Algebra moderna : [425 problemi risolti] 9788838650208, 8838650209 [PDF]

Zitiervorschau

Frank Ayres Jr.

Algebra moderna

McGraw-Hill Libri Italia srl Milano • New York • St. Lou1s • San Francis.::o · Oklahoma City • Auckland

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Indice

V Prefazione

Caoitolo l - lnskmi Eguaglianza; Sottoinsiemi di un insieme; Universi; Intersezione e unione; Diagrammi di Venn; Operazioni insiemistiche; Prodotto cJrtcsimo; Applicazioni: Applicazioni iniettive: Bi iezione su un insieme; Problemi risolti

15 Capitolo 2 -

R~lazioni ~ op~raLioni

Proprietà delle relaz.ioni binarie; Rdalioni di equ ivalenz.a: CIJs1i di equival enza : Relnioni d'ordine; Operazioni: Tipi di operazion i binarie: Operazioni ben dcfìnitc; Isomorfismi. Pem1u· tazioni; Trasposizioni; Strutture algebriche ; Problemi risolti Titolo originale

30 Capitolo 3 - I numeri naturali

Modem Algebra Copyright© 1965 McGraw-H1ll lnc.

Gli assiomi di Peana; La somma in N: Il prodotto in N; L'induzione matematica; Relazioni d'ordine; Multipli e potenze: Isomorfismo; Problemi risolti

Copyright i:> 1981 Gruppo Editoriale Fabbri-8omp1ani. Sorzogr>o, Etas spa Copyr:ght © 1993 ETAS srl Copyright © i 994 McGraw-H1ll Libri Italia srl piazza Emilia, 5 20129 M11ano Traduzione Paolo Pagli

38 Capitolo 4 - Gl i interi Introduzione; La relazione binaria -; Somma e prodotto in~; Gli inte ri positivi; Zero e gli interi negativi; Gli interi; Relazi oni d'o rdine; Sottrazione " - "; Valore assoluto lai; Somma e prodotto in Z; Ulteriori proprietà degli interi; Multipli e potenze: Problemi risolti

49 Capitolo 5 - Proprietà degli interi

Grafica di copertina Achill1 & Piazza e Associati

Stampa Tip.Le Co. .

s. Sonico

(PCI

Divisibilità; Numeri primi; Massimo comun divisore; Interi primi tra loro; Fattori primi; Congruenze; L'algebra delle classi di resti ; Congruenze lineari ; La n otazione posizi o nale per gli interi; Problemi riso lti

60 Capitolo 6 - I numeri raziona]i Somma e prodott o; Sottrazione e div isione; Una convenzione; Relazioni d ' ordine; R iduzione ai minimi tennini; Rappresentazione decimale: Problemi risolti I diritti di riproduzione. di memonzzaz1one elettronica e d1 adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le cop!~ fotostatiche) sono riservat i per tutti 1 paesi. L'editore potrà concedere a pagamento l'autorizzazione a riprodurre una porzione non superiore a un dee.mo del presente volume. Le richieste di riproduzione vanno inoltrate .all'Assoc1az1orie Italiana per 1Dir11t1 di Riproduzione delle Opere a Stampa IAIDROSl. via delle Erbe 2. 2012 i M lano. tel. 02/86463091. fax 02/89010853 Printed 1n ltaly 1234567890TIPTIP907654 Pnma edizione luglio 1994 15.e.tJ 88 386 5020-9

65 Capitolo 7 -

I numeri reali

Introduzione; Sezioni di Dedekind; Saioni positive; Inve rsi molt iplicativi ; Inversi additivi; Il prodotto in 'K.; Sottrazione e d ivisione; Relazion i d 'o rdine; Proprietà dei numeri real i: Somma rio; Problemi riso lti

75 Capitolo 8 - I numeri compless i Il sistema C dei numeri complessi, Somma e prodotto in C; Proprietà dei numeri ~omple! l ' Sottrazione e divisione in C: R:ipprcsentazionc trigonometrica; Radici; Radici primitive dell'un.· tà; Problemi risolti

1 11

J.

.....

Prarr.c ;a 'Ori\.!t.J ~e

·J.>ltt•:.::1 m1 Omo?

Jrd'.'ii1

1

Isomorfismo; LJtculi Sottogruppi normali, Gruppo quol1entc. Prodotto d1 S1z1one: Problemi nsolt1

239 indice analitico

I OI Capitolo I O - A ne lii Propnct~ degli anelli. Sonoanelli, Tipi particolari di anelli. Carmeristica di un anello; Divisori dello zero: Omomorfismo e isomorrismo; Ideali; lde~li pnncipali. Ideali pnm1 e ideali massi· mah. Anello quol!ente; Anelli euclidei. Problemi risolti

I 14 Capitolo 11

Q.)1111111 Ji inkgrit:i. corpi. CJmpi

Domini d1 intcgritl. E!cmcnt1 invcrlibili. assu~IJ!i. div1sur>. Sottndomini, Dom11!1 d1 integrit:t o rdinJll. L'algoritmo della divisione: l'attunu:izwne uni~J: Crp1, Cm1pi. Prnblemi risolti

12.i ._àpirulo 12 - P0iin0mi Introduzione ; Forme; Polinomi rnonici ; Divisione; A'.lelli di poìinnmi commutativi con unit~; Sostituzione: Il dominio di integrità f' (x ]: Polinomi pri1ni, li dominio Clx) ; Massimo comun divisore; Propriet:t del dominio di polinomi ,"[x]: Problemi risolti

143 Capitolo 13 - Spazi \·,:ttoriali lnt rodulione: Spazi vettoria li ; Sottospazi di uno spazio vettoriale: Dipendenza lineare: Basi di uno spuio vettorial~: Propn~ti dei sottospl1 di uno spuio v~ttoriale; Spazi vettoriali su R: Trasformazioni lineari ; L'algrbra delle trasformazioni lincJri; Problemi risolti

164 Capitolo 14 - MJ tric i In troduzione; Matrici quadrate: Algebra Ji matrici completa; Soluzioni di un sistema di equazioni lineari ; TrasformJzioni e lementari su una matrice: Matrici tri3ngolari superiori, triangolari inferiori e matri ci diagon3li ; Forma canonica: Trasformazioni element ari sulle colorine; Matri ci elementari: Jnv,•. · •''. rnatrid elementari: Matrice inversa di una matrice regolare ; Polin omio minimo di una matrice quadrata ; Sistemi di equazioni lineari ; Determinante d i una matrice quadrata; Proprict:t d~i determinanti: Calcolo dei determinanti; Problemi risolti

198 Capit olo 15 - Po linom i di mat ric i Matrici aventi polinomi c0me elementi: Tra~formaziuni elementari; Forma normale di una À·matricc; Polinomi a coefficie nti matriciali: L'algoritmo della divisione: Autovalori e autovet· tori di una matrice; Matrici simili : Matrici reali _simmetriche: ~ a t rici o rto~onali ; Coniche e quadriche: Problemi risolti

