Algèbre Locale Multiplicités: Cours au Collège de France, 1957–1958 rédigé par Pierre Gabriel [3 ed.] 3540070281, 9783540070283 [PDF]

Zitiervorschau

Lecture Notes in Mathematics An informai series of special lectures, seminars and reports on mathematical topics Edited by A. Dold, Heidelberg and B. Eckmann, Zürich

11 Jean -Pierre Serre Collège de France, Paris

Algèbre Locale· Multiplicités Cours au Collège de France, 1957 -1958 rédigé par Pierre Gabriel Seconde édition, 1965

1965

Springer-Verlag · Berlin · Heidelberg · New York

Ali rights, especially that of translation into foreign languages, reserved. It is also forbidden to reproduce this book, either whole or in part, by photomechanical means (photostat, microÎtlm and/or microcard) or by other procedure without written permission from Springer Verlag. @ by Springer-Verlag Berlin' Heidelberg 1965. Library of Congress Catalog Card Number 65-29123. Printed in Germany. Tide No. 7331.

Préface de la seconde édition

Cette édition diffère de la première par les points suivants 1 Un certain nombre de passages ont été récrits, notamment le § A du Chap.II , le Chap.III, le § B du Chap.IV et le § C du Chap.V. Ont été ajoutés: une Introduction, deux Appendices et une Bibliographie.

Le travail de dactylographie a été fait par les soins de l'Institut des Hautes Etudes Scientifiques. Je lui en suis très reconnaissant.

Jean-Pierre Serre

, T A BLE

DES

MATIERES

INTRODUCTION Chapitre I. DÉCOMPOSITION PRIMAIRE DES MODULES A) Généralités. 1. Radical de Jacobson de

A

1-1

2. Lemmes sur les idéaux premiers

1-3

3. Foncteurs additifs en théorie des modules

1-5

4. Modules noethériens

1-9

B) Décomposition primaire et théorèmes d'unicité

1-11

C) Quelques applications 1. Variété associée à un module

1-21

2. Idéaux étrangers

1-25

3. Modules de longueur finie

1-30

Chapitre II. OUTILS ET SORlTES A) Filtrations et graduations 1. Anneaux et modules filtrés

1I-1

2. Topologie définie par une filtration

1I-2

3. Complétion des modules filtrés

1I-3

4. Anneaux et modules gradués

1I-4

5. Où tout redevient noethérien; filtrations

1-adiques

6. Modules différentiels filtrés

II- 8 1I-13

B) Polynômes de Hilbert-Samuel 2. Fonctions additives sur les catégories de modules

1I-19 1I-20

3. Le polynôme caractéristique de Hilbert

1I-22

4. Les invariants de Hilbert-Samuel

1I-25

1. Rappel sur les polynômes à valeurs entières

, Chapitre III. THEORIE DE LA DIMENSION A) Dimension des extensions entières 1. Définitions

III- 1

2. Le premier théorème de Cohen-Seidenberg

III- 2

3. Le second théorème de Cohen-Seidenberg

III- 4

B) Dimension dans les anneaux noethériens 1. Dimension d'un module

III- 6

2. Le cas semi-Iocal noethérien

III- 1

3. Systèmesde paramètres

1II-10

C) Anneaux normaux 1. Caractérisation des anneaux normaux

1II-11

2. Propriétés des anneaux normaux

1II-14

3. Fermeture intégrale

1II-16

D) Anneaux de polynômes 1. Dimension de l'anneau

A[X 1 , ••• ,Xn ]

2. Le lemme de normalisation

1II-11 1II-20

3. Applications. I. Dimension dans les algèbres de polynômes

1II-22

4. Applications. II.Fermeture intégrale d'une algèbre de type fini

1II-25

5. Applications. III.Dimension d'une intersection dans l'espace affine

1II-21

Chapitre IV. DIMENSION ET CODIMENSION HOMOLOGIQUES A) Le complexe de l'algèbre extérieure (Koszul) 1. Le cas simple

IV- 1

2. Acyclicité et propriétés fonctorielles du complexe

de l'algèbre extérieure

IV- 3

3. La suite spectrale associée au complexe de l'algèbre extérieure 4. La codimension homologique d'un module sur un anneau semi-Iocal

IV- 8 IV-12

B) Modules de Cohen-Macaulay 1. Définition des modules de Cohen-Macaulay

IV-l1

2. Diverses caractérisations des modules de Cohen-Macaulay 3. Variété d'un module de Cohen-Macaulay

IV-19 IV-22

4. Idéaux premiers et complétion

IV-25

C) Dimension homologique des modules noethériens 1. La dimension homologique d'un module

IV-21

2. Le cas noethérien

IV-29

3. Le cas local

IV-33

D) Les anneaux réguliers 1. Propriétés et caractérisations des anneaux locaux réguliers

IV-35

2. Propriétés de permanence des anneaux locaux réguliers

IV-40

3. Délocalisation

IV-42

4. Un critère de normalité

IV-44

1

Appendice I. RESOLUTIONS MINIMALES

IV-46

1. Définition des résolutions minimales

IV-46

2. Application

IV-48

3. Cas du complexe de l'algèbre extérieure

IV-50

1

1

1

Appendice II. POSITIVITE DES CARACTERISTIQUES D'EULER-POINCARE 1

SUPERIEURES.

IV-53 1

Chapitre V. LES MULTIPLICITES A) La multiplicité d'un module 1. Le groupe des cycles d'un anneau 2. La multiplicité d'un module

V- 1 V- 2

B) La multiplicité d'intersection de deux modules

3. Anneaux réguliers d'égale caractéristique 4. Conjectures

V- 4 V- 6 V-12 V-14

5. Anneaux réguliers d'inégale caractéristiques (cas non ramifié) 6. Anneaux réguliers quelconques

V-15 V-18

1. La réduction à la diagonale 2. Produits tensoriels complétés

C) Raccord avec la géométrie algébrique 1. Formule des Tor

V-21

2. Cycles sur une variété affine non singulière

V-22 V-23 V-24 V- 27 V-21 V-2B

3. Premières formules

4. Démonstration du théorème 1 5. Rationalité des intersections 6. Images directes

1. Images réciproques B. Extensions de la théorie des intersections BIBLIOGRAPHIE

V-31 B-1

l N T R 0 DUC T ION =======================

Les multiplicités d'intersectionsde la géométrie algébrique sont égales à certaines "caractéristiques d'EulerPoincaré" fonnées au moyen des foncteurs Tor de CartanEilenberg. Le but essentiel de ce cours est d'établir ce résultat, et de l'appliquer à la démonstration des fonnules fondamentales de la théorie des intersections. Il a fallu d'abord rappeler quelques résultats d'algèbre locale: décomposition primaire, théorèmes de CohenSeidenberg, normalisation des anneaux de polynômes, dimension (au sens de Krull), polynômes caractéristiques (au sens de Hilbert-Samuel).

L'homologie appara!t ensuite, lorsque l'on considère la multiplicité

9-

= rapport à un

d'un idéal de définition

e tE,r)

d'un anneau local noethérien A-module E

nôme caractéristique

dans le poly[on note

A-module F

par

de type fini. Cette multiplicité

est définie comme le coefficient de

longueur d'un

A

J

la

• On démontre alors la fonnule

suivante, qui joue un rôle essentiel dans la suite: i=r

e (E,r)

-

q

=:

2:

i=O

(-l)i~(Hi(E,~))

-

H. (E,x)

où les

1.

2 -

désignent les modules d'homologie du

-

complexe de l'algèbre extérieure construit sur

E

au

x.

moyen des

1.

Ce complexe peut d'ailleurs être utilisé dans d'autrej questions d'algèbre locale, par exemple pour étudier la codimension homologique des modules sur un anneau local, les modules de Cohen-Macaulay (ceux dont la dimension de Krull coIncide avec la codimension homologique), et aussi pour montrer que les anneaux locaux réguliers sont les seuls anneaux locaux dont la dimension homologique soit finie.

Une fois la formule

démontrée, on peut aborder

l'étude des caractéristiques d'Euler-Poincaré formées au moyen des Tor. Lorsque l'on traduit dans le langage de l'algèbre locale la situation géométrique des intersections, on obtient un anneau local régulier Modules

E

et

F

de dimension

A,

de type fini sur A

les variétés correspondant à

F

et

A-

A , dont le produit

tensoriel est de longueur finie sur

E

n, et deux

~cela

signifie que

ne se coupent qu'au

point considéré). On est alors conduit à conjecturer les énoncés suivants :

i)

On a

dim. (E) + dim.

tF) ~ n

t "formule des dimensions").

i=n ii) L'entier XA(E,F) =

~ (_l)i IA(Tor~(E,F) ) est> O.

i=O iii) On a ~A(E,F) = 0 est stricte.

si et seulement si l'inégalité

i)

- J La formule

~*)

montre que ces énoncés sont en tout dim (F)

avec

cas vrais si

=n

- r

•

Grâce à un procédé, utilisant des produits tensoriels complétés, et qui est l'analogue algébrique de la "réduction à la diagonale", on peut en déduire qu'ils sont vrais lorsque

A

a même caractéristique que son corps des restes, ou bien quand

est non ramifié. A partir de là, on peut, en se

A

servant des théorèmes de structure des anneaux locaux démontrer la formule des dimensions général. Par contre, et

iii)

i)

complet~

dans le cas le plus

je ne suis parvenu, ni à démontrer

ii)

A , ni à en donner

sans faire d'hypothèses sur

des contre-exemples. Il semble qu'il faille aborder la question sous un angle différent, par exemple en définissant di-

rectement

(par un procédé asymptotique convenable) un entier ~

0

dont on montrerait ensuite qu'il est égal à

Heureusement, le cas d'égale caractéristique est suffisant pour les applications à la géométrie algébrique (et aussi à la géométrie analytique). De façon précise, soit une variété non singulière, soient variétés irréductibles de

V

A, A , A

Soient

V

v

1\1

i(V.w,c;lC)

Si et

=

"Iv

la formule

en

C

dim. V + dim. W

c =

VnW

x , avec (intersection "propre").

les anneaux locaux de

X, V et W en C.

désigne la multiplicité d'intersection de (au sens de lieil,

1

(Ee)

deux sous-

W

X , et supposons que

soit une sous-variété irréductible de dim. X + dim. C

et

X

i(V.W,C;X)

,~-;hevalley,

Samuel), on a

- 4 Cette fonnule tla "fonnule des Tor tl ) par réduction à la diagonale, en se ramenant à il est commode de prendre

se démontre

(*) .

En fait,

comme définition des multi-

plicites. Les propriétés de celles-ci s'obtiennent alors de façon naturelle: la commutativite resulte de celle des Tor l'associativité résulte des deux suites spectrales qui expr i ment l'associativité des Tor; la formule de projection résuIte des deux suites spectrales reliant les images directes d'un faisceau cohérent et les Tor (ces dernières suites spectraIes ont d'autres applications intéressantes, mais il n'en a pas été question dans le cours). Chaque fois, on utilise le fait bien connu que les caractéristiques d'Euler-Poincaré restent constantes dans une suite spectrale.

Lorsque l'on définit les intersections au moyen de la formule des Tor, on est conduit à étendre la théorie au delà du cadre strictement "non singulier" de lveil et de Chevalley. Par exemple, si d'une variété

X

f

:

X~

bliste à

est un morphisme

dans une variété non singulière

peut faire correspondre à deux cycles un "produit"

y

x'fY

xl\f-1 (y)

x et y

de

Y, on X et de

Y

qui correspond au point de vue ensem(bien entendu, ce produit n'est défini

que sous certaines conditions de dimensions). Lorsque

f

est

l'application identique, on trouve le produit ordinaire. Les formules de commutativité, d'associativité, de projection, peuvent s'énoncer et se démontrer pour ce nouveau produit.

I-1

, CHAPITRE I. - DECOMPOSITION PRIMAIRE DES MODULES 1

/

A) GENERALITES Ce paragraphe a pour but de rappeler un certain nombre de notions qui seront supposées connues, et de démontrer quelques lemmes préparatoires. Nous désignerons par unité, par

Ef

A un anneau commutatif, à élément

E

M un A-module unitaire. Un idéal

AIE

A et si

sera dit premier, si

est intègre.

1) Radical de Jacobson de

A.

Nous utiliserons cette notion seulement pour les anneaux commutatifs. Definition et proposition 1. - On appelle radical de Jacobson de A

~(A)

,et on note

oondi tions

, l'idéal de

équivalentes:

1)

~(A)

2)

xfr(A)(:1)1 Supposons en effet que associé à à

A/~

M

,et

Alors

et donc que

essentiel de

Corollaire:

M contient un sous-module

N'

Si

M/N' E

dans

A/p. -1

N isomorphe EI~

N/N'

isomorphe à

ou est un idéal premier

M

E€V(M)

p. -1

M/N'

idéal premier

N'isomorphe à

contient un sous-module

est associé à

o = MoC:M 1C: ••• C:Mn = M module

~

contienne

N contient alors un sous-module

Il en résulte que A/p

E

, i l existe une suite de composition de telle que

Mi+1/Mi

M

soit isomorphe à un

premier, où l'un au moins des p. -1

-

est égal à

P_

En effet, avec les notations de la démonstration précédente il suffit de mettre bout à bout une suite de composition de sui te de composition de

M/N'

N'et une

qui satisfait aux conditions du Corol·-

laire 4 de la proposition 1. Par exemple, si les idéaux premiers de n

V(A) =

M= A A

De

m~me,

w (0)

est l'ensemble de tous

si

est un idéal de

a

A et

un entier positif, on a les équivalencesl

La proposition suivante sera souvent utile dans les calculs:

•

1-23 1)

sui te exacte de

A-modules,

2)

Si

P

et

Si

0 --i' M' ~ M --1 Mil 4

Proposi tion 101

0

est une

V(M) = V(M') U V(M")

Q sont deux sous-modules de

M

V(M/P() Q) = V(M/P) V V(M/Q)

3)

Si

M et

N sont deux

V(M®A N) :: V(M)

n

A-modules (de type fini),

VeN)

,

La première assertion résulte trivialement de l'existence, pour tout idéal premier

o -7

Mt

E

E

de

A

de la suite exacte:

-4 M -7 Mil --i 0

E

E

La seconde n'est qu'une qutre formulation de l'égalité:

Enfin, pour la dernière assertion, on note que:

On est ainsi ramené au corollaire 2 de la propDsition 1. Si

Corollaire:

M est un

A-module et

a

un idéal de

A

,

= V(M)()W(a)

V(M/aM)

Enfin la démonstration des propriétés suivantes exigera du lecteur un travail insignifiant: Si

(~.)

est une famille d'idéaux de i6t qu'ils engendrent, on a: 1

n

i E. l

W(~) = W(~) ...

