Ana Nistor - Geometrie Analitica [PDF]

Zitiervorschau

Introducere

Introducere Bibliografie: • V. Balan, C. Frigioiu, M. Roman, Geometrie Analitica, Geometrie Diferentiala si Elemente de Algebra Tensoriala. • C. Deliu, Analiza matematica, algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala - pentru studenti in invatamantul superior tehnic, 2014 • P. Georgescu, G. Popa, Geometrie vectoriala, analitica si diferentiala - Probleme propuse 2009. • A.I. Lazu, Algebra si geometrie - Culegere de probleme • http://math.etc.tuiasi.ro/apletea/seminarii.html Cuprins:

ALGAD 2 - Geometrie analitica si diferentiala asist.dr. Ana Nistor

Facultatea de Hidrotehnic˘a, Geodezie ¸si Ingineria Mediului Universitatea Tehnic˘a ”Gh. Asachi” din Ia¸si

- Vectori liberi - recapitulare I Planul si dreapta in spatiu

Cursurile 1 - 6

II Conice III Cuadrice IV Curbe V Suprafete

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

1 / 88

ainistor||at||tuiasi||punct||ro

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

Vectori liberi - recapitulare

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

2 / 88

Vectori liberi - recapitulare

Vectori liberi - produsul scalar

Vectori liberi - produsul vectorial Definit¸ie S.n. produs vectorial pe spatiul vectorilor liberi aplicatia

Definit¸ie S.n. produs scalar pe spatiul vectorilor liberi aplicatia ( kukk¯ ¯ v k cos ∠(u, ¯ v¯), daca u, ¯ v¯ 6= 0, h , i : V3 × V3 → R, hu, ¯ v¯i = 0, daca u¯ = ¯0 sau v¯ = ¯0

× : V3 × V3 → V3 , u¯ × v¯ = kukk¯ ¯ v k sin ∠(u, ¯ v¯)¯ e unde e¯ este versorul(lungimea=1) perpendicular pe pl. det. de cei doi vectori si orientat dupa regula burghiului(sensul de inaintare a unui burghiu cand u¯ se roteste catre v¯ formand un unghi minim. expr .analitica

expr .analitica

z }| { ¯ Fie u¯ = (u1 , u2 , u3 ) = u1 i¯ + u2 j¯ + u3 k¯ si v¯ = (v1 , v2 , v3 ) = v1 i¯+ v2 j¯+ v3 k. | {z } coord. eucl.

Atunci, expr. ¯ v¯i = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 . p analitica a p.s. este hu, • kuk ¯ = hu, ¯ ui ¯ • u¯ ⊥ v¯ d.n.d hu, ¯ v¯i = 0

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

3 / 88

z }| { ¯ Fie u¯ = (u1 , u2 , u3 ) = u1 i¯ + u2 j¯ + u3 k¯ si v¯ = (v1 , v2 , v3 ) = v1 i¯ + v2 j¯ + v3 k. | {z } coord. eucl. i¯ j¯ k¯ Atunci, expr. analitica a p.v. este u¯ × v¯ = u1 u2 u3 . v1 v2 v3 ¯ ¯ ¯ • u¯ × v¯ = 0 daca u¯ = 0, v¯ = 0 sau u¯ si v¯ sunt coliniari. ( ¯0 este vectorul nul!) • aria paralelogramului constr. pe u¯ si v¯ este ku¯ × v¯k. • aria triunghiului constr. pe u¯ si v¯ este 12 ku¯ × v¯k. A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

4 / 88

Vectori liberi - recapitulare

Vectori liberi - recapitulare

Vectori liberi - produsul mixt

Distanta dintre doua puncte

Definit¸ie

¯ si punctele A(x1 , y1 , z1 ), B(x2 , y2 , z2 ) ¯ j, ¯ k) Fie reperul ortonormat R(O; i, si C (x3 , y3 , z3 ). Distanta dintre A si B este: q dist(A, B) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .

S.n. produsul mixt al vectorilor u, ¯ v¯, w ¯ aplicatia (·, ·, ·) : V3 × V3 × V3 → R, (u, ¯ v¯, w ¯ ) = hu, ¯ v¯ × w ¯i

Coordonatele unui punct M care imparte segmentul AB intr-un raport k ∈ R \ {−1}, AM = kMB,sunt:

expr .analitica

z }| { ¯ v¯ = (v1 , v2 , v3 ) = v1 i¯ + v2 j¯ + v3 k¯ si Fie u¯ = (u1 , u2 , u3 ) = u1 i¯ + u2 j¯ + u3 k, | {z } coord. eucl.

u1 Atunci, expr. analitica a produsului mixt este (u, ¯ v¯, w ¯ ) = v1 w1 • (u, ¯ v¯, w ¯ ) = 0 daca cel putin unul dintre vectori este zero sau coplanari. • volumul paralelipipedului det. de u, ¯ v¯, w ¯ este: |(u, ¯ v¯, w ¯ )| • volumul tetraedrului det. de u, ¯ v¯, w ¯ este: 61 |(u, ¯ v¯, w ¯ )| A.I. Nistor (TU Ia¸si)

x1 + kx2 y1 + ky2 z1 + kz2 , yM = , zM = . 1+k 1+k 1+k   x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 Mijlocul segmentului AB este M , , . 2 2 2 Centrul de greutate al triunghiului 4ABC este:   x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 z1 + z2 + z3 G , , . 3 3 3 xM =

¯ w ¯ = (w1 , w2 , w3 ) = w1 i¯ + w2 j¯ + w3 k.

ALGAD2

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

u2 u3 v2 v3 . w2 w3 daca vectorii sunt

15.02 - 24.05. 2017

5 / 88

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

Sect.1 Planul

ALGAD2

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

15.02 - 24.05. 2017

6 / 88

Sect.1 Planul

1.1 Ecuatiile planului ¯ si notam (P) un plan in spatiul ¯ j, ¯ k) Fie reperul ortonormat R(O; i, tridimensional. Definit¸ie S.n. vector normal la planul (P) un vector nenul N¯ a carui dreapta suport este perpendiculara pe planul (P).

Cap.I Planul si dreapta in spatiu Sect.1 Planul

Definit¸ie S.n. vectori directori ai planului (P) doi vectori necoliniari u¯ si v¯ ale caror drepte suport sunt paralele cu planul (P). Geometric, un plan poate fi unic determinat astfel: i) un punct al planului si un vector normal la plan ii) un punct al planului si doi vectori necoliniari din plan iii) trei puncte necoliniare

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

7 / 88

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

8 / 88

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

Sect.1 Planul

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

i) Planul det. de un punct si un vector normal

ii) Planul det. de un punct si doi vectori directori

Fie M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ (P) si N¯ = Ai¯ + B j¯ + C k¯ normala, vector nenul, deci A, B, C nu toti zero simultan, adica A2 + B 2 + C 2 > 0. ¯ = 0. Un pct generic M(x, y , z) ∈ (P) d.n.d. M0 M ⊥ N¯ d.n.d. hM0 M, Ni ¯ ¯ ¯ Folosind M0 M = (x − x0 )i + (y − y0 )j + (z − z0 )k, produsul scalar devine: (x − x0 )A + (y − y0 )B + (z − z0 )C = 0

(1)

care s.n. ecuatia normala a planului. Echivalent, (1) devine: Ax + By + Cz + (−Ax0 − By0 − Cz0 ) = 0, adica | {z } not. D

Ax + By + Cz + D = 0

Sect.1 Planul

(2)

Fie M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ (P) si ¯ v¯2 = l2 i¯ + m2 j¯ + n2 k¯ ∈ (P) doi vectori directori, v¯1 = l1 i¯ + m1 j¯ + n1 k, deci necoliniari, v¯1 × v¯2 6= ¯0. Un pct generic M(x, y , z) ∈ (P) d.n.d. M0 M, v¯1 , v¯2 sunt coplanari d.n.d. (M0 M, v¯1 , v¯2 ) = 0. Folosind expresia analitica a produsului mixt, obtinem: x − x0 y − y0 z − z0 l1 =0 m n (3) 1 1 l2 m2 n2 care s.n. ecuatia unui plan det. de un pct. si doi vectori directori. Ex.2

care s.n. ecuatia generala a planului. Ex.1 A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