:! 19 Capitolo 16 - A lgebre

lin ~ ari

Algebre lineari : lsomortìsmo: Prubkmi risolti

222 Capitolo i 7

238 Indice dei simboli

Algebre ùi 8ook

Algebre di Duole: Fun1ioni buukane: F•)rme normali: Trasformazioni di funzioni booleane:

r1

·"'·

Prefazione

Questo volume sulle strut tu re algebriche è concepito per servire come testo ausiliario ai manuali soliti, o come manuale esso stesso per un co rso in algebra astratt a a livello d i primo biem.io universitario. Come tale esso vuol fornire delle solide basi per studi successivi su varie strutture, piuttosto che sviluppare in profondità u na o due di esse. Gli elementi fo ndamentali delle stru tt ure algebriche - insiemi, relazioni, operazioni, app licazio ni - ve ngono tratt:l!i nei primi d ue capitoli. Lo schema qui ripo rtato: (i) prese ntazione semplice e concisa di ogni argo mento, (ii) ampia varietà di esempi familiari, (iii) dimostrazioni di quasi tutti i teoremi incluse nei problemi risolti, (iv) ulteriori esercizi, frutto di una scelta accurata, dati senza soluzione, viene mantenuto per tutto il libro. I vari sistemi di numeri dell'algebra ·e lementare sono costruiti, uno alla volta, cominciando dal cap. 3, in cui si presentano gli assiomi di Peano per i numeri naturali , e volta a volta se ne mostrano le proprietà fondament ali. In questo modo non ~olo si po ne il letto re di fronte a uno sviluppo dettagliato e rigoroso dei vari sistemi, ma gli viene fornita una certa " manualità", ancora più necessaria per la deduzione delle proprietà relative ai sistemi astratti che vengono dopo. La prima struttura algebrica astratta, i gruppi, sono presentati nel cap. 9. Si studiano i laterali relativi a un sottogruppo, i sottogruppi normali e i gruppi quozienti, e il capitolo termina con il teorema di Jordan-Holder per i gruppi finiti.

I capp. I O e 1 I trattano gli anelli, i domini di integrità e i campi. Nel cap. 12 si considerano i polinomi a coefficienti in un anello o in un campo, e si sviluppa una parte della teoria elementare delle equazioni. In tut ti questi capitoli una particolare attenzione è rivolta agli anelli finiti. Gli spazi vettoriali vengono introdotti nel cap. 13. L'algebra delle trasformazioni lineari di uno spazio vettoriale in sé porta in modo naturale all'algebra delle matrici (cap. 14 ). Si applicano poi le matrici alla soluzione dei sistemi lineari, e si risolvono quindi in man iera più semplice vari problemi connessi co n gli spazi vett oriali. Nel cap. 15 sono considerati i polinomi di' matrici, come esempio di un anello di polinomi non commutativo . Gli autovalori e gli autovettori delle matrici reali simmetriche vengono utilizzati per ridurre le equazioni delle co niche e quadriche a forma normale. Le algebre lineari sono definite nel cap. 16, con qualche rapido esempio. Nell'ultimo capitolo si introducono le algebre di Boole e si inizia lo studio della loro applicazione, di notevole importanza, a circuiti elettrici semplici. L'autore è lieto di cogliere questa occasione per esprimere il suo ringraziament o al Personale della Schaum Publishing Company, in particolare a Jeffrey Albert e Alan Hop..:nwal~er, per la loro cosrante collaborazione Frf/lrJ.. Ayr"1. jr.

CAPITOLO l

Insiemi INSIEMI Una qualunque collezione di oggetti come: (a) 1 punti di un segmento, (b) le curve passanti per un punto fissato nello spazio ordinario, (e) i numeri naturali minori d i dicci, (d) i cinque ragazzi Rossi e il loro cane, (e) ie pagine di questo libro, ... sarà chiamata un insieme o una classe. I singoli punti, le curve, i numeri, i ragazzi e il cane, le pagine, ... saranno detti elementi dei relativi insiemi. Di solito useremo lettere maiuscole per indicare gli insiemi, e lettere minuscole per gli elementi. Sia A un insieme, e siJno p, q degli ogge tti. s~ p è un .:kmento di A, indicheremo questo scrivendo p E A, se p e q sono ambèdue elemen t i di A, scriveremo p, q E A invece di p E A e q E A; se q non è un elemento di A scriveremo q !$A. In quasi tutto il nostro studio sugli insiemi non avrà importanza la natura degli elementi; tuttavia gli insiemi di numeri compariranno in modo n aturale in molti esempi e in molti degli esercizi. Per comodità li indicheremo co n i simboli seguenti

N : insieme dei numeri naturali Z : insieme dei numeri interi Q : insieme dei numeri razionali R : insieme dei numeri reali

Esempio I :

(a) I E N e 205 E N perché I e 205 sono numeri naturali; ! , -5 ~N perché non sono

numeri namrali. (b) li simbolo E indica l'appartenenza e può essere letto come "appartiene" o "è elemento di'', "è in", "sono in" a seconda del contesto. Così "sia r E Q" può leggersi "sia rin Q" e "per ogni p, q E Z" come "per ogni p , q appartenenti a Z". Scriveremo talvolta n ;é OE Z invece di n ;é O, n E Z; e anche p ;é O, q E Z invece di p, q E Z , con p ;60.

Gli insiemi che prenderemo in considerazione saranno sempre univocamente definiii, cioè sarà sempre possibile ~tabilire se un oggetto d at o appartit:ne o non appartiene all'insieme in questione. Gli insiemi del primo paragrafo erano definiti mediante un enunciato linguistico non ambiguo. Talvolta un insieme verrà espresso in forma tabulare, esibendo i suoi elementi all'interno di una coppia di parentesi: ad esempio,

A B

C K L

{a}: l'insieme che consta del solo elemento a. {a , b}: l'insieme formato dai due element i a e b. { 1, 2, 3, 4}: l'insieme dei numeri naturali minori di 5. ( 2 , 4 , 6, ...} : l'insieme di tutti i pari. . ( ... , -15, -1 O, -5, O, S, 1O, 15 . . ..}: l' insieme degli interi multipli di 5 .

Gli insiemi C, K. L possono essere defin it i anche nel modo seguente:

e K = L

(x: X E N, X< Sj (x : x E N, x è pari}

{x : x E Z, x è divisibile per 5} In quest a form a ogn i insieme è form ato da tutti gli oggett i x che soddisfano le condizioni che seguono i due punti. Si veda il problema I.

l'-'SIF \4 1

2 Ese mpio i:

EGUAGLIANZA Due insiemi A e B che hanno gli stessi elementi si dicono uguali. Scriveremo in, tal caso A = B. Per indicare che A e B non sono uguali scriveremo A B.

