197 82 61MB
Polish Pages 230 Year 1952
WITOLD POGORZELSKI
ANALIZA MATEMATYCZNA
Książka
ta została wydrukowana w Szwecji jako dar Rządu Szwedzkiego dla odbudowy kultury polskiej
DR WITOLD POGORZELSKI PROFE S OR
POLITE CH NIKI
WARSZAWSKIEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA I RACHUNEK RÓŻNICZKOWY CIĄGI l SZEREGI
Wydanie drugie
)> CZYTELNIK >> SPÓŁDZIELNIA WYDAWNICZO-OŚWIATOWA
WARSZAWA 1951
WSZELKIE PRAWA
ZASTRZEżONE
All rights reserved
1 9 5 2 A.-B . JOH N ANTONSONS BOKTRYCKERI · G OTEBORG 49196
Przedmowa do drugiego wydania Tom l drugiego wydania uległ znaczniejszym zmianom w stosunku do pierwszego wydania, zmiany te dotyczą porządku wyklad u i uzupełnienia treści. Słuchacze kursu inżynierski ego studiując tom I mogą pominąć wstęp o liczbach niewymiernych, dowód istnienia fukcji odwrotnej na str. 57 - 58 oraz dowód istnienia granicy ciągu rosnącego lub malejącego na str. 148, uważając te twierdzenia jako oczywiste intuicyjnie. Ta sama uwaga dotyczy art. 20 .. Kres dolny i górny funkcji". Tom II i lll został odbity fotograficznie z małymi tylko zmianami. W tomie I I I dodano rozd z iał o tensorach . Dalszym ciągiem jest tom IV, który poświęcony jest teorii funkcji zmiennej zespolonej i równaniom różniczkowym cząstkowym. Przeznaczony on jest dla słuchaczów Kursu magisterskiego .
AUTOR Warszawa, 1950 r.
.,
"•
•
SPIS RZECZY
. . . !· . ' ó{ .
•
WSTĘP
•
.
•
••
~
i ....
•
. • •
!,t.. • • •
.
,_ .
LICZBY NIEWYMIERNE
;
.
•
•
:.
...'{. .
.....
~
'·
.
.....• •
Str. ·
..
l. Uwagi 'ogólne .......... ... ". .......... ......... ,. . ...... ... ,. ......... . .... . . . ... "....... ~ . ... , 2 .. Przykład przekroju zbioru liczb wymiernych ~ . ~.~~ ~ 3. Określenie liczby nie\vymiernej .. o. ~ e. o"- .. e . . . . . . . . . .. ~ -~ . . . . ~. e • • • • • G". o." Ił 4. Nierówności dwóch liczb niewymiernych ,;."~ .: ' 5" Liczby przeciwne "" ~ 6. Przekrój zbioru liczb rzeczywistych ........ .. . . .. .. : . ... 7. Działania nad liczbami niewymiernymi . 8. Liczby algebraiczne i przestępne ............ . ...... .
1
o ........ .
$. "
.....
.....
& . . . . . ., .,
G ......... .
e ......... . .. .. " " .. ..... "' •• •• - . . . . . . . . . .
. .. .. . ... .
.....
G ........ .
u
n
.
..
H
.
4
• ·
()
.......... .
.. . . . . . .. . . . . . . . . . .
. . . . . -.
-. ') .
. . . ..
11
f
•
'
.
.... .
·7
o
7
...... .
8
. . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o • • • • o • • • •
oe
H
. . "" . . .
..
17
. . . . . .. . . . . . .
..
CZĘŚĆ I RACHUNEK RÓŻNICZKOWY CIĄGI •
..
..
I SZEREGI . .
·
'·,.
kątem; który sieczna O 1-;yf t\vorzy z osią O x; sieczna
tg a, gdzie a jest
•
'
~.....
·!li• ·:
. skąd \vidać, iż funkcja przybiera wartośćy • : .~ . · · nych wzorem: ' '·
.
X
-
'
;
;
. $
•••
. ,,::
..
' ••,
.'
.
, . , ~~ . " • . •.l
'
·..r:,:.J>ii'·"ii:•. ·, :.
.............,•......,.,_ _..,.,..,.... _ ...,_,....
....", ...-
&
"
..
. ··.
} )·'· •
4 a c równa się zeru, \vtedy trójmian jest pełnym kwadratem: .
'
'.: .
...
l1z;2 _ . 4. .~--c 2a
.', · .. Gdy wyróżnik b2 '-· .
. -b ±
·. O dla d\vóch wartości na x, określo-
{
i:·: · :' ,.
•"1 ;':'
..
•
~
. .. ••
•
.
b y = a x -t.- -~-2a
2
~.
