Algebra - az algebra alapfogalmai [2. kiad ed.] 9789632790565, 9632790561 [PDF]

Zitiervorschau

5

Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék Előszó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Mi az algebra? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 10

A koordinátázás gondolata. Példák: kvantummechanikai szótár, illetve az illeszkedési és párhuzamossági axiómák véges modelljei.

2.

Testek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Testaxiómák, izomorfizmus. Független változók racionális függvényteste; algebrai síkgöbe függvényteste. A Laurent-sorok és a formális Laurent-sorok teste.

3.

Kommutatív gyűrűk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Gyűrűaxiómák; nullosztók és integritási tartományok. Hányadostest. Polinomgyűrűk. Egy algebrai síkgörbe polinomfüggvényeinek a gyűrűje. Hatványsorok és formális hatványsorok gyűrűje. Boole-gyűrűk. Gyűrűk direkt összege. Folytonos függvénygyűrűk. Faktorizáció, egyértelmű prímfaktorizációs tartományok, példák.

4.

Homomorfizmusok és ideálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Homomorfizmusok, ideálok, faktorgyűrűk. A homomorfizmustétel. Homomorfizmusok megszorítása függvénygyűrűkben. Nullosztómentes főideálgyűrűk; kapcsolatuk az egyértelmű prímfaktorizációs tartományokkal. Ideálok szorzata. Test karakterisztikája. Adott polinom gyökét tartalmazó bővítések. Algebrailag zárt testek. Véges testek. Egy általános gyűrű elemeinek reprezentálása a maximális ideálokon értelmezett függvényként. Az egészek mint függvények. Ultraszorzat és nemsztenderd analízis. Fölcserélhető differenciáloperátorok.

5.

Modulusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Direkt összeg és szabad modulusok. Tenzorszorzat. Egy modulus tenzorhatványai, szimmetrikus és külső hatványai, a duális modulus. Ekvivalens ideálok és modulusok izomorfizmusa. Differenciálformák és vektormezők modulusai. Vektorterek és modulusok családjai.

6.

A dimenzió algebrai aspektusai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Egy modulus rangja. Végesen generált modulusok. Nullosztómentes főideálgyűrű fölötti végesen generált modulusok. Noether-modulusok és -gyűrűk. Noether-gyűrűk és végesen generált gyűrűk. A fokszámozott gyűrűk esete. Bővítés transzcendenciafoka. Véges bővítések.

7.

A végtelen kicsi fogalmának algebrai megközelítése . . . . . . . . . .

56

Függvények modulo másodrendben végtelenül kis mennyiségek; sokaságok érintőtere. Szinguláris pontok. Vektormezők és elsőrendű differenciáloperátorok. Magasabb rendben végtelen kis mennyiségek. Differenciáloperátorok és jetek. Gyűrűk teljessé tétele, a p-adikus számok. Értékelt testek. A racionális számtest és a racionális függvénytestek értékelései. A p-adikus számok teste a számelméletben.

8.

Nemkommutatív gyűrűk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Alapfogalmak. Gyűrű fölötti algebrák. Modulus endomorfizmusgyűrűje. Csoportalgebrák. Kvaterniók és ferdetestek. Tvisztorfibrálás. Ferdetest fölötti n-dimenziós vektortér endomorfizmusai. A tenzoralgebra és a nemkommutatív polinomgyűrű. Külső algebra; szuperalgebrák; Clifford-algebra. Egyszerű gyűrűk és algebrák. Ferdetest fölötti vektortér endomorfizmusgyűrűjének bal- és jobbideáljai.

9.

Nemkommutatív gyűrűk fölötti modulusok . . . . . . . . . . . . . . . Modulusok és reprezentációk. Algebrák reprezentálása mátrix alakban. Egyszerű modulusok, kompozícióláncok, a Jordan–Hölder-tétel. Gyűrű és modulus hossza. Modulusok endomorfizmusai. A Schur-lemma.

80

6

Tartalomjegyzék

10. Féligegyszerű modulusok és gyűrűk . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

Féligegyszerűség. A csoportalgebra féligegyszerű. Féligegyszerű gyűrűk fölötti modulusok. Véges hosszúságú féligegyszerű gyűrűk, Wedderburn tétele. Véges hosszúságú egyszerű gyűrűk és a projektív geometria alaptétele. Faktorok és folytonos geometriák. Véges rangú féligegyszerű algebrák algebrailag zárt test fölött. Alkalmazások a véges csoportok reprezentációinál.

11. Véges rangú ferdetestek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

Véges rangú ferdetestek R vagy a véges testek fölött. Tsen tétele és az algebrailag majdnem zárt testek. Véges rangú centrális ferdetestek a p-adikus és a racionális testek fölött.

12. A csoport fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Transzformációcsoportok, szimmetriák, automorfizmusok. Egy dinamikai rendszer szimmetriái és a megmaradási törvények. Fizikai törvények szimmetriái. Csoportok, a reguláris hatás. Részcsoportok, normálosztók, faktorcsoportok. Elem rendje. Az ideálok osztálycsoportja. Modulusok bővítéscsoportja. Brauer-csoport. Két csoport direkt szorzata.

13. Példák csoportokra: Véges csoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 A szimmetrikus és az alternáló csoport. Szabályos sokszögek és szabályos poliéderek szimmetriacsoportja. Rácsok szimmetriacsoportja. Kristályosztályok. Tükrözésekkel generált véges csoportok.

14. Példák csoportokra: Diszkrét végtelen csoportok . . . . . . . . . . . . 131 Diszkrét transzformációcsoportok. Kristálycsoportok. A hiperbolikus sík diszkrét mozgáscsoportjai. A moduláris csoport. Szabad csoportok. Csoportok megadása generátorokkal és definiáló relációkkal. Logikai kérdések. A fundamentális csoport. Csomók csoportjai.

15. Példák csoportokra: Lie-csoportok és algebrai csoportok

. . . . . . . 146

Lie-csoportok. Tóruszok. Liouville tétele.

A. Kompakt Lie-csoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 A klasszikus kompakt csoportok és néhány közöttük fennálló összefüggés.

B. Komplex analitikus Lie-csoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 A klasszikus komplex Lie-csoportok. Néhány további Lie-csoport. A Lorentz-csoport.

C. Algebrai csoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Algebrai csoportok és az adèle-csoport. Tamagawa-szám.

16. Csoportelméleti eredmények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Direkt szorzat. A Wedderburn–Remak–Schmidt-tétel. Kompozícióláncok, a Jordan–Hölder-tétel. Egyszerű csoportok, föloldható csoportok. Kompakt egyszerű Lie-csoportok. Komplex egyszerű Lie-csoportok. A véges egyszerű csoportok és osztályozásuk.

17. Csoportok reprezentációelmélete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 A. Véges csoportok reprezentációi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Reprezentációk. Ortogonalitási relációk.

B. Kompakt Lie-csoportok reprezentációi . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Kompakt csoportok reprezentációi. A csoporton való integrál létezése. A Helmholtz–Lie-tétel. Kompakt Abel-csoportok karakterei, Fourier-sorok. Weyl- és Riccitenzorok a 4-dimenziós Riemann-geometriában. Az SU (2) és SO(3) csoport reprezentációi. A Zeeman-effektus.

C. Komplex klasszikus Lie-csoportok reprezentációi . . . . . . . . . . 181 A nemkompakt Lie-csoportok reprezentációi. A véges dimenziós klasszikus komplex Lie-csoportok reprezentációi teljesen reducibilisek.

7

Tartalomjegyzék

18. Csoportok alkalmazásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 A. Galois-elmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Galois-elmélet. Egyenletek megoldása gyökjelekkel.

B. A lineáris differenciálegyenletek Galois-elmélete (Picard–Vessiot-elmélet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 C. Az elágazás nélküli fedések osztályozása . . . . . . . . . . . . . . . 188 Az elágazás nélküli fedések osztályozása és a fundamentális csoport.

D. Invariánselmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Az invariánselmélet első alaptétele.

E. Csoportreprezentációk és az elemi részecskék osztályozása . . . . . 190 19. Lie algebrák és nemasszociatív algebrák . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 A. Lie-algebrák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 A Poisson-zárójelek mint Lie-algebrák. Lie-gyűrűk és Lie-algebrák.

B. Lie-elmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Lie-csoport Lie-algebrája.

C. Lie-algebrák alkalmazásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Lie-csoportok és a merev test mozgása.

D. Más nemasszociatív algebrák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 A Cayley-számok. A 8-dimenziós tér 6-dimenziós részsokaságainak majdnem komplex struktúrája. Nemasszociatív valós ferdetestek.

20. Kategóriák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Diagramok és kategóriák. Az univerzális diagramok. Funktorok. Funktorok a topológiában: hurokterek, szuszpenzió. Csoportobjektumok kategóriákban. Homotópiacsoportok.

21. Homologikus algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 A. A homologikus algebra fogalmainak topológiai gyökerei . . . . . . 220 Komplexusok és homológiáik. Poliéderek homológiája és kohomológiája. Fixponttétel. Differenciálformák és a de Rham-kohomológia; de Rham tétele. A kohomológiacsoportok hosszú egzakt sorozata.

B. Modulusok és csoportok kohomológiája . . . . . . . . . . . . . . . 226 Modulusok kohomológiája. Csoportkohomológia. Diszkrét csoportok kohomológiájának topológiai jelentése.

C. Kévék kohomológiája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Kévék, kévék kohomológiája. Végességi tételek. A Riemann–Roch-tétel.

22. K-elmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 A. Topologikus K-elmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Vektornyalábok és a Vec (X) funktor. Periodicitás és a Kn (X) funktorok. K1 (X) és a végtelen dimenziós lineáris csoport. Elliptikus differenciáloperátor szimbóluma. Az indextétel.

B. Algebrai K-elmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Projektív modulusok osztályainak a csoportja. Gyűrű K0 -, K1 - és Kn -csoportja. Test K2 -csoportja és ennek kapcsolata a Brauer-csoporttal. K-elmélet és számelmélet.

Megjegyzések az irodalomhoz Irodalomjegyzék . . . . . . . Tárgymutató . . . . . . . . . Névmutató . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

247 252 259 271

8

Előszó

Előszó Ez a könyv az algebráról kíván áttekintést adni, annak alapfogalmairól és számos ágazatáról. Fölmerül a kérdés, hogy milyen nyelvet használjunk ehhez. Arra a kérdésre, hogy „Mit tanulmányoz a matematika?”, az a válasz aligha elfogadható, hogy „struktúrákat” vagy „speciális relációkkal ellátott halmazokat”; a különféle elképzelhető struktúrák és relációkkal ellátott halmazok tömegében ugyanis csak egy nagyon kicsi diszkrét rész tarthat a matematikusok valódi érdeklődésére számot; a kérdés lényege éppen abban rejlik, hogy értékelni tudjuk az egyébként alaktalan tömegben elszórtan létező ezen kis töredék különleges jelentőségét. Hasonlóképpen, egy matematikai fogalom jelentése nem korlátozódik a formális meghatározására; ezt a jelentést valójában inkább kifejezheti egy (általában csekély számú) válogatás az alapvető példák közül, melyek a matematikus számára egyaránt szolgálnak motivációként, tényleges definícióként és ugyanakkor a fogalom valódi jelentéseként is. Talán ugyanilyen típusú nehézségekkel találjuk szembe magunkat, ha egy olyan dolognak kell az általános tulajdonságait jellemeznünk, amely akár a legcsekélyebb mértékben is egyedi. Így például értelmetlen dolog lenne „meghatároznunk” a németeket vagy a franciákat; ehelyett legföljebb a történelmükről vagy az életstílusukról adhatunk számot. Hasonlóképpen lehetetlen definiálnunk egy embert, egy egyént; ehelyett megadhatjuk az útlevelében szereplő adatokat, vagy megkísérelhetjük leírni a külalakját és a jellemét, valamint fölsorolhatunk néhány eseményt az életrajzából. Ezt az utat próbáljuk követni ebben a könyvben is, az algebrára alkalmazva. A könyvben tehát a téma axiomatikus és logikus fölépítését egy leíróbb jellegű anyag kíséri: itt a kulcsfontosságú példák gondos tárgyalását, valamint az algebra és a matematika egyéb ágainak, ill. a többi természettudománynak az érintkezési pontjait tárgyaljuk. Az anyag kiválasztásában természetesen erősen érezhető a szerző személyes véleménye és ízlése. A könyv olvasóiként elsősorban elsőéves matematika szakos hallgatókra gondolok, valamint elméleti fizikusokra, illetve olyan nem az algebrában dolgozó matematikusokra, akik az algebra jellegéről, annak a matematika egészében elfoglalt helyéről szeretnének képet nyerni. A könyvnek azon részei, melyek az algebra fogalmainak és eredményeinek rendszeres tárgyalását adják, nagyon kevés előismeretet kívánnak meg az olvasótól: csupán a kalkulusban, az analitikus geometriában és a lineáris algebrában való jártasságot föltételezzük, méghozzá többnyire olyan formában, ahogyan azt számos középiskolában, ill. főiskolán tanítják. Nehezebb meghatározni azoknak az előismereteknek a körét, amelyek a példák tárgyalásánál szükségeltetnek; kívánatos a projektív terek, a topologikus terek, a differenciálható és a komplex analitikus sokaságok, valamint a komplex függvénytan ismerete, de az olvasónak nem szabad elfelejtenie, hogy ha egy adott példánál nehézségei támadnak, ez valószínűleg csak lokális természetű, és nem befolyásolja a könyv egyéb részeinek a megértését. Ez a könyv nem vállalkozik az algebra tanítására; mindössze beszélni próbál róla. Ezt a hiányosságot részben pótolandó, igyekeztem egy részletes bibliográfiát adni; az ezt megelőző megjegyzésekben az olvasó olyan könyvekre találhat

9

Előszó

utalást, amelyekből a jelen könyben fölvetett kérdésekről olvashat részletesebben, illetve olyanokra is, melyekben az algebra egyéb területeiről esik szó: olyanokról, melyekről a hely korlátos volta miatt most nem szólhattunk. A könyv egy előzetes változatát a következő személyek nézték át: F.A. Bogomolov, R.V. Gamkrelidze, S.P. Gyemuskin, A.I. Kosztrikin, Ju.I. Manyin, V.V. Nyikulin, A.N. Parsin, M.K. Polivanov, V.L. Popov, A.B. Rojter és A.N. Tyurin; valamennyiüknek hálás vagyok megjegyzéseikért és javaslataikért, melyeket fölhasználtam a könyvben. Igen hálás vagyok N.I. Safarevicsnek a kézirattal kapcsolatban nyújtott hatalmas segítségéért, valamint számos értékes megjegyzéséért. Moszkva, 1984

I.R. Safarevics

Megragadtam az alkalmat, hogy az angol fordításban kijavítsak néhány hibát és pontatlanságot, melyek az eredeti változat kiadásáig észrevétlenek maradtak; nagyon hálás vagyok E.B. Vinbergnek, A.M. Volkonszkijnak és D. Zagiernek, hogy ezekre fölhívták a figyelmemet. Különös köszönet illeti a fordítót, M. Reidet a szövegen eszközölt számtalan javításáért. Moszkva, 1987

I.R. Safarevics

10

1. fejezet Mi az algebra?

1. Mi az algebra? Mi az algebra? Vajon a matematika egy ága, vagy egy módszer, vagy egy gondolkodásmód? Persze az ilyen kérdésekre sem rövid, sem egyértelmű választ nem lehet adni. Megkísérelhetjük, hogy az algebrának a matematikán belül elfoglalt helyét úgy jellemezzük, hogy felhívjuk a figyelmet arra az eljárásra, amire Hermann Weyl a kiejthetetlen „koordinátázás” szót alkotta meg (ld. [H. Weyl 109 (1939), I. fej., 4. §]). Az egyén eligazodhat a világban úgy, hogy kizárólag érzékszerveire, érzéseire, továbbá a tárgyak manipulálásával szerzett tapasztalataira és az ebből származó intuíciójára támaszkodik. Van azonban egy másik lehetőség is: mérések segítségével a szubjektív benyomások objektív értékekkel, számokkal helyettesíthetők, amelyek azután tetszőleges ideig tárolhatók, más egyénekkel közölhetők, akiknek nem volt részük ugyanazokban a tapasztalatokban, és ami a legfontosabb, műveleteket végezhetünk velük, amivel új információt szerzünk a mérési tárgyakról. A legrégibb példák ilyen módszerre a számlálás (koordinátázás) és a számolás (műveletek), aminek segítségével tárgyak számáról megállapításokat tehetünk, anélkül, hogy egyszerre kellene tekinteni valamennyit. Azok a kísérletek, hogy „mérjünk” vagy „számként kifejezzünk”, a természetes számok mellett elvezettek a törtekhez és a negatív számokhoz. Azok a próbálkozások, hogy egy egységnyi oldalú négyzet átlójának hosszát számmal kifejezzék, az ókori matematika híres kríziséhez és az irracionális számok megkonstruálásához vezettek. A mérés egy egyenes pontjait valós számok segítségével azonosítja, és jóval általánosabban számos fizikai mennyiséget számként fejez ki. Galileitől származik korának legszélsőségesebb kijelentése a koordinátázásról: „Mident, ami mérhető, mérjünk meg, és mindent, ami még nem mérhető, tegyünk mérhetővé.” Ez a gondolat Galilei ideje óta számos brilliáns eredményt hozott. Az analitikus geometria megalkotása lehetővé tette, hogy a sík pontjait számpárokkal, a tér pontjait számhármasokkal ábrázoljuk, és számokkal végzett műveletek segítségével új geometriai eredményeket kapjunk. Az analitikus geometria sikere azonban főleg annak tudható be, hogy nemcsak pontokat ábrázol számok segítségével, hanem görbéket, felületeket stb. is. Például egy síkgörbe egy F (x, y) = 0 egyenlettel adható meg; egy egyenes esetében F egy lineáris polinom, amit 3 együtthatója határoz meg: x és y együtthatója és a konstans tag. Kúpszelet esetén másodfokú polinommal van dolgunk, amit 6 együtthatója határoz meg. Ha F egy n-edfokú polinom, akkor könnyen belátható, hogy együtthatóinak száma 21 (n + 1)(n + 2); ezek az együtthatók meghatározzák a görbét ugyanúgy, ahogy egy pontot adnak meg a koordinátái. Abból a célból, hogy egy egyenlet gyökeit számokként fejezhessük ki, bevezetésre kerültek a komplex számok, és ez egy teljesen új matematikai ág előtt nyitotta meg az utat, ami magában foglalja pl. az elliptikus függvényeket és a Riemann-felületeket. Hosszú ideig úgy látszott, hogy a Galilei által kijelölt út abból áll, hogy „mindent” mérjünk meg egy ismert és vitán felül álló számhalmaz segítségével, és a probléma csak abból áll, hogy egyre finomabb mérési módszereket talál-

11

1. fejezet Mi az algebra?

junk, mint például a Descartes-féle koordináták, vagy pedig új fizikai eszközöket. Kétségtelen, hogy időről időre az ismertnek tekintett számok (vagy amiket egyszerűen számoknak hívtak) nem bizonyultak elégségesnek: ez egy „krízishez” vezetett, amit úgy kellett megoldani, hogy a számfogalmat kiterjesztették, újfajta számokat kreálva, amikre magukra is hamarosan úgy tekintettek, mint az egyetlen lehetséges választás. Mindenesetre a szám fogalma minden pillanatban teljesen világosnak tűnt, csak az volt a változás, hogy a számfogalom egyre bővült: „1, 2, sok” ⇒ természetes számok ⇒ egészek ⇒ racionálisok ⇒ valósak ⇒ komplex számok De a mátrixok például a „számjellegű objektumoknak” egy teljesen más világát alkotják, ami nem illeszthető be a fenti láncba. Ezzel egyidejűleg a kvaterniókat is felfedezték, majd más „hiperkomplex rendszereket” (amiket ma algebráknak nevezünk). Infinitezimális transzformációk differenciáloperátorokhoz vezettek, amelyekre a természetes művelet valami teljesen új dolog, a Poissonzárójel. Véges testek bukkantak fel az algebrában, p-adikus számok a számelméletben. Lassanként kiderült, hogy az a próbálkozás, hogy valami egységes, mindent átfogó számfogalmat találjanak, teljesen reménytelen. Ebben a helyzetben a Galilei által megfogalmazott elv intoleranciával vádolható; az a követelmény, hogy „mindent mérhetővé tegyünk, ami még nem az”, nyilvánvalóan hátrányos megkülönböztetést alkalmaz ugyanis minden olyan dologgal szemben, ami nem hajlandó mérhetővé válni, és így az ilyen dolgokat száműzi a tudomány látóköréből és talán még a józan észéből is (tehát másodlagos minőség lesz belőle, vagy Galilei kifejezésével élve secunda causa). Ha szerényebben a polemikus „minden” kifejezést csak fizikai és matematikai tárgyakra vonatkoztatjuk, azokból is egyre több olyan bukkant föl, amit nem lehetett „mérni” a „közönséges számokkal”. A koordinátázás elve azonban megőrizhető, ha elfogadjuk, hogy a „számjellegű objektumoknak” a köre, amelyekkel koordinátázhatunk, ugyanolyan változatos, mint azoknak a fizikai és matematikai objektumoknak a köre, amelyeket koordinátázni akarunk. Azoknak a dolgoknak az univerzuma, amelyekkel koordinátázni akarunk, mindössze néhány nagyon általános feltételt kell, hogy kielégítsen. A leendő koordinátáknak egyénileg megkülönböztethetőknek kell lenniük. Míg például egy egyenes összes pontja azonos tulajdonságokkal rendelkezik (az egyenes homogén) és egy pontot csak√úgy tudunk azonosítani, hogy ujjal rábökünk, a számok egyéniek: 3, 7/2, 2, π és így tovább. (Ugyanezt az elvet alkalmazzák, amikor újszülötteknek, akik bajosan különböztethetők meg, különböző színű szalagokat tekernek a csuklójára.) A koordinátáknak kellően absztraktnak kell lenniük, hogy jelenségek egy széles körének a tulajdonságait tükrözzék. A vizsgált jelenségek bizonyos alaptulajdonságainak tükröződniük kell műveletekben, melyeket a koordinátaként használt objektumokon végrehajthatunk: összeadás, szorzás, nagyságrendi összehasonlítás, differenciálás, Poisson-zárójelek képzése és így tovább.

12

1. fejezet Mi az algebra?

Most már kifejthetjük a nézőpontunkat részletesebben: Tézis. Minden objektum, ami matematikai vizsgálat tárgyát képezi (görbék és felületek, leképezések, szimmetriák, kristályok, kvantummechanikai menynyiségek stb.) „koordinátázható”, vagyis „mérhető”. Azonban az ilyen koordinátázásokhoz a „közönséges” számok messze nem elegendőek. Megfordítva, mikor egy újtípusú objektummal találkozunk, rákényszerülünk arra, hogy olyan újfajta „mennyiségeket” konstruáljunk (vagy fedezzünk fel), amelyekkel azokat koordinátázni lehet. Az ilyen mennyiségek megkonstruálása és vizsgálata az algebra megkülönböztető vonása a matematikán belül (persze mindez csak hozzávetőlegesen igaz). Ebből a nézőpontból az algebra bármely ágának a fejlődése két lépcsőből áll. Az első valamely koordinátázási problémából egy újtípusú algebrai objektum születése. A második a további sorsuk, vagyis az objektumok ezen osztálya elméletének szisztematikus felépítése; ez néha szorosan kapcsolódik, néha pedig szinte teljesen független attól a területtől, amelynek kapcsán az objektumok felbukkantak. A következőkben igyekszünk nem szem elől téveszteni ezt a két lépcsőt. Mivel az algebra előadások gyakran kizárólag a második lépcsővel foglalkoznak, az egyensúlyt helyreállítandó, igyekszünk valamivel több figyelmet szentelni az elsőnek. Ezt a fejezetet két példával zárjuk, melyek valamivel kevésbé standard példák koordinátázásra, mint az eddig említettek. 1. példa. A kvantummechanika szótára. A kvantummechanikában az alapvető fizikai objektumok a következőképpen vannak „koordinátázva” matematikai objektumokkal: Fizikai fogalom

Matematikai fogalom

Egy fizikai rendszer állapota

Egy ϕ egyenes egy ∞ dimenziós komplex Hilbert-térben

Skaláris fizikai mennyiség

Önadjungált operátor

Egyszerre mérhető mennyiségek

Felcserélhető operátorok

Mennyiség, ami a ϕ állapotban a λ értéket veszi fel.

Operátor, aminek a ϕ sajátvektora a λ sajátértékkel

Azok a mennyiségek, amiket méréssel értékként meg lehet kapni

Operátor spektruma

A ϕ állapotból a ψ állapotba való átmenet valószínűsége

|(ϕ, ψ)|, ahol |ϕ| = |ψ| = 1

2. példa. Illeszkedési és párhuzamossági axiómarendszerek véges modelljei. Egy kis kitérővel kezdjük. A geometria axiomatikus felépítésében gyakran nem az összes axiómát tekintjük, hanem csak egy részüket; mi most csak síkgeometriát vizsgálunk. Ekkor felvetődik a kérdés, hogy a választott axiómahalmaznak milyen megvalósításai lehetségesek: vannak-e más modellek a

13

1. fejezet Mi az algebra?

„közönséges” síkgeometrián kívül, amik kielégítik a választott axiómarendszert? Most egy nagyon egyszerű „illeszkedési és párhuzamossági” axiómarendszert fogunk vizsgálni.

B

A

C

E

D

F

I

G H

1. ábra.

2. ábra.

(a) Bármely két ponton keresztül megy egy és csak egy egyenes. (b) Bármely egyenes és egy rajta nem fekvő pont esetén egy és csak egy olyan egyenes van, ami áthalad az adott ponton és nem metszi az adott egyenest. (c) Van három olyan pont, ami nem fekszik egy egyenesen. Kiderül, hogy ennek az axiómarendszernek sok megvalósítása van, köztük olyanok is, amelyek intuíciónkkal éles ellentétben csak véges sok pontot és egyenest tartalmaznak. Két ilyen modell látható az 1. és 2. ábrán. Az első ábrán látható modellnek 4 pontja van: A, B, C és D és 6 egyenese: AB, CD; AD, BC; AC, BD. A második ábra modelljének 9 pontja van: A, B, C, D, E, F , G, H, I és 12 egyenese: ABC, DEF , GHI; ADG, BEH, CF I; AEI, BF G, CDH; CEG, BDI, AF H. Az olvasó könnyen ellenőrizheti, mindkét rendszer kielégíti az (a), (b), (c) axiómákat; az egyenesek felsorolásakor a párhuzamos egyenesekből álló családokat pontosvesszővel választottuk el egymástól. Visszatérünk fő témánkra, és megkíséreljük az (a), (b), (c) axiómákra most készített modellek koordinátázását. Az első modellünkre a következő konstrukciót használjuk: jelöljük 0-val és 1-gyel egy egésznek azt a tulajdonságát, hogy páros, ill. páratlan; majd definiáljunk műveleteket a 0 és 1 szimbólumokon annak analógiájára, hogy hogyan viselkednek a megfelelő egészek az összeadásra és a szorzásra nézve. Például, figyelembe véve, hogy egy páros és egy páratlan egész összege páratlan, azt írjuk, hogy 0 + 1 = 1, stb. Az eredményt a 3. és 4. ábra „összeadás- és szorzástáblájában” foglaltuk össze. +

0 1

0 0 1 3. ábra

1 1 0

×

0 1

0 0 0 4. ábra

1 0 1

14

1. fejezet Mi az algebra?

A 0 és 1 mennyiségek és a rajtuk definiált műveletek segítségével fogjuk koordinátázni az 1. ábrán látható „geometriát”. Ebből a célból a következőképpen rendelünk (X, Y ) koordinátákat az egyes pontokhoz: A = (0, 0), B = (0, 1), C = (1, 0), D = (1, 1) . Könnyen ellenőrizhető ezek után, hogy a geometria egyeneseit a következő lineáris egyenletek definiálják: AB : 1X = 0; CD : 1X = 1; AD : 1X + 1Y = 0; BC : 1X + 1Y = 1; AC : 1Y = 0; BD : 1Y = 1. Valójában mindössze ez a 6 nemtriviális lineáris egyenlet képezhető a 0 és 1 mennyiségek segítségével. A 2. ábrán látható geometriára a konstrukció hasonló, noha valamivel bonyolultabb: tegyük fel, hogy az egészeket 3 osztályba, U -ba, V -be és W -be osztjuk a következő módon: U = a 3-mal osztható egészek, V = azok az egészek, amelyek 3-mal osztva 1 maradékot adnak, W = azok az egészek, amelyek 3-mal osztva 2 maradékot adnak. Az U , V , W szimbólumokra a műveleteket az előző példához hasonlóan definiáljuk; például egy V -beli szám és egy W -beli szám összege mindig egy U -beli szám, ezért azt mondjuk, hogy V + W = U ; hasonlóan, mivel két W -beli szám szorzata mindig egy V -beli szám, azt mondjuk, hogy W · W = V . Az olvasó könnyen felírhatja a megfelelő összeadás- és szorzástáblákat. Ezek után könnyen ellenőrizhető, hogy a 2. ábra geometriája a következőképpen van koordinátázva a fenti U , V , W mennyiségek segítségével: A = (U, U ), B = (U, V ), C = (U, W ), D = (V, U ), E = (V, V ), F = (V, W ), G = (W, U ), H = (W, V ), I = (W, W ); és az egyeneseket ismét az összes olyan lineáris egyenlet adja meg, amit az U , V , W szimbólumok segítségével felírhatunk; például az AF H egyenes egyenlete V X + V Y = U , a DCH egyenesé pedig V X + W Y = V . Tehát avégett, hogy a véges geometriákat koordinátázzuk, véges számrendszereket készítettünk. Később még visszatérünk ezekhez a konstrukciókhoz. Már ez a néhány példa is némi képet adott arról, hogy miféle objektumokat használhatunk különböző típusú „koordinátázásoknál”. Először is az objektumok halmaza jól körülhatárolt kell, hogy legyen; más szóval meg kell adnunk egy halmazt (vagy esetleg sok halmazt), aminek ezek az objektumok elemei lehetnek. Másodszor tudnunk kell hatást kifejteni ezekre az objektumokra, vagyis definiálnunk kell műveleteket, amelyek e halmaz (vagy halmazok) egy vagy több eleméből lehetővé teszik új elemek képzését. E pillanatban semmi további megszorítást nem teszünk a felhasznált halmazok természetére; hasonlóképpen, egy

15

2. fejezet Testek

művelet egy teljesen tetszőleges szabály lehet, ami k elemhez egy újabb elemet rendel. Ennek ellenére ezek a műveletek többnyire bizonyos hasonlóságot fognak mutatni a számokon végzett műveletekkel. Speciálisan az általunk vizsgált esetekben k értéke mindig 1 vagy 2 lesz. Alapvető példák olyan műveletekre, amelyekkel az általunk a továbbiakban vizsgált műveleteket érdemes összehasonlítanunk, a következők: a 7→ −a, amely minden számot az ellentettjére képez le; a b 7→ b−1 művelet, amely minden nemnulla b számot az inverzébe visz (mindkét műveletre k = 1); továbbá az (a, b) 7→ a + b, valamint (a, b) 7→ ab összeadás- és szorzásművelet (mindegyikre k = 2).

2. Testek Egy olyan, az első fejezetben ismertetett „műveletekkel ellátott halmaz” leírásával kezdjük vizsgálatainkat, mely leginkább megfelel a számokról alkotott intuíciónknak. Testnek egy olyan K halmazt nevezünk, melyen két művelet van megadva, s mindkettő K-beli elempárokat visz el egy harmadik K-beli elembe; a műveleteket összeadásnak , ill. szorzásnak hívjuk, s az a és b elemekre alkalmazott műveletek eredményét a + b, ill. ab jelöli. A műveleteknek a következő feltételeket kell teljesíteniük: Összeadás: Kommutativitás: a + b = b + a. Asszociativitás: a + (b + c) = (a + b) + c. Nullelem létezése: létezik egy 0 ∈ K elem, melyre a + 0 = a minden a-ra (megmutatható, hogy ez az elem egyértelmű). Ellentett létezése: bármely a-hoz létezik egy (−a)-val jelölt elem, melyre a + (−a) = 0 (megmutatható, hogy adott a-ra ez az elem egyértelmű). Szorzás: Kommutativitás: ab = ba. Asszociativitás: a(bc) = (ab)c. Egységelem létezése: létezik egy 1 ∈ K elem, melyre a1 = a minden a-ra (megmutatható, hogy ez az elem egyértelmű). Inverz létezése: bármely a 6= 0-hoz létezik egy a−1 -gyel jelölt elem, melyre aa−1 = 1 (megmutatható, hogy adott a-ra ez az elem egyértelmű). Összeadás és szorzás: Disztributivitás: a(b + c) = ab + ac. Végezetül azt is föltesszük, hogy a testnek van még a 0-n kívül más eleme is, vagy ami ezzel ekvivalens, hogy 0 6= 1. Ezeknek a feltételeknek az összességét nevezzük testaxiómáknak . A szokásos algebrai azonosságok, mint pl. az (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

16

2. fejezet Testek

vagy a−1 − (a + 1)−1 = a−1 (a + 1)−1

következnek a testaxiómákból. Csak azt kell állandóan szem előtt tartanunk, hogy ha n természetes szám, akkor az na kifejezés az a + a + · · · + a (n-tagú) összeget jelenti, nem pedig az a elemnek az n számmal vett szorzatát (ez utóbbi esetleg nincs is benne a K testben). Általában igen gyakran föltesszük, hogy egy K test fölött dolgozunk (azaz ilyenkor azt föltételezzük, hogy a koordináták, együtthatók stb., amik az érvelésünkben előfordulnak, K-beliek): ez ugyanis az a természetes közeg, amelyben a lineáris algebra és az analitikus geometria azon részeit fogalmazhatjuk meg, amelyekben nincs szó hosszúságról, polinomalgebráról, racionális törtfüggvényekről és így tovább. Testre alapvető példát szolgáltatnak a racionális számok (ezeknek a halmazát Q-val jelöljük), továbbá a valós számok (R), valamint a komplex számok (C). Amennyiben a K test elemei egyúttal elemei egy L testnek is, s K elemein a két struktúra megfelelő műveletei ugyanúgy hatnak, akkor azt mondjuk, hogy a K részteste L-nek, ill. hogy az L bővítése K-nak, és ezt K ⊂ L jelöli. Így például Q ⊂ R ⊂ C.

1. példa. Az első fejezetben, az 1. ábra „geometriája” alapján a {0, 1} halmazon értelmeztünk egy összeadásnak és egy szorzásnak nevezett műveletet. Könnyen ellenőrizhetjük, hogy így egy testet kapunk, melyben 0 a nullelem, 1 pedig az egységelem. Ha 0-t írunk a 0, és 1-et az 1 helyett, akkor a 4. ábra szorzástáblája a 0 és 1 elemek Q-beli szorzását írja le, a 3. ábra összeadástáblája pedig annyiban tér el a racionáls számok körében használt művelettől, hogy itt most 1 + 1 = 0. A 0 és 1 elemekből álló testet, melyet így megkonstruáltunk, F2 -vel fogjuk jelölni. Ehhez hasonlóan a 2. ábra alakzatával kapcsolatban vizsgált U , V és W elemek ugyanígy testet alkotnak, melyben U = 0, V = 1, és W = −1. Ilyen módon olyan testekre kapunk példákat, melyekben csak véges sok (jelen esetben 2, ill. 3) elem van. A véges sok elemet tartalmazó (azaz véges) testek igen érdekesek, s számos alkalmazásuk van. Egy véges testet megadhatunk úgy, hogy megadjuk az összeadás és a szorzás művelettábláit, akárcsak a 3. és 4. ábrán. Az 1. fejezetben akkor találkoztunk ilyen testekkel, amikor a geometria egyes axiómáit akartuk véges sok objektummal modellezni; de ugyanilyen természetesnek tekinthetjük őket az algebrában mint olyan véges struktúrákat, amelyek a testaxiómákat elégítik ki. Ha egy testnek q eleme van, akkor ezt a testet Fq -val fogjuk jelölni. 2. példa. Egy tetszőleges algebrai kifejezést, amelyet egy x-szel jelölt változóból, valamint egy K test elemeiből kaphatunk az összeadás, a szorzás és az osztás műveletei segítségével, az alábbi alakban írhatunk föl: a0 + a1 x + · · · + an xn ; b0 + b1 x + · · · + bm xm

(1)

itt ai , bi ∈ K, és nem mindegyik bi egyenlő 0-val. Az ilyen kifejezéseket az x racionális törtfüggvényeinek vagy csak racionális függvényeinek nevezzük. Úgy

17

2. fejezet Testek

is tekinthetünk most erre a kifejezésre mint egy függvényre, amely a K test (vagy bármely K-t tartalmazó L test) egy x eleméhez a fönti kifejezés értékét rendeli hozzá, feltéve, hogy a nevező értéke nem 0. A racionális törtfüggvények testet alkotnak; ezt nevezzük racionális függvénytestnek , és K(x)-szel jelöljük. A 3. fejezetben látni fogjuk, milyen nehézségeink támadhatnak az előbbi definíció kapcsán. Mivel a K elemei „konstans” függvényekként ott vannak a racionális törtfüggvények között, K(x) a K-nak egy bővítése. Ehhez hasonlóan értelmezhetjük a kétváltozós racionális függvények K(x, y)nal jelölt testét, és a definíciót kiterjeszthetjük akárhány változóra is. Két test, K ′ és K ′′ közötti izomorfizmuson olyan, az elemeik között megadott a′ ← → a′′ kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést értünk, amelynél a′ ←→ a′′ és b′ ← → b′′ megfeleltetés esetén a′ + b′ ←→ a′′ + b′′ és a′ b′ ← → a′′ b′′ is fönnáll; azt mondjuk, hogy a két test izomorf egymással, ha létezik közöttük egy izomorfizmus. Ha L′ és L′′ izomorf testek, és mindkettő tartalmazza ugyanazt a K testet, továbbá ha a közöttük menő izomorfizmus K elemeit önmagukba viszi, akkor azt mondjuk, hogy ez egy K fölötti izomorfizmus, és az L′ és L′′ testek K fölött izomorfak. Azt, hogy a K ′ és K ′′ testek izomorfak, a következőképpen jelöljük: K′ ∼ = K ′′ . Ha L′ és L′′ véges testek, ezek pontosan akkor izomorfak, ha mind az összeadásra, mind a szorzásra fölírt művelettábláik megegyeznek; azaz legföljebb az L′ és L′′ elemeinek megnevezésében térnek el egymástól. Tetszőleges testek izomorfiája lényegében ugyanezt jelenti. Vegyünk például egy a egyenest, és jelöljünk rajta ki egy O pontot, valamint egy OE egységszakaszt; ekkor geometriailag értelmezhetjük az a irányított intervallumainak (azaz vektorainak) az összeadását és szorzását. Ezeknek a megadása látható az 5. és 6. ábrán. Az 5. ábrán b tetszőleges, a-val párhuzamos egyenes, U pedig ennek egy tetszőleges pontja, és úgy vesszük föl a pontokat, hogy OU k AV és V C k U B teljesüljön. Ekkor OC = OA + OB. A 6. ábrán b tetszőleges, a-tól különböző egyenes, amely tartalmazza az O pontot, továbbá EU k BV , és V C k U A; ekkor OC = OA · OB. V U

V

b

U O

O

A

B 5. ábra.

C

b

a

A

B

E

C

a

6. ábra.

A műveletek ilyen értelmezésével az a egyenes intervallumai egy P testet alkotnak; a testaxiómák ellenőrzése egy sor nemtriviális geometriai probléma megoldását jelenti. Ekkor minden intervallumnak megfeleltethetünk egy valós számot, pl. egy végtelen tizedes törtet (ez egy mérés eredményeképpen kapható meg), hogy ezáltal egy izomorfizmust kapjunk P és a valós számtest között. 3. példa. Térjünk most vissza az F (x, y) = 0 egyenlettel megadott síkgörbéhez, ahol F egy polinom. Jelölje C ezt a görbét. Ha C-nek megfeleltetnénk

18

2. fejezet Testek

az F együtthatóinak halmazát, a C görbe egy nagyon primitív „koordinátázását” kapnánk. Most ugyanerre egy másik, pontosabb és hatékonyabb módszert fogunk mutatni. Nem nehéz igazolni, hogy tetszőleges nemkonstans F (x, y) polinom olyan polinomok szorzatára bontható, melyek maguk tovább már nem bonthatók. Ha F = F1 ·F2 · · · Fk egy ilyen fölbontás, akkor az F = 0 egyenletű görbénk k darab görbének az uniójaként áll elő, nevezetesen azoknak, melyeknek az egyenlete F1 = 0, F2 = 0, . . . , ill. Fk = 0. Az olyan (nemkonstans) polinomokat, amelyek nem bonthatók nemkonstans polinomok szorzatára, irreducibiliseknek nevezzük. Mostantól kezdve föltesszük, hogy F irreducibilis. Tekintsünk most egy tetszőleges ϕ(x, y) racionális törtfüggvényt; ekkor ϕ két polinom hányadosaként írható: ϕ(x, y) =

P (x, y) , Q(x, y)

(2)

és itt most föltesszük, hogy a nevezőben levő Q polinom nem osztható F -fel. Szorítsuk most meg a ϕ függvényt a C pontjaira; az olyan pontokon, ahol Q(x, y) = 0 és F (x, y) = 0 egyaránt teljesül, a függvényünk nincs értelmezve. Meg lehet mutatni: a föltevéseinkből következik, hogy csak véges sok ilyen pont létezhet. Hogy a továbbiakban nehogy semmitmondó dolgokról beszéljünk, föltesszük, hogy a C görbének végtelen sok pontja van (azaz kizárjuk az olyan görbéket, mint pl. az x2 + y 2 = −1, vagy x4 + y 4 = 0; ha komplex koordinátájú pontokat is megengedünk, akkor nincs szükségünk erre a megszorításra). Ekkor ϕ(x, y) egy függvényt definiál C pontjain (azaz C-n) azzal, hogy esetleg véges sok pontban a függvény nem lesz értelmezve — ugyanúgy, ahogy az (1)-esben megadott racionális törtfüggvény sincs értelmezve az x-nek azon véges sok értékére, melyekben az (1)-es kifejezés nevezője eltűnik. Az így kapott függvényeket nevezzük C-beli racionális függvényeknek . Be lehet bizonyítani, hogy a C-beli racionális függvények testet alkotnak (pl. megmutathatjuk, hogy a ϕ függvény pontosan akkor ad nemnulla függvényt C-n, ha P (x, y) nem osztható F (x, y)Q(x, y) kielégíti a ϕ függvényekre kirótt föltevést, nal, ekkor pedig a ϕ−1 = P (x, y) nevezetesen azt, hogy a nevező ne legyen osztható F -fel; ebből megkapjuk az inverz létezését). A C-beli racionális törtfüggvények halmazát R(C) jelöli; ez a test bővítése a valós számtestnek, R-nek. Ha olyan pontokat tekintünk, melyeknek a koordinátái valamely tetszőleges K testből vehetik föl értékeiket, akkor a konstrukcióban könnyen kicserélhetjük az R valós számtestet a K testre. A C görbéhez hozzárendelve a K(C) testet, a C görbének egy sokkal pontosabb „koordinátázását” kapjuk, mint amilyent az egyenletének az együtthatói adnának. Először is, ha az (x, y) koordinátarendszert az (x′ , y ′ ) rendszerrel cseréljük föl, akkor könnyen látható, hogy a görbe egyenlete változik, a K(C) függvénytestet viszont csupán egy vele izomorf testre kell kicserélni. Egy másik fontos szempont, hogy valamely K(C) és K(C ′ ) függvénytestek esetleges izomorfiája fontos kapcsolatot teremt a C és C ′ görbék között. Tegyük föl első példaként azt, hogy C az x tengely. Ekkor C-nek az egyenlete y = 0, és ezért ha egy ϕ függvényt megszorítunk a C-re, akkor a (2)-es ösz-

19

2. fejezet Testek

szefüggésben y = 0-t kell helyettesítenünk, így x-nek egy racionális függvényét kapjuk: P (x, 0) . ϕ(x, 0) = Q(x, 0) Ebben az esetben tehát a K(C) test a K(x) racionális függvénytesttel izomorf. Ez nyilván akkor is igaz marad, ha C tetszőleges egyenes. Most lépjünk tovább a másodfokú görbék esetére! Bebizonyítjuk, hogy a K(C) racionális függvénytest ebben az esetben is az egyváltozós racionális függvények K(x) testével izomorf. Válasszunk e célból egy tetszőleges (x0 , y0 ) pontot C-n, és jelölje t annak az egyenesnek a meredekségét, amely ezt a pontot a változó koordinátájú (x, y) ponttal köti össze (7. ábra). (x ,y ) 0

0

(x,y)

7. ábra.

y − y0 mint C-n értelmezett függvény. Most x − x0 megmutatjuk, hogy az x és az y mint C-n értelmezett függvények racionális függvényei t-nek. Ehhez vegyük észre, hogy y − y0 = t(x − x0 ), és ha a C görbe egyenlete F (x, y) = 0, akkor C-n érvényes a következő: Másképpen kifejezve, legyen t =

¡ ¢ F x, y0 + t(x − x0 ) = 0 .

(3)

Azaz a (3)-as összefüggés teljesül K(C)-ben. Mivel C másodfokú györbe, így másodfokú egyenletet kapunk x-re: a(t)x2 + b(t)x + c(t) = 0 (ahol az együtthatók t-től függenek). Ennek az egyenletnek azonban ismerjük az egyik gyökét, nevezetesen x = x0 -t; ez csupán azt fejezi ki, hogy az (x0 , y0 ) pont rajta van a C görbén. A másik gyököt ekkor megkaphatjuk abból a feltételből, hogy a gyöb(t) -vel egyenlő. Így egy x = f (t) kifejezést kapunk mint t-nek kök összege − a(t) racionális függvényét; s ehhez hasonlóan kapjuk, hogy y = g(t). Természetesen F (f (t), g(t)) = 0. Így az x ← → f (t), y ←→ g(t) és ϕ(x, y) ←→ ϕ(f (t), g(t)) megfeleltetéssel egy K fölötti izomorfizmust kapunk K(C) és K(t) között. Az előbbi izomorfizmus geometriai jelentése abban rejlik, hogy C pontjai racionális fügvényekkel paraméterezhetők: x = f (t),√és y = g(t). Ha C-nek az egyenlete y 2 = ax2 +bx+c, akkor C-n teljesül az y = ax2√+ bx + c összefüggés, s az előbbi eredményünk azt jelenti, hogy mind x, mind ax2 + bx + c kifejezhetők egy harmadik függvény, t racionális függvényeként. Ezt a módszert jól használhatjuk egyes határozatlan integrálok kiértékelésénél: azt mutatja, hogy

20

2. fejezet Testek

ha ϕ racionális függvény, akkor a Z p ϕ(x, ax2 + bx + c)dx

integrált helyettesítéssel a t egy racionális függvényének az integráljává alakíthatjuk, s így elemi függvények segítségével ki tudjuk fejezni. Az általunk alkalmazott helyettesítést az analízisben Euler-helyettesítéseknek is szokták nevezni. Most további két alkalmazást említünk meg. (a) A trigonometrikus függvénytest a sin ϕ és cos ϕ racionális függvényei által alkotott testként van értelmezve. Mivel sin2 ϕ+cos2 ϕ = 1, ezért ez a test izomorf lesz R(C)-vel, ahol C az x2 + y 2 = 1 egyenletű kör. Tudjuk, hogy R(C) izomorf R(t)-vel. Ez magyarázatot ad arra, hogy miért lehet minden trigonometrikus egyenletet algebrai egyenletté redukálni. (b) Az x2 + y 2 = 1 egyenletű kör esetén, ha x0 = −1, és y0 = 0, a konstrukciónk az alábbi képleteket adja: x=

1 − t2 , 1 + t2

y=

2t . 1 + t2

(4)

A számelméletnek az ókorig visszanyúló problémája, hogy keressük meg azokat a az a, b, c számokat, amelyek kielégítik az a2 + b2 = c2 egyenletet. Legyen = x, c b p = y, t = ; ekkor a (4)-es képletekből közös nevezőre hozás után az alábbi jól c q ismert összefüggéseket nyerjük: a = q 2 − p2 ,

b = 2pq,

c = q 2 + p2 .

Már az y 2 = x3 + 1 egyenletű görbe esetén sem lesz a K(C) függvénytest a racionális függvénytesttel izomorf. Ennek pedig Z ahhoz van igen sok köze, hogy dx √ , nem fejezhető ki elemi egy elliptikus integrál, mint amilyen pl. az x3 + 1 függvények segítségével. Természetesen a K(C) testeknek más görbék vizsgálatánál is fontos szerep jut. Hasonlóan értelmezhetjük ezeket az F (x, y, z) = 0 egyenletű felületekre is (itt F most polinomot jelöl), ill. magasabb dimenziós terekben algebrai objektumoknak egy még szélesebb osztályára, az algebrai sokaságokéra, melyeket az n-dimenziós térben valamilyen n-változós Fi polinomokból alkotott F1 = 0, . . . , Fm = 0 egyenletrendszer ad meg. Befejezésképpen néhány olyan testre mutatunk példát, amelyek az analízisben fordulnak elő. 4. példa. A sík egy összefüggő tartományán (vagy egy tetszőleges komplex sokaságon) értelmezett egy komplex változójú meromorf függvények testet alkotnak. ∞ P 5. példa. Tekintsük azon an z n Laurent-soroknak a halmazát, amelyek n=−k

konvergensek egy 0 < |z| < R gyűrűn (ahol különböző sorok esetleg különböző

21

3. fejezet Kommutatív gyűrűk

gyűrűkön konvergensek). A sorokra megadott szokásos műveletekkel így egy testet kapunk, a Laurent-sorok testét. Ugyanezen számolási szabályok betartásával még olyan Laurent-soroknak az összegét és szorzatát is lehet definiálni, amelyek sehol sem konvergensek. Így a formális Laurent-sorok testét kapjuk. Tovább általánosítva: ugyanezt a konstrukciót megcsinálhatjuk abban az esetben is, amikor az an együtthatók egy tetszőleges K test elemei. Az így kapott testet a K-beli együtthatójú formális Laurent-sorok testének nevezzük; jele K((z)).

3. Kommutatív gyűrűk „Koordinátázás”-ra legegyszerűbb példa a számlálás, ez pedig (a 0 és a negatív számok bevezetése után) az egész számokhoz vezet, amelyek nem alkotnak testet. Az összes (pozitív, zérus vagy negatív) egészek halmaza az összeadás és szorzás műveletével kielégíti az összes testaxiómát egy kivételével: nem teljesül az, hogy minden a 6= 0 elemnek létezik a−1 inverze (például 1/2 nem egész). Egy halmazt, amelyen két, összeadásnak és szorzásnak nevezett művelet van értelmezve, amelyekre az összes testaxióma teljesül, annak az egynek a kivételével, amelyik azt mondja ki, hogy minden a 6= 0 elemnek létezik a−1 inverze, kommutatív gyűrűnek nevezünk; célszerű az egyetlen 0 elemből álló halmazt is gyűrűnek tekinteni. Mostantól kommutatív gyűrűk axiómái néven fogunk hivatkozni arra a halmazra, amelyik a testaxiómákból úgy keletkezik, hogy elhagyjuk az inverzelem létezéséről szóló axiómát, továbbá a 0 6= 1 feltételt. A testekkel analóg módon most is definiálhatjuk egy B gyűrű A ⊂ B részgyűrűjének fogalmát, beszélhetünk két A′ és A′′ gyűrű izomorfizmusáról , sőt A ⊂ A′ és A ⊂ A′′ esetén beszélhetünk A fölötti izomorfizmusról is A′ és A′′ között. Az A′ és A′′ gyűrűk közti izomorfizmust továbbra is A′ ∼ = A′′ -vel jelöljük. 1. példa. Az egészek gyűrűje. Jelölése Z ; nyilván Z ⊂ Q .

2. példa. Egy további alapvető példa egy adott A-gyűrűbeli együtthatókkal képezett A[x] polinomgyűrű. Ennek kiemelt fontossága miatt részletesebben is szemügyre vesszük A[x] definícióját. Először jellemezni fogjuk bizonyos tulajdonságai segítségével. Azt mondjuk, hogy egy B kommutatív gyűrű polinomgyűrű egy A kommutatív gyűrű felett, ha B ⊃ A és B-nek van olyan x eleme, aminek segítségével B minden eleme egyértelműen írható a0 + a1 x + · · · + an xn ahol ai ∈ A

alakban alkalmas n > 0 -val. Ha B ′ egy másik gyűrű, amelyre x′ a megfelelő elem, akkor az a0 + a1 x + · · · + an xn ←→ a0 + a1 x′ + · · · + an (x′ )n

megfeleltetés, mint az könnyen látható, A feletti izomorfizmust definiál B és B ′ között. Elmondhatjuk tehát, hogy a polinomgyűrű valójában egyértelműen van definiálva.

22

3. fejezet Kommutatív gyűrűk

Ez azonban még nem oldja meg a létezésének a problémáját. Ehhez az esetek többségében elegendő a „funkcionális” nézőpont: tekintsük az alábbi, A-t önmagába képező f függvényeket: f (c) = a0 + a1 c + · · · + an cn minden c ∈ A-ra .

(1)

A függvényeken a műveletek a szokásosak: (f + g)(c) = f (c) + g(c) és (f g)(c) = f (c)g(c) . Véve minden a ∈ A -hoz az f (c) = a konstans függvényt, A-t tekinthetjük a függvények gyűrűje egy részgyűrűjének. Ha x-szel az x(c) = c függvényt jelöljük, akkor az (1) függvényt az f = a0 + a1 x + · · · + an xn

(2)

alakban írhatjuk. Bizonyos esetekben azonban (például, ha A elemszáma véges, és n nagyobb, mint ez az elemszám) f -nek a (2) alakú kifejezése nem lesz egyértelmű. A 2. fejezet 1. példájában szerepelt F2 test esetében az x és az x2 függvények megegyeznek. Ezért a polinomgyűrű megkonstruálására egy másik megközelítési módot választunk. Definiálhatnánk úgy a polinomokat, mint a0 + a1 x + · · · + an xn alakú „kifejezéseket”, ahol a + -ra és xi -re csupán mint konvencionális jelekre vagy helykijelölőkre gondolunk, és tulajdonképpen K elemeinek egy (a0 , . . . , an ) sorozatát akarjuk jelölni a segítségükkel. Ezek után az összeget és a szorzatot a következő képletek adják meg: P

P P ak xk + bk xk = (ak + bk )xk , k k k µ ¶µ ¶ P P l P ak xk bl x = cm xm , ahol cm = k

l

m

P

ak bl .

k+l=m

Konkrétabban ugyanezt az elgondolást a következőképpen fogalmazhatjuk meg. Tekintsük az összes olyan (a0 , a1 , . . . , an , . . .) végtelen sorozat halmazát, amelynek elemei egy A gyűrűből valók és amelyek egy bizonyos tagtól kezdve (amelynek a helye azonban sorozatról sorozatra változhat) csupa nullából állnak. Először definiáljuk ilyen sorozatokra az összeadást az (a0 , a1 , . . . , an , . . .) + (b0 , b1 , . . . , bn , . . .) = (a0 + b0 , a1 + b1 , . . . , an + bn , . . .) képlettel. Itt az összeadásra vonatkozó valamennyi gyűrűaxióma teljesül. Ami a szorzást illeti, először csak sorozatoknak az A elemeivel vett szorzatát definiáljuk: a(a0 , a1 , . . . , an , . . .) = (aa0 , aa1 , . . . , aan , . . .) . Legyen Ek = (0, . . . , 1, 0, . . .) az a sorozat, amelyben 1 áll a k-adik helyen és 0 mindenütt máshol. Ekkor könnyen látható, hogy (a0 , a1 , . . . , an , . . .) =

P

k>0

ak Ek .

(3)

23

3. fejezet Kommutatív gyűrűk

Itt a jobboldalon valójában egy véges összeg áll, a sorozatokra tett feltevésünk miatt. A szorzást ezután így definiáljuk: µ ¶µ ¶ P P P ak Ek bl El = ak bl Ek+l (4) k

l

k,l

(a jobboldalon az összes olyan k, l indexű tagot össze kell gyűjteni, amelyekre k + l = n , és ezek adják En együtthatóját). (4)-ből következik, hogy E0 a gyűrű egységeleme és Ek = E1k . Ha bevezetjük az E1 = x jelölést, a (3) sorozatot P k ak x alakban írhatjuk. A sorozat ilyen reprezentációja nyilvánvalóan egyértelmű. Könnyű ellenőrizni, hogy a (4) szorzással teljesülnek a kommutatív gyűrű axiómái, tehát az így elkészített gyűrű valóban az A[x] polinomgyűrű. Az A[x, y] polinomgyűrűt definiálhatjuk A[x][y] -ként, vagy az iménti konstrukció általánosításával. Hasonlóan definiálható tetszőleges számú változó A[x1 , . . . , xn ] polinomgyűrűje. 3. példa. Minden konstans (valós) együtthatós lineáris differenciáloperátor ∂ ∂ ,..., operátorok polinomja. Tehát ezek egy írható úgy, mint a ∂x1 ∂xn ¸ · ∂ ∂ ,..., R ∂x1 ∂xn gyűrűt alkotnak. Ha

∂ -t ti -be képezzük le, egy ∂xi ¸ · ∂ ∂ ∼ ,..., R = R[t1 , . . . , tn ] ∂x1 ∂xn

izomorfizmust kapunk. Ha A = K egy test, akkor a K[x] polinomgyűrű ugyanúgy részgyűrűje a racionális törtfüggvények K(x) testének, ahogyan az egészek Z gyűrűje részgyűrűje a racionális számok Q testének. Egy gyűrű, amely részgyűrűje valamilyen testnek, a következő fontos tulajdonsággal rendelkezik: az ab = 0 egyenlőség csak úgy teljesülhet, ha a = 0, vagy b = 0 . Valóban, a kommutatív gyűrű axiómáiból könnyen következik, hogy a · 0 = 0 . Ha tehát ab = 0 egy testben és a 6= 0 , akkor a−1 -gyel balról szorozva kapjuk, hogy b = 0 . Így tehát a megfelelő következtetés magában a gyűrűben is igaz. Egy olyan gyűrűt, amelyben két elem, a és b szorzata csak úgy lehet 0, ha a = 0, vagy b = 0 (és amiben 0 6= 1), integritási tartománynak nevezünk. Tehát test tetszőleges részgyűrűje integritási tartomány. I. tétel. Minden A integritási tartományhoz létezik egy olyan K test, ami részgyűrűként tartalmazza A-t, és amire teljesül az, hogy K minden eleme ab−1 alakban írható alkalmas a, b ∈ A (b 6= 0) segítségével. Egy ilyen tulajdonságú K testet A hányadostestének nevezünk; ez izomorfizmus erejéig egyértelműen meghatározott.

24

3. fejezet Kommutatív gyűrűk

Például Z-nek Q a hányadosteste, a K[x] polinomgyűrűnek a racionális törtfüggvények K(x) teste, K[x1 , . . . , xn ] -é pedig K(x1 , . . . , xn ) . Általánosságban, a hányadostestek egy hatékony módszert nyújtanak új testek konstruálására. 4. példa. Ha A és B két gyűrű, direkt összegük az a gyűrű, amely az (a, b) rendezett párokból áll, ahol a ∈ A és b ∈ B, és ahol az összeadás és a szorzás a következőképpen van értelmezve: (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ) , (a1 , b1 )(a2 , b2 ) = (a1 a2 , b1 b2 ) . A direkt összeget A ⊕ B -vel jelöljük. Hasonlóan definiálható tetszőleges számú gyűrű direkt összege. Egy direkt összeg sohasem lesz integritási tartomány: (a, 0)(0, b) = (0, 0) , ami az A ⊕ B zéruseleme. Kommutatív gyűrűkre a legfontosabb olyan példákat, amelyek között integritási tartománytól különböző gyűrűk is szerepelnek, függvények gyűrűi szolgáltatják. Tulajdonképpen az A gyűrű n példányban vett direkt összegét, A ⊕ · · · ⊕ A -t is tekinthetjük úgy, mint valamely n-elemű halmazon (például {1, 2, . . . , n} -en) definiált és A-beli értékeket felvevő függvények gyűrűjét: az (a1 , . . . , an ) ∈ A ⊕ · · · ⊕ A elem azonosítható azzal az f függvénnyel, amit f (i) = ai határoz meg. Függvények összeadása és szorzása szokás szerint pontonként van definiálva. 5. példa. A [0, 1] zárt intervallumon értelmezett (mondjuk, valós értékű) folytonos függvények halmaza, függvények összeadását és szorzását a szokásos módon definiálva egy C kommutatív gyűrű lesz. Ez nem lesz integritási tartomány: ha f és g jelöli a 8. és 9. ábrán bemutatott függvényeket, akkor nyilvánvalóan f g = 0 . A definícióban helyettesíthetnénk a valós számok helyébe komplex számokat, az intervallum helyébe pedig tetszőleges topologikus teret. Az analízisben ilyeténképpen előforduló gyűrűk rendszerint egy topológiával is el vannak látva, vagy pedig egy normával, ami egy topológiát határoz meg. Például a fenti példánál szokásos az kf k = sup |f (x)| 06x61

norma választása. A 8. és 9. ábrákon szereplő példákhoz hasonlóak konstruálhatók az intervallumon definiált C ∞ -függvények gyűrűjében is. 6. példa. Az origóban holomorf egyváltozós komplex függvények gyűrűje egy integritási tartomány, amelynek hányadosteste a Laurent-sorok teste P∞ (2. fejezet, 5. példa). A 2. fejezet 5. példájához hasonlóan definiálhatjuk a n=0 an tn formális hatványsorok gyűrűjét is, ahol az an együtthatók tetszőleges K testből valók. Ez ugyanazzal az eljárással konstruálható, mint amit a 2. példában követtünk, csak éppen el kell hagyni azt a feltételt, hogy az (a0 , a1 , . . . , an , . . .) sorozatban az együtthatók valahonnan kezdve 0-val legyenek egyenlőek. Ez is egy integritási tartomány, hányadosteste a formális Laurent-sorok K((t)) teste. A formális hatványsorok gyűrűjét K[[t]] -vel jelöljük.

25

3. fejezet Kommutatív gyűrűk

7. példa. Tekinthetjük az origóban holomorf n-változós komplex függvények On gyűrűjét, vagyis azt a gyűrűt, amelynek elemei azok a függvények, amelyek olyan P ai1 ...in z1i1 . . . znin

hatványsorként állnak elő, amelyik az origó valamely környezetében konvergens. A 6. példához hasonló módon itt is definiálhatjuk a komplex együtthatós formális hatványsorok C[[z1 , . . ., zn ]] gyűrűjét és hasonlóan a K[[t1 , . . ., tn ]] gyűrűt tetszőleges K test felett. 8. példa. Nézzük ismét a 2. fejezetben már vizsgált C görbét, melyet valamely K test feletti síkban az F (x, y) = 0 egyenlet határoz meg, ahol F (x, y) egy K-beli együtthatós polinom. Minden P (x, y) polinomhoz hozzárendelhetjük azt a függvényt, amit úgy kapunk, hogy a P polinomot megszorítjuk a C görbe pontjaira. Az ilyen típusú függvényeket C-n értelmezett polinomfüggvényeknek nevezzük. Ezek nyilván egy kommutatív gyűrűt alkotnak, amelyet K[C] -vel jelölünk. Ha F szorzatra bomlik, akkor K[C] nem feltétlenül lesz integritási tartomány. Például, ha F = xy , akkor C a koordinátatengelyek uniója; ekkor az x függvény zérus az y-tengelyen, az y függvény zérus az x-tengelyen, szorzatuk tehát az egész C görbén eltűnik. Azonban, ha F irreducibilis polinom, akkor K[C] integritási tartomány lesz. Ebben az esetben K[C] hányadosteste a C-n definiált racionális törtfüggvények teste; magát a K[C] gyűrűt C koordinátagyűrűjének nevezzük. Mikor a C algebrai görbéről a K[C] gyűrűre térünk át, újabb példát látunk „koordinátázás”-ra, és ez jobb példa, mint ha C-ről K(C)-re térnénk át, hiszen egyrészt K[C] egyértelműen meghatározza K(C)-t (mint hányadostestét), másrészt léteznek olyan C és C ′ görbék, amelyekre a K(C) és K(C ′ ) testek izomorfak, noha a K[C] és K[C ′ ] gyűrűk nem azok. Magától értetődik, hogy az F (x, y) = 0 egyenlettel megadott algebrai görbe helyett tekinthetnénk egy F (x, y, z) = 0 egyenlettel megadott algebrai felületet vagy teljesen általánosan tetszőleges algebrai sokaságot. 9. példa. Vegyünk egy tetszőleges M halmazt, és tekintsük azt az A kommutatív gyűrűt, amely az összes, M -et a kételemű F2 testbe (2. fejezet, 1. példa) képező függvényekből áll. Mivel F2 -nek csak két eleme van, a 0 és az 1, minden F2 -be képező függvényt egyértelműen meghatároz az az U ⊂ M részhalmaz, mely azon elemekből áll, amelyekre a függvényérték 1 (a többi elemen a függvé-

y

y f

g 1/2

1 8. ábra.

x

1/2 9. ábra.

1

x

26

3. fejezet Kommutatív gyűrűk

nyérték 0). Megfordítva, minden U ⊂ M részhalmaz meghatároz egy ϕU függvényt a következőképpen: legyen ϕU (m) = 1, ha m ∈ U , és legyen ϕU (m) = 0, ha m ∈ / U . Könnyen látható, hogy melyek azok a részhalmazokon végzett műveletek, amelyek a függvények összeadásának, illetve szorzásának felelnek meg: ϕU · ϕV = ϕU ∩V

és

ϕU + ϕV = ϕU △V ,

ahol U △ V a szimmetrikus differenciát jelöli: U △ V = (U ∪ V ) \ (U ∩ V ) . Tehát gyűrűnket úgy is elképzelhetjük, mint aminek elemei az U ⊂ M részhalmazok, és összeadáson, illetve szorzáson a szimmetrikus differencia, illetve a metszetképzés művelete értendő. Ezt a gyűrűt eredetileg Boole vezette be, abból a célból, hogy logikai állításokat formális jelöléssel tudjon leírni. Mivel x2 = x igaz F2 minden elemére, ugyanez teljesül minden, F2 -beli értékeket felvevő függvényre is, tehát teljesül A-ra is. Az olyan gyűrűket, melyeknek minden x elemére teljesül az x2 = x összefüggés, Boole-gyűrűknek nevezzük. További példákat kaphatunk Boole-gyűrűkre, ha nem vesszük M összes részhalmazát, hanem csak részhalmazoknak egy olyan S családját, amire teljesül az, hogy valahányszor U és V ehhez a családhoz tartozik, U ∩ V , U ∪ V , továbbá U komplementuma szintén a családhoz tartozik. Például vegyünk egy olyan topologikus teret, amiben minden nyílt részhalmaz egyben zárt is (az ilyen tereket O-dimenziósaknak nevezik), és legyen S a nyílt részhalmazok családja. Be lehet látni, hogy minden Boole-gyűrű megkapható ilymódon. A következő fejezetben rávilágítunk arra az alapgondolatra, aminek segítségével ez az állítás igazolható. Amikor testekről tetszőleges kommutatív gyűrűkre térünk át, egy minőségileg új jelenség lép föl: megjelenik az oszthatóság nemtriviális elmélete. Azt mondjuk, hogy az A gyűrű egy a eleme osztható egy b elemmel, ha van olyan c elem az A-ban, hogy a = bc . Egy test éppen egy olyan gyűrű, ahol az oszthatóság elmélete triviális: minden elem osztható minden nemnulla elemmel, hiszen a = b(ab−1 ) . Az oszthatóságelmélet klasszikus paradigmája a Z gyűrű oszthatóságelmélete; ez már az ókorban ismert volt. Ennek az elméletnek az alapvető eredménye az, hogy minden egész szám egyértelműen állítható elő prímszámok szorzataként. Ennek a tételnek a bizonyítása, mint ismeretes, a maradékos osztáson (másszóval az euklideszi algoritmuson) alapul. Legyen A egy tetszőleges integritási tartomány. Azt mondjuk, hogy egy a ∈ A invertálható vagy egység A-ban, ha van inverze A-ban; Z -ben az egységek a ±1, K[x] -ben a nullától különböző c ∈ K konstansok, K[[x]] -ben azok a P ∞ i i=0 ai x hatványsorok, amelyekre a0 6= 0 . Egy A gyűrű minden eleme osztható minden egységgel. Nevezzünk egy a elemet prímnek , ha csak a = c(c−1 a) típusú faktorizációi vannak, ahol c egy egység.1 Ha egy A integritási tartománynak megvan az a tulajdonsága, hogy minden eleme felírható prímek szorzataként, és ez a felírás egyértelmű, eltekintve a tényezők sorrendjétől és egységekkel való esetleges beszorzásától, akkor azt mondjuk, hogy A-ban teljesül az egyértelmű prímfelbontás, és az ilyen gyűrűt egyértelmű prímfaktorizációs tartománynak 1 Szigorúan

véve, az ilyen tulajdonságú elemek elnevezése irreducibilis, nem pedig „prím”. A prímelem fogalmának definíciója a kommutatív gyűrűk általános elméletében ettől eltérő. Sok gyűrűosztály (pl. minden UFD) esetén azonban a két fogalom egybeesik. (A ford. megj.)

27

3. fejezet Kommutatív gyűrűk

vagy röviden, az angol elnevezés (unique factorization domain) nyomán UFDnek nevezzük. Tehát Z is UFD és K[x] is (ez utóbbinak a bizonyításához polinomokra kell alkalmaznunk a maradékos osztást). Bebizonyítható, hogy ha A UFD, akkor A[x] is az; tehát általánosabban A[x1 , . . . , xn ] is UFD. Egy polinomgyűrű prímelemeit irreducibilis polinomoknak hívjuk. C[x] -ben csak az elsőfokú polinomok irreducibilisek, R[x] -ben csak az elsőfokúak és azok a másodfokúak, amelyeknek nincs valós gyökük. Q[x] -ben akárhányad fokú irreducibilis polinom létezik, ilyen például xn − p , ahol p tetszőleges prímszám. Fontos példák UFD-kre az origóban holomorf n komplex változós függvények On gyűrűje, továbbá a formális hatványsorok K[[t1 , . . . , tn ]] gyűrűje (7. példa). Annak a bizonyítása, hogy ezek UFD-k, Weierstraß előkészítési tételén alapul, aminek segítségével a probléma visszavezethető olyan függvényekre (vagy formális hatványsorokra), amelyek az egyik változó polinomjaként írhatók fel. Ezután azt az állítást használjuk, hogy A[t] UFD, hogyha A is az, és indukciót alkalmazunk. 10. példa. A Gauß-egészek. Könnyen látható, hogy az m + ni alakú komplex számok, ahol m és n egészek, gyűrűt alkotnak. Ez is egy UFD, amit szintén maradékos osztással bizonyíthatunk (de most a maradék nagyságának mérésére szolgáló, egyre csökkenő mennyiség m2 + n2 lesz). Mivel ebben a gyűrűben érvényes az m2 + n2 = (m + ni)(m − ni) azonosság, a gyűrű oszthatóságelmélete jól használható annak a kérdésnek a tanulmányozásában, hogy hogyan állíthatók elő egész számok két négyzetszám összegeként. 11. példa. Legyen ε az ε2 + ε + 1 = 0 egyenlet egy (komplex) gyöke. Az m + nε alakú komplex számok, ahol m és n az egészeken fut végig, gyűrűt alkotnak, ami méghozzá UFD is. Ebben a gyűrűben az m3 + n3 kifejezés a következőképpen bontható szorzatra: m3 + n3 = (m + n)(m + nε)(m + n¯ ε) , ahol ε¯ = ε2 = −(1 + ε) jelöli ε komplex konjugáltját. Ennek a felbontásnak köszönhetően a fenti gyűrű oszthatóságelméletére alapozva be lehet bizonyítani Fermat tételét a 3 kitevőre. A XVIII. század két nagy matematikusa, Lagrange és Euler, roppantul álmélkodtak, amikor felismerték, hogy egy számelméleti (tehát a Z gyűrűre vonatkozó) tétel bizonyítása lehetséges olymódon, hogy újfajta (más gyűrűhöz tartozó) számokat vezetünk be. 12. példa. Mutatunk egy példát olyan integritási tartományra, √ ami nem UFD; ez a gyűrű azon komplex számokból fog állni, amelyek m+n −5 alakban írhatók, ahol m, n ∈ Z . Íme egy példa egy elemre, ami kétféleképpen bontható irreducibilis elemek szorzatára: 32 = (2 +

√ √ −5)(2 − −5) .

28

4. fejezet Homomorfizmusok és ideálok

√ √ Azt kell csak ellenőriznünk, hogy 3, 2+ −5 és 2− −5 mindegyike irreducibilis elem.2 Ebből α abszolút értékének a négyzetét; ha √ √ a célból jelöljük N (α) -val √ α = m + n −5 , akkor N (α) = (m + n −5)(m − n −5) = m2 + 5n2 , ami egy pozitív egész szám. Az abszolút érték tulajdonságaiból következik továbbá, √ hogy√N (αβ) = N (α)N (β) . Ha √ például 2 + −5 reducibilis√lenne, mondjuk 2 + −5 = αβ , akkor N (2 + −5) = N (α)N (β) . De N (2 + −5) = 9 , tehát csak az alábbi esetek lehetségesek: (N (α), N (β)) = (3, 3) vagy (1, 9) vagy (9, 1) . Ezek közül az első eset lehetetlen, mivel 3 nem írható fel m2 + 5n2 alakban, a második esetben α = ±1 , a harmadik esetben pedig β = ±1 , tehát vagy α, √ vagy β egység. Ezzel beláttuk, hogy 2 + −5 valóban irreducibilis. Ha egy gyűrűről megállapítjuk, hogy nem UFD, az még nem jelenti azt, hogy az oszthatóságelmélete érdektelen. Éppen ellenkezőleg, az ilyen gyűrűk oszthatóságelmélete különösen érdekes. Erről részletesebben szólunk a következő fejezetben.

4. Homomorfizmusok és ideálok A tetszőleges kommutatív gyűrűk és a testek között alapvető eltérés mutatkozik nemtriviális homomorfizmusok létezése tekintetében. Az A gyűrű egy homomorfizmusa a B gyűrűbe egy olyan f : A → B leképezés, amire teljesül f (a1 + a2 ) = f (a1 ) + f (a2 ), f (a1 a2 ) = f (a1 ) · f (a2 ) és f (1A ) = 1B (1A -val, ill. 1B -vel jelöljük A, ill. B egységelemét). Izomorfizmusnak nevezünk egy olyan homomorfizmust, aminek van inverze. Ha a gyűrű egy topológiával is el van látva, akkor általában csak a folytonos homomorfizmusok az érdekesek. Tipikus példákat kaphatunk gyűrűkre, ha A-t, ill. B-t az X, ill. Y halmazokon definiált bizonyos típusú függvények (pl. folytonos, differenciálható vagy analitikus függvények vagy egy C algebrai görbén definiált polinomfüggvények) gyűrűjeként definiáljuk. Egy ϕ : Y → X leképezés segítségével minden X-en definiált F függvényhez egy Y -on definiált ϕ∗ F függvényt rendelhetünk a (ϕ∗ F )(y) = F (ϕ(y)) képlet segítségével. Ha ϕ az adott függvényosztálynak megfelelő típusú leképezés (tehát ϕ folytonos, differenciálható vagy analitikus leképezés, vagy egy polinomkifejezés adja meg), akkor ϕ∗ egy homomorfizmus lesz A-ból B-be. A legegyszerűbb speciális eset az, amikor ϕ egy beágyazás, vagyis Y részhalmaza X-nek. Ekkor ϕ∗ nem más, mint az X-en definiált függvények megszorítása Y -ra. 1. példa. Ha C az F (x, y) = 0 egyenlettel definiált görbe, ahol F ∈ K[x, y] egy irreducibilis polinom, akkor a C-re való megszorítás egy K[x, y] → K[C] homomorfizmust definiál.

√ azt is ellenőriznünk kell, hogy nem lesz-e pl. 3 és 2+ −5 egymás egységszerese; könnyen látható azonban, hogy a szóbanforgó gyűrűben csak ±1 az egységek. (A ford. megj.) 2 Valójában

29

4. fejezet Homomorfizmusok és ideálok

A korábbi konstrukció leggyakrabban előforduló esete az, amikor Y az X halmaz egy pontja, vagyis Y = {x0 }, ahol x0 ∈ X; ekkor egyszerűen az történik, hogy vesszük a függvény értékét az x0 pontban. 2. példa. Ha x0 ∈ C, akkor minden K[C]-beli függvényhez az x0 pontban felvett értékét rendelve, egy K[C] → K homomorfizmust kapunk.

3. példa. Ha C a [0, 1] zárt intervallumon definiált folytonos függvények gyűrűje, és x0 ∈ [0, 1], akkor minden ϕ ∈ C függvényhez a ϕ(x0 ) értéket rendelve, egy C → R homomorfizmust kapunk. Ha A azon függvények gyűrűje, melyek a 0 valamely környezetében holomorfak, akkor minden ϕ ∈ A-hoz a ϕ(0) értéket rendelve egy A → C homomorfizmust határoztunk meg. Az előzőekben egy függvényt kiértékeltünk egy adott pontban, és erre, mint homomorfizmusra gondoltunk. Ennek a szemléletmódnak az általánosításával egy tetszőleges kommutatív gyűrű igen gyakran úgy fogható fel, mint egy halmazon definiált függvények gyűrűje, amely halmaz „pontjai” az eredeti gyűrűt alkalmas testekbe képező homomorfizmusoknak felelnek meg. Az eredeti példa K[C], ahol C egy algebrai sokaság, és innen a geometriai intuíció kiterjeszthető általánosabb gyűrűkre. Tehát az az elképzelés, hogy „minden geometriai objektum koordinátázható rajta definiált függvények alkalmas gyűrűjével”, kiegészül azzal, hogy „minden gyűrű valamilyen geometriai objektumot koordinátáz”. Ezzel a két nézőponttal, az algebraival és a függvénytanival már találkoztunk a polinomgyűrű definíciójánál, a 3. fejezetben. A továbbiakban a kettőjük közötti kapcsolat majd mélyebben és világosabban kibontakozik. 4. példa. Tekintsük a |z| 6 1 körlemezen folytonos és |z| < 1-re holomorf függvények A gyűrűjét. A korábbiakhoz hasonlóan minden z0 pont, amire |z0 | 6 1, meghatároz egy A → C homomorfizmust, ha a ϕ ∈ A függvényhez ϕ(z0 )-t rendeljük. Bebizonyítható, hogy ilymódon minden A → C homomorfizmust megkapunk. Tekintsük az A-beli függvényeknek a határon felvett értékeit; ezek folytonos függvények a |z| = 1 körön, melyeknek negatív indexű Fourier-együtthatói mind zérussal egyenlők, másszóval, amelyek FourierP 2πinϕ sorfejtése cn e alakú. Minden f ∈ A függvény egyértelműen meg van n>0

határozva a határon felvett értékei által, ezért A izomorf a körön definiált azon folytonos függvények gyűrűjével, melyeknek Fourier-sorfejtése a mondott típusú. Ebben az interpretációban azonban A-nak csak azok a homomorfizmusai látszanak közvetlenül, amelyek a |z| = 1 határkör pontjainak felelnek meg. Látjuk tehát, hogy az összes homomorfizmus vizsgálata ahhoz is hozzásegíthet, hogy meghatározzuk azt a halmazt, amelyen értelmezett függvények lesznek azok, amelyek természetes módon megfelelnek a gyűrű elemeinek. A |z| 6 1 körlemezen holomorf és korlátos függvények gyűrűjére semmiképpen sem áll fenn az, hogy a homomorfizmusok a |z0 | < 1 feltételnek eleget tevő z0 pontoknak felelnének meg. Ezeknek a vizsgálata az analitikus függvények elméletének mély kérdéseihez vezet. Boole-gyűrűk esetén (ld. 3. fejezet, 9. példa) könnyű látni, hogy a gyűrűt valamely F testbe képező ϕ : A → F homomorfizmus esetén a kép egy kételemű test. Megfordítva, bármely a ∈ A elem megfelelteti a ϕ homomorfizmusnak a

30

4. fejezet Homomorfizmusok és ideálok

ϕ(a) ∈ F2 elemet. Ez az alapötlete a Boole-gyűrűk alaptétele bizonyításának: vesszük az összes A → F2 homomorfizmus M halmazát, és A-t úgy tekintjük, mint M -en értelmezett és F2 -beli értékeket felvevő függvények egy gyűrűjét. 5. példa. Legyen K a komplex test feletti n-dimenziós Cn vektortér egy kompakt részhalmaza, A pedig azon függvények gyűrűje, amelyek polinomok sorozatának K-n egyenletesen konvergens határértékeként állnak elő. Nem kapunk meg minden A → C homomorfizmust valamilyen z ∈ K pont segítségével; az a halmaz, amelynek pontjaival a homomorfizmusok 1-1 értelmű megfeleltetésben állnak, K úgynevezett polinomiális konvex burka, vagyis azon z ∈ Cn pontok halmaza, amelyekre |f (z)| 6 sup |f | teljesül minden f polinomra. K

6. példa. Tegyük fel, hogy minden páros egészhez hozzárendeljük a 0, minden páratlan egészhez pedig az 1 szimbólumot. Ilymódon az egészek Z gyűrűjének egy Z → F2 homomorfizmusát kapjuk a 2-elemű F2 testbe (ennek összeadási és szorzástáblája az 1. fejezet 3. és 4. ábráján látható). Valójában éppen azért definiáltuk 0-ra és 1-re a műveleteket az ott megadott módon, hogy az itteni leképezésünk homomorfizmus legyen. Legyen f : A → B kommutatív gyűrűk egy homomorfizmusa. Az f (a) alakú elemek halmaza (a ∈ A) B-nek egy részgyűrűje, mint az a homomorfizmus definíciójából könnyen látható; ezt f képének nevezzük, és Imf -fel vagy f (A)val jelöljük. Azon a ∈ A elemek halmazát, amelyekre f (a) = 0, f magjának nevezzük és Kerf -fel jelöljük. Ha B = Im f , akkor azt mondjuk, hogy B az A-nak homomorf képe. Ha Ker f = 0, akkor f izomorfizmus A és a B gyűrű f (A) részgyűrűje között, hiszen, ha f (a) = f (b), akkor a homomorfizmus definíciója miatt f (a − b) = 0, tehát a − b ∈ Ker f = 0, vagyis a = b . Ezek szerint f 1-1 értelmű leképezés Aról f (A)-ra, vagyis egy izomorfizmus. Ez a tény is rávilágít a homomorfizmusok magjának fontosságára. A definíciókból rögtön következik, hogy ha a1 , a2 ∈ Ker f , akkor a1 + a2 ∈ Ker f , és ha a ∈ Ker f , akkor ax ∈ Ker f is teljesül minden x ∈ A-ra. Azt mondjuk, hogy egy A (kommutatív) gyűrű nemüres I részhalmaza ideál , ha rendelkezik ezzel a két tulajdonsággal, vagyis a1 , a2 ∈ I ⇒ a1 + a2 ∈ I , és a ∈ I ⇒ ax ∈ I minden x ∈ A − ra . Látjuk, hogy minden homomorfizmus magja ideál. Ideálok konstruálására egy általános módszer a következő. A elemeinek tetszőleges {aλ } halmazából kiP indulva, tekintsük azon elemek I halmazát, amelyek előállíthatók xλ aλ alakban, ahol xλ ∈ A (feltesszük, hogy minden összegben csak véges sok nullától különböző tag fordul elő). Az így készített I halmaz egy ideál; ezt az {aλ } által generált ideálnak nevezzük1 . Az {aλ } halmaz többnyire véges. Az egyetlen elem által generált I = (a) ideált főideálnak nevezzük. Ha a osztja b-t, akkor (b) ⊂ (a) . 1 Ha

az {aλ } halmaz véges: {a1 , . . . , an }, akkor ezt az ideált (a1 , . . . , an )-nel szokás jelölni. (A ford. megj.)

