Analysis für Informatiker: Grundlagen, Methoden, Algorithmen [1 ed.] 3-540-21991-9 [PDF]

Zitiervorschau

eXamen.press ist eine Reihe, die Theorie und Praxis aus allen Bereichen der Informatik für die Hochschulausbildung vermittelt.

Michael Oberguggenberger Alexander Ostermann

Analysis für Informatiker Grundlagen, Methoden, Algorithmen

Mit 161 Abbildungen und 7 Tabellen

123

Michael Oberguggenberger Universität Innsbruck Institut für Technische Mathematik, Geometrie und Bauinformatik Technikerstr. 13 6020 Innsbruck Österreich E-mail: [email protected]

Alexander Ostermann Universität Innsbruck Institut für Mathematik Technikerstr. 25 6020 Innsbruck Österreich E-mail: [email protected] Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar.

ISSN 1614-5216 ISBN 3-540-21991-9 Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere d ie der Übersetzung , des Nachdr ucks , des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005 Printed in The Netherlands Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutzgesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Text und Abbildungen wurden mit größter Sorgfalt erarbeitet. Verlag und Autor können jedoch für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Satz: Druckfertige Daten der Autoren Herstellung: LE-TeX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Umschlaggestaltung: KünkelLopka Werbeagentur, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier 33/3142/YL - 5 4 3 2 1 0

Vorwort

Mathematik und mathematisches Denken bilden Grundpfeiler der Informatik. Gerade deswegen muss sich die Mathematiklehre im Informatikstudium der Frage des Lehrkonzepts, der Stoffauswahl und der Motivation immer neu stellen. Dies trifft insbesondere auf die Analysis zu, deren Bedeutung in einem Umfeld vermittelt werden muss, das vom Denken in diskreten Strukturen gepr¨ agt ist. Eine Analysisvorlesung im Informatikstudium muss einerseits die unbedingt ben¨ otigten Grundkenntnisse vermitteln, andererseits aber auch die Bedeutung der Analysis in Anwendungen betonen, speziell in solchen, mit denen Informatikerinnen und Informatiker in ihrem Berufsfeld zu tun haben. Wir sehen einen Bedarf, die Mathematiklehre in der Informatikausbildung unter neue didaktische Prinzipien zu stellen und zeitgem¨aß zu strukturieren. Eine Antwort geben wir mit diesem Lehrbuch, das wir aus den folgenden Konzepten heraus entwickelt haben: 1. 2. 3. 4.

Algorithmischer Zugang; Schlanke Darstellung; Verwendung und Erstellung von Software als integraler Bestandteil; Betonung von Modellbildung und Anwendungen der Analysis.

Der Inhalt des Buchs bewegt sich im Spannungsfeld zwischen Mathematik, Informatik und Anwendungen. Hier kommt dem algorithmischen Denken ein hoher Stellenwert zu. Der von uns gew¨ ahlte algorithmische Zugang beinhaltet: a. Entwicklung der Konzepte der Analysis aus algorithmischer Sichtweise; b. Erl¨ auterungen und Erkl¨ arungen unter Zuhilfenahme von MATLAB- und maple -Programmen sowie von Java-Applets; c. Computerexperimente und Programmieraufgaben als Anregung zur aktiven Erarbeitung des Lehrstoffs; d. Behandlung von grundlegenden Konzepten und Verfahren der numerischen Analysis im unmittelbaren Anschluss an die Theorie.

VI

Vorwort

In diesem Sinn greifen wir mit dem Buch das von Bruno Buchberger vertretene Konzept einer algorithmischen Vermittlung von Mathematik auf. Unter schlanker Darstellung verstehen wir, dass wir den Lehrstoff an jeder Stelle bewusst auf die essentiellen Ideen reduziert haben. Zum Beispiel behandeln wir die allgemeine Konvergenztheorie von Potenzreihen nicht, wohl aber die Taylorentwicklung mit Absch¨ atzung des Restglieds (die Taylorentwicklung ist f¨ ur Modellbildung und Numerik ein unerl¨assliches Werkzeug und wurde deshalb ins Buch aufgenommen). Um einen z¨ ugigen Lesefluss zu erreichen, werden Beweise im Haupttext nur ausgef¨ uhrt, wenn sie wesentliche Ideen einf¨ uhren und zum Verst¨ andnis der Konzepte beitragen. Um im Beispiel oben fortzufahren, wird etwa die Integraldarstellung des Restglieds der Taylorentwicklung mittels partieller Integration hergeleitet, dagegen die Lagrange’sche Form des Restglieds, welche den Mittelwertsatz der Integralrechnung ben¨ otigt, nur erw¨ahnt. Um dennoch zu gew¨ ahrleisten, dass die Grundlagen der Analysis l¨ uckenlos hergeleitet werden, haben wir tiefer gehende Werkzeuge in Erg¨ anzungsabschnitten und in Anh¨ angen aufgenommen. Der geometrischen Anschauung weisen wir eine hohe Bedeutung zu, was sich in der großen Anzahl von Abbildungen widerspiegelt. Durch diese schlanke Darstellung ist es uns m¨oglich, von den Grundlagen bis hin zu interessanten Anwendungen der Analysis zu gelangen (wiederum ausgew¨ ahlt aus dem Blickwinkel des Informatikstudiums mit Querverbindungen), darunter Fraktale, L-Systeme, Kurven und Fl¨ achen, lineare Regression, Differentialgleichungen und dynamische Systeme. Diese Themen geben ausreichend Gelegenheit, auf die Aspekte der mathematischen Modellierung einzugehen. Zur Struktur des Lehrwerks: Die Kapitel 1–8, 10–12 und 14–17 geh¨oren zum Grundlehrstoff aus Analysis, die Kapitel 9, 13 sowie 18–21 sind wichtigen Anwendungen und weiter f¨ uhrenden Themen gewidmet. Die Anh¨ange A und B fassen Hilfsmittel aus der linearen Algebra und Vektorrechnung kurz zusammen, Anhang C vervollst¨ andigt im Haupttext beiseite gelassene Werkzeuge der Analysis, w¨ ahrend Anhang D die bereitgestellte Software erl¨autert. Jedem Kapitel ist eine kurze Einleitung zur Orientierung vorangestellt. Der Text wird durch Computerexperimente aufgelockert, die die Leserinnen und Leser ermuntern sollen, sich mit dem Lehrstoff aktiv zu besch¨aftigen. Schließlich ¨ werden zu jedem Kapitel Ubungsaufgaben gestellt, die zur H¨alfte mit Computerprogrammen zu bearbeiten sind. Das Buch kann ab dem ersten Semester des Informatikstudiums als Vorlesungsgrundlage, als Begleitung zu einer Vorlesung oder im Selbststudium verwendet werden. Es entspricht vom Umfang her einer vierst¨ undigen Vorlesung u ¨ber ein Semester. Die auf der mitgelieferten CD-ROM zusammengestellte Software ist wesentlicher Bestandteil unseres Lehrkonzepts. Die CD-ROM enth¨alt von uns verfasste MATLAB- und maple -Programme sowie Java-Applets. Die Entwicklung der Applets wurde vom ¨ osterreichischen Bundesministerium f¨ ur Bildung, Wissenschaft und Kultur als Teil des Projekts Neue Medien in der Mathematik-

Vorwort

VII

Ausbildung im Rahmen der Web-Plattform mathe online gef¨ordert. Die f¨ ur uns relevanten Teile von mathe online werden auf der CD-ROM mitgeliefert. Wir danken den Initiatoren und Leitern von mathe online, Franz Embacher und Petra Oberhuemer, f¨ ur die Genehmigung, dieses unter der Adresse http://www.mathe-online.at frei zug¨ angliche Material auch auf der CDugung stellen zu d¨ urfen. ROM zur Verf¨ Besonders danken wir Markus Unterweger, der die von uns konzipierten Applets in Java umgesetzt hat, sowie Reinhard Stix f¨ ur die Beratung beim Erstellen der CD-ROM. Norbert Ortner und Gerhard Wanner haben das Buchmanuskript ausf¨ uhrlich gelesen mit uns diskutiert; wir danken ihnen f¨ ur zahlreiche kritische Bemerkungen und wertvolle Anregungen. Schließlich danken wir dem Springer-Verlag, vor allem Frank Schmidt, f¨ ur die ausgezeichnete Betreuung und Beratung bei der Entwicklung des Buchs.

Innsbruck, J¨ anner 2005

Michael Oberguggenberger Alexander Ostermann

Inhaltsverzeichnis

1

Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Ordnungsrelation und Arithmetik auf R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Maschinenzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Rundung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ¨ 1.5 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2

Reellwertige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Einige elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 2.3 Ubungen ...............................................

13 13 17 22

3

Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Winkelfunktionen am Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Fortsetzung der Winkelfunktionen auf R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Zyklometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 3.4 Ubungen ...............................................

25 25 28 30 33

4

Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Der komplexe Zahlbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Die komplexe Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Abbildungseigenschaften komplexer Funktionen . . . . . . . . . . . . . ¨ 4.4 Ubungen ...............................................

35 35 38 39 41

5

Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Der Begriff einer unendlichen Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Die Vollst¨ andigkeit der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Erg¨ anzung: H¨ aufungswerte von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 5.5 Ubungen ...............................................

43 43 49 51 55 56

X

Inhaltsverzeichnis

6

Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Der Begriff der Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Trigonometrische Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Nullstellen stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 6.4 Ubungen ...............................................

59 59 63 65 67

7

Die 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

69 69 71 75 77 82 87

8

Anwendungen der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.1 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.2 Das Newtonverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 8.3 Regressionsgerade durch den Ursprung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 ¨ 8.4 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9

Fraktale und L-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 9.1 Fraktale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 9.2 Mandelbrot-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 9.3 Julia-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 9.4 Das Newtonverfahren in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 9.5 L-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 ¨ 9.6 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpretationen der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numerische Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen ...............................................

10 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 10.1 Unbestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 10.2 Integrationsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 ¨ 10.3 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 11 Bestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 11.1 Das Riemannintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 11.2 Haupts¨atze der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . 135 11.3 Anwendungen des bestimmten Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 ¨ 11.4 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 12 Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 12.1 Die Formel von Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 12.2 Der Satz von Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 12.3 Anwendungen der Taylorformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 ¨ 12.4 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Inhaltsverzeichnis

XI

13 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 13.1 Quadraturformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 13.2 Genauigkeit und Aufwand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 ¨ 13.3 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 14 Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 14.1 Parametrisierte Kurven in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 14.2 Bogenl¨ange und Kr¨ ummung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 14.3 Ebene Kurven in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 14.4 Paramerisierte Kurven im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 ¨ 14.5 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 15 Skalarwertige Funktionen in zwei Ver¨ anderlichen . . . . . . . . . . 179 15.1 Graph und Schnittkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 15.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 15.3 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 15.4 Die totale Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 15.5 Richtungsableitung und Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 15.6 Die Taylorformel in zwei Ver¨ anderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 15.7 Lokale Maxima und Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 ¨ 15.8 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 16 Vektorwertige Funktionen in zwei Ver¨ anderlichen . . . . . . . . . . 199 16.1 Vektorfelder und Jacobimatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 16.2 Das Newtonverfahren in zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 16.3 Parametrisierte Fl¨ achenst¨ ucke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 ¨ 16.4 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 17 Integralrechnung in zwei Ver¨ anderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 17.1 Das Bereichsintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 17.2 Anwendungen des Bereichsintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 17.3 Die Transformationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 ¨ 17.4 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 18 Lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 18.1 Einfache lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 18.2 Rudimente der Varianzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 18.3 Multiple lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 18.4 Modellanpassung und Variablenwahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 ¨ 18.5 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 19 Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 19.1 Anfangswertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 19.2 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 241

XII

Inhaltsverzeichnis

19.3 19.4 19.5 19.6

Existenz und Eindeutigkeit der L¨ osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Potenzreihenansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Qualitative Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

20 Systeme von Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 20.1 Systeme linearer Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 20.2 Systeme nichtlinearer Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 265 ¨ 20.3 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 21 Numerik von Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 21.1 Das explizite Eulerverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 21.2 Stabilit¨at und steife Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 21.3 Systeme von Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 ¨ 21.4 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 A

Anhang: Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 A.1 Kartesische Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 A.2 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 A.3 Vektoren im kartesischen Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . 282 A.4 Das innere Produkt (Skalarprodukt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 A.5 Das ¨ außere Produkt (Kreuzprodukt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 A.6 Geraden in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 A.7 Ebenen im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 A.8 Geraden im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

B

Anhang: Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 B.1 Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 B.2 Kanonische Form von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

C

Anhang: Erg¨ anzungen zur Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 C.1 Stetigkeit der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 C.2 Grenzfunktionen von Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 C.3 Die Exponentialreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 C.4 Lipschitz- und gleichm¨ aßige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

D

Beschreibung der beiliegenden CD-ROM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 D.1 Java-Applets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 D.2 Source codes in MATLAB und maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 D.3 Die Galerie von mathe-online . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 D.4 Kurzanleitung zur Installation der Java-Plugins . . . . . . . . . . . . . 315

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

1 Zahlen

Die aus dem Alltagsleben bekannten rationalen Zahlen (Bruchzahlen) reichen nicht aus, um Analysis rigoros betreiben zu k¨ onnen. Die historische Entwicklung zeigt vielmehr, dass f¨ ur die Belange der Analysis der Zahlenbereich der rationalen Zahlen zum Bereich der reellen Zahlen erweitert werden muss. Der Anschaulichkeit halber f¨ uhren wir die reellen Zahlen als Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen ein. Wir illustrieren exemplarisch, wie sich Rechenregeln und die Ordnungsrelation in nat¨ urlicher Weise von den rationalen auf die reellen Zahlen u ¨bertragen. Ein weiterer Abschnitt ist den Gleitpunktzahlen gewidmet, welche als praktikable Approximation an die reellen Zahlen in den meisten Programmiersprachen implementiert sind. Insbesondere besprechen wir die optimale Rundung und die damit zusammenh¨ angende relative Maschinengenauigkeit.

1.1 Die reellen Zahlen In diesem Buch setzen wir die folgenden Zahlensysteme als bekannt voraus: N = {1, 2, 3, 4, . . .} die Menge der nat¨ urlichen Zahlen; N0 = N ∪ {0} die Menge der nat¨ urlichen Zahlen mit Null; Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} die Menge der ganzen Zahlen;
k  Q = n ; k ∈ Z und n ∈ N die Menge der rationalen Zahlen.
sind genau dann gleich, wenn km =
n gilt. Zwei rationale Zahlen nk und m Weiters identifiziert man eine ganze Zahl k ∈ Z mit der Bruchzahl k1 ∈ Q. Offensichtlich gelten dann die Inklusionen N ⊂ Z ⊂ Q.

Seien M und N beliebige Mengen. Eine Abbildung von M nach N ist eine Vorschrift, die jedem Element von M genau ein Element von N zuordnet1 . 1

In dieser Allgemeinheit werden wir den Begriff der Abbildung selten verwenden. Der f¨ ur uns wichtige Spezialfall reellwertiger Funktionen wird im Kapitel 2 ausf¨ uhrlich besprochen werden.

2

1 Zahlen

Eine Abbildung heißt bijektiv, falls umgekehrt zu jedem Element n ∈ N genau ein Element in M existiert, das n zugeordnet wird. Definition 1.1 Zwei Mengen M und N werden gleich m¨ achtig genannt, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen diesen Mengen gibt. Eine Menge M heißt abz¨ ahlbar unendlich, wenn sie gleich m¨achtig wie N ist. Die Mengen N, Z und Q sind gleich m¨ achtig, in einem gewissen Sinn also gleich groß. Alle drei Mengen haben unendlich viele Elemente, die abgez¨ahlt werden k¨ onnen. Jede Abz¨ ahlung stellt eine bijektive Abbildung zu N her. Die Abz¨ahlbarkeit von Z sieht man aus der Darstellung Z = {0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . .}. F¨ ur den Beweis der Abz¨ ahlbarkeit von Q verwendet man das Diagonalverfahren nach Cantor2 : 3 1 2 4 1 → 1 1 → 1 ...    2 3 4 1 2 2 2 2 ... ↓   2 3 4 1 3 3 3 3 ...  2 3 4 1 4 4 4 4 ... .. .. .. .. . . . . Man z¨ ahlt hier in Richtung der Pfeile ab, wobei jede rationale Zahl nur bei ihrem ersten Auftreten ber¨ ucksichtigt wird. Damit ist die Abz¨ahlbarkeit der positiven rationalen Zahlen (und damit aller rationalen Zahlen) nachgewiesen. Zur Veranschaulichung der rationalen Zahlen verwenden wir die Zahlengerade, welche man sich als (unendlich langes) Lineal vorstellen kann, bei dem ein (beliebiger) Punkt als Null ausgezeichnet ist. Die ganzen Zahlen sind aquidistant von Null ausgehend aufgetragen. Ebenso findet jede rationale ¨ Zahl entsprechend ihrer Gr¨ oße einen eindeutigen Platz auf der Zahlengeraden, vgl. Abb. 1.1.

−2

− 12

−1

0

1 3

1 2

1

a

2

Abb. 1.1. Die Zahlengerade.

Die Zahlengerade besitzt aber auch Punkte, die nicht rationalen Zahlen zuordenbar sind. (Man sagt, dass Q nicht vollst¨ andig ist.) Beispielsweise ist die L¨ ange der Diagonale d im Einheitsquadrat (vgl. Abb. 1.2) mit dem Lineal ab√ messbar. Bereits den Pythagoreern war bekannt, dass d2 = 2 gilt, aber d = 2 keine rationale Zahl ist. 2

G. Cantor, 1845–1918.

1.1 Die reellen Zahlen

Satz 1.2

√

2∈ / Q.

√

3

2

1 Beweis: Der Beweis dieser √ Aussage wird indirekt 2 w¨ a re rational. Dann gef¨ uhrt. Angenommen, √ √ urzten Bruch 2 = nk ∈ Q k¨ onnte man 2 als gek¨ 1 schreiben. Quadrieren ergibt k 2 = 2n2 und somit Abb. 1.2. Diagonale oglich, wenn w¨ are k 2 eine gerade Zahl. Das ist nur m¨ im Einheitsquadrat. k selbst gerade ist, also k = 2l. Dies oben eingesetzt 2 2 2 2 urzen 2l = n . Somit w¨are n ebenfalls gerade, ergibt 4l = 2n und nach K¨ urzt war.

was im Widerspruch zur Annahme steht, dass der Bruch nk gek¨ √ Bekanntlich ist 2 die eindeutige positive Nullstelle des Polynoms x2 − 2. Die nahe liegende Vermutung, dass alle nicht rationalen Zahlen Nullstellen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten sind, erweist sich jedoch als falsch. Es gibt weitere nicht rationale Zahlen (die so genannten transzendenten Zahlen), welche sich nicht so darstellen lassen. Beispielsweise ist die Kreiszahl

π = 3.141592653589793... ∈ /Q transzendent, kann aber auf der Zahlengeraden dargestellt werden als der halbe Umfang des Kreises mit Radius 1 (z.B. durch Abrollen). Wir nehmen im Folgenden einen pragmatischen Standpunkt ein und konstruieren die fehlenden Zahlen als Dezimalzahlen. Definition 1.3 Eine endliche Dezimalzahl x mit l Stellen hat die Form x = ± d0 .d1 d2 d3 . . . dl mit d0 ∈ N0 und den Ziffern di ∈ {0, 1, ..., 9}, 1 ≤ i ≤ l, wobei dl = 0 gilt. Satz 1.4 (Darstellung rationaler Zahlen als Dezimalzahlen) Jede rationale Zahl l¨ asst sich als endliche oder periodische Dezimalzahl schreiben. Beweis: Sei q ∈ Q, folglich q = nk mit k ∈ Z und n ∈ N. Man erh¨alt die Darstellung von q als Dezimalzahl durch sukzessive Division mit Rest. Da der Rest r ∈ N jeweils die Bedingung 0 ≤ r < n erf¨ ullt, wird der Rest sp¨atestens nach n Schritten Null oder periodisch.

Beispiel 1.5 Nehmen wir beispielsweise q = − 57 ∈ Q. Fortgesetzte Division mit Rest zeigt, dass q = −0.71428571428571... mit Divisionsresten 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, . . . gilt. Die Periode dieser Dezimalzahl ist sechs. Jede von Null verschiedene Dezimalzahl mit endlich vielen Stellen l¨asst sich als periodische Dezimalzahl (mit unendlich vielen Stellen) schreiben. Dazu vermindert man die letzte Dezimalstelle, die ja verschieden von Null ist, um eins und erg¨ anzt als weitere Dezimalen unendlich oft die Ziffer 9. Beispielsweise ist dann − 17 50 = −0.34 = −0.3399999... ab der dritten Stelle periodisch. Damit kann Q als Menge jener Dezimalzahlen aufgefasst werden, deren Dezimalentwicklung ab einer bestimmten Stelle periodisch wird.

4

1 Zahlen

Definition 1.6 Als Menge der reellen Zahlen R bezeichnet man alle Dezimalzahlen der Form ± d0 .d1 d2 d3 ... mit d0 ∈ N0 und den Ziffern di ∈ {0, ..., 9}, d.h. Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen. Die Menge R \ Q heißt Menge der irrationalen Zahlen. Offensichtlich gilt Q ⊂ R. Nach dem bisher Gesagten sind die Zahlen √ 0.1010010001000010... und 2 irrational. Es gibt aber sehr viel mehr irrationale als rationale Zahlen, wie der folgende Satz zeigt. Satz 1.7 R kann nicht abgez¨ ahlt werden, ist also m¨achtiger als Q. Beweis: Der Beweis wird indirekt gef¨ uhrt. Wir nehmen an, man k¨onnte die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 abz¨ ahlen und schreiben eine Aufz¨ahlung an: 1 2

0. d11 d12 d13 d14 ... 0. d21 d22 d23 d24 ...

3 4 .

0. d31 d32 d33 d34 ... 0. d41 d42 d43 d44 ... ...

.

...

Mit Hilfe dieser Liste definieren wir nun die Dezimalstellen  1 falls dii = 2, di = 2 sonst. Dann ist x = 0.d1 d2 d3 d4 ... nicht in obiger Aufz¨ahlung enthalten im Widerspruch zur Annahme der Abz¨ ahlbarkeit.

Obwohl R also bedeutend mehr Zahlen als Q enth¨alt, l¨asst sich jede reelle Zahl beliebig genau durch rationale Zahlen approximieren, z.B. π auf 9 Stellen π≈

314159265 ∈ Q. 100000000

F¨ ur praktische ugen gute Approximationen an die reellen √ Anwendungen gen¨ Zahlen. F¨ ur 2 waren solche bereits den Babyloniern bekannt √

2 ≈ 1; 24, 51, 10 = 1 +

51 24 10 + + 3 = 1.41421296... , 60 602 60

vgl. Abb. 1.3. Die etwas ungewohnte Schreibweise kommt daher, dass die Babylonier in einem Zahlensystem zur Basis 60 rechneten.

1.2 Ordnungsrelation und Arithmetik auf R

5

30

1;24,51,10 5 42;25,3

Abb. 1.3. Babylonische Keilschrifttafel YBC 7289 (Yale Babylonian Collection, mit ¨ Genehmigung) von 1900 vor unserer Zeit mit Ubersetzung der Inschrift, nach [1]. Es ist ein Quadrat√mit Seitenl¨ ange 30 und Diagonale 42; 25, 35 dargestellt. Das Verh¨ altnis betr¨ agt 2 ≈ 1; 24, 51, 10.

1.2 Ordnungsrelation und Arithmetik auf R Im Folgenden schreiben wir reelle Zahlen (eindeutig) als Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen, beispielsweise also 0.2999... statt 0.3. Definition 1.8 (Ordnungsrelation) Seien a = a0 .a1 a2 ... und b = b0 .b1 b2 ... nichtnegative reelle Zahlen in Dezimaldarstellung, d.h. a0 , b0 ∈ N0 . (a) Man nennt a kleiner gleich b (und schreibt a ≤ b), falls a = b ist oder es einen Index j ∈ N0 gibt mit aj < bj und ai = bi f¨ ur i = 0, . . . , j − 1. (b) Weiters legt man fest, dass −a ≤ b gilt und schreibt −a ≤ −b, falls b ≤ a. Diese Definition setzt die bekannte Ordnung von N und Q auf R fort. Die Ordnungsrelation ≤ besitzt folgende Interpretation auf der Zahlengeraden: Es gilt a ≤ b, falls a auf der Zahlengeraden links von b liegt, wobei a = b m¨ oglich ist. Die Relation ≤ hat offenbar folgende Eigenschaften: F¨ ur alle a, b, c ∈ R gilt a ≤ a (reflexiv), a ≤ b und b ≤ c

⇒

a≤c

(transitiv),

a≤b

⇒

a=b

(antisymmetrisch).

und b ≤ a

Im Fall a ≤ b und a = b schreibt man a < b und nennt a kleiner b. Weiters definiert man a ≥ b, falls b ≤ a ist (in Worten: a gr¨ oßer gleich b), und a > b, falls b < a ist (in Worten: a gr¨ oßer b). In ¨ ahnlicher Weise wie die Ordnung k¨ onnen Addition und Multiplikation von Q auf R fortgesetzt werden. Anschaulich verwendet man, dass jeder reellen Zahl eine Strecke auf der Zahlengeraden entspricht. Man definiert die Addition reeller Zahlen dann als Addition der entsprechenden Strecken.

