Analiza Matematica Cristina Bercia PDF [PDF]

Zitiervorschau

Qristina BERqlh Qetavian ST[NhEfUh

ANALTzA nanrEMATrcA Prohlerne gi aplicattii ln MAFTE

Editura POLI'I'EHNICA PRESS

BUCURESTr,20ll ii

Copyright @,2A17, Editura politehnica Toate drepturile asupr? acestei

edilii

,*,

press. r"r..-*t"

I

editurii.

PrefagH

Adresa: Calea Grivifei, nr. 132 78122, Sectorl , Buc,:regti :

Este un truism Referenli SriinliJici: conf.dr. Theodor conf. dr. Radu URSIANU

STIHI

l

r-----*--.rDescrierea cin Btbii;i;;;i N;fi"rgi-" R;;;fi--.^-* " I BERCIA, CRTSTINA Analizd, matematici: probleme gi aplicafiilin MAPLE / ^. :Cristina Bercia, .

iPress, 201

i

Ocravian Srinagita.

1

ISBN: 978-606-5tS-272_4

I

,I. SGua$ilA, Octavian l

:51:004.43 MAPLE

Copefta, o)rc"p" i,Andreea sTAICIl Redactor: Daniela Magdalena DAVID Coperta:

Adriana BUTMALAI

Bun de trpar: 05.09.2011 ISBN : 978,6A6-515-27 2-4

_

duil;il;;ffi;l;;;"'

ci rnatematica nu se poate invd,la dec6,t rezorvircr exercilii

gi problt:me bine alese. gradate ca dificurtate. ilustrdnd rezultatere t,eoretice gi conceptele de lrazd.

In uiti'rul 1,imp, s-a trecut la o compa,ctare masi.r,d a Analizei in prim.l semestru ar anului I qi s-a propus o prograrnx 'ratematice noud. culegerea de fat5, incearcd sd orienteze seminariile pe leclii birre cu o"serectrie ilguroas{ a exercitriiior, elimi.6.nd extrar,agangele gi"i..u*s"rise, problemere'p.ea ain"ilu. Aceasta, deoarece pentru stude*{ii viitori iigi'eri natematica'u este un scop in sine, ci ei trebrrie sr qtie sd calcuieze, sd estimeze. sd aplice c'.rnoqiirrl"re

cdp5tate la disciplineJe tehnice de bazd. In acelagi timp, am cd,utat sd apropiem Anariza matenraticx de ,tilizarea, calculatoarelor' prin adoptarea siste'rurui tyApLE ca mediu a. progr;u.o pentru calcule rrumerice. dar mai ales simborii,e, p;.in eorrrerrzi care si,rt-etizeazd programe intregi. siste,rnur tr4ApLE are trei ctmponente: nucleul (scris i' lirnbajui c), biblioteca avantr diverse pachete de programe gi interfala cu cal_ culatolul. I{APLE are multe instrumente pentru ca,l,:ului a* nr.rit". lniegrui" defi-nite qi integrale irnproprii, dezvoltdri in serie, reprez,entdri gr:afice, !ntegrale curbilinii, integra,le rnultiple etc., toate ibrnrind un acljuvan-t ar Analizei malematice.

Lectiile de se*ri'ar sunt in numdr de 14 corespunzdtor cu numdrul de cursrrri de pe semest'rl I al anului I. Acestca cupri'd riste de probleme cu rezolvi-r'i complete sau cu_ indicalii cre rezoivare qi o alti. catego.ru .a.f orrrr_r.i. La sf6rgil;ul lucr6"r'ii arr' da,t doud modere de srrbiet:te de examen"rr qi o listd de 20 de i'trebdri perrtru care studenlii sunt i'r,itati sd. caute .b"prrrrr, disp'nand de curroq{;inlele de A'ariz5, rnatematici doba'dite in liceu gi iacultate.

C*prins I" Recapitulare

a cunogtintelor de liceu

2 $iruri qi serii

de mrmere reale gi cornplexe

I t4

3 $iruri gi serii de func{ii. Serii de puteri 4 Formula lui Taylor. Serii Taylor. Serii Fourier

29

5 Spatii rnetrice

38

6 Curbe

gi normate

gi suprafete. Reprezent5ri grafice

23

46

7 F\rnctii de rnai multe variabile

51

8 Derivate

o{

par$iale de ordin superior

I Functii implicite. Extreme cu legdturi

61

10 Integrale irreproorii. fntegrale cu parametri

66

11 Elemente de arraliz5 funclionalX

74

12 Integrale

curbilinii. Forure diferen[iale

13 fntegrale duble gi 14 fntegrale de

triple

suprafa![. Formule integrale

77 87 100

Modele de subiecte de examen

t.L4

Bibliografie

Lt7

,E;

rs

Lec[ia

1

Recapitulare a cunogtinlelor de liceu 1.

Fie o

lim (a"

n-lfrc'

0;1,a € lR. Calculati

*

* a-")

JTlo"

Pentru ce valori ale lui

a,

este infinit5? Card nu exist5. linrita?

I

Rezolvare: n-+oo lima' : { liqr a-n : a) l, ,,-+oo

m, 0,

dac5o,>1

dac5. -1 /+ ], adevd,rati

croar

R,.f("): S:g.

5. Fie func{ia.f R 4 '

a) SE se traseze

.bti;;;

e'*2

graficul;

I

b) Sd se calculez

:

ln 2 este punct de inflexiune. b) I'tegrala se transfor'rd intr'-una ralionald cu substitu

r : ln' $

re

f

1f

@)d'n

:

Iffiot.

Desfd.cand

\ia eE: t *)

f'aclia in fr.acsii si'rpre.

oblineli u*lolr"u integralei,t*rro lo a}?).

6. Fie ,f

r (0, oc) -+ R,

a) Sd se catcuteze

/

(o)

'5':

E

{ I

sinrp\e ca\cul6rn qi integrala

1 \1"

1

1

I-

..r)1,:;il-;*,

[-;*

r

*+ry ror prin

{(;

ch') o"=

la graficul lui / intr-un punct p(ro,/(ro)) este //(a6). Dreapta tangentd este paralelX cu dreapta U : Jn c6,nd //(c6) : 3. Utii*u

arbitlar, olttirrcm Un ) x:.

;';--.;;-;,-;#'fi"0".,rrffi;;;m, J;

12

LECTIA

1

(2n+rl tintre8j) . Sd, se determine infA, sup,4, {-"+Z l"nrin A, max,4. Acelagi lucru pentru A :{ (-ty'1!J1l , > , irrtreg} 10. a)Fie,4:

.

b) Fie .4 mulqimea ternreniror unui qi,

*r. s#r.larate "e,i^i) b,*+ este",,tr strict crescxtor, aqadar

Indica$ie: a) $irul ,r, rninorant, inf,A: : -

e a.

cel mai mare

l

gi acesta est,e gi minimur lui A. $irul are iimitd., : 2, qi fiind crescdtor, rezultd, r:x cer mai rnic majorant, sup.4 : 2. *!go" Dar valoa,rea 2 nu o atinge, astfel cd. maxA nu exist5. $irul b,, : (-1;nsiln este alternant. iar Jip.b" :0. Observ5m cd sinl ) d,1

t * > T"

sinf, > *

pentru n

similar, oblinem sup br,

)

3,

: ry.

a""i?Io, : -sint. Cu un argument

b; rie € : r'deci &std A,'a.i. vn, z ,M, rn ) :vs.Atu'ci inf .4 t,nr-r) deci inf :4. este urrul din termenii qirului. 11' a) s5, se afle punctele de extrem local pentru

f (r): b)

s

- elns:

/ :

i

Aflati qrn ./(r) qi nrax f (r); oe(u,coJ r€[l.eJ

c) Care numdr este mai mare,

a:

:

min(rs, n!.,..., (0,

*) *

R,

j

| rle.sau b

,

: er ?

