Algèbre locale, multiplicités [3rd ed.] 9783540070283, 3540070281 [PDF]

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Lecture Notes in Mathematics An informal series of special lectures, seminars and reports on mathematical topics Edited by A. Dold, Heidelberg and B. Eckmann, ZUrich

11

Jean-Pierre Serre College de France, Paris

Algebre Locale. Multiplicit6s Cours au Coll~ge de France, 1957-1958 r~dige par Pierre Gabriel Seconde ~dition, 1965

1965

Springer-Verlag. Berlin-Heidelberg-New York

All rights, especially that of translation into foreign languages, reserved. It is also forbidden to reproduce this book, either whole or in part, by photomechanical means (photostat, microf'dm and/or microcard)or by other procedure without written permission from Springer Verlag. O by Springer-Verlag Berlin - Heidelberg 1965. Library of Congress Catalog Card Numbe~ 65-29123. Printed in Germany. Title No. 733L

Pr@face de la seconde 6dition

Cette @dition diff~re de la premiere par les points suivants: Un certain nombre de passages ont @t6 r6crits, notamment le w A du Chap.II

, le Chap.III, le w B du Chap.IV et le w C du Chap.V.

Ont @t@ ajout@s: une Introduction,

deux Appendices et une Biblio-

graphie.

Le travail de dactylographie a @t6 fait par les soins de l'Institut des Hautes Etudes Scientifiques. Je lui en suis tr~s reconnaissant.

Jean-Pierre Serre

TABLE

DES

MATI

ERES

INTRODUCTION Chapitre I. D~COMPOSITION PRIMAIRE DES ~ODULES A) G@n@ralit@s. I. Radical de Jacobson de

I-I

A

2. Lemmes sur les id@aux premiers

I-3

3. Foncteurs additifs en th@orie des modules

1-5 1-9

4. Modules noeth@riens B) D@composition primaire et th@or~mes d'unicit@

1-11

C) Quel~ues applications I. Vari@t@ associ@e ~ un module

1-21

2. Id@aux @trangers

1- 5

3. Modules de longueur finie

1-3o

Chapitre II. OUTILS ET SORITES A) Filtrations et ~raduations I. Anneaux et modules filtr@s

II-I

2. Topologie d@finie par une filtration

II-2

3. Compl@tion des modules filtr@s

11-3 II-4

4. Anneaux et modules gradu@s 5. OG tout redevient noeth@rien! filtrations

~-adiques

6. Modules diff@rentiels filtr@s

II-8

11-I 3

B) Pol~nSmes de Hilbert-Samuel I. Rappel sur les polynSmes ~ valeurs enti~res

11-19

2. Fonctions additives sur les oat@gories de modules

11-20

3. Le polynSme caract@ristique de Hilbert

11-22

4. Les invariants de Hilbert-Samuel

11-25

l

Chapitre III. THEORIE DE LA DIMENSION A) Dimension des extensions enti@res 1. D~finitions

III- I

2. Le premier th~or~me de Cohen-Seidenberg

III- 2

3. Le second th@or&me de Cohen-Seidenberg

III- 4

B) Dimension dans les anneaux noeth~riens I. Dimension d'un module

III- 6

2. Le cas semi-local noeth~rien

iii- 7

3. Systbmesde param~tres

III-10

C) Anneaux normaux I. Caract~risation des anneaux normaux

111-I 1

2. Propri~t~s des anneaux normaux

III-14

3. Fermeture int6grale

IIl-1 6

D) Anneaux de pol~n8mes I. Dimension de l'anneau

A[XI,...,Xn]

2. Le lemme de normalisation

III-17 III-20

3. Applications. I. Dimension dans les alg~bres de polyn6mes

III-22

4. Applications. II.Fermeture int@grale d'une alg&bre de type fini

III-25

5. Applications. III.Dimension d'une intersection dans l'espace affine

111-27

Chapitre IV. DINENSION ET CODI~ENSION HOMOLOGIQUES A) Le complexe de l'algbbre ext~rieure (Koszul) I. Le cas simple

IV- I

2. Aoyolioit~ et propri6t6s fonctorielles du complexe de l'algbbre ext~rieure

IV- 3

3. La suite spectrale associ~e au complexe de l'alg~bre ext~rieure

IV- 8

4. La codimension homologique d'un module sur un anneau semi-local

IV-I 2

B) Modules de Cohen-Macaulay I. D@finition des modules de Cohen-Macaulay

Iv-17

2. Diverses caract6risations des modules de Cohen-Macaulay

IV-19

3. Vari6t6 d'un module de Cohen-Macaulay

IV-22

4. Id6aux premiers et compl6tion

Iv-25

C) Dimension homolo~ique des modules noeth6riens I. La dimension homologique d'un module

Iv-27

2. Le cas noeth@rien

IV-29

3. Le cas local

IV-33

D) Les a n n e a u x r @ ~ l i e r s I. Propri@t6s et caract@risations des anneaux locaux r~guliers

IV-35

2. Propri6t6s de permanence des anneaux looaux r@guliers

IV-4O

3. D@localisaticn

IV-r

4. Un crit~re de normalit6

IV-44

J

IV-$6

Appendice I. RESOLUTIONS MINIMALES I. D@finition des r@solutions minimales

IV-46

2. Application

IV-48

3. Cas du complexe de l'alg~bre ext@rieure

Zv-50

i

J

l

Appendice II. POSITIVITE DES CARACTERISTI~UES D'EULER-POINCARE t SUPERIEURES.

IV-53

t

Chapitre V. LES MULTIPLICITES A) La multiplicit6 d'un module I. Le groupe des cycles d'un anneau

V-I

2. La multiplicit@ d'un module

V-2

B) La multiplicit@ d'intersection de deux modules I. La r@duotion ~ la diagonale

V-4

2. Produits tensoriels compl@t4s

V-6

3. Anneaux r6guliers d'6gale caract~ristique

V-12

4. Conjectures

V-14

5. Anneaux r@guliers d'in6gale caract6ristiques (cas non ramifi6) 6. Anneaux r@guliers quelconques

V-I 5 V-18

C) Raccord avec la ~@om@trie alg@brique 1. Formule des Tor

V-21

2. Cycles sur une v~ri@t@ affine non singuli~re

V-22

3. Premieres formules

V-23

4. D@monstration du th@or~me I

V-24

5. Rationalit@ des intersections

V-2 7

6. Images directes

V-27

7. Images r@ciproques

V-28

8. Extensions de la th@orie des intersections

V-31

BIBLIOGRAPHIE

B-I

I N T R O D U C T I O N

Les m u l t i p l i c i t 4 s alg~brique Poincar4"

d'intersectionsde

sont ~gales ~ certaines form~es

Le but essentiel

r4sultat,

et de l ' a p p l i q u e r

fondamentales

de la th4orie

locale

Seidenberg,

(au sens de Krull),

Tot de Cartan-

~ la d 4 m o n s t r a t i o n

ce

des formules

des intersections.

r a p p e l e r quelques

: d4composition

normalisation

d'Euler-

de ce cours est d ' ~ t a b l i r

II a fallu d'abord d'algAbre

"caract4ristiques

au m o y e n des foncteurs

Eilenberg.

la g4om4trie

primaire,

r4sultats

th~or&mes

des anneaux de polyn$mes,

polyn~mes

caract4ristiques

de Cohendimension

(au sens de

Hilbert-Samuel).

L'homologie la m u l t i p l i c i t 4 q

=

& tun

est d4finie nSme

eq(E,r)

(x I ,...,Xr)

rapport

suivante,

ensuite,

d'un id4al

E

~A(E/qnE)

A-module F ]

de

eq(E,r) -"

A

par

Cette m u l t i p l i c i t 4

nr/r! [on note

. On d4montre

qui joue un r~le essentiel

(*)

l'on consid~re

de d 4 f i n i t i o n

de type fini.

comme le coefficient

d'un

lorsque

d'un anneau local n o e t h ~ r i e n

A-module

caract~ristique

longueur

apparalt

darts le poly~A(F)

la

alors la formule

dans la suite

:

i=r =

(-i) i ~A(Hi(E,x) i=O

)

-

les

o~

Hi(E,~ )

complexe moyen

d4signent

de l ' a l g ~ b r e

des

x

Ce questions

ext4rieure

complexe

d'alg~bre

peut

modules

de C o h e n - M a c a u l a y

locaux

avecla que

l'~tude

des

des Tor. locale

Lorsque

E

l'on

tensoriel

est de

F

suivants

du

E

au

On

sur un

anneau

local,

la d i m e n s i o n

r6guliers

type

est

sont

soit

les

finie ~

A

sur E

alors

sur

et

conduit

pour

seuls

on p e u t

de

anneaux

n,

[cela

F

ne

au m o y e n

on o b t i e n t

et d e u x

, dont

A

aborder

l'alg~bre

intersections,

de d i m e n s i o n fini

les

form4es

le l a n g a g e

des

la c o d i -

finie.

d4montr4e,

dans

d'autre~

de }~rull

et aussi

d'Euler-Poincar4

A,

dans

4tudier

dont

g4om4trique

correspondant

utilis4

pour

(*)

traduit

de

~tre

exemple

homologique

longueur

consid4r~).

a

locaux

r4gulier

et

vari4t~s

sur

homologique),

la f o r m u l e

la s i t u a t i o n

nodules

c4s

(ceux

caract4ristiques

local

point

anneaux

fois

un anneau

les

des m o d u l e s

la d i m e n s i o n

Une

par

codimension

les

dont

d'homologie

construit

d'ailleurs

locale,

homologique

montrer

-

.

1

mension

coincide

les m o d u l e s

2

A-

le p r o d u i t signifie

se c o u p e n t

~ conjecturer

que qu' au

les

4non-

:

i)

On

dim. (E) + dim.

ii)

L'entier

IF) k< n

("formule

des

dimensions").

i =n ~A(E,F)

= i=O

iii)

On a est

~A(E,F) stricte.

= 0

si et s e u l e m e n t

si l ' i n 4 g a l i t 4

i)

-3

La cas vrais Grace t6s,

formule

si

qui

diagonale", a mSme

est

utilisant

l'analogue

on p e u t

quand

A

est n o n

servant

des

th@or@mes

g@n@ral.

Par

sans

des

contre-exemples. sous un

rectement dont

faire

angle

une

different,

ensuite

pour

les

des i)

qu'il par

A la

lorsque

testes,

ou b i e n

on p e u t ,

dans ni A

exemple

varlet@

non

soit

une

sous-vari~t@

dim.

X + dim.

de

=

dim.

A v,

Aw

les

C

est

le p l u s

~ la

~ en d o n n e r

aborder

la q u e s -

, et

%r

V + dim. anneaux

d~signe iau

sens

i(V.W,C;X)

de

W

X

de

la multiplicit@

=

deux

que , avec

X,

est

9

{et

soit

X

sous-

:

Vet

"propre"). W en C.

d'intersection

Chevalley,

XA(Av,~)

.

C = V{]W

(intersection

locaux

0

alg6brique

W

supposons

de N e l l ,

~A(E,F)

precise,

et

di-

~

caract@ristique

fagon

soient X

~

g~om@trie

De

ii)

en d @ f i n i s s a n t

4gal

d'~gale

irreductible

C

i(v.w,c;x)

V et W en la formule :

le cas

singuli~re,

1"rreduc" tlb"l e s

A,

qu'il

se

completsp

~ d@montrer

, ni

faille

cas

A

en

locaux le

.

compl@-

vrais

IA,

tout

= n - r

"r@duction

anneaux

sur

analytique).

vari~t@s

si

de

parvenu,

applications

~ la g@om@trie

Soient

suis

semble

Heureusement,

aussi

sont

A partir

(F)

en

tensoriels

la

des

sont

(par un proc@d@ asymptotique convenable) un entier

on m o n t r e r a i t

suffisant

corps

d'hypoth~ses I1

de

dimensions

je n e

dim

produits

qu'ils

son

@nonc@s

avec

structure

des

contre,

iii)

que

de

ces

alg~brique

ramifi~.

la f o r m u l e

et

tion

que

des

en d ~ d u i r e

caract~ristique

d@montrer

montre

F = A/~x I ,...,Xr),

~ un proc@d~, et

~*)

-

Samuel),

de on a

-

formule

Cette

par

r~duction

il est

"formule

~ la d i a g o n a l e ,

commode

plicites.

(la

de p r e n d r e

comme

de c e l l e s - c i

faqon naturelle

: la c o m m u t a t i v i t e

l'associativit4

r~sulte

merit l ' a s s o c i a t i v i ~ 4 sulte d'un

des

deux

faisceau

trales a pas fait

ont 4t4

bien

restent

d'autres

constantes

la formule del~

des Tor,

du c a d r e

Chevalley. 9

d'une peut un

9

var3et4 faire

~

sous

peuvent

exemple, X

de

qui

(7)

certaines

(bien

conditions

9

,

9

9

cycles

r4-

directes spec-

il n ' e n le

,

9

et de

9

Y

x et y

X et de

de de rue

.

9

d'assoclatlvlte,

, on

n'est

d~fini

ordinaire.

f

est Les

de p r o j e c t i o n ,

ce n o u v e a u

Y

ensem-

Lorsque

le p r o d u i t

pour

au

slngullere

ce p r o d u i t

9

de

est u n m o r p h i s m e

de d i m e n s i o n s ) .

9

au m o y e n

la th~orie

au p o i n t

entendu,

se d ~ m o n t r e r

expri-

on u t i l i s e

de W e i l

Y

non

on t r o u v e

commutatlvlte, et

P

)

correspond

identique,

s'~noncer

,

~ deux

~ ~tendre

: X

varlete

;

d'Euler-Poincar4

singulier"

f

qui

suites

intersections

conduit

si

des T o t

mais

fols,

de

spectrale.

les

"non

dans une

x.fy

x~f-1

l'application formules

strictement

correspondre

"produit"

bliste que

Par

on est

alors

de p r o j e c t i o n

Chaque

fair,

des m u l t i -

les i m a g e s

caract4ristiques

d4finit

. En

celle

int~ressantes,

d a n s rule s u i t e

l'on

de

(ces d e r n i & r e s

darts le cours). les

(*)

spectrales

reliant

applications

que

Lorsque

suites

et les T o r

~

s'obtiennent

resulte

-

se d 4 m o n t r e

d~finition

; la f o r m u l e

spectrales

coh4rent

connu

deux

des T o r

suites

question

des

Tor")

en se r a m e n a n t

~**)

Les p r o p r i ~ t ~ s

des

4

produit.

I-I CHAPITRE I. - DECOMPOSITION /

PRIMAIRE DES MODULES

/

A) GENERALITES

Ce p a r a g r a p h e a

pour but de rappeler un certain nombre de

notions qui seront suppos6es connues,

et de d@montrer quelques lemmes

pr4paratoires.

Nous d@signerons par

unit4, par

un A-module unitaire. Un id4al

~ A

M

et si

A/p

A

un anneau commutatif, p

~ @l@ment

sera dit premier,

si

est int6gre.

I) Radical de Jacobson de Nous utiliserons

A. cette notion seulement pour les anneaux com-

mutatifs.

J

.

~

,

Deflnltlon et proposition A

, et on note

conditions

I)

r(A)

I. - On appelle radical de Jacobson de

, l'id@al de

A

d6fini par l'une ou l'autre des

4~uivalentes :

I)

r(A)

est l'intersection

2)

xEr(A)~

~ol-xy

des id6aux maximaux de

est inversible dans

72): En effet, pour tout ideal maximal

xy~m

et

1-xy

1-xy

~ m

m_

A

A

.

pour tout

, x~m

yEA

et donc

.

n'appartient

~ aucun id@al maximal de

A

, et est donc inver-

sible. 2)~I)= x

L ~ m

existe

Supposons que , oG

m

yEA

et

I = m+xy

1-xy

soit inversible pour tout

est un id6al maximal de m~m

(car

~

A . Ii en r6sulterait

tels que: et

x

engendrent

y~A , et que

A ).

qu'il

I -2 D'oG

m = 1-xy

et le second membre ne serait pas inver-

sible, ce qui est absurde. Nakayama a trouv@ une autre caract4risation du radical que nous utiliserons couramment par la suite: L@mme I (NakaFama):

Si

~

est un ideal de

A , les propositions sui-

vantes sont @quivalentes:

)

c

2)

:(A).

Pour un A-module de type fini (I) M, I~i = q_.M entra~ne ---- 0

I)---)2):

Supposons en effet que

Xl, xE,...,x p

engendrent

M

et

qu'aucun d'eux ne soit combinaison lin@aire des autres. De que

M = _q.M

, on d@duit l'existence de

Xp = 0(Ixi+. . . + ~ p X p

, et

~ i ~ q-

( 1 - ~ p ) X p = 0(Ixi+...+ 0 r~ I --

--1

(0)

--0

(p,n)

n Er,p)

--- I --

--1

(2)

.... (s-l)

(s)

(s+l)

....

p

I t 0 ---0 -- 0 r > t-s+1

0 --- 0 -- 0 -9

.

.

.

.

(I) !

I

.

.

.

9

i

i

mo=t~g

D

.

o - - o

. . . . . . .

p

(I)

(2) ..... (t-l)

(t)

(t+1)

....

---~ P

est la di-

I (1)

-

II-1 9 B) POLYNOMES DE HILBF2T-SAMUEL I. Rappel sur les polyn6mes & valeurs enti~res Bolt

X

l'ensemble des applications de

des nombres entiers), coefficients dans

~ IX]

dans

Z

(ensemble

l'ensemble des polynSmes en

X

&

X

=Q (ensemble des nombres rationnels) et

l'ensemble des fonctions de ~X]

Z

P

qui sont dgfinies par des polyn6mes de

(auxquels nous les identifierons). Soit

/~

l'endomorphisme de groupe abglien de

( ~ f)(n)= f(n+1)- f(n)

, off

f~X

X

dgfini par:

. Les propositions suivantes

sont alors ~quivalentes: a)

f g P

b) ~

f@P r fois

c) I1 existe un entier

r

Le plus grand entier (si

f ~ 0

s

tel que

, sinon on prend -I

En outre, les polyn6mes (~) = I

, forment une

~sf ~ 0

pour degr~ de

est tel que le terme dominant de

st

Are " (A'A--.-o Z&)(e)= o

tel que

f

x

(k) =

P

X(X-I)

f ~

Re#

g (R~)f

). Ce degrg aXS/s!

...(x-k+1) k!

~X]

f s

, o~

si

a~

k> o

et le groupe abglien

.

Revenant au cas ggn~ral, on d~finit dans valence

0

soit du type

~-base de

qu'ils engendrent coincide avec

est le degrg de

~

la relation d'~qui-

que voici: ~o I1 existe

n eZ O

tel que

f(n)= g(n)

si

n~n

=

Nous identifierons dans la suite

O

P

avec son image canonique

II-20 dans

Y

= X /R~

qu'une fonction

(image qui est isomorphe & f

de

~

lente ~ tune fonction de

P

passe au quotient dans t~res pr@c@dente; a) b)

fest 2~ f

est pol~nomiale

Y

P

)

et on dira

si elle est

Ro@ -@quiva-

. On remarquera que l'endomorphisme , et ceci permet la traduction des cri-

lee conditions

suivantes sont 4quivalentes:

polynomial. est polynomial.

c) I1 existe un entier

r

tel que

~

rf

soit

ROo

-@quivalent

&

2. Fonctions additives sur les categories de modules Soit

C

une catggorie abglienne

(volt Grothendieck,

Jour., August 1957). Une fonction additive des objets de Si la suite

C

dans un groupe abglien

0

alors

sur

)M

~N

+

) P

TShoku Math.

est une application

C ~

telle que:

) 0

de

C

est exacte,

9

De la d~finition on d~duit sans difficult~ les deux propositions suivantes: Si

M

est un module de

une suite de composition de

C

, et M

OCM

oC

M I .... ~

formge d'objets de

C

Mn = M , alors

i = n

i= Si

I

0 - - - - ~ M I ----)M 2 ~

exacte de

C

) 0

..... - - - ~ M n

, alors p=n

(-I)P p=1

X (Kp)

=

0

est une suite

0 .

11-21 Exemples:

a)

C

est la oat~gorie des groupes abgliens finis,

groupe multiplicatif des hombres rationnels positifs et M ~ C

, est l'ordre de b)

A

M

~(M)

M ~ C

est un anneau (noethgrien, & ~igment unitg),

, est la longueur c)

gradugs sur

A A

:

, pour

(hombre d'gl~ments).

~(M)

est un anneau gradug, de longueur finie,

(-I)P

(Mp)

(ioi

de C

C

est

Z(M)

la cat~gorie des A-modules (unitaires) de longueur finie et pour

Fle

,

).

r = z mm

est la cat~gorie des modules

r= Z

, et pour

~ = (Mp)p~

,

(Caract~ristique d'Euler-Poincar~).

P d) (i.e. D

An = 0

A

est un anneau gradu~ r~duit & son premier ~l~ment

si

n ~ 0

),

C

la cat~gorie des complexes

est la cat~gorie d~finie dans

K = (Kp, dp)

c),

de longueur finie sur

A .

On d~finit alors comme darts c):

~(K) = ~. (-I)P ~(Kp) P En outre, si alors

H(K)6

~(K)--~

C

H

d~signe le foncteur homologique et si

K ~D

et il est bien connu que:

(-I)P~(Kp) = E

P

(-I)P ~(Hp(K)) = ~ H ( K ) )

P

Dans le cas off A

est un anneau noeth~rien et

cat~gorie des A-modules de type fini, tout objet

M

C ~ ~ de

C

la admet

une suite de composition dont les facteurs sont isomorphes & des A/p

, oG

p

est un ideal premier de

A

. I1 en r~sulte que toute

,

II-22

fonction additive (A/p)

.

~

sur

fA

est connt~d~s que l'on connait lee

Cette remarque nous servira par la suite.

3- Le pol~nSme caract@risti~ue, de Hilbert. Dane ce paragraphe nous d@signerons par anneau gradu@ commutatif a)

H

b)

L'anneau

O

(Hn) n ~ = Z

H

(H= Hilbert) un

tel que:

est un anneau d'Artin (i.e. de longueur finie). H

est engendrg par

H

et un nombre fini d'@l@ments O

de

HI: xl,...,x r Alors

H

O

~X

I ~''"

H

.

est le quotient de l'anneau de polynSmes

,X~

par un i&@al homog~ne (i.e

un id@al qui, avec

tout polynSme contient lee composantes homog~nes de ce polynSme). En particulier

H

sous-cat@gorie de

est noeth@rien et nous d@signerons par ~

(cf. w A, n~

Tout module gradu@

GH

, si

M = (Mn)

M de

et

N

culler tous lee

A

~:

M

)

sont des objets de

A

(ou de modules ob-

par translation de la graduation). En parti-

H -modules o

M

n

sont de longueur finie et on peut

dgfinir la fonction caract@ristique de Hilbert de l'aide des formules: X(N,n)

= 0

si

n~

0

, et

~(M,n)

= ~H (Nn)

si

n>/O

.

O

La fonction X m:

~H

est quotient d'une somme

directe finie de modules gradugs isomorphes & tenus & partir de

la

dont J~s objets sont lee

H-modules gradu@s de type fini, et dont lee morphismes coincident avec ceux de

~H

~(M,n) d@finit une application de

g-H dane

et cette application est manifestement une fonction additive

N o

II-23 sur

~H

' & valeur dans le groupe additif de

L'image

Q(M,n)

de

~M,n)

encore une fonction additive

dans

sur

~H

Y

=

=

X

.

X/R ~

; en fait

d~finit Q(M,n)

est un

polyn6me : Th4or~me

2 (Hilbert):

infgrieur b)

a)

ou 4~al &

r-1

Si en outre

M

Q(M,n)

est un polzn6me

en

n

, de de~r~

. engendre

M

comme A-module,

~-I

Q(M,n)

0

4 Z(Mo)

. Snfin z ' ~ 6 ~ z i t ~

ot ~"

canon

~oE~,, ''',~3

./n+r-l~

n'~ l~eu ~ue s~

,n~t

Q(~,n) = ~(M o) , r-1

ue

~n ,~omor~,,~mo * ~ ~o %

~o s 0

et r~ci~roquement.

a) La propri~t~ est vraie si un module de type fini sur

A

r = 0

: en effet,

M

est alors

et est donc de longueur finie. I1 en o

r~sulte que

M

n

= 0

pour

n

assez grand.

