APLICACIONES DE LAS DERIVADASresueltos [PDF]

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EJERCICIOS RESUELTOS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA E INTEGRAL A LA ECONOMÍA Y ADMINISTRACIÓN    DERIVADAS Producción y productividad   1.

Un estudio de productividad en el turno matinal en una cierta fábrica indica que un trabajador medio que llega al trabajo a las 8.00 a.m. habrá ensamblado después.

 radio transistores x horas

¿En qué momento de la mañana esta actuando el trabajador con máxima eficacia?

 Cantidad de radios producida por hora=  Para hallar el momento en que es mas eficiente, encontraremos en que hora el trabajador alcanza su mayor nivel de producción, para ello derivaremos la función de producción e igualaremos la primera derivada a cero, mientras que para demostrar que realmente es la máxima producción calcularemos la segunda derivara, la cual debe ser negativa para demostrar el máximo nivel de producción.

 

 

                 t no puede ser -1 ya que el tiempo no se puede expresar en unidades negativas  Ahora comprobaremos que es la máxima productividad.

  2.

   y como  

 

Un fabricante ha estado vendiendo bombillas a 6 dólares cada una y, a este precio, los consumidores han estado comprando 6,000 bombillas por mes. El fabricante desearía elevar el precio y estima que por cada dólar de incremento en el precio se venderán 1,000 bombillas menos cada mes. El fabricante puede producir las bombillas a un coste de 4 dólares por bombilla. ¿A qué precio debería vender el fabricante las bombillas para generar al mayor beneficio posible?

               P1=6                          Q1=6000

                P2=6+x                          Q2=6000-1000x                              C = 4x   Ahora estableceremos la función beneficio la cual la derivaremos para poder calcular el máximo beneficio y si la 2da derivada es negativa comprobaremos lo dicho.  

      y        

 

Entonces diremos que el fabricante para obtener más beneficios lo que debe hacer es reducir el precio en 0.002 hasta 5.998 3.

Un cultivador de agrios de Tambogrande estima que si se plantan 60 naranjos, la producción media por árbol será de 400 naranjas. La producción media decrecerá en 4 naranjas por árbol adicional plantado en la misma extensión. ¿Cuántos árboles debería plantar el cultivador para maximizar la producción total?

 Árboles de naranja= AN1= 60                      Producción media= PM1 = 400 

AN2 = 60 + x                                                                                             PM2 = 400 – 4x   Producción total = PT = (60 + x) (400 – 4x) PT = 2400 + 160x – 4x2 Para maximizar PT            

 PN = 60 + x = 60 + 20 = 80  Oferta y demanda 4.

Las funciones de oferta y demanda de un cierto articulo son S(p)=4p + 200 y D(p)= -3p +480, respectivamente. Halle el punto de equilibrio y el correspondiente número de unidades ofertadas y demandadas, y dibuje las curvas de oferta y demanda en el mismo conjunto de ejes.  S(p)=4p + 200                        D(p)= -3p +480 

En punto de equilibrio:   S(p) = D(p)                  4p + 200 = -3p +480                   7p = 280                  p = 40  S(40)=4(40) + 200=360                      D(40)= -3(40) +480=360 

 

5.

Suponga que las funciones de oferta y demanda de un cierto artículo son S(p) = ap + b y D(p) = cp + d, respectivamente.

a) ¿Qué puede decir sobre los signos de los coeficientes a, b, c y d si las curvas de oferta y demanda están orientadas como muestra el siguiente diagrama?

Si S(p) = ap + b tiene el comportamiento de una oferta y considerando que en el eje de las ordenadas se encuentra q y en el de las abcisas p, concluimos que:                                          a > 0       y      b < 0 Mientras que   D(p) = cp + d  tiene el comportamiento de una demanda, tenemos que:                                          c < 0      y      d > 0  b)  Exprese el precio de equilibrio en términos de los coeficientes a, b, c y d.  En equilibrio   S(p) = D(p)

                                                           a p + b = c p + d         c)  Use su respuesta de la parte b) para determinar que le sucede al precio de equilibrio cuando a crece.

 Si   d)  Use su respuesta de la parte b) para determinar qué le sucede al precio de equilibrio cuando d crece.

 Si 

 

6.

La demanda de consumo para un cierto artículo es D(p) =  -200p +  12.000 unidades por mes cuando el precio de mercado es de p dólares por unidad.

a)    Dibuje esta función de demanda.

  b)  Exprese el gasto total mensual de los consumidores para el artículo como una función de p. (El gasto total mensual es la cantidad total de dinero gastado por los consumidores cada mes en el artículo.) 

GT = p (-200p + 12000)  GT = - 200p2 +12000p  c)  Dibuje la función gasto total mensual.  

e)

Use el gráfico de la parte c) para estimar el precio de mercado que genera el mayor gasto de consumo

Para determinar con qué precio se obtendrá el mayor gasto tendremos que derivar el gasto. 

   Así también se demuestra en el grafico de c

  Costos  7.

Un camión está alquilado para transportar mercancías desde una fábrica a un almacén. El salario del conductor ha sido fijado por horas y así es inversamente proporcional a la velocidad a la que conduce el camión. La cantidad de gasolina gastada es directamente  proporcional a la velocidad a la que conduce el camión, y el precio de la gasolina permanece constante durante el viaje. Demostrar que el coste total es menor a la velocidad para la cual el salario del conductor es igual al coste de la gasolina usada.

