Analiza Matematyczna. Tom I [PDF]

Zitiervorschau

WITOLD POGORZELSKI

ANALIZA MATEMATYCZNA

Książka

ta została wydrukowana w Szwecji jako dar Rządu Szwedzkiego dla odbudowy kultury polskiej

DR WITOLD POGORZELSKI PROFE S OR

POLITE CH NIKI

WARSZAWSKIEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA I RACHUNEK RÓŻNICZKOWY CIĄGI l SZEREGI

Wydanie drugie

)> CZYTELNIK >> SPÓŁDZIELNIA WYDAWNICZO-OŚWIATOWA

WARSZAWA 1951

WSZELKIE PRAWA

ZASTRZEżONE

All rights reserved

1 9 5 2 A.-B . JOH N ANTONSONS BOKTRYCKERI · G OTEBORG 49196

Przedmowa do drugiego wydania Tom l drugiego wydania uległ znaczniejszym zmianom w stosunku do pierwszego wydania, zmiany te dotyczą porządku wyklad u i uzupełnienia treści. Słuchacze kursu inżynierski ego studiując tom I mogą pominąć wstęp o liczbach niewymiernych, dowód istnienia fukcji odwrotnej na str. 57 - 58 oraz dowód istnienia granicy ciągu rosnącego lub malejącego na str. 148, uważając te twierdzenia jako oczywiste intuicyjnie. Ta sama uwaga dotyczy art. 20 .. Kres dolny i górny funkcji". Tom II i lll został odbity fotograficznie z małymi tylko zmianami. W tomie I I I dodano rozd z iał o tensorach . Dalszym ciągiem jest tom IV, który poświęcony jest teorii funkcji zmiennej zespolonej i równaniom różniczkowym cząstkowym. Przeznaczony on jest dla słuchaczów Kursu magisterskiego .

AUTOR Warszawa, 1950 r.

.,

"•

•

SPIS RZECZY

. . . !· . ' ó{ .

•

WSTĘP

•

.

•

••

~

i ....

•

. • •

!,t.. • • •

.

,_ .

LICZBY NIEWYMIERNE

;

.

•

•

:.

...'{. .

.....

~

'·

.

.....• •

Str. ·

..

l. Uwagi 'ogólne .......... ... ". .......... ......... ,. . ...... ... ,. ......... . .... . . . ... "....... ~ . ... , 2 .. Przykład przekroju zbioru liczb wymiernych ~ . ~.~~ ~ 3. Określenie liczby nie\vymiernej .. o. ~ e. o"- .. e . . . . . . . . . .. ~ -~ . . . . ~. e • • • • • G". o." Ił 4. Nierówności dwóch liczb niewymiernych ,;."~ .: ' 5" Liczby przeciwne "" ~ 6. Przekrój zbioru liczb rzeczywistych ........ .. . . .. .. : . ... 7. Działania nad liczbami niewymiernymi . 8. Liczby algebraiczne i przestępne ............ . ...... .

1

o ........ .

$. "

.....

.....

& . . . . . ., .,

G ......... .

e ......... . .. .. " " .. ..... "' •• •• - . . . . . . . . . .

. .. .. . ... .

.....

G ........ .

u

n

.

..

H

.

4

• ·

()

.......... .

.. . . . . . .. . . . . . . . . . .

. . . . . -.

-. ') .

. . . ..

11

f

•

'

.

.... .

·7

o

7

...... .

8

. . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o • • • • o • • • •

oe

H

. . "" . . .

..

17

. . . . . .. . . . . . .

..

CZĘŚĆ I RACHUNEK RÓŻNICZKOWY CIĄGI •

..

..

I SZEREGI . .
·

'·,.

kątem; który sieczna O 1-;yf t\vorzy z osią O x; sieczna

tg a, gdzie a jest




•

'

~.....

·!li• ·:
. skąd \vidać, iż funkcja przybiera wartośćy • : .~ . · · nych wzorem: ' '·

.

X

-

'

;

;

. $

•••

. ,,::

..

' ••,

.'

.

, . , ~~ . " • . •.l

'

·..r:,:.J>ii'·"ii:•. ·, :.

.............,•......,.,_ _..,.,..,.... _ ...,_,....

....", ...-

&

"

..

. ··.

} )·'· •

4 a c równa się zeru, \vtedy trójmian jest pełnym kwadratem: .

'

'.: .

...

l1z;2 _ . 4. .~--c 2a

.', · .. Gdy wyróżnik b2 '-· .

. -b ±

·. O dla d\vóch wartości na x, określo-

{

i:·: · :' ,.

•"1 ;':'

..

•

~

. .. ••

•

.

b y = a x -t.- -~-2a

2

~.