(x -

*

Esempio 2:

(i)

Siano A = {Maria, Elena Giovanni} e B = {Elena, Giovanni, Maria}. Allora A =B. Si noti che variare l'ordine in cui sono elencati gli elementi di un insieme è inessenziale.

(ii)

Siano A = {2, 3, 4 ì e B = {3, 2, 3, 2, 4}. Allora A = B poiché ogni elemento di A appartiene a Be viceversa. Si noti che l'insieme non cambia ripetendo uno o più suoi elementi.

(iii)

Siano A = { 1, 2} e B = (I, 2, 3, 4}, allora A appartiene ad A

* B perché 3 appartiene

3

Conmlcnamo i t:quaz1one l )(2x - 3)(3.r + ·l)(J'' -

~H"' ~ l )

=O

Essa ha come insieme delle soluzioni, cioè l'insieme i cui elementi sono le soluzioni dell'equazione, l'insieme S = {-!, 3/2, -4/ 3, .,/2, - .,/2, i, -i}, supposto che l'universo sia l'insieme dei numeri complessi. Se invece si assume R come universo , l'insieme delle soluzioni è A= {-1, 3/2, -4/3, .J2. - '12}. Qual è l'insieme delle soluzioni se l'universo è Q? Z? N!

Se d'altronde sono dati due insiemi A = { I , 2, 3} e B = {4, 5, 6, 7} e nient'altro, si può dire poco dell'universo Udi cui essi sono sottoinsiemi. U potrebbe essere , ad esemp io , {I, 2, 3, ... 7}, {x: X E N, X,;;; 1000}. N, Parlando di più insiemi A, B, e, . .. tuttavia li supporremo sempre sottoinsiemi di un qualche universo U non necessariamente definito in modo esplicito. Rrlativamente a tale universo. i complementari dei sottoinsiemi A, B, C, ... verranno indicati rispettivamente con A', B', C', ...

z....

a B e non

SOTTOINSIEMI DI UN INSIEME

Si:i S un insieme. Ogni insieme A i cui elemenri sono elt:menti anche di S è detto contenu-

w in S, e viene chiamaco un softoinsieme di S. Esempio3:

INTERSEZIONE E UNIONE DI INSIEMI

Siano A e B insiemi. L'insieme costituito da tutti gli elementi che appartengono sia ad A che a B è detto intersezione di A e B. Sarà indicato con A n B (da leggersi come "l'intersezione di A e B" oppure '.~! intersezione B"). Quindi A n B {:e: x E A ex E B}

GliinsiemiA= {2}, B= {l,2,3} eC= {4,5}sonosottoinsiemidiS= {J,2,3,4,5 }. L'insieme D = {I, 2, 3, 4, 5} = S è anch'esso un sottoinsieme di S. L'insieme E= {I, 2, 6} non è un sottoinsieme di S perché 6 E E e 6 ~ S.

*

Sia A un sottoinsieme di S. Se A S diremo che A è un sottoinsieme proprio di S e scriveremo A e S (da leggersi "A è un sottoinsieme proprio di S" o "A è contenuto propriamente in S''). Più spesso, e in particolare quando non si esclude la possibilità A = S, scriveremo A ç_ S (da leggersi "A è un sottoinsieme di S'' o "A è contenuto in S"). Fra tutti i sottoinsiemi di un dato insieme S, solo S stesso è improprio cioè non è un sottoinsieme proprio di S. Esempio 4:

Relativamente agli insiemi dell'esempio 3 possiamo scrivere A ç S, B C S. C ç S, D ç; S, E Gli enunciati precisi naturalmente sono: A e S, B e S, Ce S, D S, E r/ S. E' opportuno fare particolarmente attenzione al fatto che E è una relazione tra un elemento e un insieme, mentre e e ç sono relazioni tra insiemi. Cosi 2 ES e {2} C S sono enunciati corre tti, mentre 2 e Se {2) ES non lo sono.

=

L'insieme di tutti gli elemen t i che appartengono solo ad A, o solo a B oppure ad A e B contemporaneamente, viene detto l'unione di A e B. Lo indicheremo con A u B (da leggersi come "l'unione di A e B" oppure "A unione B"). Quindi

e/.

I Sia A un sottoinsieme proprio di S. S risulterà formato dagli elementi di A e da altri elementi che non appartengono ad A Questi ultimi cioè {x: x ES, x ~A} costituiscono un altro sottoinsieme proprio di S, detto complementare di A in S. ~-

Esempio 5:

Sia S = {I, 2, 3, 4, 5} come nell'esempio 3. li complementare di A = {2} in S è F = {I, 3, 4, 5}. Anche B ={I, 2, 3} e C= {4, 5} sono l'uno il complementare dell'altro inS.

In questa discussione sui sottoinsiemi comp lementari era implicito che i sottoinsiemi in questione fossero propri. Il motivo è semplicemente che, fino ad ora, abbiamo considerato gli insiemi da un punto di vista intuitivo: cioè abbiamo assunto tacitamente che ogni insieme avesse almeno un elemento. Per eliminare questa restrizione (e anche per forni re un complemento in S al sottoinsieme improprio S), introduciamo l'insieme vuoto o "nullo", (/),visto come insiem e privo di elementi. Facilmente si ricava: • ~ tr

e

Ese:npio 6:

I

lf'l-Z

(i)

(/J è sottoinsieme di ogni insieme S.

(ii)

è un sottoinsieme proprio di ogni insieme S

* .

/

7 -

'!

I sottoinsiemi di S ={a, b, e} sono'©, {a},{b}, {e}, {a, b}, {a, e}, {b, e}, e {a, b, e}. Le coppie dei sottoinsiemi complementari sono:

0

{a, b, e}

e

{a, e}

e {b}

{a, b}

e

{e}

{b.c)

e

{a}

A U B = {x : x E A soltanto oppure x E B soltanto oppure x E A n B }

S.

Il più delle volte tuttavia scriveremo A U B = {x : x E A ~ x E B }

Le due cose sono equivalenti dal momento che ogni elemento di A n B appartiene ad A. Esempio 8:

Siano A= {I, 2,3, 4 } eB A n B= {2,3}.

Si vedano anche i problemi 2-4.

DIAGRAMMI DI VENN

Il complementare, l'intersezione e l'unione di insiemi possono essere rappresentati per mezzo dei diagrammi di Yt:nn. Nei diagrammi che seguono, l'universo U è rappresentato dai punti (non indicati) interni al rertangolo,e ciascun sottoinsiem.e non vuoto dai punti interni alle curve chiuse (per evitare ambigu ità converremo che i punti della frontiera di queste curve non rappresentino alcun punto di U). Nella fig. 1-1 (a) i sottoinsiemi A e B di U sono tali che A e B; nella fig. 1-1 (b ), A n B = (/); nella fig. 1-1 (e), A e B hanno almeno un elemento in comune, di modo che A n B .