Si:       salario del conductor :

Precio de gasolina =

            CT = 

 +

.G =

                                      cantidad de gasolina gastada: G=kv

=

 + kv

                                  coste de la gasolina usada:

.G

 

Se pide demostrar que cuando el coste total es menor, el salario del conductor es igual al coste de la gasolina usada, cuando la velocidad minimiza el costo.

      Es decir que

>0,  entonces 

 = kv

 

, pero  también lo podemos expresar así:

 = kv

 Con esto queda demostrado.            8.

Suponga que el coste total  (en dólares) de fabricación de q unidades viene dado por la función  C (q) = 3q2 + q + 48.

a.    Exprese el coste medio de fabricación por unidad como una función de q. 

Cme = b.     ¿Para qué valor de q es menor el coste medio?  

c.    ¿Para qué valor de q es igual el coste medio al coste marginal? Compare este valor con su respuesta de la parte b).  Primero hallamos el costo marginal

 

Ahora igualamos el Cme y el Cmg

Podemos deducir que el valor obtenido es del mismo valor que en la pregunta b), con lo cual se puede deducir que el punto en el que se intercepta el costo marginal con el costo medio es justo cuando el costo medio esta en su mínimo. d.    En el mismo conjunto de ejes represente las funciones de coste total, coste marginal y coste medio.

9.

Una caja cerrada con base cuadrada debe tener un volumen de 250 metros cúbicos. El material para el suelo y la tapa de la caja cuesta 2 dólares por metro cuadrado y el material para los lados cuesta un dólar por metro cuadrado. ¿Puede construirse la caja por menos de 300 dólares?

   V = a2b = 250               ab=250/a                           CT = costo de base + costo de lados   CT= s/.2 (2xa2) + s/.1(4xab) 

  CT= 4a2+2x  

= 4a2 +

10. Una empresa manufacturera recibe un pedido de q unidades de cierto artículo. Cada una de las máquinas de la empresa puede producir n unidades por hora. El costo de puesta en marcha es s dólares por máquina y el costo de operación es p dólares por hora. a)    Obtenga una fórmula para hallar el número de máquinas que deben emplearse para mantenerse costo total lo más bajo posible.  SOLUCIÓN   C total = Costo de puesta en marcha + Costo de operación. También x = número de máquinas. El costo de puesta en marcha de es = sx. Además el costo de operación = k/x. Nótese que q artículos a n artículos por hora resulta (q art.) / (n art./h) = q/n horas y en p horas qp/n por lo que el costo de operación es =qp/nx.  b) Demuestre que el costo total es mínimo cuando el costo de puesta en marcha de las máquinas sea igual al costo de operación de éstas. Costo total es entonces = sx + (qp)/(nx) donde la variable independiente es x. La primera derivada es C' = s - (qp)/(nx²) = 0 qp/nx² = s             qp/nx = sx     es decir que el costo de operación = costo de puesta en marcha  11.

Una empresa de artículos electrónicos utiliza 600 cajas de transistores cada año. El costo de almacenamiento de una caja durante un año es 90 centavos, y los gastos de envío son $30.00 por pedido. ¿Cuántas cajas debe solicitar la empresa en cada envío para mantener el costo total en un mínimo?

 SOLUCIÓN   En 600 cajas a x cajas por pedido el número de pedidos es = 600/x. Costo de solicitud a $30 cada uno = (30)(600)/x = 18,000/x. El costo de almacenamiento = (x/2)(.90)= .45x El costo total es C = .45x + (1800/x). Su derivada es C = .45 - (1800/x²) = 0 .45x² = 1800 x = sqr(18000/.45) = 200 cajas  

Probaremos que este valor hace un mínimo en C: La segunda derivada es C'' = 36,000/x³ y si hacemos x=200, resulta C'' >0 que es la condición necesaria y suficiente para hacer un mínimo.  12. Por medio de sus estaciones autorizadas, una compañía petrolera distribuye 16,000 mapas de carreteras cada año. El costo de poner en marcha una impresora para editar los mapas es $100.00 por cada jornada de producción. Además, los costos de producción son 6 centavos por mapa y los costos de almacenamiento son 20 centavos por mapa al año. Los mapas se distribuyen a un ritmo uniforme durante el año y se imprimen en lotes iguales, espaciados, de manera que cada uno llega justo cuando el anterior se ha agotado. ¿Cuántos mapas debe imprimir la compañía petrolera en cada lote para minimizar el costo?  SOLUCIÓN  16,000 mapas a x mapas por jornada, resulta un número de jornadas = 16,000/x Costo de puesta en marcha = 100 (16,000/x) = 1'600,000/x Costo de producción = (.06) (16,000) = $ 960.00 Costo de almacenamiento = (x/2)(.20) = .1x Costo total C = 960 + (1'600,000 /x) + .1x La derivada es C' = 0 - (1'600,000/x²) + .1 = 0 1'600,000 /x² = .1 x = sqr (1'600,000 / .1) x = 4,000 mapas 13. Suponga que el costo total, en dólares, de fabricar q unidades de cierto artículo es  R(q) = -2q²+68q-128 a)    ¿En qué nivel de ventas el ingreso medio por unidad es igual al ingreso marginal? b) Verifique que el ingreso medio sea creciente si el nivel de ventas es inferior al nivel del literal a) y decreciente si el nivel de ventas es superior al del literal a). Revisaremos si el ingreso medio es creciente y decreciente en un intervalo donde q>8 y donde q 8, digamos 9 R'm (9) = -2 + 128/81 = -2 + 1.58 = cifra negativa, por lo tanto Rm es decreciente. Probemos para q