Algèbre locale, multiplicités [3rd ed.] 9783540070283, 3540070281 [PDF]
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French Pages 195 Year 1975
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- Jean-Pierre Serre
- Pierre Gabriel
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Lecture Notes in Mathematics An informal series of special lectures, seminars and reports on mathematical topics Edited by A. Dold, Heidelberg and B. Eckmann, ZUrich
11
Jean-Pierre Serre College de France, Paris
Algebre Locale. Multiplicit6s Cours au Coll~ge de France, 1957-1958 r~dige par Pierre Gabriel Seconde ~dition, 1965
1965
Springer-Verlag. Berlin-Heidelberg-New York
All rights, especially that of translation into foreign languages, reserved. It is also forbidden to reproduce this book, either whole or in part, by photomechanical means (photostat, microf'dm and/or microcard)or by other procedure without written permission from Springer Verlag. O by Springer-Verlag Berlin - Heidelberg 1965. Library of Congress Catalog Card Numbe~ 65-29123. Printed in Germany. Title No. 733L
Pr@face de la seconde 6dition
Cette @dition diff~re de la premiere par les points suivants: Un certain nombre de passages ont @t6 r6crits, notamment le w A du Chap.II
, le Chap.III, le w B du Chap.IV et le w C du Chap.V.
Ont @t@ ajout@s: une Introduction,
deux Appendices et une Biblio-
graphie.
Le travail de dactylographie a @t6 fait par les soins de l'Institut des Hautes Etudes Scientifiques. Je lui en suis tr~s reconnaissant.
Jean-Pierre Serre
TABLE
DES
MATI
ERES
INTRODUCTION Chapitre I. D~COMPOSITION PRIMAIRE DES ~ODULES A) G@n@ralit@s. I. Radical de Jacobson de
I-I
A
2. Lemmes sur les id@aux premiers
I-3
3. Foncteurs additifs en th@orie des modules
1-5 1-9
4. Modules noeth@riens B) D@composition primaire et th@or~mes d'unicit@
1-11
C) Quel~ues applications I. Vari@t@ associ@e ~ un module
1-21
2. Id@aux @trangers
1- 5
3. Modules de longueur finie
1-3o
Chapitre II. OUTILS ET SORITES A) Filtrations et ~raduations I. Anneaux et modules filtr@s
II-I
2. Topologie d@finie par une filtration
II-2
3. Compl@tion des modules filtr@s
11-3 II-4
4. Anneaux et modules gradu@s 5. OG tout redevient noeth@rien! filtrations
~-adiques
6. Modules diff@rentiels filtr@s
II-8
11-I 3
B) Pol~nSmes de Hilbert-Samuel I. Rappel sur les polynSmes ~ valeurs enti~res
11-19
2. Fonctions additives sur les oat@gories de modules
11-20
3. Le polynSme caract@ristique de Hilbert
11-22
4. Les invariants de Hilbert-Samuel
11-25
l
Chapitre III. THEORIE DE LA DIMENSION A) Dimension des extensions enti@res 1. D~finitions
III- I
2. Le premier th~or~me de Cohen-Seidenberg
III- 2
3. Le second th@or&me de Cohen-Seidenberg
III- 4
B) Dimension dans les anneaux noeth~riens I. Dimension d'un module
III- 6
2. Le cas semi-local noeth~rien
iii- 7
3. Systbmesde param~tres
III-10
C) Anneaux normaux I. Caract~risation des anneaux normaux
111-I 1
2. Propri~t~s des anneaux normaux
III-14
3. Fermeture int6grale
IIl-1 6
D) Anneaux de pol~n8mes I. Dimension de l'anneau
A[XI,...,Xn]
2. Le lemme de normalisation
III-17 III-20
3. Applications. I. Dimension dans les alg~bres de polyn6mes
III-22
4. Applications. II.Fermeture int@grale d'une alg&bre de type fini
III-25
5. Applications. III.Dimension d'une intersection dans l'espace affine
111-27
Chapitre IV. DINENSION ET CODI~ENSION HOMOLOGIQUES A) Le complexe de l'algbbre ext~rieure (Koszul) I. Le cas simple
IV- I
2. Aoyolioit~ et propri6t6s fonctorielles du complexe de l'algbbre ext~rieure
IV- 3
3. La suite spectrale associ~e au complexe de l'alg~bre ext~rieure
IV- 8
4. La codimension homologique d'un module sur un anneau semi-local
IV-I 2
B) Modules de Cohen-Macaulay I. D@finition des modules de Cohen-Macaulay
Iv-17
2. Diverses caract6risations des modules de Cohen-Macaulay
IV-19
3. Vari6t6 d'un module de Cohen-Macaulay
IV-22
4. Id6aux premiers et compl6tion
Iv-25
C) Dimension homolo~ique des modules noeth6riens I. La dimension homologique d'un module
Iv-27
2. Le cas noeth@rien
IV-29
3. Le cas local
IV-33
D) Les a n n e a u x r @ ~ l i e r s I. Propri@t6s et caract@risations des anneaux locaux r~guliers
IV-35
2. Propri6t6s de permanence des anneaux looaux r@guliers
IV-4O
3. D@localisaticn
IV-r
4. Un crit~re de normalit6
IV-44
J
IV-$6
Appendice I. RESOLUTIONS MINIMALES I. D@finition des r@solutions minimales
IV-46
2. Application
IV-48
3. Cas du complexe de l'alg~bre ext@rieure
Zv-50
i
J
l
Appendice II. POSITIVITE DES CARACTERISTI~UES D'EULER-POINCARE t SUPERIEURES.
IV-53
t
Chapitre V. LES MULTIPLICITES A) La multiplicit6 d'un module I. Le groupe des cycles d'un anneau
V-I
2. La multiplicit@ d'un module
V-2
B) La multiplicit@ d'intersection de deux modules I. La r@duotion ~ la diagonale
V-4
2. Produits tensoriels compl@t4s
V-6
3. Anneaux r6guliers d'6gale caract~ristique
V-12
4. Conjectures
V-14
5. Anneaux r@guliers d'in6gale caract6ristiques (cas non ramifi6) 6. Anneaux r@guliers quelconques
V-I 5 V-18
C) Raccord avec la ~@om@trie alg@brique 1. Formule des Tor
V-21
2. Cycles sur une v~ri@t@ affine non singuli~re
V-22
3. Premieres formules
V-23
4. D@monstration du th@or~me I
V-24
5. Rationalit@ des intersections
V-2 7
6. Images directes
V-27
7. Images r@ciproques
V-28
8. Extensions de la th@orie des intersections
V-31
BIBLIOGRAPHIE
B-I
I N T R O D U C T I O N
Les m u l t i p l i c i t 4 s alg~brique Poincar4"
d'intersectionsde
sont ~gales ~ certaines form~es
Le but essentiel
r4sultat,
et de l ' a p p l i q u e r
fondamentales
de la th4orie
locale
Seidenberg,
(au sens de Krull),
Tot de Cartan-
~ la d 4 m o n s t r a t i o n
ce
des formules
des intersections.
r a p p e l e r quelques
: d4composition
normalisation
d'Euler-
de ce cours est d ' ~ t a b l i r
II a fallu d'abord d'algAbre
"caract4ristiques
au m o y e n des foncteurs
Eilenberg.
la g4om4trie
primaire,
r4sultats
th~or&mes
des anneaux de polyn$mes,
polyn~mes
caract4ristiques
de Cohendimension
(au sens de
Hilbert-Samuel).
L'homologie la m u l t i p l i c i t 4 q
=
& tun
est d4finie nSme
eq(E,r)
(x I ,...,Xr)
rapport
suivante,
ensuite,
d'un id4al
E
~A(E/qnE)
A-module F ]
de
eq(E,r) -"
A
par
Cette m u l t i p l i c i t 4
nr/r! [on note
. On d4montre
qui joue un r~le essentiel
(*)
l'on consid~re
de d 4 f i n i t i o n
de type fini.
comme le coefficient
d'un
lorsque
d'un anneau local n o e t h ~ r i e n
A-module
caract~ristique
longueur
apparalt
darts le poly~A(F)
la
alors la formule
dans la suite
:
i=r =
(-i) i ~A(Hi(E,x) i=O
)
-
les
o~
Hi(E,~ )
complexe moyen
d4signent
de l ' a l g ~ b r e
des
x
Ce questions
ext4rieure
complexe
d'alg~bre
peut
modules
de C o h e n - M a c a u l a y
locaux
avecla que
l'~tude
des
des Tor. locale
Lorsque
E
l'on
tensoriel
est de
F
suivants
du
E
au
On
sur un
anneau
local,
la d i m e n s i o n
r6guliers
type
est
sont
soit
les
finie ~
A
sur E
alors
sur
et
conduit
pour
seuls
on p e u t
de
anneaux
n,
[cela
F
ne
au m o y e n
on o b t i e n t
et d e u x
, dont
A
aborder
l'alg~bre
intersections,
de d i m e n s i o n fini
les
form4es
le l a n g a g e
des
la c o d i -
finie.
d4montr4e,
dans
d'autre~
de }~rull
et aussi
d'Euler-Poincar4
A,
dans
4tudier
dont
g4om4trique
correspondant
utilis4
pour
(*)
traduit
de
~tre
exemple
homologique
longueur
consid4r~).
a
locaux
r4gulier
et
vari4t~s
sur
homologique),
la f o r m u l e
la s i t u a t i o n
nodules
c4s
(ceux
caract4ristiques
local
point
anneaux
fois
un anneau
les
des m o d u l e s
la d i m e n s i o n
Une
par
codimension
les
dont
d'homologie
construit
d'ailleurs
locale,
homologique
montrer
-
.
1
mension
coincide
les m o d u l e s
2
A-
le p r o d u i t signifie
se c o u p e n t
~ conjecturer
que qu' au
les
4non-
:
i)
On
dim. (E) + dim.
ii)
L'entier
IF) k< n
("formule
des
dimensions").
i =n ~A(E,F)
= i=O
iii)
On a est
~A(E,F) stricte.
= 0
si et s e u l e m e n t
si l ' i n 4 g a l i t 4
i)
-3
La cas vrais Grace t6s,
formule
si
qui
diagonale", a mSme
est
utilisant
l'analogue
on p e u t
quand
A
est n o n
servant
des
th@or@mes
g@n@ral.
Par
sans
des
contre-exemples. sous un
rectement dont
faire
angle
une
different,
ensuite
pour
les
des i)
qu'il par
A la
lorsque
testes,
ou b i e n
on p e u t ,
dans ni A
exemple
varlet@
non
soit
une
sous-vari~t@
dim.
X + dim.
de
=
dim.
A v,
Aw
les
C
est
le p l u s
~ la
~ en d o n n e r
aborder
la q u e s -
, et
%r
V + dim. anneaux
d~signe iau
sens
i(V.W,C;X)
de
W
X
de
la multiplicit@
=
deux
que , avec
X,
est
9
{et
soit
X
sous-
:
Vet
"propre"). W en C.
d'intersection
Chevalley,
XA(Av,~)
.
C = V{]W
(intersection
locaux
0
alg6brique
W
supposons
de N e l l ,
~A(E,F)
precise,
et
di-
~
caract@ristique
fagon
soient X
~
g~om@trie
De
ii)
en d @ f i n i s s a n t
4gal
d'~gale
irreductible
C
i(v.w,c;x)
V et W en la formule :
le cas
singuli~re,
1"rreduc" tlb"l e s
A,
qu'il
se
completsp
~ d@montrer
, ni
faille
cas
A
en
locaux le
.
compl@-
vrais
IA,
tout
= n - r
"r@duction
anneaux
sur
analytique).
vari~t@s
si
de
parvenu,
applications
~ la g@om@trie
Soient
suis
semble
Heureusement,
aussi
sont
A partir
(F)
en
tensoriels
la
des
sont
(par un proc@d@ asymptotique convenable) un entier
on m o n t r e r a i t
suffisant
corps
d'hypoth~ses I1
de
dimensions
je n e
dim
produits
qu'ils
son
@nonc@s
avec
structure
des
contre,
iii)
que
de
ces
alg~brique
ramifi~.
la f o r m u l e
et
tion
que
des
en d ~ d u i r e
caract~ristique
d@montrer
montre
F = A/~x I ,...,Xr),
~ un proc@d~, et
~*)
-
Samuel),
de on a
-
formule
Cette
par
r~duction
il est
"formule
~ la d i a g o n a l e ,
commode
plicites.
(la
de p r e n d r e
comme
de c e l l e s - c i
faqon naturelle
: la c o m m u t a t i v i t e
l'associativit4
r~sulte
merit l ' a s s o c i a t i v i ~ 4 sulte d'un
des
deux
faisceau
trales a pas fait
ont 4t4
bien
restent
d'autres
constantes
la formule del~
des Tor,
du c a d r e
Chevalley. 9
d'une peut un
9
var3et4 faire
~
sous
peuvent
exemple, X
de
qui
(7)
certaines
(bien
conditions
9
,
9
9
cycles
r4-
directes spec-
il n ' e n le
,
9
et de
9
Y
x et y
X et de
de de rue
.
9
d'assoclatlvlte,
, on
n'est
d~fini
ordinaire.
f
est Les
de p r o j e c t i o n ,
ce n o u v e a u
Y
ensem-
Lorsque
le p r o d u i t
pour
au
slngullere
ce p r o d u i t
9
de
est u n m o r p h i s m e
de d i m e n s i o n s ) .
9
au m o y e n
la th~orie
au p o i n t
entendu,
se d ~ m o n t r e r
expri-
on u t i l i s e
de W e i l
Y
non
on t r o u v e
commutatlvlte, et
P
)
correspond
identique,
s'~noncer
,
~ deux
~ ~tendre
: X
varlete
;
d'Euler-Poincar4
singulier"
f
qui
suites
intersections
conduit
si
des T o t
mais
fols,
de
spectrale.
les
"non
dans une
x.fy
x~f-1
l'application formules
strictement
correspondre
"produit"
bliste que
Par
on est
alors
de p r o j e c t i o n
Chaque
fair,
des m u l t i -
les i m a g e s
caract4ristiques
d4finit
. En
celle
int~ressantes,
d a n s rule s u i t e
l'on
de
(ces d e r n i & r e s
darts le cours). les
(*)
spectrales
reliant
applications
que
Lorsque
suites
et les T o r
~
s'obtiennent
resulte
-
se d 4 m o n t r e
d~finition
; la f o r m u l e
spectrales
coh4rent
connu
deux
des T o r
suites
question
des
Tor")
en se r a m e n a n t
~**)
Les p r o p r i ~ t ~ s
des
4
produit.
I-I CHAPITRE I. - DECOMPOSITION /
PRIMAIRE DES MODULES
/
A) GENERALITES
Ce p a r a g r a p h e a
pour but de rappeler un certain nombre de
notions qui seront suppos6es connues,
et de d@montrer quelques lemmes
pr4paratoires.
Nous d@signerons par
unit4, par
un A-module unitaire. Un id4al
~ A
M
et si
A/p
A
un anneau commutatif, p
~ @l@ment
sera dit premier,
si
est int6gre.
I) Radical de Jacobson de Nous utiliserons
A. cette notion seulement pour les anneaux com-
mutatifs.
J
.
~
,
Deflnltlon et proposition A
, et on note
conditions
I)
r(A)
I. - On appelle radical de Jacobson de
, l'id@al de
A
d6fini par l'une ou l'autre des
4~uivalentes :
I)
r(A)
est l'intersection
2)
xEr(A)~
~ol-xy
des id6aux maximaux de
est inversible dans
72): En effet, pour tout ideal maximal
xy~m
et
1-xy
1-xy
~ m
m_
A
A
.
pour tout
, x~m
yEA
et donc
.
n'appartient
~ aucun id@al maximal de
A
, et est donc inver-
sible. 2)~I)= x
L ~ m
existe
Supposons que , oG
m
yEA
et
I = m+xy
1-xy
soit inversible pour tout
est un id6al maximal de m~m
(car
~
A . Ii en r6sulterait
tels que: et
x
engendrent
y~A , et que
A ).
qu'il
I -2 D'oG
m = 1-xy
et le second membre ne serait pas inver-
sible, ce qui est absurde. Nakayama a trouv@ une autre caract4risation du radical que nous utiliserons couramment par la suite: L@mme I (NakaFama):
Si
~
est un ideal de
A , les propositions sui-
vantes sont @quivalentes:
)
c
2)
:(A).
Pour un A-module de type fini (I) M, I~i = q_.M entra~ne ---- 0
I)---)2):
Supposons en effet que
Xl, xE,...,x p
engendrent
M
et
qu'aucun d'eux ne soit combinaison lin@aire des autres. De que
M = _q.M
, on d@duit l'existence de
Xp = 0(Ixi+. . . + ~ p X p
, et
~ i ~ q-
( 1 - ~ p ) X p = 0(Ixi+...+ 0 r~ I --
--1
(0)
--0
(p,n)
n Er,p)
--- I --
--1
(2)
.... (s-l)
(s)
(s+l)
....
p
I t 0 ---0 -- 0 r > t-s+1
0 --- 0 -- 0 -9
.
.
.
.
(I) !
I
.
.
.
9
i
i
mo=t~g
D
.
o - - o
. . . . . . .
p
(I)
(2) ..... (t-l)
(t)
(t+1)
....
---~ P
est la di-
I (1)
-
II-1 9 B) POLYNOMES DE HILBF2T-SAMUEL I. Rappel sur les polyn6mes & valeurs enti~res Bolt
X
l'ensemble des applications de
des nombres entiers), coefficients dans
~ IX]
dans
Z
(ensemble
l'ensemble des polynSmes en
X
&
X
=Q (ensemble des nombres rationnels) et
l'ensemble des fonctions de ~X]
Z
P
qui sont dgfinies par des polyn6mes de
(auxquels nous les identifierons). Soit
/~
l'endomorphisme de groupe abglien de
( ~ f)(n)= f(n+1)- f(n)
, off
f~X
X
dgfini par:
. Les propositions suivantes
sont alors ~quivalentes: a)
f g P
b) ~
f@P r fois
c) I1 existe un entier
r
Le plus grand entier (si
f ~ 0
s
tel que
, sinon on prend -I
En outre, les polyn6mes (~) = I
, forment une
~sf ~ 0
pour degr~ de
est tel que le terme dominant de
st
Are " (A'A--.-o Z&)(e)= o
tel que
f
x
(k) =
P
X(X-I)
f ~
Re#
g (R~)f
). Ce degrg aXS/s!
...(x-k+1) k!
~X]
f s
, o~
si
a~
k> o
et le groupe abglien
.
Revenant au cas ggn~ral, on d~finit dans valence
0
soit du type
~-base de
qu'ils engendrent coincide avec
est le degrg de
~
la relation d'~qui-
que voici: ~o I1 existe
n eZ O
tel que
f(n)= g(n)
si
n~n
=
Nous identifierons dans la suite
O
P
avec son image canonique
II-20 dans
Y
= X /R~
qu'une fonction
(image qui est isomorphe & f
de
~
lente ~ tune fonction de
P
passe au quotient dans t~res pr@c@dente; a) b)
fest 2~ f
est pol~nomiale
Y
P
)
et on dira
si elle est
Ro@ -@quiva-
. On remarquera que l'endomorphisme , et ceci permet la traduction des cri-
lee conditions
suivantes sont 4quivalentes:
polynomial. est polynomial.
c) I1 existe un entier
r
tel que
~
rf
soit
ROo
-@quivalent
&
2. Fonctions additives sur les categories de modules Soit
C
une catggorie abglienne
(volt Grothendieck,
Jour., August 1957). Une fonction additive des objets de Si la suite
C
dans un groupe abglien
0
alors
sur
)M
~N
+
) P
TShoku Math.
est une application
C ~
telle que:
) 0
de
C
est exacte,
9
De la d~finition on d~duit sans difficult~ les deux propositions suivantes: Si
M
est un module de
une suite de composition de
C
, et M
OCM
oC
M I .... ~
formge d'objets de
C
Mn = M , alors
i = n
i= Si
I
0 - - - - ~ M I ----)M 2 ~
exacte de
C
) 0
..... - - - ~ M n
, alors p=n
(-I)P p=1
X (Kp)
=
0
est une suite
0 .
11-21 Exemples:
a)
C
est la oat~gorie des groupes abgliens finis,
groupe multiplicatif des hombres rationnels positifs et M ~ C
, est l'ordre de b)
A
M
~(M)
M ~ C
est un anneau (noethgrien, & ~igment unitg),
, est la longueur c)
gradugs sur
A A
:
, pour
(hombre d'gl~ments).
~(M)
est un anneau gradug, de longueur finie,
(-I)P
(Mp)
(ioi
de C
C
est
Z(M)
la cat~gorie des A-modules (unitaires) de longueur finie et pour
Fle
,
).
r = z mm
est la cat~gorie des modules
r= Z
, et pour
~ = (Mp)p~
,
(Caract~ristique d'Euler-Poincar~).
P d) (i.e. D
An = 0
A
est un anneau gradu~ r~duit & son premier ~l~ment
si
n ~ 0
),
C
la cat~gorie des complexes
est la cat~gorie d~finie dans
K = (Kp, dp)
c),
de longueur finie sur
A .
On d~finit alors comme darts c):
~(K) = ~. (-I)P ~(Kp) P En outre, si alors
H(K)6
~(K)--~
C
H
d~signe le foncteur homologique et si
K ~D
et il est bien connu que:
(-I)P~(Kp) = E
P
(-I)P ~(Hp(K)) = ~ H ( K ) )
P
Dans le cas off A
est un anneau noeth~rien et
cat~gorie des A-modules de type fini, tout objet
M
C ~ ~ de
C
la admet
une suite de composition dont les facteurs sont isomorphes & des A/p
, oG
p
est un ideal premier de
A
. I1 en r~sulte que toute
,
II-22
fonction additive (A/p)
.
~
sur
fA
est connt~d~s que l'on connait lee
Cette remarque nous servira par la suite.
3- Le pol~nSme caract@risti~ue, de Hilbert. Dane ce paragraphe nous d@signerons par anneau gradu@ commutatif a)
H
b)
L'anneau
O
(Hn) n ~ = Z
H
(H= Hilbert) un
tel que:
est un anneau d'Artin (i.e. de longueur finie). H
est engendrg par
H
et un nombre fini d'@l@ments O
de
HI: xl,...,x r Alors
H
O
~X
I ~''"
H
.
est le quotient de l'anneau de polynSmes
,X~
par un i&@al homog~ne (i.e
un id@al qui, avec
tout polynSme contient lee composantes homog~nes de ce polynSme). En particulier
H
sous-cat@gorie de
est noeth@rien et nous d@signerons par ~
(cf. w A, n~
Tout module gradu@
GH
, si
M = (Mn)
M de
et
N
culler tous lee
A
~:
M
)
sont des objets de
A
(ou de modules ob-
par translation de la graduation). En parti-
H -modules o
M
n
sont de longueur finie et on peut
dgfinir la fonction caract@ristique de Hilbert de l'aide des formules: X(N,n)
= 0
si
n~
0
, et
~(M,n)
= ~H (Nn)
si
n>/O
.
O
La fonction X m:
~H
est quotient d'une somme
directe finie de modules gradugs isomorphes & tenus & partir de
la
dont J~s objets sont lee
H-modules gradu@s de type fini, et dont lee morphismes coincident avec ceux de
~H
~(M,n) d@finit une application de
g-H dane
et cette application est manifestement une fonction additive
N o
II-23 sur
~H
' & valeur dans le groupe additif de
L'image
Q(M,n)
de
~M,n)
encore une fonction additive
dans
sur
~H
Y
=
=
X
.
X/R ~
; en fait
d~finit Q(M,n)
est un
polyn6me : Th4or~me
2 (Hilbert):
infgrieur b)
a)
ou 4~al &
r-1
Si en outre
M
Q(M,n)
est un polzn6me
en
n
, de de~r~
. engendre
M
comme A-module,
~-I
Q(M,n)
0
4 Z(Mo)
. Snfin z ' ~ 6 ~ z i t ~
ot ~"
canon
~oE~,, ''',~3
./n+r-l~
n'~ l~eu ~ue s~
,n~t
Q(~,n) = ~(M o) , r-1
ue
~n ,~omor~,,~mo * ~ ~o %
~o s 0
et r~ci~roquement.
a) La propri~t~ est vraie si un module de type fini sur
A
r = 0
: en effet,
M
est alors
et est donc de longueur finie. I1 en o
r~sulte que
M
n
= 0
pour
n
assez grand.