6

1 Zahlen

Eine rigorose und gleichzeitig algorithmische Definition der Addition geht von der Beobachtung aus, dass reelle Zahlen beliebig genau durch rationale Zahlen approximiert werden k¨ onnen. Seien a = a0 .a1 a2 ... und b = b0 .b1 b2 ... zwei nichtnegative reelle Zahlen. Durch Abschneiden nach der k-ten Dezimale erhalten wir zwei rationale Approximationen a(k) = a0 .a1 a2 ...ak ≈ a und b(k) = b0 .b1 b2 ...bk ≈ b. Dann ist a(k) + b(k) eine monoton wachsende Approximation an die zu definierende Zahl a + b. Das erlaubt, a + b als Supremum dieser Approximationen zu definieren. Zur rigorosen Rechtfertigung dieser Vorgangsweise verweisen wir auf Kap. 5. In gleicher Weise wird auch die Multiplikation reeller Zahlen definiert. Es zeigt sich, dass die reellen Zahlen mit der Addition und der Multiplikation (R, +, ·) einen K¨orper bilden. Es gelten somit die u ¨blichen Rechenregeln, z.B. das Distributivgesetz (a + b)c = ac + bc. Der folgende Satz fasst einige wichtige Rechenregeln f¨ ur ≤ zusammen. Die Behauptungen k¨onnen leicht mit Hilfe der Zahlengeraden verifiziert werden. Satz 1.9 F¨ ur alle a, b, c ∈ R gilt a≤b a≤b

a≤b

⇒

a + c ≤ b + c,

und c ≥ 0 und c ≤ 0

⇒ ⇒

ac ≤ bc, ac ≥ bc.

Man beachte, dass a < b nicht a2 < b2 impliziert. Beispielsweise ist −2 < 1, aber trotzdem gilt 4 > 1. F¨ ur a, b ≥ 0 gilt jedoch stets a < b ⇔ a2 < b2 . Definition 1.10 (Intervalle) Die folgenden Teilmengen von R bezeichnet man als Intervalle: [a, b] = {x ∈ R ; a ≤ x ≤ b}

abgeschlossenes Intervall;

(a, b] = {x ∈ R ; a < x ≤ b} [a, b) = {x ∈ R ; a ≤ x < b}

links halboffenes Intervall; rechts halboffenes Intervall;

(a, b) = {x ∈ R ; a < x < b}

offenes Intervall.

Intervalle lassen sich, wie durch Abb. 1.4 illustriert wird, anschaulich auf der Zahlengeraden darstellen.

a

b

c

d

e

f

Abb. 1.4. Die Intervalle (a, b), [c, d] und (e, f ] auf der Zahlengeraden.

Bemerkung 1.11 Es erweist sich als praktisch, die Symbole −∞ (minus Unendlich) und ∞ (Unendlich) einzuf¨ uhren, mittels der Eigenschaft

1.2 Ordnungsrelation und Arithmetik auf R

7

∀a ∈ R : −∞ < a < ∞. Man definiert damit beispielsweise die uneigentlichen Intervalle [a, ∞) = {x ∈ R ; x ≥ a} (−∞, b) = {x ∈ R ; x < b} und weiters (−∞, ∞) = R. Man beachte aber, dass −∞ und ∞ nur Symbole und keine reellen Zahlen sind. Als Anwendung der in Satz 1.9 gegebenen Eigenschaften der Ordnungsrelation l¨ osen wir exemplarisch einige Ungleichungen. Beispiel 1.12 Man bestimme alle x ∈ R mit −3x − 2 ≤ 5 < −3x + 4. In diesem Beispiel sind zwei Ungleichungen enthalten, n¨amlich −3x − 2 ≤ 5

und

5 < −3x + 4.

Die erste Ungleichung wird umgeformt zu −3x ≤ 7

⇔

7 x≥− . 3

Das ergibt eine erste Bedingung an x. Die zweite Ungleichung lautet 3x < −1

⇔

x 3 + x, 3−x 1+x (d) > 1, 1−x



(f) |x| − x ≥ 1,

(g)

|1 − x2 | ≤ 2x + 2,

(h)

(b)

4x2 − 13x + 4 < 1.

4. Berechnen Sie die Bin¨ ardarstellung der Gleitpunktzahl x = 0.1 in einfach genauer IEEE-Arithmetik (32 Bit Speicherplatz). 5. Bestimmen Sie experimentell die relative Maschinengenauigkeit eps. Hinweis: Schreiben Sie in der Programmiersprache Ihrer Wahl ein Computerprogramm, das Ihnen die kleinste Maschinenzahl z mit 1 + z > 1 berechnet.

2 Reellwertige Funktionen

Der Funktionsbegriff ist die mathematische Formalisierung der Idee, dass einer oder mehreren unabh¨ angigen Gr¨ oßen eine oder mehrere abh¨ angige Gr¨ oßen zugeordnet werden. Funktionen und ihr Studium stehen im Zentrum der Analysis. Sie dienen zur Modellierung von Abh¨ angigkeiten variabler Gr¨ oßen, von einfachen Graphen in der Ebene u achen im Raum bis zu L¨ osungen von Differential¨ber Kurven und Fl¨ gleichungen oder der algorithmischen Konstruktion von Fraktalen. Dieser Abschnitt dient einerseits dazu, die grundlegenden Konzepte einzuf¨ uhren, andererseits werden die wichtigsten Beispiele reellwertiger, elementarer Funktionen in informeller Weise besprochen. Dazu geh¨ oren die Potenz- und Exponentialfunktionen und ihre Umkehrfunktionen. Trigonometrische Funktionen werden im Kapitel 3, komplexwertige Funktion im Kapitel 4 behandelt.

2.1 Grundbegriffe Der einfachste Fall einer reellwertigen Funktion ist eine zweireihige Zahlenliste, bestehend aus den Werten einer unabh¨ angigen Gr¨oße x und zugeordneten Werten einer abh¨ angigen Gr¨ oße y. Experiment 2.1 Es soll die Zuordnung y = x2 mit Hilfe von MATLAB dargestellt werden. Zun¨ achst ist ein Bereich D zu w¨ ahlen, in dem die x-Werte variieren sollen, etwa D = {x ∈ R : −1 ≤ x ≤ 1}. Der Befehl x = -1:0.01:1; erzeugt eine Liste von x-Werten, den Zeilenvektor x = [x1 , x2 , . . . , xn ] = [−1.00, −0.99, −0.98, . . . , 0.99, 1.00]. Mittels y = x.^2; wird ein gleich langer Zeilenvektor von zugeordneten y-Werten erzeugt. Schließlich zeichnet plot(x,y) die Punkte (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) in der Zahlenebene und verbindet diese mit Geradenst¨ ucken. Das Ergebnis ist in Abb. 2.1 ersichtlich.

14

2 Reellwertige Funktionen

In der allgemeinen mathematischen Fassung wollen wir nicht nur endliche Listen von Werten zuordnen k¨ onnen, sondern beliebige. F¨ ur den allgemeinen mengentheoretischen Funktionsbegriff verweisen wir auf die Literatur, etwa [2, Kap. 1.1]. Der vorliegende Abschnitt ist den reellwertigen Funktionen gewidmet.

1

0.5

0 −1

0

1

Abb. 2.1. Zum Funktionsbegriff.

Definition 2.2 Eine reellwertige Funktion f ist eine Vorschrift, die jedem x ∈ D (des Definitionsbereichs) eine reelle Zahl y ∈ R (der Zielmenge) zuordnet. Dabei ist D eine beliebige Menge, in diesem Abschnitt aber in der Regel eine Teilmenge von R. F¨ ur den Ausdruck Funktion verwenden wir synonym auch das Wort Abbildung. F¨ ur die funktionale Zuordnung schreiben wir f : D → R : x → y = f (x). Der Graph der Funktion f ist die Menge Γ (f ) = {(x, y) ∈ R2 ; y = f (x)}. Im Falle D ⊂ R kann der Graph als Teilmenge der Zahlenebene dargestellt werden. Die Menge der tats¨ achlich auftretenden Werte heißt Bildmenge unter f oder echter Bildbereich: f (D) = {f (x) ; x ∈ D}. Beispiel 2.3 Ein Ausschnitt des Graphen der Quadratfunktion f : D = R → ahlt man als Definitionsbereich R, f (x) = x2 , ist in Abb. 2.2 dargestellt. W¨ D = R, so ist die Bildmenge das Intervall f (D) = [0, ∞).

1.5

y

1 0.5

(x, x2 )

Γ (f )

0

x

D=R

−0.5 −1

0

1

Abb. 2.2. Quadratfunktion. Experiment 2.4 Gehen Sie in mathe online im Bereich Galerie zu Funktionen 1 und u angigkeiten verstehen und Funktion ¨ben Sie mit den Applets Funktionale Abh¨ und Funktionsgraph.

2.1 Grundbegriffe

15

Ein wichtiges Hilfsmittel ist die Konstruktion von Umkehrfunktionen, sei es zum L¨ osen von Gleichungen, sei es zur Gewinnung neuer Funktionentypen. Ob und in welchen Bereichen eine gegebene Funktion eine Umkehrfunktion besitzt, h¨ angt von zwei wesentlichen Eigenschaften ab, der Injektivit¨at und der Surjektivit¨ at, die wir zun¨ achst herausgel¨ ost untersuchen. Definition 2.5 (a) Eine Funktion f : D → R heißt injektiv, falls verschiedene Argumente stets verschiedene Funktionswerte haben: x1 = x2

⇒

f (x1 ) = f (x2 ).

(b) Eine Funktion f : D → B ⊂ R heißt surjektiv von D nach B, wenn jedes y ∈ B als Funktionswert auftritt: ∀y ∈ B ∃x ∈ D : y = f (x). (c) Eine Funktion f : D → B heißt bijektiv, falls sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Die Abb. 2.3 und 2.4 erl¨ autern diese Begriffe. 1.5

y = x2

1.5

y = x3

1

1

0.5

0.5

0

x −0.5

0

x nicht injektiv

0.5 −1

0

−1.5

1

injektiv

−1 −1

0

1

Abb. 2.3. Zur Injektivit¨ at. 1.5

y = 2x3 − x

4

y=x

1.5

1 0.5

1

0

0.5

x 0 0.5 nicht surjektiv auf B = R −1

0

1

x −0.5

surjektiv

−1 −1.5

−1

Abb. 2.4. Zur Surjektivit¨ at.

0

1

16

2 Reellwertige Funktionen

Durch Verkleinerung des Bildbereichs B kann Surjektivit¨at erzeugt werden; zum Beispiel ist f : D → f (D) stets surjektiv. Ebenso kann man durch Einschr¨ ankung auf Teilbereiche des Definitionsbereichs Injektivit¨at erhalten. Falls f : D → B bijektiv ist, so gibt es zu jedem y ∈ B genau ein x ∈ D mit y = f (x). Die Zuordnung y → x definiert dann die Umkehrung der Abbildung x → y. Definition 2.6 Ist eine Funktion f : D → B : y = f (x), bijektiv, so heißt die funktionale Zuordnung f −1 : B → D : x = f −1 (y), die jedem y ∈ B das eindeutige x ∈ D mit y = f (x) zuweist, die Umkehrfunktion zur Funktion f . Beispiel 2.7 Die Quadratfunktion f (x) = x2 ist bijektiv von D = [0, ∞) nach B = [0, ∞). In diesem Bereich (x ≥ 0, y ≥ 0) gilt: √ y = x2 ⇔ x = y, √ wobei y die positive Quadratwurzel bezeichnet. Somit ist die Umkehrfunkti√ on der Quadratfunktion in diesem Bereich durch f −1 (y) = y gegeben; siehe dazu Abb. 2.5. Hat man die Umkehrfunktion f −1 gefunden, so schreibt man sie u ¨blicherweise mit Variablen y = f −1 (x). Dies entspricht einer Spiegelung des Graphen von y = f (x) an der Diagonale y = x, wie in Abb. 2.6 dargestellt. y

y

y = f −1 (x)

y = f (x) = x2

x = f −1 (y) =

√

y

x

Abb. 2.5. Bijektivit¨ at und Umkehrfunktion.

y = f (x) x

Abb. 2.6. Umkehrfunktion und Spiegelung an der Diagonalen.

Experiment 2.8 Der Begriff der Umkehrfunktion wird durch den MATLAB -Plotbefehl klar veranschaulicht. Den Graphen der Umkehrfunktion plottet man einfach durch Variablentausch, was eben der umgekehrten Listenzuordnung y → x entspricht. Zum Beispiel erzielt man die Graphen in Abb. 2.6 mittels

2.2 Einige elementare Funktionen

17

x = 0:0.01:1; y = x.^2; plot(x,y) hold on plot(y,x) Wie man die Formatierung, die strichlierte Diagonale und die Beschriftung erh¨ alt, ist dem m-File mat02 1.m zu entnehmen.

2.2 Einige elementare Funktionen Die elementaren Funktionen sind die Potenzen und Wurzeln, Exponentialfunktion und Logarithmus, die Winkelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen, sowie alle Funktionen, die man durch Kombination daraus erhalten kann. Es folgt eine Liste der wichtigsten Grundtypen, die sich historisch als bedeutend f¨ ur die Anwendungen ergeben haben. Die Winkelfunktionen werden in Kapitel 3 behandelt, die Hyperbelfunktionen in Kapitel 14. Lineare Funktionen (Geraden). Eine lineare Funktion R → R ordnet jedem x-Wert ein festes Vielfaches als y-Wert zu, also y = kx. Dabei ist k=

∆y H¨ ohenzuwachs = L¨ angenzuwachs ∆x

der Anstieg des Graphen, der eine Gerade durch den Ursprung darstellt. Der Zusammenhang des Anstiegs mit dem Winkel zwischen Geraden und x-Achse wird in Abschnitt 3.1 besprochen. Addition eines Achsenabschnitts d ∈ R verschiebt die Gerade um d Einheiten in der y-Richtung (Abb. 2.7). Die Gleichung ist dann y = kx + d.

2

2

y = kx

1

y = kx + d k

1

1

∆y ∆x

d

0

0

x 0

1

2

x 0

Abb. 2.7. Zur Geradengleichung.

1

2

18

2 Reellwertige Funktionen

Quadratische Parabeln. In ihrer Grundform lautet die Zuordnung mit Definitionsbereich D = R: y = x2 . Stauchung/Streckung, horizontale und vertikale Verschiebung erreicht man mittels y = αx2 , y = (x − β)2 , y = x2 + γ. Die Wirkung dieser Transformationen auf den Graphen ist aus Abb. 2.8 ersichtlich. α > 1 . . . Stauchung in x-Richtung 0 < α < 1 . . . Streckung in x-Richtung α < 0 . . . Spiegelung an x-Achse β > 0 . . . Rechtsverschiebung γ > 0 . . . Hebung β < 0 . . . Linksverschiebung γ < 0 . . . Senkung

4

4

4

y = x2

y = 2 x2

y = 0.5 x2

2

2

2

0

0

0

−2

0

−2

2

2

0

2

4

1

0 −2

0

2

2

y = x2 −1

2

−2

0

3

y = (x−1)2

y = −0.5 x2 0

−2

−1 −1

1

3

−2

0

2

Abb. 2.8. Quadratische Parabeln.

Die allgemeine quadratische Funktion l¨ asst sich durch quadratisches Erg¨ anzen auf diese F¨ alle zur¨ uckf¨ uhren: y = ax2 + bx + c  b2 b 2 +c− = a x+ 2a 4a = α(x − β)2 + γ. Potenzfunktionen. Im Falle eines ganzzahligen Exponenten n ∈ N ist xn = x · x · x · . . . · x (n Faktoren), 1 x−n = n (x = 0). x0 = 1, x

x1 = x,

2.2 Einige elementare Funktionen

19

Der Verlauf f¨ ur y = x3 ist im rechten Bild von Abb. 2.3, jener von y = x4 im linken Bild von Abb. 2.4 dargestellt. Analog sieht der Graph f¨ ur ungerade und gerade Potenzen aus. Experiment 2.9 Gehen Sie in mathe online zu Galerie – Funktionen 1 und experimentieren Sie mit den Applets Graphen einfacher Potenzfunktionen, Polynom h¨ ochstens dritter Ordnung und dem Excel-Spreadsheet Koeffizienten und Graphen der Polynome dritter Ordnung.

Als Beispiele f¨ ur gebrochene Hochzahlen nehmen wir die Wurzelfunktionen √ ur n ∈ N mit Definitionsbereich D = [0, ∞). Dabei ist y = √n x = x1/n f¨ y = n x als Umkehrfunktion der n-ten Potenz definiert, vgl. Abb. 2.9 links. Der Graph von y = x−1 mit Definitionsbereich D = R \ {0} ist in Abb. 2.9 rechts dargestellt. 2 10

y = x1/7 y = x1/4

1.5

5

y = 1/x

1 0

x

y = x1/3

0.5

−5

1/2

y=x 0

x 0

0.5

1

1.5

−10

2

−10

−5

0

5

10

Abb. 2.9. Potenzfunktionen mit gebrochenen und negativen Hochzahlen.

Betrags-, Vorzeichen- und Indikatorfunktion. Der Graph der Betragsfunktion  x, x ≥ 0 y = |x| = −x, x < 0 hat einen Knick an der Stelle x = 0 (Abb. 2.10 links).

1

1.5

y = | x|

0.5

1

y = sign x

0

x

0.5 −0.5 0

x −1

−0.5

0

0.5

1

−1 −1

−0.5

0

Abb. 2.10. Betrag und Vorzeichen.

0.5

1

20

2 Reellwertige Funktionen

Der Graph der Vorzeichen- oder Signumfunktion ⎧ ⎨ 1, x > 0 0, x = 0 y = sign x = ⎩ −1, x < 0 besitzt bei x = 0 eine Sprungstelle (Abb. 2.10 rechts). Die Indikatorfunktion einer Teilmenge A ⊂ R ist definiert als  1, x ∈ A 11A (x) = 0, x ∈ / A. Exponentialfunktionen und Logarithmen. Ganzzahlige Potenzen einer Basiszahl a > 0 wurden eben definiert. Gebrochene, rationale Hochzahlen ergeben √ √ √ am/n = ( n a)m = n am . a1/n = n a, Ist r eine beliebige reelle Zahl, so wird ar durch seine Approximationen am/n definiert, wobei m n die durch die Dezimalentwicklung gegebene rationale Approximation an r ist. Beispiel 2.10 2π ist definiert durch die Zahlenfolge 23 , 23.1 , 23.14 , 23.141 , 23.1415 , . . . Dabei bedeutet 23.1 = 231/10 =

√

10

231 ;

23.14 = 2314/100 =

√

100

2314 ; . . . usw.

Diese etwas informelle Einf¨ uhrung der Exponentialfunktion m¨oge gen¨ ugen, um erste Anwendungsbeispiele in den folgenden Abschnitten zur Verf¨ ugung zu haben. Mit den bisherigen Hilfsmitteln k¨ onnen wir noch nicht zeigen, dass dieser Approximationsprozess tats¨ achlich zu einem wohldefinierten mathematischen Objekt f¨ uhrt. Der Erfolg des Verfahrens beruht auf der Vollst¨ andigkeit der reellen Zahlen. Dies wird im Kapitel 5 ausf¨ uhrlich behandelt werden. F¨ ur rationale Hochzahlen ergeben sich die folgenden Rechenregeln aus den obigen Definitionen: ar as = ar+s (ar )s = ars = (as )r ar br = (ab)r f¨ ur a, b > 0 und beliebige r, s ∈ Q. Dass die Regeln auch f¨ ur reelle Hochzahlen r, s ∈ R gelten, kann mit Hilfe einer Grenzwert¨ uberlegung gezeigt werden. ur a > 1 und Der Graph der Exponentialfunktion zur Basis a, y = ax , steigt f¨ f¨ allt f¨ ur a < 1 (Abb. 2.11). Der echte Bildbereich ist B = (0, ∞); die Exponentialfunktion ist bijektiv von R nach (0, ∞). Ihre Umkehrfunktion ist der

2.2 Einige elementare Funktionen

21

Logarithmus zur Basis a (mit Definitionsbereich (0, ∞) und echtem Bildbereich R): y = ax ⇔ x = loga y. Zum Beispiel ist log10 2 jene Zahl, mit der 10 potenziert werden muss, um 2 zu erhalten: 2 = 10log10 2 . Andere Beispiele sind etwa: 2 = log10 (102 ), log10 10 = 1, log10 1 = 0, log10 0.001 = −3.

8 6

8 6

y = 2x

4

4

2

2

x

0 −2

0

y = (1/2)x

x

0

2

−2

0

2

Abb. 2.11. Exponentialfunktionen.

Die Euler’sche1 Zahl e ist definiert durch 1 1 1 1 + + + + ... 1 2 6 24 ∞  1 1 1 1 1 = 1 + + + + + ··· = 1! 2! 3! 4! j! j=0

e = 1+

≈ 2.7182818 . . . Dass dieses Addieren von unendlich vielen Zahlen sinnvoll definiert werden kann, werden wir im Kapitel 5 durch R¨ uckf¨ uhrung auf die Vollst¨andigkeit der reellen Zahlen beweisen. Der Logarithmus zur Basis e heißt nat¨ urlicher Logarithmus und wird einfach mit log bezeichnet: log x = loge x Vorsicht – in manchen B¨ uchern bezeichnet log x den Zehnerlogarithmus und ln x den nat¨ urlichen Logarithmus. Wir halten uns an die in MATLAB und der englischsprachigen Literatur u ¨bliche Bezeichnung. Die folgenden Rechenregeln ergeben sich unmittelbar durch Umformulierung aus den Regeln f¨ ur die Exponentialfunktion. 1

L. Euler, 1707–1783.

22

2 Reellwertige Funktionen

u = elog u = log(eu ) log(uv) = log u + log v log(uz ) = z log u f¨ ur u, v > 0 und beliebiges z ∈ R. Insbesondere folgt aus der letzten Zeile f¨ ur z = −1 : v 1 log = − log u, log = log v − log u. u u Die Graphen von y = log x und y = log10 x sind in Abb. 2.12 dargestellt. 3

y = log x

2 1 0

1

−1

e

x

−2 0

2

4

6

8

10

3

y = log10 x

2 1 0

1

−1

10

x

−2 0

2

4

6

8

10

Abb. 2.12. Logarithmen zur Basis e und zur Basis 10.

¨ 2.3 Ubungen 1. Wie ¨ andert sich der Graph einer beliebigen Funktion y = f (x) : R → R unter den Transformationen y = f (ax),

y = f (x − b),

y = cf (x),

y = f (x) + d

mit a, b, c, d ∈ R? Unterscheiden Sie f¨ ur a die F¨ alle a < −1,

−1 ≤ a < 0,

0 < a ≤ 1,

a > 1,

und f¨ ur b, c, d die F¨ alle b, c, d > 0,

b, c, d < 0

und machen Sie Skizzen. 2. Gegeben sei die Funktion f : D → R : x → 3x4 − 2x3 − 3x2 + 1. Plotten Sie ur mittels MATLAB den Graphen von f f¨

¨ 2.3 Ubungen D = [−1, 1.5],

D = [−0.5, 0.5],

23

D = [0.5, 1.5].

Erl¨ autern Sie den Funktionsverlauf f¨ ur D = R und ermitteln Sie f ([−1, 1.5]),

f ((−0.5, 0.5)),

f ((−∞, 1]).

3. Welche der folgenden Funktionen sind injektiv/surjektiv/bijektiv? f : N → N : n → n2 − 6n + 10; g : R → R : x → |x + 1| − 3; h : R → R : x → x3 . Hinweis: Falls Sie MATLAB verwenden wollen, finden Sie Hilfe zum Plotten im m-File mat02 2.m. ¨ 4. Uberpr¨ ufen Sie, dass die folgenden Funktionen D → B auf den angegebenen Bereichen bijektiv sind und berechnen Sie die Umkehrfunktion: y = −2x + 3, y = x2 + 1, y = x2 − 2x − 1,

D = R, B = R; D = (−∞, 0] , B = [1, ∞) ; D = [1, ∞) , B = [−2, ∞) .

5. Gehen Sie in mathe online zu Galerie – Funktionen 1 und l¨ osen Sie die unter den Applets Funktionen erkennen 1 und Graphen erkennen 1 gestellten Aufgaben. Erl¨ autern Sie Ihre Ergebnisse. Gehen Sie zu Interaktive Tests – Funktionen 1 und machen Sie Das große Graphenpuzzle. 6. Gehen sie in mathe online zu Galerie – Funktionen 2 und l¨ osen Sie die unter den Applets Funktionen erkennen 2 und Graphen erkennen 2 gestellten Aufgaben. Erl¨ autern Sie Ihre Ergebnisse. 7. Ermitteln Sie die Gleichung der Geraden durch die Punkte (1, 1) und (4, 3) sowie die Gleichung der quadratischen Parabel durch die Punkte (−1, 6), (0, 5) und (2, 21). 8. Sind von einer radioaktiven Substanz zum Zeitpunkt t = 0 A Gramm vorhanur radioaktives Jod 131 aus den, so nach t Tagen A · q t Gramm. Berechnen Sie q f¨ 1 der urseiner Halbwertszeit (8 Tage) und ermitteln Sie, nach wie vielen Tagen 100 spr¨ unglichen Menge Jod 131 vorhanden ist. Hinweis: Die Halbwertszeit ist jene Zeitspanne, nach der nur mehr die H¨ alfte der Anfangsmenge der radioaktiven Substanz vorhanden ist. ache auftreffenden 9. Aus der Schallintensit¨ at I [Watt/cm2 ] einer auf einer Messfl¨ Schallwelle ergibt sich nach dem Weber-Fechnerschen Gesetz ihre Lautst¨ arke zu  16 [Phon] . L = 10 log10 10 I Wenn die Intensit¨ at I eines Lautsprechers eine Lautst¨ arke von 80 Phon bewirkt, wie viel bewirkt dann die Intensit¨ at 2I von zwei Lautsprechern? 10. F¨ ur x ∈ R bezeichne x das gr¨ oßte Ganze in x, das heißt x = max {n ∈ N ; n ≤ x}. Plotten Sie die folgenden Funktionen auf dem Definitionsbereich D = [0, 10] mittels MATLAB (Befehl floor):

24

2 Reellwertige Funktionen y = x ,

y = x − x ,

y = (x − x )3 ,

y = ( x )3 .