•
•
26 - ·.
'
·,.
b
.
.
.
i linia odpowiednia jest parabolą, styczną w punkcie o odciętej x 0 =-----do osi O x .
.2a
'
,.
>
'
Przy kła-d 3. Funkcja y ........ x 3 przybiera dla dwóch wartości przeciwnych x i x wartości przeciwne x 3 i x 3 " z tego powodu wykres posiada kształt przedstawiony na rys. 10,. ·
•
Linia jest równieZ
stycz~a
w punkcie O do osi O x, gdyz
~ dąży
do zera,
'
przechodzi jednak na drugą stronę stycznej. Taki punkt O nazywamy punktem
. \
'
przegięcia linii~
·.
..
'f
. .
•
,i
•
"
•
· 7. Funkcja algebraiczna wymierna i niewymierna ·
nad .zmienną niezależną wykonane są tylko działania wymierne~ a więc dodawanie, odej-m owanie, ' mnożenie i dzielenie, to takie wyrażenie nazywamy funkcJą algebraicz-ną wymierną . , Szczególnym przypadkiem takiej funkcji jest funkcja algebraiczna całkowita, _ podana w poprzednim ·artykule . W przypadku ogólnym, przez sprowadzenie ułamków do wspólnego mianowni~a, każdą funkcję algebraiczną 'vymierną możemy · · wyrazić w 'postaci ilorazu dwóch funkcyj algebraicznych całkowitych odpowied~ . nich stopni, ~więc w postaci następującej: · .
x
Jeśli
w wyrażeniu algebraicznym,
ok~eślającym funkcję)
'
. '.
bm oznaczają stałe współczynniki. Jeśli funkcję określa . wyrażenie za\vierające oprócz działań wyrr1iernych nadto wyciąganie pierwiastka nad zmienną nieze1:leżną, to takie wyrażenie n.azywamy .
gdzie a0 , a1,
..
* • ,
am; b0 , b1 ,
0
.,
.,
'
.
.
funkcją algebraiczną niewynzierną. Oto przykłady funkcyj
nych:
.
algebraicznych nie,vymier"' ~
Vl ",. . . . . . . x2'
-Y-. .
•
>.
•
X
Y ··-··· a
'
..
Vx +l 5
,.
.'
z których pierwsza określona jest tylko w przedziale (-· --.1, +l), druga dla każdej · · · wartości x, a trzecia dla każdej wartosci x z "vyjątkiem x · 1. Podkreślamy, iż · . . ., funkcja algebraiczna jest niewymierń.a, jeśli owa niewymierność dotyczy działań '
'
·~
:
'
..
wykonanych nad z11zlenną niezależną,. nie zaś nad współczynnikami, więc np" . . • ~yrazenta: •
'
•
•
..
'
•
y
•
x
2
•
.Y .
określają
V2 + x -
n, '
.l -~- tł - -
X
V5-
•
funkcje algebraiczne wymierne, gdyż pierwiastkowanie dotyczy tylko
. współczynników s •
Przykład
•
l . Niech
będzie
funkcja ·algebraiczna wymierna:
1
(7)
.
Y= -X .,
..
.
Funkcja y ~przybiera wartości tym mniejsze, im większe wartości przybiera x; widzimy . następnie, iż można dobrać tak wielkie x, aby y było dowolnie małe; • punkty linii dążą vvięc do osi Ox, gdy wartość x rośnie nieskończenie . •
•
.
Y
l
l
c
• ł
ł
l
• •
' ł
y;
ł
•
'
ł
-a1
'
l
X
ł
'
l
2
J
X
"
..
.. . . ·
. . .
. '
.
;'
.. -·
o-
~...
•
=· •
..
.
. ' •
.
.
·.
"
...
-
' .
Rys.
'
.. . .
... .-..
II
•
. l • Dla x = O wzór (7) nie określa wartości funkcji, gdyż symbol nte ma sensu. . . 0 ~ :. ; : Funkcja jest jednak określo!la dla każdej liczby dodatniej x dowolnie bliskiej zera };(.. ...: i w pobliżu teJ. wartości x ··m O funkcja (7) może przybrać wartość większą od dowo~.f:W., ·-.· nie · wielkiej liczby. Gdy x przybiera wartości ujemne, wtedy funkcja przybiera · ~~~ -~ też . ~~.rt?ści . ujemne, przeciwne wzglęclem odpowiednich wartości funkcji dla : ;~4.·~ _.do.datnich wartości x, mianowicie: . . ~~ ......
..
~· "
.
'
.
•
~~
·.:.
·oxł .
t· · ~~ .
:
•
••
.~ł-.
.