•

•

26 - ·.

'

·,.

b

.

.

.

i linia odpowiednia jest parabolą, styczną w punkcie o odciętej x 0 =-----do osi O x .

.2a

'

,.

>

'

Przy kła-d 3. Funkcja y ........ x 3 przybiera dla dwóch wartości przeciwnych x i x wartości przeciwne x 3 i x 3 " z tego powodu wykres posiada kształt przedstawiony na rys. 10,. ·

•

Linia jest równieZ

stycz~a

w punkcie O do osi O x, gdyz

~ dąży

do zera,

'

przechodzi jednak na drugą stronę stycznej. Taki punkt O nazywamy punktem

. \

'

przegięcia linii~

·.

..

'f

. .

•

,i

•

"

•

· 7. Funkcja algebraiczna wymierna i niewymierna ·

nad .zmienną niezależną wykonane są tylko działania wymierne~ a więc dodawanie, odej-m owanie, ' mnożenie i dzielenie, to takie wyrażenie nazywamy funkcJą algebraicz-ną wymierną . , Szczególnym przypadkiem takiej funkcji jest funkcja algebraiczna całkowita, _ podana w poprzednim ·artykule . W przypadku ogólnym, przez sprowadzenie ułamków do wspólnego mianowni~a, każdą funkcję algebraiczną 'vymierną możemy · · wyrazić w 'postaci ilorazu dwóch funkcyj algebraicznych całkowitych odpowied~ . nich stopni, ~więc w postaci następującej: · .

x

Jeśli

w wyrażeniu algebraicznym,

ok~eślającym funkcję)

'

. '.

bm oznaczają stałe współczynniki. Jeśli funkcję określa . wyrażenie za\vierające oprócz działań wyrr1iernych nadto wyciąganie pierwiastka nad zmienną nieze1:leżną, to takie wyrażenie n.azywamy .

gdzie a0 , a1,

..

* • ,

am; b0 , b1 ,

0

.,

.,

'

.

.

funkcją algebraiczną niewynzierną. Oto przykłady funkcyj

nych:

.

algebraicznych nie,vymier"' ~

Vl ",. . . . . . . x2'

-Y-. .

•

>.

•

X

Y ··-··· a

'

..

Vx +l 5

,.

.'

z których pierwsza określona jest tylko w przedziale (-· --.1, +l), druga dla każdej · · · wartości x, a trzecia dla każdej wartosci x z "vyjątkiem x · 1. Podkreślamy, iż · . . ., funkcja algebraiczna jest niewymierń.a, jeśli owa niewymierność dotyczy działań '

'

·~

:

'

..

wykonanych nad z11zlenną niezależną,. nie zaś nad współczynnikami, więc np" . . • ~yrazenta: •

'

•

•

..

'

•

y

•

x

2

•

.Y .

określają

V2 + x -

n, '

.l -~- tł - -

X

V5-

•

funkcje algebraiczne wymierne, gdyż pierwiastkowanie dotyczy tylko

. współczynników s •

Przykład

•

l . Niech

będzie

funkcja ·algebraiczna wymierna:

1

(7)

.

Y= -X .,

..

.

Funkcja y ~przybiera wartości tym mniejsze, im większe wartości przybiera x; widzimy . następnie, iż można dobrać tak wielkie x, aby y było dowolnie małe; • punkty linii dążą vvięc do osi Ox, gdy wartość x rośnie nieskończenie . •

•

.

Y

l

l

c

• ł

ł

l

• •

' ł

y;

ł

•

'

ł

-a1

'

l

X

ł

'

l

2

J

X

"

..

.. . . ·

. . .

. '

.

;'

.. -·

o-

~...

•

=· •

..

.

. ' •

.

.

·.

"

...

-

' .

Rys.

'

.. . .

... .-..

II

•

. l • Dla x = O wzór (7) nie określa wartości funkcji, gdyż symbol nte ma sensu. . . 0 ~ :. ; : Funkcja jest jednak określo!la dla każdej liczby dodatniej x dowolnie bliskiej zera };(.. ...: i w pobliżu teJ. wartości x ··m O funkcja (7) może przybrać wartość większą od dowo~.f:W., ·-.· nie · wielkiej liczby. Gdy x przybiera wartości ujemne, wtedy funkcja przybiera · ~~~ -~ też . ~~.rt?ści . ujemne, przeciwne wzglęclem odpowiednich wartości funkcji dla : ;~4.·~ _.do.datnich wartości x, mianowicie: . . ~~ ......

..

~· "

.

'

.

•

~~

·.:.

·oxł .

t· · ~~ .

:

•

••

.~ł-.

.