Versuchen Sie auch, korrekte Plots zu programmieren, in denen die senkrechten Verbindungslinien nicht erscheinen. 11. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f : R → R : y = ax + sign x f¨ ur verschiedene Werte von a; unterscheiden Sie jedenfalls die F¨ alle a > 0, a = 0, a < 0. F¨ ur welche Werte von a ist die Funktion f injektiv bzw. surjektiv? 12. Eine Funktion f : D = {1, 2, . . . , N } → B = {1, 2, . . . , N } sei durch die Liste ihrer Funktionswerte y = (y1 , . . . , yN ), yi = f (i) gegeben. Schreiben Sie ein MATLAB Programm, das feststellt, ob f bijektiv ist. Testen Sie Ihr Programm, indem Sie mittels (a) y = unirnd(N, 1, N), (b) y = randperm(N) zuf¨ allige y-Werte erzeugen. Hinweis: Vgl. die beiden m-Files mat02 ueb12a.m und mat02 ueb12b.m.

3 Trigonometrie

¨ Die Winkelfunktionen spielen bei geometrischen Uberlegungen sowie bei der Modellierung von Schwingungsvorg¨ angen eine große Rolle. Wir f¨ uhren diese Funktionen anschaulich durch Relationen am rechtwinkeligen Dreieck ein und setzen sie u ¨ber den Einheitskreis periodisch auf R fort. Außerdem besprechen wir in diesem Abschnitt die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen. Als Anwendung behandeln wir die Umrechnung zwischen kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten.

3.1 Winkelfunktionen am Dreieck Die Definition der Winkelfunktionen (trigonometrische Funktionen) beruht auf elementaren Eigenschaften des rechtwinkeligen Dreiecks. In Abb. 3.1 ist ein rechtwinkeliges Dreieck dargestellt. Die dem rechten Winkel anliegenden Seiten werden als Katheten bezeichnet, die gegen¨ uberliegende Seite als Hypotenuse. a b α

b

c c

c

a

b β a Abb. 3.1. Ein rechtwinkeliges Dreieck mit Katheten a, b und Hypotenuse c.

Abb. 3.2. Beweisidee des Satzes von Pythagoras.

Eine der Grundeigenschaften des rechtwinkeligen Dreiecks ist Inhalt des Satzes von Pythagoras1 . 1

Pythagoras, etwa 570–501 v.u.Z.

26

3 Trigonometrie

Satz 3.1 (Pythagoras) In einem rechtwinkeligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse. In den Bezeichnungen von Abb. 3.1 gilt also a2 + b2 = c2 . Beweis: An Hand von Abb. 3.2 u ¨berlegt man sich leicht, dass gilt: (a + b)2 − c2 = Fl¨ ache der grauen Dreiecke = 2ab. Daraus folgt a2 + b2 − c2 = 0.



¨ Fundamental f¨ ur die folgenden Uberlegungen ist der Strahlensatz, der besagt, dass die Seitenverh¨ altnisse in einem Dreieck maßstabsinvariant sind, d.h. nicht von der Gr¨ oße des Dreiecks abh¨ angen.

c


α α

c

b
b

β a a
Abb. 3.3. Der Strahlensatz.

Offensichtlich gelten in Abb. 3.3 die Beziehungen a a = , c c

b b = , c c

a a = , b b

da bei einer Ver¨ anderung das Maßstabs (Vergr¨oßerung oder Verkleinerung des Dreiecks) alle Seiten mit dem gleichen Faktor ver¨andert werden. Man schließt daraus, dass die Verh¨ altnisse der Seiten nur vom Winkel α (beziehungsweise angen. Das gibt Anlass zu folgender Definition. von β = 90◦ − α) abh¨ Definition 3.2 (Winkelfunktionen) a c b cos α = c a tan α = b b cot α = a sin α =

F¨ ur 0 ≤ α < 90◦ definiert man

Gegenkathete Hypotenuse Ankathete = Hypotenuse Gegenkathete = Ankathete Ankathete = Gegenkathete =

(Sinus), (Cosinus), (Tangens), (Cotangens).

3.1 Winkelfunktionen am Dreieck

27

F¨ ur α = 0 ist cot α nicht definiert (da in diesem Fall a = 0). Die Identit¨aten cos α sin α , cot α = , sin α = cos β = cos (90◦ − α) cos α sin α folgen direkt aus der Definition, die Beziehung tan α =

sin2 α + cos2 α = 1 ist eine Folge des Satzes von Pythagoras. Die Winkelfunktionen haben zahlreiche Anwendungen in der Mathematik. Als erstes Beispiel leiten wir die Formel f¨ ur die Fl¨ache eines allgemeinen Dreiecks her, vgl. Abb. 3.4. Die Seiten in einem Dreieck werden u ¨blicherweise im Gegenuhrzeigersinn mit lateinischen Kleinbuchstaben bezeichnet, die den Seiten gegen¨ uberliegende Winkel mit den entsprechenden griechischen Buchstaben. ur die Fl¨ache die Formel Wegen F = 12 ch und h = b sin α gilt f¨ 1 1 1 bc sin α = ac sin β = ab sin γ, 2 2 2 also halbes Produkt von zwei Seiten mal Sinus des eingeschlossenen Winkels. Die letzte Gleichheit in obiger Formel gilt aus Symmetriegr¨ unden, wobei γ den der Seite c gegen¨ uberliegenden Winkel bezeichnet, also γ = 180◦ − α − β. F =

y b

y = kx + d

a h

k

α

α

1

β

x

c Abb. 3.4. Ein allgemeines Dreieck.

Als zweites Beispiel berechnen wir die Steigung einer Geraden. Abb. 3.5 zeigt die Gerade y = kx + d. Ihre Steigung ¨ k, d.h. die Anderung des y-Wertes bei ¨ einer Anderung von x um eine Einheit, berechnet sich aus dem Steigungsdreieck zu k = tan α. Damit sp¨ ater f¨ ur das Differenzieren einfache Formeln gelten wie z.B.

Abb. 3.5. Gerade mit Steigung k.

 α 1

Abb. 3.6. Zusammenhang zwi-

d schen Grad- und Bogenmaß. sin x = cos x, dx muss der Winkel im Bogenmaß gemessen werden. Der Zusammenhang zwischen Gradmaß und Bogenmaß ergibt sich am Einheitskreis (das ist der Kreis mit Mittelpunkt 0 und Radius 1), vgl. Abb. 3.6.

28

3 Trigonometrie

Das Bogenmaß des Winkels α (in Grad) ist die L¨ange des zugeh¨origen Einheitskreisbogens
mit dem Vorzeichen von α. Das Bogenst¨ uck
am Einheitskreis hat keine physikalische Einheit. Man spricht aber manchmal von Radianten (rad), um den Unterschied zu Grad hervorzuheben. Bekanntlich betr¨agt der Umfang des Einheitskreisbogens 2π mit der Kreiszahl π = 3.141592653589793... ≈

22 . 7

Somit gilt f¨ ur die Umrechnung 360◦ ↔ 2π [rad], beziehungsweise  ◦ 180 π α [rad] und
[rad] ↔
. α◦ ↔ 180 π Beispielsweise entsprechen 90◦ ↔ wir Winkel stets im Bogenmaß.

π 2

und −270◦ ↔ − 3π 2 . In Zukunft messen

3.2 Fortsetzung der Winkelfunktionen auf R F¨ ur 0 ≤ α ≤ π2 besitzen die Werte sin α, cos α, tan α und cot α eine einfache Interpretation am Einheitskreis, vgl. Abb. 3.7. Diese Darstellung folgt aus der Tatsache, dass die Hypotenuse des definierenden Dreiecks im Einheitskreis die L¨ ange 1 hat.

cot α

1

1

cos α tan α

sin α

α 1

sin α P

α cos α

1

Abb. 3.7. Definition der Winkelfunktionen am Einheitskreis.

Abb. 3.8. Fortsetzung der Winkelfunktionen am Einheitskreis.

Man erweitert nun die Definition der Winkelfunktionen f¨ ur 0 ≤ α ≤ 2π durch Fortsetzung mit Hilfe des Einheitskreises. Einem beliebigen Punkt P auf dem Einheitskreis, definiert durch den Winkel α, werden die Koordinaten P = (cos α, sin α) zugesprochen, vgl. Abb. 3.8. F¨ ur 0 ≤ α ≤ π2 ist das vertr¨aglich mit der fr¨ uheren Definition, f¨ ur gr¨ oßere Winkel werden durch diese Zuordnung die

3.2 Fortsetzung der Winkelfunktionen auf R

29

Funktionen Sinus und Cosinus auf das Intervall [0, 2π] erweitert. Es ergibt sich damit beispielsweise f¨ ur π ≤ α ≤ 3π 2 sin α = − sin(α − π),

cos α = − cos(α − π),

vgl. Abb. 3.8. F¨ ur beliebige Werte α ∈ R definiert man schließlich sin α und cos α durch periodische Fortsetzung mit der Periode 2π. Dazu schreibt man zun¨achst α = x + 2kπ mit eindeutigem x ∈ [0, 2π) und k ∈ Z. Anschließend setzt man sin α = sin (x + 2kπ) = sin x,

cos α = cos (x + 2kπ) = cos x.

Die Funktionen Tangens und Cotangens werden mit Hilfe der Formeln sin α cos α , cot α = cos α sin α ebenfalls fortgesetzt. Da die Funktion Sinus bei den ganzzahlig Vielfachen von π eine Nullstelle hat, ist dort Cotangens nicht definiert. Ebenso ist Tangens bei den ungeraden Vielfachen von π2 nicht definiert. tan α =

Die Graphen der Funktionen y = sin x, y = cos x sind in den Abb. 3.9 angegeben. Der Definitionsbereich beider Funktionen ist D = R.

y

y = sin x

1

− π2 0

−2π

− 3π 2

3π 2 π 2

−π

x

π

2π

−1 −6

−4

−2

0

2

4

y

6

y = cos x

1 0

−π −2π

π

x

π 2

− π2

− 3π 2

3π 2

2π

−1 −6

−4

−2

0

2

4

6

Abb. 3.9. Die Graphen der Funktionen Sinus und Cosinus im Intervall [0, 2π].

Die Graphen der Funktionen y = tan x und y = cot x sind in den Abb. 3.10 angegeben. Der Definitionsbereich D von Tangens ist wie oben erl¨autert gegeben durch D = {x ∈ R ; x = π2 + kπ, k ∈ Z}, jener von Cotangens ist D = {x ∈ R ; x = kπ, k ∈ Z}.

30

3 Trigonometrie y 4

y

y = tan x

y = cot x

4

2

2

0

π 2

−π

π

x

0

−2

−2

−4

−4 −4

−2

0

2

4

− π2

−4

−2

π 2

0

π

2

x

4

Abb. 3.10. Die Graphen der Funktionen Tangens (links) und Cotangens (rechts).

Die Winkelfunktionen erf¨ ullen eine Unzahl von Beziehungen untereinander. Beispielsweise gilt das folgende Additionstheorem, welches sich mittels ele¨ ¨ mentargeometrischer Uberlegungen beweisen l¨asst, vgl. Ubung 2. Die maple Befehle expand und combine verwenden solche Identit¨aten zur Vereinfachung trigonometrischer Ausdr¨ ucke. Satz 3.3 (Additionstheorem) F¨ ur alle x, y ∈ R gilt sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y, cos (x + y) = cos x cos y − sin x sin y. In mathe online gibt es ausf¨ uhrliche Materialien zu den Winkelfunktionen. Wir verweisen auf die Galerie, wo Sie unter Winkelfunktionen das Applet Definition der Winkelfunktionen und unter Funktionen 2 das Applet Die Graphen von sin, cos und tan finden.

3.3 Zyklometrische Funktionen Die zyklometrischen Funktionen sind die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen in den entsprechenden Bijektivit¨ atsbereichen. Sinus und Arcussinus. Die Funktion Sinus ist bijektiv vom Intervall [− π2 , π2 ] in den Wertebereich [−1, 1], vgl. Abb. 3.9. Dieser Teil des Graphen wird Hauptzweig des Sinus genannt. Seine Umkehrfunktion heißt Arcussinus  π π arcsin : [−1, 1] → − , . 2 2 Nach Definition der Umkehrfunktion gilt

3.3 Zyklometrische Funktionen

sin(arcsin y) = y

31

f¨ ur alle y ∈ [−1, 1].

Die umgekehrte Formel gilt jedoch nur f¨ ur den Hauptzweig, d.h. gilt nur f¨ ur −

arcsin(sin x) = x

π π ≤x≤ . 2 2

Beispielsweise ist arcsin(sin 4) = −0.8584073... = 4. 2

2

π 2

y = sin x 1

− 0

1

1

π 2

−1

−1

0

π 2

y = arcsin x −1 1

−1

− −2

−2

−1

0

1

2

−2

−2

−1

0

π 2 1

2

Abb. 3.11. Die Hauptzweige der Funktionen Sinus (links) und Arcussinus (rechts).

Cosinus und Arcuscosinus. Entsprechend ist der Hauptzweig des Cosinus als Einschr¨ ankung von Cosinus auf das Intervall [0, π] mit Wertebereich [−1, 1] definiert. Der Hauptzweig ist bijektiv, seine Umkehrfunktion heißt Arcuscosinus arccos : [−1, 1] → [0, π]. 2

π

3

y = cos x

1

y = arccos x π

0

π 2

2

π 2

1

−1 0 −2

0

1

2

3

−2

−1

0

1

2

Abb. 3.12. Die Hauptzweige der Funktionen Cosinus (links) und Arcuscosinus (rechts).

Tangens und Arcustangens. Wie aus Abb. 3.10 ersichtlich ist die Einschr¨ ankung von Tangens auf das Intervall (− π2 , π2 ) bijektiv. Seine Umkehrfunktion heißt Arcustangens

32

3 Trigonometrie

 π π arctan : R → − , . 2 2 Genauer handelt es sich wieder um den Hauptzweig des Arcustangens. 2 1

π 2

y = arctan x

0

x − π2

−1 −2 −6

−4

−2

0

2

4

6

Abb. 3.13. Der Hauptzweig von Arcustangens.

Anwendung 3.4 (Polarkoordinaten in der Ebene) Die Polarkoordinaten (r, ϕ) eines Punktes P = (x, y) in der Ebene erh¨alt man durch Angabe seines Abstandes r vom Ursprung und des Winkels ϕ mit der positiven x-Achse (im Gegenuhrzeigersinn), vgl. Abb. 3.14. Der Zusammenhang von kartesischen und Polarkoordinaten wird somit beschrieben durch x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , wobei 0 ≤ ϕ < 2π und r ≥ 0 gilt. Oft verwendet man auch den Bereich −π < ϕ ≤ π.

y

r sin ϕ

P = (x, y) r ϕ r cos ϕ

x

Abb. 3.14. Ebene PolarkoIn der umgekehrten Richtung gelten die Umordinaten. rechnungsformeln  r = x2 + y 2 , y (im Bereich x > 0; − π2 < ϕ < π2 ), ϕ = arctan x x ϕ = sign y · arccos  (falls y = 0 oder x > 0; −π < ϕ < π). 2 x + y2

¨ Uberzeugen Sie sich mit Hilfe von maple von der Richtigkeit dieser Formeln.

¨ 3.4 Ubungen

33

¨ 3.4 Ubungen 1. Schreiben Sie in MATLAB eine Funktion degrad.m, die das Gradmaß in das Bogenmaß umrechnet. Der Aufruf degrad(180) sollte π als Ergebnis liefern. Schreiben Sie weiters eine Funktion mysin.m, welche unter Zuhilfenahme von degrad.m den Sinus eines Winkels im Gradmaß berechnet.

1 x

2. Beweisen Sie das Additionstheorem der Sinusfunktion

cos x sin y

sin y

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y. Hinweis: Falls die Winkel x, y und deren Summe x + y zwischen 0 und π/2 liegen, k¨ onnen Sie direkt mit Hilfe von Abb. 3.15 schließen; die restlichen F¨ alle lassen sich auf diesen Fall reduzieren.

sin x cos y

y x

Abb. 3.15. Beweis von Satz 3.3.

3. Beweisen Sie den Cosinus-Satz a2 = b2 + c2 − 2bc cos α f¨ ur das allgemeine Dreieck aus Abb. 3.4. Hinweis: Die Stecke c wird durch die H¨ ohe h in zwei Strecken c1 (links) und c2 (rechts) geteilt. Es gelten die Identit¨ aten a2 = h2 + c22 ,

b2 = h2 + c21 ,

c = c1 + c2 .

Elimination von h ergibt a2 = b2 + c2 − 2cc1 . 4. Berechnen Sie die Winkel α, β, γ des Dreiecks mit den Seiten a = 3, b = 4, c = 2 und zeichnen Sie das Dreieck in maple . Hinweis: Verwenden Sie den Cosinus-Satz aus Aufgabe 3. 5. Beweisen Sie den Sinus-Satz a b c = = sin α sin β sin γ f¨ ur das allgemeine Dreieck aus Abb. 3.4. Hinweis: Die erste Gleichheit folgt aus sin α =

h , b

sin β =

h . a

6. Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks mit den Daten b = 5, osung mit MATLAB . α = 43◦ , γ = 62◦ und zeichnen Sie Ihre L¨ Hinweis: Verwenden Sie den Sinus-Satz aus Aufgabe 5.

34

3 Trigonometrie

7. Plotten Sie mit Hilfe von MATLAB die folgenden Funktionen y = cos(arccos x),

x ∈ [−1, 1];

y = arccos(cos x),

x ∈ [0, π];

y = arccos(cos x),

x ∈ [0, 4π].

Wieso ist im letzten Fall arccos(cos x) = x? 2 3 8. Plotten Sie die Funktionen y = sin  1 x, y = |sin x|, y = sin x, y = sin x, 1 y = 2 (|sin x| − sin x) und y = arcsin 2 (|sin x| − sin x) auf dem Intervall [0, 6π]. Erl¨ autern Sie das Ergebnis. Hinweis: Verwenden Sie den MATLAB -Befehl axis equal.

9. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f : R → R : x → ax+sin x f¨ ur verschiedene Werte von a. F¨ ur welche Werte von a ist die Funktion f injektiv beziehungsweise surjektiv? Argumentieren Sie anschaulich-geometrisch und u ¨berlegen Sie, ob Ihr Argument analytisch-logische L¨ ucken hat. 10. Gehen sie in mathe online in der Galerie zu Funktionen 2 und l¨ osen Sie die unter den Applets Funktionen erkennen 3 und Graphen erkennen 3 gestellten Aufgaben. Erl¨ autern Sie Ihre Ergebnisse. 11. Zeigen Sie, dass f¨ ur die Mantellinie s und die Mantelfl¨ ache M eines geraden Kreiskegelstumpfs (vgl. Abb. 3.16, links) die folgenden Formeln gelten  M = π(r + R)s. s = h2 + (R − r)2 , Hinweis: Durch Abrollen des Kegelstumpfs entsteht ein Sektor eines Kreisrings mit ¨ Offnungswinkel α, vgl. Abb. 3.16, rechts. die folgenden Beziehungen:  Damit gelten αt = 2πr, α(s + t) = 2πR und M = 12 α (s + t)2 − t2 .

α

r

t s

h

2πr

s

R 2πR

Abb. 3.16. Gerader Kreiskegelstumpf mit abgerolltem Mantel.

4 Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen finden nicht nur beim L¨ osen polynomialer Gleichungen Verwendung, sondern spielen allgemein eine wichtige Rolle in der Analysis. So lassen sich mittels komplexer Funktionen Transformationen der Ebene darstellen, L¨ osungsformeln f¨ ur Differentialgleichungen gewinnen und Matrizen klassifizieren. Nicht zuletzt k¨ onnen Fraktale mittels Eigenschaften komplexer Iterationsverfahren definiert werden. In diesem Abschnitt werden die komplexen Zahlen eingef¨ uhrt und anschließend einige elementare komplexe Funktionen, wie die komplexe Exponentialfunktion, diskutiert. Anwendungen finden sich in den Kapiteln 9 (Fraktale), 20 (Systeme von Differentialgleichungen) und im Anhang B (Normalform von Matrizen).

4.1 Der komplexe Zahlbegriff Die komplexen Zahlen C stellen eine Erweiterung der reellen Zahlen dar, in der das Polynom z 2 +1 eine Nullstelle besitzt. Man kann sie als Paare (a, b) reeller Zahlen einf¨ uhren, auf denen Addition und Multiplikation wie folgt definiert sind: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc). Die reellen Zahlen werden als die Teilmenge aller Paare der Form (a, 0), a ∈ R aufgefasst. Offenbar gilt f¨ ur das Paar (0, 1), dass (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) ist, also sein Quadrat der reellen Zahl −1 entspricht und somit eine Nullstelle des Polynoms z 2 + 1 liefert. Bezeichnet man diese Nullstelle mit i, also i2 = −1,

36

4 Komplexe Zahlen

so kann man eine rechnerisch g¨ unstigere Darstellung der Menge der komplexen Zahlen erhalten, indem man die Paare (a, b) in der Form a + ib schreibt: C = {a + ib ; a ∈ R, b ∈ R}. Den oben definierten Rechenoperationen mit Paaren (a, b) entspricht dann einfach das gewohnte Rechnen mit den Ausdr¨ ucken a + ib wie mit Termen unter Ber¨ ucksichtigung der Beziehung i2 = −1: (a + ib) + (c + id) = a + c + i(b + d), (a + ib)(c + id) = ac + ibc + iad + i2 bd = ac − bd + i(ad + bc). Es ist zum Beispiel (2 + 3i)(−1 + i) = −5 − i. Definition 4.1 F¨ ur eine komplexe Zahl z = x + iy bezeichnet x = Re z, y = Im z den Realteil bzw. den Imagin¨ arteil von z,  |z| = x2 + y 2 den Betrag von z und z¯ = x − iy die zu z konjugiert komplexe Zahl. Es gilt z z¯ = (x + iy)(x − iy) = x2 + y 2 = |z|2 . Das heißt, z z¯ ist stets eine reelle Zahl. Daraus erh¨alt man die Regel f¨ ur das Bruchrechnen    u + iv u + iv x − iy ux + vy vx − uy (u + iv)(x − iy) = = 2 +i 2 , = x + iy x + iy x − iy x2 + y 2 x + y2 x + y2 die im Erweitern mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners besteht. Offensichtlich kann also durch jede komplexe Zahl ungleich Null dividiert werden – die Zahlenmenge C bildet einen K¨ orper. Experiment 4.2 Geben Sie in MATLAB ein: z = complex(2,3) (oder z = 2 + 3 *i, z = 2 + 3 *j) sowie w = complex(-1,1) und testen Sie die Befehle z * w, z/w sowie real(z), imag(z), conj(z), abs(z).

Klarerweise  negative reelle Zahl x zwei Quadratwurzeln in C,  besitzt jede n¨ amlich i |x| und −i |x|. Mehr noch, der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass C algebraisch abgeschlossen ist, also jede polynomiale Gleichung αn z n + αn−1 z n−1 . . . + α1 z + α0 = 0 mit Koeffizienten αj ∈ C, αn = 0, n komplexe L¨osungen besitzt (mit Vielfachheit gez¨ ahlt).

4.1 Der komplexe Zahlbegriff

37

Beispiel 4.3 (Wurzelziehen im Komplexen) Die Gleichung z 2 = a + ib wird mittels Ansatz (x + iy)2 = a + ib gel¨ ost, also x2 − y 2 = a, 2xy = b. Dr¨ uckt man mit Hilfe der zweiten Gleichung y durch x aus und setzt in die erste Gleichung ein, so erh¨ alt man die biquadratische Gleichung x4 − ax2 − b2 /4 = 0. Man gewinnt daraus durch Substitution t = x2 die beiden reellen L¨osungen. Die komplexe Zahlenebene. Eine geometrische Darstellung der komplexen Zahlen erh¨ alt man, indem man z = x + iy ∈ C mit dem Punkt (x, y) ∈ R2 der Koordinatenebene identifiziert (Abb.  4.1). Geometrisch ist dann |z| = x2 + y 2 der Abstand des Punkts (x, y) vom Ursprung; die konjugiert komplexe Zahl z¯ = x − iy erh¨ alt man durch Spiegelung an der x-Achse.

iy z = x + iy y = Im z

x = Re z

x

Abb. 4.1. Komplexe Zahlenebene.

