Anonimo, Algorismus dal Cod. AD. XII. 53 della Biblioteca Nazionale Braidense di [PDF]

Zitiervorschau

QUADERNI DEL CENTRO STUDI DELLA MATEMATICA MEDIOEVALE Collana diretta da L. Toti Rigatelli e R. Frane!

ANONIMO

ALGORISMUS dal Cod. AD. XII. 53 della Biblioteca Nazionale Braidense di Milano

I *

?T K

\

a cura e con introduzione di

Università degli Studi di Siena

INTRODUZIONE

La cultura matematica occidentale nell’alto Medio Evo, acquisita la non ricca eredità lasciata dai romani, ebbe un periodo particolarmente florido della durata di alcuni decenni a cavallo dell’anno Mille; illustrate e alle stampe abbiamo le opere composte dai dotti d’ol­ tralpe che l’animarono, fra questi primeggia Gerberto d’Aurillac poi Silvestro secondo papa. Giungiamo così al dodicesimo secolo segnato da due avvenimenti determinati da versioni dall’arabo in latino: la prima è quella degli Elem enti di Euclide com­ piuta da Adelardo di Bath, la seconda alquanto libera e d ’ignoto è quella di un trattato di ispirazione indiana dovuto a Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (sec. IX) svolta con l’uso sistematico della numerazione di tipo posizionale e conservato nella University Library (li. 6. 5.) di Cambridge. Questa versione fu pubblicata per la prima volta da Baldassarre Boncompagni^ e successiva­ mente da altri; recentemente André Allard la riproduce in un importante volume^ Questa opera e quelle che ne derivarono col no­ me di algorism us erano destinate a sicura fortuna che però non fu di lunga durata giacché all’inizio del se ­ colo successivo comparve il L ib e r a b a c i di Leonardo Pisano che in una prima stesura porta la data 1202. ' T rattati d ’a ritm e tic a p u b b lic a ti d a B a ld a s s a r r e B o n co m p agn i [...] I. Algoritm i de num ero Indorum-, Roma, Tipografia delle scienze fisiche e matematiche, 1857. ^ Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, Le calcu l indien-, par André Allard, Paris-Namur, Blanchard, 1992.

Varie sono le cause dell’aversi opere denominate algorism us e algorism o in tempi successivi all’impresa leonardiana: Tesser prodotti ove tardava la conoscenza di questa, ovvero la felice esposizione che le rendeva sufficienti in talune situazioni. Reputo importanti la ricerca e lo studio di queste non frequenti opere, partendo ovviamente da quelle così denominate che sono invece vere derivazioni del­ l’opera di Leonardo e dovrebbero portare il nome di Libro d ’ahaco.

Il codice AD. XII. 53 della Biblioteca Nazionale Braidense di Milano, m em branaceo e m iscellaneo, contiene scritture di mani diverse che trattano la mate­ matica e l’astronomia: una di quest’ultime è scritta in francese mentre tutte le altre sono scritte in latino; una notizia sulle vicende passate da questo codice é data da qu esta nota che le g g e si a f. Ir: “C ollegii Coloniensis Societatis lesu. 1721 ex donatione J. B. A. prepositi Congregationis cremonensis Clericorum S. P. Nerii”. Ai f. 10r-17r si trova un a lg o ris m u s trecentesco opera d ’ignoto di cui ebbi già di occuparmi in passa­ to,^ scritto in carattere gotico e che ora pubblico inte­ ramente con estrema fedeltà, limitandomi allo sciogli­ mento delle abbreviature. Così, con più agevole lettura, vien posto a dispo­ sizione degli studiosi un documento di sicura impor­ tanza per la storia della matematica medioevale onde trarne considerazioni e problematiche varie; prima di concludere questa nota anticipo qualcosa di mio. Gino Arrighi, Un ab aco adespoto (Ms. AD. XII. 53- N. 3 ) della Biblioteca Braidense di Milano; “Physis”, XXIV (1982), 285-293.

La parola alg o rism u s discende notoriamente dal­ l’attributo al-Khwarizmi dell’antico matematico arabo mostrando la sua terra d’origine, Khwarizm, la regione dell’Asia centrale sul basso corso dell’Oxus a sud del lago di Arai; ma il nostro autore la spiega invece co­ me unione delle parole A lgus nome di philoso ph us e rism us da p\)0)ió(; dove al posto del 0 si preferisce la 5 in luogo del th di rhytmus. Ancora nella prima parte vien dato l’elenco degli argomenti che verranno trattati e qui possiam o do­ m andarci il m otivo di avervi m e d ia tio e d u p la t io quando poi si avranno divisio e m ultiplicatio. Nella parte destinata alla n u m e ra tio si trovano i numeri da 1 a 9 procedendo da destra verso sinistra quale retaggio arabo riaffermato più sotto. Infine ritengo che l’autore abbia voluto portar no­ biltà alla sua opera e, per dirla alla greca, dopo tanta logistica o aritmetica pratica aggiunga un qualche trat­ to di a ritm e tica o aritmetica speculativa avvalendosi di lontani ricordi delle opere di Nicomaco da Cerasa e Teone Sm irneo o m eglio della m eno lontana A ritm e tica di Severino Boezio che pure cita. Infine questo testo può interessare anche i lingui­ sti ad esempio per il titella che si legge nella trattazio­ ne della m e d ia tio e che non si trova nel G lossarium mediae et in fim a e la tin ita tis del Du Cange. Gino Arrighi R in g ra z io v iv a m e n te la g e n til P ro f. L a u ra T o ti Rigatela p e r a v e rm i p ro c u ra to le fo to g ra fie del m a n o ­ scritto originale.

