Algebre commutative: Chapitres 8 et 9 9783540339427, 3540339426 [PDF]

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N. BOURBAKI

N. BOURBAKI

ALGÈBRE COMMUTATIVE

Chapitres 8 et 9

Réimpression inchangée de l'édition originale de 1983 Q Masson, Paris 1983 O N. Bourbaki et Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006

ISBN-10 3-540-33942-6 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-33942-7 Spnnger Berlin Heidelberg New York Tous droits de mduction, de reproduction et d'adaptation réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destinées à une utilisation collective. Toute représentation, reproduction intégrale ou partielle faite par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Springer est membre du Springer Science+Business Media springer.com Maquette de couverture: design &production, Heidelberg Imprimé sur papier non acide 41B100NL - 5 4 3 2 1 0 -

CHAPITRE VI11

Dimension Dans ce chapitre, tous les anneaux sont supposés commutatifs, les algèbres sont associatives, commutatives et uni$ères. Soit A un anneau. Si a est un idéal de A et n un entier négatif, on pose a" = A. Pour tout idéal premier p de A, on note ~ ( ple) corps résiduel de l'anneau local A,; il est canoniquement isomorphe au corps des fractions de l'anneau A/p ( I I , 3 3, no 1, prop. 2). Si A est local, on note m , son idéal maximal et K , = Atm, = ~ ( m , )son corps résiduel. Soit p : A -+ B un homomorphisme d'anneaux. On note "p l'application continue de Spec(B) dans Spec(A) associée à p ( I I , § 4, no 3). On dit (V, 2, no 1, déf, 1) qu'un idéal premier q de B est au-dessus de l'idéal premier p de A si p est l'image de q par ' p , c'est-à-dire si p-' ( q ) = p. Soit M un B-module ; lorsque nous considérerons M comme A-module, il s'agira toujours de la structure de A-module p,(M) définie par la loi externe (a, m) H p(a).m (A, I I , p. 30). Soit M un A-module. Si U (resp. V ) est un sous-groupe additif de A (resp. M), on note U V ou U.V le sous-groupe additifde M engendré par les produits U V , pour u E U et v E V . Si S est une partie de A , on note SM le sous-module SM de M ; l'idéal 6

1

rsS

de A engendré par S est égal ù S A et l'on a 6 . M

=

SM.

9 1. DIMENSION DE KRULL D'UN ANNEAU 1. Dimension de Kru11 d'un espace topologique DÉFINITION 1. - Soit 1 un ensemble ordonné. Une partiefinie non vide et totalement ordonnée de 1 est appelée une chaîne de 1. Soit c une chaîne de 1 ; le plus petit et le plus

grand élément de c sont appelés les extrémités de c. L'entier Card(c) - 1 est appelé la longueur de c. La relation d'inclusion dans l'ensemble des parties de 1 induit une relation d'ordre dans l'ensemble des chaînes de 1. Une chaîne c de 1 est dite saturée si elle est maximale parmi les chaînes de 1 ayant les mêmes extrémités que c.

AC VI11 . 2

91

DIMENSION

Pour désigner une chaîne c de longueur n, on écrira souvent : « l a chaîne i, < ... < in », où les i, sont les éléments de c indexés de façon strictement croissante par les entiers de O à n. Soit X rin espace topologique. On munit l'ensemble des parties fermées irréductibles de X (II, 9 4, no 1, déf. 1) de la relation d'ordre définie par l'inclusion. Lorsque l'on parlera d'une chaîne de parties fermées irréductibles de X, il s'agira toujours d'une chaîne au sens de cette relation d'ordre. DÉFINITION 2. - On appelle dimension de Krull de l'espace topologique X et on note dim kr(X) ou simplement dim(X) la borne supérieure dans R de l'ensemble des longueurs des chaînes de parties fermées irréductibles de X. Pour tout point x de X, on appelle dimension de Krull de X en x et on note dim,(X) lu borne inférieure des dimensions des voisinages ouverts de x.

2

On a dim(@) = - m. Par contre, si X n'est pas vide, l'adhérence de tout point de X est une partie fermée irréductible de X (II, § 4, no 1, prop. 2) et la dimension de X est donc + co ou un entier positif. Supposons que X soit séparé et non vide ; alors toute partie irréductible de X est réduite à un point, et X est de dimension O. La définition de la dimension de Krull est donc dénuée d'intérêt pour les espaces séparés, mais elle est spécialement adaptée aux espaces topologiques rencontrés en Algèbre Commutative (spectres d'anneaux, * schémas *, ...). Dans ce chapitre, aucune confusion n'est à craindre avec d'autres notions de dimension des espaces topologiques (par exemple, celle de Lebesgue), et nous dirons simplement « dimension » pour « dimension de Krull ». PROPOSITION 1. - Soit X un espace topologique. a ) Si Y est un sous-espace de X, on a dim(Y) < dim(X), et dim,(Y) < dim,(X) pour tout point y de Y. b ) Soient x un point de X et V un voisinage de x dans X. On a dim,(X) = dim,(V). c ) Soit (Xi),,, une famille finie de parfies fermées de X telle que X = U X,. On a IEI

alors dim(X) = sup dim(X,) et, pour tout point x de X, on a dim,(X) iel

=

sup dim,(X,), iaJ,

où J, désigne l'ensemble des i G 1 tels que x E X,. Démontrons a). Si Z est une partie fermée irréductible de Y, son adhérence Z dans X est irréductible (II, 5 4 nu 1, prop. 2) et l'on a 2 n Y = Z. Ainsi, toute chaîne c de parties fermées irréductibles de Y définit, par passage à l'adhérence dans X, une chaîne de parties fermées irréductibles de X, de même longueur que c. L'inégalité dim(Y) d dim(X) résulte de cela. Si U est une partie ouverte de X contenant un point y de Y, on a donc dim(U n Y) ,< dim(U), d'où dim,(Y) < dim,(X). Démontrons b). On a par définition dim,(X) < dim,(V), et l'inégalité opposée résulte de a). Démontrons c). Soit Z, c ... c Z, une chaîne de parties fermées irréductibles de X. O n a Zn = U (Znn Xi) et chacun des ensembles Zn n Xi est fermé dans Z, ; id

No

1

AC VI11 . 3

DIMENSION DE KRULL

comme 1est fini, Z , est contenu dans l'un des Xi. Par suite, on a dim(X) < sup dim(Xi), I

d'où l'égalité d'après a). Soient maintenant x un point de X et n

=

sup dim,(X,), où J, est comme dans itJ,

l'énoncé. On a dim,(X) 2 n d'après a), et, pour établir l'égalité, on peut supposer n fini. Pour tout i E J,, soit Ui un voisinage ouvert de x dans X, tel que dim(Ui n Xi) < n. Posons U = (n Ui) n ( n Xi) ; l'ensemble U est ouvert dans X. De plus, on a id,

it1 - J,

C

dim(U) = sup dim(U n Xi) < n d'après l'alinéa précédent, donc dim,(X) ,< n. i&

COROLLAIRE. a ) La dimension de l'espace topologique X est la borne supérieure des dimensions de ses composantes irréductibles (II, Q: 4, no 1, déf. 2). b) Soit x un point de X. On a dim,(X) 2 sup dim,(Xi), où Xi parcourt la famille -

1

des composantes irréductibles de X qui contiennent x ; il y a égalité si x possède un voisinage V qui n'a qu'un nombre $ni de composantes irréductibles (ce qui est le cas par exemple si V est noethérien). La première assertion est immédiate puisque les chaînes de parties fermées irréductibles de X sont les chaînes de parties fermées irréductibles des composantes irréductibles de X (II, 4 4, no 1, prop. 5). L'inégalité dim,(X) 2 sup dim,(Xi) résulte L

de la prop. 1, a). Soit V un voisinage de x qui ne possède qu'un nombre fini de composantes irréductibles, et soit (Vj)j,J la famille des composantes irréductibles de V qui contiennent x. Il résulte de la prop. 1, b ) et c ) qu'on a dim,(X)

=

dim,(V)

=

sup dim,(V,); jd

on conclut en remarquant que chacun des V, est contenu dans l'un des Xi, i E J,, et qu'on a par conséquent sup dim,(Vj) < sup dim,(Xi). itJ,

jcJ

PROPOSITION 2. - Soit X un espace topologique. On a dim(X)

=

sup dim,(X). XEX

En effet, on a par définition dim(X) 3 dim,(X) pour tout x EX. D'autre part, si Z, c ... c Zn est une chaîne de parties fermées irréductibles de X, pour tout x E ZOet tout voisinage ouvert U de x, les ensembles Z, n U, ..., Z, n U constituent une chaîne de parties fermées irrkductibles de U (II, 5 4, no 1, prop. 7). On a donc dim,(X) 2 n, d'où dim(X) ,< sup dim,(X). XEY

COROLLAIRE. - Si (XJatA est un recouvrement ouvert, ou un recouvrement fermé loculeinent fini, d'un espace topologique X, on a dim(X)

=

sup dim(X,) ,GA

Il suffit de démontrer que, pour tout point x de X, on a dim,(X)

=

sup dim,(X,), USA,

où A, est l'ensemble des a E A tels que x

E X,.

Ceci est clair dans le cas d'un recouvre-

AC VI11.4

9l

DIMENSION

ment ouvert, et rksulte de la prop. 1, c), dans le cas d'un recouvrement fermé localement fini.

2. Codimension d'une partie fermée DÉFINITION3. - Soit X un espace topologique. a ) Si Y est une partie fermée irréductible de X, on appelle codimension de Y dans X la borne supérieure dans R des longueurs des chaînes de parties fermées irréductibles de X dont Y est le plus petit élément. b ) Si Y est une partie fermée de X, on appelle codimension de Y dans X, et on note codim(Y, X) la borne inférieure dans R des codimensions, dans X, des composantes irréductibles de Y. Remarques. - 1 ) La codimension d'une partie fermée Y de X est donc la borne inférieure des codimensions des parties fermées irréductibles de Y. On a codim(@, X) = CE et, si X n'est pas vide, codim(X, X) = O. Toute partie fermée non vide de X contient une partie fermée irréductible (II, 9 4, no 1, prop. 5) ; la codimension dans X d'une partie fermée Y est donc toujours un entier positif ou CE ; elle est nulle si et seulement si Y contient une composante irréductible de X. 2) Si Y est une partie fermée non vide de X, on a codim(Y, X) < dim(X). On a dim(X) = sup codim(Y, X), où Y parcourt l'ensemble des parties fermées irréduc-

+

+

Y

tibles de X. Si Y et Y' sont deux parties fermées de X telles que Y' c Y, on a codim(Y, X) < codim(Y1,X). 3) Soient Y une partie fermée de l'espace topologique X et (X,),,, (resp. (Y,),,,) la famille des composantes irréductibles de X (resp. de Y). Pour tout P E B, notons A(P) l'ensemble des cc E A tels que YI, c X,. Du fait que toute partie irréductible de X est contenue dans l'un des X, (II, 5 4, no 1, prop: 5), il résulte de la déf. 3 que l'on a : codim(Y, X)

=

inf sup codim(Y,, X,) . PeB

aWB)

4) Soient (Y,),, une famille finie de parties fermées de X et Y

=

U Yi ; on a isl

codim(Y, X)

=

inf codim(Yi, X) . isl

En effet, toute composante irréductible de Y est contenue dans l'un des Y,. PROPOSITION 3. - Soit X un espace topologique. a ) Pour toute partie fermée non vide Y de X, on a

b ) Si Y, Z, T sont des parties fermées de X telles que Y c Z c T , on a

N" 2

DIMENSION DE KRULL

AC VI11 .5

Il suffit de démontrer l'assertion a ) dans le cas où dim(X) est fini. Dans ce cas, dim(Y) et codim(Y, X) sont finis. Il existe une chaîne Y, c ... c Y, de parties fermées irréductibles de Y, de longueur n = dim(Y) et une chaîne Y, c ... c Y,,, de parties fermées irréductibles de X, de longueur p 2 codim(Y, X). On en déduit que dim(X) b n + p, d'où a). Pour établir b), on peut supposer Y irréductible. Comme on a codim(Y, Z) < codim(Y, T), l'inégalité est démontrée si codim(Y, Z) = + m. Sinon, soit Z, une composante irréductible de Z contenant Y et telle que codim(Y, Z) = codim(Y, Z,). On a codim(Z, T) < codim(Z,, T), et on voit, comme ci-dessus, que codim(Y, Z,) + codim(Z,, T ) < codim(Y, T), d'où b).

4. Un espace topologique X est dit catknaire si, pour tout couple (Y, Z) de parties fermées irréductibles de X telles que Y c Z, toute chaîne saturée de parties fermées irréductibles d'extrémités Y et Z est de longueur codim(Y, Z). Il revient au même de dire que, pour tout couple (Y, Z) de parties fermées irréductibles de X tel que codim(Y, Z) soit fini, toutes les chaînes saturées d'extrémités Y et Z ont même longueur, et que, pour tout couple (Y, Z) tel que codim(Y, Z) = co, il n'existe aucune chaîne saturée d'extrémités Y et Z. DÉFINITION

-

+

Tout sous-espace fermé d'un espace caténaire est caténaire. Pour qu'un espace soit caténaire, il faut et il suffit que ses composantes irréductibles le soient.

PROPOSITION 4. - Soit X un espace topologique. Pour que X soit caténaire, il faut et il sufit que, pour tout triplet (Y, Z, T ) de parties fermées irréductibles de X tel que Y c Z c T, on ait :

Supposons X caténaire. Compte tenu de la prop. 3, b), il suffit de démontrer la relation lorsque codim(Y, Z) et codim(Z, T) sont finis. En mettant bout à bout une chaîne saturée de parties fermées irréductibles d'extrémités Y et Z de longueur codim(Y, Z), et une chaîne saturée de parties fermées irréductibles d'extrémités Z et T, de longueur codim(Z, T), on obtient une chaîne saturée d'extrémités Y et T, de longueur codim(Y, Z) + codim(Z, T). Mais, comme X est caténaire, cette longueur est nécessairement égale à codim(Y, T). Réciproquement, supposons que l'on ait codim(Y, T) = codim(Y, Z) + codim(Z, T) quelles que soient les parties fermées irréductibles Y, Z, T de X telles que Y c Z c T, et démontrons que X est caténaire. Pour cela, démontrons par récurrence sur l'entier n 3 O que, pour toute chaîne saturée Z, c ... c Zn de parties fermées irréductibles de X, on a codim(Z,, Zn) = n. Si n = 0, c'est clair. Soit n > O, et supposons la propriété satisfaite pour les chaînes de longueur < n - 1. Si Z, c ... c Z, est une chaîne saturée de longueur n, alors Z, c ... c Zn-, est une chaîne saturée de longueur n - 1, donc codim(Z,, Zn- ,) = n - 1. Vu l'hypothèse faite sur X, on a codim(Z,, Zn) = codim(Z,, Z,,_,) + codim(Z,,_,,Zn) = (n - 1 ) + 1 = n.

AC VI11 . 6

DIMENSION

41

COROLLAIRE. - Soit X un espace topologique irréductible et de dimension finie. Pour que X soit caténaire, il faut et il suffit que, pour tout couple (Y, Z) de partiesfermées irréductibles de X telles que Y c Z, on ait codim(Y, X) = codim(Y, Z) + codim(Z, X). La condition est nécessaire d'après la prop. 4. Inversement, supposons-la vérifiée, et notons c(Z) l'entier codim(Z, X) pour toute partie fermée irréductible Z de X. Si Y, Z, T sont trois parties fermées irréductibles de X telles que Y c Z c T, on a

et X est caténaire d'après la prop. 4.

PROPOSITION 5. - Soit X un espace topologique de dimension finie. Supposons que toutes les chaînes maximales de parties fermées irréductibles de X aient même longueur. Alors X est caténaire ; pour toute partie fermée irréductible Z de X, on a

pour tout couple (Y,Z ) de parties fermées irréductibles de X le1 que Y c Z, on a

Soient Y et Z deux parties fermées irréductibles de X telles que Y c Z. Soient Y, c ... c Y, une chaîne telle que Y, = Y et p = dim(Y), Z, c ... c Z, une chaîne telle que Z, = Z et q = codim(Z, X). Pour toute chaîne saturée T, c ... c T, telle que T, = Y et T, = Z, la chaîne

est maximale, et de longueur p + q + r ; d'après l'hypothèse faite sur X, on a donc p q + r = dim(X), soit r = dim(X) - dim(Y) - codim(Z, X). Il en résulte que X est caténaire et que, pour Y et Z comme ci-dessus, on a

+

Prenant Y sition.

=

Z, on voit que le second membre est égal à dim(Z), d'où la propo-

3. Dimension d'un anneau, hauteur d'un idéal DEFINITION 5. - On appelle dimension de Krull, ou simplement dimension, d'un anneau (commutatif) A et l'on note dim(A), la dimension de Krull de l'espace topologique Spec(A)( I I , § 4, no 3, déf. 4). Si p es1 un idéal premier de A, on appelle dimension de A en p, et on note dim,(A), le nombve dim,(Spec(A)).

No 3

DIMENSION DE KRULL

AC VI11 . 7

L'application p +-+ V(p) est une bijection décroissante de l'ensemble des idéaux premiers de A sur l'ensemble des parties fermées irréductibles de Spec(A) (loc. cit., cor. 2 a la prop. 14). La dimension de A est donc la borne supérieure de l'ensemble des loilgueurs des chaînes d'idéaux premiers de A ; elle est égale a - co, + co ou à un entier positif. Soit p E Spec(A); les ensembles Spec(A),-, où f parcourt A, forment une base de la topologie de Spec(A), et p appartient à l'ouvert s p e ~ ( Asi) ~et seulement si f n'appartient pas à p. Par conséquent, dim,(A) est la borne inférieure des nombres dim(Af), où f parcourt A - p (II, # 5, nu 1, prop. 1). Exemples. - 1) On a dim(A) < O si et seulement si A est réduit à O. Pour que l'on ait dim(A) < O, il faut et il suffit que tout idéal premier de A soit maximal. Les anneaux intègres de dimension O sont les corps. Un anneau noethérien est de dimension < O si et seulement s'il est artinien (IV, fi 2, no 5, prop. 9). 2) Les anneaux de Dedekind sont les anneaux noethériens intégralement clos de dimension d 1 (VII, fi 2, no 2, th. 1). Plus généralement, d'après V, Ci 1, no 2, cor. 2 a la prop. 9, un anneau est un produit fini d'anneaux de Dedekind si et seulement s'il est noethérien, rkduit, intégralement fermé dans son anneau total des fractions, et de dimension < 1. 3) Si A est un anneau de valuation (VI, fi 1, no 2, déf. 2), sa dimension est égale à la hauteur de la valuation (VI, 4, no 4, prop. 5). 4) Soit A un anneau. On a

En effet, si p, c ... c p, est une chaîne d'idéaux premiers de A, de longueur n, on obtient une chaîne pb c ... c p;,, d'idéaux premiers de A[X], de longueur n + 1, en posant pf = p,A[X] pour O < i < n, et pi,, = p,A[X] + XA[X]. Par le même raisonnement, on prouve l'inégalité dim(A[[X]]) 3 dim(A) + 1. On en déduit par récurrence les inégalités

+n, 3 dim(A) + n .

dim(A[X,, ..., X,]) 3 dim(A) dim(A[[X,, ..., X,]])

Nous démontrerons plus loin (fi3, no 4, cor. 3 de la prop. 7 et cor. 3 de la prop. 8) que l'on a égalité dans les deux formules précédentes lorsque A est noethérien. * 5) Soit X une variété analytique complexe. Si X est de dimension complexe n en un point x de X, l'anneau local des germes en x de fonctions analytiques sur X est de dimension n. * 6) Soient k un corps et A une k-algèbre entière non nulle. Alors on a dim(A) = 0. Cela résulte du cor. 1 à la prop. 1 de V, # 2, no 1, et du fait que dim(k) = 0. 7) Si n est un nilidéal de A, Spec(A) est homéomorphe à Spec(A/n) (II, # 4, no 3, remarque). On a donc dim(A/n) = dim(A) ; en particulier, on a dim(A) = dim(A,,,) où A,,, est le quotient de l'anneau A par son nilradical.

AC VI11 .8

3l

DIMENSION

8) Il existe des anneaux noethériens de dimension infinie (p. 83, exerc. 13). Nous verrons ci-dessous (Ij 3, nu 1, cor. 1 a la prop. 2) que tout anneau local noethérien est de dimension finie. 6. - Soit A un anneau. PROPOSITION a ) Si a est un idéal de A, on a dim(A/a) 6 dim(A). b ) Si S est une partie multiplicative de A, on a dim(S-'A) 6 dim(A). c ) On a dim(A) = sup dim(A/p), où p parcourt l'ensemble des idéaux premiers P

minimaux de A. d ) Si A n'a qu'un nombre fini d'idéaux premiers minimaux (par exemple si A est noethérien (II, 4 4, no 3, cor. 3 à la prop. 14))et si p est un idéal premier de A, on a

dim,(A)

=

sup dimw,(A/q), q

où q parcourt l'ensemble des idéaux premiers minimaux de A contenus dans p. e ) Soit a un idéal de A qui n'est contenu dans aucun idéal premier minimal de A ;on a alors dim(A)> dim(A/a) 1. En particulier, si A est intègre, on a dim(A) > dim(A/a) 1 pour tout idéal non nul a de A. D'après la remarque de II, 5 4, no 3, si a est un idéal de A, l'espace topologique Spec(A/a) est homéomorphe au sous-espace fermé V(a) de Spec(A). L'assertion a ) résulte de cela et de la prop. 1, a )du no 1. L'assertion b ) résulte de loc. cit., corollaire à la prop. 13. D'après loc. cit., cor. 2 à la prop. 14, les composantes irréductibles de Spec(A) sont homéomorphes aux espaces Spec(A/p), où p est un idéal premier minimal de A, et l'assertion c) résulte du corollaire de la prop. 1 du no 1. Sous l'hypothèse de d ) , l'espace Spec(A) n'a qu'un nombre fini de composantes irréductibles ; les composantes irréductibles de Spec(A) contenant p sont les ensembles V(q), où q est un idéal premier minimal contenu dans p. L'assertion d) résulte alors du cor., 6 ) de la prop. 1 du no 1. Démontrons enfin e). Il s'agit de prouver que, pour toute chaîne p, c ... c p, d'idéaux premiers de A telle que a c p,, on a dim(A) 3 n + 1. Vu l'hypothèse faite sur a, il existe un idéal premier p - , de A contenu dans p,, distinct de p,, et p - c p, c ... c p, est une chaîne d'idéaux premiers de A, de longueur n 1.

