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Zitiervorschau

bcp exo-cfc li bi.pdf bcp exo-cfc li bi.pdf bcp-cfc-tther.pdf bcp-cfc-tther.pdf bcp-fluorur.pdf bcp-fluorur.pdf ex1deTD-cfc cuivre.pdf ex1deTD-cfc cuivre.pdf Cc-CsCl.pdf Cc-CsCl.pdf Q_TD.pdf S_TD.pdf tracti-fluorure-trac.pdf Tract-florure-tract.pdf trac magnésuim-cfc or cuivre.pdf trac magnésuim-cfc or cuivre.pdf courb-inox-etain.pdf courb-inox-etain.pdf trac-cc fer.pdf trac-cc fer.pdf TTher-exosalhi.pdf TTher-exosalhi.pdf trac-polonium.pdf trac-polonium.pdf traction-calcuim fluorure.pdf Traction-calcuim fluorure.pdf

PROGRAMME DE GÉNIE DES MATÉRIAUX

COURS ING1035 - MATÉRIAUX EXAMEN FINAL du 17 avril 2004 de 13h30 à 16h00

QUESTIONNAIRE

NOTES :

♦ Aucune documentation permise. ♦ Calculatrice non programmable autorisée. ♦ Les nombres en marge indiquent le nombre de points accordés à la question, le total est de 60 points. La note maximale de l’examen étant de 50 points, tout point supplémentaire sera transformé en point de bonus. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. Utilisez les espaces prévus ou la page blanche opposée pour vos calculs. ♦ Le questionnaire comprend 14 pages, en incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général. ♦ Le formulaire de réponses comprend 10 pages. ♦ Vérifiez le nombre de pages du questionnaire et du formulaire de réponses.

Cours ING1035 MATÉRIAUX Examen final du 17 avril 2004

Questionnaire

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Remarque : les 6 premiers exercices sont relatifs aux unités facultatives 8, 9, 10, 11 et 12. Les exercices suivants couvrent les unités obligatoires (unités 1 à 7)

Exercice n° 1 (Dégradation) Vous disposez des données suivantes relatives à l'oxydation à haute température du cuivre, dont la réaction est la suivante: 2 Cu + ½ O2 Æ Cu2O Données : a)

Masse molaire (g/mole): Masse volumique (g/cm3):

ACu = 63,54; ρCu = 8,92;

AO

= 16,00 ρCu2O = 6,0

Quelle est la valeur du rapport ∆ de Pilling - Bedworth pour le cuivre ?

(1 pt) Temps (min)

δm (mg/cm2)

1

0,071

5

0,160

10

0,219

20

0,314

60

0,530

100

0,710

Au cours d'essais d'oxydation réalisés à haute température sur des échantillons de cuivre préalablement polis pour enlever toute trace d'oxyde, on a obtenu les données suivantes relatives au gain de masse δm de l'échantillon en fonction du temps d’oxydation:

b)

Déterminez de quel type est la cinétique d'oxydation. Cochez la case appropriée sur le formulaire de (2 pts) réponses et justifiez quantitativement votre réponse. (1 pt)

c) Quelle sera le gain de masse δm obtenu après 500 minutes d'oxydation ?

d) À partir des résultats obtenus aux questions a) et b) ci-dessus, qu'en déduisez-vous pour ce qui est des (1 pt) caractéristiques de la couche d'oxyde ? Cochez la case appropriée sur le formulaire de réponses.

Exercice n° 2 (Propriétés physiques) Utilisé pour la fabrication d’un fil conducteur électrique, un cuivre commercialement pur contient les impuretés suivantes (concentration donnée en ppm atomique) : Fer (Fe) : 250

Chrome (Cr) : 70

Argent (Ag) : 150

Nickel (Ni) : 25

L’influence de ces impuretés sur la résistivité électrique du cuivre est donnée sur une figure en annexe. Données:

Conductivité du cuivre pur à 20°C: σ0 = 5,97x105 Ω-1.cm-1 Coefficient β de variation de la résistivité du cuivre pur en fonction de la température : β = 4,27x10-3 °C-1

a) Quelle est la résistivité ρ (en µΩ.cm) de ce cuivre commercial ?

(1 pt)

b) Quelle est la valeur de la résistance R (en mΩ) d'un fil conducteur fait de ce cuivre commercial et qui a une longueur L = 350 m et un diamètre D = 3 mm ?

(1 pt)

c) Si ce fil était fait de cuivre absolument pur, quelle augmentation de température ∆θ (en °C) devrait-on lui imposer pour qu’il ait la même résistance que le fil fait de cuivre commercial ?

(1 pt)

Sous-total: 8 pts

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Questionnaire

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Exercice n° 3 (Propriétés physiques) Vous désirez réaliser un aimant permanent après avoir magnétisé un matériau ferromagnétique jusqu’à saturation et vous avez le choix entre les matériaux C et D dont les courbes d’hystérésis sont schématisées à la figure cicontre. (½ pt)

a)

Quel matériau a la plus forte induction à saturation ?

b)

Quel matériau a l’induction rémanente la plus (½ pt) élevée?.

c) Quel matériau a le champ coercitif le plus élevé ?

(½ pt)

d) Si, en cours d’utilisation, l’aimant permanent est soumis à des fluctuations du champ magnétique (½ pt) extérieur égales à ± 12 000 A/m, quel matériau est le plus adéquat pour l’application recherchée ?

Exercice n° 4 (Matières plastiques)

La figure ci-contre illustre les trois formes possibles (a, b et c) sous lesquelles peut se présenter la chaîne du polypropylène (PP). Données :

Masse atomique (g/mole): H = 1,008 C = 12,011

a) Quelle est la formule chimique du monomère (propylène) ?

(½ pt)

b) Quelle est la masse molaire (en g/mole) du monomère ?

(½ pt)

c) Quelle est la tacticité de chacune des 3 formes possibles du polypropylène ?

(½ pt)

d) Quelle est la possibilité de cristallisation de chacune des formes possibles du polypropylène ?

(½ pt)

Le tableau ci-contre donne la masse volumique ainsi que le degré de cristallinité (%) de deux échantillons de polypropylène. On supposera que la masse volumique varie linéairement en fonction du pourcentage de cristallinité.

Échantillon

Masse volumique (g/cm3)

Cristallinité (%)

1

0,915

72,7

2

0,872

32,6

Sous-total : 4 pts

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Questionnaire

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e) Quelle est la masse volumique (en g/cm3) du polypropylène entièrement cristallisé ?

(2 pts)

Le polypropylène entièrement cristallisé a une maille monoclinique ayant les caractéristiques suivantes : a = 0,666 nm f)

b = 2,078 nm

c = 0,6495 nm ;

α = γ = 90 °

β = 99,62 °

Calculez le nombre de monomères que contient une maille élémentaire de polypropylène totalement cristallisé.

Données:

(1 pt)

Volume V d'une maille monoclinique en fonction des paramètres de la maille: ½ V = abc(1 - cos2α - cos2β - cos2γ + 2cos2αcos2βcos2γ) 23 -1 Nombre d'Avogadro NA = 6,022x10 mole

Exercice n° 5 (Céramiques) Vous avez certainement déjà utilisé – à tout le moins vu – certains ustensiles de cuisine (casseroles, poêles, chaudrons) faits en fonte émaillée. Une fonte est un alliage de fer contenant de 2,5 à 4% de carbone. La couche d’émail, aussi appelé glaçure en terme de céramistes, est une céramique contenant une proportion non négligeable de phase vitreuse afin d’assurer son imperméabilité, de faciliter l’entretien de l’ustensile et de lui conférer une couleur et un aspect esthétique brillant et agréable à l’œil. L’émail est un mélange de poudres d’oxydes. Ce mélange de poudres d'oxydes est mis en suspension assez visqueuse dans un liquide (généralement de l’eau). Plongé dans cette suspension, l’ustensile se recouvre d’une couche visqueuse. Un fois retiré de cette suspension, l’ustensile est alors porté à haute température afin que, tout d’abord, le liquide de la suspension s’évapore, puis que les oxydes subissent un frittage conduisant à la formation d’un mélange biphasé « Liquide + Solide » à la température maximale de cuisson de l’émail. L’ustensile est alors refroidi et la phase liquide de l’émail se « solidifie » sous forme de verre. Supposons que l’on émaille des poêles en fonte contenant 3% C (voir diagramme d'équilibre Fe-C en annexe) avec un mélange de deux oxydes A et B (voir diagramme d’équilibre A-B en annexe). La température maximale atteinte au cours de la cuisson de l’émail doit être inférieure de 150 °C à la température à laquelle apparaît une phase liquide dans la fonte. De plus, afin d’assurer une bonne imperméabilité à l’émail, sa composition nominale C0 doit conduire à la formation d'un pourcentage non négligeable de phase vitreuse après refroidissement. a) À quelle température maximale (en °C) doit-on réaliser le frittage de l'émail ?

(½ pt)

b) À quelle température minimale (en °C) doit-on réaliser le frittage de l'émail ?

(½ pt)

c) L'émail devant contenir au maximum 80 %m d'oxyde B, quelle doit être sa composition nominale C0 (en (1 pt) %m. B) pour qu'il y ait formation de 52 % de phase vitreuse, formée lors du frittage et ayant une composition eutectique ? d) Quels seront les constituants de l'émail après son refroidissement complet ?

(1 pt)

Un des inconvénients de ces poêles émaillées est leur sensibilité au choc thermique, en particulier au cours d’un refroidissement brutal quand l’on plonge, par exemple, la poêle chaude dans l’eau froide pour la nettoyer. Il y a alors risque de fissuration et d’écaillage de la couche d’émail dont le coefficient de dilatation thermique αe est toujours inférieur à celui de la fonte. On considèrera qu’au cours d’un tel refroidissement, les deux matériaux de la poêle (fonte et émail) se refroidissent à la même vitesse. e) Quelle doit être la valeur minimale (en 10-6 °C-1) du coefficient de dilatation αe de l’émail pour que celui-ci ne (2 pts) risque pas la fissuration si l’on soumet la poêle à un refroidissement brusque ∆θ = 250 °C? Données :

Fonte : Coefficient de dilatation thermique αf = 12x10-6 °C-1 Émail : Résistance à la traction RmT = 80 MPa; Résistance à la compression RmC = 157 MPa; Module Ee = 86 GPa Coefficient f(ν) = 0,82

Sous-total : 8 pts

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Questionnaire

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Exercice n° 6 (Composites) Dans la structure de la navette spatiale, plusieurs éléments tubulaires (entretoises, raidisseurs) sont faits en matériau composite. Ce composite est une matrice d'aluminium renforcée de fibres continues et alignées de bore. Les propriétés mécaniques de ces deux composants sont données au tableau ci-dessous. Composant Aluminium Bore *nd = non disponible

E (GPa)

Re (MPa)

Rm (MPa)

A (%)

70 400

400 na

400 3 600

1 nd*

Supposons que la fraction volumique de renfort Vf soit égale à 35 %. a) Quelle est la valeur (en GPa) du module d'Young EC du composite ?

(1 pt)

b) Quelle est la valeur du rapport EC/Em, où Em est le module d'Young de la matrice ?

(1 pt)

c) Quelle est la valeur (en MPa) de la limite d'élasticité ReC du composite ?

(1 pt)

d) À la limite d’élasticité du composite, quelle est la valeur du rapport r = Ff/Fm de la force Ff supportée par les (1 pt) fibres à la force Fm supportée par la matrice ? (1 pt)

e) Quelle est la valeur (en %) de l'allongement relatif final à la rupture AC du composite ?

Sous-total : 5 pts

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Questionnaire

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Remarque : Les exercices suivants couvrent les unités obligatoires (unités 1 à 7)

Exercice n° 7

Un composé LixBiy est formé d’atomes de lithium (Li) en insertion dans le réseau constitué d’atomes de bismuth (Bi). La maille élémentaire de cette structure est représentée à la figure ci-contre. Données : Nombre d’Avogadro : NA = 6,022x1023 mole-1 Masse atomique (g/mole) : Li = 6,94

Bi = 208,98

(½ pt)

a) Quel est le réseau de Bravais de ce composé ?

(1 1 1 ) et (1 1 1 ) Quels sont les indices de Miller du plan contenant les directions [1 10] et [011] ?

b) Quels sont les indices de la direction qui est l’intersection des plans c)

?

(½ pt) (½ pt)

d) Quelle est la valeur du rapport de la densité surfacique d’atomes de bismuth (Bi) à la densité surfacique des atomes de lithium (Li) dans le plan

(1 1 0) ?

e) Quel type de site occupe l’atome de lithium (Li) noté X et qui est encadré sur la figure ci-dessus ? f)

(1 pt) (½ pt)

Quelle est la proportion (en %) de ces sites appartenant en propre à la maille, qui sont occupés par les (1 pt) atomes de lithium (Li) ?

g) Quelles sont les valeurs de x et de y dans la formule chimique du composé LixBiy?

(1 pt)

h) Quelle est la masse volumique théorique ρ (en g/cm3) du composé LixBiy ?

(1 pt)

Sous-total : 6 pts

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Questionnaire

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Exercice n° 8 Au cours de la fabrication du fût d’un canon, un défaut, assimilable à une fissure, s’est formé sur la surface interne du fût, tel que schématisé à la figure ci-contre. Le fût a un diamètre intérieur Di et un diamètre extérieur De. La fissure, de profondeur initiale a0 = 0,70 mm, a un facteur géométrique α égal à 1,17: Lors d’un tir du canon, la contrainte nominale de tension σnom s’exerçant perpendiculairement au plan de la fissure est donnée par la relation suivante : σnom = PRi/e , où Ri et e sont respectivement le rayon interne et l’épaisseur du fût, P est la pression interne s’exerçant dans le fût du canon au cours du tir d’un obus. Au cours d’un tel tir, cette pression P est égale à 250 MPa. Données: Diamètre extérieur : De = 140 mm Canon : Diamètre intérieur : Di = 70 mm Propriétés mécaniques de l’acier du fût : Rm = 1200 MPa KIC = 80 MPa.m½ Re0,02 = 1000 MPa ∆KS = 4.5 MPa.m½ Seuil de propagation en fatigue : Relation de Paris caractérisant le comportement de cet acier en fatigue-propagation : -11 3.0 da/dN (m/cycle) = 4x10 ∆K a) Quelle est la valeur de la contrainte nominale de tension σnom (en MPa) s’exerçant perpendiculairement au (1 pt) plan de la fissure au cours du tir d’un obus ? (1 pt)

b) Est-ce que la fissure peut se propager lorsque le canon est mis en service ?

c) Quelle sera la profondeur critique a* de la fissure (en mm) qui entraînera la rupture brutale (apparemment (1 pt) fragile) du fût ? d) Quelle est la valeur du rapport R caractérisant le chargement en fatigue du fût au cours des tirs du canon ?

(1 pt)

e) Si la fréquence de tir du canon est de 40 tirs par jour, au bout de combien de jours de tir se produira la (3 pts) rupture brutale du canon, si la fissure n’a pas été préalablement détectée au cours des inspections préventives du canon ?

Exercice n° 9 La figure donnée en annexe (Annexes, Exercice n° 9) illustre l’effet de trois méthodes permettant d’améliorer la limite d’élasticité Re0,2 d’un acier doux (acier ordinaire au carbone contenant 0,1 %m. C). a) Associez chacune des courbes (a), (b) et (c) de cette figure à la méthode d’amélioration de la limite (3 pts) d’élasticité que cette courbe illustre. Après un laminage à chaud et refroidissement à l’air, cet acier doux à 0,1 %m C a une taille de grain d égale à 20 µm. (1 pt)

b) Quelle est la valeur (en MPa) de la limite d’élasticité Re0,2 de cet acier ? Pour améliorer cette limite d’élasticité, vous décidez d’ajouter 0,8 %m de manganèse (Mn) à cet acier au moment de son élaboration. Pour les mêmes conditions de laminage et de refroidissement de l’acier, on sait que cette addition de manganèse a pour effet de diminuer la taille de grain de l’acier à 15 µm et que l’effet du manganèse sur la limite d’élasticité Re0,2 est directement proportionnel au pourcentage (%m) de manganèse ajouté.

c) Quelle sera alors la valeur (en MPa) de la limite d’élasticité Re0,2 de cet acier contenant 0,8 %m de (2 pts) manganèse ?

Sous-total : 13 pts

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Questionnaire

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Exercice n° 10 Vous disposez d’un acier (alliage « fer – carbone ») dont vous ignorez la teneur en carbone. Cependant, après avoir chauffé cet acier à 850 °C et l’avoir laissé refroidir lentement au four jusqu’à la température ambiante, vous constatez, sur une métallographie, qu’il contient 50 % de ferrite α et 50 % de perlite. Comme vous disposez du diagramme d’équilibre « fer – carbone » (voir en annexe), il vous est alors aisé de répondre aux questions suivantes : (1 pt)

a) Quelle est la composition nominale C0 (%m) en carbone de cet acier ?

b) À 724 °C et à l’équilibre, quelles sont les phases en présence, leur composition (en %m C) et leur fraction (2 pts) massique respective (en %m) ? Connaissant maintenant la composition nominale de l’acier, vous mettez la main sur son diagramme TTT et sur sa courbe de revenu après trempe (voir en annexe). En appliquant un traitement thermique de cet acier, vous désirez obtenir une dureté de 44 HRC. c) Proposez deux traitements thermiques différents permettant d’obtenir une telle dureté. Sur le formulaire de (6 pts) réponses, donnez, pour chacun de ces traitements, les caractéristiques (température, durée) de chacune des étapes du traitement proposé,

Exercice n° 11 Sur le formulaire de réponse, dites lesquelles des affirmations proposées sont fausses. Répondez par F dans la (6 pts) case appropriée. Attention : une mauvaise réponse annule une bonne réponse !

Pour l’équipe de professeurs, le coordonnateur: Jean-Paul Baïlon

B S !! ES CE NC AN CA AC VA S V ES NE NN ON BO

Sous-total : 16 pts Total : 60 pts

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Questionnaire

Page 9 de 14

ANNEXES

0

0

0 1 000

10 000

100 00

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Questionnaire

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ANNEXES Exercice n° 2 : Influence du pourcentage atomique d’impureté sur la résistivité électrique du cuivre pur

0,50 Variation ∆ρ de la résistivité du cuivre pur Fe

0,40

Cr Ni Ag

∆ρ (µΩ .cm)

0,30

0,20

0,10

0,00 0

100

200

300

-0,10 Composition (ppm at.)

400

500

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Questionnaire

ANNEXES Exercice n° 5 : Diagrammes d’équilibre

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Questionnaire

ANNEXES Exercice n° 9 : Méthodes d’amélioration de la limite d’élasticité

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Questionnaire

Page 13 de 14

ANNEXES Exercice n° 10 : Diagramme TTT et courbe de revenu de l’acier XY 900

Température (OC)

700

A3

HRC

800

Acier XY 4140

γ A1

10

α+C

γ+α

600

20 29 29 29

50 %

500

γ+α+C

37

400

44

MS M50

300

M90

51

γ+M

200 100 61

0 0,5 1

10

100 103 Temps (s)

60

105

Acier XY Trempé Huile Dureté initiale: 61 HRC Revenu : 2h

55 50 Dureté HRC

104

45 40 35 30 25 20 100

200

300

400

500

Température de revenu (°C)

600

700

Cours ING1035 MATÉRIAUX Examen final du 17 avril 2004

]

da = C∆K n dN

[

]

m=

Ai corr t nF

1 σ z − ν (σ x + σ y ) E

[

]

∆=

(m a )ox ρ M (m a )M ρ ox

E 2 (1 + ν )

R=

ρl S

1 σ x − ν (σ y + σ z ) E

εy =

1 σ y − ν (σ x + σ z ) E

εz = G=

R th =

σ = n e e µe

2Eγ s a0

σ = (n e e µ e + n t e µ t )

hx ky lz + + na nb nc

 − Eg σ = σ 0 exp   2kT

r = ua + vb + wc σ y = σ nom

τ=

 1 + 2  

a r

   

F cos θ cos χ S0

G b 2π a

τth =

Re 0.2 = σ 0 + kd −1 / 2

lc =

Page 14 de 14

[

εx =

1=

Questionnaire

2E γS π σ2

  

(

)

E = E 0 0,9 P 2 −1,9 P +1

Rm = (Rm )0 e − nP ∆θ* = R1 =

Rm . f (v ) Eα

R3 =

E R . f (v )

R4 =

Eγ S = γ S R3 R . f (v )

2 m

2 m

(Rm )c = V f (Rm ) f

+ (1 − V f ) σ m

= V f σ f + (1 − V f

) (R )

KC = α σ π a

(Rm )C

f S C S + f L C L = C0

EC = V f E f + Vm E m

 Q  D = D0 exp  − 0   kT 

EC ≅

3 V f E f + Vm E m 8

(Rm )C

= kV f (Rm ) f + Vm σ m

ε vel =

 K 2 t  σt   1 − exp  − K 2   η 2 

m m

PROGRAMME DE GÉNIE DES MATÉRIAUX Note finale:

/50

CORRIGÉ NOM (en majuscules):_____________________________ Version révisée

PRÉNOM :______________________________ 19/04/04 14h00 SIGNATURE :______________________________ MATRICULE : _________________ SECTION :

COURS ING1035 - MATÉRIAUX Examen final du 17 avril 2004 de 13h30 à 16h00

FORMULAIRE

DE

RÉPONSES

NOTES : ♦ Aucune documentation permise. ♦ Calculatrices non programmables autorisées. ♦ Les nombres en marge de droite indiquent le nombre de points accordés à la question. Le total est de 60 points. ♦ La cote maximale de l’examen final est de 50 pts. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. ♦ Utilisez les espaces prévus ou la page opposée pour vos calculs ♦ Le questionnaire comprend 14 pages, incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général. ♦ Le formulaire de réponses comprend 10 pages. ♦ Vérifiez le nombre de pages de votre questionnaire et de votre formulaire de réponse.

Cours ING1035 MATÉRIAUX Examen final du 17 avril 2004

Formulaire de réponse

CORRIGÉ

Page 2 de 13

Version révisée

Les exercices 1 à 5 portent sur les unités au choix n° 8 à 12.

1.

EXERCICE n° 1 (Dégradation des matériaux) 1.a)

Rapport ∆ de Pilling - Bedworth pour le cuivre Justification : (m ) ρ

Le rapport de Pilling-Bedworth est égal à : ∆ =

a ox

M

(m a )M ρOx

. Dans le cas de cette réaction d’oxydation, il y a 2

moles de cuivre qui réagissent avec 1 mole d’oxygène pour donner 1 mole d’oxyde Cu2O. On obtient donc : ∆ =

1.b)

(m a )ox ρM (m a )M ρOx

=

(2x 63,54 + 16)ox (8,92) = 1.674 (2x 63.54)M (6)

∆=

(1 pt)

Cinétique d'oxydation Cochez la case appropriée et justifiez quantitativement votre choix :

En reportant les données en échelle log-log (x = logt; y = log(δm), voir annexe), on constate que l’on obtient une droite de pente égale à ½, ce qui signifie que nous avons la relation suivante :

log(δm ) = log C + 1 log t 2

où c est une constante

δm = Ct

1

Type

(1)

Linéaire

L’équation (1) conduit donc à l’équation suivante :

X

Parabolique

2

(2) L’équation (2) montre que l’oxydation du cuivre est du type parabolique

1.c)

1,674

(2 pts)

Logarithmique Exponentiel

Gain de masse δm obtenu après 500 minutes d'oxydation Justification :

Il faut tout d’abord déterminer la valeur de la constante C des équation (1) ou (2) ci-dessus.

log = log(δm ) − 1 log t 2

(3)

Ceci est aisé à faire avec les données ou avec l’équation (1) représentée en annexe. Pour t = 10 m, on obtient δm = 0,219 mg/cm2 . Ce qui conduit à : logC = log(0,219) – ½log(10) = -1,1596

(

)

Donc la valeur de C est égale à 6,925x10-2. L’équation (2) est donc égale à : δm = 6,925x10−2 t

(

Pour un temps t = 500 m, on obtient : δm = 6,925x10 −2 1.d)

)

500

δm =

1

2

1,548

mg/cm2

(1 pt)

Caractéristiques de la couche d'oxyde

Caractéristiques L'oxyde est volatil à la température considérée L'oxyde se fissure et laisse pénétrer l'oxygène en tout temps

X

L'oxyde est adhérent et protecteur L'oxyde ne couvre pas complètement la surface du métal

Sous-total = 5 pts

(1 pt)

Cours ING1035 MATÉRIAUX Examen final du 17 avril 2004

2.

Formulaire de réponse

CORRIGÉ

Page 3 de 13

Version révisée

EXERCICE n° 2 (Propriétés physiques) 2.a)

Résistivité ρ (en µΩ.cm) de ce cuivre commercial Justification :

La résistivité ρ0 du cuivre pur est égale à l’inverse de sa conductivité σ0. Donc ρ0 = 1 σ0 = 1 5,97 x105 = 1,675x10−6 Ω.cm = 1,675 µΩ.cm Selon la règle de Matthiessen, l’effet des éléments d’alliage (à faible concentration) sur la résistivité d’un métal pur sont additifs. On peut donc écrire que la résistivité ρA du cuivre commercial (alliage) est égale à :

(

ρ A = ρ0 + ∑1 ρi n

)

où ρi est l’augmentation de résistivité due à l’élément d’addition i.

Grâce à la figure donnée en annexe, on en déduit ρFe, ρCr, ρNi et ρAg pour leurs concentration respectives. ρA = ρ0 + ρFe + ρCr + ρNi + ρAg ρ = 1,950 µΩ.cm ρA = 1,675 + 0,25 + 0,035 + 0,005 – 0, 015 = 1,950 µΩ.cm 2.b)

(1 pt)

Résistance R (en mΩ) d'un fil conducteur fait de ce cuivre commercial Justification :

La résistance R d’un conducteur de longueur L, de section S et fait d’un matériau ayant la résistivité ρA du cuivre commerciale est égale à : R = ρΑL/S Ici,

ρA = 1,95 µΩ.cm

On obtient donc

L = 350 m = 35000 cm

S = πd2/4 = π(0,32/4) = 7,069x10-2 cm2

R = (1,95)(35000)/(7,069x10-2) = 9,655x105 µΩ = 965,5 mΩ

R = 2.c)

965,5

mΩ

Augmentation de température ∆θ (en °C) à imposer à une cuivre absolument pur. Justification :

La résistivité ρ d’un conducteur varie linéairement en fonction de la température selon l’équation suivante : ρ = ρ0(1 + β∆T) où ∆T = T – T0 On en déduit que : ∆T =[(ρ/ρ0) – 1]/β Ici ρ/ρ0 = ρΑ/ρ0 où ρA est la résistivité du cuivre commercial telle que calculée à la question a) Avec la valeur de β = 4,27x10-3, on obtient ainsi ∆T =[(ρ/ρ0) – 1]/β = [(1,950/1,675) - 1]/(4,27x10-3) = 38,449 °C

∆θ =

3.

38,5 °C

(1 pt)

Exercice n° 3 (Propriétés physiques) Pour chaque question, répondez par D ou C dans la case appropriée :

5

(1 pt)

Question

Matériau

C D D D

3.a)

Plus forte induction à saturation.

3.a

3.b)

Induction rémanente la plus élevée.

3.b

3.c)

Champ coercitif le plus élevé.

3.c

3.d)

Matériau le plus adéquat pour l’application.

3.d

Sous-total = 5 pts

(½ pt) (½ pt) (½ pt) (½ pt)

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4.

Formulaire de réponse

CORRIGÉ

Page 4 de 13

Version révisée

Exercice n° 4 (Matières plastiques) 4.a)

4.b)

Formule chimique du monomère.

C2H3CH3

(½ pt)

Masse molaire du monomère

Masse molaire du monomère : mmonomère= 3mC + 6mH = (3x12,011) + (6x1,008) = 42,08 g/mole:

m= 4.c)

42,08 g/mole

(½ pt)

Tacticité de chacune des formes Inscrivez A, B ou C dans la case appropriée : Isotactique

A

Atactique

C

Syndiotactique

B

(½ pt)

Eutectique 4.d)

4.e)

Possibilité de cristallisation de chacune des formes Inscrivez A, B ou C dans la case appropriée : Nulle

C

Moyenne

B

Élevée

A

(½ pt)

Masse volumique du polypropylène totalement cristallisé

Le coefficient A de variation de la masse volumique ρ pour une variation de 1% de la cristallinité C est donnée par la relation suivante : A = (ρ2 – ρ1)/(C2 – C1) = (0,915 – 0,872)/(72,7 – 32,6) = 1,072x10-3 g.cm-3.%-1 La masse volumique du polypropylène totalement cristallisé est donc égale à : ρC=100 = ρC=72,7 + A(100 – 72,7) = 0,915 + (1,072x10-3)(100 – 72,7) = 0,9443 g/cm3

m= 4.f)

0,944 g/cm3

(2 pts)

Nombre de monomères contenus dans une maille élémentaire

Le nombre n de monomères contenus dans la maille élémentaire de volume V est égal à : n = M V (m N A ) (1) où MV est la masse de la maille élémentaire et m/NA est la masse d’un monomère La masse MV est égale à : MV = ρ100V (2) où V est le volume de la maille élémentaire En combinant les équations (1) et (2), on obtient :

n = ρ100V /(m/NA)

(3)

Volume V de la maille élémentaire : n= V = [(0,666x2,078x0,6495)10-21][1 – cos2(99,62)] g = 8,677x10-22 cm3 Masse MV = ρ100V = 8,2510x10-22 g (m/NA) = 42,08/(6,022x1023) = 6,9877x10-23 g

5

12

Sous-total = 5 pts

(1 pt)

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5.

Formulaire de réponse

CORRIGÉ

Page 5 de 13

Version révisée

Exercice n° 5 (Céramiques) 5.a)

Température maximale (en °C) de frittage de l'émail Justification :

L’apparition de liquide dans la fonte à 3 %m C a lieu à la température de l’eutectique du diagramme Fe – C, soit 1147 °C. La température maximale de frittage sera donc égale à : θmax = 1147 – 150 = 997 °C (½ pt)

θmax =

5.b)

997

°C

Température minimale (en °C) de frittage de l'émail Justification : Pour qu’il y ait formation d’une phase vitreuse dans l’émail après refroidissement, il

faut qu’il y ait apparition d’une phase liquide au cours de sa cuisson, donc que la température minimale soit supérieure à la température d’un point eutectique du diagramme A – B. Seul l’eutectique E2 à 900 °C convient car l’autre eutectique E1 a une température supérieure à la température maximale trouvée à la question a) précédente. θ = 900 °C (½ pt) min

5.c)

Composition nominale C0 (en %m. B) de l'émail Justification :

Pour obtenir 52 % de phase vitreuse dans l’émail, il faut qu’il y ait 52 % de phase liquide de composition eutectique CE2 présente à la température de cuisson. Pour l’émail, il existe donc deux compositions possibles, situées de part et d’autre du point eutectique E2 caractérisé par CE2 = 0,75 = 75 % m B et θE2 = 900 °C. La condition d’avoir une concentration en oxyde B inférieure à 80 % conduit donc à choisir la composition hypoeutectique. En appliquant la règle des bras de leviers, on obtient ainsi la composition CX recherchée : fE2 = 52 % = 0,52 = (CX – 0,41)/(0,75 – 0,41) CX = 0,41 + 0,52(0,75 – 0,41) = 0,587 = 58,7 % (1 pt)

C0 =

5.d)

58,7

%m

Constituants de l'émail après son refroidissement complet

Cochez la case appropriée.

Phase α + Eutectique E1

Phase δ + Eutectique E1

Phase δ + Eutectique E2

Phase β + Eutectique E2 (1 pt)

X 5.e)

Coefficient de dilatation minimal de l'émail Cochez la case appropriée. Au cours d’un refroidissement brusque, la fonte se contractera plus que

l’émail puisque son coefficient de dilatation est supérieur à celui de l’émail. L’émail sera donc soumis à une contrainte de compression qui ne devra pas dépasser sa résistance à la compression RmC = 157 MPa. La fonte et l’émail se refroidissant à la même vitesse, il faut donc considérer la différence des coefficients de dilatation entre les deux matériaux, soit ∆α = (αF – αe). Le facteur R1 de résistance au choc thermique s’écrit alors :

∆θ = R 1 =

R mC .f (ν ) E E ∆α

(1)

Puisque la différence de température imposée ∆θ est connue (= 250 °C), il suffit de réarranger l’éq. 1 pour en déduire la valeur de ∆α donc celle de αe.

( (

) )

R .f (ν ) 157 x106 (0,82 ) ∆α = α F − α e = mC = = 5,988x10 −6 E e ∆θ 86 x109 (250 )

αe =

6 x 10-6 °C-1

α e = α F − ∆α ≅ (12 − 6 )x10 −6 = 6 x10 −6

Sous-total = 5 pts

(2 pts)

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6.

Formulaire de réponse

CORRIGÉ

Page 6 de 13

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Exercice n° 6 (Matériaux composites) 6.a)

Module d'Young EC du composite Justification :

On applique la règle des mélanges aux modules des composants (Aluminium et Bore): EC = VfEf + (1 – Vf)Em = (0,35x400) + (0,65x70) = 185,5 GPa 6.b)

(1)

EC =

185,5

(1 pt)

Valeur du rapport EC/Em, Justification :

En réarrangeant l’équation (1) donnée ci-dessus (équation de la règle des mélanges), on peut en déduire le rapport EC/Em : EC/Em = VfEf/Em + (1 – Vf) = 0,35(400/70) + 0,65 = 2,65

EC/Em = 6.c)

2,65

Limite d'élasticité ReC du composite Justification :La déformation plastique du composite apparaît quand la matrice rentre en régime de

déformation plastique, c’est-à-dire quand la déformation élastique est égale à : εC = εem = Rem/Em La contrainte dans les fibres est alors égale à : σf = Efεem = RemEf/Em En appliquant la règle des mélanges (éq. 1) aux contraintes pour εC = εem, on obtient : ReC = Vfσf + (1 – Vf)Rem = VfRemEf/Em + (1 – Vf) Rem (2) ReC = 1060 6.d)

(1 pt)

MPa

(1 pt)

Valeur du rapport r = Ff/Fm à la limite d’élasticité du composite Justification :Pour une section unitaire SC de composite, on a la relation suivante :

SC = Sf + Sm = Vf + Vm = Vf + (1 – Vf) = 1 À tout instant, on peut écrire pour les forces : FC = Ff + Fm De cette équation (4), on en tire le rapport r = Ff/Fm recherché : r = (FC/Fm) – 1 et Fm = RemSm = Rem(1 – Vf) Or, par définition, FC = ReCSC

(3) (4) (5) (6)

En combinant les éq. (5) et (6) et en tenant compte de l’équation (2) donnée ci-dessus, on obtient, après simplification, l’expression suivante pour le rapport r recherché :

r= 6.e)

Vf E f 0,35x 400 = = 3,077 (1 − Vf )E m 0,65x 70

r =

3,077

(1 pt)

Allongement relatif à la rupture du composite Justification :

Par convention, on considère le composite rompu quand le renfort (les fibres) se rompt. Donc l’allongement à la rupture AC du composite est égal à l’allongement à la rupture Af des fibres. Celles-ci ayant un comportement fragile, leur allongement Af à la rupture est donc égal à : Af = Rmf/Ef = 3,6/400 = 9x10-3 = 0,9 % AC = Af = 0,9 %

AC =

0,9

%

Sous-total = 5 pts

(1 pt)

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Formulaire de réponse

CORRIGÉ

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Les exercices suivants portent sur les unités obligatoires (n° 1 à 7).

7.

EXERCICE n° 7 7.a)

Réseau de Bravais du LiXBiY Justification :

Les atomes de Bi occupent les sommets et le centre de toutes les faces de la maille élémentaire. Les atomes de Li sont en insertion dans les i d ill C C 7.b)

Indices de la direction qui est l’intersection des plans

Cubique à faces centrées

(1 1 1 ) et (1 1 1 ) {110}

Indices obtenus soit graphiquement en traçant les deux plans, soit en faisant le produit vectoriel des indices de ces plans. 7.c)

Indices du plan contenant les directions

(½ pt)

[1 10] et [011]

Indices obtenus soit graphiquement en traçant les deux directions, soit en faisant le produit vectoriel des indices de ces directions. 7.d)

Rapport de la densité surfacique (Bi)/(Li) dans le plan

(11 1 )

(1 1 0)

La position des atomes de Bi et de Li est représentée à la figure ci-contre. Dans cette maille plan élémentaire, il y a donc : Bi Æ (4x¼) + (2x½) = 2 atomes en propre Li Æ (5x1) + (2x½) = 6 atomes en propre Le rapport Bi/Li est donc égal à 1/3 = 0.33

(Bi)/(Li) = 1/3 = 0,33

7.e)

Proportion de sites X occupés par les atomes de lithium dans la maille

100

%

(1 pt)

Valeur de X et Y dans la formule chimique LiXBiY

Ces valeurs de X et de Y sont respectivement égales à celles du nombre nLi d’atomes en propre de Li et du nombre nBi d’atomes en propre de Bi appartenant à la maille élémentaire. Si nécessaire, ces nombres sont rendus premiers entre eux. On obtient : nBi = (8x138) + (6x½) = 4 nLi = 1 + (12x¼) + (8x1) = 12 7.h)

(1 pt)

(½ pt)

Octaédrique

Les sites octaédriques d’une maille CFC sont situés au centre de la maille et au milieu des arêtes de cette maille. Dans LiXBiY, tous ces sites sont occupés par des atomes de Li. 7.g)

(½ pt)

Type de site occupé par l’atome X de lithium

Situé au centre de la maille élémentaire, ce site est donc un site octaédrique. 7.f)

(½ pt)

X= Y=

3 1

(1 pt)

Masse volumique théorique du LiXBiY Justification :

Volume de la maille élémentaire : V = a3 = (0,6722 nm)3 = 0,3037 nm3 = 3,037 x 10-22 cm3 Masse m des atomes appartenant en propre à la maille élémentaire : m = (12MLi + 4MBi)/NA = (12x6,94 + 4x208,98)/(6,022x1023) = 1,526x10-21 g Masse volumique théorique : ρ = m/V = (1,179x10-21 g)/( 3,037 x 10-22 cm3) = 5,025 g/cm3

5,025

g/cm3

Sous-total = 6 pts

(1 pt)

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8.

CORRIGÉ

Formulaire de réponse

Page 8 de 13

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EXERCICE n° 8 8.a)

Contrainte nominale de tension σnom (en MPa) Justification :

Épaisseur e du fût du canon :

e = (De – Di)/2 = (140 – 70)/2 = 35 mm

Contrainte tangentielle : σnom = PRi/e = PDi/2e = (250x0,070)/(2x0,035) = 250 MPa 8.b)

σnom =

250

MPa

(1 pt)

Possibilité de propagation de la fissure Répondez par OUI ou NON dans la case – réponse et justifiez quantitativement votre réponse :

Puisque cette contrainte nominale tangentielle s’exerce perpendiculairement au plan de la fissure, on peut calculer le facteur d’intensité de contrainte K associé à la fissure :

K = ασ nom πa = 1,17 x 250 x πx 0,0007 = 13,72 MPa.m

1

2

Comme K est supérieur au seuil de propagation en fatigue ∆KS = 4,5 MPa.m½ du matériau la fissure commencera à se propager dès le premier tir du canon. 8.c)

OUI

(1 pt)

Profondeur critique a* de la fissure (en mm) entraînant la rupture brutale du fût Justification : La rupture brutale apparemment fragile du canon se produira quand la valeur du

facteur d’intensité de contrainte K associé à la fissure sera égale à la valeur KIC caractérisant la ténacité du matériau. De cette égalité, on peut en déduire la longueur critique de la fissure : 2

2

1 K  1 80  −2 a* =  IC  =   = 2,381x10 m π  ασ nom  π  1.17 x 250  8.d)

a* =

23,8 mm

(1 pt)

R= 0

(1 pt)

Valeur du rapport R caractérisant le chargement en fatigue du fût Justification :

Lorsque le canon est au repos, la contrainte est nulle donc σmin = 0. Lors d’un tir, la contrainte est positive et égale à σmax = 250 MPa. Par définition du rapport R des contraintes, R = σmin/σmax = 0/250 = 0 8.e)

Nombre J de jours de tir avant rupture brutale du fût Justification :

Variation ∆K du facteur d’intensité de contrainte : ∆K = α∆σ πa = α(σmax - σmin ) πa = ασmax πa (1) En combinant l’équation (1) et la relation de Paris da/dN = C∆Kn, on obtient :

(

)n

da /dN =C∆K n =C ασmax π a n 2 =Ba n 2 (2)

avec :

(

)n

B = C ασmax π = cste

(3)

En séparant les variables a et N dans l’équation (2) , on obtient une équation que l’on peut intégrer :

dN = 1 da B an 2 Puisque n = 3,

[N]

a* a0

(4)

Æ

[N]aa* = 1 ∫a a −n 2da a*

0

B

(5)

0

a* 1 a* −1,5 1  1  1  1 1  = = ∫ a da = −   B a0 - 0,5B  a  a 0 0,5B  a 0 a * 

Avec les valeurs numériques données, on obtient un nombre de tirs N = 11 240, soit un nombre de jours J = N/40 = 11 240/40 = 280 j

(6)

J = 280

j

Sous-total = 7 pts

(3 pts)

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9.

