Analisi matematica 1. Teoria ed esercizi con complementi in rete 8847003377, 9788847003378 [PDF]

Zitiervorschau

a Dina, luce di un sorriso che l'ombra della vita non pUD spegnere

C. Canuto, A. Tabacco

Analisi matematica I Teoria ed esercizi con complementi in rete 3a edizione

~Springer

CLAUDIO CANUTO

Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino, Torino ANITA

T ABACCO

Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino, Torino

ISBN 978-88-470-0871-7 Springer Milan Berlin Heidelberg New York e-ISBN 978-88-470-0872-4 Springer Milan Berlin Heidelberg New York Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media springer.com ©

Springer-Verlag Italia, Milano 2008

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Riprodotto da copia camera-ready fornita dagli Autori Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Stampato in Italia: Signum Srl, Bollate (MI) Springer-Verlag Italia Srl, Via Decembrio 28, 20137 Milano

Prefazione

I nuovi Ordinamenti Didattici hanno imposto un ripensamento globale della struttura e dei contenuti degli insegnamenti universitari italiani e, corrispondentemente, del materiale didattico di supporto. In molti corsi, in particolare in quelli di base, e necessario portare gli allievi ad acquisire un insieme non piccolo di concetti e di conoscenze operative avendo a disposizione un numero ridotto di crediti sovente compressi in poche settimane. Si pone quindi il problema di effettuare delle scelte sui contenuti, sul linguaggio usato e sul livello di approfondimento con cui viene trattata la materia. II presente testo intende essere di supporto ad un primo insegnamento di Analisi Matematica in quei corsi di studio (quali ad esempio Ingegneria, Informatica, Fisica) in cui 10 strumento matematico e parte significativa della formazione dell'allievo. I concetti e i metodi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale in una variabile sono presentati con l'obiettivo primario di addestrare 10 studente ad un loro usa operativo, rna critico. La filosofia che ha ispirato l'impostazione generale e stata quella di semplificare e alleggerire il materiale rispetto ai testi in usa prima della riforma, senza pero rinunciare al rigore espositivo e scadere in un mero prontuario di regole e formule. In questa prospettiva, il testo presenta tre diversi livelli di lettura. II livel10 intermedio corrisponde, per ciascuno degli argomenti trattati, alla totalita del materiale qui presentato. I concetti sono dapprima introdotti in modo discorsivo e poi rigorosamente definiti; successivamente, si discutono le varie proprieta matematiche ad essi collegate e si delineano le metodologie di calcolo che ne derivano. I teoremi e le proprieta pili importanti sono accompagnati dalla relativa dimostrazione. Un livello di lettura pili essenziale prevede l'omissione di tutte le dimostrazioni riportate, che a tale scopo sono facilmente distinguibili, e di quelle parti di testo presentate sotto la voce "Osservazione". Per facilitare 10 studente, le formule assolutamente fondamentali, e quelle comunque importanti, sono state messe in rilievo mediante l'uso del colore, rispettivamente ciano e grigio. Alcune tabelle, nel testo e al fondo del libro, riassumono formule di usa frequente. Non si e invece voluto

VI

Prefazione

stabilire una classifica di importanza tra i teoremi, per lasciare al docente la Iiberta di operare eventuali scelte in tal senso. Un terzo livello di lettura, basato sull'accesso ad un sito web, permette all'allievo pili motivato ed interessato di approfondire la sua preparazione sulla materia. Riteniamo infatti che gli obiettivi generali dei nuovi Ordinamenti Didattici siano compatibili con la possibilita, per gli studenti capaci e volenterosi, di acquisire una formazione solida e completa, secondo la migliore tradizione universitaria italiana. Nel libro si trovano vari riferimenti alle sezioni di un testo virtuale disponibile in rete, contenenti complementi e approfondimenti degli argomenti di volta in volta trattati. In tal modo, tutti gli enunciati presenti nel testo cartaceo vengono ad essere corredati dalla rispettiva dimostrazione. Per consentire un approccio morbido alla materia, nei primi due capitoli si e scelta una esposizione pili discorsiva, in cui definizioni e proprieta sono sovente inglobate nel testo; nei capitoli successivi, la veste grafica mette in luce in modo pili evidente tali strutture. Deliberatamente, di alcune definizioni e teoremi non si fornisce la forma pili generale possibile, al fine di privilegiare l'immediatezza di comprensione da parte dello studente. Gli enunciati sono in genere immediatamente seguiti da numerosi esempi; 10 stesso vale anche per la descrizione dei procedimenti di calcolo. Varie osservazioni fanno da complemento all'esposizione principale, mettendo in luce, fra l'altro, casi particolari ed eccezioni. Un rilevante numero di esercizi viene fornito al termine di ogni capitolo, permettendo all'allievo di valutare immediatamente 10 stato delle conoscenze acquisite. Gli esercizi sono raccolti in gruppi che riprendono i principali argomenti trattati nel capitolo e sono ordinati per difficolta crescente. Di tutti gli esercizi viene fornita la soluzione; per oltre la meta di essi, si delinea il procedimento risolutivo. Nel testo saranno usate Ie seguenti convenzioni grafiche: le definizioni appaiono su sfondo grigio, mentre gli enunciati su sfondo ciano; gli esempi sono segnalati da una barra verticale in colore; gli esercizi di cui si fornisce la soluzione sono indicati con un riquadro nel testo (ad esempio [ill). Questo volume e dedicato all'amica Dina Giublesi, per molti anni preziosa collaboratrice, di cui sempre ricordiamo la luminosa figura. Siamo riconoscenti ai molti colleghi e studenti che ci hanno permesso, con i loro consigli, suggerimenti ed osservazioni, di migliorare l'esposizione ed arricchire i contenuti di questa terza edizione. Torino, giugno 2008

Claudio Canuto, Anita Tabacco

Cornplernent.i disponibili in rete

All'indirizzo internet

http://calvino.polito.it/canuto-tabacco/analisi_1

e disponibile

un testo virtuale, contenente complementi e approfondimenti della materia qui trattata (ad esempio, vi si possono trovare lc dimostrazioni degli enunciati non fornite nel presente libro). II materiale e suddiviso nei seguenti argomenti:

• • • • • • • • • • • • • •

Principio di induzione Numero di Nepero Funzioni elementari Limiti Funzioni continue Successioni Serie numeriche Derivate Teorema di de l'H6pital Funzioni convesse Sviluppi di Taylor Integrale di Cauchy Integrale di Riemann Integrali impropri

Nel presente volume, il rinvio al testo elettronico complementare simbolo ~, ad esempio \~~ b.

(1.5) ii) L'intervallo (- 00,1] e sup eriorrnente limitato, rna non inferiormente limitato. L'intervallo (-5, 12) e lirnitato . 11

1.3 In siemi numer ici

17

iii) L'insi em e

A= {n: l lnEN } = {O, ~ , ~ , ~ , . . . } e limi t at o; infat ti

si ha 0 :::; n

(1.6)

n

+ 1 < 1 per ogni n E N.

iv) L'insiem e B = {x E Q I x 2 < 2} e limi t ato. Infat ti , se ad esempio necessariamente x 2 > ~ > 2 e d un que x - - L'esis t en za di tale n segue allora dalla proprieta di l'

1-1'

Ar chimed e (1.5). Dunque, 1 e il piu pic colo dei m aggioranti di A , ma non e il massimo di A , in quanto 1 0, l'equazione (1.8) ha in JR esattam ente due soluzioni, di uguale ualore assoluto ma di segno opposio; per a = 0 si ha la sola soluzione x = 0; per a < 0 non si hanno soluzioni in JR. La soluzione ::::: 0 dell 'equazione viene indicata con x = \Iii oppure con x = a l / n , e detta la radice n-esima (aritmetica) di a.

1.4 Fattoriali e coefficienti binomiali Introduciamo or a alcune qu antita intere notevoli , che int ervengono in diversi campi dell a Mat em a tica. Dato un numero intero n ::::: 1, il pro dot to di t utti gli interi compresi t ra 1 ed n vien e det to fattoriale di n ed indicato con il simbolo n! (che si legge ' n fattoriale ') . E conven ient e definire anche il fatto riale di 0, ponendo O! = 1. Si ha dunque per n::::: 2. 1

(1.9)

II fattoriale cr esce molto rapidamente all 'aumentare di n ; ad ese mpio, 5! 10! = 3628800 mentre 100! > 10 157 .

= 120,

I O!

=

1,

I!

= 1,

n! = 1 · 2 · . . . . n = (n - I) ! n

20

1 Nozioni di base

Esempio 1.9 Su pponia mo che un 'u rn a cont enga n 2: 2 palline di co lore di verse . C hied iam oc i: in quanti modi possiamo est rarre le palline d a ll' urna ? Quando cstraia mo la p rima pallina, effett u ia mo un a sce lta t ra le n p alline presenti nell 'urna ; p oi est raia mo la seconda palli n a , sceglienclola tra le ti - 1 palline rimanenti ; la te rza e sce lta t ra le n- 2 pal lin e r im anen ti , e COS! via. In totale, a b b ia mo dunque n(n- I) ·. . . ·2 ·1 = n! risult a ti diversi dell'est razion e delle p alline: n! rappresen t a il num ero d i possibili disposizioni di n oggetti distinti in seq u e n z a , 0 - che e 10 stesso - il numero di p ossib ili p ermutazioni di n ogg ett i orclina t i. Se ci lirnit iamo a k estrazioni, con 0 < k < n ; abbiamo n (n - 1) . . . (n - k + 1) n! risu lta ti possibili. Tale espress ione , che p uo essere scr it t.a come (n _ k) !' rap presenta il nu m ero cli po ssibili disposizioni di n oggetti distinti in sequenze di k . Notiamo che se ammettiamo la rip etizione del co lor e , cioe se ogni vol t a che estraia m o un a p alli n a immett iamo nell' urna un ' altra p allin a dello stesso co lor e, allora ad ogn i estrazion e scegliamo tra n palline di colore diver so. Se effet t u ia m o k est razion i, con k > 0 ar b it rario, a b b iam o dunque n k seque nze p ossibili di colori: n k e il numero delle disposizioni di n ogg etti in seq uen ze di k , con ripetizione (cioe ammettendo la ripetizione d ell 'oggetto) . !D Dat i clue int eri n e k t ali che 0 ::::: k ::::: n , d efin iamo il coefficiente binomiale di indici n e k come la qu anti t a

n! k!(n - k) !

(1.10)

(il simbolo ( ~) si legge comunemente ' coefficient e binomial e n su k' ). Osserviamo che se 0 < k < n , po ssiamo scrivere

n! = 1·. . . ·n

=

1·. . . ·(n- k)( n- k+ I) ·. . .·(n- I) n

=

(n -k )!(n -k + I ) ·. . . ·( n- I )n

e dunque, sem p lificando e inver tendo l'ordine dei fattori a numeratore, la (1.10) d iven ta

(nk )

= n(n - I) · . .. · (n - k+ I )

k!

'

(1.11)

che e un 'al t ra esp ressione sovente usa t a p er il coeffi ciente bi nomiale. Dall a defin izion e (1.10), segu e p oi facilm en te che

e che

(~) (~)

= I,

1.4 Fa t t orial i e coe fficie nt i b ino m ia li

Inoltre, no n e difficile ver ificare che , per ogni n vale la relazion e

~

21

1 e per ogni k tale che 0 < k < n , (1.12)

la quale forn isce un conveniente modo di ca lcolar e i coefficienti binomiali in modo ricorsivo; cia significa che i coefficient i di indice n posson o essere facilm ent e ca lcolati un a volta noti qu elli di indi ce n - 1. La form u la suggerisce di disporre i coefficient i binomiali secondo un a tabella di forma tria ngo lar e, not a come triangolo di Tartaglia (si veda la Fi gura 1.7) , in cui ogni coefficiente di indice n , ad eccezione de l primo e dell 'ulti mo, si t rova al di sotto dei d ue coefficient i di indice n - 1 che 10 gene rano seco ndo la (1.12). Si osserv i che la costruzione del t ria ngo lo di Tart aglia mostra che i coefficienti bin omi ali sono t utti nu meri int eri . 1 1

1

121 1 33 1 1 4 6 4 1 1 . ..

. .. 1

Figura 1. 7. Tria ngo lo d i Tartag lia

I coefficienti binomi ali traggono il loro nome dal fatto che essi int er vengono nello svil u ppo de lle poten ze d i un binomio a + b in termini dei prodot ti delle potenz e di a e b. Lo studente ricorda gli svilup pi not evoli e I coefficient i che ap paiono so no propr io i coefficient i bin omi ali relati vi ag li indici n = 2 e n = 3. In generale, p er ogni n ~ 0, si ha la formula (a

+ b)n = a n + n o, n- 1b + . . . + =

t (~)

(n)

k a n-k bk

+ . . . + no,bn - 1 + bn (1.1 3)

an- kbk,

k=O

not a come formula del binomio di Newton. Ess a si dim ostra usanda la relazione (1.12) , medi ante il metod a di dimostrazione per in duzione ~ Princ ipio di induzi one.

Esempio 1.9 (seguito)

I

Dat e Ie n pa lline di colore di verso e fissa to k ca n 0 ::; k ::; n , chied ia moc i or a quanti insiem i di stinti di k palline possiam o for mar e.

22

1 Nozio ni di base

Se p ro ced iamo est raend o una pallina d all'insiem e in izial e , poi un a pallina d all' insiem c delle n - 1 pall inc rimanenti, e cosi via pCI' k volt e , abbiarno , come gia osservato, n (n - 1) . . . (n - k + 1) risultati possi b ili. D 'altro ca nto , l'estrazione delle stesse k pallinc in un ord ine diverso porta a l med esim o insi eme . R icorclando che gli orclinamenti possibili di k palline so no k! , con c1uclia mo ch e il numero

diI insi msierrui d iist stiinti nt i diI x pa11'me e, n (n - l ) · ...k !·(n - k + l)

. = ( n) k . Diremo

c1te

tale coe fficient e b ino rniale rappresenta il num ero d i combinazioni di n oggetti distinti in gruppi di k . Equivalentemente , esso rapprcsenta il numero clci sottoins iemi d i k eleme nt i conte nut i in un insiem e di n elementi. Si osservi che, come rnostra la (1. 13) co n a = b = 1, la sornma di t utti i coefficien ti bi nom iali di inclice n c ugu ale a 2n , ch e e p recisa rnen t e il nu m ero totale D clei sottoins iemi di un insicrne d i n elementi.

1.5 Prodotto cartesiano Siano X e Y clue insicmi non vuoti. P res i un elemento :E in X e un cleme nte V in Y, formiamo la coppia ordinata

(x ,V) av ente come prima com pone n ie l'elem ento x e co m e seconda com pone n ie l'elem cnto V. Notiamo che una coppia orclinata co nc ettualm cnte cliversa cla un insiem e conte nente clue element i. Come clice il nome, in una cop p ia ordinata importante I'or d ine in cu i com paiono Ie com p one nt i; cia non e vera p er un insieme . Se x i- V, Ie coppie orclinate (x , V) e (y,x) sono cliverse, mentre gli insiemi { x ,V} e {V, x} coinc idono. L'insi emc clelle coppie orclin ate (x, V) a l variare d i x in X c V in Y costituisce il prodotto cartesiano d i X e Y , chc in dichiamo con X x Y , In formu la ,

e

I

X x Y = {(x, V) I x E X, V E

e

Y}· I

E possibi le rappr ese ntarc gr aficamente il pro clot to ca r tesia no come un ret tangolo, in cui la b ase corrisponcle a ll' insieme X e I'altezza corr isponde all' ins icme Y (si vecla la F igura 1.8). Se gli insiem i X e Y so no cliversi , il p roclotto X x Y sara clivc rso clal proclot t o Y x X; in alt ri term in i, il proclotto ca rtesia no no n e com mutative. Sc invece si ha Y = X , allora e consu et u cline p orre per brevita X x X = X 2 . In tal caso, e clefini to in X 2 il sottoins ierne

.d ={ (X,V) EX 2I x =v} cost it uit o clall e coppie avcn t i uguali com p one nt i, che chi amiamo la diagonale clel proclotto ca rtesia no.

1.5 Prodotto cart esia no

23

Y -------- ,.....,..~~~=---:-:,..., XxY

(x , y)

x Figura 1.8. Prodotto cart esia no di insiemi

L' esempio piii significativo di prodotto cartesiano si ha qu ando X = Y = R L'insieme jR2 e Formato da tutte Ie coppie ordinat e aventi componenti reali . Come I'insieme jR costituisce un modello matemati co della ret t a, cosl jR2 rappresenta un mod ello matematico del piano (vedasi la Figura 1.9, a sinist ra). Per definirlo, scegliamo una ret ta nel piano, sulla qu ale fissiamo un'origine 0 , un verso positivo di per corren za e un a unita di misura delle lunghezze. Tale ret t a costituira I' asse delle asciss e. Su ccessivamente, ruotiamo la ret ta attor no all' origine di 90° in senso antiorar io, ott en endo I' ass e delle ordinate. Abbiamo cost ottenuto un rife rime nto cariesuui o ortogonale isometrico (menzioniamo qui , senza ulterio ri approfondiment i, che t alvolta e utile cons ider are riferiment i cartesiani in cui gli assi non siano ortogonali t ra loro e/o Ie unita di misura, t alvol t a dette scale, siano diver se sui du e assi) . Dato un qu alunque punto P del piano, tracciamo Ie due parallele agli assi ca rtesiani passanti per P ; indichiamo con x il numero reale as socia t o a l punta inter sezione dell 'asse delle ascisse con la parallela all' asse delle ordinate ; similmente, sia y il reale assoc iato al punto int ersezion e dell'asse delle ordinate con la parallela all 'asse delle ascisse. In t al modo ass ocia mo univocam ente a ogni punto P del piano una copp ia (x ,y) E jR2, e viceve rsa. Diciamo che x e I'as cissa e ye I'ordinata di P ; globalmente, x e y sono Ie coordin ate cart esian e di P risp etto a l riferimento scelto.

z

(x , y)

•

•

(x , y, z)

:r

Figura 1.9. Modello m at ematico del piano (a sinistra) e della spazio (a destra)

24

1 Nozion i d i base

II conce t to d i prodot t o ca rtesia no puo esse re generalizzato al caso di pili di due insiemi . Precisam ent e, da t i n insiemi no n vuoti X l , X 2 , . . . , X n , formiamo Ie n- up le ord inate ( X l,X2 ,

,X n )

sceg liendo ordinatament e, p er i = 1, 2, ,n, ciasc una com ponente Xi nell'insiem e X i. II prodot to cartesiano Xl x X 2 X X X n e costit uito dall 'insiem e di t utte quest e n- uple. Se Xl = X 2 = . . . = X n = X , poniamo pili se mpliceme nte X x X x . . . x X = X " : In partico la re v R'' e l'insieme delle terne (x , y , z) a com po ne nt i reali; esso cost it uisco un modello matem atico dello spazio t rid imen siona le (vedas i la F igur a 1.9, a dest ra).

1.6 Relazioni nel piano C hia miamo pian o cartesiano un piano mu nito di un riferi m en t o ca rtesiano ortogonale isometrico. Come abbiamo visto , esso puo esse re ident ificato al prod ot t o cartesiano ]R2 . Ogni sot t oins ieme non vuo t o R di ]R2 definisce una relazione t ra numeri reali ; pr ecisamente, diciamo che X e in relazione con y att raoerso R se la coppia ordi nata (x , y) appartiene a R . II grafi co della relaz ione e l'i nsieme dei punt i del pian o le cui coord inate st anno in R . Sovent e, un a relazione e definit a attraverso una a pili equazioni 0 disequazioni, che fanno int ervenire due varia bili x e y. II sot t oinsieme R e a llora definit o come l'insieme di t utte le coppie (x, y) tali che x e y soddi sfano la a le condiz ioni impost e. Identi ficare R significa spesso ind ivid uare il suo grafico nel pian o. Vediamo alc uni ese m pi. E sempi 1.10 i) Un 'equazione del t ipo

ax

+ by

= c,

ca n a , b cost ant i non t utte nulle, definisce una ret t a . Se b = 0, la retta e parall ela all'asse delle ord inate , men tre se a = 0 la retta e parall ela a ll' asse delle asc isse. Supponendo b -I- 0, possi amo riscrivere l'equazione come y

= m x +q,

ca n m = - ~ e q = ~. Il va lor e m dicesi il coeffi ciente ango lare della ret t a . La ret t a pu o essere tracciata determinan d o le coord inate d i d ue punti su d i ess a , cioe t rovando due coppie dist int e (x, y) che sodd isfano l'equ azion e. Notiamo in part icolare che c = 0 (oppure q = 0) se e solo se l' ori gine a ppartiene alia ret t a. Ad ese mpio, l'equazione x - y = 0 defin isce la biset trice del prim o e t erzo qu ad rant e. ii) Se in luogo dell'equazione pr eced ent e consideria mo la disequ azi on e

ax

+ by < c,

1.6 Relazioni nel pian o

25

Figura 1.10. Grafico della relaz ione defini t a nell 'Esem pio 1.10 ii)

a llora definia mo uno dei due semipiani in cui la ret t a di equa zione ax + by = c suddivide il piano (si ved a la F igura 1.10). Ad esem p io, se b > 0, ottenia mo il sem ipiano ehe si trova a l di sotto della retta in questione. L'insieme cost det ermina to e ap erto , ossia non eomprende la retta, in qu ant o nella disequazione vale la disu gu aglianza forte; se inveee si eons ide ra la disequazione debo le ax + by ::; c, allora si defini see un insieme ehiuso, cioe eont enente la ret t a ehe definisee il semipia no . iii) 11 sistema di disequazioni y > 0, { x -y::::: 0,

definisee l'int ersezione t ra il sem ipia no ape rt o ehe si t rova al di sopra dell 'asse delle ase isse, e il semipia no ehiuso ehe si t rova a l di sotto della biset t riee del primo e te rzo qu adrant e. Si ottiene quindi (F igura 1.11, a sinist ra) l'angolo raeehiuso t ra il serniasse posit ivo delle asci sse e la biset triee del primo quadrante (i punti sull'asse delle asc isse so no esclusi). iv) La diseq uazione

[z -

yl < 2

equivale, ricordando la (1.2), a lla doppia disequazione

- 2 < x - y < 2.

y = :r +2

y = x -2

F igura 1.11. Gra fici delle relaz ioni definit e negli Es empi 1.10 iii) (a sinistra) e 1.10 iv ) (a destra )

26

1 Nozio ni di base

y

=

1

F ig u r a 1.12. G rafici delle rela zioni defini te negli Esempi 1.10 v ) (a sinist ra) e 1.10 vi) (a destra)

A sua volta, la elisequ azione eli sinistra equiva le a y < x + 2 e dunque elefinisce il semipian o ap erto al eli sot t o della retta y = .1: + 2; sirnilm en t e, la di sequazion e eli elestra equivale a y > x - 2 e dunque d efin isce il sem ipi ano aper to a l d i sopra dell a ret t a y = x - 2. In defini ti va , ottenia rno la striscia eli pian o racchiusa t ra Ie elue rette, con esclus ione elelle rett e st esse (Figura 1.11 , a dest ra ). v) Ricorelanelo il Teorem a di P it agor a , l'equazione

x2

+]/ =

1

defini sce il luogo elei puuti P d el pian o che elistano 1 elall'origin e degli assi , ossia la circo nfer enza eli centro l'origine e raggio 1 (in trigo nome t ria , essa prende il nome eli circonfe renz a t7'igonometri ca). Invece, la elisu gu ag lianza x2

+y2 < 1

elefini sce il ce rchio elelimit ato da tale circonfere n za (F igura 1.12 , a sinist ra). vi ) L'equazion e y = x2

elefini sce 1'1 parabola ael asse verticale eli vertice l'ori gine , passante per il punto P eli coord inate (1,1 ). P er t anto la doppia disequazionc

x2

::; y ::;

1

definisce la regione di pian o racc hiusa inferiormente d al la parabola e supe riormente d all a retta eli equazione y = 1 (Figura 1.12, a d estra) . D

1.7 Esercizi 1. Risolvere le seg uen ti disequ ezioni :

~ 2x - 1 > 0

~

@]

x- 3

x - I

x - 2

2x - 3 :1: - 3

>- -

b)

1-7x - - >0 3:r + 5

Ixl x+ 1 -- > - :r - 1

2.1: - 1

27

1. 7 Esercizi

e)

2x + 3 x+5

+1 - Ix -I I x

f) v x 2 - 6x > x

- -- < - - x - 3 ::::

V.T2 -

v lX2- 41-

2x

h)

x 2': 0

£)

+

(x

+2

x+ 3 > 0 1)2 v x2 - 3 -

xvl x2 - 41.T 2 -

4

1> 0

2. Determinare i segiien ti sottoinsiem i di IR:

A = { x E IR : x 2 + 4x + 13 < O} n {x E IR : 3x 2 + 5 > O} b)

[ill d)

3x + 1 B = {x E IR : (x + 2)( x - 1)( x - 5) < O} n {x E IR : x _ 2 2': O} x 2 - 5x + 4 2 < 0} U {XEIR : V7x +l +x =1 7} x - 9 D = { x E IR : x - 4 2': V x 2 - 6x + 5} U {x E IR : x + 2 > JX=l}

C= {x EIR : '

3. D et ermin are e rappresentare gra ficamen te i segueuti sot toinsi emi di IR 2 :

~

A

=

{( x , y) E IR

[ill

C

=

{( x ,y) E IR 2

~

E = { (:r, y )EIR 2 : 1 +xy> 0 }

2

IR 2 : x 2 - y2 > O}

:

x y 2': O}

b) B = {(.T, y)

:

Iy - x 2 1< I}

d) D ={(X,Y) E IR 2 : x 2+

E

y2

4

2': 1}

f) F ={( X ,Y) E IR2 : X -y ~ 0}

4. Dire se i seguenti sottoinsicmi di IR sono lim it ati s uperiorrnente e / o inferiorm ente, spcci ficandone estremo eup eiiore , estremo inferiore e, se esistono, massimo e m in im o: 1

~

A = { x E IR : x = n oppure x = 2" ' n. E N \ {O}}

b)

B

[ill d)

ti

=

{x E IR : - 1

< x :::: 1 oppure x = 20}

2n - 3 C = {x E IR: 0 :::: x < 1 oppure x = - - , n E N \ {O, I }} D = { z E IR : Z

n -l = x y con x , y E IR, - 1 :::: x :::: 2, -3 :::: y < - I }

1.7.1 Soluzioni 1. Disequ eziotii:

a) Si tra t.ta di una d isequazi one frat t a . Una fraz ione e po sit.iva se e solo se nu meratore e d enominatore sono di segno concor de. Poi che N( x) = 2x - 1 > 0 se x> 1/ 2 e D (x ) = x - 3 > 0 se x > 3, la dis eq uazione e verificat a per x < 1/2 oppure p er x > 3.

28

1 Nozioni di base

b) -~ < x < ~ . c) Porti amo t ut t o al primo membro e semplifichi amo I'espression e:

x - I 2x - 3 - - - - - >0 x - 2 x - 3 '

- x 2 + 3x - 3 > O. (x - 2) (x - 3)

doe

Le radici del numer atore non sono real i, quindi N (x) < 0 sempre. P ertanto la disequazione e verificata dove D( x) < 0, ossia per 2 < x < 3. d ) Portiamo t utto al primo membro e semplifichiamo:

[z] x +1 - - - - - >0 x- I 2x - 1 '

Ixl(2x -

1) - x 2 + 1 > O. (x - I) (2x - 1)

doe

Poiche Ixl = x per x ~ 0 e Ixl = - x p er x < 0, studiamo i due casi sep ara t amente. Se x ~ 0, la di sequazione divent a

2x 2 - X - x 2 + 1 (x - 1) (2x - 1) > 0 ,

x2 - X + 1 (x - 1) (2x - 1)

cioe

> 0.

11 numeratore non ha radici reali , quindi x 2 - x + 1 > 0 sempre. P er t anto la disequazione e ver ifica t a se il denominatore e positivo , ossi a , t enendo cont o del vincolo x ~ 0, per 0 :::; x < 1/2 oppure p er x > 1. P er x < 0, si ha

- 2x 2 + X - x 2 + 1 (x-l)(2x-l) > 0 ,

-3x 2 + X + 1 (x - 1) (2x - 1) > O.

doe

11 numeratore N( x) si annulla per X l = 1-fI3 e per X2 = l+ fI3, quindi N( x) > 0 per xl < x < X 2 (si osservi che X l < 0 e che X 2 E (~ , 1)) . Come prima il denominatore e positivo per x < 1/2 e per x > 1. P ertanto, tenendo cont o del vincolo x < 0, la dis equazione e verifica ta per X l < X < O. In conc1usione , la disequazione e verifi cata per x E (X I '~) U (1 , + 00). -2 ' 3 _1. -< x < 1 , 1 < x < 5+V57 .' e) -5 < x < 2

f) x < - ~5 .

g) Osserviamo dapprima che il secondo membro e sempre ~ 0 dove e defini to, ossia per x 2 - 2x ~ 0, doe per x :::; 0 oppure x ~ 2. La di sequazione e sicuramente verificata se il primo membro x - 3 e :::; 0, ovvero p er x :::; 3. Se x - 3 > 0, elevia mo al qu adrato ent ramb i i membri ottenendo doe

4x

~

9,

ossia

9

x> - -4 .

Raccogliendo t ut te le info rmazioni ottenute, conc1ud ia mo che la disequazione e verificata dove e defini t a , ossia per x :::; 0 oppure per x ~ 2.

h) x E [-3, -V3) U (V3, + 00).

1. 7 Esercizi

29

i) Osserviamo che Ix2 - 41 2: 0 e quin di J lx 2 - 41 e sempre definita. Scriviam o la disequazione nella for m a

Se x ::; 0, la di sequazion e e veri ficata in qu an t a il pri mo membro positivo. Se x > 0, elevia mo al quadrato entrambi i membri :

e semp re

Osser viamo che

Ix2_ 41 =

2 { x - 4 se x ::; - 2 oppur e x 2: 2, _ x 2 + 4 se - 2 < x < 2 .

Sia dapprima x 2: 2; la di sequazione diven ta x 2 - 4 2: x 2 che non e mai vera. Sia ora 0 < x < 2; si ha _ x 2 + 4 2: x 2 ovvero x 2 - 2 ::; O. Dunque dovra essere 0 < x ::; V2. In definitiva, la disequazion e e verificata per x ::; V2.

£) x E (-2, -

V2) U (2, +00 ).

2. Sot toiusiemi di IR: a) P oichc x 2 + 4x + 13 = 0 non ha soluzioni reali , la condizione x 2 +4x+ 13 < 0 non e mai verificata e il primo insieme e vuoto. Viceversa, 3x 2 + 5 > 0 e ver ificata p er ogni x E IR, cioe il secondo insieme e t ut t o R Dunque A = 0 n IR = 0.

b) B = (-00, -2) U (2, 5) . c) P ossiam o scr ivere

x2

-

5x

x2 -

+4 9

(x - 4)(x - 1) (x - 3)( x + 3) ,

dunqu e il primo insiem e e (-3, 1) U (3, 4) . P er individuare il secondo in siem e, risolviamo l'equ azion e irrazion ale J 7x + 1+ x = 17 che riscriviam o nella for ma J 7x + 1 = 17 - x. Osserviam o che per l'esistenza del radicale deve essere x 2: - ~ e che , essendo un a radi ce qu adrata sempre 2: 0, dobbiamo imporre 17 - x 2: 0, ovvero x ::; 17. P er -~ ::; x::; 17, eleviamo al quadrato ambo i membri, ot t ene ndo

7x +l= (17 - x )2 ,

x2

-

41x + 288

= o.

L' ult ima equazione ha due soluzioni X l = 9 e X 2 = 32; la seconda non acce t t a bile. Quindi il seco ndo insieme contiene soltanto x = 9. In defini t iva , C = (- 3, 1) U (3,4) U {9} .

d) D = [1, +00 ).

e

30

1 Nozi on i d i b ase

x = y

x = - y Figura 1.13. Sono rappresentati i sott oinsiem i A e B re la ti vi all'Eserciz io 3

3. Sotioinsiciui eli ]R2 : a) La cond izione e veri fieata se x e y sono eli segno eo n eorele , ossia nel prirno c te rzo qu adrantc , ass i eom pre si (F igu ra 1.13 , a sin ist ra.) . b ) Si vecla In Fi gura 1.13, a dest ra. e) Si ha se y ?: x 2 sc y :s: :1;2

.

La eonclizione y ?: x 2 signifiea ehe stiamo consid erand o In region e clel p iano elelim it a t a in feri ormen te clall a pa ra bola y = :1:2 . In talc regione clev e ess ere 2

cioe

y


x2

:1:

+ 1,

ossia cleve valere x 2 :s: y < x 2 + 1. Viceversa , se y < x 2 , si deve avere -

1,

ossia cleve va lere x 2 - 1 < y :s: x 2 . In concl usione , la regione cerc a t a e com presa tnt le clu e p a rabole (non incluse ) y = x 2 - 1 e y = x 2 + 1 (F igura 1.14 , a sin istra) .

- 1

Figura 1.14. Sono ra p p rcsentati i sot t oinsicm i C e D relativi a ll'Eserc izio 3

1.7 Esercizi

31

x =y

F

,(

-:

Figura 1.15. Sana rappresentati i so ttoinsiemi E e F relativi a ll'E sercizio 3

d) Si ved a la Figura 1.14 , a dest ra, e) Se x > 0, la eond izione 1 + xy > 0 equivale a y > - ~ . Quind i si eonside rano i punti del primo e del quarto quadrante ehe si t rovano al di sopra elell'iper bole y = -~. Se x < 0, la eon dizion e 1 + x y > 0 equivale a y < - ~ e pertanto e soddisfatta elai pun t i elel seeonelo e del terzo quadrante ehe si trovano al di sotto dell'iperbo le y = - ~ . Se x = 0, la dis equazion e 1 + x y > 0 e verifieata per ogni y , ossia l' asse y appartien e al l'insieme E. Riass um endo, la region e eereata e eompresa t ra i due rami dell'iperbole (esclus a) y = - ~ a cui va agg iunto l'as se y (F igur a 1.15, a sinistra).

f) Si veda la Figura 1.15, a destra. 4. ln sictui limitnti

C 11011:

/6'" .}.

P oiche N \ {O} C A , l'insieme A non e super iormente limitato e q uindi sup A = +00 e il massimo non esist e. In oltre, ogni elemento di A c positivo e elunq ue A c inferiormente limi t at o. Ver ifiehiamo ehe 0 e il massimo dei minoran t i di A . Infa t t i, se T > 0 fosse un minorante eli A, elovr ebbe valere ~ > r per ogni n E N non nu llo . Quest o eq uivale a n 2 < ~ , ovvero an < il ehe e ass urelo in qu anto l'insiem e dei nu mer i naturali non e su per iorm ente limit a to. Inolt re 0 tJ- A e qui ndi eonclud iamo ehe inf A = 0 e A non ha minimo.

(1) R isulta A = {I , 2,3, . . . , :t , ~ ,

Jr,

b) inf B = - 1, sup B = maxB = 20, non esiste min B .

i , t, ...]

C [0, 2); quindiC c limitato. R isulta infC= c) Siha C= [O , l ] U{~ , ~ , . . 2n - 3 1 mill C = 0; moltre. essenelo - - - = 2 - - - , non e diffieile verifieare che . n - 1 n -1 sup C = 2, rna il m as simo non esist e.

d ) inf C = mi nC = - 6, s up B = maxB = 3.

2

Funzioni

Esempi di funzioni ci provengono d all a vita quotidian a (ad ogni st ude nte iscr it t o al Polit ecni co e univocamente associato un numero di m a t ricola) , d all a descrizione del mo ndo fisico (a d og ni punt o d i una reg ione dello spazio occupata da un f1uido associamo la veloc ita dell a pa rti cella che in un certo ist ant e t rans ita per il punto), d all 'econ omia (a d ogni giorno d i apertura della borsa di Milano associamo l'indice Mibtel del mer cato azionario) , e COS! via. Il co ncetto mat emati co di funzione unifi ca sit uazioni di ver se.

2.1 Definizioni e primi esempi Siano X e Y due insiemi. Una funzione f definita in X a valori in Y e una corr isp onde n za che associa ad ogni eleme nto x E X at piu un eleme nto y E Y . L' insiem e d egli x E X a cui f associa un elemento di Y forma il dominio di f ; esso e d unque u n sottoins ieme d i X , che indicherem o con dom f . Scriveremo quindi

I f : dom f

0,

-.

se x < 0,

vi) la funzione Se gno (Figura 2.3, in alto a dest ra ) f : JR

----7

Z,

f( x ) = sign (x) =

{

+ 1 se x > 0, se x = 0,

°

- 1

se x

< 0;

vii) la fun zione Parte intera (F igura 2.3, in basso a sinistra)

f : JR

----7

Z,

f (x) = [x] = il pill grande intero relativo ::; x

(ad esempio, [4] = 4, [V2] = 1, [- 1] = - 1, [-~ l = - 2); si osservi che, per ogni

x

E

JR , si ha [x] ::; x < [x] + 1;

36

2 Fu nz ion i

Il l o

2

- 2 - 1

0

1

2

- 2

- I

0

2

- 1

-2 Figura 2.3. G rafici delle funz ioni Valore as so luto (in a lt o a sinist ra) , Seg no (in alto a d est ra ), P ar t e int era (in basso a sin ist ra) e M anti ssa (in bas so a dest ra )

viii) la fun zione Mantissa (F igur a 2.3, in bas so a dest ra )

II : lR. -; lR.,

I(x)

= Al(x) = x - [xl;

si osservi che , per la pr eced en te propriet a della P art e in ter a , si ha sem pre 0 :::;

M (x ) < 1).

Vedi arno ora qualche esem pio d i success ione. ix) La succ ess ione an

n

=- -

n+ l e definita per ogni n :2: O. I prirni valor i de lla successione sono 1 2 3 ao = 0 , al = 2 = 0.5 , a 2 = "3 = 0.6 , a 3 = 4" = 0. 75 . 11 grafic o di t ale success ione

e ripor t ato in

x) La successione an

=

(2.3)

Figura 2.4 (in alt o a sinist ra).

(1+ ~)

(2.4)

n

e defini t a al

=

per ogni n :2: 1. I primi va lori della success ione sono 9 64 625 2 , a 2 = 4" = 2.25 a 3 = 27 = 2.37037 , a 4 = 256

11 gra fico di tale successione

e ripo rt ato in

= 2.44 140625 .

F igura 2.4 (in a lto a c1estra ).

2.1 Definizioni e primi esempi

37

3 2

0

1

2

:3

4

5

6

o

2

3

4

5

6

2

3

4

5

(j

120

1 0 - 1

24 (j

0

:3

2

4

5

Figura 2 .4. Grafico delle successioni (2 .3) (in alto a sinistra) , (2.4) (in a lto a destra) , (2 .5) (in basso a sinistra) e (2 .6) (in basso a destra)

xi) La successione

(2.5) associa ad ogni intero il suo fat t oriale, definit o in (1.9). II grafico di tale successione e riportato in Fig ura 2.4 (in basso a sinistra); si not i che i valori ass unti dalla successione crescono mo lto veloc emente al cres cer e di n e quindi si sono utilizzate scale d ifferenti sugli assi coordinati. xii) La success ione

{+1

sen e pari, (2.6) (n ~ 0) . , . -1 se n e dis pari , alterna i va lori +1 e - 1 a seconda della parita di n . II grafico di tale success ione e rip ort at o in Figura 2.4 (in basso a destra) .

an

n

= (-1) =

Infine, ecco due esem pi di funzioni defin ite su JR2 (funzioni di due variabi li reali). xiii) La funzione

f : JR2 ~ JR,

f (x , y ) =

v

x 2 + y2

assoc ia al generico punta P del piano, di coord inate (x , y) , la sua distanza dall'origine degli assi . xiv) La funzione

f : JR2 ~ JR 2,

f (x , y ) = (y,x)

associa al punto P il punta P ' simmetrico rispet t o alla bisettrice del I e III o quadrant e.

38

2 Funzioni

Si cons ide ri una fun zion c defini t a in X a valori in Y . E b ene prestare attenz ione al fat to che il simbolo usato p er indi care gli elementi di X (a cu i sovente ci si riferisce come la vari abile indipendente) e quello usato p er indica re gli elerne nti di Y (la vari abile dipendente), p osson o essere assolutamente a rbitrari. Quello che realmen t e det ermina la fun zion e e il modo di associa re ad og n i ele me nto del dominio il corrispondente eleme nto dell' irnrn a gine. Ad ese m p io, sc x , y , Z, t sono simboli per indicare numeri reali, le scritture y = f (x ) = 3x , oppure x = f (y ) = 3y , oppure a ncora Z = f (t ) = 3t , den ot an o la siessa funzione , quella che ad og ni numero re ale associa il suo t rip lo .

2.2 Immagine e controimmagine Sia A un sottoinsiem e di X . L' immagine eli A att raverso

I e l'insieme

I f(A) = {f (x ) : x E A} ~ iIllI I di t utte le immagini de gli element i di A. Si osservi che f (A ) c vu oto se e solo se A non co ntiene elementi del dominio di I. L 'immagine f (X ) d ell 'intero in sieme X e gia stat a indica t a con im f . Sia poi y un ge ne rico elemento di Y ; la controimmagine eli y attraverso f l'insieme

e

Ir

1

(y) = {x E dom f : I (x ) = y}

I

d egli elementi di X che hanno come imrnagin e y . Notiamo che talc in sieme e vuoto se e solo se y non sta nell 'immagine di f. Se B e un sottoins ieme di Y , la controimmagine eli B attraverso I e l'insieme

Ir

1(B )

=

{x E domf : f (x ) E B} ,

I

unione di tut t e le con troimmagini degli element i eli B .

E fac ile vcrificar e che A ~ I - I U (A) ) per ogni sot t oins ierne A di dom I , m entre

I U- 1 (B )) = B n im f

~ B per og n i sot t oinsiem e B di Y.

Esempio 2.2 Sia I : lR --? lR, f (x) = x 2 . L'immagine attravcrso f dell 'intervallo A = [1, 2] l'int ervallo B = [1, 4]. Al cont rario , la controim magine eli t al e B attraverso I l'union e degli intcrvalli [-2, - 1] e [1,2]' os sia l'insiern e

f -l (B ) (si ved a la Fi gura 2.5).

= {x

E lR : 1 :::;

e e

Ixl :::; 2} 0

I concetti eli estre mo superiore/ in feriore e di massim o j'minirno eli un insieme, gia int ro dotti nel Paragrafo 1.3 .1, p osson o essere p artico lareggia ti al casu dell 'immagine eli una fun zione .

2.2 Immagine o co nt ro im magine

4

= f (x)

L _ )J

_

~ _1

)J

39

= f(x)

_

A 2

o

Figura 2.5. Irnmagine di un intervall o (a sinist ra l e controimrna gin e di un intervall o (a de stra) per la fu nz ione f( x) = x 2

Definizione 2.3 Sia f una funzione reole, e sia A uri sottoin siem e di dom f. Chiamiamo estremo superiore di f su A (0 in A ) I'esirem o superiore dell 'immagin e di A atira uerso I , poniamo dunq ue sup f(x) x EA

= sup f(A) = sup{f (x ) I x

E A }.

Diciamo che f e superiormente limitata su A se l'in siem e f (A ) superiorment e limitato, cioe se sup f (x) < +00 . S e sup f( x) x EA

e

x EA

e.finito ed appart iene ad f(A) , allora esso e il massimo di questo

in siem e. Tale numero viene detto il valore massimo (0 semplicem ente il massimo) di f su A e indicato can m axf( x) . xEA

I concetti di estremo inferiore e di minimo di f su A son o definiti in modo analogo. Infin e, f dicesi limitata su A se l'insiem e f(A) e limitato .

Talvolta si us ano le notazioni pill sint etiche sup A f , max a Notiamo che il valore massimo M dalle seguen ti cond izioni :

i) M

=

max ,

e un valore assunt o dall a fun zion e su

f

di

f

sullinsieme A

e m aggiore 0

e caratterizzato

A , cioe

esiste Xlv! E A tale che f( xlv!) ii) M

I , etc.

=

M;

uguale a og ni a lt ro valore assun to d alla fun zione p er ogn i x E A , f( x) ::; M .

SIl

A, cioe

40

2 Funzion i

Esempio 2.4 Consider iamo la fun zione f( x) definit a in (2.2) . max f (x )

xE [O,2]

= 3,

min f( x)

xE [O,2]

= 0,

E facile

m ax f( x)

xE [I,3]

=

3,

verifi car e che inf f( x)

xE [I ,3]

=

l.

Il valo re 1 non e ass unt o dalla fun zion e in a lcun punta dell 'intervallo [1, 3], dunque non esiste il minimo di f su tale insiem e. D

2.3 Funzioni suriettive e iniettive; funzione inversa Una fun zion e a valo ri in Y dic esi suriettiva (su Y) se im f = Y ; in a lt re parole, ogni y E Ye immagine di almeno un elemento x E X. Ad esempio, la fun zion e f : JR ---+ JR , f( x) = ax + b con a i=- e suriett iva su JR: il numero reale y e immagin e

°

Y - b. Al cont rario, la fun zione f : JR ---+ JR, f (x) = x 2 non a JR , in qu anta il suo insiem e immagin e e l'int ervallo [0, +00).

di x

=

e sur iet t iva su

Una fun zion e f dicesi iniettiva se ogni y E im f e immagine di un solo eleme nt o x E dom f. In alt ri t ermini , se si ha y = f( XI) = f( X2) co n Xl, x2 elem ent i del dominio di f , a llora necessari am ent e deve essere X l = X2. Cio, a sua volta, eq uivale alla condiz ione che, p er ogni Xl , x2 E dom f, (si ved a la Fi gura 2.6). Se un a fun zion e f e inietti va , possiamo associare ad ogni element o y dell'immagine l'unico eleme nto X del dominio tale che f( x) = y. Tale corr isponde nza determina dunque una fun zion e defin ita in Y a valori in X , che viene detta funzione inversa di f ed indica t a con il simbolo t: l . Si ha quindi

y

= f( x)

Figura 2.6 . R appresenta zion e sche rnatica d i una fu nz ione in iettiva e dell a sua inversa

2.3 Funzion i suriet t ive e iniet t ive ; funzione inver sa

41

(si osservi che la not azione volu t am en t e confonde l'insieme cont roimmagine di y attraverso I con I'uni co eleme nto in esso cont enut o) . La fun zion e inversa I - I ha come dom ini o I'immagine d i I e come immagine il dominio di I ; in formule, dom I

-I =

im I ,

im I

-I =

dom

f.

Una fun zion e ini ettiva e d unque invertibile; i du e concetti (iniettivita e invert ibilit a ) coinci dono. Qu al e il legam e t ra il gra fico della fun zione I , definit o nella (2.1), e il grafico della fun zione inversa I -I ? Abbiam o

r (J - l )

= {( y,I- 1(y ))

E Y x X

: y E domI-

I

}

= {(J (x ), x ) E Y x X : x E dom!}.

P ertanto , il grafico della fun zion e inversa si ottie ne da quello di I scam bian do ira loro Ie comp one nt i di ciascuna coppia. Nel caso di un a funzione reale di var iabile rea le, tale sca mbio corr ispo nde, nel piano ca rtesiano , a lia riflession e rispetto alia ret t a y = x . P ertanto , il grafico della fun zione inversa si ot t iene ribaltando il grafico della I rispe tto a lia bisettrice del I e III quadrant e (si ved a la F igura 2.7 , :/:

y

u> »

y= x

imJ

Y = f (x) ~~~ ~ ,

, , , ,, ,

, , ,,,

a)

clorn f

clorn f

:/;

b)

im

f

u

11

im f - l

c)

x

Figura 2.7. D al grafico d i un a fun zion e ini et ti va al grafico d ell a sua inversa

42

2 Fu nzioni

passaggio da a ) a b )). Si noti , invece, chc it problem a d i elet enninare esplicit ame nte l'esp ressione elella funzione inversa nella forma x = j -I (y ) puo esse re eli d ifficile, se non aeld irittura di impossibi le, soluzione . Sp esso , qualora sia possibile detenninare la funz ione inv ersa nella forma x = (y) , si prefer isce tornare ad ind icare la va ria bile ind ipendent e (de lla j - I ) con il sim bo lo x e la variab ile elipenden te con il sim b olo y , ottenendo COS! I'espressione y = j - I (;/:). Si esegue dunqu e un puro e sem plice cambia me nt o eli not azion i (si ricoreli quanta det to alla fine elel Paragrafo 2.1) . Cia pcrmet t e, ad esem pio, d i t raccia re il grafico della funzione inversa sullo stesso rifcrimcn to cartesia no usato per rappresent are il grafico della funzione j (si veda la F igura 2.7, passaggio da b) a c)).

r: '

Esempi 2 .5 i) La fun zione j : JR. ~ JR., f (;/:)

f( x d = j (X2)

=}

aXI = aX2

= =}

aa: + b ;/; 1

e iniet ti va

per ogni a.

i-

0 (infatti,

= X2). La sua fun zion e inversa

ex

y- b x - b f -I(y) = - - , 0, che c 10 stesso, y = f - I( X) = - - . a. a ii) La funzione f : JR. ~ JR., f (x ) = x 2 no n c iniet ti va per che f (x ) = f (- x ) per ogn i x rea le. Tuttavia , se ci limi ti a mo a conside rare valor i 2: 0 p er la variabile ind ipendente, cioe se restringiamo f a ll'interva llo [0, +(0 ), allora la funzione risult a iniet t iva (infatti, f (x d = f (X2) =} xi - x~ = (XI - X2)(XI + X2) = o =} XI = X2). La funz ionc inversa e x = f - I(y ) = vY, a ncli 'essa definit a su [0, + (0). Pili comunement e, si elice che la fun zione 'e leva ment o al quaelrat o' y = x 2 ha come fun zione inversa (su [0, +(0)) la funz ion e 'radice quadrat a ' y = JX. Not ia mo che anch e la rest rizione eli f all'int crvallo (-00, 0] fornisce una funz ione iniet ti va ; in tal caso, la fun zione inversa e y = - JX.

