller kropp) best˚ aende av tal. Z ¨ar den minsta talringen d¨arf¨or att om R ¨ ar en talring s˚ a g¨ aller att 1 ∈ R vilket ger att 1 + 1, 1 + 1 + 1, ... ∈ R dvs R inneh˚ aller de naturliga talen. Vidare m˚ aste 0 ∈ R och −x ∈ R om x ∈ R s˚ a att R inneh˚ aller Z. Q ¨ar den minsta talkroppen d¨ arf¨ or att varje kropp K inneh˚ aller Z och d¨armed ocks˚ a alla tal ab , d¨ar a, b ∈ Z och b 6= 0, dvs K ⊇ Q. De reella talen bildar den st¨orsta ordnade talkroppen. L˚ at oss f¨ orst konstatuera att C inte ¨ ar ordnad. Antag n¨amligen att man kan v¨ alja en m¨ angd P av positiva element i C. D˚ a¨ ar i ∈ P eller −i ∈ P . I varje fall ¨ar (±i)2 = −1 ∈ P vilket ¨ ar om¨ ojligt ty redan 1 ∈ P (se (1.8)). Man visar (men det ¨ar inte helt banalt) att om en talkropp kan ordnas s˚ a kan den inte inneh˚ alla n˚ agot komplext tal a + bi med b 6= 0 dvs den ligger i R. I den meningen ¨ ar R den st¨ orsta ordnade talkroppen. De komplexa talen bildar den st¨orsta talkroppen. I vilken mening? Man kan fr˚ aga sig som tidigare om det finns polynomekvationer, nu med komplexa koefficienter, som inte kan l¨ osas i det komplexa talomr˚ adet. Svaret p˚ a den fr˚ agan kommer fr˚ an C.F. Gauss som ˚ ar 1799 visade f¨oljande sats:

(1.22) Polynomalgebrans fundamentalsats. Varje polynomekvation av positiv grad med komplexa koefficienter har en komplex l¨ osning. Satsen s¨ager att om p(X) = an X n +... +a1 X +a0 , d¨ ar ai ∈ C, n > 0 och an 6= 0 s˚ a¨ ar p(z) = 0

18

AVSNITT 1. TALBEGREPPET

f¨or ett komplext tal z ∈ C. Man s¨ager ocks˚ a att kroppen av de komplexa talen ¨ ar algebraiskt sluten. Det finns flera olika bevis f¨or den satsen men alla kr¨ aver lite st¨ orre f¨ orkunskaper § . Den sista satsen s¨ager att det inte finns n˚ agot vidare behov att utvidga komplexa talkroppen p g a ol¨osbara polynomekvationer. I den meningen bildar de komplexa talen den st¨ orsta talkroppen. Men en l˚ ang tid innan man var medveten om detta, uppt¨ ackte man matematiska objekt som kunde anv¨andas till att beskriva och utforska naturen och som i m˚ anga avseenden liknade talen. Du har s¨akert h¨ort om s˚ adana begrepp som vektor, matris, kvaternion eller tensor. Vektorer och matriser ¨ar upps¨ attningar av tal som ocks˚ a kan adderas och multipliceras p˚ a ett l¨ampligt s¨att. De ger en m¨ ojlig generalisering av talbegreppet. Kvaternioner, som enklast kan beskrivas med hj¨alp av matriser, ¨ ar ett annat exempel p˚ a en algebraisk struktur som ligger mycket n¨ara de komplexa talen. Vi skall avsluta detta avsnitt genom att s¨ aga n˚ agra ord om just kvaternioner. W.R. Hamilton ¶ som gav en formell definition av komplexa tal i form av reella talpar f¨ ors¨ okte g˚ a vidare med sin id´e och betrakta par av komplexa tal. Han ville definiera addition och multiplikation av s˚ adana par och m¨ ojligen f˚ a en ny kropp. Faktum ¨ ar att det finns m˚ anga kroppar som inneh˚ aller de komplexa talen, men de m˚ aste alltid inneh˚ alla element som inte uppfyller n˚ agon icke-trivial polynomekvation med komplexa koefficienter (t ex kroppen C(X) ar p(X) och av alla rationella funktioner med komplexa koefficienter dvs alla br˚ ak p(X) q(X) , d¨ q(X) ¨ar polynom med komplexa koefficienter – variabeln X ¨ ar inte ett nollst¨ alle till n˚ agot nollskilt polynom med komplexa koefficienter). D¨ arf¨ or ¨ ar det inte l¨ angre m¨ ojligt att konstruera en kropp st¨orre ¨an C vars element uppfyller polynomekvationer med komplexa koefficienter. Hamilton lyckades dock att konstruera en struktur som har den egenskapen och som uppfyller alla r¨aknelagar f¨or en kropp med bara ett undantag. P˚ a Brougham Bridge i Dublin d¨ ar Hamilton bodde finns idag en tavla med f¨ oljande text: “Here as he walked by on the 16th of October 1843 Sir William Rowan Hamilton in a flash of genius discovered the fundamental formula for quaternion multiplication i2 = j 2 = k 2 = ijk = −1 and cut it in on a stone of this bridge”. Han publicerade sina resultat ˚ ar 1853. Konstruktionen av kvaternioner, som spelar en mycket viktig roll i m˚ anga matematiska och fysikaliska teorier, ¨ ar f¨ oljande. Betrakta alla par (z1 , z2 ), d¨ar z1 , z2 ¨ar komplexa tal. Definiera (z1 , z2 ) + (z10 , z20 ) = (z1 + z10 , z2 + z20 ), och (z1 , z2 )(z10 , z20 ) = (z1 z10 − z2 z¯20 , z1 z20 + z¯10 z2 ), d¨ar z¯ = a − bi (z konjugat) om z = a + bi. Man observerar att (z1 , 0) + (z10 , 0) = (z1 + z10 , 0), och (z1 , 0)(z10 , 0) = (z1 z10 , 0). Detta visar att de komplexa talen kan identifieras med paren (z, 0). D¨ arf¨ or skriver vi (z, 0) = z. Beteckna ocks˚ a (0, 1) = j och (0, i) = k. Vi har j 2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 och § ¶

Beviset ges i kursen “Analytiska funktioner”. Ett n¨ astan rent algebraiskt bevis i “Galoisteori”. W.R. Hamilton (1805-1865).

¨ OVNINGAR

19

k 2 = (0, i)(0, i) = (−1, 0) = −1. Dessutom har vi (0, c + di) = (0, c) + (0, di) = (c, 0)(0, 1) + (d, 0)(0, i) = cj + dk. D¨arf¨or kan vi skriva: q = (a + bi, c + di) = (a + bi, 0) + (0, c + di) = a + bi + cj + dk. Detta ¨ar en typisk kvaternion. Man kan kontrollera direkt att ijk = −1 (se ¨ ovningen om kvaternioner). Men f¨or att snabbt kunna r¨akna med kvaternioner ¨ ar det b¨ ast att kontrollera f¨ oljande multiplikationsregler:

¶ 7 ¶

ij = -ji = k, ¶

jk = -kj = i, ki = -ik = j.

¶

¶ ¶ i¾

¶

j

S

S

S

S

S

S w S

k

Vi ser att multiplikation av kvaternioner inte a at oss sammanfatta: ¨r kommutativ. L˚ (1.23) Sats. Alla kvaternioner a+bi+ci+dk, d¨ ar i2 = j 2 = k 2 = −1 och ij = −ji = k, bildar en algebraisk struktur H som uppfyller alla villkor i definitionen av en kropp med undantag av multiplikationens kommutativitet. Dessutom uppfyller varje kvaternion en andragradsekvation med reella koefficienter.

F¨or det sista p˚ ast˚ aendet i satsen se ¨ ovningen om kvaternioner. Ibland s¨ ager man att H ¨ ar en icke-kommutativ kropp, men termerna skevkropp eller divisionsring ¨ ar mera vanliga. Satsen ¨ar inte sv˚ ar att bevisa.

¨ OVNINGAR 1.1. Vilka av f¨oljande talm¨angder ¨ar ringar? Vilka av dem ¨ ar kroppar? (a) {0, 1}, √ (b) a + b 3, d¨ar a, b ∈ Z, √ (c) a + b 5, d¨ar a, b ∈ Q, √ (d) a + b 3 2, d¨ar a, b ∈ Z, √ √ (e) a + b 3 2 + c 3 4, d¨ar a, b, c ∈ Z, √ √ (f) a + b 2 + c 3, d¨ar a, b, c ∈ Z.

20

AVSNITT 1. TALBEGREPPET

1.2. Visa att i varje ring R g¨aller f¨oljande likheter: (a) a0 = 0 d˚ a a ∈ R, (b) (−1)(−1) = 1, (c) −(−a) = a d˚ a a ∈ R, (d) (−a)b = −ab d˚ a a, b ∈ R, (e) (−a)(−b) = ab d˚ a a, b ∈ R. 1.3. (a) Visa att alla tal av typ √ √ √ ar a, b, c, d ∈ Q, a + b 2 + c 3 + d 6, d¨ bildar en kropp.

√ √ Ledning. Visa att 3 ∈ / Q[ 2] och utnyttja sats (1.3). ¨ det m¨ojligt att skriva talet (b) Ar 1 √ √ √ 1+ 2+ 3+ 6 √ √ √ p˚ a formen a + b 2 + c 3 + d 6, d¨ ar a, b, c, d ¨ ar rationella tal? G¨or det om Du ser en enkel l¨osning! (c) Hur kan man generalisera (a)? 1.4. Motivera att binomialsatsen g¨ aller i varje ring. √ √ 1.5. (a) Visa att Q[ 2] 6= Q[ 3]. (b) F¨ors¨ok generalisera (a) och ge exempel p˚ a o¨ andligt m˚ anga olika kroppar. 1.6. (a) Best¨am decimalutvecklingen av talen

3 11

och 71 .

(b) Motivera att decimalutvecklingen av ett rationellt tal ¨ ar periodisk. Ledning: Analysera divisionsalgoritmen d˚ a man decimalutvecklar br˚ aktalen. Anm¨ arkning. Man visar ganska enkelt att om ett reellt tal har periodisk decimalutveckling s˚ a ¨ar det rationellt. ¨ de ocks˚ 1.7. L˚ at a och b vara irrationella tal. Vad kan man s¨ aga om talen a−1 och ab ? Ar a irrationella? 1.8. F¨orklara varf¨or 0,999... = 1. I uppgifterna 1.9 – 1.12 nedan ¨ ar K en ordnad kropp och a, b, c ∈ K. 1.9. Visa att K har f¨oljande egenskaper: (a) a < b ⇒ a + c < b + c, (b) a < b och c > 0 ⇒ ac < bc, (c) hur f¨or¨andras (b) d˚ a man ers¨ atter a < b med a ≤ b?

¨ OVNINGAR

21

1.10. Visa att relationen a ≤ b ¨ar en partiell ordning i K dvs (a) a ≤ a (reflexivitet), (b) a ≤ b och b ≤ a ⇒ a = b (antisymmetri), (c) a ≤ b och b ≤ c ⇒ a ≤ c (transitivitet). 1.11. Visa att (a) |ab| = |a||b|, (b) |a + b| ≤ |a| + |b| (triangelolikheten). ¨ f¨oljande implikationer sanna eller falska? 1.12. Ar (a) a < b ⇒ a2 < b2 , (b) a < b ⇒ a3 < b3 ? 1.13. (a) De naturliga talen bildar en v¨ axande f¨ oljd 1 < 2 < 3 ... . Visa att den inte ¨ ar begr¨ansad. (b) Visa “Arkimedes princip”: Om a, b ¨ ar tv˚ a positiva reella tal s˚ a finns det ett naturligt tal n s˚ a att na > b. (c) L˚ at a, b vara tv˚ a reella tal och l˚ at a < b. Visa att det finns ett rationellt tal att a < m < b. n

m n

s˚ adant

Ledning: V¨alj n s˚ a att n(a − b) > 1. V¨ alj d¨ arefter minsta m s˚ a att m > nb. √ 1.14. (a) Visa att 3 ¨ar icke-rationellt genom att j¨ amf¨ ora antalet primfaktorer 3 till v¨ anster och till h¨oger i likheten 3n2 = m2 . √ ar icke-rationellt d˚ ap¨ ar ett godtyckligt primtal. (b) Visa p˚ a liknande s¨att att p ¨ (c) Har Du n˚ agra f¨orslag till hur man kan generalisera (b)? 1.15. (a) Visa att talet 2 log5 ¨ar icke-rationellt. (b) Kan Du f¨oresl˚ a n˚ agra andra tal, i st¨ allet f¨ or 5 i (a), f¨ or vilka p˚ ast˚ aendet g¨ aller? 1.16. Betrakta alla par (a, b), d¨ar a, b ∈ N och visa att relationen (a, b)R(c, d) ⇐⇒ a + d = b + c arefter att det finns en bijektion mellan ekvivalen¨ar en ekvivalensrelation. Motivera d¨ sklasserna och heltalen. 1.17. (a) N¨ar har ett rationellt tal

a b

en invers? Skriv inversen p˚ a formen [(c, d)].

(b) Kontrollera att om [(a, b)] = [(a0 , b0 )]

och

[(c, d)] = [(c0 , d0 )]

a¨r tv˚ a rationella tal (ab0 = a0 b och cd0 = c0 d) s˚ a g¨ aller a c a0 c0 + = 0 + 0 b d b d

och

ac a0 c0 = 0 0 bd b d

(dvs summan och produkten av tv˚ a rationella tal beror inte p˚ a hur dessa tal representeras i form av br˚ ak).

22

AVSNITT 1. TALBEGREPPET

1.18. Skriv f¨oljande kvaternioner p˚ a formen a + bi + cj + dk : (a) (1 + i)(1 + j), (b) (i + j + k)2 , (c) (1 + 2i + 3j + 4k)(1 − 2i − 3j − 4k), (d) ijk. 1.19. (a) Visa att q = 1 + i + j + k och q¯ = 1 − i − j − k satisfierar ekvationen x2 − 2x + 4 = 0. (b) Visa att q = a+bi+cj +dk satisfierar en kvadratisk ekvation med reella koefficienter.

AVSNITT 2

RESTARITMETIKER I detta avsnitt f˚ ar vi se ringar och kroppar av en annorlunda karakt¨ ar. De ¨ ar n¨ ara besl¨ aktade med heltalen och har en mycket stor betydelse inom talteorin och dess till¨ ampningar i datalogi och datateknik. N¨ar man adderar eller multiplicerar tv˚ a tal som t ex +

128 39 . .7

×

128 43 . .4

s˚ a best¨ammer man f¨orst den sista siffran. De operationer som leder till resultatet kallas addition och multiplikation modulo 10. Man adderar 8 + 9 p˚ a vanligt s¨ att, men sista siffran ¨ ar resten av 8 + 9 vid division med 10. P˚ a liknande s¨ att har vi 3 ·8 = 24, men som sista siffran f˚ ar vi 4 dvs resten av 24 vid division med 10. Om talen ¨ ar givna i bin¨ ara systemet (bas 2) som t ex +

1011 101 . . .0

×

1011 111 . . .1

s˚ a r¨aknar man modulo 2 dvs f¨orst som vanligt, men d¨ arefter tar man resten vid division med 2. Operationerna modulo 10 eller 2 eller modulo ett godtyckligt annat naturligt tal har stor betydelse. I restaritmetiker arbetar man med rester av heltal vid division med ett fixerat naturligt tal n. Vi skall f¨oruts¨atta att n > 1, ty annars har vi bara resten 0. Om a ¨ ar ett heltal s˚ a¨ ar

a = nq + r, 23

24

AVSNITT 2. RESTARITMETIKER

d¨ar q ¨ar kvoten och r ¨ar resten. Resten r kan alltid v¨ aljas s˚ a att 0 ≤ r < n dvs det finns n stycken rester : 0, 1, ..., n − 1. M¨angden av dessa betecknas ofta med Zn (eller Z/(n)). Vi skall skriva r = [a]n f¨or att uttrycka det faktum att r ¨ ar resten vid division av a med n. F¨ oljande egenskaper hos rester kommer att utnyttjas m˚ anga g˚ anger:

(2.1) Lemma. [a]n = [b]n d˚ a och endast d˚ a n|a − b ∗ . Med andra ord ger a och b samma rest vid division med n d˚ a och endast d˚ an¨ ar en delare till deras skillnad a − b.

Bevis. Om [a]n = [b]n s˚ a ¨ar a = nq1 + r och b = nq2 + r, vilket ger a − b = n(q1 − q2 ) dvs n|a − b. Omv¨ant, l˚ at n|a − b dvs a − b = nq. Om a = nq1 + r1 och b = nq2 + r2 s˚ a¨ ar a − b = n(q1 − q2 ) + r1 − r2 dvs r1 − r2 = (a − b) − n(q1 − q2 ) = n[q − (q1 − q2 )]. ar delbart med n endast om Detta betyder att n|r1 − r2 . Men 0 ≤ r1 , r2 < n s˚ a att r1 − r2 ¨ r1 − r2 = 0 dvs [a]n = [b]n . ¤

(2.2) Exempel. (a) [3]5 = [−2]5 ty 5|3 − (−2) = 5. (b) [n − 1]n = [−1]n ty n|(n − 1) − (−1) = n.

¤

arkning. C.F. Gauss introducerade en mycket viktig beteckning f¨ or att uttrycka (2.3) Anm¨ likheten [a]n = [b]n (dvs n|a − b). Han skrev: a ≡ b (mod n) vilket utl¨ ases “a a¨r kongruent med b modulo n”. Relationen “ ≡ ” kallas kongruens (h¨ ar modulo n). Vi kommer att anv¨anda den beteckningen ganska ofta. ¤

Kan man helt allm¨ant addera och multiplicera rester (precis som de sista siffrorna vid addition och multiplikation av heltal)? Det a¨r helt klart att det g˚ ar men en formell definition a ¨r n¨odv¨andig. Vi skall skriva ⊕ och ¯ f¨ or att ha en distinktion mellan addition av vanliga heltal och rester. Men den distinktionen ¨ar inte n¨ odv¨ andig (man kan skriva “ + ” och “ · ” om man s˚ a vill).

(2.4) Definition. [a]n ⊕ [b]n = [a + b]n och [a]n ¯ [b]n = [ab]n . ∗

¤

Man skriver a|b och s¨ ager att “a ¨ ar en delare till b” om b = aq f¨ or n˚ agot heltal q. Man s¨ ager ocks˚ a att b ar en multipel av a. Om a inte ¨ ar en delare till b skriver man a|/b. ¨

(2.4)

25

Definitionen s¨ager att summan av resterna [a]n och [b]n f˚ ar man genom att addera talen a och b p˚ a vanligt s¨att och d¨arefter ta resten vid division av a + b med n. Samma sak g¨ aller f¨or produkten. H¨ar finns det dock en liten detalj som kr¨ aver en stunds eftertanke. Om man har tv˚ a helt godtyckliga heltal a och b som slutar, l˚ at oss s¨ aga, p˚ a 3 och 8 dvs [a]10 = 3 och [b]10 = 8 s˚ a f˚ ar man alltid samma slutsiffra f¨ or a + b och ab dvs [a + b]10 = 1 och [ab]10 = 4. G¨aller samma sak helt allm¨ant d˚ a man ers¨ atter 10 med n˚ agon annan modul t ex 3 eller 4? Med andra ord ¨ar h¨oger led i definitionen (2.4) alltid samma oberoende av a och b till v¨ anster? Fr˚ agan kan ocks˚ a formuleras s˚ a h¨ar: ¨ar definitionen (2.4) korrekt? L˚ at oss kontrollera att den at: ¨ar helt korrekt! L˚

[a]n = [a0 ]n och [b]n = [b0 ]n .

(2.5) Vi vill visa att

(2.6)

[a + b]n = [a0 + b0 ]n och [ab]n = [a0 b0 ]n .

Med beteckningen “ ≡ ” betyder det att

a ≡ a0

(mod n) och b ≡ b0

(mod n)

ger

a + b ≡ a0 + b0

(mod n) och ab ≡ a0 b0

(mod n)

dvs kongruenser, precis som likheter, kan adderas och multipliceras ledvis. Bevis. [a]n = [a0 ]n och [b]n = [b0 ]n betyder att a − a0 = nq1 och b − b0 = nq2 . Allts˚ a¨ ar (a + b) − (a0 + b0 ) = n(q1 + q2 ) , dvs

[a + b]n = [a0 + b0 ]n . Vidare ¨ar

ab − a0 b0 = (a − a0 )b + a0 (b − b0 ) = n(q1 b + q2 a0 )

26

AVSNITT 2. RESTARITMETIKER

dvs

[ab]n = [a0 b0 ]n . ¤ Nu kan vi konstatera f¨oljande: a addition och (2.7) Sats. Alla rester vid division med n bildar en ring Zn med avseende p˚ multiplikation av rester:

[a]n ⊕ [b]n = [a + b]n och [a]n ¯ [b]n = [ab]n . Bevis. Vi vet redan att summan och produkten av rester ¨ ar rester (detta ger villkoren (a) och (f) i definitionen av begreppet ring – se (1.5) och (1.6)). Associativiteten:

([a]n ⊕ [b]n ) ⊕ [c]n = [a]n ⊕ ([b]n ⊕ [c]n ) f˚ ar vi enkelt ty

V L = ([a]n ⊕ [b]n ) ⊕ [c]n = [a + b]n ⊕ [c]n = [(a + b) + c]n , och

HL = [a]n ⊕ ([b]n ⊕ [c]n ) = [a]n ⊕ [b + c]n = [a + (b + c)]n , s˚ a att V L = HL. Lika enkelt ¨ar det med kommutativiteten:

[a]n ⊕ [b]n = [a + b]n = [b + a]n = [b]n ⊕ [a]n . Vi har

[a]n ⊕ [0]n = [a + 0]n = [a]n

(2.7)

27

dvs [0]n ¨ar neutral f¨or addition. Likheten

[a]n ⊕ [−a]n = [0]n s¨ager att [−a]n ¨ar motsatt till [a]n . De ¨ ovriga villkoren i definitionen av begreppet ring (se (1.6)) l¨amnar vi som ¨ovning. ¤ L˚ at oss som exempel skriva ut additions och multiplikationstabellerna f¨ or Z3 : ⊕ [0]3 [1]3 [2]3

[0]3 [0]3 [1]3 [2]3

[1]3 [1]3 [2]3 [0]3

[2]3 [2]3 [0]3 [1]3

¯ [0]3 [1]3 [2]3

[0]3 [0]3 [0]3 [0]3

[1]3 [0]3 [1]3 [2]3

[2]3 [0]3 [2]3 [1]3

Ofta kommer vi att utel¨amna [ ]n n¨ ar det ¨ ar klart vilka rester vi menar. T ex ¨ ar tabellerna f¨or Z4 f¨oljande: ⊕ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

¯ 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

I praktiska till¨ampningar (utanf¨or matematiken) ¨ ar Z2 en av de viktigaste ringarna: Den har f¨oljande r¨aknelagar: ⊕ 0 1

0 0 1

1 1 0

¯ 0 1

0 0 0

1 0 1

En viktig fr˚ aga ¨ar om det kan intr¨affa att Zn ¨ ar en kropp. L˚ at oss repetera att Zn ¨ ar en kropp om villkoret (j) i definitionen av begreppet kropp (se (1.6)) g¨ aller dvs om till varje r ∈ Zn , r 6= 0, existerar en invers r0 s˚ a att r ¯ r0 = 1. Man inser l¨ att att Z2 , Z3 och Z5 a or ¨r kroppar. F¨ Z2 ¨ar det klart (1 ¯ 1 = 1). I Z3 har vi 1 ¯ 1 = 1 och 2 ¯ 2 = 1 s˚ a att b˚ ade 1 och 2 har invers. I Z5 ¨ar det ocks˚ a klart ty 1 ¯ 1 = 1, 2 ¯ 3 = 1 och 4 ¯ 4 = 1 s˚ a att 1,2,3 och 4 har invers. Z4 a att 2 ¯ r = 1). N¨ ar ¨ar inte en kropp d¨arf¨or att 2 saknar invers (man kan inte hitta r ∈ Z4 s˚ ar en kropp d˚ a och endast d˚ an¨ ar ¨ar Zn en kropp? Svaret ¨ar, ganska ¨overraskande, att Zn ¨ ett primtal. Vi skall bevisa det om en stund som ett resultat av en mera allm¨ an observation. I en godtycklig ring R kan det finnas flera element ut¨ over 1 som har invers. Om R ¨ ar en kropp s˚ a har alla element 6= 0 invers. Bland heltalen Z finns det bara tv˚ a som har heltalig invers – det ¨ar 1 och −1. Allm¨ant har man f¨ oljande begrepp:

28

AVSNITT 2. RESTARITMETIKER

(2.8) Definition. Ett element a i en ring R kallas en enhet om a har invers dvs om det finns a0 ∈ R s˚ a att aa0 = 1. ¤

Vi skall hitta alla rester som har invers i Zn . Tag t ex Z4 . H¨ ar ¨ ar 1 ¯ 1 = 1 och 3 ¯ 3 = 1 s˚ a att 1 och 3 har invers (men inte 2). I Z7 har alla rester 6= 0 inverser ty 7 ¨ ar ett primtal och s˚ aledes ¨ar Z7 en kropp: 1 ¯ 1 = 1, 2 ¯ 4 = 1, 3 ¯ 5 = 1, 6 ¯ 6 = 1.

(2.9) Sats. r ∈ Zn har invers d˚ a och endast d˚ a r och n saknar gemensamma delare 6= 1 dvs SGD(r, n) = 1.

V˚ art bevis av satsen utnyttjar en mycket viktig egenskap som Du kommer att m¨ ota m˚ anga g˚ anger: L˚ at a, b vara tv˚ a heltal. D˚ a finns det heltal x, y s˚ adana att

(2.10)

ax + by = SGD(a, b)† .

Bevis. Om SGD(r, n) = 1 s˚ a finns det tv˚ a heltal x, y s˚ adana att rx + ny = 1 Allts˚ a a¨r [rx + ny]n = [1]n . Men [ny]n = [0]n s˚ a att [rx]n = [r]n ¯ [x]n = [1]n dvs [x]n a ¨r inversen till [r]n = r. Omv¨ant. L˚ at [r]n ¯ [r0 ]n = [1]n dvs [rr0 ]n = [1]n . Enligt (2.1) f˚ ar vi n|rr0 − 1 dvs rr0 − 1 = nq 0 s˚ a att rr − nq = 1. Den likheten s¨ager att SGD(r, n) = 1 ty en gemensam delare d > 0 till r och n a¨r en delare till 1 dvs d = 1. ¤ Nu f˚ ar vi omedelbart:

ar en kropp d˚ a och endast d˚ an¨ ar ett primtal. (2.11) Fo ¨ljdsats. Zn ¨

Bevis. Om n = p ¨ar ett primtal s˚ a har varje rest r 6= 0 invers d¨ arf¨ or att resterna 1, 2, ..., p − 1 i Zp saknar gemensamma delare med p dvs SGD(r, p) = 1 d˚ a r = 1, 2, ..., p − 1. Om d¨ aremot n ¨ar sammansatt dvs n = kl, d¨ar 1 < k < n och 1 < l < n s˚ a¨ ar SGD(k, n) = k > 1, vilket inneb¨ar att resten k saknar invers enligt (2.9). ¤ Nu skall vi g˚ a igenom n˚ agra mycket ber¨ omda satser i talteorin som enkelt kan bevisas med hj¨alp av restaritmetiker. P˚ a senare ˚ ar visade det sig att dessa satser har mycket v¨ asentliga till¨ampningar i samband med datorber¨ akningar och dators¨ akerhet. Men talteori (fast lite mer avancerad) har ocks˚ a kommit in i teoretisk fysik i samband med str¨ angteorin. †

Denna likhet ¨ ar en mycket enkel konsekvens av Euklides algoritm. Se avsnittet om “Delbarhet och primtal”.

(2.13)

29

Vi skall b¨orja med en sats som visades redan ˚ ar 1682 av G.W. Leibniz ‡ , men som kallas Wilsons sats. John Wilson levde senare a amnade matematiken f¨ or juridik. ¨n Leibniz och l¨ (2.12) Wilson’s sats. Om p ¨ ar ett primtal s˚ a¨ ar p|(p − 1)! + 1. Innan vi bevisar satsen l˚ at oss betrakta ett exempel. Tag p = 13. Satsen s¨ ager att 13|12! + 1. Modulo 13 har vi

1 ¯ 1 = 1, 2 ¯ 7 = 1, 3 ¯ 9 = 1, 4 ¯ 10 = 1, 5 ¯ 8 = 1, 6 ¯ 11 = 1, 12 ¯ 12 = 1. Allts˚ a ¨ar (modulo 13):

1 ¯ 2 ¯ 3 ¯ 4 ¯ 5 ¯ 6 ¯ 7 ¯ 8 ¯ 9 ¯ 10 ¯ 11 ¯ 12 = = 1 ¯ (2 ¯ 7) ¯ (3 ¯ 9) ¯ (4 ¯ 10) ¯ (5 ¯ 8) ¯ (6 ¯ 11) ¯ 12 = 12 = −1 dvs 13|12! + 1. Bevis. Betrakta kroppen Zp . Vi skall ber¨ akna [(p − 1)!]p = [1 · 2 · ... · (p − 1)]p och visa att [(p − 1)!]p = [−1]p vilket just ¨ar satsens inneh˚ all. Varje faktor r i produkten 1 ¯ 2 ¯ ... ¯(p − 1) har sin invers s modulo p dvs r ¯ s = 1. Om r 6= s s˚ a kan man utel¨amna b˚ ade r och s. Men det kan intr¨ affa att r = s dvs r ¯ r = 1. N¨ar? Vi har [r2 ]p = [1]p d˚ a och endast d˚ a p|r2 − 1 = (r − 1)(r + 1) dvs p|r − 1 eller p|r + 1. Men 0 ≤ r ≤ p − 1 s˚ a att r = 1 eller r = p − 1. Allts˚ a finns det tv˚ a faktorer i produkten 1 ¯ 2 ¯ ... ¯(p − 1) som ¨ar kvar: 1 och p − 1 dvs 1 ¯ 2 ¯ ... ¯ (p − 1) = 1 ¯ (p − 1) . Men p − 1 ≡ −1 (mod p) s˚ a att [(p − 1)!]p = [−1]p , vilket visar satsen.

¤

arkning. Wilsons sats karakteriserar primtalen i den meningen att om n|(n − (2.13) Anm¨ 1)! + 1 s˚ a ¨ar n ett primtal (vi l¨amnar detta p˚ ast˚ aende som en bra och enkel ¨ ovning – se ¨ ovning 5). Man kan testa med hj¨alp av datorer om n ¨ ar ett primtal genom att dividera (n − 1)! + 1 med n. Men den metoden ¨ar inte s¨arskilt bra d¨ arf¨ or att (n − 1)! v¨ axer mycket snabbt med n. ¤ Nu vill vi visa en av de mest ber¨omda satserna inom talteorin – Fermats § lilla sats (om den stora f˚ ar du h¨ora under f¨orel¨asningarna). Vi beh¨ over dock en enkel observation som har en mycket allm¨an karakt¨ar: ‡ Gottfrid Wilhelm Leibniz (1/7 1646 – 14/11 1716) var en framst˚ aende tysk matematiker som skapade differential och integralkalkylen (oberoende av I.Newton). § Pierre de Fermat (20/8 1601 − 12/1 1663).

30

AVSNITT 2. RESTARITMETIKER

(2.14) Proposition. L˚ at R vara en ring. (a) Produkten av tv˚ a enheter a och b i R ocks˚ a¨ ar en enhet. (b) Om a ¨ ar en enhet i R och ax = ay, d¨ ar x, y ∈ R, s˚ a¨ ar x = y. (c) Om a ¨ ar en enhet i R och x1 , x2 , ..., xn ¨ ar olika element i R s˚ a¨ ar ocks˚ a ax1 , ax2 , ..., axn olika. Bevis. (a) Om aa0 = 1 och bb0 = 1 s˚ a (ab)(a0 b0 ) = 1 dvs ab a ¨r en enhet. (b) Man kan multiplicera ax = ay med a−1 vilket ger x = y. (c) Om xi 6= xj s˚ a ¨ar axi 6= axj ty axi = axj ger enligt (b) att xi = xj .

¤

Nu kan vi visa Fermats lilla sats: (2.15) Fermats lilla sats. Om p ¨ ar ett primtal och a ¨ ar ett heltal s˚ a¨ ar p|ap − a, med andra p ord, a ≡ a (mod p). Tag ett exempel f¨orst. Om p = 5 och a = 3 f˚ ar vi 5|35 − 3 = 240. Bevis. Om p|a s˚ a ¨ar p˚ ast˚ aendet klart. L˚ at oss anta d˚ a att p /| a dvs r = [a]p 6= 0. Betrakta resterna 1, 2, ..., p − 1 ∈ Zp och l˚ at oss multiplicera alla dessa rester med r 6= 0. D˚ a f˚ ar vi (p − 1) olika enheter i Zp (se (2.14) (a) och (c)) :

1 ¯ r, 2 ¯ r, ..., (p − 1) ¯ r Allts˚ a˚ aterf˚ ar vi resterna 1, 2, ..., p − 1 (eventuellt i n˚ agon annan ordning). I varje fall ¨ ar

1 ¯ r ¯ 2 ¯ r ¯ ... ¯ (p − 1) ¯ r = 1 ¯ 2 ¯ ... ¯ (p − 1). Nu kan vi stryka 1, 2, ..., p − 1 till v¨anster och till h¨ oger (se (2.14) (b)) och vi f˚ ar

rp−1 = 1 dvs [ap−1 ]p = [1]p , vilket betyder att p|ap−1 − 1. Men i s˚ a fall ¨ ar ocks˚ a p|a(ap−1 − 1) = ap − a.

¤

(2.17)

31

Fermats lilla sats har en generalisering som visades 100 ˚ ar senare av L. Euler ¶ . (Eulers sats utg¨or grunden f¨or konstruktionen av de mest anv¨ anda krypteringssystemen inom dators¨akerhetstekniken — s˚ a kallade RSA-krypton. Se ¨ ovningarna). Innan vi visar Eulers sats m˚ aste vi s¨aga n˚ agra ord om Eulers funktion ϕ. Hur m˚ anga rester i Zn har invers? Antalet s˚ adana rester betecknas med ϕ(n). Funktionen ϕ(n) kallas Eulers funktion. Enligt villkoret i (2.9) har vi:

(2.16)

ϕ(n) = antalet r s˚ adana att 0 ≤ r < n och SGD(r, n) = 1.

Det ¨ar l¨att att ber¨akna: ϕ(1) = 1, ϕ(2) = 1, ϕ(3) = 2, ϕ(4) = 2, ϕ(5) = 4, ϕ(6) = 2, ϕ(7) = 6, ϕ(8) = 4, ϕ(9) = 6, ϕ(10) = 4 osv. Vi ˚ aterkommer till Eulers funktion i samband med ¨ovningarna. Nu kan vi formulera och bevisa Eulers sats:

(2.17) Eulers sats. L˚ at a och n vara heltal s˚ adana att SGD(a, n) = 1. D˚ a¨ ar

n|aϕ(n) − 1, dvs aϕ(n) ≡ 1

(mod n).

F¨orst ett exempel. Om n = 10 och a = 3 s˚ a¨ ar 10|34 − 1 = 80 (ty ϕ(10) = 4). Bevis. Betrakta restklassringen Zn . Enligt f¨ oruts¨ attningen ¨ ar r = [a]n 6= 0 en enhet i Zn (ty SGD(a, n) = 1). L˚ at r1 , r2 , ..., rϕ(n) vara alla enheter i Zn , och l˚ at oss multiplicera alla dem med r. D˚ a f˚ ar vi ϕ(n) olika produkter som alla a r enheter (se (2.14) (a) och (c)): ¨

r ¯ r1 , r ¯ r2 , . . . , r ¯ rϕ(n) . Allts˚ a f˚ ar vi alla enheter i Zn igen (m¨ ojligen i en annan ordning). I varje fall ¨ ar

r ¯ r1 ¯ r ¯ r2 ¯ . . . . ¯ r ¯ rϕ(n) = r1 ¯ r2 ¯ . . . . ¯ rϕ(n) . Nu kan vi stryka r1 , r2 , ..., rϕ(n) till v¨ anster och till h¨ oger (se (2.14)(b)) och vi f˚ ar

rϕ(n) = 1 ¶

Leonard Euler (15/4 1707 - 18/9 1783), schweizisk matematiker, den st¨ orste matematikern under 1700-talet och en av de mest betydelsefulla i matematikens historia.

32

AVSNITT 2. RESTARITMETIKER

dvs [aϕ(n) ]n = [1]n vilket betyder att n|aϕ(n) − 1.

¤

Vi skall avsluta detta avsnitt med ¨annu en ber¨ omd sats som ¨ ar ca 2000 ˚ ar gammal. Satsen heter Kinesiska restsatsen och s¨ager f¨ oljande:

(2.18) Kinesiska restsatsen. Om n1 , n2 , ..., nk ¨ ar parvis relativt prima heltal (dvs den st¨ orsta gemensamma delaren till ni och nj ¨ ar 1 d˚ a i 6= j) och r1 , r2 , ..., rk ¨ ar godtyckliga heltal s˚ a existerar ett heltal x s˚ adant att

x ≡ r1

(mod n1 ), x ≡ r2

(mod n2 ), ..., x ≡ rk

(mod nk ).

Dessutom finns det bara ett s˚ adant x modulo n1 n2 · · · nk (dvs ett x med 0 ≤ x < n1 n2 · · · nk ). Betrakta ett exempel. Om vi vill hitta x s˚ a att x l¨ amnar resten 2 vid division med 3, resten 3 vid division med 4 och resten 4 vid division med 5 s˚ a betyder det att x skall uppfylla

(2.19)

x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3

(mod 4), x ≡ 4 (mod 5).

H¨ar ¨ar x = 59 den enda l¨osningen modulo 60 = 3 · 4 · 5. V˚ art bevis ger ocks˚ a information om hur man hittar x (se exempel (2.22)). Bevis. L˚ at n = n1 n2 ...nk . Betrakta Zni . Enligt f¨ oruts¨ attningen har vi SGD(ni , nni ) = 1. n D¨arf¨or ¨ar ni en enhet modulo ni dvs det finns xi ∈ Zn s˚ a att [

eller med andra ord,

n xi ]ni = [1]ni , ni

n xi ≡ 1 ni

(mod ni ).

Nu p˚ ast˚ ar vi att

(2.20)

x=

n n n x1 r1 + x2 r2 + . . . + xk rk n1 n2 nk

orst att ¨ar den s¨okta l¨osningen. F¨or att kontrollera det, observera f¨

(2.22)

33

[

n xi ]nj = 0 d˚ a i 6= j, ni

ty nj | nni . D¨arf¨or har vi:

[x]ni = [

dvs x ≡ ri

n n n n x1 r1 ]ni + [ x2 r2 ]ni + . . . + [ xk rk ]ni = [ xi ri ]ni = [ri ]ni n1 ni nk ni

(mod ni )

Om x och x0 ¨ar tv˚ a l¨osningar dvs [x]ni = [x0 ]ni d˚ a i = 1, 2, ..., k s˚ a¨ ar ni |x − x0 . Men talen 0k n1 , n2 , ..., nk a¨r relativt prima s˚ a att n = n1 n2 ...nk |x − x dvs [x]n = [x0 ]n . ¤ Hur hittar man x rent praktiskt? Det ¨ ar klart att man beh¨ over xi dvs man m˚ aste l¨ osa n xi ≡ 1 ni

(2.21)

(mod ni ).

Detta betyder att man vill finna tal xi s˚ adana att

n ni xi

− 1 = ni q dvs

n xi − ni q = 1. ni H¨ar k¨anner vi igen (2.10) med a = nni , b = ni , x = xi och y = −q. xi hittar man mycket enkelt med hj¨alp av Euklides algoritm.

(2.22) Exempel. Vi ˚ aterkommer till (2.19) d¨ ar n1 = 3, n2 = 4, n3 = 5 och r1 = 2, r2 = 3, r3 = 4. Allts˚ a ¨ar n = n1 n2 n3 = 60 och man m˚ aste l¨ osa kongruenserna (2.21) dvs

20x1 ≡ 1 (mod 3), 15x2 ≡ 1 (mod 4), 12x3 ≡ 1

(mod 5).

Man hittar mycket l¨att (utan Euklides algoritm) att x1 = 2, x2 = 3, x3 = 3. Allts˚ a¨ ar

x=

n n n x1 r1 + x2 r2 + x3 r3 = 359 n1 n2 n3

s˚ a att den enda l¨osningen modulo 60 ¨ ar 59, ty 359 ≡ 59 k

Om a|c och b|c samt SGD(a, b) = 1 s˚ a ab|c.

(mod 60).

¤

34

AVSNITT 2. RESTARITMETIKER

¨ OVNINGAR 2.1. Best¨am sista siffran av talen 77

(a) 21991 , (b) 1320 , (c)77 . 2.2. Best¨am resten vid division av (a) 3100 med 7, (b) 21000 med 3,5,11,13, Ledning. Visa f¨orst att 992 ≡ −1

(c) 9999 med 13.

(mod 13) n

2.3. (a) Fermat p˚ astod att talen Fn = 22 + 1, n = 0, 1, 2, ... ¨ ar primtal. Det ¨ ar verkligen sant d˚ a n = 0, 1, 2, 3, 4. Visa det! (en minir¨ aknare kan vara till hj¨ alp). 5

(b) Ett hundra ˚ ar senare visade L.Euler att 641|F5 = 22 + 1 = 232 + 1 = 4294967297. Visa det genom att r¨akna i Z641 och utnyttja f¨ oljande likheter: 641 = 5 · 27 + 1 = 54 + 24 . 2.4. (a) F¨or 2500 ˚ ar sedan p˚ astod kinesiska matematiker att om ett heltal n > 1 ¨ ar en delare till 2n − 2 s˚ a m˚ aste n vara ett primtal. Detta p˚ ast˚ aende ¨ ar sant d˚ a n < 341 men 341|2341 − 2 trots att 341 inte ¨ ar ett primtal. Visa det! Ledning. 341 = 11 · 31 och 210 − 1 = 1023 = 3 · 11 · 31. Anm¨ arkning. P.Fermat k¨ande till den kinesiska hypotesen och han visste att hans tal n Fn = 22 + 1 hade egenskapen Fn |2Fn − 2. Det var grunden f¨or hans p˚ ast˚ aende att Fn var primtal. (b) Visa att Fn |2Fn − 2. 2.5. Visa att omv¨andningen till Wilsons sats g¨ aller, dvs om n|(n − 1)! + 1 s˚ a¨ ar n ett primtal. 2.6. (a) Visa att 101|13 + 23 + ... + 1003 . Ledning. R¨akna i Z101 . (b) Visa att m|1k + 2k + ... + (m − 1)k d˚ a k och m ¨ ar positiva udda heltal. P −1 2.7. (a) Ber¨akna inverser a−1 till alla a ∈ Z7 , a 6= 0. Ber¨ akna ocks˚ a a , a ∈ Z7 , a 6= 0. (b) L˚ at p vara ett udda primtal. Visa att om 1+

1 a 1 + ... + = , 2 p−1 b

d¨ar a, b a¨r heltal s˚ a a¨r p|a. Ledning. Utnyttja att Zp ¨ar en kropp. 2.8. Visa att om x2 + y 2 = z 2 , d¨ar x, y, z ¨ ar heltal s˚ a finns det bland dessa tal ett som ¨ ar delbart med 3, ett med 4 och ett med 5. 2.9. Visa att 30|n5 − n d˚ a n ¨ar ett heltal.

¨ OVNINGAR

35

2.10. L˚ at p, q vara tv˚ a olika primtal och n = pq. Visa att: (a) ϕ(n) = (p − 1)(q − 1), (b) aϕ(n)+1 ≡ a (mod n). Anm¨ arkning. Man kan visa helt allm¨ ant att ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) d˚ a SGD(a, b) = 1. Beviset ¨ar inte sv˚ art. P˚ ast˚ aendet i (b) g¨ aller allm¨ ant d˚ a n ¨ ar en produkt av olika primtal. Man f˚ ar en generalisering av Fermats lilla sats – om n = p s˚ a¨ ar ϕ(n) = p − 1 och ϕ(n) + 1 = p. 2.11. RSA-krypteringssystem

∗∗ .

(a) V¨alj tv˚ a olika primtal p, q och ber¨ akna n = pq (p, q ¨ ar vanligen mycket stora, s¨ag, 100 av storleksordningen 10 ). (b) Ber¨akna ϕ(n) = (p − 1)(q − 1) och v¨ alj e s˚ a att SGD(e, ϕ(n)) = 1. Ber¨ akna ¨ aven d, s˚ a att ed ≡ 1 (mod ϕ(n)). (c) Publicera n, e och en ordbok f¨ or ¨ overs¨ attning av meddelanden till exempel: A = 10, B = 11, ..., Z = 35 (d˚ a n > 35) (d) Den som vill s¨anda meddelanden till Dig krypterar med hj¨ alp av den k¨ anda funktionen E(r) = re , r ∈ Zn Du ¨ar den ende (f¨orhoppningsvis) som kan dekryptera med hj¨ alp av funktionen D(r) = rd d ¨ar hemligt och D ◦ E(r) = D(re ) = red = r Visa den sista likheten! Ledning. ed = 1 + ϕ(n)m f¨or ett heltal m ≥ 1. Utnyttja 10 (b)! Anm¨ arkning. RSA-systemet tillh¨ or sk ¨ oppennyckelkrypton dvs kryperingsfunktionen E ¨ar allm¨ant k¨and. Vad g¨or den som vill dekryptera? Funktionen D ¨ ar inversen till E och f¨or att hitta den beh¨over man d. d ¨ ar l¨ osningen till ed = 1 i Zϕ(n) och f¨ or att hitta d beh¨over man p och q som inte ¨ ar k¨ anda. Men n ¨ ar k¨ ant s˚ a att man m˚ aste kunna faktorisera n. H¨ar ligger styrkan hos RSA-systemet. Faktoriseringsalgoritmer tar mycket l˚ ang tid. De b¨asta k¨anda algoritmerna f¨ or primfaktoruppdelning av n kr¨ aver ca 1 100 200 5 n r¨akneoperationer. Om p och q ¨ ar ca 10 s˚ a¨ ar n = 10 . Om en r¨ akneoperation tar ca 1 µs s˚ a kr¨avs det 1040 µs = 3 · 1026 ˚ ar f¨ or att genomf¨ ora ber¨ akningarna f¨ or n (106 datorer var och en kapabel att utf¨ ora en r¨ akneoperation p˚ a 1 µs skulle beh¨ ova 3 · 1020 ˚ ar f¨or att klara dessa ber¨akningar!). (e) L˚ at n = 17 · 23 = 391. V¨ alj krypteringsnyckeln e = 3 och kryptera NEJ (med “ordbokensom i (c)). Ber¨akna d och dekryptera 121 268 358. ∗∗

Konstruktionen av systemet publicerades av R.L.Rivest, A.Shamir och L.Adleman 1978.

36

AVSNITT 2. RESTARITMETIKER

2.12. Best¨am det minsta positiva heltalet n som l¨ amnar resterna 1,2,3,4,5 vid division med respektive 2,3,4,5,6. 2.13. Best¨am alla n s˚ adana att 4|n, 9|n + 1, 25|n + 2. 2.14. L˚ at x0 vara den minsta positiva l¨ osningen till x ≡ r1

(mod n1 ), x ≡ r2

(mod n2 ), ..., x ≡ rk

(mod nk ),

d¨ar ni ¨ar positiva relativt prima heltal. Visa att varje annan l¨ osning ¨ ar x0 + nq d¨ ar n = n1 n2 . . . nk och q ∈ Z.

AVSNITT 3

POLYNOMRINGAR Varje ring R ger upphov till polynom med koefficienter i R dvs alla uttryck

f (X) = a0 + a1 X + a2 X 2 + . . . + an X n , d¨ar ai ∈ R. ai kallas koefficienter till f (X) och n kallas dess grad om an 6= 0. an kallas ofta h¨ ogsta koefficienten av f (X). Polynom kan adderas och multipliceras p˚ a v¨ alk¨ ant s¨ att: Om f (X) = a0 + a1 X + a2 X 2 + . . . och g(X) = b0 + b1 X + b2 X 2 + . . . ∗ s˚ a ¨ar

f (X) + g(X) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )X + (a2 + b2 )X 2 + ... och

f (X)g(X) = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 )X + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 )X 2 + ... dvs koefficienten f¨or X k i summan f (X) + g(X) ¨ ar ak + bk och f¨ or produkten f (X)g(X) ¨ ar a0 bk + a1 bk−1 + ... + ak b0 . Med dessa operationer bildar alla polynom med koefficienter i R en ny ring som betecknas med R[X]. Man kan s˚ aledes betrakta ringar Z[X], Q[X], R[X], C[X] med koefficienter i ∗

Man kan alltid f¨ oruts¨ atta att f och g har lika m˚ anga termer genom att “f¨ orl¨ anga”ett av polynomen med ett antal termer med koefficienter 0.

37

38

AVSNITT 3. POLYNOMRINGAR

olika talringar och talkroppar, men ¨aven Z2 [X], Z3 [X] och allm¨ ant Zn [X] dvs polynom med koefficienter i ringar av rester. Alla dessa ringar spelar en mycket viktig roll i hela matematiken och har stor betydelse f¨or olika typer av till¨ ampningar (inte minst g¨ aller det ringarna Zn [X]). Vi skall i n˚ agon m˚ an formalisera definitionen av begreppen polynom och polynomring i en anm¨arkning som avslutar detta avsnitt. D¨ ar f¨ orklarar vi ocks˚ a hur man kan tolka beteckningen X. V˚ art s¨ att att skriva polynom efter v¨ axande potenser av X ¨ ar inte alls n¨ odv¨ andigt, men det underl¨attar definitionen av addition och multiplikation av polynom. N¨ ar det g¨ aller formella ting finns det dock n˚ agra saker som vi vill s¨ aga redan nu. Ett polynom med alla koefficienter lika med 0 kallas nollpolynomet och vi definierar dess grad som −1. Alla polynom av graden 0 samt nollpolynomet kallas ofta f¨ or konstanta polynom (dvs f (X) = a0 , a0 ∈ K). Vi skriver f (X), g(X), men man kan skriva kortare f, g. I synnerhet betyder f 6= 0 att f inte ¨ar nollpolynomet. Om f 6= 0 och g 6= 0 s˚ a a¨r

grad (f g) = grad f + grad g. Man kan ber¨akna f (X) f¨or X = a ∈ R. D˚ a f˚ ar vi polynomets f v¨ arde i punkten a dvs n f (a) = a0 + a1 a + ... +an a . V˚ art st¨orsta intresse kommer att koncentreras kring polynomringarna K[X], d¨ ar K ¨ ar en kropp. Det finns en intressant aspekt av s˚ adana ringar som har l˚ angtg˚ aende konsekvenser f¨or hela matematiken: Det finns m˚ anga likheter mellan heltalsringen Z och polynomringarna K[X]. Den f¨orsta ¨ar divisionsalgoritmen:

(3.1) Divisionsalgoritmen. Om f, g ∈ K[X] och g 6= 0 s˚ a finns det polynom q, r ∈ K[X] s˚ adana att

f = gq + r,

d¨ ar grad r < grad g eller r = 0.

Polynomen q och r, som kallas kvoten och resten vid division av f med g, ¨ ar entydigt definierade av f och g. Bevis. Vi bevisar satsen med hj¨alp av induktion efter graden av f (X). Om graden av f (X) a ¨ ar f (X) = g(X) · 0 dvs q(X) = 0 och r(X) = 0. ¨ar −1 (dvs f (X) ¨ar nollpolynomet) s˚ Nu antar vi att satsen g¨aller f¨or alla polynom f (X) vars grad ¨ ar < n, d¨ ar n ≥ 0. L˚ at n m f (X) = an X + . . . + a0 , g(X) = bm X + . . . + b0 d¨ ar an 6= 0, och bm 6= 0. Om n < m s˚ a har vi f (X) = g(X) · 0 + f (X) dvs q(X) = 0 och r(X) = f (X). Antag att n ≥ m. L˚ at

f1 (X) = f (X) −

an g(X)X n−m . bm

(3.1)

39

D˚ a ¨ar grad f1 (X) < grad f (X) s˚ a att

f1 (X) = g(X)q1 (X) + r(X), grad r(X) < grad g(X) enligt induktionsantagandet. Men d˚ a¨ ar

f (X) = f1 (X) +

an n−m an g(X)X n−m = g(X)(q1 (X) + X ) + r(X) bm bm

dvs f (X) = g(X)q(X) + r(X), grad r(X) < grad g(X) d¨ar q(X) = q1 (X) +

an n−m . bm X

Entydigheten av q och r bevisas p˚ a f¨ oljande s¨ att. Antag att ¨ aven f = gq1 + r1 , d¨ ar q1 , r1 ∈ K[X] och grad r1 < grad g eller r1 = 0. D˚ a har vi

(∗)

gq + r = gq1 + r1 ,

dvs

r − r1 = g(q1 − q), vilket betyder att g dividerar r − r1 . Men om r − r1 6= 0 s˚ a¨ ar grad (r − r1 ) < grad g, vilket medf¨or att g inte kan vara delare till r − r1 . Allts˚ aa r r − r = 0 dvs r = r1 . Likheten (∗) ovan ¨ 1 ger gq = gq1 s˚ a att q = q1 ty g 6= 0. ¤ Exempel. L˚ at f (X) = 2X 3 + 3X 2 + X + 1, g(X) = X 2 + 2 i Z5 [X]. Vi vill ber¨ akna kvoten och resten vid division av f (X) med g(X). F¨ orst divideras den h¨ ogsta termen 2X 3 i f (X) med den h¨ogsta termen X 2 i g(X). D˚ a f˚ ar man kvoten 2X och r¨ aknar ut “den f¨ orsta resten” f1 (X) = f (X) − 2Xg(X). D¨arefter upprepar man proceduren med f1 (X) i st¨ allet f¨ or f (X).

40

AVSNITT 3. POLYNOMRINGAR

2X + 3

= q(X)

2

X + 2| 2X 3 + 3X 2 + X + 1 − 2X 3

− 4X 3X 2 − 3X + 1 − 3X 2

−6 − 3X

= r(X)

(t¨ank p˚ a det att 5 = 0 i Z5 ).

¤

Delbarhetsbegreppet f¨or polynom liknar samma begrepp f¨ or heltalen. (3.2) Definition. Man s¨ager att g ∈ K[X] ¨ ar en delare till f ∈ K[X] om f = gq, d¨ ar q ∈ K[X]. Man skriver d˚ a g|f . ¤ N¨ar man har divisionsalgoritmen kan man utf¨ ora Euklides algoritm f¨ or att r¨ akna ut st¨ orsta gemensamma delaren (SGD) till tv˚ a polynom f och g (precis som man r¨ aknar ut SGD till tv˚ a heltal i avsnittet om delbarhet). St¨ orsta gemensamma delaren till tv˚ a polynom definieras p˚ a f¨oljande s¨att: a s¨ ager man att d ∈ K[X] ¨ ar en st¨ orsta gemensamma (3.3) Definition. Om f, g ∈ K[X] s˚ delare till f och g (SGD(f, g)) om (a) d|f och d|g, (b) d0 |f och d0 |g, d¨ar d0 ∈ K[X] implicerar att d0 |d. Om f = g = 0 definierar man SGD(0, 0) = 0.

¤

(3.4) Anm¨ arkning. SDG(f, g) a¨r inte entydig. Om f 6= 0 eller g 6= 0 och d1 , d2 a a ¨r tv˚ polynom som uppfyller villkoren i (3.3) s˚ a¨ ar d1 |d2 och d2 |d1 . Allts˚ a¨ ar d2 = d1 q, d¨ ar q har grad 0 ty d1 och d2 har samma grad (grad d1 ≥ grad d2 och grad d2 ≥ grad d1 ). Detta betyder att d1 och d2 ¨ar lika s˚ a n¨ar som p˚ a en konstant. Genom ett l¨ ampligt val av den konstanten kan vi v¨alja en st¨orsta gemensamma delare med h¨ ogsta koefficienten 1. Man kallar en s˚ adan den st¨ orsta gemensamma delaren. Tv˚ a polynom vars st¨ orsta gemensamma delare ¨ ar 1 kallas relativt prima. ¤ Precis som f¨or heltalen g¨aller f¨oljande sats:

(3.9)

41

(3.5) Sats. Om d = SGD(f, g), d¨ ar f, g ∈ K[X] s˚ a existerar s, t ∈ K[X] s˚ a att

d = f s + gt. Man kan visa satsen p˚ a liknande s¨att som motsvarande sats f¨ or heltalen (se avsnittet “Delbarhet och primtal”). Med hj¨alp av (3.5) visar man som f¨or heltalen f¨ oljande egenskap som vi snart utnyttjar: (3.6) Sats. Om f |h, g|h och SGD(f, g) = 1, d¨ ar f, g, h ∈ K[X] s˚ a f g|h. Bevis. L˚ at h = f qf , h = gqg och 1 = f s + gt. D˚ a ¨ ar h = hf s + hgt = f gqg s + f gqf t = f g(qg s + qf t) dvs f g|h. ¤ En mycket vanlig uppgift i samband med polynom ¨ ar att l¨ osa polynomekvationer f (X) = 0. ar ett nollst¨ alle till f ∈ K[X] eller en rot till (3.7) Definition. Man s¨ager att a ∈ K ¨ ekvationen f (X) = 0 om f (a) = 0. ¤ Ett samband mellan nollst¨allen och delbarhet f¨ orklarar v˚ ar n¨ asta sats som a ¨r mycket enkel att bevisa och samtidigt mycket anv¨ andbar: ar lika med (3.8) Faktorsatsen. (a) Resten vid division av f ∈ K[X] med X − a, a ∈ K, ¨ f (a); (b) a ∈ K ¨ ar ett nollst¨ alle till f ∈ K[X] d˚ a och endast d˚ a X − a|f (X). Bevis. (a) Enligt divisionsalgoritmen a ¨r

f (X) = (X − a)q(X) + r, d¨ar grad r < 1 eller r = 0 dvs r ¨ar en konstant. Allts˚ a¨ ar f (a) = r. (b) f (a) = 0 ⇔ r = f (a) = 0.

¤

alle till f ∈ (3.9) Definition. Man s¨ager att a ∈ K har multipliciteten m som ett nollst¨ K[X] om (X − a)m |f (X) och (x − a)m+1 - f (X). ¤

42

AVSNITT 3. POLYNOMRINGAR

(3.10) Sats. Summan av multipliciteterna av alla nollst¨ allen till f ∈ K[X] ¨ ar h¨ ogst lika med grad f .

Bevis. L˚ at a1 , . . . , ar vara olika nollst¨ allen till f och l˚ at m1 , . . . , mr vara deras respektive multipliciteter. Detta betyder att (X − a1 )m1 |f (X), . . . , (X − ar )mr |f (X). Men polynomen (X − ai )mi ¨ar parvis relativt prima s˚ a att (X − a1 )m1 . . . (X − ar )mr |f (X) dvs grad f ≥ m1 + . . . + mr .