Formulaire de réponse

CORRIGÉ

Page 9 de 13

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EXERCICE n° 9 9.a)

9.b)

Méthodes d’amélioration de la limite d’élasticité Re0,2 Associez l’une des courbes A, B et C Méthode d’amélioration à l’une des méthodes d’amélioration. Durcissement par écrouissage Durcissement par affinement du grain Durcissement par eutectique Durcissement par solution solide Durcissement par trempe martensitique Durcissement structural

(3 pts)

A+B A+B+C

Limite d’élasticité Re0,2 de l’acier à 0,1 %m C et ayant une taille de grain égale à 20 µm

Cette valeur est aisément déduite d’une lecture sur le graphique donné en annexe 9.c)

A

Re0,2 =

195

MPa

(1 pt)

Limite d’élasticité Re0,2 de l’acier à 0,1 %m C et 0,8 %m Mn Justification :

Sur le graphique donné en annexe, on constate que le durcissement par solution solide dû une addition de 1,2 % de Mn se traduit par un translation positive de ≅ 110 MPa de la droite de Hall-Petch caractérisant l’acier à 0,1 %C sans manganèse. Puisque l’on suppose que l’effet durcissant du Mn est proportionnel à la concentration en Mn, cet effet se traduit par un durcissement de (110 MPa/1,2 %) = 91,7 MPa/% Mn Pour un acier contenant 0,8 % Mn, l’effet de durcissement par solution solide est donc égal à 91,7x0,8 = 73,3 MPa. Cette valeur est à ajouter à la valeur de la limite d’élasticité d’un acier à 0,1 %C sans manganèse ayant une taille de grain de 15 µm, soit ≅ 220 MPa (voir annexe). On obtient ainsi la valeur de (220 + 73,3) MPa = 293 MPa

Re0,2 =

293

MPa

(2 pts)

10. EXERCICE n° 10 10.a) Composition nominale C0 de l’acier Justification :

En appliquant la règle des bras de leviers aux constituants, on obtient : fα = 50 % = 0,5 = (0,8 – C0)/(0,8 – 0) C0 = 0,8 – fα (0,8) = 0,4 %m C 10.b) Phases en présence à 724 °C

C0 =

0,4 %m

(1 pt)

C

Phases en équilibre Nom ou symbole

Composition (%m C)

Fraction (%m)

Ferrite (α)

0,02

51,2

Austénite (γ)

0,8

48,8

--------

--------

--------

Sous-total = 9 pts

(2 pts)

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CORRIGÉ

Formulaire de réponse

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10.c) Traitements thermiques pour obtenir une dureté de 44 HRC Traitement n° 1 Étape

Température (°C)

Durée (en secondes)

Austénitisation

840

selon dimension pièce

Trempe isotherme bainitique

370

> 230 s

Traitement n° 2

(6 pts)

Étape

Température (°C)

Durée (en secondes)

Austénitisation

840

selon dimension pièce

Trempe à l’eau

25

instantanée

Revenu isotherme

420

7200 s

11. EXERCICE n° 11 Identifiez les affirmations proposées qui sont fausses (inscrivez F dans les cases appropriées). Attention : une mauvaise réponse en annule une bonne. Plus la température de fusion d’un matériau est élevée, plus son coefficient de dilatation thermique est élevé. Les matériaux covalents ont un module d’Young en général plus élevé que celui des matériaux à liaisons Van der Waals. Si l’on sollicite un matériau en traction uniaxiale selon l’axe z, son coefficient de Poisson ν est égal à la valeur absolue du rapport de la déformation principale εz à la déformation secondaire (εx ou εy) ( ν = εz εx = εz εy )

F

F

Les matériaux à liaisons covalentes tels que le diamant sont fragiles car ils ne contiennent pas de dislocations pouvant assurer leur ductilité. Dans un matériau ductile, la mise en mouvement des dislocations se produit quand la limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 est atteinte. Le coefficient de concentration de contrainte Kt est un paramètre qui caractérise la ténacité d’un matériau. Quand le facteur d’intensité de contrainte K, associé à une fissure, atteint la valeur critique KIC, il y a rupture brutale apparemment fragile du matériau. La compacité des métaux ayant un réseau de Bravais cubique centré (CC) est la plus élevée possible.

F

Plus la taille des grains d’un métal est petite, plus sa limite d’élasticité est élevée. Dans les métaux ductiles de structure cubique à faces centrées (CFC), les systèmes de glissement cristallographique sont de type {110} Le glissement cristallographique apparaît en premier dans le système de glissement qui possède le facteur de Schmid le plus élevé.

F

F F

F

Sous-total = 13 pts Total = 60 pts

(7 pts)

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Formulaire de réponse

CORRIGÉ

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ANNEXES 1000

Oxydation du cuivre

2

Gain de masse (µ g/cm )

½

100

10 1

10

100

Temps (min)

Sous-total = 13 pts Total = 60 pts

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Formulaire de réponse

CORRIGÉ

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Exercice n° 2 : Influence du pourcentage atomique d’impureté sur la résistivité électrique du cuivre pur

0,50 Variation ∆ρ de la résistivité du cuivre pur Fe

0,40

Cr Ni Ag

∆ρ (µΩ .cm)

0,30

0,20

0,10

0,00 0

100

200

300

400

500

-0,10 Composition (ppm at.)

Sous-total = 13 pts Total = 60 pts

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Formulaire de réponse

CORRIGÉ

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ANNEXES Exercice n° 9 : Méthodes d’amélioration de la limite d’élasticité

Sous-total = 13 pts Total = 60 pts

PROGRAMME DE GÉNIE DES MATÉRIAUX

COURS ING1035 - MATÉRIAUX EXAMEN FINAL du 23 avril 2003 de 9h30 à 12h00

QUESTIONNAIRE

NOTES :

♦ Aucune documentation permise. ♦ Calculatrice non programmable autorisée. ♦ Les nombres en marge indiquent le nombre de points accordés à la question, le total est de 60 points. La note maximale de l’examen étant de 50 points, tout point supplémentaire sera transformé en point de bonus. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. Utilisez les espaces prévus ou la page blanche opposée pour vos calculs. ♦ Le questionnaire comprend 12 pages, en incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général. ♦ Le formulaire de réponses comprend 10 pages. ♦ Vérifiez le nombre de pages du questionnaire et du formulaire de réponses.

Cours ING1035 MATÉRIAUX Examen final du 23 avril 2003

Questionnaire

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Remarque : les 6 premiers exercices sont relatifs aux unités facultatives 8, 9, 10, 11 et 12. Les exercices suivants couvrent les unités obligatoires (unités 1 à 7)

Exercice n° 1 (Dégradation) Vous êtes responsable de la fabrication de chauffe-eau ayant une cuve d’acier (Fe) et l’eau peut être considérée comme un électrolyte aéré légèrement acide. Vous êtes conscient des risques possibles de corrosion et vous décidez de protéger le chauffe-eau par une anode sacrificielle en magnésium (Mg) mise en contact avec la cuve d’acier du chauffe-eau. Vous choisissez une anode ayant un diamètre de 15 mm et une longueur de 220 mm. En régime permanent de corrosion, le courant de corrosion s’établit à Icorr = 4,5 mA. a) Quelles sont les réactions anodique et cathodique qui se produisent ? Sur le formulaire de réponse, cochez (1 pt) les cases appropriées. b) En régime permanent de corrosion, quelle est la valeur de la différence de potentiel existant entre l’anode et (1 pt) la cuve du chauffe-eau ? Justifiez votre réponse. c) Dans la notice d’entretien du réservoir que vous rédigez à l’intention de vos clients, à quelle fréquence (3 pts) (exprimée en mois) leur recommandez-vous de remplacer l’anode sacrificielle de magnésium, en supposant que ce remplacement est fait quand l’anode a perdu 80 % de sa masse initiale ? Données :

Constante de Faraday F = 9,648x104 C/mole

Masse volumique (g/cm3) Masse atomique (g/mole) Valence Potentiel libre dans l’eau (V)

Fer (Fe) 7,8 55,85 +2 - 0,44

Magnésium (Mg) 1,74 24,3 +2 - 2,37

Exercice n° 2 (Propriétés physiques) Quand on augmente la température d’un matériau, comment varie sa conductivité électrique, selon que ce matériau soit un métal (M) ou un semi-conducteur (SC) ? Sur le formulaire de réponse, notez votre réponse par (1 pt) les symboles M et SC mis dans les cases appropriées.

Exercice n° 3 (Propriétés physiques) Vous désirez fabriquer un aimant fait d’un alliage A – B dont le diagramme d’équilibre partiel est donné en annexe. Cet alliage est disponible en deux compositions C1 et C2 notées sur ce diagramme. Les phases α et β sont toutes deux ferromagnétiques. Après un chauffage de deux heures à la température θ1 repérée sur le diagramme, ces alliages peuvent être obtenus dans divers états : État 1 : État 2 : État 3 : État 4 :

Refroidissement lent à l’équilibre. État 1 suivi d'un écrouissage de 15 % obtenu par laminage à froid. Trempe jusqu'à la température ambiante. État 3 suivi d'un vieillissement conduisant à un durcissement structural.

a) Si vous devez obtenir un aimant ayant un champ coercitif HC faible, quelle combinaison « Composition + (2 pts) État » choisissez-vous ? Justifiez votre choix. b) Si vous devez obtenir un aimant ayant un champ coercitif HC élevé, quelle combinaison « Composition + (2 pts) État » choisissez-vous ? Justifiez votre choix.

Sous-total: 10 pts

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Questionnaire

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Exercice n° 4 (Matières plastiques) Pour les affirmations suivantes relatives aux polymères et aux matières plastiques, choisissez la ou les bonnes réponses. Attention, une mauvaise réponse en annule une bonne ! a) Dans un polymère cristallisé à chaînes linéaires, la cohésion entre les chaînes est assurée par : 1) des liaisions ioniques 2) des liaisons covalentes 3) des liaisons métalliques 4) des liaisons Van der Waals ou des ponts hydrogène 5) des liaisons dangeureuses

(1 pt)

b) Le degré de cristallinité d’un polymère augmente quand : 1) Il y a des ramifications sur la chaîne principale. 2) La structure de la chaîne principale est isotactique. 3) La vitesse de refroidissement à partir de l’état liquide augmente. 4) La vitesse de refroidissement à partir de l’état liquide diminue. 5) Le polymère contient un plastifiant.

(1 pt)

c) Les polymères thermodurcissables : 1) sont des matières plastiques obtenus seulement par polymérisation d’addition. 2) possèdent des chaînes linéaires ramifiées. 3) ne peuvent pas être recyclés par fusion. 4) ont une température de transition vitreuse proche de leur température de fusion. 5) ont des chaînes réticulées.

(1 pt)

d) La température de transition vitreuse d’un polymère augmente si : 1) le degré de réticulation du polymère croît. 2) l’encombrement des groupes latéraux augmente. 3) aucune vulcanisation n’est appliquée au polymère. 4) la masse moléculaire moyenne en nombre du polymère diminue. 5) il y a des doubles liaisons C = C dans le squelette de la chaîne.

(1 pt)

e) Quand on mesure le module d’Young d’un polymère, on doit préciser le temps d’application de la charge parce que : 1) le polymère se dégrade pendant l’application de la charge. 2) le polymère manifeste un comportement élastique linéaire. (1 pt) 3) ce module dépend de la masse moléculaire moyenne en nombre. 4) le polymère manifeste un comportement viscoélastique. 5) la température d’essai a une influence sur la valeur du module.

Exercice n° 5 (Céramiques) Un four à gaz est muni d’une fenêtre afin de permettre un contrôle visuel des flammes. L’élément principal de cette fenêtre est un disque épais de verre, dont le montage le laisse libre de se dilater radialement. Lors des mises en marche du four, la face interne du disque (celle à l’intérieur du four) subit une brusque élévation de température, alors que la face externe reste à la température ambiante de 20 °C. Le verre utilisé a les propriétés mécaniques et physiques suivantes :

Rmt = 200 MPa (en traction) E = 70 GPa

Rmc = 350 MPa (en compression) α = 8x10 °C -6

-1

ν = 0,25

KIC = 0,6 MPa.m½

a) Sur quelle face (interne ou externe) s’amorce la rupture du disque si celui-ci est soumis à un choc thermique (1 pt) (infiniment sévère) trop important ? Justifiez votre réponse. b) Quelle température maximale peut atteindre le disque sans risquer de se rompre au cours d’un choc (2 pts) thermique infiniment sévère, si l’on suppose que la fonction f(ν) = (1 – ν) ?

Sous-total : 8 pts

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Questionnaire

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Au cours du montage du disque dans la fenêtre du four, un opérateur a rayé les faces du disque en les essuyant sans précaution, ce qui a laissé des fissures aiguës sur ces faces. La profondeur de ces fissures est de 40 µm et le coefficient géométrique α associé aux fissures est égal à 1,15. c) Quelle est alors la résistance à la traction du disque ainsi rayé ? d)

(1 pt)

Quelle température maximale peut atteindre le disque rayé au cours d’un choc thermique infiniment (1 pt) sévère?

Exercice n° 6 (Composites) Pour une application donnée, vous avez le choix de réaliser une pièce en composite ayant une matrice d’époxy pouvant être renforcée par des fibres continues alignées soit de verre, soit de carbone. Le tableau suivant résume les propriétés mécaniques de ces composants. Composant Époxy Verre Carbone *nd = non disponible

E (GPa)

Re (MPa)

Rm (MPa)

A (%)

4 70 200

55 -----

90 1 700 3 000

4 nd* nd

Pour l’application considérée, vous avez déterminé que le composite « Carbone – Époxy » ayant une fraction volumique Vf de renfort égale à 22 % pouvait satisfaire le critère de rigidité imposé. Toutefois, une analyse de coûts révèle que le prix de la pièce sera trop élevé si l’on prend en compte le fait que le coût d’un renfort de carbone est 20 fois plus élevé que celui d’un renfort de verre. Vous décidez alors de réaliser le composite en « Verre – Époxy » en ajustant comme il se doit la fraction volumique de renfort pour obtenir la même rigidité recherchée. a) Quelle est la valeur recherchée du module d’Young EC (en GPa) du composite ?

(1 pt)

b) Quelle est la fraction volumique Vf (en %) de fibres de verre que vous devez utilisez pour obtenir cette (1 pt) rigidité ? c)

Lequel de ces composites (« Verre – Époxy » ou « Carbone – Époxy ») se comportera de façon purement (2 pts) élastique jusqu’à sa rupture? Justifiez quantitativement votre réponse.

d) Quelle est la résistance à la traction Rmc (en MPa) du composite déterminé à la question précédente ?

Sous-total: 7 pts

(1 pt)

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Remarque : Les exercices suivants couvrent les unités obligatoires (unités 1 à 7)

Exercice n° 7 Le cuivre cristallise selon le réseau de Bravais cubique à faces centrées (CFC) et les plans de glissement cristallographique associés à ce réseau sont des plans appartenant à la famille {111}. a) Sur la figure présentée au formulaire de réponse, tracez, dans la maille considérée, le plan spécifique

(1 1 1) appartenant à la famille {111}.

(1,5 pts)

b) Dans une maille CFC, quelle est la caractéristique de cette famille de plans {111} quand on la compare à (1 pt) des familles de plans dont les indices de Miller {hkl} ne sont pas tous égaux à 1 ? c) Quels sont les systèmes de glissement associés à ce plan particulier (1 1 1) ? Sont-ils des systèmes de (2 pts) glissement indépendants ? Justifiez votre réponse. d) Sur la maille CFC présentée sur le formulaire de réponse, tracez les directions de glissement appartenant à ces systèmes de glissement du plan (1 1 1) et donnez les indices de ces directions.

(1,5 pts)

On réalise un essai de traction sur un monocristal de cuivre de haute pureté (99,999 % Cu) et on étudie uniquement les possibilités de glissement cristallographique dans le plan spécifique (1 1 1) . Deux directions

G

[ ]

G

[ ]

de traction sont considérées : la direction A = 001 et la direction B = 1 1 1 . Conseil : l’utilisation du produit scalaire ou du produit vectoriel de deux vecteurs peut s’avérer utile à la résolution de certaines des questions suivantes. e) Pour quelle direction de traction se produira le glissement cristallographique dans le plan (1 1 1) ? Justifiez (1 pt) votre réponse. f)

(2 pts)

Selon la direction de traction choisie, quels seront les systèmes de glissement activés ?

On constate l’apparition du glissement cristallographique dans les systèmes activés pour une contrainte nominale de traction σnom égale à 1,225 MPa. g) Que se passe-t-il physiquement dans le monocristal quand le glissement cristallographique irréversible (1 pt) apparaît ? h) Quelle est la cission critique τ∗ (en MPa) caractéristique du glissement cristallographique du cuivre de (1 pt) haute pureté ? i)

Quelle devrait être la valeur de la limite proportionnelle d’élasticité Re (en MPa) du cuivre polycristallin déduite de l’essai de traction d’un tel monocristal de cuivre ?

(1 pt)

En fait, on constate que le cuivre polycristallin commercialement pur (99,9 % Cu) présente une limite proportionnelle d’élasticité Re égale 20 MPa. j)

Citez deux raisons qui expliquent la différence des valeurs de la limite proportionnelle d’élasticité Re du (2 pts) cuivre polycristallin, soit déduite des essais de traction sur un monocristal, soit directement mesurée sur un cuivre polycristallin.

Sous-total : 14 pts

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Exercice n° 8 Vous disposez d’un acier (alliage « fer – carbone ») dont vous ignorez la teneur en carbone. Cependant, après avoir chauffé cet acier à 850 °C et l’avoir laissé refroidir lentement au four jusqu’à la température ambiante (20 °C), vous constatez, sur une métallographie de cet acier, qu’il contient 91,3 % de ferrite α et 8,7 % de cémentite Fe3C. Comme vous disposez du diagramme d’équilibre « fer – carbone » (voir en annexe), il vous est alors aisé de répondre aux questions suivantes : (1 pt)

a) Quelle est la composition nominale C0 (%m) en carbone de cet acier ?

b) À 724 °C, quelles sont les phases en présence, leur composition (en %m C) et leur fraction massique (2 pts) respective (en %m) ? c) Quelle est la fraction massique de perlite présente dans l’acier à la température ambiante, à la fin du (1 pt) refroidissement lent ? Connaissant maintenant la composition nominale de l’acier, vous mettez la main sur son diagramme TTT (voir en annexe) et vous êtes en mesure de prévoir les constituants présents dans cet acier qui, après avoir complètement été austénitisé à 850 °C, aura subi les traitement thermiques suivants : 1) Trempe à 700 °C et maintien à cette température pendant 100 s, refroidissement quelconque jusqu’à l’ambiante. 2) Trempe à l’eau à 20 °C. 3) Trempe à 400 °C, maintien à cette température pendant 20 s et trempe à l’eau à 20 °C. d) Quels ont les constituants présents dans l’acier et la dureté de l’acier après chacun de ces traitements ?

(6 t )

Exercice n° 9 En annexe, vous disposez des résultats d’essais de résilience Charpy réalisés sur un acier, ainsi que de la corrélation expérimentale qui existe entre la résilience Charpy (à 20 °C) et la ténacité KIC pour ce type d’acier. Vous disposez aussi de la courbe de Paris en fatigue – propagation pour cet acier. a) Quelle est la température de transition ductile – fragile TTDF (en °C) de cet acier, selon que cette TTDF soit (1 pt) définie pour un critère de 25 J ou pour un critère de 50 % de ductilité ? (1 pt)

b) Quelle est la valeur de la ténacité KIC de cet acier ? Cet acier est utilisé pour la fabrication d’une pièce qui, en service, est soumise à des efforts de fatigue en traction, d’amplitude constante et caractérisés par un rapport R = 0. La contrainte maximale exercée par ces efforts est égale à 180 MPa. c) Quelle est l’amplitude de contrainte σa (en MPa) caractérisant le chargement de fatigue ?

(1 pt)

Au bout de 3 ans de service (1095 jours), la pièce subit un contrôle non destructif par radiographie X et on y découvre une fissure de fatigue qui a atteint une longueur a0 = 2 mm. Cette fissure est caractérisée par son paramètre géométrique α = 1,15. d) Quelle est la vitesse de propagation da/dN (en m/cycle) de la fissure au moment de sa découverte ?

(2 pts)

e) Quelle est la longueur critique aC (en mm) de cette fissure de fatigue qui entraînerait la rupture brutale (2 pts) fragile de la pièce ? Par mesure de sécurité, vous décidez que la pièce doit être remplacée quand la fissure de fatigue aura atteint une longueur tolérable maximale aF = 22 mm. Sous-total : 17 pts

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Questionnaire

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Calculez le nombre de cycles N de sollicitations en fatigue que la pièce pourra encore supporter jusqu’à ce (3 pts) que la fissure atteigne la longueur tolérable maximale aF = 22 mm.

g) Si la fréquence de la sollicitation en fatigue est égale à 10-3 Hz, quel est le nombre n de jours de service que (1 pt) pourra encore assurer la pièce avant qu’elle doive être remplacée ?

Pour l’équipe de professeurs, le coordonnateur: Jean-Paul Baïlon

B S !! ES CE NC AN CA AC VA S V ES NE NN ON BO

Sous-total: 4 pts Total : 60 pts

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ANNEXES Exercice n° 3 : Diagramme d’équilibre de l’alliage A – B

C1

C2

Sous-total : 17 pts

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ANNEXES Exercice n° 8 : Diagramme fer – carbone et diagramme TTT de l’acier

γ (C.F.C.)

900

α+γ

800

γ + Fe3C (6,67 %C) 723

0,02

700

0,8

α (C.C.)

Perlite

Température (°C)

1000

α + Fe3C

600

500 400

Fe0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

Conmposition (% m. C)

800 Température (OC)

700

A1

600 500

A3 α+

γ+

400 300

HRC

900 γ

α+C α

+C

MS

γ+M

200 M90

100 0 0,5 1

12 20 25 28 33 37 42

62 2

5

10 20

50 100

1

103

104

105 s

10 30 60 min Temps 1 2 5 10 24 h

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Questionnaire

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ANNEXES Exercice n° 9 : Comportement mécanique de l’acier 100

100

75

75

50

50

25

25 Énergie

0 -80

0 Température (ºC)

-40

40

0 80

Courbes de résilience Charpy de l’acier 120

Facteur critique KIC (MPa.m½)

110 100 90 80 70

Corrélation expérimentale entre la résilience Charpy à 20 ºC et la ténacité KIC de l’acier à 20 ºC

60 50 40 30 20 10 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

Énergie Charpy W (J) à 20 ºC

90

100 110

Ductilité (%)

Énergie W (J)

% ductilité

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Questionnaire

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ANNEXES Exercice n° 9 : Comportement mécanique de l’acier 10-4

10-5

10-6

da/dN (m/cycle)

da/dN = 3,5x10-12∆K4

10-7

10-8

10-9

10-10 1

10

100

∆K (MPa.m½) Variation de la vitesse de propagation da/dN d’une fissure de fatigue dans l’acier en fonction du facteur d’intensité de contrainte ∆K

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[

(

ε x = 1 σ x − v σ y + σz E

[

)]

Questionnaire

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da = C∆K n dN

]

εy = 1 σy − v(σx +σz ) E

[

]

m=

Ai corr t nF

εz =

1 σ z − v (σ x + σ y ) E

∆=

G=

E 2 (1 + v )

(m a )ox ρ M (m a )M ρ ox

R=

ρl S

R th =

2Eγ s a0

σ = n e e µe σ = (n e e µ e + n t e µ t )

hx ky lz 1= + + na nb nc

 − Eg σ = σ 0 exp   2kT

r = ua + vb + wc σ y = σ nom

τ=

 1 + 2  

a r

   

F cos θ cos χ S0

G b 2π a

τth =

(

2E γS π σ2

Rm = (Rm )0 e − nP ∆θ* = R1 =

f S C S + f L C L = C0

 Q  D = D0 exp  − 0   kT 

σt K2

Rm . f (v ) Eα

R3 =

E R . f (v )

R4 =

Eγ S = γ S R3 R . f (v )

2 m

2 m

(Rm )c = V f (Rm ) f

KC = α σ π a

ε vel =

)

E = E 0 0,9 P 2 −1,9 P +1

Re 0.2 = σ 0 + kd −1 / 2

Ac =

  K 2 t   1 − exp  − η  2   

  

(Rm )C

+ (1 − V f ) σ m

= V f σ f + (1 − V f

) (R )

EC = V f E f + Vm E m

EC ≅

3 V f E f + Vm E m 8

(Rm )C

= kV f (Rm ) f + Vm σ m

m m

PROGRAMME DE GÉNIE DES MATÉRIAUX Note finale:

/50

NOM (en majuscules):_____________________________ CORRIGÉ PRÉNOM :______________________________ SIGNATURE :______________________________ MATRICULE : _________________ SECTION :

COURS ING1035 - MATÉRIAUX EXAMEN FINAL du 23 avril 2003 de 9h30 à 12h00

FORMULAIRE

DE

RÉPONSES

NOTES : ♦ Aucune documentation permise. ♦ Calculatrice non programmable autorisée. ♦ Les nombres en marge de droite indiquent le nombre de points accordés à la question. Le total est de 60 points. ♦ La cote maximale de l’examen est de 50 points. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. ♦ Utilisez les espaces prévus ou la page opposée pour vos calculs. ♦ Le questionnaire comprend 12 pages, incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général. ♦ Le formulaire de réponses comprend 10 pages. ♦ Le corrigé comprend 12 pages (avec les annexes) ♦ Vérifiez le nombre de pages de votre questionnaire et de votre formulaire de réponse.

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1.

Formulaire de réponses

C O R R I G É

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EXERCICE n° 1 (Dégradation) 1.a)

Réactions anodique et cathodique Notez A (pour anodique) et C (pour cathodique) dans les cases appropriées

Réactions O2 + 2 H2O + 4 e-

4 OH-

O2 + 4 H + + 4 e-

2 H2O

Fe2+ + 2e2+

Mg

+ 2e

+

-

2H + 2 e 1.b)

-

C

(1 pt)

Fe

A

Mg H2

Différence de potentiel entre l’anode et la cathode Justifiez votre réponse.

Puisque la cuve d’acier du chauffe-eau et l’anode sacrificielle de magnésium sont en contact électrique direct, il n’existe donc aucune différence de potentiel entre elles. Remarque : ceci signifie pas que le potentiel absolu auquel toutes deux se trouvent est égal à zéro (0) !

ddp = 1.c)

0 V

(1 pt)

Fréquence de remplacement de l’électrode de Mg Justifiez votre réponse.

Masse initiale de l’électrode :

m0 = ρV = ρ(π l D2/4) = 1,74 x (πx 22 x 1,52/4) = 67,65 g

Masse de Mg à consommer avant remplacement de l’électrode :

m = 0,8 x m0 = 54,12 g

Le temps requis pour que cette masse m soit corrodée est donné par la loi de Faraday :

t=

mnF 54,12x 2x9,648x10 4 = = 9,551x107 s = 1105 jours = 36,85 mois -3 Aicorr 24,3x4,5x10

t = 36,85 mois

2.

(3 pts)

Exercice n° 2 (Propriétés physiques) Répondez par M (métal) ou SC (semi-conducteur) dans la(les) case(s) appropriées : Variation de la conductivité électrique quand la température augmente La conductivité croît linéairement

----

La conductivité décroît linéairement

M

La conductivité croît exponentiellement

SC

La conductivité décroît exponentiellement

----

La conductivité reste constante

----

Sous-total = 6 pts

(1 pt)

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3.

Formulaire de réponses

C O R R I G É

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Exercice n° 3 (Propriétés physiques) 3.a)

« Composition + État » pour obtenir un faible champ coercitif HC Justification :

Pour que le champs coercitif HC soit le plus faible possible, il faut que le déplacement des parois de Bloch (délimitant les domaines de Weiss) soit le plus aisé possible, c’est-à-dire que la microstructure du matériau contienne peu d’obstacles à ce déplacement. Par ordre croissant de sévérité, ces obstacles sont les atomes en solution solide (d’insertion ou de substitution), les dislocations, les joints de grains, les précipités d’une autre phase. Ici, nous choisirons donc l’alliage C1 (plus faible % d’élément d’alliage B) à l’état 1, qui conduit à des obstacles (atomes de B en solution solide) qui sont peu efficaces pour gêner le déplacement des parois de Bloch.

3.b)

Composition

C1

État

1

(2 pts)

« Composition + État » pour obtenir un fort champ coercitif HC Justification :

Selon les principes donnés dans la justification de la question précédente, pour que le champs coercitif HC soit le plus élevé possible, il faut que le déplacement des parois de Bloch (délimitant les domaines de Weiss) soit le moins aisé possible, c’est-à-dire que la microstructure du matériau contienne beaucoup d’obstacles efficaces gênant ce déplacement. Ici, nous choisirons donc l’alliage C2 qui contient un % d’élément d’alliage B plus élevé, lui permettant ainsi de subir un traitement thermique de durcissement structural (état 4). Ce traitement conduit à une microstructure contenant de fins précipités dispersés de façon homogène dans les grains et ayant une courte distance entre eux. Ces précipités forment des obstacles efficaces pour gêner le déplacement des parois de Bloch.

4.

Composition

C2

État

4

(2 pts)

Exercice n° 4 (Matières plastiques) Pour chaque question (a, b, c, d, e), répondez par le(les) chiffre(s) correspondant aux bonnes réponses :

Question

Bonne(s) réponse(s)

a)

4 2, 4 3, 5 2, 5 4

b) c) d) e)

Sous-total = 9 pts

(5 pts)

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5.

Formulaire de réponses

C O R R I G É

Page 4 de 12

Exercice n° 5 (Céramiques) 5.a)

Face où s’amorce la rupture Répondez par I (interne) ou E (externe) et justifiez votre réponse :

Sous l’effet du choc thermique, la face interne se dilate plus que la face externe. Elle soumet donc cette face externe à des forces de tension, alors qu’elle-même subit des forces de compression car elle ne peut pas se dilater librement. Puisque la résistance à la traction Rmt du verre est inférieure à sa résistance à la compression RmC, la rupture s’amorcera sur la face externe E.

Face : 5.b)

E

(1 pt)

Température maximale Justification : ∗

La variation critique ∆θ de température entraînant la rupture du disque est donnée par la relation suivante :

∆θ* = R 1 =

R mt f (ν ) Eα

=

200 x10 6 x (1 − 0,25) = 268 °C 70x10 9 x8x10 −6

La température maximale sera donc égale à : θ = ∆θ* + 20 = 288 °C

5.c)

θ =

288

°C

(2 pts)

Résistance à la traction du disque rayé Justification :

Puisque l’on connaît la ténacité KIC du verre, on peut en déduire la contrainte nominale de traction σnom entraînant la rupture du verre contenant une rayure de profondeur a :

K IC = ασ nom πa



σ nom =

K IC α πa

=

0,5 1,15 πx 4x10 −5

= 38,8 MPa

Cette contrainte critique devient ainsi la résistance à la traction R*mt du verre ayant des rayures de 40 µm de profondeur.

Rm = 38,8 MPa 5.d)

(1 pt)

Température maximale pour le disque rayé Justification :

La variation critique de température étant directement proportionnelle à la résistance à la traction du verre, sa valeur ∆θ*r pour le verre rayé est donc égale à :

∆θ*r = ∆θ*(R*mt /Rmt) = 269 x (38,8/200) = 51,98 °C ≈ 52 °C La température maximale sera donc égale à : θ = ∆θ*r + 20 = 72 °C

θ =

72

°C

Sous-total = 5 pts

(1 pt)

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6.

Formulaire de réponses

C O R R I G É

Page 5 de 12

Exercice n° 6 (Composites) 6.a)

Valeur recherchée pour le module d’Young EC du composite Justification :

D’après la règle des mélanges appliquée aux modules, on en déduit le module EC du composite contenant 22% de fibres de carbone : EC = VfEf + (1 – Vf)Em = (0,22x200) + (1 – 0,22)x4 = 47,12 GPa

EC = 47,1 6.b)

GPa

(1 pt)

Fraction volumique de fibres de verre requise Justification :

D’après la règle des mélanges appliquée aux modules, on en déduit la fraction volumique Vf de fibres de verre, requise pour obtenir une valeur donnée du module EC : Vf = (EC - Em)/( Ef – Em) = (47,1 - 4)/(70 – 4) = 0,653 = 65,3%

.

(1 pt)

Vf = 6.c)

65,3

%

Composite ayant un comportement fragile Dans la case réponse, répondez par V (verre) ou C (carbone) et justifiez votre réponse :

Si le composite a un comportement fragile en traction (comportement élastique jusqu’à sa rupture), le renfort fragile se rompt avant que la matrice ductile ne se soit déformée plastiquement. Il faut donc comparer la valeur de l’allongement à la rupture Af du renfort à celle de la déformation εélm de la matrice pour laquelle la déformation plastique de cette matrice apparaît. On obtient ainsi : Pour les fibres de carbone : Pour les fibres de verre : Pour la matrice d’époxy :

(Af)C = (Rm/E)C = (3/200) = 1,5x10-2 = 1,5 % (Af)V = (Rm/E)V = (1,7/70) = 2,43x10-2 = 2,43 % εélm = Rem/Em = (65/4000) = 1,625x10-2 = 1,625 %

Puisque (Af)C < εélm et que (Af)V > εélm, le composite renforcé de fibres de carbone présentera un comportement fragile en traction,

Composite : =

6.d)

C

(2 pts)

Résistance à la traction du composite choisi à la question précédente Justification :

D’après la règle des mélanges appliquée aux contraintes à l’instant de la rupture des fibres de carbone , on obtient la relation suivante : (1) RmC = VfRmf + (1 – Vf)σm où σm est la contrainte existant dans la matrice à l’instant de la rupture. Puisque la matrice est en régime de déformation élastique, la valeur de σm est donnée par : σm = Em(Af)C (2) En combinant les relations (1) et (2), on obtient : RmC = VfRmf + (1 – Vf)Em(Af)C RmC = (0,22 x 3000) + [(1 – 0,22) x 4000 x 1,5x10-2]

Rm =

706,8 MPa

Sous-total = 5 pts

(1 pt)

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7.

Formulaire de réponses

Page 6 de 12

[1 01]

z

Exercice n° 7 7.a)

C O R R I G É

( )

[011]

Plan réticulaire 1 1 1 du cuivre

(1,5 pts)

y 7.b)

Caractéristique de la famille {111} Justification :

[110]

x

Dans le réseau CFC du cuivre, la famille {111} est la famille de plans de plus grande densité atomique, car tous les atomes contenus dans ce type de plan se touchent, alors que cette caractéristique ne se retrouve pas dans les familles de plans dont les indices h, k et l ne sont tous pas égaux à 1. 7.c)

(1 pt)

( )

Systèmes de glissement associés au plan 1 1 1 Justification :

Un système de glissement est constitué d’un plan de plus grande densité atomique et d’une direction de plus grande densité atomique située dans ce plan. Dans le réseau CFC du cuivre, les directions de plus grande densité atomiques sont les directions de type (diagonales des faces). Il y a donc 3 systèmes de glissement (voir fig. ci-dessus) Indépendance :

Seuls deux (2) de ces 3 systèmes sont indépendants, car un glissement dans une direction donnée peut toujours être obtenue par la somme vectorielle de glissements effectués dans les deux autre directions.. Les 3 systèmes ne sont donc pas totalement indépendants l’un de l’autre. 7.d)

Système

(1 1 1)[110] (1 1 1)[011] (1 1 1)[1 01]

(2 pts)

--------------

( )

Directions de glissement associées au plan 1 1 1

(1,5 pts)

Tracez ces directions dans la maille ci-dessus et identifiez les par leurs indices.

Voir réponse sur la figure ci-dessus 7.e)

( )

Direction de traction entraînant un glissement dans le plan 1 1 1 Répondez par A ou B dans la case et justifiez votre réponse :

Si la direction de traction est perpendiculaire au plan de glissement, il n’y a aucune composante de cission τ s’exerçant dans le plan de glissement considéré. Or, on constate que la direction de traction 1 1 1 (direction B) est perpendiculaire au plan considéré car ses indices [uvw] sont respectivement égaux aux indices de Miller (hkl) du plan. Seule la direction de traction A (axe [001]) peut produire un glissement dans le plan 1 1 1 .

[ ]

( )

A

Sous-total = 7 pts

(1 pt)

Cours ING1035 - MATÉRIAUX Examen final du 23 avril 2003 7.f)

Formulaire de réponses

C O R R I G É

Page 7 de 12

Système(s) de glissement activé(s) Justification :

Si la direction de traction A est perpendiculaire à l’une des 3 directions potentielles de glissement, il ne peut y avoir de glissement cristallographique le long de cette direction, puisqu’il n’y a aucune composante de cission τ s’exerçant selon cette direction de glissement. Donc, si le produit scalaire de la direction de traction et de la direction potentielle de glissement est nul, il n’y aura pas de glissement sur ce système. En appliquant cette méthode, on constate que la direction de (1 1 1)[011] traction A (axe [001]) peut produire un glissement le long des directions (2 pts) (1 1 1) 1 01 de glissement [011] et 1 01 .

[ ]

7.g)

[ ]

Phénomène physique apparaissant dans le monocristal Justification :

Il y a mise en mouvement des dislocations situées dans le plan de glissement du monocristal (activation de glissement cristallographique) (1 pt) 7.h)

Cission critique de glissement dans le cuivre de haute pureté Justification : La cission τ s’exerçant dans le plan de glissement 1 1 1 et le long d’une des deux

( )

[ ]

directions de glissement ( 1 01 ou [011] ) est donnée par la relation suivante : τ = σ nom cos θ cos χ où θ est l’angle entre la direction de traction [001] et l’une des directions de glissement et χ est l’angle entre la direction de traction et la normale 1 1 1 au plan de glissement. Les valeurs de cosθ et de cosχ sont obtenues en faisant le produit scalaire des directions considérées. On obtient ainsi :

[ ]

cos θ = 1 2 = 0,707 cos χ = 1 La cission critique τ∗ est donc égale à : τ∗ = 1,225 x 0,707 x 0,577 = 0,50 MPa 7.i)

3 = 0,577

τ∗ =

0,50

MPa

Limite proportionnelle d’élasticité théorique du cuivre polycristallin Justification :

Dans un polycristal où les grains sont orientés aléatoirement, le glissement cristallographique apparaît tout d’abord dans les grains ayant le facteur de Schmid cosθ.cosχ le plus élevé. La valeur maximale de ce facteur est égale à 0,5. Donc la limite proportionnelle d’élasticité Re du cuivre de haute pureté devrait être égale à 2 fois la cission critique τ∗ obtenue à la question précédente : Re = 2 τ∗ = 2 x 0,5 MPa = 1 MPa 7.j)

(1 pt)

Raison de la différence. Raison 1 :

Re =

1

MPa

(1 pt)

Comparé au cuivre de haute pureté (99,999 % Cu), le cuivre commercialement pur (99,9 %Cu) contient donc un certain % d’atomes étrangers en solution solide. La présence des ces atomes dans le réseau cristallin du cuivre (soit en substitution, soit en insertion) conduit à une augmentation de la limite proportionnelle d’élasticité Re par le mécanisme de durcissement par solution solide. (2 pts) Raison 2 :

Lorsque l’on dit que Re = 2 τ∗, on ne prend pas en compte le fait qu’il existe des joints de grains dans le polycristal. La présence de ces joints de grains qui sont des obstacles au mouvement des dislocations entraîne aussi une augmentation de la limite proportionnelle d’élasticité Re. C’est le mécanisme de durcissement par affinement des grains.

Sous-total = 7 pts

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8.

Formulaire de réponses

C O R R I G É

Page 8 de 12

Exercice n° 8 8.a)

Composition nominale de l’acier en carbone. Justification :

Connaissant la valeur des fractions massiques soit de ferrite (fα), soit de cémentite (fFe3C), on applique la règle des bras de leviers afin d’en déduire la composition nominale C0 de l’acier. En raisonnant par exemple avec la ferrite, on obtient ainsi : fα = (CFe3C – C0)/(CFe3C – Cα) Æ C0 = CFe3C – fα(CFe3C – Cα). À température ambiante, la solubilité du carbone dans la ferrite est négligeable et Cα ≅ 0 . C0 ≅ CFe3C – fα(CFe3C) = 6,68 – (0,913 x 6,68) = 0,58 %m C

Donc 8.b)

8.c)

C0 = 0,58 %m C

(1 pt)

Phases en présence à 724 °C Phase

Composition (%C)

Proportion (%m)

Austénite (γ) Ferrite (α) -----------------------

0,8 0,022 -------------

71,9 28,1 -------------

(2 pts )

Fraction massique de perlite à 20 °C Justification :

La perlite se forme à 723 °C au cours de la réaction eutectoïde que subit l’austénite présente à 724 °C. Par conséquent la fraction massique de perlite est égale à la fraction massique d’austénite présente à 724 °C et calculée à la question ci-dessus.

fP = 8.d)

71,9 %m

(1 pt)

Constituants et dureté de l’acier après traitement thermique

Traitement

1 2 3

Constituants

Ferrite (a) Perlite grossière -----------Martensite ----------------------Bainite Martensite

Dureté (HRC)

14

62

ND

------------

Sous-total = 10 pts

(6 pts)

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9.