= x 3 e in iet tiva.

In fat ti , f (x I) = f (X2) =} xy - x~ = (XI - x2 )(xi + XI."1:2 +x~) = 0 =} XI = X2 in quanta xi +XIX2 +x~ = ~[xi + 1;~ + (XI + X2 ) 2 J > 0 qu alunquc sia no Xl i- X2. La funz ione inver sa c la funzione 'rad ice cubica ' y = 0, verso dest ra se c < O. Similrnente, il grafieo d i t e 0 I (x ) = I (x ) + c e t ras la to vertica lme nt e risp et to al grafieo di I , verso I'alt o se e > 0, verso il basso se c < O. Si veda per un esem pio la F igura 2.12. Fissato un numero reale c > 0, ind ich iamo poi co n s ., : IR -

IR la funzi on c

se(x) = ex . La eompos izione d i I con Se ha I'effet t o d i un e a m b ia men t o di scala nel grafieo di I . Preeisament e, se c > 1, il grafieo della fun zion e f 0 se(x ) = I( cx )

si 'e omprime' orizzontalment e risp et t o al grafieo di I , verso l'asse delle ordi nate; se inveee 0 < c < 1, il grafieo si 'd ilat a' allontanandosi d a ll'as se delle ord inate. Un effetto analogo, rna in d irezione ver t ieale, si ha per la fun zione S e 0 I (x ) = cl (x): in qu esto easo, se c > 1 il grafi eo si 'd ilat a' allontanandosi dall'asse or izzon t ale,

y = f( :I: )

Figura 2. 11. G rafico d i un a funzio ne f (x )

2.6 Funzioni elementari elora proprieta y = f( :!: + c), c

y=

f (x) + c,

c

>

0

49

f (:!: + c), c

0

y

=

0 (in alto a sinistra) , f( x + c) can c < 0 (in alto a dest ra) , f(x) + c can c < 0 (in basso a sinistra) , f( x) + c con c > 0 (in basso a destra) , dove f( x) e la funzione rappresent ata nella Figura 2.11 m entre se 0 < c < 1 il gr afico si 'com prime ' verso l'asse orizzon t al e. Per un esempio, si ved a la Fi gura 2.13. Notiamo poi che il grafico di f( - x) si ottien e riflettendo il grafico di f( x) specul armente rispetto a ll' ass e delle ordinat e. Invece, il grafico della fun zion e f(l x l) coincide con quello di f p er x ;::: 0, mentre si ot tiene p er riflessione speculare di qu est'ultimo rispetto all 'asse delle ordinate per x < O. Infine, il grafico della funzionc If(x)1 coincide con quello di f dove f( x) ;::: 0, mentre si otti ene dal gr afico di f p er rifiessione sp eculare risp et to all'asse delle ascisse dov e f( x) < O. Per un esem pio, si ved a la Figura 2.14.

2.6 Funzioni elementari e loro propriet.a Prem et ti amo alcune utili definizioni. D efinizione 2.11 Si a f : dorn f ~ lR ----7 lR una Junzion e il cui dominio sia simme trico rispetto all 'origin e, cioe tale che se x E dorn J allora anche -x E dorn J . La Junzion e f dicesi pari se f( - x ) = f (x ) per ogni x E dorn t . m entre dicesi dispari se f (-x) = - f (x) per ogni x E dom f .

50

2 Funzioni

11 = f (cx ),

c> 1

11 = cf (::C ),

c>

11 =f (c::c ), c< l

1

11 = cf (x ), c


1 (in a lt o a sinistra) , della funzi on e f( cx) con 0 < c < 1 (in alt o a destra) , della funzione cf (x ) con c > 1 (in basso a sinist ra}, della funzi o ne cf (x ) con 0 < c < 1 (in basso a d es tra)

Notia mo che il grafi co di una fun zion e pari e simmetrico rispetto all 'asse delle ordinate , mentre qu ello di un a funzione dispari c sim met r ico rispetto all'origine . Osserv iamo inoltre che se f e d isp ari e d efinita nell'origine, allora necess ariamente si annulla nell'origine, in quanto si ha f (O) = - f(O) . Definizione 2.12 Una junzione f : dorn f ~ lR -7 lR dicesi periodica di p eriodo p (con p > 0 reale) se dom f e un in siem e in variante per traslazioni di ± p [cioe se x ± p E dorn f per ogni x E dorn f) e se vale la condizione f (x + p) = f( x ) per ogni x E dorn j' .

E facil e verifi care che se f c periodica di periodo p , allor a e periodica di ogni periodo mp (m E N \ {O}) multiplo di p. II pili piccolo periodo, se esiste, si chia ma per iodo m inimo della funzione. Una fun zione cost a nt e e ovvi amen te periodica di ogni periodo p > 0 e quindi non ha periodo m in imo. P assiamo ora in rassegna le princip ali fun zioni element ari .

2.6 Fun zioni eleme nt.a ri c loro pr opriet.a

y = f (- :t )

51

y = f( lxl)

- - --'.,.--- - - -r-------

y =

If (I.1:1) 1

y = If (x)1

F igura 2 .14. Grafico della funzione f( - x) (in a lt o a sinist ra), della fu nz ione f( lx l) (in alto a destra) , d ella funzione 1.f(x)1 (in basso a sinist ral, della fun zione 1.f(lxl)l (in basso a de stra)

2.6.1 Funzioni elevamento a potenza Tali funzioni sono del tipo y = xC O. Per a = n E N \ {a } , rit roviamo Ie funz ioni polinomiali y = x n definite su lR e gia cons iderate negli Esempi 2.7 ii) e iii) . Se n e dis pari, tali funzioni sono disp ari , strettamente crescen ti su lR e hanno come immagine lR (si ricordi Ia Proprieta 1.8) . Sc n e pari, Ie funzioni sono pari, strettamente decresce nti su (- 00, 0] e st ret tame nt e crescenti su [0, + 00); I'immagine e I'int ervall o [0, + 00). Considcriamo ora il casu a > a razionale. Se a = ~ con mE N \ {a} , defi niamo la funzione radice m -esima di x , indicata con y = xl/ rn = yIX, come I'inversa de lla funzionc y = x rn . Essa ha come dominio lR se m e dispari , [0, +00) se m e pari. Tale funzione e strettamentc crescente e ha come immagine lR oppure [0, + 00) a seconda che m sia d ispari 0 pari. In gen erale, p er a = {!, E Q, con n , mEN \ {a} privi di fattori comuni , Ia fun zion e y = x n/rn e definita come y = (x n)l / rn = 'y!X11. Questa funzione ha come dominio lR se m e dispari, [0, +00 ) se m e pari. Essa e strettamente crescente su [0, +00) per og ni valore di n ed m, mentre per m clispari essa e strettamente

52

2 Funzioni

Figura 2. 1 5 . G rafi ci delle funzioni y (a destra)

= X 5/ 3

(a sinistra) , y

=

X

4/ 3

(al centro) e y

=

3 2 X /

crescente 0 strettamente de crescente su (-00 ,0] a second a che n sia pari 0 dispari . Co nsideriamo alcu ni esempi (si ved a la F igura 2.15) . La fun zione y = x 5 / 3 e definita su JR, e strettamente cr escente e ha come immagine JR. La funzione y = X 4/ 3 e definita su JR, e strettamente decr escente su (-00,0] e strett amente crescente su [0, +00) e ha come immagine [0, +00) . Infine, la funzione y = x 3 / 2 e definita solo su [0, + 00) , dov e e st rettame nte cres cente e ha immagine [0, + 00). Introduciarno or a la generi ca funzionc y = x'" con a > a irrazionale. A t al e fine, notiamo che se a e un numcro re ale non negativo, possiamo definire la potenza a'" con a E JR+ \ Q, partendo dalle potenze ad esponen te razionale e fac endo uso della densita dei numeri razionali in JR. Se a ~ 1, possiamo infatti porre a'" = sup{a n / m I ~ ::; a} , mentre se a::; a < 1 poniamo a'" = inf{a n / m I ~ ::; a} . Pertanto, la funzione y = x'" con a E JR+ \ Q risulta d efinita su [0, +00) e si dimostra che e ivi strettamente crescent e, con immagine l'intervallo [0, + 00). Riassumendo , abbiamo defini to le funzioni y = x'" per ogni valor e di a > 0. Esse sono tutte definite alme no su [0, +00) e strettamente crescent i su t al e intervallo; ino ltre, tutte soddisfano y(o) = 0, y(l) = 1. E utile osservare che , se a < (3, si ha

a < x f3 < x'" < 1,

per

a < x < 1,

1

< x'" < x f3 ,

per x

>

1

(si veda la Figura 2.16) .

o

1

Figur a 2.1 6. Grafici di a lcune funzioni y

= z" (0' >

0) per x :::: 0

(2.10)

2.6 Funzioni elementari e loro proprieta

53

~ T-" 1

0--------

- 1

1

- 1

Figura 2.17. Grafici di alcune funzioni y Consid eriamo infine il eas o

= xC
= x-e> . II

dominio e dunque il dominio di y = x -e> privato dell 'origine. Ciaseuna fun zion e e st ret tamente deereseente su (0 , +00 ), mentre se 0: = - ~ con m dispari , la funz ion e su (- 00,0) e stret t amente ereseent e se n e pari , stret tamente deereseente se n e dispari (si ved a la Fi gura 2.17) . Notiamo infine ehe, per ogni valore di 0: i- 0, la funzione inver sa della fun zion e y = xe> , ove definita, e la funzione y = .r 1 / e> . 2.6.2 Funzioni polinomiali e razionali

Una funzione polinomiale 0 , sem plieement e, polinomio e del ti po P(x) = anx n + . . . + al X + ao con an i- 0; n dieesi grado del polinomio. Ess a e definita su t utt o 1R; la funz ione e pari (r isp ettivamente dispari) se e solo se t ut t i i eoeffieient i di indiee dispari (rispettivamente pari) sono nulli (rieordar e ehe 0 e un numero pari) . Un a funzione razionale

e del t ipo R( x) = ~~:~ , con

P e Q polinomi. Se P

e Q non hanno fattori eomun i, il dominio della fun zione sara IR privato degli zeri del denominatore. 2.6.3 Funzioni esponenziali e logaritmiche

Sia a un numero reale > O. In base a quanto visto sopra, la funzione esponenziale = a X risul t a defini t a p er ogni valore reale x; essa soddisfa y(O) = a O = l. Se a > 1, la funzione e strettamente ereseent e; se a = 1, la funzione e cost ant e uguale a 1, mentre se a < 1, la funzione e st rettam ente deer eseent e. Se ai-I, l'immagin e e (0, +00 ) (si ved a la Fi gura 2.18) . E utile rieordar e le seguenti proprieta delle potenze: per ogni x, y E 1R, si ha y

a

x -y

aX aY ,

=- .

54

2 Fu nzioni

8

4 2 1

1

o

o

2 3

=2

Figura 2.18 . G rafid della funzione esponenziale y

x

(a sinis tra) e y

=

( ~) X (a destra)

Se a =I=- 1, la funzione espo nenziale e strettamente mon otona su JR, dunque inver t ibile. La fun zion e inversa e la funzione logaritmo y = log, x , definita su (0 , +00) con immagine JR; essa soddisfa y (l) = log; 1 = O. La funzione e strettamente erescente se a > 1, st rettamente decrescent e se a < 1 (F igura 2.19) . Le propriet a delle potenze sopra ricordat e si traducono nelle seguent i relazioni: loga( x y)

= log, x + log,

x

y,

log a - = log a x - log a V,

'Ix, V > 0 , 'I x, V

> 0,

V

loga(x Y )

=

y logax ,

'I x> 0 , 'IV E JR.

o

Figura 2 .19. Gr a fid delle fu nzioni y

~

' 4-----" 1

2.26; disegn are i greiici di

1), - f( x) , f( - x) , If( x) l·

Verificare che le fun zion e f : lR -----+ lR definita come f (x ) = x 2 - 2x + 5 non e in vertibile. Individ uare opp ort une res tri zioni di f ehe siano in ver tibi1i e scrive re l 'espression e delle lora inverse.

:, 3 ,

, ,, , ,,

- 1

Figura 2 .26. G rafico d ella funzione

f

rela tiva a ll' Eserci zio 6

2.7 Esercizi

61

[[] Determinare il piii grande ititetvnllo I s u cui 1a funzione f (x ) = J lx - 21

- Ixl + 2

e invertibile, disegn andone il gteiico. Sctivere I'esptession e della funzion e inversa di f ristretta ad I . [[] Verificare che f(x) = (1 + 3x )(2x - Ix - 1[) deiiiiitr: su [0, + 00) Determinare l'immagine e 1a fun zion e inverse di f .

e iniettiva.

10. Siano f e 9 1e fun zioni sot to assegna te. Scrivere 1e espressioni di 9 0 f e f og , determinandone i domini.

@] b)

f( x) = :r 2 f( x) =

= log(1 + x )

3

e

g(x)

~

e

g (x )= J 2-x

-

x+ l

X

c . 'z(x) = 2e . . 11. Data 1a runzrone 2 + 1 ' espn .mere h com e prod otto di1 com p ostztone X

in cui uno dei fat tori

IT:[]

e 1a

e +2 funzi one

f (x)

=

e" .

Dat e 1e huizioni f (x) = x 2 - 3x + 2 e g(.1.: ) l 'espr ession e e tracciare i grafici delle Iuu zioni h(x) = min(J(x) ,g(x))

e

x2

-

5x

+ 6,

ricavare

k( x) = m ax(h( x), 0).

2.7.1 Soluzioni 1. Domini:

a) domf = lR \ {-3,2} . b) Si devono imporre le condizioni x 2 - 3x - 4 2 0 e x + 5 =I- o. La prima condizione equivale a (x+ 1)( x- 4) 20, ossia x E (-00, - 1] U [4, + 00); la seconda equivale a x =I- - 5. In definitiva il dominio di f e dom f = (- 00, - 5) U (- 5, -IJ U [4, +00) . c) domf = (- 00,0) U (1,+00).

c1 ) Per st udiare il dominio di tale fun zione definita a tratti, consideriamo separat am ente i casi x 2 0 e x < O. Per x 2 0, dobbiamo chiedere chc 2x + 1 =I- 0, ovvero x =I- -~ . P oiche -~ < 0, la funz ione e sempre definita per x 2 o. Per x < 0, impon iamo la condizione x + 1 2 0, ossia x 2 -1. Dunque la fun zione, per x negativi , e definita in [-1 ,0) . In defini tiva, clomf = [-1 ,+00).

62

2 Funzioni

2. Im 111ngini:

a) La funzione y = x 2 ha immagine [0, +00); dunque la funzione y = x 2 + 1 ha immagine [1 , +00). Passando ai reciproci, la funzione data ha immagine (0,1]. b) Si t rat ta di una fun zione ottenuta traslando la funzione element are y = JX (che ha come immagine [0, +00)) dapprima verso sinistra di - 2 (y = y'x + 2) e poi verso il basso di 1 (y = y' x + 2 - 1). Se ne puo quindi tracciare il grafico (Figura 2.27) e ottenere imf = [-1 , +00). im f

- 2 ~

-- I-----------~

- 1

Figura 2.27. Grafico della funzione y

= "';x + 2 -

1

°::;

In alternativa, si puo procedere analiticamen te e osservare che y' x + 2 < +00 implica - 1 ::; y'x + 2 -1 < + 00, da cui si h a ancora imf = [-1, + 00). c) imf

= (0,+00) ;

2,

se x

o

Inolt re f ([O , 2])

e scambiando i ruoli de lle

sex < O,

2

f (x) =

[0,2], d unque

r: : [0,2]

---+

= J lx -

21-

[0,2]. P ost o Y

2

~ Y , d a cui si otti en e f -1 (X) = 2 - ~ x2 .

9. Risu lt a

f (x ) =

{9X 2

se 0 :::; x :::; 1 , 3x + 4x + 1 se x > 1 e rappresent at o in Fi gura 2.32. 2

e il grafico d i

f

[1, +(0 ) .

= 0, ricaviamo

x = 1±

8. Poiche

---+

-

1

Ixl + 2 =

vl4 - 2x , risul t a

2.7 Eserci zi

65

8

- 1

Figura 2 .32. Grafico della funzione y

=

(1 + 3x)(2x

- Ix -

11)

L'immagine di f e l'intervallo [-1 ,+(0). Per det erminare l'espressione di t:' , separiamo il caso 0 < x < 1 dal caso x > 1. Per 0 :'::: x :'::: 1, si ha - 1 < 11 < 8, e

X =V

Y;I

.

Per x > 1, si ha y > 8, e y = 3x

2

+ 4x + 1

x

- 2 + y!3y + 1 =_-'-:--"---

3

Pertanto se - l:,:::x :'::: 8 , se x

> 8.

10. Futizioni com p oste:

a) Si ha g o f( x) = g(f( x)) = g(x 2 - 3) = log(I + x 2 - 3) = log(x 2 domg of = {x E lR : x 2 - 2 > O} = (-00 , - V2) u (V2,+00) .

-

2) e dunqu e

Inolt re f 0 g(x) = f(g( x)) = f(log(1 + x )) = (log(1 + J;))2 - 3 e quindi domf og = {x E lR : 1 + x > O} = (-1,+00) .

b) g Of (X) = V

f 0 g(x) 11. g(x) =

5X x +l

2

-

7y!2 - x

=

y'2"="X + 1

domg of =( -I ,g] ;

e e

2x+ 1 e h( x) = g 0 f( x) . x +2

- 2--

domf 0 g = (-00 ,2] .

66

2 Funzioni

1

2

Figura 2.33. Grafi ci delle pa rabole f (x)

= x2

-

3x

+ 2 e g( x) = x 2 -

5x

+6

12. Disegn ando i grafic i delle par abole f( x) e g( x) (Figura 2.33) , si vede che 2-3 h( x) ={ X X+2 x 2 - 5x + 6

se x :S;2 , se x > 2

e il grafico di h e rappresentato in Fi gura 2.34, a sinist ra. Ragion ando come sopra , si ha x 2 - 3x

k(x)

e il grafico di k

=

{

e rappresent a to

+2

0 x 2 - 5x

se x:S;l, se l XQ -

1'

XQ

Figura 3 .1. lnt orno di

XQ XQ

+r

di raggio

T

68

3 Limiti e cont inuita I

Se, fissat o Xo in JR, facciamo variare r nell 'insieme dei nu meri reali strettame nte positi vi, ot tenia mo la famiglia degli intorni di xo . Ogni intorno e contenuto strettamente in t utti gli intorn i avent i raggio pili grande, mentre contiene t utti gli intorn i di raggio pili piccolo. Osservazione 3.2 II concetto di int orno di un punt a Xo E JR non e a lt ro che un caso particola re dell'analogo concetto per un punto appartenente al prodot t o cartesia no JRd (quindi a l pian o se d = 2, a llo spazio se d = 3), che presen ti amo nella Definizion e 8.11. Le successive definizion i di limi te e di continuita, che si bas ano sui con cetto di int orno, possono essere date diret t amen t e p er fun zioni defin it e su sottoins iem i di JRd, cons ide rando Ie fun zioni di una variab ile real e come caso parti colare corrisp ondente a d = 1. Prcferi amo seg uire un approccio pili grad uale, esam inando dapprima l'ambito monodimcn sion ale e riservando il P aragrafo 8.5 ad un cenno all 'est ensione al caso multidimen sion ale. 0

E conveniente

introdurre anche il concetto di intorno di un o dci punti all' infinit o

+ 00 0 - 00 .

Definizione 3.3 P er ogni numero reale a ::::: 0, chiarniarno intorno d i di est rem o inferiore a l'inieruallo aperto superiormenie illim itato 1a (+00)

= (a, +

+00

00 ) .

Analogam ent e, l ' int or n o di -00 di e st r e m o superiore -a sara definito come l a (- oo) = (-oo , - a).

-00

-

o

(l

Figura 3.2. Int orno di

- 00

+00

(l

(a sinistra) e d i

+ 00

(a des t ra)

La seg ue nte notazione sara utile nel seg uit o. Diremo che un a proprieta matemati ca P( x ) val e 'in un intorno' (0 'ne ll'int orno' ) di un punt o c (dove c indica t ant o un nu mer o real e Xo qu an to +00 0 - 00 ) , se esiste un int or no d i c t al e che in ogni suo punta x, P (x ) e vera. Ad ese rnpio, la funzion e f (x ) = 2x - 1 e strettame nte positi va nell 'int orno del punt o Xo = 1; infatti , si ha f (x ) > 0 p er og ni x E 11 / 2 (1).

3.2 Limiti di successiorn Consideriamo un a successione reale a : n 1---+ an ' Sia mo int er essat i a st ud iare il com po rtame nto dei valor i an al crescer e dell 'indice n. Iniziamo con due esempi.

3.2 Limiti d i success ioni

69

Esempi 3.4

i) Sia an = _n_ . I primi va lori della success ione sono riport ati nella Tab ella

n+ l 3.1. Notia mo che ess i 'si avvicinano a L' al cresce re di n. Pili precisamen te , il numero 1 puo essere a pprossimato t ant o ben e qu anto voglia mo dai valori a n con indice n a bbast anza grande; tale affermazione va intesa in qu esto sens o preciso: comunque (piccolo) fissiamo 10 sca rto E > 0, da un cer to indice n £ in poi t utti i va lori an appross imano 1 con un o scarto inferiore a E . Infat ti , la cond izione Ia n -

11
[~] + 1 > ~ ,

1

E

equivale a - - < n+ l

e se n

cioe Ian - 11
-1 ; E

qu alunque intero > n £, avre mo

In altri t ermini , per ogni scarto

E

> 0,

esist e un intero n £ tale ch e

n > n£ => Ian - 11 < E . Facendo riferim ento al grafico della su ccessione (vedi Fi gura 3.3), po ssiamo an che dire che p er tutti gli n > n; i punti (n , an) del grafico sa na racchiusi tra Ie due ret t e orizzont a li di ordinate 1 - E e 1 + E .

n

an

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000

0.00000000000000 0.50000000000000 0.66666666666667 0.75000000000000 0.80000000000000 0.83333333333333 0.85714285714286 0.87500000000000 0.88888888888889 0.90000000000000 0.90909090909090 0.99009900990099 0.99900099900100 0.99990000999900 0.99999000010000 0.99999900000100 0.99999990000001 0.99999999000000

n

an

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000

2.0000000000000 2.2500000000000 2.3703703703704 2.4414062 500000 2.4883200000000 2.5216263717421 2.5464996970407 2.5657845 13!J503 2.5811747917132 2.5937424601000 2.7048138294215 2.7169239322355 2.7181459268244 2.7182682371975 2.7182804691564 2.71 82816939804 2.7182817 863958

Tabella 3 .1. Alcuni va lori, a ppros simati alia 14-esim a cifra decim ale, delle suc cessioni a n = n~l (a sinistra) e a n = (1 + ~ r (a dest ra )

70

3 Limiti e cont inuita I

1 1- c

- - - - - - - - - ..- - -. - - ~ - - -e_ -

...

- - - - - - - - - - - -

Figura 3.3. Convergenza della successione

ii) Sia an = (1

a n

=

n~ l

+ ~ ) n. I primi valori della s uccessione sono riportat i in Tabella

3.1. Si puo intuire,

0

'conget t ur are ', che i valori della successione, al crescere di

n , si avvicinano ad un cert o numero real e , la cui rappresen t azione de cimal e inizia con 2.718 . . . In effet t i, e possib ile dimostrare cia: t ornere mo pili ava nti su questo esem pio molt o impor t ante. 0 In troduciarno ora , in mod o preciso , il concetto di convergenza di un a suecessione . Supporremo p er sem plicita che la successione sia defini t a sull' ins ieme {n E N : n 2: n o} per un oppor tuno no 2: o.

Definizione 3.5 Si dice che la succe ssione a : n f-7 an tende al limite £ E JR (opp ure converge a £, opp ure ha limite E} , e si scriu e lim an

n --+oo

se, per ogni tuun ero Teale "In

2:

E

= £,

> 0 esisie uti iniero n f: tal e clie

no ,

Con Ia t errninologia degli intorni , la co nd izione n > n f: puo essere riscritt a come E 1n, (+ 00 ), mentre la cond izione Ian - £1 < e equiva le a an E I f:( £). Pertanto , la cond izione di limi t e puo essere espressa ne l modo equivalente: p er ogni int orno I f: (£) di £, esist e un intorno In, (+ 00) di + 00 t al e che

ti

I "In 2: no,

3.2 Limiti di successioni

71

Esempi 3.6 i) In base a quanto visto nell ' Esempio 3.4 i), possiamo dire che lim _ n_ = l. n+1

n ~ CX)

ii) Verifichi amo chc

3n = 2 n -> CX) 2 + 5n

o.

lim

Fissat o

€

> 0, d obbiamo fa r vederc che si ha

12:~n2 1




JA

5E'

[:E].

Esarn iniamo ora un diverso com po rtarnen t o di una successione a l crescere d i n . Con sideriamo , ad ese m pio, la successione

n

n > _3 .

~ n 2 > A.

Diremo che la succession e d iverge a

+00.

o

n

an

a

a

1

1

2

4

3 4

16

5

25

9

36 7 49 8 64 81 9 10 100 100 10000 1000 1000000 6

Tabella 3 .2. AIcuni valori della successione an = n 2

In gene rale, defini amo il co ncetto di di vergen za di una successione come segue.

72

3 Limiti e continuita I

D efin izio n e 3. 7 Si dice che la successione a : n f---7 an t e n d e a + 00 (oppure diverge a +00, oppure ha limit e + 00), e si scrive

= +00,

lim an

n -. oo

se, per' ogni numero reale A > 0 esistc un intero nA talc che n > nA

an > A .

=}

In termini di intorni, possiamo dire che p er ogn i intorno un into rno r n A ( +00) di +00 t ale che

(3.1)

f A (+ 00)

d i + 00, esiste

I \:In 2:: no , La definizion e di lim an =- 00

n -. oo

e a naloga a lla

precedent e: ora l' implicaz ione (3. 1) va sostituit a da

I \:In 2:: no ,

n > nA

an

=}

< -A .

I

E se m pi 3.8 i) In base a qu anta visto sopra, possia mo afferrnare che lim n 2 = + 00.

n -e- tx:

n

ii) Cons ideriamo la successione an

= 0 + 1 + 2 + .. .+ n =

L

k che assoc ia ad n

k =O

la somma dei num eri naturali fino ad n. P er det erminarne illimi te, most riarno innanzit utto che vale l'ugu aglianza

t

k

= n(n + 1) ,

(3.2)

2

k=O

che ha varie applicazioni in Mat em ati ca. A t ale scop o, osserviamo che si ha anche n

an = n + (n - 1) + . . . + 2 + 1 + 0 =

L (n -

k) e p er t anto

k =O n

2an

=

n

L k + L (n k =O

n

k)

=

k =O

. . da cui l'ass erto. Verifichi arno ora che

n

L n = n L 1 = n(n + 1) , k =O

. n (n hm

n-. oo

k =O

+ 1) 2

=

.

+ 00. Osserviarno che

n (n + 1) n2 , 2 > 2 ' E p ossibil e allora ragion are come neIl' esempio preceden t e e, fissato A > 0, scegliere n A

= [V2A].

0

3.2 Limiti di successio ni

73

Una success ion e puo dunquc essere convergente , oppure divergente (a + 00 o a -00) . Se non e ne co nvergente ne di ver gen te, di ciamo che la successione e indet erminata. Ad esempio , indeterm inata la success ione an = ( _ I)n , ch e gia conoscia rno, op p u re la succes sione

e

an

= (1 + (- 1) n ) n = { 02n

se n se n

e p a ri, e di spari.

Una cond izione sufficiente, che p ermet t e d i escl udere il co m p ortament o in det erminat o di una successione, e la monotonia. Le defini zioni di fun zione mo no tona , d at e nel P aragrafo 2.4 , si a p p licano ovvia mente aile succ ess ioni, che sono part icolari funzioni d efin it e so lo sug li in teri . P er Ie successioni, Ie co nd izioni d i m on ot oni a assu mo no u n a form a p ili se m p lice, nel senso che e su fficiente limit a re il con fro nt o a tutte Ie cop p ie di ind ici co nsecutivi n , n + 1 appartenenti al dominic della successione . Cosi , a d esem p io, u na successione e monotona cre scente se

I I: / n ~ no ,

an :::;an+1 · 1

Le altre defin izion i si sc rivo no in modo an alogo . Vale allora il seg ue nte risult at o. Teorema 3. 9 Sia a : n I-> an una su ccession c monotone. Allam, essa e cotiuerqenie oppu re diuerqeni e. Precisametit e, n el caso in cui la successione sia crescenie , si ha:

e superiormenie lirnitata, cioe se esis te un rnaggiomnte b E ~ tale che an :::; b per ogni n ~ no , allora la su ccessione converge verso l 'esirem o superi ore della sua irnrnagin e:

i) S e la successione

e

lim an =

n-oo

ii) S e la su ccessione non

e=

sup {a n : n ~ no} .

e superiorment e lirnitata, allora essa diverge a +00 .

N el caso in cui la succession e sia dccrescetite, l'enun ciato precedenie si rnodifica in modo ovvio. Dimostrazione.

~

Suc c essioni.

o

Esempio 3. 1 0

n e strettament e n+ l fa t t i , I a con diizione . . , -n- < -n + cres cente. In ntatti an < an+l , cioe -1, equ .rva Ie a n+l n+ 2 n(n + 2) < (n + 1)2, oss ia n 2 + 2n < n 2 + 2n + 1, che e ver ificata per og ni n . Inolt re, si h a an < 1 p er og n i n ~ 0; a nz i, come gia osservato nel P aragr afo 1.3.1, 1 e I'est rem o su periore d ell' insieme {a n n E N} . P ert a nt o , il teo rem a fornisce il risu ltato , gia noto, lim an = 1. 0 R iprendiamo qui l'Esempio 3.4 i). La successione an

n -oo

74

3 Lim it i e cont inuit a

r

Il numero e di N epero

(1 + ~ ) n, gia cons id erata nell 'Esem p io 3.4 ii) .

Ri p rendiarn o la succ essio ne a n =

E p ossibile d im ostra re che essa e strettamente crescente (d u nque, in part icola re, a n > 2 = al per ogni n > 1) e che e sup erior m ente lirnitat a (p re cisamente si h a a n < 3 p er ogni n ). P er t a nto , il Teorem a 3.9 garantisce che la suc cession e e conve rge nte ad un limi t e, com prcs o t ra 2 e 3, ch e t rad izion almente si indica con il sim b olo e:

( + -1) 1

lim 11---1> 00

n

n

(3.:3)

= e.

Tal c numero, detto numero di Nepero , rivest e un ruolo fondamental e nella M atem ati ca. Si dimostra che esso e irrazionale; Ie sue p rime cifre decimali sono

e

= 2.71828182845905 · · ·

P er le d imostrazioni ""V> Numero d i Nepero. II nurner o e costit u isce un a t ra Ie b asi pili usa te per Ie funzion i esp one nz iaIi e logaritmich e . La funz ione csp one nz ia le y = eX sara talvolt a in dicata con la not azion e y = ex p x . II loga ri tmo in base e v ien e d ett o lo g a rit m o neperiano 0 nat urale e sara indica to nel seg u ito con il sim b olo log op p ure In, in lu ogo di loge (ricord ia mo che il logaritmo in b as e 10, detto logaritmo deci mal e, viene indicato con il simbolo Log).

3.3 Limiti di funzioni ; continuita Sia f un a fu n zione reale di varia bile reale. Vogliamo d escrivere il com p ortamento della va ria b ile dipenden t e y = f (x ), a llorche la va r ia b ile indipenden te x 'si avvicina ' ad un punta Xo E JR, oppure ad uno d ei punti all' infin it o - 00 0 + 00. E conven iente ini ziare d a questultirno caso, p oich e a b b ia mo gia a n alizzato il comportame nto di una success ion e a ll'in fin it o . 3.3.1 Limiti all'infinito

Su pponia m o che f sia defin it a nell 'int orno di +00 . In analogia co n quanta fatto p er le succ ession i, di amo Ie segue nt i defini zioni . Definizione 3.11 Si dice che tendente a +00 , e si serine

f

tende a l li m it e finito

lim f (x ) =

x~+oo

e,

eE

JR per x

3.3 Limiti di Iunzioni ; continu ita

75

se, per ogni tium ero reale e > 0, esiste un ti umero Teale B 2:: 0 tale che

'\Ix E domf,

x > B

If(x) -

=?

el < c.

(3.4)

In forma equ ivalente, la condizione ora enunciata richiede che per ogni intorno I E; (e) di e, es ista un intorno 18 ( + 00) di + 00 t ale che

I'\Ix

x E 18(+00)

E domf ,

=?

f (x ) E I E; (e) .

I

f tende a +00 per x t e n d e nt e a +00 , e si

Definizione 3.12 Si dice che serine

lim f(x) = + 00,

x -. + oo

se, per ogni numero reale A > 0, esiste un numero Teale B 2:: 0 tale che

x > B

'\Ix E dom f ,

f( .'E) > A.

=?

(3.5)

La definizione di fun zione f t endente a - 00 si ottiene dall a precedente sostituendo la condizione f( x) > A con la condizione f( x) < -A. Invece , la not azione lim f (:1: ) = 00

x ---+ + oo

significa

lim

x ----++oo

If (x)1= + 00.

Se fe definita nell 'intorno di - 00, le Defini zion i 3.11 e 3.12 si modificano in definizioni di limi t e (finito 0 infinito, sia esso indica to con L) per x tendente a - 00; e sufficiente sost it uire la condizione x > B con x < - B. Si scrivera lim f( x) = L.

x---+-oo

Infine, la notazione lim f(x)

x-.oo

significa che x -> - 00.

f ha 10 st esso limi te

=L

L (finito 0 infinito) sia per x

Esempi 3.13

i) Ver ifichi amo che . 1im

x 2 + 2x

x -. +oo 2x 2

+1

1 2

->

+00 , sia per

76

3 Lirniti e cont inuita I

Fissato c > 0, la condiz ione Ij (x ) - ~ I

< e equ ivale a

12(~:2-+11) I < c . Non e restrittivo sup p or re x > ~ , nel qual caso possiamo toglier e il valore assoluto. Ora, usando semp lici proprieta delle fra zioni , si ha

4x - 1 2x 2x 1 < 2 < - =- - . c =

m ax

(~ , ~ ).

ii) Verifi chiamo che

yX

lim

+00.

=

X ---lo+OO

F issato A > 0, la eondizione yX > A equivale a B = A 2 e la (3 .5) e sodd isfatta.

;r;

> A 2 , dunque possiamo porre

iii) Verifichiamo che . lim X -+ -

1

00

vr-=-x = 0.

Fissato e > 0, la cond izione

I~I = -V-1-

1 _- X


-e , cioe 1 - x > 2e1 ' cioe ancora x < poniamo B = max (0, c12 - 1) , si ha x< - B =? I~I 0 (arbitrariamen te piccolo), po ssiamo fare in modo che Ij( x) - j(O) 1 sia minore di E: per tutte le x t al i che Ix - 01 = Ixl sia minore di un opportuno numero real e J > O. lnfa t ti Ij( x) - j (O)1 = Ix3 1= Ixl3 < E: eq uivale a [z] < ifi e dunque e sufficiente p orre J = ifi. Di remo allora che la funzione j e continua nell'origine.

1

o Figura 3.5. G rafico d ell a funzione h( x)

=

sin x in un int orn o dell 'origine x

78

3 Lirniti e continuita I

Al cont rario, il valore g(O) = 1 non puo essere approssimato arbitrariamentc ben e da tutti i valori g(x) con x vicino a O. Ael esempio, se fissiamo e = la conelizione Ig(x ) - g(O)1 < e equivale at < g(x) < ~ ; rna tut te le x diverse da 0 e t ali che ad esempio Ixl < ~ , soelelisfano - ~ < g(x) = x < ~ e dunque la preceelcnte limitazione per g(x) non potra essere verificata. Diremo allora che la fun zione 9 non e con tinua nell 'origine. Possiamo pero precisare meglio il comportamento eli 9 in un intorno eli 0, osservanelo che pe r valori eli .1: via via pili vicini a 0, rna sempre dioersi da 0, i valori eli g(x) appro ssimano non gia il valore g(O), bensi il valo re P = O. Infatti, fissato e > 0, se x =1= 0 sod disfa Ixl < min(c,I), av remo g( x) = x e Ig(x ) - PI = Ig(x )1= Ixl < c. Diremo allora che la funzione 9 ha limite 0 per x tenelente a O. Infine, per qu anto riguarda la funzione h, essa non potra essere eletta continua nell 'origine, semplicemente perche non ha senso il confront.o dei valo ri h(x) , per x vicino a 0, con il valore elella funzione nell'origine, che non e definito, Tuttavia, il grafico ci permette eli intuire , 0 'congetturare' , ch e t ali valori approssimano sempre meglio il valore £ = 1 se l'argomento .1: e scelto via via pili vicino all 'origine. Siamo portati a dire che anche la funzione h ha limite per x tenel ente a 0, e tale limite vale 1. Dimostreremo tale affermazione pili avanti. Gli esempi or a visti ci introelucono alle seguenti definizioni eli cont inuit a e eli limi t e (fini to).

t,

D efinizione 3. 14 Sia Xo un punto del domiuio di una fun zion e f . La fun zione dicesi continua in Xo se per ogni e > 0 esiste uri {) > 0 tale che (3.6) I::/x E dom I, Ix - xol < {) =} If (·1: ) - f( xo)1 < c. Con illinguaggio elcgli intorni , la conelizione eli cont inu it a puo essere esprcssa corne: per ogni intorno IE(J(xo)) eli f( xo) esiste un intorno Io(xo) eli Xo tale che

I::/x E elom f ,

x E I,s(xo)

=}

f( x) E IE(J(xo) ).

(3.7)

D efinizione 3.15 Sia f una [un xion c definita in un iniorno di Xo E lR, tranne eventualm ente tiel punta x o. Si dice che .f ha limite £ E lR (a tende a P) per x tendente a xo, e si serine lim f( x) X ----1- X

se

o

= £,

per' ogni e > 0 esiste un {) > 0 tale che I::/x E elom t ,

O< lx - xol 0, vien e richi est o di det erminare alm ena un valore 0 (' esist e un 0') strettame nt e positi vo per cui va lga l'implicazion e (3.6) oppure (3.8) . Se l'implicazi one e vera per un certo 0, ess a sara sicurame nt e vera anc he per ogni 0' < 0. La definizione non richiede affatto di det er minare 'il pili grande 0 possibile ' per cui l'implicazione sia sodd isfat t a . Ten endo ben pr esent e questo concetto , sovente la verifica della con d izione di continu it a 0 d i limite pu o essere resa pili ag evo le.

80

3 Lirniti e cont inu ita I

Tornando ora all e fun zioni [ , g , h conside rate all' inizio del paragrafo , possiamo dunque dire che la fun zione f e cont inua in Xo = 0, lim f( x)

x~o

=

1

=

f(O) ,

mentre la fun zione 9 ha limite 0 per x tende nte a 0, rna non lim g(:r) = 0

x~o

e continua:

i= g(O) .

Dimostrer emo all'intern o dell 'Esempio 4.6 i) che anche la fun zione h ha limite per x tenden te a 0 e precisamente si ha lim h(x) = l.

x~o

Le funzioni 9 e h su ggeriscono la segue nte definizione. Definizione 3.16 Sia f una funzione definita in uti iniorno di x o, escluso eve n tualmente il punto x o. S e f ammette limit e £ E 1R per x tendente a Xo e se a) .f e definita in Xo rna f( xo) i= £, oppure b) f non e definita in Xo, diciamo che Xo e punto di discontinuita eliminabile per .f. La ter minologia si spiega con il fatto che in t al caso possiamo 0 modificare la definizione dell a fun zion e in Xo 0 definire la fun zione in x o, in modo d a ottenere una fun zione cont inua in x o. Precisamente, la funzione j(x)

=

{;( x)

se x

i= x o,

se x = Xo,

e tale che lim j(x)

x---+xo

= :r;---+x lim f( x) = £ = o

j(xo)

e dunque () cont inua in x o. Per le funzioni conside rate sopra, ab bia mo g(x ) dell'origine, m entre sinx se x i= 0, lL( x) = : { se x = O.

x in tutto un intorno

In quest. 'ultimo ca so, abbiamo quindi prolungato per continuit.a la fun zione sin x Y = - - , assegnando il valore che la rende continua nell'origine. D 'ora in ava nti, x sinx . quando faremo ri ferimento alia fun zione y = - - , intenderemo sempre che e x prolungata pe r continu it a nell 'origine.

3.3 Limiti di funzioni ; cont inu ita

81

Esempi 3.17 Verifichiarno che alcune funzioni element ari sono con tinue. i) Sia f

: JR. ----> JR., f (x) = ax + b e sia Xo E JR. fissato . P er ogni e > 0, 130 cond izione If (x ) - f( xo)1< E eq uiva le a la ll x - xol < c. Se a = 0, ess a e verifi cata per ogni x E JR.; se inve ce a f=. 0, ess a equivale a [z - xol < 1: 1' In tal caso, possiamo porre

o=

E

~

nella (3.6) . La funzione

f

e dunque continua in ogni

Xo E R

ii) Sia f : JR. ----> JR., f( x) = x 2 . Verifichiamo che essa e con tinua nel punto Xo = 2. Indichiamo due modi diversi di proced ere. Fissato e > 0, la condizione If (x ) - f(2) 1< c, cioe 1:r: 2 - 41< c , equivale a 4 - c < x 2 0, se Ix - Xo I < E si avra pure Isinz - sin Xo I < E; in altri t ermini, la condizionc di cont inuit a (3.6) e soddisfatta da 0 = E . Con un ragion a men t o analogo , usando la form ula di prostaferesi (2.15) , si dimostra che la funzione g(x) = cosx e continua in ogni Xo E R D Definizione 3.19 Sia I un. insi erne cotitenuio in dorn f . La [unzume f dicesi continua su I (0 in I ) , se f e continua in ogni punio di I . II ris ultato che or a en unciarno e di particolare import an za e verra usat o implicitam ent e in diverse occasioni nel seguito. Proposizione 3.20 Tuit e le [uneioni eleme niari (polin omi e [un zioni mzionali, junzioni eleuame nio a potenza, [un ziotii triqonometri che, funzioni esponenzi ali e le lOTO fun zioni inverse) sotio continue in tutto il loro dominic . Dimostrazion e.

--v>

Funzioni elementari.

D

Torniamo al con cetto di lim ite. Una funzione f , definita in un intorno di x o, tranne eventualmente in xo , pUG assumere va lori via via pili grand i quando la variabile indipendente x assume valori via via pili vicini a :r o. Se consideriarno ad esernpio la fun zione 1

f(x)

=

(x _ 3)2'

definita in ffi. \ {3}, e fissiamo un nu mero reale A > 0 arbitrariamente grande, abbiamo f( x) > A per t u t t e le x

i= Xo tali che Ix - 31 < ~ .

che f tende a + 00 per x t endente a Xo; la definizione precisa

Siamo portati a dire

e la segu ent e.

D efinizione 3.21 Si a f 'una [un zione definita in uti iniorn o di :1:0 E ffi., irantie eveniualme nie tiel punio Xo. Si dice che f h a limite +00 (0 t ende a +00) p e r x ten den te a xu, e si serine lim f( x) = +00,

x ----?xo

se per ogni A > 0 esiste uti 0 > 0 tale che \/x E domf,

0 < Ix - xol < 0

=}

f( x ) > A.

(3.14)

84

3 Limiti e cont inuita I

Co n il lin gu aggio degli int orni, diremo che per og ni int orno 1A ( +00 ) d i + 00 esiste un int orno h (xo) di Xo talc chc

"Ix E do m j',

x E l,s (xo) \ { xo}

=}

J (x ) E l A (+ oo).

La definizione di

si ottiene dall a preced ente sostit ue ndo la co nd izione J (x ) Scrivcremo inoltre lim J (x )

> A co n J (x ) < -A.

= 00

X ---+Xo

per indicare che lim IJ(x) 1= + 00. Ad esem p io , la fun zione ip erbole x---+x o

J (x )

1

=- , x

il cu i grafico e rappresen t at o nella Figura 2.2, non ha limit e p er x tende nte a 0, in quant a in og ni intorno 10 (0) dell 'origine la funzione assum e sia va lor i p ositivi arb itraria me nte grand i, sia valor i negati vi arbit rar iamente pi ccoli . In vece, la fun zion e IJ (x )\ t en de a +00 p er x t endente a O. In fa t ti, fissat o A > 0 arbitrario , si ha

VX E lR\ {O}, . 1 Du nque, hm - = x- Ox

Ixl
A.

00 .

3.3.3 Limiti destro e sinistro; punti di discont.inuit.a Come m ostra l'esempio preced en t e, una fu nz ione puo avcre un di verso compor1 tam ento limit e a dcstra e a sinistra di Xo. La funzione J (x ) = - assu me valori x sernpre pili grand i quando x assum e va lori posit ivi vi a vi a pili vicini a 0; invece , J assume valori se rnp re pili pi ccoli , quando x assu me val ori ncgativi via via pill vicini a O. Se cons ide ria rno la fun zion e m antissa y = lvl (x ) (il cu i grafico e rappresen t a to nella Fi gura 2.3), in un intorno di Xo = 1 di raggio < 1 si ha

M (x ) =

{ xX I

se x

< 1,

se x 2 1.

Dunque, M assu m e valori sempre pili vicini a 0 quando x assu me valor i > 1 vi a via pili prossim i a 1, m en t re M assume va lor i sem p re p ili vicini a 1 quando x ass ume valori < 1 via via pili prossim i a 1.

3.3 Limiti di funz ioni ; cont inuita

85

Siamo dunque port ati a introdurre il concetto di limite destro e limite sini-

stro. A t ale scopo, defini amo intorno destro di Xo di raggio r > 0 l'intervaUo semia pert o e limi t ato

I I;:(xo) =

[.'ro,xo + 1') = {x E lR : 0 ::; x - Xo
+ oo

lim (2x 2

x--->l

e)

[TI

. hm

x

x ---> -oo

Sia f( x)

+ 3) = 5

=

vx

2 -

sign (x 2

1

d)

f)

= -1

.

1

hm -2- x - 4

x ---> 2 ±

= ±oo

x2 lim - - = x ---> + oo 1 - x

-00

x ). Dis cutere l'esistenza dellimiti

-

lim f( x)

e

x--->O

lim f( x)

x--->l

e studiare la continuits. della fun zion e.

3. Determinare i valori del parametro reale ex per cui le segu enti funzioni sono continue n elloro dominic:

f;0l f (x) ~

= { ex sine x

2x 2

+3

+ ~)

se x > 0 , sex::; 0

{3ex + 2 U X

b) f( x)

=

-

1

se x ~l ,

se x < 1

3.4.1 Soluzioni 1. Verificlle di limite:

a) Fi ssiamo un numero reale A > 0; e sufficiente scegliere un qualunque intero n A ~ A e osservare che se n > n A, si ha

n! Dunque

lim n! =

n ~+ CX)

=

n(n - 1) · ··2· 1 ~ n > nA ~ A.

+00 .

b) Fissiamo un numero reale A > 0 e osserviamo che l~;n

2::-1 2

> A. Per n

~ 1, qu esto equivale a n

conside ria mo un intero nA ~ A per ogn i n > nA. c) F issato

E

+

2

-

< -A equivale a 2An + A > O. Pertanto, se

J A(A + 1), la disuguaglianza e verificata

> 0, studiamo la condizione If( x) - £1< E . Si ha 12x 2

+3 -

51 = 21x 2

-

11 = 21 x - lllx + 11
0 per x < 0 ex> 1, la funzione f(x) risulta

-

f(x)

==

{~

f e dunque costante negli

se x

==

0e x

se 0


0. Considc riamo l'int orn o I , (£) eli £ di raggio e = £/2 > O. In b ase alla elefinizion e eli limite, osiste un intorno I (c) eli c tale che

"Ix E dom j' ,

z E I (c) \ {c}

=}

f( ;r;) E I e (£).