Supposons donc la propri~t4 d~montr~e pour les modules gradu4s de type fini sur

Ho [XI,...,Xr_I]

dule gradu~ de type fini sur

et d~montrons

ce sont des modules gradu~s,

0'

) Nn

) Mn

. Soient

Ho[XI,...,Xr]

noyau et le conoyau de l'homoth~tie

~

d4finie par

et on a pour tout

-~

Mn+ 1

~

,

n

Rn+ 1

D'oG l'6galit~: Q(M,n+I)

-

Q(M,n)

=

A

Q(M,n)

=

la pour

Q(R,n+I)

-

Q(N,n)

N

Xr

:

)o

M et dans

, moR

le M

;

11-24 Mais R

et

X

N

appartient aux annulateurs de

r

R

N

. Les modules

sont donc des modules gradugs de type fini sur

Ho[XI,...,Xr_ ~

et le dernier membre de l'ggalit~ est un polynSme,

il en va doric de m@me du premier et aussi de et

et

Q(N,n)

sont de degrg inf4rieur ~

est inf@rieur &

r-1

r-2

Q(M,n)

. Si

, le degr@ de

Q(R,n) Q(M,n)

.

b) L'application de

M ~ [XI,...,X~

= Mo~ H

Ho[XI,...,XrJ 0

dans

M

est surjective. Si

R

est son noyau (gradu~), on a done

la suite exacte: 0

)R n

et

/~r-q

)(Mo[X~,...,Xr]

)n----) Mn

~,0

Q(M,n) ~(~(Mo)

Ii est clair d'autre part que l'4galit4 a lieu si Supposons donc

R ~ 0

: Comme

R = 0

4(Mn) = ~((M ~ IX I ,...,Xr])n ) - ~ R n )

tout revient & montrer que pour tout sous-module gradug de

M~

IxI , . . . , X r]

suite

0 = M~

tel que

Q(R,n)

Ri ~

R i-I

:

oCM

0

de J o r d a n - H o l d e r Alors

Q(R , n

, on a

Pour cela, soit

de

~(Rn)

M~

i=s ~ i--I

>

2 C 0

et s o i t

, Ri/R i-I

.

i

0

R

non nul

.

... C

Ms ~ M 0

une

0

Ri = R D M i o [ X 1 , . . . , X ~ i-I )

. Mais

si

i

est

est un sous-module gradu4 diff4rent

II-25 de

0

(Mo/Mo ), 1,...,x

, et ce dernier module est

k[X 1,...,Xr~ i i-I Mo/M ~ dans

k

de

isomorphe & lateur de

contient 1 '@l@ment tient

f

, os

H

est le corps

He/~

). I1 en r@sulte que si

(~ = annu-

Ri/R i-I

O

0

et homog~ne de degr@

(f) = f.k [XI,...,Xr]

t

, Ri/R i-I

oon-

. D'o~:

~((Ri/R i-1)n ) > ~((f)n ) = in-t+r-11 \ r-1

si

n > t

.

Finalement~ Q (R,n) ~/ I n-t+r-])

si

n > t

, d'oG le r@sultat.

r-1

4. Les invariants de Hilbert-Samuel. Soit M

A

un anneau (noeth@rien, commutatif, ~ @l@ment unit@),

un A-module (unitaire, de type fini) et

que

M/~M

~-bonne. Alors

V(M)/~W(~) fortiori, ~(M/Mn)

un id4al de

soit de longueur finie, clest-&-dire tel que

soit compos@ d'id@aux maximaux. Soit enfin tion

~

Mn~qf

Met

(Mn)n @ Z

tel

V(~I)DW(~) une filtra-

V(M/~ n M) = V(M)NW(qf)

est eompos@ d'id@aux maximaux. Done M/M n

A

M/~ n M

sent des modules de longueur finie. Pour

est une fonetion ~ valeurs enti~res, d@finie sur

=

st, M

fix@, Z= .

En fait, on a l e th@or&me: Th@or~me 3 ~Samuel):

d@pend que du gradu@

La fonction assooi@

est polynomiale et ne

(M)

@

II-26 En effet, soit B = A/~

~

, et soit

de la filtration

l'annulateur de

p

l'image de

&

M

dans

dans

p-~dique, le gradu4

B

A

, soit

. Si nous munissons

H = G(B)

associ@ &

B

B

satisfait

manifestement aux hypotheses du th4or~me de Hilbert. En outre, si Mn+ I = q_.Mn

pour

est engendr@ par

n >/ n o

, le gradu~

Mo/M I @

G(M)

... ~ M n /M n +I O

associ@ aU

B-module

, st est done de type fini.

O

On a donc les relations:

,Z~.~ (M/M n) = ,,e(M/Mn+ 1 ) - ,~'(M/M n) = .~(Mn/l~n+ 1 ) = '~(.,(G(M),'1~ 9,~(M/Mn)

= "~.(G(I~),I)+

"~..(G(M) 1,2 ) +...+

~(G(I'.'I),n)

et

.

D'oG le th@or~me.

En fait, nous nous servirons surtout du th@or~me pr@c4dent dans le cas oG la filtration de Nous noterons alors

~(M/~? M) . Si

Pq (M,n)

P((Mn),n)

une ~-bonne filtration de liens entre

P (M,n)

Proposition 9: a)

M

et

9

M

est la filtration

q-adique.

le polynSme qui est

Roo-@quivalent

d@signe de mGme le polynSme d@fini par , la proposition suivante @tudie les

~(~),n)

:

(M,n) = P((Mn),n ) + R(n)

, oG

R(n) est un

PolYnSme dont le terme de plus haut degr@ est 2ositif et dont le degr@ est strictemei~t inf@rieur & celui de b) Si est en~endr@ par

a r

M

P

est l'annulateur de @14ments, le de~r@ de

(M,n) M

et si P

&

(M,n)

=

e~

in-

II-27 f~rieur ou ~ a l

&

r

et

~r

l'g~alitg n'a lieu ~ue si

p

(M,n) {

G(M) N

(~+~)/~

(M/qM)

. En outre,

IX

-

.

r] 1~...~X

.

(L'isomorphisme est dgfini par l'application canonique

~

(B/~)

= image de

[XI,...,Xr]

dans

G(B)

, o~ les

a) En effet si a pour

n

G(B)dgtermin~e

(XI,...,Xr)

n

~(Xi)

engendrent

est tel que

o

par

p

Mn+1 = Mn'~

X,

I

.)

si

n~

no

, on

grand, les inclusions:

qn+n o . M C ~ -

sur

de

n+n

o

= q_n.Mn ~ o

qn.M ~ -

n

D'o~ l'on d@duit~ PL~ (~i'n+n~

} P ((Mn) ' n+no) ~ Pq_ (M,n) } P ((Mn),n)

I1 en r6sulte que, pour

n grand,

P

q_

(M,n)- P((Mn),n )

est

positif et que les deux polynSmes ont m8me terme de plus haut degr~. b) Cette assertion n'est qu'une traduction de la deuxi&me pattie due th~or&me de Hilbert, s• l'on remarque que le ~oTadu~ (q~I/q_n+IM)

est engendr~ par

M~_ .M

.

n Une bonne partie de la suite du cours sera consacr6e & l'6tude du terme de plus haut degr~ du polynSme

P (M,n)

9 Nous aurons pour

cela, besoin d'en connaitre quelques propri~t6s: Proposition 10 (Additivit~):

$_~ 0 ~

N

}M

une suite exacte de A-modules de t~/pe fini et si finie, alors

N/q_N st

)P ~ M/qM

0

est

est ~.e lon~ueur

P/q_P sont de longueur finie et on ~:

11-28 P (M,n) + R(n) = P (N,n) + P (P,n)

, o_~ R(n)

est un polyn6me dont

le terme de plus haut degr~ est positif et dont le de~r~ est strictement inf@rieur ~ celui de

N

En effet, soit

n

P (N,n)

= N~n~

, la filtration ainsi d@finie sur

est q_-bonne, et l'on a ~videmment:

N n

~(p/qnp)

-

+

~(~iNn)

Pq_(M,n) -- Pq_(P,n) + P((Nn),n )

D'ok

.

L'assertion r@sulte alors de la comparaison entre et

P(N,n)

P((Nn) ,n)

.

On a vu d'autre part que

Pq(M,n)

ne d~pendait en fait que du

m

gradu@

G(~)

assoei@ ~

M

. Si donc

G(~)

d@signe l'id@al que

A

engendre dans on

G(A)

, si

M

et

~

sont les compl@t@s de

M

et

a~

Pq_ (M,n) = P~_(~,n) = PG(q_)(G(M)'n) /~ P De m~me si

q_

%

id@al contenu dans

(M,n) =

et

Q(G(~),n)

d@signe l'annulateur de ~, ~ C ~ ~

M

et si

~

est un

, alors

(~+ ~)n C

q2 + ~ C

n+

et

~(~+b)nM

= M/~ n M

, c'est-~-dire

P (M,n) = P +~ (M,n)

I1 en r@sulte la propri~t@ suivante que nous utiliserons par

II-29 la suite: Lemme:

Le degrg lu polynSme

U(~) f~ ~;(~_)

(M,n)

ne d@pend que de

M

et de

.

Autrement

P

P

dit,

si

(M,n) = a x q-

r

+...

et

Pq,(M~n). = -

et

~ + ~

r!

ont mSme degr@:

r I

a'. __x +... r'|

r = r'

En effet,

v(M) ~ w(~_) (q_'+~)P

= W(~+~)

de

= W(~'+~)

+ ~

(cela r@sulte

oontient

une puissance

du lemme g la proposition

7, chap.I).

D'oG:

(q_'+~Pc

q_+ a

Pq_'+a ( M , p n ) >

et

(q_'+ a_~pn C

Pq+a_ (M,n)

(q _ + _a)n

a'(pn) r'

, et

>

, c 'est-&-dire a r

r'l grand,

c'est-~-dire

En @changeant r'.~ r

r' }

n

assez

.

les rSles de

~

et

~'

on trouverait

de mSme

, q.e.d.

Portons maintenant soient

r

pour

r!

nos derniers

~I' ~2' ..... ' ~s

V(M)~W(~)

, et

T

efforts

sur la localisation:

les id@aux premiers , I ~•

i s

isomorphes

~

= A - . 1

"-i

somme direote de sous-modules

(maximaux) . Xlors

NT.

de

N = MI~ n M

(Prop.t1

et Cor.1,

1

ohap.I). Mais, (M/a n M)T. S.

n

= M~.I(~ n ~)T. - MT.I ~. I~. i

I

i

1

i

et finalement:

est

II-30 s

S

i=I

i

d(M%/aiM%1 ,

i=I

011 S

Pq(M,n)

Iiva

=

~ i=I

PRT. i

(MTi , n)

de soi qu'aucun des polyn6mes

P

(MT , n) q-Ti

Par contre~ si et si

m

est tun iddal maximal de

T = A - m

PqT (MT 9n)

~

T

A

n'est nul.

i

distinct des

rencontre l'annulateur

de

M/_qRM

m.

et

est nul.

D'o~: Proposition

11:

a)

P (M,n) =

PqT(MT,n)_

q-

T

court les iddaux maximaux de

A

nul si st seulement si

V(M)

b) stable de

A

m_ ~

Si

S

oG

m

par-

A-m

=

. Le polyn6me W(q)

Pq_T(MT,n)

est

@

est une partie multiplicativement

, on a: !

Pq-B (Ms'n)

=

J

P_qT(MT,n)

avec

T = A - ~

.

S=r La seconde pattie reste seule ~ d~montrer. sont les id~aux maximaux de et

m t+1,...,m_s

Pqs (Ms'n)

cart

V(M)~

W(~)

ceux qui rencontrent

=

~ST. 1

t /~"~' i=I

qui ne renoontrent

S

1

et

MST" 1

~1,...,m_t pas

, on a:

t / coht(a_')

n'est contenu dans aucun des id4aux premiers minimaux de

a

,

on a

coht(a) ~ coht(a')

+ I

2. Le premier th~or~me de Cohen-Seidenber~. Soit

B

un anneau contenant

que tout gl@ment

x

de

B

A

et entier sur

v4rifie une

"4quation

A

. Cela signifie

de d@pendance

grale": (4)

x

n

+ alx

n-1 +

''"

+

an

= 0

~ avec

a ~A 1

.

int4-

.

III-] Lemme I: Supposons il suffit Rue Si

A

A

int~gre. Pour %ue ce soit un corps, il faut et

B

en soit un.

est un corps, tout

int~gre de type fini sur

A

x~B

est contenu dane une

A-alg~bre

(celle engendr~e par lee puissances

x),

de

et l'on salt qu'une telle alg6bre est un corps (Bourbaki, Alg.V, w 2, prop.l),

d'o~ le r~sultat.

Supposons que de

A

. Soit

gquation

B

x

soit un corps, et soit

son inverse dane

B

a

un ~l~ment non nul

. L'~l@ment

x

v~rifie une

(4), d'o~ x = -(a I + a2a +

et l'on a

xeA

, e o

+ an an-l)

, cqfd.

Soient maintenant

et

p'

des id~aux premiers de

respectivement.

On dira que

~'

est au-dessus de

Proposition 2:

(a) Pour tout ideal premier

ideal premier (b) Si

~'

(c) Si

p

p'

L'assertion L'assertion

(b)

p

~ui est ~u-dessus de

de

A

, on a

p (c)

p' = ~" 2

= p

.

, il existe un

au-dessus ~

B

soit maximal,

r~sulte du lemme I, appliqu~ ~

r~sulte de

B

E'/~A

B

.

, pour que

(c) B

, appliqu~e ~

A/p

i

C

C

m8me

il faut

B

B/p'

, et on applique le lemme I.

(a) p'

.

(on note

pour la partie multiplicative

maximal; dane ce cas, on prend pour

ideal maximal de

et

9

Le m~me argument montre qu'il suffit de d~montrer ~

si A

p

A

le soit.

l'anneau de fractions de

local et

p

de

sont deux id~aux premiers de

est au-dessus de

et il suffit Rue

B

d_~e B

P' C ~ "

ideal premier

p

lorsque

A-p A

n'importe quel

a

est

III-4 Corollaire: de

B

p~ C . . . C - p ~

(i) S i

forment une chaSne d'id4aux premiers de

, le___s ~i = pl(-~ A

(ii) Inversement, d_~e A

, et soit

Po C . - .

C Pr

chaSne donn4e

soit

p_~

~o ~

dans

(i)

B

po c

... C Pr_1

appliqu~e ~ s

, d'origine

p~

p~ ~

pour tout

sur

B/p~_ I

et au-dessus de

~r

Proposition 3:

On a

si

, on a

l'in~galit~ premier,

, qui est au-dessus de la

~'

, le cas ~

).

(ii)

de la prop.2. Pour r = 0

"''~r-1'

, montre qu'il existe

dim.A = dim.B

. Si

ht(~') ~ ht(a_)

et

(b)

i

4tant trivial. , la prop.2, p~

contenant

"

L'@galit~ dim.A = dim.B en divisant par

r

est relev~e en

A/~r_ I ~

a = ~'~A

9 I1 existe alors une chaSne

~o

A ~ Pi

A

une cha~ne d'id~aux premiers

r4sulte simplement du

on raisonne par r@currence Si

"'" ~ r

au-dessus de

(i.e. on a

La partie

est une chaSne d'id4aux premiers

a'

et

est un ideal de

coht(~')

B

= coht(a_)

, et

.

r~sulte du corollaire ci-dessus.

On en d6duit,

, l'@galit6

. Quant

~

sur les hauteurs,

coht(~') = coht(a_~

elle est imm4diate dans le cas oG

p'

est

et le cas g4n4ral se ram~ne tout de suite ~ celui-l~.

3. Le second th~or~me de Cohen-Seidenberg. Proposition 4:

Soit

A

son corps des fractions,

un anneau i n t ~ r e soit

L

(~.~. "normale" dans l'ancienne soit

B

la cl8ture i n t ~ r a l e

K-automorphismes groupe

G

de

L

, et

au-dessus de

p

.

clcs, soit

une extension ~uasi-galoisienne terminclogie

de

A

soit

op~re transitivement

et int@~Talement

dans p

L

de

K K

de Bourbaki, Alg. V, w 6), , soit

G

le groupe des

un ideal premier de

A

. Le

dans l'ensemble des id~aux premiers de

B

111-5 Supposons d'abord que

G

soit fini, et soient

id~aux premiers au-dessus de ( g

parcourant

G

dang l'un d'eux

p

. Les

q

de

G

,donc

xg~'

q'

. L'~l~ment

radiciel sur

caract@ristique

de

K

yqGK~B

= A

(puisque

part

yq~ ~'~A

= ~

, ce qui montre que

I1 existe donc

g~G

tel que

Soient de

L

q

M

soit

G(M)

le sous-ensemble

~M

en

~'

de

, telle que

yq

K G

un anneau int~gre,

dessus de dans

B

~r

A

YqE K

, d'oG

xeg-1

On a

p

~

. Pour chaque

g~G

et fini sur

A

compact de G(M)

G

,

forment une

leur intersection est non vide, cqfd.

, et entier sur

une chaXne d'idgaux premiers de

A A

. On peut alors trouver une chaSne

Soit

. Soit , et soit P~ C . . .

, au-dessus de la chaXne donn@e, et d'extrgmit@

p~

au-

C~ p~

.

(En fait, la proposition est valable si l'on remplace l'hypoth&se " B

est int~gre"

par la suivante

sont pas diviseurs de z@ro dans

K

qui transforment

un anneau int~gre et intgsralement clos.

contenant

.

, cqfd.

9 quasi-galoisien form@ des

.

clos). D'autre

. C'est ~videmment un sous-ensemble

S0%t

est

est contenu dans

au-dessus de

, contenant

famille filtrante d~croissante,

...Cpr

est contenu

, et il existe une puissance

non vide d'apr~s ce qu'on vient de voir. Comme les

~o C

deux

y =TKg(x)

est int~gralement

g(x)~

et

sous-corps

~'~M

A

K

alors

Proposition 5:

q'

(prop.2), ou mSme seulement dans leur r~union

l'exposant

Cas g@n@ral.

et

sont au-dessus de

), et il suffit de montrer que

(of. Chap.I, prop.2). Soit donc invariant par

g.~

q

B

"les gl@ments non nuls de ").

A

ne

B

III-6 Le corps des fractions fractions

K

de

ne

K

, et soit

M

de

A

Si

G

d'id@aux

d4signe

montre

qu'il

= g~i

de

existe ~

est alg4brique

la cl6ture

C

au-dessus de

des

ggG

C

sur le corps des

dans une extension

C

premiers

le groupe

, et

B

. Plongeons-le

un id@al premier une chaSne

de

int@grale de

~

= B~a!

A

dans

, st soit

au-dessus

de

K-automorphismes

tel que

de

quasi-galoisien-

g~r = -~

qo C

~o C . . .

de

M

M

. Soit

...C_q r

C Pr

9

, la p r o p o s i t i o n

4

; si l'on pose alors

~C...C~

, il est clair que la chaSne

r4pond & la question. Corollaire:

Soient

de la proposition

a=b~A

9

On

Lorsque sition. soit

B

est premier,

= Inf.ht(p')

B - DIMENSION

M

homoth~ties la dimension

soit

b

v@rifiant

un id4al de

cela r~sulte soit

. D'apr~s

avec la proposition

I. Dimension

deux anneaux

les h~poth~ses

B

, et soit

a

Dans le cas g~n@ral,

ht(~

Soit

et

pr@cgdente;

p = p_'N A

Comme

A

imm@diatement

p_' premier

ee qui precede, , on a

3, on obtient

contenant

on

ht(p')

ht(b) 7/ ht(a_~ l'~galit~

de la propob

, et

= ht(p_)>ht(_a)

, et, en comparant

cherch~e.

DANS LES A N N E A U X NOETN~RIENS

d'un module. un

A-module,

de

A

st soit

. On appelle

de l'anneau

AM

AM = A/Ann(M)

dimension

. Lorsque

de M

M

l'anneau

des

, et on note

est de type fini,

dim.M les

.

III-7 id@aux premiers

p

nent ~ la vari@t@ que

dim.M

de

A

V(M)

oontenant de

M

Ann(M)

sont ceux qui appartien-

(of. Chap.I, prop.9). On en conolut

est la borne sup4rieure des longueurs des cha~nes d'id@aux

premiers de

V(M)

# c e que nous ~crirons encore

dim.M

=

aim.V(M)I

,

o'est-~-dire: dim.M ~ Sup.coht(~) Dane cette derni~re formule,

, pour

p 6V(M)

on peut ~videmment

lee idgaux premiers minimaux be

V(M)

.

se h o m e r

~ oonsidgrer

.

2. Le cam semi-local noeth~rien. A partir de maintenant, noeth4rien; ideal

~

on notera

nous supposerons que

~(A)

, ou seulement

A

~

est semi-local

, son radical. Un

de

A

est appel~ un ideal de d@finition de

contenu dane

~

, et s'il contient une puissance de

~quivaut ~ dire que Soit de

A

M ,

un

A/~

P (M,n) ~ P ,(M,n)

pour

on en tire

Enfin, nous noterons

Th@or~me

n

P (M) s(M)

x I ,... ,XnE r(A) Si

I:

noeth~rien

P (M,n)

A

M

de

q

est un ideal de d~finition

M

! si

pour

ne d4pend pas de

q_~q_' m q_'o_q

assez grand; comme

P~(M,n) ~ P (M,nm)

montre que le degr~ de

qu'il existe

(ce qui

est de longueur finie, ce qui permet de d~finir le

polynSme de Hilbert-Samuel

venable,

~

s'il est

est de longueur finie).

A-module de type fini. Si

M/~M

A

n

, on a pour

con-

assez grand, ce qui q_

. On le notera

la borne inf~rieure des entiers avec

m

M/(x 1,...,xn)M

n

tele

de longueur finie.

est un module de type fini sur un anneau semi-local

, on a

dim.M = d(M) --

s(M)

.

III-8 Etablissons Lemme 2:

d'abord un lemme:

Soit

x~

, et soit

61gments annulgs par

a) On a

~i

le sous-module

V(M)

. S~i x r ~i

i

pour tout

est un id@al de dgfinition de

est de degr@

de

M

form~ des

9

les id@aux premiers de

dim.A/p i ~ dim.M ~

M

.

s(M) 4 s(M/xM) + i

b) Soient

o) Si

x

X

tels ~ e

, on a A

dim.M/x.M ~ dim.M - I0

, le polFuSme

4 d(M) - I 9

Les assertions

a)

et

b)

sont triviales.

L 'a ss er ti on

c)

r@sulte

des suites exactes

o,

~

) M

)x~

)o

X

o,

auxquelles

> M

on applique

d6montrer le th@or~me i) On a

dim.M

la proposition

I par un raisonnement

~ d(M)

que et

M

d(M)

sur

Supposons doric

dim.A/p ~ = dim.M

d(N)

Soit alors

"en cercle"

:

d(M) ~

, & partir du oas I

N

, et soit ~o

isomorphe A

d(M) = 0

~o@V(M)

minimal dans A/p ~

~o ~

x~1N

~I C . . .

C pn

n ~ d(N) ~

, avec

tel V(M)

,

; comme

, on est ramen@ & prouver notre a ss er ti on pour

On doit montrer que peut choisir

d(~)

; on peut supposer

contient un sous-module ~

On va maintenant

.

On raisonne par r~ourrence qui est trivial.

10 du Chap.ll.

N

.

une chaSne d'id@aux premiers dans

. C'est clair si X~o

n = 0

. Sinon,

. Comme la chaXne

~IC...

A

on C ~n

.

III-9 appartient et que

&

,

d(N/xN) ~ d(N)-1

Soit L'id~al et

d(M) ~ s(M)

~ = (xl,...,Xn)

le degr4 de

N/xN

, avec

~ [

est

{

n

s(M) ~ dim.M

de

i)].

V(M)

V(M)

, et

M/a_M

de longueur finie.

, d'ofl d(M) ~ s(M)

A

,

.

.

n~ I

n = dim.M

, et soient

dim.A/p i = n

~qui ~i

est fini,

lee id~aux premiers

; ces id@aux sont minimaux dane

en nombre fini. Ils ne sont pas maximaux puisque

I1 existe donc montre que

Supposons

tels que

,donc

.

est alors un ideal de d~finition de

On raisonne par r@currenoe sur d'apr&s

,

. D'apr&s la proposition 9 du chapitre pr6c6dent,

Pa(M)

iii) On a

dim.N-1

.

~ = ~ + ~ ~ Ann(M)

P (M) = Pq(M)

~

, d'o~ notre assertion en vertu de l'hypo-

th~se de r@currence appliqu6e & ii) On a

dim.N/xN

le lemme I montre que

x ~ [

, tel que

s(M)~s(M/xM)

th~se de r6currenoe,

on a

+ I

x~[i

pour tout

, et d i m . M > d i m . M / x M

s(M/xM) ~ dim.M/xM

i

n~ I

.

. Le lemme I

+ I

. Par hypo-

, d'ofl le r~sultat

cherch~, cqfd. Le th~or~me ci-dessus est le principal r@sultat de la th~orie de la dimension. On en tire notamment: Corollaire I:

On a

dim.M = dim.M

I1 est en effet clair que Corollaire 2:

d(M)

. ne change pas par completion.

La dimension d'un anneau semi-local noeth@rien

A

finie. Cette dimension est @gale au nombre minimum d'~l@ments de

est ~(A)

en~endrant un id@al de d6finition. C'est l'4galit~ Corollaire 3:

dim.M = s(M)

pour

M = A

.