A

a

l'idéal

1-24 m~me

De

si

a

et

b

sont deux idéaux de

A

• W(~

Les idéaux de

A

satisfont donc, quand

V(M)

la topologie de Zariski de

Si

V(A)

V(M)

• Si

M est un

A -module,

sera la topologie induite dans

par la topologie de Zariski de

Dans

parcourt le treillis des

, aux axiomes des fermés d'une topologie. Cette topo-

logie est la topologie de Zariski de

V(M)

a

V(A)

toute suite décroissante de fermés est stationnaire.

V(M)

R est un idéal premier de

W(R)

est un fermé de

V(M)

et n'est pas réunion de deux fermés plus petits: on dit que

W(R)

est irréductible. Tout fermé irréductible est de la forme

et tout fermé

F

W(~)

est réunion d'un nombre fini de fermés irréductibles

ne satisfaisant à aucune relation d'inclusion entre eux et déterminés de manière unique par

F

Si

F = W(~ , ces fermés irréductibles sont

les

W(p.)

où

les

W(Ri)

sont les composantes irréductibles de

-~

i parcourt les composantœpremières minimales de W(~

a

:

(Ces

propriétés ne sont qu'une traduction de quelques lemmes, déjà démontrés, sur les idéaux premiers). Remarquons aussi au tout fermé de

V(M)

composantes connexes 1 car tout irréductible

a un nombre fini de W(R)

est connexe

(cela résulte de la définition de l'irréductibUité). D'autre part, W(~)

W(R)

\J

W(~)

est connexe si et seulement si

ne sont pas disjoints, c'est-à-dire si

nus dans une Si

m~me

R et

~

R

W(R) ~

et

et

sont conte-

idéal maximal. appartiennent à

V(M)

R

et

~

appartiennent

I-25 à la

m~me

composante connexe si et seulement si il existe une suite

d'idéaux premiersl Pi e V(M)

et que

2)

= ..'[)

p

-0

V W(Pi_1)

W(Pi)

soit connexe.

Idéaux étrangers

Nous allons d'abord rappeler brièvement quelques résultats élémentairesl Deux idéaux

a

et

b

de

a + b

qu'ils engendrent est

existe

a

dans

a

et

=a

1

Si

.ê:.1 ' • • • ,~

telles aue

a.

--'l.

et

alors

b

et b.

-J

et

A

a.

-1

et

, alors

tout entier, autrement dit s'il

A

dans

b

tels aue:

+ b b -b 1 ' • • • , -m

sont deux familles d'idéaux

sont étrangers pour tout couple -b 1 ·b - 2 ···b -m

à fortiori de m~me de a 1 (l ~ ... Enfin, si

sont dits étrangers si l'idéal

a.

sont étrangers, et il en est

n~

W(~

et

b1

n ~ ... n ~

sont étrangers deux à deux, pour

-J

-a1n~ -, ••• n a -n =a - 1 .a - 2 ···a -n

Avec ces définitions deux idéaux et seulement si

(i,j)

et

W(È0

a

et

b

sont étrangers si

sont disjoints.

Le but de ce paragraphe est alors la démonstration de la Prpposition 11:

Tout module

M admet une décomposition uniQue

M , •••• ,M s ' 1 dont les annulateurs sont étrangers deux à deux et qui n'admettent comme somme directe de modules

plus eux-m~mes de telle décomposition. Les variétés sont les composantes connexes de

V(M)

V(M 1), •.• ,V(M s )

1-26 Si

sont les annulateurs de

n

nê:.g :: ~1.a2 ••• ê:.g

~:: a 1 a 2 fl .. . seule représentation de

on a

a

et on obtient ainsi la

comme intersection d'idéaux étrangers

deux à deux et qui n'ont plus

eux-m~mes

de telle représentation.

Nous allons monter au ciel en nous tirant par nos lacets de chaussures (la démonstration est celle du théorème chinois; on peut l'ignorer sans préjudice): M = M f1 ... ()M s 1

Supposons d'abord donné une décomposition les

Mi

a

= (O:M)

::

(0:M a

-1

soit donc

a 1 , ••• ,ê:.g

ont des annulateurs étrangers deux à deux, soit

Alors:

1

)n ... n (O:M s )

n ... () -s a

b. = -a 1 ···a. 1 a i +1 ···ê:.g --'l. -

--'l.

Ni:: :M 1~··· ~

$ Mi-1

t'r.!.

q;7

Mi+1···~ ~, M s

n

j

f

a.

, pour

et

-J

i 1./ ~

où

i t.. s ~

On a alors les formules) suivantes: Lemme 1:

3)

M.1

1)

a.

(O:a.) --'l.

=

2)

(O:M. )

=

--'l.

1

b.M

--'l.

=

n

j

f

N.= 1

4)

N. J

i

En effet, la formule 1) est claire. Formule 2):

(O:N.) 1

Formule 3): de D'autre part Ax

(a. + b.) x --'l. --'l.

a. :: (O:M.)

~Ni

=

j

--'l.

a

1

:: a

et si

on tire

x~Ni

:: (O:N.), 1

b.

--'l.

nf

(O:b.) --'l.

(O:M .) i

(O:~) ~ Mi

n (O:~)

J

=

a. M •

--'l.

1-21

Formule 4): La démonstration est analogue. V(M.) = W(a.) 1 --'l.

D'autre part, a.

--'l.

et

a.

-J

et dire que, pour

sont étrangers, c'est dire que

V(M. )

et

1

1j

i

V(M.) J

sont

disjoints.

et

~1

' • • • '.ê:.s

Soit en effet

1 .( i, j ~ s

,

où

et où

miers associés à Comme, pour

et appartenant à

M

i

désignent les idéaux pre-

p. 1'···'P. -J; -J, t'J

1j ,

aucun

V(M .) =

J

p. -1,e

W(a.) -J

n'est contenu dans un

n'est pas contenu dans la réunion des p. k et p. P -i ,e -J, k -J, S. rencontre tous les p. et donc aussi a. • La S.-composante 1 --'l. 1 -1,e de

a dans M contient alors M.1 et coupe

Ni

suivant

a • On

a ainsi: S.