• l!'> 3.1 :;· ;-:.JX

i.,:

~-

.:; ...~

>lll'i< .. ;.

J:r. ,.-: :?:. .

!~-~-~"t'''"-~~. . t. ·: . ;

a1 2 (x)- 4 ao (x) a2 (x) a 2 (x) =1= ·o .

~

:. ...,

~~~~ : ., ' ·

.

·....'>:; ~~

.. ": ; , ~ ·.t:...:· .. < ·"'··" ,.,;,.. . ... . ~;

..

~~ {\· ~t:..:;x: . .; !l" Y• 'f>· . .

.~. ·~

! ~.

utworzone przez skończoną kombinację działań ' wymiernych i pierwiastkowań nad zmienną x . Otóż tak w ogóle nie jest, algebra bovviem poucza; iż równania algebraicznego wyższego stąpnia niż czwarty nie xno~żna ·rozwiązać algebraicznie w przypadku ogólnym, to znaczy rozwiązanie róvvnania stopnia wyższego niż , • cz\:varty aczkolwiek istnieje, nie może być jednak w przypadku ogólnytn przedsta- wione tak jak np. rozvviąz~nie równania kwadratowego, vv postaci wyrażenia, będącego pewną skończoną kombinacją działań wymiernych i pierwiastko,vań nad wspó1czynnikami równania., Nie zawsze więc funkcję algebraiczną, określoną. przez związek '(9), < możemy przedstawić w postaci wyrażenia algebraicznego \vymiernego lub nie-w~miernego" aczkolwiek istnienie takiej funkcji udowodniono~ Funkcjęt która nie należy do klasy funkcyj algebraicznych, to znaczy nie spełnia żadnego równania algebraicznego o postaci (9), nazywać będziemy funkcJą '

'

'

· przestępną,. . •

9.· Funkcje trygonometryczne ••

w·trygonometrii każdemu kątowi (ze znanymi wyjątkami) podporządkowujemy '

•

liczby określone, zwane sinusem, cosinusem, tangensem i cotangensem tego kąta. Jeśli więc wartości dowolne zmiennej x będzien1y uważali za wartości kąta np~ w mierze łukowej, to w myśl definicji funkcji, podporządkowanie podane ·,v trygonometrii ol{reśla funkcje: . •

y · s1n x; y

cos x; y -- tg x;

y

. cotg x,

które nazywamy funkćjanzi trygonotnetrycznynzi" Funkcje te stanowią istotnie nowe elementy w matematyce, można bowiem udowodnić, iż nie są one funkcjami a~gebraicznymi, to znaczy, iż należą do :klasy '

funkcyJ przestępnych~. . Wartości funkcyj sin x i cos x są określone dla każdej wattości na x i powtarzają się, gdy \Vartość zmiennej niezależnej x · powiększymy o dowolną wielokrotność •

liczby 2x, to znaczy mamy:

•

·+

sin (x n 2n) sin x, 1') ) cos ( x +' n Hn · = cos x, ' '

. gdzie n oznacza

dowolną całkowitą. Wartości

gdy wartości zmiennej niezależnej to znaczv: --~

funkcyj tg x i cotg x ·powtarzają się, powiększytny o dowolną wielokrotność liczby x., •

tg (x + n n) . . . - tg x, cotg (x -+- n:n) cotg x~

Funkcje trygonometryczne należą z tego powodu do klasy tzw ~funkcyj periodycznych lub okresowych. Mianowicie w ogóle funkcja f (x) nazy"ra się okresową~ jeśli spełnia ona własność: ~ f(x)

f

(x

+ n óJ)j

'.

'

3I l

.

'

gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą, dodatnią lub ujemną, zaś w oznacza. liczbę stałą dodatnią, zwaną okresem funkcji. ' Okres co dla funkcyj trygonometrycznych '\Vynosi 2n, dla funkcyj tg x i cotg x okres ten można zredukować d o :n . . .

•

Y ..

- 27t

e

-·

l l l

+l:

~ _ - 2.....

:J 1t - ··-··..., 2

---·

'·

3

'

2'/C

;~o

- l'l

l

3 1t 2

...

•)

X

•

'

Rys. 13 •

•

•

'

....

Przypom inamy, iż wartość funkcji sin x rośnie od O do l, gdy x zmienia się od O do

.

..

w dalszym ciągu maleje od Odo

.·

-.

.. '

-i-, następnie wartość sin x maleje od 1 do O, gdy x zm ienia się od -i do x, l , gdy x zmienia się od n do ~n, wreszcie wzrasta 2 .

•

•

•

ni

będzie się po\vtarzał, •

. ="

a dla kątów ujemnych mamy:

:

· sin (

'

·... .

x) = -- sin x; .

przebieg funkcj i sin x ilustruje linia na

.'

, f k . . W artośc un CJl"' "':

: q

13, nazywa

ona

sz~nusoidą .

stn x , . l d . . . d tg x = --. ~ rosnte sta e, g y x zmtenta st ę o X

COS

dla x < O funkcja przybiera wartości ujemne, dla x

.

się

•

J

.. . .. . ·

rys~

',. . chodzi przez zero dla x.

O.

>

n d -- o

2

+ ---n

2;

O wartości dodatnie i prze-

Jeśli x dąZy do górnego krańca przedziału 1- z lewej

•.' ~· .

'

:~i :. ·:s:--~

strony, to wartość funkcji rośnie nieskończenie , oznaczymy to w ten sposób:

'

..

.' .. •'

. •

-

ii. .

:~>