Indicagie: a) Tabelul de varialie al funcliei

este

LECTIA

:

13

Dar lcf < 10 gi rezultX inegalitatea cerut5. In general. dac6 / : fa,bl -+ lR este rieri'abilx 9i existd A,I > 0 a.i. Vr eln.bl, atunci lf @) - /(y)l < ttdlr -Ul,yr,s e[a,b]. 14. Fie "f,9 t lR -+ lR. doub funcgii de clasd Cr astfel inc6,t //

s':-f

-g; /(0):g(0) :1. NotXnF(e) : f(")2+g(r)2.

o;

g,g,/(r)

: /(1) - 1;

c) Ne ocup5,m mai int6i cle inecua{ia ec

}

re pentru

r)

0 care este echivalentd

prin logaritmare cu r ) e ln a. Folosim apoi varialia funcfiei / (r) : n _e ln r de la punctul a) qi oblinern ed /(") ) 0, vr € (0, co). agadar inegalitatea

r ) elnr este adevdra.ti 12. 56 se arate

pentru orice numbr pozitir,. inclusiv

cd.: v'e

Indicafie:

> 0, ln * >

*- |

fr:7i.

se studia.zd varialia functrlein/(r) : ln x se oblin e x punct de minim absolut, iar min (*) 0, deci (n) - lqi f = f 20,-Vr€ (0,oo).

13. Fie

J:

\\\r - d,,\r,,U

[0,101

*

g

qi

Ft : -2F ? # : -2 care prin integrare \,a rla ln lFl : F(r)l: s-z'+C sau, cupr C este arbitr-ar, se rescrie F(x) : ce-2*,c € lR. Dar f"(0) :2, rentlt6. c:2. :0, dar F(r) : f (*), + s(r)z,, deci Jim /(r) :,l$A(") : O. b) A*,F'(u) 15. Sd se calculeze 7(")10; pentru .f(r) : ;* rndicatie: se desface .f in fraclii simple, f (n) =;(* - #l observXm cX derivata de orice ordin a unei frac(ii simple de forma E(r) : # r* poate deduce. Astfel, E'(r): -C#;8,,(r'): 8,,,\r): -Cfo,...,6r(')1c) : #d"; (-1)"t"*}iot qi se demonstreazS, prin induclie nratematici. Se obtrine derivata (-l)nn! (-]t deordin n,, f(n)(n)t2 \G-- lFrl - f;1:1"n-).1 16. Fie l"(u) : e'2 ;r € jR. Sd se arate cd pentru orice n ) 1 existd un polinom Pn degrad n astfel irrc6t,F (')(") : pr{n)F(n), pent.uirice u e IR qi

Indicafie:

a)

-2"^+ C, de unde

f

determine o relalie de recurenlb intre pn_t, p,,, pnl-1. Se cunoaqte formula lui Leibniz pentru derivata de

ordin rr a unui produs de funclii, (f

@):

: _/ *

Indicaliez F'(r) :2re".

e este punct de minim local,

o)"gH,L, f

lft(r)l < M,

a) Sd se deterrnine o relalie intre F qi F/ gi sX se deducd F. b) Sd se catculeze j1g(/(z) - g(r)).

sE se

+++ deci o

1

:

r

R, f (*) = nsirr. S[se arare.X\ib)*f(u)\ S

€ \0,r$\. Genua\\r,are. Indicatie: Se apLcb iormrilalui Lagrange pe intervalul de capete * gi g. Se ghseqte un c intre r gi 37 a. i. f(r) - /(gf) : f'(c)(s - y) cdreia. aplic6,ndu-i modulul, se \ra scrie l/(r) - /(s)l : lcccsc J- sin cl. lx - gl < (l"l + 1) l" - yl .

(r)g(r)),", - I

gn

/n-k) 1r;9(e)(r). tbm

,t:0 folosi induclia matematicX dup6 n pentru a demonstra formula deriratei F(tr). Astfel avem de ardtat cx, dac5, forrnulele iui F', Ft', ...,-p(n) sunt arlev5ra,te, atunci qi cea pentru p(n+l) este adevXrati. Peltru aceasta se aplicd formula lui Leibniz lui F/. Veli obline pn+t (") : 2npn_{r) t2rpn(r).

LtrcTIA

2

n, )_ 4. Dar ultimul qir tinde la 0, deci an 1 0; h) Se poate folosi criteriul c\eqte\ui sau cu regu\a"\u\ L'\ldpital pentru tur,qii. U.,

)t*e : )*d*,

j) In 4,.,,: n,ln(1 - t)-qi

Lecgia z

$iruri

Si serii cle humere reale

folosirn

lirn J

Care au linrii;X? Care dintre acestea, 'ronoto'e? care sunt r'f,.rginite? sunt con.st)rgente?

2.

care di'tre gi.rrile urmdtoare converge qi care diverge? Aflali limita fiecdmi qir convergent. a) 4,,

: q!#; b) an -

f3:,2;i

c) an

- ?+"(?t-;

: n*lffiJ; t) an Jy; E) a, : : St, i) an : (r - I),,;k) on: (,s;)'. e)

a,

d)

tr)

a,,:

an

l+_v?rT.

: #;i) *:t:' WTF.

r'dicafie: a) cu criteriur cir:Eterui,

obtrinem rimita 0, deci convergent; b) se dd factor Con:un forlat 8", la nunldrbtor qi numitor, Gt; U U, Iim a," *, c) "orr*+(.-2)" esre suma dintre u'qir 'et'gent; tirrd" F,fr; i_rr1l I^r are lirnitd (avancl doux s;ubgiruri "*.e de rimite air".it";, deci (o,r) nu are lirnit5 qi va fi di'ergerrt;

*

an:

:

"*"

d) Limita ertu

.Je tip * gi se'a Ju n ru.tor cornun forlat. tip oo - oo. a*rprificb.m cu conjugata expresiei gi *+=F * *; rill"t#';: t+bndeci 1,, > 0 qi

en -) 2 ; e) Lirnita fiind de rezultd an:

;Tfu,: ,: (1 +bn)n - 1+ ctlb*+clui+...+ deci b,, -+ 0,

iar

(i

-+

i; s) lr"[

bn,R,ezultd,

: #*io 14

S

n> c\b?sau b- a

^[! .t#' ll;ir;Jfi

fl6:

'\1vn

care dintre girurile ,rmdtoire sunt.

o\ ^ : (-1)" n* 1-. € N; l,) an : vi7 - n; c) 0n : tn :' :" - r;T1,tr r'dica[ie: a) Nu este monoton, dar limita este 0 (rotosina ..itLiur cleqtelui), deci este conver.gent. Orice qir convelgcnt este mlrginit; b) a",+r _ an ) 0, Vn, deci este strict c.esc'torl n2 _ ,, -.+ cc, rez,ltd a,, are li'rita, oo qi este nenr''rginit, deci di'ergent; c) an+t* orr ( 0, vrz, creci este strict descrescdtorl J11"" :0, deci mdrginit qi convergent.