• l!'> 3.1 :;· ;-:.JX
i.,:
~-
.:; ...~
>lll'i< .. ;.
J:r. ,.-: :?:. .
!~-~-~"t'''"-~~. . t. ·: . ;
a1 2 (x)- 4 ao (x) a2 (x) a 2 (x) =1= ·o .
~
:. ...,
~~~~ : ., ' ·
.
·....'>:; ~~
.. ": ; , ~ ·.t:...:· .. < ·"'··" ,.,;,.. . ... . ~;
..
~~ {\· ~t:..:;x: . .; !l" Y• 'f>· . .
.~. ·~
! ~.
utworzone przez skończoną kombinację działań ' wymiernych i pierwiastkowań nad zmienną x . Otóż tak w ogóle nie jest, algebra bovviem poucza; iż równania algebraicznego wyższego stąpnia niż czwarty nie xno~żna ·rozwiązać algebraicznie w przypadku ogólnym, to znaczy rozwiązanie róvvnania stopnia wyższego niż , • cz\:varty aczkolwiek istnieje, nie może być jednak w przypadku ogólnytn przedsta- wione tak jak np. rozvviąz~nie równania kwadratowego, vv postaci wyrażenia, będącego pewną skończoną kombinacją działań wymiernych i pierwiastko,vań nad wspó1czynnikami równania., Nie zawsze więc funkcję algebraiczną, określoną. przez związek '(9), < możemy przedstawić w postaci wyrażenia algebraicznego \vymiernego lub nie-w~miernego" aczkolwiek istnienie takiej funkcji udowodniono~ Funkcjęt która nie należy do klasy funkcyj algebraicznych, to znaczy nie spełnia żadnego równania algebraicznego o postaci (9), nazywać będziemy funkcJą '
'
'
· przestępną,. . •
9.· Funkcje trygonometryczne ••
w·trygonometrii każdemu kątowi (ze znanymi wyjątkami) podporządkowujemy '
•
liczby określone, zwane sinusem, cosinusem, tangensem i cotangensem tego kąta. Jeśli więc wartości dowolne zmiennej x będzien1y uważali za wartości kąta np~ w mierze łukowej, to w myśl definicji funkcji, podporządkowanie podane ·,v trygonometrii ol{reśla funkcje: . •
y · s1n x; y
cos x; y -- tg x;
y
. cotg x,
które nazywamy funkćjanzi trygonotnetrycznynzi" Funkcje te stanowią istotnie nowe elementy w matematyce, można bowiem udowodnić, iż nie są one funkcjami a~gebraicznymi, to znaczy, iż należą do :klasy '
funkcyJ przestępnych~. . Wartości funkcyj sin x i cos x są określone dla każdej wattości na x i powtarzają się, gdy \Vartość zmiennej niezależnej x · powiększymy o dowolną wielokrotność •
liczby 2x, to znaczy mamy:
•
·+
sin (x n 2n) sin x, 1') ) cos ( x +' n Hn · = cos x, ' '
. gdzie n oznacza
dowolną całkowitą. Wartości
gdy wartości zmiennej niezależnej to znaczv: --~
funkcyj tg x i cotg x ·powtarzają się, powiększytny o dowolną wielokrotność liczby x., •
tg (x + n n) . . . - tg x, cotg (x -+- n:n) cotg x~
Funkcje trygonometryczne należą z tego powodu do klasy tzw ~funkcyj periodycznych lub okresowych. Mianowicie w ogóle funkcja f (x) nazy"ra się okresową~ jeśli spełnia ona własność: ~ f(x)
f
(x
+ n óJ)j
'.
'
3I l
.
'
gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą, dodatnią lub ujemną, zaś w oznacza. liczbę stałą dodatnią, zwaną okresem funkcji. ' Okres co dla funkcyj trygonometrycznych '\Vynosi 2n, dla funkcyj tg x i cotg x okres ten można zredukować d o :n . . .
•
Y ..
- 27t
e
-·
l l l
+l:
~ _ - 2.....
:J 1t - ··-··..., 2
---·
'·
3
'
2'/C
;~o
- l'l
l
3 1t 2
...
•)
X
•
'
Rys. 13 •
•
•
'
....
Przypom inamy, iż wartość funkcji sin x rośnie od O do l, gdy x zmienia się od O do
.
..
w dalszym ciągu maleje od Odo
.·
-.
.. '
-i-, następnie wartość sin x maleje od 1 do O, gdy x zm ienia się od -i do x, l , gdy x zmienia się od n do ~n, wreszcie wzrasta 2 .
•
•
•
ni
będzie się po\vtarzał, •
. ="
a dla kątów ujemnych mamy:
:
· sin (
'
·... .
x) = -- sin x; .
przebieg funkcj i sin x ilustruje linia na
.'