31

4. fejezet Homomorfizmusok és ideálok

Egy K testnek csak két ideálja van, (0) és (1) = K . Valóban, ha I ⊂ K egy ideálja K-nak, és 0 6= a ∈ I, akkor I ∋ aa−1 b = b minden b ∈ K-ra, tehát I = K (ez is egy kifejezési módja annak a ténynek, hogy az oszthatóság elmélete egy testben triviális). Ebből következik, hogy testnek bármely K → B homomorfizmusa izomorfizmus lesz B valamilyen résztestével. Megfordítva, ha egy A kommutatív gyűrűnek (0)-n és (1)-en kívül nincsen más ideálja, és 0 6= 1, akkor A test. Valóban, teszőleges a 6= 0 elemre fenn kell, hogy álljon (a) = A, speciálisan tehát 1 ∈ (a), vagyis 1 = ab alkalmas b ∈ A-val, tehát a-nak van inverze. Az egészek Z gyűrűjében minden I ideál főideál: könnyen látható, hogy ha I 6= (0), akkor I = (n), ahol n az I-ben lévő legkisebb pozitív egész. Ugyanez igaz a K[x] gyűrűre is; itt minden ideál I = (f (x)) alakú lesz, ahol f (x) egy legalacsonyabbfokú I-beli polinom. Másrészt könnyen látható, hogy a K[x, y] gyűrűben azon polinomok I ideálja, melyek konstans tagja 0, nem lesz főideál, viszont előáll (x, y) alakban. Egy olyan integritási tartományt, amelyben minden ideál főideál, főideálgyűrűnek nevezünk. Nem véletlen, hogy a Z és a K[x] gyűrűk UFD-k: bebizonyítható, hogy minden főideálgyűrű UFD. De, mint a K[x, y] gyűrű példája mutatja, több UFD van, mint főideálgyűrű. Egy másik példa az n > 1 komplex változó origóban holomorf függvényeinek On gyűrűje (3. fejezet, 7. példa), ami szintén UFD, de nem főideálgyűrű. Ezen gyűrű ideáljainak vizsgálata fontos szerepet játszik a lokális analitikus sokaságok elméletében, amelyek f1 = 0, . . . , fm = 0 egyenletekkel vannak definiálva, ahol fi ∈ On . Ilyen sokaságok irreducibilis sokaságok uniójaként való előállítása, a rajtuk definiált dimenziófogalom stb. a mondott ideálok tulajdonságainak vizsgálatán alapul. 7. példa. Egy intervallumon definiált folytonos függvények C gyűrűjében, minden ϕ függvényhez hozzárendelve valamely rögzített x0 pontban felvett ϕ(x0 ) értékét, olyan homomorfizmust kapunk, melynek magja Ix0 = {ϕ ∈ C | ϕ(x0 ) = 0} . Könnyen látható, hogy Ix0 nem főideál: egy olyan függvény, p ami, midőn x → x0 , lényegesen lassabban tart 0-hoz, mint ϕ(x) (például |ϕ(x)|), nem lesz benne a (ϕ(x)) ideálban. Sőt, hasonló módon az is bizonyítható, hogy Ix0 nem generálható véges sok ϕ1 , . . . , ϕm ∈ Ix0 elemével sem. Egy másik, hasonló példát kaphatunk, ha vesszük az egyenesen definiált ∞ C -függvények 0-ban vett csíráinak E gyűrűjét (definíció szerint két függvénynek ugyanaz a csírája 0-ban, ha 0 valamely környezetében megegyeznek). Azon függvénycsírák Mn ideálja, amelyek minden 6 n rendű deriváltjukkal együtt eltűnnek 0-ban, nem egyéb, mint (xn+1 ), vagyis főideál, viszont azon függvénycsírák M∞ ideálja, melyek valamennyi deriváltjukkal együtt eltűnnek 0-ban (mint 2 például e−1/x ), még csak nem is végesen generált, mint azt be lehet bizonyítani. Nem szabad azonban eltúlozni ezeknek a példáknak a meggyőzőerejét: természetesebb lenne a folytonos függvények C gyűrűjének a topológiáját használni, és olyan ideálokat nézni, amelyeket a ϕ1 , . . . , ϕm függvények topologikusan generálnak , vagyis a (ϕ1 , . . . , ϕm ) ideál lezártját. Ilyen topologikus értelemben C minden ideálja generálható egy függvénnyel. Hasonló megfontolások alkalmazhatók az E gyűrű esetén is, ennek topológiája azonban bonyolultabban van de-

32

4. fejezet Homomorfizmusok és ideálok

finiálva, ezért például az a tény, hogy az M∞ ideál nem generálható véges sok függvénnyel, itt gazdagabb információt hordoz. Legyen I és J egy A gyűrű két ideálja. Azt az ideált, melyet az összes ij szorzat generál, ahol i ∈ I és j ∈ J, I és J szorzatának nevezzük és IJ-vel jelöljük. Főideálok szorzása elemek szorzásának felel meg: ha I = (a) és J = (b), akkor IJ = (ab) . Annak analógiájára, ahogyan vizsgáltuk elemek egyértelmű felbontását prímtényezők szorzatára, nézhetjük gyűrűk ideáljainak előállítását olyan ideálok szorzataként, amelyek tovább már nem bonthatók szorzatra. Persze mindkét fajta felbontás létezik és lényegében egyértelmű főideálgyűrűk esetén. Vannak azonban fontos gyűrűosztályok, amelyek nem UFD-k, de amelyekben az ideálok egyértelműen bonthatók fel irreducibilis faktorok szorzatára. √ 8. példa. Tekintsük az m + n −5 alakú számok gyűrűjét, ahol m, n ∈ Z, melyet a 3. fejezet 12. példájában már vizsgáltunk, mint példát olyan gyűrűre, ami nem UFD. A √ √ (1) 32 = (2 + −5)(2 − −5)

felbontás, amit a 3. fejezetben adtunk meg, nem marad prímtényezőkre való felbontás, ha a számokat a megfelelő főideálokkal helyettesítjük. Nem nehéz belátni, hogy √ √ √ √ (2 + −5) = (2 + −5, 3)2 , (2 − −5) = (2 − −5, 3)2 és

√

√ −5, 3)(2 − −5, 3) , √ √ ilymódon (1) nem egyéb, mint a (2 + −5, 3)2 (2 − −5, 3)2 szorzat, a tényezőket különféleképpen csoportosítva. Hasonló faktorizációk lehetőségén alapul az algebrai számok aritmetikája. Ez adja az „ideál” elnevezés történeti magyarázatát: azokra √ a prímideálokra, amelyek szorzatára egy irreducibilis szám (pl. 3 vagy 2 + −5) √ felbontható, először mint „ideális prímfaktorokra” gondoltak. A 3 és 2+ −5 számoknak √ nincs más közös osztójuk, mint ±1, hiszen irreducibilisek. Viszont a (3, 2+ √ −5) ideál a legnagyobb közös osztójuk (pontosabban szólva a (3) és a (2 + −5) ideálok legnagyobb közös osztója). Ahhoz a tényhez hasonlóan, hogy √ az a és b egészek legnagyobb√közös osztója előáll au + bv alakban, a (3, 2 + −5) ideál az összes 3α + (2 + −5)β alakú számból áll. Az ideál fogalmát különösen fontossá teszi az a tény, hogy a homomorfizmusok és ideálok közötti reláció megfordítható: minden ideál magja egy alkalmas homomorfizmusnak. Ahhoz, hogy egy A gyűrű I ideáljából kiindulva megkonstruáljuk azt a B gyűrűt, amire a keresett homomorfizmus le fogja képezni A-t, néhány definícióra lesz szükségünk. Azt mondjuk, hogy egy A gyűrű a1 és a2 elemei kongruensek modulo egy I ideál (vagy kongruensek mod I), ha a1 − a2 ∈ I . Ezt így írjuk: (3) = (2 +

a1 ≡ a2

mod I .

Ha A = Z, és I = (n), a klasszikus számelméleti kongruenciafogalomhoz jutunk: a1 és a2 akkor kongruensek mod n, ha ugyanazt a maradékot adják az n-nel való osztásnál.

33

4. fejezet Homomorfizmusok és ideálok

A kongruencia modulo valamilyen ideál ekvivalenciareláció, ami A-t diszjunkt osztályok uniójára bontja; azok az elemek tartoznak egy osztályba, amelyek kongruensek egymással mod I. Ezeket az osztályokat a modulo I maradékosztályoknak hívjuk. Legyen Γ1 és Γ2 két maradékosztály mod I. Könnyű látni, hogy akárhogyan választjuk is az a1 ∈ Γ1 és a2 ∈ Γ2 elemeket, az a1 + a2 összeg mindig ugyanahhoz a Γ maradékosztályhoz fog tartozni. Ezt az osztályt nevezzük a Γ1 és Γ2 osztályok összegének. Hasonlóan definiálható két maradékosztály szorzata. Nem nehéz belátni, hogy a modulo I maradékosztályok halmaza, az összeadást és a szorzást a fenti módon definiálva egy kommutatív gyűrűt alkot; ennek a gyűrűnek a neve az A modulo I vett maradékosztálygyűrűje vagy faktorgyűrűje, jelölése A/I . Például ha A = Z, és I = (2), akkor I-nek két maradékosztálya van: a páros és a páratlan számok, a Z/(2) gyűrű pedig megegyezik az F2 testtel. Mármost könnyen látható, hogy ha minden a ∈ A elemnek megfeleltetjük az ő mod I maradékosztályát, egy f : A → A/I homomorfizmust kapunk, melynek magja I . Ennek a homomorfizmusnak a neve természetes vagy kanonikus homomorfizmus. A gyűrűt faktorgyűrűire leképező természetes homomorfizmusok segítségével explicitebb leírását adhatjuk tetszőleges homomorfizmusoknak. Könnyű igazolni ugyanis az alábbi állítást: I. tétel. Tetszőleges ϕ : A → B gyűrűhomomorfizmus esetén az Im ϕ képgyűrű izomorf az A/ Ker ϕ faktorgyűrűvel, és a közöttük létesített σ izomorfizmus választható úgy, hogy a ψ : A → A/ Ker ϕ természetes homomorfizmust a ϕ : A → Im ϕ homomorfizmusba vigye át.

Precízebben fogalmazva, minden a ∈ A esetén σ vigye ψ(a)-t ϕ(a)-ba (mivel σ(ψ(a)) ∈ Im ϕ ⊂ B, ezért minden esetben teljesül az, hogy σ(ψ(a)) és ϕ(a) egyaránt B-ben vannak). Ezt az erdményt leggyakrabban abban az esetben használjuk, amikor Im ϕ = B . Ekkor az állítás így szól:

II. Homomorfizmustétel. Homomorf kép izomorf a homomorfizmus magja szerinti faktorgyűrűvel. Az f természetes homomorfizmust véve, minden J ⊂ A/I ideál f −1 (J) teljes inverz képe A-nak egy I-t tartalmazó ideálja lesz; megfordítva minden I-t tartalmazó I ′ ideál f (I ′ ) képe A/I egy ideálja lesz. Így egy 1-1 értelmű megfeleltetést létesítettünk A/I ideáljai és A-nak I-t tartalmazó ideáljai között. Speciálisan, mint tudjuk, A/I akkor és csak akkor lesz test, ha pontosan két ideálja van: a (0) és az (1), ez pedig éppen azt jelenti, hogy I semmilyen nagyobb ideálnak nem része, csak az A-nak. Egy ilyen I ideált maximális ideálnak nevezünk. Bebizonyítható (a halmazelméleti Zorn-lemma felhasználásával), hogy minden I 6= A ideál benne van legalább egy maximális ideálban. A hányadostest-konstrukció mellett a maximális ideálok szerinti faktorgyűrűk szolgáltatják a legfontosabb módszert új testek előállítására. Most megvizsgáljuk, hogy ezt a módszert alkalmazva hogyan kaphatunk számos új gyűrűt.

34

4. fejezet Homomorfizmusok és ideálok

9. példa. Z-ben a maximális ideálok nyilván éppen a (p) alakú ideálok, ahol p egy prímszám. Tehát Z/(p) test, aminek az elemszáma p, ezt a testet Fp -vel jelöljük. Eddig csak a kételemű F2 és a háromelemű F3 testet konstruáltuk meg. Ha n nem prímszám, akkor Z/(n) nem test, sőt még csak nem is integritási tartomány. 10. példa. Tekintsük most a K[x] polinomgyűrűt; ennek maximális ideáljai (ϕ(x)) alakúak, ahol ϕ(x) egy irreducibilis polinom. Ebben az esetben az L = K[x]/(ϕ(x)) faktorgyűrű egy test. Jelöljük α-val x képét a K[x] → L = K[x]/(ϕ(x)) természetes homomorfizmusnál. Tautologikus okoknál fogva ϕ(α) = 0, tehát a ϕ polinomnak van gyöke L-ben. Jelöljük n-nel ϕ fokát. Maradékos osztást használva minden u(x) ∈ K[x] polinom egyértelműen állítható elő u(x) = ϕ(x)ψ(x) + v(x) alakban, ahol v egy n-nél alacsonyabbfokú polinom. Ebből következik, hogy L minden eleme egyértelműen áll elő a0 + a1 α + a2 α2 + · · · + an−1 αn−1

(2)

alakban, ahol a0 , . . . , an−1 tetszőleges K-beli elemek. Ha K = R, és ϕ(x) = x2 + 1, akkor a komplex számok C testét kapjuk; i nem egyéb, mint x képe R[x]/(x2 + 1)-ben, a + bi pedig a + bx képe. A fenti konstrukcióval egy olyan L | K testbővítést kaptunk, amelyben egy adott ϕ(t) polinomnak van gyöke. Az eljárás ismétlésével bebizonyítható, hogy minden K testhez létezik olyan Σ | K testbővítés, amelyre igaz az, hogy minden ϕ ∈ Σ[t] polinomnak van gyöke Σ-ban. Az ilyen tulajdonságú testeket algebrailag zártnak nevezzük. Például C algebrailag zárt. Legyen K egy p-elemű test. Ha ϕ egy n-edfokú irreducibilis polinom K fölött, akkor a (2) kifejezésből látszik, hogy L elemszáma pn . Ezek alapján bizonyíthatók az alábbi állítások, melyek együttesen leírják az összes véges testet. III. Véges testek alaptétele. (i) Egy véges test elemszáma pn , ahol p a test karakterisztikája2 . (ii) Minden p prímhez és n pozitív egész számhoz létezik egy Fq test, melynek elemszáma q = pn . (iii) Ha két véges test elemszáma megegyezik, akkor ők izomorfak. A véges testeknek nagyon sok alkalmazása van. Egyik alkalmazásuk, ahol különösen fontos, hogy elemszámuk véges, a hibajavító kódok elmélete. Definíció szerint kódon egy véges E halmazt (az ún. „ábécé”-t), továbbá az összes lehetséges (a1 , . . . , an ) (ai ∈ E) sorozatból álló E n halmaz egy U részhalmazát értjük. Úgy akarjuk megválasztani ezt a részhalmazt, hogy bármely két U -beli sorozat elég sok helyen különbözzön egymástól. Ezzel elérhető az, hogy ha elküldünk egy (u1 , . . . , un ) ∈ U „üzenetet”, az még akkor is helyesen rekonstruálható, ha kisszámú ui hibásan érkezik meg. Nagyon sok példa nyerhető hatékony kódokra, ha E gyanánt egy Fq véges testet, U gyanánt pedig az Fnq vektortér alkalmas alterét választjuk. A legnagyobb sikereket akkor érték el, amikor Fnq -t és U -t úgy választották mint véges dimenziós altereket az Fq (t) testben vagy akár az Fq (C) 2A

karakterisztika definícióját lásd a következő oldalon. (A ford. megj.)

35

4. fejezet Homomorfizmusok és ideálok

testben, ahol C egy algebrai görbe, az alterek kiválasztása pedig bizonyos geometriai feltételek segítségével történt (például olyan függvényeket felhasználva, melyek gyökhelyeit és pólusait előírjuk). Kiderült ilymódon, hogy a kódelmélet szoros kapcsolatban áll a véges testek fölötti algebrai geometria igen nehéz kérdéseivel. Már a legegyszerűbb Z/(n) gyűrűk vizsgálata is érdekes felismerésekhez vezet. Legyen K egy tetszőleges test, melynek egységelemét jelöljük 1-gyel. Tekintsük a következőképpen definiált f leképezést Z-ből K-ba:   ha n > 0  1 + · · · + 1 (n tag) f (n) = n · 1, vagyis f (n) = 0 ha n = 0   −(1 + · · · + 1) (−n tag) ha n < 0 .

Könnyen látható, hogy f homomorfizmus. Két eset lehetséges: Ker f = 0 vagy Ker f 6= 0 . Az első esetben f (Z) K-nak egy Z-vel izomorf részgyűrűje. Mivel K test, azért ezen részgyűrű elemeinek hányadosait is tartalmazni fogja, melyek már egy K0 résztestet alkotnak, ami (a hányadostest egyértelműsége miatt) Q-val lesz izomorf. A második esetben legyen Ker f = (n) . Ekkor n-nek prímszámnak kell lennie, ellenkező esetben nem lesz f (Z) ∼ = Z/(n) integritási tartomány. Ekkor azon∼ ban f (Z) = Z/(p) = Fp egy p-elemű test. Azt látjuk tehát, hogy minden K test tartalmaz vagy a racionális számok Q testével izomorf, vagy valamilyen p prímszámmal az Fp véges testtel izomorf résztestet. Ezeket a testeket prímtesteknek nevezzük; minden test ezek valamelyikének bővítése. Ha K a p-elemű testtel izomorf résztestet tartalmaz, akkor px = 0 minden x ∈ K-ra. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy K karakterisztikája p, és ezt így jelöljük: char K = p . Ha viszont K a Q-val izomorf résztestet tartalmaz, akkor nx = 0 csak úgy teljesülhet, ha vagy n = 0, vagy x = 0; ekkor azt mondjuk, hogy K karakterisztikája 0, és ezt így jelöljük: char K = 0 (néha használatos a char K = ∞ jelölés is). A Q, R, C, Q(x), R(x), C(x) testek mindegyikének 0 a karakterisztikája. A p-elemű Fp test karakterisztikája p; ugyanez igaz Fp (x)-re, Fp (x, y)-ra és így tovább. Egy A/I gyűrű akkor és csak akkor ágyazható be egy testbe, hogyha ő egy integritási tartomány. Ez azt jelenti, hogy I 6= A, és ha valamilyen a, b ∈ A elemekre ab ∈ I teljesül, akkor a ∈ I és b ∈ I közül legalább az egyik teljesül. Azt mondjuk, hogy egy ideál prímideál , ha eleget tesz ennek a feltételnek. Például az I = (F (x, y)) ⊂ K[x, y] ideál prímideál, ha F egy irreducibilis polinom: a K[x, y]/I = K[C] gyűrű (ahol C az F (x, y) = 0 egyenlettel megadott algebrai görbe) beágyazható a K(C) testbe. Azt is mondhatjuk, hogy egy prímideál nem más, mint egy alkalmas ϕ : A → K homomorfizmus magja, ahol K egy test (de lehetséges, hogy ϕ(A) 6= K). Megmutatható, hogy a 8. példában szereplő gyűrű ideáljai közül azok, amelyek irreducibilisek (abban az értelemben, hogy nem állíthatók elő szorzatként), éppen azok, amelyek prímideálok a fenti definíció szerint.

36

4. fejezet Homomorfizmusok és ideálok

Ennek a fejezetnek az elején tárgyaltuk azt a felfogást, amely szerint minden gyűrűre úgy lehet gondolni, mint valamilyen X tér függvényeinek gyűrűjére. A „pontok” szerepét a gyűrűt testekbe leképező homomorfizmusok játsszák. Úgy gondolhatunk tehát rájuk, mint a gyűrű maximális (egy másik verzióban prím-) ideáljaira. Ha M egy ideál, ami egy x ∈ X pontot „határoz meg”, és a ∈ A, akkor a-nak x-nél vett a(x) „értéke” az a+M maradékosztály az A/M gyűrűben. Az ezáltal sugallt geometriai intuíció eleinte kissé bizarrnak tűnhet. Például a Z gyűrűben a maximális ideálok megfelelnek a prímszámoknak, és minden p „pontban” az ott felvett érték az Fp test egy eleme. (Tehát úgy gondolhatunk 1984 = 26 · 31-re, mint egy függvényre a prímszámok halmazán, ami eltűnik (2)-n és (31)-en; akár azt is mondhatjuk, hogy (2) hatszoros gyöke, (31) pedig egyszeres gyöke neki.) Nincs azonban másról szó, mint annak az analógiának a logikus kiterjesztéséről, ami az egészek Z gyűrűje és a K[t] polinomgyűrű között fennáll, amikor is a p ∈ Z prímszámoknak a P (t) ∈ K[t] irreducibilis polinomok felelnek meg. Tovább folytatva az analógiát, egy a0 (t)+a1 (t)x+· · ·+ an (t)xn = 0 (ai (t) ∈ K[t]) egyenlet, ami egy x(t) algebrai függvényt definiál, úgy tekinthető, mint az a0 + a1 x + · · · + an xn = 0 (ai ∈ Z) egyenlet analogonja, ami pedig egy algebrai számot definiál. Valóban bebizonyosodott, hogy lehetséges az algebrai számok elméletében olyan intuíciók felhasználása, amelyek eredetileg az algebrai függvények elméletéből származnak, sőt még a megfelelő Riemannfelületek is felhasználhatók. A legszebb számelméleti eredmények közül jónéhány köszönhető ezen szemléletmód szisztematikus alkalmazásának. Ugyanezeknek a gondolatoknak egy másik változata fontos szerephez jut bizonyos ϕ : Y → X leképezések (például komplex analitikus sokaságok közötti analitikus leképezések) tanulmányozásakor. Ha A jelöli az X-en definiált analitikus függvények gyűrűjét, B pedig ugyanezt Y -ra, akkor, mint azt már a fejezet elején kifejtettük, ϕ egy ϕ∗ : A → B homomorfizmust határoz meg. Legyen Z ⊂ X egy részsokaság, I ⊂ A pedig a Z-n eltűnő függvények ideálja. Ha I = (f1 , . . . , fr ), akkor Z-t az f1 = 0, . . . , fr = 0 egyenletek definiálják. Z-nek ϕ−1 (Z) inverz képét Y -ban a ϕ∗ f1 = 0, . . . , ϕ∗ fr = 0 egyenletek definiálják, és természetes dolog ehhez hozzárendelni a B/(ϕ∗ f1 , . . . , ϕ∗ fr ) = B/(ϕ∗ I)B gyűrűt. Vegyük például az Y egyenesnek az X egyenesre való azon ϕ leképezését, 2 −1 amelyet az x = √y egyenlet ad meg. Ha Z az x = α 6= 0 pont, akkor ϕ (Z) két pontja: y = ± α, és B/(ϕ∗ I)B ∼ = C[y]/(y 2 − α) ∼ = C[y]/(y −

√ √ α) ⊕ C[y]/(y + α) ∼ = C ⊕ C,

ami nem más, mint egy pontpáron értelmezett függvénygyűrű. Ha viszont Z az x = 0 pont, akkor ϕ−1 (Z) az egyetlen y = 0 pont, és B/(ϕ∗ I)B ∼ = C[y]/(y 2 ) . Ez a gyűrű az α + βε alakú elemekből áll, ahol α, β ∈ C, és ε-ra, ami y képe, teljesül ε2 = 0 . Ezt a gyűrűt tekinthetjük úgy, mint függvénygyűrűt egy kétszeres pontban, és segítségével lényegesen pontosabb információt nyerhetünk az x = y 2 leképezés viselkedéséről az x = 0 pont egy környezetében, mint hogyha egyszerűen csak a halmazelméleti inverz képet néznénk. Hasonlóan, analitikus függvények szingularitásait vizsgálva, jóval bonyolultabb kommutatív gyűrűk adódnak ezen szingularitások invariánsaiként.

37

4. fejezet Homomorfizmusok és ideálok

11. példa. Legyen K1 , K2 , . . . , Kn , . . . testek egy végtelen sorozata. Tekintsük az összes lehetséges (a1 , a2 , . . . , an , . . .) (ai ∈ Ki ) végtelen sorozatot és definiáljuk rajtuk a műveleteket a következőképpen: (a1 , a2 , . . ., an , . . .) + (b1 , b2 , . . ., bn , . . .) = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn , . . .) (a1 , a2 , . . ., an , . . .)(b1 , b2 , . . ., bn , . . .) = (a1 b1 , a2 b2 , . . ., an bn , . . .) . Ilymódon egyQkommutatív gyűrűt kapunk, amit a Ki testek direkt szorzatának nevezünk, és Ki -vel jelölünk. Q A Ki gyűrű bizonyos homomorfizmusai testekbe (és így a megfelelő maximális ideálok is) azonnal láthatók: az (a1 , a2 , . . . , an , . . .) sorozatot képezzük le an -re (ahol n rögzített). Vannak azonban kevésbé nyilvánvaló homomorfizmusok is. Valóban, tekintsük az összes olyan sorozatot, ahol csak véges sok ai lesz 0-tól különböző; ezek egy I ideált alkotnak. Minden ideál benne vanQlegalább egy maximális ideálban, legyen tehát M egy olyan maximális ideálja Ki -nek, ami tartalmazza I-t. Ez bizonyosan különbözik a fenti triviális homomorfizmusok Q magjaitól, hiszen azok egyike sem tartalmazza I-t. A Ki /M faktorgyűrű egy test, amit a Ki testek ultraszorzatának nevezünk. Így a Ki testek egy érdekes „keverékét” kapjuk; ha például a Ki -k csupa különböző véges karakterisztikájú test, akkor ultraszorzatuk 0 karakterisztikájú lesz. Ez az egyik módszere a véges karakterisztikájú testekről 0 karakterisztikájú testekre való áttérésnek; segítségével bizonyíthatunk egyes nehéz számelméleti tételeket. Ha valamennyi Ki test azonos a valós számok R testével, akkor az ultraszorzatuknak vannak analízisbeli alkalmazásai. Ezen alapszik az ún. nemsztenderd analízis, aminek segítségével például mellőzhetők bizonyos, a differenciálegyenletek elméletében fellépő nehéz becslések és konvergenciabizonyítások. A matematikai logika szemszögéből az ultraszorzatok érdekességét az adja, hogy minden „elemi” állítás, ami a Ki testek mindegyikében igaz, igaz marad az ultraszorzatukban is. di alakú differenciáloperátorokat, dz i i=0 ahol az fi (z)-k (akár konvergens, akár formális) Laurent-sorok. Ilyen operátorok szorzása nem feltétlenül kommutatív; bizonyos D és ∆ operátorpárokra azonban mégis teljesülhet D∆ = ∆D; például, ha 12. példa.

Tekintsünk D =

d2 D = 2 − 2z −2 , dz

és

k P

fi (z)

d3 d + 3z −3 . ∆ = 3 − 3z −2 dz dz

Ekkor D és ∆ összes konstans együtthatós P (D, ∆) polinomjainak halmaza egy kommutatív gyűrű lesz; jelöljük ezt RD,∆ -val. Most azonban valami teljesen váratlan dolog történik: ha D∆ = ∆D, akkor létezik egy nemnulla F (x, y) polinom, amire teljesül F (D, ∆) = 0, másszóval D és ∆ eleget tesz egy polinomiális összefüggésnek. Ha például D=

d2 − 2z −2 , 2 dz

és

∆=

d3 −2 d − 3z + 3z −3 , 3 dz dz

38

4. fejezet Homomorfizmusok és ideálok

akkor F = D3 − ∆2 ; feltehetjük, hogy F irreducibilis. Ekkor az RD,∆ gyűrű izomorf a C[x, y]/(F (x, y)) gyűrűvel, másszóval a C[C] gyűrűvel, ahol C az F (x, y) = 0 egyenlettel definiált irreducibilis görbe. Ha a D és ∆ operátoroknak van egy közös f sajátfüggvényük, akkor ez a függvény sajátfüggvénye lesz valamennyi, RD,∆ -gyűrűbeli operátornak is. Minden operátorhoz hozzárendelve az f sajátfüggvényhez tartozó sajátértékét, egy RD,∆ → C homomorfizmust kapunk. Tekintettel az RD,∆ ∼ = C[C] izomorfizmusra, ez a homomorfizmus a C görbe egy pontját definiálja. Megmutatható, hogy a görbe minden pontja hozzátartozik a D és ∆ operátorok egy közös sajátértékéhez. A felcserélhető differenciáloperátorok és az algebrai görbék között imént leírt kapcsolat segítségével az utóbbi időkben jelentős haladást sikerült elérni a felcserélhető operátorok gyűrűi szerkezetének a megértésében.

39

5. fejezet Modulusok

5. Modulusok Tekintsünk a térben valamilyen V tartományt és a rajta definiált vektormezőket. Ezek összeadhatók és szorozhatók számokkal, amennyiben ezeket a műveleteket az ugyanazon pontból kiinduló vektorokra alkalmazzuk. Ilymódon az összes vektormező egy végtelen dimenziós vektorteret alkot. De emellett a vektormezőket függvényekkel is lehet szorozni. Ez egy roppant hasznos művelet, hiszen minden vektormező felírható az ∂ ∂ ∂ +B +C A ∂x ∂y ∂z alakban, ahol A, B és C függvények; kézenfekvő tehát a vektormezőkre mint olyan objektumokra gondolni, amelyek 3-dimenziósak a függvények gyűrűje felett. Ilymódon elérkezünk a gyűrű feletti modulus fogalmához (ebben a fejezetben gyűrűn kommutatív gyűrűt értünk). Ez csak annyiban különbözik egy vektortértől, hogy egy modulus elemeit gyűrűből vett elemekkel lehet szorozni, nem pedig testből vett elemekkel, ahogy az vektorterek esetében történt. Az axiómák, mind az elemek összeadására, mind a gyűrűbeli elemekkel való szorzásra vonatkozók, pontosan úgy néznek ki, mint a vektorterek esetében, ezért nem ismételjük meg őket. 1. példa. Minden gyűrű modulus sajátmaga felett; ez az 1-dimenziós vektortér analogonja. 2. példa. Egy adott differenciálható (vagy valós, ill. komplex analitikus) sokaságon definiált, rögzített fokú differenciálformák modulust alkotnak az ugyanezen sokaságon értelmezett differenciálható (vagy valós, ill. komplex analitikus) függvények gyűrűje fölött. Hasonló igaz vektormezőkre és még általánosabban rögzített típusú tenzormezőkre is. (Ezeknek a fogalmaknak a definíciójával részletesebben foglalkozunk majd később ebben a fejezetben, ill. a 7. fejezetben.) 3. példa. Ha ϕ a K test feletti L vektortér egy lineáris transzformációja, akkor L a következőképpen tehető modulussá a K[t] polinomgyűrű fölött: ha f (t) ∈ K[t] és x ∈ L , akkor legyen f (t)x = (f (ϕ))(x) . 4. példa. A konstans együtthatós lineáris differenciáloperátorok gyűrűje (3. fejezet, 3. példa) alkalmas függvénytereken hat (pl. C ∞ vagy kompakt tartójú vagy exponenciálisan lecsengő vagy polinomok), és ezzel a hatással a függvényterek a szóbanforgó gyűrű feletti modulusok lesznek. Mivel a szóbanforgó gyűrű az R[t1 , . . . , tn ] polinomgyűrűvel izomorf (3. fejezet, 3. példa), a felsorolt függvényterek mindegyike a polinomgyűrű feletti modulusként fogható fel. Természetesen mindez igaz marad, ha R-et C-vel helyettesítjük. 5. példa. Legyenek M és N az A gyűrű feletti modulusok. Tekintsük azt a modulust, amely az (m, n) rendezett párokból áll (m ∈ M , n ∈ N ), amelyekre az összeadás és az A elemeivel való szorzás a következőképpen van értelmezve: (m, n) + (m1 , n1 ) = (m + m1 , n + n1 ) ,

és a(m, n) = (am, an) .

40

5. fejezet Modulusok

Ezt a modulust az M és N modulusok direkt összegének nevezzük, és így jelöljük: M ⊕ N . Hasonlóan definiálható tetszőleges számú modulus direkt összege. Az A mint önmaga felett vett modulus (1. példa) n példányának a direkt összegét An nel jelöljük és n rangú szabad modulusnak nevezzük. Ez az n-dimenziós vektortér legkézenfekvőbb általánosítása; An elemei az m = (a1 , . . . , an ) , minden ai ∈ A alakú rendezett P n-esek. Ha ei = (0, . . . , 1, . . . , 0), ahol az i-edik helyen van 1, akkor m = ai ei , és ez az előállítás egyértelmű. Időnként célszerű a végtelen dimenziós vektorterek algebrai megfelelőjét: Aval izomorf modulusok egy tetszőleges Σ családjának a direkt összegét tekinteni. Ennek elemei olyan {aσ }σ∈Σ sorozatok, ahol aσ ∈ A , amint σ végigfut Σ -n, és aσ 6= 0 csak véges sok σ ∈ Σ -ra teljesül. Az előzőhöz hasonlóan definiált eσ eleP mek segítségével a direkt összeg minden eleme egyértelműen áll elő aσ eσ véges összeg alakjában. Az így konstruált modulust is szabad modulusnak nevezzük, {eσ } pedig az ő bázisa vagy szabad generátorrendszere. 6. példa. Az egészek Z gyűrűje feletti M modulusban az n ∈ Z számmal való szorzást az összeadás már egyértelműen meghatározza: ha n > 0 , akkor nx = x + · · · + x (n összeadandó,) és ha n = −m , ahol m > 0 , akkor nx = −(mx) . M tehát nem más, mint egy additívan írt Abel-csoport. 1 Elhagyjuk az izomorfizmus és részmodulus fogalmak definícióját, amelyek a vektorterekre értelmezett izomorfizmus és altér fogalmak szószerinti megfelelői. Azt, hogy az M és N modulusok izomorfak, így jelöljük: M ∼ =N. 7. példa. Az Rn n-dimenziós euklideszi téren értelmezett bármely r-edrendű differenciálforma egyértelműen írható P ai1 ,...,ir dxi1 ∧ · · · ∧ dxir i1 0 esetén. Visszagondolva a 4. fejezetben szerepelt definíciókra, látjuk, hogy az A gyűrű egy ideálja A-nak egy részmodulusa, ha A-ra mint sajátmaga feletti modulusra gondolunk (mint az 1. példában). Ideálok, melyek mint A részhalmazai különbözőek, mint A-modulusok még izomorfak lehetnek. Például egy A integritási tartomány egy I ideálja akkor és csak akkor izomorf A-val mint A-modulussal, ha I főideál (ugyanis I = (i) esetén a 7→ ai adja a kívánt izomorfizmust; megfordítva, ha ϕ : A → I egy A-modulusok közötti izomorfizmus és 1 az A gyűrű egységeleme, akkor ϕ(1) = i ∈ I-ből következik, hogy ϕ(a) = ϕ(a1) = aϕ(1) = ai , vagyis I = (i)). Így tehát egy gyűrű azon ideáljainak a halmaza, melyek mint modulusok nem izomorfak, méri azt, hogy a gyűrű mennyire van távol attól, √ √ hogy főideálgyűrű legyen. Például az Ad = Z+Z d gyűrűben, amely az a+b d alakú számokból áll, ahol a, b ∈ Z (d rögzített egész) csak véges sok különböző, modulusként nem izomorf ideál van. Ezek számát Ad osztályszámának nevezzük; ez egy alapvető aritmetikai invariáns.

9. példa. Legyen {mα } az A gyűrű P feletti M modulus elemeinek egy részhalmaza. Tekintsük az összes lehetséges ai mαi lineáris kombinációt (még ha az {mα } halmaz végtelen is, minden lineáris kombinációban csak véges sok tag fordul elő). Ezek az M modulus egy részmodulusát alkotják, melyet az {mα } által generált részmodulusnak nevezünk. Speciálisan, ha M = A mint önmaga fölötti modulus, akkor visszajutunk az {mα } elemek által generált ideál fogalmához, amivel korábban már találkoztunk. Ha az {mα } halmaz generálja az egész M -et, akkor őt M generátorrendszerének nevezzük. Vektorterek közötti lineáris leképezés fogalma szószerint átvihető modulusok esetére; ebben az esetben a leképezést A-lineáris leképezésnek vagy homomorfizmusnak nevezzük. Ugyanúgy, mint gyűrűk ideáljai esetén, egy N ⊂ M részmodulusból kiindulva is definiálhatjuk annak m + N mellékosztályait, az M/N faktormodulust és az M → M/N kanonikus homomorfizmust. Ugyancsak

42

5. fejezet Modulusok

átvihető a kép és a mag fogalma, valamint a homomorfizmusok és részmodulusok közötti, a 4. fejezetben gyűrűk és ideálok vonatkozásában megfogalmazott kapcsolat. Ezen fogalmak segítségével néhány fontos konstrukcióra nyílik lehetőségünk. Tudjuk a definíció alapján, hogy egy M modulus elemeit hogyan kell összeadni, és hogyan kell őket A-beli elemekkel szorozni, de nem tudjuk, hogyan lehetne két elemet összeszorozni. Vannak azonban olyan szituációk, amikor lehetőség nyílik arra, hogy egy M modulus elemeit megszorozzuk egy N modulus elemeivel, és eredményül egy harmadik L modulusbeli elemet kapjunk. Ha például P P ∂ vektormezőkből áll, N pedig a pi dxi elsőrendű differenciálM a fi ∂xi P formákból, akkor a fi pi szorzat definiálva van, és a függvények gyűrűjének egy eleme lesz (méghozzá független az x1 , . . . , xn koordináták választásától). Hasonlóan definiálhatjuk (koordinátaválasztástól függetlenül) egy vektormező és egy r-edrendű differenciálforma szorzatát; az eredmény egy (r − 1)-edrendű differenciálforma lesz. Az M , N modulusokon értelmezett és L-beli értékeket felvevő szorzásnak egy olyan leképezést nevezünk, amely az x ∈ M, y ∈ N elemekből álló rendezett elempárokat egy xy ∈ L elemre képezi le és amelyre teljesülnek az alábbi bilinearitási tulajdonságok: (x1 + x2 )y = x1 y + x2 y minden x1 , x2 ∈ M és y ∈ N esetén ; x(y1 + y2 ) = xy1 + xy2 minden x ∈ M és y1 , y2 ∈ N esetén ; (ax)y = x(ay) = a(xy)

minden x ∈ M, y ∈ N és a ∈ A esetén .

Ha egy L-beli értékeket felvevő xy szorzás van definiálva az M , N modulusokon, ha továbbá ϕ : L → L′ egy homomorfizmus, akkor ϕ(xy) egy L′ -beli értékeket felvevő szorzást ad meg. Kiderül, hogy az adott M , N modulusokon definiált összes lehetséges szorzás megkapható ilymódon egyetlen „univerzális” szorzásból. Ennek értékei egy olyan modulusból valók, amelyet M ⊗A N -nel fogunk jelölni, az x és y elemek szorzatát pedig x ⊗ y-nal. Az univerzalitás azt jelenti, hogy bármely, M és N -en definiált, L-beli értékeket felvevő xy szorzáshoz létezik egy egyértelmű ϕ : M ⊗A N → L homomorfizmus, amelyre xy = ϕ(x⊗y) . Könnyű látni, hogy ha létezik egyáltalán modulus és szorzás a mondott univerzalitási tulajdonsággal, akkor izomorfizmus erejéig csak egyféle létezhet. A következőképpen konstruálhatunk meg egy kívánt tulajdonságú M ⊗A N modulust és x ⊗ y szorzást: tegyük fel, hogy M -nek van egy véges x1 , . . . , xm generátorrendszere, N -nek pedig egy véges y1 , . . . , yn generátorrendszere. Tekintsük mn az (xi , yj ) szimbólumokat és az általuk szabad moP szabadon generált S = A P dulust. Tekintsük S-ben azokat a Pi ai (xi , yj ) elemeket, amelyekre P ai xi = 0 teljesül M -ben, valamint azokat a j bj (xi , yj ) elemeket, amelyekre bj y j = 0 teljesül N -ben és jelölje S0 a mindezen elemek által generált részmodulust. Legyen M ⊗A N = S/S0 , P P és ha x = ai xi és y = bj yj , akkor legyen

43

5. fejezet Modulusok

x⊗y =

P i,j

ai bj (xi ⊗ yj ) ,

ahol xi ⊗ yj jelöli (xi , yj ) képét S/S0 -ban az S → S/S0 kanonikus homomorfizmusnál. Könnyen látható, hogy x ⊗ y értéke nem függ attól, hogy hogyan fejezzük ki x-et és y-t a generátotrok segítségével, és hogy ilymódon valóban a kívánt univerzális objektumhoz jutunk. Megkonstruálhattuk volna az M ⊗A N modulust kevesebb segédfogalomra támaszkodva, és azt sem szükséges föltennünk, hogy M -nek és N -nek van véges generátorrendszere. Legyen S az a szabad modulus, melynek szabad generátorrendszere az összes (x, y) rendezett pár, ahol x ∈ M , és y ∈ N , S0 pedig az a részmodulus, amelyet az (x1 + x2 , y) − (x1 , y) − (x2 , y),

a(x, y) − (x, ay),

(x, y1 + y2 ) − (x, y1 ) − (x, y2 ), a(x, y) − (ax, y)

alakú elemek generálnak. Ilymódon egy végtelen sok elemmel generált S szabad modulust kell használnunk még akkor is, ha az M , N modulusok mindegyike végesen generált. Viszont a konstrukció során nem kell önkényesen választanunk egy generátorrendszert. Az így definiált M ⊗A N modulust az M és N modulusok tenzorszorzatának nevezzük, x ⊗ y-t pedig az x és y elemek tenzorszorzatának. Ha M és N egy K test feletti véges dimenziós vektorterek, akkor M ⊗K N is vektortér, és fennáll az alábbi összefüggés: dim(M ⊗K N ) = dim M · dim N . Ha M egy modulus a Z gyűrű felett, akkor M ⊗Z Q vektortér Q felett; például, ha M ∼ = Zn , akkor M ⊗Z Q ∼ = Qn . Viszont ha M ∼ = Z/(n) , akkor M ⊗Z Q = 0 , vagyis M -et az M ⊗Z Q-ra való áttérés eltünteti; noha minden m ∈ M elemnek megfelel az m ⊗ 1 ∈ M ⊗Z Q-beli elem, ez valójában 0-val egyenlő, mint az a bilinearitási feltételek segítségével könnyen ellenőrizhető. Hasonlóan, egy A integritási tartomány feletti M modulusból kiindulva, az integritási tartomány K hányadosteste feletti M ⊗A K vektortérhez juthatunk. Pontosan ugyanúgy kapható egy K test feletti E vektortérből kiindulva a K test tetszőleges L bővítési teste felett egy E ⊗K L vektortér. Abban az esetben, ha K = R, és L = C , ezt az eljárást komplexifikációnak nevezik; ez a lineáris algebrában igen hasznos (például lineáris transzformációk vizsgálatánál). Ha Mi az xi változó bizonyos f (xi ) függvényeiből álló vektortér (például a < ki fokú f (xi ) polinomok tere), akkor M1 ⊗ · · · ⊗ Mn az f1 (x1 ) · · · fn (xn ), ahol fi ∈ Mi alakú függvények összes lineáris kombinációjából áll x1 , . . . , xn összes függvényének terében. Speciálisan, az integrálegyenletek elméletében előforduló „elfajuló magfüggvények” ilyen alakúak. Természetes törekvés, hogy megpróbáljuk az x, y változók bizonyos típusú kétváltozós K(x, y) függvényeinek terét úgy

44

5. fejezet Modulusok

interpretálni, mint az x, ill. az y változóktól függő bizonyos típusú egyváltozós függvények tereinek tenzorszorzatát. Így jön elő a tenzorszorzat fogalmának analogonja a Banach-terek és a topologikus vektorterek elméletében. A klasszikus K(x, y) függvények mint a megfelelő Z f 7→ K(x, y)f (y) dy integráloperátorok magfüggvényei lépnek fel. Az általános esetben a tenzorszorzat elemei segítségével Fredholm típusú operátorokat írhatunk le. Hasonló szerepet játszanak a tenzorszorzatok a kvantummechanikában. Ha M1 és M2 az S1 és S2 kvantummechanikai rendszerek állapotterei, akkor M1 ⊗ M2 az S1 és S2 rendszerek összekapcsolásával keletkező rendszer állapotát írja le. 10. példa. Az M ⊗A · · · ⊗A M (r tényező) modulust T r (M )-mel jelöljük. Ha M egy véges dimenziós vektortér a K test felett, akkor T r (M ) az r-edfokú kontravariáns tenzorok tere. 11. példa. Az M ⊗A M modulusnak az x ⊗ y − y ⊗ x alakú elemek (ahol x, y ∈ M ) által generált részmodulus szerint vett faktormodulusát M szimmetrikus négyzetének nevezzük és S 2 M -mel jelöljük; ez univerzális az x, y ∈ M elemeken definiált xy kommutatív szorzásra nézve. Hasonlóan definiálható az redik szimmetrikus hatvány, S r M is; ez a T r (M ) modulusnak azon részmodulus szerint vett faktormodulusa, melyet az x1 ⊗ · · · ⊗ xi ⊗ xi+1 ⊗ · · · ⊗ xr − x1 ⊗ · · · ⊗ xi+1 ⊗ xi ⊗ · · · ⊗ xr alakú elemek generálnak, ahol i = 1, . . . , r − 1, és xi ∈ M . Például, ha M a t1 , . . . , tn változók K-beli együtthatós lineáris alakjaiból álló modulus, akkor S r M a t1 , . . . , tn változók homogén r-edfokú polinomjaiból áll. Nyilvánvaló, hogy r darab x1 , . . . , xr ∈ M elem szorzata S r M -ben mindig jóldefiniált, és nem függ a tényezők sorrendjétől: tekintsük egyszerűen x1 ⊗ · · · ⊗ xr képét a T r (M ) → S r M kanonikus homomorfizmusnál. Ezek a szorzatok generálják S r M -et. 12. példa. Az M modulus r-edik külső hatványát úgy kapjuk, hogy vesszük a T r (M ) modulus faktormodulusát azon részmodulusa szerint, amelyet az olyan x1 ⊗ · · · ⊗ xr alakú elemek generálnak, amelyekben Vr a faktorok közt van két megegyező, mondjuk xi = xj . A külső hatványt M -mel jelöljük. Például egy differenciálható sokaságon értelmezett r-edrendű differenciálformák moduVr lusa izomorf M -mel, ahol M az elsőrendű differenciálformák modulusa. A szimmetrikus hatvány Vr esetéhez hasonlóan definiálva van r darab M -beli elem, M -beli értékkel. Ezt a szorzatot x1 ∧ · · · ∧ xr -rel jelöljük, x1 , . . . , xr szorzata, és az adott elemek külső szorzatának nevezzük. Definíció szerint x1 ∧· · ·∧xr = 0 , ha xi = xj . Ebből könnyen következik, hogy x1 ∧ · · · ∧ xi ∧ xi+1 ∧ · · · ∧ xr = −x1 ∧· · ·∧xi+1 ∧xi ∧· · ·∧xr . Ha M -nek van véges generátorrendszere: x1 , . . . , xn , akkor az ilyen alakú szorzatok: xi1 ∧ · · · ∧ xir , ahol 1 6 i1 < i2 < · · · < ir 6 n

45

5. fejezet Modulusok

Vr

Vr M -nek egy generátorrendszerét alkotják. Speciálisan r > n esetén M = 0 . Ha M egy n-dimenziós vektortér egy K test felett, akkor r 6 n esetén ¡ ¢ Vr dim M = nr .

13. példa. Ha M egy modulus az A gyűrű felett, akkor az összes M -ből A-ba képező homomorfizmusok M ∗ halmaza modulus lesz, ha a műveleteket a következőképpen definiáljuk: (f + g)(m) = f (m) + g(m) minden f, g ∈ M ∗ és m ∈ M esetén; (af )(m) = af (m) minden f ∈ M ∗ , a ∈ A és m ∈ M esetén.

Ezt a modulust az M duális modulusának nevezzük. Ha M vektortér egy K test fölött, akkor M ∗ a duális vektortér. Egy differenciálható sokaságon értelmezett elsőrendű differenciálformák tere (a differenciálható függvények gyűrűje feletti modulusként tekintve) a vektormezők modulusának duálisa. A T r (M ∗ ) tér elemeit kovariáns tenzoroknak nevezzük; T p (M ) ⊗ T q (M ∗ ) elemeit pedig (p, q) típusú tenzoroknak . Ha M valamely vektortér fölötti (p, q) típusú tenzorok tere, N pedig a (p′ , q ′ ) típusú tenzoroké, akkor M ⊗ N a (p + p′ , q + q ′ ) típusú tenzoroké, és ⊗ nem más, mint a tenzorszorzás művelete. Befejezésül megpróbáljuk modulusokra is kiterjeszteni a 4. fejezetben gyűrűk kapcsán már tárgyalt „funkcionális” intuíciót. Kezdjük egy példával. Legyen X egy differenciálható sokaság, A a rajta értelmezett differenciálható függvények gyűrűje, M pedig az X-en definiált vektormezők A-modulusa. Egy adott x ∈ X pontban minden τ vektormező egy τ (x) értéket vesz fel, definiálva van tehát egy M → Tx leképezés, ahol Tx az X-hez x-ben húzott érintőteret jelöli. Ez a leképezés algebrai fogalmakkal is leírható, ha egy α ∈ R konstansnak egy f ∈ A függvénnyel való szorzatát az f · α = f (x)α képlet segítségével értelmezzük. Ekkor R -ből A-modulus lesz, továbbá Tx ∼ = M ⊗A R , és leképezésünk τ -t τ ⊗ 1 -be viszi. Így tekintve, ez a leképezés egy tetszőleges A gyűrű feletti tetszőleges M modulus esetén megkonstruálható. Legyen ϕ : A → K az A gyűrű olyan homomorfizmusa egy K testbe, hogy ϕ(A) = K, és a mag legyen az m maximális ideál. Ekkor K-t tekinthetjük A-modulusnak az aα = ϕ(a)α (a ∈ A, α ∈ K) definíció segítségével. Így egy Mm = M ⊗A K vektorteret kapunk a K test felett, amire úgy tekinthetünk, mint „M értékére az m pontban”. Például, ha A = K[C] , ahol C egy algebrai görbe (vagy algebrai sokaság), akkor, mint azt a 4. fejezetben láttuk, minden c ∈ C pont meghatároz egy ϕc : A → K homomorfizmust, ahol ϕc (f ) = f (c) , az mc maximális ideál pedig azon f ∈ A függvényekből áll, amelyekre f (c) = 0 . Tehát minden K[C] feletti M modulus meghatározza vektorterek egy Mx családját, mely a C sokasággal „van paraméterezve” és teljesen hasonlóan egy tetszőleges A gyűrű feletti M modulus az A/m testek feletti M ⊗A (A/m) vektorterek családját határozza meg, ami az A gyűrű m maximális ideáljai halmazával „van paraméterezve”. Ennek a szituációnak a geometriai megfelelője a következő: nevezzünk egy X topologikus tér felett vektortércsaládnak egy E topologikus teret egy rögzített f :E →X

46

6. fejezet A dimenzió algebrai aspektusai

folytonos leképezéssel, ahol minden egyes f −1 (x) fibrumnak olyan vektortérstruktúrája van (R vagy C felett), ami a természetes értelemben kompatibilis E topológiájával. Az f : E → X és g : F → X családok közti homomorfizmuson olyan ϕ : E → F folytonos leképezést értünk, ami az f −1 (x) fibrumot a g −1 (x) fibrumba viszi, és közöttük egy lineáris leképezést létesít. Egy E vektortércsalád meghatároz egy ME modulust az X-en folytonos függvények A(X) gyűrűje felett. Ha az E családra úgy tekintünk, mint ami a vektortér fogalmát általánosítja, akkor ME egy elemére úgy kell gondolnunk, mint ami a vektor fogalmát általánosítja: ez egy vektorválasztást jelent minden egyes f −1 (x) fibrumban (x ∈ X). Még pontosabban, ME elemei, amelyeket szeléseknek nevezünk, úgy vannak definiálva, mint s:X→E folytonos leképezések, melyekre az s(x) pont az f −1 (x) fibrumhoz tartozik minden x ∈ X esetén (másszóval f s(x) = x). ME -ből modulus lesz A(X) felett, ha a műveleteket a következőképpen definiáljuk: (s1 + s2 )(x) = s1 (x) + s2 (x) minden s1 , s2 ∈ ME és x ∈ X esetén; (ϕs)(x) = ϕ(x)s(x) minden ϕ ∈ A(X), x ∈ X és s ∈ ME esetén.

6. A dimenzió algebrai aspektusai Egy vektortér alapvető invariánsa a dimenziója, és ebben az összefüggésben a véges dimenziós vektoretereknek kitüntetett szerep jut. Modulusokra, amelyek a vektorterek közvetlen általánosításai, léteznek analóg fogalmak, amelyek ugyanolyan alapvető fontosságúak. Vizsgáltunk másfelől algebrai görbéket, felületeket és így tovább, és ezeket „koordinátáztuk” olymódon, hogy minden ilyen C objektumhoz hozzárendeltük a K[C] koordinátagyűrűt vagy a racionális függvények K(C) testét. A dimenzió intuitív fogalma (1 algebrai görbére, 2 felületre, stb.) visszatükröződik a K[C] gyűrű, ill. a K(C) test algebrai tulajdonságaiban, és ezek a tulajdonságok értelmezhetők és fontosak általánosabb típusú gyűrűk és testek esetén is. Amint az várható is, a helyzet a legegyszerűbb példákhoz képest elbonyolódik: látni fogjuk, hogy többféle mód van arra, hogy egy gyűrű vagy egy modulus „dimenzióját” számként kifejezzük, és a végesdimenziósságnak is többféle analogonja lehetséges. Egy vektortér dimenzióját többféle pontból kiindulva is definiálhatjuk: először is, mint a lineárisan független vektorok maximális számát; másodszor, mint egy bázis elemszámát (és ekkor bizonyítanunk kell, hogy egy vektortér minden bázisa ugyanannyi vektorból áll); végül arra is hivatkozhatunk, ha már a dimenzió definiálva van, hogy egy n-dimenziós L tér tartalmaz egy (n − 1) dimenziós L1 alteret, L1 egy (n − 2) dimenziós L2 alteret, stb. Így egy L ) L1 ) L2 ) · · · ) Ln = 0

47

6. fejezet A dimenzió algebrai aspektusai

lánchoz jutunk. A dimenzió úgy is definiálható, mint az ilyen láncok hosszának a maximuma. Ezen definíciók mindegyike alkalmazható modulusokra, de ott másmás tulajdonságokhoz vezetnek, amelyek más-más numerikus invariánsokat adnak, és a végesdimenziósság megfelelője is másnak bizonyul az egyes esetekben. Mindhárom megközelítési módot tárgyalni fogjuk. Az elsőnek a tárgyalásához tegyük fel, hogy A integritási tartomány. Azt mondjuk, hogy egy A gyűrű feletti M modulus m1 , . . . , mk elemei lineárisan összefüggők , ha léteznek olyan a1 , . . . , ak ∈ A elemek, amelyek nem mind nullák és amelyekre teljesül a1 m1 + · · · + ak mk = 0 ; ellenkező esetben azt mondjuk, hogy az m1 , . . . , mk elemek lineárisan függetlenek . Az M modulusból kiválasztható lineárisan független elemek maximális számát a modulus rangjának nevezzük és rank M -mel jelöljük; ha ez egy véges szám, akkor azt mondjuk, hogy az M modulus véges rangú. Maga az A gyűrű, mint A-modulus, 1 rangú, az An szabad modulus pedig n rangú az új definíció szerint is. Minden látszólagos hasonlóság ellenére a rang fogalma lényegét tekintve nagyon távol áll a vektortér dimenziójától. Még ha a rang egy véges n szám lesz is, és m1 , . . . , mn a modulus lineárisan független elemeinek egy maximális halmaza, akkor sem igaz az, hogy minden m elem kifejezhető lenne a fenti véges sok elem segítségével: egy am+a1 m1 +· · ·+an mn = 0 típusú lineáris összefüggőségi relációban általában nem tudunk leosztani a-val. Ezért nem kapjuk meg egy modulus elemeinek olyan fajtájú kanonikus leírását, mint amilyet egy vektortér egy bázisa szolgáltat. Továbbá, az ember azt gondolhatná, hogy a 0 rangú modulusok, mint a 0-dimenziós vektorterek megfelelői, valamiképpen teljesen triviálisak kell, hogy legyenek, holott valójában teszőlegesen bonyolultak lehetnek. Ugyanis egyetlen m ∈ M elem lineárisan összefüggő, ha létezik egy nemnulla a ∈ A elem, amire am = 0 ; ebben az esetben azt mondjuk, hogy m egy torzióelem. Egy modulusnak akkor lesz 0 a rangja, ha kizárólag torzióelemeket tartalmaz; az ilyen modulust torziómodulusnak hívjuk. Például minden véges Abel-csoport mint Z-modulus egy torziómodulus. Egy L vektortér egy kitüntetett ϕ lineáris transzformációval, a K[x] polinomgyűrű feletti modulusként tekintve (5. fejezet, 3. példa) szintén torziómodulus: van olyan f (x) 6= 0 , amire f (ϕ) = 0 (vagyis (f (ϕ))(x) = 0 minden Az R[x1 , . . . , xn ] polinomgyűrű, mint · x ∈ L-re). ¸ ∂ ∂ ,..., gyűrűje feletti modulus (5. fejezet, a differenciáloperátorok R ∂x1 ∂xn 4. példa) egy másik példát szolgáltat torziómodulusra. Mindezek a modulusok 0 rangúak, noha intuitíve igen nehéz lenne például közülük az utolsót akár csak véges dimenziósnak is tekinteni. Közelebb jutunk a végesdimenziósság intuitív fogalmához, ha a véges dimenziós vektortér fogalmának azt a definícióját használjuk, ami bázis létezésén alapul. Ha egy M modulusban található egy véges sok elemet tartalmazó generátorrendszer, akkor azt mondjuk, hogy a modulus végesen generált. Ekkor tehát

48

6. fejezet A dimenzió algebrai aspektusai

M tartalmaz véges sok m1 , . . . , mk elemet úgy, hogy a modulus minden eleme előáll ezek lineáris kombinációjaként, noha, a vektorterekkel ellentétben, itt nem követelhetjük meg, hogy az előállítás egyértelmű legyen. Egy gyűrű mint sajátmaga feletti modulus vagy általánosabban egy véges rangú szabad modulus végesen generált, akárcsak egy Z-modulusként tekintett véges Abel-csoport, vagy egy vektortér egy rögzített lineáris transzformációval mint K[x]-modulus. Az ¸ R[x1 , . . . , xn ] polinomgyűrű mint a differenciáloperáto· ∂ ∂ gyűrűje feletti modulus nem végesen generált: véges sok ,..., rok R ∂x1 ∂xn F1 , . . . , Fk polinomból kiindulva differenciálásokkal nem tudunk magasabbfokú polinomokat kapni. Egy végesen generált modulus homomorf képe ismét végesen generált: egy generátorrendszer képe generátorrendszere lesz a homomorf képnek. Speciálisan az An szabad modulus homomorf képei mind végesen generáltak, és generálhatók legfeljebb n elemmel. Ennek az állításnak a megfordítása is igaz. Ha M -nek van egy m1 , . . . , mk generátorrendszere, akkor az (a1 , . . . , ak ) ∈ Ak rendezett k-ast (definíció szerint Ak ilyen k-asokból áll) az a1 m1 + · · · + ak mk elemre leképezve, olyan homomorfizmust kapunk, amelynek képe M . Ezzel bebizonyítottuk a következőt: I. tétel. Minden végesen generált modulus a végesen generált An szabad modulusnak homomorf képe. Speciálisan, minden egy elemmel generált modulus magának az A gyűrűnek lesz homomorf képe, tehát (a homomorfizmustétel szerint) A/I alakú, ahol I az A gyűrű egy ideálja; ha I = 0, akkor M izomorf A-val. Egy ilyen típusú modulust ciklikus modulusnak nevezünk. Úgy gondolhatunk rájuk, mint az 1dimenziós vektorterek megfelelőire. Bizonyos esetekben a végesen generált modulusok meglehetősen közel állnak a véges dimenziós vektorterekhez. Például, ha A egy olyan integritási tartomány, amiben minden ideál főideál (vagyis főideálgyűrű), akkor a következő állítást kapjuk. II. Főideálgyűrű feletti végesen generált modulusok alaptétele. Egy főideálgyűrű feletti végesen generált modulus izomorf véges sok ciklikus modulus direkt összegével. Egy ciklikus modulus vagy A-val izomorf, vagy tovább bomlik A/(π k ) alakú ciklikus modulusok direkt összegére, ahol π egy prímelem. Egy modulus ilyen modulusok direkt összegeként való előállítása egyértelmű. Ha egy ilyen M modulus torziómodulus, akkor nincsenek A-val izomorf direkt összeadandók. Ez történik például akkor, ha A = Z, és M egy véges Abelcsoport. Ebben az esetben a fenti tétel a véges Abel-csoportok alaptételét adja. Hasonló a helyzet, ha A = C[x], és M = L egy véges dimenziós vektortér C felett egy rögzített lineáris transzformációval (5. fejezet, 3. példa). Ekkor könnyű belátni, hogy tételünk a lineáris transzformáció Jordan-féle normálalakra való redukcióját szolgáltatja. A II. tétel egyik lehetséges bizonyítása azon alapul, hogy M -et előállítjuk M = An /N

alakban, ahol N ⊂ An

49

6. fejezet A dimenzió algebrai aspektusai

(az I. tétel alapján). Könnyen látható, hogy N ismét végesen generált modulus lesz. Ha P An = Ae1 ⊕ · · · ⊕ Aen , és N = (u1 , . . . , um ) , akkor ui = cij ej ,

és az M = An /N előállítás azt mutatja, hogy M -et „definiálja az alábbi lineáris egyenletrendszer”: n P

ahol i = 1, . . . , m .

cij ej = 0 ,

j=1

Ezután a lineáris egyenletrendszerek klasszikus elméletéből jól ismert Gaußmódszer alapgondolatát alkalmazzuk. Főlemma. Főideálgyűrű felett minden mátrix diagonális alakra hozható, ha két oldalról alkalmas unimoduláris mátrixokkal szorozzuk. Ha az euklideszi algoritmus megfelelője végrehajtható a gyűrűben, akkor az unimoduláris mátrixokkal való bármelyik oldali szorzás a jól ismert elemi transzformációk (sor- és oszlopműveletek) segítségével hajtható végre: két sort felcserélünk, egy sor valamilyen többszörösét hozzáadjuk egy másik sorhoz, vagy hasonló műveleteket végzünk oszlopokkal. A (cij ) mátrixra alkalmazva, a sorés oszlopműveletek az e1 , . . . , en generátorokon és u1 , . . . , um relációkon végzett lehető legegyszerűbb műveleteknek felelnek meg. Itt a Gauß-módszerrel való analógia különösen szembeszökő. A főlemma segítségével találhatunk olyan generátorrendszert, amire a (cij ) mátrix diagonális lesz. Ha   a1   ..   .       ar   , ahol a1 6= 0, . . . , ar 6= 0 , (cij ) =   0     ..   .   0

akkor M = An /N ∼ = A/(a1 ) ⊕ · · · ⊕ A/(ar ) ⊕ An−r . Ebből már nem nehéz levezetni a II. tétel állítását. Speciálisan, ha A = Z, akkor a II. tétel leírja a végesen generált Abelcsoportok szerkezetét. Ilyen csoportokkal véges komplexusok kohomológiacsoportjainak homológiájaként találkozhatunk a topológiában (ld. 21. fejezet). Van azonban egy tulajdonság, amit intuitíve magától értetődőnek tartunk a véges dimenziós esetre, és ami általában nem teljesül végesen generált modulusokra: egy ilyennek egy részmodulusa nem feltétlenül lesz végesen generált. Ellenpéldát már a legegyszerűbb esetben is kaphatunk: az A gyűrű egy részmodulusa, vagyis egy ideál, nem mindig lesz végesen generált. Például az egyenesen definiált C ∞ -függvények 0-ban vett csíráinak E gyűrűjében azon függvénycsírák ideálja, melyek valamennyi deriváltjukkal együtt eltűnnek 0-ban,

50

6. fejezet A dimenzió algebrai aspektusai

nem generálható véges sok elemmel (4. fejezet, 7. példa). Hasonlóan, a végtelen sok x1 , x2 , . . . , xn , . . . változó felhasználásával definiált polinomgyűrűben (persze minden polinomban csak véges sok szerepel ezek közül a változók közül) a 0 konstans tagú polinomok olyan ideált alkotnak, aminek nincs véges generátorrendszere. A végesdimenziósság irányába mutató erősebb feltételt kapunk tehát, ha az olyan modulusokat tekintjük, melyeknek minden részmodulusa végesen generált. Az ilyen tulajdonságú modulusokat Noether-modulusoknak nevezzük. Ez a fogalom kapcsolódik vektorterek dimenziójának alterek lánca segítségével való meghatározásához, amit eddig még nem használtunk. Nevezetesen, a fenti Noether-féle tulajdonság ekvivalens az alábbi növőláncfeltételnek vagy maximumfeltételnek nevezett tulajdonsággal: Részmodulusok minden M1 ( M2 ( · · · ( Mk ( · · · sorozata véges. Az ekvivalencia bizonyítása szinte triviális. Ezek a gondolatok arra is felhasználhatók, hogy segítségükkel a gyűrűket osztályozzuk a véges dimenzió fogalmának analogonjait használva. Nézhetjük az olyan gyűrűket, amelyek felett minden végesen generált modulus Noethermodulus; ha egy gyűrű rendelkezik ezzel a tulajdonsággal, akkor Noether-gyűrűnek nevezzük. Ehhez mindenekelőtt az szükséges, hogy a gyűrű, mint sajátmaga fölötti modulus Noether-modulus legyen, tehát minden ideálnak végesen generáltnak kell lennie. Nem nehéz azonban ellenőrizni, hogy ez már elégséges is: ha az A gyűrű minden ideálja végesen generált, akkor az An szabad modulusok is Noether-modulusok, így homomorf képeik is azok, tehát minden végesen generált modulus Noether-modulus. Mennyire kiterjedt a Noether-gyűrűk osztálya? Nyilván bármely olyan gyűrű, amelyben minden ideál főideál, Noether-gyűrű. Egy másik alapvető észrevétel az alábbi tétel: III. Hilbert bázistétele. Ha A Noether-gyűrű, akkor az A[x] polinomgyűrű is Noether-gyűrű. A bizonyítás azon alapszik, hogy tekintjük azokat a Jn ⊂ A (n = 1, 2, . . .) ideálokat, amiket úgy kapunk, hogy vesszük egy adott I ⊂ A[x] ideálban előforduló összes n-edfokú polinom főegyütthatóját, majd ismételten felhasználjuk, hogy A rendelkezik a Noether-tulajdonsággal. Hilbert bázistételéből következik, hogy egy A Noether-gyűrű feletti akárhány változós A[x1 , . . . , xn ] polinomgyűrű is Noether-gyűrű. Speciálisan, ha K test, akkor K[x1 , . . . , xn ] Noether-gyűrű. Pontosan ezt akarta Hilbert bizonyítani a tételével; ő a tételt a következő explicit alakban fogalmazta meg: Tétel. Legyen adva a K[x1 , . . . , xn ] polinomgyűrűből vett polinomok tetszőleges {Fα } halmaza. Ekkor található ezen polinomok között véges sok: Fα1 , . . . , Fαm úgy, hogy mindegyik Fα kifejezhető lineáris kombinációként a következő módon: P1 Fα1 + · · · + Pm Fαm ,

ahol P1 , . . . , Pm ∈ K[x1 , . . . , xn ] .

51

6. fejezet A dimenzió algebrai aspektusai

De még tovább mehetünk. Nyilvánvaló, hogy ha A Noether-gyűrű, akkor ugyanez igaz lesz A-nak minden B homomorf képére is. Azt mondjuk, hogy egy R gyűrű, aminek részgyűrűje A, végesen generált A fölött, ha létezik R elemeinek egy véges halmaza: r1 , . . . , rn úgy, hogy R minden eleme kifejezhető ezeknek az elemeknek egy A-beli együtthatós polinomjaként; magukat az r1 , . . . , rn elemeket R generátorainak nevezzük A fölött. Tekintsük az A[x1 , . . . , xn ] polinomgyűrűt és az F (x1 , . . . , xn ) → F (r1 , . . . , rn ) leképezést. Ez egy homomorfizmus, aminek a képe R . Így a következő eredményt kaptuk: IV. tétel. Minden gyűrű, ami végesen generált A fölött, homomorf képe az A[x1 , . . . , xn ] polinomgyűrűnek. Mint a fentiekből következik, egy Noether-gyűrű felett végesen generált gyűrű maga is Noether-gyűrű. Például egy C algebrai görbe (vagy felület vagy algebrai sokaság) K[C] koordinátagyűrűje Noether-gyűrű. Ha C-t az F (x, y) = 0 egyenlet adja meg, akkor x és y generátorai K[C]-nek K felett. További példák olyan Noether-gyűrűkre, amelyek fontosak az alkalmazásokban, n komplex változónak az origóban holomorf függvényeiből álló On gyűrű és a formális hatványsorok K[[t1 , . . . , tn ]] gyűrűje. A Noether-gyűrűk a legtermészetesebb jelöltek a véges dimenziós gyűrűk szerepére. Ezekre definiálható is egy dimenziófogalom, de ehhez lényegesen pontosabb tárgyalásmódra van szükségünk. Míg az a feltétel, hogy egy gyűrű végesen generált valamilyen egyszerű gyűrű (például egy test) felett, egy konkrét, effektíven megfogalmazott végesdimenzióssági feltétel, a Noether-féle feltétel inkább belső tulajdonságokra épít, noha mint állítás gyengébb. Egy fontos esetben azonban ezek a fogalmak egybeesnek. Egy A gyűrűt fokszámozott vagy graduált gyűrűnek nevezünk, ha ki vannak jelölve An additív részcsoportjai (vagyis A-nak, mint Z-modulusnak részmodulusai) minden n = 0, 1, . . . esetén olymódon, hogy x ∈ An és y ∈ Am -ből xy ∈ An+m következik, továbbá minden x ∈ A egyértelműen állítható elő x = x0 + x1 + · · · + xk ,

ahol xi ∈ Ai

(1)

alakban. Azt mondjuk, hogy az x ∈ An elemek homogének , és (1) x-nek felbontása homogén komponensekre. Az A0 részhalmaz nyilván részgyűrűje A-nak. Például a K[x1 , . . . , xm ] gyűrű nyilvánvalóan fokszámozott, és An nem más, mint az x1 , . . . , xm -ben homogén n-edfokú polinomok tere, és A0 = K . Könnyen ellenőrizhető az alábbi eredmény: V. tétel. Legyen A fokszámozott gyűrű; A akkor és csak akkor lesz Noethergyűrű, ha A0 Noether-gyűrű és A végesen generált A0 felett. Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy az olyan x ∈ A elemek halmaza, melyeknek az (1) egyenlet szerinti felbontásában x0 = 0, egy I0 ideál. Ki fog derülni, hogy a tétel állításának igazolásához elegendő megmutatni, hogy ez az egyetlen ideál végesen generált. Valóban, vegyük I0 egy generátorrendszerét, állítsunk elő

52

6. fejezet A dimenzió algebrai aspektusai

minden generátort az (1) egyenletben megadott módon, majd tekintsük az összes olyan xi homogén tagot, amik így egyáltalán előfordulnak. Homogén elemek egy x1 , . . . , xN halmazát (ahol xi ∈ Ani ) kapjuk, melyek nyilván maguk is generálják I0 -t. Ezek az x1 , . . . , xN elemek generátorai lesznek A-nak A0 felett. Ehhez elég lenne azt belátni, hogy minden x ∈ An , ahol n > 0, kifejezhető, mint x1 , . . . , xN -nek A0 -beli együtthatókkal vett polinomja. Feltevésünk szerint I0 = (x1 , . . . , xN ), következésképpen x = a1 x1 + · · · + aN xN ,

ahol ai ∈ A .

Az ai elemeket homogén komponensekre bontva és figyelembe véve, hogy a bal oldalon x ∈ An , feltehetjük, hogy ai ∈ Ami és xi ∈ Ani , ahol mi + ni = n . Mármost ni = n esetén ai xi olyan polinomja xi -nek, ahol az ai együttható A0 ból való, amint azt kívántuk, ha pedig ni < n, akkor az ai együtthatóra ismét alkalmazhatjuk azt a gondolatmenetet, amit az imént x-re alkalmaztunk. Véges számú lépés után x-nek a kívánt kifejezését kapjuk. Testekre a végesdimenziósság intuitív fogalmát hasonlóan tárgyalhatjuk, mint azt a gyűrűk esetében tettük. Azt mondjuk, hogy az L test végesen generált bővítése a K résztestnek, ha található véges sok α1 , . . . , αn ∈ L elem olymódon, hogy L minden más eleme kifejezhető α1 , . . . , αn K-beli együtthatókkal vett racionális törtfüggvényeként. Például az összes racionális törtfüggvény K(x1 , . . . , xn ) teste K-nak végesen generált bővítése. A komplex számok teste a valós számok testének végesen generált bővítése: a komplex számok a + bi alakban az egyetlen i elem igen egyszerű racionális törtfüggvényeiként adódnak. Minden Fq test a benne lévő prímtestnek végesen generált bővítése: α1 , . . . , αn gyanánt választható például Fq összes eleme. Ha C egy, az F (x, y) = 0 egyenlettel megadott irreducibilis algebrai görbe, akkor K(C) végesen generált bővítése K-nak, hiszen minden K(C)-beli függvény az x és y koordinátáknak racionális függvénye. Ugyanilyen állítás igaz, ha C algebrai felület és így tovább. Ezek a példák világossá teszik, hogy végesen generált testbővítésekre létezik a dimenzió fogalmának valamilyen analogonja, ami megfelel az algebrai görbékre, felületekre, általában algebrai sokaságokra vonatkozó intuitív dimenziófogalomnak. Azt mondjuk, hogy az L test α1 , . . . , αn elemei algebrailag összefüggők Lnek egy K részteste fölött, ha van egy olyan irreducibilis F ∈ K[x1 , . . . , xn ] polinom (nem a zéruspolinom), amire teljesül F (α1 , . . . , αn ) = 0 . Ha αn ténylegesen előfordul ebben a relációban, akkor azt mondjuk, hogy αn algebrailag függ α1 , . . . , αn−1 -től. Az algebrai függőség bizonyos nagyon egyszerű tulajdonságai ugyanolyanok, mint a lineáris függőség jól ismert tulajdonságai. Például ha egy α elem algebrailag függ α1 , . . . , αn -től, és mindegyik αi algebrailag függ β1 , . . . , βm -től, akkor α algebrailag függ β1 , . . . , βm -től. A lineáris függőség esetéből már ismert érveléseket formálisan lemásolva bebizonyíthatjuk, hogy egy végesen generált bővítésben létezik egy felső korlátja az algebrailag független elemek számának. Egy végesen generált L | K bővítésben az algebrailag

53

6. fejezet A dimenzió algebrai aspektusai

független elemek maximális számát a bővítés transzcendenciafokának nevezzük, és így jelöljük: tr deg L | K . Ha egy L | K bővítés transzcendenciafoka n, akkor L-ben létezik n algebrailag független elem úgy, hogy minden más elem ezektől algebrailag függ; megfordítva, ha létezik n elem ezzel a tulajdonsággal, akkor a transzcendenciafok n. Például a K bővítéseként tekintett K(x1 , . . . , xn ) racionális függvénytest transzcendenciafoka n . Legyen C egy irreducibilis algebrai görbe, amit egy F (x, y) = 0 egyenlet definiál. Ha például y ténylegesen előfordul az egyenletben, akkor a K(C) testben x algebrailag független és y algebrailag függ x-től, tehát K(C) minden más eleme is. Így tehát a K(C) | K bővítés transzcendenciafoka 1. Hasonlóan bizonyítható, hogy ha C egy algebrai felület, akkor a K(C) test transzcendenciafoka 2. Ilymódon egy olyan dimenziófogalomhoz jutunk, ami valóban megegyezik a geometriai intuícióval. Ha C egy algebrai sokaság, akkor a K(C) test transzcendenciafokát C dimenziójának nevezzük, és így jelöljük: dim C . Ez bizonyos természetes tulajdonságokkal rendelkezik, például dim C1 6 dim C2

ha C1 ⊂ C2 .

1. példa. Legyen X egy n-dimenziós kompakt komplex analitikus sokaság, és M(X) az X-en meromorf függvények teste. Bebizonyítható, hogy tr deg M(X) 6 n .

Ha X algebrai sokaság C felett, akkor M(X) = C(X) ,

és

tr deg M(X) = n .

A tr deg M(X) | C szám tehát azt méri, hogy milyen messze van az X komplex sokaság attól, hogy algebrai sokaság legyen; az összes lehetséges, 0-tól n-ig terjedő érték előfordul már a komplex tóruszok esetében is (ld. 15. fejezet). Hogyan néz ki egy végesen generált L | K bővítés, aminek a transzcendenciafoka 0? Az, hogy a transzcendenciafok 0, azt jelenti, hogy minden α ∈ L gyöke egy F (α) = 0 egyenletnek, ahol F egy K- beli együtthatós polinom. Egy ilyen α elemet K felett algebrainak nevezünk. Mivel L | K végesen generált testbővítés, L = K(α1 , . . . , αn ) alkalmas α1 , . . . , αn ∈ L -re .