~~~\ ~. ..,.\~'!

'

·,

-~··· ~ ;;:x·
x 0 , możemy analogicznie określić granic~ prawostronną funkcjL A \vięc liczbę l 2 nazywamy granicą prawostronną funkcji f (x) w punk~ cie x0 , jeśli dla dowolnej małej e możemy dobrać takie 'ł}, aby wartość bezwzględna różnicy między liczbą l 2 i wartościami funkcji była tnniejsza od e: '

ł

•

•

.o

•· · .gdy na x będziemy nadawali wartości wlększe od x0 i różniące się ·od x0 mniej •· ntż. o 17: •

Jeśli

O< x--x0

/,

X->Xo ..

. .. '

::,. ,, F odkreślamy, iż definicja granicy funkcji w punkcie x 0 dotyczy·własności zbio~u ~·[::·:...wartości, które funkcja przybiera w sąsiedztwie punktu x 0 , nie ~aś w samym punkcie f.j~~: -Xo i, że granica ta 'w ogóle może slę ni'e 1~ównać wartości f (x0 ), którą funkcja przybiera ~> :··. .',w. punkcie x x 0 (wbrew temu"~ co zwykle przypuszczają początk4jący), zresztą, }{~;i;.~) a~ zob~czymy na przykładach, funkcja ni;oż.e na\vet nie być określona dla Wartości Xo. f;~:.~

..

J

•

'

'

!~..,~.!~~·~~· ;:.l:f;:.~~;tJ' .. t : .).t.:p· ,,••-;·. ~zt l'"' .

'!')

• ·.·, ·.".;r-:. • .; ;;; •• ••• •

-

.

.

. ~

•

'

'

.

;. • ,,., ....:

.,.,.,,.

, •

' ..

..

""'4 Nadmienimy jeszcze, iż \V powyższej definicji lewostr(Jnno-ść i pra\vostronność granicy jest \V Z\viązku z odpowiednim położeniem zmienn~j niezależnej x wzglę­ dem xD, sama zaś funkcja może przybierać \V obydwóch przypadkach wartości zar l ; X COS X
vagę dodatnie \Vartości pierwiastka, stosuJemy takie przek,ształc.enie: '

V7{~)•

ponieważ zaś

.f (x) . ,. ,.. l,

. ~...

f (x) · ...._, l

gdy x . .._ x0 ,

więc możemy

r-· l l

---·-+V l ' 2

Jf(x)-l! < gdzie E jest dowolnie

małe·-

!·-·-..·-

tak

przybliżyć

x do x0 ,

żeby

.

~e,

. _b\dzie wtedy:

ł

•

'

co dowodzi prawdziwości twierd~eniao l

WNIOSEK Ie

Jeśli funkcje/ {x) i

•

•

ł.

p(x) są ciągłe dla x = · x0 , to wtedy, jak \Viemy, .

będzie;

)f

l

(X) ._ f (Xo); (/) .(X) ._ tp (Xo) , gcly x ", ,. Xo ,

a wobec tego, według twierdzeń o granicach, otrzymamy :

f (x) + cp (x) -··· ~f (xo) + cp (xo), .f (x) ~

-f (xo) ~ 9' (xo),

"

'•,

gdy x dąży do Xoo Ozpacza to, iż suma, iloczyn i iloraz funkcyj ciągłych są funkcjami ciągłyn1i. " .- ·.: · . · •

.

'

>'

'

: :

45 W ogóle dozoolna ll·ombi'nacja funkcyj

ciągłych,

otrzymana przez doda7JJanie, mnożenle, podnoszenle do potęgi i dzielenie . tych funkcyj daje w rezultacie funkcję · dąglą, z wyjątkiem tych wartości na x~ w których~ dana konzbhzacja jest ilorazetn z dzielnikiem zerowym.