Formulaire de réponses

C O R R I G É

Page 9 de 12

Exercice n° 9 9.a)

9.b)

TTDF de l’acier TTDF

°C

25 J

- 20 0

50 %ductilité

Ténacité KIC de l’acier Justification :

(1 pt)

L’énergie Charpy absorbée à 20 °C est égale à 75 J. Grâce à la courbe donnant la corrélation empirique existant entre cette énergie et la ténacité KIC, on en déduit que KIC = 65 MPa.m½

KIC = 9.c)

66

MPa.m½

(1 pt)

Amplitude de contrainte du chargement cyclique Justification :

Par définition, l’amplitude de contrainte σa est égale à (σmax – σmin)/2, où σmax et σmin sont respectivement la contrainte maximale et la contrainte minimale du chargement cyclique. Dans le cas présent, σmin = 0, donc σa = σmax/2 = 180/2 MPa = 90 MPa 9.d)

σa =

90

MPa

(1 pt)

Vitesse de propagation de la fissure au moment de sa découverte Justification :

La variation ∆K du facteur d’intensité de contrainte associé à la fissure est égale à :

∆K = α∆σ πa = α(σ max − σ min ) πa

Dans ce cas, σmax = 180 MPa; σmin = 0 ; a = 2 mm = 2x10-3 m ; α = 1,15. On obtient une valeur de ∆K = 16,41 MPa.m½. En portant cette valeur dans la relation de Paris, on obtient : da/dN = 3,5x10-12x(16,41)4 = 2,54x10-7 m/cycle. 9.e)

da/dN = 2,54x10-7 m/cycle

(2 pts)

Longueur critique de la fissure Justification :

Le facteur critique d’intensité de contrainte KIC de l’acier étant connu (question 9.b ci-dessus) ainsi que la contrainte σmax appliquée à la pièce, il est alors aisé d’en déduire la longueur critique aC de la fissure, qui entraînera une rupture brutale, apparemment fragile de la pièce :

K IC = ασ max πa C

Æ

1 K  a C =  IC  π  ασ max 

2

Dans ce cas : σmax = 180 MPa; KIC = 66 MPa.m½; α = 1,15. On obtient une longueur critique :

aC = 3,24 x10-2 m = 32,4 mm

aC = 32,4

mm

Sous-total = 7 pts

(1 pt)

Cours ING1035 - MATÉRIAUX Examen final du 23 avril 2003 9.f)

C O R R I G É

Formulaire de réponses

Page 10 de 12

Durée de vie résiduelle de la pièce exprimée en cycles Justification :

da dN = C∆K n L’équation de la droite de Paris est de la forme : avec les constantes C et n connues : C = 3,5x10-12 et n = 4

(1)

En rappelant ici que ∆K = Kmax et en utilisant la définition de Kmax , l’équation (1) s’écrit alors :

(

da dN = C∆K n = C ασ max πa avec

(

B = C ασ max π

)

n

)

n

(

)

n

= C ασ max π a

(

n

)

2

= Ba

n

2

(2)

4

= cste = 3,5x10 −12 1,15x180 x π = 6,342x10-2

En séparant les variables dans l’équation (2), on obtient l’équation (3) ci-dessous que l’on peut aisément intégrer en prenant comme bornes d’intégration la longueur initiale a0 et la longueur finale aF de la fissure. On obtient ainsi l’équation (4) :

dN =

1 da 1 da = n B a 2 B a2

(3) a

[N]

aF a0

a 1 F da 1  − 1 F 1  1 1  = ∫ 2 =   =  −  B a0 a B  a  a0 B  a 0 a F 

(4)

Avec la valeur de B trouvée ci-dessus et pour a0 = 2 mm et aF = 22 mm, on obtient :

[N]aa

F 0

=

11 1 1 1   1 = 7 167 cycles −  − = −2  −3 B  a 0 a F  6,342 x10  2 x10 22 x10 −3 

N= 9.g)

7 167 cycles

(3 pts)

Durée de vie résiduelle de la pièce exprimée en jours Justification :

Si la fréquence de sollicitation est f (ici 10-3 Hz = 10-3 s-1), la durée de vie résiduelle n de la pièce, exprimée en secondes (s), est égale à : n = N/f où N est le nombre de cycles résiduels. Avec la valeur de N trouvée à la question précédente, on obtient :

n = 7,167 x106 s

Puisqu’il y a 86 400 s dans un jour (86 400 = 60 x 60 x 24), la durée de vie résiduelle n de la pièce jusqu’à son remplacement est égale à : n = 7,167x106/86400 = 82,95 jours

n=

83

jours

Sous-total = 4 pts Total : 60 pts

(1 pt)

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Formulaire de réponses

C O R R I G É

Page 11 de 12

ANNEXES Exercice n° 9 : Comportement mécanique de l’acier 100

100

75

75

50

50

25

25 Énergie

0 -80

0 Température (ºC)

-40

40

0 80

Courbes de résilience Charpy de l’acier 120

Facteur critique KIC (MPa.m½)

110 100 90

Corrélation expérimentale entre la résilience Charpy à 20 ºC et la ténacité KIC de l’acier à 20 ºC

80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

Énergie Charpy W (J) à 20 ºC

90

100 110

Ductilité (%)

Énergie W (J)

% ductilité

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Formulaire de réponses

C O R R I G É

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ANNEXES Exercice n° 9 : Comportement mécanique de l’acier 10-4

10-5

10-6

da/dN (m/cycle)

da/dN = 3,5x10-12∆K4

10-7

10-8

10-9

10-10 1

10

100

∆K (MPa.m½) Variation de la vitesse de propagation da/dN d’une fissure de fatigue dans l’acier en fonction du facteur d’intensité de contrainte ∆K

PROGRAMME DE GÉNIE DES MATÉRIAUX

COURS ING1035 - MATÉRIAUX EXAMEN FINAL du 2 mai 2002 de 9h30 à 12h00

QUESTIONNAIRE

NOTES :

♦ Aucune documentation permise. ♦ Calculatrices non programmables autorisées. ♦ Les nombres entre parenthèses indiquent le nombre de points accordés à la question, le total est de 60 points. ♦ La cote maximale de l’examen est égale à 50 pts. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs ou une justification, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. ♦ Utilisez les espaces prévus ou la page opposée pour vos calculs. ♦ Le questionnaire comprend 15 pages, incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général. ♦ Le formulaire de réponses comprend 11 pages. ♦ Vérifiez le nombre de pages du questionnaire et du formulaire de réponses.

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Questionnaire

Page 2 de 15

Les exercices 1 à 5 portent sur les unités au choix n° 8 à 12.

Exercice n° 1 : Dégradation des matériaux La cuve des chauffe-eaux domestique est généralement faite en acier doux (fer, Fe) et sa paroi interne est revêtue d'un émail (céramique vitrifiée) afin d'éviter la corrosion de l'acier. Toutefois, au cours du temps et à cause des variations de température de la cuve, il arrive souvent que cet émail se fissure et que la cuve risque la perforation par corrosion localisée de l'acier. Étant l'ingénieur responsable d'une usine de fabrication de chauffe-eaux, vous désirez offrir à vos clients un produit de qualité et vous décidez d'ajouter une électrode de magnésium (Mg) au chauffe-eau afin de protéger la cuve d'acier en cas de fissuration de l'émail. En annexe, vous disposez de la liste des potentiels standards. a)

Comment se nomme cette méthode de protection contre la corrosion ? Cochez la case appropriée sur le (0,5 pt) formulaire de réponse.

b)

Quelle est l'anode et quelle est la cathode dans le couple Fe - Mg si ces deux métaux sont en contact (0,5 pt) électrique et sont plongés dans un électrolyte tel que l’eau. Justifiez votre réponse.

c)

L'eau du chauffe-eau pouvant être considérée comme un électrolyte neutre contenant de l'oxygène dissous, quelles sont les réactions anodique et cathodique qui se produisent si le couple Fe - Mg est actif (1 pt) ? Cochez les cases appropriées sur le formulaire de réponse.

Dans un tel électrolyte, les réactions anodiques et cathodique sont caractérisées par les paramètres suivants associés à leurs courbes de polarisation :

Réaction Cathodique Cathodique (Fe) Anodique (Fe) Anodique (Mg)

Courant de polarisation E0 (V)

i0 (A)

+ 0,40

3x10

- 0,40 - 0,40 - 1,00

Pente de Tafel β (V/décade)

-6

- 0,42

-5

- 0,10

-5

+ 0,10

-5

+ 0,15

1x10 1x10 1x10

d)

Si le chauffe-eau n'était pas muni d'une électrode de Mg, quelle serait la valeur (en µA) du courant de (1 pt) corrosion iFe du fer ? Conseil: utilisez le papier graphique donné en annexe pour obtenir votre réponse.

e)

Lorsque le chauffe-eau est muni de l'électrode de Mg, quelle est la valeur (en mA) du courant de (1 pt) corrosion iMg qui affecte l'électrode de magnésium ? Conseil: utilisez le papier graphique donné en annexe pour obtenir votre réponse.

Vous avez décidé de munir les chauffe-eaux d'une électrode de magnésium dont la masse initiale m0 est égale à 50 g. Dans le manuel d'emploi du chauffe-eau destiné à vos clients, vous désirez leurs indiquer au bout de combien de temps ils doivent procéder au remplacement de l'électrode en faisant l'hypothèse conservatrice que l'électrode est devenue active dès la mise en service du chauffe-eau. Vous estimez que ce remplacement de l'électrode doit être fait lorsqu'elle a perdu 75 % de sa masse initiale. f)

Au bout de combien de temps (exprimé en mois) recommandez-vous à vos clients de remplacer (1 pt) l'électrode ? NB : 1 mois = 720 h. Données: Masse atomique de Mg = 24,31 g/mole. Constante de Faraday F = 96 485 C/mole.

Sous-total: 5 pts

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Questionnaire

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Exercice n° 2 : Propriétés physiques L’arséniure de gallium GaAs est semi-conducteur très prometteur. À température ambiante (20 °C = 293 K), sa semi-conduction intrinsèque est caractérisée par les grandeurs suivantes : Bande interdite Eg = 1,4 eV Mobilité des électrons a) Calculez les densités Ne et valence du GaAs à 20 °C .

µe =0,65 m2/V.s

Conductivité σ = 10 S/m -6

Mobilité des trous

µt = 0,04 m2/V.s

Nt des niveaux d’énergie dans la bande de conduction et dans la bande de (1 pt)

b) Quels sont le nombre ne d’électrons libres et le nombre nt de trous par unité de volume du GaAs à 20 (1 pt) °C? c) À quelle température (en °C) doit-on porter le GaAs pour que sa conductivité intrinsèque soit alors égale (1 pt) -3 à 10 S/m, soit 1000 fois plus élevée ? Pour obtenir une telle conductivité à 20 °C, on peut doper le GaAs soit avec du cadmium (Cd), soit avec du sélénium (Se) pour en faire un semi-conducteur extrinsèque (voir tableau périodique en annexe). d) Afin de minimiser le taux de dopage (concentration atomique en élément dopant), vaut-il mieux utiliser le (2 pts) -3 cadmium (Cd) ou le sélénium (Se) pour obtenir cette conductivité extrinsèque égale à 10 S/m ? Quel type de semiconducteur extrinsèque (n ou p) obtiendra-t-on avec un tel dopant ? Justifiez votre choix.

Données :

 − Eg   − Eg   n e n t = (N e N t )exp  σ = e(N e N t )1 2 (µ e + µ t )exp    kT   2kT  e = 1,6x10-19 C k = 1,381x10-23 J/K

Exercice n° 3 : Matières plastiques Le nylon 6-6 est désigné ainsi parce que l'un de ses monomère (l’hexaméthylène diamine) contient 6 groupes CH2 dans sa molécule (figure ci-dessous); l'autre monomère est l'acide adipique dont la molécule est aussi représentée ci-dessous.

a)

De quel type est la réaction de polymérisation de ces deux monomères ? Cochez la case appropriée sur (1 pt) le formulaire de réponse et justifiez votre choix.

b)

Quelle est l’architecture atomique du nylon ainsi formé ? Cochez la case appropriée sur le formulaire de (1 pt) réponse.

Deux échantillons 1 et 2 de nylon 6-6 ont les masses volumiques et les pourcentages de cristallinité respectifs donnés au tableau suivant :

Sous-total : 7 pts

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c)

Questionnaire

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3

Échantillon

Masse volumique (g/cm )

Cristallinité (%)

1

1,166

52

2

1,112

18

Si l'on suppose que la masse volumique varie linéairement en fonction du pourcentage de cristallinité, 3 quelle est la masse volumique (en g/cm ) du nylon 6-6 entièrement cristallisé ?

(1 pt)

La figure ci-contre représente schématiquement la variation du logarithme du module d'Young E du nylon en fonction de la température. d)

e)

À quoi correspondent les températures T1 et T2 associées à la courbe A ? Cochez la case appropriée sur le formulaire de réponse.

Sachant que, sur la figure donnée ci-dessus (question d), la courbe B est celle qui est associée à l'échantillon 1 de la question c) ci-dessus, associez respectivement les courbes A et C à l'échantillon 2 et à un échantillon de nylon entièrement cristallisé.

(1 pt)

(1 pt)

Exercice n° 4 : Matériaux céramiques Vous disposez de pièces en céramique vitreuse qui doivent subir des variations très brusques de température au cours de leur utilisation. On suppose qu’à l’occasion d’un choc thermique très sévère, la surface de la pièce change instantanément de température et qu’il n’y pas d’échange de chaleur avec le cœur de la pièce qui reste un certain temps à la température initiale. La céramique vitreuse a les propriétés suivantes : Résistance à la traction : Résistance à la compression : Coefficient de dilatation : Module d’Young : Coefficient f(ν) :

(Rm)t (Rm)c

α

E f(ν)

= 80 MPa = 150 MPa -6 -1 = 6,4 x 10 °C = 80 GPa = 0,9

a)

Calculez la déformation élastique (en %) apparaissant à la surface de la pièce si celle-ci est portée très rapidement à 280 °C à partir de la température ambiante (20 °C).

b)

Dans ce cas, calculez la contrainte (en MPa) apparaissant à la surface de la pièce.

c)

De quel type est la contrainte apparaissant à la surface de la pièce ? Cochez la case appropriée sur le (1 pt) formulaire de réponse et justifiez votre choix.

d)

Dans ces conditions d'échauffement brusque, y a-t-il risque de rupture de la céramique s'amorçant à la (1 pt) surface ? Cochez la case appropriée sur le formulaire de réponse et justifiez votre choix.

e)

À partir de quelle température θ (en °C) y aura-t-il rupture de la pièce s’amorçant à sa surface si la pièce (1 pt) est brusquement refroidie de la température θ jusqu’à la température ambiante (20°C) ?

(1 pt) (1 pt)

Sous-total : 8 pts

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Questionnaire

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Exercice n° 5 : Matériaux composites La structure tubulaire de la navette spatiale comprend plusieurs éléments (entretoises, raidisseurs) qui sont faits d’un matériau composite ayant une matrice d’aluminium renforcée de fibres continues et alignées de bore. La fraction volumique de renfort Vf est égale à 45 %. Les propriétés des composants sont données au tableau suivant : Composant

E (GPa)

Re (MPa)

Rm (MPa)

A (%)

Aluminium

70

400

600

12

Bore

400

na

3600

?

a) Quelle est la valeur (en GPa) du module d'Young EC du composite ? b) Quelle est la valeur du rapport EC/Em, où Em est le module d'Young de la matrice ?

(1 pt) (1 pt)

c) Quelle est la valeur (en MPa) de la limite d'élasticité ReC du composite ?

(1 pt)

d) À la limite d’élasticité du composite, quelle est la valeur du rapport r = Ff/Fm de la force Ff supportée par les (1 pt) fibres à la force Fm supportée par la matrice ? e) Quelle est la valeur (en %) de l'allongement relatif final à la rupture AC du composite ?

(1 pt)

Sous-total : 5 pts

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Questionnaire

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Les exercices suivants portent sur les unités obligatoires n° 1 à 7.

Exercice n° 6 Considérez la figure ci-dessous qui représente la variation de l’énergie interne U des atomes d’un solide en fonction de la distance d’équilibre d entre ces atomes. Cette courbe est caractérisée par certaines grandeurs A, B, C, D et F. Dans la liste des propriétés d’un matériau données ci-dessous, associez la propriété qui est directement reliée à chacune des grandeurs A, B, C, D et F.

(5 pts)

U

1) Distance interatomique au zéro degré absolu 2) Distance interatomique à la température de fusion 3) Conductivité thermique 4) Résistance théorique à la traction

B

5) Énergie de déformation élastique

0

C (pente)

6) Module d’Young 7) Ductilité

F (pente max.)

A

8) Coefficient de dilatation linéique

d

9) Température de transition allotropique

D (rayon de courbure)

10) Température de vaporisation

Exercice n° 7 Le fluorure de calcium (appelé fluorite) cristallise selon le système cubique. Deux plans atomiques particuliers de cette structure cristalline sont représentés ci-dessous.

[001]

[010]

0,6026 nm

Ca

[10 1 ]

[110]

F

(1 pt)

a)

Quel est le réseau de Bravais de la fluorite ? Justifiez votre réponse.

b)

Quel type de sites occupent les atomes de fluor (F) dans le réseau formé par les atomes de calcium (Ca) (1 pt) ? Quelle est la formule chimique de la fluorite ? Justifiez votre réponse par des considérations (1 pt) cristallographiques.

c) d) Données :

Quelle est la masse volumique théorique ρ (en g/cm ) de la fluorite ? 3

Nombre d’Avogadro : Masse atomique :

23

(2 pts)

-1

NA = 6,022x10 mole F = 19,00 g/mole

Ca = 40,08 g/mole Sous-total : 10 pts

Cours ING1035 MATÉRIAUX Examen final du 2 mai 2002

Questionnaire

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Exercice n° 8 Le carbure de silicium (SiC) sous forme de trichites (whiskers) est aujourd’hui utilisé comme renfort dans certains composites à matrice métallique. Ces trichites sont de fins monocristaux filamentaires n’ayant comme défauts que des défauts superficiels (marches ou entailles semi-elliptiques). Le rayon de courbure r à la racine de tels défauts est égal à 0,3 nm. Certaines propriétés du SiC sont données au tableau ci-contre.

E (GPa) Rm (MPa)

γS (J/m2)

½

KIC (MPa.m )

840 21 000 1,3 1,5

a) Quelle est la valeur (en MPa) de la résistance théorique à la traction Rth des trichites de SiC ?

(1 pt)

b) Si l’on suppose qu’il n’y avait qu’un seul défaut superficiel sur les trichites utilisées pour mesurer leur (1 pt) résistance à la traction Rm, quelle est la valeur du facteur de concentration de contrainte Kt associé à ce défaut ? c) Selon que l’on suppose que le défaut était une marche ou une entaille semi-elliptique, quelle était la hauteur (2 pts) (en nm) de cette marche ou la profondeur (en nm) de l’entaille ? Données : voir en annexes pour les facteurs de concentration de contrainte.

Exercice n° 9 Grâce à leurs propriétés mécaniques intéressantes et modulables par un traitement de durcissement structural, les alliages d'aluminium de la série 2000 sont fréquemment utilisés en aéronautique et dans les transports (camions, trains). En annexe, vous disposez de la partie requise du diagramme Al – Cu. a)

Quelle est la formule chimique du composé intermétallique θ ?

(1 pt)

b)

Ce composé intermétallique θ est-il stoechiométrique ? Justifiez votre réponse.

(1 pt)

c)

Quelle doit être la composition nominale C0 d’un alliage Al – Cu hypoeutectique qui, après solidification à (1 pt) l’équilibre jusqu’à 547 °C, contient 80 % de constituant eutectique ?

d)

Quelle est l’autre constituant présent dans cet alliage à 547 °C et en équilibre avec le constituant (1 pt) eutectique ?

Considérez l'alliage commercial 2014 qui contient 4,5 %m de cuivre. Les courbes de vieillissement de cet alliage 2014 sont donnés en annexe. Vous désirez appliquer un traitement de durcissement structural à cet alliage afin qu’il ait les propriétés mécaniques minimales suivantes : Re0,2 e)

≥ 400 MPa

Rm

≥ 450 MPa

A

≥ 12 %

Proposez un traitement thermique qui permet d’obtenir ces propriétés mécaniques minimales, sachant que, pour des raisons d’économie d’énergie, la durée du revenu ne peut excéder 100 heures. Donnez le (4,5 pts) nom et l’objectif de chaque étape du traitement thermique, précisez la température à laquelle se déroule cette étape ainsi que sa durée.

Exercice n° 10 Au cours de la fabrication du fût d’un canon, un défaut, assimilable à une fissure, s’est formé sur la surface interne du fût, tel que schématisé ci-contre. Le fût a un diamètre intérieur de 80 mm et un diamètre extérieur de 160 mm. La fissure, de profondeur initiale a = 0,5 mm, a un facteur géométrique α égal à 1,2.

Fissure (profondeur a)

Sous-total : 12,5 pts

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Questionnaire

Lors d’un tir du canon, la contrainte nominale de tension fissure est donnée par la relation suivante :

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σnom s’exerçant perpendiculairement au plan de la

σ nom = PR i e où Ri et e sont respectivement le rayon interne et l’épaisseur du fût, P est la pression interne s’exerçant dans le fût du canon au cours du tir d’un obus. Au cours d’un tel tir, cette pression P est égale à 300 MPa. L’acier dont est fait le fût a les propriétés mécaniques suivantes : Re,02 = 1100 MPa KIC = 105 MPa.m

Rm = 1250 MPa ½

Seuil de propagation en fatigue ∆KS = 8 MPa.m

½

a)

Quelle est la valeur de la contrainte nominale de tension σnom (en MPa) s’exerçant perpendiculairement (1 pt) au plan de la fissure au cours du tir d’un obus ?

b)

Est-ce que la fissure est susceptible de se propager lorsque le canon est mis en service ? Justifiez (1,5 pt) quantitativement votre réponse.

c)

Quelle sera la profondeur critique a* de la fissure (en mm) qui entraînera la rupture brutale (1 pt) (apparemment fragile) du fût ?

La relation de Paris caractérisant le comportement de cet acier en fatigue-propagation est la suivante : -11

da/dN (m/cycle) = 6x10

∆K2,5

d)

Quelle est la valeur du rapport R caractérisant le chargement en fatigue du fût au cours des tirs du canon (1 pt) ?

e)

Si la fréquence de tir du canon est de 10 tirs par jour de tir, au bout de combien de jours de tir se produira la rupture brutale du canon, si la fissure n’a pas été préalablement détectée au cours des (4 pts) inspections préventives du canon ?

Exercice n° 11 Dites si les affirmations présentées au tableau du formulaire de réponses sont vraies (V) ou fausses (F). Attention ! Une mauvaise réponse en annule une bonne.

Bonnes vacances ! Pour l’équipe de professeurs, le coordonnateur : Jean-Paul Baïlon

Sous-total : 12,5 pts Total = 60 pts

(4 pts)

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Questionnaire

ANNEXES Série des potentiels standards

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Questionnaire

Page 10 de 15

Cours ING1035 MATÉRIAUX Examen final du 2 mai 2002

Questionnaire

ANNEXES Facteurs de concentration de contrainte

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Cours ING1035 MATÉRIAUX Examen final du 2 mai 2002

Questionnaire

ANNEXES Diagramme Al – Cu (partiel)

Page 12 de 15

Cours ING1035 MATÉRIAUX Examen final du 17 décembre 2001

Questionnaire

ANNEXES Durcissement structural de l’alliage 2014

Page 13 de 15

Cours ING1035 MATÉRIAUX Examen final du 17 décembre 2001

Questionnaire

ANNEXES Tableau périodique

Page 14 de 15

Cours ING1035 MATÉRIAUX Examen final du 17 décembre 2001

[

(

ε x = 1 σx − v σ y + σz E

[

)]

Questionnaire

Page 15 de 15

da = C∆K n dN

]

εy = 1 σy − v(σx +σz ) E

[

]

m=

Ai corr t nF

εz =

1 σ z − v (σ x + σ y ) E

∆=

G=

E 2 (1 + v )

(m a )ox ρ M (m a )M ρ ox

R=

ρl S

R th =

2Eγ s a0

σ = n e e µe σ = (n e e µ e + n t e µ t )

hx ky lz 1= + + na nb nc

 − Eg σ = σ 0 exp   2kT

r = ua + vb + wc

 σ y = σ nom 1 + 2  τ=

a r

   

F cos θ cos χ S0 G b 2π a

τ th =

(

2E γS π σ2

Rm = ( Rm )0 e − nP

∆θ* = R1 =

f S C S + f L C L = C0  Q  D = D0 exp  − 0   kT  σt K2

Rm . f (v ) Eα

R3 =

E R . f (v )

R4 =

Eγ S = γ S R3 R . f (v )

2 m

2 m

(Rm )c = V f (Rm ) f

KC = α σ π a

ε vel =

)

E = E 0 0,9 P 2 −1,9 P +1

Re 0.2 = σ 0 + kd −1/ 2 lc =

  K 2 t   1 − exp  − η  2   

  

(Rm )C

+ (1 − V f ) σ m

= V f σ f + (1 − V f

) (R )

E C = V f E f + Vm E m EC ≅

3 V f E f + Vm E m 8

(Rm )C

= kV f ( Rm ) f + Vm σ m

m m

PROGRAMME DE GÉNIE DES MATÉRIAUX Note finale:

/50

NOM (en majuscules):_____________________________ CORRIGÉ

Version révisée PRÉNOM :______________________________ 06/05/2002 SIGNATURE :______________________________ MATRICULE : _________________ SECTION :

COURS ING1035 - MATÉRIAUX EXAMEN FINAL du 2 mai 2002 de 9h30 à 12h00

FORMULAIRE

DE

RÉPONSES

NOTES : ♦ Aucune documentation permise. ♦ Moyen de calcul : calculatrices autorisées seulement. ♦ Les nombres en marge de droite indiquent le nombre de points accordés à la question. Le total est de 60 points. ♦ La cote maximale de l’examen est de 50 points. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. ♦ Utilisez les espaces prévus ou la page opposée pour vos calculs. ♦ Le questionnaire comprend 15 pages, incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général. ♦ Le formulaire de réponses comprend 11 pages. ♦ Vérifiez le nombre de pages de votre questionnaire et de votre formulaire de réponse.

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1.

Formulaire de réponses

Méthode de protection Cochez la case appropriée

Page 2 de 15

Version révisée 06/05/2002

EXERCICE n° 1 (Dégradation) 1.a)

CORRIGÉ

Méthode de protection Protection galvanique Protection cathodique (0,5 pt)

Protection par revêtement

X

Protection par anode sacrificielle Protection par courant imposé 1.b)

Anode et cathode Justifiez votre réponse.

Protection par inhibiteur

D’après l’échelle des potentiels standards, le magnésium (Mg) est plus électronégatif (moins noble) que le fer (Fe). Ce sera lui qui sera l’anode du couple de corrosion. 1.c)

Réaction anodique et réaction cathodique Dans la case appropriée, inscrivez A pour anodique et C pour cathodique.

Anode

Cathode

Mg

Fe

Réaction M

n+

Mg

-

+ne 2+ 2+

Fe

M -

+ 2e

A

Mg

-

+ 2e +

Fe -

(1 pt)

O2 + 4 H + 4 e

2 H2O

O2 + 2 H2O + 4 e-

4 OH

+

1.d)

(1 pt) Courant de corrosion en l’absence de l’électrode de Mg Justifiez votre réponse.

-

2H + 2 e

-

C

H2

Ce courant est donné par l’intersection de la courbe de polarisation cathodique 4 OH- ) avec la courbe de polarisation anodique du fer. (O2 + 2 H2O + 4 eVoir la construction graphique donnée en annexe.

1.e)

(0,5 pt)

µA

i=

130

i=

2,3 mA

(1 pt)

Courant de corrosion en présence de l’électrode de Mg Justifiez votre réponse.

Ce courant est donné par l’intersection de la courbe de polarisation cathodique du fer avec la courbe de polarisation anodique du magnésium. Voir la construction graphique donnée en annexe.

1.f)

(1 pt)

Temps requis pour le changement de l’électrode de Mg Justifiez votre réponse.

Masse de Mg perdue au changement de l’anode : m = 0,75 x 50 g = 37,5 g. Application de la loi de Faraday pour en déduire le temps t (en s) requis : t =

mnF Ai

Avec les valeurs numériques données, on obtient : t = 1,29 x 108 s = 3,6 x 104 h = 49,9 mois

t = 49,9 mois Sous-total = 5 pts

(1 pt)

Cours ING1035 - MATÉRIAUX Examen final du 2 mai 2002

2.

Formulaire de réponses

CORRIGÉ

Page 3 de 15

Version révisée 06/05/2002

Exercice n° 2 (Propriétés physiques) 2.a)

Densité des niveaux d’énergie dans GaAs Justification :

 − Eg  2kT 

Il suffit d’utiliser l’équation σ = e(N e N t )1 2 (µ e + µ t )exp

  donnée  

pour en déduire les densités Ne et Nt qui sont égales dans un semiconducteur intrinsèque. Avec les valeurs numériques données, on obtient ainsi : 24

Ne = Nt = 9,5 x 10 2.b)

Ne

9,5 x 1024

Nt

24

9,5 x 10

ne

9,05 x 1012

nt

9,05 x 1012

(1 pt)

Nombre d’électrons et de trous par unité de volume dans GaAs Justification :

 − Eg   donnée pour en kT  

Il suffit d’utiliser l’équation n e n t = (N e N t )exp 

déduire le nombre d’électrons libres ne et de trous nt par unité de volume de GaAs. Avec les valeurs numériques données, on obtient ainsi : 12

ne = nt = 9,05 x 10 m 2.c)

-3

Température pour avoir une conductivité 1000 fois plus élevée du GaAs Justification :

(1 pt)

 − Eg   (1) 2 kT 1 

A la température T1 =293 K = 20 °C, la conductivité est donnée par l’équation : σ T1 = σ 0 exp 

 − Eg    2kT2 

À la température T2 recherchée, la conductivité est donnée par l’équation : σ T 2 = σ 0 exp 

σ 

− Eg  1

(2)

1

 −  (3) En prenant le logarithme du rapport [éq. (2)/ éq. (1)], on obtient ainsi : ln 2  = σ 2 k  1  T2 T1  σ1) = 1000 et avec les données numériques, on obtient ainsi T2 grâce à l’équation (3) : Sachant que (σ σ2/σ T2 = 390 K = 117 °C

θ = 2.d)

117

°C

(1 pt)

Choix du dopant et type de semiconducteur extrinsèque obtenu Justification :

 − Eg  2kT 

L’équation σ = e(N e N t )1 2 (µ e + µ t )exp

  indique que la conductivité est directement proportionnelle à  

la mobilité des porteurs de charge (électrons ou trous). Puisque la mobilité µe est plus élevée que celle µt des trous, il faut doper le GaAs avec un élément qui introduit des électrons libres supplémentaires. On choisira donc le sélénium (Se) qui possède un électron de valence de plus que l’arsenic. On obtient ainsi un semiconducteur extrinsèque dont les porteurs de Dopant Sélénium (Se) charge majoritaires sont les électrons (charges négatives), donc de type n.

Type

n

Sous-total = 5 pts

(1 pt)

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3.

Formulaire de réponses

CORRIGÉ

Page 4 de 15

Version révisée 06/05/2002

Exercice n° 3 (Matières plastiques) 3.a)

Type de réaction de polymérisation Cochez la case appropriée et justifiez votre choix.

La réaction de polymérisation entre les monomères implique un des atomes d’hydrogènes H de la diamine et le radical OH de l’acide adipique. Il y a alors formation d’une molécule d’eau H2O et création d’une liaison libre à l’extrémité de chacun des monomères qui se lient ainsi ensemble. Comme il y a formation d’un sous-produit (la Polymérisation ramifiée molécule d’eau), c’est donc une polymérisation par condensation Polymérisation par addition qui peut se poursuivre aux deux extrémités de la Polymérisation réticulaire nouvelle « molécule » formée par les deux monomères liés.

(1 pt)

Polymérisation par condensation 3.b)

Architecture atomique du nylon 6-6 Cochez la case appropriée.

X

Polymère ramifié Polymère réticulé

X

Polymère à chaînes linéaires

(1 pt)

Polymère en échelons 3.c)

Masse volumique du nylon 6-6 entièrement cristallisé Justifiez votre réponse

Connaissant deux points spécifiques de cristallinité C1 et C2, il faut trouver l’équation de la droite : ρC = ρ0 + bC où ρ0 est la masse volumique du nylon totalement amorphe et C est le pourcentage de cristallinité. Avec les valeurs données, on obtient : b = 1,588 x10-3 g.cm3/%. La masse volumique du nylon totalement cristallisé est alors donnée par l’une des relations suivantes : ρ = ρ + b(100 C ) = ρ + b(100 C ) = 1 242 g/cm3

ρ = 1,242 g/cm3

3.d)

Températures caractéristiques Inscrivez le symbole de la température dans la case appropriée.

(1 pt)

T2

Température de fusion Température de transition caoutchoutique

(1 pt)

Température de transition ductile - fragile

T1

Température de transition vitreuse 3.e)

Courbes log E = f(T) Inscrivez le symbole de la courbe dans la case appropriée et justifiez votre choix Échantillon

Courbe

2

A C

100 % cristallin

Sous-total = 5 pts

(1 pt)

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4.

Formulaire de réponses

CORRIGÉ

Page 5 de 15

Version révisée 06/05/2002

Exercice n° 4 (Céramiques) 4.a)

Déformation élastique de la surface Justification :

La déformation élastique ε de la surface est égale à la dilatation qu’aurait cette surface si elle était libre de se ε = α∆θ = (6,4 x 10-6)(280 - 20) = 0,17 % dilater :

4.b)

ε = 0,17 %

(1 pt)

σ = 133 MPa

(1 pt)

Contrainte en surface Justification :

La contrainte élastique σ en surface est donnée par la loi de Hooke : σ = Eε = (80 x 1,7 x 10-3) GPa = 133 MPa

4.c)

Type de contrainte en surface Cochez la case appropriée et justifiez votre choix :

N’étant pas libre de se dilater, la surface est maintenue en compression par le cœur de la pièce qui n’a pas encore changé de dimension.

Tension Torsion

(1 pt)

Compression 4.d)

X

Flexion

Risque de rupture Répondez par OUI ou NON et justifiez votre réponse :

Puisque la contrainte élastique de compression σ apparue en surface (133 MPa) est inférieure à la résistance (Rm)C de la céramique en compression (150 MPa) , il n’y pas risque de rupture.

NON 4.e)

(1 pt)

Température critique Cochez la case appropriée et justifiez votre choix :

Au cours d’un refroidissement brusque, il y a apparition d’une contrainte de tension à la surface. Si cette contrainte devient égale à la résistance (Rm)t de la céramique en tension (80 MPa), il y alors rupture s’amorçant à la surface. L’intervalle critique de température est donné par l’équation suivante : ∆θ* = Avec les données numériques, on obtient : ∆θ* = 140 °C. ∆θ La température critique est donc égale à θ* = ∆θ* ∆θ + 20 °C = 160 °C

(R m )t f (ν) Eα

.

θ =

160

°C

Sous-total = 5 pts

(1 pt)

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5.

Formulaire de réponses

CORRIGÉ

Page 6 de 15

Version révisée 06/05/2002

Exercice n° 5 (composite) 5.a)

Module d’Young EC du composite Justification :

Le module d’Young du composite est donné par la règle des mélanges appliquée aux modules de composants : EC = VfEf + (1 – Vf)Em = (0,45 x 400) + (0,55 x 70) GPa =

218,5 GPa

EC = 218,5 GPa 5.b)

(1 pt)

Rapport EC/Em du composite Justification :

En utilisant la règle des mélanges, on obtient : EC/ Em = VfEf/Em + (1 – Vf) = 0,45(400/70) + 0,55 =

3,12

EC/Em = 5.c)

3,12

(1 pt)

Limite d’élasticité ReC du composite Justification :

Il faut tout d’abord vérifier si la matrice entre en régime de déformation plastique avant que le renfort ne se rompt. La déformation élastique de la matrice correspondant à sa limite d’élasticité est égale à : εem = Rem/E- = 0,57 %. L’allongement à la rupture du renfort (bore) est égal à : Af = Rmf/Ef = 0,9 % La matrice se déforme donc plastiquement avant la rupture du renfort et la courbe de traction du composite comportera une limite d’élasticité ReC donnée par la loi de Hooke appliquée au composite : ReC = ECεem = [VfEf + (1 – Vf)Em] Rem/Em

ReC = 5.d)

(1 pt)

Rapport Ff/Fm à la limite d’élasticité du composite Justification :

Le rapport cherché est égal à :

σ f Vf SC Ff σS σ f Vf = f f = = Fm σ m S m σ m (1 − Vf )SC σ m (1 − Vf )

(1)

avec :

σm = Rem et σf = Efεem = RemEf/Em

(2)

F Vf E f En combinant les éq. (1) et (2), on obtient : f = Fm (1 − Vf )E m 5.e)

1248,6 MPa

Ff/Fm =

4,675

(1 pt)

Allongement relatif final à la rupture du composite Justification :

La rupture du composite a lieu quand le renfort se rompt, c’est-à-dire pour un allongement égal à l’allongement à la rupture du bore Aff = Rmf/Ef = (3,6/400) = 0,9%

AC =

0,9

%

Sous-total = 5 pts

(1 pt)

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6.

Formulaire de réponses

CORRIGÉ

Page 7 de 15

Version révisée 06/05/2002

Exercice n° 6 Indiquez le n° de la(les) propriété(s) associée(s) à la grandeur

7.

Grandeur

A

B

C

D

F

Propriété(s)

10

1

8

6

4

(5 pts)

Exercice n° 7 7.a)

Réseau de Bravais de la fluorite

En mettant en place les deux plans atomiques donnés dans une maille du système cubique, on constate que l’on obtient un réseau de Bravais cubique à faces centrées (CFC).

CFC

Réseau : 7.b)

(1 pt)

Sites occupés par les atomes de fluor dans la fluorite

Les atomes de fluor occupent les 8 sites tétraédriques appartenant en propre au réseau CFC. Conseil : consultez l’exercice 3.12 du cédérom « Des Matériaux »

Site : 7.c)

tétraédriques

(1 pt)

Formule chimique de la fluorite Justification :

Les 8 atomes de fluor, logés dans les sites tétraédriques, appartiennent tous en propre à la maille CFC. Les 6 atomes de calcium situés sur les faces appartiennent pour moitié chacun à la maille Æ 3 Ca en propre. Les 8 atomes de calcium situés aux 8 sommets de la maille sont partagés chacun par 8 mailles Æ 1 Ca en propre. Il y a donc 8 atomes de fluor et 4 atomes de calcium appartenant en propre à la maille; la formule chimique (1 pt) CaF2 7.d)

Masse volumique théorique ρ de la fluorite Justification :

Masse volumique ρ = mat/Vm, où mat est la masse des atomes appartenant en propre à la maille qui a un volume Vm. mat = (8 AF + 4 ACa)/NA

et

Vm = a3

Avec les données numériques, on obtient ρ = 2,37 g/cm3

ρ=

3

2,37

Sous-total = 10 pts

(2 pts)

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8.

Formulaire de réponses

CORRIGÉ

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Version révisée 06/05/2002

Exercice n° 8 8.a)

Résistance théorique à la traction du SiC Justification :

Le carbure de silicium (SiC) étant un matériau à liaisons fortement covalentes, il a un comportement fragile et sa résistance théorique à la traction peut être déduite du modèle électrostatique des liaisons. Ce modèle prévoît que Rth est approximativement égale au 1/10 du module d’Young E du matériau

Rth = 8.b)

84000

MPa (1 pt)

4

(1 pt)

Facteur de concentration de contrainte associé au défaut superficiel Justification :

Le facteur de concentration de contrainte Kt, associé au défaut de surface, est égal à : Kt = Rth/Rm = 84000/21000 = 4

Kt = 8.c)

Dimension (hauteur ou profondeur) du défaut Justification :

En reportant la valeur de Kt sur les courbes données en annexe, on obtient la valeur de type de défaut. Ici, r = 0,3 nm. Marche : pour Kt = 4

Æ

a r = 3,1 Æ a = 2,88

Entaille : pour Kt = 4

Æ

a r = 1,4 Æ a = 0,59

9.

a r correspondant au

Hauteur (marche)

2,88 nm

Profondeur (entaille)

0,59 nm

(2 pts)

Exercice n° 9 9.a)

Formule chimique du composé intermétallique θ . Justification :

L’échelle horizontale supérieure du diagramme, graduée en % atomique, indique que le composé θ contient 33 % at. de cuivre. Donc la formule chimique de ce composé est Al2Cu

Al2Cu 9.b)

(1 pt)

Stoechiométrie du composé intermétallique θ . Répondez par OUI ou NON et justifiez votre réponse :

Sur le diagramme d’équilibre Al – Cu, on constate que le composé θ admet une certaine variation de sa composition de part et d’autre de la valeur théorique de 33 %at . Le composé n’est donc pas parfaitement stoechiométrique.

NON Sous-total = 6 pts

(1 pt)

Cours ING1035 - MATÉRIAUX Examen final du 2 mai 2002 9.c)

Formulaire de réponses

CORRIGÉ

Page 9 de 15

Version révisée 06/05/2002 Composition nominale C0 d’un alliage hypoeutectique contenant 80 % d’eutectique à 547 °C Justification :

L’alliage recherché étant hypoeutectique, sa composition nominale C0 est inférieure à celle du point eutectique situé à 33,3 %m de Cu. Selon la règle des bras de levier appliquée à 547 °C, la fraction massique de constituant eutectique est égale à :

C 0 − 5,65 = 0,8 33,2 − 5,65 On en déduit donc la valeur de C0 : C 0 = 0,8(33,2 − 5,65) + 5,65 = 27,69 %m fE =

9.d)

C0 =

27,69 %m

(1 pt)

Autre constituant présent dans cet alliage Justification :

L’autre constituant de l’alliage est le constituant proeutectique (constituant primaire) qui est la phase α.

Phase α 9.e)

(1 pt)

Traitement de durcissement structural NB : Le nombre de lignes du tableau ne correspond pas forcément au nombre d’étapes.

Étape

Nom et objectif

Température (°C)

Durée

548 ± 10

Selon la dimension de la pièce à traiter afin que le Cu soit totalement dissous

20

Instantanée

1

Mise en solution solide de l’élément d’alliage (Cu). Objectif : obtenir une solution solide d’équilibre (atomes de Cu dissous dans la matrice α de Al)

2

Trempe rapide jusqu’à 20 °C Objectif : obtenir une solution solide sursaturée (atomes de Cu piégés dans la matrice α de Al)

3

Vieillissement de l’alliage pour un retour partiel vers l’état d’équilibre. Objectif : obtenir une distribution optimale de précipités métastables (taille, distance entre précipités) pour gêner le mouvement des dislocations.