+1211"

*a;

t"gui. lui L'I{Opital pentru limita de tip

$,

Din aceste e.';e'rple relineli urmdtoarele limite rnai generale:

qi complexe 1'

f

=

:

1, a

)

0

t

t11r1#:0,4>1 n

lim

4 :0

t'l -) x,

lim^(l

q rn)* :

"

clacd,

r,, -> 0

3. Se se calculeze linritele urrn5toarelor giruri:

nn: f hlz'* 3"); b) ,,, : sn, discutali itupd a e C cA'd qirul este conrrergenti c) zn: Tt(trns a g C. I'dicatie: a) Folosirn reg,la l,i L'H6pital; se obline limita ln3; b) zrr: rr, * 'i'gn, cu e'??. gr. qiruri reale, este cortvergeut e rn jgr' sunt conver.gente Ai jgr" = ,,1$",, + dSXU". Fa,cern apel la forma trigonometric[ alnui numSr complex, o: lol(cosd *'isin g) + an : loln (cosru0 * zsin n0). Dac6 a)

lol < 1, atunci o,n -+ 0. Dacd lol 21, atunci o,,l nu este convergelt; c) pentr* na" -+ 0 t, rezultx cx qirul de numere corlplexe este coilrergent doar peutru 1 gi limita este 0. < lo.l 4. sd se afle funcliile /(r) fip ei s7(r) cd'

: lirn.ffi

fndicafie:

Discutd,m duph,

r

:

valoarea limitei. Obser vam

L-tgk#-*"a ("' )"

o pen-

",1o"

tru ez < 1, iar

("")'.;r^-

oo pentru e,

>

7..

Se

obline ff(t (r):

{

1f2, x a

s(z) : fi* i;ffifiq. Apoi :x2n . -+ 0 pent l"l -+oc) ,2n m r este definitd, nln pentru l"i t 1. In afara iui r J -1LunLcle :; Se rescrie

16

LECTIA

{ t, l"l >r s@):l l/r,r:I l. #r, l"l
: ( ""

vergetrtS,

iu, I o,

,''- _---

:3.

- 1)"' rL' t

Fiind dbtd seria

L

'i, ar.

E attnt.s,,.

:

:

i # -#

*lJL,

(Ln

: I*

clacd,

1_

*I_+

1, deci

io,:

e con\rergentd, atunci

Jy*l*rt : j*#ffi

tor\ergeNi, (C). Yen\ru caril Ee\era\, ,

1 ++ lol

a,,:.*(p;,$" - p,,.*r) qi surnaeste este s,, : t (t #rp ) * *; c) utilizdnr

generaleste

. girul sumelor parliale

,\.:,qirescrierr'

.E"-T#s:E n=0 n:r 6*ry*uE c_\n*r,pr,+

a)rn:,:f

zTt- .' l

T ,l-l iil

r.

rndicalie: a) rn la limitd._ rn ) 0 $i

a.

&. i--

.:j

:-.;

'|;

I'S*H -

folosirn apoi un

,si

(

;fAl?Fl: 10.

,.:

=+

1)

:i

1

ii!-, €t :1,.

x

tr

".it"rfi,>luficient

"159("-6)2"ftr:0

(

-

(1

f lnr) pe [3,oc). Vetri g5^si E nh;; d) JILr" : 0

de converg"r,trXl>3u criteriul raportulli.

1.+ seria este c.

SX se ar.ate cd:

/(3) > 0.) Cum

e;

!;

L 1r

t--(1

il

n:O

.r

5

\a o gente, atunci qi suma/diferenla este convergentd gi /r^ t, /2n -*I 3n -r\-

ii

.}

co'vergentd ++ lol

:

L,

tll :i'.

;)": ,-*fl# * f o*,,*,"*,* -"

E$:te b)ra,,:I -1r + r;[,1-+ i'(,, 4 ">o ; 7.

li

it* ,i,I (_"+i, iar qirur surneror

b)f .,_d2n+Dit ")f "qj+j2

t *-+;

r,are este o serie geornetricd de ralie . E^ fr f n)0 Aqadar prirna serie este C. Analog pentru # DacS doud serii sunt conver-

'l{:i ,F:

I

-+ 0. cum L < L =+seria

s5, se a,rate cd urmH,toarele serii sunt convergente gi sx se afle suma

Rezol'are: a) E^ + n.)0

#:

s'rla seriei dacd ace.rstu a)1-1n1-1"...; Ge'era,lizarr--'' 1 "onu*rg"-'

JIL#

\fffi:

"J.$

n)0

,.+

r:

.

fiecdreia:

-!::

sd se afle forrnula termenului general ai seriei, apoi al qirul'i surnelor. parliale' caiculali

generar al seri&

doar c6.nd np -+ 0, adicX pt. p < 0.

cu criteriul rSddcinii.

8.

&

6'

Rezolvare: a)-rermenul

17

e convergentd

b. ,sd se calculeze lim

parliare

2

:

t8

LECTTA

2

LECTTA

Rezolvare: i) o modaritate de a ard,ta rlubla irregalitate este sE folosiru n".,., f., b,-T r R lnr $i rezrr\tx ..: t EX"':il-:Yt\":*.. '--ii"l (",-o'l S' ?.', -T' "ri $ =:"il\"(1+i). r(") - ilir i:.,;t' -'''i.'J\n+r) ll TiY".-:

\ ;

: i*

ll

ii t, n1ll,,:lrl;"i.lli* -

2

Re,to11are: a) So\os\rn cr\\er\ri,Le\bn\z pen\,ru seri\ u\ernan\e,, tr\nd, ile tOrUrA

il* ;;;;,;;-+0i"."."*"x*,,r."resrec.seriamodu\e\or,_Er#^ j,'""0*,-*.* g: ] Toqi*oro.*criteriuruicomparaliei,arimir', *r* ":" ##i:.i:1m;llJ;.J,1',J#;*m,;H,**-i*j::,:,:..* ",u"':':"i;fi'i"lui n-f-:* t; aa1;T:,gftinup tj'r;; J)'

ddm valori

@

-

uroL'I urarglrlrrea' qirului, folosim'inegutitegitu r'u'a,f,agtte + < r"i fi""'

'ffi *

.*,.;;;;;:$ i".iti;,*1mf'";,",*tJ#*1ffi*$;;;;J:-*i#f 1?; * < lng - l

r.jl:i:;;;;*J,filHjin+:Tiii

H

,.

