Table of contents : Table des matières du volume III......Page 6 VIII - La Théorie de Cauchy......Page 12 i) Le théorème fondamental (TF) du calcul différentiel et intégral......Page 14 ii) Calcul différentiel dans R2......Page 15 iii) Fonctions holomorphes......Page 18 i) Primitives locales d'une fonction holomorphe......Page 19 ii) Intégration le long d'un chemin. Chemins admissibles......Page 21 iii) L'intégrale le long d'un chemin comme intégrale de Stieltjes......Page 23 iv) Une condition nécessaire et suffisante d'existence d'une primitive......Page 25 v) Cas d'un domaine contractile......Page 28 i) Chemins homotopes......Page 30 ii) Différentiation par rapport à un chemin......Page 32 iii) Effet d'une homotopie linéaire sur une intégrale......Page 34 iv) Le théorème d'invariance par homotopie......Page 36 i) Intégrales en 1/z......Page 43 ii) Longueur d'un chemin......Page 45 iii) La formule intégrale de Cauchy pour un cercle......Page 47 iv) Modes de convergence des fonctions holomorphes......Page 48 v) Analyticité des fonctions holomorphes......Page 52 vi) Série de Laurent......Page 53 i) La formule des résidus......Page 55 ii) Formule intégrale de Cauchy: cas général......Page 59 iii) Nombre de zéros et de pôles d'une fonction......Page 60 iv) Résidus à l'infini......Page 62 v) Invariance du résidu par représentation conforme......Page 64 vi) Fonctions sur la sphère de Riemann......Page 67 6 - Le théorème de Dixon......Page 69 7 - Intégrales dépendant holomorphiquement d'un paramètre......Page 73 §3. Quelques applications de la méthode de Cauchy......Page 77 i) Intégrales absolument convergentes de fonctions rationnelles......Page 79 ii) Intégrales semi-convergentes de fonctions rationnelles......Page 82 iii) Transformées de Fourier absolument convergentes......Page 83 iv) Transformées de Fourier semi-convergentes......Page 87 9 - Formules sommatoires......Page 90 i) La fonction gamma......Page 93 ii) Transformée de Fourier de e(-x)x(+,s-1)......Page 96 iii) L'intégrale de Hankel......Page 97 11 - Le problème de Dirichlet pour le demi-plan......Page 100 i) Généralités......Page 109 ii) Un théorème de Paley-Wiener......Page 112 iii) Fonctions holomorphes intégrables une bande......Page 113 iv) Fonctions holomorphes intégrables dans un demi-plan......Page 117 i) Questions de convergence......Page 119 ii) Prolongement analytique d'une transformée de Mellin......Page 121 iii) Exemple: la fonction zêta de Riemann......Page 124 iv) Un théorème de type Paley-Wiener......Page 126 14 - La formule de Stirling pour la fonction gamma......Page 134 15 - La transformée de Fourier de l/cos hpix......Page 142 i) Espaces vectoriels de dimension finie......Page 150 ii) Les notations tensorielles......Page 152 i) Fonctions différentiables......Page 165 ii) Dérivation des fonctions composées......Page 168 iii) Différentielles partielles......Page 170 iv) Difféomorphismes......Page 172 i) Difféomorphismes et cartes locales......Page 174 ii) Repères mobiles et champs de tenseurs......Page 176 iii) Dérivées covariantes dans un espace cartésien......Page 180 4 - Formes différentielles de degré 1......Page 186 i) Existence : calcul en coordonnées......Page 188 ii) Existence des primitives locales : formules intrinsèques......Page 190 i) Intégrales d'une forme différentielle......Page 192 ii) Image réciproque d'une forme différentielle......Page 194 i) Différentiation par rapport à un chemin......Page 196 ii) Effet d'une homotopie sur une intégrale......Page 198 iii) L'espace de Banach C1/2(I;E)......Page 200 i) L'analyse vectorielle des physiciens......Page 203 ii) Formes différentielles de degré 2......Page 204 iii) Formes de degré p......Page 207 9 - Intégrales étendues à un chemin de dimension 2......Page 212 i) La dérivée extérieure comme intégrale infinitésimale......Page 214 ii) La formule de Stokes pour un chemin de dimension 2......Page 216 iii) Intégrale d'une image réciproque......Page 219 iv) Un exemple dans le plan......Page 220 v) Version classique......Page 222 10 - Changement de variables dans une intégrale multiple......Page 225 i) Cas où phi est linéaire......Page 226 ii) Lemmes d'approximation......Page 230 iii) La formule du changement de variables......Page 235 iv) Formule de Stokes pour un chemin de dimension p......Page 237 i) La sphère dans R3......Page 241 ii) La notion de variété de classe Cr et de dimension d......Page 242 iii) Quelques exemples......Page 244 iv) Applications différentiables......Page 247 i) Vecteurs et espaces vectoriels tangents......Page 249 ii) Vecteur tangent à une courbe......Page 252 iii) Différentielle d'une application......Page 253 iv) Différentielles partielles......Page 257 v) La variété des vecteurs tangents......Page 258 13 - Sous-variétés et subimmersions......Page 259 i) Sous-variétés......Page 260 ii) Sous-variétés définies par une subimmersion......Page 263 iii) Les sous-groupes à un paramètre d'un tore......Page 266 iv) Sous-variétés d'un espace cartésien: vecteurs tangents......Page 271 v) Espaces de Riemann......Page 273 14 - Champs de vecteurs et opérateurs différentiels......Page 275 15 - Champs de vecteurs et équations différentielles......Page 277 i) Réduction à une équation intégrale......Page 278 ii) Existence des solutions......Page 279 iii) Unicité de la solution......Page 280 iv) Dépendance des conditions initiales......Page 281 v) Exponentielle d'une matrice......Page 284 16 - Formes différentielles sur une variété......Page 286 i) Variétés orientables......Page 288 ii) Intégrales de formes différentielles......Page 292 18 - La formule de Stokes......Page 295 1 - Surfaces de Riemann......Page 300 2 - Fonctions algébriques......Page 306 i) Définition des revêtements......Page 311 ii) Sections d'un revêtement......Page 313 iii) Relèvements d'un chemin......Page 314 iv) Revêtements d'un espace simplement connexe......Page 318 v) Revêtements d'un disque pointé......Page 322 i) Branches uniformes globales......Page 323 ii) Définition de la surface de Riemann ^X......Page 324 iii) La fonction algébrique F(z) comme fonction méromorphe sur ^X......Page 327 iv) Connexité de ^X......Page 330 v) Fonctions méromorphes sur ^X......Page 332 vi) Le point de vue purement algébrique......Page 333 Index......Page 338 Table des matières du volume I......Page 342 Table des matières du volume II......Page 346