Appunti sulle equazioni differenziali ordinarie [2012 ed.] 8847023939, 9788847023932 [PDF]

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Appunti sulle equazioni differenziali ordinarie

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Antonio Ambrosetti

Appunti sulle equazioni differenziali ordinarie

Antonio Ambrosetti Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati (SISSA), Trieste

UNITEXT – La Matematica per il 3+2 ISSN edizione cartacea: 2038-5722 ISBN 978-88-470-2393-2 DOI 10.1007/978-88-2394-9

ISSN edizione elettronica: 2038-5757 e-ISBN 978-88-2394-9

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Prefazione

Lo scopo principale di questi appunti `e di discutere alcuni importanti problemi relativi alle Equazioni Differenziali Ordinarie. Si tratta di un argomento fondamentale dell’Analisi Matematica sia per gli aspetti teorici che per le applicazioni a tutte le scienze della natura, dalla fisica, all’ingengeria, alla biologia, all’economia, eccetera. Non volendo scrivere un trattato sulle Equazioni Differenziali Ordinarie, abbiamo scelto di esporre in modo abbastanza semplice e snello alcuni argomenti che riteniamo essere tra quelli pi` u suggestivi. Non c’`e la pretesa di essere esaurienti, ma piuttosto la speranza che il testo possa far aumentare l’interesse dello studente per le Equazioni Differenziali. Nei capitoli 1 e 2 viene trattata l’esistenza, l’unicit` a e la dipendenza dai dati iniziali del problema di Cauchy per le equazioni e i sistemi, con particolare riguardo al caso lineare. I capitoli 3 e 4 riguardano, rispettivamente, l’analisi qualitativa dei sistemi piani col metodo del piano delle fasi, e lo studio dei problemi al contorno per le equazioni del secondo ordine lineari e nonlineari. Il capitolo 5 contiene un cenno alle principali questioni di stabilit` a. Gli ultimi due capitoli sono dedicati alle equazioni di Eulero Lagrange dei funzionali del Calcolo delle Variazioni. Una particolare attenzione `e posta a discutere vari esempi concreti importanti nelle applicazioni. L’esposizione `e tenuta ad un livello accessibile agli studenti di matematica, fisica ed ingegneria che, oltre ad aver seguito i corsi di Analisi I e II, abbiano anche acquisito qualche prima nozione sulle equazioni differenziali. Le Equazioni Differenziali Ordinarie hanno motivato l’introduzione dell’Analisi Funzionale che `e diventato un argomento centrale dell’Analisi Matematica. Per questa ragione abbiamo voluto usare qualche risultato “astratto” come il Principio delle Contrazioni di Banach, il Teorema di compattezza di Ascoli-Arzel`a e il metodo delle sotto e sopra soluzioni. Un cenno `e anche fatto sul principio del massimo e sulla diseguaglianza di Poincar´e, seppure in condizioni di regolarit` a.

vi

Prefazione

Nell’esporre alcuni argomenti mi sono stati di grande utilit` a degli appunti manoscritti (non pubblicati) di Giovanni Prodi. Desidero inoltre esprimere il mio vivissimo rigraziamento al Prof. Vittorio Coti Zelati per suggerimenti ed osservazioni. Trieste, giugno 2011

Antonio Ambrosetti

Notazioni

n • Se y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn e z = (z1 , . . . , zn ) ∈ Rn , y · z = 1 yi zi indica il prodotto scalare euclideo. n • Se y ∈ Rn , |y|2 = y · y = 1 yi2 indica la norma euclidea di y. m • Se Ω ⊆ R `e un aperto e f : Ω → R `e derivabile parzialmente rispetto a yi , ∂f indicheremo con fyi o ∂y o Dyi f la derivata parziale di f rispetto a yi . Se i k k ≥ 0 `e un intero, C (Ω) indica la classe delle funzioni f : Ω → R derivabili parzialmente k volte rispetto a y1 , . . . , yn con tutte le derivate parziali k-esime continue in Ω. C k (Ω) indica la classe delle funzioni f : Ω → R, di classe C k (Ω) e tali che tutte le derivate parziali sono prolungabili con continuita’ su ∂Ω, la frontiera di Ω.

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Indice

Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

Notazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii 1

2

Il problema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Esistenza e unicit` a locale per (PC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Dipendenza dai dati iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Esistenza e unicit` a globale per (PC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Il teorema di esistenza di Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Equazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Equazioni esatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 L’equazione di Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4 Analisi qualitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.5 Un teorema di confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Appendice. Dimostrazione del Principio delle Contrazioni di Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 5 8 10 12 12 12 13 14 16

Sistemi ed equazioni di ordine superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Sistemi ed equazioni di ordine n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Sistemi lineari omogenei a coefficienti costanti nel piano 2.2 Sistemi ed equazioni lineari di ordine n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Equazioni lineari non omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Equazioni a coefficienti costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Sistemi a coefficienti costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 19 21 27 30 31 32 34 36

16 17

x

3

Indice

Analisi qualitativa per equazioni autonome del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Analisi nel piano delle fasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 L’oscillatore armonico nonlineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 L’equazione di Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Onde solitarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Un risultato di perturbazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 37 40 42 48 51 52

4

Problemi al contorno per equazioni del secondo ordine . . . . 4.1 Autovalori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Propriet` a degli autovalori e delle autofunzioni . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 La funzione di Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Esistenza di soluzioni per problemi al contorno nonlineari . . . . . 4.4.1 Sopra e sotto soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Autovalori nonlineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 56 62 64 66 67 71 73

5

Stabilit` a (cenni) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Stabilit` a nel caso di sistemi lineari nel piano . . . . . . . . . . 5.2 Stabilit` a di sistemi conservativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Il metodo di Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Stabilit` a per linearizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75 75 76 76 78 79 81

6

Le equazioni di Eulero-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 I funzionali del Calcolo delle Variazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 L’equazione di Eulero-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Casi particolari dell’equazione di Eulero-Lagrange . . . . . 6.2.2 Estensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Problemi vincolati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Condizioni del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Condizioni sufficienti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Regolarit` a ........................................ 6.5 Metodi diretti (cenni) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83 83 84 87 87 90 92 92 95 97

7

Alcuni problemi del Calcolo delle Variazioni . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.1 La brachistocrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.2 Il principio di Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.3 Il solido di rotazione di minima resistenza in un fluido . . . . . . . . 103 7.4 La catenaria e la superficie di rotazione di area minima . . . . . . . 104 7.5 Il problema isoperimetrico (cenni) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.5.1 La diseguaglianza isoperimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Indice analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

1 Il problema di Cauchy

1.1 Introduzione Un’equazione differenziale ordinaria del primo ordine `e un’equazione in cui l’incognita `e una funzione y(t) che compare con la sue derivata prima y  (t). In generale si tratta di equazioni del tipo Φ(t, y, y  ) = 0 dove Φ `e definita in un aperto A di R × R × R. Se Ω `e un aperto di R2 , A = Ω × R e Φ(t, y, y  ) = y  − f (t, y), l’equazione diventa y  (t) = f (t, y(t)),

(1.1)

e viene detta in forma normale. Nel seguito noi studieremo questa classe di equazioni per le quali si possono dimostrare dei risultati di esistenza e unicit` a. Definizione 1.1. Una soluzione di (1.1) `e una funzione y(t) di classe C 1 definita in qualche intervallo I ⊂ R tale che (t, y(t)) ∈ Ω, per ogni t ∈ I e y  (t) = f (t, y(t)),

∀ t ∈ I.

Facciamo un paio di esempi elementari. Esempi 1.1. (i) Se f (t, y) non dipende da y, cio`e f = f (t), (1.1) diventa y  = f (t) le cui soluzioni sono le primitive di f . (ii) Se f (t, y) = ky l’equazione diventa y  = ky. Le soluzioni sono date dalla famiglia di esponenziali y(t) = c ekt ,

c ∈ R.

In generale, l’equazione y  = f (t, y) ha una famiglia di soluzioni dipendenti da un parametro c ∈ R. Per trovare un’unica soluzione si impone che una soluzione y(t) verifichi una Condizione Iniziale. Ambrosetti A.: Appunti sulle equazioni differenziali ordinarie DOI 10.1007/978-88-2394-9 1, © Springer-Verlag Italia 2012

2

1 Il problema di Cauchy

Fissato (t0 , ξ) ∈ Ω cerchiamo una soluzione di y  = f (t, y) tale che y(t0 ) = ξ. Il problema   y = f (t, y) (PC) y(t0 ) = ξ `e chiamato Problema di Cauchy.

1.2 Esistenza e unicit` a locale per (PC) In questa sezione proveremo un teorema di esistenza e unicit`a di natura locale per il problema (PC). 1) Cominciamo ricordando la seguente definizione: Definizione 1.2. Diremo che f (t, y) `e una funzione localmente lipschitziana in (t, y) ∈ Ω se esistono un intorno U di (t, y), U ⊂ Ω, ed L > 0 tali che |f (t, y1 ) − f (t, y2 )| ≤ L |y1 − y2 |,

∀ (t, y1 ), (t, y2 ) ∈ U.

(1.2)

Se la relazione precedente vale per ogni (t, y1 ), (t, y2 ) ∈ Ω, diremo che f `e globalmente lipschitziana in Ω. Osservazione 1.1. Supponiamo che f ∈ C(Ω) sia di classe C 1 rispetto ad y. Sia U ⊂ Ω un intorno di un generico punto (t, y) ∈ Ω. Se K ⊂ Ω `e un compatto contenente U e (t, y1 ), (t, y2 ) ∈ U , si ha |f (t, y1 ) − f (t, y2 )| ≤ max |fy (t, y)| |y1 − y2 | (t,y)∈K

e quindi f `e localmente lipschitziana in (t, y). Inoltre, se fy `e limitata in Ω, allora f `e globalmente lipschitziana in Ω. Dato (t0 , ξ) ∈ Ω, consideriamo un quadrato Qr = [t0 −r, t0 +r]×[ξ −r, ξ +r] in modo che Qr ⊂ Ω e sia Mr = max{f (t, y) : (t, y) ∈ Qr }. Teorema 1.1. Supponiamo che f ∈ C(Ω) sia localmente lipschitziana in (t0 , ξ). Allora se δ > 0 `e tale che δ
0 ha per soluzione la funzione y(t) =

ξ . 1 − ξt

L’intervallo massimo di definizione di questa soluzione `e (−∞, ξ −1 ) e dipende dunque dalla condizione iniziale. Si osservi che f (y) = y 2 non `e globalmente lipschitziana in R. (ii) Il Teorema 1.1 vale per equazioni in forma normale. Nel caso di un’equazione del tipo Φ(t, y, y  ) = 0 occorre prima risolvere rispetto ad y  trovando un’equazione in forma normale a cui applicare il Teorema 1.1. (iii) Per dimostrare il Teorema 1.1 si pu` o anche considerare per 0 < h  1 la poligonale che passa per punti Pk = (tk , ξk ) definiti per k ∈ N ponendo tk = t0 + kh,

ξ0 = ξ, ξk = ξk−1 + f (tk−1 , ξk−1 )h.

Questa poligonale definisce una funzione yh (t) lineare a tratti che approssima la soluzione di (1.3). Infatti si dimostra che, sotto le ipotesi del Teorema 1.1, la successione yh (t) converge uniformemente, per h → 0, ad una soluzione di (1.3) definita in [t0 , t0 + δ], con δ > 0 sufficientemente piccolo. Lo stesso procedimento permette di studiare il caso t < t0 , trovando cos`ı la soluzione in un intorno Iδ di t0 con δ ∼ 0.2

1.3 Dipendenza dai dati iniziali In questa sezione vogliamo studiare la dipendenza della soluzione di (PC) rispetto alle condizioni iniziali. Supporremo che f sia localmente lipschitziana in Ω. Sia y(t, ξ) la soluzione di (PC). Nel seguito porremo φt (ξ) = y(t, ξ); φt (ξ) prende il nome di flusso relativo a (PC). Riguardando la dimostrazione del Teorema 1.1, si verifica che, prendendo eventualmente δ pi` u piccolo esiste r > 0 tale che φt (ξ  ) `e definita in Iδ per   ogni |ξ − ξ| < r . La funzione φt (ξ) verifica  t φt (ξ) = ξ + f (s, φs (ξ))ds. t0 2 A riguardo si veda anche il libro di G. Prodi, Lezioni di Analisi Matematica 2, Ed. Bollati Boringhieri (2011).

6

1 Il problema di Cauchy

Allora



|φt (ξ) − φt (ξ  )| ≤ |ξ − ξ  | +

t

|f (s, φs (ξ)) − f (s, φs (ξ  ))|ds,

(1.4)

t0

e quindi

|φt (ξ) − φt (ξ  )| ≤ |ξ − ξ  | + δL max |φs (ξ) − φs (ξ  )|. s∈Iδ

Poich`e δL < 1 si deduce (1 − δ L) max |φs (ξ) − φs (ξ  )| ≤ |ξ − ξ  |.

(1.5)

s∈Iδ

Abbiamo dimostrato: Teorema 1.3. Se f ∈ C(Ω) `e localmente lipschitziana in Ω, allora ξ → φt (ξ) `e continua, nel senso che max |φs (ξ) − φs (ξ  )| → 0, per |ξ − ξ  | → 0. s∈Iδ

Studiamo ora la differenziabilit` a rispetto alle condizioni iniziali. Premettiamo un lemma: Lemma 1.2 (Lemma di Gronwall). Date A, B, ω ∈ C([a, b]) positive, supponiamo che  t ω(t) ≤ A(t) + B(s)ω(s)ds, ∀ t0 ≤ t ≤ b. (1.6) t0

Allora

 ω(t) ≤ A(t) +

t

−

A(s)B(s)e

s

t0

B(σ)dσ

ds,

∀ t0 ≤ t ≤ b.

t0

Dimostrazione. Posto



t

ψ(t) =

B(s)ω(s)ds, t0

calcoliamo  t    − B(s)ds − t B(s)ds − t B(s)ds  e t0 ψ(t) = −B(t)e t0 ψ(t) + e t0 ψ (t) −

=e

t

B(s)ds

t0

−

B(t)ω(t) − B(t)e

t

t0

B(s)ds

ψ(t).

Usando (1.6), cio`e ω(t) ≤ A(t) + ψ(t), si deduce   t   − B(s)ds − t B(s)ds − t B(s)ds ψ(t) ≤ B(t)e t0 (A(t) + ψ(t)) − B(t)e t0 ψ(t) e t0 −

= A(t)B(t)e

t

t0

B(s)ds

.

1.3 Dipendenza dai dati iniziali

7

Integrando tra t0 e t ∈ [t0 , b] troviamo (si noti che ψ(t0 ) = 0)  t   − t B(s)ds − s B(σ)dσ e t0 ψ(t) ≤ A(s)B(s)e t0 ds. t0



Quindi ψ(t) ≤

t

t

A(s)B(s)e

s

B(σ)dσ

ds.

t0

Da questa diseguaglianza e da ω(t) ≤ A(t) + ψ(t) segue la tesi.

2

Teorema 1.4. Se f ∈ C(Ω) `e derivabile rispetto ad y con derivata parziale fy continua, allora ξ → φt (ξ) `e derivabile e v(t) := Dξ φt (ξ) verifica il problema di Cauchy lineare v  = fy (t, φt (ξ))v, v(0) = 1. Dimostrazione. Cominciamo osservando che se ξ → φt (ξ) `e derivabile, allora possiamo derivare rispetto a ξ l’equazione  t t φ (ξ) = ξ + f (s, φs (ξ))ds. 0 t

Posto v = Dξ φ (ξ), troviamo



v(t) = 1 + 0

t

fy (s, φs (ξ))v(s)ds

e questo equivale a dire che v verifica v  = fy (t, φt (ξ))v,

v(0) = 1.

Proviamo ora che ξ → φt (ξ) `e derivabile. Poniamo w(t, h) = φt (ξ + h) − φt (ξ). Usando l’equazione integrale (1.3) si ha (scriviamo, per brevit` a, f (y) per f (t, y))  t w(t, h) − v(t)h = [f (φs (ξ + h)) − f (φs (ξ)) − fy (φs (ξ))v(s)h]ds t0



t

= t0  t

=

[fy (θ(s, h))w(s, h) − fy (φs (ξ))v(s)h]ds [fy (θ(s, h))w(s, h) − fy (θ(s, h))v(s)h]ds

t0



t

+ t0

[fy (θ(s, h)) − fy (φs (ξ))]v(s)hds,

8

1 Il problema di Cauchy

dove φs (ξ) ≤ θ(s, h) ≤ φs (ξ + h). Allora

 |w(t, h) − v(t)h| ≤

t

|fy (θ(s, h))| · |w(s, h) − v(s)h|ds

t0



t

+

|fy (θ(s, h)) − fy (φs (ξ))| · |v(s)h|ds.

t0

Applichiamo il lemma di Gronwall con ω(t) = ωh (t) = |w(t, h) − v(t)h|,  t A(t) = Ah (t) = |fy (θ(s, h)) − fy (φs (ξ))| · |v(s)h|ds, t0

B(t) = Bh (t) = |fy (θ(s, h))|, trovando

 t t Bh (σ)dσ s Ah (s)Bh (s)e ds , |w(t, h) − v(t)h| ≤ Ah (t) +

∀ t ∈ (a, b).

t0

Poich´e θ(s, h) → φs (ξ) per h → 0, si ha che Ah (t) = o(h), uniformemente in [a, b]. Inoltre Bh (t) ≤ c e perci`o |w(t, h) − v(t)h| = o(h), uniformemente in [a, b]. Questo prova la derivabilit` a di ξ → φt (ξ) e completa la dimostrazione. 2

1.4 Esistenza e unicit` a globale per (PC) Una volta trovata una soluzione locale di (PC), possiamo cercare di riapplicare il teorema per definire la soluzione in un intervallo pi` u ampio. Tuttavia, u in generale, pu`o accadere che l’intervallo di esistenza Iδ diventi sempre pi` piccolo, come accade nell’esempio riportato nell’Osservazione 1.4. Per trovare un risultato di esistenza globale, in modo che l’intervallo di esistenza della soluzione non dipenda dalla condizione iniziale, faremo un’ipotesi sul dominio di f . Precisamente, supponiamo che Ω sia la striscia S = {(t, y) : a ≤ t ≤ b, y ∈ R} e che f sia globalmente lipschitziana in S. Preso t0 ∈ (a, b), consideriamo ancora l’equazione integrale (1.3), cio`e y = T [y]. Per ogni y, z ∈ C([a, b]) si ha, come nella dimostrazione del Teorema 1.1,

T [y] − T [z] ≤ L |t − t0 | y − z ,

t ∈ [a, b].

Osserviamo che, nella situazione che stiamo considerando, non `e necessario introdurre l’insieme Kr , n´e dimostrare che T (Kr ) ⊂ Kr : infatti, (t, y(t)) ∈ S

1.4 Esistenza e unicit` a globale per (PC)

9

Fig. 1.1. Esistenza globale

per ogni t ∈ [a, b] e ogni y ∈ X, cfr. l’Osservazione 1.2, e T [y] ∈ C([a, b]) per ogni y ∈ C([a, b]). Se δ > 0 `e tale che Iδ = [t0 − δ, t0 + δ] ⊂ [a, b], poniamo X = C(Iδ ). Allora

T [y] − T [z] ≤ L δ y − z ,

∀ y, z ∈ X.

Dunque, se δL < 1, T `e una contrazione in X e quindi, per il Principio delle Contrazioni di Banach, ha un unico punto fisso y1 ∈ X. Ripetendo il procedimento, troveremo una e una sola soluzione y2 di   y = f (t, y), (1.7) y(t0 + δ) = y1 (t0 + δ), definita in I2δ ∩ [a, b]. La funzione  y1 (t), se t0 ≤ t ≤ t0 + δ; y (t) = y2 (t), se t0 + δ ≤ t ≤ t0 + 2δ, `e di classe C 1 . Infatti lim y1 (t) = f (t0 + δ, y1 (t0 + δ)) = f (t0 + δ, y2 (t0 + δ)) = lim y2 (t).

t↑t0 +δ

t↓t0 +δ

Inoltre y  = f (t, y ) per ogni t0 ≤ t ≤ t0 + 2δ. Stesso ragionamento per t < t0 . Dunque y `e una soluzione di (PC) definita in I2δ ∩ [a, b]. ` importante osservare che δ dipende solo da L, a, b. Allora, dopo un nuE mero finito di passi si trover`a una (e una sola) soluzione di (PC) definita in tutto [a, b]. Possiamo concludere enunciando il teorema di esistenza e unicit` a globale che cercavamo:

10

1 Il problema di Cauchy

Teorema 1.5. Supponiamo che f sia globalmente lipschitziana nella striscia S = {(t, y) : a ≤ t ≤ b, y ∈ R}, con t0 ∈ [a, b]. Allora (PC) ha una e una sola soluzione definita su tutto [a, b]. Osservazione 1.5. Se Ω = R2 , e f `e globalmente lipschitziana in R2 , la soluzione di (PC) `e definita su tutto R.

1.5 Il teorema di esistenza di Peano In questa sezione vogliamo dimostrare un notevole risultato dovuto a Peano riguardo l’esistenza di almeno una soluzione per (PC) nella sola ipotesi che f sia continua. Useremo le stesse notazioni introdotte nelle sezioni precedenti. Teorema 1.6 (Teorema di Peano). Se f `e continua in Ω allora esiste δ > 0 tale che il problema di Cauchy (PC) ha almeno una soluzione definita in Iδ = (t0 − δ, t0 + δ). La dimostrazione si basa su due passi. Iniziamo provando un lemma che `e interessante di per s´e. Lemma 1.3. Sia I ⊂ [a, b] un intervallo tale che t0 ∈ I e supponiamo che Ω = I × R e che M := maxΩ |f (t, y)| < +∞. Allora (PC) ha (almeno) una soluzione definita in I. Dimostrazione. Per k = 1, 2, . . . e t ∈ Iδ definiamo per ricorrenza la successione yk ∈ X = C([a, b]) ponendo  t y1 = T [ξ] = ξ + f (s, ξ)ds, t0



t

y2 = T [y1 ] = ξ + ..

f (s, y1 (s))ds, t0

..



t

yk+1 = T [yk ] = ξ +

f (s, yk (s))ds. t0

Si noti che yk `e ben definita perch`e I ⊂ [a, b] e |f (t, y)| ≤ M in Ω. Proviamo che, a meno di sottosuccessioni, yk converge uniformemente ad un certo y ∈ X. Per questo useremo il teorema di Ascoli-Arzel`a. Ricordiamo che la successione yk `e equicontinua se per ogni ε > 0 esiste γ > 0 tale che |yk (t) − yk (t )| < ε,

∀ |t − t | < γ,

∀ k ∈ N.

La successione yk `e equilimitata se esiste c > 0 tale che |yk (t)| ≤ c,

t ∈ Iδ ,

∀ k ∈ N.

1.5 Il teorema di esistenza di Peano

11

Teorema 1.7 (Teorema di Ascoli-Arzel` a). Condizione necessaria e sufficiente perch`e una successione yk ∈ X converga uniformemente in [a, b], a meno di sottosuccessioni, `e che yk sia equicontinua ed equilimitata. Per la dimostrazione del teorema di Ascoli-Arzel`a rimandiamo ad un testo di Analisi II come [10]. Verifichiamo che la successione yk definita in precedenza `e equicontinua ed equilimitata: (a) yk `e equicontinua in X. Infatti si ha  t  |f (s, yk (s))|ds ≤ M |t − t |; |yk (t) − yk (t )| ≤ t

(b) yk `e equilimitata in X. Infatti  t |yk (t) − ξ| ≤ |f (s, yk (s))|ds ≤ M (b − a),

∀ t ∈ I.

t0

Applicando il Teorema 1.7 segue che yk converge uniformemente, a meno di sottosuccessioni, ad un certo y ∈ X. Passando al limite nella relazione  t yk+1 (t) = ξ + f (s, yk (s))ds t

t0

si trova che y(t) = ξ + t0 f (s, y(s))ds. Quindi, in base al Lemma 1.1, y `e una soluzione di (PC), definita in I. 2 Dimostrazione del Teorema 1.6. Siano δ, c > 0 tali che il rettangolo Iδ × [ξ − c, ξ + c] sia contenuto in Ω. Definiamo la funzione f˜ nella striscia Sδ = Iδ × R ponendo ⎧ ⎨ f (t, ξ + c), se y ≥ ξ + c; se ξ − c ≤ y ≤ ξ + c; f˜(t, y) = f (t, y), ⎩ f (t, ξ − c), se y ≤ ξ + c. La funzione f˜ `e continua e limitata in Sδ . Possiamo allora applicare il Lemma 1.3, trovando una soluzione di y  = f˜(t, y), y(t0 ) = ξ, t ∈ Iδ . Poich´e y `e continua, possiamo prendere δ  1 in modo che |y(t) − ξ| < c per t ∈ Iδ . Allora (t, y(t)) ∈ Iδ × [ξ − c, ξ + c] e perci`o f˜(t, y(t)) = f (t, y(t)). Quindi y  = f (t, y).

Osservazione 1.6. Se f `e solo continua, il teorema di Peano assicura che (PC) ha almeno una soluzione, definita localmente in un intorno di t0 . Il seguente esempio mostra che l’unicit`a pu` o venire a mancare. Infatti il problema di Cauchy   y = |y|, y(0) = 0,

12

1 Il problema di Cauchy

y

α

t

Fig. 1.2. Grafico delle soluzioni yα per t ≥ 0

ha infinite soluzioni che sono y ≡ 0 e, per ogni α > 0,  0, for |t| < α; yα (t) = 1 (t − α)|t − α|, for |t| ≥ α. 4

1.6 Complementi 1.6.1 Equazioni lineari Integriamo l’equazione

y  = p(t)y + q(t),

(1.8)

dove p, q ∈ C([a, b]). In questo caso possiamo applicare il Teorema 1.5 e quindi t (1.8) ha soluzioni definite su tutto [a, b]. Poniamo P (t) = 0 p(s)ds e z(t) = e−P (t) y(t). Allora z  = e−P (t) y  (t) − e−P (t) P  (t)y(t) = e−P (t) y  (t) − p(t)z(t). Se y verifica (1.8) allora z  (t) = e−P (t) (p(t)y + q(t)) − p(t)z(t) = p(t)z(t) + e−P (t) q(t) − p(t)z(t) = e−P (t) q(t).