ALGORISMUS

(Codice Braidense AD. XII. 53; ff. lOr - 17r)

11

Omnia que a primeva rerum origine processerunt ratione numerorum formata sunt et quem adm odum sunt sic cognosci habent unde in universa rerum cognitione est ars num erandi operativa. Hanc igitur scienciam numerandi compendiosam philosophus edidit nomine Algus unde et algorismus nuncupatur vel ars numerandi vel ars introductoria in numerum interpretatur. Numerus quidam duplicitur notificatur; materialiter enim ut numerus est unitates collecte, formaliter ut numerus est unitatum collectio, vel numerus est multitudo ex unitatibus profusa. Unitas vero est qua unaqueque res una demonstratur. Numerorum alius digitus, alius articulus, alius com positus sive mixtus. Digitus quidem est omnis numerus minor denario. Articulus est omnis numerus qui potest dividi in decem partes equales ita quid nichil sit residuum, com­ positus sive mixtus est qui constat ex digito et articulo et sciendum que omnis numerus inter duos articulos proximos est numerus compositus. Huius autem artis .ix. sunt species: numeratio, additio, subtractio, mediatio, duplatio, multiplicatio, divisio, progressio et radicum extractio et hoc dupliciter que in numeris quadratis et cubicis. Inter quas primo de numeratione et postea de aliis per ordinem dicetur.

12 ,

Est autem numeratio cuiuslibet numeri per figuras competentes, artificialis representatio. Figura vero dieta locus et limes idem sunt, scilicet a diversis rationibus imponuntur, figura enim dicitur quantum ad linee protractionem. Differentia vero quam per illam ostenditur qualiter figura sequens differe a precedente locus dici­ tur ratione spacis in quo scribitur limes vero que est via ordinata ad cuiuslibet numeri representationem. Sciendum etiam que iuxta .ix. limites inveniuntur, .ix. figure significative .ix. digitos representantes que tales sunt .0 .9 .8.7.6.5.4.3.2.1. Decima vero dicitur theca sive circulus vel cifra, videlicet figura nichili que nichil significat; ipsa tum locum tenens dat aliis significare, nam sine cifra vel sine cifris purus non potest scribi articulus. Cum igitur per has figuras significativas adiunctas quandoque cifre quandoque cifris contingat quem libet numerum representare, non fuit necesse plures figuras significativas invenire. Notandum est igi­ tur que quilibet digitus una sola figura sibi apropriata hic scribi. Omnis vero articulus per cifram et digitum a quo denominatur ille articulus hic scribi quam quilibet articulus ab aliquo digito denominatur, ut denarius ab unitate, vigenarius a binario et ita de aliis. Omnis vero numerus in eo quod digitus hic poni in prima dextra, articulus in secunda. Omnis quidem numerus qui est a .X. usque ad centum, ut centenarius excludatur, duabus figuris hic scribi. Si sit articulus per cifram primo positam et figuram scriptam versus sinistram que significat digitum a quo denominatur ille articulus. Si sit numerus compositus, primo scribatur digitus, qui est pars illius compositi et sinistretur articulus ut prius. Omnis numerus qui est a centum usque ad mille ita

13

quod millenarius excludatur hic scribi per 3 figuras. Omnis numerus a mille usque ad decem milia per 4 et ita deinceps. Notandum etiam que quelibet figura pri­ mo loco posita significai suum digitum, secundo loco decies suum digitum, tertio cencies, quarto millesies, quinto decies m illesies, sexto .c. m illesies, septim o millesies millesies et sic in infinitum multiplicando per hec tria .lOes.lOOes.lOOOes... Que tamen omnes in hac comprehenduntur maxima: quelibet figura sequenti lo­ co posita decies tantum significat quam in precedenti. Et sciendum quod super quamlibet figuram loco millenarii positam competenti potest poni quidam punctus ad denotandum que tot millenarios debet in ultima fi­ gura representare quot fuerint puncta per transita. Sinistrorsum autem scribimus in hac arte more arabum huius scientie inventorum. Vel hac ratione ut in legendo consuetum ordinem servantes maiorem numerum proponamus. Additio est numeri vel numerorum ad numerum aggregatio ut videatur summa excrescens. In additione duo ordines figurarum et duo numeri ad minus sunt necessarii, scilicet numerus addendus et numerus cui debet fieri additio. Numerus addendus est ille qui de­ bet addi ad alium et debet subscribi. Numerus vero cui debet fieri additio est ille qui recipit additionem alterius et debet superscribi. Quam competencius est ut minor numerus subscribatur et minori addatur quam econverso. Sed sive sic fiat sive sic semper idem perveniet. Si velis igitur numerum numero addere scribe numerum cui debet fieri additio in superiori ordine per suas dextras numerum vero addendum in inferiori per suas ita quod prima figura inferioris ordinis sit sub