*

u

iruiemi propri è dispari. E' vero questo se l'insieme ha 303 elementi? e se ne ha 303000?

*

{I, 2, 3,4, 5,8, I O} e

Due insiemi A e B saranno detti disgiunti se non hanno elementi comuni, cioè se A n B = es. t > • • • (l.

Se il numero di elementi in gioco è piccolo, si possono usare utilmente i diagranuni di Venn. La fig. 1-5, che segue, rappresenta le applicazioni a e {3 dell'esempio.

Cl,U i,,-1 - o-. - • .'i· ,J i . ,-1 problema 19 segue ~he tale inversa è unica; quindi (af3r 1 = /J 1 • a- 1

(I.i) (U')

(A ' v B ') (A

l'inversa di a è unica.

A ")

[CA

(A u B)

y

=

Risulta (A

r;

..,

Reciprocamente sia a un'applicazione da Sa T che ha un'unica inversa a- '· Supponiamo che per s 1 , s2 ES, S 1 *s 2 ,risulti s,a=s 2a. Allora (s 1a)a-1 = (s,a)a-1, così che • 1(a·a- 1) = • 2(u · a - 1) es 1 =s2 , una contraddizione. Quindi a è imemva. Ura, per ogni e ET, risulta (1a- 1)a t(n- 1 · o) t • '! = t. quindi e è l'immagine di s c.,-1 E S e l'lpplicaz.ione è suriettiva.

16. Dimostrare l'identità (A - B ) u (B - A ) = (A u BJ - (A n B ) dell'esempio JO servendosi dell'identità.-! - B = .4. n B' dell'esempio 9. CA-8) L.. (8 - ·

.~

\{Ja>y

f3

~unainversadi Cli3. Dal

(l.9)

n B)'

(1.l I')

(A u B) - (A n B ) Dimostrare che due segmenti qualsiasi hanno lo stesso numero di punti.

PROBLEMI SUPPLEMENTARI

Consideriamo i segmenti AB eA 'B' indicati nella fig. 1-8. Dob· biamo dimostrare che è sempre possibile stabilire una biiezione tra i punti dei due segmenti. Indichiamo con P l'intersezione di AB' e BA'. Consideriamo un punto C su AB e sia C' l'intersezione di CP e A'B'. L'applicazione

21.

Porre in form a tabulare ciascuno degli insiemi seguenti: (a)

l'insieme degli interi negativi maggiori di - 6,

C-+C'

(b)

l'insieme degli interi compresi tra -3 e 4,

è quella richiesta, perché ogni punto di AB ha un'unica immagine e ogni punto di A 'B' è l'immagine di un solo punto di AB.

(e)

l'insieme degli interi il cui quadrato è minore di 20,

(d)

l'insieme dei divisori positivi di 18,

(e)

l'insieme dei divisori positivi comuni di 16 e 24,

(f)

{p: p E N, pt < 10}

B' Fig.1-8

18. Dimostrare che: (a) x ~ x + 2 è un'applicazione da N a N, non suriettiva; (b) x ~ 3x - 2 è una b iiezio ne su Q, (e) x ~ x 3 - 3x2 - x è un'applicazione suriettiva da R a R, ma non è iniettiva. (a) Ovviamente x + 2 E N sex EN. L 'applicazione non è suriettiva perché 2 non è un'immagine. (b) Sex E Q c~aramente 3x - 2 E Q. Inoltre ogni r E Q è l'immagine d i x = (r + 2)/3 E Q. (e) Sex E R chiaramente .i:• - 3z2 - x E R . Inoltre se r E R , x 3 - 3x 2 - x = r ha sempre una radice x reale la cui immagine è r. Se r = -3, .r3 - 3x2 - x = r h a 3 radici reali x = - 1, 1, 3. Dal momento che ciascuna ha come immagine r = -3 l'applicazione non è iniettiva. 19. Dimostrare che se a è una biiezione d all'insieme Sa T, a ha un 'unica inversa e reciprocamente. Supponiamo che a sia una biiezione tra Se T; per ogni s ES risulta

(3: c{3-+ s Ora s(aP) = (•a)G = t{J = s; quindi ofl = .!} e in particolare siano f3 e r inverse d i a. Essendo a/1

ne segue che

=

flo

=

.!J

{.r:

:i:

(i)

(.i: .

" E Q, 2z2 + 5x

EZ. 3.r'

"'° 8)

+ 1x + 2 = O}

+3

=O}

{z: r ~ Z ,;,.2 + 5.r - 4 = G) = li).

22.

Verificare che: (a ) {.e : x E N, x < ll = li),

23.

Trovare i 15 scttoìnsiemi propri di S = {a, b, e, d}.

24.

Dimostrare et.e il numero dei sottoinsiemi propri d.i S = {a 1 • E N, 3 ~ b

(h)

Soluzione(parziale): (a) {-5.-1,-3,-2, - 1}. (d) (1,2, 3,6,9,18!, (/) {1,2,3). (h) {- 2i

s-+ sa= e E T

Poiché e è unico, segue che a induce un'applicazione

(g)

=

I\ ' r> L' n .I/', (d) I\ r ( L

(8

(a) (K')'

J .\/)

=

n

•• . , an } è

Cl.

= K,

zn -

I.

(e) (A u 8 ) n C "' A u ( B n CJ. (b)

!K r /,) u \ K

'K n L)' = K'

n

'Jr:.

.H).

27.

Indichiamo "11 c!i·1ide m" con 11 I m. Dati A = {x: x E N. 3 x} e B = \x: :e E .V, 5 1xl. eionc;ar ~ 4 elementi di ciascuno d•gli insiemi A', B' , A U B,A (ì 8 , A U B'. A (ì B'. A' U B'dove A e B' sono gli insiemi complementari in N degli insiemi A e B rispettivamente.

28.

Dimostrare le leggi ( I. 8)-(1. 12'), di pag. 5 che non sono state trattat e nei problemi 8-1 3.

ay

L"Slf \ti

Siano A e 8 sottoinsiemi d1 un universo U. Dimostrare che:

u B = A n B se e solo se A

= 8,

(a)

A

(b)

AnB =A seesoloseA = ,'}, da CUi 11 = ,.- 1 ; (b ) czy = Ya = /J: (e) n8 .. 8a: (d) a2 = quindi y-1 = 'l: (j) .,.• = .!J, e quindi ol = .,.-1; (g) (a2)-' =(a-•)•.

o{J

aa

= y;

(. Notiamo incidentalmente che il triangolo a appartkne ~d [a] e che se il triangolo e appartiene sia ad [a] che a [b] allora [a] e (b j sono semplicemente due altri modi di inc!i.:are la classe [e].