+

,

+

+

Remarque 1 . - Soit p :A + B un homomorphisme d'anneaux. Alors dim(B) est la borne supérieure des nombres dim(B/p(p).B), où p parcourt l'ensemble des idéaux premiers minimaux de A : en effet, pour tout idéal premier minimal q de B, il existe un idéal premier minimal p de A contenu dans p l ( q )(II, 4 2, no 6, lemme 2) et l'on a

par la prop. 6, a ) ; on conclut par la prop. 6, c). DÉFINITION 6. - Soit a un idéal d'un anneau A. La codimension de V(a) dans Spec(A) est appelée hauteur de l'idéal a et notée ht(a).

No 3

DIMENSION DE KRULL

AC VI11 . 9

Supposons A intègre. Alors les idéaux premiers de hauteur 1 de A au sens de la déf. 4 de VII, 9 1, no 6, sont les idéaux premiers de hauteur 1 au sens de la définition cidessus.

PROPOSITION 7. - a ) La hauteur d'un idéal premier p de A est la borne supérieure des longueurs des chaînes d'idéaux premiers p, c ... c p,, telles que p,, = p. b) Soient p un idéalpremier de A ~ r at un idéal de A. Alors on a dim(A,/aA,) = - cc si a n'est pas contenu dans p et dim(AP/aAP)= codim(V(p), V(a)) si a est contenu dans p. En particulier, si p est un idéal premier de A, on a dim(A,) = ht(p). c ) Si a est un idéal de A, on a ht(a) = inf ht(p) = inf dim(A,) où p parcourt l'ensemP

P

ble des idéaux premiers de A contenant a. L'assertion a ) est la traduction de la déf. 3, a ) du no 2. L'assertion b ) résulte du fait que l'application q ++q(AP/aAP)est un isomorphisme croissant de l'ensemble des idéaux premiers q de A tels que a c q c p sur l'ensemble des idéaux premiers de l'anneau local AP/aAP(II, 5 2, no 5, prop. 11). Soit a un idéal de A ;les parties fermées irréductibles de V(a) sont les ensembles V(p), où p est un idéal premier de A contenant a. L'assertion c ) résulte donc de la remarque 1 du no 2. - Soient p un idéal premier de A et S une partie multiplicative de A ne rencontrant pas p. Alors ht(p) = ht(Sp'p). Cela résulte de la prop. 7, a), et de 11, 4 2, no 5, prop. 11.

COROLLAIRE.

PROPOSITION 8. Soit A un anneau. a ) On a dim(A) = sup dim(A,,) = sup ht(m), où m parcourt l'ensemble des idéaux -

m

m

maximaux (resp. premiers) de A. b ) Soient b un idéal de A distinct de A et a un idéal de A contenu dans 6. Alors on a codim(V(b), V(a)) + dim(A/b) < dim(A/a). En particulier, pour tout idéal b de A distinct de A, on a l'inégalité ht(b) + dim(A/b) < dim(A). La première assertion résulte de la remarque 2 du no 2 et de la prop. 7, b). La seconde résulte de la prop. 3, a ) du no 2 et des relations dim(A/b) = dim(V(b)), dim(A/a) = dim(V(a)).

DEFINITION 7. On dit qu'un anneau A est caténaire si l'espace topologique Spec(A) est caténaire (no 2, déf. 4). Cela signifie donc que, pour tout couple (p, q) d'idéaux premiers de A tel que q c p, toutes les chaînes saturées d'idéaux premiers de A d'extrémités p et q ont pour longueur codim(V(p), V(q)) = dim(A,/qA,). -

Remarques. - 2) Tout anneau quotient d'un anneau caténaire est caténaire. Pour que l'anneau A soit caténaire, il faut et il suffit que, pour tout idéal premier p de A, l'anneau Ap soit caténaire. 3) D'après la prop. 7, b ) et la prop. 4 du no 2, l'anneau A est caténaire si et seulement si, pour tout triplet (p, q, r) d'idéaux premiers de A tel que r c q c p, on a

AC VI11 .10

91

DIMENSION

dim(A,/qA,) + dim(A,/rA,) = dim(A,/rAp). Si A est intègre et de dimension finie, alors A est caténaire si et seulement si on a ht(q) dim(A,/qA,) = ht(p) pour tout couple (p, q) d'idéaux premiers de A tel que q c p. En effet, l'espace topologique Spec(A) est alors irréductible et de dimension finie, et on applique le corollaire à la prop. 4 du no 2. 4) Soit A un anneau de dimension finie, dont toutes les chaînes maximales d'idkaux premiers ont même longueur. Alors A est caténaire, on a ht(p) + dim(A/p) = dim(A) pour tout idéal premier p de A, et dim(A,/qA,) + dim(A/p) = dim(A/q) pour tout couple (p, q) d'idéaux premiers de A tel que q c p (no 2, prop. 5). 5) Nous verrons au $ 2, no 4, que toute algèbre de type fini sur un corps est un anneau caténaire. 11 existe des anneaux locaux noethèriens qui ne sont pas caténaires (p. 83, exerc. 16).

+

4.

Dimension d'un module de type fini

DÉFINITION 8 . Soient A un anneau et M un A-module de type fini. On appelle dimension de Krull (ou simplement dimension ') du A-module M et on note dimA(M) (ou dim(M) s'il n'y a pas d'ambiguïté) la dimension de Krull du support de M (II, 9 4, no 4, déf. 5).

Le support du A-module A est Spec(A) ; la dimension du A-module A est donc égale à la dimension de l'anneau A. Soient M un A-module de type fini et a son annulateur ; on a

(II, 5 4, no 4, prop. 17). Par suite coincident la dimension du A-mudule M, la dimension du A-module A/a, la dimension de l'anneau A/a et la dimension du (A/a)-module M ; c'est la borne supérieure de l'ensemble des longueurs des chaînes p, c ... c p,, d'idéaux premiers de A telles que a c p,. D'après la prop. 6, c) du no 3, la dimension de M est aussi la borne supérieure des dimensions des anneaux (ou des A-modules) A/p, où p parcourt l'ensemble des idéaux premiers de A, minimaux parmi ceux qui contiennent a. Remarques. - 1 ) Soient A un anneau noethérien et M un A-module de type fini. Il est équivalent de dire que dimA(M)< O, ou que les éléments de Supp(M) sont des idéaux maximaux de A, ou que M est de longueur finie (IV, 9: 2, no 5, prop. 7). 2) Si M est un module de type fini sur un anneau noethérien A, dim,(M) est la borne supérieure des nombres dim(A/p), où p parcourt l'ensemble AssA(M)des idéaux prcmiers de A associés a M (IV, 5 1, no 4 th. 2). l Si A est un corps, la dimension de Krull de M est < O. Il y aura lieu de ne pas confondre la dimension de Krull de M et la dimension (ou rang) de l'espace vectoriel M sur le corps A (A, II, p. 97, déf. 1).

No

5

AC VI11 .11

DIMENSION DE KRULL

PROPOSITION 9. - Soient A un anneau et M un A-module de typejini. a ) Pour tout p E Supp(M), on u dimAp(M,) = codim(V(p), Supp(M)). b) dimA(M)est la borne supérieure des dimAp(M,),où p purcourt Spec(A) (resp. où p parcourt l'ensemble des idéaux maximaux de A upparleiiant à Supp(M)). c ) Soit M' un sous-module de typefini de M ;alors

a ) Soit a l'annulateur de M ; alors l'annulateur du A,-module M, est aA, (II, 5 2, no 4, formule (9)), d'où dimA,,(M,) = dim(A,/aA,). On conclut par la prop. 7, h) du no 3. 6 ) Cela résulte aussitôt de a ) et du fait que dimAp(M,)= - cc si p n'appartient pas à Supp(M). c) On a Supp(M) = Supp(M1)u Supp(M/M1)(II, 9: 4, nu 4, prop. 16), et on applique la prop. 1 du no 1. Remarque 3. - Sous les conditions de la prop. 9, c), on a codim(Supp(M), Spec(A)) = inf(codim(Supp(M1),Spec(A)), codim(Supp(M/M1), Spec(A))). Cela résulte de la formule Supp(M) = Supp(M1)u Supp(M/M1)et de la remarque 4 du no 2.

5.

Cycles associés à un module

Dans ce numéro, on note A un unneau noethérien. Soit Z(A) le Z-module libre de base l'ensemble des parties fermées irréductibles de Spec(A); pour toute partie fermée irréductible Y de Spec(A), on note [Y] l'élément correspondant de Z(A). Les éléments de Z(A) s'appellent parfois des cycles. Soit M un A-module de type fini. Pour tout idéal premier p de A qui est un élément minimal de Supp(M), on a O < longAp(M,) < co (IV, Q: 2, no 5, cor. 2 à la prop. 7 e,t Q: 1, no 4, th. 2) ; on pose

où p parcourt l'ensemble fini des idéaux premiers minimaux de Supp(M). Remarque. - Pour tout p E Spec(A), on a z(A/p) = [V(p)]. Plus généralement, soit M un A-module de type fini, et soit (Mi),,,,, une suite de composition de M telle que pour O < i < n - 1, le module MilMi+, soit isomorphe à Alpi, où pi est un idéal premier de A (4IV, 9: 1, no 4, th. 1 ) ; alors on a z(M) = 1[V(pi)], où J est la itJ

partie de 1 formée des i tels que pi soit un élément minimal de {p,, ..., p,-, no 4, th. 2 et Q: 2, no 5, remarque 1).

1 (IV, 5 1,

Pour tout entier d, notons Z,, (resp. Z,, resp. Zad, resp. Zd)le sous-Z-module de Z(A) engendré par les éléments [V(p)] où p est un idéal premier de A tel que dim(A/p) ,< d (resp. dim(A/p) = d, resp. ht(p) 3 d, resp. ht(p) = d). On dit que les

AC VI11 .12

9l

DIMENSION

éléments de Zd (resp. Zd)sont les cycles de dimension d (resp. de codimension d). On a évidemment Z 0 ; alors la suite (x, , ..., x,) est sécante pour M si et seulement si la suite (x;', ..., x): est sécante pour M. Soient A un anneau local noethérien et M un A-module non nul PROPOSITION 3. de type fiv! Pour qu'un élément x de m, soit sécant pour M, il faut et il suffit qu'il n'appartienne à aucun des éléments minimaux p de Supp(M) tels que dim(A/p) = dim,(M), et il suffit que l'homothétie x, de rapport x dans M soit injective. Soit a l'annulateur de M. Dire que x est sécant pour M signifie que x est sécant pour A/a, le support de M se compose des idéaux premiers p de A tels que a c p et si x, est injective, l'image de x dans A/a n'est pas diviseur de O dans A/a. La prop. 3 résulte alors du cor. 2 de la prop. 2 du no 1 appliqué à l'anneau A/a. -

COROLLAIRE. - Toute suite d'éléments de rn, qui est complètement sécante pour M ( A , X , p. 157, déf. 2) est sécante pour M. Soit (x,, ..., x,) une suite d'éléments de rn, qui est complètement sécante pour M. Posons M, = M et par récurrence M, = Mîpl/x,Mip,pour 1 6 i < r. D'après le cor. 1 de A, X, p. 160, l'homothétie de rapport xi dans M,-, est injective, d'où dimA(Mi)= dim,(M,-,) - 1 (pour 1 < i < r ) (prop. 3). On a donc dim,(M) = r + dim,(M/(x,M ... + x,M)),

+

donc la suite (x,, ..., x,) est sécante pour M. Remarque 4. -Il n'est pas vrai en général qu'une suite sécante pour M soit complètement sécante pour M (p. 87, exerc. 6). Nous étudierons plus tard les modules sur un anneau local noethérien pour lesquels toute suite sécante est complètement sécante. BOURBAKI. - Algèbre commutative. - 2

AC VI11 .28

53

DIMENSION

1. - Soient A un anneau local noethérien, M un A-module non nul de type THÉORÈME fini et S une partie de l'idéal maximal mA de A. a ) Si M/SM est de longueurfinie, on a Card(S) 2 dim,(M) ;si S est sécante pour M , on a Card(S) d dim,(M). b) Toute partie sécante pour M est contenue dans une partie sécante pour M maximale. c) Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) S est une partie sécante pour M maximale ; (ii) S est une partie sécante pour M et Card(S) = dim,(M) ; (iii) M/SM est de longueurfinie et Card(S) = dim,(M) ; (iv) S est une partie sécante pour M et M/SM est de longueurjnie. Comme on a S c m,, le lemme de Nakayama montre que l'on a M/SM # {O), d'où dim,(M/SM) 3 O avec égalité si et seulement si M/SM est de longueur finie. L'assertion a ) résulte alors des formules (8) et (9), ainsi que l'équivalence des propriétés (ii), (iii) et (iv). L'assertion 6) résulte du fait que le cardinal de toute partie de m, sécante pour M est majorée par l'entier dim,(M). D'après a), toute partie sécante pour M, de cardinal égal i dim,(M), est maximale. Il reste à prouver que, si S est sécante pour M et si Card(S) < dim,(M), alors S n'est pas maximale. Soient a I'annulateur de M, et B l'anneau local noethérien A/(a + SA). D'après le cor. 2 de la prop. 2 du no 1, il existe un élément x de m, tel que dim(B/xB) = dim(B) - 1 d'où x $ S. D'après la remarque 2, la partie S u { x ) de m, est sécante pour A/a, donc pour M d'après la remarque 1. COROLLAIRE. - La dimension de M est le plus petit des entiers d 3 O pour lesquels il d

existe une suite ( x , , ..., x,) d'éléments de rn, telle que le A-module M/

1 x,M soit de i= 1

longueur jnie. Comme @ est une partie sécante pour M, le th. 1, b) démontre l'existence d'une suite sécante pour M maximale, soit ( x , , ..., xd).Mais alors on a d = dim,(M) et le d

x,M est de longueur finie d'après la propriété (iii) du th. 1, c).

A-module M/ i= 1

Réciproquement si ( x i , ..., x:.) est une suite d'éléments de t?tAtelle que le A-module d'

M/

xJM soit de longueur finie, on a d' 3 dim,(M) d'après le th. 1, a). ~ = 1

Rappelons (III, 5 3, no 2, déf. 1) qu'un idéal q d'un anneau local noethérien A est un idéal de définition de A si les topologies q-adique et nt,-adique de A coïncident. Lemme 2. - Soient A un anneau local noethérien et q un idéal de A. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) q est un idéal de définition de A ; (ii) il existe un entier n 3 O tel que m", q c mm,;

(iii) on a q # A et A/q est un A-module de longueurfinie ; (iv) V(q)est égal à { m, ) (autrement dit, m, est le seul idéal premier de A contenant 4). En effet, l'équivalence de (i), (ii) et (iv) a été démontrée en III, (i 2, no 5, et l'équivalence de (i) et (iii) résulte de IV, Cj 2, no 5, cor. 2 à la prop. 9. Le corollaire du th. 1 permet donc d'énoncer le scholie suivant : SCHOLIE. La dimension d'un anneau local noethérien A est le plus petit tlc.c h et un idéal premier p de hauteur n, donc une chaîne p, c ... c p, = p d'idéaux premiers de longueur n. On a ht(pi) = i pour O < i < n, d'où ht(r) = h pour tout idéal premier r de A tel que ph-, c r c p h + , soit une chaîne. L'ensemble E de ces idéaux est infini d'après la prop. 5, d'où a).

AC VI11 -32

§3

DIMENSION

Si A est de dimension finie, on peut supposer qu'on a n = dim(A) dans ce qui précède. Pour tout idéal r 6 E, on a ht(r) = h, d'où dim(A/r) < n - h, et comme r c p h + , c ... c p, est une chaîne de longueur n - h, on a dim(A/r) = n - h. Il existe des anneaux intègres non noethériens de dimension 2 ne possédant qu'un seul idéal premier de hauteur 1, par exemple l'anneau d'une valuation de hauteur 2 (VI, $4, no 4, prop. 5).

4. Changements d'anneaux PROPOSITION 7. - Soient p :A + B un homomorphisme local d'anneaux locaux M un A-module de type fini et N un B-module de type fini. Posons noethériens, B = B O, KA = B/p(mA).B et N = N O, B = N/p(mA).N. On a

et il y a égalité si N est plat sur A. On peut supposer M et N non nuls. D'après le corollaire du th. 1 (no 2), il existe = une partie S (resp. T) de m, (resp. m,) telle que Card(S) = dim,(M) (resp. Card(T) dimg@)) et que M/SM soit un A-module de longueur finie (resp. N/TN soit un B-module de longueur finie). On a p(S) c m,. Soit E le B-module M O, N ; le B-module E/(p(S).E + T.E) est isomorphe à M/SM O, N/TN, donc est de longueur finie :d'après les prop. 18 et 19 de II, $ 4, no 4, on a

Il en résulte, d'après le th. 1, que l'on a l'inégalité

Supposons maintenant N plat sur A, et montrons qu'il y a égalité dans la formule (12). Soit a (resp. b) l'annulateur de M (resp. N). D'après les prop. 18 et 19 de II, $ 4, no 4, on a S ~ P P ( E= ) S ~ P P ( Nn ) "P-'(SWP(MN =

V(b) n "p- '(V(a))

=

V(b

+ p(a). B) .

O n a par suite dim,(M O, N )

(13)

=

dim(B/(b

+ p(a).B))

et aussi (14)

dim,(M)

+ dim&

=

dim(A/a)

+ dim(B/(b + p(mA).B)).

+

Posons A' = A/a et B' = B/(b p(a).B) et soit p' :A' -+ B' I'homomorphisme local déduit de p par passage aux quotients. Puisque l'annulateur de N est b, N est un B/b-module dc type fini de support égal à Spec(B/b), et plat sur A. L'homomorphisme A + B/b déduit de p possède donc la propriété (PM) du 9 2, no 1 (foc. cit., remarque 3) ; par extension des scalaires (loc. cit., prop. 1, a)), on en déduit que p' possède la propriété (PM). D'après loç. cit., prop. 2, on a donc

et comme l'anneau B'/p1(mA.).B'est isomorphe à B/(b résulte des formules (13), (14) et (15).

+ p(mA).B), notre assertion

COROLLAIRE 1. - Soit p : A + B un homomorphisme local d'anneaux locaux noethériens. a ) On a

avec égalité si p fait de B un A-module plat. b) Supposons que p fasse de B un A-module plat, et soit S une partie de m,. Alors S est sécante pour A si et seulement si p(S) est sécante pour B. L'assertion a ) est le cas particulier M = A, N = B de la prop. 7. Prouvons b). Sous les hypothèses faites, on a

avec B

=

Enfin B'

B @,

=

KA =

B/p(mA).B. Comme p est injectif (1, $3, no 5, prop. 9), on a

B/p(S).B est un module plat sur A'

=

AISA, d'où

car B1/p(m,.).B' est isomorphe à B. Notre assertion résulte aussitôt des formules (l7), (18) et (19). COROLLAIRE 2. - Soit p :A dim(B)

+

B un homomorphisme d'anneaux noethériens. On a

< dim(A) + P Esup dim(B BA~ ( p ) ) SP~C(A)

Soient q un idéal premier de B et p = p-'(q). D'après le cor. 1, on a dim(Bq) ,< dim(A,) + dim(B, 8, ~ ( p ) ) On . en déduit (prop. 6, b) du § 1, no 3) l'inégalité dim(Bq) < dim(A) dim(B O, ~ ( p ) )et, on conclut par la prop. 8 du $ 1, no 3.