1

~~~!~~~~~~ID~~~=

a.

--'l.

'"' a 1

1

n ···n .ê:.s

sont étrangers deux à deux.

Soit alors j

Alors

= M.

supposons donnée une décomposition

~ où les

(Mio)

n1

b.M,

et

--'l.

i

M est somme directe des

dans la situation précédente:

Mi

et

a.

-1

i

~M. 1j J

, et l'on est

1-28

En effet, o(i €~

f3 i

et

Mi

~

ê ~

engendrent

M

cl.. 1. + /,l1 ~.

tels que

i

car pour tout

1

il existe

On en déduit

= 1.

l'égalitél

l = ~ l + 11(1 ( f:2 + 0(2( ~ 3 + ••• +

qui e8t du type

l = b

+ ••• + b

1

S

+

, où

0(

c

D'où

.

(~+~)

0

et

X

= A:x

. Si donc

b.N. --'l. 1 = 0

,

= 0

et

Reste à montrer que on tire que x€N.

a.

::> (O:M.) 1

0

, alors

f

, x

1

--'l.

V(M) = W(a)

connexes de

Si alors et

~

et

W(~ ) = li (a . 1) -~ --'l.,

et

V , ••• ,V 1

f

n ... nW(a--'l.,s. . ) :; 1

0

1

-

0

• D'où

a. 1, ••• ,a. --'l. , --'l. , s i

et soient

a

V.l

on a l'égalité i

li ( q . 1)

-1,

f

les primaires

et dont les idéaux

j

a = a () ••• 1

n~

car

n ... n

sont disjoints.

-J

On détermine ainsi une décomposition de

V(Mi)=Vi

M.

soient les composantes

s

sont étrangers pour

et

~

, et l'on vient de voir que si

appartiennent à

W(a.)

entratne

j

, alors

mais de

a. = (OIM. ): --'l. 1

a. = a. 1 ••• a. --'l. -1 , --'l. , si

aj

-1

x = 0

intervenant dans une décomposition de premiers associés

f

i

xE:MinN i

a.x = (a. + b.)x --'l. --'l.--'l.

Supposons finalement que

1

b M• • •• + -s

D'autre 12art la somme est directe carl b .• b. --'l. -J

et o(E s.

b. E b.

M.

1

ne peut

~tre

M en somme directe

décomposé davantage, car

est connexe. De m~me pour la décomposition de

~

qui

lui correspond. Enfin ces décompositions sont uniques car déter-

1-29

Corollaire 1:

V(M. )

complémentaire de la réunion des idéaux premiers de

M.l.

T.l.

Avec les notations ci-dessus, désignons par

est isomorphe au A-module sous jacent au

le

• Alors

l.

AT.-module l.

D'abord tels que:

rencontre

Ti

j ~ i

pour

, car si les

a .. l.J

sont

a .. +a .. = 1, a ..

Alors

l.J

Jl.

T.

contient

l.

l.J

Il en résulte que

a ..

J l.

~.l.

M.l.

D'autre part,

s'envoie injectivement dans

et il

M'l. T •

l.

suffit de montrer que cette application est surjective. Soit donc

mis

un élément de

MT.

,où

mE.M

l.

Comme il existe déduit que dans

~.

s a

i

et

séTi

n'appartient à aucun idéal premier contenant dans

a.

--'l.

et

m = ma + mbs

b

dans

et que

A

tels

mis

~ue

et mb/1

a+bs = 1

a.

--'l.

• On en

sont confondus

' c. q • f • d •

l.

Corollaire 2: A/a

b./a

M

= A/a

Mi

= ~/a

est composé direct des anneaux -

En effet, --'l. -

Si

A/~

• Mais, comme

et

b./a

--'l. -

N.l. = --'l.a./a

• Alors

, isomorphes à

A/a . •

est somme directe, comme A-module, des b .• b. = -J

--'l.

a

pour

composé direct en tant qu'anneau.

i

1 j 1"

A/a

•

est même

--'l.

1-30

Il en résulte en particulier que le treillis des idéaux de

A/~

3)

Modules de longueur finie.

•

A/~

est composé direct des treillis des idéaux des

Nous supposerons connus les résultats de Bourbaki, Algèbre, chapitre 1. Proposition 12: A/m

où

~

Les modules simples sur

A

sont les quotiena

A

est un idéal maximal.

En effet, tout module simple est monogène, i.e. de la forme A/a

où

a

est un idéal de

A

les sous-modules de

pondent bijectivement aux idéaux de est simple et seulement si

a

A

contenant

corres-

; donc

A/~

est maximal.

Il en résulte que les modules semi-simples sur sommes directes de corps isomorphes à Définition 2:

a

A/a

A/~

,m.

--'l.

A sont les maximal.

On appelle module de longueur finie un module

M

possédant une suite de Jordan-Helder. Nous noterons par la longueur de

M

On a alors la proposition: Proposition 131

Les modules nons nuls de longueur finie sont

ceux dont tous les idéaux premiers associés sont maximaux, ou encore c,eux dont la variété est formée d'idéaux maximaux.

La condition est nécessaire: On sait en effet que tout sousmodule et que:

N d'un module leM) ::

M de longueur finie est de longueur finie,

-l(N) + {(MIN)

I-31

E

Donc, si isomorphe à

est associé à

A/E •

idéal maximal

Si

E

M ,soit

N un sous-module de

M

n'était pas maximal, il y aurait un

m contenant

E ,et la sui te

une suite de composition infinie de

A/E

n m / (E

n

n m )

serait

N ne serait pas de

longueur finie. Réciproquement, on a vu que tout module de type fini tait une suite de composition: où

M./M. 1 1. 1.Si

V(M)

est isomorphe à

o A/p. -1.

= M

o

C

et où

M 1

C ... C. Mn

p. -1.

M admet= M

,

e V(M)

n'est formé que d'idéaux maximaux,

M est donc

extension d'un nombre fini de modules simples et est de longueur finie. Corollaire:

Tout module de longueur finie

M est somme directe

de modules coprimaires associés à des idéaux maximaux de En effet, les idéaux premiers associés à et donc étrangers deux à deux.

A

M sont maximaux

11-1

CHAPITRE

Conventions

II

OUTILS ET SORITES

les anneaux considérés sont supposés commutatifs à

1

élément unité, et les modules sont supposés unitaires. A - FILTRATIONS ET GRADUATIONS (Pour plus de détails, le lecteur se reportera à EoœBAKI, Alg. Comm., Chap.III.) 1. Anneaux et modules filtrés.

Définition famille

Nous appellerons anneau filtré un anneau

1~

(An)nEZ

A muni d'une

d'idéaux vérifiant les conditions suivantes:

= Ap .A q

C

Ap +q

Nous appellerons module filtré sur l'anneau filtré dule

M muni d'une famille

(Mn ) n4:Z

A un

A-mo-

de sous-modules vérifiant les

conditions suivantesl A p .M q

C Mp +q

~Noter que ces définitions sont plus restrictives que celles

--

de BOURBAKI, loc.cit.-1 Les modules filtrés forment une catégorie additive morphismes étant les applications que

u(Mn )

=

Nn • Si

P

(p ) n

n

= (M

n

+p)/p

Dans

FA

P

n

telles

par la filtration de

définie par la formule

n = M/P

appelle filtration quotient sur N

u: M -t

,les

est un sous-A-module du module filtré

on appelle filtration induite sur filtration

A-linéaires

FA

est l'image de

P

n

= P(\M

n

la filtration

M

M ,la

• De

m~me,

(n ) n

on

où

M n

,les notions de morphismes injectifs (resp. surjectifs)

11-2

sont les notions habituelles. Tout morphisme noyau à

Ker(u)

Ker(u)

et un conoyau

et

COker(u)

COker(u)

u: M

~

N admet un

: les modules sous-jacents

sont les noyau et conoyau habituels, munis

de la filtration induite et de la filtration quotient. On définit également

= Ker(N-t COker(u))

Im(u)

et

Coim(u) = COker(Ker(u) -t M).

On a une factorisation canonique : Ker (u) -t où

Coim( u) ~

M -t

lm (u) -t N--t

est bijectif. On dit que

g

u

Coker (u)

est un morphisme strict si

est

g

un isomorphisme (de modules filtrés); il revient au même de dire que u(M ) = N ('\ u(M) n n

neZ=

pour -tout

• Il existe des morphismes bijec-

tifs qui ne sont pas des isomorphismes

(FA

n'est pas une catégorie

abélienne au sens de Grothendieck). Exemples de filtrations: a)

Si

~

(resp. du

A-module

(resp. M

n )- 1

b)

est un idéal de

n

Soient

M)

= m~4 pour

=

n

de

A

pour

~

n) 1).

A un armeau filtré,

HomA(M, N)

~-adique

,on appelle filtration

la filtration pour laquelle

A-module. Les sous-modules sur

A

N un

HomA(M, Nn )

A-module filtré, et de

HomA(M, N)

M

un

définissent

une structure de module filtré.

2. Topologie définie par une filtration. Si

M

est un A-module filtré, les

et définissent sur

M n

forment une base de filtre,

M une structure uniforme (donc une topologie)

compatible avec Sa structure de groupe (cf.BOURBAKI, Top.Gén., Chap.III).

--

Ceci vaut en particulier pour to~ologique

Si

~

; de même,

A

lui-même qui devient ainsi un anneau

M est un A-module topologique.

est un idéal de

A, on appelle topologie

~-adique

sur un

II-3

A-module

Pro12osition 1 :

N

L'a.dhérence

Soit de

=

pas à

de

M

M

est égale à ( \ (N + M ) n

N

x

n'appartient pas à

(x + M )(\ N =

tel que

Z

un sous-module d'un module filtré

N

En effet, dire que n~

~-adique

M la topologie définie par la filtration

n

0

N

signifie qu'il existe

,d'où le fait que

x

n'appartient

N + M n

Corollaire!

M

n

est séparé si et seulement si

o

M n

3. Complétion des modules filtrés. Si

M est un A-module filtré, nous noterons

séparé; crest un

A-module.

On vérifie tout de suite qutil stidentifie A

tim. M/Mn

à

• Si Iron pose

~

..

A-module filtré, et de

Mn

..

M = n

Ker (M ~ M/Mn )

s'identifie à

M/M

Mn

n

,muni de la filtration induite par celle de Soit

~xn

,converge dans

x éM n

xn

M devient un

A

M/Mn

Pr012osition 2!

raI

..

M son complété-

est le complété M

M un module filtré séparé et com121et. Une série M si et seulement si son terme géné-

tend vers zéro.

La condition est évidemment nécessaire. Réciproquement, si x

n

7

0

, i l existe pour tout

n } n(p) tout

k~O

x €M n p

p

un entier

n(p)

tel que pour

• On a al or s

,et le critère de Cauchy s'applique.

Pr012osition 3:

Soient

A un anneau et

m un idéal de

A est sé12aré et complet pour la t01201ogie séries formelles (~, X)-adi'lue.

A [[X]

~-adique,

A

. Si

l'anneau de

est sé12aré et com12 1et 12 0ur la t01201ogie

11-4 L'idéal

(m, X)n

telles que

n-n a p €!!!. ~

idéaux sur

A[ [X]]

coefficients

ai

est formé des séries pour

~

0" p

• La topologie définie par ces

n

est donc la topologie de la convergence simple des

; en d'autres termes

groupe topologique) au produit Proposition 4:

,qui est bien sépar~ et complet.

Al

des idéaux maximaux deux à deux

Soient

distincts de l'anneau

est isomorphe (comme

A[[X]]

A

,et soit

r

=

m () ••• f)!!!.k 1

• On a alors

un isomorphisme canonique

..

A

où

.. A

~

m.

-J.

..

A est le complété de

~-adique,

A pour la topologie

est le complété -séparé de

pour la topologie

A

!!4.

et où

!!!oz A

!!!:i.

-.L

-adique.

~ On a un résultat analogue pour les modules.-'

Comme les

m.

sont deux à deux étrangers, on a

-J.

Am. /mr: -]. Am. --'l.

--'l.

(la démonstration donnée au Chap.1 dans le cas noethérien s'applique sans changement au cas général). On en déduit:

...

1 T (=im(A!!4. jmr:A~ ) 1", i , k

A

~

--'l.

Remarque~

La proposition s'applique notamment au cas d'un anneua

semi-local

A

de

A

, en prenant pour

; l'idéal

r

m.

--'l.

l'ensemble des idéaux maximaux

est alors le radical

de

A

4. Anneaux et modules gradués. Définition 2: Nous appellerons anneau gradué un anneau

A muni d'une

II-5 décomEosition en somme directea

>-

A=

An

néZ

telle que

= fOJ si nLO

A n

et

Ap .A q C

Ap +q

Nous appellerons module gradué sur l'anneau gradué A-module

M muni d'une décomposition en somme directe:

11

M =

Mn

nE.Z

telle que

n =

M

~ 01

si

Soit maintenant Nous noterons

dans

Ap .Mq CM p+q

et

n~O

M un module filtré sur un anneau filtré

gr(M)

ou

a(M)

la somme directe ~ Mn/Mn+1

gr n (M) = fil nlM n +1

groupes abéliens Ap X Mq

A un

Mp+q

A des

• Les applications canoniques de

définissent, par passage au quotient, des appli-

cations bilinéaires de

gr (A))( gr (M)

application bilinéaire

de

p

En particulier, pour

dans

q

gr(A) x gr(M) M= A

dans

gr p+q (M)

, d'où une

gr(M)

,on obtient sur

gr(A)

une structure

d'anneau gradué; c'est l'anneau gradué associé à l'anneau filtré De même, l'application structure de

gr(A)-module gradué • Si

de modules filtrés, mes degré

gr(A) ~ gr(M) ~ gr(M)

u

d'une

est un morphisme

,d'où un homomorphisme (homogène de

gr(u): gr(M) ~ gr(N)

Exemple . Soit

k

un anneau, et soit

k-algèbre des séries formelles. Soit munissons

gr(M)

définit par passage au quotient des homomorphis-

gr n (u) : MnlM n +1 ~ NnIN n +1 0)

u: M-i •

munit

A

A

= k[[X l , ••• ,XrJlla

m = (Xl' .•• ,X r ) , et

A de la filtration !!!-adique. 1e gradué associé

s'identifie à l'algèbre de polynOmes

k[X l , ••• ,X ] r

gr(A)

, graduée par

le degré total. Les modules

#0

M, M et gr(M)

se "resselnblent" beaucoup. Tout

II-6

d'abord: Proposi tion 5:

Les applications canoniques

.

...

M ~ M et

A~

..

... induisent des isomorphismes

gr(M)

gr(M)

=

et

gr(A)

A

gr(A) •

=

C'est immédiat. u: M ~

Proposition 6:

Soit

On suppose gue

M est complet,

jectif. Alors

u

N un morphisme de modules filtrés.

N séparé, et que

gr(u)

est sur-

est surjectif, c'est un morphisme strict, et

N

est complet.

Soit

n

un entier, et soit d'éléments de

~

gr(u)

Mn

est construit, on a monl.ire j.!existence de

mod.Nn +k + 1

; on prend alors

limites dans on a

n

xeM n

,

et

xk+1~

telle que

u(x )- YéN + k n k

xk

mod.Mn +k

et

tel que

x k+1 =

- tk

Soit

(xk )

comme

~

= lim.u(xk )

u(x) u

x

a

o

et la surjectivité de

t k E-M n +k

M de la suite de Cauchy

ce qui montre bien que logie de

• On va construire une suite

• On procède par récurrence à partir de

mod.N n+ k Si

yeN

u( t ) :. u(x k ) - y k

est égal à

l'une des

x Mn

est fermé, u(M )=N n n

Donc

y

est un morphisme strict surjectif. La topo-

N est quotient de celle de

X

,et c'est donc un module

complet. Corollaire 1:

Soient

filtre séparé,

(n. ) 1.

(X )

i

i

A un anneau filtré complet,

dans

gr n. (M)

• Si les

x.

1.

E. M

n.

, les

x.

1.

engendrent

M , et

engendrent le

M est complet.

M

• On note

1.

1.

gr(M)

un A-module

une famille finie d'éléments de

el

une famille finié d'entiers tels sue

l'image de

M

et

x.

1.

gr (A)-module

11-7 Soit

=

E

AI

, et soit

En

a. E A l. n-n.

le sous-groupe de pour tout

E

formé des

i E l . On définit ainsi

l.

une filtration sur produit de

AI

E

, et la topologie associée est la topologie

• Soit

u

1

E

~

M l'homomorphisme donné parc

C'est un morphisme de modules filtrés, et l'hypothèse faite sur les équivaut à dire que

X.

l.

gr(u)

est surjectif. D'où le résultat

d'après la prop.6. l-La démonstration montre en outre que tout entier

n

Corollaire 2; complet

A

Mn

=L An-n. x.

.:7 Si

pour

l.

l.

M est un module filtré séparé sur l'anneau filtré

, e t si

noethérier..), alors

gr(M)

est un

gr(A)-module de type fini (resp.

M est un module complet de type fini (resp.

noethérien, et tous ses sous-modules sont fermés). Le corollaire 1 montre directement que, si fini,

M

, muni de la filtration induite,

sous-gr(A)-module gradué de

gr(M); si donc N

est de type fini, et

fermé puisque Corollaire A/~

est de type

M est complet et de type fini. D'autre part, si

sous-module de

gr(N)

gr(M)

3:

M

est un

gr(n)

est un

est noethérien,

est de type fini et complet (donc ~1

est séparé); on en conclut bien ::a.ue

Soit

m un idéal d'un anneau

soit noethérien, que

~

m

A

~-adique.

est engendré par

quotient de l'algèbre de polynômes

Alors

x , ••• ,x r 1

est noethérien.

• Supposons que

soit de type fini, et que

séparé et complet pour la topologie En effet, si

gr(M)

n

A

A ~ est noethérien.

gr(A)

est

, donc est

11-8

noethérien. Le corollaire ci-dessus montre alors que Proposition intègre,

7: Si l'anneau filtré A est séparé, et si gr(A)

peut trouver et

est

A est intègre.

En effet, soient

x

A est noethérien.

y

n,m

x

et

tels que

y

deux éléments non nuls de

x. An -An+1

y

E

Am -A + m 1

définissent alors des éléments non nuls de

A

On

; les éléments

gr(A);

puisque

est intègre, le produit de ces éléments est non nul, et ~

gr(A)

xy

fortiori on a

~

a

d'où etc.

On démontre de façon analogue, mais un peu plus compliquée, que si

A est séparé, noethériep, si tout idéal principal de

fermé, et si

gr(A)

A est

A est

est intègre et intégralement clos, alors

intègre et intégralement clos (cf. par exemple Zariski-Samuel, Commutative Algebra, vol.II, p.250). En particulier, si noethérien, et intégralement clos, il en est de de

k

k

m~me

est intègre,

de

k X

et

X

Signalons aussi que, si

k

est un corps valué complet non

discret, l'anneau local noethérien factoriel (cela peut se voir au moyen du "Vorbereitungsatz" de Weierstrass).

5. Où tout redevient noethérien - filtrations

~-adiques.

A partir de maintenant, les anneaux et modules considérés sont supposés noethériens. On se donne un tel anneau de

A; on munit Soit

A de la filtration

somme directe des

q

~-adique.

M un A-module filtré par des

groupe gradué

A et un idéal

M n

(Mk) n)O

On lui associe le ; en particulier,

II-9 ~ n A='-s.

Les applications canoniques

A p X Mq - 1

A~ M

prolongent en une apllication bilinéaire de définit ainsi sur

A une structure de

M une structure de A

se

Mp+q

M ;

dans

on

A-algèbre graduée, et sur ~en géométrie algébrique,

A-module gradué

correspond à l'operation d'''éclatement le long de la sous-variété

s."J.

définie par Comme

S.

est de type fini,

A est une A-algèbre engendrée par

un nombre fini d'éléments, et c'est en particulier un anneau noethérien. Proposition 8!

Les trois propriétés suivantes sont équivalentes:

= -q.Mn

(a)

On a

(b)

Il existe un entier

(c)

M est un A-module de tlpe fini.

Mn +1

L'équivalence de pour un entier

(a)

n

pour

assez grand

m tel que

et

(b)

(c)

M ni donc

La filtration

(b)

(Mn)

de

k)O •

est vérifié

est engendré par

M

• Réciproquement, si

par des éléments homogènes de degrés

Définition~

k q .M pour m

est triviale. Si

m , i l est clair que

donc est de type fini; d'où

Mm+k

~ Mi

'

i~ m

est engendré

, i l est clair que l'on a (c) ~ (b).

M est dite

s.-bonne si elle

vérifie les conditions éQuivalentes de la proposition 8. (Autrement dit, on doit avoir égalité pour presque tout Théorème 1 (Artin-Rees): Si filtration induite sur

P

M +1Cq.M n

-

n

n

, avec

n.) P

est un sous-module de

M ,la

par la filtration s.-adique de

s.-bonne. En d'autres termes, il existe un entier pour tout On a évidemment

pour tout

; comme

M est

m tel que

k) a

M est de type fini, et que

-

A

1I-10

P

est noethérien,

est de type fini, aid.

L-Cette présentation du théorème d'Artin-Rees est due à Cartier; elle est reproduite dans Bourbaki, Alg.comm., Chap.III, 1~

Corollaire

Tout homomorphisme

u: M

~

N

3.-1

est un homomorphisme

de groupes topologiques lorsqu'on munit les modules topologies

§

M et

N

des

~-adiques.

Il est trivial que la topologie q-adique de de celle de

u(M)

est quotient

M ,et d'autre part le théorème 1 entraîne qu'elle est

induite par celle de

N

Corollaire 2

~

L'application canonique

et l'anneau

A

est

..

A ®A M

~

..

M est bijective,

A-plat.

La première assertion est évidente si

M est libre. Dans le

cas général, on choisit une suite exacte: L où les Â

1

~AL1

~

'f1~,. L Comme

0

..,

0

M -t

.

A ~ALo

~

L

~

1 et

0

\.g

en outre le foncteur A SAM

.

A®AM

~.J,

'Pot,.

'-Po

foncteur

L

sont libres. On a un diagramme commutatif à lignes exactes:

L. ,.

..,

1

-4

..

M

-t

0

~

0

sont bijectifs, il en est de même de

'f .

Comme

M est exact à gauche, il en est de marne du

(sur la catégorie des modules de type fini - donc

aussi sur celle de tous les modules), ce qui signifie bien que

A

est A-plat. Corollaire 3:

Convenons d'identifier le complété-séparé d'un sous-

module

M avec un sous-module de

N de

M

• On a alors les

1I-11

formules:

= A.N

N

N

1

,. + N

= (N 1 + N2 )

2

On laisse au lecteur le soin de faire la démonstration; elle ne fait d'ailleurs intervenir que les hypothèses noethériennes et le fait que

A est plat. En particulier, le corollaire 3 reste valable

l'on remplace le foncteur où

S

M par le foncteur "localisation"

est une partie multiplicativement stable de

Corollaire

4;

(i)

~

(ii)

Tout

lors~ue

MS

A

Les propriétés suivantes sont équivalentes:

est contenu dans le radical

~

r

A

A-module de type fini est séparé pour la topologie

~-adique.

(iii) Tout sous-module d'un A-module de type fini est fermé pour la topologie

>(ii) •

(i) de

P

(U)

a

P =

ceci entraîne

P

===* (iii).

N est un sous-module de

Si

soit séparé entraîne que (iii)-==}(i). Soit

fermé dans

A

Corollaire

5:

nr:J..n

a

~

P l ' adhérence de zéro; la topologie

est la topologie la moins fine, d'où

~ C~,

M/N

Soit

~-adique.

=

et comme

(lemme de Nakayama).

N

M

, le fait que

soit fermé.

m un idéal maximal de

,on a nécessairement Si

~.P

q -adique

A est local, et si

~ c~

~

A

• Puisque

d'où aussi

est distinct de

m est ~ ~

A

,on

Cela résulte du corollaire précédent. Définition~ On appelle anneau de Zariski un anneau topologique noethérien dont la topologie peut être définie par les puissances d'un idéal

~

contenu dans le radical de l'anneau.

r

1I-12 ~

Z-Cette condition ne détermine pas la vérifie on a m

~

n

m

et

C. ~I

pour des entiers

~' C ~

n

et

convenables~

Si

M

est un anneau de Zariski, et si

type fini, la topologie

~-adique

de

M

gie de

M

est un A-module de

ne dépend pas du choix de

(pourvu bien entendu que les puissances de

q

M • Si

NC.NCM

fermé dans

N est un sous-module de et M ).

N C. M C

M

et m~me

q

définissent la topolo-

A); on l'appelle la topologie canonique de M

séparée (cor.4) , ce qui permet d'identifier de

~'

en général; mais si

• Elle est

M à un sous-A-module

M ,on a les inclusions .... N = N (1M (puisque

N

est

1I-13 1

COMPLDŒNT

Soit

C une catégorie abélienne. On rappelle qu'un complexe

(de degré

s)

phismes de et où

n

dn+s.d n

Modules différentiels filtrés

K·

C

de

,soit

parcourt

z

=

C consiste en la donnée d'une suite de mord

n

.K.n

--?

Kn+s

,où

s

est un entier donné,

• On suppose en outre que, pour tout n

a

En particulier, soit catégorie

~

FA

l(.

un complexe de degré

+ 1

des modules filtrés sur un anneau filtré

de la A

(les

hypothèses sont celles du paragraphe 1). On notera toujours par G(A)

l'anneau gradué associé et par

gradués sur l'anneau gradué

A un tel complexe

la catégorie des modules

,le degré d'un morphisme étant

on a l'habitude d'associer une sui-

04 r 4. +

te de complexes la construction

K·

G(A)

GA

CD

,

dont nous allons rappeler

(Voir Godement, Théorie des faisceaux, Suites

spectrales, l, parag.4): Le module

n K

On désignera par

étant muni de la filtration

et

B

n r,p

les sous-modules:

~+1/(Kn+1)

p+r

)

et

1I-14

Dans ces conditions, on posera:

Si lion fixe

r

et

n

le module

En - EJ:1En r,· r,p

est muni natu-

rellement d'une structure de module gradué sur l'anneau gradué a(A)

• (Considérer

Si

r

0

et le groupe abélien

P

Revenant au cas général, on définit dans Roo

)

X(X-1 ) ••• (X-k+1 ) k!

g,-base de

qu'ils engendrent coincide avec

valence

0

soit du type

f

A) (f)= 0

0 ~

est le degré de

0

pour degré de

est tel que le terme dominant de

et

"o...

~

X =

la relation d'équi-

que voici:

f ,v g (Roe ) (:::::::::> Il existe

neZ o

=

Nous identifierons dans la suite

tel que P =

f(n)= g(n)

si

n)n

avec son image canonique

o

1I-20 y

dans

p

(image qui est isomorphe à

=

qu'une fonction

f

de

X =

y

RaO -équiva-

• On remarquera que l'endomorphisme

=

passe au quotient dans

et on dira

est polynomiale si elle est

p

lente à une fonction de

)

=

, et ceci permet la traduction des cri-

=

tères précédents; les conditions suivantes sont équivalentes: a) b)

f est polynomial.

11 f

est polynomial.

c) Il existe un entier

r

Ll

tel que

rf

soit

-équivalent à

Rao

2. Fonctions additives sur les catégories de modules

Soit

C une catégorie abélienne (voir Grothendieck, Tôhoku Math.

Jour., August

Je

1957). Une fonction additive sur C est une application

des objets de Si la sui te

alors

C dans un groupe abélien 0 ~ 14

X (N)= 'X (M)

----4

N

----+ P

r

~ 0

telle que: de

C

est exacte,

+

De la définition on déduit sans difficulté les deux propositions suivantes: Si

M

est un module de

C

une suite de composition de i

=n

i

=

X(M)

exacte de

C

,alors

1

, et

oC Mo C

M •••• 1

M formée d'objets de

"\/(M./M. l'- 1 1-1)

p=n

L p=1

(-1)P

X (M) p

=

0

C

M = M n

C ,alors

0 •

1I-21

Exemplesl

a)

)C(M)