Supposons donc la propri~t4 d~montr~e pour les modules gradu4s de type fini sur
Ho [XI,...,Xr_I]
dule gradu~ de type fini sur
et d~montrons
ce sont des modules gradu~s,
0'
) Nn
) Mn
. Soient
Ho[XI,...,Xr]
noyau et le conoyau de l'homoth~tie
~
d4finie par
et on a pour tout
-~
Mn+ 1
~
,
n
Rn+ 1
D'oG l'6galit~: Q(M,n+I)
-
Q(M,n)
=
A
Q(M,n)
=
la pour
Q(R,n+I)
-
Q(N,n)
N
Xr
:
)o
M et dans
, moR
le M
;
11-24 Mais R
et
X
N
appartient aux annulateurs de
r
R
N
. Les modules
sont donc des modules gradugs de type fini sur
Ho[XI,...,Xr_ ~
et le dernier membre de l'ggalit~ est un polynSme,
il en va doric de m@me du premier et aussi de et
et
Q(N,n)
sont de degrg inf4rieur ~
est inf@rieur &
r-1
r-2
Q(M,n)
. Si
, le degr@ de
Q(R,n) Q(M,n)
.
b) L'application de
M ~ [XI,...,X~
= Mo~ H
Ho[XI,...,XrJ 0
dans
M
est surjective. Si
R
est son noyau (gradu~), on a done
la suite exacte: 0
)R n
et
/~r-q
)(Mo[X~,...,Xr]
)n----) Mn
~,0
Q(M,n) ~(~(Mo)
Ii est clair d'autre part que l'4galit4 a lieu si Supposons donc
R ~ 0
: Comme
R = 0
4(Mn) = ~((M ~ IX I ,...,Xr])n ) - ~ R n )
tout revient & montrer que pour tout sous-module gradug de
M~
IxI , . . . , X r]
suite
0 = M~
tel que
Q(R,n)
Ri ~
R i-I
:
oCM
0
de J o r d a n - H o l d e r Alors
Q(R , n
, on a
Pour cela, soit
de
~(Rn)
M~
i=s ~ i--I
>
2 C 0
et s o i t
, Ri/R i-I
.
i
0
R
non nul
.
... C
Ms ~ M 0
une
0
Ri = R D M i o [ X 1 , . . . , X ~ i-I )
. Mais
si
i
est
est un sous-module gradu4 diff4rent
II-25 de
0
(Mo/Mo ), 1,...,x
, et ce dernier module est
k[X 1,...,Xr~ i i-I Mo/M ~ dans
k
de
isomorphe & lateur de
contient 1 '@l@ment tient
f
, os
H
est le corps
He/~
). I1 en r@sulte que si
(~ = annu-
Ri/R i-I
O
0
et homog~ne de degr@
(f) = f.k [XI,...,Xr]
t
, Ri/R i-I
oon-
. D'o~:
~((Ri/R i-1)n ) > ~((f)n ) = in-t+r-11 \ r-1
si
n > t
.
Finalement~ Q (R,n) ~/ I n-t+r-])
si
n > t
, d'oG le r@sultat.
r-1
4. Les invariants de Hilbert-Samuel. Soit M
A
un anneau (noeth@rien, commutatif, ~ @l@ment unit@),
un A-module (unitaire, de type fini) et
que
M/~M
~-bonne. Alors
V(M)/~W(~) fortiori, ~(M/Mn)
un id4al de
soit de longueur finie, clest-&-dire tel que
soit compos@ d'id@aux maximaux. Soit enfin tion
~
Mn~qf
Met
(Mn)n @ Z
tel
V(~I)DW(~) une filtra-
V(M/~ n M) = V(M)NW(qf)
est eompos@ d'id@aux maximaux. Done M/M n
A
M/~ n M
sent des modules de longueur finie. Pour
est une fonetion ~ valeurs enti~res, d@finie sur
=
st, M
fix@, Z= .
En fait, on a l e th@or&me: Th@or~me 3 ~Samuel):
d@pend que du gradu@
La fonction assooi@
est polynomiale et ne
(M)
@
II-26 En effet, soit B = A/~
~
, et soit
de la filtration
l'annulateur de
p
l'image de
&
M
dans
dans
p-~dique, le gradu4
B
A
, soit
. Si nous munissons
H = G(B)
associ@ &
B
B
satisfait
manifestement aux hypotheses du th4or~me de Hilbert. En outre, si Mn+ I = q_.Mn
pour
est engendr@ par
n >/ n o
, le gradu~
Mo/M I @
G(M)
... ~ M n /M n +I O
associ@ aU
B-module
, st est done de type fini.
O
On a donc les relations:
,Z~.~ (M/M n) = ,,e(M/Mn+ 1 ) - ,~'(M/M n) = .~(Mn/l~n+ 1 ) = '~(.,(G(M),'1~ 9,~(M/Mn)
= "~.(G(I~),I)+
"~..(G(M) 1,2 ) +...+
~(G(I'.'I),n)
et
.
D'oG le th@or~me.
En fait, nous nous servirons surtout du th@or~me pr@c4dent dans le cas oG la filtration de Nous noterons alors
~(M/~? M) . Si
Pq (M,n)
P((Mn),n)
une ~-bonne filtration de liens entre
P (M,n)
Proposition 9: a)
M
et
9
M
est la filtration
q-adique.
le polynSme qui est
Roo-@quivalent
d@signe de mGme le polynSme d@fini par , la proposition suivante @tudie les
~(~),n)
:
(M,n) = P((Mn),n ) + R(n)
, oG
R(n) est un
PolYnSme dont le terme de plus haut degr@ est 2ositif et dont le degr@ est strictemei~t inf@rieur & celui de b) Si est en~endr@ par
a r
M
P
est l'annulateur de @14ments, le de~r@ de
(M,n) M
et si P
&
(M,n)
=
e~
in-
II-27 f~rieur ou ~ a l
&
r
et
~r
l'g~alitg n'a lieu ~ue si
p
(M,n) {
G(M) N
(~+~)/~
(M/qM)
. En outre,
IX
-
.
r] 1~...~X
.
(L'isomorphisme est dgfini par l'application canonique
~
(B/~)
= image de
[XI,...,Xr]
dans
G(B)
, o~ les
a) En effet si a pour
n
G(B)dgtermin~e
(XI,...,Xr)
n
~(Xi)
engendrent
est tel que
o
par
p
Mn+1 = Mn'~
X,
I
.)
si
n~
no
, on
grand, les inclusions:
qn+n o . M C ~ -
sur
de
n+n
o
= q_n.Mn ~ o
qn.M ~ -
n
D'o~ l'on d@duit~ PL~ (~i'n+n~
} P ((Mn) ' n+no) ~ Pq_ (M,n) } P ((Mn),n)
I1 en r6sulte que, pour
n grand,
P
q_
(M,n)- P((Mn),n )
est
positif et que les deux polynSmes ont m8me terme de plus haut degr~. b) Cette assertion n'est qu'une traduction de la deuxi&me pattie due th~or&me de Hilbert, s• l'on remarque que le ~oTadu~ (q~I/q_n+IM)
est engendr~ par
M~_ .M
.
n Une bonne partie de la suite du cours sera consacr6e & l'6tude du terme de plus haut degr~ du polynSme
P (M,n)
9 Nous aurons pour
cela, besoin d'en connaitre quelques propri~t6s: Proposition 10 (Additivit~):
$_~ 0 ~
N
}M
une suite exacte de A-modules de t~/pe fini et si finie, alors
N/q_N st
)P ~ M/qM
0
est
est ~.e lon~ueur
P/q_P sont de longueur finie et on ~:
11-28 P (M,n) + R(n) = P (N,n) + P (P,n)
, o_~ R(n)
est un polyn6me dont
le terme de plus haut degr~ est positif et dont le de~r~ est strictement inf@rieur ~ celui de
N
En effet, soit
n
P (N,n)
= N~n~
, la filtration ainsi d@finie sur
est q_-bonne, et l'on a ~videmment:
N n
~(p/qnp)
-
+
~(~iNn)
Pq_(M,n) -- Pq_(P,n) + P((Nn),n )
D'ok
.
L'assertion r@sulte alors de la comparaison entre et
P(N,n)
P((Nn) ,n)
.
On a vu d'autre part que
Pq(M,n)
ne d~pendait en fait que du
m
gradu@
G(~)
assoei@ ~
M
. Si donc
G(~)
d@signe l'id@al que
A
engendre dans on
G(A)
, si
M
et
~
sont les compl@t@s de
M
et
a~
Pq_ (M,n) = P~_(~,n) = PG(q_)(G(M)'n) /~ P De m~me si
q_
%
id@al contenu dans
(M,n) =
et
Q(G(~),n)
d@signe l'annulateur de ~, ~ C ~ ~
M
et si
~
est un
, alors
(~+ ~)n C
q2 + ~ C
n+
et
~(~+b)nM
= M/~ n M
, c'est-~-dire
P (M,n) = P +~ (M,n)
I1 en r@sulte la propri~t@ suivante que nous utiliserons par
II-29 la suite: Lemme:
Le degrg lu polynSme
U(~) f~ ~;(~_)
(M,n)
ne d@pend que de
M
et de
.
Autrement
P
P
dit,
si
(M,n) = a x q-
r
+...
et
Pq,(M~n). = -
et
~ + ~
r!
ont mSme degr@:
r I
a'. __x +... r'|
r = r'
En effet,
v(M) ~ w(~_) (q_'+~)P
= W(~+~)
de
= W(~'+~)
+ ~
(cela r@sulte
oontient
une puissance
du lemme g la proposition
7, chap.I).
D'oG:
(q_'+~Pc
q_+ a
Pq_'+a ( M , p n ) >
et
(q_'+ a_~pn C
Pq+a_ (M,n)
(q _ + _a)n
a'(pn) r'
, et
>
, c 'est-&-dire a r
r'l grand,
c'est-~-dire
En @changeant r'.~ r
r' }
n
assez
.
les rSles de
~
et
~'
on trouverait
de mSme
, q.e.d.
Portons maintenant soient
r
pour
r!
nos derniers
~I' ~2' ..... ' ~s
V(M)~W(~)
, et
T
efforts
sur la localisation:
les id@aux premiers , I ~•
i s
isomorphes
~
= A - . 1
"-i
somme direote de sous-modules
(maximaux) . Xlors
NT.
de
N = MI~ n M
(Prop.t1
et Cor.1,
1
ohap.I). Mais, (M/a n M)T. S.
n
= M~.I(~ n ~)T. - MT.I ~. I~. i
I
i
1
i
et finalement:
est
II-30 s
S
i=I
i
d(M%/aiM%1 ,
i=I
011 S
Pq(M,n)
Iiva
=
~ i=I
PRT. i
(MTi , n)
de soi qu'aucun des polyn6mes
P
(MT , n) q-Ti
Par contre~ si et si
m
est tun iddal maximal de
T = A - m
PqT (MT 9n)
~
T
A
n'est nul.
i
distinct des
rencontre l'annulateur
de
M/_qRM
m.
et
est nul.
D'o~: Proposition
11:
a)
P (M,n) =
PqT(MT,n)_
q-
T
court les iddaux maximaux de
A
nul si st seulement si
V(M)
b) stable de
A
m_ ~
Si
S
oG
m
par-
A-m
=
. Le polyn6me W(q)
Pq_T(MT,n)
est
@
est une partie multiplicativement
, on a: !
Pq-B (Ms'n)
=
J
P_qT(MT,n)
avec
T = A - ~
.
S=r La seconde pattie reste seule ~ d~montrer. sont les id~aux maximaux de et
m t+1,...,m_s
Pqs (Ms'n)
cart
V(M)~
W(~)
ceux qui rencontrent
=
~ST. 1
t /~"~' i=I
qui ne renoontrent
S
1
et
MST" 1
~1,...,m_t pas
, on a:
t / coht(a_')
n'est contenu dans aucun des id4aux premiers minimaux de
a
,
on a
coht(a) ~ coht(a')
+ I
2. Le premier th~or~me de Cohen-Seidenber~. Soit
B
un anneau contenant
que tout gl@ment
x
de
B
A
et entier sur
v4rifie une
"4quation
A
. Cela signifie
de d@pendance
grale": (4)
x
n
+ alx
n-1 +
''"
+
an
= 0
~ avec
a ~A 1
.
int4-
.
III-] Lemme I: Supposons il suffit Rue Si
A
A
int~gre. Pour %ue ce soit un corps, il faut et
B
en soit un.
est un corps, tout
int~gre de type fini sur
A
x~B
est contenu dane une
A-alg~bre
(celle engendr~e par lee puissances
x),
de
et l'on salt qu'une telle alg6bre est un corps (Bourbaki, Alg.V, w 2, prop.l),
d'o~ le r~sultat.
Supposons que de
A
. Soit
gquation
B
x
soit un corps, et soit
son inverse dane
B
a
un ~l~ment non nul
. L'~l@ment
x
v~rifie une
(4), d'o~ x = -(a I + a2a +
et l'on a
xeA
, e o
+ an an-l)
, cqfd.
Soient maintenant
et
p'
des id~aux premiers de
respectivement.
On dira que
~'
est au-dessus de
Proposition 2:
(a) Pour tout ideal premier
ideal premier (b) Si
~'
(c) Si
p
p'
L'assertion L'assertion
(b)
p
~ui est ~u-dessus de
de
A
, on a
p (c)
p' = ~" 2
= p
.
, il existe un
au-dessus ~
B
soit maximal,
r~sulte du lemme I, appliqu~ ~
r~sulte de
B
E'/~A
B
.
, pour que
(c) B
, appliqu~e ~
A/p
i
C
C
m8me
il faut
B
B/p'
, et on applique le lemme I.
(a) p'
.
(on note
pour la partie multiplicative
maximal; dane ce cas, on prend pour
ideal maximal de
et
9
Le m~me argument montre qu'il suffit de d~montrer ~
si A
p
A
le soit.
l'anneau de fractions de
local et
p
de
sont deux id~aux premiers de
est au-dessus de
et il suffit Rue
B
d_~e B
P' C ~ "
ideal premier
p
lorsque
A-p A
n'importe quel
a
est
III-4 Corollaire: de
B
p~ C . . . C - p ~
(i) S i
forment une chaSne d'id4aux premiers de
, le___s ~i = pl(-~ A
(ii) Inversement, d_~e A
, et soit
Po C . - .
C Pr
chaSne donn4e
soit
p_~
~o ~
dans
(i)
B
po c
... C Pr_1
appliqu~e ~ s
, d'origine
p~
p~ ~
pour tout
sur
B/p~_ I
et au-dessus de
~r
Proposition 3:
On a
si
, on a
l'in~galit~ premier,
, qui est au-dessus de la
~'
, le cas ~
).
(ii)
de la prop.2. Pour r = 0
"''~r-1'
, montre qu'il existe
dim.A = dim.B
. Si
ht(~') ~ ht(a_)
et
(b)
i
4tant trivial. , la prop.2, p~
contenant
"
L'@galit~ dim.A = dim.B en divisant par
r
est relev~e en
A/~r_ I ~
a = ~'~A
9 I1 existe alors une chaSne
~o
A ~ Pi
A
une cha~ne d'id~aux premiers
r4sulte simplement du
on raisonne par r@currence Si
"'" ~ r
au-dessus de
(i.e. on a
La partie
est une chaSne d'id4aux premiers
a'
et
est un ideal de
coht(~')
B
= coht(a_)
, et
.
r~sulte du corollaire ci-dessus.
On en d6duit,
, l'@galit6
. Quant
~
sur les hauteurs,
coht(~') = coht(a_~
elle est imm4diate dans le cas oG
p'
est
et le cas g4n4ral se ram~ne tout de suite ~ celui-l~.
3. Le second th~or~me de Cohen-Seidenberg. Proposition 4:
Soit
A
son corps des fractions,
un anneau i n t ~ r e soit
L
(~.~. "normale" dans l'ancienne soit
B
la cl8ture i n t ~ r a l e
K-automorphismes groupe
G
de
L
, et
au-dessus de
p
.
clcs, soit
une extension ~uasi-galoisienne terminclogie
de
A
soit
op~re transitivement
et int@~Talement
dans p
L
de
K K
de Bourbaki, Alg. V, w 6), , soit
G
le groupe des
un ideal premier de
A
. Le
dans l'ensemble des id~aux premiers de
B
111-5 Supposons d'abord que
G
soit fini, et soient
id~aux premiers au-dessus de ( g
parcourant
G
dang l'un d'eux
p
. Les
q
de
G
,donc
xg~'
q'
. L'~l~ment
radiciel sur
caract@ristique
de
K
yqGK~B
= A
(puisque
part
yq~ ~'~A
= ~
, ce qui montre que
I1 existe donc
g~G
tel que
Soient de
L
q
M
soit
G(M)
le sous-ensemble
~M
en
~'
de
, telle que
yq
K G
un anneau int~gre,
dessus de dans
B
~r
A
YqE K
, d'oG
xeg-1
On a
p
~
. Pour chaque
g~G
et fini sur
A
compact de G(M)
G
,
forment une
leur intersection est non vide, cqfd.
, et entier sur
une chaXne d'idgaux premiers de
A A
. On peut alors trouver une chaSne
Soit
. Soit , et soit P~ C . . .
, au-dessus de la chaXne donn@e, et d'extrgmit@
p~
au-
C~ p~
.
(En fait, la proposition est valable si l'on remplace l'hypoth&se " B
est int~gre"
par la suivante
sont pas diviseurs de z@ro dans
K
qui transforment
un anneau int~gre et intgsralement clos.
contenant
.
, cqfd.
9 quasi-galoisien form@ des
.
clos). D'autre
. C'est ~videmment un sous-ensemble
S0%t
est
est contenu dans
au-dessus de
, contenant
famille filtrante d~croissante,
...Cpr
est contenu
, et il existe une puissance
non vide d'apr~s ce qu'on vient de voir. Comme les
~o C
deux
y =TKg(x)
est int~gralement
g(x)~
et
sous-corps
~'~M
A
K
alors
Proposition 5:
q'
(prop.2), ou mSme seulement dans leur r~union
l'exposant
Cas g@n@ral.
et
sont au-dessus de
), et il suffit de montrer que
(of. Chap.I, prop.2). Soit donc invariant par
g.~
q
B
"les gl@ments non nuls de ").
A
ne
B
III-6 Le corps des fractions fractions
K
de
ne
K
, et soit
M
de
A
Si
G
d'id@aux
d4signe
montre
qu'il
= g~i
de
existe ~
est alg4brique
la cl6ture
C
au-dessus de
des
ggG
C
sur le corps des
dans une extension
C
premiers
le groupe
, et
B
. Plongeons-le
un id@al premier une chaSne
de
int@grale de
~
= B~a!
A
dans
, st soit
au-dessus
de
K-automorphismes
tel que
de
quasi-galoisien-
g~r = -~
qo C
~o C . . .
de
M
M
. Soit
...C_q r
C Pr
9
, la p r o p o s i t i o n
4
; si l'on pose alors
~C...C~
, il est clair que la chaSne
r4pond & la question. Corollaire:
Soient
de la proposition
a=b~A
9
On
Lorsque sition. soit
B
est premier,
= Inf.ht(p')
B - DIMENSION
M
homoth~ties la dimension
soit
b
v@rifiant
un id4al de
cela r~sulte soit
. D'apr~s
avec la proposition
I. Dimension
deux anneaux
les h~poth~ses
B
, et soit
a
Dans le cas g~n@ral,
ht(~
Soit
et
pr@cgdente;
p = p_'N A
Comme
A
imm@diatement
p_' premier
ee qui precede, , on a
3, on obtient
contenant
on
ht(p')
ht(b) 7/ ht(a_~ l'~galit~
de la propob
, et
= ht(p_)>ht(_a)
, et, en comparant
cherch~e.
DANS LES A N N E A U X NOETN~RIENS
d'un module. un
A-module,
de
A
st soit
. On appelle
de l'anneau
AM
AM = A/Ann(M)
dimension
. Lorsque
de M
M
l'anneau
des
, et on note
est de type fini,
dim.M les
.
III-7 id@aux premiers
p
nent ~ la vari@t@ que
dim.M
de
A
V(M)
oontenant de
M
Ann(M)
sont ceux qui appartien-
(of. Chap.I, prop.9). On en conolut
est la borne sup4rieure des longueurs des cha~nes d'id@aux
premiers de
V(M)
# c e que nous ~crirons encore
dim.M
=
aim.V(M)I
,
o'est-~-dire: dim.M ~ Sup.coht(~) Dane cette derni~re formule,
, pour
p 6V(M)
on peut ~videmment
lee idgaux premiers minimaux be
V(M)
.
se h o m e r
~ oonsidgrer
.
2. Le cam semi-local noeth~rien. A partir de maintenant, noeth4rien; ideal
~
on notera
nous supposerons que
~(A)
, ou seulement
A
~
est semi-local
, son radical. Un
de
A
est appel~ un ideal de d@finition de
contenu dane
~
, et s'il contient une puissance de
~quivaut ~ dire que Soit de
A
M ,
un
A/~
P (M,n) ~ P ,(M,n)
pour
on en tire
Enfin, nous noterons
Th@or~me
n
P (M) s(M)
x I ,... ,XnE r(A) Si
I:
noeth~rien
P (M,n)
A
M
de
q
est un ideal de d~finition
M
! si
pour
ne d4pend pas de
q_~q_' m q_'o_q
assez grand; comme
P~(M,n) ~ P (M,nm)
montre que le degr~ de
qu'il existe
(ce qui
est de longueur finie, ce qui permet de d~finir le
polynSme de Hilbert-Samuel
venable,
~
s'il est
est de longueur finie).
A-module de type fini. Si
M/~M
A
n
, on a pour
con-
assez grand, ce qui q_
. On le notera
la borne inf~rieure des entiers avec
m
M/(x 1,...,xn)M
n
tele
de longueur finie.
est un module de type fini sur un anneau semi-local
, on a
dim.M = d(M) --
s(M)
.
III-8 Etablissons Lemme 2:
d'abord un lemme:
Soit
x~
, et soit
61gments annulgs par
a) On a
~i
le sous-module
V(M)
. S~i x r ~i
i
pour tout
est un id@al de dgfinition de
est de degr@
de
M
form~ des
9
les id@aux premiers de
dim.A/p i ~ dim.M ~
M
.
s(M) 4 s(M/xM) + i
b) Soient
o) Si
x
X
tels ~ e
, on a A
dim.M/x.M ~ dim.M - I0
, le polFuSme
4 d(M) - I 9
Les assertions
a)
et
b)
sont triviales.
L 'a ss er ti on
c)
r@sulte
des suites exactes
o,
~
) M
)x~
)o
X
o,
auxquelles
> M
on applique
d6montrer le th@or~me i) On a
dim.M
la proposition
I par un raisonnement
~ d(M)
que et
M
d(M)
sur
Supposons doric
dim.A/p ~ = dim.M
d(N)
Soit alors
"en cercle"
:
d(M) ~
, & partir du oas I
N
, et soit ~o
isomorphe A
d(M) = 0
~o@V(M)
minimal dans A/p ~
~o ~
x~1N
~I C . . .
C pn
n ~ d(N) ~
, avec
tel V(M)
,
; comme
, on est ramen@ & prouver notre a ss er ti on pour
On doit montrer que peut choisir
d(~)
; on peut supposer
contient un sous-module ~
On va maintenant
.
On raisonne par r~ourrence qui est trivial.
10 du Chap.ll.
N
.
une chaSne d'id@aux premiers dans
. C'est clair si X~o
n = 0
. Sinon,
. Comme la chaXne
~IC...
A
on C ~n
.
III-9 appartient et que
&
,
d(N/xN) ~ d(N)-1
Soit L'id~al et
d(M) ~ s(M)
~ = (xl,...,Xn)
le degr4 de
N/xN
, avec
~ [
est
{
n
s(M) ~ dim.M
de
i)].
V(M)
V(M)
, et
M/a_M
de longueur finie.
, d'ofl d(M) ~ s(M)
A
,
.
.
n~ I
n = dim.M
, et soient
dim.A/p i = n
~qui ~i
est fini,
lee id~aux premiers
; ces id@aux sont minimaux dane
en nombre fini. Ils ne sont pas maximaux puisque
I1 existe donc montre que
Supposons
tels que
,donc
.
est alors un ideal de d~finition de
On raisonne par r@currenoe sur d'apr&s
,
. D'apr&s la proposition 9 du chapitre pr6c6dent,
Pa(M)
iii) On a
dim.N-1
.
~ = ~ + ~ ~ Ann(M)
P (M) = Pq(M)
~
, d'o~ notre assertion en vertu de l'hypo-
th~se de r@currence appliqu6e & ii) On a
dim.N/xN
le lemme I montre que
x ~ [
, tel que
s(M)~s(M/xM)
th~se de r6currenoe,
on a
+ I
x~[i
pour tout
, et d i m . M > d i m . M / x M
s(M/xM) ~ dim.M/xM
i
n~ I
.
. Le lemme I
+ I
. Par hypo-
, d'ofl le r~sultat
cherch~, cqfd. Le th~or~me ci-dessus est le principal r@sultat de la th~orie de la dimension. On en tire notamment: Corollaire I:
On a
dim.M = dim.M
I1 est en effet clair que Corollaire 2:
d(M)
. ne change pas par completion.
La dimension d'un anneau semi-local noeth@rien
A
finie. Cette dimension est @gale au nombre minimum d'~l@ments de
est ~(A)
en~endrant un id@al de d6finition. C'est l'4galit~ Corollaire 3:
dim.M = s(M)
pour
M = A
.