Die Polardarstellung einer komplexen Zahl z = x + iy erh¨alt man wie in Anwendung 3.4 durch r = |z|, ϕ = argH z. Der Winkel ϕ zur positiven x-Achse wird als Argument der komplexen Zahl bezeichnet, wobei die Wahl des Bereichs −π < ϕ ≤ π den Hauptwert argH z des Arguments definiert. Somit gilt: z = x + iy = r(cos ϕ + i sin ϕ). Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen z = r(cos ϕ + i sin ϕ), w = s(cos ψ + i sin ψ) in Polardarstellung entspricht dem Produkt der Betr¨age und der Summe der Winkel:  zw = rs cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ) , was aus den Summenformeln f¨ ur Sinus und Cosinus folgt: sin(ϕ + ψ) = sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ, cos(ϕ + ψ) = cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ, vgl. Satz 3.3.

38

4 Komplexe Zahlen

4.2 Die komplexe Exponentialfunktion Ein wichtiges Hilfsmittel zur Darstellung komplexer Zahlen und Funktionen, aber auch der reellen Winkelfunktionen, bildet die komplexe Exponentialfunktion. F¨ ur z = x + iy wird sie definiert durch ez = ex (cos y + i sin y). Die komplexe Exponentialfunktion bildet C nach C (ohne Null) ab. Ihr genaues Abbildungsverhalten werden wir unten studieren. Sie ist eine Erweiterung der reellen Exponentialfunktion, das heißt, ist z = x ∈ R, so ergibt ez = ex das fr¨ uher schon eingef¨ uhrte reelle Ergebnis. Wir ben¨ utzen auch die Notation exp(z) f¨ ur ez . Aus den Summenformeln f¨ ur Sinus und Cosinus folgen die u ¨blichen Rechenregeln ez+w = ez ew , e0 = 1, (ez )n = enz , g¨ ultig f¨ ur z, w ∈ C und n ∈ Z. Im Gegensatz zum Reellen gilt die zweite Regel (f¨ ur das Potenzieren) im Allgemeinen nicht, wenn n keine nat¨ urliche Zahl ist. Exponentialfunktion und Polarkoordinaten. Nach Definition ist die Exponentialfunktion einer rein imagin¨ aren Zahl iϕ gleich eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ, |eiϕ | = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1. Somit durchlaufen die komplexen Zahlen {eiϕ ; −π < ϕ ≤ π} den Einheitskreis (Abb. 4.2). iy eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ 1 ϕ

x

Abb. 4.2. Der Einheitskreis im Komplexen.

Es gilt zum Beispiel: eiπ/2 = i,

eiπ = −1,

e2iπ = 1,

e2kiπ = 1 (k ∈ Z).

4.3 Abbildungseigenschaften komplexer Funktionen

39

Mit r = |z|, ϕ = argH z ergibt sich die besonders einfache Form der Polardarstellung z = reiϕ . Das Wurzelziehen wird auch entsprechend einfach. Beispiel 4.4 (Wurzelziehen in komplexen √ Polarkoordinaten) Ist z 2 = reiϕ , so erh¨ alt man f¨ ur z die beiden L¨ osungen ± r eiϕ/2 . Ein Beispiel: z 2 = 2i = 2 eiπ/2 hat die beiden L¨osungen z= und

√

2 eiπ/4 = 1 + i

√ z = − 2 eiπ/4 = −1 − i.

Euler’sche Formeln. Diese erm¨ oglichen eine Darstellung der reellen Winkelfunktionen durch die komplexe Exponentialfunktion. Sie besagen, dass 1  iϕ e + e−iϕ 2 1  iϕ sin ϕ = e − e−iϕ 2i

cos ϕ =

ist, was sich durch Addition bzw. Subtraktion der Beziehungen eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ e−iϕ = cos ϕ − i sin ϕ sofort herleiten l¨asst.

4.3 Abbildungseigenschaften komplexer Funktionen In diesem Abschnitt werfen wir einen Blick auf Abbildungseigenschaften komplexer Funktionen, das heißt, wie ihre Wirkung geometrisch beschrieben werden kann. Es sei f : D ⊂ C → C : z → w = f (z) eine komplexe Funktion, definiert auf einer Teilmenge D der komplexen Zahlen. Die Wirkungsweise der Funktion f kann am besten visualisiert werden, indem man zwei komplexe Zahlenebenen nebeneinander zeichnet, die z-Ebene und die w-Ebene, und die Bilder von Strahlen und Kreisen unter f eintr¨agt. Beispiel 4.5 Die komplexe Quadratfunktion bildet D = C auf C ab: w = z 2 . Unter Verwendung von Polarkoordinaten ergibt sich z = x + iy = r eiϕ

⇒

w = u + iv = r2 e2iϕ .

40

4 Komplexe Zahlen

Daraus ist ersichtlich, dass die komplexe Quadratfunktion Kreise vom Radius r in der z-Ebene auf Kreise vom Radius r2 in der w-Ebene sowie Halbstrahlen {z = reiψ : r > 0} mit Neigungswinkel ψ auf Halbstrahlen mit Neigungswinkel 2ψ abbildet (Abb. 4.3). iy

iv w = z2 z r

ψ

r2 2ψ

x

u

Abb. 4.3. Die komplexe Quadratfunktion.

Besonders wichtig sind die Abbildungseigenschaften der komplexen Exponentialfunktion, w = ez , liegen diese doch der Definition des komplexen Logarithmus und der Wurzelfunktionen zu Grunde. Ist z = x + iy, so ist ez = ex (cos y + i sin y). Es ist immer ex > 0; weiters definiert cos y + i sin y einen Punkt auf dem komplexen Einheitskreis, welcher f¨ ur −π < y ≤ π eindeutig ist. Durchl¨ auft x die reellen Zahlen, so bilden die Punkte ex (cos y + i sin y) einen Halbstrahl mit Winkel y, wie aus Abb. 4.4 ersichtlich. H¨alt man umgekehrt x fest und l¨ asst y zwischen −π und π laufen, so ergibt sich der Kreis mit Radius ex in der w-Ebene. Zum Beispiel ist der punktierte Kreis (rechte Abbildung) die Bildmenge der punktierten Geraden (linke Abbildung) unter der Exponentialfunktion. Aus dem eben Gesagten ergibt sich, dass die Exponentialfunktion auf den Bereichen D = {z = x + iy ; x ∈ R, −π < y ≤ π} → B = C \ {0} bijektiv ist, also den Streifen der Breite 2π auf die komplexe Zahlenebene ohne die Null abbildet. Der Graph der Exponentialfunktion weist l¨angs der negativen u-Achse einen Sprung auf, was in Abb. 4.4 (rechts) angedeutet ist. Im Bereich D besitzt die Exponentialfunktion eine Umkehrfunktion, den Hauptwert oder Hauptzweig des komplexen Logarithmus. Aus der Darstellung w = ez = ex eiy ersieht man den Zusammenhang x = log |w|, y = argH w. Somit ist der Hauptwert des komplexen Logarithmus der komplexen Zahl w gegeben durch

¨ 4.4 Ubungen

41

z = logH w = log |w| + i argH w bzw. in Polarkoordinaten  logH r eiϕ = log r + iϕ,

−π < ϕ ≤ π.

Vertikale Verschiebung des Streifens B, auf dem die Exponentialfunktion bijektiv ist, ergibt die Nebenzweige des Logarithmus.

iy

iv

iπ

w = ez ex

y

z

y

x

x

u

−iπ

Abb. 4.4. Die komplexe Exponentialfunktion.

Mit Hilfe des Hauptwerts des komplexen Logarithmus √ lassen sichdie Haupt- werte der n-ten komplexen Wurzelfunktionen durch n z = exp n1 logH (z) definieren. ¨ Experiment 4.6 Offnen Sie das Applet 2D Visualisierung komplexer Funktionen und untersuchen Sie, wie die Potenzfunktionen w = z n , n ∈ N, Kreise und Strahlen der komplexen Zahlenebene abbilden. Stellen Sie dazu das Muster Polarkoordinaten ein und experimentieren Sie mit verschiedenen Sektoren (Intervall des Arguments [α, β] mit 0 ≤ α < β ≤ 2π). ¨ Experiment 4.7 Offnen Sie das Applet 2D Visualisierung komplexer Funktionen und untersuchen Sie, wie die Exponentialfunktion w = ez horizontale und vertikale Geraden der komplexen Zahlenebene abbildet. Stellen Sie dazu das Muster Gitter ein und experimentieren Sie mit verschiedenen Streifen, zum Beispiel 1 ≤ Re z ≤ 2, −2 ≤ Im z ≤ 2.

¨ 4.4 Ubungen 1. Ermitteln Sie f¨ ur die folgenden komplexen Zahlen z jeweils Re z, Im z, z¯ und |z|: z = 3 + 2i,

z = −i,

z=

1+i , 2−i

z =3−i+

1 . 3−i

F¨ uhren Sie diese Berechnungen auch in MATLAB durch. 2. Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form z = reiϕ dar und skizzieren Sie sie in der komplexen Zahlenebene:

42

4 Komplexe Zahlen z = −1 − i,

z = −5,

z = 3i,

z = 2 − 2i.

3. Berechnen Sie die beiden komplexen L¨ osungen der Gleichung z 2 = 2 + 2i mit Hilfe des Ansatzes z = x + iy und Gleichsetzen von Real- und Imagin¨ arteil. Testen und erkl¨ aren Sie die MATLAB -Befehle roots([2,0,-2 - 2 *i]) sqrt(2 + 2 *i) 4. Berechnen Sie die beiden komplexen L¨ osungen der Gleichung z 2 = 2 + 2i in der Form z = reiϕ aus der Polardarstellung von 2 + 2i. 5. Berechnen Sie die vier komplexen L¨ osungen der biquadratischen Gleichung z 4 − 2z 2 + 2 = 0 h¨ andisch und in MATLAB (Befehl roots). ¨ 6. Sei z = x+iy, w = u+iv. Uberpr¨ ufen Sie die Formel ez+w = ez ew durch Einsetzen in die Definition und Anwendung der Summens¨ atze f¨ ur die Winkelfunktionen. 7. Berechnen Sie z = logH w f¨ ur w = 1 + i,

w = −5i,

w = −1.

Skizzieren Sie w und z in der komplexen Zahlenebene und u ufen Sie Ihr Er¨berpr¨ gebnis an Hand der Beziehung w = ez sowie in MATLAB (Befehl log).

5 Folgen und Reihen

Das Konzept eines Grenz¨ ubergangs im Unendlichen ist die zentrale Idee der Analysis, die allen ihren wesentlichen Begriffen, wie der Stetigkeit, der Differenzierbarkeit, der Entwicklung von Funktionen in Reihen, dem Integral usw. zu Grunde liegt. Der Grenz¨ ubergang vom Diskreten zum Kontinuierlichen macht die Modellierungskraft der Analysis aus. Auch diskrete Modelle physikalischer, technischer oder wirtschaftlicher Vorg¨ ange lassen sich, soferne die Anzahl ihrer Atome – ihrer diskreten Grundbausteine – hinreichend groß ist, oft besser und einfacher verstehen, wenn man sie mittels Grenz¨ ubergang durch ein kontinuierliches Modell approximiert. Der ¨ Ubergang von Differenzengleichungen f¨ ur biologische Wachstumsvorg¨ ange in diskreten Zeitschritten zu Differentialgleichungen in kontinuierlichen Zeitschritten oder die Beschreibung von Aktienkursen durch stochastische Prozesse in kontinuierlicher Zeit sind Beispiele daf¨ ur. Die meisten Modelle der Physik sind Feldmodelle, also in einer kontinuierlichen Raum- und Zeitstruktur formuliert. Auch wenn die Modelle bei der numerischen n¨ aherungsweisen Berechnung wieder diskretisiert werden, ist das kontinuierliche Modell als Hintergrund hilfreich, zum Beispiel f¨ ur die Fehlerabsch¨ atzung. Die folgenden Abschnitte sind der Pr¨ azisierung der Idee des Grenz¨ ubergangs gewidmet. Dieses Kapitel beginnt mit dem Studium von unendlichen Folgen und Reihen, f¨ uhrt einige Anwendungen vor und behandelt den zugeh¨ origen Grenzwertbegriff. Eine der Errungenschaften, die wir besonders betonen, ist die Vollst¨ andigkeit der reellen Zahlen. Sie garantiert die Existenz von Grenzwerten beliebiger monoton wachsender, beschr¨ ankter Zahlenfolgen, von Nullstellen stetiger Funktionen, Maximalund Minimalstellen differenzierbarer Funktionen, Integralen usw. und ist daher ein unverzichtbarer konzeptioneller Baustein der Analysis. Die folgenden Kapitel bauen auf dem Grenzwertbegriff f¨ ur Folgen auf.

5.1 Der Begriff einer unendlichen Folge Definition 5.1 Es sei X eine Menge. Eine (unendliche) Folge mit Werten in X ist eine Abbildung von N nach X. Es wird also jeder nat¨ urlichen Zahl n (dem Index) ein Element an aus X zugeordnet (das n-te Folgenglied). Wir dr¨ ucken das durch die Schreibweise

44

5 Folgen und Reihen

(an )n≥1 = (a1 , a2 , a3 , . . .) aus. Im Falle X = R spricht man von reellwertigen Folgen, bei X = C von komplexwertigen, bei X = Rm von vektorwertigen Folgen. In diesem Abschnitt diskutieren wir nur reellwertige Folgen. Man kann Folgen addieren (an )n≥1 + (bn )n≥1 = (an + bn )n≥1 und mit einem skalaren Faktor multiplizieren λ(an )n≥1 = (λan )n≥1 . Diese Operationen werden gliedweise ausgef¨ uhrt und geben der Menge aller reellwertigen Folgen die Struktur eines Vektorraums. Den Graphen einer Folge erh¨ alt man durch Auftragen der Punkte (n, an ), n = 1, 2, 3, . . . in einem Koordinatensystem, siehe Abb. 5.1.

an

4 3 2 1

n

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15

Abb. 5.1. Graph einer Folge. ogliche Experiment 5.2 Rufen Sie das m-File mat05 1a.m auf. Es zeigt einige m¨ Verl¨ aufe von Folgen: wachsend/fallend, beschr¨ ankt/unbeschr¨ ankt, oszillierend, konvergent. Zur besseren Visualisierung verbindet man oft die diskreten Folgenwerte mit Geradenst¨ ucken (denen ausschließlich graphische Bedeutung zukommt) – dies ist im ¨ Sie das Applet Folgen und versuchen Sie, m-File mat05 1b.m implementiert. Offnen die im m-File mat05 1a.m angegebenen Folgen dort einzugeben und darzustellen.

Folgen k¨ onnen entweder explizit durch eine Formel definiert werden, etwa an = 2n , oder rekursiv durch Angabe eines Startwerts und einer Vorschrift, wie aus dem n-ten Folgenglied der Nachfolger zu berechnen ist, etwa a1 = 1, an+1 = 2an . Die Rekursion kann auch jeweils mehrere Vorg¨anger involvieren.

5.1 Der Begriff einer unendlichen Folge

45

Beispiel 5.3 Ein auf Verhulst1 zur¨ uckgehendes diskretes Bev¨olkerungsmodell (begrenztes Wachstum) beschreibt die Bev¨olkerungszahl xn zum Zeitpunkt n (Zeitschritte der L¨ ange 1) durch die rekursive Beziehung xn+1 = xn + βxn (L − xn ). Dabei ist β ein Wachstumsfaktor und L die Grenzbev¨olkerung. L ist jene Bev¨ olkerungszahl, die im langzeitigen Verlauf nicht u ¨berschritten wird (kurz¨ fristige Uberschreitungen sind m¨ oglich, f¨ uhren jedoch unmittelbar zu negativem Bev¨ olkerungswachstum). Zus¨ atzlich ist die Anfangsbev¨olkerung x1 = A anzugeben. Der Bev¨ olkerungszuwachs xn+1 − xn w¨ahrend eines Zeitschritts ist dem Modell nach proportional zur vorhandenen Bev¨olkerung und der Differenz zur Grenzbev¨ olkerung. Das m-File mat05 2.m enth¨alt eine MATLABFunktion, Aufrufsyntax x = mat05 2(A,beta,N); welche die ersten N Folgenglieder x = (x1 , . . . , xN ) ausgibt und plottet. Der Anfangswert ist A, die Wachstumsrate β; es wurde L = 1 gesetzt. Experimente mit A = 0.1, N = 50 und β = 0.5, β = 1, β = 2, β = 2.5, β = 3 zeigen konvergentes, oszillierendes bzw. chaotisches Folgenverhalten. Im Folgenden entwickeln wir einige Begriffsbildungen, die das Verhalten von Folgen beschreiben helfen. Definition 5.4 Eine Folge (an )n≥1 heißt monoton wachsend, wenn gilt: n≤m

⇒

an ≤ am ;

(an )n≥1 heißt monoton fallend, wenn gilt n≤m

⇒

an ≥ am ;

ankt oder von oben beschr¨ ankt, falls gilt (an )n≥1 heißt nach oben beschr¨ ∃T ∈ R ∀n ∈ N : an ≤ T. Die kleinste obere Schranke heißt Supremum. Das Supremum ist jene reelle Zahl T0 = sup an n∈N

welche die beiden Bedingungen erf¨ ullt: (a) f¨ ur alle n ∈ N ist an ≤ T0 ; ur alle n ∈ N, so muss T ≥ T0 sein. (b) ist T eine reelle Zahl und an ≤ T f¨ 1

P.F. Verhulst, 1804–1849.

46

5 Folgen und Reihen

Wir werden unten zeigen, dass jede nach oben beschr¨ankte reellwertige Folge tats¨ achlich ein Supremum besitzt. Dieses Supremum muss nicht selbst schon als Folgenglied auftreten. Ist dies jedoch der Fall, so spricht man vom Maximum der Folge. Es ist T0 = max an n∈N

falls die beiden Bedingungen erf¨ ullt sind: (a) f¨ ur alle n ∈ N ist an ≤ T0 ; (b) es gibt ein m ∈ N, sodass am = T0 ist. ankt, falls gilt: Analog heißt eine Folge (an )n≥1 nach unten beschr¨ ∃S ∈ R ∀n ∈ N : S ≤ an . Die gr¨ oßte untere Schranke heißt Infimum; im Falle der Annahme durch ein Folgenglied wird sie zum Minimum. Experiment 5.5 Untersuchen Sie die durch das File mat05 1a.m erzeugten Folgen im Hinblick auf obige Begriffsbildungen.

Wie in der Einf¨ uhrung zu diesem Kapitel erw¨ahnt, ist das Konzept der Konvergenz der zentrale Begriff der Analysis. Anschaulich besagt er, dass sich die Folgenglieder an mit wachsendem Index n an einen Grenzwert a beliebig n¨ ahern. Zum Beispiel ist in Abb. 5.2 mit a = 0.8: |a − an | < 0.2 ab n = 6,

|a − an | < 0.05 ab n = 21.

an

1.6 1.2 0.8 0.4

n

0 0

5

10

15

20

25

30

Abb. 5.2. Zur Folgenkonvergenz.

Zur Pr¨ azisierung des Konvergenzbegriffs f¨ uhren wir zun¨achst den Begriff der ε-Umgebung eines Punkts a ∈ R ein (ε > 0): Uε (a) = {x ∈ R ; |a − x| < ε} = (a − ε, a + ε). Wir sagen, dass eine Folge (an )n≥1 in einer Umgebung Uε (a) sesshaft wird, wenn alle Folgenglieder an ab einem gewissen Index n(ε) in Uε (a) liegen.

5.1 Der Begriff einer unendlichen Folge

47

Definition 5.6 Die Folge (an )n≥1 konvergiert gegen einen Grenzwert oder Limes a, falls sie in jeder ε-Umgebung von a sesshaft wird. In Quantorenschreibweise kann dieser Sachverhalt wie folgt ausgedr¨ uckt werden: ∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N ∀n ≥ n(ε) : |a − an | < ε. Falls eine Folge (an )n≥1 gegen den Grenzwert a konvergiert, so schreibt man a = lim an n→∞

oder an → a f¨ ur n → ∞.

Im Beispiel von Abb. 5.2 ist der Grenzwert a als punktierte Linie gekennzeichnet, die Umgebung U0.2 (a) als Streifen mit strichlierter Begrenzung und die Umgebung U0.05 (a) als Streifen mit durchgezogenen Begrenzungslinien. Im Falle der Konvergenz lassen sich Addition, Vervielfachung, Multiplikation und Division (unter Vermeidung der Null) mit der Grenzwertbildung erwartungsgem¨ aß vertauschen: Satz 5.7 (Rechenregeln f¨ ur Grenzwerte) Falls die Folgen (an )n≥1 und (bn )n≥1 konvergent sind, so gilt: lim (an + bn ) = lim an + lim bn

n→∞

n→∞

n→∞

(f¨ urλ ∈ R)

lim (λan ) = λ lim an

n→∞

n→∞

lim (an bn ) = ( lim an )( lim bn )

n→∞

n→∞

n→∞

lim (an /bn ) = ( lim an )/( lim bn )

n→∞

n→∞

n→∞

(falls alle bn = 0 und lim bn = 0 ist) n→∞

Beweis: Den Nachweis dieser Selbstverst¨ andlichkeiten u ¨berlassen wir den Le¨ sern als Ubungsaufgabe. Die Beweise sind nicht tief liegend, doch muss man geschickt die richtige Herangehensweise w¨ ahlen, um zum Nachweis der Bedingungen von Def. 5.6 zu gelangen. Um wenigstens einmal zu erl¨autern, wie solche Beweise gemacht werden, sei etwa die Aussage u ¨ber die Multiplikation vorgef¨ uhrt. Nehmen wir also an, dass lim an = a und

n→∞

lim bn = b

n→∞

ist. Sei ε > 0. Wir m¨ ussen nach Def. 5.6 ein n(ε) ∈ N finden, sodass |ab − an bn | < ε

(5.1)

f¨ ur alle n ≥ n(ε) erf¨ ullt ist. Auf Grund der Konvergenz der Folge (an )n≥1 k¨ onnen wir zun¨ achst ein n1 (ε) ∈ N finden, sodass |a − an | ≤ 1 ist f¨ ur alle ur diese n gilt dann auch n ≥ n1 (ε). F¨ |an | = |an − a + a| ≤ 1 + |a|.

48

5 Folgen und Reihen

Weiters k¨ onnen wir n2 (ε) ∈ N und n3 (ε) ∈ N finden, sodass |a − an |
0. ur n ≥ nj ist Wir suchen zun¨ achst ein j ∈ N, sodass 10−j < ε ist. F¨

50

5 Folgen und Reihen (n)

(n)

a − an = 0.000 . . . 0 αj+1 αj+2 . . . , da die ersten j Stellen nach dem Komma in a mit jenen von an u ¨bereinstimmen, sofern n ≥ nj ist. Somit gilt |a − an | ≤ 10−j < ε f¨ ur n ≥ nj . Mit n(ε) = nj wird damit die in Def. 5.6 geforderte Bedingung erf¨ ullt. Falls die Folge (an )n≥1 auch negative Glieder besitzt, kann sie durch Addition des Absolutbetrags des ersten Glieds zu einer Folge mit positiven Gliedern (|a1 | + an )n≥1 transformiert werden, auf die dann der erste Teil des Beweises angewendet werden kann.

Bemerkung 5.11 Die rationalen √ Zahlen sind nicht vollst¨andig. Zum Beispiel ist die Dezimalentwicklung von 2, (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, . . .) eine monoton wachsende, beschr¨ ankte Folge rationaler Zahlen (eine obere Schranke ist zum Beispiel T = 1.5, da 1.52 > 2 ist), aber der Grenzwert √ 2 liegt nicht in Q (ist aber eine reelle Zahl ∈ R). Beispiel 5.12 (Arithmetik reeller Zahlen) Satz 5.10 u ¨ber die Vollst¨andigkeit der reellen Zahlen erlaubt es, die im Abschnitt 1.2 eingef¨ uhrten arithmetischen Operationen auf den reellen Zahlen nachtr¨ aglich zu legitimieren. Betrachten wir etwa die Addition zweier nichtnegativer reeller Zahlen a = A.α1 α2 . . . und b = B.β1 β2 . . . mit A, B ∈ N0 , αj , βj ∈ {0, 1, . . . , 9}. Durch Abschneiden nach der n-ten Dezimale erhalten wir zwei approximierende Folgen rationaler Zahlen an = A.α1 α2 . . . αn und bn = B.β1 β2 . . . βn mit a = lim an , n→∞

b = lim bn . n→∞

Die Summe zweier Approximationen an + bn ist durch die Addition rationaler Zahlen elementar definiert. Die Folge (an + bn )n≥1 ist offenbar monoton wachsend und nach oben beschr¨ ankt, etwa durch A + B + 2. Nach dem Satz 5.10 besitzt diese Folge einen Grenzwert, und dieser Grenzwert definiert die Summe der reellen Zahlen a + b = lim (an + bn ). n→∞

In dieser Weise wird die Addition reeller Zahlen rigoros gerechtfertigt. In ahnlicher Weise kann man bei der Multiplikation vorgehen. Schließlich erlaubt ¨ Satz 5.7 die u ur Addition und Multiplikation nachzu¨blichen Rechenregeln f¨ weisen. Jede nach oben beschr¨ ankte Folge besitzt definitionsgem¨aß eine obere Schranke T . Jede reelle Zahl T1 > T ist ebenfalls eine obere Schranke. Wir k¨onnen nun zeigen, dass es eine kleinste obere Schranke gibt, eine beschr¨ankte Folge also tats¨ achlich einen Supremum besitzt, wie eingangs behauptet.