15.02 - 24.05. 2017

9 / 88

Sect.1 Planul

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

iii) Planul det. de trei puncte necoliniare

15.02 - 24.05. 2017

10 / 88

Sect.1 Planul

1.2 Plane particulare

Fie M1 (x1 , y1 , z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 ), M3 (x3 , y3 , z3 ) ∈ (P) necoliniare Un pct generic M(x, y , z) ∈ (P) d.n.d. M1 M, M1 M2 , M1 M3 sunt coplanari, d.n.d. (M1 M, M1 M2 , M1 M3 ) = 0. Folosind expresia analitica a produsului mixt, obtinem: x y z 1 x − x1 y − y1 z − z1 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0 ⇔ x1 y1 z1 1 = 0 x2 y2 z2 1 x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 x3 y3 z3 1

Ecuatia planului xOy : z = 0 Ec. unui plan paralel cu xOy : z = z0 Ecuatia planului xOz: y = 0 Ec. unui plan paralel cu xOz: y = y0 Ecuatia planului yOz: x = 0 Ec. unui plan paralel cu yOz: x = x0 (4)

care s.n. ecuatia unui plan det. de trei puncte necoliniare. In particular, fie M1 (a, 0, 0), M2 (0, b, 0) si M3 (0, 0, c) intersectiile lui (P) cu axele de coord. Atunci, obtinem ecuatia planului prin taieturi: x y z + + −1=0 a b c Ex.3

Ec. unui plan paralel cu Oz: Ax + By + D = 0 Ec. unui plan paralel cu Oy : Ax + Cz + D = 0 Ec. unui plan paralel cu Ox: By + Cz + D = 0 Ec. unui plan care contine originea O(0, 0, 0): Ax + By + Cz = 0

(5)

Ex.4 A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

11 / 88

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

12 / 88

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

Sect.1 Planul

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

1.3 Pozitia relativa a doua plane

1.4 Unghiul a doua plane

Fie (P1 ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 (P2 ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 Notam   A1 B1 C1 M= matricea sist format din ec. planelor A B2 C2  2  A1 B1 C1 D1 M= matricea extinsa A2 B2 C2 D2 • deoarece rangM < 3 sist nu poate fi compat.det.(sol. unica) - deci 2 plane nu se pot intersecta intr-un pct. • rangM = 1 si rangM = 1: sist are o infinit de sol. - planele coincid. B1 C1 D1 1 Altfel spus: A A2 = B2 = C2 = D2 • rangM = 1 si rangM = 2: sist. incompat. - planele sunt paralele, nu B1 C1 D1 1 au nici un pct. comun. Altfel spus: A A2 = B2 = C2 6= D2 • rangM = 2 atunci si rangM = 2: sist are o infinit de sol, fara ca planele sa coincida - planele se intersecteaza dupa o dreapta. Ex.5 A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

Sect.1 Planul

15.02 - 24.05. 2017

13 / 88

Sect.1 Planul

Fie (P1 ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 cu normala N¯1 (P2 ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 cu normala N¯2 Definit¸ie Unghiul α := ∠((P1 ), (P2 )) a doua plane este definit de unghiul format de normalele la cele doua plane. cos α =

hN¯1 , N¯2 i kN¯1 kkN¯2 k

(6)

Doua plane sunt perpendiculare (P1 ) ⊥ (P2 ) d.n.d. normalele lor sunt perpendiculare N¯1 ⊥ N¯2 , adica hN¯1 , N¯2 i = 0, A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0. Ex.6 A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

15.02 - 24.05. 2017

14 / 88

Sect.2 Dreapta in spatiu

1.5 Distanta de la un punct la un plan

Fie M0 (x0 , y0 , z0 ) si (P) : Ax + By + Cz + D = 0 Distanta de la M0 ∈ / (P) la (P) este data de: dist(M0 , (P)) =

|Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ A2 + B 2 + C 2

(7)

Cap.I Planul si dreapta in spatiu Sect.2 Dreapta in spatiu

si reprezinta lungimea vectorului M0 M 0 , unde M 0 este proiectia punctului M0 pe planul (P).

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

15 / 88

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

16 / 88

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

Sect.2 Dreapta in spatiu

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

2.1 Ecuatiile dreptei in spatiu

i) Dreapta det. de un pct si un vector director nenul Fie M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ (d) si v¯ = l i¯ + mj¯ + nk¯ un vector director al lui (d)

¯ si notam (d) o dreapta in spatiul ¯ j, ¯ k) Fie reperul ortonormat R(O; i, tridimensional. Definit¸ie S.n. vector director al dreptei (d) vectorul nenul v¯ = l i¯+ mj¯+ nk¯ a carui dreapta suport este paralela cu dreapta (d). l, m, n ∈ R s.n. parametrii directori ai lui (d). Notam v¯0 = k¯v1k v¯ versorul director al lui (d). Geometric, o dreapta poate fi unic determinata astfel:

y − y0 z − z0 x − x0 = = l m n care s.n.ecuatiile canonice ale dr. (d). Ex.8

ii) doua puncte distincte iii) intersectia a 2 plane ALGAD2

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

15.02 - 24.05. 2017

17 / 88

Sect.2 Dreapta in spatiu

ALGAD2

x − x1 y − y1 z − z1 = = x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

15.02 - 24.05. 2017

18 / 88

Sect.2 Dreapta in spatiu

Fie planele neparalele (P1 ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 cu normala N¯1 (P2 ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 cu normala N¯2 Atunci ecuatia canonica a dreptei de intersectie a celor doua plane, (d) := (P1 ) ∩ (P2 ) este

(10)

care s.n. ecuatia dreptei prin doua puncte. Ex.9

15.02 - 24.05. 2017

(9)

iii) Dreapta ca intersectie a doua plane

Fie M1 (x1 , y1 , z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 ) ∈ (d) Un vector director al lui (d) este v¯ := M1 M2 = (x2 − x1 )i¯ + (y2 − y1 )j¯ + (z2 − z1 )k¯ Atunci, ecuatia (9) pentru pctul M1 si vectorul director v¯ de mai sus devine:

ALGAD2

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

ii) Dreapta det. de doua puncte distincte

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

Un pct generic M(x, y , z) ∈ (d) d.n.d. M0 M, v¯ coliniari d.n.d.∃λ ∈ R a.i. M0 M = λ¯ v. ¯ egalitatea precedenta Folosind M0 M = (x − x0 )i¯ + (y − y0 )j¯ + (z − z0 )k, devine:   x = x0 + λl (8) y = y0 + λm   z = z0 + λn care s.n. ecuatiile parametrice ale dreptei (d). Echivalent,

i) un punct si un vector director nenul

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

Sect.2 Dreapta in spatiu

19 / 88

x − x0 y − y0 z − z0 = = (11) l m n unde punctul M0 (x0 , y0 , z0 ) este o solutie a sistemului format de ecuatiile i¯ j¯ k¯ celor doua plane iar directia dreptei este v¯ = N¯1 × N¯2 = A1 B1 C1 . A2 B2 C2 Altfel spus, parametrii directori sunt: B1 C1 C1 A1 A1 B1 . l = m= n= B2 C2 C2 A2 A2 B2 Ex.10A.I. Nistor (TU Ia¸si) ALGAD2 15.02 - 24.05. 2017 20 / 88

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

Sect.2 Dreapta in spatiu

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

2.2 Drepte particulare

( y =0 Ec. axei Ox: z =0

Sect.2 Dreapta in spatiu

2.3 Unghiul a doua drepte

( x =0 Ec. axei Oy : z =0

Fie x − x1 y − y1 z − z1 (d1 ) : = = , cu vect. dir. v¯1 = l1 i¯ + m1 j¯ + n1 k¯ l1 m1 n1 y − y2 z − z2 x − x2 (d2 ) : = = cu vect. dir. v¯2 = l2 i¯ + m2 j¯ + n2 k¯ l2 m2 n2 Definit¸ie

( x =0 Ec. axei Oz: y =0

Unghiul α := ∠((d1 ), (d2 ))a doua drepte este definit de unghiul format de vectorii directori ai celor doua drepte. cos α =

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

15.02 - 24.05. 2017

21 / 88

Sect.2 Dreapta in spatiu

(12)