¥)

Osserva ndo che I e (£) = (~, C (0, +00), conc ludia mo che t utt i i valori di f (x ) sono st re t tarnente po sitivi. Se £ = + 00, e sufficien te fissare un qu alunque intorn o IA (+00) = (A, +00) di + 00 (con A > 0) e a pp licate la defini zion c eli limite. D

L 'implica zione logica del t eo rema di p ermanen za del segno puo essere "quasi" rovesci at a , sec on do l'enuncia to segue nte. Corollario 4 .3 Supponia mo che f ammetia lim ite £ (finito 0 infini to) per x tend ente a c. S e esiste un int orno I( c) di c tale che f (x ) 2: 0 in I( c) \ {c} , all ora £ 2: 0 oppure £ = + 00. Uti risultato analogo vale per il segno negativo. Dimostrazione.

Pe r ass urd o, se fosse £ = -00 oppure £ < 0, il Teor em a di p ermanen za del segno implichcrcbbe l'esist en za di un intorn o I' (c) eli c t alc che f (;r) < 0 in I'( c) \ {c}. Nell'intersezione dei due intorni I (c) e 1'(c), si avrebbe conte rn p oranea rnente f (x ) < c f (x ) 2: 0, D il chc e assurdo,

°

Notiamo che anch e facendo l'ipotesi pili forte f( x) > 0 in I( c) non potremmo esclu d ere che £ sia nullo . Infatti , se ad esem pio consideriam o la fun zione

f( x) = a b b iam o f( x)

>

x2 { 1

se x i- 0, se x = 0,

°in ogni in torno d ell 'origine, ep p ure lim f( x) x-> O

=

0.

94

4 Limit i e continuita II

4.1.2 Teoremi del confronto Vediamo ora alcu ni risult ati in cui si con front a il com p ort a ment o di due 0 piu funzioni p er x tendent e a c. Innanzitutto , il coro lla rio a p pena visto pUG essere ge ne ralizzato com e segu e.

Corollario 4 .4 (P r im o teorema d el confronto) Supponuimo che per x tendente a c, la fun zione f abbia lim ite £ mentre la funzione g abbia lim ite m [en trambi finiti 0 infi ni ti). S e esiste un intorn o I (c) di c tal e che f (x ) :::; g (x ) in I (c) \ [ c}, allom m.

c-:

Dimostraziou e. Sc e = -00 oppurc In = +00, non c'o nu lla da dimostrarc . Altrimcnt i, conside riamo la funziono aus iliaria h(:r ) = g(:r) - f(x) . Pcr ip ot esi , si 11'1 h(:r ) 2': () in l(e) \ {e }. Ino ltre, il successive Tcorema 4.10 sull 'a lgebra clei limiti ci assicura chc lim h(:r) = lim g(x ) - lim f (.7:) =

x-c

x-c

III -

e.

f-C

Applicando il Corollario pr eced cnt c all a fun zion e h. otteniamo TIl 2': O. cioe la tcsi. 0

e

St abiliamo ora due utili condizioni che assicurano l'esisten za d el limite di una fun zione; esse si basano sul con fro nto del comport amento d ella fun zione in un intorno eli e con quello di alt re fun zioni , eli cui e not o il limite.

T eorema 4.5 (Se co n d o teorema del confronto - caso finito ) Siano dat e ire funzioni I, g ed li; supponiamo che f ed h abbiano lo st esso lim ite finito per x tendente a c: lim f (x ) = lim hex ) = e. x -c

x-c

Se esisie un intorno I (c ) di c n el qual e si an o defin ite le tre funzio ni (trann e ~k

}vi:\\' '\\,d }\'\ \x\,t\\ c. J 'C, t~,t'C,

d t'C,

f( x) :::; g(x ) :::; h (.7: ),

"Ix E I (e) \ {c},

(4.2)

allora si lui an che lim g(x )

:r -

r

= £.

Dimostrazion e. Verifichiamo la defini zion e eli limite per g . Fissato till intorno 1,,(£) eli e, dall 'ipotesi lim f (.7:) = e elecluciamo l'esistcnza eli un intoruo x-c

l ' (e) di e talc che

4.1 Teoremi sui limiti

y

y

= h(x)

y

= f(x)

95

= f( x) xQ

Figura 4.3. II secondo Teorem a del co nfront o

'V:E E dom t ,

z

E

I ' (c) \ {c}

=?

f(x)

E

I f; (£).

Notia mo che la condizione f (:r ) E 11': (£) puo cssc rc scritta eq uivalenternente come If (:r) - £1 < E, oss ia a nc ora, ri cordando la (1.4) , come £-E< f( :r; ) o+

X

sinx

> 0 si ha sinx < x , cioe < 1. Per ott ex nere una lirnita zione inferiore, supponiamo x < ~ e consideri amo sulla circon-

Ri cordando la (3.13) , per ogni x

ferenza trigonometrica il punto A d i coord inate (1,0) , il punta P di coordi nate (cos x, sin J;) e il punto Q di coord inate (1, tan x ) (si veda la Figura 4.4) . II set tore circolare OAP e strettamente contenuto nel triangolo OAQ , dunque area OAP

< area OAQ .

Essendo are a O AP = si ha

OA · AP x =2 2

e

OA ·AQ

area 0 AQ = --2--'--

x sinx sin x cioe cosx < --. 2 2 cos x ' x In conclus ione, per 0 < x < ~ abbiamo sin x cos x < - - < 1. x La cont inuita della funzione coseno assicura che lim cos x =

t an x 2

- o+

1. P er t anto,

ap plicand o il secondo Teor em a del confront o, otteniamo la tesi. ii) Vogliamo or a st ud iare il com portament o limite d ella funzione g(x ) per x t endent e a +00 . A tale scopo, ricordiamo che p er ogni x real e si ha -1 :::; sinx :::; 1.

sm x

x (4.6)

Dividendo ciascun t ermine per x > 0 , le disuguaglianze si conserv ano ; pertanto, in ogni intorno I A ( + 00) di + 00 si ha

4.1 Teoremi sui limiti

1

sin x

97

1

-< - - < -. x - x - x 1 Posto J(x) = - - , h(x)

1

ed osservato che

x

x

1

lim

x ---> +oo X

0, deduciamo d al

t eorema precedente ch e lim

sin x

x --->+oo

X

= O.

o

Il limite studiato nel secondo esem pio e un caso parti colare della sit uazione considerata nel seguente corollario, che e una utile consegue nza del Teorema 4.5.

Corollario 4.7 Sia J una Junzion e limitata in un iniorno di c, cioe esistono uri in iorno I (c) ed una costante C > 0 tali che

c,

If (x )1
c

=

+00.

Uti risultato analogo vale n el caso del lim ite - 00 .

(4.8)

98

4 Limiti e cont inuita II

Dimostrazion e.

E un scmplice adattamento aile nuove ipotcsi del la dimostrazion e 0 del Tcorcrna 4.5 , e vien e lasciata al lettorc.

Esempio 4.9 Si voglia ca lcolare il limite della funzione g(x) = x + sin x p er x t endente a +00. Usando nuovamen te la (4.6) , si ha

+ sin x ,

x- I:::; x Posto f( x) = x -I , essendo

\Ix

E R

lim f( x) = + 00, deduciamo d al teorema che

x--++oo

lim (x + sinx) = +00 .

0

x ---> + oo

4.1.3 Algebra dei limiti; forme di indeterminazione di tipo algebrico

P assiamo ora a st ud iare il com p or tament o d el limite risp et to aile oper azioni a lgebriche di som ma, differenza , prodot to e quoziente di funzioni . A t ale scopo, estend ia mo d apprima le op era zioni aritmetich e su i numeri reali , considerando p er qu anta possibile a nch e i simb oli + 00 e -00. Poniamo p ert anto p er definizione :

+00 +

S

= +00

(se s E JR opp ure s = +00 )

-00 +

S

= - 00

(se

- 00)

S

E JR oppure

S

=

±oo ' S = ± oo

(se s

> 0 oppure

S

= + 00)

± oo ·s = =Foo

(se s

< 0 oppure

S

=

±oo - - = ± oo

(se

S

> 0)

±oo --==Foo s

(se

S

< 0)

s

s

- =

o

s

00

= 0 ±oo

-00)

(se S E JR \ {O} oppure S = ±oo ) . (se s E JR)

Non sono invece definite le espressioni

I

± oo + ('foo),

II seguente ri sult ato

± oo - (± oo),

± 00·0,

e d i fond ament al e im por tanza.

±oo ±oo'

o o

4.1 Teoremi sui limiti

99

Teorema 4.10 Supponi am o cite, per x tendent e a c, la Junzion e f ammetta lim it e £ (finito a infi nito) e la Junzion e 9 ammetta limite m (anch 'esso finito a infin ito) . A llora, ogniqualvolta I'espression e a secotulo m embra e definita , si lui lim (1 (x ) ± g(x )) = £ ± m ,

X-'oC

lim (1( x ) g(x) ) = Ern,

X-'oC

lim f(x) = ~ x-'oc g(x ) ni

(in quest 'ultim o caso supponuim o iuoltre cite g(x ) escluso al piu il punto c) .

-I-

°

ui

un ini orno di c

Dimostrazion e. Dimostriamo due d i t ali rcl a zioni , rimandando la ver ifica delle a lt rc a rv> Limi ti. St ab iliamo inuanzitu tto la re laz ionc lim (1 (:1: ) + g(x ))

.c r-r C

= £+ m,

nol caso in cui £ ed ni sia no ent ra mbi finiti . Fi ssato e > 0, consideriamo l'intorno eli £ eli raggio e / 2; p er ipotesi , csistc un interne I' (c) di c t ale clio \:1:1: E dom t ,

:1: E I' (c) \ {c}

=?

If (x ) -

£1< c/2.

Siinilmcntc, osistc un intorno I" (c) di c t a le chc \:1.1; E domc,

x E I"( c) \ {c]

=?

Ig(x ) -

ml < c/2.

Poniarn o I (c) = 1' (c)nI" (c). Allora, sc x E domf ndomg appart icno a I (c) \ {e} , cnt rambe Ie disuguaglianze prccedcnti saranno soddisfattc; dunquc , ricorclando la di su guaglianza triangolarc

(1.1),

l(f (x ) + g(. D. Per ipotesi, csist e u n intorno 1'( c) eli c tale chc

100

4 Limiti e cont inuita II \:h; E do m.f.

x E I ' (c) \ {c}

:::}

f (x ) > B .

D' alt ra parte, conside rate l'int orno eli m di ra ggio m /2 , esiste intorno I" (c) eli c t alc che

.1; E 1'(c) \ {c }

\:h ; E dom g .

:::}

till

1.17(.1;) - ml < m /2 .

va le a di re 11I / 2 < g(x ) < 3m / 2. Poniaino I (c) = I ' (c) n 1" (c). Allora. sc ;1: E doni f n dorn .17 appa rt icnc a I (c) \ {c} . entrarnbc Ic condizioni prcccd enti sar a nno sorldi sfatt c: pcrt nn to

f (:I: )g (x ) > f (.1;) '~I > I3'~1 = A . Dunque la tcsi

Corollario 4.11 Siano

f

c dimostrata.

o

e g due [usizioni cont inue 'in uti punta Xo E lR..

A llam le fu nzioni f (x ) ± g(x ), f (;r; ) g(x ) e f ( X)) [quesi 'uliima tiel caso in cui gx g( xo) :f. 0) sana contin ue in Xo · Dimost ra zion o. La cont inuita eli f c .17 in Xo cquiva lc al fatto chc lim f (x ) = f (x o) .l:-:r()

C

lim g(;r)

= g(;l:o) (si ricordi la (3.9)).

E duuque

sufficiente

;I"--·t"U

applicare il tcorerna preccd ent e.

0

Corollario 4 .12 Ogni [un zionc razionale e continua in tutio il suo dominio . In particolare, ogni [un zione polinornial e e continua in iuiio lR.. Dimostrazion c. Abbiamo vcrificato al punta i) clcll 'Escmpio 3. 17 chc la fun zion e costantc lJ = a e la fun zione linca re !J = :/; souo cont inue su t utto lR: d unquc, ogni fun ziou c de l t ipo 11 == ax " (con 71 E N) c cont inua su JR . Couseg uc nte iuc utc, i polinoini , csse udo sonuuo di fun zioni eli qucsto gonerc, so no cont inui su JR: lc fuu zion i ra zionali, csse ndo qu ozien ti eli polin omi , sono cont inue laddovo il lor o dcn ominatoro 0 non si auu ulla. Esem p i 4 .13 i) Si voglia calco lare lim 2x - 3 cos x = E. 5 + x sin x Num eratore e denomina tore sono ottenuti attr averso operazioni alge b riche su fun zioni continue . Inolt.re, il den ominatore n on si a n nu lla in x = O. P er t ant o, sostit ue ndo ad x il valore 0, ottenia mo E = -3/ 5. x~ o

4. 1 Teo rem i su i limi ti

ii) Si voglia stud ia re il com p or tame nto limite della fun zion e y t en dent e a ~. P oich e lim sin x

x~ ~

= sin ~2 = 1

lim cos x

e

x -+~

=

101

t an x per x

1f

= cos - = 0 2

'

ottenia mo dal teo rema precedent e lim tan x = lim sinx = ~ = 00 . X ~~ cos x 0 Possiamo essere pili precisi , st ud iando il segno della funzione in un int orno di ~ . Si ha sin x > 0 in t utto un int orno di ~ , mentre cos x > 0 (rispettivamente < 0) in un int orno sinistro (r isp ettivamente destro) di ~ . P er t anto, conclud iamo che X~ ~

lim t an x =

x -+~±

iii) Sia R( x)

= ~~~~

=f 00.

un a funzion e razionale, che supponia mo gia ridotta a i

minimi t ermini, nel senso che i polinomi P e Q non hanno fattori comuni. Sia E ~ uno zero di Q, cioe Q( xo ) = 0; si ha certamente P (x o) =f=. 0, alt riment i P e Q avre bbero il fattore (x - x o) in comune. Dunque Xo

lim R(x )

x--+ x o

= 00 .

Anche in questo caso, 10 stud io del segno d i R(x ) in un int orno di Xo permet t e 2 diI essere piu " precisi, . . Ad ese m pio, . 1a fun . . III . un un zi zione y = x - 2 3x + 1 e, positiva

x - x

intorno sinistro di Xo = 1 e nega ti va in un int orno dest ro , d unque x2 - 3x + 1 . 1im = =f 00 ; 2 x~ l ±

x

-

x

x - 2 al cont rario, la fun zion e y = 2 e negativa in tutto un int orno di Xo = 1 x - 2x+ 1 e pertanto . x - 2 = - 00 . o 1IHl x~ 1 x 2 - 2x + 1

Il Teor ema 4. 10 non fornisce alcuna indicazi on e sul comportame nt o limite d i una espressione algebrica, nei t re cas i di seguito elencati, in cui l'espressione vien e det t a forma indeterminata (0 forma di indeterminazione) di tipo algebrico. i)

Relativamente all 'espression e f( x) + g( x) (rispettivamente f( x) - g( x)), quando ent rambe le funzioni tendono a 00 con segno discorde (rispettivamente concorde); una tale forma indeterminat a vien e indica t a con il simbolo 00 -

00.

ii) R elati vamente all'esp ress ione f (x ) g (x ), quando una fun zione tende a 00 e l'al t ra t ende a 0; una tale forma indetcrminat a viene indicat a con il simb olo 00 '

o.

102

4 Limiti e continuita II

iii) Relativamente all'cspressione I((x)) , quando ent rambe le fun zioni te ndono a 00 g x oppure a 0; tali forme ind eterminate vengono indicate rispettivamente con simboli 00 o oppure

o

00

Quando ci troviamo di fronte a una forma indeterminata, non possiamo dire a priori quale sia il suo comportamento limite. Infatti, come mostrano gli esem pi sotto riportati , ogni comportam ento e possibile: limite infinito, limite finito div erso da 0 oppure uguale a 0, non esist enza del limite. Ogni forma indeterminata deve quindi essere studiata singolarmente, spesso con molta attenzione. St abiliremo nel seguito il comportamento limite di un certo numero di forme ind eterminate notevoli. A partire da esse, usando i teoremi sui limiti presentati in questo paragrafo, sara possibile 10 st udio di forme indeterminate pili complesse. Altri strumenti per analizzare il comport ame nt o limite di forme indet erminate saranno forniti pill avanti: essi sono il confronto locale tra funzioni mediante i simboli di Landau (Paragrafo 5.1) , il Teorema di de l'H6pital (Paragrafo 6.11) e gli sviluppi di Taylor (P ar agrafi 7.1 e seguenti). Esempi 4.14 i) Supponiamo che x t enda a +00. Definiamo le fun zioni h(x) = x+ x 2 , h(x) = x + 1, h(x) = x + ~, 14( X) = X + sin x. Poniamo inoltre g(x) = x . Usando il Teor ema 4.10 oppure ricordando l'Esempio 4.9 , e facil e verificare che tutte le funzioni t endono a +00. Tuttavia, si ha lim

x ---:,. + oo

(h( x) - g(x))

=

lim

(h(x) - g(x)) =

lim

(h( x) - g(x))

x-++oo

x -+ + oo

=

lim x 2 X---+ +O()

= +00,

lim

1 = 1,

lim

~ = o.

x---:,.+oo

x-++oo X

Invece, il limite di 1 4 (x) - g(x ) = sin x non esiste, in quanta la fun zione sin x e periodica e dunque per x t endente a +00 essa assume infinite volte tutti i valori compresi tra -1 e 1. ii) Supponiamo ora che x t enda a O. Definiamo le funzioni h (x) = x 3 , h (x) = x 2 , h(x) = x, 14( X) = x 2sin ~. Poniamo inoltre g(x) = x 2 . Tutte qu este funzioni t endono a 0 (p er quanto riguarda la 14 , e suffici ente applicare il Corollario 4.7) . Tuttavia , si ha . h(x) lim -(-)

x -+O

9

X

=

. lim x

x-+ O

= 0,

· -(-) h(x) = 1·im 1 = 1 , 1im

x-+O 9 X

lim h(x) g(x)

x -+O

x-+ O

=

lim

~=

x-+ OX

00

'

4.1 Teoremi sui Iimiti

103

. . -1 no n ha i imite per x ten d ent e a 0 (p er Ia -f4((x) ) = sm mentre I'1 quoziente

gx

x

dimostrazione vedasi la successiva Osservazione 4.19) . iii) Studiamo il com p ort am ent o di una funzione polinomiale

P( x) = anx n + . . . + a1X + ao

(an

i= 0)

per x ----t ± oo . Osserviamo ch e t ale funzione puo dar luogo ad una forma indeterminata del tipo 00 - 00, a seconda del segno dei coefficienti e de l grado dei monomi . Tale forma di indeterminazione si risolve raccogliendo il mo nomio di grado massimo x n , vale a dire

n P() x = x n ( an + -a --

I

ao ) . + .. . + -a1 1 + n n

x

X

L'espressione in parentesi tende ad an p er x lim P (x) =

x---+±oo

----t

x

-

±oo, pertanto

lim anx n = 00

x -+ ± oo

e il segno del limite si determina facilmente . Ad esempio, lim (-5x 3 + 2x 2 + 7)

X-+-CX)

=

lim (-5x 3 )

x -+- oo

= +00.

Consideriamo ora u na funzione razionale gia ridotta ai minimi termini

= P(x) = anxn+ .. . +alx+aO

( ) an , bm i= 0, m > 0 . bmx m + . . . + h x + bo Q( x ) P er x ----t ± oo, essa d a luogo ad un a forma indeterrninata del tipo : . Trattando numeratore e d enominatore come sopra, si ottiene R(x)

ti

>m,

se n

= rn ,

se

O

lim x'" = +00

a< O

lim a" = 0

a> 1

lim a X = +00

al

lim log, x = +00

a o +

lim x'" = 0 , x-+oo

x--->o +

lim a X = + 00 ,

x- +oo

x ---+ - oo

lim a X = 0 ,

x ---.. +oo

x ----+ - oo

lim log a x

= + 00 ,

lim log a x

= -00 ,

x ---++oo

x --->+oo

lim cos x ,

lim sinx,

x- ±oo

lim

x --->( ~ +k1r) ±

x ---> ± oo

tanx

x ---> o +

x --->o +

lim t an x

x-+ ± oo

non esistono

= =foo, Vk E Z 'if

lim arcsin x = ±- = arcsin(± l ) 2

x --->± I

lim arccos x = 0 = arccos 1 ,

x--->+ l .

lim arc tan x

x ---> ± oo

'if

= ±2

lim arccos x =

x ---+ - l

'if

= arccos(- 1)

4.1 Teoremi sui limiti

105

4 .1.4 Teorema di sost it uzione

e

II seguente risultato di grande rilevanza teoriea e nello stesso tempo fornisee una regola utilissima per il eaIcolo dei limiti.

Teorema 4.15 Supponiamo che esisia [finiu: lim f( x)

x ...... c

0

iniiniio]

= R.

(4.9)

Sia poi 9 una [unzion e definite 'in un iniortio di R (esclus o al p'iu il punto R) e tale che 'i) se R E IR, 9

e continua 'in R;

ii] se R=

oppure R =

+00

esisie (jin'ito () 'injin'ito) lim g(y). y......e

-00,

Allora, esisie 'it lim ite per x tendente a c della [unzi on e cornposta 9 ha lim g(f(x)) = lim g(y). x~c

Dimostrazione. Poniamo

tti

0

y -+ £

= lim

y......e

g(y) (notiarno ehe nel easo i} sara

tri

f

e

S2

(4.10)

=

g(R)).

Fi ssato un qualunque intorn o I(rn) di m; grazie aIle ipotesi i) oppurc ii}, esist era un intorno I (R) di R tale ehc

\l y E clomg ,

y E I(R)

g(y) E I(rn).

=?

Osscrviamo che possiamo ser ivere I (R) anziche I (R) \ {R} in quanto nel caso i} 9 e cont inua in R (si rieorcli la (3 .7)) , me ntre ne l caso ii} R non ap partienc a I (R). Dato talc intorno I( R) di R, dall'ipotesi (4.9) clcclueiamo l'esist enza di un intorno I (c) cli c tale che

\Ix E do m j',

:r; E

I (c) \ {c}

=?

f (x)

E

I (R) .

Combiniamo le clue imp licazioni precedenti. Ricor diamo chc x E dom 9 0 f significa che :1:: E clom f c y = f (x) E clom g; pert ant o otteniarno

\Ix E clomg

0

t,

z E I(c) \ {c}

=?

g(f(x))

E

j(rn).

Data l'arbitrarieta di I (rn), cia significa che lim g(f(x)) :C;-+ C

= m:

o

106

4 Limiti e cont inuita II

Osservazione 4.16 Un'altra condizione che garantisce la t esi del teorema seguente:

i ') se £ E ffi., esiste un intorno I( c) di c in c ui J( x) (finito 0 infinito) lim g(y) .

=I=-

£ p er ogni x

=I=-

e la

c ed esis te

y~e

La dimostrazione

e analoga a quella preced ente.

o

Notiamo che nel caso in cui £ E ffi. e g sia cont inua in £ (caso i) ), si ha

li~ g(y)

=

y ~,

g(£) e dunque la relazione (4.10) puo essere scritta come (4 .11 )

lim g(.f (x )) = g(lim J( x)).

x ---+c

x ---+c

Si dic e , in modo imprecise rna efficacc, ch c una fun zione cont inua comrnuta (cioe si scarnbia) con il simbolo di limi te . II Teorema 4.15 implica che la composizione di fun zioni continue come precisato dal segu ente enunciat o.

e continua,

Corollario 4 .17 Sia f continua in Xo e si ponga Yo = J (xo). Sia poi g una jun zion e defin ita in usi in torno di Yo e continua in Yo. Allom la Junzion e composta g 0 J e continua in x o. Dimostrazionc. Dalla (4.11) abbiarno lim (g 0 .f)(.1;) x---+ x o

= g(

lim f (x )) = g(.f (xo )) = (g 0 .f) (xo ),

x ---+xo

o

il che pr ecisam ente equivale alia te si.

Vediamo ora alcuni esempi di applicazione de l Teo rema di sostituziono e del suo corollario. Esempi 4.18 i) La funzione h(x) = sin(x 2 ) e continua su t utto R Infatti, delle due funzioni continue f (x) = x 2 e g(y) = sin y. ii) Si voglia ca lcola re . sin(x 2 ) lim 2

x~ o

Poniamo f( x)

= x2

X

'

e siny

g(y)

=

{

0,

se y

=I=-

se y

= O.

1Y

e la

composizione

4.1 Teor em i s ui limiti

Si ha lim f (x ) = 0 , m entre X~O

e gilt sta to

osser vato che la fun zione g

107

e cont inua

nell 'ori gine. P er t anto , lim sin(x X~ O x2

2 )

=

lim sin y Y

=

1.

y~O

iii) Studiamo il co m portam ento limi te della fun zione h(x ) = a rctan

x t end ente a 1. Post o , f (x )

1

= - - , a b bia mo x - I

=

lim f (x )

x~ l±

g(y ) = a rc t a n y , a b b ia mo (si ricordi la tabella a pag. 104) Dunque lim arctan

x ~ l±

(_1_) = x - I

lim g(y)

y ~ ± oo

(_1_) x- I

per

± oo . P osto invece 7r

lim g(y) = ±-2 .

y~ ± oo

= ± ~2 .

iv) Si vogli a calcola re 1 log sin - .

lim

x ~+oo

Posto f (x ) per og n i x

sin 1 , a b b ia mo £ = x

>

~ . Post o

X

lim

f( x ) = 0 ; si oss ervi che f (x) > 0,

X----lo + ex> g(y ) = log y si h a lim g(y ) =

y~ o +

- 00

e dunque, p er

l'Osservazi one 4. 16, ot t eniamo 1 lim log sin - =

x ~+ oo

X

lim g(y ) =

0

- 00 .

y ~o +

Osservazione 4.19 II Teorema d i sost it uzione 4.15 puo essere facilmente esteso a l caso in cu i la fun zione f sia sostit uit a da un a qualunque suc cessione a : n f---+ an che amm etta limit e (fin it o 0 infinito) lim an = £. n ~ oo

Sotto Ie stess e ip ot esi su lla funzione g fat t e nell 'enunciato del Teorema , si ha allora lim g(an ) n---t (X)

= ylim g(y ). --+ £

Questo risultato e spesso utile ' in negativo' , ossi a fornisce un Criteria di non es is ten za del limite di una funzione: se esistono due su ccessioni a : n f---+ an e b : n f---+ bn aventi entm rnbe limite £ e tali che

allora n ecessariamente g n on pUG avere limit e quand o l 'argornento tend e a £. Ad esem p io, con questa crit er io possiamo dimostrare che la funzione y = sin x non h a limit e p er x ----> +00: se d efini amo Ie successioni an = 2n7r e bn = ~ + 2n 7r , n E N, a b bia mo lim sin an =

n - oo

lim 0 = 0

n - oo

men tre

lim sin bn

n---..,. CX)

=

lim 1

n --+ oo

=

1.

108

4 Limiti e cont inuita II

In modo analogo, si puo ved ere che la funzione y ne limite destro ne limite sinist ro.

= sin

~ non am me t t e , per x

->

0, 0

4.2 Altri limiti notevoli; forme indeterminate di tipo esponenziale Ricordiamo illimite fond amentale (3.3). In luogo della successione an =

(1 + ~)

n,

conside ria mo or a la fun zione di variabile reale

che e definita quando 1 + ~ > 0, cioe in (-00, - 1) U (0, + 00). La proprieta segu ente mostra che il comport ament o di t ale fun zione pe r x tendente ad infinito e ugu ale a quello della successione. Pr-opriet.a 4.20 Vale il seguente risuliaio lim

x--->±oo

Dimostrazione,

'V7

(l + ~) X= x

e.

o

Numero di Nepero .

Parteudo da tale formula e applicando varie propri et a dei limit.i, otteniamo nuovi limiti no t evoli . Cosi , la sos tituzione y = ~ , ca n a i= 0, fornisce lim

x---> ± oo

x= lim (1) (1 +~) 1+-Y ay x y---> ± oo

Invece, ca n la sost it uzione y lim

x---> O

(1

=

lim [ y---> ± oo

(1 + ~)y] a = ea y

~ otteniamo

+ x )I / x

=

lim

y---> ± oo

(1 + ~)y = e. y

Usando la cont inuit a della fun zion e logaritmo e la rel a zione (4.11) , abbiamo, per ogni a > 0,

. loga(1 11m

x--->O

X

+ x ) = lim . log, x --->O

In parti col are, per a

(1 + z )

= e ot teniamo

I/x

=

log a lim (1 + x ) x---> o

I/x

. = log, e

1 = --. log a

4.2 Altri limit i notevoli ; form e indeterminate di tipo esponenziale

109

. log(l + .7;) Iim = 1. x

x-> O

Osserviamo poi ehe la re la zione aX - 1 = Y equivale a x y ----+ 0 se x ----+ O. Con t ale sostituzione, abbiamo

[I'

a" - 1 Y lim - - - = lim -----,-=---- x y -> O log., (1 + y)

im

In partieolare , p er a

= e si ha

loga(1 y

y->O

x-> O

=

log, (1

+ v)] - 1 =

+

y) ; inoltre,

I

(4.12)

oga.

il limite fond amentale eX - 1 lim - - - = 1. x

x -> O

Infine, ponendo 1 + x = eYe d osservando ehe aneora y per ogni 0: E lR,

----+

0 per x

----+

0, otteniamo,

e"'Y - 1 e"'Y - 1 y (1 + x )'" 1 = lim = lim -Y x -> O x y ->O e - 1 y ->O Y eY - 1 lim

= lim (e"')Y - 1 lim ~ = log e" = Y

y ->O

y ->O

eY

-

(4.13) 0: .

1

P er comodita dell 'allievo , riporti amo t utt i i limiti notevoli ottenuti finora nella sottostante lista.

· sin x 1 I1m -- =

x -> O

X

. 1 - eos x lim x -> O x2

lim x-> ± oo

1 2

=-

(1+ ~) X = ea x

(a E lR)

lim (1 + X)l/x = e

x-> O

. loga (1 + x ) I IHl - - " - -- -

x -> O

X

aX - 1

lim - - -

x -> O

.

lim

x-> O

x

I'

(a > 0); in partieolare, im

=

0:

log(1 + x )

x -> O

= log a (a > 0);

(l+ x )"' -l X

1

log a

(0:

in particolare , E lR).

X

= 1

eX - 1 lim - - = 1 x

x -> O

110

4 Lim iti e cont inuita II

Ri torn iamo alia fun zione h(x ) essa

=

(1 + ~)

e del t ipo h(x )

x. Post o f (x )

=

(1 + ~ )

e g(x )

= z,

= [J (x )j9(x).

In generale, un a tale espressione pu o dar luo go a nu ove forme inde t ermina t e per x tendente a un valor e limi t e c. Supponiamo infa t ti che f e 9 sia no funzi oni defin it e in un intorno d i c, t ran ne event ualmente in c st esso , e che ammettan o limi t e per x tendent e a c. Sup po niamo inoltre che f (x ) > 0 in tutto un intorno di c (t ra nne al pill in c), di modo che la fun zione h sia defini t a in un intorno di c (t ra nne al pili in c). P er stud iare il com p ortamento lim it e d i h, e conveniente fare ricor so a ll' ide nt it a f( x ) = e log f( x ) , da lla quale si ottiene l'espressione

h(x) = e g (x ) log j (x ) . Usando la cont inuita della fun zion e espone nziale e la (4.11) , a bbiamo allora che lim [J(x)j9(x) x~c

= exp (lim [g(x ) IOg f (x )l) . x -c

In alt re parole, 10 st udio del com portame nt o lim it e della funz ione h(x ) e ri conducibile a qu ello della fun zione g(x) log j (x) a esponente. U na forma indetermin ata per t a le espone nte definisce quindi un a fo r ma inde t ermina t a di t ipo esp onenziale per la fun zione h(x ). Precisarnen t e, ricordando il com portamento della fun zion e loga rit rno, si po sson o avere Ie seg ue nt i sit uazioni: i) Se 9 t ende a 00 ed f tende a 1 (e dunque log f t ende a 0) , si ha ad esp one nte un a form a indeterminata di t ipo 00 . 0; in tal cas o di ciamo che la funzione h presenta una forma ind et erminata di tipo 100 •

ii) Se 9 tende a 0 ed f tende a 0 (e d unque log f t ende a - 00 ), si ha di nuovo ad esp onent e un a form a indetenninata d i t ipo 00 . 0; in t al caso diciamo che la fun zione h presenta un a forma indeterminata di tipo

iii) Se 9 t ende a 0 ed j t ende a +00 (e dunque log f tende a + 00), si ha ancora ad es ponent e un a form a indet ermina t a di tipo 00 . 0; in tal caso diciamo che la fun zion e h pr esen t a una forma indet erminat a di t ipo

4.3 P roprieta globali delle funzioni cont inue

Esempi 4.21

i) La funzione hex) = tipo 1

00

,

il cu i limite

(1 + ~)

x p er x

--+

±oo

e una

111

forma indeterminata di

e il numero e.

ii ) La funzione hex) = X X per .1: --+ 0+ e una forma indeterminata di tipo 0° . Si dimostra nel Capitolo 6 che lim x logx = 0 e dunque lim hex) = 1. x--->o +

x--->o+

--+ +00 e una forma indeterminata di tipo 00° . l"d . , 1og -I = - 1og y, Sl. ottiene , lil Hl logx e I entita

iii) La funzione hex) = x l ix per x

. . y U san d 0 1a sostituzione -

=

-I x

lim ylogy = 0 e dunque

y --->o+

lim hex)

x ---> +oo

x ---> +oo

y

= 1.

X

0

Un er rore non infrequente, e spesso dalle conseguenze catastrofiche, e quello d i ca1colare d apprima illimite di una d elle due fun zioni f oppure g, sostituire poi il valore del limite alla corrispondente funzione e ca 1cola re infine illimite dell 'espressione risultante. In alt ri termini , puo essere sbagliato ca 1colare il limite per x tendente a c d ella forma indeterminata hex) = [f( x )]9(x) come lim [f( x )]7n,

x ---> c

avendo prima ca1colato m

= xlim g(x) , --->c

oppure com e avendo prima ca1colat o

e = lim f( x). x--->c

Ad esem p io, se seguissimo questa seconda strada per calcolare il limite per x ± oo di hex) ch e

=

lim I X =

X ~±CX)

(1 +~) X ,

e=

lim

(1 + ~ ) = 1

e poi x lim 1 = 1. Saremmo quindi indotti a conclu de re ch e h ha come

x

trover emmo prima che

--+

x--->±oo

x--+±oo

limite 1, mentre gia sappiarno che il valore corretto del limite

e il numero e .

4.3 Proprieta globali delle funzioni continue Nei paragrafi precedenti, abbiamo stabilito varie proprieta locali di una fun zione nell'intorno di un punta dell a rett a real e oppure di un punto all 'infinito, esaminando il suo com p ort ament o limit e. Consideri amo ora una fun zione continua su un intervallo d ell a rett a reale e stabiliamo a1cune rilevanti proprieta di natura globale , vale a dire relative al suo comportamento nell 'intervallo. Iniziamo con una se m p lice definizione. Definizione 4.22 Data 117W fun zione reale i. chiarniarno zero di f ogni punio Xo E dom f in cui la [iuizume si annulla.

112

4 Limiti e continuita II

Ad esempio, gli zeri della funzione y eleme nt i dell 'insieme {m7r I mE Z}.

=

sin x sono tutti i multipli eli tt , ossia gli

Notiamo che il problema di trovare le soluzioni di una equa zione del tipo

J( x)

=0

equivale alla ricerca degli zeri della funzione y = J( x) . E dunque importante avere a disposizione metodi , tanto analitici quanta numerici, per la eleterminazione degli zeri di una funzione , 0 , quanto meno, per la lora localizzazione approssimata.

Il segu ente risultato fornisce una semplice conelizione che garantisce l'esistenza di uno zero di una fun zion e in un intervallo .

Teorema 4.23 (d i e sisten za degli zeri) Sia J una Jun zione conti nua nell'intervallo chi uso e limitato [a, b] . Be f(a)f(b) < 0, cioe se J assume valori di segno discorde agli estrem i dell 'int ervallo , allora esiste uno zero di f n ell 'intervallo aperio (a, b). Be in olire f e strettamente monotone in [a, b]' allora lo zero e unico n ell 'interv allo .

f (b)

f (l1 )

Figura 4.5. II Teorema di esistenza degli zeri

Dimost raz ion c. Nel corso della d imostrazion c farc mo uso di alcunc pr opriet a delle succcssioni che sono racc olte nel successive P aragr afo 5.4 . NOll C rcstrittivo sup porre che J (a ) < 0 < J (b). Poniamo ao = a c bo = b h e sia Co = " il punt o med io dcll'int crva llo lao, bolo Calcolia mo J(co); a bbiamo 3 po ssibilit a, Se J (co) = 0 allora Xo = Co C un o zero d i f c la dimost raziono C tc rrn inat a. Alt r imc nt i, se f ( co) > 0,

""t

4.3 Proprieta globali delle funzioni continue

113

poniarno a l = ao e b, = co, ovvero consideriamo la meta sin ist ra doll 'int ervallo lao, bo]; se inv ece f(co ) < 0, poniarno al = Co e bl = bo, ovvero conside ri a mo la meta destra dell'intervallo lao, bo lo In ent ra rub i i cas i, abbiarno cost r uit o un llUOVO intervallo [aI , bl ] C lao, bo l tale chc

b

e

1 -

al

bo - ao

=

2

Iterando t a le procedimento 0 si p crvicne, in un numero finito di passi , ad UllO zero eli f oppure si costr u isce una su ccess ione di infiniti inter valli [a,,, b" 1 che sodd isfa no Ie scgue nt i propriota:

lao, bo] ::> [a t , bd ::> . . . ::> [an, bn] ::> . .. , bo - ao f (a n ) < 0 < f (bn ) e bn - an = - -n 2 (In giustificaz ione ri gorosa dcll 'csi stenza eli t a lc succcssione ri chi ed e l'uso del Principio eli induzione

Principio di i n d u z i on e ) .

'Vt

In questa sec ondo cas o, mostriamo che esiste un unico punto Xo

contenuto in tutti gli in t ervalli c che t al e punto c uno zero di f. A tale sco po , osserv ia m o che Ie due succession i {a n} e {bn} socldisfano

Pert a nt o la succcssionc {an} c monotona crescente e limi t a t a inc ntrc la succcssione {bn } C monotona decrescen t e e limit a t a . Applicando il Teorcma 3. 9, es istono :);0 ' xt E [a, b] tali che lim an

'11, -4 00

=

X

o

lim bn

e

n -+ (XJ

=

:);t .

D 'al t ro canto , usa ndo l'Esem p io 5. 18 i),

xt -

:r:

o=

lim (bn

rL-

an )

-

CX)

=

b -a

lim - - l! -+CX) 2"

=0

:r:t.

c d u nq ue :1:0 = Indichi amo co n :1:0 talc va lore. Us a ndo or a la continuita della funzione f e il Te ore ma di sostit uz ionc (pag. 142 ), risult a lim f (a,,) = lim f (bn ) = f (.');o ). 1/, -

00

I t - CO

Infinc, ricor d ando che f(a n ) < 0 < f (bn ) C a pp licando il prim o Teorcma del confro nto (pag. 142 ) a ile succession i {f (a n )} e U (bn ) } , si ha lim f( a n) ::; 0

11,- - 00

e

lim f (bn ) 2': 0;

Il-+ oo

dunque , d ovendo esscre 0 ::; f (x o) ::; 0, si ottiene f(xo) = O. Se f c strcttamente m on ot on a in [a, b]' allora e iniettiva p er la Proposizione 2.8 e dunque 10 zero e unico. 0

114

4 Lirn it i e conti nuita II

Alcuni comme nt i sui teorem a precedent e sono utili. Osserviamo innanzitut to che sen za l'ipotesi di continuita della funz ione nell 'inter vallo chiuso [a, b] non sarebbe pos sibile dedurre l'esistenz a di uno zero dall a sola cond izione f (a)f(b) < 0. Ad esempio, la fun zione f : [0, 1] ----+ lR definita come - I

f (x ) = { +1

p er x = 0, p er

°< x < 1

assume valori di segno discorde agli est remi dell'intervallo rna non si annull a mai ; essa pr esent a un a disco nt inuita di sait o nel punto a = 0. D 'altro ca nt o, l'ipotesi f(a)f (b) < e solt anto su fficient e, e non necessaria , per l'esist en za di uno zero . Ad esempio, la funzione continua f( x) = (2x - 1) 2 si annulla all'interno dell 'int ervallo [0,1] pur essendo st re t tame nt e positi va negli est remi dell 'int er vallo. Notiamo infine che la proceelura usat a nella dimostrazione del teorem a puo essere traelotta in un algor it mo di ca lcolo a pprossimato della zero , no to Bel Calcolo Num eri co come Metodo di bisezion e. Vediamo un primo esempio eli applicazi on e elel Teore ma di esist en za elegli zeri.

°

Esempio 4 .24 Con sideri amo la fun zion e f( x) = x 4 + x 3 - 1 nell 'int ervallo [0, 1]. Es senelo un polinomio, la fun zione e cont inua. Inolt re si ha f(O) = - 1 e f(l) = 1. P ertanto, esiste almeno uno zero eli f in [0, 1]. Tale zero e unico in qu anta f e st rettame nte crescente nell'intervallo (pe rche somma delle funz ioni stret tamen t e crescent i y = x 4 e y = x 3 e della funzione costante y = -1). 0 Diam o ora alcune utili estensioni del teore ma preced en t e. Corollario 4.25 Sia f coniituui in un intervallo I . Supponuimo che f amrnett a, per x tend ente a ciascun o degli esirem i dell'interoallo, lirniti (finiti 0 infiniti) dioersi da 0 e di segno opposto . A llom f ha uno zero in I ; tale zero e unico se f e strett arnente monotone in I . Dimostrazione.

II risult ato scg uc facilme nte dal Teorema 4.2 (eli pcrmancn za elel scgno) c dal Tcorcma 4.23 (di esistcnza dcgli zcri) . Per maggiori dcttagli --vT Funzioni continue. 0

Esempio 4.26 Consideri amo la funzione f (x) = x + log x , defini t a nell 'in t ervallo I = (0, +(0). Essa e con tinua e st ret tamente cresc ente in I , in quanto somma delle du e funz ioni y = x e y = log x , che hanno Ie st esse proprieta. Poiche lim f( x) = - 00 e lim

X---++ OCl

f( x)

= +00,

x -+ O+

la funz ione f ha esattamente uno zero nel suo dominio .

0

4.3 Proprieta globali d elle funzion i conti nue

115

y = g(;r; )

g(a) f (b)

f(a ) g(b)

------~--------

y =

, , , , , , , , , , ,

_ _ _ _ _ _ ...I

a

f (x)

_

X l}

b

Figura 4.6 . Illustraz ione del Corollario 4.27

Corollario 4.27 Sian o f e 9 du e [unzioni con tin ue n ell 'interva llo chiuso e limitato [a, b]. S e f (a) < g (a ) e f (b) > g (b) , allora esist e almeno uri punto Xo n ell 'intervallo aperto (a , b) tal e che

f (xo) = g(xo).

(4.14)

Dirnostraziono . In t roduciamo la Iunz ione a usiliaria h(;r; ) = f (;r; ) - g(x ). Essa e continua in [a, b] in qu anto di fferen za eli due fun zion i cont inue. Inolt rc , pCI' ipotesi , si ha h(a) = f(a) - g (a ) < a c h(b ) = f (b) g( b) > D. Pertanto li so ddisfa lo ipotesi elcl Teorc rna eli esistenza elcgli zeri. Esiste dunque in (a, b) un punto Xo tale chc h(xo) = 0, il che equivalc prcc isa mente alla (4. 14). Osserviamo che se li risul t a strcttamcntc crcscente in [a, b], allora 0 la soluzio ne de lla (4. 14) e un ica noll'in t ervallo . Esempio 4 .2 8

Vogliamo trovare tutte le soIuzioni dell'equazione cos x = x . (4.15) Poiche -1 ::; cos x ::; 1 p er ogni x reale , non vi sono soIuzioni per x < - 1 o per x > 1. InoItre, non vi sono soIuzioni nell 'intervallo [-1, 0) in qu anto ivi cosz e st rettament e positivo mentre x e strettamente negativo. Dunque, Ie even tuali soIuzioni vanno cercat e nell' int ervallo [0, 1]. Le funzioni f( x) = x e g(x) = cosx sono continue in tale intervallo; inoltre , f(O) = a < 1 = g(O) e f(l) = 1 > cos 1 = g(l) (la funz ione coseno assume il valore 1 solo per i multipli di 27T) . Pertanto , ap p licand o il corolla rio preced ente, deduciamo che l'equazione (4.15) ha una soluz ione neII 'intervallo (0, 1) . Essa e l'unica soluzione , in quanto f e stret tamente crescente e 9 e st rettame nt e de crescente in [0, 1], e dunque la differen za h(x) = f( x) - g(x) e stret tament e crescente in t ale intervallo . 0

116

4 Limiti e continuita II

y

=

f( x )

f (b) Z

= f (x o)

f (a )

a

Xo

b

F igura 4. 7 . II Teorema d ei valori intermedi

Se applichia mo il corollario precedente nel caso in cui una delle due fun zioni sia costante, otteniamo il seguent e risultato .

Teorema 4.29 (dei valori intermedi) Sia f una Junzion e continua nell'intervallo chiuso e limitato [a, b] . Allora f assum e tutti i valori compresi tra

f (a) e f (b). Dimostrazionc. Se f (a ) = f (b) il risultato c banale: div ersamente, supponiamo dapprirna che f (a ) < f (b). Sia z un qualunque valore com pres o tra f (a) e f(b ) e defini amo la fun zion e cost ante g(;z; ) = z . DaIle disu gu aglian ze f (a) < z < f(b) , otteni amo im modia t amont e f (a) < g(a ) e f (b) > g(b). P ertanto, se applichiamo il Co rollario 4.27 nell 'in t ervallo [a, b] alle du e fun zioni f e g , otteniamo I'esistenza eli un punto ;I:o in [a, b] t ale che f (xo) = g(xo) = z . Se f (a ) > f (b), si scarnbia no i ru oli delle fun zioni f e g. 0

Il Teorema dei valori intermedi ha , tra le sue conseguenze, l'imp ort ante fatto che un a funzio ne cont inua t rasforma intervalli in intervalli, come precisato nel seguente corollario. Corollario 4.30 Si a f una Junzion e continua su un intervallo I . Allora l'immagin e f (1) di I atirauerso la Junzion e e ancora un intervallo di estremi inf'j f e sup! f . Dim ost razion e. Osserviamo che un sottoinsieme di lR e un intervallo se e solo se pr esi comunque du e suo i punti (x < (3 l'int er vallo di est rem i [a, (3] e contenuto nel sottoins ieme stesso. Sia no dunque YI < Y2 du e punti eli f(1 ); allora esisto no in I

4.3 Propriet a globali delle funzioni continue

117

clue pu nti Xl e X2 , necessariament e distinti , tali che f (x d = YI e f (X2) = Y2. Detto J ~ I l'inter vallo chiuso di estremi X l e X2, e sufficiente a pp licare il Teorern a clei valori in t errnedi alla fun zione f ristretta all'inte rva llo J , ot t en enclo [YI , Y2] ~ f (J ) < f(I )· L'irmn agin e f(I ) e clunque un int ervallo e, in base alla Definizion e 2.3 , i suoi estrcmi sono risp ettivarn ente inf, f e SUP I f . 0 Ognuno degli estremi dell 'intervallo f(I) puo essere finito 0 infinito, e puo apparten ere 0 meno all 'intervallo; se appartien e, la funzione ammette rispettivamente minimo 0 massimo su I. Se I e un intervallo aperto 0 semi aperto, la sua immagine f(I) puo essere un int ervallo di qualunque tipo. Vedi amo alcuni esempi. Se con sideri amo la funzione f( x) = sin x nell 'intervallo aperto e limitato I = ( -~ , ~) , I'immagine f(I) e I'intervallo aperto e limitate (-1, 1) . Ma se, per la stessa funzione, con sideri amo I'intervallo aperto e limitato (0, 21T) , allora I'immagine e l'intervallo chiuso e limitato [-1 ,1] . Se invece consideriamo la fun zion e f( x) = tanx nell 'intervallo apert o e limitato ( -~ , ~), I'immagine e l'intervallo illimi ta to (- 00, +(0) . Semplici esempi possono essere costruiti anche nel caso in cui I sia un intervallo illimitato. Se p ero I e un intervallo chiuso e limitato, allora la sua immagin e attraverso una funzione continua non puo ch e essere un intervallo chiuso e limitato. Precisamente, ab biamo il segue nt e fondamentale risultato, che interverra pili volte nel seguito (p er la dimostrazione ~ Funzi oni co nt i nue ) .

