Analys i en variabel [3 ed.] 9789144067650 [PDF]

Zitiervorschau

515 Persson

Arne Persson Lars-Christer Böiers

-t

Analys i en variabel

t1 Studentlitteratur

00

Kopieringsförbud

Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller BONUS-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Denna trycksak är miljöanpassad, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 3134 ISBN 978-91-44-06765-0 Upplaga 3:2 © Författarna och Studentlitteratur 1990, 2001, 2010 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund

Omslagslayout: Henry Sivula Printed by Replika Press Pvt Ltd, India 2011

Förord Föreliggande bok behandlar grunderna i differential- och integralkalkyl för funktioner av en variabel. Den är en grundlig omarbetning av den tidigare utgåvan "Arne Persson, Analys i en variabel". Boken torde kunna användas som kurslitteratur vid de flesta av landets högskolor. Nödvändiga förkunskaper är gymnasiets matematikkurser på naturvetenskaplig · eller teknisk gren. Vi har haft följande målsättning vid skrivandet: • att i rimlig utsträckning presentera en fullständig och strikt teori byggd på de reella talens egenskaper. Vissa långa eller tekniska bevis har emellertid utelämnats eller ersatts med översiktliga resonemang. • att med talrika exempel klargöra teorins innebörd och visa hur man kan använda de erhållna resultaten vid problemlösning. • att knyta an teorin till naturvetenskapliga och tekniska tillämpningar. • att successivt vänja läsaren vid det stringenta och logiskt exakta sätt att resonera som är gängse i naturvetenskap och teknik. Boken är organiserad i fem delar, en inledande del om funktioner och gränsvärden, två huvuddelar om differential- respektive integralkalkyl, samt därefter ett kapitel vardera om differentialekvationer respektive Maclaurinutveckling. Dessutom finns ett appendix med introduktion av komplexa tal, diskussion av några logiska symboler och summatecknet samt bevisen av de grundläggande satserna om kontinuerliga funktioner. I kapitel 1 har vi försökt mjukstarta framställningen med en repetition och fördjupning av vissa grundläggande moment i gymnasiekursen. iii

iv Vid genomgången av de elementära funktionernas egenskaper har vi därvid funnit det lämpligt att även beröra vissa gränsvärdesrelationer. Vi har tillåtit oss att basera framställningen av dessa delar på ett intuitivt gränsvärdesbegrepp. Detta torde inte vålla läsaren några svårigheter, eftersom de flesta regler för gränsvärden är så naturliga att de närmast uppfattas som självklara. Med denna uppläggning vill vi successivt vänja den studerande vid att hantera gränsvärden och samtidigt öka motivationen för den senare mer stringenta framställningen, vilken presenteras i kapitel 2. Där fastlägges exakta definitioner och räknereglerna för gränsvärden preciseras och bevisas. Därmed uppnås även full exakthet i de i kapitel 1 förda resonemangen. Även i de senare kapitlen kommer läsaren att känna igen många begrepp från gymnasiekursen, till exempel derivata och integral. Men högskolans krav på stringent bevisföring och problemlösningsförmåga är så mycket högre ställda att de flesta förmodligen kommer att uppfatta materialet som i huvudsak nytt. Teorin för komplexa tal är i stort sett oberoende av det övriga materialet. På många studieorter ingår de komplexa talen som ett moment i andra kurser än envariabelanalysen, till exempel i algebra. För att öka friheten vid uppläggningen av undervisningen har vi därför placerat komplexa tal i ett separat appendix. Detta utnyttjas i full utsträckning i det övriga materialet först i samband med differentialekvationer. - Enligt författarnas erfarenhet är det emellertid i allmänhet bäst att ha den komplexa teorin avklarad innan man börjar på kapitel 5 om primitiva funktioner. I vissa sammanhang använder man där med fördel komplexa metoder. I texten förekommer många gånger uttryck i stil med "följer omedelbart", "en enkel kontroll", "inses lätt", etc. Läsaren rekommenderas att inte ta dessa uttryck alltför bokstavligt, åtminstone inte vid den första genomläsningen. Det finns åtminstone tre goda skäl till att författare skriver på detta sätt. För det första blir framställningen oöverskådlig och olidligt pedantisk om allting skall förklaras in i minsta detalj. För det andra tjänar uttrycken som en drivfjäder för läsaren att arbeta aktivt, vilket är mycket viktigt vid studiet av matematik. För det tredje, slutligen, utgör dessa uttryck en viss kontroll av inlärningen; de utelämnade

V

argumenten eller räkningarna bör vara "enkla", "lätta", etc., när man behärskar stoffet väl. Bokens referenssystem fungerar på följande sätt. Definitioner, satser, exempel och formler är numrerade i löpande följd inom varje kapitel. Vid hänvisning inom det aktuella kapitlet anges endast numret, möjligen tillsammans med en sidangivelse. Vid hänvisning till annat kapitel anges även dettas nummer, till exempel sats 3.2, som betyder sats 2 i kapitel 3. Problemlösning är en viktig del av matematiken. En övningssamling i två delar med svar och vissa lösta typuppgifter, anpassad till denna lärobok, har utarbetats vid matematiska institutionen i Lund. Den kan rekvireras från KF-SIGMA, Sölvegatan 22, 223 62 Lund. Man kan inte skriva en lärobok i matematik utan att ta intryck av andra författare på området samt använda mängder av råd och påpekanden från såväl kolleger som elever. Speciellt stor betydelse för författarnas syn på den grundläggande analysen har den numera klassiska läroboken av Hylten-Cavallius och Sandgren, Matematisk analys I, haft. Bland kollegerna vill vi speciellt tacka Jan Gustavsson och Lars Vretare som läst och kritiserat våra manuskript och som dessutom bidragit med att utveckla tekniken att rita figurer på dator.

Lund, Kristi Himmelsfärdsdag 1990 Författarna

Förord till andra upplagan

I den andra upplagan har vi tillfogat ett inledande kapitel, numrerat 0. Avsikten har varit att lyfta fram vissa grundläggande färdigheter i algebraisk räkning och ekvationslösning som man bör ha förvärvat innan man påbörjar högskolestudier i matematik. Kapitlet innehåller dessutom en kort presentation av matematisk teoribildning med diskussion av vanliga begrepp som definition, sats och bevis. I övrigt skiljer sig den andra upplagan från den första bara därigenom att vi finputsat framställningen här och var samt tillfogat ytterligare några exempel på tillämpningar av matematik inom andra ämnesområden. Tillkomsten av kapitel 0 har medfört några smärre förändringar i kapitel 1. Indelningen i kapitel och avsnitt är oförändrad i hela boken. Vi tackar alla kolleger vid avdelningen för matematik LTH som läst igenom och kommit med synpunkter på en preliminär version av kapitel 0.

Lund, midsommarafton 2001 Författarna

Förord till tredje upplagan

I den tredje upplagan har vi reviderat texten på många ställen. Syftet har varit att anpassa framställningen till studenter med förändrade förkunskaper. Resonemangen har förtydligats och på en del ställen gjorts utförligare. Ett antal nya exempel har tillkommit, främst i de tidiga kapitlen. Avsnittet om asymptoter har tonats ner. Kapitel 9 om Maclaurinutvecklingar har skrivits om helt. - Förutom i kapitel 9 har indelningen i avsnitt bibehållits. Vi har också tagit tillfället i akt att komplettera teorin i appendix C med Bolzano-Weierstrass' sats. Ingen revidering av en lärobok av detta slag kan ske utan påverkan från studenter och från lärare som använt boken i sin undervisning. Vi har fått många värdefulla synpunkter från våra kolleger vid Matematik LTH, och vi vill tacka dem alla för detta. För den som känner behov av att komplettera med litteratur som ger en överbryggning från gymnasieskolan vill vi rekommendera Diehl, Inledande geometri för högskolestudier , Studentlitteratur 2010. Denna bok ansluter väl till vår framställning. - Slutligen vill vi nämna att den övningssamling som utarbetats vid Matematik LTH i anslutning till föreliggande bok numera distribueras av Studentlitteratur.

Lund, pingstafton 2010 Författarna

Innehåll

I 0

1

2

GRUNDLÄGGANDE BEGREPP

1

Introduktion Olika talsystem Algebr;aisk räkning Ekvationer . Olikheter .... Räta linjer . . . . Matematisk teori

3

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

3 6 15 22 25 27

Funktioner 1.1 Intervall . . . . . 1.2 Funktioner . . . . 1.3 Absolutbeloppet 1.4 Polynom .. . . . 1.5 Rationella funktioner . 1.6 Potens- och exponentialfunktioner 1.7 Logaritmfunktioner . . . . . . . . . 1.8 Kompletteringar av funktionsbegreppet . 1.9 De trigonometriska funktionerna 1.10 Arcusfunktionerna . . ..... 1.11 De hyperboliska funktionerna 1.12 Rekursiva talföljder. Induktion

35

Gränsvärden 2.1 Definition och räkneregler 2.2 Kontinuerliga funktioner

35 36 43 47 67 70 78 86 98 119 124 126 135

135 . 148 ix

Innehåll

X

Talet e . . . . . . . . . . . . . Standardgränsvärden . . . . . Användningar av gränsvärden

155 160 162

DIFFERENTIALKALKYL

183

2.3 2.4 2.5

Il

3 Derivator 3.1 Introduktion till begreppet derivata . 3.2 Derivatans definition . . . . . . . . . 3.3 Derivationsregler . ·. . . . . . . . . . 3.4 De elementära funktionernas derivator 3.5 Egenskaper hos deriverbara funktioner 3.6 Derivator av högre ordning 3. 7 Komplexvärda funktioner 3.8 Differentialer . . . . . . .

185 185 . 187 . 193 . 202 . 209 . 218 . 221 . 223

4 Användningar av derivator 4.1 Kurvritning . . . . . 4.2 Lokala extremvärden 4.3 Optimering . . . . . 4.4 Olikheter . . . . . . 4.5 Numerisk lösning av ekvationer 4.6 Konvexa funktioner . . . . . . .

. . . . . .

5 Primitiva funktioner 5.1 Allmänna egenskaper hos primitiva funktioner . 5.2 Rationella funktioner . . . . . . . . 5.3 Funktioner innehållande rotuttryck 5.4 Trigonometriska funktioner . . . .

259 . 259 . 269 . 278 . 285

111

INTEGRALKALKYL

6 Integraler 6.1 Integralens definition . . . . . . . . . . 6.2 Integration av kontinuerliga funktioner 6.3 Räknelagar och uppskattningar 6.4 Beräkning av integraler

225 225 229 232 240 242 251

291 293 . 293 . 298 . 302 . 306

Innehåll

6.5

Xl

Generaliserade integraler .

7 Användningar av integraler 7.1 Areabestämningar 7.2 Massa . . . . . . . 7.3 Volymberäkningar 7.4 Längd av kurvor 7.5 Rotationsytor . . . 7.6 Plana kurvors krökning 7.7 Tröghetsmoment . .. 7.8 Masscentrum . . . . . . 7.9 Integraler och summor 7.10 Integraler i sannolikhetsläran 7.11 Numerisk beräkning av integraler

IV

321 . 321 . 325 . 327 . 331 . 339 . 341 . 343 . 346 . 350 . 355 . 358

DIFFERENTIALEKVATIONER

8 Differentialekvationer 8.1 Inledande exempel. Terminologi 8.2 Linjära ekvationer av första ordningen 8.3 Separabla differentialekvationer . . . . 8.4 Integralekvationer . . . . . . . . . . . . 8.5 Linjära ekvationer av andra ordningen 8.6 Lösning av den homogena ekvationen . 8.7 Partikulärlösning till y" + ay' +by= h(x) 8.8 Linjära ekvationer av godtycklig ordning 8.9 Ekvationer av speciella typer . . . . .. .

V

. 311

TAYLORS FORMEL

9 Maclaurins och Taylors formler 9.1 Inledning. Exempel på några approximativa formler . 9.2 Approximation med polynom 9.3 Maclaurins formel. Entydighet . 9.4 Standardutvecklingar . . . . 9.5 Bevis för Maclaurins formel . .

363 365 . 365 . 371

. . . . . . .

377 382 386 388 396 410 413

417 419 . 419 . 422 . 424 . 431 . 436

Innehåll

xii

9.6 9.7

Olika aspekter på resttermen . . . . . Andra användningar av Taylors formel

APPENDIX

. 439 . 449

455

A Komplexa tal A.1 Inledning om talsystem . A.2 Definition av komplexa tal . A.3 Räkneoperationer . . . . . . A.4 Konjugering och absolutbelopp A.5 Division . . . . . . . . . . . . A.6 Komplexa tal på polär form .. A. 7 Den komplexa exponentialfunktionen A.8 Andragradsekvationen . . . . A.9 Den binomiska ekvationen .. A.10 Allmänna polynomekvationer

457 . 457 . 459 . 460 . 465 . 470 . 472 . 479 . 480 . 483 . 485

B Matematiskt symbolspråk B.1 Mängder .. . . . . . . . B.2 Implikation och ekvivalens B.3 Summatecken . . . . .. .

491 . 491 . 493 . 497

C Teori för kontinuerliga funktioner

501

INDEX

513

1

Det grekiska alfabetet alfa beta gamma delta epsilon zeta eta theta

A B

(Y

/3

r r 5

L'.l E

E f.

z

(

H

"T]

e

0 {)

iota kappa lambda my ny xi omikron pi

I K A M N ~

0 II

I,

K,

A µ V

~ 0

1r 'w

rho sigma tau ypsilon fi chi psi omega

p E T y

X IJ/

n

(! p er c; T V

'P cp X 'ljJ w

Del I

.. GRUNDLAGGANDEBEGREPP

Kapitel 0

Introduktion I detta kapitel ska vi aktualisera några matematiska begrepp och metoder som det är av största vikt att läsaren behärskar för att med framgång kunna studera resten av boken. Det handlar till största delen om repetition av vissa moment i gymnasiekursen. Andra delar av denna, bland annat trigonometri och logaritmer, behandlas senare i kapitel 1. 1 - Det måste framhållas att för att uppnå full säkerhet i de moment som behandlas här räcker det inte att vid genomläsning känna igen stoffet och tycka sig förstå. Man måste öva, öva och åter öva. Vi inleder med en genomgång av förekommande talsystem.

0 .1

0 lika talsystem

Naturliga tal och hela tal Utgångspunkten för all räkning med tal är de så kallade naturliga talen2 N = { 0, 1, 2, 3, .. . }. 1 Den som önskar en utförligare repetition av gymnasiematematiken hänvisas till någon av de böcker som finns på området, till exempel • Albertsson- Johansson-Oscarsson- Tengstrand, Basfärdigheter i algebra. • Diehl, Inledande geometri för högskolestudier. • Dunkels- Klefsjö-Nilsson-Näslund, Mot bättre vetande i matematik. • Ekstig- Hellström-Sollervall, Matematik startbok. 2 Den läsare som är obekant med beteckningarna inom mängdläran kan konsultera appendix B.1.

3

-- - - - -

Kapitel 0. Introduktion

4

Med deras hjälp kan man ange antalet objekt i en given ändlig mängd samt lösa enkla aritmetiska problem i stil med: om en hög innehåller 7 stycken kulor, hur många kulor innehåller då 5 sådana högar? Lite abstraktare till sin karaktär är de hela talen Z

= { ... ,-3,-2,-1,

0, 1, 2, 3, ... }.

I gengäld kan man använda dessa även för att behandla problem som handlar om att "ha skuld" - att "stå på minus".

Rationella tal Om man bara förfogar över de hela talen råkar man snart i svårigheter när man till exempel vill beskriva resultatet av en delning. Det går utmärkt att dela 6 i 3 delar, men man kan inte med ett heltal ange vad som händer vid delning av 7 objekt i 3 (lika) delar. För sådana ändamål har man introducerat de rationella talen

Q

= { E; q

p, q E Z och q

# 0 }.

Dessa skrivs alltså som kvoter '!!. (ibland p/q) av heltal. Man kallar p för q

täljare och q för nämnare. Den senare får inte vara noll. Ett och samma rationella tal kan skrivas på flera olika sätt. Så är till exempel 2 3

4 6

-4 -6

14 21

Den enklaste formen av ett rationellt tal '!!. får man med kravet att p och

q q saknar gemensamma faktorer förutom ±1.

En viktig delmängd av de rationella talen är decimaltalen, dvs. sådana tal som kan uttryckas i form av heltal, tiondelar, hundradelar, etc. För decimaltalen använder man ett speciellt skrivsätt, till exempel3 2.346 som betyder 2

~

~

_ 6_

_ 2346 1000·

+ 10 + 100 + 1000 -

Det finns rationella tal som inte är decimaltal. Exempelvis är ~ ett sådant. ' 3 1 svenskaskolor användes normalt decimalkomma. Internationellt är decimalpunkt vanligt. Datorer arbetar i allmänhet med decimalpunkt.

- -

,I

0.1. Olika talsystem

5

Reella tal Man skulle lätt kunna tro att de rationella talen räcker för att beskriva de flesta naturligt förekommande strukturer. Detta är emellertid inte fallet. Så kan man till exempel inse att diagonalen i en kvadrat med sidan 1 har en längd som inte kan uttryckas med ett rationellt tal. Vi kommer att bevisa detta senare, i avsnitt 0.6, som exempel på en speciell bevismetod. (Exempel 23, sidan 34.) För att kunna hantera situationer av nämnda slag har man kompletterat de rationella talen till ett ännu större talsystem, kallat de reella talen, betecknat R. Förutom de rationella talen innehåller R irrationella tal, dvs. tal som inte kan skrivas som en kvot av heltal. En exakt beskrivning av ett irrationellt tal sker vanligen genom en symbol av något slag. Längden av diagonalen i enhetskvadraten anges - som läsaren naturligtvis känner till - med symbolen y12. Vårt uttalande ovan kan alltså formuleras så att v12 är ett irrationellt tal. Andra exempel på irrationella tal är 1r och e. Bevis för att dessa tal är irrationella är dock vida mer komplicerade än undersökningen av v12 i exempel 23. En symbolbeskrivning av ett reellt tal innehåller inte i sig själv någon upplysning om storleken av talet i fråga. Därför måste man ha tillgång till approximationer eller närmevärden av sådana tal för att praktiskt kunna använda dem. Sådana approximationer anges oftast som decimaltal, till exempel V2 ~ l.41421 eller 7r ~

3.14159265.

För vanliga ändamål räcker ofta grövre uppskattningar i stil med 1r ~ Som ett kuriosum kan vi nämna att man numera förfogar över närmevärden till 1r innehållande mer än 200 miljarder korrekta decimaler. I princip kan alla irrationella tal approximeras godtyckligt noggrant med rationella tal. Man talar också om dem som gränsvärden av rationella tal. Oftast antyder man detta genom att skriva ett sådant tal som ett icke avslutat decimaltal, till exempel 3.14.

e

= 2.718 ....

Detta betyder inte att man känner alla följande decimaler, bara att decimalutvecklingen fortsätter. - Genom division kan man skriva varje

Kapitel 0. Introduktion

6

rationellt tal som en (eventuellt oändlig) decimal utveckling, till exempel 7

22

= 0.3181818 ....

De rationella talen skiljer sig från de irrationella talen därigenom att de har ändliga eller periodiska decimalutvecklingar. För att få entydighet i framställningen av reella tal som oändliga decimalutvecklingar visar det sig lämpligt att förbjuda utvecklingar som slutar med idel nior. I stället för till exempel 2.46999 . . .

väljer man alltså framställningen 2.47000 ....

Decimalutvecklingar diskuteras vidare i avsnitt 2.5.4. De reella talen kan som bekant identifieras med punkterna på en rät linje, tallinjen:

-3

-2

- 1

0

:I v'2

2

4

e

7r

Man fixerar två punkter, ett origo, representerande talet 0, och en enhetspunkt som representerar talet 1. Sträckan mellan O och 1 används som enhet vid avståndsmätning på linjen. Om vi avsätter positiva tal till höger om O och negativa tal till vänster så har man på detta sätt fått en naturlig motsvarighet mellan de reella talen och punkterna på linjen. Även de reella talen visar sig vara otillräckliga för vissa ändamål. Av denna anledning har man introducerat de komplexa talen C. Dessa diskuteras i detalj i appendix A.

0.2

Algebraisk räkning

Matematik är till sin natur allmängiltig. Det första steget för att uppnå allmänna resultat är att lämna sifferräkning och övergå till räkning med

~

---

/,

0.2. Algebraisk räkning

7

symboler - vanligen bokstäver - som då står för icke preciserade tal (eller kanske andra storheter). Vi kallar detta algebraisk räkning. Vissa resultat som uppfattas som "självklara" vid sifferräkning formuleras nu som räkneregler. Exempel är4

(1)

ab

(2)

a(c + d)

(3)

a - (c + d)

ba, ac+ ad,

a- c-d.

Regeln (3) betyder i ord att när man tar bort ett parentespar måste man ändra tecken på varje term om parentesparet föregås av ett minustecken.

Kvadrerings- och konjugatreglerna Som en konsekvens av (1) och (2) har vi till exempel att

(4)

(a

+ b)(c + d) =

(a

+ b)c + (a + b)d = ac +be+ ad+ bd.

En geometrisk tolkning av denna formel då a, b, c, d är positiva tal får man genom att begrunda rektangelareorna i vidstående figur. Om speciellt c = a och d = b i (4) ser vi att vi får

(5)

(a

d C

a

b

+ b) 2 = a 2 + 2ab + b2 ,

som vi känner igen som den första kvadreringsregeln . Om vi i denna byter b mot - b får vi den andra kvadreringsregeln

(6)

(a - b) 2

= a 2 - 2ab + b2 .

Ofta refererar man till både (5) och (6) med enbart namnet kvadreringsregeln. 4

Observera att multiplikationstecknet · oftast utelämnas; man skriver ab i stället för a · b. Notera också de gängse prioriteringsreglerna: multiplikation och division utföres före addition och subtraktion. Parenteser används för att upphäva sådana prioriteringar, och behövs ofta för att precisera ett uttryck. Så är till exempel ab + c något helt annat än a(b + c).

- -

-

----~---

Kapitel 0. Introduktion

8

En tredje välkänd formel , den så kallade konjugatregeln, erhålles genom att i (4) ersätta c med a och d med -b. Alternativt kan man göra om hela räkningen från början:

(a + b)(a - b) = (a + b)a - (a + b)b = a2 Alltså är (7)

(a + b)(a - b)

= a2

+ ba -

ab - b2 = a2

-

b2 .

b2 .

Multiplikationer av formen (a+b)2, (a-b) 2 och (a+b)(a-b) förekommer ofta. För att kunna utföra snabba och säkra algebraiska räkningar måste man därför behärska kvadreringsreglerna och konjugatregeln. Det är också viktigt att kunna använda dem baklänges, vilket innebär en faktorisering (se följande avsnitt). Exempel 1. Beräkna produkten

(2x 2 + 5y3 )(2x2

-

5y3 ).

Lösning: Vi kan här använda konjugatregeln med a Därmed får vi

= 2x2 och b = 5y3 .

D Exempel 2. Multiplicera ihop de tre parenteserna i (a + b) 3 . Lösning: Det finns naturligtvis en motsvarighet till regel (2) ovan där parentesen innehåller fler än två termer. Regeln säger då att varje term i parentesen skall multipliceras med talet framför. Användning av kvadreringsregeln samt denna allmännare regel ger att 5

(a + b) 3 = (a =

(a

+ b)(a + b) 2 =

(a + b)(a2 + 2ab + b2 ) =

+ b)a2 + (a + b) 2ab + (a + b)b2 =

= a3 + ba2 + 2a2 b + 2ab2 + ab2 + b3 = = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 . 5 Det är god studieteknik att läsaren har papper och penna framme och själv genomför räkningar av detta slag.

0.2. Algebraisk räkning

9

Slutsatsen blir alltså att (a

+ b) 3 = a 3 + 3a2 b + 3ab2 + b3,

ett resultat som kallas kubregeln. I kapitel 1 skall vi formulera regler för uträkning av alla positiva D heltalspotenser av formen (a + bt. Se sats 1.6, sidan 63.