15.02 - 24.05. 2017

22 / 88

Sect.2 Dreapta in spatiu

2.4 Unghiul dintre o dreapta si un plan

Fie x − x1 y − y1 z − z1 = = , cu vect. dir. v¯1 = l1 i¯ + m1 j¯ + n1 k¯ (d1 ) : l1 m1 n1 x − x2 y − y2 z − z2 (d2 ) : = = cu vect. dir. v¯2 = l2 i¯ + m2 j¯ + n2 k¯ l2 m2 n2 • Doua dr sunt perpendiculare (d1 ) ⊥ (d2 ) d.n.d. vect. lor directori sunt perp., v¯1 ⊥ v¯2 d.n.d. h¯ v1 , v¯2 i = 0 ⇔ l1 l2 + m1 m2 + n1 n2 = 0. • Doua drepte sunt paralele (d1 )||(d2 ) d.n.d. vectorii lor directori sunt n1 1 paraleli, v¯1 ||¯ v2 d.n.d. ll12 = m m2 = n2 . ! Dr. sunt paralele SAU coincid! Distinctia se face verif. daca un pct al uneia dintre drepte se afla (coincid) sau nu (paralele) pe cealalta dreapta. ! doua dr. perpendiculare pot fi necoplanare ! ! doua dr. paralele sunt intotdeauna coplanare! • Doua drepte sunt coplanare d.n.d. v¯1 , v¯2 , M1 M 2 sunt coplanari d.n.d. x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 m1 n1 = 0 (¯ v1 , v¯2 , M1 M2 ) = 0 ⇔ l1 l2 m2 n2 ALGAD2

ALGAD2

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

2.3 Unghiul a doua drepte

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

h¯ v1 , v¯2 i k¯ v1 kk¯ v2 k

15.02 - 24.05. 2017

23 / 88

Fie x − x0 y − y0 z − z0 (d) : = = cu vect. dir. v¯1 = l i¯ + mj¯ + nk¯ l m n (P) : Ax + By + Cz + D = 0 cu vect. normal N¯ = Ai¯ + B j¯ + C k¯ Definit¸ie Unghiul α := ∠((d), (P)) dintre o dreapta si un plan este definit de unghiul format de dreapta cu proiectia ei pe plan, si care este egal cu complementul unghiului format de dreapta si normala la plan. sin α = cos

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

 ¯ v¯i hN, −α = ¯ 2 kNkk¯ vk

π

ALGAD2

(13)

15.02 - 24.05. 2017

24 / 88

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

Sect.2 Dreapta in spatiu

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

Sect.2 Dreapta in spatiu

2.5 Distanta de la un punct la o dreapta

2.6 Distanta dintre doua drepte

Fie x − x1 y − y1 z − z1 (d) : = = cu vect. dir. v¯ = l i¯ + mj¯ + nk¯ si l m n M1 (x1 , y1 , z1 ) ∈ (d) M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ / (d)

Fie x − x1 y − y1 z − z1 (d1 ) : = = , cu vect. dir. v¯1 = l1 i¯ + m1 j¯ + n1 k¯ l1 m1 n1 y − y2 z − z2 x − x2 = = cu vect. dir. v¯2 = l2 i¯ + m2 j¯ + n2 k¯ (d2 ) : l2 m2 n2 Definit¸ie

Distanta de la M0 la (d) este data de: dist(M0 , (d)) =

S.n. perpendiculara comuna a celor doua drepte dreapta unica (d) perpendiculara pe (d1 ) si (d2 ) si care intersecteaza dreptele (d1 ) si (d2 ).

kM1 M0 × v¯k k¯ vk

(14)

Notam M1 (x1 , y1 , z1 ) ∈ (d1 ) si M2 (x2 , y2 , z2 ) ∈ (d2 ). Un vector director al perpendicularei comune (d) este: v¯ = v¯1 × v¯2 = l i¯ + mj¯ + nk¯

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

15.02 - 24.05. 2017

25 / 88

Sect.2 Dreapta in spatiu

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

15.02 - 24.05. 2017

26 / 88

Sect.3 Dreapta in plan

2.6 Distanta dintre doua drepte Dreapta (d) = (P1 ) ∩ (P2 ) se obtine ca intersectia planelor x − x1 y − y1 z − z1 m1 n1 = 0 (P1 ) det. de M1 si vect dir ai dr (d1 ) si (d) : l1 l m n si x − x2 y − y2 z − z2 m2 n2 = 0 (P2 ) det. de M2 si vect dir ai dr (d2 ) si (d) : l2 l m n Atunci, dist((d1 ), (d2 )) = lungimea perpendicularei comune = inaltimea paralelipipedului construit pe vect. v¯1 , v¯2 , M1 M2 cu baza data de paralelogramul format de v¯1 si v¯2 . dist((d1 ), (d2 )) = A.I. Nistor (TU Ia¸si)

Cap.I Planul si dreapta in spatiu Sect.3 Dreapta in plan

|(M1 M2 , v¯1 , v¯2 )| k¯ v1 × v¯2 k

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

27 / 88

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

28 / 88

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

Sect.3 Dreapta in plan

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

3.1 Ecuatiile dreptei in plan

Sect.3 Dreapta in plan

i) dr. det. de un pct si un vect. director Fie M0 (x0 , y0 ) si v¯ = l i¯ + mj¯ vect. director nenul (l 2 + m2 > 0) Ecuatia

¯ j) ¯ un reper ortonormat in plan. Fie R(O; i, Geometric, o dreapta in plan este unic determinata astfel:

x − x0 y − y0 = l m

(15)

s.n ec. canonica a dreptei. Calculand |{z} m x |{z} −l + ly0 − mx0 = 0 obtinem: | {z }

i) un punct si un vector director

not.a

not.b

ii) doua puncte

not.c

ax + by + c = 0

iii) un punct si panta

(16)

care s.n.ec. generala a dreptei in plan. Egaland (15) cu un parametru real λ avem ( x = x0 + λl y = y0 + λm

iv) un punct si o directie normala

(17)

care s.n. ecuatiile parametrice ale dreptei in plan. A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

15.02 - 24.05. 2017

29 / 88

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

Sect.3 Dreapta in plan

ALGAD2

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

15.02 - 24.05. 2017

Sect.3 Dreapta in plan

ii) dr. det. de doua puncte

3.2 Panta unei drepte in plan

Fie M1 (x1 , y1 ) si M2 (x2 , y2 )

Fie

Ecuatia

ax + by + c = 0 x − x1 y − y1 = x2 − x1 y2 − y1

(18)

s.n ec. canonica a dreptei det. de doua puncte. In particular, fie o dreapta (d) care nu trece prin O(0, 0) si nu e paralela cu axele de coord. Notam (d) ∩ Ox = A(a, 0) si (d) ∩ Oy = B(0, b) a.i. ab 6= 0 Atunci, ec. (18) devine x y + −1=0 (19) a b care s.n ec. prin taieturi a unei drepte in plan.

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

31 / 88

30 / 88

(20)

ec. gen. a unei drepte neparalele cu Oy , adica b 6= 0. Echivalent, a c y= − x− b b |{z} |{z} not.m

not.n

si obtinem y = mx + n

(21)

care s.n. ec. redusa a dreptei. •m s.n. panta dreptei •n reprezinta ordonata intersectiei dr. cu Oy .

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

32 / 88

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

Sect.3 Dreapta in plan

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

3.2 Panta unei drepte in plan

Sect.3 Dreapta in plan

3.3 Drepte particulare in plan

Fie (d) : y = mx + n dr. neparalela cu Oy M1 (x1 , y1 ) ∈ (d), atunci verif ec. dr.: y1 = mx1 + n si M2 (x2 , y2 ) ∈ (d), atunci verif. ec. dr.: y2 = mx2 + n 1 Scazand cele 2 relatii obtinem expresia pantei m = yx22 −y −x1 := tan θ, unde θ = ∠(semiaxa poz Ox, semidr. de pe (d) situata deas. lui Ox) m > 0 d.n.d. θ este unghi ascutit m < 0 d.n.d. θ este unghi obtuz

Ecuatia axei Ox: y = 0 Ecuatia unei drepte paralele cu Ox: y = y0 Ecuatia axei Oy : x = 0 Ecuatia unei drepte paralele cu Oy : x = x0 Ecuatia primei bisectoare: y = x Ecuatia celei de-a2a bisectoare: y = −x Ex.7 Ex.8

m = 0 d.n.d. (d)||Ox Obs.iii) O dreapta (d) este unic determinata de un punct de pe dreapta M0 (x0 , y0 ) ∈ (d) si panta sa m. Fie un pct generic de pe dreapta −y0 M(x, y ) ∈ (d). Avem: m = yx−x , adica, ec. dr.(d) : y − y0 = m(x − x0 ) 0 A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

15.02 - 24.05. 2017

33 / 88

Sect.3 Dreapta in plan

x−x1 l1 x−x2 l2

= =

34 / 88

Sect.3 Dreapta in plan

Fie (d) : ax + by + c = 0 ec. gen a unei drepte in plan si M0 (x0 , y0 ) ∈ / (d)

Definit¸ie Unghiul α := ∠((d1 ), (d2 ))a doua drepte este definit de unghiul format de vectorii directori ai celor doua drepte.