Lee id@aux premiers d'un anneau n o ~ h @ r i e n
v4rifient
111-10 la condition des chaSnes descendantes. Par localisation,
on se ram~ne au cas local, oG notre assertion
r~sulte du corollaire 2. Corollaire 4: de
A
Soit
, et soit
A
n
un anneau noeth~rien, soit
~
un ideal premier
un entier. Les deux conditions suivantes sont
~quivalentes: (i)
ht(p) ~ n
.
(ii) I1 existe un ideal ~ue
~ Si
a
de
A
soit un ~l~ment minimal de (ii)
, engendr~ par W(a~
est v6rifi~e, l'id~al
aA -
de
A
, d'oG
(i)
9 Inversement,
un ideal de d~finition xi/s
,
s~A-p
s
b
de
-
9 L'id@al
n ~ I
Corollaire ~:
~
Solt
A
ht(Pi) = dim.M
est un ideal de d~finition 2
si
(i)
est v~rifi~,
engendr~ par les
n xi
"Hauptidealsatz"
. Si
v~rifie alors
, on a x
dim(M/xM) = s(M/xM)
et soit
M
V(M)
tels
dim(M/xM) ~ d i m . M - 1
un
et
n'appartient ~ aucun des
Cela r~sulte du lemme I, combin4 avec les ~galit4s et
(ii)
de K r u l l . Y
les id~aux premiers de
x~(A)
il y a 4galit4 si et seulement si
il existe
~l~ments
un anneau semi-local noeth~rien, ~i
~l~ments, tel
.
engendr~ par
on retrouve le
A-module de type fini. Soient u~
A
n
~i
"
dim.M ~ s(M)
.
3. S~st~mes de param~tres. Soit
A
de dimension
un anneau semi-local noeth@rien, et soit n
. Une famille
(xs,...,xs)
appel~e un s~st~me de param~tres pour
M
si
M
un
d'~l~ments de M/(xl,...,Xs)M
A-module ~(A)
est
est de
.
III-11 longueur finie, et si
s = n
. D'apr~s le th4or~me I, il existe
toujours de tels syst~mes. Proposition 6:
Soient
x I ,...,x k
dim.M/(Xl,...,Xk)M
des 4l@ments de
fassent par tie d'un syst~me de param~tres de L'in6galit4 r~sulte du lemme 2, it4r6 Xk+ 1,...,x n (n = dim.H)
M/(Xl,...,Xk)M
Inversement,
a
n-k
si
x 1,...,x n x I ,...,x n
dim.M/(x1,...,Xk)M
Proposition 7:
Soient
k
M
x1~...,x k
.
fois. S'il y a 4galit4,
est un syst~me de param~tres de
, le quotient
ce qui montre que
. On a alors:
+ k ~ dim.M
Pour qu'il ~ ait 6galit6, il faut et il suffit que
si
r
M/(xl,...,Xn)M
est de longueur finie,
est un syst~me de param~tres est un syst~me de param~tres de
de
M M
. , on
, oqfd.
xl,...,Xk~(A)
. Les conditions suivantes
sont 4quivalentes: (a) Les
xi
forment un s~st~me de param~tres de
M
.
(b) Les
xi
forment un s~st~me de param~tres de
M
.
(c) Les
xi
forment un s~st~me de param~tres de
A M ~ A/Ann(H)
C'est ~vident.
C -ANNEAUX
NORMAUX
I. Caract~risation Un anneau int@gralement
A
des anneaux normaux.
sera dit normal s'il est noeth~rien,
clos (dans son corps des fractions).
int~gre,
Par exemple,
et tout
et
III-12 anneau
principal
formelles
est normal;
K~[XI,...,X~]
sont des anneaux On rappelle valuation
d'autre
st l'anneau
s'il est principal,
8:
maximal
. Lee conditions
A
(ii) (iii)
Soit
est normal A
(i) ~
m
(ii)
une
de
seule classe
local
de v a l u a t i o n
int~6~re noeth~rien,
d'id~al
sont ~ u i v a l e n t e s : discrete.
et de dimension
I
.
et il existe un ~l~ment
a ~ 0
dane
m
set trivial. car si
~ (iv).
, il existe -I
C
comme sur
A m
A
donc
que
est appel~ tun anneau
a
set un ~l~ment de
A
non nul de
conter~nt
aA
m
, et
, l'id~al
aA
est dcnc
m--primaire.
(iii)'
Si
A
et s'il poss~de
suivantes
est le seul ideal premier
aA
K[XI,...,X j
est pr~r~ipal et non nul.
(ii) - - - - ~ ( i i i )
bien
de polynSmes
de s~ries
un ideal m-primaire.
(iv) L'id@al
mxa
un anneau
est normal,
~ui engendre
m
A
est un anneau A
l'anneau
c'est un anneau local.
Proposition
(i)
est un corps,
part qu'un anneau
extr~maux!
m
K
normaux.
discrete
d'~l~ments
si
et
x~A xa
-I ~
, A
est un ~l~ment m = tA
, d'o~
est un id6al premier , tel que
. Si l'id~al
, ce qui serait tel que
m
x~aA
est de type fini,
t~ y
Puisque
-I
on en conclurait
contraire
txa -I
, on a .
aA
~tait que
~ l'hypoth~se
soit un ~l~ment
de (iv)
mxa
mx~
"essentiel"
de
. On a donc contenu xa
-I
dane
est entier
de normalitY.
inversible
y = (yxa-1)u-lt
m
u
de
I1 existe A
9
, ce qui montre
III-13 (iv)
(i).
Si
m = tA
pour tout gl@ment non nul et
y ~m_n+1
d'oG
y
. On a done
yA = tnA
m n = tnA _
, on a de
A
y = tnu
il existe , avec
; comme tout id@al de
on en conclut aisgment
, et comme n
tel que
u inversible
A
~m _ n ~ 0 n
y~
darts
A
,
est somme d'idgaux principaux,
que tout idgal de
A
est de la forme
tnA
,
(i). Proposition
9:
soit normal,
Soit
A
un a n n e a u i n t ~ r e
noethgrien.
il faut et il suffit ~u'il vgrifie
Pour ~ue
A
les deux conditions
suivantes: (a) S i local
p
A
est un id@al premier de hauteur
est un a n n e a u de v a l u a t i o n
(b) Les id@aux premiers nul de Si
A A
est normal,
est de hauteur
I
d_~e A
, l'anneau
discrete.
essentiels
sent de hauteur
I
de tout ideal principal
.
il en est de m~me de ses localis~s
I , on a
non
dim(Ap)
= I
A
, et la p r o p o s i t i o n
! si 8 montre
m
que
A
et si A
est un a n n e a u de v a l u a t i o n pGAss(A/aA)
, la p r o p o s i t i o n
R~oiproquement,
I, d'oG
ht(~)
supposons
(a)
corps des fractions sons que
x
de
A
appartienne
. Soit & tousles
done
bgaA
pour
ht(p)=
d'o~
x~A
. Ainsi,
on a
sent normaux,
I
= I et
A
a ~ 0
,
, montre que un
9 (b)
x = b/a A
&
si
et c'est en particulier
v~rifi~s, un ~l@ment
, pour
, et d'apr~s
A =f IAp
De plus,
8, appliqu~e
est un a n n e a u de v a l u a t i o n discrete,
a n n e a u de dimension
A
discrete.
, pour
ht(p)
(b) ht(p)
et soit de = I
K
K
; suppe; on a
eeci entraSne ~ I
il en est de m~me de leur intersection,
le
b~aA
9 Comme les cqfd.
,
III-14 Remar~ue:
La d@monstration pr@c@dente montre que la condition (b)
@quivaut ~ la formule
Corollaire: hauteur
I
Si
A
d_~e A
A = ~ A
est normal, et si
p
est un id@al premier de
p(n) , d@finies
p
sont les
par la formule
(n ~ I) .
En effet, les id@aux ment aux id@aux de la forme
ht(~) ~ I
, l e s seuls id@aux primaires pour
"puissances sFmboliRues" p_(n)__ P_nAp_~A
pour
~un~
~-primaires de
pAp-primaires de ,
n ~ I
A
correspondent biJective-
, lesquels sont @videmment
A
A
, puisque
est un anneau de valuation
discrete.
2. Prcpri@t@s des anneaux normaux. Pour un expos@ syst@matique (dans un cadre un peu plus large, celui des
"anneaux de Krull" ), on renvoie A l'Idealtheorie de Krull, ou
l ' A l ~ b r e commutative de Bourbaki. On v a s e
borner ~ r@sumer les
principaux r@sultats.
Soit
A
un anneau normal, et soit
est un id@al premier de
A
v
~ n
forment l'id@al
son corps des fractions. Si
de hauteur I, on notera
discrete norm@e associ@e ~ l'anneau que
K
p(n)
A
! l e s @l@ments
. Si
x ~ 0
v
la valuation xcA
, l'id@al
Ax
tels n'est
contenu que dane un nombre fini d'id@aux premiers de hauteur I ; on a done
V~(x) = 0
pour presque tout
aussitSt aux @l@mente
x
de
p
, et cette relation s'@tend
K ~ . L e s valuations
v
v@rifient en
outre le th@or~me d'approximation suivant: Proposition 10:
Soient
Pi
, I ~ i ~( k
, des id~aux premiers de
III-15 hauteur
I
de
K
, deux & deux distincts,
Ii existe alors v i(x ) = n.1
Supposons Soit
x6K ~ (I 4
B = AS
__et
tousles
ni ~ 0
dont les id@aux maximaux
sont les
correspondants
9 Comme
r@sulte
A
facilement
que
est un g@ngrateur que
x
r@pond
B
m i = v i(y )
premiers
de hauteur 0
~j
pour
B
p_ ~ s
S =
k
~
est un anneau
knk.B
semi-local,
locaux
sont principaux,
principal;
si
~ on voit
.
(A - ~i ) .
, et les anneaux
ces derniers
on choisit
soient I
de
, et posons
de la d@monstration, v
~i B
nl ~I .... ~
~
A s
(z) = s
d'abord un
ni
. Soient
, autres = -v
J
et
i ~ k .
x/s
,
il en s6 S
tout de suite
& la question 9
entiers
0
&
A
ment aux diviseurs ab@lien
libre
et
engendr@
I ! en vertu du corollaire
au m~me de dire que et
ht(Pi)
Vpi(X ) ~ n i aux id@aux
. Les id~aux de
A
si ses id4aux premiers
= I
a
est de la forme
; on a donc
pour tout
i
, c'est-~-dire
x&a
non nuls de
correspondent
aux ~l@ments
par les id@aux premiers
si et
. On ~tend imm@-
fractionnaires
divisoriels
& la
K
bijective-
du groupe
de hauteur
I . Tout
III-16 ideal principal dit principal
est divisoriel,
et le diviseur correspondant
(ce qui permet de d~finir un groupe de classes
est de
diviseurs). U n anneau
A
est appel@ un anneau de Dedekind
et de dimension maximaux,
I
et l'on a
. Ses id~aux premiers de hauteur p(n) = ~
Un anneau noeth~rien
A
si ses id4aux divisoriels que ses id@aux premiers
n
A
se d@compose
est dit factoriel
s'il est normal et
sont tous principaux
de hauteur de
I A
(il suffit d'ailleurs
le soient); admettent
il revient au
un pgcd. Tout @l~ment
~ la fagon habituelle: nI nk x = u~T I ... IT k
oG
1 sont alors
. Tout id6al non nul est divisoriel.
m~me de dire que deux @l@ments de
s'il est normal
u est inversible
et les
TF.
,
irr@ductibles!
cette d~composition
i
est essentiellement
3. Fermeture
unique.
int~6Tale.
Proposition
11:
et soit
une extension finie s~parable
L
int@grale
B
de
Soit
A
A
dans
un anneau normal,
L
de corps des fractions
de
K
K
,
. La fermeture
est un anneau normal,
~ui est un
A-module
de type fini. Soit
Tr(y)
On salt que
la trace dans l'extension
Tr(y) ~ A
la forme A-bilin@aire l'ensemble que
B
des
y@L
si
y~B
Tr(xy) tels que
contient un sous-module
L/K
d'un ~l~ment
~ de plus, puisque est non d~g~n~r~e Tr(xy)E A libre
E
sur
pour tout de rang
L/K L
de
L
est s~parable, . Soit
y~B :
y
B~
! du fait ,
est
III-17 contenu dans
E~
qui est libre,
ment un A-module noeth~rien,
et comme
de type fini! en particulier,
donc un anneau normal,
,
B CB *
B
est ~gale-
est un anneau
B
cqfd.
Remar~ues: I) L'ensemble &
B
B~
est un ideal fractionnaire
, que l'on appelle diff~rente
inverse
de
de B
hauteur cr~te,
par localisation
de
L
pour lesquels
on d@finit
en les id@aux premiers
en outre discriminant,
&
A
9
, et on
I. On est ainsi ramen@ au cas des anneaux de valuation
ramification,
de dis-
groupes de
etc.
2) Lorsque l'extension
L/K
peut se faire que l'anneau ne soit pas un A-module Nagata
par rapport
par rapport
I1 est facile de voir que c'est un ideal divisoriel peut donc le d@terminer
L
(Note on integral
B
n'est plus suppos@e
s@parable,
ne soit pas noeth~rien
de type fini): closures
(eta
il
fortiori
on en trouvera un exemple dans
of Noetherian
domains,
~em. Kyoto,
t.28, 1953).
D -ANNEAUX
DE POLYNS~ES
I. Dimension de l'anneau Lemme 3:
Soit
A
un anneau,
deux id~aux premiers soient ~ a u x
A~XI,... , Xn]
de
B
soit
par
p_B
B = A~X]
, distincts,
au m~me id@al premier
En divisant
.
p
de
, soient
tels ~ue A
p'~
. Alors
, on se ram~ne au cas oG
p = 0
~'C A
~" et
p' = p_B
~"~A .
. En localisant
ZII-18 S : A - ~0]
ensuite par rapport ~
, on se ram~ne au cas oG
un corps, et le lemme est alors ~vident,
Proposition et
12:
La dimension de
2 dim(A) + I Si
pose
'
Si maintenant B
= ~i B + XB B
est comprise entre
dim(A) + I
~
...~p~
de la suite des
~i
, on
r+1
. Done
dim(B) ~ dim(A) + I
est une chaSne d'id@aux premiers
~i = ~ i ~
que l'on ne peut pas avoir
A
, et l'on obtient une cha~ne
de longueur
, et si l'on pose
c'est-~-dire
~tant principal.
eat une chaSne d'id@aux premiers de
~+I
d'id@aux premiers de
de
est
.
po C_ ... C pr ~i = 2i B
A[X]
A IX]
A
A
, le lemme ci-dessus montre
~i = ~i+I = ~i+2
. On peut done extraire
(s+l)/2 61@ments,
une cha~ne oomprenant au moins
de longueur au moins
(s-I)/2
(s-I)/2
! d'oG
~ dim(A)
,
cqfd.
Remar%ue: I1 y a des exemples de Seidenberg montrant effectivement et
que
prendre toute valeur interm6diaire
2 dim(A) + I
.Voir
6galement P. Jaffard,
dim(B) entre
dane le cas noeth6rien,
sairement
dim(B) = dim(A) + I
Lemme 4: d_~e A
A
Soit
, on note
a
minimal dane
minimal dane
W(~')
~'
un id@al de W(a_~ .
nO146,
1960).
nous allons voir que l'on a n@ces-
.
Dane lee deux lemmes ci-dessous, un id@al de
dim(A) + I
Th@orie de la dimension
dane lee anneaux de pol~rn6mes (Memorial Sci. Math., Toutefois,
peut
on pose
l'id@al
A
. Alors
~B = ~ A
, et soit p'
B = A~]
p
B
. Si
d@signe
.
un id@al premier
est un id4al premier de
B
Ill-19 On peut @videmment supposer
~ = 0
R'
. Si
n'@tait pas minimal, . Comme
il contiendrait strictement un ideal premier est minimal dane
A
q~
, on a n~cessairement
A = ~
~'~A
=
, et l'on
obtient une contradiction avec le lemme 3.
Supposons
Lemme ~: A
de
, on a
Soit
a
noeth@rien. Si
ht(p) = ht(p')
n = ht(p)
un id@al
A
de
p
est un ideal premier
.
9 D'apr~s le corollaire 4 du th@or~me I, il existe
A
, engendr@ par
n
~l@ments, tel clue
@l@ment minimal de
W(~__) . D'apr~s le lemme pr@c@dent,
@l@ment minimal de
W(~')
p'
soit est
, et le corollaire % du th@or&me I montre
ht(p') % n . L'in@galit@ oppos@e r~sulte de ce que toute chaSne
clue
~Pil ~
p
d'id~aux premiers d'extr@mit~
d~finit dane
p
B
une cha~ne
J
Ipl)
de m~me longueur et d'extr6mit~
Proposition 13:
Si
A
p' .
est noeth@rien, on a
dim(AKXl'''''Xn ]) --dim(A)+n.
Ii suffit ~videmment de prouver ce r~sultat pour d~jA que
p~ ~
B = AEX] , et soient
on a
r ~
Pj = Pj+I
dim(A)
d'autre part,
cqfd.
A
... C
Pr
. Sinon, soit
, et comme Pj C
une chains d'id~aux premiers
Pi -- P-~ ~ j
A
. Si lee
ht(p~) 7/ J
Pj+2 ~ - ' '
C
P-i
sont distincts,
le plus grand entier tel que pj' -- pjB
. Vu le lemme 3, on a
ht(p~) = ht(pj)
dane
. On sait
dim(AtX]) ~/ dim(A) + I , et il s'agit de prouver la r@oi-
proque. Soit donc de
A~X]
Pr
. On a doric r-j-1 + h t ( p j ) ~
, d'o~ (lemme 4)
, on a
ht(pj)~
j
.Mais
est une chaSne d'id~aux premiers dim(A)
, d'oG
r-1 k(dim(A)
,
III-~90 2. Le lemme de normalisation. Dans tout ce qui suit~
k
d@signe un corps. Une k-alg~bre
dite de t~pe fini si elle est engendr@e nombre fini d'@l@ments
x.
(comme k-alg~bre)
A
est
par un
! il revient au m@me de dire qu'il existe
I
un homomorphisme
surjectif
k~X1,... , X n J Th@or~me
2:
Soit
A
--~ A 9
une k-alg~bre
une suite croissante
d'id@aux de
I1 existe alors des @l@ments ind@pendants a)
A
sur
k
tel ~ue
i
--la'~ B
Remarquons
, avec
a
xl,... , x n
~ A
de
A
~I ~ . . . ~ a
--p
. , alg@briquement
,
I ~
B = k~Xl,... , Xn~ i ~ p
.
, il existe un entier
soit en~endr~ par
h(i) ~
0
(xl,... , xh(i) ) .
d'abord qu'il suffit de d@montrer le th@or&me lors~ue
est une a l ~ b r e A
A
et soit
, et tels ~ue:
soit entier sur
b) Pour tout
de type fini,
de pol2nSmes
k_~1,...,
comme quotient d'une telle alg~bre
YmJ_ A'
. En effet,
par un id@al
A
on peut ~crire a'
; notons
--O
a! --i
de
l'image r~ciproque A'
v~rifiant
--o a' C ~i' C des
x' i
.-. C '
o~
a' --p
i ~
et nous raisonnerons
dans
aI
A'
~
et soient
x'
i
du th~or~me vis-a-vis
des @l@ments
de la suite
. I1 est alors clair que les images dans
h(0)
, v~rifient
par r@currence
A
les conditions voulues
donc dans tout ce qui suit que
p = I . Distinguons
A I) L'id@al
a --~
les conditions
Nous supposerons
A)
de
sur
A = k[Y1'''''
YD
p .
deux cas:
est un id@al principal,
engendr@ par
x I ~k
.
'
IiI-21 On a
Xl
P(YI''''' Ym )
=
, o~
P
est un polyn6me. Nous allons
voir que, pour un choix convenable des entiers est entier sur
B = k[Xl, x2,... , x J
x,l = Y'l - y~i
A
, avec:
(2 ~ i
Pour cela, il suffit ~videmment que
r i > 0 , l'anneau
~ m ).
YI
soit entier sur
B
. Or
YI
v~rifie l'~quation: r r2 x m + YI m) - x I = 0 . P(YI' x2 + YI '''''
(~) Si l'on ~crit
P = (PI'""
P
sous forme de somme de monSmes
ap yp ,
P =
o~
, l'4quation pr4c~dente s'~crit:
Pm )
Pl r2)P2 .rm.Pm ~apY1 (x2 + YI "'" (Xm + Zl ) - xl = 0 9 Posons
f(P)
Pl + r2P2 + "'" + rmPm
=
, et supposons les
ri
choisis
de telle sorte que t o u s l e s
f(p)
soient distincts (il suffit par
exemple de prendre
, oG
k
r. = k i
est un entier strictement plus
l
grand que t o u s l e s
pj). I1 y aura alors un syst~me
et un seul tel que
f(p)
soit maximum, et l'~quation s'4crira:
Qj(.)
j(f(P)
4quation qui montre bien que Ceoi montre que done les
x.
p = (pl,...,pm)
:
YI
k(Yl,...,ym)
o
,
est entier sur
B
.
est alg~brique sur
sont alg4briquement ind4pendants, et
k(Xl,...,Xm) B
,
est isomorphe
l
&
k[X1,...,Xm]
qE~I~B a
A~k(x
s'~crit
b)
q = xlq'
~I~B , avec
1,...,xm) = k[x 1,...,xm]
ment clos; donc et
. De plus,
q'~B
dans ce cas.
= (xl)
; en effet, tout ~l~ment
q'& A ~ k ( X l , . . . , X m )
, et l'on
puisque set anneau est int~grale-
, ce qui ach~ve de d~montrer les propri~t~s
a)
111-22 A 2) Cas ~ n ~ r a l . On raisonne par r~currence sur
m
, le cas
~tant trivial. On peut @videmment supposer un @l@ment non nul de
~I
~
~
0
(ou
. Soit donc
t2,...,t m
C = k~s
'
t2,...,tm]
, et que
k
xIA~C
D'apr~s l'hypoth~se de r@currence, il existe des @l@ments de
k~2,...,tm~
g~bre
st l'unique id@al
alors tout de suite que B) Passage de
p-1
tl,...,t m
Xl,X2,...,x m ~
~IC...
~1~k~2,...,tm~
= xsC
.
x2,...,x m
. On volt
satisfaisant aux conditions
A
, et soit
Xr+1' ... 'Xm
satisfaisant aux conditions du th~or~me pour ~
A
r@pondent ~ la question.
C~_I
A 2), il existe des ~l@ments
l'id~al
, que
p .
des @l~ments de
du th~or~me pour la suite D'apr~s
A
satisfaisant aux conditions du th@or~me pour l'al-
k~2,...,t j
Soient
xI
, tels que
soient alg@briquement ind@pendants sur
soit entier sur
m=1)
m~me
! ce n'est pas une constante puisque
D'apr~s ce que l'on vient de voir, il existe xl ' t2'''''tm
m = 0
k~r+1,...,tm~
. En posant
r = h(p-1)
kit r+1'''" ,tm~
de
k Etr+1,...,tm~
x i = ti
.
pour
et pour
i ~ r
, on
obtient la famille cherch~e, cqfd.
3. Applications. I. Dimension dans les a l ~ b r e s Notation: noterons
Si
dim.alkA
fractions de
A
Proposition 14: corps
k
A
de pol~n6mes.
est une alg~bre int~gre sur un corps le degr~ de transcendance sur
k
k
, nous
du corps des
. Soit
A
une alg~bre i n t ~ r e
de type fini sur un
. On a: dim(A)
=
dim.alkA
D'apr~s le lemme de normalisation
.
(th@or~me 2), il existe une sous-al-
.
111-23 g~bre
B
A
de
qui est isomorphe
et qui est telle que
k[XI,--.,X n] la proposition dim(B)
corps
des fractions
L
dim(A)
3, on a
on a
puisque
z n
; d'autre
et de
dim.alkL
=
dim.alkK sur
Corollaire
I:
pun
(aveo Soit
ideal
C'est
la proposition
une a l ~ b r e de
A
par
L
et
K
13
les
. D'oG la proposition.
~ une cha~ne
premier
la proposition
= n
d'id4aux
B = k[XI,...,XN7 ) A
. D'apr~s
13, on peut appliquer premiers
de cette
chaSne
et on conolut
de
A
est inf4rieure comme oi-dessus.
de type fini sur un corps
. On a
coht(p)
. On
k
, et
= dim.alk(A/p ) 9
@vident.