F ig.Z·Z

E' logico attendersi che il diagramma di un insieme to ta lmente ord inato sia sempre una rett a. La fig. 2-2 mostra l'ordine parziale in A dato dalla relazione (I). Si veda anche il problema 7.

(Si noti l'uso che abbiamo fatto delle parentesi quadre per indicare in questo caso le classi di cq uivalenza). Esempio 8:

12

Un insiem e S si dirà parzialmente ordinato (non si esclude la possibilità che l'ord ine sia to· tale) da una relazione binaria 'R. se, indicando con a, b , e, elemen ti arbitrari di S. (i) ( ii') (iii)

'R. è riflessiva, cioè a 'R. a 'R. è antisimmetrica, cioè a lll11ru1 ·.··su un ms1em 2} non ha minimo, Q non è bene ordinato. Z risulta bene ord inato dalla re lazione( x e v # y, allora

= ·) è distributivo rispeuo alla somma(•= -'-J conx,y,zEZ.

=z

a•b

2 •

+

y

uzc

= x2y =

= ab2 + 2abc - ac•

con x, y E Z

a)

(3)

Sugli insiemi A e B senza ordinamenti, definiamo le operazioni binarie mente con le tavole

= b'a + c'a

3 2

Sia S = {a, b, c . ... } un insieme in cui è definita un'operazione binaria o, e supponiarn;; che la r~lazione 'R. ripartisca S nell'insieme di classi di equivalenza E == {[a], [bj. fcj, ... ). Suppomamo di definire su E un'operazione binaria e nel modo srguent.::

Diremo che $

[qo.~ J

== !aob]

~

PU S. (b) Supposta per ipotesi l'~ssociatività, studiare le altre proprietà delle due operazioni.

h

g

g

f

h

h

Il

h

a

g

e

h

d

g

b

g

h

i b

d

a

d

b

a a

d

Tavola 2-1 I

(aob)oc {a'cb')cc' a' o (b' o e') = (a' o b') o e'

(e) ( 1 2 3 4 5 6 7 85)

3416 8 2 7

(/) (135) o ( 3456) o (4678)

= (12)(13)( 14 )

(13)(246)(58}

= (13)(24)(26)( 58)

= (28)(3-1)(36)

(/) (1637845)

Nota: Per comodità si è omesso

o

=

(16Ì(l3)(1 7)(18)(1 4)(15)

per indicare il prodotto di trasposizioni.

a

29.

Mostrare che i cicli (1357) e (2468) del problema 28(b) sono commutativi. En unciare il teorema relativo .

30.

S:rive re in notazione ciclica le 6 permutazioni su S = {I, 2, 3} , indicandole con p 1, p,, p 3 , e costruendo la tavola dei prodotti Pi o p1 .

3 1.

Costruire la tavola di moltiplicazione per l'insieme S ((1). (1234), {1H2), (13)(2 4)) costituito da per· mutazioni su 4 oggetti. Utilizzando la tavola 2-3 mostrare che S è isomorfo a B.

e

17.

m}

Dimostrareche:

(1)

Supponiamo m = I , in tal caso N, = ( 1) , N 2 = 0 (problem a 9) e ,V3 = {x: x E N, :r: > 1) . Chiaramente .v, u N 2 u N 3 = .V. Quindi per completare la dimostrazione nel caso ìn esame oc~orre soltanto controllare che N 1 n N 2 = :\" 1 n N 3 = N 2 n N 3 = !i).

(2)

Supponiamo m ,P l. Poiché l E N, segue che l E N 1 u N 2 u N 3 • .v, u N 2 u N 3 . Sì presentano tre casi:

(iii)

(e)

n EN3 . In tal caso n*

r

l

>n >me così n• EN3 . E f\1 1 u .V2 u N 3 implica n • E N 1 u N 2 u N 3

Oramf;N1 dato chem m oppure, ed è lo stesso, p


(t + u) + (m + p)

+ m) cioè (•. m] > [t, nJ e a> b, come richiesto. allora (• + n) > (t + m). Ora per confrontare

Allo ra per il teorema II' del cap. 3, pag. 33, (•

t•u

=

[m, •] • [n, t]

b)

Siano a, b, e E Z, dimostrare che a + e> b +e se e solo se a> b.

~he,

Risulta

-r

= -(a.+

(-b)

Dimostrare la tricotomia: se a, b E Z, una e una sola delle condizioni

Poniamo a...-.[•, m], b +-> [t, n],

([s,m] + [t,11]) · (u,p] per tutti gli elementi [s, m f, [t , n], [u, p J E X'

:b.

9.

Dimostrare la proprietà distributiva D,:

([s, m]-'- [t, 11") • [u, pj

=

Siano a. ...,. [•, m] e b ....,. [t, n]; allora per la tricotomia discussa nel cap. 3, pag. 32, vale una e una so· la delle condizioni: (a) s+n = t+m ea=b; (b) 1 +11 < t+m ea t+m e

(u, pj

-

cona,b,EZ.

è valida.

pertuttiglielementi[s,m ]. [t ,n ], [u,pJE /.:" 1

[(m

(a) a= b,

fs, m] + ([t, n] + [u, p])

Si ricava >! )

+-+

e

= [s, mJ · [t,nl

Dim ostrare la proprietà associativa della somma:

(!s, mJ - [t,

+-+

[(m • n + s • t), (m • t + s • n)j

Ora

(s • n.,. m · t))

([s, m] + [t, n]) + [u, P]

+-+

a.•b

+ b •e)

[(«·c +b ·cl), (a · d+b · c)J = [(s·t+m·n),(s·n+m·t)]

e così

5.

(-a) • (-b)

(2)

Risulta da (b),

=

[a,m]+[t,n]

(-a.) + (-b)

e

2(a • d + b • e + • • t + m • n) + (a.· t + m •e + s • d + b • n) + (• •e + n • a. + b • t + m • d)

e, con le leggi di canceUazione del cap. 3, all'identità richiesta.

4.

-(a+ b)

Allora

2(a. • e + b • d + s • n + ·m •I) + (a. • t + m •e + s • d + b • n) + (s •e + n •a. + b • t + m • d)

[m, •] + ln, t]

(t, n ). Allora a - b = a +(-b) +-> [s,mj+[n,t j = [(s + n),(m+t)j

(s, s) - (l, l )

e Jr,r•J ,_. - 1

= O · a = O,

( -a )

= -'-a,

(b) (-I J · a = -a. (e) -O = O.

(b)

(-a)( -b)

= a · b.

(e) (-a ) -"- b

= - {a -

( - b i).

C LI T~"T ER l

b

25.

Dimostrare che: se a , b E Z e a Traccia.

26.