,pour

A est un anneau (noethérien, à élément unité),

C est

groupe multiplicatif des nombres rationnels positifs et MeC

,est l'ordre de b)

M (nombre d'éléments).

X(M)

la catégorie des A-modules (unitaires) de longueur finie et pour

M

e. C c)

)UM)

de longueur finie,

Ep (-1 )p t(Mn )

r:: z .

M (ici

de

A est un anneau gradué, A

=

leM)

, est la longueur

gradués sur

r le

C est la catégorie des groupes abéliens finis,

)

::

C est la catégorie des modules

r= ~

,et pour

M = (Mn) n C;Z ~

::

~

(CaractéristiClue d'Euler-Poincaré).

~

d)

(i.e.

A

n

=

0

A est un anneau gradué réduit à son premier élément si

n )

0

)

,

C est la catégorie définie dans

D la catégorie des complexes

K

(K , d) p

p

c),

de longueur finie sur

On définit alors comme dans c):

En outre, si H(K)~

alors

H désigne le foncteur homologiClue et si

K éD

C et il est bien connu Clue:

'X,(K)

Dans le cas où

A

est un anneau noethérien et

catégorie des A-modules de type fini, tout objet

C::

M de

~

la

C admet

une suite de composition dont les facteurs sont isomorphes à des

AIE

,où

E

est un idéal premier de

A

• Il en résulte Clue toute

A

1I-22 fonction additive

)C

f~

sur

est connutdès que l'on connait les

Cette remarque nous servira par la suite.

3. Le polynôme caractéristique de Hilbert. Dans ce paragraphe nous désignerons par anneau gradué commutatif

a)

H

b)

L'anneau

o

(H= Hilbert) un

tel que:

est un anneau d'Artin (i.e. de longueur finie).

Alors Ho

(H ) ne ~ n

H

H est engendré par

H o

et un nombre fini d'éléments

H est le quotient de l'anneau de polynômes

[X1'···'X~

par un idéal homogène (i.e. un idéal qui, avec

tout polyneme contient les composantes homogènes de ce polynôme). En particulier

H est noethérien et nous désignerons par

sous-catégorie de

9n

~H

la

(cf. § A, n04) dont J~s objets sont les

H-modules gradués de type fini, et dont les morphismes coincident avec ceux de Tout module gradué

9n M

=

,si

M et

(M ) n

de

N sont des objets de

est quotient d'une somme

directe finie de modules gradués isomorphes à tenus à partir de culier tous les

A

(ou de modules ob-

A par translation de la graduation). En parti-

Ho -modules Mn

sont de longueur finie et on peut

définir la fonction caractéristique de Hilbert de

à

M

l'aide des formules: X(M,n) = 0

si

La fonction X =

~H

n


-1

A 2), il existe des éléments

, et soit

...

,tJm

• En posant

x.1.

= h(p-1)

r

k [t r + ' ••• , tmJ 1

= t.1.

•

k[t r + , ••• ,t m] 1

x r + , •.• ,x de m 1

satisfaisant aux conditions du théorème pour a ()k't -p ~r+ 1,

• On voit

p.

à

du théorème pour la suite

l'idéal

x , ••• ,x m 2

x ,x , ••• ,x répondent à la question. 1 2 m

alors tout de suite que

D'après

A

satisfaisant aux conditions du théorème pour l'al-

k [t 2 , ••• , tm

Soient

, que

x AnC .. x 1C 1

D'après l'hypothèse de récurrence, il existe des éléments de

m= 1 )

ce n'est pas une constante puisque

D'après ce que l'on vient de voir, il existe

soit entier sur

m~me

(ou

pour

i "

et pour r

, on

obtient la famille cherchée, cqfd.

3. Applications. l. Dimension dans les algèbres de polynômes. Notation: noterons

Si

dim.alkA

fractions de

k

le degré de transcendance sur

k

k

, nous

du corps des

A

Proposition 14: corps

A est une algèbre intègre sur un corps

Soit

A une algèbre intègre de type fini sur un

• On a: dim(A)

=

D'après le lemme de normalisation (théorème 2), il existe une sous-al-

1II-23 gèbre

B de

A qui est isomorphe à une algèbre de polynômes

1

et qui est telle que

k [X 1 ' ••• 'Xn

la proposition 3, on a on a

dim(B)

n

=

dim(A) = dim(B)

,

A et de

L est algébrique sur

B

K

. D'après

B

et d'après la proposition 13

; d'autre part, si l'on déSigne par

corps des fractions de

puisque

soit entier sur

A

L

K les

et

,on a

• D'où la proposition.

Au lieu d'appliquer la proposition 13, on peut appliquer

Variante.

le lemme de normalisation à une cha!ne d'idéaux premiers de

A

• On

en déduit tout de suite que la longueur de cette chaine est inférieure ou égale à

n

Corollaire 1: soit

E

(avec Soit

B = k[X1, ••• ,~1)

et on conclut comme ci-dessus.

A une algèbre de type fini sur un corps

un idéal premier de

A

• On a

coht(E)

k

,et

= dim.alk(A/E)

C'est évident. Corollaire 2 ("Nullstellensatz u ): un corps

k, et soit

algébrique sur

Soit

A une algèbre de type fini sur

m un idéal maximal de

A

• Le corps

A/m

est

k

En effet, puisque

m est maximal, on a

coht(gJ

=a

,et l'on

applique le corollaire 1 • Proposition 15: corps

k

et soit

Soit

A une algèbre

intèt~e

de type fini sur un

n = dim(A) • Pour tout idéal premier

E

de

A

on a:

D'après le lemme de normalisation, il existe une sous-algèbre

B

de

A

1II-24

J , telle

k[X , ••• ,x n 1

isomorphe à

que

A soit entière sur

B

,et

que

Posons

;E'

=

;E

nB

• Comm

oC on a

ht(;E') ~ h

(X ) 1

;E'

c ... C

contient la chaine (X ' ••• ,~) 1

,et l'inégalité opposée résulte de ce que

est engendrée par

h

éléments; donc

ht(;E')

=h

;E'

• D'autre part

B/;E'- k[~+1' ••• 'XnJ ce qui montre que coht(;E') = n-h • Comme A est entier sur

B

,et que

de Seidenberg montrent que

B est

intéb~alement

ht(;E) = ht(;E')

et

clos, les théorèmes

coht(;E) = coht(;E')

D'où la proposition. Corollaire 1:

Les hypothèses étant celles du théorème 2, on a ht(a.) = h(i) --'l.

C'est en fait un corollaire de la démonstration. Nous dirons qu'une chaine d'idéaux premiers est saturée si elle n'est contenue dans aucune autre chaine de mêmes extrémités (autrement dit si l'on ne peut intercaler aucun idéal premier entre deux éléments de la chaine); nous dirons qu'elle est maximale si elle n'est contenue dans aucune autre chaine, ou, ce qui revient au même, si elle est saturée, si son origine est un idéal premier minimal et si son extrémité est un idéal maximal. Corollaire 2: corps

k

Soit

A une algèbre intègre de type fini sur un

• Toutes les chaines maximales d'idéaux premiers de

ont même longueur, à savoir

dim(A) •

A

1II-25 ~C

Soi t

E1 C •••

C

Eh

une chaine maximale d'idéaux premiers.

Puisqu'elle est maximale, on a

~

=a

, et

est idéal maximal de

On a donc

D'autre part, puisque la chaine est saturée, on ne peut intercaler aucun idéal premier entre

et

; on a donc

et la proposition 15 permet donc d'écrire:

Comme bien

dim(A/~)

dim(A)

= dim(A)

,cqfd.

h

et

dim(A/Eh) = a

,on en déduit

Remarques: 1) On peut décomposer le corollaire 2 en deux parties: a) Pour tout idéal maximal

m de

A

, on a

dim(A )

dim(A)

m

b) Toutes les chaines maximales d'idéaux premiers de

A

m

ont

même longueur. Nous verrons au Chapitre suivant que la propriété

b)

est vraie,

plus généralement, pour tout anneau local qui est quotient d'un anneau de Cohen-Macaulay (et en particulier d'un anneau local régulier). 2) Le corollaire 2 peut, lui aussi, se déduire directement du lemme de normalisation.

4. Applications. II. Fermeture intégrale d'une algèbre de type fini. Proposition 16: corps

k

finie de

,soit K

Soit K

A une algèbre intègre de type fini sur un son corps des fractions, et soit

• La fermeture intégrale

B

de

A dans

L

une extension

L

est alors

un A-module de type fini (et en particulier c'est une k-algèbre de

A.

III-26 type fini).

~On

comparera ce résultat à celui de la proposition 11; nous

ne supposons plus que séparable

A

soit un anneau normal, ni que

isomorphe à

C

C

démonstration lorsque

à augmenter

A

dans

L

contenue dans

et

L

est une algèbre de polynômes. De plus, quitte

,l'extension A

dans

D

,donc sur L/K

A

L/M M

; si l'on sait que

Yi k

est finie B

est

L

est engendrée q

•

y~

, exprimés

1.

X . • L'extension J

L/K

est alors

,avec: -1

L'

la

,montrera que

les coefficients de tous les

L'/K

D

K

,telle que

comme fonctions rationnelles en les

-1

-1

= k'(X; , ••• ,X~ )

La fermeture intégrale de

A -1

B ' '" k'

cqfd.

L/M

D

, e t il existe une puissance

Y{ € K = k(X 1 , .. • ,Xn )

contenue dans

est quasi-ga-

est séparable. Soit

est radicielle. L'extension

de l'exposant caractéristique de

Soient

L/K

• Finalement, nous pouvons donc supposer

par un nombre fini d'éléments

B'

est évidemment la

• Il suffira donc de faire la

la proposition 11, appliquée à

que l'extension

et

B

M la plus grande extension radicielle de

fermeture intégrale de

finie sur

est entier sur une sous-

L, on peut supposer que l'extension

loisienne; si l'on note

A

A

k [X ' ••• ,xnJ 1

fermeture intégrale de

sur

soit

.J

D'après le lemme de normalisation, algèbre

L/K

dans

[x qi , ... ,Xnq

k(C;

k'

]

-1

)

est visiblement égale à

L' -1

, •.• ,c~

,

est un A-module libre de base finie. Donc

B

est fini

sur

A ,

1II-21 Remarque:

Dans la terminologie de Grothendieck (EGA, Chap.O, 23.1.1)

la proposition 16 signifie que tout corps est "universellement japonais". D'après Nagata, tout anneau de Dedekind de caractéristique zéro

z) ,

(en particulier

=

tout anneau local noethérien complet, est

universellement japonais (cf. EGA, Chap.IV, 1.1.4.)

5. Applications.

III. Dimension d'une intersection dans l'espace affine.

Il s'agit de démontrer que, si

V et

W sont deux sous-variétés

irréductibles d'un espace affine, et si ducti ble de

V

n li

T

est une composante irré-

,on a l ' inégali té:

cOdim(T) )

codim(V) + codim(W)

En langage algébrique, cela s'énonce ainsi: Proposition 11:

Si

E'

et

E"

sont deux idéaux premiers de l'algèbre où

un élément minimal de

W(E' + E")

k

est un corps, et si

E

est

,.2!!.....ê:.:

Démontrons d'abord deux lemmes: Lemme 6: sur

k

Soient

A'

et

A"

deux algèbres intègres de type fini

• Pour tout idéal premier minimal coht(E) = dim(A' ~k A")

E

de

on a:

A'QlA" k

= dim(A")

(En langage géométrique: le produit de deux variétés k-irréductibles de dimensions

r

et

s

se décompose en variétés irréductibles qui

ont toutes pour dimension Soient

B'

et

B"

r+s

.)

des k-algèbres de polynômes dont

A'

et

A"

III-28

soient extensions entières; soient fractions de

A' , A",. B',

B"

K' , K" , L' ,

• On a le diagramme d'injectionsl

0 --.-, L' ~k 1"

) KI

®k K"

r

i o ---+ B'

~k B"

) AI@

T est

K'

L'-libre

et

A"

k

T 0

0

Comme

les corps des

L"

est

K"

L"-libre,

K'

ek

K"

est

L' ®k L" -libre; en particulier, c'est un module sans torsion sur ~

E coupe donc

l'algèbre de polynômes

B'

B' ~k B"

et le théorème de Cohen-Seidenberg montre

sui vant

0

B" • L'idéal premier

que dim(B'

f\

B")

=

dim(B') + dim(B")

dim(A') + dim(A")

=

cqfd. Lemme 71

Soit

~: C.~A

A une

k-algèbre, soit

l'homomorphisme défini par

(i) Le noyau

d

de

C

= A®k

lÇ'(aeb)

est l'idéal de

A ab

=

engendré par les éléments

C

pour (ii) Si l'idéal

E'

E' ® A

E"

et

sont deux idéaux de

+ A C8I pli + d

Il est clair que Inversement, si

1

e

~ a.b. 1. 1.

est égale à

a - a ® 1

=0

~ a. ~ b. 1.

1.

aé A •

A , l'image par

E'

-p

de

E"

+

appartient à

d

pour tout

a

e.

A •

,on peut écrire:

2"(a.81 - 1 e a.)(1 1. 1. ce qui montre que

et soit

«> b.) 1.

appartient à l'idéal engendré par les

1II-29 (a.l. ~ 1 - 1

Qi)

a.) • L'assertion l.

(ii)

est triviale.

Nous pouvons maintenant démontrer la proposition. Posons C .. A® A k

AlE' ~ AlE" ,

D =

r

;E 'e A + A «;E" •

=

On a la suite exacte:

o ~ E. ---7 C ---t SOl.' t

P = lJj-1 (E) l

;

c'est évidemment un idéal premier minimal de

et son image minimal de

~

W(d') , en notant

le lemme 1 montre que on voit donc que D contenu dans

d

ht(~, ~

D ~ 0

dans d'

D est donc un idéal premier l'image de

d

est engendré par les n

• Soit

; on a a fortiori

So

dans n

D • Mais

éléments

un idéal premier minimal de • Mais, d'après

ht(g/Q ).( n --0

le lemme 6, on a dim(D/~) = dim(A/;E') + dim(A/;E")

;

comme dim(D/Q ) - dim(D/~ --0 on trouve: n~ht(~Sa) = dim(A/;E') + dim(A/;E") - dim(A/E)

Remarque:

La méthode de démonstration a consisté,

remplacer le couple

(E',

;E")

par le couple

(d,

grOSSO

E,)

,cqfd. modo, à

• C'est ce

que l'on appelle la réduction à la diagonale (c'est l'analogue algébrique de la formule

Vn w = (Vx W)n

!J. ) •

Nous verrons au

Chap.V que cette méthode s'applique à des cas sensiblement plus généraux, et permet notamment d'étendre la proposition précédente à tout anneau régulier.

IV-1

CHAPITRE

IV

DIMENSION ET CODnr:mSION HO!:JDWGIgtJES

,

,

A - LE COHPLEXE DE L'ALGEBRE EXTERIEJRE

1.

(KOSZtJL)

Le Cas Simple. La plupart des résultats des paragraphes

sans hypothèse noethérienne, soit donc

et 2

1

sont valables

A un anneau commutatif,

à élément unité, et x un élément de A. Nous noterons alors KA(x)

le complexe suivant:

KA(x) n

En fait, nous identifierons

=0

si

A et

e

de

du complexe

K(x)

x

dans

M est un

=

n ~ 0,

ces modules),

K(x,U)

K 1(x)

K(x,M) K(x,M) 1

ou

o

si

K(x)" AM

.. K (x)œAM 0

= K 1(x)" A.M

,défini

1

a

e

A

A-module unitaire, nous noterons

d : K(x,M) 1 ~ K(x,M) 0 d(e x e> m) - x.m

A sur

• La dérivation

a.x

le complexe produit tensoriel si

et nous choisirons

sera définie par la formule d(a e) x

Si

K 1(x)

• Alors

:::!:JI

K(x,M) K(x,M) n = 0

(nous identifierons

et la dérivation

est définie par la formule

1

m € M • Les modules d'homologie

sont tout simplement

et

K (x) o

une fois pour toutes un isomorphisme de par l'image

n ~ 0, 1

de

IV-2

M/x.M

Ho (K(x,M»

(0

Plus généralement, si

L

.

Proposition p

Sous les

des suites exactes

Ann(x)

est un complexe de K(x) ~ AL

modules d'homologie du complexe aux modules d'homologie de

(x»

A-modules, les

sont reliés simplement

L hypoth~ses

ci-dessus, on a pour tout entier

1

En effet, pour tout entier

p

,(K(x) ~ ALp_1)p

est une

somme directe

comme des on obtient ainsi une

A-modules,

suite exacte de complexes

et la suite exacte correspondante des modules d'homologie: d

~1

------.~ Ko ~ A Hp(L) ~ Hp(K~AL) --~~

~ K1Clt A Hp _ 1(L)

d4> 1> Ko ~ A Hp _ 1(L)

IV-3 La proposition en résulte, car

Corollaire: et si

x

est un complexe acyclique sur

Si

n'est pas diviseur de

est un comple~e acyclique sur

0

dans

M,

K(x)~AM

M, alors

M/xM

En effet, il suffit d'appliquer la proposition au complexe

L - M = (M) n

a

0 On obtient alors

si

p

>1

(x) )r:[

20

Acyclicité et propriétés fonctorielles du complexe de

l'alg~bre

extérieure sont

désignerons par

Alors

éléments de

r

est un

,

de

donné à

Ar

nous

A-module libre engendré par

e. «' 000 0)

, oe qui a déjà été fait

1

On peut dono supposer que la démonstration a été faite pour K(x 1 ' ••• ,x _ 1;M) r Or

et la faire pour

la suite exacte

o ~Ho (K(xr )

~ H1(x 1, ••• ,x

r- 1;M» --?o"H1(x,~I)~ -

---?>H 1(IC(xr ) ~ H0 (x 1, ••• ,xr- 1;M» ~O entraîne que

H1(xp ••• ,xr_1;M)/xr.H1(xp ••• ,xr_1;M:)

H1(K(xr ) ~ li0 (x 1, ••• ,xp- 1;M»

sont nuls,

dono que

et

IV-6 li

(x 1,···,xr- 1;M)

et

1

H1(xr ;H0 (x 1,···,xr- 1;M»

le sont

(Nakayama) et, module d'hypoth~se de réourrenoe, oeoi entrafne le résultat oherohé. Corollaire;

La oondition

0)

La oorrespondanoe entre fonotorielle pour

~

M

ne dépend pas de l'ordre de la suite

et

K(~,M)

est évidemment est

donné, et le fonoteur

est une suite exaote,

exaot. Si on obtient une suite exaote de oomplexes :

et une suite exaote d'homologie

1

o~ Hr(~'M') ~ Hr(~,M) ~ Hr(~,M")~ Hr_1(~'I.i') ~ ••• ~H1(~,M")~ Ho(~,M')~ Ho(~,M)~ Ho(~,M")~O

.••

En outre

rr!(~,M) à

est naturellement isomorphe à

(A/x)~AM

(où

~

HomA(A/x,M)

désigne, par abus de notation,

l'idéal engendré par

x 1 , ••• ,x ) . Ces isomorphismes naturels de r fonoteurs se prolongent de mani~re unique en des transformations

naturelles

0/

et

cp

(Cartan-Eilenberg, Chap. III)

et

IV-7 Si les hypothèses de la proposition

KA(~)

une résolution projeotive A/x

isomorphisme ; en partioulier (voir le paragraphe

sont satisfaites pour

~(x) 0-

M = A ,l'applioation oanonique de de

2

de

sur

A/x

fai t alors

et de:vient un

A/x

a pour dimension homologique

r

C)

..

Nous laissons au soin du leoteur de démontrer que sous les memes ~ est un isomorphisme

hypothèses Hom(K.1(x) ,~,1) .-

sur

K

(Il existe un isomorphisme de qui oommute aveo les

. (x)®M

r-1. -

opérateurs bord).

B l'anneau des polynômes en

Dans le oas général, soit indéterminées B

=

X l' ••• ,Xr

A [X 1,··· ,xrJ

à ooeffioients dans A

• Définissons sur

de

B-modules par les égalités :

X.m 1.

=

x.m 1.

si

mE"M

résolution projeotive de

Alors A et

oontient

et

x

1

L'annulateur de

Ann M

On sait en effet que mais

et

M des struotures

Q€A

et

fournit une ;

D'où la

4:

A

si

on a dono l'isomorphisme naturel

Proposition

r

et

) Ext r-i( B A,M.

Iv-8 Enfin, on démontrererait sans diffioulté que si partie multiplioativement stable de

M

=

H(~,Ms)

et

.

H(~,M)S

A,

De même si

de type fini, et si l'on munit les

..

~-adique on a

"'"

=

K(~,M)

et

A est noethérien et A-modules de la filtration

..

=

H(~,M)

K(~,M)

K(~,M)

les relations entre

S est une

K(G(~), G(M»

.......:"-

H(~,M)

;

vont faire

l'objet du paragraphe suivant:

3.

La suite speotrale assooiée au oomplexe de ~nissons,

filtration

sous les

hypoth~ses

oi-dessus, le module

~-adique et désignons par

gradués assooiés à

M et A,

par

l'alg~bre

G(M)

M de la

G(A)

et

~ 1'· •• , ~r

extérieure.

les

les images de ou

l'idéal engendré par oette suite dans

G(A)

lorsqu'il n'y aura

pas de oonfusion. Le oomplexe

KG(A) (r) 7 r • D'où les inégalités: 2 r l!!Y'm : k) ~ n = codhA A ~ dim A - r et le résultat.

Torr; (k,k)

10

IV - 39 Corollaire 1 J

Si

~

=

fX 1 ' ••• ,xrl

engendrant l'idéal maximal

est un système de paramètres

m de l'anneau local régulier

M est un A-module, on a un isomorphisme naturel D'après le paragraphe mes

(A)

Tor. (k,M) 1.

Corollaire 3:

1.

1. -

•

dh M + codh M = r A A

(Théorème de syzygies): Si

régulier de dimension

Tor. (M,k) ~ H. (x,M) •

est nul si et seulement si

l'est. On retrouve ainsi l'égalite Corollaire 2:

et si

2, on a alors m~me les isomorphis-

TorAi ( k,M ) N- Hi ( ~,m ) N- Ext r-i A ( k,M) En particulier

A

A est un anneau local

n = dim A = gldh A

n

Un anneau local régulier

A est intègre et intégrale-

ment clos. En effet

a(A)

est un anneau de polynames et est intègre et in-

tégralement clos; mais si

a(A)

l'est,

A l'est aussi (si

A est sé-

paré). Corollaire 4:' (Auslander-Buchsbaum): Tout anneau local régulier est factoriel. C'est une propriété générale des anneaux intègres noethériens intégralement clos dans lesquels tout idéal admet une résolution finie par des modules libres (cf. Bourbaki, Alg.Comm., Chap.VII, §

4).

Les dernîers corollaires que nous donnerons concernent les anneaux locaux réguliers de petite dimension: Corollaire 5:

a est régulier si et

Un anneau, local de dimension

seulement si c'est un corps. Corollaire 6:

Un anneau local de dimension

1

est régulier si et

IV - 40 seulement si c'est un anneau de valuation discrète.

2.

Propriétés de permanence des anneaux locaux réguliers. Si

A est un anneau local régulier, on appelle système régulier

de paramètres de de

A

~ = ~1, ••• ,xnI

, tout système

A qui engendre l'idéal maximal

les systèmes de paramètres de

A

de paramètres

m • Nous savons déjà que tous

sont des A-suites. Parmi ces syaèmes,

les systèmes réguliers sont caractérisés par la Proposition 22: ximal

Si

{x , ••• ,xp \

sont

1

m de l'anneau local régulier

A

p

éléments de l'idéal ma-

, les trois propositions

suivantes sont équivalentes: a)

x , ••• ,xp

font partie d'un système régulier de paramètres de A • • sont linéaireLes images de 1

b)

ment indépendantes sur c)

L'anneau local

vaut

dim A - p

a) ~ b):

A/(x , ••• ,x p )

.(En particulier

où

p = -

b)

k-bases de

1

est un idéal premier.) A

!1m 2

En effet on a une suite exacte: 2

m

2

2

---7 !1m --i Efn --7 0

(x 1 ,···,xp )

~

(x , ••• ,xp )

En effet les systèmes réguliers de paramètres de

a), b) ==}c):

IJE"

est régulier, et sa dimension

1

correspondent aux

o --7

k.

et

!!. =

!!!lE

et donc les équivalences:

[ËlEn m2

Mais,

x , ••• ,x p 1

A, A/(x , ••• ,xp ) 1 c)~b):

faisant partie d'un système de paramètres de

a pour dimension

En effet

c)

dim A - p

, d'où le résultat.

équivaut aux deux conditions:

IV - 41

[El!!.2 : kJ

AIE

dim

Corollaire:

E

Si

et

A/p

b)

E

dim A - p A

,les deux

é~uivalentes:

est un anneau local régulier. est engendré par des éléments d'un système régulier de para-

A

mètres de

a)~b)

Seule l'implication ~

Mais si O---f.

AIE

est un idéal de l'anneau régulier

propositions suivantes sont a)

dim

=!lE ,

reste à démontrer:

on a toujours la suite exacte:

ElEn m2~!lm2~ EI!!2~ [Eln 2 :

[EiE n ,!!2

on a

AIE =

k]:: dim

~

:

, et comme

0

cohtA E

ht A E

::

R

sont donc des éléments de

Si

2

m , alors l'idéal

forme une k-base de

; d'où

est premier et de hauteur Proposition 23:

dont l'image dans

p = (x , ••• ,x ) , c.~.f.d. 1 P

E est un idéal premier de l'anneau régulier A

Si

A

alors l'anneau local

est régulier.

E

En effet, il résulte des propriétés démontrées dans le paragraphe (B)

~ue,

pour tout anneau noethérien

A

, on a l'égalité:

E parcourt les idéaux premiers de A

gldh A :: Sup gldh A

, où

Proposition 24:

A est le complété de l'anneau local

E

E

la topologi~ue

Si

~-adi~ue

('!! = radical de

A

En effet

G(A)

A) , on a l'é~uivalence:

A régulier

A régulier

= G(A)

A pour

IV - 42

Cette dernière caractérisation des anneaux locaux réguliers est très utilisée dans la "pratique" , à cause du théorème suivant: Théorème 10: A/~

Si

A est un anneau local complet, et si

A et

k =

ont m@me caractéristique (m = idéal maximal), les propositions sui-

vantes sont équivalentes: a)

A est régulier.

b)

A est isomorphe à un anneau de séries formelles b) ~ a)

En effet

k[[X , ••• ,x n 1

]J

trivialement.

Réciproquement, a)~b): admettons en effet que tout anneau local complet

A

, qui a

contient un corps

m~me

s'appliquant sur

k'

tout système régulier

{x 1 '··· ,xnl

alors un homomorphisme unique applique

X.

1.

sur

k'(LK 1 , ••• ,Xn]] G(~)

de

. Comme

x.

1.

• Enfin, comme

G(k'[(X , ••• ,x ]]) 1 n

Il en va de même de

caractéristique que son corps résiduel

~

f

k (théorème de Cohen) • Pour

de paramètres de

A

k' [x1 ' ••• ,xnJ

dans

de

A est complet,

'f'

il existe A qui

se prolonge à

A est régulier, l'application dans

G(A)

est un isomorphisme.

(Chapitre II).

On trouvera dans le séminaire Cartan-Chevalley de 19J5-1956 une démonstration du théorème de Cohen ainsi que des applications du théorème précédent (dérivations dans les anneaux locaux, factorialité, •••• Exposés Godement 17, 18, 19).

3. Délocalisation • Il résulte de ce qui précède que les anneaux réguliers sont les anneaux de dimension finie tels que pour tout idéal maximal Am

m

soit un anneau local régulier, et pour ces anneaux la dimension

k,

IV - 43 coïncide avec la dimension homologique globale: gldh A

dim A

si

A est régulier.

Les corps et les anneaux de Dedekind sont les "meilleurs" exemple d'anneaux réguliers. A partir d'eux on obtient les anneaux de polynômes à l'aide de la Proposition 25:

Si

des polynômes en et

gldh A~]

A est un anneau régulier et

X à coefficients dans

= gldh

A

A

AUcl

lX]

l'anneau

est régulier

A+ 1

Nous allons d'abord vérifier l'inégalité:

gldh A [X]

, 1 • On utilise le diagramme commutatif

K.1

Puisque

)

.

est inversible à gauche, i l en est de meme

f. 1 : K. 1 -_. . L. 1 1-

de l'application

1-

-f.

1-

L.1

1-

;2

;2

1 : -mK.1- 1 -m K.1- 1~mL. 1 m L.1- 1 - 1- -

;

vu la condition

(Ci) , on en conclut que la "diagonale" du carré ci-dessus est une application injective, d'où (par un lemme bien connu de théorie des ensembles ••• ) l'injectivité de

K.1 '---T L.1

•

IV - 50

Corollaire: L'application canonique est injective pour tout