¤

Ett mycket viktigt begrepp som vi vill diskutera nu ¨ ar irreducibla polynom som ¨ ar motsvarigheten till primtalen i heltalsringen:

ar reducibelt i R[X] om f = gh, (3.11) Definition. Man s¨ager att ett polynom f ∈ R[X] ¨ d¨ar g, h ∈ R[X] och 1 ≤ grad g < grad f , 1 ≤ grad h < grad f . Ett polynom av grad minst 1 som inte ¨ar reducibelt kallas irreducibelt. ¤

Man s¨ager att en delare g till f s˚ adan att 1 ≤ grad g < grad f ¨ ar ¨ akta (eller “icketrivial”). D¨arf¨or ¨ar f reducibelt om det har en ¨ akta delare, och irreducibelt om dess grad ¨ ar minst 1 och det saknar ¨akta delare.

(3.12) Exempel. (a) Varje polynom av grad 1 ¨ ar irreducibelt. (b) Ett polynom f ∈ K[X] av grad 2 eller 3 ¨ ar reducibelt i K[X] d˚ a och endast d˚ a f har ett nollst¨alle i K dvs det finns x0 ∈ K s˚ a att f (x0 ) = 0. I sj¨ alva verket, om f (x0 ) = 0 s˚ a¨ ar f (X) = (X −x0 )f1 (X) d¨ar f1 (X) ∈ K[X] och grad f1 (X) ≥ 1 dvs f (X) ¨ ar reducibelt. Omv¨ ant om f (X) = g(X)h(X) ¨ar en faktoruppdelning av f (X) i tv˚ a icke-konstanta faktorer s˚ a m˚ aste n˚ agon av dessa ha grad 1. L˚ at g(X) = b0 + b1 X ∈ K[X]. D˚ aa alle till ¨r x0 = −b0 /b1 ett nollst¨ 2 f (X). Till exempel ¨ar f (X) = X + 1 ∈ Q[X] irreducibelt i Q[X] ty det saknar nollst¨ allen i Q[X] (±i ∈ / Q). Det ¨ar irreducibelt ¨ aven i R[X], men i C[X] ¨ ar X 2 + 1 = (X + i)(X − i) s˚ a 2 att X + 1 ¨ar reducibelt i den sista polynomringen. (c) f (X) = X 2 +X +1 ¨ar irreducibelt i Z2 [X] ty f (0) = 02 +0+1+1 och f (1) = 12 +1+1 = 1 s˚ a att polynomet saknar nollst¨allen i Z2 . Vi har X 2 + 1 = (X + 1)2 i Z2 [X] s˚ a att X 2 + 1 ¨ ar reducibelt i Z2 [X]. (d) Polynomet f (X) = X 4 + 4 saknar rationella (¨ aven reella) nollst¨ allen. Men man f˚ ar inte p˚ ast˚ a att f ¨ar irreducibelt i Q[X]. Detta ¨ ar ett polynom av grad 4 s˚ a att (b) inte ¨ ar anv¨ andbar h¨ar! I sj¨alva verket har vi

(3.16)

43

X 4 + 4 = X 4 + 4X 2 + 4 − 4X 2 = (X 2 + 2)2 − (2X)2 = (X 2 + 2X + 2)(X 2 − 2X + 2) s˚ a att X 4 + 4 ¨ar reducibelt i Q[X].

¤

Nu skall vi g˚ a igenom n˚ agra exempel p˚ a irreducibla polynom i olika ringar. (3.13) Polynomringen C[X]. I samband med v˚ ar diskussion av komplexa tal n¨ amnde vi (polynom)algebrans fundamentalsats (se(4.4)) som s¨ ager att varje ickekonstant polynom med komplexa koefficienter har ett komplext nollst¨ alle. Detta betyder att om f ∈ C[X] och grad f ≥ 1 s˚ a ¨ar f (z1 ) = 0 f¨or ett komplext tal z1 . Enligt faktorsatsen har vi

f (X) = (X − z1 )f1 (X). H¨ar ¨ar grad f1 = grad f − 1. Om grad f1 ≥ 1 s˚ a har f1 ett komplext nollst¨ alle z2 . Nu ger faktorsatsen att f1 (X) = (X − z2 )f2 (X) s˚ a att

f (X) = (X − z1 )(X − z2 )f2 (X). Vi kan forts¨atta faktoruppdelningen av f (X) tills vi f˚ ar

f (X) = (X − z1 )(X − z2 ) · · · (X − zn )fn (X), d¨ar fn (X) ¨ar ett konstant polynom. Detta resonemang leder till f¨ oljande resultat: (3.14) Sats. Varje icke-konstant polynom f ∈ C[X] ¨ ar en produkt av f¨ orstagradspolynom. Allts˚ a¨ ar varje polynom f ∈ C[X] av grad ≥ 2 reducibelt och alla irreducibla polynom i C[X] ar f¨ orstagradspolynomen. ¨ (3.15) Polynomringen R[X]. Situationen med irreducibla polynom i den ringen ¨ ar lite mera komplicerat ¨an i C[X]. Men man kan fortfarande ganska l¨ att beskriva alla irreducibla polynom. F¨orst noterar vi f¨oljande hj¨ alpresultat: (3.16) Lemma. f ∈ R[X] och z ¨ ar ett komplext tal s˚ a¨ ar

f (z) = f (¯ z ).

44

AVSNITT 3. POLYNOMRINGAR

I synnerhet, om z ¨ ar ett nollst¨ alle till f (X) dvs f (z) = 0, s˚ a¨ ar ocks˚ a z¯ ett nollst¨ alle till f (X) dvs f (¯ z ) = 0.

Bevis. L˚ at

f (X) = an X n + an−1 X n−1 + ... + a1 X + a0 , d¨ar ai ∈ R. D˚ a ¨ar

†

f (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . a1 z + a0 = a ¯n z¯n + a ¯n−1 z¯n−1 + ... + a ¯1 z¯ + a ¯0 = f (z), ty a ¯i = ai d¨arf¨or att ai ¨ar reella.

¤

Nu ¨ar det mycket l¨att att bevisa f¨ oljande sats om faktorgruppdelningar i R[X] :

(3.17) Sats. Varje icke-konstant reellt polynom ¨ ar en produkt av irreducibla faktorer av grader 1 eller 2. Allts˚ a¨ ar varje reellt polynom av grad ≥ 3 reducibelt och alla irreducibla polynom i R[X] ¨ ar f¨ orstagradspolynom och andragradpolynom utan reella nollst¨ allen.

Bevis. L˚ at f (X) ∈ R[X]. Vi visar satsen genom induktion efter graden av f (X). Om f (X) har graden 1 s˚ a ¨ar p˚ ast˚ aendet klart (f (X) ¨ ar irreducibelt). Antag att p˚ ast˚ aendet g¨ aller f¨ or alla polynom av graden < n. Vi vill visa att att det ocks˚ a g¨ aller f¨ or alla polynom av graden n. L˚ at f (X) vara ett s˚ adant polynom. Om f (X) har ett reellt nollst¨ alle a s˚ a¨ ar:

f (X) = (X − a)f1 (X) enligt faktorsatsen, och grad f1 = n − 1. Enligt induktionsantagandet ¨ ar f1 en produkt av f¨orsta och andragradspolynom utan reella nollst¨ allen s˚ a att detsamma g¨ aller f¨ or f (X). Om f (X) saknar reella nollst¨allen s˚ a¨ ar f (z) = 0 f¨ or ett icke-reellt tal z. Enligt faktorsatsen ¨ar

f (X) = (X − z)f1 (X). †

Om z = a + bi s˚ a z¯ = a − bi. Vi har z1 + z2 = z¯1 + z¯2 och z1 z2 = z¯1 z¯2

samt z¯ = z d˚ a och endast d˚ aza ¨r reellt.

(3.20)

45

Enligt lemma (3.16) ¨ar f (¯ z ) = 0 s˚ a att (¯ z − z)f1 (z) = 0, vilket ger f1 (¯ z ) = 0 ty z¯ − z 6= 0 (om z¯ − z = 0 s˚ a ¨ar z reellt!). Genom att till¨ ampa faktorsatsen p˚ a f1 (X) f˚ ar vi nu f1 (X) = (X − z¯)f2 (X) s˚ a att

f (X) = (X − z)(X − z¯)f2 (X). Vi har

(X − z)(X − z¯) = X 2 − pX + q, d¨ar p = z + z¯ och q = z z¯ ¨ar reella tal. D¨ arf¨ or ¨ ar ocks˚ a f2 (X) ett reellt polynom (kvoten av f (X) genom X 2 − pX + q) och grad f2 = n − 2. Polynomet X 2 − pX + q ¨ ar ett andragradspolynom utan reella nollst¨allen. Om f2 (X) ¨ ar ett konstant polynom s˚ a ¨ ar p˚ ast˚ aendet klart. Annars s¨ager induktionsantagandet att f2 (X) ¨ ar en produkt av f¨ orstagradspolynom eller andragradspolynom utan reella nollst¨ allen s˚ a att samma p˚ ast˚ aende g¨ aller f¨ or f (X). Sista meningen i satsen ¨ar en direkt konsekvens av dess f¨ orsta del.

¤

ar ¨ ar mycket mera sammansatt ¨ an i C[X] och (3.18) Polynomringen Q[X]. Situationen h¨ R[X]. Det finns inte n˚ agon k¨and beskrivning av alla irreducibla polynom, men man vet att f¨or varje n ≥ 1 finns o¨andligt m˚ anga irreducibla polynom av graden n. T ex ¨ ar alla polynom n X − p, d¨ ar n ≥ 1 och p ¨ar ett godtyckligt primtal, irreducibla. Detta p˚ ast˚ aende f¨ oljer direkt av f¨oljande mycket k¨anda resultat:

(3.19) Eisensteins ‡ kriterium. Om f (X) = an X n + an X n−1 + ... +a1 X + a0 , d¨ ar ai ∈ Z, och det finns ett primtal p s˚ adant att

p - an , p|an−1 , ..., p|a1 , p|a0 och p2 - a0 , s˚ a¨ ar f (X) irreducibelt i Q[X]. Se ¨ovning 5 f¨or ett bevis av Eisensteins kriterium. F¨or polynom med rationella koefficienter har man en mycket enkel och mycket anv¨ andbar sats som g¨or det m¨ojligt att i vissa fall hitta rationella nollst¨ allen. Rent allm¨ ant ¨ ar det ganska sv˚ art att hitta nollst¨allen till en given polynomekvation. ‡

Ferdinand Eisenstein (16/4 1823 − 11/11 1852) en mycket framst˚ aende tysk matematiker.

46

AVSNITT 3. POLYNOMRINGAR

ar k, l ∈ Z, SGD(k, l) = 1, ¨ ar ett nollst¨ alle till (3.20) Sats. Om ett rationellt tal α = kl , d¨ polynomet f (X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 med heltaliga koefficienter ai , s˚ a¨ ar k en delare till den l¨ agsta koefficienten a0 , och l ¨ ar en delare till den h¨ ogsta koefficienten an .

Bevis. Enligt f¨oruts¨attningen har vi: µ ¶n µ ¶n−1 µ ¶ k k k an + an−1 + · · · a1 + a0 = 0, l l l vilket efter multiplikation av b¨agge leden med ln ger

an k n + an−1 k n−1 l + · · · + a1 kln−1 + a0 ln = 0. Ni noterar vi att a0 ln ¨ar en multipel av k (flytta alla andra termer till h¨ oger!). Allts˚ a¨ ar a0 en multipel av k d¨arf¨or att k och l saknar gemensamma faktorer 6= ±1. P˚ a liknande s¨ att noterar vi att an k n ¨ar en multipel av l (flytta alla andra termer till h¨ oger som tidigare!). Allts˚ a¨ ar l en delare till an . ¤ Vi exemplifierar den sista satsen: Exempel. L¨os ekvationen f (X) = X 3 + 2X 2 − 2X − 4 = 0. Vi f¨ ors¨ oker hitta rationella k nollst¨allen α = l med SGD(k, l) = 1. Enliget satsen ovan ¨ ar k en delare till 4, och l ¨ ar en delare till 1. Allts˚ a k = ±1, ±2, ±4 och l = ±1. Vi kontrollerar f (±1) 6= 0, f (2) = 8, f (−2) = 0. Allts˚ a har vi hittat ett nollst¨alle x1 = −2. Divisionsalgoritmen ger f (X) = (X + 2)(X 2 − 2) (polynomet f (X) akna tv˚ a andra √ X + 2 enligt faktorsatsen). Nu kan vi ber¨ √ ¨ar delbart med nollst¨allen x2 = 2 och x3 = − 2 . ¤ Slutligen ¨agnar vi n˚ agra ord ˚ at polynomringarna Zp [X]. Dessa ringar har en stor praktisk betydelse (s¨arskilt f¨or p = 2) i kodningsteori och kryptologi (t ex felkorrigering i datorminnen och s¨akerhetssystem f¨or data¨overf¨oring). Vi har inte n˚ agon m¨ ojlighet att f¨ ordjupa oss i den problematiken. Men det finns kurser i till¨ ampad algebra, d¨ ar man kan bekanta sig med dessa aspekter samt kurser i algebra och talteori, d¨ ar man studerar rent matematiska till¨ ampningar p˚ a dessa intressanta ringar.

(3.21) Polynomringarna Zp [X]. I dessa ringar finns det ocks˚ a irreducibla polynom av godtyckliga grader (precis som i Q[X]), men det finns exakta formler f¨ or deras antal och mycket effektiva algoritmer f¨or att kunna testa irreducibiliteten (beroende p˚ a mycket viktiga tekniska till¨ampningar finns det f¨ardiga programpaket f¨ or dessa ¨ andam˚ al). L˚ at oss ¨agna en stund ˚ at Z2 [X] som ¨ ar den enklaste, och f¨ or till¨ ampningarna, den viktigaste, bland ringarna Zp [X]. Man kan skriva ut alla polynom av given grad n :

(3.21)

47

grad 0: 1 grad 1: X, X + 1 grad 2: X 2 , X 2 + 1, X 2 + X, X 2 + X + 1 grad 3: X 3 , X 3 +1, X 3 +X, X 3 +X +1, X 3 +X 2 , X 3 +X 2 +1, X 3 +X 2 +X, X 3 +X 2 +X +1 osv. Bland dessa polynom kan man hitta alla irreducibla: grad 1: X, X + 1 grad 2: X 2 + X + 1 grad 3: X 3 + X + 1, X 3 + X 2 + 1. F¨or att kontrollera att t ex X 2 + X + 1 ¨ ar irreducibelt finner vi l¨ att att alla reducibla polynom av grad 2 a¨r X 2 , X(X + 1) = X 2 + X och (X + 1)2 = X 2 + 1 (observera att 2X = 0 ty 2 ≡ 0(mod 2)!). X 2 + X + 1 finns inte bland dem, vilket betyder att det inte kan faktoriseras i produkt av tv˚ a polynom av grad 1. P˚ a liknande s¨ att kan man skriva ut alla reducibla polynom 3 av grad 3 och konstatera att X + X + 1 och X 3 + X 2 + 1 inte finns bland dem. F¨ or andra faktoriseringsmetoder och en till¨ampning se ¨ ovningarna. Som vi n¨ amnde tidigare p˚ aminner ringarna K[X] mycket om heltalen (analogin ¨ ar starkast d˚ a K = Zp ). Irreducibla polynom p˚ aminner om primtalen. Vi vet att varje naturligt tal 6= 1 har en faktoruppdelning i produkt av primtal t ex

10 = 2 · 5 = 5 · 2. Om man betraktar heltalen Z s˚ a har man ocks˚ a

10 = (−2) · (−5) = (−5) · (−2), dvs 10 f˚ ar tv˚ a “nyafaktoruppdelningar. Talen ±p, d¨ ar p ¨ ar ett primtal, har exakt samma egenskap som irreducibla polynom — de saknar ¨ akta delare. Man kan kalla s˚ adana tal f¨ or irreducibla (heltal). Om man till˚ ater ±1 som faktorer, f˚ ar man o¨ andligt m˚ anga faktoruppdelningar som t ex

10 = 2 · 5 · 1 = 2 · 5 · 1 · 1 = 2 · 5 · (−1) · (−1) osv. Det ¨ ar orsaken till att man inte betraktar ±1 som irreducibla tal (dvs primtal) trots att de saknar ¨akta delare. F¨or polynom har man en liknande situation. t ex ¨ ar i Q[X] :

48

AVSNITT 3. POLYNOMRINGAR

1 1 X 2 − 1 = (X − 1)(X + 1) = 2(X − 1) (X + 1) = 3(X − 1) (X + 1) 2 3 osv. Konstanterna 6= 0 kan alltid skrivas in i en faktoruppdelning precis som faktorerna ±1 i heltalsfallet. I polynomringarna K[X] betraktas d¨ arf¨ or inte konstanterna 6= 0 som irreducibla polynom (eller reducibla polynom). Konstanterna 6= 0 ¨ ar polynom som har invers (a · a1 = 1 d˚ a a 6= 0) (s˚ adana element i ringen kallas f¨ or enheter t ex a ¨r ±1 de enda enheterna i Z, konstanterna 6= 0 ¨ar de enda enheterna i K[X]). F¨ oljande sats visar p˚ a en l˚ angtg˚ aende likhet mellan primtal och irreducibla polynom:

(3.22) Sats. Varje icke-konstant polynom i K[X] ¨ ar en produkt av irreducibla polynom. Om f ∈ K[X] och

f = p1 p2 ...pr = p01 p02 ...p0s , ar irreducibla s˚ a¨ ar r = s och man kan numrera faktorerna d¨ ar p1 , p2 , ..., pr och p01 , p02 , ..., p0s ¨ 0 p˚ a ett s˚ adant s¨ att att pi = ai pi f¨ or en l¨ amplig konstant ai ∈ K. Satsen s¨ager att tv˚ a olika faktoruppdelningar av samma (icke-konstanta) polynom har lika m˚ anga irreducibla faktorer, och dessutom kan dessa faktorer paras ihop s˚ a att faktorerna i samma par skiljer sig s˚ a n¨ar som p˚ a en konstant (man s¨ ager ocks˚ a att s˚ adana faktorer ¨ ar associerade). Bevis. Existensen av faktoruppdelningen visas med hj¨ alp av induktion efter graden av f . Om grad f = 1 s˚ a ¨ar saken klar. Antag att p˚ ast˚ aendet g¨ aller f¨ or alla polynom av grad < n och l˚ at grad f = n > 1. Om f ¨ar irreducibelt s˚ a ¨ ar p˚ ast˚ aendet klart (det finns bara en irreducibel faktor p1 = f ). Om f ¨ar reducibelt dvs f = gh, d¨ ar 1 ≤ grad g < grad f och 1 ≤ grad h < grad f , s˚ a s¨ager induktionsantagandet att b˚ ade g och h har faktoruppdelningar i produkt av irreducibla polynom s˚ a att detsamma g¨ aller f¨ or f . Vi utel¨ amnar beviset f¨ or andra delen av satsen dvs entydigheten. Den visas p˚ a precis samma s¨ att som entydigheten av primfaktoruppdelningar av heltalen med hj¨ alp av en viktig egenskap hos irreducibla polynom som f¨oljer nedan. ¤

(3.23) Sats. Om p ∈ K[X] ¨ ar irreducibelt och p|f g, d¨ ar f, g ∈ K[X] s˚ a p|f eller p|g.

Bevis. Satsen visas p˚ a samma s¨att som motsvarande sats f¨ or primtal i avsnittet “Delbarhet och primtal”. ¤ Vi skall avsluta detta avsnitt med n˚ agra ord om definitionen av polynomringarna R[X]. Du beh¨over inte betrakta dessa ord s¨arskilt allvarligt. De ¨ ar t¨ ankta som en f¨ orklaring f¨ or den som

(3.23)

49

k¨anner att det vore bra med en mera stringent definition av begreppet polynom. Men man kan klara sig ganska l¨ange utan den stringensen. Ett polynom kan n¨amligen uppfattas som en o¨ andlig f¨ oljd (a0 , a1 , a2 , ...) d¨ ar ai ∈ R. F¨ or den f¨oljden skall det finnas ett n s˚ adant att ai = 0 d˚ a i > n. Polynom adderas och multipliceras enligt f¨oljande definition:

(a0 , a1 , a2 , ...) + (b0 , b1 , b2 , ...) = (a0 + b0 , a1 + b1 , a2 + b2 , ...) och (a0 , a1 , a2 , ...)(a0 , a1 , a2 , ...) = (a0 b0 , a0 b1 + a1 b0 , a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 , ...) Vad ¨ar X och hur kan man skriva om polynom till den v¨ albekanta formen a0 + a1 X + a2 X 2 + ... + an X n ? Man definierar:

X = (0, 1, 0, 0, ...). D˚ a ¨ar

X 2 = (0, 0, 1, 0, ...), X 3 = (0, 0, 0, 1, ...),

och allm¨ant X n = (0, 0, ..., 0, 1, 0, ...), d¨ar an = 1 och ai = 0 d˚ a i 6= n. Vidare observerar man att polynomen (a0 , 0, 0, ...) adderas och multipliceras som elementen i R :

(a0 , 0, ...) + (b0 , 0, ...) = (a0 + b0 , 0, ...), och (a0 , 0, ...)(b0 , 0, ...) = (a0 b0 , 0, ...). D¨arf¨or kommer man ¨overens om att bet¨ ackna (a0 , 0, ...) med a0 . Man observerar ocks˚ a att (0, 0, ..., 0, an , 0, ...) = (an , 0, 0, ...)(0, 0, ..., 0, 1, 0, ...) = an X n Om nu (a0 , a1 , ..., an , ...) ¨ar ett polynom d¨ ar ai = 0 d˚ a i > n s˚ a¨ ar

50

AVSNITT 3. POLYNOMRINGAR

(a0 , a1 , ..., an , ...) = (a0 , 0, 0, ...) + (0, a1 , 0, ...) + (0, 0, 0, ..., an , ...) = = a0 + a1 X + ... + an X n och vi f˚ ar v˚ ara v¨albekanta polynom.

¨ OVNINGAR 3.1. Visa att f¨oljande polynom ¨ar irreducibla: (a) X 2 + 2X + 2 i R[X], (b) X 3 − 2 i Q[X], (c) X 2 + 1 i Z3 [X], (d) X 4 + X + 1 i Z2 [X]. 3.2. Faktoruppdela polynomet X 4 + 2X 2 + 9 i irreducibla faktorer i Q[X], R[X] och C[X]. 3.3. Faktoruppdela X 4 + 1 i irreducibla faktorer i Q[X], R[X] och C[X]. 3.4. L˚ at K vara en kropp och l˚ at f ∈ K[X]. Visa att (a) Om grad f ≥ 2 och f har ett nollst¨ alle i K s˚ a¨ ar f reducibelt i K[X]. (b) Om grad f = 2 eller 3 s˚ a ¨ar f reducibelt i K[X] d˚ a och endast d˚ a f har nollst¨ allen i K. (c) Konstruera ett exempel som visar att (b) inte g¨ aller d˚ a grad f = 4. (d) L¨os uppgifterna 1 (a)–(c) med hj¨ alp av (b). 3.5. Bevisa Eisensteins kriterium: Om ett polynom f (x) = an X n + an−1 X n−1 + ... + a1 X + a0 har hela koefficienter ai och p|/an , p|an−1 , ..., p|a1 , p|a0 samt p2/| a0 f¨or ett primtal p s˚ a a¨r f (X) irreducibelt i Z[X]. Ledning. L˚ at

f (X) = (bk X k + bk−1 X k−1 + ... + b1 X + b0 )(cl X l + cl−1 X l−1 + ... + c1 X + c0 ) d¨ar 1 ≤ k < n och 1 ≤ l < n. D˚ a¨ ar a0 = b0 c0

¨ OVNINGAR

51

och p|b0 eller p|c0 men ej b˚ ada (varf¨ or?). L˚ at p|b0 och p|/c0 . Visa succesivt att p|b1 , p|b2 , ..., p|bk genom att studera likheterna: a0 = b0 c0 , a1 = b0 c1 + b1 c0 , a2 = b0 c2 + b1 c1 + b2 c0 , ... ak = b0 ck + b1 ck−1 + ... + bk−1 c1 + bk c0 . ¨ p|bk m¨ojligt? (Observera att an = bk cl !). Ar Anm¨ arkning. Ett resultat k¨ant som Gauss lemma s¨ ager att om ett heltaligt polynom ¨ ar irreducibelt i Z[X] s˚ a ¨ar det irreducibelt i Q[X]. Detta resultat ter sig ganska sj¨ alvklart (om man t¨anker lite p˚ a det) men dess bevis ¨ ar inte helt banalt § . 3.6. L˚ at N = an an−1 . . . a1 a0 beteckna ett naturligt tal med siffrorna ai (t ex N = 452 = a2 a1 a0 med a0 = 2, a1 = 5, a2 = 4). Betrakta polynomet

(∗)

f (X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 .

(a) Delbarhetskriterium vid division med 3 och 9. Visa att N ¨ ar delbart med 3 (respektive 9) d˚ a och endast d˚ a siffersumman i N a r delbar med 3 (respektive 9). ¨ Ledning. Observera att siffersumman i N ¨ ar lika med f (1) och dividera f (X) med X − 1. S¨att in X = 10. (b) Delbarhetskriterium vid division med 11. Visa att N ¨ ar delbart med 11 d˚ a och endast d˚ a summan a0 −a1 +a2 −a3 +· · · a r delbar med 11 (exempel: 1331 a r delbart ¨ ¨ med 11 ty 1 − 3 + 3 − 1 = 0 ¨ar delbar med 11). Ledning. G¨or som i (a), men ers¨ att X − 1 med X + 1. 3.7. Derivatan av ett polynom. L˚ at f (X) = a0 + a1 X + . . . + an X n ∈ K[X]. Derivatan av f (X) definieras helt formellt som f 0 (X) = a1 + 2a2 X + . . . + nan X n−1 . (a) Visa de vanliga deriveringsreglerna (f + g)0 = f 0 + g 0 , (f g)0 = f 0 g + f g 0 . (b) Visa att a ∈ K ¨ar ett multipelt nollst¨ alle till f ∈ K[X] (dvs a har multipliciteten 0 > 1) d˚ a och endast d˚ a f (a) = f (a) = 0. L¨ osning. “⇒” L˚ at f (X) = (X − a)2 q(X) (multipliciteten av a ¨ ar minst 2). D˚ a ¨ ar 0 2 0 0 f (X) = 2(X − a)q(X) + (X − a) q (X) s˚ a att f (a) = f (a) = 0. §

Gauss lemma visas i kursen “Algebraisk talteori”.

52

AVSNITT 3. POLYNOMRINGAR “⇐” Antag att f (a) = f 0 (a) = 0 och att multipliciteten av a ¨ ar 1 dvs f (X) = (X − a)q(X) och q(a) 6= 0. D˚ a ¨ar f 0 (X) = q(X) + (X − a)q 0 (X) s˚ a att f 0 (a) = q(a) 6= 0 – en mots¨agelse. (c) Best¨am reella tal a och b s˚ a att polynomet f (X) = aX 1998 + bX 1997 + 1 ¨ ar delbart 2 med (X − 1) .

3.8. % Betrakta f¨oljande krets

L

-

6

6 ¾

¾

s0

¾

s1

¾

s2

¾

s3

klocksignal

fig 1

¾

Den fungerar s˚ a att under verkan av en klocksignal ¨ overg˚ ar inneh˚ allet i vart av ett av registren s1 , s2 , s3 till det f¨oreg˚ aende registret, s0 emiteras och s3 ers¨ attes med s4 = s1 + s0 (dvs efter 1 tidsenhet inneh˚ aller registren s1 , s2 , s3 , s4 ). Allm¨ ant har man sn+4 = sn+1 + sn d˚ a n = 0, 1, 2, . . . . (a) Skriv ut den emiterade sekvensen d˚ a s0 = 1, s1 = 0, s2 = 1, s3 = 1 och “ + ” betyder bin¨ar addition. Hur l˚ ang ¨ar perioden av den sekvensen. Anm¨ arkning. En krets av den typen kallas f¨ or ett linj¨ art ˚ aterkopplat skiftregister. S˚ adana kretsar har en stor betydelse i radarkommunikation, kryptering, kodning, avkodning och slumptalsgenerering. Ofta a anga icke-periodiska sig¨r man intresserad av l˚ nalsekvenser. Allm¨ant betraktar man kretsar:

L

6 ¶³

6 ¶³

µ´

µ´

ct

¾

-

s0

¾

...

ct−1

s1

¾ ...

L

L

6 ¶³

6 ¶³

µ´

µ´

st−2 ¾

st−1 ¾

c2

c1

¾

klocksignal

fig 2

¨ OVNINGAR

53

d¨ar sn+t = c1 sn+t−1 + c2 sn+t−2 + ... + ct−1 sn+1 + ct sn d˚ a n = 0, 1, 2, ... . si och ci beh¨ over inte vara 0 eller 1 — de kan tillh¨ ora en godtycklig ring ( men om de ¨ar 0 eller 1 och “ ⊕ ” betyder bin¨ ar addition s˚ a f¨ orenklas kretsen som i fig 1). Man s¨ager att p(X) = X t − c1 X t−1 − c2 X t−2 − ... − ct−1 X − ct ar kopplingspolynomet f¨ or kretsen ¨ar kopplingspolynomet till skiftregistret i fig 2. t ex ¨ i fig. 1: p(X) = X 4 − X − 1 (dvs p(X) = X 4 + X + 1 ty −1 = 1 i Z2 ). Man visar att om p(X) ¨ ar irreducibelt i Z2 [X] s˚ a a¨r l¨angden av perioden av s0 , s1 , s2 , ..., sn , ... en delare till 2l − 1. Man visar ocks˚ a att l det finns irreducibla polynom f¨ or vilka man f˚ ar exakt l¨ angden 2 − 1 (s˚ adana polynom kallas primitiva). (b) Visa att polynomet X 5 + X 2 + 1 ¨ ar irreducibelt i Z2 [X] och konstruera ett linj¨ art ˚ aterkopplat skiftregister med detta polynom som kopplingspolynom. Motivera att kretsen genererar en icke-periodisk signalsekvens av l¨ angden 31.%

Avsnitt 1

MATEMATIKENS SPR˚ AK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget spr˚ ak som ofta ¨ ar en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok f¨ or ett kylsk˚ ap eller f¨ or en dator ¨ ar full av olika termer som man m˚ aste f¨ orst˚ a f¨ or att kunna ha anv¨ andning av apparaten. Ibland kan yrkestermer ¨ overs¨ attas till vardagliga uttryck d˚ a man vill f¨ orklara n˚ agot f¨ or den oinvigda. Men ofta ¨ ar en s˚ adan ¨ overs¨ attning om¨ ojlig. Det ¨ ar t¨ ankbart att nya vetenskapliga r¨ on i biologi om t ex v¨ axternas liv, eller nya forskningsresultat om l¨ akemedel, kan f¨ orklaras utan komplicerade facktermer. N¨ ar det g¨aller matematik ¨ ar situationen annorlunda. Det ¨ ar mycket sv˚ art och egentligen om¨ ojligt att f¨ orklara matematiska problem utan det matematiska spr˚ aket ¨aven p˚ a en mycket l˚ ag niv˚ a. Precis som man l¨ ar sig fr¨ ammande spr˚ ak f¨ or att t ex kunna kommunicera p˚ a engelska, m˚ aste man l¨ ara sig det matematiska spr˚ aket f¨ or kunna anv¨ anda matematik och diskutera matematik med andra. Precis som med fr¨ ammande spr˚ ak l¨ ar man sig det matematiska spr˚ aket successivt. Samtidigt m˚ aste man hela tiden vara medveten om att det ¨ar oerh¨ ort viktigt att f¨ orst˚ a vad orden betyder f¨ or att undvika missf¨ orst˚ and och kunna uttrycka sig korrekt. Det matematiska spr˚ aket best˚ ar av olika termer och beteckningar. Dessa termer p˚ aminner ibland om vardagliga uttryck. Men man m˚ aste vara mycket f¨ orsiktig d¨ arf¨or att vardagliga termer kan leda v˚ ara associationer i fel riktning. Vi f˚ ar se i detta avsnitt att t ex s˚ adana ord som “eller ” eller “och” anv¨ ands i matematiska sammanhang i en mycket best¨amd mening som ibland avviker fr˚ an v˚ ar vardagliga anv¨ andning av dessa ord. Samma situation f¨orekommer med fr¨ ammande spr˚ ak – vi tror ibland att ett engelskt ord betyder n˚ agot annat ¨an vad det verkligen g¨ or d¨ arf¨ or att ordet p˚ aminner om ett svenskt ord. I matematiska sammanhang introduceras nya termer och begrepp i form av definitioner. Ofta i s˚ adana sammanhang skriver man uttryckligen ordet “definition”. Men ibland definieras nya matematiska begrepp i den l¨ opande texten. Vi skall f¨ ors¨ oka anv¨ anda fet stil d˚ a en ny term introduceras. Detta avsnitt ¨ agnas ˚ at de logiska konnektiven som t ex “eller ”, “och”, “om ..., s˚ a ...” samt “d˚ a och endast d˚ a” som mycket ofta anv¨ ands i det matematiska spr˚ aket. Vi diskuterar ocks˚ a uttrycken “f¨ or alla” och “det finns”. Samtidigt introducerar vi n˚ agra vanliga matematiska beteckningar. L˚ at oss b¨orja med ett exempel som visar att betydelsen av ordet “eller ” i vardagliga situationer kan variera. 1

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

MATEMATIKENS SPR˚ AK

2 (1.1) Exempel. L˚ at oss betrakta tv˚ a meningar:

“I kv¨ all l¨ aser jag eller g˚ ar p˚ a bio” Detta p˚ ast˚ aende best˚ ar egentligen av tv˚ a meningar: p = “I kv¨ all l¨ aser jag” och q = “I kv¨ all g˚ ar jag p˚ a bio”. I matematiska sammanhang brukar man anv¨anda symbolen ∨ i st¨allet f¨or “eller ”. Vi kan skriva v˚ art p˚ ast˚ aende p˚ a formen p ∨ q. N¨ar ¨ar detta p˚ ast˚ aende sant? Det ¨ar klart att det ¨ar sant om jag l¨aser i kv¨all. Det ¨ar ocks˚ a sant om jag g˚ ar p˚ a bio i kv¨all. Men det ¨ar ocks˚ a sant d˚ a jag b˚ ade l¨aser och g˚ ar p˚ a bio under kv¨allen. Betrakta nu ett annat p˚ ast˚ aende: “I kv¨ all flyger jag till New York eller till Kairo” H¨ar har vi ocks˚ a tv˚ a best˚ andsdelar p = “I kv¨ all flyger jag till New York ” och q = “I kv¨ all flyger jag till Kairo”. Men bindeordet “eller ” betyder h¨ar snarare “antingen p eller q” – enligt v˚ ara kunskaper om v¨arlden endast en av m¨ojligheterna kan intr¨affa, dvs meningen ¨ar sann om exakt en av utsagorna visar sig vara sann. I matematiska sammanhang tolkas betydelsen av “eller ” alltid i enlighet med det f¨ orsta exemplet. Vi formulerar en exakt definition om en liten stund. ¤

I forts¨attningen betecknar vi meningar eller vad man kallar i matematiska sammanhang utsagor med olika bokst¨aver a, b, c, ..., p, q, r. Nu ger vi f¨oljande definition:

(1.2) Definition. Om p och q ¨ar tv˚ a utsagor s˚ a kallas utsagan “p eller q” f¨or disjunktion. Den betecknas med p ∨ q. Disjunktionen p ∨ q ¨ar sann d˚ a minst en av utsagorna p eller q ¨ar sann. ¤

Detta visar att i matematiska sammanhang kommer man ¨overens att sanningen av en utsaga “p eller q” tolkas i enlighet med den f¨orsta m¨ojligheten i exempel (1.1). V˚ art intresse ¨ar snarare inriktat p˚ a matematiska utsagor som t ex 2 + 2 = 4 eller 2 + 2 = 5. Vi sysslar endast med utsagor som antingen ¨ ar sanna eller falska. Den f¨oruts¨attningen g¨aller inte alla utsagor i vardagliga situationer. T ex kan vi inte s¨aga om f¨oljande utsaga ¨ar sann eller falsk: “Kanske har jag lust att g˚ a p˚ a bio”. Om en matematisk utsaga p a¨r sann s˚ a s¨ager vi att p har logiska v¨ ardet eller kortare (sannings)v¨ ardet S (eller ibland 1). Om p ¨ar falsk s˚ a s¨ager vi att p har logiska v¨ardet F (eller ibland 0). Utsagan 2 + 2 = 4 har sanningsv¨ ardet S, d¨aremot har 2 + 2 = 5 sanningsv¨ardet F . Ibland kommer vi att skriva v(p) = S om utsagan p ¨ar sann, och v(p) = F om den ¨ar falsk.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(1.3)

3

Nu kan vi beskriva v¨ardet av disjunktionen p ∨ q beroende p˚ a v¨ardena av p och q med hj¨alp av f¨oljande tabell: p F F S S

q F S F S

p∨q F S S S

Nu ¨ overg˚ ar vi till ordet “och”. H¨ ar finns det inte n˚ agon skillnad mellan den vardagliga betydelsen och den matematiska. Om vi s¨ ager I kv¨ all l¨ aser jag och g˚ ar p˚ a bio s˚ aa a b˚ ade utsagan p = “I kv¨ all l¨ aser jag” och utsagan q = “I ¨r den utsagan sann precis d˚ kv¨ all g˚ ar jag p˚ a bio” ¨ ar sanna. En formell definition ¨ ar f¨ oljande. (1.3) Definition. Om p och q ¨ ar tv˚ a utsagor s˚ a kallas utsagan “p och q” f¨ or konjunktion. Den betecknas med p ∧ q. Konjunktionen p ∧ q ¨ ar sann exakt d˚ a b˚ ade p och q ¨ ar sanna. ¤ En tabell som visar sanningsv¨ ardet av p ∧ q beroende p˚ a sanningsv¨ ardena av p och q a ¨r f¨ oljande: p F F S S

q F S F S

p∧q F F F S

Det ¨ ar n˚ agot sv˚ arare att hantera en annan mycket vanlig konstruktion: “om ... s˚ a ...”. T ex Om v¨ adret ¨ ar bra i kv¨ all, s˚ a tar vi en l˚ ang promenad” H¨ ar har vi tv˚ a utsagor p = “V¨ adret ¨ ar bra i kv¨ all ” och q = “Vi tar en l˚ ang promenad”. Med hj¨ alp av p och q konstruerar vi den nya utsagan “Om p s˚ a q” som kallas implikation och betecknas med p ⇒ q. I st¨ allet f¨ or “Om p s˚ a q” anv¨ander man ofta andra uttryck som t ex p medf¨ or (att) q eller p implicerar (att) q. Innan vi formulerar den exakta definitionen l˚ at oss betrakta f¨oljande exempel:

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

MATEMATIKENS SPR˚ AK

4

(1.4) Exempel. L˚ at n beteckna ett heltal, p(n) utsagan “6 delar n” och q(n) utsagan “3 delar n”. Varje utsaga 6 delar n implicerar att 3 delar n dvs p(n) ⇒ q(n) ¨ar onekligen sann. Men l˚ at oss testa den utsagan f¨or olika v¨arden p˚ a n. Om n = 12 s˚ a s¨ager den: 6 delar 12 implicerar att 3 delar 12, om n = 13 f˚ ar vi 6 delar 13 implicerar att 3 delar 13, och f¨or n = 15: 6 delar 15 implicerar att 3 delar 15. Observera att alla dessa utsagor ¨ar sanna. Men i f¨orsta fallet ¨ar b˚ ade p(12) och q(12) sanna, i det andra ¨ar b˚ ade p(13) och q(13) falska, d¨aremot i det tredje ¨ar p(15) falsk, men q(15) sann. ¤

Observera att i det sista exemplet saknas endast fallet d˚ a en sann utsaga implicerar en falsk. Detta ¨ar ocks˚ a grunden f¨or den exakta definitionen av sanningsv¨ardet av en implikation nedan – en implikation a¨r falsk endast d˚ a en sanning implicerar en osanning. D¨aremot kan en osanning implicera vad som helst – b˚ ade sanning och osanning.

(1.5) Definition. Om p och q ¨ar tv˚ a utsagor s˚ a kallas utsagan “om p, s˚ a q” f¨or implikation. Den betecknas med p ⇒ q. Implikationen p ⇒ q ¨ar falsk enbart d˚ a p ¨ar sann och q ¨ar falsk. ¤

Tabellen f¨or sanningsv¨ardet av implikationen p ⇒ q ¨ar s˚ aledes f¨oljande: p F F S S

q F S F S

p⇒q S S F S

arkning. Observera att implikationen p ⇒ q alltid ¨ ar sann d˚ ap¨ ar falsk. S˚ aledes (1.6) Anm¨ ar t ex implikationen: ¨ (1 = 2) ⇒ (2 = 3) sann. Men om en implikation p ⇒ q ¨ ar sann och p ¨ ar sann s˚ a m˚ aste ¨ aven q vara sann. Den observationen spelar en mycket viktig roll i logiska resonemang b˚ ade i vardagliga situationer och i matematiska sammanhang. Ofta kallar man p f¨ or f ¨ oruts¨ attning eller antagande. Man kallar q f¨or slutsats eller p˚ ast˚ aende. Allts˚ a om f¨ oruts¨ attningen ¨ ar sann och implikationen

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(1.8)

5 f¨ oruts¨ attning ⇒ slutsats

a ¨ar slutsatsen sann. ¨ar sann, s˚

¤

(1.7) Anm¨ arkning. Vi har redan noterat att man uttrycker implikationen p ⇒ q p˚ a flera olika s¨att om p s˚ a q, p medf¨ or (att) q, p implicerar (att) q. Men det finns tv˚ a andra s¨att. Man s¨ager ocks˚ a att p¨ ar tillr¨ ackligt f¨ or (att) q eller q¨ ar n¨ odv¨ andigt f¨ or (att) p. F¨ors¨ok formulera dessa utsagor med p och q i exempel (1.4) och t¨ank igenom de s˚ a konstruerade meningarna f¨or att inse att a¨ven i det vardagliga spr˚ aket o¨verensst¨ammer detta uttrycks¨att med uttrycken “medf¨ or att” eller “implicerar ”. ¤ En annan viktig konstruktion a¨r “p ¨ ar ekvivalent med q”, vilket betecknas med p ⇔ q. Uttrycket “ekvivalent med ” betyder i vardagliga termer att p och q s¨ager samma sak (fast f¨or det mesta p˚ a olika s¨att). L˚ at oss ¨aven den h¨ar g˚ angen b¨orja med ett exempel: (1.8) Exempel. L˚ at n vara ett godtyckligt heltal, p(n) utsagan “3 delar n”, och q(n) utsagan “3 delar summan av siffrorna i n”. 3 delar n ¨ ar ekvivalent med att 3 delar summan av siffrorna i n a¨r en mycket v¨alk¨and egenskap. L˚ at oss testa den d˚ a n = 12 och n = 13. I f¨orsta fallet har vi 3 delar 12 ¨ ar ekvivalent med att 3 delar summan av siffrorna i 12, medan i det andra 3 delar 13 ¨ ar ekvivalent med att 3 delar summan av siffrorna i 13. B¨agge utsagorna ¨ar sanna, men i det f¨orsta fallet ¨ar b˚ ade p(12) och q(12) sanna, medan i det andra ¨ar b˚ ade p(13) och q(13) falska. Detta svarar mot en riktig f¨orest¨allning om en

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

MATEMATIKENS SPR˚ AK

6

ekvivalens: sanning ¨ar ekvivalent med sanning, och osanning ¨ar ekvivalent med osanning. D¨aremot sanning och osanning ¨ar inte ekvivalenta. Detta exempel ¨ar grunden f¨or v˚ ar n¨asta definition. ¤

(1.9) Definition. Om p och q ¨ar tv˚ a utsagor s˚ a kallas utsagan “p ¨ ar ekvivalent med q” f¨or ekvivalens. Den betecknas med p ⇔ q. Ekvivalensen p ⇔ q ¨ar sann enbart d˚ a p och q har samma sanningsv¨arde. ¤

Detta betyder att sanningstabellen f¨or ekvivalens ¨ar f¨oljande: p F F S S

q F S F S

p⇔q S F F S

arkning. Ekvivalens p ⇔ q utl¨ ases ocks˚ a p˚ a flera olika s¨ att. I st¨ allet f¨ or “p ¨ ar (1.10) Anm¨ ekvivalent med q” s¨ ager man t ex p d˚ a och endast d˚ aq eller p om och endast om q eller p¨ ar tillr¨ ackligt och n¨ odv¨ andigt f¨ or q. ¤

Vi avslutar med en mycket enkel konstruktion – man tar en utsaga och man formulerar en ny “ej p” eller “det ¨ ar inte sant att p (g¨ aller)”. Den kallas f¨ or negation. ar en utsaga s˚ a kallas utsagan “ej p” f¨ or negationen av p. Den (1.11) Definition. Om p ¨ betecknas med ¬p. Utsagorna p och ¬p har motsatta sanningsv¨ arden. ¤

Den sista meningen betyder att sanningstabellen f¨ or negation ¨ ar f¨ oljande: p F S

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

¬p S F

(1.12)

7

De fem symboler som vi har introducerat: ∨, ∧, ⇒, ⇔, ¬ kallas f¨or de logiska konnektiven. Vanligen har man att g¨ora med mera sammansatta utsagor i vilka fler ¨an ett av dessa konnektiv ing˚ ar. T ex

[(p ∧ q) ∨ r] ⇒ [(¬p ∨ ¬q) ∧ r]

Uttryck av den h¨ar typen kallas allm¨ant f¨or satsformer. Precis som tidigare kan man unders¨oka det logiska v¨ardet av en satsform beroende p˚ a sanningsv¨ardena av de ing˚ aende satserna. L˚ at oss betrakta n˚ agra exempel:

(1.12) Exempel. (a) Satsformen

(p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p)

har olika sanningsv¨arden beroende p˚ a sanningsv¨ardena av p och q. Vi kan studera dessa sanningsv¨ arden med hj¨alp av f¨oljande tabell:

p F F S S

q F S F S

p⇒q S S F S

q⇒p S F S S

(p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p) S F S S

Vi ser att satsformen ¨ ar falsk enbart om p ¨ ar falsk och q ¨ ar sann. Man kunde komma fram till den slutsatsen mycket snabbare. Man kan n¨ amligen fr˚ aga sig n¨ ar implikationen ovan ¨ ar falsk. Vi vet att detta intr¨ affar exakt d˚ a v(p ⇒ q) = S och v(q ⇒ p) = F . Men den sista likheten g¨ aller exakt d˚ a v(p) = F och v(q) = S. Detta ¨ar just resultatet av v˚ ar studie med hj¨ alp av tabellen ovan. (b) Nu skall vi unders¨ oka sanningsv¨ ardena av satsformen

¬(p ⇒ q) ⇔ (p ∧ ¬q).

Vi g¨ or det med hj¨ alp av en tabell. Du kan f¨ ors¨ oka g¨ ora det utan tabellen genom att st¨ alla fr˚ agan n¨ ar satsformen ¨ ar falsk (eller sann, men det g˚ ar snabbare med den f¨ orsta fr˚ agan).

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

MATEMATIKENS SPR˚ AK

8

p F F S S

q F S F S

p⇒q S F S S

¬(p ⇒ q) F S F F

¬q S F S F

p ∧ ¬q F F S F

¬(p ⇒ q) ⇔ (p ∧ ¬q) S S S S

I detta exempel har vi en ekvivalens av tv˚ a uttryck: ¬(p ⇒ q) och p ∧ ¬q. Vi kan uppfatta den ekvivalensen s˚ a att implikationen p ⇒ q ¨ ar falsk precis d˚ ap¨ ar sann och q ¨ ar falsk. Detta visste vi redan tidigare i samband med v˚ ar definition av sanningsv¨ ardet hos en implikation. ¤

Som vi ser ¨ ar satsformen i exempel (1.4) (b) alltid sann helt oberoende av vilka sanningsv¨ arden tillskriver man p och q. S˚ adana satsformer ¨ ar mycket viktiga d¨ arf¨ or att de representerar tankem¨ onster som alltid ¨ ar sanna. Vi antar f¨ oljande definition:

ar sann f¨ or alla m¨ ojliga upps¨ attningar av sanningsv¨ ardena (1.13) Definition. En satsformel som ¨ av de ing˚ aende variablerna kallas en tautologi (ibland en logisk sanning). En satsformel som ¨ ar falsk f¨ or alla m¨ ojliga upps¨ attningar av sanningsv¨ ardena av de ing˚ aende variablerna kallas en kontradiktion. ¤

Ett exempel p˚ a en kontradiktion ¨ ar

p ⇔ ¬p — en sanning kan inte vara ekvivalent med en osanning. M¨ ojligheten att kontrollera tautologierna som i exempel (1.4) kan anv¨ andas f¨ or att kontrollera om vissa utsagor ¨ ar korrekta, t ex d˚ a man vill bilda negationen av ett p˚ ast˚ aende. Betrakta f¨ oljande exempel.

(1.14) Exempel. Olikheten 1 < x < 5 kan betraktas som en konjunktion p ∧ q om

p = “x > 1” och

q = “x < 5”

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(1.15)

9

Vad betyder att 1 < x < 5 inte g¨aller? F¨ors¨ok formulera ett svar p˚ a denna fr˚ aga! Formellt vill vi omformulera utsagan ¬(p ∧ q). En stunds eftertanke s¨ager att om x inte befinner sig mellan 1 och 5 s˚ a m˚ aste x vara mindre ¨an eller lika med 1, eller ocks˚ a st¨orre ¨an eller lika med 5 dvs

¬[(1 < x) ∧ (x < 5)] ⇐⇒ [¬(1 < x) ∨ ¬(x < 5)] ⇐⇒ (x ≤ 1 ∨ x ≥ 5). V˚ art resonemang f¨oljer f¨oljande tautologi: ¬(p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q) som a¨r en av de s˚ a kallade de Morgans lagar (se nedan). ¤ Vi l¨amnar som ¨ovningar bevisen av n˚ agra enkla och viktiga tautologier som anv¨ands i liknande situationer d˚ a man vill bilda negationen av en satsformel. Fler tautologier finns i ¨ovningar och i avsnittet om deduktion och induktion. Den dubbla negationens lag:

¬¬p ⇔ p, De Morgans lagar (negationen av en disjunktion och negationen av en konjunktion):

¬(p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q), ¬(p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q). Negationen av en implikation (se Exempel (1.4)):

¬(p ⇒ q) ⇔ (p ∧ ¬q). Negationen av en ekvivalens:

¬(p ⇔ q) ⇔ [(p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p)]. Tautologier anv¨ands ofta i samband med logiska resonemang s˚ av¨al i matematiska sammanhang som i vardagliga situationer. Vi skall studera flera exempel i avsnittet om deduktion och induktion, men redan nu kan vi betrakta f¨oljande (kriminal-)fall: (1.15) Exempel. Tre misst¨ankta personer A, B och C ber¨attar var sin version av en h¨andelse. Om A talar sanning s˚ a g¨or det B ocks˚ a det. Om C ljuger s˚ a ljuger ¨aven A. Minst en av A, B, C ljuger. Slutsatsen ¨ar att A ljuger. Varf¨or?

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

MATEMATIKENS SPR˚ AK

10

L˚ at p = “A talar sanning”, q = “B talar sanning”, r = “C talar sanning”. V˚ art p˚ ast˚ aende s¨ager att implikationen

[(p ⇒ q) ∧ (¬r ⇒ ¬p) ∧ (¬(p ∧ q ∧ r))] ⇒ (¬p) a¨r sann samtidigt som vi vet att v˚ ara f¨oruts¨attningar g¨aller. Om vi lyckas visa att implikationen ¨ar en tautologi s˚ a visar vi att ¬p m˚ aste vara sant dvs A ljuger (se (1.6)). ¨ implikationen ovan en tautologi? Vi skall inte studera satsformen med hj¨alp av sanningstaAr beller som i exempel (1.4). L˚ at oss i st¨allet anta att implikationen ovan ¨ar falsk. Detta intr¨affar precis d˚ a v(¬p) = F och v((p ⇒ q) ∧ (¬r ⇒ ¬p) ∧ (¬(p ∧ q ∧ r))) = S. Allts˚ a v(p) = S och v(p ⇒ q) = S, v(¬r ⇒ ¬p) = S samt v(¬(p ∧ q ∧ r)) = S dvs v(p ∧ q ∧ r) = F . Likheten v(p ⇒ q) = S s¨ager att v(q) = S ty v(p) = S. Likheten v(¬r ⇒ ¬p) = S s¨ager att v(¬r) = F ty v(¬p) = F . Allts˚ a ¨ar v(r) = S. Nu vet vi att v(p) = v(q) = v(r) = S dvs v(p ∧ q ∧ r) = S. Vi har f˚ att en mots¨ agelse – om implikationen ovan inte ¨ar en tautologi s˚ a ¨ar v(p ∧ q ∧ r) = S och v(p ∧ q ∧ r) = F . Allts˚ a ¨ar implikationen en tautologi. Om Du tycker att v˚ art resonemang ¨ ar sv˚ art kan du f¨ors¨oka kontrollera tautologin med hj¨alp av en tabell (det blir 8 rader i tabellen!). ¤

Vi avslutar detta avsnitt med n˚ agra kommentarer om tv˚ a mycket vanliga uttryck som anv¨ands i matematiska sammanhang – “det finns” och “f¨ or alla”.

(1.16) Exempel. Betrakta tv˚ a p˚ ast˚ aenden: det finns en reell l¨ osning till ekvationen x2 − 3 = 0 och det finns ett heltal som ligger mellan 1/2 och 3/2. Dessa p˚ ast˚ aenden antecknas p˚ a f¨oljande s¨att: ∃x∈R

x2 − 3 = 0

∃x∈Z

1 2

och < x < 32 .

Symbolen ∃ betyder just “det finns”. Observera att vi skriver n˚ agot ners¨ankt, liksom index, var vi befinner oss — i f¨orsta fallet s¨ager vi att det finns ett reellt tal x, och i det andra, att det finns ett heltal x. Anv¨andningen av bokstaven x har ingen betydelse. Vi kunde lika g¨ arna byta x mot en annan bokstav. N¨ar man utl¨aser symbolen ∃ med efterf¨oljande text s˚ a anv¨ ander man vanligen frasen “det finns ... s˚ adant att ...”. T ex s¨ager f¨orsta p˚ ast˚ aendet att

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(1.18)

11 “det finns ett reellt tal x s˚ adant att x2 − 3 = 0”

och det andra att “det finns ett heltal x s˚ adant att

1 2

< x < 32 ”

Som Du s¨ akert m¨arker avviker det formella spr˚ aket fr˚ an v˚ ara ursprungliga uttryck som dock s¨ ager exakt samma sak. Symbolen ∃ kallas existenskvantor. ¤ a p˚ ast˚ aenden som anv¨ander frasen “f¨ or alla” (ibland “f¨ or (1.17) Exempel. Betrakta nu tv˚ varje” eller “varje”): f¨ or varje reellt tal x g¨ aller det att x2 + 1 > 0 och alla heltal ¨ ar delbara med 2 (det andra p˚ ast˚ aendet ¨ar helt enkelt inte sant, men det har inte n˚ agon betydelse f¨or v˚ ara exempel). Nu anv¨ander vi en annan symbol: ∀ som utl¨ases “f¨ or alla” (ibland “f¨ or varje) och kallas allkvantor. Med hj¨alp av denna kvantor skriver vi: ∀x∈R

x2 + 1 > 0

och ∀n∈N

2|n

Rent formellt utl¨aser vi dessa symboler s˚ a h¨ar: f¨ or alla reella tal x g¨ aller det att x2 + 1 > 0 och f¨ or alla heltal n g¨ aller det att 2 dividerar n Det ¨ ar bara ett annat s¨att att s¨aga samma sak som tidigare, att alla heltal ¨ar j¨amna. Vi har andrat formuleringen f¨or att skriva det hela kortare med hj¨alp av en matematisk symbol. ¤ ¨ Hur bygger man negationer av uttryck som inneh˚ aller allkvantorn eller existenskvantorn? Betrakta ett exempel. at X vara m¨angden av alla elever i en skola. Om vi s¨ager att det (1.18) Exempel. (a) L˚ finns en elev i skolan, s¨ag x, som pratar franska, vad ¨ar negationen av detta p˚ ast˚ aende? Man kan s¨ aga att ingen av eleverna i skolan pratar franska. Om vi vill anv¨anda det matematiska uttrycket “f¨ or varje” (eller “f¨ or alla”) s˚ a kan vi formulera oss s˚ a att “f¨ or varje elev x i skolan X, x pratar inte franska”. Vi kan g˚ a ett steg l¨angre i v˚ ara formaliseringsstr¨avanden. L˚ at f (x) betyda just att “x pratar franska”. D˚ a hade vi ∃x∈X

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

f (x)

MATEMATIKENS SPR˚ AK

12 och ¬∃x∈X

f (x)

betyder att ∀x∈X

¬f (x).

Detta a¨r just den allm¨anna metoden att bilda negationen av uttrycket ∃x∈X f (x) dvs vi har tautologin:

¬∃x∈X

f (x)

⇐⇒

∀x∈X

¬f (x).

(b) Vi beh˚ aller samma beteckningar och p˚ ast˚ ar att alla elever i skolan X pratar franska. Med samma beteckningar som ovan skriver vi v˚ art p˚ ast˚ aende som ∀x∈X

f (x).

Vad betyder negationen av detta p˚ ast˚ aende? Helt klart betyder det att det finns (minst) en elev i skolan som inte pratar franska. Allts˚ a betyder: ¬∀x∈X

f (x)

att ∃x∈X ¬f (x). Vi antecknar den allm¨anna tautologin:

¬∀x∈X

f (x)

⇐⇒

∃x∈X

¬f (x). ¤

Vi skall avsluta detta avsnitt med exempel som visar att man m˚ aste vara mycket f¨orsiktig d˚ a man kastar om uttrycken “det finns” och “f¨ or alla”.

at X vara m¨angden av alla gifta kvinnor i G¨oteborg och Y m¨angden av (1.19) Exempel. L˚ alla gifta m¨an i samma stad. L˚ at x ∈ X och y ∈ Y . Beteckna med f (x, y) utsagan “x ¨ ar gift med y”. Vad s¨ager p˚ ast˚ aendet

∀x∈X ∃y∈Y

f (x, y) ?

Det s¨ager att f¨or varje gift kvinna i G¨oteborg finns en gift man i G¨oteborg s˚ a att de ¨ar gifta – ett rimligt p˚ ast˚ aende som dock inte beh¨over vara sant. Vad s¨ager

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

¨ OVNINGAR

13

∃y∈Y ∀x∈X

f (x, y) ?