5.3 Unendliche Reihen

51

Satz 5.13 Jede nach oben beschr¨ ankte Folge (an )n≥1 reeller Zahlen besitzt ein Supremum. Beweis: Sei Tn = max{a1 , . . . , an } das Maximum der ersten n Folgenglieder. Diese Maxima definieren ihrerseits eine Folge (Tn )n≥1 , die durch dieselankt ist, aber zus¨atzlich monoton ben Schranken wie (an )n≥1 von oben beschr¨ wachsend ist. Nach dem vorigen Satz besitzt sie einen Grenzwert T0 . Dieser Grenzwert ist das Supremum der urspr¨ unglichen Folge. In der Tat ist Tn ≤ T0 f¨ ur alle n, daher auch an ≤ T0 f¨ ur alle n. G¨ abe es eine kleinere obere Schranussten mit ε = T0 − T ja ab einem n(ε) ke T < T0 der Folge (an )n≥1 , so m¨ alle Tn in der ε-Umgebung Uε (T0 ) liegen, also insbesondere gr¨oßer als T sein. Somit g¨ abe es aber ein aj ∈ {a1 , . . . , an(ε) }, das gr¨oßer als T ist. Dies steht im Widerspruch zur Annahme, dass T eine obere Schranke war. Somit ist T0 die kleinste obere Schranke.

Anwendung 5.14 Wir sind nunmehr in der Lage zu zeigen, dass die im Abschnitt 2.2 informell gegebene Definition der Exponentialfunktion f¨ ur reelle Hochzahlen korrekt ist. Sei a > 0 eine Basis f¨ ur die zu definierende Potenz ugt, den Fall r > 0 zu behandeln (f¨ ur ar mit reeller Hochzahl r ∈ R. Es gen¨ negatives r wird ar durch den Kehrwert von a|r| definiert). Wir stellen r als Grenzwert einer monoton wachsenden Folge (rn )n≥1 rationaler Zahlen dar, indem wir f¨ ur rn die an der n-ten Dezimalstelle abgebrochene Dezimaldarstellung von r w¨ ahlen. Aus den Rechenregeln f¨ ur rationale Hochzahlen folgt die Ungleichung: arn+1 − arn = arn (arn+1 −rn − 1) ≥ 0. Dies zeigt, dass die Folge (arn )n≥1 monoton wachsend ist. Sie ist auch nach oben beschr¨ankt, etwa durch oßer als r ist. Nach dem Vollst¨andigkeitssatz aq , wenn q eine rationale Zahl gr¨ besitzt diese Folge einen Grenzwert. Dieser Grenzwert definiert ar . √ Anwendung 5.15 F¨ ur a > 0 ist limn→∞ n a = 1. Zum Beweis k¨ onnen wir uns auf den Fall 0 < a < 1 beschr¨anken, da sonst das Argument auf 1/a ¨berlegt sich leicht, dass √ angewendet werden kann. Man u dann die Folge ( n a)n≥1 monoton wachsend ist; sie ist auch durch 1 von oben beschr¨ ankt. Daher besitzt sie einen √ Grenzwert b. W¨are b < 1, so g¨abe es zu ur alle n ≥ n(ε) in der Umgebung Uε (b) ε = (1 − b)/2 ein n(ε), sodass n a f¨ zu liegen kommt und damit kleiner gleich b + ε = (1 + b)/2 < 1 w¨are. Damit n ur alle n ≥ n(ε), was wegen (1 + b)/2 < 1 zur folgt aber a ≤ ((1 + b)/2) f¨ Folge h¨ atte, dass a = 0 ist. Folglich muss b = 1 sein.

5.3 Unendliche Reihen Summen der Form

∞ 

ak = a1 + a2 + a3 + . . .

k=1

aus unendlich vielen Summanden kann unter gewissen Bedingungen eine Bedeutung gegeben werden. Ausgangspunkt ist eine Koeffizientenfolge (ak )k≥1

52

5 Folgen und Reihen

reeller Zahlen. Die n-te Partialsumme ist Sn =

n 

ak = a1 + a2 + a3 + . . . + an ,

k=1

also S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3

usw.

n Bei Bedarf verwenden wir auch ohne Kommentar die Notation Sn = k=0 ak , falls die Indizierung der Koeffizientenfolge mit k = 0 beginnt: a0 , a1 , a2 , a3 , . . . Definition 5.16 Die Folge der Partialsummen (Sn )n≥1 heißt Reihe. Falls S = limn→∞ Sn existiert, so heißt die Reihe konvergent, andernfalls divergent. Im Falle der Konvergenz schreibt man S=

∞ 

 ak = lim

k=1

n→∞

n 

 ak

.

k=1

Somit ist das Summationsproblem auf die Frage der Konvergenz der Folge der Partialsummen zur¨ uckgef¨ uhrt. Experiment 5.17 Das m-File mat05 3.m erzeugt (Aufruf: mat05 3(N,Z)) die ersten N Partialsummen mit Zeitverz¨ ogerung Z [Sekunden] von f¨ unf Reihen, also ur 1 ≤ n ≤ N : jeweils Sn f¨ Reihe 1 : Reihe 3 : Reihe 5 :

Sn = Sn = Sn =

n  k=1 n  k=1 n 

k−0.99 k−1.01

Reihe 2 : Reihe 4 :

Sn = Sn =

n  k=1 n 

k−1 k−2

k=1

(k!)−1

k=1

Experimentieren Sie mit wachsenden Werten von N und versuchen Sie zu ersehen, bei welchen Reihen Konvergenz oder Divergenz vorliegt.

Im Experiment scheint die Konvergenz von Reihe 5 offensichtlich zu sein, w¨ ahrend die Beobachtungen f¨ ur die anderen Reihen eher nicht schl¨ ussig sind. Tats¨ achlich divergieren die Reihen 1 und 2, w¨ahrend die anderen konvergiere. Man braucht also schon analytische Werkzeuge, um die Konvergenzfrage entscheiden zu k¨onnen. Zun¨ achst aber ein paar Beispiele. ∞ Beispiel 5.18 (Geometrische Reihe) Es handelt sich um die Reihe k=0 q k mit reellem Faktor q ∈ R. F¨ ur die Partialsummen gilt:

5.3 Unendliche Reihen

Sn =

n  k=0

qk =

53

1 − q n+1 . 1−q

In der Tat ergibt Subtraktion der beiden Zeilen Sn = 1 + q + q 2 + . . . + q n , q + q 2 + q 3 + . . . + q n+1 . qSn = die Formel (1 − q)Sn = 1 − q n+1 , woraus das Resultat folgt. Der Fall |q| < 1: Wegen q n+1 → 0 ergibt sich die Konvergenz der Reihe mit Wert 1 1 − q n+1 = . S = lim n→∞ 1−q 1−q Der Fall |q| > 1: F¨ ur q > 1 geht Sn = (q n+1 − 1)/(q − 1) → ∞ und die Reihe divergiert. Im Falle q < −1 ist Sn = (1 − (−1)n+1 |q|n+1 )/(1 − q) unbeschr¨ankt oszillierend, also ebenfalls divergent. Der Fall |q| = 1: F¨ ur q = 1 ist Sn = 1 + 1 + . . . + 1 = n + 1 und strebt gegen unendlich; f¨ ur q = −1 oszilliert Sn zwischen 1 und 0. In beiden F¨allen divergiert die Reihe. ∞ 1 Beispiel 5.19 Die n-te Partialsumme der Reihe k=1 k(k+1) ist Sn =

n  k=1

 1 = k(k + 1) n

k=1



1 1 − k k+1



1 1 1 1 1 1 1 1 1 =1− . = 1 − + − + − + ... − + − 2 2 3 3 4 n n n+1 n+1 Es handelt sich um eine so genannte Teleskopsumme. Die Reihe konvergiert zu   ∞  1 1 S= = lim 1 − = 1. k(k + 1) n→∞ n+1 k=1 ∞ Beispiel 5.20 (Harmonische Reihe) Es handelt sich um die Reihe k=1 k1 . Durch Zusammenfassen in Zweier-, Vierer-, Achter-, Sechzehnerbl¨ocken usw. sieht man, dass gilt:   1  1 + 17 + . . . + . . . 1 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + . . . + 16  1 1  1 + 32 + . . . + . . . + . . . + 16 ≥ 1 + 12 + 14 + 14 + 18 + 18 + 18 + 18 + 16 = 1 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + . . . → ∞. Die Partialsummen gehen gegen Unendlich, die Reihe divergiert daher. Es gibt eine Reihe von Kriterien, die zu entscheiden gestatten, ob eine Reihe konvergiert oder divergiert. Wir behandeln hier nur die beiden einfachsten Konvergenzkriterien, das Majoranten- und das Minorantenkriterium, mit denen die f¨ ur uns wichtigen Reihen untersucht werden k¨onnen. F¨ ur weiter ¨ f¨ uhrende Uberlegungen verweisen wir auf die Literatur, etwa [2, Kap. 5.1].

54

5 Folgen und Reihen

Satz 5.21 (Vergleichskriterien) Es sei 0 ≤ ak ≤ bk f¨ ur alle k ∈ N, oder zumindest f¨ ur alle k gr¨ oßer gleich einem k0 . Dann gilt: ∞ ∞ (a) Ist die Reihe k=1 bk konvergent, so konvergiert auch die Reihe k=1 ak (Majorantenkriterium). ∞ ∞ (b) Ist die Reihe k=1 ak divergent, so divergiert auch die Reihe k=1 bk (Minorantenkriterium). n ∞ Beweis: (a) Die Partialsummen erf¨ ullen Sn = k=1 ak ≤ k=1 bk = T und ankt und monoton wachsend. Nach dem Satz u Sn ≤ Sn+1 , sind also beschr¨ ¨ber die Vollst¨ andigkeit der reellen Zahlen existiert S = lim Sn = n→∞

∞ 

ak .

k=1

(b) F¨ ur die Partialsummen gilt nun Tn =

n  k=1

bk ≥

n 

ak → ∞,

k=1

da letztere positiv sind und divergieren.

∞



Unter der Voraussetzung 0 ≤ man k=1 bk eine a∞k ≤ bk des Satzes nennt  ∞ ∞ Majorante zu k=1 ak und k=1 ak eine Minorante zu k=1 bk . Demnach konvergiert eine Reihe, wenn sie eine konvergente Majorante besitzt, und divergiert, wenn sie eine divergente Minorante besitzt. ∞ Beispiel 5.22 Die Reihe k=1 k12 ist konvergent. Es ist n n−1   1 1 = 1 + 2 k (j + 1)2 j=1

k=1

und aj =

1 1 = bj . ≤ 2 (j + 1) j(j + 1)

∞ Wir wenden das Majorantenkriterium und Beispiel 5.19 an, wonach j=1 bj konvergiert. ∞ Beispiel 5.23 Die Reihe k=1 k −0.99 divergiert. Dies folgt aus der Divergenz der harmonischen Reihe (Beispiel 5.20), welche wegen k −1 ≤ k −0.99 eine Minorante ist. Beispiel 5.24 Im Kapitel 2 wurde die Euler’sche Zahl ∞  1 1 1 1 1 =1+1+ + + + + ... e= j! 2 6 24 120 j=0

eingef¨ uhrt. Wir k¨onnen nun zeigen, dass diese Definition sinnvoll ist, das heißt, dass die Reihe konvergiert. F¨ ur j ≥ 4 ist offenbar j! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · . . . · j ≥ 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · . . . · 2 = 2j . ∞ Also stellt die geometrische Reihe j=0 ( 12 )j eine konvergente Majorante dar.

5.4 Erg¨ anzung: H¨ aufungswerte von Folgen

55

Beispiel 5.25 Die Dezimaldarstellung einer positiven reellen Zahl a = A.α1 α2 α3 . . . mit A ∈ N0 , αk ∈ {0, . . . , 9} kann als Reihendarstellung aufgefasst werden: a=A+

∞ 

αk 10−k

k=1

Die Reihe konvergiert, da sie mit A+ 9 besitzt.

∞ k=1

10−k eine konvergente Majorante

5.4 Erg¨ anzung: H¨ aufungswerte von Folgen Gelegentlich ben¨otigen wir Folgen, die zwar selbst nicht konvergieren, aber konvergente Teilfolgen besitzen. Im Zusammenhang damit stehen die Begriffe des Limes superior und Limes inferior. Definition 5.26 Eine Zahl b heißt H¨ aufungswert der Folge (an )n≥1 , wenn in jeder Umgebung Uε (b) von b unendlich viele Glieder der Folge liegen: ∀ε > 0 ∀n ∈ N ∃m = m(n, ε) ≥ n :

|b − am | < ε.

Die Abb. 5.3 zeigt die Folge an = arctan n + cos(nπ/2) +

1 n

sin(nπ/2).

Sie besitzt drei H¨ aufungswerte, n¨ amlich b1 = π/2 + 1 ≈ 2.57, b2 = π/2 ≈ 1.57 und b3 = π/2 − 1 ≈ 0.57.

an 3 2 1

n

0 0

5

10

15

20

25

30

Abb. 5.3. H¨ aufungswerte einer Folge.

Ist eine Folge konvergent mit Limes a, so ist a der einzige H¨aufungswert. H¨ aufungswerte einer Folge k¨ onnen auch mit Hilfe des Begriffs von Teilfolgen charakterisiert werden.

56

5 Folgen und Reihen

Definition 5.27 Ist 1 ≤ n1 < n2 < n3 < . . . eine streng monoton wachsende Folge nat¨ urlicher Zahlen (Indizes), so heißt (anj )j≥1 eine Teilfolge der Folge (an )n≥1 . Beispiel 5.28 Wir gehen von der Folge an = n1 aus. Setzen wir etwa nj = j 2 , so erhalten wir die Folge anj = j12 als Teilfolge: 1 , . . . ); (an )n≥1 = (1, 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 10 1 1 (anj )j≥1 = (1, 4 , 9 , . . . ).

Aus der definierenden Eigenschaft folgt leicht, dass b genau dann ein H¨aufungswert der Folge (an )n≥1 ist, wenn b Grenzwert einer konvergenten Teilfolge ankt, so ist auch die Menge ihrer (anj )j≥1 ist. Ist die Folge (an )n≥1 beschr¨ H¨ aufungswerte beschr¨ ankt und besitzt somit ein Supremum. Dieses Supremum ist selbst H¨ aufungswert der Folge (wie man durch Konstruktion einer geeigneten konvergenten Teilfolge zeigen kann) und stellt somit den gr¨oßten H¨ aufungswert dar. Definition 5.29 Der gr¨ oßte H¨ aufungswert einer beschr¨ankten Folge heißt Limes superior und wird mit lim n→∞ an oder lim supn→∞ an bezeichnet. Der kleinste H¨ aufungswert heißt Limes inferior mit den entsprechenden Bezeichnungen lim n→∞ an oder lim inf n→∞ an . Die Beziehungen  lim sup an = lim n→∞

n→∞

sup am ,

 lim inf an = lim

m≥n

n→∞

n→∞

inf am

m≥n

folgen leicht aus den Definitionen und erl¨ autern die Notation. Im Beispiel der Folge (an )n≥1 aus Abb. 5.3 ist lim supn→∞ an = π/2 + 1, lim inf n→∞ an = π/2 − 1.

¨ 5.5 Ubungen 1. Suchen Sie ein Bildungsgesetz der nachstehenden Folgen, pr¨ ufen Sie auf Monotonie, Beschr¨ anktheit und Konvergenz: −3, −2, −1, 0, 0, −1,

1 , 2

−2,

1 3 , , 4 9 1 , −3, 4

5 , 7 , 9 ,...; 16 25 36 1 1 , −4, 16 ,.... 8 2

n 2. Verifizieren Sie, dass die Folge an = 1+n 2 gegen 1 konvergiert, indem Sie zu gegebenem ε > 0 ein n(ε) angeben, sodass

¨ 5.5 Ubungen

57





n2

0: Falls ein q, 0 < q < 1 existiert, sodass f¨ ur die Quotienten gilt: ak+1 ≤q ak  f¨ ur alle k ∈ N0 , so konvergiert die Reihe ∞ k=0 ak . Hinweis: Aus der Voraussetzung folgt a1 ≤ a0 q, a2 ≤ a1 q ≤ a0 q 2 und damit sukur alle k. Verwenden Sie nun das Majorantenkriterium und die zessive ak ≤ a0 q k f¨ Konvergenz der geometrischen Reihe mit q < 1.

6 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen

In diesem Abschnitt erweitern wir der Begriff des Grenzwerts von Folgen zum Begriff des Grenzwerts von Funktionen. Damit erhalten wir einerseits ein Hilfsmittel zur feinen Untersuchung des Verhaltens von Funktionsgraphen in der N¨ ahe ausgew¨ ahlter Punkte, andererseits sind Grenzwerte von Funktionen die Grundlage des zentralen Themas der Analysis, der Differentiation (Kap. 7). F¨ ur die Herleitung von Ableitungsformeln werden einige elementare Grenzwerte ben¨ otigt, wie etwa Grenzwerte trigonometrischer Funktionen. Die Eigenschaft der Stetigkeit einer Funktion hat weit reichende Konsequenzen, wie etwa den Zwischenwertsatz, wonach eine stetige Funktion, die auf einem Intervall das Vorzeichen wechselt, eine Nullstelle besitzt. Dieser Satz erlaubt nicht nur die L¨ osbarkeit von Gleichungen zu zeigen, sondern liefert auch numerische Verfahren zur n¨ aherungsweisen Berechnung der L¨ osungen. Vertiefende Untersuchungen zur Stetigkeit finden sich im Anhang C.

6.1 Der Begriff der Stetigkeit Wir beginnen mit der Untersuchung des Verhaltens von Graphen reeller Funktionen f : (a, b) → R bei Ann¨ aherung an einen Punkt x aus dem offenen Intervall (a, b) oder auch einen Randpunkt des abgeschlossenen Intervalls [a, b]. Wir brauchen dazu den Begriff der Nullfolge: Dies ist eine Folge reeller Zahlen (hn )n≥1 mit limn→∞ hn = 0. Definition 6.1 (Grenzwerte und Stetigkeit) (a) f besitzt einen Grenzwert M in einem Punkt x ∈ (a, b), falls gilt: lim f (x + hn ) = M

n→∞

f¨ ur alle Nullfolgen (hn )n≥1 mit hn = 0. In diesem Fall schreibt man

60

6 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen

M = lim f (x + h) = lim f (ξ) h→0

ξ→x

oder f (x + h) → M f¨ ur h → 0. (b) f besitzt einen rechtsseitigen Grenzwert R im Punkte x ∈ [a, b), falls gilt: lim f (x + hn ) = R

n→∞

f¨ ur alle Nullfolgen (hn )n≥1 mit hn > 0, mit den zugeh¨origen Schreibweisen R = lim f (x + h) = lim f (ξ). h→0+

ξ→x+

(c) f besitzt einen linksseitigen Grenzwert L im Punkte x ∈ (a, b], falls gilt: lim f (x + hn ) = L

n→∞

f¨ ur alle Nullfolgen (hn )n≥1 mit hn < 0. Schreibweisen: L = lim f (x + h) = lim f (ξ). h→0−

ξ→x−

(d) Falls f in x ∈ (a, b) einen Grenzwert M besitzt, der mit dem Funktionswert u ¨bereinstimmt (f (x) = M ), so heißt f stetig im Punkte x. (e) Falls f in jedem x ∈ (a, b) stetig ist, so wird f als stetig auf dem Intervall (a, b) bezeichnet. Abb. 6.1 erl¨ autert die Idee der Ann¨ aherung an den Punkt x f¨ ur h → 0 sowie m¨ ogliche Unterschiede zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert sowie Funktionswert.

R

f (x+h)

f (x) f (x) = M

L

x

x+h

x

Abb. 6.1. Grenzwert und Stetigkeit; links- und rechtsseitige Grenzwerte.

Die Stetigkeit einer Funktion im Punkt x besagt, dass Grenz¨ ubergang und Funktionsauswertung vertauscht werden k¨ onnen: lim f (ξ) = f (x) = f ( lim ξ).

ξ→x

ξ→x

6.1 Der Begriff der Stetigkeit

61

Die nachfolgenden Beispiele zeigen einige weitere M¨oglichkeiten, wie sich eine Funktion in der N¨ ahe eines Punkts verhalten kann: Sprungstelle mit linksund rechtsseitigem Grenzwert, vertikale Asymptote mit Unendlichkeitsstelle, Oszillation mit nicht verschwindender Amplitude und unbegrenzt steigender Frequenz. Beispiel 6.2 Die Quadratfunktion f (x) = x2 ist in jedem x ∈ R stetig. Es gilt n¨ amlich f (x + hn ) − f (x) = (x + hn )2 − x2 = 2xhn + h2n → 0 f¨ ur n → ∞ und beliebige Nullfolgen (hn )n≥1 . Daher ist lim f (x + h) = f (x).

h→0

Ebenso zeigt man die Stetigkeit der Potenzfunktionen x → xn f¨ ur n ∈ N. Beispiel 6.3 Die Betragsfunktion f (x) = |x| und die dritte Wurzel g(x) = √ 3 x sind u ¨berall stetig. Erstere Funktion hat einen Knick bei x = 0, zweitere eine vertikale Tangente, siehe Abb. 6.2.

y = | x|

y=

√ 3

x

x

x Abb. 6.2. Stetigkeit und Knick oder vertikale Tangente.

Beispiel 6.4 Die Vorzeichenfunktion f (x) = sign x hat in x = 0 verschiedene links- und rechtsseitige Grenzwerte L = −1, R = 1 und ist dort insbesondere unstetig. In allen anderen Punkten x = 0 ist sie stetig, siehe Abb. 6.3. Beispiel 6.5 Das Quadrat der Vorzeichenfunktion  1, x = 0 2 g(x) = (sign x) = 0, x = 0 ist unstetig bei x = 0: Es besitzt zwar u ¨bereinstimmende links- und rechtsseitige Grenzwerte, diese sind aber verschieden vom Funktionswert (Abb. 6.3): lim g(ξ) = 1 = 0 = g(0).

ξ→0

62

6 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen

1

1 y = sign x 0

0

x

x

y = (sign x)2

−1

Abb. 6.3. Unstetigkeit: Sprungstelle und Ausnahmewert.

Beispiel 6.6 Die Funktionen f (x) = x1 und g(x) = tan x besitzen vertikale Asymptoten in x = 0 bzw. x = π2 + kπ, k ∈ Z, und insbesondere keinen linksoder rechtsseitigen Grenzwert in diesen Punkten. In allen anderen Punkten sind sie jedoch stetig. Wir verweisen dazu auf Abb. 2.9 und Abb. 3.10. Beispiel 6.7 Die Funktion f (x) = sin x1 hat keinen links- oder rechtsseitigen Grenzwert bei x = 0, sondern oszilliert mit nicht verschwindender Amplitude (Abb. 6.4). In der Tat erh¨ alt man f¨ ur verschiedene Nullfolgen verschiedene Limites, zum Beispiel ist f¨ ur hn =

1 nπ ,

kn =

1 π/2+2nπ ,

ln =

1 3π/2+2nπ

jeweils lim f (hn ) = 0,

n→∞

lim f (kn ) = 1,

n→∞

lim f (ln ) = −1.

n→∞

Alle anderen Werte im Intervall [−1, 1] k¨ onnen ebenfalls mittels geeigneter Nullfolgen als Grenzwerte erhalten werden. y = sin(1/x) 1 0.5 0

x

−0.5 −1 −0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Abb. 6.4. Keine Grenzwerte, Oszillation mit nicht verschwindender Amplitude.

Beispiel 6.8 Die Funktion g(x) = x sin x1 ist durch g(0) = 0 stetig erg¨anzbar bei x = 0; sie oszilliert mit verschwindender Amplitude (Abb. 6.5). Es gilt

6.2 Trigonometrische Grenzwerte

63

|g(hn ) − g(0)| = |hn sin h1n − 0| ≤ |hn | → 0 f¨ ur beliebige Nullfolgen (hn )n≥1 , also ist limh→0 h sin h1 = 0. y = x sin(1/x) 0.1 0.05 0

x

−0.05 −0.1 −0.1

0

0.1

Abb. 6.5. Stetigkeit, Oszillation mit verschwindender Amplitude. Experiment 6.9 Rufen Sie die m-Files mat06 1.m und mat06 2.m auf und studieren Sie die Graphen der Funktionen aus Abb. 6.4 und 6.5 mittels Zoomfunktion im Figure-Fenster. Wie k¨ onnen Sie die Genauigkeit der Visualisierung in der N¨ ahe von x = 0 verbessern?

6.2 Trigonometrische Grenzwerte Fl¨ achenvergleich in Abb. 6.6 unten zeigt, dass die Fl¨ache des schattierten Dreiecks mit Katheten cos x und sin x kleiner gleich der Fl¨ache des Kreissektors ist, welche wiederum kleiner gleich der Fl¨ ache des großen Dreiecks mit Katheten 1 und tan x ist.