Allora z(t) =

t

e−P (s) q(s)ds + c, c ∈ R, e  t  P (t) P (t) −P (s) z(t) = e e q(s)ds + c . y(t) = e

0

0

La costante c si pu` o calcolare imponendo una condizione iniziale y(t0 ) = ξ. 1.6.2 Equazioni esatte Consideriamo l’equazione y = −

A(t, y) B(t, y)

(1.9)

1.6 Complementi

13

dove A, B ∈ C(Ω) e B = 0 in Ω ⊆ R2 . Se la forma differenziale ω = Adt+Bdy `e esatta e se F (t, y) `e una primitiva, allora Fy (t, y) = B(t, y) = 0. Quindi, per ogni c ∈ R tale che F (t0 , y0 ) = c, F (t, y) = c definisce implicitamente una funzione y = yc (t) tale che A(t, yc (t)) Ft (t, yc (t)) =− . yc (t) = − Fy (t, y(c t)) B(t, yc (t)) Questo dice che y = yc (t) `e una soluzione di (1.9). A volte la (1.9) viene scritta nella forma Adt + Bdy = 0, che ha il vantaggio di poter scambiare il ruolo di t e y. Se A = 0 in Ω possiamo fare lo stesso discorso per l’equazione dt/dy = −B(t, y)/A(t, y) nella quale y ha il ruolo di variabile indipendente e t di quella dipendente. Se Adt + Bdy non `e esatta e se r ∈ C 1 (Ω) `e una funzione tale che ωr = rAdt + rBdy `e esatta, la funzione r viene detta fattore integrante. Il fattore integrante r si trova risolvendo (rA)y = (rB)t . Se (Bt − Ay )/A dipende solo da y possiamo cercare r come funzione della sola y. Si trova r (y)A + r(y)Ay = r(y)Bt , e quindi r verifica r = r(Bt − Ay )/A. Analogamente, se (Bt − Ay )/B dipende solo da t, possiamo trovare r = r(t) risolvendo r = r(Bt − Ay )/B. Chiaramente l’equazione y  = −A/B `e equio essere integrata mediante Fρ = c, dove Fρ `e valente a y  = −ρA/ρB che pu` una primitiva si ωρ . 1.6.3 L’equazione di Clairaut Si tratta dell’equazione (non in forma normale) y = ty  + g(y  ),

(1.10)

dove g `e una funzione definita in un aperto A ⊂ R, `e di classe C 2 (A) e g  (p) = 0 per ogni p ∈ A. Se y verifica (1.10), derivando (ammetteremo che y sia di classe C 2 ) si trova y  = y  + ty  + g  (y  )y  . Quindi o y  = 0 oppure g  (y  ) = −t. Nel primo caso, si ha y = at + b. Usando la (1.10) si ha che b = g(a). Quindi, per ogni a ∈ A, le rette y = at + g(a) risolvono l’equazione di Clairaut. Si noti che se cerchiamo una soluzione verificante la condizione iniziale y(t0 ) = ξ si trova ξ = at0 + g(a). Osserviamo che, poich´e g  (c) = 0, questa equazione pu`o avere 1 o 2 o nessuna soluzione al variare di t0 , ξ. Consideriamo ora il caso in cui g  (y  ) = −t. Da g  (p) = 0 segue che g  `e monotona ed invertibile, con inversa h. Allora y  = h(−t) e quindi la curva Γ di equazione y = th(−t) + g(h(−t))

14

1 Il problema di Cauchy

` facile verificare che le rette y = at + g(a) sono tangenti a Γ , verifica (1.10). E che `e quindi l’inviluppo di questa famiglia di rette. Esempio 1.2. Se g(p) = p2 si ha A = R e le rette y = at + a2 risolvono l’equazione di Clairaut y = ty  + (y  )2 . In questo caso g  (p) = 2p, h(p) = 12 p e quindi la curva Γ `e la parabola 1 1 1 y = − t2 + (− t)2 = − t2 . 2 2 4 Se vogliamo trovare una soluzione tale che y(t0 ) = ξ si trova che t0 , ξ devono 2 verificare la relazione ξ = at0 + a2 . Ad esempio, √ se t0 = 0 si trova ξ = a . Dunque se ξ > 0 troveremo le due rette y = ± ξt + ξ. Se ξ = 0 troviamo la retta y = 0 e la curva y = − 14 t2 . Infine se ξ < 0 non vi sono soluzioni. 1.6.4 Analisi qualitativa A parte qualche caso particolare le equazioni differenziali (1.1) non possono essere integrate mediante funzioni elementari. Tuttavia, l’equazione stessa fornisce informazioni sul comportamento delle soluzioni. Per fissare le idee, supporremo che f sia definita su tutto R2 e sia globalmente lipschitziana in modo che si possa applicare il teorema di esistenza e unicit`a globale 1.5. Intanto, poich´e le soluzioni verificano y  = f (t, y) esse sono: (a) crescenti nell’insieme Ω + = {(t, y) ∈ R2 : f (t, y) > 0}; (b) decrescenti nell’insieme Ω − = {(t, y) ∈ R2 : f (t, y) < 0}; (c) gli eventuali punti di massimo o di minimo vanno cercati nell’insieme Ω0 = {(t, y) ∈ R2 : f (t, y) = 0}. Supponiamo inoltre che f ∈ C 1 (R2 ). Allora da y  (t) = f (t, y(t)) segue che y `e di classe C 2 e y  (t) = ft (t, y(t)) + fy (t, y(t)y  (t). Questo pu` o permettere di studiare la convessit`a o concavit`a di y(t). In particolare, se t0 `e tale che y  (t0 ) = 0 si trova y  (t0 ) = ft (t0 , y(t0 )). Perci`o se ft (t0 , y(t0 )) = 0, dal segno di ft (t0 , y(t0 )) si deduce se t0 `e un punto di massimo o di minimo per y(t). Se f non dipende da t si ha che Ω0 = {y ∈ R : f (y) = 0} e Ω ± = {y ∈ R : f (y) ≷ 0}. In questo caso per ogni y0 ∈ Ω0 , y(t) ≡ y0 `e soluzione di y  = f (y). Dal teorema di esistenza e unicit`a segue che le soluzioni y(t) ≡ y0 non incontrano la retta y = y0 e quindi stanno in Ω + oppure in Ω − . Quindi, a parte le eventuali soluzioni costanti, le altre soluzioni di y  = f (y) sono o crescenti o decrescenti. La convessit`a o concavit`a delle soluzioni non costanti si deduce dal segno di f  (y)f (y). Infatti y  (t) = f  (y(t))y  (t) = f  (y(t))f (y(t)). Esempio 1.3. Consideriamo il problema di Cauchy y  = y − g(y),

y(0) = c,

(1.11)

1.6 Complementi

15

dove g ∈ C 2 (R) verifica g(0) = 0, g  (0) > 1, g  (y) > 0 e g  (y) < 0 per y > 0. La funzione f `e globalmente lipschitziana perch`e si ha 1 − g  (0) < 1 − g  (y) = f  (y) < 1, per ogni y > 0 (cfr. l’Osservazione 1.1). Allora, in base al teorema di esistenza e unicit`a globale, per ogni c ∈ R il problema di Cauchy (1.11) ha una e una sola soluzione yc (t). Restringiamo l’analisi ai valori inziali c ≥ 0. Se c = 0 il problema (1.11) ha la soluzione identicamenete nulla e per c > 0 le soluzioni sono positive. Dalle ipotesi fatte su g segue che l’equazione y = g(y), y > 0, ha un’unica soluzione y = L > 0. Ovviamente y(t) ≡ L `e soluzione di (1.11) per c = L. Per ogni c > 0, c = L, la soluzione yc (t) non incontra la retta y = L. Inoltre si ha: y  (t) > 0 ⇐⇒ 0 < y(t) < L. Studiamo ora la convessit` a delle soluzioni. Si ha y  (t) = y  (t) − g  (y(t))y  (t). Poich`e g  (0) > 1, l’equazione g  (y) = 1 ha una soluzione y = k, che `e unica poich`e g  < 0. Notiamo anche che dal fatto che g  (L) < 1 segue che 0 < k < L. Allora y  (t) > 0 ⇐⇒ {y(t) > L} ∪ {0 < y(t) < k}. Vogliamo ora studiare il comportamento asintotico per t → +∞ delle soluzioni yc (t), c > 0. Per c > L la soluzione yc (t) > L ed `e quindi strettamente decrescente. Ne segue che yc (t) →  ≥ L per t → +∞. Inoltre `e facile verificare che yc (t) → 0 per t → +∞. Passando al limite nell’identit` a y  (t) ≡ y(t) − g(y(t)) si trova 0 =  − g() e quindi  = L. Lo stesso ragionamento mostra che anche per 0 < c < L si ha che yc (t) → L per t → +∞. Se c > L la soluzione yc (t) `e convessa. Se k < c < L la soluzione yc (t) `e concava. Infine, se 0 < c < k la soluzione yc (t) attraversa la retta y = k in un unico punto t = tk e yc (t) `e convessa per t < tk mentre `e concava per t > tk . I grafici di yc (t), per t ≥ 0, al variare di c > 0, sono riportati nella Fig. 1.3.

y  (t) < 0, y  (t) > 0 L y  (t) > 0, y  (t) < 0 k y  (t) > 0, y  (t) > 0 tk Fig. 1.3. Comportamento asitotico di yc (t), c > 0

16

1 Il problema di Cauchy

Osservazione 1.7. Gli stessi ragionamenti possono essere ripetuti nel caso in cui g ∈ C 2 (0, +∞), g  (y) > 0, g  (y) < 0 e g  (y) → +∞ per y → 0+. 1.6.5 Un teorema di confronto Proviamo: Teorema 1.8 (Teorema di confronto). Supponiamo f, g ∈ C(Ω) siano localmente lipschitziane in Ω ⊂ R2 . Siano y(t) e z(t) le soluzioni di, ripettivamente  y  = f (t, y), y(t0 ) = ξ, 

e

z  = g(t, z), z(t0 ) = z0

definite in un comune intervallo [t0 , b). Supponiamo inoltre che f (t, y) < g(t, y) in Ω e che ξ < z0 . Allora y(t) < z(t) in tutto [t0 , b). Dimostrazione. Per continuit` a, y(t) < z(t) in un intorno destro di t = t0 . Poniamo A = {t ∈ [t0 , b) : y(t) ≥ z(t)} e supponiamo per assurdo che A = ∅. Se τ = inf A, si ha y(τ ) = z(τ ). Allora, in base alle ipotesi fatte, y  (τ ) = f (τ, y(τ )) = f (τ, z(τ )) < g(τ, z(τ )) = z  (τ ). Perci`o y(t) > z(t) in un intorno sinistro di τ e questo `e in contrasto col fatto che τ = inf A. 2

1.7 Appendice. Dimostrazione del Principio delle Contrazioni di Banach Dato u0 ∈ M , definiamo per ricorrenza uk+1 = T [uk ],

k ≥ 0.

Si ha, per k ≥ 1, d(uk+1 , uk ) = d(T [uk ], T [uk−1 ]) ≤ Cd(uk , uk−1 ) e quindi, per induzione, d(uk+1 , uk ) ≤ C k d(u1 , u0 ). Allora d(uk+m , uk ) ≤ d(uk+m , uk+m−1 ) + . . . + d(uk+1 , uk ) ≤ (C k+m−1 + . . . + C k )d(u1 , u0 ).

1.8 Esercizi

17



Poich´e C < 1 la serie C k converge. Ne segue che uk `e una successione di ∗ Cauchy e quindi esiste u ∈ M tale che d(uk , u∗ ) → 0. Passando al limite in uk+1 = T [uk ] troviamo u∗ = T [u∗ ], cio`e u∗ `e un punto fisso di T . Per dimostrare l’unicit` a basta osservare che se u∗ , v ∗ ∈ M sono punti fissi di T si ha d(u∗ , v ∗ ) = d(T [u∗ ], T [v ∗ ]) ≤ C d(u∗ , v ∗ ). Poich´e C < 1 segue che d(u∗ , v ∗ ) = 0 e quindi u∗ = v ∗ .



1.8 Esercizi 1. Integrare y  = αy + q(t), α ∈ R. 2 2. Idem per y  = ty + et . 3. Trovare le soluzioni di (2at + y)dt + (t + 2by)dy = 0, a, b ∈ R. Discutere il comportamento delle soluzioni distinguendo ab > 0 e ab < 0. 4. Integrare: (i) 2tdt + (t2 + y 2 )dy = 0; (ii) (t + y 2 )dt + (1 + t)ydy = 0. 5. Calcolare il fattore integrante nel caso dell’equazione lineare y  = p(t)y + q(t), ritrovando il risultato discusso nel punto (i) della Sezione 1.6. 6. Usando il cambiamento di variabile y r z = y, integrare l’equazione di Bernoulli r ∈ R, y > 0. y  + p(t) + q(t)y r = 0, 7. Usare un procedimento simile per integrare l’equazione y  +p(t)y = q(t)y m (m = 1, y > 0): (i) risolvere y  + yt = y 2 ; (ii) risolvere y  + y = y 2/3 . 8. Se f (t, y) `e una funzione omogenea, usare la sostituzione y = tz per trasformare l’equazione y  = f (t, y) nell’equazione a variabili separabili z  + tz = f (1, z): (i)

(ii)

risolvere il problema di Cauchy  t2 y  = t2 + ty + y 2 , y(1) = 0; risolvere l’equazione y  =

t2 +y 2 ty .

9. Integrare le equazioni di Clairaut:  (i) y = ty  + 1 + (y  )2 ; (ii) y = ty  + log y  .

18

1 Il problema di Cauchy

10. Discutere l’andamento qualitativo delle soluzioni delle seguenti equazioni: (i) y  = y 2 − t2 ; (ii) y  = (y − t)2 ; (iii) y  = (y + t − 2)(y − t)−1 ; (iv) y  = y2 − y 4 ; (v) y  = 1 − y 2 . Mostrare che le soluzioni sono archi di funzioni sin t. Cosa accade per |y| = 1?

2 Sistemi ed equazioni di ordine superiore

2.1 Sistemi ed equazioni di ordine n Sia (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn , Ω ⊂ R × Rn ed fi : Ω  (t, y1 , . . . , yn ) → R, i = 1, 2, , . . . , n. Consideriamo il sistema ⎧  ⎨ y1 = f1 (t, y1 , . . . , yn ), ... .... ⎩  yn = fn (t, y1 , . . . , yn ). Introducendo i vettori y = (y1 , . . . , yn ) e f = (f1 , . . . , fn ) il sistema precedente si pu` o scrivere nella forma compatta y  = f (t, y)

(2.1)

che, formalmente, `e dello stesso tipo di (1.1). Il sistema si dice autonomo se f = f (y) non dipende da t. Se y ∗ ∈ Rn `e tale che f (y ∗ ) = 0 allora y(t) ≡ y ∗ `e una soluzione di equilibrio (o semplicemente un equilibrio) di y  = f (y).

Esempio 2.1. Consideriamo il sistema autonomo  y1 = A(y1 , y2 ), y2 = B(y1 , y2 ), che `e del tipo (2.1) con (y1 , y2 ) ∈ R2 , f1 = A e f2 = B. Gli equilibri di questo sistema sono i punti (y1∗ , y2∗ ) ∈ R2 tali che A(y1∗ , y2∗ ) = B(y1∗ , y2∗ ) = (0, 0). Sia y1 = y1 (t), y2 = y2 (t) una soluzione. Nei punti dove A = 0, si ha y1 (t) = 0 e quindi y1 (t) `e (localmente) invertibile con inversa t = t(y1 ). Posto y2 (y1 ) = y2 (t(y1 )), Ambrosetti A.: Appunti sulle equazioni differenziali ordinarie DOI 10.1007/978-88-2394-9 2, © Springer-Verlag Italia 2012

20

2 Sistemi ed equazioni di ordine superiore

si ha

dy2 dy2 dt y y B(y1 , y2 ) = = dy21 = 2 = · . dy1 dt dy1 y A(y1 , y2 ) 1 dt

a l’equazione Con un ragionamento analogo, se B(y1 , y2 ) = 0, si trover` dy1 A(y1 , y2 ) . = dy2 B(y1 , y2 )



Nel caso particolare in cui f1 = y2 , f2 = y3 , . . . ., fn−1 = yn , fn = f (t, y1 , . . . , yn ), il sistema (2.1) diventa l’equazione differenziale di ordine n in forma normale y (n) = f (t, y, y  , . . . , y (n−1) ).

(2.2)

Se ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Rn , al sistema (2.1) si associa il problema di Cauchy  y = f (t, y), (2.3) y(t0 ) = ξ. In termini delle componenti (2.3) diventa   yi = fi (t, y1 , . . . , yn ), i = 1, . . . , n, yi (t0 ) = ξi , i = 1, . . . , n. Analogamente, all’equazione di ordine n (2.2) viene associato il problema di Cauchy ⎧ ⎪ y (n) = f (t, y, y  , . . . , y (n−1) ), ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ξ0 , ⎨y(t0 ) y  (t0 ) = ξ1 , ⎪ ⎪ ⎪ ... ..., ⎪ ⎪ ⎪ ⎩y (n−1) (t ) = ξ 0 n−1 . Ripetendo i ragionamenti fatti nel capitolo precedente, si dimostrano facilmente i seguenti risultati che sono la controparte dei Teoremi 1.1, 1.5, 1.3 e 1.4 dimostrati nella sezione precedente. Teorema 2.1. (i) Se f `e localmente lipschitziana in Ω allora (2.3) ha una ed una sola soluzione definita in un opportuno intorno di t0 . (ii) Se f `e globalmente lipschitziana nella striscia {a ≤ t ≤ b, y ∈ Rn }, allora (2.3) ha una ed una sola soluzione definita in [a, b]. Teorema 2.2. (i) La soluzione φt (ξ) di (2.3) `e continua rispetto a ξ nel senso che max |φt (ξ) − φt (ξ  )| → 0, (|ξ − ξ  | → 0). t∈Iδ

2.1 Sistemi ed equazioni di ordine n

21

(ii) L’applicazione ξ → φt (ξ) `e differenziabile rispetto a ξ e Dξ φt (ξ) `e la matrice A(t) che verifica l’equazione alle variazioni A (t) = fy (t, φt (ξ))A(t),

A(0) = IdRn ,

(2.4)

dove fy indica la matrice jacobiana di componenti fij = ∂fi /∂yj . Nell’equazione precedente, il prodotto tra le matrici fy e A `e il prodotto righe per colonne. Esempio 2.2. Se y = (y1 , y2 ) ∈ R2 , f = (f1 , f2 ) e A = (aij ) l’equazione A = fy A diventa       a a f11 a11 + f12 a21 f11 a12 + f12 a22 f11 f12 × 11 12 = A = f21 f22 a21 a22 f21 a11 + f22 a21 f21 a12 + f22 a22 ovvero

⎧  a ⎪ ⎪ ⎨ 11 a12 a ⎪ ⎪ ⎩ 21 a22

= f11 a11 + f12 a21 = f11 a12 + f12 a22 = f21 a11 + f22 a21 = f21 a12 + f22 a22 .

Le condizioni iniziali A(0) = Id Rn porgono     10 a11 (0) a12 (0) . = 01 a21 (0) a22 (0) Due casi particolari sono proposti come esercizi al termine del capitolo. 2.1.1 Sistemi lineari omogenei a coefficienti costanti nel piano Usiamo la notazione y = (y1 , y2 ) con y1 , y2 ∈ R. Un sistema lineare omogeneo con coefficienti costanti in due variabili `e del tipo  y1 = ay1 + by2 , (L) y2 = cy1 + dy2 , con a, b, c, d ∈ R. Introduciamo la matrice   ab . A= cd Allora (L) pu` o essere scritto come y  = Ay. Gli equilibri di (L) sono i punti ∗ 2 y ∈ R tali che Ay ∗ = 0. Se A `e non singolare, allora l’unico equilibrio di (L) `e y ∗ = (0, 0). Vogliamo studiare l’andamento qualitativo delle soluzioni di (L). Premettiamo un lemma. Ricordiamo che due matrici non singolari A, B sono simili se esiste una matrice M non singolare tale che A = M B M −1 . Due matrici simili hanno gli stessi autovalori.

22

2 Sistemi ed equazioni di ordine superiore

Ci chiediamo che relazioni ci sono tra la soluzione y(t) di (L) tale che y(0) = ξ e la soluzione v(t) di v  = B(v),

v(0) = M −1 (ξ).

Lemma 2.1. Si ha u(t) = M (v(t)). Dimostrazione. Poniamo z(t) = M (v(t)). Si ha z  = M (v  ) = M Bv = M BM −1 z = Az. Inoltre

z(0) = M (v(0)) = M M −1 (ξ) = ξ.

Allora y(t) e z(t) verificano lo stesso problema di Cauchy e quindi coincidono. 2 In particolare, le soluzioni dei due sistemi hanno le stesse propriet`a qualitative, a cui siamo interessati. Supponiamo che A sia non-singolare. Indichiamo con J la forma normale di Jordan di A. In base al Lemma 2.1, possiamo considerare il sistema u = Ju, le cui soluzioni hanno le stesse propriet` a qualitative di y  = Ay. Siano λ1 , λ2 = 0 gli autovalori A. Distinguiamo i seguenti casi: Caso (1). Se λ1 , λ2 ∈ R e λ1 = λ2 , allora   λ1 0 J= 0 λ2 e il sistema u = Ju diventa:

 y1 y2

= λ 1 y1 , = λ 2 y2 .

(2.5)

Se imponiamo le condizioni iniziali y1 (0) = p1 , y2 (0) = p2 troviamo le soluzioni: y1 = p1 eλ1 t , y2 = p2 eλ2 t . Se p1 = 0, troviamo y2 =

p2 λ2 /λ1 y . p1 1

Se λ1 · λ2 > 0 l’equilibrio u = (0, 0) `e detto Nodo. Le traiettorie nel piano (y1 , y2 ) sono riportate nella Fig. 2.1, distinguendo i casi λ2 /λ1 > 1 e λ2 /λ1 < 1. Invece, se λ1 · λ2 < 0 si trovano delle iperboli e l’equilibrio u = (0, 0) `e detto Sella, cfr. la Fig. 2.2.

2.1 Sistemi ed equazioni di ordine n

23

Fig. 2.1. Nodo nel Caso (1) con λ1 · λ2 > 0 con λ1 , λ2 < 0; se λ1 , λ2 > 0 le frecce vanno invertite

Fig. 2.2. Sella nel Caso (1) con λ1 · λ2 < 0

Caso (2). Se λ1 , λ2 ∈ R e λ1 = λ2 , allora o   λ1 0 , o (2b) (2a) J = 0 λ1 Nel Caso (2a) il sistema u = Ju diventa,  y1 = λ1 y1 , y2 = λ1 y2 .

 J=

 λ1 1 . 0 λ1

(2.6)

Troviamo y2 = ky1 , k ∈ R. L’equilibrio (0, 0) `e un Nodo, cfr. la Fig. 2.3. Nel Caso (2b) si trova  y1 = λ1 y1 + y2 , (2.7) y2 = λ1 y2 .

24

2 Sistemi ed equazioni di ordine superiore

y2

y2

y1

y1

(λ1 < 0)

(λ1 > 0) Fig. 2.3. Nodo nel Caso (2a)

Allora le soluzioni tali che y1 (0) = p1 , y2 (0) = p2 sono date da y1 = (p1 + p2 t)eλ1 t , Se p2 = 0 allora

y2 ≡ 0,

Se p2 = 0, allora

y2 = p2 eλ1 t .

y1 = p1 eλ1 t .

t = λ−1 1 log(y2 /p2 )

e quindi y1 = ty2 +

p1 y2 y2 = (log |y2 | + k) . p2 λ1

L’equilibrio `e un Nodo, cfr. la Fig. 2.4.

y2

y2

y1

(λ1 < 0)

y1

(λ1 > 0) Fig. 2.4. Nodo nel Caso (2b)

2.1 Sistemi ed equazioni di ordine n

25

Caso (3). Se gli autovalori di J sono complessi coniugati, λ1,2 = α ± iβ, dove i denota l’unit` a immaginaria, allora   α −β J= β α e il sistema u = Ju diventa

 y1 y2

= αy1 − βy2 , = βy1 + αy2 .

(2.8)

Caso (3a). Se α = 0 si trova il sistema  y1 = −βy2 y2 = βy1 . Che `e equivalente all’oscillatore armonico y  + β 2 y = 0 il cui integrale `e dato da y = c1 sin βt + c2 cos βt. Dalla relazione

d 2 (y + y22 ) = 2xx + 2yy  = 0, dt 1

seque che y12 + y22 = costante e quindi le traiettorie nel piano (y1 , y2 ) sono delle circonferenze di centro l’origine. L’equazione y  + β 2 y = 0 `e anche equivalente a  y = p p = −β 2 y. Il piano (y, p) viene chiamato piano delle fasi e verr` a discusso pi` u in generale nella sezione seguente. Le variabili y, p verificano β 2 y 2 + p2 = c, dove la costante c dipende dalle condizioni iniziali. Quindi le traiettorie nel piano delle fasi (y, p) sono delle ellissi, cfr. la Fig. 2.5. Caso (3b). Se α = 0, `e conveniente introdurre le coordinate polari y1 = ρ cos θ, y2 = ρ sin θ. Si ha y1 = ρ cos θ − ρθ sin θ, Sostituendo in u = Ju troviamo  ρ θ

y2 = ρ sin θ + ρθ cos θ.

= αρ, =β

che pu` o essere integrato esplicitamente trovando le soluzioni ρ = c1 eαt ,

θ = βt + c2 ,

26

2 Sistemi ed equazioni di ordine superiore

Fig. 2.5. Centro nel Caso (3a) (con β > 0); se β < 0 le frecce vanno invertite

y2

y2 ρ

y1

y1

ρ

(α < 0)

(α > 0)

Fig. 2.6. Fuoco nel Caso (3b)

una famiglia di spirali logaritmiche. Osserviamo che ρ(t) `e crescente se α > 0, decrescente se α < 0. Inoltre  limt→+∞ ρ(t) = +∞, if α > 0; limt→+∞ ρ(t) = 0, if α < 0. L’origine `e detta Fuoco, cfr. la Fig. 2.6. Ricapitoliamo quanto visto sopra nella seguente tabella: Autovalori λ1,2 λ1,2 λ1,2 λ1,2 λ1,2

∈ R, λ1 · λ2 > 0 ∈ R, λ1 · λ2 < 0 = α ± iβ, α = 0 = iβ, α = 0

Equilibrio Nodo Sella Fuoco Centro

2.2 Sistemi ed equazioni lineari di ordine n

y2

y2

y1

(i) con λ > 0 y2

y1

(i) con λ < 0 y2

y1

(ii) con λ > 0

27

y1

(ii) con λ < 0

Fig. 2.7. Casi (i) e (ii) in cui A ` e singolare

Per completare lo studio del sisyema y  = Ay, consideriamo i casi     λ0 00 (i) A = , oppure (ii) A= . 00 0λ Nel caso (i) la soluzione tale che y1 (0) = p1 , y2 (0) = p2 `e y1 (t) = p1 eλ t, y2 (t) ≡ p2 . Nel piano (y1 , y2 ) si tratta di rette parallele all’asse y1 . Analogamente, se λ λ2 = 0 si trova y1 (t)  =p1 , y2 (t) ≡ p2 e t. Cfr. la Fig. 2.7. 0b Infine, se A = si ha y1 (t) = bt + p1 , y2 (t) ≡ p2 , mentre se A `e la 00 matrice nulla, allora y1 (t) ≡ p1 , y2 (t) ≡ p2 . Sulla stabilit` a dell’equilibrio dei sistemi piani si veda la Sezione 5.1.1.