+

AC VI11 .34

DIMENSION

COROLLAIRE 3. - Soient A un anneau noethérien et n un entier 2 O. On a

Posons B = A[X,, ..., X,]. Pour tout idéal premier p de A, l'anneau B @, ~ ( pest ) un anneau de polynômes à n variables sur un corps, donc est de dimension n (9 2, no 4, cor. 1 au th. 3). D'après le cor. 2, on a dim(B) < dim(A) + n ;l'inégalité inverse résulte de l'exemple 4 du 9 1, no 3. 4. - Soient p :A COROLLAIRE un idéal de A. On a l'inégalité

-+

B un homomorphisme d'anneaux noethériens, et a

si l'application "p :Spec(B) -+ Spec(A) est surjective. Si B est un A-modulefidèlement plat, on a ht(p(a).B) = ht(a). Si B est fidèlement plat sur A, alors "p est surjective (II, 3 2 no 5, cor. 4 à la prop. 11) et l'on a ht(a) < ht(p(a).B) (5 2 no 1, corollaire de la prop. 2). Il reste donc à prouver l'inégalité (20) sous l'hypothèse que "p est surjective. Soit p un - idéal premier de A tel que a c p et ht(a) = ht(p) (3 1, no 3, prop. 7). Posons B = B O, ~ ( pet) notons h l'homomorphisme canonique de B dans B. Si X = " p ' (p) est l'ensemble non vide des idéaux premiers de B au-dessus de p, on sait (§ 2, no 1, lemme 1) que i'application "h est un homéomorphisme de spec(B) sur le sous-espace X de Spec(B). Soit q l'image par "h d'un idéal premier minimal de B; on a ) O et le cor. 1 entraîne l'inégalité dim(B,) < dim(A,). On a dim(B, @, ~ ( p ) = finalement

d'où le corollaire. PROPOSITION 8. - Soient A un anneau noethérien, a un idéal de A, M un A-module de type fini,  et M les séparés complétés de A et M respectivement pour la topologie a-adique. 4 Soient m un idéal premier de A contenant a et fi = rnÂ. Alors fh est un idéal = dimAm (Mm). premier de  et on a dim~,,(M,) b ) On a dimÂ(M)= sup dimAm(M,), où rn parcourt l'ensemble des idéaux premiers rn

(resp. maximaux)de A contenant a. En particulier, on a dimÂ(M)< dim,(M). a ) Puisque Â/fh s'identifie à A/m, in est un idéal premier de Â. D'après le th. 3 de III, 3, no 4,  est plat sur A, donc Â;, est plat sur A,. Par ailleurs l'application canonique de A dans  induit un isomorphisme de A/a sur Â/aÂ, donc aussi un iso. conclut en appliquant la prop. 7 aux morphisme de A,,/rnAm sur  1 & t  n l On anneaux A,,, et Âln et aux modules Ml,,et Â,%car Ml,, OAniÂfi est isomorphe à Mm (111, loc. cit. et prop. 8).

b) D'après la prop. 8 de III, § 3, no 4, l'application m H iîi est une bijection de l'ensemble des idéaux maximaux de A contenant a sur l'ensemble des idéaux maximaux de Â. L'assertion b) résulte de là et de la prop. 9 du § 1, no 4. COROLLAIRE 1. -Soit A un anneau de Zariski(III,$3, no 3, déf. 2). Pour tout A-module M de type fini, on a dimÂ(M) = dim,(M). En effet, la topologie de A est la topologie a-adique, où a est un idéal contenu dans le radical de A (loc. cit.), c'est-à-dire contenu dans tout idéal maximal m de A. Il suffit donc d'appliquer l'assertion b) de la prop. 8. COROLLAIRE 2. - Soient A un anneau noethérien, a un idéal de A, et  le séparé complété de A pour la topologie a-udique. On a dim(Â) < dim(A), avec égalité lorsque A est local et a distinct de A. COROLLAIRE 3. - Soient A un anneau noethérien et n un entier 2 O. On a dim(A[[X,, ..., X,]])

=

dim(A) + n

L'anneau A[[X, , ..., X,,]] est le séparé complété de l'anneau de polynômes A[X,, ..., X,,] pour la topologie a-adique, où a est l'idéal engendré par X,, ..., X,,; on a donc dim(A[[X, , ..., X,]]) < dim(AIXl , ..., X,]) d'après le cor. 2. On a par ailleurs dim(AIXl, ..., X,])

=

dim(A) + n

d'après le cor. 3 de la prop. 7. Enfin, on a dim(A) + n

< dim(A[[X,, ..., X,]])

d'après l'exemple 4 du 5 1, no 3. Remarques. - 1) Soient A un anneau noethérien et a un idéal de A. Supposons A séparé et complet pour la topologie a-adique, et considérons l'anneau R = A { XI, ..., X,, )* des séries formelles restreintes (III, 8 4, no 2, déf. 2). On a dim(R) = dim(A) + n. En effet, R est le complété de l'anneau B = AIXl, ..., X,,] pour la topologie aB-adique, d'où dim(R) d dim(A[X, , ..., X,,]) = dim(A) + n. L'inégalité inverse se démontre comme dans le cas des séries formelles. 2) Soient A un anneau local noethérien, identifié à un sous-anneau de son complété Â, et B un sous-anneau de  contenant A. Supposons que B soit local noethérien et que l'on ait m,B = m,. Alors, l'injection canonique de A dans B s'étend en un isomorphisme de  sur le complété de B (III, 5 3, no 5, prop. 1l), d'où dim(B)= dim(A) (cor. 2 à la prop. 8). Ceci s'applique notamment à la situation suivante. * Soient k un corps valué complet non discret, A l'anneau local de l'anneau de polynômes k[X,, ..., X,] en l'idéal premier engendré par XI, ..., X,, et B l'anneau des séries Convergentes en XI, ..., X, à coefficients dans k. Alors les hypothèses précédentes sont satisfaites, et par conséquent on a dim(B) = n.

,

DIMENSION

5. Construction de suites sécantes PROPOSITION 9. - Soient A un anneau noethérien, M un A-module de typefini, a une partie de A stable par addition et multiplication, q, , ..., q, des idéaux premiers de A ne contenant pas a et r 3 1 un entier tel que

Il existe une suite (x, , ..., x,) d'éléments de a, n'appartenant à aucun des idéaux q, , ..., q, et telle que la suite (x,/l, ..., x,/l) d'éléments de A, soit sécante pour le A,-module M,, quel que soit l'idéal premier p E V(a) n Supp(M). Raisonnons par récurrence sur r. Supposons d'abord r = 1, et notons @ l'ensemble (fini) des éléments minimaux de Supp(M). Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il n'existe aucun élément x, de a satisfaisant aux conditions de l'énoncé. Soit x E a, n'appartenant pas à q, u ... u q,. Il existe par hypothèse un élément p de V(a) n Supp(M) tel que l'image x/l de x dans A, ne soit pas sécante pour M,. Soit Y l'ensemble des idéaux q E contenant a, d'où

Comme V(a) contient une composante irréductible de Supp(M), ceci contredit l'hypothèse codim(V(a) n Supp(M), Supp(M)) 3 1 . Supposons maintenant r > 2. D'après l'hypothèse de récurrence, on peut trouver une suite (x, , ..., x,- ,) d'éléments de a, n'appartenant pas à q, u ... u q, et telle que, pour tout p E V(a) n Supp(M), la suite (xJ1, ..., x,-,il) d'éléments de A, soit r- 1

sécante pour M,. Posons N

=

M/

1 xiM. Il suffit de construire un élément x, de a

i= l

n'appartenant pas à q, u ... u q, et tel que, pour tout p E V(a) n Supp(M), l'élément x,il de A, soit sécant pour Np.D'après la première partie de la démonstration, il suffit d'établir les deux relations

,

d'après le corollaire de la prop. 18 de II, 3 4, no 4, et comme x , , ..., x,- appartiennent à a, on en déduit (22).L'inégalité (23)résulte alors de Shypothèse (21) et de la prop. 4, a ) du no 3, où l'on fait

d'où X'

=

Supp(N).

COROLLAIRE 1. - Soient A un anneau noethérien, M un A-module de typefini, pl, ..., p,, q,, ..., q, des idéaux premiers de A et r un entier > 1. On suppose qu'on a pi q, pour 1 < i < n et 1 < j < m, et dimAp~(M,,) 3 r pour 1 < i < n. Il existe alors une suite (x,,..., x,) d'éléments de A appartenant à tous les pl et n'appartenant à aucun des qj, telle que, pour 1 < i < n, les images de x , , ..., x, dans A,, forment une suite sécante pour le module M,,. Posons a = n pi. On a MPz# {O), donc pi E Supp(M) pour 1 d i < n, d'où

+

1

V(a) c Supp(M).On a

=

inf (codim(V(p,),Supp(M))) = inf dim(M,,) 3 r 1

1

(9 1, no 4, prop. 9), et l'on applique la prop. 9. COROLLAIRE 2. -Soient A un anneau local noethérien, M un A-module non nul de type fini et a une partie de m,, stable par addition et multiplication et telle que long(M/aM) < + m. Il existe une partie de a qui est sécante maximale pour M . En effet, on a V(a) n Supp(M) = Supp(M/aM) = {m,) (3 1, no 4, remarque l), donc codim(V(a) n Supp(M), Supp(M)) = dim(Supp(M)) = dim,(M), et on applique la prop. 9.

g 4. SÉRIES DE HILBERT-SAMUEL 1. L'anneau Z((T)) Soit A un anneau. Munissons le A-module AZ de la topologie produit des topologies discrètes. Les éléments (a,) E AZ tels qu'il existe no 6 Z avec a, = O pour n < no forment un sous-module B de A'. Si pour a = (a,) E B, b E (b,) E B, on pose ab = c, avec c, = aib,, on définit sur B une structure de A-algèbre. Soit T i+j=n

l'élément (O,) de B tel que O, = O pour n # 1 et O, = 1. Alors T est inversible dans B ; pour tout élément a = (a,) de B, la famille (a,Tn),,, est sommable dans A' et l'on a

AC VI11 .38

94

DIMENSION

Dans la suite de ce chapitre, on notera A((T))la A-algèbre B ;elle contient comme sous-algèbres l'algèbre A[[T]] des séries formelles et l'algèbre AIT, T- '1 ; leur intersection est l'algèbre A[T] des polynômes. Remarque. - L'anneau A((T)) s'identifie naturellement à l'anneau de fractions A[[T]], de l'anneau A[lT]] défini par la partie multiplicative formée des puissances de T.

Pour n, p dans Z, on définit l'entier naturel

On a

[i][ ] = n-P

Lemme 1 . -L'élément

pour

n, p

t

[il

par

Z.

1 - T de Z((T)) est inversible. Pour tout entier r >. O on a

En effet, 1 - T est inversible dans l'anneau Z[[l], d'inverse

x

Tm;on a donc

m>O

et la formule annoncée résulte de E, III, p. 44, prop. 15. Soient Q(T) E Z[T, T-'1, r un entier > O, et F

=

(1 - T)-'Q

E Z((T)).Posons

Alors, d'après le lemme 1, on a

Soit n, la borne supérieure dans R de l'ensemble des entiers i E Z tels que ai # 0. Pour tout entier n n , , on a a,, = E(n), où Fi est le polynôme de Q[X] défini par

Si l'on pose c

=

Q(l) =

polynôme de degré

s et Q, R dans Z[T, T-'1, on a R(T) = (1 - T)'-"Q(T), donc R(l) = O ; cela démontre l'unicité. Supposons que F soit 2 O ; si on avait d < O, alors on aurait F(l) = O, ce qui est impossible puisque F est non nul et que tous ses coefficients sont positifs; on a donc d 2 0 . Si d = O, alors Q = F 3 O, donc Q(l) est positif. Si d 3 1, alors Q(l) est positif d'après la formule (3). Cela démontre a). b) Supposons d 3 d'. Alors (1 - T)-d((l - T)d-d'R- Q) ), O ; comme S(T) = (1 - T)d-d'R - Q appartient à Z[T, T-'1, cela implique S(l) 3 O d'après Q(l) < O, d'où une contradiction ; si ce qui précède. Si d > d', on a S(1) = d = d', on a S(1) = R(l) - Q(l) d'où Q(l) < R(1).

2. Série de Poincaré d'un module gradué sur un anneau de polynômes Soient Ho un anneau, 1 un ensemble fini et H l'anneau de polynômes Ho[(Xi)it,]. Pour chaque i E 1, soit di un entier > O. Munissons H de la structure d'anneau gradué de type Z telle que les éléments de Ho soient homogènes de degré O et chaque Xi

AC VI11 .40

94

DIMENSION

homogène de degré d,. Lorsque d, = lpour tout i, on retrouve la graduation usuelle des anneaux de polynômes. Soit M un H-module gradué de type fini dont tous les composants homogènes sont des Ho-modulesde longueur finie ;on appelle série de Poincaré de M l'élément PM de Z((T)) tel que PM= longHo(Mn).Tn,et l'on pose QM= P , . n (1 - Tdl).

1

itl

ntZ

THÉOREME 1. - L'élément Q, de Z((T)) appartient à Z[T, T-'1. Divisant Ho par l'annulateur du Ho-module M, on se ramène au cas où M est un Ho-module fidèle. Si a, b E Z sont tels que M soit engendré comme H-module par Mi, alors M' est un Ho-module fidèle et de longueur finie; par suite, M' =

1

a r, et qu'on a cM =

x

(- 1Y 1ongHo(Tory(H0,M)).

Plus

précisément,

les

H-modules

]=O

Tj

=

Tory(Ho, M) sont munis naturellement de graduations et on a

PROPOSITION 1. -Soit M un H-module gradué. On suppose que M est engendré par Mo et que Mo est un Ho-module de longueurfinie. Alors on a

De plus, les conditions suivantes sont équivalentes : (il c, = longHo(Mo); (ii) PM = longHo(Mo).(l- T)-', c'est-à-dire M = Mo si r

=

O ef

pour EN s i r > 0 ; (iii) l'hornoriio~~)ll~.~n~e canonique dc H-modules

est bijectif: Notons R le noyau de cp. Comme cp est surjectif, on a PM = PHOMo- PR = longHo(MO) (1 - T)-" - PR et cM = longH,(Mo) - c , . Les conditions (i), (ii) et (iii) équivalent respectivement a c, = O, PR = O et R = 0. On a donc (iii) =s-(ii) => (i) et il suffit de prouver que c, = O implique R = O. Supposons R f O et soit O = Nh c Nh-' c ... c No = Mo une suite de JordanHolder du Ho-module Mo. Soit Rm l'intersection de R et de l'image de H @ ,, Nm dans H O,, Mo ;il existe un entier m compris entre 1 et h tel que Rm # Rm-'. Posons L = Rm-'IRrn;on a O d c, < c, et il suffit de prouver que c, # O. Or, si k est le corps quotient de Ho par i'idéal maximal annulateur de Nm-'/Nm, L s'identifie à un sous-module gradué non nul de k[(X,),,,]. Donc L contient un sous-module = 1, on a donc c, 3 1 isomorphe à un module décalé de k[(X,),,,] ; comme ckI( (remarques 2 et 3), ce qu'on voulait démontrer. Remarque 5. - D'après A, X, p. 160, th. 1, la condition (iii) signifie que ( X I , ..., X,) est une suite complètement sécante pour le H-module M. PROPOSITION 2. - Supposons que Ho soit un corps, et soit M un H-module gradué de typefini. Soit K le corps des fractions de H. Alors c, est égal au rang du H-module M, c'est-à-dire à la dimension du K-espace vectoriel M @, K .

Cela est clair si M = H, puisque c, = 1. Par ailleurs, soit x E H, homogène de degré d, et non nul ; on a (HIxH) O , K = O ; de la suite exacte O-+H(-d)-+H-+H/xH-+O, = O. La proposition est donc vérifiée lorsque M et des remarques 2 et 3, on tire c,,, est engendré par un élément homogène. Le cas général s'en déduit, puisque tout H-module gradué de type fini possède une suite de composition dont les quotients sont de la forme précédente.

Remarque 6. - Sous les hypothèses de la prop. 2, on a donc c, = O si et seulement si M est un H-module de torsion, ou encore si et seulement si dim,(M) < r ($ 1, no 5, exemple 4).

3. Série de Hilbert-Samuel d'un module bien filtré Dans la suite de ce paragraphe, nous utiliserons la notation suivante : si G E Z((T)) et si r E N, on pose G''' = (1 - T)-'G ; en particulier, si G = a,Tn, alors

x

G'"

=

(z

1 nez

nez

a,) Tn .

i O tels que, pour toute filtration q-bonne F sur M, il existe R E Z[T, T-'1 avec

Si M

=

qM, on pose par convention d,(M)

=

-

co, eq(M) = O.

Remarque 2. - Dire que M/qM est de longueur finie signifie que ) V(q) Supp~M/qM)= S ~ P P ( Mn est formé d'idéaux maximaux (IV, 9 2, no 5, prop. 7). Nous verrons ci-dessous (no 4, corollaire au th. 3 ) que dq(M)est la borne supérkure des nombres dimAm(M,,),où nt parcourt l'ensemble Supp(M) n V(q). COROLLAIRE. Soient A un anneau noethérien, q un idéal de A, M un A-module de type $ni tel que M/qM soit de longueur finie et F une filtration q-bonne sur M. a) Pour que l'on ait dq(M) < O, il faut et il suffit que la suite (qnM)soit stationnaire, ou encore que la suite (F,) soit stationnaire. On a alors, pour tout n assez grand, -

b) Supposons que l'on ait d,(M) > O. On a alors (13) (14)

,

longA(Fn/Fn + )

=

eq(M)ndqtM'-'/(d,(M)

long,(M/Fn+ ,)

=

-

1) !

+ pnnd@-

'

eq(M)ndqtM)/dq(M) ! + onnd@- ,

où p, et O, tendent vers une limite lorsque n augmente indéfiniment. Cela résulte aussitôt du th. 2 et de la formule (2) du no 1.

,

AC VI11 .46

$4

DIMENSION

Remarque 3. - Supposons q contenu dans le radical de A. Alors, d'après le lemme de Nakayama, la suite (qnM)est stationnaire si et seulement si l'on a qnM = O pour n assez grand. Il résulte alors de la partie a) du corollaire que l'on a dq(M) < O si et seulement si M est de longueur finie et qu'on a alors e,(M) = long,(M).

4. --Soient A un anneau noethérien, x,, ..., x, des éléments de A, PROPOSITION x l'idéal qu'ils engendrent et M un A-module de typefini tel que M/xM soit non nul et de longueur finie. a) On a d,(M) < r. b) Si d,(M) = r, alors e,(M) < long,(M/xM). c) Si la suite (x,,..., x,) est complètement sécante pour M (A, X, p. 157), dors d,(M) = r et e,(M) = long,(M/xM). La réciproque est vraie si les xi appartiennent au radical de A. Soit H l'anneau de polynômes (A/x) [X,, ..., X,]. Munissons G = @ x n ~ / r " + ' M n

de la structure de H-module gradué pour laquelle (Xi), est la multiplication par la classe de xi modulo x2. Avec les notations P,, QG,cGdu no 2, on a HM,,= P,, donc (1 - T)-dz(M)R= (1 - T)-'QG, où R(l) = e,(M) > O et Q,(1) = c,. On a donc, soit d,(M) < r et c, = O, soit d,(M) = r et c, = e,(M). Par ailleurs, d'après la prop. 1 du no 2, on a c, < long(M/xM), et il y a égalité si et seulement si l'homomorphisme canonique A/x[X, , ..., X,] O,,, M/xM -+ @ xnM/xn+'M est bijecn

tif. Cela entraîne la proposition, compte tenu de A, X, p. 160, th. 1. PROPOSITION 5. -Soient O -+ M' -+ M -+ M" -+ O une suite exacte de modules de typefini sur un anneau noethérien A, et q un idéal de A. a) Pour que M/qM soit de longueur finie, il faut et il suffit qu'il en soit ainsi de M'/q M' et M"/q Mu. b) Supposons M/qM de longueurfinie. Alors l'on est dans l'un des trois cas suivants : 1) d,(M) = dq(M1)> dq(MW) et eq(M) = eq(M1), 2) d,(M) = dq(M") > d,(Mf) et eq(M) = e,(MU), 3) dq(M) = dq(M1)= d,(MU) et eq(M) = e,(Mf) + e,(MU). a) On a Supp(M) = Supp(M1)u Supp(MU)et l'assertion résulte de la remarque 2. b) Munissons M d'une filtration q-bonne F (par exemple la filtration q-adique), M" de la filtration quotient F", et M' de la filtration induite F'. Les filtrations F' et F" sont q-bonnes (III, $ 3, no 1, prop. 1). Alors on a pour chaque n une suite exacte de A-modules O F;/K+, + Fn/F,+, -+ F./C+, -+ O -+

avec R, R', R" E Z[T, T-'1, ~ ( 1 =) eq(M), R'(1) tion b) en résulte aussitôt.

=

eq(Mf),R"(1)

=

eq(MU).L'asser-

4.

Degré de la fonction de Hilbert-Samuel

THÉORÈME 3. - Soient A un anneau local noethérien, q un idéal de A distinct de A et M un A-module de typefini tel que M/qM soit de longueurfinie. Alors l'entier d,(M) est la dimension du A-module M (9 1,no 4 déf. 8). On peut supposer M # O. Démontrons l'inégalité dq(M) < dim,(M). D'après le cor. 2 à la prop. 9 du § 3, no 5, il existe x,, ..., x, E q, avec r = dim,(M) et I

long(M/

x,M)
O, et dim,(N) < dq(N)pour tout A-module de type fini N tel que dim,(N) < dim,(M). Si O = Mo c Ml c ... c Mn = M est une suite de composition de M, on a dim,(M) = sup(dim,(M,/M,- ,)) (9 1, no 4, prop. 9) et d,(M) = sup(d,(M,/M, - )) (no 3, prop. 5). D'après IV, 5 1, no 4, th. 1, on peut donc supposer que M est de la forme A/p, où p est un idéal premier de A, et l'on a p # nt, car dim,(M) > O. Soit x E m, - p ; l'homothétie x, de M = A/p est injective, et l'on a la suite exacte

,

D'après le 9 3, no 2, prop. 3, on a dim,(M/xM) = dim,(M) - 1 ; d'après la prop. 5 du no 3, et la suite exacte précédente, on a dq(M/xM) < d,(M) - 1. D'après l'hypothèse de récurrence, on a donc

ce qui achève la démonstration. COROLLAIRE. - Soient A un anneau noethérien, M un A-module de type fini et q un idéal de A tel que M/qM soit de longueurfinie. Alors dq(M)est la borne supérieure des dimensions dimAm(M,,,),où m parcourt l'ensemble fini S = Supp(M) n V(q), et e,(M) est la somme des eqn,(Ml,) étendue Li ceux des éléments m de S pour lesquels on a dim,,,, (Mm) = dq(M)Pour chaque entier n, la longueur de M/qnM est la somme des longAm(M,/q",,,,) (IV, 1) 2, no 5, cor. 1 à la prop. 7 et corollaire a la prop. 8). Par conséquent, on a , d'où le corollaire. HM,, = l,& H

AC VI11 .48

54

DIMENSION

Remarques. - 1) On a aussi d,(M)

=

sup dim(M,), c'est-à-dire d,(M)

=dim(~),

mtv(q)

ou M est le complété de M pour la topologie q-adique (5 3. no 4, prop. 8). 2) Supposons q contenu dans le radical de A ; alors d i m ( ~ = ) dim(M) (loc. cil., cor. l), donc d (M) = dim(M). 5. Série de Hilbert-Samuel d'un module quotient

Lemme 5. Soient A un anneau, M un A-module et (P,), (Q,) deuxfiltrations décroissantes sur M formées de sous-modules. Supposons que l'on ait P, 3 Q, et longA(P,/Q,) < + co pour tout n E Z et qu'il existe un entier n, tel que Q,, = M. Dans Z((T)), on a les inégalités -

11 s'agit de prouver qu'on a les inégalités

La première est évidente. D'autre part, on a P,+, n Qi P,+ n Q,, = Q,+ ; on en déduit l'inégalité

,

,

,

,

,

=

Pn+ pour i

< n,

et

,

Mais le A-module (P, + n Qi)/(P,+ n Qi+ ) est isomorphe à un sous-module de (Pi+ n Qi)/Qi+,, et l'inégalité (16) en résulte.