• Doua dr • Doua dr Cu pante: • Doua dr • Doua dr

15.02 - 24.05. 2017

3.5 Distanta de la un pct la o dreapta in plan

y −y1 ¯1 = l1 i¯ + m1 j¯ m1 , cu vect. dir. v y −y2 ¯2 = l2 i¯ + m2 j¯ m2 cu vect. dir. v

cos α =

ALGAD2

CAP. I Planul si dreapta in spatiu

3.4 Unghiul a doua drepte in plan Fie (d1 ) : (d2 ) :

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

h¯ v1 , v¯2 i k¯ v1 kk¯ v2 k

¯ vect. nenul, este perpendicular pe (d). Atunci N = ai¯ + b j, Distanta de la pctul M0 la dreapta (d) este:

(22)

dist(M0 , (d)) =

|ax0 + by0 + c| √ a2 + b 2

Obs. iv) O dreapta (d) poate fi unic determinata in plan de un ¯ punct al dreptei M1 (x1 , y1 ) ∈ (d) si o directie normala N = ai¯ + b j: (d) : a(x − x1 ) + b(y − y1 ) = 0.

sunt perp. (d1 ) ⊥ (d2 ) d.n.d. v¯1 ⊥ v¯2 ⇔ l1 l2 + m1 m2 = 0. m1 sunt paralele (d1 )||(d2 ) d.n.d. v¯1 ||¯ v2 ⇐⇒ ll12 = m . 2 sunt perpendiculare d.n.d. produsul pantelor = −1 sunt paralele d.n.d. pantele sunt egale.

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

35 / 88

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

36 / 88

CAP. II Conice

Sect.1 Conice pe ecuatii canonice

CAP. II Conice

Sect.1 Conice pe ecuatii canonice

Introducere

Cap.II Conice Sect.1 Conice pe ecuatii canonice

Fie F un pct si (d) o dreapta in plan. Definit¸ie L.g. al pctelor M din plan pt. care raportul distantelor de la M la pctul fix F si de la M la dreapta (d) este constant s.n. conica. Pctul F s.n. focarul conicei. Dreapta (d) s.n. dreapta directoare a conicei. Raportul constant din definitia conicei s.n. excentricitatea conicei si se noteaza e. Daca F ∈ (d), atunci conica s.n. degenerata. Daca F ∈ / (d), atunci conica s.n. nedegenerata. e ∈ (0, 1) - conica de tip eliptic; s.n. elipsa e = 1 - conica de tip parabolic; s.n. parabola e ∈ (1, ∞) - conica de tip hiperbolic; s.n. hiperbola

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

CAP. II Conice

15.02 - 24.05. 2017

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

37 / 88

Sect.1 Conice pe ecuatii canonice

CAP. II Conice

1.1 Cercul

15.02 - 24.05. 2017

38 / 88

Sect.1 Conice pe ecuatii canonice

1.1 Cercul

Definit¸ie Cercul este l.g. al pctelor din plan egal departate de un pct. fix numit centru. Fie C (x0 , y0 )- centrul, r -raza. Un pct generic M(x, y ) ∈ C(C , r ) d.n.d kCMk = r . Echivalent, obtinem

Pozitia relativa a unei drepte fata de un cerc Fie (d) : ax + by + c = 0 si (C) : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2 , cu centrul C (x0 , y0 ) Notam dist(C , (d)) =

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2

(23)

dist(C , (d)) = r : (d) ∩ (C) = {un punct}, (d) e tangenta cercului dist(C , (d)) < r : (d) ∩ (C) = {2 puncte}, (d) e secanta cercului

x 2 + y 2 + 2mx + 2ny + p = 0, cu m2 + n2 − p > 0 p 2 2 reprez. ec. generala a unui cerc ( cu C (−m, −n) si r = m + n − p. x = x0 + r cos t Ec. (23) este echivalenta cu: y = y0 + r sin t, t ∈ [0, 2π) care s.n. ec. parametrice ale cercului. ALGAD2

|ax0 + by0 + c| √ a2 + b 2

dist(C , (d)) > r : (d) ∩ (C) = ∅, (d) e exterioara cercului

care s.n. ec.canonica a cercului C(C , r ). O ecuatie de forma:

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

Ecuatia tangentei la cerc intr-un pct al cercului M1 (x1 , y1 ) ∈ (C) se obtine prin dedublare: (x1 − x0 )(x − x0 ) + (y1 − y0 )(y − y0 ) = r 2 Ex.1 39 / 88

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

40 / 88

CAP. II Conice

Sect.1 Conice pe ecuatii canonice

CAP. II Conice

1.2 Elipsa

Sect.1 Conice pe ecuatii canonice

1.2 Elipsa - ecuatiile elipsei

Definit¸ie Fie F si F 0 doua pcte distincte cu kFF 0 k = 2c > 0 si a ∈ R+ cu 2a > 2c. Elipsa este l.g. al pctelor din plan cu proprietatea ca suma distantelor la punctele fixe F si F 0 este const. = 2a. • F si F 0 s.n. focarele • F 0 F s.n. axa focala, iar kF 0 F k = 2c s.n. distanta focala

Pt a gasi ec. elipsei fixam reperul ortonormat centrat in originea ¯ = 1 a.i. {i, ¯ j} ¯ O =mijl. segm FF 0 si versorii i¯ = kFF1 0 k FF 0 si j¯ ⊥ i¯ cu kjk este pozitiv orientata. Un pct generic M(x, y ) ∈ E d.n.d kFMk + kF 0 Mk = 2a, a > 0 fixat. Prin calcul direct, obtinem ec. canonica a elipsei: x2 y2 + 2 = 1, a2 b

(24)

unde am notat b 2 = a2 − c 2 . Reciproc, se arata ca orice pct care verifica (24) apartine elipsei. Din ( (24) se deduc ec. parametrice ale elipsei: x = a cos t, y = b sin t, t ∈ [0, 2π) A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

CAP. II Conice

15.02 - 24.05. 2017

41 / 88

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

Sect.1 Conice pe ecuatii canonice

ALGAD2

CAP. II Conice

15.02 - 24.05. 2017

42 / 88

Sect.1 Conice pe ecuatii canonice

1.2 Elipsa - elementele elipsei

1.2 Elipsa - poz. rel a unei drepte fata de o elipsa

• a s.n. semiaxa mare si b s.n. semiaxa mica a elipsei • A(a, 0), A0 (−a, 0), B(0, b), B 0 (0, −b) s.n. varfurile elipsei si reprez ∩Ox, resp.∩Oy • O(0, 0) s.n. centrul elipsei si este centru de simetrie: daca M(x, y ) ∈ E ⇒ M1 (−x, −y ) ∈ E − axa Ox este axa de simetrie: daca M(x, y ) ∈ E ⇒ M1 (x, −y ) ∈ E − axa Oy este axa de simetrie: daca M(x, y ) ∈ E ⇒ M1 (−x, y ) ∈ E Directoare si excentricitate Revenind la: q 2 c a (x + c)2 + y 2 = x + , −a ≤ x ≤ a ⇔ kMF 0 k = e dist(M, (d 0 )), a c

( 2 2 (E) : xa2 + yb2 = 1 Rezolvam sistemul: Eliminand y se obtine ec. de (d) : y = mx + n gr.2: (a2 m2 + b 2 )x 2 + 2a2 mnx + a2 (n2 − b 2 ) = 0. ∆ > 0 (E) ∩ (d) = 2 pcte distincte, (d) este secanta elipsei; ∆ < 0 (E) ∩ (d) = ∅, (d) este exterioara elipsei; ∆ = 0 (E) ∩ (d) = un pct dublu, (d) este tangenta elipsei. Obs. Dintr-un pct exterior al unei elipse vom obtine 2 tangente la elipsa: p p (d1 ) : y = mx + a2 m2 + b 2 (d2 ) : y = mx − a2 m2 + b 2

2

unde am notat e = ca si (d 0 ) : x = − ac . Lucrand cu celalalt radical, obtinem kMF k = e dist(M, (d)), (d) : x = 2 • x = ± ac s.n. dreptele directoare ale elipsei • e = ca ∈ (0, 1) s.n. excentricitatea elipsei A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

a2 c

.