i Q

A

~

H. (K. ~k) 1

Tor. (M,k) 1

a

= K.1

En effet,

et

Tor~(M,k) = E.1 1

corollaire ne fait donc que reformuler l'injectivité de

3.

le

f.

1

Cas du complexe de l'algèbre extérieure.

A partir de maintenant, on prend M = k

, corps résiduel de

A

un système minimal de générateurs de

K

!!!., et soit

= K(~,A)

K.

dant. Le complexe

(muni de son augmentation naturelle

vérifie les conditions On a condition

(Co)

Ko

(Co)

et

(C)

du

L

A et l'application l -7k

AS

=

(e 1 , ••• ,e ) s

soit

est bijective. La

d

.

~

L

-")

~-1 L

(C).

la base canonique de

la base duale. On peut identifier

l'application bord

Ko--7 k)

nO 2

est donc vérifiée. Reste à vérifier

Posons

(e~, ••• ,~)

=

le complexe de l'algèbre extérieure correspon-

K.

1

à

~L

L et

.,

s'exprime alors de la manière

suivante :

dey)

j=s =

Lj=1

x. (y L e~) J

J

Le signe L désignant le produit intérieur droit

(cf. Bourbaki~ ~.III).

IV - 51 Il faut maintenant expliciter 2

..

mK i _ 1/ !!!. Ki_1

et

_/ 2 !;'!!!.

a

DA

'li

-d

K.1

; pour cela, on identifie

I\i- 1

-L

• La formule donnant

d

à devient

alors :

x.

J

avec des notations évidentes. Comme les l'équation dey)

Théorème.

a équivaut à

=

1 (y L

x.

J

y L e~ = J

~) J

forment une

a pour tout

base de j

,

d'où

ym

2

y=O

cqfd.

La dimension de

En effet, la prop.3, jointe au corollaire à la prop.2, montre que l'appli-

K.1

cation canonique de on a

dim.K.

1

=

est injective, et

dans

(~) 1

Compléments. On a en fait des résultats beaucoup plus précis (cf. les mémoires d'Assmus, Scheja, Tate cités dans la bibliographie)

Tor~(k,k)

est muni d'un produit (le produit ~ de Cartan-

Eilenberg) qui en fait une k-algèbre associative, commutative (gauche) et à élément unité ; ses éléments de degré impair sont de carré nul. L'isomorphisme d'algèbres

!/!!!.2 ~ Tor~(k,k)

1P : Ivym 2 -7

Tor~(k,k)

se prolonge donc en un homomorphisme qui est injectif (Tate) , ce qui

précise le théorème ci-dessus. L'anneau si

ql

A est régulier si et seulement

est bijectif (il suffit même, d'après Tate, que l'une de ses com-

posantes de degré

~

2

soit bijective). De plus,

A

Tor. (k ,k)

est munie

d'un co-produit (Assmus) qui en fait une "algèbre de Hopf". On peut donc

IV - 52 lui appliquer les théorèmes de structure de Hopf-Borel; en particulier, ~

cela rend évidente l'injectivité de gnements sur la série de Poincaré f'Y:'

PA (T)

Par exemple

=

~l -0

a.T l

(Tate, Assmus)

seulement si

PA(T)

i

• On obtient également des rensei-

PA(T)

où

a. l

A est une

est de la forme

de

..

Tor~(k,k) dim.Tor~(k,k) l

"intersection complète"

2 (1+T)n/( 1_T )d

,avec

n,d

si et

€

N

;

pour d'autres résultats analogues, voir Scteja. Signalons toutefois que l'on ignore si

PA est toujours une fonction rationnelle. tDomparer au

problème topologique suivant, également non résolu fini simplement connexe, et soit i l son Poincaré de

: soit

X un complexe

espace de lacets; la série de

.iL est-elle une fonction rationnelle]/

IV-53 A P PEN D l C E

POSITIVITÉ DES

CARACTHtISTlQUES

D'IDLER-POINCARÉ

On se place dans le cadre des sément, soit

.Q

II

SOPÉRIIDRES

catégories abéliennes. Plus préci-

une catégorie abélienne munie de

n

morphismes

du foncteur identique dans lui-même ; on suppose que les commutent deux à deux. Tout objet morphismes

xi (E)

sous-catégorie de pour

Si de

Si

C

formée des objets

JeI

et

J .. l

J ..

E est un objet de

mani~re

C

E

C

[2,nJ

, 'lue nous écrirons

n.1(x,E) -

xi

fabriquées au moyen des

; autrement dit,

caractéristiques d'Euler-Poincaré • Rappelons d'abord comment on

attache (d'apr~s Grothendieck)

un groupe

à toute catégorie

K(D)

• On forme d'abord le groupe libre

par les éléments de

D;

L(D)

o~

si

est une suite exacte dans de

sont

.QI

On va maintenant considérer les

D

K

se définit

,le complexe

annulés par tous les

ce sont des éléments de

E - E' - E"

on notera ~ la x.(E) = 0 tels que 1

évidente ; ses groupes d'homologie

des objets de

abélienne

,

(1,n]

=

1

.. C ; en dehors de ce cas, on aura

• On a

i E J

à considérer

.

X.

C est donc muni d'endo-

de

E

xi

D ;

E'

~

L(D) E

engendré

~E" ~

on lui associe l'élément

le groupe

K(D)

est le quotient

0

IV-54 de

L(D)

par le sous-groupe engendré par les éléments précédents

(pour toutes les suites exactes possibles). Si [E)

son image dans

K(D)

; les éléments de

positif si ils engendrent

sont dits

K(D)

, on note

E E D

K(D)

ainsi obtenus

; la somme de deux

éléments positifs est un élément positif. Tout ceci s'applique aux catégories Hi (~,E) € QI

E f C ; on a

soit

~

• En particulier,

,et la somme alternée :

+

a un sens dans le groupe cette caractéristique

K(QI)

• On peut donc se demander si

est ~O

?ri

•••

(au sens défini ci-dessus).

Nous allons voir que c'est bien le cas si

C vérifie la

condition suivante: (N) - Tout

E

eQ

vérifie la condition de chaine ascendante

(pour les sous-objets). Autrement dit : Theorème E~Q

Si

et tout

(N)

C vérifie i

·~O

Démonstration par récurrence sur a)

n

..;;C.::a:.=;s_...;.;;n_=--.1

Pour simpl ifier, on écrit Ho (x,E)

=

COl::er.x(E)

x et

au 1 ieu de H (x,E)

1

~:: 1

•

On a

= Ker.x(E)

• On doit montrer

IV-55 X(E) = [Coker .x(E)]

que la différence

K(9. 1)

dans et soit

(N)

x

m le noyau de

x

N

, les

et soit

• Or, soit

m

la

m

m-i~me

; les

N

m

est

On a une suite exacte

F = E/N

est nilpotent sur

x

n,

et injectif sur ~

(immédiat). D'autre part, on voit tout de suite que

,Z(E)

=

~(N) +

Z(F)

de composition dont les quotients successifs on a alors

est

=0

admet une sui te

N

Qi

F

Ker .x(F)

Puisque

• D'autre part,

:x:. )

D'apr~s

N leur limite,

par s'arrêter; soit m finissent

i. e.

(m=1,2, ••• ),

vont en croissant.

N

L'endomorphisme

additif

x

puissance de

~O

sont annulés par et

, d'où

finalement on trouve :

= b)

Passage de

n-1

,

a

n

[ Avant de faire la démonstration, remarquons que une fonction

additive

de

E

; par définition de

définit donc un homomorphisme de que l'on notera encore;t

dans

K(QI)

=.xo

K(Q)

est elle

,homomorphisme

.]

On utilise la prop. 1 de A) une suite exacte:

K(Q)

):::

• D'après cette proposition, on a

IV-56 en notant

la suite

~'

,

= H.1

H. (x' ,E) 1 -

appartiennent à la oatégorie

Si l'on passe dans

~

définie ci-dessus-

, on peut donc écrire :

K(QI)

=

•

On en déduit:

ç

c;x::::J

Xi CO!!:, E}

- [H 1(x

1'H~_l)]

+

(-1 }m( [Ho (x l'

H~+mD

-

[H

lx: 1'H~+m)] )

00

~ m ' + L..-.J (-1) X(xpH.+) m...o

[ La notation

'Y(x 1,.A--i ÎI ') A-

1

m

a un sens, en vertu de la remarque

faite plus haut.] Par hypothèse de récurrence,

K(~)

;

or, d'après

positif de

:t (x p

X~)

K(~)

est

a)

'Yi' ~

est un élément positif de

,l'opération ~

en un élément positif de

~

0

Comme

lement positif, on en déduit bien que

transforme un élément K(QI)

[H1(XpH~_1)J

; donc est trivia-

IV-57 Exemple.

Soit

syst~me

un

A un anneau local noethérien, soit param~tres

de

de

A

et soit

X1 '···'Xn

C la catégorie des

A-modules de type fini (munie des endomorphismes définis par les • La catégorie

Xi)

par les

xi

QI est la catégorie des A-modules annulés

; on vérifie tout de suite que la

un isomorphisme de

sur

longueur

définit

Z ,compatible avec les rela-

=

tions d'ordre. Le théorème ci-dessus fournit donc le résultat suivant

Si

E

est un

t .(:J;) ~

Remargue.

X.(E) = 0 ~

A-module de t;j7pe fini, l'entier

+ ••

= t(H. (x,E» ~

est :;t- 0

Dans le cas de l'exemple ci-dessus, on peut prouver que entraîne

H. (x,E) J -

=0

pour

Toutefois, la seule démonstration de ce fait que je connaisse est assez compliquée (elle consiste à se ramener au cas où

A

est un anneau de séries formelles sur un anneau de valuation discr~te ou sur un corps). J'ignore s'il existe un énoncé analogue

dans le cadre des catégories abéliennes.

V-1

CHAPITRE V.

LES MULTIPLICITES

/

A) LA MULTIPLICITE D'UN MODULE

1.

Le groupe des cycles d'un anneau. Si

et

A est un anneau (commutatif, à élément unité, noethérien)

V l'ensemble de ses idéaux premiers, on appellera cycle de A tout

élément du groupe abélien libre

Z(A)

V.

engendré par les éléments de

Z =LZ(E). E' avec E€.V

Un cycle sera dit positif s'il est de la forme

Le cas général se ramenant directement au cas IIlocal", nous SuppoSerons dorénavant l'anneau notera alors par

Zp (A)

le sous-groupe de

idéaux premiers de cohauteur directe des sous-groupes

A local et de dimension

p

dans

A

Z(A)

n

• On

engendré par les

• Le groupe

Z(A)

est somme

Zp (A),

Les cycles sont reliés aux A-modules de la manière suivante: Soit

Kp (A)

la catégorie abélienne des A-modules

dim~I ~ p, si si

0

---7 et

Iv!

K(A) M

P

longueur

---7 N

----; P

---1

appartiefment à

est une suUe exacte de

0

Kp (A)

,.e(r:I.) g.

,

alors

M é Kp (A)

K(A)

et

Ne K (A) P

,

et soit

9.

un idéal

A est de g. et cette longueur sat~sfai t manifestement à

A de cohauteur finie

tels que

la catégorie de tous les A-mpdules. Il est clair que

Dans ce s conditions, soit premier de

M

Alors le modtlle

p

sur

la propriété suivante: si

o

= MC •••

o

C. M. C ••• C 1

}JI

S

M

est une suite de composition de

V-2 dont les quotients

fil

mier de

A

e

~

(M)

Soit donc

L

coht

Zp (A)

est nulle sur

z: K p (A)

idéal pre-

--7

Z

p

(A)

la fonction telle que est une fonction

z

p

• La fonction K

r

quotients de la forme

~

• Il est clair que ~ =

A/r

pour

Kp (A)

additive définie sur la catégorie ordonné

l(M)

,alors il y a exactement

• On écrira

z(lVl)

sont de la forme

M./M. 1 1. 1.-

z

et à valeurs dans le groupe

prend des valeurs positives et elle

_ (A) p 1

Réciproquement il est clair que toute fonction additive sur Kp(A)

nulle sur

K

"se factorise par z" ; ou encore toute

p _ 1 (A)

fonction additive sur

K (A) p

, à valeur dans un groupe abélien ordonné,

et prenant des valeurs positives sur Si

A

est intègre,

tifie au rang du A-module

2.

n (A) ~Z...

se factorise par

pour

z

n = dim A , et ..(,

s'iden-

M

La mul tiplici té d'un module. Soit

un idéal

dim~ r

m l'idéal maximal de l'anneau local

~-primaire.·Alors,

Hilbert-Samuel

où

Z

Kp (A)

Pa (M,X)

pour tout A-module

M

A et soit

,le polynôme de

défini au chapitre II est de degré égal à

• En outre son terme de plus haut degré est du type

diltl~ et où e L'entier

l'idéal primaire

e a

a

e.Xr/r!

est un entier> a est, par définition, la multiplicité de On la notera

e (M) a

; plus généralement,

M pour

V-3 p li!

étant un entier positif et

E Kp (A)

. A. • d ~m HL

M un module tel que

=./

P

, on posera

=p

e (M)

si

dimAu

o

si

dimA:.o: ~ p

~

Il résulte alors des propriétés démontrées aU Chapitre Kp (A)

est une fonotion additive sur et dono que l'on a la

formule d'additivité

II

que

,nulle sur

:

C

ooht .9,.=P

~ ~

=

ooh t .9.. ~p .9..

En particulier si

A est

e (M) a

= e m(M)

Si

e (A)

En parti ouI ier

Si

Â

(~.T)

/J ~, \~.

int~gre,

~

est appelé la

est la

m

e (M,n) '" rg(M) e (A)

on a

multiplioité

et si

.

A est int~gre

on peut montrer que

,

~

A est égale à

que nous noterons i-~me

finie

~.

n

On sait,

éléments d'apr~s

x l' ••• ,xn

~-

pour tout

A-module

le 1,

A

int~gre.

A, o'est-à-

,formant une sui te

le Chapitre IV, qu'alors le

groupe d'homologie du oomplexe de Koszul h. (x,M)

A

A est régulier (Samuel, Nagata),

soit un idéal de définition de

dire qu'il soit engendré par

M.

d'apr~s

un exemple de Nagata montre qu'il ne suffit pas de supposer Enfin supposons que

de

de l'anneau looal

est régulier, sa multiplioité est égale à

Chapitre IV • Inversement si la multiplioité de

~

multiplioité

est de longueur

1'1, et que l'on a la formule:

V-4 n

L

e x (M,n)

(_1)i h. (x, M)

où l'on désigne par la mame lettre

1. -

i=o

l'idéal

x

et la suite

/