2.2 Sistemi ed equazioni lineari di ordine n In questa sezione studieremo i sistemi e le equazioni differenziali lineari di ordine n. Tratteremo in modo particolare il caso delle equazioni di ordine n.

28

2 Sistemi ed equazioni di ordine superiore

Al termine discuteremo pi` u brevemente i sistemi, con particolare riguardo a quelli lineari a coefficienti costanti. Cominciamo con le equazioni di ordine n. Sia I ⊂ R un intervallo, αi ∈ C(I), i = 0, 1, . . . , n, e β ∈ C(I). Consideriamo l’equazione differenziale di ordine n αn (t)y (n) + αn−1 (t)y (n−1) + . . . + α0 (t)y = β(t). Se αn (t) = 0 in I, posto ai = αi /αn , b = β/αn e L[y] = y (n) + an−1 (t)y (n−1) + . . . + a0 (t)y l’equazione si pu` o scrivere nella forma

Se b(t) ≡ 0 l’equazione

L[y] = b(t).

(2.9)

L[y] = 0

(2.10)

si chiama equazione omogenea associata a (2.9). Ovviamente, a (2.9) si pu` o applicare il teorema di esistenza e unicit`a globale del relativo problema di Cauchy. ` immediato verificare che L `e un operatore lineare nel senso che L[μy + E νz] = μL[y] + νL[z] per ogni μ, ν ∈ R. Quindi: Lemma 2.2. Se y e z sono due soluzioni di (2.10), allora μy + νz `e una soluzione di (2.10) per ogni μ, ν ∈ R. Date n soluzioni y1 , . . . , yn di (2.10), consideriamo la matrice ⎛ ⎞ y1 y1 . . . y1n−1 ⎜ y2 y  . . . y n−1 ⎟ 2 2 ⎟. W (t) = ⎜ ⎝ ⎠ ...  n−1 yn yn . . . yn Indichiamo con w(t) il determinante di W (t). w viene detto Wronskiano di y1 , . . . , yn . Lemma 2.3. w verifica w = −an−1 w. Quindi w(t) = w(t0 )e

−

t

t0

an−1 (s)ds

.

In particolare o w(t) ≡ 0 in I oppure w(t) = 0 per ogni t ∈ I. Dimostrazione. Per semplificare le notazioni e per rendere pi` u agile il discorso, faremo la dimostrazione per n = 2. Il caso generale si prova in modo del tutto simile. Sia dunque   y1 y1 W (t) = . y2 y2

2.2 Sistemi ed equazioni lineari di ordine n

y1 y2

Quindi w(t) = i = 1, 2, si trova

−

y1 y2 .

Allora, usando il fatto che

yi

=

−(a1 yi

29

+ a0 yi ),

w = y1 y2 − y1 y2 = −y1 (a1 y2 + a0 y2 ) + y2 (a1 y1 + a0 y1 ) = a1 y1 y2 − a1 y1 y2 = −a1 w. 2 Definizione 2.1. Diremo che n soluzioni y1 , . . . , yn di (2.10) formano un sistema fondamentale di soluzioni se il loro wronskiano `e non nullo. Teorema 2.3. Se y1 , . . . , yn formano un sistema fondamentale di soluzioni di (2.10) allora per ogni soluzione y di (2.10) esistono n costanti c1 , . . . , cn tali che y = c1 y1 + . . . + cn yn . Dimostrazione. Anche in questo caso dimostreremo il teorema nel caso n = 2. Consideriamo, per ogni t ∈ I, il sistema  α1 y1 (t) + α2 y2 (t) = y(t) α1 y1 (t) + α2 y2 (t) = y  (t) nelle incognite α1 , α2 . La matrice del sistema non `e altro che W (t). Poich´e il suo determinante w(t) non si annulla mai in I, allora per ogni t ∈ I il sistema ha un’unica soluzione αi = ci (t) che verifica  c1 (t)y1 (t) + c2 (t)y2 (t) = y(t) (2.11) c1 (t)y1 (t) + c2 (t)y2 (t) = y  (t). Poich´e yi e y sono regolari anche le ci (t) lo sono. Derivando la c1 (t)y1 (t) + c2 (t)y2 (t) = y(t) si trova c1 y1 + c1 y1 + c2 y2 + c2 y2 = y  = c1 y1 + c2 y2 , ovvero

c1 y1 + c2 y2 = 0.

(2.12)

Deriviamo ora c1 (t)y1 (t) + c2 (t)y2 (t) = y  (t). Si ha c1 y1 + c1 y1 + c2 y2 + c2 y2 = y  . Le funzioni y, y1 , y2 verificano (2.10). Allora y  = c1 y1 − c1 (a1 y1 + a0 y1 ) + c2 y2 − c2 (a1 y2 + a0 y2 ) = c1 y1 + c2 y2 − (a1 y  + a0 y) = c1 y1 + c2 y2 + y 

e questo implica

c1 y1 + c2 y2 = 0.

(2.13)

30

2 Sistemi ed equazioni di ordine superiore

Da (2.12) e (2.13) segue che c1 , c2 verficano il sistema   c1 y1 + c2 y2 = 0 . c1 y1 + c2 y2 = 0 Il determinante della matrice di questo sistema `e il wronskiano w(t) di y1 , y2 . Poich´e w(t) = 0 in I, si deduce che ci (t) ≡ 0 in I. Quindi ci (t) sono costanti. 2 Il risultato precedente si pu` o esprimere dicendo che l’integrale generale di L[y] = 0 `e dato da c1 y1 + . . . + cn yn al variare di c1 , . . . , cn ∈ R. Corollario 2.1. Le soluzioni di L[y] = 0 formano uno spazio vettoriale Vn dimensione n. Una base in Vn `e formata da un sistema fondamentale di soluzioni di L[y] = 0. Osservazione 2.1. Per trovare un sistema fondamentale di soluzioni di L[y] = 0 basta cercare le soluzioni yi verificanti le condizioni iniziali y1 (t0 ) = η1 , y1 (t0 ) = 0, . . . y1n−1 (t0 ) = 0 y2 (t0 ) = 0, y2 (t0 ) = η2 , . . . y2n−1 (t0 ) = 0 ... yn (t0 ) = 0, yn (t0 ) = 0, . . . ynn−1 (t0 ) = ηn con η1 · η2 · · · ηn = 0, in modo che η1 0 . . . 0 0 η2 . . . 0 = η1 · η2 · · · ηn = 0. w(t0 ) = . . . 0 0 . . . ηn 2.2.1 Equazioni lineari non omogenee Cominciamo mostrando: Teorema 2.4. L’integrale generale di L[y] = b si ottiene sommando l’integrale generale di L[y] = 0 ad un integrale particolare y ∗ di L[y] = b. ` chiaro che L[y + y ∗ ] = L[y] + L[y ∗ ] = b. Viceversa, se y `e Dimostrazione. E una qualunque soluzione di L[y] = b, allora L[

y − y ∗ ] = L[

y ] − L[y ∗ ] = 0. Se y1 , . . . , yn sono un sistema fondamentale di soluzioni di L[y] = 0, in base al teorema precedente, esistono n costanti c1 , . . . , cn tali che y −y ∗ = c1 y1 +. . .+cn yn e quindi y = c1 y1 + . . . + cn yn + y ∗ . 2 Vediamo ora come si pu`o trovare un integrale particolare di L[y] = b, conoscendo l’integrale dell’omogenea associata L[y] = 0. Useremo il procedimento esposto in precedenza, cercando una soluzione di L[y] = b nella forma y = c1 (t)y1 (t) + . . . + cn (t)yn (t), dove yi formano un sistema fondamentale di L[y] = 0.

2.2 Sistemi ed equazioni lineari di ordine n

31

Faremo ancora il caso in cui n = 2. Ripetendo i ragionamenti fatti, si trova che c1 (t)y1 (t) + c2 (t)y2 (t) `e soluzione di L[y] = b se e solo se   c1 y1 + c2 y2 = 0 c1 y1 + c2 y2 = b. Il determinante di questo sistema `e il wronskiano w(t) di y1 , y2 . Poich´e y1 , y2 formano un sistema fondamentale di L[y] = 0, allora il suo determinante w(t) `e diverso da zero. Quindi il sistema ha un’unica soluzione data da c1 (t) = −

b(t)y2 (t) , w(t)

c2 (t) =

b(t)y1 (t) . w(t)

Da queste relazioni si ricavano c1 (t), c2 (t) per integrazione. 2.2.2 Equazioni a coefficienti costanti Vediamo come si pu`o trovare un sistema fondamentale di soluzioni di L[y] = 0 nel caso in cui i coefficienti a0 , . . . , an−1 sono costanti, cosa che verr`a sottintesa nel seguito della sezione. Un calcolo diretto mostra che la funzione y = eωt , ω ∈ R, `e una soluzione di L[y] = 0 se solo se ω ∈ C `e una radice (reale) dell’equazione caratteristica L(ω) := ω n + an−1 ω n−1 + . . . + a1 ω + a0 = 0. Se questa equazione ha una coppia di radici complesse coniugate ω = α ± iβ, (i2 = −1), allora y = eαt cos βt e y = eαt sin βt sono due soluzioni di L[y] = 0, e viceversa. Formalmente, ricordando che e(α+iβ)t = eαt (cos βt − i sin βt), possiamo dire anche in questo caso che eωt `e soluzione di L[y] = 0 se e solo se L(ω) = 0. Nel seguito, quando diremo che eωt , ω = α ± iβ, `e una soluzione di L[y] = 0, intenderemo parlare della coppia di funzioni eαt cos βt, eαt sin βt. Per stabilire se la famiglia eωt forma un sistema fondamentale per L[y] = 0, calcoliamo il determinante wronskiano calcolato per t = 0. Cominciamo a con` immediato siderare il caso in cui L(ω) = 0 ha n radici ωj reali e distinte. E verificare che 1 ω1 . . . ω n−1 1 1 ω2 . . . ω n−1 2 , w(0) = ... 1 ωn . . . ω n−1 n ` noto (cfr. ad es. [12, p.48]) che se ωj sono (determinante di Vandermonde). E radici semplici di L(ω) = 0, cio`e sono a due a due distinte, allora w(0) = 0 e quindi eωj t (j = 1, . . . , n) formano un sistema fondametale di L[y] = 0. Se

32

2 Sistemi ed equazioni di ordine superiore

ω = ω +1 = . . . = ω +k `e una radice multipla di L(ω) = 0, allora le funzioni y = eω t , y +1 = teω t , . . . , y +k = tk eω t sono soluzioni di L[y] = 0. Come prima, se ω = α ± iβ, si intende che ogni y da sostituita dalla coppia eαt cos βt, eαt sin βt. Supponiamo che L(ω) = 0 abbia r radici semplici ω1 , . . . ωr e n − r radici ω s di molteplicit` a ks , consideriamo eω1 t , . . . , eωr t , eω1 t , teω1 t , . . . , tks eωs t , . . . , eωn−r t , teωn−r t , . . . , tkr eωn−r t . Un calcolo diretto mostra che il loro wronskiano w(0) `e diverso da zero. Verifichiamo questa affermazione nel caso che n = 3 e l’equazione caratteristica L(ω) = 0 abbia una soluzione semplice ω1 = a e una soluzione doppia ω2 = ω3 = b = a. La corripondente famiglia `e y1 = eat , y2 = ebt , y3 = tebt . Poich´e y3 = ebt + tbebt e y3 = 2bebt + tb2 ebt , il relativo wronskiano `e dato da 1 1 0 w(0) = a b 1 = (a − b)2 = 0. a2 b2 2b

2.2.3 Sistemi a coefficienti costanti In questa sezione finale vogliamo accennare al caso dei sistemi lineari y  = Ay

(2.14)

dove y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn e A `e una matrice n × n di componenti (aij ). Ricordiamo la definizione di matrice esponenziale. Se A `e una matrice quadrata n × n, la matrice esponenziale eA `e la matrice n × n definita ponendo eA =

 Ak k≥0

k!

=I +A+

A2 + ... 2!

Osserviamo che la serie a secondo membro `e convergente1 . Per ogni x ∈ Rn si ha eA (x) =

1

 Ak x k!

(k)

=

 Ak x k≥0

k!

= x + Ax +

A2 x A3 x + + ... 2! 3!

Se Mk = (mij ) ` e una successione di matrici n × n, si dice che la serie  (k) converge se le serie mij convergono per ogni i, j = 1, . . . n.

(2.15)



Mk

2.2 Sistemi ed equazioni lineari di ordine n

33

Si noti che, posto

A = sup{|Ax| : x ∈ Rn , |x| = 1}, si ha che |aij | ≤ A ≤



a2ij

1/2

.

Inoltre, da |Ak x| ≤ A k |x| segue che il termine generale

A k |x| . k!

Ak x k!

pu` o essere mag-

Di conseguenza, la serie (2.15) converge per ogni x ∈ Rn . giorato da Il seguente esempio giustifica il termine matrice esponenziale. Esempio 2.3. Se n = 1 e A = a ∈ R allora la matrice esponenziale diventa  ak k! a

che `e l’esponenziale e . In generale, se A = (aij ) `e diagonale (cio`e aij = 0 per i = j, allora Ak `e diagonale con componenti akii e quindi ⎛ a ⎞ e 11 0 . . . 0 ⎜ 0 ea22 .. 0 ⎟ ⎟

eA = ⎜ ⎝ .. .. .. .. ⎠ . ann 0 0 .. e Lemma 2.4. La funzione t → etA `e derivabile e si ha d tA e = AetA . dt

(2.16)

Quindi y(t) = etA verifica y  = Ay. Dimostrazione. Usiamo la definizione e troviamo  tk Ak t2 A2 = I + A + tA + + ... etA = k! 2! k≥0

 k k Come abbiamo visto la serie k≥0 t k!A converge totalmente. Possiamo allora derivare trovando d tA  ktk−1 Ak t2 A3 e = = A + tA2 + + ... dt k! 2! k≥0   t2 A2 = A I + tA + + . . . = AetA . 2! Dalla (2.16) segue che y(t) = etA verifica y  = AetA = Ay.

2

34

2 Sistemi ed equazioni di ordine superiore

In modo analogo a quanto visto per le equazioni di ordine n possiamo enunciare il seguente teorema: Teorema 2.5. L’integrale generale di y  = Ay `e dato da etA (c), al variare di c ∈ Rn . Dimostrazione. La dimostrazione si ottiene usando il lemma precedente e ripetendo i ragionamenti fatti per provare il Teorema 2.3. 2 Esempio 2.4. Se A `e la matrice diagonale ⎛ λ1 0 . . . ⎜ 0 λ2 .. A=⎜ ⎝ .. .. .. 0 0 .. ⎛

allora etA

eλ 1 t ⎜ 0 =⎜ ⎝ .. 0

⎞ 0 0 ⎟ ⎟ .. ⎠ λn

0 ... eλ2 t .. .. .. 0 ..

⎞ 0 0 ⎟ ⎟. .. ⎠ eλ n t

Perci`o, posto ⎞ eλ1 t ⎜ 0 ⎟ ⎟ y1 (t) = ⎜ ⎝ .. ⎠ , 0 ⎛

⎛

0

⎛

⎞

⎜ eλ2 t ⎟ ⎟ y2 (t) = ⎜ ⎝ .. ⎠ , 0

...

⎞ 0 ⎜ 0 ⎟ ⎟ yn (t) = ⎜ ⎝ .. ⎠ eλn t

l’integrale generale del sistema y  = Ay `e dato da  y(t) = etA (c) = cj yj (t).



Infine, si ha Teorema 2.6. L’integrale generale del sistema lineare non omogeneo y  = Ay + b(t),

b(t) ∈ Rn ,

si ottiene sommando l’integrale generale del sistema omogeneo associato y  = Ay ad un integrale particolare del sistema non omogeneo. Anche qui la dimostrazione si ottiene in modo del tutto analogo a quanto fatto per le equazioni di ordine n nel Teorema 2.4.

2.3 Complementi In questa sezione accenniamo a come si pu`o cercare una soluzione y(t) di un’equazione differenziale sviluppando y in serie di potenze. Per spiegare come si procede, consideriamo il caso particolare dell’equazione di Bessel (per

2.3 Complementi

35

maggiori dettagli su questo argomento si veda, ad es. [17, Sezioni 39–40]): t2 y  + ty  + (t2 − m2 )y = 0. Per m = 1, cerchiamo una soluzione J1 nella forma J1 (t) = trova   tJ1 = kck tk , t2 J1 = k(k − 1)ck tk . Da t2 y  + ty  + t2 y = y si deduce   (k2 ck tk + ck tk+2 ) = c k tk . k≥0

(2.17) 

k≥0 ck t

k

. Si

(2.18)

k≥0

Se richiediamo che J1 (0) = 0, ne segue che c0 = 0. Eguagliando in (2.18) i coefficienti di t2 , ricaviamo 22 c2 = c2 e quindi c2 = 0. In modo simile si verifica che ck = 0 per ogni k pari. Inoltre, l’equazione (2.18) implica che per k dispari vale la formula di ricorrenza ck+2 = −

ck , (k + 1)(k + 3)

che permette di ricavare, dato c1 ∈ R, i coefficienti ck per ogni k dispari k ≥ 3. Quindi J1 `e una serie a segni alterni di potenze dispari:   t3 5 + O(t ) . J1 (t) = c1 t − 2·4 Si pu` o dimostrare che la serie converge uniformemente e quindi tutti i calcoli fatti sono giustificati. L’andamento di J1 (t) `e riportato nella Fig. 2.8. In particolare, J1 ha infiniti zeri. J1 prende il nome di funzione di Bessel di ordine m = 1, di prima specie. Se m = 0 un calcolo simile mostra che la soluzione J0 tale che J0 (0) = 1, J0 (0) = 0 `e una funzione pari che oscilla infinite volte e gli zeri di J0 e J1 si alternano, cfr. Fig. 2.8.

Fig. 2.8. Le funzioni di Bessel J0 e J1

36

2 Sistemi ed equazioni di ordine superiore

2.4 Esercizi 1. L’equazione ty  − (1 + t)y  + y = 0 ha la soluzione y ∗ (t) = 1 + t. Usare la sostituzione y = y ∗ z per ridurre l’equazione ad una equazione del primo ordine. Trovare quindi l’integrale generale. 2. Usare la sostituzione s = log |1 + t| per ridurre l’equazione (1 + t)2 y  − (1 + t)y  + y = 4 ad una del primo ordine e trovare l’integrale generale. 3. Si consideri il sistema  y = z z  = −ω 2 y e si provi che la soluzione dell’equazione alle variazioni relativa alla soluzione y = z ≡ 0 `e la matrice   cos ωt sin ωt . A(t) = sin ωt cos ωt 

4. Nel caso del sistema

provare che

x y

 A(t) =

=y = ω2 x

 cosh ωt sinh ωt . sinh ωt cosh ωt

5. Provare che se c > 0 l’equazione y  + ay  + by  + cy = 0 ha almeno una soluzione tale che y(t) → 0 per t → +∞. 6. Trovare l’integrale generale dell’equazione y  + 2y  + y = 0. 7. Cercare un integrale particolare di L[y] = b(t) nei seguenti casi particolari: (i) (ii) (iii) (iv)

b(t) `e un polinomio; b(t) = eλt ; b(t) = cos λt o b(t) = sin λt; b(t) = tk eλt .

(Suggerimento: cercare una soluzione dello stesso tipo di b, distinguere se le radici dell’equazione caratteristica sono semplici o no.) 8. Integrare l’equazione di Eulero x2 y  +axy  +by = 0 (x > 0). (Suggerimento: fare il cambiamento di variabile x = et trasformando tale equazione in una nella variabile z(t) = y(t)). 9. In riferimento alle soluzioni J0 , J1 dell’equazione di Bessel, provare che (tJ1 ) = tJ0 . Dedurre che se t = a `e il primo zero di J1 , allora J0 (a) < 0.

3 Analisi qualitativa per equazioni autonome del secondo ordine

In questo capitolo faremo un’analisi qualitativa per equazioni del tipo y  = f (y), che sono particolarmente interessanti per le applicazioni fisiche.

3.1 Analisi nel piano delle fasi Nel caso in cui f = f (y), `e spesso conveniente studiare, invece dell’equazione y  = f (y) il sistema autonomo equivalente  y  = p, (3.1) p = f (y). Il piano (y, p) `e di solito chiamato piano delle fasi . Un esempio, `e stato visto, nel caso particolare dei sistemi lineari omogenei in due variabili, nella Sezione 2.1.1. Nel seguito supporremo, per semplicit` a, che f ∈ C ∞ (R). Osservazione 3.1. Le soluzioni di equilibrio di (3.1) sono i punti (y ∗ , 0), con f (y ∗ ) = 0. Indicata con F = F (y) una funzione tale che F  = f , consideriamo la funzione 1 E(y, p) = p2 − F (y). 2 Se (y(t), p(t)) verificano (3.1), poniamo e(t) = E(y(t), p(t)). Si ha de = Ey y  + Ep p = pp − F  (y)y  = pp − f (y)p = p(p − f (y)) = 0. dt Ambrosetti A.: Appunti sulle equazioni differenziali ordinarie DOI 10.1007/978-88-2394-9 3, © Springer-Verlag Italia 2012

38

3 Analisi qualitativa per equazioni autonome del secondo ordine

Allora e(t) `e costante e dunque esiste c ∈ R tale che 1 2 p (t) − F (y(t)) ≡ c. 2

(3.2)

La costante c dipende dalle condizioni inziali: se y(t0 ) = y0 e p(t0 ) = p0 allora c = c0 dove 1 c0 = p20 − F (y0 ). 2 Osserviamo che le derivate parziali di E sono date da Ey = −F  (y) = −f (y),

Ep = p.

Se (0, y ∗ ) indicano i punti di equilibrio di (3.1), le costanti c = E(0, y ∗ ) saranno chiamate valori singolari di E. Per ogni c diverso dai valori singolari di E, l’equazione E(y, p) = c definisce localmente, tramite il teorema della funzione implicita del Dini, una curva γc nel piano delle fasi (y, p). Per trovare la legge oraria delle soluzioni, consideriamo ad esempio un arco γ

c di γc dove Ep = p = 0 (se Ey = 0 il ragionamento `e del tutto  simile). Se, per esempio p > 0, possiamo esplicitare direttamente p = p(y) = 2F (y) + 2c e da y  = p ricaviamo dy dy dt = = . p(y) 2F (y) + 2c Integrando si trova t = t(y). Su γ

c si ha dt/dy = p−1 > 0 e quindi possiamo invertire t(y) trovando y = y(t). Allora y = y(t), p(t) = p(y(t)) `e la soluzione cercata. Inoltre, poich´e il sistema `e autonomo, anche y = y(t + s), p(t + s) risolve (3.1), per ogni s ∈ R. Nel seguito noi supporremo che E(y, p) = c definisce globalmente una curva γc nel piano delle fasi.

(3.3)

Vedremo che questa ipotesi `e sempre verificata negli esempi che tratteremo nel seguito, a parte quello studiato nella Sezione 3.4. Esempio 3.1. Nel caso del sistema lineare  y  = p, p = −y, la relazione (3.2) diventa y 2 + p2 = 2c. L’unico punto di equilibrio `e (0, 0) che corrisponde al valore singolare c = 0. Allora per ogni c > 0 l’equazione y 2 + p2 = 2c definisce una √ curva γc nel piano (y, p), che `e la circonferenza di centro (0, 0) e raggio 2c. Per esempio, se 2c = 1, nel semipiano p > 0 si  2 trova p = 1 − y e la soluzione `e data da y = sin t, p = cos t. Supponiamo che valga (3.3) e fissiamo una curva γc definita dalla (3.2). Dato t0 ∈ R sia P = γc (t0 ). Preso una altro punto Q ∈ γc possiamo calcolare il

3.1 Analisi nel piano delle fasi

39

tempo τ = τc tale che Q = γc (t0 + τ ). Come s’`e visto in precedenza se, e.g. p > 0 sull’arco γc (P, Q) compreso tra P e Q, si ha dt 1 1 =  = . dy y p Allora, tenendo presente che p = y  > 0 su γc (P, Q), si trova   τ  dy dy  dt = . τ= = p 2(F (y) + c) γc (P,Q) γc (P,Q) 0

(3.4)

Una importante relazione tra le curve γc e le corrispondenti soluzioni yc (t) di y  = f (y), ovvero del sistema (3.1), riguarda l’esistenza di soluzioni periodiche. Teorema 3.1. Supponiamo che valga (3.3). Se γc `e una curva chiusa, allora yc (t) `e periodica. Dimostrazione. Sia Qc (t) = (yc (t), pc (t)), con pc = yc , il generico punto su γc . Per ipotesi esistono t0 e τ > 0 tale che Pc (t0 + τ ) = P (t0 ) cio`e yc (t0 + τ ) = yc (t0 ),

pc (t0 + τ ) = pc (t0 ).

(3.5)

yc , p c ) verifica il sistema Poniamo y c (t) = yc (t + τ ) e p c (t) = pc (t + τ ). Allora (

 y  = p , p  = f (

y ). Tenuto conto della (3.5), (

yc , p c ) soddisfano le condizioni iniziali y (t0 ) = yc (t0 + τ ) = yc (t0 ),

p (t0 ) = pc (t0 + τ ) = pc (t0 ).

Allora, per l’unicit` a delle soluzioni del problema di Cauchy, deduciamo che y c (t) = yc (t),

p c (t) = pc (t).

Questo equivale a dire che yc (t + τ ) = yc (t),

pc (t + τ ) = pc (t),

In particolare, yc `e periodica di periodo τ .

∀ t ∈ R. 2

Nelle due sezioni seguenti vedremo cosa succede in alcuni casi particolari.

40

3 Analisi qualitativa per equazioni autonome del secondo ordine

3.2 L’oscillatore armonico nonlineare Si tratta dell’equazione che equivale al sistema

y  + ω 2 y − y 3 = 0,  y p

(3.6)

= p, = −ω 2 y + y 3 .

(3.7)

In questo caso vi sono 3 equilibri sono (0, 0) e (0, ±ω). La (3.2) diventa 1 2 1 2 2 1 4 p + ω y − y = c0 , 2 2 4

(3.8)

dove

1 2 1 2 2 1 4 p − ω y0 + y 0 . 2 0 2 4 Prendiamo le condizioni iniziali y0 = 0 e p(0) = a che equivalgono per l’equazione y  = ω 2 y − y 3 alle condizioni y(0) = 0, y  (0) = a. Allora c0 =

c0 = e (3.8) diventa

1 2 a , 2

p2 + ω 2 y 2 − 12 y 4 = a2 .