43 / 88

Ec. tangentei la elipsa intr-un pct al elipsei M1 (x1 , y1 ) ∈ E se obtine prin dedublare: xx1 yy1 + 2 − 1 = 0. (25) a2 b Ex.2 A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

44 / 88

CAP. II Conice

Sect.1 Conice pe ecuatii canonice

CAP. II Conice

Sect.1 Conice pe ecuatii canonice

1.3 Hiperbola

1.3 Hiperbola - ecuatiile hiperbolei

Definit¸ie

Un pct generic M(x, y ) ∈ H d.n.d |kFMk − kF 0 Mk| = 2a, a > 0 fixat.

Fie F si F 0 doua pcte distincte cu kFF 0 k = 2c > 0 si a ∈ R+ cu 0 < 2a < 2c. Hiperbola este l.g. al pctelor din plan cu proprietatea ca diferenta distantelor la doua puncte fixe, F si F 0 (numite focare) este const. = 2a.

Prin calcul direct, obtinem ec. canonica a hiperbolei:

• F si F 0 s.n. focarele • F 0 F s.n. axa focala, iar kF 0 F k = 2c s.n. distanta focala

unde am notat b 2 = c 2 − a2 . Reciproc, se arata ca orice pct care verifica (26) apartine hiperbolei. ( x = a cosh t, Din (26) se deduc ec. parametrice : y = b sinh t, t ∈ R Reamintim functiile hiperbolice:

x2 y2 − 2 = 1, a2 b

(26)

e t + e −t , 2 e t − e −t sinh : R → R, sinh(t) = . 2 Proprietate: ch2 (t) − sh2 (t) = 1, ∀t ∈ R. cosh : R → [1, ∞), cosh(t) =

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

CAP. II Conice

15.02 - 24.05. 2017

45 / 88

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

Sect.1 Conice pe ecuatii canonice

CAP. II Conice

1.3 Hiperbola - elementele hiperbolei

(H0 )

y2 b2

x2 a2

x2 a2

−

y2 b2

= 1, atunci hiperbola

Oy este axa transversa, iar B(0, b) si B 0 (0, −b) sunt varfurile focarele sunt F (0, c), F 0 (0, −c) asimptotele lui (H0 ) coincid cu cele ale lui (H), y = ± ba x excentricitatea lui (H0 ) este e 0 = bc .

• a s.n. semiaxa mare si b s.n. semiaxa mica a hiperbolei • A(a, 0), A0 (−a, 0) s.n. varfurile hiperbolei si reprez ∩Ox. • Axa Ox s.n. axa transversa a hip.

•e=

Sect.1 Conice pe ecuatii canonice

: − = 1 s.n. hiperbola conjugata lui H. Elementele lui (H0 ) sunt:

• O(0, 0) s.n. centrul hiperbolei si este centru de simetrie Axele Ox si Oy sunt axe de simetrie.

•x=

46 / 88

1.3 Hiperbola - exemple Ex.1. Fiind data hiperbola (H) :

2 ± ac c a >

15.02 - 24.05. 2017

Exemplu:

y2 22

−

x2 32

−1=0

s.n.dreptele directoare ale hiperbolei 1 s.n. excentricitatea hiperbolei

• y = ± ba x s.n. asimptotele hiperbolei si se obtin ca asimptote oblice ale √ √ functiilor f1 (x) = ba x 2 − a2 si f2 (x) = − ba x 2 − a2 .

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

47 / 88

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

48 / 88

CAP. II Conice

Sect.1 Conice pe ecuatii canonice

CAP. II Conice

1.3 Hiperbola - poz rel a unei dr. fata de hiperbola

1.4 Parabola

( 2 2 (H) : xa2 − yb2 = 1 Rezolvam sistemul: Eliminand y se obtine: (d) : y = mx + n (b 2 − a2 m2 )x 2 − 2a2 mnx − a2 (n2 + b 2 ) = 0. • Pt.m 6= ± ba avem o ec. de gr. 2 in x. ∆ > 0 (H) ∩ (d) = 2 pcte distincte, (d) este secanta hiperbolei; ∆ < 0 (H) ∩ (d) = ∅, (d) este exterioara hiperbolei; ∆ = 0 (H) ∩ (d) = un pct dublu, (d) este tangenta hiperbolei. Obs. Dintr-un pct exterior al unei hiperbole vom obtine 2 tangente la hiperbola, numai cand m ∈ (−∞, − ba ) ∪ ( ba , ∞), deoarece ∆ = 0 ⇔ n 2 = a2 m 2 − b 2 . p p (d1 ) : y = mx + a2 m2 − b 2 (d2 ) : y = mx − a2 m2 − b 2

Definit¸ie

Sect.1 Conice pe ecuatii canonice

Fie o dreapta (d) si un pct F ∈ / (d). Parabola este l.g. al pctelor din plan egal departate de punctul F si de dreapta (d) • F s.n. focar, (d) s.n. dreapta directoare • Spunem ca parabola are excentricitatea e = 1 • Fie p = dist(F , (d)), p s.n. parametrul parabolei.

• Pt. m = ± ba si n 6= 0 avem o ec. de gr. 1 in x. (H) ∩ (d) = un singur pct, (d) este paralela cu una dintre asimptote, (d) s.n. secanta de dir. asimptotica. (?!) de ce nu e tangenta? • Pt. m = ± ba si n = 0 obtinem asimptotele hiperbolei. A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

49 / 88

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

Ec. tangentei la hiperbola intr-un pct al hiperbolei M1 (x1 , y1 ) ∈ H: xx1 yy1 − 2 − 1 = 0. (27) a2 b Sect.1 Conice pe ecuatii canonice CAP. II Conice Ex.1

1.4 Parabola - ecuatiile parabolei

CAP. II Conice

15.02 - 24.05. 2017

50 / 88

Sect.1 Conice pe ecuatii canonice

1.4 Parabola - exemple

Alegem un reper centrat in origine, pe semiaxa pozitiva (Ox fixam focarul ¯ iar Oy ⊥ Ox a.i. sa obtinem un reper pozitiv. Atunci, F ( p2 , 0), OF = p2 i, dreapta directoare are ecuatia (d) : x = − p2 . O(0, 0) este varful parabolei Un q pct generic M(x, y ) ∈ P d.n.d dist(M, (d)) = kFMk. Adica, (x − p )2 + y 2 = x + p . Ridicand la patrat, rezulta ec. canonica a 2

ALGAD2

1

2

parabolei:

2

y 2 − 2px = 0.

(28)

Ecuatia y 2 = −2px, p > 0 reprez parabola cu vf. in origine, avand axa transversa Ox dar situata in semiplanul din stanga axei Oy . Ec. x 2 = 2py si x 2 = −2py , p > 0 reprez. parabole cu vf. in origine 1 2 si axa transversa Oy . y = f (x) = 2p x

Reciproc, se arata ca un pct oarecare M0 (x0 , y0 ) care verifica (28) apartine parabolei cu focarul F si drepta directoare (d). ( t2 x = 2p , Din (28) se deduc ec. parametrice: y = t, t ∈ R. Obs. Ox este axa de simetrie a parabolei iar Oy este tangenta la parabola in varful O(0, 0) acesteia. A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

51 / 88

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

52 / 88

CAP. II Conice

Sect.1 Conice pe ecuatii canonice

CAP. II Conice

Sect.2 Repere carteziene

1.4 Parabola - poz. rel. a unei dr. fata de o parabola ( (P) : y 2 − 2px = 0 Rezolvam sistemul: Eliminand y se obtine: (d) : y = mx + n m2 x 2 + 2(mn − p)x + n2 = 0. • Pt.m 6= 0 avem o ec. de gr. 2 in x. ∆ > 0 (P) ∩ (d) = 2 pcte distincte, (d) este secanta parabolei; ∆ < 0 (P) ∩ (d) = ∅, (d) este exterioara parabolei; p ∆ = 0 ⇔ n = 2m si obtinem o singura tangenta la parabola, p y = mx + 2m • Pt. m = 0 avem o ec. de gr. 1 in x: −2px + n2 = 0, iar dreapta (d) : y = n. (P) ∩ (d) = un singur pct, (d) s.n. secanta.

