Aplicaciones de La Integral Definida en La Ingeniería [PDF]

Zitiervorschau

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA EN LA INGENIERÍA

CALCULO II

DOCENTE: NUVIA GALINDO

LAURA VALENTINA PRIETO DUQUE

COD: 48181052 BOGOTÁ D.C 2018

RESUMEN: El cálculo integral es de gran importancia en muchas áreas de estudio, que van desde la economía hasta la biología y la química, pasando por campos importantes como la física y la ingeniería, por medio del cálculo integral áreas como la ingeniería pueden estudiar fenómenos como el cálculo de volúmenes, áreas, y superficies. El cálculo integral tiene varias aplicaciones como en aerodinámica, la mecánica de fluidos, la dinámica, el análisis de estructuras, entre otros. Para poder hacer uso de las integrales definidas es importante tener un previo conocimiento de las ciencias naturales y las matemáticas. PALABRAS CLAVES: Integrales, ingeniería, matemáticas, integral definida. ABSTRACT: The integral calculus is of great importance in many areas of study, ranging from economics to biology and chemistry, through important fields such as physics and engineering, through integral calculus areas such as engineering can study phenomena such as calculation of volumes, areas, and surfaces. The integral calculation has several applications such as aerodynamics, fluid mechanics, dynamics, structural analysis, among others. To be able to make use of definite integrals, it is important to have prior knowledge of the natural sciences and mathematics. KEY WORDS: Integrals, engineering, mathematics, definite integral.

INTRODUCCIÓN: En este trabajo se pretende dar a entender de una manera más especifica el uso de las integrales definidas, mostrándole al estudiante las fórmulas matemáticas necesarias para poder dar solución a las integrales. Se desarrolla este tema para profundizar y entender más el tema de la integral definida esto con el fin de entender de una mejor manera el propósito del curso. Este tema será desarrollado a lo largo del semestre guiados por la docente y los trabajos de practica que serán entregados para desarrollar a lo largo. Todo esto se realiza con el fin de mejorar las habilidades en los estudiantes de resolver las integrales en general y problemas matemáticos propuestos a lo largo del curso. OBJETIVOS: 

OBJETIVOS GENERALES: Dar a conocer al estudiante el uso de las integrales definidas en la ingeniería química.

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OBJETIVOS ESPECIFICOS: Explicar cómo se aplican las integrales en la ingeniería.

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Explicar matemáticamente un problema de la ingeniería el cual pueda ser resuelto por medio de las integrales definidas.

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Reconocer las principales aplicaciones de las integrales definidas.

MARCO TEÓRICO: LA INTEGRAL: “En matemática, el termino Integral tiene un concepto más complejo, en vista que la integral de una función F consiste en el área bajo la curva delimitada por los extremos de esta y sus proyecciones sobre uno de los ejes.” (Anonimo, 2014). La integración es un concepto

fundamental en el análisis matemático, básicamente la integral es la suma de infinitos sumandos demasiados pequeños. En una función la integral la integral nos muestra datos relevantes de áreas que son determinadas bajo una curva, también son utilizadas para determinar la generación de solidos generados por la revolución de ello, esto es conocido como la anti-derivada ya que esta es la encargada de revocar el efecto generado por la diferenciación de la función provocando asi que la función derivada vuelva a su estado inicial. 

APROXIMACIÓN DEL ÁREA BAJO LA CURVA:

El área bajo la curva es el principal proceso para poder desarrollar de manera adecuada el concepto de integral. Esta está definida por el trazo de rectángulos entre f(x) y el eje x los cuales tienen una anchura finita y una altura f la cual es igual al valor de la función que hallamos en el centro del intervalo. 𝑁

Á𝑟𝑒𝑎 ≅ ∑ 𝑓𝑖 ∆x 𝑖=1

(Nave, s.f.) Ejemplo: Imagen 1.1

Fuente: https://sites.google.com/site/arribaelcalculointegral/area-bajounacurva

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INTEGRAL DEFINIDA:

Se utiliza para determinar valores de áreas las cuales son limitadas por curvas y rectas, donde se tiene un intervalo (a, b) en donde cada uno de sus puntos x, se define como una función f (x) la cual es igual o mayor a 0 en los puntos a, b. se llama integral definida al área de proporción del plano la cual se encuentra limitada por dicha función, esta se denota por la ecuación matemática: 𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

(Departamento de Educación, s.f.) 𝑏−𝑎

Si f es una función continua en el intervalo (a, b) y x = 𝑎 + 𝑖 (

𝑛

), entonces esta sería una

integral definida de Riemann la cual está dada por la ecuación matemática: 𝑛

𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∑ 𝑓(𝑥) 𝑎

𝑛→∞

𝑖=1

𝑏−𝑎 𝑛

(Jorge Alexander Rincon Acosta, 2017) 

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO:

“La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que:” (Departamento de Educación, s.f.)