=-r- sr

) :

a,u ace,

F:":*l"i-=;,^", ilT"-1"'11"i111-ll':r?i,':'r",::-':

*:::'fm,,*:l;:*l"H:"::":::::"::i:l,Sj'; :i,";:l cum rHPr
p--^t--

se

rescrie.c,

tin;tg

qi

jf

*

$

pentru o S

menur general

j;

esre,-

b) Este evid

- f =,

r"l#;oentru

0

s'\-rf este D. Agadar -rlr2 u.to D, iar Pt' tr : -1 Cazul III) r : I =+ : cr, : t+:1, ia, Rezoh,are: a) Seria de puteri | l li*l "rr*,Fr"':i;'ctl ? mullimea'de convergen![ este R\ {+U ' :

seria este AC

ioazr

i

ft

E

*

i4

E

j: i:

E g r--+-.--..

f

b)LI#i

iiril ',t

LECTIA

26

27

3

LECTiA

3

fi

'''l :'t

,,1:l

,ll

i'il rii

1g.

n+r -+ I : I + =*,

este Raza cle convergen!5, este R: lll:1rt"g"'(-t,1) dorneniul de convergent[ al seriei de puteri. In r : 1 se obSine seria alternant6" corrvergerrtE,. ln r : -1 se ob\ine seria armonlcb divergentE"

Er+ p (-.;) .-Deci intervahrl de convergen\[ este (-1, 1.]. Diu teorema, Pe V [a, b] q (-tl 1) seria este uniform convergentd,.

"', *' lif I : gent5 pentru b)

O"i" : *i

-rl < fi -

a"


0 c)ry gD, ecriatria are doufsotrigii.

-

-

n2,ns,ra):

a) u'-.'o' f (r,il :

E#ffi=i

{(r,il| a > lrl}; d) {("r ,l,2,rst*a) €Rnl", * ,z+ rs I 1it}. 2. Fie,f,e:R2 \ i(0,0)) -+ tR, (r, il: ##; s(n,il: "f &.

R: b)

Exisrd

: (0.0) ? Ai -+ (0,0) ;^rrr, Un # 0. Alegem Utt : ftrrr, k € *n ) 0 gi calculXrn -f (r:,r, krn) {;$ ..". depinde de k. Agadar alegand dou6 valori distincte pentnr /c se oblirriimite diferite pentru (x.,k*n). R.ezultb, f c5,(c,g)-+(0,0)Iim f (n.u) ' '" nu existd,. o astfel cle limit5 se numeqte limita lui / irr limitele funcliilor in a Rezolvare: Fie (r,r,

IR.,

punctul (0,0) dup5, direclia dreptei g: kr. Este evident c6, dac6 o funclie arn limitS, intr-un punct, atunci aceea est,e qi limitp dupd, orice direcgie, rru qi

reciproc.

Pentru funclia g are loc inegalitatea

: lim lrl lg@,il| < lrl , iar (c,gr)-+(0,0) ' (r,9) : 0. '

aqadar cu criteriul clegtelui rezultd

"U ,",rlTto

0.

,019

afle lim --g* dac6 existd,. (r,9)-+(o,o) t/ x2lyz r'1-l ----b) Fie a € IR.. Poate fi prelungitd, f (r,il : # prin continuitate in punctul 3. a)

(n,,0)

Sd se

?

Rezolvare: a) Limita

se

rescrie lim

(r,E)-+(0,0)

-t

I I I f,

51

fi

Ia H

,J

*! '.,!

il .L

F..) .tr'

LltCTlA

b) Daci'

af o *

I,ECTIA

7

9. Fie fk,a):' :

kr. Atunci f (r,kr): ii=: S si lt:lf @.k:r): $ vaA"finau a" f, adici de dilec:trie, in consecinld, limita nu existi. Deci / mr poate fi prelungit[ prin continuiiate in punctele ia,0) . 4. Se se studieze t;ontinuitatea nincliiior:

a:

a)

r(r,0,:

(

,z"':'

t fn' ',:,i;: iil|l

Rezolvare: a) < l"utl -t l##l : (*,g) 0. Cuur /(0.0) ,_ -liT^ (r,y)-+(t).Lr) ^.,f

a penrr.u

:

(,,il: ;.""*' {

;b) /

(*,a)

0, rezulth cd

-,

(0,0),

H:-rn:.*T#-

X:Z

11. sx

aqadar

/ e;ste continu[ pe R2.

b) Punctele in r:are studieur linriha sunt de fonna (20.0) .

,",rjllo,u,rsin|

f

:

l* (;g.r Q,at):

f

. iar

nu exis:;b lirnita in (0.0) qi

: (", J:l ftgir v))

s5, se cerceteze

Din defini{i.,

\

prin continuitate Pe R"2?

#

(0.0'

: Ji,lelizuut j lllf,;;,5:0; ff io,o; : j :

g.

e

,i i I

=T,fr. rorrgi u.u'a.ri.,at5 in (0. r)) / nu e co'tinud rrrfo. 7 dupx (sr,-*z). Astfel. #$.0) : lsfei;l{ge :11*i(r-"r_.r"r)^_ mdtg : $ n"rrrru sz l0 qi dupd, direclia versoruluj (sr,0) : (1,0), # io, tl) : lslg?q : 0. Aqadar / are gi deri'are par{iaie in (0,0) tX. (r,,a,r) - 2*'y - gz2.Calculdrn deri'ata lui dupX direclia / rttur,{ in punctul s^-- I,i,5,-ij o: (L.1,2'). lirnitd in (0,0) =+

orice direc:lie s

: R2

-i

R.

:

i:-tr

I

r)r(,il:1st'l-at' r*a I U' .t=U e) r\iscon\\nriE

r -.11. p.rrt.* (,,a)

.

in !r,s,t) ,rr

I 1

I

,i

*

0;

':.

: \

|e1ltrare'^,#: +ra-;H:2r2 ffir,,)'r+ff(o)ss_t.

15. Fie iunc\rr\e

dncon\uiu[in ptrncte\e drepter

8. Fie /{r.rl : 4,rdp

/i'0,0). fiind produsul dirrtre

#O:

d) linr.01,,-::'(f,'*-4 -' (r.y)l*to @'+u')rz az

R, u\$) ton\,urueib)p)'hstrin\\nriein (0,t);

:

Indicalie: l5/s.+-l@ : J1,drc*r?=Ia]: 13. s,{ se arate cE / nu e continud in (0.0) . dar are derir,ate clupd orice direc{ie in (0. 0) ; / (e,.y') : (*, y) * (0,0) $i / (0,0) = 0. #, Rezolr,'are: Fie doub gir.uri dubie care tind la (0, B) (rn,An) : (*,*) qi , @L,vL): (#,*) * "f l*,",e,) : -+ N,; f (x,,,a,.') :] si cieci / nu are

( rinLt!', r+o (*,il+Q,o) ., -*:;. (*'il+Q'{ :{;T' ::3, ,b),\,,/(r.il:{[L 0,F4' (r, s) : (0.0) *--r.; c)/(r,r):{A' f:'ll ii8;l]] ; ,r) r(r,i) {Hi*, cosJ, r:a ru]A :t;;I r. ';,X';;

+ y2.1sin *+F: 0

t@,y)

a).r(r,r)

\ o, , e)f(r,r)

ff:tt'*'ri",*o +i\.

L2, sx se caiculeze de'ivata. dupr! direciia s in punctur o,#(a).'ride - gr2 *y2, s: (].1\it,tir,5; gi a: (t,1),por-nind cle la defini1ie.

-l

c) linr +4"' (r,,i,j;ir,,0)"J-y'

R: a) 0,b) nu exist5.c) 0,i) cc. 7. Sd se studieze continuit.atea func{iilor /

r(#

1i,r, /(o'v)-.l(o'E -- iirqg sin ! A-+0 a-ru

cx

existenla lirlitelor gi dacr existd sd se calculeze:

b) lirn =f*, ' {r.s)-+(0.0)*'-a'

J.r;

o fu'c1ie cu limita 0 gi urra'rbrgirritd =+ .f este coniinrrd.

diferite. deci limita funcdiei mr exist5.