14

prima superioris ordinis et secunda sub secunda et similiter de aliis. Hoc facto addatur prima inferioris ordi­ nis prime figure superioris. Ex tali igitur additione aut excrescit digitus aut articulus aut numerus compositus. Si digitus loco superioris delete scribatur digitus excrescens. Si articulus loco superioris delete scribatur cifra et transferatur digitus a quo denominatur ille articulus versus sinistram et addatur proxime figure sequenti, si sit figura sequens secundum autem ponatur loco va­ cuo. Si autem contingat quod figura sequens cui debet fieri additio articuli sit cifra ea deleta scribatur digitus articuli. Si vero contingat quod sit figura novenarii et ei debet addi unitas loco illius novenarii scribatur cifra et sinistretur articulus ut prius. Si excedat numerus compositus loco superioris delete scribatur digitus qui est pars illius compositi et sinistretur articulus sicut prius. Hoc facto secunda secunde addatur sibi superposite ut prius. Notandum est etiam quod in additione et in omnibus sequentibus speciebus, quando una alii directe supponitur, utendum est qualibet figura in ope­ rando ac si per se poneretur. Et hec sufficiant de addi­ tione. Subtractio est, ex p ro p o sitis d u obu s num eris, maioris ad minorem excessus inventio vel subtractio est numeri a numeris ablatio, ut videatur summa reli­ eta. Minor autem de malore vel par de pari subtrahi potest, maior vero de minori numquam. Ille quidem numerus maior est qui plures habet figuras dum modo ultima sit significativa. Si autem tot sunt in uno sicut in reliquo iudicandum est per ultimas vel per penultimas si ultime sint pares et sic deinceps. In sotractione duo numeri sunt necessarii scilicet numerus subtrahen-

15

dus et numerus a quo debet fieri subtractio. Numerus a quo debet fieri subtractio scribendus est in superiori ordine per suas dextras. Numerus subscrivendus est in inferiori per suas, ita que prima sit sub prima, secunda sub secunda et sic de aliis. Subtrahe igitur primam in­ ferioris ordinis a figura superioris sibi superposita et il­ la aut erit par figure sibi superposite aut maior aut mi­ nor. Si par ea deleta loco eius scribatur cifra propter figuras sequentes ne minus significent. Si maior deleatur ab ea tot unitates quot continet inferior figura et residum loco eius ponatur. Si minor quare maior de minori subtrahi non potest mutuetur a figura proxima sequenti unitas que valet decem respectu figure precedentis. Ab ilio igitur denario et a figura a qua debuit fieri subtractio similiter iunctis subtrahatur figura infe­ rior et residuum ponatur loco figure delete. Sed si fi­ gura a qua mutuanda est unitas sit unitas ea deleta lo­ co eius scribatur cifra ne figure sequentes minus signi­ ficent et deinde operare ut prius. Si autem figura a qua mutuanda est unitas sit cifra recedatur ulterius ad figuram significativam et ibi mutuare unitatem et in redeundo loco cuiuslibet cifre pertransite ponatur figura novenarius. Cum igitur perventum fuerit ad illam figu­ ram de qua intenditur remanet tantum denarius. Ab il­ io igitur denario subtrahatur figura inferior, etc.. Causa autem quare loco cuiuslibet cifre pertrapnsite relinquitur figura novenarii hoc est. Si a tercio loco mutuetur unitas illa respectu figure a qua debuit fieri subtractio valuit 100. Sed loco cifre pertransite relinquitur nove­ narius qui valet 90. Unde remanet tanem denarius et eadem erit racio si a quarto vel quinto vel deinceps mutuetur unitas. Hoc autem facto subtrahe secundam