Teorema 4.31 (di Weierstrass) Sia f una [usizione continua su uti intervallo chius o e lim itato [a , b]. A llora f e limitata su. [a, b] e ivi assume valori

minima e massuno

m = min f(x)

e

xE [a,b]

Dunque,

M = max f( x) . xE[ a,b]

f ([a, b]) = [rn, M ].

[v!

(4.16)

J\j ~ f(X)

m

a

X lv!

Xm

b

Figura 4.8. II Teorem a di Weierstrass

118

4 Limiti e continuita II

J

= f(1) I

I

J

Figura 4 .9 . Grafico di una funzione continua e invertibile (a sinistra) e della sua inversa (a destra)

Chiudiamo questa paragrafo con due risultati relativi alIa proprieta di invertibilita di un a fun zione (per Ie dimostrazioni 'V7 Funzioni cont inue ) . Ricordiamo che ne l P aragrafo 2.4 abbiamo visto che se una funzione e strettamente monotona, allora e iniettiva (cioe invertibile) ; a bbia mo anche osservato che, in generale, non vale il viceversa . Tuttavia, per Ie funzioni continue, i concetti di monotonia stretta e di ini et.tivi ta coincidono. Inoltre, quando e definita, Ia funzione inve rsa e cont inua.

Te or e m a 4.32 Sia 1 una [usizione continua su uti inieruallo I . A llora iniettiva sn. I se e solo se 1 e stretiamenie monotone su I .

f

e

Teorema 4.33 Sia 1 una Junzione continua e ino ertibile su uti in ieruallo I , A llora la Junzione inve rsa 1- 1 continua sull'i siteruallo J = f(I) ,

e

II Teorema 4.33 garantisce ad esempio Ia continuita delle fun zioni trigonometriche inverse y = arcsin x, y = ar ccos x e y = arctan x in tutto il Ioro dominio di defini zion e, e della fun zion e y = log, x su IR+ in quanta funzione inversa dell' esponenz iale y = a", Tali risultati sono gia st ati anticipati nella Proposizion e 3.20.

4.4 Esercizi 1. Utilizzando i teoremi del con fronto, calcolare i seguen ti limiti:

a)

, Iim

x~+ ~

cos -x

-

yX

b)

lim

X~ + ~

( v r: x

+ sin x )

4.4 Esercizi

[ill e)

lim

x ~ -oo

2x - sinx 3x + cos x

@2]

x ~ + oo

[ill

X ~O

1

lim sinx· sinX

X~O

[xl x

lim

lim

119

x - tanx x2

2. Ca1colare i seguen ti limiti: a)

[ill @] g) i)

x4

lim

X~ O

lim

x~-oo

2x 3 + 5x x5 - x

b)

x3 + x2 + x 2x 2 - X + 3

d)

-

x+ l + 3 + 3x

lim

lim

( Vx + 1 - jX)

lim

(-Vx

X -t -

(X)

+ 1-

-V x -

lim

x ~+ oo

[ill

x ~ - l V6x 2

x ~+oo

lim

x~ +oo

-V1O -

x- 2 x - 2

lim

x~ 2

h)

lim

jX+x

x- + CX)

@]

I)

x+ 3 x 3 - 2x + 5 2x 2 + 5x - 7 5x 2 - 2x + 3

lim

x -+ -oo

X

V2 x 2 + 3 4x + 2

3. Utilizza ndo i limiti notevoli, ca1colare i seguent i limiti: 2 r1 m sin x li xtanx -a) b) rm x~O x ~ o 1 - cosx X

[ill e)

[ill i)

sin 2x - sin 3x X ~O 4x tanx - sinx lim X~O x3 lim

cos~x

lim - - I- x

x~ l

cos x + 1 cos 3x + 1

lim

X~ 7r

@2]

x ~ o+

[ill

X~ O

h)

@]

lim

1 - cos jX 2x 2

li

cos(tanx) - 1 tanx sin x - 1 lim 2 x ~ !f (~ - x ) im

lim

VI +

X--' O

tanx - VI - t an x sinx

4. Ca1colare i segu enti limiti:

a)

[ill @] g)

li

im

X~O

lim x~e

lim

log(l + x) 3x - 1 log x - 1 x - e 2e 2x - 1

x~ o +

lim

X~ O

2x

?II + 3x - 1 x

b) d)

[ill

Qill

lim

X~ O

e 2x - 1 e3x - 1

lim

-

eX -

x --.+ oo e X -

1

liIm-log x eX - e

x~ 1

lim

x~- I

x+l \/x+ 17- 2

4 Li mi ti e cont.in uita II

120

5. Calcolare i seguenti limiti: x 5 / 2 - 2x VX + 1 lim a) x --++ oo 2# - 1

@]

x~ o

@]

x~+oc

Qill

lim ( cot an x _ _._1_ ) slnx lim

g) i)

~

x ---+ + oo

x --+ O

lim

x - 5 x~5 VX - J5

~

-- - - 1 - ) lim (1 xtan x x sin x

@]

lim x (2 +sinx)

lim

x ~ -oo

3x _ 3- x 3 x + 3- x

lim x e x sin ( e -x sin

x ~ + oc

~x )

lim xe sin x

n)

x--++oo

JX=l)

lim (1 + x) cotan x

f)

x~o

sin x

x~o

lim VX ( VX+I -

d)

( x - 1) x- 2 - x+3

eX _ e- x

lim

x --+ - oo

6. Determinare il dominio e il com p ortam ento lim ite agli estrem i del dominio delle seguenti fun zioni: x3 - x2 + 3 x2 + 3x + 2

fh\l

eX

~ f (x ) = 1 + x4

a)

f (x )

=

@]

f (x)

= log [1 + exp ( x

2 :

d)

1) ]

4.4.1 Soluzioni 1. Luuiti:

b)

a) 0 ;

+00.

c) Si ha

lim

x~- oc

. III

=

lim

x ~-oc

x (2 - sin x)

2

(3 + cO :X)

3

x

x

1im cosx = 0 per I·1 C oro11 ano . 4 .7 . x d) Daile disugu aglian ze [xl:::; x < [x] + 1 (Esem pio 2.1 vii)), si deduce im mediatamente che x - I < [xl:::; x , da cui p er x > 0 si ha quanto

1·Hfl -sin -x

2· x - sm x 3x + cos x

x --+ - oo

X

=

x -+ -oo

x -1 [x] - - < - :::;1 ; x x dunque, applica ndo il secondo Teorem a del confronto 4.5, si conclude che lim x~+ oo

[xl x

=

1.

4.4 Esercizi

c)

121

o.

. ch e f() x f) I nnanzit utto osserviamo lim f( x )

x ->o +

=-

=

x - tan x e, una f unzione . diispari, . p er t ant o 2

x

lim f(x) . Sia 0 < x < ~, dalla relaz ione

x ->o -

sinx < x < tanx (per una dimostra zione si veda l' Esempio 4.6 i)) si ha sin a; - tanx < x - tan x < 0

ossia

sinx - tanx ,--X2

------0


o+

sin x (cos x -I) . 11m x 2 cos X

x ->o+

=

1.

Hfl.

x->o+

sin x cos x -I =0 ' cos X x2

--

p er il secondo Teorema del confronto 4.5, concludiamo che

. x - tanx 1nn 2 =0

x ->o+

X

e dunque anche il lim it e cercato vale O.

2. Limiti:

a) -5;

b) O.

c) Si ha

. hm

x -> -oo

x 3 + x 2 +x 2x 2 - X + 3

d) ~ . e) R azional izzando si ha · 1nn

x+ l = + 3 + 3x

x ->-l V6x 2

= f) Ri cordando la formula a3 lim

x->2

~1O X -

-

b3

1· (x +l)(Y!6x 2 +3-3x) im x-> - l 6x 2 + 3 - 9x 2 lim (x + l)(Y!6x 2 +3- 3x ) =1 x -> - l 3(1 -x )(1 +x ) .

= (a - b)(a 2 + ab + b2 ) ,

si ha

x - 2 10 - x - 8 = lim -;--::-:-::-:-;;:;:=:====;~---=---:-;:===-----.2 x ->2 (x - 2) ( {!(10 - xF + 2 ~10 - x + 4)

=

lim

x ->2

-1

{!(1O - xF

+ 2 ijlO -

x

+4

1 -12

122

4 Limiti e continuit a II

no) O·, e) Si ha

i) O.

h) 1 ;

b

J 2x 2 + 3 x ~- = 4x + 2

=

lim

IX1vh + ;2

lim

x (4

x~-=

+

V2

=-

~)

4

lim

x ~- =

V2

- x x

4

3, Lil11i ti:

a) 0 ;

b) 2,

c) Si ha lim sin 2x - sin 3x 4x

=

x~ o

lim sin 2x _ lim sin 3x 4x X ~O 4x

=

X~O

~ 2

_

= _~ ,

~ 4

4

d) Si ha , 1 - cos ,jX I1m 2

e) ~, f) Ponendo

y

I' = x~ 1m o+

2x

x~ o +

= tan x,

Hfl.

x

x~ o +

-

1

2x

= -21 xI'~1mo +

1

= + 00.

2x

si ha

, cos(tan x) - 1 I1m

X ~O

1 - cos ,jX I'

t an x

I'

= ynn ~O

cos Y - 1 y

,

= y~ hm O

cos Y - 1 'y y2

= 0,

g) Ponendo y = 1 - x , si ha cos7!.x lim _ _2_ x~ l 1 - x

lim

lim

y~O

cos7!.( l - y) 2 y

=

, sin 7!.2 Y hm _ _

y~O

Y

= -7f , 2

i) ~,

h) - ~; e) Si ha

X~O

=

J1 + tan x - J 1 - tan x li 1 + tan x - I + tan x = im -:--~~===------;::====~ sin x x ~ o sinx (J 1 + t an x + J1 - tan x ) 1 2 tanx , 1 = - lim - -- = hm - - = 1 2 X~ O sin x X ~ O cos x '

4, Lituiti:

a)

b)

_1_.

log 3 '

2

3'

c) Ponendo y = x - e, si ha lim _l o..:;:g_x__ 1 x - e

=

x~e

lim log (y y~O

=

+ e)

- 1

=

y

lim log (l

+ y j e)

y ~O

Y

lim log e ( 1 + yj e) - 1 Y

y~ O

1 e

4.4 Es ercizi

123

In a lt ernat iva , ponendo z = x[e, si ha lim log x - 1 = lim log( ez) - 1 = ~ lim log z = ~ . x - e z --+l e(z - 1) ez--+lz- 1 e

x--+e

d) 1. e) Si ha

. 2(e 2x-1)+1 hm x--+o + 2x c2 x - 1 1 1 = lim 2 + lim - = 2 + lim - = +00 . x--+ o+ 2x x--+ o + 2x x--+ o+ 2x

2e 2 x -1 lim - - - = x --+o+ 2x

f) P one ndo y = x - 1, si ha log x I. log x . II m - - = im x--+ I eX - e x--+ l e(e x - 1 - 1) = lim log(1 +y) = ~ lim log(1 +y) . _y_ = ~ . y --+o e (e Y - 1) c y --+o y eY - 1 e

g) ~ . h) Ponendo y = x + 1 e ricordando illimitc (4.13) , si ha II·m

x --+- l

x

+1

~x + 17 - 2

= I·Im

y--+ o

Y ~y + 16 - 2

= 16 lim 2

y --+O

V1

y /16

= I·Im

+ f6 -

y --+O

1

Y 2 (V1 + l6

-1)

= 8 . 4 = 32 .

5. Limiii:

a) ~ . b) Si ha . eX - e- x e- x (e 2x - 1) e 2x 1 x . = hm = lim e -x . . 2 . -.- = 2 . x--+ O sin x x--+ O sin x x--+O 2x sin x

lim

c) Si ha 1) I. cos x - 1 I. cos x - 1 x lim ( cotan x - - . - = Hfl = Hfl . -- . x = 0 . sin x x--+ O sin x x --+O x2 sin x

x--+ o

d) 1.

e) Si ha lim x--+ +oo

(Xx

1)X-2=

+3

ex p ( lim (X_2)log X x--++oo

X

1)

+3

= ex p ( lim (x - 2) log (1 _ _ 4_)) = e L x--++oo x +3

.

124

4 Limiti e cont inu ita II

Pon endo y

1 x+3

1

= - - , risulta x = - y

L = lim (.!. - S)log(1 - 4Y) = y ~o + Y

3 e dunque

lim ( log (1-4 Y) - Slog (1 -4 Y) ) = -4 ; Y

y ~o +

per t anto il limit e cercato vale e- 4 .

f) e; 11) Si ha

I' )

g)

2V5.

- "21 '

£) Si ha

Ponendo Y = ~ , il primo limite vale L1

sin 2y

= y lim -~o+ Y

- 2. -

ponendo t = e- x sin ~ e osservando che t

,

->

0 p er x

->

+00 grazie al

Corollario 4.7 , il secondo limi t e vale L2

sin t

= tlim -- = ~O t

1.

In defini tiva illimit e cercato vale 2.

m) Poi che - 1 ::; sin x ::; 1, si ha 1 ::; 2 + sin x ::; 3 da cui x ::; x (2 + sin x) per x > O. Oss ervando che lim x = + 00 e applicando il secondo Teorema del x- +oo

confro nt o 4.8 , si ottiene che il limite cercato vale + 00.

n) - 00. G. Dominio e limi t: di Iuuzioni:

a)

domf =~ \{- 2 ,-1 } ,

lim

x -> - 2 ±

f( x) = ± oo,

b) La funz ione

lim

x ~ - I±

e definita su

tutto

lim f( x ) =

x->+cxo

lim

x-> - cxo

f( x) = ±oo,

f( x ) =

~

lim

x ~ + cxo

f(x) = ±oo.

e si ha eX

x4

_ 4 . - -4 = x 1+x

lim eX.

x -> - cxo

lim

x -> ±cxo

lim

x -> -cxo

lim

x-> +cxo

_ 1_

1 + x4

eX

- 4 = +00, x

= O.

4.4 Es ercizi

c) La fun zion e Si ha

e definita

lim

X---(X)

per x

-I-

0 (si osservi che 1 + exp

f (x) = log lim

(1 (1 (1 (1

x-----.. -(X)

lim f(x) = log lim x--->+= x--->+= lim f( x)

x---> o-

=

log lim x--->o-

lim f( x) = log lim

x---> o+

d ) domf

= lR; x --lim f( x) ±oo

x--->o+

=

O.

2

2 ( X: 1) > 0 sempre) .

1)) = 1= 1)) 1)) = 1= 1))

+ exp ( x + x 2

+ exp ( x + X

2

+ exp ( x + x 2

+ exp ( x + X

125

log

=

0,

+ 00 ,

log

= + 00 .

0,

5 Confronto locale di funzioni. Successioni e serie numeriche

Nella prima parte del capitolo, impariamo a confrontare il comportamento relat ivo di due funzioni nell 'intorno di un punto. A tale fine, introduciamo opportuni simboli stenografici, noti come simboli di Landau, che agevolano la descrizione dell e possibili tipologie di comportamento. Di particolare rilievo e il confronto tra funzioni che t endono a 0 oppure a 00 . Nella seconda parte, vengono ripresi alcuni risultati sui limiti, visti in generale per Ie funzioni, e adattati a l caso particolare delle successioni. Si presentano teeniche specifiche per analizzare il comport ame nt o limite delle successioni . Infine, si introducono Ie serie numeriche e si forni scono i principali strumenti per 10 studio della loro convergen za.

5.1 Simboli di Landau Come gia fatto precedentemente, indichiamo con c uno dei simboli Xo (numero reale) , oppure xci , x oppure ancora +00 , -00. Per 'intorno di c' si intendera un intorno di uno di t ali simboli, come definito precedentemente. Siano dunque f e 9 due funzioni definite nell 'intorno di c, tranne eventualmente nel punto c; inoltre, sia g( x ) =I- 0 p er x =I- c. Supponiamo che esista, finito 0 infinito,

o,

lim f( x)

x ~c

g(x)

= £.

(5.1)

Diamo le seguenti definizioni.

Definizione 5.1 Be £ e .finito, diciarno che tendente a c; in tal caso, usiarno il sirnbolo

f = O(g) , che leggiarno

"f e o grande

f e controllata da

x --... c,

di 9 per x tenden te a c" .

9 per x

128

5 Confront o locale di fun zion i. Su cces sioni e se r ie numer ich e

Tale proprieta puo esse re ult eriorrn ente precisata, distinguendo i seguenti casi:

ee

e

a) Be finito e i= 0, diciarno che f dello stesso ordine d i g randezza di 9 per x tend ente a c; in tal caso, usiamo il sirnbolo j»: g ,

X

----t

C,

che leggiarno "f e equigrande con 9 per x tendente a c ". Corne casu particolare notevole, abbiarno: b) Be = 1, diciarno che f equivalente a 9 per x tend ente a c; in tal caso , usiarno il sirnbolo X ----t C.

e

e

c) Infine, se e = 0, diciarno che f etrascurabile risp etto a 9 per x tendente a c; in tal caso, usiarno il sirnbolo

f che leggiarno

"f

e0

= o(g ),

X

----t

C,

picco lo di 9 per x ten dente a c".

DaIle definizioni preeed enti rest a escluso il eas o in cui aeeade , allora . g(x) 1 ~~ f(x) = = 0,

e sia

infinito. Ma , se cio

e

e dunque pos siamo dire ehe 9 I simboli 0 , :::::::, "'"',

0

=

aU) per x ----t

C.

sono dett i simboli di Landau.

Osservazione 5.2 La definizione dei simboli di Landau puo essere data sotto ip otesi pili generali di qu ella da noi qui eon sider ata , l'esistenza del limi t e (5.1) . Ad esempio, l'espressione f = O(g) per x ----t c puo essere estesa a signifie are ehe esiste una eost ante C > 0 t ale ehe, in un opportuno intorno I di c,

If( x)1

~

C1g(x)[ ,

Tuttavia, la definizione da noi data

\:Ix E I , x

e suffieiente p er

i= c.

il prosieguo dell 'analisi.

Esempi 5 .3 i) Ricordando gli Esempi 4.6, si ha sin z sin x ii) risulta sin x

=

rv

z',

x ----t O,

o(x) , x ----t

= o( t an x ), X

+00,

infatti infatti

----t ~ in quanto

. sinx 11m - - = 1,

x sin x lim - - = 0;

X-' O

x-.+=

X

0

5 .1 Simboli d i Landau SIll X

= x--+~ lim cos x = OJ

lim - tan x

x --+ ~

iii) si ha cos z >: 2x - n ,

X ----+ ~,

129

per che

. cos x . cos (t + ~) li sin t 1 = - l Hl - - = - - . lim - - - = lim 2x - tt t--+ O 2t t --+O 2t 2

o

x--+ ~

Pr-opriet.a dei simboli di Landau i)

E chiaro dall e definizi oni che

i simbo li ec, "', a sono casi par ti colari del simb olo 0 , nel senso che, per x tende nte a c,

f :;;:: 9 => f

=

O(g),

Inoltre, il simb olo '"

f '" 9 => f = O(g),

E utile

=>

f :;;:: g .

f :;;:: g, a llora dall a (5.1) si ha . f (x ) 11m ~( ) x --+c f- g X

ii)

= o(g) => f = O(g).

e un caso particolar e del simbo lo :;;::, vale a dire f '" 9

Notiamo poi che, se

f

=

dunque

1,

f '" £g.

la propriet a

f = 9 + o(g)· 1 Infatti , definiamo h(x )

f "'9

~

~

(5.2)

= f( x ) - g(x ), per cui si ha f (x ) = g(x ) + h(x) . Ora lim f (x ) = 1 x--+ c

g(x )

lim h(x ) = x--+c

g(x )

0

~

~

lim (f (x) _ x--+c

g(x )

1) = 0

h = o(g).

iii) Una semp lificaz ione nei ca lcoli viene dall 'osser var e che , p er ogni costante ..\ =I- 0,

I 0(..\]") = Infat ti , dire 9

aU )

e

= 0(..\]"), significa che

..\oU) = aU)·

~~ :j~;)

1

(5.3)

= 0, il che equivale a

lim jg((x ) = 0, cioe 9 = 0(J) . La seco nda identi t a si dimostra in modo si-

x -c

x

mil e. Prop riet a analoghe alla (5.3) valgono per il simbo lo O . Osser viamo che i simbo li 0(J) e 0U ) non indican o un a parti colar e fun zion e, rna piuttost o una ben precisa propriet a di ogni funzi one rappresentata da qu esti simboli.

130

5 Confronto loc ale di funzion i. Successioni e ser ie numeri che

iv) Notiamo che

f = 0(1) equivale a dire che f t ende a 0 p er x tenden te a c. Infatti, .

hm

X-tC

.

f( x)

f (x) = hm - 1- = o. X -t C

Similmente, f = 0(1) significa che f tende a un limite finito, pe r x tendente a c. Pili in generale (vedi l'Osservazione 5.2), f = 0(1) significa che f e limitata nell'intorno di c: cioe, esiste una costante 0 > 0 tale che , in un opportuno intorno I di c, If( x)1 ::; 0 , \Ix E I , x =I- c. v) La condizione di continuita di una fun zione f in un punto Xo puo essere scritta mediante il simbolo 0 , nella forma equivalente

f( x) = f(xo)

+ 0(1) ,

x

-+

Xo .

(5.4)

Infatti, ricordando la (3.9) , si ha lim f(x)

x---+x o

= f( xo)

lim (J( x) - f( xo))

X---t x o

=0

f( x) - f(xo) = 0(1) , Algebra degli

-+

Xo.

'0'

i) Confrontiamo il comportamento dei monomi x n quando x

n> Infatti ,

x

:En

lim x~ o x m

-+

o. Si ha

m.1

= x~ lim x n - m = 0 se e solo se n - m > o. o

Dunque, per x tend ente a 0, ira due potenze di x esponente maggiore. ii) Consideriamo ora il limite per x

-+

e tras cura bile

quella di

±oo. Risulta, procedendo come sopra, n
0, log x e un infinito di ordine inferiore a - per x x" ii) sin x 2

--7

vi) Le funzioni

f (x) = ;r sin ~ e g( x ) = x sono infinitesime p er x

+00 .

--7

0+ .

tendente a

°(p er

la funzione f , si ricordi il Corollario 4.7). Tuttavia, il quoziente f(( X)) = sin 1 non 9 x X ammette limite per x --7 0: esso assume, infinite volt e in ogni intorno di 0, ogni valore compreso tra -1 e 1. Dunque, ness un a delle relazioni f ;: : : g , f = o(g) , 9 = oU) e soddisfatta per x --7 0. I due infinitesimi f e 9 non sono confrontabili tra lora. 0 Con un linguaggio non rigoroso rna espressivo, quando f e un infinitesimo (0 un infinito) di ordine superiore a g , diremo che f tende a (0 a 00) piu velocemente di g . Cia suggerisce l'idea di ' m isura re la velocita' con cui l'infinitesimo (0 l'infinito) converge verso il suo valore limite.

°

136

5 Confronto locale di funzioni. Succ essioni e serie numeriche

A tale scopo, fissiamo un infinitesimo (0 un infinito)

O. xf3

x~ o+

log x infinitesima per x 1 x campione cp(x ) = x , a b bia mo P ertanto ,

f (x) = - / - e

x log x . 1nn - - -

x~ o +

xC


La prima relazione si ottien e d all a (5.13) osservando ch e 0=

lim x ~ +oo

f(x) - rnx - q = x

lim x~+oo

f( x) _ lim rnx _ lim X

x~ + oo

X

2..

x ~ +oo X

=

lim x ~ + oo

f (x ) _ rn X

'

mentre la seconda relazione segue d irettamente dalla (5.13). Le condizion i (5.14) forniscono il metodo p er la determinazione dell 'eventual e as int ot o di u na funz ion e f . Infat ti , se entramb i i limiti es ist ono fin it i, allora f a m met te l'asintoto dest ro y = rnx + q; se , invece, anch e uno solo dei lim it i (5.14) non e finito , la funzione non ammette asi ntoto. Notiamo chc, se f ammette as intoto obliquo, cio e se rn =I- 0 , allora la prima d elle (5.14) ci dice che f e un infinito di ordine 1 ris petto a ll'infinito cam p ione ±oo

f (x ) = 1

e

lim

x ---> -l ±

f (x ) = =f00

la fun zion e ha un asintot o orizzontale di equazion e y di equazione x = - 1.

VI +

ii) Sia f (x) =

1 e un asintot o verticale

x 2. Risult a lim

lim f (x ) = +00,

e

=

x -±oo

f (x ) =

x --->±oo

(

lim

( ~ + x) =

x -> - oo

.:-lx.. :. .lv_ _ l _+_x_-_

x ---> ± oo

X

1 + x2

-

1 + x2

-

= ±1

x2

Vf+X2 = 0, x --->+oo 1 + x2 + X

~ - x ) = lim

lim

x ---> +oo

x

2

lim

Vf+X2 x -> -oo 1 + x2 lim

x2 = O. x

P ert anto la funzione ha un as intoto ob liquo p er x -+ +00 di equazione y = x e un as int ot o obl iquo per x -+ -00 d i equazione y = - x . iii) Sia f (x ) = x + log x . Si ha lim (x + log x )

x---+O+

= - 00,

lim (x + log x ) x-+oo

= + 00

. X + log x . lim = 1, hm (x + log x - x ) = + 00. x- +oo x x - +~ Dunque la funzione h a un as int ot o vertica le (des tro) di equazione x ha as int ot i ori zzon t ali od obliqui.

=

0 e non 0

5.4 Ulteriori proprieta d elle successiom Riprendiamo qui 10 stud io del com portament o limite delle succession i iniziat o nel P aragr afo 3.2. I teoremi gener ali sui limi ti delle funzi oni valgono anche per Ie successioni (che sono parti colari funzioni definit e sugli int eri). Per comp let ezza , ne ripo rtia mo gli enunc ia ti adattati a lia sit uazione specifica. In oltre enuncia mo e dimostriamo ult eriori propriet a specifiche delle succ essioni. Diremo che una success ione {an }n>no verifica definitivamente una certa propriet a se esiste un in t er o N ~ n o tale che la successione {an } n ~ N verifica tale pr opriet a .

142

5 Confront o loc ale di fun zio ni . Su ccessioni e serie nurncrich c

Teoremi sulle successiorii 1. Teorema di uniciia del limite: illimit e di una successione , se esiste, e unico . 2. Teorema di limit at ezza: un a successione convcrgente e limitat a. 3. Teorema di esist enza del limite delle successioni m onotone: un a su ccessione definit iva mente monotona, se e limit at a allora e converge nte; se non e limit at a allora e divergente (a + 00 se e crescente, a -00 se e decr escen t e). 4. Primo Teore ma del confronio: siano {an} e {b n} due successioni tali che esistano, finit i 0 infiniti , i lirniti lim an = e lim bn = t n: Se defini ti vamen t e n ---+ (X) vale an .:::; bn , allora e.: :; tn, 5. Seco ndo Teorema del confronto: siano {a n}, {b n } e {cn} t re succession i tali che lim an = lim Cn = e. Se definiti vament e vale an .:::; bn .:::; Cn , all or a Tl. --l' CX)

n ---+ oo

lim bn

n -+ oo

= e.

e

n -+ oo

G. Teorema: una successione {an }

e infi nitesima, cioe nlim an = 0, se e solo -> oo

se la succession e {Ianl} c infinitesima. 7. Teorema: sia {a n} una successione infini t csima e {bn } un a successione limit at a. Allora la successione {anb n} e infinit esim a . 8. A lgebra dei lirniti: siano {an} e {bn } d ue successioni tali che lim an = e e lim bn = t ri (e, m finit i n -> oo

0

lim (an ± bn )

n ---+ oo

lim an bn

n ----+CXJ

n -> oo

infinit i) . Si ha

= e± t ti ,

= Em ,

. an e se defini ti vamen t e b =I- 0 , IlIn - = n b« m' ogniqualvolta l'espression e a seco ndo membra e defini t a sec on do la tabe lla di pag. 98. 9. Teorem a di sost ituzi one : sia {an } una successione tale che lim an = e e n -> oo

sia 9 una fu nzione defi nita in un intorno di e. a) se e E lR e 9 e continua in e, allora lim g (a n b) se

n-> oo

n -> oo

)

e tf. lR ed esiste il lim g(x ) = m, allora nlim -+ oo

Dimostraziono.

x---+I!.

= g(e); g(an ) = m.

Provi.uno solt a nt o il Tcorcma 2. in quanto gli nltri si ott cn gono udatt ando Iacihucntc lo nu a log hc duuostrazioui fornit.o p er lc h ui zioui . Supp onimno sia da ta la succcs sionc {a,,} " 2:Tl o couvcrgcntc a £ E R Allora. Iissato c = 1. cs ist e 111l intcro 111 ~ 110 talc che 1 0,, - £1< 1 per ogni 11 > /I) . Per tali /I si lin quindi . usanclo la disuguaglian za t riangolaro ( L 1),

Dunquc

J11. 1::/11 ~

10,,1 = 10,,- £+£1':::; 10,,- £1+1£1 < 1+ If! j· poncndo J\[ = lllax{ lo"ol.... .1 0/11 1.1+ I£I} si lia 10,,1 .: :; 710 .

0

5.4 Ulteriori proprieta d elle sueeession i

143

Esempi 5.18

= q" ; dove q e

i) Consideri amo la successione, detta succession e geometrica, an un numero fissa to in 1Ft Facciamo vedere che

lim qn =

n -> oo

{

o

se Iql < 1,

1

se q = 1,

+00

se q

non esiste

se q ::; - 1.

> 1,

Se q = () oppure q = 1, la successione e costante e dunque banalmente convergente a 0 e a 1 rispettivamente. Se q = -1 , la successione e ind et erminata . Sia or a q > 1; osserviamo ch e la successione e strettamente cres cent e e dunque am met te limite. P er mostrare che illimit e e +00, scriviamo q = 1 + r con r > 0 e applichia mo la formula (1.13) del binomio di Newt on : qn

=

(1 +

-r- = ~ (~)rk = 1 + nr+ ~ (~)rk.

Oss ervando che tutt i gli ad dend i dell 'ul tima somma sono po sitivi, otteni amo la disuguaglianza (1

+ r )"

2: 1 + nr ,

tin 2: 0 ,

(5.15)

detta disuguaglianza di Bernoulli" . Dunque qn 2: 1 + nr; passando al limite per n ----+ 00 e us ando il Primo teorema del confro nt o, si ha il risultato desiderato. 1 Esamini amo il caso Iql < 1 con q =1= 0; notiamo che IQT > 1 e quindi , per qu anto visto prima, nl.!...~ (

1 IQT

)n

=

+00.

Dunque la successione {Iqln}

pertan to pure la successione {q n} 10 Infine, sia q < - 1. Poiche lim q2k

k -+ CX)

la success ione

=

a"

lim (q 2 l =

k ---+(X)

e infinitesim a e

e.

+00,

lim q2k+1 = q lim lk

k ----> oo

k -w oo

= - 00,

e indeterminata.

ii) Sia p un numero fissato > 0 e consideriamo la successione applicando il Teorema d i sost it uzione con g( x ) = v", lim

n ---+(X)

1

fIP =

lim pl / n

fIP.

Si ha ,

= pO = 1 .

r ~ -+ oo

Usando il Principio di induzione , "" Principia di induziane, si puo dimostrare ehe la (5 .15) va le in realta p er ogni r 2: -1.

144

5 Confronto locale d i funzion i. Successioni e serie nurnerich e

iii) Consid eriamo la successione yin ; us ando ancora il Teorema di sostituzione e ricordando la (5.6) c), si ha lim y'n

n ---+

log n

0

= nlim ex p - - = e = ---+ co n

1.

o

Esistono alcuni criteri di facile applicazione per d ecidere se una succ essione infinitesima 0 infinita . Tra questi , il pili usato e il seguente.

e

Teorema 5 .19 (Criterio del rapporto) Sia {a n } una su ccess ione per cui dejinitivamente valga an > o. Supponiamo che esist a jinito 0 injinito il

. an+l 1Hfl. - - = q. an

n ---+ CXJ

S e q < 1, allora lim an 71., ---+00

=

0; se q

> 1 allora lim an = +00 . n ---+

Dimostraxionc . Supponianio chc a" > 0 , Vn 2: 110. Sia q < 1 c poniamo E: = 1 - q. Dalla d cfin iziou c di limite segue chc osistc 1111 iutcro l l-e 2: no talc chc per ogni II > liE; si ha a +1

-n - < q + E: = 1 , a /l

oss ia

an + 1

< a" .

Dunquo la succcssionc {all} C dcfinitivainoutc iuonotona de er esccnt o c portanto aunncttc lim it e fiuito c 2: O. So fosso i= 0 si avrcbbc . a ,,+1 e (] = 11111 - - = - = 1 11- ---+ 00 an e

e

contro l'ipotosi cho q < 1. Se q > i . c sufficicnt o con sidornrc la succcssionc {1/ a,,}.

e

0

Osservazione 5.20 E possibile dare una diversa dimostrazione del t eorema precedente che evid enz ia la velo cit a di convergenza a 0 0 a + 00 della su ccessione. Consid eri amo, ad esempio , il caso q < 1. Sempre d all a definizione di limite, per ogni r con q < r < 1, ponendo E: = r - q, esiste n E; 2: no t ale che p er ogni ti > n E; si ha an+1 - - < r ossi a an+l < r an an e, reiterando, (5.16) (la giustificazione rigorosa d i tale formula richi ede l'applica zione del Principio di induzione '"V7 Principio di i nduzione ). Concludiamo us ando il Primo criterio del confro nt o e il com portame nto lim it e d ella successione geome t rica (Es empio

5.4 Ulteriori pr oprieta delle successioni

145

5.18 i)) . La (5.16) mostra che la successione {an} tende a 0 tanto pili velocemente quanto q e piccolo. Analoghe con siderazioni valgono nel caso q > 1. 0 Da ultimo consideriamo alcune successioni significative che tendono a +00 . Confrontiamo illoro comportamento limite in base alla Definizione 5.10. Precisamente, prendiamo in esame le successioni

11

~g n ,

(a > 0, q > 1)

n a, n q , n., , n n

I

e facciamo ved er e che ciascun a e un infinito di ordine superiore rispetto alla pr ecedente. Il confronto tra le prime due su ccessioni e immediato usando il Teorema di sostituzione e la (5.6) c); otteni amo logn = o(na) per n ----700 . I successivi confro nt i possono essere effet t uat i considerando di volt a in volta la suc cessione quoziente delle due che si vogliono confront are e applica ndo il Cri terio del rapporto 5.19. Precisamente, poniamo dapprima an

a

= nqn .

q1 < 1, Dunque, lim an n--->CXJ

= 0 ovvero n a = o(qn) per n

. . qn d P om amo poi an = " a n.

Infine, sia an =

~; nn

n

----7 00 .

----700 .

.

CUI

qn+l n! (n + I)! qn e quindi qn = o(n!) per n

Allor a

q

+

( n ) 1 n!

n'. = -qn

+1

----7

0 < 1,

n

----7 00 ,

----7 00 .

allora

(n + l)n! n" (n) n (n + I)! nn (n + l)n+l ;r = (n + l)(n + 1)n n! = n + 1 1 1 1 n ----7 00 ,

( n~ 1

r

e dunque n! = o(nn) per n

(1 + ~

----7 00 .

r

----7

~
OC

= O.

Tn

lim (s - s,,)

ll ............. cx:;

=

S -

S

=

O.

o

Esempio 5.27 Consideriamo la serie, detta serie geo met r ica, 00

dove q e un numero fissato in lR. Se q = 1, risulta Sn = ao + a 1 + . .. + a n = 1 + 1 + . .. + 1 = n + 1 e lim Sn n -+ oo Dunque la serie diverg e a +00. Se q -=I- 1, si ha, grazie alia (5.18), 1 _ qn+1 Sn = 1 + q + q2 + . .. + qn = _ ----.::'-----_

= +00.

1-q

Ricordando l'Esempio 5.18 , otteniamo I

lim Sn

n -+ oo

= nlim -+ oo

1- q

se

1-q

1 _ qn+1 {

Iql < 1

+00

se q

non esist e

seq :S; -l .

>

1

In defin itiva converge a _ 1_

1- q

00

L(/ k=O

{

diverge a

+ 00

e ind eter rnin at a

se

Iql < 1

se q 2: 1 ,

se q :s; - 1 .

o

5.5 Seri e numeriche

151

L 00

ak, non sempre e possibile stabilire il suo comportamcnto k=O facendo uso della dcfinizione. Infatti puo accadere che la successione delle ridotte non sia calcolabile csplicitam ent e. E utile allor a avere dei criteri che garantiscano la convergenza 0 la divergenza della seri e. Nel caso in cui si abbia convergenza , l'eventual e problema di calcolare il valore numerico della serie potra essere affro ntato facendo ricorso a tecniche pili sofisticate, che esulano dallo scop o di questo t esto.

Data una serie

5.5 .1 S erie a t e rmini positivi 00

Si tratta di serie L ak per cui si ha ak ;::0: 0 p er ogni kEN . Vale allora il seguente k=O risultato. 00

Proposiz io ne 5 .28 Sia L ak una seri e a termini positivi . A llora la serie k=O converge 0 div erge positivamen te. Dim ost ra zione. La success ione

s.,

0

C mon otona cresce nte, infatti Vn;::O: O.

E sufficiente lim

Jl -

OO

8n

allora applicar e il Tearema 3.9 pCI' concluclere che esiste, finito 0 uguale a +00 . D

Enunciamo or a al cuni crit eri per 10 studio della convergenza di serie a termini positivi, per la cui dimostrazione rimandiamo a '"'-+ Serie numeriche .

00

00

Teorema 5 .29 (Criterio d el confronto) Siano L ak e L bk due serie k=O k=O numeri che a t ermini posi tivi e si abbia 0 :::; ak :::; bk , per ogni k ;::0: O.

Lb

00

00

i) S e la seri e 00

00

k

k=O

L ak :::; L bk; k=O k=O 00

conv erge, allora conv erge an che la seri e L ak e vale k=O

00

ii) se la seri e L ak div erge, allora div erge anc he la seri e L »: k=O k=O

152

5 Confronto local e di fun zioni. Successioni e se r ie nurneriche

Esempi 5.30 1

Lv 00

i) Si consideri la serie

PoicM

k=l

1

L 00

e la seri e di Mengoli

1

k2 < (k _ l)k Vk ~ 2, 1 (k _ l)k converge (E sempio 5.24 i)), possiamo conclu-

k=2 dere che anche la seri e data converge e la sua somma 2

e :::; 2.

Si puo dimostrare

'iT

che la sua somma vale

6 '

ii) Si consideri la serie

L

00

1

k' detta serie

k=l

armonica. Nel Capitolo 6 (Esercizio

12) , verifi ch er emo la disuguaglianza 10g(1 cui segue che 1 1 10g(1 + k) < k ' quindi , poiche la serie flog (1 k=l

+~)

+ x)

:::; x valida per ogni x > - 1, da

Vk ~ 1 ;

diverge (Esempio 5.24 ii)), possiamo

concluder e che anche la serie arrnonica diverge. iii) Per un'estensione dei casi precedenti si veda l'Esempio 10.14 i).

0

Enunciamo ora un utile criterio che gene ralizza quello del confronto.

L ak 00

Teorema 5 .31 (C r it e r io d el con front o asintotico) Dat e due serie

k=O

L bk a term ini positi vi, se le successiotii {ak }k2:0 e {bk }k2:0 sana equiqrasuli 00

e

k=O per k

----7

00,

allora il comportame nto delle due serie coin cide.

Esempi 5.32 i) Si consideri la serie

~ ak = ~ k 2+ 3 . Sia bk = ~ , allora L2k +5 k

L k=O

k=O

lim ak = ~. bk 2 Dunque la serie data ha 10 stesso comportamento della ser ie armonica e pertanto diverg e. k ~ oo

5.5 Serie numeriche

ii) 8i consideri la seri e

L

00

1

k=l

1 Poiche sin k 2

L sin v 00

ak =

k=l

serie data si com p orta come la serie

L

00

k=l

rv

1 k 2 p er k

153

----+ 00 ,

1 k 2 e dunque converge .

la 0

Enunciamo infine due crite ri, di natura algebrica e sovente di facil e applicazione , che forniscono condizioni .sufficient i per la convergenza 0 la divergenza di una serie.

L ak con ak > 00

T e o r ema 5.33 (C r it e r io d el r apporto) Sia data la serie 0 , 'r/k

O. Si supponga che esista, jinito

~

injinito, il lim ite

0

lim ak+1 = k->oo ak A llora se

k=O

e.

e < 1, la serie con verge; se e> 1, la serie

div erge.

L ak con ak ~ 0, 00

T eorema 5 .34 (C r iter io d ella radice ) Sia data la seri e 'r/k

~

O. Si supponga che esis ia, jinito lim k->oo

A llora se

0

injinito, il limit e

k=O

ifiik = e.

e < 1, la seri e converge; se e > 1, la seri e diverge.

Esempi 5.35 "

•

•

•

I) 81 consideri la sene

L

00

k

3 k ' Allora ak

k

= 3k

e akH

k+l

= 3 k+ 1 ; dunque

k=O . ak +1 . 1k +1 1 lim - - = Inn - - - = - < 1. k- oo a k k -s-co 3 k 3 P ertanto, applicando il Criterio del rapporto 5.33, la serie data converge. 00 1 ii) 8i consideri la serie kk . Allora k=l

L

.!.

lim if(ik = lim = 0 < 1. k- oo k- oo k Pertanto, applicando il Criterio della radice 5.34, la ser ie data converge .

0

154

5 Confronto locale di funzioni. Successioni e seri e numeri ch e

Si noti che, sia p er il Criterio del rapporto si a per il Criterio d ella rad ice, non si puo concluder e nulla nel caso in cui

e= 1. Ad esempio , Ie serie

f

~

f :2

e sono k=l k=l rispettivamente divergente e convergente, rna en trambe soddisfano la condizione in ciasc uno dei due cri teri con = 1.

e

5 .5.2 Serie a termini di segno alterno Si tratta di serie della forma 00

bk > 0 ,

con

Vk

~

o.

Vale il seg ue nte cr it erio dovuto a Leibniz. Teorema 5.36 (C r it e r io di Leibniz) Data una s eri e a termini di segn o 00

alierno l:) -l )kbk , se vaLgon o Le du e con dizioni k=O lim bk = 0 ; k-.oo ii) La su ccessione {bd k>O

i)

allora La eerie

e monotona decresc esite ,

e conue rqen ie . D etta s

La sua somma, per ogni n

~

0 si ha

e

Esempio 5 .37 00 1 Consideriamo la serie armonica a segni al t erni ' " ( _ l )k -k' Poich e lim bk ~ k ----+ oo k=l

lim k-. oo

~

=

0 e la successione

{~} e monotona strettamente decrescen te , la k k ~l

serie converge .

D

P er studiare Ie serie a termini di segno arbitrario , d i convergenza assoluta .

L ak converge asso lu tamente se 00

D efinizi o n e 5.38 Si dice che La serie

L

00

converge La serie a termini positivi

k=O

e u tile in trodurre il concet t o

k=O lak I·

5.6 Esercizi

155

Esempio 5.39 1

L (_l) k k 00

La serie

k=O

2

1

L v: 00

converge assolutarnente in quant a converge la serie

k=O 0

II segu en t e criterio assicura che la converge nza ass oluta irnplica la converge nza dell a serie.

L ak 00

Teorema 5.40 (C r it e r io di convergenza assoluta) S e la serie converge assolutamente, allora essa converge e si ha

k=O

Osservazione 5.41 Esistono serie che convergono rna non asso lutarnente. Ad esem p io, la serie arm onica a seg ni altern i

L

00

L (_l) kk1 converge, men tre la se rie 00

k=l

1

k di ver ge. Dunque la serie arrnonica a seg ni altern i non converge k=l ass olutarnente. Diremo in tal caso che la serie converge semplicemente oppure condizionatamente. 0 armo nica

II cr iterio precedente permet t e d i studiare seri e a segno vari abil e considerando ne la convergenza assoluta. Essend o la serie dei valori asso luti a te rmini posit ivi, si posson o a pp licare a tale serie i criteri visti nel P aragrafo 5.5.1.

5.6 Esercizi 1. Confro n tare gli infinitesimi:

~

x - I,

b)

-x 3 ' e-

1

V~ -

x

,

x 2 e-

(JX - 1) 2 per x ----d

1, x

,

x 2 3-

x

per x

--+

+00

2. Confrontare gli in fi niti:

.'1)

~ b)

3/.11

4 --+

+00

x -log -x ' x log x , x 23 x , 3 x log x per x

--+

+00

2

Vx

- 2x 2 ' I

pe r x

x4,

(X ) og 1 + x

156

[I]

5 Confront o local e d i fun zioni . Succession i e se r ie numerich e

Verificare che f (x) = VX + 3 - J3 e g(x ) = VX + 5 - V5 sono infinitesimi dello s tesso ordine p er x - 7 0 e determinare e E lE. tale che f (x ) '" eg(x) p er x - 7 o.

4 . Verificare che f (x ) = -Yx3 - 2x 2 + 1 e g(x ) = 2x + 1 sono infiniti dello stesso ordine p er x - 7 -00 e deten ni nare e E lE. tale clJe f (x ) rv fg(x) p er x - 7 - 00.

5. Determinare l'ordine di infinitesimo e la p arte prin cipale risp et to a ~(x) = ~ p er x - 7 + 00 delle Iun zioni : 2

L:2J f ( ) = 2x + l

x - I

l

si ha , p er x

----+

lim \I x (x - 1) x->l 1 --- x

=-

lim ijX(x - 1)2/ 3 = 0

x~ 1

I' (x - 1)2 I' x - I = x--->1( im = x---> im = 0, x-l)(yIX+l)2 1 ( fi + l )2

1,

X - - l= O ( ~)

,

(y'X - 1)2 = o(x - 1) .

Dunque possiamo ordinare , dall 'ordine minore al maggiore, i tre infinitesimi:

\I~x -I,

x -I ,

(y'X _ l)2 .

5.6 Ese rci zi

Si pu o a rr ivare a llo stesso risul t at o osservando che , per x

3~ V-;; - 1= e che

,fi - 1 = e dunqu e (,fi _ 1)2

rv

V

1 X - -x-

J1+ (x -

->

159

1,

- (x - 1) 1/3

rv

1) - 1 rv

~ (x 2

1)

t(x _1 )2.

1 b) In ordine crescente si ha : 3' x 2e x

x

e- x , x 2 3- x .

,

2. Couironto eli uiiiuiti:

a) Si ha

Dunqu e \lx ll inferior e a x 4 .

2x 2 = o(x 4 ) per x

-

x4 Si ha immedia t amen t e 1 ( ) og 1 + x

V'x ll

lim

x~ + oo

-

2x 2 log (l

->

+00 e V'x ll

= o(x 4 ).

+x)

--------;----=--"------'x4

.

ossia V'x ll

2x 2

-

degli infiniti

=

a

e:

COg(~~ x ) ). \lx 11

2x 2

-

,

log(l

+ x ) V'1 -

2x - 9

x 1/ 3

x~+oo

=

e un infinito di ordine

In oltre,

hm

=

2x 2

-

lim

log(l

+ x) = 0

x 1/ 3

X~ + OO

'

In concl usione, l'ordinam en to crescente

log (l

b) In ordine di infinit o cresce nte si ha : x log x,

+ x)

,

2

-x1 ,

og x

3 x log x , x 23 x .

3. P oiche lim

JX+3 - V3 =

X~O J x + 5 - J5

lim (x + 3 - 3)( JX+5 + J5) = lim JX+5 + J5 = ~ X~O (x + 5 - 5) ( J x + 3 + V3) X~O J x + 3 + V3 V3"

p ossiam o dir e che f (x ) rv 4. Risul t a f (x )

rv

Vi g(x )

~ g(x ) p er x

->

per x

-00 .

->

O.

160

5 Confro nt o local e d i fu nzion i. Successioni e serie numer ich e

5. Oniine di iuiinitesiuio c p ar tc prin cipele: a) Si ha lim

x~+oo

f (x ) -l / x c>

= lim z" x ~ + oo

2x 2 + x4

2 + X- 9/ 5 = lim 2x c> - 2. x ~ +oo x2 x~+oo

Tale limi t e e finito e uguale a 2 se 0' = 2. P ertant o I'ordine di infinit esim o di f (x ) e 2 e la sua part e princip ale e p(x ) = x22' In altern at iva , si puo osservare che , p er x ----+ + 00, ( ~ - x ) x~+oo

=

lim xC> x- +oo

sin ( Vx2 - 1 - x) VX2=l x2 - 1 - x

(~ - x) .