Tehát L | K-t megkaphatjuk, mint K(α) típusú bővítések egymásutánját, ahol α egy algebrai elem. Megfordítva, ilyen bővítések egymásutánjának mindig 0 a transzcendenciafoka. Tegyük fel, hogy L = K(α), ahol α egy K felett algebrai elem. Azok között az F (x) ∈ K[x] polinomok között, amelyekre F (α) = 0 (ilyenek léteznek, mert α algebrai K felett), van legkisebb fokú; az összes többi osztható ezzel, hiszen különben a maradékos osztást használva, egy ugyanolyan tulajdonságú, alacsonyabb fokú polinomhoz jutnánk. Ez a legalacsonyabb fokú P polinom egy konstans szorzó erejéig egyértelműen meg van határozva. Ezt a polinomot az α minimálpolinomjának hívjuk. P nyilván irreducibilis K felett. A P minimálpolinom ismeretében L = K(α) minden eleme teljesen explicit alakban adható meg. Tekintsük ehhez a ϕ : K[x] → L

54

6. fejezet A dimenzió algebrai aspektusai

homomorfizmust, ami az F (x) ∈ K[x] polinomot az F (α) ∈ L elembe képezi le. Mint az könnyen látható, ϕ magja a (P ) főideál. A kép tehát izomorf K[x]/(P )vel (a homomorfizmustétel szerint). Nem nehéz belátni, hogy a kép az egész L; ehhez csak azt kell meggondolni, hogy Im ϕ egy test, és tartalmazza α-t. L tehát izomorf K[x]/(P )-vel. Ha a P foka n, akkor, mint azt a 4. fejezet (2) képleténél láttuk, az L ∼ = K[x]/(P ) test minden eleme felírható ξ = a0 + a1 α + · · · + an−1 αn−1 ,

ai ∈ K

(2)

alakban, és ez a felírás egyértelmű. A klasszikus példa erre a szituációra az, amikor K = R, L = C = R[i], P (x) = x2 + 1 : minden komplex számot a + bi (a, b ∈ R) alakban írhatunk. Az L = K(α) test elemeinek (2) alakban való előállítása egy fontos korolláriumot szolgáltat. Tegyük fel, hogy elfeledkezünk az L-beli szorzásról, és csak az összeadást és a K elemeivel való szorzást tartjuk meg. Akkor (2) azt mutatja, hogy L egy véges dimenziós vektortér K felett, amelynek az 1, α, . . . , αn−1 elemek egy bázisát alkotják. Az L | K bővítést végesnek nevezzük, ha L mint K feletti vektortér véges dimenziós. Ezt a dimenziót az L | K testbővítés fokának nevezzük és [L : K]-val jelöljük. Az előző példában [L : K] = n, speciálisan [C : R] = 2 . Például, ha Fq egy véges test, aminek p a karakterisztikája, akkor Fq tartalmazza a p-elemű Fp prímtestet. Az Fq | Fp bővítés nyilván véges. Ha [Fq : Fp ] = n, akkor található n darab α1 , . . . , αn ∈ Fq elem úgy, hogy Fq minden eleme egyértelműen írható fel α = a1 α1 + · · · + an αn ,

ahol ai ∈ Fp

alakban, amiből következik, hogy az Fq véges test elemszáma pn , vagyis mindig a p prímnek egy hatványa. Könnyen látható, hogy az a feltétel, hogy a bővítés véges legyen, tranzitív, vagyis ha L | K és Λ | L véges bővítések, akkor a Λ | K bővítés is véges, méghozzá [Λ : K] = [Λ : L][L : K] .

(3)

A fentiekből következik, hogy minden végesen generált, 0 transzcendenciafokú bővítés véges. Megfordítva, ha L | K véges bővítés, mondjuk [L : K] = n, akkor bármely α ∈ L esetén az 1, α, . . . , αn elemek K fölött lineárisan összefüggők (mivel számuk n + 1). Ebből következik, hogy α algebrai, tehát L transzcendenciafoka 0. Ezzel egy új jellemzését kaptuk a végesen generált, 0 transzcendenciafokú bővítéseknek: ezek éppen a véges bővítések. Mint már fentebb megjegyeztük, minden véges bővítés K(α) alakú bővítések egymásutánjaként adódik. Igaz azonban a következő eredmény: VI. Tétel primitív elemről. Legyen K 0 karakterisztikájú test, L = K(α, β) pedig olyan bővítés, amit az α és β algebrai elemek generálnak. Ekkor létezik olyan γ ∈ L, hogy L = K(γ) . Az ilyen K-kra minden véges L = K(α1 , . . . , αn ) bővítés megadható L = K(α) alakban; itt L ∼ = K[x]/(P ) és L elemei a (2) alakban állíthatók elő.

55

6. fejezet A dimenzió algebrai aspektusai

Valójában ez az eredmény még tágabb feltételekkel is érvényes; például igaz akkor, ha K egy véges test. Ha minden K-beli együtthatós nemkonstans polinomnak van gyöke K-ban, vagyis ha K algebrailag zárt, akkor minden irreducibilis polinom lineáris, és K-nak egy bővítése nem tartalmazhat más algebrai elemet, mint magának a K-nak az elemeit. Tehát K-nak nincs más véges bővítése, csak saját maga. Ez a helyzet például a komplex számok C teste esetén. A valós testnek csak két véges bővítése van, R és C . Ezzel szemben a racionális számok Q testének és a racionális törtfüggvények K(t) testének (akár K = C esetén is) nagyon sok véges bővítése van. Ezek segítségével vizsgálhatjuk az algebrai számokat (Q esetén) vagy az algebrai függvényeket (C(t) esetén). Belátható, hogy K(t) minden véges bővítése K(C) alakú, ahol C valamilyen algebrai görbe, és a K(x1 , . . . , xn ) test minden véges bővítése K(V ) alakú, ahol V egy (n-dimenziós) algebrai sokaság. Egy K(α) bővítést, ahol α egy P (x) irreducibilis polinom gyöke, teljesen meghatároz ez a polinom, ezért a véges bővítések elméletét úgy tekinthetjük, mint az egyváltozós polinomok tárgyalására alkalmas nyelvet (vagy akár „filozófiát”). Egy és ugyanazon L | K bővítésben sok olyan α elem van, amire L = K(α), és ezekhez sok különböző P (x) polinom tartozik. A bővítés maga azokat a tulajdonságokat tükrözi, amelyek mindezekre nézve közösek. Itt is a „koordinátázás” egy példájával állunk szemben, hasonlóval ahhoz, mint amikor egy C algebrai görbéhez a K(C) függvénytestet rendeltük hozzá. A K(α) test megkonstruálása K[x]/(P ) alakban teljes párhuzamba állítható a K(C) testnek a C görbe egyenletéből való megkonstruálásával. A bővítések elméletének konkrét kérdésekre való alkalmazására a körzővel és vonalzóval történő szerkesztések elmélete szolgáltatja a legegyszerűbb példát. Ha lefordítjuk ezeket a szerkesztéseket a koordinátageometria nyelvére, könnyen láthatjuk, hogy ezek vagy már megszerkesztett intervallumok hosszát reprezentáló számok összeadására, kivonására, szorzására és osztására vezetnek, vagy pedig olyan másodfokú egyenletek megoldására, amelyeknek együtthatói ilyen számok (amikor ugyanis kör és egyenes, illetve két kör metszéspontját szerkesztjük). Ha tehát K-val jelöljük Q-nak azt a bővítését, amit a feladatban megadott mennyiségek generálnak, α-val pedig a szerkesztendő mennyiség értékét, akkor ezen mennyiség körzővel és vonalzóval való szerkeszthetőségének kérdése arra redukálódik, hogy vajon α benne van-e egy olyan L | K bővítésben, amelyet bővítések egymásutánjának L | L1 , L1 | L2 , . . . , Ln−2 | Ln−1 , Ln−1 | Ln = K

láncából kaphatunk, ahol minden bővítés Li−1 = Li (β) alakú, és itt β valamilyen másodfokú polinom gyöke. A (3) összefüggést alkalmazva, azt látjuk, hogy [L : K] = 2n . Ha α ∈ L, akkor K(α) ⊂ L, és ismét (3)-t alkalmazva kapjuk, hogy [K(α) : K] is 2-hatvány kell, hogy legyen. Ez csak egy szükséges feltétel; a körzővel és vonalzóval való szerkeszthetőség elégséges feltétele is megfogalmazható a K(α) test segítségével, de ez valamivel bonyolultabb. Azonban már a kapott szükséges feltétel is elég ahhoz, hogy megmutassuk például: a kockakettőzés problémája nem oldható meg körzővel és vonalzóval, ez ugyanis az x3 − 2 √ 3 polinom egy gyökének a megszerkesztését igényelné, márpedig [Q( 2) : Q] = 3 .

56

7. fejezet A végtelen kicsi fogalmának algebrai megközelítése

Ugyanígy, a szögharmadolás feladata arra redukálódik, hogy szerkesszük meg cos ϕ/3-at, ha ismert a = cos ϕ . Ez a 4α3 − 3α − a = 0 harmadfokú egyenletre vezet. Itt ϕ-t független változónak kell tekintenünk, mivel ϕ tetszőleges. K tehát a Q(a) függvénytest, és [K(α) : K] = 3, tehát ez a probléma sem oldható meg körzővel és vonalzóval. Hasonló módon, algebrai egyenletek gyökjelekkel való megoldhatóságának kérdése is a véges bővítések szerkezetére vonatkozó kérdésekhez vezet. Ezzel részletesebben a 18.A. fejezetben foglalkozunk.

7. A végtelen kicsi fogalmának algebrai megközelítése Mennyiségeket gyakran úgy vizsgálunk, hogy eltekintünk az „n-edrendben végtelen kis” (azaz infinitezimális) mennyiséggel való eltérésektől. Ez a módszer kényelemesen lefordítható az algebra nyelvére: ilyenkor a végtelen kis mennyiségek analogonjának az olyan ε gyűrűelemeket tekintjük, amelyekre εn = 0 teljesül. Tegyük föl például, hogy C algebrai görbe (az egyszerűség kedvéért) a C komplex számtest fölött. Értelmezzük a következő gyűrűt: © ª U = a + a1 ε | a, a1 ∈ C, ε2 = 0 .

Kicsit pontosabban fogalmazva, vegyük a C[x]/(x2 ) gyűrűt, melyben ε-nak nevezzük az x képét a C[x] → U kanonikus homomorfizmusnál. Tekintsük most a ϕ : C[C] → U típusú C-algebra-homomorfizmusokat (azaz amelyeknél C ⊂ C[C] identikusan képződik C ⊂ U -ra). Egy ilyen ϕ leképezést az x és y koordinátafüggvények ϕ(x)-szel, ill. ϕ(y)-nal jelölt képei már teljesen meghatároznak, mivel C[C] bármely eleme valamilyen h(x, y) polinomja x-nek és y-nak, és ϕ(h(x, y)) = h(ϕ(x), ϕ(y)). Az is igaz, hogy ha a C görbe egyenlete F (x, y) = 0, akkor ugyanennek az összefüggésnek teljesülnie kell az U algebra ϕ(x) és ϕ(y) elemeire is: F (ϕ(x), ϕ(y)) = 0. (1)

Legyenek most ϕ(x) = a + a1 ε, és ϕ(y) = b + b1 ε. Az U gyűrűnek van egy ψ : U → C standard homomorfizmusa; ennél ψ(a + a1 ε) = a. Alkalmazzuk ezt az összefüggést az (1)-es relációra: azt kapjuk, hogy F (a, b) = 0, azaz ϕ megadja C-nek egy pontját. Ezen pont ismeretében azonban a ϕ(x) és ϕ(y) elemek kifejezéseiből csupán az a és b számokat tudjuk rekonstruálni. Mi lehet az a1 és b1 együtthatók jelentése? Helyettesítsük be a ϕ(x) és ϕ(y) elemek értékét az (1)-es összefüggésbe, és írjuk az F (a + a1 ε, b + b1 ε) kifejezés értékét standard alakba: c + c1 ε. Ha F -et Taylor-sorba fejtjük, és kihasználjuk azt, hogy F (a, b) = 0, valamint, hogy ε2 = 0, azt láthatjuk, hogy F (a + a1 ε, b + b1 ε) = (a1 Fx′ (a, b) + b1 Fy′ (a, b))ε. Így az (1)-es összefüggést az alábbi alakba írhatjuk: F (a, b) = 0, és a1 Fx′ (a, b) + b1 Fy′ (a, b) = 0.

57

7. fejezet A végtelen kicsi fogalmának algebrai megközelítése

Ez azt jelenti, hogy az (a, b) pár a C görbének egy pontja, az (a1 , b1 ) pár pedig a C görbe (a, b)-beli érintőtegyenesén ad meg egy vektort. Itt föltesszük, hogy (a, b) nemszinguláris pontja C-nek, azaz az Fx′ (a, b) és Fy′ (a, b) parciális deriváltak közül nem mindkettő tűnik el. Könnyen látható, hogy az előző gondolatmenetünkkel minden C[C]-ből U -ba menő homomorfizmust sikerült leírnunk; ezek olyan pároknak felelnek meg, amelyek közül az első a C görbének egy pontja, a második pedig a görbe adott pontjában húzható érintőegyenes egy vektora. Ehhez hasonlóan, ha egy algebrai felületből indulunk ki, akkor az érintősíkok leírását kaphatjuk; stb. Most egy kicsit átfogalmazzuk az előző gondolatmenetet. Vegyük a ϕ : C[C] → U leképezés kompozícióját a standard ψ : U → C homomorfizmussal; így a következő sorozatot kapjuk: ϕ

ψ

C[C] −→ U −→ C .

Miként a 4. fejezet 2. példájában is láttuk, a ϕ = ψϕ összetett leképezés egy x0 ∈ C pontot határoz meg úgy, hogy a függvényekhez az x0 -beli helyettesítési értéküket rendeli hozzá. A leképezés magja tehát C[C]-nek egy Mx0 maximális ideálja, amely az x0 -ban eltűnő függvényekből áll. Ha x0 = (a, b), akkor az x − a és az y − b függvények elemei Mx0 -nak. Ez annak a ténynek felel meg, hogy a ϕ(x − a) és ϕ(y − b) elemek a1 ε, ill. b1 ε alakúak, azaz benne vannak U -nak az I = Ker ψ ideáljában. x − a-nak és y − b-nek az említett ideálban levő képei, azaz ϕ-nek az Mx0 -ra való megszorítása az x0 -beli érintőtér (jelen esetben érintőegyenes) egy vektorát határozzák meg Mivel ε2 = 0, ezért ϕ nyilván eltűnik M2x0 -en. Így ϕ egy Mx0 /M2x0 -ből C-be képező lineáris függvényt definiál, és pontosan ez a lineáris függvény határozza meg az x0 -beli érintőegyenes egy vektorát. Nem nehéz belátni, hogy bármely Mx0 /M2x0 → C lineáris függvény egy x0 -beli érintővektort határoz meg. Tétel. Jelölje Mx0 az x0 -hoz tartozó maximális ideált. Ekkor az x0 -beli érintőtér nem más, mint az Mx0 /M2x0 duális tere. Ugyanezt mondhatjuk el egy F (x, y, z) = 0 egyenletű C algebrai felületről is: ha x0 = (a, b, c) a C-nek egy nemszinguláris pontja (azaz olyan pont, ahol az Fx′ (a, b, c), Fy′ (a, b, c) és Fz′ (a, b, c) parciális deriváltak nem mind tűnnek el), akkor az x0 -beli érintősíkot az Mx0 /M2x0 vektortér duálisaként értelmezhetjük. Ezeket a megfontolásokat később tetszőleges algebrai varietásokra is alkalmazni fogjuk, de először megmutatjuk, hogy az algebrai eseteken kívül máshol is használhatóak. 1. példa. Legyen O egy n-dimenziós vektortérnek, E-nek egy pontja, s legyen A az O egy környezetében differenciálható függvények gyűrűje. Jelölje M az O-ban eltűnő függvények ideálját A-ban. A Taylor-formula alapján tetszőleges f ∈ M függvény f ≡ l (mod M2 ) alakban írható, ahol l egy lineáris függvény. Az E-n értelmezett lineáris függvények alkotják az E ∗ duális vektorteret, és ismét kapunk egy M/M2 ∼ = E ∗ izomorfizmust. Ha ξ ∈ E, akkor l(ξ) ∂f (O) . parciális deriváltként értelmezhető: l(ξ) = ∂ξ

58

7. fejezet A végtelen kicsi fogalmának algebrai megközelítése

Hasonló a helyzet akkor is, ha A-t egy X differenciálható sokaság differenciálható függvényeinek gyűrűjeként értelmezzük, és M egy adott x0 ∈ X pontban eltűnő fügvényeknek a halmaza. Ismét érvényes az M/M2 ∼ = Tx∗0 izomorfia, ahol Tx0 az x0 -beli érintőtér, és az izomorfizmust a következő összefüggés adja meg: l(ξ) =

∂f (x0 ), ha ξ ∈ Tx0 , és l = f + M2 . ∂ξ

(2)

Az előző gondolatmenetben föltételeztük, hogy differenciálható sokaságoknak már értelmeztük az érintőterét, de az egészet meg is fordíthatjuk, és ezt használhatjuk az érintőtér definiálására is: ¡ ¢∗ Tx0 = Mx0 /M2x0 . (3) Így Tx0 -nak egy ξ eleme definíció szerint egy olyan Mx0 -on értelmezett l lineáris függvény, amely nulla M2x0 -en. Értelmezzük l-et a konstansokon nullának; így az egész A-n értelmezett függvényt kapunk. Könnyen látható, hogy az l-re tett feltevések az alábbi formában mondhatók: l(αf + βg) = αl(f ) + βl(g), ha α, β ∈ R, és f, g ∈ A, valamint

(4) l(f g) = l(f )g(x0 ) + l(g)f (x0 ).

Ilyen formában ezek az összefüggések az érintővektor intuitív fogalmát axiomatizálják, miszerint érintővektor az, „ami szerint egy függvényt differenciálhatunk” (mint a (2)-es képletben). A (3)-as összefüggés (ill. az ezzel ekvivalens feltételek a (4)-esben) adják talán a leglényegretörőbb definícióját egy differenciálható sokaság adott pontjában értelmezett érintőtérnek. Ebben az összefüggésben természetesnek tűnik, hogy megvizsgáljuk a differenciálható sokaságon értelmezett vektormező fogalmát. Egy θ vektormező definíció szerint az X sokaság tetszőleges x ∈ X pontjához egy θx ∈ Tx vektort rendel. Ekkor tetszőleges f ∈ A függvényhez és tetszőleges x ∈ X ponthoz a θ(x) vektor egy θ(x)(f ) számot rendel, azaz ily módon egy g(x) = θ(x)(f ) függvényt kapunk. Jelölje D(f ) az így értelmezett operátort. A (4)-es összefüggések alapján láthatjuk, hogy D-re teljesülnek az alábbi feltételek: D(αf + βg) = αD(f ) + βD(g) , és D(f g) = f D(g) + D(f )g .

(5)

Az ilyen típusú operátorokat nevezzük elsőrendű lineáris differenciáloperátoroknak . Könnyen látható, hogy egy adott (x1 , . . . , xn ) koordinátarendszerben ezt az operátort a következő alakban írhatjuk: D(f ) =

n P 1

ai

∂f , ∂xi

(6)

59

7. fejezet A végtelen kicsi fogalmának algebrai megközelítése

ahol ai = D(xi ). Megfordítva, bármely D operátor, amely kielégíti az (5)-ös feltételeket, egy θ vektormezőt határoz meg, melyre θ(x)(f ) = D(f )(x) . Tetszőleges A gyűrű esetén A-beli deriváláson egy D : A → A leképezést értünk, amelyre teljesül, hogy: D(a + b) = D(a) + D(b) ,

D(ab) = aD(b) + D(a)b .

Adott B ⊂ A részgyűrű esetén azt mondjuk, hogy D az A-nak B fölötti deriválása, ha D(b) = 0 minden b ∈ B-re. Ilyenkor D(ab) = D(a)b minden a ∈ A-ra és b ∈ B-re. Vezessük be a következő műveleteket: (D1 + D2 )(a) = D1 (a) + D2 (a) , (cD)(a) = cD(a) minden a, c ∈ A-ra; ekkor az A-nak B fölötti deriváltjai A-modulust alkotnak. Így tehát azt mondhatjuk, hogy egy X differenciálható sokaság vektormezőinek a modulusa definíció szerint az X differenciálható függvényeiből álló gyűrűnek az R fölötti deriválásaiból áll. Az 5. fejezet 13. és 12. példáival együtt így algebrai definícóját kapjuk az olyan alapfogalmaknak, mint amilyenek pl. a differenciálható sokaságon megadható vektormezők, ill. a differenciál 1-formák és r-formák. Térjünk most vissza a tetszőleges kommutatív gyűrűk esetéhez! A 4. fejezetben egy általános szemléletet fogalmaztunk meg, mely szerint egy tetszőleges A kommutatív gyűrű elemeire úgy tekinthetünk, mint egy „téren” ható függvényekre; itt a tér pontjai a gyűrű maximális, ill. más változat szerint prímideáljai, és az A → A/M homomorfizmusok határozzák meg egy a ∈ A „függvény” értékét az M maximális ideálnak megfelelő ponton. Mélyebbé is tehetjük ezt a kapcsolatot, ha minden ponthoz hozzárendelünk egy érintőteret. E célból tekintsünk egy M maximális ideált mint pontot, és vegyük az M/M2 faktort. Tegyük föl, hogy k = A/M az „értékek teste” az M-hez tartozó pontban. Az m ∈ M és a ∈ A elmekre az am (mod M2 ) maradékosztály csak az a (mod M) maradékosztálytól függ, azaz k egy elemétől, melyet az a elem határoz meg. Ez azt mutatja, hogy M/M2 vektortér k fölött. A duális vektortér, vagyis az M/M2 -en értelmezett k-értékű lineáris függvények halmaza lesz az M-hez tartozó pont érintőterének az analogonja. Ennek a fölfogásnak számos geometriai és algebrai probléma elemzésénél látjuk hasznát. Így például, ha C irreducibilis algebrai görbe, melyet az F (x, y) = 0 egyenlet határoz meg, akkor (a, b) ∈ C esetén az érintőteret a következő egyenlet határozza meg: Fx′ (a, b)(x − a) + Fy′ (a, b)(y − b) = 0. Ez minden (a, b) pontra 1-dimenziós, kivéve azokat, melyekre Fx′ (a, b) = Fy′ (a, b) = 0. A C egy pontját szingulárisnak nevezzük, ha mind Fx′ , mind

60

7. fejezet A végtelen kicsi fogalmának algebrai megközelítése

Fy′ eltűnnek az adott pontban, egyébként viszont nemszinguláris pontról beszélünk. Könnyen igazolható, hogy a szinguláris pontok száma véges. Láthatjuk tehát, hogy nemszinguláris pontokra az érintőtér 1-dimenziós (azaz ugyanannyi a dimenziója, mint C-nek), szinguláris pontokra viszont a dimenziója nagyobb (nevezetesen 2). Hasonló a helyzet általános algebrai varietásokra is: az érintőterek dimenziója minden pontban egyenlő, kivéve egy bizonyos valódi algebrai részvarietásnál, ahol ez a dimenzió megnövekszik. Ez először is irreducibilis algebrai varietások dimenziójának egy új jellemzését adja (mint az érintőterek dimenzióját a varietás pontjaiban, kivéve egy valódi részvarietás pontjait); másodszor, kijelöli a szinguláris pontokat (az adott valódi részvarietásnak a pontjait); harmadszor, szinguláris pontoknak egy fontos invariánsát adja (az érintőtér dimenziójának növekedését). De a legmeglepőbb valószínűleg az, hogy ezeket a fogalmakat tetszőleges gyűrűkre is alkalmazhatjuk, tehát olyanokra is, melyek nem geometriai eredetűek, és ezáltal geometriai szemléletet vihetünk a vizsgálatukba. Így például az egészek gyűrűjének, Z-nek a maximális ideáljait a prímszámokkal írhatjuk le, és M = (p) esetén az M/M2 vektortér 1-dimenziós Fp fölött, így itt szinguláris pontok nem fordulnak elő. 2. példa. Legyen A az a gyűrű, melynek elemei a + bσ alakúak, ahol a, b ∈ Z, és értelmezzük a műveleteket a szokásos módon, figyelembe véve a σ 2 = 1 feltételt (ezt a gyűrűt a 2-elemű csoport reprezentációinak aritmetikai tulajdonságaival kapcsolatban vizsgálják). A következőképpen írhatjuk le a maximális ideálokat. Bármely p 6= 2-re két maximális ideált kapunk: Mp = {a + bσ | p osztója a + b-nek} , illetve M′p = {a + bσ | p osztója a − b-nek} . Nyilván Mp = (p, 1 − σ), és M′p = (p, 1 + σ). Ezek mindegyikére az M/M2 tér 1-dimenziós Fp fölött. Ezeken kívül létezik még egy további maximális ideál: M2 = {a + bσ | a és b azonos paritásúak} = (2, 1 + σ). Könnyen látható, hogy M22 = (4, 2 + 2σ), és hogy M2 /M22 -nek 4 eleme van: a 0, 2, 1 + σ és 3 + σ elemek mellékosztályai. Így egy 2-dimenziós vektorteret kapunk F2 fölött. Az M2 ideál felel meg az egyetlen szinguláris pontnak. Eddigi vizsgálatainkban a mennyiségeknek azokat az eltéréseit hanyagoltuk el, amelyek „másodrendben végtelenül kicsik”. Ez egy tetszőleges A gyűrű és valamely M maximális ideálja esetén az A/M2 vizsgálatát jelenti. Természetesen ugyanezt megtehetjük „r-edrendben végtelenül kis” mennyiségekkel is, ami az A/Mr gyűrűhöz vezet. Ha például A a C[x1 , . . . , xn ] polinomgyűrű, vagy a z1 , . . . , zn változójú, az origó egy környezetében analitikus függvények gyűrűje, vagy az n-változós komplex értékű C ∞ -függvények gyűrűje, M pedig az origóban, azaz az O = (0, . . . , 0) pontban eltűnő függvények ideálja, akkor A/Mr véges dimenziós vektortér C fölött. Ez a korábban már vizsgált A/M2 teret általánosítja, és ezt nevezzük az (r − 1)-edrendű jettérnek .

61

7. fejezet A végtelen kicsi fogalmának algebrai megközelítése

3. példa. 1-nél magasabb rendű differenciáloperátorok. Egy X differenciálható sokaságon megadott 6 r-edrendű lineáris differenciáloperátort formálisan úgy definiálunk, mint az X-et önmagába képező differenciálható függvények A gyűrűjén ható olyan R-lineáris D : A → A leképezést, amelyre tetszőleges g ∈ A függvény esetén a D1 (f ) = D(gf ) − gD(f ) képlettel értelmezett operátor rendje 6 r − 1. Az elsőrendű operátort definiáló (5)-ös képlet azt mutatja, hogy D(gf ) − gD(f ) egy függvénnyel (nevezetesen D(g)-vel) való szorzás operátora; e e ) egy függvénnyel való szorzás, akkor könnyen megfordítva, ha D(gf ) − g D(f e ) = D(f ) + D(1)f , ahol D egy elsőrendű operátor. ellenőrizhetjük, hogy D(f A definícióból indukcióval következik, hogy ha D egy 6 r-edrendű operátor, akkor D(Mr+1 x0 ) ⊂ Mx0 , ahol Mx0 ⊂ A az x0 ∈ X ponthoz tartozó maximális ideál. Koordinátázva ez azt jelenti, hogy D(f )(x0 ) csak az f függvény 6 r-edredű parciális deriváltjainak x0 -beli helyettesítési értékétől függ. Másképp fogalmazva, D(f ) =

P

i1 +···+in 6r

ai1 ...in (x1 , . . . , xn )

∂ i1 +···+in f , ahol ai1 ...in ∈ A. ∂xi11 . . . ∂xinn

Tetszőleges x0 ∈ X pontra az f (x) 7→ D(f )(x0 ) hozzárendelés egy l lineáris függvényt ad meg az r-edrendű jettérben: l ∈ (A/Mr )∗ ugyanúgy, ahogyan egy elsőrendű lineáris differenciáloperátor egy Mx0 /M2x0 -en értelmezett lineáris függvényt ad meg. Egy A gyűrűnek egy „M maximális ideál egy környezetében” való tanulmányozására a legpontosabb eszközt akkor kapjuk, ha egyszerre vizsgáljuk az A/Mn gyűrűket minden n = 1, 2, 3, . . . kitevőre. Ezeket mind belefoglalhatb gyűrűbe, melyet az A/Mn gyűrűk projektív limeszének hívunk. juk egyetlen A E célból vegyük először észre, hogy léteznek a ϕn : A/Mn+1 → A/Mn kanob gyűrűt nikus homomorfizmusok, melyeknek a magja Mn /Mn+1 . Ekkor az A n úgy értelmezzük mint az olyan {αn | αn ∈ A/M } sorozatok halmazát, melyek kompatibilisek, azaz melyekre ϕn (αn+1 ) = αn ; a gyűrűműveleteket elemenként definiáljuk. Minden a ∈ A elem definiál egy αn = a + Mn sorozatot, így egy b homomorfizmust kapunk. A ϕ homomorfizmus magja az összes Mn ϕ : A→A ideál metszete. Számos érdekes esetben ez a metszet 0, ezért ilyenkor A részb gyűrűként beágyazódik A-ba. 4. példa. Legyen A = K[x], és M = (x). A K[x]/(xn ) gyűrűnek egy αn elemét egyértelműen meghatározza egy fn = a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1 polinom, és ekkor elemeknek egy {αn } sorozatát kompatibilisnek nevezzük, ha az αn+1 elemet reprezentáló fn+1 polinomot úgy kaphatjuk meg fn -ből, hogy hozzáveszünk egy n-edfokú tagot. Egy ilyen sorozat tehát egy végtelen (formáb gyűrű izomorf a formális hatlis) hatványsort határoz meg. Ilyenkor tehát az A ványsorok K[[x]] gyűrűjével, mellyel a 3. fejezet 6. példájában találkozhattunk. A ϕ : K[x] → K[[x]] beágyazás kiterjed a hányadostestek egy ϕ : K(x) → K((x))

62

7. fejezet A végtelen kicsi fogalmának algebrai megközelítése

beágyazásává, ahol K((x)) a formális Laurent-sorokból álló test (lásd a 2. fejezet 5. példáját). Könnyen látható, hogy ez a beágyazás ugyanaz, mintha egy racionális függvénynek az x = 0-ban fölírt Laurent-sorát feleltetnénk meg. Ha tehát a függvénynek nincs pólusa x = 0-ban, akkor a függvényt a Taylor-sorába képezzük. Ha pl. f (x) = 1/(1 − x), akkor f (x) ≡ 1 + x + · · · + xn−1 (mod xn ), azaz az f (x) − 1 − x − · · · − xn−1 függvény nevezője nem osztható x-szel, a számlálója viszont osztható xn -nel. Ez azt jelenti, hogy az f (x) függvényt az 1 + x + x2 + · · · hatványsorra képezzük.

5. példa. Legyen C egy tetszőleges algebrai varietás, és jelölje A = K[C] a C koordinátagyűrűjét. Legyen Mc az A gyűrűnek egy c ∈ C nemszinguláris pontb a formális hatványsorok K[[x1 , . . . , xn ]] hoz tartozó maximális ideálja; ekkor A gyűrűjével izomorf, ahol n a C dimeziója (a dimenzió fogalmának bármely, a fentiekben tárgyalt értelmezése szerint). A K[C] → K[[x1 , . . . , xn ]]

beágyazás kiterjed azokra a K(C) függvényekre is, amelyek végesek c-ben, azaz amelyek P/Q alakban reprezentálhatók úgy, hogy P, Q ∈ K[C], és Q(c) 6= 0. Így az ilyen függvényeket reprezentálhatjuk formális hatványsorokként. Amennyiben K a komplex vagy a valós számtest, akkor bebizonyítható, hogy az adott függvények az x1 , . . . , xn elég kis értékeire konvergálni fognak. Így lehet igazolni, hogy egy szinguláris pont nélküli algebrai varietás egyúttal topologikus, differenciálható és analitikus sokaság is. 6. példa. Legyen A az x = 0 egy környezetében értelmezett C ∞ -függvények gyűrűje, I pedig az x = 0-ban eltűnő függvények ideálja. Ekkor I n azokból a függvényekből áll, amelyek a < n-edik deriváltjaikkal együtt eltűnnek az x = 0ban; az A/I n gyűrű most R[x]/(xn )-nel izomorf, az A → R[x]/(xn ) homomorfizmusokTegy tetszőleges függvényt a megfelelő Taylor-polinomjába képeznek. Itt most I n 6= 0, mivel vannak olyan nemnulla C ∞ -függvények, amelyeknek az b homomorfizmus bármely függx = 0-ban minden deriváltja eltűnik. Az A → A vényt a formális Taylor-sorába képez. Mivel É. Borel egy tétele alapján léteznek olyan C ∞ -függvények, amelyeknek a deriváltjai az x = 0 pontban tetszőleges b∼ előírt értékeket vesznek föl, ezért A = R[[t]]. Ugyanezeket az ötleteket egészen más típusú gyűrűk esetén is alkalmazhatjuk. 7. példa. Legyen A = Z az egészek gyűrűje, és M = (p) valamilyen p b prímszámra. A-ként Zp -t, a p-adikus egészek gyűrűjét kapjuk. A K[x] gyűrű már tárgyalt esetéhez hasonlóan látható, hogy Zp egy elemét egész számoknak egy {αn } sorozata adja meg, melyekre αn = a0 + a1 p + · · · + an−1 pn−1 ,

és itt a 0 6 ai < p együtthatók a p szerinti maradékosztályok egy rögzített rendszeréhez tartoznak, αn+1 -et pedig úgy kaphatjuk meg αn -ből, hogy hozzáadunk egy an pn tagot. Ezt a sorozatot formális sorként is fölírhatjuk: a0 + a1 p + a2 p2 + · · ·

63

7. fejezet A végtelen kicsi fogalmának algebrai megközelítése

Ezeken a sorokon a gyűrűműveleteket ugyanúgy végezzük el, mint amikor az egészeket p alapú számrendszerben írjuk le; azaz ha az ai együtthatóval végzett művelet eredményeképpen egy c > p számot kapunk, akkor c-t először maradékosan osztjuk p-vel, hogy c = c0 + c1 p-t kapjunk, majd „c1 -et átvisszük a következő helyre”. A Zp gyűrű nullosztómentes, és a Qp -vel jelölt hányadostestét nevezzük a p-adikus számok testének . A Z ֒→ Zp beágyazást kiterjeszthetjük egy Q ֒→ Qp beágyazássá. Hogy a fönt leírt konstrukciók egymáshoz való viszonyáról teljesebb képünk legyen, térjünk vissza a K[x] gyűrű és a K(x) test példájára. Ahhoz, hogy egy f ∈ K(x) függvénynek az x = 0 pontban adott rendben való eltűnését numerikusan is jellemezni tudjuk, vezessük be a ν(f ) exponenst: ez legyen n, ha f -nek az x = 0-ban n-edrendű gyöke van (n > 0-ra), és legyen −n, ha f -nek az x = 0-ban n-edrendű pólusa van (n > 0-ra). Mostantól kezdve rögzítsünk egy 0 < c < 1 valós számot (pl. c = 21 ), és legyen ϕ(f ) = cν(f ) , ha f 6= 0; legyen továbbá ϕ(0) = 0. Ekkor ϕ(f ) kicsi, ha az f -nek x = 0-ban sokadrendű gyöke van. A most bevezetett ϕ(f ) kifejezés a racionális, valós vagy komplex számok abszolútérték-függvényének a formális tulajdonságaival rendelkezik: ϕ(f ) = 0 pontosan akkor teljesül, ha f = 0, és ϕ(f g) = ϕ(f )ϕ(g),

ϕ(f + g) 6 ϕ(f ) + ϕ(g) .

(7)

Egy olyan L testet, amelyen adva van egy ϕ függvény a fönti tulajdonságokkal, értékelt testnek , a ϕ függvényt pedig értékelésnek nevezzük. Értékelt testre a legegyszerűbb példa a racionális számok teste, Q a ϕ(x) = |x| értékeléssel. Az az eljárás, ahogyan a Cauchy-sorozatok segítségével a racionális számokból megkonstruáljuk a valósakat, szó szerint átvihető tetszőleges értékelt testre is. b az eredeti L test az érIlyen módon egy új értékelt testet kapunk, jelölje ezt L; b b teljes tékelését megtartva beágyazódik L-ba egy mindenütt sűrű résztestként. L is (a természetes értékelésére nézve), azaz kielégíti a Caucy-féle konvergenciab kritériumot. L-ot az L teljessé tételének nevezzük a ϕ értékelésre nézve. Könnyen látható, hogy a K((x)) test, valamint a K(x) → K((x)) beágyazás megkonstruálása az általános módszer alkalmazásának tekinthető: itt a korábbiakban bevezetett ϕ(f ) = cν(f ) értékelést kell venni. Most kihasználhatjuk, [ = K((x)) testnek van egy, a K(x)-en értelmezett ϕ-t kiterjesztő hogy a K(x) értékelése. Azt is könnyű látni, hogy mi lesz ez a kiterjesztés: ha f ∈ K((x)), és f = cn xn + cn+1 xn+1 + · · · ,

ahol cn 6= 0,

akkor ϕ(f ) = cn , továbbá ϕ(0) = 0. De egy értékelt testben beszélhetünk sorozatok konvergenciájáról, és könnyen látható, hogy bármely formális Laurent-sor konvergens lesz ebben az értelemben. Speciálisan, xn → 0, ha n → 0. Az a hozzárendelés, amikor egy f racionális függvényt a Laurent-sorába viszünk, most [ = K((x))-ben f egyenlő a egyenlőséggé válik abban az értelemben, hogy K(x) hozzá konvergáló sor öszegével. Ebben az összefüggésben érdekes lehet általánosan is meghatározni, hogy milyen értékelések adhatók meg a K(x) testen. Mostantól fogva a K = C komplex számtest esetére szorítkozunk, és az értékelés (7)-esben definiált fogalmát

64

7. fejezet A végtelen kicsi fogalmának algebrai megközelítése

egy további feltétel hozzávételével erősítjük: ϕ(α) = 1 minden α ∈ C, α 6= 0 értékre.

(8)

Az előbb megadott ϕ(f ) = cν(f ) értékelés nyilván kielégíti ezt a külön feltételt is. Természetesen módosíthatnánk a konstrukciónkat oly módon, hogy az x = 0 pont helyett tetszőleges x = α pontot tekintenénk, azaz ν(f )-et aszerint definiálnánk, hogy az f függvénynek hányadrendű gyöke vagy pólusa van x = αban. Jelöljük az így kapott értékelést ϕα -val. Hasonló értékelést kaphatunk, ha a függvény végtelenben vett gyökének, ill. pólusának a rendjét vizsgáljuk; ezt az értékelést ϕ∞ fogja jelölni. Ezt legegyszerűbben úgy adhatjuk meg, hogy P ϕ∞ (f ) = cm−n , ha f = , ahol P és Q polinomok, melyeknek a foka n, ill. m Q (és természetesen ϕ∞ (0) = 0). Nem túl nehéz belátni, hogy a most fölsorolt értékelések C(x) összes értékelését megadják. I. tétel. A C(x) testnek a ϕα (α ∈ C), ill. a ϕ∞ értékeléseken kívül nincs más olyan értékelése, amely kielégíti a (8)-as feltételt. Ily módon tehát C(x) lehetséges értékelései igen természetes módon megadják az egyenes pontjait (beleértve a végtelen távoli pontot is), ill. a Riemanngömbét, amin a racionális függvények értelmezve vannak. Most ugyanezt a kérdést föltehetjük C(x) véges bővítéseire is. Ezek mind C(C) alakúak, ahol C valamilyen irreducibilis görbe. A válasz hasonló, bár kissé bonyolultabb. A C görbe bármely c nemszinguláris pontja megfelel egy ϕc értékelésnek, amelyet pl. a következő tulajdonság már meghatároz: ϕc (f ) < 1 pontosan akkor teljesül, ha f (c) = 0. De van még véges sok további értékelés, amelyeket hozzá kell vennünk ezekhez. Először is figyelembe kell vennünk a C görbe végtelenben fekvő pontjait (amelyek akkor kerülnek elő, amikor a görbét a projektív síkban vizsgáljuk). Másodszor, a C szinguláris pontjainak esetleg több különböző értékelés felel meg. A lehetséges értékelések halmaza köcsönösen egyértelműen megfeleltethető a projektív síkban egy bizonyos nemszinguláris görbe pontjainak, amely ugyanazt a C(C) testet határozza meg; ezt nevezik a C görbe nemszinguláris modelljének . Ennek a modellnek a pontjait tehát a C(C) test igen meglepő módon egy belső jellemzéssel teljesen meghatározza. Ugyanennek a leírásnak egy másik megfogalmazása az lenne, hogy ha a C görbét az F (x, y) = 0 egyenlettel adhatjuk meg, akkor C(C) értékelései kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetők az y függvény Riemann-felületén levő pontoknak, ha x analitikus függvényeként fejezzük ki. Ezt úgy is tekinthetjük mint egy algebrai függvény Riemann-felületének tisztán algebrai leírását. Legyen ξ = (a, b) valamely pontja az F (x, y) = 0 egyenlettel definiált C algebrai görbének, és legyen ϕ a ξ-nek megfelelő valamelyik értékelés. Ekkor a C(C) teljessé tétele a ϕ értékelésre nézve ismét a C((t)) formális Laurent-sorok testével lesz izomorf. Tegyük föl, hogy a C(C) ⊂ C((t)) beágyazásnál x − a = ck tk + ck+1 tk+1 + · · · , ahol ck 6= 0.

65

7. fejezet A végtelen kicsi fogalmának algebrai megközelítése

Ekkor x − a = tk f (t), ahol f (0) 6= 0. Így x − a = τ k, ahol τ = tf (t)1/k ; itt f (t)1/k -ra úgy kell gondolnunk mint formális hatványsorra, és ennek van is értelme az f (0) 6= 0 feltétel miatt. Könnyű igazolni, hogy τ ugyanúgy „paramétere” a C((t)) testnek, mint t; azaz a C((t)) bármely elemét τ Laurent-soraként is kifejezhetjük, így C((t)) = C((τ )). Speciálisan, y=

P

di τ i =

P

di (x − ai )i/k .

Egy y algebrai függvény ilyen típusú kifejtését (x − a) formális törtkitevős hatványsorába Puiseux-kifejtésnek nevezik. Térjünk most át a racionális számtestre, Q-ra. Legyen p valamilyen prímszám, és legyen c olyan valós szám, melyre 0 < c < 1. Jelölje ν(n) a p legman gasabb olyan hatványának a kitevőjét, amelyre osztja n-et; ha pedig a = m racionális szám valamely n, m ∈ Z-re, akkor legyen ϕp (a) = cν(n)−ν(m) . Könnyen ellenőrizhető, hogy ϕp a Q racionális számtestnek egy értékelését adja. Q teljessé tétele erre az értékelésre nézve a p-adikus számok Qp -vel jelölt testét adja, amelyet már korábban bevezettünk. Ebben tehát van értelme sorozatok konvergenciájáról beszélni, és azok a formális hatványsorok, amelyeket a p-adikus számok megadására használtunk, konvergensek. Így pl. az 1 = 1 + p + p2 + · · · 1−p egyenlőség most azt jelenti, hogy a bal oldalon álló szám a jobb oldali konvergens sor összege. A C(x) függvénytesthez hasonlóan itt is természetes megkérdeznünk: mik lesznek Q lehetséges értékelései? II. Ostrowski tétele. Q bármely értékelése vagy egy p-adikus értékelés, c ϕp , vagy pedig ϕ(a) = |a| alakú, ahol 0 < c < 1. A tételben szereplő c szám ugyanúgy lényegtelen paraméter, ahogy a p-adikus értékelés definícójában vagy a C(x) test ϕα értékelésénél szereplő konstansok is: a különböző c választásával kapott értékelések ugyanazt a konvergenciafogalmat c és izomorf teljessé tételeket határoznak meg. Az | | értékelésre nézve természetesen a valós számtest lesz a Q teljessé tétele. Így tehát a p-adikus számtestek, Qp -k, valamint a valós számtest, R hasonló szerepet töltenek be. A C(x) testtel való összehasonlítás azt mutatja, hogy a p prímszámok (amelyek a Qp testeket határozzák meg) a véges x = α pontok analogonjai, és a Q → Qp beágyazás a

66

7. fejezet A végtelen kicsi fogalmának algebrai megközelítése

véges pontoknál vett Laurent-sorba fejtés megfelelője; a Q → R beágyazás pedig a végtelenben vett Laurent-sorba fejtésnek felel meg. Ez az egészek (vagy a racionális számok) két különböző tulajdonságára szolgáltat egységes szemléletmódot: az oszthatóságra és a nagyságra. Így pl. egy f ∈ Z[x]-re az, hogy az f (x) = 0 egyenletnek van valós gyöke, azt jelenti, hogy vannak olyan an racionális számok, amelyekre |f (an )| tetszőlegesen kicsi. Ugyanilyen módon, az, hogy f (x)-nek van gyöke a p-adikus számtestben, azt jelenti, hogy vannak olyan an racionális számok, amelyekre a ϕp (f (an )) értékek tetszőlegesen kicsik, azaz az f (an ) értékek p-nek egyre nagyobb és nagyobb hatványával oszthatók. Meg lehet mutatni, hogy egy f (x1 , . . . , xn ) polinomra az f (x1 , . . . , xn ) = 0 egyenlet megoldhatósága Qp -ben azzal ekvivalens, hogy az f (x1 , . . . , xn ) ≡ 0 (mod pk ) kongruenciának minden k-ra van megoldása. Mivel egy tetszőleges modulus szerinti kongruenciát mindig visszavezethetünk modulo pk kongruenciák vizsgálatára, az f = 0 egyenlet megoldhatósága minden Qp testben azzal ekvivalens, hogy az f ≡ 0 (mod N ) kongruenciának bármely N szám esetén van megoldása. Így pl. a következő állítás a számelméletben klasszikus eredménynek számít. III. Legendre tétele. Az ax2 + by 2 = c (a, b, c ∈ Z és c > 0) egyenletnek pontosan akkor van racionális megoldása, ha teljesülnek az alábbi feltételek: (1) a > 0, vagy b > 0; (2) az ax2 + by 2 ≡ c (mod N ) kongruenciának minden N -re van megoldása. A föntebb elmondottak alapján ez azt jelenti, hogy az ax2 + by 2 = c egyenletnek akkor és csakis akkor van racionális megoldása, ha megoldható a Qp és R testek mindegyikében. Általánosíthatjuk is az előbbi eredményt. IV. Minkowski–Hasse-tétel. ratikus alak, és c ∈ Q. Ekkor az

Legyen f egy racionális együtthatós kvad-

f (x1 , . . . , xn ) = c egyenlet akkor és csakis akkor oldható meg Q-ban, ha megoldható a Qp és R testek mindegyikében. A p-adikus számtest a racionális számtest aritmetikai tulajdonságait tükrözi (a p hatványaival való oszthatóságot); másrészt viszont számos olyan tulajdonsága van, ami a valós számtesttel, R-rel közös; Qp -ben pl. beszélhetünk

67

7. fejezet A végtelen kicsi fogalmának algebrai megközelítése

mértékekről, integrálokról, analitikus függvényekről, interpolációról stb. Ez igen erős számelméleti módszert eredményez (különösen, ha a Qp és R testeket egyszerre tekintjük); ennek alkalmazása már számos mély aritmetikai eredményhez vezetett. Befejezésül vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor K véges bővítése Q-nak; az ilyen testeket nevezik algebrai számtesteknek . Mik lesznek K értékelései? Minden ilyen értékelés Q-nak egy értékelését indukálja, és bizonyítható, hogy Q bármely értékelése véges sok K-n megadott értékelésből származik. Azok az értékelések, amelyek Q-ban a szokásos |a| abszolút érték függvényt adják, a K testnek az R valós, ill. a C komplex számtestbe való beágyazásaival, illetve az ezen testeken megadható |x| függvénnyel kapcsolatosak. Most tekintsük a többi értékelést. Az egészek gyűrűjének, Z-nek az elemeit teljesen meghatározza Q-ban az a feltétel, hogy ϕp (a) 6 1 minden p-re. Ehhez hasonlóan, tekintsük most K-nak azon elemeit, amelyekre ϕ(a) 6 1 teljesül K-nak minden olyan ϕ értékelésére, amely a ϕp értékelést indukálja Q-n valamely p-re. Könnyen látható, hogy az ilyen elemek egy A részgyűrűt alkotnak, ami a K-beli egészek gyűrűjének szerepét játssza; A elemeit algebrai egészeknek nevezzük. (Meg lehet mutatni, hogy egy α ∈ K elem pontosan akkor lesz algebrai egész, ha gyöke egy alábbi típusú egyenletnek: αn + a1 αn−1 + · · · + an = 0, ahol a1 , . . . , an ∈ Z; igen gyakran ezt használják az algebrai egészek definíciójaként.) Az A hányadosteste éppen K. Nyilvánvaló továbbá, hogy A ⊃ Z. Be lehet bizonyítani, hogy A szabad Z-modulus, és a rangja megegyezik a K | Q bővítés fokával, [K : Q]-val. Az A gyűrűben általában nem lesz igaz az egyértelmű prímfaktorizáció, de az igaz lesz, hogy az ideálok egyértelműen bonthatók prímideálok szorzatára. Így pl. tetszőleges p prímideálra és α ∈ A elemre létezik egy jóldefiniált ν(α) kitevő; ez azt mondja meg, hogy a p ideálnak hányadik hatványa osztja az (α) főideált. Válasszunk egy 0 < c < 1 feltételeknek eleget tevő c számot, és tetszőleges α ξ ∈ K, ξ 6= 0 elemre írjuk ξ-t ξ = alakban, ahol α, β ∈ A. Legyen ekkor β ϕp (ξ) = cν(α)−ν(β) . Ilyen módon tehát az A minden p prímideáljához hozzárendeltünk egy ϕp értékelést. Kiderül, hogy ezek már ki is merítik a K azon értékeléseit, amelyek valamely ϕp értékelést indukálják Q-n. Ezek a tények képezik az első lépéseket az algebrai számtestek aritmetikája felé. Ha összehasonlítjuk ezeket azokkal az analóg tényekkel, amelyekről korábban beszéltünk a C(C) testekkel kapcsolatban, ahol C egy algebrai görbe, akkor messzire mutató hasonlóságot fedezhetünk föl az algebrai számtestek aritmetikája és az algebrai görbék geometriája (ill. a megfelelő Riemann-felület tulajdonságai) között. Ez további adalék ahhoz a számokról alkotott „funkcionális” szemlélethez, melyekről a 4. fejezetben szóltunk (lásd a 3. példa utáni megjegyzést).

68

8. fejezet Nemkommutatív gyűrűk

8. Nemkommutatív gyűrűk Egy véges dimenziós vektortér lineáris transzformációinak a halmazán két természetes művelet van értelmezve: az összeadás és a szorzás, s ha a transzformációkat mátrix formájában írjuk, akkor ezek a műveletek átvihetők a mátrixokra is. Mindkét művelet létezése rendkívül fontos, és ezt állandóan ki is használjuk. Ennek köszönhetően értelmezhetjük például lineáris operátorok polinomjait; ezeket pedig többek között a lineáris transzformációk szerkezetének vizsgálatánál alkalmazzuk, ahol döntő szerepet játszik a transzformáció minimálpolinomjában a gyökök multiplicitása. Ugyanezen két műveletet, valamint a határértékképzést fölhasználva (valós vagy komplex) mátrixok analitikus függvényeit is értelmezhetjük. Így például ∞ An P . eA = n=0 n!

Ha most egy n darab állandó együtthatós közönséges lineáris differenciálegyendx = Ax alakban adunk meg, ahol letből álló n ismeretlenes egyenletrendszert dt x az ismeretlen függvényekből álló vektor, A pedig az együtthatómátrix, akkor a megoldás x(t) = eAt x0 alakban írható, ahol x0 a kezdeti feltételekből kapott vektor. A lineáris transzformációk összeadása és szorzása, a szorzás kommutativitásának kivételével, kielégíti a kommutatív gyűrűk axiómáit. Ezt az axiómát elhagyva a kommutatív gyűrű definíciójából, az új fogalom nevéből is el kell hagynunk a kommutatív jelzőt. Gyűrűn tehát egy olyan halmazt értünk, amelyen meg van adva az összeadás és szorzás művelete, és ezek kielégítik a következő axiómákat: a+b = b+a a + (b + c) = (a + b) + c (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac (b + c)a = ba + ca. Továbbá, minden gyűrűnek van egy 0 eleme, amellyel a + 0 = 0 + a = a minden a-ra; minden a-hoz van egy −a, amelyre a + (−a) = 0, és van a gyűrűnek egy 1 eleme, amellyel 1 · a = a · 1 = a teljesül minden a-ra. Most lássunk néhány példát gyűrűkre (természetesen nemkommutatívakra, hiszen kommutatív gyűrűkre már sok példát mutattunk). 1. példa. Egy L vektortér összes lineáris transzformációja gyűrűt alkot. Ennek természetes általánosítása egy A kommutatív gyűrű fölötti M modulus önmagába menő homomorfizmusainak gyűrűje. Az olyan homomorfizmusokat, melyek egy modulusból ugyanabba a modulusba képeznek, endomorfizmusoknak nevezzük, az előbb értelmezett gyűrűt pedig EndA M jelöli. Amennyiben A = K test, akkor ilyen módon egy L vektortér lineáris transzformációinak a gyűrűjét kapjuk, melyet szintén EndK L jelöl.

69

8. fejezet Nemkommutatív gyűrűk

2. példa. A lineáris transzformációk gyűrűjének legegyszerűbb végtelen dimenziós megfelelője egy Banach-tér korlátos lineáris operátorainak a gyűrűje. 3. példa. Gyűrűt alkotnak azok az 1- vagy n-változós lineáris differenciáloperátorok, melyekben az együtthatók polinomok, analitikus függvények, C ∞ függvények vagy formális hatványsorok (természetesen az operátorokkal megegyező változószámmal). Mielőtt további példákat vizsgálnánk meg, soroljuk föl azokat a fogalmakat, melyeket kommutatív gyűrűkre vezettünk be, de értelmezésüknél nem használtuk a gyűrű kommutativitását. Ezek a következők: izomorfizmus, homomorfizmus, homomorfizmus magja és képe, részgyűrű , fokszámozott gyűrű . Így például ha egy K test fölötti n-dimenziós vektortérben, L-ben kiválasztunk egy bázist, akkor egy izomorfizmust adhatunk meg az EndK L gyűrű és a K fölötti n × n-es mátrixok gyűrűje között; ez utóbbit Mn (K)-val jelöljük. Egy R gyűrű azon a elemei, melyek minden gyűrűelemmel fölcserélhetők (azaz amelyekre ax = xa teljesül bármely x ∈ R esetén), részgyűrűt alkotnak; ezt nevezzük az R gyűrű centrumának , és Z(R)-rel jelöljük. Ha egy A gyűrű részgyűrűje az R centrumának, azt mondjuk, hogy R egy A-algebra, vagy hogy R algebra az A fölött. Ha R-en eltekintünk a gyűrűbeli szorzástól, és csak az A elemeivel való szorzást tartjuk meg, R modulus lesz A fölött. Egy A kommutatív gyűrűre az A-algebrák közötti homomorfizmus annyiban különbözik a közönséges gyűrűhomomorfizmustól, hogy itt megköveteljük, hogy az A elemei önmagukba képződjenek, azaz, hogy a homomorfizmus modulushomomorfizmus is legyen a két gyűrű mint A-modulus között. Egy A-algebra részalgebráját hasonló módon definiálhatjuk: ez egy olyan részgyűrűje R-nek, ami tartalmazza A-t. Ha A = K test, és R egy K-algebra, akkor az R-nek mint K fölötti vektortérnek a dimenziója az R algebra rangja. Korábban már találkoztunk ezzel a fogalommal: egy L | K véges testbővítés olyan bővítés, amelynél L mint K-algebra véges rangú. Egy K test fölötti véges n rangú algebrának definíció szerint létezik egy bázisa: e1 , . . . , en , és az algebrabeli szorzást meghatározza a báziselemek szorzása. Mivel ei ej is eleme az algebrának, az alábbi alakban írható: ei ej =

P

cijk ek , ahol cijk ∈ K .

(1)

A cijk elemeket az algebra struktúrakonstansainak hívjuk. Ezek meghatározzák a szorzást az algebrában: P P P ( ai ei ) ( bj ej ) = ai bj cijk ek .

Az (1)-ben szereplő egyenlőségek adják az algebra szorzástábláját. Természetesen, a struktúrakonstansokat nem választhatjuk meg tetszőlegesen: ki kell elégíteniük azt a követelményt, hogy a szorzás asszociatív legyen, és létezzen egy egységelem. Tekintsük például a K fölötti n2 rangú mátrixgyűrűt, Mn (K)-t. Bázisnak vehetjük az Eij mátrixokat: amelyekben az i-edik sor j-edik eleme 1, a többi

70

8. fejezet Nemkommutatív gyűrűk

elem pedig 0. A struktúrakonstansokat az Eij Ekl = 0, ha j 6= k, Eij Ejl = Eil

(2)

egyenlőségek határozzák meg. A most következő példákban szereplő gyűrűket legegyszerűbben test fölötti algebraként adhatjuk meg. 4. példa. Legyen G véges csoport (feltételezzük, hogy az olvasó már ismeri ezt a fogalmat, de a 12. fejezetben definiáljuk is). Megadunk egy K test fölötti algebrát, amelynek eg (g ∈ G) báziselemeit a csoport elemeivel indexeljük, és ezek úgy szorzódnak össze, mint a megfelelő csoportelemek: eg1 eg2 = eg1 g2 . Ezt az algebrát a G csoportalgebrájának hívjuk, és K[G]-vel jelöljük. Ugyanígy definiálhatjuk egy G véges csoport A[G] csoportalgebráját egy A kommutatív gyűrű fölött. Ha azonosítjuk a g ∈ G csoportelemet aPhozzá tartozó eg báziselemmel, akkor K[G] elemeit úgy tekinthetjük, mint αg g összegeket. Ekkor g∈G µ ¶µ ¶ P P P a αg g βh h szorzat γg g alakban írható, és könnyen ellenőrizg∈G

hetjük, hogy

h∈G

g∈G

γg =

P

u∈G

αu βu−1 g .

(3)

P A αg g elemet az együtthatói határozzák meg. Ezeket az együtthatókat G-n értelmezett függvényeknek is tekinthetjük, és ennek megfelelően α(g)-vel jelöljük. Ezért K[G]-t úgy is értelmezhetjük, mint a G-n értelmezett függvények algebráját, amelyben az α(g) és β(g) függvények szorzata a (3)-as képlethez hasonlóan: P γ(g) = α(u)β(u−1 g). (4) u∈G

Ez a jelölés a kiindulópontja a végtelen csoportokra vonatkozó általánosításoknak. Ha például G a |z| = 1 egyenletű egységkör, és G elemeit az argumentumukkal, ϕ-vel fejezzük ki, a G-n értelmezett függvények éppen ϕ-nek a 2π periódusú függvényei. A (4)-es képlet mintájára, a G csoportalgebrája az α(ϕ) periodikus függvényekből áll (legyenek ezek folytonosak és abszolút integrálhatók), ahol az α(ϕ) és β(ϕ) függvények szorzata 1 γ(ϕ) = 2π

Z2π 0

α(t)β(ϕ − t) dt.

Az analízisben ezt az operációt két függvény konvolúciójának hívják. Egy formai hibája azért van ennek a definíciónak: a csoportalgebra nem tartalmazza az identitásfüggvényt, ami az egységelem delta-függvénye. Ezt a

71

8. fejezet Nemkommutatív gyűrűk

hibát kijavíthatjuk azzal, ha R-et kibővítjük egy egységelemmel, azaz a C ⊕ R algebrát vesszük az (α + x)(β + y) = αβ + (αy + βx + xy) szorzással. A csoportalgebra fogalmának egy másik általánosítása, ezúttal megszámlálhatóan P végtelen csoportokra, amikor sorokat használunk függvények helyett. Itt a αg g (αg ∈ C) sorokat vesszük (mondjuk, az abszolút konvergenseket), a (3)-as képletben megadott szorzási szabállyal. 5. példa. A legismertebb nemkommutatív gyűrű a H kvaternióalgebra. Ez egy 4 rangú algebra a valós számok teste fölött, egy bázisa 1, i, j, k, és a következő szorzási szabályok érvényesek benne: i2 = j 2 = k 2 = −1, ij = k, ji = −k, jk = i, kj = −i, ki = j, ik = −j. Más szóval, ha az i, j, k elemeket egy körön helyezzük el, akkor két szomszédos

10. ábra.

elem szorzata az óramutató járásával megegyező sorrendben a harmadik elemet adja, fordított sorrendben viszont a harmadik elem −1-szeresét. Egy q = a + bi √ + cj + dk kvaternió abszolút értéke (vagy normája vagy modulusa) a |q| = a2 + b2 + c2 + d2 szám; q konjugáltja a q = a − bi − cj − dk kvaternió. Könnyen ellenőrizhetjük a 2

qq = qq = |q|

és q1 q2 = q2 q1

azonosságokat. Ezekből rögtön adódik, hogy q 6= 0 esetén q −1 =

(5) 1

2 q a q kva|q| ternió inverze, azaz qq −1 = q −1 q = 1. Ha q = a + bi + cj + dk, akkor a a q valós része, bi + cj + dk pedig a képzetes része; ezeket Re q és Im q jelöli. Azt mondjuk, hogy q tisztán képzetes, ha a = 0. Ilyenkor q-nak megfeleltethetünk egy x = (b, c, d) háromdimenziós vektort. Tisztán képzetes kvaterniók szorzata kifejezhető a háromdimenziós vektorok két alapművelete, az (x, y)-nal jelölt skaláris szorzás és az [x, y]-nal jelölt vektoriális szorzás segítségével. Ha p és q tisztán képzetes kvaterniók, x és y pedig a nekik megfelelő vektorok, akkor Re(pq) = −(x, y), és Im(pq) az [x, y] vektornak felel meg. Az (5)-ös azonosságokból könnyen következik, hogy |q1 q2 | = |q1 | · |q2 | teljesül bármely q1 és q2 kvaternióra. Ez azt jelenti, hogy ha a, b, c, d és a1 , b1 , c1 , d1 tetszőleges számok, akkor az

(a2 + b2 + c2 + d2 )(a21 + b21 + c21 + d21 )

72

8. fejezet Nemkommutatív gyűrűk

szorzat a22 + b22 + c22 + d22 alakban írható, ahol az a2 , b2 , c2 , d2 számok (amelyek az 1, i, j, k együtthatói a q1 q2 kvaternióban) egyszerűen kifejezhetők az a, b, c, d és a1 , b1 , c1 , d1 számokból (az olvasóra bízzuk a kifejezések felírását). Az így kapott azonosságot Euler sokkal korábban fölfedezte, mint hogy Hamilton bevezette volna a kvaterniókat. Hasznosnak bizonyult ez az azonosság például Lagrange híres tételének bizonyításánál is, mely szerint minden n természetes szám négy négyzetszám összegeként írható: segítségével a bizonyítást arra az esetre lehet redukálni, amikor n prímszám. 6. példa. A kvaternióalgebra az a + bi típusú elemek formájában tartalmazza a komplex számtestet, C-t. Bármely kvaternió egyértelműen írható z1 + z2 j alakban, ahol z1 , z2 ∈ C. Az így kapott H = C ⊕ Cj

(6)

fölírás jó módszert ad a kvaterniók megjelenítésére. Amikor a kvaterniókat ilyen formában használjuk, csak arra kell ügyelnünk, hogy egy z ∈ C elem nem fölcserélhető j-vel. A fölcserélhetőség helyett a következő, könnyen ellenőrizhető, egyszerű szabályt használhatjuk: jz = zj.

(7)

A (6)-os fölbontásnak van egy fontos geometriai alkalmazása. Tekintsük a (q1 , q2 ) 6= (0, 0) típusú párokat, ahol q1 , q2 ∈ H, és azonosítsuk azokat a párokat, amelyek „balról” arányosak: (q1 , q2 ) ∼ (qq1 , qq2 ), ha q 6= 0. Így a kvaterniók fölötti P1 (H) projektív egyenest kapjuk. Miként a valós és a komplex projektív sík esetében is, itt is van egy véges rész: ez azokból a (q1 , q2 ) párokból áll, ahol q2 6= 0. Ezt a részt azonosíthatjuk H-val (q2 = 1-et véve), s ebből P1 (H)-t úgy kaphatjuk meg, hogy hozzáadjuk a végtelenben levő (q1 , 0) pontot. Ez azt mutatja, hogy P1 (H) mint sokaság diffeomorf az S 4 -gyel jelölt négydimenziós gömbbel. Ha H-nak a (6)-os fölírását vesszük, és q1 = z1 + z2 j, q2 = z3 + z4 j, akkor a (q1 , q2 ) párt a (z1 , z2 , z3 , z4 ) négyessel helyettesíthetjük, ahol nem minden zi nulla. Azonosítva azokat a négyeseket, amelyek egymásnak komlex számszorosai, a 3-dimenziós komplex projektív teret, P3 (C)-t kapjuk. Mind P1 (H)-t, mind P3 (C)-t ugyanabból a (q1 , q2 ) párokból álló halmazból kapjuk, csak más párokat azonosítunk: az első esetben H-beliek, a másodikban C-beliek az arányossági tényezők. Mivel mindazokat a párokat, amelyeket a második esetben azonosítunk, nyilvánvalóan azonosítottuk az első esetben is, egy P3 (C) → S 4 leképezést kapunk. Ezt nevezzük az S 4 fölötti tvisztortérnek , mely fontos szerepet játszik a geometriában; fibrumai P3 (C) egyeneseinek egy bizonyos 4-dimenziós családját alkotják. Ez lehetővé teszi, hogy számos, az S 4 -gyel kapcsolatos differenciálgeometriai kérdést P3 (C)-re vonatkozó komplex analitikus geometriai kérdésre redukáljunk. A 15. fejezetben a kvaterniók további alkalmazását láthatjuk a 3- és 4dimenziós terek ortogonális transzformációcsoportjainak vizsgálatánál.

73

8. fejezet Nemkommutatív gyűrűk

Az olyan gyűrűt, amelyben minden nemnulla a elemnek van egy a−1 inverze (azaz egy olyan elem, amelyre aa−1 = a−1 a = 1), ferdetestnek hívjuk. Valójában elegendő egy balinverz, vagyis egy az a−1 a = 1 feltételt kielégítő a−1 elem létezését föltenni (vagy egy jobbinverzét). Ha ugyanis a′ az a elemnek balinverze, a′′ pedig az a′ -nek balinverze, akkor az asszociativitás miatt az a′′ a′ a szorzat a-val és a′′ -vel is megegyezik. Ezért aa′ = 1, tehát a′ jobbinverze is az a-nak. A testek éppen a kommutatív ferdetestek, és a kvaterniókkal mutattunk először példát nemkommutatív ferdetestre. Könnyen láthatjuk, hogy egy invertálható elemnek csak egyetlen inverze van. Egy ferdetestben bármely ax = b alakú egyenlet megoldható a 6= 0 esetén: x = a−1 b; hasonlóan, az ya = b megoldása a 6= 0 esetén y = ba−1 . A K test fölötti lineáris algebra fogalmai szó szerint átvihetők tetszőleges ferdetest fölötti vektorterekre. Egyetlen lényeges különbséget említünk meg csupán, bár ez is csak formai eltérés: ha egy n-dimenziós, ferdetest fölötti vektortér ϕ lineáris transzformációját az e1 , . . . , en bázisban az (aij ) mátrix adja meg, ψ-t pedig a (bkl ) mátrix, akkor könnyen ellenőrizhetjük, hogy a ϕψ transzformáció mátrixa (cil ), ahol P cil = bkl aik . (8) k

Más szóval, a mátrixszorzás szokásos képletében föl kell cserélni a tényezők sorrendjét. (Ezt már az 1-dimenziós tereknél is megfigyelhetjük!) Ezzel kapcsolatban a következő definíciót vezetjük be. Azt mondjuk, hogy az R és R′ gyűrűk antiizomorfak , ha van egy olyan a ← → a′ egy-egyértelmű megfeleltetés az a ∈ R és a′ ∈ R′ elemek között, amelyre teljesül, hogy a1 ← → a′1 és a2 ← → a′2 =⇒ a1 + a2 ←→ a′1 + a′2 és a1 a2 ←→ a′2 a′1 .

Az olyan a ← → a′ megfeleltetést, amely R-nek önmagára való antiizomorfizmusát adja, az R involúciójának hívjuk. Példa erre egy A kommutatív gyűrű fölötti Mn (A) mátrixgyűrűben megadható a ←→ a∗ megfeleltetésP (ahol a∗ az P a mátrix transzponáltja), továbbá egy A[G] csoportalgebrában a αg g ← → αg g −1 megfeleltetés, ill. q ← → q a H kvaternióalgebrában. Minden R gyűrűnek van egy ún. R′ oppozitgyűrűje, amely antiizomorf az eredetivel. Ezt úgy kaphatjuk meg, hogy megtartjuk az R gyűrű alaphalmazát az eredeti összeadással, de az a és b elemek szorzatát ba-nak és nem ab-nek definiáljuk. A (8)-as képlettel megadott eredményt most a következőképpen fogalmazhatjuk meg. I. tétel. Egy D ferdetest fölötti n-dimenziós vektortér lineáris transzformációinak gyűrűje izomorf a D′ oppozit ferdetest fölötti Mn (D′ ) mátrixgyűrűvel. Ettől a kis változtatástól eltekintve a lineáris algebra jól ismert eredményei érvényesek ferdetest fölötti vektorterekre is. Sőt definiálhatjuk a D fölötti Pn (D) projektív teret is, amely szintén rendelkezik a projektív terek legtöbb megszokott tulajdonságával.

74

8. fejezet Nemkommutatív gyűrűk

7. példa. Tekintsük egy K test fölötti n-dimenziós L vektortér r-edfokú kontravariáns tenzorainak terét, T r (L)-et (T n (M ) definícióját lásd az 5. fejezetben). A tenzorszorzás műveletével definiálhatjuk egy ϕ ∈ T r (L) és egy ψ ∈ T s (L) tenzorszorzatát mint a ϕ ⊗ ψ ∈ T r+s tenzort. Ennek a műveletL (L) r nek a felhasználásával egy gyűrűt adunk meg a T (L) vektortéren: ez az összes olyan (ϕ0 , ϕ1 , . . .) sorozatból áll, amelyben csak véges sok tag nem nulla, és ϕr ∈ T r (L). Két sorozat összegét tagonkénti összeadással definiáljuk,Pa (ϕ0 , ϕ1 , . . .) és (ψ0 , ψ1 , . . .) sorozatok szorzata pedig (ξ0 , ξ1 , . . .), ahol ξp = ϕr ψp−r . A 06r6p

tenzorok szorzásának a tulajdonságaiból következik, hogy így valóban gyűrűt kapunk. Ez altérként tartalmazza a T r (L) tereket r = 0, 1, . . . -ra, és minden elemet föl lehet írni mint ϕ0 + ϕ1 + · · · + ϕk véges összeget, ahol ϕr ∈ T r (L). A ϕ0 ∈ T 0 (L) = K elemeket azonosítjuk a K elemeivel, így a kapott gyűrű egy K-algebra. Ezt az L vektortér tenzoralgebrájának hívjuk, és T (L)-lel jelöljük. T (L) fokszámozott algebra is, a T r (L)-ek direkt összegére bontás adja meg a fokszámozást. Legyen ξ1 , ξ2 , . . . , ξn a T 1 (L) = L vektortér egy bázisa. A tenzorszorzás ismert tulajdonságaiból következik, hogy T m (L)-nek bázisát adják a ξi1 · · · · · ξim szorzatok, ahol i1 , . . . , im ∈ {1, . . . , n} tetszőleges indexek. Ezért az ilyen szorzatok (az összes m-re) bázisát adják a K fölötti tenzoralgebrának. Másszóval, a tenzoralgebra elemei mind fölírhatók a ξ1 , ξ2 , . . . , ξn elemek szorzatatainak lineáris kombinációjaként, és a különböző szorzatok lineárisan függetlenek (a tényezők sorrendje is számít). Ennek fényében mondhatjuk, hogy T (L) az n-változós nemkommutatív polinomalgebra a ξ1 , . . . , ξn változókkal, melyet Khξ1 , . . . , ξn inel jelölünk. A T (L) algebra fönti jellemzésének fontos alkalmazásai vannak. Azt mondjuk, hogy a (véges vagy végtelen) {xα } halmaz generátorrendszere az A kommutatív gyűrű fölötti R algebrának, ha R minden eleme fölírható mint ezen elemek véges szorzatainak A-beli együtthatós lineáris kombinációja. Tegyük föl, hogy az R algebrának van egy véges generátorrendszere a K test fölött (más szóval, R végesen generált algebra a K fölött): legyenek x1 , . . . , xn a generátorrendszer elemei. Vegyük azt a leképezést, amely P a Khξ1 , . . . , ξn i algebra tetszőleges P ′ α= ai1 ...im ξi1 · · · · · ξim elemét az α = ai1 ...im xi1 · · · · · xim ∈ R elembe viszi. Könnyen látható, hogy így egy Khξ1 , . . . , ξn i → R homomorfizmust kapunk, amelynek képe az egész R. Tehát bármely végesen generált algebra homomorf képe egy nemkommutatív polinomalgebrának. Ebben az értelemben a nemkommutatív polinomalgebrák ugyanazt a szerepet játsszák a nemkommutatív algebrák elméletében, mint a kommutatív polinomalgebrák a kommutatív algebrában, vagy a szabad modulusok a moduluselméletben. Ismét félbe kell szakítanunk a példák ismertetését, hogy megmutassuk a legegyszerűbb módot új példák konstruálására. Miként a kommutatív gyűrűknél, most is természetes megvizsgálnunk a homomorfizmusok magjának tulajdonságait. Nyilvánvaló, hogy ha ϕ : R → R′ egy homomorfizmus, akkor Ker ϕ tartalmazza az a + b összeget, továbbá az ax és xa szorzatot minden a, b ∈ Ker ϕ-re és x ∈ R-re. Itt szembekerülünk azzal a ténnyel, hogy a kommutatív gyűrűk ideáljának fogalmát háromféleképpen is általánosíthatjuk, mint azt alább az (a), (b)

75

8. fejezet Nemkommutatív gyűrűk

és (c) pontokban megadjuk. Legyen I ⊂ R olyan részhalmaz, amely tartalmazza az a + b összeget bármely a, b ∈ I-re. (a) Ha minden a ∈ I-re és x ∈ R-re xa ∈ I, akkor I balideál ; (b) ha (az előbbi feltételek mellett) ax ∈ I, akkor I jobbideál ; (c) ha az (a) és (b) feltételek is teljesülnek, akkor I kétoldali ideál , vagy egyszerűen ideál . Tehát egy homomorfizmus magja kétoldali ideál. Nézzünk néhány példát erre a fogalomra. Egy ferdetest fölötti vektortér lineáris transzformációinak gyűrűjében egy tetszőleges V ⊂ L altérhez hozzárendelhetünk egy V I balideált, amely azokból a ϕ transzformációkból áll, amelyekre ϕ(V ) = 0, és egy IV jobbideált, amely azokból a ϕ-kből áll, amelyekre ϕ(L) ⊂ V . Egy Banach-tér korlátos lineáris operátorainak gyűrűjében a kompakt (vagy a teljesen folytonos) operátorok kétoldali ideált alkotnak. Adott a ∈ R-re az xa alakú elemek (ahol x végigfut R-en) balideált alkotnak, az ay alakú elemek (y ∈ R-re) pedig jobbideált. Kétoldali ideálokra a megfelelő konstrukció egy kicsit bonyolultabb. Ezt rögtön az általánosabb formájában adjuk meg. Legyen {aα } az R elemeinek egy rendszere. Ekkor az x1 aα1 y1 + · · · + xr aαr yr alakú összegek (ahol xi , yi ∈ R) kétoldali ideált alkotnak. Ezt hívjuk az {aα } rendszer által generált kétoldali ideálnak . A kommutatív esettel megegyező módon definiálhatjuk a gyűrűnek egy kétoldali ideál szerinti mellékosztályait, és ezeknek a mellékosztályoknak a gyűrűjét. Az így kapott gyűrűt itt is faktorgyűrűnek nevezzük, és R/I-vel jelöljük. Ha például R egy Banach-tér korlátos lineáris operátorainak gyűrűje, és I a kompakt operátorok ideálja, akkor láthatjuk, hogy egy ϕ lineáris operátor sok tulajdonsága csak az R/I faktorgyűrűbeli képétől függ. Például az, hogy ϕ kielégíti a Fredholm-alternatívát, ekvivalens azzal, hogy ϕ képének van inverze R/I-ben. A homomorfizmustétel kimondása és bizonyítása teljesen megegyezik a kommutatív esettel (lásd 4. fejezet, II. tétel). Legyen {ϕα } a Khξ1 , . . . , ξn i nemkommutatív polinomalgebra elemeinek egy rendszere, és I az általa generált kétoldali ideál. Legyenek a1 , . . . , an a ξ1 , . . . , ξn elemek képei az R = Khξ1 , . . . , ξn i/I algebrában. Ezek nyilván generálják R-et; azt mondjuk, hogy R az a1 , . . . , an generátorokkal és a ϕα = 0 definiáló relációkkal van megadva. A homomorfizmustétel alapján bármely végesen generált algebrát meg lehet adni definiáló relációkkal. Viszont ebben az esetben is megtörténhet, hogy noha a generátorok száma véges, végtelen sok definiáló relációra van szükség. A K[x1 , . . . , xn ] kommutatív polinomgyűrűt az xi xj = xj xi definiáló relációkkal lehet megadni. Legyen R az n-változós, polinom-együtthatós differenciáloperátorok gyűrűje, ahol a változók x1 , . . . , xn . Ennek az algebrának egy generátorrendszerét alkotják például azok a qi operátorok, amelyek az xi -vel ∂ operátorok. való szorzásként hatnak (azaz qi (f ) = xi f ), valamint a pj = ∂xj Könnyű belátni, hogy a definiáló relációk ebben az esetben: pi pj = pj pi , q i q j = q j q i , pi qj = qj pi , ha i 6= j, és pi qi − qi pi = 1.

(9)

76

8. fejezet Nemkommutatív gyűrűk

Alkalmazzuk ezt a konstrukciót néhány másik fontos algebraosztályra is. Tegyük föl, hogy adva van egy n-dimenziós L vektortér és egy (x, y) szimmetrikus bilineáris forma. Tekintsük azt az algebrát, amelynek a generátorai megfelelnek az L valamely bázisának (jelöljük őket ugyanazokkal a betűkkel), és a definiáló relációk xy + yx = (x, y) , ahol x, y a bázis tetszőleges elemei. (10) Az algebránk tehát a T (L) tenzoralgebrának az (x, y) − xy − yx elemek által generált ideál szerinti faktoralgebrája. Nézzünk meg két szélsőséges esetet. 8. példa. Tegyük föl, hogy az (x, y) bilineáris forma azonosan nulla. Ekkor a (10)-es relációból az következik, hogy x2 = 0 (legalábbis abban az esetben, amikor a K karakterisztikája 6= 2; ha char K = 2, akkor az x2 = 0 feltételt belevesszük a definícióba). A kapott algebra bármely eleme lineáris kombinációja az L báziselemeiből alkotott ei1 · · · · ·V eir (i1 < · · · < ir ) szorzatoknak.VKönnyen látható, hogy ezek a szorzatok a r (L) vektorteret generálr ják ) modulusVdefinícióját lásd az 5. fejezetben). Az egész algebrát a V0 (a V(M (L) ⊕ 1 (L) ⊕ · · · ⊕ n (L) direkt összeg adja meg. Ez egyV2n rangú fokszámozott algebra, amelyet az L külső algebrájának hívunk, és (L)-lel jelölünk. V A (L)-beli szorzatot x ∧ y alakban V Vrírjuk. (L) és y ∈ s (L), akkor Könnyen látható, hogy ha x ∈ x ∧ y = y ∧ x , ha r vagy s páros, és (11) x ∧ y = −y ∧ x , ha r és s páratlan. V Ezt másképpen is kifejezhetjük. Legyen (L) = R, és ^ ^ ^ ^ ^ 0 1 (L) ⊕ 2 (L) ⊕ 4 (L) ⊕ . . . = R0 , (L) ⊕ 3 (L) ⊕ . . . = R1 . Ekkor R = R0 ⊕ R1 , és

R0 · R0 ⊂ R0 , R0 · R1 ⊂ R1 , R1 · R0 ⊂ R1 , R1 · R1 ⊂ R0 .

(12)

Az olyan fölbontást, amely kielégíti V a (12)-es feltételeket, az R algebra Z/2fokszámozásának hívjuk. Az R = (L) algebrára a (11)-es feltételt úgy is kimondhatjuk, hogy x ∧ y = y ∧ x, ha x vagy y ∈ R0 , és x ∧ y = −y ∧ x, ha x és y ∈ R1 . Az olyan Z/2-fokszámozott algebrákat, amelyek kielégítik ezeket a feltételeket, szuperalgebráknak hívjuk. Szuperalgebrára a legfontosabb példa a V (L) külső algebra. A szuperalgebrák iránti érdeklődést a kvantumtérelmélet ösztönözte, de a tisztán matematikai alkalmazásai is igen fontosnak bizonyultak. A kommutatív gyűrűknek természetes általánosítását adják a szuperalgebrák, és alapul szolgálhatnak geometriai objektumoknak, a projektív terek analogonjainak (szuperprojektív tereknek) vagy differenciálható és analitikus sokaságok megfelelőinek (szupersokaságoknak) a konstrukciójához. Ezt az elméletet alkalmazzák a fizikusok a szupergravitáció elméletében, és ezt tanulmányozzák a szupermatematikusok.

77

8. fejezet Nemkommutatív gyűrűk

9. példa. A külső algebra definíciójánál szükségünk volt az L egy bázisára (a (10)-es relációkban szereplő x, y elemekről föltettük, hogy ennek a bázisnak az elemei). A konstrukció természetesen nem függ a bázis megválasztásától. Adhatunk egy kifejezőbb (bár kevésbé gazdaságos) definíciót, ahol a (10)-es feltételben x és y tetszőleges L-beli vektorok. Könnyen látható, hogy így ugyanazt az algebrát kapjuk. Ebben a formában a definíciót tetszőleges A kommutatív gyűrű fölötti M modulusra alkalmazhatjuk. Így eljutunk egy modulus külső algebrájának fogalmához: ^ M^ r M= M. r

V Ha M -nek van egy n-elemű generátorrendszere, akkor r M = 0 minden r > nre. Így például, ha vesszük egy n-dimenziós differenciálható sokaság elsőfokú differenciálformáinak modulusát, Ω1 -et, akkor ennek a külső algebráját, Ω = ⊕r6n Ωr -et nevezzük a differenciálformák algebrájának . A későbbiekben még látni fogjuk a formák külső szorzatának fontos alkalmazásait.