Lee id@aux premiers d'un anneau n o ~ h @ r i e n

v4rifient

111-10 la condition des chaSnes descendantes. Par localisation,

on se ram~ne au cas local, oG notre assertion

r~sulte du corollaire 2. Corollaire 4: de

A

Soit

, et soit

A

n

un anneau noeth~rien, soit

~

un ideal premier

un entier. Les deux conditions suivantes sont

~quivalentes: (i)

ht(p) ~ n

.

(ii) I1 existe un ideal ~ue

~ Si

a

de

A

soit un ~l~ment minimal de (ii)

, engendr~ par W(a~

est v6rifi~e, l'id~al

aA -

de

A

, d'oG

(i)

9 Inversement,

un ideal de d~finition xi/s

,

s~A-p

s

b

de

-

9 L'id@al

n ~ I

Corollaire ~:

~

Solt

A

ht(Pi) = dim.M

est un ideal de d~finition 2

si

(i)

est v~rifi~,

engendr~ par les

n xi

"Hauptidealsatz"

. Si

v~rifie alors

, on a x

dim(M/xM) = s(M/xM)

et soit

M

V(M)

tels

dim(M/xM) ~ d i m . M - 1

un

et

n'appartient ~ aucun des

Cela r~sulte du lemme I, combin4 avec les ~galit4s et

(ii)

de K r u l l . Y

les id~aux premiers de

x~(A)

il y a 4galit4 si et seulement si

il existe

~l~ments

un anneau semi-local noeth~rien, ~i

~l~ments, tel

.

engendr~ par

on retrouve le

A-module de type fini. Soient u~

A

n

~i

"

dim.M ~ s(M)

.

3. S~st~mes de param~tres. Soit

A

de dimension

un anneau semi-local noeth@rien, et soit n

. Une famille

(xs,...,xs)

appel~e un s~st~me de param~tres pour

M

si

M

un

d'~l~ments de M/(xl,...,Xs)M

A-module ~(A)

est

est de

.

III-11 longueur finie, et si

s = n

. D'apr~s le th4or~me I, il existe

toujours de tels syst~mes. Proposition 6:

Soient

x I ,...,x k

dim.M/(Xl,...,Xk)M

des 4l@ments de

fassent par tie d'un syst~me de param~tres de L'in6galit4 r~sulte du lemme 2, it4r6 Xk+ 1,...,x n (n = dim.H)

M/(Xl,...,Xk)M

Inversement,

a

n-k

si

x 1,...,x n x I ,...,x n

dim.M/(x1,...,Xk)M

Proposition 7:

Soient

k

M

x1~...,x k

.

fois. S'il y a 4galit4,

est un syst~me de param~tres de

, le quotient

ce qui montre que

. On a alors:

+ k ~ dim.M

Pour qu'il ~ ait 6galit6, il faut et il suffit que

si

r

M/(xl,...,Xn)M

est de longueur finie,

est un syst~me de param~tres est un syst~me de param~tres de

de

M M

. , on

, oqfd.

xl,...,Xk~(A)

. Les conditions suivantes

sont 4quivalentes: (a) Les

xi

forment un s~st~me de param~tres de

M

.

(b) Les

xi

forment un s~st~me de param~tres de

M

.

(c) Les

xi

forment un s~st~me de param~tres de

A M ~ A/Ann(H)

C'est ~vident.

C -ANNEAUX

NORMAUX

I. Caract~risation Un anneau int@gralement

A

des anneaux normaux.

sera dit normal s'il est noeth~rien,

clos (dans son corps des fractions).

int~gre,

Par exemple,

et tout

et

III-12 anneau

principal

formelles

est normal;

K~[XI,...,X~]

sont des anneaux On rappelle valuation

d'autre

st l'anneau

s'il est principal,

8:

maximal

. Lee conditions

A

(ii) (iii)

Soit

est normal A

(i) ~

m

(ii)

une

de

seule classe

local

de v a l u a t i o n

int~6~re noeth~rien,

d'id~al

sont ~ u i v a l e n t e s : discrete.

et de dimension

I

.

et il existe un ~l~ment

a ~ 0

dane

m

set trivial. car si

~ (iv).

, il existe -I

C

comme sur

A m

A

donc

que

est appel~ tun anneau

a

set un ~l~ment de

A

non nul de

conter~nt

aA

m

, et

, l'id~al

aA

est dcnc

m--primaire.

(iii)'

Si

A

et s'il poss~de

suivantes

est le seul ideal premier

aA

K[XI,...,X j

est pr~r~ipal et non nul.

(ii) - - - - ~ ( i i i )

bien

de polynSmes

de s~ries

un ideal m-primaire.

(iv) L'id@al

mxa

un anneau

est normal,

~ui engendre

m

A

est un anneau A

l'anneau

c'est un anneau local.

Proposition

(i)

est un corps,

part qu'un anneau

extr~maux!

m

K

normaux.

discrete

d'~l~ments

si

et

x~A xa

-I ~

, A

est un ~l~ment m = tA

, d'o~

est un id6al premier , tel que

. Si l'id~al

, ce qui serait tel que

m

x~aA

est de type fini,

t~ y

Puisque

-I

on en conclurait

contraire

txa -I

, on a .

aA

~tait que

~ l'hypoth~se

soit un ~l~ment

de (iv)

mxa

mx~

"essentiel"

de

. On a donc contenu xa

-I

dane

est entier

de normalitY.

inversible

y = (yxa-1)u-lt

m

u

de

I1 existe A

9

, ce qui montre

III-13 (iv)

(i).

Si

m = tA

pour tout gl@ment non nul et

y ~m_n+1

d'oG

y

. On a done

yA = tnA

m n = tnA _

, on a de

A

y = tnu

il existe , avec

; comme tout id@al de

on en conclut aisgment

, et comme n

tel que

u inversible

A

~m _ n ~ 0 n

y~

darts

A

,

est somme d'idgaux principaux,

que tout idgal de

A

est de la forme

tnA

,

(i). Proposition

9:

soit normal,

Soit

A

un a n n e a u i n t ~ r e

noethgrien.

il faut et il suffit ~u'il vgrifie

Pour ~ue

A

les deux conditions

suivantes: (a) S i local

p

A

est un id@al premier de hauteur

est un a n n e a u de v a l u a t i o n

(b) Les id@aux premiers nul de Si

A A

est normal,

est de hauteur

I

d_~e A

, l'anneau

discrete.

essentiels

sent de hauteur

I

de tout ideal principal

.

il en est de m~me de ses localis~s

I , on a

non

dim(Ap)

= I

A

, et la p r o p o s i t i o n

! si 8 montre

m

que

A

et si A

est un a n n e a u de v a l u a t i o n pGAss(A/aA)

, la p r o p o s i t i o n

R~oiproquement,

I, d'oG

ht(~)

supposons

(a)

corps des fractions sons que

x

de

A

appartienne

. Soit & tousles

done

bgaA

pour

ht(p)=

d'o~

x~A

. Ainsi,

on a

sent normaux,

I

= I et

A

a ~ 0

,

, montre que un

9 (b)

x = b/a A

&

si

et c'est en particulier

v~rifi~s, un ~l@ment

, pour

, et d'apr~s

A =f IAp

De plus,

8, appliqu~e

est un a n n e a u de v a l u a t i o n discrete,

a n n e a u de dimension

A

discrete.

, pour

ht(p)

(b) ht(p)

et soit de = I

K

K

; suppe; on a

eeci entraSne ~ I

il en est de m~me de leur intersection,

le

b~aA

9 Comme les cqfd.

,

III-14 Remar~ue:

La d@monstration pr@c@dente montre que la condition (b)

@quivaut ~ la formule

Corollaire: hauteur

I

Si

A

d_~e A

A = ~ A

est normal, et si

p

est un id@al premier de

p(n) , d@finies

p

sont les

par la formule

(n ~ I) .

En effet, les id@aux ment aux id@aux de la forme

ht(~) ~ I

, l e s seuls id@aux primaires pour

"puissances sFmboliRues" p_(n)__ P_nAp_~A

pour

~un~

~-primaires de

pAp-primaires de ,

n ~ I

A

correspondent biJective-

, lesquels sont @videmment

A

A

, puisque

est un anneau de valuation

discrete.

2. Prcpri@t@s des anneaux normaux. Pour un expos@ syst@matique (dans un cadre un peu plus large, celui des

"anneaux de Krull" ), on renvoie A l'Idealtheorie de Krull, ou

l ' A l ~ b r e commutative de Bourbaki. On v a s e

borner ~ r@sumer les

principaux r@sultats.

Soit

A

un anneau normal, et soit

est un id@al premier de

A

v

~ n

forment l'id@al

son corps des fractions. Si

de hauteur I, on notera

discrete norm@e associ@e ~ l'anneau que

K

p(n)

A

! l e s @l@ments

. Si

x ~ 0

v

la valuation xcA

, l'id@al

Ax

tels n'est

contenu que dane un nombre fini d'id@aux premiers de hauteur I ; on a done

V~(x) = 0

pour presque tout

aussitSt aux @l@mente

x

de

p

, et cette relation s'@tend

K ~ . L e s valuations

v

v@rifient en

outre le th@or~me d'approximation suivant: Proposition 10:

Soient

Pi

, I ~ i ~( k

, des id~aux premiers de

III-15 hauteur

I

de

K

, deux & deux distincts,

Ii existe alors v i(x ) = n.1

Supposons Soit

x6K ~ (I 4

B = AS

__et

tousles

ni ~ 0

dont les id@aux maximaux

sont les

correspondants

9 Comme

r@sulte

A

facilement

que

est un g@ngrateur que

x

r@pond

B

m i = v i(y )

premiers

de hauteur 0

~j

pour

B

p_ ~ s

S =

k

~

est un anneau

knk.B

semi-local,

locaux

sont principaux,

principal;

si

~ on voit

.

(A - ~i ) .

, et les anneaux

ces derniers

on choisit

soient I

de

, et posons

de la d@monstration, v

~i B

nl ~I .... ~

~

A s

(z) = s

d'abord un

ni

. Soient

, autres = -v

J

et

i ~ k .

x/s

,

il en s6 S

tout de suite

& la question 9

entiers


0

&

A

ment aux diviseurs ab@lien

libre

et

engendr@

I ! en vertu du corollaire

au m~me de dire que et

ht(Pi)

Vpi(X ) ~ n i aux id@aux

. Les id~aux de

A

si ses id4aux premiers

= I

a

est de la forme

; on a donc

pour tout

i

, c'est-~-dire

x&a

non nuls de

correspondent

aux ~l@ments

par les id@aux premiers

si et

. On ~tend imm@-

fractionnaires

divisoriels

& la

K

bijective-

du groupe

de hauteur

I . Tout

III-16 ideal principal dit principal

est divisoriel,

et le diviseur correspondant

(ce qui permet de d~finir un groupe de classes

est de

diviseurs). U n anneau

A

est appel@ un anneau de Dedekind

et de dimension maximaux,

I

et l'on a

. Ses id~aux premiers de hauteur p(n) = ~

Un anneau noeth~rien

A

si ses id4aux divisoriels que ses id@aux premiers

n

A

se d@compose

est dit factoriel

s'il est normal et

sont tous principaux

de hauteur de

I A

(il suffit d'ailleurs

le soient); admettent

il revient au

un pgcd. Tout @l~ment

~ la fagon habituelle: nI nk x = u~T I ... IT k

oG

1 sont alors

. Tout id6al non nul est divisoriel.

m~me de dire que deux @l@ments de

s'il est normal

u est inversible

et les

TF.

,

irr@ductibles!

cette d~composition

i

est essentiellement

3. Fermeture

unique.

int~6Tale.

Proposition

11:

et soit

une extension finie s~parable

L

int@grale

B

de

Soit

A

A

dans

un anneau normal,

L

de corps des fractions

de

K

K

,

. La fermeture

est un anneau normal,

~ui est un

A-module

de type fini. Soit

Tr(y)

On salt que

la trace dans l'extension

Tr(y) ~ A

la forme A-bilin@aire l'ensemble que

B

des

y@L

si

y~B

Tr(xy) tels que

contient un sous-module

L/K

d'un ~l~ment

~ de plus, puisque est non d~g~n~r~e Tr(xy)E A libre

E

sur

pour tout de rang

L/K L

de

L

est s~parable, . Soit

y~B :

y

B~

! du fait ,

est

III-17 contenu dans

E~

qui est libre,

ment un A-module noeth~rien,

et comme

de type fini! en particulier,

donc un anneau normal,

,

B CB *

B

est ~gale-

est un anneau

B

cqfd.

Remar~ues: I) L'ensemble &

B

B~

est un ideal fractionnaire

, que l'on appelle diff~rente

inverse

de

de B

hauteur cr~te,

par localisation

de

L

pour lesquels

on d@finit

en les id@aux premiers

en outre discriminant,

&

A

9

, et on

I. On est ainsi ramen@ au cas des anneaux de valuation

ramification,

de dis-

groupes de

etc.

2) Lorsque l'extension

L/K

peut se faire que l'anneau ne soit pas un A-module Nagata

par rapport

par rapport

I1 est facile de voir que c'est un ideal divisoriel peut donc le d@terminer

L

(Note on integral

B

n'est plus suppos@e

s@parable,

ne soit pas noeth~rien

de type fini): closures

(eta

il

fortiori

on en trouvera un exemple dans

of Noetherian

domains,

~em. Kyoto,

t.28, 1953).

D -ANNEAUX

DE POLYNS~ES

I. Dimension de l'anneau Lemme 3:

Soit

A

un anneau,

deux id~aux premiers soient ~ a u x

A~XI,... , Xn]

de

B

soit

par

p_B

B = A~X]

, distincts,

au m~me id@al premier

En divisant

.

p

de

, soient

tels ~ue A

p'~

. Alors

, on se ram~ne au cas oG

p = 0

~'C A

~" et

p' = p_B

~"~A .

. En localisant

ZII-18 S : A - ~0]

ensuite par rapport ~

, on se ram~ne au cas oG

un corps, et le lemme est alors ~vident,

Proposition et

12:

La dimension de

2 dim(A) + I Si

pose

'

Si maintenant B

= ~i B + XB B

est comprise entre

dim(A) + I

~

...~p~

de la suite des

~i

, on

r+1

. Done

dim(B) ~ dim(A) + I

est une chaSne d'id@aux premiers

~i = ~ i ~

que l'on ne peut pas avoir

A

, et l'on obtient une cha~ne

de longueur

, et si l'on pose

c'est-~-dire

~tant principal.

eat une chaSne d'id@aux premiers de

~+I

d'id@aux premiers de

de

est

.

po C_ ... C pr ~i = 2i B

A[X]

A IX]

A

A

, le lemme ci-dessus montre

~i = ~i+I = ~i+2

. On peut done extraire

(s+l)/2 61@ments,

une cha~ne oomprenant au moins

de longueur au moins

(s-I)/2

(s-I)/2

! d'oG

~ dim(A)

,

cqfd.

Remar%ue: I1 y a des exemples de Seidenberg montrant effectivement et

que

prendre toute valeur interm6diaire

2 dim(A) + I

.Voir

6galement P. Jaffard,

dim(B) entre

dane le cas noeth6rien,

sairement

dim(B) = dim(A) + I

Lemme 4: d_~e A

A

Soit

, on note

a

minimal dane

minimal dane

W(~')

~'

un id@al de W(a_~ .

nO146,

1960).

nous allons voir que l'on a n@ces-

.

Dane lee deux lemmes ci-dessous, un id@al de

dim(A) + I

Th@orie de la dimension

dane lee anneaux de pol~rn6mes (Memorial Sci. Math., Toutefois,

peut

on pose

l'id@al

A

. Alors

~B = ~ A

, et soit p'

B = A~]

p

B

. Si

d@signe

.

un id@al premier

est un id4al premier de

B

Ill-19 On peut @videmment supposer

~ = 0

R'

. Si

n'@tait pas minimal, . Comme

il contiendrait strictement un ideal premier est minimal dane

A

q~

, on a n~cessairement

A = ~

~'~A

=

, et l'on

obtient une contradiction avec le lemme 3.

Supposons

Lemme ~: A

de

, on a

Soit

a

noeth@rien. Si

ht(p) = ht(p')

n = ht(p)

un id@al

A

de

p

est un ideal premier

.

9 D'apr~s le corollaire 4 du th@or~me I, il existe

A

, engendr@ par

n

~l@ments, tel clue

@l@ment minimal de

W(~__) . D'apr~s le lemme pr@c@dent,

@l@ment minimal de

W(~')

p'

soit est

, et le corollaire % du th@or&me I montre

ht(p') % n . L'in@galit@ oppos@e r~sulte de ce que toute chaSne

clue

~Pil ~

p

d'id~aux premiers d'extr@mit~

d~finit dane

p

B

une cha~ne

J

Ipl)

de m~me longueur et d'extr6mit~

Proposition 13:

Si

A

p' .

est noeth@rien, on a

dim(AKXl'''''Xn ]) --dim(A)+n.

Ii suffit ~videmment de prouver ce r~sultat pour d~jA que

p~ ~

B = AEX] , et soient

on a

r ~

Pj = Pj+I

dim(A)

d'autre part,

cqfd.

A

... C

Pr

. Sinon, soit

, et comme Pj C

une chains d'id~aux premiers

Pi -- P-~ ~ j

A

. Si lee

ht(p~) 7/ J

Pj+2 ~ - ' '

C

P-i

sont distincts,

le plus grand entier tel que pj' -- pjB

. Vu le lemme 3, on a

ht(p~) = ht(pj)

dane

. On sait

dim(AtX]) ~/ dim(A) + I , et il s'agit de prouver la r@oi-

proque. Soit donc de

A~X]

Pr

. On a doric r-j-1 + h t ( p j ) ~

, d'o~ (lemme 4)

, on a

ht(pj)~

j

.Mais

est une chaSne d'id~aux premiers dim(A)

, d'oG

r-1 k(dim(A)

,

III-~90 2. Le lemme de normalisation. Dans tout ce qui suit~

k

d@signe un corps. Une k-alg~bre

dite de t~pe fini si elle est engendr@e nombre fini d'@l@ments

x.

(comme k-alg~bre)

A

est

par un

! il revient au m@me de dire qu'il existe

I

un homomorphisme

surjectif

k~X1,... , X n J Th@or~me

2:

Soit

A

--~ A 9

une k-alg~bre

une suite croissante

d'id@aux de

I1 existe alors des @l@ments ind@pendants a)

A

sur

k

tel ~ue

i

--la'~ B

Remarquons

, avec

a

xl,... , x n

~ A

de

A

~I ~ . . . ~ a

--p

. , alg@briquement

,

I ~

B = k~Xl,... , Xn~ i ~ p

.

, il existe un entier

soit en~endr~ par

h(i) ~

0

(xl,... , xh(i) ) .

d'abord qu'il suffit de d@montrer le th@or&me lors~ue

est une a l ~ b r e A

A

et soit

, et tels ~ue:

soit entier sur

b) Pour tout

de type fini,

de pol2nSmes

k_~1,...,

comme quotient d'une telle alg~bre

YmJ_ A'

. En effet,

par un id@al

A

on peut ~crire a'

; notons

--O

a! --i

de

l'image r~ciproque A'

v~rifiant

--o a' C ~i' C des

x' i

.-. C '

o~

a' --p

i ~

et nous raisonnerons

dans

aI

A'

~

et soient

x'

i

du th~or~me vis-a-vis

des @l@ments

de la suite

. I1 est alors clair que les images dans

h(0)

, v~rifient

par r@currence

A

les conditions voulues

donc dans tout ce qui suit que

p = I . Distinguons

A I) L'id@al

a --~

les conditions

Nous supposerons

A)

de

sur

A = k[Y1'''''

YD

p .

deux cas:

est un id@al principal,

engendr@ par

x I ~k

.

'

IiI-21 On a

Xl

P(YI''''' Ym )

=

, o~

P

est un polyn6me. Nous allons

voir que, pour un choix convenable des entiers est entier sur

B = k[Xl, x2,... , x J

x,l = Y'l - y~i

A

, avec:

(2 ~ i

Pour cela, il suffit ~videmment que

r i > 0 , l'anneau

~ m ).

YI

soit entier sur

B

. Or

YI

v~rifie l'~quation: r r2 x m + YI m) - x I = 0 . P(YI' x2 + YI '''''

(~) Si l'on ~crit

P = (PI'""

P

sous forme de somme de monSmes

ap yp ,

P =

o~

, l'4quation pr4c~dente s'~crit:

Pm )

Pl r2)P2 .rm.Pm ~apY1 (x2 + YI "'" (Xm + Zl ) - xl = 0 9 Posons

f(P)

Pl + r2P2 + "'" + rmPm

=

, et supposons les

ri

choisis

de telle sorte que t o u s l e s

f(p)

soient distincts (il suffit par

exemple de prendre

, oG

k

r. = k i

est un entier strictement plus

l

grand que t o u s l e s

pj). I1 y aura alors un syst~me

et un seul tel que

f(p)

soit maximum, et l'~quation s'4crira:

Qj(.)

j(f(P)

4quation qui montre bien que Ceoi montre que done les

x.

p = (pl,...,pm)

:

YI

k(Yl,...,ym)

o

,

est entier sur

B

.

est alg~brique sur

sont alg4briquement ind4pendants, et

k(Xl,...,Xm) B

,

est isomorphe

l

&

k[X1,...,Xm]

qE~I~B a

A~k(x

s'~crit

b)

q = xlq'

~I~B , avec

1,...,xm) = k[x 1,...,xm]

ment clos; donc et

. De plus,

q'~B

dans ce cas.

= (xl)

; en effet, tout ~l~ment

q'& A ~ k ( X l , . . . , X m )

, et l'on

puisque set anneau est int~grale-

, ce qui ach~ve de d~montrer les propri~t~s

a)

111-22 A 2) Cas ~ n ~ r a l . On raisonne par r~currence sur

m

, le cas

~tant trivial. On peut @videmment supposer un @l@ment non nul de

~I

~

~

0

(ou

. Soit donc

t2,...,t m

C = k~s

'

t2,...,tm]

, et que

k

xIA~C

D'apr~s l'hypoth~se de r@currence, il existe des @l@ments de

k~2,...,tm~

g~bre

st l'unique id@al

alors tout de suite que B) Passage de

p-1

tl,...,t m

Xl,X2,...,x m ~

~IC...

~1~k~2,...,tm~

= xsC

.

x2,...,x m

. On volt

satisfaisant aux conditions

A

, et soit

Xr+1' ... 'Xm

satisfaisant aux conditions du th~or~me pour ~

A

r@pondent ~ la question.

C~_I

A 2), il existe des ~l@ments

l'id~al

, que

p .

des @l~ments de

du th~or~me pour la suite D'apr~s

A

satisfaisant aux conditions du th@or~me pour l'al-

k~2,...,t j

Soient

xI

, tels que

soient alg@briquement ind@pendants sur

soit entier sur

m=1)

m~me

! ce n'est pas une constante puisque

D'apr~s ce que l'on vient de voir, il existe xl ' t2'''''tm

m = 0

k~r+1,...,tm~

. En posant

r = h(p-1)

kit r+1'''" ,tm~

de

k Etr+1,...,tm~

x i = ti

.

pour

et pour

i ~ r

, on

obtient la famille cherch~e, cqfd.

3. Applications. I. Dimension dans les a l ~ b r e s Notation: noterons

Si

dim.alkA

fractions de

A

Proposition 14: corps

k

A

de pol~n6mes.

est une alg~bre int~gre sur un corps le degr~ de transcendance sur

k

k

, nous

du corps des

. Soit

A

une alg~bre i n t ~ r e

de type fini sur un

. On a: dim(A)

=

dim.alkA

D'apr~s le lemme de normalisation

.

(th@or~me 2), il existe une sous-al-

.

111-23 g~bre

B

A

de

qui est isomorphe

et qui est telle que

k[XI,--.,X n] la proposition dim(B)

corps

des fractions

L

dim(A)

3, on a

on a

puisque

z n

; d'autre

et de

dim.alkL

=

dim.alkK sur

Corollaire

I:

pun

(aveo Soit

ideal

C'est

la proposition

une a l ~ b r e de

A

par

L

et

K

13

les

. D'oG la proposition.

~ une cha~ne

premier

la proposition

= n

d'id4aux

B = k[XI,...,XN7 ) A

. D'apr~s

13, on peut appliquer premiers

de cette

chaSne

et on conolut

de

A

est inf4rieure comme oi-dessus.

de type fini sur un corps

. On a

coht(p)

. On

k

, et

= dim.alk(A/p ) 9

@vident.