6.

-Cl

con'inux qi admite deii'ate parliale in (0.0):

,r"" +,y2) sin;rn! , @.il + (0, o) k,il : {I U' (,r,y): (0,0) r,,olTio.o

Indicatie: Sepot a,legedouSqimri dinR.2 : (il,,,,ll.n) = (2lrz.Iln) Si (r,", yL) = (.Sfn,7frz) care ti'd la (0,0), dar Jft:,,.un) : l; .ft.:,.r',,a!,,) : I runt ti*rrte

a) lim 4t" ' (r..y)-+10,0)''-a"

") #:yer+e -rn(y

se arate cd rf e

Rezolvat'et

g

pentlu cX e -+ 0, iar sin este mhrginit5. Dac5. ro * r). atr:rrci limita nu existd f uentru cH }irn sin ]Y nu existd. ----r Deci / este continud pe r(2 \ { ("0,0)l t,0 I a}. U+0

5.. Ar5,ta!i cd pentru f(r,a) = ffi

OJ

y(0sau u} 12 { o' 0. -' Ardta6i c6limita lui / in (0.0) y < *r'' t,. dc-a lungul orich.rei directii 3/ : kr este 0, dar lirnita funcliei in (0,0) nu exist5. derir,'atele par{iale in punmui curent ale lui: a) ,,.10". !.,"r::*tt ,'f lr,A,z): e;Iniib) f (.*,9,.2): ry+yz2 *arctg.. fur); c) f (*,il : yer*a'+|n (y'_4 Rezolvare' u) r' z + e^*.2 ?il"=, -"4"1il; _ +;i:'" .#: "* (-4) i_ ffi,::"Itn;: {':...?i 1"x."ol #':'r,""* ==,\ zz * r#;:

oo.

,.,r},j?" ,n,#: "';tga#: 0, r'om. arXta ci lirnita nu existd, calculAnd linrita dupd o direclie

Dacd o :

7

f

$,0) '

Se poate prelungi

,it,r)

:

_g_ r-;:-; \/:t.+A.

{

0.

j (".u) : )

I (r, u) :

(r,y)

-,';H:

I *gO' u, \

(0,0)

-2'az, iar

$ (a):.#(o)",

* i

(1'') + (:'0) (*,g)

: (0,0) Er

\

\

I

tii

(0,0)

.f til ..,..,-H

LECTIA

54

LECTIA

7

- 'p(ry,n2 +gz -^")' gtfr + ("' - s') '&: *rfua*arate c6, 21.

a) Sil se s\,udieze c,ontirrlitatea'r

b)

S6"

se arate

.6 H"

%{

in orice punct ilin R2i

"*i*t6

c) Calculali #(o,o), Vs. 16. SX se calculeze derivatele par:tiale ale lui I- (r,A) : g (2r2 - ftAz) in (1,0) unde g este funcgie derivabil5 (de o singurd rariabild,) gi sd se afle diferenliala hii F, d,F' (1, 0). Rezolvare: Notdm n:2r2 - na2tBf ar -a2 + (t,o)

#

#,tzl

dF (r,o)

17.

(r,0]

:4#e);

: # Q,o)

: ##: H:

-

:

#

H -2ra; ffi (r,o; :-ra e)#(1,0) :-0. d,r + ffi 0,0) d,y : 4st (2) dr.

ti) f

{r,g: JT:F -F : 1/FTf, sin f; in (0, i') in (e,1,e)

c) f (r, s) e)

/(r, ?),2):lnreA"z'

e) f @,u, z) in (1,1).

:

12+y2z+rln(y*a) in (1,1.1).

d) f (r,a): arctg # f) f (r,!J,z): e"+a'sin2 z lr)

/(c,9)

:

arctg

Frtn

R: a)

-48';1.02;-236 c) 1;0 u) * + I;e * 1;1 S) 2 * In 2;512;Sl2 h) 0,1; -0,2. afle diferenliala fiec6rei funclii in punctul curenl;. I-8. a) SX, se arate c[ / admite derivatd dup6 orice direclie in punctul

b)

: f (r,a):{ I

SH se afle clerir.atele

c) Afla[i derivata lui

R:

fu, o,

a,)

#

Q,o)

:

I

l(o,o) \',Y) (r,a): (o,o)

parlia,le de ordinul dupd clireclia

sls2; b) o;0

;4 H(1,0)

:

"

punctut (1,0)

+.

ffi

Se

Q,1)

HH : H (3,e) 2rl6.u;:12,r; + H $,") "'-altu,y,:,r*i : f*"(u,4";""

"ffi1s,"y. 20. Se d5. z: nuf (rz -g?) , unde de clasd Cl. 56 se arate

cd,

r,g2ft

/

este o funclie cle o singurd var-iabil5

#: *:

Rezolvarei z : z (n,y) qi not5m LL: fi2 - 'g2 + * 0z-: ffi *f (") + raf' @) ft. nu, H :2*; "&: -zu Rezult6 ra2# + 8i : @at v rta) f fu) + f' (u) .ra (n2

+

y2)

f

"ty7;?;

@)

:

("'t + y')

".

".

af (") + naf,

(r'yt .2r -

n3s2

@)

#;

.2a)

t\

f

@,U) cu proprietatea cE oricare ar fi omogend de grad p, r'erifica

i

t € IR., f (tr,ty):tPf (r,il,Yr,A numiti funclie

*H+uH:pf(n,il. 23. Inlocuind sa, sd se afle

funclii

cregterea. unei

24.

DacX

u: u(n)

si u

desclrisd din lR, s5, se calculeze

: J;'+

(r) ") f ,r

:

c) d)

(*,,a, z)-

k:

f

(ro,yo,zs) prin diferenliala

b) \AotsTT. eF o(r) sunt functii derivabile pe o multime in functie de u qi tr: b) /(") : arctg 3.

25. SX se afle cierivateie parliale ale funcliei t)2 + 92 in funclie de cele ale lui /.

z: f (u,r), unde u : x*A,

de dou5, variabile ^irldependente

H# * H#t ffi: H#

+

r, g. Regula " lantului"

Hft.

arate cli funcliile urmd,toare verific[ ecuatiile date este func(ie derivabil5 de o singur'5, variabilS).

SX se

* ay),

z: f (r2 +u2) ,

o,# +Uffi

:a

a*- *ffi:o

r(#) , *#+aH:ffi ":({F+V-,) pgi-%:t

e:

e) z

a)

: ft

u2

Inrlicalie i z va depinde

b)

f

cu aproximatie:

a) 1,002 . 2,0032 . 3,0043

pf

(tnp+q,

: n" f (#),

27.

* *ru# : (*, + a2)

.

tr4ai general, sd .se arat,e cd o funclie

:

d5 F (r,il : g (*,^- a! ,e"-u1, cu g € C1(R2). Calcula{i # e,D . Rezolvare: Notdur cu ?.r : ,2 -U'qi ?.r =, er-9. Atunci r.egula ',lantrului; pentru derivareaofunc{iilor de mai mr-rlte variabile se va scrie * ff : HW +

19.

'f

z: {FTF(lns - lnr), *H + a#: ,

(Atentrie! / a) z f (bn

.

este diferen{iabilH' Sd' se

: (*' -v2) hr ffi, "k * a# : z,

26.