149

(voir figure cijointe)

------

--------

------

------

(4,5 pts)

15 à 20 h

10. Exercice n° 10 10.a) Contrainte de tension appliquée au fût du canon. Justification :

Rayon interne du fût : Ri = 80/2 mm = 40 mm Épaisseur du fût : e = (Re – Ri) = (80 – 60) mm = 40 mm. Selon la formule donnée, la contrainte nominale σnom est donc égale à P = 300 MPa.

σnom = 300 MPa Sous-total = 7,5 pts

(1 pt)

Cours ING1035 - MATÉRIAUX Examen final du 2 mai 2002

CORRIGÉ

Formulaire de réponses

Page 10 de 15

Version révisée 06/05/2002 10.b) Risque de propagation de la fissure à la mise en service du canon Répondez par OUI ou NON et justifiez votre réponse :

∆K = α∆σ πa = α(σ max − σ min ) πa

avec σmax = 300 MPa (tir du canon) et σmin = 0 (canon au repos). Puisque α = 1,2 et a = 0,5 mm, on obtient

∆K = α(σ max − σ min ) πa = 1,2x300 πx 0,0005 = 14,27 MPa.m

ainsi :

1

2

Puisque que ∆K > ∆KS (seuil de propagation en fatigue de la fissure), il y aura donc propagation progressive de la fissure à chaque tir du canon.

OUI

(1,5 pt)

10.c) Profondeur critique a* de la fissure à la rupture brutale du fût du canon Justification :

Facteur maximum d’intensité de contrainte associé à cette fissure initiale : K = ασ max πa avec σmax = 300 MPa (tir du canon). Quand K = KIC, il y a rupture brutale (apparemment fragile) du matériau.

1  K IC   Longueur critique a* pour laquelle se produira la rupture : a* =  π  ασ max 

2

a* =

27,08 mm

(1 pt)

10.d) Rapport R du chargement en fatigue Justification :

Par définition, R = σmin/σ σmax. Puisque σmax = 300 MPa (tir du canon) et σmin = 0 (canon au repos), la valeur de R est égale à 0 (zéro).

R= 0

(1 pt)

10.e) Durée de vie du fût du canon Justification :

Relation de Paris :

da dN = C∆K n

(1)

Variation du facteur d’intensité de contrainte ∆K :

∆K = α∆σ πa = ασ max πa

(2)

En combinant les éq. (1) et (2) et en séparant les variables a et N, on obtient :

dN =

1 da B an 2

(

B = C ασ max π

avec

)

n

= constante

(3a et 3b)

Par intégration de l’éq. 3a, on obtient le nombre N de cycles requis pour que la profondeur de la fissure passe de sa valeur initiale a0 = 0,5 mm à sa valeur finale critique a* = 27,08 mm :

[N]0N

f

=

[

1 a* − n 2 2 a da = a1−n 2 ∫ a (2 − n )B B 0

]

a* a0

=

[

2 (a *)1−n 2 − (a 0 )1−n 2 (2 − n )B

]

(4)

Ici, l’exposant de Paris n est égal à 2,5, donc n/2 = 1,25. La constante C est égale à 6x10-11 Avec les valeurs numériques données, on obtient ainsi :

(

B = C ασ max π et

)

n

(

= 6x10 -11 1,2x300 π

)

2,5

= 6,171x10 −4

N = 2,736 x10 4 cycles

Puisqu’il y a 10 tirs de canon par jour, donc 10 cycles de chargement en fatigue de la fissure par jour, il y aura rupture du fût du canon au bout de 2736 jours si la fissure n’a pas été détectée avant.

Durée =

2736

jours

Sous-total = 7,5 pts

(4 pts)

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Formulaire de réponses

CORRIGÉ

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11. Exercice n° 11 Répondez par V (vrai) ou F (faux). Attention ! Une mauvaise réponse en annule une bonne ! (4 pts) Une maille C.C. (cubique centré) possède quatre (4) sites octaédriques en propre.

F

Les plans {111} sont les plans les plus denses du réseau C.F.C. (cubique à faces centrées).

V

À cause des caractéristiques de la liaison métallique, les dislocations peuvent se déplacer dans les métaux soumis à une contrainte. La fragilité des matériaux covalents cristallins est due à l’absence de dislocations dans ces matériaux. La connaissance du facteur de concentration de contrainte Kt, associé à un défaut, permet de déduire la profondeur critique a* de ce défaut pour laquelle il y aura rupture brutale (apparemment fragile) du matériau soumis à une certaine contrainte nominale. Dans le cas d’une fissure de fatigue dont le rayon de courbure à fond d’entaille est très faible, la condition mécanique de Griffith est satisfaite pour de très faibles valeurs de la contrainte nominale appliquée. Après un traitement de durcissement structural, la microstructure du matériau est constituée d’une matrice encore sursaturée en élément d’alliage et de gros précipités d’équilibre. La transformation martensitique ne peut se produire que pour des alliages dont la matrice (composant principal) présente une transformation allotropique. Une augmentation du rapport R des contraintes entraîne une augmentation de la limite d’endurance en fatigue d’un matériau.

V F F V F V F

Sous-total = 4 pts Total : 60 pts

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CORRIGÉ

Formulaire de réponses

Page 12 de 15

-1,0

-0,8

-0,6

10

-6

Mg anodique

Fe anodique -0,4

-0,2

0

+0,2

+0,4

V (V)

Fe cathodique

Cathodique

10

-5

10

-4

I (A)

10

-3

10

-2

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Sous-total = 4 pts Total : 60 pts

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Formulaire de réponses

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Sous-total = 4 pts Total : 60 pts

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Formulaire de réponses

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Sous-total = 4 pts Total : 60 pts

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Formulaire de réponses

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Sous-total = 4 pts Total : 60 pts

DÉPARTEMENT DE GÉNIE PHYSIQUE ET DE GÉNIE DES MATÉRIAUX

COURS ING1035 - MATÉRIAUX CONTRÔLE N° 1 du 8 octobre 1999 de 8h45 à 10h20

Q U E S T I O N N A I R E

NOTES :

♦ Aucune documentation permise. ♦ Tout moyen de calcul autorisé. ♦ Les nombres entre parenthèses indiquent le nombre de points accordés à la question, le total est de 25 points. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. Utilisez les espaces prévus ou le verso de la page opposée pour vos calculs. ♦ Le questionnaire comprend 4 pages, incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général. ♦ Le formulaire de réponses comprend 5 pages. ♦ Vérifiez le nombre de pages du questionnaire et du ponses.

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n° 1 du 8 octobre 1999

Page 2 de 4

Exercice n° 1 Après avoir réalisé, à 20 ºC, un essai de traction sur une éprouvette d’aluminium dont la section droite S0 est égale à 50,00 mm 2 et dont la longueur initiale L0 est égale à 100,00 mm, on a obtenu les résultats partiels suivants :

E = 70 GPa

Rm = 80 MPa

Déformation totale juste avant la rupture : Coefficient de dilatation linéique :

At = 35 %

α = 23,6x10 -6 º C-1

a) Sachant qu’à la limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 , la déformation totale ε t de l’éprouvette est égale à 0,25 (2 pts) %, calculez la limite conventionnelle d’élasticité R e0,2 (en MPa) de cet aluminium. b) À quelle température

T (en ºC) doit-on porter l’aluminium non déformé pour qu’il subisse une dilatation linéique (2 pts) ε e obtenue à sa limite conventionnelle d’élasticité ?

relative égale à la déformation élastique

c) Calculez l’énergie élastique We0,2 (en (kJ/m3) emmagasinée dans l’aluminium lorsque sa limite conventionnelle (1 pt) d’élasticité Re0,2 est atteinte. d) Calculez l’énergie élastique

Rm est atteinte?

Wem (en (kJ/m3) emmagasinée dans l’aluminium lorsque sa résistance à la traction (1 pt)

e) Si l’on suppose que la rupture de cet aluminium se produit lorsque sa résistance à la traction Rm est atteinte (1 pt) (pas de striction), calculez l’allongement permanent de l’aluminium Af (en %) après sa rupture. f)

Calculez la déformation élastique MPa.

ε e60 (en %) que subit l’aluminium lorsqu’il est soumis à une contrainte de 60 (1 pt)

g) Si, après avoir atteint cette contrainte de 60 MPa au cours de l’essai de traction, on décharge l’éprouvette et (2 pt) que l’on reprenne l’essai de traction, quelle sera la nouve ? Quel nom donne-t-on à ce phénomène ? h) Citez au moins une autre méthode pour obtenir un effet semblable sur la limite d’élasticité de l’aluminium.

(1 pt)

Le cuivre cristallise selon le réseau de Brava is cubique à faces centrées (CFC) et les plans de glissement cristallographique associés à ce réseau sont des plans appartenant à la famille {111}. a) Sur la figure présentée au formulaire de réponse, tracez, dans la maille considérée, le plan spécifique (1 1 1 ) (1,5 pts) appartenant à la famille {111}. b) Dans une maille CFC, quelle est la caractéristique de cette famille de plans {111} quand on la compare à des (1 pt) familles de plans dont les indices de Miller {hkl} ne sont pas tous égaux à 1 ? c) Quels sont el s systèmes de glissement associés à ce plan particulier

(1 1 1) ? Sont-ils des systèmes de

glissement indépendants ? Justifiez votre réponse.

(2 pts)

d) Sur la maille CFC présentée sur le formulaire de réponse, tracez les directions de glissement appartenant à (1,5 pts) ces systèmes de glissement du plan (1 1 1) et donnez les indices de ces directions.

Sous -total: 17 pts

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Page 3 de 4

On réalise un essai de traction sur un monocristal de cuivre de haute pureté et on étudie uniquement les possibilités de glissement cristallographique dans le plan spécifique (1 1 1 ) . Deux directions de traction sont considérées : la direction

r r A = [001] et la direction B = [1 1 1] .

Conseil : l’utilisation du produit scalaire de deux vecteurs peut s’avérer utile à la résolution de certaines des questions suivantes. e) Pour quelle direction de traction se produira le glissement cristallographique dans le plan (1 1 1 ) ? Justifiez (1 pt) votre réponse. f)

Selon la direction de traction choisie, quels seront les systèmes de glissement activés ?

(2 pts)

On constate l’apparition du glissement cristallographique dans les systèmes activés pour une contrainte nominale de traction σ nom égale à 1,225 MPa. g) Que se passe-t-il physiquement dans le monocristal quand le glissement cristallographique irréversible (1 pt) ? h) Quelle est la cission critique pureté ? i)

τ ∗ (en MPa) caractéristique du glissement cristallographique du cuivre de haute (1 pt)

Quelle devrait être la valeur de la limite proportionnelle d’élasticité de l’essai de traction d’un monocristal de cuivre ?

Re (en MPa) du cuivre polycristallin déduite (1 pt)

En fait, on constate que le cuivre polycristallin commercialement pur présente une limite proportionnelle d’élasticité

Re j)

Citez deux raisons qui expliquent la différence des valeurs de la limite proportionnelle d’élasticité cuivre polycristallin, soit déduite des essais de traction sur un monocristal, soit direc cuivre polycristallin.

Re0,2 du (2 pts)

Pour l’équipe de professeurs, le coordonnateur: Jean-

Sous -total : 8 pts Total : 25 pts

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[

(

εx = 1 σx −v σy +σz E

[

)]

da = C∆ K n dN

]

εy = 1 σy −v(σx +σz ) E

[

(

εz =

1 σz − v σ x + σ y E

G=

E 2 (1 + v )

R th =

)]

2 Eγ s a0

τ=

∆=

(ma )ox ρ M (m a )M ρox

R=

ρl S

 − Eg   σ = σ0 exp   2kT     

a r

F cos θ cos χ S0

E = E 0 (0,9 P 2 −1,9 P +1) Rm = (R m )0 e − nP ∆ θ* = R1 =

G b 2π a

τ th =

Ai corr t nF

σ = (n e e µ e + n t e µ t )

r = ua + vb + wc σ y = σ nom

m=

σ = ne eµe

hx ky lz 1= + + na nb nc

 1 + 2  

Page 4 de 4

2EγS πσ2

KC = α σ π a f S CS + f LCL = C0

E R . f (v )

R4 =

Eγ S = γ S R3 R . f (v )

σt K2

 1 − exp 

2 m

2 m

(R m )c = V f (R m ) f

+ (1 − V f ) σm

(R m )C

(

= Vf σ f + 1 − Vf

) (R )

EC = V f E f + Vm Em

 Q  D = D0 exp  − 0   kT  ε vel =



R3 =

Re 0. 2 = σ 0 + kd −1 / 2 lc =

R m . f (v )

 K 2 t  −   η   2  

EC ≅

(R m )C

3 V f E f + Vm Em 8

= kVf (Rm ) f + Vm σ m

m m

DÉPARTEMENT DE GÉNIE PHYSIQUE ET DE GÉNIE DES MATÉRIAUX Note finale:

/25

CORRIGÉ

NOM (en majuscules):_____________________________ PRÉNOM :______________________________ SIGNATURE :______________________________ MATRICULE : _________________ SECTION :

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FORMULAIRE DE RÉPONSES NOTES :

♦ Aucune documentation permise. ♦ Tout moyen de calcul autorisé. ♦ Les nombres en marge de droite indiquent le nombre de points accordés à la question. Le total est de 25 points. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. Utilisez les espaces prévus ou le verso de la page opposée pour vos calculs ♦ Le questionnaire comprend 4 pages, incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général. ♦ Le formulaire de réponses comprend 5 pages. ♦ Vérifiez le nombre de pages de votre questionnaire et de votre formulaire de réponse.

CORRIGÉ

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 8 octobre 1999

1.

Page 2 de 6

Pour connaître la signification des symboles utilisés dans le corrigé, EXERCICE n° 1 consultez la figure en annexe qui schématise la courbe de traction. 1.a) Limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 de l’aluminium. Justification :

On applique la loi de Hooke au triangle abc (voir figure) : R e0,2 = Eεe Pour obtenir εe (segment ac), il faut déduire la déformation plastique εp à Re0,2 (segment Oa = 0,2%) de la déformation totale εt (segment Oc = 0,25 %) : εe0,2 (%) = εt - 0,2 = 0,25 - 0,20 = 0,05 % = 5x10-4

(

)

R e 0, 2 = Eε e = (70 000 MPa ) 5x10 -4 = 35 MPa 1.b)

Re0,2 =

35

MPa

(2 pts)

Température (°C) pour avoir une dilatation linéique relative égale à εe. Justification :

Définition du coefficient de dilatation thermique : α = (∆l l 0 ) ∆θ = ε th ∆θ Donc :

∆θ = ε th α

(

∆θ = ε th α = 5x10 −4 1.c)

avec ε th = ε e = 0,05 % = 5x10 -4

) (23,6x10 ) ≈ 21,2 º C −6

θ=

°C

41,2

(2 pt)

Énergie élastique We0,2 emmagasinée à Re0,2 . Justification :

L’énergie élastique We0,2 emmagasinée par unité de volume à Re0,2 est égale à l’aire du triangle abc : We 0, 2 = R e 0, 2 ε e 2 = 35x10 6 N/m 2 5x10 −4 m/m / 2 = 8,75x10 3 J/m 3

(

)(

)

We0,2 = 1.d)

8,75

kJ/m3

(1 pt)

Énergie élastique Wem emmagasinée à Rm . Justification :

L’énergie élastique Wem emmagasinée par unité de volume à Rm est égale à l’aire du triangle ghi. Pour une contrainte Rm, la valeur de la déformation élastique εem (segment gi) est obtenue par la loi de Hooke applicable au triangle ghi : ε em = R m E = 80 MPa 70 GPa = 1,143x10 −3 = 0,1143%

(

)(

)

Donc Wem = R m ε em 2 = 80x10 6 N/m 2 1,143x10 −3 m/m / 2 = 4,572 x10 4 J/m 3

Wem = 1.e)

45,72

kJ/m3

(1 pt)

Allongement permanent Af après rupture. Justification :

L’allongement permanent Af après rupture est égal au segment Og (voir figure). Sachant que le segment Oi est égal à l’allongement total At juste avant la rupture, on obtient ainsi la valeur de Af : Af = Og = (Oi – gi) = (At – εem) = (35 % – 0,1143 %) = 34,89 %

Af =

34,89

%

Sous-total = 7 pts

(1 pt)

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CORRIGÉ

Déformation élastique εe60 subie pour une contrainte Justification :

1.f)

Page 3 de 6

σ = 60 MPa.

On applique la loi de Hooke au triangle def (voir figure) : σ = Eε e60 ε e60 = σ E = 60 MPa 70 GPa = 8,57x10 -4 = 0,086 %

Donc

εe60 = 0,086 1.g)

Nouvelle limite d’élasticité R*e après avoir atteint une contrainte Justification :

%

(1 pt)

σ = 60 MPa.

Pour mettre en mouvement les dislocations lorsque l’on remet en charge le matériau après une pré-déformation, il faut appliquer une contrainte égale à celle qui était appliquée à ces dislocations au moment de la décharge. Donc, dans le système initial d’axes « σ − ε », la nouvelle limite d’élasticité R*e sera égale à la contrainte σ à laquelle on a déchargé le matériau (ici σ = 60 MPa). C’est le phénomène de durcissement par écrouissage R*e : 60 MPa (2 pts) (ou par pré-déformation) Nom du phénomène : DURCISSEMENT PAR ÉCROUISSAGE 1.h)

Autre méthode pour avoir un effet semblable sur la limite d’élasticité.

Méthode :

a) Durcissement par solution solide (d’insertion ou de substitution) ou b) Durcissement par affinement de la taille des grains

2.

(1 pt)

Exercice n° 2 2.a)

Plan

(1 1 1) dans la maille CFC du cuivre.

z

Tracez le plan dans la maille ci-contre. (1,5 pts)

y

x

Sous-total = 5,5 pts

CORRIGÉ

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 8 octobre 1999 2.b)

Page 4 de 6

Caractéristique des plans {111} du réseau CFC du cuivre. Justification :

De toutes les familles de plans du réseau de Bravais CFC du cuivre, les plans de la famille {111} sont les plans de plus grande densité atomique (plans compacts où tous les atomes du plan se touchent les uns les autres) 2.c)

Systèmes de glissement associés au plan

(1 pt)

(1 1 1) :

Justification :

Un système de glissement est défini par un plan compact – ici le plan (1 1 1) – et par une direction de glissement, appartenant à ce plan et étant une direction de plus grande densité atomique (directions compactes). Dans le réseau CFC du cuivre, ces directions sont les diagonales des faces de la maille CFC. Dans le plan spécifique (1 1 1) , on obtient ainsi les 3 systèmes de glissement ci-contre. Ils ne sont pas tous indépendants, car (1 1 1) [110] un glissement dans une direction peut toujours être obtenu par une (1 1 1) 1 01 Systèmes : combinaison de glissement dans les deux autres directions. (1 1 1) [011] (2 pts)

[ ]

Répondre par OUI ou NON en justifiant ci-dessus votre réponse 2.d)

Indépendance des systèmes :

Directions de glissement dans le plan

(1 1 1) : z

Dans la maille ci-contre, tracez ces directions en donnant leurs indices :

[001]

NON

[1 01]

[011]

[1 1 1] (1,5 pts)

y

[110]

x 2.e)

Direction

de

traction

provoquant un glissement cristallographique dans le plan

(1 1 1) :

Justification : ! ! Les deux directions de traction A = [001] et B = 1 1 1 sont tracées dans la maille ci-dessus. On constate ! que la direction B = 1 1 1 est normale au plan (1 1 1) . Par conséquent, la force de traction selon la direction ! B = 1 1 1 n’a pas de composante de cission dans le plan (1 1 1) , donc il n’y a pas de glissement cristallographique possible pour cette direction de traction. ! Seule la direction A = [001] pourra produire un glissement Direction : A (1 pt) cristallographique dans le plan considéré.

[ ]

[ ]

[ ]

Sous-total = 5,5 pts

CORRIGÉ

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 8 octobre 1999

2.f)

Système(s) de glissement activés dans le plan

Page 5 de 6

(1 1 1) selon la direction de traction :

Justification :

Il faut calculer le facteur de Schmid cosθ θ.cosχ χ associé à chacune des trois directions de glissement du plan (1 1 1) , sachant que la direction de traction est la direction [001]. En utilisant le produit scalaire pour obtenir soit l’angle χ entre la direction de traction [001] et la normale 1 1 1 au plan (1 1 1) , soit les angles θ1, θ2 et θ3 entre la direction de traction [001] et chacune des directions de glissement ( [110], 1 01 , [011]), on obtient les résultats suivants : cosχ χ = 1/√ 1/√3 −−> χ = 54,74º ♦ Pour [110], θ1 = 90º, donc pas de de cission (donc pas de glissement) selon cette direction. ♦ Pour 1 01 et [011], cosθ θ1 = cosθ θ2 = 1/√ √2 −−> θ1 = θ2 = 45º Système(s) : (1 1 1) 1 01 (2 pts) Le facteur de Schmid selon les directions 1 01 et [011] est le même (1 1 1) [011] et le glissement sera également activé dans ces deux systèmes.

[ ]

[ ]

2.g)

[ ]

[ ]

[ ]

Phénomène physique se produisant dans le cristal quand le glissement est activé : Justification :

Il y a mise en mouvement (déplacement) des dislocations dans les systèmes de glissement activés.

2.h)

Cission critique

(1 pt)

τ* du cuivre monocristallin de haute pureté :

Justification :

[ ]

Le facteur de Schmid selon les directions 1 01 et [011] étant le même, le glissement sera également activé dans ces deux systèmes (voir question 2.f ci-dessus). En appliquant la loi de Schmid à ces systèmes de glissement, on obtient : τ* = σ nom . cos θ. cos χ = (1,225)(cos 54,74º )(cos 45º ) MPa 2.i)

τ* =

0,5

MPa

(1 pt)

Limite proportionnelle d’élasticité Re du cuivre polycristallin déduite du monocristal : Justification :

La limite proportionnelle d’élasticité Re d’un polycristal, déduite de la cission critique τ* obtenue sur le monocristal, est donnée par la relation suivante :

Re ≈ 2 τ* τ 2.j)

Re =

1

MPa

(1 pt)

Raisons de l’écart de la limite proportionnelle d’élasticité Re du cuivre polycristallin :

par solution solide (de substitution ou d’insertion) du cuivre commercial polycristallin qui contient plus d’impuretés que le monocristal de haute pureté

Raison 1 : Durcissement

Durcissement par affinement des grains du cuivre commercial polycristallin, qui n’est pas pris en compte par la relation Re ≈ 2 τ* déduite du comportement du monocristal. Raison 2 :

Sous-total = 9 pts Total : 25 pts

(2 pts)

CORRIGÉ

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 8 octobre 1999

Page 6 de 6

Annexe Note : ces figures schématiques ne sont pas à l’échelle

h

Rm

80 e

Contrainte σ (MPa)

65

d

f

O

Déformation ε (%)

b

Re0,2

E

E εp

O

a 0,2 % εt

εe

c 0,25 %

g i Af At

PROGRAMME DE GÉNIE DES MATÉRIAUX

COURS ING1035 - MATÉRIAUX EXAMEN FINAL du 17 décembre 2001 de 9h30 à 12h00

QUESTIONNAIRE

NOTES :

♦ Aucune documentation permise. ♦ Calculatrices non programmables autorisées. ♦ Les nombres entre parenthèses indiquent le nombre de points accordés à la question, le total est de 60 points. ♦ La cote maximale de l’examen est égale à 50 pts. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs ou une justification, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. ♦ Utilisez les espaces prévus ou la page opposée pour vos calculs. ♦ Le questionnaire comprend 11 pages, incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général. ♦ Le formulaire de réponses comprend 10 pages. ♦ Vérifiez le nombre de pages du questionnaire et du formulaire de réponses.

Cours ING1035 MATÉRIAUX Examen final du 17 décembre 2001

Questionnaire

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Les exercices 1 à 5 portent sur les unités au choix n° 8 à 12.

Exercice n° 1 : Dégradation des matériaux Considérez les quatre figures suivantes (1, 2, 3, 4) qui présentent des cas typiques de corrosion.

eau aérée A

C

air

D

E B

B fer

fer

eau

A

F soudure

D

fer

E

C

Cas 1

F

Cas 2

eau + HCl A B

C

Ferrite

α Fe3C

D

α Fe3C

E

α Fe3C

Cas 3

sol humide C B tuyau d’acier

D Mg A

E F

Cas 4

a)

Pour chacun de ces cas, dites quel est le mode de corrosion (voir tableau au formulaire de réponse) ?

b)

Pour chacun de ces cas, quelles sont les zones (repérées par une lettre) qui sont le siège de la réaction (3 pts) anodique et celui de la réaction cathodique.

(2 pts)

Exercice n° 2 : Propriétés physiques Vous devez relier deux localités séparées d’une distance l par une ligne électrique. Les pylônes de cette ligne ont une certaine capacité portante et la masse totale de conducteurs électriques utilisés sur cette ligne ne peut dépasser une certaine valeur. Comme matériau à utiliser pour les fils conducteurs, vous avez le choix entre l’aluminium et le cuivre et vous désirez limiter les pertes par effet Joule dans la ligne en utilisant le matériau qui a la plus faible résistance électrique par unité de longueur de ligne. a)

Choisissez-vous le cuivre (Cu) ou l’aluminium (Al) comme conducteur de cette ligne ? Justifiez votre (3 pts) réponses par des calculs ou des équations appropriés.

Lorsque cette ligne électrique fonctionne à pleine puissance en service, on constate que la résistance de la ligne augmente de 8% à cause de l’échauffement des conducteurs.

Sous-total: 8 pts

Cours ING1035 MATÉRIAUX Examen final du 17 décembre 2001 b)

Questionnaire

Calculez l’élévation théorique pleine puissance.

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∆θ de température (en °C) des conducteurs quand la ligne fonctionne à

(2 pts)

Données : Matériau

Masse volumique 3 (g/cm )

Résistivité ρ à 20 °C -8 (10 Ω.m)

Coeff. β de variation de la résistivité -6 -1 en fonction de la température (10 °C )

Cu

8,96

1,673

+ 4270

Al

2,70

2,655

+ 4290

Exercice n° 3 : Matières plastiques a)

Dites laquelle ou lesquelles des affirmations suivantes sont vraies : Attention : une mauvaise réponse en annule une bonne.

Comparé à un polyéthylène à basse densité (PEBD), un polyéthylène à haute densité (PEHD) se distingue par : 1) un module d’Young plus élevé à l’état vitreux ; 2) un degré de réticulation plus élevé ; 3) un degré de ramification plus élevé ; 4) un degré moyen de polymérisation plus élevé ; 5) l’absence d’un comportement caoutchoutique. b)

(2 pts)

Considérez les trois polymères suivants : • Polyéthylène (PE) • Polystyrène atactique (PS) • Phénolformaldéhyde (PF), appelé aussi Bakélite.

Complétez le tableau (donné au formulaire de réponse) en répondant dans chaque case par Oui ou Non.

Exercice n° 4 : Matériaux céramiques Des essais de compression ont été réalisés à température ambiante sur deux matériaux céramiques: ♦

une alumine Al2O3 (matériau A)



une porcelaine (matériau B).

Les éprouvettes de compression étaient de forme cylindrique, avec une hauteur initiale h0 = 50 mm et une 2 section initiale S0 = 200 mm . Les résultats des essais de compression sont compilés au tableau suivant. FR est la force de rupture en compression et hR est la hauteur de l’éprouvette à l’instant de cette rupture. α est le coefficient de dilatation thermique des matériaux A et B. Matériau

FR (kN)

hR (mm)

α (10-6 °C-1)

A : Alumine

420

49,650

4

B : Porcelaine

200

49,625

7,5

Sous-total : 7 pts

(3 pts)

Cours ING1035 MATÉRIAUX Examen final du 17 décembre 2001 a)

Questionnaire

Calculez la résistance en compression de la porcelaine.

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RmC (en MPa) et le module d’Young E (en GPa) de l’alumine et (2 pts)

Avec ces deux matériaux A et B, on réalise le montage ci-dessous. À la température ambiante, les deux barreaux sont placés bout à bout entre appuis infiniment rigides.

l = 10 cm

l = 10 cm A

B SB = 1 cm2

SA = 0,5 cm2

b)

Si l’on chauffe brusquement les deux barreaux de ce montage, lequel des barreaux (A ou B) limitera la température maximale pouvant être atteinte sans rupture du barreau ? Justifiez votre choix par des (1 pt) calculs appropriés.

c)

Dans les conditions d’un chauffage extrêmement rapide décrit ci-dessus, calculez l’augmentation (2 pts) maximale de température tolérable ∆θ (en °C), c’-à-d. n’entraînant pas la rupture d’un des barreaux.

Exercice n° 5 : Matériaux composites Le béton armé peut être considéré comme un matériau composite, dont la matrice (le béton) est une céramique ayant un comportement fragile et dont le renfort est l’acier ayant un comportement ductile. On réalise un pilier en béton armé dont le plan (en coupe) est donné ci-contre, les dimensions étant en cm. Les tiges d’acier, au nombre de dix (10), ont un diamètre de 2 cm. Les propriétés mécaniques (en compression) du béton et de l’acier sont données au tableau ci-dessous.

40 cm 15 cm

Matériau

E (GPa)

Re (MPa)

Rm (MPa)

Béton

40

-----

50

Acier

210

280

------

a) Quelle est la fraction volumique Vf (en %) de renfort (acier) dans ce composite ?

(1 pt)

b) Calculez le module d’Young EC (en GPa) du pilier.

(1 pt)

c) Calculez la force de compression FC (en kN) pour laquelle il y aura rupture du pilier.

(2 pts)

d) À l’instant de cette rupture, l’acier est-il déformé plastiquement ? Justifiez quantitativement votre réponse.

(1 pt)

Sous-total : 10 pts

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Questionnaire

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Les exercices suivants portent sur les unités obligatoires n° 1 à 7.

Exercice n° 6 Considérez la figure ci-dessous qui représente la variation de l’énergie interne U des atomes d’un solide en fonction de la distance d’équilibre d entre ces atomes. Cette courbe est caractérisée par certaines grandeurs A, B, C, D et F. Dans la liste des propriétés d’un matériau données ci-dessous, associez la propriété qui est directement reliée à chacune des grandeurs A, B, C, D et F. 1) Distance interatomique à la température de fusion

(5 pts)

U

2) Distance interatomique au zéro degré absolu 3) Résistance théorique à la traction 4) Conductivité thermique

B

5) Énergie de déformation élastique

0

C (pente)

6) Module d’Young 7) Coefficient de dilatation linéique

d

A

8) Ductilité

F (pente max.)

9) Température de vaporisation

D (rayon de courbure)

10) Température de transition allotropique

Exercice n° 7 La structure cristalline du chlorure de césium (CsCl) est représentée cicontre.



Cl

+

Cs

a)

Quel est le réseau de Bravais du CsCl ?

(1 pt)

b)

Quelle est la compacité (en %) du CsCl ?

(1 pt)

c)

Quelle est la masse volumique théorique (en g/cm ) du CsCl ?

3

+



d)

Calculez la densité surfacique en ions Cs et en ion Cl dans le plan (011).

e)

Quel type de site occupent les ions Cs dans CsCl ?

+

Données :

Nombre d’Avogadro :

NA = 6,022x1023 mole-1

Masse atomique (g/mole)

Rayon ionique (nm)

Cs

132,9

0,165

Cl

35,5

0,181

Sous-total : 10 pts

(1 pt) (1 pt) (1 pt)

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Questionnaire

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Exercice n° 8 Considérez le diagramme d’équilibre « fer – carbone » (Fe – C) donné en annexe. La cémentite Fe3C a une composition massique en carbone égale à 6,68% m. a) À quelle(s) température(s) le fer pur solide subit-il une transformation allotropique au chauffage ? Précisez (1 pt) le changement de phase qui se produit au cours de la transformation allotropique. Un alliage « fer – carbone » contenant 0,6%C est refroidi à l’équilibre depuis l’état liquide jusqu’à la température 0 ambiante (20 C). b) Lequel des schémas présentés ci-dessous représente la microstructure de cet alliage aux températures (2 pts) 0 0 0 suivantes : 1460 °C, 1400 C, 724 C et 20 C ?

Légende : L

L a)

b)

c)

d)

Liquide Austénite Ferrite

L

Perlite e)

f)

g)

h)

Considérez maintenant un acier de composition eutectoïde. c) Quelles sont les phases en présence et leur proportion à la température ambiante (20 °C) ?

(2 pts)

d) Quelles sont les températures de début et de fin de solidification de cet acier ?

(1 pt)

e) Lequel des schémas (proposés ci-dessus) représente la microstructure de cet acier à 1420 °C ?

(1 pt)

Exercice n° 9 Au cours de la fabrication du fût d’un canon, un défaut, assimilable à une fissure, s’est formé sur la surface interne du fût, tel que schématisé ci-contre. Le fût a un diamètre intérieur de 80 mm et un diamètre extérieur de 160 mm. La fissure, de profondeur initiale a = 0,5 mm, a un facteur géométrique α égal à 1,2.

Fissure (profondeur a)

Lors d’un tir du canon, la contrainte de tension s’exerçant à la racine de la fissure est égale à 300 MPa. L’acier dont est fait le fût a les propriétés mécaniques suivantes :

Sous-total : 7 pts

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Questionnaire

Re,02 = 1100 MPa KIC = 125 MPa.m

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Rm = 1250 MPa ½

Seuil de propagation en fatigue ∆KS = 10 MPa.m

½

a)

Est-ce que la fissure est susceptible de se propager lorsque le canon sera mis en service ? Justifiez (1 pt) quantitativement votre réponse.

b)

Quelle sera la profondeur critique a* de la fissure (en mm) qui entraînera la rupture brutale (1 pt) (apparemment fragile) du fût ?

La relation de Paris caractérisant le comportement de cet acier en fatigue-propagation est la suivante : -11

da/dN (m/cycle) = 8x10

∆K2,5

c)

Quelle est la valeur du rapport R caractérisant le chargement en fatigue du fût au cours des tirs du canon (1 pt) ?

d)

Si la fréquence de tir du canon est de 10 tirs par jour, au bout de combien de jours il aura rupture brutale (4 pts) du canon ?

Exercice n° 10 Grâce à leurs propriétés mécaniques intéressantes et modulables par un traitement de durcissement structural, les alliages cuivre – béryllium (Cu - Be) sont souvent utilisés en mécanique de précision et en horlogerie (ressorts) ainsi que pour des applications électriques (lames et ressorts de contact électrique). Considérez un alliage Cu + 1,9 %m. Be. Aux pages suivantes, vous disposez de la partie requise du diagramme Cu – Be et des courbes de vieillissement de cet alliage. À l’équilibre et à la température ambiante (20°C), la phase α contient 0,05 %m. de béryllium et la phase γ est le composé intermétallique CuBe, contenant 11,8 %m. de béryllium. a)

Quelle est la composition (en %at. Be) de la phase γ ?

(1 pt)

b)

Quelle sont les proportions des phases présentes à l’équilibre à 20 °C dans l’alliage considéré?

(1 pt)

c)

À quelle température (°C) doit-on porter l’alliage considéré pour faire le traitement de mise en solution (1 pt) solide du béryllium avant la trempe ?

d)

Parmi les quatre températures offertes pour effectuer le vieillissement de l’alliage après sa trempe, laquelle choisissez-vous pour obtenir les propriétés mécaniques suivantes de l’alliage, sachant que le temps maximal de vieillissement ne doit pas excéder 1 heure pour des raisons pratiques ? Quelle sera la (2 pts) durée du vieillissement (comprise entre le temps minimal et le temps maximal) à la température choisie ? Re0,2 ≥ 900 MPa

e)

Rm ≥ 1050 MPa

A ≥ 15%

Après ce traitement de vieillissement et trempe à 20 °C, quelle est la composition (%m. Be) de la phase (2 pts) α ? Justifiez votre réponse.

Exercice n° 11 Dites si les affirmations présentées au tableau du formulaire de réponses sont vraies (V) ou fausses (F). Attention ! Une mauvaise réponse en annule une bonne. Pour l’équipe de professeurs, le coordonnateur: Jean-Paul Baïlon

Joyeux Noël et Meilleurs Voeux ! Sous-total : 18 pts Total = 60 pts

(4 pts)

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Questionnaire

ANNEXES Diagramme fer – carbone

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Questionnaire

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ANNEXES

Diagramme cuivre – béryllium

(γ Æ11,8 %m)

Cu

% m. Be

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Questionnaire

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ANNEXES Durcissement structural de l’alliage Cu + 1,9 %m Be

1300

370 °C

315 °C

260 °C

900

Rm

(MPa)

1100

425 °C

700 500 1300

(MPa)

Re0,2

315 °C

370 °C

1100 900

260 °C

700

425 °C

A (%)

500 40

Cu + 1,9 %m. Be 260 °C

30

315 °C 370 °C

20 425 °C

10 1 2

5 10 Minutes

30 1

2

Temps t

3 4 Heures

5

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[

(

ε x = 1 σx − v σ y + σz E

[

)]

Questionnaire

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da = C∆K n dN

]

εy = 1 σy − v(σx +σz ) E

[

]

m=

Ai corr t nF

εz =

1 σ z − v (σ x + σ y ) E

∆=

G=

E 2 (1 + v )

(m a )ox ρ M (m a )M ρ ox

R=

ρl S

R th =

2Eγ s a0

σ = n e e µe σ = (n e e µ e + n t e µ t )

hx ky lz 1= + + na nb nc

 − Eg σ = σ 0 exp   2kT

r = ua + vb + wc

 σ y = σ nom 1 + 2  τ=

a r

   

F cos θ cos χ S0 G b 2π a

τ th =

(

2E γS π σ2

Rm = ( Rm )0 e − nP

∆θ* = R1 =

f S C S + f L C L = C0  Q  D = D0 exp  − 0   kT 

σt K2

Rm . f (v ) Eα

R3 =

E R . f (v )

R4 =

Eγ S = γ S R3 R . f (v )

2 m

2 m

(Rm )c = V f (Rm ) f

KC = α σ π a

ε vel =

)

E = E 0 0,9 P 2 −1,9 P +1

Re 0.2 = σ 0 + kd −1/ 2 Ac =

  K 2 t   1 − exp  − η  2   

  

(Rm )C

+ (1 − V f ) σ m

= V f σ f + (1 − V f

) (R )

E C = V f E f + Vm E m EC ≅

3 V f E f + Vm E m 8

(Rm )C

= kV f ( Rm ) f + Vm σ m

m m

PROGRAMME DE GÉNIE DES MATÉRIAUX Note finale:

/50

NOM (en majuscules):_____________________________ CORRIGÉ

Version révisée PRÉNOM :______________________________ 18/12/2001 SIGNATURE :______________________________ MATRICULE : _________________ SECTION :

COURS ING1035 - MATÉRIAUX EXAMEN FINAL du 17 décembre 2001 de 9h30 à 12h00

FORMULAIRE

DE

RÉPONSES

NOTES : ♦ Aucune documentation permise. ♦ Moyen de calcul : calculatrices autorisées seulement. ♦ Les nombres en marge de droite indiquent le nombre de points accordés à la question. Le total est de 60 points. ♦ La cote maximale de l’examen est de 50 points. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. ♦ Utilisez les espaces prévus ou la page opposée pour vos calculs. ♦ Le questionnaire comprend 11 pages, incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général. ♦ Le formulaire de réponses comprend 10 pages. ♦ Vérifiez le nombre de pages de votre questionnaire et de votre formulaire de réponse.

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Formulaire de réponses

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Version révisée 18/12/2001 1.

EXERCICE n° 1 (Dégradation) (voir exercice 8.3 du CD-Rom) 1.a)

Mode de corrosion Mode de corrosion

Cas

---4 ---3 1, 2 ----

Corrosion par frottement Corrosion galvanique entre deux métaux différents Corrosion par érosion Corrosion galvanique entre deux phases différentes Pile de concentration (aération différentielle) Corrosion par cavitation 1.b)

Siège(s) de la réaction anodique et de la réaction cathodiques Indiquez le siège de la réaction par la lettre qui lui correspond sur les schémas Cas

Zone(s) anodique(s)

Zone(s) cathodique(s)

1

D E D F

B C C B

2 3 4

2.

(2 pts)

(3 pts)

Exercice n° 2 (Propriétés physiques) (voir exercice 9.4 du CD-Rom) 2.a)

Choix du conducteur Justification :

Soit M la masse de matériau requise pour joindre les deux localités distantes d’une longueur l. M = m0V = m0Sl (1) avec: m0 = masse volumique (densité) du matériau ; S = section du conducteur ; l = distance entre les localités. Par hypothèse, M = constante. Donc l’équation (1) conduit à l’équation suivante:

M/l = m0S = constante = A

(2) Le rapport M/l représente la masse par unité de longueur du conducteur. La résistance R par unité de longueur d’un tel conducteur est donnée par l’équation suivante :

R/l = ρ/S

(3)

où ρ est la résistivité électrique du conducteur En remplaçant, dans l’équation (3), S par sa valeur donnée par l’équation (2), on obtient :

R/l = ρm0/A

(4)

Le conducteur qui aura la plus faible résistance par unité de longueur (à masse égale de conducteur sur la ligne entre les deux localités) sera donc celui caractérisé par le produit ρm 0 le plus faible. Avec les données numériques du problème, on trouve donc que c’est l’ALUMINIUM qui est le matériau le plus approprié :

ρm0Al = 7,17 µΩ.g.cm-2

Métal :

Al

Sous-total = 8 pts

(3 pts)

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Formulaire de réponses

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Version révisée 18/12/2001 2.b)

Élévation théorique de température Justification :

L’augmentation relative ∆R/R de la résistance totale de la ligne est égale à l’augmentation relative de la résistivité ∆ρ/ρ du conducteur lorsqu’il s’échauffe par effet Joule :

∆R/R = ∆ρ/ρ = 8 %

(5)

Cette variation relative de la résistance (ou de la résistivité) dépend de la température selon l’équation suivante :

∆ρ/ρ = β.∆T β.∆ = 8 %

(6) -3

où β est le coefficient de variation de la résistivité en fonction de la température, égal à 4,29x10 l’aluminium. On obtient ainsi aisément l’augmentation de température ∆θ de la ligne

∆θ = 3.

