Analiza Factoriala [PDF]

Zitiervorschau

Tema 7. Analiza factorial| 7.1 Scopul analizei factoriale Înc | de la începuturile utiliz |rii sale în activitatea de cercetare Õtiin Ûific |, analiza factorial| a fost folosit|, aproape exclusiv, pentru a fundamenta o serie de teorii psihologice referitoare la comportamentul Õi abilitatea uman |. Utilizarea analizei factoriale în acest scop se bazeaz | pe o facilitatea extraordinar| pe care o ofer | acest instrument, facilitate care const | în existen Ûa posibilit|Ûii de m |surare indirect|, de cuantificare a unor factori neobservabili. În psihologie, precum Õi în alte Õtiin Ûe din domeniul economico-social, apare frecvent necesitatea identific |rii Õi studierii unor entit|Ûi informa Ûionale complexe, care nu pot fi observabile în sens statistic, ceea ce înseamn | c |, în mod implicit, aceste entit|Ûi nu pot fi direct m |surabile. Aceste entit|Ûi sunt cunoscute în analiza factorial| sub numele de factori comuni Õi factori specifici. Ca exemple de astfel de entit|Ûi informa Ûionale de acest tip putem men Ûiona statusul social, abilitatea managerial|, inteligen Ûa, profilul psihologic etc. Exist| îns | posibilitatea de utiliza alte entit|Ûi informa Ûionale, care au proprietatea c | sunt m |surabile Õi care reflect| entit|Ûile informa Ûionale neobservabile men Ûionate anterior, astfel încât prin intermediul acestora putem face o evaluare indirect| a entit|Ûilor neobservabile. Entit|Ûile informa Ûionale utilizate pentru aceast | evaluare indirect| sunt cunoscute în analiza factorial| sub numele de indicatori. În acest sens, analiza factorial| poate fi privit| ca o modalitate de a explica Õi interpreta leg |turile dintre anumite variabile observabile (variabile indicator) în termeni de m |rimi care nu pot fi direct observabile (factori). De exemplu, rezultatele înregistrate la anumite teste de performan Û|, care au natur | observabil| Õi direct m |surabil|, pot fi explicate Õi interpretate în termenii unui factor abstract Õi neobservabil în mod direct, care este nivelul de inteligen Û| al celor testa Ûi.

7.2 ImportanÛa Õi necesitatea sintetiz|rii cauzalit|Ûii O problem | important| în cadrul procesului de studiere Õi descriere a rela Ûiilor de cauzalitate dintre fenomenele Õi procesele economice, cu o pondere foarte mare în analiza Õi predic Ûia din domeniul economico-social, este cea legat| de necesitatea de a sintetiza rela Ûiile de cauzalitate. Aceast | problem | este direct Õi strâns legat| de o alt| problem | de importan Û| teoretic | fundamental|, a c |rei rezolvare apare cu necesitate în orice investiga Ûie de natur | economico-social|, Õi anume problema m |sur |rii indirecte, a m |sur |rii factorilor de natur | neobservabil|. Necesitatea sintetiz |rii rela Ûiilor de cauzalitate, a detect|rii unor rela Ûii de cauzalitate ascunse Õi a evalu |rii unor factori de natur | neobservabil| apare în mod frecvent, în contextul solu Ûion |rii unor probleme de m |surare Õi cuantificare dintr-o mare varietate de domenii: economic, social, politic, psihologic etc. În general, domeniile în care apar probleme de acest fel sunt domenii caracterizate de complexitate Õi de imposibilitatea efectu |rii unor m |sur |tori experimentale.

7.2.1 M|surarea factorilor neobservabili În orice investigare sau activitate de cercetare Õtiin Ûific | din domeniul economico-social intervine, aproape în mod inevitabil, o problem | extrem de dificil|, a c |rei rezolvare dep |Õe Õte cadrul standard, presupunând utilizarea unor ra Ûionamente Õi instrumente de mare subtilitate Õi rafinament Õtiin Ûific. O astfel de problem | apare, cu exclusivitate, în câmpul m |sur|rii Õi cuantific |rii economico-sociale, Õi este legat| de existen Ûa factorilor laten Ûi, a factorilor ascun Õi, a factorilor de natur | neobservabil|. Ace Õti factori sunt cunoscu Ûi în analiza factorial| sub numele de factori comuni. Exem plul 7.1 Este evident, de exemplu, c| fiecare Ûar| din lumea contemporan| are un anumit nivel de dezvoltare economic|, dispune de o anumit| forÛ| economic|. Aceast| caracteristic| este comun| tuturor Û|rilor lumii, îns| are valori diferite de la o Ûar| la alta. ForÛa economic| de care dispune o anumit| Ûar|, la un moment dat, este o apreciere de natur| eminamente sintetic|, abstract|, care poate fi considerat| ca rezultant| a compunerii Õi agreg|rii unui num|r foarte mare de fenomene Õi procese economice, de influenÛe Õi interdependenÛe. Este evident c| este foarte dificil, chiar imposibil, ca o astfel caracteristic| extrem de complex| s| poat| fi apreciat| în mod direct, doar prin intermediul unei singure m|rimi, pe baza unui singur indicator, indiferent dac| acest indicator este ritmul creÕterii economice, volumul produsului intern brut, volumul schimburilor economice externe, rata inflaÛiei, rata Õomajului sau oricare alt indicator macroeconomic. În aceste condiÛii, se poate afirma cu certitudine c| nu pot exista nici metodologia, nici unit|Ûile de m|sur| Õi nici instrumentele cu ajutorul c|rora s| se poat| calcula, în mod direct Õi la un nivel de rigoare acceptabil, nivelul de dezvoltare a unei Û|ri. Prin urmare, nivelul de dezvoltare economic| a unei Û|ri constituie un exemplu relevant de ceea ce înseamn| un factor neobservabil. Cu toate acestea, prin utilizarea unor tehnici de analiz| specifice, pot fi deduse m|suri numerice unice, indicatori agregaÛi, care s| reflecte gradul de dezvoltare economic| a unei Û|ri în toat| complexitatea sa. În obÛinerea m|surilor agregate de acest fel sunt utilizaÛi indicatori macroeconomici parÛiali, din categoria celor enumeraÛi anterior. InformaÛiile purtate de aceÕti indicatori sunt considerate a fi semnale generate de factorul latent numit nivel de dezvoltare economic|. RaÛionamentul teoretic pe care se fundamenteaz| evalu|rile de acest fel const| în presupunerea c| factorul latent induce variaÛii, mai mult sau mai puÛin semnificative, în magnitudinea unor indicatori de natur| observabil|. Cu cât variaÛiie induse sunt mai puternice, cu atât

58

se consider| c| respectivii indicatori au o capabilitate mai ridicat| de a servi la exprimarea, indirect|, a factorului latent. Astfel, pentru un exemplu de tipul celui menÛionat anterior, se poate considera c| volumul produsului intern brut, ritmul creÕterii economice, productivitatea social| a muncii, nivelul de instruire a populaÛiei, volumul schimburilor economice externe etc., sunt rezultate ale unui anumit nivel de dezvoltare, sunt expresii ale acestui nivel de dezvoltare Õi, în consecinÛ|, pot servi la evaluarea acestuia. În ceea ce priveÕte leg|tura dintre valoarea unei variabile indicator Õi factorul comun, facem precizarea c| m|rimea înregistrat| de valoarea unui indicator nu este determinat| în mod exclusiv de factorul comun, ea depinzând, în afar| de acesta, Õi de influenÛa altor factori, cunoscuÛi sub numele de factori specifici. InfluenÛa acestor factori este diferit| de la un indicator la altul Õi nu este comparabil| pe mulÛimea acestor indicatori. Dat| fiind natura lor, din rândul factorilor specifici fac parte Õi erorile sau reziduurile. De exemplu, produsul intern brut Õi volumul schimburilor economice externe au o determinare comun|, dat| de nivelul de dezvoltare a economiei, dar au Õi o determinare specific|, dat| de m|rimea Û|rii, în cazul primului indicator, respectiv de poziÛia geografic| a Û|rii, în cazul celui de-al doilea indicator. M|rimea Û|rii este factor specific pentru produsul intern brut, iar poziÛia geografic| a Û|rii este indicator specific pentru volumul schimburilor externe. Schematic, leg|turile dintre indicatori, pe de o parte, Õi factorul comun Õi specifici, pe de alt| parte poate fi prezentat| schematic sub forma din figura urm|toare.

Figura 7.1: Exemplificarea unor leg |turi factoriale posibile

M |surarea influen Ûei specificului local asupra volumului vânz |rilor dintr-un produs, evaluarea aptitudinilor manageriale ale unei persoane, cuantificarea imaginii pe care o firm | o are pe pia Û|, m |surarea for Ûei financiare a unei firme, aprecierea gradului de dezvoltare economic | a Û|ri, evaluarea gradului de profitabilitate a unei firme etc., reprezint| probleme care conduc la necesitatea efectu |rii unor evalu |ri de tip indirect, pe baz | de intermediere, f|cându-se apel la o serie de entit|Ûi observabile, cunoscute sub numele de teste sau indicatori. Pe baza informa Ûiilor colaterale Õi cu ajutorul unor instrumente specifice, pot fi ob Ûinute dimension |ri de natur | cantitativ | pentru factorii neobservabili Õi pot fi construite scale de m |surare pe care ace Õtia s | poat | fi evalua Ûi. Un rol unic în acest sens, rol bine determinat Õi extrem de important în activitatea de evaluare Õi cuantificare a factorilor de natur | neobservabil| Õi de construire a unor scale de m |surare pentru ace Õti factori, revine tehnicilor de analiz | cunoscute sub numele generic de analiz| factorial|. Deducerea, pe cale indirect|, a informa Ûiilor referitoare la factorii neobservabili se bazeaz | pe identificarea unor variabile indicator sau pe construirea unor teste, care s | furnizeze informa Ûiile necesare aplic |rii tehnicilor de analiz | factorial|. Pe baza informa Ûiilor referitoare la variabilele de tip indicator, analiza factorial| îÕi propun | de deduc | substan Ûa informa Ûional| con Ûinut| în observa Ûiile acestor variabile indicator, substan Û| comun | tuturor acestor variabile.