Faktorisering Genom att upprepade gånger applicera ett eller flera av de fyra räknesätten på ett antal symboler (variabler) a, b, ... får man ett algebraiskt uttryck. Algebraiska beräkningar går ofta ut på att skriva om algebraiska uttryck med målet att förenkla dem. Vad som är en förenkling är inte . alltid helt givet, utan får avgöras av den tillämpning som är för handen. Vi kommer att se olika exempel på förenklingar i det följande. Att multiplicera ihop parenteser som i kvadrerings- och konjugatreglerna ovan kan vara ett sätt att förenkla uttryck. Som det skall visa sig i fortsättningen av denna bok är det ofta minst lika viktigt att, om möjligt, kunna skriva om en summa av flera termer som en produkt av parenteser, dvs. att faktorisera uttrycket. Läser vi kvadrerings- och konjugatreglerna från höger till vänster har vi enkla exempel på faktoriseringar. Ett annat exempel är formel (2), som om den läses från höger till vänster innebär att man bryter ut faktorn a. I mer komplicerade fall kan det handla om att kunna identifiera gemensamma faktorer i ett antal termer, och att bland dessa känna igen högerleden i nämnda regler. Exempel 3. Faktorisera uttrycket a3

-

2a2 b + ab2

-

a + b.

Lösning: De tre första termerna innehåller den gemensamma faktorn a, som därför kan brytas ut ur dessa termer. Gör vi detta känner vi igen (den andra) kvadreringsregeln, och får a3

-

2a2 b + ab2

-

a + b = a(a 2 = a(a -

-

2ab + b2 )

b) 2

-

a

-

+b=

a+b= a(a - b) 2

-

-

(a - b).

-----

- ~-

Kapitel 0. Introduktion

10

Den sista omskrivningen är viktig. Med hjälp av den framgår att vi nu kan bryta ut faktorn a - b. Gör vi detta erhålles a3

-

2a2 b + ab2

a

-

+b= =

( a - b) ( a( a - b) -

(a - b)(a2

-

1) =

ab - 1).

Det givna uttrycket har därigenom skrivits som en produkt, och problemet är löst. D Exempel 4 . Faktorisera 2a2

-

b2

+ ab.

Vi låter räkningarna tala för sig själva:

Lösning:

2a2

-

b2

+ ab = a 2 -

b2

+ a 2 + ab =

(a

+ b)(a -

b)

+ a(a + b) =

= (a + b) (a - b + a) = (a + b) (2a - b). D

Uppgiften är löst.

Räkning med bråk Division av algebraiska uttryck skriver man oftast som ett bråk, exempelvis6 a+b c-d· Observera noga att bråkstrecket innebär två ,s tycken osynliga parenteser, en kring täljaren och en kring nämnaren. Om man av någon anledning vill skriva ovanstående bråk på en rad måste det alltså bli

(a + b)/(c - d). Jämför gärna med en miniräknare som kan hantera algebraiska uttryck. Bråkstreckets parentesfunktion är viktig att observera när man slår samman två eller flera bråk med identiska nämnare, till exempel X

y x+y

X -

-- ---

x+y

6 Observera

X -

(x - y) x +y

y

x +y

att man i dessa bråk alltid måste förutsätta att nämnaren är skild från

noll.

I

'-

I

-

/

0.2. Algebraisk räkning

11

Faktorer som uppträder i både täljare och nämnare i ett bråk kan man förkorta bort, till exempel

18 42 och

6 ·3 6·7

3 7

-

ab + ac a(b + c) a ------a b+c - b+c - 1 - ·

Observera att ett bråk som

2c+ 1 C

inte kan förkortas; c är ju inte en faktor i täljaren. Den omvända proceduren, alltså att multiplicera täljare och nämnare med samma uttryck, kallas förlängning. För att direkt kunna utföra en addition av två eller flera bråk måste de ingående bråken ha samma · nämnare. Skulle så inte vara fallet från början kan det alltid åstadkommas med lämpliga förlängningar av de ingående bråken. Man kallar detta att skriva bråken på gemensamt bråkstreck. Det finns alltid många gemensamma nämnare att välja bland. Räkningarna blir dock enklast att genomföra om man utnyttjar den minsta gemensamma nämnaren. Vi illustrerar förfarandet med ett par exempel, och väljer först ett med siffertal. · .. 3 1 1 Exempel 5. Berakna 4 + 6 + 9.

Lösning: En gemensam nämnare är tydligen 4 · 6 · 9 emellertid onödigt stor. Om vi observerar att 4

=

2 · 2,

6

= 2 · 3,

9

= 216. Denna är

= 3. 3

så ser vi att den minsta gemensamma nämnaren är 2·2·3·3

= 36.

Räkningarna blir som följer:

D

Kapitel 0. Introduktion

12

Exempel 6 . Förenkla

__x__

+

(x-y)2 Lösning:

Eftersom x 2

2xy (x - y) 2 (x

y x2-y2

-

y2

= (x + y)(x -

(x - y) 2 (x

+ y) ·

y) är

+ y)

den minsta gemensamma nämnaren. De två första bråken förlängs därför med x+y respektive x-y och vi får X y 2xy -+- - ------=---= ( X - y) 2 x2 - y2 ( X - y) 2 ( X + y)

x(x+y) (x - y)2(x + y)

x2

+

y(x-y) (x - y) 2 (x + y)

+ xy + yx -

y2 - 2xy (x - y) 2 (x + y)

(x-y)(x+y) (x-y) 2 (x+y)

2xy (x - y) 2 (x

+ y)

x2 -y2

(x - y) 2 (x

+ y)

1 x-y

D x2 -y2

Anmärkning. Även delresultatet (

x-y

)2 (

x +y

)

kan kanske uppfattas

som ett korrekt svar, men vi har utfört den sista förkortningen eftersom slutresultatet därigenom blir enklare och mer överskådligt. Detta gäller som allmän regel: svar på en uppgift bör ges i så enkel form som möjligt. Den ena av faktorerna i konjugatregeln (7) kallas den andra faktorns konjugatkvantitet. Som vi skall se längre fram i denna lärobok använder man i flera olika sammanhang vid omskrivning av uttryck en metod som brukar kallas förlängning med konjugatkvantiteten. Vi demonstrerar denna med ett sifferexempel. Exempel 7. Antag att vi vill skriva om bråket

3-v'3 2 + v'3

-

------

/

0.2. Algebraisk räkning

13

så att det inte förekommer något rottecken i nämnaren. Detta kan ske genom förlängning av bråket med nämnarens konjugatkvantitet 2- v'3. Ty vi får då att

3-v'3 2+ v'3

(3 - v'3)(2 - v'3) (2 + v'3) (2 - v'3)

6 - 2v'3 - 3v'3 + 3 22 _ (v'3)2

= 9 - 5v'3 = 9 - 5\/'3. 4-3

D

Dubbelbråk Bråk där täljare och nämnare själva är bråk uppstår ibland till exempel vid derivation. Sådana dubbelbråk måste alltid förenklas. Några enkla omskrivningar är a b

1 T=a,

--zd

a

ad

-

be

Vid förenkling av mer komplicerade dubbelbråk är det ibland lämpligt att använda förlängning. Vi ser på ett exempel. Exempel 8. Förenkla a (a+b) 2

l a-b

-----3a + b a2 - b2

Lösning: Metoden består i att förlänga det stora bråket på ett sådant sätt att alla delbråkens nämnare kan förkortas bort när man multiplicerar in i (den stora) täljaren respektive nämnaren. Den bekvämaste förlängningen sker alltså med delbråkens minsta gemensamma nämnare. Delbråken här har nämnarna (a + b) 2 , a - b respektive a 2 - b2 . Eftersom a 2 - b2 = (a + b)(a - b) bör vi alltså i det aktuella fallet förlänga med

(a + b) 2 (a - b).

Kapitel 0. Introduktion

14

Räkningarna blir: a 1 (a+b) a-b 3a+b

- - -2 - - -

(a+b)2(a-b) (

(a:

~

2

(a+b) (a-b)

a2 - b2

b) 2

~)

3a + b

=

a2 - b2

(a - b)a - (a + b) 2 (a + b)(3a + b) -3ab- b2 (a + b)(3a + b)

-

a2

-

ba - (a2 + 2ab + b2 ) (a + b)(3a + b)

(3a + b)b (a + b) (3a + b)

b - a + b· D

Anmärkning. Observera gärna hur vi under räkningens gång bibehållit faktoriseringen (a + b)(3a + b) i nämnaren. Det vore bara dumt att utföra multiplikationen av dessa två parenteser. En eventuell framtida förenkling av det framräknade bråket kan nämligen bara bestå i en förkortning, och för att kunna utföra en sådan måste ju såväl täljare som nämnare vara skrivna som en produkt av faktorer.

Kvadratrötter I exempel 7 ovan förekom kvadratroten av ett tal. Vi erinrar om definitionen: för ett tal a 2: 0 betyder satisfierar x 2 = a.

va det icke-negativa tal

X

som

Kvadratroten av ett negativt tal är inte definierad. Några direkta konsekvenser av definitionen är räknelagarna

va·va =a,

vaa =va,

Vidare är om a 2: 0, b 2: 0,

-

--

/

15

0.2. Algebraisk räkning

Någon räknelag för en enkel omskrivning av ,Ja + b finns inte! Vi upprepar igen: kvadratroten är alltid ett positivt tal eller 0. Till exempel är

v(-2)2 = För negativa x är

0.3

01 =

2.

H I- x.

Ekvationer

Ekvationer har formen

uttryck = annat uttryck, där det ena eller eventuellt båda uttrycken innehåller en eller flera obekanta storheter. Vanliga beteckningar på obekanta storheter är x , y och . z, men i princip duger vilken som helst bokstav för att ange en obekant. Två ekvationer kallas ekvivalenta om de har samma lösningar (eller rötter, som man ibland säger). Att två ekvationer är ekvivalenta kan anges genom att man sätter en ekvivalenspil ( {=:::? ) mellan dem. 7 Exempelvis är

(8)

4x 2 + 6x = 12x + 8

2x 2 + 3x

= 6x + 4.

Observera att {=:::? kan användas mellan ekvationer men inte mellan uttryck. För sådana användes likhetstecken, när de är lika. För att tillgodogöra sig innehållet i denna lärobok behöver man behärska lösandet av några vanliga typer av ekvationer med en obekant. En sådan ekvation kan ha en eller flera lösningar, eller eventuellt ingen _ lösning alls. Den generella lösningsmetoden består i att i ett eller flera steg göra om den ursprungliga ekvationen till en ny ekvivalent ekvation, där vänsterledet bara består av den obekanta storheten och högerledet är ett tal. De två i särklass vanligaste metoderna att skriva om en ekvation till en ekvivalent sådan är att addera samma tal till båda leden respektive att multiplicera båda leden med samma tal I- 0. Se (8) ovan, där vi multiplicerat den första ekvationen med ½. Dessa enkla manipulationer räcker för att lösa alla förstagradsekvationer. 7 Ekvivalenspilar används i matematisk text mer allmänt för att ange ekvivalens mellan olika utsagor. Detta diskuteras i appendix B.2, som också behandlar de närbesläktade implikationspilarna ( => och ~).

Kapitel 0. Introduktion

16

Exempel 9. För att lösa ekvationen 4x

+3=

2x + 7

startar vi till exempel med att subtrahera 3 från båda leden (med andra ord, addera -3 till båda leden). Vi får då den ekvivalenta ekvationen 4x

= 2x + 4.

Därnäst subtraherar vi båda leden med 2x och får 2x = 4. Slutligen dividerar vi båda leden med 2 (eller multiplicerar med resultatet blir att ekvationen har lösningen x = 2.

½). SlutD

Andragradsekvationer En allmän andragradsekvation har formen ax2

+ f]x + 1 = 0

(där x är obekant), med koefficienten a skild från noll. Efter division med a får ekvationen den ekvivalenta formen

x2

(9)

+ px + q = 0

(där p = /3 / a och q 1 / a). Vi betraktar i fortsättningen (9) som prototyp för en allmän andragradsekvation. I det speciella fall då p = 0 i (9) så löser man ekvationen direkt genom att addera - q, varvid man får x2

= -q.

Nu händer olika saker beroende på högerledets tecken. Är högerledet negativt, till exempel x 2 = -3, så saknar ekvationen lösning bland de reella talen8 , ty kvadraten på varje reellt tal är större än eller lika med noll. Om däremot högerledet är större än 0, till exempel x 2 = 3, har vi två lösningar, i vårt fall y3 och - y3. Om slutligen högerledE)t är lika med O så blir x = 0 den enda lösningen. 8 Vi

betraktar i detta kapitel bara reella lösningar till ekvationerna.

0.3. Ekvationer

17

Den allmänna andragradsekvationen (9) kan genom omskrivning återföras på ovanstående specialfall. Metoden kallas kvadratkomplettering och går ut på att man skriver om uttrycket x 2 + px genom att samtidigt addera och subtrahera (för att inte förändra dess värde!) termen (~) 2 . Med hänvisning till kvadreringsregeln ser vi då att

( lQ)

X2

+ px = X2 + px + ( ~

r-(~r

= (X + ~

r -rnr.

Uttrycket x 2 + px, som består av en kvadrat och en x-term, har härigenom "kompletterats" till en kvadrat och en term som inte innehåller x. Detta ger oss direkt möjlighet att lösa den allmänna ekvationen (9). Vi illustrerar med ett sifferexempel. Exempel 10. Lös ekvationen

x2

-

5x - 6

= 0.

Lösning: Enligt ovan kvadratkompletteras x 2 - 5x med hjälp av "halva koefficienten för x i kvadrat", dvs. i detta fall (-~) 2 = 2 Vi får

t

x2 -

5x

+ 25

- 25 - 6

4

4

25 4

25 4

=0

'

som är ekvivalent med 2 X

-

5x + - = -

+6 =

49 4

- .

Kvadreringsregeln ger

Här ges två möjligheter:

Eftersom

~= ; x

ser vi att 5 2

7 2

5 2

7 2

= - + - = 6 eller x = - - - =

Resultatet blir alltså två lösningar, x

= 6 och x =

-1.

-1.

D

Kapitel 0. Introduktion

18

Anmärkning. Observera att man som vid all ekvationslösning bör kontrollera räkningarna genom att sätta in de erhållna lösningarna i den givna ekvationen. Om vi återgår till den allmänna ekvationen (9) och utnyttjar kvadratkompletteringen (10) så får vi som i exemplet

(X+ ~)2 = (~)2 - q. Härur får man den allmänna lösningsformeln för en andragradsekvation (11)

X=-~±

J(~)2 -

q,

som är giltig under förutsättning att uttrycket under rotmärket är större än eller lika med noll; om detta uttryck är negativt saknar ekvationen reella lösningar.

Ekvationer av högre grad I samband med formel (11) är det naturligt att fråga sig om det även går att lösa polynomekvationer som innehåller potenser av x överstigande 2. Svaret är att det för ekvationer av grad 3 och 4 finns allmänna lösningsformler, men inte för ekvationer av högre grad än så. De formler som finns är dock betydligt mer komplicerade än (11), och i praktiken använder man oftast numeriska metoder för att skaffa sig närmevärden till lösningarna. Vi vill också påpeka att för all djupare behandling av ekvationer av högre grad krävs ingående kunskaper om komplexa tal . Se appendix A. Det ovan sagda hindrar emellertid inte att man i undantagsfall kan lyckas lösa en ekvation av högre grad. En inte så sällan förekommande situation är att man har en nolla i högerledet och att man på något sätt har lyckats faktorisera vänsterledet. Exempel 11 . Lös ekvationen

x3

+ 3x2 + 2x = 0.

Lösning: Vi kan bryta ut en faktor x i vänsterledet och skriva ekvationen som x(x 2 + 3x + 2) = 0.

-

~ -

/

0.3. Ekvationer

19

Detta ger oss två möjligheter, dels

x=O och dels

x 2 + 3x + 2 = 0. Den sista andragradsekvationen har i sin tur lösningarna x = - l och x = -2. (Använd metoden med kvadratkomplettering ovan eller lösningsformeln (11).) Den givna ekvationen har alltså de tre rötterna 0, -1 och -2. D

Blandade exempel på ekvationslösning Observera noga skillnaden mellan uttryck och ekvation. Ett uttryck har ett värde, om variablerna ersätts med tal, och man får bara göra omskrivningar som inte förändrar sådana värden. Ekvationer kan man handskas lite friare med. L_ikhetstecknet fungerar som ett slags balansvåg, och man kan tillåta sig att utföra alla slags operationer som bibehåller balansen och ger upphov till en ekvivalent ekvation. Vi sammanfattar de vanligaste operationerna man använder för att omforma en ekvation till en ekvivalent sådan: 1. omskrivning av uttryck som ingår i ekvationen;

2. addition (eller subtraktion) av ett och samma tal i båda leden; 3. multiplikation (eller division) av båda leden med ett och samma tal i= 0. För att lösa vissa ekvationer kan man ibland bli tvungen att utföra en operation som inte säkert leder till en ny ekvivalent ekvation. Man måste då vara uppmärksam på att detta kan leda till att lösningar tappas bort eller att falska lösningar förs in. Vi börjar med ett exempel där det förekommer en nämnare i ekvationen. En nämnare får som bekant aldrig vara lika med noll. Exempel 12. Lös ekvationen

3x - 1 --=1. x+ l

Kapitel 0. Introduktion

20

Lösning: Som synes är nämnaren noll då x = -1. Detta tal ka" därför aldrig vara en lösning till ekvationen. Vi kan alltså i det fortsatta arbetet anta att x # -1. Därmed möter det inget hinder att multiplicera ekvationen med faktorn x + 1. Vi får då

3X -1 =X+ 1 och därefter i tur och ordning de ekvivalenta ekvationerna 2x - 1 = 1

2x

=2

X= 1.

Svaret blir alltså att ekvationen har lösningen x

=

1.

D

Anmärkning. Uteslutningen av fallet x = -1 i exemplet är viktig att göra, annars kan man råka illa ut. Om man utan att tänka sig ·för på samma sätt försöker lösa ekvationen 2x+2 x+l

- -- =l

(12) får man

2x + 2 =X+ 1, och denna förstagradsekvation har lösningen x = -1. Men det är ju alldeles klart att x = -1 inte satisfierar (12), eftersom vänsterledets nämnare blir O för x = -1. Det korrekta resultatet här är alltså att (12) saknar lösning. Vi ska nu se ett exempel på en så kallad rotekvation, där den obekanta storheten förekommer under ett rottecken. Exempel 13. Lös ekvationen

(13)

Jx+l+x=5 .

Lösning: Ett naturligt sätt att angripa problemet är att först skriva ekvationen som vx+l = 5- X och därefter kvadrera båda leden så att rottecknet försvinner: ' x

+ 1 = 25 -

lOx

+ x2 •

21

0.3. Ekvationer

Nu finns det emellertid anledning till en stunds eftertanke. Eftersom en kvadrering ger samma resultat oberoende av tecknet framför den kvadrerade termen så ser vi att ekvationen (13')

-vx+l =5-x

också leder fram till (14). Ekvationerna (13) och (14) är alltså inte säkert ekvivalenta. Förutom lösningarna till (13) innehåller (14) också alla eventuella lösningar till (13'). Hur ska vi då hantera den uppkomna situationen? Jo, vi löser helt enkelt andragradsekvationen (14), och testar sedan vilka av de erhållna lösningarna som faktiskt satisfierar (13). Ekvation (14) är ekvivalent med

x2

-

llx

+ 24 = 0.

Medelst kvadratkomplettering, eller lösningsformeln (11), finner man att denna andragradsekvation har lösningarna x = 8 och x = 3 (utför själv detta!). Vid instoppning i (13) finner vi att den första roten inte satisfierar ekvationen medan den andra gör det. Lösningen x = 8 är alltså falsk, och kommer i själva verket från ekvation (13'). D Svaret är därför att (13) har precis en lösning, nämligen x = 3. Vi avslutar med ett exempel på en ekvation som inte är en renodlad polynomekvation. Här kommer faktoriseringsmetoden från exempel 11 åter till heders. Exempel 14. Lös ekvationen xex - ex -

X

+ 1 = 0.

Lösning: Vi gör ett litet försök till lösning genom att bryta ut ex ur de två första termerna; då får vi (x - l)ex - x

+ 1 = 0.

Nu kan vi ana faktorn x-1 i vänsterledet. Omskrivning till

(x - 1) ex - (X

-

1)

=0

bekräftar detta och vi bryter då genast ut denna faktor. Observera att ett sådant sökande efter faktorer bara är meningsfullt när högerledet är 0. Vi får (x - l)(ex - 1) = 0.

Kapitel 0. Introduktion

22

Därmed har vi fått en uppdelning i två delekvationer:

x-l=O

och

ex -

= 0,

l

som vi löser var för sig. De har de respektive lösningarna x = l och x = 0. Den ursprungliga ekvationen har alltså precis dessa två lösningar. D

0.4

Olikheter

Vi ska här kort diskutera hur man löser olikheter i vilka det uppträder en obekant. I huvudsak kan sådana behandlas med samma slags operationer som ekvationer. Det finns emellertid en viktig skillnad att lägga märke till. Om man multiplicerar eller dividerar en olikhet med ett negativt tal så vänds olikhetstecknet. För att ta ett exempel: att x > 3, dvs. att x ligger till höger om 3 på tallinjen, är ju detsamma som att -x ligger till vänster om -3, dvs. att -x < -3. Detta förhållande måste man noga beakta vid läsandet av olikheter, speciellt när man multiplicerar med ett obekant tal. -x

- 3

3

X

Exempel 15. Vi löser olikheten 2x + 1 :::; 4x

+5

genom att som vid motsvarande ekvationslösning addera lämpliga storheter till båda leden, i det här fallet först -5 och sedan -2x. Vi får då den ekvivalenta olikheten - 4:::; 2x. Multiplikation med det positiva talet

½ger

-2:::; X. I ord: lösningarna utgörs av alla tal större än eller lika med -2.

D

23

0.4. Olikheter

Exempel 16. Lös olikheten

x2 + 1 --= \la?- =a. 2 - ' En alternativ formulering av sats 2 är därför: Om a och b är icke-negativa reella tal så är (19')

a+b 17 vao < --

2

med likhet i ett enda fall, nämligen när b = a.

D

Observera hur samma mönster upprepas i de båda exemplen: nya matematiska objekt introduceras via en eller flera definitioner, i en sats hävdas att under bestämda förutsättningar har dessa objekt en viss egenskap, och slutligen presenteras ett bevis för påståendet i satsen. Vi kommer nu att genomföra ett matematiskt resonemang i den löpande texten, utan några rubriker, och utmanar läsaren att själv tänka igenom och precisera vad som är definitioner, sats respektive bevis i denna text. I många matematiska sammanhang ställs man inför problemet att räkna ut en summa

(20) av n stycken tal (där n eventuellt är okänt). Under speciella omständigheter finns det enkla formler som underlättar beräkningen. En sådan situation har vi när differensen mellan två på varandra följande termer har ett konstant värde, säg d. En sådan summa kallas aritmetisk. För en aritmetisk summa är således a4 = a3 +d = a1 +3d,

ända fram till att

an= a1 + (n-l)d.

'

etc.

Ett typiskt exempel är summan

1+2+3+ ... +n

0.6. Matematisk teori

33

av de n första positiva hela talen. Här är differensen mellan två på varandra följande termer överallt lika med 1. Om man adderar termerna i (20) i omvänd ordning får man naturligtvis samma resultat s. Alltså är

I fallet av en aritmetisk summa är här summan av två termer som står uppställda rakt under varandra på plats k lika med [a1

+ (k-l)d] + [an -

(k-l)d] = a1

+ an,

oberoende av k. Eftersom det finns n stycken sådana par av termer blir

varav

(21) I ord betyder detta att en aritmetisk summa kan beräknas som antalet termer gånger det aritmetiska medelvärdet av den första och den sista termen. Exempelvis är 1 + 2 + ... + 100

= 100 1 \

100 = 50 · 101 = 5050.

Vi upprepar den inledande frågan igen: vilka definitioner gömmer sig i ovanstående framställning, vilken sats finns där och hur ser beviset för denna sats ut? Påståendet i en sats handlar inte alltid om en likhet eller relation. Ibland uttalar satsen att ett visst matematiskt objekt har en bestämd egenskap. Det kan då hända att beviset är av det slag som man kallar indirekt eller ett motsägelsebevis. Man visar därvid att om objektet inte har den angivna egenskapen så blir konsekvensen en motsägelse. Av detta drar man slutsatsen att egenskapen i fråga faktiskt måste föreligga. Vi avslntar detta avsnitt med att visa upp ett sådant exempel.