Se a2 < 12 ω 4 , questa equazione definisce nel piano delle fasi (y, p) una curva chiusa γa che passa per (0, a) e quindi ad essa corrisponde ad una soluzione periodica ya (t) di (3.6), cfr. il Teorema 3.1. Si noti che per a2 < 12 ω 4 , γa interseca l’asse y in un punto Q = (ηa , 0) con 0 < ηa < ω. p a γa

y

Fig. 3.1. La traiettoria periodica γa

3.2 L’oscillatore armonico nonlineare

41

a γa

Qa = (ηa , 0) Fig. 3.2. Parte di γα nel primo quadrante

Allora da (3.4) segue  τa = γa

dy = p



ηa 0

dy  . a2 − ω 2 y 2 + 12 y 4

Facciamo il cambio di variabile y = ηa ξ. Allora  1 ηa dξ  . τa = 2 2 0 a − ω ηa2 ξ 2 + 12 ηa4 ξ 4 Osserviamo che ponendo t = τa in (3.8) e tenendo conto che c0 = 12 a2 si trova che (3.9) a2 = ω 2 ηa2 − 12 ηa4 , e quindi  τa =

1

0

 = 0

1

ηa dξ  ω 2 ηa2 − 12 ηa4 − ω 2 ηa2 ξ 2 + 12 ηa4 ξ 4 dξ  . 1 2 2 ω − 2 ηa − ω 2 ξ 2 + 12 ηa2 ξ 4

Per simmetria, il periodo di ya `e Ta = 4τa . Passiamo ora al limite per a → 0. Osserviamo che (3.9) e ηa < ω implicano che ηa → 0. Allora   1 4 1 2π dξ dξ   . lim Ta = 4 = = 2 − ω2 ξ2 2 a→0 ω ω ω 1 − ξ 0 0

42

3 Analisi qualitativa per equazioni autonome del secondo ordine

In conclusione, il periodo delle piccole oscillazioni corrispondenti a a ∼ 0, tende a 2π e il periodo dell’oscillatore armonico lineare. ω che ` Pi` u in generale, consideriamo l’equazione y  + ω 2 y − h(y, y  ) = 0

(3.10)

che `e equivalente al sistema  y  = p, p = −ω 2 y + h(y, p).

(3.11)

Sia (y(t), p(t)) una traiettoria di questo sistema e consideriamo la quantit` a ρ(t) = ρ(y(t), p(t)) = 12 (ω 2 y 2 (t) + p2 (t)). Si trova dρ = ω 2 yy  + pp = ω 2 yp + p(−ω 2 y + h(y, p)) = ph(y, p). dt Consideriamo i seguenti insiemi A = {(y, p) ∈ R2 : ph(y, p) > 0},

B = {(y, p) ∈ R2 : ph(y, p) < 0}.

Allora (y(t), p(t)) ∈ A ⇐⇒

dρ > 0, dt

(y(t), p(t)) ∈ B ⇐⇒

dρ < 0. dt

Questa relazione permette di avere informazioni sulle traiettorie nel piano delle fasi. Facciamo vedere ad esempio cosa accade per l’equazione y  + ω 2 y − ay  = 0. o: se a > 0 allora ρ `e Qui h(y, p) = ap e quindi ρ = ph(y, p) = ap2 . Perci` crescente, mentre se a < 0 allora ρ `e decrescente.

3.3 L’equazione di Van der Pol Come altro esempio consideriamo l’equazione di Van der Pol y  − (1 − 3y 2 )y  + y = 0,

(3.12)

che interviene nella teoria dei circuiti elettrici. Ovviamente (3.12) ha la soluzione y ≡ 0. Vogliamo dimostrare: Teorema 3.2. L’equazione (3.12) ha una e una sola soluzione periodica non banale. La dimostrazione si articola in vari passi.

3.3 L’equazione di Van der Pol

Passo 1). Poniamo

43

F (y) = −y + y 3

ed associamo (3.12) a questo sistema equivalente, un po’ diverso dal solito:  y  = z − F (y), (3.13) z  = −y. Dividiamo il piano (y, z) in 4 regioni: Ω1 = {(y, z) : y > 0, z > F (y)} Ω2 = {(y, z) : y > 0, z < F (y)} Ω3 = {(y, z) : y < 0, z < F (y)} Ω4 = {(y, z) : y < 0, z > F (y)}. Notiamo che si ha y  = 0 ⇐⇒ z = F (y),

z  = 0 ⇐⇒ y = 0.

Inoltre, cfr. la Fig. 3.3, (y, z) ∈ Ω1 ⇐⇒ y  > 0, z  < 0, (y, z) ∈ Ω2 ⇐⇒ y  < 0, z  < 0, (y, z) ∈ Ω3 ⇐⇒ y  > 0, z  > 0, (y, z) ∈ Ω4 ⇐⇒ y  < 0, z  > 0. Se a > 0 indichiamo con γa (t) = (ya (t), za (t)) la soluzione di (3.13) tale che ya (0) = 0, za (0) = a. Poich´e il sistema (3.13) `e autonomo, non `e restrittivo prendere t ≥ 0. Poniamo A = (0, a) e sia Γ la curva di equazione z = F (y). Poich´e in Ω1 si ha che y  > 0, z  < 0 allora ∃ t1 > 0 tale che A1 = (ya (t1 ), za (t1 )) ∈ Γ. z 4 1

y 3 2

Fig. 3.3. Le regioni Ωi

44

3 Analisi qualitativa per equazioni autonome del secondo ordine

Per t > t1 la curva integrale γa entra in Ω2 , dove y  < 0, z  < 0 e non pu` o ritornare in Ω2 perch`e, come si deduce facilmente dalla Fig. 3.3, le curve integrali possono solo intersecare Γ uscendo da Ω1 ed entrando in Ω2 . In Ω2 possiamo esprimere z in funzione di y con dz z y −y =  = = . dy y z − F (y) F (y) − z Inoltre, fissiamo t∗ > t1 in modo che P ∗ := (ya (t∗ ), za (t∗ )) ∈ Ω2 e za (t∗ ) < 0. Allora si ha 0 ≤ ya (t) ≤ ya (t∗ ),

za (t) ≤ za (t∗ ),

∀ t ≥ t∗ .

(3.14) √ ∗ miny>0 F = −( 3 − Poich´ √e nella striscia 0 ≤ y ≤ ya (t ) si ha F (y) ≥ k := 1)/3 3, da (3.14) segue che, se z = za (t) < k, ∀ t ≥ t∗ , 0≤

ya (t∗ ) dz ≤ , dy k−z

∀ y ∈ [0, ya (t∗ )].

Quindi se z = za (t) ≤ k − ya (t∗ ) allora k − z ≥ ya (t∗ ) e 0≤

dz ≤ 1, dy

∀ y ∈ [0, ya (t∗ )].

Invece, se za (t) > k − ya (t∗ ) per t > t∗ , allora segue subito che γa interseca l’asse z. In ogni caso, esiste t2 = t2 (a) tale che ya (t2 ) = 0,

za (t2 ) < 0.

Indichiamo con B il punto (0, za (t2 )). Passo 2). In analogia a quanto visto nel Teorema 3.1 proviamo: (∗)

γa `e una soluzione periodica di (3.13) se e solo se B = −A.

Innanzi tutto osserviamo che, essendo F dispari, anche −γa = (−ya (t), −za (t)) `e una soluzione di (3.13). Se γa `e periodica, anche −γa lo `e. Le due curve chiuse γa e −γa passano per A, B e −A, −B, rispettivamente. Se B = −A, allora esistono due punti dove γa e −γa si intersecano. Invece per ogni punto del piano (y, z) passa una sola curva integrale di (3.13). Viceversa, se B = −A la curva di equazione   ya (t), t ∈ [0, t2 ] t ∈ [0, t2 ] za (t), y(t) = z(t) = −ya (t − t2 ), t ∈ [t2 , 2t2 ] −za (t − t2 ), t ∈ [t2 , 2t2 ] `e una soluzione periodica di (3.13).

3.3 L’equazione di Van der Pol

Passo 3). Poniamo

45

r(t) = 12 y 2 (t) + 12 z 2 (t).

Se (y(t), z(t)) `e una soluzione di (3.13), si ha r = yy  + zz  = −yF (y).

(3.15)

Dato c > 0 sia Qc = (c, F (c)) ∈ Γ e sia γc la curva integrale di (3.13) che passa da Qc . In modo simile a quanto visto nel Passo 1), si verifica che γc incontra l’asse y = 0 in due punti Ac = (0, z(Ac )) e Bc = (0, z(Bc )), cfr. Fig. 3.4. Qui di seguito, con un abuso di notazione, indichiamo con γc l’arco Ac Qc Bc e poniamo  1 1 Φ(c) = dr = z 2 (Bc ) − z 2 (Ac ). 2 2 Cc Da (∗) segue che (3.13) ha una soluzione periodica non banale se e solo se esiste c > 0 tale che Φ(c) = 0. z Ac

Pc

γc

Qc

1 c

Bc

Tc

Fig. 3.4. L’arco γc

y

46

3 Analisi qualitativa per equazioni autonome del secondo ordine

Passo 4). Proviamo le seguenti affermazioni: (i) (ii) (iii)

0 < c ≤ 1 =⇒ Φ(c) > 0; Φ(c) `e decrescente per c > 1; limc→+∞ Φ(c) = −∞.

Prova di (i). Se 0 < c ≤ 1 l’arco γc = (yc (t), zc (t)) `e contenuta nella striscia {0 < y ≤ 1}. Allora (3.15) implica che r = −yF (y) > 0 e quindi Φ(c) = Cc dr > 0. Prova di (ii). Sia c > 1. Dividiamo γc nei due archi Ac Pc ∪ Tc Bc e Pc Qc Tc , cfr. Fig. 3.4, e poniamo   dr, Φ2 (c) = dr Φ1 (c) = Ac Pc ∪Tc Bc

Pc Qc Tc

in modo che Φ(c) = Φ1 (c) + Φ2 (c). Lungo l’arco Ac Pc si ha  1  1  −yF (y)  dy dy. dr = r  = y z − F (y) 0 0 Ac Pc Prendiamo ora c∗ > c > 1 e consideriamo i punti Ac∗ , Pc∗ , Qc∗ , Tc∗ , Bc∗ su γc∗ = (yc∗ (t), zc∗ (t)), cfr. Fig. 3.5. Poich´e sul tratto di γc∗ tra Ac∗ e Pc∗ si ha zc∗ (y) > zc (y) e −yF (y) > 0 per y ∈ (0, 1), si ha    1 −yF (y) dy < dr = dr. 0 z − F (y) Ac∗ Pc∗ Ac Pc Analogamente



 dr < Tc ∗ B c ∗

e quindi

Φ1 (c∗ ) < Φ1 (c),

dr Tc B c

∀ c∗ > c > 1.

Per y > 1 esplicitiamo y = y(z) trovando  z(Pc )  Φ2 (c) = − F (y(z))dz, Φ2 (c∗ ) = − z(Tc )

(3.16)

z(Pc∗ )

F (y(z))dz, z(Tc∗ )

dove z(R) indica l’ordinata del punto R. Poich´e F (yc∗ (z)) ≥ 0 per ogni z ∈ [z(Tc∗ ), z(Pc∗ )], F (yc∗ (z)) > F (yc (z)) per ogni z ∈ [z(Tc ), z(Pc )] e [z(Tc ), z(Pc )] ⊂ [z(Tc∗ ), z(Pc∗ )] ne segue Φ2 (c∗ ) < Φ2 (c) per c∗ > c > 1. Da questo e da (3.16) segue Φ(c∗ ) < Φ(c), provando la monotonia di Φ.

3.3 L’equazione di Van der Pol

47

z Ac∗ Ac

Pc∗

Pc Qc∗ Qc

1

c∗

c

y

Tc Bc Bc∗

Tc∗

Fig. 3.5. Gli archi γc e γc∗

Prova di (iii). Facciamo riferimento alla Fig. 3.6. Fissato c > 1, per c > c si ha (cfr. (3.16)) Φ1 (c) < Φ1 (c ). Inoltre  z(Pc )  z(Qc )  F (c) Φ2 (c) = − F (y(z))dz < − F (y(z))dz = − F (y(z))dz. 0

z(Tc )

0

Sia b ∈ (1, c ) l’ascissa del punto di intersezione di Cc con l’asse z = 0. Se c > c lungo γc e per z ∈ [0, F (c)] si ha che y(z) > b e quindi F (y) > F (b ). Perci`o  F (c)  F (c) F (y(z))dz < −F (b ) dz = −F (b )F (c). Φ2 (c) < − 0

0

Dal fatto che F (b ) > 0 e che F (c) → +∞ per c → +∞, segue che Φ2 (c) → −∞ per c → +∞. Questo completa la dimostrazione di (iii). ` chiaro che da (i − ii − iii) segue che ∃ ! c > 0 tale che Φ(c) = 0 e questo E basta, in base a quanto visto nel Passo 3), per completare la dimostrazione del teorema.

48

3 Analisi qualitativa per equazioni autonome del secondo ordine

z

F (c)

Q(c)





F (c )

Q(c )

1

b c

b

c

y

Fig. 3.6. Gli archi γc e γc (nel primo quadrante)

Osservazioni 3.1. L’equazione di Van der Pol `e un caso particolare dell’equazione di Lienard y  + F  (y)y  + g(y) = 0. Si pu` o dimostare che l’equazione di Lienard ha una e una sola soluzione periodica non banale sotto le seguenti ipotesi: (a) yg(y) > 0 per y = 0; (b) g ed F sono dispari; (c) ∃ y ∗ > 0 tale che F (y) < 0 per 0 < y < y ∗ e F (y) > 0 e monotona crescente per y > y ∗ ; (d) |F (y)| → ∞ per |y| → ∞.

3.4 Onde solitarie Consideriamo l’equazione di Schr¨ odinger nonlineare −iφt = 2 φxx − V (x)φ + |φ|s−1 φ dove i `e l’unit` a immaginaria,  denota la costante di Plank, s > 1 e φ(t, x) `e una funzione definita in R × R a valori complessi. Usiamo il metodo della separazione delle variabili, ponendo φ(t, x) = eit/ u(x). Si trova per u(x) l’equazione −2 uxx + u + V (x)u = |u|s−1 u,

x ∈ R.

(3.17)

Un’onda solitaria `e una soluzione u tale che u(x) > 0 e u(x) → 0 per x → ±∞. Se V (x) ≡ 0 l’equazione (3.17) diventa (per semplificare le notazioni poniamo  = 1) (3.18) uxx = u − |u|s−1 u,

3.4 Onde solitarie

49

p

0

Q

u

Fig. 3.7. La curva γ0

che si traduce nel sistema (qui la variabile indipendente `e x)  ux = p, px = u − |u|s−1 u.

(3.19)

Si osservi che (3.18) ha la soluzione banale y ≡ 0 che corrisponde alla soluzione di equilibrio y = p = 0 del sistema (3.19). La (3.2) diventa 1 2 2p

− 12 u2 +

s+1 1 s+1 |u|

= c.

(3.20)

Per c = 0 l’equazione (3.20) definisce una curva che `e simmetrica rispetto agli assi p = 0 e u = 0, passa per (0, 0) e interseca p = 0 nei punti (±q, 0) 1/(s−1) . Indichiamo con γ0 la parte di questa curva che sta nel con q = ( s+1 2 ) semipiano u > 0, cfr. Fig. 3.7. Si noti che in questo caso non vale l’ipotesi (3.3). Tuttavia si pu` o ripetere quanto visto nelle sezioni precedenti ragionando localmente in una parte di γ0 che non contiene l’origine. Come visto all’inizio del capitolo, in corrispondenza a γ0 possiamo ricavare la soluzione u(x), p(x) di (3.19). La funzione u(x) risolve (3.18) e poich´e tale equazione `e autonoma, anche u(x + ξ) `e soluzione di (3.18), ∀ξ ∈ R. Allora possiamo fare in modo che per x = 0 si abbia u(0) = q. Indicheremo con u∗ questa soluzione. Ricordando che (u∗ , p∗ ) ∈ γ0 (dove p∗ = u∗x ) , si ha u∗x (0) = 0 e quindi u∗ verifica il problema di Cauchy ⎧ ⎨ uxx = u − |u|s−1 u, u(0) = q, (3.21) ⎩ ux (0) = 0. Ovviamente u∗ (x) > 0 per ogni x ∈ R ed `e decrescente per x > 0 perch`e essa corrisponde all’arco di γ0 dove u > 0 e p < 0. Infine u∗ (−x) verifica (3.21) e quindi, per unicit` a, u∗ (x) = u∗ (−x), cio`e `e una funzione pari.

50

3 Analisi qualitativa per equazioni autonome del secondo ordine

Studiamo ora il comportamento di u∗ per |x| → ∞. Se Pε `e un punto di γ0 nel semipiano p > 0 a distanza ε > 0 da (0, 0), da (3.4) segue che  q du  = +∞. lim ε→0 ε 1 u2 − s+1 us+1 Questo ci dice che u∗ (x) verifica lim u∗ (x) = 0,

x→±∞

ed `e perci`o l’onda solitaria cercata. Completiamo questa analisi osservando che su γ0 si ha che p → 0 quando u → 0. Allora si ha lim u∗x (x) = 0. x→±∞

Inoltre, usando l’equazione (3.18), si trova lim u∗xx (x) = 0.

x→±∞

Sempre da (3.18) segue che u∗xx (x) `e derivabile. Allora, derivando uxx = u − us e usando il fatto che u∗ (x) → 0 e u∗x (x) → 0 per |x| → ∞, deduciamo che lim u∗xxx (x) = 0.

x→±∞

Reiterando il procedimento si prova che tutte le derivate di u∗ (x) tendono a zero all’infinito. Si potrebbe anche far vedere che u∗ (x) decade esponenzialmente  +∞ a zero per |x| → ∞. In particolare, −∞ |u∗ (x)|2 dx < ∞. Se s = 3 si pu` o verificare che uxx = u − u3 ha una soluzione positiva, pari, data dal solitone √ 2 U (x) = . cosh x

U (x)

x Fig. 3.8. Grafico di U (x) =

√ 2 cosh x

3.5 Un risultato di perturbazione

51

3.5 Un risultato di perturbazione Vogliamo studiare l’esistenza di soluzioni periodiche del sistema y  = f (t, y) + εg(t, y), 1

1

(Sε )

dove f ∈ C (R × R ), g ∈ C (R × R ) e f, g sono T -periodiche in t. Le soluzioni periodiche verranno trovate “vicino” ad una soluzione del sistema imperturbato (S0 ) y  = f (t, y). n

n

Teorema 3.3. Supponiamo che (S0 ) abbia una soluzione T -periodica y(t). Indicata con A(t) la corrispondente matrice A che risolve l’equazione alle variazioni (cfr. Teorema 2.2-(ii)) A = fy (t, y)A,

A(0) = IdRn ,

supponiamo che λ = 1 non sia un autovalore di A(T ). Allora per |ε|  1, (Sε ) ha una soluzione T -periodica. Per dimostrare questo teorema premettiamo un lemma. Indicato con φtε (ξ) il flusso di (Sε ) (cfr. Sezione 1.3), si dimostra, come nel Teorema 3.1, che: Lemma 3.1. L’equazione (Sε ) ha una soluzione T-periodica se e solo se esiste ξ ∈ Rn tale che φT (ξ) = ξ. Dimostrazione del Teorema 3.3. In accordo col lemma precedente, dobbiamo trovare un punto unito di φTε , cio`e una soluzione di F (ε, ξ) := φTε (ξ) − ξ = 0. Per ipotesi, φt0 = y(t) `e T -periodica e quindi esiste ξ0 ∈ Rn tale che φT (ξ0 ) = φ0 (ξ0 ) = ξ0 . Allora F (0, ξ0 ) = φT (ξ0 ) − ξ0 = 0. La funzione F `e di classe C 1 e il suo jacobiano Dξ F (0, ξ0 ) `e dato da Dξ F (0, ξ0 ) = Dξ φT (ξ0 ) − ξ0 = A(T )ξ0 − ξ0 . Poich´e λ = 1 non `e un autovalore di A(T ), allora A(T ) − Id `e invertibile. Applicando il teorema della Funzione Implicita ∃ ε → ξ(ε) definita per ε piccolo, tale che F (ε, ξ(ε)) = 0. Al dato iniziale ξ(ε) corrisponde una soluzione

T -periodica di (Sε ). Osservazione 3.2. Dalla dimostrazione precedente segue che esiste una funzione continua ξ(ε), con ξ(0) = y(0), tale che (Sε ) ha una soluzione T -periodica yε (t) con yε (0) = ξ(ε). Due applicazioni del teorema precedente sono proposte come esercizi al termine del capitolo.

52

3 Analisi qualitativa per equazioni autonome del secondo ordine

Osservazione 3.3. Se f = f (y) e y(t) `e una soluzione T -periodica non identicamente nulla di (S0 ), la matrice A(T ) non `e mai invertibile. Infatti, posto v = y  (T ), da y  = f (y) segue che A(T )v = v. Si pu` o dimostrare che se g = g(y) e λ = 1 `e un autovalore semplice di A(T ), allora per ε ∼ 0 esiste una soluzione T (ε)-periodica di (Sε ), con T (ε) → T per ε → 0.

3.6 Esercizi 1. Studiare col metodo del piano delle fasi l’equazione del pendolo y  +sin y = 0. Provare che vi sono soluzioni periodiche. 2. Provare che l’equazione y  + sin y = 0 ha soluzioni eterocline, tali che limy→−∞ y(t) = −π e limy→+∞ y(t) = π. 3. Discutere il sistema autonomo del tipo  y  = p, p = F (y, p). Cosa diventa la (3.2)? 4. Provare che il sistema tipo Lotka-Volterra   x = (1 − y)x, y  = (x − 1)y, ha inifinite soluzioni periodiche nel quadrante x > 0, y > 0. Suggerimento: usare il fatto che lungo le soluzioni x(t) > 0, y(t) > 0 del sistema, h(x(t), y(t)) = cost., dove h(x, y) = log(x) + log(y) − x − y. 5. Data g(t, y, z) regolare e T -periodica in t, provare che il sistema  y  = z, z  = −ω 2 y + ε g(t, y, z), (ω = 0), equivalente all’equazione y  + ω 2 y = ε g(t, y, y  ), ha una soluzione T -periodica vicina a y = z ≡ 0, non appena |ε|  1 e ωT ∈ 2πZ. (Suggerimento: osservare che la soluzione dell’equazione alle variazioni relativa a y = z ≡ 0 `e la matrice (cfr. Esercizio 2.4-(1))   cos ωt sin ωt A(t) = sin ωt cos ωt e gli autovalori di A(T ) sono λ = cos ωT + sin ωT .)

3.6 Esercizi

53

6. Se g `e come nell’esercizio precedente, provare che il sistema  y = z z  = ω 2 y + ε g(t, y, z), (ω = 0), equivalente all’equazione y  − ω 2 y = ε g(t, y, y  ), ha una soluzione T -periodica vicina a y = z ≡ 0, non appena |ε|  1 e T = 0. (Suggerimento: osservare che la soluzione dell’equazione alle variazioni relativa a y = z ≡ 0 `e la matrice (cfr. Esercizio 2.4-(2))   cosh ωt sinh ωt A(t) = sinh ωt cosh ωt e gli autovlori di A(T ) sono λ = e±ωT .)

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4 Problemi al contorno per equazioni del secondo ordine

In questo capitolo studieremo il problema di trovare soluzioni y(t) di un’equazione differenziale del secondo ordine che verifichi delle condizioni al bordo (o al contorno). Analizzeremo il caso in cui si prescrive y sugli estremi di un’intervallo [a, b], cio`e verifichi 

y  + f (t, y) = 0, y(a) = 0, y(b) = 0.

(4.1)

Se f dipende solo da y, il metodo del piano delle fasi, discusso nel capitolo precedente, permette di trovare una soluzione di (4.1). Cominciamo con un esempio. Esempio 4.1. Consideriamo il problema al contorno  y  + 2y 3 = 0, y(0) = y(π) = 0.

(4.2)

Ovviamente il problema ha la soluzione y ≡ 0. Vogliamo dimostrare che (4.2) ha una soluzione positiva in (0, π). Per questo, useremo l’analisi fatta nelle Sezioni 3.1 e 3.2. L’equazione y  + 2y 3 = 0 `e equivalente al sistema (cfr. (3.7))  y p

= p, = −2y 3 .

Per ogni a > 0 la curva γa nel piano (y, p) che per t = 0 passa da (0, a) ha equazione p2 + y 4 = a 2 √ ed incontra l’asse p = 0 nel punto (ηa , 0) con ηa = a. Se τa `e tale che Ambrosetti A.: Appunti sulle equazioni differenziali ordinarie DOI 10.1007/978-88-2394-9 4, © Springer-Verlag Italia 2012

56

4 Problemi al contorno per equazioni del secondo ordine

y(τa ) = ηa , p(τa ) = 0 allora, come nella Sezione 3.2, si ha  τa = =

ηa 0

1 ηa



dy  = a2 − y 4 1 0



1 0



dξ 1  =√ 4 a 1−ξ

ηa2  1 0

dξ − ηa2 ξ 4 dξ  . 1 − ξ4

Per simmetria, si ha Ta = 2τa . L’equazione 2 √ a

 0

1

dξ  =π 1 − ξ4

ha una soluzione a > 0 a cui corrisponde una soluzione ya (t) dell’equazione y  + 2y 3 = 0 che verifica le condizioni al bordo ya (0) = 0 e ya (π) = 0. In altri termini, ya (t) risolve il problema al contorno (4.2). Si noti anche che, per costruzione, ya (t) > 0 in (0, π). In generale, ragionamenti del tutto simili a quelli fatti nell’esempio precedente permettono di provare il seguente risultato. Useremo ancora le notazioni della Sezione 3.1. In particolare, γc indica la curva nel piano delle fasi verificante (3.2). Teorema 4.1. Supponiamo che γc intersechi l’asse y = 0 in due punti P = γc (a) e Q = γc (a + T ). Se T = b − a allora yc (t) `e soluzione del problema al contorno  = 0, y  + f (y) y(a) = y(b) = 0.

4.1 Autovalori Consideriamo il problema al contorno  L[y] = −(p(t)y  ) + q(t)y = λm(t)y y(a) = y(b) = 0

(4.3)

dove p ∈ C 1 ([a, b]), q, m ∈ C([a, b]) e p > 0 in [a, b]1 . Prima di proseguire enunciamo un lemma, che useremo nel seguito, sulla simmetria dell’operatore L.

1

Si noti che l’operatore L ` e diverso da L definito nel capitolo 2.

4.1 Autovalori

57

Lemma 4.1. Se y e z sono due funzioni di classe C 2 (a, b]) tali che y(a) = y(b) = z(a) = z(b) = 0. Allora  b  b L[y]zdt = L[z]ydt. a

Dimostrazione. Si ha  b

a



b

L[y]zdt = −

a

(py  ) zdt +

a



b

qyzdt. a

Integrando per parti e tenuto presente che y e z si annullano agli estremi dell’intervallo [a, b], si ricava  b  b  b − (py  ) zdt = py  z  dt = − (pz  ) y  dt. a

Allora



b

a



b

L[y]zdt = −

a

a

  



(pz ) y dt + a



b

qyzdt = a

b

L[z]ydt. a

2

Il problema (4.3) ha la soluzione identicamente nulla. Definizione 4.1. Se λ ∈ R `e tale che esiste una soluzione y(t) di (4.3) non indenticamente nulla, diremo che λ `e un autovalore di (4.3) e che y(t) `e una autofunzione associata a λ. Ovviamente, se y(t) `e una autofunzione, anche cy(t) lo `e, per ogni c ∈ R. Lemma 4.2. Se λ `e un autovalore di (4.3) e y(t) `e una autofunzione corrispondente, allora  b  b  b 2 2 py dt + qy dt = λ my 2 dt. (4.4) a

a

a

In particolare, se q ≥ 0 e m > 0 in (a, b), λ > 0. Dimostrazione. Moltiplicando L[y] = λmy per y e integrando in (a, b), troviamo  b  b  b   2 − (py ) ydt + qy dt = λ my 2 dt. (4.5) a

a

a

Integrando per parti e tenendo conto che y(a) = y(b) = 0, si ha  b  b (py  ) ydt = − py 2 dt. a

a

Sostituendo questa relazione in (4.5) troviamo la (4.4).