7.2.2 Detectarea substanÛei informaÛionale comune Ideea fundamental| care st | la baza oric |rui demers ce vizeaz | sintetizarea rela Ûiilor de cauzalitate este aceea c |, în general, influen Ûele exercitate de variabilele explicative ce intervin într-o rela Ûie de cauzalitate complex | reprezint| o intermediere a influen Ûelor unor alÛi factori, comuni unor submulÛimi ale acestor variabile Õi afla Ûi în spatele acestora. Cu alte cuvinte, se consider | c | influen Ûele exercitate de variabilele explicative, variabile care, în aparen Û|, par a fi cauze directe ce determin | un anumit efect, nu sunt altceva decât forme particulare de manifestare indirect|, intermediar |, ale unor alte influen Ûe de natur | primordial| Õi sintetic |, influen Ûe specifice unor factori neobservabili, cu caracter latent. Acceptând ipoteza c | influen Ûele fiec |ruia din ace Õti factori comuni, cu natur | latent |, se manifest | prin intermediul uneia sau a mai multor variabile explicative, putem separa aceste variabile în submulÛimi de variabile ce au un element comun, iar prin intermediul acestor submulÛimi s| definim o corect| Õi sugestiv | structur | a dependen Ûei. În sensul ideii exprimate anterior, problema sintetiz |rii rela Ûiilor de cauzalitate devine echivalent | cu problema detect|rii Õi cuantific |rii unei anumite substan Ûe comune, de natur | pur informa Ûional|, con Ûinut| de o submulÛime a variabilelor explicative supuse studiului. Aceast | substan Û| poate fi interpretat| ca fiind fundamentul informa Ûional comun al variabilelor explicative ce alc |tuiesc respectiva submulÛime Õi care exist|, sub form | mascat| Õi latent |, dincolo de aparen Ûa relevat| de valorile ob Ûinute pe baza 59

m |sur |torilor efectuate asupra acestor variabile. Din punct de vedere teoretic, se consider | c | m |rimea cantit|Ûii din aceast| substan Û| reg |sit| în fiecare variabil| este cea care determin |, în cea mai mare parte, nivelul Õi evolu Ûia respectivelor variabile, constituind în acela Õi timp fundamentul invizibil care genereaz | Õi dimensioneaz | rela Ûiile de interdependen Û| dintre variabile. În func Ûie de cantitatea din respectiva substan Û| comun |, con Ûinut| în fiecare variabil| explicativ |, se poate determina o structur | riguroas | a dependen Ûei acestora, se pot construi "cluster-e" de variabile explicative Õi se pot deduce informa Ûii a c |ror natur | s | nu mai fie parazitat| de modalit|Ûile particulare de manifestare a formei fenomenelor descrise de respectivele variabile.

7.3 Domenii ale utiliz|rii analizei factoriale Printre domeniile a c |ror investigare presupune cu preponderen Û| existen Ûa unui instrument de analiz | care s | permit| depistarea substan Ûei comune con Ûinut| în variabilele urm |rite putem men Ûiona pe cel sociologic Õi pe cel psihologic. Instrumentul a c |rui opera Ûionalitate Õi eficien Û| sunt unanim recunoscute în rezolvarea problemelor care au ca scop sintetizarea rela Ûiilor de cauzalitate este analiza factorial|. În domeniul economic aplica Ûiile analizei factoriale sunt întâlnite în majoritatea analizelor Õi predic Ûiilor care vizeaz | prospectarea pie Ûii, fundamentarea strategiilor Õi deciziilor manageriale la nivelul agen Ûilor economici, comportamentul consumatorilor sau procesul decizional din domeniul financiar-bancar. Practic, nu exist| analiz | de date sau predic Ûie din domeniul economic care s | nu apeleze, cel pu Ûin în faza preliminar|, la utilizarea unui instrument cum este cel oferit de analiza factorial|. Printre cele mai frecvent întâlnite aplica Ûii ale analizei factoriale în domeniul economic putem men Ûiona pe cele care au ca scop determinarea unor indici agrega Ûi pentru diferite fenomene economice complexe sau pe cele care îÕi propun clasificarea Õi ierarhizarea unor op Ûiuni sau entit|Ûi economice în func Ûie de mai multe criterii economice Õi sociale. Din ce în ce mai mult în ultimul timp folosirea analizei factoriale este întâlnit | Õi în domeniul politologiei. Studiile riguroase de fundamentare a strategiilor politice folosesc analiza factorial| în special pentru determinarea op Ûiunilor politice ale electoratului înaintea organiz |rii scrutinurilor Õi pentru cunoa Õterea motiva Ûiilor concrete care determin | aceste op Ûiuni.

7.4 Definirea analizei factoriale Õi a conceptelor acesteia Analiza factorial| este unul dintre cele mai eficiente Õi mai frecvent utilizate instrumente utilizate în modelarea statisticomatematic | a problemelor economic-sociale. Posibilit|Ûile largi pe care acest instrument de lucru le ofer | în probleme de analiz | Õtiin Ûific | Õi de interpretare a datelor sunt ilustrate prin existen Ûa unui num |r foarte mare de aplica Ûii Õi prin bogata literatur | de specialitate dedicat| problemelor teoretice Õi practice specifice domeniului. Prin intermediul tehnicilor de acest fel se încearc | aplicarea unor transform |ri Õi aproxim |ri, astfel încât s| se ob Ûin | reprezent|ri în subspa Ûii cu mai pu Ûine dimensiuni, respectiv în subspa Ûii unidimensionale, bidimensionale sau, cel mult, tridimensionale. Aceste transform |ri Õi aproxim |ri trebuie s | fie aplicate în a Õa fel încât s| se verifice condiÛia ca distan Ûele ob Ûinute în noul spa Ûiu între obiecte sau variabile s | reflecte cât mai bine distan Ûele existente între acestea în spa Ûiul original. Noul spa Ûiu, rezultat din efectuarea analizei factoriale, se nume Õte spa Ûiu factor, spa Ûiu redus sau spa Ûiu factorial. Utilizarea analizei factoriale în solu Ûionarea problemelor specifice analizei datelor se face sub forma a dou | modalit|Ûi de abordare: modalitatea exploratorie Õi modalitatea confirmatorie.

7.4.1 Definirea conceptelor fundamentale În analiza factorial| sunt manipulate o serie de concepte importante, al c |ror con Ûinut Õi interpretare se caracterizeaz |, de cele mai multe ori, prin multiple Õi subtile aspecte informa Ûionale. Conceptul fundamental al analizei factoriale este cel de factor comun sau de factor latent, celelelate concepte utilizate fiind definite, într-o m |sur | mai mare sau mai mic |, în raport cu acest concept de referin Û|. Factorul comun este o construc Ûie abstract|, care încearc | s| exprime sub o form | numeric | o entitate informa Ûional| neobservabil|, ascuns | în spatele unei mari variet|Ûi de manifest|ri eterogene, dar a c |rei semnifica Ûie este extrem de important |, atât din punct de vedere teoretic, cât Õi practic. Factorul comun are o natur | similar | cu cea a unui factor cauzal cu semnifica Ûie stabil| Õi consistent |, a c |rui existen Û| Õi manifestare influen Ûeaz | valorile unei întregi mulÛimi de variabile numite indicatori. DefiniÛie: Factorul com un sau factorul latent reprezint| o entitate informa Ûional| de natur | general|, care exprim | o caracteristic | esen Ûial| a unui fenomen sau proces din realitate, îÕi exercit| influen Ûa asupra tuturor elementelor unei mulÛimi de indicatori Õi care nu poate fi supus | unei proces direct de observare Õi m |surare. Dup | cum rezult| Õi din definiÛie, caracteristica principal | a factorilor comuni const| în aceea c | ei sunt m |rimi neobservabile. Cu toate c | factorii comuni nu pot fi m |sura Ûi direct, pot fi definite Õi supuse procesului de observare Õi m |surare o serie de alte entit|Ûi informa Ûionale, care au proprietatea c | reflect|, într-o m |sur | mai mare sau mai mic |, factori comuni. Aceste entit|Ûi informa Ûionale sunt variabilele indicator, care sunt considerate a fi forme de manifestare cantitativ | indirect| a factorilor comuni Õi care prin valorile lor indic | atât prezen Ûa factorilor comuni, cât Õi intensitatea cu care se manifest | ace Õtia. Factorii comuni pot fi priviÛi ca variabile aleatoare, care au o anumit| distribu Ûie de probabilitate. De regul|, se consider | c | factorii comuni sunt repartiza Ûi dup | legea de probabilitate normal |. Vom nota num |rul de factori comuni cu p, iar pentru cei p factori comuni vom folosi nota Ûiile . 60