Den h¨ar g˚ angen f˚ ar vi att det finns en man i G¨oteborg som ¨ar gift med alla kvinnor i staden. Allts˚ a var f¨orsiktig d˚ a kvantorerna skall placeras! ¤

¨ OVNINGAR 1.1. Visa att f¨oljande satsformer ¨ar tautologier: (a) ¬(¬p ∧ p) (mots¨agelselagen), (b) (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) (transpositionslag), (c) ¬p ⇒ (p ⇒ q) (Duns–Scotus lag), (d) (p ∧ q) ⇒ p, (e) (p ∧ q ⇒ r) ⇔ [p ⇒ (q ⇒ r)], (f) [p ∧ (q ∨ r)] ⇔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)]. 1.2. Vilka av f¨oljande satsformer ¨ar tautologier? (a) [(p ∨ q) ∧ ¬p] ⇒ q; (b) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] ⇒ (p ∨ q), (c) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r). 1.3. Man definierar Sheffers streck “|00 med hj¨alp av sanningstabellen: p F F S S

q F S F S

p|q S S S F

(a) Motivera att p|q ⇔ ¬(p ∧ q). (b) Uttryck ¬p, p ∨ q och p ∧ q med hj¨ alp av Sheffers streck. 1.4. Bilda negationen av f¨ oljande meningar och anv¨ and kvantorer f¨ or att skriva b˚ ade dessa meningar och deras negationer: ¨ (a) Applen ar r¨ oda; ¨ (b) Varje pojke tycker om en flicka; (c) Varje hund har en svans; ¨ f¨ 1.5. Ar oljande resonemang riktiga? (a) L˚ at l, m, p vara tre r¨ ata linjer i planet. Om det inte ¨ ar sant att l ¨ ar parallell med m eller p inte ¨ ar parallell med m, s˚ aa ar parallell med m. ¨r l parallell med m eller p ¨

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

MATEMATIKENS SPR˚ AK

14

(b) Kajsa kan logik d˚ a och endast d˚ a det ¨ar inte sant att det ¨ar inte sant att Kajsa kan logik.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ ¨ ovning 1

MATEMATIKENS SPR˚ AK∗

Syftet med denna ¨ovning ¨ar att med hj¨alp av logik l¨ara oss att uttrycka matematik mer exakt, l¨ara oss f¨orst˚ a spr˚ aket. Vi skall f¨ors¨ oka utveckla v˚ art matematiska spr˚ ak, vi vill uppn˚ a st¨orsta m¨ojliga intentionsdjup, dvs st¨orsta m¨ojliga precision och klarhet. F¨oljande begrepp ¨ar viktiga i detta sammanhang • Utsagor – ¨oppna och slutna. • Logiska konnektiv som disjunktion, konjunktion, implikation, ekvivalens, negation. • Negation och motsats. • Kvantorer. Vi f¨oljer stencilen “Matematikens spr˚ ak”. Du kan ocks˚ a l¨asa avsnitten 1.3 – 1.7 i Vretblads bok (se kurslitteratur).

¨ Ovning A 1. Under vilka omst¨andigheter ¨ar f¨oljande p˚ ast˚ aenden sanna respektive falska? F¨or vilka v¨arden p˚ a variablerna? (a) 3 ≤ 3, (b) 3 ≤ 4, (c) 3 < 4, (d) (x + 1)2 ≤ x2 + 2x + 1, ∗

Denna ¨ ovning utarbetades av Juliusz Brzezinski, Mats Martinsson och Kicki Nystedt

1

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

2

Explorativ ¨ ovning 1 (e) (x + 1)2 = x2 + 2x, √ (f) 36 = 6, (g) x > 3 medf¨or att x2 > 9, (h) x2 = 36 medf¨or att x = 6 eller x = −6, √ √ √ (i) a + b = a + b. 2. Vad ¨ar en utsaga? (L¨as om utsagor i Vretblads bok p˚ a sid. 29 (gamla boken: sid. 13).) 3. Vilka av p˚ ast˚ aendena ovan ¨ar ¨oppna utsagor respektive slutna utsagor?

¨ Ovning B 1. Betrakta tv˚ a utsagor A = “I morgon kommer regn” och B = “I morgon kommer sn¨ o”. N¨ar ¨ar utsagan A eller B sann? a andra utsagor A = “I morgon klockan 9 ¨ ar jag i Stockholm” och B = 2. Betrakta nu tv˚ “I morgon klockan 9 ¨ ar jag i G¨ oteborg”. N¨ar ¨ar utsagan A eller B sann? 3. Diskutera n¨ar en disjunktion “A eller B” ¨ar sann respektive falsk i relation till om A resp. B ¨ ar sanna eller falska. Hitta p˚ a egna exempel! J¨amf¨or Dina tankar med texten i Vretblads bok, sid.15. Disjunktionen “A eller B” betecknas A ∨ B.

¨ Ovning C 1. L˚ at A vara utsagan “I morgon ¨ ar en s¨ ondag” och B utsagan “I morgon kommer sn¨ o ”. N¨ar ¨ar utsagan A och B sann? 2. Diskutera n¨ar en konjunktion “A och B” ¨ar sann respektive falsk i relation till om A resp. B ¨ ar sanna eller falska. Hitta p˚ a egna exempel! Konjunktionen “A och B” betecknas A ∧ B.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

3

¨ Ovning D at A vara utsagan x > 4 och B utsagan x > 2. Det ¨ar rimligt att uppfatta utsagan 1. L˚ A medf¨ or att B som sann f¨or alla reella tal x (vad tycker Du?). Testa utsagan f¨or x = 5, 3 och 1. Anteckna sanningsv¨ardena f¨or A och B i varje fall. 2. Diskutera n¨ar en implikation “A implicerar B” (eller “A medf¨ or (att) B”) ¨ar sann respektive falsk i relation till om A resp. B ¨ar sanna eller falska. Hitta p˚ a egna exempel! En implikation “A implicerar B” betecknas A ⇒ B.

¨ Ovning E at A vara utsagan x > 2 och B utsagan x + 1 > 3. Det ¨ar rimligt att uppfatta utsagan 1. L˚ A ¨ ar ekvivalent med B som sann f¨or alla reella tal x (vad tycker Du?). Testa utsagan f¨or x = 3 och 1. Anteckna sanningsv¨ardena f¨or A och B i varje fall. 2. Diskutera n¨ar en ekvivalens “A ¨ ar ekvivalent med B” (eller “A d˚ a och endast d˚ a B”) ¨ar sann respektive falsk i relation till om A resp. B ¨ar sanna eller falska. Hitta p˚ a egna exempel! Ekvivalensen betecknas med A ⇔ B.

¨ Ovning F 1. Disjunktion, konjunktion, implikation och ekvivalens ¨ar exempel p˚ a logiska konnektiv. G¨or sanningstabeller f¨or dessa konnektiv, dvs fyll i tabellen i vilken S s¨ager att utsagan ¨ar sann och F att den ¨ar falsk: A S S F F

B S F S F

A∧B ? ? ? ?

A∨B ? ? ? ?

A⇒B ? ? ? ?

A⇔B ? ? ? ?

2. Ofta betraktar man mera komplicerade uttryck som t ex (A ∧ B) ∨ C. Hur m˚ anga rader har en sanningstabell med 3 variabler? Med n variabler? 3. G˚ a tillbaka till exemplen i ¨ovning A. Skriv (a), (b) och (d) som sammansatta utsagor med hj¨alp av n˚ agot logiskt konnektiv. Diskutera ˚ ater sanningsv¨ardena.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

4

Explorativ ¨ ovning 1

¨ Ovning G ¨ 1 = 2? Titta p˚ a f¨oljande resonemang: 1. Ar L˚ at a = b. D˚ a g¨aller: a = b ⇒ ab = b2 ⇒ ab − a2 = b2 − a2 ⇒ ⇒ a(b − a) = (b + a)(b − a) ⇒ b=a

⇒ a = b + a ⇒ a = 2a ⇒ 1 = 2. ¨ resonemanget riktigt? Var ligger felet? 2. Ar 3. Om man ¨and˚ a antar att 1 = 2 kan man visa d˚ a att alla positiva heltal ¨ar lika, dvs 1 = 2 = 3 = 4 = ...?

¨ Ovning H 1. Vad menas med motsatsen till ett p˚ ast˚ aende? Vad ¨ar negationen av en utsaga? T¨ank f¨orst och j¨amf¨or d¨arefter Dina tankar med texten p˚ a sid. 16 i Vretblads bok. 2. Betrakta utsagorna: (a) Jag dansar och jag sjunger! (b) Jag ¨ater eller jag sover. (Citat: Skalman) (c) Om det regnar har jag med mig paraplyet. (d) Alla m¨anniskor tycker om matematik! (e) Det finns ˚ atminstone en student som inte kan g¨ora en nollbricka r¨att! Formulera negationen av de tre f¨orsta utsagorna? Skriv utsagorna och deras negationer med konnektiv. 3. Negera ¨aven de tv˚ a sista p˚ ast˚ aendena. Vad skiljer dem fr˚ an de ¨ovriga?

¨ Ovning I ar flitig s˚ a klarar jag matematikkursen”. Vad ¨ar motsatsen 1. Betrakta utsagan “Om jag ¨ till denna utsaga? F¨ors¨ok formulera allm¨ant hur man negerar en utsaga “A ⇒ B”. Kan du skriva en formel som utrycker negationen “¬(A ⇒ B)”? (T¨ank sj¨alv och j¨amf¨or d¨arefter med Vretblad, sid. 21).

¨ Ovning J 1. Vad ¨ar en ekvation? Vilka av f¨oljande p˚ ast˚ aenden (x och y ¨ar reella tal) ¨ar sanna?

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

5 (a) x = y ⇒ x2 = y 2 (b) x2 = y 2 ⇒ x = y (c) x = y ⇔ x2 = y 2 (d) x2 = y 2 ⇔ |x| = |y| 2. Vilka p˚ ast˚ aende ovan ¨ar falska? Ge motexempel! 3. Diskutera vad ett motexempel ¨ar och hur de anv¨ands! 4. G˚ a tillbaka till de tv˚ a sista p˚ ast˚ aendena i ¨ovning H och formulera dem med kvantorer. Hur ser negationerna ut?

¨ Ovning K a p˚ ast˚ aenden: “Till varje heltal finns det motsatta talet” (dvs f¨or varje heltal 1. Betrakta tv˚ a finns ett heltal a0 s˚ a att a + a0 = 0) och “Det finns det motsatta talet till alla heltal”. Formulera dessa p˚ ast˚ aenden med hj¨alp av kvantorer. Betyder dessa p˚ ast˚ aenden samma sak? Om inte vari best˚ ar skillnaden? 2. Betrakta nu tv˚ a andra p˚ ast˚ aenden: “F¨ or varje m¨ anniska finns ett tal som uttrycker hennes l¨ angd” och “Det finns ett tal som uttrycker l¨ angden av varje m¨ anniska”. L˚ at x betecknar en m¨anniska och l˚ at l(x) vara hennes l¨angd (s¨ag, i centimeter). Formulera dessa p˚ ast˚ aenden med hj¨alp av kvantorer. Betyder de samma sak?

F¨oljande ¨ovningar i Vretblads bok rekommenderas (nummer i den gamla boken inom parentes): Vretblad: 1.9 (108), 1.10 (109), 1.11 (110), 1.14 (111), 1.15 (112), 1.16 (113), 1.18 (115), 1.25 (117) a), 1.26 (118) b) d), 1.48 (139), 1.49 (141).

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ ¨ ovning 2

∗ ¨ ¨ MANGDER OCH MANGDOPERATIONER

Syftet med denna ¨ovning ¨ar att introducera n˚ agra viktiga begrepp i m¨angdl¨ aran. M¨angder f¨orekommer ¨overallt i matematiken. T ex studerar man m¨angden av de hela talen i aritmetiken, m¨angden av de reella talen i matematisk analys, m¨angden av polynom i algebran osv. I denna ¨ovning l¨ar vi oss hur man beskriver m¨angder och hur man utf¨or m¨angdoperationer. Dessa begrepp spelar en viktig roll och f¨orekommer mycket ofta d˚ a man formulerar matematiska p˚ ast˚ aenden. Vi betraktar f¨oljande begrepp:

• M¨angder och deras element. • Delm¨angder och inklusion. • M¨angdoperationer: union, snitt, differens, komplement. • Venn–diagram.

Vi anv¨ander f¨oljande standardbeteckningar: N de naturliga talen, Z de hela talen, Q de rationella talen, R de reella talen, Vi f¨oljer avsnitten 1.8 – 1.9 i Vretblads bok. H¨anvisningar till nen gamla upplagan av boken ges inom parentes. ∗

Denna ¨ ovning utarbetades av J. Brzezinski och Mats Martinsson

1

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

2

Explorativ ¨ ovning 2

¨ Ovning A ar f¨or “m¨ angden 1. Ange alla element i f¨oljande m¨angder (beteckningen {x ∈ X| ... } st˚ av alla x i X s˚ adana att” – j¨amf¨or sid. 44 (27) i Vretblads bok): (a) {n ∈ N| n ≤ 10}, (b) {n ∈ N| n2 < 50}, (c) {x ∈ R| x2 = 2}, (d) {x ∈ R| |x − 2| = 3}, (e) {x ∈ R| |x − 1| ≤ 4}, (f) {x ∈ Z| x3 ≤ 27}, (g) {x ∈ R| x2 < 0}, (h) {x ∈ N| x2 − 6x + 8 < 0}. 2. Vilka av m¨angderna ovan ¨ar lika? F¨or vilka par av dessa den ena m¨angden inkluderar den andra (se sid. 44 (27) i Vretblads bok)?

¨ Ovning B 1. Best¨am A ∪ B, A ∩ B, A \ B och B \ A d˚ a (a) A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 4, 6, 8, 10}, (b) A = {x ∈ Z| x2 < 8}, B = {x ∈ N| x3 < 27}, (c) A = {x ∈ N| x < 1}, B = {x ∈ R| x < 1}, (d) A = m¨angden av alla liksidiga trianglar, B = m¨angden av alla likbenta trianglar, (e) A = m¨angden av alla romber, B = m¨angden av alla rektanglar.

¨ Ovning C 1. Diskutera hur de logiska konnektiven anv¨ands f¨or att beskriva m¨angdoperationer. Vilka konnektiv svarar mot vilka m¨angdoperationer? Hur ¨ar det med negationen? at A och B beteckna m¨angder. Vad s¨ager utsagan 2. L˚ ∀x

(x ∈ A ⇒ x ∈ B)?

Rita motsvarande Venn–diagram. 3. F¨ors¨ok skriva ut en utsaga som s¨ager att tv˚ a m¨angder A och B ¨ar lika.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

3

¨ Ovning D 1. Kontrollera f¨oljande relationer mellan m¨angder A, B, C genom rita Venn–diagram som svarar mot v¨anster– och h¨ogerled: (a) A ∪ (A ∩ B) = A, (b) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C), (c) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C), (d) A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C. 2. Ge exempel p˚ a m¨angder A, B, C s˚ adana att f¨oljande relationer g¨aller och s˚ adana att de inte g¨aller: (a) (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) = B, (b) (A \ B) ∪ (B \ A) = A ∪ B, (c) [(A ∪ B) \ C] ⊆ A. Kan Du ge n˚ agot villkor p˚ a A, B, C s˚ a att relationen g¨aller?

¨ Ovning E 1. G¨or ¨ovningar 1.34 (125), 1.35 (126) och 1.36 (127) i Vretblads bok. 2. Hur ser de Morgans lagar ut f¨or m¨angder? (jfr ¨ovning 1.16 (113) i Vretblads bok).

F¨oljande ¨ovningar i Vretblads bok rekommenderas: Vretblad: 1.27 (119), 1.29 (121), 1.31 (122), 1.41 (132), 1.44 (134), 1.45 (135), 1.52 (144).

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 3

DELBARHET OCH PRIMTAL∗ Syftet med detta avsnitt a¨ r att bekanta sig med delbarhetsegenskaper hos heltalen. De viktigaste begreppen a¨ r • delbarhet och divisionsalgoritmen • st¨orsta gemensamma delaren • minsta gemensamma multipeln • Euklides algoritm • primtal • Aritmetikens fundamentalsats • presentation av heltal i olika baser. • Diofantiska ekvationer Detta avsnitt kan betraktas som en kort inledning till talteorin. Eftersom talteorin ger en m¨ojlighet till flera mycket intressanta problem, som ofta kan formuleras enkelt och element¨art, a¨ r antalet o¨ vningar ganska stort. Flera av dessa o¨ vningar finns som illustration f¨or att visa att talteorin verkligen a¨ r en k¨alla till roliga problem och kan med f¨ordel redan mycket tidigt utnyttjas i skolarbete. De viktiga uppgifterna (eller de som rekommenderas) a¨ r A – H, K. Bland de o¨ vriga, v¨alj de uppgifter som Du tycker a¨ r intressanta. Vi a˚ terkommer till talteorin senare i avsnittet om “Restaritmetiker” (som ofta kallas f¨or “klockaritmetiker”).

∗

prelimin¨ar version

1

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 3

2

DELBARHET OCH DIVISIONSALGORITMEN Med de naturliga talen menar man vanligen N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}† . Ordet “naturligt” a¨ r helt f¨orklarligt eftersom dessa tal a¨ r direkt relaterade till en av de mest naturliga m¨anskliga aktiviteter – behovet att r¨akna. De naturliga talen har fascinerat m¨anniskor i flera tusen a˚ r. Ibland har denna fascination en karakt¨ar av magi eller rentav vidskepelse. Man tror p˚a olika mystiska egenskaper hos speciella tal som t ex 7 (“lyckligt”), 13 (“olyckligt”). Pythagoras och hans elever relaterade allt till talen och f¨ors¨okte f¨orklara omv¨arlden med deras hj¨alp. Talet 1 var grunden f¨or v¨arlden sj¨alv – alla andra tal har sitt ursprung i talet 1 (1+1 = 2, 1+1+1 = 3 osv). Det var symbolen f¨or gudarnas fader Zeus (m¨ojligen Zeus sj¨alv?). Talet 2 och alla j¨amna tal symboliserade kvinnlighet, medan talet 3 och alla udda tal st¨orre a¨ n 3 var symbolen f¨or manlighet. Dessa “egenskaper” har naturligtvis ingenting med matematik att g¨ora. Det fanns dock alltid ett rent matematiskt intresse f¨or de naturliga talen – under flera tusen a˚ r har man observerat och studerat olika samband mellan dessa tal. S˚adana observationer ledde ofta till b˚ade matematikens utveckling och till mycket intressanta till¨ampningar. L˚at oss n¨amna n˚agra exempel: (3.1) Exempel. (a) Den r¨atvinkliga triangeln med sidorna 3, 4, 5

c=5

· ·

·

· ·

· ·

· ·

·

· ·

· ·

b=4

a=3 har alltid fascinerat m¨anniskor. Likheten 32 + 42 = 52 som i detta fall avspeglar den allm¨anna egenskapen hos r¨atvinkliga trianglar, som a¨ r b¨ast k¨and som Pythagoras sats, gav upphov till m˚anga matematiska fr˚agor. Finns det andra r¨atvinkliga trianglar med heltaliga sidor? Finns det r¨atvinkliga trianglar med heltaliga sidor s˚adana att en katet a¨ r 1 st¨orre a¨ n den andra? (Det finns o¨andligt m˚anga s˚adana trianglar t ex en triangel med sidorna 20, 21, 29). Det finns †

Ibland kallar man inte 0 som ett naturligt tal – det tog flera tusen a˚ r innan talet 0 fick sin naturliga plats bland talen. 0 a¨ r ett av heltalen.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(3.1)

3

faktiskt b¨ocker som beskriver olika typer av Pythagoreiska trianglar (dvs r¨atvinkliga trianglar med heltaliga sidor). Triangeln med sidorna 3,4,5 anv¨andes av antika geodeter f¨or att m¨ata r¨atta vinklar – man anv¨ande en lina med 12 knuttar som sp¨andes s˚a att man fick triangel med sidorna 3, 4 och 5. D˚a fick man r¨at vinkel mellan sidorna av l¨angderna 3 och 4. (b) Som ett annat exempel l˚at oss n¨amna magiska kvadrater. En av de mest ber¨omda finns p˚a Albrecht D¨urers kopparstick “Melankolien 1”: 16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

Summan av alla tal i denna kvadrat l¨angs varje rad, varje kolonn och varje diagonal a¨ r 34. Det finns m˚anga andra intressanta samband mellan talen i de mindre kvadraterna (begrunda sj¨alv!). Magiska kvadrater har intresserat m¨anniskor f¨or deras egen skull, men de har ocks˚a mycket intressanta till¨ampningar i samband med experimentplaneringen t ex n¨ar man vill testa hur olika sorters v¨axter odlas under varierande f¨orh˚allanden (t ex konstg¨odsel, temperatur, fuktighet osv). F¨ors¨ok konstruera en magisk kvadrat med 3 rader och 3 kolonner uppbyggd av talen 1,2,...,9! (c) Det finns m˚anga m¨arkliga samband mellan de naturliga talen. Titta t ex p˚a f¨oljande likheter:

102 + 112 + 122 = 132 + 142 594 + 1584 = 1334 + 1344 33 + 43 + 53 = 63

Den sista likheten s¨ager att summan av tre kuber till h¨oger a¨ r en kub. Pierre de Fermat p˚astod i mitten av 1600-talet att summa av tv˚a kuber av naturliga tal (st¨orre a¨ n 0) aldrig a¨ r en kub. Detta ¨ visades av Leonard Euler 100 a˚ r senare (se vidare Ovning K om Diofantiska ekvationer). Inte heller summa av tv˚a fj¨arde potenser av naturliga tal (st¨orre a¨ n 0) kan vara en fj¨arde potens, vilket visades av Fermat. Den n¨ast sista likheten hittades av Euler. Han var intresserad av m¨ojligheten att summan av tv˚a kvadrater a¨ r lika med summan av tv˚a andra kvadrater, eller summan av tv˚a kuber a¨ r lika med summan av tv˚a andra kuber osv. Kan Du ge ett exempel p˚a en summa av tv˚a kvadrater av naturliga tal som a¨ r lika med summan av tv˚a andra kvadrater? ¤ De negativa talen −1, −2, −3, . . . tr¨adde in i matematiken relativt sent – i praktiken under 1400-talet d˚a den italienske munken och matematikern Luca Pacioli publicerade a˚ r 1494 sin bok “Summa de Arithmetica”. I denna bok sammanfattade Pacioli d˚atidens vetande om aritmetik och ekvationsl¨osning.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 3

4

Egentligen kan vissa id´eer om negativa heltal sp˚aras till Indien, men enligt flera historiker var dessa kunskaper ytliga och hade inte n˚agon inverkan p˚a senare utveckling av talbegreppet. Det a¨ r mycket troligt att b˚ade den kinesiska och arabiska vetenskapen kom fram till de negativa talen helt oberoende av den europeiska. Talet 0 introducerades i Indien f¨or circa 1500 a˚ r sedan. Med heltalen menas talen 0, ±1, ±2, ±3, . . . dvs alla naturliga tal och deras motsatta tal. S˚alunda a¨ r heltalen en utvidgning av de naturliga talen. Heltalsm¨angden betecknas oftast med Z dvs Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . .}. I en senare del av kursen kommer vi att bekanta oss n¨armare med heltalens historia, deras ursprung och definition. I detta avsnitt sysslar vi med ett av de viktigaste begreppen som g¨aller heltalen – delbarhet. T ex delar 5 talet 15 och kvoten a¨ r 3. Man s¨ager att 5 a¨ r en delare till 15. Rent allm¨ant har vi f¨oljande definition: (3.2) Definition. Man s¨ager att ett heltal d delar ett heltal a om det finns ett heltal q s˚adant att a = dq. Man skriver d˚a d|a, vilket utl¨ases “d delar (eller dividerar) a” (man s¨ager ocks˚a “a a¨ r delbart med d” eller “a a¨ r en multipel av d”). Om d inte delar a s˚a skriver man d - a. Om d delar a s˚a s¨ager man att d a¨ r en delare till a. En delare d till a kallas a¨ kta (eller icke–trivial) om 1 < |d| < |a|. ¤ T ex har man 5|15 eller 4|36, men 5 - 13. Talet 12 har f¨oljande delare: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Talen ±1 och ±12 a¨ r inte a¨ kta delare till 12, medan alla o¨ vriga a¨ r a¨ kta. Exempel. Man kontrollerar mycket l¨att med hj¨alp av en minir¨aknare med minst 10 siffror att 641|232 + 1 (senare visar vi p˚ast˚aendet i ett avsnitt om restaritmetiker). P. Fermat trodde p˚a 1600-talet att talet 232 + 1 saknar a¨ kta delare. Det var f¨orst L. Euler som 100 a˚ r efter Fermat hittade den a¨ kta delaren ¨ 641. Se vidare Ovning P. ¤ Med all s¨akerhet k¨anner Du till den mycket vanliga metoden (algoritmen) som man anv¨ander f¨or att dela ett heltal med ett heltal skilt fr˚an 0. Man f˚ar d˚a kvoten och resten. T ex ger den vanliga divisionsalgoritmen att 134 delat med 26 ger kvoten 5 och resten 4. Man antecknar detta samband s˚a att 134 = 26 · 5 + 4. Rent allm¨ant formuleras denna egenskap p˚a f¨oljande s¨att: (3.3) Divisionsalgoritmen. Om a och b a¨ r heltal och b 6= 0 s˚a a¨ r a = bq + r, d¨ar 0 ≤ r < |b|. B˚ade q (kallad kvoten) och r (kallad resten) a¨ r entydigt definierade av a och b. F¨or bevis av Divisionsalgoritmen se Appendix p˚a slutet av detta avsnitt.

¨ Ovning A 1. Best¨am alla delare till talet 24.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(3.4)

5

2. Motivera att varje heltal n kan skrivas antingen p˚a formen n = 2k om det a¨ r j¨amnt eller p˚a formen n = 2k + 1 om det a¨ r udda, d¨ar k a¨ r ett heltal; 3. Motivera att varje heltal n kan skrivas p˚a exakt en av formerna n = 3k eller n = 3k + 1 eller n = 3k + 2, d¨ar k a¨ r ett heltal. 4. Hur lyder en liknande egenskap hos heltalen d˚a man ers¨atter 2 eller 3 ovan med t ex 5? 5. Man vet att ett naturligt tal d delar ett naturligt tal a. Hur skall Du uttrycka det med symboler? Om du skulle v¨alja mellan d|a och ad , vilket a¨ r den r¨atta? B¨agge? Delbarhetsrelationen har flera viktiga egenskaper som man ofta utnyttjar i olika sammanhang. Vi b¨orjar med en o¨ vning som leder oss till dessa egenskaper.

¨ Ovning B L˚at a, b, c, d beteckna heltal. 1. Vad betyder det att d a¨ r en delare till a? T¨ank p˚a svaret och j¨amf¨or med definitionen ovan. 2. Visa att om 5 delar a och b s˚a delar 5 b˚ade a + b och a − b. Formulera denna egenskap f¨or en godtycklig delare d till a och b i st¨allet f¨or 5. Bevisa Ditt p˚ast˚aende! 3. Visa att delbarhetsrelationen a¨ r transitiv dvs om a|b och b|c s˚a a|c. 4. Visa att om tv˚a av talen a, b, c i likheten a + b = c a¨ r delbara med d s˚a a¨ r ocks˚a det tredje talet delbart med d. 5. Visa att om a|b och b|a s˚a a¨ r b = ±a. Nu sammanfattar vi slutsatserna fr˚an o¨ vningen: (3.4) Proposition. L˚at a, b, c, d beteckna heltal. D˚a g¨aller: (a) om d|a och d|b s˚a d|a ± b, (b) om a|b och b|c s˚a a|c, (c) om tv˚a av talen a, b, c i likheten a + b = c a¨ r delbara med d s˚a a¨ r ocks˚a det tredje talet delbart med d, (d) om a|b och b|a s˚a a¨ r b = ±a.

PRIMTAL Bland de naturliga talen har primtalen en s¨arst¨allning. De f¨orsta 20 primtalen a¨ r

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 3

6

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71. Primtalen definieras som de naturliga tal som endast har tv˚a olika naturliga delare: 1 och sig sj¨alvt. Talet 1 a¨ r inte ett primtal eftersom det har bara en naturlig delare‡ . Ett tal st¨orre a¨ n 1 som inte a¨ r ett primtal kallas sammansatt. Primtalen har en mycket viktig egenskap som byggstenar f¨or alla naturliga tal. Vi kommer n¨amligen bevisa att varje naturligt tal st¨orre a¨ n 1 kan skrivas som produkt av primtal och dessutom p˚a exakt ett s¨att om man bara bortser fr˚an primtalens ordningsf¨oljd. T ex har vi 30 = 2 · 3 · 5 och a¨ ven 30 = 3 · 5 · 2 = 2 · 5 · 3, men det a¨ r bara ordningsf¨oljden som kan a¨ ndras. M¨anniskors intresse f¨or primtalen a¨ r flera tusen a˚ r gammalt och redan f¨or drygt 2000 a˚ r sedan visade den grekiske matematikern Euklides att det finns o¨andligt m˚anga primtal (se ett bevis nedan). F¨orst noterar vi den formella definitionen: (3.5) Definition. Man s¨ager att ett positivt heltal p a¨ r ett primtal om p > 1 och p saknar a¨ kta delare (dvs p har exakt tv˚a olika positiva delare: 1 och sig sj¨alvt). Ett positivt heltal st¨orre a¨ n 1 som inte a¨ r ett primtal kallas sammansatt. ¤ Observera att om ett naturligt tal n a¨ r sammansatt s˚a kan man dela n i faktorer: n = n1 n2 s˚a att n1 och n2 a¨ r naturliga tal som a¨ r a¨ kta delare till n dvs 1 < n1 < n och 1 < n2 < n. Euklides§ visade sin sats om att att det finns o¨andligt m˚anga primtal i nionde boken av sitt stora verk “Elementa” genom att anv¨anda f¨oljande sats fr˚an sjunde boken: (3.6) Sats. Om n a¨ r ett heltal st¨orre a¨ n 1 s˚a a¨ r n delbart med ett primtal. Bevis. L˚at p beteckna den minsta av alla delare till n som a¨ r st¨orre a¨ n 1. D˚a saknar p a¨ kta delare eftersom en a¨ kta delare till p skulle vara en delare till n, vilket a¨ r om¨ojligt eftersom p var den minsta delaren till n som a¨ r st¨orre a¨ n 1. Detta inneb¨ar att p a¨ r ett primtal eftersom p > 1 och p saknar a¨ kta delare. ¤ Nu kan vi bevisa att det finns o¨andligt m˚anga primtal. (3.7) Euklides sats. Det finns o¨andligt m˚anga primtal. ‡

Det finns en mycket viktig f¨orklaring varf¨or 1 inte accepteras som primtal – se vidare Aritmetikens fundamentalsats. Euklides levde i Grekland c:a 300 f.Kr.. Hans mest ber¨omda verk a¨ r “Elementa” – en bokserie best˚aende av 13 delar som handlar om d˚atidens matematik. “Elementa” k¨anns b¨ast f¨or ett f¨ors¨ok att presentera det som idag kallas f¨or Euklidisk geometri. Denna teori a¨ r modellen av geometriska relationer i v˚ara n¨armaste omgivningar. Men tre volymer av Euklides verk handlar om talteorin – huvudsakligen om delbarhet och primtal. Delar av Euklides “Elementa” hade anv¨ants i skolan under 2000 a˚ r fram till b¨orjan av 1900–talet. §

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(3.7)

7

Bevis. Antag att 2, 3, 5, . . . , p betecknar alla primtal (s˚a att p betecknar det sista). Vi bildar ett nytt tal som vi betecknar med N : N = 2 · 3 · 5 · · · p + 1, dvs talet N a¨ r produkten av alla primtal plus 1. Talet N a¨ r st¨orre a¨ n 1 och har en primtalsdelare, s¨ag, q enligt v˚ar f¨orra sats. Detta primtal q kan inte vara lika med n˚agot av talen 2, 3, 5, . . . , p eftersom dessa tal inte a¨ r delare till N (N delat med n˚agot av dessa tal l¨amnar resten 1). Allts˚a har vi visat att det m˚aste finnas ytterligare ett primtal q som inte fanns bland 2, 3, 5, . . . , p trots att vi tog alla. Detta inneb¨ar att det inte g˚ar att skriva en a¨ ndlig lista som omfattar alla primtal dvs det m˚aste finnas o¨andligt m˚anga primtal. ¤

¨ Ovning C 1. Utnyttja rutat papper f¨or att rita alla m¨ojliga rektanglar med 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, 12 hela rutor. Kan Du dra n˚agra slutsatser om skillnader mellan olika tal? Beter sig primtalen p˚a ett speciellt s¨att? 2. Vilka av f¨oljande tal a¨ r primtal (stryk under primtalen): 1,2,3,4,5, 101, 103, 105, 1001, 10101? 3. F¨oresl˚a en ber¨akningsprocedur (en algoritm) som kan avg¨ora om ett givet heltal a¨ r primt. F¨ors¨ok avg¨ora om talet 143 a¨ r primt. (L¨as eventuellt om primtal och “Eratosthenes s˚all” i “Matte med mening” p˚a sid. 32). 4. L˚at N = ab vara ett naturligt √ tal uppdelat i produkt av tv˚a heltaliga faktorer. Visa att minst en av dessa faktorer a¨ r ≤ N . Hur kan man anv¨anda denna egenskap f¨or att skriva 143 som produkt av primtal? 5. Skriv f¨oljande tal som produkt av primtal: (a) 2704,

(b) 392688,

(c) 749088,

(talen har “sn¨alla” primfaktorer!). Anm¨arkning. Det a¨ r inte s˚a enkelt att avg¨ora om ett givet naturligt tal a¨ r ett primtal. Det finns speciella algoritmer och datorprogram som delvis l¨oser detta problem. De b¨asta algoritmerna bygger p˚a mycket avancerade delar av algebraisk talteori. De utnyttjas i olika s¨akerhetssystem t ex i samband med olika banktj¨anster. Det tar n˚agra sekunder att testa om ett tal med, s¨ag, 100 siffror a¨ r ett primtal. Men det tar en mycket l˚ang tid att faktoruppdela ett s˚adant tal i produkt av primtal om talet a¨ r sammansatt.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

8

Explorativ o¨ vning 3

¨ STORSTA GEMENSAMMA DELAREN och MINSTA GEMENSAMMA MULTIPELN Det a¨ r ofta mycket viktigt att kunna ber¨akna det st¨orsta heltal som dividerar tv˚a givna heltal a och b, och det minsta heltal som tv˚a givna heltal a och b delar samtidigt. De kallas st¨orsta gemensamma delaren (betecknas SGD(a, b)) och den minsta gemensamma multipeln (betecknas MGM(a, b)). T ex a¨ r 3 man intresserad av SGD(a, b) d˚a man vill f¨orkorta br˚aket ab (t ex 24 40 = 5 , ty SGD(24, 40) = 8). Minsta 7 1 1 , ty MGM(12, 30) = 60). gemensamma multipeln a¨ r intressant d˚a man adderar br˚ak (t ex 12 + 30 = 60 ¨ Formella definitioner av dessa begrepp som ar mest vanliga i matematiska sammanhang a¨ r f¨oljande: (3.8) Definition. Med st¨orsta gemensamma delaren till a och b menar man ett positivt heltal d som delar a och b och a¨ r delbart med varje gemensam delare till a och b dvs (a) d|a och d|b, (b) om d0 |a och d0 |b, s˚a d0 |d. St¨orsta gemensamma delaren till a och b betecknas med SGD(a, b). Man brukar definiera SGD(0, 0) = 0. Man s¨ager att a och b a¨ r relativt prima om SGD(a, b) = 1. I detta fall s¨ager man ofta att a och b saknar gemensamma delare (¨aven om ±1 delar dessa tal). ¤ Den st¨orsta gemensamma delaren till a och b a¨ r definierad entydigt d¨arf¨or att om b˚ade d och d0 a¨ r s˚adana delare s˚a g¨aller d|d0 och d0 |d, vilket inneb¨ar att d0 = ±d. Men b˚ade d och d0 a¨ r positiva s˚a att d0 = d. (3.9) Definition. Med minsta gemensamma multipeln till a och b menar man ett positivt heltal m som a¨ r delbart med a och b och som delar varje gemensam multipel av a och b dvs (a) a|m och b|m, (b) om a|m0 och b|m0 , s˚a m|m0 . Minsta gemensamma multipeln av a och b betecknas med MGM(a, b). Som f¨or SGD definierar man MGM(0, 0) = 0. ¤ ¨ Aven minsta gemensamma multipeln av a och b definieras entydigt av dessa tal (motivera detta p˚ast˚aende med liknande argument som f¨or SGD(a, b) ovan!). Exempel. SGD(24, 40) = 8, MGM(12, 30) = 60.

¤

(3.10) Anm¨arkning. Det a¨ r klart att SGD(a, b) a¨ r st¨orst bland alla delare till a och b, medan MGM(a, b) a¨ r minst bland alla gemensamma multipler av dessa tal. T ex kunde vi i definitionen av d = SGD(a, b) kr¨ava att d delar b˚ade a och b samt att d a¨ r det st¨orsta heltalet med den egenskapen. Det a¨ r dock mycket b¨attre att i st¨allet fokusera p˚a en annan egenskap: varje delare till a och b m˚aste dela d (som a¨ r d¨armed den st¨orsta delaren). Denna egenskap a¨ r mycket anv¨andbar i olika bevis. Dessutom m¨oter vi senare precis samma definition d˚a vi sysslar med delbarheten av polynom. Vi kommemterar ocks˚a denna definition nedan i samband med metodiska synpunkter. ¤

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(3.11)

9

Hur kan man ber¨akna SGD och MGM i praktiken? En mycket viktig metod a¨ r Euklides algoritm. Euklides algoritm s¨ager hur man kan ber¨akna SGD(a, b). L˚at a = 444 och b = 210. Man bildar en divisionskedja:

444 = 210 · 2 + 24 210 = 24 · 8 + 18 24 = 18 · 1 + 6 18 = 6 · 3 dvs man dividerar a = 444 med b = 210 och man f˚ar den f¨orsta kvoten (h¨ar 2) och den f¨orsta resten (h¨ar 24). D¨arefter dividerar man talet b = 210 med den f¨orsta resten (h¨ar 24) och man f˚ar den andra kvoten (h¨ar 8) och den andra resten (h¨ar 18). Man forts¨atter tills man f˚ar resten noll. Eftersom resterna a¨ r mindre och mindre s˚a m˚aste man avsluta processen med resten 0 (varf¨or?). Den sista nollskilda resten (h¨ar 6) a¨ r just st¨orsta gemensamma delaren till a och b dvs SGD(444, 210) = 6. Vi skall b˚ade anteckna Euklides algoritm och motivera att den verkligen ger st¨orsta gemensamma delaren f¨or helt godtyckliga heltal a och b 6= 0. Vi har f¨oljande divisionskedja: a = bq1 + r1 , b = r1 q2 + r2 , r1 = r2 q3 + r3 , .. .. . . rn−3 = rn−2 qn−1 + rn−1 , rn−2 = rn−1 qn + rn , rn−1 = rn qn+1 .

0 ≤ r1 < |b|, 0 ≤ r2 < r1 , 0 ≤ r3 < r2 , .. . 0 ≤ rn−1 < rn−2 , 0 ≤ rn < rn−1 ,

Varje kedja av den h¨ar typen m˚aste vara a¨ ndlig d¨arf¨or att en avtagande kedja av resterna r1 > r2 > r3 > . . . ≥ 0 m˚aste vara a¨ ndlig. Vi p˚ast˚ar att den sista icke-f¨orsvinnande resten i denna kedja, som h¨ar betecknas med rn , a¨ r den st¨orsta gemensamma delaren till a och b. Att det verkligen a¨ r sant kontrollerar man mycket enkelt med hj¨alp av definitionen av SGD(a, b). Den sista likheten i kedjan s¨ager att rn a¨ r delaren till rn−1 . Allts˚a visar den n¨ast sista likheten att rn a¨ r delaren till rn−2 . Nu vet vi att rn delar rn−1 och rn−2 . Allts˚a visar likheten f¨or rn−3 att a¨ ven denna rest a¨ r delbar med rn . Vi forts¨atter v˚ar vandring upp˚at och steg f¨or steg visar vi att alla tal rn−1 , rn−2 , rn−3 , . . ., r1 , b, a a¨ r delbara med rn . Allts˚a a¨ r rn en gemensam delare till a och b. Om nu d a¨ r en godtycklig gemensam delare till a och b s˚a visar den f¨orsta likheten att d delar r1 . Allts˚a ger den andra likheten att d delar r2 . D˚a vi vet att d delar r1 och r2 s˚a f˚ar vi ur den tredje likheten att d ocks˚a delar r3 . P˚a det s¨attet f˚ar vi att d a¨ r en delare till alla tal i sekvensen a, b, r1 , r2 , r3 , . . . , rn−2 , rn−1 , rn . Detta visar att rn a¨ r den st¨orsta gemensamma delaren till a och b. Det a¨ r klart att man kan formalisera v˚art resonemang genom att anv¨anda matematiskt induktion. Med hj¨alp av Euklides algoritm kan man inte bara ber¨akna SGD(a, b) utan ocks˚a tv˚a heltal x, y s˚adana att SGD(a, b) = ax + by. Vi illustrerar detta med samma exempel:

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 3

10 (3.11) Exempel. L˚at a = 444 och b = 210. Euklides algoritm ger

444 = 210 · 2 + 24 210 = 24 · 8 + 18 24 = 18 · 1 + 6 18 = 6 · 3 Nu har vi 6 = 24 − 18 · 1 = 24 − (210 − 24 · 8) · 1 = = 24 · 9 − 210 = (444 − 210 · 2) · 9 − 210 = = 444 · 9 − 210 · 19 = 444 · 9 + 210 · (−19). ¤ M¨ojligheten att l¨osa ekvationen SGD(a, b) = ax+by i heltal x och y kommer att spela en mycket viktig roll och kommer att anv¨andas flera g˚anger under kursens g˚ang. D¨arf¨or noterar vi den egenskapen som en sats och ger ett bevis i Appendix p˚a slutet av denna stencil. Beviset ger inte n˚agon m¨ojlighet att hitta x och y (ofta vill man veta att x och y finns utan att beh¨ova r¨akna ut dessa tal). Om man vill ber¨akna x och y s˚a kan man anv¨anda Euklides algoritm som i exemplet ovan. Vi noterar satsen redan nu: (3.12) Sats. Om a och b a¨ r heltal och d = SGD(a, b) s˚a existerar tv˚a heltal x0 och y0 s˚adana att d = ax0 + by0 . Vi visar ett exempel p˚a en till¨ampning av den sista satsen. Om 2 och 3 a¨ r delare till ett heltal N s˚a a¨ r ocks˚a 2 · 3 = 6 en delare till N . Detta f¨oljer fr˚an f¨oljande p˚ast˚aende: (3.13) Proposition. Om a och b a¨ r tv˚a relativt prima delare till ett heltal N s˚a a¨ r ocks˚a ab en delare till N . Bevis. L˚at N = aq1 och N = bq2 med hela q1 och q2 . Eftersom a och b a¨ r relativt prima dvs SGD(a, b) = 1 s˚a a¨ r ax + by = 1 f¨or l¨ampliga heltal x och y (enligt den sista satsen). Allts˚a a¨ r N = N (ax + by) = N ax + N by = bq2 ax + aq2 by = ab(q2 x + q1 y), vilket visar att N a¨ r delbart med ab.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

¤

(3.13)

11

¨ Ovning D 1. Vad menas med st¨orsta gemensamma delaren (SGD) till tv˚a heltal a och b? J¨amf¨or Dina funderingar med definitionen. 2. Ber¨akna SGD(a, b) samt tv˚a heltal x0 och y0 s˚adana att SGD(a, b) = ax0 + by0 d˚a (a) a = 165, b = 102, (b) a = 624, b = 570.

¨ Ovning E ¨ det sant eller falskt: 1. Ar (a) Om ett heltal N a¨ r delbart med 2 och 3, s˚a a¨ r det delbart med 2 · 3 = 6? (b) Om ett heltal N a¨ r delbart med 4 och 6, s˚a a¨ r det delbart med 4 · 6 = 24? 2. Varf¨or g¨aller enbart ett av dessa p˚ast˚aenden?

¨ Ovning F ¨ det sant eller falskt: 1. Ar (a) om 6 delar ab och 6 inte delar a s˚a m˚aste 6 dela b; (b) om 6 delar ab och 6 saknar gemensamma delare med a s˚a m˚aste 6 dela b; (c) om 5 delar ab och 5 inte delar a s˚a m˚aste 5 dela b. 2. Varf¨or g¨aller inte alla p˚ast˚aenden ovan? 3. Visa att om d a¨ r en delare till produkten ab och d saknar gemensamma delare med a, dvs SGD(d, a) = 1, s˚a a¨ r d en delare till b. Ledning. Det finns heltal x och y s˚adana att ax + dy = 1 – utnyttja denna likhet. Du kan ocks˚a l¨asa beviset av satsen (3.14) nedan.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 3

12

ARITMETIKENS FUNDAMENTALSATS Nu kan vi f¨orklara primtalens viktiga roll som byggstenar f¨or alla heltal – varje heltal st¨orre a¨ n 1 a¨ r en entydig produkt av primtal. T ex

100 = 22 · 52 , 108 = 22 · 33 , 2002 = 2 · 7 · 11 · 13. Ett primtal t ex 5 betraktas ocks˚a som produkt av primtal – produkt med endast en faktor 5 (dvs 5 = 5). En s˚adan o¨ verenskommelse har stora f¨ordelar – den f¨orenklar m˚anga formuleringar (t ex kan vi s¨aga att varje naturligt tal st¨orre a¨ n 1 a¨ r en produkt av primtal). F¨orst visar vi en mycket viktig egenskap hos primtalen som egentligen a¨ r nyckeln till aritmetikens fundamentalsats: (3.14) Sats. En primdelare till en produkt av tv˚a heltal a¨ r en delare till (minst) en av faktorerna dvs om p|ab s˚a p|a eller p|b, d˚a p a¨ r ett primtal och a, b a¨ r heltal. Bevis. Antag att p - a. D˚a a¨ r SGD(p, a) = 1 d¨arf¨or att p a¨ r ett primtal. Enligt (3.22) existerar tv˚a heltal x, y s˚adana att px + ay = 1. Om man multiplicerar den likheten med b f˚ar man b = pbx + aby. Men enligt f¨oruts¨attningen a¨ r ab = pq f¨or ett heltal q. Allts˚a a¨ r b = p(bx + qy) dvs p|b. ¤ Observera att det inte har n˚agon betydelse att den sista satsen handlar av ett primtal som delar en produkt av tv˚a faktorer – ett primtal som delar en produkt av ett godtyckligt antal faktorer m˚aste dela n˚agon av dessa. Vi utnyttjar denna egenskap av primtal i beviset av aritmetikens fundamentalsats: (3.15) Aritmetikens fundamentalsats. Varje heltal st¨orre a¨ n 1 a¨ r en entydig produkt av primtal dvs om n = p1 p2 · · · pr = q1 q2 · · · qs , d¨ar pi och qj a¨ r primtal s˚a a¨ r r = s och vid en l¨amplig numrering av faktorerna a¨ r pi = qi . Bevis. F¨orst visar vi att varje naturligt tal n > 1 a¨ r en produkt av primtal. L˚at oss anta att det finns naturliga tal som inte kan skrivas som en s˚adan produkt. L˚at oss v¨alja bland dessa naturliga tal det minsta. Vi betecknar detta tal med n. Detta inneb¨ar att n > 1 a¨ r det minsta naturliga tal som inte a¨ r en produkt av primtal. Talet n a¨ r inte ett primtal (ett primtal a¨ r en produkt av primtal med bara en faktor). Allts˚a a¨ r n ett sammansatt tal dvs n = n1 n2 , d¨ar b˚ade n1 och n2 a¨ r a¨ kta delare till n dvs 1 < n1 < n och 1 < n2 < n. Eftersom b˚ade n1 > 1 och n2 > 1 a¨ r mindre a¨ n n s˚a m˚aste dessa tal kunna skrivas som produkt av primtal (ty n a¨ r det minsta som inte kan skrivas). Men detta betyder att ocks˚a n kan skrivas som produkt av primtal. P˚a det s¨attet f˚ar vi att det inte finns n˚agot naturligt tal som inte kan skrivas som produkt av primtal.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(3.18)

13

Nu visar vi att varje naturligt tal n > 1 kan skrivas som produkt av primtal bara p˚a ett s¨att om man bortser fr˚an faktorernas ordningsf¨oljd. P˚a samma s¨att som tidigare l˚at oss anta att det finns ett naturligt tal st¨orre a¨ n 1 som kan skrivas p˚a olika s¨att som en s˚adan produkt och l˚at n > 1 beteckna det minsta av alla naturliga tal som har olika framst¨allningar: n = p1 p2 · · · pr = q1 q2 · · · qs , d¨ar p1 , p2 , . . . , pr , q1 , q2 , . . . , qs a¨ r primtal. Observera att n inte a¨ r ett primtal (ett primtal har endast en framst¨allning). Eftersom p1 a¨ r ett primtal och p1 delar produkten q1 q2 · · · qs s˚a m˚aste p1 dela en av dess faktorer t ex p1 delar q1 . Men q1 a¨ r ocks˚a ett primtal s˚a att p1 = q1 (om ett primtal delar ett primtal s˚a m˚aste det vara samma primtal). Nu f˚ar vi: n = p2 · · · pr = q2 · · · qs p1 s˚a att talet 1 < pn1 < n har tv˚a olika framst¨allningar som produkt av olika primtal. Detta a¨ r dock om¨ojligt eftersom n var det minsta naturliga talet med olika framst¨allningar. Slutsatsen a¨ r att det inte finns n˚agot minsta naturliga tal n > 1 med tv˚a olika framst¨allningar som produkt av primtal. ¤ ¨ (3.16) Anm¨arkning. Ofta kallar man sats (3.14) f¨or aritmetikens fundamentalsats. Aven om formuleringen ovan handlar om positiva heltal s˚a kan vi s¨aga rent allm¨ant att varje heltal N 6= 0, ±1 a¨ r en produkt N = εp1 p2 · · · pn , d¨ar pi a¨ r primtal och ε = ±1. Enligt aritmetikens fundamentalsats a¨ r en s˚adan framst¨allning entydig s˚a n¨ar som p˚a faktorernas ordningsf¨oljd. Faktoruppdelningar av liknande typ a¨ r k¨anda t ex f¨or polynom. Vi diskuterar b˚ade faktoruppdelningar f¨or heltalen och f¨or polynom i ett senare avsnitt. ¤ Primfaktoruppdelningar av heltal ger en m¨ojlighet att ber¨akna SGD(a, b) och MGM(a, b) utan Euk¨ lides algoritm. Aven om denna m¨ojlighet inte a¨ r s¨arskilt praktisk anv¨ands den flitigt i skolan. (3.17) Exempel. Vi vill best¨amma SGD(a, b) och MGM(a, b) d˚a a = 90 och b = 150. Eftersom a = 90 = 2 · 3 · 3 · 5 och b = 2 · 3 · 5 · 5, s˚a a¨ r SGD(90, 150) = 2 · 3 · 5 = 30. samt MGM(90, 150) = 2 · 3 · 3 · 5 · 5 = 450. En primfaktor p ing˚ar i SGD(a, b) om den ing˚ar i b˚ade a och b. Dess exponent a¨ r minimum av exponenterna i a och b. En primfaktor p ing˚ar i MGM(a, b) om den ing˚ar i minst ett av talen a eller b. Dess exponent a¨ r maximum av exponenterna i a och b. ¤ (3.18) Anm¨arkning. Vi avslutar detta avsnitt med n˚agra kommentarer om primfaktoruppdelningar av heltal. Det a¨ r inte l¨att att faktoruppdela ett helt godtyckligt heltal N i primfaktorer. Om N a¨ r ett relativt litet s˚a kan man testa sm˚a primtal och kontrollera om de dividerar N . T ex om N = 420 s˚a dividerar man f¨orst med 2, d¨arefter med 2 igen, med 3, 5 och 7. Man brukar ibland skriva resultaten p˚a f¨oljande s¨att

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 3

14

420 210 105 35 7 1

2 2 3 5 7

dvs 420 = 2 · 2 · 3 · 5 · 5 · 7. Den metoden f¨oruts¨atter att vi k¨anner till en lista o¨ ver de sm˚a primtalen. Det a¨ r ocks˚a viktigt att relativt snabbt kunna bed¨omma om talet a¨ r delbart med t ex 2, 3, 5, 7 osv. S˚adana “delbarhetskriterier” diskuterar vi i ett senare avsnitt om restaritmetiker. Tyv¨arr fungerar s˚adana metoder endast d˚a talen a¨ r sm˚a. F¨or faktoruppdelningar av stora heltal kr¨avs mycket avancerade metoder. De b¨asta k¨anda algoritmerna f¨or primtalsfaktorisering kr¨aver c:a N 1/5 r¨akneoperationer f¨or att hitta en primfaktor till N (om N a¨ r sammansatt och “slumpm¨assigt” valt). Om en r¨akneoperation tar 1µs och talet har 200 siffror, s˚a kr¨avs det 1040 µs ≈ 3 · 1026 a˚ r f¨or att genomf¨ora ber¨akningarna f¨or N (106 datorer var och en kapabel att utf¨ora en operation p˚a 1µs skulle beh¨ova 3 · 1020 a˚ r f¨or att klara dessa ber¨akningar!). Dessa omst¨andigheter g¨or att tal N = pq, d¨ar p och q a¨ r stora primtal (med, s¨ag, 100 siffror) anv¨ands f¨or s¨akerhetskryptering av k¨ansliga uppgifter som t ex bankkoder. Vi diskuterar ett s˚adant system i samband med ett senare avsnitt om restaritmetiker. ¤

¨ Ovning G 1. L˚at a = 45 och b = 50. Best¨am minsta gemensamma multipeln till dessa tal. 2. L˚at a och b vara tv˚a heltal. F¨ors¨ok beskriva en procedur som ger MGM(a, b). 3. Visa att SGD(a, b) MGM(a, b) = ab och f¨orklara hur denna formel kan anv¨andas till ber¨akningar av MGM(a, b). Anv¨and formeln i den f¨orsta uppgiften ovan. Ledning. L˚at a = pk11 pk22 · · · pkr r och b = pl11 pl22 · · · plrr vara faktoruppdelningar av a och b i produkt av olika primtal p1 , p2 , . . . , pr (n˚agra av exponenterna k1 , k2 , . . . , kr och l1 , l2 , . . . , lr kan vara lika med 0). Med vilken exponent ing˚ar t ex p1 i SGD(a, b), MGM(a, b) och ab? J¨amf¨or exponenterna f¨or p1 i SGD(a, b) MGM(a, b) och i ab.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(3.18)

15

POSITIONSSYSTEM R¨akning a¨ r en mycket gammal m¨ansklig aktivitet som troligen fanns redan i b¨orjan av v˚ar civilisation. Det a¨ r ocks˚a troligt att f¨orst hade man r¨akneord motsvarande ett, tv˚a m¨ojligen tre f¨orem˚al och allt som o¨ verskred den gr¨ansen uppfattades som “m˚anga”. Det finns en mycket intressant forskning som visar hur sm˚a barn uppfattar t ex fyra f¨orem˚al¶ . Man kan f¨orest¨alla sig att n¨ar det g¨aller r¨akning a˚ terspeglar barnens utveckling den process som f¨or l¨ange sedan var en del av civilisationens framsteg. Olika kulturer utvecklades p˚a olika s¨att n¨ar det g¨aller f¨orm˚agan att r¨akna och framf¨or allt kunna uttrycka tal b˚ade skriftligt och muntligt. V˚art s¨att att skriva tal har sitt ursprung i Indien och kom till Europa i b¨orjan av 1100–talet genom kontakterna med den arabiska civilisationen. D˚a o¨ versattes fr˚an arabiska till latin en bok av den arabiske matematikern al-Chwarizmi (eller al-Kharezmi) som skrevs n¨ara 300 a˚ r tidigare. Boken fick titeln “Liber Algorithmi de numeris Indorum” . Denna bok beskriver just v˚art nuvarande positionssystem som bygger p˚a bas 10 och som skapades i Indien troligen mellan 400f.Kr och 600f.Kr. En mycket stor betydelse f¨or spridningen av v˚art s¨att att skriva tal hade boken “Liber abaci” av en italiensk handelsman och matematiker Leonardo Fibonacci (k¨and som Leonardo fr˚an Pisa). I denna bok, som kom ut a˚ r 1202, skriver f¨orfattaren “Det finns nio indiska tecken: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Med hj¨alp av dessa tecken och tecknet 0, som p˚a arabiska kallas “sifr”, kan man skriva vilket tal som helst.” Indierna kallade nolltecknet f¨or “sunja”, vilket betyder “tom” (tom plats mellan siffror). I Europa o¨ versattes termen till “nullus”, vilket p˚a latin betyder “intet”. Vad betyder ordet “positionssystem” och varf¨or s¨ager man att det a¨ r “decimalt” (eller att dess bas a¨ r 10)? Vi har som bekant 10 siffror, vilket antyder att 10 spelar en speciell roll f¨or v˚art talsystem. Sambandet med 10 a¨ r dock mycket djupare – varje tal kan skrivas som en summa av potenser av 10 och varje siffra s¨ager vilken potens och hur m˚anga g˚anger ing˚ar den i talet. T ex har vi 248 = 2 · 100 + 4 · 10 + 8 dvs 248 a¨ r summan av 2 stycken 102 = 100, 4 stycken 101 = 10 och 8 stycken 100 = 1. Positionen av varje siffra s¨ager vilken potens av 10 svarar mot denna. N¨ar man g˚ar fr˚an h¨oger till v¨anster o¨ kar tiopotensen med 1 s˚a att l¨angst till h¨oger har vi enheter (100 = 1), d¨arefter tiotal (101 = 10), hundratal (102 = 100), tusental (103 = 1000) osv. Talet 2506 kan skrivas som 2506 = 2 · 103 + 5 · 102 + 0 · 101 + 6. Observera att man vanligen utel¨amnar 100 och man inte beh¨over skriva termer som svarar mot siffran 0. Det sv˚araste steget i samband med konstruktionen av v˚art talsystem var just inf¨orandet av siffran 0. De a¨ ldsta dokument som inneh˚aller taltecken a¨ r mer a¨ n 6000 a˚ r gamla. Det tog mer a¨ n 4000 a˚ r innan man kom p˚a tanken att kunna uttrycka alla tal med hj¨alp av “vanliga siffror” och det som i v˚art talsystem a¨ r siffran 0. Det finns onekligen en psykologisk sv˚arighet relaterad till acceptansen av siffran och talet 0. Vi a¨ gnar en o¨ vning nedan a˚ t den problematiken. ¶

Se t ex artikeln “Att utveckla sm˚a barns antalsuppfattning” av Elisabet Doverborg och Ingrid Pramling Samuelsson i N¨amnaren Tema “Matematik fr˚an b¨orjan”, NCM, G¨oteborg 2000.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 3

16

V˚art talsystem a¨ r ett resultat av en mycket l˚ang och invecklad historisk utveckling. L˚at oss notera att det finns kulturer som kom fram till andra talsystem med andra baser a¨ n 10. T ex har Mayaindianerna utvecklad ett system som i princip bygger p˚a bas 20. Det finns a¨ ven idag kulturer p˚a o¨ ar i n¨arheten av Nya Guinea som anv¨ander talsystem uppbyggda kring bas 5. 4000 f.Kr. hade sumererna, som bodde i i delar av dagens Irak, ett talsystem som byggde p˚a bas 10. 1500 a˚ r senare f¨orvandlades detta talsystem inom samma geografiska omr˚ade till ett system med bas 60 som a¨ r mycket b¨attre k¨ant tack vare talrika utgr¨avningar (uppdelningen av timmar i minuter och minuter i sekunder a¨ r troligen en kvarleva av detta system). Det finns mycket intressanta teorier om orsaker till denna f¨orvandling. Under historiens g˚ang fanns olika id´eer om att ers¨atta v˚art decimala system med ett system med bas 12. Bland annat var Karl den XII en varm anh¨angare av en s˚adan f¨or¨andring (ett system med bas 12 kan sp˚aras i olika sammanhang – vilka?). Vi ger exempel p˚a andra positionssystem i samband med o¨ vningen nedan.