Corollaire un corps

Soit

2 ("Nullstellensatz"): k , et soit

alg@bri%ue

sur

En effet,

k

puisque

15:

et soit

m

A

un id4al maximal

une a l ~ b r e de

A

de type fini sur

. Le corps

est

A/m

.

le corollaire

Proposition k

K

B

, on a

tout de suite que la longueur n

corps

B

sur

, et d'apr~s

si l'on d@signe

Au lieu d'appliquer

ou ~gale ~

applique

part,

de polynSmes

soit entier

= dim(B)

A

le lemme de normalisation

soit

A

de

est alg@brique

Variante.

en d4duit

~ une alg~bre

Soit

m

est maximal,

on a

coht(~)

= 0

, et l'on

I 9 A

une alg~bre

n = dim(A)

. Pour

int~&~e

de type fini

tout id@al

premier

~

sur un de

A

,

on a: ht(p)

+ coht(p)

-- n

, i_.e.

dim(Ap)

+ dim(A/p_) = dim(A)

.

m

D'apr~s

le lemme

de normalisation,

il existe une sous-alg~bre

B

de

A

III-24 isomorphe

kEXI,---,X n]

, telle que

A

soit enti~re sur

B

, et

que

p N B = (xl,. ,xh) Posons

~' - p ~ B

. Comm

~'

contient la chaSne

o C (x 1) C . . . C ( x l , . . . , x on a

ht(p')

~ h

~ et l'in@galit@

est engendr@e par

h

est entier sur

B

de Seidenberg montrent que

B

de c e q u e

p'

ht(p') = h . D'autre part

ce qui montre que

, et que

,

oppos@e r ~ s u l t e

~l@ments; donc

B/~'= k~Xh+1,...,Xn]

h)

A

coht(~') = n-h . Comme

est i n t @ ~ a l e m e n t

ht(p) = ht(p')

et

clos, les thgor~mes

coht(p) = coht(~')

D'oG la proposition.

Corollaire I:

Les hypoth&ses @tant celles du th@or~me 2, on a ht(~i) = h(i)

.

C'est en fait un corollaire de la d@monstration. Nous dirons qu'une chaSne d'id@aux premiers est satur@e si elle n'est contenue dans aucune autre chaSne de m~mes extr@mit@s

(autre-

ment dit si l'on ne peut intercaler aucun ideal premier entre deux 4l@ments de la chalne); nous dirons qu'elle est maximale si elle n'est contenue dans aucune autre chalne, ou, ce qui revient au mGme, si elle est satur@e, si son origine est un idgal premier minimal et si son extr@mit@ est un idgal maximal. Corollaire 2: corps

k

Soit

A

une alg~bre int&gre de t~pe fini sur un

. Toutes les chaSnes maximales d'id@aux Rremiers de

ont m~me longueur, & savoir

dim(A)

.

A

.

III-25 Soit

po C

Puisqu'elle

pl C . . . ~ h

une cha~ne maximale d'id@aux premiers.

est maximale,

on a

~o = 0

, et

~h

est idgal maximal de

A.

On a donc dim(A/Po) = aim(A)

et

dim(A/Ph)

= 0 .

D'autre part 9 puisque la chaSne est satur@e, on ne peut intercaler aucun id@al premier entre et la proposition

~i-I

et

bien

! on a donc

dim(A/~i_1)pi

~ I ,

15 permet donc d'@crire: dim(A/Pi_1)

Comme

~i

dim(A/Po)

= dim(A)

h = aim(A)

, cqfd.

et

- dim(A/p i) = I 9

dim(A/Ph)

= 0

, on en d@duit

Remarques: I) On peut d@composer le corollaire a) Pour tout id@al maximal

~

de

2 en deux parties: A

, on a

aim(Am) = dim(A)

b) Toutes les chaSnes maximales d'id@aux premiers de

Am

.

ont

m~me longueur. Nous verrons au Chapitre suivant que la propri@t@ plus g@n@ralement,

b)

est vraie,

pour tout anneau local qui est quotient d'un anneau

de Cohgn-Macaula ~ (et en particulier d'un anneau local r@gulier). 2) Le corollaire

2 peut, lui aussi,

se d4duire directement

du

lemme de normalisation.

4. Applications.

II. Fermeture

Proposition

16:

Soit

, soit

K

corps

k

finie de

K

A

int@~rale d'une a l ~ b r e

une a l ~ b r e

int~re

de type fini sur un

son corps des fractions,

. La fermeture int@~rale

B

et soit

d_~e A

un A-module de type fini (et en particulier

de type fini.

dans

L

une extension

L

est alors

c'est une k-alg~bre de

III-26 type fini). On oomparera

ce r@sultat

ne supposons plus que

A

~ celui de la proposition

soit un anneau normal,

11; nous

ni que

L/K

soit

s@parable.~ D'aprbs le lemme de normalisation, algbbre

C

fermeture

isomorphe int@grale

d@monstration & augmenter loisienne! contenue

sur

A

k[X1,...,XnU

de

C

lorsque

dans

A

si l'on note L

M

de

D

,donc

que l'extension

A

A

L/K

la

De plus, quitte est quasi-ga-

est radicielle. Yi de

~

L/M

D

D

les coefficients en les

K

la

que

B

est

nous pouvons donc supposer L

est engendr@e

, et il existe une puissance k

de

est finie

, montrera

L'extension

q

, telle que )

oomme fonctions rationnelles

Soit

! si l'on salt que

. Finalement,

caract@ristique

c1~...,c m

de pol~nSmes.

est s@parable.

M

_-

Soient

est @videmment

que l'extension

L/M

dans

par un nombre fini d'@l@ments de l'exposant

B

9 I1 suffira donc de faire la

11, appliqu@e

sur

L/K

, et

sur une sous-

la plus grande extension radicielle

, l'extension

int@grale

est entier

est une alg~bre

, la proposition

finie sur

L

L ~ on peut supposer

dans

fermeture

&

A

9

de t o u s l e s X

Yiq

' exprim@s

. L'extension

L/K

est alors

J contenue

dans

L'/K

L'

k'(X

, avec: -I '

La fermeture

int@grale B' = k'

et

B'

cqfd.

-I

...

est un A-module

'

de

-1

-I )

A -I

n

. '

dans

'

L' -I

) ""

.

m

est visiblement

@gale

~'''~ n libre de base finie.

Donc

B

est fini

sur

A ,

III-27 Remar~ue:

Dans la terminologie de Grothendieck (EGA, Chap.O, 23.1.1)

la proposition 16 signifie que tout corps est "universellement japonais". D'apr&s Nagata, tout anneau de Dedekind de caract~ristique z~ro (en particulier

~) , tout anneau local noeth~rien complet, est

universellement japonais (cf. EGA, Chap.IV, 7.7.4.)

5. Applications.

III. Dimension d'une intersection dans l'espace affine.

I1 s'agit de d~montrer que, si

V

et

irr~ductibles d'un espace affine, et si ductible de

V~W

W

sont deux sous-vari~t~s

T

est une composante irr~-

, on a l'in~galit~: codim(T)

~

codim(V) + codim(W)

.

En langage alg~brique, cela s'~nonce ainsi: Proposition 17: des polynSmes

Si

~'

et

p"

sont deux id~aux premiers de l'al~&bre

A = k~X1,...,Xn]

un ~l~ment minimal de

,

W(p' + p") _ _ ht(p) ~

o_~ k ,

on

est un corps, et si

p

est

a:

ht(~') + ht(p")

.

D~montrons d'abord deux lemmes: Lemme 6: sur

k

Soient

A'

et

A"

deux alg~bres i n t ~ r e s

. Pour tout ideal premier minimal

p -

de

ooht(p) -- dim(A' @ k A") z dim(A")

de type fini

A' ~ k A"

,

o n a :

.

(En langage g~om~trique: le produit de deux vari~t~s k-irr~ductibles de dimensions

r

et

s

se d~compose en vari~t~s irr~ductibles qui

ont toutes pour dimension Soient

B'

et

B"

r+s

.)

des k-alg~bres de polynSmes dont

A'

et

A"

111-28 soient extensions enti~res!

soient

A' , A" ~. B' ,

fractions de

B"

K" ,

K',

. On a l e

L' ,

t ~ B ' @ k B"

) A'~k

est

L'-libre

et

l'alg~bre de polynSmes B'~k

B"

suivant

0

0

K"

L' ~ k L" -libre! en particulier, B' %

A"

T

0

K'

K"

f

T Comme

les corps des

diagramme d'injections:

o -----}L' ~k L" -------. K' |

,i

L"

est

L"-libre,

K'~k

K"

est

c'est un module sans torsion sur

B" . L'id~al premier

~

coupe donc

, et le th4or~me de Cohen-Seidenberg montre

que coht(p) = dim(B' %

B") = dim(B') + dim(B") = dim(A') + dim(A")

,

cqfd. Lemme 7: ~:

Soit

C----}A

A

une

k-alg~bre,

l'homomorphisme

(i) Le no~au

d

de

~

d~fini par

l'id@al

e_!t p"

Inversement,

si

~

ce qui montre que

-a@1

est @~ale &

I ~ a - a @ I aib i x 0

ai @ bi = ~a

W(a|

sont deux id4aux de

p' @ A + A @ p" + ~

I1 est clair que

C = A~ k A

,

.

en~endr~ par les ~l~ments pour

ae A 9

A , l'image par

~

__de

p' + p" pour tout

appartient &

ae

, on peut @crire:

z (% | I - ~ | %)(I. i | bi

, et soit

- ab

C

est l'id~al de 1@a

(ii) S_i_i s

soit

b i)

9

appartient ~ l'id~al engendr~ par les

A .

iii-29 (ai~

I - I ~ ai) 9 L'assertion

(ii)

est triviale.

Nous pouvons maintenant d@montrer la proposition. Posons C ~ A@k A

,

D = A/p' ~ k A/~" ,

~ = p'~ A + A ~ p" .

On a la suite exacte: 0

Soit

7

Z = ~-I(~)

W(~ + r~ minimal de

}c

, et son image

Q

W(~') , en notant

on volt donc que

0

.

! c'est gvidemment un id@al premier minimal de

le lemme 7 montre que

D

} o

~

ht(Q)~

contenu dane

dane ~'

D

est donc un id@al premier

l'image de

~

est engendr~ par lee n

. Soit

~o

! on a a f o r t i o r i

dane n

D

@l@ments

. Mais Xi@1 - 1 ~ X i ;

un id@al premier minimal de ht(Q_/Q_o) ~ n

. Male, d'apr~s

le lemme 6, on a dim(D/Q_o ) = dim(A/p-') + dim(A/p")

!

oomme

ht(~/~o) =

aim(D/Q_o) im(Ol -

,

on trouve: n>,ht(Q_/Q_o ) =

Remar~ue:

aim(A/p-')+

dim(AlP" ) - dim(A/p_)

, cqfd.

La m@thode de d@monstration a consist@, ~rosso modo, &

remplacer le couple

(p-', p-") par le couple

(!, r_~

. C'est ce

que l'on appelle la r@duction & la dia~onale (c'est l'analogue alg~brique de la formule

V~

W = (VX W ) ~

~

) . Nous verrons au

Chap.V que cette m@thode s'applique ~ des cas sensiblement plus g@n@raux, et permet notamment d'@tendre la proposition pr@c@dente & tout anneau r@~ulier.

IVC!LAPITRE

DIMENSION ET CODI~Z~?NS_ION HO~DLOG I qUES

IV

%

9

A - LE CO~mLEXE DE L,ALGEHRE EXTERIEURE

I.

Le Cas Simple . La plupart des r~sultats des para~raphes

sans hypoth~se noeth~rienne ; soit donc @l@ment unit6, et KA(x)

x

un @lSment de

le complexe suiv~nt:

A

A

ex

de

du complexe

K(x)

I

darts E1(x )

Si

M

est un

=

a.x

et

I

,

ces modules), d : K(x,M) 1 d(ex@ K(x,M)

Ko(X )

et nous choisirons

A

K1(x)

sur

, d@fini d : K

9 La d@rivation

, si

K(x)|

-K

:

a ~

. Alo s

K(x,M)o = Ko(X)$AI~[ =

K(x,M) I = K I ( x ) | > K(x,M)o

m) = x.m

et

A

9

A-module unitaire~ nous noterons

le complexe produit tensoriel n~O,

sont valables

n ~ Or I

sera d4finie par la formule

d ( a e x)

2

un anneau commutatif,

si

une fois pour routes un isomorphisme de par l'image

Iet

A 9 Nous noterons a/ors

K~(x) = 0

En fair, nous identifierons

si

(KOSZUL)

ou

M

K(x,M)

= 0

(nous identifierons

et la d~rivation

est d4finie par la formule : m ~ M

9 Les modules d'homolo~ie

sont tout simplement :

de

IV-2

He(K(~,M))

=

M/~.M

HI(K(~,M))

=

(o

Plus g~n~ralement, si

L

Proposition

I :

:

est un complexe de

modules d'homologie du complexe aux modules d'homologie de

(x))

9

L

K(x) | L

An.(~)

9

A-modules, les

sont reli~s simplement

:

Sous les hypotheses ci-dessus, on a ~our tout entier

p

des suites exactes :

O

W H o (K(x)@ A Hp(L) )

> Hp (K(x) @ A L)

HI(K |

I(L))

En effet, pour tout entier

>O

p

9

est une

, (K(X)@ALp_I) p

somme directe 9 (K(x)| AL)p

=

Si l'on consid@re

(Ko(X)@ALp)

K (x)

et

+

(KI(X)@ALp_I)

KI(x )

comme des

A-modules,

o

on obtient ainsi une O

> (Ko(X)(~AL)p

suite exacte ,de c,o, mplexes > (K(X)@AL)p

:

> (KI(X)QDAL)p_I

> 0

et la suite exacte correspondante des modules d'homologie 9

K I ~ A Hp(L)

d @ I> K o @ A Hp(L)

> Hp(K |

> K I @ A Mp-I(L)

d| I>Ko@A

Hp-1 (L)

IV-3 La proposition en rgsulte, car

Ho(K| HI(KcHp_I(L)) Corollaire : et si

x

Si

=

Ker

est un complexe acyclique sur

: (Ko~Hp_1)

est un complexe acyclique sur

6: M --* M

n'est pas diviseur de

(KI@ Hp_1).

0

,dams

M , alors

M

,

K(X)@A~

M/ M

En effet, il suffit d'appliquer la proposition au complexe L = -M = (Mn)

9 On obtient alors

HI(K(X)@AM)~

o

HI(K(x)| A Ho(.g)) = HI(K(X)|

Si maintenant d~signerons par

si

p >I

(0 : (x))M

. Xl,...,x r

~ooe

Alors el"I |

sont

=

donn~ ~.

Ar

41~ments de

KA(xl)@A EA(x2)@A

K p (x I' 9 " 9 'Xr)

est un

... | e.zp

ii~

~

, d'od le nom de

KA(xl,''',Xr)

A

nous

"'" |

KA(xr)

:

"

A-module libre engendr6 par

i2
I

K(x ], 9 9 ,Xr_ I;M)

xI

n'est pas

et la propri@t~ d~montr6e pour le et prouvons la pour

i

~/(x ~ ,x I'' 9 " ,xi_ i) .L~

9

Supposons donc compl exe

p

eip~(xikm)

= (o ,

n'est ~as diviseur de

, alors

O

le

. On a manifestement

p > 0

La proposition est vraie si

diviseur de

>

8i, sous lee hypoth@se s pr6c~dentes, et pour tout

x I9 od

(~,M)

...~

suivantes ~tudient le cas o~

d'homologie sont nuls pour

'

:

et

o (,,M)_ = M / ( + I , . . . , % ) + +

dp : Kp(~,M)

ei1~D ... ~ i k |

Dane la suite nous d@signerons par d'homologie du complexe

Kp(X,~)

"'" ( ~ A ei P ~ A M

, et la d~rivation

est donn~e par la formule

d(e i ~ ... $ e i ~ m )

ou

K(Xl,...,Xr)4~A.T~ = K(X)@AIJ~

est ainsi somme directe des modules o~

; M)

K(x1'''''x-;M)r - :

9

IV-5 alors l'application oanonique de H 0 (Xl,

" " " 9Xr--

I~M) = M/(Xl,

comme

complexe au-dessus de

l& proposition Proposition

I

3:

A noeth4rien et

~ " " 'Xr-

HI(X,M )

o)

Pour tout

darts

""

, et le corollaire

S_~, en plus des hypotheses pr@o@dentes, on suppose ~i de type fini, et si les [(A) de

.

o

=

0

pour

i ,

I~

xi

,

I ~ i~

r

A , alors, les assertions

:

I

p~

i ~r

, x i

n'est pas diviseur de z6ro

M/(Xo ,x i, ... ,xi_ I)~

II reste ~ montrer que si

K(x I'" 'Xr- II~)

d~finit

~/(Xl,...,Xr_1)M

suivantes sont 6quivalentes

b)

i)~

dans

s'applique ~ notre cas.

appartiennent au radical

,)

Ko(Xl,...,Xr_1lM )

r : I

b)--~,

o)

, oe qui a d~j~ 6t6 fait

.

On peut dono supposer que la d~monstration a 4t~ faite pour

K(x I"" "'Xr- tiM)

et la faire pour

K(x1,...,XrSM ) ,

Or la suite exacte :

o ---->%(K(=r) m H;(=~,...,=r_~)) -~H1(K(xr) |

entralne que

i( ~,''',xr-1

~II(K(~) ~ ~o (~I, "'" ,~p-1~M))

>,~ i (=_.,:,0

Ho(Xl,...,Xr_l~M))

~'O/~r "~I( ~,''',%-I~ sont nuls ,

~-0

M)

dono que

et

IV-6 H1(Xl,...,Xr_1~M )

et

H 1(Xr ~Ho (x i, 9 9 9 ,Xr_ I~M))

Is sont

(Nakayama) et, module d'hypoth~se de r@currence, ceci entrafne le r@sultat cherch4. Corollaire: X

La condition

= ~Xl,...,Xr)

c)

9

La correspondance entre fonctorielle pour

~

exact. Si

>M'

0

ne d~pend pas de d l'ordre de la suite

M

et

K(~,M)

donn~, et le foncteur > M

> M"

> 0

est 6videmment M ~ > K(~,M)

est

est une suite exacte,

on obtient une suite exacte de complexes : ~K(~,M')

0

~K(~,M)

; K(~,M")

>O

et une suite exacte d'homologie :

9

~1(_~,u)

. .

En outre

~(x,M)

l'id~s/ engendr~ par

>

~(_~,m,) , ~o(_~,m) ~o(_~,M)

est na%urellement isomorphe ~

Xl,...,xr) 9

HomA(A/x,M)

Ces isomorphismes natumels de

foncteurs se prolongent de mani~re unique en des transformations naturelles

7

et

~

(Cartsm-Eilenberg, Chap. III)

,

~,

Ext~(A/x,M) ) ~r_i(__x,M)

et

~o

IV-7 Si les hypoth@ses de la proposition = A de

, l'application canonique de KA(~)

; en particulier

(volt le paragraphe

C)

sur

~o(~)

une rgsolution projective

isomorphisme

sont satisfaites pour

2

A/~

de

A/~

A/~

fait alors

et devient un

a pour dimension homologique

r

.

Nous laissons au soin du lecteur de d@montrer que sous les m~mes hypotheses

~

(II existe un isomorphisme de

est un isomorphisme

Hom(K i (_~),~)

sur

qui commute avec les

~ - i (-~)| ~

op4rateurs bord). Dans le cas g@n@rsl, soit ind@termin@es B

=

de

XI,...,X r

A [XI,...,Xr]

B

l'anneau des polyn~mes en

, ~ coefficients dans

9 D@finissons sur

B-modules par les @galit@s :

X.ml = xim

si

m ~ M

9

r@solution projective de

A

XiQ

A =

Alors

et

A

M

0

,

i.e.

des structures

si

Q E A

K$(XI,...,Xr)

et

r

et

fournit une

=

on a donc l'isomorphisme naturel : D'o~ la A ~

Proposition

4;

contient

et

x

L'annulateur Ann M

On salt en effet que mais

de

.

H~i(~,M )

,

- ~ i

~

+ ~

,

9 B AnnB(TOri(A,M))

AnnBA = (Xl,...,Xr)

et

AnnBA + A n n ~

AnnBM ~ A n n A M

,

+ (X I - xl,...,Xr-Xr).

IV-8 Enfin, on d@montrererait sans difficult@ que si partie multiplicativement stable de et

H(x,Ms)

=

H(x,M)S

A ,

9 De m~me si

M

de type fini, et si l'on munit lee

_

-adique o n

a

lee relations entre

K(x,M S) ~ A

K(~,M)

et

est une K(x,M) S

est noeth@rien et

A-modules de la filtration

,

=

S

.

K(G(x), G(M))

vent faire

l'objet du pars~Taphe suivant .. 3.

La suite spectrale associ@e au complexe de l'al~@bre ext@rieure. M~nissons, sous ies hypoth@ses ci-dessus, le module

filtration

x-adique st d~signons par

gradu~s associ~s ~

XI,...,X

M e t A , par

darts x_/~

G(M)

et

11"'"~r

et par _~ la

l'id~al engendr~ par cette suite dane

G(A)

de la lee

lee images de

~'I'''"

suite G(A)

M

~r

ou

lorsqu'il n'y aura

pas de confusion. Le complexe

KG(A) (~) @ G(A) G(M)

somme directe des modules noterons K(x,M)

Kp(x,xiM)/Kp(X,Xi+IM)

Kp(~,_ Gi(M)) applique

est manifestement que nous

9 En outre, la differentiation

Kp(X,XiM)

dane

Kp_1(x,xi+IM)

d

st induit donc

une application d : Kp(~, Cette application

d

Gi(M))

~. Kp_1( ~, Gi+I(M))

d~finit sur

K(~,

G(M))

une

structure de complexe, somme directe des complexes : p+i~n Kp(

Gi(M )

de

.

.

iV-9 En fait, la graduation de EOn(X,M) avec

G(M)) d~finie par les

K(~,

est associ@e ~ une filtration de d

9 d~signons en effet'par

K(x,M)

FnK(x,M)

compatible

la somme directe

i ~o

~K(_~,M)

.

~

Kp(x,xiM)_ _ ,

o~

_x~

M

p+i=n Alors

d

applique

manifestement induit par

Fr~K(x,M)

dslas

F~C(x,M)

FnK(x,M)/Fn+IK(x,M) = E o(x,M)

d

, on a et

~n

est

dans ce passage au quotient.

Nous nous trouvons ainsi dans la situation du Compl4ment au Chapitre II,A ,

et il existe une

n'est autre que

tlm

~

O

E~

n

Le terme

"E I"

et est somme direote

et qui aboutit ~

"Eoe"

FnHp(X,M)

,

HA(x,M) 9

--

o

(pour

E(~~ p+i=n)

E~,i(x,M ) = Hp(K(_~ ,Gi(M)) ,

si

dont le terme

de cette suite est donn~ par la formule

.~(~,M)

Le terme

suite spectrale

des modules

que nous noterons

~(_~,Oi(M))"

peut ~tre construit de la mani~re suivante :

d~signe l'imags de

on a :

Ep~i(x,M)

Hp(FnK(x,M))

o

dans

FP+iHp(~_,M) / Fi+I+PHp(~_,M).

IV- 10 On salt que la filtration de la

suite spectrale converge

H (x,M)

est

x-bonne et que

au sens du Chapitre II 9

Pour l'@tude plus pr@cise de cette suite spectrale, nous allons nous restreindre noeth@rien,

M

est un

de longueur finie et

~C~(A)

~p(X,M)

9

Afortiori

est un

De m~me,

p ,

M/xM

est

9 ~p(X,M)

est annul6 par

V(~p(X,M)) ~ V ( M ) ~

W(x)

et

A-module de longueur finie.

H (~

G(M))

est un

Iongueur finie, et comme c'est m~me un

est

A

A-module de type fini,

Alors pour tout entier x + AnnM

au cas suivant :

G(A) / ~

en particulier

H (~, P _

G(A)-module gradu@ de

appartient ~ son s~nulateur, =

ASx--module

G i(M))

=

de longueur finie :

0

si

Ceci va nous permettre de calculer la

i

est grand.

caract~risti ~que

d' Eul er-Po incar g --

En effet, comme

H (~, P --

p=r

G i(M))

=

O

pour

i

grand,

on a

i=s-p (-I) p -si

s

est assez grand

celle de son homologie"),

i--O (la

~ ( H p ( ~ ,Gi(M) )

p~O

"caract@ristique

d'un complexe vaut

IV-I I

J:~

EI(x,M)) ~ ~

9

$d(E~

r

i=O

p--O

_- ~

(-I)P ~(Kp(_~,M)/Kp(_~,_~e-P+IM))

--p~

{-1)P(p) P_x(M,t-p)

pour

t grand

(t=s+1).

Nous laissons au lecteur le soin de v6rifier que cette derni@re r quantit~ n'est autre que /~Px(M,S) (avec les notations du Chapitre II), quantit~ que nous noterons d~sormais Ainsi

~(~,

G(M))

=

ex(M,r )

ex(M,r ) 9

.

La convergence de la suite spectrale : Epl i (x,M) ~

Ep2 ' i

(x,M) --~

...

~

Epe~., 1 (-x'M)

entralne les ~galit~s :

.?'.(~, G(~)) = j(E~(x,~)) .. ~(E2(_=,M)) ....., 7-.(E'~(x,M)) , et cette derni~re quantit~ vaut ~videmment :

%(~(x,M) )

r , parce que la filtration de p=O

IV- ~2 Nous pouvons r~sumer lee r~sultats dane le

Th~or~me A

I:

Si I, ideal

x = (x I,"" ",Xr)

est oentenu dane le radical de

type fini tel que

M/xM

A , Si

de i 'anneau noeth~rien M

est un

A-module de

soit de longueur finie, alors : sont. de lon~ueur finie, soi___~t hp(X,M)

r

b) s__i

Le calcul de modules

4.