Cap.II Conice Sect.2 Repere carteziene

Ec. tangentei la parabola intr-un pct al parabolei M1 (x1 , y1 ) ∈ P: yy1 − p(x + x1 ) = 0.

(29)

Ex.2 A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

CAP. II Conice

15.02 - 24.05. 2017

53 / 88

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

Sect.2 Repere carteziene

ALGAD2

CAP. II Conice

Introducere

15.02 - 24.05. 2017

54 / 88

Sect.2 Repere carteziene

2.1 Repere carteziene pe dreapta

Vom defini repere pe dreapta, in plan si in spatiu si vom studia schimbarea de repere la translatii si rotatii. Fie spatiile liniare (X, +, ·, R), unde X reprez.

¯ Pe o dreapta (d) avem originea O ∈ R si baza formata din versorul i. Definit¸ie

mult. vect. de pe o dreapta, V1 ,

¯ cu reperul R0 (O 0 ; i) ¯ pe dreapta (d) s.n. O schimbare a reperului R(O; i) translatie.

mult. vect. din plan, V2 , mult. vect. din spatiu, V3 . Definit¸ie Numim reprer in spatiul (X, +, ·, R) o pereche R(O; S), unde O reprez. originea reperului iar S este o baza in X.

Fie x0 ∈ R coord. lui O 0 . Fie M ∈ (d) un pct generic care are coord. x ∈ R in R si x 0 ∈ R in R0 . Atunci, x = x0 + x 0

Pentru un punct generic M ∈ X, vectorul OM s.n. vectorul de pozitie al pctului M fata de reperul R. A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

55 / 88

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

56 / 88

CAP. II Conice

Sect.2 Repere carteziene

CAP. II Conice

Sect.2 Repere carteziene

2.2 Repere carteziene in plan - translatia

2.2 Repere carteziene in plan - translatia

¯ j), ¯ pctul O 0 (x0 , y0 ) si consid. Fie reperul cartezian ortonormat R(O; i, 0 0 ¯ ¯ reperul cartezian ortonormat R (O ; i, j). Definit¸ie ¯ j) ¯ cu reperul R0 (O 0 ; i, ¯ j) ¯ in plan s.n. transO schimbare a reperului R(O; i, latie.

Justificare:

Pt un pct generic M din plan, notam (x, y ) coord in R (x 0 , y 0 ) coord in R0 Atunci,

OM = OO 0 + O 0 M ⇐⇒ ( x = x0 + x 0 y = y0 + y 0

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

x i¯ + y j¯ = x0 i¯ + y0 j¯ + x 0 i¯ + y 0 j¯ ( x = x0 + x 0 Deci, schimbarea de coordonate la translatie este: y = y0 + y 0

       0 x 10 x0 x Matriceal : = + y 01 y0 y0

ALGAD2

CAP. II Conice

15.02 - 24.05. 2017

57 / 88

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

Sect.2 Repere carteziene

ALGAD2

CAP. II Conice

2.2 Repere carteziene in plan - rotatia

Fie R0 (O; i¯0 , j¯0 ) un reper cartezian ortonormat obtinut prin rotirea cu un ¯ j). ¯ unghi α ∈ [0, π) a reperului R(O; i, Definit¸ie ¯ j) ¯ cu reperul R0 (O; i¯0 , j¯0 ) in plan s.n. roO schimbare a reperului R(O; i, tatie.

Pt un pct generic M din plan, notam

¯ ii ¯ = 1 hi, ¯ ji ¯ = 0 hj, ¯ ji ¯ =1 hi, 0 ¯ = cos α hi¯ , ii (30) π 0 ¯ = cos(α + ) = − sin α hj¯ , ii 2 π 0 ¯ = cos( − α) = sin α hi¯ , ji 2 0 ¯ ¯ hj , ji = cos α A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

59 / 88

58 / 88

Sect.2 Repere carteziene

2.2 Repere carteziene in plan - rotatia

Pp. ca R0 este la fel orientat cu R

15.02 - 24.05. 2017

(x, y ) coord in R (x 0 , y 0 ) coord in R0 . Deci, OM = x i¯ + y j¯ = x 0 i¯0 + y 0 j¯0 ¯ Inmultim scalar cu i¯ apoi cu j: 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ xhi, ii + y hj, ii = x hi , ii + y 0 hj¯0 , ii ¯ ji ¯ + y hj, ¯ ji ¯ = x 0 hi¯0 , ji ¯ + y 0 hj¯0 , ji ¯ xhi, Inlocuind (30), obtinem schimbarea de coordonate la rotatie: (      0 x = x 0 cos α − y 0 sin α x cos α − sin α x Matriceal : = y sin α cos α y0 y = x 0 sin α + y 0 cos α   cos α − sin α Matricea schimbarii de coordonate C = este ortogonala, sin α cos α C −1 = C T , deci rotatia in plan este o transformare ortogonala. det C = 1 A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

60 / 88

CAP. II Conice

Sect.2 Repere carteziene

CAP. II Conice

2.2 Repere carteziene in plan - rotatia

Sect.2 Repere carteziene

2.2 Repere carteziene in plan - rototranslatia

Pp. ca R0 este invers orientat fata de R 

 cos α sin α C= sin α − cos α C −1 = C T , det C = −1 Schimbarea   de0 coordonate este:  x x =C y y0

Un pct generic M are coord: ¯ j) ¯ (x, y ) in R(O; i, (x 0 , y 0 ) in R0 (O; i¯0 , j¯0 ) (x”, y ”) in R”(O 0 ; i¯0 , j¯0 ),

OBS. In calcule vom lucra cu repere la fel orientate, matricea schimbarii de baze va avea det = 1.

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

CAP. II Conice

15.02 - 24.05. 2017

61 / 88

Sect.2 Repere carteziene

Translatia:

−→

 0  0    x x x” = 00 + , y0 y0 y”

  cos α − sin α obtinem sin α cos α schimbarea de coordonate la rototranslatie: ( x = x0 + x” cos α − y ” sin α y = y0 + x” sin α + y ” cos α. Daca R0 este la fel orientat cu R, C =

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

62 / 88

Sect.2 Repere carteziene

Un pct generic M are coord: ¯ ¯ j, ¯ k) (x, y , z) in R(O; i, (x 0 , y 0 , z 0 ) in R0 (O; i¯0 , j¯0 , k¯0 ) (x”, y ”, z”) in R”(O 0 ; i¯0 , j¯0 , k¯0 ),

Rototranslatia:    0       x x0 x” x0 x” 0 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ R(O; i, j) −→ R”(O ; i , j ) =C +C = +C y y00 y” y0 y”

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

15.02 - 24.05. 2017

2.3 Repere carteziene in spatiu

   0    0 x x x0 x 0 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ Rotatia: R(O; i, j) −→ R (O; i , j ) =C , = C 00 0 y y y0 y0 R”(O 0 ; i¯0 , j¯0 )

ALGAD2

CAP. II Conice

2.2 Repere carteziene in plan - rototranslatia

R0 (O; i¯0 , j¯0 )

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

Rotatia:

 0    0   x x x0 x0 0 0 0 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯        y0 = S y00  y =S y , R(O; i, j, k) −→ R (O; i , j , k ) 0 z z0 z00 z unde S reprezinta matricea de trecere de la o baza la cealalta:  ¯ ¯0 ¯ ¯  i = a11 i + a21 j + a31 k j¯0 = a12 i¯ + a22 j¯ + a32 k¯  ¯0 i = a13 i¯ + a23 j¯ + a33 k¯