Kapitel 0. Introduktion

34

Exempel 23. Vi ska diskutera en klassisk problemställning, som bekymrade grekiska matematiker redan på 400-talet f.Kr. Frågan kan med modern terminologi ställas så här: om x är mätetalet för diagonalen i en kvadrat med sidan 1, är då x ett rationellt tal? Enligt Pytagoras' sats gäller att X

=

J 12 + 12 = V2.

[Z}

Frågan är därför huruvida v'2 är ett rationellt tal eller inte. Svaret ges av följande sats. SATS 3.

BEVIS.

(22)

1

v'2 är irrationellt. Antag att v'2 vore ett rationellt tal. V2= E, q Talet

Det skulle då ha formen

där p och q är hela tal och q -/- 0. Vi kan dessutom förutsätta att bråket p/q är förkortat så långt det går, dvs. att p och q saknar gemensamma faktorer förutom ±1. Genom kvadrering av (22) erhålles p2

2= 2' q eller omskrivet (23)

p2 = 2q2.

Detta visar att p 2 är ett jämnt tal. Eftersom kvadraten på ett udda tal alltid är udda måste därför även p vara ett jämnt tal. Det har alltså formen p = 2n med något heltal n. Sätter vi in detta i (23) får vi att 4n 2 = 2q 2 , dvs. att q2

= 2n2.

Men här avläser vi som ovan att q2 och därmed q är jämnt. Då nu både p och q är jämna har de den gemensamma faktorn 2. Detta strider mot vårt antagande att p/q är fullständigt förkortat. Vi har fått e,n motsägelse. Alltså kan v'2 inte vara ett rationellt tal; med andra ord är y'2 irrationellt. D

Kapitel 1

Funktioner Denna bok handlar om funktioner från R till R . Sådana är inte alltid definierade på hela R. Vi börjar i detta kapitel med att införa beteckningar för de vanligaste delmängderna av R , intervallen. Därefter diskuterar vi funktionsbegrerpet. Huvuddelen av kapitlet ägnas sedan åt introduktion av ett antal enkla men ständigt återkommande typer av funktioner, med gemensamt namn kallade de elementära funktionerna. Avslutningsvis behandlas s.k. rekursiva talföljder.

1.1

Intervall

Den del av tallinjen som svarar mot alla reella tal mellan två uppgivna tal kallar man ett intervall. Allteftersom båda ändpunkterna, ingen av ändpunkterna eller precis en ändpunkt skall räknas med talar man om ett slutet, öppet respektive halvöppet intervall. Beteckningarna för intervall är inte standardiserade. I denna bok kommer vi att skriva på följande sätt: [a, bJ : alla reella tal x med a :S x :S b.

Ja, b[: alla reella tal x med a < x < b. Ja, bJ : alla reella tal x med a < x :S b. [a, b[: alla reella tal x med a :S x < b. Intervall av detta slag kallas ändliga. Vi har också oändliga intervall med bara en ändpunkt:

35

Kapitel 1. Funktioner

36

[a, oo[: alla reella tal x med x 2: a. ]a, oo[: alla reella tal x med x > a. ] - oo, b] : alla reella tal x med x ::; b. ] - oo, b[: alla reella tal x med x < b. Slutligen har vi R =] - oo, oo[. Observera: oo ovan är en symbol som inte representerar något reellt tal. Inget intervall innehåller något "oändligt" element.

1.2 1.2.1

Funktioner Funktionsbegreppet

Historiskt har man uppfattat en funktion som ett uttryck av något slag, i vilket det ingår en eller flera variabler, i allmänhet betecknade med olika bokstäver. Ett typiskt exempel är uttrycket

(1) som beror av variabeln x; för olika värden på x erhåller man olika värden på (x+1) 3 . På liknande sätt är

(a + b) 4 en funktion av variablerna a och b. I uttrycket

kan vi uppfatta a, b och n som variabler. Denna uppfattning av funktionsbegreppet har visat sig vara alltför snäv. Den definition av funktion som man numera använder är generell i meningen att den kan appliceras på andra objekt än tal. En funktion är en regel eller en process som på ett välbestämt och entydigt sätt gör om (transformerar) vissa angivna objekt till nya objekt. A ~

F

F(A) ~

1.2. Funktioner

37

DEFINITION 1. En funktion från en mängd M till en mängd N är en regel som till varje objekt i M på ett entydigt sätt ordnar ett objekt i N.

Verkan av funktionen F på ett objekt A i M betecknas F(A) och kallas värdet av F i A eller bilden av A under F. Det är ett objekt i mängden N. - Mängden av alla objekt i M på vilka funktionen F tillåts verka kallas definitionsmängden 1 för F och skrives DF. Mängden av alla förekommande funktionsvärden i N kallas värdemängden och betecknas VF. En funktions verkan kan ofta anges med hjälp av en formel, som i (1) ovan, men även andra beskrivningar är möjliga.

Exempel 1. Låt för varje triangel T i planet F(T) betyda den i T inskrivna cirkeln. På detta sätt definieras en funktion som transformerar trianglar till cirklar.

F(T)

>c7~T D I denna bok ska vi huvudsakligen studera funktioner som transformerar reella tal till nya reella tal. Ett typiskt exempel på en sådan funktion f får man av uttrycket (1) genom att sätta

f(x) = (x + 1)3 för alla x i R. Denna funktion f utför operationen "lägg till 1 och upphöj därefter till 3". Vi observerar speciellt att bokstaven x inte har något som helst samband med själva funktionen utan bara är ett hjälpmedel för att beskriva dess verkan på ett givet tal. Man kan lika gärna definiera funktionen med hjälp av en annan bokstav, till exempel

f(a) = (a

+ 1)3 ,

aER.

man uppfattar definition 1 strikt är definitionsmängden hela mängden M. Detta är viktigt i många grenar av matematiken, men i analys är det b ekvämt att tillåta att definitionsmängden bara är en delmängd av M . 1 Om

38

Kapitel 1. Funktioner

Alternativa sätt att beskriva samma funktion är

f:

X

f-------+

(x

+ 1)3,

xER,

och !()=(()+1)3,

D1=R.

Den sista beteckningen är logiskt sett mycket tillfredsställande därigenom att den inte använder någon speciell beteckning på variabeln. Parentesen ( ) fungerar som inmatningsställe för de tal på vilka funktionen f ska verka, och denna verkan är exakt beskriven av högerledet. Å andra sidan är det ett typografiskt ganska otympligt sätt att ange funktionen. I praktiken återvänder man därför oftast till uttrycket (1) och talar lite slarvigt om "funktionen (x + 1) 3 ", varvid man även underförstår att definitionsmängden ska vara den som är naturlig i sammanhanget, alltså hela R i detta fall.

Exempel 2. "Funktionen Jx=°2" har en naturlig definitionsmängd bestående av alla reella tal x ~ 2. Precisa beskrivningar av denna funktion är till exempel:

t ~ 2,

J(t) = ../[=2,

y

= Jx=°2,

f()

X

~ 2,

= ~'

= [2,oo[.

Dt

Om man av någon anledning bara vill tillåta att tal x ~ 4 sätts in i uttrycket Jx=2 får man en annan definitionsmängd än D f ovan och uppfattar detta, trots att samma formel användes, som en annan funktion än f. Den nya funktionen g beskrivs till exempel av

g(t) = eller g()

=

vt=2,

Jcf=2,

t

~

4,

D 9 = [4, oo[.

Man kallar g en restriktion av funktionen f. Funktionerna f och g har värdemängderna

V1 = [O, oo [,

V9

= [v2, oo [. D

1.2. Funktioner

1.2.2

39

Graf till funktion

Funktioner med reell variabel och reella värden brukar man åskådliggöra i rätvinkliga koordinatsystem. Med grafen av en funktion f eller funktionskurvan y = f(x) menar man mängden av alla punkter i planet med koordinater av formen (x, f(x)) då x genomlöper definitionsmängden för f. Hur man skisserar grafen av en given funktion så att dess karakteristiska drag klart och otvetydigt framgår ska vi studera ingående längre fram i samband med derivator. För närvarande nöjer vi oss med den mycket primitivare metoden att "plotta" funktionskurvan genom att bestämma ett antal punkter på densamma och därefter sammanbinda dessa punkter på ett "rimligt" sätt. Grafritande miniräknare gör på detta sätt.

Exempel 3. Grafen av funktionen y

= f(x) = v'x=2,

X

2". 2,

i föregående exempel har det ungefärliga utseendet y 3

2 1 2

4

6

8

10

X

D Observera att en och samma funktion mycket väl kan beskrivas med hjälp av olika formeluttryck i olika delar av sin definitionsmängd.

Exempel 4. Funktionen h definierad av 1

h(x) - {

2 x2

när -2:Sx 0 inför vi beteckningen k! (utläses k-fakultet) för talet k · (k - 1) · ... · 2 · 1, dvs. produkten av alla heltal mellan 1 och k. Så är till exempel 5!

= 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Dessutom gör vi definitionen

O!

= 1,

vilken kommer att visa sig praktisk längre fram. Man kan tolka talet k! på följande sätt. Antag att man vill fästa k stycken olika nummerlappar på k stycken skilda objekt. På hur många sätt kan detta ske? Jo, för den första nummerlappen kan man tydligen välja k olika objekt, och till var och en av dessa k möjligheter finns det sedan kvar k-1 olika objekt att fästa den andra lappen på. Alltså finns k(k-1) olika möjligheter att numrera med de två första lapparna. För den tredje lappen förfogar man över k-2 olika objekt, etc., och för den sista nummerlappen finns bara ett objekt kvar. Totalt får vi därför k(k- l)(k- 2) ... 2 · 1 = k! möjligheter för numrering av alla k objekten.

Exempel 17. Hur många låskombinationer kan man göra me'd 4 knappar, om låset öppnas vid intryckning av alla fyra knapparna i en bestämd ordning?

1.4. Polynom

61

Lösning: Tryckningsföljden kan beskrivas som att man sätter nummerlapparna 1, 2, 3, 4 på knapparna. Man kan alltså göra 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 olika lås.

D

Antag att man i föregående resonemang har n stycken objekt av vilka k stycken ska numreras, där k '.'S n. För det första numret finns då n valmöjligheter, för det andra n-1, etc.; för utdelning av det sista numret är redan k-1 objekt upptagna och det finns precis n - (k- l) = n - k + l kvar att välja på. Totalt får vi alltså

n · (n-l) · ... · (n-k+l) möjligheter att numrera n stycken olika objekt med k olika nummer. Exempel 18. Hur många låskombinationer kan göras genom att använda 10 knappar, om låset öppnas vid intryckning av 4 av dessa i en bestämd ordning?

Lösning: Problemet är tydligen ekvivalent med att fästa fyra nummerlappar på en knappsats bestående av 10 knappar. Det finns enligt ovan 10 · 9 · 8 · 7 = 5040 olika möjligheter för detta.

D

Exempel 19. Som en variant på det föregående exemplet kan man tänka sig att låset är så konstruerat att det öppnar sig vid intryckning av 4 bestämda knappar, oberoende av i vilken ordning detta sker. Hur många olika lås kan då göras? Jo, till varje lås finns nu flera olika numreringar som duger, nämligen varje numrering som förser precis de fyra aktuella knapparna med nummer 1-4. Antalet sådana numreringar är som vi sett lika med 4! . Om vi på detta sätt delar in de ursprungliga numreringarna i sådana grupper om 4! = 24 i varje grupp, så svarar varje grupp mot ett lås. Alltså kan man tillverka

10·9·8·7 ----=210 4! olika lås av denna typ.

D

62

Kapitel 1. Funktioner

I det allmänna fallet, där det gäller att välja ut k objekt ur n stycken - utan hänsyn till ordningen - får man med exakt samma gruppresonemang att detta kan ske på

n · (n-1) · . .. · (n-k+l)

(12)

k!

olika sätt. Detta uttryck kallas en binomialkoefficient och skrives (~) (utläses "n över k"). Definitionsmässigt är alltså (13)

(n) = n · (n - 1) · . . . · (n - k + 1) k

k!

.

(Observera att det finns k stycken faktorer i såväl täljare som nämnare.) Om vi förlänger högerledet med (n - k) ! får vi

n(n-1) ... (n-k+l) · (n-k)(n-k-1) ... 2 -1 k! · (n-k)!

n! k! (n-k)! ·

Alltså har vi också formeln (14)

n! ( n) k - k! (n-k)!

som ett alternativ till definitionen (13). Eftersom vi har definierat O! = 1 ser vi att (14) har mening även för k = 0 och k = n, och vi definierar därför (~) = (~) =

l.

Det framgår direkt av ( 14) att binomialkoefficienterna har symmetriegenskapen

(15) Denna egenskap använder man ofta vid problemlösning.

Exempel 20. Hur många olika 7-manna fotbollslag kan man bilda av ett 11-mannalag? Lösning: Frågeställningen innebär att man ( utan hänsyn till' ordningsföljden) ska plocka ut grupper om 7 personer ur en större grupp bestående av 11 medlemmar. Detta kan enligt ovan ske på (1.f) olika sätt. Den

1.4. Polynom

63

direkta beräkningen av (V) enligt formel (13) är längre än motsvarande beräkning av Vi utnyttjar därför symmetriegenskapen (15) och får som resultat att man kan bilda

CD-

( 11) 7

=

(11) 4

=

11 . 10 . 9 . 8 4-3·2·1

= 11 . 10 . 3 = 330

7-mannalag av ett 11-mannalag.

D

Binomialsatsen Vi har nu gjort tillräckliga förberedelser för att kunna bevisa följande centrala resultat. SATS

6. (BINOMIALSATSEN) För varje naturligt tal n är

BEVIS.

Uträkningen av produkten

(x +it= (x

+ l)(x + 1) . .. (x + 1)

går enligt räknelagarna för reella tal till så att elementen i varje parentes multipliceras med vart och ett av elementen i alla övriga parenteser, varefter dessa produkter, som tydligen är av formen xk, adderas. Problemet består alltså bara i att för fixt k bestämma hur många termer xk som uppstår vid denna hopmultiplicering. Men varje sådan term xk bildas genom att man multiplicerar ihop x från k stycken parenteser med ettor från var och en av de resterande parenteserna. Det finns därför lika många termer av formen xk som det finns möjlighet att välja ut k stycken parenteser ur de n givna utan hänsyn till den inbördes ordningen. Detta antal är enligt vad vi sett ovan precis lika med G). Därmed är beviset klart. D Ofta behöver man utveckla uttryck av formen

(a + bt.

Kapitel 1. Funktioner

64

Om vi i var och en av de n parenteserna bryter ut a och därefter använder (16) med x = b/a får vi

Det gäller alltså att (16') Även denna formel brukar kallas binomialsatsen. Exempel 21. Visa att det finns en x 3-term i binomialutvecklingen av

och bestäm denna. Lösning: Vi använder (16') med n = 7, a allmänna termen i högerledet får utseendet

x 4 och b

2

Den

X

Vi får en term innehållande x 3 om det finns ett heltal k mellan O och 7 så att k = 5. 28 - 5k = 3 Det finns således en x 3 -term, nämligen

(-2) 5 ( 7) x 3 = -32 7 · 6 x 3 = -672x3 . 5 2·1 D Pascals triangel

Vid många typer av räkningar är det fördelaktigt att använda följande egenskap hos binomialkoefficienterna.

1.4. Polynom

65

SATS 7. (PASCALS TRIANGELSCHEMA) För alla n 2: 2 och 1 :Sk :S n-1 är

- 1) ( nk-1

(17)

+ (n -k

1) = (n)

k .

BEVIS. Efter användning av definitionen (13) ger en enkel algebraisk räkning att

(n - 1)

[(n- 1) - (k - 1) + 1] (k-1)!

= (n -

l)(n - 2) ... (n - k

+ 1) (

= (n -

· l)(n - 2) ... (n - k

+ 1)

n(n - l)(n - 2) . .. (n - k kl Därmed är beviset klart.

+

(n - 1) ... [(n - 1) - k

+ 1]

k! 1

(k - l)!

k)

n+k !

=

k+n-k k! =

+ 1)

= (;)D

Anmärkning. I beviset ovan härleddes (17) genom bråkräkning. Man kan också inse formelns riktighet genom att utnyttja den kombinatoriska betydelsen av binomialkoefficienterna. Betrakta n stycken objekt, och låt A vara ett av dessa. Bland de G) olika valen av k objekt ur den givna finns två kategorier: sådana där A ingår och sådana där A inte ingår. I den första kategorin måste man förutom A välja k-1 objekt från de n-1 återstående. Det finns alltså urval i denna kategori. Om A inte ska vara med måste man välja ut k objekt från de n - 1 övriga. Det finns alltså (n,; 1) urval i denna kategori. Formel (17) är därmed bevisad.

(~=D

Sambandet (17) innebär att i följande schema över binomialkoefficienterna (Pascals triangel) är varje tal lika med summan av de t vå tal som står närmast ovanför. Längs yttersidorna står ettor.

Kapitel 1. Funktioner

66

(g)

(i)

(t)

G)

(~)

G)

(~)

(~)

G)

(~) '

(!)

(!)

(~)

(1)

(t)

(;)

(i)

(~)

/

''(~)/

(~)

(~)

/

Med hjälp av denna observation erhåller man snabbt och enkelt alla lägre binomialkoefficienter genom att utgå från de tre översta ettorna och komplettera Pascals triangel neråt så långt som behövs: 1 1

1

1 1

1

1

3

3

10

1

4

6

4 5

1

2

1

' '10/

/

5

1

Den översta raden svarar mot n = 0. I den tredje raden känner vi igen koefficienterna i kvadreringsregeln och i den fjärde koefficienterna i kubregeln. Ur schemat avläser vi till exempel att (~) = 10. Exempel 22. Utveckla (a + b) 6 .

Lösning: Genom att komplettera Pascals triangel ovan med ytterligare en rad får vi direkt av (16') att

D

1.4. Polynom

67

Exempel 23. Adderar vi elementen i varje rad i Pascals triangel ovan får vi summorna 1, 2, 4, 8, 16, 32, .... Det är ingen tillfällighet att alla dessa summor är potenser av 2, ty enligt binomialsatsen är

D

1.5

Rationella funktioner

En funktion som kan skrivas på formen

f(x) g(x )' där f och g är' polynom, kallas en rationell funktion. Den naturliga definitionsmängden för en sådan är alla reella tal x med undantag av nämnarens (eventuella) nollställen. Enligt sats 2, sidan 53, kan varje rationell funktion skrivas på formen

(18)

f(x) _ ( ) r(x) g(x) - q x + g(x)'

där kvoten q(x) är ett polynom och resten r(x) ett polynom med grad r < gradg. För utseendet av grafen till en rationell funktion har det stor betydelse huruvida nämnaren har nollställen eller inte. Även uppförandet för stora värden på /x/ kan variera mycket från fall till fall, och hänger samman med hur täljarens och nämnarens gradtal är relaterade. Vi diskuterar två typiska exempel. Exempel 24. Den rationella funktionen

f(x) =

1 x2

+1

är definierad på hela R, eftersom nämnaren saknar nollställen. Grafen är spegelsymmetrisk med avseende på y-axeln, ty f( - x) = f(x) för alla x.

Kapitel 1. Funktioner

68

Vi behöver alltså bara studera den för positiva x. För stora värden på x är funktionsvärdena små, och de ligger hur nära O som helst om vi går tillräckligt långt bort på x-axeln. I sådana situationer säger man att 4 "f(x) går mot O när x går mot (plus) oändligheten", och skriver

f(x)---+ 0 då x---+ +oo. Det är dessutom klart att f(x) avtar då x växer i intervallet x 2'. 0. Eftersom slutligen f (O) = 1 har grafen av f följande ungefärliga utseende: y

1

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

D

Exempel 25. Funktionen

f(x) = -x3 + 1 x 2 -1 har ±1 som undantagspunkter (singulariteter) i sin definitionsmängd. Men även täljaren blir O för x = l. Enligt faktorsatsen innehåller därför såväl täljare som nämnare faktorn x-1. Vi faktoriserar (jfr (10), sidan 57) och förkortar:

(19)

f (X)

= -( X - l) (x 2 +

X + l) = _ x 2 + X + l

(x+l)(x-1)

x+l

·

I det sista uttrycket möter det inget hinder att sätta in x = l. Singulariteten i denna punkt är alltså bara skenbar. För undersökning av funktionens uppförande långt borta dividerar vi täljare och nämnare med nämnarens dominerande term x och får

f(x) = - X+ l + ¾ 1+lX Man ser härav att f(x) antar godtyckligt stora negativa (respektive po4 En

mera precis behandling av gränsvärden ges i kapitel 2.

1.5. Rationella funktioner

69

sitiva) värden när x är mycket stort positivt (respektive negativt). Man brukar skriva detta i kortfattat symbolspråk som

J(x)

----+

J(x)

----+

-oo

då

x----+ +oo

+oo

då

x----+ -oo.

respektive Vi studerar nu funktionens uppförande nära singulariteten x = -1. Vi närmar oss först denna punkt från höger och betraktar alltså tal x som är obetydligt större än -1. Högra ledet i (19) visar då att f(x) blir kvoten mellan ett tal mycket nära -1 och ett mycket litet positivt tal. Resultatet blir ett mycket stort negativt tal, i själva verket godtyckligt stort negativt om x väljs tillräckligt nära -1 (men större än -1). Vi uttrycker detta sakförhållande symboliskt med

f (X)

då

----+ - 00

X ----+

-

1+ .

Om x i stället närmar sig -1 från vänster blir kvoten stor och positiv. y

4

3 2 1

-4

-3

-2

-1 I

1

2

3

4

X

Kapitel 1. Funktioner

70

Analogt skriver vi detta J(x)-+ +oo

då

x-+ -1-.

En grov skiss av funktionen ger bilden på föregående sida. Exakt var och hur funktionen "vänder" och övergår från växande till avtagande eller tvärtom bryr vi oss för ögonblicket inte om. Sådana förhållanden skall vi utreda närmare när vi studerat begreppet derivata och dess användning. Ringen på kurvan vid x = 1 symboliserar att funktionen f faktiskt D inte är definierad för x = 1.

1.6 1.6.1

Potens- och exponentialfunktioner Potenser

Från gymnasieskolan har läsaren förmodligen en viss vana vid räkning med potenser (20) ao.. Talen a och a kallas bas respektive exponent. Med moderna fickräknare får man lätt mycket goda närmevärden på tal av formen (20). Men hur vet räknedosan vilken approximation av ao. den skall ange? Tydligen måste räknaren vara försedd med en inbyggd instruktion för uträkning av potenser. För att kunna göra en sådan beräkningsalgoritm måste man naturligtvis veta exakt vad det är som skall beräknas; man måste alltså ha en ordentligt definition av tal av formen ao.. Det visar sig faktiskt vara ganska svårt att åstadkomma en hållbar definition av ao. för allmänna baser och exponenter. Vi måste i denna kurs nöja oss med att behärska själva räknandet med potenser. En liten skiss av hur man definierar ao. är emellertid på sin plats. Man börjar med att sätta a0

=1

och för övriga naturliga tal n a

n

= ~. n st.

1.6. Potens- och exponentialfunktioner

71

Räkneregler som

(am)n

= amn

och följer enkelt ur definitionen. Till exempel utsäger den första regeln att produkten av m faktorer a multiplicerad med produkten av n faktorer a ger samma resultat som att ta produkten av m+n faktorer a. Vidare definierar man 1 a -n = an Härigenom har man definierat an för godtyckliga tala-/- 0 och för exponenter n som är heltal. Det överlåtes åt läsaren att verifiera att räknelagarna ovan förblir giltiga då man tillåter negativa exponenter. Exempel 26. Förenkla al2b-9c3

a-9c-l

c2b6

b4

med hjälp av räknereglerna för potenser. Lösning: Vi börjar med att slå samman täljarna och nämnarna i de två faktorerna: a12b-9c3

a-9c-l

c2b6

b4

Därefter gör vi oss av med bråkstrecket och får a3b- 9c2 ___ = a3b- 9- 1oc2- 2 = a3b- 19co = a3b- 19 c2 b10

3

Svaret kan om man så vill också skrivas ;

9.