16

inferioris ordinis a sua superiori et negociandus est ut prius. Sciendum est etiam que tam in additione quam subtractione possum us bene a sinistra parte incipere tendendo versus dextram scilicet ut docebatur fiet comodius. Si autem probare velis utrum benefeceris nec negatur figuras quas prius habuisti adde superioribus et occurrent eedem figure quas prius habuisti si recte feceris. Similiter in additione, cum omnes figuras addideris, subtrahe easdem quas prius addidisti et occurrent eedem figure, si recte feceris. Est enim subtractio additionis probatio et econverso. Mediatio est numeri propositi medietatis inventio, ut videatur que et quanta sit illa medietas. In mediatione tantum unus ordo figurarum et unicus numerus est medius scilicet numerus mediandus. Si velis igitur aliquem numerum mediare scribatur ille numerus per suas dextras et incipe a dextris scilicet a prima figura versus dextram. Si ergo illa fuerit significativa aut igitur representabit unitatem aut alium digitum. Si unitatem loco eius delete ponatur cifra prope figuras sequentes ne minus significent que scribatur illa unitas exterius in tabula. Vel resolvatur in 60 minuti et una medietas illorum abiciatur reliqua reservetur exterius in tabula scilicet 30. Vel scribatur exterius figura dimidii sic dimidium cum sua titella que nullum ordinis obtinet locum attamen significar aliquid scilicet que illa medietas duplata in suum locum recipiatur in duplatione. Sed si prima figura significet alium digitum ab unitate ille aut par aut inpar erit, si par loco eius scribatur medietas illius paris si inpar sume proximum parem sub ilio contentum et pone medietatem eius loco illius inparis.

17

De unitate autem que remanet medianda fac ut prius. Hoc quod facto medianda est secunda et si sit cifra postremum tractatur intacta. Si vero sit significativa aut par aut inpar erit. Si par loco eius delete scribatur eius m edietas. Si inpar sum e proxim um parem sub ilio contentum et loco illius inparis delete ponatur eius medietas. Unitas autem que remanet medianda respectu precedentis valet 10. Dividatur ergo ille denarius in duos quinarios et unius illorum abiciatur reliquus, addatur figura precedenti. Si autem cifra fuerit, cui debet addi, deleatur et loco eius scribatur quinarius et sic operandum est donec talis numerus medietur. Duplatio est numeri propositi ad seipsum aggregatio, ut videatur summa excrescens. In duplatione tan­ tum unus numerus est necessarius et inchoandum est a sinistra sive a figura malori. Hoc est sive figuram maiorem numerum representantem. In tribus autem precedentibus inchoamus a dextra et figura minori. In hac quidem specie et in omnibus sequentibus inchoa­ mus a sinistra unde versus. Subscribis autem addis a dextris vel mediabis. A leva dupla divide multiplica. Extrahe radicem duplam sub parte sinistra. Quoniam si a prima figura incipias duplare contingit quinque idem bis duplare et licet aliquo modo possemus operari incipiendo dextras difficilior tum erit doctrina et operatio. Si igitur velis aliquem numerum duplare scribatur ille primo versus suas dextras et dupletur ultima. Ex il­ la igitur duplatione aut excrescit digitus aut articulus aut numerus compositus. Si digitus loco illius delete scribatur digitus excrescens. Si articulus loco illius de­ lete scribatur cifra et transferatur articulus versus sinistram. Si numerus compositus loco illius delete scriba-

18

tur digitus qui est pars illius compositi et sinistretur articulus. Hoc facto duplanda est penultima et quicquid excreverit negociandum est ut prius. Si vero occurrerit cifra relinquenda est intacta. Sed is aliquis numerus debeat cifre addi loco illius delete scribatur numerus addendus. Eodem modo operandum est in omnibus aliis. Probatio huius talis est. Si recte duplaveris media et si recte mediaveris dupla et occurrent tibi eaedem figure quas prius habuisti. Est enim mediatio duplationis probatio et econverso. Multiplicatio est numeri per se vel per alium, propositis duobus numeris, tercii inventio qui totiens contineat alterum illorum quot sunt unitates in reliquo. In multiplicatione duo numeri principaliter sunt necessarii scilicet numerus multiplicandus et numerus multiplicatoris. Numerus multiplicandus nominalem recipit appelationem. Numerus vero multiplicans adverbialiter designatur. Potest etiam tercius numerus assignari qui productus dicitur perveniens ex ductione unius in alte­ rum. Notandum etiam quod de multiplicante potest fieri multiplicandus et econverso manente semper eadem sum m a et hoc est quod com m uniter dicitur. Omnis numerus in se convertitur multiplicando. Sunt autem 6 multiplicationis regule. Quando enim digitus multiplicat digitum subtrahendus est minor digitus ab articulo sue denominationis per dictam maioris digiti ad denarium denario simul conputato. Verbi gratia si velis scire quot sunt quatuor 8 vide quot sunt unitates inter 8 e 10 denario simul conputato et patet quod due. Subtrahatur igitur quaternarius bis a quadraginta et remanent 32 scilicet summa tocius multiplicationis.