Corollaire un corps
Soit
2 ("Nullstellensatz"): k , et soit
alg@bri%ue
sur
En effet,
k
puisque
15:
et soit
m
A
un id4al maximal
une a l ~ b r e de
A
de type fini sur
. Le corps
est
A/m
.
le corollaire
Proposition k
K
B
, on a
tout de suite que la longueur n
corps
B
sur
, et d'apr~s
si l'on d@signe
Au lieu d'appliquer
ou ~gale ~
applique
part,
de polynSmes
soit entier
= dim(B)
A
le lemme de normalisation
soit
A
de
est alg@brique
Variante.
en d4duit
~ une alg~bre
Soit
m
est maximal,
on a
coht(~)
= 0
, et l'on
I 9 A
une alg~bre
n = dim(A)
. Pour
int~&~e
de type fini
tout id@al
premier
~
sur un de
A
,
on a: ht(p)
+ coht(p)
-- n
, i_.e.
dim(Ap)
+ dim(A/p_) = dim(A)
.
m
D'apr~s
le lemme
de normalisation,
il existe une sous-alg~bre
B
de
A
III-24 isomorphe
kEXI,---,X n]
, telle que
A
soit enti~re sur
B
, et
que
p N B = (xl,. ,xh) Posons
~' - p ~ B
. Comm
~'
contient la chaSne
o C (x 1) C . . . C ( x l , . . . , x on a
ht(p')
~ h
~ et l'in@galit@
est engendr@e par
h
est entier sur
B
de Seidenberg montrent que
B
de c e q u e
p'
ht(p') = h . D'autre part
ce qui montre que
, et que
,
oppos@e r ~ s u l t e
~l@ments; donc
B/~'= k~Xh+1,...,Xn]
h)
A
coht(~') = n-h . Comme
est i n t @ ~ a l e m e n t
ht(p) = ht(p')
et
clos, les thgor~mes
coht(p) = coht(~')
D'oG la proposition.
Corollaire I:
Les hypoth&ses @tant celles du th@or~me 2, on a ht(~i) = h(i)
.
C'est en fait un corollaire de la d@monstration. Nous dirons qu'une chaSne d'id@aux premiers est satur@e si elle n'est contenue dans aucune autre chaSne de m~mes extr@mit@s
(autre-
ment dit si l'on ne peut intercaler aucun ideal premier entre deux 4l@ments de la chalne); nous dirons qu'elle est maximale si elle n'est contenue dans aucune autre chalne, ou, ce qui revient au mGme, si elle est satur@e, si son origine est un idgal premier minimal et si son extr@mit@ est un idgal maximal. Corollaire 2: corps
k
Soit
A
une alg~bre int&gre de t~pe fini sur un
. Toutes les chaSnes maximales d'id@aux Rremiers de
ont m~me longueur, & savoir
dim(A)
.
A
.
III-25 Soit
po C
Puisqu'elle
pl C . . . ~ h
une cha~ne maximale d'id@aux premiers.
est maximale,
on a
~o = 0
, et
~h
est idgal maximal de
A.
On a donc dim(A/Po) = aim(A)
et
dim(A/Ph)
= 0 .
D'autre part 9 puisque la chaSne est satur@e, on ne peut intercaler aucun id@al premier entre et la proposition
~i-I
et
bien
! on a donc
dim(A/~i_1)pi
~ I ,
15 permet donc d'@crire: dim(A/Pi_1)
Comme
~i
dim(A/Po)
= dim(A)
h = aim(A)
, cqfd.
et
- dim(A/p i) = I 9
dim(A/Ph)
= 0
, on en d@duit
Remarques: I) On peut d@composer le corollaire a) Pour tout id@al maximal
~
de
2 en deux parties: A
, on a
aim(Am) = dim(A)
b) Toutes les chaSnes maximales d'id@aux premiers de
Am
.
ont
m~me longueur. Nous verrons au Chapitre suivant que la propri@t@ plus g@n@ralement,
b)
est vraie,
pour tout anneau local qui est quotient d'un anneau
de Cohgn-Macaula ~ (et en particulier d'un anneau local r@gulier). 2) Le corollaire
2 peut, lui aussi,
se d4duire directement
du
lemme de normalisation.
4. Applications.
II. Fermeture
Proposition
16:
Soit
, soit
K
corps
k
finie de
K
A
int@~rale d'une a l ~ b r e
une a l ~ b r e
int~re
de type fini sur un
son corps des fractions,
. La fermeture int@~rale
B
et soit
d_~e A
un A-module de type fini (et en particulier
de type fini.
dans
L
une extension
L
est alors
c'est une k-alg~bre de
III-26 type fini). On oomparera
ce r@sultat
ne supposons plus que
A
~ celui de la proposition
soit un anneau normal,
11; nous
ni que
L/K
soit
s@parable.~ D'aprbs le lemme de normalisation, algbbre
C
fermeture
isomorphe int@grale
d@monstration & augmenter loisienne! contenue
sur
A
k[X1,...,XnU
de
C
lorsque
dans
A
si l'on note L
M
de
D
,donc
que l'extension
A
A
L/K
la
De plus, quitte est quasi-ga-
est radicielle. Yi de
~
L/M
D
D
les coefficients en les
K
la
que
B
est
nous pouvons donc supposer L
est engendr@e
, et il existe une puissance k
de
est finie
, montrera
L'extension
q
, telle que )
oomme fonctions rationnelles
Soit
! si l'on salt que
. Finalement,
caract@ristique
c1~...,c m
de pol~nSmes.
est s@parable.
M
_-
Soient
est @videmment
que l'extension
L/M
dans
par un nombre fini d'@l@ments de l'exposant
B
9 I1 suffira donc de faire la
11, appliqu@e
sur
L/K
, et
sur une sous-
la plus grande extension radicielle
, l'extension
int@grale
est entier
est une alg~bre
, la proposition
finie sur
L
L ~ on peut supposer
dans
fermeture
&
A
9
de t o u s l e s X
Yiq
' exprim@s
. L'extension
L/K
est alors
J contenue
dans
L'/K
L'
k'(X
, avec: -I '
La fermeture
int@grale B' = k'
et
B'
cqfd.
-I
...
est un A-module
'
de
-1
-I )
A -I
n
. '
dans
'
L' -I
) ""
.
m
est visiblement
@gale
~'''~ n libre de base finie.
Donc
B
est fini
sur
A ,
III-27 Remar~ue:
Dans la terminologie de Grothendieck (EGA, Chap.O, 23.1.1)
la proposition 16 signifie que tout corps est "universellement japonais". D'apr&s Nagata, tout anneau de Dedekind de caract~ristique z~ro (en particulier
~) , tout anneau local noeth~rien complet, est
universellement japonais (cf. EGA, Chap.IV, 7.7.4.)
5. Applications.
III. Dimension d'une intersection dans l'espace affine.
I1 s'agit de d~montrer que, si
V
et
irr~ductibles d'un espace affine, et si ductible de
V~W
W
sont deux sous-vari~t~s
T
est une composante irr~-
, on a l'in~galit~: codim(T)
~
codim(V) + codim(W)
.
En langage alg~brique, cela s'~nonce ainsi: Proposition 17: des polynSmes
Si
~'
et
p"
sont deux id~aux premiers de l'al~&bre
A = k~X1,...,Xn]
un ~l~ment minimal de
,
W(p' + p") _ _ ht(p) ~
o_~ k ,
on
est un corps, et si
p
est
a:
ht(~') + ht(p")
.
D~montrons d'abord deux lemmes: Lemme 6: sur
k
Soient
A'
et
A"
deux alg~bres i n t ~ r e s
. Pour tout ideal premier minimal
p -
de
ooht(p) -- dim(A' @ k A") z dim(A")
de type fini
A' ~ k A"
,
o n a :
.
(En langage g~om~trique: le produit de deux vari~t~s k-irr~ductibles de dimensions
r
et
s
se d~compose en vari~t~s irr~ductibles qui
ont toutes pour dimension Soient
B'
et
B"
r+s
.)
des k-alg~bres de polynSmes dont
A'
et
A"
111-28 soient extensions enti~res!
soient
A' , A" ~. B' ,
fractions de
B"
K" ,
K',
. On a l e
L' ,
t ~ B ' @ k B"
) A'~k
est
L'-libre
et
l'alg~bre de polynSmes B'~k
B"
suivant
0
0
K"
L' ~ k L" -libre! en particulier, B' %
A"
T
0
K'
K"
f
T Comme
les corps des
diagramme d'injections:
o -----}L' ~k L" -------. K' |
,i
L"
est
L"-libre,
K'~k
K"
est
c'est un module sans torsion sur
B" . L'id~al premier
~
coupe donc
, et le th4or~me de Cohen-Seidenberg montre
que coht(p) = dim(B' %
B") = dim(B') + dim(B") = dim(A') + dim(A")
,
cqfd. Lemme 7: ~:
Soit
C----}A
A
une
k-alg~bre,
l'homomorphisme
(i) Le no~au
d
de
~
d~fini par
l'id@al
e_!t p"
Inversement,
si
~
ce qui montre que
-a@1
est @~ale &
I ~ a - a @ I aib i x 0
ai @ bi = ~a
W(a|
sont deux id4aux de
p' @ A + A @ p" + ~
I1 est clair que
C = A~ k A
,
.
en~endr~ par les ~l~ments pour
ae A 9
A , l'image par
~
__de
p' + p" pour tout
appartient &
ae
, on peut @crire:
z (% | I - ~ | %)(I. i | bi
, et soit
- ab
C
est l'id~al de 1@a
(ii) S_i_i s
soit
b i)
9
appartient ~ l'id~al engendr~ par les
A .
iii-29 (ai~
I - I ~ ai) 9 L'assertion
(ii)
est triviale.
Nous pouvons maintenant d@montrer la proposition. Posons C ~ A@k A
,
D = A/p' ~ k A/~" ,
~ = p'~ A + A ~ p" .
On a la suite exacte: 0
Soit
7
Z = ~-I(~)
W(~ + r~ minimal de
}c
, et son image
Q
W(~') , en notant
on volt donc que
0
.
! c'est gvidemment un id@al premier minimal de
le lemme 7 montre que
D
} o
~
ht(Q)~
contenu dane
dane ~'
D
est donc un id@al premier
l'image de
~
est engendr~ par lee n
. Soit
~o
! on a a f o r t i o r i
dane n
D
@l@ments
. Mais Xi@1 - 1 ~ X i ;
un id@al premier minimal de ht(Q_/Q_o) ~ n
. Male, d'apr~s
le lemme 6, on a dim(D/Q_o ) = dim(A/p-') + dim(A/p")
!
oomme
ht(~/~o) =
aim(D/Q_o) im(Ol -
,
on trouve: n>,ht(Q_/Q_o ) =
Remar~ue:
aim(A/p-')+
dim(AlP" ) - dim(A/p_)
, cqfd.
La m@thode de d@monstration a consist@, ~rosso modo, &
remplacer le couple
(p-', p-") par le couple
(!, r_~
. C'est ce
que l'on appelle la r@duction & la dia~onale (c'est l'analogue alg~brique de la formule
V~
W = (VX W ) ~
~
) . Nous verrons au
Chap.V que cette m@thode s'applique ~ des cas sensiblement plus g@n@raux, et permet notamment d'@tendre la proposition pr@c@dente & tout anneau r@~ulier.
IVC!LAPITRE
DIMENSION ET CODI~Z~?NS_ION HO~DLOG I qUES
IV
%
9
A - LE CO~mLEXE DE L,ALGEHRE EXTERIEURE
I.
Le Cas Simple . La plupart des r~sultats des para~raphes
sans hypoth~se noeth~rienne ; soit donc @l@ment unit6, et KA(x)
x
un @lSment de
le complexe suiv~nt:
A
A
ex
de
du complexe
K(x)
I
darts E1(x )
Si
M
est un
=
a.x
et
I
,
ces modules), d : K(x,M) 1 d(ex@ K(x,M)
Ko(X )
et nous choisirons
A
K1(x)
sur
, d@fini d : K
9 La d@rivation
, si
K(x)|
-K
:
a ~
. Alo s
K(x,M)o = Ko(X)$AI~[ =
K(x,M) I = K I ( x ) | > K(x,M)o
m) = x.m
et
A
9
A-module unitaire~ nous noterons
le complexe produit tensoriel n~O,
sont valables
n ~ Or I
sera d4finie par la formule
d ( a e x)
2
un anneau commutatif,
si
une fois pour routes un isomorphisme de par l'image
Iet
A 9 Nous noterons a/ors
K~(x) = 0
En fair, nous identifierons
si
(KOSZUL)
ou
M
K(x,M)
= 0
(nous identifierons
et la d~rivation
est d4finie par la formule : m ~ M
9 Les modules d'homolo~ie
sont tout simplement :
de
IV-2
He(K(~,M))
=
M/~.M
HI(K(~,M))
=
(o
Plus g~n~ralement, si
L
Proposition
I :
:
est un complexe de
modules d'homologie du complexe aux modules d'homologie de
(x))
9
L
K(x) | L
An.(~)
9
A-modules, les
sont reli~s simplement
:
Sous les hypotheses ci-dessus, on a ~our tout entier
p
des suites exactes :
O
W H o (K(x)@ A Hp(L) )
> Hp (K(x) @ A L)
HI(K |
I(L))
En effet, pour tout entier
>O
p
9
est une
, (K(X)@ALp_I) p
somme directe 9 (K(x)| AL)p
=
Si l'on consid@re
(Ko(X)@ALp)
K (x)
et
+
(KI(X)@ALp_I)
KI(x )
comme des
A-modules,
o
on obtient ainsi une O
> (Ko(X)(~AL)p
suite exacte ,de c,o, mplexes > (K(X)@AL)p
:
> (KI(X)QDAL)p_I
> 0
et la suite exacte correspondante des modules d'homologie 9
K I ~ A Hp(L)
d @ I> K o @ A Hp(L)
> Hp(K |
> K I @ A Mp-I(L)
d| I>Ko@A
Hp-1 (L)
IV-3 La proposition en rgsulte, car
Ho(K| HI(KcHp_I(L)) Corollaire : et si
x
Si
=
Ker
est un complexe acyclique sur
: (Ko~Hp_1)
est un complexe acyclique sur
6: M --* M
n'est pas diviseur de
(KI@ Hp_1).
0
,dams
M , alors
M
,
K(X)@A~
M/ M
En effet, il suffit d'appliquer la proposition au complexe L = -M = (Mn)
9 On obtient alors
HI(K(X)@AM)~
o
HI(K(x)| A Ho(.g)) = HI(K(X)|
Si maintenant d~signerons par
si
p >I
(0 : (x))M
. Xl,...,x r
~ooe
Alors el"I |
sont
=
donn~ ~.
Ar
41~ments de
KA(xl)@A EA(x2)@A
K p (x I' 9 " 9 'Xr)
est un
... | e.zp
ii~
~
, d'od le nom de
KA(xl,''',Xr)
A
nous
"'" |
KA(xr)
:
"
A-module libre engendr6 par
i2
I
K(x ], 9 9 ,Xr_ I;M)
xI
n'est pas
et la propri@t~ d~montr6e pour le et prouvons la pour
i
~/(x ~ ,x I'' 9 " ,xi_ i) .L~
9
Supposons donc compl exe
p
eip~(xikm)
= (o ,
n'est ~as diviseur de
, alors
O
le
. On a manifestement
p > 0
La proposition est vraie si
diviseur de
>
8i, sous lee hypoth@se s pr6c~dentes, et pour tout
x I9 od
(~,M)
...~
suivantes ~tudient le cas o~
d'homologie sont nuls pour
'
:
et
o (,,M)_ = M / ( + I , . . . , % ) + +
dp : Kp(~,M)
ei1~D ... ~ i k |
Dane la suite nous d@signerons par d'homologie du complexe
Kp(X,~)
"'" ( ~ A ei P ~ A M
, et la d~rivation
est donn~e par la formule
d(e i ~ ... $ e i ~ m )
ou
K(Xl,...,Xr)4~A.T~ = K(X)@AIJ~
est ainsi somme directe des modules o~
; M)
K(x1'''''x-;M)r - :
9
IV-5 alors l'application oanonique de H 0 (Xl,
" " " 9Xr--
I~M) = M/(Xl,
comme
complexe au-dessus de
l& proposition Proposition
I
3:
A noeth4rien et
~ " " 'Xr-
HI(X,M )
o)
Pour tout
darts
""
, et le corollaire
S_~, en plus des hypotheses pr@o@dentes, on suppose ~i de type fini, et si les [(A) de
.
o
=
0
pour
i ,
I~
xi
,
I ~ i~
r
A , alors, les assertions
:
I
p~
i ~r
, x i
n'est pas diviseur de z6ro
M/(Xo ,x i, ... ,xi_ I)~
II reste ~ montrer que si
K(x I'" 'Xr- II~)
d~finit
~/(Xl,...,Xr_1)M
suivantes sont 6quivalentes
b)
i)~
dans
s'applique ~ notre cas.
appartiennent au radical
,)
Ko(Xl,...,Xr_1lM )
r : I
b)--~,
o)
, oe qui a d~j~ 6t6 fait
.
On peut dono supposer que la d~monstration a 4t~ faite pour
K(x I"" "'Xr- tiM)
et la faire pour
K(x1,...,XrSM ) ,
Or la suite exacte :
o ---->%(K(=r) m H;(=~,...,=r_~)) -~H1(K(xr) |
entralne que
i( ~,''',xr-1
~II(K(~) ~ ~o (~I, "'" ,~p-1~M))
>,~ i (=_.,:,0
Ho(Xl,...,Xr_l~M))
~'O/~r "~I( ~,''',%-I~ sont nuls ,
~-0
M)
dono que
et
IV-6 H1(Xl,...,Xr_1~M )
et
H 1(Xr ~Ho (x i, 9 9 9 ,Xr_ I~M))
Is sont
(Nakayama) et, module d'hypoth~se de r@currence, ceci entrafne le r@sultat cherch4. Corollaire: X
La condition
= ~Xl,...,Xr)
c)
9
La correspondance entre fonctorielle pour
~
exact. Si
>M'
0
ne d~pend pas de d l'ordre de la suite
M
et
K(~,M)
donn~, et le foncteur > M
> M"
> 0
est 6videmment M ~ > K(~,M)
est
est une suite exacte,
on obtient une suite exacte de complexes : ~K(~,M')
0
~K(~,M)
; K(~,M")
>O
et une suite exacte d'homologie :
9
~1(_~,u)
. .
En outre
~(x,M)
l'id~s/ engendr~ par
>
~(_~,m,) , ~o(_~,m) ~o(_~,M)
est na%urellement isomorphe ~
Xl,...,xr) 9
HomA(A/x,M)
Ces isomorphismes natumels de
foncteurs se prolongent de mani~re unique en des transformations naturelles
7
et
~
(Cartsm-Eilenberg, Chap. III)
,
~,
Ext~(A/x,M) ) ~r_i(__x,M)
et
~o
IV-7 Si les hypoth@ses de la proposition = A de
, l'application canonique de KA(~)
; en particulier
(volt le paragraphe
C)
sur
~o(~)
une rgsolution projective
isomorphisme
sont satisfaites pour
2
A/~
de
A/~
A/~
fait alors
et devient un
a pour dimension homologique
r
.
Nous laissons au soin du lecteur de d@montrer que sous les m~mes hypotheses
~
(II existe un isomorphisme de
est un isomorphisme
Hom(K i (_~),~)
sur
qui commute avec les
~ - i (-~)| ~
op4rateurs bord). Dans le cas g@n@rsl, soit ind@termin@es B
=
de
XI,...,X r
A [XI,...,Xr]
B
l'anneau des polyn~mes en
, ~ coefficients dans
9 D@finissons sur
B-modules par les @galit@s :
X.ml = xim
si
m ~ M
9
r@solution projective de
A
XiQ
A =
Alors
et
A
M
0
,
i.e.
des structures
si
Q E A
K$(XI,...,Xr)
et
r
et
fournit une
=
on a donc l'isomorphisme naturel : D'o~ la A ~
Proposition
4;
contient
et
x
L'annulateur Ann M
On salt en effet que mais
de
.
H~i(~,M )
,
- ~ i
~
+ ~
,
9 B AnnB(TOri(A,M))
AnnBA = (Xl,...,Xr)
et
AnnBA + A n n ~
AnnBM ~ A n n A M
,
+ (X I - xl,...,Xr-Xr).
IV-8 Enfin, on d@montrererait sans difficult@ que si partie multiplicativement stable de et
H(x,Ms)
=
H(x,M)S
A ,
9 De m~me si
M
de type fini, et si l'on munit lee
_
-adique o n
a
lee relations entre
K(x,M S) ~ A
K(~,M)
et
est une K(x,M) S
est noeth@rien et
A-modules de la filtration
,
=
S
.
K(G(x), G(M))
vent faire
l'objet du pars~Taphe suivant .. 3.
La suite spectrale associ@e au complexe de l'al~@bre ext@rieure. M~nissons, sous ies hypoth@ses ci-dessus, le module
filtration
x-adique st d~signons par
gradu~s associ~s ~
XI,...,X
M e t A , par
darts x_/~
G(M)
et
11"'"~r
et par _~ la
l'id~al engendr~ par cette suite dane
G(A)
de la lee
lee images de
~'I'''"
suite G(A)
M
~r
ou
lorsqu'il n'y aura
pas de confusion. Le complexe
KG(A) (~) @ G(A) G(M)
somme directe des modules noterons K(x,M)
Kp(x,xiM)/Kp(X,Xi+IM)
Kp(~,_ Gi(M)) applique
est manifestement que nous
9 En outre, la differentiation
Kp(X,XiM)
dane
Kp_1(x,xi+IM)
d
st induit donc
une application d : Kp(~, Cette application
d
Gi(M))
~. Kp_1( ~, Gi+I(M))
d~finit sur
K(~,
G(M))
une
structure de complexe, somme directe des complexes : p+i~n Kp(
Gi(M )
de
.
.
iV-9 En fait, la graduation de EOn(X,M) avec
G(M)) d~finie par les
K(~,
est associ@e ~ une filtration de d
9 d~signons en effet'par
K(x,M)
FnK(x,M)
compatible
la somme directe
i ~o
~K(_~,M)
.
~
Kp(x,xiM)_ _ ,
o~
_x~
M
p+i=n Alors
d
applique
manifestement induit par
Fr~K(x,M)
dslas
F~C(x,M)
FnK(x,M)/Fn+IK(x,M) = E o(x,M)
d
, on a et
~n
est
dans ce passage au quotient.
Nous nous trouvons ainsi dans la situation du Compl4ment au Chapitre II,A ,
et il existe une
n'est autre que
tlm
~
O
E~
n
Le terme
"E I"
et est somme direote
et qui aboutit ~
"Eoe"
FnHp(X,M)
,
HA(x,M) 9
--
o
(pour
E(~~ p+i=n)
E~,i(x,M ) = Hp(K(_~ ,Gi(M)) ,
si
dont le terme
de cette suite est donn~ par la formule
.~(~,M)
Le terme
suite spectrale
des modules
que nous noterons
~(_~,Oi(M))"
peut ~tre construit de la mani~re suivante :
d~signe l'imags de
on a :
Ep~i(x,M)
Hp(FnK(x,M))
o
dans
FP+iHp(~_,M) / Fi+I+PHp(~_,M).
IV- 10 On salt que la filtration de la
suite spectrale converge
H (x,M)
est
x-bonne et que
au sens du Chapitre II 9
Pour l'@tude plus pr@cise de cette suite spectrale, nous allons nous restreindre noeth@rien,
M
est un
de longueur finie et
~C~(A)
~p(X,M)
9
Afortiori
est un
De m~me,
p ,
M/xM
est
9 ~p(X,M)
est annul6 par
V(~p(X,M)) ~ V ( M ) ~
W(x)
et
A-module de longueur finie.
H (~
G(M))
est un
Iongueur finie, et comme c'est m~me un
est
A
A-module de type fini,
Alors pour tout entier x + AnnM
au cas suivant :
G(A) / ~
en particulier
H (~, P _
G(A)-module gradu@ de
appartient ~ son s~nulateur, =
ASx--module
G i(M))
=
de longueur finie :
0
si
Ceci va nous permettre de calculer la
i
est grand.
caract~risti ~que
d' Eul er-Po incar g --
En effet, comme
H (~, P --
p=r
G i(M))
=
O
pour
i
grand,
on a
i=s-p (-I) p -si
s
est assez grand
celle de son homologie"),
i--O (la
~ ( H p ( ~ ,Gi(M) )
p~O
"caract@ristique
d'un complexe vaut
IV-I I
J:~
EI(x,M)) ~ ~
9
$d(E~
r
i=O
p--O
_- ~
(-I)P ~(Kp(_~,M)/Kp(_~,_~e-P+IM))
--p~
{-1)P(p) P_x(M,t-p)
pour
t grand
(t=s+1).
Nous laissons au lecteur le soin de v6rifier que cette derni@re r quantit~ n'est autre que /~Px(M,S) (avec les notations du Chapitre II), quantit~ que nous noterons d~sormais Ainsi
~(~,
G(M))
=
ex(M,r )
ex(M,r ) 9
.
La convergence de la suite spectrale : Epl i (x,M) ~
Ep2 ' i
(x,M) --~
...