1

sin x cos x

tan x

x

1

Abb. 6.6. Trigonometrische Ungleichungen.

Die Fl¨ ache eines Kreissektors am Einheitskreis (Winkel x im Bogenmaß) ist bekanntlich x/2. Zusammenfassend erhalten wir die Ungleichung

64

6 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen

x 1 1 sin x cos x ≤ ≤ tan x 2 2 2 bzw. nach Division durch sin x und Kehrwertbildung cos x ≤

1 sin x ≤ , x cos x

g¨ ultig f¨ ur alle x mit 0 < |x| < π/2. Mit Hilfe dieser Ungleichung k¨ onnen wir einige wichtige Grenzwerte herleiten. Aus einer elementargeometrischen Betrachtung ersieht man zun¨achst, dass gilt: π π 1 f¨ ur − ≤ x ≤ . |cos x| ≥ 2 3 3 F¨ ur jede Nullfolge hn → 0 ergibt sich aus den beiden Ungleichungen oben: |sin hn | ≤

|hn | ≤ 2 |hn | → 0 |cos hn |

f¨ ur n → ∞. Dies heißt aber, dass lim sin h = 0

h→0

ist, die Sinusfunktion also im Nullpunkt stetig ist. Aus der Stetigkeit der Quadrat- und der Wurzelfunktion sowie der Tatsache, das cos h f¨ ur kleine h gleich der positiven Quadratwurzel aus 1 − sin2 h ist, folgt  lim cos h = lim 1 − sin2 h = 1. h→0

h→0

Damit kann nun die Stetigkeit der Sinusfunktion in jedem Punkt x ∈ R nachgewiesen werden:  lim sin(x + h) = lim sin x cos h + cos x sin h = sin x. h→0

h→0

Die zu Beginn des Abschnitts erl¨ auterte Ungleichung erlaubt es, einen der wichtigsten trigonometrischen Grenzwerte herzuleiten, der den Ableitungsregeln f¨ ur die Winkelfunktionen zu Grunde liegt. sin x = 1. x→0 x

Satz 6.10 lim

Beweis: Wir kombinieren die Grenzwertaussage limx→0 cos x = 1 mit der anfangs hergeleiteten Ungleichung und erhalten sin x 1 ≤ lim = 1, x→0 x x→0 cos x

1 = lim cos x ≤ lim x→0

weswegen limx→0

sin x x

= 1 sein muss.



6.3 Nullstellen stetiger Funktionen

65

6.3 Nullstellen stetiger Funktionen Abb. 6.7 zeigt den Graphen einer auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetigen Funktion, die im linken Endpunkt kleiner Null, im rechten gr¨oßer Null ist. Anschaulich muss der Graph mindestens einmal die x-Achse kreuzen, da er wegen der Stetigkeit keine Spr¨ unge macht. Das heißt also, f muss wenigstens eine Nullstelle in (a, b) haben. Dies ist ein Kriterium, das die Existenz einer L¨ osung der Gleichung f (x) = 0 garantiert. Ein erster rigoroser Beweis dieser uck. anschaulich klaren Aussage geht auf Bolzano1 zur¨ f (x)

ξ

a

b

x

Abb. 6.7. Zum Zwischenwertsatz.

Satz 6.11 (Zwischenwertsatz) Es sei f : [a, b] → R stetig und f (a) < 0, f (b) > 0. Dann existiert ein ξ ∈ (a, b) mit f (ξ) = 0. Beweis: Der Beweis beruht auf fortgesetzter Halbierung des Intervalls und der Vollst¨ andigkeit der reellen Zahlen. Man beginnt mit dem Startintervall mit Endpunkten a1 = a, b1 = b. Anschließend f¨ahrt man rekursiv fort. 1 Schritt 1: Berechne y1 = f ( a1 +b 2 ).

Falls y1 > 0 : setze a2 = a1 , b2 = a1 +b1 2 , b2 1 ξ = a1 +b 2

a1 +b1 2 .

Falls y1 < 0 : setze a2 =

= b1 .

Falls y1 = 0 : Abbruch,

ist Nullstelle.

Es ist nunmehr f (a2 ) < 0, f (b2 ) > 0 und die Intervalll¨ange halbiert: b2 − a2 =

1 (b1 − a1 ). 2

2 Schritt 2: Berechne y2 = f ( a2 +b 2 ).

Falls y2 > 0 : setze a3 = a2 , b3 =

1

a2 +b2 2 , b3 2 ξ = a2 +b 2

a2 +b2 2 .

Falls y2 < 0 : setze a3 =

= b2 .

Falls y2 = 0 : Abbruch,

ist Nullstelle.

B. Bolzano, 1781–1848.

66

6 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen

Weitere Iteration f¨ uhrt zu einer monoton wachsenden, von oben beschr¨ankten Folge a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . . ≤ b. Nach dem Vollst¨andigkeitssatz (Satz 5.10) existiert daher ξ = lim an . n→∞

Andererseits geht |an − bn | ≤ |a − b|/2 → 0, also ist auch limn→∞ bn = ξ. Falls ξ nicht schon nach endlich vielen Schritten als eines der ak oder bk aufgetreten ist, gilt f¨ ur alle n ∈ N: n−1

f (an ) < 0,

f (bn ) > 0.

Aus der Stetigkeit von f folgt f (ξ) = lim f (an ) ≤ 0, n→∞

f (ξ) = lim f (bn ) ≥ 0, n→∞



woraus sich f (ξ) = 0 ergibt, wie behauptet.

Der Beweis liefert gleichzeitig ein numerisches Berechnungsverfahren f¨ ur Nullstellen, das Bisektionsverfahren. Es ist zwar langsam konvergent, aber einfach programmierbar und universell einsetzbar – auch f¨ ur nicht differenzierbare, stetige Funktionen. F¨ ur differenzierbare Funktionen gibt es wesentlich rascher konvergente Verfahren. Das Thema der Konvergenzgeschwindigkeit und die Diskussion schnellerer Verfahren werden wir im Abschnitt 8.2 aufgreifen. √ Beispiel 6.12 Berechnung von 2 als Nullstelle von f (x) = x2 − 2 = 0 im Intervall [1, 2] mittels Bisektionsverfahren: Start: Schritt Schritt Schritt Schritt Schritt usw.

1: 2: 3: 4: 5:

f (1) = −1 < 0, f (2) = 2 > 0; f (1.5) = 0.25 > 0; f (1.25) = −0.4375 < 0; f (1.375) = −0.109375 < 0; f (1.4375) = 0.066406... > 0; f (1.40625) = −0.022461... < 0;

a1 a2 a3 a4 a5 a6

= 1, b1 = 2 = 1, b2 = 1.5 = 1.25, b3 = 1.5 = 1.375, b4 = 1.5 = 1.375, b5 = 1.4375 = 1.40625, b6 = 1.4375

Nach 5 Schritten ist somit die erste Nachkommastelle ermittelt: √ 1.40625 < 2 < 1.4375 Experiment 6.13 Skizzieren Sie den Graphen der Funktion y = x3 + 3x2 − 2 auf dem Intervall [−3, 2] und versuchen Sie zun¨ achst graphisch eine der Nullstellen durch fortgesetzte Intervallhalbierung abzusch¨ atzen. F¨ uhren Sie die Intervallhalbie¨ rung mit Hilfe des Applets Bisektionsverfahren durch. Uberzeugen Sie sich von der Plausibilit¨ at des Zwischenwertsatzes an Hand des Applets Animation zum Zwischenwertsatz.

Als eine wichtige Anwendung des Zwischenwertsatzes zeigen wir nun, dass Bilder von Intervallen unter stetigen Funktionen wieder Intervalle sind. F¨ ur die verschiedenen Typen von Intervallen, die im folgenden Satz vorkommen, verweisen wir auf Abschnitt 1.2; zum Begriff des echten Bildbereichs auf Abschnitt 2.1.

¨ 6.4 Ubungen

67

Satz 6.14 Sei I ⊂ R ein Intervall (offen, halboffen oder abgeschlossen, beschr¨ ankt oder uneigentlich) und f : I → R eine stetige Funktion mit echtem Bildbereich J = f (I). Dann ist J ebenfalls ein Intervall. Beweis: Intervalle sind als Teilmengen der reellen Zahlengerade dadurch ausgezeichnet, dass mit je zwei Punkten auch alle dazwischen liegenden Punkte enthalten sind. Seien also y1 , y2 ∈ J, y1 < y2 , und sei η ein Zwischenpunkt, also y1 < η < y2 . Da f : I → J surjektiv ist, gibt es x1 , x2 ∈ I, sodass y1 = f (x1 ) und y2 = f (x2 ) ist. Wir betrachten den Fall x1 < x2 . Da f (x1 ) − η < 0 und f (x2 ) − η > 0 ist, ergibt der Zwischenwertsatz, angewendet auf das Intervall [x1 , x2 ], dass es ein ξ ∈ (x1 , x2 ) gibt mit f (ξ) − η = 0, also f (ξ) = η. Somit wird η als Funktionswert angenommen und liegt daher in J = f (I).

Satz 6.15 Sei I = [a, b] ein abgeschlossenes, beschr¨anktes Intervall und f : I → R eine stetige Funktion. Dann ist der echte Bildbereich J = f (I) ebenfalls ein abgeschlossenes, beschr¨ anktes Intervall. Beweis: Nach Satz 6.14 ist J ein Intervall. Sei d seine kleinste obere Schranke (m¨ oglicherweise ist d = ∞). Wir nehmen eine Folge von Werten yn ∈ J, die gegen d konvergiert. Die Werte yn sind Funktionswerte gewisser xn ∈ I = ankt und besitzt daher nach Satz 5.13 ein [a, b]. Die Folge (xn )n≥1 ist beschr¨ Supremum x0 , a ≤ x0 ≤ b. Es gibt somit eine Teilfolge (xnj )j≥1 , die gegen x0 konvergiert (vgl. Abschnitt 5.4). Aus der Stetigkeit der Funktion f folgt, dass d = lim ynj = lim f (xnj ) = f (x0 ) j→∞

j→∞

ist. Damit ist gezeigt, dass der obere Endpunkt des Intervalls J endlich ist und als Funktionswert angenommen wird. Ebenso verf¨ahrt man mit der unteren Begrenzung c; der Bildbereich J ist somit von der Form eines abgeschlossenen, beschr¨ ankten Intervalls [c, d].

Aus dem Beweis des Satzes ist klar, dass d der gr¨oßte und c der kleinste Funktionswert von f auf dem Intervall [a, b] ist. Insbesondere ist damit gezeigt, dass eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen, beschr¨ankten Intervall ihr Maximum und Minimum annimmt.

¨ 6.4 Ubungen 1. (a) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionen √ 1+x−1 x + x2 x2 + sin x √ , , |x| x 1 − cos2 x 1 1 )∪( 100 , 2] in der N¨ ahe von x = 0, indem Sie deren Graphen auf dem Bereich [−2, − 100 mittels MATLAB plotten.

68

6 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen

(b) Stellen Sie durch Inspektion der Graphen fest, ob links- oder rechtsseitige Grenzwerte in x = 0 vorliegen und welchen Wert diese besitzen. Begr¨ unden Sie Ihr Ergebnis durch Umformen der Ausdr¨ ucke. Hinweis: Eine Anleitung zu Teil (a) findet sich im √ m-File mat06 ueb1.m. Zu (b), Behandlung des mittleren Terms: Erweitern Sie mit 1 + x + 1. 2. Besitzen die folgenden Funktionen an den angegebenen Stellen einen Grenzwert? Wenn ja, welchen? (a) y (b) y (c) y (d) y (e) y

= x3 + 5x + 10, x = 1; 2 −1 , x = 0, x = 1, x = −1; = xx2 +x 1−cos x = x2 , x = 0; Hinweis: Erweitern mit (1 + cos x); = sign x · sin x, x = 0; = sign x · cos x, x = 0.

ur jedes x ∈ R die 3. Es sei fn (x) = arctan nx, gn (x) = (1 + x2 )−n . Berechnen Sie f¨ Grenzwerte g(x) = lim gn (x) f (x) = lim fn (x), n→∞

n→∞

und skizzieren Sie die Graphen der so definierten Funktionen f und g. Sind diese stetig? Plotten Sie fn und gn in MATLAB und untersuchen Sie das Verhalten der Graphen f¨ ur n → ∞. Hinweis: Ein L¨ osungshinweis findet sich im m-File mat06 ueb3.m. 4. F¨ uhren Sie einen formalen Nachweis mittels Nullfolgen, dass die Betragsfunktion und die dritte Wurzel aus Beispiel 6.3 stetig sind. 5. Begr¨ unden Sie mittels Zwischenwertsatz, dass das Polynom x3 + 5 x + 10 im Intervall [−2, 1] eine Nullstelle besitzt. Berechnen Sie diese mit Hilfe des Applets Bisektionsverfahren auf vier Nachkommastellen genau 6. Berechnen Sie unter Verwendung des Applets Bisektionsverfahren s¨ amtliche Nullstellen der folgenden Funktionen auf dem angegebenen Intervall (Genauigkeit 10−3 ): f (x) = x4 − 2, I = R g(x) = x − cos x, I = R  1 1 . , 10 h(x) = sin x1 , I = 20 7. Schreiben Sie ein MATLAB -Programm, das mit Hilfe des Bisektionsverfahrens eine Nullstelle eines beliebigen Polynoms dritten Grades der Form p(x) = x3 − c1 x2 + c2 x + c3 auffindet. Ihr Programm soll auch selbst¨ andig Startwerte a, b mit p(a) < 0, p(b) > 0 finden (warum gibt es stets solche?). Testen Sie Ihr Programm, indem Sie den Koeffiallig w¨ ahlen, zum Beispiel mittels c = 1000*rand(1,3). zientenvektor (c1 , c2 , c3 ) zuf¨ Hinweis: Ein L¨ osungsvorschlag ist im m-File mat06 ueb7a.m angegeben. Im m-File mat06 ueb7b.m findet sich eine Alternative, in der die Vektorfunktionen von MATLAB besser ausgen¨ utzt werden.

7 Die Ableitung einer Funktion

Ausgehend vom Problem, die Tangente an einen Funktionsgraphen zu bestimmen, f¨ uhren wir die Ableitung einer Funktion ein. Dabei wird in einem Grenz¨ ubergang das diskrete Modell der Sekante durch das kontinuierliche Modell der Tangente ersetzt. Die auf diesem Grenz¨ ubergang beruhende Differentialrechnung wurde zu einem der bedeutendsten Bausteine der mathematischen Modellbildung. Wir besprechen in diesem Abschnitt die Ableitung wichtiger elementarer Funktionen sowie allgemeine Ableitungsregeln. Die sorgf¨ altige Implementierung dieser Regeln hat Expertensysteme wie maple zu m¨ achtigen Werkzeugen in der Analysis werden lassen. Weiters besprechen wir die Deutung der Ableitung als lineare Approximati¨ on und als Anderungsrate. Diese Interpretationen bilden die Grundlage unz¨ ahliger Anwendungen in Naturwissenschaften und Technik. Das Konzept der numerischen Ableitung geht im Grunde den umgekehrten Weg und approximiert die Ableitung durch einen Differenzenquotienten. Damit wird das kontinuierliche Modell letztlich wieder diskretisiert. Wir f¨ uhren eine detaillierte Fehleranalyse durch, die es uns erlaubt, eine optimale Approximation zu bestimmen. Weiters illustrieren wir die Bedeutung der Symmetrie in numerischen Verfahren.

7.1 Motivation Beispiel 7.1 (Der freie Fall nach Galilei1 ) Denken wir uns einen K¨orper, der zum Zeitpunkt t = 0 losgelassen unter dem Einfluss der Schwerkraft nach unten f¨ allt. Wir interessieren uns dabei f¨ ur den Ort des K¨orpers s(t) zum Zeitpunkt t ≥ 0 sowie f¨ ur seine Geschwindigkeit v(t), vgl. Abb. 7.1. Wegen der Definition der Geschwindigkeit als Wegdifferenz durch Zeitdifferenz hat der K¨ orper im Zeitintervall [t, t + ∆t] die Durchschnittsgeschwindigkeit vmittel = 1

G. Galilei, 1564–1642.

s(t + ∆t) − s(t) . ∆t

70

7 Die Ableitung einer Funktion

Um daraus die Momentangeschwindigkeit v = v(t) zu erhalten, bilden wir den Grenzwert ∆t → 0 in obiger Formel, also s(t + ∆t) − s(t) . ∆t Galilei entdeckte durch seine Experimente, dass beim freien Fall der zur¨ uckgelegte Weg quadratisch mit der verstrichenen Zeit zunimmt, dass also das Gesetz g s(t) = t2 2 mit g ≈ 9.81 gilt. Somit erhalten wir f¨ ur die Momentangeschwindigkeit den Ausdruck g  (t + ∆t)2 − g2 t2 g = lim 2t + ∆t = gt, v(t) = lim 2 ∆t→0 ∆t→0 ∆t 2 die Geschwindigkeit ist also proportional zur verstrichenen Zeit. v(t) = lim

∆t→0

s=0

y = f (x) f (x)

s(t)

f (x0 )

s

P

ϕ ∆x

x0

Abb. 7.1. Der freie Fall.

Q ∆y

x

Abb. 7.2. Steigung der Sekante.

Beispiel 7.2 (Das Tangentenproblem) Gegeben sei eine reelle Funktion f und zwei verschiedene Punkte P = (x0 , f (x0 )) und Q = (x, f (x)) auf ihrem Graphen. Die eindeutig bestimmte Gerade durch diese beiden Punkte heißt Sekante der Funktion f durch P und Q, vgl. Abb. 7.2. Die Steigung der Sekante ist durch den Differenzenquotienten gegeben tan ϕ =

f (x) − f (x0 ) ∆y = . ∆x x − x0

L¨ asst man hier x gegen x0 gehen, so entsteht aus der Sekante anschaulich die Tangente, sofern der Grenz¨ ubergang existiert. Motiviert durch diese ¨ Uberlegungen definieren wir den Anstieg k = lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) f (x0 + h) − f (x0 ) . = lim h→0 x − x0 h

Falls dieser Grenzwert existiert, heißt die Gerade y = k · (x − x0 ) + f (x0 ) Tangente an den Funktionsgraphen im Punkt (x0 , f (x0 )).

7.2 Die Ableitung

71

Experiment 7.3 Gehen Sie in mathe online im Bereich Galerie zu Differenzieren 1 und visualisieren Sie den Grenz¨ ubergang von Sekante zu Tangente mit dem Applet Die Ableitung als Grenzwert.

7.2 Die Ableitung Durch obige Anwendungen motiviert definieren wir nun die Ableitung einer reellen Funktion. Definition 7.4 (Ableitung) reelle Funktion und x0 ∈ I.

Sei I ⊂ R ein offenes Intervall, f : I → R eine

(a) Man nennt f in x0 differenzierbar , falls der Differenzenquotient ∆y f (x) − f (x0 ) = ∆x x − x0 einen (endlichen Grenzwert) f¨ ur x → x0 besitzt. In diesem Fall schreibt man f (x) − f (x0 ) f (x0 + h) − f (x0 ) = lim f  (x0 ) = lim x→x0 h→0 x − x0 h und bezeichnet den Grenzwert als Ableitung von f im Punkt x0 . (b) Man nennt f (auf ganz I) differenzierbar , falls f  (x) f¨ ur alle x ∈ I existiert. In diesem Fall bezeichnet man die Funktion f  : I → R : x → f  (x) als Ableitung von f . Das Berechnen von f  aus f nennt man differenzieren oder ableiten. d df (x) bzw. f (x). Die folgenden BeispieStatt f  (x) schreibt man oft auch dx dx le zeigen, wie man die Ableitung einer Funktion durch obigen Grenzprozess erh¨ alt. Beispiel 7.5 Die konstante Funktion f (x) = c. f  (x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x) c−c 0 = lim = lim = 0. h→0 h h→0 h h

Die Ableitung einer konstanten Funktion ist Null. Beispiel 7.6 Die linear-affine Funktion g(x) = ax + b. g  (x) = lim

h→0

g(x + h) − g(x) ax + ah + b − ax − b = lim = lim a = a. h→0 h→0 h h

Die Ableitung ist gerade die Steigung a der Geraden y = ax + b.

72

7 Die Ableitung einer Funktion

Beispiel 7.7 Die Ableitung der quadratischen Funktion y = x2 . (x + h)2 − x2 2hx + h2 = lim = lim (2x + h) = 2x. h→0 h→0 h→0 h h

y  = lim

Ebenso zeigt man f¨ ur die Potenzfunktion (mit n ∈ N): f  (x) = n · xn−1 . √ Beispiel 7.8 Die Ableitung der Wurzelfunktion y = x f¨ ur x > 0. √ √ √ √ ξ− x ξ− x 1 1 = lim √ y  = lim √ √ √ = lim √ √ = √ . ξ→x ξ→x ( ξ − ξ−x 2 x x)( ξ + x) ξ→x ξ + x ⇒

f (x) = xn

Beispiel 7.9 (Ableitung der Winkelfunktionen) Laut Satz 6.10 gilt lim

t→0

sin t = 1. t

Wegen (cos t − 1)(cos t + 1) = − sin2 t gilt weiters cos t − 1 1 sin t = −  sin t · · →0 t t cos t + 1     →0 →1 →2

f¨ ur t → 0,

also

cos t − 1 = 0. t→0 t Mit diesen Vorbereitungen ist wegen des Additionstheorems (Satz 3.3) lim

sin(x + h) − sin x sin x cos h + cos x sin h − sin x = lim h→0 h h cos h − 1 sin h + lim cos x · = lim sin x · h→0 h→0 h h cos h − 1 sin h + cos x · lim = sin x · lim h→0 h→0 h      h 

sin x = lim

h→0

=0

=1

= cos x. Somit gilt also die Formel sin x = cos x. Ebenso zeigt man: cos x = − sin x. Beispiel 7.10 (Die Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis e) Ausgehend von der Reihendarstellung der Exponentialfunktion (Satz C.12) erhalten wir durch elementare Umformungen

7.2 Die Ableitung

73

∞

h h2 h3 e h − 1  hk = =1+ + + + ... h (k + 1)! 2 6 24 k=0

Daraus gewinnt man

h  

e − 1 1 |h| |h|3 |h|



h − 1 ≤ |h| 2 + 6 + 24 + . . . ≤ |h|e . F¨ ur h → 0 ergibt sich somit der wichtige Grenzwert eh − 1 = 1. h→0 h lim

Wegen ex+h − ex eh − 1 = ex · lim = ex h→0 h→0 h h ist die Exponentialfunktion somit differenzierbar und es gilt (ex ) = ex . lim

Beispiel 7.11 (Neue Darstellung der Euler’sche Zahl) Mittels Substitution y = eh − 1, h = log(y + 1) im obigen Grenzwert erh¨alt man lim

y→0

y =1 log(y + 1)

und damit 1/y

lim log(1 + αy)

y→0

= lim

y→0

log(1 + αy) log(1 + αy) = α lim = α. y→0 y αy

Auf Grund der Stetigkeit der Exponentialfunktion folgt weiters 1/y

lim (1 + αy)

y→0

= eα

und speziell f¨ ur y = 1/n eine neue Darstellung der Exponentialfunktion  α n eα = lim 1 + . n→∞ n Insbesondere ergibt sich f¨ ur α = 1 die Identit¨ at  n  ∞ 1 1 = 2.718281828459... = e = lim 1 + n→∞ n k! k=0

Beispiel 7.12 Nicht jede stetige Funktion ist differenzierbar. So ist etwa die Funktion f (x) = |x| in der Spitze x = 0 nicht differenzierbar, vgl. Abb. 7.3, linkes Bild. Wegen  x, x≥0 |x| = −x, x≤0

74

7 Die Ableitung einer Funktion

ist die Funktion jedoch f¨ ur x = 0 differenzierbar, und es gilt  1, falls x > 0  (|x|) = −1, falls x < 0. √ Die Funktion g(x) = 3 x ist ebenfalls bei x = 0 nicht differenzierbar. Der Grund daf¨ ur ist die senkrechte Tangente, vgl. Abb. 7.3, rechtes Bild.

y=

√ 3

x

y = |x|

Abb. 7.3. Funktionen, die bei x = 0 nicht differenzierbar sind.

Es gibt sogar stetige Funktionen, die nirgends differenzierbar sind. Experiment 7.13 Gehen Sie in mathe online im Bereich Galerie zu Differenzieren 2 und sehen Sie sich im Applet Nirgends differenzierbare Funktionen Beispiele stetiger Funktionen an, die nirgends differenzierbar sind.

Definition 7.14 Falls die Funktion f  wieder differenzierbar ist, bezeichnet man mit f  (x) =

f  (x + h) − f  (x) d2 d2 f f (x) = (x) = lim h→0 dx2 dx2 h

die zweite Ableitung von f nach x. Ebenso definiert man h¨ohere Ableitungen   2   d d3 d f  (x) = f  (x) bzw. f (x) = f (x) , usw. dx3 dx dx2 Differenzieren mit maple . Mit maple kann man sowohl Ausdr¨ ucke (expressions) als auch Funktionen differenzieren. Hat der Ausdruck g beispielsweise die Form g := x^2 - a*x; so ist die entsprechende Funktion f durch f := x -> x^2 - a*x; definiert. Die Auswertung von Funktionen ergibt Ausdr¨ ucke, beispielsweise wertet f(t) zum Ausdruck t2 − at aus. Umgekehrt kann man Ausdr¨ ucke mittels unapply in Funktionen umwandeln h := unapply(g,x); Die Ableitung von Ausdr¨ ucken erh¨ alt man mit diff, jene von Funktionen mittels D. Beispiele dazu finden Sie im maple -Arbeitsblatt mp07_1.mws.