¨ Ovning H 1. Skriv talen 23054 och 675003 som summor av tiopotenser med motsvarande siffror som koefficienter. ¨ t ex 2 en siffra, 2. Fundera o¨ ver skillnaden mellan anv¨andningen av termer “siffra” och “tal”. Ar ett tal eller b˚adadera (beroende p˚a sammanhang)? 3. Varf¨or kan talet 0 (siffran 0) skapa ett psykologiskt problem n¨ar det introduceras? Kan associationer av typen “noll a¨ r det ingenting” (citat tagen fr˚an en l¨arobok till f¨orsta klassen) bidra till detta? 4. Romerska siffror som fortfarande anv¨ands ganska ofta v¨acker associationer till en annan bas a¨ n 10. Vilken? F¨ors¨ok motivera Din bed¨omning! 5. Datorer anv¨ander s k bin¨art positionssystem. Dess bas a¨ r 2 i st¨allet f¨or 10. Detta system a¨ r speciellt l¨ampligt f¨or datorer d¨arf¨or att varje tal kan skrivas med hj¨alp av enbart tv˚a siffror – 0 och 1k . Datorer “f¨orst˚ar” inmatningen av ett s˚adant tal som en sekvens av signaler som svarar mot tv˚a olika tillst˚and (impuls och avsaknad av impuls eller en svag impuls och en stark impuls). I st¨allet f¨or potenser av 10 anv¨ands potenser av 2. T ex a¨ r i det bin¨ara systemet: 11101 = 1 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1. Vi har allts˚a 11101 = 1 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 2 + 1 = 16 + 8 + 4 + 1 = 29. Ibland skriver man (11101)2 = 29 dvs man skriver basen 2 som index. Observera att vi skriver 2 i st¨allet f¨or 21 och vi utel¨amnar 20 = 1 i notationen. Skriv talen (11011)2 och (110011)2 i tiosystemet. Vad vinner man och vad f¨orlorar man i det bin¨ara systemet i f¨orh˚allande till det decimala? 6. F¨ors¨ok skriva talen 51 och 95 i bin¨ara systemet. k Bin¨ara systemet anv¨ands ocks˚a av vissa stammar i Mikronesien. Om detta vittnar termer: 1 “ke-yap”, 2 “pullet”, 3 “ke-yap-pullet”, 4 “pullet-pullet”. Tyv¨arr kallas allt som a¨ r st¨orre a¨ n 4 “mycket”. Jfr artikeln om barnens antalsuppfattning som citeras i b¨orjan av denna o¨ vning.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(3.19)

17

7. Talens namn i olika spr˚ak tyder p˚a att f¨or l¨ange sedan anv¨ande man andra positionssystem. Ta reda p˚a t ex r¨akneord f¨or 80 i danskan (och eventuellt franskan). Vilket positionssystem kunde p˚averka dagens termer? Divisionsalgoritmen f¨or heltal kan ocks˚a anv¨andas f¨or att uttrycka tal i olika positionssystem. Som bekant anv¨ander vi bas 10 f¨or att skriva tal. Detta inneb¨ar att t ex 128 = 1 · 102 + 2 · 10 + 8, 6405 = 6 · 103 + 4 · 102 + 0 · 10 + 5 osv. V˚ara erfarenheter av decimalsystemet s¨ager att varje naturligt tal N kan skrivas entydigt p˚a formen:

(∗)

N = ak 10k + ak−1 10k−1 + · · · + a1 10 + a0 ,

d¨ar a0 , a1 , . . . , ak a¨ r talets N siffror dvs 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. V˚art positionssystem a¨ r l˚angt ifr˚an unikt. Man vet t ex att i Babylonien f¨or flera tusen a˚ r sedan anv¨ande man ett positionssystem med bas 60 (uppdelningen av timmar i 60 minuter och minuter i 60 sekunder a¨ r ett arv fr˚an den tiden). Inkaindianerna anv¨ande b˚ade bas 5 och 10, mayaindianerna d¨aremot anv¨ande “vigesimalsystemet” dvs bas 20. De franska r¨akneorden f¨or ocks˚a tanken till bas 20. Moderna datorer anv¨ander oftast baser 2, 8 och 16. Vad betyder dessa p˚ast˚aenden? De s¨ager att i st¨allet f¨or 10 i likheten (∗) ovan kan man anv¨anda ett helt godtyckligt naturligt tal b > 1. Det enda som f¨or¨andras a¨ r att siffrorna ai a¨ r d˚a 0, 1, . . . , b − 1. F¨orst visar vi ett exempel som illustrerar hur man kan skriva om ett heltal fr˚an bas 10 till en annan bas. D¨arefter visar vi den allm¨anna satsen om representationer i godtyckliga baser. (3.19) Exempel. (a) Vi skall skriva talet 97 i bas 5. Man dividerar 97 med 5 och d¨arefter upprepar samma procedur med kvoten osv: 97 = 5 · 19 + 2,

19 = 5 · 3 + 4,

3 = 5 · 0 + 3. Resterna nerifr˚an upp˚at ger siffrorna i bas 5 dvs 97 = 3 · 52 + 4 · 5 + 2. Allts˚a a¨ r 97 i bas 5 lika med 342. Man brukar skriva: 97 = (342)5 . Hur kan man motivera denna procedur? Det r¨acker att g¨ora ins¨attningar (vi skriver den understrukna faktorn f¨orst): 97 = 19 · 5 + 2 = (3 · 5 + 4) · 5 + 2 = 3 · 52 + 4 · 5 + 2 = 3 · 52 + 4 · 5 + 2.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 3

18

(b) Vi skall skriva talet N = 29 i bas 2. Siffrorna i bas 2 a¨ r endast tv˚a: 0 och 1 (datorer bygger p˚a den enkla formen!). Vi anv¨ander divisionsalgoritmen flera g˚anger: 29 = 2 · 14 + 1,

14 = 2 · 7 + 0,

7 = 2 · 3 + 1,

3 = 2 · 1 + 1,

1 = 2 · 0 + 1. Tittar vi p˚a resterna nerifr˚an upp˚at f˚ar vi siffrorna i bas 2 dvs 29 = (11101)2 dvs 29 = 1 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 2 + 1. Precis som i f¨orsta fallet g¨or vi ins¨attningar: 29 = 14 · 2 + 1 = (7 · 2) · 2 + 1 = 7 · 22 + 1 =

(3 · 2 + 1) · 22 + 1 = 3 · 23 + 1 · 22 + 1 = (1 · 2 + 1) · 23 + 1 · 22 + 1 =

1 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 2 + 1. ¤ Nu visar vi v˚ar allm¨anna sats: (3.20) Sats. L˚at b > 1 vara ett naturligt tal. D˚a kan varje naturligt tal N skrivas entydigt p˚a formen N = ak bk + ak−1 bk−1 + · · · + a1 b + a0 , d¨ar “siffrorna” a0 , a1 , a2 , . . . , ak a¨ r naturliga tal och 0 ≤ ai < b.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(3.20)

19

Bevis. Vi visar satsen med matematisk induktion med avseende p˚a N . Om N < b s˚a a¨ r p˚ast˚aendet klart – vi har N = a0 . L˚at oss anta att satsen a¨ r bevisad f¨or alla naturliga tal mindre a¨ n N ≥ b. Vi visar satsen f¨or talet N . L˚at bk vara den st¨orsta potensen av b som inte a¨ r st¨orre a¨ n N dvs bk ≤ N och N/bk < b. Enligt divisionsalgoritmen a¨ r N = bk q + r, d¨ar 0 ≤ r < bk och 0 < q < b. Kvoten q och resten r definieras entydigt av N . Nu betecknar vi q med ak . Men r < bk ≤ N s˚a att enligt induktionsantagandet kan vi skriva r = ak−1 bk−1 + · · · + a1 b + a0 , d¨ar 0 ≤ ai < b, vilket bevisar satsen.

¤

¨ Ovning I Att gissa ett tal. F¨ors¨ok f¨orklara hur man gissar de tre talen x, y och z i f¨oljande sifferlek: • T¨ank p˚a ett tal mellan 0 och 9 (s¨ag, x); • Multiplicera talet med 2; • Addera 1; • Multiplicera med 5; • Addera ett annat tal mellan 0 och 9 (s¨ag, y); • Multiplicera med 10; • Addera ett annat heltal mellan 0 och 9 (s¨ag, z); • Vilket tal har du f˚att? L˚at oss anta att talet som man har f˚att a¨ r N . R¨akna ut N − 50. Siffrorna i detta tal a¨ r just x, y och z (i denna ordning). Testa med Dina gruppkamrater!

¨ Ovning J 1. Skriv talen 555 i det bin¨ara systemet (dvs i bas 2) och i det hexadecimala systemet (dvs i bas 16). Kan Du f¨orklara f¨ordelar och nackdelar i samband med anv¨andningen av olika baser? Anm¨arkning. I det hexadecimala systemet anv¨ands oftast A, B, C, D, E och F f¨or att beteckna siffrorna 10, 11, 12, 13, 14 och 15. 2. Skriv i v˚art vanliga decimala system talen (1234)5 och (1234)6 .

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 3

20

¨ Ovning K Diofantiska∗∗ ekvationer. Termen “Diofantisk ekvation” g¨aller ekvationer vars heltaliga eller rationella l¨osningar man vill best¨amma. T ex att best¨amma alla heltaliga l¨osningar (x, y, z) till ekvationen x2 + y 2 = z 2 eller alla heltalspar (x, y) som l¨oser ekvationen 3x − 2y = 1. Den f¨orsta ekvationen ovan kallas Pythagoras ekvation och har o¨andligt m˚anga l¨osningar (t ex alla (n2 − 1, 2n, n2 + 1), d¨ar n a¨ r ett heltal – n = 2 ger (3, 4, 5)). Den andra ekvationen (ett specialfall av Catalans†† ekvation) har en l¨osning (2, 3). Den mest ber¨omda av alla Diofantiska ekvationer a¨ r Fermats ekvation: xn + y n = z n , d¨ar n > 2. Det tog mer a¨ n 350 a˚ r att l¨osa den ekvationen. I september 1994 visade den engelske matematikern Andrew Wiles att ekvationen saknar heltaliga l¨osningar (x, y, z) med xyz 6= 0‡‡ . I talteorin finns m˚anga n¨arbesl¨aktade problem som fortfarande v¨antar p˚a sin l¨osning. Vi skall i denna o¨ vning syssla med mycket enkla Diofantiska ekvationer av typen ax + by = N . 1. Best¨am ett heltalspar (x0 , y0 ) s˚adant att 2x+5y = 1 (Du kan f¨ors¨oka gissa en l¨osning!). Best¨am d¨arefter alla heltalspar (x, y) s˚adana att 2x + 5y = 1. Ledning. Observera att om 2x + 5y = 2x0 + 5y0 s˚a a¨ r 2(x − x0 ) = 5(y − y0 ). Detta ger att y − y0 = 2k f¨or ett heltal k. Uttryck y med hj¨alp av y0 och d¨arefter x med hj¨alp av x0 . 2. L˚at (x0 , y0 ) vara en l¨osning till ekvationen ax+by = N , d¨ar a och b saknar gemensamma delare (dvs a och b a¨ r relativt prima). Best¨am alla l¨osningar till denna ekvation dvs alla heltalspar (x, y) s˚adana att ax + by = N . Ledning. G¨or som ovan. ¨ Exempel till Ovning K: Linj¨ara Diofantiska ekvationer. Vi skall best¨amma alla heltaliga l¨osningar (x, y) till ekvationen 12x + 28y = 20. F¨orst dividerar vi alla koefficienter med 4 och f˚ar den ekvivalenta ekvationen 3x + 7y = 5. Nu beh¨over vi en partikul¨ar l¨osning till denna ekvation. En s˚adan l¨osning kan vi rent allm¨ant ber¨akna med Euklides algoritm i ∗∗

Diofantos (eller Diophantus) var en grekisk matematiker som levde i Alexandria omkring 250 e.Kr.. Troligen skrev han 13 volymer av ett verk under namnet “Arithmetica”. 6 av dessa volymer finns bevarade. †† Catalans ekvation a¨ r xy − z t = 1. Det a¨ r inte k¨ant om denna ekvation har en l¨osning i naturliga tal skild fr˚an x = 3, y = 2, z = 2, t = 3. ‡‡ Det finns en mycket intressant bok av Simon Singh “Fermats g˚ata” som ber¨attar om olika turer kring Fermats problem och dess l¨osning.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(3.20)

21

enlighet med (3.11), men vi kan ocks˚a gissa en l¨osning utan st¨orre problem. F¨orst tar vi ekvationen 3x+7y = 1 och ser direkt att x = −2, y = 1 a¨ r en l¨osning. F¨or att f˚a en l¨osning till v˚ar ekvation m˚aste vi multiplicera denna med 5 dvs x0 = −10, y0 = 5 a¨ r en partikul¨ar l¨osning till ekvationen 3x+7y = 5 (kontrollera!). L˚at (x, y) beteckna en godtycklig heltalig l¨osning. D˚a a¨ r 3x + 7y = 3x0 + 7y0 . Allts˚a a¨ r 3(x − x0 ) = 7(y0 − y). Likheten visar att 3 dividerar h¨ogerled och eftersom 3 saknar gemensamma delare med 7 m˚aste 3 | y0 − y dvs y0 − y = 3k, d¨ar k a¨ r ett heltal. Vi f˚ar y = y0 − 3k och ins¨attning ger 3(x − x0 ) = 7 · 3k dvs x − x0 = 7k. Allts˚a a¨ r x = x0 + 7k = −10 + 7k, y = y0 − 3k = 5 − 3k med ett godtyckligt heltal k den allm¨anna l¨osningen till den givna ekvationen. ¤

¨ Ovning L Primtalstvillingar. Man s¨ager att tv˚a primtal p och q a¨ r tvillingar om q − p = 2. 1. Skriv ut alla primtalstvillingar < 100. 2. 3, 5 och 7 a¨ r “primtalstrillingar”. Motivera att det inte finns n˚agra andra primtal p, q, r s˚adana att r − q = q − p = 2. Anm¨arkning. Primtalstvillingar intresserade m¨anniskor redan under antiken. De n¨amns i Euklides b¨ocker. Man vet inte om det finns o¨andligt m˚anga s˚adana primtalspar.

¨ Ovning M Aritmetiska f¨oljder av primtal. Vi repeterar att en aritmetisk f¨oljd med differansen d a¨ r en f¨oljd av talen a, a + d, a + 2d, . . ., a + nd, . . .. (detta betyder att om ai = a + id och ai+1 = a + (i + 1)d, s˚a a¨ r ai+1 − ai = d dvs differensen av tv˚a efterf¨oljande tal i f¨oljden a¨ r lika med d). T ex a¨ r 11, 17, 23 en aritmetisk f¨oljd med differansen 6. 1. Skriv ut alla aritmetiska f¨oljder av primtal som a¨ r < 50 och som best˚ar av minst tre stycken primtal. 2. F¨ors¨ok skriva ut en aritmetisk f¨oljd best˚aende av 4 primtal. Anm¨arkning. Man vet att det finns godtyckligt l˚anga aritmetiska f¨oljder av primtal. Men det finns godtyckligt l˚anga avsnitt av de naturliga talen som saknar primtal t ex a¨ r 11! + 2, 11! + 3, . . . , 11! + 11 tio efterf¨oljande sammansatta tal (varf¨or?). Vi har 11! = 1 · 2 · · · 11 och rent allm¨ant n! = 1 · 2 · · · n dvs n! a¨ r produkten av alla naturliga tal fr˚an 1 till n. 3. Skriv ut en f¨oljd av 100 efterf¨oljande sammansatta tal och generalisera Din konstruktion till en f¨oljd av n efterf¨oljande sammansatta tal. Anm¨arkning. Dirichlet∗ visade 1828 att varje aritmetisk f¨oljd a + nd, d¨ar a och d a¨ r relativt prima (dvs SGD(a, d) = 1) och n = 1, 2, 3, . . . inneh˚aller o¨andligt m˚anga primtal. T ex finns det enligt Dirichlets sats o¨andligt m˚anga primtal p˚a formen 1 + 4n och o¨andligt m˚anga p˚a formen 3 + 4n. ∗

Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13/2 1805 – 5/5 1859) var en mycket framst˚aende tysk matematiker som bidrog med resultat till flera matematikgrenar.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 3

22

¨ Ovning N ˚ 1742 formulerade Goldbach p˚ast˚aendet att varje j¨amnt heltal st¨orre Goldbachs† f¨ormodan. Ar ¨ a¨ n 2 a¨ r en summa av tv˚a primtal. T ex 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7 osv. Annu har man inte lyckats bevisa detta p˚ast˚aende. 1. Kontrollera Goldbachs f¨ormodan f¨or alla j¨amna heltal < 50. 2. Visa att Goldbachs f¨ormodan implicerar att varje udda heltal st¨orre a¨ n 5 a¨ r en summa av tre primtal. Anm¨arkning. En rysk matematiker I.M. Vinogradov visade 1937 att varje udda heltal som a¨ r 15 st¨orre a¨ n 33 verkligen a¨ r en summa av tre primtal. Vingradovs konstant a¨ r s˚a stor (mer a¨ n 7 15 miljoner siffror!) att det inte finns en chans att kontrollera hans sats f¨or heltal mindre a¨ n 33 med hj¨alp av datorer. Nyligen reducerades storleken av den konstanten betydligt, men gr¨ansen a¨ r fortfarande utom r¨ackh˚all f¨or datorber¨akningar. Det finns en Internet–sida d¨ar man kan skriva in ett godtyckligt j¨amnt heltal som d¨arefter testas och presenteras som summa av tv˚a primtal – om detta a¨ r m¨ojligt (talet kan inte vara f¨or stort).

¨ Ovning O Mersenne–primtal. De st¨orsta k¨anda primtalen hittar man bland s˚a kallade Mersenne–tal Mn = 2n − 1. Marin Mersenne b¨orjade studera dessa tal a˚ r 1644. Talen Mn d˚a n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19 a¨ r primtal. T ex a¨ r M19 = 219 − 1 = 524287 ett primtal. Man k¨anner 35 Mersenne–primtal – det sista 21398269 − 1 uppt¨acktes i november 1996. Senaste nytt om Mersenne–talen kan f˚as p˚a Internet (s¨ok “Mersenne Prime”). 1. Visa att talet M23 inte a¨ r ett primtal – kontrollera att 47|223 − 1. 2. Motivera att Mersenne–talen Mn inte a¨ r primtal d˚a n a¨ r sammansatt. Ledning. B¨orja med j¨amna n.

¨ Ovning P Formler f¨or primtal. Man har studerat olika “formler” f (n) som f¨or varje n ger ett primtal (och helst alla). 1. L. Euler‡ fann att f (n) = n2 + n + 41 ger primtal d˚a n = 0, 1, 2, . . . , 40 (Du kan kontrollera detta fast det a¨ r lite jobbigt). Visa att det finns o¨andligt m˚anga n s˚adana att f (n) a¨ r sammansatt. † Christian Goldbach (18/3 1690 – 20/11 1764) var en tysk matematiker. L¨as om Goldbachs f¨ormodan i “Matte med mening” p˚a sid. 36. ‡ Leonhard Euler (15/4 1707 – 18/9 1783) var en schweizisk matematiker. Men han var verksam under m˚anga a˚ r i St Petersburg och Berlin. Eulers sysslade mest med matematik, men han gjorde ocks˚a viktiga insatser i andra vetenskaper. Han var en av de mest produktiva vetenskapsm¨anen i historien och skrev hundratals artiklar och b¨ocker. Under de sista a˚ ren av sitt liv var han blind, men han publicerade lika mycket som tidigare – han dikterade sina artiklar och bo¨ cker som skrevs av en betj¨ant. Euler hade 13 barn. L¨as om Euler i “Matte med mening”.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(3.20)

23 Anm¨arkning. B˚ade C. Goldbach och L. Euler visade att varje polynom f (n) med heltaliga koefficienter ger ett sammansatt tal f¨or n˚agot n. Vi visar den satsen som en enkel o¨ vning i avsnittet om polynom. n

2. Fermat trodde att hans tal Fn = 22 + 1 a¨ r primtal f¨or varje n = 0, 1, 2, 3, . . .. Vi vet redan (se stencilen “Induktion och deduktion”) att hans f¨ormodan var falsk. Kontrollera med minir¨aknare att 641|F5 . Anm¨arkning. Man har studerat andra “formler” f¨or primtal. T ex vet man att det finns ett n positivt reellt tal a s˚adant att heltalsdelen av talet a3 (dvs det st¨orsta heltalet mindre a¨ n detta tal) a¨ r ett primtal f¨or varje n. Men man k¨anner tyv¨arr inte talet a. Det finns ett polynom i 26 variabler (av grad 25) som alltid ger primtal d˚a variablerna antar icke–negativa heltaliga v¨arden och polynomets v¨arde a¨ r st¨orre a¨ n 0. Man f˚ar alla primtal, men de kommer inte i n˚agon naturlig ordning. Man lyckades minska antalet variabler i liknande polynom, men man var tvungen att o¨ ka dess grad (se en mycket intressant bok av Paulo Ribenboim, “The Little Book of Big Primes”, Springer–Verlag, 1991.

¨ Ovning Q Primtal i intressanta former. 1. Man visar att det finns o¨andligt m˚anga primtal p som a¨ r summor av tv˚a heltaliga kvadrater dvs p = a2 + b2 , f¨or tv˚a heltal a och b. Varje primtal p som l¨amnar resten 1 vid division med 4 kan skrivas p˚a detta s¨att (se vidare avsnittet om restaritmetiker). Visa att varje primtal som l¨amnar resten 3 vid division med 4 inte a¨ r en summa av tv˚a heltaliga kvadrater. Ledning. B˚ade a och b i p = a2 + b2 m˚aste vara udda. Anm¨arkning. Ganska nyligen visade tv˚a matematiker – J. Friedlander (University of Toronto) och H. Iwaniec (Rutgers University) – att det finns o¨andligt m˚anga primtal p som kan skrivas p˚a formen p = a2 + b4 med heltal a och b. Detta resultat betraktas som en stor matematisk sensation. 2. F¨ors¨ok hitta 5 primtal p som kan skrivas p˚a formen p = a2 + b4 , d¨ar a och b a¨ r heltal. 3. Det a¨ r inte k¨ant om n2 + 1 a¨ r ett primtal f¨or o¨andligt m˚anga n (men man tror att det a¨ r s˚a). Visa att n2 + 1 a¨ r sammansatt f¨or o¨andligt m˚anga n. ¨ t ex n2 + 2 ett Anm¨arkning. Det finns m˚anga obesvarade fr˚agor av liknande karakt¨ar. Ar primtal f¨or o¨andligt m˚anga n? Man vet inte om talet n! + 1 a¨ r ett primtal f¨or o¨andligt m˚anga n n. Vi n¨amnde Fermat–talen Fn = 22 + 1 – man vet inte heller om det finns o¨andligt m˚anga primtal bland dessa. F¨oljande o¨ vningar i Vretblads bok rekommenderas: Vretblad: 2.42 a) (227 a)), 2.43 (228), 2.47 (230), 2.48 (231), 2.49 (232), 2.50 (233), 2.55 (235).

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 3

24

˚ APPENDIX: NAGRA BEVIS (3.21) Divisionsalgoritmen. Om a och b a¨ r heltal och b 6= 0 s˚a a¨ r a = bq + r, d¨ar 0 ≤ r < |b|. B˚ade q (kallad kvoten) och r (kallad resten) a¨ r entydigt definierade av a och b. Bevis. F¨orst noterar vi att det r¨acker om vi bevisar satsen d˚a b > 0 eftersom b < 0 inneb¨ar att |b| = −b > 0. Om satsen g¨aller d˚a delaren a¨ r positiv, s˚a a¨ r a = (−b)q + r, med 0 ≤ r < |b|. Denna likhet kan skrivas om till a = b(−q) + r. Allts˚a f¨oruts¨atter vi vidare att b > 0. L˚at oss nu v¨alja det st¨orsta m¨ojliga heltalet k s˚adant att q ≤ ab . Allts˚a a¨ r q + 1 > ab . Dessa olikheter s¨ager att a − bq ≥ 0 och a − bq < b. Om vi betecknar a − bq med r s˚a f˚ar vi a = bq + r och 0 ≤ r < b. Slutligen visar vi att kvoten q och resten r definieras entydigt av a och b. Antag att: a = bq + r = bq 0 + r,0 d¨ar 0 ≤ r < |b| och 0 ≤ r0 < |b| dvs b˚ade q och q 0 a¨ r kvoter samt r och r0 a¨ r rester. D˚a a¨ r b(q − q 0 ) = r0 − r, s˚a att b delar r0 − r. Men b˚ade r och r0 a¨ r mindre a¨ n |b|, vilket inneb¨ar att deras skillnad a¨ r delbar med b endast om de a¨ r lika dvs r = r0 . Allts˚a a¨ r bq = bq 0 , s˚a att q = q 0 eftersom b 6= 0. ¤ (3.22) Sats. Om a och b a¨ r heltal och d = SGD(a, b) s˚a existerar tv˚a heltal x0 och y0 s˚adana att d = ax0 + by0 . Bevis. Om a = b = 0 s˚a a¨ r p˚ast˚aendet klart (som x och y kan man v¨alja helt godtyckliga heltal). Anta att a eller b inte a¨ r 0. Det a¨ r klart att det finns positiva heltal som kan skrivas p˚a formen ax + by t ex ¨ om a 6= 0 s˚a a¨ r ±a = a · (±1) + b · 0 och antingen a eller −a a¨ r ett positivt heltal. Aven b = a·0+b·1 kan skrivas p˚a formen ax + by. L˚at d0 vara det minsta positiva heltal som kan skrivas p˚a den o¨ nskade formen dvs

(∗)

d0 = ax0 + by0 .

Vi p˚ast˚ar att d0 = d. F¨orst observerar vi att varje heltal ax + by a¨ r delbart med d0 . F¨or att bevisa detta delar vi ax + by med d0 . D˚a a¨ r ax + by = qd0 + r,

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

APPENDIX A

25

d¨ar resten r a¨ r mindre a¨ n delaren d0 . Men r = ax + by − qd0 = ax + by − q(ax0 + by0 ) = a(x − qx0 ) + b(y − qy0 ) s˚a att r m˚aste vara 0 ty annars f˚ar man ett tal som a¨ r mindre a¨ n d0 och som kan skrivas p˚a den o¨ nskade formen. Allts˚a dividerar d0 b˚ade a och b ty b¨agge kan skrivas p˚a formen ax + by. Ekvationen (∗) visar att om d0 a¨ r en delare till a och b, s˚a a¨ r d0 en delare till d0 . Allts˚a a¨ r d0 den st¨orsta gemensamma delaren till a och b. ¤

˚ NAGRA METODISKA SYNPUNKTER Vikten av talteorin i skolan. Talteorin som motivationsk¨alla. Delbarhet med 0. Aritmetikens fundamentalsats – sammansatta tal och primtal. Datorer i matematikundervisningen (talteorins l¨amplighet). 1 ej primtal. SGD och MGM – st¨orsta och minsta (i vilken mening).

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Avsnitt 4

RESTARITMETIKER N¨ar man adderar eller multiplicerar tv˚a tal som t ex 128 39 . .7

+

×

128 43 . .4

s˚a best¨ammer man f¨orst den sista siffran. De operationer som leder till resultatet kallas addition och multiplikation modulo 10. Man adderar 8 + 9 p˚a vanligt s¨att, men sista siffran a¨ r resten av 8 + 9 vid division med 10. P˚a liknande s¨att har vi 3 · 8 = 24, men som sista siffran f˚ar vi 4 dvs resten av 24 vid division med 10. Om talen a¨ r givna i bin¨ara systemet (bas 2) som t ex

+

1011 101 . . .0

×

1011 111 . . .1

s˚a r¨aknar man modulo 2 dvs f¨orst som vanligt, men d¨arefter tar man resten vid division med 2. Operationerna modulo 10 eller 2 eller modulo ett godtyckligt annat naturligt tal har stor betydelse inom talteorin och dess till¨ampningar i datalogi och datateknik. I restaritmetiker arbetar man med rester av heltal vid division med ett fixerat naturligt tal n. Vi skall f¨oruts¨atta att n > 1, ty annars har vi bara resten 0. Om a a¨ r ett heltal s˚a a¨ r

a = nq + r, d¨ar q a¨ r kvoten och r a¨ r resten. Resten r kan alltid v¨aljas s˚a att 0 ≤ r < n dvs det finns n stycken rester : 0, 1, ..., n − 1. M¨angden av dessa betecknas ofta med Zn (eller Z/(n)). Allts˚a a¨ r Zn = {0, 1, 2, . . . , n − 1}. T ex Z2 = {0, 1}, Z3 = {0, 1, 2}, Z4 = {0, 1, 2, 3} osv. 1

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

2

Avsnitt 4

Vi skall skriva r = [a]n f¨or att uttrycka det faktum att r a¨ r resten vid division av a med n. T ex a¨ r 3 = [8]5 (dvs resten av 8 vid division med 5 a¨ r lika med 3), 5 = [38]11 (ty 38 = 11 · 3 + 5), 4 = [−11]5 (ty −11 = 5(−3) + 4). F¨oljande viktiga egenskap hos rester kommer att utnyttjas m˚anga g˚anger: (4.1) Lemma. [a]n = [b]n d˚a och endast d˚a n|a − b ∗ . Med andra ord ger a och b samma rest vid division med n d˚a och endast d˚a n a¨ r en delare till deras skillnad a − b. Bevis. Om [a]n = [b]n s˚a a¨ r a = nq1 + r och b = nq2 + r, vilket ger a − b = n(q1 − q2 ) dvs n|a − b. Omv¨ant, l˚at n|a − b dvs a − b = nq. Om a = nq1 + r1 och b = nq2 + r2 s˚a a¨ r a − b = n(q1 − q2 ) + r1 − r2 dvs r1 − r2 = (a − b) − n(q1 − q2 ) = n[q − (q1 − q2 )]. Detta betyder att n|r1 − r2 . Men 0 ≤ r1 , r2 < n s˚a att r1 − r2 a¨ r delbart med n endast om r1 − r2 = 0 dvs [a]n = [b]n . ¤ (4.2) Exempel. (a) [3]5 = [−2]5 ty 5|3 − (−2) = 5. (b) [n − 1]n = [−1]n ty n|(n − 1) − (−1) = n.

¤

(4.3) Anm¨arkning. C.F. Gauss introducerade en mycket viktig beteckning f¨or att uttrycka likheten [a]n = [b]n (dvs n|a − b). Han skrev: a ≡ b (mod n) vilket utl¨ases “a a¨ r kongruent med b modulo n”. Relationen “ ≡ ” kallas kongruens (h¨ar modulo n). Vi kommer att anv¨anda den beteckningen ganska ofta. ¤

Kan man helt allm¨ant addera och multiplicera rester (precis som de sista siffrorna vid addition och multiplikation av heltal)? Det a¨ r helt klart att det g˚ar men en formell definition a¨ r n¨odv¨andig. Vi skall skriva ⊕ och ¯ f¨or att ha en distinktion mellan addition av vanliga heltal och rester. Men den distinktionen a¨ r inte n¨odv¨andig (man kan skriva “ + ” och “ · ” om man s˚a vill). (4.4) Definition. [a]n ⊕ [b]n = [a + b]n och [a]n ¯ [b]n = [ab]n .

¤

Definitionen s¨ager att summan av resterna [a]n och [b]n f˚ar man genom att addera talen a och b p˚a vanligt s¨att och d¨arefter ta resten vid division av a + b med n. Samma sak g¨aller f¨or produkten. H¨ar finns det dock en liten detalj som kr¨aver en stunds eftertanke. Om man har tv˚a helt godtyckliga heltal ∗

Man skriver d|a och s¨ager att “d a¨ r en delare till a om a = dq f¨or n˚agot heltal q. Man s¨ager ocks˚a att a a¨ r en multipel av d. Om d inte a¨ r en delare till a skriver man d - b.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(4.4)

3

a och b som slutar, l˚at oss s¨aga, p˚a 3 och 8 dvs [a]10 = 3 och [b]10 = 8 s˚a f˚ar man alltid samma slutsiffra f¨or a + b och ab dvs [a + b]10 = 1 och [ab]10 = 4. G¨aller samma sak helt allm¨ant d˚a man ers¨atter 10 med n˚agon annan modul t ex 3 eller 4? Med andra ord a¨ r h¨oger led i definitionen (4.4) alltid samma oberoende av a och b till v¨anster? Fr˚agan kan ocks˚a formuleras s˚a h¨ar: a¨ r definitionen (4.4) korrekt? L˚at oss kontrollera att den a¨ r helt korrekt! L˚at:

[a]n = [a0 ]n och [b]n = [b0 ]n .

(4.5)

[a + b]n = [a0 + b0 ]n och [ab]n = [a0 b0 ]n .

(4.6)

Vi vill visa att

Med beteckningen “ ≡ ” betyder det att

a ≡ a0

(mod n) och b ≡ b0

(mod n)

ger

a + b ≡ a0 + b0

(mod n) och ab ≡ a0 b0

(mod n)

dvs kongruenser, precis som likheter, kan adderas och multipliceras ledvis. I synnerhet g¨aller att om a ≡ b (mod n) s˚a a¨ r a2 ≡ b2 (mod n), och mera allm¨ant, ak ≡ bk (mod n) f¨or varje naturlig exponent k dvs kongruenser kan exponentieras ledvis. Bevis. [a]n = [a0 ]n och [b]n = [b0 ]n betyder att a − a0 = nq1 och b − b0 = nq2 . Allts˚a a¨ r (a + b) − (a0 + b0 ) = n(q1 + q2 ) , dvs

[a + b]n = [a0 + b0 ]n . Vidare a¨ r

ab − a0 b0 = (a − a0 )b + a0 (b − b0 ) = n(q1 b + q2 a0 ) dvs

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

4

Avsnitt 4

[ab]n = [a0 b0 ]n . ¤ Nu kan vi konstatera f¨oljande:

(4.7) Sats. Alla rester vid division med n kan adderas och multipliceras i enlighet med f¨oljande formler:

[a]n ⊕ [b]n = [a + b]n och [a]n ¯ [b]n = [ab]n . B˚ade addition och multiplikation a¨ r associativa och kommutativa. Dessutom a¨ r multiplikation distributiv med avseende p˚a addition.

Bevis. Vi vet redan att summan och produkten av rester a¨ r rester. Associativiteten f¨or addition:

([a]n ⊕ [b]n ) ⊕ [c]n = [a]n ⊕ ([b]n ⊕ [c]n ) f˚ar vi enkelt ty

V L = ([a]n ⊕ [b]n ) ⊕ [c]n = [a + b]n ⊕ [c]n = [(a + b) + c]n , och

HL = [a]n ⊕ ([b]n ⊕ [c]n ) = [a]n ⊕ [b + c]n = [a + (b + c)]n , s˚a att V L = HL. Lika enkelt a¨ r det med kommutativiteten av addition:

[a]n ⊕ [b]n = [a + b]n = [b + a]n = [b]n ⊕ [a]n . P˚a liknande s¨att kontrollerar vi att multiplikation av rester a¨ r b˚ade associativ och kommutativ (man ers¨atter bara ⊕ med ¯ ovan). Den distributiva lagen

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(4.7)

5

[a]n ¯ ([b]n ⊕ [c]n ) = [a]n ¯ [b]n ⊕ [a]n ¯ [c]n f˚ar vi utan sv˚arigheter:

V L = [a]n ¯ ([b]n ⊕ [c]n ) = [a]n ¯ [b + c]n = [ab + ac]n och

HL = [a]n ¯ [b]n ⊕ [a]n ¯ [c]n = [ab]n ⊕ [ac]n = [ab + ac]n dvs V L = HL

¤

Zn = {0, 1, 2, . . . , n − 1} med addition och multiplikation av rester kallas ofta f¨or restaritmetiken modulo n eller restringen modulo n. L˚at oss som exempel skriva ut additions och multiplikationstabellerna f¨or restringen Z3 :

⊕ [0]3 [1]3 [2]3

[0]3 [0]3 [1]3 [2]3

[1]3 [1]3 [2]3 [0]3

[2]3 [2]3 [0]3 [1]3

[0]3 [0]3 [0]3 [0]3

¯ [0]3 [1]3 [2]3

[1]3 [0]3 [1]3 [2]3

[2]3 [0]3 [2]3 [1]3

Ofta kommer vi att utel¨amna [ ]n n¨ar det a¨ r klart vilka rester vi menar. T ex a¨ r tabellerna f¨or restringen Z4 f¨oljande:

⊕ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

¯ 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

I praktiska till¨ampningar (utanf¨or matematiken) a¨ r Z2 en av de viktigaste ringarna: Den har f¨oljande r¨aknelagar:

⊕ 0 1

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

0 0 1

1 1 0

¯ 0 1

0 0 0

1 0 1

6

Avsnitt 4

En viktig fr˚aga a¨ r n¨ar det intr¨affar att en rest i Zn har invers. Detta betyder att f¨or en rest r ∈ Zn finns det en rest s ∈ Zn s˚a att r ¯ s = 1. Resten s betecknas ofta som r−1 . L˚at oss betrakta n˚agra exempel. I Z5 har vi 1 ¯ 1 = 1, 2 ¯ 3 = 1 och 4 ¯ 4 = 1 s˚a att 1,2,3 och 4 har invers (1 och 4 a¨ r sina egna inverser, medan 2 och 3 a¨ r varandras inverser). I Z3 har vi 1 ¯ 1 = 1 och 2 ¯ 2 = 1 s˚a att b˚ade 1 och 2 har invers. I Z4 har b˚ade 1 och 3 invers ty 1 ¯ 1 = 1 och 3 ¯ 3 = 1. Resten 2 i Z4 saknar invers d¨arf¨or att om 2 ¯ s = 1 s˚a kan vi multiplicera b¨agge leden med 2 och vi f˚ar 2 ¯ 2 ¯ s = 2 dvs 0 = 2 (vi har 4 = 0 i Z4 ). Man s¨ager att Zn a¨ r en kropp om varje nollskild rest r ∈ Zn har en invers r−1 . Som vi har sett a¨ r Z3 och Z5 kroppar, medan Z4 a¨ r inte en kropp. Vad a¨ r det som g¨or att Zn a¨ r en kropp? Svaret a¨ r ganska o¨ verraskande: Zn a¨ r en kropp d˚a och endast d˚a n a¨ r ett primtal. Vi skall bevisa det om en stund. L˚at oss betrakta n˚agra ytterligare exempel. I Z7 har alla rester 6= 0 inverser ty 7 a¨ r ett primtal och s˚aledes a¨ r Z7 en kropp: 1 ¯ 1 = 1, 2 ¯ 4 = 1, 3 ¯ 5 = 1, 6 ¯ 6 = 1. Det a¨ r ocks˚a s˚a i den enklaste kroppen: Z2 = {0, 1} – resten 1 a¨ r sj¨alvklart sin egen invers. Nu a¨ r det ocks˚a klart varf¨or Z4 inte a¨ r en kropp (2 saknar invers) – 4 a¨ r inte ett primtal. Kropparna Zp f¨or olika primtal p har m˚anga viktiga till¨ampningar b˚ade i talteori och i olika praktiska sammanhang i samband med kodning och kryptering. Vi skall bevisa en mera allm¨an sats om inverser som g¨aller i alla restringar Zn :

(4.8) Sats. r ∈ Zn har invers d˚a och endast d˚a r och n a¨ r relativt prima dvs SGD(r, n) = 1.

V˚art bevis av satsen utnyttjar en mycket viktig egenskap som Du kommer att m¨ota m˚anga g˚anger: L˚at a, b vara tv˚a heltal. D˚a finns det heltal x, y s˚adana att

ax + by = SGD(a, b)† .

(4.9)

Bevis. Om SGD(r, n) = 1 s˚a finns det tv˚a heltal x, y s˚adana att rx + ny = 1 Allts˚a a¨ r [rx + ny]n = [1]n . Men [ny]n = [0]n s˚a att [rx]n = [r]n ¯ [x]n = [1]n dvs s = [x]n a¨ r inversen till [r]n = r. Omv¨ant. L˚at [r]n ¯ [s]n = [1]n dvs [rs]n = [1]n . Enligt (4.1) f˚ar vi n|rs − 1 dvs rs − 1 = nq s˚a att rs − nq = 1. Den likheten s¨ager att SGD(r, n) = 1 ty en gemensam delare d > 0 till r och n a¨ r en delare till 1 dvs d = 1. ¤ Nu f˚ar vi omedelbart:

(4.10) F¨oljdsats. Zn a¨ r en kropp d˚a och endast d˚a n a¨ r ett primtal. †

Denna likhet a¨ r en mycket enkel konsekvens av Euklides algoritm. Se avsnittet om “Delbarhet och primtal”.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(4.11)

7

Bevis. Om n = p a¨ r ett primtal s˚a har varje rest r 6= 0 invers d¨arf¨or att resterna 1, 2, ..., p − 1 i Zp saknar gemensamma delare med p dvs SGD(r, p) = 1 d˚a r = 1, 2, ..., p − 1. Om d¨aremot n a¨ r sammansatt dvs n = kl, d¨ar 1 < k < n och 1 < l < n s˚a a¨ r SGD(k, n) = k > 1, vilket inneb¨ar att resten k saknar invers enligt (4.8). ¤ Nu skall vi g˚a igenom n˚agra mycket ber¨omda satser i talteorin som enkelt kan bevisas med hj¨alp av restaritmetiker. P˚a senare a˚ r visade det sig att dessa satser har mycket v¨asentliga till¨ampningar i samband med datorber¨akningar och datas¨akerhet. Men talteori (fast lite mer avancerad) har ocks˚a kommit in i teoretisk fysik i samband med str¨angteorin. Vi skall b¨orja med en sats som visades redan a˚ r 1682 av G.W. Leibniz ‡ , men som kallas Wilsons sats. John Wilson levde senare a¨ n Leibniz och l¨amnade matematiken f¨or juridik.

(4.11) Wilson’s sats. Om p a¨ r ett primtal s˚a a¨ r p|(p − 1)! + 1.§ Innan vi bevisar satsen l˚at oss betrakta ett exempel. Tag p = 13. Satsen s¨ager att 13|12! + 1. Modulo 13 har vi

1 ¯ 1 = 1, 2 ¯ 7 = 1, 3 ¯ 9 = 1, 4 ¯ 10 = 1, 5 ¯ 8 = 1, 6 ¯ 11 = 1, 12 ¯ 12 = 1. Allts˚a a¨ r (modulo 13):

1 ¯ 2 ¯ 3 ¯ 4 ¯ 5 ¯ 6 ¯ 7 ¯ 8 ¯ 9 ¯ 10 ¯ 11 ¯ 12 = = 1 ¯ (2 ¯ 7) ¯ (3 ¯ 9) ¯ (4 ¯ 10) ¯ (5 ¯ 8) ¯ (6 ¯ 11) ¯ 12 = 12 = −1 dvs 13|12! + 1. Bevis. Betrakta kroppen Zp . Vi skall ber¨akna [(p − 1)!]p = [1 · 2 · ... · (p − 1)]p och visa att [(p − 1)!]p = [−1]p vilket just a¨ r satsens inneh˚all. Varje faktor r i produkten 1 ¯ 2 ¯ ... ¯(p − 1) har sin invers s modulo p dvs r ¯ s = 1. Om r 6= s s˚a kan man utel¨amna b˚ade r och s. Men det kan intr¨affa att r = s dvs r ¯r = 1. N¨ar? Vi har [r2 ]p = [1]p d˚a och endast d˚a p|r2 − 1 = (r − 1)(r + 1) dvs p|r − 1 eller p|r + 1. Men 0 ≤ r ≤ p − 1 s˚a att r = 1 eller r = p − 1. Allts˚a finns det tv˚a faktorer i produkten 1 ¯ 2 ¯ ... ¯(p − 1) som a¨ r kvar: 1 och p − 1 dvs 1 ¯ 2 ¯ ... ¯ (p − 1) = 1 ¯ (p − 1) . Men p − 1 ≡ −1 (mod p) s˚a att [(p − 1)!]p = [−1]p , vilket visar satsen.

¤

‡ Gottfried Wilhelm Leibniz (1/7 1646 – 14/11 1716) var en framst˚aende tysk matematiker som skapade differential och integralkalkylen (oberoende av I.Newton). § n! = 1 · 2 · 3 · · · n, vilket utl¨ases “n fakultet”

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

8

Avsnitt 4

(4.12) Anm¨arkning. Wilsons sats karakteriserar primtalen i den meningen att om n|(n − 1)! + 1 s˚a a¨ r n ett primtal (vi l¨amnar detta p˚ast˚aende som en bra och enkel o¨ vning – se o¨ vning 5). Man kan testa med hj¨alp av datorer om n a¨ r ett primtal genom att dividera (n − 1)! + 1 med n. Men den metoden a¨ r inte s¨arskilt bra d¨arf¨or att (n − 1)! v¨axer mycket snabbt med n. ¤ Nu vill vi visa en av de mest ber¨omda satserna inom talteorin – Fermats ¶ lilla sats (om den stora f˚ar du h¨ora under f¨orel¨asningarna). Innan vi formulerar och bevisar satsen l˚at oss notera en enkel egenskap hos rester r i Zn som har invers s dvs r ¯ s = 1. L˚at x, y ∈ Zn . D˚a g¨aller

x ¯ r = y ¯ r ⇒ x = y.

(4.13)

I sj¨alva verket ger likheten x ¯ r = y ¯ r att x ¯ r ¯ s = y ¯ r ¯ s dvs x = y (ty r ¯ s = 1). Vi kan s¨aga att en likhet i Zn kan delas ledvis med en rest som har invers. Notera ocks˚a att om r1 och r2 har invers s˚a har ocks˚a r1 ¯ r2 invers ty r1 ¯ s1 = 1 och r2 ¯ s2 = 1 ger r1 ¯ r2 ¯ s1 ¯ s2 = 1. (4.14) Fermats lilla sats. Om p a¨ r ett primtal och a a¨ r ett heltal s˚a a¨ r p|ap − a, med andra ord, ap ≡ a (mod p). Tag ett exempel f¨orst. Om p = 5 och a = 3 f˚ar vi 5|35 − 3 = 240. Bevis. Om p|a s˚a a¨ r p˚ast˚aendet klart. L˚at oss anta d˚a att p - a dvs r = [a]p 6= 0. L˚at s beteckna inversen till r. Betrakta resterna 1, 2, ..., p − 1 ∈ Zp och l˚at oss multiplicera alla dessa rester med r 6= 0. D˚a f˚ar vi (p − 1) olika rester i Zp :

1 ¯ r, 2 ¯ r, ..., (p − 1) ¯ r I sj¨alva verket m˚aste alla dessa produkter vara olika eftersom om i ¯ r = j ¯ r s˚a a¨ r i = j (se (4.13)). Allts˚a a˚ terf˚ar vi resterna 1, 2, ..., p − 1 (eventuellt i n˚agon annan ordning). I varje fall a¨ r

1 ¯ r ¯ 2 ¯ r ¯ ... ¯ (p − 1) ¯ r = 1 ¯ 2 ¯ ... ¯ (p − 1). Nu kan vi stryka 1, 2, ..., p − 1 till v¨anster och till h¨oger (vi kan multiplicera varje rest till h¨oger och till v¨anster med dess invers) och vi f˚ar

rp−1 = 1 dvs ¶

[ap−1 ]p = [1]p , Pierre de Fermat (20/8 1601 − 12/1 1663).

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(4.17)

9

vilket betyder att p|ap−1 − 1. Men i s˚a fall a¨ r ocks˚a p|a(ap−1 − 1) = ap − a.

¤

(4.15) Anm¨arkning. Observera att beviset ger att ap−1 ≡ 1 (mod p) om p - a. Detta p˚ast˚aende f¨orekommer ofta som formulering av Fermats lilla sats. ¤

Fermats lilla sats har en generalisering som visades 100 a˚ r senare av L. Euler k . (Eulers sats utg¨or grunden f¨or konstruktionen av de mest anv¨anda krypteringssystemen inom datas¨akerhetstekniken — s˚a kallade RSA-krypton. Se o¨ vningarna). Innan vi visar Eulers sats∗∗ m˚aste vi s¨aga n˚agra ord om Eulers funktion ϕ. Hur m˚anga rester i Zn har invers? Antalet s˚adana rester betecknas med ϕ(n). Funktionen ϕ(n) kallas Eulers funktion. Enligt villkoret i (4.8) har vi:

ϕ(n) = antalet r s˚adana att 0 ≤ r < n och SGD(r, n) = 1.

(4.16)

Det a¨ r l¨att att ber¨akna: ϕ(1) = 1, ϕ(2) = 1, ϕ(3) = 2, ϕ(4) = 2, ϕ(5) = 4, ϕ(6) = 2, ϕ(7) = 6, ϕ(8) = 4, ϕ(9) = 6, ϕ(10) = 4 osv. Vi a˚ terkommer till Eulers funktion i samband med o¨ vningarna. Nu kan vi formulera och bevisa Eulers sats:

(4.17) Eulers sats. L˚at a och n vara heltal s˚adana att SGD(a, n) = 1. D˚a a¨ r

n|aϕ(n) − 1, dvs aϕ(n) ≡ 1

(mod n).

F¨orst ett exempel. Om n = 10 och a = 3 s˚a a¨ r 10|34 − 1 = 80 (ty ϕ(10) = 4). Bevis. Betrakta restringen Zn . Enligt f¨oruts¨attningen har r = [a]n 6= 0 en invers i Zn (ty SGD(a, n) = 1). L˚at r1 , r2 , ..., rϕ(n) vara alla rester som har invers i Zn , och l˚at oss multiplicera alla dem med r. D˚a f˚ar vi ϕ(n) olika produkter (se (4.13)):

r ¯ r1 , r ¯ r2 , . . . , r ¯ rϕ(n) . Allts˚a f˚ar vi alla rester i Zn som har invers igen (m¨ojligen i en annan ordning). I varje fall a¨ r k

Leonard Euler (15/4 1707 - 18/9 1783), schweizisk matematiker, den st¨orste matematikern under 1700-talet och en av de mest betydelsefulla i matematikens historia. ∗∗ Du beh¨over inte l¨asa efterf¨oljande texten om Du inte a¨ r intresserad av den o¨ vning som handlar om till¨ampningar av restringar p˚a kryptering.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

10

Avsnitt 4

r ¯ r1 ¯ r ¯ r2 ¯ . . . . ¯ r ¯ rϕ(n) = r1 ¯ r2 ¯ . . . . ¯ rϕ(n) . Nu kan vi stryka r1 , r2 , ..., rϕ(n) till v¨anster och till h¨oger (vi kan) och vi f˚ar rϕ(n) = 1 dvs

[aϕ(n) ]n = [1]n

vilket betyder att n|aϕ(n) − 1.

¤

Vi skall avsluta detta avsnitt med a¨ nnu en ber¨omd sats som a¨ r ca 2000 a˚ r gammal. Satsen heter Kinesiska restsatsen och s¨ager f¨oljande: (4.18) Kinesiska restsatsen. Om n1 , n2 , ..., nk a¨ r parvis relativt prima heltal (dvs den st¨orsta gemensamma delaren till ni och nj a¨ r 1 d˚a i 6= j) och r1 , r2 , ..., rk a¨ r godtyckliga heltal s˚a existerar ett heltal x s˚adant att

x ≡ r1

(mod n1 ), x ≡ r2

(mod n2 ), ..., x ≡ rk

(mod nk ).

Dessutom finns det bara ett s˚adant x modulo n1 n2 · · · nk (dvs ett x med 0 ≤ x < n1 n2 · · · nk ). Betrakta ett exempel. Om vi vill hitta x s˚a att x l¨amnar resten 2 vid division med 3, resten 3 vid division med 4 och resten 4 vid division med 5 s˚a betyder det att x skall uppfylla

x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3

(mod 4), x ≡ 4 (mod 5).

(4.19)

H¨ar a¨ r x = 59 den enda l¨osningen modulo 60 = 3 · 4 · 5. V˚art bevis ger ocks˚a information om hur man hittar x (se exempel (4.22)). Bevis. L˚at n = n1 n2 ...nk . Betrakta Zni . Enligt f¨oruts¨attningen har vi SGD(ni , nni ) = 1. D¨arf¨or har n a att ni en invers modulo ni dvs det finns xi ∈ Zn s˚ ·

eller med andra ord,

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

n xi ni

¸ = [1]ni , ni

n xi ≡ 1 (mod ni ). ni

(4.22)

11

Nu p˚ast˚ar vi att

x=

n n n xk rk x1 r1 + x2 r2 + . . . + nk n2 n1

(4.20)

a¨ r den s¨okta l¨osningen. F¨or att kontrollera det, observera f¨orst att ·

n xi ni

¸ = 0 d˚a i 6= j, nj

ty nj | nni . D¨arf¨or har vi: ·

[x]ni

dvs x ≡ ri

n x1 r1 = n1

¸

·

ni

n x2 r2 + ni

¸

·

ni

n xk rk + ... + nk

¸ ni

·

n xi ri = ni

¸ = [ri ]ni ni

(mod ni )

Om x och x0 a¨ r tv˚a l¨osningar dvs [x]ni = [x0 ]ni d˚a i = 1, 2, ..., k s˚a a¨ r ni |x − x0 . Men talen n1 , n2 , ..., nk a¨ r relativt prima s˚a att n = n1 n2 ...nk |x − x0†† dvs [x]n = [x0 ]n . ¤ Hur hittar man x rent praktiskt? Det a¨ r klart att man beh¨over xi dvs man m˚aste l¨osa n xi ≡ 1 (mod ni ). ni Detta betyder att man vill finna tal xi s˚adana att

n ni xi

(4.21)

− 1 = ni q dvs

n xi − ni q = 1. ni H¨ar k¨anner vi igen (4.9) med a = hj¨alp av Euklides algoritm.

n ni ,

b = ni , x = xi och y = −q. xi hittar man mycket enkelt med

(4.22) Exempel. Vi a˚ terkommer till (4.19) d¨ar n1 = 3, n2 = 4, n3 = 5 och r1 = 2, r2 = 3, r3 = 4. Allts˚a a¨ r n = n1 n2 n3 = 60 och man m˚aste l¨osa kongruenserna (4.21) dvs

20x1 ≡ 1 (mod 3), 15x2 ≡ 1 ††

(mod 4), 12x3 ≡ 1

Om a|c och b|c samt SGD(a, b) = 1 s˚a ab|c – se avsnitt “Delbarhet och primtal”

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(mod 5).

12

Avsnitt 4

Man hittar mycket l¨att (utan Euklides algoritm) att x1 = 2, x2 = 3, x3 = 3. Allts˚a a¨ r

x=

n n n x1 r1 + x2 r2 + x3 r3 = 359 n3 n2 n1

s˚a att den enda l¨osningen modulo 60 a¨ r 59, ty 359 ≡ 59

(mod 60).

¤

Exempel: RSA-krypteringssystem‡‡ . En person som brukar kallas Alice, vilket f¨orkortas till A, vill ta emot meddelanden. Hon v¨aljer tv˚a stycken mycket stora primtal p och q (vanligen med c:a 150 siffror). Primtalen a¨ r

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, . . . dvs positiva heltal som saknar delare st¨orre a¨ n 1 och mindre a¨ n talet sj¨alvt. Alice r¨aknar d¨arefter N = pq och dessutom v¨aljer ett heltal e som inte delar p − 1 och q − 1. Hon publicerar N och e som a¨ r krypteringsnyckeln, men beh˚aller hemligt b˚ade p och q. Hon publicerar ocks˚a en “ordbok” som s¨ager att A skall o¨ vers¨attas till t ex 10, B till 11, C till 12, osv. Alice m˚aste ocks˚a ber¨akna sin dekrypteringsnyckeln som hon beh˚aller f¨or sig sj¨alv. Denna nyckeln a¨ r ett tal d s˚adant att ed skall ge resten 1 vid division med b˚ade p − 1 och q − 1. Det a¨ r mycket l¨att att ber¨akna d och flera datorprogram g¨or s˚adana ber¨akningar o¨ gonblickligt. L˚at oss anta nu att en annan person, som vi kallar Bo och f¨orkortar till B, vill skicka ett meddelande x till A. Bo r¨aknar ut resten vid division av xe med N och skickar till Alice. Alice r¨aknar d˚a resten vid division av (xe )d med N och f˚ar tillbaka meddelandet x dvs (xe )d = x. Eulers sats garanterar att (xe )d = x dvs garanterar att Alice kan f¨orvandla den krypterade texten i klartext (se nedan). L˚at oss betrakta ett mycket konkret exempel.

• Alice v¨aljer p=61, q=101 s˚a N=pq=61 · 101=6161. • Alice v¨aljer t ex e=17 som inte delar p − 1 = 60 och q − 1 = 100. • Alice r¨aknar ut d s˚a att ed ger resten 1 vid division med p − 1 = 60 och q − 1 = 100. Hon kan v¨alja d = 353 ty ed = 17 · 353 = 6001 ger resten 1 vid dessa divisioner. • Alice publicerar N=6161, e=17 (och en “ordbok” t ex A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, ..., I =18, ..., K = 20,..., M = 22, ..., T = 29,..., Z = 35). Primtalen p, q och d a¨ r hemliga.