(-I) p hp(X,M)

,.

~(x,M)

Hp(K/FiK)_

M

Hp(~,M)

est un module sur l'annesn semi-local

=

A

a) dane

Pour tout

i

M/a i_ _I ~ K(_a,M)

, on appelle

d'~l~ments de

~a1,''',ap}

tions @quivalentes

o)

~ (x,M) = ex(M,r)

peut encore se faire ~ l'aide des

isomorphes ~

d@signe le radical de

b)

alors

si

i

est assez o~rand.

La codimension homolo6i%ue d'un module sur un anneau semi-local. Si

A

,

~

A

M-suite de

, et si A

route suite

qui satisfont aux condi-

: ,

I ~ i ~p

, od

--oa = 0

,

ai et

n'est pas diviseur de ai_ I = (al,...,ai_1).

est un complexe acyclique (en dimension > 0 ) 9 :

o

.

IV-13 L'@quivalence de ces trois assertions a i@j~ @t@ d@montr@e en particulier, ces conditions ne d4pendent pas de l'ordre de la suite. Si l'on d@signe par si

b

= ~b1'''''b e ~

~__bl

=

et seulement si 0

dane

Mp

associ@ ~

est une

~al,...,ap,

Une telle suite

~

~

i~

, et

~Ip-SUite, la suite

b1,...~bel

est une

~-suite.

existe (et pose@de au moins un @14ment) si

contient un 41@ment qui n'est pas diviseur de

~ c'est-~-dire M

}~i le module

si et seu!ement si

r

n'est pas

"

P

Cette derni~re condition 4quivaut encore ~ l'~galit4 HJomA(k,Mp) = O maximal de de

M

A

o~

k = A/r

(en effet, si aucun id4al

n'est associ4 ~

et r@ciproquement),

de la suite

a

Proposition

5:

M

n'annule aucun 41@ment

et ne d@pend que du nombre

Sous les h~poth~ses ci-dessus,

A-modules

N

p=O

M1-suite , on a

montrer que d4finie par

, et non

et lee

N-suites de racine de

Hom(k,~Ip) ~

ExtP-1(k,~1 ) ~ a1

dane O-

M

> M

Hom(k,I'~Ip)~ExtP(k,~[)

. Supposons la donc d6montr4e

41~ments, et montrons la dane notre oas = set une

p

, comme il r~sulte de la

La proposition est vraie si pour tous lee

, r

Comme

~a2,...,ap)

ExtP-1(k,M1 )

ExtP(k,l~)

p

, et il reste

; mais l'homoth@tie

donne naissance aux suites exactes : a1

> ~

> MI-----~

0

et

.

IV-14 9 -.----~Ext p-I (k,l~i)

Or,

ExtP-1(k,M1) --~ ExtP(k,M) ~!~ ExtP(k,M)

ExtP-1(k,M) - Hom(k,Mp_1) - 0

ExtP(k,M)

contient

ExtP-1(k,141)

dans

Ann(k)= r ExtP(k,M)

Supposons maintenant

st

et l'annula~eur de

al :

l'homomorphisme de

est done un isomorphisme, q.e.d.

M # 0

9 La suite d'id@aux

a

C

~O

a ...C~i~ --I

" " "

@tant strictement croissante, il est clair qu'il existe une M-suite maximale a = ~a ,...,apl --

.

I

On a alors

ExtP(k,M) ~ 0

et

cette propri@t@; en particulier

p

p

est le plus petit entier ayant

ne d@pend pas de la suite maximale

choisie. D'ofl la

Proposition et d@finition 6: mGme nombre d'@l@ments, soit

Toutes les p

. Toute M-suite peut ~tre prolong@e

en une M-suite maximale. L'entier tels ~ue d_~e M

Extn(k,M) ~ 0

M-suiSes maximales ont le

p

est la borne inf@rieure des

et s'appelle la codimension homolo~i~ue

. (On l'appelle aussi la profondeur de

M

n

codh A M

.)

Corollaire: Avec les notations ci-dessus, codh A M i = cod A M - i

La codimension homologique de de la vari@t@

V(M)

associ@e &

M

M

s'interpr~te ais@ment & l'aide

. En effet, toute

peut Gtre construite de la mani~re suivante:

soit

M-suite de

d

A

la plus petite de o

cohauteurs des id@aux premiers associ@s ~ de

r

M

et

aI

un ~l@ment quelconque

qui n'appartient & aucun de ces id@aux premiers

aucun id@al maximal de

A

n'est associ~ &

M

). Alors

(a I aI

existe si est le premier

Iv-15 @l@ment d'un syst~me de param~tres de dans

N

; par suite, si

M I = M/aIM

codh I M 1 ~ cOdhAM - | et

dI

des id@aux premiers associ@s ~ dI ~

dim A M I sI =

do

-

En effet, si de prouver que soci~ ~ MI

MI

et n'est pas diviseur de

, on a l e s

0

@galit~s:

dim A M I = dimAM - I 9

D@signons maintenant par

et

M

la plus petite des cohauteurs

MI

! on a ~videmment

do ~ dimA g

. Je dis qu'en outre: d I -I

p

~

0

.

est un ideal premier associ@ &

~ + (al)

, ou comme

, c'est-~-dire que

M

, il suffit

est contenu dans un id@al premier aI

annule

MI

Hom(A/~, MI) ~ 0

, que

~

~

as-

annule un @l@ment de

.

Mais on a la suite exacte: 0 --~ Hom(A/p, M) ~ - $ et

Hom(A/p,M1)

Hom(A/p, M) --~ Hom(A/p, MI) --~

oontient le module non nul

...

Hom(A/~,~)/a I Hom(A/p,M)

(lemme de Nakayama) et n'est donc pas nul, c.q.f.d.

Si

dI ~ 0

, soit

a2

un @l~ment quelconque de

tient ~ aucun id@~l premier associ~ ~ tient ~ un systems ~sm~metres

MI

. Alors

quels sont associ~s les nombres M-suite

al, a2,... ,

fournit les ~galit~s:

qui n'appar-

lal, a21

et est une M-suite; soit

On construit ainsi de proche en proche des modules

~

appar-

M 2 = MI/a2.MI...

M,MI,M 2 ...

do, dl, d2,... , sl, s2,... ,

. Le proc~d@ s'arrGte lorsque

dp

0

aux-

et la et

IV-1 6 dim A M = dim A M p

+ P 9 co&h A M P = 0

codh.a M = p = d

o

- _(sI +...+ s ) p

et

@

La proposition pr@c~dente affirme que le nombre somme des "sauts" 9 faite. En outre,

s I +...+ Sp

p

et la

, ne d~pend pas de la construction

si l'on compare le raisonnement

struction d'un syst&me de param~tres,

fait avec la con-

on voit que route M-suite peut

~tre prolong~e en un syst~me de param~tres: Proposition 7: dim A/p

Si

p

est un id4al premier associ4 A

M

, cOdhAM

. Toute M-suite peut Gtre prolon~@e en une suite de

param~tres. Reste ~ @tablir quelques propri~t~s fonctorielles La d@finition ~ l'aide des Par exemple,

si

0 --4 K' m ~

on a l'in~galit~:

M N~

= EXtA~ (k,M)

M

, donc

M" - - ~ 0

est une suite exacte,

de la topologie

~-~dique,

cOdhAM = codh~M

on a

et la A

Proposition 8: maximale de

Toute M-suite maximale de

A

est une

si avec les notations ci-dessus,

est une M-suite de

A

on a l e s

~ = fal,...,apl

suites exactes:

a~

0

l

> Mi_ I

) Mi_ I

) Mi

)0

et donc aussi

a.

o

i-I

M-suite

A 9

En effet:

>

i-I

.

permet d'en @tudier quelques-unes.

cOdhAM ~ Inf(codh A M' , co&h A M") ....

De m@me si l'on munit

EXtA/~k,M)

"Ext"

de cOdhAM

,>o

iv-17 A

La suite

a

est donc tune M-suite de

M

, elle

A

. Si en plus

a

est

A

maximale

pour

est

maximale

pour

M

(~galit~ des codimen-

sions). La codimension homologique

est une notion locale, comme

le montre la proposition: Proposition ~,

cOdhAM = Inf

codh A . M m

m

m

id@aux maximaux de l'anneau semi-local

On peut le d~montrer ~ l'aide des tion pr6c6dente,

M

m

parcourt

l%s

A

"Ext"

, ou de la construo-

ou encore en remarquant qu'on peut supposer

complet! mals alors plets) et

, o_~

--

A

A

est somme directe d'anneaux locaux (com-

somme directe de modules sur ces anneaux locaux! le

r~sultat est trivial.

B) MODULES DE C 0 ~ N - M A C A U L A Y Dans tout ce paragraphe, d'id~al maximal note

Ass(E)

~(A),

l'ensemble

et

E

A

d~signe tun anneau local noeth~rien,

d~signe un

A-module de type fini. On

des id~aux premiers de

A

associ~s ~

E

(cf.

Chap.I). I. D~finition des modules de Cohen-Macaulay . On salt (prop.7) que, pour tout Comme dim.E

dim.E ~ Sup.dim(A/s ) ~

codh.E.

pour

p,Ass(E)

p_~Ass(E)

, on a

dim(A/p_) ~ codh(E).

, on a en partioulier

IV-I 8 D~finition I : si l'on a

On dit que

E

est un module de Cohen-MacaulaF

codh(E) = dim(E)

On dit que

A

est un anneau de Cohen-MacaulaF si c'est un mo-

dule de Cohen-Macaula[ lorsqu'on le consid~re comme module sur lui-mSme.

Exemples.

I) Un anneau local d'Artin, un anneau local int~gre

de dimension I, sont des anneaux de Cohen-Macaulay. 2) Un anneau local int~gre et int@gralement clos de dimension 2 est un anneau de Cohen-Macaulay. En effet,

si

nul de

Ass(A/xA)

z(A)

, lee id@aux premiers

donc distincts de codh(A/xA) ~

I

~(A) d'oG

puisque

p

de

x

est un 41@ment non sont de hauteur I,

dim.A = 2. On en conclut que

cod_h(A)~2

, ce qui montre bien que

A

est

un anneau de Cohen-Macaulay.

Proposition 10:

Pour ~ue le

A-module

Cohen~lagaulaF il faut et il suffit %ue le

E

soit un module de

A-module compl@t@

E

soit un module de Cohen-Macaulay. codh(E) = c~

Cela r@sulte des formules

Proposition 11: riens et soit

Soient

~ : A --~B

A-module de t~pe fini. S_~_i E

A

e_}_t B

et

dim(E) = dim(E)

deux anneaux locaux noeth~-

un homomorphisme qui fasse de

B

un

est un B-module de tFpe fini, alors

est un A-module de Cohen-Macaula~

si est seulement si c'est un B-module

de Cohen-Macaulay. Cela r~sulte de la proposition plus g~n4rale suivante:

Proposition 12: riens, et soit

~:

Soient A

. )B

A

E

et

B

deux anneaux locaux noeth~-

un homomorphisme qui fasse de

B

un

.

IV-19 A-module de type fini. Si

E

est un

B-module de t~pe fini, on a

alors:

OO A( ) -- oo (E) L'homomorphisme

~

e~t

dimA(E ) - dimB(E )

applique

un A-module de type fini~ soit consid~r~ comme A-module.

~(A)

dane

al,...,a n

z(B)

b i = ~ ( ai)

Si l'on pose

est maximale,

F = E/(al,...,an)E sous-B-module bien que

de

il existe un sous-A-module qui est annul~ par

F

z(A)

, lee

est une suite maximale.

cOdhA(E ) = n = oOdhB(E )

. La formule

E

forment

bi

en effet, puisque

non nul F' de , st

F'

qui est de longueur finie sur

b1~...,b n

Best

une E-suite maximale de

une B-suite. De plus, cette B-suite est maximale; (ai)

puisque

B

engendre un , ce qui montre

On a done

sur la dimension se d4montre

imm@diatement.

2. Diverses caragt@risations Proposition dimension

n

13:

Soit

. Pour tout

De plus,

p

~

, on a

dim.A/p = n

, e__~t

dim(A/~) ~

codh(E)

(cf.D~

d'oG

, puisque lee termes extremes sont @gaux. ~'

de

V(E)

, et

dim(A/p')=n=dim(A/~)

, c.q.f.d.

Propositipn n

de

.

, on le salt; ce qui pr4c~de montre que

~' = p

dimension

A-module de C o h e n - ~ c a u l a ~

contient un 41@ment minimal

p'EAss(E) d'oG

un

Supp(E)

dim(E)

dim(A/p) = dim(E) = n

E

p~Ass(E)

est un @l@ment minimal de On a en effet

des modules de Cohen-Macaulay.

14:

Soit

, et soit

E

u__n_n A-module de Cohen-~lacaula~ de

x G ~(A)

tel ~ue

dim(E/xE)

= n-1

. Alors

IV-20 l'homoth@tie

d@finie par

x

dans

E

est in~ective~

et

E/xE

est

un module de Cohen-~lacauiay.

Soient l'un des

pl,...,p_k

~i

, disons

dim(E/xE) ~ n

9

oodh(E/xE)

fait que

E/xE

Ass(E)

~I

~I ~ V(E/xE)

x

fie que l'homoth@tie alors

les @l@ments de , on aurait n'appartient

d@finie par

= codh(E)

x

- I

. Si

~ aucun des

dans

E

(corollaire

~i

x

appartenait

&

, d'o~ , ce qui signi-

est injective.

On a

de la p~p. 6), d'oG le

est de Cohen-~lacaulay.

Th~or~me

2:

S_i E

est un module de Cohen-~acaula~,

de param&tres

de

E

est une

E-suite.

de p~ram&tres

de

E

est une

E-suite,

R@cipro~uement, E

tout s~st~me

si un s~st~me

est un module de Cohen-Y~-

caulay.

Supposons que et soit

E

soit un module de Cohen-~iacaulay de di me ns io n

(Xl,...,Xn)

un syst~me de param~tres

montrer par r@currence que

E/(Xl, . . . , X k ) E

c'est @vident. remarquant

sur

k

k

~

de

E

La r@ciproque

est t r i v i a l e .

Corollaire:

SiE

est un id@al de

de dimension

k+1

de

. Nous allons

est une E-suite

en utilisant

dim(E/(xl,...,Xk)E ) = n-k

un syst~me de param&tres

de param~tres

(Xl,...,Xk)

E

est un module de Cohen-~iacaulay. Pour

On passe de

que

que

de

A

@Gale ~

xi

dim(E)

- k

,

et en

forment

9

est u n module de C o h e n 4 ~ c a u l a ~ ,

, le module

et

k = 0

la prop.14,

puisque les

engendr@ par une partie ~ A

n

ESaE .

k

et si

a

@l@ments d'un s~st&me

est un module de Cphen-~acaula~

,

IV - 21 Celaa

@t@ d@montrg en cours de route.

La condition du th.2 peut se transformer en utilisant les r@sultats de

(A)

. Soit

E

X- = (xl,...,Xn) x -

un

A-module de dimension

n

un syst~me de param~tres de

l'id@al engendr@ par les

x

, et

E

; on note @galement

9 On d@signe par

e ''~X-,E) la multi-

l

plicit@ de

x __

par rapport &

E

soit

n

(cf. th@or~me I), par

Hq (X-,E)

les

groupes d'homologie du complexe de l'alg~bre ext@rieure d@fini par X- et

E

, par

filtration

Gx(E )

x_-adique. Avec ces notations,

Th6or~me ]:

E

le module gradug associ@ &

Soit

E

un

filtr@ par la

on a:

A-module de dimension

n

. 8i

E

est

un module de Cohen-~6acaula~, pour tout s~st&me de param~tres X- = (xl,...,Xn)

i) ii) iii) iv)

de

en(X_,E ) = GX-(E)

E

, on a

#(E/X-E),

=

(E/__z.E) [XI,... ,Xn]

H (x,E)= q

0

siun

pour tout

Chacune des propri@t@s X- est une

d'autre part i)

H (~ ,G(E)) qui entraSne i~

I

.

i)

9

E

ii)

pour

iii)

v~rifie l'une ~uel-

est @quivalente au fait iv)

et

sont @quivalents

d'apr~s le th@or&me I; enfin sont nuls pour

E

est un module de Cohen-~acaula~.

i), it), iii), iv)

E-suite: et

q ~ I

s~st~me de param~tres de

con~ue de ces propri@t@s,

tra~ne

E/X-E

longugur de

H 1(x,E) = 0

R@cipro~uement,

que

les propri@t@s suivantes:

i ~ I

(of. suite speotrale de

. Le th@or&me rgsulte de l&.

, c'est la prop.3

(Chap.II, th.2);

it)

st que A), n~

; en-

iv)

entra~ne que les Ho( ~ ,s(m)) que

E/xE

Hi(X-,E ) = 0

9

oe pour

IV - 22 3. Vari@t@ d'un module de Cohen-Macaulay. Th@or~me 4: et soient

Soit

un module de Cohen-l~lacaula~ de dimension

Xl,...,Xr~r(A

Tout @l~ment

)

tels ~ue

dim.E/(Xl,...,Xr)E

p_ d__ee A s s ( E / ( X l , . . . , X r ) E )

L'hypoth~se

signifie que

syst~me de param~tres module quotient dimension

E

n-r

de

E

xl ,. .. ,x r

dim(A/p)

. = n-r

s'ensuit en appliquant

les modules de Cohen-Macaulay.

de

la proposition De fagon pr@-

cise: Soit

pour toute famille dim.E/(xl,...,Xr)E on ait

Supposons d'@l@ments comme

done xi

dim(E)~ I

p~Ass(E)

un module de dimension

(Xl,...,Xr) = n-r

dim(A/p ) = n-r

On raisonne

E

d'~l@ments

, st pour tout . Alors

E

par r~currence n2 I 9

, on voit que

sur

n

z(A)

, le cas

tels ~ue

n = 0

l'hypoth~se

x 1 ~ z(A)

d@fir~ par

. Supposons ~ue,

p@Ass(E/(xl,...,Xr)E )

di m( A/ p ) = n

, il y a done

de

n

est un module de Cohen-Macaulay.

E n appliquant

. L'homoth@tie

~ la famille vide

pour tout

p~Ass(E)

qui n'appartient darts

xI

@tant trivial.

E

;

~ aucun des

est alors injective,

et l'on a: codh(E)

= codh(E/xIE ) + I

,

dim(E) = dim(E/xIE ) + I .

De plus, il est clair que le module th.5 avec

n-1

au lieu de

.

ferment une partie d'un

est un module de Cohen-Y~caulay

, et le th@or&me

Th@or~me ~:

,

. D'apr~s le corollaire au th.1, le

E/(Xl,...,Xr)E

Le th.4 caract~rise

est tel ~ue

-- n-r

n

n

E/xIE

v@rifie

; d'aprgs l'hypoth&se

c'est done un module de Cohen-~iacaulay,

les hypotheses

du

de r@currence

et il en est de mGme de

E

.

13.

IV - 23 Th@or~me

6:

Soit

et soit

p-~Supp(E).

gl@ments

xl,...,x r

E

I1 existe alors un entier

r

d'un s~st~me

de

p-gAss(E/(xl , . . . , X r ) E ) et

E

est un

Soit

ments de

p

tient l'un des

, soit

pour tout

pour tout

i

n'appartenant

que les

9 Comme

p

effet, on aurait

, on a

, et que les

,Xr)E)

9 Je dis que

, et

P = P-I

-- dim(A/P_i )

, d'o~

x 1,...,xr+ I

x1~...,x r

xi

Ap--suite de puisque

. Ceci prouve bien que

E

P-/ p-i x

r+1

ferait alors au caract&re

xi

, c.q.f.d.

v@rifient

E

la

dim(A/p_) = n-r

, qui est en mgme

p- est 41gment minimal

de

est un module de Cohen-

Pr

en

.

et prouve en m~me temps que

forment une

dimension

un @l@ment

~ contrairement

, ce qui montre que les

temps un syst~me de param&tres, V(E/(xl,..., X r ) E )

E

p- con-

. Sinon,

; le syst~me de

les @l@-

x 1~ .- -~ x r

A aucun des

Pi

con-

9

p-

Pl

E

on a

p

P-= Pl

= r

de

Pi

trouver dans

condition de l'@nonc@,

Macaulay de

dim(Ep)

, et on pourrait

On a donc

r

, tels %ue

sont les gl@ments mi ni ma ux

Pi

dim(A/p-) < dim(A/Pl)

du syst~me

De plus, les

i

pgV(E)

pattie d'un syst~me de param~tres maximal

E

Soient

; d'apr~s le th.4,

= n-r

sont contenus d~ns Pi

, et une partie &

= n-r,

pour cette propri@t@.

en particulier

V(E/(Xl,...,Xr)E )

n

de Cohen-Macaulay.

Ass(E/(xl,...,Xr)E ) dim(A/Pi)

de

dim(A/~)

de dimension

une partie d'un syst&me de param&tres

et maximale

I1 en r@sulte

de param~tres

. On a alors

A -module

x 1,...,x r

tenue dans

un module de Cohen-Macaula~

IV - 24 Corollaire anneau

I:

local~s@

d'un anneau

de Cohen-Macaulay

est un

de Cohen-~,lacaula~.

Corollaire deux

Tout

41@ments

2:

Soit

de

Supp(E)

d'id@aux

premiers

dim(A/p)

- dim(A/p')

Ii suffit c'est-&-dire dim(A/p)

E

un module , avec

~oi~nant

p

pr

~_

p_'

p'

. Toutes

et soient

lee chaSnes

ont alors mGme

p , p'

satur4es

lon~ueur I & savoir

.

de consid4rer oG

de Cohenqvlacaula~,

le cas o~

dim.Ap,/s

- dim(A/p')

= I

= I

p

et

p'

sont

cons@cutifs,

; il faut alors montrer

. Or, en appliquant

le th.

que

5 au module

E

p'

on trouve: dim .Ep_ = dim.Ep, En~appliquant

&

E

dim.Es

_ _ - dim.Ap,/pAp,

, = dim.E dim.E~

bien

- dim.A/p'

Corollaire Macaulay, cha~nes

3:

lon~ueur,

On se ram&ne un cas particulier

anneau

et

dim.E = I

PC

P'

4:

de ces trois

un anneau

premiers

aussitSt

quotient

~oi~nant

p

du cor.2

d'un anneau

~

de ~'

A

de Cohen-

. Toutes

lee

out alors mGme

de Cohen-Macaulay,

qui est

. A

un anneau

et soit

dim.A = dim.A

on obtient

- dim.A/p' au cas d'un anneau

Soit

@quations~

deux idgaux premiers

dim.A/~

de Cohen-~acaulay,

,

.

, o.q.f.d.

A

d'id@aux

~ savoir

Corollaire

- dim.A/~'

Soit

et soient satur@es

- I

- dim.A/p

E n @liminant dim.A/p

dim.Ep,

, on trouve:

dim.E

dim.E

--

s

+

p

local

int~gTe,

un id@al premier

dim.A/~

.

quotient de

A

d'un . On a

Iv

Cela rgsulte du cor.3

-

25

.

Remar~ue. L'int~rgt des corollaires 3 et 4 provient du fait que tous les anneaux locaux de la g@omgtrie alg@brique des quotients d'anneaux de Cohen-Macaulay quotients d'anneaux r@guliers,

(ou analytique)

sont

- et en fait m~me des

cf. w D).

4. Idgaux premiers et compl@tion. Scit

A

un anneau,

et soit

A

sa

compl@tion.

Si

p

est un

A

id@al premier de dans

A

A ; a priori

fasse intervenir

, l'id@al

pA

n'est plus en ggn@ral premier

, il se peut mGme que sa dgcomposition primaire

des id@aux premiers immerg@s

. On se propose de

montrer dans ce qui suit que ce ph@nom&ne d@sagrgable ne se produit pas lorsque

A

est u n a n n e a u

de Cohen-~acaulay.

On va tout d'abord d@montrer une proposition g@n@rale: Proposition B

@tant une

I~ :

Soient

A-alg~bre.

A

e_}_t B

On suppose que

deux anneaux noeth@riens, B

est

A-plat.