C

-1

pour

18,65 °C

(2 pts)

Exercice n° 3 (Matières plastiques) 3.a)

Comparaison de PEBD et du PEHD (Affirmations vraies) Cochez les affirmations qui sont vraies Affirmations 1

2

3

V 3.b)

4

5 (2 pts)

V

Caractéristiques du PE, du PS et du PF (voir exercice 12.4 du CD-Rom) Répondez par Oui ou par Non dans les cases appropriées Polymère

A chaînes linéaires Thermodurcissable

Cristallisable

PE

OUI

NON

PS

OUI

NON

OUI NON

PF

NON

OUI

NON

Sous-total = 7 pts

(3 pts)

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Version révisée 18/12/2001 4.

Exercice n° 4 (Céramiques) (voir exercice 13.3 du CD-Rom) 4.a)

Résistance RmC et Module d’Young E des deux matériaux Justification : Par définition, RmC = FR/S0, où FR est la force à la rupture et S0 la section de l’éprouvette. Par définition, E = σ/ε, où ε est la déformation élastique correspondant à la contrainte σ qui, ici peut être prise à égale à RmC puisque les céramiques sont fragiles et ont un comportement élastique jusqu’à leur rupture. A la rupture, on obtient donc E = σ/ε = RmC/εf Par définition, la déformation à la rupture εf = (h0 –h)/h0, où h0 et h sont respectivement la hauteur initiale et la hauteur finale de l’éprouvette de compression. Avec les valeurs données, on obtient les résultats suivants : Matériau

RmC (MPa)

E (GPa)

Alumine

2100

300

Porcelaine

1000

133

(2 pts)

4.b)

Rupture au cours d’une brusque élévation de température Justification : Pour une brusque élévation de température, les pièces A et B, qui ne peuvent se dilater, sont soumises à un effort de compression. À l’interface A/B entre les pièces, il y a équilibre des forces FA et FB. La contrainte générée dans chacune des pièces est égale à : et σB = FB/SB = 2FA/SA = 2σ σA car SA = ½SB σA = FA/SA La contrainte dans la matériau A (alumine) est 2 fois plus élevée que celle dans le matériau B (porcelaine). Toutefois, comme la résistance Rmc du matériau A (alumine) est 2,1 fois plus élevée que celle du matériau B (porcelaine), c’est donc la porcelaine (B) qui se rompt en premier au cours d’un choc thermique

Matériau = B (porcelaine)

(1 pt)

4.c)

Augmentation maximale de température Justification : La déformation totale en compression des deux barreaux est égale à la somme des déformations en compression ε t = −(ε A + ε fB ) (1) de chacun : Le signe – est utilisé parce que l’on est en compression. En appliquant la loi de Hooke à chaque matériau, on obtient :

 1 1   ε t = −R mCB  +  EA EB 

(2)

Si les barreaux étaient libres de se dilater, l’allongement relatif thermique de l’ensemble serait égal à la somme de leur allongement relatif thermique individuel, ce qui s’écrit : ε tht = ε thA + ε thB = ε tht = (α A + α B )∆θ (3) Puisque la distance entre les barreaux ne varie pas, la somme de la déformation totale εt en compression et de la dilatation thermique totale εtht est nulle, c’est à dire que l’on peut écrire : ε tht + ε t = 0 (4) D’après les éq. (2), (3) et (4), on obtient ainsi la valeur ∆θ de l’augmentation maximale de température :

∆θ =

R mCB  1 1    + (α A + α B )  E A E B 

(5)

∆θ =

942 °C

Avec les valeurs numériques données ou trouvées, on ainsi la variation critique de température Sous-total = 5 pts

(2 pts)

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Exercice n° 5 (composite) 5.a)

Fraction volumique de renfort (acier)

On peut démontrer aisément que la fraction volumique Vf de renfort (acier) est aussi égale à la fraction surfacique Sf du renfort dans une section droite du composite (pilier). On a donc : Vf = Sf = SA/St où SA est la surface des dix tiges d’acier et St est la surface totale d’une section droite du pilier. On obtient ainsi :

S 10πr 2 10π(1) Vf = A = = = 5,24 x10 −2 = 5,24% St St 15x 40 2

5.b)

Vf = 5,24 %

(1 pt)

Module d’Young EC du pilier Justification :

Il suffit d’appliquer la règle des mélanges aux modules d’Young de l’acier (renfort) et du béton (matrice) :

E C = Vf E f + (1 − Vf )E m

E C = [0,0524x 210] + [0,9476x 40] = 48,91 GPa

EC = 48,9 GPa

(1 pt)

Force de compression FC à la rupture Justification : La rupture du pilier se produira quand il y aura rupture du béton (matrice) qui est le composant fragile. La déformation εf (en compression) du béton à sa rupture est donnée par la loi de Hooke : 5.c)

εf =

R mb Eb

(1)

D’après la loi de Hooke, la contrainte σR de rupture du pilier est donc égale à : La force FC entraînant la rupture est égale à :

FC = S t σ R = S t E C ε f =

σR = E Cεf =

EC S t R mb Eb

FC =

EC R mb Eb

3668

(2)

kN

(2 pts)

5.d)

État de l’acier à la rupture du pilier Justification : La rupture du pilier se produira quand il y aura rupture du béton (matrice) qui est le composant fragile. La déformation εf (en compression) du béton à sa rupture est donnée par la loi de Hooke :

εf =

R mb 50 MPa = = 1,25x10 −3 = 0,125% Eb 40 GPa

(1)

Les déformations dans le béton et dans l’acier étant les mêmes, la contrainte appliquée à l’acier au moment de la rupture du pilier, est donc égale à : :

σA = E A εf =

EA 210 R mb = x 50 = 262,5 MPa Eb 40

(2)

Puisque cette contrainte est inférieure à la limite d’élasticité en compression de l’acier (280 MPa), l’acier est en régime purement élastique et n’a pas subi de déformation plastique à l’instant de la rupture du pilier.

Sous-total = 5 pts

(1 pt)

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Version révisée 18/12/2001 6.

Exercice n° 6 Indiquez le n° de la propriété

7.

Paramètre

A

B

C

D

F

Propriété(s)

9

2

7

6

3

(5 pts)

Exercice n° 7 7.a)

Réseau de Bravais du CsCl

Réseau : Cubique simple 7.b)

(1 pt)

Compacité du CsCl Justification :Compacité C = Va/Vm où Va = volume des atomes appartenant en propre à la maille et

Vm = volume de la maille. Si a est le paramètre de la maille, ici on a :

a 3 = 2(R Cl + R Cs ) où RCl et RCs sont

respectivement les rayons ioniques du chlore et du césium.

 2 Le volume Vm est donc égal à : Vm = a =  (R Cl + R Cs )  3 

3

3

(1 pt)

Comme il y a 1 ion Cl (8x1/8) et 1 ion Cs appartenant à la maille,

(

Compacité :

)

4π 3 R Cl + R 3Cs . 3 7.c) Masse volumique théorique ρ du CsCl

le volume Va est égal à :

Va =

68,45 %

Justification : Masse volumique ρ = Ma/Vm où Ma = masse des atomes appartenant en propre à la maille et Vm = volume de la

 2 maille. Le volume Vm a été calculé à la question précédente Vm = a =  (R Cl + R Cs )  3 

3

3

Comme il y a 1 ion Cl (8x1/8) et 1 ion Cs appartenant en propre à la maille, la masse Ma est égal à :

(

)

M a = M Cl + M Cs N A , où NA le nombre d’Avogadro. On obtient ainsi la masse volumique théorique ρ du CsCl

ρ=

4,38 g/cm3

(1 pt)

7.d)

Densité surfacique d’ions dans le plan (011) Justification : Le plan (011) est un plan diagonal, parallèle à l’axe X. La surface 2

2 . La disposition de sa maille plane élémentaire est égale à a des ions Cl et Cs dans cette maille est représentée ci-contre. La maille plane élémentaire possède donc 1 ion Cs en propre et 1 ion Cl en propre (4x1/4) La densité surfacique d’ions Cl et Cs est donc la même dans ce plan est égale à : 1 7.e)

a2 2

Ions –

Cl

+

Cs

2

Densité surfacique ((ions/nm )

4,41 4,41

(1 pt)

+

Type de sites occupés par les ions Cs

Site :

cubique

Sous-total = 10 pts

(1 pt)

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CORRIGÉ

Formulaire de réponses

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Version révisée 18/12/2001 8.

Exercice n° 8 8.a)

8.b)

8.c)

8.d)

Transformations allotropiques du fer pur à l’état solide Température (°C)

910

1394

---

Transformation

α↔γ

γ↔δ

---

(1 pt)

Microstructure d’un acier à 0,6 %m. C à diverses températures

Température (°C)

1460

1400

724

20

Microstructure

e

c

f

h

Phase

α

Fe3C

---

Proportion (%)

88

12

---

(2 pts)

Phases et proportions dans un acier eutectoïde à 20 °C (2 pts)

Températures de début et de fin de solidification d’un acier eutectoïde Température (°C)

8.e)

Début

1480

Fin

1400

Microstructure d’un acier eutectoïde à 1420 °C

Schéma = 9.

(1 pt)

e

(1 pt)

OUI

(1 pt)

Exercice n° 9 9.a)

Propagation possible de la fissure ? Répondez par Oui ou Non et justifiez votre réponse quantitativement :

La variation du facteur d’intensité de contrainte ∆K, associé à cette fissure initiale, est égale à :

∆K = α∆σ πa = α(σ max − σ min ) πa

avec σmax = 300 MPa (tir du canon) et σmin = 0 (canon au repos). Puisque α = 1,2 et a = 0,5 mm, on obtient ainsi :

∆K = α(σ max − σ min ) πa = 1,2x300 πx 0,0005 = 14,27 MPa.m On constate que cette valeur est supérieure au seuil de propagation en fatigue d’une ½ fissure dans cet acier (∆ ∆KS = 10 MPa.m ). Dès la mise en service du canon, il y aura donc propagation progressive de la fissure à chaque tir du canon.

1

2

Sous-total = 8 pts

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Formulaire de réponses

CORRIGÉ

Page 8 de 11

Version révisée 18/12/2001 9.b)

Profondeur critique a* de la fissure entraînant la rupture brutale (apparemment fragile) Justification : Le facteur maximum d’intensité de contrainte, associé à cette fissure initiale, est égal à :

K = ασ max πa

avec σmax = 300 MPa (tir du canon)

Quand K = KIC, il y a rupture brutale (apparemment fragile) du matériau. On en déduira ainsi la longueur critique

1 K  a* =  IC  π  ασ max 

a* pour laquelle se produira la rupture :

2

a* =

Puisque α = 1,2, σmax = 300 MPa et KIC = 125 MPa.m½, on obtient ainsi :

38,4

mm

(1 pt)

0

(1 pt)

9.c)

Rapport R du chargement en fatigue Justification : Par définition, R = σmin/σmax. Puisque σmax = 300 MPa (tir du canon) et σmin = 0 (canon au repos), la valeur de R est égale à 0 (zéro). 9.d)

R=

Durée de vie du en fatigue du fût du canon Justification :

Relation de Paris :

da dN = C∆K n

(1)

Variation du facteur d’intensité de contrainte ∆K :

∆K = α∆σ πa = ασ max πa

(2)

En combinant les éq. (1) et (2) et en séparant les variables a et N, on obtient :

dN =

1 da B an 2

(

B = C ασ max π

avec

)

n

= constante

(3a et 3b)

Par intégration de l’éq. 3a, on obtient le nombre N de cycles requis pour que la profondeur de la fissure passe de sa valeur initiale a0 = 0,5 mm à sa valeur finale critique a* = 38,4 mm :

[N]aa* = 1 ∫a

a*

0

B

a −n 2 da =

0

[

2 a 1−n 2 (2 − n )B

]

a* a0

=

[

]

2 (a * )1−n 2 − (a 0 )1−n 2 (4) (2 − n )B -11

Ici, l’exposant de Paris n est égal à 2,5, donc n/2 = 1,25. La constante C est égale à 8x10 Avec les valeurs numériques données, on obtient ainsi :

(

B = C ασ max π et

)

n

(

= 8x10 -11 1,2x300 π

)

2 ,5

= 8,228x10 −4

N = 21 637 cycles

Puisqu’il y a 10 tirs de canon par jour, donc 10 cycles de chargement en fatigue de la fissure par jour, il y aura rupture du fût du canon au bout de 2163 jours si la fissure n’a pas été détectée avant.

Durée = 2163

jours

Sous-total = 6 pts

(4 pts)

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Formulaire de réponses

CORRIGÉ

Page 9 de 11

Version révisée 18/12/2001 10. Exercice n° 10 (voir exercice 6.4 du CD-Rom) 10.a) Composition atomique de la phase γ Justification : La formule chimique de la phase γ étant CuBe, il y a donc autant d’atomes de Cu que d’atomes de Be dans ce composé. Sa composition en Be est donc égale à 50 %.atomique.

C = 50 %at. 10.b) Phases et proportions présentes à 20 °C Justification : Selon le diagramme Cu – Be, la solubilité du Be dans le Cu solide (phase α) est très faible à 20 °C. À cette température, l’autre phase d’équilibre est la phase γ contenant 11,8 %m de Be. En appliquant la règle des bras de leviers (le point pivot étant la composition nominale de 1,9%), on obtient les fractions (ou proportions) massiques des phases. Phase (°C) --α γ Proportion

83,9

16,1

(1 pt)

(1 pt)

---

10.c) Température de mise en solution Justification : Il faut que tout le Be soit entièrement dissous à l’état solide dans la phase α. La température située au milieu de l’intervalle de température où l’alliage est en phase α sera donc la température optimale de mise en solution. Pour l’alliage à 1,9 %m Be, cette température est donc voisine de 800 °C. On pourrait aussi choisir la température de solubilité maximale du Be, soit 860 °C, (1 pt) quoique dans ce cas, on s’approche un peu trop de domaine biphasé α + liquide θ = 800 °C 10.d) Température et temps de vieillissement Justification : Selon les courbes données, en éliminant tous les temps de vieillissement supérieures à 1 h. et en tenant compte des valeurs minimales requises des propriétés mécaniques, on obtient grâce aux courbes de vieillissement (voir annexe) les valeurs suivantes :

Température (°C) Temps (min)

370

315

6 à 12 55 à 60

-----

(2 pts)

-----

10.e) Composition de la phase α après vieillissement Justification : L’un ou l’autre des traitements de vieillissement possibles conduisent à un état sous-vieilli, puisque l’on n’a pas encore dépassé le pic de vieillissement. L’état d’équilibre thermodynamique stable de l’alliage n’a donc pas encore été atteint. Une fraction du béryllium en sursaturation a précité pour former de fins précités durcissants, mais il reste toutefois une fraction non négligeable de béryllium non précité lorsque le vieillissement sera interrompu. Par conséquent, la phase α aura une concentration en Be, certes inférieure à 1,9 %m., mais aussi supérieure à la solubilité maximale du Be 0,2 < C (%m. Be) < 1,9 (2 pts) soit à 370 ºC (0,4 %), soit à 315 °C (0,2 %). À 20 ºC, cette phase α sera une phase métastable puisqu’elle n’évoluera qu’infiniment lentement vers l’équilibre thermodynamique au cours du temps si l’alliage n’est pas réchauffé: Sous-total = 7 pts

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Formulaire de réponses

CORRIGÉ

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Version révisée 18/12/2001 11. Exercice n° 9 Répondez par V (vrai) ou F (faux). Attention ! Une mauvaise réponse en annule une bonne ! Une maille C.F.C. (cubique à faces centrées) possède quatre (4) sites octaédriques en propre.

V

Les plans {111} sont les plans les plus denses du réseau C.C. (cubique centré).

F

À cause des caractéristiques de la liaison métallique, les dislocations peuvent se déplacer dans les métaux soumis à une contrainte. La fragilité des matériaux covalents cristallins est due à l’absence de dislocations dans ces matériaux. Un matériau est plus résilient (tenace) si, au cours d’un essai Charpy, la hauteur de remontée du pendule est plus élevée. Plus la température de vaporisation d’un matériau est élevée, plus son module d’Young E est faible. Dans le cas d’une fissure de fatigue dont le rayon de courbure à fond d’entaille est très faible, la condition mécanique de Griffith est satisfaite pour de très faibles valeurs de la contrainte nominale appliquée. Un environnement agressif entraîne généralement une baisse de la limite d’endurance en fatigue d’un matériau.

V F F F V V

Sous-total = 4 pts Total : 60 pts

(4 pts)

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Formulaire de réponses

ANNEXE

CORRIGÉ

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Version révisée 18/12/2001

1300 370 °C 315 °C

260 °C

900

Rm

(MPa)

1100

425 °C

700 500 1300

1100

Courbes de vieillissement de l’alliage Cu + 1,9 %m. Be.

900

Re0,2

(MPa)

315 °C

370 °C

260 °C

700

425 °C

500 40

Cu + 1,9 %m. Be 260 °C

30

A (%)

315 °C 370 °C

20

10 1

425 °C

2

5 10 Minutes

30 1 Temps t

2

3 4 Heures

5

GÉNIE DES MATÉRIAUX

COURS ING1035 - MATÉRIAUX CONTRÔLE N° 1 du 26 septembre 2003 de 8h45 à 10h20

QUESTIONNAIRE

NOTES :

♦ Aucune documentation permise. ♦ Calculatrice non programmable autorisée. ♦ Les nombres entre parenthèses indiquent le nombre de points accordés à la question, le total est de 25 points. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. ♦ Utilisez les espaces prévus et, si nécessaire, la page opposée pour vos calculs intermédiaires. ♦ Le questionnaire comprend 4 pages, incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général. ♦ Le formulaire de réponses comprend 6 pages. ♦ Vérifiez le nombre de pages du questionnaire et du formulaire de réponses.

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n° 1 du 26 septembre 2003

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Exercice n° 1 Après avoir réalisé, à 20 ºC, un essai de traction sur une éprouvette d’aluminium dont la section droite S0 est égale à 80,00 mm2 et dont la longueur initiale L0 est égale à 100,00 mm, on a obtenu les résultats partiels suivants :

E = 70 GPa

Rm = 90 MPa

Déformation totale juste avant la rupture : At = 28 % Coefficient de dilatation linéique : α = 23,6x10-6 ºC-1 Au cours de l’essai de traction, la limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 est atteinte lorsque la force appliquée à l’éprouvette est égale à Fe0,2. Sous cette force, l’allongement absolu total de l’éprouvette est égal à 0,25 mm. a) Calculez la limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 (en MPa) de cet aluminium et la force Fe0,2 (en kN) qu’il a (3 pts) fallu appliquer à l’éprouvette pour atteindre Re0,2. b) À quelle température T (en ºC) doit-on porter l’aluminium non déformé pour qu’il subisse une dilatation (2 pts) linéique relative égale à la déformation élastique εe obtenue à sa limite conventionnelle d’élasticité ? c) Calculez l’énergie élastique Wem (en (kJ/m3) emmagasinée dans l’aluminium lorsque sa résistance à la (1 pt) traction Rm est atteinte? d) Si l’on suppose que la rupture de cet aluminium se produit lorsque sa résistance à la traction Rm est (1 pt) atteinte (pas de striction), calculez l’allongement permanent de l’aluminium Af (en %) après sa rupture. e) Si, après avoir atteint une contrainte de 60 MPa au cours de l’essai de traction, on décharge l’éprouvette et que l’on reprenne l’essai de traction, quelle sera la nouvelle limite d’élasticité (en MPa) de l’aluminium ? (2 pts) Quel nom donne-t-on à ce phénomène ? f)

Citez au moins une autre méthode pour obtenir un effet semblable sur la limite d’élasticité de l’aluminium.

(1 pt)

Exercice n° 2 L’aluminium cristallise selon le réseau de Bravais cubique à faces centrées (CFC) dont le paramètre a est égal à 0,4049 nm. Les plans de glissement cristallographique associés à ce réseau sont des plans appartenant à la famille {111}. a) Combien de sites octaédriques appartiennent en propre à la maille CFC ?

(1 pt)

b) Calculez la masse volumique théorique ρ (en g/cm3) de l’aluminium.

(2 pts)

c) Sur la figure présentée au formulaire de réponse, tracez, dans la maille considérée, le plan spécifique

(1 1 1) .

(1 pt)

d) Quels sont les systèmes de glissement associés à ce plan particulier (1 1 1) ? Sont-ils des systèmes de (2 pts) glissement indépendants ? Justifiez votre réponse. Données :

AAl = 26,982 g/mole

NA = 6,022x1023 mole-1

Sous-total: 16 pts

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Exercice n° 3 On réalise un essai de traction sur un monocristal d’aluminium de haute pureté (Al = 99,998 %m) et on étudie uniquement les possibilités de glissement cristallographique dans le plan spécifique (1 1 1) . Deux directions

r

[ ]

r

[ ]

possibles de traction sont considérées : la direction A = 001 et la direction B = 1 1 1 . Conseil : l’utilisation du produit scalaire ou du produit vectoriel de deux vecteurs peut s’avérer utile à la résolution de certaines des questions suivantes. a) Pour quelle direction de traction se produira le glissement cristallographique dans le plan (1 1 1) ? Justifiez (1 pt) votre réponse. b) Selon la direction de traction choisie, quels seront les systèmes de glissement activés ?

(2 pts)

c) Quelle est la longueur du vecteur de Burgers b, associé aux dislocations dans l’aluminium ?

(1 pt)

On constate l’apparition du glissement cristallographique dans les systèmes activés pour une contrainte nominale de traction σnom égale à 1,96 MPa. d) Que se passe-t-il physiquement dans le monocristal quand le glissement cristallographique irréversible (1 pt) apparaît ? e) Quelle est la cission critique τ∗ (en MPa) caractéristique du glissement cristallographique dans l’aluminium (1 pt) de haute pureté ? f)

Quelle devrait être la valeur de la limite proportionnelle d’élasticité Re (en MPa) de l’aluminium polycristallin, déduite de l’essai de traction d’un monocristal d’aluminium de haute pureté ?

(1 pt)

En fait, on constate que l’aluminium polycristallin commercialement pur (Al = 99,8 %m) présente une limite proportionnelle d’élasticité Re égale 18 MPa. g) Citez deux raisons qui expliquent la différence des valeurs de la limite proportionnelle d’élasticité Re de (2 pts) l’aluminium polycristallin, soit déduite des essais de traction sur un monocristal soit directement mesurée sur un aluminium polycristallin.

Pour l’équipe de professeurs, le coordonnateur: Jean-Paul Baïlon

Sous-total : 9 pts Total : 25 pts

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[

]

da = C∆K n dN

[

]

m=

Aicorr t nF

∆=

(ma )ox ρ M (ma )M ρox

εx =

1 σ x − v (σ y + σ z ) E

εy =

1 σ y − v (σ x + σ z ) E

εz =

1 σ z − v (σ x + σ y ) E

G=

E 2 (1 + v )

[

1=

]

ν =-

ε εx =- y εz εz

τ =

− E 

a   r 

F cos θ cos χ S0

τ th =

G b 2π a

Re 0.2 = σ 0 + kd −1 / 2

lc =

S

g  σ = σ 0 exp   2kT 

r = ua + vb + wc

σ y = σ nom

ρl

σ = (nee µe + nt e µt )

hx ky lz + + na nb nc

 1 + 2  

R=

σ = ne e µe

2 Eγ s a0

Rth =

Page 4 de 4

2EγS

(

)

E = E0 0 ,9 P 2 −1,9 P + 1

Rm = (Rm )0 e − nP ∆θ * = R1 =

Rm . f (v ) Eα

R3 =

E R . f (v )

R4 =

Eγ S = γ S R3 R . f (v )

2 m

2 m

(Rm )c = V f (Rm ) f

πσ2

+ (1 − V f ) σ m

= V f σ f + (1 − V f ) (Rm )m

KC = α σ π a

(Rm )C

f S C S + f L C L = C0

EC = V f E f + Vm Em

 Q  D = D0 exp  − 0   kT 

EC ≅

3 V f E f + Vm Em 8

(Rm )C

= kV f (Rm ) f + Vm σ m

ε vel =

σt  K2

 K 2 t   1 − exp  −  η 2  

GÉNIE DES MATÉRIAUX Note finale:

/25

CORRIGÉ

NOM (en majuscules):_____________________________ PRÉNOM :______________________________ SIGNATURE :______________________________ MATRICULE : _________________ SECTION :

COURS ING1035 - MATÉRIAUX Contrôle N° 1 du 26 septembre 2003 de 8h45 à 10h20

FORMULAIRE NOTES :

DE

RÉPONSES

♦ Aucune documentation permise. ♦ Calculatrice non programmable autorisée. ♦ Les nombres en marge de droite indiquent le nombre de points accordés à la question. Le total est de 25 points. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. ♦ Utilisez les espaces prévus et, si nécessaire, la page opposée pour vos calculs intermédiaires. ♦ Le questionnaire comprend 4 pages, incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général. ♦ Le formulaire de réponses comprend 6 pages. ♦ Vérifiez le nombre de pages de votre questionnaire et de votre formulaire de réponse.

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 26 septembre 2003

1.

EXERCICE n° 1 1.a)

Page 2 de 7

CORRIGÉ

Pour connaître la signification des symboles utilisés dans le corrigé, consultez la figure en annexe qui schématise la courbe de traction.

Limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 de l’aluminium et force Fe0,2. Justification :

R e0,2 = Eεe

On applique la loi de Hooke au triangle abc (voir figure) :

Pour obtenir εe (segment ac), il faut déduire la déformation plastique εp à Re0,2 (segment Oa = 0,2%) de la déformation totale εt = ∆l/l0 = 0,25/100 = 0,25% (segment Oc = 0,25 %) :

ε e (%) = ε t - 0,2 = 0,25 - 0,20 = 0,05 % = 5x10-4

(

)

Re 0, 2 = Eε e = (70 000 MPa ) 5x10 - 4 = 35 MPa La force requise Fe0,2 est égale à :

(

)(

)

Fe 0, 2 = Re 0, 2 S 0 = 35x106 x 80x10-6 = 2 800 N = 2,8 kN

1.b)

Re0,2 =

35

MPa

Fe0,2 =

2,8

kN

(1 pt)

41,2

°C

(2 pt)

(2 pts)

Température (°C) pour avoir une dilatation linéique relative égale à εe. Justification :

Définition du coefficient de dilatation thermique : α = (∆l l 0 ) ∆θ = ε th ∆θ

∆θ = ε th α

Donc :

(

∆θ = ε th α = 5x10 −4

avec ε th = ε e = 0,05 % = 5x10 -4

) (23,6x10 ) ≈ 21,2 º C −6

L’aluminium doit donc être porté à la température de 41,2 °C (20 ° + 21,2 °) 1.c)

θ=

Énergie élastique Wem emmagasinée à Rm . Justification :

L’énergie élastique Wem emmagasinée par unité de volume à Rm est égale à l’aire du triangle ghi. Pour une contrainte Rm, la valeur de la déformation élastique εem (segment gi) est obtenue par la loi de Hooke applicable au triangle ghi : ε em = Rm E = 90 MPa 70 GPa = 1,286 x10 −3 = 0,1286 % Donc

(

)(

)

Wem = Rmε em 2 = 90 x106 N/m 2 1,286 x10 −3 m/m / 2 = 5,787 x10 4 J/m 3

Wem = 1.d)

57,87

kJ/m3

(1 pt)

Allongement permanent Af après rupture. Justification :

L’allongement permanent Af après rupture est égal au segment Og (voir figure). Sachant que le segment Oi est égal à l’allongement total At juste avant la rupture, on obtient ainsi la valeur de Af : Af = Og = (Oi – gi) = (At – εem) = (28 % – 0,1286 %) = 27,87 %

Af = 27,87

%

Sous-total = 7 pts

(1 pt)

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 26 septembre 2003 1.e)

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CORRIGÉ

Nouvelle limite d’élasticité R*e après avoir atteint une contrainte σ = 60 MPa. Justification :

Pour mettre en mouvement les dislocations au cours d’une remise en charge du matériau après une pré-déformation, il faut appliquer une contrainte égale à celle qui était appliquée à ces dislocations au moment de la décharge. Donc, dans le système initial d’axes « σ − ε », la nouvelle limite d’élasticité R*e sera égale à la contrainte σ à laquelle on a déchargé le matériau (ici σ = 60 MPa). C’est le phénomène de durcissement par écrouissage (ou par pré-déformation) R*e : 60 MPa Nom du phénomène : 1.f)

(2 pts)

DURCISSEMENT PAR ÉCROUISSAGE

Autre méthode pour avoir un effet semblable sur la limite d’élasticité.

Méthode :

a) Durcissement par solution solide (d’insertion ou de substitution) ou b) Durcissement par affinement de la taille des grains

2.

(1 pt)

EXERCICE n° 2 2.a)

Nombre de sites octaédriques appartenant en propre à la maille CFC Justification :

Dans une maille CFC, les sites octaédriques sont localisés au centre de la maille (1 site) et au milieu des arêtes de cette maille (12 arêtes donc 12 sites). Le nombre N de sites octaédriques appartenant en propre à la maille est donc égal à : N = (1x1) + (12x1/4) = 4

2.b)

N=

4

(1 pt)

Masse volumique théorique de l’aluminium Justification :

La maille CFC de l’aluminium possède 4 atomes en propre. Si a est le paramètre de la maille, son volume V est égal à : V = a3 (1) La masse mAl d’un atome d’aluminium est égale à : mAl = AAl/NA

(2)

La masse volumique théorique ρ est donc égale à :

ρ = 4mAl/V =(4AAl)/(NAa3)

(3)

ρ =

2,7

g/cm3

Sous-total = 6 pts

(2 pts)

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 26 septembre 2003 2.c)

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CORRIGÉ

Plan (1 1 1) dans la maille CFC de l’aluminium. Tracez le plan dans la maille ci-contre.

Z : A [001] B [111]

(1 pt)

y

x a

2.d)

Systèmes de glissement associés au plan (1 1 1) : Justification :

Un système de glissement est défini par un plan compact – ici le plan (1 1 1) – et par une direction de glissement, appartenant à ce plan et étant une direction de plus grande densité atomique (directions compactes). Dans le réseau CFC, ces directions sont les diagonales des faces de la maille CFC. Dans le plan spécifique (1 1 1) , on obtient ainsi les 3 directions de glissement représentées ci-dessus. Il existe donc 3 systèmes de glissement possibles dans le plan considéré. Toutefois, ils ne sont pas tous indépendants l’un de l’autre, car un glissement dans une direction donnée peut toujours être obtenu par une combinaison de glissement dans les deux autres directions. Il n’y a donc que 2 systèmes de glissement indépendants dans un plan de type {111} de l’aluminium.

Systèmes : Répondre par OUI ou NON dans cette case en justifiant votre réponse ci-dessus

(1 1 1) [110] (1 1 1) [1 01] (1 1 1) [011] (2 pts)

Indépendance des systèmes :

NON Sous-total = 3 pts

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 26 septembre 2003

3.

Page 5 de 7

CORRIGÉ

EXERCICE n° 3 3.a)

Direction de traction provoquant un glissement cristallographique dans le plan (1 1 1) : Justification :

r

r

[ ]

Les deux directions de traction A = [001] et B = 1 1 1 sont tracées dans la maille ci-dessus. On constate que la

r direction B = [1 1 1] est normale au plan (1 1 1) . Par conséquent, si l’on applique une force de traction selon la r direction B = 1 1 1 , il n’y aura aucune composante de cission dans le plan (1 1 1) , donc il n’y a pas de

[ ]

glissement cristallographique possible pour cette direction de traction.

r

Seule un force de traction appliquée selon la direction A = [001] pourra produire un glissement cristallographique dans le plan considéré.

Direction : 3.b)

A

(1 pt)

Système(s) de glissement activés dans le plan (1 1 1) selon la direction de traction : Justification :

Il faut calculer le facteur de Schmid cosθ.cosχ associé à chacune des trois directions de glissement du plan (1 1 1) , sachant que la direction de traction est [001] . En utilisant le produit scalaire pour obtenir soit l’angle χ

[ ]

(

)

entre la direction de traction [001] et la normale 1 1 1 au plan 1 1 1 , soit les angles θ1, θ2 et θ3 définis par la

[ ]

direction de traction [001] et chacune des directions de glissement ( [110] , 1 01 , [011] ), on obtient les résultats suivants : ♦ Angle χ:

cosχ = 1/√3 −−> χ = 54,74º

♦ Pour [110] ,

θ1 = 90º, donc pas de cission (donc pas de glissement) selon cette direction.

[ ]

♦ Pour 1 01 et [011] ,

cosθ2 = cosθ3 = 1/√2 −−> θ2 = θ3 = 45º

[ ]

Le facteur de Schmid selon les directions 1 01 et [011] est le même et le glissement sera également activé dans ces deux systèmes.

3.c)

Système(s) : (1 1 1) [1 01] (1 1 1) [011]

(2 pts)

Longueur du vecteur de Burgers b des dislocations dans l’aluminium Justification :

Dans un métal, dont les atomes sont de même nature, la longueur du vecteur de Burgers b est égale à la distance interatomique. Puisque, dans une maille CFC, les directions de plus forte compacité sont les directions de la famille (diagonales des faces du cube, voir question 2d ci-dessus), les atomes se touchent selon ces directions. La distance interatomique – donc la longueur du vecteur de Burgers – est égale à

a 2 où a est le paramètre 2

de la maille. Avec a = 0, 4049 nm, on obtient ainsi la valeur de |b| = 0,2863 nm

|b| = 0,2863 nm Sous-total = 4 pts

(1 pt)

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 26 septembre 2003 3.d)

Page 6 de 7

CORRIGÉ

Phénomène physique se produisant dans le cristal quand le glissement est activé : Justification :

Il y a mise en mouvement (déplacement) des dislocations dans les systèmes de glissement activés.

3.e)

Cission critique

(1 pt)

τ* de l’aluminium monocristallin de haute pureté :

Justification :

[ ]

Le facteur de Schmid selon les directions 1 01 et [011] étant le même, le glissement sera également activé dans ces deux systèmes (voir question 3.b ci-dessus). En appliquant la loi de Schmid à ces systèmes de glissement, on obtient la cission critique de mise en mouvement des dislocations dans l’aluminium:

τ * = σ nom . cosθ . cos χ = (1,96)(cos 54,74º )(cos 45º ) MPa

τ* = 3.f)

0,8

MPa

(1 pt)

Limite proportionnelle d’élasticité Re de l’aluminium polycristallin déduite du monocristal : Justification :

La limite proportionnelle théorique d’élasticité Re d’un polycristal, déduite de la cission critique τ* obtenue sur le monocristal, est donnée par la relation suivante : Re ≈ 2 τ*

Re = 3.g)

1,6

MPa

(1 pt)

Raisons de l’écart de la limite proportionnelle d’élasticité Re de l’aluminium polycristallin :

Raison 1 :

Durcissement par solution solide (de substitution ou d’insertion) de l’aluminium commercial polycristallin qui contient plus d’impuretés que le monocristal de haute pureté.

(1 pt)

Raison 2 :

Durcissement par affinement des grains de l’aluminium commercial polycristallin, qui n’est pas pris en compte par la relation Re ≈ 2 τ* déduite du comportement du monocristal. Cette relation suppose que le polycristal n’est, en fait, qu’un monocristal où se produira toujours un glissement dans un système ayant un facteur de Schmid égal à 0,5. Elle ignore la présence des joints de grains qui sont des obstacles au mouvement des dislocations.

Sous-total = 5 pts Total : 25 pts

(1 pt)

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CORRIGÉ

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Annexe Note : ces figures schématiques ne sont pas à l’échelle

h

Rm

80 e

Contrainte σ (MPa)

60

d

f

O

Déformation ε (%)

b

Re0,2

E

E

εp O

a 0,2 % εt

εe

c 0,25 %

g i Af At

GÉNIE DES MATÉRIAUX

COURS ING1035 - MATÉRIAUX CONTRÔLE N° 1 du 19 février 2002 de 8h45 à 10h20

QUESTIONNAIRE

NOTES :

♦ Aucune documentation permise. ♦ Calculatrices non programmables autorisées. ♦ Les nombres entre parenthèses indiquent le nombre de points accordés à la question, le total est de 25 points. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs ou une justification, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. ♦ Utilisez les espaces prévus ou la page opposée pour vos calculs. ♦ Le questionnaire comprend 8 pages, incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général. ♦ Le formulaire de réponses comprend 6 pages. ♦ Vérifiez le nombre de pages du questionnaire et du formulaire de réponses.

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Page 2 de 8

Exercice n° 1 On réalise un essai de traction sur une éprouvette d’acier 1060 à l’état recuit. Le plan de cette éprouvette est donné à la figure ci-contre. Les vues agrandie et générale de la courbe brute de traction F = f(∆ ∆l) sont données en annexe. a)

Quelle est la valeur du module d’Young E (en GPa) de l’acier 1060 ?

(1 pt)

b)

Quelle est la limite proportionnelle d’élasticité Re (en MPa) de l’acier 1060 ?

(1 pt)

c)

Quelle est la limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 (en MPa) de l’acier 1060 ?

(1 pt)

d)

Quelle est la résistance à la traction Rm (en MPa) de l’acier 1060 ?

(1 pt)

e)

Quelle est la valeur de la déformation permanente A (en %) après rupture de l’éprouvette ?

(1 pt)

f)

Calculez l’énergie élastique wél (en J) emmagasinée dans l’éprouvette juste avant sa rupture finale.

(1 pt)

Exercice n° 2 z

Le fluorure de calcium cristallise selon le système cubique et la figure ci-contre montre la disposition des ions Ca et F dans cette maille cubique. Le paramètre a de la maille est égal à 0,5463 nm.

Ca

a)

F

Quels sont les indices de Miller du plan qui contient les directions

y b) x

[ 1 01] et [0 1 1 ] ?

(

)

Dans le plan 1 1 0 , quelle est la valeur de (Ca/F) représentant le rapport de la densité surfacique d’ions Ca à la densité surfacique d’ions F ?

(1 pt)

(1 pt)

(1 pt)

c)

Quel est réseau de Bravais du fluorure de calcium ?

d)

Quel est le motif associé à ce réseau ? Donnez la position relative dans la maille des ions constituant ce (1 pt) motif et, sur le formulaire de réponse, encerclez un motif dans la maille représentée.

e)

Quelle est la formule chimique du fluorure de calcium ? Justifiez votre réponse par des considérations (1 pt) cristallographiques.

f)

Quelle est la masse volumique théorique (en g/cm ) du fluorure de calcium ? Données : Masse atomique (g/mole): Ca = 40,08 ; F = 19,00 23 -1 Nombre d'Avogadro: NA = 6,022x10 mole

(1 pt)

3

Sous-total: 12 pts

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Page 3 de 8

Exercice n° 3 On réalise un essai de traction sur un monocristal de fer de haute pureté (% Fe = 99,999 %). Le fer a une structure cristalline C.C. avec un paramètre de maille a = 0,287 nm. Le schéma de l’éprouvette de traction est présenté à la figure ci-dessous et les dimensions de sa section utile sont les suivantes: largeur l = 8 mm;

a)

épaisseur e = 4 mm

Quelle est la longueur (en nm) du vecteur de Burgers b des dislocations dans le fer ?

(1 pt)

Lorsque la force F appliquée atteint 2,4 kN au cours de l’essai de traction, on constate l’apparition des premiers signes de glissement cristallographique irréversible dans un plan dont la normale fait un angle χ = 40º avec l’axe de traction et selon une direction faisant un angle θ = 65º avec l’axe de traction. b)

Quels sont les indices de Miller de la famille de plans à laquelle appartient le plan de glissement actif et (1 pt) quels sont les indices de la famille de directions à laquelle appartient la direction active de glissement ?

c)

Quelle est la valeur de la cission critique de glissement τ* du fer monocristallin très pur ?

(1 pt)

d)

Quelle devrait être la valeur de la limite proportionnelle d'élasticité Re d'un polycristal fait de ce même fer très pur ?

(1 pt)

À l'état recuit (non déformé), le fer polycristallin commercialement pur (% Fe > 99,6 %) présente une limite proportionnelle d'élasticité Re égale à 60 MPa. e)

Pour quelle(s) raison(s) la limite proportionnelle d’élasticité Re du fer polycristallin commercialement pur est différente de celle déduite du fer monocristallin très pur ? Au formulaire de réponse, cochez la (les case(s) appropriées.

Sous-total: 5 pts

(1 pt)

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Page 4 de 8

Exercice n° 4 La plaque représentée ci-contre est faite en verre ordinaire dont les propriétés sont les suivantes :

E = 70 GPa ; Rm = 60 MPa ;

γS = 0,2 J/m2

Les dimensions de la plaque et de l’entaille sont les suivantes :

W = 110 mm;

e = 15 mm;

a = 6 mm;

r=?

La force F appliquée à cette plaque est égale à 12 kN. a)

Dans ces conditions de chargement de la plaque entaillée, la condition énergétique de propagation de l’entaille est-elle (1 pt) satisfaite ?

Rappel : Condition énergétique b)

σ nom ≥

2Eγ S πa

Quelle doit être la valeur minimale (en mm) du rayon de courbure r pour qu’il n’y ait pas propagation brutale de (2 pts) l’entaille dans ces conditions de chargement ?