J:V...VIOSEK II. Ponieważ y = ·y . · ·...;",.· a · m xm będzz~e funkcją ciągłą

1

T

każdym

w

~"t jest funkcją ciągłą, zatem

am-I "'xm-i+ · -

-~

" .,. +a1

wielomian:

x+a. O

punkcie x.

Podobnie będzle ciągłą wszędzie funkt}a wymz·erna U-' ogólnej postaci •

,.

..

.

'

.,

•

•

z wyjątkiem tych wartości na x, dla których n1ianownik staje się zerem . Przykład możemy

gdy x

t.

zatem

dąży

3 x 2 ·~~- x

Funkcja

.+.

1

-x ··":F. . x ~~:._1-jes~ ciągła dlJl każdej wartości x'J ·więc np. dla x= 2, 2

povviedzieć~ iż

dąży

do

do 2. •'

'

Przykład

2 .. Rozważmy kulę metalową o promieniu R, pokrytą. ładunkiem elektrycznyn1 o gęstości powierzchnio\\~ej a" Natężenie pola elektrycznego będzie funkcją f (x) odłegJośc od srodka kuli x.. . Wiadomo z fizyki, iż we wnętrzu kuli pole elektryczne znika~> zaś na zewnątrz kuli jest takie, jakie by wywołał cał;r ładunek kuli 4 11 1~2 (J, gdyby go umieszczono w· środku kuli·, a zatem; ' dla x R; f (x) =·· ··· ··2- . . . . ; • dla ·•

'

X

widzimy stąd na podstawie t'vierdzenia o granicach, iż natęienie pola dąży do wa~tości 4n R 2 o · . --1{2 · = 4 rt G, gdy punkt Ze\vnętrzny dąży do po\vierzchni kuli. \Vartość 4n a jest więc O granicą lewostronną funkcji danej f (x) \V punkcie x =:! R. Można \vykazać, iż wartość siły 'wywieranej na ładunek jednostkovvy punkto·wy~ leżący na samej powierzchni kuli (x =I~), wynosi 2 11 a, a więc nie równa się wartości granicy pola 4 11 a, gdy x- ~ .> R .. granicą prawostronnąt Z·aŚ

•

.

..

14. · Ciągłość funkcyj trygonometrycznych Aby dowieść ciągłości funkcji: •

y .:.:· -::.. s·Jn x, rozważmy różnicę wartości danej funkcji w punkcie x i w punkcie sąsiednim

X11

} mamy \Vtedy: . .- . ..

'

-46ale. dla dowolnych \vartości x i x 1 zachodzą nierówności: X•l

,,

l

i

!

stn --- . . . .__

.

X

"'

!

.

!l

·,
>jest nieskot1czenie ntała>> oznacza więc to samo, co powiedzenie

. . ,.

>>dąży

do zera>'>..

•

>

.

Funkcja np. sin x·jest nieskończenie mała, gdy x dąży do zera~ Niech będzie funkcja:

'

. .

•

(19) · ·gdzie A jest dowolną stałą, zaś n całkowitą dodatnią. 'Vedług powyższego określenia, funkcja (19) jest nieskończenie mała, gdy x . . . . . '> x0 Z uwagi zaś na '\V)'kładnik potęgi n różnicy· x ······--x0 , nazwiemy taką funkcję nieskoń-

&.

'

czenie

nzalą.

n-tego

rzędu._

· .

TWIERDZENIE.~

nieskończenie małych przeważa

W su1nie kilku

ta, która jest

>

rzędu najniższego.

·

Rozważmy funkcję, będącą sumą

kilku · ·

"'··.

\Veźmy

funkcję:

np .

nieskońc-zenie małych o

•

(20) y -·· A (x·

.xo)

+ B (x -·" x0) +P + C (x ··-~ x0 )n+ą,

11

gdzie p > O, q > 0 .

11

Wykażemy, że gdy

postaci (19);

dostatecznie małym otoczeniu . punktu x0 ~ wtedy składnik najni'ższego 'rzędu tej sumy A (x . . XoY1>r.zezvaża nad sumą wszystkich pozostałych składnikó"'~ Istotnie~ jeśli ten składnik wyrzucimy przed nawias, to •

leży w

wyrażenie:

otrzymamy

(20

x

'

Y . . A. (x

1 )

Xo n

)

-11

.

z którego \vidoczna jest przewaga wyrazu .~.4 (x x0 ) w dostatecznie małym oto'7, , czeniu punktu x0 , można bo\viem zawszę osiągnąć nierówność:

B , A (x

xo)P

·c

+A

(x x0).q < c.,
funkcja dąży do nieskonczoności, gdy x dąży do Xo>>: ·f (x) -~· ~ oo, przeważający,

A (x x0 )n, jako '

\~iemyjuż,

gdy

X

)>.