7.3 Interpretationen der Ableitung

75

7.3 Interpretationen der Ableitung Wir hatten die Ableitung geometrisch als Steigung der Tangente eingef¨ uhrt. Wie wir sahen, ist die Tangente an den Graphen einer differenzierbaren Funktion f im Punkt (x0 , f (x0 )) gegeben durch y = f  (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ). Beispiel 7.15 Sei f (x) = x4 + 1 mit Ableitung f  (x) = 4x3 . (i) Die Tangente an den Graphen von f im Punkt (0, 1) lautet y = f  (0) · (x − 0) + f (0) = 1, ist also waagrecht. (ii) Die Tangente an den Graphen von f im Punkt (1, 2) lautet y = f  (1)(x − 1) + 2 = 4(x − 1) + 2 = 4x − 2. Die Ableitung l¨ asst noch weitere Interpretationen zu. Deutung als lineare Approximation. Zun¨achst halten wir fest, dass sich jede differenzierbare Funktion f in der Form f (x) = f (x0 ) + f  (x0 )(x − x0 ) + R(x, x0 ) schreiben l¨ asst, wobei der Rest R(x, x0 ) die Eigenschaft lim

x→x0

R(x, x0 ) =0 x − x0

besitzt. Das ergibt sich unmittelbar aus R(x, x0 ) = f (x) − f (x0 ) − f  (x0 )(x − x0 ) nach Division durch x − x0 , da f (x) − f (x0 ) → f  (x0 ) x − x0

f¨ ur x → x0 .

Anwendung 7.16 Wie wir eben sahen, ist eine differenzierbare Funktion f dadurch charakterisiert, dass in die Formel f (x) = f (x0 ) + f  (x0 )(x − x0 ) + R(x, x0 ) der Restterm R(x, x0 ) schneller als x − x0 gegen Null strebt. Durch Bilden des Grenzwerts x → x0 folgt daraus insbesondere, dass jede differenzierbare Funktion stetig ist.

76

7 Die Ableitung einer Funktion

Anwendung 7.17 Sei g jene Funktion, deren Graph die Gerade durch den Punkt (x0 , f (x0 )) mit Anstieg k ist, also g(x) = k · (x − x0 ) + f (x0 ). Da f (x) − g(x) f (x) − f (x0 ) − k · (x − x0 ) R(x, x0 ) = = f  (x0 ) − k + x − x0 x − x0 x−x   0  →0

f¨ ur x → x0 , ist die Tangente (d.h. k = f  (x0 )) jene Gerade, die den Graphen am besten approximiert. Man nennt die Tangente g(x) = f (x0 ) + f  (x0 ) · (x − x0 ) ur x nahe bei x0 kann man g(x) als auch lineare Approximation an f bei x0 . F¨ gute Approximation an f (x) auffassen. In Anwendungen ersetzt man deshalb oft die (m¨ oglicherweise komplizierte) Funktion f durch ihre lineare Approximation g, welche einfach zu handhaben ist. √

1 −1 1 x 2 = √ . 2 2 x Gesucht ist die lineare Approximation an die Funktion f bei x0 = a. Nach obiger Formel gilt √ √ 1 x ≈ g(x) = a + √ (x − a) 2 a

Beispiel 7.18 Sei f (x) =

x = x1/2 , folglich f  (x) =

f¨ ur x nahe bei a, beziehungsweise mit h = x − a √ √ 1 a+h≈ a+ √ h 2 a

f¨ ur kleines h.

Setzen wir nun a = 1 und h = 0.1, so erhalten wir die Approximation √

1.1 ≈ 1 +

0.1 = 1.05. 2

Die ersten Stellen des wahren Werts lauten 1.0488... ¨ Physikalische Interpretation als Anderungsrate. In physikalischen ¨ Anwendungen spielt die Ableitung oft die Rolle einer Anderungsrate. Ein bekanntes Beispiel aus dem Alltagsleben ist die Geschwindigkeit, vgl. Abschnitt 7.1. Wir betrachten ein sich geradlinig bewegendes Teilchen. Sei s(t) der vom Teilchen zum Zeitpunkt t eingenommene Ort. Die mittlere Geschwindigkeit errechnet sich dann aus dem Quotienten s(t) − s(t0 ) t − t0

(Wegdifferenz durch Zeitdifferenz).

7.4 Ableitungsregeln

77

Im Grenz¨ ubergang t → t0 ergibt sich aus der Durchschnittsgeschwindigkeit die Momentangeschwindigkeit v(t0 ) =

s(t) − s(t0 ) ds (t0 ) = s(t ˙ 0 ) = lim . t→t0 dt t − t0

Wie eben wird statt f  (t) oft f˙(t) geschrieben, falls das Argument der Funktion f die Zeit t ist. Insbesondere in der Physik ist die Schreibweise mit Punkt sehr verbreitet. Ebenso ergibt sich durch Ableitung der Geschwindigkeit die Beschleunigung a(t) = v(t) ˙ = s¨(t). Der Geschwindigkeitsbegriff wird auch in der Modellierung anderer zeitlich variabler Prozesse verwendet, z.B. bei Wachstum oder Zerfall.

7.4 Ableitungsregeln In diesem Abschnitt bezeichnet I ⊂ R ein offenes Intervall. Zun¨achst halten wir fest, dass das Ableiten ein linearer Prozess ist. Satz 7.19 (Linearit¨ at der Ableitung) Seien f, g : I → R in x ∈ I differenzierbare Funktionen und sei c ∈ R. Dann sind die Funktionen f + g und c · f in x differenzierbar und es gilt   f (x) + g(x) = f  (x) + g  (x),  cf (x)) = cf  (x). Beweis: Das Resultat folgt aus der Rechenregel f¨ ur Grenzwerte. Die erste Aussage gilt wegen f (x + h) − f (x) g(x + h) − g(x) f (x + h) + g(x + h) − (f (x) + g(x)) = + h h h        → f (x) → g  (x) f¨ ur h → 0. Die zweite Aussage folgt analog. m 

m−1

f¨ ur Potenzen folgt aus Zusammen mit der Ableitungsregel (x ) = m x der Linearit¨ at, dass jedes Polynom differenzierbar ist. Sei p(x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 . Dann lautet die Ableitung p (x) = nan xn−1 + (n − 1)an−1 xn−2 + ... + a1 . Beispielsweise gilt (3x7 − 4x2 + 5x − 1) = 21x6 − 8x + 5. Die folgenden zwei Regeln gestatten es, die Ableitung zusammengesetzter Funktionen aus ihren Faktoren zu bestimmen.

78

7 Die Ableitung einer Funktion

Satz 7.20 (Produktregel) Seien f, g : I → R in x ∈ I differenzierbare Funktionen. Dann ist die Funktion f · g in x differenzierbar und es gilt   f (x) · g(x) = f  (x) · g(x) + f (x) · g  (x). Beweis: Diese Regel folgt wieder aus den Rechenregeln f¨ ur Grenzwerte f (x + h) · g(x + h) − f (x) · g(x) = h f (x + h) · g(x + h) − f (x + h) · g(x) f (x + h) · g(x) − f (x) · g(x) + = h h g(x + h) − g(x) f (x + h) − f (x) = f (x + h) · + · g(x)     h h       → f (x) g(x) → g  (x) → f  (x) f¨ ur h → 0.



Satz 7.21 (Quotientenregel) Seien f, g : I → R in x ∈ I differenzierbare f im Punkt x diffeFunktionen und gelte g(x) = 0. Dann ist die Funktion g renzierbar und es gilt   f (x) f  (x) · g(x) − f (x) · g  (x) = . g(x) g(x)2 Insbesondere ist



1 g(x)

 =−

g  (x) . (g(x))2

Der Beweis ist a ¨hnlich jenem der Produktregel und kann beispielsweise in [2, Kap. 3.1] nachgelesen werden. Beispiel 7.22 Wegen tan x = tan x =

sin x gilt cos x

1 cos2 x + sin2 x = = 1 + tan2 x. cos2 x cos2 x

ur (cos x)2 und nicht f¨ ur cos(cos x) Man beachte, dass die Abk¨ urzung cos2 x f¨ steht. Komplizierte Funktionen lassen sich oft als Hintereinanderausf¨ uhrung einfacherer Funktionen schreiben. Beispielsweise kann die Funktion  h : [1, ∞) → R : x → h(x) = log(x − 1) aufgefasst werden als h(x) = f (g(x)) mit √ g : [1, ∞) → [0, ∞) : x → log(x − 1). f : [0, ∞) → R : y → y, Man bezeichnet diese Hintereinanderausf¨ uhrung auch als Verkettung, Schachtelung oder Komposition von Funktionen. Der folgende Satz sagt, wie solche Verkettungen zu differenzieren sind.

7.4 Ableitungsregeln

79

Satz 7.23 (Kettenregel) Die Hintereinanderausf¨ uhrung zweier differenzierbarer Funktionen g : I → B und f : B → R ist ebenfalls differenzierbar und es gilt d f (g(x)) = f  (g(x)) · g  (x). dx In Kurzschreibweise lautet die Regel (f ◦ g) = (f  ◦ g) · g  . Beweis: Wir schreiben f (g(x + h)) − f (g(x)) 1 f (g(x + h)) − f (g(x)) = h g(x + h) − g(x) f (g(x) + k) − f (g(x)) = k

g(x + h) − g(x) h g(x + h) − g(x) · , h ·

wobei der Ausdruck k = g(x + h) − g(x) wegen der Deutung als lineare Approximation (vgl. Kap. 7.3) von der Form k = g  (x)h + R(x + h, x) ist und daher mit h → 0 selbst gegen Null geht. Es folgt d 1 f (g(x)) = lim f (g(x + h)) − f (g(x)) h→0 h dx   f (g(x) + k) − f (g(x)) g(x + h) − g(x) · = lim h→0 k h = f  (g(x)) · g  (x) und damit die Behauptung des Satzes.



Die Differentiation einer geschachtelten Funktion h(x) = f (g(x)) geschieht demnach in drei Schritten: 1. Identifikation der ¨ außeren Funktion f und der inneren Funktion g mit h(x) = f (g(x)). 2. Ableiten der ¨außeren Funktion f an der Stelle g(x), das heißt, man berechnet f  (y) und setzt y = g(x) ein. Das Ergebnis ist f  (g(x)). 3. Nachdifferenzieren: Ableiten der inneren Funktion g und Multiplikation mit dem Ergebnis aus Schritt 2. Man erh¨ alt h (x) = f  (g(x)) · g  (x). Bei mehrfacher Schachtelung ist entsprechend oft nachzudifferenzieren. Beispiel 7.24 (a) Sei h(x) = (sin x)3 . Wir identifizieren als ¨außere Funktion f (y) = y 3 und als innere Funktion g(x) = sin x. Damit ist h (x) = 3 (sin x)2 · cos x.

80

7 Die Ableitung einer Funktion 2

(b) Sei h(x) = e−x . Wir identifizieren f (y) = ey , g(x) = −x2 . Damit ist 2

h (x) = e−x · (−2x). Als letzte Ableitungsregel besprechen wir die Differentiation der Umkehrfunktion einer differenzierbaren Funktion. Satz 7.25 (Umkehrregel) Es sei f : I → J bijektiv, differenzierbar und es ur alle y ∈ I. Dann ist f −1 : J → I ebenfalls differenzierbar gelte f  (y) = 0 f¨ und es gilt d −1 1 f (x) =  −1 . dx f (f (x)) In Kurzschreibweise lautet die Umkehrregel  −1  1 f =  . f ◦ f −1 Beweis: Wir setzen y = f −1 (x) und η = f −1 (ξ). Wegen der Stetigkeit der Umkehrfunktion (vgl. Satz C.3) gilt η → y mit ξ → x. Somit folgt f −1 (ξ) − f −1 (x) η−y d −1 f (x) = lim = lim η→y f (η) − f (y) ξ→x dx ξ−x  −1 f (η) − f (y) 1 1 =  −1 = lim =  η→y η−y f (y) f (f (x))



und damit die Behauptung des Satzes.

Abb. 7.4 zeigt den geometrischen Hintergrund der Umkehrregel: Der Anstieg einer Geraden in x-Richtung ist der Kehrwert des Anstiegs in y-Richtung. y = f −1 (x)

1 = f
(y) k

1/k 1 y

k

1

k = (f −1 )
(x)

1 1 x

x = f (y)

Abb. 7.4. Ableitung der Umkehrfunktion mit Detailansicht der Steigungsdreiecke.

Wenn man bereits weiß, dass die Umkehrfunktion differenzierbar ist, kann man auch die Identit¨ at x = f (f −1 (x)) mittels Kettenregel nach x ableiten. Das liefert 1 = f  (f −1 (x)) · (f −1 ) (x) und man erh¨ alt die Umkehrregel nach Division durch f  (f −1 (x)).

7.4 Ableitungsregeln

81

Beispiel 7.26 (Ableitung des Logarithmus) Da y = log x die Umkehrfunktion zu x = ey ist, folgt aus der Umkehrregel:   log x =

1 elog x

=

1 x

f¨ ur x > 0. Ferner ist  log |x| =

log x, log (−x) ,

x>0 x0 1 1 · (−1) = , (−x) x

x < 0.

Insgesamt gilt also

  1 log |x| = x F¨ ur Logarithmen zur Basis a gilt: loga x =

log x , log a

also

f¨ ur x = 0.

  loga x =

1 . x log a

Beispiel 7.27 (Ableitung der allgemeinen Potenzfunktion) Wegen xa = ea log x ist nach der Kettenregel 

xa



= ea log x ·

a a = xa · = a xa−1 . x x

Beispiel 7.28 (Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion) F¨ ur a > 0 gilt ax = ex log a und daher nach der Kettenregel  x   x log a  a = e = ex log a · log a = ax log a. Beispiel 7.29 F¨ ur x > 0 ist xx = ex log x und daher   x  x = xx (log x + 1) . x = ex log x log x + x Beispiel 7.30 (Ableitungen der zyklometrischen Funktionen) Wir erinnern, dass auf den entsprechenden Definitionsbereichen der Hauptzweige gilt:  π π (sin x) = cos x = 1 − sin2 x, − ≤x≤ , 2 2  (cos x) = − sin x = − 1 − cos2 x, 0 ≤ x ≤ π, π π − 0, h

falls h > 0 ist, falls h < 0 ist.

oßer gleich als auch kleiner gleich Folglich muss der Grenzwert f  (x0 ) sowohl gr¨

Null sein, also ist notwendigerweise f  (x0 ) = 0. Die Funktion f (x) = x3 , deren Ableitung in x = 0 verschwindet, zeigt, dass die Bedingung des Satzes nicht hinreichend f¨ ur das Vorliegen eines Maximums oder Minimums ist. Die geometrische Aussage des Satzes ist, dass im Falle der Differenzierbarkeit der Funktionsgraph bei einem Maximum oder Minimum eine horizontale arer Tangente besitzt. Ein Punkt x0 ∈ (a, b) mit f  (x0 ) = 0 wird als station¨ Punkt bezeichnet.

8.1 Kurvendiskussion

91

Bemerkung 8.3 Der Satz zeigt, dass zur Bestimmung der Maxima und Minima einer Funktion f : [a, b] → R folgende Punktmengen abzusuchen sind: (a) Die Randpunkte x0 = a, x0 = b; (b) Punkte x0 ∈ (a, b), in denen f nicht differenzierbar ist; (c) Punkte x0 ∈ (a, b), in denen f differenzierbar ist und f  (x0 ) = 0 gilt. Der folgende Satz ist ein n¨ utzliches beweistechnisches Hilfsmittel. Eine seiner bedeutenden Anwendungen liegt in der Fehlerabsch¨atzung numerischer Verfahren. Da der Beweis in ¨ ahnlicher Weise wie beim Zwischenwertsatz auf der Vollst¨ andigkeit der reellen Zahlen beruht, geben wir ihn hier nicht an, sondern verweisen auf die weiter f¨ uhrende Literatur, etwa [2, Kap. 3.2.2]. Satz 8.4 (Mittelwertsatz) Sei f stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a, b). Dann existiert ein ξ ∈ (a, b), sodass gilt: f (b) − f (a) = f  (ξ). b−a Das heißt geometrisch, dass im Punkte ξ die Tangente denselben Anstieg wie die Sekante durch (a, f (a)), (b, f (b)) besitzt. Abb. 8.2 legt diesen Sachverhalt klar. y f (b)

f (a) a

ξ

b

x

Abb. 8.2. Zum Mittelwertsatz.

Wir wenden uns nun der Beschreibung des Steigungsverhaltens von differenzierbaren Funktionen zu. Definition 8.5 Eine Funktion f : I → R heißt monoton wachsend, wenn f¨ ur alle x1 , x2 ∈ I gilt: x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ). Die Funktion f heißt streng monoton wachsend, wenn gilt: x1 < x2

⇒

f (x1 ) < f (x2 ).

Eine analoge Definition wird f¨ ur monoton fallend mit Umkehrung der jeweils zweiten Ungleichung vorgenommen. Beispiele f¨ ur streng monoton wachsende Funktionen sind die Potenzfunktionen x → xn mit ungerader Hochzahl

92

8 Anwendungen der Ableitung

n; eine monoton, aber nicht streng monoton wachsende Funktion ist etwa die Vorzeichenfunktion x → sign x. Das Steigungsverhalten einer differenzierbaren Funktion kann mit dem Vorzeichen der ersten Ableitung beschrieben werden. Satz 8.6 F¨ ur differenzierbare Funktionen f : (a, b) → R gilt: (a)

f  ≥ 0 auf (a, b) f  > 0 auf (a, b)

⇔ ⇒

f ist monoton wachsend; f ist streng monoton wachsend.

(b)

f  ≤ 0 auf (a, b) f  < 0 auf (a, b)

⇔ ⇒

f ist monoton fallend; f ist streng monoton fallend.

Beweis: (a) Nach dem Mittelwertsatz ist f (x2 )−f (x1 ) = f  (ξ)(x2 −x1 ) f¨ ur ein ξ ∈ (a, b). Ist x1 < x2 und f  (ξ) ≥ 0, so ist f (x2 ) − f (x1 ) ≥ 0. Ist f  (ξ) > 0, so ist f (x2 ) − f (x1 ) > 0. Umgekehrt ist f  (x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x) ≥ 0, h



wenn f wachsend ist. Der Beweis von (b) geht ebenso.

Bemerkung 8.7 Das Beispiel f (x) = x3 zeigt, dass f streng monoton wachsend sein kann, auch wenn in einzelnen Punkten f  = 0 ist. Satz 8.8 (Kriterium f¨ ur lokale Extremwerte) Sei f differenzierbar auf (a, b), x0 ∈ (a, b) und f  (x0 ) = 0. Dann gilt:  ur x < x0 f  (x) > 0 f¨ ⇒ f hat lokales Maximum in x0 (a) f  (x) < 0 f¨ ur x > x0  f  (x) < 0 f¨ ur x < x0 (b) ⇒ f hat lokales Minimum in x0 . f  (x) > 0 f¨ ur x > x0 Beweis: Der Beweis ergibt sich aus dem vorigen Satz, der das Monotonieverhalten charakterisierte, wie durch Abb. 8.3 erl¨ autert.

y

f
(x0 ) = 0 f
< 0

f
>0 x0

x

Abb. 8.3. Lokales Maximum.

Bemerkung 8.9 (Das Kr¨ ummungsverhalten eines Funktionsgraphen) Ist in achst dort f  monoton an. Daher ist der Graph einem Bereich f  > 0, so w¨ von f linksgekr¨ ummt oder konvex. Ist umgekehrt f  < 0, so f¨allt f  monoton und der Graph von f ist rechtsgekr¨ ummt oder konkav (vgl. Abb. 8.4). Eine quantitative Beschreibung der Kr¨ ummung eines Funktionsgraphen werden wir im Abschnitt 14.1 vornehmen. Sei x0 ein Punkt, in dem f  (x0 ) = 0 ist. Falls f  sein Vorzeichen bei x0 nicht andert, so liegt ein Wendepunkt vor; hier wechselt f von positiver zu negativer ¨ Kr¨ ummung oder umgekehrt.

8.1 Kurvendiskussion

93

Satz 8.10 (Kriterium f¨ ur lokale Extremwerte mit zweiter Ableitung) Sei f zweimal stetig differenzierbar auf (a, b), x0 ∈ (a, b) und f  (x0 ) = 0. (a) Falls f  (x0 ) > 0 ist, so hat f ein lokales Minimum bei x0 . (b) Falls f  (x0 ) < 0 ist, so hat f ein lokales Maximum bei x0 . Beweis: (a) Da f  stetig ist, ist f  (x) > 0 f¨ ur alle x aus einer Umgebung von x0 . Nach Satz 8.6 ist daher f  streng monoton wachsend in dieser Umgebung. ur x < x0 und f  (x) > 0 ist Wegen f  (x0 ) = 0 heißt das, dass f  (x0 ) < 0 ist f¨ ur lokale Extremwerte liegt ein Minimum f¨ ur x > x0 ; nach dem Kriterium f¨ vor. (b) zeigt man ebenso.



f

(x0 ) = 0 f

< 0

f

> 0

f

> 0 f

x0

x





0 oder f (a) > 0, f (b) < 0 so erreicht man durch fortgesetzte Halbierung des Intervalls eine Nullstelle ξ von f : a = a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . . ≤ ξ ≤ . . . ≤ b3 ≤ b2 ≤ b1 = b, wobei gilt: |bn+1 − an+1 | = 1

1 1 1 |bn − an | = |bn−1 − an−1 | = . . . = n |b1 − a1 |. 2 4 2

I. Newton, 1642–1727.

8.2 Das Newtonverfahren

95

Bricht man also das Verfahren nach n Schritten ab und w¨ahlt an oder bn als N¨ aherung f¨ ur ξ, so erh¨ alt man als garantierte Fehlerschranke |Fehler| ≤ ϕ(n) = |bn − an |. Insbesondere ist hier

1 ϕ(n) 2 erf¨ ullt, der Fehler reduziert sich also bei jedem Schritt (wenigstens) um den konstanten Faktor 12 . Man bezeichnet so ein Verfahren als linear konvergent. Allgemeiner heißt ein iteratives Verfahren konvergent von der Ordnung α, wenn Fehlerschranken (ϕ(n))n≥1 und eine Konstante C angegeben werden k¨ onnen, sodass gilt: ϕ(n + 1) lim = C. n→∞ (ϕ(n))α ϕ(n + 1) =

F¨ ur hinreichend große n, etwa ab einem gewissen n0 , gilt also n¨aherungsweise ϕ(n + 1) ≈ C(ϕ(n))α . Lineare Konvergenz impliziert ϕ(n + 1) ≈ Cϕ(n) ≈ C 2 ϕ(n − 1) ≈ . . . ≈ C k+1 ϕ(n − k) . . . ≈ C n−n0 +1 ϕ(n0 ). Tr¨ agt man den Logarithmus von ϕ(n) gegen n auf (halblogarithmische Darstellung, wie zum Beispiel in Abb. 8.6 verwendet), so erh¨alt man eine Gerade:  log ϕ(n + 1) ≈ n log C + log C 1−n0 ϕ(n0 ) . Ist C < 1, so geht die Fehlerschranke ϕ(n + 1) gegen 0 und die Anzahl der korrekten Dezimalstellen erh¨ oht sich in jedem Iterationsschritt um eine Konstante. Quadratische Konvergenz w¨ urde bedeuten, dass sich die Anzahl der korrekten Dezimalstellen mit jedem Iterationsschritt n¨aherungsweise verdoppelt. Konstruktion des Newtonverfahrens. Ziel der Konstruktion ist es, ein Verfahren zu erhalten, das quadratische Konvergenz liefert (α = 2), zumindest wenn man nahe genug bei der Nullstelle ξ startet und diese eine einfache Nullstelle einer differenzierbaren Funktion ist. Die geometrische Idee hinter dem Newtonverfahren ist einfach: Hat man eine N¨aherung xn gew¨ahlt, so berechnet man xn+1 als Schnittpunkt der Tangente an den Graphen von f durch (xn , f (xn )) mit der x-Achse. Die Tangentengleichung ist y = f (xn ) + f  (xn )(x − xn ). alt man aus Den Schnittpunkt xn+1 mit der x-Achse erh¨ 0 = f (xn ) + f  (xn )(xn+1 − xn ),

96

8 Anwendungen der Ableitung y

ξ

xn+2 xn+1

xn

x

Abb. 8.5. Zum Newtonverfahren.

also xn+1 = xn −

f (xn ) f  (xn )

wobei nat¨ urlich f  (xn ) = 0 vorauszusetzen ist. Diese Bedingung ist erf¨ ullt, wenn xn nahe genug an der Nullstelle ξ liegt. Ist n¨amlich f  stetig und ξ eine einfache Nullstelle von f , so ist nicht nur f  (ξ) = 0, sondern f  in einer ganzen Umgebung von ξ verschieden von Null. Satz 8.15 (Konvergenz des Newtonverfahrens) Sei f eine zweimal differenzierbare, reellwertige Funktion mit stetiger zweiter Ableitung und gelte f (ξ) = 0 sowie f  (ξ) = 0. Dann gibt es eine Umgebung Uε (ξ), sodass das Newtonverfahren f¨ ur jeden Startwert x0 ∈ Uε (ξ) quadratisch gegen ξ konvergiert. Beweis: Da f  (ξ) = 0 ist und f  stetig ist, gibt es eine Umgebung Uδ (ξ) und ur alle x ∈ Uδ (ξ). Zweimalige Anwendung ein m > 0, sodass |f  (x)| ≥ m ist f¨ des Mittelwertsatzes ergibt



f (xn ) − f (ξ)



|xn+1 − ξ| = xn − ξ −

f  (xn )



f  (η)

|f  (xn ) − f  (η)| = |xn − ξ| ≤ |xn − ξ|

1 − 

f (xn ) |f  (xn )| |f  (ζ| ≤ |xn − ξ|2  |f (xn )| mit η zwischen xn und ξ und ζ zwischen xn und η. Es bezeichne M das aherungswerte xn in der Umgebung Maximum von |f  | auf Uδ (ξ). Falls alle N¨ ur den Fehler ϕ(n) = |xn − ξ| die quadratische Uδ (ξ) liegen, so ergibt sich f¨ Fehlerabsch¨ atzung ϕ(n + 1) = |xn+1 − ξ| ≤ |xn − ξ|2

M M = (ϕ(n))2 m m

8.2 Das Newtonverfahren

97

und die Aussage des Satzes ist mit der Umgebung Uδ (ξ) erf¨ ullt. Andernfalls m¨ ussen wir die Umgebung verkleinern, indem wir etwa ein ε < δ w¨ahlen, mit ullt ist. Dann gilt dem die Ungleichung ε M m ≤ 1 erf¨ |xn − ξ| ≤ ε

⇒

|xn+1 − ξ| ≤ ε2

M ≤ ε. m

Das heißt, liegt ein N¨ aherungswert xn in Uε (ξ), so auch der Nachfolger xn+1 . Da Uε (ξ) ⊂ Uδ (ξ) ist, gilt die quadratische Fehlerabsch¨atzung oben nach wie vor. Somit ist die Aussage des Satzes mit der kleineren Umgebung Uε (ξ) g¨ ultig.