, f k . . W artośc un CJl"' "':
: q
13, nazywa
ona
sz~nusoidą .
stn x , . l d . . . d tg x = --. ~ rosnte sta e, g y x zmtenta st ę o X
COS
dla x < O funkcja przybiera wartości ujemne, dla x
.
się
•
J
.. . .. . ·
rys~
',. . chodzi przez zero dla x.
O.
>
n d -- o
2
+ ---n
2;
O wartości dodatnie i prze-
Jeśli x dąZy do górnego krańca przedziału 1- z lewej
•.' ~· .
'
:~i :. ·:s:--~
strony, to wartość funkcji rośnie nieskończenie , oznaczymy to w ten sposób:
'
..
.' .. •'
. •
-
ii. .
:~>
~~~\ ~. ..,.\~'!
'
·,
-~··· ~ ;;:x·
x 0 , możemy analogicznie określić granic~ prawostronną funkcjL A \vięc liczbę l 2 nazywamy granicą prawostronną funkcji f (x) w punk~ cie x0 , jeśli dla dowolnej małej e możemy dobrać takie 'ł}, aby wartość bezwzględna różnicy między liczbą l 2 i wartościami funkcji była tnniejsza od e: '
ł
•
•
.o
•· · .gdy na x będziemy nadawali wartości wlększe od x0 i różniące się ·od x0 mniej •· ntż. o 17: •
Jeśli
O< x--x0
/,
X->Xo ..
. .. '
::,. ,, F odkreślamy, iż definicja granicy funkcji w punkcie x 0 dotyczy·własności zbio~u ~·[::·:...wartości, które funkcja przybiera w sąsiedztwie punktu x 0 , nie ~aś w samym punkcie f.j~~: -Xo i, że granica ta 'w ogóle może slę ni'e 1~ównać wartości f (x0 ), którą funkcja przybiera ~> :··. .',w. punkcie x x 0 (wbrew temu"~ co zwykle przypuszczają początk4jący), zresztą, }{~;i;.~) a~ zob~czymy na przykładach, funkcja ni;oż.e na\vet nie być określona dla Wartości Xo. f;~:.~
..
J
•
'
'
!~..,~.!~~·~~· ;:.l:f;:.~~;tJ' .. t : .).t.:p· ,,••-;·. ~zt l'"' .
'!')
• ·.·, ·.".;r-:. • .; ;;; •• ••• •
-
.
.
. ~
•
'
'
.
;. • ,,., ....:
.,.,.,,.
, •
' ..
..
""'4 Nadmienimy jeszcze, iż \V powyższej definicji lewostr(Jnno-ść i pra\vostronność granicy jest \V Z\viązku z odpowiednim położeniem zmienn~j niezależnej x wzglę dem xD, sama zaś funkcja może przybierać \V obydwóch przypadkach wartości zar l ; X COS X
vagę dodatnie \Vartości pierwiastka, stosuJemy takie przek,ształc.enie: '
V7{~)•
ponieważ zaś
.f (x) . ,. ,.. l,
. ~...
f (x) · ...._, l
gdy x . .._ x0 ,
więc możemy
r-· l l
---·-+V l ' 2
Jf(x)-l! < gdzie E jest dowolnie
małe·-
!·-·-..·-
tak
przybliżyć
x do x0 ,
żeby
.
~e,
. _b\dzie wtedy:
ł
•
'
co dowodzi prawdziwości twierd~eniao l
WNIOSEK Ie
Jeśli funkcje/ {x) i
•
•
ł.
p(x) są ciągłe dla x = · x0 , to wtedy, jak \Viemy, .
będzie;
)f
l
(X) ._ f (Xo); (/) .(X) ._ tp (Xo) , gcly x ", ,. Xo ,
a wobec tego, według twierdzeń o granicach, otrzymamy :
f (x) + cp (x) -··· ~f (xo) + cp (xo), .f (x) ~
-f (xo) ~ 9' (xo),
"
'•,
gdy x dąży do Xoo Ozpacza to, iż suma, iloczyn i iloraz funkcyj ciągłych są funkcjami ciągłyn1i. " .- ·.: · . · •
.
'
>'
'
: :
45 W ogóle dozoolna ll·ombi'nacja funkcyj
ciągłych,
otrzymana przez doda7JJanie, mnożenle, podnoszenle do potęgi i dzielenie . tych funkcyj daje w rezultacie funkcję · dąglą, z wyjątkiem tych wartości na x~ w których~ dana konzbhzacja jest ilorazetn z dzielnikiem zerowym.