,

Lemme 6. Soient A un anneau, M un A-module et (F,) unefiltration décroissante sur M formée de sous-modules ; on suppose qu'il existe un entier n , tel que F,, , = M. Soientj un endomorphisme de M, M' son noyau et Mn son conoyau. On munit M' de lafiltration (Fk) induite par (F,) et M" de lafiltration (Fi) quotient de (F,). On suppose que F,,/F,+ est de longueur finie pour tout n E Z et qu'il existe un entier 6 tel que f (F,) c F,+@ Soit

O annulé par y. On a alors HA,,,

=

Ps -pK,,(,, d Ps - Pus = (1 - Td)/(l - T)' =

(1

+ T + ... + Tdpl)/(l

-

T)rpl.

D'après le th. 3 du $ 4, no 4 et le lemme 2 du 9 4, no 1, on a donc dim(A) < r, et A n'est pas régulier. Prouvons enfin l'équivalence des conditions (iv) à (vi). Or (iv) signifie que l'on a H ~ , m= ~(1 - T)-"avec s = [mA/mi:KA].Donc les conditions (iv), (v), (vi) signifient que l'on a HA,,, = (1 - T)-", avec respectivement m = [mA/mA: K ~ ]m, 3 0, m = dim(A). Mais, si l'on a H,,,, = (1 - T)-", on a dim(A) = m d'après tj 4, no 4, th. 3 et [mA/rni:KA]= m (puisque (1 - T)-" = 1 + mT + ...). L'équivalence des conditions (iv) à (vi) en résulte aussitôt; COROLLAIRE 1. - Tout anneau local noethérien régulier est intégralement clos, et en particulier intègre. Supposons A régulier. Alors gr(A) est isomorphe a une algèbre de polynômes en un nombre fini d'indéterminées sur un corps (th. 1, (iv)). Par suite, gr(A) est un anneau noethérien intégralement clos (V, $ 1, no 3, cor. 3 de la prop. 13), et A est donc intégralement clos (V, fj1, no 4, prop. 15). Nous verrons dans un chapitre ultérieur que tout anneau local noethérien régulier est factoriel.

COROLLAIRE 2 . S o i e n t A et B des anneaux locaux noethériens et o un homomorphisme local de B dans A. On suppose A régulier et B complet. Pour que o soit bijectif, il faut et il suj)t qu'il induise des bijections de K, sur K, et de m,/m; sur mA/m& La condition énoncée est évidemment nécessaire. Supposons inversement que o induise des isomorphismes de gro(B) sur gr,(A) et de gr, (B) sur gr, (A). Comme l'anneau gr(B) est engendré par gro(B) u gr, (B) et que gr(A) est l'algèbre symétrique de l'espace vectoriel gr, (A) sur le corps gr,(A), l'homomorphisme gr(o) est bijectif. Par suite, o est bijectif (III, § 2, no 8, cor. 3 du th. 1). COROLLAIRE 3. - Soient k un corps et A une k-algèbre locale noethérienne, dont le corps résiduel est égal à k. Pour que A soit régulière, il faut et il suffit que son complété Â soit isomorphe à une k-algèbre de séries formelles k [ [ X , , ..., X,]]. Cela résulte de l'équivalence de (i) et (iv) dans le th. 1, et de la prop. 11 de III, 4 2, no 9.

3. Quotients d'anneaux locaux réguliers

PROPOSITION 2. - Soient A un anneau local noethérien, x = (x,, ..., x,) une suite d'éléments de m, et x l'idéal engendré par x. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) l'anneau A est régulier, et x fait partie d'un système de coordonnées de A ; (ii) l'anneau A/x est régulier et x est une suite sécante pour A ; (iii) l'anneau A/x est régulier et x est une suite complètement sécante pour A. En outre, lorsque ces conditions sont satisfaites, x est un idéal premier de A. (iii) 3 (ii) : cela résulte du corollaire de la prop. 3 du 4 3, nO 2. (ii) = (i) : supposons que x soit une suite sécante pour A et que l'anneau local noethérien A/x soit régulier. Soit (x,, ..., x,) une suite d'éléments de A, dont les classes modulo x forment un système de coordonnées de A/x. Alors la suite (x, , ..., x,) engendre l'idéal m, de A, et l'on a

,,

Par suite, A est régulier et (x,, ..., x,) est un système de coordonnées de A. (i) * (iii) : si la condition (i) est satisfaite, la suite x est complètement sécante (no 2, th. l), donc sécante d'après le corollaire de la prop. 3 du 4 3, no 2. On a donc

de plus, les classes de x,, ..., x, modulo nzi sont linéairement indépendantes sur le corps K,, et l'on a donc

Les formules (3) et (4) montrent que AIXest régulier. Tout anneau local noethérien régulier est intègre d'après le cor. 1 du th. 1 du no 2. Par suite, x est premier si A/s est régulier. COROLLAIRE 1. - Soient A un anneau local noethérien, et t un élément de m,. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) A est régulier, et t n'appartient pas à m i ; (ii) A/tA est régulier et dim(A/tA) < dim(A); (iii) A/tA est régulier, et t n'est pas diviseur de O dans A. COROLLAIRE 2. - Soient A un anneau local noethérien régulier, et q un idéal de A. Alors A/q est régulier si et seulement si q est engendré par une partie d'un système de coordonnées de A. La condition est suffisante d'après la prop. 2. Supposons A/q régulier, et soit x = (x, , ..., x,) une suite d'éléments de q dont les

AC VI11 .56

DIMENSION

55

classes modulo m i forment une base de (q + mA)/m; sur le corps KA.Soit x l'idéal de A engendré par x. On a donc x c q et x fait partie d'un système de coordonnées de A, donc l'anneau local noethérien A/x est régulier (prop. 2) ; de plus, les espaces . suite, vectoriels mA/(q + m i ) et mA/(x + m i ) ont même dimension sur K ~Par les anneaux locaux noethériens réguliers A/q et A/x ont même dimension. Comme les idéaux q et x sont premiers et que i'on a x c q, on a finalement q = x. Exemple. - Soient k un corps, A = k[[X,, ..., X,]] et q un idéal de A, distinct de A. Pour que A/q soit régulier, il faut et il suffit qu'on puisse trouver un entier r 2 O et des éléments F,, ..., Fr de A, engendrant q, et tels que la matrice de rang r (« critère jacobien »). O n a alors dim(A/q) = n - r. Remarque. - Soient A un anneau local noethérien régulier et q c mA un idéal de A tel que A/q soit régulier. Soit (x,, ..., x,) une suite d'éléments de q dont les classes modulo m i engendrent l'espace vectoriel (q + mA)/mA sur le corps KA.La démonstration du cor. 2 montre que l'idéal q de A est engendré par (x, , ..., x,).

4.

Polynômes d'Eisenstein

DÉFINITION 2. - Soient A un anneau, p un idéal premier de A, et P un polynôme de A[T]. On dit que P est un polynôme d'Eisenstein pour p s'il satisfait aux conditions suivantes : a) P est unitaire de degré d 2 1 ; b) on a P(T) r Td mod. pA[T] ; c) on a P(0) 4 pz. Autrement dit, un polynôme d'Eisenstein pour p est un polynôme de la forme P(T)

=

Td +

d

aiTd-', avec d

1, où a,, ..., ad-, appartiennent à p et ad à

i= 1

P - pz. On dit que P est un polynôme d'Eisenstein pour PA,, si l'image canonique de P dans l'anneau de polynômes A,[T] est un polynôme d'Eisenstein pour l'idéal PA,; cela signifie aussi que P est un polynôme d'Eisenstein pour p et qu'il satisfait en outre à la condition suivante, plus forte que c) : c') tout élément a de A tel que aP(0) E pz appartient à p. PROPOSITION 3. - Soient A un anneau, p un idéal premier de A et P E A[T] un polynôme d'Eisenstein pour p. a) I l n'existe pas de décomposition de la forme P = P , P z où P l et Pz sont deux polynômes unitaires de A[T] distincts de 1. b) Supposons A intégralement clos, de corps desfractions K. Alors P est irréductible dans K[T].

Soit cp l'homomorphisme canonique de A dans le corps des fractions k de A/p et soit 9': A [ T ]-+ k [ T ] l'extension de cp telle que cp1(T)= T . Supposons qu'on ait P = P I P , où Pl et P2 sont deux polynômes unitaires de A[T] distincts de 1. On a alors T d = cpf(P1) cpr(P2)dans k[T],en notant d le degré de P. Si di est le degré de Pi, on a donc cpf(Pi)= T d l ,c'est-à-dire Pi(T) T d zmod. pA[T], et en particulier Pi(0)E p. Mais alors P(0) = Pl(0).P2(O) appartient à p2 contrairement aux hypothèses. Ceci prouve a). L'assertion b ) résulte de a) et de la prop. 11 de V, 5 1, no 3.

-

Soient A un anneau local noethérien et P l , ..., Pr des polynômes unitaires dans A[T], de degré 3 2. Soit q l'idéal de AITl, ..., T r ] engendré par P l ( T l ) , ..., Pr(Tr) et soit B la A-algèbre quotient A[T,, ..., T,]/q. Pour 1 < i < r, on note di le degré de Pi, ti la classe de T i modulo q, et yi la classe de ci = Pi(0)modulo m i . On suppose que l'on a P i ( T ) Td' mod. m,A[T] pour 1 < i < r.

-

PROPOSITION 4. - a ) L'anneau B est local et noethérien, d'idéal maximal

m,

=

Bm,

+

z r

Bt, .

i= 1

On a dim(A) = dim(B) et [ K , :K,] = 1. Les monômes t:(" ... t,"('),avec O < a ( i ) pour 1 < i < r, forment une base du A-module B. b ) Soit h l'homomorphisme canonique de m A / m i dans m,/m;. Alors le noyau est le K,-espace vectoriel engendré par y,, ..., y,. Les classes des éléments t , , ..., t, forment une base sur K A du conoyau de h. c ) Pour que B soit régulier, il jaut et il suffit que A soit régulier et que y,, ..., y, soient linéairement indépendants dans le K,-espace vectoriel m,/mi. La A-algèbre B est isomorphe au produit tensoriel B I 8, ... 8, Br avec B, = A[T]/(Pi)pour 1 d i d r. Il en résulte que les monômes t:(l) ... t;('), avec O < a ( i ) < di pour 1 < i d r, forment une base du A-module B. En particulier, B est entier sur A, donc A et B ont même dimension d'après le th. 1 du 5 2, no 3. D'après le cor. 3 de la prop. 9 de IV, 4 2, no 5, l'anneau B est noethérien, et tout idéal maximal de B contient B.m,. Par ailleurs, vu l'hypothèse faite sur P l , ..., Pr et la relation Pi(ti) = O, on a t: E B.mA pour 1 < i < r. Donc tout idéal maximal de B contient t , , ..., t,, donc aussi l'idéal q' = B.m, + Bt, + ... + Bt,. Or on a m , = A n q' et B = A + q', donc B/q' est isomorphe à A/m, et q' est un idéal ~ = 1. Ceci prouve a). maximal de B ; par suite, B est local et l'on a [ K :K,] -

Posons r

=

mi

+

z

-

Ac,, et notons cp l'homomorphisme canonique de

i= 1

( A l m i ) [ T l , ..., T,] sur B/m;. Comme on a m ,

=

B.m,

+ i=1Bti, 1

le noyau n

de cp est l'idéal engendré par les classes P,(T,) des polynômes Pi(Ti) modulo m;.A[T,, ..., T,] et les monômes T i T j et xTi pour 1 d i, j d r et x dans m,/mi. D'après l'hypothèse faite sur Pi, à savoir P i ( T ) = T d zmod. m,.A[T], on peut remplacer P,(T,) par yi dans cette description de n ; par suite, l'anneau B / m i est iso-

AC VI11 .58

35

DIMENSION

morphe au quotient de (A/r) [Tl, ..., T,] par l'idéal gradué engendré par les monômes T,T, et xTi pour x dans m,/r. Notons T , la classe de ci modulo m i ; on a donc (5)

d'où

L'assertion b) résulte aussitôt de là. D'après la formule (6) et la relation [K, :K,]

=

1, on a

Or, le K,-espace vectoriel r/mA est engendré par y,, ..., y, et l'on a

L'assertion c ) résulte aussitôt des formules (7) et (8). COROLLAIRE. - Soit A un anneau local noethérien régulier et soit P E ACT] un polynôme d'Eisenstein pour m,. L'anneau B = A[T]/(P) est local noethérien régulier, de même dimension que A, et l'on a [ K ~ : K ,= ] 1. EnJin, on a m, = B.m, + Bt, où t est la classe de T modulo (P). 2 résulte de la prop. 4, où l'on fait r = 1 ; lorsque P Le cas où P est de degré est de degré 1, c'est-à-dire de la forme T - c avec c E ni, le corollaire est immédiat.

5. - Soit A un anneau intègre, de corps des fractions K, et soit L une PROPOSITION extension algébrique de degréjini de K. On noie B lafermeture intégrale de A dans L et p urz idéal premier de A. Supposons que l'anneau local A, soit noethérien et régulier; soit t un élément de L tel que L = K(t)el supposons qu'il existe dans A[T] un élément P, polynôme d'fiisenstein pour pAp, dont t soit racine. a ) Il existe dans B un unique idéal premier q LIU-dessusde p. b ) L'anneau local Bq est noethérien et régulier, de même dimension que A,. c ) On a Bq = A,[t]. d ) L'homomorphisme canonique de A/p dans Bjq induit un isomorphisme des corps des fractions de ces anneaux. Posons C = A,[t] et notons d le degré de P. D'après la prop. 3 appliquée à l'anneau A,, le polynôme d'Eisenstein P est irréductible dans K[T] et (1, t , ..., r d ' ) est une base de L sur K, donc de C sur A,. Comme P est unitaire, le noyau de I'homomorphisme canonique de A,[T] sur C est égal à (P). D'après le corollaire de la prop. 4 ci-dessus, C est donc un anneau local noethérien régulier de même dimension que A,, l'idéal maximal m, de C est engendré par p u { t ) et le corps K, est une extension triviale du corps des fractions de Alp. Pour prouver la prop. 5, il suffit donc de montrer qu'il existe un unique idéal premier q de B au-dessus de p, et qu'on a C = Bq. Posons S = A - p. On sait (V, $ 1, no 5, prop. 16) que la fermeture intégrale de

A , dans L est égale à S p l B . Par ailleurs t est entier sur A,, et l'anneau C = A J t ] est local noethérien régulier, donc intégralement clos (no 2, cor. 1 du th. 1). On a donc C = S p ' B . Par conséquent, l'anneau S - ' B est local et possède un unique idéal maximal. D'après V, 5 2, no 1, prop. 1, il existe un unique idéal premier de S-'B au-dessus de PA,, donc B possède un unique idéal premier q au-dessus de p (loc. cil., lemme l), et l'on a Bq = S-'B = C.

COROLLAIRE. - Supposons que A, soit un anneau de vuluation discrète. Alors Bq est un unneuu de valuation discrète, t est une unformisante de B q , et l'on a

(VI, 5 8, no 1). En effet, les anneaux de valuation discrète sont les anneaux locaux noethériens réguliers de dimension 1 ;posant d = [L :KI, on a t d E nt, - m i , d'où d = e(B,/A,). On a [ K ,:~K*] = 1, d'où f ( B q / A p) = 1. Exemples. 1) Posons A = Z et L = Q(pl'd), où p est un nombre premier et d un entier 3 2. Notons B la fermeture intégrale de Z dans L. Comme le polynôme Td - p de Z [ T ] est un polynôme d'Eisenstein pour pz(,,, il existe un unique idéal premier q de B au-dessus de p z . Il existe donc une unique valuation discrète normalisée v du corps Q(p'id) telle que v(p) > O ; on a [L :K] = v(p) = d, et B/q est un corps à p éléments. L'anneau Bq de la valuation v est égal à Z,,,[p'id]. 2) Posons A = Z et L = R,,(Q) où p est un nombre premier et f un entier 3 1 (cf: A, V , p. 78). On a donc L = Q( O et prouvons l'inégalité ht(q) d htgr(p) - 1 pour tout idéal premier q contenu dans p et distinct de p. Distinguons deux cas. Si q est gradué, on conclut par l'hypothèse de récurrence. Si q n'est pas gradué, alors on a qgr # p, donc ht(qgr)< htgr(qgr)d'après l'hypothèse de récurrence, d'où ht(q) < htgr(qgr)+ 1 d'après la prop. 3 ; il reste à prouver l'inégalité htgr(qgr)d htgr(p) - 2 ; mais si l'on avait htgr(qgr)= htgr(p) - 1, la chaîne qgr c p serait saturée d'après a), ce qui n'est pas puisque qg' # q # p. Prouvons enfin c). On a dimgr(H) < d i m ( S I H ) < dim(H) (prop. 2), et il reste à prouver dim(H) d dimgr(H), ou encore ht(p) < dimgr(H) pour tout idéal premier p de H. Soit donc p un idéal premier de H. Si p est gradué, on a ht(p) = htgr(p) < dimgr(H). Si p n'est pas gradué, on a ht(p) = htgr(pgr)+ 1 d'après la prop. 3 ; soit m un idéal gradué maximal de H contenant pgr ;d'après le lemme 1, b), m est maximal, donc distinct de pgr, et l'on a htgr(pg') + 1 ,< htgr(m) < dimgr(H), d'où encore ht(p) d dimgr(H). Cela achève la démonstration. Remarque 2.-Il existe des anneaux gradués non noethériens H tels que dimgr(H) < dim(H) (p. 99, exercice 1).

3. Dimension des modules gradués Dans ce numéro, on note M un H-module gradué (de type Z). Alors S-'M est un S- 'H-module, et si l'on pose M,, = @ Mi, on voit comme au

'

i3n

no 1 que la suite des ensembles S- M,, est une filtration exhaustive et séparée sur

AC VI11 .66

96

DIMENSION

S- 'M et que l'application canonique M modulegradué @ S-'M, JS-'M,,,.,.

-+

S- 'M induit un isomorphisme de M sur le

n

Lemme 3.

-

Supposons H engendré par Ho u H l et M engendré par @ Mi pour un i O. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) les classes des a, forment une base du Ho-espace vectoriel H+/H* ; (ii) les a,/l forment un système de coordonnées de l'anneau local noethérien régulier s- l H ;

No

1

AC VIII. 71

MULTIPLICITES

(iii) les a, sont algébriquement indépendants sur Ho et engendrent H comme Hoalgèbre. Onadim(H)=dim(S-'H)(n02,th.l),et[H+/H; :H0]=[(S-1H+)/(S-1H+)2:Ho] (II, Ej 3, no 3, prop. 9) ; d'après le Ej 5, no 1, cela entraîne a) et les équivalences (i) o (ii) dans b) et c). Les deux implications (iii) * (i) dans b) et c) sont triviales. Démontrons les implications (i) (iii). Supposons donc qu'on ait dim(H) = [H+/H$ :Ho] et soient a,, ..., a, des éléments homogènes de H, de degrés > O, dont les classes forment une base de H+/H: ; considérons l'homomorphisme d'algèbres graduées

1 ; alors le lemme 2 du .j 4, no 1 entraîne d" + 1 d'où d" = d - 1 d'après la partie a) de la démonstration; on a alors

< d,

Rhl"(l)< R(1)-RM(l) (loc. cit.), d'où (i). Supposons maintenant d

=

1. D'après loc. cit., on a d u = O et

Par conséquent, M" est de longueur finie égale à e,(M")

(2)

6eq(M) d long,(M/xM)

< 6eq(M) + long,

=

Rw(l) et l'on obtient

(Ker O ; pour tout entier > O, notons pi l'idéal de l'anneau K[(Xj),,,] engendré par les Xj pour n, + ... + ni < j < n, + ... + ni + ni+ ,et soit S l'ensemble des éléments de K[(Xj)] qui n'appartiennent à aucun des pi. Alors l'anneau S-'K[(Xj)] est noethérien et de dimension infinie (utiliser l'exercice 12 pour montrer que S-'K[(Xj)] est noethérien) '. i

,

14) Soit V un anneau de valuation discrète, et soit n une uniformisante de V. Dans l'anneau V[T], l'idéal m, = (xT - 1) est maximal et de hauteur 1, l'idéal m2 = (x) + (T) est maximal et de hauteur 2. Les corps V [ I / m , et V[T]/m, sont isomorphes au corps des fractions de V et au corps résiduel de V respectivement. On a dim(V[T]) = 2, mais dim(V[Tl/m,) + dim(VIT],,,l)= 1 et dim(gr,11,~V[Tl))= 1.