Kryptera: MATEMATIK ‡‡

Konstruktionen av systemet publicerades av R.L.Rivest, A.Shamir och L.Adleman 1978.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(4.22)

13

MA = 2210 7−→ [221017 ]6161 =4013 TE = 2914 7−→ [291417 ]6161 =135 MA = 2210 7−→ [221017 ]6161 =4013 TI = 2918 7−→ [291817 ]6161 =1527 K = 20 7−→ [2017 ]6161 =4487

Dekryptera: 4013 135 4013 1527 4487 4013 7−→ [4013353 ]6161 =2210 = MA 135 7−→ [135353 ]6161 =2914 = TE 4013 7−→ [4013353 ]6161 =2210 = MA 1527 7−→ [1527353 ]6161 =2918 = TI 2487 7−→ [4487353 ]6161 =20 = K

Varf¨or a¨ r RSA–metoden s˚a effektiv att den anv¨ands mycket flitigt i moderna kommunikationssystem? Svaret a¨ r att det a¨ r mycket sv˚art och idag inte m¨ojligt att ber¨akna d d˚a N och e a¨ r k¨anda (om talen p och q a¨ r tillr¨ackligt stora) . ed skall ge resten 1 vid division med b˚ade p − 1 och q − 1. Om man k¨anner till dessa tv˚a tal a¨ r det mycket l¨att att ber¨akna d. F¨or att komma a˚ t p − 1 och q − 1 m˚aste man k¨anna till p och q. Man utg˚ar ifr˚an att dessa tv˚a tal endast kan ber¨aknas om man kan uppdela talet N = pq i dess primfaktorer p och q. Denna ber¨akning dvs uppdelning av N√i primfaktorer a¨ r mycket komplicerad och tar mycket l˚ang tid. De b¨asta k¨anda metoderna kr¨aver c:a 5 N r¨akneoperationer. Om t ex p och q har 100 siffror s˚a har N c:a 200 siffror och antalet r¨akneoperationer som beh¨ovs f¨or att faktoruppdela talet N a¨ r 1040 . Om man antar att en r¨akneoperation tar 1µs s˚a kr¨avs det 1040 µs ≈ 3 · 1026 a˚ r f¨or att genomf¨ora ber¨akningarna f¨or N (106 datorer var och en kapabel att utf¨ora en r¨akneoperation p˚a 1µs skulle beh¨ova 3 · 1026 a˚ r f¨or dessa ber¨akningar). Trots det betraktas idag val av primtal med 100 siffror som inte helt s¨akra och man v¨aljer snarare primtal med 150. Slutligen formulerar vi n˚agra o¨ vningar som f¨orklarar varf¨or RSA-kryptering fungerar. (a) V¨alj tv˚a olika primtal p, q och ber¨akna N = pq (p, q a¨ r vanligen mycket stora, s¨ag, av storleksordningen 10100 ). (b) Ber¨akna ϕ(N ) = (p − 1)(q − 1) och v¨alj e s˚a att SGD(e, ϕ(N )) = 1. Ber¨akna a¨ ven d, s˚a att ed ≡ 1 (mod ϕ(N )). (c) Publicera N , e och en ordbok f¨or o¨ vers¨attning av meddelanden till exempel:

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

14

Avsnitt 4

A = 10, B = 11, ..., Z = 35 (d˚a n > 35) (d) Den som vill s¨anda meddelanden till Dig krypterar med hj¨alp av den k¨anda funktionen E(r) = re , r ∈ ZN Du a¨ r den ende (f¨orhoppningsvis) som kan dekryptera med hj¨alp av funktionen D(r) = rd d a¨ r hemligt och

D ◦ E(r) = D(re ) = red = r

Visa den sista likheten! Ledning. ed = 1 + ϕ(N )m f¨or ett heltal m ≥ 1. Utnyttja Eulers sats som i det h¨ar fallet kan formuleras s˚a att rϕ(N )+1 ≡ r (mod N )! (e) L˚at N = 17 · 23 = 391. V¨alj krypteringsnyckeln e = 3 och kryptera NEJ (med “ordboken” som i (c)). Ber¨akna d och dekryptera 121 268 358.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 4

RESTARITMETIKER Restaritmetiker p˚aminner om heltalsaritmetiken, men i st¨allet f¨or att addera eller multiplicera vanliga heltal adderar man och multiplicerar rester vid division med ett fixt heltal n. Rester adderas och multipliceras s˚a att summan och produkten ocks˚a a¨ r rester. Dessa operationer kallas addition och multiplikation modulo n. Det a¨ r ett exempel p˚a nya “talsystem” som lyder samma r¨aknelagar som de vanliga heltalen. Restaritmetiker f¨orekommer mycket ofta i vardagliga situationer a¨ ven om man inte alltid a¨ r medveten om deras n¨arvaro – veckodagar a˚ terkommer modulo 7, och tiden r¨aknas ofta modulo 24 (eller 12). Restaritmetiker ger en m¨ojlighet att l¨osa m˚anga relativt enkla och intressanta problem som g¨aller delbarhetsegenskaper hos heltalen. Vi f¨oljer stencilen om “Restaritmetiker” (Avsnitt 4). L¨as ocks˚a avsnitt 3.4 i Vretblads bok. I f¨orsta hand l¨os o¨ vningar A, B, F1, G, H.

¨ Ovning A Denna o¨ vning handlar om aritmetiker modulo 7 och modulo 31. 1. Den 1 mars a¨ r en fredag. Med ledning av detta, ber¨akna vilken veckodag den 24 mars a¨ r. F¨orklara hur Du resonerar. 2. Mars har 31 dagar. Ber¨akna vilken veckodag den 8 april a¨ r (den 1 mars a¨ r en fredag). 3. L˚at oss numrera veckodagarna s˚a att s¨ondag har nummer 0, m˚andag nummer 1, tisdag nummer 2 osv. Om den 1 i m˚anaden infaller p˚a en m˚andag s˚a kan man best¨amma veckodagen i denna m˚anad genom att dela datumet med 7 – resten s¨ager vilken veckodag man har (t ex infaller den 24 p˚a en onsdag ty 24 l¨amnar resten 3 vid division med 7). F¨oresl˚a en metod f¨or att best¨amma veckodagen i en m˚anad som b¨orjar p˚a en torsdag dvs vad skall man g¨ora med dagens datum f¨or att resten vid division med 7 skall ge veckodagen. 4. Konstruera en “kalender” f¨or resten av a˚ ret genom att f¨or varje m˚anad ange ett tal som skall adderas till dagens datum s˚a att resten av datumet modulo 7 ger veckodagen. 1

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 4

2

¨ Ovning B 1. Best¨am sista siffran i talen (a) 22002 ,

77

(b) 1320 , (c) 77 .

2. Best¨am resten vid division av (a) 3100 med 7, (b) 21000 med 3,5,11,13,

(c) 9999 med 13.

Ledning. Visa f¨orst att 992 ≡ −1 (mod 13). Se l¨osningar p˚a slutet av stencilen och exempel 3.12, 3.13 i Vretblads bok.

¨ Ovning C n

1. (a) P. Fermat p˚astod att talen Fn = 22 + 1, n = 0, 1, 2, ... a¨ r primtal. Det a¨ r verkligen sant d˚a n = 0, 1, 2, 3, 4. Visa det! (en minir¨aknare kan vara till hj¨alp). 5

(b) Hundra a˚ r senare visade L. Euler att 641|F5 = 22 + 1 = 232 + 1 = 4294967297. Visa det genom att r¨akna i Z641 och utnyttja f¨oljande likheter: 641 = 5 · 27 + 1 = 54 + 24 . 2. (a) F¨or 2500 a˚ r sedan p˚astod kinesiska matematiker att om ett heltal n > 1 a¨ r en delare till 2n − 2 s˚a m˚aste n vara ett primtal. Detta p˚ast˚aende a¨ r sant d˚a n < 341 men 341|2341 − 2 trots att 341 inte a¨ r ett primtal. Visa det! Ledning. 341 = 11 · 31 och 210 − 1 = 1023 = 3 · 11 · 31. Anm¨arkning. P. Fermat k¨ande till den kinesiska hypotesen och han visste att hans tal Fn = n 22 + 1 hade egenskapen Fn |2Fn − 2. Det var grunden f¨or hans p˚ast˚aende att Fn var primtal. (b) Visa att Fn |2Fn − 2.

¨ Ovning D 1. (a) Ber¨akna summorna 13 + 23 modulo 3, 13 + 23 + 33 + 43 modulo 5, 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 modulo 7. Ser Du ett m¨onster? Vad kan man s¨aga om summan 13 + 23 + ... + 1003 modulo 101? Ledning. R¨akna i Z101 . (b) Kan Du st¨alla upp en f¨ormodan ang˚aende summan 13 + 23 + ... + (n − 1)3 modulo n? Bevisa Ditt p˚ast˚aende!

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

3 2. Visa att m|1k + 2k + ... + (m − 1)k d˚a k och m a¨ r positiva udda heltal.

¨ Ovning E 1. Ber¨akna inverser a−1 till alla a ∈ Z7 , a 6= 0. Ber¨akna ocks˚a

P

a−1 , a ∈ Z7 , a 6= 0.

2. L˚at p vara ett udda primtal. Visa att om 1+

a 1 1 = , + ... + b p−1 2

d¨ar a, b a¨ r heltal s˚a g¨aller p|a. Ledning. Utnyttja att Zp a¨ r en kropp dvs varje nollskild rest har invers .

¨ Ovning F 1. Visa att om x2 + y 2 = z 2 , d¨ar x, y, z a¨ r heltal s˚a finns det bland dessa tal ett som a¨ r delbart med 3 och ett delbart och ett delbart med 5 (32 + 42 = 52 a¨ r “den minsta” Pythagoreiska triangeln). 2. Visa att om x3 + y 3 = z 3 , d¨ar x, y, z a¨ r heltal s˚a a¨ r minst ett av dessa tal delbart med 7. Ledning. Arbeta med rester modulo 7. Visa att x3 ≡ ±1 (mod 7) om 7 - x. 3. L˚ata x vara ett udda heltal. Visa att x2 ≡ 1 modulo 8?

(mod 8). Vilka rester ger kvadrater av heltalen

4. Visa att om x2 + y 2 = z 2 , d¨ar x, y, z a¨ r heltal s˚a a¨ r x eller y delbart med 4. Ledning. Man kan f¨oruts¨atta att x, y, z a¨ r relativt prima (har st¨orsta gemensamma delaren lika med 1). Betrakta rester av talen modulo 8. Motivera att ett av talen x, y a¨ r j¨amnt och ett udda.

¨ Ovning G Fermats lilla sats s¨ager att att p|ap − a d˚a p a¨ r ett primtal och a a¨ r ett godtyckligt heltal. Utnyttja denna sats i f¨oljande uppgifter: 1. Visa att 6|n3 − n d˚a n a¨ r ett heltal. 2. Visa att 30|n5 − n d˚a n a¨ r ett heltal. 3. Visa att 42|n7 − n d˚a n a¨ r ett heltal.

¨ Ovning H 1. Best¨am det minsta positiva heltalet n som l¨amnar resterna 1,2,3,4,5 vid division med respektive 2,3,4,5,6.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 4

4 2. Best¨am alla n s˚adana att 4|n, 9|n + 1, 25|n + 2.

F¨oljande o¨ vningar i Vretblads bok rekommenderas: Vretblad: 3.15 – 3.18, 3.21 – 3.25. N˚agra exempel p˚a l¨osningar: L¨osning till B2 (b): Vi skall ber¨akna resten vid division av 21000 med 11. F¨orst noterar vi att 25 ≡ −1 (mod 11) ty 25 + 1 = 33 ≡ 0 (mod 11). Nu har vi 21000 = (25 )200 ≡ (−1)200 (mod 11). Men (−1)200 = 1 s˚a att 21000 ≡ 1 (mod 11) dvs 21000 l¨amnar resten 1 vid division med 11. L¨osning till F1: Vi skall visa att om x, y, z a¨ r tre heltal s˚adana att x2 + y 2 = z 2 s˚a a¨ r ett av talen delbart med 5. Den sista likheten implicerar likheten av rester vid division med 5: [x2 + y 2 ]5 = [z 2 ]5 dvs [x2 ]5 + [y 2 ]5 = [z 2 ]5 . Om r = 0, 1, 2, 3, 4 a¨ r en rest vid division med 5 s˚a a¨ r r2 = 0, 1, 4, 4, 1 dvs kvadrater av resterna modulo 5 a¨ r lika med 0 eller 1 eller 4. Allts˚a a¨ r alla [x2 ], [y 2 ], [z 2 ] lika med 0 eller 1 eller 4. Om ingen av dessa tre a¨ r lika med 0 s˚a a¨ r alla lika med 1 eller 4. Detta ger [z 2 ]4 = [x2 ]5 + [y 2 ]5 = 2 eller 3, vilket a¨ r om¨ojligt. Allts˚a m˚aste minst en av dessa tre kvadrater vara lika med 0 dvs ett av talen x, y, z l¨amnar resten 0 vid division med 5. L¨osning till G2: Vi visar att 30|n5 − n f¨or alla heltal n. Vi har 30 = 2 · 3 · 5. Det a¨ r klart att 2|n5 − n (kontrollera fallen n j¨amnt, n udda). Om 3|n s˚a a¨ r det klart att 3|n5 − n. Om 3 - n s˚a har vi n5 − n = n(n4 − 1) = n[(n2 )2 − 1], vilket a¨ r delbart med 3 enligt Fermats lilla sats (den s¨ager att 3|a2 − 1 om 3 - a – h¨ar a¨ r a = n2 ). I varje fall 3|n5 − n. Det a˚ terst˚ar att visa 5|n5 − n, men detta a¨ r precis vad Fermats lilla sats s¨ager f¨or primtalet 5.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 5

MATEMATISK INDUKTION

Syftet med denna o¨ vning a¨ r att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken – matematisk induktion. Termen “induktion” a¨ r lite olycklig d¨arf¨or att matematisk induktion a¨ r en i h¨ogsta grad deduktiv metod. Men faktum a¨ r att ett bevis med hj¨alp av matematisk induktion mycket ofta baseras p˚a vanlig induktion dvs en serie av matematiska experiment som leder till en generalisering – man formulerar en f¨ormodan (en hypotes) och d¨arefter ger man ett str¨angt bevis med hj¨alp av matematisk induktion. Vi skall exemplifiera bevis med matematisk induktion nedan. Du kan ocks˚a l¨asa avsnitt 4.2 i Vretblads bok. Vi b¨orjar med ett exempel f¨or att d¨arefter formulera induktionsprincipen. Exempel. Unders¨ok vilka belopp som kan betalas med tv˚akronors– och femkronorsmynt (t ex i Danmark finns det s˚adana). Formulera en f¨ormodan och ge ett bevis. ¨ L¨osning∗ . Vi har redan sysslat med den uppgiften i Ovning 3. Det a¨ r klart att beloppen 1 krona och 3 kronor inte kan betalas. Men det verkar som att varje belopp st¨orre a¨ n 3 kronor kan betalas med givna mynt (4 = 2 · 2, 5 = 5 · 1, 6 = 2 · 3, 7 = 2 · 1 + 5 · 1 osv.). Vi formulerar detta som v˚ar f¨ormodan och f¨ors¨oker ge ett bevis. Vi antar att ett belopp p˚a k kronor, d¨ar k ≥ 4 kan betalas dvs

k = 2x + 5y

dvs k kronor betalas med x tv˚akronorsmynt och y femkronorsmynt. Nu vill vi visa att a¨ ven beloppet p˚a k + 1 kronor kan betalas med dessa mynt. Vi resonerar s˚a h¨ar. Om antalet av femkronorsmynt a¨ r minst 1 dvs y ≥ 1 s˚a ers¨atter vi ett s˚adant mynt med 3 stycken tv˚akronorsmynt (i st¨allet f˚ar vi 6 kronor). I matematiska termer betyder det att ∗

Uppgiften kan l¨osas p˚a flera andra s¨att.

1

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 5

2

k + 1 = 2(x + 3) + 5(y − 1). Om d¨aremot y = 0 dvs man betalar k = 2x kronor med enbart tv˚akronorsmynt, s˚a m˚aste x ≥ 2 (ty k ≥ 4). I s˚adant fall ers¨atter vi tv˚a stycken tv˚akronorsmynt med en “femma”. I matematiska termer:

k + 1 = 2(x − 2) + 5 Allts˚a g¨aller implikationen: Om ett belopp k kronor kan betalas och k ≥ 4, s˚a kan beloppet k + 1 kronor betalas. Nu drar vi slutsatsen att varje belopp p˚a minst 4 kronor kan betalas med tv˚a– och femkronorsmynt. Vi vet n¨amligen att 4 kronor kan betalas och m¨ojligheten att kunna betala k kronor med k ≥ 4 implicerar m¨ojligheten att kunna betala n¨asta belopp p˚a k + 1 kronor. ¤ Resonemanget ovan a¨ r just ett exempel p˚a matematisk induktion. Induktionsprincipen fungerar p˚a f¨oljande s¨att. Man har en f¨oljd av p˚ast˚aenden P1 , P2 , P3 , . . ., Pn , . . . (i v˚art exempel ovan a¨ r p˚ast˚aendena: P1 = “4 kronor kan betalas med givna mynt”, P2 = “5 kronor kan betalas med givna mynt”, P3 = “6 kronor kan betalas med givna mynt” osv.). Induktionsprincipen s¨ager f¨oljande: L˚at P1 , P2 , . . . , Pn , . . . vara en f¨oljd av p˚ast˚aenden s˚adan att 1. det f¨orsta p˚ast˚aendet P1 a¨ r sant och 2. f¨or varje k ≥ 1 g¨aller implikationen: om p˚ast˚aendet Pk a¨ r sant s˚a a¨ r p˚ast˚aendet Pk+1 ocks˚a sant. D˚a a¨ r alla p˚ast˚aenden Pn f¨or n = 1, 2, 3, . . . sanna. Slutsatsen bygger p˚a f¨oljande resonemang: P1 a¨ r sant. Att P1 a¨ r sant medf¨or att P2 a¨ r sant. Allts˚a a¨ r P2 sant. Att P2 a¨ r sant medf¨or att P3 a¨ r sant. Allts˚a a¨ r P3 sant. Att P3 a¨ r sant medf¨or att P4 a¨ r sant. Allts˚a a¨ r P4 sant osv. Vi sluter oss till att Pn a¨ r sant f¨or alla n = 1, 2, 3, . . .. Denna motivering a¨ r inte ett bevis av induktionsprincipen som a¨ r en mycket viktig egenskap hos de naturliga talen. Vi diskuterar denna princip senare i kursen i samband med de naturliga talens egenskaper. Innan vi o¨ verg˚ar till o¨ vningar l˚at oss notera att ett bevis av implikationen “om Pk g¨aller s˚a g¨aller Pk+1 ” kallar man f¨or induktionssteget. F¨oruts¨attningen att Pk g¨aller kallas vanligen induktionsantagandet. Det finns flera enkla modifikationer av induktionsprincipen. Vi m¨oter dessa modifikationer i olika bevis. Vi ger exempel p˚a ett antal mycket vanliga till¨ampningar av induktionsmetoden i samband med o¨ vningar nedan. Vi diskuterar ocks˚a andra exempel p˚a f¨orel¨asningen. I f¨orsta hand f¨ors¨ok l¨osa uppgifterna A – G, I. Du kan hoppa o¨ ver H.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

3

¨ Ovning A 1. Man ber¨attar ofta f¨oljande h¨andelse ur C.F Gauss † liv. Gauss matematikl¨arare ville syssels¨atta sina elever under en l¨angre stund. Han beordrade dem d˚a att ber¨akna summan av alla naturliga tal fr˚an 1 till 100 dvs summan: 100 X

i = 1 + 2 + 3 + · · · + 100.

i=1

Gauss, som d˚a var 8 a˚ r gammal, kom med sin l¨osning efter en kort stund – summan a¨ r lika med 5050. Gauss t¨ankte s˚a h¨ar. Betrakta i st¨allet tv˚a summor: S(100) = 1 + 2 + 3 + · · · + 99 + 100 och S(100) = 100 + 99 + 98 + · · · + 2 + 1. N¨ar man parar ihop motsvarande termer (f¨orsta med f¨orsta, andra med andra, osv) s˚a f˚ar man 100 par och summan i varje par a¨ r 101. Allts˚a a¨ r 2S(100) = 100 · 101. Detta ger 1 S(100) = 10100 = 5050. 2 2. F¨ors¨ok generalisera Gauss metod och skriv ut formeln f¨or summan

S(n) =

n X

i = 1 + 2 + ··· + n

i=1

av n efterf¨oljande heltal. 3. Betrakta f¨oljande bild och anv¨and den f¨or att bevisa formeln f¨or S(n) i enlighet med Gauss id´e (bilden svarar mot n = 5): †

Carl Friedrich Gauss (30/4 1777 – 23/2 1855) var en av de mest framst˚aende matematikerna genom tiderna. I sin doktorsavhandling (1799) sysslade han med polynomekvationer och visade en mycket viktig sats som ibland kallas “algebrans fundamentalsats” (idag snarare ”polynomalgebrans fundamentalsats”). Hans mest k¨anda verk heter “Disquisitiones Arithmeticae” (1801) och handlar mest om talteori. 17 a˚ r gammal visade Gauss hur man kan konstruera en regelbunden 17-h¨orning med passare och linjal. Detta avgjorde hans val mellan matematik och lingvistik som var ett annat av hans stora intressen. Gauss sysslade ocks˚a med fysik och astronomi.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 5

4

d d d d d @ d@ d d d d d @ d d d d @ d d d@ d d d d d @ d d @ d d d d d@

4. Ge ett bevis av formeln f¨or S(n) med hj¨alp av matematisk induktion.

¨ Ovning B 1. Betrakta f¨oljande bilder och summera ettorna i varje tabell p˚a tv˚a olika s¨att – i hela kvadraten (ett s¨att) och som summor av ettorna i varje “vinkel” (det andra s¨attet):

1

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

Vilka formler f¨or antalet ettor i varje kvadrat f˚ar man? Kan Du generalisera resultaten till en formel giltig f¨or varje n × n – kvadrat? 2. F¨ors¨ok nu ge ett induktivt bevis (dvs ett bevis med hj¨alp av matematisk induktion) f¨or Din formel. Ledning. Detta bevis finner Du som exempel i slutet av denna stencil eftersom det a¨ r v˚art f¨orsta exempel p˚a ett bevis av en likhet mellan tv˚a uttryck. Men f¨ors¨ok f¨orst att skriva ett bevis p˚a egen hand. Liknande exempel f¨oljer nedan.

¨ Ovning C 1. Studera summor n X i=1

1 1 1 1 1 + ··· + + + = n(n + 1) 1·2 2·3 3·4 i(i + 1)

f¨or n = 2, 3, 4, 5. St¨all upp en f¨ormodan och bevisa Ditt p˚ast˚aende med matematisk induktion.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

5 2. Observera att 1 1 1 = − i+1 i i(i + 1) och utnyttja likheten till att best¨amma en formel f¨or summan ovan.

¨ Ovning D 1. Bevisa med matematisk induktion att n X

i(i + 1) = 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n · (n + 1) =

i=1

n(n + 1)(n + 2) . 3

2. Man definierar n! = 1 · 2 · · · n (man utl¨aser symbolen n! som “n fakultet”). Visa att n X

i · i! = 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + · · · + n · n! = (n + 1)! − 1.

i=1

¨ Ovning E Matematisk induktion anv¨ands mycket ofta f¨or att bevisa olikheter. Vi a¨ gnar denna o¨ vning a˚ t olikheter. 1. Studera beviset av olikheten 3n > n3 d˚a n ≥ 4 i Vretblads bok p˚a sid. 101 (75). 2. Bevisa p˚a liknande s¨att olikheten 2n > n2 d˚a n ≥ 5.

¨ Ovning F 1. Betrakta talf¨oljden 1, 3, 6, 10, 15, . . .. Kan Du skriva ut n˚agra efterf¨oljande tal? 2. L˚at ak beteckna k−te talet i f¨oljden dvs a1 = 1, a2 = 3, a3 = 6 osv. Ange sambandet mellan ak+1 och ak d˚a k ≥ 1. Anm¨arkning. L˚at a1 , a2 , . . . , ak , ak+1 . . . vara en talf¨oljd. En formel som uttrycker ak+1 med hj¨alp av ak (ibland a¨ ven tidigare termer som t ex ak−1 ) kallas en rekursionsformel (se exempel i Vretblads bok p˚a sid. 103 (77). 3. Kan Du uttrycka an med hj¨alp av n? F¨ors¨ok! Svaret finns p˚a slutet av denna stencil. Bevisa Din formel med matematisk induktion. 4. L¨os uppgift 4.30 (424) i Vretblads bok. Observera att man h¨ar m˚aste anv¨anda en modifikation av induktionsprincipen: Man kontrollerar att de tv˚a f¨orsta p˚ast˚aendena P1 och P2 g¨aller. D¨arefter visar man implikationen: f¨or varje k ≥ 1, om Pk och Pk+1 g¨aller s˚a g¨aller ocks˚a Pk+2 .

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 5

6

¨ Ovning G 1. L˚at Tn = 6n −1 d˚a n = 1, 2, 3, . . ., dvs T1 = 61 −1 = 5, T2 = 62 −1 = 35, T3 = 63 −1 = 215 ¨ det sant f¨or varje n? Visa Ditt osv. Man observerar l¨att att alla dessa tal a¨ r delbara med 5. Ar p˚ast˚aende med matematisk induktion. Ledning. Eftersom detta a¨ r v˚ar f¨orsta uppgift som handlar om till¨ampning av induktion p˚a delbarhetsegenskaper visar vi en l¨osning i slutet av denna stencil. Men f¨ors¨ok l¨osa uppgiften sj¨alv innan Du tittar p˚a l¨osningen. 2. F¨or varje n = 0, 1, 2, 3, . . . a¨ r talet Tn = 7n − 1 delbart med 6. Anm¨arkning. Observera att vi numrerar talen fr˚an 0 (i Exempel 1 b¨orjade vi med 1). Notera att en s˚adan modifikation inverkar inte p˚a induktionsprincipen. Varf¨or? 3. Studera talen Tn = 2 · 4n + 1 f¨or n = 0, 1, 2, 3, . . .. Dessa tal har en gemensam faktor. Vilken? Bevisa Ditt p˚ast˚aende. 4. Studera talen Tn = 22n−1 + 1 f¨or n = 1, 2, 3, . . .. Dessa tal har en gemensam faktor. Vilken? Bevisa Ditt p˚ast˚aende. 5. Studera talen Tn = 24n−2 + 1 f¨or n = 1, 2, 3, . . .. Dessa tal har en gemensam faktor. Vilken? Bevisa Ditt p˚ast˚aende. Anm¨arkning. Alla uppgifter i denna o¨ vning kan l¨osas (mycket enklare) med hj¨alp av restaritmetiker.

¨ Ovning H ¨ Vi skall forts¨atta tankeg˚angen fr˚an Ovning B och summera b˚ade de naturliga talen och deras kvadrater (om Du tycker att det a¨ r roligt s˚a kan Du med samma metoder g˚a vidare och summera t ex tredje eller fj¨arde potenser av de naturliga talen osv). 1. Vi b¨orjar med summan n X

i2 = 12 + 22 + · · · + n2 .

i=1

¨ Studera f¨oljande tabeller och summera talen p˚a tv˚a olika s¨att som i Ovning B:

1

1 2 1 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4 4

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 5 5 5

1 2 3 1 2 3 1 2 3

k k k

n n n

1 2 3

k

n

1 2 3

k

n

7 Utnyttja formeln f¨or summation av de naturliga talen som vi fick i uppgiften om summan 1 + 2 + · · · + n. Det beh¨ovs n˚agra omskrivningar innan man kommer a˚ t den s¨okta summan av kvadraterna. N¨ar Du f˚ar en formel kontrollera f¨orst att den a¨ r riktig f¨or, s¨ag, n = 1, 2, 3, 4. ¨ 2. Utnyttja de tv˚a olika s¨atten att summera ettorna i Ovning B f¨or att f˚a formeln f¨or S1 (n) = 1 + 2 + · · · + n. Den uppgiften a¨ r n˚agot enklare a¨ n f¨orra, men det kr¨avs ocks˚a en enkel omskrivning. Pn 3 3 3 3 3 3. F¨ors¨ok ge en formel f¨or S3 (n) = i=1 i = 1 + 2 + 3 + · · · + n genom att placera 2 2 2 2 1 , 2 , 3 , . . . , n i st¨allet f¨or 1, 2, 3, . . . , n i tabellerna ovan. Bevisa formeln med matematisk induktion. (Du beh¨over inte g¨ora den uppgiften om Du inte har tid. F¨or den s¨okta formeln se eventuellt svar p˚a slutet av denna stencil.)

¨ Ovning I ´ “Tornen i Hanoi”. Problemet formulerades a˚ r 1883 av den franske matematikern Edouard ‡ Lucas under pseudonym M. Claus . P˚a en platta med 3 pinnar sitter n stycken skivor med olika diameter p˚a en av pinnarna (bilden visar n = 7 skivor – detta a¨ r antalet skivor p˚a en IKEA–model som kan k¨opas f¨or 35 kronor).

Dessa skivor skall flyttas till en annan pinne med h¨ansyn till f¨oljande regler: R1. Endast en skiva kan flyttas vid varje drag och s¨attas p˚a en annan pinne. R2. En st¨orre skiva f˚ar inte placeras p˚a en mindre. 1. L¨os uppgiften f¨or n = 2, 3, 4, 5, 6, 7 skivor (Du kan “konstruera” Ditt eget spel genom att v¨alja 7 f¨orem˚al av olika storlek som kan l¨aggas p˚a varandra). ‡

Detta enligt Ian Stewarts bok “The Magical Maze” med undertiteln “Seeing the world through mathematical eyes”. Boken kom ut 1997 i London. I boken citeras en saga som ber¨attar om bakgrunden till problemet med “Tornen i Hanoi” eller snarare tornen i v¨arldens medelpunkt vid Benares templet. I Ian Stewarts bok finns flera mycket intressanta matematiska problem som inte f¨oruts¨atter n˚agra f¨orkunskaper i a¨ mnet.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 5

8

2. Antag att Du har l¨ost problemet f¨or t ex 6 skivor. Hur kan Du beskriva Din strategi f¨or att l¨osa problemet f¨or 7 skivor? 3. Kan Du bevisa att det alltid g˚ar att l¨osa problemet f¨or varje n? Hur kan man utnyttja matematisk induktion? 4. Hur m˚anga drag beh¨ovs det f¨or att l¨osa problemet f¨or n skivor?

¨ Ovning J 1. F¨ors¨ok hitta ett fel i f¨oljande “bevis” med matematisk induktion. Vi p˚ast˚ar att alla m¨anniskor har samma o¨ gonf¨arg. Satsen a¨ r sj¨alvklart sann om antalet m¨anniskor n a¨ r lika med 1. Antag att satsen a¨ r sann f¨or antalet m¨anniskor lika med k dvs antag att i varje population med k individer har alla samma o¨ gonf¨arg. Ta nu k + 1 m¨anniskor. Utel¨amna en m¨anniska i gruppen. De a˚ terst˚aende k har samma o¨ gonf¨arg enligt induktionsantagandet. Ta nu den m¨anniska som vi har utel¨amnat och j¨amf¨or hennes o¨ gonf¨arg med en av dem som ing˚ar i gruppen p˚a k m¨anniskor. De har samma o¨ gonf¨arg enligt induktionsantagandet. Allts˚a har alla k + 1 samma o¨ gonf¨arg. Nu g¨aller p˚ast˚aendet f¨or n = 1 och om det g¨aller f¨or k s˚a g¨aller det f¨or k + 1. Enligt induktionsprincipen g¨aller p˚ast˚aendet f¨or varje n = 1, 2, 3, 4, . . . dvs alla m¨anniskor har samma o¨ gonf¨arg.

F¨oljande o¨ vningar i Vretblads bok rekommenderas: Vretblad: 4.9 (408), 4.12 (410), 4.14 (412), 4.20 (416), 4.21 (417), 4.25 (421), 4.29 (423), 4.33 (427). N˚agra l¨osningar och svar: ¨ Ovning B: Vi vill visa att f¨or varje n ≥ 1 g¨aller likheten

1 + 3 + · · · + (2n − 1) = n2 . F¨orst kontrollerar vi att likheten g¨aller d˚a n = 1 (“p˚ast˚aendet P1 ”):

V.L. = 1 och H.L. = 12

s˚a att V.L = H.L. Nu antar vi att likheten g¨aller f¨or ett naturligt tal k ≥ 1 (“p˚ast˚aendet Pk ”) dvs

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

9

1 + 3 + · · · + (2k − 1) = k 2 . Vi vill visa att likheten d˚a m˚aste g¨alla f¨or n¨asta tal k + 1 (“p˚ast˚aendet Pk+1 ”) dvs

1 + 3 + · · · + (2k − 1) + (2k + 1) = (k + 1)2 . (Vi vill visa att p˚ast˚aendet Pk medf¨or p˚ast˚aendet Pk+1 ). Vi startar med v¨ansterledet i sista likheten och utnyttjar f¨oruts¨attningen att n¨ast sista likhet g¨aller:

[1 + 3 + · · · + (2k − 1)] + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1) = (k + 1)2 . Vi har bevisat p˚ast˚aendet f¨or k + 1 under f¨oruts¨attningen att p˚ast˚aendet g¨aller f¨or k. D¨armed kan vi konstatera att likheten enligt induktionsprincipen g¨aller f¨or varje naturligt tal n ≥ 1. ¨ Ovning F: Svar: an =

n(n+1) . 2

¨ Ovning H 3: Svar: S3 (n) =

Pn

3 3 3 3 3 2 i=1 i = 1 + 2 + 3 + · · · + n = (1 + 2 + · · · + n) =

³

n(n+1) 2

´2

¨ Ovning G 1: Vi har T1 = 61 − 1 = 5, vilket a¨ r ett tal delbart med 5. Nu resonerar vi p˚a f¨oljande s¨att. L˚at oss anta att vi redan vet att talet Tk a¨ r delbart med 5 dvs Tk = 5qk , d¨ar qk a¨ r ett heltal. Vad kan man s¨aga om n¨asta tal Tk+1 ? Vi har

Tk+1 − Tk = (6k+1 + 1) − (6k + 1) = 6k+1 − 6k = 6k (6 − 1) = 5 · 6k . D¨arf¨or

Tk+1 = Tk + 5 · 6k = 5qk + 5 · 6k = 5(qk + 6k ). Den sista likheten visar att a¨ ven Tk+1 a¨ r en multipel av 5: Tk+1 = 5qk+1 med qk+1 = qk + 6k . Allts˚a har vi visat implikationen:

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 5

10

F¨or varje k g¨aller att 5 delar Tk implicerar att 5 delar Tk+1 . Enligt induktionsprincipen a¨ r alla tal Tn = 6n − 1 delbara med 5.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Avsnitt 6

INDUKTIVA OCH DEDUKTIVA RESONEMANG Med induktion menar man vanligen en mycket vanlig resonemangsmetod: man g¨or flera observationer, uppt¨acker ett m¨onster (eller n˚agot som man tror a¨ r ett m¨onster) och d¨arefter formulerar man en generalisering. I m˚anga ordb¨ocker o¨ ver fr¨ammande ord i svenskan finner man f¨oljande f¨orklaring av ordet inducera: “sluta fr˚an det enskilda till det allm¨anna”. Induktion a¨ r d˚a ett resonemang d˚a man inducerar. Induktion f¨orekommer mycket ofta i vardagliga sammanhang. T¨ank p˚a alla ordspr˚ak, tales¨att och bondepraktiker! De bygger oftast p˚a m˚anga observationer och l˚angtg˚aende generaliseringar som t ex “En gr¨on jul g¨or en vit p˚ask” eller “N¨ar katter och hundar a¨ ter gr¨as blir det ov¨ader”. Mycket ofta a¨ r dessa generaliseringar helt korrekta. Men ibland sl˚ar de fel eftersom “ingen regel utan undantag”. Hur a¨ r det i matematiska sammanhang? Induktionsmetoden anv¨ands ocks˚a mycket ofta f¨or att formul¨ara f¨ormodanden (hypoteser). Man studerar ofta olika specialfall och f¨ors¨oker med hj¨alp av dessa f˚a en inblick i allm¨anna f¨oreteelser. Detta a¨ r gemensamt f¨or matematik och andra naturvetenskaper som t ex fysik, kemi eller biologi. Men en matematiker accepterar aldrig en argumentering som s¨ager att n˚agot m˚aste g¨alla rent allm¨ant d¨arf¨or att det g¨aller i alla hittills k¨anda specialfall. Varje experimentellt resultat dvs en studie av olika specialfall m˚aste kompletteras med ett matematiskt godtagbart resonemang. S˚adana resonemang kallas vanligen “bevis” och bygger p˚a deduktion. Ordet deduktion f¨orklaras i ordb¨ocker som “logisk bevisf¨oring”. I detta avsnitt f¨ors¨oker vi f¨orklara vad man menar med deduktion och visa att induktion kan ge en v¨ardefull ledning till formuleringar av matematiska resultat † . Innan vi b¨orjar med exempel, l˚at oss notera att andra naturvetenskaper oftast bygger sina allm¨anna teorier deduktivt (dvs med hj¨alp av logisk bevisf¨oring) fr˚an mycket omfattande observationer (experiment). Dessa teorier verifieras med hj¨alp av nya experiment eller andra teorier. Om man st¨oter p˚a mots¨agelser reviderar man g¨allande teorier. Man kan s¨aga att andra naturvetenskaper best˚ar av flera “lokala” delar som visserligen utvecklas deduktivt, men deras grunder har en experimentell karakt¨ar. Matematiken har en “global” karakt¨ar – den vilar p˚a mycket tydliga grundf¨oruts¨attningar †

Matematisk induktion a¨ r en av de deduktiva metoderna.

1

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

2

INDUKTIVA OCH DEDUKTIVA RESONEMANG

(axiom) som utg¨or matematikens grunder. Dessa grunder har ocks˚a ett experimentellt ursprung – de bygger i stor utstr¨ackning p˚a m¨anniskans erfarenhet med uppr¨akning av olika f¨orem˚al och med olika geometriska former. Men matematiska observationer och teorier som vi sysslar med ligger fr˚an b¨orjan inom matematikens omr˚ade. D¨arf¨or kan man f¨ors¨oka deducera (dvs motivera och bevisa) matematiska p˚ast˚aenden med utg˚angspunkt fr˚an matematikens spelregler. V˚ara slutsatser hotas inte av mots¨agelser om v˚ara utg˚angspunter inte strider mot varandra och bevisen a¨ r korrekta. Men att l¨ara sig matematikens spelregler och logisk bevisf¨oring a¨ r inte helt l¨att. Det a¨ r just ett av huvudsyften med matematikundervisningen p˚a alla niv˚aer. L˚at oss betrakta n˚agra exempel som visar att induktion i matematiska sammanhang kan b˚ade vara v¨ardefull och farlig som utg˚angspunkt till allm¨anna slutsatser.

(6.1) Exempel. (a) Betrakta br˚aken n+1 n och n+2 n+1 Vad kan man s¨aga om storleken av dessa tal d˚a n = 1, 2, 3, . . .? Vi g¨or ett litet experiment genom att s¨atta in n˚agra v¨arden p˚a n: n = 1 ger 12 och 23 , n = 2 ger 23 och 34 , n = 3 ger 34 och 45 . Det verkar som att det alltid g¨aller att

(∗)

n+1 n . < n+2 n+1

¨ detta sant? Troligen. Men vi m˚aste bevisa den olikheten d¨arf¨or att vi inte har n˚agon garanti att den Ar g¨aller f¨or alla naturliga tal n. Genom att multiplicera b¨agge leden i olikheten ovan med det positiva talet (n + 1)(n + 2) f˚ar vi att den a¨ r a¨ r ekvivalent med:

n(n + 2) < (n + 1)2 . dvs

n2 + 2n < n2 + 2n + 1. Denna olikhet f¨orenklas till

0 < 1,

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(6.1)

3

vilket onekligen a¨ r sant. Allts˚a a¨ r ocks˚a den ursprungliga olikheten (∗) sann d¨arf¨or att den a¨ r ekvivalent med den sanna olikheten 0 < 1. F¨orklaring. Beviset bygger p˚a omskrivningar som hela tiden ger ekvivalenta p˚ast˚aenden. Om p betecknar olikheten (∗), och q olikheten 0 < 1 s˚a visar vi att ekvivalensen p ⇔ q a¨ r sann. Men q a¨ r sann. Allts˚a m˚aste p vara sant. (b) Betrakta nu talen

2n och n3 . Vad kan man s¨aga om storleken av dessa tv˚a tal? n = 1 ger 21 = 2 och 13 = 1, n = 2 ger 22 = 4 och 23 = 8, f¨or n = 3 har vi 23 = 8 och 33 = 27, f¨or n = 4 a¨ r 24 = 16 och 43 = 64. Det verkar som om 2n a¨ r mindre a¨ n n3 i varje fall om man bortser fr˚an n = 1 dvs f¨or n ≥ 2. Kan vi lita p˚a v˚ara iaktagelser? Testa n˚agra ytterligare v¨arden p˚a n. Man f˚ar 25 = 32 och 53 = 125. Det a¨ r fortfarande 25 < 53 . Man konstaterar vidare att 26 < 63 , 27 < 73 , 28 < 83 och 29 < 93 . Men 210 = 1024 > 103 = 1000 och a¨ nnu tydligare 211 = 2048 > 113 = 1331. Nu kan vi b¨orja tro p˚a motsatsen dvs att 2n > n3 f¨or alla n ≥ 10. Och detta p˚ast˚aende a¨ r verkligen sant! Vi kommer att bevisa den olikheten i avsnittet om matematisk induktion. n

(c) Ett av de mest ber¨omda misstagen i matematiken a¨ r Fermats p˚ast˚aende att talen Fn = 22 + 1 3 2 1 0 a¨ r primtal d˚a n = 0, 1, 2, . . .. Man har 22 + 1 = 3, 22 + 1 = 5, 22 + 1 = 17, 22 + 1 = 257, 4 22 + 1 = 65537 a¨ r alla primtal. Pierre Fermat p˚astod p˚a 1600-talet att alla tal Fn a¨ r primtal, men 100 5 a˚ r senare visade Leonhard Euler att talet F5 = 22 + 1 = 232 + 1 = 4294967297 a¨ r delbart med 641 (vi visar Eulers p˚ast˚aende som o¨ vning i avsnittet om restaritmetiker). Det intressanta a¨ r att man inte har hittat n˚agra nya primtal Fn ut¨over de som Fermat k¨ande (dvs F0 till F4 ). Alla k¨anda Fermattal Fn med n > 4 a¨ r sammansatta och man snarare kan tro p˚a motsasten till Fermats f¨ormodan. En s˚adan gissning (dvs en generalisering av de k¨anda experimentella resultaten) kan dock vara helt felaktig. (d) “Pythagoras ekvationen”

x2 + y 2 = z 2 har m˚anga heltaliga l¨osningar som t ex den mest ber¨omda

32 + 42 = 52 och m˚anga andra:

52 + 122 = 132 ,

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

4

INDUKTIVA OCH DEDUKTIVA RESONEMANG

82 + 152 = 172 ,

49612 + 64802 = 81612 , osv. I sj¨alva verket har denna ekvation o¨andligt m˚anga heltaliga l¨osningar. Formlerna:

x = m2 − n2 , y = 2mn, z = m2 + n2 , d¨ar m och n a¨ r heltal, ger alla s˚adana l¨osningar s˚a n¨ar som p˚a ordningen mellan x och y (se vidare o¨ vningar). Denna ekvation a¨ r ett exempel p˚a s˚a kallade Diofantiska ekvationer – ekvationer med heltaliga koefficienter som man f¨ors¨oker l¨osa i heltalen (eller i rationella talen). Ett mycket ber¨omt exempel a¨ r Fermats ekvation:

xn + y n = z n d¨ar n a¨ r ett positivt heltal st¨orre a¨ n 2. Den franske matematikern Pierre de Fermat studerade den ekvationen a˚ r 1637 och under en tid trodde att han hade bevisat att i varje heltalig l¨osning m˚aste minst ett av talen x, y, z vara lika med 0. Detta p˚ast˚aende visades den 17 september 1995 av den engelske matematikern Andrew Wiles efter 358 a˚ r av s¨okande efter ett bevis. D˚a satsen visades visste man att Fermats p˚ast˚aende var sant f¨or alla n ≤ 4000000. Allts˚a trodde man p˚a att Fermats ekvation saknade heltaliga l¨osningar med xyz 6= 0, men trots denna tro s¨okte man efter ett bevis. Wiles bevis a¨ r mycket l˚angt – omfattar n¨ara 120 sidor och bygger p˚a flera tusen sidor av andra matematiska resultat. Men det finns en n¨ara besl¨aktad ekvation

x 4 + y 4 + z 4 = t4 som betraktades av Leonhard Euler under 1700–talet. Hans gissning var att den ekvationen, precis som Fermats, saknar heltaliga l¨osningar med xyzt 6= 0. I dator˚aldern f¨ors¨okte man kontrollera Eulers p˚ast˚aende. Man fann d˚a inga l¨osningar till ekvationen, vilket st¨odde bekr¨afta Eulers f¨ormodan. Men a˚ r 1988 hittade Noam Elkies, d˚a en mycket ung matematiker vid Harvard i USA, f¨oljande identitet:

187967604 + 26824404 + 153656394 = 206156734 vilket visar att Euler inte hade r¨att. Elkies l¨osning a¨ r “den minsta” i l¨amplig mening. Detta visar a¨ nnu en g˚ang att ett matematiskt p˚ast˚aende kan vara falskt (eller sant) trots att mycket talar f¨or (eller emot) dess riktighet.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(6.2)

5

(e) Ett annat exempel kommer fr˚an R.K. Guy artikel “The Strong Law of Small Numbers” i American Mathematical Monthly, 95(1988) inneh˚allande flera exempel p˚a f¨orhastade slutsatser som bygger p˚a matematiska experiment. Talen

31, 331, 3331, 33331, 333331, 3333331, 33333331 a¨ r alla primtal, men talet 333333331 a¨ r sammansatt – 333333331 a¨ r delbart med 17 (kontrollera!). ¤

Trots v˚ara exempel leder ofta matematiska experiment (induktion) till korrekta gisningar och har d¨armed ett mycket stort v¨arde. Efter en experimentserie formulerar man ofta en f¨ormodan (en hypotes) och d¨arefter f¨ors¨oker man bevisa dess riktighet. Vi ger ett antal exempel p˚a olika deduktiva matematiska resonemang. Man kan inte ge n˚agra allm¨anna recept p˚a hur man resonerar och bevisar matematiska sanningar. Att l¨ara sig dessa tekniker tar vanligen ganska l˚ang tid och kr¨aver mycket o¨ vning. Men det viktiga a¨ r att f¨orst˚a behovet av deduktiva motiveringar och f˚a en k¨ansla f¨or vad ett bevis inneb¨ar. Vi ger n˚agra exmpel p˚a deduktiva resonemang och samtidigt f¨ors¨oker vi f¨orklara hur man resonerar n¨ar man bevisar olika p˚ast˚aenden.

(6.2) Exempel. (a) Visa att kvadraten av ett udda heltal a¨ r udda. Bevis. Innan vi b¨orjar beviset m˚aste vi t¨anka en stund vad man menar med ett udda heltal. Svaret a¨ r att det a¨ r ett heltal som l¨amnar resten 1 vid division med 2. Ett s˚adant tal m˚aste kunna skrivas som n = 2q + 1, d¨ar q betecknar kvoten. Nu b¨orjar vi beviset. L˚at n vara ett udda heltal. Detta betyder att n l¨amnar resten 1 vid division med 2 dvs n = 2q + 1, d¨ar q a¨ r ett heltal. Vi r¨aknar:

n2 = (2q + 1)2 = 4q 2 + 4q + 1 = 2(2q 2 + 2q) + 1. Nu ser vi att a¨ ven n2 l¨amnar resten 1 vid division med 2, d¨arf¨or att n2 = 2Q + 1, d¨ar Q = 2q 2 + 2q (Q a¨ r kvoten d˚a man dividerar n2 med 2). Allts˚a a¨ r n2 ett udda heltal. ¤ F¨orklaring. Resonemanget ovan a¨ r ett exempel p˚a ett “mycket vanligt” direkt bevis. Man kan genomf¨ora resonemanget p˚a andra s¨att och formulera tankarna annorlunda (m¨ojligen n˚agot kortare). Observera att vi har visat att implikationen n a¨ r ett udda heltal ⇒ n2 a¨ r ett udda heltal a¨ r sann. (b) Vi skall visa att talet n¨amnare.

√ 2 inte a¨ r rationellt dvs kan inte skrivas som ett br˚ak med heltalig t¨aljare och

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

6

INDUKTIVA OCH DEDUKTIVA RESONEMANG

Bevis. Vi antar motsatsen dvs vi antar att

√ m 2= , n

(∗)

d¨ar b˚ade m och n a¨ r positiva heltal och n 6= 0. Vi f¨oruts¨atter att minst ett av talen m, n a¨ r udda d¨arf¨or att man alltid kan f¨orkorta br˚aket om t¨aljaren och n¨amnaren har en gemensam faktor 2. Den sista likheten ger

m2 = 2n2 . Den inneb¨ar att talet m2 a¨ r j¨amnt och s˚aledes m˚aste m vara j¨amnt (ty kvadraten av ett udda m a¨ r udda). Vi kan skriva m = 2m0 , d¨ar m0 a¨ r ett heltal. Ins¨attningen av 2m0 i st¨allet f¨or m ger

2m02 = n2 . Nu ser vi att a¨ ven n m˚aste vara j¨amnt ty n2 a¨ r j¨amnt. Men detta a¨ r en klar mots¨agelse – det visar sig att b˚ade m och n a¨ r j¨amna, medan vi f¨orutsatte √ att minst ett av dessa tal var udda. Denna mots¨agelse ¤ visar att ekvationen (∗) inte kan g¨alla dvs 2 a¨ r inte ett rationellt tal. √ F¨orklaring: Vi vill √ visa att utsagan A = ” 2 a¨ r inte ett rationellt tal” a¨ r sann. Vi utg˚ar ifr˚an dess motsats ¬A = ” 2 a¨ r ett rationellt tal”. Denna utsaga medf¨or mycket l¨att utsagan B =“minst ett av talen m, n a¨ r udda”. Efter n˚agra omskrivningar kommer vi till dess motsats: ¬B = “b¨agge talen m, n a¨ r j¨amna”. D˚a konstaterar vi att v˚ar utg˚angsutsaga ¬A m˚aste vara falsk dvs utsagan A a¨ r sann. Med hj¨alp av bokst¨aver kan situationen beskrivas p˚a f¨oljande s¨att:

¬A ⇒ (B ∧ ¬B) g¨aller. D˚a drar vi slutsatsen att ¬A a¨ r en falsk utsaga d¨arf¨or att den medf¨or en falsk utsaga B ∧ ¬B. Allts˚a m˚aste A vara sant. (6.4) Anm¨arkning. Resonemanget ovan f¨orekommer i olika varianter. Man vill visa A. Man antar att motsatsen ¬A g¨aller. Efter ett resonemang kommer man fram till att ¬A implicerar b˚ade B och ¬B, vilket a¨ r orimligt – man f˚ar en mots¨agelse. D˚a konstaterar man att antagandet att ¬A g¨aller var felaktigt dvs A m˚aste vara sant. Resonemag av den h¨ar typen kallas ofta f¨or mots¨agelsebevis† . De bygger p˚a f¨oljande tautologi: †

Det latinska namnet p˚a mots¨agelsebevis a¨ r reductio ad absurdum. Den engelska termen a¨ r proof by contradiction.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(6.4)

7

[¬A ⇒ (B ∧ ¬B)] ⇒ A ¤

(visa som o¨ vning att den a¨ r riktig!).

(c) Vi skall a˚ terkomma till exempel (a) och visa att n a¨ r ett udda heltal d˚a och endast d˚a n2 a¨ r ett udda heltal. F¨orklaring. I (a) hade vi en implikation, medan vi h¨ar har en ekvivalens. L˚at A beteckna utsagan “n a¨ r ett udda heltal” och B utsagan “n2 a¨ r ett udda heltal”. I (a) visade vi att implikationen A ⇒ B a¨ r sann. Nu vill vi visa ekvivalensen A ⇔ B. Vi har tautologin:

(A ⇔ B) ⇔ [(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)] som visar att vi nu saknar den andra implikationen B ⇒ A. Bevis. Ekvivalensen som skall visas kan ers¨attas av tv˚a implikationer: n udda ⇒ n2 udda och n2 udda ⇒ n udda. Den f¨orsta implikationen har redan visats i (a) ovan. Det a˚ terst˚ar att visa den andra. Vi vet att n2 a¨ r udda. Antag att n a¨ r ett j¨amnt heltal. D˚a a¨ r

n = 2n0 , d¨ar n0 a¨ r ett heltal. Allts˚a a¨ r n2 = 4n02 . Den likheten visar att n2 a¨ r j¨amnt. Vi har allts˚a visat implikationen: n j¨amnt ⇒ n2 j¨amnt. Detta inneb¨ar att n udda ⇒ n2 udda. ¤ F¨orklaring. Vi visar implikationen B ⇒ A. Vi antar ¬A. D˚a f˚ar vi ¬B dvs vi visar att implikationen

¬A ⇒ ¬B a¨ r sann. Vi drar slutsatsen att implikationen B ⇒ A a¨ r sann. H¨ar utnyttjas tautologin:

(B ⇒ A) ⇔ (¬A ⇒ ¬B) (kontrollera den!). Eftersom h¨ogerledet i ekvivalensen visade sig vara sant, s˚a m˚aste ocks˚a v¨ansterledet vara sant. Implikationen ¬A ⇒ ¬B kallas ofta kontrapositionen av B ⇒ A. Det faktum att en implikation och dess kontrapositiva form alltid a¨ r ekvivalenta utnyttjas ofta i matematiska resonemang. (d) Vilket av talen

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

8

INDUKTIVA OCH DEDUKTIVA RESONEMANG √ √ 3 7+5 2 √ eller b = 6 a= 5

a¨ r st¨orst? Man kunde ber¨akna b p˚a en minir¨aknare, men kan man lita p˚a minir¨aknare? Vi skall f¨ors¨oka l¨osa problemet och bevisa f¨orh˚allandet mellan a och b (svaret a¨ r inte sj¨alvklart). L˚at oss anta att a ≤ b (v˚art antagande kan visa sig vara falskt och d˚a a¨ r det tv¨artom a > b. Vi g¨or ett antal omskrivningar: √ √ 3 7+5 2 √ ≤6 ⇒ 5 √ √ √ 3 7+5 2≤6 5 ⇒ √ √ √ (3 7 + 5 2)2 ≤ (6 5)2 ⇒ √ √ 63 + 30 7 2 + 50 ≤ 180 ⇒ √ 30 14 ≤ 67 ⇒ √ (30 14)2 ≤ 672 ⇒

12600 ≤ 4489 Den sista olikheten a¨ r falsk. Allts˚a m˚aste den f¨orsta olikheten vara falsk d¨arf¨or att alla implikationer a¨ r sanna. Detta betyder att a > b dvs andra talet a¨ r mindre. F¨orklaring: Detta a¨ r ocks˚a ett exempel p˚a ett “mots¨agelsebevis”. Vi antar att a ≤ b (utsagan A). D˚a f˚ar vi att 12600 ≤ 4489 (utsagan B), vilket ger en mots¨agelse eftersom 12600 > 4489 (utsagan ¬B). Vi drar slutsatsen att v˚ar utg˚angsutsaga a ≤ b a¨ r falsk dvs a > b a¨ r sann. Observera dock att man kan resonera p˚a ett annat s¨att. Alla “pilar” ⇒ a¨ r i verkligheten ekvivalenser ⇔. Den falska olikheten 12600 ≤ 4489 s¨ager att den ursprungliga a ≤ b m˚aste vara falsk. D¨arf¨or g¨aller a > b. (Man kunde b¨orja med a > b och d˚a skulle resonemanget f¨orenklas.)

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(6.4)

9

¨ det sant att f¨or alla reella tal x g¨aller likheten (x + 1)2 = x2 + 1? Nej, likheten ter sig orimlig (e) Ar eftersom (x + 1)2 = x2 + 2x + 1, medan till h¨oger har man x2 + 1. R¨acker detta resonemang som bevis? En s˚adan argumentering a¨ r mycket n¨ara ett formellt bevis, men man kan komma med inv¨andningar– att tv˚a uttryck ser annorlunda ut beh¨over inte inneb¨ara att de inte a¨ r lika a¨ nd˚a. Ta t ex x3 + 1 och (x + 1)(x2 − x + 1). Dessa tv˚a uttryck har olika utseenden, men de a¨ r lika f¨or alla reella x:

(x + 1)(x2 − x + 1) = x3 − x2 + x + x2 − x + 1 = x3 + 1. Rent formellt undrar vi om f¨oljande utsaga a¨ r sann:

∀x∈R (x + 1)2 = x2 + 1. Vi vill visa att den a¨ r falsk, vilket betyder att

∃x∈R (x + 1)2 6= x2 + 1. Sanningen av den sista utsagan f¨oljer om vi ger ett enda exempel p˚a att det finns x ∈ R s˚a att (x+1)2 6= x2 + 1. V¨alj d˚a t ex x = 3. D˚a a¨ r

(3 + 1)2 6= 32 + 1. Detta a¨ r v˚art bevis. Man s¨ager ofta i liknande sammanhang att man konstruerar ett motexempel. √ √ √ ¨ det sant att f¨or alla rella tal a och b g¨aller det att a + b = a + b? Betrakta ett annat exempel. Ar Vi vet mycket v¨al att s˚a a¨ r inte fallet. Hur bevisar vi detta? Det r¨acker att konstruera ett motexempel: Tag a = 9, b = 16. D˚a har man:

VL =

√ 9 + 16 = 5

och

HL =

√ √ 9 + 16 = 7.

Om VL = HL, s˚a a¨ r 5 = 7 – en klar mots¨agelse. Detta visar att HL och VL inte a¨ r lika dvs rent allm¨ant a¨ r

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

10

INDUKTIVA OCH DEDUKTIVA RESONEMANG √ √ √ a + b 6= a + b. ¤

Vi a˚ terkommer i o¨ vningar till andra exempel p˚a bevis. L˚at oss notera att det mycket s¨allan finns f¨ardiga recept p˚a matematiska bevis. Det a¨ r en stor utmaning och ibland en mycket sv˚ar uppgift att bevisa matematiska satser. Men det finns en del bevismetoder och mycket generella principer. En k¨and bevismetod kallas “matematisk induktion”. Vi m¨oter den metoden i ett av de efterf¨oljande avsnitten. Men att ha en “bevismetod” betyder inte att man kan automatisera bevisprocessen (detta g¨aller inte minst matematisk induktion). Det finns dock undantagsfall d˚a matematiska bevis kan automatiseras. Ett s˚adant s¨allsynt exempel a¨ r bevis av tautologier i satslogik (man har ju “sanningstabeller”) och bevis av olika identiteter f¨or likheter mellan m¨angder (som kan o¨ vers¨attas till uttryck i satslogik – se motsvarande exempel i avsnitet om matematikens spr˚ak).

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 6

INDUKTIVA OCH DEDUKTIVA RESONEMANG Syftet med o¨ vningen a¨ r att o¨ ka Din probleml¨osningsf¨orm˚aga och bekanta Dig med olika bevismetoder. V˚art syfte a¨ r ocks˚a att o¨ va skriftlig framst¨allning av matematisk argumentering. Det a¨ r viktigt att Du ¨ f¨orst l¨aser stencilen om “Induktiva och deduktiva resonemang”. Ovningen best˚ar av ett antal problem som ibland formuleras som p˚ast˚aenden, och ibland, som “forskningsuppgifter” d˚a Du sj¨alv skall st¨alla upp en f¨ormodan och d¨arefter ge ett bevis. Man m˚aste vara medveten om att det inte finns n˚agra f¨ardiga recept p˚a hur man l¨oser matematiska problem. Probleml¨osningsf¨orm˚agan och f¨orm˚agan att klart och tydligt formulera matematiska argument kr¨aver mycket o¨ vning. Men det a¨ r alltid mycket viktigt att besvara fr˚agan “Vad skall jag g¨ora?” och d¨arefter pr¨ova olika metoder. Det a¨ r ocks˚a viktigt att f¨orst˚a att matematiska problem f¨or det mesta inte ger upp med en g˚ang. Ofta m˚aste man t¨anka en l¨angre tid f¨or att komma p˚a en l¨osning. Slutligen m˚aste man t¨anka p˚a att l¨osningen borde formuleras klart och tydligt f¨or att underl¨atta f¨or l¨asaren att f¨olja Dina tankar. Vi f¨oljer stencilen “Induktiva och deduktiva resonemang”. I f¨orsta hand f¨ors¨ok l¨osa uppgifterna A, B, D 1,2, H.

¨ Ovning A 1. Bevisa att x2 = 4 d˚a och endast d˚a x = −2 eller x = 2. 2. Bevisa att f¨or godtyckliga reella tal x, y g¨aller ekvivalensen x2 = y 2 ⇔ x = y eller x = −y. 3. Bevisa att x2 > 4 om och endast om x > 2 eller x < −2. 4. Bevisa att ¶ ¶µ µ 1 1 =1 1− 1− y x d˚a och endast d˚a x + y = 1. 1

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 6

2

F¨ors¨ok l¨osa uppgifterna p˚a egen hand. P˚a slutet av denna stencil finns n˚agra exempel som Du kan anv¨anda som ledningar.