J:V...VIOSEK II. Ponieważ y = ·y . · ·...;",.· a · m xm będzz~e funkcją ciągłą
1
T
każdym
w
~"t jest funkcją ciągłą, zatem
am-I "'xm-i+ · -
-~
" .,. +a1
wielomian:
x+a. O
punkcie x.
Podobnie będzle ciągłą wszędzie funkt}a wymz·erna U-' ogólnej postaci •
,.
..
.
'
.,
•
•
z wyjątkiem tych wartości na x, dla których n1ianownik staje się zerem . Przykład możemy
gdy x
t.
zatem
dąży
3 x 2 ·~~- x
Funkcja
.+.
1
-x ··":F. . x ~~:._1-jes~ ciągła dlJl każdej wartości x'J ·więc np. dla x= 2, 2
povviedzieć~ iż
dąży
do
do 2. •'
'
Przykład
2 .. Rozważmy kulę metalową o promieniu R, pokrytą. ładunkiem elektrycznyn1 o gęstości powierzchnio\\~ej a" Natężenie pola elektrycznego będzie funkcją f (x) odłegJośc od srodka kuli x.. . Wiadomo z fizyki, iż we wnętrzu kuli pole elektryczne znika~> zaś na zewnątrz kuli jest takie, jakie by wywołał cał;r ładunek kuli 4 11 1~2 (J, gdyby go umieszczono w· środku kuli·, a zatem; ' dla x R; f (x) =·· ··· ··2- . . . . ; • dla ·•
'
X
widzimy stąd na podstawie t'vierdzenia o granicach, iż natęienie pola dąży do wa~tości 4n R 2 o · . --1{2 · = 4 rt G, gdy punkt Ze\vnętrzny dąży do po\vierzchni kuli. \Vartość 4n a jest więc O granicą lewostronną funkcji danej f (x) \V punkcie x =:! R. Można \vykazać, iż wartość siły 'wywieranej na ładunek jednostkovvy punkto·wy~ leżący na samej powierzchni kuli (x =I~), wynosi 2 11 a, a więc nie równa się wartości granicy pola 4 11 a, gdy x- ~ .> R .. granicą prawostronnąt Z·aŚ
•
.
..
14. · Ciągłość funkcyj trygonometrycznych Aby dowieść ciągłości funkcji: •
y .:.:· -::.. s·Jn x, rozważmy różnicę wartości danej funkcji w punkcie x i w punkcie sąsiednim
X11
} mamy \Vtedy: . .- . ..
'
-46ale. dla dowolnych \vartości x i x 1 zachodzą nierówności: X•l
,,
l
i
!
stn --- . . . .__
.
X
"'
!
.
!l
·,
>jest nieskot1czenie ntała>> oznacza więc to samo, co powiedzenie
. . ,.
>>dąży
do zera>'>..
•
>
.
Funkcja np. sin x·jest nieskończenie mała, gdy x dąży do zera~ Niech będzie funkcja:
'
. .
•
(19) · ·gdzie A jest dowolną stałą, zaś n całkowitą dodatnią. 'Vedług powyższego określenia, funkcja (19) jest nieskończenie mała, gdy x . . . . . '> x0 Z uwagi zaś na '\V)'kładnik potęgi n różnicy· x ······--x0 , nazwiemy taką funkcję nieskoń-
&.
'
czenie
nzalą.
n-tego
rzędu._
· .
TWIERDZENIE.~
nieskończenie małych przeważa
W su1nie kilku
ta, która jest
>
rzędu najniższego.
·
Rozważmy funkcję, będącą sumą
kilku · ·
"'··.
\Veźmy
funkcję:
np .
nieskońc-zenie małych o
•
(20) y -·· A (x·
.xo)
+ B (x -·" x0) +P + C (x ··-~ x0 )n+ą,
11
gdzie p > O, q > 0 .
11
Wykażemy, że gdy
postaci (19);
dostatecznie małym otoczeniu . punktu x0 ~ wtedy składnik najni'ższego 'rzędu tej sumy A (x . . XoY1>r.zezvaża nad sumą wszystkich pozostałych składnikó"'~ Istotnie~ jeśli ten składnik wyrzucimy przed nawias, to •
leży w
wyrażenie:
otrzymamy
(20
x
'
Y . . A. (x
1 )
Xo n
)
-11
.
z którego \vidoczna jest przewaga wyrazu .~.4 (x x0 ) w dostatecznie małym oto'7, , czeniu punktu x0 , można bo\viem zawszę osiągnąć nierówność:
B , A (x
xo)P
·c
+A
(x x0).q < c.,
funkcja dąży do nieskonczoności, gdy x dąży do Xo>>: ·f (x) -~· ~ oo, przeważający,
A (x x0 )n, jako '
\~iemyjuż,
gdy
X
)>.