~
Epe~., 1 (-x'M)
entralne les ~galit~s :
.?'.(~, G(~)) = j(E~(x,~)) .. ~(E2(_=,M)) ....., 7-.(E'~(x,M)) , et cette derni~re quantit~ vaut ~videmment :
%(~(x,M) )
r , parce que la filtration de p=O
IV- ~2 Nous pouvons r~sumer lee r~sultats dane le
Th~or~me A
I:
Si I, ideal
x = (x I,"" ",Xr)
est oentenu dane le radical de
type fini tel que
M/xM
A , Si
de i 'anneau noeth~rien M
est un
A-module de
soit de longueur finie, alors : sont. de lon~ueur finie, soi___~t hp(X,M)
r
b) s__i
Le calcul de modules
4.
(-I) p hp(X,M)
,.
~(x,M)
Hp(K/FiK)_
M
Hp(~,M)
est un module sur l'annesn semi-local
=
A
a) dane
Pour tout
i
M/a i_ _I ~ K(_a,M)
, on appelle
d'~l~ments de
~a1,''',ap}
tions @quivalentes
o)
~ (x,M) = ex(M,r)
peut encore se faire ~ l'aide des
isomorphes ~
d@signe le radical de
b)
alors
si
i
est assez o~rand.
La codimension homolo6i%ue d'un module sur un anneau semi-local. Si
A
,
~
A
M-suite de
, et si A
route suite
qui satisfont aux condi-
: ,
I ~ i ~p
, od
--oa = 0
,
ai et
n'est pas diviseur de ai_ I = (al,...,ai_1).
est un complexe acyclique (en dimension > 0 ) 9 :
o
.
IV-13 L'@quivalence de ces trois assertions a i@j~ @t@ d@montr@e en particulier, ces conditions ne d4pendent pas de l'ordre de la suite. Si l'on d@signe par si
b
= ~b1'''''b e ~
~__bl
=
et seulement si 0
dane
Mp
associ@ ~
est une
~al,...,ap,
Une telle suite
~
~
i~
, et
~Ip-SUite, la suite
b1,...~bel
est une
~-suite.
existe (et pose@de au moins un @14ment) si
contient un 41@ment qui n'est pas diviseur de
~ c'est-~-dire M
}~i le module
si et seu!ement si
r
n'est pas
"
P
Cette derni~re condition 4quivaut encore ~ l'~galit4 HJomA(k,Mp) = O maximal de de
M
A
o~
k = A/r
(en effet, si aucun id4al
n'est associ4 ~
et r@ciproquement),
de la suite
a
Proposition
5:
M
n'annule aucun 41@ment
et ne d@pend que du nombre
Sous les h~poth~ses ci-dessus,
A-modules
N
p=O
M1-suite , on a
montrer que d4finie par
, et non
et lee
N-suites de racine de
Hom(k,~Ip) ~
ExtP-1(k,~1 ) ~ a1
dane O-
M
> M
Hom(k,I'~Ip)~ExtP(k,~[)
. Supposons la donc d6montr4e
41~ments, et montrons la dane notre oas = set une
p
, comme il r~sulte de la
La proposition est vraie si pour tous lee
, r
Comme
~a2,...,ap)
ExtP-1(k,M1 )
ExtP(k,l~)
p
, et il reste
; mais l'homoth@tie
donne naissance aux suites exactes : a1
> ~
> MI-----~
0
et
.
IV-14 9 -.----~Ext p-I (k,l~i)
Or,
ExtP-1(k,M1) --~ ExtP(k,M) ~!~ ExtP(k,M)
ExtP-1(k,M) - Hom(k,Mp_1) - 0
ExtP(k,M)
contient
ExtP-1(k,141)
dans
Ann(k)= r ExtP(k,M)
Supposons maintenant
st
et l'annula~eur de
al :
l'homomorphisme de
est done un isomorphisme, q.e.d.
M # 0
9 La suite d'id@aux
a
C
~O
a ...C~i~ --I
" " "
@tant strictement croissante, il est clair qu'il existe une M-suite maximale a = ~a ,...,apl --
.
I
On a alors
ExtP(k,M) ~ 0
et
cette propri@t@; en particulier
p
p
est le plus petit entier ayant
ne d@pend pas de la suite maximale
choisie. D'ofl la
Proposition et d@finition 6: mGme nombre d'@l@ments, soit
Toutes les p
. Toute M-suite peut ~tre prolong@e
en une M-suite maximale. L'entier tels ~ue d_~e M
Extn(k,M) ~ 0
M-suiSes maximales ont le
p
est la borne inf@rieure des
et s'appelle la codimension homolo~i~ue
. (On l'appelle aussi la profondeur de
M
n
codh A M
.)
Corollaire: Avec les notations ci-dessus, codh A M i = cod A M - i
La codimension homologique de de la vari@t@
V(M)
associ@e &
M
M
s'interpr~te ais@ment & l'aide
. En effet, toute
peut Gtre construite de la mani~re suivante:
soit
M-suite de
d
A
la plus petite de o
cohauteurs des id@aux premiers associ@s ~ de
r
M
et
aI
un ~l@ment quelconque
qui n'appartient & aucun de ces id@aux premiers
aucun id@al maximal de
A
n'est associ~ &
M
). Alors
(a I aI
existe si est le premier
Iv-15 @l@ment d'un syst~me de param~tres de dans
N
; par suite, si
M I = M/aIM
codh I M 1 ~ cOdhAM - | et
dI
des id@aux premiers associ@s ~ dI ~
dim A M I sI =
do
-
En effet, si de prouver que soci~ ~ MI
MI
et n'est pas diviseur de
, on a l e s
0
@galit~s:
dim A M I = dimAM - I 9
D@signons maintenant par
et
M
la plus petite des cohauteurs
MI
! on a ~videmment
do ~ dimA g
. Je dis qu'en outre: d I -I
p
~
0
.
est un ideal premier associ@ &
~ + (al)
, ou comme
, c'est-~-dire que
M
, il suffit
est contenu dans un id@al premier aI
annule
MI
Hom(A/~, MI) ~ 0
, que
~
~
as-
annule un @l@ment de
.
Mais on a la suite exacte: 0 --~ Hom(A/p, M) ~ - $ et
Hom(A/p,M1)
Hom(A/p, M) --~ Hom(A/p, MI) --~
oontient le module non nul
...
Hom(A/~,~)/a I Hom(A/p,M)
(lemme de Nakayama) et n'est donc pas nul, c.q.f.d.
Si
dI ~ 0
, soit
a2
un @l~ment quelconque de
tient ~ aucun id@~l premier associ~ ~ tient ~ un systems ~sm~metres
MI
. Alors
quels sont associ~s les nombres M-suite
al, a2,... ,
fournit les ~galit~s:
qui n'appar-
lal, a21
et est une M-suite; soit
On construit ainsi de proche en proche des modules
~
appar-
M 2 = MI/a2.MI...
M,MI,M 2 ...
do, dl, d2,... , sl, s2,... ,
. Le proc~d@ s'arrGte lorsque
dp
0
aux-
et la et
IV-1 6 dim A M = dim A M p
+ P 9 co&h A M P = 0
codh.a M = p = d
o
- _(sI +...+ s ) p
et
@
La proposition pr@c~dente affirme que le nombre somme des "sauts" 9 faite. En outre,
s I +...+ Sp
p
et la
, ne d~pend pas de la construction
si l'on compare le raisonnement
struction d'un syst&me de param~tres,
fait avec la con-
on voit que route M-suite peut
~tre prolong~e en un syst~me de param~tres: Proposition 7: dim A/p
Si
p
est un id4al premier associ4 A
M
, cOdhAM
. Toute M-suite peut Gtre prolon~@e en une suite de
param~tres. Reste ~ @tablir quelques propri~t~s fonctorielles La d@finition ~ l'aide des Par exemple,
si
0 --4 K' m ~
on a l'in~galit~:
M N~
= EXtA~ (k,M)
M
, donc
M" - - ~ 0
est une suite exacte,
de la topologie
~-~dique,
cOdhAM = codh~M
on a
et la A
Proposition 8: maximale de
Toute M-suite maximale de
A
est une
si avec les notations ci-dessus,
est une M-suite de
A
on a l e s
~ = fal,...,apl
suites exactes:
a~
0
l
> Mi_ I
) Mi_ I
) Mi
)0
et donc aussi
a.
o
i-I
M-suite
A 9
En effet:
>
i-I
.
permet d'en @tudier quelques-unes.
cOdhAM ~ Inf(codh A M' , co&h A M") ....
De m@me si l'on munit
EXtA/~k,M)
"Ext"
de cOdhAM
,>o
iv-17 A
La suite
a
est donc tune M-suite de
M
, elle
A
. Si en plus
a
est
A
maximale
pour
est
maximale
pour
M
(~galit~ des codimen-
sions). La codimension homologique
est une notion locale, comme
le montre la proposition: Proposition ~,
cOdhAM = Inf
codh A . M m
m
m
id@aux maximaux de l'anneau semi-local
On peut le d~montrer ~ l'aide des tion pr6c6dente,
M
m
parcourt
l%s
A
"Ext"
, ou de la construo-
ou encore en remarquant qu'on peut supposer
complet! mals alors plets) et
, o_~
--
A
A
est somme directe d'anneaux locaux (com-
somme directe de modules sur ces anneaux locaux! le
r~sultat est trivial.
B) MODULES DE C 0 ~ N - M A C A U L A Y Dans tout ce paragraphe, d'id~al maximal note
Ass(E)
~(A),
l'ensemble
et
E
A
d~signe tun anneau local noeth~rien,
d~signe un
A-module de type fini. On
des id~aux premiers de
A
associ~s ~
E
(cf.
Chap.I). I. D~finition des modules de Cohen-Macaulay . On salt (prop.7) que, pour tout Comme dim.E
dim.E ~ Sup.dim(A/s ) ~
codh.E.
pour
p,Ass(E)
p_~Ass(E)
, on a
dim(A/p_) ~ codh(E).
, on a en partioulier
IV-I 8 D~finition I : si l'on a
On dit que
E
est un module de Cohen-MacaulaF
codh(E) = dim(E)
On dit que
A
est un anneau de Cohen-MacaulaF si c'est un mo-
dule de Cohen-Macaula[ lorsqu'on le consid~re comme module sur lui-mSme.
Exemples.
I) Un anneau local d'Artin, un anneau local int~gre
de dimension I, sont des anneaux de Cohen-Macaulay. 2) Un anneau local int~gre et int@gralement clos de dimension 2 est un anneau de Cohen-Macaulay. En effet,
si
nul de
Ass(A/xA)
z(A)
, lee id@aux premiers
donc distincts de codh(A/xA) ~
I
~(A) d'oG
puisque
p
de
x
est un 41@ment non sont de hauteur I,
dim.A = 2. On en conclut que
cod_h(A)~2
, ce qui montre bien que
A
est
un anneau de Cohen-Macaulay.
Proposition 10:
Pour ~ue le
A-module
Cohen~lagaulaF il faut et il suffit %ue le
E
soit un module de
A-module compl@t@
E
soit un module de Cohen-Macaulay. codh(E) = c~
Cela r@sulte des formules
Proposition 11: riens et soit
Soient
~ : A --~B
A-module de t~pe fini. S_~_i E
A
e_}_t B
et
dim(E) = dim(E)
deux anneaux locaux noeth~-
un homomorphisme qui fasse de
B
un
est un B-module de tFpe fini, alors
est un A-module de Cohen-Macaula~
si est seulement si c'est un B-module
de Cohen-Macaulay. Cela r~sulte de la proposition plus g~n4rale suivante:
Proposition 12: riens, et soit
~:
Soient A
. )B
A
E
et
B
deux anneaux locaux noeth~-
un homomorphisme qui fasse de
B
un
.
IV-19 A-module de type fini. Si
E
est un
B-module de t~pe fini, on a
alors:
OO A( ) -- oo (E) L'homomorphisme
~
e~t
dimA(E ) - dimB(E )
applique
un A-module de type fini~ soit consid~r~ comme A-module.
~(A)
dane
al,...,a n
z(B)
b i = ~ ( ai)
Si l'on pose
est maximale,
F = E/(al,...,an)E sous-B-module bien que
de
il existe un sous-A-module qui est annul~ par
F
z(A)
, lee
est une suite maximale.
cOdhA(E ) = n = oOdhB(E )
. La formule
E
forment
bi
en effet, puisque
non nul F' de , st
F'
qui est de longueur finie sur
b1~...,b n
Best
une E-suite maximale de
une B-suite. De plus, cette B-suite est maximale; (ai)
puisque
B
engendre un , ce qui montre
On a done
sur la dimension se d4montre
imm@diatement.
2. Diverses caragt@risations Proposition dimension
n
13:
Soit
. Pour tout
De plus,
p
~
, on a
dim.A/p = n
, e__~t
dim(A/~) ~
codh(E)
(cf.D~
d'oG
, puisque lee termes extremes sont @gaux. ~'
de
V(E)
, et
dim(A/p')=n=dim(A/~)
, c.q.f.d.
Propositipn n
de
.
, on le salt; ce qui pr4c~de montre que
~' = p
dimension
A-module de C o h e n - ~ c a u l a ~
contient un 41@ment minimal
p'EAss(E) d'oG
un
Supp(E)
dim(E)
dim(A/p) = dim(E) = n
E
p~Ass(E)
est un @l@ment minimal de On a en effet
des modules de Cohen-Macaulay.
14:
Soit
, et soit
E
u__n_n A-module de Cohen-~lacaula~ de
x G ~(A)
tel ~ue
dim(E/xE)
= n-1
. Alors
IV-20 l'homoth@tie
d@finie par
x
dans
E
est in~ective~
et
E/xE
est
un module de Cohen-~lacauiay.
Soient l'un des
pl,...,p_k
~i
, disons
dim(E/xE) ~ n
9
oodh(E/xE)
fait que
E/xE
Ass(E)
~I
~I ~ V(E/xE)
x
fie que l'homoth@tie alors
les @l@ments de , on aurait n'appartient
d@finie par
= codh(E)
x
- I
. Si
~ aucun des
dans
E
(corollaire
~i
x
appartenait
&
, d'o~ , ce qui signi-
est injective.
On a
de la p~p. 6), d'oG le
est de Cohen-~lacaulay.
Th~or~me
2:
S_i E
est un module de Cohen-~acaula~,
de param&tres
de
E
est une
E-suite.
de p~ram&tres
de
E
est une
E-suite,
R@cipro~uement, E
tout s~st~me
si un s~st~me
est un module de Cohen-Y~-
caulay.
Supposons que et soit
E
soit un module de Cohen-~iacaulay de di me ns io n
(Xl,...,Xn)
un syst~me de param~tres
montrer par r@currence que
E/(Xl, . . . , X k ) E
c'est @vident. remarquant
sur
k
k
~
de
E
La r@ciproque
est t r i v i a l e .
Corollaire:
SiE
est un id@al de
de dimension
k+1
de
. Nous allons
est une E-suite
en utilisant
dim(E/(xl,...,Xk)E ) = n-k
un syst~me de param&tres
de param~tres
(Xl,...,Xk)
E
est un module de Cohen-~iacaulay. Pour
On passe de
que
que
de
A
@Gale ~
xi
dim(E)
- k
,
et en
forment
9
est u n module de C o h e n 4 ~ c a u l a ~ ,
, le module
et
k = 0
la prop.14,
puisque les
engendr@ par une partie ~ A
n
ESaE .
k
et si
a
@l@ments d'un s~st&me
est un module de Cphen-~acaula~
,
IV - 21 Celaa
@t@ d@montrg en cours de route.
La condition du th.2 peut se transformer en utilisant les r@sultats de
(A)
. Soit
E
X- = (xl,...,Xn) x -
un
A-module de dimension
n
un syst~me de param~tres de
l'id@al engendr@ par les
x
, et
E
; on note @galement
9 On d@signe par
e ''~X-,E) la multi-
l
plicit@ de
x __
par rapport &
E
soit
n
(cf. th@or~me I), par
Hq (X-,E)
les
groupes d'homologie du complexe de l'alg~bre ext@rieure d@fini par X- et
E
, par
filtration
Gx(E )
x_-adique. Avec ces notations,
Th6or~me ]:
E
le module gradug associ@ &
Soit
E
un
filtr@ par la
on a:
A-module de dimension
n
. 8i
E
est
un module de Cohen-~6acaula~, pour tout s~st&me de param~tres X- = (xl,...,Xn)
i) ii) iii) iv)
de
en(X_,E ) = GX-(E)
E
, on a
#(E/X-E),
=
(E/__z.E) [XI,... ,Xn]
H (x,E)= q
0
siun
pour tout
Chacune des propri@t@s X- est une
d'autre part i)
H (~ ,G(E)) qui entraSne i~
I
.
i)
9
E
ii)
pour
iii)
v~rifie l'une ~uel-
est @quivalente au fait iv)
et
sont @quivalents
d'apr~s le th@or&me I; enfin sont nuls pour
E
est un module de Cohen-~acaula~.
i), it), iii), iv)
E-suite: et
q ~ I
s~st~me de param~tres de
con~ue de ces propri@t@s,
tra~ne
E/X-E
longugur de
H 1(x,E) = 0
R@cipro~uement,
que
les propri@t@s suivantes:
i ~ I
(of. suite speotrale de
. Le th@or&me rgsulte de l&.
, c'est la prop.3
(Chap.II, th.2);
it)
st que A), n~
; en-
iv)
entra~ne que les Ho( ~ ,s(m)) que
E/xE
Hi(X-,E ) = 0
9
oe pour
IV - 22 3. Vari@t@ d'un module de Cohen-Macaulay. Th@or~me 4: et soient
Soit
un module de Cohen-l~lacaula~ de dimension
Xl,...,Xr~r(A
Tout @l~ment
)
tels ~ue
dim.E/(Xl,...,Xr)E
p_ d__ee A s s ( E / ( X l , . . . , X r ) E )
L'hypoth~se
signifie que
syst~me de param~tres module quotient dimension
E
n-r
de
E
xl ,. .. ,x r
dim(A/p)
. = n-r
s'ensuit en appliquant
les modules de Cohen-Macaulay.
de
la proposition De fagon pr@-
cise: Soit
pour toute famille dim.E/(xl,...,Xr)E on ait
Supposons d'@l@ments comme
done xi
dim(E)~ I
p~Ass(E)
un module de dimension
(Xl,...,Xr) = n-r
dim(A/p ) = n-r
On raisonne
E
d'~l@ments
, st pour tout . Alors
E
par r~currence n2 I 9
, on voit que
sur
n
z(A)
, le cas
tels ~ue
n = 0
l'hypoth~se
x 1 ~ z(A)
d@fir~ par
. Supposons ~ue,
p@Ass(E/(xl,...,Xr)E )
di m( A/ p ) = n
, il y a done
de
n
est un module de Cohen-Macaulay.
E n appliquant
. L'homoth@tie
~ la famille vide
pour tout
p~Ass(E)
qui n'appartient darts
xI
@tant trivial.
E
;
~ aucun des
est alors injective,
et l'on a: codh(E)
= codh(E/xIE ) + I
,
dim(E) = dim(E/xIE ) + I .
De plus, il est clair que le module th.5 avec
n-1
au lieu de
.
ferment une partie d'un
est un module de Cohen-Y~caulay
, et le th@or&me
Th@or~me ~:
,
. D'apr~s le corollaire au th.1, le
E/(Xl,...,Xr)E
Le th.4 caract~rise
est tel ~ue
-- n-r
n
n
E/xIE
v@rifie
; d'aprgs l'hypoth&se
c'est done un module de Cohen-~iacaulay,
les hypotheses
du
de r@currence
et il en est de mGme de
E
.
13.
IV - 23 Th@or~me
6:
Soit
et soit
p-~Supp(E).
gl@ments
xl,...,x r
E
I1 existe alors un entier
r
d'un s~st~me
de
p-gAss(E/(xl , . . . , X r ) E ) et
E
est un
Soit
ments de
p
tient l'un des
, soit
pour tout
pour tout
i
n'appartenant
que les
9 Comme
p
effet, on aurait
, on a
, et que les
,Xr)E)
9 Je dis que
, et
P = P-I
-- dim(A/P_i )
, d'o~
x 1,...,xr+ I
x1~...,x r
xi
Ap--suite de puisque
. Ceci prouve bien que
E
P-/ p-i x
r+1
ferait alors au caract&re
xi
, c.q.f.d.
v@rifient
E
la
dim(A/p_) = n-r
, qui est en mgme
p- est 41gment minimal
de
est un module de Cohen-
Pr
en
.
et prouve en m~me temps que
forment une
dimension
un @l@ment
~ contrairement
, ce qui montre que les
temps un syst~me de param&tres, V(E/(xl,..., X r ) E )
E
p- con-
. Sinon,
; le syst~me de
les @l@-
x 1~ .- -~ x r
A aucun des
Pi
con-
9
p-
Pl
E
on a
p
P-= Pl
= r
de
Pi
trouver dans
condition de l'@nonc@,
Macaulay de
dim(Ep)
, et on pourrait
On a donc
r
, tels %ue
sont les gl@ments mi ni ma ux
Pi
dim(A/p-) < dim(A/Pl)
du syst~me
De plus, les
i
pgV(E)
pattie d'un syst~me de param~tres maximal
E
Soient
; d'apr~s le th.4,
= n-r
sont contenus d~ns Pi
, et une partie &
= n-r,
pour cette propri@t@.
en particulier
V(E/(Xl,...,Xr)E )
n
de Cohen-Macaulay.
Ass(E/(xl,...,Xr)E ) dim(A/Pi)
de
dim(A/~)
de dimension
une partie d'un syst&me de param&tres
et maximale
I1 en r@sulte
de param~tres
. On a alors
A -module
x 1,...,x r
tenue dans
un module de Cohen-Macaula~
IV - 24 Corollaire anneau
I:
local~s@
d'un anneau
de Cohen-Macaulay
est un
de Cohen-~,lacaula~.
Corollaire deux
Tout
41@ments
2:
Soit
de
Supp(E)
d'id@aux
premiers
dim(A/p)
- dim(A/p')
Ii suffit c'est-&-dire dim(A/p)
E
un module , avec
~oi~nant
p
pr
~_
p_'
p'
. Toutes
et soient
lee chaSnes
ont alors mGme
p , p'
satur4es
lon~ueur I & savoir
.
de consid4rer oG
de Cohenqvlacaula~,
le cas o~
dim.Ap,/s
- dim(A/p')
= I
= I
p
et
p'
sont
cons@cutifs,
; il faut alors montrer
. Or, en appliquant
le th.
que
5 au module
E
p'
on trouve: dim .Ep_ = dim.Ep, En~appliquant
&
E
dim.Es
_ _ - dim.Ap,/pAp,
, = dim.E dim.E~
bien
- dim.A/p'
Corollaire Macaulay, cha~nes
3:
lon~ueur,
On se ram&ne un cas particulier
anneau
et
dim.E = I
PC
P'
4:
de ces trois
un anneau
premiers
aussitSt
quotient
~oi~nant
p
du cor.2
d'un anneau
~
de ~'
A
de Cohen-
. Toutes
lee
out alors mGme
de Cohen-Macaulay,
qui est
. A
un anneau
et soit
dim.A = dim.A
on obtient
- dim.A/p' au cas d'un anneau
Soit
@quations~
deux idgaux premiers
dim.A/~
de Cohen-~acaulay,
,
.
, o.q.f.d.
A
d'id@aux
~ savoir
Corollaire
- dim.A/~'
Soit
et soient satur@es
- I
- dim.A/p
E n @liminant dim.A/p
dim.Ep,
, on trouve:
dim.E
dim.E
--
s
+
p
local
int~gTe,
un id@al premier
dim.A/~
.
quotient de
A
d'un . On a
Iv
Cela rgsulte du cor.3
-
25
.
Remar~ue. L'int~rgt des corollaires 3 et 4 provient du fait que tous les anneaux locaux de la g@omgtrie alg@brique des quotients d'anneaux de Cohen-Macaulay quotients d'anneaux r@guliers,
(ou analytique)
sont
- et en fait m~me des
cf. w D).
4. Idgaux premiers et compl@tion. Scit
A
un anneau,
et soit
A
sa
compl@tion.
Si
p
est un
A
id@al premier de dans
A
A ; a priori
fasse intervenir
, l'id@al
pA
n'est plus en ggn@ral premier
, il se peut mGme que sa dgcomposition primaire
des id@aux premiers immerg@s
. On se propose de
montrer dans ce qui suit que ce ph@nom&ne d@sagrgable ne se produit pas lorsque
A
est u n a n n e a u
de Cohen-~acaulay.
On va tout d'abord d@montrer une proposition g@n@rale: Proposition B
@tant une
I~ :
Soient
A-alg~bre.
A
e_}_t B
On suppose que
deux anneaux noeth@riens, B
est
A-plat.