19

Quando digitus multiplicat articulum ducendus est di­ gitus in digitum a quo denominatur ille articulus et quelibet unitas valet 10 et quilibet denarius valet 100. Quando digitus multiplicat numerum compositum du­ cendus est digitus in utramque partem numeri conpo­ siti ita quod digitus in digitum per primam regulam in articulum per secundam postea producta iungantur et erit summa totius. Quando articulus multiplicat articu­ lum ducendus est digitus a quo denominatur unus il­ lorum in digitum a quo denominatur alter et quelibet unitas valebit 100 et quilibet denarius valet 1000. Quando articulus multiplicat numerum conpositum decendus est digitus denominationis articuli in utramque partem conpositi et coniungantur producta et patebit summa. Quando numerus conpositus multiplicat nu­ merum conpositum ducenda est utraque pars numeri multiplicantis in utramque partem multiplicandi et sic ducetur bis digitus quare semel in digitum et semel in articulum. Articulus similiter bis semel enim in digitum et semel in articulum. Hic tamen ubique articulus non nisi ad principales extendatur articulos. Si velis igitur numerum aliquem per se vel per alium multiplicare scribe numerum multiplicandi in superiori ordine per suas dextras numerum vero multiplicantem in inferiori per suas ita tamen quod figura prima inferioris ordinis sit sub ultima superioris. Quo facto ducenda est ultima multiplicantis in ultimam multiplicandi. Ex ilio igitur ductu aut excrescit digitus aut articulus aut numerus conpositus. Si digitus ex directo superposito figure multiplicantis scribatur digitus excrescens. Si articulus ex directo multiplicantis scribatur cifra et transferatur articulus versus sinistram. Si numerus conpositus ex

20

directo figure multiplicantis scribatur digitus illius con­ positi et sinistretur articulus ut prius. Hoc facto ducenda est penultima multiplicantis in ultimam multiplicandi et quicquid excreverit negociandum est et prius. Et sic fiat de omnibus figuris multiplicantis donec veniatur ad primam que ducenda est in ultimam multiplicandi que ex ilio ductu aut excrescit digitus et c. Si di­ gitus loco superioris delete scribatur digitus excrescens. Si articulus loco superioris delete scribatur cifra et sinistretur articulus. Si numerus conpositus in loco superioris delete scribatur illius conpositi et sinistretur articulus ut prius. Hoc autem facto anteriorande sunt figure numeri multiplicantis per unicam differentiam ita scilicet quod prima multiplicantis sic sub penultima multiplicandi reliquis similiter per unum locum anterioratis. Quo facto ducenda est ultima multiplicantis in illam multiplicandi sub qua est prima multiplicantis. Et ex ilio ductu aut excrescit digitus et c. Si digitus ex di­ recto figure sibi superposite addatur. Si articulus transferatur versus sinistram. Si numerus conpositus adda­ tur figure superposite digitus et sinistretur articulus. Similiter quelibet figura numeri multiplicantis ducenda est in penultimam multiplicandi donec veniatur ad pri­ mam multiplicantis ubi operandum est quemadmodum docebatur de prima. Deinde ut prius anteriorande sunt figure numeri multiplicantis per unicam differentiam nec cessandum est a tali anterioratione nec a tali du­ ctu quousque quelibet figura numeri multiplicantis ducatur in quamlibet multiplicandi. Si autem contingat quod prima figura numeri multiplicantis sit cifra et ei superponatur figura significativa loco illius superioris delete scribenda est cifra. Si autem occurat cifra inter

21

primam et ultimam inferioris ordinis et directe super­ ponatur figura significativa relinquenda est intacta. Si vero spacium superpositum sit vacuum in eodem spacio scribenda est cifra. Si cifra sit inter primam et ulti­ mam numeri multiplicandi anteriorandus est ordo figurarum numeri multiplicantis per duas differentias quem ex ductione alicuius figure in cifram nichil resultat. Ex predictis patet quod si prima figura numeri multipli­ candi sit cifra sub ea non debet fieri anterioratio. Sciendum etiam quod in multiplicatione, divisione et radicum extractione competentur per reliqui spacium vacuum inter duos ordines figurarum ut ibi ponatur quod provenit addendum aut subtrahendum, ne aliquid memorie intercidat. Divisio numeri per numerum est, propositis duobus numeris, maioris in tot partes distributio quot sunt unitates in minori. Notandum igitur quod in divisione 3 sunt numeri necessarii scilicet numerus dividendus et numerus dividens sive divisor et numerus denotans quociens sive numerus exiens. Numerus autem divi­ dendus sem per debet esse maior scilicet saltem par numero divisori si divisio debeat fieri per integrum. Si velis igitur aliquem numerum per alium dividere scribe numerum dividendum in superiori ordine per suas dextras divisorem vero in inferiori per suas ita quod ultima divisoris sit sub ultima dividendi penultima sub penultima et ita de aliis si conpetenter fieri possit. Sunt enim due cause quare ultima sub ultima collocari non potest scilicet aut quare ultima inferioris non potest subtrahi ab ultima superioris eo quod minor est superior inferiori aut quare licet ultima possit aliquociens subtrahi a sua superiori relique non possunt to-