Ob Ûinerea de informa Ûii necesare pentru deducerea unor aproxim |ri cantitative pentru factorii comuni este bazat| pe existen Ûa unor variabile speciale denumite indicatori, teste sau m |suri. DefiniÛie: Indicatorul sau testul este o variabil| ale c |rei observa Ûii, cunoscute sub numele de scoruri, sunt utilizate în cadrul analizei factoriale în scopul de a produce evalu |ri numerice pentru factorul sau factorii comuni. În analiza factorial| se presupune c | leg |tura dintre variabilele indicator Õi factorii comuni poate fi exprimat | sub o form | liniar |, exprimare care conduce la necesitatea estim |rii coeficien Ûilor care intervin în definirea respectivei forme. Prin raportare la contextul terminologiei utilizate în cadrul analizei componentelor principale, se poate spune c | indicatorii sau testele sunt reprezentate de variabilele originale. Vom presupune în continuare c | în analiz | exist| n indicatori sau n teste Õi vom simboliza ace Õti indicatori cu . Observa Ûiile existente cu privire la cei n indicatori, observa Ûii ob Ûinute prin extragerea unui e Õantion aleator de volum T din popula Ûia ale c |rei unit|Ûi sunt caracterizate de cei n indicatori, reprezint| scorurile indicatorilor sau scorurile testelor. O ipotez | important | a analizei factoriale const | în presupunerea conform c |reia nivelul unei variabile indicator se formeaz | ca urmare a unor influen Ûei conjugate, exercitate atât de factorul sau factorii comuni, cât Õi de un factor unic. În afara acestor influen Ûe cu natur | semnificativ |, asupra nivelului unei variabile indicator se mai exercit| Õi influen Ûa erorilor de m |surare, influen Û| considerat| a fi neglijabil|. Departe de a avea o semnifica Ûie m |car comparabil| cu aceea a factorilor comuni, factorul unic are, totu Õi, o natur | similar | cu cea a acestor factori: influen Ûeaz | nivelul unei variabile indicator Õi are natur | neobservabil|. Spre deosebire de factorul comun, a c |rui influen Û| se manifest | la nivelul tuturor variabilelor indicator, factorul unic este caracterizat prin aceea c | influen Ûa sa are o natur | particular |, unilateral|, considerat| a se exercita sau exprima numai la nivelul unei singure variabile indicator. Din acest motiv, num |rul de factori unici coincide cu num |rul de indicatori sau de teste. Vom folosi pentru notarea celor n factori unici, care sunt asocia Ûi celor n indicatori, simbolurile . Factorul unic poate fi definit sub forma urm |toare: DefiniÛie: Factorul unic reprezint| o entitate informa Ûional| de natur | particular |, care îÕi exercit| influen Ûa în mod unilateral, asupra unei singure variabile indicator, Õi care nu poate fi supus | unei proces direct de observare Õi m |surare. În analiza factorial| variabilele indicator sunt considerate a fi dependente de factorii comuni Õi de factorul unic, în mod similar cu dependen Ûa descris | de modelele de regresie, în care variabila dependent| este reprezentat| de indicator sau test, variabilele independente sunt reprezentate de factorii comuni, iar termenul eroare este reprezentat de factorul unic Õi de factorul rezidual. Considerând cazul celei de-a i-a variabile indicator, un astfel de model de regresie are forma urm |toare:

Deosebirea acestui tip de model fa Û| de un model de regresie autentic, const | în aceea c | variabilele sale independente, , sunt variabile aleatoare neobservabile. Vom ilustra Õi vom concretiza con Ûinutul celor trei m |rimi fundamentale definite anterior, respectiv indicator, factor comun Õi factor unic, prin intermediul urm |torului exemplu. Exem plul 7.2 În scopul evalu|rii nivelului de inteligenÛ| general| Õi a capacit|Ûii de memorare ce caracterizeaz| fiecare dintre cei 10 studenÛi ai unei grupe ipotetice, vom presupune c| dispunem de notele obÛinute de aceÕtia la 5 examene: Matematic|, Informatic|, Economie, Istorie, Englez|. Rezultatele se g|sesc în tabelul urm|tor. SituaÛia notelor obÛinute de studenÛii unei grupe Tabelul 7.1

Student

Note obÛinute Matematic|

Informatic|

Economie

Istorie (h)

Englez| (g)

Medie student 7,65 6,85 9,00 8,50 7,45 8,00 9,30 9,35 8,75 7,15

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10

6,25 5,50 9,25 8,00 5,75 7,50 10,00 9,50 6,50 5,25

8,25 7,50 9,75 7,75 6,00 8,00 9,25 9,75 8,25 6,75

7,25 7,50 9,25 9,00 7,25 6,75 9,00 8,50 9,25 7,00

8,00 6,75 8,50 8,50 10,00 8,75 9,00 10,00 9,75 8,25

8,50 7,00 8,25 9,25 8,25 9,00 9,25 9,00 10,00 8,50

Media

7,350

8,125

8,075

8,750

8,700

3,1139

1,5035

1,0285

1,0139

0,6500

VarianÛa

În limbajul analizei factoriale, cele cinci examene reprezint| variabilele indicator sau testele. Factorii comuni sunt, în acest caz, inteligenÛa Õi memoria. Notele obÛinute de studenÛi la examene reprezint| scorurile testelor. 61

Ipoteza raÛionamentului specific analizei factoriale este aceea c| rezultatele obÛinute de studenÛi sunt intercorelate, ca urmare a faptului c| ele sunt influenÛate de dou| caracteristici care sunt comune tuturor studenÛilor: inteligenÛa Õi capacitatea de memorare. În tabelul urm|tor sunt prezentaÛi coeficienÛii de corelaÛie dintre cele cinci variabile indicator. Faptul c| notele obÛinute la cele cinci discipline sunt corelate, între ele, într-o m|sur| mai mare sau mai mic|, constituie suportul pentru a considera c| în obÛinerea acestor note se manifest| ceva care este comun tuturor disciplinelor, indiferent de natura acestora. În aceste condiÛii, este natural a presupune c| elementele comune, care determin| corelarea rezultatelor, Ûin de inteligenÛa nativ| a indivizilor Õi de capacitatea lor de memorare. Matricea de corelaÛie a variabilelor indicator Tabelul 7.2

Discipline

Matematic|

Informatic|

Economie

Istorie

Englez|

Matematic|

1,00

0,86

0,77

0,15

0,30

Informatic|

0,86

1,00

0,73

0,09

0,24

Economie

0,77

0,73

1,00

0,23

0,39

Istorie

0,15

0,09

0,23

1,00

0,73

Englez| 0,30 0,24 0,39 0,73 1,00 InteligenÛa Õi capacitatea de memorare reprezint| doi factori care influenÛeaz| notele obÛinute de fiecare student la fiecare dintre examenele susÛinute, cu diferenÛe de la student la student, în funcÛie de inteligenÛa Õi memoria proprii fiec|ruia dintre studenÛi. În afara celor doi factori comuni, nota obÛinut| de studenÛi la fiecare dintre examene este influenÛat| Õi de un factor unic, factor care reprezint| aptitudinile studentului pentru domeniul de care aparÛine disciplina respectiv|. De exemplu, separat de nivelul de inteligenÛ| Õi de capacitatea de memorare, un student poate avea aptitudini speciale pentru domeniul Informaticii. InfluenÛa acestor aptitudini asupra notei obÛinute la informatic| se va concretiza prin intermediul factorului unic asociat cu acest indicator, adic| prin intermediul factorului unic . Rezult| c| performanÛele obÛinute de studenÛi la fiecare examen pot fi descrise cu ajutorul unor ecuaÛii de regresie de forma: , unde influenÛeaz| notele, iar

definesc variabilele indicator, care reprezint| notele la cele cinci examene,

sunt cei doi factori comuni care

reprezint| factorii unici celor cinci discipline considerate. M|rimile

reprezint| coeficienÛii

corespunz|tori celor doi factori comuni. Efectuând analiza factorial| pe datele conÛinute în tabelul de mai sus, am obÛinut urm|toarele rezultate: . Cei doi factori comuni, inteligenÛa Õi capacitatea de memorare, explic| o proporÛie semnificativ de mare din varianÛa total| a variabilelor indicator, respectiv un procent de 78,30%, din care primul factor deÛine 53,58%, iar cel de-al doilea 24,72%. Cu toate acestea, rezultatele manifest| o inadvertenÛ| logic| legat| de interpretarea celui de-al doilea factor comun. Aceast| inadvertenÛ| const| în faptul c|, în cazul variabilelor indicator Istorie Õi Englez|, coeficienÛii corespunz|tori factorului Memorie au valori negative. ExistenÛa acestor coeficienÛi cu valori negative ridicate conduce la o interpretare aberant|, interpretare conform c|reia capacitatea de memorare ar influenÛa foarte puternic performanÛele la Istorie Õi Englez|, îns| în sens negativ. Deoarece exist| soluÛia obÛinut| nu este unic|, poate fi c|utat| alt| soluÛie, care s| fie compatibil| cu o interpretare natural| Õi corect| a factorilor. Aceast| soluÛie poate fi obÛinut| printr-o procedur| de transformare a coeficienÛilor factorilor, procedur| cunoscut| sub numele de rotaÛia structurii factor. În urma aplic|rii acestei proceduri, poate obÛine o interpretare mai corect| a factorilor Õi o creÕtere a semnificaÛiei acesteia, în condiÛiile în care contribuÛia total| a factorilor comuni la formarea variabilit|Ûii variabilelor indicator r|mâne neschimbat|. În cazul exemplului nostru, prin aplicarea procedurii de rotaÛie a structurii factor au fost obÛinute rezultate care conduc la urm|toarea form| a modelului factorial: . Se poate observa c| inadvertenÛa legat| de interpretarea celui de-al doilea factor a disp|rut, în condiÛiile în care proporÛia explicat| de cei doi factori din varianÛa total| a variabilelor indicator a r|mas tot la nivelul de 78,30%. Ceea ce s-a modificat în urma rotaÛiei este structura acestei proporÛii pe cei doi factori, structur| conform c|reia, din procentul de 78,30%, primul factor deÛine 47,17%, iar cel de-al doilea 31,13%. Rezultatele obÛinute evidenÛiaz| c| indicatorii reprezentând notele la Matematic|, Informatic| Õi Economie exprim| foarte bine nivelul de inteligenÛ| al studenÛilor, dup| cum indicatorii care reprezint| notele la Istorie Õi Englez| reflect| foarte bine capacitatea de memorare a studentului. ContribuÛiile factorilor unici sunt relativ reduse, cu excepÛia Economiei, unde se înregistreaz| o contribuÛie ceva mai ridicat| a factorului unic. În graficul din figura urm|toare sunt prezentate leg|turile dintre cele trei categorii de m|rimi Õi sunt evidenÛiate intensit|Ûile cu care aceste leg|turi se manifest|.