10. példa. Tekintsük most a másik szélsőséges esetet, amikor a (10)-es feltételben szereplő bilineáris forma nem elfajuló, és egy F (x) kvadratikus alakhoz tartozik, azaz F (x) = 12 (x, x) (föltesszük, hogy K karakterisztikája 6= 2). Ugyanazzal az okoskodással, amit a külső algebránál alkalmaztunk, a 10-es képlet segítségével fölcserélhetjük az ei1 · · · · · eir tényezőit. Az az egyetlen eltérés, hogy most j < i esetén az ei ej szorzat tényezőinek fölcserélésével két tagot kapunk, az egyik −ej ei -t tartalmazza, a másik pedig, amelyikben (ej , ei ) szerepel, egy r − 2-tagú szorzat lesz. Ennek eredményeképpen ugyanúgy azt kapjuk, hogy az ei1 · · · · · eir szorzatok i1 < · · · < ir -re bázisát adják az algebrának, tehát ez az algebra is 2n rangú. Ez az algebra az L vektortérhez és az F kvadratikus alakhoz tartozó Clifford-algebra, amelyet C(L)-lel jelölünk. Ennek a konstrukciónak az a jelentősége, hogy C(L)-ben az F kvadratikus alak egy lineáris forma négyzete lesz: F (x1 e1 + · · · + xn en ) = (x1 e1 + · · · + xn en )2 . (13) Így a kvadratikus alak „teljes négyzet”-té válik, de az együtthatók most nem egy kommutatív algebrának az elemei. Tegyük föl, hogy F (x1 , . . . , xn ) = x21 + · · · + x2n . Ekkor a (13)-as azonosság miatt x21 + · · · + x2n = (x1 e1 + · · · + xn·en )2 . Figyelembe ¸ véve az állandó együtthatós differenciáloperátorok gyűrűje, ∂ ∂ , és az R[x1 , . . . , xn ] polinomgyűrű közötti izomorfizmust, a ,..., R ∂y1 ∂yn fönti azonosságot az alábbi alakban írhatjuk: ∂2 ∂2 + ··· + 2 = ∂y12 ∂yn

µ

∂ ∂ · e1 + · · · + · en ∂y1 ∂yn

¶2

.

(14)

Pontosan ez az ötlet — egy másodrendű operátorból való négyzetgyökvonás ötlete — motiválta Diracot, amikor a relativisztikus kvantummechanika ún. Diracegyenletének a levezetése során bevezetett egy, a Clifford-algebrával analóg fogalmat.

78

8. fejezet Nemkommutatív gyűrűk

A páros sok tényezőből álló ei1 · · · · · eir szorzatok a C Clifford-algebra C 0 alterét generálják, a páratlan sok tényezőből álló szorzatok a C 1 alteret. Nyilvánvaló, hogy dim C 0 = dim C 1 = 2n−1 . Könnyen látható, hogy C = C 0 ⊕ C 1 , és ez a felbontás egy Z/2-fokszámozást ad meg. Ebből következik például, hogy C 0 részalgebrája C-nek; ezt nevezzük páros Clifford-algebrának . Tekintsük azt a leképezést, ami a C(L) egy ei1 ·· · ··eir báziselemét a fordított sorrendben vett szorzatba, eir · · · · · ei1 -be viszi. Könnyen látható, hogy ez C(L)nek egy a 7→ a∗ involúcióját adja. 11. példa. Tegyük föl, hogy F (x1 , x2 ) = x21 + x22 , és legyen K = R. Ekkor C(L) rangja 4, és 1, e1 , e2 , e1 e2 bázisa C(L)-nek, amely kielégíti az e21 = e22 = 1 és e2 e1 = −e1 e2 egyenlőségeket. Könnyen látható, hogy C(L) ∼ = M2 (R). Hogy ezt bizonyítsuk, tekintsük az E11 =

−e2 − e1 e2 −e2 + e1 e2 1 − e1 1 + e1 , E12 = , E21 = , E22 = 2 2 2 2

elemeket. Itt most csak azt kell belátnunk, hogy ezek az Eij elemek kielégítik a (2)-es egyenletek szorzási Ennél a C(L) ¸ · és M2¸(R) közötti izomor· szabályait. 1 0 0 −1 fizmusnál tehát e1 -nek az , e2 -nek pedig a mátrix fog megfe0 −1 −1 0 µ· ¸ ∂2 ∂2 1 0 ∂ + + Laplace-operátort lelni. A (14)-es képlet alapján a 0 −1 ∂x ∂x2 ∂y 2 · ¶2 · ¸ · ¸ ¸ 0 −1 ∂ 0 −1 ∂ 1 0 ∂ alakban írhatjuk. Ha a D = + ope−1 0 ∂y −1 0 ∂y 0 −1 ∂x · ¸ · ¸ u u rátor az oszlopvektorra hat, akkor a D = 0 egyenlet éppen a v v ∂v ∂u ∂v ∂u = , =− ∂x ∂y ∂y ∂x Cauchy–Riemann-egyenleteket adja. Most tegyük föl, hogy F (x1 , . . . , x2n ) = x21 + · · · + x22n . Osszuk az 1, . . . , 2n indexeket párokba: (1, 2), (3, 4), . . . , (2n − 1, 2n), és jelölje α, β stb. az olyan indexekből álló (i1 , . . . , in ) n-eseket, amelyekben ip a p-edik pár egyik eleme. Legyen α = (i1 , . . . , in ) és β = (j1 , . . . , jn ). Definiáljuk ekkor az Eαβ = Ei1 j1 Ei2 j2 · · · Ein jn , elemeket, ahol az Eij elemek az n = 1 esetnek megfelelően vannak definiálva az ei , ej elemekből. Könnyen látható, hogy az Eαβ elemek szorzása kielégíti a (2)-es szabályokat, azaz C(L) ∼ = M2n (R). 12. példa. Ha F (x1 , x2 , x3 ) = x21 + x22 + x23 , és K = R, akkor a C 0 (L) páros Clifford-algebra izomorf a kvaternióalgebrával: az e1 e2 , e2 e3 , e1 e3 elemek az 5. példa szabályai szerint szorzódnak. A kommutatív esetben a testeket úgy jellemezhetjük, mint olyan gyűrűket, amelyeknek nincs nem 0 ideáljuk. A nemkommutatív esetben, mint az várható,

79

8. fejezet Nemkommutatív gyűrűk

a helyzet bonyolultabb. A kommutatív esethez hasonlóan most is bizonyítható, hogy egy gyűrűnek pontosan akkor nincs 0-tól különböző balideálja, ha minden 0-tól különböző elemnek van balinverze (amire a−1 a = 1), és a jobbideálok ugyanilyen kapcsolatban vannak a jobbinverzekkel. Ezért a ferdetestek azok a gyűrűk, amelyeknek nincs 0-tól különböző balideáljuk (vagy jobbideáljuk). Minek felel meg akkor az a feltétel, hogy egy gyűrűnek nincs 0-tól különböző kétoldali ideálja? Az ilyen gyűrűket egyszerű gyűrűknek hívjuk. Később látni fogjuk, hogy milyen kivételesen fontos szerepet játszanak az egyszerű gyűrűk a gyűrűelméletben. Így a ferdetestekkel együtt ezeket tekinthetjük a testek természetes megfelelelőjének a nemkommutatív gyűrűk körében. 13. példa. Legyen L egy n-dimenziós vektortér egy D ferdetest fölött, és jelölje R az L összes lineáris transzformációjának a gyűrűjét. Vizsgáljuk meg az R gyűrűben a balideálok szerkezetét. Megmutatjuk, hogy a (V I-vel, ill. IV -vel jelölt) korábban emlegetett konstrukciók az összes bal-, ill. jobbideált megadják. (Itt most csak a balideálok esetével foglalkozunk.) Legyen I ⊂ R balideál Rben, és legyen V ⊂ L azoknak az x ∈ L elemeknek az altere, melyekre ϕ(x) = 0 mindenTϕ ∈ I esetén. Ha ϕ1 , . . . , ϕk bázist alkot I-ben mint D-vektortérben, akkor Ker ϕi = V . Könnyen látható, hogy ha egy ϕ ∈ R elemre Ker ϕ = V teljesül, akkor minden olyan ϕ′ lineáris transzformációt, melyre Ker ϕ′ ⊃ V , kifejezhetünk ψϕ alakban valamilyen ψ ∈ R elemmel. Ebből pedig könnyen adódik, hogy ha ϕ1 , ϕ2 ∈ I, akkor I-ben van olyan ϕ¯ transzformáció, melyre Ker ϕ¯ = Ker ϕ1 ∩ Ker ϕ2 . Ezt az észrevételt alkalmazva a ϕ1 , . . . , ϕk leképezésekre, találhatunk egy olyan ϕ¯ ∈ I elemet, melyre Ker ϕ¯ = V , s ebből az előbb elmondottak értelmében az következik, hogy I tartalmaz minden olyan ϕ transzformációt, melyre ϕ(V ) = 0, azaz I = {ϕ | ϕ(V ) = 0} = V I. A jobbideálok hasonlóképpen határozhatók meg. Tegyük föl végül, hogy I kétoldali ideál. Balideálként I valamilyen V altérhez tartozik: I = {ϕ | ϕ(V ) = 0}. Legyen x ∈ V , melyre x 6= 0. Bármely ϕ ∈ I-re ϕ(x) = 0. Mivel I jobbideál is, tetszőleges ψ ∈ R elemre ϕψ ∈ I, így ϕ(ψ(x)) = 0. De ψ(x) alakban bármely L-beli vektor előáll, így I = 0. Azt kaptuk tehát, hogy az Mn (D) mátrixgyűrűvel izomorf R gyűrű egyszerű. Egyszerű gyűrűre további példát szolgáltat a polinom-együtthatós differenciáloperátorok gyűrűje, amelyet itt R-rel jelölünk. A könnyebb érthetőség kedvéért d operátorként értelmezzük, akkor legyen a változók száma n = 1. Ha p-t a dx könnyű hogy teljesül az alábbi reláció: pf (q) − f (q)p = f ′ (q). Ha egy P ellenőrizni, D= fi (q)pi benne van egy I ideálban, és D 6= 0, akkor ismételten áttérve a pD − Dp kifejezésre, egy olyan konstans együtthatós ∆ ∈ I elemet kaphatunk, amely p-nek nemnulla polinomja: ∆ = g(p). Mivel a (9)-es összefüggések nem különböztetik meg p-t és q-t, azt kapjuk, hogy g(p)q − qg(p) = g ′ (p). Ilyen kifejezések többszöri alkalmazásával végül egy nemnulla konstans elemet találunk I-ben, amiből I = R következik. (Az érvelésünk helyessége érdekében föl kell tennünk, hogy az együtthatótest karakterisztikája 0.) 14. példa. Legyen adva egy L vektortér, s rajta egy F kvadratikus alak. (Tegyük föl, hogy az alaptest karakterisztikája 6= 2.) A C(L) és C 0 (L) Clifford-

80

9. fejezet Nemkommutatív gyűrűk fölötti modulusok

algebrák igen közel vannak ahhoz, hogy egyszerűek legyenek. Az alábbi eredményt könnyen ellenőrizhetjük. A C(L) algebra egyszerű, ha n ≡ 0 (mod 2) (ahol n = dim L), és ilyenkor Z(C(L)) = K. A C 0 (L) algebra egyszerű, ha n ≡ 1 (mod 2), és ilyenkor Z(C 0 )) = K. A maradék esetek a z = e1 · · · en ∈ C(L) elem tulajdonságaitól függnek, ahol e1 , . . . , en ortogonális bázist alkot L-ben. Könnyen látható, hogy z benne van C(L) centrumában, ha n ≡ 1 (mod 2), és benne van C 0 (L) centrumában, ha n ≡ 0 (mod 2). Az illető algebrák centruma mindkét esetben K + Kz alakú. Ekkor z 2 = a ∈ K, és az n paritásától függően a = (−1)n/2 D, ill. a = 2(−1)(n−1)/2 D; itt D az F kvadratikus alak diszkriminánsát jelenti √ az e1 , . . . , en bázisra nézve. Ha a√nem négyzet K-ban, akkor K + Kz = K( a), és az illető algebra egyszerű, K( a) centrummal. Ha a négyzet K-ban, akkor K +Kz izomorf lesz K ⊕ K-val, és az illető Clifford-algebra két azonos rangú egyszerű algebrának a direkt összege, melyeknek a centruma K.

9. Nemkommutatív gyűrűk fölötti modulusok A modulus fogalmát ugyanúgy definiálhatjuk egy tetszőleges R gyűrű fölött, mint a kommutatív gyűrűk esetében: modulusnak egy olyan M halmazt nevezünk, melyben bármely két x, y ∈ M elemnek értelmezve van az x + y-nal jelölt összege, és hasonlóképpen, tetszőleges x ∈ M és a ∈ R elemek esetén értelmezve van az ax ∈ M szorzat; teljesülniük kell továbbá az alábbi feltételeknek (minden x, y, z ∈ M -re és a, b ∈ R-re): x + y = y + x; (x + y) + z = x + (y + z); létezik egy 0 ∈ M , melyre 0 + x = x + 0 = x; létezik −x ∈ M , melyre x + (−x) = 0; 1 · x = x; (ab)x = a(bx); (a + b)x = ax + bx;

a(x + y) = ax + ay.

                            

(1)

Ugyanígy nem függnek a gyűrűbeli szorzás kommutativitásától az alábbi fogalmak sem: izomorfizmus, homomorfizmus, homomorfizmus magja és képe, faktormodulus, direkt összeg. Az R gyűrű maga is modulus önmaga fölött, ha az a mint gyűrűelem és az x mint moduluselem szorzatát ax-ként értelmezzük. Ennek a modulusnak a részmodulusai épp az R balideáljai lesznek. Ha I balideál, akkor az I szerinti mellékosztályok egy R/I-vel jelölt modulust alkotnak R fölött. Ha az x-et mint moduluselemet jobbról szorozzuk a-val mint gyűrűelemmel, akkor ilyen módon nem kapunk R-modulus-struktúrát. Vezessük ugyanis be a következő ideiglenes jelölést: {ax} = xa (itt az egyenlőség bal oldalán a modulusbeli szorzat áll, a jobb oldalon pedig a gyűrűbeli szorzat). Ekkor

81

9. fejezet Nemkommutatív gyűrűk fölötti modulusok

{(ab)x} = {b{ax}}, ez pedig ellentmond az (1)-es axiómáknak. Azt azonban elmondhatjuk, hogy ilyen módon az R gyűrű az R′ oppozitgyűrű fölötti modulussá válik. Ennek az R′ -modulusnak részmodulusai az R jobbideáljai lesznek. A nemkommutatív gyűrűk fölötti modulusokra a leglényegesebb példát maguk a gyűrűk, valamint ideáljaik szolgáltatják (ha úgy tekintünk rájuk, mint az adott gyűrű fölötti modulusokra). Rövidesen látni fogjuk, milyen hasznosak ezek modulusok a gyűrűk vizsgálatánál. A csoportok reprezentációelmélete pedig a csoportgyűrűk fölötti modulusokat vizsgálja; ezzel később részletesen is foglalkozunk. Ha R algebra egy K test fölött, akkor minden R-modulus egyúttal vektortér is K fölött (lehet, persze, végtelen dimenziós is). A modulusaxiómák azt mutatják, hogy bármely a ∈ R gyűrűelemre a ϕa (x) = ax (x ∈ M ) egyenlőséggel értelmezett ϕa leképezés ennek a vektortérnek egy lineáris transzformációját adja meg. Ezenkívül az is látható, hogy ha a-nak megfeleltetjük ezt a ϕa lineáris transzformációt, akkor ilyen módon egy homomorfizmust kapunk az R algebrából az EndK M algebrába, amely az M -nek mint K-vektortérnek az összes lineáris transzformációjából áll. Megfordítva: ha adva van egy R → EndK L homomorfizmus egy L vektortér lineáris transzformációinak az algebrájába (melynél az a elemnek ϕa felel meg), akkor ez a megfeleltetés egy természetes R-modulusstruktúrát ad meg L-en: ax = ϕa (x), ha a ∈ R, és x ∈ L.

(2)

Ebben az esetben néha az általánostól egy kissé eltérő terminológiát használunk. Az eset különös fontossága miatt megismételjük az általános esetben már megismert legfontosabb fogalmak definícióit, most már az új kifejezéseket használva. A modulus definíciójának átfogalmazása. Legyen R algebra a K test fölött, L pedig K-vektortér. Ekkor az R egy reprezentációja az L-en egy homomorfizmust jelent R-ből az L lineáris transzformációinak algebrájába, EndK Lbe. Más szóval, az R reprezentációja minden a ∈ R elemnek egy ϕa lineáris transzformációt feleltet meg oly módon, hogy teljesüljenek a következők: ϕ1 = E (az identikus leképezés); ϕαa = αϕa minden α ∈ K és a ∈ R elemre; ϕa+b = ϕa + ϕb minden a, b ∈ R elemre; ϕab = ϕa ϕb minden a, b ∈ R elemre.

(3) (4) (5) (6)

A részmodulus definíciójának átfogalmazása. Részreprezentáción egy olyan V ⊂ L alteret értünk, amely invariáns minden ϕa transzformációra (a ∈ R), s amelyen az R reprezentációját ezeknek a transzformációknak a megszorítása adja. A faktormodulus definíciójának átfogalmazása. Egy V ⊂ L részreprezentáció szerinti faktorreprezentáción az L/V faktorteret értjük a ϕa transzformációk által indukált reprezentációval.

82

9. fejezet Nemkommutatív gyűrűk fölötti modulusok

Ha R véges dimenziós algebra P a K test fölött az 1 = e1 , e2 , . . . , en báziselemekkel, valamint az ei ej = cijk ek szorzástáblával, akkor a reprezentáció definíciójában megadott (3)–(6) feltételek arra redukálódnak, hogy meg kell adnunk olyan ϕe1 , . . . , ϕen transzformációkat, amelyek kielégítik az alábbi öszszefüggéseket: ϕ1 = E, P ϕ ei ϕ ej = cijk ϕek .

(7) (8)

Hogyha R = K[G] egy G véges csoporthoz tartozó csoportalgebra, ebben az esetben a (7), (8) feltételek az alábbi formában írhatók: ϕ1 = E, ϕg 1 g 2 = ϕ g 1 ϕg 2 .

(9) (10)

A (9)–(10) feltételek azt is biztosítják, hogy valamennyi ϕg transzformáció invertálható. Ha G végtelen csoport, és a csoportalgebrát a csoportelemek lineáris kombinációinak halmazaként értelmezzük (lásd a 8. fejezet 4. példáját), akkor ugyanígy a (10)-es feltétellel definiálhatunk egy reprezentációt. Ha viszont a csoportalgebrát a csoporton értelmezett függvények halmazaként értelmezzük, és a függvények konvolúcióját használjuk műveletnek, akkor a G csoport elemei csupán delta-függvényekként vannak benne az algebrában, és ily módon a ϕg operátorok esetleg nem léteznek. Ha viszont léteznek a (9)-es és (10)-es feltételeknek eleget tevő ϕg operátorok, akkor az f függvénynek megfelelő ϕf operátort az f (g)ϕg operátorfüggvényeknek az egész csoporton értelmezett integráljaként definiálhatjuk. Így csoportreprezentációkra a (9)-es és (10)-es feltételek erősebbek, mint a (3)–(6)-os feltételek a csoportalgebrákra, és így mostantól fogva a (9)-es és (10)-es feltételek teljesülését vesszük a csoportreprezentációk definíciójának. Ha az az M modulus, amely fölött az R algebra reprezentációja megvalósul, véges dimenziós a K test fölött, úgy azt mondjuk, hogy a reprezentáció véges dimenziós. Ebben az esetben a ϕa transzformációt egy mátrix határozza meg (mihelyt rögzítettük M -nek egy bázisát). Most fogalmazzuk át a reprezentációelmélet alapfogalmait erre az új nyelvre. Az R algebra véges dimenziós reprezentációján egy R → Mn (K) homomorfizmust értünk, amely minden a ∈ R elemhez egy Ca ∈ Mn (K) mátrixot rendel hozzá, s amelyre teljesülnek az alábbiak: C1 = E, Cαa = αCa , Ca+b = Ca + Cb , Cab = Ca Cb Ha egy G csoport reprezentációjáról van szó, akkor ezeket a feltételeket az alábbiak váltják föl: Ce = E, Cg1 g2 = Cg1 Cg2 .

83

9. fejezet Nemkommutatív gyűrűk fölötti modulusok

Az izomorfizmus definíciójának átfogalmazása. Az a 7→ Ca , illetve az a 7→ Ca′ reprezentációkat ekvivalensnek nevezzük, ha létezik egy P invertálható mátrix, amelyre Ca′ = P Ca P −1 teljesül minden a ∈ R esetén. A részmodulus definíciójának átfogalmazása. Az a 7→ Ca reprezentációnak az a 7→ Da hozzárendelés részreprezentációja, ha létezik egy olyan invertálható P mátrix, hogy a Ca′ = P Ca P −1 mátrixok az alábbi alakúak: " # D S a a Ca′ = . (11) 0 Fa

A faktormodulus definíciójának átfogalmazása. A (11)-es képlet Fa mátrixai adják az adott részreprezentáció szerinti faktorreprezentációt. A direkt összeg definíciójának átfogalmazása. Ha a (11)-es képletben minden a ∈ R elemre Sa = 0, akkor azt mondjuk, hogy a Ca reprezentáció a Da és Fa reprezentációk direkt összege. Igen fontos reprezentációt kapunk, ha magát az R algebrát tekintjük modulusnak önmaga fölött. Ezt hívják reguláris reprezentációnak . Ha R-ben az e1 , . . . , en elemek egy véges bázist alkotnak, s a hozzájuk tartozó struktúrakonstansokat cijk jelöli, akkor reguláris reprezentációnál P az α1 e1 + · · · + αn en elemhez az a (pjk ) mátrix tartozik, amelyben pjk = cikj αi . i

Térjünk most vissza a tetszőleges R gyűrű fölötti modulusokhoz (azaz R-ről most nem tesszük föl, hogy algebra), és vizsgáljunk meg egy, a végesdimenzióssághoz hasonló fontos feltételt. Egy vektortér dimenzióját ugyanis úgy is meghatározhatjuk mint a benne levő leghosszabb altérlánc hosszát. Ehhez a meghatározáshoz kapcsolódik ez az új feltétel. Egy M R-modulus hosszán (vagy kompozícióhosszán) az M -beli M = M0 ) M1 ) · · · ) Mr = 0

részmodulusláncok hosszainak (jelen esetben ez a szám r) szuprémumát értjük. Egy modulus hossza természetesen lehet véges és végtelen is. Tekintsünk most egy M véges hosszúságú modulust (jelölje ezt a hosszat r), és legyen M = M0 ) M1 ) · · · ) Mr = 0 egy maximális hosszúságú részmoduluslánc. Ha az Mi /Mi+1 faktormodulus tartalmazna egy N részmodulust, amely különbözne magától az Mi /Mi+1 modulustól, valamint a 0-tól, akkor az N -nek az Mi → Mi /Mi+1 kanonikus homomorfizmusnál vett teljes ősképe egy M ′ részmodulust adna, melyre Mi ) M ′ ) Mi+1 teljesülne. Ezt az eredeti részmodulusláncba beírva egy, az eredetinél hosszabb láncot kapnánk. Így Mi /Mi+1 -ben nem létezhet az adott típusú részmodulus. Egy igen fontos fogalomhoz jutottunk ezáltal. Az M modulust egyszerűnek nevezzük, ha 0-n és M -en kívül más részmodulusa nincs. Egy algebra (vagy egy csoport) valamely reprezentációját irreducibilisnek nevezzük, ha a hozzá tartozó modulus egyszerű. Az egyszerűség nagyon erős feltételt ad.

84

9. fejezet Nemkommutatív gyűrűk fölötti modulusok

1. példa. Test fölötti vektorterek esetén egyedül az 1-dimenziós vektorterek egyszerűek. 2. példa. Legyen L véges dimenziós komplex vektortér, és legyen megadva egy ϕ lineáris transzformáció. Ekkor L modulus a C[t] gyűrű fölött (5. fejezet, 3. példa). Mivel ϕ-nek mindig van sajátvektora, tehát egy 1-dimenziós invariáns altere, ezért L ismét csak abban az esetben lesz egyszerű, ha 1-dimenziós. 3. példa. Vegyünk egy R gyűrűt mint önmaga fölötti modulust. Ez a modulus pontosan akkor egyszerű, ha R-ben nincs (nemtriviális) balideál, azaz ha R ferdetest. Legyenek M és N egyszerű modulusok, és ϕ : M → N közöttük menő homomorfizmus. A föltevés szerint Ker ϕ = 0 vagy M , és Im ϕ = 0 vagy N . Ha Ker ϕ = M , vagy Im ϕ = 0, akkor ϕ a 0 homomorfizmus. Egyébként viszont Ker ϕ = 0, és Im ϕ = N , úgyhogy ϕ izomorfizmus. Így a következő eredményt kaptuk. I. Schur-lemma. Egy egyszerű modulusnak egy másik egyszerűbe menő tetszőleges homomorfizmusa vagy a 0 homomorfizmus, vagy izomorfizmus. Visszatérve a modulusok hosszának fogalmához, láttuk, hogy amennyiben egy M modulusnak a hossza r, akkor egy M = M0 ) M1 ) · · · ) Mr = 0 részmodulusláncban valamennyi Mi /Mi+1 faktormodulus egyszerű. Egy olyan M = M0 ) M1 ) · · · ) Mr = 0 részmodulusláncot, amelyben minden Mi /Mi+1 egyszerű, kompozícióláncnak nevezünk. A következő állítást mondhatjuk ki. II. Jordan–Hölder-tétel. Egy adott modulus valamennyi kompozícióláncának azonos a hossza (speciálisan, vagy mindegyik véges, vagy mindegyik végtelen). Ha a kompozícióláncok végesek, akkor a rákövetkező tagokból képzett Mi /Mi+1 faktormodulusok ugyanazok minden kompozícióláncnál (csak esetleg különböző sorrendben fordulnak elő). Így tehát egy véges hosszúságú modulusban a leghosszabb részmodulusláncok éppen a kompozícióláncok. Most kiterjesztjük a kompozícióhossz fogalmát gyűrűkre is. Egy R gyűrű hosszán R-nek mint önmaga fölötti modulusnak a kompozícióhosszát értjük. Így tehát R hossza r, ha van benne balideáloknak egy R ) I1 ) · · · ) Ir = 0 lánca, de ennél hosszabb ilyen lánc nem létezik. Láttuk már, hogy a ferdetestek hossza 1. A D ferdetest fölötti Mn (D) teljes mátrixgyűrű balideáljai a D′ oppozitgyűrű fölötti n-dimenziós vektortér altereinek feleltethetők meg (lásd a 8. fejezet 13. példáját), így az Mn (D) mátrixgyűrű kompozícióhossza n. Természetesen, ha R algebra a K test fölött, akkor a hossza nem haladhatja meg a K fölötti rangját. Egy véges hosszúságú modulus végesen generálható, miként azt a kommutatív gyűrűk fölötti Noether-modulusokkal vett analógia mutatja. Ha az R gyűrűnek véges a hossza, akkor tetszőleges végesen generált Rmodulusnak is véges lesz a kompozícióhossza. Ez abból következik, hogy ha

85

10. fejezet Féligegyszerű modulusok és gyűrűk

az M modulus generálható az x1 , . . . , xn elemekkel, akkor az (a1 , . . . , an ) 7→ a1 x1 + · · · + an xn megfeleltetésnél az M homomorf képe lesz Rn -nek, s mivel véges kompozícióhosszú modulusnak lesz faktora, ezért sajátmagának is véges lesz a hossza. Befejezésképpen vizsgáljunk meg részletesebben egy olyan fogalmat, mellyel igen gyakran találkoztunk a kommutatív gyűrűk fölötti modulusok elméletében. Egy M R-modulusnak az önmagába menő homomorfizmusait endomorfizmusoknak nevezzük. Egy modulus összes endomorfizmusa nyilvánvalóan gyűrűt alkot; jelöljük ezt a gyűrűt EndR M -mel. A kommutatív esettől eltérően most nem értelmezhetjük egy ϕ ∈ EndR M endomorfizmusnak egy a ∈ R gyűrűelemmel vett szorzatát. Az x 7→ aϕ(x) leképezés ugyanis általában nem lesz endomorfizmus R fölött; így az endomorfizmusoknak R-beli elemekkel való szorzatát nem definiáljuk. 4. példa. Tekintsük az R gyűrűt mint R-modulust. Mi az endomorfizmusgyűrűje ennek a modulusnak, azaz mi lesz EndR R ? A definíció értelmében endomorfizmuson egy olyan R-ből R-be képező ϕ leképezést értünk, amely kielégíti az alábbi feltételeket: ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), és ϕ(ax) = aϕ(x) minden a, x, y ∈ R elemre.

(12)

Ha most bevezetjük a ϕ(1) = f jelölést, akkor a (12)-es összefüggést x = 1re alkalmazva azt kapjuk, hogy ϕ(a) = af minden a ∈ R elemre. Ily módon R bármely endomorfizmusa egy f ∈ R elemmel való jobbszorzásként adható meg. Ebből az következik, hogy EndR R izomorf az R oppozitgyűrűjével. 5. példa. Tegyük föl, hogy az M modulus egy P modulus n példányban vett direkt összegével izomorf, azaz M ∼ = P n . Ekkor az M modulus (x1 , . . . , xn ) típusú n-esekből áll, ahol xi ∈ P . A helyzet ugyanaz, mint a vektorterek lineáris transzformációinak leírásánál, és a válasz is hasonló. Egy ϕ ∈ EndR M és egy x ∈ P elemre legyen ϕ((0, . . . , x, . . . , 0)) = (ψi1 (x), . . . , ψin (x)) (ahol az egyenlőség bal oldalán x az i-edik helyen áll). A ψij leképezések P -ből P -be képező homomorfizmusok, azaz ψij ∈ EndR P . Ha ϕ-nek megfeleltetjük a (ψij ) mátrixot, melyben az elemek EndR P -ből valók, akkor a következő izomorfizmust kapjuk: EndR P n ∼ = Mn (EndR P ). Tekintsük most azt a speciális esetet, amikor P izomorf a D ferdetesttel mint önmaga fölötti modulussal. Ekkor (a 4. példa eredményét fölhasználva) a ferdetest fölötti vektorterek lineáris transzformációinak ugyanazt a leírását kapjuk, mint amelyet már korábban is láttunk (lásd a 8. fejezet 1. tételét). 6. példa. Egy M egyszerű modulus endomorfizmusgyűrűje, EndR M ferdetest: ez az I. tétel közvetlen következménye.

86

10. fejezet Féligegyszerű modulusok és gyűrűk

10. Féligegyszerű modulusok és gyűrűk A nemkommutatív gyűrűk fölötti modulusok elméletében, valamint a nemkommutatív gyűrűk szerkezetének a tanulmányozásában sokkal messzebbre juthatunk az előző fejezet általános definícióinál és majdnem triviális állításainál, ha olyan modulusokra szorítkozunk, amelyek kielégítik a féligegyszerűség erős, de gyakran használt feltételét. Egy M modulus féligegyszerű , ha M minden részmodulusa direkt összeadandó. Ez azt jelenti, hogy minden N ⊂ M részmodulushoz létezik egy N ′ ⊂ M részmodulus, amelyre M = N ⊕ N ′ . Nyilvánvaló, hogy féligegyszerű modulusok részmodulusa, homomorf képe és ilyen modulusok direkt összege is féligegyszerű. Minden egyszerű modulus féligegyszerű. Véges hosszúságú modulusnak mindig van egyszerű részmodulusa, ezért egy véges hosszúságú féligegyszerű modulus egyszerű modulusok direkt összege. A Jordan-Hölder tételből következik (vagy még ennél is egyszerűbben le lehet vezetni a 9. fejezet I. tételéből), hogy a féligegyszerű modulusok egyszerűekre való fölbontása egyértelmű (azaz az egyszerű direkt összeadandók izomorfia erejéig egyértelműek). A direkt összeadandók száma megegyezik a modulus hosszával. Ha P ⊂ M egyszerű, és N ⊂ M egy tetszőleges részmodulus, akkor vagy P ⊂ N , vagy P ∩ N = 0. Ebből levezethetjük a következő tételt. I. tétel. Ha egy modulust véges sok egyszerű részmodulusa generál, akkor ez a modulus féligegyszerű, és véges hosszúságú. Valóban, ha a P1 , . . . , Pn egyszerű modulusok generálják az M modulust, és N ⊂ M , de N 6= M , akkor van olyan i, amelyre Pi 6⊂ N . Ekkor Pi ∩ N = 0, és a Pi és N által generált részmodulus izomorf a Pi ⊕ N direkt összeggel. Most erre alkalmazva az előbbi gondolatmenetet, véges sok lépés után eljutunk egy M = N ⊕ N ′ fölbontáshoz. 1. példa. Legyen M egy véges dimenziós L vektortér egy ϕ lineáris transzformációval; erre úgy is tekinthetünk, mint egy K[t] fölötti modulusra (ld. 5. fejezet, 3. példa). Tegyük föl, hogy K algebrailag zárt. Ekkor, ha M egyszerű, akkor L 1-dimenziós vektortér (vö. 9. fejezet, 2. példa). Ezért M akkor és csak akkor féligegyszerű, ha L 1-dimenziós invariáns alterek direkt összege, azaz, ha ϕ diagonalizálható. A féligegyszerűség általános jelentése szintén közel van ahhoz, amit úgy fogalmazhatnánk meg, hogy „nincs nemdiagonális Jordan-blokk”. 2. példa. Tegyük föl, hogy M a komplex számtest fölötti R algebra valamely ϕ véges dimenziós reprezentációjának megfelelő modulus; tegyük föl továbbá, hogy M -en mint C fölötti vektortéren adva van egy (x, y) hermitikus skaláris szorzás, és a ϕ reprezentációra teljesül, hogy minden a ∈ R-hez van olyan a′ ∈ R, hogy ϕ∗a = ϕa′ (ahol ϕ∗ az adjungált transzformációt jelöli). Ekkor M féligegyszerű modulus. Ha ugyanis N ⊂ M olyan altér, amely minden a ∈ R esetén invariáns a ϕa transzformációra nézve, akkor az N ortogonális komplementuma, N ′ invariáns

87

10. fejezet Féligegyszerű modulusok és gyűrűk

lesz a ϕ∗a transzformációkra nézve, így a föltevés miatt minden ϕa transzformációra is. Tehát M = N ⊕ N ′ mint R-modulus.

3. példa. Tegyük föl, hogy M egy G csoport valamely C fölötti véges dimenziós ϕ reprezentációjához tartozó modulus, amelyen ezúttal is definiálva van egy hermitikus skalárszorzás úgy, hogy a ϕg operátor unitér minden g ∈ Gre, azaz (ϕg (x), ϕg (y)) = (x, y). (1) Ekkor M féligegyszerű. A bizonyítás ugyanaz, mint a 2. példában. A féligegyszerűség fogalma csoportok végtelen dimenziós reprezentációira is kiterjeszthető, annyi módosítással, hogy ilyenkor az M moduluson mint C fölötti vektortéren megadunk egy topológiát vagy normát, és a definícióban szereplő N részmodulusról föltesszük, hogy zárt. Speciálisan, ha a 3. példában M egy Hilbert-tér az (x, y) hermitikus skalárszorzással, akkor ugyanaz a bizonyítás végigvihető. 4. példa. Egy G véges csoport bármely C fölötti véges dimenziós reprezentációja féligegyszerű modulust ad. Ez a helyzet az előző példáéra vezethető vissza. Vezessünk be M -en (mint C fölötti vektortéren) egy tetszőleges {x, y} hermitikus skalárszorzást, és definiáljuk az (x, y) =

ª 1 P © ϕg (x), ϕg (y) , |G| g∈G

(2)

szorzást, ahol |G| a G csoport elemeinek számát jelöli. Könnyen láthatjuk, hogy az (x, y) szorzás kielégíti a 3. példa feltételeit. Ezt a bizonyítást tetszőleges test fölötti reprezentációra is lehet alkalmazni. 5. példa. Legyen G véges csoport, melynek a rendje n, és tegyük föl, hogy az n nem osztható a K test karakterisztikájával. Ekkor G-nek a K fölötti bármely véges dimenziós reprezentációja féligegyszerű modulust ad. Legyen ugyanis M az a vektortér, amin a ϕ reprezentáció hat, és N ⊂ M egy részmodulus. Válasszunk egy tetszőleges olyan N ′ alteret, amelyre M = N ⊕ N ′ (mint vektortér). Legyen π ′ az M -nek az N -re való, N ′ irányú vetítése, azaz, ha x = y + y ′ , ahol x ∈ M , y ∈ N és y ′ ∈ N ′ , akkor π ′ (x) = y. Tekintsük a π=

1 P −1 ′ ϕ π ϕg n g∈G g

(3)

lineáris transzformációt. Könnyen ellenőrizhetjük, hogy ekkor πM ⊂ N , πx = x minden x ∈ N -re, és ϕg π = πϕg minden g ∈ G-re. Ebből következik, hogy π az M -nek N -re való vetítése az N1 = Ker π altér irányában, és hogy N1 invariáns ϕg -re minden g ∈ G esetén, azaz N1 olyan részmodulusa M -nek, amelyre M = N ⊕ N1 . A modulusok féligegyszerűségének fogalmát átvihetjük gyűrűkre is. Egy R gyűrű féligegyszerű , ha önmaga fölötti modulusként féligegyszerű. A 4. és 5. példából következik, hogy egy véges G csoportnak egy K test fölötti csoportalgebrája féligegyszerű, ha a csoport rendje nem osztható a test karakterisztikájával.

88

10. fejezet Féligegyszerű modulusok és gyűrűk

II. tétel. Ha R egy véges hosszúságú egyszerű gyűrű (ld. a 8. fejezetet), akkor R féligegyszerű. Tekintsük ugyanis R-nek azt az I részmodulusát, amelyet az egyszerű részmodulusok generálnak. Minthogy R véges hosszúságú, I-t véges sok P1 , . . . , Pn részmodulus generálja. Nyilvánvaló, hogy I balideál R-ben. De I jobbideál is, mert bármely a ∈ R-re Pi a szintén egyszerű részmodulus, tehát Pi a ⊂ I, és így Ia ⊂ I. Mivel R egyszerű, I = R, azaz R-et a Pi egyszerű részmodulusai generálják, és akkor az I. tétel szerint féligegyszerű. Egy féligegyszerű gyűrű fölötti modulusok explicit leírását adja az alábbi tétel. III. tétel. Ha R véges hosszúságú féligegyszerű gyűrű, és R = P1 ⊕ · · · ⊕ Pn az R-nek mint önmaga fölötti modulusnak a fölbontása egyszerű modulusok direkt összegére, akkor a Pi (i = 1, . . . , n) modulusokon kívül nincs más egyszerű modulus R fölött. Bármely véges hosszúságú modulus féligegyszerű, és a Pi modulusok valahány példányának direkt összegeként írható. Valóban, ha M egy R fölötti modulus, és x1 , . . . , xk elemei M -nek, akkor definiálhatunk egy f : Rk → M homomorfizmust, amelyre f ((a1 , . . . , ak )) = a1 x1 + · · · + ak xk . Mivel M véges hosszúságú, az x1 , . . . , xk elemek választhatók úgy, hogy f képe az egész M legyen. Tehát M homomorf képe egy féligegyszerű modulusnak, következésképpen maga is féligegyszerű. Ha M egyszerű, akkor Rk -t P1k ⊕ · · · ⊕ Pnk alakban írva láthatjuk, hogy mivel minden M -mel nemizomorf Pj -re f (Pj ) = 0, van olyan i, amelyre Pi ∼ = M. Következmény. Egy véges hosszúságú féligegyszerű gyűrű fölött izomorfia erejéig csak véges sok egyszerű modulus van. Most elkezdjük a véges hosszúságú féligegyszerű gyűrűk szerkezetének leírását. Mint önmaga fölötti modulus, a gyűrű egyszerű részmodulusok direkt összegére bomlik: R = P1 ⊕ · · · ⊕ Pk . (4) Ebben a fölbontásban fogjuk össze azokat a tagokat, amelyek mint R-modulusok izomorfak egymással: R = (P1 ⊕ · · · ⊕ Pk1 ) ⊕(Pk1 +1 ⊕ · · · ⊕ Pk2 ) ⊕ · · · ⊕(Pkp−1 +1 ⊕ · · · ⊕ Pkp ), azaz ahol

R = R1 ⊕ R2 ⊕ · · · ⊕ Rp , Ri =

P

ki−1 xα minden α-ra, és ha z > xα minden S xα -ra, akkor z > y. Ezt az y elemet az xα elemek öszszegének nevezzük és xα -val jelöljük. Így például a P összes elemének összege is létezik (ez a „teljes projektív tér”), és ezt I-vel vagy I(P)-vel jelöljük. 2. xα ∈ P elemek bármely halmazához van egy olyan y ′ , hogy y ′ 6 xα ′ ′ ′ minden α-ra, és ha z ′ 6 xα minden x Tα -ra, akkor z 6 y . Ezt az y elemet az xα elemek metszetének nevezzük és xα -val jelöljük. Így például a P összes elemének metszete is létezik (ez az „üres halmaz”), és ezt ∅-zal vagy ∅(P)-vel jelöljük. A továbbiakban az x, y ∈ P, y 6 x elemekre x/y azt a részbenrendezett halmazt jelöli, ami P-nek azon z elemeiből áll, amelyekre y 6 z 6 x. Nyilvánvaló, hogy az 1. és 2. feltételek az x/y részbenrendezett halmazra is teljesülnek. 3. Bármely x, y ∈ P-re és a ∈ x/y-ra létezik olyan b ∈ x/y, hogy a ∪ b = I(x/y) és a ∩ b = ∅(x/y). Ha b′ ∈ x/y egy másik ilyen elem, és b 6 b′ , akkor b = b′ . 4. Véges hosszúság: az a1 6 a2 6 · · · 6 ar láncok hossza, ahol a1 6= a2 , a2 6= a3 , . . . , ar−1 6= ar , korlátos. Egy a ∈ P nemnulla elemet pontnak hívunk, ha b 6 a és b 6= a esetén b = ∅. 5. Bármely két a, b ponthoz van olyan c pont, amelyre c 6= a, c 6= b, és c 6 a ∪ b. Egy olyan részbenrendezett halmazt, amely kielégíti az 1–5. feltételeket, projektív térnek hívunk. Be lehet látni, hogy az ∅-tól az a ∈ P elemig terjedő maximális hosszúságú láncnak a hossza egy olyan d(a) dimenziófüggvényt definiál, amely kielégíti a d(a ∩ b) + d(a ∪ b) = d(a) + d(b) feltételt. A d(I) számot nevezzük a P dimenziójának . n-dimenziós projektív térre példát ad a D ferdetest fölötti (n + 1) dimenziós vektortér altereinek tere, Pn (D). Ezzel kapcsolatban kimondhatjuk a következő eredményt. VII. A projektív geometria alaptétele. (a) n > 2 esetén a Pn (D) projektív tér (mint részbenrendezett halmaz) meghatározza az n számot és a D ferdetestet; és (b) ha P egy legalább 3-dimenziós projektív tér, akkor P (mint részbenrendezett halmaz) izomorf a Pn (D)-vel valamely D ferdetestre.

92

10. fejezet Féligegyszerű modulusok és gyűrűk

A bizonyítás azon alapszik, hogy mesterségesen bevezetünk egy koordinátarendszert a projektív térben (azaz „koordinátázzuk” a teret); az alapötlet tulajdonképpen jelen van már a síkbeli intervallumokkal való számolásnál is (ld. 2. fejezet, 5. és 6. ábra). Miként az ottani számításokban, a koordinátaként megjelenő halmazokat most is elég könnyű megkonstruálni. Ezen a halmazon azután definiálunk egy összeadást és egy szorzást; a nehézség abban van, hogy igazoljuk a ferdetest axiómáit. Ennek a kulcsa a következő, „Desargues-tétel”-ként ismert állítás. VIII. Desargues-tétel. Ha az ABC és A′ B ′ C ′ háromszögek megfelelő csúcsait összekötő AA′ , BB ′ és CC ′ , egyenesek egy pontban metszik egymást, akkor a háromszögek megfelelő oldalainak metszéspontjai egy egyenesen vannak (ld. a 11. ábrát).

11. ábra.

Ezt a tételt viszont csak akkor lehet levezetni a projektív tér axiómáiból, ha a tér dimenziója > 3. A 2-dimenziós esetben, azaz amikor egy projektív síkról van szó, ez nem következik az axiómákból, és nem is igaz, hogy minden projektív sík izomorf lenne P2 (D)-vel valamely D-re. Ahhoz, hogy ez az állítás igaz legyen, szükséges és elégséges feltétel, hogy a fenti tételt mint Desargueaxiómát bevegyük az axiómák közé. Az említett eredmények jól jellemzik az általános ferdetesteknek a projektív geometriában játszott szerepét: segítségükkel explicit módon megadhatjuk az összes nemizomorf n-dimenziós projektív teret (n = 2 esetén a Desargues axiómát is beleértve a definícióba). Miként az várható is, a ferdetestek algebrai tulajdonságai megmutatkoznak a hozzájuk tartozó geometriák geometriai tulajdonságaiban. Így például a D ferdetest kommutativitása a Pn (D) (n > 2) terekről szóló alábbi állítással ekvivalens. IX. Papposz „tétele”. Ha egy P1 P2 P3 P4 P5 P6 hatszög csúcsai közül háromhárom egy-egy egyenesen van, akkor a szemközti oldalak, azaz P1 P2 és P4 P5 , P2 P3 és P5 P6 , valamint P3 P4 és P6 P1 metszéspontjai egy egyenesen vannak (12. ábra).

93

10. fejezet Féligegyszerű modulusok és gyűrűk

P3 P5

P1

P4 P2 P6 12. ábra.

Az a feltétel pedig, hogy a D ferdetestnek 2 a karakterisztikája, a következő axiómával ekvivalens. X. Fano-axióma. Egy síkbeli ABCD négyszögben a szemközti oldalak (és átlók), AB és DC, AD és BC, valamint AC és BD, metszéspontjai egy egyenesen vannak. A 13. ábrán nem teljesül ez a tulajdonság, mert a valós számok testének a karakterisztikája 6= 2.

D

A

C

B 13. ábra.

Ugyanebbe a gondolatkörbe illeszkednek bele egyes geometriai axiómarendszerek azon véges modelljei is, amelyekkel az 1. fejezetben foglalkoztunk (lásd az 1. és a 2. ábrát). Ezek az F2 és F3 fölötti véges affin síkok voltak, amelyeket úgy kaphatunk meg a P2 (F2 ), illetve P2 (F3 ) projektív síkokból, hogy egy egyenest a pontjaival együtt elhagyunk belőlük (ezek pontok a megmaradó pontok és egyenesek alkotta geometria szemszögéből a „végtelenben lesznek”). A véges hosszúságú egyszerű gyűrűknek és az ezekkel kapcsolatos eddig ismertetett elméletnek számos végtelen dimenziós általánosítása van. Az egyik ilyen a féligegyszerűséget feltételezi (2. példa), és a VI. tétel kritériumát használja annak eldöntésére, hogy mikor egyszerű egy féligegyszerű gyűrű. Ez a következő definícióhoz vezet. Egy komplex Hilbert-tér korlátos operátoraiból álló gyűrűnek egy R részgyűrűjét faktornak nevezzük, ha bármely benne levő ϕ operátorral együtt a ϕ∗ konjugált operátort is tartalmazza, az R centruma a skalár operátorokból áll, és R zárt a természetes topológiában (vagyis az úgynevezett gyönge topológiában). Ahhoz hasonlóan, ahogy egy véges hosszúságú egyszerű gyűrű egy projektív teret definiál, mely kielégíti az 1–5. axiómákat, bármely faktor is meghatároz egy

94

10. fejezet Féligegyszerű modulusok és gyűrűk

részbenrendezett halmazt, ami hasonló axiómáknak tesz eleget. Ezen a halmazon is definiálunk egy dimenziófüggvényt, de most többféle eset lehetséges. In eset. A dimenziófüggvény a 0, 1, 2, . . . , n értékeket veszi föl; ekkor a faktor izomorf az Mn (C) mátrixgyűrűvel. I∞ eset. A dimenziófüggvény a 0, 1, 2, . . . , ∞ értékeket veszi föl; ekkor a faktor izomorf egy végtelen dimenziós Hilbert-tér korlátos operátorainak a gyűrűjével. II1 eset. A dimenziófüggvény a [0, 1] intervallumból veszi föl az értékeit. II∞ eset. A dimenziófüggvény a [0, ∞] intervallumból veszi föl az értékeit. III eset. A dimenziófüggvény csak a 0 és a ∞ értékeket veszi föl. A II1 , II∞ és III esetekhez tartozó részbenrendezett halmazok a projektív síkok messze nem triviális végtelen dimenziós megfelelői (hangsúlyozzuk, hogy az alterek dimenziói tetszőleges valós számok lehetnek): ezeket nevezzük folytonos geometriáknak . Mostantól kezdve arra az esetre szorítkozunk, amikor a vizsgált algebra véges rangú egy K test fölött. 6. példa. A 8. fejezet 11. példájában láttuk, hogy ha L egy 2n dimenziós valós vektortér az x21 +· · ·+x22n metrikával, akkor a C(L) Clifford algebra izomorf az M2n (R) mátrixgyűrűvel. Ezért ennek az algebrának (ekvivalencia erejéig) egyetlen, 2n -dimenziós irreducibilis reprezentációja van. Tehát azt kapjuk, hogy x21 + · · · + x22n = (x1 Γ1 + · · · + x2n Γ2n )2 , ahol Γ1 , . . . , Γ2n mátrixok 2n × 2n -esek, és ezek a mátrixok egy Γi 7→ CΓi C −1 alakú transzformáció erejéig egyértelműen meg vannak határozva. 2n × 2n -nél kisebb mátrixok nem adhatnak ilyen reprezentációt. Most tegyük föl, hogy a K test algebrailag zárt. Ekkor a K fölötti féligegyszerű algebrák elmélete még kézzelfoghatóbb formát ölt. Ennek alapja a következő egyszerű eredmény. XI. tétel. Ha egy algebrailag zárt K test fölötti véges rangú algebra ferdetest, akkor az maga a K. Valóban, ha D rangja n, és a ∈ D, akkor az 1, a, a2 , . . . , an elemek lineárisan összefüggnek K fölött. Ezért létezik egy legföljebb n-edfokú, nem azonosan Q nulla F ∈ K[t] polinom, amelyre F (a) = 0. Mivel K algebrailag zárt, F (t) = γ (t−αi ), Q és így (a − αi ) = 0. Minthogy D ferdetest, a − αi = 0 valamely i-re, tehát a ∈ K. Ezzel a következő eredményhez jutunk.

XI′ . tétel. Egy algebrailag zárt K test fölött bármely véges rangú egyszerű algebra izomorf valamely Mn (K) mátrixgyűrűvel, és bármely féligegyszerű algebra ilyeneknek direkt összege. Korábban, a (7)-es képletben explicit módon megadtuk az Mn (K) algebra reguláris reprezentációjának fölbontását irreducibilis reprezentációkra. Ebből kiderült, hogy a reguláris reprezentáció n darab ekvivalens n-dimenziós reprezentáció összege (amelyek az n-dimenziós vektortérhez, K n -hez tartoznak, ha azt az Mn (K) mátrixgyűrű fölötti modulusnak tekintjük). Ha R ∼ = Mn1 (K) ⊕ · · ·

95

10. fejezet Féligegyszerű modulusok és gyűrűk

⊕ Mnp (K), akkor R-nek p darab irreducibilis reprezentációja van: N1 , . . . , Np , és itt az ni dimenziós Ni reprezentáció az Mni (K) irreducibilis reprezentációjához tartozik. Az R reguláris reprezentációja a következő alakban adható meg: R∼ = N1n1 ⊕ N2n2 ⊕ · · · ⊕ Npnp , ahol ni = dim Ni . A centrum fölbontására is csak egyetlen mód van, nevezetesen Z(R) ∼ = K p. Ennek eredményeképpen az algebrailag zárt test fölötti véges rangú féligegyszerű algebrák reprezentációelméletét a következő állítások írják le. XII. tétel. Minden reprezentáció irreducibilis reprezentációk véges összege.

XIII. tétel. Minden irreducibilis reprezentáció megjelenik a reguláris reprezentáció irreducibilis komponensei között. Ezek között a nemekvivalens reprezentációk száma az algebra centrumának rangjával egyenlő. XIV. tétel. Minden irreducibilis reprezentáció annyiszor fordul elő a reguláris reprezentáció komponenseként, amennyi a dimenziója. XV. Burnside tétele. Az irreducibilis reprezentációk dimenzióinak négyzetösszege megegyezik az algebra rangjával: n = n21 + · · · + n2p . Egy ϕ : R → Mn (K) reprezentációt a ϕ(a) (a ∈ R) mátrixok nyomával jellemezhetünk. Az R-en definiált Tr(ϕ(a)) függvény lineáris, így már az R egy bázisán felvett értékei is meghatározzák. Mivel Tr(CAC −1 ) = Tr(A), ezért ekvivalens reprezentációk nyomai megegyeznek. A továbbiakban a T rϕ (a) jelölést használjuk a T r(ϕ(a)) függvényre. Ha egy ϕ reprezentáció két másik reprezentáció direkt összege, azaz ϕ = ϕ1 ⊕ ϕ2 , akkor nyilvánvalóan Trϕ (a) = Trϕ1 (a) + Trϕ2 (a). Az (irreducibilis) reprezentációk nyomait az R algebra (irreducibilis) karaktereinek hívjuk. Legyenek χ1 (a), . . . , χp (a) a ϕ1 , . . . , ϕp irreducibilis reprezentációkhoz tartozó karakterek. Bármely ϕ reprezentáció irreducibilis reprezentációk direkt összegére bomlik, és ha a ϕi reprezentáció mi -szer fordul elő a ϕ komponenseként, akkor Trϕ (a) = m1 χ1 (a) + · · · + mp χp (a).

(8)

Tudjuk, hogy ha az R algebrát R = R1 ⊕ · · · ⊕ Rp alakban egyszerű algebrák direkt összegére bontjuk, akkor a ϕi reprezentáció 0 lesz az Rj összeadandón minden j 6= i-re. Ha ezt összevetjük a (8)-as képlettel, a következő eredményt kapjuk.

96

10. fejezet Féligegyszerű modulusok és gyűrűk

XVI. tétel. Egy féligegyszerű algebra tetszőleges ϕ reprezentációját a Trϕ (a) nyomfüggvény egyértelműen meghatározza. Az itt ismertetett eredményeknek rengeteg alkalmazásuk van, legjelentősebb ezek közül az R = K[G] csoportalgebra esete. Ezzel majd később foglalkozunk, most azonban egy teljesen elemi alkalmazást mutatunk mátrixalgebrákra. XVII. Burnside tétele. Legyen K algebrailag zárt test, és R egy irreducibilis részalgebrája az EndK L mátrixalgebrának. Ekkor R = EndK L. Bizonyítás. A tétel feltétele azt jelenti, hogy ha az R algebrának a ϕ : R → EndK L beágyazását tekintjük, ez egy irreducibilis reprezentációját adja R-nek az n-dimenziós L téren. Bármely x ∈ L-re az a 7→ ax leképezés az R-nek mint önmaga fölötti modulusnak az L egyszerű modulusba való homomorfizmusát adja. Válasszuk x-nek sorra az L egy bázisának elemeit, e1 , . . . , en -et. Így n darab homomorfizmust kapunk, jelölje ezeket fi : R → L, és legyen f : R → Ln az a homomorfizmus, amelyre f = f1 + · · · + fn . Ha f (a) = 0 valamely a ∈ Rre, akkor fi (a) = 0, azaz aei = 0 minden i-re, így ax = 0 minden x ∈ L-re. De R ⊂ End L, tehát ilyenkor a = 0. Így R ⊂ Ln mint R-modulus. Mivel L egyszerű modulus, ebből következik, hogy az R algebra féligegyszerű, és mint modulus, R ∼ = Lk valamely k-ra. Viszont a XV. tétel szerint k = n = dim L. Ezért R rangja n2 , tehát R = EndK L. Illusztrációként az előbbi eredmény egy meglepő alkalmazását adjuk. XVIII. Burnside tétele. Legyen G n × n-es mátrixoknak egy csoportja egy 0 karakterisztikájú K test fölött. Ha van olyan N > 0 szám, amire g N = 1 minden g ∈ G-re, akkor G véges.

A bizonyításhoz fölhasználunk néhány elemi fogalmat a csoportelméletből. Nyilvánvaló, hogy szükség esetén K alkalmas bővítését is vehetjük K helyett, tehát föltehető, hogy K algebrailag zárt. Álljon R az összes α1 g1 + · · · + αk gk ,

kombinációból, ahol αi ∈ K, és gi ∈ G. Nyilvánvaló, hogy R egy K fölötti algebra, és R ⊂ Mn (K). Tekintsük először azt az esetet, amikor R irreducibilis. Burnside előbb kimondott tétele szerint ekkor R = Mn (K). A föltevésünk miatt bármely g ∈ G elem sajátértékei N -edik egységgyökök. Mivel egy n × n-es mátrix nyoma n darab sajátérték összege, Tr(g)-nek legföljebb N n -féle értéke lehet. Könnyen ellenőrizhető, hogy a Tr(AB) bilineáris forma az Mn (K)-n nem elfajuló. Mivel R = Mn (K), G-nek van n2 eleme, g1 , . . . , gn2 , amelyek bázisát adják Mn (K)-nak. Legyen e1 , . . . , en2 a duális bázis a Tr(AB) bilineáris formára n2 P nézve. Ha egy tetszőleges g ∈ G elem fölírása ebben a bázisban g = αi ei , i=1

akkor αi = Tr(ggi ). Így az αi együtthatóknak csak véges sok féle értéke lehet, ezért G véges. Ha R reducibilis, akkor a G elemeihez tartozó mátrixok egységesen à ! A(g) C(g) 0

B(g)

97

11. fejezet Véges rangú ferdetestek

alakra hozhatók. Indukciós bizonyítást alkalmazva föltehetjük, hogy az A(g) és B(g) mátrixokról már bebizonyítottuk, hogy véges csoportokat alkotnak. Legyenek ezek a csoportok G′ és G′′ . Tekintsük most az f : G → G′ × G′′ homomorfizmust, amit az f (g) = (A(g), B(g)) képlet ad meg. Ennek a magja azokból a g ∈ G elemekből áll, amelyek az à ! E C(g) 0 E mátrixokhoz tartoznak. Könnyen látható, hogy ha K karakterisztikája 0, és C(g) 6= 0, akkor ennek a mátrixnak a rendje nem lehet véges: az m-edik hatványt úgy kapjuk, hogy a mátrixban C(g)-t megszorozzuk m-mel. Ezért az f magja csak az egységelemből áll, azaz G része a G′ × G′′ véges csoportnak, így maga is véges.

11. Véges rangú ferdetestek Wedderburn tétele a K test fölötti véges rangú féligegyszerű algebrák vizsgálatát lényegében visszavezeti az ugyanezen test fölötti véges rangú ferdetestek vizsgálatára. Most az utóbbi kérdéssel kívánunk foglalkozni. Ha D véges rangú ferdetest a K test fölött, és L jelöli a D centrumát, akkor L véges bővítése K-nak, és D-t L fölötti algebrának is tekinthetjük. Így az előbbi problémát két részre bonthatjuk: a véges testbővítések vizsgálatára, ami a kommutatív algebra, ill. a Galois-elmélet témakörébe tartozik, valamint az olyan adott test fölötti véges rangú algebrák vizsgálatára, melyeknek a centruma megegyezik az alaptesttel. Ha a D véges rangú K-algebrának a centruma K, akkor azt mondjuk, hogy D centrális algebra a K test fölött. Egy adott K test fölötti véges rangú centrális ferdetestek létezése, ill. azok struktúrája nagyon nagy mértékben függ a K test speciális tulajdonságaitól. Egy ilyen típusú igen egyszerű eredménnyel már találkozhattunk: ha K algebrailag zárt, akkor K-n kívül nem létezik másik véges rangú centrális ferdetest K fölött. Speciálisan ez igaz a komplex számtestre is. A valós számok testére sem sokkal bonyolultabb a helyzet. I. Frobenius tétele. A valós számtest fölötti véges rangú ferdetestek a következők: R, azaz maga a valós számtest, a komplex számtest, C, valamint a kvaternióalgebra, H. Következzen még két egyszerű eset. II. Wedderburn tétele. Tetszőleges K véges test fölött K-n kívül nem létezik más véges rangú centrális ferdetest. Ez másképp kifejezve azt jelenti, hogy minden véges ferdetest kommutatív. Ennek, persze, érdekes interpretációja van a projektív geometriában, mivel azt

98

11. fejezet Véges rangú ferdetestek

mutatja, hogy a 2-nél nagyobb dimenziójú véges projektív geometriákban Papposz tétele a többi axióma következménye (2 dimenzióban pedig a Desarguestételből következik). III. Tsen tétele. Legyen K algebrailag zárt test, C pedig egy irreducibilis görbe K fölött. Ekkor a K(C) test fölött K(C)-n kívül nem létezik más véges rangú centrális ferdetest. Az előbbiek közül azon három esetben, amikor azt kaptuk, hogy valamely K test fölött nem léteznek K-tól különböző véges rangú centrális ferdetestek, van egy közös tulajdosnág: egy K testet algebrailag majdnem zártnak nevezünk, ha minden F (t1 , . . . , tn ) ∈ K[t1 , . . . , tn ] homogén polinomra, melynek a foka kisebb a változók számánál, n-nél, az F (x1 , . . . , xn ) = 0 egyenletnek van nemnulla megoldása K-ban. Be lehet látni, hogy ha K algebrailag majdnem zárt test, akkor az egyetlen K fölötti véges rangú centrális ferdetest maga a K. Másrészt a fönti példákban szereplő testek mindegyike algebrailag majdnem zárt, azaz ilyenek az algebrailag zárt testek, a véges testek, valamint az algebrailag zárt test fölötti K(C) függvénytestek bármely irreducibilis algebrai görbe esetén. Tsen tételének a bizonyítása is erre a tulajdonságra épül, és a Wedderburn-tételt is lehet ilyen módon igazolni. Az az állítás, hogy a véges testek algebrailag majdnem zártak, Chevalleynek a tétele. Az Fp testek esetén ez kongruenciáknak egy érdekes tulajdonságát adja. Az algebrailag majdnem zártság közvetlen gyöngítése az algebrai zártság fogalmának. Ez rögtön világossá válik az algebrai zártság következő jellemzéséből. Tétel. Egy K test pontosan akkor algebrailag zárt, ha bármely n > 2 esetén minden olyan F (t1 , . . . , tn ) ∈ K[t1 , . . . , tn ] homogén polinomra, amelynek a foka legföljebb akkora, mint a változók száma, n, az F (x1 , . . . , xn ) = 0

(1)

egyenletnek van nemnulla megoldása K-ban. Bizonyítás. Ha K algebrailag zárt, akkor az (1)-es egyenletnek nyilván van nem 0 megoldása. Tegyük most föl, hogy K nem algebrailag zárt. Ekkor van olyan K fölötti P (t) irreducibilis polinom, amelynek a foka n > 1. Az L = K[t]/(P ) gyűrű n-edfokú testbővítése K-nak, így n rangú algebra K fölött. Tekintsük ennek az algebrának a reguláris reprezentációját, melynek során az algebra minden x ∈ L eleméhez egy-egy Ax ∈ Mn (K) mátrixot rendelünk. Az Ax mátrix determinánsát nevezzük az x elem normájának , s N (x)-szel fogjuk jelölni. A reprezentációk (és a determinánsok) tulajdonságaiból azt kapjuk, hogy N (1) = 1, és N (xy) = N (x)N (y). Így ha x 6= 0, akkor N (x)N (x−1 ) = 1, ezért N (x) 6= 0. Vegyük most az L | K bővítés tetszőleges e1 , . . . , en bázisát (vehetjük pl. az 1, t, . . . , tn−1 ∈ K[t] elemek természetes képét); ekkor tetszőleges x ∈ L

99

11. fejezet Véges rangú ferdetestek

elemet x1 e1 + · · · + xn en alakban írhatunk, ahol xi ∈ K. Könnyen látható, hogy N (x) az x1 , . . . , xn változóknak egy (homogén) n-edfokú polinomja, és ha F (x1 , . . . , xn ) = N (x1 e1 + · · · + xn en ), akkor egy (1)-es típusú egyenletet kaphatunk, melynek nincs megfelelő megoldása. Most olyan testekre térünk át, amelyek fölött léteznek nemtriviális véges rangú centrális ferdetestek. Mostanáig egy olyan testet ismertünk meg, nevezetesen a valós számtestet, R-et, amely fölött van egy 1 rangú centrális ferdetest (ez maga az R), ill. egy 4 rangú centrális ferdetest (ez a kvaterniótest, H). Hogy ezek a számok nem teljesen tetszőlegesek, azt a következő eredmény mutatja. Lemma. Egy centrális egyszerű algebra rangja négyzetszám. A bizonyítás az alaptest kiterjesztésének igen fontos módszerén alapszik. Ha R véges rangú algebra a K test fölött, L pedig tetszőleges bővítése K-nak, akkor tekinthetjük az R ⊗K L modulust (lásd az 5. fejezetet); ennek a modulusnak az a ⊗ ξ típusú generátorelemein értelmezhetjük a következő szorzást: (a ⊗ ξ)(b ⊗ η) = ab ⊗ ξη

ha a, b ∈ R, és ξ, η ∈ L.

Könnyen ellenőrizhető, hogy ily módon R ⊗K L gyűrűvé válik, amely (az 1 ⊗ L formájában) tartalmazza L-et, tehát egy L fölötti algebrát kapunk. Ha e1 , . . . , en bázisa R-nek K fölött, akkor e1 ⊗ 1, . . . , en ⊗ 1 bázisa lesz R ⊗K L-nek L fölött. Így R ⊗K L-nek az L fölötti rangja megegyezik R-nek a K fölötti rangjával. Az R-ről R ⊗K L-re való áttérést nevezzük az alaptest kiterjesztésének . Egyszerűbben fogalmazva R ⊗K L az az L fölötti algebra, melyre a szorzás művelettáblája megegyezik az R-beli művelettáblával. Nem túl nehéz az alábbi állítást bebizonyítani. IV. tétel. Ha egy algebra centrális és egyszerű, akkor ezek a tulajdonságok megőrződnek az alaptest kiterjesztésénél. Így tehát vehetjük L-nek a K test algebrai lezártját; az általános elmélet szerint R ⊗K L ∼ = Mn (L), és ekkor R-nek a K fölötti rangja, ami megegyezik R ⊗K L-nek az L fölött vett rangjával, egyenlő n2 -tel. A kvaternióalgebra rangja tehát a lehető legkisebb a nemtriviális centrális ferdetestek rangjai között. Nehézségi sorrendben a következő eset, mely elsősorban a számelméletben érdekes, a 7. fejezetben bevezetett p-adikus számok testének, Qp -nek az esete. V. Hasse tétele. Qp fölött tetszőleges n-re ϕ(n) darab n2 rangú centrális ferdetest létezik (itt ϕ az Euler-féle függvény). A tétel bizonyítása módszert ad arra, hogy minden ilyen D algebrához hozzárendeljünk egy primitív n-edik egységgyököt, amely teljesen meghatározza D-t. Ezt az egységgyököt a D ferdetest invariánsának nevezzük, és µp (D)-vel jelöljük.

100

11. fejezet Véges rangú ferdetestek

Vizsgáljuk meg a legegyszerűbb esetet. Tetszőleges K testre, melynek a karakterisztikája 6= 2, legyenek a, b ∈ K nemnulla elemek. Konstruáljunk egy 4 rangú K-algebrát a következőképpen; legyen ennek az algebrának egy bázisa 1, i, j és k, és a szorzásra teljesüljenek az alábbiak: i2 = a, j 2 = b, ij = −ji = k (a művelettábla további részei már kiszámolhatók az asszociativitás segítségével). Az így kapott algebrát általánosított kvaternióalgebrának nevezzük, és (a, b)-vel jelöljük. Így pl. H = (−1, −1). Könnyen igazolható, hogy az (a, b) algebra centrális és egyszerű, és tetszőleges centrális egyszerű algebra, melynek 4 a rangja, ilyen alakú. Az algebrák általános elmélete alapján tehát (a, b) vagy ferdetest, vagy izomorf az M2 (K) mátrixalgebrával. Most megmutatjuk, hogyan lehet ezen két eset között különbséget tenni. Ehhez a kvaterniókkal való analógia alapján először értelmezzük egy x = α + βi + γj + δk elem konjugáltját: x = α − βi − γj − δk. Könnyen láthatjuk, hogy teljesülnek az alábbi szabályok: xy = y x,

és

xx = α2 − aβ 2 − bγ 2 + abδ 2 ∈ K.

(2)

Legyen N (x) = xx. A (2)-es képletek alaján N (xy) = N (x)N (y). Ha tehát N (x) = 0 valamely x nemnulla elemre, akkor (a, b) nem ferdetest: xx = 0, noha sem x sem x nem egyenlő 0-val. Ha viszont N (x) 6= 0 minden nemnulla −1 x-re, akkor x−1 = N (x) x, és így (a, b) ferdetest. Azt kaptuk tehát, hogy (a, b) pontosan akkor ferdetest, ha az α2 − aβ 2 − bγ 2 + abδ 2 = 0 egyenletnek (α, β, γ, δ)-ra nézve csak a nulla megoldása létezik K-ban. Ez az egyenlet tovább egyszerűsödik, ha az alábbi alakba írjuk: α2 − aβ 2 = b(γ 2 − aδ 2 ) , vagyis N (α + βi) α2 − aβ 2 = =N b= 2 2 γ − aδ N (γ + δi)

µ

α + βi γ + δi

¶

= N (ξ + ηi) = ξ 2 − aη 2 ,

α + βi . Így némi további számolás után azt kapjuk, hogy (a, b) γ + δi pontosan akkor ferdetest, ha a ξ 2 −aη 2 = b egyenletnek nincs K-beli megoldása. Ugyanennek az egyenletnek a homogén alakja: ahol ξ + ηi =

ξ 2 − aη 2 − bζ 2 = 0 .

(3)

Ennek az egyenletnek nem szabad K-beli nemnulla megoldással rendelkeznie, különben (a, b) ∼ = M2 (K). Könnyen látható, hogy ha a (3)-as egyenletnek van nemnulla megoldása, akkor van egy olyan is, melynél ξ 6= 0. Ekkor viszont az egyenletünket az alábbira redukálhatjuk: ax2 + by 2 = 1

(4)

Tegyük most föl, hogy K a racionális számtest, Q. A 7. fejezet végén kimondott Legendre-tétel éppen a (4)-es típusú egyenletekről szól. Eszerint a (4)-es

101

11. fejezet Véges rangú ferdetestek

egyenletnek pontosan akkor van megoldása Q-ban, ha megoldható R-ben és valamennyi p-adikus számtestben, Qp -ben. Ebben a formájában a tétel az (a, b) általánosított kvaternióalgebra szerkezetéről is sokat elmond a, b ∈ Q esetén. A föntiek alapján a C = (a, b) algebra pontosan akkor lesz izomorf M2 (Q)val, ha C ⊗ R ∼ = M2 (R), és C ⊗ Qp ∼ = M2 (Qp ) minden p-re. De ugyanezt a gondolatmenetet tovább is vihetjük, és ily módon Q fölött az összes általánosított kvaternióalgebra leírását megkaphatjuk. Azaz megmutatható, hogy két ilyen algebra, C = (a, b) és C ′ = (a′ , b′ ) pontosan akkor izomorf egymással, ha C ⊗R ∼ = C ′ ⊗ R, és C ⊗ Qp ∼ = C ′ ⊗ Qp minden p-re. Másképpen fogalmazva, tekintsük a Qp fölötti 4 rangú ferdetestek µp invariánsait (ezek definíció szerint −1-gyel egyenlők), és egy Q fölötti centrális egyszerű algebrára legyen µp (C) = µp (C ⊗ Qp ) = −1, ha C ⊗ Qp ferdetest; µp (C) = 1, ha C ⊗ Qp ∼ = M2 (Qp );

továbbá legyen µR (C) = −1, ha C ⊗ R ferdetest (azaz ∼ = H); µR (C) = 1, ha C ⊗ R ∼ = M2 (R).

Ekkor a fönti eredmények a következőképpen fogalmazhatók át: VI. tétel. Egy Q fölötti 4 rangú C ferdetestet a µR (C) és µp (C) számok teljesen meghatározzák; ez a C ún. invariánshalmaza. Mi lehet ez az invariánshalmaz? Azt már láttuk, hogy a µR (C) és µp (C) számok közül nem lehet mindegyik 1-gyel egyenlő (hiszen ekkor Legendre tétele szerint C nem lenne ferdetest). Másrészt könnyen bizonyítható, hogy csak véges sok p prímre teljesülhet, hogy µp (C) = −1. Kiderül, hogy ezeken kívül csupán egyetlen további feltétel van. VII. tétel. A µR , µp = ±1 (minden p prímre) számok tetszőleges választásával pontosan akkor kapjuk egy Q fölötti 4 rangú centrális ferdetest invariánsainak a halmazát, ha: (a) nem minden µR és µp érték 1; (b) csak véges soknak az értéke −1; és végül (c) Q µR µp = 1 . (5) p

Eléggé meglepő módon az (5)-ös összefüggés nem más, mint a Gauß-féle reciprocitási törvény átfogalmazása, ami ezáltal a Q fölötti ferdetestek elméletének egyik központi eredményévé válik. Az eddigi eredmények közvetlenül általánosíthatók a Q fölötti tetszőleges véges rangú centrális ferdetestek esetére. Legyen C centrális ferdetest Q fölött, melynek a rangja, n2 , véges. Ekkor a C ⊗ R = CR algebra vagy Mn (R)-rel izomorf, és ekkor legyen µR (C) = 1, vagy Mn/2 (H)-val, és ekkor definíció szerint legyen µR (C) = −1. Ehhez hasonlóan tetszőleges p prímszámra a C ⊗ Qp algebra Mk (Cp ) alakú, ahol Cp centrális ferdetest Qp fölött. Legyen µp (C) = µp (Cp ) (lásd Hasse tételét, azaz az előbbi V. tételt). Ekkor a következő eredményt fogalmazhatjuk meg:

102

11. fejezet Véges rangú ferdetestek

y

+ X1 –2

–

+ X2

X3

X4

–1

1

2

x

–

14. ábra.

VIII. Hasse–Brauer–Noether-tétel. Pontosan akkor lesz C ∼ = Mn (Q), ∼ ∼ ha CR = Mn (R), és C ⊗ Qp = Mn (Qp ) minden p-re, azaz µR (C) = µp (C) = 1 minden p-re. Hasse tétele. Ha C és C ′ két centrális ferdetest Q fölött, úgy ezek pontosan akkor izmorfak egymással, ha C ⊗ R ∼ = C ′ ⊗ R és C ⊗ Qp ∼ = C ′ ⊗ Qp minden pre, azaz ha µR (C) = µR (C ′ ), és µp (C) = µp (C ′ ) minden p-re. Lehetséges µR és µp (p tetszőleges) számoknak egy rendszere pontosan akkor áll elő µR = µR (C), ill. µp = µp (C) alakban valamely Q fölötti C centrális ferdetestre, ha (a) µp 6= 1 legföljebb véges sok p prímre teljesül, és (b) µR

Q

µp = 1 .

(6)

p

Teljesen hasonló eredmények igazak akkor is, ha Q-nak egy véges bővítését, azaz egy algebrai számtestet veszünk. Ezek vizsgálata az osztálytestelmélet részét képezi. A (6)-os összefüggésnek algebrai számtestekre kimondható analogonja a Gauß-féle kvadratikus reciprocitási törvény messzemenő általánosítását adja. A racionális számtest fölötti ferdetestek szerkezetére adott vázlatos gondolatok jól szemléltethetik, milyen szorosan függ össze a K test fölötti ferdetestek szerkezete a K apró belső tulajdonságaival. Egy további példát adunk: az R(C) fölötti véges rangú centrális ferdetestek szerkezetét nézzük, ahol C valamilyen valós algebrai görbe. Ebben az esetben bármely centrális ferdetest általánosított kvaternióalgebra, sőt (−1, a) alakú, ahol a ∈ R(C), és a 6= 0. A (−1, a) algebra pontosan akkor lesz M2 (R(C))-vel izomorf, ha a(x) > 0 minden x ∈ C-re (beleértve a projektív sík végtelenben levő pontjait is). A C-beli a(x) függvény véges sok C-beli pontban vált előjelet; jelölje ezeket x1 , . . . , xn . (A 14. ábra az y 2 + (x2 − 1)(x2 − 4) = 0 görbe és az a = y függvény esetét mutatja).

103

12. fejezet A csoport fogalma

A (−1, a) ferdetestet már meghatározzák ezek az x1 , . . . , xn pontok, ahol változik az előjel. Még bonyolultabb, de érdekesebb is a C(C) test esete, ahol C egy algebrai felület. A ferdetestek szerkezete ebben az esetben a felület egészen finom geometriai tulajdonságait tükrözi. Ezekhez a kérdésekhez még visszatérünk a 12. és a 22. fejezetben.

12. A csoport fogalma A fejezetet a transzformációcsoport fogalmával kezdjük: a csoport fogalma először ebben a formában jelent meg, és ilyen formában találkozunk vele leggyakrabban a matematikában és a matematikai fizikában. Egy X halmaz transzformációján egy olyan f : X → X leképezést értünk, amely az X-et kölcsönösen egyértelműen képezi le önmagára, azaz amelynek van egy f −1 : X → X inverze, melyre f −1 ◦ f = f ◦ f −1 = e. Itt f ◦ g a leképezések szorzatát jelenti (azaz a kompozícióját, amit úgy kapunk, hogy g-t és f -et egymás után alkalmazzuk): (f ◦ g)(x) = f (g(x)) minden x ∈ X-re,

(1)

és e jelöli az identikus leképezést: e(x) = x minden x ∈ X-re. Azt mondjuk, hogy az X halmaz transzformációinak egy G halmaza transzformációcsoport, ha tartalmazza az e identikus transzformációt, bármely g ∈ Gre a g inverze, g −1 is G-ben van, továbbá bármely g1 , g2 ∈ G-re ezek szorzata, g1 g2 is eleme G-nek. Ezek a feltételek többnyire automatikusan teljesülnek, mert G-t úgy adjuk meg, mint egy bizonyos tulajdonságot megőrző transzformációk halmazát. Vehetjük például egy vektortér azon transzformációit, amelyek megőrzik a a skalárral való szorzást és az összeadást (azaz g(αx) = αg(x) és g(x + y) = g(x) + g(y)); ezek a vektortér nem elfajuló lineáris transzformációinak csoportját alkotják. Egy euklideszi tér távolságtartó transzformációi (azaz amelyekre ρ(g(x), g(y)) = ρ(x, y) teljesül, ahol ρ(x, y) jelöli az x és y pontok távolságát) adják a tér mozgáscsoportját. Ha azt is föltesszük, hogy a transzformációk helyben hagynak egy adott pontot, akkor az ortogonális transzformációk csoportját kapjuk. Azokat a transzformációcsoportokat, amelyek valamely objektumot helyben hagynak, gyakran úgy tekintjük, mint az adott objektum szimmetriáinak halmazát. Például az a tény, hogy az egyenlőszárú háromszög szimmetrikusabb alakzat, mint a nem egyenlőszárú háromszög, és hogy a szabályos háromszög szimmetrikusabb az egyenlőszárú, de nem szabályos háromszögnél, azzal mérhető, hogy a síknak különböző számú mozgása hagyja helyben az egyik vagy másik típusú háromszöget. (a) Nem egyenlőszárú háromszögre ez csak az identikus

104

12. fejezet A csoport fogalma

leképezés, (b) egyenlőszárú háromszögre az identikus leképezés és a szimmetriatengelyre való tükrözés, (c) szabályos háromszög esetén pedig hat transzformációt kapunk: az identikus leképezést, a középpont körüli 120◦ , illetve 240◦ -os elforgatást, és a három szimmetriatengelyre való tükrözést (15. ábra).

15. ábra.

Most néhány tipikus példát mutatunk a különböző fajta szimmetriákra. Egy síkbeli alakzat szimmetriacsoportja az összes olyan mozgásokból áll, amelyek ezt az alakzatot önmagába viszik. Például a 16. ábrán szereplő alakzat szimmetriacsoportja a következő mozgásokat tartalmazza: az OA vektorral való eltolást, az OB vektorral való eltolásnak és az OB-re való tükrözésnek a kompozícióját, és az ezekből képezhető összes kompozíciókat.

B O

A 16. ábra.

Egy molekula szimmetriáján a térnek egy olyan mozgását értjük, amely a molekula minden atomját ugyanolyan típusú atomba viszi, és megtartja az atomok közötti kötések vegyértékét is. Így például a foszformolekula 4 atomból áll, amelyek egy szabályos tetraéder csúcsaiban helyezkednek el. Ennek a molekulának a szimmetriacsoportja megegyezik a szabályos tetraéder szimmetriacsoportjával, amiről a 13. fejezetben részletesen is beszélünk majd. A kristályoknak általában sok szimmetriája van, így egy kristálynak fontos jellemzője a szimmetriacsoportja. Itt szimmetrián a térnek olyan mozgásait értjük, amelyek az atomokat azonos típusú atomokba viszik, és megőrzik egyrészt az atomok kristályon belüli helyzetét, másrészt a közöttük levő kapcsolatokat. Példaként leírjuk a konyhasó (NaCl) kristályának szimmetriacsoportját (ld. a 17. ábrát). A kristály egymáshoz kapcsolódó kockákból áll, amelyekneknek a

105

12. fejezet A csoport fogalma

csúcsaiban fölváltva helyezkednek el a nátrium- és a klóratomok (az ábrán Na (•), ill. Cl (◦) jelöléssel).