>

•

Xo

oznacza, ze dla dowolnie duzej M można dobrać tak małe 1], żeby było: ..

j(x).> gdy

M~

lx x0

!

< t}$ .

'·

Zamiast powiedzenia >>funkcja dąży do nieskończoności» używamy też powiedzenia >>funkcja jest nieskończenie wielka~ . " ' . l

Z powyZszego wynika, że jeZeli f (x) Jest nieskończenie wielka,. to l{;;) jest

nieskończenie mała ..

Funkcja w postaci:

•

.k

. f(x) dąży

(x xo)" ; (n~ O)

.

gdy x -· ,. x0 ; nazywamy ją nieskończenie wielką n-tego rzędu . Podobnie jak dla nieskończenie małych, można udowodnić, że w sumie kilku nieskot1czenie wielkich pr.ze\vaża ta, która jest najwyższego rzędu.

do

nieskończoności,

f k . . d . . l . 16·. Wł· asnosc1 un CJl, g y z:mtenna n1eza ezna dąży do nieskończoności /Ił

•

'

GRANICA FUNKCJI,. Niech będzie funkcja y f (x) określona dla dowolnie dużej wartości zmiennej niezależnej x~ Mówimy, iż funkcja dana dąży do granicy l, gdy x dąży do nieskończoności, jesli dla dowolnle malej e można dobrać tak rvielką '

· liczbę ll1, aby było:

!J(x)-ll< e, · gdy X> lVI;.

(21) piszemy \vtedy:

·

f (x).

(21')

.gdy

.,. l, X · >00"

Analogicznie określimy granicę funkcji, gdy wartość przeciwna zmiennej niezależnej x dąży do nieskończoności i piszemy wtedy:

j (X) · .-;. f , gdyx

".

oo ..

~

· \Vidzimy np. od razu, iż funkcja: . •

dąży do jedności, gdy x lub~ x rośnie nieskończenie . Funkcja: >

-49-

.

•-,

l

Y=

'

--xn'

.

g~zie

.

,

m > O,

dąży

do zera, gdy x oo . . . . Funkcja, dążąc do swej granicy, może przybiera~ wartości bądź od granicy , większe, bądź mniejsze, bądź też na przemian większe i mniejsze_lub rÓ\vne tej :. granicy. Funkcja np.: • • stn x .......... ..... •

'

)>-

•

f(x)

•

,

,_,_"...",..,

X

.

dąży

do zera, gdy x nieskończenie rośnie, przybierając wartości większe, mniejsze .1 · rowne , zeru. · Jeśli wartości funkcji są rzędnymi punktów linii, to istnienie powyższej granicy l danej .funkcji oznacza, iż punkty linii M dążą do prostej o równaniu y l równoległej do osi O x (rys . J)l8), prosta taka jest więc ą,symptotą danej linii .

•

Y

'

M~~ - ----ł

'

•

•

' l

l

; · f{x) l

l

l

ł

- ..

o

•

•

M' .

• •

-,.(

.

Rys. 18 •

Wszystkie twierdzenia o granicach funkcji w danym punkcie, podane w artykule 13, prawdziwe są również dla granicy funkcji, gdy x dąży do niesko~czoności.. Dowód istnienia granicy funkcji nie zawsze jest tak bezpośredni jak w podanych · -..wyżej przykładach i staje się oczywisty dopiero po pewnych przekształceniach · · ·wyrazenia przedstawiającego funkcję. Z zagadnieniami poszukiwania granicy ~·.. :. będziemy ciągle mieli do czynienia nadal, na razie podamy tylko elementarne '~·: .' · przykłady tego rodzaju~ . ,: ·... ... -. Przykład 1 .. Weźmy pod uwagę · stosunek dwóch funkcji . całkowitych tego •
-

l . . ' :ł: ex:>, wtedy-;--+ O i funkcja dąży do granicy:

'

2

Y

>

-·-

vs~~ ...·

.:

Przykład 3 ~

Niech

będzie

funkcja:

f(x) = ·

J•'"'

' .

............... . . .

Vx +x +l2

--;.~

X"

+

Gdy x > oo , odjemna i odjemnik, dążąc jednocze-śnie do nieskończoności, przecivvdziałają sobie i zachowanie się różnicy nłe jest bezpośrednio oczywiste ... . Aby zbadac, co się dzieje z funkcją, gdy x · ~ oo , robimy, następuJące pr~e· kształcenie: '· ,, · , •

•

•

A

•• • '
M,

(22)

gdy

X

..