I in (0,0) .

P("'')

22. se se arate c5 lrmH,toarele func$ii verificb ecuatia specificatx:

a) z

devine

: " (4,])

unde o'

H :'H* + HH : aH + zrffi; H : H,H * H# : *H + zu$; H : W# + H# : -ztff +' Inmullind fiecare derivatfl cu -, y') :0. coeficientul prezent in ecualia datX., obtrinlm "r# - r"H (*' - H compuse, rezuttd:

S5, se

(o,o)

Se d5, g

{ou[" \a,I\tb{e Ei to$$\}\ele\n\re. tu'rc\'u 9 de Rezokaxe.. Brrnc\ra g es\e o + - trectlre {e\te\trur\u\\\e tunctia cu dou6" cornponen\e $'t) = \*l de derivare a tunclrilor lanluluj regrrla g(f,a,r). Cu independente =+ g

b)

calculeze derivatele parliale ale urrndtoarelor funclii in punctul curent gi punctele specificate. a) f (r, u, z) : 2r2yz3 - Srga z5 - 2xy2 z in (1,2, 1) SX se

7

"8i

*

?: y"i +*rj t-*u?,

Rezolvar e: a) Not5,m -d -.) -) -J .--+ : rot'tJ

rrffi:

?zz unde n e fixat. rotorul rlrpn6toat'elor c6,mpuri vectoriale: u)"t': @'+rz\:i? +@2 -uz)l .

Sd se calculeze divergenla qi

lJt{

aaa mNa; P A R

: Pi +ai+R?, div ? : (an

\at

W

+H +# :

-#)r-r#-%:)i*(# -ffi)r

o qi

LECTIA

28.

Folosinrl lrifaple, sir se arate r:d

(adic5 div

?:

? : frH*$

0) qi irota(ional in R3 \ {(0,0,

"rt"

t)}

7

solenoidal

l

Indicagie:

tl

I

LecIia :- l.x. y, zl

r

Derivate partiale de ordin superior. Extreme locale

n::yFqgzqp"

",.-lL@' + r+ zzl{t1z)' (r2 +

v

u.-l-

ttz

.

)._ 3r2 ('::-rfit4* yo!

8

a2

+

zz)(3/i)', (*2+A2+22)(3i2)

at

Baz

322

O{A- nf,n - %Fn

:: r.2 + u2 + z2

0

> rot:=curl(v,r);

1.

SX se arate c6,

{J-2ffi*g#:o Rezoh'are,

f ln,y) : ftJr+a + a@+a)

H: !/iTA+ffi ^t

+a;

?# =.

verificd ecuatia

+ fnt : ffi+r*2a afel\

B -y u .eLe(#l: rfu*W: +7;+7 ' atr*r)f t oxos \Ecl ffi-i@ril-t+t;#:& (H) : -r(.+a)-E *2 + Ecualia as

e

rot

::

[0, 0, 0]

verificatS.

- ra+ !- f si o: (1,2). Calculali hessiana diferenrriala de ordinul II in punctul curent. R.zol'are, H : a - i, - i, H : n * ft, #,u, : #* :1-F 4: 2.

Fie / (r,g)

B2l 2. ._--. *3 oa' : -$. v" ol.TaI

,:(?

iar FIy (1.2)

d'f (*,a)

ff @'a)'z

=

ffi

{a*)'

l,tatricea hessian6 este Ht@,a)

Hf (")

qi

:(fuffi) \ a;at 6F

1*) +zffiaraa + {# @il'

:

$

(d'r)'+ z (r

* #)

drd,s

-

.

de Ia defini{ie. cX (0,0) este punct de minim local s2 *A2,d,ar nu qi pentru g(r, A):A2 -12.

3. SX se arate pornind

pentru

f (r,il:

0: /(0,0) gi originea devine punct de : *il < 9(0,0) == g pentru n *o qi g(0,9) :

Rezoh'are: Intr-adevhr, .f(r,g) >

miniur global. Apoi 9(.2,0) existd, puncte A2 > g(0,0) pentrvg * 0. Deci in orice vecindtate a originii. unde ia va\ori mai mari gi puncte und"e ia valori mai rnici d,ec6,t in origine' Astfel originea nu este punct de extrem local pentru g' 4. Aflali punctele de extrern local pentru .f : lR2 -+ lR' 57

LECTIA

:2r3 - 6nA + 3gz \r) f (r,g) : c'U (o - ic - g) unde a > Od.oo\.r."e: a) f e C* gf condi\ir\e necesare de exttem s'tlrrt S : H :

8

0

g

* I ; :l,l :i puncbe}ecritice M, (0,0) ;M2 (1,1) penrru ry'l hessia'aeste Hr (^,r,) : ('* W )lr, : (:; ;t ) lr, = { ffi :T*.?;t, ( i. ;t ) +

tieci

(0, O) este

punct

:

0;42 :

-36
0, aqadar (1,1) este punct de rninim local. : b) Punem condi6iile necesare de extrem, -''; { ffi 2 o- [' \a - 2n- gl : 0 d[ Hr Qvt2):

[ ff:o

qi se obqin punctele critice ($, fi) ; (0, o) ; (o, 0) ; (0, 0) Ilessiana lui / in punctul curent,

/ B'-f- a2l \

/

t "("-r-Za):o

.

n-.

W,

\## /-2",f ):(;'!r@+a)\;:(r+Y))=* \

ur (3,3) : (:fl

-g

_+ )areminoriiAl:

-{e (0,42:

/-r^ _;

-^\ 0- )areminoriiAr: -2aK0,Az:*a2 o=+

($,fr) punct de maxim local.

Hf (0,") :

Aflfim derivate\e par\ia\e

2@s)2

A2 :

Hr: , I W.

1) Rezolvare: .f (r, a) = f(1,2) + H(t',2)(* - + -l (H (r,r) (" -"if ; %$ tr,?itl - zY + ?ffi

ffi

0.

qa.

Pentru I12 un calcul sirnilar ne

59

8

(1,2) qi d2 f (L,2).

o) f (",g)

Idinorii diagonali sunt Ar

LEc'l"lA

@z-azz2)i' (*_az zz\i

b) Aflati pentru f :e-,us\nz. _ Rz e-,u (*A 1)cos z c) Aflali {Jt pentru "f sin (2r + il . 9. Sd se calculeze diferenliala de ordinul II a funcliilor: a) f:e"+a2 Hz d2 f : e' (d,n)2 + 2(dy)2 b) u: ry*gzlzr Rz d,zu:2(dgdy*dydz*dzdn). 1-0. SH, se calculeze laplacianul fuucliilor, dac5, qi p sunt de clas5 C2. "f Apoi sX se afle f Ai p dard" z este funclie armonicX.

#{r,,#u,

:

ffi

a)

b)

z:p(*2 +a2)

z: f ("il, 11.

z

S5 se calculeze

- f (u,u), u :

frz

*

R: Az: utp"(u)*4v,fu);u- n2 +y2 R: Az : f"@a)(*2 +a2). laplacianui lui z, dacd / este de clas6, C2 :

a2,u

:

na

Az:nu#+8uffi+"#+4H. L2. Sd se arate cd funcliile date verificd ecua[iile specificate: a) u : nf (n+ s) + ag @ + il ; S? - 2#gi + {iV : o R:

b)

u:

13. Utilizd,nd formula lui Taylor, a) calculali aproximarea p5tratic5. a lui /(r, IJ) diferen[iala de ordin II in (1,0), d2l(1,0).