Soit

E

un

A-module de type fini. On a alors:

(

)

ASSB(E~AB) -= ~ p_

Soit

pgAss(E).

d'oG, puisque

Best

st on en d@duit que

ASSB(B/pB) A(S)

On a une suite exacte

0

) A/p

)E

A-plat, une suite exacte 0 ---$B/p_B ASSB(B/pB ) C

ASSB(E ~ A B)

que le membre de droite de la formule

(~)

, } E~AB

. On a donc prouv@

est contenu dans le

membre de gauche. Pour prouver l'inclusion en sens inverse,

soient

pl,...,pk

IV - 26 les ~l~ments de

Ass(E)

, et soit

0 =~

primaire r@duite correspondant aux

~i

dans la somme directe des

E/Q i

dans la somme directe des

E/Qi~AB

On en d~duit ,

~

et l'on est ramen@ A voir que

o~

~

,

ASSB(E/Q i DAB ) = ASSB(B/P_iB )

~@utrement

est r@duit ~ un seul ~l@ment

p

on salt que l'on peut trouver une

form~e de modules du type

est un id@al premier qui contient

E~AB

se plonge

se plonge donc aussi

Ass B(E/Q i ~ A B)

Plagons nous donc d~ns c e c a s ; E

E~^B

E

,

dit, on est ramen~ au cas off Ass(E)

suite de composition de

une d~composition

9 Le module

, et

Ass B ( E ~ A B) ~

Qi

A/~

,

. En passant

, on en oonclut que :

ASSB(E ~ A B) oGles

~

C

ASSB(B/pB ) ~

Ass

U

contiennent strictement

9 Soit

homoth@ties d~finies par les @l@ments de donc aussi dans pour tout ~ement

E~AB

puisque

p ' ~ A s s ( E DAB )

p

, on a

pour tout

(A/~)S

B

B)

est

S

S = A-p_ ; l e s

sont injectives dans

A-plat! on a donc

9 D'autre part, puisque = 0

p'~ ASSB(B/q_~ B)

, d'o~

9 On a donc

,

q_~

(B/q_~B)s = 0 ASSB(E~AB ) ~

p!~

E

,

S =

contient stric-

, st

p'~

S ~

ASSB(B/q_o(B ) - ~ ,

ce qui ach&ve la d@monstration~

Th@or~me 7" id@al premier de

l'@galit@

dim.

Soit A

A

_un anneau de Cohen-Macaulay,

. Tout ~l@ment

p_' = dim.A/p

p'~ Ass~(A/pA)

(l'id@al

~A

et soit

p

LU~

v@rifie alors

n.'a donc aucune compo-

a~.ute immerg6e) o

Soit partie

r = dim.A - dim.A/~ r

@l@ments

xl,...,x r

. D'apr~s le th~or~me 6, il existe une d'un syst~me de param~tres de

A

IVtelle que

ps

, of~ E

th.4 , le module dim.A/p

. I1 e n e s t

prop.5 ~

E

=

donc de m@me du module compl@t@ A

est

. ~ais, d'apr&s la prop.3 dim.

v@rifie

' = dim.E

Corollaire:

Soit

Cohen-Macaulay, tel que

A-plat),

on a

appliqu@e ~

n

un entier ~ 0

A

On serait encore plus content

est r@gulier,

Malheureusement, cf. Nagata);

Grothendieck

p'~Ass(E)

~ LAss(E)

p'~Ass(E)

est .

9

si l'on avait

p A= ~ p '

c'est faux en g@n@ral

c'est toutefois vrai pour les

anneaux locaux de la g@om@trie alg@brique plus g@n@ralement

, tout

. Si tout

, il en est de mGme &e tout

avec les notations du th.7. (mGme si

E

un module de type fini sur un anneau de

Cela r@sulte du th.7, combin@ avec la prop.15 Remar~ue.

E . D'apr&s la

, d'o~ le r@sultat.

E

et soit

dim.A/p = n

. De plus, d'apr&s le

est un module de Cohen-~iacaulay de dimension

(qui s'applique puisque

Ass

A/(xl,...,Xr)A

27

(th@or&me de Chevalley),

pour les anneaux "universellement

japonais" de

(EGA, Chap.IV, w 7) 9

C) D I ~ N S I O N

I HO~IOLOGIQUE DES ~IODULES NOETHERIENS

I) La dimension homo.logique d_'un module. Nous allons d'abord rappeler les d@finition d'Eilenberg-Cartan. Si

A

est un anneau commutatif,

(noeth@rien ou non) et si

~i

~ @l@ment unit@ diff@rent de

0

est un A-module non nul (de type fini

ou non), on appelle: dimension homologie ou projective (finie ou infinie)

dhi~i des entiers

de

M p

, la borne sup@rieure tels que

Ext~ (~,N) ~ 0

et

IV - 28 pour au moins un A-module

N

,

dimension injective de

M

, la borne sup4rieure

p

tels que

pour au moins un A-module

Ext~ (N,M) ~ 0

dimension homologique des entiers

p

~lobale de

tels que

diAM N

des entiers ,

, la borne sup4rieure

A

Ext~ (M,N) ~ 0

gldh A

pour au moins un couple

de A-modules. Dire que projectif

dhA(M ) = 0

c'est dire que

(resp. diAM = 0 )

des proprigtgs des foncteurs Si la suite

0---~

sup(dhAM',

on a: diAM

M

M'

)M"---~0

~ sup(diAM' , diAM" )

sup(dhAM ,

on a:

et si l'inggalitg

dhAM'+1 )

composition de

Proposition

16:

o = MoC M

, dhAM

MI ~ ~

Pour tout

rieure des entiers

p

A-module de type fini

N

... C

A-module

.

! stricte a lieu

9

sup

tels que

stricte a lieu

et si l'in4galitg

dhA M = dhA M' m@me, si

stricte a lieu,

;

di A M' = di A M" + I

dhAM" ~

est exacte, alors:

et si l'in6galit@

dhAM" )

directes

Ext~ (M,N) :

dhA M" = dhA M'+I

on a:

De

est

(resp. injectif).

Les inggalit6s qui suivent sont des cons6quences

dhAM ~

M

~n

=

M

dh A(Mi/Mi_ I)

M

ExtP(N,M)

,

diAM ~ 0

est une suite de ,

est la borne sup@pour au moins un

iv

Soit en effet l'in@galit~ si

diAM ~/ dM~

d~I ~ + oo Si

dM

d~

et l'@galit@ a lieu aussi manifestement dM

= 0 , EXtA1 (A/a_,M) = 0 a

(Cartan-Eilenberg,

bans

M

Chap.I)

fini: pour tout id@al

se prolonge & et

A

d M =

n

(n>0)

o o~

Q

M

9

D'oG

d M = diAM

Corollaire

et tout

est injectif

d ~I ( n

et montrons

il existe alors une suite exacte bu type

,)Q

d M = d N+I

M

A

diA~i -- d~i = 0 .

.----> o

est un module injectif et

ment aussi

de

:donc

Supposons maintenant le rgsultat prouvg si le si

29

cette borne sup@rieure. On a manifestement

. Supposons donc

homomorphisme de

-

, et

diAM = di A N+I

diAN = d N

9 On a manifeste-

(hypoth&se be r~currence).

.

(Auslander)~

gldh A = sup dh A

M , o_~ L

parcourt les

A-modules de type fini. En effet, si l'on b@signe par entiers

p

gldh A = Sup M,N =~up(~up N

o~

, on a l e s

N

M

M'

N

@galit@s: di A N =

N

d(M~N))= Sup (Sup d (M)N)) = Sup

et

la borne sup@rieure des

d(M,N) = Sup (Sup d(M,N)) = Sup

Mt

M

.... ~ A P (M,N) ~ 0

tels que

d (M,N)

N

dh A M'

,

M'

parcourent les A-modules,

M'

les A-modules be type

f ini. 2. Le cas noeth@rien. A partir de maintenant, rien et

A

sera de nouveau suppos@ noeth@-

M sera un A-module de type fini:

Alors

dh A M

est la borne sup@rieure des entiers

p

tels que

IV - 30 Ext~ (M,N) ~ 0

pour au moins un A-module de type fini

Eilenberg~ Chap.VI~ prop.25). Or~ tout composition oG

~i

0 = No ~

"'" C

Nn = N

est un ideal premier de

N

N (Cartan-

admet une suite de

telle que

Ni/Ni_ I

A/pi_

,

A 9 I1 en r4sulte avec lee nota-

tions du paragraphe precedent que, d(M,N)~.~Sup d(M,A/Pi) et que i dhA M ~ Sup d(M,A/~) oG p parcourt lee id6aux premiers de A P La proposition 21, Chapitre VI, d'Eilenberg-Cartan pent ainsi s '@noncer: P~pppsition 17;

b)

Lee assertions, suivantes sent @%uivalentes!

~ =x~~n+1 A (M,A/p_) = 0

p

pour tout id6al premier

de

A

D

c)

Pour toute suite exacte

telle %ue d)

Mo,...,Mn_1

0 ---)M n

M.

sont pro~ectifs,

l

Ext~(M,g)

Bien entendu type fini si

M

et

N

M

sont projectifs,

n

o

I1 existe une suite exacte

oG lee

) ...

o

) M~

est projectif.

) "'" P

L ~ 0

(Nakayama)

) M--~0

est exacte et donne naissance & la suite exacte: Tor1(P,k ) = 0, Mais

~

Corollaire:

)Tors(M,k ) = 0 - - - ~ N / m N est injectif et

Si

A

N/m_N

) P/raP et

N

)M/raM,

)0

9

sont donc nuls, o.q.f.d.

est un anneau noeth~rien et

M

un A-module de

type fini,

M

est pro~ectif si et seulement si pour tout ideal maxi-

mal

A

, Mm

m

de

est un Am-module libre.

R~sulte de l'~galit~:

dhAM = Sup dh A M m m m --

IV

Th~or&me 8:

- 34

Sous les hypotheses de la proposition pr~c~dente;

les assertions &ui suivent sont ~&uivalentes:

a)

dhAM ~ n

b)

~or A (M,~) p

e)

~orAn+1 (~I,k) = 0

9

o

-

si

I1 est trivial que

p ~

n

et si

a) ---~ b) ~

N

est un A-module

c) 9 Montrons que

o) ---'~.a):

en effet, il existe une suite ex~cte du type:

~n 0

~1~ n

les modules

~On-1 )IVln-1 - - ~ "'"

)l~Io . - - - - , ~ t~l

M ~ ~ M1, ..... , Mn_ I

~Po >0

o,J

sont libres. Soit donc

Z i = Ker ~ i

o ,,

L.

Ki

, _mK• i/m_2Ki_I

dans

_mKi_ I

est injective.

M , l'application

identique

de complexes

L

f

est in~ective t et identifie

K.

~ un

(comme A-module).

II faut voir que les

f

: K. --* L. I

Or, on a l e

applique

est une r4solution de

: L'application

facteur direct de

9 Nous ferons en

:

se prolonge en un homomorphisme

f

Proposition

K.=(K i)

est injectif.

l'application correspondante Puisque

Ko--*M

M , et soit

i

sont inversibles ~ gauche.

I

lemme suivant (dont la d@monstration

est immediate)

:

et

IV Lemme:

Soient

L

un homomorphisme.

deux

Pour que

g

soit inversible A gauche (resp. A droite),

g : L

, L' soit injectif (resp. surjectif).

I1 nous faut donc prouver que les On proc@de par r@currence sur

a)

i = 0

49

e_~t L'

il faut et il suffit que

A-modules libres, et so it

-

i

~i : Ki - ~ ~i

g : L--~ L'

sont injectifs.

:

9 On utilise le diagramme commutatif

Ko

g

Le fair que

)

~o

_i_~

Ko--~ M

~

.

soit injectif suffit ~ entralner r que

s

,> T,o

est injectif. b)

i ~

I

9 On utilise le diagramme commutatif

i

I

V

i-/- 2Ki-1 Puisque

fi-1 : K z - 1

de l'application

--

---~ L -,-1 9 f~i-1 :

> mLi-/m--2Li-1 est inversible ~ gauche, il en est de meme

--mKi-I/m--2Ki-1---+m--Li-I/m--2Li-1 ; vu la condition

(C i) , on en oonclut que la "diagonale" du carr4 oi-dessus est une application injective, d'od (par un lemme bien connu de th4orie des ensembles...) l'injectivit4 de

Ko

I

~~

I

.

IV - 50 Corollaire:

L'application canoni%ue

est inoective pour tout En effet,

i }

Hi(K , ~ k )

0

) Tor~(M,k)

Hi(K" @ k )

.

= Hi(K.) = Ki

et

Tor~(M,k) = Z i

corollaire ne fait donc que reformuler l'injectivit4

3.

Cas du complexe de l ' a l ~ b r e

A partir de maintenant,

Proposition de

3:

Soit

m , et soit

~

K. = K(~,A)

dant. Le complexe

K.

condition

(Co)

Ko = A

(el,...,

on prend

M = k

(Xl,...,Xs)

L = As

d :

, corps r@siduel de

A

e_~t (C)

du

nO 2

A

; soit

(el,...,es)

L __>

L

K~

> k)

9

~k

est bijective.

La

(C).

la base canonique de

L

et

Ki s'exprime alors de la mani@re

:

j=s

j=1 Le signe

L

9

le complexe de l'alg~bre ext4rieure correspon-

et l'application

~

.

un s~st~me minimal de g@n@rateurs

la base duale. On peut identifier

l'application bord suivante

(Co)

i

ext@rieure.

est donc v@rifi@e. Reste ~ v@rifier

Posons

~.

(muni de son augmentation naturelle

v@rifie les conditions

On a

=

de

; le

d@signant le produit int4rieur droit

(cf. B o u r b a k ~

Al~.III).

Iv

I1 faut maintenant expliciter et

m.K. i/m2Ki_1

alors

~

m_/m__ 2

-

; pour csla, on identifie A i-I ~

51

K

1

9 La formule dormant

devient

:

,j=s

i.0 |

/

(yu

ej)

j=1

avec des notations gvidenteso Comme les

x

ferment une

base de

m/m_2

pour tout

j , d'o~

7=0

,

3 l'gquation

Thgor~me.

~(~) = 0

gquivaut ~

La dimension de

y L e~ = O 0

TorA(k,k)

e~st

>/ (s) , avec

cqfd.

s = dim.m_/m__ 2

En effet, la prop.3, joints au corollaire ~ la prop.2, montre que l'application eanonique de

Hi(K . ~ k) = Ki

darts TorA(k,k)

est injeetive, et

Complgments. On a en fait des rgsultats beauooup plus precis (of. les mgmoires d'Assmus, Scheja, Tats cites darts la bibliographie) TorA(k,k)

:

est muni d'un produit (ls produit (~ de Cartan-

Eilsnberg) qui en fair une k-alg~bre associative, commutative (gauche) st ~lgment unit~ ; ses ~lgments de degrg impair sent de carrg nul. L'isomorphisme d'alg~brss ~

m/m 2 ~ : ~m_/m2

TorA(k,k) ~ TorA(k,k)

se prolongs done en un homomorphisme qui sst injectif (Tats) , ce qui

precise le theorems ci-dessus. L'anneau

A

est r@gulier si et seulement

si ~J est bijectif (il suffit meme, d'apr~s Tats, que l'une de ses composantes de degr~ >/ 2

soit bijective). De plus,

TorA(k,k)

est munie

d'un co-produit (Assmus) qui en fait une"alg~bre de Hopf". On peut done

9

iv

-

52

lui appliquer les th@or~mes de structure de Hopf-Borel i en particulier, cela rend @vidente l'injectivit@ de ~ 9 On obtient @galement des renseignements sur la s@rie de Poincar@

PA(T)

Par exemple

= ~i~-6 ai Ti

(Tate, Assmus)

seulement si

PA(T)

'

A

P.(T)

o~

al

est une

est de la forme

de

=

TorA(k,k)

:

dim.TorA(k,k)

"intersection compl@te"

(I+T)n/(I-T2) d

, aveo

si st

n,d g N

i

pour d'autres r@sultats analogues, voir Sc~eja. Signalons toutefois que l'on ignore si

PA

est tou~ours une fonction ra~ionnelle. ~ o m p a r e r au

probl~me topologique suivant, @galement non r@solu fini simplement connexe, et soit ~A son Poincar@ de ~

: soit

X

un complexe

espace de lacets ; la s@rie de

est-elle une fonction r a t i o n n e l l e ~

Iv-53

APPEND

9

I C E

II

#

POSITIVITE

#

C.~:tACTI~ItlSTI~I'ES D' !gJLER-POINCARE NJPI~I~_IRES

DES

On se place darts le cadre des s4ment, soit

C

categories

une cat@gorie ab@lienne munie de

du foncteur identique dams lui-m~me commutent deux ~ deux. Tout objet morphismes

xi(E ) .

sous-cat@goris pour

de

C

~

des objets de

~

et

Hi(x,E )

attache (d'apr~s Grothendieck)

D ~

si

est une suite exacts darts D E' - E"

de

L(D)

~

xi~E).. = 0

, que nous 4crirons

K(~,E)

K

.

se d4finit

Hi(~,E )

sont

autrement dit,

xi

caract4ristiques 9 Rappslons

un groups

O

~ E'

d'Euler-Poincar4

d'abord comment on

K(D)

9 On forms d'abord le groups libre

par les 41~ments de

E-

tels que

la

"

consid4rer les

fabriqu6es au moyen des

~

; en dehors de ce cas, on aura

, annul4s par tous lss

On va maintsnant

D

E

, le complexe

~I

xi

I

on notera

[1,n]

J . [2,n]

C

morphismes

est doric muni d'en~o-

C

; ses groupes d'homologie

ce sont des 416ments de

ab41ienne

de

--

= ~

est un objet de

de mani~re 4vidente

E

J~I

n

Plus pr6ci-

~ on suppose que les

form6e des objets

J = I

oonsid4rer

E

Si

. On a

i & J

Si

ab41iennss.

) E

~ touts oat4goris L(D)

engendr~

)E"

, on lui associe l'~l~msnt Is groups

K(D)

est le quotient

) O

!v-54 de

L(~)

par le sous-groupe engendr6 par les 414ments pr4c~dents

(pour toutes les suites exactes possibles). Si [E]

son image dans

sont dits

K(~)

~ les ~l~ments de

positifs~ ils engendrent

K(~)

E E ~ E(~)

, on note

ainsi obtenus

; la somme de deux

~14ments positifs est un 414ment positif.

Tout ceci s'applique aux categories soit

E @C

; on a

~

Hi(x,E ) G C I

, et la somme altern4e :

o

+

-

a un sens dans le groupe cette caract~ristique

. En particulier,

K(~I)

Hi

. . .

. On peut done se demander si

est > O

(au sens d~fini ci-dessus).

Nous allons voir que c'est bien le cas si

~

v~rifie la

condition suivante s

(N) - Tout

E E C

v4rifie la condition de chalne ascendante

(pour les sous-obje_ts). Autrement dit :

Theor~me E ~ C

Si

C

et tout

(~)

v~rifie i >10

,

Cas

n

=

I

=

>i

o

pour

~ut

n

9

.

Pour simplifier, on ~crit Ho (x,E)

;[•

.

D~monstration par r~currence sur a)

on a

Coker.x(E)

x et

au lieu de HI(X,E )

x] =

9 On a Ker.x(E)

9 On dolt montrer

Iv-55 E) =

que la diff4rence darts

K(CI)

et soit (N)

Nm

, lee

[Coker.x(E)~

9 Or, soit

xm

la

le noyau de

xm

; lee

N

-

OCer.x(E)]

est ~/0

m-i~me puissance de N

m

x

(m=1,2,...),

vont en croissant 9 D'apr~s

finissent par s'arr~ter ; soit

N

leur limits,

m

et soit

F = E/N

9

On a une suite exacts

0 -----> ~;

L'endomorphisme

x

>E

> F

est nilpotent sur

>0

.

N , st injectif sur est

(imm4diat). D'autre part, on voit tout de suite que additif on a

i.e.

~(F)

%(E)

=

= ~(N)+

~(I~)

[Ho(X,F)] >/ 0

.

de composition dont lee quotients successifs x/ on a alors

~(Qi)

= 0

, d'o~

~(N)

Ker.x(F) = 0

Puisque

9 D'autre part,

= ~

admet uns suite

N

Qi

F

sont annul4s par ~(~)

= O

, et

finalement on trouve :

,,Z(F)

=

b)

Passage .de

n-1

~

n

9

Avant de fairs la d@monstration, remarquons que une fonction

additive

de

E

; par d~finition de

d@finit donc un homomorphisme de que l'on notera encore ~ On utilise la prop. une suite exacts :

K(C)

dane

K(CI)

= ~o K(C)

est

, ells

, homomorphisme

.]

I de A)

9 D'apr~s cette proposition, on a

IV-56 en notsmt

x'

la suite

(x2,...,Xn)

. On notera que les

!

appartiennent ~ la oat@gorie

Hi(~',E ) = H i

Si l'on passe darts K(CI)

~

d@finie ci-dessus.

, on peut donc @crire: !

!

[Ho(XI,Hi)~

+

[HI(XI~Hi_m)~

On en d~duit :

!

+

,

(- 1)m( [Ho (x 1,Hi+m

1(x 1,Hi+m

m=O !

+ ~i

(-I)m ~(x1,Hi+ m)

!

!

en posant

~i

= ~(-1)m

[La notation

[H'i+m~

~(xl, ~'i )

"

a un sens, en vertu de la remarque

faite plus haut.~ !

Par hypoth~se de r@currence, K(~)

~ or, d'apr@s

pos~tif ~e

K(~)

a)

~i

est un @l@ment positif de

, l'op@ration ~

transforme un 41@ment

e~ un +1~msnt positlf ~e

K(_CI)

, ~o~o

!

lement positif, on en d@duit bien que

~i(x,E)

~

0

, c.q.f.d.

)

IV-57 Exemple.

Soit

A

un anneau local noeth~rien,

un syst~me de param~tres

de

A

, et soit

C

soit

la ca t egerle des -

A-modules de type fini (munie des endomorphismes xi)

9 La cat~gorie

par les

xi

CI

est la catggorie des

de

K(CI)

su__~r

Z ~

d6finis par les

A-modules annul~s

; on v~rifie tout de suite que la

un isomorphisme

xl,...,x n

l on~ueur

, compatible

dgfinit

avec les rela-

tions d'ordre. Le thgcrSme ci-dessus fournit donc le rgsultat

Si

E

est un

~ i (E)

l~emarque. i(E)

= O

Toutefois,

A-module de t~rpe fini, l'entier

=

~(Hi(x,E))

-~(Hi+I(X,E)

Dans le cas de l'exemple ci-dessus, entralne ~

Hj

la seule d~monstration

est assez compliquge

: O

pou

)

:

+ ..

est

~

on peut prouver que j

i

.

de ce fait que je connaisse

(elle consiste ~ se ramener au cas od

est un anneau de sgries formelles

suivant :

A

sur un a~neau de valuation

discrete ou sur un corps). J'ignore

s'il existe un gnoncg analogue

dans le eaare des catggories abgliennes.

0

.

V-I

CHAPITRE V.

LES MULTIPLICITES

l

A) LA MULTIPLICITE D'UN MODULE

I.

Le groupe des c~cles d'un anneau. Si

et

V

A

est un anneau (commutatif, ~ @l@ment unit@, noeth@rien)

l'ensemble de ses id@aux premiers, on appellera c~cle de A tout

@l@ment du ooToupe ab@lien libre

Z(A)

engendr@ par les @l@ments de

Un cycle sera dit positif s'il est de la forme

et

)

Z =~Z(~).

V .

p, avec p e V

o Le cas g@n@ral se ramenant directement au cas "local", nous

supposerons dor@navant l'anneau notera alors par

Z (A) P

local et de dimension

le sous-groupe de

id@aux premiers de cohauteur directe des sous-groupes

A

p

dans

Zp(i),

A

Z(A)

. On

engendr@ par les

. Le groupe

0 ~ p ~ n

n

Z(A)

est somme

9

Les cycles sont reli@s aux A-modules de la mani&re suivante: Soit

K (A) P

dim~l~ si si

la cat@gorie ab@lienne des A-modules

p,

K(A)

la cat@gorie de t o u s l e s

0 ---@ ~i ---~ N ---3 P ---3 0 M

et

P

appartiennent ~

longueur

A

de cohauteur

finie

A-m0dules. Ii est clair que

Kp(A),_ alors

p

tels que

est une suite exacts de

Dans ces conditions~ soit premier de

M

~

Kp(A)

N@Kp(A)

Mq

et

.

, et soit

. Alors le module

K(A)

sur

q_ un id@al Aq

est de

~(~.lq_) et cette longueur satisfait manifestement

la propri@t@ suivante: si

0 = M

O

C

...C~

1

C...CM

S

= ~

est une suite de composition de

V -2

dont les quotients mier de

A

Mi/Mi_ I

sont de la forme

, alors il y a exactement

9 On ~orira

~q(M)

Soit donc

k_

A/~

, ~

ideal pre-

quotients de la forme

pour

z : Kp(A) --~ Zp(A) ~(~q) q_

la fonction telle que

9 I1 est clair que

zest

une fonction

coht q_ = p

additive d~finie sur la cat~gorie crdcnn~

Zp(A)

. La fonction

est nulle sur

nulle sur

"se factorise par z" ; ou encore toute

K (A) , ~ valeur d~ns un groupe ab~lien ordonn@, P

et prenant des valeurs positives A

est int~gre,

tifie au ran~ du A-module

2.

prend des valeurs positives et elle

il est clair que toute fonction additive sur

Kp_I(A )

fonction additive sur

Si

et ~ valeurs dans le groupe

Kp_I(A )

R~ciproquement Kp(A)

z

K (A) P

La multiplicit~ Soit

m

M

sur

Kp(A)

Zn(A) ~ Z =

se factorise par

pour

z

n = dim A , et

.