D

I fortsättningen antar vi att a > 0. För heltal q > 0 definierar man i nästa steg a 1/q som det entydigt bestämda positiva tal som löser ekvationen5 5 Att ekvationen xq = a för varje a > 0 har precis en positiv rot följer av en sats om kontinuerliga funktioner (sats 1 i appendix C).

Kapitel 1. Funktioner

72

Ibland används skrivsättet alfq

= {la.

Speciellt skriver man a 112 = va,. Man kan nu på ett naturligt sätt definiera at för rationella exponenter t = ~, q > 0, genom att sätta apf q =

( alfq )P.

Slutligen definierar man a°' för godtyckliga reella tal o: och a > 0 genom att approximera o: med rationella tal ~ och låta a°' vara motsvarande "gränsvärde" av de redan definierade talen ap/q. Att räknelagarna förblir giltiga i varje steg vid denna successiva utvidgning av a°' till allt allmännare exponenter kräver naturligtvis bevis. Vi förbigår emellertid dessa. Dessa så kallade potenslagar kan sammanfattas i: (21)

a0 = 1

(22)

a-a = a°'

(23)

a°'a/3 = a°'+/3

(24)

(a°')/3 = a°'/3

(25)

a°'b°' = ( ab )°'.

1

Dessutom gäller: (26) (27)

a

> 1 och o: < {3

==}

0 < a < b och o: > 0

a°'

==}

< af3

a°'

< b°'.

Exempel 27. Förenkla uttrycket

J(x) =

{?x if[z (x3)1/4.

Lösning: Räknelagarna ger 1

f(x) = ( x¼) 2 (x- 2) ½X¾ = Resultatet är alltså att

f (x) = x 518 .

X½ X-¼ X¾

=

X½-¼+¾ = X~ . D

1.6. Potens- och exponentialfunktioner

73

Exempel 28. Skriv som en enda potens

Lösning: Med användning av potenslagarna får vi

Därmed är uppgiften löst.

1.6.2

D

Potensfunktioner

Om vi i potensuttrycket x°' håller exponenten a fix och betraktar basen x som variabel får vi en funktion

f(x) = x°',

X> 0,

som kallas potensfunktionen med exponent a. Låt oss först betrakta fallet då exponenten är positiv, a > 0. Av (27) följer direkt att en sådan funktion är strängt växande :

Speciellt ser vi att X

> w 11°'

===}

x°' > (w 11°')°'

=w

för varje positivt tal w. Detta innebär att x°' blir godtyckligt stort (större än varje uppgivet tal w) för alla tillräckligt stora x (större än w 11°) , vilket vi skriver (28) x°' -; +oo då x -; +oo (a > 0). Eftersom X

°' = -1x-a

ser vi av det föregående att en potensfunktion med negativ exponent a är strängt avtagande och går mot O då x -; +oo.

Kapitel 1. Funktioner

74

Figuren nedan visar den grafiska bilden av några olika typiska potensfunktioner. y

_ _ _ _ _ _ _ O 0 är det naturligt att ge x°' värdet O då x = 0. För vissa a, bland annat positiva heltal, kan definitionsmängden utsträckas till hela R.

1.6.3

Exponentialfunktioner

I en potensfunktion är exponenten fix medan basen är variabel. Om vi i stället håller basen a > 0 fix och låter exponenten variera får vi en funktion av formen xER, som kallas exponentialfunktionen med bas a. Ibland använder man beteckningen aexp för denna, dvs. man skriver

xER. Vi studerar först fallet a > l. Vi kan då konstatera att egenskapen

(26) för potenser betyder att varje sådan exponentialfunktion ax med a > I är strängt växande. Vidare gäller att

(29)

ax

---+

+oo då

x ---+

För att inse detta skriver vi först a vi att

+oo

(a > 1).

= I+ p där p > 0. Sedan observerar

1.6. Potens- och exponentialfunktioner

75

där n = [x] är heltalsdelen av x (se exempel 7, sidan 41). Användning av binomialsatsen ger att

(30)

(1

+ p) n = l + np + (;) p 2 + .. . + pn 2'. np

för alla n 2'. 1. (Vi har strukit alla termer utom en, och alla de borttagna termerna är positiva.) Sammanfattningsvis har vi alltså övertygat oss om att ' ax 2'. np 2'. (x-l)p

för alla x 2'. 1. Eftersom p är ett fixt positivt tal framgår speciellt att ax blir godtyckligt stort för alla tillräckligt stora x, vilket är precis innehållet i (29). Med hjälp av omskrivningen X l a = a- x

ser vi också att

(31)

då

ax ---, 0

X ---,

-oo.

Vi observerar vidare att ax bara antar positiva värden. Man kan dessutom visa att dess värdemängd utgöres av hela intervallet ]O, oo[. Grafen av en exponentialfunktion med bas a > l har utseendet y

1

~ X

Exponentialfunktioner med bas O < a < l kan vi återföra på fallet med bas större än 1 med hjälp av omskrivningen

l

X

a

=

(¾t·

Kapitel 1. Funktioner

76

Den grafiska bilden av en funktion ax med O < a < l blir därför y

\

1

X

Den mest använda exponentialfunktionen har som bas det tal som brukar betecknas med e och vars decimalutveckling börjar e

= 2.7182818284 ... .

I avsnitt 2.3 skall vi göra en fullständig definition av detta tal. När vi i fortsättningen talar om exponentialfunktionen (i bestämd form) avser vi alltid funktionen ex. Ofta används beteckningen expx

=

ex.

1.6.4 Jämförelse mellan exponential- och potensfunktioner Vi har sett att såväl potensfunktioner x°' med a > 0 som exponentialfunktioner ax med a > l är strängt växande och går mot +oo då x går mot +oo. I många sammanhang är det viktigt att ha klart för sig vilken av dessa två slags funktioner som växer kraftigast när x blir stort. Följande sats ger upplysning om detta. SATS

8. Antag att a > l. Då gäller att ax

(32)

-- -

---+

X°'

+ oo

då

x

---+

+oo

eller ekvivalent (32')

x°'

-

ax

---+

0

då

X---+

+oo.

1.6. Potens- och exponentialfunktioner

77

BEVIS. Först betraktar vi fallet a = 1. Vi skriver som tidigare a = l + p med p > 0 och sätter n = [x]. Binomialutvecklingen i (30), men utnyttjad på ett mer raffinerat sätt än där, ger

Härav följer att

n(n - 1) 2 > (x-l)(x-2) 2 -ax > -------'---__;_ p --'---'-'--...:.... p

2x

x -

-

2x

·

Med såväl x-1 som x- 2 i täljaren men bara x i nämnaren är det tydligt att högerledet kan göras godtyckligt stort genom att välja x tillräckligt stort. Desto mera gäller detta då för vänsterledet, vilket innebär att

ax

-X ----. +oo då x ----. +oo. Fallet med godtyckligt a > 0 följer nu av fallet a helt enkelt skriver

= 1 genom att man

ax = (bx)°'

X°'

X

bx -,.

med b = a 11° > 1, och använder det vi redan bevisat på -. X

För a :'.S O är gränsvärdena triviala; då föreligger ju ingen konkurrens mellan täljare och nämnare. D Exempel 29. Hur uppför sig funktionen 2x +x2 f(x) = 3x + x30

för stora värden på x ?

Lösning: Vi använder samma grundprincip som tidigare i exempel 25, sidan 68: dividera täljare och nämnare med nämnarens dominerande term. Enligt sats 8 är denna 3x. Vi får ( 2)x

f(x) =

x2

3 ~o~-

x l+3x

Kapitel 1. Funktioner

78

Eftersom

1 -+ 0 (32)x = (!r 2

då

X-+

+oo

30

enligt (29), och eftersom såväl ::_ som ::_ går mot O enligt satsen ovan 3x

3x

så följer att funktionsvärdena f(x) ligger godtyckligt nära

o+o= 0 1+0 när x är mycket stort. Med andra ord gäller att

f (x)-+ 0

då

x-+

+oo.

D

1. 7 1.7.1

Logaritrnfunktioner Logaritmer

Låt a vara ett positivt tal skilt från 1. Av exponentialfunktionernas egenskaper följer att ekvationen har en entydig lösning x för varje givet positivt tal s. Denna lösning kallas för a-logaritmen för s och betecknas

X

1. 7. Logaritmfunktioner

79

Talet a kallas basen för logaritmen. Den grundläggande regeln för räkning med logaritmer är alltså

f Detta innebär att (33)

a a1ogs = s,

eller uttryckt i ord: alog s är det tal som a skall upphöjas till för att resultatet skall bli s. Speciellt ser vi att

(34)

Man arbetar nästan uteslutande med logaritmer vars bas är större än 1. Den matematiskt viktigaste logaritmen är den som har talet e till bas. För denna använder vi det kortare skrivsättet lns

= elog s

och kallar den för den naturliga logaritmen. I vissa sammanhang föredrar man 10-logaritmer (se avsnitt 1.7.4). En vedertagen beteckning är lg s =

10 Iog

s.

Det finns också tillämpningar, speciellt inom datalogi, där man använder logaritmer med basen 2. - Exempel 30. Enligt definitionen av logaritm gäller: 2 log

16

= 2 log 24 = 4,

39 Jogl7 = (91/2) 9 !ogl 7 =

(g

9 iogl7r

12 = 171/2 =

vIT

samt lg 1000 = lg 103 = 3,

lg 0.01 = lg 10- 2 = -2,

ln y'e = ln e 112

= ½D

Kapitel 1. Funktioner

80

9. För räkning med logaritmer gäller fö]jande fundamentala räknelagar (då s > 0, t > 0): SATS

(35)

alog 1 = 0,

(36)

alog st= alog ~ + alog t,

(37)

alog - = alog s - alog t,

(38)

alog st = t alog s,

s t

bl

(39)

- alog s lb. a og

ogs -

BEVIS. Dessa regler är konsekvenser av formlerna (21)-(25) för räkning med potenser. För att illustrera bevismetodiken visar vi (36) och (39). Läsaren bör sedan vara i stånd att på egen hand bevisa de övriga formlerna med samma ~etod. (36): Enligt definitionen (33) av logaritm är aalogst

= st.

Å andra sidan har vi enligt potenslagen (23) och (33) att a 0 logs+ 0 logt

=a

0

logsa0 logt

= st.

I (36) gäller således att a vänster led =

ahöger led ( =

st).

Följaktligen är de båda leden i (36) lika.

(39): Vi har enligt (33) att a 0 logb-blogs = ( a 0 logb )

och aalogs

blogs

= bblogs = s

= s.

Härav följer som ovan att alog b · blog s

= alog s,

vilket är precis relationen (39). Beviset är klart.

D

1. 7. Logaritmfunktioner

81

Exempel 31. Förenkla uttrycket ln v

r.; L. -

1 -

3

1

ln 8 + - ln ( 2e 2 ) . 2

Lösning: Vi använder först (38) på den andra (t = ½) och den tredje (t = ½) termen. Därefter slår vi ihop termerna till en enda logaritm med hjälp av (36) och (37). Då får vi ln v'2 -

!3 ln 8 + !2 ln(2e2 ) =

ln v'2 - ln 8113 + ln(2e 2 ) 1/ 2 = r.;

r.i

= ln v ~ - ln 2 + ln ( v 2 e) = ln

v'2·v'2e = ln e = 2

l.

D

Exempel 32. Lös ekvationen 2 logx+ 4 log(x+1) 2

=

1.

Lösning: Det är lämpligt att skriva alla logaritmer med samma bas. Formel (39) beskriver hur man byter bas i logaritmer. Användning av (38) och (39) ger 4

log(x+1) 2 = 2 · 4 log(x+1)

=

2 log(x+ 1) 2 log(x+ 1) 2 · _:.....;__------'-- = 2 · -----=-'------------'- = 2 log4 2

2 log( x+ l).

Ekvationen kan alltså skrivas 2 logx+ 2 log(x+l)

= 1.

Vi utnyttjar (36) och får 2 logx(x+l)

= 1.

Nu ger definitionen av logaritmen att eventuella lösningar till problemet måste satisfiera ekvationen

x(x + 1) = 2 1 = 2, eller omskrivet X2

+X

-

2

=

0.

Kapitel 1. Funktioner

82

Till denna andragradsekvation finner vi lätt lösningarna x = -2 och x = 1. Av dessa två x-värden måste det första förkastas eftersom 2log x bara är definierat för positiva tal x. (Den falska roten kom in då vi använde logaritmlagen (36). I denna förutsätts ju att s > 0, t > 0.) Ekvationen har alltså den enda lösningen x = 1. D Exempel 33. Lös ekvationen 2x + 2x+l

+ 2x+2 = 5x_

Lösning: Med användning av räknelag (23) för potenser kan ekvationen skrivas Det sökta talet x uppträder här i exponenterna. Det är därför naturligt att logaritmera bägge leden och försöka flytta ner x med hjälp av formel (38) . Vi använder oss av naturliga logaritmer (valet av bas är egentligen oväsentligt) och får ln 2x {==}

+ ln 7 = ln 5x

xln2 + ln 7

= xln5.

Detta är en ekvation av första graden i x. Man finner lätt ln 7 ln 7 x--- ln 5 - ln 2 - ln

r

Ekvationen har alltså den enda lösningen x 1. 7 .2

= ln 7/ ln ~.

D

Logaritmfunktioner

Om vi i uttrycket

alogx håller basen a > l fix och låter x variera får vi en funktion

f(x)

= alogx,

X> 0,

som kallas logaritmfunktionen med bas a. Enligt definitionen av logaritm har vi att X= aY. y = alogx

1. 7. Logaritmfunktioner

83

En logaritmfunktion med bas a > 1 har definitionsmängden x > 0, den är strängt växande och alog 1 = 0. Vidare gäller att

(40)

alog x

----+

+oo

då

x

och (41)

alog X

----+ -OO

då

X ----+

----+

+oo 0+.

Grafen har utseendet

X

Då basen ligger mellan 0 och 1 får vi på motsvarande sätt strängt avtagande logaritmfunktioner. 1. 7.3

Jämförelse mellan logaritm- och potensfunktioner

I sats 8 fastställde vi det inbördes storleksförhållandet mellan ax och x°' när x är mycket stort. Vi skall nu se hur alog x passar in i denna bild. SATS

10. Antag att a > 0 och a > 1. Då gäller att x°' alogx

(42)

- - ----+

+oo

då x

----+

+oo

eller ekvivalent alogx

(42') BEVIS.

- - ----+

X°'

0

då

X----+

Sätter vi alog x

=t

+oo.

Kapitel 1. Funktioner

84

får vi att x

= at och alltså x°' alogx

I täljaren står nu en exponentialfunktion med basen a°' > 1 och i nämnaren en potensfunktion. Eftersom enligt (40) t -+ +oo när x -+ +oo följer därför av sats 8 att

x°' alog x

(a°')t

-- = -t

-+

+oo då

x

-+

+oo.

Därmed är beviset klart.

D

Satserna 8 och 10 ger en fullständig rangordning i storlekshänseende för stora värden på x av funktionerna alog x,

x°'

/

'

(där a > 1, a > 0, b > 1). Speciellt följer naturligtvis även att bx alogx

- - -+

+oo då x

-+

+oo.

Exempel 34. Beräkna gränsvärdet av

f (x) när x-+

= ex + x 2 + ln x 3ex + 2x

+oo.

Lösning: I enlighet med våra tidigare principer dividerar vi täljare och nämnare med nämnarens dominerande funktion, som är ex . Vi får då

! (X) =

x2 lnx 1 +-+-

-----"e'-x-2x~ex_

3+ -eX

2 ln x 1 +x- + eX ex

3+

(~r

Alla termer utom konstanterna 1 och 3 går mot 0 då x sluter vi att f(x) -+ ½då x-+ +oo.

-+

+oo. Alltså D

1. 7. Logaritmfunktioner

1.7.4

85

Några tillämpningar av logaritmer

När logaritmer först introducerades6 var det som ett medel för att underlätta beräkningar. Via logaritmlagarna (36) och (37) överförs ju multiplikation och division till de betydligt enklare räkneoperationerna addition och subtraktion, förutsatt att man har tillgång till en tabell över logaritmer i någon bas. Under flera århundraden var detta det i särklass viktigaste hjälpmedlet vid naturvetenskapliga beräkningar. I och med datorernas och så småningom miniräknarnas tillkomst har logaritmerna i detta avseende spelat ut sin roll. Likväl är logaritmfunktionen, i sin egenskap av invers till exponentialfunktionen, ett oundgängligt hjälpmedel i samband med beskrivning av många tekniska fenomen. Vi kommer att se detta senare i boken, i kapitlen om integraler och differentialekvationer. Här vill vi kort peka på några andra tillämpningar. Så snart en vetenskaplig storhet av något slag har mätetal som spänner över många 10-potenser vill man ha möjlighet att beskriva den på ett sätt som medger lite mer lätthanterliga tal. Logaritmen (ofta i basen 10) erbjuder just detta. I stället för mätetalen c själva använder man talen 10 log c = lg c för att beskriva storheten i fråga. Man talar då om en logaritmisk skala. Ett exempel har vi inom kemin. En lösnings surhetsgrad anges ofta med pH-värdet, vilket definieras som pH

-

= -lgh,

där h är mätetalet för vätejonkoncentrationen i mol/ dm 3 . Minustecknet gör att pH oftast blir positivt; koncentrationen spänner nämligen över ett intervall av storleksordningen 10- 14 till 101 . Då pH = 7 kallas lösningen neutral. För lägre värden kallas den sur, för högre pH basisk. Ett annat exempel på logaritmisk skala förekommer inom akustiken. Där definierar man ljudnivån i decibel hos en ljudvåg med intensiteten I (energi/ areaenhet) som talet

6 Logaritmerna upptäcktes av den skotske matematikern Napier 1614. Användningen av talet 10 som bas föreslogs av Briggs.

Kapitel 1. Funktioner

86

där lo är en fastlagd referensintensitet. Faktorn 10 syftar till att få lagom stora tal att arbeta med. Till exempel innebär definitionen att en fördubbling av intensiteten hos ljudvågen leder till en ljudnivåökning som är

(21 · -lo) =

10 lg -2J - 10 lg -1 = 10 lg lo

lo

lo

1

10 lg 2

~

3

decibel. Richterskalan, som används för att mäta magnituden av jordbävningar, bygger också på 10-logaritmer. I handeln förekommer rutade blad som har färdigritad logaritmisk skala graderad log 1, log 2, log 3, ... på ena axeln, så kallat linlog-papper. En rät linje i ett diagram med logaritmisk skala på exempelvis x-axeln innebär att det föreligger att samband av formen x

y=klnx+m

= e-m/k eY/k,

dvs. att x beror exponentiellt av y. Vilken bas som användes här spelar ingen roll. Den påverkar bara värdena på konstanterna.

-(log) 1

-i-

_..

----~ -10

2

20

_ .....

~~

. ----

100

200

1000

Det finns också loglog-papper, med logaritmisk skala på båda axlarna. En rät linje innebär då att lny

= klnx+m

alltså en potensfunktion.

1.8

Kompletteringar av funktionsbegreppet

I detta avsnitt ska vi precisera och närmare diskutera några begrepp som delvis redan använts i tidigare avsnitt.

1.8. Kompletteringar av funktionsbegreppet

1.8.1

87

Invers funktion

Genom att utgå från en exponentialfunktion konstruerade vi i föregående avsnitt en logaritmfunktion. Det förfarande som vi därvid använde är av stort allmänt intresse i matematik. Låt f vara en funktion med egenskapen att olika element x1 och x 2 i definitionsmängden Di alltid ger upphov till olika bilder f (x1) och f (x2), med andra ord att

Ett annat sätt att uttrycka denna egenskap är att ekvationen

f(x) = s (med x som obekant) har precis en lösning x E Di för varje givet s i värdemängden V1 till f . Sådana funktioner kallas injektiva. För en reellvärd funktion av en reell variabel innebär injektiviteten att varje rät linje y = s parallell med x-axeln skär funktionens graf y = f(x) i högst en punkt. y

y

y=s

X

injektiv

X

ej injektiv

Exempel 35. Den funktion som vi beskrev i exempel 1.1 på sidan 37 är inte injektiv. Ty olika trianglar kan naturligtvis ha samma inskrivna cirkel. D Exempel 36. Egenskapen (26) , sidan 72, innebär speciellt att exponentialfunktioner f(x) = ax med bas a > l uppfyller kravet (43). De är alltså injektiva. - Exponentialfunktionerna är därmed injektiva även då a < l. D

Kapitel 1. Funktioner

88

För varje element s i värdemängden till en injektiv funktion I finns alltså ett entydigt bestämt element t i definitionsmängden med s som bild. Detta tär den entydiga lösningen till ekvationen l(x) = s. Genom tillordningen definieras tydligen en funktion som har Vi som definitionsmängd och DI som värdemängd. Denna funktion kallas inversen till I och betecknas med 1- 1 . Enligt sin definition har inversen följande egenskaper:

s

= l(t)

D 1-1

=

V1-1

= D1,

~

V1,

t=

1- 1 (s)

(44)

l - 1 (f(t)) = t,

t

(45)

l(f- 1 (s)) = s,

s E V1.

E D1,

Uttryckt i ord kan vi säga att inversen 1- 1 återställer det som (den injektiva) funktionen I uträttar. Med samma rätt kan vi emellertid också säga att I upphäver verkan av 1- 1 . Funktionerna I och 1- 1 är alltså varandras inverser:

I t

s

För reellvärda funktioner definierade på intervall i R kan man också göra sig en bild av inversbegreppet med hjälp av funktionens graf på följande sätt (se figuren på nästa sida). För den ursprungliga funktionen I gäller: starta med ett tal t på x-axeln. Gå vertikalt upp ' (eller ner) tills du träffar på funktionskurvan y = l(x) . Gå sedan horisontellt ut till y-axeln. Här avläser du funktionsvärdet l(t). För inversen 1- 1 gäller:

1.8. Kompletteringar av funktionsbegreppet y

89 y

starta med ett tal s på y-axeln. Gå horisontellt ut i diagrammet tills du stöter på funktionskurvan y = f(x). Gå vertikalt tills du korsar x-axeln. Här avläser du J- 1 (s). Exempel 37. Som vi nyss konstaterat i exempel 36 är exponentialfunktionen f(x) = ax injektiv. Den har därför en invers. Inversens värde i en punkt s är definitionsmässigt lika med (den entydiga) lösningen till ekvationen Om vi jämför med definitionen av alog s i föregående avsnitt ser vi att

f- 1 (s) = alog s. Inversen till exponentialfunktionen med bas a är alltså logaritmfunktionen med bas a. De båda grundläggande logaritmrelationerna

t ER, och

aa1og s = s,

s > 0,

svarar mot (44) respektive (45). Naturligtvis är också exponentialfunktionen invers till logaritmfunktionen. D Definitionsmässigt består den inversa funktionens graf av alla punkter av formen (s, t) med t = J- 1 (s), dvs. s = f(t) . En punkt (s, t) = (f (t), t) på grafen av J- 1 erhålles således av punkten (t, s) = (t, f(t)) på grafen av f genom att byta plats på x- och y-koordinaterna. Detta byte innebär tydligen att man speglar punkten i fråga i linjen y = x. Alltså:

:
0,

har en invers, bestäm den i så fall och rita dess graf i samma diagram som f. Lösning: Vi börjar med att lösa ekvationen 1

1+X

=s

för olika värden på s. Enkel räkning ger 1

1+X

=s

-X1 = s-1

1 x=--.

s-1

Nu är vi emellertid bara intresserade av lösningar som ligger i definitionsmängden D f, dvs. sådana som uppfyller kravet x > 0. Vi ser då att ekvationen är lösbar precis när s

> 1,

1.8. Kompletteringar av funktionsbegreppet

91

y

/y =x / / / / /

. /

/

y

= f(x) =

1 l+x y =

1- 1 (x)

1

= x- l

1 /

X

1

i vilket fall vi har den entydiga lösningen

1 x --- s-1 · Denna analys ger oss alla önskade upplysningar om en eventuell invers: (i)

Värdemängden Vi till I består av alla tals > 1. Intervallet ]1, oo[ är alltså definitionsmängd till en eventuell invers.