¨ Ovning B L˚at n beteckna ett heltal. 1. Visa att om n a¨ r ett udda heltal s˚a a¨ r n2 + 1 ett j¨amnt heltal. Formulera omv¨andningen∗ av den ¨ omv¨andningen sann? Bevisa! implikationen. Ar 2. Visa att om n l¨amnar resten 1 vid division med 3 (dvs n = 3k + 1 f¨or ett heltal k), s˚a a¨ r talet ¨ omv¨andningen sann? n2 +2 delbart med 3. Formulera omv¨andningen av den implikationen! Ar Bevisa!

¨ Ovning C 1. Visa att n2 + (n + 1)2 a¨ r ett udda heltal. 2. Visa att produkten av tre efterf¨oljande heltal alltid a¨ r delbar med 6. Ledning. Tre efterf¨oljande tal kan betecknas med n − 1, n och n + 1. 3∗ Visa att produkten av fem efterf¨oljande heltal alltid a¨ r delbar med 30. 4. L˚at p > 3 vara ett primtal. Visa att p2 − 1 alltid a¨ r delbart med 24.

¨ Ovning D 1. L˚at x vara ett reellt positivt tal. Visa att x+

1 ≥ 2. x

N¨ar f˚ar man likhet? 2. L˚at nu a och b vara tv˚a positiva reella tal. Visa att a b + ≥ 2. b a Kan Du se ett samband med f¨orra uppgiften? Kan Du utnyttja sambandet? 3. L˚at a och b beteckna tv˚a icke–negativa reella tal. Bevisa olikheten: a+b √ ≥ ab 2 ∗

Omv¨andningen av A ⇒ B a¨ r B ⇒ A

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

3 och motivera att likheten g¨aller precis d˚a a = b. Tolka olikheten geometriskt genom att rita en r¨atvinklig triangel vars h¨ojd h fr˚an den r¨ata vinkeln delar hypotenusan i tv˚a delar som betecknas med a och b. Det finns en geometrisk sats som s¨ager att h2 = ab. ardet av a och b, och talet Anm¨arkning. Talet A(a, b) = a+b 2 kallas aritmetiska medelv¨ √ G(a, b) = ab kallas geometriska medelv¨ardet av dessa tal. Olikheten s¨ager s˚aledes att det aritmetiska medelv¨ardet aldrig a¨ r mindre a¨ n det geometriska. Man definierar ocks˚a harmoniska medelv¨ardet: H(a, b) =

1 a

2 . + 1b

4. Genom att v¨alja olika v¨arden p˚a a och b unders¨ok sambandet mellan A(a, b), G(a, b) och H(a, b). Formulera en f¨ormodan (hypotes) och ge ett bevis.

¨ Ovning E 1. Visa att f¨or alla reella tal a och b g¨aller a2 + 2ab + 3b2 ≥ 0. 2. Visa att f¨or alla reella tal a, b och c g¨aller a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac. 3. Visa att om 0 < x < 1 s˚a a¨ r 0 < x2 < x < 1. ¨ det sant att f¨or godtyckliga reella tal g¨aller ekvivalensen x2 > y 2 ⇔ x > y? F¨ors¨ok 4. Ar formulera l¨ampliga f¨oruts¨attningar om x och y som garanterar att ekvivalensen g¨aller. Bevisa Ditt p˚ast˚aende.

¨ Ovning F ¨ dessa tal primtal 1. Studera talen n2 + 3n + 2 f¨or olika naturliga tal n (s¨ag, n = 1, 2, 3, 4, 5). Ar eller sammansatta tal? Formulera en f¨ormodan och bevisa den. ¨ dessa tal sammansatta eller primtal? (det a¨ r 2. Studera talen n4 + 4 d˚a n a¨ r ett naturligt tal. Ar m¨ojligt att Du beh¨over en minir¨aknare). Visa Din f¨ormodan. 3. Nu studera talen n2 + 1 f¨or olika naturliga tal n. Vad tror Du om f¨orekomsten av primtal och sammansatta d˚a n = 1, 2, 3, . . .? Formulera en f¨ormodan ang˚aende dessa tv˚a taltyper. Bevisa s˚a mycket Du kan! (Det kan vara hoppl¨ost att f¨ors¨oka bevisa Din f¨ormodan i detta fall – Du f˚ar svar under undervisningens g˚ang).

¨ Ovning G 1. Bevisa att talet 7 inte kan skrivas som summa av tv˚a heltaliga kvadrater. Ge n˚agra exempel p˚a andra tal, som liksom 7, inte a¨ r summor av tv˚a heltaliga kvadrater. Ge ocks˚a n˚agra exempel p˚a tal som kan skrivas som s˚adana summor.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 6

4

2. Bevisa att talet 7 inte kan skrivas som summa av tre, men att det kan skrivas som summa av fyra heltaliga kvadrater. Anm¨arkning. Fr˚agan om vilka naturliga tal n kan skrivas som summor av tv˚a, tre och fyra kvadrater studeras av flera ber¨omda matematiker bl a Pierre de Fermat, Leonhard Euler och Carl Friedrich Gauss (l¨as om Euler i ”Matte med mening” p˚a sid. 49, och om Gauss p˚a sid. 37).

¨ Ovning H √ 5 a¨ r irrationellt. √ Ledning: H¨arma beviset att 2 inte a¨ r rationellt i stencilen “Induktiva och deduktiva resonemang”.

1. Bevisa att talet

2. F¨ors¨ok generalisera p˚ast˚aendet ovan genom att ers¨atta 5 med andra heltal eller kvadratroten med andra r¨otter. ¨ Ledning till Ovning A: (a) Vi visar att x2 = 25 d˚a och endast d˚a x = 5 eller x = −5. Bevis:

x2 = 25 ⇔ x2 − 25 = 0 ⇔ (x − 5)(x + 5) = 0 ⇔

x − 5 = 0 eller x + 5 = 0 ⇔ x = 5 eller x = −5. Vi utnyttjar “konjugatregeln” (a2 − b2 = (a − b)(a + b)) och den egenskap hos de reella talen som s¨ager att en produkt av tv˚a tal a¨ r lika med 0 d˚a och endast d˚a minst en av faktorerna a¨ r lika med 0. I (b) kan Du resonera p˚a samma s¨att (eventuellt t¨anka p˚a y som om det vore 5). I (c) a¨ r skillnaden den att i st¨allet f¨or “ = ” har vi en olikhet “ < ”. Man b¨orjar med

x2 > 25 ⇔ x2 − 25 > 0 ⇔ (x − 5)(x + 5) > 0. Nu m˚aste man besvara fr˚agan n¨ar (x − 5)(x + 5) > 0. Detta h¨ander precis d˚a b¨agge faktorerna a¨ r positiva eller b¨agge a¨ r negativa. F¨ors¨ok g˚a vidare! F¨oljande o¨ vningar i Vretblads bok rekommenderas: Vretblad: 1.5, 1.6 (106), 1.7 (107), 1.46 (136), 1.48 (139).

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 7

KOMPLEXA TAL ¨ Ovningens syfte a¨ r att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som a¨ r en utvidgning av de reella talen, kom till p˚a 1400–talet d˚a man f¨ors¨okte l¨osa kvadratiska ekvationer som t ex x2 + 1 = 0, x2 − 2x + 2 = 0 osv. Man k¨ande redan till existensen av en allm¨an formel f¨or kvadratiska ekvationer:

x2 + px + q = 0 har tv˚a reella l¨osningar

p x1 = − − 2

r

p p2 − q och x2 = − + 2 4

r

p2 −q 4

om bara diskriminanten ∆ = p2 − 4q ≥ 0 (om ∆ = 0 s˚a a¨ r uttrycket under rottecknet i l¨osningarna lika med 0 s˚a att det finns en s˚a kallad dubbelrot x1 = x2 = − p2 ). Om man t ex f¨ors¨oker l¨osa ekvationen x2 − 2x + 2 = 0 i enlighet med dessa formler s˚a f˚ar man

x1 = 1 −

√ √ −1, x2 = 1 + −1.

Detta verkar vara meningsl¨ost, men om man betecknar t ex x1 i ekvationen s˚a f˚ar man

√ −1 = i, accepterar att i2 = −1 och s¨atter in

V.L. = (1 − i)2 − 2(1 − i) + 2 = 1 − 2i + i2 − 2 + 2i + 2 = 0 = H.L., ¨ dvs x1 satisfierar ekvationen. Aven x2 a¨ r en “l¨osning”. Observera att vi inte bara har accepterat sym2 bolen i och dess egenskap i = −1, utan ocks˚a de vanliga r¨aknelagarna f¨or “de gamla talen” i samband 1

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 7

2

med t ex kvadrering. Under 1400-talet och i b¨orjan av 1500-talet b¨orjade man l¨osa kvadratiska ekvationer och a¨ ven ekvationer av h¨ogre grad med dessa nya tal. T¨ank Dig ett barn som endast k¨anner till de naturliga talen och pl¨otsligt kommer i kontakt med ett problem som leder till ekvationen 2x = 1 (att dela n˚agot i tv˚a lika delar). D˚a dyker ett behov upp av ett nytt tal 12 . Det var ungef¨ar samma situation, fast p˚a en mer avancerad niv˚a, som ledde till komplexa tal. Det tog drygt 300 a˚ r innan man kom underfund med en helt tillfredsst¨allande definition av de komplexa talen som fr˚an b¨orjan definierades som: uttryck p˚a formen

a + bi, d¨ar a, b ∈ R och i2 = −1. a kallas vanligen realdelen och b imagin¨ardelen av z. Vi bekantar oss med den formella definitionen i avsnittet om “Talsystem”. I detta avsnitt kommer vi att arbeta med komplexa tal precis som man har arbetat med dessa tal under flera hundra a˚ r genom att acceptera definitionen ovan. Observera att tv˚a komplexa tal a + bi och c + di betraktas som lika d˚a och endast d˚a a = c och b = d. Man utf¨or alla vanliga operationer: addition, subtraktion, multiplikation och division p˚a precis samma s¨att som f¨or vanliga reella tal – det enda som tillkommer a¨ r villkoret i2 = −1. Syftet med denna o¨ vning a¨ r att bekanta sig med de grundl¨aggande egenskaperna hos de komplexa talen:

• de fyra r¨aknes¨atten, • konjugat och absolutbelopp, • geometrisk tolkning av komplexa tal, • pol¨ar framst¨allning, • l¨osning av ekvationer: kvadratiska och binomiska, • enhetsr¨otter.

Vi f¨oljer Kapitel 6 i Vretblads bok.

¨ Ovning A 1. L¨os f¨oljande uppgifter i Vretblads bok: 6.1 (601), 6.2 (602), 6.6 (605). 2. L˚at z1 = a1 + b1 i och z2 = a2 + b2 i beteckna tv˚a komplexa tal. Hur definieras summan z1 + z2 , skillnaden z1 − z2 , produkten z1 z2 och kvoten zz12 (h¨ar antas z2 6= 0)? Skriv ut definitionerna med ledning av avsnitt 6.2 i Vretblads bok.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

3

¨ Ovning B 1. L˚at z = a + bi. Vad menas med det konjugerade talet z¯ (se avsnitt 6.2 i Vretblads bok). 2. L˚at z = 3 + 5i. Ber¨akna z¯. 3. L˚at z, z1 , z2 beteckna komplexa tal. Bevisa formlerna: (a) z = z, (b) z1 + z2 = z¯1 + z¯2 , (c) z1 z2 = z¯1 z¯2 , (d) ( zz12 ) =

z¯1 z¯2

(z2 6= 0),

¨ Ovning C 1. L˚at z = a + bi. Vad menas med absolutbeloppet |z|? 2. L˚at z, z1 , z2 beteckna komplexa tal. Bevisa formlerna: (a) |z|2 = z z¯, (b) |z| = |¯ z |, (c) |z1 z2 | = |z1 ||z2 |, Ledning. Kvadrera likheten och anv¨and (a)! ¯ ¯ ¯ ¯ 1| (d) ¯ zz12 ¯ = |z |z2 | (z2 6= 0). 3. Ber¨akna tv˚a heltal k, l s˚a att (232 + 352 )(102 + 1002 ) = k 2 + l2 . Anv¨and komplexa tal och (c). Kan Du generalisera Ditt resultat? 4. L¨os f¨oljande uppgifter i Vretblads bok: 6.5 c), d), e), f) (603 c), d), e), f)).

¨ Ovning D Man tolkar det komplexa talet z = a + bi som punkten (a, b) i ett vanligt r¨atvinkligt koordinatsystem (se avsnitt 6.4 i Vretblads bok). Man identifierar z med punkten (a, b) – man s¨ager ofta “punkten z” om (a, b). Ibland vill man se talet z som en vektor – oftast fr˚an (0, 0) till punkten (a, b). 1. Rita ett r¨atvinkligt koordinatsystem och tolka geometriskt f¨oljande tal: (a) z = a + bi och z¯ = a − bi (f¨ors¨ok beskriva deras l¨age i f¨orh˚allande till varandra); √ (b) Re z = a, Im z = b och |z| = a2 + b2 . Kan Du se ett samband mellan |z| och en k¨and sats? (c) z1 + z2 d˚a z1 = a + bi och z2 = c + di. Tolka d¨arefter |z1 + z2 |, |z1 | och |z2 |; Ledning. Summan z1 + z2 svarar mot diagonalen i den parallellogram som har sina h¨orn i (de punkter som svarar mot) (0, 0), z1 , z2 och z1 + z2 .

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 7

4

2. Kan Du f¨orklara hur triangelolikheten |z1 +z2 | ≤ |z1 |+|z2 | kan tolkas geometriskt med hj¨alp av f¨orra uppgiften? (f¨or ett algebraiskt bevis av denna olikhet se boken eller f¨orel¨asningsanteckningar). 3. Hur tolkas z1 − z2 d˚a z1 och z2 uppfattas som vektorer fr˚an (0, 0) till punkterna z1 och z2 ? Anv¨and samma bild som i f¨orra uppgiften. Hur tolkas |z1 − z2 |? L˚at z1 = a + bi, z2 = c + di och skriv ut |z1 − z2 | – k¨anner Du igen en k¨and formel? 4. L¨os o¨ vningar 6.22 a), b), c), f) (616 a), b), c), f)) i Vretblads bok.

¨ Ovning E 6

1. Betrakta figuren

¡ ¡ z = a + bi

b

|z|¡¡ ¡

¡

¡θ

¡

a

-

och f¨orklara varf¨or a = |z| cos θ och b = |z| sin θ. Vi f¨oruts¨atter att z 6= 0. Anm¨arkning. Vinkeln θ kallas ett argument f¨or z och betecknas θ = arg z. Ofta v¨aljer man denna vinkel s˚a att 0 ≤ θ < 2π. Om θ a¨ r ett argument, s˚a a¨ r b˚ade θ + 2π och θ − 2π argument f¨or z. Man kan skriva z = a + bi = |z|(cos θ + i sin θ). Den sista framst¨allningen kallas pol¨ar form. 2. Skriv p˚a pol¨ar form (a) z = 1 + i, √ (b) z = 3 + i. 3. L˚at z1 = |z1 |(cos θ1 + i sin θ1 ) och z2 = |z2 |(cos θ2 + i sin θ2 ) vara komplexa tal p˚a pol¨ar form. Ber¨akna produkten z1 z2 och kvoten zz12 . Skriv dessa tal p˚a pol¨ar form. F¨orklara vad som h¨ander med beloppen och med argumenten d˚a man multiplicerar eller dividerar tv˚a komplexa tal (se avsnitt 6.4 i boken). 4. L¨os uppgift 6.18 (611) i Vretblads bok. 5. Tolka geometriskt f¨orh˚allandet mellan ett komplext tal z 6= 0 och talet iz? 6. Om z = |z|(cos θ + i sin θ), s˚a a¨ r z n = |z|n (cos nθ + i sin nθ), vilket kallas de Moivres formel (se Vretblads bok avsnitt 6.4). L¨os med hj¨alp av denna formel uppgifterna 6.39 (628), 6.19 (612) och 6.20 a) (613 a)) i boken.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

5

¨ Ovning F Kvadratr¨otter och kvadratiska ekvationer. √ 1. Vad menas med beteckningen −1? L¨os ekvationen z 2 = −1? √ Anm¨arkning. Med a + bi menas vanligen en godtycklig l¨osning till ekvationen z 2 = a + bi. Denna ekvation har tv˚a olika l¨osningar om√a + bi 6= 0. Ibland fixerar man en l¨osning genom l¨ampliga villkor. Man skriver mycket ofta −1 f¨or att just beteckna talet i (och ej −i). Vi ger en str¨ang definition av talet i senare i kursen. 2. Ber¨akna: √ (a) 3 + 4i, √ (b) 7 − 24i (se boken om Du vill), √ (c) i. 3. I b¨orjan av denna stencil finns allm¨anna formler f¨or l¨osningar av kvadratiska ekvationer. Anv¨and dessa formler f¨or att l¨osa ekvationerna 6.25 (619) och 6.27 (621) i Vretblads bok.

¨ Ovning G Binomiska ekvationer. Ekvationerna av typen z n = A, d¨ar A a¨ r ett komplext tal, kallas binomiska. L¨as om dessa ekvationer i avsnitt 6.6 i boken. Om A = |A|(cos α + i sin α) s˚a ges alla l¨osningar p˚a formen zk =

p α + 2πk α + 2πk n ), + sin |A|(cos n n

d¨ar k = 0, 1, . . . , n − 1. 1. L¨os ekvationen z 4 = −16. Se exempel 1 i avsnitt 6.6. L¨as noga. Anv¨and formeln ovan f¨or att l¨osa denna ekvation. 2. L¨os ekvationen z 3 = 2i − 2.

¨ Ovning H Enhetsr¨otter. L¨osningarna till ekvationerna z n = 1 kallas enhetsr¨otter. Dessa komplexa tal har m˚anga anm¨arkningsv¨arda egenskaper och spelar en stor roll i matematiken. 1. Ber¨akna enhetsr¨otterna f¨or n = 2, 3, 4, 5, 6 och tolka dessa komplexa tal geometriskt (en bild f¨or varje n). 2. Ber¨akna summan av alla fj¨arde enhetsr¨otter dvs alla l¨osningar till ekvationen z 4 = 1. Visa att Ditt resultat kan generaliseras (studera enhetsr¨otterna i uppgiften ovan).

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 7

6

3. Rita enhetscirkeln i det komplexa planet och v¨alj en godtycklig punkt a p˚a denna cirkel. L˚at z1 , z2 , z3 , z4 beteckna l¨osningarna till ekvationen z 4 = 1. Ber¨akna summan av kvadraterna av avst˚anden mellan a och zk dvs summan |z1 − a|2 + |z2 − a|2 + |z3 − a|2 + |z4 − a|2 . F¨ors¨ok generalisera Ditt resultat till enhetsr¨otterna z n = 1 f¨or godtyckliga n.

F¨oljande o¨ vningar i Vretblads bok rekommenderas: Vretblad: 6.5 (603), 6.9 (606), 6.29 (622), 6.30 (623), 6.32 (625), 6.44, 6.47 (634), 6.48 (635), 6.49 (636).

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 8

POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER

Syftet med denna o¨ vning a¨ r att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med en del nya egenskaper hos polynom. Vi kommer att unders¨oka hur olika egenskaper hos polynom beror p˚a deras koefficienter. D¨arf¨or betraktar vi polynom med koefficienter i olika talomr˚aden: Z (heltaliga koefficienter), Q (rationella koefficienter), R (reella koefficienter), C (komplexa koefficienter). Vi betecknar med Z[X], Q[X], R[X], C[X] alla polynom med koefficienter i respektive Z, Q, R och C. Om R betecknar ett av dessa talomr˚aden s˚a skriver vi R[X] f¨or alla polynom med koefficienter i R. R[X] kallas polynomringen o¨ ver R. De viktigaste begreppen i detta avsnitt a¨ r

• Delbarhet av polynom • Divisionsalgoritmen • St¨orsta gemensamma delaren • Reducibla och irreducibla polynom • Nollst¨allen till polynom (dubbla r¨otter, multipla r¨otter) • Faktoruppdelningar av polynom i olika polynomringar

Vi f¨oljer kapitel 7 i Vretblads bok. 1

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 8

2

¨ Ovning A Den f¨orsta o¨ vningen a¨ gnas a˚ t divisionsalgoritmen. Om f (X) och g(X) 6= 0 a¨ r tv˚a polynom s˚a betecknar vi med q(X) och r(X) kvoten och resten vid division av f (X) med g(X). Man har f (X) = g(X)q(X) + r(X), d¨ar grad r(X) < grad g(X) eller r(X) = 0. 1. Best¨am kvoten och resten vid division av f¨oljande polynom: (a) f (X) = X 4 + 5X 3 − 3X + 2, g(X) = X 2 − 1 (b) f (X) = 5X 3 − 2X + 1, g(X) = X 2 + X (c) f (X) = X 4 + 2X 3 + 4X 2 + 2X + 3, g(X) = X 2 + 2X + 3 2. Vad kan man s¨aga om resten vid division av ett polynom f (X) med ett polynom X − a? Vilken grad har resten? Bevisa att resten av f (X) vid division med X − a a¨ r lika med f (a). Ledning. Enligt divisionsalgoritmen a¨ r f (X) = (X − a)q(X) + r(X). Vad kan man s¨aga om r(X)? Ber¨akna resten genom ins¨attning av X = a. 3. Ber¨akna resten vid division av f (X) med X − a d˚a (a) f (X) = X 3 − 2X 2 + 8X + 5, a = 3 (b) f (X) = 3X 4 + 5X 2 − 4X − 11, a = −1 Du beh¨over inte utf¨ora divisionen!

¨ Ovning B 1. Vad s¨ager faktorsatsen? F¨ors¨ok f¨orklara hur man utnyttjar faktorsatsen f¨or att l¨osa polynomekvationer. 2. L¨os ekvationen X 3 − 6X 2 + 11X − 6 = 0 som har en rot X = 1. 3. L¨os uppgift 7.9 (706) i Vretblads bok.

¨ Ovning C L˚at K[X] vara en av polynomringarna Q[X], R[X], C[X]. 1. Vad menas med ett reducibelt, respektive irreducibelt, polynom i K[X]? 2. Om m¨ojligt, uppdela f¨oljande polynom i produkt av minst tv˚a polynom av l¨agre grad i Q[X], R[X] och C[X]:

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

3 (a) f (X) = X 2 + 1 (b) f (X) = X 4 − 1 (c) f (X) = X 4 + 4 (d) f (X) = X 4 + 2X 2 + 9 Vilka av polynomen a¨ r irreducibla i respektive polynomring? 3. Visa att f¨oljande polynom a¨ r irreducibla i givna polynomringar (dvs inte kan faktoruppdelas i produkt av tv˚a polynom av l¨agre grad): (a) X 3 − 2 i Q[X] (b) X 2 + 2X + 2 i R[X] (c) X 4 + 1 i Q[X] Ledning. N¨asta uppgift kan underl¨atta denna. Om ett polynom har heltaliga koefficienter och kan uppdelas i produkt av tv˚a polynom av l¨agre grad med rationella koefficienter s˚a kan det ocks˚a uppdelas i en produkt av tv˚a polynom med heltaliga koefficienter och samma grad. Detta p˚ast˚aende kallas ”Gauss lemma” och visas t ex i kursen ”Algebraisk talteori”. Du f˚ar anv¨anda detta (ganska sj¨alvklara) resultat i (c). 4. L˚at f ∈ K[X]. Visa att (a) Om grad f ≥ 2 och f har ett nollst¨alle i K s˚a a¨ r f reducibelt i K[X]. (b) Om grad f = 2 eller 3 s˚a a¨ r f reducibelt i K[X] d˚a och endast d˚a f har nollst¨allen i K. (c) Konstruera ett exempel som visar att (b) inte g¨aller d˚a grad f = 4. 5. Faktoruppdela de givna polynomen i produkt av irreducibla i Q[X], R[X] och C[X]: (a) X 4 − 1 (b) X 4 + X 2 − 6 (c) X 6 + 1

¨ Ovning D 1. Vad menas med att ett polynom d(X) ∈ K[X] delar ett polynom f (X) ∈ K[X]? 2. Vad menas med st¨orsta gemensamma delaren till tv˚a polynom f (X) och g(X)? Ber¨akna SGD(f, g) med hj¨alp av Euklides algoritm d˚a (a) f (X) = X 5 − 14X − 4, g(X) = X 3 − 3X − 2 (b) f (X) = X 4 − 1, g(X) = 2X 3 − X 2 + 2X − 1 Anm¨arkning. P˚a samma s¨att som f¨or heltal visar man att SGD(f, g) = f p + gq, d¨ar p och q a¨ r l¨ampliga polynom. Polynomen p och q kan ber¨aknas med hj¨alp av Euklides algoritm.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 8

4

3. Bevisa att om tv˚a polynom f och g a¨ r relativt prima dvs SGD(f, g) = 1 och f |h samt g|h s˚a f g|h. Kan Du se en likhet med en sats om heltal? Vilken? 4. Bevisa att om ett polynom d delar produkten f g av tv˚a polynom och d a¨ r relativt primt med f (dvs SGD(d, f ) = 1) s˚a d delar g. Vad s¨ager motsvarande sats om heltalen?

¨ Ovning E L¨osning av ekvationer. En polynomekvation a¨ r en ekvation av typen f (X) = 0, d¨ar f (X) a¨ r ett polynom. Sv˚arigheterna med att l¨osa s˚adana ekvationer v¨axer med graden. Helt banalt l¨oser man f¨orstagradsekvationer: ax + b = 0, a 6= 0 ger x = − ab . F¨or andragradsekvationer ax2 + bx + c = 0, a 6= 0, har man den v¨alk¨anda formeln

x1,2

b =− ± 2a

sµ

b 2a

¶2 −

c a

som kan h¨arledas med kvadratkomplettering. F¨or ekvationer av grad 3 och 4 existerar mycket mer komplicerade formler som man lyckades h¨arleda under 1500–talet. Man vet att f¨or helt godtyckliga ekvationer av grad ≥ 5 a¨ r det inte m¨ojligt att uttrycka r¨otterna med hj¨alp av de fyra r¨aknes¨atten och rotutragningar som till¨ampas p˚a ekvationens koefficienter. Detta visades av den store norske matematikern N.H. Abel∗ och den lika ber¨omde franske ´ Galois† Rent praktiskt l¨oser man ofta polynomekvationer med numeriska matematikern E. metoder som ger helt tillfredsst¨allande n¨armev¨arden till l¨osningarna. Ibland utnyttjas enkla satser vars till¨ampningsm¨ojligheter a¨ r ganska begr¨ansade n¨ar det g¨aller att l¨osa ekvationer, men a¨ r helt tillr¨ackliga i undervisningssammanhang. Vi har tv˚a s˚adana satser i kursboken: Om ett rationellt tal pq , d¨ar p, q ∈ Z, SGD(p, q) = 1, a¨ r ett nollst¨alle till polynomet f (X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 med heltaliga koefficienter ai , s˚a a¨ r p en delare till den l¨agsta koefficienten a0 , och q a¨ r en delare till den h¨ogsta koefficienten an . Om α a¨ r ett (komplext) nollst¨alle till ett polynom f (X) med reella koefficienter, dvs f (α) = 0, s˚a a¨ r ocks˚a α ¯ ett nollst¨alle till f (X), dvs f (¯ α) = 0. ∗

Nils Henrik Abel (5/8 1802 – 6/4 1829). Abel visade sina resultat om ekvationer av grad ≥ 5 n¨ar han var 19 a˚ r gammal. Han l¨oste m˚anga viktiga matematiska problem inom flera olika omr˚aden. I Oslo finns hans monument i den Kungliga Parken. †´ Evariste Galois (25/10 1811 – 30/5 1832). Under sitt mycket korta liv skapade Galois en mycket viktig teori idag kallad ”Galoisteori” som sysslar med polynomekvationer. Han visade hur abstrakta matematiska teorier kan bidra till att l¨osa komplicerade matematiska problem. P˚a det s¨attet bidrog han till utvecklingen av den moderna matematiken. Galois lade grunden f¨or gruppteorin och teorin f¨or a¨ ndliga kroppar. Dessa teorier har stor betydelse f¨or hela matematiken och dess till¨ampningar inom fysik, kemi, kodningsteori och radarkommunikation.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

5 1. L¨os f¨oljande ekvationer: (a) X 3 − 6X 2 + 11X − 6 = 0 (b) 2X 3 − X 2 + 2X − 1 = 0 ¨ (c) Ovning 7.30 (719) eller 7.31 (720) i Vretblads bok. 2. L¨os uppgifterna 7.22 (714) och 7.25 (717) i Vretblads bok. 3. Man vet att polynomet X 4 − 2X 3 + 3X 2 − 2X + 2 har ett nollst¨alle 1 + i. Best¨am alla andra nollst¨allen till polynomet.

¨ Ovning F 1. L˚at N = an an−1 . . . a1 a0 beteckna ett naturligt tal med siffrorna ai (t ex N = 452 = a2 a1 a0 med a0 = 2, a1 = 5, a2 = 4). Betrakta polynomet

(∗)

f (X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 .

(a) Delbarhetskriterium vid division med 3 och 9. Visa att N a¨ r delbart med 3 (respektive 9) d˚a och endast d˚a siffersumman i N a¨ r delbar med 3 (respektive 9). Ledning. Dividera f (X) med X − 1. Observera att N = f (10) och att siffersumman i N a¨ r lika med f (1). S¨att in X = 10 och drag slutsatsen att N och dess siffersumma ger samma rest vid division med 3 (respektive 9). (b) Delbarhetskriterium vid division med 11. Visa att N ger samma rest vid division med 11 som sin alternerande siffersumma a0 − a1 + a2 − a3 + · · · + (−1)n an (exempel: 1936 a¨ r delbart med 11 ty 6 − 3 + 9 − 1 = 11 a¨ r delbart med 11). Ledning. G¨or som i (a), men ers¨att X − 1 med X + 1.

¨ Ovning G Derivatan av ett polynom. L˚at f (X) = a0 + a1 X + . . . + an X n ∈ K[X]. Derivatan av f (X) definieras helt formellt som f 0 (X) = a1 + 2a2 X + . . . + nan X n−1 . Man kan utan sv˚arigheter kontrollera de vanliga deriveringsreglerna (f + g)0 = f 0 + g 0 och (f g)0 = f 0 g + f g 0 .

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 8

6

1. Visa att a ∈ K a¨ r ett multipelt nollst¨alle till f ∈ K[X] (dvs a har multipliciteten > 1) d˚a och endast d˚a f (a) = f 0 (a) = 0. L¨osning. ”⇒” L˚at f (X) = (X −a)2 q(X) (multipliciteten av a a¨ r minst 2). D˚a a¨ r f 0 (X) = 2(X − a)q(X) + (X − a)2 q 0 (X) s˚a att f (a) = f 0 (a) = 0. ”⇐” Antag att f (a) = f 0 (a) = 0 och att multipliciteten av a a¨ r 1 dvs f (X) = (X −a)q(X) och q(a) 6= 0. D˚a a¨ r f 0 (X) = q(X) + (X − a)q 0 (X) s˚a att f 0 (a) = q(a) 6= 0 – en mots¨agelse. 2. Best¨am reella tal a och b s˚a att polynomet f (X) = aX 2000 + bX 1999 + 1 a¨ r delbart med (X − 1)2 . 3. L¨os uppgift 7.58 (733) i Vretblads bok.

¨ Ovning H 1. L¨os f¨oljande kvadratiska ekvationer genom att utnyttja sambandet mellan r¨otter och koefficienter, Vretblad sid. 177 (144–145) (utan formler eller kvadratkomplettering): (a) X 2 − 6X + 8 = 0 (b) X 2 + 5X + 6 = 0 (c) X 2 − X − 2 = 0 2. L˚at x1 , x2 , x3 beteckna r¨otterna till ekvationen aX 3 + bX 2 + cX + d = 0, a 6= 0. Skriv ut sambanden mellan ekvationens r¨otter och koefficienter. Ange en ekvation av grad 3 med r¨otterna 1,2,3. 3. L˚at x1 , x2 och x3 vara r¨otterna till ekvationen X 3 −5X 2 +6X +7 = 0. Ber¨akna x21 +x22 +x23 och x31 + x32 + x33 . F¨oljande o¨ vningar i Vretblads bok rekommenderas: Vretblad: 7.9 (706), 7.10 (707), 7.16 (712), 7.21 (713), 7.23 (715), 7.24 (716), 7.32 (721), 7.33 (722), 7.52 (727), 7.54 (729), 7.59 (734), 7.62 (737).

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 9 RELATIONER OCH FUNKTIONER ¨ Ovningens syfte a¨ r att bekanta sig med begreppet relation p˚a en m¨angd M . Begreppet ”relation” i matematiska sammanhang anknyter till betydelsen av samma ord i vardagliga situationer d˚a en relation ofta a¨ r ett samband mellan tv˚a individer (dvs ett par). Den formella definitionen a¨ r f¨oljande (se ocks˚a Vretblads bok avsnitt 3.2, 3.3): (9.1) Definition. Med en relation R p˚a en m¨angd M menas en godtycklig m¨angd best˚aende av par (x, y), d¨ar x, y ∈ M . Med andra ord a¨ r en relation p˚a M en godtycklig delm¨angd R till den kartesiska produkten

M × M = {(x, y) : x, y ∈ M }. ¤ Om x, y ∈ M och (x, y) ∈ R, d¨ar R a¨ r en relation p˚a M s˚a skriver man ofta x ∼ y. Men ” ∼ ” ers¨atts oftast med andra tecken som traditionellt betecknar k¨anda relationer t ex med ” ≤ ” eller ”|”. Exempel. (a) L˚at M vara m¨angden av alla elever i en skola. Vi f¨oruts¨atter att skolan a¨ r av ”gammal modell” s˚a att varje elev tillh¨or exakt en klass. Tv˚a elever x och y a¨ r relaterade, dvs x ∼ y, precis d˚a x och y g˚ar i samma klass. R best˚ar i detta fall av alla par (x, y), d¨ar x och y a¨ r tv˚a elever som g˚ar i samma klass (¨aven par (x, x) a¨ r till˚atna – x g˚ar i samma klass som sig sj¨alv!). (b) L˚at M = {1, 2, 3, 4} och l˚at

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}. 1

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 9

2

Man skriver 1 ∼ 1, 1 ∼ 2 osv. Man har sammanlagt 16 par (x, y) i M × M , men endast 8 par ing˚ar i relationen R. Relationen R a¨ r helt enkelt delbarhetsrelationen p˚a m¨angden M , dvs x ∼ y precis d˚a x|y. (c) L˚at M = R vara m¨angden av de reella talen. Definiera R = {(x, x2 ) : x ∈ R} ⊂ M × M . Relationen R a¨ r helt enkelt grafen av funktionen f (x) = x2 , dvs den best˚ar av alla punkter p˚a parabeln y = x2 . H¨ar har vi x ∼ y precis d˚a y = x2 . Ett helt allm¨ant relationsbegrepp a¨ r inte s¨arskilt anv¨andbart, men i matematiska situationer anv¨ander man i synnerhet vissa relationer som satisfierar vissa ytterligare villkor. Vi diskuterar f¨orst ekvivalensrelationer med d¨artill h¨orande ekvivalensklasser och partitioner, vilket a¨ ven behandlas i Vretblad 3.3, och d¨arefter, mycket kort, ordningsrelationer och funktionsgrafer. (9.2) Definition. En relation ” ∼ ” p˚a en m¨angd M kallas f¨or en ekvivalensrelation om (r) x ∼ x (reflexivitet), (s) x ∼ y implicerar y ∼ x (symmetri), (t) x ∼ y och y ∼ z implicerar x ∼ z (transitivitet), d˚a x, y, z ∈ M .

¤

Exempel. L˚at som ovan M vara m¨angden av alla elever i en skola och l˚at tv˚a elever x och y vara relaterade, dvs x ∼ y, precis d˚a x och y g˚ar i samma klass. Man kontrollerar utan sv˚arigheter att ”∼” a¨ r en ekvivalensrelation p˚a M : x ∼ x (ty x och x g˚ar i samma klass), x ∼ y ger y ∼ x (ty om x och y g˚ar i samma klass s˚a g˚ar y och x i samma klass), och slutligen, x ∼ y och y ∼ z ger x ∼ z (ty om x och y g˚ar i samma klass samt y och z g˚ar i samma klass s˚a g˚ar x och z i samma klass). (9.3) Definition. L˚at ∼ vara en ekvivalensrelation p˚a en m¨angd M . Med ekvivalensklassen av x ∈ M menas m¨angden [x] = {y ∈ M : y ∼ x}. Vi har allts˚a y ∈ [x] ⇔ y ∼ x. Man s¨ager att x a¨ r en representant f¨or klassen [x].

¤

Om M a¨ r m¨angden av alla elever i en skola och x a¨ r en elev, s˚a a¨ r ekvivalensklassen [x] m¨angden av alla elever som g˚ar i samma klass som x. Varje elev representerar sin klass. M¨angden av

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(9.6)

3

alla klasser ger en partition av M – varje elev g˚ar i en klass och olika klasser a¨ r disjunkta. Rent allm¨ant definierar vi: (9.4) Definition. En partition av en m¨angd M a¨ r en uppdelning av alla element tillh¨orande M i parvis disjunkta delm¨angder. ¤ Vi visar nedan att ekvivalensklasserna till en ekvivalensrelation p˚a M utg¨or en partition av M , dvs M a¨ r unionen av alla ekvivalensklasser och olika ekvivalensklasser a¨ r parvis disjunkta. (9.5) Proposition. L˚at M vara en m¨angd med en ekvivalensrelation ∼. (a) Varje element i M tillh¨or en ekvivalensklass, mera exakt: x ∈ [x]. (b) Tv˚a element representerar samma ekvivalensklass d˚a och endast d˚a de a¨ r ekvivalenta, dvs [x] = [y] ⇔ x ∼ y. (c) Tv˚a olika ekvivalensklasser a¨ r disjunkta. (d) M a¨ r unionen av alla ekvivalensklasser. Bevis. (a) a¨ r klart ty x ∼ x inneb¨ar att x ∈ [x]. (b) [x] = [y] ⇒ x ∈ [x] = [y] ⇒ x ∼ y. Antag nu att x ∼ y. Om z ∈ [x] s˚a ger z ∼ x och x ∼ y att z ∼ y s˚a att z ∈ [y]. Allts˚a a¨ r [x] ⊆ [y]. x ∼ y ger ocks˚a y ∼ x som allts˚a ger [y] ⊆ [x]. (c) Om z ∈ [x] ∩ [y] s˚a a¨ r z ∼ x och z ∼ y s˚a att x ∼ y ur symmetrin och transitiviteten (z ∼ x ger x ∼ z som med z ∼ y ger x ∼ y). Enligt (b) a¨ r [x] = [y]. Detta betyder att om [x] 6= [y] s˚a saknar dessa klasser n˚agot gemensamt element z. (d) F¨oljer direkt ur (a).

¤

(9.6) F¨oljdsats. F¨or varje ekvivalensrelation p˚a M g¨aller att ekvivalensklasserna bildar en partition av M .

Bevis. F¨oljer omedelbart fr˚an (c) och (d) i (9.5).

¤.

Omv¨ant g¨aller att om M a¨ r en m¨angd (t ex m¨angden av alla elever i en skola) som a¨ r uppdelad i parvis disjunkta delm¨angder Mi (t ex klasser), dvs M = ∪Mi och Mi ∩ Mj = ∅ om i 6= j, s˚a har

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

4

Explorativ o¨ vning 9

man en ekvivalensrelation p˚a M : man definierar x ∼ y d˚a x och y tillh¨or samma partitionsm¨angd Mi . Detta visar att ekvivalensrelationer p˚a m¨angder helt enkelt a¨ r partitioner av dessa m¨angder. En partition a¨ r en klassifikation av m¨angdens element med avseende p˚a en viss (ofta intressant) egenskap – denna egenskap a¨ r given genom en ekvivalensrelation p˚a m¨angden (t¨ank igen p˚a elever i en skola och deras ”klassifikation” efter tillh¨origheten till olika klasser). En annan mycket vanlig typ av relationer a¨ r ordningsrelationer. (9.7) Definition. En relation ” ¹ ” p˚a en m¨angd M kallas en partiell ordningsrelation (eller en partiell ordning) om (r) x ¹ x (reflexivitet), (a) x ¹ y och y ¹ x implicerar x = y (antisymmetri). (t) x ¹ y och y ¹ z implicerar x ¹ z (transitivitet), Man skriver x ≺ y om x ¹ y och x 6= y. Om dessutom en relation ” ¹ ” satisfierar (3) f¨or godtyckliga x, y ∈ M g¨aller x ≺ y eller y ≺ x eller x = y (trikotomi), eller, ekvivalent d˚a (r, a, t) g¨aller, (j) f¨or godtyckliga x, y ∈ M g¨aller x ¹ y eller y ¹ x (j¨amf¨orbarhet) s˚a s¨ager man att relationen a¨ r en (total eller linj¨ar) ordningsrelation (eller en ordning) p˚a M . ¤ (9.8) Exempel. (a) L˚at M = R och l˚at x ¹ y betecknar den vanliga ordningsrelationen x ≤ y p˚a de reella talen. Vi vet mycket v¨al att den relationen a¨ r en ordningsrelation i enlighet med definitionen ovan. (b) L˚at M = N = {1, 2, 3, . . .} vara m¨angden av de naturliga talen. Relationen x|y (dvs ”¹” tolkas som ”|”) a¨ r en partiell ordningsrelation p˚a N ty x|x, om x|y och y|x s˚a x = y samt om x|y och y|z s˚a x|z. Men ”|” a¨ r inte en ordningsrelation, ty (3) eller (j) i definitionen ovan g¨aller inte d˚a man t ex v¨aljer x = 2 och y = 3. ¤ (9.9) Vi avslutar med observationen att varje funktion f : X → X definierar en relation – n¨amligen m¨angden av alla par (x, f (x)) ∈ X × X.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(9.9)

5

L˚at oss p˚aminna om att med en funktion fr˚an en m¨angd X till en m¨angd Y menar man vanligen en regel som till varje x ∈ X ordnar exakt ett element y ∈ Y . D˚a skriver man y = f (x) och f :X →Y. I v˚art fall har vi X = Y och vi f˚ar en relation p˚a X genom x ∼ y om och endast om y = f (x). Den delm¨angd av X × X som relationen best˚ar av,

Γf = {(x, f (x)) : x ∈ X}, kallas ofta grafen av funktionen f .

¨ Ovning A 1. L˚at M vara m¨angden av alla inv˚anare i G¨oteborg. Betrakta f¨oljande relationer x ∼ y d˚a x, y ∈ M och avg¨or om de a¨ r reflexiva, symmetriska, transitiva, ekvivalensrelationer: (a) x ∼ y d˚a och endast d˚a x och y a¨ r f¨odda samma dag. (b) x ∼ y d˚a och endast d˚a x och y bor i samma stadsdel. (c) x ∼ y d˚a och endast d˚a x och y k¨anner varandra. (d) x ∼ y d˚a och endast d˚a x och y a¨ r gifta med varandra. 2. Ge i varje exempel ovan d˚a relationen a¨ r en ekvivalensrelation en beskrivning av alla ekvivalensklasser genom att v¨alja en representant f¨or varje klass.

¨ Ovning B 1. Vilka av de f¨oljande relationerna p˚a den givna m¨angden M a¨ r ekvivalensrelationer: (a) M = Z, x ∼ y d˚a och endast d˚a 4|x − y. Generalisera detta exempel. (b) M = N, x ∼ y d˚a och endast d˚a x och y har samma primfaktorer. (c) M = N, x ∼ y d˚a och endast d˚a xy a¨ r en kvadrat av ett naturligt tal. (d) M = R2 , (a, b) ∼ (c, d) d˚a och endast d˚a b = d. (e) M = R2 , (a, b) ∼ (c, d) d˚a och endast d˚a a = c eller b = d. (f) M = R, a ∼ b d˚a och endast d˚a a − b a¨ r ett heltal. (g) M = R, a ∼ b d˚a och endast d˚a ab > 0.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 9

6

2. Ge i varje exempel ovan d˚a relationen a¨ r en ekvivalensrelation en beskrivning av alla ekvivalensklasser genom att v¨alja en representant f¨or varje klass. F¨ors¨ok tolka ekvivalensklasserna geometriskt d˚a s˚adana tolkningar a¨ r m¨ojliga.

¨ Ovning C ¨ det sant att reflexivitet i definitionen av en ekvivalensrelation f¨oljer ur symmetrin och 1. Ar transitivitet enligt f¨oljande resonemang: L˚at x ∈ M . x ∼ y ger y ∼ x eftersom ” ∼ ” a¨ r symmetrisk. Allts˚a ger transitiviteten x ∼ x. 2. Ge exempel p˚a m¨angder M och relationer som satisfierar f¨oljande villkor: (a) reflexiv och transitiv, men inte symmetrisk, (b) reflexiv och symmetrisk, men inte transitiv, (c) transitiv och symmetrisk, men inte reflexiv.

¨ Ovning D 1. Vad menas med en partiell ordningsrelation och en ordningsrelation? Exemplifiera definitionerna! 2. Vilka av f¨oljande relationer p˚a de givna m¨angderna X a¨ r partiella ordningsrelationer? Vilka av dem a¨ r ordningsrelationer? (a) M = R, a ¹ b d˚a och endast d˚a a2 ≤ b2 . (b) M = N, a ¹ b d˚a och endast d˚a a2 |b2 . (c) M = alla reella funktioner f : R → R och f ¹ g d˚a och endast d˚a f (x) ≤ g(x) f¨or varje x ∈ R.

F¨oljande o¨ vningar i Vretblads bok rekommenderas: Vretblad: 3.9 (308), 3.26 (320), 3.32 (326), [3.33 (328)].

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

AVSNITT 10

¨ MANGDER MED ALGEBRAISKA OPERATIONER De fyra r¨ aknes¨ atten: addition, subtraktion, multiplikation och division ¨ ar, vad man ofta kallar, (aritmetiska) operationer p˚ a m¨ angden av alla tal. Addition och multiplikation av vanliga funktioner ¨ ar ocks˚ a operationer. Inom algebran a a m¨ angder som ¨r man ofta intresserad av olika egenskaper hos operationer. Tv˚ till˚ ater operationer med samma egenskaper kan ofta studeras samtidigt – man beh¨ over inte bevisa samma satser flera g˚ anger om man vet att dessa satser g¨ aller f¨ or varje m¨ angd med operationer som satisfierar vissa villkor. I detta avsnitt definierar vi begreppet operation och n˚ agra mycket allm¨ anna egenskaper hos operationer t ex associativitet och kommutativitet. Begreppet operation ¨ ar ett specialfall av begreppet funktion, som vi skall studera n¨ armare i n¨asta avsnitt. Med en funktion f fr˚ an en m¨ angd X till en m¨ angd Y menar man en regel som till varje x ∈ X ordnar exakt ett element y ∈ Y . D˚ a skriver man y = f (x) och f : X → Y . Vi beh¨over ocks˚ a den kartesiska produkten av tv˚ a m¨ angder A och B : A × B = {(a, b) : a ∈ A och b ∈ B}. A × B ¨ar allts˚ a m¨ angden av alla ordnade par d¨ ar det f¨ orsta elementet ligger i A och det andra i B. Det vanliga koordinatplanet kan betraktas som R × R. Nu ¨ar vi beredda att definiera begreppet operation: (10.1) Definition. Med en bin¨ ar operation p˚ a m¨ angden M menar man en funktion som till varje par (a, b) ∈ M × M ordnar ett element a ∗ b i M . M¨ angden M med operationen “∗”kommer att betecknas med (M, ∗). Man s¨ ager att m¨ angden M ¨ ar sluten med avseende p˚ a operationen “∗”. ¤ Definitionen s¨ ager att en operation p˚ a M till tv˚ a godtyckliga element a, b ∈ M ordnar ett element a ∗ b ∈ M . H¨ ar f¨ oljer n˚ agra exempel p˚ a operationer: 1

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

2

¨ MANGDER MED ALGEBRAISKA OPERATIONER

(10.2) Exempel. (a) L˚ at M vara en av m¨angderna Z, Q, R, C och l˚ at a ∗ b = a + b vara den vanliga summan av a och b. (b) Med samma M som i (a), l˚ at a ∗ b = ab vara den vanliga produkten av a och b. (c) L˚ at M vara m¨angden av alla reella funktioner och f ∗ g = f + g den vanliga summan av tv˚ a funktioner f, g ∈ M dvs (f + g)(x) = f (x) + g(x) d˚ a x ∈ R. Om t ex f (x) = x2 och 2 g(x) = sin x s˚ a ¨ar (f + g)(x) = x + sin x. (d) L˚ at M = Z2 = {0, 1} vara m¨angden av alla rester vid division med 2. Man kan definiera en operation ⊕ p˚ a M enligt f¨oljande tabell: ⊕ 0 1

0 0 1

1 1 0

(e) L˚ at M = {S, F } vara m¨ angden av m¨ojliga sanningsv¨arden av alla utsagor. Betrakta operationen ∨ p˚ a M (disjunktionen) i enlighet med den v¨alk¨anda tabellen: ∨ S F

S S S

F S F ¤

Enbart det faktum att man har en operation p˚ a en m¨ angd ¨ ar oftast inte tillr¨ ackligt f¨ or att studera m¨angden. D¨arf¨or vill man veta lite mera om olika egenskaper hos operationer. (10.3) Definition. Man s¨ager att operationen ∗ p˚ aM ¨ ar associativ om (a∗b)∗c = a∗(b∗c) d˚ a a, b, c ∈ M . Operationen ¨ar kommutativ om a ∗ b = b ∗ a d˚ a a, b ∈ M . ¤ Exempel. (a) Alla operationer i Exempel (10.2) ¨ ar associativa och kommutativa. (b) Subtraktionen ¨ar varken kommutativ eller associativ p˚ a Z dvs om a ∗ b = a − b s˚ a g¨ aller inte att a ∗ b = b ∗ a eller (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) ty vanligen a − b 6= b − a och (a − b) − c 6= a − (b − c). B¨asta s¨attet att visa dessa p˚ ast˚ aenden ¨ ar att ge motexempel: t ex 2 − 3 6= 3 − 2 och (3 − 2) − 1 6= 3 − (2 − 1). ¤ ar ett neutralt element f¨ or operationen ∗ om (10.4) Definition. Man s¨ager att e ∈ M ¨ e∗a = a∗e = a d˚ a a ∈ M . Man s¨ager att a0 ∈ M a r en invers till a ∈ M om a∗a0 = a0 ∗a = e. ¨ ¤ Exempel. (a) 0 ¨ar ett neutralt element f¨ or additionen p˚ a M = Z (eller Q, R, C) ty 0 + a = a + 0 = a d˚ a a ∈ M . Inversen till a ∈ M ¨ ar −a ty a + (−a) = (−a) + a = 0. Inversen kallas h¨ ar motsatta talet.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(10.6)

3

(b) Talet 1 ¨ar ett neutralt element f¨or multiplikationen p˚ a M (M som i (a)) ty 1 · a = a · 1 = a d˚ a a ∈ M . Inversen till a ∈ M finns enbart d˚ a a0 = 1/a ∈ M . Om M = R s˚ a har alla tal invers utom 0. Om M = Z s˚ a har enbart a = ±1 inverse (motivera varf¨or!). ¤ (10.5) Proposition. (M, ∗) har h¨ ogst ett neutralt element. Om operationen p˚ aM ¨ ar associativ och a ∈ M har invers s˚ a¨ ar den entydig. Bevis. Om e0 ocks˚ a ¨ar ett neutralt element s˚ a har vi e0 = e ∗ e0 =e

ty e ¨ar neutralt ty e0 ¨ar neutralt.

a vara en invers till a. D˚ a g¨aller L˚ at a01 ocks˚ a01 = a01 ∗ e = a01 ∗ (a ∗ a0 ) = (a01 ∗ a) ∗ a0 = e ∗ a0 = a0 . ¤ (10.6) Anm¨ arkning. Om M = {a1 , a2 , . . . , an } ¨ar en ¨andlig m¨angd s˚ a definierar man ofta operationer p˚ a M med hj¨alp av “multiplikationstabeller”: ∗ a1 .. .

a1 . . . aj . . . an

ai .. .

ai ∗ aj

an Varje s˚ adan tabell ger en operation p˚ a M . Med hj¨alp av tabellen kan man l¨att avg¨ora om operationen p˚ aM ¨ ar kommutativ (hur?) eller om det finns ett neutralt element (hur?). Men det ¨ar mycket besv¨ arligare att avg¨ ora om operationen ¨ar associativ (se ¨ovningar). ¤

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ ¨ ovning 10

¨ MANGDER MED ALGEBRAISKA OPERATIONER ¨ Ovningens syfte ¨ar att bekanta sig med begreppet bin¨ ar operation p˚ a en m¨angd M . Det viktigaste exemplet p˚ a s˚ adana operationer ¨ar de fyra r¨aknes¨ atten p˚ a olika talm¨angder. Vi kommer att unders¨oka olika egenskaper hos dessa operationer:

• associativitet • kommutatitivitet • neutrala element • inverser (motsatta element)

¨ Ovning A 1. F¨orklara begreppen associativ och kommutativ operation med hj¨alp av addition och subtraktion p˚ a heltalen Z. 2. Med avseende p˚ a vilka av f¨oljande operationer ¨ar Z sluten? Vilka av dessa operationer p˚ a Z ¨ar associativa, kommutativa, vilka har ett neutralt element? Varje g˚ ang d˚ a det finns ett neutralt element best¨am alla element som har invers. (a) m ∗ n = mn + 1

(b) m ∗ n = m + n − mn

(c) m ∗ n = m2 + n2

(d) m ∗ n = 2mn

(e) m ∗ n = 2

(f) m ∗ n = SGD(m, n)

(g) m ∗ n = max(m, n)

(h) m ∗ n = M GM (m, n)

1

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

2

Explorativ ¨ ovning 10

¨ Ovning B anga operationer finns det p˚ a en m¨angd med 2 element? Hur m˚ anga av dessa ¨ar 1. Hur m˚ kommutativa? 2. Hur m˚ anga operationer finns det p˚ a en m¨angd med 3 element? Hur m˚ anga av dessa ¨ar kommutativa? Generalisera Dina slutsatser till m¨angder med n element.

¨ Ovning C 1. Ge exempel p˚ a en m¨angd med en operation som ¨ar (a) associativ, men ej kommutativ; (b) kommutativ, men ej associativ. 2. Ge tre exempel p˚ a m¨angder med operationer som ¨ar associativa, har neutralt element och ¨ar s˚ adana att varje element har invers. Anm¨ arkning. En m¨angd G med en operation ∗ som ¨ar associativ, har neutralt element och ¨ar s˚ adan att varje element har invers kallas grupp. Grupper har en mycket stor betydelse i hela matematiken och flera av dess till¨ampningar (kemi, fysik, kryptografi, kodningsteori). Gruppteorin utvecklades fr˚ an arbeten om algebraiska ekvationer av J.L. Lagrange, N.H. Abel och E. Galois.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

AVSNITT 11

TALBEGREPPET Vi har redan m¨ott olika typer av tal: naturliga, hela, rationella, reella och komplexa, betecknade med N, Z, Q, R resp. C. Vad a¨ r det som skiljer olika talm¨angder? Finns det andra typer av tal? Vad menas egentligen med ett tal? Vi skall f¨ors¨oka svara p˚a dessa fr˚agor genom att analysera olika egenskaper hos olika talm¨angder. Men svaren a¨ r inte alltid enkla, och riktigt tillfredsst¨allande svar kr¨aver ibland djupare kunskaper som f¨orst a¨ r tillg¨angliga i senare kurser. ¨ r inte lika Vi har N = {0, 1, 2, 3, ...}, Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...}, Q = { m n : m, n ∈ Z, n 6= 0}. Det a l¨att att beskriva alla reella och komplexa tal. Vi skall f¨ors¨oka g¨ora det i detta avsnitt och visa hur och varf¨or man definierar olika typer av tal. Alla tal kan adderas och multipliceras. Detta betyder att om a och b a¨ r tv˚a tal s˚a kan man bilda deras summa a + b och deras produkt ab. Det a¨ r mycket viktigt att om X betecknar n˚agot av talomr˚adena ovan s˚a

(1)

a, b ∈ X ⇒ a + b, ab ∈ X,

dvs summa och produkt av tv˚a tal av samma typ a¨ r av samma typ. Hur a¨ r det med de tv˚a andra r¨aknes¨atten – subtraktion och division? Om man kr¨aver att

(2)

a, b ∈ X ⇒ a − b ∈ X,

s˚a a¨ r det inte m¨ojligt att v¨alja X = N, ty trots att t ex 2, 3 ∈ N s˚a 2 − 3 = −1 ∈ / N. D¨aremot kan X vara lika med Z, Q, R, C. Hur a¨ r det med

(3)

a, b ∈ X ⇒ 1

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

a ∈ X? b

2 F¨orst och fr¨amst m˚aste man till¨agga att b 6= 0 (varf¨or?). Det a¨ r klart att N och Z saknar egenskapen / Z. De andra talomr˚adena Q, R och C uppfyller villkoret (3) (med (3) ty t ex 2, 3 ∈ Z, men 23 ∈ b 6= 0). Man s¨ager att Q, R och C a¨ r slutna med avseende p˚a de fyra r¨aknes¨atten. Z a¨ r inte sluten med avseende p˚a division, och N a¨ r inte sluten med avseende p˚a subtraktion eller division. Det visar sig att just slutenheten med avseende p˚a olika operationer (h¨ar de fyra r¨aknes¨atten) har en stor betydelse n¨ar det g¨aller skillnader mellan olika talomr˚aden. Av den anledningen har man inf¨ort f¨oljande begrepp: (11.1) Definition. Man s¨ager att en talm¨angd K a¨ r en talkropp om 1 ∈ K och K a¨ r sluten m a p de ¤ fyra r¨aknes¨atten, dvs om a, b ∈ K s˚a a ± b, ab ∈ K, och i fall b 6= 0, ab ∈ K. Som exempel kan vi n¨amna kroppen av de rationella talen Q, de reella talen R och de komplexa talen C. Finns det andra talkroppar? Svaret a¨ r att det finns m˚anga fler, t o m o¨andligt m˚anga. Innan vi konstruerar andra talkroppar l˚at oss t¨anka en stund p˚a N och Z som inte a¨ r kroppar men a¨ nd˚a m˚aste anses som mycket viktiga talm¨angder. Heltalen a¨ r den enklaste talm¨angd som kallas f¨or ring: (11.2) Definition. Man s¨ager att en talm¨angd R a¨ r en talring om 1 ∈ R och R a¨ r sluten m a p addition, subtraktion och multiplikation, dvs om a, b ∈ R s˚a a ± b, ab ∈ R. ¤ Heltalen Z a¨ r en talring. Det a¨ r ocks˚a klart att varje talkropp a¨ r en talring. N a¨ r inte en talring. Hur kan man konstruera talringar och talkroppar? Vi visar en enkel sats som a¨ r ett specialfall av en mycket allm¨an konstruktion av talringar och talkroppar. (11.3) Sats. L˚at R vara en talring och l˚at α vara ett tal s˚adant att α ∈ / R men α2 ∈ R. D˚a bildar alla tal

a + bα, d¨ar a, b ∈ R, en talring som betecknas med R[α]. Om R a¨ r en kropp s˚a a¨ r ocks˚a R[α] en kropp.