B) LA MULTIPLICITE D' IN'rERSECTION DE DEUX MODULES 1.

La réduction à la diagonale. Soient k

un corps commutatif algébriquement clos,

deux ensembles algébriques de l'espace affine la diagonale de l'espace produit est évidemment isomorphe à

(U X V)

n Ll

Un V

à

An (k)

A (k) ~ k

et

U

n

et

n

V

~

• Alors ~

An (k) )( An (k)!::::!. A2n (k)

et l'isomorphisme identifie

• Les "géomètres"

se servent couramment de

cette situation pour ramener l'étude de l'intersection de

U

et

V

à l'étude de l'intersection d'un ensemble algébrique avec une variété

linéaire. Or, au stade actuel de son développement, l' "algèbre" est souvent une transcription de résultats et malheureusement aussi de méthodes "géométriques". On en a vu un exemple pour le théorème du Chapitre III (Dimensions d'intersections dans les algèbres de polynames). En particulier dans le lemme 2 il "faut" considérer que A ®k A est l'anneau des coordonnées de A/!!®k A/9:. U X V et

(U ,)( V)

n~

et

Â

(A ®k A)/d (U

et

et U

An (k) X An (k)

sont les anneaux de coordonnées de

V irréductibles). L' "isomorphisme" de

n Vs' exprime alors

suivante:

où l'on identifie

,que

A et

(A~k A)/d

•

à peu près de la mani ère

7

V-5 Cette formule d'associativité se généralise ainsi: soit A une algèbre commutative avec élément unité sur un corps commu1

tatif

k

(non nécessairement alg~briquement clos); soient

N deux A-modules, engendré par les

B la k-algèbre

Œi 1

a

- 1~a

est une k-algèbre isomorphe à que

A®k A et a € A.

d

Alors

M et

l'idéal de

B

(A QQk A)jd

A et on considérera toujours

A est muni par cet isomorphisme d'une structure de B-module.

D'où la formule

(Cartan-Eilenberg, Homological Algebra IX 2.8),

Ainsi, si

est une résolution

(A~k A)-projective de

A

,le bifoncteur

est "résolvant", i.e.

A

Tor n (M,N)

s'iden-

tifie aux modules d'homologie du complexe particulier si variables

X.1.

KB( (X.1. ®

1 - 1

A sur

est une algèbre de polynames en K

,on sait que le complexe de Koszul

® X.) ,B) 1.

est une résolution libre de

A

,et dans

ce cas:

(3)

TorA(M,N) n

c:!

Hn (KB«x.1. ® 1 - 1 ~ X.), M®k N)) 1.

,xJ

k [X , ••• est régulier! 1 Dans la suite, la réduction à la diagonale interviendra

On retrouve que

par l'intermédiaire de la formule (2) convenablement généralisée. Dans un premier pas on peut, par exemple, supposer que

k

n'est pas nécessairement un corps mais un anneau commutatif avec élément unité, et que

A est k-plat. La formule (2) est alors rem-

placée par une suite spectrale (Cartan-Eilenberg, XVI, 4, 2 et 3) :

n

V-6

N), A)~TorAp+q (M,N).

TorB(Tork(M, p q

A = k~1, ••• ,xnJ

En particulier si Koszul

03 ((X. e 1

formée de

n

1 - 1 ® X.), B) 1

,le complexe de

est une résolution libre de

termes et on retrouve l'inégalité (k

A

est supposé

noethérien) :

~ dh k

dh A .. dh(k [X 1 ' ., •• ,xJ) Réciproquement, si finie

m

tel que

,

+ n •

est de dimension homologique globale

k

i l existe un k-module simple

k Tor (M,li) .. P .;. m

comme A-module, les

X.1

0

. Le module

annulant

M

m

n

1

d'après le Chapitre IV, A.2.

D'où

M peut alors

~tre

considéré

• Dès lors

TorB(Tork(M,M), A) .. H (J23«X. ® 1 - 1 n

M (voir Chapitre IV, C)

® X.), 1

TorA (M,M) m+n

cause du "principe du cycle maximum", et

p)) = p

= Tork(M,M) m

à

dh A J.. dh k + n

Ainsi trouve-t-on de "jolis" résultats dès que l'on a un "bon" anneau de base sur

k

• Si

k

et que l'on prend des produits tensoriels

A est un anneau commutatif quelconque, on le localise

en ses idéaux premiers, on complète ces localisés et, si ces localisés ont

m~me

caractéristique que leurs corps résiduels , ils con-

tiennent un corps de Cohen qui joue D, 2). Mahlheureusement si complet

A,

A~k

k

le rôle de

k

(voir Chapitre IV,

est un corps de Cohen de l'anneau local

A n'est plus noethérien et il faut apporter à

notre méthode les perturbations du paragraphe suivant.

2.

Produits tensoriels complétés. Soient

A et

k

un anneau commutatif noethérien à élément unité,

B deux k-algèbres unitaires, commutatives et noethariennes,

V-7 M (resp. N)

(M) p

filtration où

~

m et

B/~

un A-module (resp. B-module) de type fini muni d'une

(N) q

~-bonne (resp. d'une filtration

désignent des idéaux de

A et

B

tels que

soient des k-~odules de longueur finie. Dès lors

N/N q

et couple

(p,q)

U-bonne),

M/mPM, M/Mp'

d1entiers naturels. On munira ces couples de l'ordre NX N

=

=

Il est alors clair que pour tout entier naturel k

N/N q )

i

,les

peuvent atre munis d'une structure de système

projectif de modules et on définira les ...

et

sont des k-modules de longueur finie pour tout

produit évident dans

Tor.~ (M/M p ,

A/~

Tor-complétés par la formule:

k

Tor. (M,N) = ;im ~

(g,q)

i = 0

Pour M

,on obtient le produit tensoriel complété:

"

~ N = (lim (p,q)

Les groupes abéliens ainsi dé,finis ont les

propriét~s

suivantes: a) Si l'on désigne par

EB

"

k

Tor. (M,N)

le groupe gradué

CI=>

i

=

Tor.k (M,N)

A

o

~

anneaux gradués ..

"

k

Tor. (M,N)

sur

les structures de modules gradués sur les

Tor~(A/mP, B/nq)

des

Tor:(M/Mp,N/Nq )

définissent

une structure de module gradué sur l'anneau gradué

k

Tor (A,B) "

k

b) Le module

Tor (M,N)

choisie pour

M ou

ne dépend pas de la bonne filtration

•

N

,mais seulement de

du des idéaux maximaux de

A et de

M et de N (et bien enten-

B contenant

m

et

ll).

V-8 ~ X ~

c) La diagonale de

formant un sous-ensemble cofinal,

il suffit de prendre la limite projective sur cette diagonale: k

(6)

Tor. (M/M , N/N ) 1. P q De la

vant

p

m~me

manière on peut prendre la limite d'abord sui-

,ensuite suivant

Tor~(M,N) ~ ~

q

(im p

(=im q

Tor~(M:/M , N/N q ) 1. P

(lim q

(im p

k Tor. (IvI/M , N/N q ) 1. P

(Propriétés des systèmes projectifs sur des produits d'ensembles ordonnés. ) Ces assertions rendent possible l utilisation des méthodes du Chapitre II. d) Les applications canoniques de

M~ N dans

M/Mp ®k N/N q

induisent des applications

,.. et i l est clair que pour la topologie e) L'anneau ,..

M®k N s'identifie au complété de

(m. ®k B + A®k !0 -adique •

.'"

A ~k B est complet pour la topologie

,..

!. = !!!.~B + A ~!!.

"

et les

k

Tor. (M,N) 1.

la topologie !.-adique. Comme en outre A.

et que

M®k N

~-adique,

où

sont des modules complets pour

" (A~kB)/!. = (A/m) ~k (B/!0

A

(M ®kN)/r. (M®k N)

=

(M/mM) ®k (N/nN)

,le corollaire 3 /\

à la proposition 6 du chapitre II s'applique et

A~k B

est noethérien

V-9 f\

1\

M~ N

et

est un

(AQPk B)-module de type fini.

D'autre part la formule bien connue

2

... 1+x+x + •••

1

1-x montre que

r

est contenu dans le radical de

~

A ®k B

et les idéaux.

1\.

maximaux. de

A~k B

co~respondant à ceux. de

0 ~M' ~ (-- , M--~~1 M"

f) S1'

~ ---7 0

(A/m) I&k(B!n)

es t une SU1·t e exac t e d e

A-modules de type fini, les suites exactes ••• --)

Tor~(M!mPM,N/!!.qN)

Tor~_1 (Mt/Jl'

---}

n mPM,

--1 Tor~(M"!mPM" ,N!nqN)

N/nqN)

-4

--4

se remontent en une suite exacte ~ k ~ k ~ k ----1 Torn (M ,N) ----1 Torn (Mit ,N) ~ Tor n-1 (M' ,N) ~ •••

f:

On a en effet la propriété suivante: si et

\JJ

T

1

(P.) ~ (p'.') 1 1

(Pi) ~ (Pi)

sont deux. morphismes de systèmes projectifs

de k-modules sur un ensemble ordonné inductif, si les

P!

1

sont des

modules artiniens, et si les suites

'l'i ) P'.'1

P! 1

sont exactes, alors la suite

g) Supposons maintenant que et supposons que

{a1,···,ar~ tels que O· "

i

a + i 1

k

soit un anneau régulier de dimension

M , considéré comme k-module, admette une M-suite

i.e. qu'il existe

r

du radical de

éléments a.1

ne soit pas diviseur de zéro dans

~ r-1, a o = 0 •

Je dis qu'alors de le voir quand

...

k

Tor. (M,N) = 0 1

pour

i )

k

M/(a , ••• ,a i ) M 1

n-r

• Il suffit

N est un k-module de longueur finie, puisque

n

V-10 ...

k

.

...

k

Tori(M,N) = ~1m Tori(M,N/~

o~ ...

k

N)

• La suite exacte

a

M ~ M ---i M/a 1 M ---i 0

Tor i (M,N) = 0

o

si

>n

i

s'ensuit que

= 1

r

donne

,jointe au fait que la sui te exacte:

... k ~ Tor (M,N) n

Mais une puissance de

pour

n

...

Tor

k n

a

1

(M,N) ...

• Si

r

annule 0

N

...

Tor

donc aussi

k n

(M,N)

.Il

, ce qui démontre notre assertion

>1

exacte: a1

"

-~) Tor

k

n-

1 (M,N) , etc •••

Dans les exemples que nous utiliserons, l'algèbre toujours une A-suite formée de ...

que

k

Tor.(M',N)

=

1

le foncteur

0

si

...

k

Mt

n

éléments. Il en résultera

...

~M ~ N

0

• Dans ce cas

est le i-ème foncteur dérivé du

1

A

foncteur

i>

est A-libre et

M~Tor.(M,N)

A aura

• On en déduit que

k

Tor i (M,N)

est un

./\

A~k

B-module de type fini. Le monstre qui vient de nattre nous servira dans les deux

cas particuliers suivants: a)

k

est un corps,

A~B::::' k[[x i ,··.,xn]l ...

A

A ®kB

k

Tor.

Dans ce cas les

1

:

sont nuls pour

i>

0

• En outre,

est isomorphe à l'anneau des séries formelles

C ~ k [[x1'··· ,Xn ' Y1 ,···, Yn ]]

Si

E

est un idéal premier de

est un idéal premier de miers de

C

A

E ®k J3

C et toute chaine maximale d'idéaux pre-

A qui passe par

nes maximales de

A

, il est clair que

E

se prolonge facilement en des chai-

V-11 1\

dim M~ N = dim M + dim N

généralement:

Si maintenant idéal primaire de

B

est un idéal primaire de

~

"

1\

:1®kB+A®k~'

de

C

s

~'

un

G (M) ®k G ,(N)

, on graduera l'algèbre

par la graduation somme. On notera

A,

~

~

l'idéal primaire M~N

• Alors l'application de

dans

A.

M~k

N induit manifestement un homomorphisme d'anneaux gradués: Gq (M) ®k Gq ,(JI) ---~ Gs (M®kN )

-

-

-

Samuel a démontré que c'est un isomorphisme et il en résulte

,..

e (M~N, dim M + dim N) s Enfin si

que

...

= e (M, ~

dim M).e

~

,(N,

dim N)

...

et ••• ~L n

sont des résolutions

A

--J ... et

~L

0

---tN ~O

B-libres de

et

M

M~ N

est manifestement une résolution C-libre de En particulier si l'on identifie

p+q

,..

A au C-module

Cid

, où

d'où la formule de réduction à la diagonale: b)

k

est un anneau de valuation discrète, La lettre1t

de

k

et

k

A '::!. B !::! k

désignera un générateur de l'idéal maximal

désignera le corps résiduel

k/~k

Dans ces conditions

C = A~ B

k[[X 1 , •.• ,xn ;Y1' ••• 'Yn]]

A= A/n: A k [[x1 ' ... ,xJ] c

k[Lx 1 ,···,xn ; y1 , ••• ,Yn ] ] , (M ®k N) /1r . (M ®k N) = ~1/17; M®k =

1\

[Lx1 , ••• ,xJ]

A

A

N/1T: N

=n

V-12 I l en résulte que si 1t

n'est pas diviseur de

0

dans

M et

N

....

on a dim M ~k N = dim M + dim N - 1 Enfin, résolvant C-résolution projective de

M et

N comme dans

A = Cid

a), et prenant une

,on aboutit à une suite

spectrale:

La suite dégénère si

3.

tr

ne divise pas

dans

0

M

ou

N

Anneaux réguliers d'égale caractéristique. Le monstre étant avalé, nous allons essayer de le digérer.

Pour cela nous allons d'abord scruter le cas particulier cas le complexe de Koszul de

A = Cid

C

J

M et

• On en déduit que, si

A-modules de type fini, les

A l.

Tor. (M,N)

A

C

IV

N désignent toujours deux

s'identifient aux modules

C K ( (X

d'homologie du complexe de Koszul

Dans ce

est une résolution libre

K «X, - y ,), C) J

a).

j

- y

j)' M3-Tor A p+q (M,N)

En fait la suite exacte : est de dimension homologique

=

montre que sur

A et que

ensemble des éléments de

N annulés par :Jt. •

La sui te spectrale se "réduit" donc à la sui te exacte :

...

~ To~1.- 1(M,-n-N)~Tor~(:M,N)~TO~(M,N/1'tN) ~ 1. 1. ~~

~ To1-_2(M,J'tN)~...

Mais nous supposons que

XN = 0

donc

= di~ + dirrÂr/n N

L

n

,

A

v-18 et l'inégalité stricte a lieu si et seulement si Comme

A A dim M = dim M,

et

~ A(M,Nj-n:: N)

a

A dim N/'fl: N = dimA NI ~ N = dimA N - 1,

la propriété est démontrée.

~)

"ft' annule

M et

N:

Considérant toujours

M comme A-module,

N comme A-module,

la suite spectrale reste valable et donne:

Mais dans ce cas suffi t donc de vérifier que

NI1r; N

=

~N

= N et

'X- A (M,N) = a

A dimA M + dimA N = dimA M + dim N

il