63 / 88

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

  a11 a12 a13 Notam :S = a21 a22 a23  . a31 a32 a33 ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

64 / 88

CAP. II Conice

Sect.2 Repere carteziene

CAP. II Conice

2.3 Repere carteziene in spatiu

Sect.2 Repere carteziene

2.4 Repere polare in plan Definit¸ie

 0  0    x” x x0 Translatia: R0 (O; i¯0 , j¯0 , k¯0 ) −→ R”(O 0 ; i¯0 , j¯0 , k¯0 ) y 0  = y00  + y ” , z00 z” z0 ¯ j, ¯ ¯ −→ R”(O 0 ; i¯0 , j¯0 , k¯0 ) Rototranslatia:    0 R(O; i,  k)      x x0 x” x0 x” y  = S y00  + S y ” = y0  + S y ” z z00 z” z” z0

Un reper polar in plan se defineste printr-un pct fix numit pol, O(0, 0) si ¯ trecand prin pol, numita axa polara. axa Ox de versor i, Pozitia unui pct generic M din plan este determinata de: ρ = kOMk dist de la pol la pct.; ρ > 0 s.n. raza vectoare sau modulul lui M θ = unghiul facut de directia OM cu axa polara Ox; θ ∈ [0, 2π) s.n. unghiul polar al lui M. M(ρ, θ), ρ, θ s.n. coord. polare Obs. O(0, 0) nu are coord. polare!

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

CAP. II Conice

15.02 - 24.05. 2017

65 / 88

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

Sect.2 Repere carteziene

CAP. II Conice

2.4 Repere polare in plan

Un pct generic M are coord: (x, y ) coord carteziene (ρ, θ) coord. polare

66 / 88

Sect.2 Repere carteziene

Definit¸ie Un reper polar in spatiu se defineste printr-un plan numit plan baza, xOy ¯ si in care s-a ales un reper polar (pol O(0, 0) si axa polara Ox de versor i) ¯ axa Oz de versor k, perpendiculara pe planul baza. Fie un pct generic M ∈ / Oy din spatiu. Notam M 0 proiectia ortogonala pe xOy , r 0 = OM 0 ρ = k¯ r k = kOMk, ρ > 0; ¯ ∈ [0, π); ϕ = ∠(¯ r , k)

( x = ρ cos θ Schimbarea de coordonate este data de: y = ρ sin θ, ρ > 0, θ ∈ [0, 2π) ( p ρ = x2 + y2
Si reciproc: θ = arctan yx , pentru x, y > 0 ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

2.4 Repere polare in spatiu

¯ j) ¯ cu originea in polul O, i¯ versorul axei polare a.i. Fie reperul R(O; i, ¯ j} ¯ sa fie baza ortonormata pozitiv orientata. {i,

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

67 / 88

¯ ∈ [0, 2π). θ = ∠(¯ r 0 , i) (ρ, ϕ, θ) s.n. coord. polare in spatiu ale lui M. Notam M(ρ, ϕ, θ).

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

68 / 88

CAP. II Conice

Sect.2 Repere carteziene

CAP. II Conice

2.4 Repere polare in spatiu

2.4 Repere polare in spatiu - coordonate semipolare

Legatura intre coord. carteziene M(x, y , z) si coord polare M(ρ, ϕ, θ) se obtine astfel: r¯0 este proiectia lui r pe planul xOy =⇒ k¯ r 0 k = k¯ r k sin ϕ 0 0 ¯ • x = hi, r¯ i = k¯ r k cos θ = k¯ r k sin ϕ cos θ ¯ r¯0 i = k¯ • y = hj, r 0 k sin θ = k¯ r k sin ϕ sin θ ¯ r¯i = k¯ • z = hk, r k cos ϕ. Deci, schimbarea de coordonate este data de:   x = ρ sin ϕ cos θ  y = ρ sin ϕ sin θ   z = ρ cos ϕ, ρ > 0, ϕ ∈ [0, π), θ ∈ [0, 2π) Reciproc:  p Deoarece x 2 + y 2 + z 2 = ρ2  ρ = x 2 +y 2 + z 2    reprez. ec. sferei centrate in ϕ = arccos √ 2 z 2 2 origine de raza ρ, (ρ, ϕ, θ) s.n. x +y +z  
 si coord. sferice. θ = arctan y , pentru x, y > 0 x

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

CAP. II Conice

Sect.2 Repere carteziene

15.02 - 24.05. 2017

69 / 88

Fie un pct generic M ∈ / Oz din spatiu, avand (x, y , z) - coord. carteziene (ρ, θ, z) coord. semipolare Schimbarea de coordonate:   x = ρ cos θ  y = ρ sin θ   z = z, ρ > 0, θ ∈ [0, 2π), z ∈ R Reciproc:  p 2 2  ρ = x + y
θ = arctan yx , pentru x, y > 0   z =z A.I. Nistor (TU Ia¸si)

Sect.3 Conice pe ecuatii generale

( x 2 + y 2 = ρ2 Deoarece z ∈R reprez. ec. unui cilindru circular drept centrat in origine si de raza ρ, (ρ, θ, z) s.n. si coord. cilindrice.

ALGAD2

CAP. II Conice

15.02 - 24.05. 2017

70 / 88

Sect.3 Conice pe ecuatii generale

Introducere Definit¸ie Conica este l.g. (Γ) al pctelor M din plan ale caror coord. (x, y ) in rap cu ¯ j) ¯ satisfac ecuatia: R(O; i,

Cap.II Conice Sect.3 Conice pe ecuatii generale

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

71 / 88

(Γ) : f (x, y ) := a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0, (31) 2 + a2 + a2 > 0, a ∈ R, i, j ∈ {1, 2, 3}. unde a11 ij 12 22

Problema: Ar. ca orice conica este una dintre urm. multimi: cerc, elipsa, hiperbola, parabola, per. de dr.(conc., paral., confundate), pct dublu, ∅. Sugestia: • Utilizand rotatia si translatia realizam o schimbare de reper de la ¯ j) ¯ la un reper adecvat, pozitiv orientat, numit reper canonic, fata R(O; i, de care conica (31) sa se scrie ca o ecuatie canonica. • Pentru gasirea formei canonice vom studia 2 cazuri: daca a12 = 0 se face o translatie daca a12 6= 0 se face o rotatie, urmata de o translatie. A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

72 / 88

CAP. II Conice

Sect.3 Conice pe ecuatii generale

CAP. II Conice

Sect.3 Conice pe ecuatii generale

3.1 Reducerea la forma canonica a unei conice

3.1 Reducerea la forma canonica a unei conice

Invariantii unei conice

Invariantii unei conice

Fie conica:

Fie conica: a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0,

a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0,

2 + a2 + a2 > 0, a ∈ R, i, j ∈ {1, 2, 3}. unde a11 ij 12 22 a11 a12 a13 a11 a12 , ∆ = a12 a22 a23 s.n. Numerele reale: I = a11 + a12 , δ = a12 a22 a13 a23 a33 invariantii conicei. Theorem La o schimbare de reper, ec. conicei (31) se transf. intr-o ec. de aceeasi forma: 0 0 0 0 0 x 0 y 0 +0 a22 y 02 + 2a13 x 0 + 2a23 y 0 + a33 =0 a11 x 02 + 2a12

ALGAD2

CAP. II Conice

15.02 - 24.05. 2017

∆ 6= 0 si I = 0: hiperbola echilatera

δ < 0 - gen hiperbolic δ = 0 - gen parabolic

∆ da degenerarea:

∆ = 0 si I = 0 : drepte perpendiculare.