62

Figura 7.2: Exemplificarea leg|turilor dintre notele la examene, nivelul de inteligen Û| Õi capacitatea de memorare

7.4.2 Definirea analizei factoriale Analiza factorial| este unul dintre cele mai puternice, mai subtile Õi mai utile instrumente de analiz | a datelor, eficien Ûa utiliz |rii ei fiind de necontestat în aproape toate fazele importante ale unui astfel de demers, inclusiv în faza exploratorie a analizei. Scopul principal al analizei factoriale este acela al deducerii unor construc Ûii ipotetice, al identific |rii unor factori esen Ûiali, prin intermediul c |rora s | poat | fi explicate interdependen Ûele existente între elementele unei mulÛimi de variabile indicator. Spre deosebire de analiza componentelor principale, care are ca scop reexprimarea unei propor Ûii cât mai mari din variabilitatea spa Ûiului cauzal iniÛial, analiza factorial| îÕi propune s| g |seasc | cea mai bun | modalitate de reproducere a corela Ûiilor manifestate între elementele unei mulÛimi de indicatori, cea mai bun | modalitate de reexprimare a interdependen Ûelor dintre variabilele indicator. Din punct de vedere al acestui scop, analiza factorial| poate fi definit| sub forma urm |toare: DefiniÛie: Analiza factorial| este o analiz | multivariat|, care are ca scop s | explice corela Ûiile manifestate între o serie de variabile, numite indicatori sau teste, prin intermediul unui num |r mai mic de factori ordona Ûi Õi necorela Ûi, numiÛi factori comuni. Proprietatea de necorelare a factorilor, care apare în definiÛia anterioar |, se refer | la definirea Õi determinarea acestora sub restric Ûia inexisten Ûei redundan Ûei informa Ûionale. În mod similar, ordonarea factorilor se refer | la ierarhizarea acestora într-o manier | descresc |toare, în func Ûie de m |rimea varian Ûei fiec |rui factor. Ca metod | de analiz | multidimensional|, analiza factorial| este folosit|, în principal, în rezolvarea problemelor al c |ror scop este legat de: • studierea nivelelor diferite de manifestare a interdependenÛelor dintre variabilele explicative, în special atunci când num|rul acestora este foarte mare; • detectarea unei structuri simplificate Õi clare a relaÛiilor de interdependenÛ| existente între variabilele explicative; • obÛinerea unei "cluster-iz|ri", unei clasific|ri a variabilelor explicative prin intermediul unor entit|Ûi numite factori, astfel încât variabilele aparÛinând unui anumit factor s| fie puternic intercorelate; • obÛinerea unor informaÛii specifice, sub forma aÕa-numiÛilor factori, pe baza c|rora s| se poat| face o interpretare sintetic| a relaÛiilor de cauzalitate; • verificarea unor ipoteze cu privire la existenÛa unei structuri factoriale particulare sau cu privire la existenÛa unui anumit num|r de factori comuni; • sintetizarea potenÛialului cauzal comun al mai multor variabile explicative sub forma unui num|r cât mai redus de factori. Privit| în sens restrâns, ca mulÛime de proceduri logice Õi numerice executate pe date de un anumit tip, analiza factorial| poate fi definit| ca reprezentând un proces a c |rui desf |Õurare include urm |toarele etape esen Ûiale: • determinarea num|rului minimal de factori comuni cu ajutorul c|ruia pot fi explicate în mod optimal corelaÛiile existente între variabilele indicator; • efectuarea unor rotaÛii ale factorilor, în scopul determin|rii soluÛiei factor sub cea mai simpl| Õi mai clar| form|; • estimarea intensit|Ûilor factorilor, structurii leg|turilor, comunalit|Ûilor Õi varianÛelor factorilor unici; • deducerea unor interpret|ri adecvate pentru factorii comuni; • estimarea scorurilor factorilor. Dintre toate activit|Ûile implicate de analiza factorial|, problema care ridic | cele mai multe dificult|Ûi în executarea acestei analize este aceea a estim |rii comunalit|Ûilor, sau, ceea ce este acela Õi lucru, estimarea intensit|Ûii factorilor comuni.

7.4.3 Tipurile analizei factoriale În func Ûie modalitatea în care este implicat| în studiu Õi de scopul concret în care este folosit|, analiza factorial| poate fi considerat| ca fiind de dou | tipuri: analiz| factorial| exploratorie Õi analiz| factorial| confirm atorie. 63

DefiniÛie: Analiza factorial| exploratorie reprezint| acea modalitate de utilizare a analizei factoriale care are ca scop detectarea unei structuri a dependen Ûei Õi generarea unor construc Ûii teoretice, cunoscute sub numele de factori comuni. În varianta sa de analiz | exploratorie, analiza factorial| reprezint| o tehnic | de identificare a structurii dependen Ûei, de generare a unor construc Ûii teoretice. Analiza factorial| de tip exploratoriu nu presupune cunoa Õterea aprioric | a structurii dependen Ûei cauzale sau cunoa Õterea aprioric | a factorilor. DefiniÛie: Analiza factorial| confirm atorie reprezint| acea modalitate de utilizare a analizei factoriale, care are ca scop confirmarea unor ipoteze Õi teorii privind structura unei dependen Ûe cauzale. În analiza factorial| confirmatorie, structura dependen Ûei cauzale sau construc Ûia cauzal| teoretic | sunt presupuse a fi cunoscute, adic | date prin ipotez |. Prin intermediul teoriei de acest tip se urm |re Õte confirmarea unei anumite teorii, verificarea acestei teorii pe cale empiric |.

7.5 Structura general| a modelului factorial În formularea sa cea mai general|, formulare extrem de necesar | pentru preciz |ri cu caracter terminologic Õi pentru formularera unor ipoteze de natur | teoretic |, modelul analizei factoriale are la baz | dou | ipoteze fundamentale. Prima ipotez | se refer | la presupunerea c | c | nivelul sau valorile unui ansamblu de variabile aleatoare se formeaz | ca rezultat exclusiv al influen Ûei a trei categorii de factori: • o mulÛime format| din p factori comuni, , a c |ror influen Û| se consider | a se exercita asupra fiec |reia dintre cele n variabile considerate; • o mulÛime format| din n factori unici,

, a c |ror influen Û| se consider | a se exercita în mod individual,

fiecare factor unic influen Ûând una Õi numai una dintre variabilele considerate; • o mulÛime de n factori reziduali, , a c |ror influen Û| se consider | a fi exercitat| tot în mod individual, fiecare factor rezidual influen Ûând câte o singur | variabil|. Din punct de vedere statistic, se consider | c | influen Ûele semnificative, care trebuie re Ûinute în analiz |, sunt cele exercitate de factorii comuni Õi unici, în timp ce influen Ûele factorilor reziduali, se consider | a avea caracter accidental, nesemnificativ. La nivelul fiec |rei variabile, influenÛa factorului rezidual corespunz |tor poate fi considerat| a fi neglijabil| Õi este asimilabil| erorilor de m |surare. Din acest motiv, factorii reziduali se mai numesc Õi erori. În ceea ce prive Õte factorii comuni, exist| posibilitatea ca în cazul anumitor variabile influen Ûa lor asupra acestor variabile s | fie neglijabil| sau chiar nul|, ceea ce înseamn | c | factorii respectivi pot fi elimina Ûi din lista factorilor pentru variabila respectiv |. În aceste condiÛii, este posibil ca schema de influenÛ| pentru anumite variabile s | con Ûin | mai mulÛi factori comuni, iar pentru alte variabile mai pu Ûini. Num |rul de factori comuni cu influen Û| semnificativ | asupra variabilei indicator determin | complexitatea variabilei indicator respective. Faptul c | influen Ûele considerate sunt structurate pe cele trei categorii de factori, determin | o anumit| structur | a modelului factorial general, structur | eviden Ûiat| de rea Ûiile urm |toare:

,

unde func Ûiile

sunt func Ûii reale de p+1 variabile, func Ûii care pot fi liniare sau nelininare în raport cu variabilele.

Cu toate c | func Ûiile

pot fi, în principiu, liniare sau neliniare, aproape în toate cazurile, atât în cele legate de teoria

analizei factoriale, cât Õi în cele legate de utilizarea acesteia în aplica Ûii, este considerat| varianta liniar |, ceea ce înseamn | c | rela Ûiile care definesc modelul au forma urm |toare:

.

Coeficien Ûii factorilor sunt cunoscu Ûi sub numele de intensit|Ûiale factorilor. Prin magnitudinea sa coeficientul m |soar | intensitatea influen Ûei exercitate de factorul corespunz |tor asupra nivelului variabilei indicator, iar prin semnul s |u m |soar | sensul influen Ûei exercitate. DefiniÛie: Se nume Õte intensitate a unui factor comun cu câte unit|Ûi se modific | nivelul variabilei indicator

în raport cu o variabil| indicator

, atunci când nivelul factorului

m |rimea

, care arat|

cre Õte cu o unitate.