(ii) Inversen 1- 1 existerar faktiskt, ty ekvationen l(x) = s har en entydig lösning i Di för varje s i Vi, dvs. I är injektiv. (iii) Den inversa funktionen ges av uttrycket

1-1(s) med definitionsmängden

s

1

= s-

1

> 1.

När vi nu skall rita grafen till 1- 1 byter vi lämpligen beteckning på variabeln och kallar den för x. Bilderna av funktionskurvorna y = I (x) och y = 1- 1 (x) blir som ovan. Observera spegelsymmetrin med avseende på linjen y = x. D

Kapitel 1. Funktioner

92 Exempel 39. Inversen till potensfunktionen

=

y

x°',

X> 0,

är också en potensfunktion, nämligen y

= xlfa,

X> 0.

Ty x°'

=

X= slfa

s

för alla s > 0. Som en illustration ritar vi kurvorna y = x 2 och y = ..jx för x > 0: y

/. y=x / /

1

1

X

Lägg märke till att exempelvis funktionen f(x) = x 2 med hela R som definitionsmängd inte är injektiv, ty ekvationen x 2 = s har i detta fall två lösningar för varje s > 0, nämligen .../s och -...fs. Inverterbarhet erhålles genom att inskränka definitionsmängden till x > 0. Dylika inD skränkningar ( restriktioner) har man ofta anledning att göra.

1.8.2

Sammansättning av funktioner

Låt f och g vara två funktioner sådana att värdemängden av f ligger i definitionsmängden av g. För varje x E Di kan man då låta g verka på elementet f(x), dvs. man kan bilda g(f(x)). Med denna regei erhåller vi en funktion x E D1, X f----+ g(j(x)),

1.8. Kompletteringar av funktionsbegreppet

som kallas sammansättningen av vera ordningen). Vi har alltså

g o f (x)

93

f och g och betecknas g o f (obser-

= g(f(x)),

X

E Dt.

Funktionen g kallas yttre funktion och f kallas inre funktion. Sammansättningen av två funktioner svarar mot ett arrangemang med seriekoppling av de processer som de ingående funktionerna i tur och ordning representerar. - I figuren går processen från höger till vänster, svarande mot betydelsen av beteckningen g o f . r----- ---- ------- ------ --, I

-ll(---+---0f---ll(-[IJL--__.._____

II(_

gof De allra flesta i praktiken förekommande funktioner är sammansatta i ett eller flera steg av enklare grundfunktioner. Exempel 40. Sammansättning med roten

J(x)

=

vx,

X ~

0,

som inre och exponentialen

xER, -

som yttre funktion ger upphov till funktionen

gof(x)=efi,

X~

0.

Dessa funktioner kan också sättas samman i omvänd ordning, varvid vi

får x E R. Läsaren lägger naturligtvis märke till att g o f -/= fog ; detta är alltså ett exempel på att ordningen mellan funktionerna vid sammansätt ning har avgörande betydelse. D

Kapitel 1. Funktioner

94

Exempel 41. Ofta är det viktigt att kunna se vilka delar en given funktion är sammansatt av. Betrakta till exempel funktionen X

ER.

Den är uppbyggd genom sammansättning i en lång kedja av räknat - funktionerna

Ji(x) =

vx,

utifrån

h(x) = 1 + 2x,

Ty

ho 14 (x)

r

h O h O 14

2

= ex , 1 + 2ex2

och slutligen

fi o h O h

o

14 (X)

=

J 1 + 2eX

2

= 1(X). D

Exempel 42. Relationen (44) säger att sammansättningen 1- 1 o 1 är lika med den identiska avbildningen på D f, dvs. den transformation som lämnar varje element i Di oförändrat. På samma sätt innebär (45) att 1 o 1-1 utgör den identiska avbildningen på VJ· D

1.8.3

Diverse terminologi

I det föregående har vi ibland refererat till egenskaper hos funktioner i stil med växande, begränsad, etc., utan att alltid precisera den exakta innebörden. Medan vi ändå håller på med allmänna egenskaper hos funktioner tar vi tillfället i akt att komplettera framställningen på några sådana punkter.

Likhet För det första bör läsaren ha absolut klart för sig vad som ~enas med likhet mellan två funktioner. Relationen

l=g

1.8. Kompletteringar av funktionsbegreppet

95

innebär för det första att f och g har samma definitionsmängd och för det andra att

J(x) = g(x) för alla x i denna gemensamma definitionsmängd. I exempel 39 ovan hade vi anledning kommentera skillnaden mellan kvadratfunktionen x 1-+ x 2 definierad på hela R och funktionen som ges av samma formeluttryck men med definitionsmängden x > 0. Den senare är injektiv men inte den förra. Exempel 43. Funktionerna

f(x) = .;;Ji,

xER,

och

g(x) = lxl,

xER,

är lika. Ty

2: 0 då X< 0, då

X

och detta överensstämmer exakt med definitionen av lxl .

D

Begränsade funktioner

En funktion f kallas uppåt begränsad om dess värdemängd är en uppåt begränsad mängd, dvs. om det finns ett tal B sådant att

f(x) :S: B

för alla x i Dt.

På motsvarande sätt definieras en nedåt begränsad funktion. Vi säger slutligen att f är begränsad om f är såväl uppåt som nedåt begränsad. Exempel 44. Funktionen 1

f(x) = 1 + - , X

X> 0,

är nedåt begränsad, ty 1 1 + - > 1 för alla x > 0. X

Kapitel 1. Funktioner

96 Den är däremot inte uppåt begränsad, ty 1 1 + - ---. +oo

då

X ---.

0+ .

X

D Exempel 45. Funktionen 1

f(x) är begränsad. Ty

ex

= 1 + e'

xER,

2: 0 och alltså är 1 0 0 är strängt växande. Potensfunktioner med a < 0 är strängt avtagande. D Exempel 47. Funktionen x f---t x 2 med definitionsmängden R är inte monoton, ty denna funktion är varken växande eller avtagande i (hela) sin definitionsmängd. Funktionen x f---t x 3 är däremot strängt växande. D Exempel 48. En konstant funktion

f(x) = c,

xER,

är enligt definitionen såväl växande som avtagande, men naturligtvis inte strängt. ' D

Jämna och udda funktioner En funktion f kallas jämn om

f( -x) = f(x)

för alla x E D1.

Den kallas udda om

f( -x) = - f(x)

y

jämn funktion

för alla x E D1 .

y

udda funktion

Kapitel 1. Funktioner

98

En jämn funktion karakteriseras av att dess graf är spegelsymmetrisk med avseende på y-axeln. För en udda funktion gäller att om punkten (x, ligger på grafen så ligger även punkten (-x, -y) på denna; man kallar detta symmetri med avseende på origo. Speciellt går grafen till en udda funktion genom origo, om funktionen är definierad i x = 0.

y)

Exempel 49. Funktionen f(x) = x 2 är jämn och funktionen f(x) = x 3 är udda. Allmännare är monom av jämn grad jämna och monom av udda

grad udda funktioner. Exponential- och logaritmfunktioner är varken udda eller jämna. Detta gäller naturligtvis de flesta funktioner. D

1. 9

De trigonometriska funktionerna

Vi ska formulera en definition av de trigonometriska funktionerna som bygger på den geometriska åskådningen och intuitionen. Sålunda förutsätter vi att man på ett rimligt sätt kan definiera och mäta längden av en cirkelbåge. Talet 1r definierar vi som halva omkretsen av en cirkel med radien 1 ( enhets cirkel).

1.9 .1

Radianer

Inom många tillämpningsområden är det naturligt att använda grader som mått på vinklar, vanligtvis då med en skala där 360 grader utgör ett helt t varv. I matematik är detta vinkelmått olämpligt och man gör i stället på följande sätt. Om en viss vinkel ska mätas lägger vi in ett rätvinkligt koordinatsystem med origo i vinkelspetsen och det ena vinkelbenet utefter den positiva horisontella axeln. Vi placerar också en enhetscirkel med centrum i origo. Som mått på vinkeln använder vi längden t a.,; den del av enhetscirkeln som befinner sig mellan de båda vinkelbenen. Vi utgår därvid från punkten (1, 0) och räknar t positivt moturs och negativt medurs.

1.9. De trigonometriska funktionerna

99

Dessutom tillåter vi båglängder t som svarar mot mer än ett helt varv. - Detta vinkelmått benämnes bågmått eller radianer. För vissa standardvinklar har vi följande samband mellan deras mätetal i grader respektive radianer:

-30° 7r

-6

1.9.2

oo

30° 45° 60° 90° 180° 360° 720° 7r

0

-

6

7r

-

4

7r

7r

-

-

3

21r

7r

2

41r

Sinus och cosinus

Definitioner y

Låt P(t) vara den punkt på enhetscirkelns periferi som svarar mot en cirkelbåge av längden t mätt med punkten (1, 0) på x-axeln som utgångspunkt. Vi, definierar talen cos t

och

cost

sin t

X

som x- respektive y-koordinaten för punkten P(t). Detta innebär till exempel följande funktionsvärden:

t

0

cost

1

sin t

0

7r

31r 2

0

-1

0

1

0

-1

7r

2

På grund av de likformiga trianglarna i figuren på nästa sida ser vi också att för vinklar t i en rätvinklig triangel gäller:

talet cos t är lika med förhållandet mellan närliggande katet och hypotenusa och

talet sin t är lika med förhållandet mellan motstående katet och hypotenusa.

Kapitel 1. Funktioner

100

asint

I en halv liksidig triangel och en halv kvadrat är sambanden mellan sidorna enligt Pytagoras' sats givna enligt figurerna nedan. Alltså har vi värdetabellen

t cost sin t

7r

7r

7r

6

4

3

v'3

1

2

1 2

2

1

1

v'3

2

v'2

2

\

av'3 ,

-2

a

\

a

a 2

Dessa funktionsvärden måste läsaren vara beredd på att antingen kunna utantill eller direkt kunna ta fram som i figurerna ovan. Vi går nu över till att uppfatta båglängden som variabel, och byter då beteckning till x. Funktionerna X f---+ COS X

och

x

f---+

sin x

är definierade för alla reella tal x, och deras värdemängd är det slutna intervallet [- 1, l]. Vidare är de periodiska med perioden 271", dvs. de

1.9. De trigonometriska funktionerna

101

uppfyller relationerna

cos(x + k 21r) = cos x,

sin(x

+ k 21r) = sinx

för alla heltal k. I följande figurer visas två perioder av graferna av cosinus och sinus: y

y

1

= cosx

X

y

Man ser också av definitionen att cosinus är en jämn funktion, dvs.

(46)

cos(-x)

= cos x

för alla x,

medan sinus är en udda funktion, dvs.

(47)

sin(-x)

=-

sin x

för alla x.

Trigonometriska formler och trigonometriska ekvationer Många trigonometriska samband kan inses genom direkt inspektion i enhetscirkeln. Läsaren bör vänja sig vid ett sådant arbetssätt. Med hjälp av Pytagoras' sats får man omedelbart av definitionerna av cos x och sin x att (48) cos 2 x + sin2 x = I,

Kapitel 1. Funktioner

102

en relation som brukar benämnas den trigonometriska ettan. Exempel på andra sådana "inspektionssamband" är (49)

cos(1r - x) = - cosx,

(50)

sin(1r - x) = sinx,

(51)

cos(x+1r) = -cosx,

(52)

sin(x + 1r) = - sinx,

(53)

cos(i - x) = sinx,

(54)

sin ( %- x) = cos x.

Sålunda inses till exempel (54) genom att jämföra y- respektive xkoordinaten för de två punkter på enhetscirkeln som svarar mot vinklarna respektive i vidstående figur. De skuggade trianglarna i figuren är ju kongruenta.

i-x

x

Exempel 50. Bestäm alla lösningar till ekvationen . 3x sm

= 21

i intervallet 0 :::; x < 21r. Lösning: Det finns två vinklar i intervallet O :::; t < 21r som uppfyller kravet .

smt

1

= 2,

·· rigen vm · klarna 61r och 1r - 61r nam (jämför med (50)). Alltså måste 7f

3x = 6 + k21r

= 651r

1.9. De trigonometriska funktionerna

103

eller 3x

51r

= 6 + k21r

X=

51r 18

+

k27r 3 '

där k i båda fallen genomlöper de hela talen 0, ±1, ±2, .... Kravet att 0 :S x < 21r ger i båda fallen att k är 0, 1 eller 2. Ekvationen har alltså de sex lösningarna 1r

51r

131r

177r

18'

18'

18' 18'

251r 18 '

291r 18

i intervallet [0, 21r[.

D

Exempel 51. Lös ekvationen

cos 5x Lösning:

= cos 3x.

Eftersom

cos /3 = cos a

~

/3 =

±a + k21r

(se figuren) får vi två uppsättningar lösningar, nämligen 5x

= 3x + k21r

X=

k1r,

k E Z,

och 5x

=

-3x + k21r

X=

7r

k-

4'

k E Z.

Den senare uppsättningen, i figuren markerad med ringar, innehåller den förra, vilken är markerad med kryss. Svaret kan alltså sammanfattas som X =

7r

k4'

k E Z.

D

Kapitel 1. Funktioner

104

Exempel 52. Lös ekvationen cos2 x i intervallet 0

~ x

+ 3sin2 x = 2

< 2n.

Lösning: På grund av den trigonometriska ettan är cos2 x varför ekvationen kan skrivas om som

= 1,

2sin2 x dvs. som

. 2

sm x

.. f ar v1 sm x = Harav O

•

•

1 v12

= 1- sin2 x,

= 21 .

1 . x = - v12. e11er sm

som 1. exempe1 50 fi nner v1.

för dessa ekvationer lösningarna 7f

X=

4 + k27f

x

och

= 1r -

7f

37f

+ k 2n = -4 + k 2n 4

-

respektive 7f

X= - -

4

+ k2n

och

där k genomlöper Z. Lösningarna i intervallet [0, 2n[ ges i de två första fallen av k = 0, i de två senare fallen av k = l. De sökta lösningarna är alltså

1r

37f

57f

77f

4'

4'

4'

4

D

Förutom den trigonometriska ettan och andra enkla samband som inses genom direkta betraktelser i enhetscirkeln finns ett stort antal formler med cosinus- och sinusfunktionerna som läsaren måste behärska väl. De flesta av dessa samband kan i ett eller flera steg härledas från den så kallade subtraktionssatsen för cosinus: (55)

cos (x -y)

= cos x cos y + sin x sin y.

Ett enkelt bevis för denna formel erhålles genom att skriva skalärpro-

1.9. De trigonometriska funktionerna

105

0)

(sats 1.10, sidan 83) samt

(3)

sinx - - ---+ 1 då

x---+ 0

X

(sats 1.14, sidan 117). Vid härledningen av sådana resultat har vi hittills låtit oss vägledas av en intuitiv uppfattning av gränsvärdesbegreppet och av de regler som gäller vid räkning med gränsvärden. För att kunna utveckla en stringent matematisk teori måste man emellertid ge exakta definitioner av införda begrepp och utifrån dessa prestera fullständiga bevis av förekommande räkneregler. I detta avsnitt fastlägger vi sådana definitioner av gränsvärden och diskuterar därefter de regler som gäller. Teorins användning illustreras med en rad konkreta exempel. 135

Kapitel 2. Gränsvärden

136

Gränsvärdesdefinitioner I fallet x

-+

+oo definieras gränsvärde på följande sätt.

DEFINITION 1. Antag att f(x) är en funktion vars defi.nitionsmängd innehåller godtyckligt stora reella tal. Vi säger att f(x) har gränsvärdet A då x går mot oändligheten om det till varje givet tal c > 0 finns ett tal w (beroende av c) sådant att

x >w

(4)

X

}

====>

lf(x) -

Al < c.

E Dt

Detta skrivs1

J(x)-+ A

då

x-+ +oo

eller alternativt lim f(x)

x--++oo

= A.

(Utläses: limes (eller gränsvärdet) av f(x) då x går mot oändligheten är lika med A.)

y

A+c A A-E

w

X

Innebörden i definitionen är följande: funktionen har gränsvärdet A då x-+ oo om funktionsvärdena f(x) uppfyller varje givet toleranskrav av formen A - E < f(x) < A + E 1 När

inget missförstånd kan uppstå skriver man ofta bara oo i stället för +oo.

2.1. Definition och räkneregler

137

så snart x är tillräckligt stort, dvs. för alla x > w. Ju större noggrannhet - dvs. ju mindre E - som anges, desto större måste i allmänhet w väljas för att toleranskravet ska vara uppfyllt för alla x > w. Definition 1 gäller speciellt för talföljder (an)~=o , som ju kan uppfattas som funktioner med de naturliga talen som definitionsmängd. För talföljder, men inte andra funktioner, förekommer också följande terminologi: om följden har gränsvärde dån------, oo säges den vara konvergent, annars divergent. Exempel 1. Vi använder definitionen för att visa att

x+l

J(x) = - - ------, l

då

x------, +oo.

X

Låt E > 0 vara en godtycklig uppgiven noggrannhet. Vår uppgift är att visa att det finns ett w = w(E) så att alla x med x > w ger upphov till funktionsvärden f (x) som avviker från 1 med mindre än E. Men

för alla positiva x. Eftersom

~ E

====>

lf(x) -

11


~ ser vi att €

E.

y

l~Ei=-=--=-=--=-=--=-~:::::=±:::::::=::::::::::::::::::::::::::::::::==::: l-E !=w E:

X

Som w duger tydligen talet 1/E, men också vilket som helst större tal. Vi har alltså visat att det finns ett w sådant att lf(x) - 11 < E fö~ x > w. Eftersom E är godtyckligt litet är uppgiften därmed löst. D

Kapitel 2. Gränsvärden

138

Ovanstående exempel är typiskt för innebörden av gränsvärdesdefi- .. nitionen: i konkreta fall försöker man finna ett samband mellan E och w för hur långt bort man måste gå för att funktionsvärdena ska uppfylla noggrannhetskravet A - E < f(x) < A + E. Med andra ord anger man w som en funktion av E. Exempel 2. Funktionen

1

f(x) = sinx

2c{A.:-i--::-~~J-~~~~~~~-~_r~~~.J--~-~-i""~~~.t..:;_

X

saknar gränsvärde då x - +oo. Ty funktionsvärdena för godtyck-1 ligt stora x varierar mellan -1 och +1, och kan därför inte samlas nära något bestämt värde A. Villkoret i definitionen kan inte uppfyllas då E < l. D Gränsvärdesdefinitionen ovan är bara en av många liknande definitioner som måste göras. Vid våra undersökningar av de elementära funktionerna har vi också arbetat med

f(x) - A

då

X -

f(x) - A

då

x-a,

f(x) - A

då

x-a+,

f(x) - A

då

x-a-.

-00,

Dessa begrepp definieras analogt med den ovan behandlade prototypen limx-->+oo f(x) = A, och de betecknas med motsvarande limessymboler. Till exempel har vi i fallet x - a: 2 Låt f vara en funktion och antag att varje omgivning av punkten a innehåller punkter ur D f. Då säges f ha gränsvärdet A då x går mot a om det till varje tal E > 0 fi.nns ett tal 8 > 0 sådant att

lx - al < 8

(5)

}

==>

lf(x) -

Al < E .

x E DJ

2 Denna definition är inte standardiserad. I annan litteratur förekommer att villkoret skrivs O < lx - al < 8, dvs. man beaktar inte alls funktionens uppförande i punkten a. I så fall måste sats 3, sidan 140, om gränsvärde av sammansatt funktion ges en annan och mindre naturlig formulering.

---------

-

2.1. Definition och räkneregler

139

Om speciellt punkten a själv tillhör definitionsmängden kan man i (5) välja x = a. Följaktligen är lf(a) - Al < E för varje E > 0. Den enda möjligheten är då att A = f(a). Om f är definierad i a och har ett gränsvärde då x ---+ a måste detta gränsvärde sålunda vara lika med funktionsvärdet f (a). Gränsvärden av typen x---+ a+ och x---+ a- kallas höger- respektive vänstergränsvärde. Deras definition får man genom att i (5) ovan byta villkoret lx-al < ö mota :S x < a+ö respektive a-ö < x :s; a. Tydligen har f (x) gränsvärde när x ---+ a precis i det fall då såväl höger- som vänstergränsvärde existerar och de dessutom är lika.

I diskussionen ovan är det underförstått men viktigt att A är ett tal. Man behöver emellertid också införa begrepp som till exempel

f(x)---+ +oo då x---+ +oo, f(x)---+ +oo då x---+ a,

f (x)

---+

-oo

då

x ---. a+.

Sådana kallar vi för oegentliga gränsvärden. De definieras analogt med de tidigare (egentliga) gränsvärdena. Till exempel betyder lim f(x) = -oo

X-ta+ y

a a+ö X

-c - - - - - -

Kapitel 2. Gränsvärden

140

att det för varje givet (stort) tal c finns ett tal 5 > 0 sådant att a:Sx0 X+ x 2 D

Exempel 5. Beräkna

lim (Jx 2 -x - x).

X------>+oo

Lösning: Att direkt gå till gränsen är omöjligt, eftersom vi som resultat får ett formellt uttryck av formen [00-00], och sådana är helt obestämda (frestas aldrig att ge det värdet O!). Det fordras alltså en omskrivning av något slag. Ett standardknep för funktioner med detta utseende är: förläng med uttryckets konjugatkvantitet, dvs. i detta fall med J x 2 - x+x. Vi får då

(Vx 2 - X- X) ( Vx 2 - X+ X)

Jx 2 -x-x=~-----"----'------~ Jx 2 -x+x

x2

-

x - x2

Jx 2 -x+x

-x Ett nytt försök med sats 2 ger återigen ett obestämt formellt uttryck, denna gång av formen [~]. Men vi vet redan att vi i denna situation ofta kan klara oss genom att bryta ut den dominerande funktionen i nämnaren, i detta fall x, och förkorta med denna. Vi gör detta och får då ~ -x - 1 yx 2 -x-x = - - -- - - x (

JI=1 + 1) J1 - ½+ 1-1

JI=o+ 1 Alltså är det sökta gränsvärdet svar?)

1 2

X------>l X

X -

+oo.

-½- (Är det rimligt med ett negativt D

Exempel 6. Beräkna

lim

då

2

x3 - 1 + 2X - 3 .

Kapitel 2. Gränsvärden

144

Lösning: Direkt gränsövergång ger det obestämda resultatet [8] och fungerar alltså inte. Däremot ger det en vink om att polynomen i täljare och nämnare enligt faktorsatsen båda innehåller faktorn x-1. Via polynomdivision med x-1 kan alltså såväl täljare som nämnare faktoriseras. Vi får (x - 1) (x 2 + x

x 3 -1 x 2 + 2x - 3

+ 1)

x+3

(x-l)(x+3)

Gränsvärdet är alltså

+x +I

x2

-----+

3 4

-

då

X-----+

I. D

¾.

Exempel 7 . Beräkna

lim xsin ~ -

x-->O

X

Lösning: Här kan produktregeln inte användas, ty sin ¾ saknar gränsvärde när x -----+ 0. Däremot är sin ¾ en begränsad funktion , ty \sin¾\ ~ 1 för alla x # 0. Alltså följer direkt av sats 1 att x sin ~

-----+

0

då

x

-----+

0.

X

D Exempel 8. Beräkna för ett fixt tala > 0

lim x°' lnx. x-->O+

Lösning:

Omedelbar gränsövergång ger oss det obestämda uttrycket

[O · (-oo )] som saknar mening. På försök introducerar vi en ny variabel t genom att sätta x = ½. Då blir o:

x In x =

( 1 ) o:

t

1

ln t = -

ln t t°.

Eftersom tydligen 1

t=-

-----+

+oo då

X -----+

0+

X

har vi därmed - på grund av sammansättningsregeln lemet på standardgränsvärdet ln t t°'

-----+

0

då

t

-----+

+oo

återfört prob-

2.1. Definition och räkneregler

145

(sats 1.10, sidan 83). Alltså gäller att x°' ln X

(9)

-+

0

då

X -+

0+.