22

ciens a suis superpositis ut si ultima inferioris sit par figure sibi superposite penultima vero sive ante ultima sic maior. His itaque ordinatis incipiendum est operari sub ultima figura numeri divisoris que videndus est quociens possit subtrahi a figura sibi superposita ita quod tociens possint subtrahi relique a sibi superposi­ tis et a residuo si aliquid fuerit residuum. Et notandum quod non contingit pluries quam novies subtrahere nec minus quam semel. Viso igitur quociens figure in­ ferioris ordinis possint subtrahi a suis superioribus scribendus est numerus denotans quociens ex directo superposito illius figure sub qua est prima figura nu­ meri divisoris et per illam figuram subtrahende sunt omnes figure inferioris ordinis a suis superioribus. Hoc autem facto anteriorande sunt figure numeri divisoris per unicam differentiam versus dextram que negociandum est ut prius. Si autem ita contingat post anteriorationem que non aliquociens possit subtrahi ultima di­ visoris a figura sibi superposita super figuram sub qua est prima divisoris directa scribenda est cifra in ordine numeri denotantis quociens et anteriorande sunt figure ut prius. Similiter faciendum est ubicumque contingit in numero dividendo quod divisor non possit subtrahi ponenda est cifra et c. et anteriorande sunt figure nec cessandum est a tali anterioratione nec a numeri deno­ tantis quociens positione nec a ductu numeri quociens in divisorem nec a divisoris subtractione donec prima divisoris sit subtracta a prima dividendi. Quo facto aut aliquid erit residuum aut nichil. Si aliquid reservetur exterius in tabula et erit minus semper divisore. Si igi­ tur scire velis quot unitates de numero dividendo eveniant cuiuslibet unitati numeri divisoris numerus quo-

23

ciens idem ostendet. Cum itaque facta fuerit talis divisio et probare velis utrum bene feceris nec ne multiplica numerum denotantem quociens per divisorem et redibunt eedem figure quas prius habuisti si nichil fue­ rit residuum. Si vero aliquid fuerit residuum, tunc cum additione illius residui redibunt eedem figure et ita moltiplicatio probat divisione et econverso, ut si facta multiplicatione dividatur productum per multiplicantem, exibunt in numero denotante quotiens figure nu­ meri multiplicandi. Progressio est numerorum scilicet equales excessus ab unitate vel binario vel a quolibet alio sumptorum aggregatio, ut universorum summa compendiose habeatur. Progressionum autem alia naturalis sive con­ tinua alia intercisa sive discontinua. Naturalis est quan­ do incipit ab unitate et non omittitur aliquis numerus scilicet 1, 2, 3, 4, 5, 6, et sic deinceps. Et sic semper numerus sequens superat precedentem unitate tamen. Intercisa est quando omititur aliquis numerus uniformiter ut 1, 3, 5, et c. Similiter a binario potest incipere ut 2, 4, 6, que sic semper numerus sequens superat pre­ cedentem duabus unitatibus. Notandum igitur quod de progressione naturali due dantur regule. Quando enim progressio naturalis terminatur in numerum parem per medietatem ipsius multiplica numerum proximum tota­ li superiorem verbi gratia 1, 2, 3, 4. Multiplica quinarium per binarium scilicet bis 5 et exibunt 10 summa tocius progressionis. Quando autem progressio natura­ lis terminatur in numerum imparem per maiorem portionem ipsius multiplica numerum totalem verbi gratia 1. 2. 3. 4. 5 multiplicetur quinarius per ternarium scili­ cet ter 5 et resultabit quindenariarus summa totius

24

progressionis. De progressione intercisa similiter due dantur regule. Quando enim progressio intercisa terminatur in numerum parem per medietatem illius multiplica numerum proximum medietati superiorem ut 2, 4, 6. multiplicetur quaternarium ternarium scilicet ter 4 et resultabit duodenarius summa tocius progressionis. Quando vero progressio intercisa terminatur in numerum imparem, multiplica maiorem portionem per se ipsam; verbi gratia .1 .3 .5. multiplicetur ternarius per se ipsum sic ter .3. et erit .9. summa tocius progressio­ nis. Sequitur de radicum extractione que primo in numeris quadratis unde videndum quid sit numerus quadratus et que sit radix numeri quadrati que quid sit radicem extrahere. Prenotanda tamen est haec divisio. Numerorum alius linearis alius superficialis alius quadratus alius cubicus sive solidus. Linearis est qui consideratur tantum penes processum non respectu ad ductionem numeri in numerum. Sicut linea tantum habet unicam dimensionem scilicet longitudinem sine latitu­ dine. Numerus superficialis est qui pervenit ex ductu numeri in numerum. Unde dicitur superficialis quoniam duos habet numeros denotantes vel mensurantes se ipsum sicut superficies duas habet dimensiones sci­ licet longitudinem et latitudinem. Hec sciendum quod numerus dupliciter potest duci in numerum quare aut semel aut bis. Si igitur semel ducatur in numerum hoc erit aut in se aut in alium. Si in se sit numerus quadratus. Si vero ducatur in alium sit numerus superficia­ lis et non quadratus. Ut binarius ductus in ternarium constituet senarium numerum superficialem et non quadratum unde per que omnis numerus quadratus