In alternat iva, si puo utilizza re la segue nt e osservaz ione : sin g(x) rv g(x ) p er x ----+ XQ se la funzione g(x ) e infinit esi m a p er x ----+ XQ. A llora, p er x ----+ + 00, si ha

sin ( ~ - x)

rv

~-x

e dunque , p er la Proposizion e 5.5, direttamente lim x C> sin

X~+~

(~ - x)

=

lim xC>

x ~+ ~

(~- x)

Co ns iderand o quest 'ultimo limite, si h a lim

x ~+ oo

rir:':

xC> ( V x 2 - 1 - x

)

=

xC> Xc>- l 1 = lim = 2 x ~+oo v x - 1 + x x ~ +oo ) l + 1 + 1 2 lim

se 0' = 1. Conclud ia mo che l' ord in e di infinit esimo 1 P(x ) = 2x '

x2

e1 e

la part e prin cipal e

e

5.6 Esercizi

161

d) Risul t a log

(9 + sin ~) - 2log 3= log 9(1 + ~ sin ~) - log 9= log (1+ ~ sin ~) x 9 x 9 x i

Poi che, per x ----. +00, sin ~ '" g~ (si veda I'osservazion e fatta nell 'esercizio precedente) e log(I + y) '" y per y ----. 0 si ha .

hm xC> f (x)

x-+ +oo

=

.

1 . 2

hm xC> - sm 9 x

x-++oo

=

.

hm

x-++oo

2x C> -9x

9 parte princip ale

e

se a = 2. P ertanto I'ordine di infinit o di f e 2 e la sua parte princip ale p( x) = - x 2 . b) L 'ordine di infinito di f e 1 e la sua par te prin cip ale e p(x) = 2x .

e

se a = 1. Dunque I'ordine di infini t esim o di p( x) = g2x '

f

e 1 e la su a

2

6. Ordin e di infinit o e parte principale:

a) Si ha

7. Online eli infinitesim o e parte prin cipale: a) Si ha VI

+ 3x

. VI IHfl.

- 1 '" ~x p er x ----. 0; infat ti

+ 3x

x -+O

~x

Inoltre sin 2x 2

'"

- 1

= I'Hfl. -2 x -+O 3

1 + 3x - 1 . = hm x ( VI + 3x + 1) x-+ O VI

2

+ 3x + 1

= 1.

2x 2 p er x ----. 0 e quindi

f( x) '"

~x . 2x 2 2

ossi a

f( x) '" 3x 3,

X ----.

O.

e 3 e la sua part e prin cip ale e p(x) = 3x 3. f e 2 e la sua parte principale e p(x) = - ix2. f e 3 e la sua par te principale e p(x) = _~ x3 .

Pertanto I'ordine di infinite simo di f b) L'ordine di infinitesimo di c) L'ordine di infinitesimo di

d) Usando la relazione eX = 1 + x

+ o(x)

per x ----. 0, si ha

se a = 1. Dunque I'ordine di infinitesimo di p( x) = x .

f e 1 e la su a par t e principale e

162

5 Confronto loc al e di funzioni. Su ccessioni e serie numeriche

e 2 e la sua parte principale e p(x)

c) L'ordine di infinitesimo di f

= _~x2 .

f) Ricordando che 1 cos x = 1- 2 X2 +o(x 2)

~=

(1 + x 3)1 /2

et= 1 + t + o(t ) si ha

f(x) =

:r

= 1 + ~x3 + o(x 3)

Pertanto

x

2

----+

1 2 +0(2) e l -2x x _ e1

+ 21 x 3 +0(x 3) = e ( e - '2 X 2 + 0(2) x 0

1 3 +0 (3)) _ e2X x

(3) x )

e( - ~ x2 +o(x 2)) = _~ x2 +o(x 2) ,

X ----+ 0 .

f ha ordine di infinitesimo 2 e parte principale p(x)

8. Online eli infinitesimo e part e ptincipnle: a) Poniamo t

=x-

log x -log3 Poiche log (1

3 e osserviarno che t

= log(3 + t)

+ ~) '"

~ per

0,

t----+O ,

1 3+ 1 2 + o(x 2) - 1 - 2x = e ( 1 - 2x

=

0,

----+

- log 3

°per x

----+

= IOg3(1 +

----+

= _ ~X2 .

3. Allora

D

= log (1 +

- log 3

D·

t ----+ 0, risulta 1

f(x) = logx - log 3 '" 3(x - 3) ,

x

----+

3.

= ~(x - 3) . e p(x) = 1" (x - 2).

Dunque f ha ordine di infinitesimo 1 e parte principale p(x)

b) L'ordine di infinitesimo di f e 1 e la parte principale c) Ricordando che e t - 1 '" t per t ----+ 0, si ha

f(x)

= e(e

X2

= e(x

-

1

-

1) '" e(x 2

+ 1)(x -

-

1)

1) '" 2e(x - 1)

per

x

----+

1.

Dunque f ha ordine di infinitesimo 1 e parte principale p(x) = 2e(x - 1) . d) L'ordine di infinitesimo di f e 1 e la parte principale e p(x) = -(x - 1f). e) Poniamo t = x - 1f . Allora

Poiche t

----+

°

per x

1 + cos x ----+ 1f ,

f( x)

= 1 + cos (t + rr) =

1 - cos t .

risulta 1 - cos t '" ~t2 e dunqu e 1

= 1 + cos x '" 2(:1; - 1f)2,

X ----+ zr.

P ertanto f ha ordine di infinitesimo 2 e parte principale p(x) = ~(x - 1f)2 . f) L'ordine di infini tesimo di f e 2 e la parte principale e p(x) = -~( x - 1f)2.

5.6 Eser cizi

163

9. Luniii:

a) Ricordando che , p er x

0,

----t

e

si ha lim

VI +

3x 2

cos x

-

x 2 COS X

x-+O

=

lim

1 + 1x 2 2

x -.O

.

= lim

-

1 + .!x 2 + o(x 2 ) 2 x2

2x 2

+ o(x 2 ) = 2 . x2

=

lim log(3 -

x -'O

b) O. c) Posto Y = 3 - x , risulta L

lim log(3 - VX+T) 3- x

=

x-+ 3 -

lim log(3 - 2)1 - y/4) .

=

Y

Y -'O+

Poiche )1 - y/4 L

=

J4=Y)

Y

Y -' O+

1 - ~y + o(y), Y

=

lim log(3 - 2+ Y-'o +

= lim Y -+ O+

Y

----t

0, si ha

t +o(y)) =

lim

log(1 +

y

Y -+O+

t +o(y) = ~ . Y

t + o(y))

4

d) II limi te no n esist e, rna illimit e destro vale + 00 e qu ello sinist ro -00 .

10. Doiuiuio e nsintoti: a) La fun zione e definita per x 2 - 1 > 0, ossia per x < - 1 e per x > 1; pert anto dom f = (-00, -1) U (1, +00). Si osservi che la funzion e e pari , pertan to il suo comportamento per x < 0 si puo dedurre da qu ello p er x > O. Si ha

x 2 (1 + x -+ ±oo Ixl

lim

f( x) =

lim

f( x) = : = +00 ,

x-+±oo

x -+ -] -

lim

0

...L) 2

y'1 _ -fx x

=

lim

x - d oo

lim f( x)

x-. j +

x2 [z]

=

+ 00

= 0: =

+ 00 .

Quindi la retta x = - 1 e as intoto verticale sinistro e la retta x = 1 e asint ot o verti cale destro; non vi sono asintot i orizzont ali . Cerchi amo l'eventuale asint ot o obliquo per x ----t + 00:

164

5 Confront o locale d i fun zion i. Su cces sioni e se rie nurnerich e

f (x ) · -- = 1Hfl x~+oo x

x

1·un

x~ +oo

x

+ x\-) =

2

(1

2

~1 1 VL- X:;:

1

x 2 + 1 - x VX2=1 ~ x~+oo V x2 - 1 . (x 2 +1)2 - x 4 + x 2 = Inn x ~ + oo v x 2 - l( x 2 + 1 + x vx 2 - 1)

lim (J( x ) - x ) =

x~+ oo

=

lim

lim

x~+oo x 3

VI-

+1 (1 + x\ + 3x 2

x\

VI -

lim

x~ + oo

x\ )

3x 2 2x

-:3

=0

dunque la retta y = x e asi nt oto obliquo destra. Pe r x -+ - 00 , si puo proced ere in m aniera analoga, ot t en endo che la ret t a y = -x e as intot o obliquo sinistro . b) dom f = JR; y sinistro. c) La fun zione

= x + 1f

asint oto obliquo destra , y

e defini t a per x #-- ~' dunque dom f

· f( x ) = 1·Hfl x 1un

x~-oo

x ~ -oo

2-

(x+ l) (2 -x ) = 2x + 3

= x-

=

1f

as int oto obliquo

JR \ {- ~ }. Inoltre

1·un

x~ -oo

2 2x - x -2 = 2x + 3

- 00

2 1·1m x - (x + l )(x - 2) = 1·Hfl x+ 2 1 -- = X ~ + OO x~+oo 2x + 3 x~+oo 2x + 3 2 x 2 - (x + 1)(2 - x ) 4 lim f( x) = lim = - = ± oo ; x-t -~ ± X~ -~ ± 2x + 3 O±

· 1un

f() x =

quindi la retta y = ~ e asint oto or izzontale de stro e la ret t a x as int oto ver ti cale. Cerchiamo l'eventual e as intoto obliquo sinistro: lim x ~ -oo

e un

2

f (x) = lim 2x - x - 2 = 1 x x ~ - oo x (2x + 3)

lim (J( x) - x ) =

x~-oo

pertanto la rett a y = x - 2 d) dom f = JR \ { ±1}; x comp let o.

-23

lim

x~+ oo

-4x - 2 = -2 ; 2x + 3

e as int oto obliquo sinistra .

= ± 1 as int oti ver tical i; la ret t a

y

=x

e asint oto obliquo

e) dom f = (- 00, -1) U (0, +00 ); asi ntoto or izzontale y = e, as int oto verticale sinistra x = - 1.

f) La fun zione f e defini ta per x + eX > O. P er ris olvere tale d isequaz ione , osserviamo che g(x) = x + eX e una funzione stre ttame nte cresce nte su JR (somma di due fun zioni avent i t ale proprieta) con g( - 1) = - 1 + ~ < 0 e g(O) = 1 > O. Applicando il Teorema di esistenza degli zeri 4 .23 , si deduce l'esistenz a di un uni co punto Xo E (-1 ,0) tale che g(xo) = o. Dunque g( x) > 0 per x > Xu e dom f = (xo , +00 ). Inoltre

5.6 Esercizi

lim f( x)

x---+xt

=

log lim (x

x---+xt

+ eX) = - 00

e

lim

x ----.. +CX)

165

f( x) = +00 ;

qu indi x = Xo e un asintoto verticale destro e non vi sono asintoti ori zzontali p er x ----+ +00. Cerchiamo I'eventuale asintoto obliquo destro:

f( x) =

lim

x

x ---> +oo

log ex (1 + xe- X) =

lim

X

x ---> +oo

= 1

+

x+ log(l+ xe-

lim

X)

X

x --->+oo

log(1 + xe - X) = 1 , x lim log (1 + xe - X) = 0 lim

x --->+oo

=

lim (f(x) - x)

X ---++CX)

in quanto

lim xe- x

x --->+ oo

=

x- +oo

0 (si ricordi Ia (5.6) a)). Pertanto la retta y

=x e

asi nt ot o obliquo destro. 11. Com portamen to di successioui:

a) Div erge a

+00.

b) Indet errninat a .

c) Ricordando il com portament o della successione geometrica (Esempio 5.18 i)) si ha lim an

n ---> oo

= lim

n ---> oo

4n ((~) n 4

4n(4 - n

1)

+ 1) =

-1

,

quindi la successione converge a - 1. d) Diverge a

+00.

e) Scriviamo

2n(2n-l) .. · (n + 2)(n + l ) 2n 2n-1 n+2 n+l = - · - - - · · · - - · - - >n +l n(n -l) .. · 2 · 1 n n -l 2 1 '

an=

poiche lim (n + 1) = n ---> oo

si deduce che la

+00, p er il secondo Teorema del succession e div erge a +00.

confro nto (caso infinito) ,

f) Converge a 1.

g) Poiche

2

~ + 2 log n 2 -n+l )

an = exp ( V n 2

n +n+2

'

studiarno la successione b., = V

2-n n +l n + 2 log n 2 + n + 2 =

~ 2

Osserviarno che

. I im

n--->oo

e quindi

V

~ 2

( 2n+l ) n + 2 log 1 - -n"'"2-+- n-+----,-2

2n + 1 n2 + n + 2

=0

166

5 Confront o locale d i fun zroni. Snccessioni e se rie numeri che

log ( 1 - 22n + 1 ) n +n+2

rv

2n

n2

+

1

+n+2

n-> oo.

'

Allora · bn -I Hfl

-

n~ oo

Jn2+2 (2n + 1)

I·l Hl

n2

n~ oo

lim

+n +2

2n 2

- 2-

n~ oo

n

= - 2;

du nque la successione {an} converge a e- 2 . h) Post o x = 2- n 7l", osserviam o che x -> 0+ p er n . hm an

n --+ oo

e la success ione {an} converge a

----> 00 .

Dunque

. sin x = x-lim 7l" - - = 7l" o+ X tt .

i) Osser viamo che n + 17l" cos - n-"2

=

quindi , post a x

tt ) = cos (7l""2 + 2n =-

.

Sill

7l" 2n ;

2:' si ha

7l" lim an == - lim n sin - == n ~ OO 2n

n ~ oo

lim

x~ o +

7l" sinx == 2 x

7l" 2

e la successione {an} converge a - ~ .

e) Converge a - ~ . 12. Limiti:

a) O. b) Poiche ~ -> 0 per n

J+ ~ 1

n

----> 00,

si ha

= 1 + J:..+0 2n

e quindi nlim ~ oo n (

c)

o.

(~) n

e

Q)

Vr:;I T ; - V 1

1 -

;

= nlim ~ oo n

(~ 2n + O (~)) n

3 2

d) Non esist e.

e) Scr iviamo

2

V 3n 3 + = exp

(~IOg(3n3 + 2))

e osse rv ia mo che 3

~ log(3n3 + 2) = log (3n (1 + ~ ) ) = log 3 + 310g n + log (1 + ~) n

n

n

n

n

5.6 Esercizi

167

Inoltre n dunque

.

1

lim - log(3n 3

n ---+ oo

n

---+

00 ;

(n

+ 3)(n + 2)(n + 1) -

+ 2) = 0

e quindi il limite cerc at o vale eO = 1.

f) Scriviamo

n'((n + 3)(n + 2)(n + 1) - 1) n 2(n + l)n!

(n+3)! -n! n 2(n + I)!

n 2(n

1

+ 1)

e quindi

+ 3)' - n! = lim (n n 2(n + I)! n -> co

lim (n n -> co

g) Poi che

R1 1 (3 ) Vr;;I-1

+ 3)(n + 2)(n + 1) n 2(n + 1)

1+-=1 + - +0 n 3n

si ha lim n

n -> co

1

(1) n

,

n

---+

= nlim n (~+ -> co 3n 0

--r ;

1

=

1.

00,

(~)) = ~3 . n

h) 1.

13. Studio della convergenza di scrie a termini positivi: a) Converge . b) Osserviamo che il t ermine generale ak t ende a + 00 p er k ---+ 00 . Pertanto per la Propriet a 5.25 la serie div erge po sitivam en te. In alte rnativa, e possibile utilizzare il Criterio della radice 5.34. c) Applich iamo il Criterio del rapporto 5.33: · ak+1 - = I'Hfl IHfl

scrivendo (k

+ I)!

=

(k

'

'

k-s- oo

ak

+ l)k!

e sernplificando, si ottiene

a k +1 · Iim -

k-> co

ak

Ne segue che la seri e conver ge.

k-> co

3 k + 1 k'. (k + I)! 3k

=

I'im -k-3

k -> co

+ 1 = O.

168

5 Con fronto locale d i fun zioni. Successioni e serie numeriche

d) Applichiarno nuovarnente il Criterio del rapporto 5.33 : ' ak+1 I' I l Hl - - = Hfl

k-..oo ak

k -r-- oo

1 < 1. e

(k+l)! . -kk = lim ( -k- )k (k + 1)k+1 k! k -s- cx: k+1

Dunque La serie converge. e) Osserviamo che

7

7

=-

k ---7 00 , per k k Pertanto, applicando il Criterio del confro nt o asintotico 5.31 e ricordando che la seri e armonica diverge, possiamo concludere che la serie data diverge.

ak '" k - 2

f) Converge. 14, St udio della convergenza di serie a termini di segno nltern o: b) non converge.

a) Converge semplicernente; c) Poiche sin la serie ass egn ata

(br + ~) =

cos ( k1f) sin

~ = (-

1)

e a termini di segno a lterno con bk

k

=

~, sin t , Risu lta

sin

e P ertanto, per il Criterio di Leibniz 5.36 , la serie converge. Osserviamo che la per k ---7 00 , dunque la seri e non converge assolutamente in quanto sin seri e dei valori assoluti si comporta corne la serie armonica che diverge. d) La serie converge assolutamente in quanto, usando una delle equivalenze di p ag . 131, si ha

t '" t

k

---7

00 ,

e quindi, ricordando l'Esempio 5.30 i) , possiamo applicare il Criterio del confronto as int ot ico 5.31 alia ser ie dei va lori assoluti. 15. St udio della convergenz a di serie: a) Converge. b) Osserviamo che 1

I S~2kl 0)

1

e la fun zione g'( x) =

Se poi eons ide ria mo la fun zione h(x)

=

(I ) . oga x loga( - x) (con x < 0), ehe

dalle fun zioni x ~ -x e g(y) , abbiamo ancora h'( x) 1

( loga ) x

= (I

1

e eomposta

)( )( -1) = oga -x

. Sintetizzando i due preeedenti risult ati , possiamo dire ehe la derivata

della fun zione g(x)

=

log a Ixl (con x =I- 0)

e la funzione

g'( x) = ( 1) log a x

Notiamo che, con la seelta della base a = e, si ha ehe la derivata della fun zion e

g(x) = log Ixl

e la fun zione g'( x) = .!.. x

D

Osservazione 6 .11 Sia f( x) una fun zion e deri vabile e st rettame nte po sitiva in un intervallo I . Grazie a l ri sultato preeed ente e al Teor ema 6.7 , la der ivata della fun zione eomp osta g(x) = log f( x) e dat a da

'( ) _ 1'(x) f( :1;) '

9 x -

L 'espressione

j

vien e detta derivata logaritmica della fun zion e

f.

D

Concludiamo questo paragrafo con un'ut ile eon segu enz a del Teorem a 6.7 .

I una Junzion e pari (rispettiv ame nte dispari) derivabile in tutto il suo dominio. A llora la derivata l' e una Junzion e dispari (rispettiv ame nte pari) .

Proprieta 6.12 Sia

Dirnost razionc. Se la funzionc J e pari , si ha f (- .1; ) = f (x ) per ogni x E dornf . Deri viam o ambo i me mbri di questa ugu agli anza , osservando ehe la funzione f ( -:r) e composta dalla fun zione x ~ -x e dalla funz ione y ~ f (y) e, per t an t o, la sua deri vat a e la fun zione -1'( -.1;). Ne segue che 1'(-:r) = - 1'(1;) per ogni .» E dorn j, cioe la funzio ne l' e disp ari , In modo ana logo si rag iona se f c dispari. D

180

6 Calcolo difTerenz iale

Per cornod it a dell'allievo , Ie derivate delle principali funzioni eleme nt ari sono raccolt e nella sottostante Iista,

(vo E ffi.) D sin x

= cos x

D cos x = - sinx 2

D t an x = 1 + tan x = D arcsin x =

-2X

1

Vf=X2 1

= - --=== 2

D arct an x

=

=

1

COS

~==

D arccos x

D a"

. -

J1 - x 1

--2

l+x

(log a) aX

in par ticolar e,

1

D log, Ix l = (Ioga ) x

in particolare,

1

D log lx l = -

x

6.3 Punti di non derivabilita Abbiamo gia osservato che la funzione f(x) = [z] e continua rna non derivabile nell'origine. D 'altra parte, essa e derivabile in ogni altro punto della retta reale, in quanta coincide con la semiretta y = x per :1; > 0 e con la semiretta y = - x p er x < O. Abbiamo quindi f'(x) = +1 p er x > 0 e 1'(.7:) = - 1 per x < O. Ricordando la definizione della funzione Segno (Esempio 2.1 iv)), possiamo scrivere sinteticamente che D Ixl

= sign(x) ,

p er ogni x =1= O.

L'originc e dunque un punto isolato di non derivabilita per la funzione y = Ixl. Tornando all 'espressione (6.2) del suo r apporto incr ementale nell 'origine, notiamo pero che esistono finiti i limiti da destra e da sinistra: . L\f I im ~=1,

X~o+

Cia suggerisce la seguente

.wX

. L\f hm =-1. L\x

x ~o-

6.3 Punti di non derivabilita

181

Definizione 6.13 Sia f una fun zion e definita in un intorn o destro di Xo E K Essa dicesi derivabile da destra in Xo se esiste fini to il limit e destro del

L1f rapporto incrementale tra Xo e x, per x tendente a Xo. Il numero Teale L1x ., ( ) j + Xo =

l'

Hfl

x-xci

f( x) - f( xo ) . x - Xo

=

li

l Hl

Llx -O+

f (xo + L1x ) - f( xo ) L1 x

dicesi derivata destra di f in Xo. La definizion e di derivata sin ist r a I': (x o) e analoga. Se la funzione f e definita solo in un intorno destro (sinistro) di Xo ed e derivabile da destra (sinistra) in x o, diremo piu sempliceme nte che la funzione e derivabile in Xo e scrivcr emo f'( xo) = f~(xo) (J'( xo) = f~( xo)) . Ri cordando la Proposizione 3.24 sui limiti, abbiamo innanzitutto il seguente criterio di derivabilita , Proprieta 6 .14 Una fun zion e f definita in un in torna di un punta Xo E lR c derivabile in Xo se e solo se e derioabile da destra e da sinis tra in .TO e le derivate destra e sinistra coincidono. In tal caso si ha

.f'(xo)

= f~(xo) = f~ (xo ) .

Se invece f e derivabile da dcstra e da sini stra in Xo rna le derivate destra e sinistra sono diver se (come accade alla funzione f( x) = Ixl nell 'origine) , diciamo chc Xo e un punto angoloso per f (si ved a la Fi gura 6.2). II tcrmine deriva dal fatto che, da un punto di vista geome t rico, la derivata destra di f in Xo rappresenta il coe fficiente angola re della retta tang ent e destra al grafi co di f in Po = (xo , f( xo)) , ossia della posizione limite delle rette secanti il grafico di f in Po e in punti P = (x , f( x)) con x > Xo via via piu vicino a xo. Se la tangen te des tra e la tangente sinistra (definita in modo a nalogo) non coincidono, esse formano un angola in Po.

Figura 6.2. Punti di non derivabilita: l'o rigine e un punta a ngoloso (a sinist ra}, un punto a tangen te verticale (al ce nt ro ), un punta d i cuspide (a destra)

182

6 Calcolo differ cn ziale

Altri casi ril evanti di non derivabilit a si hanno qu ando in Xo esistono (fini ti oppure infiniti) i limiti destro e sinistro del rapporto inc rem entale d i 1, che ind ichiamo ancora ri sp ettivamen te con i simb oli I~( :ro) e I~(xo) , rna uno almeno di essi e infinito. Precisamente , se uno solo t ra I~ (x o) e I~ (xo) e infinito, di ciamo ancora che Xo e un punto angoloso per 1. Se I~(xo) e I~ (x o ) sono entrambi infiniti e di segno concorde (e dunque il limi t e completo del rappor to inc reme ntale esiste e val e +00 oppure - 00), di ciamo che Xo e un punto a tangente verticale per 1. Tale e il caso della fun zione I( x) = ijX nell 'o rigine ; si ha infatti

I'nn -ijX = I'1m 3ro± x x--->o± V x 2 Se invece I~ (xo) e I~ (xo) sono ent rambi infiniti rna di segno dis cord e, dici amo che Xo e un punto di cuspide per 1 . Tal e e il caso d ella fun zionc 1(·1:) = nell'origine; si ha infatti

v1XT

I~(O) = x--->o± lim v1XT = lim v1XT = x--->o± lim 1 = ±oo. x x--->o± sign (x ) I:rl sign (.1:) v1XT Diamo infin e un utile criterio pe r stabilire la der ivabilit a di una funzione in un punto xo. La dimostrazione, che utilizza il Teo rema di de l'Hopital , verra presentata nel P aragrafo 6.11. Teorema 6.15 Sui 1 una fun zion e continua in Xo e derivabile in tutti i punti -I Xo di un iniorn o di xo. Be esiste finito il limite per x -+ Xo della [un zion e l' (x) , allora 1 e derivabile anche in Xo e si ha

x

.f'( xo) = lim .f'( x). X-tXo

Esempio 6.16 Consideri amo la funzione

a sin 2x - 4

I( x) = { b(x -l)+ ex

se x < 0,

sex2 0, e chied ia moci se esistono valori dei parametri real i a e b per i quali 1 risulti derivabile nell 'origin e. Imponiamo innanzitutto la continuita di 1 nell 'origine (ri cordiamo che un a fun zion e derivabile e necessariamente con tinua). Abbiamo lim I( x)

x--->o-

=

- 4,

lim I(x)

x--->o+

= 1(0) = - b + 1;

uguagliando i due valori , ot t eniamo b = 5. Con t al e val or e di b, po ssiamo all or a imporre che i limi ti destro e sinistro di I' (x) p er x -+ sia no uguali , in modo che illimi t e complet o di 1'(x) pe r x -+ esista finito , e p oi a pp licate il Tcorem a 6.15. Abbiamo

°

°

6.4 Punti di estremo e punti crit ici di una funzion e

lim j'( x)

x---+o-

=

= 2a, otteniamo a = 3.

lim 2a cos 2x

x ---+ o-

uguagliando i due valori ,

lim j'(x)

x---+ o+

=

lim (5 + e" )

x---+ o+

183

= 6; 0

Osservazione 6.17 Nell' ap plicaz ione del Te orema 6.15 non si dimentichi di verificare l'ipotesi di continu ita nel punta :l:o. Infatti la sola esis t enza del limi te della f' non bast a a garant ire la derivabilita di f in xo. Ad esem p io, f (x) = x + sign x e derivabile per ogni x =I=- 0 con f'( x) = 1. Pertanto lim f'( x) = 1 ma la fun zione, non essendo con t inua, n on

e derivabile in

x

=

x--->O

O.

0

6.4 Punti di estremo e punti critici di una funzione Definizione 6.18 Sia Xo E dorn f. Si dice cite xo e punto d i m a ssi m o relativo (0 lo cale ) per f se esis te un intorno Ir(xo) di Xo tale cite

f (x)

~

f(xo).

Il ualore f (xo) dicesi massimo relativo d i f . Si dice cite Xo e punto d i massimo assoluto (0 g lobale) per

Vx E dornf,

f( x)

~

f

se

f (xo).

Il ualore f (xo ) dicesi massimo assoluto d i f . In tutti i casi, il massirno si defini sce st retto se si Ita f( x) < f( xo) per x =I=- xo·

Le definizioni di punto di minimo relativo e assoluto si ot tengono dall e precede nti sost it uend o il simbolo ~ con 2:: nelle disu gu aglianze . Un punta d i minimo o di rnassimo verra indicato genericame nte come punto di estremo per f .

(I~ XQ

XQ

~I

,

Figura 6.3. Va ri ti pi d i punti d i m assimo di una funzion e

XQ

184

6 Calcolo differ enziale

Esempi 6.19 i) P er la parabola 1(.7:) = 1 + 2x - x 2 = 2 - (x - 1)2, il punta Xo = 1 e punto di massimo assoluto st ret to. II valore 2 e il massimo assoluto della fun zione. Si noti che la der ivata 1' (x) = 2(1 - x ) si annulla nel punto di mas sirno . Non vi sono punti di minimo (ne rela t ivi, ne assoluti).

ii) Pe r la funz ione g(x) = arcsinx (si veda la Fi gura 2.24 ), il punto Xo = 1 e punto di m assimo ass olut o stret to , ed il valoro massirno e l Invece, il punto X l = - 1 e punta di minimo ass olut o stretto , con valore m inimo - ~ . In quest a caso, i punti di estremo di 9 sono punti di non derrvabilit a della funzione. D Siamo int eressati ad individuare i punti di est remo d i un a fu nzione. A t al e scop o, se la funzione e derivabile, puo essere utile cere are i punti in cui la deriva t a si annulla. D efinizione 6.20 Di cesi punto critico (0 stazionario) di una fun zion e ogni punio Xo in cui f sui deri uolnle e si abbia l' (x o) = O. Un punto critico orizzontale.

e dunque un

f

punta in cu i la t angente al grafico della funzione

(,

,, ,, ,

, ,

Xo

Xl

Figura 6.4 . Vari ti pi d i punti cr it ici di una fu nzione

Teorema 6.21 (d i Fermat) Sia f definita in iuiio uri iniorno di uri punio XQ e deriuabile in XQ. Be Xo e punic di esirem o per i, allora

.f' (xo ) = 0, cioe Xo

e punta

criiico per f .

e

6.4 Punti di est remo e punti critici di una fun zione

185

Dimostrazione. Supponiamo, per fissar e le idee, che Xo sia un punto di massimo relati ve per f e sia IT(:ro) un suo intorno t alc che f (x ) ::::: f (xo ) per ogni x E IT(:ro). In tale intorn o si ha quincli Lif = f( x) - f(x o) ::::: o. . , Ll:r " = x - Xo > 0, I'1 rapporto incr . em en t a 1e --;:;Lif e, Sex> xo, cioe Ll X

::::: 0; pert an to , grazie al Corollario 4.3 del Teore ma di perrn an en za del segno, si ha ·

1l Ifk x --->xt

f (:r) - f (xo) < 0 X -

·'];0

-

.

Viceversa .. se x < xo., cioe Lix < 0, il rapporto increm en t al e

e 2: 0; pertanto,

·

1l Hl x ---> x ,-;-

f (x ) - f (xo) > 0 .1; -

·'];0

-

~f Ll X

.

Ricordando la Proprieta 6.14, si ha

.'( )-

.t Xo -

li

Hfl x --->xt

f (x ) - f (:ro) _ li -

X -

Xo

un

x --->x,-;-

f (x ) - f (xo ) X -

·'];0

,

dunque f' (xo) deve essere conte mpora neamente ::::: 0 e 2: 0 e pert an to deve essere null a. In modo analogo si ragiona quando .'];0 e punta di minimo re lat ive 0 per f . II Teorema di Fermat garantisce che, per un a funzione derivabile, i punti di estremo int erni al dominio vanno ricercati tra i punti crit ici della fun zione. Tuttavia, una fun zione puo avere punti crit ici che non sono punti di est remo (si veda la Figura 6.4) . Ad ese m pio, la fun zione f(x) = x 3 ha I'origin e com e punto cri tico (p erche j'(x) = 3:r;2 = 0 se e solo se x = 0), rna non ha punti di est remo essendo st ret t am ent e cres cente su t utt o ffi.. D 'aitro canto, una funz ione puo avere punti di estre mo che non sono punti critici (si ved a Ia Figura 6.3) ; cio accade qu ando un punto di estremo interno al dominio e punta di non derivabilita (come ad esempio Ia fun zione f( x) = [z], che ha ii suo minimo assolut o nell 'origin e) , oppure quando un punto di estremo non e interno al dominio (come visto nell'Esempio 6.19 ii)) . Dunque, per trovare tutti i punti di est rem o di una funzione, puo non essere suffieiente eereare i punti erit iei della fun zione. Riassumendo, i punti di est re mo di una funzione vanno rieereati t ra i punti del dominio di f eh e sono i)

0

punti crit ici;

ii)

0

punti d i non derivabilita ;

iii)

0

est rem i (in ffi.) del dominio.

186

6 Ca lcolo differenziale

6.5 I Teoremi di Rolle e Lagrange I Teoremi di Rolle e di Lagrange , ch e ora present iamo, so no di fondamental e importanza nello stud io delle funzioni derivabili su un in t ervallo.

Teorema 6.22 (di Rolle) Sia f una funzion e definita su uri intervallo chiuso e limitato [a, b], continua su [a , b] e derivabile (alme no) su (a, b). Be f(a) = f(b) , allora esiste Xo E (a, b) tale che

f'(Xo)

=

0,

cioe esiste almena uri punto critico di f in (a,b).

f( a) = f(b)

{]~ ---,, ,, ,

, ,

,,

a

, , , , , , , , ,

---- - -

XQ

, , , , , , , , , b

Figura 6.5. II Teorema di Rolle

Dimostra ziono. 11 Teorcma di Weierstra ss ass icura che l'irnmagin e f ([a , b]) di f e un int ervallo chiuso e limitate [rn, !II], essc ndo m c 111 rispett ivame nte il minimo e il massirno della fun ziou e sull' interva llo: rn

= min f (:r ) = f (x m ) , " E[a,b]

111 = max f (x ) = f (XfIl ), " E[a,bl

per op port un i x m , :l;fIl E [a, b]. Sc tti = !II, a llora f c costantc su [a , b]' dunque in particolare f' (:1:) = 0 p er ogni x E (a, b) e la t csi e dimostrata . Sia inve cc m < PoicltC m ~ f (a) = f (b) ~ !II , un a alrn en o t ra lc discqua zioni st rette f(a) = f (b) < 111 oppure m < f (a ) = f (b) do vr a cssc re soddisfatta. Sc f( (1) = f (b) < 111, il punta di m assim o as solu t o .TAl non pUG coinc idere ne con a ne con b; pertanto , .Till E (a, b). Abbia rno dunquc trovato un punta eli cstre mo p er la fun zion e [, interno al

u.

6.5 I Teoremi d i Roll e e Lagr ange

187

elominio c in cui f e dcri vabilc, 11 Teorerna eli Fermat ga ra nt isce allora chc z Ai e il punto critico :z;o cerc ato. Se m < f (a) = f (b), si dimostra con un ragion amento analogo D cite :f", e il punta cr it ico Xo cerca to. 11 t eorema assicura l'esistenza eli almeno un punto crit ico eli mostra la Figura 6.5 , i punti crit ici possono essere pili eli uno.

f

in (a, b). Come

Teorema 6 .23 (d i Lagrange 0 del valor m edio) Sia f una fun zion e definita su un intervallo chiuso e limitato [a, b]' continua su [a , b] e derivabile {alm eno) su (a , b). Allora, esiste Xo E (a , b) tale che

f(b ) - f(a) = b- a

r: .)

(6.9)

Xo .

Ogni punio Xo che soddisfi talc relazionc dicesi punto d i Lagrange per f in (a, b) .

f (b)

,,

, " ;,, ---------:;y----------, ,

( ; I

/

/ '

" " :

I I I

"

f (a) __ _____ 1/: a

XQ

"

"

.,

'

, I

: I

, , :

,

:

b

Figura 6 .6 . Punta d i La grange p er f in (a, b)

Dimost razion e. Cons ide riamo la fun zione a usi liaria dcfinita su [a, b]

g(;z;) = f (:l: ) -

f (b) - f(a ) (.1; - a). b -a

Essa e cont inua su [a, b] e eleri vabi le su (a, b), pcrch e elifferen za elella funzion c i, chc ha p er ipo t esi t ali propriet a , c eli un a funz ione affine, che e cont inua c eler ivabilc su t utto R Not iarno chc si ha

g' (x ) = f' (x ) _ f (b~ - f (a). - a

188

6 Calcolo d ifferenziale

Si vcrifica facilmente che

g(a) = f (a),

g(b) = f (a).

Pert anto, t ut te le ipotesi del Tcorem a di Rolle sono soddisfat te dalla fun zione g. Ne segue che esiste un punta Xo E (a, b) t ale che

' ( . ) -1" (,. ) f (b)b - f(a ) -- 0, :£ 0 - a

g .T O -

che

e pr ecisarnente la (6.9) .

D

II significato geometrico del Teorema di Lagrange e illu st rato dalla Figura 6.6. In ogni punta di Lagrange, la retta tange nte al grafico di f e parallela alla ret t a secante il grafico nei punt i di asc issa a e b. Esempio 6.24 Sia f (x) = 1 +x + VI - x 2 , definit a neIl'intervallo [-1 ,1]. Essa e cont inua su t ale intervaIlo, in quanto ottenuta componendo funz ioni elernentari cont inue . Inoltre, essa e derivabile neIl'int ervallo ape rto (-1 ,1) (rna non nei punti est re mi): si ha infat ti

f' (x) =I - ~2 .

1- x Dunqu e, le ip ot esi del Teor em a di Lagr ange sono soddisfat t e da i , che quindi am met te alme no un punta di Lagrange in (-1 ,1) . La (6.9) diven t a

1 = f(1) - f( -I) = f' (x o) = 1 -

che

e soddis fatta da Xo =

1 -( -1 ) O.

Xo , J1- x 6 D

6 .6 Prima e seconda formula dell'incremento finito Stabiliamo ora du e utili for mul e per rappresent are l'increm ento di una fun zione tra due punti del suo dominio. In iziamo supponendo che f sia una funz ione der ivabile in un punto xo. P er definizione, si ha lim f( x) - f( xo) = j' (xo) , x->x o

X - Xo

vale a dire lim (f( X) - f (x o) _ f'( x X -> X o

X - Xo

o))

=

lim f( x) - f( xo) - f'( xo)( x - x o) X -> XO

X - Xo

ossia, con la simbologia di Landau int rodot t a nel P aragr afo 5.1,

f( x) - f( xo) - j'(xo)(x - x o) = o(x - x o),

x

-+

Xo.

= 0,

6.6 Prim a e seconda formula dell'inc remento finito

f (.7;O+ L1.x ) L1.f f (x o)

/

-------------------: --- --------------

----/ y =

:

-1

y

=

189

f( x)

~ (.d x )

-

: f'( xo)L1.x I

- - - - - -r - - - -

t(x )

L1x

: I

:

I

I I

I I

I

I

I

xo

xo

+ L1. x

Figura 6 .7. La prima formul a dell'increm ento finito

Tale relazione puo essere scritta in forma equivalente come

f( x ) - f (xo) = f' (xo)(x - xu) + o(x - xu),

x

-->

xu,

(6.10)

ovvero , ponendo .:1x = .7.: - Xo e .:1f = f( x) - f( xo) ,

l .:1 f = .t'( xo).:1x + o(.:1x) ,

.:1x

-->

o.

(6.11)

Le (6.10)-(6.11) sono espressioni equivalenti dell a prima formula dell'incremento finito il cu i significato geometrico e illustrato nella Fi gura 6.7. Essa dice che , se f '(xu) #- 0, l'incremento .:1f dell a variabile dipendente, corr ispo ndente ad un incremento .:1x della variabile indipe ndente , e proporzionale a .:1x stesso, a meno di un infinitesimo trascurabile risp etto a .:1x . In pratica, cio significa che, per .:1x abbastanza pic colo, siamo aut orizzati a confondere .:1f con f '( xo).:1x . Consideria mo ora una fun zion e f continua su un int ervallo I di ffi. e deri vabile nei suoi punti int erni . Fi ssiamo du e punti X l < X2 in I e osserviamo che f e cont inua su [Xl, X2 ] e derivabile su (Xl , X2 ). Pertanto, le ip ot esi del Teorem a di Lagrange sono sodd isfat te dalla funzione f ristretta all'int ervallo [Xl , X2]. Dunque esiste X E (Xl , X2 ) t ale che

f( X2) - f( xd = f'( x) , X2 - X l ovvero esiste X

E

(Xl , X2) t ale che (6.12)

190

6 Calcolo d ifferen ziale

Tale formu la viene ch iamata secon da for mula dell'incremento finito. Si noti che il punt a x dipende dai punti Xl e X2 m a , in gen erale, tale dipendenza non e esp licita. L'importanza della formula viene d al fatto ch e essa permette di ottenere delle informazioni sull 'incremento J( X2) - J( xd d al com p ort a me nt o della funzione f' nell 'int ervallo [Xl , X2]. La seconda formula dell'incr em ento finito puo essere us ata per descrivere il comportamento di una fun zione nell'intorno di un punto Xo in modo piu preciso rispetto a quanta fat to d alla prima formula d ell ' incremento finito . Supponiamo che J sia una funzione continua in Xo e derivabile in tutto un intorno di Xo t ranne eventualmente in Xo . Detto X un punta di tale intorno e applicando la (6.12) nell 'intervallo di est rem i Xo e X otteni amo la relazione

IL1J = J' (x )L1x , I

(6.13)

con x compreso tra Xo ex. Tale espressione della seconda formula dell'incremento finito rappresenta l'incr emento della variabile dipendente L1J come se fosse proporzionale all 'in cr em ento della variabile indipendente L1x ; in realt a , il co efficiente di proporzionalita, che e il valore de lla derivata prima in un punta vicino a Xo e in generale non noto, dipende ess o stesso da L1x (e da xo). Un 'al tra a pp licaz ione della seconda formu la d ell'incremento finito , che tornera utile nel seg uito, e la seguente.

Proprieta 6 .25 Una Jun zione definita e deri uabile su un inieruallo I della retia Teale e costan te su I se e solo se la sua deri uaia e ivi id enticam ente nu lla . Dirnostrazion e. Indichiarno con

f la fun zionc, Supponiamo dapprima chc J sia . ;)':0

cost ante; per ogm

E

I , I·1 rapporto incrementa . Ic "---'''---'--''----''----'-J(x) - f( xo) :y - :yo

con x E I , X i=- xo , e nu llo e dunque, per dcfinizionc eli derr vata, J' (:r;o ) = O. Vicevcrsa, supp oniamo chc J abbia dcrivata nulla su I c facciamo vcd erc che f e costante su I . Osserviarno che cia equivale al fatto che Siano dunquc Xl, ;)':2 E I ; applichiamo la seconda formu la dcll'incremento finito (6.12) alia funzione dcrivabile f . Allora, per un opportune x compreso tra X l c :Y2, si ha

Concludiamo che

fled =

f( :Y2 ).

o

6.7 Intervalli d i rnonotonia di un a funz ione

191

6.7 Intervalli di monotonia di una funzione Come prima rileva nte a p p licazione dei ri sult ati a pp ena stab ilit i, affront iam o 10 studio della monotonia di una funzione.

Teorema 6 .26 Sia I un in te rv allo ed f una [uiizion e deri vabil e su I . Valgono le seque n ti im plicazioni: a) Se

f

e cresce n te su

I , allora f' (x) 2': 0 per ogni x E I .

bl } Se f' (x ) 2': 0 per ogni x E I , allora f b2) se f' (x )

>0

per ogni x E I , allora f

e cresce n te su I ; e strett arnen te cresce n te

si: I .

Dimostrazione . Dirnostriamo a). Sia f crescente su I . Co ns ide ria mo dapprima un punto Xo interno ad I . Pe r ogni x E I tale che x < ;ro, si ha

f( :1:) - f (x o) ::; 0

~f

Per t an t o, il rap port o incremcntale canto, per ogni ;r E I talc chc

x - Xo
0 per ogni z E I , a llora la (6. 12) implica f(X2) - f (.1: t} > 0 e dunque anche la b2) e ver ificata. D

192

6 Calcolo differ en ziale

b" " : ~ ~

7/ //' ./ ~

f( xI)

"

/

" "

"

'"

/

'" "

I

:

,," I

1

I

, ,, , ,

,

I

Xl

Figura 6.8. Dimostra zione delle implica zioni b) rela ti ve a l Teorem a 6.26

II t eorem a app ena dimostrato affer ma dunque che se su I si ha l' equivalen za logica

1 j' (x ) :::,: O, 'VxE I

1 e una funzi one deriv abile

1 e cres cente su

I

I

e l'implicazione

j' (x) > 0,

'Ix

E

I

===:}-

1 e strettame nte

crescente su I .

Osserviamo che non e possibile rovesciare l'ultima implicazione, cioe dedurre dal fatto che 1 sia strett ame nte crescente su I il fatto che I' (x) > 0 p er ogni x E I . Come gia osservato, la funzione l( x) = x 3 e st ret t amen t e cr escente su JR, rna la sua der ivata si annulla nell'origine. Un enunciat o analogo al teorema preced ente val e sost it ue ndo 'crescente ' con 'dec rescente' e i simboli :::,: , > rispettivamente con:S, t (x ) per x

i- x o.

6.9 Convessit a e flessi

/

195

y = t (x)

:r:o

xQ

Figura 6.9. Funzione st re t tame nte convessa in concava in X Q (a destra)

Xo

(a sinist ra) e fun zion e st ret tamente

Le definizioni di funzione concava (0 avent e conoavita rivolta verso il basso) e strettamente concava si otten gono dalle pr ecedenti sostituendo i simboli 2 e > rispet tivamente con ::; e 0 per ogni .1: E I , allora f e stretiame nie cotiuessa

bl ) Be .f"(x) ::::: 0 per ogni x E L, allora f b2)

su f.

6.9 Convessit a e flessi

Dirnostrazione.

197

L'enunc iato segue dal teo rerna pre cedente, applica ndo alia fun zione l' il Tcore ma 6.26. D

Tal e risul t ato si puo enunciar e nella seguente forma. Se derivabile due volte su J si h a I'equivalenza logica

j"( x) 2 0 ,

f

Vx E I

e convessa

f

su I

e un a

funz ion e

I

e l'irnplicazione

j"(x) > 0,

Vx E I

==::}

f

e st ret t amente convessa su I .

An che in qu esto caso, come per la caratte rizzazione della monotonia di un a funzione, l'ultima implicazione non pu o essere rovesciata. Ad esempio, f( x) = x 4 e st ret tarnent e convessa su JR., rna la de rivata seconda si a nnulla nell'origine. An aloghi enunciati , con le ovvi e modifiche, valgono p er le funzioni concave. Corollario 6.38 Sia f derivabile due volt e in un intorno di xo. Valgono le seguenti implicazion i:

a) Se Xo

e pun to di fl esso

di [ , allora 1" (xo) =

o.

b) Sia I" (xo) = O. Se f" e di segno diverso a destra e a sinistra di xo, allora Xo e punto di fl esso per f (precisament e, il fl esso e ascendent e se 1"(x ) :S 0 a sinistra di Xo e 1"(x) 2 0 a destra di xo, discendent e n ella situazione opposta) . S e invece f" non cam bia segno a destra e a sinistra di xo, allora tale punto non e di fl esso per f . La dimostrazione, che si appoggia sull 'uso della formula di Taylor , verra data nel successivo P aragrafo 7.4. Si pr esti at te nz ione al fatto che la condizione f"( xo) = 0 da sola non e sufficiente a garantire che :.co sia un punto di fiesso per f. Se ad esempio consideriamo la funzione f( x) = x 4 , la sua derivata seconda f"( x) = 12x 2 si annulla in Xo = O. Tuttavi a, l'origine non e punto di fiesso per f : la t angente al grafico di f in Xo e l'asse delle as cisse y = 0, ed il grafico di f si trova sempre al di sopra di t ale retta . Si noti che f" non cam bia segno in xo. Esempio 6.28 (s eguito) Per la funzione f (x) = x e2 x si ha 1"(x) = 4( x + 1 )e2x , che si annulla in X l = -1. Poiche f" (x) > 0 se e solo se x > -1 , la fun zione f risulta strettamente concava nell'intervallo (- 0 pe r z > 0; invece, cosh x > 0, per ogni x E R Lo st ud io della monotonia delle Iunzioni segue facilmente dal fa t t o che D sinh x = cosh x

e

D cosh x = sinh x ,

\:Ix E JR .

Dunque il seno iperbolico e stret t amente cr escente su tutto R Il coseno iperbolico e strettamente crescente su [0, + 00) c st re t t ame nte decrescente su ( - 00, 0]; il punto x = 0 e punta di minimo assoluto con cosh 0 = 1 (e quindi cosh x :2': 1 su JR). Derivando ulteriorrncnte si ha D 2 sinh x

= sinh x

e

D 2 cosh x

= cosh x ,

\:Ix E JR.

P er t anto la fun zione seno ipe rbolico e strettamente convessa su (0 , + 00) e strett amente concava su (- 00,0) e l'origine e punta eli flesso asce ndente. Invece la funzione coseno ip erbolico e stret tamente convess a su tutto R I gr afici delle funzioni iperboliche sono mostrati nella Figura 6.14.

1

Figura 6.14. Grafici delle funzioni seno iperbolico (a sinistra) e coseno iperbolico (a

destr a)

6.10 Studio di funzioni

203

Figura 6.15. Gr afico della funzione tangent e iperbolica Analogamente a quanto visto per le fun zioni t rigonomet riche , si definisce la fun zione tangente iperbolica come e 2x - 1 sinhx tanh x = - - = -2x- - . cosh x e +1

Essa e definit a su tutto JR., e una fun zion e disp ari st ret tame nt e crescente a valori nell 'intervallo aperto (-1 ,1) (vedasi la Figura 6.15). La funzione inve rsa del se no ip erbolico , definita su t utt o JR., vien e de t t a funzione settore seno iperbolico, ed e facilmen te esprimibile medi ante la funzione logaritmo (inversa dell 'esponenziale) come

I settsinhx =

log(x

+

vx + 1) , 2

XE JR. · I

(6.14)

La funzione settore coseno iperbolico e ottenuta inver t endo la funzione coseno iperbolico ris tretta a ll'int erva llo [0, +00 ) e si esprime come

I set tcoshx =

log(x

+ ~),

xE [I ,+oo) .

e l'inver sa

della fun zione tan-

.'EE( - I, I ) .