Soit
E
un
A-module de type fini. On a alors:
(
)
ASSB(E~AB) -= ~ p_
Soit
pgAss(E).
d'oG, puisque
Best
st on en d@duit que
ASSB(B/pB) A(S)
On a une suite exacte
0
) A/p
)E
A-plat, une suite exacte 0 ---$B/p_B ASSB(B/pB ) C
ASSB(E ~ A B)
que le membre de droite de la formule
(~)
, } E~AB
. On a donc prouv@
est contenu dans le
membre de gauche. Pour prouver l'inclusion en sens inverse,
soient
pl,...,pk
IV - 26 les ~l~ments de
Ass(E)
, et soit
0 =~
primaire r@duite correspondant aux
~i
dans la somme directe des
E/Q i
dans la somme directe des
E/Qi~AB
On en d~duit ,
~
et l'on est ramen@ A voir que
o~
~
,
ASSB(E/Q i DAB ) = ASSB(B/P_iB )
~@utrement
est r@duit ~ un seul ~l@ment
p
on salt que l'on peut trouver une
form~e de modules du type
est un id@al premier qui contient
E~AB
se plonge
se plonge donc aussi
Ass B(E/Q i ~ A B)
Plagons nous donc d~ns c e c a s ; E
E~^B
E
,
dit, on est ramen~ au cas off Ass(E)
suite de composition de
une d~composition
9 Le module
, et
Ass B ( E ~ A B) ~
Qi
A/~
,
. En passant
, on en oonclut que :
ASSB(E ~ A B) oGles
~
C
ASSB(B/pB ) ~
Ass
U
contiennent strictement
9 Soit
homoth@ties d~finies par les @l@ments de donc aussi dans pour tout ~ement
E~AB
puisque
p ' ~ A s s ( E DAB )
p
, on a
pour tout
(A/~)S
B
B)
est
S
S = A-p_ ; l e s
sont injectives dans
A-plat! on a donc
9 D'autre part, puisque = 0
p'~ ASSB(B/q_~ B)
, d'o~
9 On a donc
,
q_~
(B/q_~B)s = 0 ASSB(E~AB ) ~
p!~
E
,
S =
contient stric-
, st
p'~
S ~
ASSB(B/q_o(B ) - ~ ,
ce qui ach&ve la d@monstration~
Th@or~me 7" id@al premier de
l'@galit@
dim.
Soit A
A
_un anneau de Cohen-Macaulay,
. Tout ~l@ment
p_' = dim.A/p
p'~ Ass~(A/pA)
(l'id@al
~A
et soit
p
LU~
v@rifie alors
n.'a donc aucune compo-
a~.ute immerg6e) o
Soit partie
r = dim.A - dim.A/~ r
@l@ments
xl,...,x r
. D'apr~s le th~or~me 6, il existe une d'un syst~me de param~tres de
A
IVtelle que
ps
, of~ E
th.4 , le module dim.A/p
. I1 e n e s t
prop.5 ~
E
=
donc de m@me du module compl@t@ A
est
. ~ais, d'apr&s la prop.3 dim.
v@rifie
' = dim.E
Corollaire:
Soit
Cohen-Macaulay, tel que
A-plat),
on a
appliqu@e ~
n
un entier ~ 0
A
On serait encore plus content
est r@gulier,
Malheureusement, cf. Nagata);
Grothendieck
p'~Ass(E)
~ LAss(E)
p'~Ass(E)
est .
9
si l'on avait
p A= ~ p '
c'est faux en g@n@ral
c'est toutefois vrai pour les
anneaux locaux de la g@om@trie alg@brique plus g@n@ralement
, tout
. Si tout
, il en est de mGme &e tout
avec les notations du th.7. (mGme si
E
un module de type fini sur un anneau de
Cela r@sulte du th.7, combin@ avec la prop.15 Remar~ue.
E . D'apr&s la
, d'o~ le r@sultat.
E
et soit
dim.A/p = n
. De plus, d'apr&s le
est un module de Cohen-~iacaulay de dimension
(qui s'applique puisque
Ass
A/(xl,...,Xr)A
27
(th@or&me de Chevalley),
pour les anneaux "universellement
japonais" de
(EGA, Chap.IV, w 7) 9
C) D I ~ N S I O N
I HO~IOLOGIQUE DES ~IODULES NOETHERIENS
I) La dimension homo.logique d_'un module. Nous allons d'abord rappeler les d@finition d'Eilenberg-Cartan. Si
A
est un anneau commutatif,
(noeth@rien ou non) et si
~i
~ @l@ment unit@ diff@rent de
0
est un A-module non nul (de type fini
ou non), on appelle: dimension homologie ou projective (finie ou infinie)
dhi~i des entiers
de
M p
, la borne sup@rieure tels que
Ext~ (~,N) ~ 0
et
IV - 28 pour au moins un A-module
N
,
dimension injective de
M
, la borne sup4rieure
p
tels que
pour au moins un A-module
Ext~ (N,M) ~ 0
dimension homologique des entiers
p
~lobale de
tels que
diAM N
des entiers ,
, la borne sup4rieure
A
Ext~ (M,N) ~ 0
gldh A
pour au moins un couple
de A-modules. Dire que projectif
dhA(M ) = 0
c'est dire que
(resp. diAM = 0 )
des proprigtgs des foncteurs Si la suite
0---~
sup(dhAM',
on a: diAM
M
M'
)M"---~0
~ sup(diAM' , diAM" )
sup(dhAM ,
on a:
et si l'inggalitg
dhAM'+1 )
composition de
Proposition
16:
o = MoC M
, dhAM
MI ~ ~
Pour tout
rieure des entiers
p
A-module de type fini
N
... C
A-module
.
! stricte a lieu
9
sup
tels que
stricte a lieu
et si l'in4galitg
dhA M = dhA M' m@me, si
stricte a lieu,
;
di A M' = di A M" + I
dhAM" ~
est exacte, alors:
et si l'in6galit@
dhAM" )
directes
Ext~ (M,N) :
dhA M" = dhA M'+I
on a:
De
est
(resp. injectif).
Les inggalit6s qui suivent sont des cons6quences
dhAM ~
M
~n
=
M
dh A(Mi/Mi_ I)
M
ExtP(N,M)
,
diAM ~ 0
est une suite de ,
est la borne sup@pour au moins un
iv
Soit en effet l'in@galit~ si
diAM ~/ dM~
d~I ~ + oo Si
dM
d~
et l'@galit@ a lieu aussi manifestement dM
= 0 , EXtA1 (A/a_,M) = 0 a
(Cartan-Eilenberg,
bans
M
Chap.I)
fini: pour tout id@al
se prolonge & et
A
d M =
n
(n>0)
o o~
Q
M
9
D'oG
d M = diAM
Corollaire
et tout
est injectif
d ~I ( n
et montrons
il existe alors une suite exacte bu type
,)Q
d M = d N+I
M
A
diA~i -- d~i = 0 .
.----> o
est un module injectif et
ment aussi
de
:donc
Supposons maintenant le rgsultat prouvg si le si
29
cette borne sup@rieure. On a manifestement
. Supposons donc
homomorphisme de
-
, et
diAM = di A N+I
diAN = d N
9 On a manifeste-
(hypoth&se be r~currence).
.
(Auslander)~
gldh A = sup dh A
M , o_~ L
parcourt les
A-modules de type fini. En effet, si l'on b@signe par entiers
p
gldh A = Sup M,N =~up(~up N
o~
, on a l e s
N
M
M'
N
@galit@s: di A N =
N
d(M~N))= Sup (Sup d (M)N)) = Sup
et
la borne sup@rieure des
d(M,N) = Sup (Sup d(M,N)) = Sup
Mt
M
.... ~ A P (M,N) ~ 0
tels que
d (M,N)
N
dh A M'
,
M'
parcourent les A-modules,
M'
les A-modules be type
f ini. 2. Le cas noeth@rien. A partir de maintenant, rien et
A
sera de nouveau suppos@ noeth@-
M sera un A-module de type fini:
Alors
dh A M
est la borne sup@rieure des entiers
p
tels que
IV - 30 Ext~ (M,N) ~ 0
pour au moins un A-module de type fini
Eilenberg~ Chap.VI~ prop.25). Or~ tout composition oG
~i
0 = No ~
"'" C
Nn = N
est un ideal premier de
N
N (Cartan-
admet une suite de
telle que
Ni/Ni_ I
A/pi_
,
A 9 I1 en r4sulte avec lee nota-
tions du paragraphe precedent que, d(M,N)~.~Sup d(M,A/Pi) et que i dhA M ~ Sup d(M,A/~) oG p parcourt lee id6aux premiers de A P La proposition 21, Chapitre VI, d'Eilenberg-Cartan pent ainsi s '@noncer: P~pppsition 17;
b)
Lee assertions, suivantes sent @%uivalentes!
~ =x~~n+1 A (M,A/p_) = 0
p
pour tout id6al premier
de
A
D
c)
Pour toute suite exacte
telle %ue d)
Mo,...,Mn_1
0 ---)M n
M.
sont pro~ectifs,
l
Ext~(M,g)
Bien entendu type fini si
M
et
N
M
sont projectifs,
n
o
I1 existe une suite exacte
oG lee
) ...
o
) M~
est projectif.
) "'" P
L ~ 0
(Nakayama)
) M--~0
est exacte et donne naissance & la suite exacte: Tor1(P,k ) = 0, Mais
~
Corollaire:
)Tors(M,k ) = 0 - - - ~ N / m N est injectif et
Si
A
N/m_N
) P/raP et
N
)M/raM,
)0
9
sont donc nuls, o.q.f.d.
est un anneau noeth~rien et
M
un A-module de
type fini,
M
est pro~ectif si et seulement si pour tout ideal maxi-
mal
A
, Mm
m
de
est un Am-module libre.
R~sulte de l'~galit~:
dhAM = Sup dh A M m m m --
IV
Th~or&me 8:
- 34
Sous les hypotheses de la proposition pr~c~dente;
les assertions &ui suivent sont ~&uivalentes:
a)
dhAM ~ n
b)
~or A (M,~) p
e)
~orAn+1 (~I,k) = 0
9
o
-
si
I1 est trivial que
p ~
n
et si
a) ---~ b) ~
N
est un A-module
c) 9 Montrons que
o) ---'~.a):
en effet, il existe une suite ex~cte du type:
~n 0
~1~ n
les modules
~On-1 )IVln-1 - - ~ "'"
)l~Io . - - - - , ~ t~l
M ~ ~ M1, ..... , Mn_ I
~Po >0
o,J
sont libres. Soit donc
Z i = Ker ~ i
o ,,
L.
Ki
, _mK• i/m_2Ki_I
dans
_mKi_ I
est injective.
M , l'application
identique
de complexes
L
f
est in~ective t et identifie
K.
~ un
(comme A-module).
II faut voir que les
f
: K. --* L. I
Or, on a l e
applique
est une r4solution de
: L'application
facteur direct de
9 Nous ferons en
:
se prolonge en un homomorphisme
f
Proposition
K.=(K i)
est injectif.
l'application correspondante Puisque
Ko--*M
M , et soit
i
sont inversibles ~ gauche.
I
lemme suivant (dont la d@monstration
est immediate)
:
et
IV Lemme:
Soient
L
un homomorphisme.
deux
Pour que
g
soit inversible A gauche (resp. A droite),
g : L
, L' soit injectif (resp. surjectif).
I1 nous faut donc prouver que les On proc@de par r@currence sur
a)
i = 0
49
e_~t L'
il faut et il suffit que
A-modules libres, et so it
-
i
~i : Ki - ~ ~i
g : L--~ L'
sont injectifs.
:
9 On utilise le diagramme commutatif
Ko
g
Le fair que
)
~o
_i_~
Ko--~ M
~
.
soit injectif suffit ~ entralner r que
s
,> T,o
est injectif. b)
i ~
I
9 On utilise le diagramme commutatif
i
I
V
i-/- 2Ki-1 Puisque
fi-1 : K z - 1
de l'application
--
---~ L -,-1 9 f~i-1 :
> mLi-/m--2Li-1 est inversible ~ gauche, il en est de meme
--mKi-I/m--2Ki-1---+m--Li-I/m--2Li-1 ; vu la condition
(C i) , on en oonclut que la "diagonale" du carr4 oi-dessus est une application injective, d'od (par un lemme bien connu de th4orie des ensembles...) l'injectivit4 de
Ko
I
~~
I
.
IV - 50 Corollaire:
L'application canoni%ue
est inoective pour tout En effet,
i }
Hi(K , ~ k )
0
) Tor~(M,k)
Hi(K" @ k )
.
= Hi(K.) = Ki
et
Tor~(M,k) = Z i
corollaire ne fait donc que reformuler l'injectivit4
3.
Cas du complexe de l ' a l ~ b r e
A partir de maintenant,
Proposition de
3:
Soit
m , et soit
~
K. = K(~,A)
dant. Le complexe
K.
condition
(Co)
Ko = A
(el,...,
on prend
M = k
(Xl,...,Xs)
L = As
d :
, corps r@siduel de
A
e_~t (C)
du
nO 2
A
; soit
(el,...,es)
L __>
L
K~
> k)
9
~k
est bijective.
La
(C).
la base canonique de
L
et
Ki s'exprime alors de la mani@re
:
j=s
j=1 Le signe
L
9
le complexe de l'alg~bre ext4rieure correspon-
et l'application
~
.
un s~st~me minimal de g@n@rateurs
la base duale. On peut identifier
l'application bord suivante
(Co)
i
ext@rieure.
est donc v@rifi@e. Reste ~ v@rifier
Posons
~.
(muni de son augmentation naturelle
v@rifie les conditions
On a
=
de
; le
d@signant le produit int4rieur droit
(cf. B o u r b a k ~
Al~.III).
Iv
I1 faut maintenant expliciter et
m.K. i/m2Ki_1
alors
~
m_/m__ 2
-
; pour csla, on identifie A i-I ~
51
K
1
9 La formule dormant
devient
:
,j=s
i.0 |
/
(yu
ej)
j=1
avec des notations gvidenteso Comme les
x
ferment une
base de
m/m_2
pour tout
j , d'o~
7=0
,
3 l'gquation
Thgor~me.
~(~) = 0
gquivaut ~
La dimension de
y L e~ = O 0
TorA(k,k)
e~st
>/ (s) , avec
cqfd.
s = dim.m_/m__ 2
En effet, la prop.3, joints au corollaire ~ la prop.2, montre que l'application eanonique de
Hi(K . ~ k) = Ki
darts TorA(k,k)
est injeetive, et
Complgments. On a en fait des rgsultats beauooup plus precis (of. les mgmoires d'Assmus, Scheja, Tats cites darts la bibliographie) TorA(k,k)
:
est muni d'un produit (ls produit (~ de Cartan-
Eilsnberg) qui en fair une k-alg~bre associative, commutative (gauche) st ~lgment unit~ ; ses ~lgments de degrg impair sent de carrg nul. L'isomorphisme d'alg~brss ~
m/m 2 ~ : ~m_/m2
TorA(k,k) ~ TorA(k,k)
se prolongs done en un homomorphisme qui sst injectif (Tats) , ce qui
precise le theorems ci-dessus. L'anneau
A
est r@gulier si et seulement
si ~J est bijectif (il suffit meme, d'apr~s Tats, que l'une de ses composantes de degr~ >/ 2
soit bijective). De plus,
TorA(k,k)
est munie
d'un co-produit (Assmus) qui en fait une"alg~bre de Hopf". On peut done
9
iv
-
52
lui appliquer les th@or~mes de structure de Hopf-Borel i en particulier, cela rend @vidente l'injectivit@ de ~ 9 On obtient @galement des renseignements sur la s@rie de Poincar@
PA(T)
Par exemple
= ~i~-6 ai Ti
(Tate, Assmus)
seulement si
PA(T)
'
A
P.(T)
o~
al
est une
est de la forme
de
=
TorA(k,k)
:
dim.TorA(k,k)
"intersection compl@te"
(I+T)n/(I-T2) d
, aveo
si st
n,d g N
i
pour d'autres r@sultats analogues, voir Sc~eja. Signalons toutefois que l'on ignore si
PA
est tou~ours une fonction ra~ionnelle. ~ o m p a r e r au
probl~me topologique suivant, @galement non r@solu fini simplement connexe, et soit ~A son Poincar@ de ~
: soit
X
un complexe
espace de lacets ; la s@rie de
est-elle une fonction r a t i o n n e l l e ~
Iv-53
APPEND
9
I C E
II
#
POSITIVITE
#
C.~:tACTI~ItlSTI~I'ES D' !gJLER-POINCARE NJPI~I~_IRES
DES
On se place darts le cadre des s4ment, soit
C
categories
une cat@gorie ab@lienne munie de
du foncteur identique dams lui-m~me commutent deux ~ deux. Tout objet morphismes
xi(E ) .
sous-cat@goris pour
de
C
~
des objets de
~
et
Hi(x,E )
attache (d'apr~s Grothendieck)
D ~
si
est une suite exacts darts D E' - E"
de
L(D)
~
xi~E).. = 0
, que nous 4crirons
K(~,E)
K
.
se d4finit
Hi(~,E )
sont
autrement dit,
xi
caract4ristiques 9 Rappslons
un groups
O
~ E'
d'Euler-Poincar4
d'abord comment on
K(D)
9 On forms d'abord le groups libre
par les 41~ments de
E-
tels que
la
"
consid4rer les
fabriqu6es au moyen des
~
; en dehors de ce cas, on aura
, annul4s par tous lss
On va maintsnant
D
E
, le complexe
~I
xi
I
on notera
[1,n]
J . [2,n]
C
morphismes
est doric muni d'en~o-
C
; ses groupes d'homologie
ce sont des 416ments de
ab41ienne
de
--
= ~
est un objet de
de mani~re 4vidente
E
J~I
n
Plus pr6ci-
~ on suppose que les
form6e des objets
J = I
oonsid4rer
E
Si
. On a
i & J
Si
ab41iennss.
) E
~ touts oat4goris L(D)
engendr~
)E"
, on lui associe l'~l~msnt Is groups
K(D)
est le quotient
) O
!v-54 de
L(~)
par le sous-groupe engendr6 par les 414ments pr4c~dents
(pour toutes les suites exactes possibles). Si [E]
son image dans
sont dits
K(~)
~ les ~l~ments de
positifs~ ils engendrent
K(~)
E E ~ E(~)
, on note
ainsi obtenus
; la somme de deux
~14ments positifs est un 414ment positif.
Tout ceci s'applique aux categories soit
E @C
; on a
~
Hi(x,E ) G C I
, et la somme altern4e :
o
+
-
a un sens dans le groupe cette caract~ristique
. En particulier,
K(~I)
Hi
. . .
. On peut done se demander si
est > O
(au sens d~fini ci-dessus).
Nous allons voir que c'est bien le cas si
~
v~rifie la
condition suivante s
(N) - Tout
E E C
v4rifie la condition de chalne ascendante
(pour les sous-obje_ts). Autrement dit :
Theor~me E ~ C
Si
C
et tout
(~)
v~rifie i >10
,
Cas
n
=
I
=
>i
o
pour
~ut
n
9
.
Pour simplifier, on ~crit Ho (x,E)
;[•
.
D~monstration par r~currence sur a)
on a
Coker.x(E)
x et
au lieu de HI(X,E )
x] =
9 On a Ker.x(E)
9 On dolt montrer
Iv-55 E) =
que la diff4rence darts
K(CI)
et soit (N)
Nm
, lee
[Coker.x(E)~
9 Or, soit
xm
la
le noyau de
xm
; lee
N
-
OCer.x(E)]
est ~/0
m-i~me puissance de N
m
x
(m=1,2,...),
vont en croissant 9 D'apr~s
finissent par s'arr~ter ; soit
N
leur limits,
m
et soit
F = E/N
9
On a une suite exacts
0 -----> ~;
L'endomorphisme
x
>E
> F
est nilpotent sur
>0
.
N , st injectif sur est
(imm4diat). D'autre part, on voit tout de suite que additif on a
i.e.
~(F)
%(E)
=
= ~(N)+
~(I~)
[Ho(X,F)] >/ 0
.
de composition dont lee quotients successifs x/ on a alors
~(Qi)
= 0
, d'o~
~(N)
Ker.x(F) = 0
Puisque
9 D'autre part,
= ~
admet uns suite
N
Qi
F
sont annul4s par ~(~)
= O
, et
finalement on trouve :
,,Z(F)
=
b)
Passage .de
n-1
~
n
9
Avant de fairs la d@monstration, remarquons que une fonction
additive
de
E
; par d~finition de
d@finit donc un homomorphisme de que l'on notera encore ~ On utilise la prop. une suite exacts :
K(C)
dane
K(CI)
= ~o K(C)
est
, ells
, homomorphisme
.]
I de A)
9 D'apr~s cette proposition, on a
IV-56 en notsmt
x'
la suite
(x2,...,Xn)
. On notera que les
!
appartiennent ~ la oat@gorie
Hi(~',E ) = H i
Si l'on passe darts K(CI)
~
d@finie ci-dessus.
, on peut donc @crire: !
!
[Ho(XI,Hi)~
+
[HI(XI~Hi_m)~
On en d~duit :
!
+
,
(- 1)m( [Ho (x 1,Hi+m
1(x 1,Hi+m
m=O !
+ ~i
(-I)m ~(x1,Hi+ m)
!
!
en posant
~i
= ~(-1)m
[La notation
[H'i+m~
~(xl, ~'i )
"
a un sens, en vertu de la remarque
faite plus haut.~ !
Par hypoth~se de r@currence, K(~)
~ or, d'apr@s
pos~tif ~e
K(~)
a)
~i
est un @l@ment positif de
, l'op@ration ~
transforme un 41@ment
e~ un +1~msnt positlf ~e
K(_CI)
, ~o~o
!
lement positif, on en d@duit bien que
~i(x,E)
~
0
, c.q.f.d.
)
IV-57 Exemple.
Soit
A
un anneau local noeth~rien,
un syst~me de param~tres
de
A
, et soit
C
soit
la ca t egerle des -
A-modules de type fini (munie des endomorphismes xi)
9 La cat~gorie
par les
xi
CI
est la catggorie des
de
K(CI)
su__~r
Z ~
d6finis par les
A-modules annul~s
; on v~rifie tout de suite que la
un isomorphisme
xl,...,x n
l on~ueur
, compatible
dgfinit
avec les rela-
tions d'ordre. Le thgcrSme ci-dessus fournit donc le rgsultat
Si
E
est un
~ i (E)
l~emarque. i(E)
= O
Toutefois,
A-module de t~rpe fini, l'entier
=
~(Hi(x,E))
-~(Hi+I(X,E)
Dans le cas de l'exemple ci-dessus, entralne ~
Hj
la seule d~monstration
est assez compliquge
: O
pou
)
:
+ ..
est
~
on peut prouver que j
i
.
de ce fait que je connaisse
(elle consiste ~ se ramener au cas od
est un anneau de sgries formelles
suivant :
A
sur un a~neau de valuation
discrete ou sur un corps). J'ignore
s'il existe un gnoncg analogue
dans le eaare des catggories abgliennes.
0
.
V-I
CHAPITRE V.
LES MULTIPLICITES
l
A) LA MULTIPLICITE D'UN MODULE
I.
Le groupe des c~cles d'un anneau. Si
et
V
A
est un anneau (commutatif, ~ @l@ment unit@, noeth@rien)
l'ensemble de ses id@aux premiers, on appellera c~cle de A tout
@l@ment du ooToupe ab@lien libre
Z(A)
engendr@ par les @l@ments de
Un cycle sera dit positif s'il est de la forme
et
)
Z =~Z(~).
V .
p, avec p e V
o Le cas g@n@ral se ramenant directement au cas "local", nous
supposerons dor@navant l'anneau notera alors par
Z (A) P
local et de dimension
le sous-groupe de
id@aux premiers de cohauteur directe des sous-groupes
A
p
dans
Zp(i),
A
Z(A)
. On
engendr@ par les
. Le groupe
0 ~ p ~ n
n
Z(A)
est somme
9
Les cycles sont reli@s aux A-modules de la mani&re suivante: Soit
K (A) P
dim~l~ si si
la cat@gorie ab@lienne des A-modules
p,
K(A)
la cat@gorie de t o u s l e s
0 ---@ ~i ---~ N ---3 P ---3 0 M
et
P
appartiennent ~
longueur
A
de cohauteur
finie
A-m0dules. Ii est clair que
Kp(A),_ alors
p
tels que
est une suite exacts de
Dans ces conditions~ soit premier de
M
~
Kp(A)
N@Kp(A)
Mq
et
.
, et soit
. Alors le module
K(A)
sur
q_ un id@al Aq
est de
~(~.lq_) et cette longueur satisfait manifestement
la propri@t@ suivante: si
0 = M
O
C
...C~
1
C...CM
S
= ~
est une suite de composition de
V -2
dont les quotients mier de
A
Mi/Mi_ I
sont de la forme
, alors il y a exactement
9 On ~orira
~q(M)
Soit donc
k_
A/~
, ~
ideal pre-
quotients de la forme
pour
z : Kp(A) --~ Zp(A) ~(~q) q_
la fonction telle que
9 I1 est clair que
zest
une fonction
coht q_ = p
additive d~finie sur la cat~gorie crdcnn~
Zp(A)
. La fonction
est nulle sur
nulle sur
"se factorise par z" ; ou encore toute
K (A) , ~ valeur d~ns un groupe ab~lien ordonn@, P
et prenant des valeurs positives A
est int~gre,
tifie au ran~ du A-module
2.
prend des valeurs positives et elle
il est clair que toute fonction additive sur
Kp_I(A )
fonction additive sur
Si
et ~ valeurs dans le groupe
Kp_I(A )
R~ciproquement Kp(A)
z
K (A) P
La multiplicit~ Soit
m
M
sur
Kp(A)
Zn(A) ~ Z =
se factorise par
pour
z
n = dim A , et
.