Données : Kt =

f(a/r) en annexe.

Exercice n° 5 Un tuyau d’acier de diamètre D = 0.7 m et d’épaisseur e doit supporter une pression interne P de 20 MPa. Sous l’effet de cette pression, une contrainte tangentielle de traction σt apparaît dans le tuyau et sa valeur est donnée par la relation suivante: σt = PD/2e. Le tuyau peut contenir des défauts de fabrication superficiels longitudinaux (voir figure ci-dessous). Ces défauts sont détectables s’ils ont une profondeur minimale a = 4 mm et une longueur 2c minimale de 15 mm. Le facteur de forme α associé à ces défauts est égal à 1.2. On remarquera que la contrainte tangentielle σt s'exerce perpendiculairement au plan du défaut et aura donc tendance à ouvrir le défaut.

Sous-total: 3 pts

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Page 5 de 8

Les normes de sécurité applicables à ces tuyaux exigent que les deux conditions suivantes soient simultanément satisfaites : •

Condition 1 : la contrainte tangentielle σt ne doit pas dépasser la moitié de la limite d’élasticité de l’acier.



Condition 2 : le facteur maximal d'intensité de contrainte Kmax, associé au défaut, doit rester inférieur ou égal au facteur critique d'intensité de contrainte KIC de l'acier.

Pour ces tuyaux, vous avez le choix entre deux aciers A et B, dont les propriétés mécaniques sont les suivantes: Acier A : Acier B :

Re0,2 = 500 MPa ; Re0,2 = 650 MPa ;

KIC = 120 MPa.m½ KIC = 80 MPa.m½

Quel acier choisissez-vous et en quelle épaisseur e (en mm) pour que le tuyau ait la plus faible masse par unité de longueur ? Justifiez quantitativement votre choix.

Pour l’équipe de professeurs, le coordonnateur: Jean-Paul Baïlon

Sous-total: 5 pts Total : 25 pts

(5 pts)

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ANNEXES 60

Acier 1060 (vue agrandie)

Force F (kN)

50 40 30 20 10 0 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Allongement ∆ l (mm) 100

Acier 1060 (vue générale)

90 80

Force F (kN)

70 60 50 40 30 20 10 0 0.0

5.0

10.0

15.0

Allongement ∆ l (mm)

20.0

25.0

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ANNEXES

Kt

Facteur de concentration de contrainte associé à une entaille

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

(a/r)

½

6

7

8

9

10

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[

(

)]

da = C∆K n dN

]

m=

Ai corr t nF

)]

∆=

(m a )ox ρ M (m a )M ρox

R=

ρl S

εx =

1 σ − ν σy + σz E x

εy =

1 σ − ν (σ x + σ z ) E y

εz =

1 σ − ν σx + σy E z

G=

E 2 (1 + ν )

[

[

R th = 1=

(

ν=−

εy εx =− εz εz

σ = n e e µe

2Eγ s a0

σ = (n e e µ e + n t e µ t )

hx ky lz + + na nb nc

 − Eg σ = σ 0 exp  2kT

r = ua + vb + wc σ y = σ nom

τ=

 1 + 2  

a r

   

F cos θ cos χ S0

τ th =

G b 2π a

R e 0.2 = σ 0 + kd −1/ 2 l c = a* =

Page 8 de 8

2 E γS π σ2

   

(

E = E 0 1−1,9 P + 0,9 P 2 R m = (R m )0 exp − nP ∆θ* = R 1 =

R3 =

R4 =

R m f (ν ) Eα

E R 2m .f

(v )

Eγ S

R 2m .f (v )

= γSR 3

(R m )C = Vf (R m )f + (1 − Vf ) σ m

K C = α σ nom π a

(R m )C = Vf

f SCS + f L C L = C 0

E C = Vf E f + Vm E m

 Q  D = D 0 exp  − 0   kT   K 2 t  σt   ε vél = 1 − exp  −  η K 2   2  

)

EC ≅

σ f + (1 − Vf ) (R m )m

3 V E + Vm E m 8 f f

(R m )C = kVf (R m )f

+ Vm σ m

GÉNIE DES MATÉRIAUX Note finale:

/25

NOM (en majuscules):_____________________________ CORRIGÉ Version révisée 20/02/2002

PRÉNOM :______________________________ SIGNATURE :______________________________ MATRICULE : _________________ SECTION :

COURS COURS ING1035 - MATÉRIAUX Contrôle N° 1 du 19 février 2002 de 8h45 à 10h20

FORMULAIRE NOTES :

DE

RÉPONSES

♦ Aucune documentation permise. ♦ Moyen de calcul : calculatrices autorisées seulement. ♦ Les nombres en marge de droite indiquent le nombre de points accordés à la question. Le total est de 25 points. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. ♦ Utilisez les espaces prévus ou la page opposée pour vos calculs ♦ Le questionnaire comprend 8 pages, incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général. ♦ Le formulaire de réponses comprend 6 pages. ♦ Vérifiez le nombre de pages de votre questionnaire et de votre formulaire de réponse.

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1.

CORRIGÉ

Page 2 de 8

Version révisée 20/02/2002

EXERCICE n° 1 1.a)

Module d’Young E de l’acier 1060. Justification :

Module d’Young E = σ/ε (dans le domaine élastique). Avec la courbe brute de traction donnée, on obtient :

E=

F L0 , où S0 et L0 sont respectivement la section initiale et la longueur initiale de l’éprouvette. S0 ∆L

En prenant les coordonnées ∆L et F d’un des points de la droite élastique, on obtient ainsi E : 1.b)

E=

208

GPa

(1 pt)

Limite proportionnelle d’élasticité Re de l’acier 1060. Justification :

Correspond à la transition Fe (= 40 kN) entre le domaine de déformation élastique et le domaine de déformation plastique (voir fig. en annexe). La limite proportionnelle d’élasticité Re est égale à Fe/S0.

Re = 354 1.c)

MPa

(1 pt)

Limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 de l’acier 1060. Justification :

Correspond à la force Fe0,2 (= 50 kN) définie par l’intersection de la courbe de traction et de la parallèle à la droite élastique passant par un allongement permanent de 0,2 mm puisque L0 = 100 mm (voir fig. en annexe). La limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 est égale à Fe0,2/S0.

Re0,2 = 1.d)

442 MPa

(1 pt)

Résistance à la traction Rm de l’acier 1060. Justification :

Correspond à la force Fmax (= 88 kN) au maximum de la courbe de traction (voir fig. en annexe). La résistance à la traction Rm est égale à Fm/S0.

Rm = 778 1.e)

MPa

(1 pt)

Allongement permanent A après rupture Justification :

Allongement permanent après rupture A = Af – Aél, Af est l’allongement total à l’instant de la rupture et Aél est le retour élastique se produisant à la rupture : Af = 100(∆ ∆Lf/L0) Aél = 100(σ σf/E) = 100[Ff/(S0E)] où ∆Lf (= 24 mm) et Ff (= 85 kN) sont les coordonnées du dernier point de la courbe de traction (voir fig. en annexe). E est le module d’Young de l’acier. A = 23,6 % Avec les valeurs numériques trouvées, on obtient : Aél = 0,36 % A = 23,64 % Af = 24 %

Sous-total = 5 pts

(1 pt)

CORRIGÉ

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 19 février 2002 1.f)

Énergie élastique Justification :

Page 3 de 8

Version révisée 20/02/2002

wél emmagasinée dans l’éprouvette juste avant sa rupture.

L’énergie élastique Wél , emmagasinée par unité de volume de matériau à l’instant de la rupture, est égale à : Wél = ½σ σfAél Avec les définitions données ci-dessus, on obtient :

1 Ff Ff 1  Ff    = Wél = 2 S0 S0 E 2E  S0 

2

L’énergie élastique wél emmagasinée dans l’éprouvette (de volume V0 = S0L0) à l’instant de la rupture est égale à:

1 Ff2 L 0 . Avec les données numériques, on obtient : 2E S Exercice n° 2

w él = Wél V0 =

2.

2.a)

Indices de Miller du plan contenant les directions

wél =

15,4 J

(1 pt)

[ 1 01] et [0 1 1 ] .

Justification :

Voir la figure en annexe

(1 1 1) 2.b)

Rapport des densités surfaciques (Ca/F) dans le plan

(1 pt)

(1 1 0) .

Justification :

Ions appartenant en propre à la maille plane de ce plan (voir la figure en annexe): Ions Ca : 4x(1/4) + 2x(½) = 2 Ions F : 4x1 = 4 Ca/F Le rapport des densités surfaciques est égal au rapport des ions en propre appartenant à la maille plane considérée: 2.c)

=

½

(1 pt)

Réseau de Bravais du fluorure de calcium. Justification :

Les ions Ca occupent les nœuds d’un réseau de Bravais cubique à face centrées (CFC)

CFC 2.d)

(1 pt)

Motif du fluorure de calcium. Sur la figure ci-contre, encerclez les ions qui constituent un motif et donnez les coordonnées relatives de ces ions dans les cases ci-dessous.

z

Ca F

Ion

Position

Ca F1 F2

0, 0, 0 1/4, 1/4, 1/4 3/4, 1/4, 1/4

y x Sous-total = 5 pts

(1 pt)

CORRIGÉ

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 19 février 2002 2.e)

Page 4 de 8

Version révisée 20/02/2002

Formule chimique du fluorure de calcium. Justification :

On dénombre les ions appartenant en propre à la maille : Ions Ca :

8x(1/8) + 6x(½) = 4

Ions F :

8x1 = 8

Il y a donc 2 fois plus d’ions F que d’ions Ca. La formule chimique est donc 2.f)

Masse volumique théorique du fluorure de calcium. Justification :

Masse des ions appartenant en propre à la maille : Volume de la maille

V = a3

Masse volumique théorique :

ρ=

M = 4M Ca + 8M F = (4A Ca + 8A F ) N A

M 4A Ca + 8A F = V NAa 3

Avec les données numériques, on obtient ainsi :

3.

(1 pt)

CaF2

ρ=

3,18

g/cm3

(1 pt)

Exercice n° 3 3.a)

Longueur du vecteur de Burgers b des dislocations dans le fer. Justification :

Dans les métaux (liaisons non directionnelles), la longueur b du vecteur de Burgers est égale à la distance interatomique. Dans le réseau CC du fer, les atomes de fer se touchent selon la grande diagonale du cube. Par conséquent, on obtient :

b=a 3 3.b)

2

= 0,249 nm

b=

(1 pt)

Indices de Miller d’un système de glissement dans le fer. Justification :

Le glissement cristallographique se produit dans les plans de plus grande densité atomique et selon les directions de plus grande densité atomique, contenues dans ces plans. Pour les métaux CC, cette règle conduit aux plans {110} et aux directions . Un exemple de système est donné dans les cases réponses ci-contre. 3.c)

0,249 nm

Plan

Direction

(110)

[1 1 1 ]

(1 pt)

Cission critique de glissement τ∗ du fer monocristallin très pur . Justification :

On applique la loi de Schmid au système de glissement considéré : Avec les données numériques disponibles, on obtient ainsi :

τ* =

F cos θ cos χ S0

τ* = 24,3 MPa

τ∗ = 24,3 MPa Sous-total = 5 pts

(1 pt)

CORRIGÉ

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 19 février 2002 3.d)

Page 5 de 8

Version révisée 20/02/2002

Limite proportionnelle d’élasticité du fer très pur . Justification :

Pour un polycristal, la limite proportionnelle d’élasticité Re correspond à l’apparition des premiers glissements cristallographiques dans les grains les mieux orientés, c’est-à-dire ceux dont le facteur de Schmid est le plus élevé et égal à 0,5. Dans ce cas, la contrainte nominale à appliquer est Re = 2τ*

Re = 48,6 3.e)

MPa

(1 pt)

Cause(s) de la différence. Cochez la (les) case(s) appropriées :

Raison Pour le fer polycristallin de haute pureté, la valeur de Re, déduite de la cission critique τ∗ mesurée sur un monocristal, ne tient pas compte de l'effet de durcissement dû aux joints de grains présents dans le polycristal.

X

Dans le fer commercialement pur, il y a présence de nombreux précipités durcissants qui gênent le mouvement des dislocations.

(1 pt)

Le fer commercialement pur a subi une prédéformation, donc un durcissement par écrouissage. Dans le fer commercialement pur, il y a présence d'atomes d'impuretés, ce qui entraîne un durcissement par solution solide d'insertion ou de substitution.

4.

X

Exercice n° 4 4.a)

Condition énergétique de propagation . Répondez par OUI ou NON et justifiez votre réponse :

La valeur critique de la contrainte nominale qui satisfait la condition énergétique est donnée par l’équation suivante :

σ*nom = 2Eγ S πa = 1,22 MPa avec les valeurs numériques données. Or la contrainte nominale σnom appliquée à la plaque est égale à F/S0 = F/[e(W – a)], ce qui donne une valeur de 7,69 MPa. Comme cette contrainte est supérieure à la valeur critique, la condition énergétique 4.b)

OUI

(1 pt)

Rayon minimal pour qu’il n’y ait pas propagation brutale de l’entaille. Justification :

Pour qu’il n’y ait pas rupture, il faut que la contrainte locale σloc à la racine de l’entaille soit inférieure à la résistance à la traction Rm du verre. On obtient donc la relations suivante : σloc = Ktσnom = Rm. On peut ainsi en déduire la valeur maximale du facteur de concentration de contrainte Kt : Kt = Rm/σ σnom = 60/7,69 = 7,8 De cette valeur de Kt, on en déduit une valeur de (a/r)½ = 3,4; donc un rayon minimal r = a/(3,4)2 = 0,52 mm

r = 0,52 mm Sous-total = 5 pts

(2 pts)

CORRIGÉ

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5.

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Exercice n° 5 Choix de l’acier et de l’épaisseur du tuyau. Justification :

La première condition se traduit par : soit une épaisseur minimale

σt = PD/2e = Re0,2/2 , e1 = PD/Re0,2

La deuxième condition se traduit par :

K max = ασ t πa = α

soit une épaisseur minimale :

e2 =

(1)

PD πa = K IC , 2e

αPD πa 2K IC

(2)

Avec les données numériques fournies, on calcule donc les valeurs minimales e1 et e2 pour chacun des aciers A et B. On obtient ainsi : Acier A :

e1A = 28,00 mm

e2A = 7,85 mm

Acier B

e1B = 21,53 mm

e2B = 11,77 mm

Pour satisfaire aux deux conditions imposées tout en obtenant une masse la plus faible possible par unité de longueur du tuyau, on choisit donc l’acier B avec un épaisseur minimale de 21,53 mm. NB : Dans ce cas, on remarquera que, bien qu’ayant la ténacité la plus faible, l’acier B est choisi grâce à sa limite d’élasticité. Bien que plus tenace, l’acier A a une limite d’élasticité faible, ce qui conduit à un épaisseur plus élevée afin de respecter la condition de sécurité n° 1.

Acier : e=

B

21,53 mm

Sous-total = 5 pts Total : 25 pts

(5 pts)

CORRIGÉ

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Courbes de traction de l’acier 1060 60

Acier 1060 (vue agrandie)

Force F (kN)

50

Fe0,2

40

Fe

30 20 10 0 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Allongement ∆ l (mm) 100

Acier 1060 (vue générale)

90

Fmax

Ff

80

Force F (kN)

70 60 50 40 30 20 10 0 0.0

5.0

10.0

15.0

Allongement ∆ l (mm)

20.0

∆Lf

25.0

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CORRIGÉ

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Exercice n° 2

[1 01]

z Question a) : Plan contenant les directions

[1 10] et [0 1 1 ] Ca F y

[0 1 1 ] Question b) : Plan

x

z

(1 1 0) Ca F

y x

GÉNIE DES MATÉRIAUX

COURS ING1035 - MATÉRIAUX CONTRÔLE N° 1 du 28 septembre 2001 de 8h45 à 10h20

QUESTIONNAIRE

NOTES :

♦ Aucune documentation permise. ♦ Calculatrices non programmables autorisées. ♦ Les nombres entre parenthèses indiquent le nombre de points accordés à la question, le total est de 25 points. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs ou une justification, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. ♦ Utilisez les espaces prévus ou la page opposée pour vos calculs. ♦ Le questionnaire comprend 6 pages, incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général. ♦ Le formulaire de réponses comprend 7 pages. ♦ Vérifiez le nombre de pages du questionnaire et du formulaire de réponses.

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Exercice n° 1 On réalise un essai de traction sur une éprouvette de magnésium polycristallin. Cette éprouvette est caractérisée 2 par les dimensions suivantes : section rectangulaire S0 = (3,2x19,1) mm , longueur initiale de référence l0 = 63,5 mm. Au cours de l’essai de traction, on fait les observations suivantes :

F appliquée à l’éprouvette atteint 7 430 N et que la



La déformation plastique s’amorce lorsque la force longueur de référence est égale à 63,7 mm.



Sous une force F égale à 9 100 N, l’allongement de la longueur de référence est égal à 0,4 mm.



Si on décharge l’éprouvette à partir de cette force l’éprouvette égal à 0,127 mm.



La valeur maximale atteinte par la force F au cours de l’essai de traction est égale à 14 430 N.



La rupture de l’éprouvette a lieu sous une force atteint 0,99 mm.

F = 9 100 N, il y un allongement permanent de

F = 12 500 N, alors que l’allongement de l’éprouvette a

a)

Quelle est la valeur du module d’Young E (en GPa) du magnésium ?

(1 pt)

b)

Quelle est la limite proportionnelle d’élasticité Re (en MPa) du magnésium ?

(1 pt)

c)

Quelle est la limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 (en MPa) du magnésium ?

(1 pt)

d)

Quelle est la résistance à la traction Rm (en MPa) du magnésium ?

(1 pt)

e)

Quelle est la valeur de la déformation permanente A (en %) après rupture de l’éprouvette ?

(1 pt)

f)

Calculez l’énergie élastique wél (en J) emmagasinée dans l’éprouvette lorsque la limite conventionnelle (1 pt) d’élasticité Re0,2 a été atteinte.

g)

Quelles propriétés (E, Re0,2, Rm, A) de ce magnésium polycristallin peuvent être améliorées et par (1 pt) quelle(s) méthode(s) cette amélioration peut être obtenue ?

Exercice n° 2 Considérez le verre ordinaire dont les propriétés mécaniques suivantes sont connues :

E = 70 GPa ; Rm = 60 MPa L’essai de traction ayant permis de déterminer la résistance à la traction Rm a été réalisé sur une tige cylindrique comportant des micro-défauts superficiels assimilables à des fissures semi-elliptiques dont la profondeur a = 1 µm. a)

Quelle est la valeur (en nm) du rayon rupture de l’éprouvette de traction ?

r de courbure du micro-défaut le plus sévère qui a entraîné la (1 pt)

Avec ce verre, on fabrique une pièce cylindrique dont la géométrie est donnée ci-dessous. Les dimensions suivantes sont connues :

D = 50 mm ;

h = 5 mm ;

r = 4 mm.

Cette pièce est soumise à une force axiale F de traction.

Sous-total: 8 pts

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n° 1 du 28 septembre 2001 b)

F

Sous quelle force F (en N) la rupture de cette pièce se produira et à quel (3 pts) endroit (A, B ou C) cette rupture aura lieu ? En annexe, vous disposez de graphiques qui peuvent être utiles.

D

C B

Page 3 de 6

r

h d

A

Supposons maintenant que cette pièce soit usinée dans un monocristal d’aluminium – métal de structure cristalline cubique à faces centrées –, et orientée telle que son axe soit parallèle à l’axe [001] de la maille cubique CFC. Cette pièce est aussi soumise à une force de traction axiale F. Les propriétés mécaniques connues de cet aluminium monocristallin sont les suivantes :

F

τ∗ = 0,5 MPa

Rm = 60 MPa

c)

Sur quelle famille de systèmes de glissement s’amorcera la déformation plastique irréversible de la (1 pt) pièce?

d)

Dans la maille représentée sur le formulaire de réponse, dessinez un système de glissement particulier (1 pt) appartenant à cette famille. Identifiez bien les éléments de ce système.

e)

À quel endroit (A, B ou C) de la pièce la déformation plastique irréversible débutera ? Justifiez votre (1 pt) réponse.

f)

Pour quelle force F (en N) apparaîtra le glissement cristallographique sur le plan de glissement (1 1 1) ?

g)

Si la pièce était usinée dans un aluminium polycristallin de même pureté que celle du monocristal, quelle (2 pts) serait la valeur de la force F (en N) à laquelle la déformation plastique irréversible apparaîtra dans la pièce?

(2 pts)

Exercice n° 3 Ci-contre, voici la disposition des atomes d’or (Au) et de cuivre (Cu) dans la maille élémentaire d’un composé de ces deux métaux. Afin d’assurer plus de lisibilité, les atomes représentés sur la figure ne sont pas tangents, mais en réalité, les atomes de Au et de Cu se touchent selon les directions

z

Au Cu y

011 . Données : Rayon atomique r :

rCu = 0,128 nm ;

Masse molaire A :

ACu = 63,54 g/mole

x

rAu = 0,144 nm

AAu = 197,0 g/mole Nombre d’Avogadro :

NA = 6,02x1023 at/mole

a)

Quel est le réseau de Bravais qui décrit ce composé ?

b)

Quel est le motif associé à ce réseau ? Sur la figure donnée au formulaire de réponse, encerclez par un (1 pt) seul trait l’ensemble des atomes constitutifs de ce motif.

c)

Sur la figure donnée au formulaire de réponse, tracez le plan

d)

Quelle est la densité surfacique (en at/nm ) d’atomes de cuivre et celle d’atomes d’or dans ce plan (1 pt)

(1 pt)

(1 1 0) .

(1 pt)

2

(1 1 0) ?

Sous-total: 14 pts

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e)

Quelle est la densité linéique (en at/nm) d’atomes de cuivre et celle d‘atomes d’or le long de la direction (1 pt) {112} ?

f)

Quelle est la compacité (exprimée en %) de ce cristal ?

g)

(1 pt)

3

(1 pt)

Quelle est la masse volumique théorique (en g/cm ) de ce cristal ?

Pour l’équipe de professeurs, le coordonnateur: Jean-Paul Baïlon

Sous-total: 3 pts Total : 25 pts

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Page 5 de 6

ANNEXES

2,6

h F

2,4

D

F

r

2,2

Kt

d

σnom = 4F/π πd2

2,0 1,8 1,6

h/r = 4 h/r = 2

1,4

h/r = 1 h/r = 0,5

1,2 1,0 0,0

0,1

0,2

r/d

0,3

0,4

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[

(

)]

da = C∆K n dN

]

m=

Ai corr t nF

)]

∆=

(m a )ox ρ M (m a )M ρox

R=

ρl S

εx =

1 σ − ν σy + σz E x

εy =

1 σ − ν (σ x + σ z ) E y

εz =

1 σ − ν σx + σy E z

G=

E 2 (1 + ν )

[

[

R th = 1=

(

ν=−

εy εx =− εz εz

σ = n e e µe

2Eγ s a0

σ = (n e e µ e + n t e µ t )

hx ky lz + + na nb nc

 − Eg σ = σ 0 exp  2kT

r = ua + vb + wc σ y = σ nom

τ=

 1 + 2  

a r

   

F cos θ cos χ S0

τ th =

G b 2π a

R e 0.2 = σ 0 + kd −1/ 2 l c = a* =

Page 6 de 6

2 E γS π σ2

   

(

E = E 0 1−1,9 P + 0,9 P 2 R m = (R m )0 exp − nP ∆θ* = R 1 =

R3 =

R4 =

R m f (ν ) Eα

E R 2m .f

(v )

Eγ S

R 2m .f (v )

= γSR 3

(R m )C = Vf (R m )f + (1 − Vf ) σ m

K C = α σ nom π a

(R m )C = Vf

f SCS + f L C L = C 0

E C = Vf E f + Vm E m

 Q  D = D 0 exp  − 0   kT   K 2 t  σt   ε vél = 1 − exp  −  η K 2   2  

)

EC ≅

σ f + (1 − Vf ) (R m )m

3 V E + Vm E m 8 f f

(R m )C = kVf (R m )f

+ Vm σ m

GÉNIE DES MATÉRIAUX Note finale:

/25

CORRIGÉ

NOM (en majuscules):_____________________________ PRÉNOM :______________________________ Version révisée 01/10/2001; 12h00 SIGNATURE :______________________________ MATRICULE : _________________ SECTION :

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FORMULAIRE NOTES :

DE

RÉPONSES

♦ Aucune documentation permise. ♦ Moyen de calcul : calculatrices autorisées seulement. ♦ Les nombres en marge de droite indiquent le nombre de points accordés à la question. Le total est de 25 points. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. ♦ Utilisez les espaces prévus ou la page opposée pour vos calculs ♦ Le questionnaire comprend 6 pages, incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général. ♦ Le formulaire de réponses comprend 7 pages. ♦ Vérifiez le nombre de pages de votre questionnaire et de votre formulaire de réponse.

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1.

CORRIGÉ

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EXERCICE n° 1 1.a)

Module d’Young E du magnésium Justification : Par définition E = σ/ε dans le domaine élastique. Ici la déformation est élastique

jusqu’à une force F = 7 430 N, donc pour une contrainte σ = F/S0, S0 étant la section droite de l’éprouvette. S0 = (3,2x19,1) mm2 = 61,12x10-6 m2 Æ Donc σ = (7 430/(61,12x10-6)) MPa = 121,5x106 MPa. = 121,5 MPa La déformation ε correspondant à cette contrainte est égale à ∆l/l0, avec l0 = 63,5 mm. Ici ∆l = (63,7 – 63,5) mm = 0,2 mm. Æ Donc ε = 0,00315 (1 pt) E = 38,6 6 -3 ¾ Valeur du module E = σ/ε = (121,5x10 MPa)/(3,15x10 ) = 38,6 GPa 1.b)

Limite proportionnelle d’élasticité Re du magnésium Justification :R est la contrainte correspondant à 0,2 % de déformation plastique permanente, donc e

celle qui correspond à la force F = 7 430 N. Re = F/S0, S0 étant la section droite de l’éprouvette. S0 = (3,2x19,1) mm2 = 61,12x10-6 m2 ¾ Valeur de Re = (7 430/(61,12x10-6)) MPa = 121,5x106 MPa. = 121,5 MPa 1.c)

Re = 121,5 MPa

(1 pt)

Limite proportionnelle d’élasticité Re0,2 du magnésium. Justification :R est la contrainte où apparaît la déformation plastique permanente, donc celle qui e0,2

correspond à la force F = 9 100 N, pour laquelle est apparu un allongement permanent de 0,127 mm, donc une déformation ε = 0,127/63,5 = 0,002 = 0,2 % ¾ Valeur de Re0,2= (9 100/(61,12x10-6)) MPa = 148,8x106 MPa. = 148,8 MPa

1.d)

Re0,2 = 148,8 MPa

(1 pt)

Résistance à la traction Rm du magnésium Justification :

Rm est la contrainte maximale atteinte durant l’essai de traction ; elle correspond à la force maximale Fmax = 14 430 N. ¾ Valeur de Rm = Fmax/S0 = [14 430/(61,12x10-6)] MPa = 236,1x106 MPa. = 236,1 MPa

Rm = 236,1 MPa 1.e)

Allongement permanent A après rupture Justification :

(1 pt)

L’allongement permanent après rupture A est égal à la déformation totale At de l’éprouvette à laquelle on retranche la déformation élastique Ae qui existait juste avant la rupture et qui disparaît après rupture, puisque la déformation élastique est réversible et disparaît si la contrainte est supprimée. Ici, At = 9,9/63,5 = 0,1559 = 15,59 %. La déformation élastique Ae est donnée par la loi de Hooke : Ae = σ/E, où σ est la contrainte à la rupture de l’éprouvette, donc celle correspondant à une force F = 12 500 N. (1 pt) A = 15,06 Ae = [12 500/(61,12x10-6)]/[38,6x109] = 0,0053 = 0,53 % ¾ Valeur de A = (At – Ae) = (15,59 – 0,53) % = 15,06 % Sous-total = 5 pts

CORRIGÉ

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 28 septembre 2001 1.f)

Énergie élastique Justification :

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wél emmagasinée dans l’éprouvette à Re0,2

Quand la limite conventionnelle d’élasticité est atteinte, l’énergie élastique, emmagasinée par unité de volume du

(

1 148,8 x10 6 Wél = ½σε σε = ½ Re0,2ε = ½( Re0,2) /E = 2 38,6 x10 9 2

matériau, est égale par définition à :

(

) )

2

= 286,6 kJ/m3

Dans l’éprouvette de traction de volume V0 = l0S0 = (61,12x10-6)x(63,5x10-3) = 3,881x10-6 m3, l’énergie élastique wél emmagasinée est égale à : wél = V0Wél

wél =

1.g)

Propriétés améliorables Cochez les cases appropriées et justifiez vos choix :

E

Re0,2 X

1,11

Rm

J

(1 pt)

A

X

Justification :

Une fois le matériau choisi, le module d’Young en est fixé puisque ce module dépend de la nature des atomes et des liaisons atomiques qui s’établissent. On ne peut donc modifier le module d’Young d’un matériau donné.

(1 pt)

Ici, comme le magnésium est polycristallin, on peut améliorer sa limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 et sa résistance à la traction Rm en ayant des grains plus fins. C’est la méthode d’affinement des grains. On peut aussi améliorer la limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 et la résistance à la traction Rm en faisant une déformation plastique préalable( par laminage par ex.). C’est la méthode d’écrouissage. Toutefois, cette méthode entraîne une diminution de la ductilité, donc de l’allongement A après rupture.

2.

Exercice n° 2 2.a)

Rayon de courbure du micro-défaut le plus sévère. Justification :

La résistance théorique à la traction Rth du verre est approximativement égale à E/10, Rth = 70/10 GPa = 7 GPa = 7 000 MPa. Si Kt est le facteur de concentration de contrainte associé au défaut le plus sévère, on a la relation suivante : Kt = Rth/Rm (1) où Rm est la résistance réelle à la traction du verre. Le micro-défaut étant de forme semi-elliptique, la valeur de Kt qui lui est associée est égale à : 1+ 2

a r

(2)

En combinant les équations (1) et (2), on obtient ainsi la valeur du rayon de courbure r du défaut le plus sévère qui a une profondeur a = 1 µm :

 R 1 r = a  th −   2R m 2 

2

= 0,298 nm ≈ 0,3 nm

r =

0,3

nm

Sous-total = 3 pts

(1 pt)

CORRIGÉ

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 28 septembre 2001 2.b)

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Force de rupture et endroit de celle-ci. Justification :

Selon le plan donné, on peut en déduire le diamètre d de la pièce : d = D - 2h = (50 -10) mm = 40 mm. Le coefficient de concentration de contrainte Kt, associé au changement de section (d Æ D) est trouvé sur le graphique fourni en annexe pour les valeurs : r/d = 4/40 = 0,1 et h/r = 5/4 = 1,25. En faisant une extrapolation linéaire entre les courbes h/r = 1 et h/r = 2, on trouve Kt = 1,66 Dans le changement de section (région B), la contrainte locale σloc atteint la résistance à la traction du verre Rm au moment de la rupture de la pièce; on peut donc écrire les relations suivantes :

σloc = K t σ nom ≥ R m

et

σ nom =

F S

En combinant ces deux relations, on obtient :

F≥

(

)(

R m S 60x10 6 π 20x10 −3 = Kt 1,66

2.c)

)

2

F =

= 45,4 kN

45 400

N

Endroit : B

(3 pts)

Famille de systèmes de glissement de l’aluminium. Justification :

Le glissement cristallographique se produit sur les plans de plus forte densité atomique et selon les directions de plus forte densité atomique contenues dans ces plans. Dans le cas de la structure cristalline cubique à faces centrées (CFC), ce sont donc les plans de type {111} et les directions de type 110 .

{111} 2.d)

Système particulier de glissement de l’aluminium. Identifiez bien les éléments de ce système :

110

(1 pt)

z

Voici un exemple de système particulier de glissement, constitué du plan (111) et de la direction 1 1 0 .

(1 pt)

[ ]

y 2.e)

Endroit où débute la déformation plastique. Justification :

x

La déformation plastique débutera à l’endroit où la contrainte locale est la plus élevée, c’est-à-dire dans la région de concentration de contrainte B où il ay changement de section d Æ D.

B Sous-total = 6 pts

(1 pt)

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 28 septembre 2001 2.f)

CORRIGÉ

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Version révisée 01/10/2001; 12h00

Force pour laquelle apparaît le glissement cristallographique du monocristal. la déformation plastique apparaît dans la région B, la cission locale τloc agissant sur : Justification Quand

le système de glissement activé est alors égale à la cission critique τ*. D’après la loi de Schmid, on en déduit que : τloc = τ* = σloccosθcosχ = 0,5 MPa (1) Il faut déterminer la valeur des angles θ et χ associés aux systèmes de glissement du plan 1 1 1 , où les directions

( )

[ ]

possibles de glissement sont les directions [011] ou 1 01 . Par des relations géométriques simples, on montre que :

cos χ = 1

et cos θ = 1 2 . En portant ces valeurs dans l’équation (1) ci-dessus, on en déduit la contrainte

3

F=

926,8

2.g)

(2 pts)

N

σloc = τ*/cosθcosχ = 0,5 2 3 MPa = 1,225 MPa locale : Puisque la contrainte nominale σnom = σloc/Kt = F/S, on en déduit la force F = σnomS = σlocS/Kt

Force pour laquelle apparaît la déformation plastique irréversible du polycristal.

Si la pièce est faite d’aluminium polycristallin, la contrainte locale dans la région B entraînant l’apparition de la σloc = Re = 2τ* = 1 MPa déformation plastique irréversible est égale à : Puisque la contrainte nominale σnom = σloc/Kt = Re/Kt = F/S0, on en déduit la force F = σnomS0 = ReS0/Kt Avec les valeurs connues des variables, on obtient F = 756,6 N

F= 3.

756,6

N

(2 pts)

Exercice n° 3 3.a)

Réseau de Bravais du composé Justification :

Le réseau de Bravais est défini par les atomes d’or (Au). C’est donc un réseau cubique simple (CS).

Réseau = Cubique simple 3.b)

(1 pt)

Motif associé au réseau de Bravais du composé Encerclez d’un seul trait l’ensemble des atomes constitutifs du motif et justifiez votre réponse :

Le nombre d’atomes en propre à la maille est le suivant : Au : 8x(1/8) = 1 Cu : 6x(½) = 3 Le motif doit refléter dette proportion des atomes en propre. Il est donc constitué de un (1) atome d’or et de trois (3) atomes de cuivre. Ci-contre, un groupe d’atomes constituant le motif est encerclé

z

Au Cu y x

Sous-total = 6 pts

(1 pt)

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 28 septembre 2001 3.c)

Plan

CORRIGÉ

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Version révisée 01/10/2001; 12h00

(1 1 0)

Tracez le plan dans la maille ci-contre z

[112]

Le plan est tracé en bleu clair sur la figure ci-contre

Au Cu

(1 pt)

y x 3.d)

(1 1 0)

Densité surfacique de Cu et de Au dans le plan Justification :

D’après la figure ci-dessus, on en déduit le nombre d’atomes en propres appartenant à la maille plane élémentaire du plan.: Au : 4x(¼) = 1 Cu : 2x(½) = 1 La surface de la maille S est égale à a .a 2 = a 2 2 Il faut déterminer le paramètre a de la maille sachant que les atomes d’or et de cuivre se touchent selon les directions de type 110 , diagonales des faces de la maille . On a donc :

a 2 = 2(rCu + 2rAu ) = 2(0,128 + 0,144) = 0,544 nm Le paramètre a de la maille est égal à : a = 0 ,544 2 = 0,3847 nm La densité ds surfacique d’atomes d’or ou de celle d’atomes de cuivre est donc égale à :

ds = 1 a 2 2 = 1

2 (0 ,3847 )2 = 4,78 at/nm

2

2

Densité (at/nm )

3.e)

Densité linéique de Cu et de Au le long de la direction

Cu

4,78

Au

4,78

(1 pt)

112

Justification :

La direction est représentée à la figure ci-dessus (question 3.c). La disposition des atomes le long de cette direction est représentée ci-contre.

( )

La longueur de référence l est telle que l 2 = (2a ) + a 2 2

2

= 6a 2

Donc l = a 6 Comme il y a un atome en propre d’or et un atome en propre de cuivre appartenant à cette longueur l de référence, la densité linéique dl d’atomes est égale à :

Densité (at/nm) Cu

1,06

Au

1,06

d l = 1 a 6 = 1,06 at/nm

Sous-total = 3 pts

(1 pt)

CORRIGÉ

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 28 septembre 2001 3.f)

Page 7 de 7

Version révisée 01/10/2001; 12h00

Compacité C du composé Justification :

Nombre d’atomes appartenant en propre à la maille : Au : 8x(1/8) = 1 atome Cu : 6x(½) = 3 atomes Par définition, la compacité C est le rapport du volume Vat des atomes en propre au volume V de la maille :

C = Vat

(

)

(

)

3 3 4 π rAu 4 π 0,1443 + 3x 0,1283 + 3rCu VAu + 3VCu 3 V= = = 3 = 0,686 = 68,6 % 3 V a 0,3847 3

C= 3.g)

Masse volumique théorique Justification :

68,6 %

(1 pt)

ρ du composé

Nombre d’atomes appartenant en propre à la maille : Au : 8x(1/8) = 1 atome Cu : 6x(½) = 3 atomes Par définition, la masse volumique théorique ρ est le rapport de la masse M des atomes en propre au volume V de la maille :

C=M V=

m Au + 3m Cu A Au + 3A Cu 197 + 3x 63,54 = = V NAa3 6,02x10 23 x 0,3847x10 -7

(

)

3

= 11,37 g/cm3

ρ = 11,37 g/cm3

Sous-total = 2 pts Total : 25 pts

(1 pt)

DÉPARTEMENT DE GÉNIE PHYSIQUE ET DE GÉNIE DES MATÉRIAUX

COURS ING1035 - MATÉRIAUX CONTRÔLE N° 1 du 16 février 2001 de 8h45 à 10h20

QUESTIONNAIRE

NOTES :

♦ Aucune documentation permise. ♦ Calculatrices non programmables autorisées. ♦ Les nombres entre parenthèses indiquent le nombre de points accordés à la question, le total est de 25 points. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs ou une justification, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. ♦ Utilisez les espaces prévus ou la page opposée pour vos calculs. ♦ Le questionnaire comprend 7 pages, incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général. ♦ Le formulaire de réponses comprend 5 pages. ♦ Vérifiez le nombre de pages du questionnaire et du formulaire de réponses.

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n° 1 du 16 février 2001

Questionnaire

Page 2 de 7

Exercice n° 1

La courbe ci-contre schématise la variation de l’énergie interne U d’un ensemble d’atomes (au zéro degré absolu) en fonction de la distance d entre ces atomes. Cette courbe est caractérisée par certains paramètres A, B, C, D et F. Dans la liste des propriétés d’un matériau qui est donnée sur le formulaire de réponse, associez l’un des paramètres A, B, C, D ou F à la propriété qui y est directement reliée.

B C (pente)

(5 pts) A

F (pente max)

D (rayon de courbure)

Exercice n° 2 Un essai de traction a été réalisé sur une éprouvette cylindrique d’acier inoxydable 316. Le plan de cette éprouvette est donné ci-dessous et la courbe brute de traction F = f(∆L) est donnée en annexe.

D

L0 = 150,000 mm D=

15,000 mm

L0 Grâce à ces données, calculez : a) le module d’Young E (en GPa) du matériau;

(1 pt)

b) sa limite proportionnelle d’élasticité Re (en MPa);

(1 pt)

c) sa limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 (en MPa);

(1 pt)

d) sa résistance à la traction Rm (en MPa);

(1 pt)

e) sa déformation totale εt (en %) juste avant la rupture;

(1 pt)

f) son allongement final A (en %) après rupture.

(1 pt)

g) Quelle est l’énergie élastique libérée par unité de volume de matériau à l’instant de sa rupture, dans la (1 pt) section réduite ? Lorsque l’éprouvette était soumise à une force F = 40 kN, son diamètre était alors égal à 14,995 mm. (1 pt)

h) Quelle est la valeur du coefficient de Poisson ν de l’acier inoxydable 316 ?

Sous-total : 13 pts

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n° 1 du 16 février 2001

Questionnaire

Page 3 de 7

Après avoir imposé un allongement initial ∆L = 30 mm à une éprouvette de traction identique à la précédente, on supprime la force appliquée à cette éprouvette. Puis, on réalise un nouvel essai de traction sur cette éprouvette de matériau pré-écroui. i)

Quel sera le module d’Young E du matériau pré-écroui ?

j)

Quelle est la nouvelle limite d’élasticité plastique se fait à volume constant ?

(1 pt)

Re du matériau pré-écroui si l’on suppose que la déformation Rm du matériau pré-écroui si l’on suppose que la (1 pt)

k) Quelle sera la nouvelle résistance à la traction déformation plastique se fait à volume constant ?

Exercice n° 3 Selon la température, l’étain peut se présenter à l’état solide sous deux formes allotropiques : l’étain gris (α) et l’étain blanc (β). À la température ambiante, la forme d’équilibre est la forme β, dont la maille cristalline est représentée ci-contre. La masse atomique de l’étain (Sn) est égale à 118,7 g/mole.

z

a = 0,3182 nm

a

c =0,5831 nm

23

Nombre d’Avogadro NA = 6,022x10

a) Quel est le système cristallin de l’étain blanc (β) ?

(½ pt)

b) Quel est le réseau de Bravais de l’étain blanc (β) ? c) Quelle est la masse volumique 3 théorique ρ (en g/cm ) de l’étain blanc (β) ?

y

α = β = γ = 90°

x

d) Calculez la densité linéique d’atomes (en at/nm) selon la direction 2

[1 1 1].

e) Calculez la densité surfacique d’atomes (en at/nm ) dans les plans

(101) et (1 1 0 ) .