Cea de-a doua ipotez | pe care se fundamenteaz | analiza factorial| este aceea c | în con Ûinutul informa Ûional al variabilelor aleatoare se reg |sesc informa Ûii cu privire la factorii comuni Õi unici, ceea ce înseamn | c | ele pot fi folosite ca indicatori ai acestor factori, ca semnale informa Ûionale generate de ace Õti factori. 64

Având în vedere c | la nivelul unei variabile indicator, nu se poate face, sub nici o form |, o distinc Ûie clar | între factorul unic Õi factorul rezidual, din motive legate de simplificare Õi de crearea posibilit|Ûilor de solu Ûionare efectiv | a problemei de analiz | factorial|, factorul rezidual este neglijat sau, ceea ce înseamn | acela Õi lucru, este unificat cu factorul unic. În consecin Û|, modelul factorial cap |t| forma urm |toare:

.

Dac | vom face nota Ûiile urm |toare:

,

,

atunci modelul factorial poate fi scris sub forma urm |toare: . În raport cu aceast| ultim | form | a modelului factorial se define Õte conceptul de configura Ûie factorial|, concept care este folosit Õi într-un sens mai larg, cu referire la întregul set de ecua Ûii care define Õte modelul. În continuarea prezent |rii, vom nota matricea de corela Ûie a variabilelor indicator cu , respectiv:

,

unde elementele diagonale sunt egale cu unitatea, respectiv

.

Deoarece, de regul| variabilele indicator sunt considerate a fi centrate, matricea de corela Ûie a acestora coincide cu matricea de covarian Û|. În ceea ce prive Õte cei n factori comuni, vom nota matricea de covarian Û| a acestora sub forma urm |toare:

,

unde elementul diagonal t| covarian Ûa dintre factorul

din aceast | matrice reprezint| varian Ûa factorului comun

, iar elementul nediagonal

. În anumite situa Ûii, pentru varian Ûa factorului comun

reprezin-

se folose Õte nota Ûia

, adic |

. Dac | factorii comuni sunt m |rimi standardizate, atunci matricea de corela Ûie a factorilor comuni coincide cu matricea de covarian Û| a acestor factori. În aceast| situa Ûie, elementele diagonale sunt egale cu unitatea, respectiv

.

7.6 Descompunerea variabilit|Ûii spaÛiului iniÛial În mod similar cu analiza componentelor principale, analiza factorial| îÕi propune s | reexprime variabilitatea con Ûinut| în spa Ûiul cauzal iniÛial, într-o manier | diferen Ûiat|, în func Ûie de rolul pe care îl au în formarea acesteia factorii comuni, pe de o parte, Õi factorii unici, pe de alt| parte. În cadrul acestui paragraf, vom trata modul în care varian Ûa unei variabile aleatoare poate fi descompus | în componente relevante din punct de vedere al interpret|rilor interdependen Ûelor cauzale.

7.6.1 SpaÛiul factor Õi exprimarea conÛinutului s|u informaÛional Prin utilizarea tehnicile de analiz | multidimensional| care au ca scop reducerea dimensionalit|Ûii, variabilitatea spa Ûiului cauzal n-dimensional, determinat de mulÛimea de variabile indicator , este conservat| într-o propor Ûie, mai mare sau mai mic |, prin intermediul variabilit|Ûii induse de un num |r mai redus de factori abstrac Ûi

,

, care sunt factorii

comuni. Împreun | cu factorul unic, ace Õti factori determin | un spa Ûiu (p+1)-dimensional numit spa Ûiul test sau spa Ûiul factor. DefiniÛie: Spa Ûiul test sau spa Ûiul factor este un spa Ûiu real, de dimensiune (p+1), ale c |rui axe sunt ortogonale dou | câte dou | Õi sunt reprezentate de factorii comuni Õi de factorul unic .

65

Variabilitatea ce caracterizeaz | celor dou | spa Ûii implicate în analiz |, spa Ûiul original Õi spa Ûiul test, este m |surat| prin intermediul varian Ûei sau dispersiei. În analiza datelor se consider | c |, pentru oricare dintre variabilele care definesc spa Ûiul cauzal original, varian Ûa este o m |sur | a informa Ûiei con Ûinut| în observa Ûiile efectuate asupra respectivei variabile. Între gradul de variabilitate specific unei variabile Õi semnifica Ûia informa Ûional-statistic | produs | de observa Ûiile f|cute asupra respectivei variabile exist| un stabil raport de direct| propor Ûionalitate, considerându-se c | o variabil| este cu atât mai semnificativ | cu cât variabilitatea sa este mai mare.

7.6.2 Componentele varianÛei Dup | cum am mai eviden Ûiat, spre deosebire de analiza componentelor principale, în contextul c |reia variabilitatea ce caracterizeaz | spa Ûiul cauzal iniÛial este privit| nediferen Ûiat, în analiza factorial| variabilitatea spa Ûiului cauzal iniÛial este considerat| a fi o compunere de variabilit|Ûi, care se formeaz | sub influen Ûa factorilor considera Ûi. Corespunz |tor celor trei categorii generale de factori considera Ûi a influen Ûa variabila indicator , respectiv comuni, unici

Õi reziduali, în analiza factorial| se postuleaz | ipoteza conform | c |reia varian Ûa

, corespunz |toare variabilei

, poate fi

împ |r Ûit| în trei compomnente importante: • componenta , numit| comunalitate, care este acea parte a varianÛei totale ce exprim| informaÛia comun| tuturor variabilelor care definesc spaÛiul cauzal n-dimensional Õi care se formeaz| sub influenÛa factorilor comuni . • componenta , numit| unicitate, care este acea parte a varianÛei totale ce exprim| informaÛie semnificativ| de natur| specific|, caracteristic| variabilei particulare Õi care se formeaz| sub influenÛa factorului unic ; • componenta , numit| rezidualitate sau eroare, care este acea parte a varianÛei totale format| sub influenÛa factorului rezidual asociat cu variabila respectiv| Õi exprim| informaÛie nesemnificativ| cu caracter specific variabilei . Pe baza celor trei tipuri de influen Ûe men Ûionate anterior, varian Ûa variabilei indicator

poate fi descompus | sub forma:

sau, utilizând nota Ûiile corespunz |toare, sub forma:

unde m |rimile

,

Õi

reprezint|, a Õa cum o s | ar |t|m în continuare, tot varian Ûe. Aceast | rela Ûie define Õte descompunerea

varian Ûei unei variabile indicator în func Ûie de varian Ûele celor trei categorii factori care influen Ûeaz | variabila respectiv |. De Õi cele trei componente ale descompunerii au natur | de varian Ûe, ele nu trebuie identificate ca reprezentând varian Ûe ale factorilor, deoarece descompunerea este f|cut | doar în func Ûie de varian Ûele factorilor. Cu excep Ûia celei de-a treia componente a descompunerii, care este chiar varian Ûa factorului rezidual, primelor dou | componente nu li se poate atribui calitatea de varian Ûe ale factorilor. Primele dou | componente sunt determinate de coeficien Ûii care pondereaz | varian Ûelor factorilor, ceea ce înseamn | c | ele reprezint| contribu Ûii ale varian Ûelor factorilor la formarea varian Ûei variabilei indicator. De fapt, în condiÛiile unor ipoteze privind necorelarea factorilor, forma complet| a rela Ûiei de descompunere a varian Ûei variabilei indicator poate fi scris | astfel: . Este evident c | p |tratele coeficien Ûilor care pondereaz | varian Ûele factorilor reprezint| contribu Ûii ale factorilor la formarea varian Ûei variabilei indicator. Forma simplificat| a descompunerii rezult| din impunerea ipotezei c | varian Ûele factorilor comuni Õi unic sunt egale cu unitatea Õi din definirea comunalit|Ûii ca sum | a contribu Ûiilor factorilor comuni la formarea varian Ûei indicator, respectiv: . Componenta cea mai important | a varian Ûei variabila indicator

este comunalitatea, care exprim | contribu Ûia factorilor

comuni la formarea varian Ûei variabilei indicator Õi care poate fi privit|, la rândul s|u, ca o varian Û|. DefiniÛie: Com unalitatea este acea parte a varian Ûei unei variabile indicator, care exprim | variabilitatea indus | de influen Ûa factorilor comuni . Având în vedere c | la formarea variabilit |Ûii unei variabile indicator contribuie, în principiu, to Ûi cei n factori comuni, comunalitatea poate fi descompus |, la rândul s|u, în raport cu cele n influen Ûe. Cea de-a doua component | a varian Ûei variabilei indicator, numit| unicitate, exprim | contribu Ûia factorului unic la formarea varian Ûei variabilei indicator Õi are, de asemenea, natur | de varian Û|. Ea se mai nume Õte Õi varian Û| unic |, Õi se define Õte astfel: DefiniÛie: Unicitatea este acea parte a varian Ûei unei variabile indicator, care exprim | variabilitatea indus | de influen Ûa factorului unic Õi care nu poate fi explicat| prin intermediul factorilor comuni.