~

s'iden-

.

d'un module . l'id~al maximal de l'anneau local

A

et soit

a m

un ideal

~-primaire.

Hilbert-Samuel dimAM oG

Alors, pour tout A-module

P a (M,X)

M

, le polynSme de

d~fini au chapitre II est de degr~ ~gal

9 En outre son terme de plus haut degr~ est du type

r = dimA~

et oG

L'entier l'id~al primaire

e

est un entier > 0 est, par d~finition,

a

9 On la notera

ea(M )

e.xr/r!

. la multiplicit~

de

; plus g~n~ralement,

M

pour

v-3 p M

~tant un entier positif et E Kp(A)

M

d

un module tel que

L p

, on posera

fe(M)osiSi

dimAM = p

dim~

II r~sulte alors des propri6t@s d@montr~es e (M,p)

est une fonction additive sur

et donc que l'on a la

ea(M,p) --

Kp(A)

formule d'additivit4

< p

au Chapitre

II

, nulls sur

que Kp_I(A)

:

~!L(M) ea(A/q,p)

~ coht q--p !

J

#20

e

coht !L ~ P

En particulier Si

_a = m

,

A

A

est int~gre, on a

ea(l~) = em(M)

En particulier Si

si

em(A )

Chapitre IV . Inversement

multiplicit6

multiplicit~

sa multiplioit@

9

a

sst appel4 la

est la

est r~gulier,

e (M,n) = rg(M) e (A) M 9

de l'annsau local

est ~gale ~

si la multiplicit~

de

de

A

A

9

I , d'apr@s le est ~gale ~

I ,

A

et si

A

est int~gre

on peut montrer que

A

est r~gulier

un exemple de Nagata montre qu'il ne suffit pas de supposer Enfin supposons que

_a

soit un id4al de d4finition de

dire qu'il soit engendr~ par que nous noterons

hi(x,M )

41~ments

Xl,...,x n

A

int~gre.

A , c'est-~-

, formant une suite

x 9 On sait, d'apr~s le Chapitre IV, qu'alors le

i-~me groups d'homologie finis

n

(Smmuel, Nagata)~

pour tout

du complexe de Koszul A-module

KA(x,L~)

est de longueur

M , st que l'on a la formule

:

v-4 n

(-I)i

ex(M,n ) -- 7" -i=o l'id@al

M)

(xl,...,Xn)

, oG l'on d@signe par la mSme lettre

et la suite

xl,...,x n

X

.

/

B) LA MULTIPLICITE D' IN2ERSECTION DE DEUX MODb~LES I.

La r@duction ~ la diagonale. Soient k

un corps commutatif alg@briquement

deux ensembles alg@briques de l'espace affine la diagonale de l'espace produit est @videmment isomorphe & (U N V) N A

~

U~

V

An(k )

clos,

An(k)~k

n

An(k) x A n ( k ) ~ A 2 n ( k ) et l'isomorphisme

. Les "g@om~tres"

U

et

, et . Alors

V

/x /~

identifie

se servent couramment de

cette situation pour ramener l'@tude de l'intersection de

U

et

V

l'@tude de l'intersection d'un ensemble alg@brique avec une vari@t@ lin@aire. Or, au stade actuel de son d@veloppement,

l' "alg~bre"

est souvent une transcription de r@sultats et malheureusement de m@thodes "g@om@triques".

aussi

On en a vu un exemple pour le th@or~me 7

du Chapitre III (Dimensions d'intersections

dans les alg~bres de

polynSmes). En particulier dans le lemme 2 il "faut" consid@rer que A~k

A

est l'anneau des coordonn@es de

A / p ~ k A/q_ U

Y V

et

(U ~ V) ~ ~

et ~(U et

( A ~ k A)Sd

An(k ) ~ An(k)

sont les anneaux de coordonn@es de

et

V

irr@ductibles).

L' "isomorphisme"

U ~

V

s'exprime alors ~ peu pros de la mani&re

suivant e :

(I)

A/p ~ A

oG l'on identifie

, que

A A

A/q_ ~ ( A / p @ k A/q_) ~ A ~ A

et

( A ~ k A)/d

9

de

v-5 Cette formule d'associatlvit~ se g4n@ralise ainsi: soit A

une alg~bre commutative avec ~l@ment unit~ sur un corps commu/

tatif N

k

(non n4cessairement alg~briquement clcs)! soient

deux A-modules,

engendr@ par les

B

la k-alg~bre

a @I

- I ~a

est une k-alg~bre isomcrphe ~ que

A

A~ k A

, A

a ~ A.

Alors

l'id@al de

B

( A ~ k A)/d

et on consid@rera toujours

(Cartan-Eilenberg, Homological Algebra IX 2.8):

Ainsi, si

d ) Ln

est une r@solution (M,N)--~

n ,, ..-

( A ~ k A)-projective de

( M ~ k N) ~ B

L.

particulier variables KB((xi@

si

Xi

A

sur

w~

I - I@Xi),B

A

)0

, le bifoncteur

est "r4solvant", i.e.

k[X 1,...,Xn] K

)A

) Lo

tifie aux modules d'homologie du complexe

(3)

d

et

est muni par cet isomorphisme d'une structure de B-module.

D'oG la formule

ce

et

M

TorA(M,N)

( M ~ k N) ~ B

L..

s'idenEn

est une alg~bre de polynSmes en

, on salt que le complexe de Koszul )

est une r4solution libre de

A

, et dans

cas"

TorAn(M,N) ~'~"H n ( K B ( ( x i ~ On retrouve que

I - I ~ X i ) , M ~ k N))

k[XI,...,X n]

est r~gulier!

Dans la suite~ la r~duction A la diagonale interviendra par l'interm@diaire de la formule (2) convenablement g@n4ralis@e. Dans un premier pas on peut, par exemple~ supposer que

k

n'est pas n@cessairement un corps mais un anneau oommutatif avec 41@ment unit4, et que

A

est k-plat. La formule (2) est alors rem-

plac~e par une suits spectrale (Cartan-Eilenberg, XVI, 4, 2 et 3) :

n

V-6

En particulier Koszul

KB((xi @

form~e de

n

si

A = k~1,...,Xn]

I - I @Xi)

, B)

, le complexe de

est une r~solution libre de

termes et on retrouve l'in@galit~

(k

A

est suppos@

noeth~rien): dh A = d h ( k ~ X l , . . . , X j ) R@ciproquement, finie

~ dh k + n

si

k

est de dimension homologique

m , il existe un k-module

tel que

Tor~(~,~

comme A-module,

~ P ~

les

X.

simple

0 . Le module annulant

M

globale

M (voir Chapitre IV, C) ~

peut alors ~tre consid@r~

. D~s lors

l

T~

m

A) ~ Hn(KB((xi @

d'apr~s le Chapitre IV, A.2.

~ - I @

D'oG

Xi) , P)) = P

Tor~+n(M,M )

cause du "principe du cycle maximum",

et

,

~ Tor~(M,M)

dh A ~ dh k + n

.

Ainsi trouve-t-on de "jolis" r~sultats d~s que l'on a un "bon" anneau de base sur

k

. Si

A

k

et que l'on prend des produits tensoriels

est un anneau commutatif quelconque,

en ses id@aux premiers,

on complete ces localis@s et, si ces locali-

s@s ont mGme caract@ristique

que leurs corps r~siduels

tiennent un corps de Cohen qui joue D, 2). ~ahlheureusement complet

A,

A~k

A

si

k

k

(volt Chapitre IV,

est un corps de Cohen de l'anneau local

du paragraphe

suivant.

Produits tensoriels compl@t@s . Soient

A

le rSle de

, ils con-

n'est plus noeth@rien et il faut apporter

notre m@thode les perturbations

2.

on le localise

et

B

k

un anneau commutatif noeth@rien A @l@ment unit@,

deux k-alg~bres unitaires,

commutatives

et noeth@riennes,

v-7 M

(resp. N)

filtration oG

~

B/~

et

un A-module (resp. B-module) de type fini muni d'une (Mp) 2-bonne (resp. d'une filtration

~

dgsignent des idgaux de

A

et

B

(Nq) n-bonne), tels que

soient des k-modules de longueur finis. D~s lore

N/nqN --

et

couple

N/N q

et

M/~PM, M/Mp,

sont des k-modules de lonm~ueur finis pour tout

(p,q) d'entiers naturels. On munira ces couples de l'ordre

produit gvident dane

N ~ N

.

I1 est alors clair que pour tout entier naturel Tork(M/Mp, N/Nq)

i

, lee

peuvent ~trs munis d'une structure de syst~me

projectif de modules et on d~finira lee (5)

A/~

Tor-compl@t@s par la formule:

Tork(M,N) = ~im(,,q) Tork(14/Mp, N/Nq)

Pour

i = 0 %

, on obtient le produit tensoriel complgtg:

N =

k

Lee groupes ab41iens ainsi d~finis out lee propri4tgs suivantes: a) Si l'on dgsigne p a r (M,N)

Tork(M,N)

le groups gradug

lee structures de modules gradu~s sur lee

i =0 anneaux gradu~s

Tork(A/m.p, B/n q)

des

Tok(M/Mp,NI)d@finissent

une structure de module gradu@ sur l'anneau gradu@ Tor k(A,B)

9

b) Le module choisie pour

ne d~pend pas de la bonne filtration M

ou

N

,mais seulement de

du des id~aux maximaux de

A

et de

B

Met

contenant

de N (st bien entenm

et

~).

V-8 c) La diagonale de

N W N

formant un sous-ensemble cofinal,

il suffit de prendre la limite projective sur cette diagonale: (6)

Tork(N,N) ~ .~im P

Tork(~I/Mp, N/Nq)

De la m~me mani~re on peut prendre la limite d'abord suivant

p

, ensuite suivant

q

:

:rork(~IMp, P

--

q

m

Tork(~I/Mp, N/~q)

~im % P

q

(Propri~t4s des syst~mes projectifs sur des produits d'ensembles

ordonn~s.) Ces assertions rendent possible 1 utilisation des m@thodes du Chapitre II. d) Les applications cancniques de

M ~k N

M/Xp

dans

induisent des applications

M ~k N

(

~lim (M/Mp)~k (lim N/Nq)

~ --

M%

A

et il est clair que pour la topologie e) L'anneau

M~ k N

s'identifie au compl~t~ de

M~ k N

( m ~ k B + A ~ k n_n)-adique.

A ~k B

est complet pour la topologie

r-adique, oG

^

r-- m ~ B

+ A %

net

les

or

M,N)

9

/%

la topologie r_-adique. Comus en outre et que

(M~kN)/r.(M~ k N)=

sont des modules complets pour (A@kB)/r = (A/m) O k (B/n)

(M/_mM)~k (N/nN)

, le corollaire 3 A

A la proposition 6 du chapitre II s'applique et

A~ k B

est noeth~rien

v-9 et

M~

N

est un

( A ~ k B)-module de type fini.

D'autre part la formule bien connue

montre que

r

est contenu dans le radical de

maximaux de

A@ k B

f) Si

)M'

0 ~

correspondant ~ ceux de )M

) M"

)0

I 1-x

= 1+x+x2+...

A~ k B

et les id@aux

(A/m) ~k(B/n)

9

est une suite exacte de

A-modules de type fini, les suites exactes 9 ..

) Tork(M/mPM,N/nqN)

) Tork(M"~m_PM",N/n_ qN)

) Tork_1(M'/~' ~ m_.PM, N/nqN)

)

J

.-.

se remontent en une suite exacte ) Tor (M,N)

) Tor (M",N)

~ Torn_1(M',N)

On a en effet la propri~t@ suivante: : (Pi) ~

et

(P") -

si

) ... T

: (P~))

(Pi)

sont deux morphismes de syst~mes projectifs

i

de k-modules sur un ensemble ordonn~ inductif, si les

P!

sont des

1

modules artiniens, et si les suites

p:z ~im

Ti ) P'z P:z

p

) z

)~im P.z - - ~ ~im P"z

g) Supposons maintenant que et supposons que ~a1~...garl tels que

sont exactes, alors la suite

M

k

O. ~ i ~ r-l, a

r

@l@men~

du radical de

ai

ne soit pas diviseur de z@ro dans

M/(al,...,ai) M

= 0 .

N

n

k

O

Je dis qu'alors de le voir quand

soit un anneau r@~ulier de dimension

consid@r@ comme k-module, admette une M-suite

~ i.e. qu'il existe

ai+ I

est exacte.

Tor~(M,N) = 0

pour

i ) n-r

. I1 suffit

est un k-module de longueur finie~ puisque

,

V-tO Tor~(M,N) = ~im Tor~(M~N/q n N) 0

~ M --~M

Tor

) M/a I ~

N~N) ~ 0

si

i >

n

.

) 0

donne

, jointe au fait que la suite exacte:

~ ~or~(M,~) at,,,,> ~o,~(M, ~)

o

Mais une puissance de

aI

annule

~ensuit ~ue ~o~(M,~) ~ 0 pour

. La suite exacte

r = 1

9 Si

r ) I

N

,donc

aussi

Tor

N~N

9

I1

, ce qui d~montre notre assertion ^

, on a

k

, d'o~ la suite

Torn(M I _ ,N) = 0

exacte: 0 ~

^

~ornk_1(I~,N)

k

a1~ Torn_ I (~i,N) , etc...

Dans les exemples que nous utiliserons, toujours une A-suite form~e de que

Tor~(M',N)

le foncteur fonoteur

M

= 0

M

si

M'

N

A

aura

~l~ments. I1 en r@sultera

est A-~ibre et

)Tor~(M,N) >M~

n

l'alg~bre

i >

0

. Darts ce cas

est le i-~me foncteur d~riv@ du

. On en d~duit que

Tor

M,N)

est un

A

A ~ k B-module de type fini. Le monstre qui vient de na~tre nous servira dans les deux cas particuliers

a) k

suivants:

est ~ corps, A-~B -~ k[Lxl,...,xJJ ^

Dans ce cas les

k

Tot.

sont nuls pour

i ~ 0

. En outre,

i A

A~kB

e s t isomorphe & l ' a n n e a u des s g r i e s f o r m e l l e s

C "~- k [IX1,...,Xn,

YI''" "'Yn ~

" A

Si

p

est un ideal premier de

est un ideal premier de miers de

A

C

qui passe par

nes maximales de

C

; d'of~

A

, il est clair que

et toute chaine maximale d'id~aux prep

se prolonge facilement ht A p = h t c ( P ~ k B) - n

en des chai, et plus

V-I I #%

g@ngralement

:

dim M ~

N = dim M + dim N

Si maintenant id4al primaire de par la graduation L% @ k

B

~

estun

id4al primaire de

, on graduera l'alg~bre

somme9 On notera

B + A ~ k q_'

de

C

s

A,

~'

un

G ( M ) ~ k G ,(N)

l'idgal primaire

. Alors l'application

de

M~

N

dans

A

M~ k N

induit manifestement

un homomorphisme

G(M) @k a_,(.) ---$ %_(M|

)

Samuel a d@montr@ que c'est un isomorphisme que

d'anneaux gradugs:

et il en r@sulte

es(M~)N ) dim M + dim N) = eq_(M) dim M).eq_, (N) dim N)

.

Enfin si

)K

...

n

) ...

)K

)9

)L

0

)M

~.o

)N

)o

et

)L

...

sont des r4solutions est manifestement En particulier

n

0

A

et

B-libres de

K p @ A L q = ( K p ~ k Lq) |

k

k

A

~ ~TorAi(~,,N)

et

~

~

N ) (N(Kp~kLq)

M~kN

c/i , oh

4galit4s , d'oh la formule de r@duction

~, A)

Tor~(M ~ k

A ~-B _:2 k [LXI)...)Xn~

d@signera un g@n4rateur

d@signera le corps r4siduel

de l'id@al maximal

k/~gk

.

Dans ces conditions %^

o :

:

;Y1,...,

_A : A/~' A : _k [[~X1,...,Xn]

]

U]]

, '

A

(~|

N)/~'(M|

A

P+q = n

9

au C-module

est un anneau de valuation dis or.~te~ La lettre

de

A

, on a l e s

d = (X I-YI ' "" " 'Xn-Yn)

b)

et

une r@solution C-libre de

si l'on identifie

la diazonale:

M

N) ; M / ~ |

N/~N

.

V-12 II en r@sulte que si ~ on a dim M ~ k

n'est pas diviseur de

0

dans

M

et

N

N = dim M + dim N - I

Enfin, r@solvant C-rgsolution projective

M

de

et

N

comme dans

A = C/~

a), et prenant une

, on aboutit & une suite

soectrale:

La suite d~g~n~re

3.

si

~

ne divise pas

0

dans

M

ou

N

Anneaux r~guliers d'g~ale caract~risti~ue. Le monstre gtant avalg, nous allons essayer de le diggrer.

Pour cela nous allons d'abord scruter le cas particulier a). Dans ce cas le complexe de Koszul de

A = C/d

KC((xj - Y j ) ,

9 On en dgduit que, si

A-modules de type fini, les d'homologie

M

TorA(M,N)

du complexe de Koszul

C) et

est une r~solution libre N

dgsignent toujours deux

s'identifient

KC((xj - Yj)' M ~ k

aux modules N)

OU

~or~(~,~) ~-Ei(KC((xj - Yj), .M~k ~)) Le th~or~me I du Chapitre IV s'applique & ce oomplexe de Koszul 9 et on trouve en particulier S_~i M ~ A N

le r~sultat

est un A-module de longueu r finie,

suivant: les

TorA(M,N)

de longueur finie et la car actgristiclue d'Euler-Poincar~ i=n est ggale & la multiplicitg

(-I)i s (~orA (M,N))

i=0 A

ed ( N @ k

N, n)

~(M,~) ~

o

du C-mo,d.~l~

~(M,H)

!

. Ainsi

,

dim A M = dim A N = dim C M ~ k N ~ n et

pour l'id4al

M@ k N

= 0

si et seulement

, si

dim A M + dim A N

< n

9

sont

V-13 Ce r4sultat se g@n@ralise facilement qux anneaux r@guliers de la g@om4trie alg@brique. D'abord il est clair que tout anneau r4gulier

A

int~gres

(un anneau noeth@rien A tel que, pour tout id@al premier

A

est produit direct d'un nombre fini d'anneaux r@guliers p,

soit int~gre, est produit direct d'un nombre fini d'anneaux in-

P

t~gres). Si

A

A

est int&gre, on dit que

si, pour tout id@al premier

p,

A/~

et

est d'@gale caract@risitique, A

ont m~me caract@ristique.

A sera dit d'4gale caract4risti%ue

Nous conviendrons qu'un anneau r@gulier

si ses "composantes int&gres" sont d'@gale caract@ristique, ou encore si, pour tout id@al premier

~

, l'anneau local

A

est d'@gale ca-

ract4ristique. Th@or~me I: M

e_!t N

de

M~A

Si

A

estun

anneau r@~ulier d'@~ale caract@ristique,

deux A-modules de type fini et N

~

un id@al premier minimal

, alors

i=dim A

(I)

[ -

>

0

i=0

(2)

dimA

M

~)

Enfin on a

q_ q-

+ dim A

~(M,N)

N

q_ q-


0,

on a l e s

~

~q(M,N)
A ~>A--->A

0

est de dimension homologique

9

sur

A

>0

et que

, et

~ /~ N

ensemble des ~l~ments de

N

aunul~s par 3"c .

La suite spectrale se "r~duit" donc ~ la suite exacte :

...

--~

A Toq_

I(M,~ ~ ) - - - ~

~o~

(M,~) A

,o~ %A(M,~)

~.-.

= ~ AC~,~I~N)

Mais nous supposons que % A(:I,N)

~N =

-- 0

montre que

:

donc

Z A(M,NI~ )

~im-~ + ~i~,/~ ~ L n

>~

0

,

V-I 8 et l'in~galit@ stricte a lieu si st seulement sl Comme

dim A M = dim A M,

et

di~

N/~N

~A(M,N/~

= dim A N / ~ N

N) = 0

-- dim A N - I,

la propri~t~ est d@montr@e.

~)

~

annule

M

et

N :

Consid~rant toujours

K

comme A-module,

N

comme A-module,

la suite spectrale reste valable et donne:

~A(~,N)

=

~A_(~,NI.~ N)

~ais dane ce cas

_

A_(M, ~rN)

~

N/~

N = ~N

.

= N

et

~A(~I,N) = 0 !

il

suffit donc de v~rifier que

dimA M + dim A N = dim A- M + dim A N

Mais comme

est un A-module de longueur finie, et

M .~@A N = M ~ A N

que le lemme est d@montr@ pour

A

, on a

dim ~A M + d i m ~A N ~

< n + I o

n

,

c .q.f.d.

6.

Anneaux r~guliers ~uelcon~ues ~ On ne salt pas encore @tendre ~ ces anneaux lee propri~-

t@s (I) st (3) du th@or~me I. Par contre, on peut d@montrer l'in@galit~ (2)

(la "formule des dimensions" de la g@om@trie alg~brique).

De fagon precise: Th~or~me 3:

Soient

premiers de

A,

contiennent

~

+ q htA P

A

un anneau r ~ u l i e F ,

un ideal premier de

. On a + ht A q

A

et

q

deux id@aux

minimal parmi ceux qui

alors: ~

ht A r

En localisant par rapport local

A

p

~,

et en compl@tant l'anneau

on voit qu'il suffit de consid@rer le cas oG

A

est un

r

anneau local r~gulier complet d'id@al maximal

r

. D'apr~s un

V-19 thgor&me de Cohen (voir Samuel, Al~&bre local~), forme

AI/aA I

, oG

AI

est de la

est un anneau de sgries formelles

anneau de valuation discrete complet Si l'on consid~re alors dgmontre comme d~ns le cas d'oG

A

dim A/~ + dim A/~

k

9

A/p

et

A/q_ oomme As-modules , on ~AI(A/p, A/q_) ~ 0

~) du N ~ 5 que

( dim A I

dim A/~ + dim A/~

sur un

et , c.q.f.d.

dim A = (dim At) -I

Signalons aussi le r~sultat suivant: Th~or~me 4: M

soient

Soit et

N

A

un anneau local r ~ u l i e r

n ,

deux A-modules de type fini non nuls tels ~ue

soit de longueur finie, et soit tel ~ue

de dimension

A

/ 0

i

le plus grand entier

. O n a alors:

i

i = dh(M) + dh (N) - n D~monstration

tel que le

"Tor triple"

Tor~(M,N,k)

Tor~ (Tor~ ( M , N ) ~ k ) ~

Tor~(M,N,k)

= O

si

Done

Tor~ (M,N)

r = n + i

j ) i + n

TorAp+q(M~N;k) ,

0

0 t

et que ,

est un A-module non nul de longueur finie.

9

b) La suite spectrale montre que

le corps r~siduel de

le plus grand entier

soit ~

Tor~+n(M,N,k ) = Torn(Tor A Ai (M,N),k) # puisque

k

de deux fagons diff~rentes

a) La suite spectrale montre que

Soit

(d'apr~s Grothendieck):

On va d~terminer

.

Tor~(M,Tor~

r ~ dh(M) + dh(N)

"principe du cycle maximum").

(N,k))---~ Tor~+q(M~N~k)

(on applique encore une fois le D'oG

n+i = dh(M) + dh(N),

c.q.f.d.

r

A.

V-20 Corollaire: que

Les hypotheses

Tor~(M,N)

= 0

pour

@tant celles du th4or~me 4, pour

i } 0

, il faut et il suffit que

soie~ des modules de Cohen-Macaula~ On peut @crire l'entier vante:

et %ue

M

et

N

dim M + dim N = n

i du thgor~me 4 sous la forme sui-

i = (dh(M) + dim M - n) + (dh(N) + dim N - n) + (n - dim M - dim N) = (dim M - codh M) + (dim N - oodh N) + (n - dim M - dim N)

.

Or~ chacun des termes entre parentheses les deux premiers,

est

~

0

(pour

d'apr&s le Chapitre IV; pour le troisi~me,

d'apr&s le th~or~me 3). On a donc

i = 0

, si et seulement

si

chacun de ces termes est nul, d'oG le rgsultat cherch@. Remar~ue: on a

Lorsque les hypoth&ses

~(M,N)

=

~(M ~ A N)

vraie. Plus ggngralement, "caract4risti%ues

~r(M,N)

=

sont

0

~

, et que

(-I)i

on peut conjecturer

~r = 0

que routes les

r = 1,...,n

si et seulement si chacun des

d'apr&s Auslander-Buchsbaum.