25

est superficialis et non convertitur. Radix numeri qua­ drati est ille numerus qui ita ducitur in se ut bis due sunt 4. Quaternarius igitur est primus numerus quadra­ tus et binarius est eius radix. Quibus dicitur numerus quadratus quare divisim scriptus per unitates habebit latera equalia ad modum quadranguli. Si autem nume­ rus bis ducatur in numerum constituet solidum unde numerus solidus est qui pervenit ex duplici ductu nu­ meri in numerum. Quibus dicitur solidus quam sicut solidum et corpus 3 habet dimensiones scilicet longitu­ dinem latitudinem et spissitudinem ita numerus iste habet 3 numeros producentes se. Sed numerus iste potest dupliciter duci in numerum quare aut in se ipsum aut in alium. Si agitur numerus bis ducatur in se vel semel in suum quadratum quod idem valet sit numerus cubicus. Et dicitur cubicus ab hoc nomine cubus cubi quod est solidus. Est enim cubus corpus 6 habens superficies 9 angulos et 12 latera. Si vero aliquis numerus ducatur in alium sit numerus solidus et non cubicus ut bis tre bis qui constituit 12. Unde patet que omnis numerus cubicus est solidus que non con­ vertitur. Omnis etiam solidus superficialis scilicet non econverso. Ex predictis etiam patet quod idem nume­ rus est radix numeri quadrati et cubici non tamen radices illius erit idem quadratus et cubicus. Patet etiam quod omnis numerus potest esse radix numeri quadra­ ti et cubici scilicet non omnis numerus quadratus et cubicus. Cum igitur ex ductu unitatis in se semel vel bis nichil perveniat nisi unitas sicut dicit Boetius in Arismetica que unitas potencialiter omnis numerus est ullius tamen actu. Notandum etiam quod mittit quoslibet quadratos proximos est unum medium proportio-

26

naie quod pervenit ex ductu radicis unius quadrati in radicem alterius. Idem inter duos cubicos quoslibet proximos est duplex medium proportionale scilicet minus medium et maius. Minus medium pervenit ex du­ ctu radicis maioris cubici in quadratum minoris. Maius si ducatur radix minoris cubici in quadratum maioris. Cum itaque ultra summam numerorum solidorum in arte presenti non fiat processus tantum proprie 9 nu­ merorum limites distinguntur. Est enim limes numerorum eiusdem nature extremis contentorum terminis continua ordinatio unde primus limes est 9 digitorum continua progressio. Secundus vero articulorum principalium. Tercius centenariorum. Quartus millenariorum. Tres etiam resultant in compositis per digitorum appositionem super quousque predictorum 3 articulorum et si alter alteri proponatur. Sed per finalis termini rationem ex millenarii receptione super se quousque alio precedente semel per modum quadratorum aut bis per modum solidorum resultant penultimus limes et ultimus. Radicem numeri quadrati extrahere est, proposito aliquo numero, radicem eius quadratam invenire, si numerus propositus sit quadratus. Si vero non sit quadratus, radicem maximi quadrati sub numero proposito contenti invenire. Si velis igitur radicem quadratam alicuius numeri extrahere scribe numerum per suas dexteras et conputa numerum figurarum utrum sit par vel inpar. Si par incipiendum est operari sub penulti­ ma. Si inpar ab ultima. Que ut breviter dicatur senper ab ultima inpari incipiendum est. Sub ultima igitur fi­ gura in inpari loco posita inveniendus est quidam digitus qui ductus in se deleat totum superpositum respec-

27

tu sui vel in quantum vicinius potest. Tali autem digito invento et a superiori subtracto duplandus est ille digitus et duplatum ponendum est sub prima figura ante­ riori versus dextram et eius subduplum sub ilio. Quo facto inveniendus est quidam digitus sub proxima fi­ gura ante duplatum qui ductus in duplatum deleat to­ tum superpositum respectu duplati deinde ductus in se deleat totum su p erp ositu m resp ectu sui vel in quantum vicinius potest. Vel potest ita subtrahi digitus inventus ut ducatur in duplatum vel duplata et postea in se. Deinde illa duo producta simili addantur ita quod prima figura ultimi producti addatur ante primam primi producti. Secunda pure et sic deinceps. Que totali numero subtrahatur respectu digiti inventi. Si autem contingat quod non possit aliquis digitus inveniri tunc ponenda est cifra sub cifra sub tercia figura anteriori. Que anteriorandum est primum duplatum cum suo subduplo. Nec cessandum est a tali digiti inventione nec a digiti inventi duplatione hec a duplatorum anterioratione nec etiam a subdupli subduplato positione donec sub prima figura inventus fuerit qui­ dam digitus qui ductus in omnes duplatos deleat to­ tum superpositum respectu duplatorum. Deinde ductus in se deleat totum respectu sui vel in quantum vici­ nius potest. Quo facto aut aliquid erit residuum aut nichil. Si nichil constat quod numerus propositus fuit quadratus que eius radix est digitus ultimo inventus cum subduplo vel subduplis ita tamen quod propona­ tur. Si aliquid fuerit residuum constat quod numerus propositus non fuit quadratus. Sed digitus et c. est ra­ dix maximi quadrati sub numero proposito contenti. Si velis igitur probare utrum bene feceris nec negatur