Por medio del teorema del cálculo integral podemos definir un método para calcular la integral definida de una función en un intervalo a, b el cual es conocido como la Regla de Barrow la cual

establece que la integral definida en un intervalo cerrado a, b es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G (x) de f (x), en los extremos del intervalo. 𝑏

𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ⌈𝐺(𝑥)⌉ = 𝐺(𝑏) − 𝐺(𝑎) 𝑎 𝑎 (Jorge Alexander Rincon Acosta, 2017) PROBLEMA DE INTEGRAL DEFINIDA EN LA INGENENIERÍA QUÍMICA: Sea un flujo definido por una distribución de velocidades tal como: 𝑢=

𝑥 𝑦 ;𝑣 = ;𝑤 = 0 1+𝑡 1 + 2𝑡

Halle la línea de corriente, senda o trayectoria y la línea de traza que en el instante t = 0 pasa por el punto (X0, Y0, Z0) Resolución Puesto que w = 0, el flujo es bidimensional y, todas las líneas de corriente serán paralelas al plano XY. La determinación de las líneas de corriente se basa en la ecuación:

Integrando para t = cte., queda:

Para calcular las constantes, se impondrá la condición: s=0; x=X0; y=Y0, y se obtendrá C1= X0; C2= y0; Eliminando s, queda:

Reagrupando en x e y, se obtendrá:

Se obtiene así la ecuación de las líneas de corriente que pasan por (x0, y0) en cualquier instante t:

La línea de corriente será una línea inclinada 45º que pasa por el punto (X0, Y0), ver figura 7.1:

Las líneas de corriente se pueden determinar también utilizando la ecuación:

Sustituyendo los valores de u y v se obtiene:

De donde:

Integrando entre límites, se obtiene:

De donde:

O bien:

Véase que se obtiene la misma ecuación que en el apartado anterior. Las sendas o trayectorias se determinan integrando las ecuaciones A y B.

Integrando:

Aparecen dos nuevas constantes, k’1 y k’2, que corresponden a ek1 y ek2 Aplicando las condiciones de contorno t=0, x=X0, y=Y0, queda:

Eliminando el tiempo se obtiene la ecuación de la senda o trayectoria.

Ésta se muestra en la figura 7.2. Véase que no coincide con la ecuación de la línea de corriente en t=0. Para hallar la línea de traza, se parte de las ecuaciones integradas de las sendas, ecuaciones C y D, y se calcula la familia de partículas que pasaron por (X0, Y0) en instantes ε < t. Así pues, para t = ε, x =X0, y =Y0, se obtiene:

Estas expresiones corresponden a las líneas de traza que pasan por (X0, Y0) en cualquier instante t. Para t =cte., se igualan los valores de ε de las dos ecuaciones.

Línea también representada en la figura 7.2. Físicamente, la línea de traza refleja el comportamiento de las líneas de corriente antes del instante t =0, mientras que la senda refleja lo que ocurre después. Una línea de traza se genera experimentalmente por medio de la inyección continua de partículas marcadas (tinta, humo o burbujas) desde un punto fijo. Como última observación, cabe decir que, en caso de flujo estacionario, las líneas de traza, senda y corriente coinciden.

Ejercicio tomado de: Mecanica de fluidos. Problemas resueltos. (Graño, 2006)

CONCLUSIONES: INTRODUCTION: It was found that through the defined integrals can study a wide range of problems associated with engineering, because sometimes we do not see the importance of studying these variables because we believe they have no use and that it is useless to study these variables. The defined integrals are a subject with a broad solution facilitating the determination of certain areas that with a simple mathematical equation can not carry out this process. DEVELOPMENT: In chemical engineering applications were found at the time of implementing the integrals because in matters such as balances of matter and fluid mechanics allows us to find a more complete solution to the problems raised as we saw in the exercise carried out throughout the job. Managing the defined integrals in chemical engineering is of the utmost importance since it helps us to find the values of the limitations we have in the problems that arise in some occasions. Besides helping us with this aspect, they help us find the volumes of the chemical compounds in a more exact way. Besides this they are necessary to be able to find differential equations in the application of mixtures and in thermodynamics.

CONCLUSION: • The management of the integrals defined in each of the engineering is of utmost importance because they cover a wide field of mathematical solutions, which facilitate the engineer when solving a problem. • In chemical engineering they are important because by means of a single equation you can find variables that are extremely important to carry out the necessary procedures to arrive at a solution to the problem posed. REFERENCIAS Anonimo. (26 de 05 de 2014). ConceptoDefinición.De. Obtenido de ConceptoDefinición.De: https://conceptodefinicion.de/integral/ Anonimo. (s.f.). Arriba el calculo integral. Obtenido de Arriba el calculo integral : https://sites.google.com/site/arribaelcalculointegral/area-bajounacurva Departamento de Educación, U. e. (s.f.). hiru.eus. Obtenido de hiru.eus: https://www.hiru.eus/es/matematicas/la-integral-definida Graño, J. M. (2006). Mecanica de Fluidos. Problemas resueltos. Barcelona: ServicePoint. Jorge Alexander Rincon Acosta, S. M. (2017). Integrales. En S. M. Jorge Alexander Rincon Acosta, Evolucion Matemáticas 11 (pág. 227). Bogotá D.C: Editorial Norma. Nave, M. O. (s.f.). HyperPhysics. Obtenido de HyperPhysics: http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu/hbasees/hframe.html