(6.16)

Infine, la funzione settore tangente iperbolica gente iperbolica su JR. ed e espressa da 1

1 +x , I - x

set t tanh x = - log - -

2

(6.15)

Le de rivat e delle funzioni ip erboliche inverse sono D sett sinh x =

~ , 2 x +1

D set t tanh x =

D sett cosh x 1 1 - x2

.

=

1

vx -1 '

-;:=== 2

(6.17)

204

6 Ca lcolo differenziale

6.11 II Teorema di de l'H6pital II seguente risul tato fornisce un utile strumento per il calcolo di limiti di forme indeterminate. Come pr eced entem ente, indichiamo con c uno dei simboli x o, xt , x(j, +00, - 00 . T eorema 6.40 Siano j e 9 due ju nzioni definit e nell 'intorno di c, tranne eventualme nte in c, e tali che

lim j( x ) = lim g(x ) = L ,

x ---+c

x --+c

con L = 0 oppure +00 oppure - 00 . Se j e 9 sono derivabili nell 'intorno di c, tranne eventualmente in c, con g' =I=- 0, e se esiste (finito 0 infinito)

.

f' (x)

lim -g' (X-) '

x->c

allora esiste anche

lim j(x ) x-> c

e tale lim it e

Dimostrazione.

(6.18)

g(:r )

c uguale al precedence. 'V+

o

Teorema di de Hopital.

II teorema afferma dunque che, se sono verifi cate Ie ipot esi , val e la formula

j (x ) f' (x ) - = lim - - . g(x ) x->c g'( x)

lim -

x ->c

(6.19)

Esempi 6.41

i) Si voglia calcolare

e 2 x _ e- 2 x lim-- - x-> O sin 5x

*.

che e un a forma indeterminata di tipo Le funzioni a numeratore e a denominatore sono derivabili , e si ha 2e2 x + 2e- 2 x 4 lim--- - x-> O 5 cos 5x 5 Pertanto,

e 2 x - e- 2 x lim - - - x -> O sin 5x

4

5

6.11 II Teorem a di de I'Hopital

205

ii) Se il quoziente l' (x) / g' (x) e an cora una forma indeterminata , e se f e g sono derivabili due volte nell 'intorno di c, tranne event ualme nte in c, possiamo reiterare l'applicazione della formula (6.19) , studiando il limite del quoziente f"( x) /gl/( x) , e COSl via . Si voglia, ad ese m pio, studiare la forma indeterminat a 0/0 . 1+3x -J(1 +2x) 3 1Hfl. . X sin X

x~o

Derivando numer atore e denominatore, siamo condotti a st ud iare

3 - 3)1 + 2x lim . , x~ o sin x + x cos x che e ancora un a forma indeterminata 0/0. Derivando an cor a numeratore e denominatore , arriviamo a · 1im

x~ o

3

-~

3

2cos x - x sinx

2

Applicando quindi due volte la (6.19) , conclud iamo ch e . 1 + 3x - J (1 + 2x) 3 hm x~o sin 2 x

3 2

o

= --.

Osservazione 6.42 Il Teorema di de l'Hopital fornisce una condizion e solt anto sufficient e all' esistenza del limite (6.18) . In alt ri te rmini, si puo pr esentare il caso in cui non esiste il limite del rapporto delle derivate rna esis t e qu ello del rapporto delle fun zioni. Ad esem pio, poniamo f( x) = x + sin x e g(x) = 2x + cos x . II quoziente 1'/ g' non ha limite per x --+ +00 come si ved e facilmen te applicando il Criterio di non esistenz a del limite (Osservazione 4.19) . Tuttavi a , il limite del rapporto f / g esiste e val e

· 11m

x ~ +oo

x+ sinx = 2x + cos x

li

1m

x ~+ oo

x + o(x ) 2x + o(x)

1 2

o

6.11.1 Applicazioni del Teorema di de I'Hopital Vediamo ora come il t eorema possa essere utilizzato in varie situazioni . Limiti notevoli

II Teorema di de l'Hopit al permette di ottenere gli import anti limiti

eX = +00 , xC
o+ 0 con f' (0) = O.

+x -

5)

e cont inu a anche in x =

= f(1) = - 3 =

lim (x - 4)

x-+ l ~

1. Risult a

f I (x) = {2X+ 1 1

sex> l, sex< l ,

pertanto f e derivabile almena in ~ \ {I}. Inoltre, applicando il Teorem a 6.15 alla derivat a destra e sinist ra separat amente, otteni amo f~(1)

Dunque x = 1

= x-+l lim f'( x ) = 3 , +

f~(1)

=

lim f'( x)

x-+ l -

e un punto di non der ivabilita , essendo

=

1.

un punta angoloso.

3. Calcolo di derivat e: I

a) f (x)

5x 2

+3

= (1 + X 2 ) 2/3

b) f'( x) = cotan x

d)

'( ) f x =

log x + 1 x

----'--~ 2 10g 2 X

4. Messimi e minimi: Notiamo che ent rambe le fun zioni sono cont inue e dunque i valori massimo e minimo esistono certame nte per il Teorema di Weier strass . a) Valore mas simo V2 nel punto x = ~ ; valo re minimo -V2 nel punto x = % 1l'. (Gli estre m i dell'int ervallo sono rispettivament e punto di minimo e m as simo relativo, ma non as solut o, della funz ione. )

6.12 Esercizi

213

1 1

"2

, , , ,

----- - 1:

Figura 6 .16. Grafico della fun zione f(x) = x 2

b) Si ha

2

-

Ix

+ 11-

2

1 se x < - 1 , 3 se:r 2': -1 . Per x < - 1, la funzione coincid e con la parabola y = (x + ~)2 - ~ . Essa ha vertice in ( -~, - ~ ) ed e convessa, quindi , nell'intervallo [- 2, - 1] di nostro interesse, essa e sempre decr escente; assume valore massimo 1 in x = -2 e va lore minimo - 1 in x = - 1. P er x 2': -1 , la funzione coincide con la parabola y = (x - ~)2 - 143 che e rivo lt a verso l'al t o e ha vertice in (~ , - Ii) . Pertanto, nell'intervallo [-1 ,1], essa ha un punto d i minimo in x = ~ con f(~) = _ 143. Inoltre f( -l) = - 1 e f( l) = - 3, quindi ass ume val ore massimo - 1 in x = - 1. In conclusione, la fun zione f ha valore minimo - 143 (r aggi unto in x = ~) e valore massimo 1 (raggiunto in x = - 2) (si veda la Figura 6.16).

f (x) = { x + x2 -

X X -

5. R ette tangenti: a) Poiche

j'(x) = 3x 3_ 2 '

l'equazione della retta tangente richiesta y

j'(2) =~ ,

f(2) = log 4 ,

e 3

= f(2) + j'(2)(x - 2) = log 4 + 4(x - 2) .

b) y = ~ . c) Poiche

j'(x) =

e v 2x + 1

V2XTI'

l'eq uazione de lla retta tangente y

f(O) = 1'(0) = e ,

e

= f(O) + 1'( O)x = e + ex .

214

6 Ca lcolo differen ziale

6. La funzi one e stret tamente crescent e su JR. in quanto som ma di fun zioni elem entari con tale propriet a , p er t anto e invertibile su JR.. In olt re, p oich e f e continua e lim f (x ) = ± oo, dal Corolla rio 4.30 d educiamo che irn f = JR.. La fun zion e e x~±oo

deri vabile su JR. co n j' (x ) = 5 + 3x 2 + l Oz " > 0 p er og n i x E JR.; dunque, per il Teorem a 6.9 , i ' e deri vabile su t utto R Inoltre f (O ) = 0 e f (l ) = 8, p ertanto

(f

- 1

1

I

) (0) = 1' (0) =

1

e

"5

(f

- 1

I ) ) (8

1

= 1' (1) =

1 18 .

7. La funzione e d efinita su lla sem iretta (0, + (0 ); e st re ttam ente crescent e su I suo dominio p er ch e somma di fun zioni COn t al e proprieta e p er t anto e inv ertibile. (La stretta m onotonia si puc a nc he verifi care osservando che la deriva t a

f'( x) = (2x - 2.1: + l) eX 2

2

+

1

2

x (I+ log :r)

e > 0 per ogni

x > 0.) Inoltre f e cont inua nel su o dominio e, p er il Corollario 4.30 , la sua immagine e un int ervall o di estrem i inf f e sup f . P oiche .

mf f

=

.

7r

lim f (x ) = -1 - 2

x~o+

7r

+2=1- -

sup f =

e

2

lim

x----.+oo

f (x ) = +00 .

risult a imf = (1 - ~ , +oo) .

8. La funzione e defini ta p er x > -2, do m inio in quanto 1

I

e continua e st rettamente cr escente nel suo 2

"Ix > - 2 .

f (x ) = x + 2 + (x + 2)2 > 0 , Dunque f (x )

< f (l ) = 0 p er x < 1, f(x) > f (l ) = 0 p er x > 1.

9. La fun zione condiz ione

e d efini t a

p er x

> O.

x logx - 1 = 0 Post o h( x)

= logx e g(x) = ~,

Gli zeri della fun zione

f

devon o so d disfa re la

1 log x = -.

ossi a

x

osservia m o che

h(l) = 0 < 1 = g(1)

e

1

h(e) = 1 > e

= g(e) ;

quindi , p er il Corollario 4.27 , esiste un punta Xo E (1, e) tale che h( xo ) = g(x o). Inoltre t al e punto e unico in quanto h e stre t t a mente crescente e 9 e st ret t a mente decr escente. Possiamo conclude re che la funzione f ha un unico zero , ap p artenente all' inte rvallo (1, e). P er elet erminare il numer o eli punti crit ici , calcolia mo la d eri va t a prima : 2

j' (x ) = x (logx + 1) - 2x (xlog x -1 ) x4

;c + 2 - x logx

x3

6.12 Esercizi Gl i zer i di

l'

215

sono det erminati dall a condizione

x

+2-

x log x = 0

2+ x

log x = - x

ossia

.

Posto g(x ) = 2~X = 1 + ~ , osserviamo che

2 h(e) = 1 < 1 + e

g(e)

=

e

quindi , ancora per il Cor ollario 4.27 , esiste un uni co punto Xo E (e, e 2) tale che h(xo) = g(xo) (I'unicit a e conseguenza della stret t a mon otonia di h e g). In definiti va, f ha un unico punto crit ico, appartenente all 'intervallo (e, e 2). 10. Si ha, r icor dando le formule di duplicazione (2.13) ,

f ' (x) = 2 cos x - sin 2x = 2 cos x(1- sinx). Quindi 1'(x) = 0 per x = ~ ex = ~ 7f, f'( x) > 0 per 0 < x < ~ e ~ 7f < X < 27f; cosi x = ~ e un punta di massimo assoluto con fG) = ~ , x = ~ 7f e un punta di minimo ass olut o con f( ~1f) = -~. Inoltre f(O) = f(27f) = ~ e ag li est re mi dell'intervallo [0, 27f] si hanno due punti estrem i, Pin pr ecisament e, x = 0 e un punto di minimo e x = 27f e un punta di massimo. 11. Osserviamo che la funzio ne f e definita per x > 0 e x i=- 1, per cui il piu grande inter vallo contene nte Xo = ~ dove f e invertibile e al piu (0,1) . Studiamo allora, in tale int ervallo , la monotonia stret ta di f , che e equivalente alla sua inver tibilita essendo la funzione cont inua nel suo do minio. Poi che 1

1

X

x log x

f'( x)=- +

log2 X + 1 X log2 X

2

si verifi ca immedi atamente che 1'(x) > 0 per ogni x E (0 ,1) , ossi a f e monotona strettame nt e crescente su (0,1) . P er qu an ta det to pr im a possiamo con cludere che il piu grande intervallo di invertibilit a cerc ato e proprio (0,1) . P er scrivere esplicitame nte la funzion e inversa poniamo t = log x , e otteniamo

t2

-

ty - 1

= 0,

t=

Tornando alla variabile x, si ha

x

=e

y±VJi2+4 2

Poiche siamo interessa ti a x E (0 ,1) , si avra x

= f - 1 (y) = e

y-VJi2+4

Scambiando i simboli delle variabili, si ottiene

2

•

y ± V y2 + 4 . 2

216

6 Calc olo differenziale

Y=f -I(x) = e Infine si ha f - I(O) = e-

I

x-y?±! 2

•

e pertanto 1 2e

12. Consid eri amo la fun zion e f( x) lim

x--->- I +

f( x) = - 00 ,

= log(l + x ) - x. E defini t a

lim

x ---+ + oo

Inoltre

pe r x > - 1 e

f( x) = lim ( - x+o( x)) = - 00. x ---++oo

1

x

1'(x) = - 1= -- , l+ x l + :r dunque x = 0 e un punto crit ico di i , 1'(x) > 0 p er x < 0 e f 'ex) < 0 per x > o. P ertanto f e cres cente in (-1 , OJ e decr escent e in [0, +(0); x = 0 e il punto di massimo assolut o della fun zione con f(O) = O. In conclusione f( .1:) :::::; f(O) = 0, per ogni x > - l. 13. Si verifica che

f

e dispari e

1'(x) = 15x 4 - 150x 2 + 135 = 15(x 4 - lOx 2 + 9) = 15(x 2 - 1)(x 2 - 9) = 15(x + l)( x - l)( x + 3)(x - 3) . Lo studio del segno di

l' e riportat o

nella seguente t abella :

~------J-~~~==~------~ -3

- 1

o

3

1

Quindi la fun zion o e crescente in (- 00, - 3], in [- 1, 1J e in [3, + (0) ed e decr escente in [- 3, - l J e in [1,3]; i punti x = -1 ex = 3 sono punti di minimo relativo e i punti x = 1 e x = - 3 SOll O punti di massimo relati vo con

f (1) = - f (-1) = 88

e

f( 3)

= -

f( - 3) = - 216.

lnoltre lim

X ---+- oo

Pertanto il grafi co di

f

f( x) = -00,

lim

x ---+ +oo

f( x) = + 00.

e qu ello disegn ato nella F igura 6.17.

II secondo problem a post a e equivalente a studiare, a l variar e del parametro k , il numero di soluzioni dell'equazion e f( x) = -k, ossi a il numero di intersezioni tra il grafico di f e la ret t a Y = - k.

6.12 Esercizi

Figura 6 .17. G ra fico della funz ione f( x) = 3x 5

Risulta

per k

> 216 oppure k < -216

per k

=

=

50x 3

+ 135x

un a soluzione

± 216

due soluzioni

p er k E (-21 6, -88) U (88 , 216) per k

-

217

± 88

t re soluzioni quattro solu zioni

p er k E (-88 , 88)

cinque solu zioni .

Quindi il massimo e il minimo numero di radi ci reale del polinomio 3x 5 135x + k sono risp ettivament e 5 e 1.

14. S tudio della huizion e f( x) = x 4

-

50x 3 +

2y'log x:

-

a) Po iche deve essere x > 0 e log x ~ 0, ossia x ~ 1, ris ulta domf = [1, + 00). b) Si ha

f'( x)

=

4

4x y1IOgX - 1 x y'logx

e quindi

f'( x) = 0

91(X) = log x =

1

-8

16x

= 92(X).

Graficamente ot t en iamo, p er x ~ 1, un punto di inter sezione tra i grafici di > 1 (si ved a la F igura 6.18) . Pertanto f'( x) > 0 p er x > Xo e f e decrescente in [1, x o] e crescente in [xo , + 00). Allora Xo e un punto di minimo e, p er la monotonia , la funzione sar a invertibile negli inte rvalli [1, x o] e [xo , + 00). Inoltre, 0 = log 1 < /6 e log2 > ~. Cosl1 < Xo < 2. c) P oiche f( e) = e 4 - 2, il punt o (e4 - 2, e) appartiene al grafico di e 9 1 e 92, sia Xo

r:'

(f - l )' (e4 - 2 ) =

1

l' (e) =

4e4

e

-

1.

218

6 Calcolo d ifferen ziale

Figura 6 .18. Grafico delle funzi o ni gl(X ) = log X e .92(X) = 161x 8

15. Studio della fun zione f (x ) = ";::"]3 : a) 11 dominio e det erminato dalle condiz ioni x 2 domf = (-00, -V3] u [V3, + 00). Si ha lim

x ---> ± oo

f( x ) = f( x) =

lim x--->- y"3-

-

3 >

°

e x

i-

lim

IX Iy/1- ~ Ixl 1x = lim - = .'1:(1 + x ) x ---> ± oo x

lim

f( x ) = 0,

x ---> ± oo

- 1, e dunque

±1,

x--->y"3 +

quindi la ret ta y = 1 or izzontale sinistro.

e as int oto

orizzontale destro e y

- 1

e as intoto

b) Ri sul t a

J' (x)

=

(x

x+3

+ 1)2v x 2 -

°

3

,

quindi f' (x ) = 0 per x = - 3 e f' (x) > p er x E (- 3, -V3) U (V3, + 00). P ert anto f e crescente in [-3, -V3] e in [V3, +00), decrescen te in (- 00, -3] ; < - l. in punto x = - 3 e un punta di minimo ass oluto con f( - 3) = Inoltre, i punti x = ±V3 sono anch' ess i punti di est re mo, pili prccisam ente x = -V3 e un punto di massim o relat ivo e .1: = V3 e un punto di minimo relat ivo con f( ±V3) = O.

V;

c) 11 grafico dell a funzione

f

e mos trato

nella F igura 6.19 (a sinist ra).

d) La fun zione 9 e ot t enu t a traslando di V3 la fun zion e f verso destra p er x < 0, verso sinistra per x > O. 11 grafico della funz ione 9 risul t era qu indi qu ello most rato nella F igura 6.19 (a dest ra). La funzi one 9 risulta cont inua su t utto ffi. , in p articolare lim g( x) =

x .--;.o -

lim f( x - V3) = f( -

x ---+o-

°

V3) = = f( V3) =

lim g(x ).

x-" O+

6.12 Esercizi

1 1--- - - - - - -

1 1--- - - - - - -

- 3 - )3

- 3+ )3

- - - -~_j'-_j

- 1

------~ _+I

Figura 6.19. Grafici delle fu nzioni

Inoltre lim l(.'r)

x-> O±

e quindi g non

x-> V3+

e derivabile in x

lim

e definita su

x->+ oo

f( x) =

- 1

f (a sinistra) e 9 (a destra) relative all 'Esercizio 15.

= lim f'( x) =

16. Studio della funzione f( x) a) La funzione

219

lim

x -> -V3-

f'(x)

= +00

o.

=

= Jl x 2

-

41 -

x:

tutto IR e si ha

lim

x2

x -> + oo

4 - x2

-

~

x2

-

4

+x

= 0-,

lim

x ---+-oo

f( x)

= +00.

Cost y = 0 e asint ot o ori zzontale destro. Verifichiamo I'esistenza dell 'eventuale asintoto obliquo sinistro. Risulta

. f( x) Inn x

X ~ -CX)

(8

. = x ---+lim oo

U (x) + 2x) = x->-oo lim

lim

x->- oo

4

1- - 2 -1 ) x (

J x2

-

= - 2,

4 + x)

x2 -

4-

x2

= x ->lim ~ =0 - oo x2 - 4 - x

e asintoto obliquo sinistro. E sufficiente risolvere la disequazione J lx 2 - 41 - x :::: o. Osserviamo che J lx 2 - 41 :::: x e verifi cata per ogni x < O. Per x :::: 0, distinguiamo due

ossi a la retta y = -2x b)

casi: x 2 - 4 < 0 (cioe 0 :::; x < 2) e x 2 - 4 :::: 0 (cioe x :::: 2) . Sia 0 :::; x < 2, elevando al quadrato si ha

Sia x :::: 2, elevando al quadrato si ha x 2 - 4 :::: x 2 che non e mai verificata. In conclusione, la fun zione si annulla solo per x = J2, e strettamente positiva p er x < J2 e stret tamente negativa per x > J2.

220

6 Ca lcolo diffe renziale

c) Poiche

f(x)

=

f'( x)

=

~-x

{vx

si ha

2 -

4- x

se - 2

< x < 2,

se x :::; - 2, x 2: 2 ,

~2 -1 se-2 < x 2 . 2 v x -4

Per -2 < x < 2, 1'(x) 2: 0 se x + V 4 -x 2 :::; 0 ovvero V4- x 2 :::; - x . La disequazione non e verificata pe r alcun valore di x > 0; per -2 < x < 0, elevando al quadrato si ha

- 2 :::; x :::; -v'2 . Quindi 1'(x) = 0 per x = - v'2, f '( X) > 0 per - 2 < x < - V2 e f'( X) < 0 per -V2 < x < 2. Se x < - 2 oppure x> 2, f'( X) 2: 0 se x - vx 2 - 4 2: 0 ovvero v x 2 - 4 :::; x. La disequazione non e verific ata per alcun valore di x < - 2; p er x > 2, elevando al qu adrato si ha x 2 2: x 2 - 4 che e sem pre verifi cat a. Quindi l' (x) > 0 pe r x > 2 e l' (x) < 0 per x < - 2. In conclus ione f risulta decrescent e negli in tervalli (- 00, - 2] e [-V2, 2], erescente negli int ervalli [-2 , -V2] e [2, + 00). I punti x = ±2 sono punti di minimo relativo, il punto x = - V2 e un punto di massimo relati vo. Le ordinate valgono f( -2) = 2, f(2) = - 2 e f( - V2) = 2V2. Quindi x = 2 e pili precisamente un punto di minimo assolut o. d) La fun zione f e cont inua su t ut t o il suo dominio in quant o comp osizione di funzioni eleme ntari con tinue. P er 10 studi o della d erivabilita , e sufficien t e esaminare il comp ortame nt o di f' per x ----+ ±2. P oiche lim j'(x) = 00,

x--->± 2

la funz ion e non

e derivabile nei punti x = ± 2. f e mo strat o nell a Figura 6.20 .

e) II grafico della funzione

17. Studio della iiui zion e a) La funzione

f (x)

e defini t a su lim

x--+

+

=

ije 2x

1:

-

tutto JR. e risulta

f( x) = + 00

e

lim

X --+-()Q

f( x) = -l.

b) Si ha 2

j'(x) = 3" (e2 x

e 2x _ 1)2/ 3 '

pe r cui l' (x) > 0 per ogni x E JR. \ {O} , f non e derivabile per x limj'(x) = + 00. La funzione e crescente su tutto JR.. x--->o

=0

in quanto

6.12 Eser cizi

Figura 6 .20 . Grafico della funzione f( x)

f

x

4

lx 2

-

41-

x

i= 0, ot t en endo

c) Calcolia mo la deri vat a seco nda per x /I ( )

=J

221

2x

= ge

e

2x

(e 2x

_

-

3

1 )5/3 .

Risul t a f" (x ) = 0 p er x = ~ log 3 e f" (x ) > 0 per x E (-00, O ) U ( ~ log 3, +00) . Quindi il punta x = ~ log 3 e un flesso ascende nt e, f e convessa in (-00, 0] e in [~ log3,+00) , f e co ncava in [0, ~ log3] . Can un 'est ension e della definiz ione, anche il punta x = 0 puo essere conside rato un flesso (a tange nte verticale) . d) 11 grafico della funzion e

f

e mostrata nella F igura 6.21.

~ log 3

======---- - -1 -1 F igura 6.21. G rafico della fun zione f (x )

=

Ve 2x

-

1

222

G Calco lo d iffer en ziale

18. S t udio della Iunzionc f (x ) a) Chiarament e d om

=

1 - e- 1xl + ~ :

f = R Osser vanelo che lim

x--±oo

e - [:c [

= 0,

otten iamo immediatamente lim f (x ) = ± oo , x-- ±oo

.

.

f (x )

lim - - = lim x-±oo x x-±oo

(1x

1)

e - 1xl - - - -

+-

x

e

1

e

lim ( f (x ) - :: ) = lim (1 - e - 1xl) = 1 x-±oo e x- ±oo e quineli la ret t a Y =

ix + 1 e asi ntoto obliquo complet o.

b) La funzione e continua su t utto lR e non vi sono problemi eli der ivabilita per x =I- O. R isulta - x

J' (x ) =

+

1

se x > 0 ,

+ -1

se x < 0 ,

e {

-e

x

~

e

da cui lim J' (x ) x-o-

= x-olim

( _ ex +

~e ) = ~e -

=I- lim J'( x) = lim x- o+

x-o+

1

(e- + ~) = ~ + x

e

e

1

e quindi f non e deriva bile in :1; = O. Inoltre, per x> 0, j' (x ) > O. Per x < 0, j' (x ) > 0 se eX < ~ ossia se x < - 1. In conclus ione f e crescente su (-00, - 1] e su [0, +00), decr escen t e su [- 1, 0].

c) Per qu anto ap pena visto possiamo affermare che x = - 1 e un punto d i mas simo locale con f( - 1) = 1 - ~, ment re x = 0 e un punto di minimo locale con f (O ) = O. d) II grafi co della fun zion e

f

19. St udio della Iunzion c f( x) a) La funz ione

e most rato nella F igura 6.2 2. = e (x 2 X

e definit a su t utto R

-

81x -

31-

8):

Scriviamo se :c < 3 , se

e qu incli

:1: ~

3,

6.12 Esercizi

Figura 6.22. Grafico della funzione f( x)

j'( x) =

=

223

I - e- 1xl + ~

e X (X2 + 10X - 24) se x 3 .

Cost se x < 3, si ha j'( x) = 0 se x + lOx - 24 = 0 ossia p er x = -12 e per x = 2, mentre f '( x) > 0 se x E (- 00, - 12) U (2,3) . Se x > 3, f'(x) = 0 se x 2 - 6x + 8 = 0 ossia p er x = 4 (si noti che x = 2 e soluzione dell 'equazione rna non e da consieler arsi in qu anta 2 < 3), mentre j'(x) > 0 se x E (4, + 00). In elefinitiva , f e cre scente negli intervalli (- 00, - 12], [2, 3], [4, +00 ) e deere2

sce nt e negli intervalli [-12,2] e [3, 4]. b) Dallo studio effettuato nel punto a ) si ricava che x = -12 e x = 3 sono punti eli massimo relativo, x = 2 e x = 4 sono punti di minimo relat ivo. Inolt re f( -12) = 16e- 12 , f(2) = -12e 2 , 1(3) = e3 e f( 4) = O. Per determinare I'immagine di f , calcolia mo lim

f (x) =

lim

f( x)

X ---+ - (X)

x --->+ oo

Poi che la fun zion e

=

e continua,

lim eX( x 2 + 8x - 32)

= 0,

lim eX (x 2

=

X - - (X)

x--->+oo

-

8x + 16)

+ 00.

risulta

im f = [m in f( x) , sup f( x)) = [f (2), + 00) = [-12e 2 , +00 ). c) Non vi sono punt i eli dis continuita in qu anta la funzione e un a comp osizione di funzioni continue. P er la derivabilit a , l' unico punto da studiar e e x = 3. Risulta lim j'( x)

x ---+3-

=

lim j'(x) =

x---+3+

quindi 1 non

e derivabile in

lim eX( x 2 + lOx - 24)

=

lim eX (x 2

_ e3 ,

x ---+3-

x ---> 3 +

x = 3.

-

6x + 8)

=

15e3

,

224

6 Calco lo differenziale

e3

- 12

2 .10 - 4

- 14 - 2 . 10- 4

-1 2

' - - - - - - - - - - --

-

-'----'

-12e2

--

Figura 6.23. Grafico della fu nzio ne f( x) = e X( x 2

-

31-

81x -

8)

d) P er il grafico della funzione si ved a la Fi gura 6.23; nel riquadro compare, in scala differente, il grafico di f in un intorno del punto x = - 12. e) La funzione g

e cont inua

su tutto l'asse reale e si ha se x < 3 , se x> 3 .

Affinche g sia derivabile in x

= 3 deve

essere

lim g'( x) = 15e3 + a =

x-+3-

concludiamo che , per a = -8e3 , g

e di

lim g' (x ) = _ e 3

x-+3+

-

a;

classe C1 su tutto l'asse reale.

20. Studio dell a fun zione f(x) = l(i~lx~~ I :

a) Risulta domf = IR \ {-I} . Applicando la (5.6) c), si ottiene lim

x----+±oo

f( x) = 0+

mentre lim

x -+ - l±

Da cio si deduce che x orizzontale completo .

f( x) =

00 +

0

=

-00.

= -1 e un asintoto vertical e, m entre y = 0 e un asintoto

6.12 Ese rc izi

225

1

2C

-e* -- 1JC- l

T

T

e*- 1

JC- I

Figura 6 .24. G rafico della funz ione f( x)

=

1(~~lx~~ 1

b) Si ha

f'( x)

=

1-2Iogl x +ll . (x + 1)3

Osservi amo che 1 (.7;) risul t a deri vabile in ogn i punta del suo dominio e che f'( x) = 0 se Ix + 11 = vie e quindi se x = -1 ± vie. Inolt re f'( x) > 0 se x E (- 00 , - vie - 1) U (-1 , vie - 1) ; pertanto la funzione e cresce nte negli intervalli (- 00 , - vie - 1] e (-1 , -1 + vie]' decrescen t e in [- vie - 1, -1) e [- 1 + vie, + 00) ; i punt i x = - 1 ± vie son o punti di massimo (assoluto) con

f( -1 ±

vie)

= zle '

c) Si ha

j"(x ) = - 5 + 6 log Ix + 11 (x + 1)4

da cui risulta che la derivata seconda e defini ta in ogni punta del dominio di f e j"(x) = 0 p er Ix + 11 = e 5 / 6 , ossi a per x = -1 ± e 5 / 6 . In oltre j"(x) > 0 per x E (-00, _ I _ e 5 / 6 ) U (e 5 / 6 - 1, + 00) ; p ertanto f e convessa in (- 00, _ 1 _ e 5 / 6 ] e in [e 5 / 6 - 1, + 00) e concava in [- 1 - e5 / 6 , - 1) e (-1 , e5 / 6 - 1]; i punti x = - 1 ± e 5 / 6 sono punti di flesso . d) Il grafico della fun zione

f e mostrato ne lla Fi gura 6.24.

21. St udio della fun zion e f( x) a)

E chia ro

= l~:::JI; I:

che dam f = lR \ {O} e poi che lim 1(x) = 0 (x pr evale sul logar itmo) x ---> O

la fun zione puo esser e prolungata con conti nuita su t utto lR ponendo g(O) = O. Inoltre la fun zione e di sp ari ed e quindi sufficiente studiarne il compo rtame nto p er x > O. P er qu anta riguarda la derivabilit a si ha , per x > 0,

f'( x) = log3 X -logZx ,+ log x + 1 (1 + logZx )2

226

6 Calcolo di fferenzial e

e , p osta t = log x ,

.

,

f (x) x~o lim

t3

.

lim

=

t~ - oo

-

(

t2 + t + 1 2)2 = 1+t

lim

t~-oo

t3 t

- 4 = O.

D unque la fun zione g , prolungat a come detto prim a , e n on so lo cont inu a rna, a pp licando il Teorem a 6.1 5, a nc he derivabile su tutto JR ed, in part icolare ,

g'(O) = o.

b) Dal p unto a ) si ved e che x = 0 e un punta stazionario di g . P er individ uare gli event u ali altri punti in cui la derivata prima si a nnulla , studiamo gli zeri d ella funzione ausiliaria h( t) = t 3 - t 2 + t + 1 dove t = log x con x > o. P oich e lim h(t)

t ---+ - oo

= -00,

h(O ) = 1,

lim h (t )

t ---+ (X)

h' (t ) = 3t 2

-

2t

= +00,

+ 1 > 0,

Vt E JR ,

la funzione h e crescente p er og n i t ed h a un so lo zero, sia esso to, negativo. II suo grafico quali t at ivo e mostrato ne lla F igura 6.25 (a sinistra). Allora t o = log Xo < 0, im pli ca 0 < Xo = e t o < 1. Cost , p er la d isparita d ella funz ion e, 9 h a alt ri due pu nt i stazionari, risp ettivamente in Xo e -Xo. c) P er quanto ottenuto nel p unto b) , risu lta g' (x) > 0 in (x o, + 00) e g' (x) < 0 in (0 , x o). Ri assumendo , e ten endo conto d ella disparita , risul t a 9 crescente in (-oo,-x o] e in [x o, + 00), 9 decr escente in [- x o, xo]. Inol t re lim g(x ) = + 00

x ~+oo

e

· g(x ) 1l Hl - -

x~+oo

X

=

log x x ~ +oo 1 + 10g2 X

I.

Hfl

.

t

lim - - = 0, t--->+ oo 1 + t 2

cosicche la funzione 9 non ha as intot i. II grafico della fun zion e 9 e mostrato nella F igura 6.25 (a d estra).

to - I

Figura 6.25. Gra fici d elle funzi oni h (a sinistra) e g (a d est r a ) re lative a ll'Esercizio 21

6 .12 Eserc izi

227

22. St udio della funzione J (x ) = arctan 1~ ~33 : a) Si ha dom J

= lR \

{3} e, esplicit ando,

= arctan (-

a rct a n - x + 3

J (:r )

=

1)

x- 3 { a rc tan -x+- 3 x- 3

= -~

se x ::; 0 ,

4

se x > 0,

da cui lim

x - - oo

71'

J (x ) = lim

lim J( x)

=

lim f( x)

= arctan

x - 3-

x-3+

Allora le rette y sinistro e destro) .

=

arctan

-~

71'

x - + oo

71'

= arctan 1 = -4 ,

~ = arctan( -oo ) = - ~2 ,

a

= arct an (+oo ) = ~ .

:

a

2

=

e y

~

sono asintoti or izzontali (rispe t t iva ment e

b) Abbiamo

j' (x ) =

lim J (x )

-- , 4

4

x - - oo

{ ~_3_

se x < 0 ,

se x > 0, x # 3, x2 + 9 cosi j' (x ) < a p er og ni x > 0, x # 3 e J risult a strettame nte decrescente in

[0, 3) e in (3, +00), decrescen te (in senso non stretto) in (- 00, 3). Lo studente osservi che sarebbe sbagliato d ire che J e strettament e decrescente nell'ins iem e [0,3) U (3, +00) (si ri cordi quant o det to a pag. 200) . Tht ti i pu nt i x E (-00 , 0) sono punti di m as simo e d i m inimo relativo non stret to , con J (x ) = - ~ , men tre x = a e punto d i m assimo relati vo. Infine inf J (x) = - ~ , sup J( x) = ~ (si noti chc non esist ono ne il minimo ne il massim o della funz ione) . c) La fun zione e se nz'alt ro deri vabile in lR \ x = 0, dove f e continua, si ha lim j'( x)

:r - O-

e quind i

= a#

f e effettiva ment e

d) Si ha

lim j'( x)

x _ O+

6x

ogni x > 0, x

#

(x 2

cosi J" (X) > (3, +00).

a per

=

x = 3,

J non e definit a ; in

-~ O+ X +9

lim

x-

der ivabile solo in lR \

{a

J" (x ) =

{a, 3} . In

1

3

{a, 3}.

se x < 0 ,

+ 9)2

se x> 0,

3 e quindi

x # 3,

f risult a convessa in [0,3) e in

228

6 Calcolo differenziale

-------1------I

7r

:2 4

Figura 6.26 . Gr aftco della funzione f( x)

e) 11 grafico della fun zion e

23. Studio della fun zione

f

e mostrato

= a rct an Ixl + 3 x -3

nella Figura 6.26 .

f (x) = arcsin v'2 e x

-

e 2x :

a) Imponiamo che sia 2e x _ e2 x :::: 0 e - 1 :::; v'2e x - e 2 x :::; 1; la prima disequazione equivale a 2-e x :::: 0 ossia x :::; log 2. Essendo una radice se m pre :::: 0, la seconda disugu aglianza si riduce a 2e X - e2 x :::; 1. Ponendo y = e", la disuguaglianza diventa y2 - 2y + 1 = (y - 1)2 :::: 0, che e sempre verifica t a. Quindi dom f = (- 00, log 2]. Inoltre lim

x---+ -oo

La retta y = 0

f (x ) = 0 ,

f(log 2) = O.

e asint oto orizzontale sin ist ro .

b) Dall'espressione

si ved e che lim

x ---> (log 2)-

f'( x ) = - 00 ,

lim f'( x) = - 1,

x ---> o +

Qu indi i punt i di non derivabilit a di e x = 0, punta angoloso.

f sono x

lim f' (x )

x---+o -

=

1.

= log 2, punto a tangente ver ti cale

6.12 Esercizi

229

log 2

Figura 6.27. Grafico dell a fun zione f( x) = a rcs in y!2e x

-

e2x

c) Si ha f'( x) > 0 p er x < 0 e j' (x ) < 0 pe r 0 < x < log2 . Cost x = 0 e un punta di massimo assolut o con f(O) = ~ e x = log 2 e un punta di minimo assoluto con f(log 2) = 0; gli int ervalli di monotonia sono (- 00, 0] (in cui f e crescent e) e [0, log 2] (in cui f e decrescente) .

e most rat o nella Fi gura Una possibile estens ione cont inua di f e

d) II grafico dell a fun zione e)

f

j(x) = {

~(x)

6.27.

se x ::; log 2 , se x > log 2 .

7 Sviluppi di Taylor e applicazioni

Lo sviluppo di Taylor di una fun zion e, nell 'intorno di un punto Xo dell'asse reale, rappresentazione dell a fun zion e come somm a di un polinomio e di un infini tesimo di ordine sup er iore a l grado del polinomio. Esso costit uisce uno strumento di a na lisi est rem amente efficace , a livello sia qu ali tativo sia quantitativo. Infatti, in un intorno abbastanza piccolo di Xo, e possibile approssimare la funzione (che magari ha una forma com plessa) con il polinomio, di cui invece e immediato st abilire le propriet a qu ali t ative e che e facilmente ca lcola bilo. In oltre, gli sviluppi di Taylor delle principali fun zioni eleme nt a ri possono esse re age volme nte combinati in modo da fornire gli sviluppi di funzi oni pili complesse, dando luogo a un 'algebra degli sv iluppi non di ssimile dall 'algebra dei polinomi.

e la

7.1 Le formule di Taylor In qu esta paragrafo, affront ia mo il problem a dell'approssim az ion e di un a funzione Xo E JR, medi ante polinomi algebrici di gr ado via via pili elevat o. Ini ziamo supponendo che la funzione sia almena cont inua in Xo. Vale allora la formul a (5.4) ; se introduciamo il polinomio costante (di grado 0)

f , nell 'intorno di un punta

Tfo ,xo(x)

= f(xo),

\:Ix E JR ,

possiamo scrivere tale formula come

I f (x ) = T fo,xo(x) + 0(1),

x

-7

xo· 1

(7.1)

In alt ri t ermini, possiamo a ppross ima re la funzione f , in un intorno di Xo, mediante un polinomio di grado 0 in modo che la differenza f (x ) - Tfo,xo(x ) (de t t a errore di approssi mazione , 0 resto ) sia un infinitesimo in Xo (si veda la Figura 7.1). La relazione (7.1) e il primo ese m pio di formula di Taylor.

232

7 Sv ilu ppi di Tay lor e ap plicazioni y

=

f( x )

y = T fo (x )

f (xo)

Xo

Figura 7.1. Appross irna zione locale d i f me diante il p olinorni o T f o

= T fo ,xo

Supponiamo ora che la funzione f sia non solo continua rna anche de rivabile in xo. Vale dunque la prima formula dell'incr em en to fini t o (6.10) ; introducendo il polinomio di pr imo grado in x

T!J, xo (x ) = f( xo) + j'(xo)( x - xo), il cui grafico e, come sappiamo , la retta t angente al grafic o di Fi gura 7.2) , la relazione (6.10) si scrive come

I f( x) = T!J, x"(x) + o(x - xo),

x

---> X O,

I

f in

Xo (si veda la

(7.2)

che e una nuova formula di Taylor: essa dice che una funzione derivabile in Xo PUQ essere appross imata nell 'intorno di tale punto medi a nt e un po lino mio di primo grado, con un err ore di appross imazione che non solo te nde a 0 p er x ---> Xo, rna che e un in finitesimo di ordine superiore al pr imo. Se invece f e derivabile in t utto un intorno di xo, t ranne a l pili in x o, possiamo usar e in t ale int orno la seconda formula dell 'incr em en t o finit o (6.12) , in cui poniamo Xl = Xo e x2 = x e che scriviamo come

I f (x ) =

T fo,x"(x)

+ j'(x)( x -

xo), I

(7.3 )

dove x e un opportuno pu nt o compre so tra Xo ex. Si confro nti t ale relazione con la form ula (7.1): abbiamo or a a disposizione una espressione qu anti t ativamente pili pr ecisa dell 'errore di appross imazione, 0 rest o . Es sa permet t e ad esem pio di dare un a st ima numeri ca dell'errore, una volta noti l'increm ento x - Xo e una st ima numeri ca della grandezza di l' in un intorno di x o. An che la (7.3) e una formula di Taylor, in cui il resto e espresso nella cosidde tta fo rma di Lagrange. Di ciamo invece che nelle (7.1) e (7.2) il rest o e nella forma di P eano.

7.1 Le formule di Taylor

233

Y = f (x)

f (x o)

Xo

Figura 7.2 . Approssimazione locale di

f

mediante il polinomio TfJ

= TfJ ,xo

Dopo aver approssimato la funzione mediante polinomi di grado 0 oppure 1, commettendo un errore che e rispettivamente 0(1) = o((x - xo)O) e o(x - xo) pe r x ----7 Xo , e naturale chiedersi se sia possibile approssimare f mediante un polinomio di secondo grado, commettendo un errore che sia o((x - XO)2) per x ----7 Xo. Cerchiamo dunque se esiste un numero reale a tale che si abbia

f( x) = f(xo)

+ J'(xo)(x -

x o) + a(x - xO)2

+ o((x -

XO)2),

X ----7 Xo.

(7.4)

Cio significa che lim f(x) - f(xo) - f'(xo)( x - xo) - a(x - XO)2

(x - xo)2

X ~Xo

=0 .

Applicando il Teorema di de l'Hopital, tale condizione

e verific ata se

f'(x) - f'( xo) - 2a(x - xo) 0 · IHfl. 2(x - xo) - ,

X ~Xo

ovvero se lim X ~X o

ossia an cora se

!

2

(! f'(x) - Xof'(xo) _ a) 2

x -

=

0,

lim f'( x) - f'(xo) = a. x ~X o

x - Xo

Concludiamo che la (7.4) e soddisfatta se il limite a primo membro esist e finito, cioe se f e derivabile due volte in xo; in tal caso, il coefficiente a vale ~ f" (xo) . Siamo quindi giunti alia nuova formula di Taylor (con resto nella forma di Peano):

(7.5)

234

7 Sviluppi di Tay lor e ap plicazion i y

= f (x)

y=Th(x)

f(xo)

;:r;o

Figura 7 .3. Approssimazione loc ale di f mediante iI p olinomio T h = Th ,xo dove

T h,xo (:J:) = f( xo) + f'( xo)( x - x o) + dicesi polinomio di Taylor di

~f"(xo )(x -

xO)2

f in Xo di grado (0 ordine) 2 (si ved a la Fi gura 7.3) .

II procedimento appe na descri tto per la cost ruzione dell 'approssimazione di f di ordine 2 puo essere reiterato, al fine di cost ruire appross imazioni polinomiali di f di ordine via via crescente. II risultato pre ciso e cont enuto nel seguente teorema . Teorema 7.1 Sia ti 2: 0 ed f derioabile ti volte in Xo. A llam, vale la formula di Taylor (7.6) f (x ) = Tfn ,xo(x) + o((x - xoY' ), x ----7 Xo, dove 1 'r (k)(Xo)(. . )k Tfn,xo(z) X -- ~ L k! ·'r - Xo

(7.7)

k=O

= f( xo) + f' (.'ro)(x - xo) + ... + ~.rcn)(xo) (x - xo)n . n.

II polinomio T f n,xo (x ) dicesi polinomio di Taylor di f in Xo di grado (0 ordine) n , mentre il te rmine o(( x - x o)n) nella (7.6) di cesi resto di ordine n nella forma di Peano. La rappresen t azione di f d at a d all a formula (7.6) di ccsi sviluppo di Taylor di f in Xo di ordine n , con resto nella forma di P eano. Con un 'ipot esi pili fort e su f , siarno in grado di dare urr'espressione pili precisa del rcsto nella formula di Taylor ; essa estende la (7.3).

7.2 Svilu ppi di Tay lor not evoli

235

Teorema 7.2 Sia n 2: 0 ed f derivabile n vo lte, con deri uaia n -esima con iinua, in Xo; ino lire, sia f deriuain le n + 1 vo lte in un in iorno di x o, tranne eve n tu almen te nel punto xo . A llora , va le la form ula di Taylor

per un opporiuno

x

compreso ira Xo ex .

L 'espression e preceelente del resto elicesi resto di ordine n nella forma di Lagrange, e la (7. 8) rappresen t a 10 svilup po eli Taylor eli f in Xo eli oreline n, con resto nella forma eli Lagrange. P er le dimostrazioni dei Teorem i 7.1 e 7.2 ~ Sviluppi d i Ta ylor . No t iamo infine che uno sv iluppo eli Taylor nell 'origin e (xo = 0) si chia ma anche sviluppo di Maclaurin. Un' utile proprieta che permette eli semplificare il ca1colo elegli sviluppi eli Maclaurin e la seg ue nte. Propriet.a 7.3 Il polinomio di Mac laurin di una f un zion e pari (rispettivam ente dispari) contiene so ltanto pote nze pari (rispettivamen te dis pori] della uariabile indipendente . Dimostraz ione.

Supponiarno che f sia una funzione pari, elerivabil e n volte in un intorno dell'origine . La pro prieta segue dalla (7.7) con Xo = 0, se faccia mo vedere che t utte le derivate di ordine disp ari di f si an nullano nell'origine . Ricordando la Proprieta 6. 12, dall'ipotesi che f sia pari d educiarno che I' e dispari , f" e pari , I'" e dispari e cosi via. In generale, le der ivate di ord ine pari f (2k ) sono funzioni pari, ment re le deri vate di oreline dis pari f (2k + l ) sono fun zioni elisp ari . Per concl uelere, e sufficiente osservare che un a fun zione elisp ari 9 definit a nell'origine necessariamente si an nulla in tale punto; infat ti , pon endo x = 0 nella relazione g(-x) = -g(x) si ottiene g(O ) = - g(O), da cui g(O ) = O. Analogamente si rag iona nel caso in cui f sia disp ari . 0

7.2 Sviluppi di Taylor notevoli Det erminiamo ora gli sv ilup pi eli Taylo r di a1cune funzioni eleme ntari. Nel successivo Paragrafo 7.3, usererno t ali risult a ti p er ot ten ere gli svilu ppi eli diverse a lt re fun zioni.

236

7 Sviluppi di Taylor e applicazioni

Funzione esponenziale Sia f (x) = e" . Ricordando che tutte le su e derivate coincidono con eX, abbia mo f Ck) (0) = 1 per ogni k 2': o. P ertanto, 10 sviluppo di Maclaurin di ordine neon resto di P eano della funzione y = eX e e

X

x2

xk

xn

2

.

n.

= 1 + x + - + .. .+ -k l + ... + , + o(x

n

)

= L kI + o(x n

xk

k=O

.

n

),

(7.9)

mentre se esprimiamo il resto nella forma di Lagrange , abbiamo n

X

~

e = Z::

k=O

x

k

e

x

kT + (n + l)'x

n +l

,

per un certo

x compreso

tra 0 e x .

(7.10)

I polinomi di Maclaurin della fun zion e eX di ordine n = 1,2 ,3,4 sono rappresentati in Figura 7.4. Osservazione 7.4 Poniamo x = 1 nella formula preced ente: (con 0

=

x2 1- 2

4!

_,,( v x - L - 1 (2k) ! + rn

2rn

4

x + -x - ... + (_ l)rn _'__ + O(X 2rn+ 1)

(2m) !

.2k

0

(

x

2rn +l)

(7.15)

.

k =O

Valgono per t ale sviluppo cons ide raz ioni analoghe a quelle fatte per 10 sv iluppo della funzione sin x. I polinomi di Maclaurin della funzione y = cos x di ordine 2m per 1 :S m :S 6 sono rappresentati in Fi gura 7.7 . Funzioni elevamento a potenza Co nside ria mo la famiglia di fun zioni p ot enz a f (x ) = (1+ x )Q, con a E IR arbitrario . Abbiam o

= a( l + x)Q- l f " (x ) = a(a - 1) (1 + x)Q-2 J" ' (x ) = a(a - l )(a - 2) (1 + x) Q-3 f' (x )

e, in generale, f (k)(x) = a(a - 1) .. . (a - k

+ 1) (1 + x) Q-k . Dunqu e

7.2 Sviluppi di Taylo r notevoli

j CkJ(O)

j(O) = 1 ,

0:( 0: -

- --

1) . . . ( 0:

k!

k

-

+ 1)

k!

241

per k :::: 1 .

E allora conveniente estende re la defini zione di coefficiente binomiale dat a in al cas o in cui

0:

(1.10) sia un numero reale qu alsiasi , ponendo, in analogia con la (1.11) ,

0:) = 0:(0: - 1) . .k!. (0: (k

k + 1)

per k :::: 1 .