Detta resultat är viktigt, och i fortsättningen räknar v1 m det bland standardgränsvärdena. D Exempel 9. Beräkna

lim

arcsinx

x->O

X

Lösning: Det kan ofta, vid all slags problemlösning, vara fördelaktigt att introducera en ny variabel. Vi gjorde så redan i föregående exempel. I detta fall sätter vi y = arcsin x. Då gäller att y-+

0 då

X-+

0.

Alltså får vi av standardgränsvärdet limt-,o sin t = 1 att t arcsinx X

y

siny -

1 då

X-+

0,

och problemet är löst.

D

Exempel 10. Beräkna

lim

,,/xe 1lx_

x->+oo

Lösning: Vissa varianter av gränsvärdesreglerna kan formuleras även för oegentliga gränsvärden. Vanligtvis räcker det med lite eftertanke för att dra de rätta slutsatserna. I det aktuella problemet går den första _ faktorn mot +oo och den andra mot e0 = 1 (sammansättningsregeln!). Produkten· ,/x e 1 /x blir tydligen obegränsat stor för stora x. Med andra ord gäller att ,,/x e1 /x -+ +oo då x -+ +oo. D

För säkerhets skull sammanfattar vi de viktigaste fallen för vilka man inte kan formulera några allmängiltiga regler: om man vid direkt gränsövergång får något av de formella uttrycken

[00-00],

[~],

[O · oo],

[§],

[1=],

[ooo],

Kapitel 2. Gränsvärden

146

kan man inte utan vidare göra några säkra uttalanden om ett eventuellt gränsvärde. Det krävs kompletterande undersökningar, omskrivningar och kanske variabelbyten. Standardgränsvärdena syftar till att en gång för alla ta hand om ett antal ofta förekommande situationer av detta slag. Fler standardgränsvärden presenteras längre fram.

Bevis av räknereglerna Som avslutning på detta avsnitt ger vi nu bevisen för satserna 1- 5. Vi väljer att utföra dem i fallet x ---> +oo. Övriga fall behandlas helt analogt. BEVIS AV SATS l. Kravet att g(x) är begränsad för stora x innebär enligt definitionen att det finns tal C och w 0 så att

x

> wo

=}

lg(x)I < C.

Låt c: vara ett givet positivt tal. Förutsättningen om f innebär att det finns ett tal w1 så att c

X> W1

Om w

=}

IJ(x)I < c·

= max(wo, w1 ) 4 gäller alltså x>w

c

=}

lf(x)g(x)I = lf(x)I lg(x)I < C · C = c:.

Enligt definitionen av gränsvärde innebär detta precis att f(x)g(x)

--->

X---> 00.

0 då 0

BEVIS AV SATS 2. (6): Låt c: vara ett godtyckligt positivt tal. Enligt definitionen av gränsvärde finns tal w1 och w2 så att

c

W1

=}

lf(x) - Al< 2

x>w2

=}

lg(x)-Bl< 2 .

x> och

c

Sätt w = max(w1 , w2 ). Av triangelolikheten (1.5), sidan 46, följer att för alla X> W är

j(f(x)+g(x)) - (A+B)j = j(f(x) - A)

+ (g(x) -

B)j :S c

c

:S lf(x) - Al+ lg(x) - Bl < 2 + 2 = c:. 4 Med max(a, b) menas det största av talen a och b. Man har även beteckningen min( a, b) för det minsta av dessa tal.

,

.

.

-

2.1. Definition och räkneregler

147

Definitionsmässigt är detta innebörden av (6). Beviset är klart.

(7): Det faktum att g(x) har gränsvärde när x -, oo medför bland annat att g(x) är begränsad för stora x; funktionsvärdena ligger ju då samlade kring gränsvärdet B. Vi utnyttjar nu omskrivningen f(x)g(x) - AB= (J(x)-A)g(x)

+ A(g(x)-B).

Eftersom f(x) - A _, 0 och g(x) - B -, 0 ser vi att gränsvärdet (7) följer genom en kombination av sats 1 och (6).

(8): Det räcker att visa att 1

(10)

1

då

- - -> -

g(x)

B

X -> 00,

ty sedan kan vi använda den redan bevisade produktregeln (7) på funktionerna 1 J(x) och g(x). Men förutsättningen att limx----, 00 g(x) = B med Bi- 0 medför

1

,

att g(x) är en begränsad funktion för stora x. Ty om till exempel Bär positivt är

g(x) > Bför stora x (välj c

B

B

2=2

= B /2 i gränsvärdesdefinitionen) och alltså 1 O < g(x)

2

< B.

(Fallet B < 0 behandlas analogt.) Efter detta konstaterande följer (10) direkt genom att applicera sats 1 på

1 g(x)

--

-

!=

(B - g(x)). Bg\x)"

Därmed är även (8) bevisad.

D

BEVIS AV SATS 3. Låt c vara ett givet positivt tal. Enligt gränsvärdesdefinitionen (5) använd på f (t) finns ett tal 8 > 0 sådant att

it - al < 6

=}

IJ(t) - Al < E.

En ny användning av gränsvärdesdefinitionen, nu i formen (4), ger att det finns ett w så att jg(x) - al < 6 för alla x > w.

Kapitel 2. Gränsvärden

148 Sammanfattar vi detta finner vi att

x>w

==}

lg(x) -

al < J

lf(g(x)) -

==}

Al < E, D

och beviset är klart enligt definition (4).

4. Låt c vara ett givet positivt tal. Enligt förutsättningen finns tal w1 och w2 så att

BEVIS AV SATS

x > w1

==}

A-

E:

< f(x) < A + E:

x > w2

==}

A-

E:

< g(x) < A + E: .

och Därmed är

A-

E:

< f(x) ::; h(x) ::; g(x) < A + E: för alla x > max(w1, w2),

vilket definitionsmässigt medför att h(x) har gränsvärdet A. BEVIS AV SATS

D

5. Sätt

h(x)

= g(x) - J(x).

Det räcker att visa att om h(x) ~ 0 för stora x och har gränsvärdet C så är C ~ 0. Men detta är en direkt konsekvens av definitionen av gränsvärde. Vore nämligen C strängt negativt skulle vi genom att välj a c = -C/2 > 0 i gränsvärdesdefinitionen (4) få att

C

+ -C < h(x) < C - -C 2

2

och alltså speciellt

h(x)
xo

= J(xo)-

2.2. Kontinuerliga funktioner

149

För att nämna några fall så använde vi i exempel 9 att limx----+O arcsin x = arcsin 0, i exempel 5 att limx----+1 VX = VI och i exempel 3 och 4 att limx----+O cos x = cos 0. Alla funktioner har inte egenskapen (11) , i varje fall inte i varje punkt xo i definitionsmängden. Funktionen

f (X)

=

{

0 då X< 0 1 då X : 0

är ett sådant exempel; den saknar gränsvärde när x----+ 0. I själva verket döljer sig i den till synes oskyldiga relationen (11) en av de viktigaste egenskaper som man kan tillskriva en funktion . DEFINITION 2. En funktion f säges vara kontinuerlig i en punkt x 0 om xo tillhör definitionsmängden och om gränsvärdet

lim f(x)

X----+XQ

existerar (och därmed automatiskt är lika med funktionsvärdet f(xo)). Om en funktion är kontinuerlig i varje punkt i sin definitionsmängd kallas den kontinuerlig.

-

Exempel 11. Funktionen jxj är kontinuerlig. Ty enligt den omvända triangelolikheten är

/lxl - !xo l/ :S lx - xol - för varje xo. Detta visar att JxJ----+ lxol då x----+ xo, dvs precis att JxJ är kontinuerlig i xo. D Punkter i vilka en funktion inte är kontinuerlig refereras ofta t ill som diskontinuitetspunkter eller diskontinuiteter. Ibland talar man också om en singularitet i en sådan punkt. Innebörden av begreppet kontinuitet är att en liten variation av variabeln x endast medför en liten ändring av funktionsvärdet f(x). En plötsligt förändring av funktionsvärdena indikerar alltså närvaron av en diskontinuitet.

Kapitel 2. Gränsvärden

150

De elementära funktionerna är kontinuerliga Av räknelagarna för gränsvärden följer omedelbart att om kontinuerliga funktioner så är även

f +g,

fg,

f g

f och

g är

fog

'

kontinuerliga i sina respektive definitionsmängder. Till exempel gäller (11) för f +gom formeln gäller för f och g var för sig. Eftersom funktionen f(x) = x självklart är kontinuerlig följer genom upprepad användning av dessa regler att varje polynom och varje rationell funktion är kontinuerlig. Vi accepterar utan strängt bevis att processen vid införandet av potenser aa är sådan att den leder till kontinuerliga potens- och exponentialfunktioner. Den geometriska situationen vid införandet av de trigonometriska funktionerna indikerar att även dessa är kontinuerliga: en liten ändring av båglängden x ger upphov till små förändringar av koordinaterna cos x och sin x för motsvarande punkt på enhetscirkeln. De hyperboliska funktionerna är uppbyggda av exponentialfunktioner och är därför kontinuerliga. Att slutligen även logaritm- och arcusfunktionerna är kontinuerliga följer av en allmän sats, nämligen:

(12)

inversen till en strängt monoton och kontinuerlig funktion är kontinuerlig. 5

Alla de elementära funktionerna från polynom till arcusfunktioner är alltså kontinuerliga. Detsamma gäller då också för alla funktioner som är uppbyggda av dessa med hjälp av addition, multiplikation, division och sammansättning. Exempel 12. Funktionen

f(x)

=

sin(2xex), X

X

i= 0,

är kontinuerlig eftersom den är konstruerad med hjälp av de kontinuerliga funktionerna x, ex och sin x. Den är diskontinuerlig i punkten x = 0, ty den är ju inte ens definierad i denna punkt. Fråga: kan f tilldelas ett värde i x = 0 (utvidgas) så att den blir kontinuerlig även ,d är? Vilket värde ska i så fall väljas? 5 För

bevis se appendix C .

2.2. Kontinuerliga funktioner

151

Lösning: Vi gör omskrivningen

Den andra faktorn har gränsvärdet 2e0 = 2 då x ---t 0, eftersom exponentialfunktionen är kontinuerlig. Om vi i den första faktorn sätter t = 2xex så gäller av samma skäl att t ---t 0 · e0 = 0 då x ---t 0. Därför får vi av standardgränsvärdet limt--,o sin t = 11 och sammansättningsregeln att denna t faktor går mot 1 då x ---t 0. Det följer att

f(x)---tl·2=2

då

X---tO.

Om vi alltså definierar

f(O) = 2 så uppfyller den på detta sätt utvidgade funktionen (11) även i x = ,0.

f

kontinuitetskravet D

Exempel 13. Visa följande två gränsvärden för talföljder:

för varje fixt a

lim va= 1

n-->oo

>0

och lim

n-->oo

yn =

1.

Lösning: Båda gränsvärdena är konsekvenser av det faktum att exponentialfunktionen är kontinuerlig. Det första följer direkt härav ty

va= a 1l n ---t a 0 = 1

då

n

---t

00.

Det andra erhålles efter en enkel men viktig omskrivning: n l/n

= e ln nl/n

Med hjälp av denna får vi att

vn = nl/n = elnnl /n = e¾ lnn -

eo

= 1 då

på grund av standardgränsvärdet (2), sidan 135.

n -

oo, D

Kapitel 2. Gränsvärden

152

Exempel 14. Funktionen

X> 0, kan med samma omskrivning som i föregående exempel skrivas

f(x) =

(13)

elnxx

= exlnx_

Detta visar att f är kontinuerlig i hela sin definitionsmängd. Uppgift: tilldela funktionen ett värde i x = 0 så att den blir kontinuerlig även där.

Lösning: Uppgiften kräver omsorg. Om vi - felaktigt - uppfattar f som en potensfunktion frestas vi dra slutsatsen att limx----,o+ f(x) är lika med 0. Om vi däremot - lika felaktigt - uppfattar f som en exponentialfunktion så leds vi till att gränsvärdet är 1. Den korrekta behandlingen gör vi med hjälp av omskrivningen (13) . Enligt standardgränsvärdet (9), sidan 145, gäller att X

ln X

--t

O då

X --t

o+.

På grund av exponentialfunktionens kontinuitet gäller alltså att

j (X)

=

ex In x --t e 0

Vi måste därför definiera origo.

f (O) =

= 1

då

X --t

o+.

1 om vi vill åstadkomma kontinuitet i D

De exempel vi sett ovan visar att funktioner kan ha mycket olika uppförande nära en diskontinuitetspunkt. För funktionen i exempel 12,

f(x) = sin(2xex),

X

=f. 0,

X

var den enkla åtgärden att definiera f (O) = 2 tillräcklig för att göra funktionen kontinuerlig i x = 0. Man säger att en funktion f har 'en hävbar diskontinuitet i x 0 om f är diskontinuerlig där men blir kontinuerlig om f (xo) definieras lämpligt.

2.2. Kontinuerliga funktioner

153

Stegfunktionen

0(x) -

Q {

då X< 0

1 då

X>

0

har ingen hävbar diskontinuitet i origo. Likväl är denna funktion inte särskilt komplicerad nära x = O; både vänster- och högergränsvärde existerar ju. En sådan funktion säges ha ett språng i diskontinuitetspunkten. Exempel på en funktion med mer komplicerat uppträdande nära singulariteten är

f(x) =sin.!, X

I varje omgivning] -ö, 0 och att

Cn,k

för fixt k växer med n. Eftersom

samtidigt antalet termer i utvecklingen växer med n följer att ( 1 + växande talföljd.

¾)

n

är en

Kapitel 2. Gränsvärden

156

För att visa att följden är uppåt begränsad räcker det att göra de grova uppskattningarna 1

1

1 kl

----< 1 · 2 · 3 · ... - k - 1 . 2. 2 . .... 2

och

j

j

1- - < 1, n

=

1

= 2k-l'

k?. 2,

1, ... , k-1.

Dessa visar nämligen att 1

Cn,k

< 2k-l

då k ?_ 2,

varefter formeln för en geometrisk summa (sats 1.5, sidan 58) ger olikheten

l)n < 1 +1+ -+ 1 ... +-k 1 1 ( 1+n 2 2 - 1+ .. . +--1 2n- = = 1+

Alltså är ( 1 +

~) n < 3 för

l

-

( 1 )n 21

1- 2

1

< 1 + --1 1- 2

= 3.

alla n. Beviset är klart.

D

Egenskapen (16) hos de reella talen samt sats 6 visar att talföljden ( 1 + ~) n har ett gränsvärde när n --. oo. Det är därför meningsfullt att göra följande definition. DEFINITION

3. Gränsvärdet lim

(17)

n->oo

(1 + ~)n n

betecknas med bokstaven e och kallas för den naturliga logaritmens bas. På vilket sätt e är "naturligare" som logaritmbas än andra tal större än 1 kommer att framgå i kapitel 3 när vi lärt oss derivera de elementära funktionerna. För n = 1 är ( 1 + ~) n = 2. Alltså har vi enligt bevise~ för sats 6 olikheten 2 ::;

(1 + ~)

n

< 3 för alla n.

2.3. TALETe

157

Av regeln för gränsövergång i olikheter följer därför att 2 :S e :S 3.

Det är en nyttig övning för intresserade läsare att försöka förfina cienna uppskattning och till exempel visa att 2.7 :Se :S 2.75. Noggranna värden på e kan till exempel räknas fram med hjälp av serieutvecklingar. (Se exempel 9 i kapitel 9, sidan 440.)

Anmärkning. Det faktum att gränsvärdet (17) ligger mellan 2 och 3 ger anledning till ett par varnande observationer. Med hänvisning till produktregeln kanske man frestas hävda att eftersom varje faktor i (17) har gränsvärdet 1 borde produkten gå mot 1. Men produktregeln kan bara användas då antalet faktorer är fixt , och i (17) beror detta antal på n. Likaså kan man lätt förledas dra den felaktiga slutsatsen att gränsvärdet (17) är oo med hänvisning till att an -+ oo dån -+ +oo om a > l. Denna regel förutsätter emellertid att a är en konstant (oberoende av n) , ett krav som inte är uppfyllt i föreliggande fall.

Exempel 15. Beräkna gränsvärdet lim n -->=

(1 + -2:_) 2n

n

Lösning: Vi gör omskrivningen

-

På grund av sammansättningsregeln och kontinuiteten av potensfunktionen x 112 ser vi härav direkt att

( 1 + 2~) n -+ e 1/ 2

=

ve

då

n -+

00.

0

Det är naturligt att också undersöka gränsvärden av funkt ionen

då variabeln x genomlöper alla reella tal och inte bara de naturliga talen som i (17). Vi ger några varianter.

Kapitel 2. Gränsvärden

158

7. Det gäller att

SATS

(18)

( 1 + ~) x

-t

e

då x

(19)

( 1 + ~) X

-t

e

då

1 + X)

(

(20)

1/x -t

e

-t

+oo,

X - t -OO,

då

X -t

0.

Vi visar (18) med hjälp av instängning. Låt n beteckna heltalsdelen av x, dvs. det heltal som satisfierar n :S x < n + l. Då är för BEVIS.

x21

1)

l)x l)n( ( 1+; :S: ( 1+;l)n+l :S: ( 1+;;:l)n+l = ( 1+;;: 1+;;: och 1) x ( 1+-

x

2

(

1) 1+x

n

(

2

1 ) n 1+-= n+l

(

1 ) 1+-n+l

n+ 1 (

1 )-l. 1+-n+l

Eftersom tydligen båda högerleden i dessa olikheter går mot talet e då x - t +oo följer (18) av instängningsregeln. Märkligt nog kan man återföra (19) på (18). För detta ändamål sätter vi X=

-y

och gör omskrivningarna

1) X -_ ( 1+X

(

1 1-y

)-y-_ (Y -1 )-y_ - (- Y - ) y-_ (1 +1-) y-_

= ( 1 +1y-1

När nu x

-t

- oo, dvs.

y- 1

y

y

y- 1

)y-l (1 +y - -1 . 1 )

-t

+oo, ser vi på grund av (18) att ( 1 + ~) x

e · 1 = e. Gränsvärdet (20) slutligen följer av (18) och (19) genom 'a tt sätta 1

x -- -t'

-t

2.3. TALETe

När x går mot

159

o+ går t (

mot +oo och vi får av (18) att

1 + X)

1/x

l)t

(

= 1 + t,

-+

e.

När x går mot o- går t mot -oo, varför vi enligt (19) får samma resultat vid denna gränsövergång. Sammanfattningsvis har vi funnit att (1 + x) 1fx-+ e då x-+ 0. D Av sats 7 följer ytterligare ett par standardgränsvärden. SATS

8. Det gäller

ln(l + x)

(21)

___:__

_..:_ -+

1

då

0

X -+

X

och ex -

(22)

1

- - -+

1

då

X -+

0.

X

BEVIS. Eftersom logaritmen är en kontinuerlig funktion följer av (20) att ln(l+x) X

= .! ln(l+x) = ln(l+x) 1/x

-+

X

lne

= 1 då

x-+ 0.

Därmed är (21) bevisad. Gränsvärdet (22) är helt ekvivalent med (21). Ty med x

= ln(l + y),

ser vi att y -+ 0 när x

-+

ex -

1,

0 och omvänt. Alltså följer av (21) att y

X

y=

dvs.

ln(l+y)

-+

1

och satsen är bevisad.

då

X -+

0,

D

Exempel 16. Beräkna gränsvärqet

sinhx . 11m - -. x->O sinx

Kapitel 2. Gränsvärden

160

Lösning: Gränsvärdet är av formen [8] och kräver därför speciella åtgärder. Omskrivningen

sinhx sinx

½(ex-e-x ) sinx

1 2

e 2x-1 sinx

~ - - - - = - e-x - - - = e-x

e2x-1 2x

X

sinx

återför beräkningen på standardgränsvärdena (22) och (3). Vi får att sinhx sinx

- - ----t

1·1·1

=

1

då

X ----t

0. D

2 .4

Standardgränsvärden

För läsarens bekvämlighet sammanställer vi här alla de viktiga gränsvärden som uppträtt tidigare i olika sammanhang, och som med ett gemensamt namn brukar kallas standardgränsvärden. Det är fråga om sådana resultat som används ofta och som man därför alltid bör ha aktuella, men som samtidigt inte är triviala konsekvenser av räknereglerna. En jämförelse mellan värdena för stora x av potens-, exponentialoch logaritmfunktionerna ledde i satserna 1.8, sidan 76, och 1.10, sidan 83, till gränsvärdena (23)

x°' ax

-

----t

0

X ----t

då

+oo

(a > 1)

och In x ----. 0 då X ----t +oo (ex > 0). X°' En variant av dessa gränsvärden räknade vi fram i exempel 8, sidan 144: (24)

(25)

x°' ln X ----t O då

X ----t

o+

(ex > 0).

Gränsvärdena (23)- (25) är väsentligen ekvivalenta. I sats 1.14, sidan 117, visade vi att

(26)

sinx - - ----t

1

då

X ----t

0.

X

.,. -· -

2.4. Standardgränsvärden

161

Nästa grundläggande gränsvärde finner vi i sats 7 i föregående avsnitt: (

(27)

1/x

l+x )

då

--+e

X--+

0.

Ekvivalenta med detta gränsvärde är ln(l +X)

(28)

X --+ 0

1 då

--+

X

och

ex - 1

(29)

--

då

1

--+

X --+

0

X

(sats 8). De tre sista gränsvärdena bygger alla på definitionen av talet e, dvs. på gränsvärdet

¾)

(1+

(30)

n --+

e då n

--+

oo.

I exempel 1,3, sidan 151, fann vi gränsvärdena

(31)

via --+ 1

då

n

--+

oo,

(32)

yn --+ 1

då

n

--+

oo.

Vi avslutar med ytterligare två gränsvärden för talföljder. Det första innebär en jämförelse mellan exponential- och fakultetsfunktionerna för stora n.

an

(33)

-

n!

--+

O då

vrJ --+ oo

(34) BEVIS AV

(33).

n--+

då

n

oo,

--+

oo.

Vi kan utan inskränkning anta att a > 0. Sätt

K= [a] +L För alla n > K har vi då att

an

a a

a

1

K

0 c för alla n > w. D

Detta är precis innebörden av (34).

2.5

Användningar av gränsvärden

Gränsvärdesbegreppet är grundläggande i den meningen att hela differential- och integralkalkylen ytterst vilar på detta. Det finns emellertid också flera andra användningar av gränsvärden. Vi ska se på några sådana.

2.5.1

Asymptoter

Betrakta en funktion f definierad för x 2". x 0 . Vi är intresserade av att ge en lite mer precis beskrivning av funktionens uppförande för stora x än att bara säga att gränsvärdet existerar eller inte existerar. Speciellt intressant kan det vara att undersöka om funktionskurvan y = f (x) ansluter väl till någon linje y = ax+ b för stora x. Se figuren. y

kurva y=f(x) ~ I

~asymptot y = ax+b X

X

163

2.5. Användningar av gränsvärden

Vi inför följande terminologi. 4. En rät linje y då x -+ +oo om

DEFINITION

y

= f (x)

= ax+ b kallas asymptot

f(x) - (ax+ b)-+ 0

då

till kurvan

x-+ +oo.

På motsvarande sätt talar man om,en asymptot då x-+ -oo.

"

Att linjen y = ax+ bär asymptot till kurvan y = f(x) då x innebär tydligen att vi kan skriva

-+

oo

J(x) =ax+ b + g(x) ,

(35) där g(x)-+ 0 då x-+ oo.

· Exempel 17. Funktionen f(x)

=

2x + 3,

X-/=

X

har asymptoten y

= 2 då x-+ +oo. Detta ser vi genom omskrivningen J(x)

3

= 2+ - . X

Här har vi precis situationen i (35), eftersom Exempel 18. Kurvan y

= - ~2 då x

-+

= %då x -oo .

~X

-+

0 då x

-+

+oo

D

y

n/2-+------_.:::~-=

= arctanx

har asymptoterna y och y

0,

-+

X

oo D

- - - - - - + - - n /2

I själva verket är det naturligtvis så att så snart f har ett gränsvärde b då x -+ oo är linjen y = b asymptot. Man kallar sådana asymptoter vågräta. Begreppet asymptot är mer intressant när det blir fråga om en linje med riktningskoeffi.cient skild från noll.