Z • tale che a

+e

= b.

a- b

=e-

d

se e solo se a

-r

d

CAPITOLO S

Proprietà degli interi

Dimostrare che se a, b, e E Z , (a) -a > -b se a < b. (b} a-'-c < b+d seaO per tutti gli interi >o per tutti gli interi

*

m *O. m

>O.

*

Allo scopo d i fa r vedere che la restrizione a O è necessaria, supponiamo O I b. Se b O dovremmo avere b = O · c c on c E Z, il che è im p ossibile; men tre se b = O, dovremmo avere O = O · e che risulta vera per ogni c E Z. Se b , c, x , y E Z , l'intero bx ma I viene d im ostrato il

+ cy è detto una combinazione lineare di be c. Nel proble-

Teorema I. Se a I be a I c allora a I (bx

+ cy )

per tutti gli x , y E Z. Si vedano anche i problemi 2-3.

: m 7:! . .. . . p:r,

I per ogni i e i numeri primi p 1 • P2. P1 , ... , P. distinti.

Esempio 9:

{ ... , -16, -12, -8, - 4, O, 4, 8, 12, 16, ... }

Indicheremo le classi di resti modulo m con Z / (m). Ad esempio , Z / (4) = (tO], fl], (2], [3] } e Z /(m) = ([O], [1], (2], [3], .... [m-1] ). Ovviamente [3) E Z /(4) = [3] E Z/ (m) se e solo se m = 4. Due proprietà fondamentali delle classi di resti modulo m so no le seguenti :

Ovviamente se (a) dà la fattorizzazione di a, allora -a=

(O]

(lj

Se a = b lmod m) allora p er ogni n E Z . mn +a = b (mod m) e viceve rsa.

Esempio 12:

E9

o 2

3

Le tavole della somma e del prodotto per Z/(4) sono:

o

2

o 2

3

0

o

2

3

o

o o

o

o

o

2

3

2

o

2

o

2

3

o

3

2

2

3

2

3

o

3

o

o Tavola 5·1

2

Tavola S-2

dove pec comodità abbiamo sostituito O, I , 2, 3 a (O]. [I] , (2 J, (3 ].

P RU~ RJ EI

COJ'liGRUENZI:. LINEARI

LA NOTAZIONE POSIZIONALE PER GLI INTERI

Consideriamo la congruenza lineare

E' ben noto al lettore che

ax "" b(mod 111)

(b)

8·105

827"016

in cui a b m sono numeri interi fissati con m > O. Chiameremo soluzione della congruenza ogni intero; =· x 1 per cui m I (ax, - b). Sex, è una soluzione di (b) cli modo che m (a:i:, - b) ~llo­ rJ per ogni k E m (a(x, +km) - b) ex 1 +km risulta ancora una soluzione. Qu indi sex 1 e una soluzione, lo è anche ogni altro elemento della classe di resti [x 1 I modulo m. Quindi se la co ngruenza lineare (b) ha soluzioni. esse sono tutti gli elementi di una o più classi di resti di Z/(m). Esempio 13: (a) La congruenza 2z = 3(mod 4) non ha soluzioni, perché nessuno degli interi 2 ·o - 3, Z • 1 - 3, Z • 2 - 3, 2 • 3 - 3 è divisibile per -1 . (b) La C0'1~ruenza 3x"' 2(mod 4) ha la soluzione 6 e quindi tutti gli elemenh di (2] EZ.1(4) sono soluzioni. Non ne esistono altre. (e) Lz ,,.mgruenza 6x "'Z( mod 41 ha le soluzioni I e 3.Avendosi 3 ., I mod ~ · .diremo che I e 3 sono soluzioni non congrue tra loro. l\aturalmente tutti gli elem~nt1 d1 [I], [3] E Z /(4) sono soluzioni. Non né esistono altre.

z.

Rit ornando alla (b) supponiamo (a , m) = 1 = sa-r- tm . Allora b = bsa + btm e x 1 = bs è una soluzione. Supponiamo ora che x 2 ;f x 1 (mod m) sia un'altra soluzione.

=

Avendosi ax 1 = b (mod m) e ax 2 b (mod m) dalla proprietà transitiva di= (mod m) segue cheax 1 =ax 2 (modm). Alloramla(x 1 -x 2 ) ex 1 =x 2 (modm)control'ipotesi.Quindi (b) ha esattamenre una soluzione a meno di congruenze, diciamo x 1, e \a classe di resti [l·a] E Z/(m). detta anche classe di congruenza, comprende tutte le soluzioni.

0·10'

+

1·10 -r- 6

.J..

10'

· r,

-r- · ·· -

lO·r, •

r.,

r ,r,

;=

1

··· r : ro

E' ca notare che in questa rappresentazione i simboli r, impiegati sono elemer.ti dell'insieme {0, 1, 2, 3, ... , 9} dei resti mojulo I O. ( Perché questa rappresent:izio ne è unica?) Nel paragrafo immediatamente precedente abbiamo scelto il numero intero I O. detto la base , perché esso dà luogo al nostro sistema di rappresentazione dei numeri. Tuttavia il procedimento è indipendente dalla base e si può usare qualunque altro intero p ositivo. Così assumendo come base 4 ogni intero positivo sarà espresso da una sequenza formata dai simboli O. I, 2, 3. Per esempio l'intero (in base 10) 155 = 4" · 2 -r- 42 • 1 + 4 · 2 + 3 = 2123 (in base 4). In questo caso la somma e il prodotto si svolgono esattamente nello stesso modo indipendentemente dalla base; si devono peraltro memorizzare le nuove tavole relative a lle due operazioni. Per la base 4 queste tavole sono:

(e)

2

e ogni soluzione di (e) è una soluzione di (b).Ma (a 1 , m 1 ) = I e così (c) ha un'unica soluzione a meno di congruenze e quindi (b) ha soluzioni. Abbiamo dimostrato la prima p arte dd

3

= (a. m)

10'·r,

a

=

La congruenza ax = b (mod m) ha soluzione se e solo se d

2-10• -r- 7·10·' -

=

+

=

+

Non è altrettanto noto il fatto che questa rappresentazione è un'applicazione dello:: proprietà delle congruenze fra numeri interi. In fatti supponiamo che a sia un intero p ositivo. Per l'algoritmo della divisione a = 10 · qo + ro, O= ro < 10. Se q 0 = O, scriviamo a= r 0 ; se q 0 > O. allora Qo 10 · q, + r,. O= r, < 10. Ora, se q 1 =O. allora a= IO · r 1 + r0 e scriviamo a= r 1 r 0 ; seq,>0, allora q. = lO·q,Tl',, o = r, < 10. Dinuovo,seqz=O,allora a= lO'·r,.:.. 10 · r , + r oe scriviamo a= r~r 1 r 0 ; se q 2 > O, si ripete il procedimento. Dal fat to che i q, costituiscono un insieme di interi positivi decrescenti segue che il procedimento stesso deve aver termine a un certo punto e risulta

Supponiamo ora che (a , m) = d = sa+ tm, d > 1. Essendo a= a 1 de m = m 1 d, ne segue c he se (b) ha una soluzione x = x 1 allora ax. - b mq m,dq e quindi d I b. Reciprocamente supponiamo che d = (a, m) sia un divisore di b e p o niamo b = b 1 d. Per il teorema IX, a pag. 53 ogni soluzione di (b) è una soluzione di

Teorema XI.