17. ábra.

Vegyünk egy koordinátarendszert, amelynek a középpontja az egyik atom, a tengelyek a kockák éleivel párhuzamosak, és a kockák élét válasszuk egységnyi hosszúságúnak. Ekkor a kristály szimmetriáit megkaphatjuk a koordinátatengelyek permutációiból, a koordinátasíkokra való tükrözésekből, valamint az egész koordinátájú vektorokkal való eltolásokból. Ezt a következő képletekkel fejezhetjük ki: x′1 = εxi1 + k, x′2 = ηxi2 + l, x′3 = ζxi3 + m, ahol (i1 , i2 , i3 ) az (1, 2, 3) egy permutációja, ε, η, ζ = ±1, és (k, l, m) ∈ Z3 . Algebrai vagy analitikus kifejezéseknek is lehetnek szimmetriái. Így pl. egy F (x1 , . . . , xn ) polinom szimmetriája az x1 , . . . , xn változóknak egy olyan permutációja, amely megőrzi az F -et. Ebből adódik a szimmetrikus függvény fogalma: olyan függvény, Q amelyet a változóknak minden permutációja megőriz. Egy másik példa a i 0} ilyen g = mátrix a z 7→ γ δ βz + δ fölső félsíkon. Nyilvánvaló, hogy ez G-nek egy hatása C+ -on. Másrészt G hat a pozitív definit 2 × 2-es szimmetrikus mátrixok S·halmazán is úgy, hogy s-et ¸ a b gsg ∗ -ba viszi, ahol g ∗ a g transzponáltja. Ha s-et alakban írjuk, akkor c d S elemeit a > 0 és ac − b2 > 0 feltételekkel jellemezhetjük, ami az (a : b : c) homogén koordinátákkal ellátott projektív síkon az ac = b2 egyenletű kúp belsejét adja meg; ezt R-rel jelöljük. Nyilvánvaló, hogy G az R-en projektív transzformációkkal hat, és önmagába viszi a kúpot. Egy ax2 + 2bxy + cy 2 pozitív definit kvadratikus alakot a(x − zy) alakban írhatunk, ahol z ∈ C+ . Könnyen · − zy)(x ¸ a b látható, hogy ha az mátrixot ebbe a z-be képezzük, kölcsönösen egyérc d telmű megfeleltetést kapunk R és C+ között, és ez izomorfizmust ad a G két csoporthatása között is. Mint az köztudott, C+ és R a Lobacsevszkij-féle síkgeometriának1 két interpretációját adja: a Poincaré-, ill. a Cayley–Klein-modellt. G mindkét interpretációban a hiperbolikus sík valódi (irányítástartó) mozgásait tartalmazza. Egy csoport önmagán megadott hatására három nagyon fontos példát adnak az alábbi hatások: g · x = gx, g · x = xg −1 ,

g · x = gxg −1

(a bal oldali művelet a csoporthatás, a jobb oldali műveletek G-beli szorzások). Ezeket balreguláris, jobbreguláris, illetve adjungált csoporthatásnak hívjuk. A 1A

magyar szakirodalomban inkább Bolyai–Lobacsevszkij-féle vagy hiperbolikus síkgeometriáról, ill. hiperbolikus síkról szoktak beszélni. A továbbiakban mi is az utóbbi elnevezést használjuk. (A ford. megj.)

113

12. fejezet A csoport fogalma

balreguláris és a jobbreguláris hatások izomorfak: az izomorfizmust a G-t önmagára képező x 7→ x−1 leképezés adja meg. Ha adva van egy G csoport hatása egy X halmazon, akkor ez természetesen tetszőleges H ⊂ G részcsoportnak is definiálja egy hatását. Így például a balreguláris hatás egy tetszőleges H ⊂ G részcsoport hatását is megadja az egész G-n. Az így kapott transzformációcsoport orbitjai a H szerinti bal oldali mellékosztályok a G-ben. Tehát egy bal oldali mellékosztály az összes hg alakú elemből áll, ahol g ∈ G egy rögzített elem, h pedig végigfut a H összes elemén; ezt a mellékosztályt Hg-vel jelöljük. Annak alapján, amit korábban az orbitokról mondtunk, láthatjuk, hogy bármely g1 ∈ Hg elem ugyanazt a mellékosztályt definiálja, és az egész csoport mellékosztályok diszjunkt uniójára bomlik. Hasonlóan, egy H ⊂ G részcsoport jobbreguláris hatása a G-n a gH jobb oldali mellékosztályokat definiálja. Az adjungált reprezentáció orbitjai az elemek konjugáltosztályai , és az egy orbithoz tartozó elemek konjugáltak egymással: g1 és g2 konjugáltak, ha g2 = gg1 g −1 valamely g ∈ G-re. Ha H ⊂ G egy részcsoportja G-nek, akkor könnyen látható, hogy egy rögzített g ∈ G-re a ghg −1 (h ∈ H) elemek részcsoportot alkotnak; ez a H-nak egy konjugáltja; jele gHg −1 . Ha például G egy transzformációcsoport egy X halmazon, és valamely g ∈ G és x ∈ X elemekre y = gx, akkor az x és y stabilizátorai konjugáltak: Gy = gGx g −1 . A H ⊂ G részcsoport bal mellékosztályainak száma (véges vagy végtelen) a H indexe, és ezt |G : H|-val jelöljük. Ha G véges csoport, akkor az elemek száma mindegyik H szerinti mellékosztályban egyenlő a H rendjével, és így |G| = |H| · |G : H|.

(9)

Következésképpen |H| osztója |G|-nek. Tegyük föl, hogy G tranzitívan hat az X halmazon. Ekkor bármely x, y ∈ Xre van olyan g ∈ G, hogy g(x) = y, és az ilyen elemek az x stabilizátorának gGx jobb oldali mellékosztályát alkotják. Így egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést kapunk az X elemei és a Gx mellékosztályai között. Ha X véges, és |X| jelöli az X elemeinek számát, akkor |X| = |G : Gx |. Ha G hatása nem tranzitív, legyenek az Xα halmazok az orbitok. Ekkor X = S Xα . Válasszunk minden Xα orbitból egy xα reprezentáns elemet, így egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést kapunk az Xα orbit elemei és a Gxα mellékosztályai között. Abban az esetben, ha X véges, ebből P |X| = |G : Gα | (10)

következik, ahol Gα -k az egyes orbitokból kiválasztott reprezentánsok stabilizátorai. Az f : G → G′ homomorfizmus képe, Im f az f (g)alakú elemkből áll, ahol g ∈ G. Im f részcsoportja G′ -nek. Az f leképezés magja, Ker f azoknak a g ∈ G elemeknek a halmaza, amelyekre f (g) = e. Természetesen a mag is részcsoport, de még egy tulajdonsága van: g −1 hg ∈ Ker f, ha h ∈ Ker f és g ∈ G.

(11)

114

12. fejezet A csoport fogalma

A bizonyítás triviális. Egy olyan N ⊂ G részcsoportot, amely kielégíti a (11)-es feltételt, normálosztónak vagy normális részcsoportnak hívunk. Másképp fogalmazva, a normálosztók invariánsak az adjungált hatásra, azaz g −1 N g = N . Azt a tényt, hogy N normálosztó G-ben, N ⊳ G jelöli. A normálosztó definíciója ekvivalens azzal, hogy minden bal oldali mellékosztály jobb oldali mellékosztály is: gN = N g. Tehát, annak ellenére, hogy egy normálosztó bal- és jobbreguláris hatása a csoporton általában különböző, az orbitjaik ugyanazok. Egy G csoportnak egy N normálosztó szerinti mellékosztályokra való fölbontása kompatibilis a szorzással: ha g1 -et vagy g2 -t ugyanannak a mellékosztálynak egy másik elemével helyettesítjük, g1 g2 ugyanabban a mellékosztályban marad. Ez triviális átfogalmazása a normálosztó definíciójának. Ebből következik, hogy a szorzás definícióját át lehet vinni a mellékosztályokra, és így a mellékosztályok csoportot alkotnak, amit a G csoport N szerinti faktorcsoportjának hívunk, és G/N -nel jelölünk. Azt a G → G/N homomorfizmust, amely minden g ∈ G elemet a gN mellékosztályba visz, természetes vagy kanonikus homomorfizmusnak hívjuk. A gyűrűk és modulusok elméletéből a következő összefüggések már ismerősek lesznek. Homomorfizmustétel. Egy homomorfizmus képe izomorf a mag szerinti faktorcsoporttal. Bármely homomorfizmus egy kanonikus homomorfizmusra redukálható: létezik egy olyan izomorfizmus a G/ Ker f faktorcsoportból Im f -re, amelynek a G → G/ Ker f kanonikus homomorfizmussal való kompozíciója f . 5. példa. Tekintsük az E euklideszi tér mozgáscsoportját, azaz az összes távolságtartó transzformációból álló G csoportot. A G hatását kiterjeszthetjük − → arra az L vektortérre, ami az E szabad vektoraiból áll: ha x, y ∈ E, és xy je− → löli az x pontból az y pontba mutató vektort, akkor ge(xy) definíció szerint a −−−−−→ − → −−→ g(x)g(y) vektor. Könnyen látható, hogy ha xy = x1 y1 (azaz xy és x1 y1 azonos −−−−−→ −−−−−−−→ hosszúságúak és megegyező irányúak), akkor g(x)g(y) = g(x1 )g(y1 ), tehát a ge transzformáció jól van definiálva. A ge transzformáció ortogonális L-ben. A g 7→ ge leképezés a mozgáscsoportból az ortogonális transzformációk csoportjába menő homomorfizmus. Ennek a homomorfizmusnak a képe az ortogonális transzformációk egész csoportja. A magja az L-beli u vektorokkal való eltolásokból áll. Tehát az eltolások csoportja normálosztója a mozgáscsoportnak. Ezt közvetlenül is beláthatjuk: ha Tu egy u vektorral való eltolás, akkor gTu g −1 = Tg(u) . Beláttuk tehát, hogy az ortogonális transzformációk csoportja izomorf a mozgáscsoportnak az eltolások által alkotott normálosztója szerinti faktorcsoportjával. Jelen esetben ez közvetlenül is könnyen látható, ha rögzítünk egy O ∈ E pontot. Ekkor bármely mozgás g = Tu ◦ g ′ alakban írható, ahol g ′ ∈ GO (az O pont stabilizátora). Nyilvánvaló, hogy GO izomorf az ortogonális transzformációk csoportjával, és a Tu g ′ mellékosztályt g ′ -be vivő leképezés lesz a kívánt homomorfizmus. Legyen g a G csoport egy eleme. A ϕg : Z → G leképezés, melyre ϕg (n) = g n , nyilvánvalóan homomorfizmus. Képe a g hatványaiból áll, ez a g által generált

115

12. fejezet A csoport fogalma

ciklikus részcsoport, jele hgi. Ha van olyan g elem, hogy G = hgi (azaz G minden eleme hatványa g-nek), akkor azt mondjuk, hogy G ciklikus, és g generátora Gnek. Ciklikus csoportra példa Z, vagyis az egész számok csoportja az összeadásra nézve; ennek az 1 a generátora. Z részcsoportjai csak a 0 és a kZ részcsoportok, amelyek a részcsoportban szereplő legkisebb pozitív szám, k többszöröseiből állnak, tehát szintén ciklikusak. Visszatérve a ϕg : Z → G homomorfizmushoz, a magról kiderült, hogy vagy Ker ϕg = 0 (ami azt jelenti, hogy g összes g n hatványa különböző), vagy Ker ϕg = kZ; ez utóbbi azt jelenti, hogy g k = e, és hgi izomorf a Z/kZ-vel, a k-adrendű ciklikus csoporttal. Az első esetben azt mondjuk, hogy g rendje végtelen, a második esetben g rendje k. Ha G véges csoport, akkor a (9)-es képlet miatt k osztója |G|-nek.

A csoportokat konstruáló módszerek közül most a legegyszerűbbet mutatjuk meg. Legyen G1 és G2 két csoport. Tekintsük a (g1 , g2 ) párok halmazát, ahol g1 ∈ G1 és g2 ∈ G2 . A párokon komponensenként definiáljuk a szorzás műveletét: (g1 , g2 )(g1′ , g2′ ) = (g1 g1′ , g2 g2′ ). Könnyen látható, hogy így egy csoportot kapunk. Ez a G1 és G2 csoportok direkt szorzata, és G1 × G2 -vel jelöljük. Ha e1 és e2 a G1 , illetve G2 egységelemei, akkor a g1 7→ (g1 , e2 ) és g2 7→ (e1 , g2 ) leképezések izomorfizmusok a G1 -ről, illetve G2 -ről a G1 × G2 részcsoportjaira. G1 -et és G2 t rendszerint azonosítjuk az előbbi izomorfizmusnál vett képeikkel, azaz g1 -et írunk (g1 , e2 ) helyett, és g2 -t (e1 , g2 ) helyett. Ekkor G1 és G2 részcsoportjai a G1 × G2 csoportnak, és G1 × G2 -ben teljesül, hogy g2 g1 = g1 g2 minden g1 ∈ G1 re és g2 ∈ G2 -re. Ha G1 és G2 (additívan írt) Abel-csoportok, akkor az itt leírt operáció éppen a Z-modulusok direkt összege, amit az 5. fejezet 5. példájából ismerhettünk meg.

116

13. fejezet Példák csoportokra: Véges csoportok

13. Példák csoportokra: Véges csoportok Ahogyan a csoport általános algebrai fogalmának egy tetszőleges halmaz (bizonyos) transzformációinak csoportja feleltethető meg, a véges csoportokhoz egy véges halmaz transzformációinak csoportja kapcsolható; a transzformációkat ilyenkor permutációnak nevezzük. 1. példa. Az x1 , . . . , xn elemekből álló véges X halmaz összes permutációinak csoportját az x1 , . . . , xn -en ható szimmetrikus csoportnak nevezzük és Sn -nel jelöljük. Az x1 elem (Sn )x1 stabilizátora nyilván izomorf Sn−1 -gyel. Egy g(Sn )x1 mellékosztályba pontosan azok a permutációk tartoznak, amelyek x1 et egy meghatározott xi -be viszik. A stabilizátor szerinti mellékosztályok száma tehát n ; így |Sn | = n|Sn−1 | , és indukcióval kapjuk, hogy |Sn | = n! . Minden i = 1, 2, . . . n − 1-re jelölje σi azt a permutációt, amely felcseréli egymással xi -t és xi+1 -et, a többi elemet pedig fixen hagyja. Nyilván σi2 = e

(1)

Mivel x1 , . . . , xn minden permutációja előállítható szomszédos elemek egymás utáni felcserélésével, azért Sn mindegyik eleme felírható a σ1 , . . . , σn−1 valamilyen szorzataként, ezért σ1 , . . . , σn−1 generálja Sn -et. Nyilván σi σj = σj σi , ha |i − j| > 1 ,

(2)

hiszen ekkor σi és σj diszjunkt párok elemeit cserélik fel. A σi σi+1 szorzat ciklikusan permutálja az xi , xi+1 , xi+2 elemeket, ezért (σi σi+1 )3 = e , ha 1 6 i 6 n − 2 .

(3)

Állítás. Megmutatható, hogy az Sn csoportbeli műveletet a σ1 , . . . , σn−1 generátorokra teljesülő (1), (2) és (3) relációk már egyértelműen meghatározzák. Az állítás pontos értelmezésére a 14. fejezetben térünk vissza. Legyen σ ∈ Sn egy tetszőleges permutáció, és jelölje H = hσi a σ által generált ciklikus részcsoportot. A H hatásának megfelelő orbitokat jelöljük X1 , . . . , Xk -val, ezek elemszámát pedig rendre n1 , . . . , nk -val. Nyilván n = n1 + · · · + nk .

(4)

A H = hσi csoport mindegyik Xi orbit elemeit ciklikusan permutálja. Tehát az X = ∪Xi partíció és ezen belül az Xi halmazokon létrejövő ciklikus sorrend megadása (pl. Xi = {xα1 , xα2 , . . . , xαni } , ahol σxαj = xαj+1 , ha j 6 ni − 1 és σxαni = xα1 ) már egyértelműen meghatározza a σ-t. Ezt az eljárást hívjuk ciklusokra való felbontásnak, az n1 , . . . nk számsorozatot pedig a permutáció ciklusszerkezetének . Egy σ ′ = gσg −1 konjugáltnak ciklusokra való felbontása X = ∪gXi , ahol gXi = {gα1 , . . . , gαni } , így az n1 , . . . nk számok nem változnak. Megfordítva,

117

13. fejezet Példák csoportokra: Véges csoportok

ha egy σ ′ permutáció ciklusszerkezete ugyancsak n1 , . . . nk , akkor könnyen található olyan g permutáció, amelyre σ ′ = gσg −1 . Tehát két permutáció pontosan akkor konjugált, ha ciklusszerkezetük azonos. Másszóval Sn konjugáltosztályai kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetők a (4)-nek eleget tevő n1 , . . . , nk természetes számsorozatoknak; speciálisan Sn konjugáltosztályainak a száma egyenlő az n pozitív egészek összegére bontásainak (partícióinak) a számával. 2. példa. Tegyük fel, hogy x1 , . . . , xn független változók a Z[x] gyűrűben, és tekintsük a Q ∆= (xi − xj ) i 2-vel teljesül. Ha mij > 3 , akkor az mij számot a megfelelő él fölé írjuk. Könnyen látható, hogy mij pontosan akkor 2 , ha σi felcserélhető σj -vel. XIV. tétel. Tegyük fel, hogy G tükrözésekkel generált véges irreducibilis csoport. Ekkor létezik olyan σ1 , . . . , σk tükrözésekből álló generátorrendszere, amelyek közti relációkat az alábbi gráfok írják le. A feltüntetett relációk mindegyik gráf esetében egyértelműen meghatározzák G-t. An 4

Bn Dn E6 E7

E8 4

F4 H4 H3 I2 (p)

5 5 p

p³5

Az An , Bn stb. jelölésekben az n index a megfelelő gráf csúcsainak a száma, és ez egyben annak a térnek a dimenziója is, amelyen G hat. Az An gráf megfelel az Sn+1 példánkban már szerepelt hatásának E1 -en (lásd (6)). Itt Sn+1 éppen az α1 + · · · + αn+1 = 1 , αi > 0 koordinátájú pontok alkotta szabályos n-dimenziós szimplex szimmetriacsoportja. A Bn gráfnak megfelelő csoport egy n-dimenziós tér ortonormált bázisának összes permutációiból és ellentettképzéseiből áll. Ez a csoport az n-dimenziós kocka (vagy oktaéder) szimmetriacsoportja, az elemszáma 2n n! . Az n = 3 esetben a csoport O × Z . A Dn gráfnak megfelelő csoport egy 2-indexű részcsoport a Bn -hez tartozó csoportban. Elemei a báziselemek Q összes permutációi és az εi = ±1 számokkal való azon szorzásai, amelyekre εi = 1 . Az n = 3 esetben

131

14. fejezet Példák csoportokra: Diszkrét végtelen csoportok

a csoport OT ⊂ O × Z (lásd 21. ábra). A H3 -nak megfelelő csoport az ikozaéder szimmetriacsoportja, I2 (p) pedig a Dp diédercsoporté. A H4 és F4 gráfok bizonyos 4-dimenziós szabályos poliéderek szimmetriacsoportjának felelnek meg. A XIV. tételben felsorolt csoportok többsége kristályosztály; kivételek: H3 , H4 és I2 (p) , ha p = 5 vagy p > 7 . 9. példa. Megemlítünk egy másik módszert, amellyel véges csoportokhoz juthatunk. A módszert részleteiben később tárgyaljuk, itt csupán egyetlen példával utalunk rá. Tekintsük a GL(n, Fq ) csoportot, ami a véges Fq test fölötti n × n-es nemszinguláris mátrixokból áll. Ez a csoport izomorf az Fnq vektortér (invertálható) lineáris transzformációinak AutFq Fnq csoportjával; mindegyik transzformációt az Fnq egy-egy bázisának a kiválasztása határozza meg. Ezért | GL(n, Fq )| megegyezik az Fnq tér e1 , . . . , en bázisainak a számával. Az e1 -nek a q n − 1 nemnulla vektor bármelyike választható; adott e1 esetén e2 -nek az e1 gyel nem párhuzamos q n − q vektor bármelyike; adott e1 és e2 esetén e3 -nak választható az e1 és e2 lineáris kombinációjaként fel nem írható q n − q 2 vektor bármelyike, és így tovább. Tehát | GL(n, Fq )| = (q n − 1)(q n − q)(q n − q 2 ) · · · (q n − q n−1 ) .

(9)

A GL(n, Fq ) csoportokat például a XI. tétel bizonyításánál is felhasználhatjuk. Rögzítsünk egy p 6= 2 prímet, és tekintsük a ϕp : Z → Z/(p) = Fp homomorfizmust; ez egyértelműen kiterjeszthető a mátrixcsoportok ϕp : GL(n, Z) → GL(n, Fp ) homomorfizmusává, melynek magja az A = E + pB alakú, det A = ±1 feltételt kielégítő mátrixokból áll. Megmutatjuk, hogy minden G ⊂ GL(n, Z) véges csoportot ϕp izomorfan képez a GL(n, Fp ) egy részcsoportjára. Mivel GL(n, Fp )-nek csak véges sok részcsoportja van, a tétel ebből már következik, és (9) becsléssel is szolgál |G|-re. A G → GL(n, Fp ) leképezés magja G ∩ ker ϕp ; azt kell megmutatni, hogy ez a részcsoport csak az egységelemből áll. Ehhez igazoljuk, hogy ker ϕp -ben E az egyetlen véges rendű elem. Legyen A = E + pr B , B ∈ Mn (Z) úgy, hogy B nem mindegyik eleme osztható p-vel. Tegyük fel, hogy An = E ; a binomiális tétel szerint µ ¶ n P n rk k r p B = 0. np B + k=2 k Elemi számelméleti meggondolással adódik, hogy ha p > 2 és k > 1 , akkor az összegzésen belül minden együttható p-nek magasabb hatványával osztható, mint npr , ez pedig ellentmondás.

14. Példák csoportokra: Diszkrét végtelen csoportok Ebben a részben végtelen csoportokkal foglalkozunk. Természetesen a végtelenség mint feltétel önmagában még nem sokat mond azokról a csoporttípusokról, amelyek a valóságban előfordulnak. Végtelen csoport általában valamilyen

132

14. fejezet Példák csoportokra: Diszkrét végtelen csoportok

konstruktív eljárás vagy formula segítségével adható meg. Egy ilyen formulában lehet néhány paraméter, ami egész vagy valós értékeket, esetleg egy sokaság pontjait futhatja be. Ez képezi egy kezdeti, lazább osztályozás kiindulópontját is: az első esetben diszkrét, a másodikban folytonos csoportról beszélünk. Diszkrét csoportra a legegyszerűbb példa a végtelen ciklikus csoport, aminek elemei g n alakúak, ahol n egész értékeket vesz föl. Diszkrét csoportok gyakran diszkrét transzformációcsoportként fordulnak elő, ezúttal a szó pontosabb értelmében. Az egészek (additív) csoportja izomorf az egyenes azon eltolásainak csoportjával, amelyek megtartják a sin 2πx függvényt, tehát az x 7→ x + d , d ∈ Z eltolásokéval. Vizsgáljuk először ezt az esetet. Legyen X topologikus tér; példáink mindegyikében feltesszük, hogy X lokálisan kompakt és Hausdorff-féle, és a legtöbb esetben (differenciálható vagy komplex analitikus) sokaság. Az X automorfizmusainak egy G csoportját diszkrétnek (nem folytonosnak) nevezzük, ha minden K ⊂ X kompakt részhalmazra csupán véges sok olyan g ∈ G transzformáció létezik, amelyre K ∩ gK nem üres. A G orbitjainak G \ X halmazán egy topológiát definiálhatunk, méghozzá a következőképpen: legyenek a nyílt halmazok azok, amelyeknek az f : X → G \ X kanonikus leképezésnél nyílt a teljes inverz képe. Ha minden x ∈ X pontnak a stabilizátora csak e-ből áll, akkor azt mondjuk, hogy G szabadon hat Xen. Ilyenkor minden ξ ∈ G \ X pontnak van olyan környezete, amelynek az f : X → G \ X kanonikus leképezésnél a teljes inverze az f által homeomorfan leképezett, páronként diszjunkt nyílt halmazoknak az egyesítése. Ez éppen azt jelenti, hogy X nem elágazó fedése G\X-nek. Speciálisan, ha X differenciálható vagy analitikus sokaság, akkor G \ X is ugyanolyan fajta sokaság. Tegyük fel, hogy egy G csoport egyben sokaság is (ezeket az eseteket a következő, 15. fejezetben tárgyaljuk); ekkor egy G ⊂ G részcsoportot diszkrétnek nevezünk, ha G a G balreguláris hatására nézve diszkrét. G \ X faktortérként fontos új topologikus tereket konstruálhatunk. Egy előllítási módjuk a fundamentális tartomány fogalmához kötődik. Ezen az X-nek olyan D ⊂ X részhalmazát értjük, amely minden orbitot metsz, és amelynek minden x ∈ D belső pontjára teljesül, hogy x orbitjának és D-nek a metszete pontosan x . Ekkor D lezártjának, D-nak két különböző pontja csak akkor tartozhat azonos orbithoz, ha D határán van, és így a G \ X teret szemléletesen úgy képzelhetjük el, hogy D-t összeragasztjuk, azonosítva egymással határának azonos orbithoz tartozó pontjait. Például az egyenes eltolásainak említett csoportjában az x → x + d transzformációknak a [0, 1] intervallum fundamentális tartománya. Ennek határpontjait egymással azonosítva, az intervallumból egy kört kapunk. A G \ X tér pontosan akkor kompakt, ha G-nek van olyan fundamentális tartománya, amelynek a lezártja kompakt. 1. példa. Egy n-dimenziós valós Rn tér additív csoportjának diszkrét részcsoportjai. I. tétel. Rn minden diszkrét részcsoportja izomorf Zm -mel, alkalmas m 6 nre. Minden ilyen részcsoport m darab lineárisan független vektor, e1 , . . . , em ösz-

133

14. fejezet Példák csoportokra: Diszkrét végtelen csoportok

szes egész együtthatós lineáris kombinációiból áll. Az ilyen csoportokat rácsoknak nevezzük. Az e1 , . . . , em vektorokat a tér egy e1 , . . . , en bázisává kiegészítve, D = {α1 e1 + · · · + αn en | 0 6 α1 , . . . , αn 6 1} a rácsnak fundamentális tartománya. A G \ Rn tér pontosan akkor kompakt, ha m = n . Ebben az esetben a D fundamentális tartomány az e1 , . . . , en vektorok által kifeszített parallelepipedon. Ebben a fejezetben feltételezzük a Riemann-felületnek és a nemének az ismeretét. Az n = 2 esetben az R2 síkot úgy tekintjük, mint az egyváltozós komplex síkot, és mint ilyet C-vel jelöljük. Ha G egy C-beli rács, akkor a G \ C faktortér örökli a C 1-dimenziós komplex struktúráját, vagyis kompakt Riemann-felület, aminek a neme 1. Megfordítva, megmutatható, hogy minden olyan kompakt Riemann-felület előáll ilyen módon, amelynek a neme 1. A G \ C Riemannfelületen a meromorf függvények azok az egyváltozós komplex f (z) függvények, amelyek invariánsak a z 7→ z + α , α ∈ G eltolásokkal szemben; vagyis azok az elliptikus függvények , amelyeknek periódusai a G elemei. Tétel. Két, az előbbi módon konstruált G1 \ C és G2 \ C Riemann-felület pontosan akkor konform ekvivalens, ha a G1 és G2 rácsok hasonlóak. 2. példa. Kristálycsoportok. Közvetlenül az 1. példát általánosítjuk, pontosabban annak az m = n esetét. Egy kristály atomjai a térben diszkrét és nagyon szimmetrikus alakzatot képeznek. Ez abból látható, hogy az atomok egymáshoz viszonyított elhelyezkedése a térben korlátlanul ismétlődik. Pontosabban szólva, létezik egy olyan korlátos D tartomány, amelybe a tér bármely pontja a kristály alkalmas szimmetriájával átvihető; szimmetrián a tér olyan mozgása értendő, amely a kristály valamennyi fizikai tulajdonságát megőrzi (minden atomot ugyanolyan atomba visz, és az atomok közti minden kapcsolatot megtart). Tehát egy kristály szimmetriacsoportja a 3-dimenziós R3 tér mozgásainak diszkrét G részcsoportja, és a G \ R3 tér kompakt. Ennek alapján általában kristálycsoporton az n-dimenziós Rn euklideszi tér mozgáscsoportjának olyan diszkrét részcsoportját értjük, amelyre a G \ Rn faktortér kompakt. A kristálycsoportok elméletének fő eredménye a következő. II. Bieberbach tétele. Egy G kristálycsoportba tartozó összes eltolások A-val jelölt részcsoportja véges indexű normálosztó, melyre A \ Rn kompakt. Az n = 3 esetben ez azt jelenti, hogy minden kristályhoz van olyan Π parallelepipedon (az A ⊳ G normálosztó fundamentális tartománya, ahol G a teljes szimmetriacsoport), amelyre a kristály Π-be és annak gΠ eltoltjába eső részének minden tulajdonsága megegyezik (minden g ∈ A-ra), továbbá ezek az eltoltak együttesen az egész teret befedik. A Π a kristály alapparallelepipedonja. Az általános esetben az I. tétel szerint A egy C ∼ = Zn rács eltolás-vektoraiból áll. A véges F = G/A csoport a C szimmetriacsoportja. Jordan tétele (13. fejezet, XII. tétel) alapján így

134

14. fejezet Példák csoportokra: Diszkrét végtelen csoportok

B

0

A

27. ábra.

III. tétel. Adott n-re az n-dimenziós tér kristálycsoportjainak száma véges. A tételben egy G1 és egy G2 csoportot akkor tekintünk azonosnak, ha Rn alkalmas affin transzformációjával egymásba vihetők. Megmutatható, hogy ez pontosan akkor következik be, ha G1 mint absztrakt csoport izomorf G2 -vel. A kristálytanban felmerülő kristálycsoportoknak létezik egy nagyon természetes, tisztán csoportelméleti jellemzése is: ezek éppen azok a G csoportok, amelyekben létezik olyan véges indexű maximális Abel-részcsoport, amely normális és izomorf Zn -nel. A kristálytanban roppant fontos, hogy ismerjük a 3-dimenziós térben előforduló kristálycsoportok fajtáit. Ha ugyanis ismerjük egy kristálynak a csoportját, egy fundamentális tartományát és azon belül az atomok elhelyezkedését, akkor — kiterjedésétől függetlenül — az egész kristályt meghatároztuk. Ez teszi lehetővé, hogy a kristályokat egy véges adathalmazzal jellemezzük, és a kristálytani táblázatokban éppen ez történik. A kristálycsoportok teljes listája túlságosan hosszú ahhoz, hogy itt leírjuk; ehelyett a 2-dimenziós eset ismertetésére szorítkozunk. IV. tétel. A síkon 17 különböző kristálycsoport van. Minden ilyen kristálycsoportban van egy A ⊳ G normálosztó, ami egy C rácsban lévő vektorokkal való eltolásokból áll. A g ∈ G transzformációk a rácsot önmagára képezik, és a g ∈ A elemek eltolásként hatnak. Ezért a véges F = G/A csoport e rács szimmetriacsoportja, tehát a 13. fejezet VIII. tételében felsorolt 13 típus valamelyikébe tartozik. Előfordulhat azonban, hogy két különböző G csoport ugyanannak a C rácsnak ugyanazt a szimmetriacsoportját indukálja. Tekintsük például a téglalap típusú Γtégl rácsot és ennek azt a D szimmetriacsoportját, ami az identitásból és az OB tengelyre való tükrözésből áll (l. 27. ábra). Legyen G a C elemeivel való eltolások T csoportja és a D által generált csoport. Ekkor G a 27. ábrán látható séma szimmetriacsoportjaként jellemezhető. −−→ Másrészt viszont tekintsük az 12 DB vektorral való eltolás és az OB tengelyre −→ való tükrözés kompozícióját, s-et valamint az OA vektorral való t eltolást; le-

135

14. fejezet Példák csoportokra: Diszkrét végtelen csoportok

−−→ gyen G1 az s és t által generált csoport. Mivel s2 éppen az OB vektorral való eltolás, azért a T csoport és a C rács mindkét esetben ugyanaz, és a G ill. G1 által a C-n indukált szimmetriacsoportok is megegyeznek. A G1 csoport azonban nem izomorf G-vel: G-ben vannak tükrözések, ezzel szemben, mint az könnyen ellenőrizhető, a G1 -beli transzformációk vagy eltolások, vagy tükrözéseknek és a rács vízszintes egyenesei mentén történő eltolásoknak a kompozíciói. Speciálisan G-ben létezik másodrendű elem, G1 -ben viszont nem. A G1 csoport egyébként éppen a 16. ábrán látható sémának a szimmetriacsoportja. Példánkhoz hasonlóan a 13. fejezet VIII. tételében felsorolt 13 szimmetriacsoportból 13 olyan 2-dimenziós kristálycsoportot kaphatunk, amelyet a megfelelő rács vektoraival való eltolások és ortogonális transzformációk generálnak (előbbi példánk G csoportjához hasonlóan). A rács bármely x elemének Gx stabilizátora a 13 típus valamelyikébe tartozik. Néhány esetben azonban más, finomabb konstrukciók is lehetségesek (mint a példabeli G1 esetében). Ilyenkor a stabilizátor kisebb a kiválasztott szimmetriacsoportnál, mivel bizonyos szimmetriák csak eltolásokkal való kompozícióként állíthatók elő (mint a fenti példában az s). Így D1 (Γtégl )-hoz egy új csoportot konstruálhatunk (a fenti G1 -et), két új csoportot D2 (Γtégl )-hoz és egy újat D4 (Γnégy )-hez; így összesen 17 csoportot kapunk. Befejezésül a D4 (Γnégy )-hez tartozó „új” csoporttal foglalkozunk. Ez részcsoportként tartalmazza C4 -et, ami a sík O körüli 0 , π/2 , π , 3π/2 szögű forgatásaiból áll, és tartalmazza egy O-n átmenő ℓ egyenes mentén való eltolásnak és erre az egyenesre való tükrözésnek a kompozícióját. Az ezek által generált csoport a G . Jelöljük a π/2 szögű forgatást σ-val; ekkor a s′ = σsσ −1 transzformáció s-hez hasonló, de a tengelye, ℓ′ merőleges ℓ-re. Az eltolásokból álló részcsoportot az ℓ , ill. ℓ′ tengelyű s2 és (s′ )2 transzformációk generálják. A kapott G csoport a 28. ábrán látható mintának a szimmetriacsoportja. A fentiek során konstruált csoportokat szokás még „díszítéscsoportoknak” is nevezni (angol könyvekben — szó szerinti fordításban — „tapétaminta-csoportok”), mivel ezek síkbeli (díszítő) minták szimmetriacsoportjaként is megkaphatók. A teljes 17 elemű listához tartozó díszítésfajták megtalálhatók például [Malcev 80 (1956)] könyvében. A 16., 27. és 28. ábrán ilyen díszítésekre láthatunk példákat. Természetesen, a pusztán esztétikai célzattal készült díszítések sokkal érdekesebbek. Példaként említendő a 29. ábrán látható, [Speiser 98 (1937)]-ből kölcsönzött díszítés, amit egy Thébából származó kövön találtak, és ókori egyiptomi művészek munkájának tulajdonítanak. Ez azt mutatja, hogy a modern algebrában csoportként axiomatizált szimmetria fogalmának felfedezése és mélységében történő megértése a messzi régmúltba nyúlik vissza. A 3-dimenziós eset a síkbelinél lényegesen bonyolultabb. V. tétel. A 3-dimenziós tér kristálycsoportjainak száma 219. Két csoportot (akárcsak a III. tételben) akkor tekintünk azonosnak, ha izomorfak, vagy (ami ezzel ekvivalens) ha a tér alkalmas affin transzformációjával egymásba vihetők. Mind a 219 csoport előáll egy valódi kristály szimmetriacsoportjaként. A kristálytanban a 219 helyett olykor a 230-as számmal találkozunk. Az eltérésnek az az oka, hogy ilyenkor két csoportot csak akkor tekintenek azonosnak,

136

14. fejezet Példák csoportokra: Diszkrét végtelen csoportok

l 28. ábra.

29. ábra.

ha a tér irányítását megtartó transzformációval vihetők egymásba; a síkban ez a kétféle ekvivalencia-fogalom ugyanahhoz az osztályozáshoz vezet. A kristálycsoportok elmélete rámutat a 13. fejezet 7. példájában tárgyalt véges szimmetriacsoportok jelentőségére. Egy kristály szimmetriáit a teljes kristálycsoport jeleníti meg, de az atomok közti roppant kicsiny távolság miatt makroszkópikus szempontból nem az eltolások A csoportja az igazán érdekes, hanem a G/A faktorcsoport, ami A-nak szimmetriacsoportja. Megjegyzendő, hogy a 13. fejezet VII. tételének listájában előforduló csoportokban csak π/2 , π/3 vagy ezek többszöröse lehet a forgatások szöge, így a kristályok szimmetriájaként is csak ilyen forgatások fordulhatnak elő. Ez annál is inkább meglepő, mivel a világban gyakran találkozhatunk más szimmetriákkal is. Például mindenki ismeri a harangvirág (campanula) és a muskátli virágját, amelynek szirmai ötödrendű szimmetriával bírnak. A [Növények élete 1 (1981)] c. könyvből vett 30. ábrán a harangvirág (a) és a tarka dögvirág (Stapelia variegata) (b) 5-ödrendű, valamint a majomkenyérfa leveleinek (c) 7-edrendű szimmetriája látható. 3. példa. Nemeuklideszi kristálytan. A diszkrét mozgáscsoportok nem

137

14. fejezet Példák csoportokra: Diszkrét végtelen csoportok

30. ábra.

csupán euklideszi térben lehetnek érdekesek, hanem egyéb terekben is. Nézzük például a Λ hiperbolikus síkot; olyan diszkrét G mozgáscsoportokat tekintünk csupán, amelyek megtartják a sík irányítását, és kielégítik a következő két feltételt: (1) ha g ∈ G , és g 6= e , akkor g a Λ egyetlen pontját sem hagyja fixen; (2) a G \ Λ tér kompakt. Az euklideszi sík esetében ennek a feltételrendszernek csak egy rács vektoraival való eltolások tesznek eleget. A fenti feltételeknek eleget tevő G csoportok érdekessége abban rejlik, hogy az (1) tulajdonság következményeként a G \ Λ tér sokaság, esetünkben egy felület. A hiperbolikus síknak C+ -on, vagyis az egyváltozós felső komplex félsíkon megadott Poincaré-féle modelljében a G \ Λ felület örökli a felső félsík komplex struktúráját, és (a (2)-es feltételt is figyelembevéve) egy kompakt Riemannfelületet ad. A G \ C+ Riemann-felületen meromorf függvények éppen a C+ -on meromorf G-invariáns függvények. Az ilyen függvényeket automorf függvényeknek hívjuk. Összehasonlítva mindezt az 1. példával, ahol a G\C térként azokhoz a kompakt Riemann-felületekhez jutottunk, amelyeknek a neme 1 , esetünkben

138

14. fejezet Példák csoportokra: Diszkrét végtelen csoportok

éppen az 1-nél nagyobb nemű kompakt Riemann-felületek állnak elő (Poincaré– Koebe-féle uniformitási tétel). E két eset tehát együttesen a kompakt Riemannfelületek csoportelméleti jellemzését adja (az egyetlen kimaradt, 0-nemű eset a Riemann-gömb). A szóbanforgó G csoportnak fundamentális tartománya egy olyan 4p-szög, amelynek másodszomszédos egyenlő oldalai vannak; vagyis az a1 , b1 , a′1 , b′1 , . . . , ap , bp , a′p , b′p sorrendben következő oldalakra ai = a′i és bi = b′i . A G generátorai azok a transzformációk, amelyek az ai oldalt a′i -be vagy bi -t b′i -be viszik (az oldalak irányítása a 31. ábrán látható). a2

a1

b2

b1

a'2

a'1 b'2

b'1

31. ábra.

Az említett oldalak egyenlőségén kívül a sokszög egyetlen további specialitása az, hogy szögeinek összege 2π (annak megfelelően, hogy G \ Λ-ban a sokszög csúcsait egyetlen pontba húzzuk össze). 3a. példa. A 3. példa fontos speciális esetéhez jutunk, ha a hiperbolikus térnek nem a Poincaré-féle, hanem a Cayley–Klein-modelljét vesszük. Legyen f (x, y, z) egész együtthatós, indefinit kvadratikus alak, és tekintsük az f -et megtartó G ⊂ SL(3, Z) transzformációk csoportját. Az x, y, z-t a projektív sík pontjainak homogén koordinátáiként értelmezve G az f > 0 halmaz projektív transzformációiként jelenik meg, vagyis a Cayley–Klein-modellben a Λ sík egy mozgáscsoportjaként. Megmutatható, hogy G \ Λ pontosan akkor kompakt, ha az f (x, y, z) = 0 egyenletnek (0, 0, 0) az egyetlen racionális megoldása. (Ennek az egyenletnek a megoldhatóságát Legendre tétele tárgyalja — lásd a 7. fejezet III. tételét.) Ezúttal a 3. példában szereplő (1) feltétel nem feltétlenül teljesül, pl. ha G-ben létezik az egységelemtől különböző, véges rendű elem. Ilyenkor azonban létezik olyan véges indexű G′ ⊂ G csoport, amely már teljesíti (1)-et: a 13. fejezet 9. példa végén alkalmazott módszert használhatjuk itt is, megmutatva, hogy tetszőleges p 6= 2 prímmel G′ = {g ∈ G | g ≡ E (mod p)} megfelelő. 4. példa. Az SL(2, Z) csoport azokból az egész elemű, 2 × 2-es mátrixokból áll, amelyeknek a determinánsa 1 . E csoport jelentőségét az adja, hogy egy 2dimenziós rácsban, amelynek e1 , e2 is és f1 , f2 is bázisai, szükségképpen f1 = ae1 + ce2 , f2 = be1 + de2 ,

139

14. fejezet Példák csoportokra: Diszkrét végtelen csoportok

ahol a, b, c, d ∈ Z és ad − bc = ±1 , azaz

"

# a b ∈ GL(2, Z) . c d

Ha még azt is megköveteljük, hogy f1 -et ugyanolyan " # irányú forgatás vigye f2 -be, a b mint e1 -et e2 -be, akkor ad − bc = 1 , vagyis ∈ SL(2, Z) . Gyakran felmec d rülő probléma az euklideszi síkon a rácsok hasonlóság erejéig való osztályozása. Az 1. példában láthattuk, hogy például az 1-nemű kompakt Riemann-felületek osztályozása is erre vezethető vissza. Ahogyan ott is, a síkot azonosítjuk C-vel: a hasonlóság ekkor nemnulla komplex számmal való szorzásnak felel meg. Legyen z1 , z2 egy C ⊂ C rács bázisa. Feltesszük, hogy z1 és z2 szöge legfeljebb π , és úgy választjuk meg a vektorok sorrendjét, hogy z1 -et az óramutató járásával ellentétes irányú forgatás vigye z2 -be. A z1−1 -nel való szorzás hasonlóság, és ez a C rácsot a hozzá hasonló C ′ -be viszi, aminek 1, z bázisa (z = z1−1 z2 -vel); a választás folytán a z báziselem is a felső C+ félsíkban van. A felső félsíkban lévő két bázis, 1, z és 1, w akkor határoz meg hasonló rácsokat, ha alkalmas a, b, c, d ∈ Z , ad − bc = 1 egészekkel a (bz + d, az + c) bázis valamilyen hasonlósággal 1, w-be vihető. Ez a hasonlóság csak a (bz + d)−1 -nel való szorzás lehet, az + c . Látható, hogy SL(2, Z) hat a felső C+ félsíkon: minden és akkor w = bz + d " # a b az + c . g= ∈ SL(2, Z)-re gz = bz + d c d " # −1 0 A mátrix identikusan hat, így valójában az SL(2, Z)/N csoport 0 −1 (" # " #) 10 −1 0 , . Ezt a faktorcsoportot hatásával van dolgunk, ahol N = 01 0 −1 P SL(2, Z)-vel jelöljük; ez az ún. moduláris csoport. A rácsok hasonlóság szerinti osztályai tehát megfelelnek G\C+ -nak, ahol G a moduláris csoport. A moduláris csoport diszkréten hat a felső félsíkon. Egy fundamentális tartománya a 32. ábrán bevonalkázott alakzat.

D D'

–1 –1/2

0

1/2

1

32. ábra.

Ezt a D tartományt moduláris alakzatnak nevezzük. A moduláris alakzat

140

14. fejezet Példák csoportokra: Diszkrét végtelen csoportok

nem korlátos, viszont rendelkezik egy másik fontos tulajdonsággal. Ismeretes, hogy a felső félsík a hiperbolikus sík egy modellje, és a körüljárást megtartó αz + γ transzformációk, amelyekre α, β, γ, δ ∈ R , és egybevágóságai azok a z 7→ βz + δ αδ − βγ = 1 . A moduláris csoport tehát a hiperbolikus sík mozgáscsoportjának diszkrét részcsoportja. A hiperbolikus geometriában a moduláris alakzat területe véges; a G \ C+ felület tehát nem kompakt, de a természetes metrika szerinti területe véges. A moduláris csoport hasonlít a 3. példában szereplő csoportokra, de egyikükkel sem egyezik meg: egyrészt vannak fixponttal bíró elemei (pl. z 7→ −1/z), másrészt G \ Λ nem kompakt. A 3. példával fennálló analógia jól látható a moduláris alakzat hiperbolikus geometriai tulajdonságaiból: olyan háromszögről van szó, amelynek az egyik csúcsa a végtelenben van, és az ehhez tartó oldalak tetszőlegesen közel kerülnek egymáshoz. Még jobban látható mindez a 32. ábra D-vel ekvivalens D′ tartományán. 5. példa. Legyen G = GL(n, Z) ; ez diszkrét részcsoport GL(n, R)-ben, és ugyanazokon a tereken hat, mint GL(n, R) . Különösen fontos ezek közül a valós pozitív definit A mátrixok Hn halmazán való hatás, ha a mátrixokat azonosítjuk pozitív skalárszorosaikkal: g(A) = gAg ∗ (vö. a 12. fejezet 4. példájával az n = 2 esetre). Ez a hatás a kvadratikus alakok egészekvivalenciáját jeleníti meg. A fundamentális tartomány itt sem kompakt, de a (GL(n, R)-invariáns mérték szerinti) térfogata véges. A GL(n, Z) csoport az aritmetikai csoportok fontos osztályához tartozik, mellyel a következő fejezetben foglalkozunk majd. 6. példa. Szabad csoportok. Tekintsük az s1 , . . . , sn szimbólumokat; az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy ezek egy véges halmaz elemei, jóllehet a későbbiek során erre igazából nem lesz szükség. Mindegyik si szimbólumhoz −1 hozzárendelünk egy másik, s−1 i -nel jelölt szimbólumot. Akármilyen si vagy sj szimbólumok egymás után írásával keletkező tetszőleges véges sorozatot szónak nevezünk, mint pl. s1 s2 s2 s−1 1 s3 . Megengedjük az üres szót is, amelyben egyetlen szimbólum sem fordul elő; ezt e-vel jelöljük. Egy szót akkor hívunk redukált alakúnak , ha benne sehol sem áll egymás mellett si és s−1 vagy s−1 és si . Egy i i szó inverze az a szó, amelyben az eredeti szó szimbólumait fordított sorrendben −1 írjuk fel, és mindegyik si -t s−1 i -nel és mindegyik si -t si -vel helyettesítjük. Az A és B szavak szorzata az a szó, amelyet A és B egymás után írásával kapunk, majd abból kihúzzuk az egymás mellett álló si és s−1 vagy s−1 és si alakú párokat, i i amíg csak a szó redukált alakjához el nem jutunk (ez persze az üres szó is lehet). Könnyen ellenőrizhető, hogy a redukált alakú szavak csoportot alkotnak erre a szorzási műveletre. A kapott csoport az n elemmel (szabadon) generált szabad csoport, a jele pedig Fn . A generátorok nyilvánvalóan az egyetlen szimbólumot −1 tartalmaző s1 , . . . , sn szavak, si inverze s−1 szavak i , és minden szó si és sj szorzataként áll elő. Az x és y által generált F2 szabad csoport előállítható egy 1-dimenziós komplexus (azaz egy topologikus tér) transzformációcsoportjaként is. Álljon ez a komplexus pontokból és azokat összekötő szakaszokból; a pontok az F2 összes

141

14. fejezet Példák csoportokra: Diszkrét végtelen csoportok

különböző elemei, és a redukált alakú A és B szavaknak megfelelő pontok akkor vannak összekötve, ha B az A-ból x , y , x−1 vagy y −1 valamelyikével való jobbszorzással kapható meg (33. ábra).

33. ábra.

Ha az A és B szavaknak megfelelő pontok össze vannak kötve, akkor nyilván CA és CB is össze van kötve bármely C ∈ F2 -re. Ez azt jelenti, hogy F2 balreguláris hatása (l. 12. fejezet) révén F2 hat ezen a komplexuson. Ha a komplexus szakaszain egy kettős irányítást definiálunk a 33. ábrán látható módon (jobbra és felfelé mutató nyilakkal ábrázolva), akkor, mint az könnyen látható, F2 éppen e kettős irányítással ellátott komplexusnak a teljes automorfizmuscsoportja. Legyen G tetszőleges csoport, amelyet a g1 , . . . , gn elemek generálnak. Látható, hogy az a leképezés, amely az s1 , . . . , sn szimbólumokból képzett tetszőleges redukált alakú szóhoz a g1 , . . . , gn megfelelő kifejezését rendeli homomorfizmus Fn -ből G-re. Tehát minden csoport egy szabad csoport homomorf képe; így a szabad csoportok ugyanazt a szerepet töltik be a csoportelméletben, mint a szabad modulusok a modulusok körében és a nemkommutatív polinomgyűrű az algebráknál (l. 5. és 8. fejezet). Legyen G = Fn /N

a G csoport előállítása a szabad csoport N normálosztója szerinti faktorcsoportjaként. Ha N az r1 , . . . , rm elemek összes konjugáltjaival generálható, akkor r1 , . . . , rm a G csoport definiáló relációi . Az r1 = e, . . . , rm = e

142

14. fejezet Példák csoportokra: Diszkrét végtelen csoportok

összefüggések nyilván teljesülnek G-ben (az r1 , . . . , rm szavakat a g1 , . . . , gn elemekből képezett kifejezéseknek tekintve). Definiáló relációk megadása egyértelműen meghatározza N -et, és ezen keresztül magát G-t is. Ezzel pontos meghatározását kapjuk annak a korábban már használt kifejezésnek, hogy egy csoportot bizonyos relációk határoznak meg. Egy véges sok elem által generált csoportot végesen generáltnak nevezünk; ha a csoport ezen kívül még véges sok relációval is határozható meg, akkor végesen prezentálhatónak hívjuk. A 13. fejezetben például (1), (2) és (3) az Sn szimmetrikus csoport definiáló relációi, ugyanott (7) és (8) egy tükrözésekkel generált véges csoport definiáló relációi. " Megmu# 0 1 tatható, hogy a 4. példában szerepelt P SL(2, Z) csoportot az s = és a −1 0 " # 0 −1 t= mátrixok generálják, és az 1 −1 s2 = e, t3 = e relációk határozzák meg. Kérdés, hogy egy csoportnak generátorokkal és definiáló relációkkal való megadását mennyiben tekinthetjük az illető csoport kielégítő leírásának, akár a végesen prezentálható esetben is. Ha G-t a g1 , . . . , gn elemei generálják, akα α α kor a csoport ismeretéhez tudnunk kell, hogy két különböző, gi1i1 gi2i2 . . . gimim alakú kifejezés a csoport ugyanazon elemét adja-e. Ezt a kérdést szóprobléma néven emlegetjük. A szóprobléma triviális a szabad csoportokra, és bizonyos nagyon speciális csoportosztályokra, amilyen például az egyetlen definiáló relációval megadható csoportoké meg van oldva; az általános esetben azonban megoldhatatlanul nehéznek bizonyul. Ugyanez a helyzet egy másik, ilyen típusú probléma esetében is, amikor két, generátorokkal és definiáló relációkkal megadott csoportról kell eldönteni, hogy izomorfak-e (ez az úgynevezett izomorfizmusprobléma). Mindkét probléma új értelmet nyert az algoritmus fogalmának precíz logikai megalkotását követően. Addig csupán a szóprobléma (pozitív) megoldása volt a szóbajövő feladat: találni olyan eljárást (algoritmust), amely a generátorokból készített két tetszőleges kifejezésről eldönti, hogy egyenlők-e. Most már meg tudjuk fogalmazni a kérdést: megoldható-e egyáltalán a szóprobléma és az izomorfizmusprobléma? A kérdésre hamar megszületett a válasz; kiderült, hogy vannak olyan, generátorokkal és definiáló relációkkal megadott csoportok, amelyekre a szóprobléma nem oldható meg, és olyanok is, amelyekre még az egyelemű csoporttal való izomorfia problémája sem oldható meg. A következő eredmény talán a legmeglepőbb példa arra, hogy tisztán csoportelméleti kérdések vizsgálata a matematikai logika eszközeit igényelheti. Higman tétele. Egy véges sok generátorral és végtelen sok definiáló relációval megadott csoport pontosan akkor részcsoportja valamely véges sok definiáló relációval megadható csoportnak, ha definiáló relációinak halmaza rekurzívan felsorolható. (Az utóbbi, a matematikai logikához is kapcsolódó fogalom annak

143

14. fejezet Példák csoportokra: Diszkrét végtelen csoportok

az intuitív tulajdonságnak a pontos megfogalmazása, hogy létezik valamilyen indukciós eljárás (rekurzió), amelynek révén egy halmaz valamennyi eleme egymás után megkapható.) Csoportok generátorokkal és definiáló relációkkal történő megadása leggyakrabban a topológiában fordul elő. 7. példa. A fundamentális csoport. Legyen X topologikus tér. Az X fundamentális csoportjának elemei az egymásba folytonos deformációval átvihető zárt görbék osztályai. Egy x ∈ X kezdőpontú és y ∈ X végpontú görbe alatt az I = [0 6 t 6 1] intervallum olyan f : I → X folytonos leképezését értjük, amelyre f (0) = x és f (1) = y . A görbe zárt, ha x = y . Az f : I → X görbe kezdőpontja legyen x , végpontja y , a g : I → X görbe kezdőpontja legyen y , a végpontja pedig z ; az f, g görbék kompozíciója az az f g : I → X leképezés, amelyre f g(t) = f (2t) , ha 0 6 t 6 1/2 , f g(t) = g(2t − 1) , ha 1/2 6 t 6 1 .

Két I → X görbe, f és g , amelyek mindegyikének kezdőpontja x és végpontja y , homotóp, ha létezik a J = [0 6 t, u 6 1] négyzetnek olyan ϕ : J → X folytonos leképezése, amelyre ϕ(t, 0) = f (t) , ϕ(t, 1) = g(t) , ϕ(0, u) = x , ϕ(1, u) = y .

Azoknak a zárt görbéknek a homotópiaosztályai, amelyeknek kezdő- és végpontja egyaránt x0 , csoportot alkotnak a görbék kompozíciójára mint szorzásra. Ez a csoport az X fundamentális csoportja, jele π(X) ; szokás ehelyett π1 (X)-et is írni, mivel további πn (X) (n = 1, 2, 3, . . .) csoportok is vannak, amelyeket majd a 20. fejezetben definiálunk. A fundamentális csoport általában függ az x0 pont megválasztásától, és ennek megfelelően igazából π(X, x0 ) az adekvát jelölése; ha azonban X bármely két pontja összeköthető egy görbével (a továbbiakban ezt mindig feltesszük), akkor az összes π(X, x0 ) (x0 ∈ X) csoportok egymással izomorfak. Az X tér egyszeresen összefüggő, ha π(X) = {e} . Tegyük fel, hogy X cellakomplexus, azaz különböző dimenziójú tömör gömbök képeinek („celláknak”) a diszjunkt uniója; ha egyetlen 0-dimenziós cellája van, akkor a π(X) fundamentális csoport generátorai az 1-dimenziós celláknak megfelelő zárt görbék, a definiáló relációk pedig a 2-dimenziós celláknak felelnek meg. Például 1-dimenziós komplexusnak nincs 2-dimenziós cellája, ezért a fundamentális csoportja szabad. Az n körből álló „egypontos egyesítés” fundamentális csoportja az n elemmel generált szabad csoport (l. 34. ábra, az n = 4 esetre). Egy p fogantyúval ellátott gömbbel homeomorf irányított kompakt felülethez jutunk (l. 35. ábra, p = 2-re), ha egy 4p-szöget másodszomszédos oldalai mentén összeragasztunk (l. 31. ábra, a p = 2 esetre). Ezek szerint olyan cellakomplexust kapunk, amelyben egyetlen 0-dimenziós, 2p darab 1-dimenziós és egy 2-dimenziós cella van. Fundamentális csoportja tehát 2p elemmel generálható; jelöljük ezeket s1 , t1 , s2 , t2 , . . . , sp , tp -vel, ahol si az ai és a′i görbékből, ti pedig bi -ből és b′i -

144

14. fejezet Példák csoportokra: Diszkrét végtelen csoportok

34. ábra.

35. ábra.

ből származik. A generátorok között fennálló egyetlen reláció megfelel a 4p-szög kerületén való körbejárásnak, figyelembe véve az oldalak irányítását: −1 −1 −1 s1 t1 s−1 1 t1 . . . sp tp sp tp = e .

(1)

Ha olyan sokaságokat konstruálunk, amelyek fundamentális csoportjának izomorfiája eldönthetetlen, akkor ezzel — a csoportok izomorfizmusproblémájának eldönthetetlenségét fölhasználva — igazolható, hogy a legalább 4-dimenziós sokaságok homeomorfizmusproblémája is eldönthetetlen. A fundamentális csoport fogalma szorosan kapcsolódik a korábban tárgyalt diszkrét transzformációcsoportokhoz. Ha X olyan tér, amelyben bármely két pont görbével összeköthető, akkor létezik olyan összefüggő és egyszeresen öszb tér és egy azon ható, π(X)-szel izomorf G csoport úgy, hogy X = szefüggő X b . Az X b teret az X univerzális fedésének nevezzük. Megfordítva, ha egy X b G\X tér összefüggő és egyszeresen összefüggő, és a G csoport szabadon és diszkréten b az X = G\ X b univerzális fedése, és G izomorf π(X)-szel. Így a hat rajta, akkor X 3. példában az X Riemann-felület G \ C+ alakban áll elő; tehát C+ univerzális fedése X-nek, és G ∼ = π(X) . Így G-t az (1) reláció definiálja. A 33. ábrán b komplexus nyilván összefüggő és egyszeresen összefüggő, és a szabad látható X F2 csoport szabadon hat rajta. Könnyen látható, hogy e hatásnak fundamentális b két körből álló tartománya az ex és ey szakaszokból álló alakzat. Ezért F2 \ X b pedig ennek az egypontos egyesítés, amelyet e , x és y azonosításával kapunk, X egypontos egyesítésnek az univerzális fedése (vö. 34. ábra, de az n = 2 esetre).

145

14. fejezet Példák csoportokra: Diszkrét végtelen csoportok

8. példa. Csomók csoportjai. Csomónak a 3-dimenziós tér olyan sima, zárt Γ görbéjét nevezzük, amely nem metszi önmagát. Az alapprobléma a csomók izotópia (a tér folytonos deformációja) erejéig való osztályozása. Ennek során a legfontosabb invariáns a Γ csomó csoportja, vagyis a komplementerének a π(R3 r Γ ) fundamentális csoportja. A csomók szemléletes ábrázolása érdekében egy síkra vetítjük őket, a vetületen megjelölve, hogy a kereszteződésekben melyik vonal halad felül és melyik alul (l. 36. ábra). C B g

A

36. ábra.

A csomó csoportjának generátorai megfelelnek azon szakaszoknak, amelyekre a kereszteződési pontok a vetített képet osztják (pl. a 36. ábrán a γ-val jelölt rész az ABC intervallumnak felel meg). Megmutatható, hogy a definiáló relációk pedig éppen a kereszteződési pontoknak felelnek meg. A legegyszerűbb csomó a (csomómentes) kör; mivel ennek létezik kereszteződési pontot nem tartalmazó síkvetülete, a csoportja a végtelen ciklikus csoport. A csomó csoportjának jelentősége jól érzékelhető például a következő eredményen. Tétel. Egy csomó pontosan akkor izotóp a körrel, ha csoportja izomorf a végtelen ciklikus csoporttal. A következő példa arról szól, hogyan vezethet el egy fontos topológiai kérdés az izomorfizmusprobléma speciális esetéhez. 9. példa. Fonatcsoportok. Tekintsük a 3-dimenziós térben az ABCD négyzetet, valamint annak AB és CD oldalain n pontot: P1 , . . . , Pn -et és Q1 , . . . , Qn -et. Fonatnak nevezzük n olyan, páronként diszjunkt sima görbe együttesét, amelyek egy ABCD-re állított kockában fekszenek és mindegyiküknek a kezdőpontja a Pi , a végpontja pedig a Qj pontok közül kerül ki (nem feltétlenül megegyező sorrendben — l. 37. ábra (a)). A fonatokat izotópia erejéig tekintjük; fonatok szorzatát a 37. (b) ábrán szemléltettük. A Pi és Qi pontokat azonosítva zárt fonatokhoz jutunk. A zárt fonatok izotópiaosztályai alkotják a Σn fonatcsoportot. A Σn generátorai azok a σ1 , . . . , σn−1 fonatok, amelyekben csupán két fonál keresztezi egymást (l. 37. (c) ábra), a definiáló relációk pedig: σi σj = σj σi , ha j 6= i ± 1 , σi σi+1 σi = σi+1 σi σi+1 .

(2)

146

15. fejezet Példák csoportokra: Lie-csoportok és algebrai csoportok

B

C

P1 P2

Q1 Q2

P3

Q3 A

C (a )

(b )

(c)

37. ábra.

Két fonat izotópiájának kérdése a (2) relációkkal definiált fonatcsoport szóproblémájaként fogalmazható újra. Ebben a speciális csoportban a szóprobléma megoldható, és ténylegesen meg is van oldva; ezáltal a csoportelmélet egy topológiai alkalmazásához jutunk. A fonatcsoport jelentőségét az adja, hogy a fonatokat egy n-elemű rendezetlen síkbeli ponthalmaz olyan síkmozgásaként is elképzelhetjük, amelynek során a pontok egymással nem találkozhatnak össze. Pontosabban szólva, a következőről van szó. Jelölje D azon (z1 , . . . , zn ) ∈ Cn pontoknak a halmazát, amelyekre zi = zj , alkalmas i 6= j-vel. Az Sn szimmetrikus csoport a pontok koordinátáinak permutálásával hat Cn -en, és a D halmazt önmagába viszi. Jelölje az Sn \ (Cn r D) sokaságot Xn . A Σn fonatcsoport éppen ennek a térnek a fundamentális csoportja: Σn = π(Xn ) . Az Xn pontjai az n különböző komplex számból álló rendezetlen z1 , . . ., zn halmazok. Egy ilyen halmaz megadható például a tn + a1 tn−1 + · · · + an = (t − z1 ) · · · (t − zn ) polinom együtthatóival. Elmondhatjuk tehát, hogy Σn ∼ = π(Cn r ∆) , ahol Cn az a1 , . . . , an változók n-eseinek tere, ebben pedig ∆ az a részhalmaz, amelynek pontjaira az a1 , . . . , an együtthatójú polinom diszkriminánsa nulla.

15. Példák csoportokra: Lie-csoportok és algebrai csoportok A következőkben folytonosan változó paraméterekkel megadott csoportokkal foglalkozunk; ezek a csoportok gyakran geometriai vagy fizikai kérdések kapcsán kerülnek elő, és magán a csoporton is egy geometriai struktúra értelmezhető. Ez a geometria bizonyos esetekben nagyon egyszerű, máskor azonban közel sem triviális. Az egyenes x 7→ x + α (α ∈ R) eltolásainak csoportja például a koordinátarendszer és az origó megváltoztatását fejezi ki, nyilvánvalóan izomorf a valós számok additív csoportjával, és a számegyenes pontjaival paraméterezhető. A

147

15. fejezet Példák csoportokra: Lie-csoportok és algebrai csoportok

sík egy rögzített O pontja körüli elforgatásainak csoportjában minden elemet egy ϕ forgásszög határoz meg, és a ϕ két különböző értéke pontosan akkor adja ugyanazt a forgatást, ha a különbségük a 2π egész számú többszöröse. A csoport ezért izomorf R/2πZ-vel, és az O középpontú kör pontjaival paraméterezhető: a körvonalon egy P kezdőpontot kijelölve minden forgatást az a pont határoz meg, amibe ez a forgatás a P -t viszi. A körvonal a 2πZ csoport fundamentális tartománya, ami a [0, 2π] intervallum, ha annak végpontjait egymással azonosítjuk. Ezek a példák azonban túl egyszerűek ahhoz, hogy az ilyen csoportok természetét igazán érzékelni tudjuk. 1. példa. A 3-dimenziós tér forgatáscsoportja. Ez a csoport hozható kapcsolatba egy fixen maradó ponttal rendelkező merev test mozgásainak leírásával; feltesszük, hogy a test 3-dimenziós és nem síkbeli. A testhez egy koordinátarendszert kapcsolunk, amelynek az origója a test fixen maradó O pontja. A test elmozdulásai így a koordinátarendszer, és ezen keresztül az egész tér elmozdulásait határozzák meg. A tér pontjait az elmozdulás két különböző t = 0 és t = t0 időpontjában tekintve láthatjuk, hogy a pontok egymástól való távolsága nem változik, tehát a kezdeti időponttól a t = t0 időpont állapotába vezető elmozdulás a 3-dimenziós tér egy O-t helyben hagyó ϕt ortogonális transzformációja. Mivel ϕt a t folytonos függvénye, azért meg kell tartania a tér irányítását. A 3-dimenziós tér irányítástartó ortogonális transzformációit forgatásnak nevezzük. Euler tétele szerint minden forgatás egy egyenes körüli meghatározott szögű forgatás; ez elemi geometriai eszközökkel igazolható. Másképpen ez abból is látható, hogy egy A ortogonális transzformáció det(λE − A) karakterisztikus polinomja harmadfokú, és mivel A irányítástartó, azért det A > 0 , így a karakteriszikus polinom konstans tagja negatív. A polinomnak tehát létezik pozitív gyöke, ami az ortogonalitás miatt csak 1 lehet; az ennek megfelelő sajátvektor jelöli ki a forgatás tengelyét. A forgatáscsoport elemei tehát a merev test minden (O-t fixen hagyó) elmozdulását leírják, és a test minden mozgása a csoport egy t időparaméterű görbéjével adható meg; a mozgáscsoport a fix O pontú merev test konfigurációs tere. Milyen ennek a csoportnak a geometriája? Tekintsünk egy ℓ tengely körüli ϕ szögű forgatást, amit egy, az ℓ irányába mutató, ϕ hosszúságú vektorral adunk meg, ahol −π 6 ϕ 6 π . Az ilyen alakú vektorok halmaza az O középpontú, π sugarú tömör gömb. A tömör gömböt határoló gömbfelület átellenes (azonos ℓ-hez, de különböző, ϕ = −π-hez ill. ϕ = π-hez tartozó) pontjai azonban ugyanazt a forgatást határozzák meg; a forgatások csoportja ezért geometriailag azzal a tömör gömbbel jellemezhető, amelyben az átellenes határpontokat egymással azonosítjuk. Ismeretes, hogy ezzel a P3 projektív teret kapjuk. A 3-dimenziós tér forgatásainak csoportját másképpen is megkaphatjuk. Tekintsük az 1 normájú q kvaterniók G csoportját (l. 8. fejezet, 5. példa). A q = a + bi + cj + dk jelölés mellett ez azt jelenti, hogy a2 + b2 + c2 + d2 = 1 , vagyis éppen a 3-dimenziós S 3 gömbről van szó. Jelölje H− a Re x = 0-val értelmezett tisztán képzetes kvaterniók 3-dimenziós terét. A G csoport az x 7→ qxq −1

148

15. fejezet Példák csoportokra: Lie-csoportok és algebrai csoportok

konjugálással hat H− -on (x ∈ H− , q ∈ G) . Mivel |qxq −1 | = |q||x||q|−1 = |x| , azért a q hatása ortogonális transzformáció H− -on. Könnyen látható, hogy q pontosan akkor hat identitásként, ha q = ±1 , úgyhogy a hatás egy olyan f homomorfizmus G-ből a 3-dimenziós tér ortogonális transzformációinak csoportjába, amelynek a magja ±1 . Mivel G összefüggő, azért f képe része a forgatások csoportjának, sőt azzal egyenlő, amint azt a dimenziók összevetésével könnyen igazolhatjuk. Tehát a következő eredményhez jutottunk. I. tétel. A 3-dimenziós tér forgatásainak csoportja izomorf az 1 normájú kvaterniók csoportjának a {±1} részcsoport szerinti G/{±1} faktorcsoportjával. Mivel G egy 3-dimenziós gömbfelület, azért a 3-dimenziós tér forgatásainak csoportja az S 3 gömb átellenes pontjainak azonosításával nyerhető. Így ismét megkaptuk, hogy a csoportunk (geometriailag) a 3-dimenziós projektív tér. Az eddigi példákban olyan transzformációcsoportokat láthattunk (az egyenes eltolásai, a sík forgatásai és a 3-dimenziós tér forgatásai), amelyek elemei természetes és kölcsönösen egyértelmű módon egy X sokaság (az egyenes, a kör és a 3-dimenziós projektív tér) pontjaival paraméterezhetők. A következőkben elvonatkoztatunk a transzformációcsoport speciális esetétől, és csupán annyit teszünk fel, hogy a csoport alaphalmaza egy X sokaság. Ezzel el is jutunk a Lie-csoport fogalmához, ahol két típust különböztetünk meg aszerint, hogy X differenciálható avagy komplex analitikus sokaság; ennek megfelelően differenciálható vagy komplex analitikus Lie-csoportról beszélünk. Definíció. Legyen G csoport, amely egyben differenciálható (vagy komplex analitikus) sokaság. A G Lie-csoport, ha a következő leképezések differenciálhatóak (ill. komplex analitikusak) : G → G; g 7→ g −1 és G × G → G; (g1 , g2 ) 7→ g1 g2 . Mivel egy Lie-csoport alaphalmaza sokaság, a csoporton egy geometriai struktúra is keletkezik. Az algebra (a csoportművelet) azt jelenti, hogy ez a geometria homogén. A balreguláris hatás elemei a csoportelemekkel való eltolások , és egy (differenciálható ill. komplex analitikus) tranzitív transzformációcsoportot alkotnak G-n. Így, ha például tekintünk az e ∈ G egységelemben egy τ érintővektort, akkor minden g ∈ G-re a g-vel való baleltolás révén egy g-beli τg érintővektorhoz, végeredményben tehát egy vektormezőhöz jutunk a G csoporton. Az ilyen alakú vektormezőket balinvariánsnak nevezzük. Hasonlóan konstruálhatunk balinvariáns (vagy jobbinvariás) differenciálformákat is a G csoporton. Végül ugyanígy készíthető balinvariáns (vagy jobbinvariáns) Riemann-metrika is G-n. A 3-dimenziós tér forgatásait leíró I. tételben szereplő geometriai tulajdonságok számos Lie-csoport esetében tipikusnak tekinthetők. Amikor G az 1 normájú kvaterniók csoportja, a G → G/{±1} homomorfizmus nyilvánvalóan nem elágazó fedés. Mivel G diffeomorf a 3-dimenziós térrel, azért összefüggő és egyszeresen összefüggő, tehát a forgatások csoportjának univerzális fedése (lásd a 14.

149

15. fejezet Példák csoportokra: Lie-csoportok és algebrai csoportok

fejezet 7. példáját). Ebből következik, hogy a forgatások csoportjának π fundamentális csoportja másodrendű. A forgatások csoportjáról nem csak topológiai, hanem differenciálgeometriai információkat is nyerhetünk. Riemann-metrikája kompatibilissé tehető a G csoportéval. Azonban G az S 3 gömb, így olyan sokaság, amelynek Riemann-görbülete pozitív; ezért ugyanez igaz a forgatások csoportjára is. Megmutatható, hogy minden kompakt Lie-csoport invariáns Liemetrikája nemnegatív görbületű, és a nulla görbületű irányok a kommutatív részcsoportoknak felelnek meg. A G Lie-csoport zárt H ⊂ G részsokasága Lie-részcsoport, ha H egyben részcsoportja is G-nek. Ilyenkor megmutatható, hogy a H szerinti mellékosztályok H \ G halmaza ugyancsak sokaság, és a G → H \ G leképezés valamint G hatása H \ G-n differenciálható (vagy komplex analitikus). Mivel G hatása H \ G-n tranzitív, azért H \ G a G-re nézve homogén sokaság. Fennáll továbbá, hogy dim G = dim H + dim H \ G , (1)

a 12. fejezet (9)-es összefüggésének megfelelően. A következőkben részletesebben tárgyaljuk a Lie-csoportok két fajtáját, a kompakt és a komplex analitikus csoportokat; mindkét esetben megadjuk a legfontosabb példákat, és rámutatunk a két típus közötti kapcsolatokra is.

A. Kompakt Lie-csoportok 2. példa. Tóruszok. Az n-dimenziós valós L vektortérben tekintsük a C = Ze1 +· · ·+Zen rácsot, ahol e1 , . . . , en az L egy bázisa. A T = L/C faktorcsoport kompakt. A T Lie-csoport is, és tórusznak nevezzük. Mivel L = Re1 + · · · + Ren , azért T ∼ = (R/Z) + · · · + (R/Z) .

Az (R/Z) faktorcsoport egy kör, az n-dimenziós tórusz pedig n kör direkt szorzata. A tóruszok számos alkalmazása közül hármat említünk meg a továbbiakban. (a) Egy 2π periódusú periodikus függvény értelmezési tartományaként tekinthetjük az R/2π kört. Mint látni fogjuk, ez a megközelítés a Fourier-sorok elméletét egy új szemszögből világítja meg. (b) Legyen L = C az egyváltozós (komplex) sík; ez az a példa, amelyet már a 14. szakasz 1. példájában is vizsgáltunk. Ha C ⊂ C egy rács, akkor a C/C tórusz örökli a C komplex analitikus sokaság struktúráját. A C/C mint komplex sokaság 1-dimenziós. Megmutatható, hogy ezeken kívül nincs is más olyan kompakt komplex analitikus Lie-csoport, amelynek mint komplex sokaságnak a dimenziója 1 . Hasonlóan igaz, hogy minden kompakt komplex analitikus Liecsoport egy Cn /C tórusz, ahol C = Ze1 + · · · + Ze2n egy rács a Cn -ben mint 2n dimenziós valós vektortérben. Speciálisan minden ilyen csoport szükségképpen kommutatív. (c) A klasszikus mechanika Arnold-féle tárgyalásában Liouville tétele a következőt állítja: ha egy n szabadsági fokkal rendelkező mechanikai rendszerben n

150

15. fejezet Példák csoportokra: Lie-csoportok és algebrai csoportok

független I1 , . . . , In első integrál involúcióban áll (azaz valamennyi [Iα , Iβ ] Poisson-zárójel eltűnik), akkor a rendszer kvadratúrával integrálható. Ennek bizonyítása azon a tényen alapul, hogy a 2n dimenziós fázistérben a c = (c1 , . . ., cn )hez tartozó, Tc : Iα = cα (α = 1, 2, . . . , n) összefüggéssel adott n-dimenziós Tα sokaság egy tórusz. Ez nyomban következik abból a tényből, hogy a Tc sokaságon az Iα függvények n vektormezőt definiálnak; ezeket a dIα differenciálformák adják meg, a fázistér szimplektikus struktúrája révén. Mindegyik vektormező egy 1-paraméteres Uα (t) transzformációcsoportot határoz meg, az [Iα , Iβ ] = 0 összefüggések pedig azt fejezik ki, hogy az Uα (t1 ) és Uβ (t2 ) transzformációk felcserélhetőek. Az Rn Lie-csoport tehát hat a Tc sokaságon, amennyiben minden (t1 , . . . , tn ) ∈ Rn -nek az (U1 (t1 ), . . . , Un (tn )) transzformációt feleltetjük meg. Ebből következően Tc az Rn csoportnak egy x0 ∈ Tc pont H stabilizátora szerinti faktorcsoportja. Mivel a pozitív definit mozgási energia konstans Tc -n, és Tc dimenziója n , azért Tc = Rn /H tórusz. Így egy, a rendszerhez tartozó pont mozgása mindig a tóruszon megy végbe, sőt az is belátható, hogy a pont valójában a tórusznak egy 1-dimenziós részcsoportján mozog (ennek felel meg az úgynevezett „eseményszögek” bevezetése). A továbbiakban leírjuk a nemkommutatív Lie-csoportokat. Három fajtát említünk meg közülük, ezeket klasszikus csoportoknak szokás nevezni. Ezek a csoportok sokféle alakban fordulnak elő, többnyire bizonyos mátrixcsoportokként. Ha G egy mátrixcsoport, akkor S G-vel jelöljük a G 1 determinánsú elemeinek a halmazát (az S betű a „speciális” jelzőre utal); a G és S G csoportok centrum szerinti faktorcsoportját pedig rendre P G-vel és P S G-vel jelöljük (itt P a „projektív” szó rövidítésének tekinthető). 3. példa. Az O(n) ortogonális csoport az n-dimenziós euklideszi tér ortogonális transzformációiból áll. A csoport hat az n-dimenziós térbeli S n−1 egységgömbön. Ha e ∈ S n−1 és |e| = 1 , akkor az e stabilizátora hat az ere merőleges hipersíkon, és izomorf O(n − 1)-gyel. Így (1) szerint dim O(n) = dim O(n − 1) + n − 1 , ezért µ ¶ n dim O(n) = . 2 Az O(n) csoport nem összefüggő. Van egy fontos 2 indexű részcsoportja, az 1 determinánsú ortogonális transzformációk csoportja, amit SO(n)-nel jelölünk. Könnyen igazolható, hogy SO(n) már összefüggő. Ha n páratlan, akkor SO(n) centruma csak E-ből áll, míg ha n > 4 és páros, akkor a centrumnak két eleme van, E és −E . Az SO(n) csoportnak a centruma szerinti faktorcsoportját P SO(n)-nel jelöljük. A 3-dimenziós térnek az 1. példában tárgyalt mozgáscsoportja SO(3) . Az O(n) természetes általánosításaként kínálkozik az Rn azon lineáris transzformációinak a csoportja, amelyek megtartanak egy nem elfajuló x21 + · · · + x2p − x2p+1 − · · · − x2p+q

151

15. fejezet Példák csoportokra: Lie-csoportok és algebrai csoportok

kvadratikus alakot, ahol p + q = n . Ezt a Lie-csoportot O(p, q)-val jelöljük. Az O(p, q) csak akkor kompakt, ha p = 0 vagy q = 0 . Egyéb p és q értékek mellett a későbbiekben még találkozunk ezekkel a csoportokkal. 4. példa. Az U (n) unitér csoport az n-dimenziós komplex euklideszi tér unitér transzformációiból áll. A 3. példához hasonlóan mutatható meg, hogy dim U (n) = n2 . Az U (n) minden elemének a determinánsa 1 abszolút értékű komplex szám; az 1 determinánsú transzformációk egy SU (n) ⊂ U (n) részcsoportot alkotnak, aminek a dimenziója n2 −1 . Az SU (n) centruma azokból az εE transzformációkból áll, amelyekre εn = 1 . A centrum szerinti faktorcsoportot P SU (n)-nel jelöljük. 5. példa. Tekintsük a kvaterniók algebrája fölötti n-dimenziós Hn teret (vö. 8. fejezet, 5. példa). Definiáljuk a Hn -en a (H-beli értékeket felvevő) ((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) =

n P

xi yi

(2)

i=1

skaláris szorzatot, ahol yi az yi kvaternió konjugáltját jelöli. Az AutH Hn e skalárszorzatot megtartó elemeinek csoportja az unitér szimplektikus csoport, melyet SpU (n) jelöl. Az n = 1 esetben az 1 normájú kvaterniók csoportját kapjuk. Az általános esetben dim SpU (n) = 2n2 + n . A különböző klasszikus Lie-csoportok több ponton is kapcsolódnak egymáshoz, és ezt gyakran ki is használjuk. Az I. tétel abban az alakban is kimondható, hogy SpU (1)/{±1} ∼ = SO(3)

(3)

Mint láttuk, ebből következik, hogy |π(SO(3))| = 2 . Hasonló előállítás található általában az SO(n) csoportokra, sőt még az (általában nemkompakt) SO(p, q) csoportokra is a Clifford-algebra felhasználásával (vö. 8. fejezet, 10. példa). Az a tény, hogy minden q kvaternióra az x 7→ qxq −1 transzformáció önmagába viszi a tisztán képzetes kvaterniók halmazát, csupán az n = 3 eset sajátsága. Az általános esetben tekintsük az R fölötti L térnek megfelelő C(L) Clifford-algebrát az x21 + · · · + x2p − x2p+1 − · · · − x2p+q

(p + q = n)

metrikával. Mint tudjuk, L ⊂ C(L) . Jelölje G azoknak az invertálható a ∈ C 0 (L) elemeknek a csoportját, amelyekre a−1 La ⊂ L . Könnyen ellenőrizhető, hogy minden a ∈ G-re az x 7→ a−1 xa (x ∈ L) leképezés megtartja L metrikáját. Így egy f : G → O(p, q) homomorfizmushoz jutunk. Egyszerűen látható, hogy f magja éppen az R nemnulla elemeiből áll. Megmutatható továbbá, hogy f képe SO(p, q) , és G minden

152

15. fejezet Példák csoportokra: Lie-csoportok és algebrai csoportok

eleme a = c1 . . . cr alakba írható, ahol ci ∈ L , és r páratlan (a bizonyításhoz felhasználhatjuk azt a jól ismert tényt, hogy minden ortogonális transzformáció tükrözéseknek a szorzata). Ebből következik, hogy minden a ∈ G-re aa∗ ∈ R , ahol a 7→ a∗ a C(L) algebra involúciója (l. 8. fejezet, 10. példa), és N (a) = aa∗ mellett N (ab) = N (a)N (b) teljesül minden a, b ∈ G-re. Így G-nek azok az a elemei, amelyekre N (a) = 1 , csoportot alkotnak; ez a spinor csoport, amit Spin(p, q)-val jelölünk. A q = 0 esetben ehelyett a Spin(n) jelölést használjuk. Könnyen látható, hogy a Spin(p, q) csoport összefüggő. Az f : Spin(p, q) → O(p, q) homomorfizmus magja {±E} . Az f képe függ a p és q értékétől. Ha q = 0 , akkor nyilván O(p, q) = O(n) , és egyszerűen belátható, hogy f (Spin(n)) = SO(n) ; tehát Spin(n)/{±1} ∼ = SO(n) .