Kapitel 2. Gränsvärden

164

Exempel 19. Betrakta kurvan

4x

X

y =

Funktionen

f

f(x)

2 - 3 + x2 + 1 ·

=

har formen (35) med a

g(x) Vi ser att g(x)

-----+

4x

= ~' b = -3 och

= -- = x2

+1

4 X

1 + J__. x2

0 när x-----+ oo . Linjen y = ~ - 3 är alltså asymptot till

kurvan. Kurvan har för x > 0 följande utseende. (Det närmare förloppet kan utredas först när vi får tillgång till derivator.) y

D Exempel 20. Bestäm eventuella asymptoter i oo och - oo till kurvan y = f(x) om f (x) = x 3 + 2x 2 - 2x - 2 . x2 - 2 Lösning: Efter en polynomdivision får vi att 2

f (X) = X + 2 + X 2 _

2.

På samma sätt som i exempel 19 ser vi nu att linjen y = x+2 är asymptot då X-----+ 00. Undersöker vi vad som händer då x -----+ -oo får vi samma resultat; linjen y = x + 2 är asymptot. D

2.5. Användningar av gränsvärden

165

Exempel 21. Funktionen 4 2 f 2 (X ) = x + 2x2 - 22x X -

skiljer sig som synes bara obetydligt från ger 2

h(x)=x +4-

f

2

i exempel 20. Polynomdivision

2x - 6 . 2 X - 2

Genom att förkorta med nämnarens dominerande term ser man att 2x - 6 ---t O då x ---t +oo. Kurvan y = h(x) närmar sig alltså parabeln 2 X

y

-2

= x 2 + 4 då x

+oo. Den kan därmed inte närma sig någon rät linje. Vi får samma resultat i -oo. Kurvan saknar asymptoter. D ---t

I exempel 20 är samma linje asymptot såväl i oo som i -oo. Exempel 18 visar att det inte alltid behöver vara så . Det kan även inträffa att en kurva har asymptot i det ena fallet men inte i det andra. Detta illustreras av nästa exempel. Exempel 22 . Kurvan y = ex har asymptoten y = 0 då x ---t - oo eftersom ex ---t O då. Fallet x ---t oo är annorlunda. En eventuell asymptot y = ax + b skulle ju uppfylla villkoret att ex -

(ax+ b)

---t

O då x

---t

y

oo.

Men detta är orimligt, ty ett standardgränsvärde utsäger att ex växer snabbare än varje potens av x då x ---t oo. D

y=O

X

Exempel 23. Med en hyperbel menar man en kurva som i ett lämpligt rätvinkligt koordinatsystem har en ekvation av formen

(36)

x2

-

a2

y2

- -

b2

= 1

'

Kapitel 2. Gränsvärden

166

där a och bär positiva tal. Ersätter man höger led i (36) med O får man en kurva som kan skrivas

x2 y2 ---=0 a2

b2

Den geometriska betydelsen är tydligen två räta linjer. Dessa brukar kallas för hyperbelns asymptoter. Vi ska nu se att det finns fog för denna benämning. Genom att dela upp i de två fallen y < 0 och y > 0 kan vi i (36) lösa ut y som funktion av x. Vi får därmed två funktionskurvor , ior vilka vi kan undersöka om definitionen av asymptot är uppfylld. I själva verket är ju ekvationen (36) symmetrisk med avseende på såväl x som y, så det räcker att göra räkningarna i första kvadranten. För x > 0 och y > 0 är (36) ekvivalent med att

(37)

X

2:: a.

Vi ska visa att linjen y

b a

= -x

är asymptot till denna kurva då x .vi visa att b a

+oo. Enligt definitionen behöver

-X -t

då

0

X -t

+oo.

Förlänger man med konjugatuttrycket får man

g(x) = b

~+a v~ -

l

~X

Här syns det tydligt att g(x) har gränsvärdet O då x .har vi visat att y = !!. x är asymptot till kurvan (37). a

+oo. Därmed

2.5. Användningar av gränsvärden

167

Undersökning av hyperbeln i de andra kvadranterna leder av symmetriskäl till motsvarande resultat. Vi har alltså bevisat att hyperbeln, uppfattad som fyra funktionskurvor, har de två linjerna y = ± !!. x som a asymptoter. När man ska rita en hyperbel är det alltid fördelaktigt att först rita dessa. Då har man ett stöd för att rita kurvan långt borta; den ska ju närma sig asymptoterna. Eftersom tydligen g(x) < 0 ser vi dessutom att hyperbeln i första kvadranten närmar sig asymptoten underifrån. y

b

X

-b

D Lodräta asymptoter När vi ovan definierade begreppet asymptot rörde det sig om en linje som inte var parallell med y-axeln. Ibland förtydligar man och kallar detta en sned asymptot. Även linjer parallella med y-axeln kan y ibland kallas asymptot. Funktionen 1

f(x) = (x - 2)2 går mot oo då x ---+ 2. Man säger i en sådan situation att linjen x = 2 är en lodrät asymptot till kurvan y = f( x). Det viktiga här är att kurvans avstånd till linjen går mot noll då y---+ oo.

2

X

Kapitel 2. Gränsvärden

168 Mer om sneda asymptoter

Vi ska här anvisa en metod att bestämma asymptoter för lite mer komplicerade funktioner. Antag att kurvan y = f(x) har en asymptot y = ax+b då x-+ +oo. Då gäller enligt definitionen villkoret (35). Vi har alltså att

f(x) b g(x) - - =a+-+-- , X

X

X

där enligt förutsättningen g(x) har gränsvärdet 0. Därmed har hela högerledet gränsvärdet a. Med andra ord måste lim f(x) = a.

(38)

X---+(X)

X

Observera noga logiken: vi har antagit att det finns en asymptot, och funnit att i så fall ges dess riktningskoefficient av detta gränsvärde. Men enbart existensen av gränsvärdet garanterar inte att det finns en asymptot. (Se exempel 24 nedan.) Enligt definitionen av asymptot måste också gälla att lim (f(x) - ax) = b.

(39)

X---->00

Å andra sidan, om gränsvärdet i (39) existerar så följer att

f(x) - (ax+ b) -+ 0

då

X -+

OO,

dvs. kurvan y = f(x) har då asymptoten y = ax+ b. Exempel 24. Bestäm eventuella sneda asymptoter till kurvan y

J(x) = x + lnx,

= J(x) där

X > 0.

Lösning: Eftersom f(x) X

= 1+

lnx -+ 1 då

x-+ +oo,

X

har en eventuell asymptot riktningskoefficienten 1. Den har i så fall formen

y=l·x+b. Men J(x)-l· x= lnx-++oo

då x-++oo,

och vi drar därför slutsatsen att det inte finns någon sned asymptot.

D

169

2.5. Användningar av gränsvärden Exempel 25. Bestäm alla asymptoter till kurvan y = J(x) = x 2

2lxl,

-

x-l

Lösning: Vi delar upp undersökningen i fallen x-+ +oo och x-+ - oo.

I

x --. +oo: För x

> 0 är lxl = x, varför 2

x 2 - 2x x(x - l)

f(x) X

1- -

X - - 1 -+ 1 1- -

då

X-+ +oo.

X

Vidare har vi

x 2 -2x -x -1 J(x)-l·x=----x=--=---+-l x-l x-l 1 1- -

då

x-++oo.

X

Således är linjen y x --. -oo: Emedan lxl

= x - l en asymptot till kurvan. = -x för x < 0 får vi analogt i detta fall att

J(x) X

+ 2x -+ 1 då x(x - l) x2

X-+

~ 00

y

X

170

Kapitel 2. Gränsvärden och

f(x) - 1-x = Här är alltså linjen y

+ 2x x-1

x2

3x x-1

- - - - x = - - --, 3 = x+3

x --, -oo.

då

asymptot.

Sammanfattningsvis har kurvan asymptoterna y = x -1 och y Kurvans ungefärliga utseende framgår av figuren på föregående sida.

x+3. D

Anmärkning. Asymptoterna kan också erhållas med hjälp av polynomdivision som i exempel 20. Anmärkning. Ibland talar man också om en lodrät asymptot x = a, nämligen när då x --, a+ eller x --, a - . J(x) --, +oo eller - oo I föreliggande fall ser vi att x

2.5.2

=

1 är en sådan asymptot.

Lösning av ekvationer genom intervallhalvering

För ekvationer av formen

f(x) = a

(40)

finns en mycket enkel metod att skaffa sig approximativa lösningar, som inte utnyttjar något annat än den ingående funktionens kontinuitet. Den bygger därigenom helt på gränsvärdesbegreppet. Metoden förutsätter att man först genom prövning lyckats hitta två punkter x1 < x2 sådana att

(eller omvänt). Om nu f är en kontinuerlig funktion så antar f enligt egenskapen (14), sidan 153, i intervallet [x1, x2] varje värde mellan f (x1) y

X

/

2.5. Användningar av gränsvärden

171

och f (x2). Speciellt antar den värdet a, dvs. det finns en lösning till ekvationen (40) i [x1, x2]. Låt X3 vara mittpunkten i detta intervall. Om nu till exempel f(x3) < a så får vi med samma resonemang att (40) har en lösning i intervallet [x3, x2]. Genom fortsatt halvering av intervall kan man tydligen på detta sätt konstruera approximativa lösningar till ekvationen. I praktiken får man hålla på länge för att uppnå god noggrannhet. Metoden används därför ofta endast som ett medel att göra en grov lokalisering av den sökta roten, varefter man låter något mer raffinerat och effektivt förfarande ta vid.

Exempel 26. Lös approximativt ekvationen

x5

+ x + 1 = 0.

Eventuella rötter ska anges med en noggrannhet av ±0.1.

Lösning: Funktionen f (X)

= x5 + X + 1

är tydligen strängt växande, eftersom både x 5 och x har denna egenskap. Alltså finns högst ett nollställe. Vi ser direkt att

f(-1) = -1,

f (0) =

1.

Eftersom f är kontinuerlig finns alltså enligt egenskapen (14) precis ett nollställe a till f, och om detta vet vi att

- l 0 !(-¾) = 0.013 > 0

alltså

!(-~) = - 0.388 < 0

alltså

alltså

- l 0. Sätt

f(x) = x - 2 arctan x. Eftersom till exempel

J(l) = 1 - 2 · ¾< 0 medan

J(1r) >

7r -

2·

1= 0

följer att ekvationen (43) har minst en rot i intervallet [1, 1r]. Ekvationen har redan formen (41) med F(x) = 2arctanx. Som ingångsvärde väljer vi ao = l. Vi definierar alltså en talföljd (an):'=o genom

-{ an = 2 arctan an- 1, n = l, 2, ... ,

(44)

ao = l. På samma sätt som i avsnitt 1.12 ritar vi först en geometrisk bild av situationen. Genom att i samma koordinatsystem rita kurvan y = 2 arctan x y

y=x /

/

174

Kapitel 2. Gränsvärden

och linjen y = x kan vi successivt konstruera talen a 1, a2, .... I figuren förefaller det som om följden (an):=o konvergerar och att gränsvärdet är x-koordinaten för skärningspunkten mellan kurvorna y = 2 arctan x och y = x. För att bevisa detta använder vi axiomet (16) om gränsvärde av en monoton begränsad funktion. För det första är an ::; 1r för alla n, eftersom detta tal är en övre begränsning för funktionen 2 arctan x. För det andra kan man med induktion visa att följden är växande, dvs. att

an 2 an- I

för alla n 2 1.

Ty det är klart att a1 2 ao eftersom a1 = 2 arctan 1 = ~ och ao = l. Vidare följer av induktionsantagandet ap 2 ap-I och av det faktum att arctan är växande att

ap+l = 2 arctan ap 2 2 arctan ap- 1 = ap. Induktionen är därmed klar. Med hänvisning till den fundamentala egenskapen (16) vet vi alltså nu att den genom (44) definierade talföljden har ett gränsvärde. Om detta betecknas med A ger gränsövergång i rekursionsformeln att

A = 2 arctan A. Talet A löser med andra ord ekvationen (43). Med miniräknare beräknar vi några element anger resultatet med fyra siffrors noggrannhet:

ao =

följden (an):=O· Vi

l.0000

= 1.5708 = 2.0078 a3 = 2.2174 a4 = 2.2943 a5 = 2.3195 a1 a2

aw = au =

2.3311 2.3311

Talet 2.3311 utgör en approximation av den sökta roten till (43).

D

175

2.5. Användningar av gränsvärden

Anmärkning. En fullständig behandling av ovanstående exempel bör innehålla ytterligare två moment, nämligen • bevis av att A är den enda positiva lösningen till ekvationen (43), • en uppskattning av felet, angivande hur mycket a11 på sin höjd avviker från det exakta värdet A på roten. För dessa ändamål krävs kunskaper i differentialkalkyl. Att ekvationen har högst en positiv rot är en konsekvens av att f (x) = x - arctan x är en strängt växande funktion för x 2: 1, vilket i sin tur enkelt kan visas genom teckenstudium av derivatan J'(x). Feluppskattning diskuteras i avsnitt 4.5. Metoden i exempel 27 kan användas i andra sammanhang än då det gäller att finna approximativa lösningar till en ekvation. Exempel 28. I ~xempel 1.69, sidan 131, såg vi hur ett konkret exempel i elektricitetslära ledde till rekursionsföljden

R+2Rn-1

{ Rn = R R + Rn- i , n = 2, 3, ... , R1 = R. Fråga: vad händer med resistansen

Rn

dån blir mycket stort?

Lösning: Vi tolkar uppgiften så att vi ska undersöka om Rn möjligen har något gränsvärde när n ------, oo, och i så fall även bestämma detta. Vi _ börjar med att som vanligt skaffa oss en geometrisk bild av rekursionen. Formeln kan skrivas Rn = F(Rn-i) där

__!!:__)

F(x) = R R + 2x = R(2 R+x R+x

(polynomdivision). Det är tydligt att funktionen F(x) är växande och att Os F(x) s 2R då x 2: 0. Vi ritar upp kurvan y = F(x) samt linjen y = x och får följande bild. (Se nästa sida.) Figuren antyder att följden (Rn):= l växer mot ett gränsvärde då n ------, oo.

176

Kapitel 2. Gränsvärden y

y=x /

-RR+2x Y- R +x

/ / / /

/ / /

X

Av utseendet på F(x) ser vi direkt att följden (Rn) är uppåt begränsad av talet 2R. Eftersom F är växande och

R2

=

R+2R

3

R - - - = -R> R=R1. R+R 2

följer vidare med induktion, exakt som i exempel 27, att (Rn) är växande. Alltså har följden ett gränsvärde A när n -+ oo. Genom att göra. gränsövergång i rekursionsformeln får vi

Minustecknet måste naturligtvis förkastas eftersom Rn > 0 för alla n. Resistansen Rn har alltså gränsvärdet

2.5.4

,/\+

1

R

~ l.618R.

D

Serier

Till en given talföljd (ak)~ 0 kan man bilda en ny talföljd (sn)~=Ogenom att sätta

A ---

2.5. Användningar av gränsvärden

177

so= ao,

Denna konstruktion kallas en serie. Talen ak kallas seriens termer och talen sn dess delsummor. Själva serien skrives

eller kortare 00

I:

ak. k=O Den senare beteckningen hänger samman med att om man använder summationssymbol så skrivs delsummorna n

Sn

= I:ak. k=O

Den intressanta frågeställningen beträffande serier är huruvida följden av delsummor har något gränsvärde. DEFINITION 5. Om följden (sn)~=O av delsummor till en serie L~o ak har ett (egentligt) gränsvärde kallas serien konvergent. Om däremot delsummorna saknar gränsvärde kallas den divergent.

Exempel 29. Betrakta en geometrisk talföljd (se exempel 67, sidan 130) med kvoten x och första t ermen lika med a,

a , ax, ax 2 , För en sådan är den n-te delsumman

Sn

= a + ax + ax 2 + ... + axn

en geometrisk summa. Enligt sats 1.5, sidan 58, är alltså

Sn

= a---l -x

om

178

Kapitel 2. Gränsvärden

har gränsvärdet a - 1- om -1 < x < 1, men att Sn saknar 1-x gränsvärde då n går mot oo om x > 1 eller x ::; -1. I fallet x = 1, som inte täcks av formeln ovan, ser man direkt att Sn = a( n + 1) -+ ±oo (där tecknet beror på a) dån-+ oo. Man kallar en serie vars termer utgör en geometrisk talföljd för en geometrisk serie. Vi har funnit att en sådan med kvoten x är Vi ser att

Sn

lxl < 1 om lxl 2 1.

konvergent om divergent

D För en konvergent serie kallas gränsvärdet s av delsummorna sn för dess summa. Även för summan används beteckningen 00

Observera noga att trots terminologin innebär beräkningen av en series summa en gräns övergång. Vårt resultat om geometriska serier i exempel 29 är så viktigt att vi formulerar det som en sats. 00

SATS

9. Den geometriska serien

L axk är konvergent om lxl < 1 och k=O

divergent om lxl 2: 1. Dess summa är 00 1 "\"""'axk = a - - ,

~ k=O

lxl 0 att f"(x) > 0 i en hel omgivning av xo . Enligt sats 3.16 är därför f' strängt växande i denna omgivning. Alltså har f' i x 0 teckenväxlingen - 0 +, varav resultatet följer på grund av sats 1. D

Anmärkning. Precis som i sats 1 utgör (i) och (ii) i denna sats bara tillräckliga villkor för lokalt minimum respektive maximum. Det kan till exempel mycket väl inträffa att f"(xo) = 0 i en extrempunkt xo. Ett sådant exempel utgör funktionen f(x) = x 4 i punkten x = 0. Sats 2 är av teoretisk snarare än praktisk natur. I själva verket förhåller det sig så att redan bestämningen av derivatans nollställen hänger samman med en faktorisering av f'(x). Men faktoriseringen ger också kontroll över derivatans tecken mellan nollställena. Att då beräkna andraderivatan är onödigt, speciellt som denna beräkning kan vara arbetsam. Läsaren uppmanas att själv begrunda möjligheten att lösa exempel 2 genom att använda andraderivatan.

4.3

Optimering

Optimering innebär att under bestämda förutsättningar hitta den i viss mening bästa lösningen på ett givet problem. Det kan till exempel handla om att minimera en viss vägsträcka, att maximera vinsten i ett företag, att minimera materialåtgången vid en speciell konstruktion, etc. Översatt till matematiskt språk innebär problemet oftast att bestämma största eller minsta värdet av en given funktion. Eftersom funktioner inte automatiskt har något största eller minsta värde är frågan om' existens av en optimal lösning en viktig ingrediens i behandlingen av problemet i fråga.

233

4.3. Optimering

Speciella metoder Vissa optimeringsproblem behandlas enklast och effektivast med direkta metoder, som är speciellt anpassade till den aktuella situationen. Vi ser först på några sådana exempel. Exempel 3. Bestäm största och minsta värdet av andragradspolynomet

f (x) = x 2 + 4x + 7,

xER.

Lösning: Det är klart att f saknar största värde eftersom då x --, ±oo. Av kvadratkompletteringen

f (x ) --, +oo

x 2 + 4x + 7 = (x+2) 2 + 3 följer direkt att f(x) har det minsta värdet 3 för x

= -2.

D

Exempel 4. Bestäm längd och bredd på den rektangel med given omkrets p som har störst area.

Lösning: Detta optimeringsproblem kan lösas med en olikhet. Beteckna sidornas längd med a respektive b. Villkoret är att b

D

a

2(a+b) = p

och vi ska maximera arean, som är lika med ab. Men enligt olikheten mellan aritmetiskt och geometriskt medelvärde (sats 0.2, sidan 31) gäller att ~ a+b

vao < -2-

med likhet endast när a = b. Alltså gäller för rektangelarean ab att

ab ~

1

4(a + b) 2 =

p2 16 '

med likhet endast nära = b (= p/4). Uttryckt i ord: av alla rektanglar med fix omkrets p är kvadraten den som har störst area. D Exempel 5 . (Herons problem) Låt A och B vara två punkter på samma sida om en rät linje C. Sök den punkt P på f, som gör summan av avstånden AP och BP så liten som möjligt.

Kapitel 4. Användningar av derivator

234

Lösning:

- - .,.. Q

_,,.• B'

p

B

Detta problem löses enklast med en geometrisk konstruktion. Låt B' vara spegelbilden av Bi P,. Då är QB = QB' för varje punkt Q på linjen. Skärningspunkten P mellan sträckan AB' och P, utgör tydligen lösningen på problemet, ty för alla andra punkter Q på linjen är AQ + QB' större än AP+PB' = AB'. D

Anmärkning. Herons problem har en intressant fysikalisk anknytning. Av lösningen framgår att vinklarna a och f3 i figuren nedan är lika stora. Enligt reflexionslagen är därför APB precis den väg som en ljusstråle tar som går genom A, reflekteras i linjen och passerar genom B. Alltså: en ljusstråle reflekteras i en plan spegel på ett sådant sätt att den går kortaste(= snabbaste) vägen mellan startpunkt och slutpunkt . .,..• B'

7

---.B

Optimeringsproblem behandlade med derivata Ovanstående exempel till trots så behandlar man vanligtvis optimeringsproblem med differentialkalkyl. Med hjälp av teorin för derivator får man

4.3. Optimering

235

en både allmän och effektiv metod att optimera funktioner av en reell variabel. I princip behöver man bara rita funktionskurvan för att kunna dra de rätta slutsatserna om såväl den eventuella existensen av ett optimalt värde som storleken av detsamma. Observera emellertid noga att optimering är ett globalt problem , vilket gör att man oftast behöver utföra en fullständig kurvritning enligt avsnitt 4.1 för att lösningen ska vara korrekt underbyggd. Enbart lokala hjälpmedel i stil med andraderivator är otillräckliga. Till exempel är ett lokalt maximum inte säkert funktionens största värde. Exempel 6. Vi vill beräkna största och minsta värdet av funktionen f (x)

1

= -X - 2 + 2 arctan x

i intervallet x 2 ~. Denna uppgift löser vi genom att rita funkt ionskurvan. Derivatan blir ,

f (x)

1

x2

2

-

1

(x + l)(x - l) x 2(1+x 2) ·

= - x2 + l+x2 = x2(1+x2)

Derivatans nollställen är x = mängden. Teckenschemat blir X

± l. Punkten _1_ 3

1

J'(x) J(x)

-1 tillhör inte definitions-

0

+

v'3-2+f "" ~-1 /

där också ett par viktiga funktionsvärden har angivits. Vidare är lim f(x)

x-;+oo

= 1r -

2.

Grafen får utseendet y

7f - 2

- ----------------------------------- - -

1

v'3

1

X

Kapitel 4. Användningar av derivator

236

Vi observerar speciellt att

v'3-2+~ 0. För detta ändamål ritar vi funktionskurvan. Av

J'(r) = 41rr - 2V = 2 21rr3 - V r2

r2

får vi att derivatan har det enda nollstället ro kentabellen har utseendet r

ro

0

J'(r) f(r)

= ~'

0 ~

f(ro)

+ /

samt att tec-

4.3. Optimering

237

Funktionens graf har alltså formen y

X

Vi ser att f (r) har ett minsta värde, som antas då

r =ro=

yJv ~-

Höjden är då h=

v2

= 2

11-r0

Jv = V~

2ro .

Burken bör alltså utformas så att höjden är lika med diametern. Exempel 8. Från vilken punkt på positiva x-axeln ser man sträckan mellan punkterna (0, 1) och (0, 2) under maximal vinkel?

Lösning: Med figurens beteckningar ska vi maximera funktionen 2

1

X

X

a(x) = arctan - - arctan -,

2 1

x > 0.

X

Vi får ,

a (x) =

1

(

2) -

4 - x2 1+x2

-x2 +2 2 (x + l)(x 2 + 4)

11 (- x21) =

1+x2

- x2

2+ 4 + x2 1+ 1 =

(x + v'2)(x - \1'2) (x 2 + l)(x 2 + 4) ·

D

K

238

itel 4. Användningar av derivator

Derivatans teckenschema blir 0

X

a'(x)

+

a(x)

/

0

arctan v2 - arctan

f2 '\..

Resultaten i teckenschemat visar att vinkeln är störst för x att det maximala värdet är

= \1'2,

och

arctan J2 - arctan ~. D Exempel 9. En partikel färdas rätlinjigt med hastigheten u från en punkt A till någon punkt P på en linje R, och därifrån likaledes rätlinjigt till en punkt B på andra sidan R, men nu med en annan hastighet v. Välj punkten P så att den totala restiden blir minimal.