66

Ultima component | a varian Ûei variabilei indicator, respectiv cea datorat| factorului rezidual, reflect| influen Ûa erorilor de m |surare asupra form |rii variabilit|Ûii variabilei indicator Õi se mai nume Õte Õi varian Û| rezidual| sau varian Û| eroare. De cele mai multe ori, aceast| influen Û| este considerat| a fi neglijabil| în raport cu celelalte influen Ûe. Cu excep Ûia varian Ûei reziduale, care exprim | influen Ûa factorilor cu natur | accidental|, a cauzelor aleatorii, imprevizibile Õi nesemnificative, celelalte dou | componente, comunalitatea Õi unicitatea, exprim | influen Ûe de natur | sistematic | asupra form |rii variabilit|Ûii variabilei indicator, influen Ûe cu caracter permanent Õi stabil. Din acest punct de vedere, varian Ûa variabilei indicator poate fi privit| ca fiind suma a dou | tipuri de varian Ûe: varian Ûa sistematic | Õi varian Ûa rezidual|. Dac | vom nota varian Ûa sistematic | cu

, adic |: ,

atunci varian Ûa variabilei indicator poate fi scris | sub forma: . Din aceast | reformulare rezult| c | varian Ûa variabilei indicator poate fi descompus | ca sum | a dou | componente numite sistematicitate Õi rezidualitate, respectiv: . Pe de alt| parte, influen Ûa factorului unic

Õi influenÛa factorului rezidual

se caracterizeaz | prin faptul c | au o

direc Ûionalitate specific |, bine determinat|, fiind raportate numai la o anumit| variabil| indicator. Din acest punct de vedere, contribu Ûia celor doi factori la formarea varian Ûei variabilei indicator este numit| specificitate, care se define Õte sub forma: . Pe baza acestei noi redefiniri a componentelor, varian Ûa variabilei indicator poate fi rescris | sub forma urm |toare: , ceea ce înseamn | c |: . Exem plul 7.3 Pentru a evidenÛia componentele prin intermediul c|rora poate fi descompus| varianÛa variabilelor indicator, vom considera datele din exemplul 7.1 Õi vom efectua analiza factorial| pe matricea de corelaÛie urm|toare:

.

Valorile proprii corespunz|toare matricii de corelaÛie evideÛiaz| faptul c| exist| doi factori comuni importanÛi, care explic| un procent de 78,30% din varianÛa total| a variabilelor indicator. În tabelul urm|tor sunt prezentate informaÛiile referitoare la contribuÛia varianÛelor factorilor la formarea varianÛei totale a variabilelor indicator. ContribuÛiile iniÛiale ale varianÛelor factorilorla formarea varianÛei totale a variabilelor indicator Tabelul 7.3

Factor comun

VarianÛ| explicat|

Procent varianÛ| explicat|

Valoare proprie

Individual

Cumulat

Individual

Cumulat

2,679102

2,358245

2,679102

53,58204

53,58204

1,235815

1,556673

3,914917

24,71630

78,29835

DiferenÛ| 1,085083 5,000000 21,70164 100,00000 Dup| rotaÛia structurii factor, efectuat| în scopul asigur|rii unei interpretabilit|Ûi mai corecte pentru cei doi factori, varianÛele factorilor Õi contribuÛiile acestora la formarea varianÛei variabilelor indicator se modific| astfel: ContribuÛiile modificate ale varianÛelor factorilor la formarea varianÛei totale a variabilelor indicator Tabelul 7.4

Factor comun

VarianÛ| explicat|

Procent varianÛ| explicat|

Valoare proprie

Individual

Cumulat

Individual

Cumulat

2,358245

2,358245

2,679102

47,16490

47,16490

1,556673

1,556673

3,914917

31,13346

78,29836

DiferenÛ| 1,085083 5,000000 21,70164 100,00000 În ceea ce priveÕte descompunerea varianÛei variabilelor indicator pe componente, vom considera c| cele dou| componente sunt reprezentate de comunalitate Õi specificitate, ceea ce înseamn| c| presupunem o comasare a factorului unic cu factorul rezidual. Rezultatele 67

descompunerii varianÛei sunt prezentate în tabelul urm|tor. Descompunerea varianÛei variabilelor indicator Tabelul 7.5

Variabila indicator

Intensit|Ûi

Tipuri de varianÛe

InteligenÛ|

Memorie

Total|

Comunalitate

Specificitate

Matematic|

0,93797

0,13158

1,00000

0,89710

0,10290

Informatic|

0,90689

0,06630

1,00000

0,82685

0,17315

Economie

0,78539

0,25461

1,00000

0,68167

0,31833

Istorie

0,05008

0,78158

1,00000

0,61338

0,38662

Englez|

0,19147

0,92696

1,00000

0,89592

0,10408

VarianÛ| 2,358245 1,556673 5,00000 3,91492 1,08508 Pentru fiecare variabil| indicator, prima component| a varianÛei, comunalitatea, reprezint| suma p|tratelor intensit|Ûilor celor doi factori. De exemplu, pentru prima variabil| indicator, comunalitatea se obÛine astfel: . InformaÛiile referitoare la specificitate, adic| datele din ultima coloan|, au fost determinate prin diferenÛ| între varianÛa fiec|rei variabile Õi comunalitatea corespunz|toare celor doi factori. De exemplu, pentru cazul primei variabile indicator, specificitatea se determin| astfel: . Facem precizarea c| aceast| component| a varianÛei include influenÛa combinat| a factorului unic Õi a factorului rezidual. De asemenea, se poate verifica faptul c| suma p|tratelor intensit|Ûilor care apar în coloana fiec|rui factor comun reprezint| varianÛa factorului comun respectiv. În cazul primului factor, vom avea: .

7.7 ConfiguraÛia factor Õi structura factor În analiza factorial| se definesc dou | concepte fundamentale, care sintetizeaz | o serie de m |rimi importante, specifice analizei factoriale. Aceste m |rimi sunt reprezentate de coeficien Ûii factorilor Õi de coeficien Ûii de corela Ûie dintre variabilele indicator Õi factori, iar sintetizarea este f|cut | prin intermediul conceptelor numite configura Ûie factor Õi structur | factor.

7.7.1 Definirea configuraÛiei factor Conceptul de configura Ûie factor sau configura Ûie factorial| se refer | la intensit|Ûile factorilor comuni Õi poate fi definit astfel: DefiniÛie: Se nume Õte configura Ûie factor mulÛimea intensit|Ûilor corespunz |toare factorilor comuni ce apar într-un model factorial. Dac | se Ûinea seama Õi de interven Ûia într-un model de analiz | factorial| a factorului specific, atunci poate fi definit conceptul de configura Ûie factor extins |. Configura Ûia factor este foarte important | în cadrul analizei factoriale din mai multe puncte de vedere. În primul rând, elementele care intr | în alc |tuirea configura Ûiei factor caracterizeaz | intensitatea Õi sensul influen Ûelor exercitate de factori asupra form |rii nivelului variabilelor indicator. De asemenea, configura Ûia factor, în varianta sa extins |, este important | deoarece ea se constituie ca o reprezentare simplificat| Õi complet| a modelului factorial. Un alt element de importan Û| pentru configura Ûia factorial| rezult| din faptul c | elementele acesteia stau la baza determin |rii elementelor structurii factor Õi pot fi utilizate în reproducerea, pe diferite nivele, a corela Ûiilor dintre variabilele indicator. În sfâr Õit, configura Ûia factor este util| în efectuarea unor compara Ûii între diferite sisteme de factori, care sunt exprimabile prin intermediul aceleia Õi combina Ûii de indicatori.

7.7.2 Definirea structurii factor O problem | important | a analizei factoriale, a c |rei solu Ûionare Ûine de esen Û| analizei factoriale, este aceea a determin |rii corela Ûiilor dintre variabilele indicator Õi factorii comuni, pe de o parte, Õi dintre variabilele indicator Õi factorii specifici, pe de alt| parte. Pe baza conceptului de corela Ûie între variabilele indicator Õi factori, poate fi definit cel de-al doile concept, structura factor sau structura factorial|. Structura factor mai este cunoscut| în teoria destinat| analizei factoriale Õi sub numele de m atrice factor. Matricea factor are aceea Õi interpretare cu cea dat | în cazul componentelor principale. DefiniÛie: Se nume Õte structur | factor sau structur | factorial| mulÛimea coeficien Ûilor de corela Ûie dintre variabilele indicator ale unui model factorial Õi factorii comuni inclu Õi în acest model. Importan Ûa structurii factor în cadrul analizei factoriale const | în aceea c | ea eviden Ûiaz | corela Ûiile existente între

68

variabilele indicator Õi factorii comuni Õi faciliteaz | interpretarea esen Ûei factorilor comuni, prin prisma naturii pe care o au variabilele indicator. Spre deosebire de configura Ûia factorial| care sintetizeaz | exprimarea variabilelor indicatori sub form | de combina Ûii liniare de factorii comuni Õi specifici, structura factorial| eviden Ûiaz | schema leg |turilor existente între indicatori Õi factori. Structura factorial| este considerat| în cadrul analizei factoriale ca fiind una dintre numeroasele solu Ûii posibile pentru o anumit| problem | concret|. De altfel, structura factorial| mai este cunoscut| în literatura de specialitate Õi sub numele de solu Ûie factor sau solu Ûie factorial|. În numeroase situa Ûii practice, solu Ûia factorial| ob Ûinut| iniÛial nu întrune Õte toate condiÛiile necesare pentru a permite o interpretare facil | a factorilor. De multe ori, se poate întâmpla, ca elementele structurii factor s| sugereze interpret|ri ale factorilor care s | vin | în contradic Ûie cu posibila esen Û| ce poate fi atribuit|, în mod logic, factorilor. În aceste situa Ûii este necesar | g |sirea altor solu Ûii factor, care s | permit| o mai bun | interpretare Õi o mai consistent | interpretare a factorilor. În scopul cre Õterii posibilit|Ûilor de interpretare Õi a consisten Ûei acestor interpret|ri, structura factor poate fi supus | unei proces de rota Ûie, în urma c |ruia rezult| structura factor rotit|.