7i 15) Avec les notations de l'exercice précédent, on suppose que le corps résiduel et le corps des fractions de l'anneau V sont isomorphes (c'est le cas par exemple lorsque V = k[[U]], le corps k étant le corps des fractions d'un anneau de séries formelles à un nombre infini d'indéterminées à coefficients dans un corps). Soit o un isomorphisme de V[TJ/m, sur V[Tl/m2. Notons C le sous-anneau de V[T] = E formé des éléments de E dont les classes modulo ml et m, se correspondent par o. Montrer que C est noethérien et que m,m2 = ml n in, est un idéal maximal de C. Montrer que E est la clôture intégrale de C (noter que l'on a E = C + C.(xT - 1) et que (nT - 1)' + (KT - 1) appartient à C). Soit A l'anneau local Cmlm2. Alors A est intègre et de dimension 2, donc caténaire ; la clôture intégrale B = E @, A de A est un anneau semi-local noethérien possédant exactement deux idéaux maximaux n, et n,, et on a dim(B,,,) = 1, dim(Bl,2)= 2. B 16) On conserve les notations de l'exercice précédent, et on identifie B au quotient de l'anneau de polynômes A[U] par l'idéal premier p engendré par U2 + U - xT(xT - 1). Soit qi l'idéal de A[U] tel que ni = qi/p. Alors ht(q,) = 3, ht(p) = 1 et la chaîne p c q, est saturée. En particulier, A[U] et A[U],, ne sont pas caténaires.

17) a) Soient A un anneau intègre et f E A[T], f # O. Montrer qu'il existe un idéal maximal m de AIT] tel que f $ m (prendre un idéal maximal contenant T.f - 1). b) Soit A un anneau. Montrer que I'on a dim(Specmax(A[T])) 2 dim(A) + 1. (Soit p, c p, ... c p, une chaîne d'idéaux premiers de A. Considérons la chaîne

d'idéaux premiers de A[T] et posons Ui

=

V(pi[T]) n Specmax(A[T]), O

1 et - HM,~-HN,~ pour m E Z. H ~ ~ n ~, r n HA.,,, 6) Soit H un anneau gradué de type Z, tel que H, = { O ) pour n < 0, que HOsoit un anneau local artinien et que H soit une HO-algèbrede type fini. Soit L. un complexe borné de H-modules libres gradués de type fini (L$ A, X, p. 56). Ainsi pour chaque i, L; est isomorphe à un H-module ri

de la forme @ H(- qj), avec nijE Z, où H(- k) est le H-module gradué tel que H(- k),, = H,,_,. i= 1

Pour tout H-module gradué M de type fini, notons G, existe un entier n, > O satisfaisant à G,(n)

=

E

1longHo(Mi), pour

Q[T] l'unique polynôme tel qu'il n 2 n, .

i 1 et n E N. Montrer qu'il existe une unique suite décroissante (n) > ... > ~ , , ~ ( > n )O telle que d'entiers : a,,,(n) 2 a

,,,-,

Montrer que I'on a n < m si et seulement si (a,,,(n),a (a,,,(m),..., a,,, (m)) pour l'ordre lexicographique. On pose

,,,-,(n), ..., a,,,(n)) est

et pour 1 2 2, on note d;"(n)le plus petit entier p tel que a, - ,(p) 2 n. Calculer a,, ,&,(n)), a,_l,i(a;"(n))en fonction des ~ , , ~ ( n ) . b) On dit qu'une application H :N + N est une fonction de Macaulay si H(0) = 1, H(1 + 1) < a,(H(l)) pour tout

12 1.

Montrer qu'il revient au même de dire que H(0) = 1 , alH(1) < H(l - 1) pour tout

1

>2

inférieur à

94

AC VIII. 91

EXERCICES

Soit H :N + N une fonction de Macaulay. Montrer que deux cas seulement sont possibles a ) Il existe r E N tel que H(j) = O pour tout j r. p) 11existe r E N et une suite finie d'entiers b, 2 bl 2 ... 2 b, 2 O

tels que pour tout j 2 r, on ait

Montrer que r et la suite b, 2 b, 2 ... 2 b, 2 O sont uniquement déterminés par la fonction H. On pose d(H) = O dans le cas a ) et d(H) = b, + 1 dans le cas P) de sorte que d(H) - 1 est le jd(H)-1

le terme de plus haut degré du (d(H) - 1) ! polynôme (*). Montrer que a(H) est un entier 0. Montrer qu'un polynôme en une variable j à coefficients dans Q, qui prend des valeurs entières sur les entiers et qui est strictement positif pour j assez grand, n'est pas nécessairement de la forme (*). c) Soit H : N -+N une fonction de Macaulay. On pose degré du polynôme (*) en la variable j. Soit a(H)

>

de sorte que S,(T) d'entiers

E

Z[[T]]. Montrer que SH(T)E Z[T] ou bien qu'il existe une suite finie c, 2 c , 2 ... 2 c, > O

uniquement déterminée par H, et un polynôme P E Z[T] tels qu'on ait

Montrer que c,

=

d(H) et que a(H) est le nombre d'entiers ci tels que ci r

La fraction rationnelle

=

d(H).

-T"- est appelée le développement asymptotique de H.

(1 - T P Soient A,, ..., A, des entiers, avec A, # O, tels que la fraction rationnelle ,,=O

An - - SH(T) C(1 - T)"

.=i

,,,,

détermine uniquement et est uniquement soit un polynôme. Montrer que la suite (A,), déterminée par le développement asymptotique de H. En particulier on a d = d(H), A, = a(H). Examiner le cas d(H) = 2 plus en détail. d) Soit H : N + N une fonction de Macaulay. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) ûTH(1) = H(I - 1) pour tout 1 2 2 , (ii) H est la plus petite des fonctions de Macaulay qui possèdent le même développement asymptotique que H. De telles fonctions de Macaulay sont dites extrémales. Soit c, 2 cl 2 ... 2 c, > O une suite d'entiers. Montrer qu'il existe une et une seule fonction de Macaulay extrémale ayant pour T"

développement asyn~ptotique1--L-- . Montrer que, si H est une fonction de Macaulay n = , (1 - T F extrémale, on a H(l) = d(H) ou bien H ( l ) = d(H) 1. En déduire que pour toute fonction de Macaulay H, on a H(l) 2 d(H). e ) Soit H :N + N une fonction de Macaulay. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : 1 (i) on a S,(T) = (1 - T)W" '

+

BOURBAKI. - Algèbre commutative. - 4

DIMENSION

(ii) H(1) = d(H), 1) pour tout 1 2 1. (iii) a,H(l) = H(l En particulier, toute fonction telle que H(l)

+

=

d(H) est extrémale.

8) Soit E un ensemble. On pose &(E) = N(E)et on note multiplicativement la composition dans .M,(E). Un idéal de .M(E) est une partie 1 de .M(E) telle que I..l)t(E) c 1. Un escalier de &(E) est le complémentaire d'un idéal. On note d:A(E) + N l'unique homomorphisme de monoïdes tel que d(x) = 1, pour tout x E E. Soit A c .M,(E). Pour tout 1 E N, on note A, l'ensemble A n d-'(1). On note de plus 6A l'ensemble des m E &(E) tels que, pour tout élément x de E qui divise m, on ait m/x E A et dA l'ensemble des m tels qu'il existe un x E E avec mx E A. a) Montrer que pour toute partie A de A(E), on a d6A c A et A c 6dA ; si A et B sont deux parties de &(E), les relations dA c B et A c 6B sont équivalentes. Montrer que les trois propriétés suivantes d'une partie A de &(E) sont équivalentes : (i) A est un escalier ; (ii) A 3 dA ; (iii) 6A 2 A. b) Soit F une partie de E et identifions A ( F ) à son image canonique dans .k(E). Montrer qu'une partie de &(F) est un escalier de A ( F ) si et seulement si elle est un escalier de A(E). Montrer que, pour un escalier A de &(E), les conditions suivantes sont équivalentes : (i) A, est fini pour tout 1E N ; (ii) A, est fini ; (iii) il existe une partie finie F de E telle que A c A(F). Un tel escalier est dit de type fini. c) On suppose dorénavant que E = N et on pose A ( E ) = A . Soit k un corps. On note R l'algèbre graduée K(") = K[(X,),,]. On identifie A à l'ensemble des monômes dans K[(Xi)i,N] et, pour toute partie A de A , on note k(A) le sous-espace vectoriel de R engendré par A. Soit 1 un idéal de ,M et A l'escalier complémentaire. Alors k(1) est un idéal de R et k(A) est un sousespace supplémentaire de k(1). Soit J c R un idéal gradué de R. Montrer qu'il existe un escalier A c A tel que k(A) soit un supplémentaire de J. (Mettre sur A l'ordre lexicographique inverse pour lequel on a X;' ... XF < Xtl ... X? s'il existe O < p < n tel que aj = bj pour j > p, et a, < b,. Définir par récurrence ml, ..., m,, ... dans A de la manière suivante : pour tout p, m, est le plus petit monôme de .M, linéairement indépendant de ml, ..., m modulo J. Soit A l'ensemble des mi. Montrer que A est un escalier.) Montrer qu'un tel escaii;est de type fini si et seulement si l'algèbre R/J est de type fini sur k. T 9) On utilise les notations de l'exercice précédent. On met sur & l'ordre lexicographique. Soit 1E N. Une partie A de A, est dite initiale si pour tout rn E A, l'ensemble

est contenu dans A. a ) Soient 1 E N (resp. 1 E N - {O)) et A c A, une partie initiale. Montrer que 6A (resp. dA) est une partie initiale de A,,, (resp. Al-,). Supposons que A possède un plus grand élément m = Xy ... XF. Déterminer le plus grand élément de 6A (resp. dA). b) Soient 1E N - {O) et A c A, une partie initiale finie non vide. Soit X la plus grande variable telle que [Xf,,] c A. Montrer que tout m dans A - [Xi,] est égalal 1 ou divisible par XaI+, et que A' = {m E A,- lmX,,+ E A - [Xf, 1) est une partie initiale de A,-,. Déduire de ce qui précède une expression de ~ a r d ( [ ~...+X?]). c ) Déduire de ce qui précède que, pour tout 1E N - {O) et toute partie finie initiale A de A , , on a Card(6A) = a,(Card(A)), où 8, a été défini dans l'exerc. 7. Calculer'de manière analogue Card(dA). d ) Pour tout 1 E N et tout n E N, posons

et notons m, le n-ième monôme de Al pour l'ordre lexicographique (on posera m,

=

1).

94

AC VI11 .93

EXERCICES

Pour toute partie finie A de A , , notons CA la partie initiale de A, telle que Card(A) = Card(CA). Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes : (MC1) pour tout 1 E N et tout A c .A,, on a C6A c 6CA; (MC2) pour tout 1 E N et tout A c A , , on a dCA c CdA ; (MC3) pour tout 1 E N et tout n E N , on a Card(d[m,]) = p(n). 10) On utilise les notations des deux exercices précédents. Soient 1 E N et A c A,. Pour tout couple (i, d) on pose A(,,,,

=

{ m E Alm est divisible par Xf et non divisible par Xf

et on note C(,,,,A l'ensemble des I Card(A(,,,,) premiers éléments de

+

'}

(pour I'ordre lexi-

cographique). On pose CiA = U C(,,,,A. d= 1

a) Pour tout m E AI, on note n(m) le prédécesseur dans A, de m pour I'ordre lexicographique inverse, lorsqu'il existe (i.e. m # Xi). Soient i un entier tel que 1 < i et ai un entier strictement

positif. Montrer que I'on a n(Xf' ... XP) n(X long(A/af).

+

c$)

18) Soient A un anneau et a un idéal de A. Pour tout élément a E A, on note v,(a) la borne supérieure de l'ensemble des entiers v E N tels que a E a". m

a) Montrer que si a $

n

ak la suite

k= O "2

aE

n

ak on pose V,(a) =

est convergente. On notera v,,(a) sa limite. Si

+ co.

k=O

b) Montrer que, pour tout a E A, on a i,(a) = &(a) et en déduire que les conditions suivantes sont équivalentes : (il V&a) 1, (ii) a E (Étudier la monotonie de la suite considérée en a).)

a.

19) Soient A un anneau noethérien et q un idéal de A tel que A/q soit de longueur finie et q contenu dans le radical de A. Montrer que l'on a

e,(A)

=

eG(A).

20) Soient A un anneau noethérien, M un A-module de type fini, et q,, ..., q, des idéaux de A tels que M/qi. M soit de longueur finie pour tout i. On suppose M # O et on pose d = dimA(M). a) Montrer que M/q;' ... q?.M est de longueur finie pour tout k-uple d'entiers positifs (ni, -.., a!)., b) Considerons l'anneau gradué H de type N, tel que

et le H-module gradué N tel que montrer que N est un H-module gradué de type fini engendré par No, ,, et un nombre fini d'éléments dont les degrés sont des vecteurs de la base canonique de Zk. En déduire qu'il existe un polynôme Q(T) E Z[T, , .., Tk]et des entiers s, > 1 , ..., sk 3 1 tels aue l'on ait

(On procédera par récurrence sur d.)

97

AC VI11 .107

EXERCICES

c) En déduire, en étendant à Z((Tl, ..., T,)) les résultats du $ 6, no 1, l'existence d'entiers c(a, , ..., a,) pour les suites (a,, ..., a,) telles que 1 a

1

k

=

cli =

d, tels que l'on ait

i= 1

=

.

C

lml=,

d! a1 ! ..-CLk ! c(a, , ..., a,) vy ... vF

pour (v,, ..., v,) dans Nk. d ) Supposons maintenant A local, à corps résiduel K infini. Montrer, en utilisant l'existence d'éléments superficiels pour le H-module gradué N, que l'on a

où q, parcourt l'ensemble des idéaux de A engendrés par a , éléments de q,, a, éléments de q,, ..., cl, éléments de q,. On note parfois e(q[P1l+ ... + q p l ; M) l'entier c(cll, ..., a,), ce qu'on abrège en e(qy1I ... + q p l ) lorsque M = A. e) Démontrer l'égalité

+

f ) Montrer que l'on a :

e(4[1"ll+ ... où

+

$21; M) = e(qpl + ...

qidésigne la fermeture intégrale

+

q p l .> M)

dans A de l'idéal qi (cf: exerc. 19).

21) Soient A et A' deux anneaux noethériens, et q (resp. q') un idéal de A (resp. A') contenu dans le radical de A (resp. A') et tel que long(A/q) (resp. long(A'/qf)) soit fini. Soit C1 l'idéal q @ A' + A @ q' de l'anneau A @, A'. Montrer qu'il est contenu dans le radical de A @, A' et que l'on a l'égalité ea(A

A')

=

eq(A).e,,(A1).

T 22) * Soient A un anneau intègre noethérien, qui soit local et complet (resp. une algèbre de type fini sur un corps k), a E A un élément non inversible et non nul. On fait les hypothèses suivantes : a ) Supp(A/aA) possède un seul élément minimal p. p) On a UA, = pA,. y) A/p est un anneau intégralement clos. On se propose dans cet exercice de montrer que, pour tout idéal maximal m de A contenant a, l'anneau A, est alors intégralement clos et qu'on a p = UA («lemme d'Hironaka »). On utilisera dans cet exercice la propriété de caténarité. Cette propriété est satisfaite par les anneaux intègres, noethériens, locaux, complets, ainsi qu'on le verra au chapitre X. Elle est aussi satisfaite par les algèbres intègres de type fini sur un corps (5 2, no 4, th. 3). a) Montrer que A, est un anneau de valuation discrète (5 3, no 1, prop. 1 et VI, 3 3, no 6, prop. 9). h ) On fait les hypothèses a ) et fi) et on suppose A intégralement clos. Montrer que l'on a p = UA (VII, 5 1, no 4, prop. 8). c) Soit A' la clôture intégrale de A. Démontrer que A' est un anneau intègre, noethérien, local et complet (resp. que c'est une algèbre de type fini sur k). (On remarquera que A est japonais (IX, 3 4 no 2, th. 2), donc que A' est intègre, noethérien, semi-local et complet et, par suite, local (III, 3 2, no 13, corollaire à la prop. 19). Dans le cas où A est une algèbre de type fini sur k, on utilisera V, $ 3, no 2, th. 2.) d ) Montrer que l'on a A' @, A, = A , (utiliser a) et V, 5 1, no 5, prop. 16). En déduire qu'il existe un seul idéal premier p' de A' au-dessus de p et qu'on a A, = A',., aA,, = p'AP.. e) Soit q un élément minimal du support de A'IaA'. Montrer que q est un idéal premier de A' au-dessus de p. (Remarquer que q est de hauteur 1 (5 3, no 1, prop. 1) et que par suite en vertu

AC VIII. 108

DIMENSION

97

de la caténarité, on a dim(A1/q)= dim(A) - 1. En déduire que l'on a dim(A/(q n A)) =dim(A) - 1 et par suite que q n A = p.) f ) Déduire de e) que UA' est un idéal premier de A' et qu'on a UA' = p' = PA' (on pourra utiliser b)). g) Montrer que l'on a A',,, = A,, pour tout idéal maximal m de A contenant a. (Des inclusions A c A' c Ap déduire les inclusions A/p c A'/pf c A,/pA,. En déduire que A/p et Af/p' ont le même corps des fractions et par suite, d'après y), que A/p = A'/pf = A' @, (A/p), la dernière égalité résultant de f). On a donc (A'/A) @, (A/p) = O. Conclure.) Achever alors la démonstration du lemme d'Hironaka. * 23) a) Soit A un anneau local noethérien tel que e(A) = 1. Montrer que A possède un seul idéal premier minimal p tel que dim(A) = dim(A/p). Montrer que de plus on a long(A,) = 1 et e(A/p) = 1 ($ 7, no 1, remarque 4). b) Rappelons (p. 82, exerc. 10) qdur, anneau local est équidimensionnel si, pour tout idéal premier minimal q de A, on a dim(A/q) = dim(A) et qu'il est sans idéaux premiers immergés si le A-module A, ne possède pas d'idéaux premiers associés immergés (IV, 3 2, no 3, remarque). * (On verra au chapitre X que les complétés de quotients intègres d'anneaux locaux de Macaulay possèdent ces deux propriétés.) * Soit A un anneau local, noethérien, équidimensionnel et sans idéaux premiers immergés, tel que e(A) = 1. Montrer que A est intègre. T 24) * Soient A un anneau local noethérien, Â son complété. On se propose dans cet exercice de démontrer l'équivalence des propriétés : (i) est régulier ; (ii) 4 est équidimensionnel et sans idéaux premiers immergés, et e(A) = 1 ; (iii) A est intègre et e(A) = 1. Démontrer les implications (i) =. (ii) =+ (iii). Remarquer que (?i) entraîne l'égalité e(Â) = 1 et que, pour démontrer (iii) (i), il suffit de démontrer que A est régulier. On peut donc, pour démontrer (iii) =+ (i), supposer A complet, ce que nous ferons désormais. Nous traiterons d'abord le cas où le corps résiduel K, possède une infinité d'éléments. On procède par récurrence sur la dimension de A. Examiner le cas dim(A) = O, et supposer désormais dim(A) > 0. 11 existe alors un élément superficiel x E A ($ 7, no 5, remarque 4). En vertu de la propriété de caténarité (exerc. 22) et de 3 3, no 1, prop. 1, pour tout idéal minimal p parmi ceux contenant xA, on a dim(A/p) = dim(A/xA). Comme on a e(A/xA) = 1 ($ 7, no 5, th. l), il existe un seul idéal premier minimal p parmi ceux contenant xA, et l'on a xAe = PA,, e(A/p) = 1 (exerc. 23). Par l'hypothèse de récurrence, A/p est régulier, donc integralement clos (5 5, no 2, cor. 1 au th. 1). Par le lemme de Hironaka (exerc. 22), on en déduit p = xA. Donc A/xA est régulier et comme A est intègre, A est régulier ($ 5, no 3, prop. 2). Supposons maintenant que K, soit un corps fini. Prouver qu'il suffit de démontrer que le gonflement AIX[ (IX, App., no 2) est régulier. Remarquer que A et par suite AIX[ est isomorphe a un quotient d'un anneau régulier (IX, 3 2, no 5, th. 3) et e(A]X[) = 1. D'après la théorie des est équidimensio* et sans idéaux anneaux de Macaulay (chapitre X) le complété [A premiers immergés. En déduire que A T [ est intègre (exerc. 23) et que e(A]X[) = 1, donc que est régulier. Conclure. *

.+

-

AX

B 25) Soient k un corps, A une k-algèbre locale, localisée en un idéal premier d'une k-algèbre de type fini. Montrer que A est régulière si et seulement si A est intègre et e(A) = 1.(On pourra s'inspirer de la méthode suivie dans l'exerc. 24 ou enzore remarquer que comme A est un quotient intègre d'un anneau régulier, l'anneau local A est équidimensionnel et sans idéaux premiers immergés.)

CHAPITRE IX

Anneaux locaux noethériens complets Dans ce chapitre, tous les anneaux sont supposés commutatifs; les algèbres sont associatives, commutatives et unifères. On note 1, l'élément unité d'un anneau A. Si A est un anneau et p un idéal premier de A, on note ~ ( ple)corps résiduel de l'anneau local A,. Si l'anneau A est local, on note m, son idéal maximal et K A ou ~ ( m , son ) corps résiduel. On dit qu'un homomorphisme d'anneaux p : A + B est plat (resp. fidèlement plat) s'il fait de B un A-module plat (resp. fidèlement plat). Rappelons (1, § 3, no 5, prop. 9) que si A et B sont locaux, p est fidèlement plat si et seulement s'il est plat et local.