2

58

4 Problemi al contorno per equazioni del secondo ordine

Vogliamo provare il seguente teorema: Teorema 4.2. Supponiamo che p ∈ C 1 (a, b), q, m ∈ C([a, b]), p(t) > 0, q(t) ≥ 0 e m(t) > 0 in [a, b]. Allora (4.3) ha infiniti autovalori λk , k = 1, 2, . . ., tali che 0 < λ1 < λ2 < . . . < λk < . . .. Inoltre, λk → +∞. Faremo la dimostrazione nel caso particolare p ≡ 1, q ≡ 0, in cui (4.3) diventa y  + λmy = 0.

(4.6)

Il caso generale si dimostra in modo analogo. Passo 1). La (4.6) equivale al sistema  y  = v, v  = −λmy. Seguendo un’idea introdotta da Pr¨ ufer, poniamo  y = ρ sin θ, v = ρ cos θ troviamo che ρ2 = y 2 + v 2 e quindi ρρ = yy  + vv  = yv − λmyv = (1 − λm)ρ2 sin θ cos θ. Dividendo per ρ, supposto positivo (cfr. l’Osservazione 4.1), troviamo ρ = (1 − λm)ρ sin 2θ. Inoltre da tan θ = yv −1 , segue 1 y  v − yv  v 2 + λmy 2 cos2 θ + λm sin2 θ  θ = = = cos2 θ v2 v2 cos2 θ e quindi

θ = cos2 θ + λm sin2 θ.

Perci`o, (4.6) equivale al sistema nelle incognite ρ, θ  ρ = (1 − λm)ρ sin 2θ, θ = cos2 θ + λm sin2 θ.

(4.7)

Da quanto visto possiamo enunciare il seguente lemma: Lemma 4.3. Se per un certo λ ∈ R il sistema (4.7) ha una soluzione ρ(t), θ(t), con ρ = ρ(t) > 0, allora y(t) = ρ(t) sin θ(t) `e una soluzione non identicamente nulla di y  + λmy = 0. Il sistema (4.7) pu`o essere integrato. Infatti la seconda equazione di (4.7) non dipende da ρ e una volta trovata θ = θ(t) la prima equazione permette

4.1 Autovalori

di trovare ρ = ρ(t) = ρ(0)e

t 0

(1−λm(s)) sin 2θ(s)ds

59

.

Osservazione 4.1. Dalla relazione precedente si deduce che o ρ(t) ≡ 0 oppure ρ(t) > 0 in (a, b). Vediamo ora le condizioni al bordo y(a) = y(b) = 0. Essendo ρ > 0, troviamo cos θ(a) = cos θ(b) = 0. Se fissiamo θ(a) = 0 allora θ(b) = kπ,

k ∈ Z.

Passo 2). Studiamo la funzione θ(λ; t), definita, per ogni λ > 0, come la soluzione del problema di Cauchy  θ = cos2 θ + λm sin2 θ, (4.8) θ(a) = 0. Dal Lemma 4.3 segue subito: Lemma 4.4. Se λk ∈ R e k ∈ Z sono tali che θ(λ; b) = kπ,

k ∈ Z,

(4.9)

allora λk `e un autovalore di (4.3). Stimiamo θ(0; b). Lemma 4.5. Per λ = 0 si ha 0 < θ(0; b) < 12 π. Dimostrazione. La funzione t → θ(0; t) verifica l’equazione a variabili separabili d θ(0; t) = cos2 θ(0; t), θ(0; a) = 0. dt Integrando, si trova tan(θ(0; t)) = t − a e quindi θ(0; b) = arctan(b − a) ∈ (0, 12 π). 2 Proviamo ora: Lemma 4.6. θ(λ; t) `e una funzione strettamente crescente rispetto a λ. Dimostrazione. Dato ν < λ poniamo θν (t) = θ(ν; t) e θλ (t) = θ(λ; t). Si ha d (θλ − θν ) = cos2 θλ + λm sin2 θλ − cos2 θν − νm sin2 θν . dt Se τ ∈ [a, b) `e tale che θν (τ ) = θλ (τ ) := θ∗ si deduce θλ (τ ) − θν (τ ) = (λ − ν)m sin2 θ∗ .

(4.10)

60

4 Problemi al contorno per equazioni del secondo ordine

Distinguiamo due casi. (i) θ∗ = Zπ. In questo caso da (4.10) segue che λ > ν implica θλ (τ ) > θν (τ ).

(4.11)

Da (4.11) segue che vi pu` o essere un solo τ dove θλ (τ ) = θν (τ ) e perci`o τ = a. In particolare, θλ (t) > θν (t) per ogni a < t ≤ b. (ii) Se θ∗ = Zπ, possiamo supporre che, a meno di traslazioni, θ∗ = 0. Indichiamo con ρλ (t), risp. ρν (t) la soluzione della prima delle (4.7) verificante ρ(a) = ρ∗ > 0 (cio`e ρλ (a) = ρν (a) = ρ∗ ). Se yλ (t) = ρλ (t) sin θλ (t),

yν (t) = ρν (t) sin θν (t),

allora yλ , risp. yν , verifica y  + λmy = 0, risp. y  + νmy = 0. Inoltre yλ (τ ) = yν (τ ) = ρ∗ sin θ∗ = 0,

yλ (τ ) = yν (τ ) = ρ∗ cos θ∗ = ρ∗ .

Si ha

d [yλ yν − yν yλ ] = yλ yν − yν yλ = (λ − ν)myν yλ u. dt Allora, integrando tra τ e t ∈ (τ, τ + δ], con δ > 0 piccolo, e tenendo conto delle condizioni iniziali precedenti, si deduce  t   (λ − ν)m(s)yν (s)yλ (s)ds. (4.12) yλ yν − yν yλ = τ

Verifichiamo che yν (s)yλ (s) > 0,

∀ s ∈ (τ, τ + δ].

(4.13)

Poich´e yν (τ ) = yμ (τ ) = 0 possiamo scrivere yν (t)yμ (t) yν (t) − yν (τ ) yμ (t) − yμ (τ ) · , = (t − τ )2 t−τ t−τ da cui deduciamo lim

t→τ +

yν (t)yμ (t) = yν (τ )yμ (τ ) = ρ∗2 = 0, (t − τ )2

e quindi la (4.13). Da (4.12) e (4.13) segue che yλ (t)yν (t) − yλ (t)yν (t) > 0 ∀ t ∈ (τ, τ + δ].

(4.14)

Sostituendo yλ (t) = ρλ (t) sin θλ (t) e yν (t) = ρν (t) sin θν (t) (4.14) implica ρλ ρν (sin θν cos θλ − sin θl cos θν ) = ρλ ρν sin(θν − θλ ) > 0, ∀ t ∈ (τ, τ + δ].

4.1 Autovalori

61

e quindi θν (t) > θλ (t),

∀ t ∈ (τ, τ + δ].

Con un ragionamento analogo si prova che yλ (t)yν (t) − yλ (t)yν (t) < 0

∀ t ∈ [τ − δ, τ )

che implica θν (t) < θλ (t),

∀ t ∈ [τ − δ, τ ). 2

Questo completa la dimostrazione. Passo 3). Proviamo infine che lim θ(λ; b) = +∞.

(4.15)

λ→+∞

Ragioniamo per assurdo e supponiamo che (ricordiamo che λ → θ(λ; b) `e crescente) lim θ(λ; b) = C < +∞. λ→+∞

Sia λn una successione divergente tale che θ(λn ; b) ≤ C.

(4.16)

Poich´e m(t) > 0 in [a, b] esiste M tale che λn M < λn m(t) in [a, b]. Sia ϑn (t) = ϑ(λn ; t) la soluzione di ϑ = cos2 ϑ + λn M sin2 ϑ,

ϑ(a) = 0.

Con ragionamenti del tutto simili a quelli fatti nella dimostrazione del Lemma 4.6 si vede che λn M < λn m(t) in [a, b] implica che ϑn (b) < θ(λn ; b) e quindi da (4.16) segue (4.17) 0 < ϑn (b) ≤ C. Integrando ϑn = cos2 ϑ + λn M sin2 ϑ = 1 + (λn M − 1) sin2 ϑ troviamo

 0

ϑn (b)

ds = 1 + (λn M − 1) sin2 s



b

dt = b − a.

(4.18)

a

Indichiamo con S l’insieme finito degli zeri di sin s in [a, b]. Allora per ogni s ∈ [a, b] \ S si ha ds → 0, 1 + (λn M − 1) sin2 s

n → ∞.

62

4 Problemi al contorno per equazioni del secondo ordine

Questo permette di usare il teorema della convergenza dominata di Lebesgue, cfr. [10]. Ricordando che vale (4.17) deduciamo  ϑn (b) ds → 0, 1 + (λ M − 1) sin2 s 0 n in contraddizione con (4.18). Questo prova (4.15). Dai Lemmi 4.5 e 4.6 e da (4.15) deduciamo che l’equazione (4.9) ha una soluzione λk > 0 per ogni k = 1, 2, . . .. Inoltre, λk+1 > λk per ogni k = 1, 2, . . . e λk → +∞. In base al Lemma 4.4, questo completa la dimostrazione del Teorema 4.2.

4.2 Propriet` a degli autovalori e delle autofunzioni Indichiamo con λk [m] gli autovalori di L[y] = λmy con y(a) = y(b) = 0 trovati nella sezione predente e con ek (t) un’autofunzione corrispondente a λk [m]. Cominciamo mostrando: Teorema 4.3. Le autofunzioni ek (t) corrispondenti a λk [m] hanno esattamente k − 1 zeri in (a, b) (se k = 1 intendiamo che e1 (t) non cambia segno in (a, b)). Dimostrazione. In base al Lemma 4.3, a meno di una costante moltiplicativa c ∈ R, ek (t) = ρk (t) sin θk (t) dove ρk , θk risolvono il sistema (4.7) con λ = λk . Sappiamo che θk (t) `e una funzione crescente e tale che θk (0) = 0,

θk (b) = kπ.

Allora, se k = 1 si ha 0 < θ1 (t) < π e quindi e1 (t) = ρ1 (t) sin θk (t) > 0,

∀ t ∈ (a, b).

Se k > 1, l’equazione θk (t) = jπ ha una e una sola soluzione tj ∈ (a, b), per ogni j = 1, . . . , k − 1. Poich´e sin θk (tj ) = 0, ne segue che ek (tj ) = 0. 2 Un’altra propriet` a delle autofunzioni ek `e contenuta nel seguente teorema: Teorema 4.4. Se λk [m] = λj [m] allora  b m(t)ek (t)ej (t)dt = 0. a

Dimostrazione. Moltiplichiamo L[ek ] = λk mek per ej ed integriamo in (a, b). Si trova  b  b L[ek ]ej dt = λk mek ej dt. a

a

4.2 Propriet` a degli autovalori e delle autofunzioni

63

Usando il Lemma 4.1 con y = ek e z = ej , segue che  b  b L[ek ]ej dt = L[ej ]ek dt. a

a

Poich´e L[ej ] = λj mej , allora  b  L[ej ]ek dt = λj a

Ne segue che

b

mej ek dt. a





b

λk

b

mek ej dt = λj a

mej ek dt. a

Poich´e, per ipotesi, λk = λj troviamo che

b a

mek ej dt = 0.

2

Vogliamo infine provare la sequente propriet` a di confronto: Teorema 4.5 (Teorema di confronto per gli autovalori). Se m(t) > m0 (t) in [a, b] allora λk [m] < λk [m0 ]. Dimostrazione. Dal Lemma 4.4 sappiamo che λk [m] si trova risolvendo l’equazione θm (λ; b) = kπ, dove θm (λ; t) `e la soluzione di  θ = cos2 θ + λm sin2 θ, θ(a) = 0. Ripetendo la dimostrazione del Lemma 4.6 si vede facilmente che se m > m0 in (a, b) allora θm (λ; t) > θm0 (λ; t). In particolare, si ha θm (λ; b) > θm0 (λ; b) e quindi le soluzioni λk [m] e λk [m0 ] delle equazioni θm (λ; b) = kπ e θm0 (λ; b) = 2 kπ verificano la diseguaglianza λk [m] < λk [m0 ].

θm (λ; b)

θm0 (λ; b)

kπ

λk [m]

λk [m0 ]

λ

Fig. 4.1. Grafici di θm (λ; b) e θm0 (λ; b)

64

4 Problemi al contorno per equazioni del secondo ordine

4.3 La funzione di Green Vogliamo mostrare, in analogia a quanto visto per il problema Cauchy (cfr. capitolo 1), che anche il problema al contorno (4.1) `e equivalente ad un’opportuna equazione integrale. Se L[y] = −(p(t)y  ) + q(t)y (cfr. (4.3)), indichiamo con ϕ ψ due funzioni non identicamente nulle verificanti, rispettivamente   L[ψ] = 0, L[ϕ] = 0, ψ(b) = 0, ϕ(a) = 0, e che siano linearmente indipendenti. Per questo basta che il loro wroskiano w(t) = ϕ(t)ψ  (t) − ϕ (t)ψ(t) sia diverso da zero: w(t) ≡ c > 0. La funzione di Green (di L con le condizioni al bordo y(a) = y(b) = 0) `e la funzione G : [a, b] × [a, b] → R definita ponendo ⎧ ϕ(t)ψ(s) , se a ≤ t ≤ s; ⎨ c G(s, t) = ⎩ ϕ(s)ψ(t) , se s ≤ t ≤ b. c Osservazione 4.2. G `e continua nel quadrato Q = [a, b] × [a, b], derivabile in {(s, t) ∈ Q : s = t}. Inoltre d d G|t=s− − G|t=s+ = c = w(t). dt dt Teorema 4.6. Se h ∈ C([a, b], la funzione  b y(t) = G(s, t)h(s)ds a

verifica

 L[y] = h(t) y(a) = y(b) = 0.

(4.19)

Dimostrazione. Intanto, essendo ϕ(a) = ψ(b) = 0, si ha  b  b y(a) = G(s, a)h(s)ds = 0, y(b) = G(s, b)h(s)ds = 0. a

a

Calcoliamo ora L[y]. Per semplificare le notazioni, supponiamo che p ≡ 1 e che c = 1. Il caso generale richiede facili modifiche. Scriviamo  t  b y(t) = G(s, t)h(s)ds + G(s, t)h(s)ds a

t



t



ψ(s)h(s)ds + ψ(t)

= ϕ(t) a

b

ϕ(s)h(s)ds. t

4.3 La funzione di Green

Allora y  (t) = ϕ (t)



t

ψ(s)h(s)ds + ϕ(t)ψ(t)h(t) a





b

+ ψ (t) = ϕ (t)

ϕ(s)h(s)ds − ϕ(t)ψ(t)h(t)

t



t

ψ(s)h(s)ds + ψ  (t)



Inoltre y  (t) = ϕ (t)



t

t

ψ(s)h(s)ds + ϕ (t)ψ(t)h(t)

a





+ ψ (t) 

b

ϕ(s)h(s)ds.

a



65

b

ϕ(s)h(s)ds − ϕ(t)ψ(t)h(t)

t t

= ϕ (t)





b

ψ(s)h(s)ds + ψ (t) a 

ϕ(s)h(s)ds t

+ (ϕ (t)ψ(t) − ϕ(t)ψ  (t))h(t). Poich`e ϕ(t)ψ  (t) − ϕ(t) ψ(t) = c = 1, si deduce  t  y  (t) = ϕ (t) ψ(s)h(s)ds + ψ  (t) a

b

ϕ(s)h(s)ds − h(t).

t

Ricordando che ϕ = qϕ e ψ  = qψ si deduce  t  b y  (t) = q(t)ϕ(t)ψ(s)h(s)ds + q(t)ψ(t)ϕ(s)h(s)ds − h(t). a

t

D’altra parte, tenuto conto della definizione di G, si verifica subito che  t  b q(t)ϕ(s)ψ(t)h(s)ds + q(t)ψ(s)ϕ(t)h(s)ds = q(t)y(t), a

t



e quindi y = qy − h, ovvero L[y] = h. In conclusione y verifica (4.19) e la dimostrazione `e completata. 2 Esempio 4.2. Calcoliamo la funzione di Green nel caso in cui p ≡ q ≡ 1, a = 0, b = 1. Per trovare ϕ e ψ cominciamo osservando che l’integrale generale di −y  + y = 0 `e y(t) = c1 et + c2 e−t . Per trovare ϕ e ψ in modo che siano linearmente indipendenti, possiamo imporre, oltre a ϕ(0) = 1, ψ(1) = 0, le condizioni ϕ (0) = 1, ψ  (1) = −1. Consideriamo l’integrale generale y e imponiamo le condizioni iniziali y(0) = 0, y  (0) = 1. Si trova c1 = 12 , c2 = − 12 e quindi ϕ(t) = 12 (et − e−t ) = sinh t.

66

4 Problemi al contorno per equazioni del secondo ordine

Analogamente, imponendo le condizioni iniziali y(1) = 0 e y  (1) = −1, si trova c1 = 1/2e, c2 = e/2 e quindi ψ(t) = − sinh(t − 1). Sugli argomenti discussi in questa sezione si veda anche [9, Sec. XI.7]. Se indichiamo con K : C([a, b]) → C([a, b]) l’operatore definito ponendo  b K[b] = G(s, t)h(s)ds, a

possiamo dire che y = K[h] risolve (4.19). Con questa notazione le soluzioni di (4.1) risolvono y = K[f (t, y)] e quindi sono i punti fissi di K ◦ f . Per esempio, gli autovalori di L[y] = λmy, y(a) = y(b) = 0 sono i λ tali che y = λK[my] ha una soluzione y ≡ 0, cio`e sono gli inversi degli autovalori dell’operatore lineare K ◦ m. Usando il teorema di Ascoli-Arzel`a (cfr. Teorema 1.7), si pu` o dimostare che l’operatore K `e compatto, nel senso che per ogni successione uk limitata in C([a, b]) esiste una sottosuccessione ukj tale che K[ukj ] converge uniformemente. Allora l’esistenza degli autovalori di (4.3) si pu` o dedurre dalla teoria degli autovalori degli operatori compatti in uno spazio di Banach (cfr. ad esempio [2, Chap. VI]2 ) o [9, Chap. XI].

4.4 Esistenza di soluzioni per problemi al contorno nonlineari In questa sezione discuteremo alcuni risultati di esitenza per problemi al contorno del tipo  L[y] = −(py  ) + qy = f (t, y), (4.20) y(a) = 0, y(b) = 0. Supporremo, anche senza dirlo esplicitamente, che p ∈ C 1 ([a, b]), q ∈ C([a, b]) e p > 0, q ≥ 0 in [a, b]. Osservazione 4.3. Usando i risultati discussi nella sezione precedente, potremmo trovare le soluzioni di (4.20) trovando i punti fissi di K ◦ f . Per questo occorrerebbe usare il teorema di Schauder, che esula dagli argomenti trattati in questi appunti. Qui di seguito proveremo dei risultati di esistenza che non necessitano di questi teoremi di punto fisso.

2 Si pu` o anche consultare la traduzione in italiano [3] o la recente riedizione ampliata [4].

4.4 Esistenza di soluzioni per problemi al contorno nonlineari

67

4.4.1 Sopra e sotto soluzioni Una funzione v ∈ C 2 ([a, b]) `e una sottosoluzione di (4.20) se  L[v] ≤ f (t, v), t ∈ (a, b), v(a) ≤ 0, v(b) ≤ 0. Una funzione w ∈ C 2 ([a, b]) `e una soprasoluzione di (4.20) se  L[w] ≥ f (t, w), t ∈ (a, b), w(a) ≥ 0, w(b) ≥ 0. Teorema 4.7. Supponiamo che f ∈ C([a, b] × R) e che esista m > 0 tale che y → my + f (t, y) sia crescente. Se (4.20) ha una sottosoluzione v(t) e una soprasoluzione w(t) e se v(t) ≤ w(t) in (a, b), allora (4.1) ha una soluzione y(t) tale che v(t) ≤ y(t) ≤ w(t). Useremo il seguente lemma, che `e il principio del massimo in una forma semplificata (cfr. [2, Th.IX.36] per un enunciato generale). Lemma 4.7. Sia φ ∈ C 2 ([a, b]) tale che φ(a) ≥ 0, φ(b) ≥ 0 e L[φ] ≥ 0. Allora φ ≥ 0 in [a, b]. Dimostrazione. Sia e1 una autofunzione relativa al primo autovalore di L[e1 ] = λ1 e1 , e1 (a) = e1 (b) = 0. Possiamo supporre, cfr. Teorema 4.3, che e1 > 0 in (a, b). Poniamo φε = φ + εe1 . Si ha L[φε ] = L[φ] + εL[e1 ] = L[φ] + ελ1 e1 > 0 e φε (a) = φ(a) ≥ 0,

φε (b) = φ(b) ≥ 0.

Sia tε il punto in cui φε assume il minimo: φ(tε ) := min φε e supponiamo, per assurdo, che φ(tε ) < 0. Allora a < tε < b e quindi φ (tε ) = 0. Inoltre, L[φε (tε )] = −(p (tε )φε (tε ) + p(tε )φε (tε )) + q(tε )φε (tε ) = −p(tε )φε (tε ) + q(tε )φε (tε ) > 0. Essendo φε (tε ) < 0 e ricordando che p > 0 e q ≥ 0 segue che −φε (tε ) > 0 e questo `e in contraddizione col fatto che tε `e un minimo per φε . Allora per ogni t ∈ [a, b] si ha che φ(t) + εe1 (t) ≥ 0. Passando al limite per ε → 0 segue la tesi. 2 Dimostrazione del Teorema 4.7. Costruiremo una soluzione con un procedimento iterativo. Per abbreviare le notazioni, la dipendenza da t sar`a sottintesa. Innanzi tutto, il problema L[y] = f (y) `e equivalente a Lm [y] = my + f (y), dove s’`e posto Lm [y] := L[y] + my.

68

4 Problemi al contorno per equazioni del secondo ordine

Posto X = C([a, b]), indichiamo con Sm : X → X,

Sm (u) = Km [mu + f (u)],

dove



b

Km [h] =

Gm (s, t)h(s)ds, a

e Gm `e la funzione di Green relativa a Lm , introdotta nella Sezione 4.3. Poniamo per k = 1, 2, . . ., v1 = Sm [v] v2 = Sm [v1 ] .. = .. vk+1 = Sm [vk ]. Proviamo che v ≤ vk ≤ w,

∀ k ∈ N.

(4.21)

Procediamo per induzione, usando il Lemma 4.7, che ovviamente vale anche per Lm . Per k = 1, da v1 = Sm [v] segue Lm [v1 ] = mv + f (v). Inoltre v `e una sottosoluzione e quindi L[v] ≤ f (v), cio`e Lm [v] ≤ mv +f (v). Allora Lm [v1 −v] ≥ 0. Inoltre v1 (b) − v(b) ≥ 0 v1 (a) − v(a) ≥ 0, e dal Lemma 4.7 segue che v1 ≥ v. In modo analogo, dal fatto che, per ipotesi, v ≤ w e my + f (y) `e monotona segue L[w − v1 ] ≥ mw + f (w) − mv1 − f (v1 ) ≥ 0. Inoltre, w(a) − v1 (a) ≥ 0,

w(b) − v1 (b) ≥ 0

e quindi w ≥ v1 . Se vale (4.21), si ha Lm [vk+1 − v] = mvk + f (vk ) − L[v] ≥ mvk + f (vk ) − mv − f (v). Poich´e my + f (y) `e monotona e, per l’ipotesi induttiva, vk ≥ v, si trova mvk + f (vk ) − mv − f (v) ≥ 0. Quindi Lm [vk+1 − v] ≥ 0. Inoltre vk+1 (a) − v(a) ≥ 0,

vk+1 (b) − v(b) ≥ 0.

Allora possiamo applicare ancora il Lemma 4.7 deducendo che vk+1 − v ≥ 0. Analogamente da w(a) − vk+1 (a) ≥ 0,

w(b) − vk+1 (b) ≥ 0

4.4 Esistenza di soluzioni per problemi al contorno nonlineari

69

e Lm [w − vk+1 ] = L[w] − mvk − f (vk ) ≥ mw + f (w) − f (vk ) ≥ 0, segue w − vk+1 ≥ 0. Questo completa la prova di (4.21). Applichiamo ora il teorema di Ascoli-Arzel` a alla successione vk , mostrando che vk `e (i) equilimitata, e (ii) equicontinua. (i) Poich´e v ≤ vk ≤ w e my + f (y) `e crescente, allora mv + f (v) ≤ mvk + f (vk ) ≤ mw + f (w) e quindi esiste C > 0 tale che |mvk (t) + f (vk (t))| ≤ C,

∀ t ∈ [a, b].

Allora l’equilimitatezza segue da  b |Gm (t, s)| · |mvk (s) + f (s, vk (s))|ds ≤ C · |vk+1 (t)| ≤ a

max

[a,b]×[a,b]

|Gm | · |b − a|.

(ii) Osserviamo che 



|vk (t) − vk (t )| ≤ C

b

|Gm (s, t) − Gm (s, t )|ds.

a

Poich´e Gm `e uniformemente continua in Q = [a, b] × [a, b], si deduce subito la equicontinuit` a. Applicando il teorema di Ascoli-Arzel`a, vk converge, a meno di sottosuccessioni, ad una funzione y ∈ X, uniformemente in [a, b]. Passando al limite nella relazione vk+1 = S[vk ] troviamo y = S[y]. In altri termini, y verifica  b y(t) = G(s, t)f (s, y(s))ds a

e quindi, in base a quanto visto nella Sezione 4.3, risolve (4.20).



Come semplici applicazioni del Teorema 4.7 dimostriamo i seguenti due teoremi. Teorema 4.8. Supponiamo che f ∈ C([a, b] × R) e che esista m > 0 tale che y → my + f (t, y) sia crescente. Inoltre esista M ≥ 0 tale che |f (t, y)| ≤ M per ogni (t, y) ∈ [a, b] × R. Allora il problema  −y  + y = f (t, y), (4.22) y(a) = 0, y(b) = 0 ha una soluzione y tale che |y(t)| ≤ M in [a, b]. Dimostrazione. Basta osservare che v(t) ≡ −M e w(t) ≡ M sono, rispettivamente, una sotto soluzione e una soprasoluzione di (4.20), con v < w. 2

70

4 Problemi al contorno per equazioni del secondo ordine

Teorema 4.9. Supponiamo che f ∈ C([a, b] × R) e che esista m > 0 tale che y → my + f (t, y) sia crescente e che lim f (t, y) < 0,

y→+∞

lim f (t, y) > 0,

y→−∞

uniformemente in [a, b].