:

e3's in jurul

lui (1,0)

qi

LECTIA

e

R: /(r,v) = 1 +3y.+ *[c(" -t)y+ea2)si dzf(1,0; 6d.xdy+e(dy]2 f (r,i)-: "'siny in jurul lli (b,Oj panX la poliinom Tarvlor gradul de III. R: / (c, y) = y * ny * t G"tU - at) c) sd se afle aproximarea liniard a lui t*,y): r ccs / A*Asinr in jurul lli (0, n) gi sd se estimeze eroarea absolutd pe domeniul D : l"l s o, or; ly - a-f < 0,01. R: / (r, u) = kr - 1)r; eroa.rea absor.utx a aproximirii tir,i*. u t,ri ir, I 3u.uj lui(o1,oz)p.Deste lplS #(*-orl* ly_o,r'i)r,A{: sup l"%l b) sd se dezvolte

'eDJQi'i 0) R: (r/2,4) minim f) f (*,y):ratn(rz+a2) * 0/viu,I/",,6) minim pl { !", a,r): (*, + a2 . 1) e-"'. R: (0,0,0) minim tr) / (r, uuz) : 4ryz - *n - aa 24 (1, 1, l) nraxim. R: -' 16. Sd se determine hessiana funcliei. f (r,y) :'(r2 + y2)e*x2-a2, / :

+aI

Indicatie:

legS.turi. SchiurbHri de variabile.

U,

z) -: Br2 + Zyi +

\1 . $e tere g\ht\ru\ sillruie\ei r =

A2

: tg t irr ecualia, diferenlial5 y" (r) + 2n (L + *r) a' @)* y (z) : s. Rezolvare: \bm tra,nsforma ecualia diferenlialb, trecd.nd de la r,-ariabila r, --+ t prin schirnbarea de coordonate r (.t) - tg t (bijectiv5,, cie clas6 C1 1.

c) f

/(r,

Rrnctii implicite. Extreme cu

i

d)

folosind Maple; idern pentru

I

critice ale functriilor u'm5,toare:

Br3 * y3 - 4rs R: (0, o);ef Z,t/S) f(*,il:@*y)e-,2-a2 *, (+r€,=ryt)

f (r,a):

LecIia

+ 6*,r."

(t +

SX se efectueze schimbarea de r.ariabild a:

1212

pe un deschis). Not6m y (n) : a @ (t)): 0 (t) . Aff5.m culn se vor schimba derivatele in raport cu noua variabilX. 4E# 4fi cos2 t. Agadar regula cu care se vor calcula a' (r)

: # : ## :

:

f; : fi

t y" (r): * (#) : *(#"n.,r) cos2r : (#.os2r - 2sintcc,st$) cos2r. Ecualia inilial5 0.

dz

Rezutrd d2F (2,2,,2) Aqadar (2,2.2) este punct de ninim.

19. Afla\i

extreme\e tunc\iei

f (*'g)

r,!) t. Rezolvare: luncga\uilagrange tru care

aflx,m punctele

es\e

-

13

* !3 cu lega\ura 12 + U2 = 2,

F \",U) '= T3*!3 +)W + f 0F - BF -{) verificS'

critice. Acestea

\F ; F;,"r, ,,

i

f

y

2) pen-

t o ++

-:. { .,flf I A':=4

*2r.\-o

,

l;;"+;;;:; ["'+a2:2,r,U]g

-?'o :+}:-g; :,:a:l A,

ordi'II pentru,\ - -$. Astfel *3G,,t): - Bl(r,r) :'A; ffi(i, i; : o + Difllerritutuo" ordin II a lui F in (1,1) pentru ,l : -i esre d2f'(1,1) : 3(d.r)2 * 3 (dy)2 este pozitiv definitd qi deci (1,1) este punct de minim local pentru / cu iegdtura calculxm derivatele parliale de

6r

g;

3-l,r,r,

W(1, t)

:

6y

dat5,.

20. Sd se determine punctele de extrem cu legdturi perntru funcliiie urmdtoare, folosincl multiplicatorii Lagrange: a) f(r,a):x2*E2 ctlegbtura n*y-I'

(*',U,2): r -2y t2z ctt legitura 12 +2g2 + z2 :Ii l@,U,z):r-fy* z culeg5turileg.2 +y2 + z2:L,**2y*2z:L. R: a) (I/2,rlz) punct de minim; b) (-#, miniml (-A,-#,h) b) f c)

h,-h)

(-3,$, $) rninim; (1,0,0) maxim. ") 21. a)a.flati extremele funcliei f (",0:3n-y*6 , (^-rG ,E) punct cle minim, (ur\,1€) ou,,"t

maximr

1 b) Aflali cel mai apropiat qi cel mai'dep5rtat interser:lie a planului n

R: In (1,0,0)

") lui Rezolvare: Folosirn metorla multiplicatorilor Lagrange. Funclia lui Lagrange este lI (*,y, r) : n * y + z * \(*yz- 8) . Scriern condilia necesar[ de

f 1+)Yz:o 1-l)'rz:0 .* - Ji 1+)rU:0 r*[ :-i -lf ":a:z:2 lcyz:8 xYz:8 I A5adar (2,2,2) este punct critic pentru ) : -1. f#: gF -: g#:o;ffi - \z;#&: xv;{# -.\v +

Jr2

* A* z:

pe cercul t2 +y2

:4

de maxim. puncte de origine pe curba de

1 cu cilindrul 12 *.A2 : I. atinge minimul funcliei f : 12 + A2 + z2: se atinge tnaximul.

, (0, 1,O).se

t" (-;b, -h,\+',/t) 22. a) Aflati maximui qi minimul absolut pentru f (x,il : 2 * 2r a 2y _ ^ pe domeniul triunghiularmlrginit de drepteleo:0, ,2-y2 A:0,A:g-r. R:mmrf:A;min/:--61. b) Aflali punctele de extrem absol't pentru f (r,y) - (4r-r2) cosy pe donreniui dreptunghiular 1 1 r { J, lAl S i. ,R: mu:/:4 se atinge in (2,0), iar rnin/ : +, in punctele (e,*i),(f ,*i) . I 2 3 4 Ii 23. Se dau punctele Pt(rt,yi),i : L4 S5. se r 1 J 4 U At afle ecrratia dreptei L , U : an * b cu g,ropri6latil ca la G (a,b) : 4

D fuu -- afri i=1 de regrr:sie a

b)2 atinge valoarea

lui

minim6. Dreapta obqinut6

Gauss asociatX tabelului de

val:ri dat.

se

numeqte dreapta

LBCTIA i0

f) I -- It *

\.