>
•
Xo
oznacza, ze dla dowolnie duzej M można dobrać tak małe 1], żeby było: ..
j(x).> gdy
M~
lx x0
!
< t}$ .
'·
Zamiast powiedzenia >>funkcja dąży do nieskończoności» używamy też powiedzenia >>funkcja jest nieskończenie wielka~ . " ' . l
Z powyZszego wynika, że jeZeli f (x) Jest nieskończenie wielka,. to l{;;) jest
nieskończenie mała ..
Funkcja w postaci:
•
.k
. f(x) dąży
(x xo)" ; (n~ O)
.
gdy x -· ,. x0 ; nazywamy ją nieskończenie wielką n-tego rzędu . Podobnie jak dla nieskończenie małych, można udowodnić, że w sumie kilku nieskot1czenie wielkich pr.ze\vaża ta, która jest najwyższego rzędu.
do
nieskończoności,
f k . . d . . l . 16·. Wł· asnosc1 un CJl, g y z:mtenna n1eza ezna dąży do nieskończoności /Ił
•
'
GRANICA FUNKCJI,. Niech będzie funkcja y f (x) określona dla dowolnie dużej wartości zmiennej niezależnej x~ Mówimy, iż funkcja dana dąży do granicy l, gdy x dąży do nieskończoności, jesli dla dowolnle malej e można dobrać tak rvielką '
· liczbę ll1, aby było:
!J(x)-ll< e, · gdy X> lVI;.
(21) piszemy \vtedy:
·
f (x).
(21')
.gdy
.,. l, X · >00"
Analogicznie określimy granicę funkcji, gdy wartość przeciwna zmiennej niezależnej x dąży do nieskończoności i piszemy wtedy:
j (X) · .-;. f , gdyx
".
oo ..
~
· \Vidzimy np. od razu, iż funkcja: . •
dąży do jedności, gdy x lub~ x rośnie nieskończenie . Funkcja: >
-49-
.
•-,
l
Y=
'
--xn'
.
g~zie
.
,
m > O,
dąży
do zera, gdy x oo . . . . Funkcja, dążąc do swej granicy, może przybiera~ wartości bądź od granicy , większe, bądź mniejsze, bądź też na przemian większe i mniejsze_lub rÓ\vne tej :. granicy. Funkcja np.: • • stn x .......... ..... •
'
)>-
•
f(x)
•
,
,_,_"...",..,
X
.
dąży
do zera, gdy x nieskończenie rośnie, przybierając wartości większe, mniejsze .1 · rowne , zeru. · Jeśli wartości funkcji są rzędnymi punktów linii, to istnienie powyższej granicy l danej .funkcji oznacza, iż punkty linii M dążą do prostej o równaniu y l równoległej do osi O x (rys . J)l8), prosta taka jest więc ą,symptotą danej linii .
•
Y
'
M~~ - ----ł
'
•
•
' l
l
; · f{x) l
l
l
ł
- ..
o
•
•
M' .
• •
-,.(
.
Rys. 18 •
Wszystkie twierdzenia o granicach funkcji w danym punkcie, podane w artykule 13, prawdziwe są również dla granicy funkcji, gdy x dąży do niesko~czoności.. Dowód istnienia granicy funkcji nie zawsze jest tak bezpośredni jak w podanych · -..wyżej przykładach i staje się oczywisty dopiero po pewnych przekształceniach · · ·wyrazenia przedstawiającego funkcję. Z zagadnieniami poszukiwania granicy ~·.. :. będziemy ciągle mieli do czynienia nadal, na razie podamy tylko elementarne '~·: .' · przykłady tego rodzaju~ . ,: ·... ... -. Przykład 1 .. Weźmy pod uwagę · stosunek dwóch funkcji . całkowitych tego •
-
l . . ' :ł: ex:>, wtedy-;--+ O i funkcja dąży do granicy:
'
2
Y
>
-·-
vs~~ ...·
.:
Przykład 3 ~
Niech
będzie
funkcja:
f(x) = ·
J•'"'
' .
............... . . .
Vx +x +l2
--;.~
X"
+
Gdy x > oo , odjemna i odjemnik, dążąc jednocze-śnie do nieskończoności, przecivvdziałają sobie i zachowanie się różnicy nłe jest bezpośrednio oczywiste ... . Aby zbadac, co się dzieje z funkcją, gdy x · ~ oo , robimy, następuJące pr~e· kształcenie: '· ,, · , •
•
•
A
•• • '
M,
(22)
gdy
X
..