(4.23)

Allora (4.22) ha una soluzione. Dimostrazione. Da (4.23) segue che esite α > 0 tale che f (t, −α) > 0,

f (t, α) < 0,

∀ t ∈ [a, b].

Cosideriamo la funzione f (t, y) ottenuta troncando f : ⎧ ⎨ f (t, −α), per y ≤ α; f (t, y) = f (t, y), per −α ≤ y ≤ α; ⎩ f (t, α), per y ≥ α. Consideriamo il problema  −y  + y = f (t, y), y(a) = 0, y(b) = 0

(4.24)

e proviamo: Lemma 4.8. y `e soluzione di (4.24) se e solo se y `e soluzione di (4.22). Dimostrazione. Il lemma segue subito se mostriamo che ogni soluzione y di (4.24) verifica −α ≤ y(t) ≤ α. Siano t0 , t1 ∈ (a, b) tali che y(t0 ) = min y(t), t∈[a,b]

y(t1 ) = max y(t). t∈[a,b]

Se, per assurdo, y(t0 ) < −α allora a < t0 < b e si ha −y  (t0 ) + y(t0 ) = f (t0 , y(t0 )) > 0. Poich´e y  (t0 ) = 0 e y(t0 ) < 0 si deduce −y  (t0 ) > 0 che `e in contraddizione col fatto che t0 `e un minimo per y. Analogo ragionamento per t1 : infatti −y  (t1 ) + y(t1 ) = f (t1 , y(t1 )) < 0.

2

Dimostrazione del Teorema 4.9 completata. La funzione f `e limitata e quindi possiamo applicare il Teorema 4.8, trovando una soluzione y di (4.24). Dal lemma precedente segue che y `e soluzione di (4.22).



4.4 Esistenza di soluzioni per problemi al contorno nonlineari

71

4.4.2 Autovalori nonlineari Applicheremo i risultati ottenuti nella sezione precedente allo studio del problema  −y  = λy − h(t, y), (4.25) y(a) = y(b) = 0, dove h ∈ C([a, b] × R) e h(t, 0) = 0, ∀ t ∈ [a, b]. In questo caso (4.25) ha la soluzione banale y ≡ 0. Nel prossimo risultato daremo delle condizioni in modo che (4.25) abbia una soluzione positiva. Teorema 4.10. Supponiamo che h ∈ C([a, b] × R) verifichi (h)

h(t, y) = o(y) per y → 0+ uniformemente rispetto a t ∈ [a, b].

Supponiamo inoltre che esista M > 0 tale che h(t, M ) > λM per ogni t ∈ (a, b). Allora, se λ > λ1 = π/(b − a), (4.25) ha almeno una soluzione positiva in (a, b). Dimostrazione. Mostriamo che w(t) ≡ M `e una soprasoluzione di (4.25). Infatti −w = 0 > λM − h(t, M ) cos`ı come w(a) = w(b) = M > 0. Cerchiamo ora  una sottosoluzione v nella forma vε (t) = εe1 (t) dove ε > 0 π e e1 (t) = sin b−a (t − a). Si noti che e1 `e una autofunzione positiva di

−y  = λ1 y, y(a) = y(b) = 0. Si ha

−vε = −εe1 = ελ1 e1 = λ1 vε . Dall’ipotesi che (h) segue che h(t, εe1 (t)) = 0, ε→0 εe1 (t) lim

uniformemente in [a, b]

e quindi, essendo λ > λ1 , esiste ε0 > 0 tale che h(t, εe1 (t)) ≤ λ − λ1 , εe1 (t)

∀ 0 < ε < ε0 ,

∀ t ∈ [a, b].

Allora, per 0 < ε < ε0 , −vε = λ1 vε ≤ λvε − h(t, vε ),

∀ t ∈ [a, b].

Quindi vε `e una sottosoluzione di (4.25). Infine, prendendo ε  1 si ha che vε = εe1 < M . Quindi possiamo applicare il Teorema 4.7 e trovare una soluzione y di (4.25). Poich`e vε ≤ y ≤ M segue che y > 0 in (a, b). 2 Il Teorema 4.10 `e completato da questo risultato: Teorema 4.11. Se yh(t, y) > 0 per y = 0 e λ ≤ λ1 , allora (4.25) ha solo la soluzione identicamente nulla.

72

4 Problemi al contorno per equazioni del secondo ordine

Premettiamo una diseguaglianza che `e un caso particolare della diseguglianza di Poincar`e , valida – pi` u in generale – per equazioni ellittiche del secondo ordine con condizioni di Dirichlet al bordo (cfr. [2, Chap. IX.7]). Lemma 4.9. Se y ∈ C 1 ([a, b]) e y(a) = y(b) = 0, allora  b  b λ1 y 2 (t)dt ≤ |y  (t)|2 dt. a

(4.26)

a

Dimostrazione. Prediamo a = 0 e b = π (quindi λ1 = π/(b − a) = 1). Il caso generale si ottiene con un ovvio cambio di variabile. Poich´e y(0) = y(π) = 0 possiamo sviluppare y(t) in serie di Fourier di soli seni:  y(t) = yk sin kt. k≥1

Si ha



b

y 2 (t)dt =

a 

Inoltre y (t) =

 k≥1



b



yk2 .

k≥1

kyk cos kt e quindi

|y  (t)|2 dt =

a



k 2 yk2 ≥

k≥1



yk2 =



b

y 2 (t)dt.

2

a

k≥1

Per un’altra dimostrazione che non fa uso delle serie di Fourier, si veda l’Esercizio 4.5-(2). Dimostrazione del Teorema 4.11. Se y `e una soluzione di (4.25) non identicamente nulla, moltiplicando l’equazione per y, integrando, e tenendo conto dell’ipotesi h(t, y)y > 0 per y = 0, si ha  b  b  b  b y  ydt = λ y 2 dt − h(t, y)ydt < λ y 2 dt. − a

a

a

a

Integrando per parti e usando il Lemma 4.9 si deduce  b  b  b − y  ydt = |y  |2 dt ≥ λ1 y 2 dt. a

a

Allora

 λ

b

y 2 dt > λ1

a

Poich´e y ≡ 0 si deduce che λ > λ1 .

a



b

y 2 dt.

a



4.5 Esercizi

73

4.5 Esercizi 1. Provare che se λ ≤ 1 il problema al contorno y  + λy − y 3 = 0,

y(0) = y(π) = 0

ha solo la soluzione banale y ≡ 0, mentre se k < λ < k + 1 allora vi sono k soluzioni non banali. 2. Dare una dimostrazione elementare dei Teoremi 4.2, 4.3 4.4 e 4.5 nel caso in cui p ≡ 1, q ≡ 0 e m `e costante in [a, b]. y2 3. Sia y ∈ C 1 ([a, b]) tale che y(a) = y(b) = 0. Derivando la funzione tan x mostrare che   π 2 cos x y − 2yy  dx = 0. sin x sin2 x 0 Dedurre la diseguaglianza di Poincar`e provando che   π  π φ2  cos x dx |φ |2 − φ2 + − 2φφ (|y  |2 − y 2 )dx = sin x sin2 x 0 0  π cos x 2 = φ dx ≥ 0. φ − sin x 0 4. Provare che

 −y  = λy − h(t)y p , y(0) = y(π) = 0,

ha una soluzione positiva se λ > 1 e p > 1. 5. Se y1 + q1 y1 = 0 e y2 + q2 y2 = 0 e y2 = 0, provare l’Identit` a di Picone y1 y1  (y y2 − y1 y2 ) = (q2 − q1 )y12 + q2 (y1 − y2 )2 . y2 1 y2 6. Dedurre dall’identit` a precedente che tra due zeri consecutivi di y1 cade uno zero di y2 . 7. Siano v, w due soluzioni linearmente indipendenti di L[y] = 0. Provare che tra due zeri successivi α < β di v cade uno zero di w. (Suggerimento: calcolare il wronskiano di v, w nei punti α e β e dedurre che w(α) = −w(β).)

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5 Stabilit` a (cenni)

5.1 Definizioni Discuteremo la stabilit` a nel caso particolare del sistema autonomo in Rn y  = f (y), 1

(5.1)

nell’ipotesi che f ∈ C (R , R ) e che esista q ∈ R tale che f (q) = 0. In tal caso y(t) ≡ q `e una soluzione di equilibrio. Se p ∈ Rn indichiamo con y = φt (p) il flusso del sistema  y  = f (y), u ∈ Rn (S) y(0) = p ∈ Rn . n

n

n

A meno di traslazione possiamo supporre che q = 0. Allora f (0) = 0 e φt (0) ≡ 0. Supporremo anche che φt (p) `e definita su tutto [0, +∞), per ogni p ∈ Rn . Ricordiamo che il teorema sulla dipendenza continua dalle condizioni iniziali dice che per ogni R, T > 0, esiste ε > 0 tale che |p| < ε

=⇒

|φt (p)| < R, ∀ t ∈ [0, T ].

La stabilit` a tratta il caso T = +∞. Definizione 5.1. (a) Diremo che la soluzione di equilibrio y ≡ 0 `e stabile (per (5.1)) se ∀ R > 0 sufficientemente piccolo ∃ ε > 0 tale che |φt (p)| < R,

∀ |p| < ε, ∀ t ≥ 0.

Diremo che y ≡ 0 `e instabile, se non `e stabile. (b) y ≡ 0 `e asintoticamente stabile se `e stabile ed ∃ ε > 0 tale che lim φt (p) = 0,

t→+∞

∀ |p| < ε .

Ambrosetti A.: Appunti sulle equazioni differenziali ordinarie DOI 10.1007/978-88-2394-9 5, © Springer-Verlag Italia 2012

76

5 Stabilit` a (cenni)

La definizione di stabilit` a pu` o essere data per un sistema generale del tipo y  = f (t, y) e per soluzioni non necessariamente costanti. Si pu` o anche definire la stabilit` a per l’equazione differenziale di ordine n y (n) = f (y, y  , . . . , y (n−1) ) = 0,

(5.2)

considerando il sistema equivalente (cfr. Sezione 2.1) u = f (u),

(5.3)

dove u = (y1 , . . . , yn ) e f (u) ha componenti f1 = y2 , f2 = y3 , . . . ., fn−1 = yn , fn = f (y1 , . . . , yn ). Se f (0, . . . , 0) = 0 allora y(t) ≡ 0 corrisponde all’equilibrio u = 0 di (5.3). Diremo che y = 0 `e stabile (asintoticamente stabile, instabile) per (5.2) se u = 0 lo `e per (5.3). 5.1.1 Stabilit` a nel caso di sistemi lineari nel piano Nel caso di un sistema lineare 2 × 2 a coefficienti costanti y  = Ay, la discussione fatta nella Sezione 2.1.1 mostra che la stabilit` a di y  = Ay dipende dagli autovalori di A. Precesamente, si ha: (1) Se gli autovalori di A sono reali: (1a) se entrambi gli autovalori sono negativi, y = 0 `e un nodo asintoticamente stabile; (1b) se uno degli autovalori `e positivo, y = 0 `e una sella instabile. (2) Se gli autovalori di A sono complessi coniugati: (2a) se la parte reale degli autovalori `e negativa, y = 0 `e un fuoco asintoticamente stabile; (2b) se la parte reale degli autovalori `e positiva, y = 0 `e un fuoco instabile; (2c) se la parte reale degli autovalori `e zero, y = 0 `e un centro stabile ma non asintoticamente stabile.

5.2 Stabilit` a di sistemi conservativi Consideriamo il sistema conservativo y  + Uy (y) = 0,

y ∈ Rn ,

(SC)

dove il potenziale U : Rn → R `e regolare e Uy = (Uy1 , ..., Uyn ) ∈ Rn indica il vettore gradiente di U . Supponiamo che Uy (q) = 0 in modo che y = q `e una

5.2 Stabilit` a di sistemi conservativi

77

soluzione di equilibrio di (SC). Per definizione, q ∈ R `e un equilibrio stabile per (SC) se per ogni R > 0 sufficientemente piccolo esiste ε > 0 tale che n

|y(0) − q| < ε, |y  (0)| < ε, =⇒ |y(t)| < R, ∀ t ≥ 0. Teorema 5.1. Se q `e un minimo locale stretto di U , allora y ≡ q `e un equilibrio stabile per (SC). Dimostrazione. A meno di traslazioni, possiamo supporre che q = 0 e U (0) = 0. Poich`e y = 0 `e un minimo locale stretto per U , per ogni R > 0, R ∼ 0, esiste r > 0 tale che {y ∈ Rn : U (y) < r} ⊂ {|y| < R}. Consideriamo l’energia totale di (SC): 1 E(y) = |y  |2 + U (y). 2 Le soluzioni y(t) di (SC) verificano   d E(y(t)) = yi yi + Uyi yi = y  · y  + Uy (y) · y  ≡ 0 dt 1 1 n

n

e quindi E(y(t)) `e costante, cio`e E(y(t)) = E(y(0)),

∀ t ≥ 0,

da cui 1  |y (0)|2 + U (y(0)), ∀ t ≥ 0. 2 Se |y(0)| ∼ 0 e y  (0) ∼ 0, troviamo che U (y(t)) < r. Ne segue che |y(t)| < R, per ogni t ≥ 0. 2 U (y(t)) ≤ E(y(t)) = E(y(0)) =

Pi` u in generale il sistema hamiltoniano   u = Hv (u, v), v  = −Hu (u, v),

(H)

dove l’hamiltoniana H ∈ C 1 (Rn × Rn ), Hu = (Hu1 , ..., Hun ) ∈ Rn e Hv = (Hv1 , ..., Hvn ) ∈ Rn . Lemma 5.1. H `e un integrale primo del moto, cio`e H `e costante lungo le soluzioni (u, v) di (H). Dimostrazione. Infatti:   dH = Hui ui + Hvi vi = Hu · u + Hv · v  . dt 1 1 n

Poich´e (u, v) risolve (H), segue che

n

d dx H

= 0 e questo implica H(u, v) = cost. 2

78

5 Stabilit` a (cenni)

Teorema 5.2. Supponiamo che H ∈ C 1 (Rn × Rn ) sia tale che (0, 0) sia un minimo stretto per H. Allora u = 0, v = 0 `e un equilibrio stabile per (H). Dimostrazione. Preso un qualunque intorno V di (0, 0), per δ ∼ 0 la superficie {H = δ} `e contenuta in V. Dal Lemma 5.1 segue ogni soluzione di (H) resta in V non appena (u(0), v(0)) ∈ {H = δ}. 2

5.3 Il metodo di Lyapunov Il metodo di Lyapunov, che discutiamo in questa sezione, permette di estendere il procedimento usato per dimostrare il Teorema 5.1 a sistemi non necessariamente conservativi. Una funzione V ∈ C 1 (Rn , R) `e una funzione di Lyapunov per (S) se V (0) = 0 e V ha un minimo locale stretto in y = 0; Vy (y) · f (y) ≤ 0,

∀ y ∈ Rn .

(L1) (L2)

Qui, come al solito, Vy (y) = (Vy1 , . . . , Vyn ). Teorema 5.3. Se (S) ha una funzione di Lyapunov, allora y = 0 `e stabile. Inoltre, se Vy (y) · f (y) < 0, ∀ y ∈ Rn \ {0}, (L3) allora y = 0 `e asintoticamente stabile. Dimostrazione. Cosideriamo la funzione v(t) := V (φt ). Qui e nel seguito la dipendenza da p `e sottintesa. La funzione v `e derivabile e v  (t) =

 ∂V dφt = Vy (φt ) · (φt ) = Vy (φt ) · f (φt ) ≤ 0. ∂yi dt

Allora t → v(t) `e non crescente per t ≥ 0 e quindi V (φt (p)) = v(t) ≤ v(0) = V (φt (0)) = V (p),

∀ t ≥ 0.

Dall’ipotesi (L1) deduciamo che, per ogni R > 0 sufficientemente piccolo, esiste r > 0 tale che V (y) < r =⇒ |y| < R. Poich´e V (p) → 0 per |p| → 0, allora esiste ε > 0 tale che |p| < ε

=⇒

V (p) < r.

Allora, se |p| < ε si ha V (φt (p)) ≤ V (p) < r,

∀t ≥ 0

5.4 Stabilit` a per linearizzazione

79

e quindi |p| < ε

=⇒

|φt (p)| < R,

∀ t ≥ 0.

In base alla definizione, questo prova la stabilit` a di y = 0. Proviamo ora che, se vale (L3), allora y = 0 `e asintoticamente stabile. Ragionando per assurdo, supponiamo che esiste p∗ , |p∗ | < R tale che φt (p) → 0. Allora esiste δ > 0 tale che δ ≤ |φt (p∗ )| ≤ R,

∀ t ≥ 0.

Da (L3) deduciamo che esiste μ > 0 tale che v  (t) = Vy (φt (p∗ )) ·

d t ∗ φ (p ) ≤ −μ, dt

Allora ∗



∗

V (φ (p )) − V (p ) = v(t) − v(0) = t

t 0

∀ t ≥ 0. v  (s)ds ≤ −μ t,

e perci`o V (φt (p∗ )) → −∞ per t → +∞, che `e assurdo.

2

Osservazioni 5.1. (i) Nel teorema precedente si pu`o supporre che f `e definita e di classe C 1 in un aperto Ω ⊂ Rn e che (L1-2-3) valgono in un disco {|y| < δ} ⊂ Ω. (ii) Se . `e una norma hilbertiana in Rn con relativo prodotto scalare (., .), l’ipotesi (L3) pu` o essere sostituita da (Vy (y), f (y)) < 0,

∀ y ∈ Rn \ {0}.

(L3’)

Infatti . `e una norma equivalente a quella euclidea.

5.4 Stabilit` a per linearizzazione Come applicazione del teorema di stabilit`a di Lyapunov, consideriamo il sistema y  = f (y) = Ay + F (y) (5.4) con F (y) = o(|y|) per |y| → 0. Teorema 5.4. Se gli autovalori λi = αi +iβi di A sono tali che αi < 0, allora y = 0 `e asintoticamente stabile per (5.4). Premettiamo un lemma di Algebra lineare (per una dimostrazione si veda, ad esempio [1, Lemma 15.4]). Lemma 5.2. Sia A una matrice n × n con autovalori λk = αk + iβk e siano α, α ∈ R tali che α < min αk ≤ max αk < α.

80

5 Stabilit` a (cenni)

Allora esiste una norma hilbertiana . in Rn tale che per il relativo prodotto scalare (., .)A si ha α y 2 ≤ (Ay, y)A ≤ α y 2 . Dimostrazione del Teorema 5.4. Poniamo V (y) = 12 y 2 . Verifichiamo che, oltre a (L1), vale (L3’) in un intorno di y = 0. Infatti (Vy (y), f (y))A = (y, Ay)A + (y, F (y))A = (y, Ay)A + o( y 2 ). Poich`e per ipotesi max αk < 0, nel Lemma 5.2 possiamo prendere α < 0. Ne segue (Vy (y), f (y))A ≤ α y 2 + o( y 2 ), e quindi vale (L3’) in un intorno di y = 0. Dal Teorema 5.3, tenendo conto delle Osservazioni 5.1, segue che y = 0 `e asintoticamente stabile.

Possiamo applicare il teorema precedente al sistema y  = Ay che corrisponde al sistema (5.4) con F (y) ≡ 0. Corollario 5.1. Se tutti gli autovalori di A hanno parte reale negativa, allora y = 0 `e asintoticamente stabile per y  = Ay. Esempio 5.1. Nel caso del sistema  y  = z − μ(y 3 − y), z  = −y che equivale all’equazione di Van der Pol y  − μ(1 − 3y 2 )y  + y = 0, cfr (3.12), si ha   μ 1 . A= −1 0  Gli autovalori di A sono 12 (μ ± μ2 − 4). Quindi se μ < 0 allora (y, z) = (0, 0) `e asintoticamente stabile. Osservazione 5.2. Consideriamo il sistema  y  = −p + y 3 . p = y + p3 Qui

 A=

0 −1 1 0



i cui autovalori sono ±i. Ripetendo i ragionamenti nella discussione relativa al sistema (3.11), poniamo ρ(t) = 12 (y 2 (t) + p2 (t)).

5.5 Esercizi

81

Si ha ρ = yy  + pp = y(−p + y 3 ) + p(y + p3 ) = y 4 + p4 > 0 se

ρ > 0.

Allora le traiettorie si allontanano dall’origine che `e quindi instabile. Se invece consideriamo il sistema  y  = −p − y 3 p = y − p3 la matrice A `e la stessa di prima ma ρ = −(y 4 + p4 ) < 0 se ρ > 0 e quindi ora le traiettorie si avvicinano all’origine che `e quindi stabile. Dunque, la stabilit` a o instabilit` a dipende dai termini di ordine superiore al primo. Questo mostra che il Teorema 5.4 non vale se qualche autovalore di A `e puramente immaginario. Osservazione 5.3. A completamento del teorema precedente si dimostra che se almeno un autovalore di A `e positivo o ha parte reale positiva, allora u = 0 `e instabile.

5.5 Esercizi 1. Nel caso del Teorema 5.2, mostrare che (0, 0) `e stabile ma non asintoticamente stabile. 2. Mostrare che il sistema conservativo (SC) pu` o essere trasformato in un sistema hamiltoniano e discutere in quest’ottica il Teorema 5.1. 3. Mostrare che x = y = 0 `e un equilibrio instable del sistema del tipo Lotka-Volterra   x = (1 − y)x, y  = (x − 1)y. 4. Per lo stesso sistema mostrare che l’equilibrio x = y = 1 `e stabile. Suggerimento: usare l’Esercizio 3.6-(3). Per uno studio pi` u ampio della stabilit` a si veda ad esempio [12, Cap. V] o [13, Cap. 5].

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6 Le equazioni di Eulero-Lagrange

In questo capitolo discuteremo una classe di equazioni differenziali di natura variazionale.

6.1 I funzionali del Calcolo delle Variazioni Il Calcolo delle variazioni moderno nasce alla fine del seicento per merito di matematici come Johan e Jacob Bernoulli, Newton, Leibnitz, Fermat ed altri, che formulano dei problemi di minimo per dei funzionali . Per funzionale si intende una quantit` a definita in una classe di funzioni C ed espressa mediante un integrale. Nel caso pi` u semplice, cio`e in dimensione uno, data una funzione continua F = F (x, y, p) definita su [a, b] × R × R e se y : [a, b] → R `e una funzione della classe C, un funzionale ha la forma  b I(y) = F (x, y(x), y  (x))dx, y ∈ C. a

Nella formula precedente abbiamo implicitamente supposto che le funzioni y(x) nella classe C siano differenziabili con derivata y  (x) continua a tratti. Si noti che la variabile indipendente `e indicata con x invece di t. Esempio 6.1. Se C = {y ∈ C 1 (a, b) : y(a) = a , y(b) = b } ed F (t, y, p) = il funzionale



b

I(y) =

 1 + p2 ,

 1 + |y  (x)|2 dt

a

`e la lunghezza della curva y = y(x) ∈ C. In questo caso `e facile verificare che il minimo di I su C esiste ed `e la retta passante per i punti (a, a ), (b, b ). Ambrosetti A.: Appunti sulle equazioni differenziali ordinarie DOI 10.1007/978-88-2394-9 6, © Springer-Verlag Italia 2012

84

6 Le equazioni di Eulero-Lagrange

Osservazione 6.1. A differenza dell’esempio precedente, pu`o accadere che il minimo non esista anche se I `e inferiormente limitato su C. Ad esempio, se b F = (1 − p2 )2 , I(y) = a F (y  )dx e C = C01 ([0, 1]), lo spazio delle funzioni y ∈ C 1 ([0, 1]) tali che y(0) = y(1) = 0, si ha che inf C I(y) ≥ 0. Consideriamo una successione yj ∈ C limitata, simmetrica rispetto ad x = 12 , crescente in (0, 12 ), yj ( 12 ) = 0 e tale che yj (x) = x per x ∈ [0, 12 − 1j ]. Allora si verifica facilmente che I(yj ) → 0. Dunque inf C I(y) = 0. Ma se y ∈ C `e tale che I(y) = 0 allora y  ≡ 1 e quindi y(x) = x, il che non `e possibile perch´e y(1) = 0. In altri termini, il minimo di I su C non esiste. Ovviamente diverso sarebbe il discorso se la classe C contenesse delle funzioni regolari a tratti. Si noti che in questo caso il minimo `e assunto da infinite funzioni. Basta prendere, per k = 1, 2, .. le funzioni yk tali che yk ( k1 ) = 0 e |yk | = 1, dove yk `e derivabile. Un altro esempio in cui in minimo pu` o non esistere `e quello della catenaria, discusso nella Sezione 7.4.

6.2 L’equazione di Eulero-Lagrange Vogliamo provare che ogni minimo di I verifica un’equazione differenziale: l’equazione di Eulero-Lagrange. Useremo le seguenti notazioni: • C indica la classe delle funzioni y ∈ C 1 ([a, b]), cio`e continue e derivabili in [a, b], con derivata y  continua in [a, b], e tali che y(a) = a , y(b) = b ; • X indica la classe C01 ([a, b]) delle funzioni C 1 ([a, b]), che si annullano in a e b. Teorema 6.1. Supponiamo che F ∈ C 1 ([a, b] × R × R). Se y ∈ C `e tale che I(y) = min{I(y) : y ∈ C} allora y verifica l’equazione 



x

Fp (x, y, y ) = dove

x

Fy (s, y, y  )ds + k,

(6.1)

Fy (s, y, y  )ds `e una primitiva di Fy (x, y, y  ) e k ∈ R.

Dimostrazione. Per per t ∈ R e per ogni φ ∈ X consideriamo la famiglia di funzioni y + tφ. Poich`e y(a) + tφ(a) = y(a) = a ,

y(b) + tφ(b) = y(b) = b ,

allora y + tφ ∈ C per ogni t ∈ R e ogni φ ∈ X . Poniamo, f (t) := I(y + tφ). 1

La funzione f `e di classe C e dal fatto che y + tφ ∈ C e che y realizza il minimo di I su C segue che t = 0 `e un minimo per f . Allora, per ogni funzione

6.2 L’equazione di Eulero-Lagrange

85



φ ∈ X si ha f (0) = 0. Questo implica  b [Fy (x, y, y  )φ + Fp (x, y, y  )φ ] dx = 0,

∀φ ∈ X.

a

Integrando per parti e usando il fatto che φ(a) = φ(b) = 0, troviamo   b  x  b φ Fy (x, y, y  )φdx = Fy (s, y, y  )ds dx. a

a

Dunque ∀ φ ∈ X si ha  b  a

x

a







Fy (s, y, y )ds − Fp (x, y, y ) φ dx = 0.