>.N;

'

piszemy wtedy:

"f( x·') - ..,. gdy X ~

(22')

·+ C>O l

:t

+ 00~

·'

jeśli włas~ość (22) dotyczy przechvnej wartości funkcji

-·f

(x), to wtedy

" naptszemy:

f

(x) gdy X ·

» )o

oo,

+ CX)·ę

Analogicznie określimy nieskończony \vzrost funkcji, gdy x dąży do nieskończoności ujemnej ( x · ~ oo). " " , Jeżeli wartość bezwzględna funkcji dąży do nieskończoności) to oczywtścte · . od\vrotność~ tej funkcji dąży do zera: .. , .




.

tgy~

'

. >

>

W rozdziałach następnych będziemy zawsze brali pod uwagę tylko tę funk~ję •

'

x 1 = arc tg

y, która zawięra się w przedziale od

----i- do+

~ , funkcja ta jest

. okre~lona dla każdej wartości y, to znaczy w przedziale nieskończonym(-. . .,. oo ~ ...

+· oo).

.. . .

20. Kres dolny i górny funkcji .

y -..= f (x) nazywamy ograniczoną od góry w przedziale (a, b), jeśli . . istnieje .taka liczba M, która przewyższa wszystkie wart9ści funkcji w danym przedziale . . · Analogicznie nazywamy funkcję ograniczoną od dołu w · przedziale (a~ b)~ jeśli . . . isthieje liczba m, która leży poniżej wszystkich · wartości funkcji w danym . · · przedziale. · . . Mogłoby się w pierwszej .chwili wydawać, że funkcja, przybierająca w każdym ·. ·.·· punkcie danego przedziału wartość · określoną, jest zawsze . ograniczona vv tym · . · przedziale; ot-Óż tak bynajmniej,nie jest . weźmy np. funkcję określoną w przedziale _ · :· (0, 1) przez nast€Gpującą umowę: . ~ Funkcję

"

'

:

'

..

.

..

'

. '

f

gdy x =O;

(x)

~:=

0,.

gdy O< x..:( 1; f(x) =

.

.

l

~; X

il

:. ·· otóż funkcja ta nie jest ograniczona od góry w przedziale (O~ 1)., ahociaż jest .określo . . •. ·. ·. na w każdymjego punkcie. · :· . . .. . Rozważmy funkcjęy --. f"(x), ograniczoną od góry w przedziale (a, b) i podzielmy :.:_.. ·wszystkie liczby rzeczywiste na dwie klasy: do klasy wyższej zaliczmy wszystkie :·.· .· liczby przewyższające wartości funkcji danej w przedziale (a, b), zaś do klasy ::: . niższej zaliczmy liczby pozostałe, a więc mniejsze od lic-zb klasy wyższej~ Podział ·,;r . powyższy jest przekrojem zbioru liczb rzeczywistych, a zatem istnieje liczba L .

.

.

,:·.. ~· rozdzielająca powyższe d.w·ie 'klasy; wielkość L ma tę.własność, iz każda liczba od . ,;:;::niej większa przewyższa wszystkie wartości funkcji j' (x) w danym przedziale~ zaś r·.:_, /;każda liczba od niej mniejsza jest mniejsza lub równa jednej p:rzynajmniej wartości . • : ·

±

00

~«

... ' .,.~

•

"" " '"' " ..' . . . ·. ' . ...

. •

."..

gdy

X

gdy

X->

gdy

X-->± 00

.

"

>+o.-:>

..

___ . . . . , . _ . : .. . -. . . . . . . , _ _. _ . : . -. J-x2 ..... - x4 xa + 1 2x2 +x--1 .................._... .... ..•

V

~

", _....

............................ ··············•········-··-

~

~t

X -

±oo

>

+

•

oo ..

3) Zbadać istnienie funkcji· odwrotneJ względem funkcji:

. Y =

2 ax + bx +c ···-·--2. . .__.. . a 1x · + b1x + c1

M_"·-·---~~o·..,-....~.....M......... 'Ił

RO:ZDZIAŁ.

"

•

II. .

POC-HODNA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 21~

pojęcia

Geneza

•

pochodnej ..

W zagadnieniach1 w kt6rych badamy zmiany pewnych wielkoś·ci \V zależności · od czasu, narzuca się potrzeba określenia pojęcia, które ·by charakteryzowało h . lk ~ w k h "prędkosc zmtany tyc , \Vle oscL ez·my npl! naJprostsze ZJaWI~ ·o ruc ~ u prosto. liniowego punktu M po osi Ox: p

, ., '

l'

,.

l'

..

.,

"

.,

. ... '

..' .

. ..,

'

Rys~

24

.