~ ( M ~ A N) )

Tor~+r(M,N )

C'est en tout cas vrai dans le cas d'g-

pourquoi la dgfinition des multiplicit@s (au moyen de

est

partielles"

~(Tor~+ r (M,N)),

est nul,gf. Chap. IV, App.ll. gale oaractgristique,

sont satisfaites,

; il e st probable que la r4ciproque

d'Euler-Poincar~

2

du corollaire

d'intersection

me donne un r@sultat

lorsque les vari@t4s sont localement

Cela explique

"correct" que

de Cohen-Macaulay

exemples construits par GrSbner lui-m~me).

de GrSbner

(voir les

V-21 J j f C) RACCORD AVEC LA GEOMETRIE ALGEBRIQUE

I.

Formule des Tor. Soit

X

une vari~t~ alg~brique,

simplifier, nous supposerons que irr~ductible. de

X,

que

N

N

de

Soient

U, V, W

k

d~finie sur un corps est alg~briquement

trois sous-vari~t~s

~tant tune ccmposante irr~ductible de

soit simple sur

k

. Pour

clos, et

X

irr~ductibles

U~V

. Supposons

X (_ _ rencontre l' ouvert des points simples i.e.

X )! il revient au m~me de dire que l'anneau local

A

de

X

en

est r~gulier. On a alors (cf. w B, n~ (I)

dim U + dim V

~

dim X + dim W

.

Lorsqu'il y a 4galit~ dans la formule ci-dessus, on dit que l'intersection est propre en ment en

W

(ou encore que

U

et

V

se coupent propre-

W ).

Soient

~U

et

~V

les id6aux premiers de l'anneau local

correspondent aux sous-vari4t4s r~gulier,

et

A/(~U+~V )

La caract~ristique

U

et

V

. Par hypoth~se,

A A

qui est

est de longueur finie.

d'Euler-Poincar~ dim X

~A(A/P_ U, A/P-v)"

Z i=O

est d4finie! c'est un entier Th~or~me I: on a

(a_~

~A(AIPu,

(~)

Si

U

Si

U

AIPv) m 0 et

V

et

~ V

(-I)i

~A(TOr~(A/Pu ' A/P_v) )

0 (cf. w B). ne se coupent pas proprement en

.

se coupent proprement en

cp~ncide avec la multiplicit~ d'intersection et

V

en

W

W ,

W, ~A(i/p~j, A/Pv) i(X, U.V, W)

, au sens de Well, Chevalle[, Samuel.

d_~e U

N

V-22 L'assertion (b)

am n~

(a)

w B. Nous d@montrerons

apr~s avoir 6tabli que la fonction

r"~A(A/P-u ' A/Pv)

2.

r4sulte du th4or~me I du

I(X, U.V, W) =

v@rifie les propri4t@s formelles d'une "intersection".

Cycles sur une vari~t~ affine non singuli~re. Soit

X

une vari4t@ affine non singuli~re, de dimension

d'anneau de coordonn4es de dimension

~

a

A . Si

, le cycle

cycle positif de dimension Proposition Is

Soient

a 9 N Za(M )

, et si

M

est un A-module

est d4fini (of. w A)! c'est un

a , nul si et seulement si

a,b,c @ ~

n , et

tels ~ue

a+b = n+c

dim.M

( a

. Soient

. M, N

deux A-modules tels que: (2)

dim.M ~

Alors les o[cles

a , Za(M )

dim.N < et

st le cycle intersection de la fonction

du

W

Zb(N )

N))

dans le cycle

(-I) i z c

ou

dim.N < b

ficient de

W

p

en

de

A

! soit

B

c

de

X , cor-

l'anneau local

Ar

W ). Par d~finltion, le coefficient est @gal ~:

"biadditif"

of. w B~ n~

dans

Iien

Za(M).Zb(N )

en

M

et

N ~ et nul si

dim.M < a

est de m~mey trivialement~ du coef-

. On est dono ramen~ au oas o~ p

et

q_ 4tant premiers et correspon-

V

de

X

de dimensions respectives

b . D a n s ce cas, le coefficient de

W

dans

M ~ A/p , N = A/~

, les id4aux

dant ~ des sous-vari~t~s et

X

[

Zo(TOrA(M,N))

Ce coefficient est dono

c .

(d4fini par lin~arit~ ~ partir

une sous-vari4t4 irr4ductible de dimension

(i.e. l'anneau local de W

~

coSncide avec le cycle

respondant & l'id6al premier

de

dim.M~AN

sont d4finis, se coupent proprement,

Za(M).Zb(N )

n~

z c (TorA(M,

(3)

Soit

I

b ,

U

et

Zo(TorA(M, N))

est

a

V-23

%B(BIp_B, BlaB)

=

I(x, u.v, w)

, cqfd.

Remarc~ues. I) La proposition l'intersection

I fournit un proc~d@ tr~s commode pour calculer

(au sens de la fonction

que c'est aussi le sens habituel) de dimensions

a

les

de cycles

M

voulue

st

N

et

b

z

et

), et le cycle

"cycle de

Tor(M, N)"

Tori(M,N )

9

-

mais on verra plus loin

de deux cycles positifs

, se coupant proprement:

(ce sera automatiquement

Supp(~) = Supp(z')

I

i.e

9

z'

tels que

le cas si z.z'

z

dim.M ~ N

bien entendu),

structural

3.

ori( ,

~ = ~X

de

la somme altern@e des cycles des

M

les modules

Tor~(M,N)

affines,

est un tel fais-

(ce que l'on @crit aussi

, les X

et

cherch~ est simplement le

on d~finit de fagon ~vidente le cycle

position I reste valable,

les faiscea x

a

p

ait la dimension

Supp(M) = Supp(z)

les faisceaux coh6rents remplacent les modules. Si dim.Supp(M_~ ~

z'

on choisit des modu-

2) Dans le cas des vari@t@s alg~briques non n~cessairement

ceau, avec

et

dim.M ~ Za(M~

a

,

. La pro-

~tant remplac6s par

o__z 6tant pris sur le faisceau

.

Premieres formules. Nous allons voir que le produit des cycles, d@fini au moyen de la

fonction

I

du nOl

(i.e. en prenant la "formule des Tor" pour d~fini-

tion) v~rifie les propri~t@s fondamentales

des intersections!

ces propri6-

t~s ~tant toutes de nature locale, nous supposerons que les vari~t6s consid~r~es

sont affines et non singuli~res.

pliquer la proposition

Cela nous permettra d'ap-

I d u n ~ pr@c@dent.

a) Commutativit@. Evidente ~ cause de la commutativit~

de chaque

Tor.

i

.

V-24 b) Associativit4. On considers trois cycles

a , a ' ,a" Z.(Z'

z,z',z"

de dimensions respectives

9 On suppose que les produits sont d4finis,

.Z !')

, (z.z').z"

-

on peut supposer que

z,z'

sa dimension 9 Choisissons un A-module

pour

z'

Z a (M) = z et

z"

! soient

M'

et

M

z" X

sont

~

0 9 Soit

donn~e, et s o ~

M"

cette asscciativit~

Tcr (M, M', M")

(5)

TorA(TorA(M, P

~

M'), M")

c = a + a' + a" - 2n

sections consid6r4es dim.M' ~ M"

, et

b

et

TorA(M, M', M")

~9

TorA(M, M' , M")

b = a' + a" - n

sont propres, ~

de

et de deux suites spectrales: ~

9

. Puisque les inter-

on a dim.M~

M' ~ M"

~

c .

On peut donc dgfinir les cycles: =

,

= Z (Tor~(M, M' O

L'invariance spectrales,

x M"))

'

appliqu~e ~

i

=

= Zc(Tor

d'Euler-Poincar~

(4), donne:

(-I) p+a p,q

M, Tor

M'

M"))

,

"

des caract~ristiques

(-1)i i

Z~

des Tor. D'apr~s

s'exprime par l'existence

Tor~(M, Tor~(M', M"))

i

n

des modules correspondants

"l'associativit4"

(4)

x

A

.

Cartan-Eilenberg,

Posons

et

de support 4gal ~ celui de

et

La formule cherch4e va provenir de

Tor triples

Z ! 9

z ).

l'anneau de coordonn~es de la vari4t~ ambiante

et tel que

,

et il s'agit de prcuver que

(z Par lin6arit~,

z.z'

9 Pq

dans les suites

V-25 (-1)Pxpq = Z.yq

Mais la proposition I montre que

et

P

•

(-1)qyq = z'.z"

@

q

On a donc: (-1)ixi =

z.(z'.z")

.

i Utilisant

(5)

, on volt de mSme que ~ ( - 1 ) i x i la formule d'assooiativit4 oherch@e.

, d'o~

- (z.z').z" i

c) Formule du produit. On se donne deux vari@t@s non singuli~res Zl,Z 2 et

(resp. z~, z~)

z~.z~

port@s par

X

X

et

X'

(resp. X'). On suppose que

sont d4finis. Alors les cycles produits

(port@s par

X ~ X')

(6)

se coupent proprement,

(Zl•

(Zl.Z2)

=

, et des cycles

zlXz ~

sont des modules correspondants & de suite que le cycle associ6 & l'anneau

B = A ~ k A'

de

A

•

(z~.z~)

et

A' . Si

Zl, z2, z~, z~ MI ~ k

X ~ X')

M~

z2Xz ~

et l'on a: 9

On peut supposer qu'il s'agit de cycles positifs~ et que sont affines, d'anneaux de ccordonn@es

et

Zl.Z 2

X

et

X'

MI, M2, M~, M~

, on v@rifie tout

(consid4r@ comme module sur

est @gal &

ZlX z~

[on pourrait

mSme prendre ce fait comme d@finition du produit direct des cycles ] La formule & d@montrer r@sulte alore de la T o r ~ ( M 1 ~ MI,,

M 2 ~ M ~ ) ~=

A 1, ori(M

"formule de K~nneth"

ek

.

:

.

i+j=h d) R@duction & la disgonale. Soit

~

la diagonale de Zl.Z 2 = (z 1x

(7)

valable quand lee cycles Soit de

X ~X

X • X

A

zI

. II s'agit d'@tablir la formule

"2)" et

z2

l'anneau de coordonn@es de . Si

MI

et

M2

9

se coupent proprement. X

, et soit

B = A~ k A

sont des modules correspondant ~

zI

celui et

z2

V-26 respectivement,

on a

A B Tori(M1, M2) " T o r i ( M l @ k M 2 of. w B, n~

, A)

,

La formule ~ d~montrer en r~sulte en prenant la somme al-

tern~e des cycles des deux membres.

4. D~monstration du th~or~me I. Ii s'agit de prouver que les fonctions Ccmmengons par traiter le cas o~ en

W

U

; cela signifie ~ue l'id~al

ments

Xl,...~x h

, avec

I

et

i

coincident.

est une intersection complete ~U

du n~

est engendr~ par

h = dim.X - dim.U = dim.V - dim.W

h

~l~-

. D'apr~s

le th~or&me I du Chap.IV, on a alors:

A/P_v) = ex(A/p v) oG

x

d@signe l'id~al de

,

A/P_v engendr~ par les images des

Mais, d'apr~s Samuel (K~thodes d ' a l ~ b r e

xi

.

abstraite en g~om~trie alg~-

brique, p.83), la multiplicit~

ex(A/~v)

ce qui d~montre bien l'~galit~

I ~ i

est ~gale ~

i(X, U.V, W)

dans le cas considerS.

Le cas g~n6ral se ram~ne au cas precedent, en utilisant la r~duction la diagonale, qui est valable ~ la fois pour Rue

~

I

et

pour

i 9 Du fait

est non singuli~re, c'est une intersection complete en tout

point, et l'on est bien dans les hypotheses du cas precedent, cqfd.

5. Rationalit~ des intersections. Bornons-nous pour simplifier au cas o~ neaux

de coordonn~es

A

dit (en style "Weil") Rue une sous-k -alg~bre O

Soit

M

dim.M ~ ~

k

un sous-corps de

A -module

k

, On

O

est d~finie

X de

. Soit

est une vari~t~ affine d'an-

sur

k

si l'on s'est donn~e O

A

telle que

A = A o ~k ~

O

un O

A

k

sur

X

9 O

(de type fini, comme toujours), avec

O

a 9 On peut consid6rer

Mo%

k O

comme tun

A-module~

et l'on a

V-27 dim(Mo@k

)

~

a , ce qui permet de d6finir le cycle

Un cycle

z

de dimension

a

sur

est diff@rence de deux cycles

X

Za(Mo@k

est dit rationnel

Za(Mo ~ k

)

et

sur

Za(~ ~ ~ k )

k

P-o

"cycles premiers"

parcourt l'ensemble des id@aux premiers de

Cette d@finition de la rationalit@

"l'ordre d'insgparabllit@"

qui intervient

deux cycles de hi. Alors

Supposons

X

z.z'

, rationnels est rationnel

On peut supposer A -modules

M

O

et

z

et

M'

O

O

T o rAi ( M o ~ k ,

0

z'

X

Za(Ao/Po@k)

A~

tels que

sur

Chap.II,p.118,

k~ k

O

, o~

dim(io/Po)=a. & celle

chez Nell en termes de produits

non sin~uli~re, sur

k

cela se volt en interprgtant

tensoriels de corps (cf. Samuel-Zariski, Th~or~me 2 (Weil):

sur

des cycles est 6quivalente

donn@e par Well dane lee Foundations!

s'il

O

obtenus par

le procgdg pr6c@dent. Le groupe ab@lien des cycles rationnels admet pour base l'ensemble des

) .

th.38).

et soient

, et tels ~ue

z

z.z'

et

z'

soit d@fi-

.

o

positifs,

donc correspondant

~ des

. Le th@or~me r6sulte alors de la formule: A | k @ k) = Tor.l o (Mo, M') 0

6. Images directes. Soit

f : X

alg@briquement

}Y clos de

X

un morphisme de vari@t4s alg@briques k , pour fixer lee id@es), et soit

dimension

a

9 On d@finit l'ima~e directe

lin@arit@,

~ partir du cas o~

z = W

f (z)

, sous-vari@t@

(sur un corps

z

un cycle de de

z

par

irr@ductible

de

X .

Dane ce cas, on pose: f (W) = f~(N)

0 d.N'

si l'adh@rence , si

W'

de

dim.W' ~ a e t

"degr@" de l'application

f : W

~ W'

f(W) si

est de dimension

d ~ ~k(W):k(W')]

(

est le

.

Cette op@ration est toujours d@finie, et conserve la dimension! commute aux produits. Elle

a

est surtout int@ressante

lorsque

f

elle est

,

V-28 propre

(he pas confondre la propret6 d'un morphisme avec cello d'une

intersectionl),

en vertu du rgsultat suivant:

Proposition 2:

Soit

de dimension ~ue

a

f : X---$ Y

d_~e X

Za(M_~ ~ z

, et soit

. Soit

Rqf(~

un faisceau cohgrent sur (a)

On a

(b)

On a

Y

dim.R~

M

soit

z

un faisceau cohgrent sur

l_~aq-~me image directe de

M

un c2cle X

te__~l

, ~ui est

(lhgor&me de Grothendieck).

~< a

f(z)

tun morphisme propre,

e_}_t dim.Rqf(M~

,, za(R~

,,

(a

pour

q ~ I.

(-1) q

La d~monstration au support de nuls pour

q

se fait en se ramenant au cas oG la restriction de

z

est tun morphisme fini, auquel cas lee

~ I

Rqf(M~

f

sont

9

7. Images r~cirroques. On peut lee d~finir dane diverses situations!

je me contenterai

d'indiquer la suivantes Soit X

et

et

f : X y

lyl

)Y

un morphisme,

des cycles de - Supp(y)

dim.

X

et

Y

avec

Y

non sin6uli~re , et soient

respectivement.

Posons I~1 = Supp(~)

. On a alors:

>/

f-l(lyi)

dimixl

-

codim.lyl

9

Le cas "propre" est celui ou il y a ~galit~. Dane c e c a s , nir un c~rcle intersection

x.f y

de support contenu dane

on peut d6fi~x I ~

f-1(~yl)

par l'un des proc~d~s suivants: a) R~duction & une ~ntersection usuelle:

on suppose

X

affine

(le

probl~me ~tant local), ce qui permet de la plonger dane une vari~t6 non singuli~re

V

z

plonge

) (z, f(z))

cycle

x

de

X

, par exemple un espace affine. L'application X

~ un cycle

dane

V~Y

~(x)

de

,donc

permet d'identifier

tout

V ~Y

. On d~finit alors

x.f y

V-29 X

comme l'unique cycle de

(8)

tel que:

-

T(

l.(v

le produit d'intersection du membre de droite @tant calcul4 dane la varlet@ non singuli~re

V~Y

independent du plongement

. On d~montre que le r~sultat obtenu est X

)V

.

b) On choisit des faisceaux cob@rents cycles respectifs

x

et

y

Oy

Tor 9

Cas particulier:

sont nuls pour

on prend

x = X

X)

et s'appelle l'image r@cipro%ue de

y

X

et

Y

de

oomme la somme

, lee

Tor i

; du fait que

i ~ dim.Y

9 Le cycle

sur

x.fy

Tori(M, f~N_~

(et @rant des faisceau sur

singuli~re, lee

N

et

~ et l'on d4finit

altern~e des cycles des faisceaux pris sur

M

~tant Y

est non

, et la somme est finie.

x.fy

se note alors

f~(y)

. Rappelons sous quelles condi-

tions il est d~fini: i/

ii/

Y

est non singuli~re

oodim.f-1(lyl)

= oodim, l y l

9

Aucune hypoth~se sur

X

n'est n6cessaire.

Remar%ues.

X

est non singuli~re, on a

I)

Quand

(9)

x.~Y-

x-f~(Y)

,

pourvu que lee deux membres soient d@finis. 2)

Le cas particulier oG

Y

est une droite est le point de d@part

de la th4orie de l'6quivalence lin~aire des cycles. Formule de pro~ection. C'est la formules

(Io) valable lorsque

f( f

.fy) =

f(x).y

,

est propre et que lee deux membres sont d4finis.

La d~monstraticn peut se faire en introduisant des faisceaux et

N

de cycles

x

et

y

M

, et en utilisant deux suites spectrales

V-30 de mSme aboutissement et de termes

~q'f(.~%(,_., ~ ) les

Tor

respectivement:

~ori(R4"(~,

et

~tant pris sur

E2

~y

~

,

(cf. Grothendieck, EGA, Chap.Ill,

prop.6.9.8). Lorsque

X

est non singuliSre, cette formule prend la forme plus

usuelles

z(=.f'*(y))

(11)

-

f(=).y

.

Exeroioes. g 1/ Soit

Z

On suppose

X

f )Y

et

Y

)X

~ et soient

,.g(~.~=)

Retrouver (pour

(,.#).fx-

-

f = g = 1)

(13)

X=Y,

g

f = 1

, en tirer la formule:

~(~).#,

-

lorsque

2/ M@mes hypotheses que dans singuli~re, mais que

(,.f~ x) .#.

l'associativit4 et la commutativit~ du

~(~.y)

g (x.y) = g~(x).g~(y)

Supp(z)

XgY~Z

produits qui y figurent sont d4finis):

produit d'intersection. Pour

d'o~

des cycles de

non singuli~res. D4montrer la formule suivante

(valable lorsque t o u s l e s

(12)

x,y,z

9

Zest

non singuli~re.

I/, & cela pros que

est propre

Y

peut @tre

(il suffirait que sa restriction

le soit). D@montrer la formule:

(14)

~(z.zx) - ~(z).fx

,

valable lorsque les deux membres sont d~finis. (Pour

f = I

, on

retrouve (10).) 3/ Donner les conditions de validit~ de la formule:

(15) 4/ Soient soit

(YlXY2)'flX'f2 (xlXx2) = (Yl"f111) "K (y2.f2x2) f : Y

g = (f,f') : Y.

) X, f' : Y ) X~(X'

)X'

, avec

X,X'

. Soient

x,x',y

des cycles de

9

non singuli~res!

V-31 X,X',Y

9 Donner les conditions de validit~ de la formule:

(16) 5/ Soient

Soient y,z

f : Y----#X

et

des cycles de

g : Z

Y,Z

~X

"prcduit fibr6"

produit fibr@

Y

duit lorsque

g = I

de

et

, avec

X

non singuli~re.

. D~finir (sous les conditions de

propret~ habituelles) un YXX Z

y.(x • x')

(y.f,xt ) .fX

=

Z

? Et lorsque

y.x z

~ qui est un cycle

au-dessus de X

X

du

. Que donne ce pro-

est r~duit ~ un point

?

8. Extensions de la th~orie des intersections. I1 est clair que la "formule des Tor" permet de d6finir l'intersection de deux cycles dans des cas plus g@n~raux que celui de la g~om~trie alg~brique classique. Par exemple: i) Elle s'applique aux espaces anal2tiques aucune difficultY, puisque t o u s l e s

(ou formels)

. I1 n'y a

anneaux locaux qui interviennent

sont d'~gale caract~ristique. Dans le cas des espaces analytiques complexes, le produit d'intersection ainsi obtenu coincide avec celui d~fini par voie topologique par Borel-Haefliger!

cela se d~montre

par r~ducticn au cas "~l~mentaire" 4.10 de leur m@mcire. ii) Elle s'applique ~ tout schema (au sens de Grothendieck) r6gulier X

pcurvu que lee conjectures du w B

aient ~t~ v~rifi6es pour les

anneaux locaux de ce schema! c'est notamment le cas lorsque ces anneaux locaux sont d ' ~ a l e

caract~risti~ue.

de type fini sur un corps

k

~ m e

lorsque

X

est un schema

, cela donne une th~orie des intersections

un peu plus g~n~rale que la th~orie usuelle! en effet, si parfait, il se peut que

X

soit r~gulier sans ~tre simple

dane la terminologie de Grothendieck) ne s'applique qu'au cas l i s s e . ~

sur

k

k

n'eet pas (i.e. lisse

! or la th~orie de Nell

,

V-32 iii) Plus g4n4ralement, A tout schema

X

la th~orie des intersections s'applique

qui est lisse sur un anneau de valuation discrete

On peut en effet montrer que les anneaux locaux de conjectures du

w B

fla

X

C .

v4rifient les

d~monstration se fair par un proc~d~ de

r@duction ~ la diagonale analogue - en plus simple - ~ celui utilisfi au

w B, n ~

Ce cas est important,

car il est ~ la b a g de la

r4duction des cycles de Shimura. Indiquons rapidement commentt Soit

k

(resp. K)

le corps r~siduel de

fractions). Le sch4ma Xk - X|

k

X

k

r6siduel)

XK

; de mgme,

de

X

cycle

Xk

! tout cycle ~

dimension

de

X

z

! le sch6ma

est de type fini sur Xk

K

est la r@duction de

de dimension a+1

de

X

zn(xk)

-

Zn(X)

Zn_I(Xx)

respondent aux faisceaux coh@rents l'uniformisante

T~

de

qui sont plats

sur

C

C

a

de

XK

XK

.

d~finit par adherence un

. Le groupe

+

Zn_ 1 (XK)

Zn(X )

Xk

des cycles de

.

est donn~e par la restriction

M

~ ceux de

sur

X

Z(XK)

Z(Xk)

cor-

qui sont annul@s par correspondent aux

(i.e. sans torsion)! cette d6composition en

deux types intervenait d~j& au

consid4rer

sur le corps

. On dit parfois,

des cycles. Du point de rue des faisceaux, les cycles de

Soit maintenant

Xk

se trouve ainsi d~compos~ en somme directe:

zn(x) La projection

K

dfifinit, par injection, un cycle de mgme dimension

de dimension n

XK ~ X ~ C

(c'est tune "vari~t~ alg6brique"

assez fgchausement, que Tout cycle de

(resp. son corps des

est somme disjointe du sous-soh4ma ferm4

et du sous-schfima ouvert

est de type fini sur

C

z ~ Zn(XK)

w B, n@5. , et soit

z

comme un cycle de codimension

son adherence. On peut I

de

v~rifie tout de suite que le produit d'intersection

X

, et on

-v-33 N

z

-

est tou~ours d@fini! on a du c~cle

z

(calcul4 sur

Xk. t~

z e Zn(Y~)_~.

M

se d@finir sans parler

(et sans hypoth~se de lissit6 ni m@me de r4gularit@):

du point de vue des faisceaux,

intervient

, on dit que c'est la r4duction

. Cette op6ration peut d'ailleurs

d'intersecticns

cob@rent

X )

plat sur

C

ells revient ~ associer ~ tout faisceau

le faisceau

M~6M

. L'hypoth~se de lissit@

seulement pour d@montrer les propri6t@s

ration de r6duction:

compatibilit4

avec lee produits,

rectes, les produits d'intersection! dans les n ~

pr@c@dents,

formelles de l'op@les images di-

les d@monstrations

~ coup d'identit6s

se font, comme

entre faisceaux,

cu, au pire,

de suites spectrales. La th4orie des intersections

sur

X

la simple r6duction des c~cles. Ainsi, de

XK

la composante de

sant du couple section de

~

x, x' et

x'

~.~'

dans

(bien entendu~

donne d'ailleurs davantage que si Z(Xk)

x

et

x'

sont des cycles

donne un invariant int@res-

il n'est d4fini que si l'inter-

est propre)! cet invariant est certainement

li@ aux "symboles locaux" introduits r@cemment par N4ron.

B-I

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