~
s'iden-
.
d'un module . l'id~al maximal de l'anneau local
A
et soit
a m
un ideal
~-primaire.
Hilbert-Samuel dimAM oG
Alors, pour tout A-module
P a (M,X)
M
, le polynSme de
d~fini au chapitre II est de degr~ ~gal
9 En outre son terme de plus haut degr~ est du type
r = dimA~
et oG
L'entier l'id~al primaire
e
est un entier > 0 est, par d~finition,
a
9 On la notera
ea(M )
e.xr/r!
. la multiplicit~
de
; plus g~n~ralement,
M
pour
v-3 p M
~tant un entier positif et E Kp(A)
M
d
un module tel que
L p
, on posera
fe(M)osiSi
dimAM = p
dim~
II r~sulte alors des propri6t@s d@montr~es e (M,p)
est une fonction additive sur
et donc que l'on a la
ea(M,p) --
Kp(A)
formule d'additivit4
< p
au Chapitre
II
, nulls sur
que Kp_I(A)
:
~!L(M) ea(A/q,p)
~ coht q--p !
J
#20
e
coht !L ~ P
En particulier Si
_a = m
,
A
A
est int~gre, on a
ea(l~) = em(M)
En particulier Si
si
em(A )
Chapitre IV . Inversement
multiplicit6
multiplicit~
sa multiplioit@
9
a
sst appel4 la
est la
est r~gulier,
e (M,n) = rg(M) e (A) M 9
de l'annsau local
est ~gale ~
si la multiplicit~
de
de
A
A
9
I , d'apr@s le est ~gale ~
I ,
A
et si
A
est int~gre
on peut montrer que
A
est r~gulier
un exemple de Nagata montre qu'il ne suffit pas de supposer Enfin supposons que
_a
soit un id4al de d4finition de
dire qu'il soit engendr~ par que nous noterons
hi(x,M )
41~ments
Xl,...,x n
A
int~gre.
A , c'est-~-
, formant une suite
x 9 On sait, d'apr~s le Chapitre IV, qu'alors le
i-~me groups d'homologie finis
n
(Smmuel, Nagata)~
pour tout
du complexe de Koszul A-module
KA(x,L~)
est de longueur
M , st que l'on a la formule
:
v-4 n
(-I)i
ex(M,n ) -- 7" -i=o l'id@al
M)
(xl,...,Xn)
, oG l'on d@signe par la mSme lettre
et la suite
xl,...,x n
X
.
/
B) LA MULTIPLICITE D' IN2ERSECTION DE DEUX MODb~LES I.
La r@duction ~ la diagonale. Soient k
un corps commutatif alg@briquement
deux ensembles alg@briques de l'espace affine la diagonale de l'espace produit est @videmment isomorphe & (U N V) N A
~
U~
V
An(k )
clos,
An(k)~k
n
An(k) x A n ( k ) ~ A 2 n ( k ) et l'isomorphisme
. Les "g@om~tres"
U
et
, et . Alors
V
/x /~
identifie
se servent couramment de
cette situation pour ramener l'@tude de l'intersection de
U
et
V
l'@tude de l'intersection d'un ensemble alg@brique avec une vari@t@ lin@aire. Or, au stade actuel de son d@veloppement,
l' "alg~bre"
est souvent une transcription de r@sultats et malheureusement de m@thodes "g@om@triques".
aussi
On en a vu un exemple pour le th@or~me 7
du Chapitre III (Dimensions d'intersections
dans les alg~bres de
polynSmes). En particulier dans le lemme 2 il "faut" consid@rer que A~k
A
est l'anneau des coordonn@es de
A / p ~ k A/q_ U
Y V
et
(U ~ V) ~ ~
et ~(U et
( A ~ k A)Sd
An(k ) ~ An(k)
sont les anneaux de coordonn@es de
et
V
irr@ductibles).
L' "isomorphisme"
U ~
V
s'exprime alors ~ peu pros de la mani&re
suivant e :
(I)
A/p ~ A
oG l'on identifie
, que
A A
A/q_ ~ ( A / p @ k A/q_) ~ A ~ A
et
( A ~ k A)/d
9
de
v-5 Cette formule d'associatlvit~ se g4n@ralise ainsi: soit A
une alg~bre commutative avec ~l@ment unit~ sur un corps commu/
tatif N
k
(non n4cessairement alg~briquement clcs)! soient
deux A-modules,
engendr@ par les
B
la k-alg~bre
a @I
- I ~a
est une k-alg~bre isomcrphe ~ que
A
A~ k A
, A
a ~ A.
Alors
l'id@al de
B
( A ~ k A)/d
et on consid@rera toujours
(Cartan-Eilenberg, Homological Algebra IX 2.8):
Ainsi, si
d ) Ln
est une r@solution (M,N)--~
n ,, ..-
( A ~ k A)-projective de
( M ~ k N) ~ B
L.
particulier variables KB((xi@
si
Xi
A
sur
w~
I - I@Xi),B
A
)0
, le bifoncteur
est "r4solvant", i.e.
k[X 1,...,Xn] K
)A
) Lo
tifie aux modules d'homologie du complexe
(3)
d
et
est muni par cet isomorphisme d'une structure de B-module.
D'oG la formule
ce
et
M
TorA(M,N)
( M ~ k N) ~ B
L..
s'idenEn
est une alg~bre de polynSmes en
, on salt que le complexe de Koszul )
est une r4solution libre de
A
, et dans
cas"
TorAn(M,N) ~'~"H n ( K B ( ( x i ~ On retrouve que
I - I ~ X i ) , M ~ k N))
k[XI,...,X n]
est r~gulier!
Dans la suite~ la r~duction A la diagonale interviendra par l'interm@diaire de la formule (2) convenablement g@n4ralis@e. Dans un premier pas on peut, par exemple~ supposer que
k
n'est pas n@cessairement un corps mais un anneau oommutatif avec 41@ment unit4, et que
A
est k-plat. La formule (2) est alors rem-
plac~e par une suits spectrale (Cartan-Eilenberg, XVI, 4, 2 et 3) :
n
V-6
En particulier Koszul
KB((xi @
form~e de
n
si
A = k~1,...,Xn]
I - I @Xi)
, B)
, le complexe de
est une r~solution libre de
termes et on retrouve l'in@galit~
(k
A
est suppos@
noeth~rien): dh A = d h ( k ~ X l , . . . , X j ) R@ciproquement, finie
~ dh k + n
si
k
est de dimension homologique
m , il existe un k-module
tel que
Tor~(~,~
comme A-module,
~ P ~
les
X.
simple
0 . Le module annulant
M
globale
M (voir Chapitre IV, C) ~
peut alors ~tre consid@r~
. D~s lors
l
T~
m
A) ~ Hn(KB((xi @
d'apr~s le Chapitre IV, A.2.
~ - I @
D'oG
Xi) , P)) = P
Tor~+n(M,M )
cause du "principe du cycle maximum",
et
,
~ Tor~(M,M)
dh A ~ dh k + n
.
Ainsi trouve-t-on de "jolis" r~sultats d~s que l'on a un "bon" anneau de base sur
k
. Si
A
k
et que l'on prend des produits tensoriels
est un anneau commutatif quelconque,
en ses id@aux premiers,
on complete ces localis@s et, si ces locali-
s@s ont mGme caract@ristique
que leurs corps r~siduels
tiennent un corps de Cohen qui joue D, 2). ~ahlheureusement complet
A,
A~k
A
si
k
k
(volt Chapitre IV,
est un corps de Cohen de l'anneau local
du paragraphe
suivant.
Produits tensoriels compl@t@s . Soient
A
le rSle de
, ils con-
n'est plus noeth@rien et il faut apporter
notre m@thode les perturbations
2.
on le localise
et
B
k
un anneau commutatif noeth@rien A @l@ment unit@,
deux k-alg~bres unitaires,
commutatives
et noeth@riennes,
v-7 M
(resp. N)
filtration oG
~
B/~
et
un A-module (resp. B-module) de type fini muni d'une (Mp) 2-bonne (resp. d'une filtration
~
dgsignent des idgaux de
A
et
B
(Nq) n-bonne), tels que
soient des k-modules de longueur finis. D~s lore
N/nqN --
et
couple
N/N q
et
M/~PM, M/Mp,
sont des k-modules de lonm~ueur finis pour tout
(p,q) d'entiers naturels. On munira ces couples de l'ordre
produit gvident dane
N ~ N
.
I1 est alors clair que pour tout entier naturel Tork(M/Mp, N/Nq)
i
, lee
peuvent ~trs munis d'une structure de syst~me
projectif de modules et on d~finira lee (5)
A/~
Tor-compl@t@s par la formule:
Tork(M,N) = ~im(,,q) Tork(14/Mp, N/Nq)
Pour
i = 0 %
, on obtient le produit tensoriel complgtg:
N =
k
Lee groupes ab41iens ainsi d~finis out lee propri4tgs suivantes: a) Si l'on dgsigne p a r (M,N)
Tork(M,N)
le groups gradug
lee structures de modules gradu~s sur lee
i =0 anneaux gradu~s
Tork(A/m.p, B/n q)
des
Tok(M/Mp,NI)d@finissent
une structure de module gradu@ sur l'anneau gradu@ Tor k(A,B)
9
b) Le module choisie pour
ne d~pend pas de la bonne filtration M
ou
N
,mais seulement de
du des id~aux maximaux de
A
et de
B
Met
contenant
de N (st bien entenm
et
~).
V-8 c) La diagonale de
N W N
formant un sous-ensemble cofinal,
il suffit de prendre la limite projective sur cette diagonale: (6)
Tork(N,N) ~ .~im P
Tork(~I/Mp, N/Nq)
De la m~me mani~re on peut prendre la limite d'abord suivant
p
, ensuite suivant
q
:
:rork(~IMp, P
--
q
m
Tork(~I/Mp, N/~q)
~im % P
q
(Propri~t4s des syst~mes projectifs sur des produits d'ensembles
ordonn~s.) Ces assertions rendent possible 1 utilisation des m@thodes du Chapitre II. d) Les applications cancniques de
M ~k N
M/Xp
dans
induisent des applications
M ~k N
(
~lim (M/Mp)~k (lim N/Nq)
~ --
M%
A
et il est clair que pour la topologie e) L'anneau
M~ k N
s'identifie au compl~t~ de
M~ k N
( m ~ k B + A ~ k n_n)-adique.
A ~k B
est complet pour la topologie
r-adique, oG
^
r-- m ~ B
+ A %
net
les
or
M,N)
9
/%
la topologie r_-adique. Comus en outre et que
(M~kN)/r.(M~ k N)=
sont des modules complets pour (A@kB)/r = (A/m) O k (B/n)
(M/_mM)~k (N/nN)
, le corollaire 3 A
A la proposition 6 du chapitre II s'applique et
A~ k B
est noeth~rien
v-9 et
M~
N
est un
( A ~ k B)-module de type fini.
D'autre part la formule bien connue
montre que
r
est contenu dans le radical de
maximaux de
A@ k B
f) Si
)M'
0 ~
correspondant ~ ceux de )M
) M"
)0
I 1-x
= 1+x+x2+...
A~ k B
et les id@aux
(A/m) ~k(B/n)
9
est une suite exacte de
A-modules de type fini, les suites exactes 9 ..
) Tork(M/mPM,N/nqN)
) Tork(M"~m_PM",N/n_ qN)
) Tork_1(M'/~' ~ m_.PM, N/nqN)
)
J
.-.
se remontent en une suite exacte ) Tor (M,N)
) Tor (M",N)
~ Torn_1(M',N)
On a en effet la propri~t@ suivante: : (Pi) ~
et
(P") -
si
) ... T
: (P~))
(Pi)
sont deux morphismes de syst~mes projectifs
i
de k-modules sur un ensemble ordonn~ inductif, si les
P!
sont des
1
modules artiniens, et si les suites
p:z ~im
Ti ) P'z P:z
p
) z
)~im P.z - - ~ ~im P"z
g) Supposons maintenant que et supposons que ~a1~...garl tels que
sont exactes, alors la suite
M
k
O. ~ i ~ r-l, a
r
@l@men~
du radical de
ai
ne soit pas diviseur de z@ro dans
M/(al,...,ai) M
= 0 .
N
n
k
O
Je dis qu'alors de le voir quand
soit un anneau r@~ulier de dimension
consid@r@ comme k-module, admette une M-suite
~ i.e. qu'il existe
ai+ I
est exacte.
Tor~(M,N) = 0
pour
i ) n-r
. I1 suffit
est un k-module de longueur finie~ puisque
,
V-tO Tor~(M,N) = ~im Tor~(M~N/q n N) 0
~ M --~M
Tor
) M/a I ~
N~N) ~ 0
si
i >
n
.
) 0
donne
, jointe au fait que la suite exacte:
~ ~or~(M,~) at,,,,> ~o,~(M, ~)
o
Mais une puissance de
aI
annule
~ensuit ~ue ~o~(M,~) ~ 0 pour
. La suite exacte
r = 1
9 Si
r ) I
N
,donc
aussi
Tor
N~N
9
I1
, ce qui d~montre notre assertion ^
, on a
k
, d'o~ la suite
Torn(M I _ ,N) = 0
exacte: 0 ~
^
~ornk_1(I~,N)
k
a1~ Torn_ I (~i,N) , etc...
Dans les exemples que nous utiliserons, toujours une A-suite form~e de que
Tor~(M',N)
le foncteur fonoteur
M
= 0
M
si
M'
N
A
aura
~l~ments. I1 en r@sultera
est A-~ibre et
)Tor~(M,N) >M~
n
l'alg~bre
i >
0
. Darts ce cas
est le i-~me foncteur d~riv@ du
. On en d~duit que
Tor
M,N)
est un
A
A ~ k B-module de type fini. Le monstre qui vient de na~tre nous servira dans les deux cas particuliers
a) k
suivants:
est ~ corps, A-~B -~ k[Lxl,...,xJJ ^
Dans ce cas les
k
Tot.
sont nuls pour
i ~ 0
. En outre,
i A
A~kB
e s t isomorphe & l ' a n n e a u des s g r i e s f o r m e l l e s
C "~- k [IX1,...,Xn,
YI''" "'Yn ~
" A
Si
p
est un ideal premier de
est un ideal premier de miers de
A
C
qui passe par
nes maximales de
C
; d'of~
A
, il est clair que
et toute chaine maximale d'id~aux prep
se prolonge facilement ht A p = h t c ( P ~ k B) - n
en des chai, et plus
V-I I #%
g@ngralement
:
dim M ~
N = dim M + dim N
Si maintenant id4al primaire de par la graduation L% @ k
B
~
estun
id4al primaire de
, on graduera l'alg~bre
somme9 On notera
B + A ~ k q_'
de
C
s
A,
~'
un
G ( M ) ~ k G ,(N)
l'idgal primaire
. Alors l'application
de
M~
N
dans
A
M~ k N
induit manifestement
un homomorphisme
G(M) @k a_,(.) ---$ %_(M|
)
Samuel a d@montr@ que c'est un isomorphisme que
d'anneaux gradugs:
et il en r@sulte
es(M~)N ) dim M + dim N) = eq_(M) dim M).eq_, (N) dim N)
.
Enfin si
)K
...
n
) ...
)K
)9
)L
0
)M
~.o
)N
)o
et
)L
...
sont des r4solutions est manifestement En particulier
n
0
A
et
B-libres de
K p @ A L q = ( K p ~ k Lq) |
k
k
A
~ ~TorAi(~,,N)
et
~
~
N ) (N(Kp~kLq)
M~kN
c/i , oh
4galit4s , d'oh la formule de r@duction
~, A)
Tor~(M ~ k
A ~-B _:2 k [LXI)...)Xn~
d@signera un g@n4rateur
d@signera le corps r4siduel
de l'id@al maximal
k/~gk
.
Dans ces conditions %^
o :
:
;Y1,...,
_A : A/~' A : _k [[~X1,...,Xn]
]
U]]
, '
A
(~|
N)/~'(M|
A
P+q = n
9
au C-module
est un anneau de valuation dis or.~te~ La lettre
de
A
, on a l e s
d = (X I-YI ' "" " 'Xn-Yn)
b)
et
une r@solution C-libre de
si l'on identifie
la diazonale:
M
N) ; M / ~ |
N/~N
.
V-12 II en r@sulte que si ~ on a dim M ~ k
n'est pas diviseur de
0
dans
M
et
N
N = dim M + dim N - I
Enfin, r@solvant C-rgsolution projective
M
de
et
N
comme dans
A = C/~
a), et prenant une
, on aboutit & une suite
soectrale:
La suite d~g~n~re
3.
si
~
ne divise pas
0
dans
M
ou
N
Anneaux r~guliers d'g~ale caract~risti~ue. Le monstre gtant avalg, nous allons essayer de le diggrer.
Pour cela nous allons d'abord scruter le cas particulier a). Dans ce cas le complexe de Koszul de
A = C/d
KC((xj - Y j ) ,
9 On en dgduit que, si
A-modules de type fini, les d'homologie
M
TorA(M,N)
du complexe de Koszul
C) et
est une r~solution libre N
dgsignent toujours deux
s'identifient
KC((xj - Yj)' M ~ k
aux modules N)
OU
~or~(~,~) ~-Ei(KC((xj - Yj), .M~k ~)) Le th~or~me I du Chapitre IV s'applique & ce oomplexe de Koszul 9 et on trouve en particulier S_~i M ~ A N
le r~sultat
est un A-module de longueu r finie,
suivant: les
TorA(M,N)
de longueur finie et la car actgristiclue d'Euler-Poincar~ i=n est ggale & la multiplicitg
(-I)i s (~orA (M,N))
i=0 A
ed ( N @ k
N, n)
~(M,~) ~
o
du C-mo,d.~l~
~(M,H)
!
. Ainsi
,
dim A M = dim A N = dim C M ~ k N ~ n et
pour l'id4al
M@ k N
= 0
si et seulement
, si
dim A M + dim A N
< n
9
sont
V-13 Ce r4sultat se g@n@ralise facilement qux anneaux r@guliers de la g@om4trie alg@brique. D'abord il est clair que tout anneau r4gulier
A
int~gres
(un anneau noeth@rien A tel que, pour tout id@al premier
A
est produit direct d'un nombre fini d'anneaux r@guliers p,
soit int~gre, est produit direct d'un nombre fini d'anneaux in-
P
t~gres). Si
A
A
est int&gre, on dit que
si, pour tout id@al premier
p,
A/~
et
est d'@gale caract@risitique, A
ont m~me caract@ristique.
A sera dit d'4gale caract4risti%ue
Nous conviendrons qu'un anneau r@gulier
si ses "composantes int&gres" sont d'@gale caract@ristique, ou encore si, pour tout id@al premier
~
, l'anneau local
A
est d'@gale ca-
ract4ristique. Th@or~me I: M
e_!t N
de
M~A
Si
A
estun
anneau r@~ulier d'@~ale caract@ristique,
deux A-modules de type fini et N
~
un id@al premier minimal
, alors
i=dim A
(I)
[ -
>
0
i=0
(2)
dimA
M
~)
Enfin on a
q_ q-
+ dim A
~(M,N)
N
q_ q-
0,
on a l e s
~
~q(M,N)
A ~>A--->A
0
est de dimension homologique
9
sur
A
>0
et que
, et
~ /~ N
ensemble des ~l~ments de
N
aunul~s par 3"c .
La suite spectrale se "r~duit" donc ~ la suite exacte :
...
--~
A Toq_
I(M,~ ~ ) - - - ~
~o~
(M,~) A
,o~ %A(M,~)
~.-.
= ~ AC~,~I~N)
Mais nous supposons que % A(:I,N)
~N =
-- 0
montre que
:
donc
Z A(M,NI~ )
~im-~ + ~i~,/~ ~ L n
>~
0
,
V-I 8 et l'in~galit@ stricte a lieu si st seulement sl Comme
dim A M = dim A M,
et
di~
N/~N
~A(M,N/~
= dim A N / ~ N
N) = 0
-- dim A N - I,
la propri~t~ est d@montr@e.
~)
~
annule
M
et
N :
Consid~rant toujours
K
comme A-module,
N
comme A-module,
la suite spectrale reste valable et donne:
~A(~,N)
=
~A_(~,NI.~ N)
~ais dane ce cas
_
A_(M, ~rN)
~
N/~
N = ~N
.
= N
et
~A(~I,N) = 0 !
il
suffit donc de v~rifier que
dimA M + dim A N = dim A- M + dim A N
Mais comme
est un A-module de longueur finie, et
M .~@A N = M ~ A N
que le lemme est d@montr@ pour
A
, on a
dim ~A M + d i m ~A N ~
< n + I o
n
,
c .q.f.d.
6.
Anneaux r~guliers ~uelcon~ues ~ On ne salt pas encore @tendre ~ ces anneaux lee propri~-
t@s (I) st (3) du th@or~me I. Par contre, on peut d@montrer l'in@galit~ (2)
(la "formule des dimensions" de la g@om@trie alg~brique).
De fagon precise: Th~or~me 3:
Soient
premiers de
A,
contiennent
~
+ q htA P
A
un anneau r ~ u l i e F ,
un ideal premier de
. On a + ht A q
A
et
q
deux id@aux
minimal parmi ceux qui
alors: ~
ht A r
En localisant par rapport local
A
p
~,
et en compl@tant l'anneau
on voit qu'il suffit de consid@rer le cas oG
A
est un
r
anneau local r~gulier complet d'id@al maximal
r
. D'apr~s un
V-19 thgor&me de Cohen (voir Samuel, Al~&bre local~), forme
AI/aA I
, oG
AI
est de la
est un anneau de sgries formelles
anneau de valuation discrete complet Si l'on consid~re alors dgmontre comme d~ns le cas d'oG
A
dim A/~ + dim A/~
k
9
A/p
et
A/q_ oomme As-modules , on ~AI(A/p, A/q_) ~ 0
~) du N ~ 5 que
( dim A I
dim A/~ + dim A/~
sur un
et , c.q.f.d.
dim A = (dim At) -I
Signalons aussi le r~sultat suivant: Th~or~me 4: M
soient
Soit et
N
A
un anneau local r ~ u l i e r
n ,
deux A-modules de type fini non nuls tels ~ue
soit de longueur finie, et soit tel ~ue
de dimension
A
/ 0
i
le plus grand entier
. O n a alors:
i
i = dh(M) + dh (N) - n D~monstration
tel que le
"Tor triple"
Tor~(M,N,k)
Tor~ (Tor~ ( M , N ) ~ k ) ~
Tor~(M,N,k)
= O
si
Done
Tor~ (M,N)
r = n + i
j ) i + n
TorAp+q(M~N;k) ,
0
0 t
et que ,
est un A-module non nul de longueur finie.
9
b) La suite spectrale montre que
le corps r~siduel de
le plus grand entier
soit ~
Tor~+n(M,N,k ) = Torn(Tor A Ai (M,N),k) # puisque
k
de deux fagons diff~rentes
a) La suite spectrale montre que
Soit
(d'apr~s Grothendieck):
On va d~terminer
.
Tor~(M,Tor~
r ~ dh(M) + dh(N)
"principe du cycle maximum").
(N,k))---~ Tor~+q(M~N~k)
(on applique encore une fois le D'oG
n+i = dh(M) + dh(N),
c.q.f.d.
r
A.
V-20 Corollaire: que
Les hypotheses
Tor~(M,N)
= 0
pour
@tant celles du th4or~me 4, pour
i } 0
, il faut et il suffit que
soie~ des modules de Cohen-Macaula~ On peut @crire l'entier vante:
et %ue
M
et
N
dim M + dim N = n
i du thgor~me 4 sous la forme sui-
i = (dh(M) + dim M - n) + (dh(N) + dim N - n) + (n - dim M - dim N) = (dim M - codh M) + (dim N - oodh N) + (n - dim M - dim N)
.
Or~ chacun des termes entre parentheses les deux premiers,
est
~
0
(pour
d'apr&s le Chapitre IV; pour le troisi~me,
d'apr&s le th~or~me 3). On a donc
i = 0
, si et seulement
si
chacun de ces termes est nul, d'oG le rgsultat cherch@. Remar~ue: on a
Lorsque les hypoth&ses
~(M,N)
=
~(M ~ A N)
vraie. Plus ggngralement, "caract4risti%ues
~r(M,N)
=
sont
0
~
, et que
(-I)i
on peut conjecturer
~r = 0
que routes les
r = 1,...,n
si et seulement si chacun des
d'apr&s Auslander-Buchsbaum.