(6.2)

a

Per completare la dimostrazione del teorema, proviamo il seguente lemma: Lemma 6.1. Se h ∈ C([a, b]) `e tale che  b h(x)φ (x)dx = 0,

∀φ ∈ X,

a

allora h `e costante in [a, b]. Dimostrazione. Mostreremo che h(x) ≡ k, dove  b 1 k= h(x)dx. b−a a Consideriamo  φ(x) =



x

(h(s) − k)ds.

a

La funzione φ `e di classe C 1 e si ha  φ(a) = 0,

 = φ(b)



b

(h(s) − k)ds = 0.

a

Quindi φ ∈ X e perci`o



b

h(x)φ (x)dx = 0.

a

Inoltre



b

(h(x) − k)φ dx =

a

D’altra parte,



b

 − φ(a))  h(x)φ (x)dx − c(φ(b) = 0.

a



b

(h(x) − k)φ (x)dx =

a

Ne segue che h(x) ≡ k.



b

(h(x) − k)2 dx.

a

2

86

6 Le equazioni di Eulero-Lagrange

Completamento della dimostrazione della Teorema 6.1. Posto  x h(x) = Fy (s, y, y  )ds − Fp (x, y, y  ), a

h verifica (6.2) e quindi dal Lemma 6.1 segue che  x Fy (s, y, y  )ds − Fp (x, y, y  ) = k, a

2

e quindi y verifica (6.1).

 b Esempio 6.2. Se F (p) = 1 + p2 e I(y) = a F (y  )dx abbiamo visto nell’Esempio 6.1 che il minimo di I su C esiste ed `e assunto dalla retta y(x) = c1 x+c2 con le costanti c2 , c3 determinate imponendo le condizioni iniziali y(a) = a e y(b) = b . Verifichiamo che y risolve l’equazione (6.1). Infatti in questo caso (6.1) prende la forma Fp = k cio`e y  = k. 1 + y 2 ` chiaro che y = y verifica tale equazione con E c1 k=  . 1 + c21 Motivati dai ragionamenti fatti nella dimostrazione del Teorema 6.1, diamo la seguente definizione: Definizione 6.1. Diremo che y ∈ C `e un punto stazionario (o estremale) di I su C se  b [Fy (x, y, y  )φ + Fp (x, y, y  )φ ] dx = 0, ∀ φ ∈ X . a

Osservazione 6.2. Dalla dimostrazione del Teorema 6.1 segue che non solo i minimi di I si C, ma ogni punto stazionario di I verifica la (6.1). Teorema 6.2. Supponiamo che F sia di classe C 1 . Se y ∈ C `e un punto stazionario di I su C, allora y verifica l’equazione di Eulero-Lagrange d Fp (x, y, y  ) = Fy (x, y, y  ). dx

(EL)

Dimostrazione. Tenuto conto delle ipotesi, (6.1) implica che Fp (x, y, y  ) `e derivabile. Allora (EL) segue derivando la (6.1), che vale per ogni punto stazionario di I, cfr. l’Osservazione 6.2. 2

6.2 L’equazione di Eulero-Lagrange

87

In pratica, volendo trovare un minimo di I su C, si cerca una soluzione dell’equazione (EL) e si cerca poi di verificare che essa `e effettivamente un minimo. Si noti che se F `e classe C 2 la (EL) si scrive esplicitamente come Fpx (x, y, y  ) + Fpy (x, y, y  )y  + Fpp (x, y, y  )y  = Fy (x, y, y  ). Le equazioni che risultano essere le equazioni di Eulero-Lagrange di un funzionale I vengono dette equazioni variazionali. 6.2.1 Casi particolari dell’equazione di Eulero-Lagrange Vogliamo vedere come si scrive l’equazione (EL) in alcuni casi particolari. 1) Se F = F (x, y) non dipende da p allora y risolve l’equazione Fy (x, y) = 0. 2) Se F = F (x, p) non dipende da y allora y risolve l’equazione (notare che, come visto prima, Fp (x, y  ) `e derivabile rispetto ad x) d Fp (x, y  ) = 0. dx 3) Se F = F (y, p) non dipende da x, allora y verifica (anche qui va osservato che Fp (y, y  ) `e derivabile rispetto ad x) d d (F (y, y  ) − y  Fp (y, y  )) = Fy y  − y  Fp (y, y  ) dx dx d  Fp (y, y  )) = 0. = y (Fy (y, y  ) − dx Quindi

F (y, y  ) − y  Fp (y, y  ) = k,

k ∈ R.

(6.3)

(6.4)

6.2.2 Estensioni 1) Se y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn , p = (p1 , . . . , pn ) ∈ Rn e F : R × Rn × Rn → R F = F (x, y, p) = F (x, y1 , . . . , yn , p1 , . . . , pn ). In questo caso la classe C sar`a formata dalle funzioni y : [a, b] → Rn di classe C 1 in [a, b] tali che y(a) = A ∈ Rn e y(b) = A ∈ Rn . Se y : [a, b] → Rn `e b un punto stazionario di I(y) = a F (x, y, y  )dx, dove y  = (y1 , . . . , yn ), allora ripetendo i ragionamenti fatti nel Teorema 6.1 si ha  x Fpi (x, y, y  ) = Fyi (s, y, y  )ds + k, i = 1, . . . , n. (6.5)

88

6 Le equazioni di Eulero-Lagrange

Inoltre, come nel Teorema 6.2 si trova che y risolve il sistema di n equazioni differenziali ordinarie: d Fp (x, y, y  ) = Fyi (x, y, y  ), i = 1, . . . , n. (6.6) dx i 2) Se Ω `e un aperto regolare di Rn prendiamo F della forma F = F (x, u, p1 , . . . , pn ),

x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Ω.

Consideriamo la classe C delle funzioni u : Ω → R continue e con le derivate parziali uxi continue in Ω e tali che u(x) = g(x) per x ∈ ∂Ω, il bordo di Ω. Sia u un punto stazionario di  I(u) = F (x, u, ∇u)dx u ∈ C, Ω

dove ∇u = (ux1 , . . . , uxn ) indica il gradiente di u. In questo caso si trova che u risolve l’equazione alle derivate parziali: n  ∂ Fp (x, u, ∇u) = Fu (x, u, ∇u). ∂xi i i=1

(6.7)

Esempi 6.3. (i) (Equazioni newtoniane) Dato il potenziale U : Rn → R, regolare, introduciamo la lagrangiana L(y, p) = 12 m|p|2 − U (y). Se C `e la classe di funzioni y ∈ C 1 ([a, b], Rn ) tali che y(a) = A ∈ Rn , y(b) = B  ∈ Rn , sia y ∈ C un punto stazionario del funzionale  b I(y) = L(y, y  )dx, y ∈ C. Da (6.5) segue che Lpi − che y verifica il sistema

x

a

Lyi = k. Poich`e Lpi = mpi e Lyi = −Uyi si trova

m y i +



x

Uyi (y) = k.

Allora y  `e di classe C 1 e quindi y verifica il sistema 

m y i + Uyi (y 1 , . . . , y n ) = 0,

i = 1, . . . , n,

o, in forma compatta, l’equazione di Newton m y  + Uy (y) = 0.

(6.8)

(ii) (Problema di Dirichlet.) Sia Ω un aperto limitato di Rn e sia C la classe delle funzioni u(x) regolari in Ω tali che u|∂Ω = g(x). Il problema di Dirichlet

6.2 L’equazione di Eulero-Lagrange

consiste nel trovare il



89

|∇u(x)|2 dx : u ∈ C}.

min{ Ω

 In questo caso I(u) = Ω |∇u(x)|2 dx. Se I ha minimo u ∈ C e u `e di classe C 2 (Ω) allora (6.7) dice che u risolve n  ∂ uxi = 0, ∂x i i=1

cio`e



Δu(x) = 0, x ∈ Ω, (Δu = ux1 x1 + . . . + uxn xn ) u(x) = g(x), x ∈ ∂Ω,

(6.9)

le cui soluzioni sono le funzioni armoniche in Ω che valgono g sul bordo ∂Ω. Osserviamo che l’esistenza e regolarit`a del minC I `e tutt’altro che banale ed `e stata provata solo agli inizi del ’900 da D. Hilbert. (iii) (Geodetiche su una superficie.) Consideriamo una superficie M in R3 , di classe C 2 , di equazioni ⎧ ⎨ x = x(u, v), y = y(u, v), ⎩ z = z(u, v), con (u, v) ∈ R2 . Siano u = u(t), v = v(t) delle funzioni regolari in [a, b]. Dati A, B ∈ M , sia C la classe delle curve di equazioni ⎧ ⎨ x(t) = x(u(t), v(t)), y(t) = y(u(t), v(t)), ⎩ z(t) = z(u(t), v(t)), tali che (x(a), y(a), z(a)) = A,

(x(b), y(b), z(b)) = B.

Una geodetica su M tra A, B ∈ M `e una curva della classe C che minimizza la sua lunghezza  b I(u, v) = Eu2 + 2F u v  + Gv 2 dt, a

dove E = x2u + yu2 + zu2 , F = xu xv + yu yv + zu zv , G = x2v + yv2 + zv2 , con EG − F 2 > 0, sono i coefficienti della prima forma fondamentale di M (cfr. ad es. [14, Lezione 36], dove E `e indicato con R).

90

6 Le equazioni di Eulero-Lagrange

Ammettendo che il minimo esista e sia di classe C 2 , esso verifica il sistema d Eu + F v  1 = (Eu u2 + 2Fu u v  + Gu v 2 ) dt H 2H 1 d F u + Gv  = (Ev u2 + 2Fv u v  + Gv v 2 ) dt H 2H dove H=

 Eu2 + 2F u v  + Gv 2 .

Per vedere il significato geometrico di queste equazioni, conviene parametrizzare la curva con la coordinata curvilinea s. Poich´e d/dt = H d/ds, u = H du/ds = Hus e v  = H dv/ds = Hvs il sistema precedente diventa d 1 (Eus + F vs ) = (Eu u2s + 2Fu us vs + Gu vs2 ) ds 2 d 1 (F us + Gvs ) = (Ev u2s + 2Fv us vs + Gv vs2 ). ds 2 Usando le espressioni di E, F e G, con facili calcoli si trova xu xss + yu yss + zu zss = 0,

xv xss + yv yss + zv zss = 0.

Questa relazione dice che, in ogni punto della geodetica, il vettore (xss , yss , zss ), la normale principale, `e ortogonale ai vettori (xu , yu , zu ), (xv , yv , zv ) e quindi al piano tangente ad M .

6.3 Problemi vincolati Vogliamo ora studiare il caso in cui il minimo cercato `e soggetto ad un vincolo del tipo  b G(x, y, y  )dx = k, J(y) = a

dove G = G(x, y, p) ha le stesse propriet`a di F . Ripetiamo i ragionamenti fatti nel Teorema 6.2 e consideriamo le funzioni di due variabili f (s, t) = I(y + sφ + tψ),

g(s, t) = J(y + sφ + tψ),

φ, ψ ∈ X .

Se y `e un minimo di I nella classe C, soggetto al vincolo J(y) = k allora (s, t) = (0, 0) `e un minimo di f vincolato alla condizione g = k. L’insieme {(s, t) ∈ R2 : g(s, t) = k} `e, localmente vicino a (0, 0), una curva regolare, non appena ∇g(0, 0) := (gs (0, 0), gt (0, 0)) = (0, 0). Poich´e  b gs (0, 0) = [Gy φ + Gp φ ]dx 

a b

gt (0, 0) = a

[Gy ψ + Gp ψ  dx,

6.3 Problemi vincolati

91



dove Gy , Gp sono calcolate in (x, y, y ). Allora, in accordo col Teorema 6.2, si ha  b d gs (0, 0) = Gp ]φdx [Gy − dx a  b d Gp ]ψdx. [Gy − gt (0, 0) = dx a Quindi la condizione ∇g(0, 0) = (0, 0) `e certamente verificata se y non `e un punto stazionario di J. Dal Calcolo sappiamo che esiste λ ∈ R (moltiplicatore di Lagrange) tale che sono verificate le equazioni fs (0, 0) = λgs (0, 0),

ft (0, 0) = λgt (0, 0),

g = k.

Si ha  0 = (f − λg)s =

b

φ(Fy −

a

 0 = (f − λg)t =

a

b

d Fp )dx − λ dx

d Fp )dx − λ ψ(Fy − dx



b

φ(Gy −

d Gp )dx dx

ψ(Gy −

d Gp )dx. dx

a



b a

Le precedenti relazioni sono verificate per ogni φ, ψ ∈ X e perci`o possiamo concludere enunciando il seguente risultato:

Teorema 6.3. Supponiamo che F e G verifichino le ipotesi fatte nel Teorema 6.2. Se y ∈ C `e tale che I(y) = min{I(y) : y ∈ C, J(y) = k} e se y non `e un punto stazionario di J, allora esiste λ ∈ R tale che y verifica   d d Fp (x, y, y  ) = λ Gy (x, y, y  ) − Gp (x, y, y  ) . (6.10) Fy (x, y, y  ) − dx dx

Esempio 6.4. Se cerchiamo le curve y ∈ C che hanno lunghezza L, il vincolo `e dato da  b J(y) = 1 + y 2 dx = L. a

In questo caso (6.10) diventa Fy (x, y, y  ) −

y d d  Fp (x, y, y  ) = −λ . dx dx 1 + y 2

92

6 Le equazioni di Eulero-Lagrange

6.4 Condizioni del secondo ordine Se f ∈ C 2 (R) ha un minimo in t = t0 allora f  (t0 ) = 0. Abbiamo visto che un minimo di un funzionale I del Calcolo delle Variazioni verifica, invece dell’equazione f  = 0, un’equazione differenziale o un sistema di equazioni differenziali. Inoltre f verifica f  (t0 ) ≥ 0 ed `e naturale porsi la questione se, in analogia al caso elementare, si possono ottenere delle condizioni del secondo ordine anche per i minimi di I. Risultati di questo tipo sono stati stabiliti, tra gli altri, da Legendre, Jacobi e Weierstrass. Il seguente teorema `e dovuto a Legendre. Teorema 6.4. Supponiamo che F si di classe C 2 e sia y ∈ C tale che I(y) = minC I(y). Allora risulta Fpp (x, y, y  ) ≥ 0. Dimostrazione. Riprendiamo la funzione introdotta in precedenza f (t) = I(y + tφ) con φ ∈ X . La funzione f `e di classe C 2 ed ha un minimo per t = 0, per cui si ha f  (0) = 0 e f  (0) ≥ 0. Quest’ultima condizione si scrive nella forma  b  Fuu φ2 + Fup φφ + Fpp (φ )2 dx ≥ 0, ∀ φ ∈ X . a

Fissata una φ ∈ X con supporto contenuto in [α, β] ⊂ (a, b), poniamo φε (x) = φ(x/ε). Sostituendo nell’equazione precedente e facendo il cambio di variabile x → εy si trova  β/ε   2 I (y)[φε ] = εFuu φ2 + Fup φφ + ε−1 Fpp φ2 dy ≥ 0. α/ε

Se, per assurdo, Fpp < 0, si troverebbe lim I  (y)[φε ]2 = −∞,

ε→0

2

contraddizione che prova il teorema. 6.4.1 Condizioni sufficienti

Discuteremo in questa sezione alcune condizioni sufficienti per l’esistenza di un minimo di I in C. Considereremo prima il caso in cui F = F (x, p) non dipende da y e ricordiamo che se F = F (x, p) la (6.1) diventa Fp (x, y  (x)) = k,

k ∈ R.

2

(6.11)

Teorema 6.5. Supponiamo che F ∈ C ([a, b] × R) e che verifichi Fpp (x, p) ≥ 0, risp. Fpp (x, p) > 0, ∀ (x, p) ∈ [a, b] × R. Se y ∈ C verifica (6.11), allora y `e un minimo, risp. minimo stretto. Dimostrazione. Si ha F (x, y  + φ ) − F (x, y  ) = Fp (x, y  )φ + 12 Fpp (x, y  + ζφ )φ2 ,

6.4 Condizioni del secondo ordine

93

con ζ = ζ(x) ∈ [0, 1] e φ ∈ X . Usando l’ipotesi Fpp (x, p) ≥ 0, deduciamo F (x, y  + φ ) − F (x, y  ) ≥ Fp (x, y  )φ , Integrando si ha   b [F (x, y  + φ ) − F (x, y  )] ≥ a

b

∀φ ∈ X.

Fp (x, y  )φ ,

∀φ ∈ X,

a

cio`e



b

I(y + φ) − I(y) ≥

Fp (x, y  )φ ,

∀φ ∈ X.

a

Ricordando la (6.11), si trova  b  Fp (x, y  )φ = k a

b

φ = k(φ(b) − φ(a)) = 0,

∀φ ∈ X.

a

Allora I(y + φ) − I(y) ≥ 0 per ogni φ ∈ X e quindi y `e un minimo di I. Se Fpp (x, p) > 0 allora I(y + φ) − I(y) > 0 e y `e un minimo stretto. 2 Dimostriamo ora: Teorema 6.6. Supponiamo che F ∈ C 2 ([a, b] × R × R) sia tale che la forma quadratica Q(x, y, y  )[v, w] := Fyy (x, y, y  )v 2 + 2Fyp (x, y, y  )vw + Fpp (x, y, y  )w2 , sia semidefinita positiva, risp. definita positiva, per ogni (x, y, p) ∈ [a, b] × R × R. Se y ∈ C `e un punto stazionario I in C, allora y `e un minimo, risp. minimo stretto. Dimostrazione. Calcoliamo, per una generica φ ∈ X , F (x, y + φ, y  + φ ) − F (x, y, y  ) = Fy φ + Fp φ ! " + 12 Fyy (•)φ2 + 2Fyp (•)φφ + Fpp (•)(φ )2 dove (•) = (x, y + ζφ, y  + ζφ ) per un opportuno ζ = ζ(x) ∈ [0, 1]. Possiamo riscrivere questa equazione nella forma F (x, y + φ, y  + φ ) − F (x, y, y  ) = Fy φ + Fp φ + Q(•)[φ, φ ]. Allora



b

I(y + φ) − I(y) = a

(Fy φ + Fp φ + Q(•)[φ, φ ]) dx.

b Se y `e un punto stazionario di I, risulta a (Fy φ + Fp φ )dx = 0, ∀ φ ∈ X . Allora si trova  b I(y + φ) − I(y) = Q(x, y + ζφ, y  + ζφ )[φ, φ ]dx, ∀ φ ∈ X . a

94

6 Le equazioni di Eulero-Lagrange

Se Q `e definita positiva, risp. semidefinita positiva, si deduce che I(y + φ) − I(y) > 0, ∀ φ ∈ X , resp. I(y + φ) − I(y) ≥ 0, ∀ φ ∈ X . Poich´e φ ∈ X `e arbitraria, segue la conclusione. 2 Dimostriamo ora: Teorema 6.7. Supponiamo che ⎧ ⎨ Fpp (x, y, p) ≥ α > 0, |Fyp (x, y, p)| ≤ β, ⎩ |Fyy (x, y, p)| ≤ γ, con

(b − a)2 b−a +γ . π π2 Allora ogni punto stazionario y di I in C `e un minimo stretto. α > 2β

(6.12)

Dimostrazione. Come nel teorema precedente e con le stesse notazioni, si ha  b  1 Fyy φ2 + 2Fyp φφ + Fpp φ2 dx I(y + φ) − I(y) = 2 a #  $   ≥

1 2

b

α

b

|φ |2 − 2β

a

b

|φφ | − γ

a

φ2 .

a

Usiamo ora la diseguaglianza di Poincar´e (4.26)  b  b (b − a)2 φ2 dx ≤ |φ |2 dx, ∀ φ ∈ C01 (a, b). 2 π a a

(6.13)

Usando la (6.13) e la diseguaglianza di H¨ older si trova % %   b  b  b b−a b  2 |φφ |dx ≤ φ2 |φ |2 ≤ |φ | . π a a a a Inoltre da questa equazione ed usando ancora (6.13) si ha #   b  b 1 |φ |2 − 2β |φφ | − γ I(y + φ) − I(y) ≥ 2 α a

≥

1 2

a

$

b

φ

2

a

  b (b − a)2 b−a β− α−2 γ |φ |2 . π π2 a

Allora l’ipotesi (6.12) implica I(y + φ) − I(y) > 0,

∀ φ ∈ X \ {0},

e questo completa la dimostrazione del teorema.

2

6.4 Condizioni del secondo ordine

95

Terminiamo enunciando un risultato che estende il Teorema 6.5 e verr` a usato nel capitolo successivo. Per la dimostrazione si rimanda a [5, Chap. II.6]. Teorema 6.8. Supponiamo che F ∈ C 2 ([a, b]×R×R) e risulti Fpp (x, y, p) > 0 per ogni (x, y, p) ∈ [a, b] × R × R. Allora ogni punto stazionario y di I in C `e un minimo stretto.  Corollario 6.1. Se F = g(y) 1 + p2 con g ∈ C 2 (R) tale che g(y) > 0, allora ogni punto stazionario y di I in C `e un minimo stretto per I in C. Dimostrazione. Si ha Fpp (x, y, p) = g(y)

1 > 0. (1 + p2 )3/2

2

6.4.2 Regolarit` a In tutta questa sezione le funzioni della classe C sono C 1 a tratti. Nel seguito supporremo che (∗ ) F (x, y, p) sia di classe C 1 e che Fp sia derivabile rispetto a p con derivata Fpp continua. Sappiamo che in ogni intervallo (α, β) dove y ∈ C 1 vale la (6.1) cio`e  x Fy (x, y, y  )dx + c, a < x < b. Fp (x, y, y  ) = a

Osserviamo che il secondo membro `e continuo per ogni x. Allora, se x∗ `e un punto di discontinuit` a di y  , detti p− , p+ i valori della derivata sinistra, risp. destra, di y deduciamo da (6.1) Fp (x∗ , y(x∗ ), p− ) = Fp (x∗ , y(x∗ ), p+ ).

(6.14)

Inoltre, si ha Fp (x∗ , y(x∗ ), p+ ) − Fp (x∗ , y(x∗ ), p− ) =



p+

p−

Fpp (x∗ , y(x∗ ), z)dz

e quindi, da (6.14) deduciamo 

p+

p−

Fpp (x∗ , y(x∗ ), z)dz = 0.

Da questa relazione segue subito il seguente risultato: Teorema 6.9. Sia y un punto stazionario di I e supponiamo che valga (∗ ) e che risulti Fpp (x, y(x), p) > 0 per ogni x, p ∈ R. Allora y `e di classe C 1 .

96

6 Le equazioni di Eulero-Lagrange

Definizione 6.2. Diremo che (α, β) `e un arco regolare per y se y `e di classe C 1 (α, β) e Fpp (x, y(x), y  (x)) > 0, ∀ x ∈ (α, β). Teorema 6.10. Supponiamo che valga (∗ ). Se y ∈ C `e un punto stazionario di I su C e se (α, β) `e un arco regolare per y, allora y ∈ C 2 (α, β). Dimostrazione. Per semplificare le notazioni, ometteremo la dipendenza di F da x, y. Dal teorema precedente segue intanto che y ∈ C 1 . Posto S(h) = Fp (y  (x0 + h)),

x0 ∈ (α, β),

consideriamo il rapporto incrementale Fp (y  (x0 + h)) − Fp (y  (x0 )) S(h) − S(0) = . h h Passando al limite per h → 0 troviamo S  (0) =

d Fp (y  (x0 )). dx

Usando la (6.1) (si ricordi che stiamo lavorando su un arco dove la (6.1) vale), troviamo S  (0) = Fy (y  (x0 )). D’altra parte, posto z = y  (x0 + h) − y  (x0 ) si ha anche S(h) − S(0) z = Fpp (y  (x0 ) + θh z) · , h h

θh ∈ [0, h].

Inoltre, essendo(α, β) un arco regolare, si ha: lim Fpp (y  (x0 ) + θh z) = Fpp (y  (x0 )) > 0.

h→0

Allora y  (x0 + h) − y  (x0 ) z S  (0) Fy (y  (x0 )) = lim = = .  h→0 h→0 h h Fpp (y (x0 )) Fpp (y  (x0 )) lim

Perci`o y  `e derivabile in x0 e risulta y  (x0 ) =

Fy (y  (x0 )) . Fpp (y  (x0 ))

Infine, poich´e y  `e continuo in x0 , segue che y  `e continua.

2

6.5 Metodi diretti (cenni)

97

6.5 Metodi diretti (cenni) Nelle sezioni precedenti abbiamo sempre ammesso che nei problemi variazionali considerati il minimo di I su C esistesse. Se questo accade abbiamo visto che il minimo verifica un’equazione differenziale, l’equazione di Eulero-Lagrange. Per lungo `e stato dato per scontato che il minimo esistesse. Abbiamo per`o osservato che, a volte, ci`o non `e vero. Dimostrare l’effettiva esistenza del minimo `e un problema tutt’altro che banale ed `e una delle motivazioni che ha portato Hilbert e Tonelli agli inizi del ’900 a sviluppare delle procedure che vanno sotto il nome di “metodi diretti”. Un altro problema riguarda la risolubilit` a delle equazioni di Eulero-Lagrange. In alcuni casi (vedremo degli esempi nel capitolo successivo), le equazioni (EL) si possono risolvere per quadrature. Ma in generale questo problema pu` o essere molto complicato. Per esempio, una questione aperta alla fine dell’ottocento era la risoluzione, a parte qualche caso particolare, del problema al contorno per l’operatore di Laplace (6.9). I metodi diretti permettono di provare l’esistenza delle equazioni di Eulero-Lagrange con certe condizioni al bordo, facendo vedere che i corrispondenti funzionali hanno minimo, seppure in una classe contenente funzioni meno regolari di quelle C 1 di C. Il primo risultato di questo tipo si deve a Hilbert che dimostr` o con questo approccio l’esistenza di soluzioni di (6.9). Accenneremo brevemente a ragionamenti che si fanno, fermo restando che essi richiedono delle nozioni di Analisi Funzionale che esulano dagli argomenti discussi in questi Appunti. Per una trattazione completa rimandiamo a [16] e a [6, 7, 8]. Faremo il caso particolare ma interessante in cui C = C02 ([a, b]), lo spazio delle funzioni y ∈ C 2 ([a, b]) tali che y(a) = y(b) = 0, F (x, y, p) = e



1 2 |p| + G(x, y), 2 b

I(y) =

F (x, y, p)dx. a

I punti stazionari di I in C sono soluzioni del problema al contorno  y  = Gy (x, y), x ∈ (a, b), y(a) = y(b) = 0.

(6.15)

Passo 1). Se y `e una soluzione di (6.15), moltiplicando per φ ∈ C ∞ a supporto compatto in (a, b) e integrando per parti, otteniamo  b  b y  φ dx + G(x, y)φdx = 0. (6.16) a

a

La (6.16) ha senso non appena y ha derivata quasi ovunque in (a, b) e y  `e a quadrato integrabile in (a, b). La classe di queste funzioni `e lo spazio E delle

98

6 Le equazioni di Eulero-Lagrange

funzioni assolutamente continue in (a, b), con derivata a quadrato sommabile in (a, b) e tali che y(a) = y(b) = 0. Lo spazio E dotato del prodotto scalare  b (y, v) = y  v  dx a

`e uno spazio di Hilbert. Diremo che y ∈ E `e una soluzione debole di (6.15) se  b G(x, y)vdx = 0, ∀ v ∈ E. (y, v) + a

Un concetto importante `e quello della convergenza debole in E. Si dice che la successione yk ∈ E converge debolmente a y ∈ E se (yk , v) → (y, v),

∀ v ∈ E.