7.8 Calculul scorurilor factoriale O anumit| observa Ûie, corespunz |toare unui factor dat, este determinat| sub forma unui scor corespunz |tor respectivului factor, scor format pe baza contribu Ûiei variabilelor originale. Exprimarea generic | a scorurilor pentru un anumit factor în func Ûie de variabilele originale este dat| de urm |toarea rela Ûie: , unde b ij reprezint| coeficien Ûii scorurilor factor Õi sunt elemente ale transpusei matricii factor F. Sub form | matricial| aceast| rela Ûie poate fi scris | astfel: . În mod practic, exprimarea celor T observa Ûii efectuate asupra variabilelor originale sub forma scorurilor factor, respectiv calculul concret al scorurilor factor, se bazeaz | pe urm |toarele rela Ûii: , unde z kj reprezint| scorurile factorilor, b ki este elementul din linia k Õi coloana i a transpusei matricii factor, iar x ij este cea de-a j-a observa Ûie efectuat| asupra celei de-a i-a variabile originale. Dac | vom considera matricea de observa Ûii X, ale c |rei linii reprezint| cele n variabile originale Õi ale c |rei coloane reprezint| cele T observa Ûii f|cute asupra acestor variabile, ca având forma urm |toare:

,

Õi matricea factor F definit| mai sus, atunci matricea Z de dimensiune p×T definit| astfel: , se nume Õte m atricea scorurilor factor. Scorurile factor determinate în acest fel pot fi folosite în analize ulterioare, în locul valorilor variabilelor originale. Exem plul 7.4 În cadrul unei cercet|ri având ca obiectiv determinarea nivelului de dezvoltare economico-social| a 10 zone geografice din Ûar|, a fost selectat un num|r de 6 indicatori de natur| economico-social|: capitalul industrial, cifra de afaceri a firmelor, profiturile obÛinute, cheltuielile pentru înv|Û|mânt, cheltuielile pentru cultur| Õi cheltuielile pentru s|n|tate. Valorile înregistrate, la nivelul unui an, de cele 10 zone geografice la cei Õase indicatori sunt cuprinse în tabelul urm|tor. Indicatori economico-sociali ai zonelor geografice Tabelul 7.6 Capital Cifra Cheltuieli Cheltuieli Cheltuieli Zona Profituri industrial afaceri învaÛ|mânt cultur| s|natate

Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7

2148,900 1056,550 2198,990 2632,350 1636,510 2267,880 1906,490

1210,550 1213,010 1088,890 1820,490 1067,480 1647,610 1853,010

545,600 531,790 565,130 670,400 459,570 554,970 855,100

69

588,560 1045,790 956,020 925,580 635,510 737,490 656,820

257,860 424,770 418,230 292,300 263,940 255,550 290,810

501,650 631,150 698,470 679,330 451,970 520,530 628,740

Zona

Capital industrial

Cifra afaceri

Profituri

Cheltuieli învaÛ|mânt

Cheltuieli cultur|

Cheltuieli s|natate

Z8 Z9 Z10

2756,080 1299,630 1160,220

1708,620 1077,580 1059,650

724,730 401,760 305,210

754,030 768,900 459,540

320,480 205,690 206,590

454,930 592,250 477,780

1906,361

1374,690

561,427

752,824

293,622

563,680

600,378

338,329

158,985

180,565

76,285

93,416

Media Abatere std

Matricea de corelaÛie corespunz|toare valorilor celor 6 variabile indicator din tabel, este urm|toarea:

.

Õi

Matricea de corelaÛie are primele dou| valori proprii

, ceea ce înseamn| c| exist| doi factori comuni asociaÛi

acestor valori proprii, factori care justific| un procent de 73,02% din varianÛa variabilelor indicator. În tabelul urm|tor sunt prezentate informaÛii cu privire la modul în care varianÛa total| a variabilelor indicator poate fi explicat| prin intermediul a doi factori comuni. ContribuÛiile iniÛiale ale varianÛelor factorilor la formarea varianÛei totale a variabilelor indicator Tabelul 7.7 Factor comun

VarianÛ| explicat|

Procent varianÛ| explicat|

Valoare proprie

Individual

Cumulat

Individual

Cumulat

2,72029

2,72029

2,72029

45,3381

45,3381

1,66104

1,66104

4,38132

27,6839

73,0220

DiferenÛ| 1,61868 6,00000 26,79797 100,00000 În tabelul urm|tor sunt prezentate informaÛii referitoare la o prim| soluÛie obÛinut| din aplicarea analizei factoriale. Tabelul conÛine informaÛii cu privire la intensit|Ûile factorilor, la descompunerea varianÛei variabilelor indicator între factorii comuni Õi factorul specific, dprecum Õi la coeficientul de corelaÛie multipl| dintre fiecare variabil| indicator Õi cei doi factori comuni. CoeficienÛii factorilor comuni Õi componenÛa varianÛei variabilelor indicator Tabelul 7.8

VarianÛ| Indicatori

Total

CoeficienÛii factorilor

Total|

Comun| E

S

E+S

Specific|

0,60126 -0,37631

1,00000

0,36152

0,14161

0,50313

0,49687 0,50461

0,76731 -0,53782

1,00000

0,58876

0,28925

0,87801

0,12199 0,84882

0,85686 -0,34414

1,00000

0,73421

0,11843

0,85264

0,14736 0,87266

0,63448 0,69868

1,00000

0,40256

0,48815

0,89072

0,10928 0,81838

0,56859 0,61254

1,00000

0,32329

0,37521

0,69850

0,30150 0,80812

0,55673

0,49837

1,00000

0,30995

0,24837

0,55832

0,44168 0,60667

-

-

6,00000

2,72029

1,66103

4,38132

1,61868

Procent 100,0% 45,34% 27,68% 73,02% 26,98% Având în vedere natura variabilelor indicator utilizate Õi rezultatele obÛinute, se poate trage concluzia c| cei doi factori comuni pot fi interpretaÛi ca reprezentând gradul de dezvoltare economic| (E) Õi gradul de dezvoltare social| (S). ConfiguraÛia factorial| Õi structura factor, corespunz|toare soluÛiei iniÛiale, sunt prezentate în tabelul urm|tor. Descompunerea varianÛei variabilelor indicator Tabelul 7.9 ConfiguraÛia factor Structura factor VarianÛ| comun| Variabila indicator E S E S E S 0,60126

-0,37631

0,60126

-0,37631

0,36152

0,14161

0,76731

-0,53782

0,76731

-0,53782

0,58876

0,28925

0,85686

-0,34414

0,85686

-0,34414

0,73421

0,11843

70

0,63448

0,69868

0,63448

0,69868

0,40256

0,48815

0,56859

0,61254

0,56859

0,61254

0,32329

0,37521

0,55673

0,49837

0,55673

0,49837

0,30995

0,24837

VarianÛ| comun| total| 2,72029 1,66103 Deoarece elementele configuraÛiei factoriale rezultate din analiz|, configuraÛie reprezentat| de valorile din coloanele 2 Õi 3 ale tabelului, au semne care vin în contradicÛie cu o interpretare convenabil| a celor doi factori, în termeni de grad de dezvoltare economic| Õi grad de dezvoltare social|, este necesar| obÛinerea unei alte soluÛii factor, care s| permit| o mai bun| interpretare a factorilor. Aceast| nou| soluÛie factor poate fi obÛinut| prin efectuarea unei rotaÛii a structurii factor. Rezultatele obÛinute în urma rotaÛiei structurii factor sunt prezentate în tabelul urm|tor. CoeficienÛii factorilor comuni Õi componenÛa varianÛei variabilelor indicator dup| rotaÛia structurii factor Tabelul 7.10 VarianÛ| Indicatori

Total

CoeficienÛii factorilor

Total|

Comun| E

S

E+S

Specific|

0,70639

0,06434

1,00000

0,49899

0,00414

0,50313

0,49687 0,50461

0,93632

0,03627

1,00000

0,87669

0,00132

0,87801

0,12199 0,84882

0,89039

0,24465

1,00000

0,79279

0,05985

0,85264

0,14736 0,87266

0,08221

0,94019

1,00000

0,00676

0,88396

0,89072

0,10928 0,81838

0,08190

0,83174

1,00000

0,00671

0,69179

0,69850

0,30150 0,80812

0,14155

0,73368

1,00000

0,02004

0,53829

0,55832

0,44168 0,60667

6,00000

2,20198

2,17935

4,38190

1,61868

-

Procent 100,00 36,70% 36,32% 73,02% 26,98% Analiza soluÛiei obÛinute în urma rotaÛiei structurii factor, evidenÛiaz| cu claritate c| primul factor comun este puternic corelat cu primele trei variabile indicator, iar cel de-al doilea factor este puternic corelat cu ultimele trei variabile indicator. În ambele situaÛii, coeficienÛii de corelaÛie au valori pozitive Õi mai mari decât 0,70, justificând ideea de corelaÛie puternic|. Faptul c| primele trei variabile indicator, respectiv capitalul industrial, cifra de afaceri Õi profiturile, sunt de natur| economic|, iar ultimele trei variabile indicator, respectiv cheltuielile pentru înv|Û|mânt, cheltuielile pentru cultur| Õi cheltuielile pentru s|n|tate, sunt de natur| social|, permite ca primului factor comun s| i se atribuie semnificaÛia de factor economic, iar celui de-al doilea factor comun s| i se atribuie semnificaÛia de factor social. Corelarea foarte puternic| dintre cele dou| grupe de variabile indicator Õi cei doi factori comuni constituie un temei pentru a considera c|, într-adev|r, primul factor comun reprezint| gradul de dezvoltare economic|, iar cel de-al doilea factor comun reprezint| gradul de dezvoltare social|. În afara celor doi factori comuni, nivelul variabilelor indicator se formeaz| Õi sub influenÛa factorilor specifici. M|sura în care factorii specifici influenÛeaz| variabilele indicator este reflectat| de m|rimea varianÛei specifice. Modelul factorial, corespunz|tor informaÛiilor definite anterior, este reprezentat de urm|toarele ecuaÛii factoriale: . Efectuând analiza factorial| pe datele conÛinute în tabelul de mai sus, am obÛinut urm|toarea form| estimat| a ecuaÛiilor modelului factorial: . În graficul din figura urm|toare sunt prezentate leg|turile dintre variabilele indicatori Õi factori Õi sunt evidenÛiate intensit|Ûile cu care aceste leg|turi se manifest|.