~ ( M ~ A N) )
Tor~+r(M,N )
C'est en tout cas vrai dans le cas d'g-
pourquoi la dgfinition des multiplicit@s (au moyen de
est
partielles"
~(Tor~+ r (M,N)),
est nul,gf. Chap. IV, App.ll. gale oaractgristique,
sont satisfaites,
; il e st probable que la r4ciproque
d'Euler-Poincar~
2
du corollaire
d'intersection
me donne un r@sultat
lorsque les vari@t4s sont localement
Cela explique
"correct" que
de Cohen-Macaulay
exemples construits par GrSbner lui-m~me).
de GrSbner
(voir les
V-21 J j f C) RACCORD AVEC LA GEOMETRIE ALGEBRIQUE
I.
Formule des Tor. Soit
X
une vari~t~ alg~brique,
simplifier, nous supposerons que irr~ductible. de
X,
que
N
N
de
Soient
U, V, W
k
d~finie sur un corps est alg~briquement
trois sous-vari~t~s
~tant tune ccmposante irr~ductible de
soit simple sur
k
. Pour
clos, et
X
irr~ductibles
U~V
. Supposons
X (_ _ rencontre l' ouvert des points simples i.e.
X )! il revient au m~me de dire que l'anneau local
A
de
X
en
est r~gulier. On a alors (cf. w B, n~ (I)
dim U + dim V
~
dim X + dim W
.
Lorsqu'il y a 4galit~ dans la formule ci-dessus, on dit que l'intersection est propre en ment en
W
(ou encore que
U
et
V
se coupent propre-
W ).
Soient
~U
et
~V
les id6aux premiers de l'anneau local
correspondent aux sous-vari4t4s r~gulier,
et
A/(~U+~V )
La caract~ristique
U
et
V
. Par hypoth~se,
A A
qui est
est de longueur finie.
d'Euler-Poincar~ dim X
~A(A/P_ U, A/P-v)"
Z i=O
est d4finie! c'est un entier Th~or~me I: on a
(a_~
~A(AIPu,
(~)
Si
U
Si
U
AIPv) m 0 et
V
et
~ V
(-I)i
~A(TOr~(A/Pu ' A/P_v) )
0 (cf. w B). ne se coupent pas proprement en
.
se coupent proprement en
cp~ncide avec la multiplicit~ d'intersection et
V
en
W
W ,
W, ~A(i/p~j, A/Pv) i(X, U.V, W)
, au sens de Well, Chevalle[, Samuel.
d_~e U
N
V-22 L'assertion (b)
am n~
(a)
w B. Nous d@montrerons
apr~s avoir 6tabli que la fonction
r"~A(A/P-u ' A/Pv)
2.
r4sulte du th4or~me I du
I(X, U.V, W) =
v@rifie les propri4t@s formelles d'une "intersection".
Cycles sur une vari~t~ affine non singuli~re. Soit
X
une vari4t@ affine non singuli~re, de dimension
d'anneau de coordonn4es de dimension
~
a
A . Si
, le cycle
cycle positif de dimension Proposition Is
Soient
a 9 N Za(M )
, et si
M
est un A-module
est d4fini (of. w A)! c'est un
a , nul si et seulement si
a,b,c @ ~
n , et
tels ~ue
a+b = n+c
dim.M
( a
. Soient
. M, N
deux A-modules tels que: (2)
dim.M ~
Alors les o[cles
a , Za(M )
dim.N < et
st le cycle intersection de la fonction
du
W
Zb(N )
N))
dans le cycle
(-I) i z c
ou
dim.N < b
ficient de
W
p
en
de
A
! soit
B
c
de
X , cor-
l'anneau local
Ar
W ). Par d~finltion, le coefficient est @gal ~:
"biadditif"
of. w B~ n~
dans
Iien
Za(M).Zb(N )
en
M
et
N ~ et nul si
dim.M < a
est de m~mey trivialement~ du coef-
. On est dono ramen~ au oas o~ p
et
q_ 4tant premiers et correspon-
V
de
X
de dimensions respectives
b . D a n s ce cas, le coefficient de
W
dans
M ~ A/p , N = A/~
, les id4aux
dant ~ des sous-vari~t~s et
X
[
Zo(TOrA(M,N))
Ce coefficient est dono
c .
(d4fini par lin~arit~ ~ partir
une sous-vari4t4 irr4ductible de dimension
(i.e. l'anneau local de W
~
coSncide avec le cycle
respondant & l'id6al premier
de
dim.M~AN
sont d4finis, se coupent proprement,
Za(M).Zb(N )
n~
z c (TorA(M,
(3)
Soit
I
b ,
U
et
Zo(TorA(M, N))
est
a
V-23
%B(BIp_B, BlaB)
=
I(x, u.v, w)
, cqfd.
Remarc~ues. I) La proposition l'intersection
I fournit un proc~d@ tr~s commode pour calculer
(au sens de la fonction
que c'est aussi le sens habituel) de dimensions
a
les
de cycles
M
voulue
st
N
et
b
z
et
), et le cycle
"cycle de
Tor(M, N)"
Tori(M,N )
9
-
mais on verra plus loin
de deux cycles positifs
, se coupant proprement:
(ce sera automatiquement
Supp(~) = Supp(z')
I
i.e
9
z'
tels que
le cas si z.z'
z
dim.M ~ N
bien entendu),
structural
3.
ori( ,
~ = ~X
de
la somme altern@e des cycles des
M
les modules
Tor~(M,N)
affines,
est un tel fais-
(ce que l'on @crit aussi
, les X
et
cherch~ est simplement le
on d~finit de fagon ~vidente le cycle
position I reste valable,
les faiscea x
a
p
ait la dimension
Supp(M) = Supp(z)
les faisceaux coh6rents remplacent les modules. Si dim.Supp(M_~ ~
z'
on choisit des modu-
2) Dans le cas des vari@t@s alg~briques non n~cessairement
ceau, avec
et
dim.M ~ Za(M~
a
,
. La pro-
~tant remplac6s par
o__z 6tant pris sur le faisceau
.
Premieres formules. Nous allons voir que le produit des cycles, d@fini au moyen de la
fonction
I
du nOl
(i.e. en prenant la "formule des Tor" pour d~fini-
tion) v~rifie les propri~t@s fondamentales
des intersections!
ces propri6-
t~s ~tant toutes de nature locale, nous supposerons que les vari~t6s consid~r~es
sont affines et non singuli~res.
pliquer la proposition
Cela nous permettra d'ap-
I d u n ~ pr@c@dent.
a) Commutativit@. Evidente ~ cause de la commutativit~
de chaque
Tor.
i
.
V-24 b) Associativit4. On considers trois cycles
a , a ' ,a" Z.(Z'
z,z',z"
de dimensions respectives
9 On suppose que les produits sont d4finis,
.Z !')
, (z.z').z"
-
on peut supposer que
z,z'
sa dimension 9 Choisissons un A-module
pour
z'
Z a (M) = z et
z"
! soient
M'
et
M
z" X
sont
~
0 9 Soit
donn~e, et s o ~
M"
cette asscciativit~
Tcr (M, M', M")
(5)
TorA(TorA(M, P
~
M'), M")
c = a + a' + a" - 2n
sections consid6r4es dim.M' ~ M"
, et
b
et
TorA(M, M', M")
~9
TorA(M, M' , M")
b = a' + a" - n
sont propres, ~
de
et de deux suites spectrales: ~
9
. Puisque les inter-
on a dim.M~
M' ~ M"
~
c .
On peut donc dgfinir les cycles: =
,
= Z (Tor~(M, M' O
L'invariance spectrales,
x M"))
'
appliqu~e ~
i
=
= Zc(Tor
d'Euler-Poincar~
(4), donne:
(-I) p+a p,q
M, Tor
M'
M"))
,
"
des caract~ristiques
(-1)i i
Z~
des Tor. D'apr~s
s'exprime par l'existence
Tor~(M, Tor~(M', M"))
i
n
des modules correspondants
"l'associativit4"
(4)
x
A
.
Cartan-Eilenberg,
Posons
et
de support 4gal ~ celui de
et
La formule cherch4e va provenir de
Tor triples
Z ! 9
z ).
l'anneau de coordonn~es de la vari4t~ ambiante
et tel que
,
et il s'agit de prcuver que
(z Par lin6arit~,
z.z'
9 Pq
dans les suites
V-25 (-1)Pxpq = Z.yq
Mais la proposition I montre que
et
P
•
(-1)qyq = z'.z"
@
q
On a donc: (-1)ixi =
z.(z'.z")
.
i Utilisant
(5)
, on volt de mSme que ~ ( - 1 ) i x i la formule d'assooiativit4 oherch@e.
, d'o~
- (z.z').z" i
c) Formule du produit. On se donne deux vari@t@s non singuli~res Zl,Z 2 et
(resp. z~, z~)
z~.z~
port@s par
X
X
et
X'
(resp. X'). On suppose que
sont d4finis. Alors les cycles produits
(port@s par
X ~ X')
(6)
se coupent proprement,
(Zl•
(Zl.Z2)
=
, et des cycles
zlXz ~
sont des modules correspondants & de suite que le cycle associ6 & l'anneau
B = A ~ k A'
de
A
•
(z~.z~)
et
A' . Si
Zl, z2, z~, z~ MI ~ k
X ~ X')
M~
z2Xz ~
et l'on a: 9
On peut supposer qu'il s'agit de cycles positifs~ et que sont affines, d'anneaux de ccordonn@es
et
Zl.Z 2
X
et
X'
MI, M2, M~, M~
, on v@rifie tout
(consid4r@ comme module sur
est @gal &
ZlX z~
[on pourrait
mSme prendre ce fait comme d@finition du produit direct des cycles ] La formule & d@montrer r@sulte alore de la T o r ~ ( M 1 ~ MI,,
M 2 ~ M ~ ) ~=
A 1, ori(M
"formule de K~nneth"
ek
.
:
.
i+j=h d) R@duction & la disgonale. Soit
~
la diagonale de Zl.Z 2 = (z 1x
(7)
valable quand lee cycles Soit de
X ~X
X • X
A
zI
. II s'agit d'@tablir la formule
"2)" et
z2
l'anneau de coordonn@es de . Si
MI
et
M2
9
se coupent proprement. X
, et soit
B = A~ k A
sont des modules correspondant ~
zI
celui et
z2
V-26 respectivement,
on a
A B Tori(M1, M2) " T o r i ( M l @ k M 2 of. w B, n~
, A)
,
La formule ~ d~montrer en r~sulte en prenant la somme al-
tern~e des cycles des deux membres.
4. D~monstration du th~or~me I. Ii s'agit de prouver que les fonctions Ccmmengons par traiter le cas o~ en
W
U
; cela signifie ~ue l'id~al
ments
Xl,...~x h
, avec
I
et
i
coincident.
est une intersection complete ~U
du n~
est engendr~ par
h = dim.X - dim.U = dim.V - dim.W
h
~l~-
. D'apr~s
le th~or&me I du Chap.IV, on a alors:
A/P_v) = ex(A/p v) oG
x
d@signe l'id~al de
,
A/P_v engendr~ par les images des
Mais, d'apr~s Samuel (K~thodes d ' a l ~ b r e
xi
.
abstraite en g~om~trie alg~-
brique, p.83), la multiplicit~
ex(A/~v)
ce qui d~montre bien l'~galit~
I ~ i
est ~gale ~
i(X, U.V, W)
dans le cas considerS.
Le cas g~n6ral se ram~ne au cas precedent, en utilisant la r~duction la diagonale, qui est valable ~ la fois pour Rue
~
I
et
pour
i 9 Du fait
est non singuli~re, c'est une intersection complete en tout
point, et l'on est bien dans les hypotheses du cas precedent, cqfd.
5. Rationalit~ des intersections. Bornons-nous pour simplifier au cas o~ neaux
de coordonn~es
A
dit (en style "Weil") Rue une sous-k -alg~bre O
Soit
M
dim.M ~ ~
k
un sous-corps de
A -module
k
, On
O
est d~finie
X de
. Soit
est une vari~t~ affine d'an-
sur
k
si l'on s'est donn~e O
A
telle que
A = A o ~k ~
O
un O
A
k
sur
X
9 O
(de type fini, comme toujours), avec
O
a 9 On peut consid6rer
Mo%
k O
comme tun
A-module~
et l'on a
V-27 dim(Mo@k
)
~
a , ce qui permet de d6finir le cycle
Un cycle
z
de dimension
a
sur
est diff@rence de deux cycles
X
Za(Mo@k
est dit rationnel
Za(Mo ~ k
)
et
sur
Za(~ ~ ~ k )
k
P-o
"cycles premiers"
parcourt l'ensemble des id@aux premiers de
Cette d@finition de la rationalit@
"l'ordre d'insgparabllit@"
qui intervient
deux cycles de hi. Alors
Supposons
X
z.z'
, rationnels est rationnel
On peut supposer A -modules
M
O
et
z
et
M'
O
O
T o rAi ( M o ~ k ,
0
z'
X
Za(Ao/Po@k)
A~
tels que
sur
Chap.II,p.118,
k~ k
O
, o~
dim(io/Po)=a. & celle
chez Nell en termes de produits
non sin~uli~re, sur
k
cela se volt en interprgtant
tensoriels de corps (cf. Samuel-Zariski, Th~or~me 2 (Weil):
sur
des cycles est 6quivalente
donn@e par Well dane lee Foundations!
s'il
O
obtenus par
le procgdg pr6c@dent. Le groupe ab@lien des cycles rationnels admet pour base l'ensemble des
) .
th.38).
et soient
, et tels ~ue
z
z.z'
et
z'
soit d@fi-
.
o
positifs,
donc correspondant
~ des
. Le th@or~me r6sulte alors de la formule: A | k @ k) = Tor.l o (Mo, M') 0
6. Images directes. Soit
f : X
alg@briquement
}Y clos de
X
un morphisme de vari@t4s alg@briques k , pour fixer lee id@es), et soit
dimension
a
9 On d@finit l'ima~e directe
lin@arit@,
~ partir du cas o~
z = W
f (z)
, sous-vari@t@
(sur un corps
z
un cycle de de
z
par
irr@ductible
de
X .
Dane ce cas, on pose: f (W) = f~(N)
0 d.N'
si l'adh@rence , si
W'
de
dim.W' ~ a e t
"degr@" de l'application
f : W
~ W'
f(W) si
est de dimension
d ~ ~k(W):k(W')]
(
est le
.
Cette op@ration est toujours d@finie, et conserve la dimension! commute aux produits. Elle
a
est surtout int@ressante
lorsque
f
elle est
,
V-28 propre
(he pas confondre la propret6 d'un morphisme avec cello d'une
intersectionl),
en vertu du rgsultat suivant:
Proposition 2:
Soit
de dimension ~ue
a
f : X---$ Y
d_~e X
Za(M_~ ~ z
, et soit
. Soit
Rqf(~
un faisceau cohgrent sur (a)
On a
(b)
On a
Y
dim.R~
M
soit
z
un faisceau cohgrent sur
l_~aq-~me image directe de
M
un c2cle X
te__~l
, ~ui est
(lhgor&me de Grothendieck).
~< a
f(z)
tun morphisme propre,
e_}_t dim.Rqf(M~
,, za(R~
,,
(a
pour
q ~ I.
(-1) q
La d~monstration au support de nuls pour
q
se fait en se ramenant au cas oG la restriction de
z
est tun morphisme fini, auquel cas lee
~ I
Rqf(M~
f
sont
9
7. Images r~cirroques. On peut lee d~finir dane diverses situations!
je me contenterai
d'indiquer la suivantes Soit X
et
et
f : X y
lyl
)Y
un morphisme,
des cycles de - Supp(y)
dim.
X
et
Y
avec
Y
non sin6uli~re , et soient
respectivement.
Posons I~1 = Supp(~)
. On a alors:
>/
f-l(lyi)
dimixl
-
codim.lyl
9
Le cas "propre" est celui ou il y a ~galit~. Dane c e c a s , nir un c~rcle intersection
x.f y
de support contenu dane
on peut d6fi~x I ~
f-1(~yl)
par l'un des proc~d~s suivants: a) R~duction & une ~ntersection usuelle:
on suppose
X
affine
(le
probl~me ~tant local), ce qui permet de la plonger dane une vari~t6 non singuli~re
V
z
plonge
) (z, f(z))
cycle
x
de
X
, par exemple un espace affine. L'application X
~ un cycle
dane
V~Y
~(x)
de
,donc
permet d'identifier
tout
V ~Y
. On d~finit alors
x.f y
V-29 X
comme l'unique cycle de
(8)
tel que:
-
T(
l.(v
le produit d'intersection du membre de droite @tant calcul4 dane la varlet@ non singuli~re
V~Y
independent du plongement
. On d~montre que le r~sultat obtenu est X
)V
.
b) On choisit des faisceaux cob@rents cycles respectifs
x
et
y
Oy
Tor 9
Cas particulier:
sont nuls pour
on prend
x = X
X)
et s'appelle l'image r@cipro%ue de
y
X
et
Y
de
oomme la somme
, lee
Tor i
; du fait que
i ~ dim.Y
9 Le cycle
sur
x.fy
Tori(M, f~N_~
(et @rant des faisceau sur
singuli~re, lee
N
et
~ et l'on d4finit
altern~e des cycles des faisceaux pris sur
M
~tant Y
est non
, et la somme est finie.
x.fy
se note alors
f~(y)
. Rappelons sous quelles condi-
tions il est d~fini: i/
ii/
Y
est non singuli~re
oodim.f-1(lyl)
= oodim, l y l
9
Aucune hypoth~se sur
X
n'est n6cessaire.
Remar%ues.
X
est non singuli~re, on a
I)
Quand
(9)
x.~Y-
x-f~(Y)
,
pourvu que lee deux membres soient d@finis. 2)
Le cas particulier oG
Y
est une droite est le point de d@part
de la th4orie de l'6quivalence lin~aire des cycles. Formule de pro~ection. C'est la formules
(Io) valable lorsque
f( f
.fy) =
f(x).y
,
est propre et que lee deux membres sont d4finis.
La d~monstraticn peut se faire en introduisant des faisceaux et
N
de cycles
x
et
y
M
, et en utilisant deux suites spectrales
V-30 de mSme aboutissement et de termes
~q'f(.~%(,_., ~ ) les
Tor
respectivement:
~ori(R4"(~,
et
~tant pris sur
E2
~y
~
,
(cf. Grothendieck, EGA, Chap.Ill,
prop.6.9.8). Lorsque
X
est non singuliSre, cette formule prend la forme plus
usuelles
z(=.f'*(y))
(11)
-
f(=).y
.
Exeroioes. g 1/ Soit
Z
On suppose
X
f )Y
et
Y
)X
~ et soient
,.g(~.~=)
Retrouver (pour
(,.#).fx-
-
f = g = 1)
(13)
X=Y,
g
f = 1
, en tirer la formule:
~(~).#,
-
lorsque
2/ M@mes hypotheses que dans singuli~re, mais que
(,.f~ x) .#.
l'associativit4 et la commutativit~ du
~(~.y)
g (x.y) = g~(x).g~(y)
Supp(z)
XgY~Z
produits qui y figurent sont d4finis):
produit d'intersection. Pour
d'o~
des cycles de
non singuli~res. D4montrer la formule suivante
(valable lorsque t o u s l e s
(12)
x,y,z
9
Zest
non singuli~re.
I/, & cela pros que
est propre
Y
peut @tre
(il suffirait que sa restriction
le soit). D@montrer la formule:
(14)
~(z.zx) - ~(z).fx
,
valable lorsque les deux membres sont d~finis. (Pour
f = I
, on
retrouve (10).) 3/ Donner les conditions de validit~ de la formule:
(15) 4/ Soient soit
(YlXY2)'flX'f2 (xlXx2) = (Yl"f111) "K (y2.f2x2) f : Y
g = (f,f') : Y.
) X, f' : Y ) X~(X'
)X'
, avec
X,X'
. Soient
x,x',y
des cycles de
9
non singuli~res!
V-31 X,X',Y
9 Donner les conditions de validit~ de la formule:
(16) 5/ Soient
Soient y,z
f : Y----#X
et
des cycles de
g : Z
Y,Z
~X
"prcduit fibr6"
produit fibr@
Y
duit lorsque
g = I
de
et
, avec
X
non singuli~re.
. D~finir (sous les conditions de
propret~ habituelles) un YXX Z
y.(x • x')
(y.f,xt ) .fX
=
Z
? Et lorsque
y.x z
~ qui est un cycle
au-dessus de X
X
du
. Que donne ce pro-
est r~duit ~ un point
?
8. Extensions de la th~orie des intersections. I1 est clair que la "formule des Tor" permet de d6finir l'intersection de deux cycles dans des cas plus g@n~raux que celui de la g~om~trie alg~brique classique. Par exemple: i) Elle s'applique aux espaces anal2tiques aucune difficultY, puisque t o u s l e s
(ou formels)
. I1 n'y a
anneaux locaux qui interviennent
sont d'~gale caract~ristique. Dans le cas des espaces analytiques complexes, le produit d'intersection ainsi obtenu coincide avec celui d~fini par voie topologique par Borel-Haefliger!
cela se d~montre
par r~ducticn au cas "~l~mentaire" 4.10 de leur m@mcire. ii) Elle s'applique ~ tout schema (au sens de Grothendieck) r6gulier X
pcurvu que lee conjectures du w B
aient ~t~ v~rifi6es pour les
anneaux locaux de ce schema! c'est notamment le cas lorsque ces anneaux locaux sont d ' ~ a l e
caract~risti~ue.
de type fini sur un corps
k
~ m e
lorsque
X
est un schema
, cela donne une th~orie des intersections
un peu plus g~n~rale que la th~orie usuelle! en effet, si parfait, il se peut que
X
soit r~gulier sans ~tre simple
dane la terminologie de Grothendieck) ne s'applique qu'au cas l i s s e . ~
sur
k
k
n'eet pas (i.e. lisse
! or la th~orie de Nell
,
V-32 iii) Plus g4n4ralement, A tout schema
X
la th~orie des intersections s'applique
qui est lisse sur un anneau de valuation discrete
On peut en effet montrer que les anneaux locaux de conjectures du
w B
fla
X
C .
v4rifient les
d~monstration se fair par un proc~d~ de
r@duction ~ la diagonale analogue - en plus simple - ~ celui utilisfi au
w B, n ~
Ce cas est important,
car il est ~ la b a g de la
r4duction des cycles de Shimura. Indiquons rapidement commentt Soit
k
(resp. K)
le corps r~siduel de
fractions). Le sch4ma Xk - X|
k
X
k
r6siduel)
XK
; de mgme,
de
X
cycle
Xk
! tout cycle ~
dimension
de
X
z
! le sch6ma
est de type fini sur Xk
K
est la r@duction de
de dimension a+1
de
X
zn(xk)
-
Zn(X)
Zn_I(Xx)
respondent aux faisceaux coh@rents l'uniformisante
T~
de
qui sont plats
sur
C
C
a
de
XK
XK
.
d~finit par adherence un
. Le groupe
+
Zn_ 1 (XK)
Zn(X )
Xk
des cycles de
.
est donn~e par la restriction
M
~ ceux de
sur
X
Z(XK)
Z(Xk)
cor-
qui sont annul@s par correspondent aux
(i.e. sans torsion)! cette d6composition en
deux types intervenait d~j& au
consid4rer
sur le corps
. On dit parfois,
des cycles. Du point de rue des faisceaux, les cycles de
Soit maintenant
Xk
se trouve ainsi d~compos~ en somme directe:
zn(x) La projection
K
dfifinit, par injection, un cycle de mgme dimension
de dimension n
XK ~ X ~ C
(c'est tune "vari~t~ alg6brique"
assez fgchausement, que Tout cycle de
(resp. son corps des
est somme disjointe du sous-soh4ma ferm4
et du sous-schfima ouvert
est de type fini sur
C
z ~ Zn(XK)
w B, n@5. , et soit
z
comme un cycle de codimension
son adherence. On peut I
de
v~rifie tout de suite que le produit d'intersection
X
, et on
-v-33 N
z
-
est tou~ours d@fini! on a du c~cle
z
(calcul4 sur
Xk. t~
z e Zn(Y~)_~.
M
se d@finir sans parler
(et sans hypoth~se de lissit6 ni m@me de r4gularit@):
du point de vue des faisceaux,
intervient
, on dit que c'est la r4duction
. Cette op6ration peut d'ailleurs
d'intersecticns
cob@rent
X )
plat sur
C
ells revient ~ associer ~ tout faisceau
le faisceau
M~6M
. L'hypoth~se de lissit@
seulement pour d@montrer les propri6t@s
ration de r6duction:
compatibilit4
avec lee produits,
rectes, les produits d'intersection! dans les n ~
pr@c@dents,
formelles de l'op@les images di-
les d@monstrations
~ coup d'identit6s
se font, comme
entre faisceaux,
cu, au pire,
de suites spectrales. La th4orie des intersections
sur
X
la simple r6duction des c~cles. Ainsi, de
XK
la composante de
sant du couple section de
~
x, x' et
x'
~.~'
dans
(bien entendu~
donne d'ailleurs davantage que si Z(Xk)
x
et
x'
sont des cycles
donne un invariant int@res-
il n'est d4fini que si l'inter-
est propre)! cet invariant est certainement
li@ aux "symboles locaux" introduits r@cemment par N4ron.
B-I
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