(4)

Így Spin(n) kettős fedése SO(n)-nek. Az n = 3 esettől indulva, indukcióval könynyen igazolható, hogy π(SO(n)) rendje 1 vagy 2 . Azonban f : Spin(n) → SO(n) kétrétű fedés, ezért |π(SO(n))| = 2 , és Spin(n) egyszeresen összefüggő. Ha p és q is pozitív, akkor G-nek pozitív és negatív normájú elemei is vannak, és ezek képei az SO(p, q) két különböző komponensét határozzák meg. A pozitív normájú elemek képei egy 2-indexű SO+ (p, q) ⊂ SO(p, q) részcsoportot alkotnak, továbbá f (Spin(p, q)) = SO+ (p, q) ; így Spin(p, q)/{±1} ∼ = SO+ (p, q) .

(5)

A 8. fejezet 6. példájában láttuk, hogy minden kvaternió felírható q = z1 + jz2

(z1 , z2 ∈ C)

(6)

alakban, ahol j 2 = −1 , és zj = jz . A (6) szerinti alakból látható, hogy a kvaterniók C fölött a 2-dimenziós C2 vektorteret alkotják, ahol a C elemeivel jobbról szorzunk. Így a kvaterniók balreguláris reprezentációja révén minden kvaterniót a C2 tér egy C-lineáris transzformációjával, azaz egy 2 × 2-es mátrixszal ábrázolunk. Az {1, # j} bázist rögzítve, a (6) szerinti alakban fölírt kvaternió" z1 −z2 mátrix felel meg. A (6)-ban szereplő q kvaternió normája nak a z2 z1 p |z1 |2 + |z2 |2 . Így az 1 normájú kvaterniókkal való szorzás unitér transzformációkat ad a C2 téren (a |z1 |2 + |z2 |2 metrika szerint). Ráadásul a fenti mátrix determinánsa ugyancsak |z1 |2 + |z2 |2 , ami esetünkben 1 . Ezzel egy SpU (1) → SU (2)

(7)

homomorfizmust kapunk, aminek a magja 1 . A dimenziók összevetésével és SU (2) összefüggőségét felhasználva kapjuk, hogy ez a homomorfizmus izomorfizmus, vagyis SU (2) izomorf az 1 normájú kvaterniók csoportjával. A (3) és (7) összefüggések együttesen pedig azt adják, hogy SO(3) ∼ = SU (2)/{±1} .

(8)

153

15. fejezet Példák csoportokra: Lie-csoportok és algebrai csoportok

Ez az izomorfia elemien is interpretálható a következőképpen. Tekintsük a 2 × 2es Hermite-féle mátrixok közül azokat, amelyeknek a nyoma nulla; ezek halmazát jelölje L . Az SU (2) csoport hat L-en az A 7→ U AU −1 képlet szerint (A ∈ L , U ∈ SU (2)). Az L 3-dimenziós euklideszi tér az |A|2 = − det A metrikával. Az U ∈ SU (2)-nek tehát egy γ ∈ SO(3) transzformáció felel meg, ez az SU (2) → SO(3) homomorfizmus. Legyen L a kvaterniók 4-dimenziós vektortere R fölött a szokásos normával mint metrikával. Tekintsük az SpU (1) × SpU (1) következő hatását az L-en: (q1 , q2 )(x) = q1 xq2−1 (x ∈ L)

(9)

Könnyen látható, hogy csupán az (1, 1) és a (−1, −1) párok hatnak triviálisan. A transzformációink nyilván megtartják a normát, így ortogonálisak. A (9)-beli transzformáció determinánsa |q1 ||q2 |−1 , ami esetünkben 1 . Ezzel egy SpU (1) × SpU (1) → SO(4) homomorfizmust kapunk, aminek a magját ismerjük. Összefüggőséget és a dimenziókat figyelembevéve adódik, hogy a kép az egész SO(4) . Így az SO(4) ∼ = (SpU (1) × SpU (1))/H

(10)

izomorfizmushoz jutunk, ahol H a centrum egy 2-indexű részcsoportja. Az SpU (1) × SpU (1) teljes centruma két másodrendű csoportnak (SpU (1) centrumának) a direkt szorzata. Képezzük a (10) bal oldalának a centruma szerinti faktorcsoportját; ezzel izomorf a jobb oldali csoportnak a centruma szerinti faktorcsoportja. Mivel SpU (1)-nek a centruma szerinti faktorcsoportja izomorf SO(3)-mal, azért P SO(4) ∼ (11) = SO(3) × SO(3) .

B. Komplex analitikus Lie-csoportok A következő három példában megadandó komplex Lie-csoportokat szokás klaszszikus csoportoknak nevezni. 6. példa. A GL(n, C) általános lineáris csoport az n-dimenziós komplex vektortér nemszinguláris lineáris transzformációinak a csoportja. A GL(n, C) mint komplex analitikus sokaság nyilvánvalóan n2 dimenziós. Részcsoportként tartalmazza az 1-determinánsú transzformációk SL(n, C) részcsoportját. A GL(n, C) általános lineáris csoport centruma az egységmátrix skalárszorosaiból áll; a centrum szerinti faktorcsoportot P GL (n, C)-vel jelöljük. 7. példa. A GL(n, C)-nek egy nem elfajuló (alkalmas koordinátarendszerben az x21 + · · · + x2n ) kvadratikus alakot megtartó elemei alkotják az O(n, C)-vel

154

15. fejezet Példák csoportokra: Lie-csoportok és algebrai csoportok

jelölt ortogonális csoportot. Ennek mint komplex analitikus sokaságnak dimenziója.

¡n¢ 2

a

8. példa. A GL(2n, C)-nek egy nem elfajuló, antiszimmetrikus — alkalmas koordinátarendszerben a n P

i=1

(xi yn+i − xn+i yi )

formában írható kvadratikus alakot megtartó elemei alkotják az Sp(2n, C)-vel jelölt szimplektikus csoportot. A kompakt és a komplex analitikus klasszikus csoportok szorosan kötődnek egymáshoz; erre a legegyszerűbb példa az S 1 kör, mint az 1 abszolút értékű komplex számok alkotta S 1 ⊂ C∗ részcsoport: S 1 = SU (1) ⊂ GL(1, C) = C∗ . Általában a kapcsolat a következő. Nyilván U (n) ⊂ GL(n, C) . Megmutatható, hogy U (n) maximális kompakt részcsoportja GL(n, C)-nek, azaz nincs benne egyetlen nagyobb kompakt részcsoportban sem. A GL(n, C) minden más kompakt részcsoportja konjugált az U (n) egy részcsoportjához; ennek okára a 17. fejezet B részében térünk vissza. Hasonlóan O(n) ⊂ O(n, C) is maximális kompakt részcsoport, és O(n, C) minden kompakt részcsoportja konjugált O(n) egy részcsoportjához. A szimplektikus csoportokra vonatkozó analóg tétel kimondásához a kvaterniókat mint a 2-dimenziós komplex H = C + jC vektortér elemeit írjuk a (6) szerinti alakba. Egy x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Hn vektor a (z1 , . . . , zn , zn+1 , . . . , z2n ) alakba írható, ahol zi ∈ C és xk = zk + jzk+n . Könynyen ellenőrizhető, hogy ekkor az 5. példában szereplő (2) szorzat: (x, y) =

n P

i=1

zi wi + j

n P

i=1

(zi wi+n − wi zi+n ) ,

ahol y = (y1 , . . . , yn ) és yk = wk + jwk+n . Így, ha (x, y) = α + jβ , akkor α a komplex x és y vektorok Hermite-féle skalárszorzata, β pedig az antiszimmetrikus zi wi+n − wi zi+n forma értéke. A Hn minden H-lineáris ϕ transzformációja felfogható a C2n tér C-lineáris transzformációjaként, és az előbbiek szerint a ϕ ∈ SpU (n) feltétel ekkor azt jelenti, hogy ϕ ∈ U (2n) , és ϕ ∈ Sp(2n, C); tehát SpU (n) = U (2n) ∩ Sp(2n, C) . Speciálisan SpU (n) részcsoportja Sp(2n, C)-nek, sőt maximális kompakt részcsoport, és Sp(2n, C) minden kompakt részsoportja konjugált az SpU (n) egy részcsoportjához. Mindhárom tárgyalt esetben a nagyobbik, komplex analitikus csoportnak mint komplex analitikus sokaságnak a dimenziója megegyezik a kompakt részcsoport (mint differenciálható sokaság) dimenziójával. Befejezésül néhány fontos példát ismertetünk a kis dimenziójú Lie-csoportok közül.

155

15. fejezet Példák csoportokra: Lie-csoportok és algebrai csoportok

Az O(3, 1)-et Lorentz-csoportnak nevezzük, SO(3, 1)-et pedig valódi Lorentz-csoportnak . Ha x1 , x2 , x3 a térkoordináták, x0 pedig az idő, akkor az f = −x20 + x21 + x22 + x23 kvadratikus alak megtartása éppen a fény (egységnyinek tekintett) sebességének a megtartását jelenti. Ugyanennek a csoportnak van egy másik, nem kevésbé fontos interpretációja is. Tekintsük x0 , x1 , x2 , x3 -at a 3-dimenziós P3 projektív térbeli homogén koordinátáknak. Az f = 0 egyenlet P3 -ban egy másodfokú felületet határoz meg, aminek egyenlete az inhomogén yi = xi /x0 koordinátákkal y12 +y22 +y32 = 1 ; vagyis ez az S ⊂ P3 gömb. Az O(3, 1) elemei — homogén koordinátákkal fölírva — a P3 tér S-et megtartó projektív transzformációi. Mivel a koordináták −1-gyel történő szorzása nyilvánvalóan identikus transzformációt jelent, valójában P O(3, 1) hat P3 -on. Természetesen ez a csoport is megtartja S belsejét. Azonban ismeretes, hogy a nemeuklideszi geometria Cayley–Klein-modelljében a 3-dimenziós hiperbolikus teret éppen a a gömb belseje modellezi, a mozgásokat pedig a gömböt megtartó projektív transzformációk. Ezzel a következő tételhez jutunk. II. tétel. P O(3, 1) izomorf a 3-dimenziós hiperbolikus tér mozgáscsoportjával, P SO(3, 1) pedig izomorf a valódi (azaz irányítástartó) mozgásoknak a csoportjával. Ez a megállapítás természetesen általánosabban is igaz: P O(n, 1) izomorf az n-dimenziós hiperbolikus tér mozgásainak csoportjával. A Lorentz-csoport egy másik fontos interpretációja a következő. Ehhez tekintsük a Spin(3, 1) csoportot (l. (5)); e csoport megadásakor láttuk, hogy minden a ∈ G-re az N (a) = aa∗ norma valós. Ebben a speciális esetben ez a feltétel elégséges is: ha aa∗ = α ∈ R és α 6= 0 , akkor a−1 La ⊂ L , vagyis a ∈ G . Valójában α∗ = α miatt a−1 = α−1 a∗ , következésképpen (a−1 xa)∗ = a−1 xa , minden x ∈ L-re. Másrészt a−1 xa ∈ C 1 , és C 1 az ei elemek és az ei ej ek szorzatok lineáris kombinációiból áll, ha az ei elemek az L ortonormált bázisát alkotják. Ezek közül csak az ei elemek lineáris kombinációi fixek az x 7→ x∗ leképezésnél, ezért a−1 xa ∈ L . Használjuk fel a C 0 algebrának a 8. fejezet 11. és a 10. fejezet 6. példájában megismert mátrixreprezentációját. Ha az e0 , e1 , e2 , e3 bázis mellett f a −x20 +x21 +x22 +x23 alakba írható, akkor 1, e0 e1 , e0 e2 , e1 e2 generálja az M2 (C) algebrát, 1, e0 e1 e2 e3 a C algebrát, és az egész C 0 izomorf M2 (C)-vel. Könnyen belátható, hogy ennél az izomorfizmusnál az a 7→ a∗ involúciónak az " # " # α β δ −β 7→ γ δ −γ α leképezés felel meg, és az aa∗ ∈ R feltétel szerint det A ∈ R , és A ∈ M2 (C) . Így Spin(3, 1) izomorf SL(2, C)-vel, az SL(2, C) → SO(3, 1) homomorfizmus képe SO+ (3, 1) , a magja pedig {±1} ; tehát P SL(2, C) ∼ = SO+ (3, 1) .

156

15. fejezet Példák csoportokra: Lie-csoportok és algebrai csoportok

Az SL(2, C) → SO(3, 1) homomorfizmus egy elemi interpretációja a következő. Tekintsük a 2 × 2-es Hermite-féle mátrixok L terét, ezen hat SL(2, C) az A 7→ CAC ∗ (A ∈ L , C ∈ SL(2, C)) formula szerint. Definiáljuk L-en az |A|2 = − det A metrikát, amit alkalmas bázisban a −x20 + x21 + x22 + x23 kvadratikus alak ad meg. Az SL(2, C) hatása tehát egy SL(2, C) → SO(3, 1) homomorfizmust határoz meg, és ez ugyanaz a homomorfizmus, mint amiről korábban szó esett.

C. Algebrai csoportok A most tárgyalandó algebrai csoportok révén olyan érdekes példákhoz juthatunk, amelyekből egyszerre Lie-csoportok, diszkrét csoportok és véges csoportok is származtathatók. A csoportosztálynak csupán egyetlen típusával, az algebrai mátrixcsoportok (más néven lineáris algebrai csoportok ) családjával foglalkozunk. Ezeket a csoportokat a GL(n, K) bizonyos K feletti algebrai egyenletekkel meghatározott részcsoportjaiként definiálhatjuk, ahol K tetszőleges test. Példák: SL(n, K) ; O(f, K) , a K feletti f kvadratikus alakot megtartó mátrixok csoportja; Sp(2n, K) ; az (aij ) felsőháromszög mátrixok csoportja (aij" = #0 , ha i < j és 1a aii 6= 0), vagy ennek az aii = 1 részcsoportja. Speciálisan az alakú 2×2-es 0 1 mátrixok csoportja K additív csoportjával izomorf; ezt a csoportot Ga -val jelöljük. A K multiplikatív csoportjával izomorf viszont GL(1, K) ; ezt a csoportot Gm -mel vagy K ∗ -gal jelöljük. Ha K része a valós vagy a komplex számok testének, és G egy K fölötti algebrai csoport, akkor G valós vagy komplex elemei egy valós G(R) vagy egy komplex analitikus G(C) Lie-csoportot alkotnak; a korábban tárgyalt Lie-csoportok zöme ilyen. Az általános fogalom azonban ennél jóval gazdagabb, hiszen például magában foglalja a racionális számtest feletti algebrai csoportokat is. Így az O(f, Q) csoport révén csoportelméleti eszközökkel vizsgálhatjuk a racionális f kvadratikus alak aritmetikai tulajdonságait. Ezen kívül, ha egy Q fölötti G algebrai csoportban tekintjük az egész elemű, ±1 determinánsú mátrixokat, akkor a G(R) Lie-csoport diszkrét G(Z) részcsoportjához jutunk. A G = SL(n) , O(f ) , Sp(n) csoportok esetén a G(Z) \ G(R) tér vagy kompakt, vagy véges térfogatú (a G(R)-en létező invariáns mérték szerint); l. például a 14. fejezet, 3.a–5. példák. Az ilyen csoportokat és véges indexű részcsoportjaikat hívjuk aritmetikai csoportoknak ; ezeknek a (szükséges általánosság mértékében való) vizsgálatához a Q-n kívül az algebrai számtesteket is tekintetbe kell venni. Végül, a GL(n) , O(n) , Sp(n) és ezekhez hasonló csoportok véges testek fölött is vizsgálhatók, és ezáltal érdekes és fontos véges csoportokhoz juthatunk. Így a 13. fejezet 9. példájában már találkozhattunk a GL(n, Fq ) csoportokkal. Meglepő módon, diszkrét csoportok másképpen is fölmerülhetnek algebrai csoportokkal kapcsolatosan. Legyen G egy, a K = Q racionális számtest feletti mátrixcsoport. Tekintsük a G racionális pontjainak G(Q) , valós pontjainak G(R) és p-adikus pontjainak G(Qp ) halmazát (l. a 7. fejezet végén). Az R és Qp testek egységes kezelése érdekében G(R) és valamennyi G(Qp ) egyfajta „végtelen szor-

157

16. fejezet Csoportelméleti eredmények

zatát” tekintjük, amit a G adèle-csoportjának nevezünk, és GA -val jelölünk (a konstrukció pontos megadására nem térünk ki). Mivel G(Q) ⊂ G(R) , és minden p-re G(Q) ⊂ G(Qp ) , azért G(Q) diagonális részként benne van GA -ban. Megmutatható, hogy G(Q) diszkrét részcsoportja GA -nak. Meglehetősen szokatlannak tűnhet, hogyan alkothatnak a racionális elemű mátrixok diszkrét részcsoportot, bár az elv könnyen érthetővé válik a G = Ga additív csoport speciális esetében. Legyen x ∈ G(Q) racionális szám; ha minden p-re ϕp (x) 6 1 , akkor x egész, ha pedig ϕR (x) < 1 , akkor x = 0 (a ϕp értékelés definícióját l. a 7. fejezetben). Számos esetben, mint pl. G = SL(n) , O(f ) , Sp(n) esetére a GQ \ GA faktortér véges térfogatú. Megmutatható, hogy ez a térfogat csak G-től függ; ez az egyértelműen meghatározott térfogat a G úgynevezett τ (G) Tamagawa-száma, ami nagyon fontos aritmetikai invariáns. Legyen például f racionális, pozitív definit kvadratikus alak; a Minkowski–Hasse-tétel (l. 7. fejezet, IV. tétel) szerint az f (x) = a (a ∈ Q) egyenletnek pontosan akkor létezik racionális megoldása, ha egyrészt megoldható R-ben (azaz a > 0), továbbá megoldható valamennyi Qp ben (vagyis az f (x) ≡ a (mod pn ) kongruenciák mindegyike megoldható). Ha mindezen feltételek teljesülnek, akkor az egész megoldások számát jellemezhetjük az f (x) ≡ a (mod pn ) kongruenciák megoldásszámának a függvényében; ez a probléma egyenértékű a τ (G) Tamagawa-szám meghatározásával. (Esetünkben τ (G) = 2 , ami megfelel annak a ténynek, hogy |π(SO(n))| = 2 .)

16. Csoportelméleti eredmények Az „absztrakt” csoportelmélet számára az ideális eredmény az volna, ha izomorfizmus erejéig az összes csoportot le tudnánk írni, függetlenül a konkrét megvalósításuk módjától. Ilyen általánosságban a probléma persze teljesen kezelhetetlen. Szűkítve, vehetjük az összes véges csoportok osztályozásának (még mindig igen tág) problémáját. Mivel csak véges sok Cayley-táblázat (szorzástábla) készíthető véges sok elem felhasználásával, az adott rendű, nemizomorf csoportok száma véges; ideális esetben rendelkeznénk egy olyan szabállyal, amelyik megadja az összes, rögzített rendű csoportot. Kis rendű csoportokra ez különösebb nehézség nélkül megvalósítható, és most áttekintjük az így előálló csoportokat. Emlékeztetünk rá, hogy véges Abel-csoportokra a választ a főideálgyűrűk feletti végesen generált modulusok alaptétele adja meg (ld. 5. fejezet, 6. példa és 6. fejezet, II. tétel): ez azt mondja ki, hogy egy (additívan írt) véges Abelcsoport előáll Z/(pk ) alakú csoportok direkt összegeként, ahol p prímszámokat jelöl, és ez az előállítás egyértelmű. Tehát csak a nem Abel csoportok okoznak nehézséget. 1. példa. Felsoroljuk most izomorfizmus erejéig az összes csoportot, amelynek rendje 6 10 : |G| = 2 :

|G| = 3 :

G∼ = Z/(2) . G∼ = Z/(3) .

158

16. fejezet Csoportelméleti eredmények

G∼ = Z/(4) vagy Z/(2) ⊕ Z/(2) . G∼ = Z/(5) .

|G| = 4 : |G| = 5 :

|G| = 6 esetén fordul elő először egy nem Abel csoport, az S3 -mal vagy másképpen a szabályos háromszög szimmetriacsoportjával izomorf csoport; ennek definiáló relációk segítségével való megadása a 12. fejezet (6), (7) egyenleteiben látható. Kapjuk tehát: |G| = 6 : G∼ = S3 vagy Z/(2) ⊕ Z/(3) . |G| = 7 : G∼ = Z/(7) .

|G| = 8-ra már két nemizomorf nem Abel csoportot is találunk. Egyikük a négyzet szimmetriáinak D4 csoportja; ezt úgy is megkaphatjuk, mint az s és t generátorokkal definiált csoportot, amikre az s2 = e, t4 = e és (st)2 = e definiáló relációk teljesülnek (itt s egy szimmetriatengelyre való tükrözés, t pedig egy 90◦ -os forgatás). A másik nem Abel csoport, H8 , a kvaternióalgebra segítségével írható le (8. fejezet, 5. példa): az 1, i, j, k, −1, −i, −j, −k elemekből áll, amelyeket, mint kvaterniókat szorzunk össze. Tehát: |G| = 8 : G∼ = D4 , H8 , Z/(8), Z/(4) ⊕ Z/(2) vagy (Z/(2))3 . |G| = 9 : G∼ = Z/(9) vagy Z/(3) ⊕ Z/(3) . |G| = 10-re ismét létezik egy nem Abel csoport, ami a szabályos ötszög szimmetriáinak D5 csoportjával izomorf, melyet meg lehet adni az s és t generátorokkal, továbbá az s2 = e, t5 = e, (st)2 = e definiáló relációkkal (itt s egy szimmetriatengelyre való tükrözés, t pedig egy 2π/5 szöggel való forgatás). Tehát: |G| = 10 : G∼ = D5 vagy Z/(2) ⊕ Z/(5) . Az alábbi táblázat minden 6 32 rend esetén megadja az olyan rendű, nemizomorf csoportok számát: |G|

csoportok száma

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

1

1

2

1

2

1

5

2

2

1

5

1

2

1

14

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

1

5

1

5

2

2

1

15

2

2

5

4

1

4

1

51

Természetesen, véges csoportokat vizsgálva nemcsak a rendjükre vagyunk kiváncsiak, vannak jóval pontosabb invariánsok is; továbbá számos módszer ismert arra, hogy hogyan konstruálhatunk bonyolultabb csoportokat, egyszerűbbekből kiindulva. Visszatérünk az általános csoportfogalomhoz és leírjuk az alapvető módszereket új csoportok konstruálására. Közülük egyet már használtunk, a direkt szorzatot. A kéttényezős direkt szorzattal analóg módon definiálhatjuk teszőleges véges sok G1 , . . . , Gm csoport G1 × · · · × Gm direkt szorzatát is: ez az összes (g1 , . . . , gm ) rendezett m-esből áll, ahol gi ∈ Gi , és a szorzás komponensenként

159

16. fejezet Csoportelméleti eredmények

történik. A Gi csoportokat úgy tekinthetjük, mint a G1 ×· · ·×Gm direkt szorzat részcsoportjait, hogyha a g ∈ Gi elemet azonosítjuk az (e, . . . , g, . . . , e) rendezett m-essel, ahol g az i-edik helyen áll. Így a Gi -k normális részcsoportjai lesznek a G1 × · · · × Gm direkt szorzatnak, generálják azt, és kielégítik a Gi ∩ (G1 × · · · × Gi−1 × e × Gi+1 × · · · × Gm ) = e feltételt. Megfordítva, nem nehéz belátni, hogy ha egy G csoportot generálnak a Gi normálosztói, amelyekre teljesül az, hogy Gi ∩ (G1 . . . Gi−1 Gi+1 . . . Gm ) = e, akkor G izomorf a Gi -k direkt szorzatával. Láttuk, hogy véges Abel-csoportokra, vagy általánosabban végesen generált Abel-csoportokra a direkt szorzat egy hatékony konstrukció, ami elegendő ahhoz, hogy ezeknek a csoportoknak a szerkezetét teljesen leírjuk. Itt fontos az, hogy az alaptételben (6. fejezet, II. tétel) szereplő direkt összegre való felbontás egyértelmű. Természetesen vetődik fel a kérdés, hogy vajon nem Abel csoportokra is igaz-e, hogy direkt szorzatra tovább nem bontható csoportok direkt szorzataként való előállításuk egyértelmű. A legegyszerűbb esetben válaszoljuk meg ezt a kérdést, ami azonban a legtöbb alkalmazás céljára elegendő. A modulusokkal analóg módon, nézzük a G ) H1 ) H2 ) · · · ) Hk

(1)

részcsoportláncokat. Ha az ilyen láncok hosszúsága korlátos, akkor G-t véges hosszúságú csoportnak nevezzük. Például a véges csoportok ilyenek. Ha G Lie-csoport vagy algebrai csoport, akkor kézenfekvő a definícióban csak olyan (1) láncokat venni, ahol minden Hi összefüggő zárt Lie-részcsoport, ill. algebrai részcsoport. Akkor az (1) láncban a részcsoportok dimenziói csökkennek, tehát a lánc hosszára korlátot ad G dimenziója. I. Wedderburn–Remak–Schmidt tétel. Egy véges hosszúságú csoport egy- és csak egyféleképpen állítható elő tovább nem bontható normálosztók direkt szorzataként. Pontosabban szólva, bármely két felbontásnak ugyanannyi tényezője van, és ezek a tényezők páronként izomorfak. Azonban egy nem Abel csoport (például egy véges csoport vagy egy Liecsoport) csak igen kivételes esetekben bontható fel direkt szorzatra, legtöbbjük felbonthatatlan. Általánosabb módszert kapunk arra, hogy csoportokat egyszerűbb komponenseikre bontsuk, ha a homomorfizmus fogalmát használjuk. Ha G1 = G/N , akkor a G → G1 homomorfizmus segítségével tekinthetünk úgy G1 re, mint G egy egyszerűsített változatára, amit úgy kapunk, hogy G-t csak „N elemeihez képest” nézzük. Mármost, mi az a végső, nemtriviális határ, ameddig egy csoport „egyszerűsíthető” ilyen módon? Vehetnénk egy G1 → G2 homomorfizmust és így tovább. Ha G véges hosszúságú, akkor az eljárásnak biztosan vége szakad, ami úgy következhet be, hogy egy olyan G csoporthoz érünk, aminek nincsen nemtriviális homomorfizmusa; ez azt jelenti, hogy G-nak nincs más normális részcsoportja, mint {e} és saját maga. Az olyan G csoportot, minek nincsen más normális részcsoportja, mint {e} és maga G, egyszerű csoportnak nevezzük. Lie-csoportok vagy algebrai csoportok

160

16. fejezet Csoportelméleti eredmények

esetén kézenfekvő a definícióban összefüggő normális Lie-részcsoportokról vagy algebrai részcsoportokról beszélni. Tehát egy olyan Lie-csoport, ami a definíciónk értelmében egyszerű, nem biztos, hogy mint absztrakt csoport is egyszerű lesz, hiszen tartalmazhat egy diszkrét normálosztót. példa erre R és benne a Z részcsoport. Láttuk, hogy minden véges hosszúságú csoportnak van homomorfizmusa valamilyen egyszerű csoportra. Legyen G → G1 egy ilyen homomorfizmus és legyen N1 ennek a magja. Természetes gondolat ugyanezt a konstrukciót alkalmazni N1 -re is. Kapunk egy N1 → G2 homomorfizmust egy G2 egyszerű csoportra, aminek a magja, N2 normális részcsoport N1 -ben (de nem feltétlenül G-ben). Folytatva ezt az eljárást, egy G = N0 ⊲ N1 ⊲ · · · ⊲ Nk ⊲ Nk+1 = {e} lánchoz jutunk, amiben a Ni /Ni+1 faktorok egyszerűek. Egy ilyen lánc neve G kompozíciólánca, az Ni /Ni+1 faktorcsoportok pedig e kompozíciólánc faktorai . Egy csoportnak persze sok különböző kompozíciólánca lehet, ezért különösen fontos a következő eredmény. II. Jordan–Hölder tétel. Egy csoport két különböző kompozícióláncának a hossza ugyanaz és a faktoraik páronként izomorfak (de nem feltétlenül ugyanabban a sorrendben fordulnak elő). A Jordan–Hölder és a Wedderburn–Remak–Schmidt-tételek bizonyítása valójában csak nagyon keveset használ fel a csoportok tulajdonságai közül. Az az alapvető tény, amit felhasználnak, a következő. Lemma. Ha a G csoportnak H egy részcsoportja és N egy normális részcsoportja, akkor H ∩ N normálosztó H-ban és H/H ∩ N ∼ = HN/N .

(2)

Itt HN G-nek az a részcsoportja, ami az összes hn alakú szorzatból áll, ahol h ∈ H és n ∈ N . Tekintsük ugyanis az f : G → G/N természetes homomorfizmust; f megszorítása H-ra egy f1 : H → G/N homomorfizmust határoz meg, aminek magja H ∩ N , képe pedig H1 ∼ = H/H ∩ N . H1 teljes inverz képe f -nél HN , tehát ∼ H1 = HN/N és (2) ebből már következik. Mindkét tétel bizonyításának az az alapötlete, hogy ha a (H, H ∩ N ) párt a (HN, N ) párral helyettesítjük különféle alkalmas H és N választásokkal, akkor a csoport felbonthatatlan részcsoportok direkt összegére való egyik felbontásáról áttérhetünk egy másik felbontásra, illetőleg egyik kompozícióláncról a másikra. Ezek az érvelések lényegében csak G részcsoportjai részben rendezett halmazának a tulajdonságait használják, és ilyen formában axiomatizálhatók is. Az ilyen tárgyalásmód hasznos, mert alkalmazható véges hosszúságú modulusokra is, és azokra ezzel a két tétellel analóg tételeket szolgáltat (vö. 9. fejezet, II. tétel). Tehát a csoportok (véges csoportok, Lie-csoportok vagy algebrai csoportok) leírása az alábbi két kérdésre redukálódik: (1) Írjuk le azokat a csoportokat, amelyek kompozícióláncának a faktorai csoportok egy bizonyos készletéből valók. (2) Mely csoportok léphetnek fel kompozícióláncok faktoraiként?

161

16. fejezet Csoportelméleti eredmények

Az első kérdés induktíve vizsgálható és így a következő kérdéshez jutunk: ha adottak az N és F csoportok, írjuk le az összes olyan G csoportot, aminek van egy N -nel izomorf normálosztója, úgy, hogy a faktorcsoport F -fel izomorf; ekkor azt mondjuk, hogy G az F bővítése N -nel. Például egy G kristálycsoport (14. fejezet, 2. példa) F -nek egy bővítése A-val, ahol A a G-ben lévő eltolások csoportja, amely egy bizonyos C rácsban lévő vektorok mentén történő eltolásokból áll, F pedig C-nek a szimmetriacsoportja. Noha a kérdésre ilyen általánosságban aligha remélhető teljes válasz, mégis ismertek különféle megközelítési módok, amelyek egyes konkrét esetekben többékevésbé kielégítő leírást adnak (ezzel kapcsolatban ld. 21. fejezet, 4. példa). Sokkal rafináltabb a fenti kérdések közül a második. Mivel egy kompozíciólánc faktorai egyszerű csoportok, másrészt egyszerű csoportok minden véges halmaza megegyezhet a kompozíciólánc összes faktorai halmazával egy alkalmasan választott csoportra nézve (jó lesz például a szóbanforgó egyszerű csoportok direkt összege), kérdésünk a következővel ekvivalens: MIK AZ EGYSZERŰ CSOPORTOK? A legfontosabb csoportosztályok: a véges csoportok, Lie-csoportok és algebrai csoportok esetén jelenleg már ismert a válasz erre a kérdésre. Egy olyan esettel kezdjük, amely látszólag triviális, de ami gyakran kerül felhasználásra, az egyszerű Abel-csoportokkal. Absztrakt csoportelméleti szempontból a válasz tényleg nyilvánvaló: az egyszerű Abel-csoportok éppen a prímrendű ciklikus csoportok. A Lie-csoportok elméletében az egyszerű csoportok definícióját összefüggő normális részcsoportok segítségével adtuk meg. Az öszszefüggő differenciálható Lie-csoportok elméletében így további két példa adódik: a valós számok R additív csoportja és a körcsoport. Nem foglalkozunk a komplex-analitikus Lie-csoportok esetével, ami bonyolultabb. Hasonlóan, egy algebrailag zárt test feletti algebrai mátrixcsoportokra (másszóval lineáris algebrai csoportokra) is adódik két új példa: az alaptest elemeinek Ga additív csoportja és a Gm multiplikatív csoport. Az egyszerű Abel-csoportok ezen szerény gyűjteményéből kiindulva, ha őket a fentebb vázolt ideáknak megfelelően kompozícióláncok faktoraiként használjuk fel, csoportoknak egy egészen kiterjedt osztályához jutunk. Egy olyan csoportot, aminek van olyan kompozíciólánca, amelyben minden faktor Abel-csoport, feloldható csoportnak hívunk1 . Könnyen ellenőrizhetők a következő tulajdonságok: III. Tétel. Feloldható csoport részcsoportja és homomorf képe is feloldható; ha egy csoport tartalmaz egy feloldható normálosztót, úgy, hogy a faktorcsoport is feloldható, akkor az eredeti csoport is feloldható. Ha egy csoport feloldható, akkor van olyan normálosztója, ami szerint vett faktorcsoport Abel-csoport, másként fogalmazva, van egy nemtriviális homomorfizmusa egy Abel-csoportra. 1 Ez

a definíció véges csoportokra kielégítő, de végtelen csoportok esetén pontosításra szorul: a feloldhatóság definíciójában nem Abel-féle faktorokkal rendelkező kompozíciólánc, hanem csak ilyen normállánc létezését kell megkövetelni — a normállánc egy olyan részcsoportlánc, amelynek minden tagja normálosztó az előzőben. Például minden Abel-csoport feloldható, noha közülük soknak egyáltalán nincsen kompozíciólánca. (A ford. megj.)

162

16. fejezet Csoportelméleti eredmények

Bármely G csoport esetén az összes, Abel-csoportra képező f : G → A homomorfizmus magjának a metszetét G kommutátor-részcsoportjának hívjuk és G′ -vel jelöljük. Nyilván bármely két g1 , g2 ∈ G elem esetén g1 g2 és g2 g1 képe megegyezik bármilyen, Abel-csoportba képező homomorfizmus esetén, ezért g1 g2 (g2 g1 )−1 = g1 g2 g1−1 g2−1 az egységelemre képződik le. Egy g1 g2 g1−1 g2−1 alakú elemet kommutátornak nevezünk. Láttuk, hogy minden kommutátor benne van a kommutátorrészcsoportban; nem nehéz belátni, hogy ők már generálják is azt, vagyis G′ = hg1 g2 g1−1 g2−1 | g1 , g2 ∈ Gi . Ha G feloldható, akkor G′ 6= G (feltéve, hogy G 6= {e}). De, mint feloldható csoport részcsoportja, G′ maga is feloldható, tehát vagy G′ = {e} vagy G′′ = (G′ )′ 6= G′ . Folytatva az eljárást, látható, hogy kommutátorrészcsoportok ismételt képzésével véges sok lépés után eljutunk {e}-hez; vagyis — a G(i) = (G(i−1) )′ jelölést használva — G(n) = {e} valamilyen n-re. Könnyen látható, hogy ez a feltétel egyúttal elégséges is a feloldhatósághoz. Az Abelcsoportokat az jellemzi, hogy G′ = {e} . Ilyen értelemben a feloldható csoportok az Abel-csoportok természetes általánosításának tekinthetők. 2. példa. Azok között a csoportok között, amelyekkel eddig találkoztunk, a következők voltak feloldhatók (az Abel-csoportokon kívül): S3 , aminek kompozíciólánca S3 ⊃ A3 ⊃ {e} . S4 , aminek kompozíciólánca S4 ⊃ A4 ⊃ V4 ⊃ {e}, ahol V4 az a részcsoport, ami e-ből és azokból az elemekből áll, amelyeknek a ciklusszerkezete (2, 2) . GL(2, F2 ) és GL(2, F3 ) . Egy véges csoportot p-csoportnak nevezünk, ha rendje a p prímszám hatványa. IV. tétel. Minden véges p-csoport feloldható. Valóban, tekintsük G-nek az adjungált hatását sajátmagán; ennek orbitjai azonosak G konjugáltosztályaival, legyenek ezek C1 , . . . , Ch . Ha Ci elemszáma ki , akkor |G| = k1 + · · · + kh . Mint azt korábban láttuk (12. fejezet, (10)), ki = |G : Si |, ahol Si valamelyik gi ∈ Gi elem stabilizátora. Az Si stabilizátor Gnek részcsoportja, tehát a |G : Si | index osztója a G csoport rendjének, így maga is p-hatvány. Speciálisan ki = 1 akkor és csak akkor, ha Ci csak egy elemből áll, ami persze G centrumához tartozik. A |G| = k1 + · · · + kh egyenletben a baloldal p-nek hatványa, a jobboldal pedig olyan tagokból áll, amik p-nek hatványai (esetleg 1-gyel egyenlőek). Ebből következik, hogy azon ki -k száma, amik 1-gyel egyenlőek, p-vel osztható kell, hogy legyen. Ezzel bebizonyítottuk, hogy egy véges p-csoport Z centruma nem triviális. Mivel Z Abel-csoport, azért feloldható és indukcióval feltehetjük, hogy a G/Z faktorcsoport is feloldható. Így tehát G is feloldható. Most feloldható Lie-csoportokra adunk néhány példát. 3. példa. E(2), az euklideszi sík irányítástartó mozgásainak csoportja; ennek kompozíciólánca lesz E(2) ⊃ T ⊃ T1 ⊃ {e}, ahol T az összes eltolásból álló

163

16. fejezet Csoportelméleti eredmények

csoport, T1 pedig a valamilyen rögzített irányba történő eltolások részcsoportja. Ennek a kompozícióláncnak a faktorai E(2)/T ∼ = SO(1) ∼ = R/Z, T /T1 ∼ = R és ∼ T1 = R . 4. példa. Az összes felső háromszögmátrix csoportja:   a11 a12 . . . a1n    0 a22 . . . a2n   . . . .  , ahol a11 a22 . . . ann 6= 0 ,  . . . .   . . . .  0

0 . . . ann

az aij elemek valamilyen K testből valók. Ez egy algebrai csoport; K = R vagy C esetén Lie-csoport; ha pedig K egy véges test, akkor véges csoport. Visszatérünk az eredeti kérdéshez. ami az egyszerű csoportok szerkezetére vonatkozott, és csak a nemtriviális esettel, vagyis a nem Abel-féle egyszerű csoportokkal foglalkozunk. Teljesen általános csoportok esetén persze nem várható pontos válasz a kérdésünkre. Most áttekintjük azokat a nem Abel csoportokat, amelyekkel eddig találkoztunk, és megmondjuk, hogy közülük melyek lesznek egyszerűek. V. tétel. Az alábbi csoportsorozatok egyszerű csoportokból állnak. (a) Véges csoportok: An , az alternáló csoport n > 5-re. P SL(n, Fq ), kivéve az n = 2 és q = 2 vagy 3 esetet. (b) A klasszikus kompakt Lie-csoportok Comp sorozata: SU (n) n > 1-re; SO(n) n 6= 1, 2, 4 esetén; SpU (n) n > 1-re. (c) A klasszikus komplex analitikus Lie-csoportok LieC sorozata: SL(n, C) n > 1-re; SO(n, C) n 6= 1, 2, 4 esetén; Sp(2n, C) n > 1-re. (d) A klasszikus algebrai mátrixcsoportok AlgK sorozata (tetszőleges algebrailag zárt K test fölött): SL(n, K) n > 1-re; SO(n, K) n 6= 1, 2, 4 esetén; Sp(2n, K) n > 1-re. Mint azt már korábban megjegyeztük, a (b), (c) és (d) sorozatokban szereplő csoportok mint absztrakt csoportok nem egyszerűek. Van egy nemtriviális Z centrumuk, és ha Z0 ⊂ Z egy részcsoport a felsorolt G csoportok bármelyikének a centrumában, akkor G/Z0 ismét a definíciónk értelmében vett egyszerű csoport lesz, például P SU (n) = SU (n)/Z0 a Z0 = Z választással. A továbbiakban, anélkül, hogy külön említenénk, ezeket a triviális módosításokat is beleértjük a Comp, LieC és AlgK sorozatokba. A modern matematika egyik legnagyobb teljesítménye annak a bizonyítása, hogy a három utolsó esetben a megadott példák majdnem az összes egyszerű

164

16. fejezet Csoportelméleti eredmények

csoportot tartalmazzák. Ezt a felfedezést először a XIX. században tették, azóta különféle megfogalmazásokban pontosították és kiterjesztették, hogy lefedje az összes említett esetet (továbbá tetszőleges differenciálható Lie-csoportok esetét is, amelyek nem feltétlenül kompaktak). Ennek az elméletnek rendkívül sok alkalmazása van. A szabályos poliéderek felfedezését, amelyek a tér véges mozgáscsoportjainak felelnek meg, tekintik az antik matematika legnagyobb teljesítményének — Eukleidész Elemei a szabályos poliéderek leírásával fejeződnek be. Az ókorban felfedezett szimmetriák közül ezek voltak a legmélyenszántóbbak. Az egyszerű Lie-csoportok felfedezése és osztályozása ugyanilyen helyet foglal el a jelenkori matematikában: ezek a legszubtilisebb szimmetriák, amelyek rendelkezésünkre állnak a modern matematika megértéséhez. És amiként Platón úgy tekintette a tetraédert, oktaédert, kockát és ikozaédert, mint a négy elem: tűz, levegő, föld és víz megjelenési formáit (a dodekaédert meghagyta a kozmosz szimbólumának), aképpen a modern fizikusok is megkísérlik, hogy az elemi részecskéket irányító általános törvényszerűségeket az SU (2), SU (3), SU (4), SU (6) és más egyszerű csoportok tulajdonságai segítségével írják le. Az eredményt nem fogalmazzuk meg teljes részletességgel. Az derül ki, hogy van pontosan 5 további csoport, a kivételes egyszerű csoportok , amelyek szokásos jelölése E6 , E7 , E8 , G2 és F4 és amelyek dimenziója rendre 78, 133, 248, 14 és 52, amelyeket még hozzá kell venni a fenti három listához, hogy az egyszerű csoportok teljes listáját megkapjuk (a (b), (c), (d) sorozatok mindegyikéhez hozzá kell venni őket). Az adódó három fajtájú egyszerű csoport — tehát a kompakt, a komplex analitikus és az algebrai csoportok valamilyen K test felett — közötti kapcsolat roppant egyszerű a két utóbbi típus esetén: a komplex csoportokat úgy kapjuk az algebrai csoportokból, hogy K = C-t veszünk. A komplex és a kompakt csoportok közötti kapcsolatot már tárgyaltuk a 15. fejezetben: a kompakt csoportok maximális kompakt részcsoportjai a megfelelő komplex analitikus csoportoknak és az összes maximális kompakt részcsoport konjugált. A differenciálható egyszerű Lie-csoportok osztályozása valamivel bonyolultabb, mint a kompaktaké, de az elméleti alapja ugyanolyan világos. A kompakt egyszerű csoportok mindegyik típusának van bizonyos számú megfelelője a nemkompakt esetben. Nézzük például az SU (n) kompakt csoportok megfelelőit: ezek az SU (p, q) csoportok, ahol U (p, q) a |z1 |2 + · · · + |zp |2 − |zp+1 |2 − · · · − |zp+q |2 formát fixen hagyó komplex lineáris transzformációk csoportja, továbbá az SL(n, R), SU (n, C) és SL(n/2, H) (ha n páros) csoportok, mint differenciálható Lie-csoportok. Ez utóbbi SL(n/2, H) csoport némi magyarázatot igényel. Mivel a determináns szokásos definíciója nem alkalmazható olyan mátrixokra, melyek elemei egy nemkommutatív gyűrűből valók, nem világos, hogy a csoport nevében szereplő ‘S’ betű mit takar. A választ úgy kapjuk meg, ha észrevesszük, hogy SL(n, R) és SL(n, C) másféleképpen is definiálható. Valóban, nem nehéz észrevenni, hogy SL(n, R) nem más, mint GL(n, R) kommutátor-részcsoportja, és hasonlóan kapjuk SL(n, C)-t GL(n, C)-ből. Legyen tehát definíció szerint SL(n, H) a GL(n, H) csoport kommutátor-részcsoportja. Eddig semmit nem mondtunk véges egyszerű csoportokról . Ezek osztályozása roppant szövevényes probléma. Azt a merész sejtést, hogy osztályozásuk

165

16. fejezet Csoportelméleti eredmények

valamiképpen analóg lesz az egyszerű Lie-csoportokéval, már a XIX. században kimondták. Ilyen összefüggésre utal a korábban már látott P SL(n, Fq ) példája. Konkrétabban, használható az alábbi megközelítés, ami legalábbis számos példát szolgáltat. A véges Fq test feletti minden egyszerű algebrai mátrixcsoporthoz nézzük az olyan mátrixok G(Fq ) csoportját, melyek minden eleme Fq -ból való. Az Fq feletti egyszerű algebrai csoportokat jószerével már ismerjük: ha Fq -t az algebrai lezártjával, K-val helyettesítjük, akkor a K feletti egyszerű algebrai csoportok a fenti AlgK lista csoportjai és az 5 kivételes csoport. Megeshet azonban, hogy két, Fq fölött definiált és Fq fölött nem izomorf csoport K fölött izomorfnak bizonyul (vagy az is, hogy nem maradnak egyszerűek K fölött). Lényegében ugyanezzel a jelenséggel találkoztunk már a valós Lie-csoportok elméletében, ahol Fq szerepét R, K szerepét pedig C játszotta. Például minden SU (p, q) csoport, ahol p + q = n, algebrai csoport R felett (mivel a mátrix minden komplex eleme helyettesíthető a valós és a képzetes részével). De belátható, hogy ezek a csoportok mind izomorfakká válnak egymással és SL(n, C)-vel, ha C fölött tekintjük őket. Hasonló jelenség előfordul az Fq testeknél is. Az Fq test feletti algebrai csoportok osztályozásához, feltéve, hogy Fq algebrai lezártja fölött már ismerjük az osztályozást, csak bizonyos technikai nehézségeken kell úrrá lenni, és erre a kérdésre ismerjük a választ. Így kapunk egy listát Fq felett definiált G egyszerű algebrai csoportokról, és ezek mindegyikéhez konstruálható egy G(Fq ) véges csoport. Ha kellő körültekintéssel járunk el (például a P SL(n, Fq ) csoportokat kell használni, nem pedig SL(n, Fq )-t), akkor az adódik, hogy az így kapott csoportok mind egyszerűek, mégpedig véges csoportokként, nem pedig algebrai csoportokként. Mindössze néhány kivétel van, ami olyankor fordul elő, amikor G dimenziója is alacsony és q értéke is kicsi (erre már láttunk példát P SL(n, Fq ) esetén). Ilymódon véges egyszerű csoportok bizonyos sorozatait nyerjük, amelyek tagjait algebrai típusú csoportoknak nevezzük. Az algebrai típusú csoportok mellett még egy sorozatot kell venni, az An alternáló csoportokat n > 5 esetén. Azonban már a XIX. században is találtak olyan véges egyszerű csoportokat, amelyek nem illettek bele ezen sorozatok egyikébe sem. Az ilyen példák azonban mindig magányosan fordultak elő, nem pedig végtelen sorozatok tagjaként. Mostanáig 26 ilyen véges egyszerű csoportot találtak, amelyek se nem algebrai típusú csoportok, se nem An alternáló csoportok. Ezeket sporadikus egyszerű csoportoknak nevezik. Közülük a legnagyobbnak a rendje 246 · 320 · 59 · 76 · 112 · 133 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71 (nemhiába hívják a csoportot Monsternek 2 ). Napjainkban általánosan elfogadott nézet, hogy immár befejezettnek tekinthető annak a tételnek a bizonyítása, hogy az algebrai típusú csoportok, az alternáló csoportok és a 26 sporadikus csoport megadják az összes véges egyszerű csoportot. Ez az eredmény kétségkívül elsőrendű fontosságú. Sajnos, az eredmény több tucat matematikus sokéves erőfeszítéseinek eredményeként jött létre és a bizonyítás egyes részei több száz 2 Monster

(angol) magyarul: szörnyeteg vagy monstrum. A prímtényezős alakban megadott szám értéke egyébként körülbelül 8, 08 · 1053 . (A ford. megj.)

166

17. fejezet Csoportok reprezentációelmélete

cikkben elszórva találhatók, melyek együttesen több tízezer oldalt tesznek ki. Így bizonyára el kell még telnie bizonyos időnek, mielőtt ez az eredmény a matematikusok körében ugyanannyira feldolgozottá és elfogadottá válik, mint az egyszerű Lie-csoportok vagy algebrai csoportok analóg osztályozása.

17. Csoportok reprezentációelmélete Emlékeztetünk rá, hogy egy G csoport reprezentációja (vagy ábrázolása) alatt a G homomorfizmusát értjük egy L vektortér lineáris transzformációinak Aut L csoportjába (vö. 9. fejezet); mindez szorosan kötődik a „koordinátázás” fogalmához. A koordinátázás azt jelenti, hogy objektumok egy homogén X halmazát úgy jelenítjük meg, hogy az objektumokhoz egymástól egyenként megkülönböztethető mennyiségeket rendelünk. Egy ilyen megjelenítés természetesen elvi okokból lehetetlen, hiszen ekkor a hozzárendelés inverze révén az X elemei már maguk is megkülönböztethetők lennének. A paradoxon feloldása egy harmadik szereplő, a (szó valamilyen értelmében vett) koordinátarendszer belépésével válik lehetségessé; a koordinátarendszert úgy tekinthetjük, mint valamiféle fizikai mérőeszközt. Az S koordinátarendszer rögzítését követően kapcsolhatunk adott x ∈ X objektumhoz meghatározott mennyiségeket, az x „általánosított koordinátáit”. Ezen a ponton merül fel azonban az alapvető probléma: hogyan válasszuk külön a koordinátáknak az objektumokat leíró tulajdonságaitól azokat, amelyek csak az esetlegesen választott koordinátarendszertől függenek? Ez a különböző relációk közti invarianciaprobléma, ami az ilyesfajta elméletekben mindig felmerül. Jellegét tekintve ez teljesen megfelel az elméleti fizikában a megfigyelő problémája néven ismert alapkérdésnek. Ha adva van egy S és egy S ′ koordinátarendszer, akkor általában definiálható az X-nek egy olyan g automorfizmusa (az X minden definiált tulajdonságát megőrző transzformációja), ami S-et S ′ -be viszi: valójában g-t éppen úgy értelmezzük, hogy minden x objektumot abba az x′ -be vigyen, amelynek az S ′ szerinti koordinátái megegyeznek az x-nek az S szerinti koordinátáival. Így minden, az elmélet szempontjából megengedhető koordinátarendszer az X egy bizonyos automorfizmusának felel meg, és könnyen látható, hogy az így adódó automorfizmusok egy G csoportot alkotnak. Ez a csoport természetes módon hat a (koordinátákat adó) mennyiségek halmazán: ha g ∈ G és gS = S ′ , akkor a g mindegyik objektum S szerinti koordinátáit ugyanezen objektum S ′ szerinti koordinátáiba viszi. Ha a koordinátamennyiségek vektorteret alkotnak, akkor G-nek ez a hatása egy reprezentáció. Világítsuk meg az előbbieket egy példával. Legyen L a K test felett ndimenziós vektortér. Jelöljünk ki L-ben egy S koordinátarendszert (vagyis bázist); ekkor minden vektor n darab számmal jellemezhető. Másik koordinátarendszerre való áttérés egy g ∈ GL(n, K) lineáris transzformációval adható meg, ami egyszersmind az n koordinátát is transzformálja a lineáris transzformáció mátrixával való szorzás révén. Ezzel megkaptuk a GL(n, K) csoport természetes mátrixreprezentációját. Ha azonban ojektumoknak (a vektorok helyett) a kvad-

167

17. fejezet Csoportok reprezentációelmélete

ratikus alakokat választjuk — ezek minden koordinátarendszerben egy szimmetrikus mátrixszal adhatók meg — akkor az új koordinátarendszerre történő áttérésnek immáron az A 7→ CAC ∗ leképezés felel meg; ezáltal GL(n, K)-nak a szimmetrikus mátrixok terén való reprezentációjához jutunk, amiben minden C ∈ GL(n, K)-nak az A 7→ CAC ∗ lineáris transzformáció felel meg. Ugyanígy, ha kvadratikus alakok helyett lineáris transzformációk az objektumok, akkor GL(n, K)-nak egy másik reprezentációjához jutunk, ezúttal az összes mátrixok terén, amiben C ∈ GL(n, K)-nak az A 7→ CAC −1 lineáris transzformáció felel meg. Világos, hogy általában ugyanez megtehető bármely tenzor esetében is. Akármelyikről (kvadratikus alakokról, ill. lineáris transzformációkról) legyen is szó, rendszerint fontos ismernünk a megfelelő mátrixok minél több olyan tulajdonságát, amely nem függ az aktuális koordinátarendszertől, azaz invariáns az A 7→ CAC ∗ , ill. az utóbbi esetben az A 7→ CAC −1 leképezéssel szemben. Például az első esetben ilyen tulajdonság a mátrixrang, a másodikban pedig a karakterisztikus polinom együtthatói. Hasonló a helyzet minden olyan esetben, amikor egy probléma feltételeinek rendszere valamilyen g szimmetriával bír, azaz a g transzformáció valamennyi feltételt megtartja. Ekkor a megoldások X halmaza invariáns a g-re, tehát a probléma szimmetriacsoportja hat az X-en; ez a hatás rendszerint reprezentációja a szimmetriacsoportnak. Utóbbira szép példát találhatunk [Michel 84 (1980)]-ban. Tekintsük a következő problémát: az ABCD négyzet csúcsait összekötő, minimális összhosszúságú úthálózatot kell építenünk. Nem nehéz megmutatni, hogy ennek megoldása a 38. (a) ábrán látható hálózat, ahol az AED és a BF C szögek értéke egyaránt 120◦ . Az ABCD négyzet szimmetriacsoportja D4 (l. 13. fejezet, III. tétel), ám a 38. (a) ábrán látható hálózat szemlátomást nem invariáns erre a csoportra! A magyarázat az, hogy a problémának két megoldása van, amiket a 38. (a) és (b) ábrák mutatnak; ezek együttvéve már invariánsak D4 -re, tehát D4 a két ábrából álló halmazon hat.

38. ábra.

Egy másik példa, ami a szimmetriacsoport reprezentációjához vezet: tekintsünk egy n P dn−i f ai (t) n−i = 0 (1) dt i=0

168

17. fejezet Csoportok reprezentációelmélete

alakú lineáris differenciálegyenletet, ahol az együtthatók 2π-re periodikus függvények. Ekkor, ha f (t) megoldás, akkor az f (t + 2πk) függvény is megoldás, minden k ∈ Z-re; az f (t) 7→ f (t + 2πk) leképezés a megoldások n-dimenziós terének egy uk lineáris transzformációja. Ezzel a Z csoport k 7→ uk reprezentációját kaptuk, ahol uk+ℓ = uk uℓ , így uk = uk1 . Ugyanennek egy bonyolultabb változatához jutunk, ha az (1) egyenletet a komplex tartományban tekintjük; tegyük fel, hogy mindegyik ai (t) a komplex t változó racionális függvénye. Ha t0 egyik együtthatófüggvénynek sem pólusa, akkor t0 egy környezetében az (1) egyenletnek létezik n lineárisan független megoldása, melyek t-nek holomorf függvényei. Tekintsük ezen megoldásoknak egy, az ai (t) függvények egyetlen pólusát sem tartalmazó, t0 -ból induló és oda érkező zárt s görbe mentén való analitikus folytatásait; ekkor a görbe mentén végighaladva az eredeti megoldások teréhez jutunk vissza. Így, az előbbi példához hasonlóan, egy u(s) lineáris transzformációhoz jutunk, az s 7→ u(s) megfeleltetéssel pedig a π(C\P1 , . . . , Pm ) fundamentális csoport egy reprezentációjához (P1 , . . . , Pm az ai (t) függvények pólusai). Ez a reprezentáció az (1) egyenlet monodrómiája. További példa: Tegyük föl, hogy az L(x1 , . . . , xn , F ) = 0 differenciálegyenlet együtthatói szimmetrikus függvényei x1 , . . . , xn -nek; ekkor az x1 , . . . , xn permutációi az Sn csoportnak a megoldások terén ható reprezentációját határozzák meg. Ez a helyzet áll elő egy n egyforma részecskéből álló rendszer kvantummechanikai leírásakor. A rendszer állapota egy ψ(q1 , . . . , qn ) hullámfüggvénynyel adható meg, ahol qi az i-edik részecske koordinátáinak a halmaza; a ψ függvény egy 1 abszolút értékű λ skalárszoros erejéig egyértelműen meg van határozva. A részecskék halmazának egy σ permutációja nem változtatja meg a rendszer állapotát, hatására tehát a ψ függvény egy konstanssal szorzódik. Ez azt jelenti, hogy ψ(qσ(1) , . . . , qσ(n) ) = λ(σ)ψ(q1 , . . . , qn ) , következésképpen λ(σ1 σ2 ) = λ(σ1 )λ(σ2 ) ; tehát σ 7→ λ(σ) az Sn csoport 1-dimenziós reprezentációja. Két ilyen reprezentációt ismerünk: az ε(σ) = 1 egységreprezentációt, és az η paritás-reprezentációt, ami páros permutációhoz 1-et, páratlanhoz pedig (−1)-et rendel; könnyen belátható, hogy ezeken kívül nincs is más 1-dimenziós reprezentációja Sn -nek. Így ψ(qσ(1) , . . . , qσ(n) ) = ψ(q1 , . . . , qn ) minden σ-ra, vagy ψ(qσ(1) , . . . , qσ(n) ) = η(σ)ψ(q1 , . . . , qn ) minden σ-ra. A részecskék természetétől függ, hogy a két lehetséges eset közül melyik fordul elő. Az első esetben azt mondjuk, hogy a részecskék a Bose–Einstein-statisztika szerint viselkednek (pl. a fotonok), a második esetben pedig a Fermi–Diracstatisztika szerint (mint például az elektronok, a protonok vagy a neutrinók). A 9. fejezetben definiáltuk a csoportreprezentációk következő alapfogalmait: invariáns altér, irreducibilis reprezentáció, reprezentációk direkt összege, reguláris reprezentáció, karakter. A fejezet hátralévő részében a korábban ismertetett fontosabb csoportfajtáknak (véges csoportok, kompakt és komplex Liecsoportok) a komplex számtest fölötti reprezentációit tekintjük át.

169

17. fejezet Csoportok reprezentációelmélete

A. Véges csoportok reprezentációi A 10. fejezetben a féligegyszerű algebrák elmélete révén a következő, véges csoportokra vonatkozó eredményeket kaptuk: az irreducibilis reprezentációk száma véges; a reguláris reprezentáció irreducibilis faktorokra bomlik, amelyek között minden irreducibilis reprezentáció előfordul; Burnside tétele, miszerint |G| = h P n2i , ahol az ni számok a G irreducibilis reprezentációinak rangját jelölik; az i=1

irreducibilis reprezentációk h száma a csoportalgebra Z(C[G]) centrumának a rangja; minden irreducibilis reprezentációt egyértelműen meghatároz a karaktere. Foglalkozzunk először az Abel-csoportokkal. Legyen ρ : G → AutC L egy ilyen P (véges vagy végtelen) csoport irreducibilis reprezentációja. Ekkor a { αg ρ(g) | g ∈ G , αg ∈ C} alakú transzformációk irreducibilis algebrát alkotnak EndC L-ben, ezért Burnside tétele (10. fejezet, XVII. tétel) szerint ez csak az egész EndC L lehet. De G kommutatív, ezért EndC L is az; ez csak akkor lehetséges, ha a reprezentáció rangja 1 . Tehát egy Abel-csoport irreducibilis reprezentációjának mindig 1 a rangja. Véges Abel-csoportokra ugyanezt másképpen is beláthatjuk. A C[G] csoportalgebra kommutatív, ezért a 10. fejezet V. tétele értelmében testek direkt összege: C[G] ∼ = Cn . A csoportalgebra irreducibilis reprezentációi a felbontásbeli C összeadandókra való χi projekciókból kaphatók meg, azaz ha x = (z1 , . . . , zn ) , akkor χi (x) = zi . Tehát a következő eredményt kapjuk: I. tétel. Egy véges Abel-csoport minden irreducibilis reprezentációja 1-dimenziós, és az irreducibilis reprezentációk száma megegyezik a csoport rendjével. Egy G véges Abel-csoport irreducibilis reprezentációja így nem más, mint egy χ : G → C∗ = GL(1, C) homomorfizmus a komplex sámok testének multiplikatív csoportjába; χ azonos a saját nyomával, és ezért karakternek hívjuk. Tetszőleges (nem feltétlenül kommutatív) G csoportnak a C∗ -ba (ill. valamilyen Abel-csoportba) való homomorfizmusai pontonként összeszorozhatók: a χ1 és χ2 karakterek szorzatán azt a χ karaktert értjük, amelyre χ(g) = χ1 (g)χ2 (g) .

(2)

Könnyen látható, hogy erre a szorzásra nézve egy G Abel-csoport karakterei b . A karaktercsoport maguk is csoportot alkotnak; ez a G karaktercsoportja, jele G egységeleme az az ε karakter, amelyre ε(g) = 1 , minden g ∈ G-re; a χ karakter inverze χ−1 , ahol χ−1 (g) = χ(g)−1 . Megmutatható, hogy ha G Abel-csoport, b karaktercsoportnak nemcsak az elemszáma azonos G elemeinek a akkor a G b , mint absztrakt csoport izomorf G-vel. Azonban ehhez az számával, hanem G izomorfiához nem létezik „természetes izomorfizmus” e két csoport között. Ezzel b b karaktercsoportja, G b , már természetes módon izomorf G-vel: a (2) szemben a G bb formula szerint a b gb(χ) = χ(g)-vel megadott G → G leképezés homomorfizmus,

170

17. fejezet Csoportok reprezentációelmélete

amiről könnyen megmutatható, hogy izomorfizmus is. Mindez nagyon hasonló a vektortér duálisának a fogalmához. A G Abel-csoport és karaktercsoportja közti kapcsolat a részcsoportokra is b részcsoportját kiterjed. Ha egy H ⊂ G részcsoporthoz azon karakterek H ∗ ⊂ G rendeljük, amelyek mindegyike 1-et vesz fel minden H-beli elemen, akkor kölb részcsoportjai között. Ez a csönösen egyértelmű megfeleltetést nyerünk G és G megfeleltetés megfordítja a rendezést: ha H1 ⊂ H2 , akkor H1∗ ⊃ H2∗ . Ezenkívül \ . H ∗ = (G/H) Az Abel-csoportok karaktereire számos fontos összefüggés teljesül. Először legyen χ 6= ε egy, az egységkaraktertől különböző karakter; ekkor P χ(g) = 0 . (3) g∈G

Valóban, feltételezésünk szerint van olyan g0 ∈ G , amelyre χ(g0 ) 6= 1 . A (3) bal oldalán írjunk g helyett mindenütt g0 g-t; ezzel a bal oldal egyrészt nem változik, másrészt szorzódik χ(g0 )-lal, és ebből következik (3). Ha χ = ε , akkor ε(g) = 1 minden g ∈ G-re, ezért P ε(g) = |G| . (4) g∈G

Helyettesítsünk a (3) bal oldalán χ = χ1 χ−1 2 -t, ahol χ1 és χ2 két karakter; (3) és (4) szerint ekkor ( P 0, ha χ1 6= χ2 , χ1 (g)χ2 (g)−1 = (5) |G| , ha χ1 = χ2 . g∈G

Minden g elem véges rendű, ezért a χ(g) elemek mindegyike egységgyök, így az abszolút értéke 1 . Következésképpen χ(g)−1 = χ(g) , és emiatt az (5)-beli összefüggés úgy is interpretálható, hogy a karakterek ortonormált rendszert alkotnak a G csoporton értelmezett komplex értékű függvények terében, ha a skalárszorzatot az 1 P f1 (g)f2 (g) (f1 , f2 ) = |G| x∈G képlettel definiáljuk. A karakterek tehát ortonormált bázist alkotnak ebben a térben, így minden, a G-n értelmezett függvény a karakterek lineáris kombinációjaként írható: P f= cχ χ , x∈G

ahol a cχ „Fourier-együtthatók” értéke cχ =

1 P f (g)χ(g) . |G| g∈G

b b csoportok természetes izomorfiáját felhasználva, (3) és (5) szerint A G és a G P χ(g) = 0 , ha g 6= e , (3′ ) b χ∈G

171

17. fejezet Csoportok reprezentációelmélete

és P

b χ∈G

χ(g1 )χ(g2−1 ) =

(

0, |G| ,

ha g1 6= g2 , ha g1 = g2 .

(5′ )

Az Abel-csoportok karakterelméletének egyik fő alkalmazása a számelmélethez kötődik. Legyen G a Z/(m) gyűrű invertálható elemeinek (Z/(m))∗ multiplikatív csoportja, vagyis azoknak az a + mZ maradékosztályoknak a csoportja, amelyek elemei relatív prímek m-hez. A (Z/(m))∗ csoport bármely χ karaktere 0 értékkel kiterjeszthető a nem invertálható elemekre is, és ezzel úgy tekinthető, mint egy Z-n értelmezett periodikus függvény, aminek a periódusa m ; az ilyen függvényeket Dirichlet-karaktereknek nevezzük. Az ezekhez tartozó L(s, χ) =

P χ(n) s n>0 n

Dirichlet-sorok a számelmélet legfontosabb eszközei közé tartoznak. Például ezeken alapul annak a Dirichlet-től származó tételnek a bizonyítása, amely szerint, ha a és m relatív prímek, akkor az a+mZ maradékosztály végtelen sok prímszámot tartalmaz. A bizonyítás során szükség van az a+mZ maradékosztály elemeP′ 1 részösszeg elkülönítésére; ehhez használható az (5′ ) összefüggés, ire vett ns 1 P χ(a)L(s, χ) alakba írható, ahol ϕ amelynek köszönhetően e részösszeg ϕ(m) χ az Euler-féle függvény — ϕ(m) a (Z/(m))∗ csoport rendje — az összegzés pedig ennek a csoportnak a karaktereire történik. A nemkommutatív csoportokra térve, először az irreducibilis reprezentációk számát vizsgáljuk meg. A 10. fejezet XIII. tétele szerint ez a szám megegyezik a csoportalgebra Z(C[G]) centrumának a rangjával. Könnyen látható, hogy P egy x = f (g)g ∈ C[G] elem pontosan akkor van benne C[G] centrumában, g∈G

ha felcserélhető minden u ∈ G elemmel, azaz ha f (ugu−1 ) = f (g) , minden u, g ∈ G-re; másszóval az f függvény a G minden konjugáltosztályán konstans. P Így a zC = g elemek bázist alkotnak a centrumban (C a csoport konjugálg∈C

tosztályait futja be). Speciálisan azt is megkaptuk, hogy

II. tétel. Egy G véges csoport irreducibilis reprezentációinak száma megegyezik a G konjugáltosztályainak a számával. Vajon létezik-e általában is megfelelője annak a ténynek, hogy egy Abelcsoport karakterei maguk is csoportot alkotnak? Az egységkarakternek mindenesetre létezik analogonja, az 1-dimenziós egységreprezentáció. Beszélhetünk egy tetszőleges ρ reprezentáció inverzéről is; legyen ρb(g) = ρ(g −1 )∗ , az úgynevezett kontragrediens reprezentáció, ami a ρ reprezentáció L tárgyához adjungált duális L∗ téren hat (∗ az adjungálás operátora). Ha ρ unitér, azaz minden ρ(g) transzformáció unitér (valamely, a 10. fejezet szerint létező Hermite-féle metrikára nézve), akkor a ρb(g) transzformáció mátrixa a ρ(g) mátrixának a konjugáltja. Végezetül, a karakterek szorzatának is létezik analogonja. Tekintsünk először két csoportot, G1 -et és G2 -t, és ezeknek ρ1 : G1 → Aut L1 és ρ2 : G2 → Aut L2

172

17. fejezet Csoportok reprezentációelmélete

reprezentációját az L1 és L2 vektortéren. Képezzük e vektorterek L = L1 ⊗C L2 tenzorszorzatát (l. 5. fejezet) és a G1 × G2 direkt szorzat ρ leképezését, ahol ρ(g1 , g2 )(x1 ⊗ x2 ) = ρ1 (g1 )(x1 ) ⊗ ρ2 (g2 )(x2 ) . Könnyen belátható, hogy ezzel a direkt szorzat egy ρ : G1 × G2 → Aut(L1 ⊗C L2 ) reprezentációját definiáltuk; ez a ρ1 és ρ2 reprezentációk tenzorszorzata, jele ρ1 ⊗ ρ2 . Például, ha G1 és G2 rendre az X1 és X2 halmazon hat, L1 és L2 pedig bizonyos, e hatásokra nézve invariáns függvények tere X1 -en, ill. X2 -n, ρ1 és ρ2 a G1 és G2 hatása L1 -en, ill. L2 -n, akkor ρ1 ⊗ ρ2 hat az X1 × X2 -n értelmezett f1 (x1 )f2 (x2 ) függvények által kifeszített téren (f1 ∈ L1 , f2 ∈ L2 ). Nem nehéz belátni, hogy G1 × G2 minden irreducibilis reprezentációja ρ1 ⊗ ρ2 alakú, ahol ρi irreducibilis reprezentációja Gi -nek. Mindez ugyanígy igaz tetszőleges féligegyszerű algebra (tehát nem csupán a C[G] csoportalgebra) esetében is. Legyen ezután G1 = G2 = G . Jelölje ϕ : G → G × G a G diagonális beágyazását a direkt szorzatba ϕ(g) = (g, g) szerint. (Ennél a konstrukciónál erősen kihasználjuk G csoport voltát, ugyanez algebrákra már nem tehető meg.) A (ρ1 ⊗ ρ2 ) ◦ ϕ kompozíció egy G → Aut(L1 ⊗C L2 ) reprezentáció, a ρ1 és ρ2 reprezentációk tenzorszorzata. Az Abel-csoportok esetétől való lényeges eltérés az, hogy két irreducibilis reprezentáció tenzorszorzata nem feltétlenül irreducibilis. Az irreducibilis reprezentációk tehát nem alkotnak csoportot; két irreducibilis reprezentáció tenzorszorzata csupán irreducibilis reprezentációknak a lineáris kombinációja. Tekintsük például az L , ill. L∗ téren ható ρ és ρb reprezentációkat valamint ezek ρ ⊗ ρb tenzorszorzatát L ⊗C L∗ -on. Ismeretes lineáris algebrából, hogy L ⊗C L∗ izomorf a lineáris transzformációk End L terével (az izomorfizmusnál az a ⊗ ϕ vektor képe az 1 rangú x 7→ ϕ(x)a transzformáció). Könnyen látható, hogy az End Len a ρ ⊗ ρb reprezentáció az α 7→ ρ(g)αρ(g)−1 (α ∈ End L) alakban írható fel. Az identitás skalárszorosai invariánsak erre a reprezentációra, ezért ρ ⊗ ρb nem irreducibilis, és irreducibilis faktorai között az egységreprezentáció is előfordul. Megmutatható egyébként, hogy ha ρ tetszőleges irreducibilis reprezentáció, akkor ρb az egyetlen olyan irreducibilis σ reprezentáció, amelyre ρ ⊗ σ-nak irreducibilis faktorai között szerepel az egységreprezentáció — ebben a gyengébb értelemben tehát ρb valóban a ρ inverzének tekinthető. Egyszerűen igazolható, hogy ha a ρ1 , ρ2 reprezentációk karakterei χ1 , χ2 , akkor ρ1 ⊗ ρ2 karaktere χ1 χ2 . A tenzorszorzat iterált alkalmazásával tekinthetjük a G csoport ρ⊗ρ⊗· · ·⊗ρ reprezentációját az L⊗L⊗· · ·⊗L vektortéren; ez a ρ reprezentáció p-edik tenzorhatványa, amit T p (ρ)-val jelölünk (p a tényezők száma). VpEbből faktorizálással p p kaphatjuk az S (ρ) reprezentációt az S L téren és a (ρ) reprezentációt a Vp L téren. Minden ρi irreducibilis reprezentációhoz válasszunk olyan bázist, amelyben i valamennyi ρi (g) = (rjk (g))j,k mátrix unitér (ilyen bázis mindig létezik, lásd a 10. fejezet 3. példáját). Vezessük be az 1 P f1 (g)f2 (g) (f1 , f2 ) = |G| g∈G

173

17. fejezet Csoportok reprezentációelmélete

skalárszorzatot a G-n értelmezett függvények terén; ekkor nagyjából az (5)-höz hasonló összefüggésekhez jutunk: i III. tétel. Az rjk függvények páronként ortogonálisak egymásra, önmagukkal 1 , ahol ni a ρi reprezentáció rangja. képezett skalárszorzatuk pedig ni Speciálisan, az irreducibilis reprezentációk karakterei ortonormált függvényrendszert alkotnak.

1. példa. Az S3 csoportnak két 1-dimenziós reprezentációja van, az ε egységreprezentáció és az η paritásreprezentáció. Mivel S3 egy háromelemű X halmazon ható permutációcsoport, azért van egy 2 rangú ρ2Preprezentációja is azoknak az f : X → C függvényeknek a terén, amelyekre f (x) = 0 , és ez x∈X

a reprezentáció irreducibilis. Azonban |S3 | = 6 = 12 + 12 + 22 , így Burnside tétele szerint S3 -nak nincs is több irreducibilis reprezentációja.

2. példa. Tekintsük az O oktaédercsoportot (l. 13. fejezet, 4. példa). Az O csoport permutálja az oktaéder szemköztes csúcsaiból álló párokat, ezáltal egy O → S3 homomorfizmushoz jutunk. Így az S3 imént talált ε , η , ρ2 reprezentációi az O-nak is irreducibilis reprezentációit határozzák meg. Az oktaéder geometriájának szempontjából ez a következőt jelenti. A 13. fejezet 4. példájában látottak szerint a T tetraédercsoport 2-indexű részcsoportként van benne O-ban, és η(g) = 1 , ha g ∈ T , ill. η(g) = −1 , ha g ∈ / T . A ρ2 reprezentáció a csúcsok halmazán értelmezett azon függvények terén realizálható, amelyek az oktaéder szemköztes csúcsain azonos értéket vesznek fel, az összes csúcson fölvett értékeik összege pedig 0 . Ezeken kívül, az O → SO(3) homomorfizmus révén O-nak létezik egy 3-dimenziós természetes ρ3 reprezentációja is. Végül pedig a ρ3 ⊗ η tenzorszorzat (ami esetünkben nem más, mint a ρ3 (g) transzformációk szorzása az η(g) skalárokkal) ad egy további ρ′3 reprezentációt. Ennek a geometriai jelentése a következő. A 13. fejezet V. tétele szerint O(3)-ban van egy, a tetraédercsoporttal izomorf OT részcsoport, ami azonban nincs benne SO(3)-ban. Az O ∼ = OT → O(3) homomorfizmusok kompozíciója segítségével kaphatjuk meg a ρ′3 reprezentációt. Mivel |O| = 24 = 12 + 12 + 22 + 32 + 32 , azért az oktaédercsoport valamennyi irreducibilis reprezentációját megtaláltuk.

B. Kompakt Lie-csoportok reprezentációi A kompakt Lie-csoportok reprezentációi rendelkeznek csaknem mindazokkal a tulajdonságokkal, amelyekkel a véges csoportok reprezentációi. Ezen tulajdonságok a véges csoportok esetében jórészt abból eredeztethetők, hogy minden reprezentáció féligegyszerű, ennek pedig — amint azt a 10. fejezetben különböző testek fölött is láthattuk — az alapját a csoporton történő összegzés ill. átlagolás lehetősége képezi.PUtóbbi azt jelenti, hogy a csoportelemekhez kapcsolódó F (g) mennyiségekből F (g) összegeket készíthetünk. Mindez analóg módon megteg∈G

hető kompakt Lie-csoportokkal is. Az összegnek megfelelő kifejezést a csoporton

174

17. fejezet Csoportok reprezentációelmélete

vett integrálnak nevezzük. Az integrálás tetszőleges, a G csoporton folytonos f függvényhez az I(f ) ∈ R számot rendeli, ez a függvény csoporton vett integrálja; ez az integrál kielégíti a következő feltételeket: I(f1 + f2 ) = I(f1 ) + I(f2 ) , I(αf ) = αI(f ) , ha α ∈ C , I(f ) = 1 , ha f ≡ 1 , I(|f |2 ) > 0 ,

I(fi ) = I(f ) ,

ha f 6≡ 0 ,

ha i = 1, 2, 3 , ahol f1 (g) = f (g −1 ) , f2 (g) = f (ug) és f3 (g) = f (gu) , minden u ∈ G-re.

Az I létezésének a bizonyítása azon múlik, hogy a G csoporton létezik egy n-edrendű invariáns ω differenciálforma, ahol n = dim G . Ezzel Z I(f ) = c fω , G

ahol a c konstans értékét úgy választjuk meg, hogy I(f ) = 1 teljesüljön, ha f ≡ 1 . Az ω invariáns differenciálforma, ha τu∗ ω = ω minden g ∈ G-re, ahol τu a g 7→ gu transzformációt jelöli. Az invariáns differenciálformaVa 15. fejezet n elején leírtak szerint konstruálható: választunk egy n-edrendű ωe ∈ Te formát a G-beli e egységelemben lévő Te érintőtéren, majd az ωg értékét a Tg téren (τg∗ )−1 ωe -nek definiáljuk. Az I(f ) integrál létezése lehetővé teszi, hogy kompakt csoportokra szó szerint alkalmazzuk a 10. fejezet 3. példájában ismertetett módszert, és ezzel belássuk, hogy GL(n, C) minden kompakt G részcsoportjához létezik G-invariáns, Hermite-félePpozitív definit kvadratikus alak. Ez a kvadratikus alak ekvivalens a szokásos |zi |2 alakkal, ezért alkalmas C ∈ GL(n, C)-vel G ⊂ CU (n)C −1 , azaz G konjugált az unitér csoport egy részcsoportjához. Ezt az eredményt bizonyítás nélkül tárgyaltuk a 15. fejezet 8. példájában. Ehhez hasonlóan igaz, hogy GL(n, R) minden kompakt részcsoportja konjugált O(n) egy részcsoportjához. Mindezeknek nevezetes alkalmazása a következő. 3. példa. A Helmholtz–Lie-tétel. Tegyük fel, hogy L valós vektortér, dim L = n . Az L1 ⊂ L2 ⊂ · · · ⊂ Ln−1 ⊂ L sorozatot zászlónak nevezzük, ha mindegyik Li egy i-dimenziós irányított altér L-ben. Ha L-et euklideszi térré tesszük, akkor minden zászló kölcsönösen egyértelműen megfelel egy e1 , . . . , en ortonormált bázisnak, ahol Li = {e1 , . . . , ei } (mint irányított altér). Így az összes zászlók F sokasága kompakt. A GL(n, R) csoport hat F-en g(L1 , . . . , Ln−1 ) = (g(L1 ), . . . , g(Ln−1 )) szerint, ahol (L1 , . . . , Ln−1 ) ∈ F , és g ∈ GL(n, R) . Tétel. Tegyük föl, hogy GL(n, R) egy G részcsoportja élesen tranzitív Fen (azaz minden F1 , F2 ∈ F-re létezik pontosan egy g ∈ G , amelyre g(F1 ) = F2 ). Ekkor L euklideszi térré tehető oly módon, hogy G éppen az ortogonális transzformációk csoportja legyen.