9

1. VECTEURS DE W I T T

Dans tout ce paragraphe, p désigne un nombre premier. 1. Polynômes de Witt Pour tout entier n à O, on appelle n-ième polynôme de Witt l'élément 0, de Z B 0 , ..., X,] défini par

On a évidemment a>,

=

Xo et les relations de récurrence

Lorsqu'on affecte Xi du poids pi, le polynôme P . U l , ...1. Pour tout entier m 3 0, notons cD, l'application de AN dans A qui à a = (a,),,, associe @,(ao, ..., a,). On note BA, ou simplement 0,l'application aw( 1. La première assertion de b ) en résulte. Soit k un entier b 1. D'après la formule (52),l'idéal p k . W ( A )de W ( A )est l'ensemble des éléments a = (a,,),,,, de W ( A ) tels qu'on ait a,, = O pour n < k et a,, E A P ~ pour n 3 k. Il est donc fermé pour la topologie G. Comme W ( A )est séparé et complet pour la topologie Z (no 6 ) et que les idéaux pk.W(A) de W ( A ) ,pour k 1, forment une base de voisinages de O dans W ( A ) pour la topologie p-adique, l'anneau W ( A ) est séparé et complet pour la topologie p-adique (TG, III, p. 26, cor. 1 à la prop. 10). PROPOSITION 7. Soit A un anneau parjàit de caractéristique p. a ) Pour tout élément a = (a,),,, de W ( A ) , la série de terme général pnz(ai-") est convergente dans W ( A ) , de somme a. b ) Sur W ( A ) , la topologie V , (A)-adique, la topologie p-adique et la topologie 'e coïncident. Plus précisément, on a V n ( A )= pn.W(A) = (V,(A))" pour tout entier n 3 0. En particulier @, déjinit un isomorphisme de W ( A ) / p . W ( A )sur A. Par définition (A, V , p. 5), l'application a H aP est un automorphisme de I'anneau A. D'après la prop. 5, F est donc un automorphisme de l'anneau W ( A ) , et l'on a, pour tout n E N, -

En particulier, on a (V,(A))" = (p.W(A))" D'après la prop. 5, on a

=

pn.W(A). L'assertion b ) résulte de là.

et l'assertion a ) résulte de la prop. 4 du no 6.

PROPOSITION 8. Soit A un corps de caractéristique p. L'anneau W ( A )est un anneau local intègre séparé et complet, d'idéal maximal V I( A ) et de corps résiduel isomorphe a A. Si le corps A est parjàit, l'anneau W ( A ) est un anneau de valuation discrète, et son idéal maximal est p. W ( A ) . L'homomorphisme O et n > 0, et des éléments a' = (a:),,, et b' = (K),,, de W ( A )tels que a = Vm(a'),b = V"(bl) et que les éléments ab et i$ de,A soient non nuls. Alors la composante d'indice m + n de a x b est égale à la composante d'indice O de Fn(a') x Fm(b') (formule (53)), c'est-à-dire à a:"@"' (formule (51) et no 3, exemple 2). Par suite a x b est non nul et W ( A )est intègre. Si le corps A est parfait, l'idéal maximal V l ( A ) de W ( A ) est égal à p.W(A) -

NO

1

AC IX.17

ANNEAUX DE COHEN

(prop. 7,b))et par suite W ( A )est un anneau de valuation discrète (VI, 5 3, no 6, prop. 9, cl). Remarques. - 1) Soit A un corps de caractéristique p. On peut montrer que l'anneau W ( A )est noethérien si et seulement si A est parfait (p. 43, exerc. 9). 2 ) Soit A un anneau de caractéristique p. D'après la prop. 5, on a les formules

pn.[ao, ..., an+,- ,]

=

[O, ..., O, aPgn,..., C-rJ

n fois

pour tout vecteur de Witt [a,, ..., a,+,- ,] de longueur n + m. En fait, l'application F : W ( A ) -, W ( A ) permet, par passage aux quotients par V,(A), de définir une application :W,(A) -+ W,(A). On a la formule

-

,

Les applications VA 0 Fm et Fm+,0 VA de W,(A) dans W,+ ( A ) sont égales et sont déduites, par passage au quotient, de la multiplication par p dans W,,, (A).

$ 2. ANNEAUX DE COHEN

Dans tout ce paragraphe, p désigne un nombre premier. 1. p-anneaux 1. - On dit qu'un anneau C est un p-anneau si l'idéal pC de C est maximal, et si C est séparé et complet pour la topologie pC-adique. Soit C un anneau ; si pl, est nilpotent et si l'idéal pC de C est maximal, C est un panneau, car la topologie pl-adique de C est discrète. Plus particulièrement, tout corps de caractéristique p est un p-anneau. DÉFINITION

PROPOSITION 1. - Soit C un p-anneau. a ) L'anneau C est local, d'idéal maximal pC. b ) Supposons pl, nilpotent. Soit d le plus petit entier positif tel que pdl, = O. Les zdéaux de C sont de laforme pkC avec O < k < d et l'on a pkC # p' C lorsque k et 1 sont deux entiers distincts vériJiant O < k < d, O < 1 < d. Le C-module C est de longueur d. c ) Supposons que pl, ne soit pas nilpotent. Alors C est un anneau de valuation discrète dont le corps résiduel est de caractéristique p, et le corps des fractions de caractéristique O. Les idéaux de la forme pnC, avec n E N , sont deux à deux distincts ; ils forment tous les idéaux non nuls de C. Le C-module C n'est pas de longueurfinie.

AC IX. 18

52

ANNEAUX LOCAUX NOETHÉRIENS COMPLETS

L'assertion a) résulte de la prop. 19 de III, 9 2, no 13. On a fl pnC = { O ) par hypothèse. Soit x # O dans C ; il existe un entier n 3 O na0 tel que x E pnC,x 4 p"+ 'C ;il existe donc un élément y de C tel que x = pny; comme y n'appartient pas à pC, y est inversible. Supposons que pl, ne soit pas nilpotent. Si x et x' sont deux éléments non nuls de C, il existe deux entiers n 3 0, n' 3 O et deux éléments inversibles y, y' de C tels que x = pny,x' = pn'y'.On a alors xx' = pn+n'yy' # O, donc C est intègre. Comme C est un anneau local, mais n'est pas un corps et que l'idéal maximal m, = pC de C est principal, C est un anneau de valuation discrète (VI, 3 3, no 6, prop. 9). Les idéaux non nuls de C sont alors de la forme pnC d'après loc. cit., prop. 8, et sont deux à deux distincts. En particulier, l'anneau C n'est pas artinien, donc le C-module C n'est pas de longueur finie. Le corps résiduel C/pC de C est de caractéristique p. Soit q la caractéristique du corps des fractions de C. On a pl, # O, d'où p # q. Par ailleurs, si q était non nulle, on aurait ql, = O donc C/pC serait de caractéristique q # p, ce qui est absurde. Ceci prouve c). Supposons que pl, soit nilpotent. Soit d le plus petit entier positif tel que pdlc= 0. On a une suite d'idéaux iE)

C

3

pc

3

p2C 2 ...

3

3

pdC = { O ) .

Si k est un entier tel que O < k < d et pkC = pk+lC, on en déduit pd-k-lpkC = p d - k - l p k + l c = { O ] contrairement à l'hypothèse pd-'l, # O. Donc les éléments de la suite (E) sont deux à deux distincts. Soit a un idéal de C et soit k le plus petit entier positif tel que a 3 pkC. Soit x un élément non nul de a ; on a vu que x est de la forme pmu avec m 3 O et u inversible dans C. On a donc pmC c a, d'où m 3 k, et finalement x E pkC. En conclusion, on a a = pkC. La suite (E) est alors une suite de Jordan-Holder du C-module C, qui est de longueur d. COROLLAIRE 1. - Si le p-anneau C est intègre, c'est un anneau de valuation discrète, ou un corps de caractéristique p. Supposons C intègre. Si pl, est nilpotent, on a pl, = O, et {O 1 est un idéal maximal de C, donc C est un corps de caractéristique p. Si pl, n'est pas nilpotent, alors C est un anneau de valuation discrète d'après la prop. 1, c). COROLLAIRE 2. - Soient C un p-anneau et a un idéal de C distinct de C. L'anneau C/a est un p-anneau. On peut supposer a # {O). Il existe alors un entier i 3 1 tel que a = pic ; l'idéal pC/a de C/a est maximal et l'on a pile, = O, donc C/a est un p-anneau. Soit C un p-anneau. On appelle longueur de C, et l'on note l(C), la borne supérieure dans R de l'ensemble des entiers n 3 1 tels que pn-'1, # O. Lorsque l(C) est finie, c'est la longueur du C-module C, et lorsque 1(C)est égale à co,le C-module C n'est pas de longueur finie (prop. 1).

+

No

1

ANNEAUX DE COHEN

AC IX. 19

Exemples. -1) Pour tout entier n 2 1, l'anneau Z/pnZest un p-anneau de longueur n. L'anneau Z, des entiers p-adiques est un p-anneau de longueur infinie. 2) Soit K un corps parfait de caractéristique p. D'après la prop. 8 du § 1, no 8, l'anneau W(K) des vecteurs de Witt est un p-anneau de longueur infinie. L'application (a,),,, H a. induit par passage au quotient un isomorphismede W(K)/pW(K) sur le corps K (loc. cit., prop. 7). Pour tout entier n 3 1, l'anneau W,(K) est un p-anneau de longueur n.

=

W(K)/P"W(K)

2. - Soient C et C' deux panneaux et u un homomorphisme de C dans PROPOSITION C'. Soit v l'homomorphisme de K, = C/pC dans K,, = C1/pC'déduit de u par passage aux quotients. a) On a 1(C) 2 1(C') et u est injectifsi et seulement si l'on a l(C) = l(C'). b) Pour que u soit surjectif; il faut et il sufit que v soit un isomorphisme. c) Pour que u soit un isomorphisme, il faut et il sufit que v soit un isomorphisme et qu'on ait 1(C) = 1(Cf). Soit n 2 1 un entier. On a U(~"-'I,) = pn-Il,., donc la relation pn-'l,, # O entraîne pn-'1, # O et lui est équivalente si u est injectif. On a donc l(C') d 1(C) avec égalité si u est injectif. Si u n'est pas injectif, il existe un entier i < l(C) tel que le noyau de u soit l'idéal pic de C ;on a alors pilC. = O, d'où l(C') d i. Ceci prouve a). . des corps, l'homomorphisme v est injectif. Si u est surjectif, Comme K~ et K ~ sont il en est de même de v qui est donc un isomorphisme. Réciproquement, supposons v surjectif. Alors pour tout entier n 2 0, l'application v, :pnC/pn+'C -+ pnC'/pn+'C' déduite de u est surjective. Comme C est complet pour la filtration pC-adique et C' séparé pour la filtration pC'-adique, u est surjectif d'après le cor. 2 du th. 1 de III, § 2, no 8. Ceci prouve b). Enfin, c) résulte de a) et b). PROPOSITION 3. - Soit (C,, n,,,) un système projectifd'anneaux relatifà l'ensemble d'indices N. On suppose que C, est un p-anneau pour tout n E N et que les homowiorphismes IT,,, sont surjectifs. Alors C = @ C, est un p-anneau, et pour tout n E N , l'homomorphisme canonique n, :C + C, est surjectif et induit un isomorphisme de K, sur K,--. Comme les applications n,,, sont surjectives, il en est de même des applications n, (E, III, p. 58, prop. 5). Montrons que C est un p-anneau. Soit d, la longueur de C,. D'après la prop. 2 a), la suite des éléments d, de N u ( + co ) est croissante ; si elle est stationnaire, il existe un entier no tel que n,,, soit un isomorphisme de Cmsur C, lorsque no ,< n < m, de sorte que C, isomorphe à C,,, est un p-anneau. Il suffit donc de considérer le cas ou chaque d, est fini et où la suite (d,) tend vers + m. Munissons l'anneau C de la filtration triviale (III, 9 2, no 1, exemple 5). Pour n E N, soit 1, le noyau de n, ;posons In = C si n < O. Notons E le C-module C muni de la filtration (I,),,. Il est séparé et complet, car la topologie b définie par la filtration (In),,, est la topologie limite projective des topologies discrètes sur les C,.

Soit k un entier 3 1. On a P ~ C c li@pkC,) (E, III, p. 55, formule (9)). Réciproquement, si x = (x,),,, ~l@(p~C,)et si on pose X, = {y E CInn(pky)= x,), la suite (X,),,, est une suite décroissante de parties affines fermées non vides de E. Comme E/I, est un C-module artinien, l'intersection des X, est non vide (III, 4 2, no 7, prop. 7) ; pour tout z E r) X, on a pkz = X. NOUSavons donc prouvé qu'on a pkC = l & pkC, nsN

pour tout entier k 2 1. En particulier l'idéal pkCde C est fermé pour la topologie Z. Sur C, la topologie p-adique est plus fine que la topologie Z car on a pdnCc 1,. Il résulte alors de TG, III, p. 26, cor. 1 à la prop. 10, que C est séparé et complet pour la topologie pl-adique. En outre on a pC = lim pC, = n;'(pC,) et donc l'homomorphisme surjectif de C/pC dans C,/pC, déduitde n, est un isomorphisme. Ceci montre que l'idéal pC de C est maximal et par suite que C est un p-anneau. La dernière assertion de la prop. 3 résulte de la prop. 2 b).

2. Anneaux de Cohen DÉFINITION 2. - Soit A un anneau local séparé et complet, dont le corps résiduel est de caractéristique p. On appelle sous-anneau de Cohen de A un sous-anneau C de A qui est un p-anneau tel que A = m, + C (i.e. A/mA = C/(m, n C)). Si C est un sous-anneau de Cohen de A, l'idéal mA n C de C est maximal, donc égal à pC. L'application canonique de K, = C/pC sur KA = A/m, est donc un isomorphisme de corps. Exemple. - Soit C un p-anneau. L'anneau de séries formelles A = C[[T,, ..., T,]] est un anneau noethérien, local, séparé et complet, dont l'idéal maximal est engendré par la suite (p, T l , ..., T,). Il est immédiat que C est un sous-anneau de Cohen de A. Ceci s'applique en particulier lorsque C est égal à Z,, à Z/pnZou à un corps de caractéristique p. THÉORÈME 1. - Soit A un anneau local, séparé et complet, dont le corps résiduel k est de caractéristique p. Soit n l'application canonique de A sur k, et soit S une partle de A, telle que n induise une bijection de S sur une p-base de k (A, V, p. 95). a) Il existe un sous-anneau de Cohen C de A contenant S, et un seul. b) Le sous-anneau C de A est fermé, et la topologie pl-adique de C est induite par la topologie mA-udique de A. c) Tout sous-anneaufermé A' de A, contenant S, et tel que A = A' + m,, contient C.

A) Cas particulier : m, nilpotent Soit n un entier positif tel que m"' = {O}. Si @, est le n-ième polynôme de Witt (4 1, no l), l'application u :[a,, ..., a,] H @,(a,, ..., a,) est un homomorphisme d'anneaux de W,+,(A) dans A (4 1, no 7). Soit B, l'image de u et soit C, le sousanneau de A engendré par B, u S.

No

2

AC IX.21

ANNEAUX DE COHEN

Lemme 1. - Soit A' un sous-anneau de A contenant S. Pour que A' contienne C,, il faut et il sufit qu'on ait A' + m, = A. On a pA c m, et B, se compose des éléments de la forme a$" + pu;"-' + ... + pna, avec a,, ..., a, dans A. Par suite, on a n(B,) = kP", d'où n(C,) = kPn[n(S)]. Mais comme n(S) est une p-base de k, on a k = kP"[n(S)] (A, V, p. 96), d'où n(C,) = k, c'est-à-dire C, + m, = A. Soit A' un sous-anneau de A contenant S. Si A' contient C,, on a

A ' + m , ~ C , + m , = A , d'où A 1 + m A = A . Réciproquement, supposons qu'on ait A' + m, = A. Soient a,, ..., a, des éléments de A; il existe par hypothèse des éléments a;, ..., an de A' tels que ai r a; mod. m, pour O d i d n. D'après la prop. 1 du 1, no 1 et l'hypothèse m A = {O}, on a donc @,(a,, ..., a,) = @,(ab, ..., ai) E A', d'où B, c A'. Comme C, est l'anneau engendré par B, u S, on a C, c A'.

+

Dans l'ensemble S des sous-anneaux A' de A contenant S et tels que A' m, = A, il existe d'après le lemme 1 un plus petit élément C, et Von a C, = C pour tout entier n 3 O tel que m;" = {O}. On a C + m, = A par construction et pl, est nilpotent. On a évidemment pC c C n m, et le lemme 2 qui suit montre donc que pC est un idéal maximal de C et par suite que C est un sous-anneau de Cohen de A. Lemme 2. - On a C n m, c pC. Choisissons un entier m 2 1 tel que m; = (O}, d'où C = Cm = Cm-,. Soit A la partie de N(S)formée des familles à support fini d'entiers (a,),,, satisfaisant a O d a, < pm pour tout s E S. Comme Bm contient sPm= am(s,O, ..., 0 ) pour tout s E S, les monômes Z, = sas, où a parcourt A, engendrent Cmcomme B,-module.

n

SES

De plus, d'après la formule @,(a,, ..., a,)

=

+ fl,-,(a,,

..., a,),

tout élément de Bmest de la forme aPm+ pb avec a E A et b E B,élément de C = Cmest de la forme

,.Par suite tout

avec c, E A pour tout a E A, et y E Cm- = C. Six appartient à C n m,, on an(x) = O d'où n(c,)Pmn(Z,) = O. Comme x(S) est une p-base de k, on a n(c,) = O pour

1

asA

tout a E A d'après A, V, p. 96. On a alors c, E m,, d'où ca D'après (l),on a x = py, d'où le lemme 2.

=

O et a fortiori eu"' = 0.

On a pmC = m; = {O} pour m assez grand et l'assertion b) est donc triviale. L'assertion c) résulte du lemme 1. Si C' est un sous-anneau de Cohen de A contenant S, on a C' 3 C d'après le lemme 1. Mais comme l'inclusion de C dans C' induit un

isomorphisme de K, sur K,, , on a C a).

=

C' (no 1, prop. 2, b)), et ceci achève de prouver

B) Cas général Pour tout entier n 2 O, notons A, l'anneau local A/mA1, m, = mA/m;+' son idéal maximal et TC, l'homomorphisme canonique de A sur A,. D'après A), il existe un unique sousianneau de Cohen C, de A, contenant TC,(S).Lorsque O < n < m, on note TC,,, l'homomorphisme canonique de A, sur A,. D'après le cor. 2 de la prop. 1 du no 1, TC,,,(C,) est un p-anneau; on a x,,,(C,) + m, = A,, donc a,,,(C,) est égal au sous-anneau de Cohen C, de A,. D'après la prop. 3 du no 1, le sous-anneau lim C, de @ A, est un p-anneau. Posons C = n TC,-'(C,). Comme C est l'image t n tN

réciproque de & I C, par l'isomorphisme a H (n,(a)),,, de A sur @I A,, c'est un sous-anneau fermé de A, et un p-anneau. On a TC,(C)= C, pour tout n E N (no 1, prop. 3), et en particulier TC,(C)= A,, c'est-à-dire TC(C) = k. Donc C est un sousanneau de Cohen de A. Pour tout entier n >, O, posons J, = C n mi. Comme l'anneau local A est séparé, J, = {O), et vu la structure des idéaux d'un p-anneau (no 1, prop. l), tout on a fl ntN

idéal de C de la forme pkC contient l'un des J,. Réciproquement, J, contient pnC. Par suite, la topologie pC-adique de C est induite par la topologie mA-adiquede A. Ceci prouve b). Soit A' un sous-anneau fermé de A, contenant S et tel que A' + m, = A. Comme A' est fermé, on a A' = n x;'(nn(Ai)). On a n,(A') 2 TC,(S)et n,(A1) + m, = A,, neN

'

d'où TC,(A')2 C, d'après ce qu'on a vu en A). Finalement, on a TC; '(n,(A')) 3 TC; (C,) d'où A' 3 C. Ceci prouve c). On en déduit l'unicité d'un sous-anneau de Cohen comme en A). Remarque. Supposons que pl, ne soit pas nilpotent (ceci a lieu en particulier lorsque A est un anneau intègre dont le corps des fractions est de caractéristique 0). Alors C est un anneau de valuation discrète dont le corps des fractions est de caractéristique O. -

3. Existence et unicité des p-anneaux PROPOSITION 4. Soient C et C' deux p-anneaux tels que 1(C) l(C'), TC (resp. TC') l'homomorphisme canonique de C (resp. C') sur ic, (resp. K,,). Soit (x,),,, (resp. (xi),,,) une famille d'éléments de C (resp. C') dont l'image par TC (resp. TC')soit une p-base de K~ (resp. ic,.). Soit v un isomorphisme de K, sur K., tel que v(Tc(x,))= n'(xi) pour tout h E A. I l existe alors un unique homomorphisme u de C dans C', tel que v 0 TC = n' 0 u et u(x,) = xi pour tout h E A. Il est surjectif: Si l(C) = /(CI), c'est un isomorphisme. Prouvons l'existence de u. Soit A le sous-anneau de C x C' formé des couples L'application (x, x') H ~ ( xest ) un homomorphisme (x, x') tels que u(x(x)) = TC'(X'). -

No

3

ANNEAUX DE COHEN

AC IX.23

. noyau m, égal à pC x pC' est donc un idéal surjectif d'anneaux de A sur K ~ Son maximal de A. Le sous-espace topologique A de C x C' est fermé dans C x C', donc complet, et la topologie induite sur A par celle de C x C' est la topologie madique. Par suite A est un anneau local séparé et complet d'idéal maximal m (III, § 2, no 13, prop. 19). Pour tout h E A, on a (x,, xi) E A par hypothèse ; si E,, est Ia classe de (x,, xi) modulo m, la famille (E,,),,, est une p-base du corps A/m. D'après le th. 1 du no 2, il existe un sous-anneau de Cohen C" de A, et un seul, contenant (x,, xi) pour tout L E A. On a 1(CW) = 1(C) 3 l(C'). La restriction à C de la projection de C x C' sur C est un homomorphisme h : C -+ C qui induit un isomorphisme de K~ sur K,. D'après la prop. 2, c) du no 2, h est un isomorphisme de C" . sur C. On voit de même que la restriction h' à C" de la projection de C x C' sur C' est un homomorphisme surjectif de C dans C'. Par suite, C" est le graphe d'un homomorphisme surjectif u = h' o h-' de C sur C', et l'on a évidemment v o x = x' o u, u(x,) = xi pour tout h E A. En outre, si 1(C) = l(C1),u est un isomorphisme. Prouvons l'unicité de u. Soit ul un homomorphisme de C dans C' tel que v 0 x = n' 0 u, et ul (x,) = x; pour tout h E A, et soit Cl le graphe de u,. Il est immédiat que Cl est un sous-anneau de Cohen de A, contenant (x,, x;) pour tout h E A, d'où Cl = C (th. 1 du no 2) et finalement u, = u.