Ne segue che 10 sv ilupp o di Macl aurin di ordine n di j(x)

I

(7.16)

e

(7.17)

Dettagliamo alcuni casi particolar i notevoli dell a pr eced ente famiglia di sviluppi . P er 0: = - 1 si ha

- 1) = (-1)( -2) = 1 2 ' ( 2

(-1) = (-1)(-2)( - 3) =_ 3

3!

(-1) _(-1)(-2) · · ·(-k ) __ 1) , k

-

k!

- (

1, ... ,

k

e dunque 1

-- = 1 -

1+ x

Inve ce, per

x

+ x2 -

.. .

+ (_l) nxn + o(.1;n) =

2) -llx n

k

+ o(x n) .

(7.1S)

k =O

0:

= ~ abbiamo

1) 2 _ 1(1 2 2 _1) (2 2 -

_1

S'

( 3~ ) = ~ ( ~ -1)(~ 3!

2) = ~ 16 '

e dunque 10 svilupp o arrest a to a ll'ordine 3 della funzione j(x) =

I polinomi di Maclaurin della funz ione y = rapprese ntati in Fi gura 7.S.

Vf+X

Vf+X e

di ordine n = 1,2,3,4 sono

242

7 Sviluppi di Taylor e ap plicazion i

Figura 7 .8. Approssim azione locale d i f( x) per n = 1,2 , 3,4

= VI + x

mediante i polinomi T i « = T f n,o

P er comodita dell 'allievo, riportiamo nella sottostante lista gli sviluppi di Maclaurin con resto di P eano ottenuti finor a . Una list a pili completa si trova a pag.444. .

eX

x2 2

xk .

= 1 + x + - + ... + -kl + ...

10g(1

+ x) = x

x2 - 2

x3

x5

+, + xn

n.

o(x n )

n

+ ... + (_1) " -1 _x + o(x n) n

X 2rn+ 1

. . _. . sin x - x - "I 3.

+ "I 5.

x2 cosx = 1 - ~ 2

x + -x - .. . + (_ l )rn _ _ + O(.T 2rn+ 1)

- . ..

. ( 2rn+2) + ( - L)?' (2m + 1)'. + 0 x

4

2rn

4!

0:(0' 2- 1) x

(l + x )

0,

che possiamo anche scrivere con 0(1)

-->

0 p er y

Possiamo dunque formare la funzione com p osta h(x) f( x) nello sviluppo di g(y ) abbiamo

g(f( x))

-->

O.

= g(J(x)) . Sostituendo

y

=

= bo + bd(x) + b2[f( x)] 2 + ...+ bn[f(x)] n + [f( x)] no (l ).

Si noti che , p er la cont inuita di f( x) in 0, si ha che y = f( x) --> 0 p er x --> 0, dunque nell'espressione pr eceden te 0(1) --> 0 anche p er x --> O. Inoltre, dallo sviluppo di un prodotto si ha che

7.3 Oper azioni sugli sviluppi di Taylor

249

Dunque

[j (x )]no (l ) = o(x n)

per x

----+

o.

Sviluppando le po t enz e [j( x)]k (1 < k < n) risp etto ad x fino all' ordine n, si p ervien e a llo svilupp o di g(J(x)) . Esempi 7 .11 i) Calcolia mo 10 sviluppo di ordine 2 in 0 di h(x)

= evl+ x -

1.

Poniamo

Allo ra

h(x) = 1 + (

2

"2X - 8x + o(x 2)) + 2"1 (x"2 - 8x 2 + o(x 2 ) ) 2 + o(x 2 )

= 1+

(~ _ ~2 + O( X2)) + ~ (:2 + o(x 2)) + o(x 2)

= 1+

"2 + o(x 2 ) .

X

ii) Calcol iamo 10 svilupp o di ordine 3 in 0 di 1

h (x ) - ----,------,----1+10g(1+ x) Quest o svilupp o puo esse re calcolat o come sviluppo di un qu oziente. In alte rnativa, possiamo pen sare h(x) corne una funzione composta, precisamen t e da

f( x)

x2

x3

= 10g(1 + x ) = x - 2 + 3 + o(x 3 )

e da 1

Allora

g(y) = _ _ = 1 _ y +y2 _ y3 + o(y3). l+y

250

7 Sviluppi di Taylor e applicazioni

Osservazione 7.12 Qu ando f(x) e un infinitesim o di or d ine superiore al primo nell 'origine, e possibil e 'risparmiare' calcoli, nel senso che si puo ottenere uno sviluppo di ordine n di h(x ) = g(J(x)) par t endo da sviluppi di ordine < n di g(y ). Ad esempio, se f e un infini t esim o di ordine 2 nell 'ori gin e (cioe al = 0, a2 =I- 0), allora [f(x)jk = a~ x2 k + o(x 2k) , dunque per ot tenere uno sviluppo di ordine n di h(x ) e sufficiente partire da uno sviluppo di ordine -i (se n e pari ) op pure (se n e dispar i) per la fun zione g(y ) (me ntre, in gene rale, f (x ) deve esse re sviluppata fino all'o rdine n). 0

n!1

Esempio 7.13 Calcoliamo 10 sviluppo al secondo ordin e di h(x) = J cos x = J~ 1+---'(c o-s-x---1-""") . P oniamo x2 (2° ordine ) f( x) = cos x - 1 = - 2 + o(x 2)

g(y)

= Jf+Y = 1 + ~ + o(y)

(1° ordine ).

Allor a

h(x ) = 1 +

=

1-

~ ( _ ~2 + o(x 2)) + o(x2) x2

4 + o(x 2)

(2° ordine).

o

Sviluppi asintotici (non di Taylor) Qu an do un a fun zione f (x ) e infinita per x --+ 0 (opp ure per x --+ xo), e in molti casi possibile dare un o sviluppo 'as intot ico' di f (x ) seco ndo pot enze crescenti di x (0 di x - xo), ammettendo anche pot enz e negati ve. In a ltri termini,

f (X ) = -a-m xm

m+l n (n) . a- I + -a- 1- + ... + - - + ao + alx + ...+ anx + 0 x xm X

Qu esto permette di meglio comp re ndere il modo con cui f tende a infinito. Infat ti , se a _ m =I- 0, f risul t era un infinito di ordine m risp et t o all' infinito cam pione X- I . Sp esso e po ssibi le arrivare a un o sviluppo del tipo precedente, partendo da 1

sviluppi di Taylor di f( x) (che

e infini t esima per x --+ 0).

Anche in qu esto caso, ci limitiamo ad illu strare il procedimento con un esempio. Esempio 7.14 Si voglia dar e un o sviluppo 'asintotico' per x

--+

0 della fun zione

1

f (x ) = eX _ 1 . Dallo sviluppo della funzione espo nenz iale, arrestato ad ese mpio al terzo ordine, abbiamo

7.4 Uso degli svilu pp i di Taylor nello studio local e di un a funzione

251

Dunque 1

1

f( x) = -

X

X

1 + 2"

X

2

+ 6 + o(x

2

.

)

La seconda frazione puo essere sviluppata usando 10 sviluppo di Maclaurin di 1 __ = 1 - y + y2 + 0(y 2) ;

ponendo

l+y

si otterra

2) = + -x12 + o(x) 2

1 + -x + o(x) , 2 12 che rappresenta uno sv iluppo asintot ico della funz ion e f nell 'origine. Da esso si puo dedurre ad ese m pio che, per x ----> 0, la fun zion e f( x) e un infinito di ordine 1 ri sp et to a ll' infinit o campione cp(x ) = ~ . Inoltre, trascurando il term ine in x e scrivendo f( x) = ~ + 0(1) , otteniamo che la fu nzione e asint ot ica a ll'ipe rbole 2- x o g(x) =~ .

f( x) = -1 ( 1 - -X x 2

1 x

- - -

!

7.4 Uso degli sviluppi di Taylor nello studio locale di una funzione Lo sviluppo di Taylor di una fun zion e f( x) in un punto permette di studiare il com p ortamento local e d i f in un intorno di t al e punto. Esaminia mo nel seg uit o a lcune significat ive ap plicazioni.

Ricerca di ordini di infinitesimo e di parti principali Sia

xot + o(( x - xo)n) 10 sv iluppo d i Taylor di ordine n di f in un punto xo, e supponiamo che per un cert o intero m tale che 1 :s: m :s: n si ab bia ao = al = ... = am- l = 0, rn a am i=- 0. Allora

f( x) = ao + alex - xo) + ...

+ an(x -

f( x) = am(x - x oyn

+ o(( x

- xo)m)

e dunque f( x) , in un intorno di Xo sufficientemente piccolo, si comportera come la fun zione polinomial e

p(x) = am(x - x o)m, che ne costituisce la parte prin cipale rispetto all 'infinitesimo campione y = x - xo. In particolare , f( x) sara un infinitesimo di ord ine m rispetto a tale campione.

252

7 Sviluppi di Taylor e appli cazioni

Esempio 7.15 Si voglia calcolare l'ordine di infinitesimo e la parte principale per x -+ 0 della funzione f (x) = sin x - x cos x - ~ x 3 rispetto all'infinitesimo campione rp(x ) = x . Usando gli sviluppi di Maclaurin delle funzioni seno e coseno si ottiene facilmente

f( x)

= -

310x5 + o(x 5) ,

X -+

o.

f e un infinitesimo di ordine 5 e la sua parte princip ale vale p(x) Si osservi che ottenere 10 stesso risultato con il Teorema di de l'Hopital sarebbe risultato ben pili gravoso dovendosi derivare 5 volte la funzione. 0 Dunque - 310x5 .

Comportamento locale di una funzione Se di una funzione f conosciamo 10 sviluppo di Taylor del secondo ordine nell'intorno di una punto Xo,

x

-+

Xo ,

allora dalla (7.7) deduciamo che

f( xo) = ao ,

1'(xo)

=

aI ,

Supponiamo che f e la sua derivata prima e seconda siano continue in un intorno di xo. Allora, grazie al Teorema della p ermanenza del segno, i segni di ao, al e a2 (qualora tali quantita siano diverse da 0) coincideranno rispettivamente con i segni di f(x) , 1'(x), 1"(x) in tutto un intorno di x o. Cia permette, in particolare, di conoscere la monotonia e la convessita di f in t ale intorno, applicando il Teorema 6.26 b2) e il Corollario 6.37 b2). Esempio 7.6 (seguito)

I

Riprendendo l'Esempio 7.6, abbiamo f(2) > 0, 1'(2) < 0 e 1"(2) > O. Dunque, in un intorno di Xo = 2, f sara strettamente positiva , strettamente decrescente e strettamente convessa. 0

I casi in cui al = 0 oppure a2 = 0 sono considerati nel seguito. Studio della natura di un punto critico Sia Xo unpunto critico di una funzione f , derivabile in un suo intorno. Sappiamo (Corollario 6.27) che se l' e di segno diverso a destra e a sinistra di Xo, allora Xo e un punto di est remo per i: invece, se l' e di segno costante a destra e a sinistra di Xo, allora Xo e punta di Besso a tangente orizzontale p er f . In alternativa all'analisi del segno della derivata prima nell 'intorno di xo, quando f ammette derivate di ordine superiore in Xo e possibile studiare la natura del punto critico analizzando la prima derivata di f che non si annulla in tale punto. Vale infatti il seguente risultato.

7.4 Usa degli sv ilu ppi di Taylor nella st ud io loc ale di un a funzione

253

Teo rem a 7.16 Si a j derivabile n volte (n 2: 2) in Xo e si abbia j " (Xo) =, .. = j (m -l ) ( Xo) = 0 ,

(7,21)

per un certo m talc che 2 ::s: m ::s: n. A llora:

c pari, ,TO C punto di estrem o per j , e precisameni e e pun to di m assim o se j (rn )(xo) < 0, punto di minimo se f (rn )(xo) > 0; ii) se m e dispari , Xo c pun to di flesso a tang ent e orizzontale per I , e precisame nte e punto di flesso discendent e se j (m ) (xo) < 0, ascendent e se f (m)(.To ) > O. i) se m

Dimostrazionc,

Confro nt iamo j (x) con j (xo) in un intorno eli Xo. P art endo dalla formula eli Tay lor (7.6)-( 7,7) c usand o lc ipot esi (7.21), ottcniarno

f'(X ) - ,f'(:1:0) =

,

j ("' ) (:1:0) , UL

(:1: - Xo )'"

+ 0 (( .T - :z:o)111) '

Scr ivcndo 0(( :1: - xo)',,) = (:r - :r o)"' o(l ) e ra ccogliendo il fattore (:r - :r o)' '' , abbiarno

j (x ) - f (x o) = (x - ,Tor'"

I' (m ) (T [

,' ()

rn ,

)

+ h(:z: )]

,

dove h(x) C una opp ortuna fun ziono infini t esim a per :r ----+ :z:o' Pertanto, in un int orno eli Xo abbastanza piccolo, il te rminc racchiuso tra parentcsi qu ad re avra 10 stosso segno eli j (111 ) (:1:0); dunque il segno eli f (x) - j (:1;0) in talc intorno sa ra determinat e dai segni eli f (111)(XO) c (x - XO)111. Esaminando i vari casi possibili , si giungc alia tcsi . 0

Esempio 7.17 Supponiamo che in un intorno eli Xo = 1 si ab bia

f( x)

=

2 - 15(x _1) 4 + 20(x - 1)5 + o((x - 1)5).

(7.22)

Deduciamo che

1"(1) = 1"'(1) = 1""(1) = 0 ,

mentre

f (4 )(I) = -360 < O.

P ertanto , Xo e punta eli massimo rela t ive per f (si ved a la Fi gura 7.9 a sinistra) . Supponi amo invece chc in un intorno eli X l = - 2 si abbia

f( x) = 3 + 10(x

+ 2)5 -

35(x

+ 2)7 + o((x + 2)7).

(7.23)

Deeluciamo che

1"( - 2)

= 1"'( -2) = f'lI( - 2) = f (4 )( - 2) = 0,

mentre

f(5 )( -2)

Pertanto , Xl e punta eli fless o ascenelente a t angente orizzon t ale la Fi gura 7.9 a elestra).

= 10 · 5! > O. p er f (si veela 0

254

7 Sviluppi d i Taylo r e a pplicazioni

y

=

y

f (x )

2 ----------

= f( x)

--------------

3

-2

Figura 7.9. Comport amen to della funzion e f( x) definita in (7.22) nell 'intorno di X Q = 1 (a destra) e della funz ione f( x ) definita in (7 .23) nell 'intorno di X Q = - 2 (a sinistra) Ricerca d ei punti di fle sso Sia f una funzione derivabile due volte in un in torno d i x o. Mediant e le formule di Taylor, e possibile decidere se Xo sia 0 m eno punto di fiesso p er f . R icordiamo innanzitutto che nel Capitolo 6 abbiamo enu nciato il Corollario 6.38, rimandandone la giustificazione al presente p aragr afo. Vediamo ora t al e dimostrazione. Di mostrazion e. a) Sia Xo punta di flesso p er

f . Indi cat a

come al solito con y

=

t(x) = f (xo) + f' (xo)(x - xo) l'equazione della ret t a tange nte al grafico di f in Xo , dall a formula di Taylor (7.6) con n = 2 ricaviamo

Raccogliendo a secondo membra il fat t or e (x - xO)2 p ossiamo scrivere

f( x ) - t (x ) = (x - xO) 2 D!" (XO)

+ h(X)]

,

p er un a opp ortuna fun zion e h infinitesirn a in xo. Se p er ass ur do fosse f" (xo) =I 0, in un intorno a bbastanza piccolo di Xo il secondo membra av rebbe seg no costante a destra e a sinist ra di Xo, cont raddicendo l'ipo tesi che Xo sia punta di flesso. b ) In qu est o caso, usiamo la formula d i Taylor (7.8) , sem pre con n = 2. P er ogn i x =I Xo in un intorno di Xo, esiste un punta X cornpres o Lra Xo e x tale che f (x) - t (x ) =

~!" (x)(x -

XO)2.

La conclusi one seg ue allora dall 'analisi del seg no dei t ermini a 0 secondo membro.

7.4 Uso degli svilu ppi di Taylor nello studio locale d i una funzi on e

255

Supponiamo, d 'ora in avanti , di sapere che I "( XO) = O. In alternativa all'analisi del segno della derivat a seconda nell 'intorno di Xo, quando 1 amme t te derivat e di ordine superiore a l secondo in Xo e possibile studiar e la natura di Xo analizza ndo la prima derivat a di 1 di ordine > 2 che non si annulla in t ale punto . Vale infat ti il segu ente risultato. Teorema 7.18 Sia 1 derivabile n valle (n > 3) in Xo e si abbia

I Xo - . . . - I Cm- 1) ( Xo ) -- 0 , II (

)

-

(7.24)

-

per un certo m tale che 3 :::; m :::; n . Allam :

i) se m e dispari, Xo e punta di fiessa per I , e precisam ent e e punta di fiessa discendent e se I Cm)(xo ) < 0, ascendent e se f Cm)(xo) > OJ ii) se m e pari,xo nan e un punta di fi esso per I . Dirnostrazione. Procedendo in modo ana logo a quanto fatto nella dimost ra zione del Teorema 7.16, otteni amo Ia relazione

f (:r ) - t( x) = (.r - xo )m [

f cm)(x o) m!

+ h(x)

]

,

dove h(x) indi ca un a opportuna fun zione infinitesim a per x ----+ XO. II risul tato segue allora dalla discussione dei segni dei termini a secondo membra. 0 Esempio 7.19 Supponi amo che in un int orn o di Xo = 3 si abbia

f( x)

=

- 2 + 4(x - 3) - 90(x - 3)5 + o((x - 3)5) .

(7.25)

Deduciamo che 1"(3) = 1"'( 3) = I (4)(3) = 0, mentre I (5)(3) = -90 · 5! < O. Concludiamo che Xo = 3 e punto di flesso discendent e per 1 (si ved a la F igura 7.10) . 0

3

/ - 2 - - --- -- - -- -- -- -i

y =t(x ) /

y

=

f( x)

Figura 7 .10. Com portamento locale della fun zione f(x ) defin it a in (7 .25)

256

7 Sv iluppi d i Taylor e applicazioni

7.5 Esercizi 1. Usando la definizione, scrivere il polinomio di Tay lor delle seg uenti funzioni, di ordine n e centrat o nel punto Xo:

[ill

= eX, n =4 , Xo = 2 b) f (x ) = sinx, n = 6, Xo = ~ [ill f( x) = log x , n =3 , Xo = 3 d) f( x) = v'2x + 1 , n = 3, Xo = 4 2 3 @] f (x) = 7 + x - 3x + 5x , n= 2 , f) f (x) = 2 - 8x 2 + 4x 3 + 9x 4 , n = 3, f (x )

Xo

=

Xo

1

=0

2. Determinare 10 sviluppo di Tay lor delle segu enti funzioni, centrato nel punto Xo e con il res to eli Peeno, sino al massimo ordine possibile:

[ill b)

f( x)

= x 2 1xl + e2x

f (x) = 2 + x

+ (x

Xo

,

Vx

- 1)

=0 1,

2 -

Xo = 1

3. Usando gli s viluppi delle fun zioni clem entari, detertninere 10 sviluppo di Maclaurin delle seg uenti funzioni, con il resto di Peano e sino all 'ordine indicato:

GJ

f (x) = x cos 3x - 3 sin x , 1+x log -1 - 3- ,

Qill [ill

f (x ) =

d)

f( x) =

e)

f( x) = Veos (3x -

rf)l ~

f( x) =

~

f( x) = cosh' x -

h)

f (x ) =

.

+

2

I)

f( x) =

£)

f( x)

=

e - x cosx

n =4

X

f( x) = eX sin 2x ,

n =2

n= 5

+ sinx -

cos x ,

x2) ,

n = 4

~ - sin x, 6 1 + x2 e 2x

-

1

C=O= '

v cos 2x

n =2

n = 5

vII + 2x 2 ,

n =4

n =3

1 10 ' -y8 sin x - 2 eos x

Vs + sin 24x 2 -

n = 3

2( 1 + x 2 eos x 2 )

,

n =4

4. Colcolere l'ordine di infinitesimo e I« parte prineipale p er x all 'in finitesim o cam pione 'f/(x ) = x, delle seguenti funzioni: a) f( x)

= ecos2x - e

fb)l f( x) ~

= cos 2x

---7

0, risp etto

+ log( 1 + 4x 2 ) eos h 2x

_

1

7.5 Eserci zi

~ f( x) ~

~ f( x) L.!J

=

3

JX3 -

sin Vi e 3 v'x - l

= x - arc tan

d) f( x) = 2x x

VI -

4x 2

f) f( x)

+ (x 2

{II -

=

x2

-

-

l+ x 1) log-I - x

~ X2

f (:1;) =

b)

f (x ) =e -~- 1

[ill d)

1

f (x)

X -

3

----+

+00 , rispe tto

1 2 - 2( x - 2) -log( x - 1)

= ~II + 3x 2 + x 3

f (:1:) =

4

VI - 3 + sin x18

5. Calcolare l'ordine di iniiiii tesuno e la parte principale per :r ell 'iniiniiesim o campione rp (x ) = ~, delle seguenti fun zioni:

Gill

257

2 + sinh 22

V'2 + 5x 4 + x 5

-

~

-

X

6. Calcolare i seg uenti limiti: lim (1 x ---> O

+ X 6 ) 1/( x

4

s in

2

b)

3x)

lim

cos .:J. 7rX 4

x ---> 2

d)

lim

[2]

e)

x ---> O

(e

x 7

-

~ 7r log :r. 2

2

(4 - x 2 ) 2

+ sin 2 x_sinh'' x)1/ x

4

lim 3x 4 [log(1 + sinh x )] cosh x x--->O 1 - VI + x 3 cos JX3 2

[2J

Determinare, al veriere di a in 1Ft, l'ordine di intinitesimo per x funzion e h(x) = log cos x + log cosh(ax) .

[]J

Cslcolere i1 valore della derivata sesta nel punta x

2

----+

0 della

= 0 della funzione

4

h(x) = sinh(x + 2sin x ) . 1 + x lO 2

[QJ

Posto rp (x ) = log(1

+ 4x) - sinh4x + 8x 2 ,

det erminare i1 segno della fun zione y = sin rp(x ) risp et tivamente in un intorno destro e in un in torno sinistro di Xo = o.

[]QJ

Provare cbe esiste un intorno di 0 nel quele vale la relazion e 2 cos( x

[ill

Celcolere, al variare di

0:

E

+ x2)

:::;

2 - x2

-

1Ft+ , i1limite lim

x--->o +

eX / 2

-

(x +

cosh

Vi

V'X )a

2x 3 .

258

7 Sviluppi di Taylor e applica zioni

~ Det erminare a E lR in modo cbe

f( x) = (arctan2x) 2 - o z sin z sia infinitesima del quarto ordine per x

----'>

O.

7.5 .1 Solu zioni

1. Polinomi di Taylor: a) Po iche t utte Ie derivate di f( x) = eX coincidono con la fun zione stessa, risulta f 0 , se x < 0 ,

pertanto

=

lim g'( x)

x---+ o+

lim g' (x)

x---+o-

= 0,

lim g"( x)

x --+ o+

= lim g" (x) = 0. x--o -

Quindi, usando il Teorem a 6.15, deduciamo che g e derivabile due volt e nell'origin e con derivat a prima e seconda null e. D'altro can to , g"( x) = 61 xl , che no n e der ivabile nell 'origine; dunque g non e derivabile tre volt e in t ale punto . In conclus ione, la fun zione f e sviluppabile nell'origin e solo fino all'ordine 2. Poiche h'(x) = 2e2x e h"(x) = 4e2x , risul t a f(O) = 1, 1'(0) = 2,1"(0) = 4 e 10 sviluppo di Maclaurin di ordine 2 e:

f (x ) = 1 + 2x b) La fun zione

e derivabile

+ 2x 2 + o(x 2) .

solo un a volt a in Xo

f( x) = 3 + (x - 1) + o(x - 1).

=

1 e 10 sviluppo cercato

e

3. Sviluppi di Macla urin :

a) f( x)

= -2x + o(x 2).

b) Possiamo scrivere f (x ) = 10g(1 + x ) - 10g(1 + 3x) e utilizzar e 10 sviluppo notevole di log(l + t) con t = x e t = 3x . Si ottiene

f (x ) = X =

x2

x4

x3

2" + 3 - 4 -

-2x

+ 4x 2 -

d) f( x) = x 2 + o(x 2).

+ x3 -

(3X)2

+ -2- -

(3x) 3 (3x) 4 -3- + -4-

+ o(x

26 _ x 3 + 20x 4 + o(x 4) . 3

c) Utilizzando gli sviluppi di e t con t

e) f (x ) = 1 - ~x2

3x

~~X4

= x 2 e di sin t con t = 2x , si ha

+ o(x 4).

4

)

260

7 Sviluppi di Taylor e a pplicazion i

f) Utilizzando 10 sviluppo notevole della fun zione (1 si ha

+ t )D:

con

0'

=

-i e t = x

2

,

e quindi f( x) ,

=x

1 7 1 1 - _ x 3 + _x 5 - X + _ x 3 - _x 5 + o( x 5) 6 72 6' 5!

=

g) Usando gli sviluppi di Maclaurin delle funzioni cosh x, (1 t = 2x 2 si ha f( x) = =

1 + x 2 + ~ X4 , 4

+ ~X4 + o( x 4) _ 4!'

1 3

=

+ t) D:

con

0' =

~ e

(1+~X2 + :! X4 +0(X4 )Y_(1+2x 2)1/2

= 1 + x2 + _ x4 h) f( x)

4 5 _ x 5 + o( x ). 45

2x

(1

+ ~2X2 + (1 2/2) 2

1

1 - x 2 + _ x 4 + o( x 4) 2

=

(2 X2)2

+ o( x 4))

5 _ x 4 + o( x 4) . 6

+ 2x 2 + 130 x 3 + o( x 3 ) .

i) Sostituendo a sin x e cos x i loro sviluppi di Macl aurin si ha 1 2 -2 - V8x + x + ~x3

f( x) =

+ o( x 3)

.

Proced endo alia divisione per potenze crescent i di x risulta f( x)

5 2 = --1 + -V2 x - -x + -17yin2 x 3 + o(x 3 ) . 2

2

4

4. Ordini eli iniiuites im o c parti prin cipali p er a) L'ordine di infini tesimo

12

:1;

---->

0:

e 2 e la parte principale e p( x)

b ) Scriviamo

=

+ 10g(1 + 4x 2 ) -

cosh 2x , cosh 2x e notiamo che per calcola re I'ordine di infinitesimo della funzione per x ----> 0 e sufficien t e st ud iare iI numer atore in quanta iI denominatore t ende a 1 p er x ----> O. Utilizzando gli sviluppi di Maclaurin delle fun zioni cos t , log( 1 + t) e cosh t si ha h(x)

cos 2x

= - 2e x 2 .

7.5 Esercizi cos 2x

+ log(1 + 4x 2) -

cosh 2x 1 2 1 4 1 = 1 - -(2x) 2+1 -(2x) 4 + (2x) - - (2x ) - 1 - -(2x) 2- 1 -(2x) 4 2 4! 2 2 4!

=

261

- 8x 4

+ O(X4 )

+ 0(x 4 )

e quindi l'ordine di infin itesimo richiesto e 4 e la parte princip ale

c) Usando gli sviluppi di Macl aurin di sin t e di et e pon endo t =

e p(x) = -8x 4 . VX, per t ----+ 0,

si ha 9 (t ) -

t 3 - sin 3t

e 3t - l

-

t 3_(t _.!.t 3+0(t3)) 3 1 +3t+o(t) - 1

-

_-----'-_-"6 -----,------,------'--'-----

cioe

f( x)

=

1

6' x 2 + 0(x 2).

e 2 e la part e princip ale e p(x) infinitesimo e 3 e la parte princip ale e p(x) = ~x3.

Dunque l'ordine di infinit esimo d) L'ordine di

e) Usando gli sviluppi di Macl aurin dell e funzi oni (I + t )'" (con si ha (1 - 4x 2) -1 / 2 = 1 + 2x 2 + o(x :l) ,

arctan

x

VI -

X

= x + 2x 3 + 0(x 4 )

4x 2

x

=

-

0'

=

i x 2.

= - ~)

e ar ct an t,

= X + 2x 3 + 0(:r4)

Vl- 4x 2 ~(x - 2x 3 + 0(X4)) 3 + 0(x 3) 3

5

+ 3 x 3 + 0(x 3) .

Dunque

f( x) =

_~ x3 + 0(x:3)

3 e quindi l'ordine di infinitesimo e 3 e la par t e principale f) L' ordine di infinitesimo 5. Orelini eli iniini tesuuo

a) P er x

----+

e 6 e la parte principale e p(x ) =

e p(x) (- 3~

=

+

-i x3. 2.13 )x 6.

e pert: pruicipnli per z ----+ +00:

+00, possiamo scr ivere x - 2 -log( x - 1) - 2(x - 2)2 - (x - 2) log( x - 1) x - 2 - 1og (x- l ) 2 2x - 8x + 8 - (x - 2) log( x - 1)

f (x ) -

=

-::-:-------=--,-;;------,-----=--:-::-:----;------,-

x + o(x) 2x 2 + 0(x 2)

=

1+ (1)~

2x

da cui si ved e che l'ordine di infinitesimo di principale e p(:r) = 2~ '

0

f per x

----+

+00

e1 e

la parte

262

7 Sviluppi d i Taylor e a p plicazion i

e 1 e la parte princip ale e p(x)

b) L'ordine di infinitesim o c) Possiamo scrivere

f( x) =

3

=x

(1 +~ +~) - x (1 +~ +~) (1 +~ +~) (1 +~ +~) x3

x3

5

5

x3

X

X

1/ 3 _

x5

X

x

1/5

x5

X

e, utilizzando 10 sviluppo di (1 +t)Q con (} = risp ettivamente, si ot t iene

f( x) = x

= - 4~ .

i, t = ~ + x\

e (} = ~, t = ~ +

[1 +~3 (~+~) _(i)2 (~ + ~) 2 + (~) + x x x 3

X

- 1_

0

3

X

2

~5 (~ +~) _(~)2 (~+ ~) 2 + (~)] x x x X

5

0

5

X

e 1 e la part e principale e p(x) L'ordine di infinitesimo e 2 e la parte princip ale e p(x) = 3~ Pertanto l'ordine di infinitesimo

d)

2

= ~

G. Limiti:

a) Possiamo scrivere lim (1 + x 6 ) 1 / ( x

4

2

si n

3x )

= lim exp (

x --->O

x ---> O

.1 10g(1 + x 6 ) ) x 4 sln 2 3x

= exp (lim 10g(1 +2 x x ---> O

6

x sin 3x 4

))

= eL .

Per calcolare L , utilizziamo gli sviluppi delle funzioni 10g(1

+ t)

e sin t :

. x + o(x ) x + o(x ) 1 = lim = 2 6 6 x ---> O x (3x + o(x ) ) 2 x--->O 9x + o(x ) 9· 6

.

L = lim

6

6

6

4

P ertanto il limite cercat o vale e 1 / 9 . b) 11 limite vale 2~6 tt . c) Usa ndo gli sviluppi del seno e della t an gent e, si ha

i

· x - sin(tan x) . x - t an x + t an'' x + o(x 3 ) = lim -----,;:-:---''------,-------,-----'------'L = 11m 2 x--->o x sin (t a nx ) x ---> O x 2 (tanx + o(x )) x - x - l x 3 l x 3 o(x 3 ) _l6 x 3 o(x 3 ) = lim 3 6 = lim '-::-_ -:--:,..,..----x ---> o x 3 + o(x 3 ) x --->o x 3 + o(x 3 )

+ +

---.0

+

1

6

;5

7.5 Eserciz i

263

c1 ) II limi t e vale e- 2 / 3 . e) II limi t e va le -l. f) Si osservi che, p er x

-t

0, si ha

3x 4[10g(1 + sinh 2 x)] cosh 2 X rv 3x 4 sinh 2 x

rv

3x 6 .

Inoltre, usando gli sv iluppi di Maclaurin possiam o scrivere il denomin at ore come seg ue: Den : 1 - (1 + x 3 ) 1/ 2 cos x 3 / 2 = 1 - (1

=

+ ~x3 + (1;2) x 6 + o(x 6) )

1 6 1 3 1 - ( 1 +"2 x - SX

- "21 x 3 -

1 6 4" x

(1 _

~x3 + ~! x 6 + o(x6) )

6 ) 1 6 + 24 x + o(x) =

1 6 3" x

+ o(x 6 ).

P ertanto il limite proposto diventa

6

6)

+ o(x = 9. x -> O ~x6 + o(x 6 ) lim 3x

7. Utilizziamo gli sv iluppi noti di Maclaur in delle fun zioni 10g (1 + t ), cos t , cosh t. Si ha

h (x )

=

log (1 -

~X2 + ~, x4 + o(x 5 ) ) + log (1 + ~ (axf + ~! (ax) 4 + o(x 5 ) )

1 = - - x2 +1-4! x 4- 1-2 2

(

1 - - x 2+1 - x4) 2 4!

2 (-a2 x

1 2

- 1 2 = _(a 2

_

1)x 2

+ ( _1 - -1) 4!

8

2

2

2

4

+ o(x 5 ) + -a2 x 2 + -a4! x 4

4 )2 + o(x

+ -a x 4 4!

5

-

)

(a 4 + 1)x 4 + o(x 5 )

da cui si ricava che , se a =1= ± 1, h (x ) ha or dine di infinit esimo 2 per x - t 0, men tre se a = ± 1 il primo coefficien t e non nullo della sviluppo di h (x ) e qu ello di x 4, quindi la fun zione risult a infinit esim a di ordine 4 per x - t O. 8. Per ca lcola re M6 )(X) in x

=

0 sfruttiamo le ca rat te rist iche della sviluppo di Macl aurin in cui il coefficiente di x 6 e a6 = h(6~/O) . Occor re quindi ca lcolare 10 sviluppo di Macl aurin del sesto ord ine di h (x ). Utilizzando gli sviluppi delle fun zioni sin t e sinh t , il numerat or e di h div enta Num : sinh ( x

2

= sinh ( x 2

+ 2(x 4 -

; ,x

6

+ o(x 6) ) )

+ 2x 4 - ~x6 + o(x 6) ) 3

7 -- x 2 + 2x 4 - _6 x 6 + o(x 6 ) .

= x2

+ 2x 4 - ~ x6 + ~x6 + o(x 6) 3

3!

264

7 Sv iluppi d i Tay lor e a p plicaz ion i

1Q Operando la d ivisione per potenz e crescent i tra x 2 + 2x 4 - t x 6 + o(x 6 ) e 1 + x si ha 7 h (x ) = x 2 + 2x 4 - _ x 6 + o(x 6 ) 6 6! = - 840. e per t anto h(6)(0) =

-t .

9. Utilizzando gli svilup pi d i Macl aurin delle funzioni 10g(1 + t ) e sinh t , possiamo scrivere

poiche la fun zione seno nell'int orn o dell'o rigine e concorde con il suo argo mento la fun zione y = sin cp(x ) risult er a negativa p er x < 0 e positiva p er x > O. 10. Ut ilizzando 10 svilup po di Maclaurin della funzion e cos t , si ha

Allor a , nell'into rno dell 'ori gine in cui vale questo sv ilu ppo, si ha la relaz ione richi esta in quant a la par te principale della di fferenza t r a il primo e il sec ondo membra della d isequaz ion e e cost it uita dalla qu ant it a , sicurament e nega t iva , x4.

g

11. Consid eri amo separatame nte gli svilup pi di Maclaurin del numeratore e del den ominatore Num :

l +~X + ~ (~ f +o(x 2) - (l +~X + ~! x2 +0(x2))

( ~8 _ Den:

~) x 2 + o(x 2) = ~x2 + o( x 2 )

(1 + x 5 (1 + x 4/ 5 )

1 5 [X /

= xa /

r

4!

4 5 / )

a

12

'

= x a / 5 (1 + a x 4/ 5 + O(X4/ 5) )

.

Allor a lim

x-. Q+

e X / 2 - cosh (x

Vi.

+ {/X)a 1

12

o

=

l x 2 + o( x 2) x-.Q+ x a / 5 (1 + a x 4/ 5 + o(x 4/ 5) )

lim

_~-;-",,-,12=-----:~-,----,---:--,--~

a se 2 = 5 ' se2 > "5 '

+00 se

~12

a

2

a

< "5

{

se a

= 10 ,

sea < lO ,

+00 se a > 10.

7.5 Es erci zi

265

12. Usando gli sviluppi di Maclaurin delle funzioni arctan t e sin t , si ottiene

e f( x) risultera infinitesima di online 4 nell'origine se a si ha

= 4 p erche per

tale valore

8 Rappresentazioni del piano e della spazio

Qu est o ca pit olo ha una duplice funzione. Da un lato , esso si ricollega al Capitolo 1 introducendo vari oggetti ma t em atici nel piano e nella spazio. Pili precisamente ver ranno trattati altri sist emi di coordinate oltre a qu ello cartesiano, i vet t ori con le lora propriet a element ari e l'in sieme C dei numeri complessi. D' altro lato esso forni sce una prima t r att azione di concett i che saranno approfonditi in cors i succes sivi qu ali le curve e Ie fun zioni di pili variabili.

8.1 Coordinate polari, cilindriche, sferiche Un punto P del piano cartesia no, di coordinate (x , y) , puo anche essere individua to mediante le su e coordinate polari (r,()) . Esse sono definite nel modo seguente. Indichi amo con r la distanza di P dall'origine O . Se r > 0, sia () la misura in radi anti , a meno di multip li di 211", dell'an golo formato dal semi asse positivo delle asc isse e dall a semiretta us cente dall'origine e passante per P (si veda la Fi gura s .i) . Usualme nte () e scelto nell'int ervallo (- 11", 11"], oppure, in alte rnativa, nell 'in-

p = (x , y) y - - - - -----------------~,

,, ,, ,, ,, , , ,, ,

o

x

Figura 8.1. Co ordinate cartesia ne e pol ari nel piano

268

8 Rappresent azioni d el pi ano e d ello spazio

tervallo [0, 27r) . Se r = 0, cioe se P coincide con l'origine , () puo assumere un qualunque valore. Il passaggio d alle coord ina te polari (1', ()) a qu elle cartesi ane (x , y) e esp resso d alle formule

1 x = l' cos () ,

y

= 1'sin() · 1

(8.1)

La trasformazione inversa , qu alor a () venga scelto nell 'intervallo (-7r, 7r],

y arctan -

se x> 0 ,

7J arctan > + 7r

se x < 0, u > 0 ,

arctan J!... -

se x

x

X

r = j x 2 + y2,

() =

x

7r

2

'if

7r

2

< 0, Y < 0 ,

se x = 0, y

> 0,

se x = 0, y


0 , abbiamo () = arc tan

2V6

V3

6,;2 = arc tan :3 =

tt

"6 .

7r Dunque le coor dinate polari di P sono d ate d a (1', 0) = (4v6, "6 ). ii) Sia ora P di coordinate cart esiane (x , y) = (-5 , -5) . Si ha r = 5,;2, ino ltre siccome x < e y < 0, si ha - 5 7r 3 () = arctan - 7r = arc t a n 1 - 7r = - - 7r = --7r

°

-5

e dunque (1',())

=

4

4

3 (5,;2, - 4 7r) .

2

iii) Infine se P ha coordinate polari (1', ()) = (4, "3 7r), le sue coord inate cart esiane sono 2 7r 7r X = 4 cos "3 7r = 4 cos (7r - "3) = -4 cos "3 = - 2 ,

Y = 4 sin

~7r = 4 sin (7r - ~) = 4 sin ~ = 203 . 3 3 3

o

Passiamo ora alla rappresentazione di un punto P E ]R3 di coordinat e cartesiane (x , y , z). Introduciamo due diversi sistemi di riferimento: le coord inate cilindriche e quelle sferiche .

8.1 Coordinate polari , cilindriche, sferiche

269

Le prime si ottengono semplicem ente sostituendo alle coordinate cartesiane (x , y) le coo rd inate polari (1" , B) de l punta P' proiezione ortogonale di P su l piano xy e mantenendo inva ri at a la coord inata z . Indicand o con (1", (), t) le coordinate cilindriche di P, abbiamo d unq ue

Ix = 1"

y

cos () ,

= r' sin e' ,

=t. 1

z

Anche in questa caso l'angolo () e definito a meno di mult ipl i di 2Jr ; qualora esso venga lim it at o all'intervallo (-Jr , Jr], le coordinate cilindriche si esprimono in funzione delle coordinate cartesiane definendo 1" e () mediante le (8.2) (si veda la F igura 8.2, a sinistra) . Le coordinate sferiche (1', cp , ()) sono definite nel modo seguente. Sia r = x 2 + y2 + Z2 la distanza di P dall'origi ne, cp l'angolo formato dal semiasse po sitivo de lle z e dalla semiretta uscente dall 'origine e passante pe r P, () l'angolo formato dal semiasse positivo de lle x e la semiretta nel piano xy uscente dall'origine e passante per la proiezione P' di P su tale piano (si veda la Figura 8.2, a destra) . Con linguaggio geografico, chiamiamo () la longitudine e cp la colatitudine de l punta P (m entre la qu an t it a ~ - cp e la latitudine , misurata qui in radianti) . Abbiamo quindi z = r cos cp, mentre x = 1" cos () e y = 1" sin (), essendo 1" la distanza di P' dall'origine; tale quantita puo essere espressa com e 1" = r sin ip , Sostit ue ndo, otten iamo la seg uente espressione delle coordi nate cartesiane di P in termini de lle sue coordinate sferiche (1', cp, ()):

J

Ix =

T

sin cp cos () ,

y

= r sin cp sin (),

z = T COS

cp .

1

Le trasformazio ni inverse si ottengono facilmente ricon d ucendosi al caso bid imensionale; osserviamo solo che e sufficiente far variare l'ango lo sp in un intervallo di

z

z

• p = (x , y, z)

0 x

T

0 X

Y

p i = (x, y, 0)

P = (:r: ,y , z)

cp

o

,

"\

\ 7",

, ,

Y

•

pi = (x , y, O)

Figura 8.2. Coordinate cartesiane e cilindriche (a sinistra) e cartesiane e sferiche (a destra)

270

8 R appresentazion i del piano e dello spazi o

ampiezza it ; ad esempio l'intervallo [0 ,1f], mentre come nel caso bidimensionale () vari a in un intervallo di ampiezza 21f , ad esem pio (- 1f,1f]. Esempio 8.2 Si consid eri il punt o P di coordinare ca rtesia ne (1,1 , V6). Le coordinate polari del punto P' = (1,1 ,0 ), proiezion e ortogona le di P sui piano xy, sono (r' , ()) =

(v'2, ~). Per tanto le coor dinate cilind r iche di P sono date d a

(r' ,(),t) = (v'2, ~ ,V6) . Det erminiamo or a le coordinate sferiche . Si ha r = VI + 1 + 6 = 2)2; inoltre sin e = ~ = ~ e quindi 'P = essendo 'P variabile nell 'intervallo [0, 1f] . Dunque

-i,

le coordinare sferi che di P sono (r,(), 'P) = (2v'2,~ ,

-i).

0

8.2 Vettori nel piano e nello spazio Introduciamo ora il concet t o di vettore e le principali op er azioni t ra vet tori ; consideriamo dapprima i vettori applicat i nell 'origin e e su ccessivamente qu elli applicati in un punta a rbi trario del piano e dello spa zio. 8.2.1 Vettori applicati nell'origine Consider iamo il piano munito di un sistema di coordinate ca rte siane or togonali. Una coppia (x ,y) E lR 2 con (x ,y) i- (0,0) defini sce un vettore v del piano applicato nell'origine, che si rappresenta come il segme nt o di est remi 0 = (0,0) e P = (x, y) orientato da 0 a P (l'orientamento vien e in genere indicato da una freccia avente la punta in P) ; si veda la Fi gura 8.3, a sinist ra.

P = (x , y)

/

p = (x, y, z )

o o

Figura 8 .3 . Vet tore del pi an o (a si nistra) e dello spazio (a destra)

8.2 Vettori nel piano e nello spazio

271

Le coord inate x e y del punt o P si dicono Ie componenti del vettore v (rispetto al sistema di coordinate ca rtesiane scelt o); si scrivera v = (x , y), identificando di fat t o il vettore v con la sua est remit a P . In modo del t utto analogo , si int roducono i vet to ri dello spaz io applicati nelI'origin e. Un vettore v di com po nent i (x , y , z ) -I- (0, 0, 0) si rappresent a come il segmento di estre mi 0 = (0, 0, 0) e P = (x, y, z) orientato da 0 a P (vedasi la Fi gura 8.3, a destra); scriveremo v = (x, y , z). Sia nel piano sia nello spazio, e conveniente introdurre il vettore 0 di componenti t utte null e, che ch iamia mo vet t o re nullo ; esso si rappresent a come il punt o origine 0 , privo di freccia. In qu esta mod o, i vet tori del pian o (rispe ttivame nte dello spazio) applicati nell 'ori gin e sono in corrisponde nza biunivoca con i punti di 1R2 (rispe ttivamente di 1R 3 ) . Nel seguito, sara conven iente considerar e i vettori applicati nell'origine senza dist inguere se siano del pian o 0 dello spa zio; il gener ico vet t ore v , di componenti (VI , V2 ) se vet tore del piano op pure (VI, V2 , V3 ) se vet tore dello spazio, sara indicat o come (VI , . . . ,Vd). II simbolo V indichera I'insieme dei vett ori del piano, oppure I'ins ieme dei vettori dello spazio. Una volt a fissato il punt o origine 0 , un vet tore e definito intrinsecamente (doe indipendentem ente dal sistema di coordinate cartes iane) dall a sua direzione , doe d alla retta passante per 0 su cui il vet t ore giace, dal suo verso , cioe dal verso di per correnza della ret ta risp et t o all'origine , e dal suo m o d u lo , doe dalla lungh ezza del segmento di estre mi 0 e P . Definiamo ora alcune ope razioni sui vet tori . Sian o v = (VI, "" Vd) e w = (WI , . .. ,Wd) due vet t ori . Chiamiamo somma di v e w il vettore v + w Ie cui compo nent i sono la som ma de lle componenti di ugu ale indice dei due vettori; ossia (8.3) Quand o si trattano i vettori, i numeri reali vengon o anche det ti scalari. Sia qu indi A E 1R; defini amo il p rodotto d ello scala r e A p er il v e t t o r e v come il vettore AV le cui com po ne nti so no il prod ot to di A per Ie compo nenti di v , vale a dir e (8.4) II vettore (-l)v viene indicato con - v e detto I'opposto di v . La differenza v - w di due vettori e definita come (8.5) Le usu ali proprieta della som ma e del prodot to (associa tiva , commutat iva, distribu tiv a , . . . ) valgono an che per tali operazioni, come si puo vedere ragionando com ponente per comp one nte. Le ope razioni or a introdot t e hanno un a semplice int erpret azione geomet rica. Se A > 0, il vettore AV giace su lla stessa ret t a su cui giace v , e orientato concordemente e ha modulo pari a A volt e il modulo di v (si veda la Fi gura 8.4); se A < 0, allora

272

8 Rappresentazioni del piano e dello spa zio

Q = (AX, AY)

AU/ / p

=

(x,y)

v

o Figura 8.4. Vet tori v e AV

'xv = - I'xl v = l'xI(-v) e dunque si applicano le considerazioni preeedenti con v sost it uito da -v. Dici am o ehe due vettori v e w sono allineati se w = 'xv per un qu alehe ,X -I- o. Diamo ora l'int erpret azione geomet rica della som ma di due vettori , v e w , non nulli . Se v e w sono allineat i, cioe w = 'xv , allora v + w = (1 + ,x)v e ancora allineat o con v e w . Altrimenti, v e w giaeeio no su ret te di st inte, rispettivam en t e Tv e T w , ehe si incontrano nell 'ori gin e. Sia II il piano individuato da t ali ret te (ovviamente, se v e w sono vettori del pi a no, II coincide ra con il piano stesso); i vet tori v e w indi viduano un parallelograrnrna in tale pi ano (si ved a la Figura 8.5) . Precisamente, se indichiarno con P l'estremo di v e con Q l'estremo di w , il par allelogr amma e defini to dalle rette T v , row , d alla retta p arallela a T w passante per P e dall a rett a parallel a a Tv pass ante per Q ; esso ha verti ci 0, P, Q ed R , essendo R il vertice opposto all' origine. Allora il vet t ore v + w e precisarnente la di agon ale 0 R del parallelogramrna, orientata da 0 a R . Modi equivalent i per ind ividuare l'estremo R di v + w sono qu elli di "rnuoversi" lungo due lati eont igui del par allelogramma: ad esempio, da P p ossiamo traeciare il scgm en to parallelo a OQ, di pari lunghezza e giaecnt e nello stesso semipiano , rispet to alla rett a T v , in

r

r

,, ,,, ,

,

r.; r" ,, ,

R " --+-,

, ,,

Q ""- -

_ - - -4

,

V +w

w

__.. / .... - -

v _ - - i

0,/ , ,

, ,, ,, , ,,

1"v

, ," P ,,, ,, ,,

Figura 8 .5. Rappresenta zion e geometrica del vet tore somma v

+w

8.2 Vettori nel pia no e nello spazio

,, ,, ,

R/

273

,,

-::'.,,

,

_ I- -

I

-- 9_~ __

,,

- - - '4 --

-

w

/ p - - - - --

• - ",,'-. E ~ , Ilv + wll ::::: [u]

II>,vll = 1>.lllvll ,

+ Ilwll ·

(8.6)

Un vet tore di modulo 1 vien e detto versore; geomet ri cament e, i versori hanno la loro est remit a P gia cente sulla cir conferen za oppure sulla sfer a di cent ro l'origine e rag gio 1. Dato il vettor e non nullo v , possiamo assoc ia re ad esso il versore v = I I ~II alline at o con v . Si ha elunqu e v = Ilv ll v, il che mostra che ogni vettore puo essere rappresentato come il prodotto della sua norma p er un versore. Defini amo infine l'operazione di prodotto scalare tra due vettori . Dati due vettori v = (VI, . . . ,Vd) e w = (WI, . . . ,Wd) , il loro prodotto scalare e il numero reale se d= 2, sed=3 . Valgono le seg uent i propriet a , eli facile verifica : p er ogni v , w , v!, V2 EV e >. , p, E si ha

v·w=w·v , (>'Vl + p,V2) . w = >'(Vl . w)

~,

(8 .7)

+ P,(V2 . w) .