A

B

Lösning: Med bet eckningar enligt figuren nedan ser vi att problemet innebär att minimera funktionen

Ja 2 + x 2

-Jc2 + (b-x) 2

U

V

f (x) = - - - + -'-------- ,

0 ::;

X ::;

A : (O , a)

C

B:(b,c)

b.

4.3. Optimering

239

Derivatan får vi till

f'(x) =

b-x

X

uJa 2

+x2

vJc2

+ (b-x) 2

sina(x) u

sin ,B(x) V

Eftersom uppenbart a(x) är en strängt växande och ,B(x) en strängt avtagande funktion av x blir f 1 ( x) en strängt växande funktion med ett enda nollställe xo, vilket är lösning till ekvationen sina(x) u = sin,8(x) V

(2) Vi får därför teckenschemat

0

X

J'(x) J(x)

b

Xo

0

'\.

+ /

Restiden blir alltså minimal när punkten P väljes så att vinklarna a och ,8 uppfyller (2). D

Anmärkning. I optik definierar man brytningsindex för ett medium som talet c/u, där c och u är ljushastigheten i vakuum respektive i mediet i fråga. Inför vi i (2) brytningsindex µ och v för den sida där A respektive B befinner sig får villkoret formen µsina= v sin ,8. ~

Här känner vi igen brytningslagen för ljus. Vi har alltså: en ljusstråle bryts i en plan gränsyta mellan två medier på sådant sätt att den går snabbaste vägen mellan start och målpunkt. Jämför med reflexionslagen i exempel 5. Vi avslutar detta avsnitt med ett exempel från ekonomi. Exempel 10. Låt f(x) beteckna kostnaden i kkr för att framställa x

enheter av någon vara. Då betyder f (x) kostnaden per enhet ( styckkostx

naden) vid produktionsnivån x enheter, och f'(x) betyder marginalkostnaden vid denna produktionsnivå (intuitiv tolkning: kostnaden för att producera ytterligare en enhet). Vi ska visa följande resultat:

Kapitel 4. Användningar av derivator

240

Vid en produktionsnivå där styckkostnaden är minimal är marginalkostnaden och styckkostnaden lika stora. Att styckkostnaden är minimal för ett visst x innebär speciellt att funktionen f(x)/x har ett lokalt minimum där, och därmed att dess derivata är noll. Enligt deriveringsregeln för en kvot får vi

D (f(x))

= xf'(x) -

1 · J (x ) x2

X

Det följer att xf'(x) - f(x)

= 0,

= O.

vilket vi skriver om till

D

Därmed är satsen bevisad.

4.4

Olikheter

Bevis av olikheter är en annan användning av teorin för derivator. Principen är densamma som vid optimering och många andra tillämpningar: återför uppgiften till att bevisa vissa egenskaper hos en bestämd funktion, rita funktionskurvan och dra sedan slutsatser. Exempel 11. Från sats 1.13, sidan 116, känner vi olikheten sinx < x då 0 < x < ~. Vi ska nu visa en olikhet åt andra hållet:

(3)

x3

sinx > x - -

6

när

0

7r

0 för O < x < (3) är visad.

i, varför olikheten

Om man inte - som ovan - direkt ser att f' (x) > 0 kan man ofta med fördel använda samma metod för att först visa denna olikhet. I vårt fall är

· x +x > 0 ! "() x = - sm

·· 0 < x < 2 n nar

enligt olikheten i sats 1.13, sidan 116. Alltså är J'(x) strängt växande i Då vidare f'(O) = 0 följer att f'(x) > 0 då O < x < Nu 0 :s; x :s; kan man fortsätta beviset av den ursprungliga olikheten (3) precis som tidigare. D

i·

i·

Kapitel 4. Användningar av derivator

242

4.5

Numerisk lösning av ekvationer

En allmän iterationsmetod I avsnitt 2.5.3 beräknade vi närmevärden för lösningar till ekvationer av formen f(x) = 0. (4) Vi repeterar tillvägagångssättet. Först ersätter man (4) med en ekvation som har det speciella utseendet

x = F(x)

(5)

och som är ekvivalent med (4). Därefter definieras rekursivt en talföljd genom

(6) varvid man som ingångsvärde x 0 använder en på något sätt bestämd grov approximation till roten. Om denna talföljd har ett gränsvärde a så är a en lösning till (5) och således även till (4). Ty gränsövergång i (6) ger direkt att a = F(a). Närmevärden till a erhålles slutligen genom att avbryta iterationen efter ett lämpligt antal steg. Ju större noggrannhet som krävs desto fler iterationssteg fordras i allmänhet. Användbarheten av den beskrivna metoden beror tydligen på två saker. För det första krävs att talföljden (6) faktiskt konvergerar. För det andra måste vi kunna uppskatta hur mycket Xn avviker från det korrekta värdet a. Vi ska i tur och ordning behandla dessa problem. 3. Låt F vara en deriverbar funktion i ett intervall I och antag att detta innehåller en rota till ekvationen (5). Antag vidare att

SATS

(i) det fi.nns ett tal c så att c < 1 och

IF' (x) I : : ; c

när x E J,

(ii) F avbildar intervallet I in i sig själv. Då ära den enda roten i I , och rekursionsföljden (6) konvergerar mota för varje startvärde xo i I.

243

4.5. Numerisk lösning av ekvationer

BEVIS. Vi börjar med a_tt visa entydigheten. Antag att /3 E J är ytterligare en rot till ekvationen x = F(x). Då följer av medelvärdessatsen (sats 3.14, sidan 211) och förutsättningen (i) att, för något~ EJ, 1/3- al= IF(/3) - F(a)I = IF'(~) (/3-a)I::::; cl/3-al. Eftersom c < 1 kan detta bara vara uppfyllt om 1/3 - al = 0, dvs. om /3 = a. Alltså är a den enda roten i J. Betrakta nu talföljden definierad av (6) med startvärde x 0 E J. Förutsättningen (ii) medför att alla tal i följden tillhör intervallet I. Enligt medelvärdessatsen är för något ~ E J lx1 - al= IF(xo) - F(a)I = IF'(~) (xo - a)I::::; c lxo - al. Efter ett iterationssteg har vi alltså närmat oss a. På samma sätt har vi i de följande iterationsstegen

Härav ser vi att Xn --t

a

n

då

--t

oo,

och beviset är klart.

D

Exempel 12. Konstruera genom iteration en lösning till ekvationen

(7)

x = arccosx

i intervallet O < x < 1. Lösning: Först skaffar vi oss en överblick av situationen genom att rita funktionen Y

0 ::::; X:::::;

f(x) = x - arccosx,

1.

Vi ser att 1

J'(x) = 1 + ~2 > 0, l- x

varför f är strängt växande. Eftersom f (0) = - ~ < 0 och f (1) = 1 > 0 följer därför av satsen om mellanliggande värden att (7) har precis en rot a i intervallet O 1 Jl-x 2

i O < x < 1. Vi inför därför i stället ekvationen

(8)

X= COSX,

som i intervallet O < x < 1 är ekvivalent med (7). Sätter vi F(x) = cosx,

0

0 så är felet mindre än ö i angivelsen a för a. Vi ger nu en sats som visar att noggrannheten hos ett närmevärde till en rot hänger samman med funktionskurvans lutning nära roten. Uppskattningen är generell så tillvida att den inte beror på den metod som använts för att beräkna närmevärdet. 4. Låta vara en rot till ekvationen f(x) = 0 och a ett närmevärde till a. Om i något intervall I som innehåller både a och a gäller att

SATS

/J'(x)/ 2'. m > 0 så är (12) BEVIS.

Enligt medelvärdessatsen är f(a) - f(a)

där ( E I . Eftersom f(a) IJ(a)/

= (a - a)J'(()

= 0 får vi

= /a -

varav olikheten (12) följer.

al!f'(()I 2'.

/a -

a/ m, D

249

4.5. Numerisk lösning av ekvationer

Exempel 14. Ange en approximativ lösning till ekvationen i exempel 12 med en noggrannhet av ±0.0001. Lösning: Ekvationen kan skrivas f(x)

= 0 om

J(x) = x - arccos x. Enligt exempel 12 konvergerar rekursionsföljden {

Xo

=1

Xn

= COSXn- 1, n =

1, 2, ... '

mot en lösning. Vi använder nu miniräknare och får

=1 XI = 0.54030 X2 = 0.85755 X3 = 0.65429 X4 = 0.79348 X5 = 0.70137 Xo

= 0.74424

XIO

XI8

X19 X20

X21

_ Vi stoppar här, väljer Eftersom

= 0.73930 = 0. 73894 = 0.73918 = 0.73902.

a = 0.73910 och beräknar J(a)

lf' (x) I = 1 +

k

l-x 2

~2

till 0 .000037.

när 0 < x < 1

har vi enligt sats 4 feluppskattningen

I-a - a I :S Angivelsen a uppgiften.

=

0.000031

2


2(2-1) = __!:_ om 2 < x < 3. = (l + x2)(1 + x) - (1+32)(1+3) 20

Miniräknaren visar att 0 < f(a) < 0.6 · 10-8 . Alltså har vi enligt sats 4 med m

1

= 20 att

I-o: -

I

o:


0.

f (x) = - In x är strängt konvex ty f "( X )

= 2X1 > 0,

X> 0.

Logaritmfunktionen In x är således strängt konkav. Detsamma gäller som man lätt inser alla logaritmfunktioner med bas större än 1. D Exempel 17. Exponentialfunktionens konvexitet kan användas för att bevisa en intressant olikhet. Låt a1, . . . ,an vara positiva tal. Om vi i (14) med f(x) = ex sätter Xi

= ln ai och

0i

= ~, i = 1, . . . , n, så får vi n

e¼lna1+---+¼lnan

:S

~elna1

n

+ ... +~elnan, n

dvs. ( a1 ...

an) l / n :S

~ ( a1 + .. . + an).

Till vänster står det geometriska medelvärdet G och till höger det aritmetiska medelvärdet A av talen a 1 , ... , an. Mellan dessa medelvärden har vi alltså alltid olikheten

G:SA. Man ser av beviset att det råder likhet bara i det fall då a1 = ... = an. I fallet av två termer har vi visat olikheten G :'S A redan i kapitel 0. (Sats 0.2, sidan 31.) D

Kapitel 4. Användningar av derivator

256

Exempel 18. En deriverbar och strängt konvex funktion f har också egenskapen att dess graf ligger över var och en av sina tangenter. Ty tangenten i en punkt (a, f (a)) har ekvationen y

= f(a) + J'(a)(x-a).

Skillnaden i en punkt x mellan funktionskurvan och tangenten är

g(x) = J(x) - [f(a)

+ J'(a)(x-a)].

Vårt påstående är detsamma som att säga att denna funktion är större

f

a

X

än eller lika med noll. Derivation ger

g'(x) = J'(x) - J'(a). Eftersom f' är en strängt växande funktion har ekvationen g'(x) enda lösningen x = a, och derivatans teckentabell får utseendet X

a

g'(x)

0

g(x)

= 0 den

+

'\, 0 /

Följaktligen är g(x) 2: 0 för alla x, med likhet endast i x

= a.

D

I optimeringssammanhang har konvexa funktioner intressanta egenskaper. Bland annat har vi följande allmänna resultat.

6. Låt f vara en konvex och deriverbar funktion och antag att xo är en stationär punkt till f. Då är f (xo) funktionens minsta värde. SATS

4. 6. Konvexa funktioner

257

BEVIS. Tangenten i den stationära punkten (x 0 ,f(x0 )) är horisontell och har ekvationen y = f (xo). Enligt exempel 18 ligger grafen till f över alla sina tangenter. Alltså är f(x) ?: f(xo) för alla x. Beviset är klart. D

Inflexionspunkt DEFINITION 2. En punkt xo kallas en inflexionspunkt till kurvan y = f(x) om det finns ett tal 0 så att f är konvex i det ena och konkav i det andra av intervallen [xo- 0 för alla x kan vi förenkla svaret D något genom att ersätta absolutbeloppen med parenteser.

Kapitel 5. Primitiva funktioner

270

Det är klart att vi alltid kan beräkna en primitiv till polynomdelen

q(x) i (20). I fortsättningen koncentrerar vi oss därför på kvoten

~~:~.

Il. Faktorisera nämnaren så långt som möjligt i reella faktorer. Enligt sats A.11, sidan 488, kan varje reellt polynom faktoriseras i reella faktorer av grad högst 2. Att utföra en sådan faktorisering i praktiken är naturligtvis inte problemfritt. Några metoder som står till förfogande diskuteras i appendix A.10. Det finns också symbolhanterande programspråk som kan hantera sådana problem. III. Gör en uppdelning av

~~:~

i partialbråk. Uppdelning av

en kvot mellan två polynom i partialbråk är den omvända procedurel). till att sätta summan av ett antal givna bråk på gemensam nämnare. Vi känner alltså helheten - det givna bråket - och söker dess delar, 1 de så kallade partialbråken. För sönderslagning i partialbråk finns bestämda regler, som vi sammanfattar i följande anvisningar. Viktigt är att divisionen ovan är utförd, så att vi startar med ett äkta bråk

~~:~,

där täljaren har lägre gradtal än nämnaren. Vi antar vidare

att nämnaren är faktoriserad så långt som möjligt i reella faktorer. Dessa är då av första graden eller av andra graden med icke-reella nollställen. 2 Faktorer som är lika slår vi ihop till en potens. Den rationella funktionen kan nu skrivas som en summa av partialbråk i vilken var och en av de olika faktorerna i nämnaren ger upphov till termer enligt följande tabell. Faktor i nämnaren

Ger upphov till partialbråken

x-a A1

A2

(x-ar

x -a + (x -

x 2 +ax+ b

A1x + B1 x 2 +ax+ b

(x 2 +ax + b)n

A1 x+ B1 A2x + B2 x 2 + ax+ b + (x 2 +ax+ b) 2

a )2

An

+ ... + (x - a )n

Anx+Bn

+ · · · + (x 2 + ax+ b)n

En analog situation är hopmultiplicering av parenteser kontra uppdelning i faktorer. 2 Se appendix A.10. 1

5.2. Rationella funktioner

271

I denna är alla Ak och Bk konstanter som måste bestämmas i varje enskilt fall. Man kan teoretiskt bevisa att en partialbråksuppdelning enligt dessa regler alltid är möjlig och att koefficienterna Ak och Bk är entydigt bestämda. För oss har själva teorin mindre intresse. Vårt mål är att finna en primitiv till en given rationell funktion, och vi kommer alltid att finna att en korrekt ansats enligt schemat ovan leder till att koefficienterna kan bestämmas entydigt. Hur man praktiskt bestämmer koefficienterna exemplifierar vi nu i några konkreta fall. Exempel 11. Antag att vi söker en uppdelning i partialbråk av funktionen 2x2 -f X - 3

f(x) = (x + 1)2(x + 2)' Vi observerar att täljaren har lägre gradtal än nämnaren, varför funktionen kan partialoråksuppdelas enligt schemat ovan. Nämnaren innehåller två olika förstagradsfaktorer, den ena dubbel. Enligt de angivna reglerna har f(x) därför en uppdelning med utseendet

(21)

2x2 +x -3 (x + 1)2(x + 2)

A x+l

B (x+1)

C x+2·

- - - - - - = - - + - - -2 + - -

Vår uppgift är att bestämma koefficienterna A, B och C. Först multiplicerar vi med nämnaren (x + 1) 2 (x + 2) i (21) och får

2x 2 + x - 3 = A(x + l)(x + 2) + B(x + 2) + C(x + 1) 2 . Därefter hyfsar vi högerledet genom att multiplicera ihop parenteserna och samla termerna efter gradtal. Resultatet blir

2x 2 + x - 3 = (A+C)x 2 + (3A+B+2C)x + (2A+2B+C). Nu identifieras respektive koefficienter på båda sidor, vilket leder till ekvationssystemet + C=2 A

{ 3A + B

+ 2C =

1

2A + 2B + C = -3.

Kapitel 5. Primitiva funktioner

272

Sådana system löses lämpligast med successiv elimination. Vi börjar med att eliminera A i de två sista ekvationerna. Ovanstående system är ekvivalent med

r

+C = 2 B-C = -5 2B-C = -7

+C =

A - l ersätter man här lx - 11 med x - l; i intervallet x < l är lx - 11 = 1 - x.

5.3

Funktioner innehållande rotuttryck

Från föregående avsnitt vet vi att det i princip är möjligt att bestämma en primitiv till varje rationell funktion, och vi vet också hur beräkningen ska utföras. I situationer då man har ett annat slags funktion under

5.3. Funktioner innehållande rotuttryck

279

integraltecknet är det därför naturligt att fråga sig om det är möjligt att transformera till en rationell integrand, för att därefter fortsätta beräkningen som i avsnitt 5.2. Tricket i exempel 4 att beräkna en primitiv till ln x genom att partialintegrera en etta kan motiveras på detta sätt. Efter partialintegrationen får man ju en rationell funktion att integrera. I detta avsnitt skall vi studera primitiver till funktioner med rotuttryck. I fyra speciella situationer skall vi ange variabelsubstitutioner med egenskapen att den nya integranden blir rationell och alltså kan behandlas med metoderna i avsnitt 5.2. Därmed är inte sagt att dessa substitutioner alltid är den bästa lösningsmetoden. Den erhållna rationella integranden kan vara räknemässigt besvärlig att hantera, och kanske finns det andra metoder som leder snabbare till målet.

Funktioner innehållande

Jx + a

Med ett rationellt uttryck i X och vx+a menar vi ett uttryck som uppkommit genom upprepad användning av de algebraiska räkneoperationerna på dessa funktioner samt konstanter. Primitiva funktioner till sådana kan beräknas med substitutionen

v1x+a=t. Man får då en ny integrand som är en rationell funktion i t och alltså kan integreras. Exempel 7, sidan 267, utgör en illustration till denna metod.

Funktioner innehållande

/ffi

På analogt sätt kan man förfara med en funktion som är rationell i x och

/m·

Variabelsubstitutionen

"rationaliserar" problemet. Exempel 18. Vi söker en primitiv till funktionen

Jx+l_ xV~

_!_

280

Kapitel 5. Primitiva funktioner

Sätter vi

t=

Jx+l

Vx=-I

får vi att X

+ 1 = t2(X

t2 + 1 t - 1

1)

-

X= - 2 - - .

Detta ger

dx dt

-4t (t2-1)2'

och vi får

1 / -x

/§+ 1 / --dxx-l

-

2 t 2-- ·1t · - -4t / ----4t d t = --dt t 2 +1 (t2 -1) 2 (t2 +1)(t+l)(t-1) ·

Den nya integranden är en rationell funktion i t, och integralen kan beD handlas med de metoder som angivits i föregående avsnitt. Vi vill också peka på möjligheten att genom till exempel omskrivningen

lffi

om x > -a och x >

= J(x:;~+/J)'

-/3,

överföra integranden på en form med andragradspolynom under rotmärket. Funktioner av detta slag skall vi behandla härnäst.

Funktioner innehållande

-Jx2 +ax+b

När integranden är ett rationellt uttryck i x och en kvadratrot av formen Jx 2 +ax+b (där a och bär konstanter) är det fördelaktigt att vid behov inleda med ett förberedande variabelbyte som tar bort förstagradstermen under rotmärket. Genom att kvadratkomplettera och sätta a 2

x+- = t får man en integrand i t som innehåller en rot av formen Jt 2 +a. Gör man därefter det till synes egendomliga variabelbytet

(24)

t+v0°+a=s

får man faktiskt en rationell integrand i s. Vi demonstrerar effekten av denna substitution genom att härleda standardformeln (12), sidan 261, på ett alternativt sätt.

281

5.3. Funktioner innehållande rotuttryck

Exempel 19. Vi betraktar alltså 1 d v'x2+a x

/

och gör variabelbytet

x+ Jx 2 +a = 8. Då får vi

J x 2 +a=8-X

===}

82 - a x = - -.

x 2 +a=8 2 -28x+x 2

28

Därmed är 8 2 +a Jx 2 +a = 8-X = - -

28

Alltså /

dx d8

och

2 28- · 8 +2-a d8 = dx = / - 2v x- -t- ex 8 +a 28

1 ~

+a 2T· 82

J

-1 d8 = ln 181 + C = 8

=lnlx + Jx 2+al+C. D

Anmärkning. Med a = 1 har vi speciellt

(25)

J

~ d x = ln(x + Jx 2 +1) + C. l+x2

Detta kan jämföras med den primitiva funktionen /

1

~

V 1- x 2

. dx = arcsm x + C.

Resultatet (25) blir naturligare om man gör upptäckten att funktionen ln(x+v'x 2 + 1) faktiskt är invers till sinhx (detta kan läsaren kontrollera själv). Denna invers brukar betecknas arcsinh, och högerledet i (25) kan alltså skrivas arcsinh x + C. Vår observation visar att variabelbytet (24) inte är fullt så artificiellt som det kanske verkar.

282

Kapitel 5. Primitiva funktioner

Som ovanstående exempel antyder leder standardsubstitutionen (24) ofta till långa räkningar. I en del fall kan man utnyttja trickartade metoder och substitutioner som ger mycket kortare lösning. Vi ger exempel på några vanliga sådana. Exempel 20. Beräkning av (26)

F(x) =

J

Jx 2 +a dx

kan genom en partialintegration och ett förlängningsknep återföras på standardprimitiven (12). Räkningarna blir

F(x) =

J

= xJx 2 +a - j x · ~ dx =

1 · Jx 2 +a dx

~ =xyx~-t-a-

x 2 +a

j - -+-a--dax = x2

vx +a 2

= xJx 2 +a

-!

Jx 2 +a dx + a f ~ dx. x 2 +a Den sista integralen känner vi igen som (12) . Den näst sista är lika med den sökta primitiven F(x) plus en konstant. Ur första och sista ledet kan vi alltså lösa ut F(x) och får då 2F(x) = xJx 2 +a + aln lx + Jx 2 +a I+ C. Division med 2 ger nu F(x) .

D

Anmärkning. Observera att det allmännare problemet

j Jx +ax+b dx 2

som vi redan tidigare påpekat kan återföras på (26) genom variabelsub. . a t st1tut10nen x+2= .

Anmärkning. Tricket med en (eller flera) partialintegrationer som leder fram till den ursprungliga primitiven med en koefficient -=/= 1 är effektivt även i andra fall. Jämför med den rekursiva beräkningen (23) av

J

(t 2

:

j3)n dt samt med exempel 26 nedan, sidan 287.

5.3. Funktioner innehållande rotuttryck

Exempel 21. Betrakta

283

J

-~-x3-dx. vx 2 +1

Om vi här sätter

~=t

får vi x2

= t2 -

1,

= tdt

xdx

och alltså

Jvx2+I = J- - · = J( x3

dx

t 2 -1 t dt

t2

t

1 3 - t 1) dt = -t

-

3

+C =

= ~(x 2 - 2 ) ~ +c. I detta fall leder standardsubstitutionen t = x + J x 2 + 1 till räkningarna t2 - 1 t2 + dx t2 + 1 x= - ~ = -1 ' V x=-t-1 2t 2t ' dt 2t2 och

J

3

x -- dx Jx 2 +1

=

J-'-----'--- · - - · - (t 2 - 1) 3 (2t) 3

2t t 2 + 1 dt t2 + 1 2t2

= -1 8

J- - -

etc., som tydligen är mycket jobbigare.

1

+ l)Jx 2 +1 ·

Lösning: En vanlig tricksubstitution är

x = tant,

7f

itl < 2'

som ger X

2

-

t4

1) 3 dt D

Exempel 22. Bestäm en primitiv till funktionen

(x2

(t 2

sin2 t sin2 t+cos 2 t +l=--+l=----COS2 t cos2 t

1 -cos2 t ·

Kapitel 5. Primitiva funktioner

284

Med detta variabelbyte får vi därför

j (x' + l~v'x'+l dx = j (__{t' ·c~' t dt = j Icostl dt = =

J

cos2 t

costdt = sint + C.

Eftersom sin t

=

sin t

tant

Jsin2 t+cos2 t

vtan 2 t + 1

---;:=====

då

ltl