71

Figura 7.3: Exemplificarea leg |turilor dintre indicatori Õi factori Identificarea celor doi factori comuni, evaluarea influenÛei lor asupra variabilelor indicator Õi evaluarea corelaÛiilor existente între factorii comuni Õi variabilele indicator, permit reprezentarea grafic| a variabilelor indicator în sistemul de axe factoriale. Aceast| reprezentare este util| deoarece ea ofer| o imagine cu privire la modul în care variabilele indicator se asociaz| între ele, pe de o parte, Õi cu factorii comuni, pe de alt| parte. În figura urm|toare se g|seÕte reprezentarea grafic| a variabilelor indicator, în sistemul de axe ce corespunde celor doi factori comuni. Reprezentarea grafic| este suficient de sugestiv| pentru a observa Õi a înÛelege modul în care se asociaz| variabilele indicator, asociere determint| de leg|tura lor cu factorii comuni.

Figura 7.4: Exemplificarea leg |turilor indicatori Õi factorii comni Õi specifici În figura urm|toare sunt vizualizate grafic poziÛiile pe care le au cele 10 zone geografice în raport cu cele dou| axe factoriale, care au semnificaÛia de dezvoltare economic|, respectiv de dezvoltare social|. O astfel de vizualizare a entit|Ûilor de tip obiect este extrem de util| deoarece ea evidenÛiaz| foarte clar valorile pe care le înregistreaz| obiectele la caracteristicile latente, neobservabile, caracteristici reprezentabile prin intermediul de factorilor comuni. Pe baza acestor valori, obiectele analizate pot fi supuse unor aprecieri de natur| gobal| Õi sunt create premize pentru efectuarea unor comparaÛii multicriteriale. Pentru cazul exemplului considerat, din reprezentarea grafic| rezult| c| cea mai bine situat| din punct de vedere economic este “Zona 4", c| “Zona 2" Õi “Zona 3” stau foarte bine din punct de vedere social, dup| cum “Zona 10" este cea mai vitregit|, atât din punct de vedere economic, cât Õi social.

72

Figura 7.5: Exemplificarea leg |turilor indicatori - factorii comuni Õi specifici Posibilit|Ûile pe care le ofer| analiza factorial| în acest sens sunt cu atât mai utile, cu cât efectuarea unor astfel de evalu|ri Õi de aprecieri nu putea fi f|cut| pe baza variabilelor indicator. În situaÛia în care structura factor este supus| unei rotaÛii care nu mai conserv| ortogonalitatea axelor, se obÛin factori comuni care sunt corelaÛi, iar structura factor rezultat| difer| de configuraÛia factor. Pentru datele din acest exemplu, efectuarea unei rotaÛii oblice a axelor a condus la obÛinerea a doi factori comuni care sunt corelaÛi la nivelul unui coeficient de 0,254037, adic|: . Aceasta înseamn| c| axele factoriale nu mai sunt ortogonale, ele formând un unghi ascuÛit , a c|rui valoare este: . În aceast| situaÛie, comunalitatea fiec|rei variabile indicator este definit| de relaÛia urm|toare: . Rezultatele obÛinute în urma efectu|rii rotaÛiei de acest tip, adic| a rotaÛiei bazate pe oblicitatea axelor, sunt prezentate în tabelul urm|tor. CoeficienÛii factorilor comuni Õi componenÛa varianÛei variabilelor indicator dup| rotaÛia neortogonal| a structurii factor Tabelul 7.11 VarianÛ| Indicatori

CoeficienÛii factorilor

Total|

Comun| E

S

E&S

Total

Specific|

0,61824 -0,02381

1,00000

0,38223

0,00057 -0,00748 0,37532

0,62468

0,82509 -0,07497

1,00000

0,68077

0,00562 -0,03143 0,65497

0,34503

0,76058

0,11483

1,00000

0,57848

0,01319

0,04438 0,63604

0,36396

-0,03472

0,82326

1,00000

0,00120

0,67776 -0,01452 0,66445

0,33555

-0,02259

0,72725

1,00000

0,00051

0,52889 -0,00835 0,52105

0,47895

0,04146

0,63358

1,00000

0,00172

0,40142

0,01335 0,41649

0,58351

Total

-

6,00000

1,64491

1,62745 -0,00406 3,26830

2,73170

Procent

-

100,00

27,42%

27,12% -0,068% 54,47%

45,53%

Deoarece factorii comuni sunt corelaÛi, structura factorial| este diferit| de configuraÛia factorial|. În tabelul urm|tor sunt prezentate informaÛiile referitoare la configuraÛia factor Õi la structura factor, corespunz|toare rezultatelor anterioare. ConfiguraÛia factor Õi structura factor Tabelul 7.12 Indicatori

ConfiguraÛia factor

Structura factor

0,70639

0,06434

0,61824

-0,02381

0,93632

0,03627

0,82509

-0,07497

0,89039

0,24465

0,76058

0,11483

73

0,08221

0,94019

-0,03472

0,82326

0,08190

0,83174

-0,02259

0,72725

0,14155

0,73368

0,04146

0,63358

7.9 Criterii de alegere a num|rului de factori Utilizarea analizei factoriale pentru rezolvarea unor probleme specifice presupune Õi determinarea num |rului de factori comuni ce vor fi re Ûinu Ûi în model. De Õi decizia de a re Ûine un anumit num |r de factori este, în principiu, subiectiv |, exist| o serie de criterii care pot s| orienteze utilizatorul atunci când ia o astfel de decizie.

7.9.1 Criteriul procentului de acoperire În general, alegerea num |rului de factori care s | fie inclu Õi în modelul factorial depinde de propor Ûia din variabilitatea comun | con Ûinut| în spa Ûiul cauzal iniÛial pe care utilizatorul dore Õte s-o exprime prin intermediul unei succesiuni de factori comuni. O estima Ûie aproximativ | a acestei propor Ûii, pentru cazul în care num |rul de factori re Ûinu Ûi este egal cu k, poate fi ob Ûinut| cu ajutorul formulei: , unde k reprezint| num |rul de factori re Ûinu Ûi în model, n reprezint| num |rul variabilelor originale, iar 8 i reprezint| valoarea proprie în raport cu care este definit factorul comun i. Dezavantajul major al utiliz |rii unei astfel de aproxima Ûii în problemele de analiz | factorial| este dat de faptul c | m |rimea p k arat| care este ponderea varian Ûei primelor k componente principale în varian Ûa total| Õi nu ponderea varian Ûei explicate de primii k factori comuni în varian Ûa spa Ûiului test; acest lucru reprezint| un inconvenient deoarece între componentele principale Õi factorii comuni exist|, a Õa cum am mai ar|tat, o deosebire de esen Û|.

7.9.2 Criteriul lui Kaiser Acest criteriu poate fi folosit atunci când analiza factorial| este efectuat| pe o matrice de corela Ûie, adic | atunci când se presupune c | variabilele originale sunt standardizate. În conformitate cu acest criteriu, num |rul de factori necesari a fi inclu Õi într-un model de analiz| factorial| este egal cu num |rul de valori proprii mai mari sau egale cu 1. Justificarea acestui criteriu este dat| de faptul c |, pentru analiz |, prezint| importan Û| numai acei factori comuni a c |ror varian Û| este cel pu Ûin egal| cu varian Ûa variabilelor originale, variabile care, fiind normalizate, au varian Ûa unitar |. În afara faptului c | un astfel de criteriu poate fi folosit numai în cazul în care se lucreaz | cu variabile normalizate, dezavantajul principal al criteriului Kaiser este dat de faptul c | aplicarea lui conduce la re Ûinerea în model a unui num |r prea mare de factori.

7.9.3 Criteriul "granulozit|Ûii" Dup | acest criteriu, num |rul de factori ce vor fi re Ûinu Ûi în modelul de analiz | factorial| se stabile Õte pe baza unei analize grafice a valorilor proprii. Graficul pe care se face analiza se construie Õte luând în abscis | num |rul de ordine al valorilor proprii, iar în ordonat| valorile acestor valori proprii. Faptul c |, a Õa cum Õtim, valorile proprii sunt ordonate dup | magnitudinea lor descresc |toare va face ca graficul s| aib | forma aproximativ | a unei curbe de tipul exponen Ûialei negative. Num |rul de factori ce se vor re Ûine în model este determinat de punctul de pe grafic în dreapta c |ruia panta curbei devine neglijabil|, num |rul de ordine al valorii proprii corespunz |toare acestui punct determinând num |rul de factori ce se vor re Ûine. Dezavantajul acestui criteriu const | în faptul c | aplicarea sa conduce la re Ûinerea în modelul analizei factoriale a unui num |r prea mic de factori comuni. În practic |, alegerea unui anumit num |r de factori comuni este puternic dependent | de natura problemei analizate Õi de scopul urm |rit în utilizarea analizei factoriale. De multe ori, scopurile practice urm |rite în analize de acest fel pot conduce la necesitatea de a ob Ûine un singur factor sau cel mult doi. Construirea unui model cu unul sau doi factori comuni are Õi avantajul, care nu este de neglijat, c | faciliteaz | reprezentarea grafic | a m |rimilor analizei factoriale, reprezentare care poate s | fie deosebit de util| în faza de interpretare a rezultatelor.

74