'

· ·~ ·: ruch będzie określony, jeśli przesunięcie OM . s punktu ruchon1ego lVl (rys ~ 24) .

,.·

.·.· , mierzone od punktu .

stałego

O będzie określoną funkcją czasu t: .

.

.< ;

..

: . {l)

. .' .. : . .

r

"

..

..

S .;..=•,. ,.

·:

1

f :(t')

:~

..

. ..

.

;.: ... : . Niech M oznacza _położenie punktu ruchomego w chwili t, zaś J.,11 ······. · połozenie ~;~t .. chwili sąsiedniej t 1 , nasttt.Ptt}ącej lub poprzedzającej, a \vięc: · . ...

..'

w

..

...

·

: · .i

Przesunięcie . MM~, którego dokonał punkt M od chwili danej t do chwili ••

. sąsiedniej t 1 , równa się przyrostowi danej •.funkcji: •

..

.. ..

.

. .:

.-

,••.

.. dzieląc przesunięcie było

M 1V11 przez przyrost czasu t 1

t, w którym to

przesunięcie

dokonane, otrzymamy wielkość:

(2) która nazy\va sięprędkością średnią punktu ruchomego w przedziale czasu od t do t 1 • Aby określić 'vielkość, która by była charakterystyczna dla ruchu w danej chwili t, ustalmy na razie wartość t i zbliżajmy wartość sąsiednią czasu t 1 do danej wartości t; jeśli prędkość średnia (2) dąży do określonej granicy v, gdy t dąży do t z le\vej 1 . lub z prawej strony tej wartości , to granicę taką n~zywamy prędkością punktu ruchomego M w danej chwili t .. Wartość v tej granicy zależy od wybranej chwili t . Przypominamy, że istnienie granicy v stosunku (2) oznacza, iż dla do\volnie małej e można dobrać takie 'YJ, aby było: •

f( t) _...........-........

f__ (tl) ...........l tl :

(3)

_"

.. ,...

........

"_"

lAIIII

t

l

l< e'

·· V

l

l

t : < 1r

gdy tl

l

'

można też napisać:

•

.,

. "'

(3')

•

V

•

'

lub

(3") o

$

f

•

zaznaczamy Jes ze ze raz, 1z

\V

przejściu

•

powyzszyn1

zmienna, zaś t chwilowo ustalona.

do granicy

wielkość t 1

jest

• l

•

.

i

Przykład . \Veźmy

dla przykładu ruch, określony zależnością

.

i znajdźmy prędkość v w chwili t. Otóż dla prędkości średniej w przedziale od •

chwili t do chwili sąsiedniej t 1 mamy wartość:

f(tl)-.. '

...........

,................

tł

f( i) t

. . . ....

tl

2

- tl .r

t~

t

t1

+

t 'J .,

,.

skąd widzimy bezpośrednio, iż prędkość. średnia dąży do \vartości 2

do t, prędkość szukana v

(4)

\V

chwili danej t wynosi więc: V=

2 t;

\Vidzimy wyraźnie, iż wielkość ta zależy od .w ybranej ch\vili t ..

t, gdy t 1 dąży

•

. .. .

'

.

••

"r·· : · ,

.. " . . .,; .

-65 ·-

.. ·: .;· ...: •.. . . ..

•

,

•

... :· ." . ..

· 22. Definicja pochodnej

"

. ,.' .

•

> •


:·

l

·..•

,·= • ·~· . .. • . .

..

>

•

·- 7 0 •

•

kątowe

dodatnie i tvv.orzą \vobec tego kąty ostre .z osią odciętych, zaś w przedziale malenia funkcji · kąty rozwarte (rys. 26)~ Y '

•

. rosnte ~

maleje

a .

Rys . 26

TWIERDZENIE 2tl Jeźli funkcja f (x) jest stała w danym przedziale (t:f~ w każ­ dym puttkcie tego .Przedziału przybiera tę samą wartośC), to _pochodna jej równa się zeru. w każdy·m punkci~ wewnątrz tego p1·zedzialu. . I. . . . mamy. wte . dy za\vsze . f. .(x ) -- f (x), a w1ęc . stosune . . k· ·f~-·~ (x.1). .,__. ..,."".f--~ (x). . 1~ Jego . · stotn1e, .·

.granica będą równe

1

.

x1

x

zeru~

potęgowej

25. Pochodna funkcji liniowej i

'


O).. >

Przekształcamy iloraz

przyrostÓ\V vv sposób następujący: 1

f

(x1)

1 ..

-..

xP l

~ ........~f (x)

X 1 --X

" , ,

~

p

•

x1

X . ·..,.."; X

p

_xl... xl

..

..

x"

l _

. .............._...................................

' xf :#'

X

,

~e