Pr\ma, es\e de \\p \\,, cea\a\\[" &e \\P J (")

Leclia

10

rntegrale improprii: rntegrare cu parametri. F\rncfiile Gamma qi Beta i 1. S5 se studieze conver.gen{a integralelor: -

. r*

dn

t') ft

d.r

r*

n

f2,

;ffi dr

[*

deciinr.g,{lu

i:i

(t"

rb th

.lr:R;,:Hr/:

b) Punctul sirrgular al funcliei

-i

d.r q rt

d,r

/ F';.'J' #a l,'Jffi;;u)

i4f-l+d:'; " Ju w+a;g J, Rezolvare: a)

H)1,--, :

este

;F

: JIL arctg rlS :

ft Jo

;3nversenl;, gent5.

d) lntegrala

r :

figarctg

oo, aqaclar este di'ersentii

*$L #?:

1 irentru

o

:i

b:

conver_

tipui II, (din functie nerndrginitX cu punctul singular 0). Folosind criteriul practic de convergenfi, : r p".tru ilj?# < 1, a,qadar este conrrerge:ntH,. t

grala este convergentd.

o",rrr,, o

[2

( 1, deci inte-

"-*

liqi

tip I,

o=3

,lgg""

u5f,;s'

f*

dr

d.r

nrr,

-l-rc--t'+'+tt 1,

a)

1

11.,

sin.

:

1. Cum

*

rz

este

Jr;ffi*J, #:It*-I2,prima improprie de tip Ii (din funclie :

fiind

*,

nem6rginitd),lirn/(r) tlI

iar a doua este improprie de tip I. ,I este convergentd dacd \ qi 12 sunt con(x l)" o=i *: 1 vergente. Pentru 11 &\€m 1i* '* - , il . r-+i s)l c>l o=2 este convergentx. Pt. -I2 &r,€m r, a, > 1 gi deci 12 este

"tffg;i#=

2. a) Este b)

o integral5

cu

1..tr)Ir

convergentd integr-ala 7

:

isin( rz)d,r ? Dar

tg

irnproprie dintr-o func{ie cornplexx de forma

funclii reale, este

convergentS, cdnd

sunt convergente. Ce puteli spune despre

f0

t - *T o uL"#Otclac6 \/t

f

sin1r21ar

t

!i"@) +i,a(r)ld,n,

partea reald,, relpectir, imaginard "0""

Rezoh'are: a) cu schirnbarea de r.ariabiid. z2 integrala devine

este de

Tfu

dx \z f* E)t: J, ;m: integrald

de convergen$ penlru

c-+0+'lci';-' vcl-ro

0, anume

conrrergentd.

11 este

;

r'rrrintugrutu rezultd

1

r*

:

Pentnr 12 care este irnproprie de convergentd gi deci / este C.

u67'

z = I =+ [' . O, ,: li'r [, _0, : _ Jor_:rz i,]ilo1_j'

: ' e) lirnH=* -u lim (1 + r;-* (r +, r2)-* -zr-* : * nE {t ;?i q

- Tfi;

convergentS.

dr

c) hitegrala este de tipulJ (pe intenzal nemdrginii). Folosind criteriul practic

cle

> 0. Ap\ic[m criteriu\ practic

gularitatea fiind in ,r

a
_r.

t oblinem

[*

u-r'd,r,

::fr* t-ie-tdt.r* 1n-1u-t4r- r(p), lo* "Xlo., $

lot

Euler-poisson).

'

vvlr*

: [* J="-rdt :

"-,!:,

]i 6 :

b) Facem substitulia trn : y pentru a pune in evidengd func{ia f. Avern u : y* , d,n : f,a* -t aa ,qi integrala devi'e * '!r- y*# -t "-o a, : *, ( -#

d

1l

ol

,/r - rtan : ,i Jr' fo'

(r

- dL a, :

)

lo'"3-r

1r

- ,)8-, ar. j t:

h

--_^-_*,i'j

72

LECTTA i0

Dar

l

r(3)

0b,,q):

2t -- 2-:8

ffi+$

t,

qi ale funcliei

d) Cu substitulia n: a1/i,,

dr:

dr

tP

integratei este p

anume

t(p+.i) *pt(p), r (i)

gdsirn

ffid.u,

fo"

: O.

f (1)

A, ,irr(po)' Pentru P e (0' 1)' f)

f(p)f (r - p) :

:

ra :

eare duce

*

t € (0,1) i'

il* t*atqi integrara devine i il : i_.T* : ir(i)'r(1 + i) : f'ri,r*1,'u;0*:ffi,:;-i1*t trril .,.(i) : *r,+? : v,

- t*, ax : it-|"dt, *,' =+ l,':. - t)-i o, : |s(+,;) : !r' h) g : sin2r, r e [0, t] *y € [0, 1],dy : Zsinreosad,r,sinr = \/i, cosr : Jf] si integrata devine r(p,,q) : i ,E-r g-.il.-, tla : /ot *u (t'i) Agadar , S).Cr substitulia n7.: t, x

6

*6

,

lot

,ioo-, rcosq-t rd,n :

qi este convergentd pentru orice p, q

i)

ffiAt

qi integrala devine J(p,q)

|O (yr,I)

=

(b

-

in

(0,

a)p+q*t

- (b - c,)P+e+t F b + I,q * t). 13.

Sd se arate c5,

pentru

n,

€

(10.1)

> 0.

Transformarea care dr:ce intervalul (4, b)

R: a)

l,

(1

-

11-e1z at

c) Cu tra,nsformarea

'ariab

iIE, 17

: fr7,

ar2:

y ob[inem

N*, l(rr *

tr1

m)

este

t _ ffi

J #F* : : U\$A{i.

1

d,fi =

I- ##, *)

< r; U

=*

'

:

,2nu-o,'d*, e )0, n €

€N*; r)

"[r'tgord,r,lol

Facem schimbarea de

fo' lr-n"

fo*

si'62 cos|xd,nlI

'

lr,

fo*

#,

sinznrd,r,n€NI*.

qi oblinem

1.3.....(2n--r)

)

rz : i{T pentru n -* 0; -r"+l/+t-YG Pentru e)r- -t-" t:frt(*,*+t). 8) rn - *? converse penrru 0 < -> I : *p (T,1 - X) :*k, # < r. i) in formula (10.1) ludrnp- 1: a, ,_. e-1 -:.* qi oblinem ! cosf '

gi 1

dt

r € (0, m) . Ob{in em Ar|d,r -

I #t q l, ffir, q

l, -9- o I,' #,n,m D

la punctrit c).

utilizAnd formula complementelor,

Foiosim schimbarea de variabild

q

r*

: f* r-*

;* 5

")

,zt/az _Tza* _

J, Wff + A J, fl;d" care este funclia Btp, q)' : Jn [* -;:-----:=t=dt ,+4, (L+s\i (l a *Y+q**' :_ t -*" + p + q : 1, iar integrata ,,rt" .,i'Uifl'rrl : i:A$lr; f(6)f(* "g*iJ 3l rf*l 7r : 2n T

14. Sd se reducd Ia integrale Euler qi sX se calculeze

(,, g) =

. A.m foiosit proprietblile func[iei

+ I' u* 6 - q+ d,u carea fost calcuiatd E

10

f7

I nP-l (l - x)o-r d,n - 0 (p, q), deci valoar-ea. Jo r(g) r(8) _ 12(r+*) _ *r,(i) 7t

_\

LEC',lrA

n

ip@+i,il:#'=J?-!

1

l* iit i.:j ::iit

LECTIA

75

11

',ir

'rt '!1

iii il rll

=,

(r#li

* /,,*,,0,J

,I

:2(*rq+*#)

ii

-ii :li-ri t'i

z.

Fie L2

-

\ I,

tJ:R -+R\ l* fdd,t