175

17. fejezet Csoportok reprezentációelmélete

Mivel az F minden pontjának triviális a stabilizátora, azért G azonosítható bármelyik pont orbitjával, ami a tranzitivitás miatt maga F . Így, mivel F kompakt, G is kompakt. Ebből, mint láttuk, következik, hogy létezik G-invariáns euklideszi metrika. A G egybeesése a teljes ortogonális csoporttal ugyancsak a tranzitivitás következménye. A bizonyított tétel a nevezetes Helmholtz–Lie-tétel lokális analogonja és egyben bizonyításának első lépése is. A tétel a konstans görbületű Riemannsokaságok belső jellemzését adja. Tegyük fel, hogy X differenciálható sokaság, és diffeomorfizmusok egy G csoportja együttesen élesen tranzitív az X pontjain és a Tx érintőterek zászlóin, azaz minden x, y ∈ X-re és Tx -beli Fx , valamint Ty beli Fy zászlókra létezik pontosan egy g ∈ G , amelyre g(x) = y és g(Fx ) = Fy . Ekkor létezik olyan metrika X-en, amelyre nézve X konstans görbületű, euklideszi, hiperbolikus, gömbi tér vagy Riemann-tér (az n-dimenziós gömbnek a középpontos tükrözés szerinti faktora), G pedig a megfelelő geometria mozgásainak a csoportja. A bizonyított tétel segítségével Riemann-metrikát vezethetünk be X-en, és azon keresztül alkalmazhatjuk a Riemann-geometria módszereit. A mozgások csoportjának a zászlókon való tranzitív hatása a Riemann-sokaságok teljes izotrópia axiómája. Ennek értelmében az axiómát kielégítő Riemann-sokaságok a szabályos poliéderek analogonjainak tekinthetők (vö. 13. fejezet, 4. példa); megfordítva, a szabályos poliéderek a konstans görbületű Riemann-terek véges modelljei. A Helmholtz–Lie-tétel bizonyításának kétségkívül az első lényeges eleme a zászlók sokasága által játszott szerep felismerése. Így nem meglepő, hogy ez a fogalom újra és újra megjelenik a topológiában, a Lie-csoportok reprezentációinak elméletében és az algebrai csoportok elméletében is; mindig azt a tulajdonságot fejezi ki (mint esetünkben is), hogy a zászlóké a „legjobb” olyan kompakt sokaság, amelyen a GL(n, R) csoport még tranzitív. Kanyarodjunk vissza ezután a kompakt csoportok reprezentációinak vizsgálatához, ami a csoporton való integrálás létezésén alapul. IV. tétel. (1) Tetszőleges G kompakt Lie-csoport minden véges dimenziós reprezentációja féligegyszerű, és ekvivalens egy unitér reprezentációval. (2) Jelölje L2 (G) a négyzetesen integrálható f függvények terét, azaz amelyekre I(|f |2 ) < ∞ ; vezessük be ezen az (f, g) = I(f g) belső szorzatot. Ekkor a III. tételben leírt ortogonalitási relációk szó szerint érvényesek a véges dimenziós irreducibilis reprezentációk mátrixának elemeire. (3) Definiáljuk a G reguláris reprezentációját az L2 (G) téren Tg (f )(u) = f (ug) szerint. A reguláris reprezentáció megszámlálhatóan sok véges dimenziós irreducibilis reprezentáció direkt összege; a G minden irreducibilis reprezentációja pontosan annyiszor fordul elő ebben a felbontásban, mint amennyi a rangja. Minden véges dimenziós reprezentációt egyértelműen meghatároz a karaktere. (4) Ha ρ : G → Aut V egy beágyazás, akkor a T p (ρ) ⊗ T q (b ρ) reprezentációk irreducibilis faktorai között összességében a G minden irreducibilis reprezentációja megtalálható.

176

17. fejezet Csoportok reprezentációelmélete

(5) Egy G1 × G2 direkt szorzat minden irreducibilis reprezentációja ρ1 ⊗ ρ2 alakú, ahol ρ1 ill. ρ2 a G1 ill. G2 csoport irreducibilis reprezentációi. A tétel első és második pontja szó szerint ugyanúgy látható be, mint a véges csoportokra vonatkozó megfelelő állítás. A harmadik rész bizonyítását azon a speciális eseten illusztráljuk, amikor G zárt részcsoport egy véges dimenziós V vektortér lineáris transzformációinak Aut V csoportjában. (Valójában minden szóbanforgó csoport elő is áll ilyen módon, sőt, olyan fontos csoportosztályok esetében, mint a klasszikus csoportok, ez egyenesen része a definíciójuknak.) Tekintsük a természetes ρ : G → Aut V , ill. G → GL(n, C) reprezentációt, ahol n = dim V . Ha ρ(g) mátrixa (rjk (g)) , akkor az xjk = Re rjk (g) és yjk = Im rjk (g) (összesen 2n2 darab) függvény egyértelműen meghatározza g-t. Weierstraß approximációs tétele szerint minden, a G csoporton folytonos f függvény approximálható az xjk és yjk függvények polinomjaival. Könnyen látható azonban, hogy az xjk és yjk függvények polinomjai nem mások, mint az összes T p (ρ) ⊗ T q (b ρ) reprezentációk, ill. irreducibilis összetevőik mátrixelemeinek lineáris kombinációi. Tehát minden folytonos függvény approximálható i a véges dimenziós irreducibilis ρi reprezentációknak megfelelő rjk koordináta2 függvényekkel, így minden f ∈ L (G) függvény eme ortogonális rendszer szerint sorba fejthető; ebből már egyszerűen következik (3), sőt, (4) és (5) is. Végezetül megemlítendő, hogy a tételben megfogalmazott (1)–(3) tulajdonságok minden kompakt topologikus csoportra teljesülnek. Ebben az általánosabb esetben azonban az I integrál létezése egészen másképpen, egy igen szép halmazelméleti konstrukcióval látható be. 4. példa. Kompakt kommutatív Lie-csoportok. Itt minden irreducibilis reprezentáció 1-dimenziós, és a véges Abel-csoportok karakterelméletéhez teljesen analóg eredmények érvényesek. A kompakt kommutatív csoportoknak megszámlálhatóan sok karaktere ill. χ : G → C∗ homomorfizmusa van. Ezek között fennállnak az (5)-nek megfelelő ortogonalitási relációk, és minden f ∈ L2 (G) P b csoportot alsorbafejthető f = cχ χ alakban. A karakterek egy (diszkrét) G χ

b részcsoportjai között, mint a véges kotnak, és ugyanaz a kapcsolat a G és a G b izoesetben. Tekintsük a kör, mint G = R/Z csoport speciális esetét; ekkorPG morf Z-vel, hiszen G minden karaktere χn (ϕ) = e2πinϕ alakú. Az f = cn χn 2πinϕ sor az f Fourier-sora. Ez magyarázza az e , ill. a sin 2πnϕ és cos 2πnϕ függvények (mint G karakterei) megkülönböztetett szerepét a Fourier-sorok elméletében. Az elmélet a lokálisan kompakt Abel-csoportok osztályán teljesedik ki. A G b karaktercsoportja közötti kapcsolatot és annak (ugyancsak lokálisan kompakt) G az ún. Pontrjagin-dualitás tárgyalja. 5. példa. Legyen ρ : SO(n) → L az ortogonális transzformációk csoportjának természetes reprezentációja az n-dimenziós L euklideszi téren. Az S 2 ρ reprezentáció az L-en értelmezett szimmetrikus bilineáris alakok terén hat (L euklideszi struktúráját használva azonosíthatjuk L-et L∗ -gal); egy u ∈ SO(n) hatása a ϕ(a, b) függvényen (a, b ∈ L): ϕ(ρ(u)−1 a, ρ(u)−1 b) (hiszen ρ(u)∗ = ρ(u)−1 ). E

177

17. fejezet Csoportok reprezentációelmélete

hatással szemben az egységmátrix nyilván invariáns, ezért S 2 ρ = I ⊕S02 ρ , ahol I az egységreprezentáció, S02 ρ pedig a 0 nyomú mátrixok terén ható reprezentáció. Könnyen belátható, hogy S02 ρ irreducibilis. A következő három példa a 4-dimenziós Riemann-sokaságok elméletében játszik szerepet. 6. példa. Tekintsük a speciális n = 4 esetet; ekkor SO(4) ∼ = (SpU (1) × 2 SpU (1))/{±1} (l. a 15. fejezetben (10)). Így S0 ρ az SpU (1) × SpU (1) reprezentációjának tekinthető, s ezért a IV. tétel (5) pontja szerint ρ1 ⊗ ρ2 alakú, ahol ρ1 és ρ2 az SpU (1) reprezentációi; keressük meg ezeket a reprezentációkat. Mint az előző példában láttuk, S02 ρ a 0 nyomú szimmetrikus bilineáris ϕ(a, b) alakok 9-dimenziós terén hat; ezúttal feltehetjük, hogy a, b ∈ H kvaterniók. Így u ∈ SpU (1) × SpU (1) felírható u = (q1 , q2 ) alakban, ahol q1 , q2 ∈ H , |q1 | = |q2 | = 1 , és ρ(u)a = q1 aq2−1 (v.ö. 15. fejezet (10)). Tekintsük ρ1 hatását a tisztán képzetes kvaterniók 3-dimenziós H− terén: ρ1 (q) : x 7→ qxq −1 (x ∈ H− , q ∈ H , |q| = 1). Tetszőleges x, y ∈ H− -val készítsük el a ϕx,y (a, b) = Re(xayb) (a, b ∈ H) függvényt. Könnyen ellenőrizhető, hogy ϕx,y (a, b) = ϕx,y (b, a) , és az x 7→ q1 xq1−1 , y 7→ q2 yq2−1 hatás ekvivalens S 2 ρ hatásával a ϕx,y (a, b) függvényen. (Mindössze azt kell felhasználnunk, hogy Re ξ = Re ξ , Re(ξη) = Re(ηξ) , x = −x , y = −y , és |q| = 1 esetén q = q −1 .) Így az x ⊗ y 7→ ϕx,y megfeleltetés egy ρ1 ⊗ ρ1 → S 2 ρ homomorfizmust definiál, ahol ρ1 az SpU (1) (vagy SO(3)) standard reprezentációja a H− téren. Könnyen látható, hogy e homomorfizmus magja 0 , a képe pedig csak S02 ρ lehet; tehát S02 ρ ∼ = ρ1 ⊗ ρ1 .

7. példa. Továbbra is az V n = 4 esetnél maradva tekintsük az előző példák2 ban szerepelt ρ-ból képezett ρ reprezentációt a H antiszimmetrikus bilineáris leképezéseinek terén. Minden x ∈ H− -hoz tekintsük a ψx (a, b) = Re(axb) bilineáris alakot. Ekkor ψx (b, a) = −ψx (a, b) , és az x 7→ ψx megfeleltetés egy V2 (1 ⊗ ρ1 ) → ρ homomorfizmust határoz meg. Hasonlóan, minden x ∈ H− V2 ρ homomorfizmust ad. ra legyen ξx (a, b) = Re(axb) , ami egy (ρ1 ⊗ 1) → V2 A két leképezés összegeként egy (ρ1 ⊗ 1) ⊕ (1 ⊗ ρ1 ) → ρ homomorfizmust V2 kapunk, ami izomorfizmus, és így megadja ρ irreducibilis összetevőkre való felbontását. V2 8. példa. Tekintsük végül az S 2 ρ reprezentációt. Ez az SO(4)-nek azon tenzorok terén való reprezentációja, amelyek ugyanazokat a szimmetriafeltételeket elégítik ki, mint egy 4-dimenziós Riemann-sokaság görbületi tenzora. A 7. példában láttuk, hogy ha ρ1 az SO(3) természetes reprezentációja az R3 V2 ∼ téren, akkor ρ = (ρ1 ⊗ 1) ⊕ (1 ⊗ ρ1 ) . Könnyen igazolható, hogy bármely csoport ξ és η reprezentációira S 2 (ξ ⊕ η) = S 2 ξ ⊕ S 2 η ⊕ (ξ ⊗ η) ; speciálisan V2 ∼ 2 S2 ρ = (S ρ1 ⊗ 1) ⊕ (1 ⊗ S 2 ρ1 ) ⊕ (ρ1 ⊗ ρ1 ) . Az 5. és 6. példa eredménye szerint ^ S2 2ρ ∼ (6) = (I ⊗ 1) ⊕ (S02 ρ1 ⊗ 1) ⊕ (1 ⊗ I) ⊕ (1 ⊗ S02 ρ1 ) ⊕ S02 ρ ,

V2 ami megadja az S 2 ρ-nak irreducibilis reprezentációk direkt összegére való felbontását, és ezáltal megmutatja, hogy a görbületi tenzor komponenseinek

178

17. fejezet Csoportok reprezentációelmélete

mely csoportjai választhatók ki invariáns módon, azaz melyeknek van geometriai jelentése. V2 A (6) összefüggés szerint S 2 ρ tetszőleges ξ elemére ξ = α0 + α1 + β0 + β1 + γ ,

ahol α0 ∈ I ⊗ 1 , α1 ∈ S02 ρ1 ⊗ 1 , β0 ∈ 1 ⊗ I , β1 ∈ 1 ⊗ S02 ρ1 és γ ∈ S02 ρ . Mivel az I ⊗ 1 és 1 ⊗ I reprezentációk 1-dimenziósak, azért α0 és β0 az a és b számokkal adható meg; az úgynevezett Bianchi-azonosság szerint egy Riemannsokaság görbületi tenzorára mindig a = b teljesül. A 12a = 12b szám a skaláris görbület, a szimmetrikus (és 0 nyomú) γ mátrix a nyommentes Ricci-tenzor , α1 és β1 pedig a pozitív és a negatív Weyl-tenzor . 9. példa. SU (2) irreducibilis reprezentációi. Jelölje ρ : SU (2) → Aut C2 az SU (2) természetes reprezentációját. A IV. tétel (4) pontja szerint SU (2) minden irreducibilis reprezentációja megkapható ρ és ρb véges sok tényezős tenzorszorzatának faktoraként. A ρb reprezentáció egyszerűen a ρ konjugáltV2 jával ekvivalens, ami esetünkben maga a ρ . Valóban, dim L = 2 miatt a L tér 1-dimenziós; válasszunk benne egy ω0 bázist, és rögzítsük az L-en a ϕ bilineáris alakot, ahol x ∧ y = ϕ(x, y)ω0 . Ezzel egy izomorfizmust jelöltünk ki L és annak L∗ duálisa között. Másrészt az L Hermite-féle struktúrája (az, ami SU (2) definíciójában is szerepel) L és L∗ között létesít izomorfizmust. E két izomorfizmusnak köszönhetően állíthatjuk, hogy L∗ izomorf L∗ -gal, és ezért L is izomorf L-sal; ebből következik ρ és ρb ekvivalenciája. Így SU (2) minden irreducibilis reprezentációja megkapható már a T p (ρ) reprezentációk felbontásából is. E reprezentációk egy része nyilvánvalóan adódik. A 2 × 2-es (unitér) mátrixokat tekinthetjük az x és y változók transzformációmátrixaként. Ily módon ezek a mátrixok az x és y homogén n-edfokú polinomjainak terén is hatnak " # α β : F (x, y) 7→ F (αx + γy, βx + δy) γ δ szerint. Jelöljük ezt az n + 1 rangú reprezentációt ρj -vel, ahol j = n/2 (ez a hagyományos jelölés a kvantummechanikából, közelebbről az izotóp spin elméletéből származik — vö. 18.E fejezet). Nyilván ρj = S 2j ρ . Ha minden homogén F (x, y) polinomnak megfeleltetjük az inhomogén f (z) = F (z, 1) polinomot, akkor ρj az ¶ µ αz + γ n (7) f (z) 7→ (βz + δ) f βz + δ alakot ölti. Nem nehéz belátni, hogy a ρi reprezentációk irreducibilisek (mindez majd a 17.C részben válik teljesen világossá). Megmutatjuk, hogy a ρj (j = 1/2, 1, 3/2, . . .) reprezentációk megadják az SU (2) összes irreducibilis reprezentációját. A korábban mondottak értelmében ehhez elég azt igazolnunk, hogy valamennyi T p (ρ) reprezentáció a ρj reprezentációk direkt összege. Vegyük észre,

179

17. fejezet Csoportok reprezentációelmélete

hogy ρ éppen ρ1/2 , ezért elegendő indukcióval belátni, hogy ρj ⊗ ρj ′ a ρk reprezentációk összegére bomlik. E felbontás szerkezetét is megsejthetjük, ha tekintjük az SU (2) diagonális elemeiből, vagyis a " # α 0 gα = , |α| = 1 (8) 0 α−1 elemekből álló H részcsoportot. A H Abel-csoport, ezért ρj -nek a H-ra történő megszorítása 1-dimenziós reprezentációk öszegére bomlik. Ha a reprezentációt a homogén polinomok terén adjuk meg, akkor az invariáns 1-dimenziós alterek bázisai az xn , xn−1 y, . . . , y n (9) polinomok, melyeken H a χn (gα ) = αn , χn−2 (gα ) = αn−2 , . . . , χ−n (gα ) = α−n karakterekkel hat. A ρj ⊗ ρj ′ H-ra való megszorítása a ρj és a ρj ′ H-ra történő megszorításának irreducibilis összetevőiből képezett szorzatoknak az összege; ezek között a χn+n′ karakter egyszer fordul elő, a χn+n′ −2 kétszer, a χn+n′ −4 háromszor, és így tovább (n = 2j , n′ = 2j ′ ). Ebből már könnyen megsejthető, hogy ha ρj ⊗ ρj ′ valóban a ρk reprezentációk összege, akkor a felbontás csak ρj ⊗ ρj ′ = ρj+j ′ ⊕ ρj+j ′ −2 ⊕ · · · ⊕ ρ|j−j ′ |

(10)

lehet. A (10) összefüggés bizonyításához a IV. tétel (3) pontját használjuk fel, ami szerint minden reprezentációt meghatároz a karaktere. Minden unitér mátrix diagonalizálható, azaz konjugált egy (8) alakú mátrixhoz; a reprezentáció karakterét tehát már az ilyen alakú mátrixokon fölvett értékei meghatározzák. Speciálisan, figyelembe véve a ρj reprezentáció hatását a (9)-beli bázis elemein: χj (gα ) = χj (α) =

α2j+1 − α−(2j+1) . α − α−1

(11)

Így a (10) formula az egyszerűbb χj (α)χj ′ (α) = χj+j ′ (α) + χj+j ′ −2 (α) + · · · + χ|j−j ′ | (α) alakot ölti, aminek a teljesülését már könnyen ellenőrizhetjük; ez az úgynevezett Clebsch–Gordan-formula. Ezzel a (10) összefüggést beláttuk, és megtaláltuk SU (2) összes irreducibilis reprezentációját. Mivel SO(3) ∼ = SU (2)/{±1} , azért SO(3) irreducibilis reprezentációi az SU (2) irreducibilis reprezentációi között keresendők, és ők éppen azok, amelyeken a −E mátrix triviálisan hat; ez nyilván pontosan akkor következik be, ha j egész szám. A (11) alapján a ρj reprezentáció karakterének a ϕ szögű gϕ forgatáson felvett értéke: χj (gϕ ) =

sin(2j + 1)ϕ . sin ϕ

Az SU (2) irreducibilis reprezentációinak megtalálásában döntő szerephez jutott a diagonális mátrixok H kommutatív csoportjára való megszorítás; az

180

17. fejezet Csoportok reprezentációelmélete

39. ábra.

SO(3) esetében ez a csoport egy egyenes körüli elforgatásokból áll. Érdekes módon e megszorításnak kvantummechanikai jelentése is van. Tegyük fel, hogy egy középpontosan szimmetrikus mezőben adva van egy elektron. A középpontos szimmetria a Hamilton-operátorban is megjelenik, ami SO(3)-invariáns. Az állapottér ennélfogva ugyancsak SO(3)-invariáns, így felbomlik SO(3) irreducibilis reprezentációinak direkt összegére. Az állapottér egy irreducibilis reprezentációnak megfelelő irreducibilis altere két számmal jellemezhető; az egyik (az azimutális kvantumszám) a j , ami a megfelelő irreducibilis reprezentáció típusát határozza meg, a másik (a főkvantumszám) az egymástól különböző, de ekvivalens reprezentációkhoz tartozó invariáns altereket különbözteti meg. Az egyazon irreducibilis altérbe tartozó állapotoknak megegyezik az energiaszintje. Ha ezután bekapcsolunk egy olyan mágneses mezőt, amely tengely körüli forgási szimmetriával bír, akkor ennek megfelelően SO(3) minden irreducibilis reprezentációját meg kell szorítani a szimmetriatengely körüli forgatások H ⊂ SO(3) részcsoportjára. Mint láttuk, ekkor SO(3) minden irreducibilis reprezentációja 1-dimenziós reprezentációk összegére bomlik, és a H részcsoport különböző invariáns altereihez tartozó állapotoknak immár egymástól eltérő az energiaszintje. Ez magyarázza a spektrum vonalainak a felhasadását mágneses mezőben, az úgynevezett Zeeman-effektust. Az [F.J. Dyson, 37 (1964)] cikkből vett, 39. ábrán látható spektrogram a niobium atom állapotterének az SO(3) csoport ρ1 reprezentációja szerinti változását mutatja, amint az a mágneses mező bekapcsolásakor a H részcsoport három reprezentációjára esik szét.

181

17. fejezet Csoportok reprezentációelmélete

C. Komplex klasszikus Lie-csoportok reprezentációi Ebben a részben a klasszikus csoportok analitikus reprezentációival foglalkozunk, azaz feltesszük, hogy minden g ∈ G csoportelemre a ρ(g) mátrix elemei a g mátrix elemeinek komplex analitikus függvényei. Használni fogjuk a komplex klasszikus és a kompakt Lie-csoportok közötti kapcsolatot, amit a 15. fejezetben tárgyaltunk. Minden klasszikus kompakt csoport maximális kompakt részcsoportként benne van egy komplex klasszikus csoportban: U (n) GL(n, C)-ben, SU (n) SL(n, C)-ben, SpU (n) Sp(n, C)-ben, és így tovább. E kapcsolatnak köszönhetően a komplex klasszikus csoportok véges dimenziós reprezentációit a kompakt csoportoknak az előző részben megismert reprezentációiból kiindulva fogjuk vizsgálni. Az első alapvető eredmény a következő: V. tétel. A komplex klasszikus Lie-csoportok minden véges dimenziós reprezentációja féligegyszerű. A tétel bizonyításának ötletét a GL(n) csoport példáján mutatjuk be. Egyszerűsítésként feltesszük, hogy a ρ : GL(n) → Aut L reprezentációnál a ρ(g) mátrix rij (g) elemei a g mátrix elemeinek racionális függvényei. (Valójában mindig ez a helyzet, és nem csupán GL(n) , hanem valamennyi klasszikus csoport esetében.) Tételezzük fel, hogy M olyan altér L-ben, amely minden ρ(g) (g ∈ GL(n)) transzformációra invariáns. Mivel U (n) minden reprezentációja féligegyszerű, azért létezik olyan N altér, amelyre L = M ⊕ N , és amely minden ρ(g) (g ∈ U (n)) transzformációra invariáns. Az M és N bázisainak összetételéből adódó bázisban minden ρ(g) (g ∈ GL(n)) transzformáció mátrixa " # A(g) C(g) 0 B(g) alakú; itt feltevésünk szerint a C(g) mátrix cij (g) elemei a g elemeinek racionális függvényei, és nullával egyenlők, ha g ∈ U (n) . A bizonyítás ezzel a következő, nem reprezentációelméleti lemmára vezethető vissza. Lemma. Legyen F (Z) a GL(n)-en értelmezett függvény, ami a Z mátrix elemeinek racionális függvénye, és minden U ∈ U (n)-re nulla; ekkor F azonosan nulla. Ismert tény (és könnyen ellenőrizhető is), hogy minden olyan Z mátrix, amelyre det(E + Z) 6= 0 , felírható Z = (E − T )(E + T )−1 alakban, és Z pontosan akkor unitér, ha T ∗ = −T . Legyen F (Z) = G(T ) . A lemma állítása ekkor a következőképpen fogalmazható meg: ha a T mátrix elemeinek racionális G(T ) függvénye minden ferdén Hermite-típusú mátrixra nulla, akkor G(T ) azonosan nulla. Legyen T = X + iY , ekkor a T ∗ = −T feltétel alakja: X t = −X , Y t = Y , ahol t transzponáltat jelöl. Utóbbi esetben függvényünk az egymástól független xij (i < j) és yij (i 6 j) valós változók

182

17. fejezet Csoportok reprezentációelmélete

racionális függvénye, hiszen ekkor X ferdén szimmetrikus, Y pedig szimmetrikus (valós elemű) mátrix. Ha egy racionális függvény a változók minden valós értéke mellett eltűnik, akkor az a függvény azonosan nulla; tehát a G(T ) függvény azonosan nulla minden olyan T -re, amely T = X + iY alakban írható úgy, hogy X t = −X és Y t = Y (X és Y komplex elemű mátrixok). Ilyen alakban viszont 1 1 minden T mátrix fölírható: X = (T − T t ) , Y = (T + T t ) . 2 2i Az V. tétel bizonyítása csupán egyetlen példája egy olyan általános módszernek, amelynek a segítségével komplex klasszikus Lie-csoportok reprezentációit vizsgálhatjuk. Ez a módszer a valós függvények komplex analitikus folytatásának analogonja, és az unitér fogás néven ismeretes. Egy ilyen G csoport reprezentációját a kompakt K részcsoportra megszorítva a K egy reprezentációjához jutunk; megfordítva, K reprezentációjából a G egy reprezentációját kapjuk, ha a K elemeit meghatározó valós paraméterek értékét a komplex számokon futtatjuk be. Így G és K reprezentációi kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetők egymásnak. Például SL(2, C) irreducibilis reprezentációi ugyancsak a (7)-ben " sze# α β repelt formulákkal adhatók meg, a különbség mindössze annyi, hogy az γ δ mátrix elemei minden olyan komplex értéket felvehetnek, amelyre αδ − βγ = 1 . (Ebből egyébként a kapott reprezentációk irreducibilitása is következik már.) Az SL(2, C) és a Lorentz-csoport közötti kapcsolat miatt a reprezentációk leírása a fizika szempontjából is fontos. Az eddig leírtak azt a benyomást kelthetik, hogy a komplex klasszikus csoportok reprezentációelmélete teljesen hasonló a kompakt csoportokéhoz. Valójában ez távolról sincs így; a nemkompakt Lie-csoportok reprezentációelmélete valami egészen más jelenséggel áll kapcsolatban. A kompakt esethez hasonlóan létezik egy n-edrendű invariáns differenciálforma a G csoporton (ahol n = dim G), és ennek segítségével definiálható G reguláris reprezentációja az L2 (G) téren. A reguláris reprezentáció ezúttal is „felbomlik irreducibilis reprezentációkra”, ám ez most egészen mást jelent, mint a kompakt csoportok esetében. Az irreducibilis reprezentációk általában végtelen dimenziósak, és folytonosan változó paraméterektől függenek; ezáltal „folytonos spektrumról” beszélhetünk. A reguláris reprezentáció nem irreducibilis reprezentációk összegére bomlik, hanem azok „integráljára”. Például a valós számok R additív csoportjának karakterei χλ (x) = e2πiλx (λ ∈ R) alakúak, és a reguláris reprezentáció „felbontása” függvények Fourier-integrálként való előállítására vezet (a kompakt R/2πZ csoport esetében fellépő Fouriersorokkal szemben). A reguláris reprezentáció és annak mindegyik irreducibilis összetevője unitér. Az esetek többségében ebből következik, hogy az irreducibilis reprezentációk dimenziója nem lehet véges. Például, ha G egyszerű, akkor minden, az egységtől különböző reprezentációja beágyazás, és ez a beágyazás nem vezethet semmilyen U (n) csoportba, mivel az U (n) csoportok kompaktak,

183

18. fejezet Csoportok alkalmazásai

G pedig nem az. Az irreducibilis reprezentációk rendszerint nem fordulnak elő valamennyien a reguláris reprezentáció felbontásában. Ám még az így előforduló (irreducibilis) reprezentációk sem részei a reguláris reprezentációnak, mint ahogy egy operátor folytonos spektrumának egyetlen pontjához sem tartozik sajátvektor. Roppant érdekesek viszont azok a kivételes esetek, amikor valamelyik irreducibilis reprezentáció része a regulárisnak; ezek a spektrum diszkrét részének analogonjai. Ilyen kivétel például az SL(2, C) csoport reprezentációja a felső (vagy alsó) komplex félsíkon analitikus függvények terén a " # ¶ µ α β αz + γ , g= Tg (f )(z) = (βz + δ)−n−2 f βz + δ γ δ képlet szerint, tetszőleges n > 0 mellett, az Z (f1 , f2 ) = f1 (z)f2 (z)y n dx ∧ dy , z = x + iy C+

belső szorzattal. Magán a konstrukción érződik, hogy mindez kapcsolatban áll az automorf függvények elméletével.

18. Csoportok alkalmazásai A. Galois-elmélet A Galois-elmélet a véges testbővítések „szimmetriáit”, azaz automorfizmusait tanulmányozza; a 6. fejezetben szerepelt a véges testbővítés fogalma, és annak legalapvetőbb tulajdonságai. Az egyszerűség kedvéért föltesszük, hogy a testeknek, amikkel foglalkozunk, 0 a karakterisztikája, bár valójában az összes fontos eredmény érvényes jóval általánosabban, például véges testekre is. Bármely L | K véges bővítést K(α) alakban írhatunk, ahol α egy P (t) ∈ K[t] irreducibilis polinom gyöke (föltéve, hogy a test karakterisztikája 0), és P (t) foka [L : K]. Ezért a Galois-elméletet polinomokkal is meg lehet fogalmazni (ahogy azt Galois maga is tette), bár ebben a formában a szóban forgó fogalmak leírása nem egyértelmű: ugyanazt az L | K bővítést különböző P (t) polinomok is generálhatják. Egy L | K bővítés automorfizmusán az L testnek egy olyan σ automorfizmusát értjük, amelyik a K összes elemét helyben hagyja. Vegyük egy L | K bővítés összes automorfizmusát: ezek a kompozícióra nézve egy Aut(L | K) csoportot alkotnak. Egy K(α) | K bővítés σ automorfizmusát az α képe egyértelműen megn−1 P határozza, ugyanis K(α) minden eleme ai αi (ai ∈ K) alakban írható, tehát ¡P ¢ P i=0 i ha σ(α) = β, akkor σ ai α = ai β i . Másrészt, ha σ(α) = β és P (α) = 0 egy P (t) ∈ K[t] polinomra, akkor P (β) = 0. Ezért |Aut(L | K)| 6 deg P (t) = [L : K].

(1)

184

18. fejezet Csoportok alkalmazásai

Minél nagyobb az Aut(L | K) csoport, annál szimmetrikusabb az L | K bővítés. A határeset az, amikor az (1)-es képletben egyenlőség áll, azaz amikor |Aut(L | K)| = [L : K]. Egy olyan bővítést, amely kielégíti ez utóbbi tulajdonságot, Galois-bővítésnek hívunk. Az eddigiekből következik, hogy ennek szükséges feltétele, hogy az a P (t) irreducibilis polinom, amelynek α gyöke, az L = K(α) fölött lineáris faktorokra essen szét. Be lehet látni, hogy ez elégséges feltétel is. A 12. fejezetben ugyan példát mutattunk olyan bővítésre, amely nem Galois-bővítés, sőt, „maximálisan antiszimmetrikus” abban az értelemben, hogy Aut(L | K) = {e}; az, hogy a csoportelméletet alkalmazni lehet a testek szerkezetének leírásánál, azon múlik, hogy a Galois-bővítések mégis elegendő információt szolgáltatnak. I. tétel. Minden véges bővítés része egy Galois-bővítésnek. Nem nehéz receptet adni egy olyan L | K Galois-bővítés legyártásához, amely tartalmazza az L | K bővítést. Legyen L = K(α), ahol P (α) = 0 egy P (t) ∈ K[t] polinomra. Ekkor a következőt kell tennünk. Írjuk a P (t) polinomot az L fölött P (t) = (t − α)P1 (t) alakban, ahol P1 (t) ∈ L[t]. Most konstruáljuk meg az L1 = L(α1 ) bővítést, ahol P1 (α1 ) = 0, és ismételjük ezt a folyamatot, amíg a P (t) polinom lineáris faktorokra nem bomlik. Az L | K bővítést tartalmazó L | K Galois-bővítések között van egy minimális, amely része az összes többinek. Egy L | K Galois-bővítésre az Aut(L | K) csoportot az L | K bővítés Galoiscsoportjának hívjuk, és Gal(L | K)-val jelöljük. Definíció szerint, |Gal(L | K)| = [L : K]. Egy tetszőleges L | K véges bővítés Galois-csoportját úgy definiáljuk mint a legkisebb, az L | K-t tartalmazó L | K Galois-bővítés Galois-csoportját. Egy P (t) ∈ K[t] irreducibilis polinom Galois-csoportja az L | K bővítés Galois-csoportja, ahol L = K(α), és P (α) = 0. Ha L = K(α), és P (α) = 0, akkor miként azt már az előbb leírtuk, az L | K-t tartalmazó legkisebb L | K Galois-bővítést úgy kaphatjuk meg, hogy a P (t) irreducibilis polinom gyökeit egymás után adjungáljuk a K-hoz. Bármely σ ∈ Gal(L | K) automorfizmust meghatároz az, hogy a P (t) polinom αi gyökeit hova képezi. Másrészt bármelyik gyököt csak ugyanennek a polinomnak egy gyökébe viheti. Tehát σ permutálja P (t) gyökeit, így Gal(L | K) permutációcsoportként hat √ a P (t) gyökeinek halmazán. Vegyük például a 12. fejezetben √ 3 3 tárgyalt L = Q( 2) asszimmetrikus bővítést; itt α = 2, és P (t) = √ t3 − 2 = (t − α)(t2 + αt + α2 ), de a t2 + αt + α2 polinomnak nincs gyöke Q(√3 2)-ben. ¶ µ −1 + −3 2 2 Legyen L = L(α1 ), ahol α1 + αα1 + α = 0, és így α1 = α. 2 √ √ −3 alakban Ebből következik, hogy L = L( −3), és L bármely eleme ξ + η √ 3 írható, ahol ξ, η ∈ Q( 2). Egy σ ∈ Aut(L | K) automorfizmust nyilván teljesen √ ¡ √ ¢3 √ meghatároznak a σ( 3 2) és a σ( −3) értékek. Ugyanakkor σ( 3 2) = 2, tehát √ √ 3 3 σ( 2) = εk 2 valamely k = 0, 1 vagy 2 értékre,

185

18. fejezet Csoportok alkalmazásai

√ −1 + −3 egy harmadik egységgyök, és ahol ε = 2 √ √ σ( −3) = ± −3. √ √ Könnyen látható, hogy σ( 3 2) és σ( −3) lehetséges értékeinek bármely kombinációja valóban definiálja az L | Q bővítés egy automorfizmusát, tehát ¯ ¯ ¯Aut(L | Q)¯ = 6, és az L | Q bővítés Galois-bővítés, mert [L : Q] = 6. Ennek a Galois-csoportja a t3 − 2 polinom gyökein hat, és nyilván megadja az összes lehetséges permutációt, így Gal(L | Q) ∼ = S3 . Az alábbi táblázatban a Galois3 csoport hatását√a t − 2 polinom gyökein is konkrétan megadjuk (a gyököket a √ √ 3 3 2, ε 2 és ε2 3 2 sorrendben vesszük). √ σ( 3 2) √ σ( −3)

A gyökök permutációja

√ 3 √

√ − −3

√ ε32 √ −3

√ ε2 3 2 √ −3

√ ε32 √ − −3

√ ε2 3 2 √ − −3

(23)

(123)

(132)

(12)

(13)

2

√ 3

−3

(1)

2

A Galois-elmélet lelkét az a figyelemreméltó kapcsolat alkotja, mely egy L | K Galois-bővítés K ⊂ L′ ⊂ L részbővítései és a G = Gal(L | K) Galois-csoport részcsoportjai között adható meg. Egy H ⊂ Gal(L | K) részcsoportra legyen L(H) az L azon elemeinek részteste, amelyek invariánsak a H-beli automorfizmusokra nézve. Egy olyan L′ testre pedig, amelyre K ⊂ L′ ⊂ L, jelölje G(L′ ) az Aut(L | L′ ) részcsoportot Gal(L | K)-ban.

II. A Galois-elmélet főtétele. A H 7→ L(H) és L′ 7→ G(L′ ) leképezések egymás inverzei, és kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést adnak a Gal(L | K) Galois-csoport részcsoportjai és az L-nek K-t tartalmazó résztestei között. Ez a megfeleltetés megfordítja a tartalmazási relációt: H ⊂ H1 akkor és csakis akkor teljesül, ha L(H1 ) ⊂ L(H). Fönnáll továbbá az [L(H) : K] = |G : H| összefüggés. K ⊂ L′ ⊂ L esetén az L′ | K bővítés akkor és csakis akkor Galoisbővítés, ha G(L′ ) ⊂ G normálosztó, és ebben az esetben Gal(L′ | K) ∼ = G/G(L′ ).

A Galois-elmélet módszereinek alkalmazására klasszikus példa az egyenletek √ n gyökjelekkel való megoldásának problémája. Ennek alapja az a természetes értelmezése a Galois-elméletben. Tegyük föl, hogy a K alaptest tartalmazza az összes n-edik egységgyököt, azaz az xn − 1 polinom lineáris faktorokra bomlik, és tegyük föl, hogy √ n n az x − a polinom irreducibilis, tehát [K(√ a) : K] = n. A korábbi okfejtésből következik, hogy ebben az esetben K( n a) | K Galois-bővítés, és az összes √ √ √ n n n a) = ε a, εn = 1 σ ∈ Gal(K( a) | K) = G automorfizmust megadja a σ( √ √ összefüggés. Más szóval a χ(σ) = σ( n a)/ n a leképezés egy √ karaktere G-nek, és ez a karakter hűséges (a magja e), tehát G ciklikus. A K( n a) test mint K fölötti vektortér G-nek egy reprezentációját definiálja, amely 1-dimenziós reprezentációk összegére bomlik: √ √ √ √ K( n a) = K ⊕ K · ( n a) ⊕ K · ( n a)2 ⊕ · · · ⊕ K · ( n a)n−1 ,

186

18. fejezet Csoportok alkalmazásai

√ √ √ ahol σ(( n a)r ) = χr (σ) · ( n a)r . Tehát az ( n a)r gyökök a G ciklikus csoport reprezentációjának 1-dimenziós faktorokra való fölbontásához kapcsolódnak. Ez a kapcsolat fordított irányban is igaz: legyen L | K egy olyan bővítés, amelynek a G Galois-csoportja n-edrendű ciklikus csoport. Ugyanúgy, mint az előbb, azt kapjuk, hogy L = Kα1 ⊕ · · · ⊕ Kαn és σ(αr ) = χr (σ) · αr , ahol χ(σ) a G karaktercsoportjának egy generátora. Ebből nem nehéz levezetni, hogy αr√= α1r cr alkalmas cr ∈ K-val, továbbá α1 ∈ L, és α1n = a ∈ K, így L = K( n a). Ha tehát K tartalmazza az összes n-edik egységgyököt, akkor pontosan a √ K( n a) alakú ún. radikálbővítéseknek van ciklikus Galois-csoportjuk. Ezt fölhasználva és alkalmazva a II. tételt, valamint a föloldható csoportok elemi tulajdonságait, a következő eredményt bizonyíthatjuk be. III. tétel. Egy L | K bővítés pontosan akkor foglalható bele egy olyan Λ | K bővítésbe, melyet gyökök ismételt hozzávételével kapunk (azaz, amelyre p Λ = Λ1 ⊃ Λ2 ⊃ · · · ⊃ Λr = K, ahol Λi−1 = Λi ( n λi ) és λi ∈ Λi ),

ha a bővítés Galois-csoportja feloldható.

Ez az az eredmény, amely a feloldható csoport fogalmához vezetett, sőt, maga az elnevezés is innen származott. Tekintsük például a racionális törtfüggvények testét, k(t1 , . . . , tn ) = L-et, és legyen ebben K a szimmetrikus függvények részteste. Köztudott, hogy K = k(σ1 , . . . , σn ), ahol σi -k az elemi szimmetrikus polinomok, és σi 7→ yi izomorfizmust ad meg k(σ1 , . . . , σn ) és k(y1 , . . . , yn ) között. Nyilvánvaló, hogy a Gal(L | K) ∼ = Sn csoport a t1 , . . . , tn változók összes permutációjából áll. Másrészt a ti változók gyökei az xn − σ1 xn−1 + · · · ± σn = 0 egyenletnek. Ha alkalmazzuk a σi 7→ yi izomorfizmust, akkor beláthatjuk, hogy az xn − y1 xn−1 + · · · ± yn = 0

(2)

egyenlet Galois-csoportja a k(y1 , . . . , yn ) test fölött, ahol y1 , . . . , yn független változók, éppen az Sn szimmetrikus csoport. A (2)-es egyenletet nevezzük n-edfokú általános egyenletnek . Ha ezt összevetjük a III. tétel eredményével és az Sn szimmetrikus csoport jól ismert tulajdonságaival (ld. 13. fejezet, I. tétel), a következő eredményhez jutunk. IV. tétel. Az n-edfokú általános egyenlet n = 2, 3, 4-re megoldható gyökjelekkel, n > 5-re viszont nem. Az Sn csoportok szerkezete alapján (13. fejezet, I. tétel) n = 2, 3, 4-re a megoldóképletek szerkezetét is meg lehet sejteni.

187

18. fejezet Csoportok alkalmazásai

B. A lineáris differenciálegyenletek Galois-elmélete (Picard–Vessiot-elmélet) Tekintsük az y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an y = 0,

(3)

differenciálegyenletet, amelynek együtthatói valamely tartomány fölötti komplex egyváltozós meromorf függvények. Jelölje K a C(a1 , . . . , an ) testet, L pedig azt a testet, amely az összes olyan függvényből áll, amely racionális függvénye a1 , . . . , an -nek, valamint a (3)-as differenciálegyenlet n db. lineárisan független megoldásfüggvényének és mindezek deriváltjainak. Az L | K bővítés differenciálautomorfizmusán az L-nek egy olyan automorfizmusát értjük, amely helyben hagyja a K elemeit, és az L elemein fölcserélhető a differenciálással. L | K összes differenciálautomorfizmusának csoportját nevezzük az L | K, illetve a (3)-as egyenlet differenciál Galois-csoportának . Mivel a differenciálautomorfizmusok fölcserélhetők a differenciálással, és helyben hagyják a (3)-as egyenlet együtthatóit, az egyenlet bármely megoldását annak egy másik megoldásába viszik. Minthogy a (3)-as egyenlet megoldásai egy n-dimenziós vektorteret alkotnak, az egyenlet differenciál Galois-csoportja izomorf a GL(n, C) csoport valamely részcsoportjával. Be lehet látni, hogy ez a részcsoport egy algebrai mátrixcsoport (ld. a 15. fejezetet). Így a Galois-elmélet egy olyan változatához jutunk, amelyben a véges bővítéseket a most ismertetett típusú differenciálbővítések helyettesítik, véges csoportok helyett pedig algebrai csoportok szerepelnek. Ebben a változatban is megvan a Galois-elmélet főtételének tökéletes analogonja, ahol a gyökjelekkel való megoldhatóságot a kvadratúráR val való megoldhatóság helyettesíti. Például az y = a(x)dx függvény megoldása az y ′′ − (a′ /a)y ′ = 0 egyenletnek. Ebben az esetben a differenciálautomorfizmusok y 7→ y + c alakúak valamely c ∈ C számmal, és így a Galois-csoport R izomorf Ga -val (a K additív csoportjával, ld. a 15. fejezetet). Az y = exp( a(x)dx) függvény megoldása az y ′ − ay = 0 egyenletnek. A differenciálautomorfizmusok ebben az esetben az y 7→ cy függvények (c ∈ C∗ ), és így a differenciál Galoiscsoport izomorf Gm -mel (a K multiplikatív csoportjával, ld. a 15. fejezetet). A klasszikus Galois-elmélethez hasonlóan a következő tételt mondhatjuk ki. V. tétel. A (3)-as egyenlet megoldásait akkor és csak akkor lehet megadni racionális műveletek, integrál, integrál exponenciális függvénye és algebrai egyenletek megoldása segítségével, ha a differenciál Galois-csoportjának van egy olyan normállánca, amelynek faktorai Ga , Gm és véges csoportok. Nem nehéz kiszámolni például az y ′′ + xy = 0 egyenlet Galois-csoportját; ez éppen SL(2, C). Mivel ennek a csoportnak az egyetlen normálosztója {±E}, és a szerinte vett faktorcsoport a P SL(2, C) = SL(2, C)/ {±E} egyszerű csoport, az y ′′ + xy = 0 egyenletet nem lehet kvadratúrával megoldani.

188

18. fejezet Csoportok alkalmazásai

C. Az elágazás nélküli fedések osztályozása Legyen X egy összefüggő sokaság, x0 ∈ X egy kitüntetett pont, és G = π(X, x0 ) az X fundamentális csoportja. Egy Y sokaságot egy y0 ∈ Y kitüntetett ponttal és egy, az y0 pontot x0 -ba vivő p : Y → X leképezéssel együtt véges rétegű fedésnek nevezünk, ha minden x ∈ X pontnak van olyan U környezete, amelynek ősképe, p−1 (U ) fölbomlik n darab nyílt halmaz, U1 , . . . , Un diszjunkt uniójára úgy, hogy p : Ui → U homeomorfizmus minden i-re. Ez az n minden x pontra ugyanannyi, és megegyezik az x ősképeinek számával; ezt az n-et nevezzük a fedés fokának . Egy p : Y → X leképezés természetes módon megad egy p∗ : π(Y, y0 ) → π(X, x0 ) homomorfizmust úgy, hogy egy ϕ : I → Y hurkot a p-vel való kompozíciójába visz. Legyen G(Y ) a p∗ képe. Ekkor a Galois-elmélet főtételének a következő analogonját kapjuk. VI. tétel. A p : (Y, y0 ) 7→ G(Y ) leképezés egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést ad meg az összefüggő véges fokú elágazás nélküli fedések, ill. G véges indexű részcsoportjai között. Az (Y, y0 ) →(X, x0 ) fedés foka egyenlő a |G : G(Y )| indexszel. Fedéseknek egy (Z, z0 ) →(Y, y0 ) →(X, x0 ) láncához a megfelelő részcsoportoknak egy G(Z) ⊂ G(Y ) tartalmazási relációja tartozik. Ha G(Y ) normálosztója G-nek, akkor az F = G/G(Y ) faktorcsoport fixpontmentesen hat az Y halmazon, az X-beli pontok ősképeit egymás közt permutálja, és X = F \ Y . Annyira erős az analógia a Galois-elmélet főtételével, hogy az ember kísértést érez arra, hogy valami közvetlen kapcsolatot keressen. Néhány esetben ez lehetséges is. Tegyük föl, hogy X egy algebrai sokaság a komplex számtest fölött, és p : Y → X egy elágazás nélküli fedés. p : Ui → U lokális homeomorfizmust használva az Ui ⊂ Y és U ⊂ X nyílt halmazok között (ennek létezése az elágazás nélküli fedés definíciójából következik) az X komplex struktúráját átvihetjük Y -ra. Így Y -on egyértelműen megadunk egy komplex analitikus sokaságot. Be lehet látni, hogy ez a struktúra Y -t izomorffá teszi egy algebrai sokasággal. Így a 6. fejezet végén vizsgált esethez hasonló helyzet állt elő. Ha X és Y irreducibilisek, a p : Y → X leképezés egy p∗ : C(X) → C(Y ) leképezést indukál a megfelelő racionális függvénytestek között; ez a p∗ testhomomorfizmus, következésképpen beágyazás. Tehát C(X) ⊂ C(Y ), és be lehet látni, hogy ez egy véges bővítés, amelyre [C(Y ) : C(X)] = |G : G(Y )|. Ezek szerint a G csoport ismeretében leírhatjuk a C(X) bizonyos véges bővítéseit. Ezek azonban nem adják meg C(X) összes fedését, csak az „elágazás nélkülieket”. Az ugyan igaz, hogy egy tetszőleges L | C(X) véges bővítés is L = C(Y ) alakú, ahol Y egy algebrai sokaság, és ehhez van egy olyan p : Y → X leképezés, ami egy C(X) → C(Y ) beágyazást indukál. Általában azonban a p leképezés elágazó az X valamely S részsokaságán, azaz egy x ∈ S elemre a p−1 (x) ősképek száma kisebb, mint a C(Y ) | C(X) bővítés foka. Az ilyen bővítéseket is le lehet írni az előzőhöz hasonló módszerekkel, csak a π(X \ S) csoportot kell használnunk. Abban az esetben, amikor X egy kompakt komplex irreducibilis algebrai görbe, az X tér homeomorf egy irányított felülettel. Ha ennek a felületnek a

189

18. fejezet Csoportok alkalmazásai

neme g, akkor π(X)-et 2g generátorral (legyenek ezek x1 , . . . , x2g ) és egyetlen definiáló relációval lehet megadni: −1 −1 −1 −1 −1 x1 x2 x−1 1 x2 x3 x4 x3 x4 . . . x2g−1 x2g x2g−1 x2g = 1

(4)

(ld. 14. fejezet, 7. példa). Az így definiált csoportnak a véges indexű részcsoportjai tehát leírják az Y → X elágazás nélküli bővítéseket. Végezetül megemlítünk egy eredményt, amely megjelenésében hasonlít az előbbire. Legyen K a p-adikus számtestnek, Qp -nek (lásd a 7. fejezet 7. példáját) egy olyan véges bővítése, amely tartalmazza a p-edik egységgyököket. Tegyük föl, hogy K tartalmaz egy primitív pe -edik egységgyököt, de pe+1 -ediket nem, és hogy pe 6= 2. Legyen n = [K : Qp ].

VII. tétel. A K testnek azok az L | K véges Galois-bővítései, amelyekre az [L : K] index p-hatvány, kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetők azon n + 2 elemmel generált csoport p-hatvány indexű normálosztóinak, amelyet a σ1 , . . . , σn+2 generátorok és a e

−1 −1 σ1p σ1 σ2 σ1−1 σ2−1 . . . σn+1 σn+2 σn+1 σn+2 =1

(5)

definiáló reláció adnak meg (itt n nem feltétlenül páros). A (4)-es és (5)-ös formula közötti meghökkentő hasonlatosság ellenére nem tudunk magyarázatot adni a két eredmény közötti párhuzamra.

D. Invariánselmélet Legyen G = GL(n, C) egy n-dimenziós L vektortér lineáris transzformációinak csoportja, és T (L) az L fölötti bizonyos fajta tenzorok vektortere. Ez a felállás G-nek egy ϕ : G → Aut T (L) reprezentációját definiálja T (L)-en. Külön érdekességük van a T (L)-en értelmezett, a G hatására nézve invariáns F polinomfüggvényeknek: ezek kifejezik a T (L)-beli tenzorok lényeges, az L koordinátarendszerének választásától független tulajdonságait (ha a g ∈ GL(n, C) elemeket úgy tekintjük, mint L koordinátatranszformációit). Célszerű valamennyire gyöngíteni ezt a követelményt: egy tenzor valamely belső tulajdonságát gyakran olyan polinom eltűnésével lehet kifejezni, amely egy g csoportelem hatására egy konstanssal szorzódik: ϕ(g)F = c(g)F. (6) Könnyen látható, hogy c(g) a g determinánsának valamelyik hatványa, és homogén F esetén (6) ekvivalens azzal a feltétellel, hogy ϕ(g)F = F minden g ∈ SL(n, C)-re. Az ilyen polinomokra azt mondjuk, hogy SL(n, C)-nek invariánsai . Ha például T (L) = S 2 (L) a kvadratikus alakok tere, akkor egy kvadratikus alak diszkriminánsa egy ilyen invariáns. A következőkben azt a legegyszerűbb esetet nézzük, amikor T (L) = S m (L) az L fölötti m-edfokú alakok (vagy formák) tere. Az m-edfokú alakok együtthatóinak polinomjai által alkotott A = C[S m (L)] gyűrű tartalmazza az invariánsok

190

18. fejezet Csoportok alkalmazásai

B részgyűrűjét. A csoportreprezentációk elméletének fő eredményeit illusztrálva leírjuk az invariánselmélet egyik alaptételének bizonyítását. VIII. Első alaptétel. Az invariánsok gyűrűje végesen generált C fölött. A bizonyítás a következő egyszerű lemmán alapul. Lemma. Ha I ⊂ B az invariánsok gyűrűjének egy ideálja, akkor IA ∩ B = I.

A bizonyítás azt használja, hogy a polinomgyűrű fokszámozott (vö. a 6. fejezet V. tételével): A = A0 ⊕ A1 ⊕ A2 ⊕ · · · , továbbá B fokszámozott részgyűrűje A-nak. Mindegyik Ai tér megadja G = SL(n, C)-nek egy reprezentációját. Mine ⊂ A véges dimenziós invariáns altérben den a ∈ L A elem benne van egy A Ai -ben, ahol n = deg a). Mivel ennek a csoportnak a reprezentációi (például i6n

e az A e = A ⊕ B direkt összegre bomlik féligegyszerűek (17. fejezet, V. tétel), A e föl, ahol A az összes, A-ban szereplő, a triviálistól különböző irreducibilis reprezentáció összege, és B ⊂ B. Így A egy G-re invariáns véges dimenziós altér, = 0. Legyen a = a + b, ahol a ∈ A és b ∈ B. Tetszőleges x ∈ IAamelyre A ∩ BP ra legyen x = l il al , ahol il ∈ I, és al ∈ A. Bontsuk föl az al elemet al = al +bl alakban alkalmas al ∈ Al -sal és bl ∈ B-vel; itt P Al az al P elemhez azPA mintáil bl ∈ I, járaPrendelt P altér. Ekkor azt kapjuk, hogy x = il bl + il al . Itt és il al ∈ il Al , ahol il Al invariáns altér, amely Al -sal izomorf reprezentációt ad. A féligegyszerű modulusok alapvető tulajdonságaiból (ld. a 10. fejezet P modulusokat I. tételét) következik, hogy a il Al modulus csak olyan egyszerű P tartalmaz, amelyek valamelyik Al részével izomorfak, tehát il Al nem tartalP maz nemtriviális P részreprezentációt. Következésképpen ( il Al ) ∩ B = 0, és ha x ∈ B, akkor il al = 0, és x ∈ I. Ezzel a lemmát bebizonyítottuk. Az alaptétel ebből már rögtön következik. A lemma szerint a B ideáljait az A ideáljaiba vivő I 7→ IA leképezés különböző ideálokat különbözőekbe visz. De akkor abból, hogy A Noether-gyűrű, következik, hogy B is az, és egy fokszámozott Noether-gyűrű szükségképpen végesen generált B0 = C fölött (6. fejezet, V. tétel). Éppen ennek a tételnek a bizonyításához vezette be Hilbert a Noether-gyűrű fogalmát, és bebizonyította, hogy a polinomgyűrű Noether tulajdonságú (bár ez egy kicsit abszurdnak hangzik, hiszen Emmy Noether, akiről ezt a fogalmat később elnevezték, kisbaba volt még abban az időben, amikor Hilbert az invariánselméletről szóló munkáját publikálta).

E. Csoportreprezentációk és az elemi részecskék osztályozása Az utóbbi két évtizedben az elméleti fizikusok nagy lelkesedéssel próbálkoztak azzal, hogy a Lie-csoportok reprezentációelméletét felhasználva egy egységes nézőpontot dolgozzanak ki a nagy számú újonnan fölfedezett elemi részecske rejtélyes világához. A fizikában vizsgált háromféle kölcsönhatás, az elektromágneses, a gyönge és az erős kölcsönhatás közül most csak az erős kölcsönhatást tárgyaljuk, amely a nukleáris erőkkel van kapcsolatban. A részecskék, amelyek

191

18. fejezet Csoportok alkalmazásai

erős kölcsönhatásban vesznek részt, a hadronok ; ezeknek két fajtáját adják a mezonok (közepes részecskék), és a barionok (nehéz részecskék). Kezdjük a 17. fejezet végén a 9. példában szereplő észrevételeinkkel. A 39. ábra három színképvonala (a fizikában használatos terminológiában: triplettek ) úgy keletkezett, hogy megsérült az eredeti SO(3)-szimmetria, így a szimmetriacsoport egy H ∼ = SO(2) részcsoportra redukálódott. Az SO(3) 3-dimenziós reprezentációjának, ρ1 -nek a megszorítása H-ra már nem irreducibilis, három 1-dimenziós reprezentáció összegére bomlik, és ez a fölbontás adja a példában megfigyelt három színképvonalat. Ezen kép adta modell lesz az alapja a most következő gondolatoknak; ha adva van r darab hasonló tulajdonságú részecskének egy halmaza, megpróbálhatjuk ezt a halmazt úgy reprezentálni, mint egy elfajult esetet, ami a szimmetria csökkenésével jött létre. Matematikailag ez ahhoz a tényhez kapcsolódik, hogy a tekintett részecskék állapotai az L1 , . . . , Lr tereket alkotják, amelyeken egy és ugyanaz a H csoport hat a ρ1 , . . . , ρr reprezentációkkal. Szeretnénk egy nagyobb G ⊃ H csoportot találni, amelynek van olyan irreducibilis reprezentációja az L1 ⊕ · · · ⊕ Lr téren, hogy ennek a megszorítása a H részcsoportra ekvivalens legyen ρ1 ⊕ · · · ⊕ ρr -rel. Az első lépésben egy protonból és egy neutronból álló párt veszünk; jelölje ezeket p, ill. n. A proton és neutron spinje megegyezik, és tömegük nagyon hasonló (bár nem egyenlő): a proton tömege = 938,2 MeV = 1,6726 × 10−24 gramm

a neutron tömege = 938,8 MeV = 1,6749 × 10−24 gramm

Töltésük különbözik ugyan, de ez csak az elektromágneses kölcsönhatásokban nyilvánul meg, amit ebben az elméletben figyelmen kívül hagyunk. Heisenberg már az 1930-as években javasolta: tekintsük a protont és a neutront egyazon részecske, a nukleon különböző kvantumállapotainak. Ennek megfelelően a nukleont N -nel, a protont és a neutront N + -szal, illetve N 0 -val fogjuk jelölni. A kvantummechanika általános alapelvei szerint a nukleon állapottere egy 2-dimenziós komplex tér, egy hermitikus metrikával: N + és N0 megfelel L egy bázisának. Ennek a térnek a szimmetriái az U (2) csoportot alkotják. Mostantól fogva ennek a csoportnak egy részcsoportját, SU (2)-t tekintjük; ez nagyon hasonló tulajdonságokkal rendelkezik, és itt most eltekintünk annak a fizikai magyarázatától, hogy miért tehetjük meg ezt a megszorítást. Egy sok nukleonból álló állapottér L ⊗ L ⊗ · · · ⊗ L alakú lesz; és az SU (2) csoportnak van ezen egy reprezentációja. Az SU (2) természetes reprezentációját L-en (a 17. fejezet 9. példájában adott klasszifikáció szerint) ρ1/2 -del jelöltük. Az új rendszer állapotterében a reprezentáció T p (ρ1/2 ) lesz. A 17. fejezet 9. példájából tudjuk, hogy SU (2) irreducibilis reprezentációi ρj alakúak, ahol j > 0 egész szám vagy egy egész szám fele, és dim ρj = 2j + 1. Ezután a 17. fejezet (10)-es képletében szereplő szereplő Clebsch–Gordan-formula lehetővé teszi, hogy a ρj ⊗ ρj ′ reprezentációt irreducibilis reprezentációk összegére bontsuk. Így megtalálhatjuk a T p (ρ1/2 ) reprezentáció fölbontását is irreducibilis reprezentációkra. Ez sok fizikai információt ad. A lényeg az, hogy az 1. fejezet kvantummechanikai szótára szerint annak a valószínűsége, hogy egy ϕ vektor által megadott állapotból egy ψ vektor

192

18. fejezet Csoportok alkalmazásai

által megadott állapotba jussunk, éppen |(ϕ, ψ)| (föltéve, hogy |ϕ| = |ψ| = 1). De egy reprezentációnak az irreducibilisekre való fölbontása mindig vehető ortogonálisnak, ez pedig azt jelenti, hogy azok az állapotok, amelyekhez tartozó vektorok különböző irreducibilis reprezentációk szerint transzformálódnak, nem mehetnek át egymásba: ez a tiltott kölcsönhatások törvénye. Továbbá amellett, hogy megadtuk, mely ρj irreducibilis reprezentációkra bomlik a T p (ρ1/2 ) reprezentáció, azoknak az altereknek a bázisát is meg tudjuk adni, amelyeken ezek a reprezentációk megvalósulnak, azaz a T p (ρ1/2 (g)) mátrixot fölírhatjuk mint a ρj (g) mátrixok direkt összegét. Ez lehetővé teszi, hogy kiszámítsuk a rendszer egyik állapotáról a másikra való áttérés valószínűségét. Ezt a gondolatmenetet természetes módon alkalmazhatjuk más típusú elemi részecskék tanulmányozásához is. Kiderül, hogy ezek 2-es, 3-as vagy 4-es csoportokban fordulnak elő, és egy csoporton belül a tömegek nagyon hasonlóak (bár néha „magányos”, azaz szingulett részecskék is előfordulnak). A barionok között például az eddig említett nukleonokon kívül, van egy szingulett Λ-hiperon (tömege 1115 MeV), egy Ξ-dublett (azaz két részecske: Ξ+ és Ξ− , amelyeknek a tömege 1314 és 1321 MeV) és egy Σ-triplett (azaz három részecske: Σ+ , Σ0 és Σ− , amelyeknek a tömege 1189, 1192 és 1197 MeV). Ugyanez a helyzet a mezonokkal: az η-mezon, ϕ-mezon és ω-mezon szingulettek mellett vannak a Kés a K ∗ -dublettek és az antirészecskéik dublettjei, valamint a π- és ρ-triplettek. Magától értetődő, hogy itt is a korábbi ötleteket alkalmazzuk abból a felállásból kiindulva, hogy az egy csoporthoz tartozó részecskék ugyanannak a részecskének a különböző kvantumállapotai, a szingulettek kvantumállapota 1-dimenziós, a dubletteké 2-dimenziós, a tripletteké pedig 3-dimenziós, és ezek az SU (2) csoport ρ0 , ρ1/2 , illetve ρ1 reprezentációihoz tartoznak. Több részecske esetében ismét megjelennek a reprezentációk tenzorszorzatai, amelyek a Clebsch–Gordanformulának megfelelően bomlanak irreducibilis reprezentációkra. Ezek az SU (2) csoporthoz kapcsolódó meggondolások alkotják az izotóp spinek vagy izospinek elméletét: ahhoz az állapothoz, amely a ρj irreducibilis reprezentáció szerint transzformálódik, a j izotóp spint rendeljük. Ez az elmélet valóban bevált: segítségével a π-mezon triplettek létezését még fölfedezésük előtt megjósolták. Mind közül a legmerészebb lépés a következő. Hogy konzisztensek legyünk, az elméletet az összes barionra is alkalmaznunk kell. Ezek egy oktettet alkotnak, azaz nyolc van belőlük: a Λ szingulett, az N és Ξ dublettek és a Σ triplett. Úgy véljük, hogy a természetük különbözősége valamilyen magasabb szimmetria megsértéséből származik. A fizikusok ezt másképp fogalmazzák meg: ők azt feltételezik, hogy létezik egy idealizált „szupererős kölcsönhatás”, amelynek tekintetében mindezen részecskék megegyeznek. Matematikusok számára ez a probléma azt jelenti, hogy egy olyan G csoportot kell keresni, amely részcsoportként tartalmaz egy H ∼ = SU (2) csoportot, valamint szükség van G-nek egy olyan 8-dimenziós ρ reprezentációjára, amelynek a H-ra vett megszorítása fölhasad egy (Λ-hoz tartozó) ρ0 , egy (N -hez tartozó) ρ1/2 , egy további (ezúttal Ξ-hez tartozó) ρ1/2 és egy (Σ-hoz tartozó) ρ1 reprezentációra. Ilyen csoport és reprezentáció valóban létezik, nevezetesen legyen G = SU (3) a 0 nyomú 3 × 3-as mátrixok M30 (C)-vel jelölt terén vett adjungált reprezentációjával, ahol a g ∈ SU (3) mátrix az x 7→ g −1 xg transzformációval hat az x ∈

193

18. fejezet Csoportok alkalmazásai

M30 (C) mátrixon. Mivel dimC M3 (C) = 9, azt kapjuk, hogy dimC M30 (C) = 8. Írjuk föl ezt a reprezentációt mátrix alakban; legyen az x ∈ M3 (C) mátrix à ! A B x= , C α ahol A egy 2 × 2-es mátrix, B egy 2 × 1-es mátrix, C egy 1 × 2-es mátrix, α pedig egy szám. à A Tr ! x = 0 feltétel azt jelenti, hogy α = − Tr A. Tekintsük U 0 SU (3)-ban az mátrixok által alkotott H csoportot. Ekkor nyilvánvaló, 0 1 hogy U ∈ SU (2), tehát H ∼ = SU (2). Mivel à !−1 à !à ! à ! U 0 A B U 0 U −1 AU U −1 B = , 0 1 C α 0 1 CU α a mátrix A, B, C és α blokkokra való bontása az adjungált reprezentációnak két 2-dimenziós és egy 4-dimenziós reprezentációra való fölbontását adja. A 2-dimenziós reprezentációk nyilvánvalóan megegyeznek ρ1/2 -lel. A 4-dimenziós reprezentáció reducibilis, mivel M2 (C) fölbomlik a skalár mátrixok és a 0 nyomú mátrixokösszegére.Ennek eredményeképpen a 4-dimenziós reprezentáció fölà ! −α 0 A0 bomlik a  −α  skalár mátrixokból álló 1-dimenziós és az (Tr A = 0) 0 0 0 2α mátrixokból álló 3-dimenziós reprezentáció összegére. Ez az a fölbontás, amit kerestünk. Az SU (3) reprezentációi által leírt idealizált képtől a valódi barionokhoz való visszatérés a perturbációelmélet feladata. Természetes, de mégiscsak heurisztikus megfontolások alapján fölírva a perturbált Hamilton-egyenletet, olyan helyzetbe jutunk, amikor a válasz két tetszőlegesen választható konstanstól függ. Ezeknek a konstansoknak alkalmas választásával jó közelítést kaphatunk a barionok négy csoportjának (Λ, N , Ξ és Σ) már ismert tömegére. Ráadásul ugyanez a megközelítés alkalmazhatónak bizonyult a mezonok esetében is, ahol két kitüntetett oktett fordul elő: a pszeudoskalár mezonok (η, K, ezeknek az antirészecskéi és π), és a vektormezonok (ϕ, K ∗ , ezeknek az antirészecskéi és ρ), amelyek ugyanahhoz a reprezentációelméleti problémához vezetnek. Új helyzet lép föl a barionok másik csoportjánál, amelyeket szintén az izotóp spin alapján osztályozunk. Ezek a Ξ∗ -hiperonok dublettjei, a Σ∗ -hiperonok triplettjei, és a ∆-hiperonok kvadruplettjei. Az előbbi gondolatmenet szerint most az SU (3)-nak kell egy olyan 9-dimenziós reprezentációját találnunk, amelynek az SU (2)-re való megszorítása ρ1/2 ⊕ ρ1 ⊕ ρ3/2 alakban bomlik föl. Ilyen reprezentáció nincs. Viszont van az SU (3)-nak egy „ehhez közeli” reprezentációja, nevezetesen S 3 ρ, ami az SU (3) csoport 3-dimenziós téren vett természetes reprezentációjának a harmadik szimmetrikus hatványa. Ha ρ az x, y, z változójú lineáris formák terén hat, akkor S 3 ρ az x, y, z változójú harmadfokú homogén polinomok 10-dimenziós terén hat; jelölje ezt a teret L. Tekinsük azt az SU (2)vel izomorf H ⊂ SU (3) részcsoportot, amely helyben hagyja z-t, és x-en és y-n

194

19. fejezet Lie algebrák és nemasszociatív algebrák

úgy hat, mint az SU (2) természetes 2-dimenziós reprezentációja, ρ1/2 . Ekkor az L = L3 ⊕ L2 z ⊕ L1 z 2 ⊕ Cz 3 fölbontást kapjuk, ahol Li az x, y változójú i-edfokú homogén polinomok tere (tehát dim Li = i + 1). Az S 3 ρ reprezentáció H-ra való megszorítása ennek megfelelően a ρ3/2 ⊕ ρ1 ⊕ ρ1/2 ⊕ ρ0 alakban bomlik föl. Ez a ρ0 összeadandóban különbözik a kívánt fölbontástól. Természetesnek tűnik az a következtetés, hogy ez az összeadandó egy további részecskének felel meg, melyet hozzá kellene vennünk a barionok családjához. Csoportelméleti megfontolások alapján megjósolhatjuk a részecske néhány tulajdonságát, például a tömegét. Valóban sikerült fölfedezni egy ilyen részecskét: a neve Ω− -hiperon. Végezetül, megpróbálhatjuk értelmezni az eddig elmondottakat az SU (3) csoport reprezentációinak általános tulajdonságaiból kiindulva. A 17. fejezet IV. tételének (4)-es képletéből tudjuk, hogy az SU (3) csoport összes reprezentációját két reprezentáció tetszőleges tenzorszorzatainak az irreducibilisekre való fölbontásából kaphatjuk meg: az egyik a ρ természetes reprezentáció, a másik pedig a ρb kontragrediens reprezentáció (ellentétben az SU (2) esetével, SU (3)-ra ρb nem ekvivalens ρ-val). Fölmerül tehát a következő kérdés: vajon ezek az elemi reprezentációk nem felelnek-e meg valamilyen „még elemibb” részecskéknek? Ezeket a feltételezett részecskéket nevezik kvarkoknak és antikvarkoknak ; létezésüket egy sor kísérlet támasztja alá. Az SU (3)-ra alapozott elmélet ennek ellenére számos igen fontos kérdésre nem tud választ adni. Emiatt más csoportokra, például SU (6)-ra alapozott szimmetriákat is szoktak vizsgálni. Az utóbbi húsz évben igen széles körben foglalkoztak hasonló gondolatokkal; ezek a kutatások az erős kölcsönhatások területén kívül eső alkalmazásokat is eredményeztek. De a szerző szerény ismeretei ezekről a dolgokról itt véget érnek.

19. Lie algebrák és nemasszociatív algebrák A. Lie-algebrák A szorzás asszociativitásának kivételével a gyűrűk összes tulajdonságával rendelkező természetes és fontos algebrai rendszerek már nagyon régen felbukkantak, noha ezeknek az objektumoknak az algebrai mivolta nem vált azonnal világossá. Az 5. fejezetben egy sokaságon értelmezett vektormezőket úgy írtunk le, mint P ∂F elsőrendű lineáris differenciáloperátorokat, vagy a sokaságon D(F ) = pi ∂xi értelmezett függvények gyűrűjének deriválásait, azaz olyan D : A → A leképe-

195

19. fejezet Lie algebrák és nemasszociatív algebrák

zéseket, amikre teljesül

és

D(a + b) = D(a) + D(b) D(ab) = aD(b) + bD(a) D(α) = 0

(1)

konstans α-ra.

Két differenciáloperátor D1 D2 kompozíciója persze ismét egy differenciáloperátor, de ha D1 és D2 elsőrendű operátorok, akkor D1 D2 másodrendű operátor, mivel második deriváltak fordulnak elő benne (ez különösen ¸ szembeszökő · ∂ ∂ ∼ ,..., konstans együtthatós operátorok esetén: az R = R[t1 , . . . , tn ] ∂x1 ∂xn izomorfizmusból látjuk, hogy tulajdonképpen arról van szó, hogy két elsőfokú polinom szorzata másodfokú). Van azonban D1 -nek és D2 -nek egy nagyon fontos kifejezése, ami ismét elsőrendű operátor, az úgynevezett kommutátor : [D1 , D2 ] = D1 D2 − D2 D1 .

(2)

Azt, hogy a kommutátor ismét egy elsőrendű operátor, legegyszerűbben úgy láthatjuk be, hogy D1 -et és D2 -t a függvények gyűrűje deriválásának tekintjük, és behelyettesítéssel ellenőrizzük, hogy ha D1 és D2 kielégíti (1)-et, akkor [D1 , D2 ] P P ∂ ∂ és D2 = Qi , akkor is. Koordinátákkal kifejezve: ha D1 = Pi ∂xi ∂xi µ ¶ P P ∂Qi ∂Pi ∂ , ahol Ri = Pk − Qk . (3) [D1 , D2 ] = Ri ∂xi ∂xk ∂xk k

Ebből közvetlenül látszik, hogy [D1 , D2 ] elsőrendű operátor, de a (2) definíciónak megvan az az előnye, hogy belső, azaz nem függ az x1 , . . . , xn koordinátarendszer választásától, míg ugyanez nem látszik azonnal a (3) kifejezésből. A differenciáloperátorokként való értelmezés segítségével a kommutátor művelet átvihető vektormezőkre. Itt Poisson-zárójelnek hívják, és szintén [ϑ1 , ϑ2 ]-vel jelölik. A vektormezők vektortere, a [ , ] zárójelművelettel együtt nagyon hasonlít egy gyűrűre. Valóban, ha [ , ]-t szorzásnak tekintjük, akkor az összes gyűrűaxióma (sőt algebraaxióma) teljesül, kivéve a szorzás asszociativitását, ami helyett a zárójelművelet a saját jellegzetes azonosságait elégíti ki: [D, D] = 0 és

£ ¤ £ ¤ £ ¤ [D1 , D2 ], D3 + [D2 , D3 ], D1 + [D3 , D1 ], D2 = 0.

Ezek könnyen levezethetők az (1) definícióból. Közülük a másodiknak a neve Jacobi-azonosság. Ez az asszociativitás egy pótléka, és mint látni fogjuk, szoros kapcsolatban áll az asszociativitással. Egy L halmazt, amin két művelet van értelmezve: egy a + b összeadás és egy [ab] kommutálás (vagy zárójel ) Lie-gyűrűnek nevezünk, ha kielégíti az összes gyűrűaxiómát, kivéve a szorzás asszociativitását, aminek a helyébe az [a, a] = 0

196

és

19. fejezet Lie algebrák és nemasszociatív algebrák

£

¤ £ ¤ £ ¤ [a, b], c + [b, c], a + [c, a], b = 0

(4)

azonosságok lépnek (minden a, b, c ∈ L-re). Ha L még egy vektortér is valamilyen K test felett és [γa, b] = [a, γb] = γ[a, b] teljesül minden a, b ∈ L és γ ∈ K esetén, akkor L-et egy K feletti Lie-algebrának nevezzük; az [a, b] elem neve a és b kommutátora. Az [a, a] = 0 azonosságból következik, hogy [b, c] = −[c, b] minden b, c-re (a = b + c választással). 1. példa. Egy sokaságon értelmezett vektormezők a Poisson-zárójel művelettel Lie-algebrát alkotnak (R vagy C felett, attól függően, hogy a sokaság valós vagy komplex analitikus). 2. példa. Egy A gyűrű összes deriválásai a (2) kommutátorművelettel Liegyűrűt alkotnak. Ha A egyúttal algebra is egy K ⊂ A test felett, akkor azok a deriválások, amikre teljesül D(α) = 0 ∀ α ∈ K-ra Lie-algebrát alkotnak K felett. Ennek bizonyítása ugyanúgy történik, mint a differenciáloperátorok esetén. 3. példa. Legyen A egy asszociatív, de nem feltétlenül kommutatív gyűrű. Minden a, b ∈ A-ra legyen [a, b] = ab − ba. Ezzel a zárójellel A Lie-gyűrű lesz. Ha A algebra egy K test felett, akkor egy Lie-algebrát kapunk ugyanazon test felett. Ennek bizonyítása ismét ugyanúgy történik, mint a differenciáloperátorok esetén. Ha A = Mn (K) az n × n-es mátrixalgebra, akkor az így kapott Lie-algebra neve általános lineáris Lie-algebra, és jelölése gl(n, K) vagy gl(n). Vegyük észre, hogy az elsőrendű lineáris differenciáloperátorok esete nem teljesen illik bele a 3. példába, de vehetjük az összes lineáris operátorok A gyűrűjét, és ebben tekinthetjük az elsőrendű operátorok L ∈ A alterét, ami ugyan nem részgyűrű (mert nem zárt az ab szorzásra nézve), de zárt az [a, b] = ab − ba műveletre nézve. Így nyilván egy Lie-algebrát kapunk. Ugyanez a módszer az A = Mn (K) algebrára alkalmazva számos fontos új példát ad (a kommutátorra való zártság mindig könnyen ellenőrizhető). 4. példa. Tekintsük azt az L ⊂ Mn (K) alteret, ami a 0 nyomú mátrixokból áll; L neve speciális lineáris Lie-algebra, és jelölése sl(n, K) vagy sl(n). 5. példa. Álljon L ⊂ Mn (K) a ferdén szimmetrikus a mátrixokból, vagyis azokból az a mátrixokból, amikre a∗ = −a

(5)

teljesül, ahol ∗ a transzponálást jelöli. L neve ortogonális Lie-algebra, és jelölése o(n, K) vagy o(n). 6. példa. Tegyük fel, hogy K = C és hogy L ⊂ Mn (C)-t ismét az (5) feltétel adja meg, de most ∗ az adjungálást (Hermite-féle transzponálást) jelenti. L ekkor egy Lie-algebra R felett, amelynek neve unitér Lie-algebra és jelölése u(n). Ha L elemeire még azt is megköveteljük, hogy nyomuk 0 legyen, a speciális unitér Lie-algebrát kapjuk, melynek jelölése su(n).

197

19. fejezet Lie algebrák és nemasszociatív algebrák

7. példa. Tegyük fel, hogy K = H a kvaternióalgebra, és hogy L ⊂ Mn (H) ismét az (5) feltétellel van megadva, de most ∗ a kvaternió-adjungálást jelenti (kvaterniós Hermite-féle transzponálást). Ekkor az L R feletti Lie-algebra neve unitér szimplektikus Lie-algebra, jelölése pedig spu(n). 8. példa. Legyen J valamilyen 2n × 2n-es nemelfajuló ferdén szimmetrikus mátrix egy K test felett és L ⊂ M2n (K) az összes olyan a ∈ M2n (K) mátrix halmaza, amire aJ + Ja∗ = 0. (6) L neve szimplektikus Lie-algebra, jelölése pedig sp(2n, K) vagy sp(2n). A 4–8. példákban bevezetett elnevezések eredete hamarosan világossá válik. Azt mondjuk, hogy egy L Lie-algebra véges-dimenziós, ha véges dimenziós mint K feletti vektortér; ezt a dimenziót ekkor L dimenziójának nevezzük, és így jelöljük: dim L vagy dimK L. Például a 3-dimenziós tér egy tartományán értelmezett vektormezők Lie∂ ∂ ∂ +B +C algebrája végtelen dimenziós R felett, mivel egy vektormező A ∂x ∂y ∂y alakban írható, ahol A, B, C tetszőleges differenciálható függvények. A gl(n) algebra és a 4–8. példák algebrái mind véges dimenziósak: dim gl(n) = n2 ,

dim sl(n) = n2 − 1,

dimR u(n) = n2 , dimR spu(n) = 2n2 + n,

dim o(n) =

n(n − 1) , 2

dimR su(n) = n2 − 1,

dimK sp(2n, K) = 2n2 + n.

Lie-gyűrűk és -algebrák izomorfizmusát pontosan úgy definiáljuk, mint asszociatív gyűrűkét. Például jól ismert, hogy az összes nemelfajuló ferdén szimmetrikus 2n × 2n-es mátrixok (egy K test felett) konjugáltak. Ebből könnyen levezethető, hogy a (6) feltétellel definiált algebrák különböző J mátrixokra mind izomorfak (ez az oka annak, hogy J nem szerepel a sp(2n, K) jelölésben). Mutatunk egy kevésbé triviális példát izomorfizmusra. 9. példa. A 3-dimenziós euklideszi tér vektorai a [ , ] vektoriális szorzatra nézve egy R feletti L Lie-algebrát alkotnak (a (4) Jacobi-azonosság ebben az esetben jól ismert). Rendeljük hozzá minden a vektorhoz a ϕa (x) = [a, x] lineáris transzformációt. A vegyesszorzatra vonatkozó felcserélési tételből következik, hogy ϕa ferdén szimmetrikus, vagyis ϕ∗a = −ϕa . Másrészt R3 bármely ferdén szimmetrikus ϕ lineáris transzformációjához létezik olyan c ∈ R3 vektor, amire ϕ(c) = 0 és |c| = 1. ϕ ekkor a c-re merőleges síknak egy ferdén szimmetrikus lineáris transzformációját indukálja, tehát (ha ϕ 6= 0) egy 90◦ -os forgatást és egy k számmal való szorzást. Könnyen ellenőrizhető, hogy ekkor ϕ = ϕa , ahol a = kc. Tehát a 7→ ϕa kölcsönösen egyértelmű lineáris leképezése L-nek o(3)-ra. A Jacobi-azonosságból következik, hogy ez a leképezés egy Lie-algebra izomorfizmus. Tehát L izomorf o(3)-mal.

198

19. fejezet Lie algebrák és nemasszociatív algebrák

Az asszociatív algebrákkal analóg módon definiálhatjuk Lie-algebrákra a részalgebra, homomorfizmus és ideál fogalmát (a [b, a] = −[a, b] összefüggés miatt nincs különbség baloldali, jobboldali és kétoldali ideálok között), továbbá az egyszerű algebra és ideál szerinti faktoralgebra fogalmát. A homomorfizmustétel megfelelője teljesül. Azt mondjuk, hogy egy Lie-algebra (vagy gyűrű) Abel-féle (vagy kommutatív), ha [a, b] = 0 minden a, b ∈ L-re. Az asszociatív esethez hasonlóan egy e1 , . . . , en bázissal rendelkező véges dimenziós algebra megadható a cij struktúrakonstansokkal , amelyekre [ei , ej ] =

P

cijk ek .