Innan vi bevisar satsen l˚at oss titta p˚a n˚agra intressanta exempel: (11.4) Exempel. (a) L˚at R = Z och l˚at α = att talen

√ √ √ / Z och ( 2)2 = 2 ∈ Z. Satsen s¨ager 2. D˚a har vi 2 ∈

√ a + b 2, d¨ar a, b ∈ Z, bildar en ring. Om vi i st¨allet f¨or Z v¨aljer R = Q f˚ar vi att talen

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(11.4)

3

√ a + b 2, d¨ar a, b ∈ Q, √ √ 2 6= 0 med c, d ∈ Q m˚aste 2 och c + d bildar en kropp. Detta betyder bl a att kvoten av tv˚ a tal a + b √ kunna skrivas som e + f 2, d¨ar e, f ∈ Q. L˚at oss pr¨ova: √ √ √ √ (1 + 2)(3 − 2 2) 1+ 2 √ = −1 + 2. √ √ = (3 + 2 2)(3 − 2 2) 3+2 2 Det h¨ar kan inte vara n˚agon o¨ verraskning – det finns m˚anga liknande exempel i grundskolans l¨arob¨ocker! √ √ √ / Q. P˚a (b) I st¨allet f¨or α = 2 kan man v¨alja α = a, d¨ar a a¨ r ett godtyckligt heltal s˚adant att a ∈ √ √ ¨ de verkligen olika? Det a¨ r ganska s˚a s¨att f˚ar vi o¨andligt m˚anga ringar Z[ a ] och kroppar Q[ a ]. Ar √ l¨att att visa att f¨or olika primtal p a¨ r kropparna Q[ p ] olika (se o¨ vning B). Allts˚a existerar o¨andligt m˚anga olika kroppar eftersom primtalen bildar en o¨andlig m¨angd. (c) En mycket intressant ring f˚ar man d˚a man v¨aljer R = Z och α = i. Vi har i2 = −1 ∈ Z. Enligt satsen bildar talen

a + bi, d¨ar a, b ∈ Z, en ring. Tal av denna typ kallas Gaussiska heltal ∗ . De spelar en viktig roll i algebraisk talteori.

¤

L˚at oss nu bevisa satsen: Bevis av (11.3): L˚at x = a + bα, y = c + dα ∈ R[α]. Vi vill visa att R[α] a¨ r en ring, dvs att x ± y, xy ∈ R[α]. Vi har

x ± y = (a + bα) ± (c + dα) = (a ± c) + (b ± d)α ∈ R[α] samt

xy = (a + bα)(c + dα) = (ac + bdα2 ) + (ad + bc)α ∈ R[α] ty α2 ∈ R. Om R a¨ r en kropp, vill vi visa att x, y ∈ R[α] och y 6= 0 ger x/y ∈ R[α]. Detta a¨ r lite sv˚arare. H¨ar har vi: ∗

C.F. Gauss (30/4 1777 - 23/2 1855) var en tysk matematiker – en av de mest betydelsefulla i matematikens historia.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

4

bc − ad ac − bdα2 (a + bα)(c − dα) a + bα x α = e + f α, + 2 = 2 = = 2 2 c − d2 α2 c −d α (c + dα)(c − dα) c + dα y d¨ar

e=

bc − ad ac − bdα2 ∈R ∈ R och f = 2 2 2 2 c − d2 α 2 c −d α

ty R a¨ r en kropp. Allts˚a x/y ∈ R[α]. Beviset kan te sig avslutat men det finns en punkt som kr¨aver eftertanke. Vi vet att c + dα 6= 0 och vi f¨orl¨anger br˚aket x/y med c − dα. F˚ar vi g¨ora det? Med andra ord, a¨ r c − dα 6= 0? Antag motsatsen, dvs att c − dα = 0. Om d 6= 0, f˚ar vi α = c/d ∈ R vilket strider mot antagandet om α. Om d = 0, s˚a ger c − dα = 0 att c = 0, vilket betyder att c + dα = 0 – en mots¨agelse igen! Allts˚a a¨ r c − dα 6= 0 och v˚art bevis a¨ r fullst¨andigt. ¤ L˚at oss a˚ terkomma till allm¨anna funderingar o¨ ver talen och deras egenskaper. V˚ara kunskaper om olika talomr˚aden bygger p˚a v˚ar f¨orm˚aga att hantera talen. I praktiken betyder det att vi f¨oljer olika regler n¨ar vi utf¨or olika r¨akneoperationer. Vad a¨ r det f¨or regler? Du kan s¨akert n¨amna eller skriva ut s˚adana regler som t ex associativiteten f¨or addition: a + (b + c) = (a + b) + c, eller kommutativiteten ¨ alla lika viktiga? N¨ar kan man vara f¨or multiplikation: ab = ba. Hur m˚anga s˚adana regler finns det? Ar s¨aker p˚a att man har alla n¨odv¨andiga regler? S˚adana fr˚agor har sysselsatt m˚anga m¨anniskor och svaren p˚a dem bygger p˚a matematisk forskning under en ganska l˚ang tidsperiod. H¨ar f¨oljer en f¨orteckning o¨ ver de viktigaste r¨aknelagarna i en talm¨angd R i vilken de kan vara uppfyllda eller ej – allt beror p˚a hur man v¨aljer R :

(11.5) Egenskaperna hos addition och multiplikation: Addition: (a) slutenhet: (b) associativitet: (c) kommutativitet: (d) neutralt element: (e) motsatt element:

∀a, b ∈ R ∀a, b, c ∈ R ∀a, b ∈ R ∃ 0 ∈ R ∀a ∈ R ∀a ∈ R ∃m(a) ∈ R

a, b ∈ R ⇒ a + b ∈ R, (a + b) + c = a + (b + c), a + b = b + a, 0 + a = a, a + m(a) = 0 (m(a) betecknas med −a).

Multiplikation: (f) slutenhet: (g) associativitet: (h) kommutativitet: (i) neutralt element: (j) inverst element:

∀a, b ∈ R ∀a, b, c ∈ R ∀a, b ∈ R ∃ 1 ∈ R ∀a ∈ R ∀a ∈ R r {0} ∃i(a) ∈ R

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

a, b ∈ R ⇒ ab ∈ R, (ab)c = a(bc), ab = ba, 1a = a, a i(a) = 1 (i(a) betecknas med a−1 ).

(11.7)

5

Addition och multiplikation: (k) distributivitet:

∀a, b, c ∈ R

a(b + c) = ab + ac.

Alla dessa regler g¨aller d˚a R a¨ r en talkropp t ex Q, R eller C. Om R = Z s˚a g¨aller alla r¨aknelagar med undantag av (j) – t ex 2 ∈ Z, men 1/2 ∈ / Z. Egenskapen (j) ger just skillnaden mellan en talkropp och en talring. I en talkropp g¨aller alla r¨aknelagarna (a) – (k), medan i en talring g¨aller alla utom (j). R¨aknelagarna (a) – (k) a¨ r grunden f¨or all manipulation med talen och man m˚aste vara medveten om deras giltighet i det talomr˚ade man vill arbeta med. Andra r¨aknelagar som t ex

(i) a0 = 0 d˚a a ∈ R, (ii) −(−a) = a d˚a a ∈ R, (iii) (−1)a = −a d˚a a ∈ R, (iv) (−a)b = −ab d˚a a, b ∈ R, (v) (−a)(−b) = ab d˚a a, b ∈ R,

kan man bevisa om man vet att R a¨ r en ring (se o¨ vningar). I sj¨alva verket kan man definiera allm¨anna begrepp ring och kropp i vilka dessa r¨aknelagar kan h¨arledas:

(11.6) Definition. Man s¨ager att en m¨angd R vars element kan adderas under en operation ”+” och multipliceras under en operation ”·” a¨ r en ring om dessa operationer har alla egenskaper (11.5) (a) – (k) med undantag av (j). Om alla egenskaper (a) – (k) g¨aller s˚a s¨ager man att R a¨ r en kropp. ¤

Vi har redan m¨ott andra ringar och kroppar a¨ n talringar och talkroppar i avsnitten om restaritmetiker och polynomringar. I samband med definitionerna av begreppen ring och kropp har du s¨akert observerat att man inte n¨amner subtraktion och division. F¨orklaringen a¨ r att subtraktion och division kan definieras i efterhand med hj¨alp av addition och multiplikation:

(11.7) Definition. (a) Om R a¨ r en ring och a, b ∈ R s˚a s¨ager man att

a − b = a + (−b) a¨ r skillnaden eller differensen mellan a och b. (b) Om R a¨ r en kropp och a, b ∈ R, b 6= 0, s˚a s¨ager man att

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

6

a : b = ab−1 a¨ r kvoten av a genom b. Kvoten betecknas ocks˚a med ab .

¤

V˚art syfte i detta avsnitt a¨ r att f¨orklara hur man definierar talbegreppet. Som vi redan vet finns det o¨andligt m˚anga olika talringar och talkroppar. P˚a vilket s¨att intar Z, Q, R och C en s¨arst¨allning bland dem? Ett kort svar som kr¨aver m˚anga f¨orklaringar a¨ r f¨oljande: Z a¨ r den minsta talringen, Q a¨ r den minsta talkroppen, R a¨ r den st¨orsta talkroppen som till˚ater ordningsrelationen ≤ och C a¨ r den st¨orsta talkroppen o¨ verhuvudtaget. Man inser s¨akert att alla dessa svar f¨oruts¨atter att man vet vad ett tal a¨ r. Svaret p˚a den fr˚agan a¨ r inte enkelt och det tog en mycket l˚ang tid i m¨ansklighetens utveckling innan man kunde komma till ett tillfredsst¨allande svar. Trots det har man sedan en l˚ang tid tillbaka kunnat r¨akna med alla typer av tal och utveckla vetenskapliga teorier som bygger p˚a ber¨akningar och som framg˚angsrikt beskriver v¨arlden runt omkring oss. De naturliga talen a¨ r med all s¨akerhet lika gamla som den m¨anskliga civilisationen, rationella tal (˚atminstone positiva) a¨ r n¨astan lika gamla, negativa tal (hela, rationella och reella) anv¨andes f¨or ungef¨ar 1000 a˚ r sedan, och komplexa tal introducerades under 1500-talet. D¨arf¨or finns det inte n˚agon st¨orre anledning till oro om v˚ara svar inte visar sig bli fullst¨andiga. Vi skall f¨ors¨oka f¨orklara olika aspekter av talbegreppet utan att f¨oruts¨atta n˚agra st¨orre f¨orkunskaper. Mera tillfredsst¨allande f¨orklaringar v¨antar den som l¨aser forts¨attningskurser i matematik. Det finns tv˚a m¨ojligheter att introducera talbegreppet. Den ena a¨ r att b¨orja med de naturliga talen och f¨ors¨oka steg f¨or steg konstruera andra typer av tal. Den metoden ter sig naturlig och tilltalande men den a¨ r mycket arbetsam och, tyv¨arr, ganska l˚ang om man vill kontrollera alla detaljer. Vi skall ber¨atta om den senare i detta avsnitt. Den andra m¨ojligheten utg˚ar fr˚an att man kan hantera talen om man vet vilka regler som styr deras anv¨andning. Det r¨acker om man kommer o¨ verens om dessa regler och f¨oljer dem f¨or att kunna anv¨anda talen, men man beh¨over inte bry sig om hur de a¨ r konstruerade. En s˚adan inst¨allning till talen a¨ r mycket praktisk, men en matematiker vill g¨arna veta hur talen konstrueras (och alla andra som anv¨ander talen m˚aste tro p˚a m¨ojligheten av dessa konstruktioner). Man kan j¨amf¨ora den inst¨allningen med inst¨allningen till tekniken – om man har l¨ast en instruktionsbok till en TV-apparat s˚a vet man hur man anv¨ander den utan att beh¨ova veta hur den a¨ r konstruerad (eller att den finns). En beskrivning av en programvara a¨ r troligen a¨ nnu b¨attre som j¨amf¨orelse – man f˚ar en f¨orteckning o¨ ver kommandon och deras effekt utan att beh¨ova veta hur programvaran a¨ r konstruerad eller om den finns tillg¨anglig. Vi skall f¨ors¨oka beskriva de egenskaper som karakteriserar de reella talen. Valet av dessa egenskaper a¨ r ett resultat av matematisk forskning huvudsakligen under 1800-talet. De reella talen spelar en mycket ˚ ena sidan har alla m¨anniskor en intuitiv uppfattning om dessa tal som kommer fr˚an central roll. A ˚ andra sidan bygger alla vetenskaper, och bland erfarenheten av att r¨akna och m¨ata i vardagslivet. A dem matematiken sj¨alv, p˚a de reella talens egenskaper. Som vi redan vet bildar de reella talen en kropp. Men det finns m˚anga kroppar s˚a man m˚aste v¨alja egenskaper som utm¨arker just den. En viktig egenskap a¨ r att man kan j¨amf¨ora de reella talen med hj¨alp av ≤ – de reella talen bildar en ordnad kropp. L˚at oss definiera helt allm¨ant vad detta betyder:

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(11.8)

7

(11.8) Definition. Man s¨ager att en kropp K a¨ r ordnad om den inneh˚aller en delm¨angd P s˚adan att: (a) om x ∈ K s˚a g¨aller exakt ett av de tre alternativen: x ∈ P eller x = 0 eller −x ∈ P, (b) om x, y ∈ P s˚a g¨aller att x + y ∈ P och xy ∈ P. Man s¨ager att P a¨ r m¨angden av de positiva elementen i K.

¤

Det a¨ r klart att i K = R kan vi v¨alja P = alla positiva reella tal. Detta betyder att R a¨ r en ordnad kropp. Q a¨ r ocks˚a ordnad eftersom vi kan v¨alja P = alla positiva rationella tal. Vi skall senare visa att C inte a¨ r en ordnad kropp (det f¨oljer av att i2 = −1). Vi skall uppeh˚alla oss en stund vid definitionen (11.8). Man kan definiera:

x > y (eller y < x) om

x − y ∈ P.

(11.9)

Man brukar ocks˚a skriva x ≥ y (eller y ≤ x) om x > y eller x = y. Detta a¨ r en ordningsrelation enligt v˚ar tidigare definition. x > 0 betyder att x − 0 ∈ P , dvs x ∈ P ; x < 0 betyder att 0 − x ∈ P , dvs −x ∈ P. Om K a¨ r en ordnad kropp s˚a kan man definiera de naturliga och de rationella talen i K. F¨orst observerar vi att 1 > 0 (1 ∈ K a¨ r neutralt f¨or multiplikation). Vi vet att 1 6= 0 s˚a att 1 ∈ P eller −1 ∈ P . Antag att −1 ∈ P . D˚a a¨ r 1 = (−1)(−1) ∈ P enligt (b) i (11.8). Detta ger att b˚ade 1 och −1 tillh¨or P vilket strider mot (a) i (11.8). D¨arf¨or m˚aste 1 ∈ P . De naturliga talen i K f˚ar vi som

0, 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1, . . . vilka definitionsm¨assigt betecknas med 0,1,2,3,4,.... Observera att 0 < 1 < 2 < 3 < 4... eftersom 2 − 1 = 1 > 0, 3 − 2 = 1 > 0, 4 − 3 = 1 > 0 osv. Heltalen i K definieras som: alla naturliga tal x och deras motsatta tal −x, dvs 0, ±1, ±2, ±3, ±4, .... De rationella talen definieras som alla kvoter ab−1 , d¨ar a, b a¨ r hela och b 6= 0 (se (11.7)). B˚ade Q och R a¨ r ordnade kroppar s˚a en definition av de reella talen m˚aste bygga p˚a en annan egenskap (ut¨over det att R a¨ r ordnad). Innan vi formulerar en l¨amplig egenskap, l˚at oss a˚ terkomma f¨or en stund till definitionen av en ordnad kropp. I en s˚adan kropp kan man definiera absolutbelopp: ½ |x| =

x om x ≥ 0, −x om x < 0.

(11.10)

Man kan ocks˚a s¨aga vad det betyder att en f¨oljd x1 , x2 , x3 , ... g˚ar mot 0. Man s¨ager s˚a om det f¨or varje naturligt tal n finns ett N s˚adant att |xi | < n1 d˚a i > N . Nu kan vi formulera en grundl¨aggande

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

8 egenskap som skiljer Q fr˚an R. L˚at x1 , x2 , ..., xi , ... vara en v¨axande och begr¨ansad f¨oljd av rationella tal, dvs x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xi ≤ ... och det finns ett tal B s˚a att xi ≤ B d˚a i = 1, 2, .... Vad kan ¨ gr¨ansv¨ardet man s¨aga om gr¨ansv¨ardet limi→∞ xi ? I analyskurser visas att gr¨ansv¨ardet existerar. Ar ett rationellt tal? L˚at oss betrakta ett exempel. Definiera

xn = 1, a1 a2 ...an , d¨ar ai a¨ r i :te siffran i decimalutvecklingen av

n ≥ 1,

√ 2 , dvs

x1 = 1, 4, x2 = 1, 41, x3 = 1, 414, x4 = 1, 4142, ... ¨ Det a¨ r klart att alla x √n a¨ r rationella och att f¨oljden a¨ r v¨axande och begr¨ansad.√And˚a a¨ r det ocks˚a klart att limn→∞ xn = 2, dvs f¨oljden konvergerar mot ett icke-rationellt tal 2. Men gr¨ansv¨ardet a¨ r ett reellt tal och det a¨ r sant helt allm¨ant att en v¨axande och begr¨ansad f¨oljd av reella tal konvergerar mot ett reellt tal. Man s¨ager att de reella talen bildar en fullst¨andig kropp† . Allm¨ant har man f¨oljande begrepp:

(11.11) Definition. En ordnad kropp kallas fullst¨andig om varje v¨axande och begr¨ansad f¨oljd av kroppens element konvergerar mot ett element i kroppen. ¤

Mera exakt, om K a¨ r en ordnad kropp s˚a a¨ r den fullst¨andig om f¨or varje f¨oljd x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn ≤ ... s˚adan att xn ∈ K och det finns B ∈ K s˚a att xn ≤ B d˚a n = 1, 2, ... man kan hitta x ∈ K s˚a att limn→∞ xn = x. Nu kan vi definiera de reella talen:

(11.12) Definition. Med reella tal menar man elementen i en ordnad och fullst¨andig kropp K.

¤

Dessa f˚a ord d¨oljer ett ganska sammansatt matematiskt inneh˚all: K a¨ r en kropp, dvs uppfyller villkoren (a) – (k) p˚a sidan 4, K a¨ r ordnad, dvs upfyller (a) och (b) i (11.8), och slutligen a¨ r K fullst¨andig, dvs uppfyller (11.11). Nu kan man st¨alla tv˚a fr˚agor:

Finns det en ordnad och fullst¨andig kropp? Hur m˚anga ordnade och fullst¨andiga kroppar finns det? †

Detta bevisas i analyskurser med hj¨alp av supremumaxiomet som a¨ r ekvivalent med den egenskapen.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(11.14)

9

Man beh¨over inte veta svaret p˚a dessa tv˚a fr˚agor f¨or att kunna r¨akna med de reella talen eftersom (11.12) a¨ r en exakt f¨orteckning o¨ ver alla grundl¨aggande egenskaper hos dessa tal och det r¨acker att f¨olja dem och deras logiska konsekvenser. Men svaren p˚a dessa tv˚a fr˚agor a¨ r mycket viktiga inte bara f¨or en matematiker (en matematiker vill dessutom se sj¨alv hur man kommer fram till svaren). De a¨ r f¨oljande: Det finns ordnade och fullst¨andiga kroppar. Om K1 och K2 a¨ r tv˚a s˚adana s˚a finns det en bijektiv funktion f : K1 → K2 (dvs enentydig och p˚a hela K2 ) som uppfyller f (a+b) = f (a)+f (b), f (ab) = f (a)f (b) och om a > 0 s˚a a¨ r f (a) > 0‡ . Intuitivt s¨ager existensen av f att K1 och K2 skiljer sig bara n¨ar det g¨aller beteckningar, dvs om a ∈ K1 s˚a kan f (a) uppfattas som ett annat namn p˚a a. Addition och multiplikation i K1 o¨ vers¨atter man med hj¨alp av f till addition och multiplikation i K2 . Likas˚a positiva element ur K1 o¨ verg˚ar med hj¨alp av f i positiva element i K2 . I den meningen a¨ r kroppen av de reella talen entydig. Vi vet redan att om vi har de reella talen s˚a kan vi definiera de naturliga, hela och rationella. P˚a s˚a s¨att har vi en m¨ojlighet att tillfredsst¨alla v˚art behov av n˚agorlunda ordentlig presentation av talbegreppet. Men a¨ ven om den f¨or m˚anga a¨ ndam˚al a¨ r helt tillfredsst¨allande, g˚ar vi ett steg l¨angre och f¨ors¨oker beskriva konstruktioner av olika talm¨angder. Behovet av s˚adana konstruktioner ins˚ag man under 1800talet d˚a utvecklingen av matematiken gick s˚a l˚angt att intuitiva f¨orest¨allningar om talen inte l¨angre var tillr¨ackliga. Man f¨ors¨okte konstruera olika talomr˚aden genom att utg˚a fr˚an de naturliga talen och successivt g˚a till de hela, rationella, reella och komplexa. Den v¨agen a¨ r ganska l˚ang, arbetsam (man m˚aste kontrollera m˚anga detaljer), och det v¨arsta, r¨att s˚a tr˚akig om man bortser fr˚an mera allm¨anna principer som styr dessa konstruktioner och har betydelse i andra sammanhang. D¨arf¨or beh¨ovs m¨ojligen ett varningens ord att inte f¨ordjupa sig i alla detaljer och l¨asa det f¨oljande mera kursivt.

(11.13) De naturliga talen. De a¨ ldsta talen a¨ r de naturliga (och de a¨ r mest naturliga eftersom de a¨ r de a¨ ldsta). Varifr˚an kommer de? En stor tysk matematiker L. Kronecker sade n˚agon g˚ang att ”Gud skapade de naturliga talen, allt annat a¨ r m¨anniskans skapelse”. Det vore f¨or enkelt med detta svar men det a¨ r mycket djupsinnigt. Den enda m¨ojligheten att definiera de naturliga talen a¨ r den metod som vi tidigare anv¨ande f¨or att definiera de reella: Man kan beskriva deras grundl¨aggande egenskaper. Varifr˚an kommer de egenskaper som betraktas som grundl¨aggande? Svaret a¨ r att de kommer fr˚an m¨ansklighetens erfarenhet av experimentell hantering av talen och det faktum att de regler som man har f¨oljt under en mycket l˚ang tid ger en bild av verkligheten som o¨ verensst¨ammer med v˚ara observationer. En analys av s˚adana regler kunde g¨oras enbart av matematiker. Det var R. Dedekind § och G. Peano ¶ som f¨oreslog ett urval av s˚adana grundl¨aggande regler under senare delen av 1800-talet. Den mest k¨anda definitionen kommer fr˚an Peano och l˚ater s˚a h¨ar: (11.14) Definition. Med naturliga tal menar man elementen i en m¨angd N som satisfierar f¨oljande villkor: (a) det finns ett utvalt element 0 ∈ N; (b) det finns en injektiv funktion som mot varje element n ∈ N ordnar ett element n∗ ∈ N s˚a att n∗ 6= 0; ‡

En s˚adan funktion f kallas isomorfism och man s¨ager att K1 och K2 a¨ r isomorfa ordnade kroppar. Richard Dedekind (1831-1916), tysk matematiker. ¶ Giuseppe Peano (1858-1932), italiensk matematiker. §

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

10 (c) om X ⊆ N och (c1 ) 0 ∈ X, (c2 ) ∀n (n ∈ X ⇒ n∗ ∈ X), s˚a a¨ r X = N.

¤

Intuitivt betyder n∗ talet n + 1 (n∗ kallas efterf¨oljaren till n, och 1 definieras som 0∗ ). Sista villkoret (c) kallas ofta ”induktionsaxiomet¨och a¨ r grunden f¨or matematisk induktion. L¨agg m¨arke till att man inte n¨amner addition och multiplikation i definitionen. De definieras i efterhand. Peanos definition o¨ verenst¨ammer v¨al med v˚ar intuition, den a¨ r l¨att att f¨orst˚a, den a¨ r kort och elegant. Den uppfyller m˚anga av de kriterier som man vill uppfylla n¨ar man definierar ett matematiskt objekt. Vidare kan man ur den definitionen h¨arleda alla k¨anda egenskaper hos de naturliga talen. Men hur a¨ r det egentligen med existensen och entydigheten av den m¨angden? N¨ar det g¨aller entydigheten a¨ r svaret enkelt: Man kan visa att om N1 och N2 a¨ r tv˚a m¨angder som uppfyller villkoren i definitionen (11.14) s˚a a¨ r de isomorfa vilket betyder att det finns en bijektiv funktion f : N1 → N2 s˚adan att f (1) = 1 samt f (n∗ ) = f (n)∗ (j¨amf¨or ett liknande p˚ast˚aende om de reella talen p˚a sidan 9). Existensen av de naturliga talen vilar p˚a v˚ar o¨ vertygelse om att a˚ tminstone en m¨angd av de naturliga talen existerar – n¨amligen den som under m¨ansklighetens historia s˚a troget och framg˚angsrikt har tj¨anat till att r¨akna, resonera och dra korrekta slutsatser om v¨arlden runt omkring oss. Med andra ord a¨ r existensen av de naturliga talen ett axiom. H¨ar har vi n¨armat oss matematikens grunder som har mycket gemensamt med vetenskapernas filosofi.

Alla andra talomr˚aden kan nu successivt konstrueras: De hela talen fr˚an de naturliga, de rationella fr˚an de hela, de reella fr˚an de rationella och de komplexa fr˚an de reella. N¨ar vi tidigare sade att det g˚ar att bevisa existensen av de reella talen s˚a menade vi just att det var m¨ojligt att konstruera dessa tal fr˚an de naturliga. Nu skall vi b¨orja v˚ar vandring fr˚an de naturliga talen genom rationella och reella till de komplexa. Vi utel¨amnar m˚anga detaljer och begr¨ansar oss till allm¨anna id´eer. Det finns tv˚a huvudorsaker till att talbegreppet utvidgades. Det f¨orsta var behov i samband med m¨atningar. Man uppt¨ackte mycket tidigt att det beh¨ovdes br˚aktal f¨or att uttrycka dimensioner (l¨angder och areor) av jordlotter. Men icke-rationella tal d¨ok upp a¨ ven i samband med m¨atningar (vi f˚ar se det i samband med konstruktionen av de reella talen). Den andra orsaken har en mera abstrakt karakt¨ar. Nya typer av tal beh¨ovdes f¨or att kunna l¨osa ekvationer. Ett typiskt exempel a¨ r de komplexa talen. P˚a 1500-talet k¨ande man till formeln

x1,2

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

p =− ± 2

r

p2 −q 4

(11.15)

11

f¨or l¨osningar till andragradsekvationen x2 + px + q = 0. L¨oser man ekvationen x2 − 3x + 2 = 0 s˚ √a f˚ar man enligt den √ formeln x1 = 1 och x2 = 2. Tar man i st¨allet x2 − 2x + 2 = 0 s˚a blir x1 = 1 + −1 2 2 = 0 i s˚a fall och x2 = 1 − −1 . En del √ m¨anniskor skulle kanske s¨aga att ekvationen x − 2x +√ ¨ −1, tillskriva −1 a r helt utan mening. Andra skulle acceptera symbolen saknar l¨osningar eftersom √ √ den egenskapen att ( −1)2 = −1 och s¨atta in 1 + −1 i ekvationen x2 − 2x + 2 = 0. D˚a a¨ r

(1 +

√ √ √ √ −1)2 − 2(1 + −1) + 2 = 1 + 2 −1 + (−1) − 2 − 2 −1 + 2 = 0

√ under 1500-talet. dvs 1 + −1 a¨ r en l¨osning √ till ekvationen. S˚a gjorde n˚agra italienska matematiker 2 Om man anser att 1 + −1 b¨or uppfattas som en l¨osning till ekvationen x − 2x√+ 2 = 0 s˚a b¨or man ocks˚a ha en bra f¨orklaring till varf¨or. Det g¨aller att motivera anv¨andningen av −1. Det tog 300 a˚ r innan man kunde ge en tillfredsst¨allande f¨orklaring och rent formellt konstruera de komplexa talen. Men exakt samma situation som med de komplexa talen har man med de hela, rationella och reella. Om man fr˚agar ett barn om x s˚adant att 2 + x = 3 s˚a f˚ar man svaret x = 1. Tar man ist¨allet 3 + x = 2 riskerar man att bli utskrattad. Ekvationen 2 + x = 3 kan l¨osas i m¨angden av de naturliga talen, men 3 + x = 2 kr¨aver ett nytt talomr˚ade – de hela talen (i synnerhet de negativa). P˚a liknande s¨att g˚ar det att dela 4 i tv˚a lika delar (dvs l¨osa 2x = 4) i heltalen, men det g˚ar inte att dela 3 i tv˚a lika delar i den m¨angden (dvs l¨osa 2x = 3) – det beh¨ovs rationella tal f¨or att g¨ora det. Slutligen kan man hitta ett rationellt tal som multiplicerat med sig sj¨alvt ger 4 (dvs l¨osa x2 = 4), men det g˚ar inte att hitta ett rationellt tal som multiplicerat med sig sj¨alvt ger 2 (dvs l¨osa x2 = 2) – f¨or att g¨ora det beh¨ovs ett nytt talomr˚ade. Det naturliga o¨ nskem˚alet att polynomekvationer alltid skall g˚a att l¨osa, tvingar oss s˚aledes att successivt utvidga talomr˚aden. Om det finns en slutstation f¨or denna utvidgningsprocess f˚ar vi veta lite senare. S˚a l˚at oss b¨orja!

(11.15) Fr˚an de naturliga talen till de hela. Ekvationen 3 + x = 5 definierar x = 2 som sin l¨osning. Samma l¨osning ger 4 + x = 6, 5 + x = 7 osv. Man kan uppfatta 2 som paret (5,3) eller (6,4) eller (7,5) osv. Paret (a, b) ger l¨osningen till b + x = a med a > b. Paren (a, b) och (c, d) ger samma x om a − b = c − d, dvs a + d = b + c. Men det finns par (a, b) med a = b och a < b. Har de en liknande tolkning? T ex kan (3,5) uppfattas som l¨osningen till 5 + x = 3. En s˚adan l¨osning finns inte bland de naturliga talen men sj¨alva tolkningen ger en id´e hur man kan definiera heltalen. L˚at oss betrakta alla par (a, b) d¨ar a, b ∈ N. Vi s¨ager att (a, b) ∼ (c, d) d˚a och endast d˚a a + d = b + c. Man verifierar l¨att att detta a¨ r en ekvivalensrelation, och vi definierar heltalen Z som m¨angden av dess ekvivalensklasser. Vi inf¨or ocks˚a f¨oljande skrivs¨att f¨or ekvivalensklassen [(a, b)]: ½ [(a, b)] =

a−b om a ≥ b, −(b − a) om a < b.

T ex a¨ r [(1, 3)] = −(3 − 1) = −2 och paren (1,3), (2,4), (3,5) osv tillh¨or samma klass. Vidare definierar man addition och multiplikation av heltal:

[(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)],

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

12

[(a, b)][(c, d)] = [(ac + bd, ad + bc)].k H¨ar m˚aste man kontrollera att dessa operationer a¨ r v¨aldefinierade, dvs att om (a, b) ∼ (a0 , b0 ) och (c, d) ∼ (c0 , d0 ) s˚a (a+c, b+d) ∼ (a0 +c0 , b0 +d0 ) och (ac+bd, ad+bc) ∼ (a0 c0 +b0 d0 , a0 d0 +b0 c0 ), dvs summan och produkten beror inte p˚a vilken representant f¨or respektive ekvivalensklass man anv¨ander. Detta kallas ocks˚a f¨or att ∼ a¨ r en kongruensrelation med avseende p˚a addition och multiplikation (betraktade som operationer p˚a N × N). Nu kan man kontrollera att heltalen bildar en ring men att g˚a igenom alla detaljer a¨ r ganska omst¨andligt. L¨agg ocks˚a m¨arke till att N kan betraktas som delm¨angd av Z s˚a att det verkligen a¨ r korrekt att inf¨ora skrivs¨attet ovan: t ex a¨ r 2 b˚ade ett naturligt tal och en beteckning f¨or klassen [(5, 3)]. (11.16) Fr˚an de hela talen till de rationella. Konstruktionen a¨ r n¨astan identisk med den f¨orra. Ekvationen 2x = 1 definierar 1/2. Samma l¨osning ger 4x = 2, 6x = 3 osv. Vi kan uppfatta 1/2 som paren (1,2), (2,4), (3,6) osv. −1/2 f˚ar man som t ex (−1, 2), (−2, 4) osv. Allm¨ant kan l¨osningen till bx = a uppfattas som paret (a, b). Observera att b 6= 0. Tv˚a par (a, b) och (c, d) ger samma rationella tal om ab = dc . Men vi vill undvika br˚ak (de skall ju definieras!). D¨arf¨or skriver vi villkoret p˚a formen ad = bc. Nu kan vi starta v˚ar konstruktion. Betrakta alla par (a, b) s˚adana att a, b ∈ Z och b 6= 0. Man s¨ager att (a, b) ∼ (c, d) , d 6= 0, om ad = bc. Detta a¨ r en ekvivalensrelation och vi inf¨or beteckningen

[(a, b)] =

a (eller a : b) b

f¨or ekvivalensklasserna. T ex a¨ r [(1, 3)] = 13 och paren (1,3), (2,6), (3,9) tillh¨or samma klass (definierar samma rationella tal). Nu kan vi definiera addition och multiplikation av rationella tal:

a c + b d

=

ad + bc , bd

ac bd

=

ac , bd

och kontrollera att dessa a¨ r v¨aldefinierade och att man verkligen f˚ar en kropp (se o¨ vningar). Observera att:

k

a c + 1 1

=

a+c , 1

ac 11

=

ac , 1

T¨ank p˚a [(a, b)] och [(c, d)] som a − b och c − d. D˚a a¨ r(a − b)(c − d) = (ac + bd) − (ad + bc) = [(ac + bd, ad + bc)].

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(11.17)

13

dvs talen a1 adderas och multipliceras precis som heltalen a. Man kommer o¨ verens om att skriva s˚a att de vanliga heltalen kan betraktas som en delm¨angd till de rationella talen.

a 1

=a

(11.17) Fr˚an de rationella talen till de reella. Den biten av v¨agen a¨ r lite annorlunda och utg¨or ett mycket st¨orre steg a¨ n de tv˚a f¨oreg˚aende. F¨orst och fr¨amst hittar man l¨att ekvationer med rationella koefficienter som saknar rationella l¨osningar, t ex x2 = 2. S˚adana ekvationer kr¨aver en utvidgning av de rationella talen. Men det finns en annan mycket viktig anledning till att man inser behovet av nya tal. Man uppt¨ackte mycket tidigt att rationella tal inte a¨ r tillr¨ackliga f¨or att kunna m¨ata l¨angder av str¨ackor. F¨oljande klassiska exempel spelade en mycket viktig roll i matematikens utveckling. Betrakta en kvadrat och anta att man har fixerat en enhet e s˚adan att kvadratens sida rymmer exakt n enheter och dess diagonal m enheter (m och n a¨ r naturliga tal).

¡

¡

¡

me ¡ ¡

¡

¡

ne

¡

ne

√ Nu vet vi att (ne)2 + (ne)2 = (me)2 s˚a att 2n2 = m2 , dvs 2 = m n . Detta visar att om e finns √ s˚a a¨ r 2 ett rationellt tal. Pythagoras ∗∗ och hans elever visste mycket v¨al att det inte var fallet. Sin uppt¨ackt om f¨orh˚allandet mellan kvadratens sida och dess diagonal betraktade de som n˚agot som stred mot naturens ordning och f¨ors¨okte hemligh˚alla under en tid. Men konsekvensen blev att Euklides †† kort d¨arefter kunde utveckla geometrin och l¨aran om reella tal som m˚att p˚a str¨ackor. √ visa det genom att utnyttja entydigheten av primfakHur visar man att 2 inte a¨ r rationellt? Vi skall √ toruppdelningar av de naturliga talen. Antag att 2 a¨ r rationellt, dvs att √ m , 2= n d¨ar m, n a¨ r naturliga tal. D˚a a¨ r 2n2 = m2 . Eftersom m2 och n2 a¨ r kvadrater av heltal inneh˚aller de ett j¨amnt antal primfaktorer 2 (m¨ojligen 0 s˚adana faktorer). Allts˚a f¨orekommer 2 som primfaktor i 2n2 ett udda antal g˚anger, medan i m2 ett j¨amnt antal g˚anger s˚a att 2n2 6= m2 . Detta mots¨ager likheten √ 2 2 2n = m och visar att 2 inte kan vara rationellt. L˚at oss nu konstruera de reella talen. Vi kan inte l¨angre anv¨anda oss av tekniken med par av rationella tal. Men vi kan utnyttja f¨oljder av rationella tal. Reella tal (enligt gymnasiekunskaper) a¨ r decimaltal av typen A = a, a1 a2 ...an ..., d¨ar a a¨ r heltalsdelen och 0, a1 a2 ...an ... a¨ r decimaldelen av A. Varje s˚adant tal kan approximeras med rationella tal – f¨oljden ∗∗ ††

Pythagoras (572-500 f Kr) Euklides (ca 350 f Kr)

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

14 x1 = a, a1 , x2 = a, a1 a2 , x3 = a, a1 a2 a3 , ... xn = a, a1 a2 a3 ...an , ... best˚ar av rationella tal och konvergerar mot A, dvs limn→∞ xn = A. T ex a¨ r f¨or A = π: x1 = 3, 1 , x2 = 3, 14 , x3 = 3, 141 , ... x8 = 3, 14159265 , ... ar d˚a av rationella tal, den L˚at nu A vara ett positivt tal. F¨oljden {x1 , x2 , ..., xn , ...} = {xn }∞ 1 best˚ a¨ r v¨axande och begr¨ansad (ty xn ≤ A f¨or alla n). Vi vet att en s˚adan f¨oljd alltid har ett gr¨ansv¨arde. Tv˚a f¨oljder {xn } och {x0n } har samma gr¨ansv¨arde d˚a och endast d˚a deras skillnad g˚ar mot 0, dvs limn→∞ (xn − x0n ) = 0. Positiva reella tal a¨ r allts˚a gr¨ansv¨arden av v¨axande och begr¨ansade f¨oljder av rationella tal och tv˚a f¨oljder definierar samma reella tal som sitt gr¨ansv¨arde om deras skillnad g˚ar mot 0. Men vi kan inte definiera reella tal som gr¨ansv¨arden av s˚adana f¨oljder s˚a l¨ange de reella talen inte a¨ r konstruerade eftersom en s˚adan definition skulle f¨oruts¨atta att de reella talen (dvs gr¨ansv¨ardena) a¨ r ¨ a identifierar vi varje reellt tal med ett gr¨ansv¨arde p˚a f¨oljande s¨att. (H¨ar b¨orjar den formella k¨anda. And˚ definitionen.) ar xn a¨ r positiva raBetrakta alla v¨axande och begr¨ansade f¨oljder {x1 , x2 , ..., xn , ...} = {xn }∞ 1 , d¨ 0 }∞ a ¨ tionella tal. Man s¨ager att tv˚a f¨oljder {xn }∞ r ekvivalenta (definierar samma reella tal) och {x n 1 1 0 ) = 0. Alla f¨ oljder som tillh¨or konvergerar mot 0, dvs lim (x −x om deras skillnad {xn −x0n }∞ n→∞ n n 1 ∞ ∞ klassen av {xn }1 betecknas med [{xn }1 ]. En s˚adan klass kallar man f¨or ett positivt reellt tal. Nu kan man definiera addition och multiplikation av de positiva reella talen (v¨aldefinition m˚aste kontrolleras):

0 ∞ 0 ∞ [{xn }∞ 1 ] + [{xn }1 ] = [{xn + xn }1 ],

0 ∞ 0 ∞ [{xn }∞ 1 ][{xn }1 ] = [{xn xn }1 ].

F¨or att nu konstruera de negativa reella talen och talet 0 m˚aste man upprepa samma konstruktion som ledde oss fr˚an de naturliga talen till de hela: Man betraktar alla par (a, b), d¨ar a och b a¨ r positiva reella tal, och man identifierar (a, b) med (c, d) om a + d = b + c. Kontrollen att man f˚ar en kropp och att den a¨ r ordnad och fullst¨andig a¨ r ganska l˚ang men inte s¨arskilt sv˚ar (detaljerna behandlas n¨armare i forts¨attningskurser i matematik † ). †

Vanligen brukar man i st¨allet f¨or v¨axande och begr¨ansade f¨oljder betrakta godtyckliga f¨oljder av rationella tal x1 , x2 , ..., xn , ... s˚adana att avst˚andet mellan talen xi och xj g˚ar mot 0 d˚a i och j v¨axer, dvs |xi − xj | → 0 d˚a i, j → ∞.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(11.20)

15

(11.18) Fr˚an de reella talen till de komplexa. Vi vet redan att behovet av de komplexa talen uppt¨acktes i samband med andragradsekvationer med reella koefficienter. En s˚a enkel ekvation som x2 = −1 saknar reella l¨osningar. Antag att vi har en kropp K som inneh˚aller de reella talen R och s˚adan att det finns α ∈ K som satisfierar ekvationen x2 = −1, dvs α2 = −1. Man kontrollerar utan st¨orre sv˚arigheter (se (11.3)) att talen

a + bα, d¨ar a, b ∈ R , bildar en kropp. Det finns en mycket l˚ang tradition att α betecknas med i (ibland j) ‡ . I den kroppen har vi:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i , (11.19) (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. ¨ s˚a l¨ange har vi inte n˚agon formell konstruktion av de komplexa talen (vi sade ju ”Antag att vi An har en kropp K...”). Men vi har i alla fall en klar bild av hur en kropp som inneh˚aller l¨osningen till x2 = −1 m˚aste se ut. Konstruktionen a¨ r mycket enkel. Id´en a¨ r (som flera g˚anger tidigare) att uppfatta nya tal som par av redan k¨anda: a + bi kan uppfattas som (a, b), d¨ar a, b ∈ R. (11.20) Definition. Med komplexa tal menar man alla par (a, b), d¨ar a, b ∈ R, som adderas och multipliceras p˚a f¨oljande s¨att:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc). M¨angden av de komplexa talen betecknas med C.

¤

Beteckningen (a, b) a¨ r lite omst¨andlig. D¨arf¨or observerar man att:

(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), F¨oljder av den typen kallas Cauchyf¨oljder. ‡00 i” kommer fr˚an ordet ”imagin¨ar”. Det finns ett mycket intressant val av terminologi n¨ar det g¨aller nya typer av tal. De naturliga talen bland de hela kallas positiva, de o¨ vriga negativa. Br˚aktalen bland de reella kallas rationella, de o¨ vriga irrationella. Komplexa talen a + bi har realdel a och en imagin¨ardel b. Allts˚a var allt nytt negativt, irrationellt och imagin¨art (samt en l˚ang tid impopul¨art).

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

16

(a, 0)(b, 0) = (ab, 0), dvs paren (a, 0) adderas och multipliceras precis som vanliga reella tal a. Man kommer o¨ verens om att skriva (a, 0) = a s˚a att R ⊂ C. D¨arefter noterar man att (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1. Man betecknar (0, 1) = i. Nu har vi (0, b) = (b, 0)(0, 1) = bi s˚a att

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + bi och vi f˚ar v˚ara gamla beteckningar (11.19). Det som a˚ terst˚ar a¨ r kroppstrukturen: (11.21) Sats. De komplexa talen a + bi, d¨ar a, b ∈ R och i2 = −1, bildar en kropp. Satsen visas l¨att, men beviset tar lite tid eftersom man m˚aste kontrollera alla villkor (a) – (k) p˚a sidan 4. Innan vi tittar p˚a m¨ojligheten att g˚a vidare med liknande konstruktioner l˚at oss summera v˚ara kunskaper. Nu kan vi s¨aga att med ett tal menar man alltid ett komplext tal. I synnerhet kan det vara fr˚aga om ett naturligt, helt, rationellt eller reellt tal. Med en talring (eller talkropp) menas alltid en ring (eller kropp) best˚aende av tal. Z a¨ r den minsta talringen d¨arf¨or att om R a¨ r en talring s˚a g¨aller att 1 ∈ R vilket ger att 1 + 1, 1 + 1 + 1, ... ∈ R, dvs R inneh˚aller de naturliga talen. Vidare m˚aste 0 ∈ R och −x ∈ R om x ∈ R s˚a att R inneh˚aller Z. Q a¨ r den minsta talkroppen eftersom varje talkropp K inneh˚aller Z och d¨armed ocks˚a alla tal ab , d¨ar a, b ∈ Z och b 6= 0, dvs K ⊇ Q. De reella talen bildar den st¨orsta ordnade talkroppen. L˚at oss f¨orst konstatera att C inte a¨ r ordnad. Antag n¨amligen att man kan v¨alja en m¨angd P av positiva element i C. D˚a a¨ r i ∈ P eller −i ∈ P . I varje fall a¨ r (±i)2 = −1 ∈ P vilket a¨ r om¨ojligt ty redan 1 ∈ P (se (11.8)). Man visar (men det a¨ r inte helt banalt) att om en talkropp kan ordnas s˚a kan den inte inneh˚alla n˚agot komplext tal a + bi med b 6= 0, dvs den ligger i R. I den meningen a¨ r R den st¨orsta ordnade talkroppen. De komplexa talen bildar den st¨orsta talkroppen. I vilken mening? Man kan fr˚aga sig som tidigare om det finns polynomekvationer, nu med komplexa koefficienter, som inte kan l¨osas i det komplexa talomr˚adet. Svaret p˚a den fr˚agan kommer fr˚an C.F. Gauss som a˚ r 1799 visade f¨oljande sats: (11.22) Polynomalgebrans fundamentalsats. Varje polynomekvation av positiv grad med komplexa koefficienter har en komplex l¨osning. Satsen s¨ager att om p(X) = an X n + ... +a1 X + a0 , d¨ar ai ∈ C, n > 0 och an 6= 0 s˚a a¨ r p(z) = 0 f¨or ett komplext tal z ∈ C. Man s¨ager ocks˚a att kroppen av de komplexa talen a¨ r algebraiskt sluten. Det finns flera olika bevis f¨or den satsen men alla kr¨aver lite st¨orre f¨orkunskaper § . §

Beviset ges i kursen ”Analytiska funktioner”. Ett n¨astan rent algebraiskt bevis i ”Galoisteori”.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(11.23)

17

(11.23) Finns n˚agot bortom de komplexa talen? Den sista satsen s¨ager att det inte finns n˚agot vidare behov att utvidga den komplexa talkroppen p g a ol¨osbara polynomekvationer. I den meningen bildar de komplexa talen den st¨orsta talkroppen. Men en l˚ang tid innan man var medveten om detta, uppt¨ackte man matematiska objekt som kunde anv¨andas till att beskriva och utforska naturen och som i m˚anga avseenden liknade talen. Exempel p˚a s˚adana begrepp a¨ r vektor, matris, kvaternion och tensor. Vektorer och matriser a¨ r upps¨attningar av tal som ocks˚a kan adderas och multipliceras p˚a ett l¨ampligt s¨att. De ger en m¨ojlig generalisering av talbegreppet. Kvaternioner, som enklast kan beskrivas med hj¨alp av matriser, a¨ r ett annat exempel p˚a en algebraisk struktur som ligger mycket n¨ara de komplexa talen. Vi skall avsluta detta avsnitt genom att s¨aga n˚agra ord om just kvaternioner. W.R. Hamilton ¶ som gav en formell definition av komplexa tal i form av reella talpar f¨ors¨okte g˚a vidare med sin id´e och betrakta par av komplexa tal. Han ville definiera addition och multiplikation av s˚adana par och m¨ojligen f˚a en ny kropp. Faktum a¨ r att det finns m˚anga kroppar som inneh˚aller de komplexa talen, men de m˚aste alltid inneh˚alla element som inte uppfyller n˚agon icke-trivial polynomekvation med komplexa koefficienter (t ex kroppen C(X) av alla rationella funktioner med komar p(X) och q(X) a¨ r polynom med komplexa koefficienter – plexa koefficienter, dvs alla br˚ak p(X) q(X) , d¨ variabeln X a¨ r inte ett nollst¨alle till n˚agot nollskilt polynom med komplexa koefficienter). D¨arf¨or a¨ r det inte l¨angre m¨ojligt att konstruera en kropp st¨orre a¨ n C vars element uppfyller polynomekvationer med komplexa koefficienter. Hamilton lyckades dock att konstruera en struktur som har den egenskapen och som uppfyller alla r¨aknelagar f¨or en kropp med bara ett undantag. P˚a Brougham Bridge i Dublin d¨ar Hamilton bodde finns idag en tavla med f¨oljande text: ”Here as he walked by on the 16th of October 1843 Sir William Rowan Hamilton in a flash of genius discovered the fundamental formula for quaternion multiplication i2 = j 2 = k 2 = ijk = −1 and cut it in on a stone of this bridge”. Han publicerade sina resultat a˚ r 1853. Konstruktionen av kvaternioner, som spelar en mycket viktig roll i m˚anga matematiska och fysikaliska teorier, a¨ r f¨oljande. Betrakta alla par (z1 , z2 ), d¨ar z1 , z2 a¨ r komplexa tal. Definiera (z1 , z2 ) + (z10 , z20 ) = (z1 + z10 , z2 + z20 ), och (z1 , z2 )(z10 , z20 ) = (z1 z10 − z2 z¯20 , z1 z20 + z¯10 z2 ), d¨ar z¯ = a − bi (z konjugat) om z = a + bi. Man observerar att (z1 , 0) + (z10 , 0) = (z1 + z10 , 0), och (z1 , 0)(z10 , 0) = (z1 z10 , 0). Detta visar att de komplexa talen kan identifieras med paren (z, 0). D¨arf¨or skriver vi (z, 0) = z. Beteckna ocks˚a (0, 1) = j och (0, i) = k. Vi har j 2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 och k 2 = (0, i)(0, i) = (−1, 0) = −1. Dessutom har vi (0, c + di) = (0, c) + (0, di) = (c, 0)(0, 1) + (d, 0)(0, i) = cj + dk. D¨arf¨or kan vi skriva: q = (a + bi, c + di) = (a + bi, 0) + (0, c + di) = a + bi + cj + dk. Detta a¨ r en typisk kvaternion. Dess konjugat a¨ r q¯ = a − bi − cj − dk och dess belopp a¨ r kvadratroten ur q q¯ = a2 + b2 + c2 + d2 . ¶

W.R. Hamilton (1805-1865).

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

18 F¨or att snabbt kunna r¨akna med kvaternioner a¨ r det b¨ast att kontrollera f¨oljande multiplikationsregler:

i

ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j.

7 S ¶ ¶ S ¶ S ¶ S ¶ S ¶ S ¶ S w k¾ j

Vi ser att multiplikation av kvaternioner inte a¨ r kommutativ. L˚at oss sammanfatta: (11.24) Sats. Alla kvaternioner a + bi + cj + dk, d¨ar i2 = j 2 = k 2 = −1 och ij = −ji = k, bildar en algebraisk struktur H som uppfyller alla villkor i definitionen av en kropp med undantag av multiplikationens kommutativitet. Dessutom uppfyller varje kvaternion en andragradsekvation med reella koefficienter.

F¨or det sista p˚ast˚aendet i satsen se o¨ vningen om kvaternioner. Ibland s¨ager man att H a¨ r en ickekommutativ kropp, men termerna skevkropp eller divisionsring a¨ r mera vanliga. Satsen a¨ r inte sv˚ar att bevisa.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 11

TALBEGREPPET ¨ Ovningens syfte a¨ r att bekanta sig med talbegreppet. Vi skall f¨ors¨oka f˚a en b¨attre f¨orst˚aelse f¨or hur och varf¨or man definierar olika typer av tal: de naturliga, rationella, reella och komplexa. I f¨orsta hand f¨ors¨ok l¨osa f¨oljande uppgifter: A 1,2, 3 (a) – (c), B, C, D 1 – 4, E 1 – 2, F, G.

¨ Ovning A 1. Ge n˚agra exempel p˚a talkroppar och talringar. 2. Ge tv˚a exempel p˚a talringar som inte a¨ r kroppar. 3. Vilka av f¨oljande talm¨angder a¨ r ringar? Vilka av dem a¨ r kroppar? (a) {0, 1}, √ (b) a + b 3, d¨ar a, b ∈ Z, √ (c) a + b 5, d¨ar a, b ∈ Q, √ (d) a + b 3 2, d¨ar a, b ∈ Z, √ √ (e) a + b 3 2 + c 3 4, d¨ar a, b, c ∈ Z, √ √ (f) a + b 2 + c 3, d¨ar a, b, c ∈ Z.

¨ Ovning B √ √ Vi vet fr˚ √an avsnittet om talbegreppet att om d a¨ r ett heltal och d 6∈ Q s˚a bildar alla tal Q[ d] = {a + b d, a, b ∈ Q} en utvidgning av talkroppen Q (en talkropp som a¨ r st¨orre a¨ n Q). √ √ 1. Visa att Q[ 2] 6= Q[ 3]. √ √ / Q[ 2]. Ledning. Visa att 3 ∈ 2. F¨ors¨ok generalisera B1 och ge exempel p˚a o¨andligt m˚anga olika talkroppar. 1

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 11

2 3. (a) Visa att alla tal av typ √ √ √ a + b 2 + c 3 + d 6, d¨ar a, b, c, d ∈ Q, bildar en kropp.

√ √ / Q[ 2] och utnyttja sats 10.3. Ledning. Visa att 3 ∈ ¨ det m¨ojligt att skriva talet (b) Ar 1 √ √ √ 1+ 2+ 3+ 6 √ √ √ p˚a formen a + b 2 + c 3 + d 6, d¨ar a, b, c, d a¨ r rationella tal? G¨or det om Du ser en enkel l¨osning! (c) Hur kan man generalisera (a)?

¨ Ovning C ¨ det en definition (dvs en ”¨overenskommelse”) 1. Vad anser Du om likheten (−1)(−1) = 1: Ar eller en sats? 2. Visa att i varje ring R g¨aller f¨oljande likheter: (a) a0 = 0 d˚a a ∈ R, (b) −(−a) = a d˚a a ∈ R, (c) (−1)a = −a d˚a a ∈ R, (d) (−a)b = −ab d˚a a, b ∈ R, (e) (−a)(−b) = ab d˚a a, b ∈ R.

¨ Ovning D Denna o¨ vning handlar om rationella och irrationella tal. 1. (a) Best¨am decimalutvecklingen av talen

3 11

och 17 .

(b) Motivera att decimalutvecklingen av ett rationellt tal a¨ r periodisk. Ledning: Analysera divisionsalgoritmen d˚a man decimalutvecklar br˚aktalen. Anm¨arkning. Man visar ganska enkelt att om ett reellt tal har periodisk decimalutveckling s˚a a¨ r det rationellt. ¨ de ocks˚a irra2. L˚at a och b vara irrationella tal. Vad kan man s¨aga om talen a−1 och ab ? Ar tionella? 3. F¨ors¨ok f¨orklara varf¨or 0,999... = 1.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

3 √ 4. (a) Visa att 3 a¨ r icke-rationellt genom att j¨amf¨ora antalet primfaktorer 3 till v¨anster och till h¨oger i likheten 3n2 = m2 . √ (b) Visa p˚a liknande s¨att att p a¨ r icke-rationellt d˚a p a¨ r ett godtyckligt primtal. (c) Har Du n˚agra f¨orslag p˚a hur man kan generalisera (b)? √ √ (d) Visa att talet 2 + 3 inte a¨ r rationellt. 5. (a) Visa att talet 2 log5 a¨ r icke-rationellt. (b) Kan Du f¨oresl˚a n˚agra andra tal, i st¨allet f¨or 5 i (a), f¨or vilka samma p˚ast˚aende g¨aller?

¨ Ovning E L˚at K vara en ordnad kropp med positiva element P och a, b, c ∈ K. a < b definieras av b − a ∈ P och a ≤ b definieras av a < b eller a = b. 1. Visa att ”≤” a¨ r en ordningsrelation p˚a K. 2. Visa att K har f¨oljande egenskaper: (a) a < b ⇒ a + c < b + c, (b) a < b och c > 0 ⇒ ac < bc, (c) hur f¨or¨andras (b) d˚a man ers¨atter a < b med a ≤ b? 3. Visa att (a) |ab| = |a||b|, (b) |a + b| ≤ |a| + |b| (triangelolikheten). 4. De naturliga talen bildar en v¨axande f¨oljd 0 < 1 < 2 < 3 ... som inte a¨ r begr¨ansad. Utnyttja denna kunskap f¨or att visa f¨oljande viktiga egenskaper hos talen: (a) ”Arkimedes princip”: Om a, b a¨ r tv˚a positiva reella tal s˚a finns det ett naturligt tal n s˚a att na > b. (b) L˚at a, b vara tv˚a reella tal och l˚at a < b. Det finns ett rationellt tal

m n

s˚adant att a
1. V¨alj d¨arefter minsta m s˚a att m > na.

¨ Ovning F Fr˚an texten i avsnitt 10 vet vi att de rationella talen (”br˚aktalen”) konstrueras fr˚an heltalen som par (a, b), d¨ar a och b a¨ r heltal och b 6= 0. Paret (a, b) uppfattas som l¨osningen till ekvationen bx = a. Ekvationen dx = c har samma l¨osning som bx = a precis d˚a ad = bc. Det rationella talet ab a¨ r helt enkelt ekvivalensklassen av paret (a, b) d˚a (a, b) ∼ (c, d) d˚a och endast d˚a ad = bc. 1. Skriv ut 3 ekvationer och motsvarande par (a, b) som svarar mot x = 35 .

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 11

4

2. Kontrollera att relationen ∼, definierad av (a, b) ∼ (c, d) d˚a och endast d˚a ad = bc, verkligen a¨ r en ekvivalensrelation. 3. N¨ar har ett rationellt tal

a b

4. Kontrollera att om

en invers? Skriv inversen p˚a formen [(c, d)].

[(a, b)] = [(a0 , b0 )]

och

[(c, d)] = [(c0 , d0 )]

a¨ r tv˚a rationella tal (ab0 = a0 b och cd0 = c0 d) s˚a g¨aller c0 a0 a c + = 0 + 0 d b b d

och

a0 c0 ac = 0 0 b d bd

(dvs summan och produkten av tv˚a rationella tal beror inte p˚a hur dessa tal representeras i form av br˚ak).

¨ Ovning G Fr˚an texten i avsnitt 10 vet vi att heltalen konstrueras fr˚an de naturliga talen som ekvivalensklasser av par (a, b), d¨ar a och b a¨ r naturliga tal. Paret (a, b) uppfattas som l¨osningen till ekvationen b + x = a. Ekvationen d + x = c har samma l¨osning precis d˚a a + d = b + c. 1. Skriv ut 3 ekvationer och motsvarande par (a, b) som svarar mot x = 2. G¨or samma sak med x = −3. 2. Betrakta alla par (a, b), d¨ar a, b ∈ N och visa att relationen (a, b)R(c, d) ⇐⇒ a + d = b + c a¨ r en ekvivalensrelation. 3. V¨alj p˚a ett enkelt s¨att en representant f¨or varje ekvivalensklass. 4. Motivera att det finns en bijektion mellan ekvivalensklasserna f¨or R och heltalen (observera att om vi inte k¨anner till heltalen s˚a kan de definieras som ekvivalensklasser av paren (a, b)).