28

multiplica digitum ultimo inventum cum subduplo vel subduplis per eundem digitum cum subduplo vel subduplis que redibunt eedem figure quas prius habuisti si nichil fuerit residuum. Sed si aliquid fuerit residuum tunc cum additione illius residui redibunt eedem figu­ re quas prius habuisti vel que prius fuerunt. Sequitur de radicum extractione in numeris cubicis. Unde videndum est quod sit numerus cubicus queque sit eius radix que quid sit radicem cubicam extrahere. Sit igitur numerus cubicus sicut patet ex predictis qui pervenit ex ductu alicuius numeri bis in se vel semel in suum quadratum. Radix cubici est ille numerus qui ita est bis ductus in se vel semel et c. Unde patet quod numerus cubicus et quadratus eandem habent radicem sicut su p eriu s dictum est. Radicem autem cubicam extrahere est numeri propositi radicem cubicam invenire, si numerus propositus sit cubicus. Si vero non sit cubicus tunc radicem cubicam extrahere est maximi cubici sub numero proposito contenti radicem invenire. Proposito igitur aliquo nu­ mero cuius radicem velis extrahere primo computande sunt figure per quadratos sive per loca millenariorum et sub loco ultimi millenarii inveniendus est quidam digitus qui ductus in se cubice deleat totum superpositum respectu sui vel in quanto vicinius potest. Quo facto triplandus est ille digitus et triplatum ponendum est sub tertia figura proxima versus dextram et subtriplum sub triplo. Deinde inveniendus est quidam digi­ tus sub proxima figura ante triplatum qui etiam cum subtriplo ductus in triplatum postea sine subtriplo du­ ctus in productum deleat totum superpositum respectu triplati. Deinde ductus in se cubice deleat totum su-

29

perpositum respectu sui vel in quantum vicinius pote­ st. Hoc facto triplandus est ille digitus iterum et tripla­ tum ponendum sub proxima figura tertia ut prius et eius subtriplum sub eo que postea anteriorandum est primum triplatum cum suo subtriplo per duas dextras. Deinde inveniendus est quidam digitus sub proxima fi­ gura ante triplata qui cum subtriplo ductus in triplata et c. Nec cessandum est a talis digiti inventione nec a digiti inventi triplatione, nec a triplata anterioratione per duas dextras nec a sub tripli sub triplo positione nec a tali multiplicatione nec a tali subtractione donec perventum fuerit ad primam figuram superioris ordinis sub qua inveniendus est quidam digitus cum sub triplis et c. D einde ductus in se cubice et c. Eodem etiam quod productum perveniens ex ductu digiti in­ venti cum sub triplo vel sub triplis in triplata et postea fine sub triplo vel sub triplis in productum que iterum productum perveniens ex ductu digiti inventi in se cu­ bice possunt addi et similiter subtrahi a totali numero superposito respectu digiti inventi et idem est ac si fiat divisim. Hoc facto aliquid erit residuum aut nichil. Si nichil constat quod numerus propositus fuit cubicus et eius radix est digitus ultimo inventus propositus sub triplo vel sub triplis que radix si ducatur in se per po­ stea in productum erunt eedem figure que prius. Si vero aliquid fuerit residuum constat quod numerus ille non fuit cubicus. Sed digitus ultimo inventus cum sub triplis est radix maximi cubici sub numero proposito contenti que radix si ducatur in se que postea in pro­ ductum emergit maximus cubicus sub numero propo­ sito contentus et illi cubico additur residuum servatuum in tabula et erunt eedem figure que prius.

30

Si autem aliquis digitus post anteriorationem inveniri non possit scribenda est cifra sub cifra sub quarta figura versus dextram et anteriorande sunt figure ut prius. Eodem autem que si in numero proposito non sit aliquis locus millenarii incipiendum est operari sub prima figura. In hac etiam radice subtrahendi solent quidam distinguere numerum per ternarios et semper incipere operari sub prima figura ultimi ternarii sive completi sive incompleti qui modus operandi idem est cum predicto. Et hoc de radicum extractione sufficiant tam in numeris cubicis quam quadratis. Explicit.