Passo 2). Si dimostra che se |G(x, y)| ≤ c1 + c2 |y|α , con 0 < α < 2, allora I assume il minimo su E. Qui, oltre alle ipotesi su G, `e essenziale essere passati dallo spazio C02 ([a, b]) ad E, molto pi` u “ampio”. In altri termini pu` o accadere che I non abbia minimo in C mentre il minimo esiste in E. Inoltre gioca un ruolo fodamentale il concetto di semicontuit` a. Infatti I `e inferiormente semicontinuo rispetto alla convergenza debole. Passo 3). Si dimostra che i minimi di I su E sono soluzioni deboli di (6.15). Passo 4). Si prova che, se G `e di classe C 1 allora ogni soluzione debole di (6.15) `e di classe C 2 ed `e una soluzione classica di (6.15).

7 Alcuni problemi del Calcolo delle Variazioni

7.1 La brachistocrona Consideriamo un punto P di massa m che cade, senza attrito e soggetto solo alla forza di gravit` a, lungo una curva posta su un piano verticale e passante per due punti A = (0, 0), B = (b, b ). Indicata con C la classe delle curve con le propriet` a suddette, vogliamo trovare y ∈ C che rende minimo il tempo T (y) che il punto P impiega per andare da A a B lungo la curva y = y(x). Per calcolare T (y) procediamo nel modo seguente. Per comodit` a, prendiamo l’asse verticale rivolto verso il basso e parametrizziamo le curve in C mediante la coordinata curvilinea s ∈ [0, L] (L `e la lunghezza dell’arco di curva da A a B). Supponiamo anche che y(s) > 0 per s ∈ (0, L]. Sul punto P agisce solo la forza di gravit`a. Le equazioni della meccanica (cio`e forza=massa × accelerazione) porgono d2 s mg sin θ = m 2 dt dove mg sin θ `e la proiezione del vettore mg sulla tangente a y(s) nel punto P . ` noto che sin θ = ys := dy/ds e quindi si trova E d2 s dy =g . 2 dt ds Moltiplicando per

ds dt

si ha

ds d2 s = dt dt2 Integrando si ottiene

1 2

d dt





ds dt

ds dt

2 =g

dy dy ds =g . ds dt dt

2 = 2 g y + c.

Ambrosetti A.: Appunti sulle equazioni differenziali ordinarie DOI 10.1007/978-88-2394-9 7, © Springer-Verlag Italia 2012

100

7 Alcuni problemi del Calcolo delle Variazioni

A

b x

B y Fig. 7.1. La brachistocrona passante per A e B

Per calcolare la costante c supponiamo che nel punto A la velocit` a di P sia nulla. Allora c = 0 e quindi  2 ds = 2 g y. dt Possiamo ora calcolare T (y).  T  T (y) = dt = 0

L 0

ds √ = 2gy

 0

b



1 + y 2 √ dx. 2gy

√ Eliminando il fattore costante (ed ininfluente) 2g, possiamo concludere che il problema della brachistocrona consiste nel minimizzare nella classe C il funzionale %  b 1 + p2 T (y) = . F (y, p)dx, F (y, p) = y 0 Per metterci nelle condizioni di applicare le equazioni di Eulero-Lagrange, restringiamo la classe C a quella le cui funzioni rendono integrabile T (y) in (0, b] (si noti che per y → 0 F diverge) e supponiamo che T abbia un minimo in C di classe C 1 . Allora usiamo l’equazione (6.1) che diventa, cfr. anche (6.4), % 1 + y 2 y 2 − F − y  Fp = = k. y y(1 + y 2 ) Posto k = (2r)−1/2 , si trova y(1 + y 2 ) = 2r, con r > 0 perch`e y > 0 per x > 0. Conviene risolvere questa equazione rispetto ad y, in funzione del parametro ϑ = 2arcot(y  ). Si osservi che ϑ = 0 nel

7.1 La brachistocrona

punto A. Usando la relazione sin2

ϑ 2

y = 2r(sin2

101

= (1 + cot2 ϑ2 )−1 , troviamo

ϑ ) = r(1 − cos ϑ). 2

Per esprimere anche x in funzione di ϑ, calcoliamo dx dy r sin ϑ dx = = . dϑ dy dϑ y Poich´e y  = cot ϑ2 , si deduce dx r = sin ϑ = r(1 − cos ϑ). dϑ cot ϑ2 Integrando, x = r(ϑ − sin ϑ) + k1 . Dunque il minimo di T in C ha equazioni parametriche  x = r(ϑ − sin ϑ) + k1 , y = r(1 − cos ϑ). Determiniamo ora r e k1 in modo che la brachistocrona passi per A e B. Imponendo la condizione che y(0) = 0 si trova ϑ = 0 e quindi k1 = 0. Per determinare r imponiamo la condizione y(b) = b . Si ha 1 − cos ϑ y = . x ϑ − sin ϑ Un’analisi elementare mostra che la funzione h(ϑ) = (1 − cos ϑ)(ϑ − sin ϑ)−1 `e strettamente decrescente in (0, 2π] e verifica limϑ→0 h(ϑ) = +∞ e h(2π) = 0. Perci` o esiste un unico ϑ∗ ∈ (0, 2π] tale che b 1 − cos ϑ∗ = ∗ . b ϑ − sin ϑ∗ Posto

r∗ = b(ϑ∗ − sin ϑ∗ )−1 ,

si ha che y(b) = b . In conclusione, la brachistocrona passante per A e B `e data, in forma parametrica, da  x = r∗ (ϑ − sin ϑ) y = r∗ (1 − cos ϑ). Come `e noto, queste sono le equazioni parametriche della cicloide passante per A e B.

102

7 Alcuni problemi del Calcolo delle Variazioni

Si noti che, per 0 < ϑ < π, y `e positiva, regolare e T (y) `e integrabile in [0, b], e quindi il procedimento seguito `e completamente giustificato. Inoltre possiamo applicare il Corollario 6.1 con g(y) = y −1/2 , y > 0, e quindi dedurre che ogni punto stazionario di T `e effettivamente un minimo stretto per I.

7.2 Il principio di Fermat Consideriamo nel piano (x, y) la retta y = r e due punti A = (a, a ) e B = (b, b ) con a > r e b < r. Supponiamo che la velocit` a della luce sia v1 per a una spezzata AP B in y > r e v2 per y < r. Un raggio luminoso percorrer` modo che il tempo di percorrenza sia minimo. La legge della rifrazione di Snell stabilisce che la spezzata `e tale che (cfr. Fig. 7.2) cos α2 cos α1 = v1 v2

sin β1 sin β2 = . v1 v2

o anche

Vogliamo estendere questo risultato al caso in cui la velocit`a della luce sia una generica funzione v = v(y). Precisamente, posto σ(y) = 1/v(y) > 0, supponiamo che σ sia di classe C 1 e consideriamo il cammino ottico  b  I(y) = σ(y) 1 + y 2 dx. a

Sia C la solita classe delle funzioni y ∈ C 1 ([a, b] tali che y(a) = a , y(b) = b . Il Principio di Fermat afferma che il raggio luminoso da A a B percorre la curva y = y(x) che minimizza il cammino ottico in C. Se I ha un minimo in C di classe C 2 esso verifica (6.4) che diventa  y = k, σ(y) 1 + y 2 − y  σ(y)  1 + y 2

y

A r

β1 α1

P α2 β2 B x

Fig. 7.2. La rifrazione

7.3 Il solido di rotazione di minima resistenza in un fluido

ovvero

103

1 σ(y) ·  = k. 1 + y 2

Ponendo y  = tan α, si trova 

1 1 + y 2

= cos α,

e si ricava σ(y) · cos α = k. Ricordando che σ(y) = 1/v(y) si trova cos α = k. v(y)

(7.1)

L’equazione (7.1) estende la legga di Snell al caso in cui la velocit`a vari con regolarit` a. Poich´e σ(y) > 0, allora si pu` o usare il Corollario 6.1 con g(y) = σ(y). Ne segue che ogni punto stazionario di classe C 2 del cammino ottico I(y) `e un minimo stretto.

7.3 Il solido di rotazione di minima resistenza in un fluido In questa sezione vogliamo studiare brevemente il problema, discusso da Newton, del solido di rotazione che, muovendosi con velocit`a costante v in un fluido, offre la minima resistenza. Consideriamo la classe C = C02 ([a, b]) e sia y ∈ C. Useremo, come al solito, la coordinata curvilinea s e indicheremo con ys la derivata dx y dy = y = . ds ds 1 + y 2 Supporremo che la pressione P esercitata sul solido ottenuto ruotando la curva y = y(x) intorno all’asse x, sia perpendicolare alla superficie di rotazione e proporzionale a v 2 ys2 . Allora la resistenza offerta dal solido `e data da P ys = v 2 ys3 (cfr. Fig. 7.3). Ne segue che, a meno di un fattore costante, la resistenza totale del solido di rotazione `e espressa mediante l’integrale  b  L  (y  )3 2 3 2 2π v ys yds = 2πv y 1 + y 2 dx. 2 3/2 (1 + y ) 0 a Ne segue che il problema in questione consiste nel cercare il  b y(y  )3 2 dx. min I(y), I(y) = 2πv 2 C a 1+y

104

7 Alcuni problemi del Calcolo delle Variazioni y

v

a

b

x

Fig. 7.3. Superficie di rotazione di minima resistenza

Si noti che I che `e del tipo I(u) =

b a

F dx con

F = F (y, p) =

yp3 . 1 + p2

La corrispondente equazione (6.4) `e F (y, y  ) − y  Fp (y, y  ) = k.

7.4 La catenaria e la superficie di rotazione di area minima Consideriamo ora il problema di determinare la superficie di rotazione (intorno all’asse x) generata da una curva y = y(x), x ∈ [a, b] di area minima. Poich´e `e noto dal Calcolo che l’area della superficie di rotazione `e data da  b  2π y 1 + y 2 dx, a

allora si tratta di minimizzare  I(y) =

b

y

 1 + y 2 dx

a 2

nella classe C delle funzioni y ∈ C (a, b) tali che y(a) = a , y(b) = b . Supporremo nel seguito che a , b > 0. Possiamo applicare (6.4) ottenendo F − y  Fp = y

 y y 1 + y 2 − y  ·  = = k. 1 + y 2 1 + y 2

(7.2)

7.4 La catenaria e la superficie di rotazione di area minima

105

y

A

B

x

Fig. 7.4. La superficie di rotazione di area minima

Si noti che da (7.2) segue y2 = 1 + y 2 ≥ 1. k2 Allora da (7.2) ricaviamo l’equazione del primo ordine & y2  − 1. y = k2 Integrando, si ha con facili calcoli $ # & y2 y + − 1 = x − α. k log k k2 Risolvendo rispetto ad y, si trova la catenaria    x−α k  x−α x−α − e k + e k = k cosh . y= 2 k Dobbiamo ora trovare α, k in modo che siano verificate le condizioni y(a) = a , y(b) = b . Il procedimento che si segue `e il seguente: 1) Si trova la famiglia F , dipendente da un parametro, delle catenarie passanti per il punto (a, a ). 2) Tra le curve di F si impone la condizione y(b) = b . I calcoli dettagliati sono semplici ma lunghi e sono omessi.

106

7 Alcuni problemi del Calcolo delle Variazioni y

A

Γ B

b

g(b)

a

b

x

Fig. 7.5. Le due catenarie passanti per A e B

Quello che si trova `e questo: (i) Esiste una curva Γ di equazione y = g(x) tale che g(a) = g  (a) = 0, g > 0 per x > a e limx→+∞ g = limx→+∞ g  = +∞, che `e l’inviluppo di F . 

(ii) Se b > g(b) allora esistono due curve di F che passano per (b, b ). Se b = g(b) allora c’`e una sola curva di F che passa per (b, b ). Se b < g(b) allora non esistono curve di F che passano per (b, b ). 

Da (ii) possiamo dedurre varie cose interessanti. Se b > g(b) tutte e due le curve di F sono soluzioni della (EL). Jacobi ha dimostrato che quella che realizza il minimo `e la curva che tocca Γ nel punto di ascissa maggiore rispetto all’altra. Se invece b < g(b), allora non ci sono soluzioni della (EL) nella classe C, cio`e che vericano y(b) = b . Terminiamo con alcune considerazioni euristiche. Possiamo pensare che la superficie di rotazione generata da una catenaria sia una lamina saponata che poggia sui due cerchi, rispettivamente di centro a e raggio a e di centro b e raggio b . Se b > g(b) allora la lamina congiunge i due cerchi. Ma se b < g(b), ovvero se b  a, allora la lamina si rompe e riempie i cerchi. Quest’ultima configurazione corrisponde ad una curva formata dai tre segmenti che congiungono i punti (a, a ), (a, 0), (b, 0) e (b, b ) (cfr. Fig. 7.6). Chiaramente, questa spezzata non appartiene alla classe C.

7.5 Il problema isoperimetrico (cenni)

107

y a

A

B

b

a

b

x

Fig. 7.6. La catenaria degenere

7.5 Il problema isoperimetrico (cenni) Il problema isoperimetrico consiste nel cercare una ipersuperficie in Rn , chiusa e di area assegnata, tale che il volume racchiuso sia massimo. Nel caso particolare dei poligoni del piano, il problema `e stato affrontato da Euclide (per il rettangolo) e da altri matematici greci che hanno dimostrato che la soluzione `e data dai poligoni regolari. Steiner ha provato che in R2 , se la soluzione esiste, allora deve essere un cerchio. Tuttavia l’esistenza di una soluzione `e una questione delicata anche perch´e una ipersuperficie pu` o essere molto irregolare. Il problema nella sua generalit` a `e stato risolto solo di recente da Ennio De Giorgi sviluppando la Teoria Geometrica della Misura, iniziata da Renato Caccioppoli. Una discussione esauriente del problema isoperimetrico non rientra negli scopi di questi Appunti. Ci limiteremo ad un breve cenno, cosiderando un problema leggeremente diverso. Seguiamo l’esposizione di [11, Chap. 2, Sec. 12] e cerchiamo la curva cartesiana di equazione y = y(x) continua in [−1, 1], di classe C 1 in ] − 1, 1[, tale che y(±1) = 0 e che l’area racchiusa tra l’asse x e la curva sia massima, tra tutte quelle di lunghezza fissata L = π. Impostiamo il problema  prendendo la classe C delle funzioni y ∈ C([−1, 1]) ∩ C 1 (] − 1, 1[) 1 tali che −1 1 + y 2 dx < +∞ (cio`e siano rettificabili) e verificano y(±1) = 0. Poich`e l’area da massimizzare e la lughezza della curva y = y(x) sono date

108

7 Alcuni problemi del Calcolo delle Variazioni

rispettivamente da





1

I(y) =

ydx,

 1 + y 2 dx,

1

J(y) =

−1

−1

il problema posto consiste nel cercare il massimo di I(y) nella classe C con ` facile verficare che anche nella classe C vale il la condizione che J(y) = π. E  Teorema 6.3, con F = F (y) = y e G = G(p) = 1 + p2 . Supponiamo che il massimo esista e sia assunto in y ∈ C 2 (−1, 1). Allora dall’equazione (6.10) ricaviamo y d 1+λ  = 0, λ ∈ R. dx 1 + y 2 Segue

y x + λ = k, 1 + y 2

e da questa ricaviamo

k ∈ R,

k−x y =  . 2 λ − (k − x)2

Integrando si trova

cio`e

 y = − λ2 − (k − x)2 + k ,

k, k ∈ R,

(x − k)2 + (y − k )2 = λ2 ,

k, k ∈ R.

Le condizioni y(±1) = 0 e J(y) = π permettono di ricavare k, k e λ. Con facili calcoli si trova k = k = 0, λ = 1 e quindi x2 + y 2 = 1. Dunque y `e la semicirconferenza di centro l’origine, raggio 1 e lunghzza L = π. Si noti che y ∈ C ed `e di classe C 2 in (−1, 1). 7.5.1 La diseguaglianza isoperimetrica Vogliamo far vedere con un approccio diretto che la circonferenza di lunghezza L > 0 `e, tra le curve chiuse regolari del piano con la stessa lunghezza, quella che racchiude l’area massima. Precisamente dimostriamo il seguente risultato: Teorema 7.1 (Diseguaglianza isoperimetrica). Sia Γ una curva semplice (cio`e senza auto-intersezioni) chiusa e regolare in R2 di lunghezza L > 0. Indichiamo con A l’area racchiusa da Γ . Allora A≤

L2 . 4π

Inoltre vale l’eguaglianza se e solo se Γ `e un cerchio.

(7.3)

7.5 Il problema isoperimetrico (cenni)

109

Dimostrazione. Diamo un cenno della dimostrazione, che fa uso delle serie di Fourier, rimandando per maggiori dettagli a [15, Chap. 4]. Senza ledere la generalit` a, possiamo prendere L = 2π. Siano x(s), y(s) le equazioni parametriche di Γ dove s ∈ [0, 2π] `e la lunghezza d’arco. Dunque si ha xs 2 + ys 2 = 1, e perci`o 1 2π



2π

0

dx dy , ys = ) ds ds

(xs =

(7.4)

[xs 2 + ys 2 ]ds = 1.

Poich´e Γ `e chiusa, x(s), y(s) sono funzioni 2π-periodiche il cui sviluppo in serie di Fourier `e dato (con notazione complessa) da +∞ 

x(s) =

an eins ,

+∞ 

y(s) =

n=−∞

bn eins ,

(i2 = −1),

n=−∞

con an = a−n e an = a−n (z denota il complesso coniugato di z). Derivando si trova +∞ +∞   ins xs (s) = inan e , ys (s) = inbn eins . n=−∞

n=−∞

Da (7.4) e dall’identit` a di Parseval, cfr. ad es. [15, Cap. 3], segue +∞  n=−∞

2

|n|

(|a2n

1 + |bn | ) = 2π 2

 0

2π

[xs 2 + ys 2 ]ds = 1.

(7.5)

Inoltre

+∞   1 2π [x(s)ys (s) − xs (s)y(s)]ds = π n(an b−n − bn a−n ) . A= 2 0 n=−∞

Allora da

|an b−n − bn a−n | ≤ 2|an | |bn | ≤ |an |2 + |bn |2 ,

da |n| ≤ n2 e da (7.5) segue che A≤π

+∞ 

n2 (|an |2 + |bn |2 ) = π.

n=−∞

Questo mostra la diseguaglianza isoperimetrica (con L = 2π). Se poi A = π dal fatto che |n| < |n|2 per |n| > 1, si deduce che deve risultare an = bn = 0 per n = ±1 e quindi x(s) = a0 + a1 eis + a−1 e−is ,

y(s) = b0 + b1 eis + b−1 e−is .

` facile verificare che queste sono le equazioni della circonferenza di centro E l’origine, raggo 1 e lunghezza 2π. 2

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Indice analitico

analisi qualitativa, 14 autofunzione, 57 autovalore, 57

– stabile, 75 equilimitata (successione), 10 esistenza globale, 8 estremale, 86

brachistocrona, 99 cammino ottico, 102 catenaria, 104 condizione iniziale, 1 condizioni al bordo, 55 contrazione, 4 diseguaglianza – di H¨ older, 94 – di Poincar`e, 72 – isoperimetrica, 108 equazione – alle variazioni, 21 – caratteristica, 31 – del pendolo, 52 – di Bernoulli, 17 – di Bessel, 34 – di Clairaut, 13 – di Eulero, 36 – di Eulero-Lagrange, 84 – di Van der Pol, 42, 80 – integrale, 2 – omogenea associata, 28 equazioni – esatte, 12 – newtoniane, 88 equicontinua (successione), 10 equilibrio, 19 – asintoticamente stabile, 75 – instabile, 75

fattore integrante, 13 flusso, 5 funzionale, 83 funzione – di Green, 64 – di Lyapunov, 78 – globalmente lipschitziana, 2 – localmente lipschitziana, 2 funzioni di Bessel, 35 fuoco, 26 geodetiche, 89 identit` a di Picone, 73 integrale – generale, 30 – primo, 77 lagrangiana, 88 Legendre, 92 lemma di Gronwall, 6 matrice esponenziale, 32 nodo, 24 onda solitaria, 48 oscillatore – armonico, 25 – armonico nonlineare, 40 piano delle fasi, 37

114

Indice analitico

principio – del massimo, 67 – delle Contrazioni di Banach, 4 – di Fermat, 102 problema – di Cauchy, 2 – di Dirichlet, 88 – isoperimetrico, 107 punti fissi, 4 punto stazionario, 86 sella, 22 sistema autonomo, 19 – conservativo, 76 – di Lotka-Volterra, 52, 81

– fondamentale di soluzioni, 29 sistemi hamiltoniani, 77 soprasoluzione, 67 sottosoluzione, 67 spazio di Banach, 3 stabilit` a, 75 teorema – di Ascoli-Arzel` a, 10 – di confronto, 16 – di confronto per gli autovalori, 63 – di Peano, 10 Wronskiano, 28

Collana Unitext – La Matematica per il 3+2 A cura di: A. Quarteroni (Editor-in-Chief) L. Ambrosio P. Biscari C. Ciliberto G. van der Geer G. Rinaldi W.J. Runggaldier Editor in Springer: F. Bonadei [email protected] Volumi pubblicati. A partire dal 2004, i volumi della serie sono contrassegnati da un numero di identificazione. I volumi indicati in grigio si riferiscono a edizioni non pi`u in commercio. A partire dal 2011, la serie publica anche libri in lingua inglese. A. Bernasconi, B. Codenotti Introduzione alla complessit`a computazionale 1998, X+260 pp, ISBN 88-470-0020-3 A. Bernasconi, B. Codenotti, G. Resta Metodi matematici in complessit`a computazionale 1999, X+364 pp, ISBN 88-470-0060-2 E. Salinelli, F. Tomarelli Modelli dinamici discreti 2002, XII+354 pp, ISBN 88-470-0187-0 S. Bosch Algebra 2003, VIII+380 pp, ISBN 88-470-0221-4 S. Graffi, M. Degli Esposti Fisica matematica discreta 2003, X+248 pp, ISBN 88-470-0212-5

S. Margarita, E. Salinelli MultiMath - Matematica Multimediale per l’Universit`a 2004, XX+270 pp, ISBN 88-470-0228-1 A. Quarteroni, R. Sacco, F.Saleri Matematica numerica (2a Ed.) 2000, XIV+448 pp, ISBN 88-470-0077-7 2002, 2004 ristampa riveduta e corretta (1a edizione 1998, ISBN 88-470-0010-6) 13. A. Quarteroni, F. Saleri Introduzione al Calcolo Scientifico (2a Ed.) 2004, X+262 pp, ISBN 88-470-0256-7 (1a edizione 2002, ISBN 88-470-0149-8) 14. S. Salsa Equazioni a derivate parziali - Metodi, modelli e applicazioni 2004, XII+426 pp, ISBN 88-470-0259-1 15. G. Riccardi Calcolo differenziale ed integrale 2004, XII+314 pp, ISBN 88-470-0285-0 16. M. Impedovo Matematica generale con il calcolatore 2005, X+526 pp, ISBN 88-470-0258-3 17. L. Formaggia, F. Saleri, A. Veneziani Applicazioni ed esercizi di modellistica numerica per problemi differenziali 2005, VIII+396 pp, ISBN 88-470-0257-5 18. S. Salsa, G. Verzini Equazioni a derivate parziali – Complementi ed esercizi 2005, VIII+406 pp, ISBN 88-470-0260-5 2007, ristampa con modifiche 19. C. Canuto, A. Tabacco Analisi Matematica I (2a Ed.) 2005, XII+448 pp, ISBN 88-470-0337-7 (1a edizione, 2003, XII+376 pp, ISBN 88-470-0220-6)

20. F. Biagini, M. Campanino Elementi di Probabilit`a e Statistica 2006, XII+236 pp, ISBN 88-470-0330-X 21. S. Leonesi, C. Toffalori Numeri e Crittografia 2006, VIII+178 pp, ISBN 88-470-0331-8 22. A. Quarteroni, F. Saleri Introduzione al Calcolo Scientifico (3a Ed.) 2006, X+306 pp, ISBN 88-470-0480-2 23. S. Leonesi, C. Toffalori Un invito all’Algebra 2006, XVII+432 pp, ISBN 88-470-0313-X 24. W.M. Baldoni, C. Ciliberto, G.M. Piacentini Cattaneo Aritmetica, Crittografia e Codici 2006, XVI+518 pp, ISBN 88-470-0455-1 25. A. Quarteroni Modellistica numerica per problemi differenziali (3a Ed.) 2006, XIV+452 pp, ISBN 88-470-0493-4 (1a edizione 2000, ISBN 88-470-0108-0) (2a edizione 2003, ISBN 88-470-0203-6) 26. M. Abate, F. Tovena Curve e superfici 2006, XIV+394 pp, ISBN 88-470-0535-3 27. L. Giuzzi Codici correttori 2006, XVI+402 pp, ISBN 88-470-0539-6 28. L. Robbiano Algebra lineare 2007, XVI+210 pp, ISBN 88-470-0446-2 29. E. Rosazza Gianin, C. Sgarra Esercizi di finanza matematica 2007, X+184 pp,ISBN 978-88-470-0610-2

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40. C. Canuto, A. Tabacco Analisi Matematica II 2008, XVI+536 pp, ISBN 978-88-470-0873-1 2010, ristampa con modifiche 41. E. Salinelli, F. Tomarelli Modelli Dinamici Discreti (2a Ed.) 2009, XIV+382 pp, ISBN 978-88-470-1075-8 42. S. Salsa, F.M.G. Vegni, A. Zaretti, P. Zunino Invito alle equazioni a derivate parziali 2009, XIV+440 pp, ISBN 978-88-470-1179-3 43. S. Dulli, S. Furini, E. Peron Data mining 2009, XIV+178 pp, ISBN 978-88-470-1162-5 44. A. Pascucci, W.J. Runggaldier Finanza Matematica 2009, X+264 pp, ISBN 978-88-470-1441-1 45. S. Salsa Equazioni a derivate parziali – Metodi, modelli e applicazioni (2a Ed.) 2010, XVI+614 pp, ISBN 978-88-470-1645-3 46. C. D’Angelo, A. Quarteroni Matematica Numerica – Esercizi, Laboratori e Progetti 2010, VIII+374 pp, ISBN 978-88-470-1639-2 47. V. Moretti Teoria Spettrale e Meccanica Quantistica – Operatori in spazi di Hilbert 2010, XVI+704 pp, ISBN 978-88-470-1610-1 48. C. Parenti, A. Parmeggiani Algebra lineare ed equazioni differenziali ordinarie 2010, VIII+208 pp, ISBN 978-88-470-1787-0 49. B. Korte, J. Vygen Ottimizzazione Combinatoria. Teoria e Algoritmi 2010, XVI+662 pp, ISBN 978-88-470-1522-7

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