(1 pt) (1 pt)

Exercice n° 4 Une plaque contient deux entailles latérales symétriques et est soumise à une force de traction F. Le plan de cette plaque est donné ci-contre. Cette plaque peut être faite soit de verre trempé, soit d’aluminium 2024-T6. Les propriétés mécaniques en traction de ces deux matériaux sont données ci-dessous. Les dimensions de la plaque et des entailles sont les suivantes :

b = 40 mm

(1 pt) (1 pt)

f) Combien de plans particuliers contiennent la famille {101} et la famille {110} ?

W = 200 mm

(½ pt)

e = 30 mm 2r = 20 mm

Sous-total : 9 pts

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Questionnaire

Page 4 de 7

a) Selon la nature du matériau, quelle est la force maximale Fmax (en kN) que l’on peut appliquer à la (2 pts) plaque pour que tout élément de volume de celle-ci soit en régime de déformation élastique et soit intact? b) Si la force appliquée était supérieure à la force Fmax calculée ci-dessus et selon la nature du matériau, (2 pts) que se produirait-il dans la plaque ?

Matériau

E (GPa)

Re0,2 (MPa)

Rm (MPa)

A (%)

Al 2024-T6

69

390

475

10

Verre trempé

72

---

135

---

NB : Voir annexe pour abaque

Pour l’équipe de professeurs, le coordonnateur: Jean-Paul Baïlon

Sous-total : 2 pts Total : 25 pts

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Questionnaire

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ANNEXES Exercice n° 2 : Courbe brute de traction F = f(∆L) de l’acier inoxydable 316

100,0

Inox 316 Inox 316

90,0 80,0

Force F (kN)

70,0 60,0 50,0 40,0 30,0 20,0 10,0 0,0 0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

0,4

0,5

0,6

Allongement ∆ L (mm)

60,0

ForceF (kN)

50,0

40,0

30,0

20,0

10,0

0,0 0,0

0,1

0,2

0,3

Allongement ∆ L (mm)

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Questionnaire

Page 6 de 7

ANNEXES

Facteur de concentration de contrainte Kt

Exercice n° 4 : Facteur de concentration de contrainte Kt pour une plaque entaillée

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n° 1 du 16 février 2001

[

(

da = C∆K n dN

]

m=

Ai corr t nF

)]

∆=

(m a )ox ρ M (m a )M ρox

R=

ρl S

1 σ − ν σy + σz E x

εy =

1 σ − ν (σ x + σ z ) E y

εz =

1 σ − ν σx + σy E z

G=

E 2 (1 + ν )

[

R th = 1=

(

ν=−

εy εx =− εz εz

σ = n e e µe

2Eγ s a0

σ = (n e e µ e + n t e µ t )

hx ky lz + + na nb nc

 − Eg σ = σ 0 exp  2kT

r = ua + vb + wc σ y = σ nom τ=

 1 + 2  

a r

   

F cos θ cos χ S0

τ th =

G b 2π a

R e 0.2 = σ 0 + kd −1 / 2 l c = a* =

Page 7 de 7

)]

εx =

[

Questionnaire

2 E γS π σ2

   

(

E = E 0 1−1,9 P + 0,9 P 2 R m = (R m )0 exp − nP ∆θ* = R 1 = R3 =

R4 =

R m f (ν ) Eα

E R 2m .f

(v )

Eγ S

R 2m .f (v )

= γSR 3

(R m )C = Vf (R m )f + (1 − Vf ) σ m

K C = α σ nom π a

(R m )C = Vf

f SCS + f L C L = C 0

E C = Vf E f + Vm E m

 Q  D = D 0 exp  − 0   kT   K 2 t  σt   ε vél = 1 − exp  −  K 2  η  2  

)

EC ≅

σ f + (1 − Vf )(R m )m

3 V E + Vm E m 8 f f

(R m )C = kVf (R m )f

+ Vm σ m

DÉPARTEMENT DE GÉNIE PHYSIQUE ET DE GÉNIE DES MATÉRIAUX Note finale:

/25

Corrigé

NOM (en majuscules):_____________________________ PRÉNOM :______________________________ SIGNATURE :______________________________ MATRICULE : _________________ SECTION :

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FORMULAIRE DE RÉPONSES NOTES :

♦ Aucune documentation permise. ♦ Moyen de calcul : calculatrices autorisées seulement. ♦ Les nombres en marge de droite indiquent le nombre de points accordés à la question. Le total est de 25 points. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. ♦ Utilisez les espaces prévus ou la page opposée pour vos calculs ♦ Le questionnaire comprend 7 pages, incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général. ♦ Le formulaire de réponses comprend 5 pages. ♦ Vérifiez le nombre de pages de votre questionnaire et de votre formulaire de réponse.

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 18 février 2000

1.

Corrigé

Formulaire de réponses

Page 2 de 8

EXERCICE n° 1 1.a)

Paramètres de la courbe U

= f(d)

Inscrivez le paramètre A, B, C, D, ou F dans les cases appropriées Propriété Distance interatomique à la température de fusion Distance interatomique au zéro degré absolu

Paramètre

Propriété

Paramètre

---

Module d’Young

D

B

Conductivité thermique

---

Énergie de déformation élastique

---

Coefficient de dilatation linéique

C

Température de vaporisation

A

Résistance théorique à la traction

F

Ductilité

---

Conductivité électrique

---

2.

(5 pts)

EXERCICE n° 2 2.a)

Module d’Young Justification :

Pente de la droite élastique : E =

F S0 σ = ε ∆L L 0

E=

195 GPa

(1 pt)

(voir figure en annexe) 2.b)

Limite proportionnelle d’élasticité Re Justification :

Contrainte pour laquelle il y a déviation à la loi de Hooke (écart à la droite élastique (voir figure en annexe)

Re = 2.c)

(1 pt)

Re0,2 = 295 MPa

(1 pt)

Rm =

(1 pt)

Limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 Justification :

Contrainte définie par l’intersection de la courbe de traction et d’une droite parallèle à la droite élastique et passant par le point à 0,2% de déformation (voir figure en annexe) 2.d)

250 MPa

Résistance à la traction Justification :

Rm

Contrainte nominale maximale atteinte au cours de l’essai de traction (voir figure en annexe). Ordonnée du point le plus élevé de la courbe de traction.

500 MPa

Sous-total = 9 pts

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 18 février 2000 2.e)

Formulaire de réponses

Corrigé

Déformation totale εt juste avant rupture Justification :

Déformation totale εt (élastique εél + plastique εpl) atteinte juste avant la rupture. Abscisse du dernier point de la courbe de traction (voir figure en annexe) 2.f)

εt =

(1 pt)

A = 37,78 %

(1 pt)

Énergie élastique Wél libérée à la rupture Justification :

Wél = ½σε σε = σ2/2E (voir figure en annexe)

2.h)

38 %

Allongement final A après rupture Justification : Déformation plastique permanente A après la rupture.

A = (εεt – εél), où εél est le retour élastique après rupture. Si Rf est la contrainte finale à la rupture, εél = Rf/E (voir figure en annexe) 2.g)

Page 3 de 8

Wél = 476 kJ/m3

Coefficient de Poisson ν de l’acier inoxydable 316 Justification :

ν = – εd/εεl, où εd est la déformation élastique diamétrale (contraction) et εl est la déformation élastique longitudinale (élongation). εd = ∆D/D0 ; εl = ∆L/L0 pour la valeur de F = 40 kN appliquée à l’éprouvette ν = 0,285 Ici, ∆D = – 0,005 mm ; ∆L = 0,175 mm 2.i)

(1 pt)

Module d’Young E du matériau pré-écroui Justification :

L’écrouissage (ou déformation plastique) ne modifie pas la rigidité du matériau. Donc le module d’Young ne change pas et sa valeur est identique à celle obtenue à 2.j)

(1 pt)

E =

195 GPa

(1 pt)

Limite d’élasticité Re du matériau pré-écroui ∆L = 30 mm), le volume de l’éprouvette est Justification :Après la prédéformation de l’éprouvette (∆

resté le même (V = V0). On en déduit la nouvelle section S de l’éprouvette : V = V0 = L0S0 = (L0 + ∆L)S. On obtient ainsi S = 0,833S0. À la remise en charge, la force pour mettre en mouvement les dislocations est égale à celle appliquée quand on a déchargé l’éprouvette. Mais, en terme de contrainte (σ σ = F/S), la contrainte nominale est plus élevée car l’éprouvette a une section S plus faible. Il suffit donc de multiplier la contrainte obtenue à la prédéformation, pour ∆L = 30 mm, par le rapport des surfaces S0/S = 1/0,833 = 1,2. Donc σprédéformée = Re,prédéformée = 1,2*σ σinitiale Re = 543 MPa (1 pt) 2.k)

Résistance à la traction Rm du matériau pré-écroui Justification :

Pour les mêmes raisons que celles présentées à la question précédente, il suffit de multiplier la contrainte obtenue avant prédéformation par le rapport des surfaces S0/S = 1/0,833 = 1,2. Donc σprédéformée = Rm,prédéformée = 1,2*Rm,initiale

Rm = 600 MPa Sous-total = 7 pts

(1 pt)

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 18 février 2000

3.

Corrigé

Formulaire de réponses

Page 4 de 8

EXERCICE n° 3 3.a)

Système cristallin de l’étain blanc Justification :

a=b≠c et α = β = γ = 90° C’est donc le système quadratique 3.b)

Quadratique

Réseau de Bravais de l’étain blanc Justification :

La maille possède un nœud supplémentaire en son centre. C’est donc le réseau de Bravais Quadratique centré 3.c)

Quadratique centré

(½ pt)

Masse volumique théorique ρ de l’étain blanc Justification :

Nombre d’atomes appartenant en propre à la maille: (8*1/8) + 1 = 2 Masse de ces atomes : mat = 2*A/NA, A est la masse atomique de l’étain (A = 118,7 g/mole) et NA est le nombre d’Avogadro. Volume de la maille : V = a*a*c = ca2 masse volumique théorique : ρ = mat/V ρ= 3.d)

(½ pt)

Densité linéique d’atomes selon la direction

[1 1 1] .

6,68 g/cm3

(1 pt)

Justification :

[

]

La direction 1 1 1 est une des grandes diagonales de la maille (voir figure en annexe). La longueur l de cette diagonale est égale à : l = 2a 2 + c 2 . Il y a 2 atomes en propre appartenant à ce segment à 3.e)

Densité surfacique d’atomes dans les plans Justification :

2,715

(101) et (1 1 0)

(

at/nm

(1 pt)

.

)

Voir la figure en annexe pour la position des plans (101) et 1 1 0 dans la maille.

Plan (101) :

Plan

Surface de la maille plane S = a a 2 + c 2 = 0,2114 nm2 Il y a 2 atomes en propre appartenant à cette surface de référence 110 :

(101) :

Surface de la maille plane S = ca 2 =0,2624 nm2 Il y a 2 atomes en propre appartenant à cette surface de référence

(1 1 0) :

(

)

3.f)

Nombre de plans particuliers appartenant aux familles {101} et Justification :

9,462 at/nm2 (1 pt) 2

7,622 at/nm

{110} .

On constate que les plans étudiés à la question ci-dessus n’ont pas la même densité surfacique d’atomes. Ils n’appartiennent donc pas à la même famille de plans admettant pour indices 1, 1 et 0. Il faut donc dénombrer les plans particuliers en faisant des permutation et des changement de signe des indices 1, 1, et 0 et calculer leur densité surfacique d’atomes. {101}: 4 Voir la figure en annexe pour la position des plans particuliers (1 pt) appartenant aux familles {101} et {110} de la maille quadratique centrée. {110}: 2

Sous-total = 5 pts

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 18 février 2000

4.

Formulaire de réponses

Corrigé

Page 5 de 8

EXERCICE n° 4 4.a)

Force maximale Fmax Justification :

Calcul du facteur de concentration de contrainte Kt associé à l’entaille :: h = (W – 2b) = (200 – 2*40) mm = 120 mm Æ r/h = 10/120 = 0,0833 b/r = 40/10 = 4 Æ Contrainte locale: σloc = Ktσnom =KtF/S =KtF/he Donc:

Kt = 2,93 ± 0,03

F = σloche/Kt

Pour le verre (matériau fragile) : σloc,max = Rm Pour l’aluminium (matériau ductile) : σloc,max = Re0,2

Æ

F = Rmhe/Kt

Fmax (kN) Æ

F = R0,2he/Kt

165 ± 3

Verre

479 ± 4

Aluminium 4.b)

(2 pts)

Que se passe-t-il si F > Fmax ? Pour chaque matériau, expliquez ce qui se produit dans la plaque : Verre trempé

Si la force appliquée dépasse la valeur maximale calculée ci-dessus, la contrainte locale à la racine des entailles atteint la résistance à la traction du matériau et il y a rupture fragile de celui-ci.

Aluminium 2024-T6

Si la force appliquée dépasse la valeur maximale calculée ci-dessus, la contrainte locale à la racine des entailles atteint la limite d’élasticité du matériau et il y a déformation plastique localisée à la racine des entailles.

(2 pts)

Sous-total = 4 pts Total : 25 pts

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Formulaire de réponses

Corrigé

Page 6 de 8

ANNEXES Exercice n° 2 : Courbe brute de traction F = f(∆L) de l’acier inoxydable 316 NB : Les forces et les allongements absolus correspondant aux flèches doivent être convertis en contraintes nominales (σ = F/S0) et en déformation nominale (ε = ∆L/L0) 100,0

Inox 316

90,0

∝ Rm

80,0

Force F (kN)

70,0 60,0 50,0 40,0 30,0

∝ Wél

20,0 10,0

∝ Am

0,0 0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

∝ εt 60,0

Allongement ∆ L (mm)

60,0

∝E

Inox 316

∝ Re0,2

ForceF (kN)

50,0

∝ Re

40,0

30,0

20,0

10,0

0,0 0,0

0,1

0,2

0,3

Allongement ∆ L (mm)

0,4

0,5

0,6

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 18 février 2000

Corrigé

Formulaire de réponses

Page 7 de 8

ANNEXES Exercice n° 3 : Cristallographie de l’étain blanc Famille {101} z

a

z

a

a

a

c

c

y

y

α = β = γ = 90°

x

x

Famille {110} z

a

a

c

y

x

α = β = γ = 90°

α = β = γ = 90°

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 18 février 2000

Formulaire de réponses

Corrigé

Page 8 de 8

ANNEXES

Facteur de concentration de contrainte Kt

Exercice n° 4 : Facteur de concentration de contrainte Kt pour une plaque entaillée

DÉPARTEMENT DE GÉNIE PHYSIQUE ET DE GÉNIE DES MATÉRIAUX

COURS 5.110 - MATÉRIAUX CONTRÔLE N° 1 du 2 octobre 1998 de 9h00 à 10h20

QUESTIONNAIRE NOTES :

♦ Aucune documentation permise. ♦ Tout moyen de calcul autorisé . ♦ Les nombres entre parenthèses indiquent le nombre de points accordé s àla question, le total est de 25 points. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. Utilisez les espaces prévus ou le verso de la page opposée pour vos calculs. ♦ Le questionnaire comprend 4 pages, incluant les annexes (si mentionné s) et le formulaire gé né ral. ♦ Le formulaire de ré ponses comprend 5 pages. ♦ Vé rifiez le nombre de pages de votre questionnaire et du votre formulaire de ré ponses.

Cours 5-110 MATÉRIAUX Contrôle nº 1 du 2 octobre 1998

Questionnaire

Page 2 de 4

Exercice n° 1 Sur la courbe de traction σ = f(ε ) d’un fer polycristallin, on a relevé une limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 égale à 280 MPa. Sous cette contrainte, la déformation totale ε t de l’éprouvette de traction était égale à 0,337 %. a) Quelle est la valeur (en GPa) du module d’Young E de ce fer polycristallin ?

(2 pts) 3

b) Si ce fer polycristallin est mis sous une contrainte de 350 MPa, quelle est la valeur (en kJ/m ) de l’énergie (2 pts) élastique Wél emmagasinée par unité de volume de matériau ?

Exercice n° 2 Considérez un monocristal de fer (Fe) qui cristallise selon le réseau cubique centré (voir figure ci-dessous). Le rayon atomique rFe du fer est égal à 0,125 nm.

a) A l’intérieur de la maille élémentaire cubique centrée (CC) donnée au formulaire de réponses, dessinez un (2 pts) système de glissement (un plan et une direction) du fer et donnez les indices du plan et de la direction dessinés.

z

b) Calculez la densité surfacique de nœuds (en nm-2) sur le plan de glissement et la densité linéique de nœuds (2 pts) (en nm-1) le long de la direction de glissement que vous avez dessinés à la question ci-dessus.

rFe

y

x

Sur ce monocristal de fer, on applique une contrainte nominale σnom égale à 150 MPa le long de l’un des axes x, y ou z non parallèle au plan de glissement que vous avez choisi à la question a). L’angle χ est l’angle entre la normale au plan de glissement et l’axe de traction, alors que l’angle θ est l’angle entre la direction de glissement et l’axe de traction.

c) Calculez la cission résolue τ (en MPa) s’exerçant sur le système de glissement que vous avez choisi .

(2 pts)

d) Sachant que la cission critique de glissement τ∗ du fer monocristallin est égale à 125 MPa, quelle est la (2 pts) limite proportionnelle d’élasticité Re (en MPa) d’une éprouvette polycristalline de ce même fer ? Justifiez votre réponse en exposant l’hypothèse que vous faites. e) Que se passe-t-il physiquement dans le fer polycristallin quand sa limite proportionnelle d’élasticité Re vient (2 pts) d‘être dépassée au cours d’un essai de traction ?

Cours 5-110 MATÉRIAUX Contrôle nº 1 du 2 octobre 1998

Questionnaire

Page 3 de 4

Exercice n° 3 Un acier extra doux est un alliage de fer contenant un faible pourcentage de carbone (C) et de manganèse (Mn) mis en solution solide. Les rayons atomiques du carbone et du manganèse ont les valeurs respectives suivantes : rC = 0,077 nm rMn = 0,140 nm. a) Dans la maille cubique centrée (CC) du fer présentée au formulaire de réponse, indiquez par une croix (X) une position d’un atome de carbone et par un rond (O) une position d’un atome de manganèse en solution (4 pts) solide dans le fer. Donnez les coordonnées x, y et z de chacune de ces positions dans la maille CC et justifiez vos réponses. Un acier extra doux (contenant du carbone et du manganèse) a une limite proportionnelle d‘élasticité Re supérieure de 25% à celle du fer pur polycristallin. b) Comment nomme-t-on l’effet du carbone et du manganèse sur la limite d’élasticité du fer?

(1 pt)

c) Quel est le mécanisme physique responsable de cet effet ? (1 pt)

Exercice nº 4 Dans le tableau des affirmation faites sur le formulaire de réponses, dites lesquelles sont vraies (V) et (5 pts) lesquelles sont fausses (F). Attention : une mauvaise réponse annule une bonne réponse !

Pour l’équipe de professeurs, le coordonnateur: Jean-Paul Baïlon

Cours 5-110 MATÉRIAUX Contrôle nº 1 du 2 octobre 1998

]

da = C∆K n dN

[

]

m=

Ai corr t nF

1 σ z − v (σ x + σ y ) E

[

]

∆=

(m a )ox ρ M (m a )M ρ ox

E 2 (1 + v )

R=

ρl S

1 σ x − v (σ y + σ z ) E

εy =

1 σ y − v (σ x + σ z ) E

εz = G=

R th =

σ = n e eµe

2Eγ s a0

σ = (n e e µ e + n t e µ t )

hx ky lz + + na nb nc

r = ua + vb + wc  σ y = σ 1 + 2  τ=

a  r 

F cos θ cos χ S0 G b 2π a

τth =

Re 0.2 = σ 0 + kd −1 / 2 lc =

Page 4 de 4

[

εx =

1=

Questionnaire

2E γS π σ2

 − Eg σ = σ 0 exp   2kT

  

(

)

E = E 0 0,9 P 2 −1,9 P +1 Rm = (Rm )0 e − nP ∆θ* = R1 =

Rm . f (v ) Eα

R3 =

E R . f (v )

R4 =

Eγ S = γ S R3 R . f (v )

2 m

2 m

(Rm )c = V f (Rm ) f

+ (1 − V f ) σ m

= V f σ f + (1 − V f ) (Rm )m

KC = α σ π a

(Rm )C

f S CS + f L C L = C0

E C = V f E f + Vm E m

 Q  D = D0 exp  − 0   kT 

EC ≅

3 V f E f + Vm Em 8

(Rm )C

= kV f (Rm ) f + Vm σ m

ε vel =

σt K2

  K 2 t    1 − exp  − η  2   

DÉPARTEMENT DE GÉNIE PHYSIQUE ET DE GÉNIE DES MATÉRIAUX Note finale:

/25

CORRIGÉ

NOM (en majuscules):_______________________________ PRÉNOM :________________________________ SIGNATURE :________________________________ MATRICULE : _________________ SECTION :

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FORMULAIRE NOTES :

DE

RÉPONSES

♦ Aucune documentation permise. ♦ Tout moyen de calcul autorisé. ♦ Les nombres entre marge de droite indiquent le nombre de points accordés à la question. Le total est de 25 points. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. Utilisez les espaces prévus ou le verso de la page opposée pour vos calculs ♦ Le questionnaire comprend 4 pages, incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général. ♦ Le formulaire de réponses comprend 5 pages. ♦ Vérifiez le nombre de pages de votre questionnaire et de votre formulaire de réponse.

Cours 5-110 - MATÉRIAUX Contrôle du 2 octobre 1998

1.

Formulaire de réponses

CORRIGÉ

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EXERCICE n° 1 1.a)

Module d’Young du fer polycristallin.

σ

La courbe de traction est représentée schématiquement ci-contre. À la limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 , la déformation totale ε t est égale à 0,337 % et la déformation élastique ε el est égale à : ε el = (ε ε t – 0,2)% = 0,137 %. (2 pts) Le module d’Young du fer est donc égale à : E = Re 0, 2 ε el = 280MPa 0,137%

Re0,2

E

ε el

ε

E = 204,3 GPa

0,2 0,337 1.b)

Énergie élastique Wél sous une contrainte de 350 MPa.

σ (MPa)

L’énergie élastique Wél emmagasinée par unité de volume est égale à l’aire du triangle élastique représenté ci-contre.

350

E

ε el 2.

(

ε

(2 pts)

)

2

1 σ2 350 x10 6 Wel = σε el = = J/m 3 9 2 2 E 2 x 204,7 x10

Wél = 299, 2 kJ/m3

EXERCICE n° 2 2.a)

z

Position et indices d’un système de glissement du fer (réseau CC)

(011) A

B

Un système de glissement est composé d’un plan de plus grande densité atomique et d’une direction de plus grande densité atomique contenue dans ce plan. Dans le réseau CC, les plans de glissement sont des plans {110} et les directions de glissement sont des directions . (2 pts) La figure ci-contre montre un système de glissement du fer monocristallin.

y

x

Plan :

(011)

Direction :

[111]

[111]

C

2.b) Densité de nœuds Paramètre a de la maille CC : a√3 = 4r donc a = 4r/√3 Avec r = 0,125 nm, on obtient a = 0,289 nm Dans un plan de glissement de type {110}, la densité surfacique

[ ( 4x 1 )+ 1]noeuds 4 de nœuds est égale à : = a.a 2

2 a

2

Densité de nœuds Plan

16,93 nm-2

Direction

≈ 4 nm

-1

2

Le long d’une direction de glissement de type , la densité linéique de nœuds est égale à :

[(2x 12 )+ 1] noeuds = a 3

2 a 3

Sous-total = 8 pts

(2 pts)

Cours 5-110 - MATÉRIAUX Contrôle du 2 octobre 1998

2.

Formulaire de réponses

CORRIGÉ

Page 3 de 5

Exercice n° 2 (suite) 2.c)

Cission résolue τ sur le système de glissement pour σnom = 150 MPa.

D’après la figure ci-dessus, on peut appliquer la contrainte nominale σnom = 150 MPa selon l’axe y. La cission réduite τ s’exerçant sur le système de glissement est donnée par l’équation suivante : τ = σ nom cos θ cos χ Ici, l’angle χ est l’angle fait par l’axe y et la direction [011], normale au plan (011) : χ = 45°. L’angle θ , mis en évidence sur la figure ci-dessus, peut être calculé grâce au triangle ABC ou en faisant le produit scalaire [011].[111] des indices de la direction de glissement et de l’axe de traction. θ = 54,74°. La cission réduite τ s’exerçant sur le système de glissement est donc égale à :

τ = 150.cos(45).cos(54,74) 150. = 61,24 MPa

(2 pts)

τ =

61,24

MPa

Limite proportionnelle d’élasticité Re du fer polycristallin. Justification : Dans un polycristal constitué d’un très grand nombre de grains dans chacun desquels il existe un ou plusieurs systèmes de glissement actifs, la valeur moyenne des facteurs de Schmid cos θcos χ associés à ces systèmes de glissement est égale à ½. Par conséquent, si la cission critique requise pour activer un système de glissement est égale à τ∗ , la limite proportionnelle d’élasticité Re du polycristal est atteinte quand : 2.d)

τ∗ = ½ Re

Donc

Re = 2 τ∗ = 2x125 MPa = 250 MPa (2 pts)

Re = 250 MPa

2.e)

Phénomène physique apparaissant à Re :

Quand la limite proportionnelle d’élasticité Re du polycristal est vient d’être dépassée, les dislocations présentes dans les grains ont été mises en mouvement sous l’effet de la cission critique τ∗ s’exerçant dans les systèmes de glissement actifs de ces grains. (2 pts)

Sous-total = 6 pts

Cours 5-110 - MATÉRIAUX Contrôle du 2 octobre 1998

3.

CORRIGÉ

Formulaire de réponses

Page 4 de 5

Exercice n° 3 Position d’un atome de carbone (X) et d’un atome de manganèse (O) en solution solide dans le réseau du fer.

3.a)

Atome de C

Atome de Mn

z

z X

O

X y

x

y

O x

x Coordonnées de l’atome de C

½

(4 pts)

1

y

½

0

z

0

½

Coordonnées de l’atome de Mn

x

0

½

y

0

½

z

0

½

Justification : L’atome de carbone ayant un rayon (0,077 nm) beaucoup plus petit que celui des atomes de fer (0,125 nm), il se logera en position interstitielle dans les sites octaédriques définis par les atomes de fer. Dans un réseau CC, ces sites octaédriques se trouvent au centre des faces du cube et au milieu des arêtes du cube. Par contre, l’atome de manganèse est plus gros que celui de fer (0,140 et 0,125 nm respectivement). Le manganèse se substituera aux atomes de fer et sera donc localisé à un des nœuds du réseau CC. Le manganèse est alors un atome étranger de substitution. 3.b)

Nom de l’effet du carbone et du manganèse sur la limite d ‘élasticité de l’acier extra doux :

L’augmentation de la limite d’élasticité constatée chez un élément qui contient des atomes étrangers en (1 pt) solution solide (soit d’insertion, soit de substitution) est appelé le DURCISSEMENT PAR SOLUTION SOLIDE. 3.c)

Mécanisme physique responsable de cet effet :

Le durcissement par solution solide est la conséquence des contraintes internes qui apparaissent dans la structure cristalline de l’alliage, aux alentours des atomes étrangers d’insertion ou de substitution, car, dans le cas des solutions solides d’insertion, les atomes étrangers ont très généralement un diamètre supérieur à la dimension du site qu’ils occupent, alors que pour les solutions solides de substitution, les atomes étrangers (1 pt) ont un diamètre légèrement différent de celui des atomes hôtes (plus petit ou plus grand). Ces contraintes internes rendent plus difficile la mise en mouvement et le déplacement des dislocations, donc la limite d ‘élasticité de la solution solide est plus élevée que celle du corps pur.

Sous-total =

6 pts

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4.

Formulaire de réponses

CORRIGÉ

Page 5 de 5

Exercice n° 4 Dites si les affirmations suivantes sont vraies (V) ou fausses (F) Attention : une mauvaise réponse en annule une bonne.

Le coefficient de dilatation thermique α d’un matériau est d’autant plus élevé que la température de fusion de ce matériau est élevée.

F

Le module d’Young E d’un matériau est d’autant plus élevé que la température de fusion de ce matériau est élevée.

V

Dans un matériau cristallin ductile, les dislocations sont mises en mouvement lorsque l’on atteint la limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 du matériau.

F

La différence marquée entre la résistance théorique Rth à la traction d’un matériau fragile et sa résistance expérimentale Rm est due à la présence de défauts microscopiques dans le matériau (porosités, rayures, inclusions).

V

La compacité de la structure cristalline cubique à faces centrées (CFC) est moins élevée que celle de la structure hexagonale compacte (HC).

F

Sous-total = 5 pts Total = 25 pts

(5 pts)

GÉNIE DES MATÉRIAUX

COURS ING1035 - MATÉRIAUX CONTRÔLE N° 2 du 7 novembre 2003 de 8h45 à 10h20

QUESTIONNAIRE

NOTES :

♦ Aucune documentation permise. ♦ Calculatrice non programmable autorisée. ♦ Les nombres entre parenthèses indiquent le nombre de points accordés à la question, le total est de 25 points. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. ♦ Utilisez les espaces prévus et, si nécessaire, la page opposée pour vos calculs intermédiaires. ♦ Le questionnaire comprend 6 pages, incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général. ♦ Le formulaire de réponses comprend 4 pages. ♦ Vérifiez le nombre de pages du questionnaire et du formulaire de réponses.

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Exercice n° 1 En annexe, vous trouverez le diagramme de phase « titane – cobalt » (Ti – Co), tel que publié dans la littérature scientifique. La structure cristalline des phases présentes sur ce diagramme est aussi donnée au tableau A-1. a) Quelle est la température de fusion θfCo (en °C) du cobalt (Co) ?

(1 pt)

b) Quelles sont les phases en équilibre au cours d’une réaction eutectique E présente sur ce diagramme ? (2 pts) Donnez les coordonnées (composition CE en %m de Co et température θE en °C) de ce point eutectique? c) Comment nomme-t-on la réaction caractérisant le point noté Y sur le diagramme ? Écrivez cette réaction (2 pts) d’équilibre. d)

(1 pt)

Combien de composés définis non stœchiométriques sont présents sur ce diagramme ?

e) Quelle doit être la composition nominale C0 (en %m Co) d’un alliage Ti – Co qui, à 683 °C, contient 50 %m (2 pts) de Ti2Co primaire et 50 %m de constituant « Ti – Ti2Co » ? f)

Quel type de traitement thermique (trempe martensitique TM ou durcissement structural DS) peut (1 pt) potentiellement être appliqué à un alliage Ti – Co contenant 7 %m de Co ? Justifiez votre réponse.

Exercice n° 2 En annexe, vous disposez du diagramme TTT de l’acier AISI 4047 ( 0,47 % C, 0,94 % Mn, 0,25 % Mo) qui se prête bien à des traitements thermiques. a) À quelle température minimale θA (en °C) doit-on faire l’austénitisation débutant un traitement thermique ?

(1 pt)

b) Après austénitisation de l’acier à la température trouvée à la question précédente, on trempe l’acier à la température de 650 °C. Complétez le tableau donné au formulaire de réponses en décomposant la (4 pts) transformation isotherme de l’acier à cette température en étapes successives. Pour chaque étape, donnez ses temps de début et de fin (en s). Précisez quels sont les constituants présents dans l’acier durant l’étape considérée. c) À la fin de la transformation isotherme à 650 °C, quelle est la durété HRC de l’acier après retour à la (1 pt) température ambiante ? d)

Après une austénitisation de l’acier à la température trouvée à la question a) ci-dessus, on trempe l’acier à 400 ° C où on le maintient pendant 30 s. On trempe alors l’acier à l’eau à 25 °C. Quels sont les constituants (2 pts) présents dans l’acier après la trempe à l’eau ? Quelle est la dureté finale (HRC) de l’acier après la trempe à l’eau ? Justifiez vos réponses.

Sous-total: 17 pts

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Exercice n° 3 À titre d’expert de la rupture des matériaux, vous êtes appelé à identifier les causes de la rupture imprévue d’une pièce d’acier qui, soumise en service à une force cyclique variant de 52,5 à 525 kN, s’est rompue de façon brutale apparemment fragile. La forme et les dimensions de la pièce sont données à la figure ci-contre. Grâce à un examen fractographique de la surface de rupture réalisé par microscopie électronique à balayage, vous en concluez que la pièce s’est rompue quand la fissure avait atteint une longueur critique af égale à 32 mm et que son facteur géométrique αf était égal alors à 1,72. De plus, ces observations vous révèlent clairement que la fissure de fatigue a pris naissance à la racine d’une rayure superficielle sévère faite accidentellement au moment de la mise en service de la pièce. Le facteur géométrique αi de la fissure initiale était alors égal à 1,12. Selon les informations dont vous disposez, les propriétés mécaniques de l’acier dont est faite cette pièce sont les suivantes : • Propriétés en traction : Re0,2 = 700 MPa ;

Rm = 900 MPa ; A = 13 %

• Propriétés en fatigue – propagation : Seuil de propagation :

∆KS = 5 MPa.m

W = 100 mm e = 15 mm

½

Relation de Paris-Erdogan : da/dN (m/cycle) = C∆Kn avec C = 5x10-12 et n = 4, si ∆K est en MPa.m½ a) Quelle était la valeur σmax (en MPa) de la contrainte maximale qui s’exerçait sur la pièce en service ?

(1 pt)

b) Quel était la valeur du rapport R caractérisant le chargement cyclique de cette pièce ?

(1 pt)

½

c) Quelle est la valeur du facteur critique d’intensité de contrainte KIC (en MPa.m ) de l’acier de cette pièce ?

(1 pt)

d) Quelle devait être la valeur minimale ai (en µm) de la profondeur de la rayure superficielle pour que la (2 pts) fissure de fatigue ait pu se propager dès le premier cycle de chargement de la pièce ? e) Quel est le nombre Nf de cycles de sollicitations que la pièce a supportés avant de se rompre brutalement ? (3 pts) On supposera que la valeur du facteur géométrique α associé à la fissure reste constante durant la propagation et égale à 1,45.

Pour l’équipe de professeurs, le coordonnateur: Jean-Paul Baïlon

Sous-total : 8 pts Total : 25 pts

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Page 4 de 6

ANNEXES Exercice n° 1

Y

Diagramme de phases titane – cobalt (Ti – Co)

Tableau A-1 : Structure cristalline des phases du diagramme Ti – Co (αTi)

(βTi)

Ti2Co

γ

C15

C36

TiCo3

(αCo)

HC

CC

CFC

CC

CFC

HC

CFC

HC

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Page 5 de 6

ANNEXES

900 800 700

A3 A1

γ+α

600

Température (OC)

Acier 4047

γ

γ+α+C

50 %

500

α+C

400 300

12 17 20 27 35 40 50

MS M50 M90

200

HRC

Exercice n° 2

γ+M

100 63

0

0,5 1

2

5

10

20

50

100

1

Temps

103 104 10 30 60 min

105 s

1 2 5 10 24 h

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[

]

da = C∆K n dN

[

]

m=

Aicorr t nF

∆=

(ma )ox ρ M (ma )M ρox

εx =

1 σ x − v (σ y + σ z ) E

εy =

1 σ y − v (σ x + σ z ) E

εz =

1 σ z − v (σ x + σ y ) E

G=

E 2 (1 + v )

[

1=

]

ν =-

ε εx =- y εz εz

τ =

− E 

a   r 

F cos θ cos χ S0

τ th =

G b 2π a

Re 0.2 = σ 0 + kd −1 / 2

lc =

S

g  σ = σ 0 exp   2kT 

r = ua + vb + wc

σ y = σ nom

ρl

σ = (nee µe + nt e µt )

hx ky lz + + na nb nc

 1 + 2  

R=

σ = ne e µe

2 Eγ s a0

Rth =

Page 6 de 6

2EγS

(

)

E = E0 0 ,9 P 2 −1,9 P + 1

Rm = (Rm )0 e − nP ∆θ * = R1 =

Rm . f (v ) Eα

R3 =

E R . f (v )

R4 =

Eγ S = γ S R3 R . f (v )

2 m

2 m

(Rm )c = V f (Rm ) f

πσ2

+ (1 − V f ) σ m

= V f σ f + (1 − V f ) (Rm )m

KC = α σ π a

(Rm )C

f S C S + f L C L = C0

EC = V f E f + Vm Em

 Q  D = D0 exp  − 0   kT 

EC ≅

3 V f E f + Vm Em 8

(Rm )C

= kV f (Rm ) f + Vm σ m

ε vel =

σt  K2

 K 2 t   1 − exp  −  η 2  

GÉNIE DES MATÉRIAUX Note finale:

/25

NOM (en majuscules):_____________________________

CORRIGÉ

PRÉNOM :______________________________ SIGNATURE :______________________________ MATRICULE : _________________ SECTION :

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FORMULAIRE NOTES :

DE

RÉPONSES

♦ Aucune documentation permise. ♦ Calculatrice non programmable autorisée. ♦ Les nombres en marge de droite indiquent le nombre de points accordés à la question. Le total est de 25 points. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. ♦ Utilisez les espaces prévus et, si nécessaire, la page opposée pour vos calculs intermédiaires. ♦ Le questionnaire comprend 6 pages, incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général. ♦ Le formulaire de réponses comprend 4 pages. ♦ Vérifiez le nombre de pages de votre questionnaire et de votre formulaire de réponse.

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1.

Formulaire de réponses

CORRIGÉ

Page 2 de 6

EXERCICE n° 1 1.a)

Température de fusion du cobalt.

θfCo = 1.b)

1495

°C

(1 pt)

Coordonnées d’un point eutectique E présent sur ce diagramme. (voir diagramme en annexe) (2 pts)

Réaction eutectique :

1) L  C36 + TiCo3

1) CE1 = 79 %m Co 2) CE2 = 27 %m Co 1.c)

2) L  (βTi) + Ti2Co 1) θE1 = 1170 °C

2) θE2 = 1020 °C

Réaction caractérisant le point Y du diagramme (2 pts) Nom de la réaction : Réaction :

1.d)

EUTECTOÏDE

(βTi)  (αTi) + Ti2Co

Nombre N de composés définis non stœchiométriques présents sur le diagramme.

Ce sont les composés γ et TiCo3 1.e)

N= 2

(1 pt)

Composition C0 d’un alliage Ti – Co . Justification :

Le constituant « Ti + Ti2Co » provient de la réaction eutectoïde (point Y). Puisque l’alliage contient 50% de Ti2Co primaire, c’est donc un alliage hypereutectoïde. La composition C0 de l’alliage doit donc être comprise entre la composition du point eutectoïde (CA = 7 %m Co) et celle du composé définie Ti2Co (CB = 37,5 %m Co). À 686 °C, cet alliage contient donc 50 % de (βTi) et 50% de Ti2Co. En appliquant alors la règle des bras de leviers à l’alliage, on obtient : On en déduit ainsi C0 : C0 = C A + fTi2Co (C B − C A ) . Avec les valeurs numériques données, on obtient la valeur de C0 : C0 = 0,07 + 0,5( 0,375 – 0,07) = 0,2225 = 22,25 %m Co 1.f)

fTi C 0 = 2

C0 − C A CB − C A

C0 = 22,25

%m Co

(2 pts)

Traitement thermique applicable à un alliage Ti – 7%m Co . Dans la case-réponse, répondez par TM ou DS et justifiez votre réponse :

L’alliage considéré (7 %m Co) a la composition du point eutectoïde Y. Pour des températures supérieures comprises entre 685 et ≅ 1300°C, cet alliage est monophasé et est constitué uniquement de (βTi), de structure cubique centrée (CC) . Puisque qu’à basses températures (< 685 °C), le titane subit une transformation allotropique et doit alors être de structure hexagonale compact (HC), il est possible d’envisager un traitement thermique impliquant une transformation martensitique de l’alliage, de façon analogue à la méthode appliquée à un acier eutectoïde au carbone. Rappel : au cours d’un traitement de durcissement structural, il n’y a (1 pt) Traitement : TM pas de transformation allotropique de la matrice au cours de la trempe.

Sous-total = 9 pts

Cours ING1035 - MATÉRIAUX Contrôle du 7 novembre 2003

2.

Formulaire de réponses

CORRIGÉ

Page 3 de 6

EXERCICE n° 2 2.a)

Température minimale d’austénitisation θA.

θA = 770 - 780 °C

C’est la température notée A3 sur le diagramme TTT 2.b)

Caractéristiques de la transformation isotherme à 650 °C. Complétez le tableau ci-dessous en précisant bien quels sont les constituants présents dans l’acier au cours de l’étape considérée :

Étape

Début (en s)

Fin (en s)

Constituants présents

1

0

4à5

Austénite instable

2

4à5

50

Austénite instable + Ferrite primaire

3

50

800

Austénite instable + Ferrite primaire + Perlite

4

800



Ferrite primaire + Perlite

-----

-----

-----

------

-----

-----

-----

-----

2.c)

(4 pts)

Dureté de l’acier après transformation isotherme à 650 °C.

Dureté 2.d)

(1 pt)

=

12 HRC

(1 pt)

Constituants et dureté de l’acier après la trempe étagée. Justification :

Après 3 à 4 secondes de maintien isotherme à 400 °C, l’austénite instable commence à se décomposer en bainite inférieure. Au bout de 30 secondes, 50 % de l’austénite s’est transformée en bainite inférieure. Au cours de la trempe à l’eau à 25 °C, les 50 % d’austénite instable encore présente se transforment en martensite. La dureté finale est indéterminée car il n’est pas possible de trouver la valeur exacte de cette dureté en appliquant la règle des mélanges aux duretés des constituants (bainite + martensite). En effet, les 50 % de bainite formée à 400 °C ont une dureté inférieure à 37 HRC, dureté qu’aurait l’acier si la transformation bainitique avait été complète. Cette bainite contient moins de précipités durcissants que celle que l’on obtiendrait au cours d’une transformation bainitique complète. D’autre part, la martensite formée est moins sursaturée en carbone que celle d’une martensite qui serait obtenue par la transformation de la totalité de l’austénite au cours d’une trempe directe. La dureté de cette martensite est donc inférieure à 63 HRC.