PROPOSITION 5. - Soit k un corps de caractéristique p, et soit n un entier 3 1, ou + co.Il existe un p-anneau de longueur n dont le corps résiduel est isomorphe à k. L'anneau W(k) des vecteurs de Witt à coefficients dans k est un anneau local intègre séparé et complet, dont le corps résiduel est isomorphe à k ($ 1, no 8, prop. 8), et on a p. 1,(,, # O (loc. cit., formule (52)).Soit C un sous-anneau de Cohen de W(k) (no 2, th. 1). Alors C est un p-anneau de longueur + co dont le corps résiduel est isomorphe à k, et, si n est un entier 3 1, le quotient C/pnC est un p-anneau de longueur n dont le corps résiduel est isomorphe à k. Remarques. - 1) Soient n un entier > 1 et S une p-base de k. On peut montrer que le sous-anneau de Wn(k)engendré par Wn(kP")et par les éléments [E,, O, ..., O ] (6 E S), est un p-anneau de longueur n dont le corps résiduel est isomorphe à k (cf. p. 72, ex.erc. 10). 2) Le lecteur trouvera en Appendice une démonstration de la prop. 5 qui n'utilise ni les résultats du 1, ni le théorème d'existence de sous-anneaux de Cohen (no 2, th. 1). COROLLAIRE. - Soit C un p-anneau de longueur $nie n. Il existe un p-anneau C' de longueur infinie tel que C soit isomorphe à C'/pnC'. D'après la prop. 5, il existe un p-anneau C' de longueur infinie tel que K,. soit isomorphe à K,. Alors C'/pnC' = CEest un p-anneau de longueur n, et le corps K , ~ est isomorphe à K,., donc à K,. D'après la prop. 4, les anneaux C et Cfnsont donc isomorphes.

4. Représentants multiplicatifs PROPOSITION 6. - Soit C un p-anneau, dont le corps résiduel k soit parfait. Supposons C de longueur finie n (resp. infinie). Il existe un unique isomorphisme u :W , ( k ) + C (resp. u :W ( k ) -+ C) qui induise par passage aux quotients l'application identique de k. Comme W,(k) (resp. W ( k ) )est un p-anneau de corps résiduel k, et de longueur n (resp. de longueur infinie) (no 1, exemple 2), et que 0est une p-base du corps parfait k, la prop. 6 est un cas particulier de la prop. 4 du no 3. THÉORÈME 2. - Soient A un anneau local séparé et complet, k son corps résiduel et n l'homomorphisme canonique de A sur k. On suppose que k est un corps parfait de caractéristique p. a ) Il existe un unique homomorphisme d'anneaux u :W ( k )-+ A tel que n(u(a))= a, pour a = (a,),,, dans W ( k ) . b ) L'homomorphisme u est continu lorsqu'on munit W ( k ) de la topologie pW(k)adique, et l'image de u est l'unique sous-anneau de Cohen de A. D'après le th. 1du no2, il existe un unique sous-anneau de Cohen de A ;notons-le C. Soit u un homomorphisme de W ( k )dans A tel que n(u(a))= a, pour tout a = (a,),,, dans W ( k ) ;il est immédiat que l'image de u est un sous-anneau de Cohen de A, donc égal à C. L'existence et l'unicité de u résultent alors de la prop. 6. La topologie pC-adique de C est induite par la topologie mA-adiquede A (no 2, th. 1, b)), d'où la continuité de u. Pour une construction directe de u, voir p. 70, exerc. 6. PROPOSITION 7. - Conservons les hypothèses et notations du th. 2.11 existe une unique partie multiplicative S de A telle que n induise une bijection de S sur k. Pour qu'un élément a de A appartienne à S, il faut et il suffit que pour tout n E N , il existe un élément a, de A tel que a = an". L'ensemble S est l'ensemble des éléments de la forme u(x,O, O, ...). Prouvons tout d'abord l'unicité de S. Soit S une partie multiplicative de A, telle que 71. induise une bijection de S sur k. Soit T Sensemble des éléments de A qui sont des puissances pn-ièmes pour tout n E N. a ) On a S c T : Soient a E S et n E N ; comme le corps k est parfait, il existe un élément x, de k tel que xff = n ( a ); comme on a x ( S ) = k, il existe un élément a, de S tel que x, = n(a,). On a alors 7t(ann)= n(a) d'où ann = a puisque la restriction de 7t à S est injective. b ) La restriction de K à T est injective : soient a et b deux éléments de T tels que ~ ( a=) a(b).Soit n E N ;il existe deux 6léments a, et b, de A tels que a = ann,b = b;". On a alors . n ( ~ , ) ~=" n(b,)Pn, d'où nia,) = n(b,), c'est-à-dire a, b, mod. m,. bnZnmod. mA1 c'est-à-dire a = b D'après le lemme 1 du § 1, no 1, on a a;" mod. m"'. Comme n est arbitraire, on a a = b.

-

-

NO

4

ANNEAUX DE COHEN

AC IX.25

Les propriétés a) et b) ci-dessus, jointes a la formule n(S) = k, entraînent la relation S = T, d'où l'unicité. Prouvons maintenant l'existence de S. Avec les notations du th. 2, posons cp = u 0 z,, c'est-à-dire Q ( 1, no 6)

pour tout x E k. D'après la prop. 4 de loc. cit., on a

Il est clair que l'application n 0 cp est l'application identique de k. Donc l'image S de cp satisfait aux conditions de la prop. 7. Les éléments de S sont souvent appelés les représentants multiplicatifs (ou de Teichmüller) de A. Remarques. - 1) Conservons les hypothèses et notations précédentes. On a

d'après la prop. 7 du Q 1, no 8. On a donc

pour tout a

=

(a,),,,

dans W(k), car u est continu (th. 2, b)). D'après la formule (4), m

l'unique sous-anneau de Cohen de A se compose des éléments de la forme

pns, n=O

avec s, E S pour tout entier n S 0. 2) Soient A un anneau local séparé et complet, k son corps résiduel et n l'homomorphisme canonique de A sur k. On peut montrer qu'il existe une partie multiplicative S de A (non unique en général) telle que n induise une bijection de S sur k (cf.p. 72, exerc. 1 1). Exemples. - 1) Soit k un corps parfait de caractéristique p. Les représentants multiplicatifs de l'anneau W(k) sont les vecteurs de Witt ~ ( x = ) (x, 0, O, ...) pour x E k. 2) Soit A un anneau local intègre, séparé et complet. On suppose que le corps résiduel k de A est fini à q = pf éléments, donc parfait de caractéristique p. On a xq = x pour tout x E k, d'où sq = s pour tout représentant multiplicatif S.Il en résulte que l'ensemble des représentants multiplicatifs se compose de O et des q - 1 racines (q - 1)-ièmes de l'unité dans le corps des fractions de A. Si le corps des fractions de A est localement compact, l'existence des représentants multiplicatifs découle aussi de VI, Q 9, no 2, prop. 3 (cf: aussi VI, 3 9, exerc. 5). 3) Plus particulièrement, considérons le cas A = Z,. Alors les représentants

multiplicatifs sont O et les racines (p - 1)-ièmes de l'unité dans le corps des fractions Q p de Z p . 5. Structure des anneaux locaux noethériens et complets

Soient A et C des anneaux locaux noethériens complets et soit u un homomorphisme local de C dans A, induisant par passage aux quotients un isomorphisme de K, sur KA. Soit (pl, ..., pm) une suite engendrant l'idéal m, de C, et soient t,, ..., t, des éléments de m,. Posons B = C[[Tl, ..., T,]]. Lemme 3. -a) I l existe un unique homomorphisme v :B -+ A qui prolonge u et applique Ti sur ti pour 1 < i ,< n. b) Pour que v soit surjectg ilfaut et il suffit que la suite (u(pl), ..., u(p,), t,, ..., t,) engendre l'idéal m, de A, ou encore que les classes de ces éléments modulo m i engendrent m,/mA comme espace vectoriel sur le corps KA. c) Pour que u fasse de A une B-algèbre finie, il jaut et il sudit que la suite @(pi), ..., u(pm),t , ..., t,,) engendre un idéal de déjinition de (la topologie m,-adique de) A. Notons n l'idéal de l'anneau B engendré par T l , ..., T,. Tout homomorphisme v de B dans A qui prolonge u et tel que v(Ti) = t, applique n dans m,, donc est continu lorsqu'on munit B de la topologie n-adique. L'existence et l'unicité de v résultent alors de A, IV, p. 26, prop. 4. L'anneau B = C[[Tl, ..., TA] est un anneau local noethérien complet (III, § 2, no 10, cor. 6 du th. 2 et no 6, prop. 6), dont l'idéal maximal m, est engendré par pl, ..., p,, T l , ..., T,. On a donc ~(m,)c m, et v définit un homomorphisme gr(v) a)

de gr(B) = @ m;/m;+ n=O

u '

dans gr(A) = @ mA/mA l. O r l'anneau gr(A) est engendré n=O

par A/mA = K, et m,/mA, gr(v) induit un isomorphisme de K, = K, sur KA, et les classes modulo m i des éléments pl, ..., p,, T l , ..., T, engendrent m,/mi comme espace vectoriel sur K, ; de plus v est surjectif si et seulement si gr(v) est surjectif (III, § 2 no 8, cor. 2 du th. 1).Ceci prouve b). , u(p,), t , , ..., t,,)n'est autre que v(m,) A. L'idéal de A engendré par la suite ( ~ ( p , )..., Puisque m, contient o(m,), A est un anneau de Zariski pour la topologie u(m,) A-adique. L'anneau A/v(rn,) A est artinien si et seulement si sa longueur en tant que A-module est finie. Mais comme tout module simple sur A est annulé par ni, et que, par hypothèse, A/m, et B/m, sont isomorphes, cela se produit si et seulement si la dimension sur le corps B/m, de l'espace vectoriel A/v(m,) A est finie. Par IV, 5 2, no 5, cor. 2 de la prop. 9, on voit donc que v(m,) A est un idéal de définition de A si et seulement si la dimension de A/v(m,) A sur B/m, est finie. C'est bien le cas si A est une B-algèbre finie. Supposons que v(m,) A soit un idéal de définition de A. La topologie m,-adique du B-module A coïncide alors avec la topologie m,-adique de l'anneau A, donc est séparée. Comme A/v(m,) A est un module de type fini sur B/m,, A est un B-module de type fini (III, 5 2, no3, exemple 3 et no 9, cor. 1de la prop. 12).Ceci prouve c).

NO

5

AC IX. 27

ANNEAUX DE COHEN

Lemme 4. - Supposons que l'anneau local noethérien C soit régulier, et que ( p l , ..., p,) soit un système de coordonnées de C (VIII, 5, no 1, déf. 1). a ) Si la suite ( ~ ( p , )..., , u(pm),t , , ..., t,) est sécante pour A (VIII, 5 3, no 2, déf. l ) , l'homomorphisme v :B + A est injectg b ) Pour que v soit injectifet fasse de A une algèbrefinie sur B, il faut et il sufit que ( ~ ( p , )..., , ~ ( p , ) ,t,, ..., t,) soit une suite sécante maximale pour A. Alors A est de dimension m + n. Pour que la suite ( ~ ( p , )..., , u(pm),t , , ..., t,) soit une suite sécante maximale pour A, il faut et il suffit qu'elle engendre un idéal de définition de A, et que A soit de dimension m + n (VIII, 9 3, no 2, th. 1). D'après le lemme 3, c), il revient au même de dire que A est une B-algèbre finie, et un anneau de dimension m + n. Or C est un anneau intègre noethérien de dimension m, donc B = C[[T, , ..., T,]] est un anneau intègre noethérien de dimension m + n (VIII, 4 3, no 4, cor. 3 de la prop. 8). Si A est une B-algèbre finie, et si a est le noyau de v, on a dim(A) = dim(B/a)(VIII, 4 2, no 3, th. 1,c'));comme B est un anneau intègre de dimension finie, on a dim(B/a) < dim(B) si a # ( O } (VIII, 4 1, no 3, prop. 6, e)).Donc, si A est une B-algèbre finie, v est injectif si et seulement si A est de dimension m + n. Ceci prouve b). Supposons que la suite ( ~ ( p , )..., , u(pm),t,, ..., t,) d'éléments de m, soit sécante. On peut lui adjoindre (VIII, 9 3, no 2, th. 1) des éléments t,, , ..., t, +, de m, pour en faire une suite sécante maximale. D'après ce qui précède, il existe alors un homomorphisme injectif w de C[[T, , ..., T,, T,, , ..., T,+,]] = B[[T,+ , ..., T,,,]] qui prolonge v et applique T,,, sur t,,, pour 1 < j < r. Donc v est injectif. Ceci prouve a).

,

,

,

THÉORÈME 3. - Soit A un anneau local, noethérien et complet dont le corps résiduel k soit de caractéristique p. Soit C un p-anneau de longueur infinie, dont le corps résiduel soit isomorphe à k (no 3, prop. 5). a ) Soit m la dimension de l'espace vectoriel m,/(m; + P A ) sur le corps k. Il existe un idéal a de l'anneau C[[T,, ..., TA] tel que A soit isomorphe à C[[T,, ..., Tm]]/a. b ) Soit d la dimension de A. Supposons que pl, ne soit pas diviseur de O dans A. Alors il existe un sous-anneau A' de A isomorphe à C[[T,, ..., Td- ,]] et tel que A soit une algèbre finie sur A'. Soit C' un sous-anneau de Cohen de A (no 2, th. 1). Comme C est de longueur infinie, il existe un homomorphisme de C sur C' (no 3, prop. 4). Par suite, il existe un homomorphisme local u :C + A. Choisissons des éléments t , , ..., tmde m, dont les classes forment une base de l'espace vectoriel mA/(mA + P A ) sur le corps k. On a u(p1,) = pl,, et le lemme 3, b) prouve l'existence d'un homomorphisme surjectif de C[[T,, ..., T,,]] dans A, prolongeant u et appliquant T, sur t, pour 1 d i d m. Ceci prouve a). Supposons que pl, ne soit pas diviseur de O dans A donc sécant pour A (VIII, 5 3, no 2, prop. 3). Il existe alors (VIII, 5 3, no 2, th. 1) des éléments t , , ..., td-, de m, tels que la suite (pl,, t , , ..., t,- ,) soit sécante maximale pour A. L'anneau local noethérien C est régulier, et (pl,) est un système de coordonnées de C. L'assertion b ) du th. 3 résulte alors du lemme 4, b).

5

3. CORPS DE REPRÉSENTANTS

1. Anneaux locaux d'égales caractéristiques Soit A un anneau. Rappelons (A, V, p. 2) que la caractéristique de A est définie lorsque A contient un sous-corps. Elle est égale à O si et seulement si A contient un sous-corps isomorphe à Q, et égale à un nombre premier p si et seulement si on a pl, = O. Si la caractéristique de A est définie, et si f :A -+ B est un homomorphisme non nul d'anneaux, la caractéristique de B est définie et elle est égale à celle de A. Soit A un anneau local, d'idéal maximal m, et de corps résiduel k. a ) Supposons k de caractéristique 0 . Alors A contient un corps et la caractéristique de A est égale à O. En effet, l'homomorphisme canonique de Z dans A est injectif, et pour tout entier n non nul, n l , est inversible dans A, car il n'appartient pas à m. b ) Supposons k de caractéristiquep # O. Alors A contient un corps si et seulement si pl, = O. Dans ce cas la caractéristique de A est égale à p. Supposons que A soit un anneau local intègre, de corps des fractions K et de corps résiduel k. a') L'anneau A contient un sous-corps si et seulement si les caractéristiques de k et K sont égales. Dans ce cas, la caractéristique de A est égale à celle de k et de K , et on dit que A est un anneau local d'égales caractéristiques. b') Supposons que les corps k et K n'aient pas même caractéristique. Alors il existe un nombre premier p tel que k soit de caractéristique p. Comme on a q l , # O pour tout nombre premier q # p, le corps K est de caractéristique 0 . On dit alors que A est un anneau local d'inégales caractéristiques.

2. Un théorème de relèvement

PROPOSITION 1 . - Soient k, un corps, A une k,-algèbre qui est un anneau local séparé et complet, K une sous-ko-extension de KA qui possède une base de transcendance sur kO(A, V, p. 130, déf. 1).Pour tout h E A, soit x, un représentant de séparante ( O. Soient alors x un élément non nul de m,, et q' un idéal premier de Â, minimal parmi ceux qui contiennent x + p' ; puisque Â,. s'identifie à un anneau de fractions de l'anneau Â,,., il suffit de prouver que ce dernier est réduit (II, Ej 2, no 6, prop. 17). D'après le lemme 3, l'idéal q' est associé au Â-module Âjx ; puisque  est plat sur A, l'image réciproque q de q' dans A est associée au A-module AjxA (IV, Ej 2, no 6, cor. 1 au th. 2). L'anneau A étant supposé intégralement clos, cela implique que q est de hauteur 1 (VIL 4 1, no 6, prop. IO), donc que l'anneau A, est de valuation discrète (/oc of.,nll 3, corollaire au th. 2 et no 6, th. 4). Puisque ), est réduit A/q est un anneau de Nagata de dimension < n, l'anneau ~ ( q O d'après l'hypothèse (R,). L'anneau ~ ( qO, ) Â, qui lui est isomorphe, est réduit, ) Â,,, qui en est un anneau de fractions. ainsi par conséquent que i'anneau ~ ( q OAq On peut donc appliquer à l'homomorphisme canonique de A, dans Â,. le lemme 4 du no 3 et on en conclut que l'anneau Â,, est réduit, ce qu'on voulait prouver. Le th. 3 est ainsi démontré. 1.- Le complété d'un anneau de Nagata local et réduit est réduit. COROLLAIRE Il suffit en effet de poser R = A dans le th. 3, (iii).

COKOLLAIKE 2 (Chevalley). -Soient A une algèbre réduite de typeJini sur un corps, et p un idéal premier de A. Le complété de l'anneau local A, est réduit. Comme A est réduit, l'anneau local A, est réduit; de plus A est un anneau de Nagata (exemple 1), donc A, est un anneau de Nagata (prop. 4), et le cor. 2 résulte du cor. 1, appliqué à l'anneau A,. 3. - Soient k un corps de caractérislique 0, et A une k-algèbre locale COROLLAIRE et noethérienne. Pour que A soit un anneau de Nagata, il faut et il sufJit que, pour tout idéal premier p de A, l'anneau soit réduit. En effet, puisque les corps ~ ( psont ) de caractéristique 0, il est équivalent de dire ) sont réduites ou qu'elles sont sépaque les algèbres ~ ( p@), Â = ~ ( pO,,, rables (A, V, p. 117, th. 1), ce qui montre que la condition énoncée est suffisante (th. 3, (ii) (i)); elle est par ailleurs nécessaire (th. 3, (i) (iii) avec R = Ajp).