>.N;
'
piszemy wtedy:
"f( x·') - ..,. gdy X ~
(22')
·+ C>O l
:t
+ 00~
·'
jeśli włas~ość (22) dotyczy przechvnej wartości funkcji
-·f
(x), to wtedy
" naptszemy:
f
(x) gdy X ·
» )o
oo,
+ CX)·ę
Analogicznie określimy nieskończony \vzrost funkcji, gdy x dąży do nieskończoności ujemnej ( x · ~ oo). " " , Jeżeli wartość bezwzględna funkcji dąży do nieskończoności) to oczywtścte · . od\vrotność~ tej funkcji dąży do zera: .. , .
.
tgy~
'
. >
>
W rozdziałach następnych będziemy zawsze brali pod uwagę tylko tę funk~ję •
'
x 1 = arc tg
y, która zawięra się w przedziale od
----i- do+
~ , funkcja ta jest
. okre~lona dla każdej wartości y, to znaczy w przedziale nieskończonym(-. . .,. oo ~ ...
+· oo).
.. . .
20. Kres dolny i górny funkcji .
y -..= f (x) nazywamy ograniczoną od góry w przedziale (a, b), jeśli . . istnieje .taka liczba M, która przewyższa wszystkie wart9ści funkcji w danym przedziale . . · Analogicznie nazywamy funkcję ograniczoną od dołu w · przedziale (a~ b)~ jeśli . . . isthieje liczba m, która leży poniżej wszystkich · wartości funkcji w danym . · · przedziale. · . . Mogłoby się w pierwszej .chwili wydawać, że funkcja, przybierająca w każdym ·. ·.·· punkcie danego przedziału wartość · określoną, jest zawsze . ograniczona vv tym · . · przedziale; ot-Óż tak bynajmniej,nie jest . weźmy np. funkcję określoną w przedziale _ · :· (0, 1) przez nast€Gpującą umowę: . ~ Funkcję
"
'
:
'
..
.
..
'
. '
f
gdy x =O;
(x)
~:=
0,.
gdy O< x..:( 1; f(x) =
.
.
l
~; X
il
:. ·· otóż funkcja ta nie jest ograniczona od góry w przedziale (O~ 1)., ahociaż jest .określo . . •. ·. ·. na w każdymjego punkcie. · :· . . .. . Rozważmy funkcjęy --. f"(x), ograniczoną od góry w przedziale (a, b) i podzielmy :.:_.. ·wszystkie liczby rzeczywiste na dwie klasy: do klasy wyższej zaliczmy wszystkie :·.· .· liczby przewyższające wartości funkcji danej w przedziale (a, b), zaś do klasy ::: . niższej zaliczmy liczby pozostałe, a więc mniejsze od lic-zb klasy wyższej~ Podział ·,;r . powyższy jest przekrojem zbioru liczb rzeczywistych, a zatem istnieje liczba L .
.
.
,:·.. ~· rozdzielająca powyższe d.w·ie 'klasy; wielkość L ma tę.własność, iz każda liczba od . ,;:;::niej większa przewyższa wszystkie wartości funkcji j' (x) w danym przedziale~ zaś r·.:_, /;każda liczba od niej mniejsza jest mniejsza lub równa jednej p:rzynajmniej wartości . • : ·
±
00
~«
... ' .,.~
•
"" " '"' " ..' . . . ·. ' . ...
. •
."..
gdy
X
gdy
X->
gdy
X-->± 00
.
"
>+o.-:>
..
___ . . . . , . _ . : .. . -. . . . . . . , _ _. _ . : . -. J-x2 ..... - x4 xa + 1 2x2 +x--1 .................._... .... ..•
V
~
", _....
............................ ··············•········-··-
~
~t
X -
±oo
>
+
•
oo ..
3) Zbadać istnienie funkcji· odwrotneJ względem funkcji:
. Y =
2 ax + bx +c ···-·--2. . .__.. . a 1x · + b1x + c1
M_"·-·---~~o·..,-....~.....M......... 'Ił
RO:ZDZIAŁ.
"
•
II. .
POC-HODNA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 21~
pojęcia
Geneza
•
pochodnej ..
W zagadnieniach1 w kt6rych badamy zmiany pewnych wielkoś·ci \V zależności · od czasu, narzuca się potrzeba określenia pojęcia, które ·by charakteryzowało h . lk ~ w k h "prędkosc zmtany tyc , \Vle oscL ez·my npl! naJprostsze ZJaWI~ ·o ruc ~ u prosto. liniowego punktu M po osi Ox: p
, ., '
l'
,.
l'
..
.,
"
.,
. ... '
..' .
. ..,
'
Rys~
24
.