Constituants :

bainite inférieure + martensite Dureté

=

indéterminée

(2 pts)

HRC

Sous-total = 8 pts

Cours 5-110 - MATÉRIAUX Contrôle du 7 novembre 2003

Formulaire de réponses

Page 4 de 6

Sous - total =

Cours ING1035 - MATÉRIAUX Contrôle du 7 novembre 2003

3.

CORRIGÉ

Formulaire de réponses

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EXERCICE n° 3 3.a)

Contrainte maximale s’exerçant sur la pièce en service : Justification :

σ max = Fmax S 0 = Fmax (eW ) 3.b)

350

σmax =

MPa

(1 pt)

Rapport R caractérisant le chargement cyclique : Justification :

R = σ min σ max = Fmin Fmax = 52,5 / 525 = 0,1 3.c)

0,1

R=

Facteur critique d’intensité de contrainte KIC de l’acier Justification :

(1 pt)

À l’instant de la rupture brutale de la pièce, le facteur d’intensité de contrainte K associé à la fissure est égal au facteur critique d’intensité de contrainte caractérisant la ténacité de l’acier : K = K IC = α f σ max πa f Avec les valeurs numériques donnée, on obtient KIC = 190,87 MPa.m½: 3.d)

MPa.m½

191

KIC =

(1 pt)

Profondeur minimale ai de la rayure Justification : Puisque la fissure commence à se propager dès le 1er cycle de chargement, la valeur

du ∆K qui lui est associé est donc au moins égale à celle du seuil de propagation ∆KS de l’acier. On obtient ainsi : ∆K S = α i ∆σ πai = α i (σ max − σ min ) πai .

 1 ∆K S  On en déduit ainsi la valeur de ai : ai =  π  α i (σ max − σ min )  3.e)

2

64

ai =

(2 pts)

µm

Nombre Nf de cycles de sollicitation subis par la pièce jusqu’à sa rupture Justification :

Relation de Paris-Erdogan : avec :

(

(

da / dN = C∆K n = C α∆σ πa

B = C α∆σ π

)

n

)

n

(

)

n

= C α∆σ π a

n

2

= Ba

n

2

(1)

et ∆σ = σ max − σ min = σ max − σ max 10 = 0,9σ max

(2)

En séparant les variables a et N de l’équation (1), on obtient une équation que l’on peut intégrer :

1 da dN = B n2 a

Æ

Æ

Æ

[N ]

af ai

af

1 −n = ∫ a 2 da B ai

(3)

Comme l’exposant n est égal à 4, l’équation (3) s’écrit :

[N ]aa

af

f

i

=

1 1 −n a 2 da = ∫ B ai B

a da 1  − 1 f 1  1 1  = ∫a a 2 B  a  a = B  ai − a f    i i

af

(4)

Avec les valeurs suivantes (C = 5*10-12 ; α = 1,45 ; ∆σmax = 315 MPa) Æ B = 2,1478. -5 Les bornes d’intégration sont : ai = 64 µm = 6,4*10 m et af = 32 mm = 3,2*10-2 m On obtient: N f =

1 1 1  1  1 1  − = 7260  − = −5 −2   3,2 *10  B  ai a f  2,1478  6,4 *10

Nf =

7260 Sous-total = 8 pts Total : 25 pts

(3 pts)

Cours ING1035 - MATÉRIAUX Contrôle du 7 novembre 2003

Formulaire de réponses

CORRIGÉ

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ANNEXES Exercice n° 1

E1

E2

Y

C0

Diagramme de phases titane – cobalt (Ti – Co)

Sous-total = 8 pts Total : 25 pts

GÉNIE DES MATÉRIAUX

COURS ING1035 - MATÉRIAUX CONTRÔLE N° 1 du 27 septembre 2002 de 8h45 à 10h20

QUESTIONNAIRE

NOTES :

♦ Aucune documentation permise. ♦ Calculatrices non programmables autorisées. ♦ Les nombres entre parenthèses indiquent le nombre de points accordés à la question, le total est de 25 points. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs ou une justification, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. ♦ Utilisez les espaces prévus ou la page opposée pour vos calculs. ♦ Le questionnaire comprend 4 pages, incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général. ♦ Le formulaire de réponses comprend 5 pages. ♦ Vérifiez le nombre de pages du questionnaire et du formulaire de réponses.

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n° 1 du 27 septembre 2002

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Exercice n° 1 On réalise un essai de traction sur une éprouvette cylindrique faite d’un matériau cristallin ductile X. Les dimensions de l’éprouvette sont les suivantes : • Diamètre : d0 = 20 mm • Longueur utile : l0 =200 mm Au cours de l’essai, on observe que, sous une force F de 113,2 kN, l’éprouvette s’allonge de 0,742 mm. Après décharge complète à partir de cette force, la longueur de l’éprouvette est égale à 200,4 mm. On constate également que sous une contrainte de 200 MPa, le diamètre de l’éprouvette diminue de 5,88 µm. Avec ces données, on vous demande de calculer : a) La limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 (en MPa) de ce matériau.

(1 pt) (1 pt)

b) Le module d’Young E (en GPa) de ce matériau.

(1 pt)

c) La résistance théorique à la traction Rth (en MPa) de ce matériau.

d) L’énergie élastique Wél (en J/cm3) emmagasinée dans l’éprouvette quand elle est soumise à une contrainte (1 pt) de 200 MPa. e) Le coefficient de Poisson ν de ce matériau.

(1 pt)

f) À partir des résultats que vous avez obtenus aux questions ci-dessus et en comparant ce matériau X à deux autres matériaux – le cuivre (Cu) et l’aluminium (Al) – dont certaines propriétés sont connues (voir formulaire (1 pt) de réponse), classez ces trois matériaux (Cu, Al et X) par ordre décroissant de leur coefficient de dilatation linéique α. g) Est-il possible, à partir de la valeur du coefficient de Poisson calculée ci-dessus, de déterminer à quelle (1 pt) classe de matériau (céramiques, métaux, polymères) appartient ce matériau ? Justifiez votre réponse.

Exercice n° 2 b/2

Considérez la maille élémentaire du polonium (Po) représentée ci-contre. Bien entendu, dans le cristal réel, les atomes de polonium se touchent. Le motif associé à cette maille est constitué d’un atome sphérique de rayon R et les paramètres de la maille sont tels que : c

β

a = b = c = 0,3354 nm

α = β = γ = 90º :

α γ b

a

a) Déterminez le système cristallin, le réseau de Bravais ainsi que la (3 pts) compacité de cette maille. b) Donnez le nom du site situé au centre de la maille. Combien la maille (1 pt) possède-t-elle de tels sites en propre ?

c) Exprimez, en fonction du rayon R des atomes de polonium, le rayon r de ce site.

(1 pt)

d) Dans le cas où ce site est occupé par un autre atome, quel est alors le réseau de Bravais ? Justifiez votre (1 pt) réponse. e) Indexez la direction dessinée sur la figure ci-dessus.

(1 pt)

( )

f) Dans la maille donnée sur le formulaire de réponse, dessinez les plans 1 1 1 et (011) .

(2 pts)

( )

g) Calculez la densité surfacique d’atomes de polonium (en at/nm2) dans le plan 1 1 1 .

(1 pt) Sous-total: 17 pts

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n° 1 du 27 septembre 2002

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(1 pt)

h) Quelle est la masse volumique théorique (en g/cm3) du polonium ? Données :

Masse atomique Nombre d'Avogadro:

Po = 209 g/mol NA = 6,022x1023 mol-1

Exercice n° 3 On réalise un essai de traction sur des pièces identiques faites de 2 matériaux A et B. Vous disposez du plan de ces pièces, des propriétés mécaniques des deux matériaux et de l’abaque vous permettant de calculer le coefficient de concentration de contrainte associé à la géométrie de ces pièces. On vous demande de déterminer, pour chaque matériau : (3 pts)

a)

La force (en kN) qui provoque le début de plastification de la pièce . Justifiez vos réponses.

b)

La force qui provoque la rupture de la pièce. Dans le cas où il y a déformation plastique, indiquez quelle (4 pts) hypothèse doit être posée pour déterminer la force à la rupture.

Matéria u

Re0,2 (MPa)

Rm (MPa)

A (%)

A

40

110

40

B



250

0

Dimensions de la pièce(mm) W

60

e

10

r

5

b

5

Pour l’équipe de professeurs, le coordonnateur: Jean-Paul Baïlon

Sous-total: 8 pts Total : 25 pts

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n° 1 du 27 septembre 2002

[

(

)]

εx =

1 σ − ν σ y + σz E x

εy =

1 σ − ν (σ x + σ z ) E y

εz =

1 σ − ν σx + σy E z

G=

E 2 (1 + ν )

[

R th =

da = C∆K n dN

]

[

(

)]

ν=−

εy εx =− εz εz

2Eγ s a0

τ th

Ai corr t nF

∆=

(m a )ox ρ M (m a )M ρ ox

R=

ρl S

σ = (n e e µ e + n t e µ t )  − Eg σ = σ 0 exp  2kT

r = ua + vb + wc

τ=

m=

σ = n e e µe

hx ky lz 1= + + na nb nc

 σ y = σ nom 1 + 2 

Page 4 de 4

a r

   

F cos θ cos χ S0

G b = 2π a

(

E = E 0 1−1,9 P + 0,9 P 2

l c = a* =

π σ2

K C = α σ nom π a

f SCS + f L C L = C 0  Q  D = D 0 exp  − 0   kT   K 2 t  σt   ε vél = 1 − exp  −  η K 2  2   

)

R m = (R m )0 exp − nP ∆θ* = R 1 = R3 =

R e 0.2 = σ 0 + kd −1/ 2

2 E γS

   

R4 =

E R 2m .f

R m f (ν ) Eα

(v )

Eγ S 2 R m .f

(v )

= γ SR 3

(R m )C = Vf (R m )f + (1 − Vf ) σ m (R m )C = Vf

σ f + (1 − Vf ) (R m )m

E C = Vf E f + Vm E m EC ≅

3 V E + Vm E m 8 f f

(R m )C = kVf (R m )f

+ Vm σ m

GÉNIE DES MATÉRIAUX Note finale:

/25

Corrigé

NOM (en majuscules):_____________________________ Version révisée PRÉNOM :______________________________ 01/10/02; 11:30

SIGNATURE :______________________________ MATRICULE : _________________ SECTION :

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FORMULAIRE NOTES :

DE

RÉPONSES

♦ Aucune documentation permise. ♦ Moyen de calcul : calculatrices autorisées seulement. ♦ Les nombres en marge de droite indiquent le nombre de points accordés à la question. Le total est de 25 points. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. ♦ Utilisez les espaces prévus ou la page opposée pour vos calculs ♦ Le questionnaire comprend 4 pages, incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général. ♦ Le formulaire de réponses comprend 5 pages. ♦ Vérifiez le nombre de pages de votre questionnaire et de votre formulaire de réponse.

Corrigé

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 27 septembre 2002

1.

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Version révisée

EXERCICE n° 1 1.a)

Limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 du matériau X Justification : Après décharge complète, la déformation permanente résiduelle est égale :

εp = (200,4 – 200)/200 = 0,002 = 0,2 % La force F à laquelle avait été soumise l’éprouvette correspond à Re0,2. Cette limite conventionnelle d’élasticité est donc égale à :

R e 0, 2 =

1.b)

F 4F 4x113,2 x10 3 N = 2 = 2 S0 πd π 20x10 -3 m 2

(

)

Re0,2 =

360

MPa

(1 pt)

Module d’Young E du matériau X Justification :

Sous la force F, la déformation totale εt de l’éprouvette est égale à : εt = 0,742/200 = 0,00371 = 0,371 % La déformation plastique εp est égale à 0,2% puisque l’on est la limite conventionnelle d’élasticité. εél = εt – εp = (0,371 – 0,2) % = 0,171 % = 1,71x10-3 La déformation élastique εél est égale à : Le module d’Young est égal à : E = Re0,2/εél = 360 MPa/(1,71x10-3)

1.c)

E=

210,5 GPa

(1 pt)

Résistance théorique à la traction Rth du matériau X Justification :

En l’absence de données plus précises concernant le matériau X, telles que son énergie de surface γS et la dsiatance d’équilibre a0 entre ses atomes, on applique la règle empirique disant que la résistance théorique à la tarction Rth est approximativement égale au dixième du module d’Young E du matériau.

Rth = 21 050

R th ≅ E 10 1.d)

MPa

(1 pt)

Energie élastique Wél emmagasinée dans l’éprouvette sous une contrainte de 200 MPa Justification :

Par unité de volume de matériau, l’énergie élastique emmagasinée est égale à ½σεél = σ2/2E.

( (

)

2

σ2 200 x10 6 Wél = = = 9,50x10 4 J/m 3 = 9,50x10 -2 J/cm 3 2E 2 210,5x10 9 1.e)

)

Wél = 0,095 J/cm3

(1 pt)

Coefficient de Poisson ν du matériau X Justification : Sous une contrainte σ de 200 MPa, la déformation radiale εr est égale à :

La déformation axiale εz est égale à :

εr = (-5,88 µm)/(20 mm) = - 2,94x10-4 εz = σ/E = (200 MPa)/(210,5 GPa) = 9,50x10-4

Par définition, le coefficient de Poisson ν est égal à soit avec les valeurs trouvées, ν = 0,3095 ≅ 0,31

–(εr/εz),

ν =

0,31 Sous-total = 5 pts

(1 pt)

Corrigé

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 27 septembre 2002 1.f)

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Classement des matériaux Cu, Al et X selon leur dilatabilité thermique Matériau E (GPa) TV (°C)

α (10-6 °C-1)

Cu 110 2573 16,5

Al 69 ? 23,6

X ? 2862 ?

Justification :

Plus le module d’Young E d’un matériau et plus sa température de vaporisation TV sont élevés, plus son coefficient α de dilatation linéique est faible. Avec les données partielles ci-dessus et en considérant la valeur du module d’Young trouvé à la question b) ci-dessus, on peut donc classer les trois matériaux selon l’ordre décroissant de leur dilatabilité thermique

Classement

Ordre décroissant Æ

Al

Matériau 1.g)

Cu

X

(1 pt)

Classe de matériau à laquelle appartient le matériau X Cochez la case appropriée et justifiez votre choix :

Le coefficient de Poisson des céramiques est en général petit (entre 0, 15 et 0,25), celui des métaux est moyen (entre 0,28 et 0,33) et celui des polymères est élevé (entre 0,33 et 0,47). De plus, les indices données dans l’énoncé (matériau cristallin ductile) permettent de déduire que le matériau X appartient à la clase des métaux . Céramiques

Métaux

Polymères (1 pt)

X 2.

Exercice n° 2 2.a)

Système cristallin, réseau de Bravais et compacité du polonium . Justification :

Système cristallin : a = b = c et α = β = γ = 90° Æ système CUBIQUE . Réseau de Bravais : Atomes uniquement situés aux sommets de la maille Æ Réseau CUBIQUE SIMPLE Compacité : les atomes se touchant le long des arêtes du cube, leur rayon R est égal à a/2. Il y a 1 atome en propre (8 x 1/8 = 1) appartenant à la maille.

4πR 3 4πa 3 Volume des atomes en propre : V at = = 3 3x 2 3 4π Compacité C = Vat Vm = = 0,5236 ≈ 52,4 % 3x 2 3

Volume de la maille : V m = a 3

Système cristallin

CUBIQUE

Réseau de Bravais

CUBIQUE SIMPLE

Compacité (en %)

52,4 % Sous-total = 5 pts

(3 pts)

Corrigé

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 27 septembre 2002 2.b)

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Version révisée

Nom du site et nombre de sites en propre dans la maille Justification :

Le site est défini par les 8 atomes qui l’entourent. Ces atomes étant aux sommets d’un cube, le site est donc CUBIQUE. Il appartient en totalité à la maille et il n’y en a aucun autre du même type sur les faces ou les arêtes de la maille. Il y a donc 1 site cubique en propre par maille.

2.c)

Nom du site

CUBIQUE

Nombre par maille

1

(1 pt)

Rayon r du site en fonction du rayon R des atomes de polonium Justification :

Le diamètre d = 2r de l’atome qui peut se loger dans le site cubique est égal à :

(

) (

) ( ) r = R ( 3 − 1) = 0,732R

d = 2r = a 3 − 2R = 2R 3 − 2 R = 2R 3 − 1 Le rayon r du site est donc égal à :

r = 2.d)

0,732 R

(1 pt)

Réseau de Bravais si le site est occupé par un autre atome Justification :

Puisque l’atome en insertion dans le site cubique aura un diamètre égal à 0,732 fois le diamètre des atome de polonium, ce sera un atome d’un élément autre que le polonium. Le réseau de Bravais étant défini avec des atomes de même nature (ceux de polonium), le réseau reste donc CUBIQUE SIMPLE

CUBIQUE SIMPLE 2.e)

Indices de la direction tracée sur la figure du questionnaire. Justification :

[2 1 2] 2.f)

(1 pt)

Position des plans

(1 pt)

(1 1 1)

(1 1 1) et (011) dans la maille.

Le plan (011) est parallèle à l’axe x (h = 0) et coupe respectivement les axes y et z en +1 et +1 (k = 1; l = 1)

( )

Le plan 1 1 1 coupe respectivement les axes x, y et z en +1 (h = 1), -1 (k = -1) et +1 (l = 1)

c

(011) a b Sous-total = 6 pts

(2 pts)

Corrigé

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 27 septembre 2002 2.g)

Page 5 de 5

Version révisée

( )

a 2

Densité surfacique d’atomes de polonium dans le plan 1 1 1 Justification :

La maille plane élémentaire du plan est représentée ci-contre. Elle contient 1 atome en propre et sa surface est égale à : 2

( ) − (a

S = ha 2 avec h = a 2

2

2 /2

Après simplification, on obtient : S = a

a 2

h

)

2

2

3 La densité surfacique est donc égale à 1 / a 2 3 2.h) Masse volumique théorique ρ du polonium

5,13

at/nm2

(1 pt)

Justification :

Masse des atomes en propre de la maille (1 seul) : Volume de la maille :

M = APo/NA V = a3

Masse volumique théorique :

ρ = M/V = APo/(a3.NA)

ρ= 3.

9,20

g/cm3

(1 pt)

Exercice n° 3 3.a)

Force provoquant le début de la plastification de la pièce. Justification : Le matériau B ayant un comportement fragile (A = 0 %), il ne subit jamais de

déformation plastique, la force est donc nulle ou indéterminée (ND) . Le matériau A est ductile (A = 40 %). La déformation plastique apparaît à la racine des entailles quand la contrainte locale σloc à cette racine atteint la limite d’élasticité Re0,2 du matériau. La contrainte nominale appliquée σnom est alors égale à : σnom = σloc/Kt = Re0,2/Kt où Kt est le facteur de concentration de contraintes associé à l’entaille. La force F appliquée à la pièce est donc égale à : F = Sσnom = [e(W – 2b)] σnom = [e(W – 2b)]Re0,2/Kt Avec la géométrie donnée des entailles (b/r = 1 et r/h = r/(W – 2b) = 0,1) , on obtient un facteur Kt = 2,3. On en déduit ainsi la force F.

Matériau

Force (kN)

A

8,70 0 ou ND

B 3.b)

(3 pts)

Force provoquant la rupture de la pièce. Justification : Le matériau B ayant un comportement fragile (A = 0 %), la pièce se rompt quand la

contrainte locale σloc à la racine des entailles atteint résistance à la traction Rm du matériau. La contrainte nominale appliquée σnom est alors égale à : σnom = σloc/Kt = Rm/Kt où Kt est le facteur de concentration de contraintes associé à l’entaille. La force F appliquée à la pièce est donc égale à : F = Sσnom = [e(W – 2b)] σnom = [e(W – 2b)]Rm/Kt Avec la géométrie donnée des entailles (b/r = 1 et r/h = r/(W – 2b) = 0,1) , on obtient un facteur Kt = 2,3. On en déduit ainsi la force F. Le matériau A est très ductile (A = 40 %). Quand la déformation plastique Matériau apparaît, elle entraîne une forte augmentation du rayon à fond d’entaille. Kt diminue fortement et tend vers 1 à l’approche de la rupture. A La force F requise pour la rupture est donc égale à : B F = Sσnom = [e(W – h)] σnom = [e(W – h)]Rm

Force (kN)

55 54,35 Sous-total = 9 pts Total : 25 pts

(4 pts)

GÉNIE DES MATÉRIAUX

COURS ING1035 - MATÉRIAUX CONTRÔLE N° 1 du 18 février 2003 de 8h45 à 10h20

QUESTIONNAIRE

NOTES :

♦ Aucune documentation permise. ♦ Calculatrices non programmables autorisées. ♦ Les nombres entre parenthèses indiquent le nombre de points accordés à la question, le total est de 25 points. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs ou une justification, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. ♦ Utilisez les espaces prévus ou la page opposée pour vos calculs. ♦ Le questionnaire comprend 7 pages, incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général. ♦ Le formulaire de réponses comprend 6 pages. ♦ Vérifiez le nombre de pages du questionnaire et du formulaire de réponses.

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n° 1 du 18 février 2003

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Exercice n° 1 On réalise un essai de traction sur une éprouvette d’acier inoxydable 304 à l’état recuit. Le plan de cette éprouvette est donné à la figure ci-contre. Les dimensions de l’éprouvette sont les suivantes : Longueur initiale de référence : L0 = 150 mm Diamètre initial :

D0 = 10 mm

Dans l'ordre chronologique de leur apparition au cours de l'essai de traction, on obtient les résultats suivants : •

Pour une force appliquée F1 = 14,00 kN, la longueur de référence est égale à 150,141 mm et l'on constate que le diamètre a diminué de 2,81 µm. Lorsque la force F1 est supprimée, l'éprouvette retrouve ses dimensions initiales.



Pour une force appliquée F2 = 20,42 kN, la longueur de référence est égale à 150,505 mm. Lorsque la force F2 est supprimée, la longueur de référence est égale à 150,300 mm.



Au cours de l'essai, la force appliquée atteint une valeur maximale Fmax = 45,95 kN. La longueur de référence est alors égale à 221,8 mm.



La rupture de l'éprouvette se produit pour une force Fu = 31,42 kN alors que la longueur de référence a atteint la valeur de 223,5 mm. a)

Quelle est la valeur du module d’Young E (en GPa) de l’inox 304 ?

(1 pt)

b)

Quelle est la valeur du coefficient de Poisson ν de l’inox 304 ?

(1 pt)

c)

Quelle est la valeur du module de Coulomb G (en GPa) de l’inox 304 ?

(1 pt)

d)

Quelle est la limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 (en MPa) de l’inox 304 ?

(1 pt)

e)

Quelle est la résistance à la traction Rm (en MPa) de l’inox 304 ?

(1 pt)

f)

Quelle est la valeur de la déformation permanente A (en %) après rupture de l’éprouvette ?

(1 pt)

g)

Calculez l’énergie élastique wél (en J) emmagasinée dans le volume de référence de l’éprouvette juste (1 pt) avant sa rupture finale.

Exercice n° 2 Le fluorure de calcium cristallise selon le système cubique et la figure ci-contre montre la disposition des ions Ca et F dans deux plans particuliers de cette maille cubique.

a)

Quels sont les indices de Miller des plans (a) et (b) ?

(1 pt) Sous-total: 8 pts

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n° 1 du 18 février 2003

Page 3 de 7

b)

Quels sont les indices de la direction réticulaire définie par l’intersection des plans (a) et (b) ?

(1 pt)

c)

Quel est réseau de Bravais du fluorure de calcium ? Justifiez votre réponse

(1 pt)

d)

Quel type de site occupent les ions F dans le réseau de Bravais défini par les ions Ca ? Quelle est la (1 pt) proportion de ces sites occupés dans une maille élémentaire ?

e)

Combien d’ions Ca et d’ions F appartiennent au motif associé à ce cristal ? Donnez les coordonnées (2 pts) relatives des ions du motif dans la maille. (2 pts) Quelle est la masse volumique théorique (en g/cm3) du fluorure de calcium ?

f)

Données :

Masse atomique (g/mole): Nombre d'Avogadro:

Ca = 40,08 F = 19,00 NA = 6,022x1023 mole-1

Exercice n° 3 Un axe, de section circulaire et schématisé ci-dessous, est constitué de deux parties ayant des diamètres différents (D et d1) reliées par un congé de raccordement de hauteur h1 et de rayon de courbure r1. De plus, la section la plus grosse de l’axe possède une gorge de profondeur h2 et de rayon de courbure r2. Fissure a

Les dimensions des différentes parties de l’axe sont les suivantes : D = 91 mm

h1 = 13 mm

r1 = 6,5 mm

h2 = 9,1 mm

r2 = 9,1 mm.

En annexes, vous disposez de figures donnant la valeur du coefficient de concentration de contrainte selon la géométrie du défaut. Le matériau de cet axe est un alliage d’aluminium dont les propriétés mécaniques sont les suivantes : E = 70 GPa

Re0,2 = 390 MPa

Rm = 475 MPa

A = 10 %

KIC = 38 MPa.m½

En service, est apparue dans l’axe une fissure très aigue localisée au fond de la gorge (voir schéma ci-dessus). Cette fissure a une profondeur a de 6 mm et le facteur de géométrie α associé à cette fissure est égal à 1,9. a)

Quelle est la valeur du coefficient de concentration de contrainte (Kt)C associé au congé de raccordement (1 pt) et celle de (Kt)G associé à la gorge ?

b)

Si l’on fait abstraction de la présence de la fissure, quelle est la valeur maximale de la force F (en kN) à (2 pts) ne pas dépasser afin que tout élément de volume de l’axe reste en état de déformation élastique ?

c)

Quel phénomène se produirait si la force F dépassait la valeur maximale calculée à la question b) ci- (1 pt) dessus ? Précisez dans quelle région de l’axe se produirait ce phénomène.

d)

Si l’on tient compte maintenant de la présence de la fissure, quelle est la valeur maximale de la force F (2 pts) (en kN) à ne pas dépasser si l’on veut éviter la rupture brutale de l’axe ?

Sous-total: 13 pts

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Exercice n° 4 Sur le tableau donné au formulaire de réponse, dites lesquelles des affirmations proposées sont vraies (V). Attention : une mauvaise réponse en annule une bonne.

(4 pts)

Pour l’équipe de professeurs, le coordonnateur: Jean-Paul Baïlon

Sous-total: 4 pts Total : 25 pts

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ANNEXES Facteur de concentration de contrainte associé à un congé 2,6

h 2,4

F

D

d

F

r 2,2

σnom = 4F/πd2

Kt

2,0

1,8

1,6

h/r = 4 h/r = 2

1,4

h/r = 1 h/r = 0,5

1,2

1,0 0,0

0,1

0,2

r/d

0,3

0,4

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ANNEXES Facteur de concentration de contrainte associé à une gorge

2,4

2,2

D/d = 1,50

2,0 1,15

1,8

Kt

1,05 1,6 1,02

1,4

r 1,2

F

D

d

F

σnom = 4F/πd2

1 0

0,1

0,2

r/d

0,3

0,4

0,5

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n° 1 du 18 février 2003

[

(

)]

da = C∆K n dN

]

m=

Ai corr t nF

)]

∆=

(m a )ox ρ M (m a )M ρ ox

R=

ρl S

εx =

1 σ − ν σ y + σz E x

εy =

1 σ − ν (σ x + σ z ) E y

εz =

1 σ − ν σx + σy E z

G=

E 2 (1 + ν )

[

[

R th = 1=

(

ν=−

εy εx =− εz εz

σ = n e e µe

2Eγ s a0

σ = (n e e µ e + n t e µ t )

hx ky lz + + na nb nc

 − Eg σ = σ 0 exp  2kT

r = ua + vb + wc σ y = σ nom τ=

 1 + 2  

a r

   

F cos θ cos χ S0

τ th =

G b 2π a

R e 0.2 = σ 0 + kd −1/ 2

l c = a* =

Page 7 de 7

2 E γS

π σ2

   

(

E = E 0 1−1,9 P + 0,9 P 2

R m = (R m )0 exp − nP ∆θ* = R 1 = R3 = R4 =

E R 2m .f

R m f (ν ) Eα

(v )

Eγ S

R 2m .f (v )

= γ SR 3

(R m )C = Vf (R m )f + (1 − Vf ) σ m

K C = α σ nom π a

(R m )C = Vf

f SCS + f L C L = C 0

E C = Vf E f + Vm E m

 Q  D = D 0 exp  − 0   kT   K 2 t  σt   ε vél = 1 − exp  −  K 2  η  2  

)

EC ≅

σ f + (1 − Vf ) (R m )m

3 V E + Vm E m 8 f f

(R m )C = kVf (R m )f

+ Vm σ m

GÉNIE DES MATÉRIAUX Note finale:

/25

NOM (en majuscules):_____________________________ CORRIGÉ PRÉNOM :______________________________ SIGNATURE :______________________________ MATRICULE : _________________ SECTION :

COURS ING1035 - MATÉRIAUX Contrôle N° 1 du 18 février 2003 de 8h45 à 10h20

FORMULAIRE NOTES :

DE

RÉPONSES

♦ Aucune documentation permise. ♦ Moyen de calcul : calculatrices autorisées seulement. ♦ Les nombres en marge de droite indiquent le nombre de points accordés à la question. Le total est de 25 points. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit. ♦ Utilisez les espaces prévus ou la page opposée pour vos calculs ♦ Le questionnaire comprend 7 pages, incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général. ♦ Le formulaire de réponses comprend 6 pages. ♦ Vérifiez le nombre de pages de votre questionnaire et de votre formulaire de réponse.

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1.

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C O R R I G É

EXERCICE n° 1 1.a)

Module d’Young E de l’inox 304. Justification :

Sous la force F1, l’éprouvette est en régime de déformation élastique. Allongement élastique : εél = ∆L/L0 = (0,141/150) = 9,4x10-4 σél = 4F1/πD02 = 178,3 MPa Contrainte : Module d’Young : 1.b)

E = σél / εél = 189,6 GPa ≅ 190 GPa

E=

190

GPa

(1 pt)

Coefficient de Poisson ν de l’inox 304. Justification :

Contraction relative élastique radiale : εr = ∆D/D0 = - (2,81x10-3/10) = - 2,81x10-4 Coefficient de Poisson : ν = - εr /εél = - (2,81/9,4) = 0, 2989 ≅ 0,30

1.c)

(1 pt)

G = E/[2(1 + ν)] G = 190/[2(1 + 0,3)] = 73,08 ≅ 73 GPa

G=

73

GPa

(1 pt)

Re0,2 = 260

MPa

(1 pt)

MPa

(1 pt)

Limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 de l’inox 304. Justification :

La limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 correspond à la force F2, puisque l’éprouvette se retrouve déformée plastiquement de 0,2 % quand F2 est supprimée. Re0,2 = 4F2/πD02 = 260 MPa

1.e)

0,30

Module de Coulomb G de l’inox 304. Justification :

Relation entre E, G et ν :

1.d)

ν=

Résistance à la traction Rm de l’inox 304. Justification :

Par définition, la résistance à la traction Rm correspond à la force maximale Fmax puisque atteinte durant l’essai de traction Rm = 4Fmax/πD02 =

585 MPa

Rm =

585

Sous-total = 5 pts

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1.f)

Page 3 de 9

C O R R I G É

Allongement permanent A après rupture de l’inox 304. Justification :

L’allongement permanent A après rupture est donné par la relation suivante : A = (εt – εélu) εt = allongement total juste avant la rupture = (223,5 -150)/150 = 0,49 = 49 % où : εélu = retour élastique après la rupture = σu/E εél = σu/E = (4Fu/πD02)/E = 2,107x10-3 = 0,21 % Donc: A = (εt – εél) = 49 – 0,21 = 48,79 % 1.g)

A =

48,79

%

(1 pt)

Énergie élastique wél emmagasinée dans le volume de référence de l’éprouvette juste avant sa rupture. Justification :

L’énergie élastique Wél, emmagasinée par unité de volume du matériau à l’instant de la 2 rupture, est donnée par la relation : Wél = ½ σuεélu = ½ σu /E L’énergie élastique wél, emmagasinée dans le volume de référence V de l’éprouvette est égale à : wél = (½σuεélu)V = (½σu2/E)(L0πD02/4) Avec les valeurs trouvées ci-dessus pour E, εélu et σu, on obtient ainsi: wél = 4,96 J w

=

él

2.

4,96

J

(1 pt)

Exercice n° 2 2.a)

Indices de Miller des plans (a) et (b) .

En annexe est présentée la disposition des ions Ca et F dans la maille élémentaire de la fluorite (taille des ions réels réduite à 50%). Les plans (a) et (b) sont aussi mis en place dans cette maille, ce qui permet d’en déduire leurs indices de Miller respectifs. 2.b)

(1 1 0)

(b) :

(101)

(1 pt)

Indices de la direction définie par l’intersection des plans (a) et (b).

En annexe, la direction commune aux plans (a) et (b) est mise en place dans la maille élémentaire, ce qui permet d’en déduire les indices de cette direction

2.c)

(a) :

[11 1 ]

ou [1 1 1]

(1 pt)

Réseau de Bravais du fluorure de calcium. Justification :

Comme le révèle la maille élémentaire de la fluorite présentée en annexe, les ions Ca occupent les nœuds d’un réseau de Bravais cubique à faces centrées (CFC), dans les sites duquel les ions F sont insérés.

CFC Sous-total = 5 pts

(1 pt)

Cours ING1035 MATÉRIAUX Contrôle n°1 du 18 février 2003 2.d)

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C O R R I G É

Sites occupés par les ions F et proportion de ces sites occupés. Justification :

Comme le révèle la maille élémentaire de la fluorite présentée en annexe, les ions F sont insérés dans le réseau de Bravais cubique à faces centrées (CFC) défini par les ions Ca. Chaque ion F est entouré par 4 ions Ca, l’un d’eux occupant un sommet de la maille cubique, les trois autres étant situés au centre des faces qui définissent ce sommet. Ces quatre ions Ca délimitent donc un site tétraédrique. On constate qu’il y a 8 ions F occupant de tels sites. D’autre part, comme un site tétraédrique est associé à chaque sommet de la maille et que cette maille possède 8 sommets, tous les sites tétraédriques (100%) sont donc occupés.

2.e)

Type de site

Proportion

Tétraédrique

100 %

-------------

-------

Motif du fluorure de calcium. Justification :

(1 pt)

Le motif doit refléter la proportion des ions Ca et F qui appartiennent en propre à la maille élémentaire. Nombre d’ions Ca appartenant en propre à la maille : (8 x 1/8) + (6 x ½) = 4 Nombre d’ions F appartenant en propre à la maille : 8 Il y a deux fois plus d’ions F que d’ions Ca dans le motif. Le motif est donc constitué d’un ion Ca et de deux ions F. Ce motif est mis en évidence à la figure donnée en annexe et l’on en déduit ainsi les coordonnées relatives des ions constituant le motif.

Ion

Ca F F ----------2.f)

Coordonnées relatives x y z

0 ¼ ¼ -----------

0 ¼ ¾ -----------

0 ¼ ¼ -----------

(2 pts)

Masse volumique théorique du fluorure de calcium. Justification :

Nombre d’ions Ca appartenant en propre à la maille : (8 x 1/8) + (6 x ½) = 4 Nombre d’ions F appartenant en propre à la maille : 8 Masse des ions en propre :

M = (4ACa + 8AF)/NA = (4x40,08 + 8x19)/(6,022x1023) g = 5,186 x 10-22 g

Volume de la maille élémentaire :

V = a3 = (0,545)3 nm3 = 0,1619 nm3 = 1,619 x 10-22 cm3

Masse volumique théorique de la fluorite :

ρ = M/V = (5,186 x 10-22)/( 1,619 x 10-22) = 3,20 g/cm3

ρ=

3,20 g/cm3 Sous-total = 5 pts

(2 pts)

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3.

Page 5 de 9

C O R R I G É

Exercice n° 3 3.a)

Congé :

Facteur de concentration de contrainte associé aux défauts. Justification :

d1 = (D – 2h1) = (91 – 2x13) = 65 mm r1/d1 = 6,5/65 = 0,1 h1/r1 = 13/6,5 = 2 Sur la figure correspondant au congé, on en déduit donc (Kt)C = 1,78

Gorge :d2 = (D – 2h2) = (91 – 2x9,1) = 72,8 mm r2/d2 = 9,1/72,8 = 0,125 D/d2 = 91/72,8 = 1,25 Sur la figure correspondant au congé et par interpolation linéaire entre les courbes D/d = 1,5 et D/d = 1,15, on en déduit que (Kt)G ≅ 2,0 3.b)

(Kt)C =

1,78

(Kt)G =

2,0

(1 pt)

Valeur maximale de la force F (en kN) à ne pas dépasser si la fissure est ignorée. Justification :

Il faut calculer la contrainte locale (σloc)C existant dans le congé et la contrainte locale (σloc)G existant dans la gorge. La plus faible de ces deux contraintes ne doit pas excéder la limite d’élasticité Re0,2 du matériau pour que tous les éléments de volume de la pièce restent en régime de déformation élastique. Congé :

(σ loc )C = (K t )C (σ nom )C = (K t )C 4FC2

≤ R e 0, 2 Æ

FC ≤

Gorge :

(σ loc )G = (K t )G (σ nom )G = (K t )G 4FG2

≤ R e 0, 2 Æ

FG ≤

πd1

πd 2

πd12 R e0, 2

4(K t )C

= 727,0 kN

πd 22 R e0, 2

4(K t )G

= 811,7 kN

Bien que le facteur Kt soit plus faible au congé qu’à la gorge, c’est au congé que la plastification apparaîtrait en premier, car la section droite à ce niveau (diamètre d1) est plus faible que celle de la gorge (diamètre d2)

Fmax = 727 kN 3.c)

(2 pts)

Phénomène se produisant si la force F dépassait la valeur maximale. Justification :

Si la force appliquée à la pièce dépasse la valeur critique calculée ci-dessus, il y aura plastification (déformation plastique irréversible) qui apparaîtrait dans la zone de concentration de contrainte du congé.

Région =

CONGÉ

Sous-total = 4 pts

(1 pt)

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3.d)

Page 6 de 9

C O R R I G É

Valeur maximale de la force F (en kN) à ne pas dépasser si la fissure est prise en compte. Justification :

Quand le facteur d’intensité de contrainte K associé à la fissure atteint le facteur critique d’intensité de contrainte KIC caractérisant la ténacité du matériau, il y a alors propagation brutale irréversible de la fissure, donc rupture apparemment fragile du matériau. On obtient : Donc :

K = ασ nom πa = α

F=

πd 22 K IC

4α πa

4F πa = K IC πd 22

= 606,4 kN

Remarque : on constate bien que la rupture sera apparemment fragile, car, pour cette valeur de la force, l’ensemble de la pièce est toujours en état de déformation purement élastique, puisque cette valeur de F est inférieure à celle requise pour amorcer une plastification locale. (Voir question b) ci-dessus)

Fmax = 606,4 kN 4.

(2 pts)

Exercice n° 4 Cochez ( X ) les affirmations vraies de ce tableau. Attention : une mauvaise réponse en annule une bonne

Le coefficient de dilatation d’un matériau est d’autant plus élevé que la température de vaporisation de ce matériau est élevée. Plus la température de vaporisation d’un matériau est élevée, plus la valeur de son module d’Young est grande.

X

Dans un solide à liaison Van der Waals, il y a mise en commun des électrons entre les molécules de ce solide. Dans les métaux de structure cristalline hexagonale compacte (HC), la compacité de l’empilement des atomes est la plus élevée possible.

X

La direction de déplacement d’une dislocation-vis est perpendiculaire à son vecteur de Burgers.

X

La cission critique τ∗ de mise en mouvement des dislocations dans un matériau cristallin ductile dépend de l’orientation du système de glissement actif par rapport à l’axe de traction. Dans un matériau polycristallin ductile soumis à une force de traction croissante, le glissement cristallographique irréversible apparaît dans les grains caractérisés par un facteur de Schmid égal à 0,5.

X

La limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 d’un matériau polycristallin ductile correspond à l’apparition des premiers signes de glissement cristallographique irréversible dans les grains. Le facteur de concentration de contrainte Kt d’un défaut est généralement exprimé en MPa.m½ Pour un matériau sollicité à une température donnée, la valeur de sa résilience mesurée par un essai Charpy est indépendante de la géométrie de l’entaille faite dans l’éprouvette.

Sous-total = 6 pts Total : 25 pts

(4 pts)

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C O R R I G É

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ANNEXES

Plan (a)

Plan (b)

Motif de la fluorite

Direction commune (a) + (b)

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C O R R I G É ANNEXES

Facteur de concentration de contrainte associé à un congé 2,6

h 2,4

F

D

d

2,2

F

r σnom = 4F/πd2

Kt

2,0

1,8

1,6

h/r = 4 h/r = 2

1,4

h/r = 1 h/r = 0,5

1,2

1,0 0,0

0,1

0,2

r/d

0,3

0,4

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C O R R I G É ANNEXES

Facteur de concentration de contrainte associé à une gorge

2,4

2,2

D/d = 1,50

2,0 1,15

1,8

Kt

1,05 1,6 1,02

1,4

r 1,2

F

D

d

F

σnom = 4F/πd2

1 0

0,1

0,2

r/d

0,3

0,4

0,5