(8.8)

Not ia mo poi che la norma di un vettore puo ess er e espressa mediante il prodotto scalare , essendo per ogni v E V Ilvll =

vv:v .

(8.9)

Vicever sa , per ogni v , wE V , si ha (p er la dimostrazione di ved a a pag. 278)

(8.10) il che permett e eli esprime re il prodotto scalare m ed iant e la norma . Vale inoltre la seguent e importante disuguaglianza , no t a come disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: per ogni v , wE V

Iv ,wl ::::: Ilvllllwl l·

(8.11)

8.2 Vet tor i nel piano e nella spaz io

275

R \

Q

\

--

\

\

v +w

\ \

w

P

v

o Figura 8. 7 . Rap present azione geometrica del Teorema di Pitagora Ancor pili precisamente , si puo scrivere

I

v ·w

= Ilvll llwll

cos O I

(8 .12)

e

dove misura l'a ngolo racchi uso t ra i vet tori v e w (si noti che il modo d i esprimer e l'angolo formato da i due vettori e ininfluent e risp etto a t ale form ula , essendo cos O = cos (- O) = cos(2n - 0)). Anche le relazioni (8.11) e (8 .12) saranno giustificate pili sot to. Med iante il prodot to sca lare, p ossiamo definire il concet t o d i ortogon alit a t ra vettori. Precisamente, d ue vettori v e w si dicono ortogonali se v·w =O;

la rappresen t a zione (8 .12) del prodotto sca lare mostra che d ue vet tori sono orto gonali qu ando uno di ess i e nullo oppur e qu ando l'angolo format o dai vettori e retto. Inoltre , ricorda nd o la (8 .10) , l'ortogonal it a d i due vet t ori v e w equivale all' ide nt ita

Ilv + wl1 2 = I vl12 + IIwl1 2 ,

ben not a a llo st ud ente come Teorem a di Pitagora (ved as i la Figura 8.7) . Se v e un vettore e u e un versore, la co m p o nent e di v lungo u e il vet tore

I

Vu

= (v · u ) u ,

mentre la c o m p o nen te di v ortogonale a u

I

e il vettore

Si ha dunque la rappresentazione d i v con

(8 .13)

det t a d ecomposizione ortogonale di v rispetto al versore u (ved asi la F igura 8.8) .

276

8 R app resentazioni d el piano e dello spaz io p

-o Figura 8 .8. Decomposizi on e ortogonale d i un vettore v rispetto a un versore u

Esempi 8.4 i) I vet tori v = (1,0, J3) e w = (1,2, J3) hanno modulo risp ettivamente ugu ale a

°

Ilvll = Vi + + 3 = 2,

Ilwll = VI + 4 + 3 = 2V2 ;

°

il lora prodotto scalare vale v . w = 1 + + 3 = 4. Volendo inol tre calcolare l'an golo form ato dai due vettori, possiamo ricavare d all a (8.12)

V2

v ·w

cos () = -------

Ilvll llwll

e dunque () = ~ . ii) I due vettori v

2

= (1,2 , -1) e w = (-1 ,1 ,1) sono tra loro ortogonali in qu anto v ·w= -1+2-1=0.

iii) Consideriamo il vers ore u risulta

= ( ~ , ~,- ~) . 1

1

J3

J3

Dato il vettore v

=

(3,1 ,1)

v·u = V 3 + - - - =V3

e dat a da = V3(~, ~ , - ~) = (1,1 , -1) ,

e dunque la component e di v lungo u vu

mentre la comp onent e ortogonale vale

E facile verific ar e che

= (3,1 ,1) - (1,1 , - 1) valgono le (8.13) .

v u ""-

= (2,0,2) . o

Introduciamo i versori dello spazio i = (1,0,0) , j = (0,1 ,0) e k = (0,0,1) , che sono allineat i risp et tivamente con gli assi x , y e z del sistema di riferimento car te siano (ved asi la Figura 8.9) ; t ali versori ven gono anche indicati con e l , e2, e3. E immediat o verificare che essi sono a due a due ortogon ali, cioe

i ·j =j ·k=i ·k =O ;

(8.14)

8 .2 Vettori ne l pia no e nello spazio

277

z

k i /~ ,

/ j~1i Figura 8.9 . Versori i ,j e k si d ice che i , i , k formano un sistema ortonormale in V (cioe un ins ieme d i vettori a d ue a due ortogonali e aventi modulo, 0 norma, ugu ale a 1) . Sia ora v = (VI , V2 , V3) un qualunq ue vet tore della spazio. Dalla definizione delle operazioni tra vettori , si ha

v = (VI ,O,O)

+ (0,V2, 0) + (0,0,V3)

= VI (1, 0,0)

e per t a nt o

Iv

=

+ V2(0, 1, 0) + V3( 0, 0,1)

vIi

+ v2j + V3 k · 1

Cio mostra che ogni vettore della spazio puo essere rappresentato come combinazione lineare dei versori i , i e k ; si dice che essi for mano una b a se ort onormale di V . II prodotto scalare di v con ciascuno dei vettori ortonormali i , j e k fornisce un 'espres sione de lle componenti di v, essendo

VI = v · i ,

V2

= v ·

i.

V3

=

v · k.

In definitiva, il generico vettore v E V ammette la rappresent azione

v

=

(v · i) i + (v · j ) i + (v · k ) k .

(8.15)

Analogamente, i vettori del piano ammettono la rappresentazione

v=(v· i)i+(v ·j) j , rispctto alIa base ortonormale costituita da i

= (1, 0) e j = (0, 1) .

Dimost razi o ne di alcune proprieta precedenti Dimostrazione. Per quanta rigu ard a la (8.6) , la prima ugu aglian za segue facilme nte dalla dcfinizione di norma ; la seconda disuguaglian za segue da tale uguaglian za se v e w son o allineati, mentrc traduce la nota pr oprieta che in un t riangolo la Iunghezza di un lato e minore della sornrna de lle Iun gh ezze degli altri du e lati , se i vcttori non sono

278

8 Rappresentazioni de l piano e de llo spazio

a lline a t i. Infat ti , con r iferime nt o al t r ia ngo lo OPR della Fi gura 8.5, si ha Il v + w ll = lO R I, Il vll = IO PI e Il wll = IPR I· La formula (8.10) si ottien e sv ilu p pand o Ia quantita Il v + w l12 me d iante la (8.9) e le (8.7) , (8.8) , com e Il v

+ w l12 =

(v + w ) . (v + w ) =v ·v +w ·v +v ·w +w·w

=

II vl1

2

+ 2v

.w

+ Il w11

2

(8.16 )

.

La disu gu aglian za di Cauchy-Schwa rz (8.11) pUG essere ottenuta partendo d all a secon da delle (8.6) , scr itta corne Il v+ w 112 :s; ( 11vII + Il wl l) 2. Usando l'id entita preced en t e a primo membra e svolgend o il qu ad r ato a secondo membra, si ottiene v . w :s; Ilv 1I IIw II, che e la (8 .11) nel caso in cui v . w ~ O. Se invece v . w < 0, e sufficiente ca m bia re v in - v , ottene ndo

Iv, w i = - v· w = (- v) · w :S; 11- vll llw il = Il vlll lwll · Dimost ri amo infine la (8. 12). Siano v e w vettori non nulli (a lt ri rnen ti la rela zione e banalmen t e ver ificata p er og ni valore di B). Non e restrit ti vo SUpp OITC B so d d isfacente 0 :s; B :s; tt . D ctto u = w = I I ~ II il versore ass oc ia t e a w , la com ponente di v lungo u si scri ve com e v ·w (8 .17) u. v U= M Sup po nia mo dapprima B ac uto, cioe 0 < B < 1r / 2. Cons iderand o il tria ng olo rettangolo OP' P (ved asi la Fi gu ra 8.10, a sinis tra) si ha Ilv u ll = IO P 'I = IO Pl cos B = Ilv ll cosB ; essend o V u conc or de con u , ot t eni amo (8. 18) V u = Ilv ll cos Bu .

Q

p

Figura 8.10. Proiezione del vettore v lungo iI vettore w (angolo tra i vettori a cuto, a sinistra, e ottuso , a dest ra )

8.2 Vettori nel piano e nella spazio

279

Se (j eot tuso, 7f/ 2 < (j < tt ; eonsicleranclo anco ra il triangolo 0 p i P (vedasi la F igura 8.10, a clest ra) si ha Ilv"II = IlvII eos (tt - (j ) = - llvII eos (j ; essendo ora v " discorde eon u , si ot tiene nuovarnente la (8 .18) . Anehe nei casi est remi (j = O, 7f/2 , 7f si giunge fac ilme nt e alia rneclesim a rela zione . Uguaglia ndo i seco ndi membri delle (8.17) e (8.18) , e osservando che AV = JLV equiva le a A = JL se v =1= 0, si pcrvi en e all'ug uaglianza v ·w M = Il vll cos (j

da cui otteniarno la (8. 12).

D

8.2.3 Vettori applicati in un punto

In molte applicazioni, e utile il concet to di vet tore applica to in un punta arbit rario del pi ano 0 della spazio (si pensi ad esem pio a un a forz a , rappresentabile come un vettore, che agisce su un punta mater ialc). Tale concet t o puo esser e definito nel seguente modo . Sia v un vet t ore non nullo del piano di componenti (VI ,V2 ) e sia Po un punto qual un qu e del piano, di coord inate (.'1:01 , X02). Definiamo il punto H di coor d inate (xu , X1 2) = (:1:01 + VI , X02 + V2 ) (si ved a la Figura 8.11). II segmento PaP!, orien t ato da Po e PI , e parallelo a l vet tore v ed e orientato in modo con corde . Diciamo che esso rappresenta il vettore v applicato in Po, e 10 indichiamo con (PO , v) . Viceversa , dato un qual un que segm ento di estremi Po = (XOl , X02) e PI = (XU , X12) , or ientato da Po a PI , definiamo il vettore v di compone nt i (VI ,V2) = (xu - XOl, X1 2 - X02 ). Allo ra il segm ento conside rato definisce il vet tore v ap plicato in Po. In defini t iva , da un punto di vista matematico, un vettore applicato del piano e una coppia (Po, v) la cui prima com ponente e un punta Po del piano, detto punta di applicazione, e la cui seconda comp onente e un vet tore v applicat o nell 'origine. Nell' uso comune , p ero, il vettore ap plica t o (Po, v) verra indicato semplicem ente con v, precisando pero il punto di ap plicaz ione Po. Analogh e definizi oni valgono nella spazio .

Po

---

-----;

(Po,v )/

o Figura 8.11. Vet tore v applicato in Po

280

8 Rappresentazioni del piano e dello spazio

Le ope raz ioni sui vettori (applicati nell'origine) introdot t e nei paragrafi preceden ti possono essere estese in mod o ovvio a i vettori a pplica t i in UIl O stcsso pun to. Ad esempio, dat i i vettori (Po, v) e (Po, w ) applica t i in Po, il vet tore somrna (Po, v ) + (Po, w ) sara defini t o come il vet tore (Po, v + w ) a nco ra applicato in Po. Non sa na invece defini te op er azioni t ra vet tori ap plicati in punt i di ver si.

8.3 Numeri complessi E ben nota che non t utte Ie cquazioni a lgebriche

p(x ) = 0 (d ove p e un polinornio di gr ado n nella variabile x ) ammet t ono soluzioni in campo reale. Ad csem pio la scmplice equazione X Z + 1 = 0, ossia (8 .19) corrisponde nte all'estrazion e della radice quadrata del numero negativo - 1, non risolubile in 1R; 10 stesso accadc per la generica cquaz ione di seco ndo grado

ax 2

+ bx + e =

e

(8.20)

0

qualor a il dis criminante L1 = bZ - 4ae sia negativo. Tanto nella matematica pu ra qu an ta in qu ella applicat a , risul t a utile poter gara nt ire l'esistcnza di soluzioni, oppor tunamen te definite, eli ogni equaz ione a lgebr ica. A tale sco po , I'insiem e dei numeri reali dota to delle ope raz ioni di som ma e prodot t o puo esserc am pliato, int roelucendo il cosiddetto insiem e dei numeri complessi , estende ndo nel contempo tali ope razioni e conservandon e Ie pr opriet a formali . E rim arch evolc il fatto che c sufficiente effett uare tale am plia rncnto in modo da gara nt ire la risolubi lit a dell'equ azione (8 .19) p er ott en ere, attraverso un profondo risult a to noto come Teor em a Fondam entalc dell 'Al gebra, la risolubilita di ogni equazione a lgebrica . 8.3.1 Operazioni algebriche Un numero co m p lesso z puo essere definito come una copp ia ordinata z = (x, y) di num eri reali x e y . Indichcrcmo con C I'in sieme eli tali coppie, che quindi puo essere identificato con I'insiemc IR z . I numeri reali x e y sono d etti rispettivamente p arte r eale c parte immaginaria di z e in dicati con :r

= 'Re z

e

y

=Im z.

II sot toins ieme dei numeri com pless i della forma (x , O) puo esse re idcntificato con I'i nsieme dei numeri rea li 1R; in tal sense , scr iviamo IR c C. Numeri compless i della forma (0, y) sono invece detti immaginari pur-l. Diremo che d ue numer i corn p less i Zl = (Xl, yd e Zz = (xz , yz) sono ugu ali se hanno le stesse parti reali e immaginari e, ossia Xl

= Xz

e

Yl

= yz .

8 .3 Num eri com pless i

281

In C, definiamo le operazioni di SOIIlma e prodotto come Zl

+ Z2 =

Z l Z2

yd + ( X 2 , Y2) = ( Xl + X 2 , Yl + Y 2) = (Xl , yd ( X2 , Y2) = (X l :[;2 - Yl Y2 , X l Y2 + X 2 yd · ( Xl ,

(8.21) (8.22)

Osserviamo che

(X,O) + (O ,y) = (x ,Y), e quindi

(X, y)

(O ,l)(y,O) = (O,y)

= (x ,O) + (0, 1) (Y, 0) .

(8.23)

Inoltre le (8.21) e (8.22) diventano Ie usu ali op erazioni di somm a e prodotto quando sono ristrett e a i numer i reali :

e In t al senso, l'insieme dei numeri complessi e un'estensione naturale dell 'insiem e dei numeri reali . Denotiamo con i il numero immagin ario puro (0,1). Id en tificando il numero complesso (r ,O) con il numero reale r , possiamo riscrivere la (8.23) nella form a

I detta forma cartesiana Osserviamo che

Ii

Z

=

X

+ iy , I

0

algebrica del numero complesso

2

= (0, 1) (0, 1) = (- 1, O) = - 1 ,

Z

= (x , y).

I

e quindi il numero complesso i e soluzione dell'equazione (8.19). Usando la forma cartesiana di un numero cornplesso, Ie operazioni di somm a e prodotto (8.21) e (8.22) diventano

(8.24) (8.25) come si ved e e sufficiente operare con le usuali regole dell'algebra, t en endo conto della relazione i 2 = - 1. Elenchi amo di seguito a lcune proprieta della somma e del prodotto, lasciando la facile verifica allet tore; per ogni Z l , Z2 , Z3 E C. si ha Zl

+ Z 2 = Z2 + Zl , + zd + Z3 = Z l + ( Z2 + Z3 ) , ( Z2 + Z3 ) = Z l Z2 + Z l Z3 .

( Zl Zl

Z l Z2

=

Z2 Z l ,

( Zl Z2 ) Z3

= Z l ( Z2 Z3 ) ,

282

8 Rappresentazioni del pi an o e dello spa zio

I numeri 0 = (0, 0) e 1 = (1, 0) sono risp etti vamen t e I'identi t a additiva e moltiplica tiva , in quanta soddis fa no

z + o= o+ z = z

z 1 = 1 z = z,

e

Vz E C .

L' o p p ost o (addit ivo) di z = (x , y) e il numer o - z = (- x , - y); ovvero si ha z + (- z ) = O. Utilizza ndo tale nozione possiamo definire, p er ogni Z l, Z2 E C , la sottrazione: ovve ro Xl

+ i Yl

- (X2 + iY2)

= Xl

- X2 + i (Yl - Y2) .

Il reciproco (moltiplicativo) di un numero z i= 0, indicato con ~ oppure definito dalla relazion e zz - l = 1; non e difficile verifi care che 1

- = Z

Z

- 1 X

2

X

+ Y2

Defini am o dunque la divisione, per ogni

+.

Z

Z l , Z2

x2

- Y + Y2

E C con

Z - l,

e

.

Z2

i=

0, come

Infin e, sott olineiamo che l'usu ale ordinamen to dei numeri reali non e este ndib ile all'insieme dei numeri complessi, in mod o da co nse rvare t utte le pr op riet a elenca te nel P ar agrafo 1.3.1. 8.3.2 Coordinate cartesiane

E na turale associare al nu mero z = (x, y) = x + i y il punt a del pian o ca rtesiano di coo rdinate x e y (si veda la Figura 8.12) . Il numer o z puo anche essere pen sa to come il vettor e applicato nell'ori gin e e avent e talc punt o come est remo. L'asse x e det to asse reale e l' asse y asse immaginario . Osserviamo che, dati Z l , Z2 E C , la somma Zl + Z2 corrisp onde al vet to re som m a ottenuto m edi ante la regola del Tm z

z= x

+ iy

~ - - - - - - - - - - - - - -

x

y

Re z

Figura 8.12. Coord inate ca rtesia ne del nu mero co m plesso z

= x + iy

8.3 Numeri complessi

Tm z

283

I rn z

~'

Z j

Re z

Figura 8 .13. Rappresentazione grafica della somma (a sinistra) e de lla differ enza (a destra) di due n umeri co m plessi Zl e Z 2

parallelogramma (si veda la F igura 8.13, a sinistra) , me ntre la differenza Zl - Z2 e rappresentata d al vettore differenza (si veda la Figura 8.13, a dest ra). I l modulo (0 valore a ssoluto) di Z = x + iy, denotato con [z], e il numero positivo

che rappresenta la distanza de l punta (x , y) dall'origine; si osservi che t ale definizione coincide con quella di modulo del vet tore v associat o a z , vale a dire Izi = Ilvll. Si osservi ino ltre che il modulo di un numero complesso coincide con il valore assoluto quando il numero e rea le, il che giustifica la not azione usata. Notiamo che , mentre l'affermazione Zl < Z2 non ha in generale sign ificato, la diseguaglianza IZl l < IZ21significa che il punto corrispondente a Zl e pili vicino all'origine del punta corrispondente a Z2. La dista nza tra i punti corrispondenti a Zl e Z2 e data da IZl - z2 1 . Per ogni Z E C, si ottengono facilmente le seguenti relazioni:

Izi ~ 0 ; Izi = 0 se e solo se Z = 0; IzI 2 = ('Rez)2 + (Imz)2 ; 'Rez ~ l'Re zl < Izl , I m z ~ IImzl ~ Izl ; Ilzl l-l z211 ~ IZl + z21 ~ IZll + IZ21· Il complesso coniugato, 0 sem plicement e il coni ugato, di un numero complesso z = x + iy , indicato con Z , e definito come

IZ = x -

iy · 1

(8.26)

Graficarnente il coniug ato Z e rappresentato dal punta (x , - y ) che si ottiene mediant e riflessione rispetto all'asse real e del punta (x,y) . Per ogni Z,Zl ,Z2 E C, valgono Ie seg uenti proprieta

284

8 Ra ppresen t azioni d el p ian o e della s pazio z

Izl = [z]:

=z,

(8. 27)

E im medi a to

ver ifica re che , p er og ni z E O. Ri cordando 10 sviluppo del quadrato di un binomio, possiamo scrivere

0= z

2

b + -z + -ac = a

2

ossia

(z

2

b z + - b ) + -C - - b ( Z 2 + 22a 4a 2 a 4a 2 b

+ 2a

)2

L\

= 4a 2

< 0;

'

8. 3 Nu m er i co m plessi

dunque otten ia mo

. V-

b

z+- = ±z- 2a

cioe Z=

289

L\

2a

-b ±iy'=;1 2a

. e puo, esse re sc ntta . com e T a Ie espression

Z

=

- b±

2a

V::1 , .m

' con 1'1 caso d'1 anaI ogia

di scriminante ~ 0. Notia mo che il p ro cedimen to segu ito puo esse re ap plicat o a nc he nel caso in cu i i coefficient i a =I 0, b e e siano numeri co m plessi, P ert ant o I'espression e

z=

- b ± V b2 2a

-

4ac

definisce Ie due soIuz ion i dell'equazione di secondo grad o a z 2 + bz + c = 0, nella sit uazione pili genera le p ossibile, Le equazion i algeb riche di terzo e quarto grado ammcttono rispet t ivamen t c tre e quattro so Iuz ion i (co ntate con Ie opportune molteplicita ) ch e so no es prim ibili in forma es p licita m edi ant e Ie op erazioni algebriche e l'estrazione di radici qu adrate c cu biche ' , No n esist e invece una esp ressio ne a na lit ica per lc so Iuz ioni di equaz ion i di ordine su p eriore a l q uarto . II Teorem a Fondarn en tal e dell 'A Igebra garant isce pero che ogn i equ az ione alge b rica p(z ) = 0, dov e p un polin ornio di gr ado n a coe fficienti rca li 0 complessi, a m m et te esa ttame nte n solu zioni in cam p o cornplesso , ciascu na con I'op p or tun a rno ltep licita. L' en u nci ato prcciso e il segu ente.

e

T eorema 8.6 Sia p(z) = a"zn + ... + 0lZ + (Lo, can an =I 0, un polinornio :S k :S 11. Allam esistono TTl :S n di qrado n avente coefjicienti Ok E C, tiumeri complessi Zl . . . . . Zm, distinti ira loro, ed U] numeri interi Ill, . ... Jim maqqiori a uquali ale soddisjacenti Jll + ... + /1m = 11, tali cite p(z) si [aitorizza come

°

1

Ad esem p io , I'equazione di t.erzo gr ad o x 3 + a:r 2 + bx+ c = 0 si riduce co n la sost it uz ione x = y - fr a ll'e q ua zione y 3 + py + q = () p er opportuni coefficient i p c q fac ilm ente ca lcolab ili. Le so luz ion i d i t al e eq uazione so no es press e dall a formula

nota co m e for mu la di C ardano . P oich e og ni est razione di rad ice fornisce un numero di so luz ion i (event u a lm ent e coin cide nt i) pa ri a ll'o rd ine (2 0 3) d ella rad ice , apparent crn cn t e tale formul a fornisce fino a 12 so luz ion i; tutt avia , e possibile ver ificarc che Ie solu zion i di stinte so no a l pili 3 .

290

8 R appresentazion i del piano e dello spazio

I numer i

sono le radici del polinomio p , ossi a le uniche soluzioni dell 'equazione e la rnolteplicita dell a radice Z k. Una radice si di ce semplice se la sua molteplicit a e 1, doppia se la su a molteplicit a e 2, e cosi via. E opportuno osservare che se i coefficient i di p sono reali e se Zo e una radice complessa del polinomio, allora anche Zo e una radice di p. Infat ti se p(zo) = 0, allora, prendendo il coniugato di amb o i m embri e usando le proprieta del passaggio al coniugato in una somma 0 in un prodotto (vedasi le (8.27)) , otteniamo Zk

p(z) = 0; l'esponente ILk

0= 0 = p(zo) = anzg

+ ...+ alZO+ 0,0

= anzg

+ ...+ al zO + ao =

p(zo) .

Pertanto p(z) e divisibile per (z - zo)(z - zo), che risult a essere un t rinom io di secondo grado a coefficient i reali . Un enunciato del Teorema Fondamentale dell 'Algebra, valido per i polinomi a coefficient i reali e che non fa intervenire la variabile complessa , e fornito nel Teorem a 9. 15.

8.4 Curve nel piano e nello spazio Ritorniamo ora allo studio di funzioni ed in particolare introduciamo il concetto di curva nello sp azio e nel pi ano. Un a curva descrive, ad esem pio, il modo di per correre il bordo di un a regione piana Quale un poligono 0 un ellisse, oppure la traiettoria det erminata dal movimento in fun zion e del tempo di un punta m at eri ale sott o l'effetto di una forza ad esso applicata. Come vedremo nel Capitolo 10, e possibile definire un calcolo integrale sull e curve . Cio perrnettera, ad esempio, di esprimere matem aticament e il concet t o fisico di lavoro. Sia I un qu alunque int ervallo della retta reale e sia , : I ---+ lR3 una funzione. Indichiamo con ,(t) = (x(t) , y(t) , z(t)) E lR 3 il punta immagine di tEl at t raverso I- Diciamo che , e una funzione continua su I se le comp onent i x , y, z : I ---+ lR sono funzioni cont inue. Definizione 8.7 Una [un zionc continua , : I ~ lR ---+ lR 3 dicesi curva (ne llo spazio) . L 'irnrnagine C = ,(I) ~ lR 3 uiene delta sostegno della curua. Se il sostegno della cur va giace su un piano, diremo che la curva e piana. Un caso notevole e dato dalle curve ,(t) = (x(t), y(t) , 0) che giacciono nel pi ano x y e che indicher emo semplicemen t e come ry : I ---+ lR2 , ,(t) = (x(t) ,y(t)) . Not ia mo che un a curva e una funzi one di var ia bi le reale mentre il sost egno di una curva e un insieme nello spazio (0 nel piano) . Una curva defini sce un modo di par ametrizzare il suo sostegno associando ad ogni valore del par ametro t c t uno e un solo punta del sostegno. Tu ttavi a l'insiem e C puo esse re il sostegno di cur ve diverse, ovvero puo essere parametrizzato in modi diver si. Ad esem pio la curva piana ,(t) = (t , t) con t E [0,1] ha come sostegno il segm ento di est re mi A = (0,0) e B = (1,1) . Tale segme nt o e anche il sostegno della curva 8( t) = (e , t 2 ) , t E [0, 1];

8.4 Curve nel piano e nello spazio

291

I( b)

I(a )

Figura 8.17. R appresent azione grafiea del sostegno C

= Ina , b]) di un a rea sempliee (in a lt o a sinistra), un are a non se m pliee (in a lto a destra) , un area ehiuso e sem pliee (in basso a sinistra) e un a rc o ehiuso non sempliee (in basso a destra)

le cur ve , e 8 cost it uiscono due par am etrizzazioni del segment o AB . Il punto med io di AB, ad esempio, e individuato dal parametro t = ~ nel primo caso e t = nel secondo. La eurva , si dice sempliee se , e un 'applicazione iniettiva, ossia se valori diver si del parametro individuano punti diversi del sost egno. Se l'intervall o I = [a , b] e chiuso e limitato, come negli esempi precedenti , la curva v si chia mera areo. Un area si dice ehiuso se ,(a) = ,(b) ; ovvi amente un arco chiuso non e una curva semplice. Tu ttavia , si parla di area ehiuso e sempliee (0 area di Jordan) se il punto ,(a) = ,(b) e l'unico punto del sost egno ad essere immagine di due valori diversi del param etro. La Figura 8.17 illustra diversi esempi di archi. Come per le curve, vi e differ en za concettuale tra un arco e il suo sostegno. Va tuttavi a detto che frequentemente si indica con il termine 'arco' un sottoinsieme del piano 0 dello spazio (ad esem pio si parla comunemente di 'arco di circonferenza ') ; in t al caso vien e sot t intesa una parametrizzazione dell'oggetto geometrico, solit amente de finita nel modo pili naturale.

1

Esempi 8.8 i) La curva piana e semplice

,(t) = (at .

+ b, et + d) , .

ha com e sostegno la retta di equazlOne y

=

t e - x

a

a

E ~,

i- 0 ,

ad - be

+ --a

292

8 Rapprcsent a zion i del pi ano c dell a spazio

Infatti , posto :r

= x (t ) = at + b ey = yet) = et + d, a bb iam o t = x - b, d a cu i a

ad - be y = -(x-b ) +d= - x + . a a a c

e

ii) La eurva

'"Y(t) = (:r( t) , y(t)) = (1 + cos t , 3 + sin t ) ,

t

E

[0 ,21r],

ha eome sostegno la circ on fere nza di centro (1 ,3) e r ag gio 1; infatti vale la relazione (x(t) - 1)2 + (y(t) - 3) 2 = cos 2 t + sin 2 t = 1. Si t ratta d i un a rc o ch ius o e sem p lice e cos t it uisce il modo pili naturale p er p a rametrizzare t al e circ on fere nza p ercor rendola in sens o a nt iorario a parti re dal punto (2 , :~ ). In gen er ale l'arco chiuso e sem p licc

'"Y(t) = (x(t) , y(t)) = (xo + r cos t , Yo

+ r sin t) ,

t E [0, 21r] ,

h a come sos tegno la circ on fere nza centrata in (x o, Yo) di raggio r. Si osservi che se t varia in un intervallo d i tipo [0, 2k lr], con k intero positivo 2: 2, l'arco h a an cor a come sos tegno la circ on fcrenza rna essa vienc percorsa k volte; dunque l'ar co non e sem plice. Se invece t varia nell 'int ervallo [0 ,1r], la corrispondente curva circ onfere nza ) sernplice rna non ch iuso.

e un

a rc o (di

iii) Sirnilrnente, as segn ati a , b > 0 , l' arco chiuso e sem p lice

'"Y(t) = (x(t) ,y(t)) = (aco st ,bsint) ,

t E [0 ,21r] ,

pararnetrizza l'ellisse centrat o nell 'o rigine e con sem iassi a e b. iv) La curva

'"Y( t) = (x(t) , Yet)) = (t cost, t sint).

t

E [0, +(0 ) ,

ha com e sostegno la sp irale rappre senta ta in Figura 8.18, a sinistra , che viene p er corsa in sen so a nt iora rio a p artire dall'origine. Infatti il punto '"Y(t) ha di stanza 2 (t ) + y2(t) = t , ch e cresc e a l cr escer e di i : La curva e d all 'origine uguale a semplice.

J:r

v) Siano P = (xp, yp , zp ) e Q cu rva sernp lice

=

(:1:Q , YQ , zQ) punti di stinti della sp az io. La

'"Y(t) =P +(Q -P) t , t E JR , ha com e sost egno la retta passante p er P e Q. Infatti '"Y(O) = P , '"Y(1) = Q e il vettore '"Y(t) - P h a direzione costantc cssendo p arallclo a Q - P. Una pili gene rale parametrizzazione d ell a st essa retta

e data d a

P + (Q - P) t - to , t E JR, tl - to con to =I- tl ; in tal caso si ha '"Y(t o) = P , '"Y(td = Q. '"Y(t)

=

vi) La cu rv a sernplice

'"Y(t) = (:r(t) ,y(t) , z(t)) = (cos t , sint , t),

t E JR ,

(8.40)

8.4 Curve nel piano e nello spazio

293

/

Figura 8 .18. R appresentazione della sp ira le e dell 'eli ca circolare d efinite ne gli Esempi 8.8 iv) e vi)

ha come sost egno l' elica cir colar e rappresentata in Figura 8.18, a destra. Si noti che il sostegno giac e sul cilindro infinito di asse coincide nt e con l'asse z e raggio 1, ovvero l'insieme {( x ,y, z) E]R3 : x 2 + y2 = 1}. D Diremo che una curva , : I ----+ ]R3 e derivabile se le su e componenti x , y , z : I ----+ ]R sono fun zioni derivabili su I (ricordiamo che una fun zione e derivabile su un int ervallo I se e derivabile in tutti i punti interni ad I ed e derivabile unilateralmente negli event uali est re mi appartenenti ad 1). Indichiarno con " : 1----+]R3 la funzione derivata ,'(t) = (x'(t) ,y'(t) , z'(t)) . Definizione 8.9 Una curva , : I ----+ ]R3 dicesi regolare se e deriva bile S11 I con derivata conti nua (ovvero le compone nti sono ju nzioni di classe C1 su I ) e se ,'(t ) i- (0,0,0), per ogni t c: L. Una curva , : I ----+ ]R3 dicesi r e go la r e a tratti se I !inito di intervalli su cui, e reqolare.

e un ion e di uti numero

Se, e una curva regol are e se to E I , il vet tore ,'(to) dicesi vettore tangente al sostegno della curva nel punto Po = ,(to) . Tale definizione puo essere giustificata geometricamente nel modo segue nte (si veda la Figura 8.19). Sia to +.:1t E I t ale che il punto PL1t = ,(to + .:1t) sia diverso da Po. Consideri amo la retta passante p er Po e PL1t ; ricordata la (8.40) , t a le retta puo esser e parametrizzata come S(t)

=

R

o

+ (pL1t -

R ) t - to 0.:1t

= 'V(t0 ) + ,(to + .:1t) .:1t I

,(to) (t - t ) 0

•

(8.41 )

Facendo tendere .:1t a 0, il punta P L1t t ende a Po (nel senso che ogni comp one nte di P L1t t ende verso la corrispondente componente di Po) . Nel contempo, grazie ,(to + .:1t) - ,(to) a ll'ip ot esi di regol arita di " il vettore a = rr(to, .:1t) = t ende .:1t

294

8 Rappresentazioni del piano e dello spazio

I

" T (t) /

I

I I

,,

S(t )

,/

I I I

I I

I

Figura 8 .19. Vettori tangente e secante a una curva nel punto Po

a ,'(to ). Dunque la posi zione limite della retta (8.41)

T(t)

=

e la rett a

,(to) + , '(to)(t - to),

t

E

ITt ,

tange nte al sostegno della cur va in Po . A rigore, il vet tore t angent e al sostegno in Po

e il vettore applicato (Po,,'(to)) (si veda il P aragrafo 8.2.3) , rna comunemente 10 si

indica sempliceme nte con ,'(to). Si puo verificare che la re tta t an gente al sostegno di un a curva in un punto e intrinseca al sostegno, cioe non dip ende dall a paramet rizzaz ione scelt a ; invece il vettore t angente d ipende dall a p arametrizzazion e pe r qu anto rigu ard a modulo e ver so. Da un punto di vista cinemat ico, una curva rappresent a la t rai ettoria di una particella che al tempo t occupa la posizione ,(t) nello spazio. Se la cur va e regolare, il vet tore ,'(t) rappresenta la velocita della particella al t empo t. Esempi 8.10 i)

E facile ver ificare che tutte le cur ve cons ide rate negli Esem pi 8.8 sono regolari .

ii) Sia ! : I

-->

ITt un a fun zione derivab ile con cont inuita sull'inte rvallo I ; la curva ,(t) = (t ,!(t)) , t El ,

e una curva regolar e avente come sostegno il grafico della

fun zion e ! . Si osservi

infatti che

,'(t) iii) L' ar co , : [0,2]

= (1 , !,(t)) -I-

(0,0) ,

per ogni i

et

.

--> ]R2

,(t) = {(t ,l) , t E[O,l), (t,t) , t E [1 ,2]'

e una param etrizzazione della p oligon ale ABC (si ved a la Figura 8.20 , a sini stra) ; invece l' arco

8.4 Curve ne l piano e nello spazio

A

o

295

A

1

o

2

2

Fig ura 8 .20. Poligonal e ABC, a sinistra, e ABCA , a des tra, definite nell'Esempio 8.10 iii)

,(t)=

{

(t,I) ,

tE [0,1),

(t ,t) ,

tE [I,2) ,

(t ,2 -~(t -2)) ,

tE[2,4]'

e Una

paramet r izzazione della poligonale ABCA (si veda la F igura 8.20, a dest ra ). E ntrambe le curve sono rego lari a tratti. iv) Le cur ve

,(t) ;;Y(t)

+ v2 cos t , v2 sin t) , t E [0,27f], = (1 + v2cos2t, -v2sin2t) , t E [0,7f] ,

= (1

SOnO due parametrizzazioni (la prima ant ioraria, la seconda oraria) de lla stessa circonferenza C , avente centro in (1,0) e raggio V2. Ess e sono regolari e le loro derivat e sono date da

" (t) = v2 ( - sin t , cos t ) ,

;;y'(t) = 2v2 ( - sin 2t, - cos 2t) .

11 punto Po = (0,1) E C e immagine mediante, del valore to = ~7f del paramet ro e mediante ;;Y del valore to = ~7f del parametro, ossia Po = ,(to) = ;;y(to) . Nel primo caso il vettore tangente e" (to) = (-1 , - 1) e la retta tangente a C in Po e data da

T(t)=(0, 1)-(1 ,1) (t -

333 -t+ ,1 -t+

47f)=(

47f

47f) ,

mentre nel secondo caso si ha ;;y'(to) = (2,2) e 5 5 5 T(t) = (0,1) + (2, 2)(t - 87f) = (2(t - 87f), 1 + 2(t - 8 7f)) ,

tElR ,

t E lR .

I vettori tangenti in Po hanno verso e lunghezza diversi , rna la retta tangente stessa. In effetti, ricordando l'Esempio 8.8 i), in ent rambi i casi si ottiene y = 1+x. D

e la

296

8 Rappresentazioni de l piano e dello spazio

8.5 Cenni aIle funzioni di pili variabili Nei capitoli precedenti , abbiamo studiato funzioni reali di u n a variabile reale , ossia funzioni definite su un sottoinsieme della retta re ale lR (ad esempio un intervallo) a valori in R Vogliamo ora est ende re alcuni dei concetti vis ti in precedenza, ed introdurne di nuovi, relativamente alle funzioni re ali d i due 0 tre variabili r e ali , va le a dire Ie funzioni definite su un sottoinsiem e d el piano lR2 0 dello sp azio lR3 a valori in lR. Le funz ioni che considereremo si scr ivera n no dunque come

j : dom j ~ lR d

-+

(d = 2 oppu re 3) ,

lR

Xf---+j(x) .

Q ui x ind ica il generico elem ento di lRd , vale a dire la coppia x = (XI , X2) se d = 2 oppure la terna x = (XI, X2, X3) se d = 3 ; talvolta per semplicita scriveremo (XI ,X2) = (x,y) e (XI, X2, X3) = (x,y ,z) ; indicheremo ino ltre le coordin ate di x con (XI , .. . , .'rd) quando non e necessario precis are se d = 2 oppure 3. Ricordiamo che ogni x E lRd e univocamente associato a un punto P nel piano o nello spazio, le cu i coo rdinate rispetto a un sistema di riferimento cartesiano ortogonale sono le componenti di x. A sua vo lta, P indiv idua un vettore applicato nell'origine, di com p one nti XI , . . . ,Xd; p ertanto, l'elem ent o x E lRd puo essere pensato com e tale vettore. In lR d sono dunque definite le operazioni di somma x + Y = (XI + YI , .. . ,Xd + Yd), di prodotto AX = (AXI , . . . , AXd) e di prodotto scalare x . Y = XIYI + ... + XdYd gia introdotte e studiate per i vettori. Inoltre e definita la norma euclidea [rc] = )xi + .. .+ x~ , che rappresenta la distanza euclidea del p unta P di coordinate x dall 'origine O. Si not i ch e la quantit a IIx - yll = )(.'rl - YI )2 + ' " + (Xd - Yd)2 rappresenta la distanza t ra i due p un ti P e Q d i coordinate x e y rispettivamente.

8.5.1 Cont.inuita Mediante il concetto di dis tanza, possiamo d efin ire gli intorni di un punto in lR d e quindi est en de re i concetti di continuita e lim it e a lle fun zioni di pi li variabili .

Definizione 8.11 Sia XQ E lR d e sia r intorno di XQ di raggio r l'insierne

> 0 uti numero reale. Chiamiarno

costiiuito da tut ti i punti di lR d che distano menD di r da Posto Xo

=

(XOI ' . .. ,.'rOd), la condizione

(XI - x od 2 + (X2 - X02)2

Ilx -

XQ.

Xo II < r eq uivale a

< ,2

(XI - xod 2 + (X2 - X02 )2 + (X:l - X03)2

se d = 2 ,

< ,2

se d

= 3;

8 .5 Cenni aile funzioni di pill variabili

297

dunque I r(xo) e rispettivamente il cerchio oppure la sfera di centro Xo e raggio r , privi di frontiera. La definizione di cont inuita e form alm ente identica a qu ella data p er funzioni di una variabile reale. Definizione 8.12 Sia f : dom f 0 esisie un (j > 0 tale che \/x E dom f ,

Ilx - xo ll < (j

If (x ) - f (x o)1
O L1:r

N cl casu ill cui il punto :E sia 1111 cstrcmo dc ll'intorvallo 1 c sufficicntc proccderc come sopra consideraudo lim it i unilaternli destro o sinistro. 0

Corollario 9 .38 Sia Fxo una funzione in tegrale di una funzione contin ua f

su I . S e G

e una

qualunqu e prirnitiva di f su I , allora

Fxo(x) = G(.T) - G(xo) ,

\Ix E I .

9.8 II Teorcrna fondarn en tale del calcolo integrale

347

Dimostrazione. Per il Tcorcma 9.4. esistc uua cost ante (; ta le chc Pro (:e) = G(:1:)c.. V:I: E I. II valorc della costanto e determinate dalla cond iziouc F.rJI:O) = 0,

0

II corollario seguente, di fond a mentale importanza , fornisce l'espressione di un integr ale definito, nota una qu alunque primitiva della funzione integranda . Corollario 9.39 Sia J una Junzione continua sull 'interva llo [a, b], e sia G una prirnitiva di J su tale interva llo. A llora

/b

Ja J( x) dx = G(b) -

G(a) .

(9.25)

Dimostrazionc. Sc 1\ / indica la fuuzionc iutcgrale eli f chc si anuulla in a. si ha

/

' /)

,

f( :I: ) cl.r = Fo (b),

It

II ris ultato segue allora dal corollario prcccdcnto con

:1' =b ,

,1:0

a c 0

E piuttosto comune indicare la differenz a G(b) - G(a) con un a delle seguent i espressi oni:

I [G(x)]~

oppure

G(x) I~· 1

Esempi 9.40 I seguenti int egr ali definiti sono calcolat i applica ndo la formula (9.25).

/ 1x 2dx = [~x3] 1 ~

Jo

i

3

1r

sin xdx=

0

3

[-cosx]~ =2.

/6 ~ dz = [log x]~ = J2 X

log 6 -log 2 = log 3.

0

E possibile est endere il Teor em a fond amentale del calcolo inte grale a l caso delle funzioni cont inue a trat t i. L'enunciato si modifica come seg ue . Sia f un a funzi one cont inu a a t rat t i su ogni sot t oint ervallo chiuso e limita to di I . Ogni funzione int egrale F di f su I e cont inua su I ; essa e derivabile in t ut t i i punti di I in cu i J e continua, e ivi si ha F'( x) = J( x) . In ogni punto di discontinuita (di salto) di J interno ad I , la F presenta un punto angoloso. Si dic e che la fun zione F e una prirnit iva generalizzata di J su I . 0

348

9 Calcolo integr ale I

Il seguente risultato fornisce una rappresentazione integrale d i una fun zione derivabile, ed e ut ile in diverse circost a nze . Corollario 9.42 Si a f una [urizione deriuabile in uri in ieru allo I , con derivata continua. A llora, per ogni Xo E I , vale la rappresetii azi on e

f(x)

= f (x o) +

l

x

Vx E I.

1"(05 ) ds ,

(9.26)

XQ

Dirnostrazionc.

E sufficiente osscrvarc che f C, in modo ovvio, una prirnitiva della sua derivata. Dunque, usando la (9.25), otteniamo

j

'X

1"(8) ds

= f( :r) - f(:1:o),

• Xo

da cui segue il risultato.

0

Come applicazione di t ale corollario, giustifichi amo gli sviluppi di Maclaurin de lle fun zioni f (x) = arcsin x e f (x) = arct an x . A tale scopo, premettiamo il seguente lem ma tecnico. L emma 9.43 Sia cp una [unzi on c conti nua in uri iniorno di 0, soddisf acente cp(x ) = 0(.1:0: ) per x ----> 0, con 0' ~ O. A llora, la sua primiiiua

'ljJ (x ) = Jo cp(s ) ds soddisfa 'ljJ (x ) = 0(x O: +1 ) per x ----> O. In [ormule, possiamo scriuere che 0(050:) ds = 0(xO:+1 ) per x ----> o. (9.27) .fo x

t

Dimostrazionc.

Applicando il Tcorema di de I'Hopital 6.40, abbiamo che lim 'ljJ (x ) "; ~ O X ,, +l

=

'ljJ' (x ) + l)x"

lim

=

X ~ O (0:

_1_ lim cp(x ) 0' + 1 X ~ O x"

= O.

Consideriamo dapprima 1a funzione f( x) = arctan x . La sua derivata 1 -1- - 2 e dunque , grazie a lla (9.26) , possiamo scrivere

e f'(x)

o =

+x

arct an x =

I

. 0

x

1 - --2

1 + 05

ds .

Lo sviluppo di Maclaurin dell a funzione f'( s), ottenuto d alla (7.18) con 1a sostituzione x = 05 2, e dato da 1 1 + 05 2

=

1 - 05 2 + 05 4 - . . . + (_1) m s 2m + 0( s2m+l)

=

'L) _ 1)ks 2k + o( s2m+l) . m

k=O

9.9 Regole di in tegr azione defin it a

349

Integrando t ermine a te rm ine e usando la (9.27) , otten ia mo 10 sviluppo di Maclaurin della funzione fl c): a rct an x

x3

=x-

~

3

X·2 m + 1

x5

+ ~ - ... + (_l )m_"_ _ + O(x 2m+2) 5 2m + 1

Tn

.2k+ l

~

2k + 1

= ~ ( _ l )k _ X_ _ k=O

+ O(X2m+2).

P er quant a riguarda la funzione f( x) a rcsinx = Usando la (7 .17) co n a

=

= a rcsin x,

infox

possiamo scriver e

hdS. 1-

s2

=

-~ e con la sostituzione x

_ S2 ,

otteni amo

Integr ando term ine a termine e us ando la (9.27) , otteniamo 10 sv iluppo d i Maclaurin d ella fun zione f( x) :

+ -x + -3x + ... + I 3

arcsin z = x

5

6

40

(_1. ) I 2m ++ 1 + m 2

X

2m

1

O(X2m+2)

rn I( 2k+ l + o(x 2m +2). =~ -'21) I ~

c: k=O

k

2k + 1

9.9 Regole di integrazione definita Il 'Ieorema fondamentale del calcolo integrale e le regole di integrazione indefini t a p er parti e per sostit uz ion e, viste nel Paragr afo 9.2, permettono di ottener e regole a nalog he di integr a zione definita . Teorema 9 .44 (Regola di int e g r a z ione p e r parti) Sia n o f e g fun zioni derivabili 8 U un inieruallo [a , b], con derivat e continue. A llom

fb

.fa f (x )g' (x ) dx

=

[f (x) g(x) J ~ -

ja.bf' (x )g(x ) dx .

(9. 28)

350

9 Calcolo inte grale I

Diruostrnz ionc.

Sia f-l (:1:) un a qua lunq uc pri n iit.iva de lla h m ziou e f' (:1: )g(:l:) su [a,b]. La rcgola di intcgrn xionc indefinita pCI' patti dice prccisaiuentc che la funzio ue f (:1: )g(:I:) - H (:1:) e una priuiit i va de lla funzionc f(:I:)g'(:I:) . Pert.auto, grnz ic alia (9.25), si Ita

•

j

.b

f(:I:)g'(:I:) d:/: = [f (:I: )g(:I: )]:: -

[H(x)] ::.

(J

II risultato segue ancora dalla (9.25) applicata alia funzionc

f' (:1: )g(:I:).

D

Teorema 9.45 (R e gola di integrazione per sostituzione) S ia f(y) una [usizione continua su. uti intervallo [a , b]. Sia poi ip(x ) una junzione definita su. un in te rv allo [0:,,8] a valori n ell 'interva llo [a , b], derivabile con deri vata con tinu a. A llora

1

{3

f (ip(x) ) ip'(x) dx

=

1