√ Beispiel 8.16 Zur Berechnung der Nullstelle ξ = 3 2 von x3 − 2 = 0 wurde das Bisektionsverfahren und das Newtonverfahren mit Startwert x0 = 2 verwendet. Die N¨ aherungswerte xn sowie die Intervallgrenzen [an , bn ] sind in Tabelle 8.1 und Tabelle 8.2 angef¨ uhrt. Das Newtonverfahren erreicht den Wert √ 3 2 = 1.25992104989487 auf 14 Nachkommastellen genau bereits bei der siebten Iteration. Tabelle 8.1. Bisektionsverfahren zur Berechnung der dritten Wurzel aus zwei. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

an -2.00000000000000 0.00000000000000 1.00000000000000 1.00000000000000 1.25000000000000 1.25000000000000 1.25000000000000 1.25000000000000 1.25000000000000 1.25781250000000 1.25781250000000 1.25976562500000 1.25976562500000 1.25976562500000 1.25976562500000 1.25988769531250 1.25988769531250 1.25991821289063

bn 2.00000000000000 2.00000000000000 2.00000000000000 1.50000000000000 1.50000000000000 1.37500000000000 1.31250000000000 1.28125000000000 1.26562500000000 1.26562500000000 1.26171875000000 1.26171875000000 1.26074218750000 1.26025390625000 1.26000976562500 1.26000976562500 1.25994873046875 1.25994873046875

Fehler 4.00000000000000 2.00000000000000 1.00000000000000 0.50000000000000 0.25000000000000 0.12500000000000 0.06250000000000 0.03125000000000 0.01562500000000 0.00781250000000 0.00390625000000 0.00195312500000 0.00097656250000 0.00048828125000 0.00024414062500 0.00012207031250 0.00006103515625 0.00003051757813

Die Fehlerkurve f¨ ur das Bisektions- und das Newtonverfahren in halblogarithmischer Darstellung (MATLAB-Befehl semilogy) ist in Abb. 8.6 abzulesen. Bemerkung 8.17 Das Konvergenzverhalten des Newtonverfahrens h¨angt davon ab, ob die Bedingungen von Satz 8.15 erf¨ ullt sind. Ist der Startwert

98

8 Anwendungen der Ableitung Tabelle 8.2. Newtonverfahren zur Berechnung der dritten Wurzel aus zwei. n 1 2 3 4 5 6 7

xn 2.00000000000000 1.50000000000000 1.29629629629630 1.26093222474175 1.25992186056593 1.25992104989539 1.25992104989487

Fehler 0.74007895010513 0.24007895010513 0.03637524640142 0.00101117484688 0.00000081067105 0.00000000000052 0.00000000000000

x0 zu weit von der Nullstelle ξ entfernt, so kann es zu Divergenz, Oszillationen oder Konvergenz zu einer anderen Nullstelle kommen. Ist f  (ξ) = 0, besitzt die Nullstelle ξ also eine Vielfachheit > 1, so reduziert sich die Konvergenzordnung des Newtonverfahrens.

2

Fehler

10

0

10

−2

10

−4

10

−6

Bisektion

−8

Newton

10 10

−10

10

−12

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

n

Abb. 8.6. Fehler des Bisektions- und des Newtonverfahrens. ¨ Experiment 8.18 Offnen Sie das Applet Newtonverfahren und testen Sie an Hand der Sinusfunktion, wie sich die Wahl des Startwerts auf das Ergebnis auswirkt (im Applet ist der Startwert die rechte Intervallgrenze). Experimentieren Sie mit den Inur x0 = 1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.57, 1.5707, 1.57079 und interpretieren tervallen [−2, x0 ] f¨ Sie Ihre Beobachtungen. F¨ uhren Sie die Berechnungen mit denselben Startwerten auch mit Hilfe des m-Files mat08 2.m durch. Experiment 8.19 Studieren Sie mit Hilfe des Applets Newtonverfahren, wie sich die Konvergenzordnung bei Vorliegen einer mehrfachen Nullstelle reduziert. Verwenden Sie dazu die beiden im Applet vorgegebenen Polynomfunktionen.

Bemerkung 8.20 Varianten des Newtonverfahrens erh¨alt man, wenn man die Ableitung f  (xn ) numerisch auswertet. Zum Beispiel liefert die N¨aherung f  (xn ) ≈

f (xn ) − f (xn−1 ) xn − xn−1

8.3 Regressionsgerade durch den Ursprung

99

das Sekantenverfahren xn+1 = xn −

(xn − xn−1 )f (xn ) , f (xn ) − f (xn−1 )

das xn+1 als Schnittpunkt der Sekante durch (xn , f (xn )) und (xn−1 , f (xn−1 )) mit der x-Achse berechnet. Es besitzt eine gebrochene Ordnung kleiner als 2, vgl. [25, Kap. 5.3.1].

8.3 Regressionsgerade durch den Ursprung Dieser Abschnitt ist ein erster Exkurs in die Datenanalyse: das Anpassen einer besten Gerade (Regressionsgeraden) durch den Ursprung an eine Punktwolke in der Ebene. Wir werden diese Aufgabe hier als Anwendung der Differentialrechnung behandeln; sie kann auch mit Mitteln der linearen Algebra gel¨ost werden. Dem allgemeinen Problem der linearen Regression mit mehreren Variablen wenden wir uns im Kapitel 18 zu. Abb. 8.7 zeigt zum Beispiel das Ergebnis einer Stichprobe vom Umfang n = 70, in der die Gr¨oße x [cm] und das Gewicht y [kg] von 70 Informatikstudenten an der Universit¨at Innsbruck im Jahr 2002 erhoben wurden. Die Daten sind dem m-File mat08 3.m zu entnehmen. 140

140

120

120

100

100

80

80

60

60

40 160

170

180

190

200

Abb. 8.7. Streudiagramm Gr¨ oße/Gewicht.

40 160

170

180

190

200

Abb. 8.8. Beste Gerade y = kx.

Die Messwerte (xi , yi ), i = 1, . . . , n von Gr¨ oße und Gewicht bilden eine Punktwolke in der Ebene. Unter der Annahme, dass zwischen Gr¨oße und Gewicht ein linearer Zusammenhang der Form y = kx besteht, soll k so bestimmt werden, dass die Gerade y = kx das Verhalten der Punktwolke m¨ oglichst gut wiederuck gibt (Abb. 8.8). Der Ansatz, den wir unten besprechen, geht auf Gauß2 zur¨ und versteht die Anpassungsg¨ ute im Sinne der Minimierung der Summe der Fehlerquadrate. Anwendung 8.21 (Beste Gerade durch den Ursprung) An eine Punktwolke (xi , yi ), i = 1, . . . , n soll eine Gerade durch den Ursprung 2

C.F. Gauß, 1777–1855.

100

8 Anwendungen der Ableitung

y = kx angepasst werden. W¨ are k bekannt, so k¨ onnte man das Quadrat der Abweichung des Messwerts yi vom durch die Geradengleichung gegebenen Sch¨atzwert kxi (das Fehlerquadrat) durch (yi − kxi )2 berechnen. Wir suchen jenes k, das die Summe der Fehlerquadrate minimiert, also: n  F (k) = (yi − kxi )2 → min! i=1

Offensichtlich ist F (k) eine quadratische Funktion von k. Zun¨achst berechnen wir die Ableitungen F  (k) =

n 

F  (k) =

(−2xi )(yi − kxi ),

i=1

n 

2x2i .

i=1

Dann setzen wir F  (k) = 0 und erhalten, da offenbar F  > 0 ist, ein globales Minimum: n n   F  (k) = −2 xi yi + 2k x2i = 0. i=1

i=1

Die L¨ osung, der Anstieg der besten Geraden, ist  xi yi k=  2 . xi Beispiel 8.22 Zur Illustration einer Regressionsgerade durch den Ursprung nehmen wir den ¨osterreichischen Verbraucherpreisindex 1996 – 2002 (die Daten stammen aus [26]): Jahr

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

Index

100.0

101.3

102.2

102.8

105.2

108.0

109.9

Zur Berechnung ist es g¨ unstig, neue Variable einzuf¨ uhren, in denen x = 0 dem Jahr 1996 entspricht und y = 0 dem Index 100. Das heißt, x = (Jahr − 1996) und y = (Index − 100); y stellt die prozentuelle Teuerung im Vergleich zu den Preisen von 1996 dar. Die umskalierten Daten sind xi yi

0 0.0

1 1.3

2 2.2

3 2.8

4 5.2

5 8.0

6 9.9

und wir suchen die beste Gerade an diese Daten durch den Ursprung. In diesem Fall ist F (k) = (1.3−k·1)2 +(2.2−k·2)2 +(2.8−k·3)2 +(5.2−k·4)2 +(8.0−k·5)2 +(9.9−k·6)2

und der beste Anstieg ergibt sich aus der Formel

¨ 8.4 Ubungen

k=

101

134.3 1 · 1.3 + 2 · 2.2 + 3 · 2.8 + 4 · 5.2 + 5 · 8.0 + 6 · 9.9 = = 1.4758. 1·1+2·2+3·3+4·4+5·5+6·6 91

Die beste Gerade lautet also y = 1.4758 x bzw. r¨ ucktransformiert Index = 100 + (Jahr − 1996) · 1.4758. Das Ergebnis ist in Abb. 8.9 dargestellt, sowohl in der Jahr/Index-Skala als auch in der auf (0, 0) transformierten Skala. Extrapolation l¨angs der Regressionsgeraden w¨ urde f¨ ur 2003 die Prognose Index(2003) = 100 + 7 · 1.4758 = 110.3 ergeben (der tats¨ achliche Verbraucherpreisindex von 2003 hatte den Wert 111.4). 1996 1998 2000 2002

1996 1998 2000 2002

10

110

10

110

8

108

8

108

6

106

6

106

4

104

4

104

2

102

2

102

0

100

0

100

0

2

4

6

0

2

4

6

Abb. 8.9. Verbraucherpreisindex und Regressionsgerade.

¨ 8.4 Ubungen 1. (a) Geben Sie in mathe online zu Galerie – Differenzieren 1 und machen Sie Ableitungspuzzle 2 und 3. (b) Gehen Sie in mathe online zu Interaktive Tests – Differenzieren 2 und beantworten Sie die unter Funktionen mit Absolutbetrag – differenzierbar oder nicht? gestellten Fragen. Skizzieren Sie dazu die Graphen der zu untersuchenden Funktionen (mittels Kurvendiskussion oder mit MATLAB ). 2. Ermitteln Sie alle Maxima und Minima auf R der Funktionen 2 x f (x) = 2 und g(x) = x2 e−x . x +1

102

8 Anwendungen der Ableitung

3. Ermitteln Sie das Maximum der Funktionen y=

1 −(log x)2 /2 , x>0 e x

und

y = e−x e−(e

−x

)

, x∈R

(Dichte der Standardlognormalverteilung bzw. der Gumbelverteilung). 4. Ermitteln Sie die Proportionen eines Zylinders, der bei gegebenem Volumen V die kleinste Oberfl¨ ache F besitzt. ohe h als Funktion des Radius Hinweis: F = 2rπh+2r2 π → min! Berechnen Sie die H¨ r aus V = r2 πh, setzen Sie ein und minimieren Sie F (r). 5. (Aus der Festigkeitslehre) Das Fl¨ achentr¨ agheitsmoment bez¨ uglich der horizon1 bh3 (b talen Mittelachse eines Balkens mit rechteckigem Querschnitt ist I = 12 die Breite, h die H¨ ohe). Ermitteln Sie die Proportionen eines Balkens maximalen Fl¨ achenmoments, der aus einem Baumstamm mit kreisf¨ ormigem Querschnitt von vorgegebenem Radius r geschnitten werden kann. Hinweis: b als Funktion von h darstellen, I(h) → max! 6. (Aus der Bodenmechanik) Die mobilisierte Koh¨ asion cm (θ) eines Erdkeils mit Gleitfugenneigung θ betr¨ agt cm (θ) =

γh sin(θ − ϕm ) cos θ . 2 cos ϕm

Dabei sind h die H¨ ohe des Erdkeils, ϕm der mobilisierte Reibungswinkel, γ das spezifische Gewicht des Bodens (siehe dazu Abb. 8.10). Zeigen Sie, dass die mobilisierte Koh¨ asion cm bei gegebenem h, ϕm , γ beim Neigungswinkel θ = ϕm /2 + 45◦ ihr Maximum annimmt.

h θ

Abb. 8.10. Erdkeil mit Gleitfuge.

7. Diese Aufgabe dient der Untersuchung der Konvergenz des Newtonverfahrens zur L¨ osung der Gleichungen x3 − 3x2 + 3x − 1 = 0 x3 − 3x2 + 3x − 2 = 0 auf dem Intervall [0, 3]. ¨ (a) Offnen Sie das Applet Newtonverfahren und f¨ uhren Sie das Newtonverfahren mit den beiden Gleichungen mit einer Genauigkeit von 0.0001 durch. Erkl¨ aren Sie, warum Sie unterschiedlich viele Iterationen ben¨ otigen. aherungen (b) Erzeugen Sie mit Hilfe des m-Files mat08 1.m jeweils eine Liste der N¨ (Anfangswert x0 = 1.5, tol = 100*eps, maxk = 100) und plotten Sie jeweils die Fehler |xn − ξ| mittels semilogy. Diskutieren Sie das Ergebnis.

¨ 8.4 Ubungen

103

8. Wenden Sie das MATLAB -Programm mat08 2.m auf die Funktionen an, die durch origen Ableitungen die m-Files mat08 f1.m und mat08 f2.m definiert sind (mit zugeh¨ ahlen Sie x0 = 2, maxk = 250. Wie erkl¨ aren Sie mat08 df1.m und mat08 df2.m). W¨ die Ergebnisse? 9. Schreiben Sie das MATLAB -Programm mat08 2.m so um, dass der Abbruch erfolgt, wenn entweder eine vorgegebenen Iterationszahl maxk oder eine vorgegebene Fehlerschranke tol erreicht ist (Abbruch bei n-ter Iteration, wenn entweder n > maxk oder |f (xn )| < tol ist). Geben Sie xn , n und den Fehler |f (xn )| aus. Testen Sie ¨ Ihr Programm mit den Funktionen aus Ubung 8.4 und erl¨ autern Sie die Ergebnisse. Hinweis: L¨ osungsvorschlag im m-File mat08 ueb9.m. 10. Schreiben Sie ein MATLAB -Programm, das das Sekantenverfahren f¨ ur kubische Polynome durchf¨ uhrt. 11. (a) Leiten Sie mittels der Methode der kleinsten Fehlerquadrate eine Formel f¨ ur den Koeffizienten c der Regressionsparabel y = cx2 durch eine Punktwolke (x1 , y1 ), ..., (xn , yn ) her. (b) Bei der Messung des reinen Bremswegs s [m] (ohne Reaktionsweg) eines bestimmten PKW-Typs in Abh¨ angigkeit von der Geschwindigkeit v [km/h] erhielt man folgende Messwerte: vi

10

20

40

50

60

70

80

100

120

si

1

3

8

13

18

23

31

47

63

Berechnen Sie den Koeffizienten c der Regressionsparabel s = cv 2 und plotten Sie das Ergebnis. 12. Zeigen Sie: die beste horizontale Gerade y = d durch eine Punktwolke (xi , yi ), i = 1, . . . , n ist durch das arithmetische Mittel der y-Werte gegeben: d=

n 1 yi . n i=1

 2 Hinweis: Minimieren Sie G(d) = n i=1 (yi − d) . ¨ 13. (a) Uberzeugen Sie sich durch Anwendung des Mittelwertsatzes, dass die Funktion f (x) = cos x auf dem Intervall [0, 1] eine Kontraktion ist (vgl. Def. C.17), und aherungsweise mit Hilfe des Iterationsverberechnen Sie den Fixpunkt x∗ = cos x∗ n¨ fahrens aus Satz C.18 auf zwei Kommastellen. (b) Schreiben Sie ein MATLAB -Programm, das zu gegebenem Startwert x1 ∈ [0, 1] die ersten N Iterationsschritte zur Berechnung von x∗ = cos(x∗ ) vornimmt und x1 , x2 , . . . , xN als Spalte ausgibt.

9 Fraktale und L-Systeme

In der Geometrie werden Objekte u ¨blicherweise durch explizite Regeln und Transformationen bestimmt, die einfach in mathematische Formeln u onnen. ¨bersetzt werden k¨ Beispielsweise ist ein Kreis die Menge aller Punkte, die von einem Mittelpunkt (a, b) den festen Abstand r haben: K = {(x, y) ∈ R2 ; (x − a)2 + (y − b)2 = r2 } oder K = {(x, y) ∈ R2 ; x = a + r cos ϕ, y = b + r sin ϕ, 0 ≤ ϕ < 2π}. Im Gegensatz dazu sind die Objekte der fraktalen Geometrie meist durch eine rekursive Vorschrift gegeben. Diese fraktalen Mengen (Fraktale) haben in letzter Zeit viele interessante Anwendungen erfahren, z.B. in der Computergrafik (Darstellung von Wolken, Pflanzen, B¨ aumen, Landschaften), in der Bildkompression und in der Datenanalyse. Dar¨ uberhinaus besitzen Fraktale eine gewisse Bedeutung in der Modellierung von Wachstumsprozessen. Kennzeichnende Merkmale von Fraktalen sind oft ihre nicht ganzzahlige Dimension und die Selbst¨ ahnlichkeit der gesamten Menge mit ihren Teilen. Letzteres Ph¨ anomen findet man auch h¨ aufig in der Natur, z.B. in der Geologie. Dort ist es anhand eines Fotos ohne Kenntnis des Maßstabs oft schwierig zu entscheiden, ob das abgebildete Objekt ein Sandkorn, ein kleiner Kiesel oder ein grosses St¨ uck Fels ist. Aus diesem Grund wird die fraktale Geometrie u anglich auch als Geometrie der Natur ¨berschw¨ bezeichnet. Wir betrachten in diesem Kapitel exemplarisch Fraktale in R2 und C. Des Weiteren geben wir eine kurze Einf¨ uhrung in L-Systeme und besprechen als Anwendung ein einfaches Konzept zur Modellierung des Wachstums von Pflanzen. F¨ ur eine weiter f¨ uhrende Darstellung verweisen wir auf die Lehrb¨ ucher [21, 22].

9.1 Fraktale Zun¨ achst verallgemeinern wir die Begriffe offenes und abgeschlossenes Intervall auf Teilmengen von R2 . Zu festem a = (a, b) ∈ R2 und ε > 0 heißt die

106

9 Fraktale und L-Systeme

Menge B(a, ε) = (x, y) ∈ R2 ;



! (x − a)2 + (y − b)2 < ε

ε-Umgebung von a. Man beachte, dass die Menge B(a, ε) eine Kreisscheibe mit Mittelpunkt a und Radius ε ist, bei der die Berandung fehlt. Definition 9.1 Sei A ⊆ R2 . (a) Ein Punkt a ∈ A heißt innerer Punkt von A, wenn es eine ε-Umgebung von a gibt, welche selbst ganz in A liegt. (b) A heißt offen, wenn jeder Punkt von A ein innerer Punkt ist. (c) Ein Punkt c ∈ R2 heißt Randpunkt von A, wenn jede ε-Umgebung von c sowohl zumindest einen Punkt aus A als auch einen Punkt von R2 \ A enth¨ alt. Die Randpunkte von A bezeichnen wir mit ∂A (Rand von A). (d) Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn sie alle ihre Randpunkte enth¨alt. (e) A heißt beschr¨ ankt, wenn es eine Zahl r > 0 gibt mit A ⊆ B(0, r). Beispiel 9.2 Das Quadrat Q = {(x, y) ∈ R2 ; 0 < x < 1 und 0 < y < 1} ist offen, da jeder Punkt von Q eine ε-Umgebung besitzt, die ganz in Q liegt, vgl. Abb. 9.1, linkes Bild. Der Rand von Q besteht aus den vier Strecken {0, 1} × [0, 1] ∪ [0, 1] × {0, 1}. Jede ε-Umgebung eines Randpunkts enth¨ alt auch Punkte, die außerhalb von Q liegen, vgl. Abb. 9.1, mittleres Bild. Das in Abb. 9.1 rechts angegebene Quadrat {(x, y) ∈ R2 ; 0 < x ≤ 1 und 0 < y ≤ 1} ist weder abgeschlossen noch offen, da der Randpunkt (x, y) = (0, 0) nicht Element der Menge ist und die Menge andererseits den Punkt (x, y) = (1, 1) enth¨ alt, der kein innerer Punkt ist. Alle drei Mengen sind beschr¨ankt, da sie beispielsweise in B(0, 2) enthalten sind. (1, 1)

(0, 0) Abb. 9.1. Offenes (links), abgeschlossenes (Mitte) und weder offen noch abgeschlossenes (rechts) Quadrat mit Seitenl¨ ange 1.

9.1 Fraktale

107

Fraktale Dimension. Grob gesprochen haben Punkte die Dimension 0, Linienst¨ ucke die Dimension 1 und Fl¨ achenst¨ ucke die Dimension 2. Das Konzept der fraktalen Dimension dient dazu, feinere Unterscheidungen zu treffen. Wenn beispielsweise eine Kurve eine Fl¨ ache dicht ausf¨ ullt, ist man geneigt, ihr eine h¨ ohere Dimension als 1 zuzusprechen. Haben umgekehrt Linienst¨ ucke sehr viele L¨ ocher, k¨ onnte ihre Dimension zwischen 0 und 1 sein. ankt (und nicht leer) und sei N (A, ε) die kleinste Zahl von Sei A ⊆ R2 beschr¨ abgeschlossenen Kreisen mit Radius ε, die man ben¨otigt, um A zu u ¨berdecken, vgl. Abb. 9.2.

¨ Abb. 9.2. Uberdeckung einer Kurve mit Kreisen.

Hinter der Definition der fraktalen Dimension d von A steht folgende intuitive Idee: Bei Kurvenst¨ ucken ist die Zahl N (A, ε) umgekehrt proportional zu ε, bei Fl¨ achenst¨ ucken umgekehrt proportional zu ε2 , also N (A, ε) ≈ C · ε−d , wobei d die Dimension bezeichnet. Durch Logarithmieren dieser Beziehung erh¨ alt man log N (A, ε) ≈ log C − d log ε, beziehungsweise d ≈ −

log N (A, ε) − log C . log ε

Diese Approximation wird umso genauer, je kleiner wir ε > 0 w¨ahlen. Wegen lim

ε→0+

log C =0 log ε

f¨ uhrt das auf folgende Definition. Definition 9.3 Sei A ⊆ R2 nicht leer, beschr¨ankt und N (A, ε) wie oben. Falls der Grenzwert d = d(A) = − lim

ε→0+

log N (A, ε) log ε

existiert, so heißt d fraktale Dimension von A.

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9 Fraktale und L-Systeme

Bemerkung 9.4 In obiger Definition ist es ausreichend, f¨ ur ε eine Nullfolge der Form 0