·\' [)[l;Ll L'TLR!

o

o

3

3

2

o

2

3

2

3

10

3

10

li

2

10

li

12

3

Tavola

o o

o

o

e

2

o

2

3

o

o

2

3

IO

12

12

21

T;,vola 5-1

5-~

Si veda il

è un diviso-

problem~

re di b. Se d I b, la congruenza ha esattamente d soluzioni non congrue fra loro (d classi di congruenza di soluzioni). Per completare la dimostrazione consideriamo il sottoinsieme S = (x1, x1+m1. X1+2m1, x,+3m,, ... , :r,+(d- l )mi) di [x 1 ]. la totalità delle soluzioni di a 1 x = b 1 (mod m 1 ). Mostreremo ora che due elementi distinti di S non sono mai congrui modulo m (quindi (b) ha almeno d soluzioni non congrue tra loro ) mentre ogni elemento di [x 1 ] - S è congruo modulo m a un elemento di S (quindi (b) ha al più d soluzioni non congrue tra loro).

Siano x 1 + sm 1 e. x, + tm1 elementi distinti di S. Or:i se x, .,.. sm, = x, + tm,(moè. m) allora m · (s - t)m,; quindi d I (s - t) es= t , che contraddice l'ipotesi s t. Cosi gli elementi di S non sono congrui tra loro modulo m. Consideriamo p o i un elemento di [x 1 ] - S, diciamo x, + (q d + r)m, con q ;;;. I e O.;;; r Pn o ppure che ha un primo> Pn come fattore , che contraddice l'ipotesi che Pn sia il massimo numero primo. Quindi non esiste un mass:mo numero primo e i numeri prirrù sono infiniti.

p,, P» p 3 ,

b, > 1

Ora o b 1 è primo, b 1 = p 2 , e a = p 1 • p 2 oppure

=

a

5.

Dimostrare l'algoritmo della divisione: dati due numeri inten a e b diversi da zero, esistono due interi q e r. unici, tali che

=

a

bq

+

r,

Ripelenèo il ragionamento si arriva a et

O~ r < b

< JbJ,

=

P1 • P2 • P:t · · · · . Prt

P2 . P1 • · · · ' p.,

11. Trovare i più piccoli in teri positivi

Quindi 1389,167)

+

167 . 2

55 . 3 + 2

55

2 . 27

2

1·2

82. 389

+

55

+

389 · 82 -

8.

Q: •

q"! ' ql •

' q"'

'11. ,,,, . . . . .

a cui

11

!J,•4

e la fattorizzazione è unica.

19, 288, 19 · 288 e 19 3

•

288 2 sono congrui mo-

Risulta

167. 27

19 = 5 · 3 "'- 4: quindi 19 " 4(niod 5).

167•191

288 = 5 • 57 l~ ·

288

+ 3: quindi 288 ;;: 31mod 5).

= G( · · · ) -'- 12: quindi

J93 • 288~ = ~ ( · · ·) - 4: · ~'

l!) • 2~8

= 5( · · ·) +

"- 2•mod .)) .

57~:

quindi 193 • 288' "' llmoct 5l.

(-191 )( 167).

12. 7.

::

dulo 5.

55 - 2. 27 55. 82 -

u:i

. P.

Ripetendo il ragionamento quante volte occorre. troviamo che m =

troviamo

l67

h~

Ma q, è un divisore di p 1 • p, • P:i • ... • p.: quindi , per il teo rema V',q 1 d1v1de uno dei p, diciamo p 1. Allora q 1 = p 1 , perché ambedue sono primi ;iositivi. e per M. d el ~ap. 4 ..

Determinare (389, 167) e esprimerlo nella forma 389 m + 167 n.

389

Pi · p, ·P i ·

::

> .. . · quindo B

Per dimostrare l'unicità, supponiamo di avere due rapprese1ltazioni

O "' 1·' < lb

da

oppure

P1 • P.!. P.1 ·b i·

;.:...

a

a

6.

b, ' l

P. · p, · b,,

a "" ;>, • p, · p,

come richiesto.

Supponiamo che esistano altri due numeri q' e r' tali che

In tal caso bq· -r , .• = bq + r oppure b(q' - q) = ,. - •·' implica b I (r - r') e, essendo lr - r' allora r - r' = '.l; inoltre essendo b *O anche q' - q =O. Quindi r' = r, q' = q e q e r sono unici.

o1 , essendo composto, ha un fattore primo p 1 e

e così via. Gli clementi deli' insieme 8 = {b 1, ò 2 • b _. ....} hanno !a propnctj b, > b, > b J più piccolo elemento, diciamo bn che è un numero primo p ., e

Poniamo S = {a - bx: x E Z }. Se b 12(mod 18). Poiché ( 6, 18) = 6 e 6 i I 21esistono esattamente 6 soluzioni non .::ongrue tra d i loro. Come si è visto nella d11nostrazionc del teorema XI, queste 6 s0iu?.i·;ini >ano i primi sei inreri posit ivi 1iel!' msieme di tutte le soluzioni dix= 2 (mod. 3), do~ i primi sei interi positivi in (2] E 7-:(mod 3). Qumdi sono 2, 5. ì !. l~ . 17.

s.

15.

I .J..ilvra.:iò s.

lii) Se

rz -

((s, m) . s E Z. m E Z - (0} J

10} l =

e ddini:ir.10 ~ugl i d e me n ti (s, m), ( e, n) E

(iii )

x-y

= x+( - y)

e

(iv) rispe ttivamente. Queste oper:moni non sono né associative nt! .:omm u ta tivc (dimostrarlo). Tuttavia, come in Z. il prodo t to è distri butivo rispetto alb sot trazione . UNA CONVENZIONE

K !a relazione binaria - ponendo

[e , l] E

L'applicazione

(s, m) - (t, n) se e so lo se sn = mc

(si no ti che O può comparire come prima componente, ma mai come seconda componen te dc'lle coppie). Così definita - risulta una relazione di equivalenza (dim ostrarlo) e q uindi ripartisce K di classi di equivalenza

~0 .1

·=

x /y invece dix · f

RELAZIONI D'ORDINE

Chiamere mo k classi di eq uiva lenza d i tt7' numeri rnionali, e nei paragrafi che seguo no faremo vedere c he 1f,, è isomo rfo al sistema (j nella forma d1e ci è nota. SOMMA E PRODOTTO La somma e il prodotto su (J. vengono definiti ponendo rispettivamente

[s, m]

(i)

e (ii)

-r

(t, ti j

fs, m ] ·

f (s n + nit ),

ft, n ]

Sex,yEQ ,

fst , mn j

Definiamo ora due numeri razion::li particolari

[O, m] o. Il sottoinsieme costituito dagli elementi positivi di Q sarà indicato con Q• e il corrispondente sottoinsieme di a'con t12' Analogamente [s, m] è detto negativo se e solo se s • m in Q vengono definite nel modo seguente:

nm]

Queste operazioni, definite ricorrendo a operazioni ben definite st:gli interi, sono esse stesse ben definite (si vtda il problema l ). zero:

1

e in particolare, s/m invece di [s, m].