¨ Ovning H 1. Skriv f¨oljande kvaternioner p˚a formen a + bi + cj + dk : (a) (1 + i)(1 + j), (b) (i + j + k)2 , (c) (1 + 2i + 3j + 4k)(1 − 2i − 3j − 4k), (d) ijk. 2. (a) Visa att q = 1 + i + j + k och q¯ = 1 − i − j − k satisfierar ekvationen x2 − 2x + 4 = 0. (b) Visa att q = a + bi + cj + dk satisfierar en kvadratisk ekvation med reella koefficienter.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ ¨ ovning 12

GEOMETRI∗ Syftet med denna ¨ovning ¨ar att ge kunskaper om grundl¨aggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill ocks˚ a ge en uppfattning om geometri som en matematisk teori och dess uppbyggnad. Vi skall bekanta oss med valda delar av en mycket klassisk del av geometri – euklidisk plan geometri. Euklides var en grekisk matematiker utbildad vid den Platonska Akademien i Aten och verksam i Alexandria c:a 300 f.Kr. Han samlade d˚ atida kunskaper i geometri och kompletterade dessa med sina egna resultat. Euklides utnyttjade b˚ ade kunskaper fr˚ an ¨aldre kulturer som t ex den Babylonska och fr˚ an grekiska matematiker som t ex Ptythagoras och hans efterf¨oljare (600 f.Kr till 400 f.Kr). Euklides publicerade sitt verk “Elementa” i 13 volymer som huvudsakligen ¨agnas just ˚ at geometri, men inneh˚ aller ocks˚ a flera aritmetiska resultat (t ex ett bevis att det finns o¨andligt m˚ anga primtal). Euklides f¨ors¨ okte bygga upp en konsekvent deduktiv matematisk teori – ett antal klara f¨oruts¨ attningar om punkter, linjer och plan skulle kunna anv¨ andas som utg˚ angspunkt till att med hj¨alp av logiska resonemang h¨arleda olika egenskaper hos geometriska figurer. Dessa f¨oruts¨ attningar – den euklidiska geometrins“spelregler”– kallas axiom eller postulat och g¨aller s˚ a kallade primitiva begrepp som punkter, linjer och plan samt vissa enkla geometriska figurer (som t ex str¨ackor och cirklar). Med utg˚ angspunkt fr˚ an axiomen f¨ors¨ okte Euklides h¨arleda olika egenskaper hos geometriska figurer. Han lyckades med att bevisa flera vik∗

Denna ¨ ovning utarbetades av J. Brzezinski, M. Martinsson och J. Stevens

1

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

2

Explorativ ¨ ovning 12

tiga geometriska resultat. Euklides verk ¨ar det f¨orsta f¨ors¨oket i den m¨anskliga civilisationens historia att bygga en vetenskap p˚ a deduktiva grunder. Euklides b¨ocker betraktades under flera hundra ˚ ar som ett m¨onster f¨or hur vetenskapliga teorier borde formas. De anv¨andes som skoll¨arob¨ocker s˚ a sent som i slutet av 1800–talet. En noggrann och kritisk analys av Euklides text visade d˚ a p˚ a en del brister i hans teori vars framst¨allning modifierades n˚ agot (av bl a David Hilbert), men Eklides huvudid´e lever kvar – hela matematikens uppbyggnad f¨oljer samma deduktiva principer som den euklidiska geometrins. Det har skrivits tusentals l¨arob¨ocker i geometri som under en l˚ ang tid var ett av de viktigaste delarna i skolmatematiken. P˚ a 1960–talet f¨ors¨okte man modernisera presentationen av euklidisk geometri i skolan. Reformen var inte f¨orberedd ordentligt b˚ ade n¨ar det g¨allde l¨ampliga l¨arob¨ocker och l¨ararnas fortbildning. Detta ledde till att den euklidiska geometrin n¨astan f¨orsvann fr˚ an kursplaner. Idag finns det v¨aldigt lite geometri kvar i skoll¨arob¨ocker. Geometrin ¨ar en mycket viktig del av v˚ art vardagliga liv – en modell av geometriska former som vi finner i v˚ ar omgivning. Kunskaper om enkla geometriska figurer ¨ar lika viktiga som kunskaper om t ex talsystem och m˚ aste betraktas som en mycket viktig del av allm¨anbildningen. Geometrin ¨ar mycket mera intuitiv och l¨attare att f¨orst˚ a ¨an t ex en del egenskaper hos talsystem. Man m˚ aste dock medge att en str¨ang uppbyggnad av euklidisk geometri ¨ar relativt komplicerad och att det finns mycket enklare exempel p˚ a matematiska teorier som ger en klarare uppfattning om hur en axiomatisk teori fungerar. Tyv¨arr f¨orpassades euklidisk geometri fr˚ an skolmatematiken n¨astan fullst¨andigt och ersattes inte med n˚ agot annat som kunde tillgodose behovet av ett bra exempel p˚ a hur man kan utveckla en riktig matematisk teori (en matematisk modell) f¨or att studera v˚ ar omgivning. De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt ¨ar:

• Kongruens och likhet mellan str¨ackor, vinklar och trianglar. • Kongruensfallen f¨or trianglar (basvinkelsatserna). • Parallella linjer (likbel¨agna vinklar och alternativvinklar). • Yttervinkelsatsen, vinkelsumman i en triangel. • L¨angd och area.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

3 • Likformighet av trianglar och likformighetsfallen. • N˚ agra viktiga satser om trianglar (bisektriser, medianer, h¨ojder, Pythagoras sats). • Cirklar (kordasatsen). • Konstruktioner med passare och linjal.

Vi skall ocks˚ a utnyttja kunskaper fr˚ an detta avsnitt f¨or att f˚ a b¨attre f¨orst˚ aelse av vad man menar med deduktiv vetenskap och axiomatisk metod i matematiken. Vi avslutar denna ¨ovning med n˚ agra sidor fr˚ an den svenska utg˚ avan av Euklides ber¨omda l¨arobok i geometri vars ¨overs¨attning publicerades av M˚ arten Str¨omer (1707 – 1770). Under flera hundra har man anv¨ant denna bok som l¨arobok i skolan. Str¨omer introducerade flera geometriska termer som vi idag anv¨ander. Observera att Euklides g¨or en distinktion mellan axiom och postulat – dessa tv˚ a ord ¨ar idag synonymer (i klassisk grekisk terminologi ¨ar ett postulat specifikt f¨or en vetenskap, medan ett axiom g¨aller f¨or alla vetenskaper). Vi f¨oljer Bo Stenstr¨oms kompendiet “Euklidisk geometri”. I f¨orsta hand f¨ors¨ok l¨osa uppgifterna A, B, C, E, F, G, I, J, L, P, Q.

¨ Ovning A L¨as texten om “Axiom och primitiva begrepp” i kompendiet (sid. 1 och 2). F¨ors¨ok d¨arefter besvara f¨oljande fr˚ agor och diskutera svaren i Din grupp: 1. Hur kan man f¨orest¨alla sig en axiomatisk teori? Vad ¨ar ett primitivt begrepp? Vad ¨ar ett axiom? F¨ors¨ok svara p˚ a dessa fr˚ agor genom att j¨amf¨ora axiomatisk teori med ett spel t ex schack. Vad ¨ar “primitiva begrepp” i schackspel? Vad ¨ar axiomen? a n˚ agra definitioner (t ex av n˚ agra geometriska figurer 2. Ge exempel p˚ eller parallella linjer). Vilken roll spelar definitionerna och varf¨or ¨ar de viktiga? F¨ors¨ok svara p˚ a dessa fr˚ agor genom att j¨amf¨ora definitionerna

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

4

Explorativ ¨ ovning 12 med f¨orklaringar av ord i ett fr¨ammande spr˚ ak (eller fr¨ammande ord i svenskan). 3. Vad ¨ar skillnaden mellan axiom och satser? Ge exempel p˚ a ett axiom och ett exempel p˚ a en sats.

¨ Ovning B 1. Vad menas med att tv˚ a trianglar ¨ar lika? N¨ar s¨ager man att tv˚ a trianglar ¨ar kongruenta? ¨ f¨oljande trianglar “till synes” lika? Ar ¨ de lika? Ar ¨ de kongruenta? 2. Ar

3. Samma fr˚ aga som ovan om trianglarna:

4. Vad ¨ar skillnaden mellan de b˚ ada fallen ovan? 5. Vad beh¨over man veta enligt definitionen av kongruensbegreppet mellan trianglar f¨or att kunna konstatera att tv˚ a trianglar ¨ar kongruenta? ¨ det n¨odv¨andigt att alla villkor i definitionen (6 stycken) g¨aller? Ar Vilken information r¨acker f¨or att sluta sig till att tv˚ a trianglar ¨ar kongruenta? 6. F¨ors¨ok definiera kongruensbegreppet f¨or fyrh¨orningar. Formulera Ditt eget “kongruensfall” f¨or tv˚ a fyrh¨orningar (t¨ank inte f¨or l¨ange p˚ a den uppgiften).

¨ Ovning C Denna ¨ ovning handlar om parallellogram.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

5 1. Vet du vad en parallellogram ¨ar? J¨amf¨or Dina tankar med Exempel 2 p˚ a sid. 7 i kompendiet. 2. Visa att motst˚ aende vinklar i en parallellogram ¨ar kongruenta. 3. Visa att motst˚ aende sidor i en parallellogram ¨ar kongruenta. 4. Visa att om alla vinklar i en fyrh¨orning ¨ar r¨ata, s˚ a ¨ar fyrh¨orningen en parallellogram. 5. I parallellogrammen ABCD ¨ar 6 A r¨at. Visa att ABCD ¨ar en rektangel. 6. Visa att om i en fyrh¨orning motst˚ aende sidor ¨ar lika stora, s˚ a ¨ar fyrh¨ orningen en parallellogram. 7. Visa att diagonalerna i en parallellogram delar varandra mitt itu.

¨ Ovning D M˚ anga m¨anniskor (alla snickare) vet hur man genom att enbart m¨ata l¨ angder (med t ex ett m˚ attband) kan kontrollera om en husgrund (eller ett rum, o s v) ¨ar rektangul¨ar. (Om ni inte vet ing˚ ar det i uppgiften att t¨anka ut detta).

1. Skriv upp alla steg i en s˚ adan process. 2. Bevisa att metoden ¨ar korrekt. 3. Diskutera v¨ardet med att ge ett s˚ adant bevis: bra/d˚ aligt? Varf¨ or?

¨ Ovning E L¨ os uppgifterna 1, 2, 4, 5 och 6 i kompendiet p˚ a sid. 17.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

6

Explorativ ¨ ovning 12

¨ Ovning F Denna ¨ ovning handlar om l¨ angd och m¨ atning. 1. Redan tidigare anv¨andes begreppet l¨angd av en str¨acka (hur?). Man tar v¨al f¨or givet att varje str¨acka kan tillordnas ett m¨atetal, som ¨ar ett positivt reellt tal. Diskutera vad som menas med detta. 2. Vad menas med en enhet? Kan en enhet delas? Kan den delas hur m˚ anga g˚ anger som helst? 3. Vad menas med kommensurabla str¨ackor? Hur kan man avg¨ora om tv˚ a str¨ackor ¨ar kommensurabla? ¨ sidan och diagonalen i en kvadrat kommensurabla? 4. Ar andet mellan tv˚ a (parallella) linjer? Hur m¨ater 5. Vad menas med avst˚ man det?

¨ Ovning G 1. Vet du vad area ¨ar? Vad ¨ar en yta. Vad ¨ar skillnaden? a sid. 8 i 2. Visa punkt 1 och 2 om area av parallellogram och triangel p˚ kompendiet.

¨ Ovning H a att en figur med ¨andlig area kan ha en godtycklig stor 1. Kan det vara s˚ omkrets? Vi studerar von Kochs “sn¨oflingestj¨arna” (jfr. sid. 26 i Kristin Dahls

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

7 bok).

Om vi kallar de olika stj¨arnorna Si med triangeln S1 som den f¨orsta “stj¨arnan”, s˚ a kan vi s¨aga att man f˚ ar Si+1 ur Si genom att s¨atta en liksidig triangel p˚ a den mittersta tredje delen av varje sida (och ta bort dubbla str¨ackor). 2. Ber¨akna l¨angden av omkretsen av stj¨arnan Sn . 3. Ber¨akna Sn :s area. 4. Vad h¨ander med omkretsen och arean d˚ a n → ∞?

¨ Ovning I Likformighetsbegreppet. 1. T¨ank igen p˚ a vad som menas med att tv˚ a figurer ¨ar lika, ¨ar kongruenta, ¨ar likformiga (har “samma form”). a trianglar ¨ar likformiga? J¨amf¨or med kon2. Vad menas med att tv˚ gruensdefinitionen. Vad beh¨over man veta enligt definitionen av likformighetsbegreppet mellan trianglar f¨or att kunna konstatera att tv˚ a ¨ trianglar ¨ar likformiga? Ar det n¨odv¨andigt att alla villkor i definitionen (6 stycken) g¨aller? Vilken information r¨acker f¨or att sluta sig till att tv˚ a trianglar ¨ar likformiga? a figurer som ¨ar likformiga vara kongruenta och/eller lika? 3. Beh¨over tv˚ ¨ tv˚ Varf¨or/varf¨or inte? Ar a kvadrater likformiga? N¨ar ¨ar de lika eller kongruenta?

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

8

Explorativ ¨ ovning 12 4. Hitta en rektangel s˚ adan att om man tar bort en kvadrat s˚ a˚ aterst˚ ar en rektangel som ¨ar likformig med den ursprungliga (jfr. uppgift 40 p˚ a sid. 19 – Du beh¨over inte l¨osa konstruktionsproblemet).

¨ Ovning J L¨os uppgifterna 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18 i kompendiet p˚ a sid. 17 och 18.

¨ Ovning K 1. Om man vill dela en br¨ada i 3 lika delar s˚ a kan man skaffa sig 4 parallella linjer (t ex springor i ett parkettgolv) med lika avst˚ and.

Ni f˚ ar f¨ortydliga metoden sj¨alva. Verkar den praktisk? Varf¨or ¨ar den korrekt? (Ge ett bevis!). 2. Hitta p˚ a en metod att dela br¨adan i f¨orh˚ allandet 2 : 5, 1 : 4, 1 : n, m : n. 3. J¨amf¨or metoden med konstruktionsproblemet 5 p˚ a sid. 15 i kompendiet.

¨ Ovning L Pythagoras sats. 1. Formulera satsen. a s˚ a m˚ anga bevis f¨or Pythagoras sats som du kan. 2. Tag reda p˚ 3. J¨amf¨or beviset i kompendiet med Euklides bevis som det presenteras i Str¨omers bok.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

9 4. Vad beh¨ovs f¨or att g¨ora ‘klipp-och-klistra’–beviset (se sid. 10 i kompendiet) till ett riktigt bevis? 5. G¨or ett bevis med hj¨alp av areaber¨akningar i den v¨anstra figuren p˚ a sid. 10 i kompendiet.

¨ Ovning M Denna uppgift handlar om figuren p˚ a sista sidan. Klipp ut en av dem. Klipp d¨arefter ut de 4 vita delfigurerna. 1. Kan du av dessa 4 vita bitar l¨agga en kvadrat med sidol¨angd 8? 2. Kan du av dem l¨agga en 5 × 13 rektangel? 3. Hur m˚ anga rutor fanns i b¨orjan? Blev du ¨overraskad? Vad st¨ammer inte? 4. Vad ¨ar likheterna och skillnaderna mellan den h¨ar uppgiften och l¨aggpusselbevisen f¨or Pythagoras sats?

¨ Ovning N Betrakta f¨oljande experimentuppst¨allning best˚ aende av en platta med tv˚ a spikar och en triangelformad pappskiva. G¨or en egen (plattan kan ers¨attas med en pappersark med tv˚ a markerade punkter). platta spets

pappskiva

Om pappskivan skjutes in mot spikarna kommer spetsen att hamna i en best¨amd punkt — markera denna punkt. Variera nu detta f¨orfarande och du f˚ ar en m¨angd punkter. Dessa punkter hamnar p˚ a en kontinuerlig kurva (varf¨or?). Hur ser kurvan ut? Kan du bevisa ditt f¨ormodan?

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

10

Explorativ ¨ ovning 12

¨ Ovning O Om du befinner dig p˚ a havet och ser t ex tv˚ a fyrar under konstant vinkel — trots att du r¨or dig — vad betyder det? Kan du hitta p˚ a ett s¨att att kontrollera att du inte r¨or dig? (Detta kan vara viktigt om man ligger f¨or ankar p˚ a redden.)

¨ Ovning P L¨os uppgifterna 19, 21, 23, 27, 31, och 49 i kompendiet (sid. 18, 19 och 20).

¨ Ovning Q Geometriska konstruktioner med passare och linjal. 1. L¨as texten om geometriska konstruktioner med passare och linjal p˚ a sid. 15 i kompendiet. L¨os sj¨alv alla konstruktionsuppgifter p˚ a denna sida. 2. L¨os uppgifterna 37, 38, 39, 41, 44 i kompendiet. 3. F¨orklara hur man utan att m¨ata kan addera och subtrahera kvadrater med hj¨alp av Pythagoras sats (dvs med passare och linjal konstruera en kvadrat vars area ¨ar summan respektive skillnaden av areorna av tv˚ a givna kvadrater).

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

AVSNITT 13

¨ ¨ ANDLIGT OCH OANDLIGT ¨ det m¨ojligt att j¨amf¨ora storleken av olika talm¨angder? Har det n˚agon mening om man s¨ager att det Ar ¨ det o¨ verhuvudtaget m¨ojligt att j¨amf¨ora storleken av o¨andliga finns fler irrationella tal a¨ n rationella? Ar m¨angder? S˚adana fr˚agor sysselsatte m¨anniskor redan f¨or l¨ange sedan och svaren p˚a dem hade mycket viktiga konsekvenser f¨or hela matematiken. Storleken av tv˚a m¨angder, b˚ada med ett a¨ ndligt antal element, kan j¨amf¨oras genom att man r¨aknar antalet element i dem. Den metoden a¨ r oanv¨andbar om tv˚a m¨angder a¨ r o¨andliga. Men det finns ett s¨att att j¨amf¨ora a¨ ndliga m¨angder som kan generaliseras till o¨andliga. I st¨allet f¨or att r¨akna antalet element i tv˚a m¨angder A och B f¨or att avg¨ora vilken av dessa som inneh˚aller flest element, kan man f¨ors¨oka para ihop elementen i A med elementen i B s˚a att olika element i A svarar mot olika element i B och varje element i B tillh¨or n˚agot par. Om det a¨ r m¨ojligt s˚a kan man s¨aga att A och B har lika m˚anga element. Om det finns element i B som inte tillh¨or n˚agot par, s˚a a¨ r slutsatsen att B inneh˚aller fler element a¨ n A. Om elementen i B tar slut innan alla element i A f˚att bilda ett par s˚a har A fler element a¨ n B. F¨or att formalisera parbildning till ett matematiskt begrepp introducerar man funktionsbegreppet. Vi repeterar f¨orst den allm¨anna definitionen av begreppet funktion a¨ ven om de funktioner som vi betraktar i detta avsnitt har mycket speciella egenskaper. (13.1) Definition. Med en funktion fr˚an en m¨angd X till en m¨angd Y menar man en regel som till varje x ∈ X ordnar exakt ett element y ∈ Y . Man brukar beteckna funktioner med bokst¨aver (eller speciella symboler – se exempel nedan). Om f betecknar en funktion fr˚an X till Y som till x ∈ X ordnar y ∈ Y s˚a skriver man y = f (x) och f : X → Y . ¤ (13.2) Exempel. (a) L˚at X = Y = R. Om det tal som svarar mot x ∈ X a¨ r x2 ∈ Y s˚a skriver man y = f (x) = x2 . Andra exempel p˚a funktioner fr˚an X = R till Y = R a¨ r y = x3 , y = 2x , y = sin x osv. Vi kan ocks˚a skriva: y = g(x) = x3 , y = h(x) = 2x , y = ϕ(x) = sin x osv. (b) L˚at X = {1, 2, 3, 4, 5} och Y = {−1, 1}. L˚at f (1) = −1, f (2) = 1, f (3) = −1, f (4) = 1, f (5) = −1. Vi har inte skrivit n˚agon formel, men vi har definierat en funktion genom att direkt 1

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

¨ ¨ ANDLIGT OCH OANDLIGT

2

f¨oreskriva vad som svarar mot varje element i m¨angden X (i detta fall kan man skriva en formel – f¨ors¨ok hitta en s˚adan!). (c) L˚at X vara m¨angden av alla m¨anniskor och l˚at Y vara m¨angden av alla naturliga tal. Definiera f (x) = a˚ ldern av x uttryckt i antalet dagar varvid en ”p˚ab¨orjad” levnadsdag r¨aknas som en hel dag. Det a¨ r inte s˚a l¨att att ber¨akna v¨ardet y = f (x) d˚a x t ex betecknar just Dig. ¤ Man kan a˚ sk˚adligg¨ora en funktion f : X → Y som pilar fr˚an x ∈ X till y = f (x) ∈ Y – se fig. 1. Man s¨ager ofta att y = f (x) a¨ r bilden av x eller att f avbildar x p˚a y = f (x). X

Y

x y x’

y’ x’’

Figur 1 De funktioner som vi beh¨over f¨or att j¨amf¨ora olika m¨angder skall avbilda olika x p˚a olika y. Vi g¨or f¨oljande definition. (13.3) Definition. Man s¨ager att en funktion f : X → Y a¨ r injektiv (eller en–entydig) om x1 6= x2 medf¨or att f (x1 ) 6= f (x2 ). Man kallar f surjektiv (eller p˚a hela Y ) om varje element y i Y a¨ r bilden av (minst) ett element x i X. En funktion som b˚ade a¨ r injektiv och surjektiv kallas bijektiv. ¤ (13.4) Exempel. (a) Funktionen f : R → R, d¨ar y = f (x) = x2 , a¨ r inte injektiv, ty 3 6= −3, men f (3) = 32 = (−3)2 = f (−3) (det g˚ar lika bra att v¨alja ett annat nollskilt tal i st¨allet f¨or 3). Den a¨ r inte heller surjektiv d¨arf¨or att t ex −1 inte a¨ r bilden av n˚agot x ∈ R – det finns inget x ∈ R s˚adant att f (x) = x2 = −1. (b) Funktionen f : R → R, d¨ar f (x) = 2x , a¨ r injektiv d¨arf¨or att x1 6= x2 implicerar att 2x1 6= 2x2 (t¨ank p˚a funktionskurvan f¨or f !). Men f a¨ r inte surjektiv d¨arf¨or att f (x) alltid a¨ r ett positivt tal (negativa tal och 0 a¨ r inte bilder). Man kan v¨alja X = R och Y = R>0 dvs v¨alja som Y m¨angden av de positiva reella talen. D˚a a¨ r funktionen f : X → Y , d¨ar f (x) = 2x b˚ade surjektiv och injektiv dvs bijektiv. ¤ Vi kan t¨anka p˚a en injektiv funktion f : X → Y som pilar fr˚an X till Y s˚adana att pilar fr˚an olika x slutar i olika y. Om f a¨ r surjektiv s˚a a¨ r varje y ∈ Y a¨ ndpunkten av (minst) en pil fr˚an X. Om nu A och B a¨ r tv˚a m¨angder s˚a kan vi betrakta dem som lika stora om det finns en bijektiv funktion fr˚an den ena till den andra. Vi uttrycker det p˚a f¨oljande s¨att:

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(13.7)

3

(13.5) Definition. Man s¨ager att tv˚a m¨angder A och B har samma kardinalitet (eller samma m¨aktighet) om det finns en bijektiv funktion f : A → B. ¤

Detta betyder att mot varje a ∈ A svarar b = f (a) ∈ B p˚a ett s˚adant s¨att att mot olika a svarar olika b och att varje b svarar mot n˚agot a. Paren a¨ r (a, f (a)). Intuitivt betyder existensen av f att A och B har lika m˚anga element. Den intuitionen leder till en del o¨ verraskningar n¨ar man betraktar o¨andliga m¨angder. Men l˚at oss b¨orja med n˚agra exempel d˚a m¨angder a¨ r a¨ ndliga.

(13.6) Exempel. (a) M¨angderna A = {3, 4, 5} och B = {11, 12, 13} har samma kardinalitet. Man kan helt enkelt r¨akna antalet element i dessa m¨angder – b¨agge har 3 element. Men vi vill anv¨anda den andra metoden dvs parbildning. Allts˚a beh¨over vi en bijektiv funktion fr˚an A till B. Ett exempel p˚a en s˚adan funktion a¨ r f¨oljande: f : A → B, d¨ar

f (3) = 11, f (4) = 12 f (5) = 13 dvs vi har bildat tre par (3, 11), (4, 12), (5, 13). (b) M¨angden A = {x ∈ R| x2 − 4x + 3 = 0} och B = {F eskekyrkan, M atematiskt centrum} har samma kardinalitet. Man konstaterar l¨att att A = {1, 3} s˚a att b¨agge m¨angderna har 2 element. Men vi kan l¨att definiera en bijektiv funktion f : A → B, d¨ar f (1) = F eskekyrkan och f (3) = M atematiskt centrum, vilken ger paren (1, F eskekyrkan) och (3, M atematiskt centrum). ¤

De naturliga talen 0, 1, 2, 3... svarar mot kardinaliteter av olika a¨ ndliga m¨angder: 0 a¨ r antalet element i den tomma m¨angden, 1 a¨ r antalet element i varje m¨angd som har samma kardinalitet som t ex den m¨angd som best˚ar av endast Dig, 2 a¨ r antalet element i varje m¨angd som har samma kardinalitet som t ex den m¨angd som best˚ar av Dig och Din b¨asta kompis, osv. Man kan naturligtvis st¨alla fr˚agan vad man menar med en a¨ ndlig m¨angd. Den fr˚agan besvarades mycket skickligt av en stor tysk matematiker Richard Dedekind a˚ r 1888. Enligt Dedekind a¨ r M en a¨ ndlig m¨angd om M inte har samma kardinalitet som n˚agon av dess a¨ kta delm¨angder. Detta betyder att det inte finns en bijektiv funktion fr˚an M till en av dess delm¨angder N med N 6= M . Man kan ocks˚a uttrycka det s˚a att det inte a¨ r m¨ojligt att para ihop elementen i M med elementen i dess a¨ kta delm¨angd N (s˚a att olika element i M svarar mot olika element i N ). En o¨andlig m¨angd a¨ r allts˚a d¨aremot en m¨angd som har en a¨ kta delm¨angd med samma kardinalitet som hela m¨angden.

(13.7) Exempel. Heltalen Z har samma kardinalitet (¨ar ”lika stora”) som de positiva heltalen Z+ och a¨ r allts˚a en o¨andlig m¨angd. F¨or att visa det kan vi bilda en f¨oljd av heltalen:

0 ↑ 1

1 ↑ 2

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

−1 ↑ 3

2 ↑ 4

−2 ↑ 5

3 ↑ 6

−3 . . . ↑ 7 ...

¨ ¨ ANDLIGT OCH OANDLIGT

4

och numrera heltalen i o¨ vre raden med hj¨alp av de positiva heltalen som pilarna visar. P˚a det s¨attet f˚ar vi en bijektion mellan Z+ och Z. Man kan definiera f : Z+ → Z mera formellt:

½ f (n) =

(1 − n)/2 n/2

om n a¨ r udda om n a¨ r j¨amnt

¤

En m¨angd som har samma kardinalitet som Z+ kallas uppr¨aknelig. V˚art sista exempel s¨ager att Z a¨ r uppr¨aknelig. Man kan s¨aga att en m¨angd A a¨ r uppr¨aknelig om dess element kan ordnas i en f¨oljd a1 , a2 , a3 , ... , d¨arf¨or att en bijektion f : Z+ → A numrerar elementen i A med hj¨alp av de positiva heltalen: f (1) = a1 , f (2) = a2 , f (3) = a3 , ... osv. Om A a¨ r uppr¨aknelig s˚a s¨ager man att A har uppr¨akneligt m˚anga element eller ett uppr¨akneligt antal element. Nu vill vi visa att Q a¨ r uppr¨aknelig, men l˚at oss innan dess g¨ora en enkel observation som kommer att visa sig mycket nyttig:

(13.8) Lemma. Om A a¨ r en uppr¨aknelig m¨angd och B a¨ r en a¨ ndlig eller uppr¨aknelig m¨angd s˚a a¨ r A ∪ B uppr¨aknelig.

Bevis. Om a1 , a2 , a3 , ... a¨ r f¨oljden av alla element i A och b1 , b2 , b3 , ... a¨ r f¨oljden av alla element i B (den f¨oljden kan vara a¨ ndlig), s˚a kan man bilda f¨oljden a1 , b1 , a2 , b2 , a3 , b3 , ... som inneh˚aller alla element i A ∪ B m¨ojligen med upprepningar. Ur den f¨oljden kan vi nu stryka varje element vid dess upprepade f¨orekomst och d˚a f˚ar vi en f¨oljd av alla element i A∪B. Detta visar att A∪B a¨ r uppr¨aknelig. ¤

(13.9) Exempel. Q a¨ r uppr¨aknelig. F¨orst visar vi att m¨angden Q+ av positiva rationella tal a¨ r uppr¨aknelig. F¨or att g¨ora det skriver vi ut alla positiva rationella tal i form av tabellen:

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

(13.10)

5

...

1 / 1 / 1 2 {= 3 {4 ¥ { { ¥¥ {{ {{ {{ {{ ¥¥ { { ¥ { { ¢¥¥ {{ }{{ 2 2 2 2 4 3 1 A¥ 2 { ¥ {{ ¥ { {{ ¥¥ {{ ² ¥¥¥ { }{

1 1

3 1

4 1

3

3 3

3 4

...

4 2

4 3

4 4

...

.. .

.. .

.. .

2 ¥¥ ¥ ¥ ¥¥ ¢¥¥

.. .

...

Figur 2

Den omfattar alla positiva rationella tal – varje tal i Q+ f¨orekommer faktiskt o¨andligt m˚anga g˚anger (visa det!). Nu kan man bilda en f¨oljd av dessa tal genom att tilldela dem i tur och ordning de positiva heltalen 1,2,3,... d˚a man startar i 11 och f¨oljer pilen i enlighet med fig 2. Man hoppar o¨ ver de tal som man redan har p˚atr¨affat. Allts˚a har vi: 1 1

↑ 1

1 2

↑ 2

2 1

↑ 3

3 1

↑ 4

1 3

↑ 5

1 4

↑ 6

2 3

↑ 7

... ...

(Man hoppar h¨ar o¨ ver 22 = 11 ). Detta visar att positiva rationella tal bildar en uppr¨aknelig m¨angd, a¨ ven om det inte a¨ r s˚a l¨att att ge en formel f¨or funktionen Z+ → Q+ . Men a¨ ven negativa rationella tal bildar en uppr¨aknelig m¨angd (man kan byta alla tecken i fig 2 och resonera som tidigare eller utnyttja funktionen f (x) = −x som ger en bijektion mellan alla positiva och alla negativa rationella tal). Om vi nu tar A = alla positiva rationella tal och B = alla negativa rationella tal s˚a f˚ar vi enligt Lemma (13.8) att Q = A ∪ B ∪ {0} a¨ r uppr¨aknelig (A ∪ B a¨ r uppr¨aknelig som union av tv˚a uppr¨akneliga m¨angder och (A ∪ B) ∪ {0} a¨ r uppr¨aknelig som union av en uppr¨aknelig och en a¨ ndlig m¨angd). ¤

Nu ger vi exempel p˚a en mycket viktig icke-uppr¨aknelig m¨angd:

(13.10) Sats. R a¨ r inte uppr¨aknelig.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

¨ ¨ ANDLIGT OCH OANDLIGT

6

Bevis. Antag motsatsen, dvs att man kan bilda en f¨oljd av alla reella tal. D˚a kan man ocks˚a bilda en f¨oljd av alla reella tal i intervallet (0,1) (som en delf¨oljd av alla reella tal): x1 = 0, a11 a12 a13 ...a1n ... x2 = 0, a21 a22 a23 ...a2n ... .................. xi = 0, ai1 ai2 ai3 ...ain ... .................. d¨ar ain a¨ r n : te decimalsiffran i en decimalutveckling av xi . Betrakta nu talet

x = 0, b1 b2 b3 ...bn ..., d¨ar

½ bi =

1 2

om aii 6= 1, om aii = 1.

Trots att talet x ligger i intervallet (0, 1) kan det inte finnas bland talen x1 , x2 ,...,xi , ... d¨arf¨or att i:te decimalsiffran av x inte a¨ r lika med i:te decimalsiffran av xi s˚a att x 6= xi ∗ f¨or i = 1, 2, .... ¤ Den sista satsen visades av G. Cantor† 1872. En av dess konsekvenser a¨ r att de irrationella talen a¨ r ”fler” a¨ n de rationella d¨arf¨or att de irrationella talen bildar en icke-uppr¨aknelig m¨angd, medan de rationella bildar en uppr¨aknelig. Tag n¨amligen A = rationella tal och B = irrationella tal. D˚a a¨ r R = A ∪ B och eftersom A a¨ r uppr¨aknelig s˚a m˚aste B vara icke-uppr¨aknelig ty annars a¨ r A ∪ B uppr¨aknelig enligt Lemma (13.8). Vi vet redan (se avsnittet om ”Induktion och deduktion”) att t ex √ 2 a¨ r ett irrationellt tal. Trots att de irrationella talen a¨ r ”fler” a¨ n de rationella kan det tyckas som att det a¨ r sv˚arare att ge exempel p˚a irrationella tal a¨ n p˚a rationella. S˚a a¨ r dock inte fallet: s˚a snart vi har ett irrationellt tal har vi o¨andligt m˚anga, ty om a a¨ r irrationellt och r a¨ r rationellt s˚a a¨ r a + r irrationellt (Visa detta! Om r 6= 0 s˚a a¨ r f.¨o. a¨ ven ar irrationellt), s˚a varje irrationellt tal ger upphov till lika m˚anga irrationella tal som det finns rationella tal. Cantor visade ett annat resultat om talm¨angder, som spelade en mycket viktig roll i matematikens utveckling och bef¨aste betydelsen av hans teori, n¨amligen att de sk transcendenta talen (som t ex π och e) a¨ r fler a¨ n de algebraiska, dvs r¨otter till polynomekvationer med rationella koefficienter. Beviset g˚ar ut p˚a att visa att m¨angden av s˚adana ekvationer a¨ r uppr¨aknelig.

∗ x kan inte ha tv˚a olika decimalutvecklingar d¨arf¨or att om ett tal har tv˚a olika decimalutvecklingar s˚a har en av dem o¨andligt m˚anga siffror 0, och den andra, o¨andligt m˚anga siffror 9. † Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) en tysk matematiker som lade grunden fo¨ r den moderna m¨angdteorin.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 13

¨ ¨ ANDLIGT OCH OANDLIGT F¨orsta delen av o¨ vningen handlar om begreppet funktion. Syftet a¨ r att bekanta sig med funktionsbegreppet som en parbildning. Vi koncentrerar oss p˚a tre viktiga begrepp:

• injektiv funktion, • surjektiv funktion, • bijektiv funktion.

Vi a˚ terkommer till funktioner senare i kursen, men nu beh¨over vi enbart begreppet bijektiv funktion f¨or att j¨amf¨ora storleken av olika m¨angder. Man s¨ager att tv˚a m¨angder a¨ r lika stora (i matematiska termer: har samma kardinalitet) om det finns en bijektiv funktion mellan dessa m¨angder. En m¨angd som a¨ r lika stor som de positiva heltalen kallas uppr¨aknelig. Att bekanta sig med dessa tv˚a begrepp dvs:

• samma kardinalitet • uppr¨aknelighet

a¨ r huvudsyftet med denna o¨ vning. Men meningen a¨ r ocks˚a att Du f˚ar en b¨attre f¨orst˚aelse f¨or skillnaden ¨ mellan a¨ ndliga och o¨andliga m¨angder. Vi f¨oljer stencilen ”Andligt och o¨andligt”. I f¨orsta hand rekommenderas uppgifterna A, B, D, E, G, H, I, K.

¨ Ovning A Vilka av f¨oljande m¨angder a¨ r a¨ ndliga och vilka a¨ r o¨andliga? 1. M¨angden av alla m¨anniskor som har levt p˚a jorden. 1

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 13

2 2. M¨angden av alla b¨ocker som har skrivits. 3. M¨angden av alla ord som har anv¨ants i alla b¨ocker som har skrivits. 4. M¨angden av alla heltaliga kvadrater, dvs 0, 1, 4, 9, 16, .... 5. M¨angden av alla primtal. 6. M¨angden av alla tal mellan 0 och 1.

¨ Ovning B L˚at X = {a, b, c} och Y = {3, 4, 11}. 1. Para ihop elementen i m¨angderna X och Y s˚a att mot olika x ∈ X svarar olika y ∈ Y . Skriv ut dessa par. ¨ 2. Beteckna med f den funktion som Din parbildning definierar. Ange f (a), f (b) och f (c). Ar ¨ funktionen f injektiv (surjektiv, bijektiv)? (dessa termer f¨orklaras i stencilen ”Andligt och o¨andligt” p˚a sid. 2). ¨ den surjektiv eller bijektiv? 3. Ge exempel p˚a en funktion g : X → Y som inte a¨ r injektiv. Ar 4. Hur m˚anga bijektiva funktioner fr˚an X till Y kan definieras?

¨ Ovning C L˚at N = {0, 1, 2, 3, . . .} vara m¨angden av de naturliga talen och Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . .} m¨angden av heltalen. ¨ 1. Betrakta funktionen f : N → N, d¨ar f (n) = n + 1. Ange f (0), f (1), f (2), f (8), f (102). Ar ¨ funktionen f injektiv? Ar den surjektiv eller bijektiv? ¨ g injektiv, surjektiv, bijektiv? 2. Betrakta nu g : Z → Z, d¨ar som ovan g(n) = n + 1. Ar 3. Kan Du f¨orklara skillnaden mellan f och g? Vad beror den p˚a? (Din f¨orklaring f˚ar g¨arna vara av ”intuitiv” karakt¨ar).

¨ Ovning D Vilka av f¨oljande funktioner a¨ r injektiva, surjektiva, bijektiva? 1. f : N → N, f (n) = n2 , 2. g : R → R, g(x) = x2 , 3. h : Z → Z, h(x) = x3 , 4. r : R → R, r(x) = x3 ,

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

3 5. s : Z → {−1, 1}, s(n) = (−1)n , 6. t : A → B, A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, t(x) = 12 x.

¨ Ovning E 1. Visa att alla naturliga tal delbara med 3 bildar en uppr¨aknelig m¨angd. 2. Visa att alla heltal delbara med 3 bildar en uppr¨aknelig m¨angd. Ledning. Dessa m¨angder best˚ar av alla tal av typen 3k, d¨ar k tillh¨or N resp. Z. 3. L˚at A vara en uppr¨aknelig m¨angd. L˚at B vara en o¨andlig delm¨angd till A (t ex a¨ r A alla ¨ B uppr¨aknelig? Bevisa Ditt p˚ast˚aende! Ge naturliga tal och B alla j¨amna naturliga tal). Ar n˚agra exempel p˚a hur Ditt resultat kan till¨ampas. 4. Visa att m¨angden av alla j¨amna heltal har samma kardinalitet (”¨ar lika m˚anga”) som m¨angden av alla heltal delbara med 3.

¨ Ovning F Hilberts∗ hotell. I Hilberts hotell finns o¨andligt m˚anga rum numrerade 1,2,3,. . .. Hilbert ber¨attade hur en matematiker l¨oste problemet med sin inkvartering d˚a han fick veta att alla rum var upptagna. Matematikerns f¨orslag till a¨ garen var att flytta g¨asten i rum nr. 1 till rum nr. 2, g¨asten i rum nr. 2 till rum nr. 3 osv. P˚a det s¨attet kunde alla g¨aster f˚a rum och matematikern kunde ta i besittning rum nr. 1. I verkligheten har hotellet obegr¨ansade m¨ojligheter att ta emot g¨aster. F¨ors¨ok experimentera! 1. Det kommer en buss med 50 nya g¨aster. Hur kan de f˚a var sitt rum d˚a alla rum a¨ r upptagna? 2. Det kommer o¨andligt m˚anga nya g¨aster (uppr¨akneligt m˚anga). Hur l¨oser man deras inkvartering i Hilberts hotell?

¨ Ovning G 1. Visa att tv˚a godtyckliga str¨ackor (med a¨ ndpunkterna) har samma kardinalitet (dvs punkterna p˚a dessa str¨ackor kan paras ihop bijektivt). ∗

David Hilbert (23/1 1862 – 14/2 1943) var en av de mest framst˚aende matematikerna genom tiderna. Hans bidrag ˚ 1900 vid Matematikernas v¨arldskongress i Paris formulerade Hilbert 23 till matematiken t¨acker flera viktiga omr˚aden. Ar problem som enligt honom f¨ortj¨anade stort matematiskt intresse. Dessa problem sysselsate m˚anga matematiker under hela seklet, men n˚agra v¨antar fortfarande p˚a sin l¨osning. Den senaste v¨arldskongressen a¨ gde rum i Berlin i augusti 1998, och n¨asta sker i Beijing i augusti 2002.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 13

4

a ·T · · ·

T T T

2. Visa att tv˚a godtyckliga cirklar (med olika radier) har samma kardinalitet. ­ '$ ­ ¶³ ­ µ´ &%

3. Visa att en cirkel utan en punkt har samma kardinalitet som en r¨at linje i planet. Ledning. Placera cirkeln p˚a linjen som bilden visar och f¨ors¨ok para ihop punkterna p˚a cirkeln med punkterna p˚a linjen. a '$

&%

¨ Ovning H 1. Visa att m¨angden av alla par (a, b) d¨ar a och b a¨ r naturliga tal, a¨ r uppr¨aknelig. 2. Visa att m¨angden av alla polynom aX + b, d¨ar a och b a¨ r naturliga tal, a¨ r uppr¨aknelig. √ 3. Visa att m¨angden av alla tal a + b 2, d¨ar a och b a¨ r naturliga tal, a¨ r uppr¨aknelig. 4. Kan Du se en likhet mellan uppgifterna 1–3? 5. L˚at A och B vara tv˚a uppr¨akneliga m¨angder. Visa att m¨angden A × B av alla par (a, b), d¨ar a ∈ A och b ∈ B ocks˚a a¨ r uppr¨aknelig. Ledning. Du kan resonera p˚a samma s¨att som i beviset f¨or att de (positiva) rationella talen a¨ r uppr¨akneliga.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

5

¨ Ovning I 1. L˚at A vara m¨angden av alla m¨ojliga f¨oljder a1 a2 a3 . . . an . . . , d¨ar varje ai a¨ r lika med antingen 0 eller 1. Visa att m¨angden A inte a¨ r uppr¨aknelig. Ledning. Uppgiften a¨ r ganska sv˚ar, men l¨osningen a¨ r enklare a¨ n beviset att de reella talen ¨ bildar en icke–uppr¨aknelig m¨angd i stencilen ”Andligt och o¨andligt”. Du kan h¨arma beviset i stencilen. Antag att det g˚ar att skriva ut alla f¨oljder av 0 och 1: a11 a12 a13 . . . a21 a22 a23 . . . a31 a32 a33 . . . ... Konstruera d¨arefter en f¨oljd som med all s¨akerhet inte finns bland de utskrivna.

¨ Ovning J F¨or n˚agra a˚ r sedan s¨andes radioprogrammet ”Unga snillen spekulerar”. Man fr˚agade n˚agra barn varf¨or det a¨ r b¨attre att m¨anniskor har namn i st¨allet f¨or nummer. Ett av barnen svarade att det a¨ r helt om¨ojligt med nummer eftersom det finns s˚a m˚anga m¨anniskor p˚a jorden att numren skulle inte r¨acka till. Nu forts¨atter vi att spekulera. L˚at X beteckna alla m¨anniskor som har levt, lever och kommer att leva p˚a jorden. 1. L˚at oss numrera alla m¨anniskor i den f¨oljd de f¨oddes (l˚at oss anta att det inte har funnits eller kommer att finnas tv˚a m¨anniskor som f¨ods exakt samtidigt). Man f˚ar en funktion f : X → {1, 2, 3, . . .}, d¨ar mot en m¨anniska svarar dess ”ordningsnummer” (uff! m¨ojligen f (Adam) = 1 ¨ den injektiv? och f (Eva) = 2 och f (?) = 3, f (Du) =?? osv). Har vi en funktion? Ar Surjektiv? 2. Ett namn a¨ r en a¨ ndlig f¨oljd av bokst¨aver i ett alfabet. Antag att vi till˚ater alla existerande alfabet. ¨ L˚at nu Y vara m¨angden av alla m¨ojliga namn och l˚at g : X → Y , d¨ar g(x) = x:s namn. Ar funktionen g injektiv? G˚ar det att definiera g s˚a att den a¨ r injektiv? Trots allt a¨ r det trevligare med namn a¨ n med nummer!

¨ Ovning K 1. L˚at oss betrakta en o¨andlig tr¨adg˚ard med o¨andligt m˚anga tr¨ad som v¨axer l¨angs en r¨at linje. Motivera att tr¨adm¨angden a¨ r uppr¨aknelig (ge ett recept f¨or hur tr¨aden kan numreras). 2. Visa att varje m¨angd av parvis disjunkta str¨ackor p˚a en r¨at linje a¨ r uppr¨aknelig. Ser Du en likhet med f¨orra uppgiften?

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ o¨ vning 13

6

3. T¨ank Dig nu en o¨andlig tr¨adg˚ard med o¨andligt m˚anga tr¨ad som v¨axer o¨ verallt. Visa att tr¨adm¨angden a¨ r uppr¨aknelig (som ovan ge ett recept f¨or hur tr¨aden kan numreras). Ledning. Uppgiften a¨ r ganska sv˚ar. T¨ank p˚a ett tr¨ad som en liten cirkel i planet. Cirkelns centrum (a, b) kan v¨aljas s˚a att a och b a¨ r tv˚a rationella tal. D¨arefter kan man utnyttja tv˚a tidigare o¨ vningar.

¨ Ovning L Tre n˚agot sv˚arare uppgifter: 1. Visa att en str¨acka med a¨ ndpunkter har samma kardinalitet som en str¨acka utan a¨ ndpunkter (eller ett intervall [a, b] har samma kardinalitet som intervallet (a, b) – Du f˚ar v¨alja a = 0 och b = 1). 2. Visa att str¨ackan (0, 1) har samma kardinalitet som halvlinjen (1, ∞) (alternativt: (0, ∞) eller (−∞, 0) Ledning. Den andra uppgiften a¨ r n˚agot enklare a¨ n den f¨orsta. Du kan utnyttja t ex funktionen f (x) = 1/x eller 2x . 3. Visa att de algebraiska talen a¨ r uppr¨akneliga.

F¨oljande o¨ vning i Vretblads bok rekommenderas: Vretblad: 3.8 (307)

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

Explorativ ¨ ovning 14

KOMBINATORIK Kombinatoriken anv¨ ands ofta f¨or att r¨akna ut antalet m¨ojligheter i situationer som leder till m˚ anga olika utfall. Den anv¨ ands ocks˚ a f¨or att visa att ett ¨onskat utfall ¨ar m¨ojligt. Vi ¨agnar detta avsnitt ˚ at n˚ agra enkla och grundl¨aggande kombinatoriska begrepp:

• Dirichlets l˚ adprincip • multiplikationsprincipen • permutationer, kombinationer • binomialsatsen

Mer om kombinatorik f˚ ar Du veta i statistikkursen. Nedan sammanfattar vi och exemplifierar n˚ agra viktiga begrepp. Stencilen ger tillr¨ackliga kunskaper f¨or att klara ¨ovningarna nedan. Du kan ocks˚ a f¨olja kapitel 5 i Vretblads bok. En mycket enkel och oerh¨ort viktig kombinatorisk princip som anv¨ ands f¨or att bevisa olika inressanta egenskaper hos ¨andliga m¨angder ¨ar Dirichlets∗ l˚ adprincip. Innan vi formulerar Dirichlets sats studerar vi ett exempel. Exempel 1. Motivera att det bland 11 naturliga tal finns minst tv˚ a som slutar p˚ a samma siffra. Det finns n¨amligen 10 olika siffror. Bland 11 naturliga tal m˚ aste minst tv˚ a sluta p˚ a samma siffra. Detta ¨ar egentligen Dirichlets l˚ adprincip. Den s¨ager: ∗

J.P.G. Lejeune–Dirichlet (13/2 1805 – 5/5 1859) var en mycket framst˚ aende tysk matematiker och fysiker. Ett av hans ber¨ omda resultat s¨ ager att varje aritmetisk f¨ oljd a, a + r, a + 2r, a + 3r, . . . i vilken a och r a ¨r relativt prima, best˚ ar av o¨ andligt m˚ anga primtal. T ex ¨ ar 1, 5, 9, . . . , 1 + 4n, . . . en s˚ adan f¨ oljd. “L˚ adprincipen” formulerade Dirichlet 1842.

1

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

2

Explorativ ¨ ovning 14

Om man placerar n + 1 f¨ orem˚ al i n l˚ ador s˚ a finns det minst en l˚ ada med mer ¨ an ett f¨ orem˚ al. I exempel 1 ¨ar l˚ adorna m¨arkta med 0, 1, 2, . . ., 9 (olika siffror). Man har 11 f¨orem˚ al (dvs 11 naturliga tal) som placeras i var sin l˚ ada. Minst en l˚ ada inneh˚ aller minst tv˚ a tal dvs minst tv˚ a tal slutar p˚ a samma siffra. Vi exemplifierar Dirichlets princip i ¨ovning A. Nu g˚ ar vi ¨over till multiplikationsprincipen som ofta anv¨ands f¨or att ber¨akna antalet olika utfall d˚ a man st¨alls inf¨or olika val. Vi b¨orjar med ett exempel: Exempel 2. P˚ a en tipskupong finns 13 matcher. I varje match har man 3 m¨ojligheter: 1, × eller 2. Hur m˚ anga olika tipsrader finns det? Vi har 3 valm¨ojligheter i f¨orsta matchen, 3 valm¨ojligheter i andra osv. Antalet m¨ojliga utfall i de f¨orsta tv˚ a matcherna ¨ar 3 · 3 = 9. I de tre f¨orsta matcherna har vi 3 · 3 · 3 = 27 olika utfall osv. Antalet olika tipsrader, dvs utfall i de 13 matcherna, ¨ar lika med 3 · 3 · · · 3 = 313 (13 faktorer 3). Rent allm¨ant har vi f¨oljande multiplikationsprincip som ¨ar grunden f¨or flera kombinatoriska ber¨akningar: Om man g¨ or r stycken val s˚ a att man har k1 m¨ ojligheter vid f¨ orsta valet, k2 m¨ ojligheter vid andra valet, ..., kr m¨ ojligheter vid r-te valet, s˚ a¨ ar antalet m¨ ojliga val lika med produkten k1 k2 · · · kr . Vi skall anv¨anda multiplikationsprincipen i tv˚ a viktiga specialfall. Permutationer. Vi b¨orjar med ett exempel. Exempel 3. Vi har 5 bokst¨aver A, B, C, D, E. Hur m˚ anga trebokstaviga ord kan vi bilda med hj¨alp av dessa bokst¨aver? Svaret ¨ar f¨oljande: vi kan v¨alja den f¨orsta bokstaven p˚ a 5 olika s¨att. N¨ar den ¨ar vald, s˚ a har vi 4 m¨ojligheter att v¨alja den andra bokstaven. Slutligen har vi 3 m¨ojligheter att v¨alja den sista, tredje bokstaven. Allts˚ a finns det 5 · 4 · 3 = 60 olika “ord”. Mera allm¨ant, antag att vi har n olika f¨orem˚ al a1 , a2 , . . . , an (“bokst¨aver”). Man skall v¨alja en ordnad f¨oljd best˚ aende av k stycken av dessa f¨orem˚ al. P˚ a hur m˚ anga olika s¨att kan man g¨ora det?

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

3 Det f¨orsta f¨orem˚ alet v¨aljs p˚ a n olika s¨att, det andra (d˚ a det f¨orsta ¨ar valt) p˚ a n − 1 olika s¨att, det tredje p˚ a n − 2 olika s¨att osv. Det sista, k-te, f¨orem˚ alet v¨aljs p˚ a n − k + 1 olika s¨att. Allts˚ a ¨ar antalet av alla m¨ojliga val lika med produkten

P (n, k) = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1). Varje ordnad f¨oljd av k stycken f¨orem˚ al bland n givna kallas en permutation av k element ur n givna. Talet P (n, k) ovan ¨ar antalet s˚ adana permutationer† . Ett viktigt specialfall ¨ar d˚ a man v¨aljer k = n dvs man v¨aljer alla n element i en best¨amd ordning. D˚ a f˚ ar man

P (n, n) = n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1 = n!. Som vi vet utl¨ases n! som “n fakultet”. n! ¨ar allts˚ a antalet olika ordningsf¨oljder av n stycken f¨orem˚ al. Varje ordningsf¨oljd av n stycken f¨orem˚ al kallas en permutation av dessa f¨orem˚ al. Kombinationer. Mycket ofta v¨aljer man k f¨orem˚ al bland n givna utan att bry sig om deras inb¨ ordes ordning. D˚ a v¨aljer man helt enkelt en delm¨angd best˚ aende av k f¨orem˚ al ur n. En delm¨angd av k element ur n givna kallas en kombination. Varje s˚ adan delm¨angd kan ordnas p˚ a k! olika s¨att. Eftersom antalet ordnade upps¨attningar av k f¨orem˚ al ur n ¨ar lika med P (n, k), s˚ a ¨ar antalet delm¨angder best˚ aende av k element n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) P (n, k) = k! k! (k! olika ordnade upps¨attningar¡av¢ k stycken f¨orem˚ al ger samma m¨angd best˚ aende av dessa f¨ orem˚ al). Talet ovan betecknas nk och utl¨ases “n ¨over k” dvs µ ¶ n n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) . = k! k Det kallas ofta f¨or Newtons symbol eller binomialkoefficient (vi diskuterar binomialsatsen ¡n¢ nedan). Allts˚ a ¨ar antalet kombinationer av k element ur n lika med k . Exempel 4. P˚ a en lottokupong v¨aljer man 7 av 39 tal. P˚ a hur m˚ anga olika s¨att kan detta g¨oras? Svaret ¨ar att man v¨aljer en delm¨angd best˚ aende av 7 tal av 39, vilket kan g¨oras p˚ a µ ¶ 39 39 · 38 · 37 · 36 · 35 · 34 · 33 = ... = 1·2·3·4·5·6·7 7 †

Beteckningen ¨ ar h¨ amtad fr˚ an Vretblads bok. I statistikkursen betecknas detta tal med (n)k och kallas k–faktorial av n.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

4

Explorativ ¨ ovning 14

olika s¨att. Observera att µ ¶ µ ¶ µ ¶ n n n = n, = 1, = 1, 1 n 0 ty 1 f¨orem˚ al ur n kan v¨aljas p˚ a n olika s¨att, n f¨orem˚ al ur n p˚ a 1 s¨att, och 0 f¨orem˚ al ur n p˚ a 1 s¨att. Kombinationer f¨orekommer i samband med binomialsatsen. Man betraktar potenser

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 osv. Vad kan man s¨aga rent allm¨ant om (a + b)n ? Vi har

(a + b)n = (a + b)(a + b) · · · (a + b) med n faktorer a + b. Till varje term v¨aljer man ett antal b – till den f¨orsta (som t ex a4 ) tar vi noll b, till den andra ett b, till den tredje tv˚ a b osv. Om k betecknar antalet b i en term s˚ a ¨ar antalet a lika med n − k, ty det sammanlagda antalet a och b i varje term ¨ar just n. Detta betyder att varje term har formen an−k bk . Vilken koefficient har en s˚ adan term? Man v¨aljer ¡ ¢ k stycken b ur n m¨ojliga b och detta kan g¨oras p˚ a nk olika s¨att. Detta ¨ar just koefficienten framf¨or an−k bk . Allts˚ a ¨ar n µ ¶ X n n−k k (a + b) = a b . k n

k=0

Det h¨ar ¨ar binomialsatsen. T ex ¨ar

µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 5 µ ¶ X 5 5−k k 5 5 0 5 4 1 5 3 2 5 2 3 5 1 4 5 0 5 (a+b) = a b = a b + a b + a b + a b + a b + a b = k 0 1 2 3 4 5 5

k=0

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

5

a5 + 5a4 b + 10a2 b3 + 10a3 b2 + 5b4 + b5 . I f¨orsta hand, l¨os f¨oljande uppgifter: A 1,2; B 1,2; C 1,3, 2 – Vretblad 507, 511; D 1, Vretblad 522 b), 523.

¨ Ovning A Denna ¨ovning ¨agnas ˚ at Dirichlets l˚ adprincip. 1. Visa att bland dem som tillh¨or Din lektionsgrupp p˚ a MAL 200 finns minst tv˚ a personer som fyller ˚ ar under samma m˚ anad. a vars skillnad ¨ar delbar med 100. 2. Visa att bland 101 heltal finns minst tv˚ a personer 3. I en m¨oteslokal finns ett antal personer (minst 2). Visa att det finns minst tv˚ som k¨anner lika m˚ anga bland de ¨ovriga. 4. L˚ at X och Y beteckna tv˚ a godtyckliga ¨andliga m¨angder (X kan tolkas som m¨angden av f¨orem˚ al, och Y som m¨angden av l˚ ador). F¨ors¨ok formulera Dirichlets l˚ adprincip som en utsaga om funktioner f : X → Y d˚ a antalet element i X ¨ar st¨orre ¨an antalet element i Y . F¨ors¨ok rita “¨agg och pilar” – vad kan man s¨aga om pilarna fr˚ an X till Y ?

¨ Ovning B Denna ¨ovning handlar om multiplikationsprincipen. anga 1. Man fyller i en tipskupong med endast 1 och × (hemmaseger eller oavgjort). Hur m˚ tipsrader av denna typ finns det? 2. L¨os uppgift 506 i Vretblads bok. at X1 vara en m¨angd med k1 element och X2 en m¨angd med k2 element. Hur m˚ anga 3. L˚ element har den kartesiska produkten X1 × X2 ? (kartesiska produkten ¨ar m¨angden av alla par (x1 , x2 ), d¨ar x1 ∈ X1 och x2 ∈ X2 ).

¨ Ovning C Denna uppgift ¨agnas ˚ at permutationer och kombinationer. a varandra genom en handskakning. Hur m˚ anga handskakningar 1. 10 personer h¨alsar p˚ kommer att utv¨axlas? 2. L¨os uppgifterna 507, 508 och 511 i Vretblads bok. 3. L¨os uppgifterna 520 och 521 i Vretblads bok.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)

6

Explorativ ¨ ovning 14

¨ Ovning D ¨ Ovningen handlar om binomialsatsen. 1. Utveckla (a2 + b3 )3 . 2. L¨os uppgifterna 522 och 523 i Vretblads bok.

F¨oljande ¨ovningar i Vretblads bok rekommenderas: Vretblad: 312, 315, 319, 323, 324, 325.

[email protected] (Juliusz Brzezinski)