∆ 6= 0 - c. nedegenerata ∆ = 0 - c. degenerata

iar invariantii I , δ, ∆ nu se schimba la translatii sau rotatii. A.I. Nistor (TU Ia¸si)

2 + a2 + a2 > 0, a ∈ R, i, j ∈ {1, 2, 3}. unde a11 ij 12 22 a11 a12 a13 a11 a12 , ∆ = a12 a22 a23 s.n. Numerele reale: I = a11 + a12 , δ = a12 a22 a13 a23 a33 invariantii conicei. δ da genul conicei: Pt. δ < 0, avem: δ > 0 - gen eliptic

73 / 88

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

Sect.3 Conice pe ecuatii generale

ALGAD2

CAP. II Conice

3.1 Reducerea la forma canonica a unei conice

15.02 - 24.05. 2017

74 / 88

Sect.3 Conice pe ecuatii generale

3.1 Reducerea la forma canonica a unei conice

( x = x0 + x 0 Efectuand o translatie a reperului: y = y0 + y 0 ec. conicei (31) f (x, y ) = a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 devine: f¯(x 0 , y 0 ) = a11 x 02 + 2a12 x 0 y 0 + a22 y 02 + 2(a11 x0 + a12 y0 + a13 )x 0 + 2(a12 x0 + a22 y0 + a23 )y 0 + f (x0 , y0 ). Definit¸ie

( Obs.1 Sist. (32) este echivalent cu:

1 ∂f 2 ∂x 1 ∂f 2 ∂y

=0 =0

a11 a12 Obs.2 Det. sist. (32) este: δ = a12 a22 Theorem a) Daca δ 6= 0 conica are un sigur centru, dat de sol. sist. (32).

Spunem ca C (x0 , y0 ) este centrul conicei (31) daca in raport cu reperul translat in (x0 , y0 ) avem: f¯(x 0 , y 0 ) = 0 ⇔ f¯(−x 0 , −y 0 ) = 0

b) In reperul translat cu centrul in (x0 , y0 ) ec. conicei devine: a11 x 02 + 2a12 x 0 y 0 + a22 y 02 + ∆ δ =0

Theorem Pctul C (x0 , y0 ) este centrul conicei (31) d.n.d ( a11 x0 + a12 y0 + a13 = 0 a12 x0 + a22 y0 + a23 = 0

c) Exista un reper in care ecuatia conicei este: λ1 X 2 + λ2 Y 2 + ∆ δ = 0,   a11 a12 unde λ1 , λ2 sunt valorile proprii ale matricei , adica a12 a22 λ2 − I λ + δ = 0.

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

(32) 15.02 - 24.05. 2017

75 / 88

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

76 / 88

CAP. II Conice

Sect.3 Conice pe ecuatii generale

CAP. II Conice

3.1 Reducerea la forma canonica a unei conice

Sect.3 Conice pe ecuatii generale

3.1 Reducerea la forma canonica a unei conice

Clasificarea conicelor Concluzii 1

Daca δ 6= 0, at. conica are un centru de simetrie, originea reperului canonic. Conice cu centru: ∆ 6= 0: cerc, elipsa, hiperbola; ∆ = 0: per. de dr. concurente, un pct dublu, ∅

2

Daca δ = 0,at. conica NU are centru de simetrie. Conice fara centru: ∆ 6= 0: parabola ∆ = 0: per. de dr.paralele sau confundate, sau ∅

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

CAP. II Conice

15.02 - 24.05. 2017

77 / 88

δ >0 >0 >0 0, conica fiind de gen eliptic; iii) una dintre radacini este 0, adica δ = 0, conica fiind de gen parabolic.

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

Sect.3 Conice pe ecuatii generale

ALGAD2

CAP. II Conice

15.02 - 24.05. 2017

81 / 88

    u1 v Coresp. val. proprii λ1 si λ2 det. vect. proprii u¯ = si v¯ = 1 u2 v2 ( ( (a11 − λ)u1 + a12 u2 = 0 (a11 − λ)v1 + a12 v2 = 0 rez. sist.: , . a11 u1 + (a22 − λ)u2 = 0 a11 v1 + (a22 − λ)v2 = 0 1 Ortonormam e¯1 = kuk ¯ si e¯2 = k¯v1k v¯. ¯ u Astfel, versorii vectorilor proprii, (¯ e1 , e¯2 ), dau directiile noilor axe de coord, 0 0 Ox si respectiv Oy .   a1 b1 ¯ ¯ ¯ ¯ Notand e¯1 = a1 i + a2 j, e¯2 = b1 i + b2 j, matricea de rotatie: R = a2 b2 satisface cond. det R = 1 pt. a avea repere la fel orientate. Avem in vedere: • posibilit. inloc. unuia dintre versori cu opusul s˘au sau • renumerot.   versorilor.  0 x x Facem sch. de coord.: =R . y y0 0 x 0 + 2a0 y 0 + a0 = 0 Ec. conicei devine: λ1 x 02 + λ2 y 02 + 2a13 23 33 A.I. Nistor (TU Ia¸si)

Sect.3 Conice pe ecuatii generale

CAP. II Conice

3.2 Algoritmul...

3.2 Algoritmul...

Pas II: Se face translatia R0 (O; e¯1 , e¯2 ) → R”(C ; e¯1 , e¯2 ).

Pas III: λ1 λ2 = 0

Daca λ1 λ2 6= 0 conica va fi o conica cu centru. Det. coord lui C (x0 , y0 ) rezolvand sistemul (32): ( a11 x0 + a12 y0 + a13 = 0 a12 x0 + a22 y0 + a23 = 0 Forma canonica va fi: λ1 X 2 + λ2 Y 2 +

ALGAD2

∆ = 0. δ

Reprez. grafic conica in reperul R”(C ; e¯1 , e¯2 ).

Stop!

15.02 - 24.05. 2017

82 / 88

Sect.3 Conice pe ecuatii generale

Una dintre val proprii este 0. Pp. ca λ2 6= 0. 0 x 0 + 2a0 y 0 + a0 = 0. Ec. conicei in reperul R0 devine: λ2 y 02 + 2a13 23 33 Rstrangem patratele si efectuam o translatie, astfel:   0 2  0 )2 0 a (a a 0 − 2a0 x 0 ⇔ = λ232 − a33 λ2 y 02 + 2 λ232 y 0 + λ232 13    2 0 2 0 − (a23 )   0   0 a23 a33   λ 0 2 0  λ2  x +  0 y + λ2  = −2a13  2a13   | {z } | {z } Y X  a0 y 0 = Y − λ232 0 )2 (a23 Translatia R0 (O; e¯1 , e¯2 ) → R”(V ; e¯1 , e¯2 ): 0 x 0 = X − a33 − λ2 2a0 13

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

83 / 88

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

84 / 88

CAP. II Conice

Sect.3 Conice pe ecuatii generale

CAP. III Cuadrice

Cuadrice pe ecuatii canonice

3.2 Algoritmul... 2a0

Forma canonica: Y 2 = − λ213 X 0 = 0, conica se reduce la 2 dr. confundate. • Daca a13 0 6= 0, conica este o parabola. • Daca a13 Varful parabolei va fi si originea noului reper. Coord. varfului in reperul rotit

R0

sunt:

x00

=

0 )2 (a23 λ2 0 2a13

0 − a33

a0

si y00 = − λ232 .

¯ j), ¯ coord. varfului V (x0 , y0 ), care coincid cu In reperul initial R(O; i,    0 x0 x coord. originii reperului final, se obtin aplicand rotatia: = R 00 . y0 y0 Axa de simetrie a parabolei trece prin V si are vect normal dat de vect. propriu coresp. val. proprii nenule λ2 .

Cursurile 7 - 8

Cap.III Cuadrice Cuadrice pe ecuatii canonice Sfera, Elipsoidul, Hiperboloidul cu o panza, Hiperboloidul cu 2 panze, Paraboloidul elipric, Paraboloidul hiperbolic , Cilindri, Conul.

Reprez. grafic conica in reperul R”(V ; e¯1 , e¯2 ).

Stop!

CAZ II: a12 = 0, atunci se trece la Pas II. A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

CAP. IV Curbe

15.02 - 24.05. 2017

85 / 88

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

Sect. 2 Curbe in spatiu

ALGAD2

Cursurile 12 - 14

Cap.IV Curbe Sect. 1 Curbe in plan Sect. 2 Curbe in spatiu

Cap.V Suprafete

ALGAD2

86 / 88

CAP. V Suprafete

Cursurile 9 - 11

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

15.02 - 24.05. 2017

15.02 - 24.05. 2017

Introducere, Exemple de suprafete regulate in R3 , Planul tangent, Normala, Prima forma fundamentala, (A doua forma fundamentala, Curbura Gaussiana, Curbura medie)

87 / 88

A.I. Nistor (TU Ia¸si)

ALGAD2

15.02 - 24.05. 2017

88 / 88