[t, n]. .. . }

{ (a. i>): (a , b) E K , (e, hì - (s. m) }

fs, m ]

t!2' ~ r E Z

~ un isomorfismo fra un particolare sottoinsieme di tfl' e l' insieme degli interi. Possiamo allo ra, per comodità, sostituire Z al sottoinsieme t12' ( (t, l] : [t, l) Et! }.Per rendere completa l' identificazione di tf!con Q, occorre semplicemente porre

n ell 'in ~ iemc

y.

Proprie tà di Archim ede.

e un numero razionale.

Reciprocamente è chiaro che ogni decimale finito 0,17 = 17/ IOOe0,175= 175/1000= 7/40.

:-Jd problema 3 ~i dimostra il

RAPPRESE NTAZIONE DECIMALE

e

Consideriamo il numero razionale p ositivo a,b. con b > I . Abbiamo o""',., < b a q,b

lOru

o""-,., < b

+ 1"1

PROBL.EMI RISOLTI

Essendo r 0 C(O) e C- 1

Ripetere il cap. 4 con ·.I\.· al posto di N.

(2)

Individuare ciascun elemc;-ito di Procede rem o in questo modo.

A..

< C(O) e C 2 > C(O)

In fine se C "# C(O) poniamo

;:!.: mento .iobia l'inverso additivo :

( 1)

(2)

come mverso additivo d1 un unico ekm~n t o di .\·.

=

- (ICI ·' ) se C < C(O)

Segue fac il mente eh C1

significhi C 1

-

C2

< C(O)

Nel problema I I si dimostra che

Definiamo ora per ogni CE 7\.,

-C = {x : X E Q, x < - a per almeno un a E C'} P~r C = Cl-3 l risi.!!ta -C = {x : :X E Q, :e< 3} , essendo - 3 il minimo di C'. M:i questo è proprio C(J); quindi, in ge11èrale , -C(r ) = C(-r) se r E Q:

C1

< C2 , o anche C 2 > C 1 , se e solo se C 1 C

C2 •

Segue facilmente la Tricotomia.

Se C 1 , c, E 7(. una e una sola deUe condizioni (a) C 1 = C2 (b) C 1 < C 2 (e) C1

> C2

è valida. Nel problenu 8 si dimostra che -C è effettivamente una sezione e nel orob!ema 9 che -C è l'inverso additivo di C. A questo punto le proprietà A 1 -A4 valgono p~r "J\..

Lasciamo al lettore la dimo· strazione del Teorema V. L'applicaz ione C(r) E 'K.* .... r E Q è un isomorfismo tra 7(* e Q.

Nel problema I O si dimostra la Tiico tomia.

Se CE 'K., una e una sola delle condizioni

C = C(O)

CE'!\.'

è valida.

PROPRIETA' DEI NUMERI REALI Poniamo per definizione ?(* = {C(r): C(r) E 7(, r E Q}.

-CE'>;.•

Gli elementi di 7( seno detti numeri reali e, ove risulti p iù comodo, sostituiremo a 7( il familia re R, e con A, B, ... indicheremo elementi arbitrari di R. Risulta Q C R: gli elementi del complementare d i Q in R sono chiamati numeri i"azionali. Nei problem i 12 e 13 si dimostra la Densità. Se A, BER e A< B, esiste un numero razionale C(r) tale che A< C(r) O, {3 E R ponendo et:J = ( 1/cr.rJ se

aO, segue che Ce D. Sia q E Q tale che p = r + q E De p ff. C. Allora q E C, ma r + q E C'. Quindi q soddisfa le richieste del teorema per b.

6.

*

Sia e +x E C-+- (--C). con e E Ce x E-C. Se x ' {C,, e,. e,. ... } il sottoinsieme e sia C un maggiorante. L'uni0ne r.; C1 u C2 u c_3 u · · · . delle sezioni di ) è essa stessa una sezione che appartiene a 'K: inoltre. essendo e, e;: L . C, ç U, c 3 ç U, ... . U un maggiorante di S Ma C 1 ç C, C2 ç; C, CJ ç C . ... : quindi U ç Ce V è l'estre· mo superio re di S.

è

PROBLEMI SUPPLEMENTARì CAPITOL08 I 5.

(a ) (b) (e)

Definire C(3) e C(- 7). Dimostrare che sono sezioni. Definire C'(3) e C'( - 7). Stabilire se -I O, -5. O, 1, 4 appartengo110 o non appartengono rispettivamente a C(3\ C(-7' C'l3) C'(-7) .

. '

,,

I numeri complessi .

(ti) Trovare 5 numeri razionali in C(3) che non s tiar.o in C(-7).

16.

Dim ostrare che: C(r) e C(s) se e solo se r < s.

! 7.

Dimostrare che se .4 ~ B sono sezioni, allora A C B implica A c4= B.

18.

Dimostr~rc

19.

Dimostrare che se C è una sezione e r E Q ·.allora

20.

Dimostrare il :eorema IV di pag. 67.

21.

Sia r E Q, e r non sia in CE?(. Dimostrare che C

:• • z =

e

sin 3:rl2)

.,.. i../3)

= 8i

Come conseguenza del teorema IV abbiamo il Teorema V.

Se n è un intero positivo, [r(cos fJ -'- i s in O)j•

RADICI z• = A = p(cos q, + i sin ç,) L'equazione con n intero positivo e A numero complesso qualur.que ha, come ora vedremo. esattamente n radici. Se z = r (cos () +i sin (} J è una di queste, risulta mpio 4:

=2 = ,., (cos 8 2 + i sin e,). -

.::C. [cos (8 1 • •. ,

:x:,, ,.. (y, + y,)i

(x, - y1i) - (r 1 - y,11

r:•cos a1 - i sin ed r:!{cos 8.! - i sin 8.!l

Ne segue il p, p2 , p3 •

(:r, +

+ !/2)i

Se z 1 e z 2 sonu i numeri complessi del problema 3.

l, allora pm è una radice

l :! radic i 11 -me primitive