(~76)

(x/P)

APPENDICE

APPENDICE 1. Limite inductive d'anneaux locaux Soit 1 un ensemble préordonné non vide filtrant à droite et soit (A,, cpgu)un système inductif d'anneaux relatif à 1. On suppose que, pour tout a E 1, l'anneau A, est local, d'idéal maximal mu, que les homomorphismes O

C

m>O

Q,,,(s1,

...> s,,) Tm

e ) Soit A un pré-h-anneau. Pour que A soit un h-anneau, il faut et il suffit que les conditions suivantes soient satisfaites, quels que soient a, b dans A, et n, rn dans N. (i) h(1) = 1 + T, ( 4 %(ab) = P,,(hl(a), ..., h,,(a), %(b), ..., Ub)), (iii) L ( ~ , , ( a )= ) Qn.",(h,(4, hnm(a)). J) Soit p :A + B un h-morphisme de pré-h-anneaux. Si A est un h-anneau et p surjectif, alors B est un h-anneau. Si B est un h-anneau et si p est injectif, alors A est un h-anneau. ...2

47) Soit A un anneau. On définit des applications F,, V, (n E J)de A(A) dans lui-même par les formules F,(E(a)) = E(F,(a)) > V,(E(a)) = E(V,(a))

quel que soit a E U(A). a) On a L(F,(f)) = f"(L(f)) et L(V,(f 1) = v,(L(f 1) quel que soit f E NA). Soient n, rn dans J et posons d = pgcd(n, m). h) Montrer que F, est un endomorphisme de l'anneau A(A), et que l'on a F, 0 Fm = F,,. Pour tout nombre premier p et pour tout f E A(A), on a Fp(f) = f * P mod. p * A(A), où f*O désigne le produit dans l'anneau A(A) de p termes égaux à f ; et où p * A(A) désigne l'idéal principal de A(A) engendré par la somme dans A(A) de p termes égaux à l'élément neutre 1 T, autrement dit par (1 + T)P. c ) Prouver que V, est un endomorphisme du groupe additif de A(A), et que l'on a V,oVm = V,,. d) Pour tout f E A(A), on a F,(Vm(f)) = V,,d(F,ld(f))d. En particulier F,(V,( f)) = f", et F,oV, = V , o F , s i d = 1. e ) Quels que soient j; g dans A(A), on a

+

v n ( f ) * Vm(g)= Vnm/d(Fm/d(f) * V,(f * F,(g)Yd = V"(f * V,/d(Fm/d(g)), V,(F,(S))"'~ = VA1 + T) * V",d(F,/d(~)). 3

En particulier, on a

* V,(g)

V,(f

et

=

V"(f

* g)"

VAf) * Vrn(g)= Vnm(Fm(f* F"(9)) si d f ) On a V"(f )(Tl quel que soit f

E

=

f (-

=

1.

( - T)")

A(A). En particulier V,(l

+ UT) = 1 - a(-

T)"

pour tout a E A. g) Pour tout a E A, on a F,(l Pour tout f

E

+ UT) = 1 + anT.

A(A), on a F"(f)(- ( - T)")

=

Nf (Tl)

où N désigne la norme dans l'extension A[[Tn]] c A[[T]]. (II suffit de traiter le cas ou f E A [ l , puis de plonger A dans un anneau B où f se décompose en produit de facteurs linéaires, auxquels on peut appliquer la première formule.)

9l

EXERCICES

Pour tout a E A, on a F,(1

-

a(- T)")

=

(1

-

a"ld(- T)m'd)d.

(Observer que 1 - a(- T)" = Vm(l + UT) et utiliser c) et f).) h) Quels que soient a, b E A, on a (1 - a( - T)")

* (1 - b( - T)")

=

(1

-

amldb"ld( - T)""ld)d .

(Utiliser la première formule de e).) 48) Soit A un pré-h-anneau. Notons Y le composé A A A(A) 2AJ, de sorte que Va) = où

Les applications \Ir,, :A -+ A s'appellent opérations d'Adams. Lorsque (A, h) = (A(B), hB),B étant un anneau, on écrira aussi Y Bpour Y. a) Soit B un anneau. Montrer que pour tout n E J, on a

$:

=

F, :A(B)

+ A(B) .

(Utiliser le diagramme commutatif

où toutes les applications horizontales sont bijectives.) b) Soit A un pré-h-anneau. Pour tout n E J , \Ir,, est un endomorphisme du groupe additif de A, et \Irl = Id,. Si A est un h-anneau, $, est un endomorphisme de l'anneau A, et \Ir, o \Irm = \Ir, quels que soient n, rn dans J. De plus, pour tout nombre premier p on a $ (a) = aP mod. pA quel que soit a E A. (Utiliser l'injectivité de h :A -, A(A), et les proprié%s analogues des

\Ir:

= ,Fm.)

c) Soit A un pré-h-anneau dont le groupe additif soit sans Z-torsion. Pour que A soit un hanneau, il faut et il suffit que les conditions suivantes soient satisfaites pour tous les entiers n>2etm22: (i) $"(Il = 1 ; (ii) $,(ab) = $,(a) $,(b) quels que soient a, b dans A ; (iii) \Ir,, O 4fm = $"m.

(Puisque L :A(A) + AJ est un homomorphisme injectij"d'anneaux, Y = L 0 h est un homomorphisme d'anneaux si et seulement si h en est un. De même du diagramme

on déduit que A(h) O h = hA0 h (h est un h-morphisme) o h J o Y = Y A o h t > h o + , = $;ohpourtoutn o L o h o + , = Lo+~ohpourtoutn. , f,oYpourtoutn A ( h ) ~ h= h A o h o ~ o $ = o O Ji, = quels que soient m et n.)

+,

+,

d) Soit A un h-anneau. Soit a E A un élément de h-rang < 1 (i.e. h(a) = 1 + UT). Alors +,(a) = an quel que soit n E J. Si P est une partie multiplicative de A formée d'éléments de ... + a:. h-rang < 1 et si a l , ..., a, appartiennent à P, on a +,(al + ... + a,) = a; Dans l'algèbre de polynômes Z[(Xi),,,], notons (s,,)les polynômes symétriques élémentaires, s,T" = (1 X,T), et

+

x

na0

n

+

1

v"(%r ..., s,)

=

1X: 1

le n-ième polynôme de Newton. Montrer que, quel que soit a E A, on a (Vérifier d'abord cette relation lorsque a est de la forme a l + ... + a, comme ci-dessus. Passer de là au cas où a = 1 + shThE A(Z[(Xi),,]). Ensuite déduire le cas général en plongeant A ha1 dans le h-anneau A(A) et en utilisant I'homomorphisme Z[(sh),, ,,.,,,,]-+ A qui envoie sh sur hh(a).)

x

49) Soient A un anneau, E un A-module projectif de type fini, et u E EndA(E).Si E est un Amodule libre, on note detE(u)le déterminant de u. En général, on peut choisir un A-module F tel que E O F soit un A-module libre de type fini, et on pose a) Montrer que detE(u)est indépendant du choix de F, que det(1,) = 1, et que det,(u 0 v ) = det,(u).det,(v) quels que soient u, v dans EndA(E). b) Supposons que L soit un sous-module facteur direct de E stable par u, et notons u, E EndA(L) et u , , ~ E EndA(E/L)les endomorphismes définis par u. Alors on a detE(u)= detL(u,).det,lL(u,lL). Soient T une indéterminée, E[T] = A[T] BAE, et identifions u à lA[,,QAu E End,[,,(E[T]). Posons

EXERCICES

(polynôme caractéristique de u) et

(cf: A, III, p. 107). où 1 désigne lEITl c) On a ?,(O) = 1. Supposons que E soit localement libre de rang constant r. On a X,(l,) = (1 + T)". Si or:A[T, T-'1 + A[T, T L ]désigne l'application (o,f)(T) = T*.f((- T ) ' ) on a f ) ) = (- lyf et o~(XE(U))=.xE(u). d) Soit a :A -, A' un homomorphisme d'anneaux. On a BAE(IdA, QA U) = a(X,(u)), où on note sc aussi i'homomorphisme A[T] + A ' [ l défini par a. e ) On a TE(u)E A(A). Pour tout n e J, on a

(Il suffit de vérifier les formules localement sur le spectre de A, donc on peut supposer E égal à A'. Soit (uij)iQi,jQr la matrice de u, soit (Xij),,i,j,, une famille d'indéterminées, posons B = Z [( Xij)l, et soit v l'endomorphisme de B'de matrice X = (X,), i,j,,. 11suffit de vérifier les formules pour B'et v E End,(Br). On peut plonger B dans un corps C algébriquement clos, et il suffit de vérifier les formules pour Cr et w = Id, Q, v. Soient a,, ..., a, les valeurs propres de w,

,

de sorte que z,,(wn) X,,,.(~.,(A"(W)) =

=

n (1 + a,T). On a $;&(w))

n (1 + aHT),

OU

=

fl (1 + a:T)

,= 1

=

~ c . ( ~ nDe ) . plus

H parcourt l'ensemble des parties à n éléments de { 1, ..., r ) ,

n a,,. On peut maintenant appliquer I'exerc. 46, d), p. 59, pour montrer que H

et où a,

=

htH

h;(X&))L f) ona

XA"(c#w)).)

neJ

autrement dit L,(X,(u)) = Tr(un)pour n E J. (Raisonner comme dans e).) g) Soient E' un A-module projectif de type fini, et u' E EndA@'). On a, dans i'anneau A(A), (Raisonner comme dans e).) h ) Soient k un corps algébriquement clos de caractéristique p non nulle, E un espace vectoriel sur k de dimension finie n, u un endomorphisme de E. On notera X,(u) l'image de %(u) dans W(k) par les homomorphismes canoniques (exerc. 43, p. 57 et exerc. 39, p. 53) : Prouver que si a,, ..., a, sont les valeurs propres de i'endomorphisme u, on a

x n

XE(u) =

7(mi) dans W(k).

i= 1

50) Soit A un pré-h-anneau. Par h-idéal de A on entend un idéal a de A tel que h,(a) c a pour tout n E J. a) Soit a un h-idéal de A. Montrer qu'il existe une unique structure h :A/a -, A(A/a) de pré-hanneau sur A/a telle que la projection canonique A + A/a soit un h-morphisme. b) Les h-idéaux de A sont précisément les noyaux des h-morphismes de A dans d'autres pré-h-anneaux. c ) Soit (a,),, une famille de h-idéaux de A. Alors n ai et 1 ai sont des h-idéaux de A. d) Soit A un h-anneau. Si a et a' sont des h-idéau; de A, alors aa' est un h-idéal. e) Soit A un h-anneau et soit a E A. L'idéal a de A engendré par a, &(a), &(a), ...est un h-idéal.

51) Soit A un h-anneau et soit (Xi),, une famille d'indéterminées. Introduisons la famille d'indéterminées (h,X,)c,,i,,Jx, telle que AlXi = X iquel que soit i E 1. Considérons l'algèbre de polynômes B = A[(A,,X,),,,., 1. L'homomorphisme d'anneaux h : A + A(A) c A(B) se prolonge de façon unique en un homomorphisme d'anneaux h :B + A(B) tel que ,S.,.,

et, pour q 2 2,

a) Montrer que (B, h) est un h-anneau. (Il s'agit de montrer que le diagramme d'homomorphismes d'anneaux As(B)

MAT)

+ &(MB))

t

t

est commutatif. 11 suffit de le vérifier sur un système générateur de l'anneau B.) h ) Soient C un h-anneau, p :A + C un h-morphisme, et (ci),, une famille d'éléments de C. Il existe un et un seul h-morphisme p' :B + C prolongeant p et tel que pl(Xi) = ci pour tout i E 1.

n

52) Soient (A,),,, une famille d'anneaux, A = A , et pi :A -+ Ai la projection canonique , pour tout i E 1. a) L'application a :A[[T]] + A,[[T]], qui applique a,Tn sur ( 1 p,(a,) Sn),,est un iso-

n

morphisme

a :A(A) +

~ l l e -définit, par restriction, un isomorphisme d'anneaux nd'anneaux. A(A,). De plus on a, pour tout n J, a hf (nkti) a. (utiliser les polyE

0

=

((

0

L

nômes universels 2 de l'exerc. 46, d), p. 59.) b) Supposons que, pour tout i E 1, Ai soit muni d'une structure hi :Ai + A(Ai) de pré-h-anneau. A(Ai) au moyen de a, on définit h = hi:A + A(A). Alors (A, h) En identifiant A(A) à

n

fl

1

L

est un pré-h-anneau, appelé produit de la famille ((A,, A,)),,,. Pour que (4h) soit un h-anneau, il faut et il suffit que (A,, h,) en soit un pour tout i E 1. 53) Soit u

=

1

+T +

2 a,,Tnun élément de A(Z). Il existe un et un seul homomorphisme de -

n=2

groupes hu : Z -+ A(Z) tel que hu(l) = u, et ( Z h") est un pié-h-anneau. O n a hU(n)= un quel que soit n E Z. Pour que (Z, hU)soit un h-anneau, il faut et il suffit que u = 1 T, auquel ,cas on a

+

quels que soient n E Z et m E N. 54) Soient C un anneau et A une C-algèbre (non nécessairement commutative). O n note Repc(A) l'ensemble additif des classes des A-modules qui sont des C-modules projectifs de type fini, et on note Rc(A) le groupe de Grothendieck K(Repc(A)) (cf: A, VIII, fj 10, no 6). a) Soit a : A 1+ A un homomorphisme de C-algèbres. Si E est un A-module de type Rep,(A), alors le module CL*Eobtenu par restriction à A' de l'anneau des scalaires A (A, II, p. 30) est un A'-module de type Rep,(Af), et [El H [cL*E]définit un homomorphisme a, :&(A) + R,(A1).

91

AC IX.65

EXERCICES

Si a , : A, + A' est un homomorphisme de C-algèbres, on a (a O a,), = a,, o a,. b) On pose K,(C) = R,(C). L'homomorphisme structural E : C + A définit un homomorphisme E , :R,(A) + K,(C). S'il existe un homomorphisme y :A + C de C-algèbres, alors y, :K,(C) + R,(A) est un inverse à droite de E,. c) Soit y :C + C' un homomorphisme d'anneaux. Si E est un A-module de type Rep,(A), alors y*E = C' @, E est un A,.-module de type Rep,.(A,.), où Ac = C' Qc A, et [El H [y*E] définit un homomorphisme y* :R,(A) + R,.(A,.). Si y; :Cr + C l est un autre homomorY Y*phisme d'anneaux, on a (y, o y)* = : d ) Soient E & F s* G des homomorphismes de A-modules, et posons h = g 0 f: Construire une suite exacte de A-modules

Déduire de là que si f et g sont injectifs, et si Coker(f) et Coker(g) sont de type Rep,(A), alors Coker(h) est de type Rep,(A), et on a [Coker(h)]

=

[Coker( f )]

+ [Coker(g)]

dans R,(A). 55) Soit C un anneau. Soit G un monoïde et soit son algèbre sur C. Au lieu de Repc(C(G)) et R,(C'G)), on écrira Rep,(G) et Rc(G). Si a :G' + G est un homomor hisme de monoïdes, on notera aussi a l'homomorphisme de C-algèbres C(G" + C( ) qu'il définit, et a* :Rc(G) -t R,(G') l'homomorphisme correspondant. D'après A, VIII, $ 10, no 5, il existe sur R,(G) une structure d'anneau (commutatif) telle que

8

si E et F sont des modules de type Rep,(G). L'élément neutre pour cette multiplication est la classe du module C l , égal à C avec opération triviale de G. a) L'anneau R,(G) admet une unique structure de pré-h-anneau telle que

pour tout module E de type Repc(G). (Observer tout d'abord que An(E)est encore un module de type Repc(G). Ensuite, si F est un sous-module tel que F et E/F sont de type Rep,(G), montrer que

dans Rc(G). Pour cela notons Lp l'image de AP(F) Qc A"-P(E), par la multiplication, dans An(E). On a An(E) = L, 2 LI 2 ... 3 L, = An(F) 3 Ln+, = O, et il existe un isomorphisme canonique de C(G)-modulesde Lp/Lp+ sur AP(F) @ An-P(E/F).) b) Pour tout homomorphisme a :G' + G de monoïdes, l'application a, :Rc(G) -+ R,(Gf) est un h-morphisme. En particulier K,(C) est un pré-h-anneau et E, :Rc(G) + K,(C) est un h-morphisme. L'homomorphisme G + { l ) en fournit un inverse à droite. c) Soient G un monoïde et R un ensemble. Une fonction j':G + R sera dite centrale si f (st) = f(ts) quels que soient s, t E G. Notons FC(G, R) l'ensemble de ces fonctions.-Si R est un h-anneau, FC(G, R) est canoniquement muni d'une structure de hlanneau telle que

,

Cf + f? (4 = f(s) + f ' b ) ( f - f'1 (s) = f (s).f '(s) ( L f )(s) = hAf (SI) quels que soient f, f ' dans FC(G, R) et s dans G. Ceci s'applique notamment lorsque R

=

A(C).

d) Soit E un module de type Rep,(G). Pour tout s E G, notons s, l'homothétie de rapport s dans E, et posons -

XE(')

=

detEITl(l

+

A(C)

(cj. p. 62, exerc. 49). Montrer que

-

x:[EI

définit un h-morphisme

-

x :R,(G)

-+

-XE

FC(G, A(C)) .

e ) Si C est un corps, alors X est injectif(A, VIII, 9 10, no 6, prop. 10). En déduire dans ce cas que R,(G) est un h-anneau.

56) Soit G le monoïde libre engendré par un élément T, de sorte que C'G' s'identifie à C[T]. Notons Co le module C[T]/TC[T]. Alors [Co] est un élément idempotent de R,(C[T]). Le noyau du h-morphisme canonique R,(C[T]) -t Ko(C) est I'idéal engendré par 1 - [Co]. Posons ~ c ( c [ T l= ) ~c(C[Tl)/[CoIRC(CtT1) . a ) Montrer que [Co].R,(C[T]) est un h-idéal, donc que R,(c[T]) admet une structure quotient de pré-h-anneau. b) Pour tout module E de type Rep,(C[T]), notons TE l'homothétie de rapport T dans E. On a

-

XE(^)

et

=

detEITl(l

+ TET)

XE(^) = detEITl(T - TE) est le polynôme caractéristique de TE (cf. cxerc. 49, p. 62). Montrer que [El w &(T) définit un h-morphisme Rc(C[T]) -+ A(C) dont le noyau contient [Co]. Par passage au quotient, on obtient un h-morphisme -

X :~ c ( ~ [ 7 1 )A C ) . +

c) Notons A,,,(C) le sous-groupe de A(C) engendré par les éléments de A(C) qui sont des polynômes en S. Montrer que l'image de est A,,,(C). En conclure que A,,,(C) est un sous-hanneau de A(C). d) Pour tout r E Z, définissons o,:C[T, T-'1 + C[T, T-'1 par (OS)(T) = Trf((- T)-'). On a (o,(o,f)) (T)= ( - l)"Tr-sf'(T),en particulier o,(of) = ( - 1)% et (of). (o,g) = or+.(f-g), quels que soient r, s dans Z et f, g dans C[T, T l ] . Si f est un polynôme en T de degré < r (r 2 O), alors af en est un aussi. Si de plus f E A(C) (i.e. f(0) = l), alors of est unitaire de degré r. Si E cst un C[T]-modulequi est un C-module libre de rang r, on a o,(X,(T)) = x,(T). e ) Si f E A(C) est un polynôme en T de degré < r, posons Er,, = C[T]/of.C[T]; c'est un C-module libre de rang r. Si f = 1 on a E,,, = C[T]/TrC[T]. Si g E A(C) est un polynôme en T de degré < s, on a une suite exacte de C[T]-modules

X

Er,, 0 (utiliser d)). Montrer que la classe T(f ) de dans R,(c[T]) est indépendante de r (>_deg(f)). (En effet c,,,f = (O$). ( p f ) = Ts. ( o f ), et la classe du module C[T]/TsC[T] dans Rc(C[T]) est nulle.) Montrer que si g est un polynôme dans A(C), on a z(fg) = t(f) + r(g). (Utiliser encore la suite exacte (*).) Déduire de la que t s'étend en un homomorphisme de groupes (*) 0 -, Es,,

-+

:A,,,(c)

X

Er+,,,

-t

+

R,(c[TI)

+

.

f ) Montrer que 0 t est l'application identique de A,,,(C). (Utiliser le fait que si f E A(C) est un polynôme de degré < r, alors le polynôme caractéristique de TET est of:) g) Montrer que tout élément de R,(C[T]) est la classe d'un C[T]-module Ifqui est un C-module libre.

91

AC IX.67

EXERCICES

h) Soit E un C[T]-module, et notons u E Endc(E) l'homothétie de rapport T dans E ; soit O c u E EndcI,,(EIT]). On a une suite exacte de C[T]-modules

Ü = Id,,,,

(A, III, p. 106). Supposons que E soit un C-module libre de base (el, ..., e,). Alors E[T] est un C[T]-module libre de base (1 e,). Si la matrice de u pour la base (e,) est (aij), la matrice de T - Ü pour la base (1 Q e,) est (TGij - a,). i) Soit f = (f,), une matrice à coefficients dans C[T]. On dira que f est spéciale si, quels que soient i, j dans (1, ..., r), i # j, jii est un polynôme unitaire et deg(Ji) > deg(f,,). Montrer alors que det(f) est un polynôme unitaire (de degré deg(J;,) + ... + deg(f,,)) et que f définit un endomorphisme injectif de C[TIr. Déduire de h) que tout C[T]-module qui est un C-module libre de rang r est isomorphe au conoyau d'un tel endomorphisme de C[T]'. j ) Soit f une matrice spéciale comme dans i). Posons f

des matrices de types (1, r - l), (r

-

1, 1) et (r

-

1, r

= -

;)oùf+,

f-,frsont

l)'respectivément. Posons

Montrer que h est une matrice spéciale. De plus, en identifiant les matrices carrées aux endomorphismes correspondants, on obtient des suites exactes de C[T]-modules O

-+

Coker(f)

-, Coker(h)

(où Coker(g) est isomorphe à C[TIr-'/,f,,C[T]'-')

+

Coker(g) -+ O,

et

Déduire de là, par récurrence sur r, que Coker(f) est un C-module projectif dont la classe dans Rc(C[T]) est combinaison Z-linéaire d'éléments de la forme [C[T]/pC[T]] où p est un polynôme unitaire. k) Utiliser les parties f), g), i ) et j ) précédentes pour montrer que T :A,,,(C) -+ R,(c[T]) est surjectif, donc que :R,(c[T]) + A,,, (C) est un isomorphisme. 1) Montrer que A,,,(C) est stable par V, et F, pour chaque n E J. Il leur correspond donc des endomorphismes V, et F, de R,(C[T]), par l'isomorphisme précédent. Soit