'
· ·~ ·: ruch będzie określony, jeśli przesunięcie OM . s punktu ruchon1ego lVl (rys ~ 24) .
,.·
.·.· , mierzone od punktu .
stałego
O będzie określoną funkcją czasu t: .
.
.< ;
..
: . {l)
. .' .. : . .
r
"
..
..
S .;..=•,. ,.
·:
1
f :(t')
:~
..
. ..
.
;.: ... : . Niech M oznacza _położenie punktu ruchomego w chwili t, zaś J.,11 ······. · połozenie ~;~t .. chwili sąsiedniej t 1 , nasttt.Ptt}ącej lub poprzedzającej, a \vięc: · . ...
..'
w
..
...
·
: · .i
Przesunięcie . MM~, którego dokonał punkt M od chwili danej t do chwili ••
. sąsiedniej t 1 , równa się przyrostowi danej •.funkcji: •
..
.. ..
.
. .:
.-
,••.
.. dzieląc przesunięcie było
M 1V11 przez przyrost czasu t 1
t, w którym to
przesunięcie
dokonane, otrzymamy wielkość:
(2) która nazy\va sięprędkością średnią punktu ruchomego w przedziale czasu od t do t 1 • Aby określić 'vielkość, która by była charakterystyczna dla ruchu w danej chwili t, ustalmy na razie wartość t i zbliżajmy wartość sąsiednią czasu t 1 do danej wartości t; jeśli prędkość średnia (2) dąży do określonej granicy v, gdy t dąży do t z le\vej 1 . lub z prawej strony tej wartości , to granicę taką n~zywamy prędkością punktu ruchomego M w danej chwili t .. Wartość v tej granicy zależy od wybranej chwili t . Przypominamy, że istnienie granicy v stosunku (2) oznacza, iż dla do\volnie małej e można dobrać takie 'YJ, aby było: •
f( t) _...........-........
f__ (tl) ...........l tl :
(3)
_"
.. ,...
........
"_"
lAIIII
t
l
l< e'
·· V
l
l
t : < 1r
gdy tl
l
'
można też napisać:
•
.,
. "'
(3')
•
V
•
'
lub
(3") o
$
f
•
zaznaczamy Jes ze ze raz, 1z
\V
przejściu
•
powyzszyn1
zmienna, zaś t chwilowo ustalona.
do granicy
wielkość t 1
jest
• l
•
.
i
Przykład . \Veźmy
dla przykładu ruch, określony zależnością
.
i znajdźmy prędkość v w chwili t. Otóż dla prędkości średniej w przedziale od •
chwili t do chwili sąsiedniej t 1 mamy wartość:
f(tl)-.. '
...........
,................
tł
f( i) t
. . . ....
tl
2
- tl .r
t~
t
t1
+
t 'J .,
,.
skąd widzimy bezpośrednio, iż prędkość. średnia dąży do \vartości 2
do t, prędkość szukana v
(4)
\V
chwili danej t wynosi więc: V=
2 t;
\Vidzimy wyraźnie, iż wielkość ta zależy od .w ybranej ch\vili t ..
t, gdy t 1 dąży
•
. .. .
'
.
••
"r·· : · ,
.. " . . .,; .
-65 ·-
.. ·: .;· ...: •.. . . ..
•
,
•
... :· ." . ..
· 22. Definicja pochodnej
"
. ,.' .
•
> •
:·
l
·..•
,·= • ·~· . .. • . .
..
>
•
·- 7 0 •
•
kątowe
dodatnie i tvv.orzą \vobec tego kąty ostre .z osią odciętych, zaś w przedziale malenia funkcji · kąty rozwarte (rys. 26)~ Y '
•
. rosnte ~
maleje
a .
Rys . 26
TWIERDZENIE 2tl Jeźli funkcja f (x) jest stała w danym przedziale (t:f~ w każ dym puttkcie tego .Przedziału przybiera tę samą wartośC), to _pochodna jej równa się zeru. w każdy·m punkci~ wewnątrz tego p1·zedzialu. . I. . . . mamy. wte . dy za\vsze . f. .(x ) -- f (x), a w1ęc . stosune . . k· ·f~-·~ (x.1). .,__. ..,."".f--~ (x). . 1~ Jego . · stotn1e, .·
.granica będą równe
1
.
x1
x
zeru~
potęgowej
25. Pochodna funkcji liniowej i
'
O).. >
Przekształcamy iloraz
przyrostÓ\V vv sposób następujący: 1
f
(x1)
1 ..
-..
xP l
~ ........~f (x)
X 1 --X
" , ,
~
p
•
x1
X . ·..,.."; X
p
_xl... xl
..
..
x"
l _
. .............._...................................
' xf :#'
X
,
~e