B. Lie-elmélet Tárgyunk most Lie-csoportok vizsgálata az egységelem egy környezetében infinitezimális nézőpontból, más szóval differenciálszámítás csoportszinten. A differenciálás megfelelője az, hogy egy Lie-csoporthoz egy bizonyos Lie-algebrát rendelünk; azt is vizsgáljuk, hogy milyen mértékben lehet Lie-csoportot rekonstruálni a hozzá tartozó Lie-algebrából, ami pedig az integrálszámítás egy analogonja. Ennek az elméletnek a tárgyalását (a történetiségnek megfelelően) egy olyan G Lie-csoport vizsgálatával kezdjük, ami egy X sokaságon hat. Egy ilyen hatást egy ϕ:G×X →X (7) leképezés ír le (ld. 12. fejezet). Az e ∈ G egységelem egy környezetében u1 , . . . , un koordinátákat bevezetve, az x0 ∈ X elem egy környezetében pedig x1 , . . . , xm koordinátákat, a leképezést a ϕ1 (u1 , . . . , un ; x1 , . . . , xm ), . . . , ϕm (u1 , . . . , un ; x1 , . . . , xm ) függvényekkel adhatjuk meg. A pontosság kedvéért a továbbiakban feltesszük, hogy ezek valós analitikusak, és hasonlóan feltesszük, hogy a szorzásszabály a Lie-csoportban valós analitikus. Más verziók (n-szeresen differenciálható vagy komplex analitikus függvények) pontosan ugyanúgy tárgyalhatók. Ha G a valós számok R csoportja az összeadással, akkor a (7) hatás X transzformációinak egy egyparaméteres csoportját definiálja. A mechanikában ϕ(t, x) t ∈ R és x ∈ X-re úgy értelmezhető, mint az X konfigurációs tér egy pontjának mozgása, amint a t idő változik, és már régóta figyelembe vettek „végtelenül kicsi” mozgásokat is. Ez alatt a ϕ(t, x) transzformáció ϑ sebességmezőjét értjük a t = 0 helyen; koordinátákkal kifejezve ez ¯ ∂ϕi (t, x1 , . . . , xn ) ¯¯ i = 1, . . . , m-re. ϑi ¯ ∂t (t=0)

199

19. fejezet Lie algebrák és nemasszociatív algebrák

A megfelelő differenciáloperátort a ¯ ¢ ´¯ ∂³ ¡ F ϕ(t, x) ¯¯ D(F )(x) = ∂t (t=0)

feltétel definiálja. Tetszőleges G csoport esetén Hermann Weyl azt javasolja, hogy az X sokaságot úgy képzeljük el, mintha olyan anyaggal lenne kitöltve, amik a G csoport (7) hatásának megfelelő mozgásokat tesznek lehetővé. Itt is tekinthetjük a megfelelő mozgások sebességmezőit. Minden ilyen mező a Gnek az e egységelemnél vett valamilyen Te,G érintőtere egy ξ vektora által van meghatározva. A (7) hatás érintőtereknek egy (dϕ)(e,x) : Te,G ⊕ Tx,X → Tx,X leképezését határozza meg, ahol Tx,X X érintőtere x-ben. Minden ξ ∈ Te,G vektor esetén a (dϕ)(e,x) (ξ ⊕ 0) ∈ Tx,X vektor definiálja a kívánt ϑξ vektormezőt X∂ϕi (i = 1, . . . , m) formuen. Könnyű látni, hogy koordinátákkal kifejezve ezt a ∂ξ lák adják meg és analitikus. A megfelelő differenciáloperátor X-en Dξ (F )(x) = ∂F (ϕ(g, x)) alakú (differenciálás a g argumentum szerint). Ebből látható, hogy ∂ξ belsőleg definiált (független a koordinátarendszer választásától). A ξ 7→ ϑξ leképezés nyilván lineáris ξ-ben, és ezért vektormezők egy véges dimenziós L terét határozza meg X-en. Az alapvető dolog az, hogy a vektormezők ily módon konstruált véges dimenziós L családja zárt a Poisson-zárójelre nézve, és ezért egy bizonyos Lie-algebrát definiál. Megmagyarázzuk ennek az okát abban az egyetlen esetben, ami a továbbiakban előfordul: mikor ϕ a balreguláris hatás, azaz, mikor X = G és ϕ(g1 , g2 ) = g1 g2 (ahol g1 ∈ G és g2 ∈ X = G). A balreguláris hatás felcserélhető a jobbreguláris hatással: g1 ∈ G baloldali hatása g 7→ g1 g alakú, g2 ∈ G jobboldali hatása pedig g 7→ gg2−1 alakú, az a tény tehát, hogy ezek felcserélhetők, nem más, mint a csoportszorzat asszociativitása: (g1 g)g2−1 = g1 (gg2−1 ). Ebből egy formális számolással könnyen látjuk, hogy a ϑξ (x) = (dϕ)(e,x) (ξ ⊕ 0) vektormező a jobbreguláris hatásra nézve is invariáns. Más szóval a ϑξ (gg1−1 ) érintővektort a ϑξ (g) érintővektorból a jobbreguláris g 7→ gg1−1 hatás d(g1−1 ) differenciálja segítségével kaphatjuk meg. Az ilyen tulajdonságú ϑ vektormezőket jobbinvariánsnak nevezzük (ld. a 15. fejezetben a Lie-csoport definícióját követő megjegyzést); egy ilyen mezőt egyértelműen meghatároz a ϑ(e) vektor, és minden η ∈ Te,G érintővektorhoz tartozik egy ϑ vektormező, amire ϑ(e) = η: a ϑ(g) vektor ezután η-ból az e-t g-be vivő jobboldali eltolás segítségével kapható meg. Tehát a G-n jobbinvariáns vektormezők vektortere izomorf a Te,G térrel. A fentebb konstruált vektormezők ¯ n o ¯ L = ϑξ ( · ) = (dϑ)(e, · ) (ξ ⊕ 0) ¯ ξ ∈ Te,G tere, mint mondottuk, csupa jobbinvariáns mezőből áll, és így izomorf Te,G nek egy alterével. De a ξ 7→ ϑξ leképezés magja 0, mint az könnyen látható, így dim L = dim Te,g , ezért L az összes jobbinvariáns vektormezőt tartalmazza.

200

19. fejezet Lie algebrák és nemasszociatív algebrák

Végül az a tény, hogy a jobbinvariáns vektormezők halmaza zárt a kommutálásra nézve, az alábbi nyilvánvaló összefüggésből következik: ha az X sokaság f transzformációja az x pontot y-ba viszi és ϑ′ , ϑ′′ vektormezők X-en, akkor £ ¤ (df )x [ϑ′x , ϑ′′x ] = (df )x ϑ′x , (df )x ϑ′′x . Tehát az általunk konstruált vektormezők L családja egy Lie-algebra, amit G Lie-algebrájának nevezünk, és L(G)-vel jelölünk. A következő eredményt kaptuk: Tétel. Egy G csoport L(G) Lie-algebrája az összes ϑξ ( · ) = (dϕ)(e, · ) (ξ ⊕ 0),

ahol ξ ∈ Te,G

vektormezőből áll, ahol ϕ : G × G → G a G csoport szorzásszabálya. Egyúttal ∂ F (ϕ(g, γ)) alakú differenciáloperátorok halmazával, megegyezik a Dξ (F )(g) = ∂ξ ahol ξ ∈ Te,G , és a differenciálás a második argumentum, γ szerint történik. Végül L(G) megegyezik a G-n jobbinvariáns vektormezők algebrájával vagy akár a jobbinvariáns elsőrendű differenciáloperátorok algebrájával. L(G) struktúrakonstansai teljesen explicit módon kifejezhetők G ϕ(x, y) csoportszabálya együtthatóival e egy környezetében. Mivel ξ ∈ Te,G egyértelműen meghatározott az x1 , . . . , xn koordinátákra vett Dξ (xi )(e) értékek által, ezeket az értékeket elég a [Dξ , Dη ] kommutátorokra meghatároznunk. Abból, hogy ϕ(x, e) = x és ϕ(e, y) = y, következik, hogy ϕ(x, y) hatványsorában az első- és másodfokú tagok ϕ(x, y) = x + y + B(x, y) + · · ·

(8)

alakúak, ahol B(x, y) lineáris x-ben is és y-ban is. Egyszerű behelyettesítéssel látható, hogy Dξ Dη (xi )(e) = B(ξ, η)i , ahol B(ξ, η)i az i-ik koordináta. Tehát [ξ, η] = B(ξ, η) − B(η, ξ).

(9)

(8) és (9) mutatják, hogy a ϕ(x, y) szorzásszabály elsőfokú tagjai ugyanazok valamennyi azonos dimenziójú Lie-csoportra (ugyanazok, mint Rn -re). De a másodfokú tagok meghatározzák az L(G) Lie-algebrát. Az L(G) Lie-algebra definíciójának invariáns jellege számos tulajdonságát majdhogynem nyilvánvalóvá teszik. Ha f : G → H Lie-csoportok egy homomorfizmusa, akkor df egy L(G) → L(H) homomorfizmust definiál, amelynek magja azonos f magjának Lie-algebrájával. Ha H egy G Lie-csoportnak egy zárt részcsoportja, akkor L(H) egy részalgebrája L(G)-nek, és ha H még normális részcsoport is, akkor L(H) ideálja L(G)-nek, és fennáll L(G/H) = L(G)/L(H). Ha ϕ : G×X © → X a G Lie-csoport egy hatása az Xª sokaságon, akkor a fentebb defi¯ ¯ niált L = ϑξ ( · ) = (dϕ)(e, · ) (ξ ⊕ 0) ξ ∈ Te,G családja X vektormezőinek egy Lie-algebra, mégpedig G Lie-algebrájának homomorf képe: L = L(G)/L(N ), ahol N a hatás magja. A (9) képlet mutatja, hogy Abel-csoport Lie-algebrája kommutatív.

201

19. fejezet Lie algebrák és nemasszociatív algebrák

10. példa. Legyen G = GL(n). Az egységmátrix egy környezetében írhatjuk, hogy A = EX és ha B = E + Y , akkor AB = E + X + Y + XY . Tehát (8)-ban B(X, Y ) = XY , és (9) mutatja, hogy az X és Y elemek kommutátora az L(GL(n)) Lie-algebrában XY − Y X, vagyis L(GL(n)) = gl(n). Ha X az E + (xij µ) mátrix, ¶ ahol xij a koordináta-függvények, akkor a ξ ∈ Te,G vektor a ∂xij ∂X = -ba megy át. ∂ξ ∂ξ 11. példa. Legyen most G = SL(n). Akkor G ⊂ GL(n) az a részcsoport, ami det(E+X) = 1-gyel van definiálva. GL(n) egy ξ érintővektora akkor érintője ∂ (det(E + X)) = 0. De, mint az jól ismert SL(n)-nek, ha ∂ξ ¶ µ ∂ ∂X (det(E + X)) = Tr . ∂ξ ∂ξ Tehát, ha ξ érintője SL(n)-nek, akkor Tr

µ

∂X ∂ξ

¶

= 0, ezért L(SL(n)) = sl(n).

12. példa. Hasonlóan, ha G = O(n), és E + X ∈ G, akkor (E + X)(E + X ∗ ) = E. Tehát ¾ ¾¸ ¯¯ ½ ·½ ∂ ∂ ¯ (E + X) (E + X ∗ ) + (E + X) (E + X ∗ ) ¯ = 0, ¯ ∂ξ ∂ξ (X=0)

vagyis

µ

∂X ∂ξ

¶

+

µ

∂X ∂ξ

¶∗

= 0. Tehát L(O(n)) = o(n).

13. példa. Mint azt a 15. fejezet elején jeleztük, SO(3) az egy pontjában rögzített merev test konfigurációs tere: egy ilyen test mozgása egy g(t) ∈ dg érintővektor SO(3) g(t)-nél vett Tg(t) érinSO(3) görbét ad meg. Egy dt tőteréhez tartozik. Leképezhetjük őt a g −1 -gyel való jobbeltolás segítségével dg −1 g ∈ Te vektorba, tehát az o(3) Lie-algebra egy elemébe. Aba γ(t) = dt ból a tényből, g(t) ortogonális, vagyis g(t)g(t)∗ = e, következik, hogy µ ¶hogy ∗ dg dg ∗ g +g = 0, azaz γ(t)∗ = −γ(t), mint a 12. példában. Ha a test dt dt dx = egy pontja az x(t) = g(t)(x0 ) törvény szerint mozog, akkor nyilván dt ¡ ¢ dg(t) (x0 ) = γ(t)g(t)(x0 ) = γ(t) x(t) . A 9. példa szerint a γ(t) transzformácidt óhoz található olyan ω(t) vektor, hogy γ az ω(t)-vel való vektoriális szorzásra dx(t) = [ω(t), x(t)]. Ez az egyenlet mutatja, hogy minredukálódik. Így tehát dt den t időpontban a test pontjainak a sebessége ugyanaz, mintha állandó ω(t) dg szögsebességgel forognának; az ω(t) vektor neve pillanatnyi szögsebesség. A dt

202

19. fejezet Lie algebrák és nemasszociatív algebrák

dg ∈ Te -be. Könnyen látdt ható, hogy γ e = g −1 γg, és a megfelelő ω e = g −1 ω vektor a pillanatnyi szögsebesség egy olyan koordinátarendszerben, ami a testhez van rögzítve. Pontosan ugyanolyan gondolatmenetekkel, mint a 11. és 12. példában, meg tudjuk határozni az általunk ismert többi Lie-csoporthoz tartozó Lie-algebrát: vektort átvihetjük egy baloldali eltolással γ e(t) = g −1

L(U (n)) = u(n),

L(Sp(n)) = sp(n)

és

L(SU (n)) = su(n),

L(SpU (n)) = spu(n).

Emlékeztetünk ismét arra, hogy az előző gondolatmenetek komplex Liecsoportokra ugyanúgy alkalmazhatók: a megfelelő L(G) Lie-algebrák Lie-algebrák lesznek C felett, mint az könnyen látható. Speciálisan L(GL(n, C)) = gl(n, C),

L(O(n, C)) = o(n, C)

és

L(SL(n, C)) = sl(n, C)

L(Sp(2n, C)) = sp(2n, C).

Rátérünk a Lie-elmélet másik részére, arra a kérdésre, hogy milyen mértékben rekonstruálható egy G Lie-csoport az ő L(G) Lie-algebrájából. Itt a problémát kétféleképpen lehet megfogalmazni. Először megtehetjük, hogy a csoport ϕ szorzásszabályát csak a csoport egységelemének egy környezetében vizsgáljuk. Ha bevezetünk x1 , . . . , xn koordinátákat ebben a környezetben, akkor a szorzásszabályt n hatványsor adja meg: ¡ ¢ ϕ(x, y) = ϕ1 (x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , yn ), . . . ϕn (x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , yn ), .

¡ ¢ ¡ ¢ Ezeknek teljesíteniük kell a ϕ x, ϕ(y, z) = ϕ ϕ(x, y), z asszociativitási relációt és az egységelem létezését: ϕ(x, 0) = ϕ(0, létezése, vagyis egy ¡ x) =¢ x. (Inverz ¡ ¢ olyan ψ(x) hatványsor létezése, amire ϕ x, ψ(x) = ϕ ψ(x), x = x már könnyen következik ezekből az implicit függvény tételt felhasználva.) Geometriailag a probléma ilyen megfogalmazása lokális Lie-csoportok tanulmányozásának felel meg, vagyis olyan analitikus szorzásszabályokat kell vizsgálni Rn 0 elemének valamilyen V környezetében (a szorzat Rn egy eleme, de lehet, hogy nincs benne ebben a környezetben), amelyek kielégítik az asszociativitási törvényt és egységelem létezését, ami a 0. Azt mondjuk, hogy két lokális Lie-csoport, amelyek a V1 és V2 környezetben vannak definiálva, izomorfak , ha léteznek a 0-nak olyan V1′ ⊂ V1 és V2′ ⊂ V2 környezetei és olyan f : V1′ → V2′ diffeomorfizmus, ami az első szorzásszabályt a másodikba viszi át. Hasonlóan van definiálva lokális Lie-csoportok homomorfizmusa. A kérdést így megfogalmazva a válasz roppant egyszerű. Lie tétele. Minden L Lie-algebra valamely lokális Lie-csoport Lie-algebrája. Egy lokális Lie-csoportot izomorfizmus erejéig meghatároz a Lie-algebrája. Minden ϕ : L(G1 ) → L(G2 ) Lie-algebra homomorfizmus két lokális Lie-csoport Lie-algebrája között ϕ = (df )e alakú, ahol f : G1 → G2 homomorfizmus lokális Lie-csoportok között, melyet ez a feltétel egyértelműen meghatároz.

203

19. fejezet Lie algebrák és nemasszociatív algebrák

Ennek a tételnek a legelemibb és meghökkentőbb alkalmazását akkor kapjuk, ha a (9) képletet Lie-algebrák kommutálására alkalmazzuk. A tételből látszik, hogy már a szorzásszabály másodfokú B(x, y) tagja is egyértelműen meghatározza a szorzásszabályt izomorfizmus erejéig (vagyis analitikus koordinátatranszformáció erejéig). Ha ϕ(x, y)-t formális hatványsornak tekintjük, akkor a tétel tisztán algebrai jellegűvé válik, semmi analízis nem szerepel benne. Érvényes tetszőleges 0 karakterisztikájú test feletti „formális szorzásszabályokra”. Később még visszatérünk a Lie-elméletnek erre az algebrai aspektusára. Ha globális Lie-csoportokra térünk át, azaz azt a manapság szokásos definíciót alkalmazzuk, amelyet a 15. fejezetben adtunk meg, a dolgok kissé elbonyolódnak. Valóban, már az R additív csoport és az R/Z körcsoport sem izomorfak, noha ugyanaz a Lie-algebrájuk, az 1-dimenziós Abel-féle algebra. Azonban visszaáll az ideális helyzet, ha összefüggő, egyszeresen összefüggő csoportokra szorítkozunk (vö. a 14. fejezet 7. példájával). Cartan egy tétele kimondja, a Lie-tétel fenti állítása szó szerint igaz marad, ha benne „lokális Lie-csoport” helyett mindenütt „összefüggő, egyszeresen összefüggő Lie-csoportot” írunk. (Az L(G1 ) → L(G2 ) homomorfizmusról szóló állításban elég G1 -ről feltenni, hogy egyszeresen összefüggő.) A Lie-elmélet használható az összefüggő, de nem egyszeresen összefüggő Liee univerzális fedője csoporttá tehető csoportok vizsgálatára is, mivel a G csoport G e (egyértelmű módon) úgy, hogy G = G/N , ahol N egy olyan diszkrét normális részcsoport, ami benne van G centrumában. Így megkonstruálható az összes e összefüggő Lie-csoport, aminek ugyanaz a Lie-algebrája. Példát ad G = G/N e = Spin(n), N = {E, −E}; vagy pedig alakban való előállításra G = O(n), G e = SL(n, C) és N = {εE | εn = 1}. G = P SL(n, C), G

C. Lie-algebrák alkalmazásai A legtöbb alkalmazás a Lie-elméleten alapszik, amivel Lie-csoportokra vonatkozó számos kérdést Lie-algebrákra vonatkozó hasonló kérdésekre redukálhatunk, és ez utóbbiak általában egyszerűbbek. Így például egyszerű Lie-csoportok osztályozására, amiről a 16. fejezetben volt szó, a legközvetlenebb módszer az, hogy először osztályozzuk az egyszerű Lie-algebrákat, majd a Lie–Cartanelméletet alkalmazzuk. Például be van bizonyítva, hogy a komplex számok teste felett a következő egyszerű Lie-algebrák vannak: sl(n, C), o(n, C), sp(n, C) és további 5 kivételes algebra, melyek dimenziója rendre 78, 133, 248, 14, 52 és jelölésük rendre E6 , E7 , E8 , G2 és F4 . A Lie–Cartan-elmélet segítségével innen meghatározhatjuk a komplex összefüggő egyszerű Lie-csoportokat. Minden Liealgebrához tartozik egy egyszeresen összefüggő G csoport, például sl(n, C)-hez SL(n, C); és a G/N alakú faktorcsoportok, ahol N egy diszkrét normális részcsoport, ami benne van G centrumában. Mivel ezen csoportok mindegyikére a Z centrum véges, minden ilyen egyszeresen összefüggő csoportnak véges sok ilyen faktorcsoportja van, amint azt a 16. fejezetben már említettük.

204

19. fejezet Lie algebrák és nemasszociatív algebrák

Pontosan ugyanígy az egyszerű valós Lie-csoportok elmélete visszavezethető az R feletti egyszerű Lie-algebrák elméletére. Ezek vizsgálata hasonló módszerekkel történik, mint azok, amelyeket a 11. fejezetben említettünk, ahol egyszerű algebrákat és divízióalgebrákat vizsgáltunk algebrailag nem zárt testek felett. Pontosabban, ugyanúgy, ahogyan azt a 11. fejezetben asszociatív algebrákra tettük, definiálhatjuk az alaptest kiterjesztésének műveletét: LK ′ = L ⊗ K ′ , K

hogyha L egy Lie-algebra egy K test felett, K ′ pedig egy bővítése K-nak. Bebizonyítható, hogy ha L egy R feletti egyszerű Lie-algebra, akkor LC vagy egy C feletti egyszerű Lie-algebra, vagy két izomorf egyszerű algebra direkt összege. Tehát az R feletti egyszerű algebrák vizsgálatát visszavezettük egy C feletti hasonló problémára. Pontosan ilyen módon nyer értelmet a „G komplex Lie-csoport valós megfelelője” fogalom, amiről a 16. fejezetben volt szó. Végül rámutatunk a Lie-algebrák és a mechanika közötti kapcsolatra. 14. példa. Tekintsük az egy pontjában rögzített merev test tehetetlenségi mozgását. Mivel külső erők nem hatnak a testre, az impulzusmomentum megmaradásának törvénye szerint dI = 0. dt

(10)

Tegyük fel, hogy a mozgást egy g(t) ∈ SO(3) görbe írja le, mint a 13. példában. Bevezetve a Je = g −1 J impulzusmomentumot egy olyan koordinátarendszerben, ami mereven rögzítve van a testhez, nyilvánvaló átalakítások után (10)-et a következő alakban írhatjuk: dJe e = 0. + [e ω , J] dt

(11)

Ezeknek az egyenleteknek (3 van belőlük a Je vektor 3 koordinátájának mege vonatkozó felelően) a neve Euler-egyenletek . Úgy tekinthetjük őket, mint J-re egyenleteket, mivel az ω e és Je közötti kapcsolatot megvalósítja az I tehetetlenségi nyomaték tenzor: e J(ω) = I(e ω ), (12) ahol I egy t-től független szimmetrikus lineáris transzformáció. Az I transzformáció a mozgási energiát a 1 ³e ´ 1 J, ω e = (I(e ω ), ω e) (13) T = 2 2

képlet segítségével határozza meg, pozitív definit. A (11) képletben [ , ] a vektoriális szorzatot jelenti, de a 9. példa szerint úgy is tekinthetjük, mint az o(3) algebra kommutátor zárójelét. Ebben a formában a (11) egyenletek Lie-csoportok és Lie-algebrák igen széles osztályára általánosíthatók. Ilyen formában a T energia úgy tekinthető, mint egy Riemannmetrika egy G Lie-csoporton, amely invariáns a baloldali eltolásokra nézve (mivel az I transzformáció (13)-ban konstans); egy L(G) → L(G)∗ szimmetrikus

205

19. fejezet Lie algebrák és nemasszociatív algebrák

transzformáció határozza meg. Mivel (a merev test és az SO(3) csoport esetének analógiájára) ω e választható az L(G) Lie-algebra egy elemének, azt kapjuk, hogy Je ∈ L(G)∗ , és felírhatjuk rá a (11) egyenletet. Kiderül, hogy sok esetben ezeknek az egyenleteknek érdekes fizikai jelentésük van. Például az az eset, amikor G egy 3-dimenziós euklideszi tér összes mozgásának a csoportja (vagyis G = O(3) · T , ahol T az eltolások csoportja) egy test egy ideális folyadékban való tehetetlenségi mozgásának felel meg. Az SO(4) csoport esetének szintén van fizikai jelentése. Legérdekesebb azonban egy sokaság összes diffeomorfizmusai „végtelen dimenziós Lie-csoportjának” az esete, aminek megfelelő Lie-algebra az összes vektormező Lie-algebrája. Ez az eset olyan jelenségekkel függ össze, mint ideális folyadékban való mozgás. Nem illik azonban bele a Lie-algebrák és csoportok szokásos elméletébe, és úgy tűnik, hogy ez az elmélet jelenleg egy heurisztikus szinten van.

D. Más nemasszociatív algebrák A Lie-algebrák elmélete igen meggyőző módon mutatja, hogy a gyűrűk elméletének mély és fontos eredményei nem feltétlenül kapcsolódnak össze az asszociativitás követelményével. A Lie-algebrák talán a legszemléletesebb példák olyan nemasszociatív gyűrűkre, amelyek fontosak az egész matematika számára. Vannak azonban más példák is. 15. példa. Mint azt a 8. fejezet 5. példájában láttuk, a kvaterniókat írhatjuk z1 + z2 j alakban, ahol z1 és z2 komplex számok. Ebben az alakban a kvaterniók szorzása igen egyszerűen leírható: ha feltesszük, hogy az összes gyűrűaxióma teljesül (és a komplex számokon a műveletek ugyanazok, mint C-ben), akkor csak azt kell megadnunk, hogy j 2 = −1 és jz = zj. Megkísérelhetünk továbblépni ugyanebben az irányban, definiálva egy 8-dimenziós algebrát, aminek elemei q1 + q2 l alakúak, ahol q1 és q2 kvaterniók, l pedig egy új elem. Kiderül, hogy ily módon egy érdekes nemasszociatív divízióalgebrát kapunk. Ha megköveteljük az összes gyűrűaxiómát, kivéve a szorzás asszociativitását, akkor csak a q1 · q2 , q1 · (q2 l), (q1 l) · q2 és (q1 l) · (q2 l) szorzatokat kell definiálnunk. Feltesszük, hogy a kvaterniók úgy szorzódnak össze, mint H elemei, előírjuk továbbá, hogy q1 (q2 l) = (q2 q1 )l, és

(q1 l) · q2 = (q1 q 2 )l (q1 l) · (q2 l) = −(q 2 q1 ),

ahol q a q kvaternió kvaternió-konjugáltját jelöli. Másként fogalmazva, a szorzás a (p1 + p2 l)(q1 + q2 l) = (p1 q1 − q 2 p2 ) + (q2 p1 + p2 q 1 )l képlet segítségével van megadva. A szorzás asszociativitásának kivételével az összes gyűrűaxióma teljesülése könnyen ellenőrizhető. Az 1 ∈ H elem az új gyűrű egységeleme. Ez egy 8dimenziós algebra lesz R felett: bázist alkot például {1, i, j, k, l, il, jl, kl}. A

206

19. fejezet Lie algebrák és nemasszociatív algebrák

most megkonstruált algebra neve Cayley-algebra vagy az oktávok vagy a Cayleyszámok algebrája, jelölése pedig O. Ha u ∈ O alakja u = q1 + q2 l, legyen p és Tr u = Re q1 . u = q 1 − q2 l, |u| = |q1 |2 + |q2 |2

Könnyen látható, hogy uu = uu = |u|2 és hogy Tr uv = Tr vu. Az u elem kielégíti az u2 − (Tr u)u + |u|2 = 0 (14) másodfokú egyenletet.

Tétel. Az O algebra rendelkezik a következő tulajdonsággal, ami az asszociativitás egy gyengítése: 3 elem szorzata nem függ a zárójelezéstől, ha ezen 3 elem között van 2 egyenlő. Más szóval u(uv) = (uu)v,

(uv)v = u(vv),

u(vu) = (uv)u

(ezek közül a harmadik már következik az első kettőből). Az ezzel a tulajdonsággal rendelkező gyűrűket alternatív gyűrűknek nevezzük. Bebizonyítható, hogy egy alternatív gyűrűben minden két elemmel generált részgyűrű asszociatív. A fenti tulajdonságból következik, hogy u 6= 0 esetén az u−1 = |u|−2 u elem u-nak inverze, és u(u−1 v) = v, (vu−1 )u = v, vagyis O egy (nemasszociatív) divízióalgebra. Nem nehéz bebizonyítani, hogy |uv| = |u| · |v|. Az 1, i, j, k, l, il, jl, kl bázist választva ebből egy furcsa µ 8 ¶µ 8 ¶ 8 P 2 P 2 P xi zi2 yi = i=1

i=1

i=1

azonosság adódik, ahol a zi -k egész együtthatós bilineáris formái x1 , . . . , x8 és y1 , . . . , y8 -nak. Az O algebra létezése az oka számos érdekes jelenségnek az „alacsony-dimenziós” geometriában (6, 7 és 8 dimenzióban). Például megfigyelhetjük, hogy bármely E = Ru + Rv ⊂ O síkra azon w ∈ O elemek halmaza, amelyekre wE ⊂ E egy C(E) részalgebrát határoz meg, amelyik izomorf a komplex számokkal; ezt könnyen bizonyíthatjuk (azt a tényt kell használni, hogy O alternatív; a C(E) részalgebrát 1 és α = vu−1 feszíti). Bármely 6-dimenziós F ⊂ O altér megadható a „Tr(xu) = 0 minden u ∈ E-re” egyenletekkel, ahol E valamilyen sík. Ebből következik, hogy αF ⊂ F minden α ∈ C(E)-re (azt a könnyen igazolható összefüggést kell felhasználni, hogy Tr(u(vw)) = Tr((uv)w))). Tehát minden 6dimenziós F ⊂ O altér természetes módon egy 3-dimenziós vektortérré válik C felett. Speciálisan, ha X ⊂ O egy sima 6-dimenziós sokaság, akkor ugyanez érvényes a különféle pontokban vett érintőtereire is, és az így adódó komplex struktúra simán változik a ponttal. Azt mondjuk, hogy egy ilyen tulajdonságú sokaság majdnem komplex . Majdnem komplex sokaságra a sztenderd példa egy komplex analitikus sokaság. Látjuk, hogy minden irányítható 6-dimenziós

207

19. fejezet Lie algebrák és nemasszociatív algebrák

részsokaság R8 -ban majdnem komplex . Igen ritka azonban, hogy egy ilyen sokaságon komplex struktúránk lenne. Például az S 6 -on ily módon előálló majdnem komplex struktúra nem definiálható semmilyen komplex struktúrával. A Cayley-számok egy másik alkalmazása a kivételes egyszerű Lie-csoportokkal (ld. 16. fejezet) kapcsolatos, mondjuk a kompaktakkal. Nevezetesen a G2 kivételes egyszerű Lie-csoport izomorf az O algebra automorfizmuscsoportjának összefüggő komponensével. Az E6 és F4 csoportok szintén megvalósíthatók, mint O-val kapcsolatos 2-dimenziós „projektív” és „ortogonális” csoportok. Végül, a Cayley-számoknak speciális szerepük van tisztán algebrai szempontból is. Egy általánosított Cayley-algebra egy olyan 8-dimenziós algebra, ami a q1 + q2 l alakú elemekből áll, ahol q1 és q2 egy általánosított kvaternióalgebrából valók valamilyen K test felett (ld. 11. fejezet), a szorzást pedig a (p1 + p2 l)(q1 + q2 l) = (p1 q1 + γq 2 p2 ) + (q2 p1 + p2 q 1 )l képlet adja meg, ahol γ 6= 0 a K test egy eleme. Ez az algebra mindig alternatív és egyszerű. Akkor és csak akkor lesz nemasszociatív divízióalgebra, ha a q1 q 1 − γq2 q 2 = 0 egyenletnek nincsen a kvaternióalgebrában nemnulla megoldása. Tétel. Egy alternatív divízióalgebra vagy asszociatív, vagy izomorf egy általánosított Cayley-algebrával. Egy alternatív egyszerű gyűrű vagy asszociatív, vagy izomorf egy általánosított Cayley-algebrával. Amiként asszociatív gyűrűket használva, akképpen „koordinátákként” alternatív divízióalgebrákat használva is kaphatunk projektív síkokat. Így adódik nem Desargues-féle projektív síkra az egyik legegyszerűbb példa. Ezeknek egyszerű geometriai jellemzésük van: a Desargues-tétel egy bizonyos gyengébb változatának kell teljesülnie. Vannak másfajta nemasszociatív algebrák, amikre meglehetősen teljes elméletünk van (legalábbis, ha feltesszük, hogy véges dimenziósak és egyszerűek), és amelyeknek van matematikai alkalmazásuk. De a nemasszociatív algebráknak jelenleg nincsen semmilyen általános elmélete (legalábbis olyan elmélete, ami egy sorba lenne állítható az asszociatív algebrákéval vagy a Lie-algebrákéval). Talán ilyen elmélet nem is lehetséges? Valóban egy tetszőleges nemasszociatív algebrát egy minden megszorítás nélküli cijk szorzótáblázat határoz meg, tehát egy tetszőleges C ∈ L ⊗ L ⊗ L∗ tenzor, ami egy Aut(L)-beli transzformáció erejéig egyértelműen meghatározott. Felmerül ekkor a kérdés: milyen típusú természetes megszorítások kellenek ahhoz, hogy egy ilyen elmélet létezzen? Hogyan érthetnénk meg egy egységes nézőpontból az egyszerű asszociatív algebrák, Liealgebrák, alternatív algebrák és bizonyos más típusúak elméletét? Tesztelésre választható lenne az R feletti nemasszociatív divízióalgebrák szerkezete. Van itt egy figyelemreméltó tény: ilyen divízióalgebrák dimenziója csak 1, 2, 4 vagy 8 lehet. Nem ismert azonban semmilyen algebrai bizonyítása ennek a ténynek. A létező bizonyítás topológiai; az algebra (amit Rn -nel azonosítunk) szorzása által meghatározott (Rn \ 0) × (Rn \ 0) → (Rn \ 0) leképezés topológiai tulajdonságainak vizsgálatán alapszik.

208

20. fejezet Kategóriák

20. Kategóriák A kategóriák fogalma bizonyos hozzá kapcsolódó fogalmakkal együtt egy matematikai nyelvet ad, mely valamelyest eltér a halmazelmélet megszokott nyelvétől, és így új megvilágításba helyezi a matematikai konstrukciókat. Leírásunkat egy példával kezdjük. A következőkben olyan diagramokat használunk, ahol a halmazokat egyegy ponttal, az X hamazból az Y halmazba menő leképezéseket pedig az Xhez tartozó pontból az Y -hoz tartozó pontba mutató nyíllal jelképezzük. Ha egy diagram pontjai az X, A1 , A2 , . . . , An , Y halmazoknak felelnek meg, a szereplő leképezések pedig f1 : X → A1 , f2 : A1 → A2 , . . . , fn+1 : An → Y , akkor fn+1 . . . f2 f1 egy X-ből Y -ba vezető leképezés, az f1 , . . . , fn+1 kompozíciója. Ha a diagramban szereplő bármely X, Y halmazokra az Ai halmazok és fi leképezések tetszőleges választása mellett a kapott X-ből Y -ba vezető leképezés ugyanaz, akkor azt mondjuk, hogy a diagram kommutatív . Példák kommutatív diagramokra: A ·

A · @

B -·

f

g

u

? · C

és

- ·? D

v

@

u

B -·

f

? · C

h

g

@ v

@ R? @ · D

kommutatívak, ha vu = gf , illetve h = vu = gf . Most nézzük magát a példát. Két tetszőleges X és Y halmazra (ezekről most nem tesszük föl, hogy egy adott halmaz részhalmazai) két műveletet definiálnak a halmazelméletben: a két halmaz összege vagy diszjunkt uniója az egyik, amelyet X +Y -nal jelölünk, a másik pedig az X ×Y -nal jelölt szorzat, amely azokból az (x, y) párokból áll, amelyekre x ∈ X, és y ∈ Y . Az előbbi konstruktív megadás helyett ezeket a műveleteket leírhatjuk a tulajdonságaikkal is. Az X + Y összeghez például tartozik két beágyazás: f : X → X + Y és g : Y → X + Y , és a következő univerzális leképezési tulajdonságnak kell teljesülnie: bármely Z halmazhoz és u : X → Z, v : Y → Z leképezéshez egyértelműen létezik egy olyan h : X + Y → Z leképezés, amivel az f

X

@

@

@

g

- X +Y ¾ u

@

@ R @

¡

v

h

¡

Y

¡

¡

(1)

? ¡ ¡ ª Z

diagram kommutatív. Pontosan ugyanígy, az X × Y szorzathoz két vetítés, f : X × Y → X és g : X × Y → Y tartozik, és minden Z halmazhoz, valamint

209

20. fejezet Kategóriák

u : Z → X és v : Z → Y leképezéshez egyértelműen létezik egy h : Z → X × Y leképezés, amivel az g

f

X¾ I @ @

-Y ¡ µ ¡

X ×Y 6 u

@ @

v

h

@

@

¡

¡

Z

¡

(2)

¡

diagram kommutatív (azaz f h = u és gh = v). Nyilvánvaló, hogy ekkor h(z) = (u(z), v(z)). A következő lépésben olyan halmazokat veszünk, amelyeken megkülönböztetünk bizonyos típusú leképezéseket, és megnézzük, milyen konstrukciókat kapunk, ha megköveteljük az (1)-es és (2)-es univerzális leképezési tulajdonságokat. Topologikus terekre és a köztük menő folytonos leképezésekre természetesen a topologikus terek összegét és szorzatát kapjuk. A csoportok esete, ahol csak a csoporthomomorfizmusokat tekintjük leképezésnek, már érdekesebb. Abel-csoportokra, vagy általánosabban, gyűrű fölötti modulusokra, az A ⊕ B direkt összegre megvan a két beágyazás, A → A ⊕ B és B → A ⊕ B, és a két kanonikus vetítés, A ⊕ B → A és A ⊕ B → B is, amelyek kielégítik az (1)-es és (2)-es univerzális leképezési tulajdonságokat (itt természetesen u, v, h homomorfizmusok, nem tetszőleges leképezések). Tehát itt a halmazelméleti diszjunkt unió és szorzat analogonjai egybeesnek. De nemkommutatív csoportok esetén nem ez a helyzet: a G×H direkt szorzathoz léteznek G×H → G és G×H → H kanonikus homomorfizmusok, amelyek kielégítik a (2)-es univerzális leképezési tulajdonságot, de hiába léteznek a G → G×H és H → G×H beágyazások, ezek nem elégítik ki az (1)-es univerzális leképezési tulajdonságot. Ahhoz, hogy ez utóbbit belássuk, elegendő egy olyan K csoportot találni, amelynek van a G-vel, illetve H-val izomorf részcsooportja, de ezeknek az elemei nem fölcserélhetők egymással, u és v pedig legyen a G-nek és H-nak ezekkel a részcsoportokkal való izomorfizmusa. Mivel a G és H elemei fölcserélhetők egymással a G × H-ban, a f

G

@

g

@ @

- G×H ¾ u

@

@ R @

v

h

¡

¡

¡

H

¡

? ¡ ¡ ª K

diagram nem lesz kommutatív semmilyen h homomorfizmusra. Mindazonáltal létezik egy csoportkonstrukció, amely kielégíti az (1)-es univerzális leképezési tulajdonságot. Ez a G és H csoport szabad szorzata. Ez az a csoport, amelyet G-vel, illetve H-val izomorf G′ és H ′ részcsoportok generálnak, és a G′ és H ′ elemei között nem teszünk föl semmilyen relációt, csak amelyek magukban a G′ és H ′ csoportokban teljesülnek. Precíz definíciót a szabad csoport definíciójá-

210

20. fejezet Kategóriák

nak mintájára adhatunk (lásd a 14. fejezet 6. példáját). Például a két elemmel generált szabad csoport, S2 , két végtelen ciklikus csoport szabad szorzata. Nézzünk egy másik variációt ugyanerre a témára: a halmazaink ezúttal olyan kommutatív gyűrűk lesznek, amelyek algebrák egy K gyűrű fölött, a leképezések pedig a közöttük menő K-algebra-homomorfizmusok. Az A ⊕ B direkt öszszeg az f : A ⊕ B → A és g : A ⊕ B → B kanonikus projekciókkal kielégíti a (2)-es univerzális leképezési tulajdonságot. De a természetes f : A → A ⊕ B és g : B → A ⊕ B leképezésekre az (1)-es univerzális leképezési tulajdonság nem teljesül: ez azon múlik, hogy a ∈ A-ra és b ∈ B-re ab = 0 az A ⊕ B-ben, viszont létezhet olyan C gyűrű, amelynek vannak A-val, illetve B-vel izomorf A′ és B ′ részgyűrűi, amelyekre az ab = 0 reláció nem mindig teljesül. Ekkor nem létezhet egy h : A ⊕ B → C homomorfizmus, amely kielégítené a kívánt feltételt. Könnyen láthatjuk, hogy ebben az esetben az A ⊗K B tenzorszorzat (lásd a 12. fejezet 3. példáját) a keresett gyűrű. Végezetül lássuk be, hogy az összes eddig tárgyalt esetben az (1)-es, illetve (2)-es univerzális leképezési tulajdonságot kielégítő konstrukciók egyértelműek. Nézzük például az (1)-es diagramot, és tegyük föl, hogy egy adott X és Y halmazra egy R és egy S halmaz is megfelel. Ekkor az f

X

@

@

g

- R ¾ 6 u

@

@

h

@ R @

v

k

¡

¡

¡

¡

Y (3)

? ¡ ¡ ª S

diagram kommutatív. Ebből azt kapjuk, hogy f = hu és u = kf , azaz f = (hk)f , és hasonlóan g = (hk)g. Az a feltétel, hogy az (1)-es diagramban a h leképezés egyértelmű, a triviális R = S esetre alkalmazva azt adja, hogy hk az R identikus leképezése önmagára; ugyanígy beláthatjuk, hogy kh az S önmagára menő identikus leképezése. Tehát R és S izomorfak egymással. Most a fönti példából levonjuk a tanulságot. Az eddigi levezetések mind halmazokról és köztük menő leképezésekről szóltak. De soha nem kellett figyelembe vennünk, milyen típusú elemekből állnak ezek a halmazok, és hogyan hatnak az elemeken a leképezések. Csupán azt kellett tudnunk, hogy a leképezéseknek vehetjük a kompozícióját, és hogy a különböző leképezéseket össze tudjuk hasonlítani egymással. Ez utóbbinak a szükségessége különösen szembeszökő volt, amikor a diagramok kommutativitását használtuk a (3)-as diagramhoz kapcsolódó bizonyítás utolsó lépésében. Ezt a megközelítést axiomatizáljuk a kategória definíciójában. Egy C kategória alkotóelemei a következők: (a) egy Ob(C) halmaz, amelynek elemei a C objektumai; (b) minden A, B ∈ Ob(C)-re egy H(A, B) halmaz, amelynek elemei a C-nek A-ból B-be menő morfizmusai ;

211

20. fejezet Kategóriák

(c) minden A, B, C ∈ Ob(C)-re és minden f ∈ H(A, B) és g ∈ H(B, C) morfizmusokra egy h ∈ H(A, C) morfizmus, amelyet az f és g kompozíciójának hívunk, és gf -fel jelölünk; (d) bármely A ∈ Ob(C)-re egy 1A ∈ H(A, A) morfizmus, amelyet identitásnak hívunk. Az itt fölsorolt fogalmaknak a következő feltételeket kell kielégíteniük: h(gf ) = (hg)f bármely f ∈ H(A, B), g ∈ H(B, C) és h ∈ H(C, D) morfizmusokra f 1A = 1B f = f bármely f ∈ H(A, B)-re. A kategóriaelméletben tehát egy A ∈ Ob(C) objektumot nem halmazként tekintünk, nem a benne foglalt elemekkel jellemezzük, hanem a többi B ∈ Ob(C) objektumokkal való kapcsolatával. Vagyis elsődlegesen a „kapcsolatai” érdekelnek minket, nem pedig a „szerkezete”. A kategóriákra adott következő példáinkat a „naiv halmazelmélet” fölfogásában fogalmazzuk meg, nem törődve azokkal a logikai ellentmondásokkal, amelyek például az „összes halmaz” vagy „összes csoport” fogalmával kapcsolatban jelentkeznek. A terület szakértői kidolgoztak olyan módszereket (köztük az osztály fogalmának a bevezetését), amelyekkel meg lehet kerülni ezeket az ellentmondásokat (legalábbis a szakértők többségének véleménye szerint). 1. példa. A Set kategória objektumai tetszőleges halmazok, morfizmusai pedig tetszőleges leképezések ezen halmazok között. 2. példa. Vehetjük azt a kategóriát is, amelynek objektumai egy tetszőleges X halmaz részhalmazai, morfizmusai pedig a halmazok közötti tartalmazások (így H(A, B) vagy üres vagy egyelemű). Ennek egy változata, amikor X egy topologikus tér, az objektumok az X nyílt részhalmazai, a morfizmusok pedig az ezek közötti tartalmazások. 3. példa. A Top kategória objektumai topologikus terek, morfizmusai pedig a közöttük menő folytonos leképezések. Ennek egy variációja az, amikor az objektumok differenciálható (vagy analitikus) sokaságok, a morfizmusok pedig a közöttük menő differenciálható (illetve analitikus) leképezések. Egy másik fontos változat az, ahol az objektumok (X, x0 ) topologikus terek egy kijelölt x0 bázisponttal, a morfizmusok pedig olyan folytonos f : X → Y leképezések, amelyek az X kijelölt pontját az Y kijelölt pontjába viszik, azaz f (x0 ) = y0 . Ezt a kategóriát Top 0 -val jelöljük. 4. példa. A H ot kategória a topologikus terek kategóriája, homotopikus ekvivalenciától eltekintve. Egy f : X → Y és egy g : X → Y leképezés homotóp, ha az egyiket folytonosan a másikba lehet deformálni, azaz van olyan folytonos h : X ×I → Y folytonos leképezés (ahol I = [0, 1] az egységintervallum), amelyre h(x, 0) = f (x), és h(x, 1) = g(x). Az X és Y terek homotopikusan ekvivalansek vagy azonos a homotópiatípusuk , ha vannak olyan f : X → Y és g : Y → X

212

20. fejezet Kategóriák

folytonos leképezések, amelyekre gf homotopikusan ekvivalens az X tér 1X identikus leképezésével, f g pedig az Y tér 1Y leképezésével. A H ot kategória objektumai topologikus terek, a morfizmusok folytonos leképezések homotopikus ekvivalenciaosztályai; az azonos homotópiatípusú terek izomorfak H ot-ban. A H ot 0 categóriát a 3. példa analógiájára definiáljuk. 5. példa. A M od R kategória objektumai egy adott R gyűrű fölötti modulusok, morfizmusai pedig a modulusok közötti homomorfizmusok, azaz H(M, N ) = HomR (M, N ). Az Abel-csoportok M od Z kategóriáját A b jelöli. 6. példa. A csoportok kategóriájának objektumai tetszőleges csoportok, a morfizmusok pedig a közöttük menő homomorfizmusok. 7. példa. A gyűrűk kategóriájának objektumai tetszőleges gyűrűk, a morfizmusok pedig a közöttük menő homomorfizmusok. Ennek változatai azok, amikor csak kommutatív gyűrűket veszünk, vagy egy adott A gyűrű fölötti algebrákat (az utóbbi esetben a morfizmusok A-algebra-homomorfizmusok). 8. példa. Most egy olyan kategóriát mutatunk, amelynek morfizmusai nem halmazok közötti leképezések. Ez a példa a formális csoportszabállyal van kapcsolatban, amit az előző fejezetben említettünk a Lie-elmélettel összefüggésben. Megszokottabb elnevezés a formális csoport: ez egy formális hatványsorokból álló ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕn ) n-es, ahol a ϕi (X, Y ) = ϕi (x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , yn ) hatványsor változói X = (x1 , . . . , xn ) és Y = (y1 , . . . , yn ), és együtthatói egy tetszőleges K testnek az elemei. Föltesszük továbbá, hogy ϕ kielégíti a következő feltételeket: ϕ(X, ϕ(Y, Z)) = ϕ(ϕ(X, Y ), Z), ϕ(0, 0) = 0, és ϕ(X, 0) = ϕ(0, X) = X. Az n számot a ϕ formális csoport dimenziójának hívjuk. Egy n-dimenziós ϕ csoport homomorfizmusa egy m-dimenziós ψ csoportba egy n-változós formális hatványsorokból álló F = (f1 , . . . , fm ) m-es, amelyre F (0) = 0, és ψ(F (X), F (Y )) = F (ϕ(X, Y )). Most vegyük azt a kategóriát, amelynek objektumai egy K test fölötti formális csoportok, a morfizmusai pedig az ezek között menő homomorfizmusok. Ha K egy 0 karakterisztikájú test, akkor ennek a kategóriának a vizsgálatát a Lie-elmélet a K fölötti véges dimenziós Lie-algebrák kategóriájának és a közöttük menő homomorfizmusoknak a vizsgálatára redukálja. Viszont ha char K = p > 0, akkor egy újfajta osztályt kapunk, egészen sajátos tulajdonságokkal. Már az 1-dimenziós formális csoportok elmélete is messze van a triviálistól, és fontos alkalmazásai vannak az algebrai geometriában, a számelméletben és a topológiában. 9. példa. Vegyük azt a kategóriát, amely egyetlen O objektumból áll. Ebben az esetben a kategóriát a H(O, O) halmaz határozza meg, amely egy

213

20. fejezet Kategóriák

tetszőleges halmaz, amin egy asszociatív művelet (a kompozíció) van értelmezve, és van egy egységeleme. Ezt az algebrai fogalmat egységelemes félcsoportnak hívjuk. 10. példa. Most definiáljuk a C ∗ duális kategóriát. Egy tetszőleges C kategóriára a C ∗ duális kategória objektumai megegyeznek a C objektumaival, de a H(A, B) morfizmusokat a C ∗ -ban a C-beli H(B, A) morfizmusok adják, és az f és g morfizmusok C ∗ -beli kompozíciója megegyezik a g és f C-beli kompozíciójával. Ha a kategóriát diagramnak képzeljük, ahol a pontok az objektumokat, a nyilak pedig a morfizmusokat jelölik, akkor a C ∗ -ot úgy kapjuk a C-ből, hogy megfordítjuk a nyilakat. A duális kategória fogalma bizonyos dualitáshoz vezet a kategóriaelméletben. Nevezetesen, a kategóriaelmélet bármely fogalmát vagy állítását alkalmazhatjuk a C ∗ kategóriára, és így egy duális fogalmat vagy állítást kapunk a C-ben, amely az eredetiből úgy adódik, hogy „megfordítjuk a nyilakat”. Visszatérve a fejezet elején szereplő példára, bármely kategória objektumain definiálhatunk két műveletet a halmazok összegének és szorzatának analógiájára. Ehhez az (1)-es és (2)-es diagramokat kell használnunk, amlyeknek értelme van bármely kategóriában; az így definiált objektumokat, ha léteznek, az objektumok kategóriaelméleti összegének , illetve szorzatának hívjuk. Amint láttuk, ezek nem mindig léteznek. Például az összeg nem létezik a véges csoportok kategóriájában, de létezik az összes csoportok kategóriájában. Ha viszont az öszszeg vagy a szorzat létezik, akkor ezek izomorfizmus erejéig egyértelműek is (az A és B objektumok izomorfak , ha léteznek olyan f ∈ H(A, B) és g ∈ H(B, A) morfizmusok, amelyekre gf = 1A , és f g = 1B ); a fönt ismertetett bizonyítás tetszőleges kategóriára is működik. Azt mondhatjuk, hogy a modulusok kategóriájában az összeg és a szorzat is megegyezik a modulusok direkt összegével; a csoportok kategóriájában az összeg a szabad szorzattal egyezik meg, a szorzat pedig a csoportok direkt szorzatával; a kommutatív gyűrűk kategóriájában az összeg a tenzorszorzattal egyezik meg, a szorzat pedig a direkt összeggel. A topologikus terek kategóriájában az összeg és a szorzat megegyezik a halmazokon vett ugyanilyen művelettel. A kijelölt bázisponttal ellátott topologikus terek kategóriájában az (X, x0 ) és (Y, yo ) terek szorzata az X × Y közönséges szorzat az (x0 , y0 ) kitüntetett ponttal; de az összegük az ún. egypontos egyesítés, X ∨ Y , amelyet úgy kapunk, hogy X-et és Y -t összeragasztjuk az x0 és y0 pontjuknál. Például, két kör egypontos egyesítése egy „nyolcas alakzat” (40. ábra). Minthogy az összeg és szorzat definíciójául szolgáló (1)-es és (2)-es diagramok a nyilak megfordításával kaphatók egymásból, ezek a fogalmak duálisai egymásnak, azaz az egyik a másikba megy, ha egy C kategóriáról a duális kategóriára, C ∗ -ra térünk át. A kategóriák nyelvében az „invariáns” vagy „természetes” konstrukciók gondolatát a funktor fogalmán keresztül tudjuk kifejezni. Egy C kategóriából egy D kategóriába menő kovariáns funktor két leképezésből áll (mindkettőt ugyanazzal a betűvel jelöljük), egy F : Ob(C) → Ob(D) leképezésből, és minden A, B ∈ C-re egy F : H(A, B) → H(F (A), F (B)) leképezésből, amelyek kielégítik a következő feltételeket:

214

20. fejezet Kategóriák

x

y0

x0

x

y

Y

40. ábra.

F (1A ) = 1F (A) minden A ∈ Ob(C)-re és F (f g) = F (f )F (g), ha f g értelmezve van C-ben. Ha például C a vektorterek kategóriája, akkor az az E → T r E leképezés, amely egy vektorteret az r-edik tenzorhatványába visz, nyilván kompatibilis a lineáris leképezésekkel: ha f : E → E ′ egy lineáris leképezés, akkor f (x1 ⊗ · · · ⊗ xr ) = f (x1 ) ⊗ · · · ⊗ f (xr ) egy T r E-ből T r E ′ -be menő lineáris leképezést ad meg. Könnyen látható, hogy az így megadott megfeleltetésekkel egy C-t önmagába képező kovariáns funktort kapunk. Ez a funktor az F = T r -rel jelölt r-edik tenzorhatvány. Egy kontravariáns funktort is egy F : Ob(C) → Ob(D) leképezés ad meg, de ezúttal az A, B ∈ Ob(C) elemekhez egy F : H(A, B) → H(F (B), F (A)) leképezés tartozik (tehát fordított irányú morfizmust kapunk), amelynek ki kell elégítenie az F (1A ) = 1F (A) és F (f g) = F (g)F (f ) feltételeket (vegyük észre, hogy itt is megfordul a sorrend). Kontravariáns funktorra tipikus példa az az operáció, amely egy vektorteret a duális vektorterébe képez. 11. példa. Legyen A egy kommutatív gyűrű, M és N pedig két A-modulus. Rögzített N modulusra definiáljuk az FN (M ) = M ⊗A N leképezést, és minden f : M → M ′ homomorfizmusnak feleltessük meg azt az F (f ) : M ⊗A N → M ′ ⊗A N homomorfizmust, amelyre F (f )(m ⊗ n) = f (m) ⊗ n. Az így megadott FN funktor a M od A -ból önmagába képező kovariáns funktor lesz. Definiáljuk most a GN (M ) = HomA (M, N ) leképezést, és minden f : M → M ′ homomorfizmusra és ϕ ∈ Hom(M ′ , N )-re legyen G(f )(ϕ) a ϕf kompozíció. Ekkor GN egy kontravariáns funktor lesz M od A -ból önmagába. Ha R nemkommutatív gyűrű, akkor GN (M ) = HomR (M, N ) egy M od R -ből az A b kategóriába képező kontravariáns funktor.

215

20. fejezet Kategóriák

A következő példákban a funktorok hatását csak az objektumokon, Ob(C)-n adjuk meg, az olvasó maga is kitalálhatja, mi lehet a funktorok hatása a H(A, B) halmazokon. 12. példa. A topológia szokásos konstrukciói általában funktorok. Tekintsük az X topologikus tér útjainak a terét, H(I, X)-et: ez az I = [0, 1] intervallumból az X térbe menő folytonos ϕ : I → X leképezésekből áll. A H(I, X) topológiáját azzal definiáljuk, hogy minden U ⊂ X nyílt halmazra a {ϕ | ϕ(I) ⊂ U } halmaznak is nyíltnak kell lennie. Mivel bármely f ∈ H(X, Y )-ra az f -fel való kompozíció egy ϕ ∈ H(I, X) utat egy f ϕ ∈ H(I, Y ) útba visz, H(I, X) kovariáns funktor, amely a Top kategóriát önmagába képezi. Ezt a funktort leggyakrabban a Top 0 kategórián, azaz az (X, x0 ) kijelölt bázisponttal ellátott terek kategóriáján használjuk. Ekkor H(I, X) definíció szerint csak azokat a ϕ : I → X leképezéseket tartalmazza, amelyekre ϕ(0) = x0 . Végezetül, ha H(I, X)-be csak azokat a leképezéseket vesszük bele, amelyekre ϕ(0) = ϕ(1) = x0 (ez tehát H(S1 , X), ahol S1 egy kör egy kitüntetett ponttal), akkor az X hurokterét, ΩX-et kapjuk. Mindezek a kovariáns funktorok természetes módon átmennek a 4. példában ismertetett H ot homotópiakategóriára is. 13. példa. A topologikus invariánsok többsége csoport, és egy-egy funktort ad meg a Top vagy a H ot kategóriából a csoportok vagy az Abel-csoportok kategóriájába. Így például a π(X) fundamentális csoport (14. fejezet, 7. példa) egy kovariáns funktor a kijelölt bázisponttal ellátott topologikus terek kategóriájából a csoportok kategóriájába. A πn (X) homotópiacsoportok n > 2-re, valamint a Hn (X, A) homológiacsoportok és a H n (X, A) kohomológiacsoportok (amelyeknek a definíciójára később, a 21. fejezetben kerül csak sor) ugyanebből a kategóriából az Abel-csoportok kategóriájába képező funktorok. A πn és Hn funktorok kovariánsak, a H n kontravariáns. Mindezek az objektumok invariánsak a homotopikus ekvivalenciára nézve, ezért úgy is tekinthetjük, hogy ezek a funktorok a H ot kategórián vannak értelmezve. 14. példa. Fontos funktort határoz meg az X halmazon értelmezett (mondjuk, valós értékű) függvények tere, F(X, R). Itt több változat is lehetséges: ha X diszkrét (például véges), akkor az összes leképezést vesszük, ha X topologikus tér, akkor a folytonos leképezéseket, ha X-en adva van egy mérték, akkor a négyzetesen integrálható függvényeket, és így tovább. Mivel az f : X → Y leképezés egy Y ∈ F(Y, R) függvényt egy F(X, R) függvénybe visz, F (X) = F(X, R) kontravariáns funktor a halmazok (vagy a topologikus terek, vagy a mértékterek stb.) kategóriájából a vektorterek kategóriájába. Az, hogy F(X, R) funktor, azt eredményezi, hogy az X minden transzformációjához hozzárendelhető az F(X, R) egy lineáris transzformációja, és így az X tetszőleges transzformációcsoportjának, G-nek van egy reprezentációja F(X, R)-en. Speciálisan, az X = G esetben tekinthetjük a G hatását önmagán a bal eltolásokkal, és ekkor F(X, R)en éppen a G reguláris reprezentációját kapjuk. 15. példa. Egy tetszőleges C kategóriára egy A ∈ Ob(C) objektum egy hA kovariáns funktort definiál C-ből a halmazok kategóriájába, Set-be: legyen hA (X) = H(A, X), és minden f ∈ H(X, Y )-ra legyen a hA (f ) : H(A, X) →

216

20. fejezet Kategóriák

H(A, Y ) leképezés az f -fel való komponálás, azaz hA (f )(g) = f g minden g ∈ H(A, X)-re. Hasonlóan, hA (X) = H(X, A) egy kontravariáns funktort definiál. Már eddig is találkoztunk a hN (M ) = HomR (M, N ) funktorral a M od R kategórián (a 11. példában), és a hS 1 (X) = ΩX funktorral a Top 0 kategórián (a 12. példában). A hA és hA funktorok hasznosak abban az igen általános helyzetben, amikor egy halmazokon definiált konstrukciót át akarunk vinni tetszőleges kategóriára. Ha Φ egy halmazelméleti konstrukció, Ψ pedig az általunk keresett megfelelő konstrukció a C kategóriában, akkor arra van szükség, hogy a hΨ(A) és a Φ(hA ) funktorok ekvivalensek legyenek (ha hA helyett hA -t veszünk, akkor egy másik, duális konstrukciót kapunk). Azt mondjuk, hogy két C-ből Set-be menő funktor, F1 és F2 ekvivalens, ha bármely X ∈ Ob(C)-re meg tudunk adni egy ϕX : F1 (X) → F2 (X) invertálható leképezést úgy, hogy bármely Y ∈ Ob(C)-re és bármely f ∈ H(X, Y )-ra az F1 (X)

ϕX

F1 (f )

? F1 (Y )

- F2 (X) F2 (f )

ϕY

? - F2 (Y )

diagram kommutatív. Könnyen látható például, hogy az A + B összeg definíciója egy kategóriában arra a feltételre redukálható, hogy a hA+B (X) és hA (X) × hB (X) funktorok ekvivalensek legyenek. A szorzat fogalma hasonló módon kapcsolódik a hA funktorhoz. Alkalmazásként egy nagyon fontos fogalmat vizsgálunk meg, a csoport (vagy csoportobjektum) fogalmát egy C kategóriában. Föltesszük, hogy C-ben léteznek a szorzatok. Egy G ∈ Ob(C) objektumon a csoportszabályt úgy definiáljuk, mint egy µ ∈ H(G×G, G) morfizmust; az inverzképzés műveletét úgy határozzuk meg, hogy kijelölünk egy ι ∈ H(G, G) morfizmust. Végül, egy egységelem létezését úgy fogalmazhatjuk meg legegyszerűbben, hogy föltesszük, hogy C-ben van egy O ∈ Ob(C) végobjektum, azaz egy olyan objektum, amelyre a H(A, O) halmaz egyelemű minden A ∈ Ob(C)-re (ilyen például a Set vagy a Top kategóriában egyetlen pont, az A b kategóriában a zérócsoport, stb.). Ekkor az egységelemet úgy definiáljuk, mint egy ε ∈ H(O, G) morfizmust. Ennek a három morfizmusnak, µ-nek, ι-nak és ε-nak számos feltételt kell kielégítenie, amelyek kifejezik a szorzás asszociativitását és a többi csoportaxiómát; ezeket úgy lehet megfogalmazni, hogy bizonyos diagramok kommutativitását követeljük meg. Ezeket azonban nem soroljuk most föl, mert van egy egyszerűbb feltétel, amely mindezekkel ekvivalens, nevezetesen, hogy bármely A ∈ Ob(C)-re egy csoportszabályt adjanak meg a H(A, G) halmazon (egy csoportba menő leképezések maguk is csoportot alkotnak!), és hogy minden f ∈ H(A, B)-re a H(B, G) → H(A, G) kompozíció homomorfizmus legyen. Másszóval, a hG funktornak a C-ből a csoportok kategóriájába menő funktornak kell lennie.

217

20. fejezet Kategóriák

Például egy Lie-csoport csoportobjektum a (differenciálható vagy komplex analitikus) sokaságok kategóriájában. 16. példa. Tekintsük egy x0 kijelölt bázisponttal ellátott X topologikus tér fölötti hurokteret, ΩX-et (lásd a 12. példát). A hurkok kompozíciója, amint azt a 14. fejezet 7. példájában definiáltuk, egy µ : ΩX × ΩX → ΩX folytonos leképezést ad meg, a hurok megfordítása pedig egy ι : ΩX → ΩX leképezést, végezetül az x0 -ra redukált hurok definiálja az egységelemet. Ezek így nem adnak csoportot: egy hurok szorzata az inverzével nem egyenlő az egységhurokkal, csak homotopikusan ekvivalens vele. Könnyű azonban ellenőrizni, hogy a H ot 0 kategóriában (lásd a 4. példát) már csoportot kapunk. 17. példa. A következőkben szükségünk lesz arra a műveletre, amikor egy X topologikus térnek egy A zárt részhalmazát egy pontra húzzunk össze. Ezen egy olyan X/A-val jelölt topologikus teret értünk, amely mint halmaz az X \ A halmazból és még egyetlen a pontból áll. A p : X → X/A összehúzó leképezést úgy definiáljuk, hogy az X \ A-n identikusan hasson, az A-t pedig az a pontba képezze. Az X/A térnek pontosan azok a halmazok legyenek a nyílt halmazai, amelyeknek az ősképe a p-nél nyílt az X-ben. Egy X topologikus tér szuszpenziója az a ΣX-szel jelölt tér, amelyet úgy kapunk az X × I hengerből (ahol I = [0, 1]), hogy két pontra húzzuk össze az alaplapjukat és a fedőlapjukat, X × 0-t, illetve X × 1-et (lásd a 41. ábrát).

41. ábra.

A kijelölt bázisponttal ellátott topologikus terek kategóriájában használjuk egy X tér redukált szuszpenzióját is, amelyet SX-szel jelölünk. Ezt úgy kapjuk meg a ΣX térből, hogy x0 × I-t is egy pontra húzzuk össze, és ez lesz az SX tér kitüntetett pontja. Az SX tulajdonságait úgy írhatjuk le legegyszerűbben, ha használjuk az X ∧ Y -nal jelölt redukált szorzat műveleletet a Top 0 és a H ot 0 kategóriákban. Definíció szerint az (X, x0 ) és (Y, y0 ) terekre X ∧ Y = X × Y /(X × y0 ∪ x0 × Y ). Könnyen ellenőrizhetjük, hogy ez a művelet disztributív az X ∨ Y egypontos

218

20. fejezet Kategóriák

egyesítés műveletére nézve (lásd a 40. ábrát), azaz X ∧(Y ∨ Z) = (X ∧ Y ) ∨(X ∧ Z)

és

(4)

(X ∨ Y ) ∧ Z = (X ∧ Z) ∨(Y ∧ Z). Speciálisan a redukált szuszpenzió úgy adható meg, mint SX = S 1 ∧ X, ahol S 1 egy kör, amelyet a [0, 1] intervallumból a 0 és 1 pontok összeragasztásával kapunk. Könnyen látható, hogy SS 1 = S 1 ∧ S 1 = S 2 , és általánosabban, SS n = S n+1 (ahol S n az n-dimenziós gömb). Ha a 0 és 1/2 pontokat azonosítjuk az S 1 = I/ {0, 1} körön, akkor egy 1→ 1 S S ∨ S 1 leképezést kapunk (42. ábra),

1/2 0

42. ábra.

és így Top 0 -ban és H ot 0 -ban egy SX → SX + SX leképezéshez jutunk (mivel ∨ az összeg ebben a kategóriában, SX = S 1 ∧ X, és ∧ disztributív). A dualitás alapján egy µ : (SX)×(SX) → SX morfizmust kapunk a duális kategóriában. Ha megfordítjuk a kört az S 1 -nek az 1/2-et helybenhagyó szimmetriájával, akkor egy S 1 → S 1 leképezést, és így egy ι : SX → SX leképezést is kapunk. Az egész térnek egy pontra való leképezése egy egységelemet definiál. Könnyen látható, hogy ilyen módon SX egy csoportobjektumot definiál a H ot ∗0 kategóriában. 18. példa. A H ot 0 és H ot ∗0 kategóriáknak a 16. és 17. példában megkonstruált csoportobjektumai fontos invariánsokat definiálnak, amelyek most közönséges csoportok. Ennek az az egyszerű oka, hogy ha G csoportobjektum egy C kategóriában, akkor definíció szerint H(A, G) csoport bármely A ∈ Ob(C)re. Hasonlóan, ha G ∈ Ob(C) csoport a C ∗ duális kategóriában, akkor H(G, A) csoport bármely A ∈ Ob(C)-re. Ezért ha kiválasztunk egy R topologikus teret (egy kijelölt bázisponttal), akkor bármely X topologikus térre H(X, ΩR) és H(SR, X) csoportok lesznek, és így funktorokat definiálnak a H ot 0 kategóriából a csoportok kategóriájába. Ezek egyikével már találkoztunk: ha R két pontból áll, akkor SR = S 1 (43. ábra), és H(SR, X) a π(X) fundamentális csoport. Minthogy S n = SS n−1 , ezért a H(S n , X) halmaz is csoport lesz bármely n > 1re. Ezt πn (X)-szel jelöljük, és az X n-edik homotópiacsoportjának nevezzük. Speciálisan π(X) = π1 (X).

219

20. fejezet Kategóriák

43. ábra.

A πn (X) csoport minden n > 2-re Abel-csoport, és ennek is kategóriaelméleti oka van: azon múlik a dolog, hogy n > 2-re S n = S(SS n−2 ), és tetszőleges R és X terekre a H(S(SR), X) csoport kommutatív. Az SSR = S 1 ∧ S 1 ∧ R felírás ugyanis lehetővé teszi, hogy két SSR → SSR ∨ SSR leképezést adjunk meg, a 42. ábrán szereplő S 1 → S 1 ∨ S 1 leképezést használva az SSR = S 1 ∧ S 1 ∧ R első, illetve második S 1 faktorára. Ebből két csoportszabályt kapunk a H(S(SR), X)-en; jelöljük ezeket · -tal és ∗-gal. Ezekre teljesül a disztributivitás: (f · g) ∗ (u · v) = (f ∗ u) · (g ∗ v); ezt a definíció alapján könnyen ellenőrizhetjük, csak a ∧ művelet (4)-es disztributivitási szabályát kell használnunk. Ráadásul mindkét műveletnek ugyanaz az e egységeleme van. Ebből már formálisan is következik, hogy a két művelet megegyezik és kommutatív: f · g = (f ∗ e) · (e ∗ g) = (f · e) ∗ (e · g) = f ∗ g, és g · f = (e ∗ g) · (f ∗ e) = (e · g) ∗ (f · e) = f ∗ g = f · g.

Hasonlóan láthatjuk be, hogy H(X, ΩΩR) Abel-csoport bármely R és X terekre. A kohomológiacsoportok definícióját is megadhatjuk hasonló fölfogásban. Ehhez azt kell bizonyítani, hogy bármely A Abel-csoporthoz létezik kijelölt bázisponttal ellátott tereknek egy olyan Kn (n = 1, 2, 3, . . .) sorozata, amelyre πm (Kn ) = 0 minden m 6= 0, n-re, πn (Kn ) = A,

(5)

és Kn−1 = ΩKn (H ot 0 -ban). Ekkor úgy, mint az előbb, a H(X, Kn ) halmaz Abel-csoport lesz; ez az X tér Abeli együtthatós n-edik kohomológiacsoportja, amelyet H n (X, A)-val jelölünk.

220

21. fejezet Homologikus algebra

(Ez nem a legtermészetesebb módja a kohomológiacsoportok definiálásának, és nem is az eredeti definíció; azt a következő fejezetben fogjuk tárgyalni.) Az ndimenziós gömbre, S n -re H m (S n , A) = 0 minden m 6= 0, n-re, H n (S n , A) = A, és S n = SS n−1 (H ot -ban), tehát az S n gömbök ebben az értelemben a Kn terek megfelelői (ahol a H i csoportok helyett πi csoportok szerepeltek). A topológiának sok nagyszerű eredménye (például azok, amelyek a πm (S n ) csoportok vizsgálatával kapcsolatosak) olyasfajta fölfogáson alapszik, amilyet az előbbi példákban sugallni próbáltunk: a H ot 0 kategória nagy mértékben algebrai fogalomnak tekinthető, sok tekintetben hasonló például a modulusok kategóriájához, és az algebrai intuíció gyakran sikerrel alkalmazható erre a kategóriára.

21. Homologikus algebra A. A homologikus algebra fogalmainak topológiai gyökerei A homológiaelmélet algebrai oldala nem bonyolult. Lánckomplexuson Abel-csoportoknak egy olyan {Cn }n∈Z sorozatát értjük (és itt leggyakrabban Cn = 0, ha n < 0), amelyhez meg vannak adva a határleképezésnek nevezett ∂n : Cn → Cn−1 összekötő homomorfizmusok. Kolánckomplexuson Abel-csoportoknak egy {C n }n∈Z sorozatát és a köztük menő dn : C n → C n+1 homomorfizmusokat, az ún. kohatárleképezéseket vagy differenciálokat értjük. A lánckomplexusok határleképezéseinek minden n ∈ Z-re ki kell elégíteniük a ∂n ∂n+1 = 0 összefüggést, a kolánckomplexusok kohatárleképezéseinek pedig a dn+1 dn = 0 feltételt. Így egy komplexus megadásához nemcsak csoportok egy rendszerére van szükségünk, hanem a közöttük menő kijelölt homomorfizmusokra is, éppen ezért a lánckomplexusokat általában az alábbi módon fogjuk jelölni: K = {Cn , ∂n }. A lánckomplexus definíciójában szereplő ∂n ∂n+1 = 0 feltétel azt jelenti, hogy ∂n+1 (Cn+1 ), azaz a ∂n+1 leképezés képe benne van ∂n magjában, vagyis Im ∂n+1 ⊂ Ker ∂n . Az ily módon keletkező Hn (K) = Ker ∂n / Im ∂n+1 faktorcsoportot nevezik a K = {Cn , ∂n } lánckomplexus n-edik homológiacsoportjának , és Hn (K)-val jelölik. Ehhez hasonlóan egy K = {C n , dn } kolánckomplexusnál Im dn−1 ⊂ Ker dn ; a Ker dn / Im dn−1 csoportot nevezzük a K kolánckomplexus n-edik kohomológiacsoportjának , és H n (K)-val jelöljük. Következzen ezekre a fogalmakra két alapvető példa.

221

21. fejezet Homologikus algebra

44. ábra.

1. példa. Legyen megadva n + 1 pont egy euklideszi térben úgy, hogy ezek ne feküdjenek egy n − 1 dimenziós altér eltoltjában; az ilyen ponthalmazok konvex burkát nevezik n-dimenziós szimplexnek vagy röviden n-szimplexnek . Komplexusnak nevezzük szimplexeknek egy halmazát, melyben a szimplexek teljes lapok mentén csatlakozhatnak egymáshoz, s melyben egy adott szimplexszel együtt annak minden lapja is szerepel; végezetül azt is megköveteljük, hogy bármely pont csak véges sok szimplexhez tartozhasson. Topologikus térként egy komplexust meghatároz a pontjainak a halmaza, valamint az az információ, hogy mely pontok alkotják az egyes szimplexeket. Így egy véges módszert kapunk topologikus terek megadására, ami analóg azzal, ahogy csoportokat megadhatunk generátorokkal és definiáló relációkkal. Egy X topologikus teret, amely homeomorf egy komplexussal, poliédernek nevezünk, az X és a komplexus közötti homeomorfizmust pedig az X triangulációjának . A trianguláció tehát a térnek egy olyan földarabolása, amelynél az egyes darabok szimplexekkel homeomorfak, és a darabok „szépen illeszkednek össze”. A 44. ábra a gömb egy triangulációját mutatja. A gyakorlatban előforduló tereknek rendszerint létezik triangulációja; pl. ez igaz a differenciálható sokaságokra. De éppúgy sokféle trianguláció létezhet, ahogyan egy csoportot is többféleképpen megadhatunk generátorokkal és relációkkal. Tetszőleges X komplexushoz hozzárendelhetünk egy K = {Cn , ∂n }n>0 lánckomplexust. Itt Cn = ⊕ Zσi az a szabad Z-modulus, melynek a generátorelemei az X komplexus σi -vel jelölt n-szimplexeinek feleltethetők meg. Hogy megadhassuk a ∂n homomorfizmusokat, minden σi szimplexet irányítanunk kell, azaz kiválasztanunk a csúcsainak egy rögzített σi = {x0 , . . . , xn } sorbarendezését. Ekkor legyen n P k ∂n σ i = (−1) εk σik , k=0

ahol σik az {x0 , . . . , xk−1 , xk+1 , . . . , xn } szimplexet jelöli, εk értéke pedig attól függően +1 vagy −1, hogy az x0 , . . . , xk−1 , xk+1 , . . . , xn sorozatot a σik szimplex

222

21. fejezet Homologikus algebra

45. ábra.

csúcsainak páros vagy páratlan permutációjával kaphatjuk meg, a kiválasztott sorbarendezésből kiindulva. Ezután ∂n -et additívan kiterjesztjük az egész Cn re. Könnyű ellenőrizni, hogy teljesül a ∂n ∂n+1 feltétel. Az xn ∈ Ker ∂n elemeket ciklusoknak , az yn ∈ Im ∂n+1 elemeket pedig határoknak nevezzük; a Hn (K) csoportok az X tér homológiacsoportjai , és Hn (X)-szel jelöljük őket. Geometriailag egy x ∈ Hn (X) elem az X térnek egy zárt n-dimenziós darabja, és két ilyen darabot akkor tekintünk egyenlőnek, ha együtt egy n + 1 dimenziós darab határát alkotják. Így pl. a 45. ábra (a) részében c és c′ olyan zárt görbék a tóruszon, amelyek a H1 (X) csoportnak ugyanazt az elemét definiálják, míg a 45. ábra (b) részében a „kengyelfelületen” levő d görbe a csoport nulleleme. Az általunk megadott definícióból egyáltalán nem látszik rögtön a Hn (X) csoportok egyik alaptulajdonsága: nevezetesen az, hogy Hn (X) nem függ az X poliéder választott triangulációjától, csupán magától az X tértől. Az is igaz, hogy ilyen módon valójában a H ot kategóriából az Abel-csoportok A b kategóriájába képező kovariáns funktorokat kaptunk. Más szóval, egy f : X → Y folytonos leképezés egy olyan f∗n : Hn (X) → Hn (Y ) homomorfizmust indukál, ami csak az f homotópiaosztályától függ, és teljesülnek rá a funktor definíciójában kirótt feltételek. A Hn (X) csoportoknak épp ez a „funktoriális” jellege teszi őket ilyen hasznossá a topológiában: a topológiát az algebrába „vetítik”. Mutatunk erre egy nagyon egyszerű példát. Könnyű belátni, hogy az n-dimenziós gömbre, S n -re n > 0 esetén teljesülnek az alábbiak: H0 (S n ) ∼ =Z∼ = Hn (S n ) és

Hk (S n ) = 0,

ha k 6= 0 vagy n.

Másrészt viszont az n-dimenziós tömör gömb, amit B n -nel jelölünk, ugyanolyan homotópiatípusú, mint a pont, hiszen egy sugár irányú kontrakcióval ráhúzhatjuk a középpontjára, és így Hk (B n ) = 0 minden k 6= 0-ra. Most igazoljuk a nevezetes Brouwer-féle fixponttételt: minden folytonos Φ : B n → B n függvénynek van fixpontja. Ha ez nem így lenne valamely Φ-re, akkor bármely x ∈ B n pontra meghúzhatnánk a Φ(x)-et x-szel összekötő félegyenest; jelölje f (x) ennek a félegyenesnek a metszéspontját a B n határával, S n−1 -gyel. Ekkor az f leképezés folytonos lesz, és nyilván f (x) = x minden x ∈ S n−1 pontra; azaz, ha i jelöli az i : S n−1 ֒→ B n beágyazást a határoló gömbre, 1 pedig az S n−1 identitását, akkor f ◦ i = 1. Ekkor a funktorialitás miatt f∗(n−1) : Hn−1 (B) → Hn−1 (S) a

223

21. fejezet Homologikus algebra

nulla leképezés (hiszen Hn−1 (B n ) = 0). Másrészt viszont f∗(n−1) ◦ i∗(n−1) = 1, és ez ellentmondás. Az előbbiekben tetszőleges X poliéderre megkonstruáltuk, a K = {Cn , ∂n } lánckomplexust. Most vehetünk egy tetszőleges A Abel-csoportot, és képezhetjük vele a K ⊗Z A = {Cn ⊗Z A, ∂n } lánckomplexust, valamint a Hom(K, A) = {Hom(Cn , A), dn } kolánckomplexust. Emlékeztetőül: az F (C) = C ⊗Z A funktor kovariáns, a G(C) = Hom(C, A) funktor pedig kontravariáns (lásd a 20. fejezet 11. példáját). A Hn (K ⊗ A) csoportot Hn (X, A), a H n (Hom(K, A)) csoportot pedig H n (X, A) jelöli. Ezeket nevezzük az X topologikus tér A-együtthatós homológia-, ill. kohomológiacsoportjainak . A homológiacsoport képzése kovariáns, a kohomológiacsoport képzése pedig kontravariáns funktor H ot-ból A b-ba. A H n (X, A) csoportokról már szó esett a 20. fejezet végén. 2. példa. Legyen X differenciálható sokaság, Ωr pedig a differenciál rr formák tere X-en. P Ha ϕ ∈ Ω egy ilyen differenciálforma, melyet lokális koordinátákkal ϕ = fi1 ...ir dxi1 ∧ · · · ∧ dxir alakban írhatunk, akkor ϕ differenciálja az alábbi formát értjük: P dϕ = d fi1 ...ir ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxir .

Ez a kifejezés nem függ a lokális koordinátarendszer megválasztásától, így egy dr : Ωr → Ωr+1 homomorfizmust kapunk. Nem nehéz ellenőrizni a dr+1 dr = 0 összefüggés teljesülését. Ezzel egy K = {Ωr , dr } kolánckomplexushoz jutunk; a H r (K) kohomológiacsoportot V nevezik Laz VkX de Rham-kohomológiájának ; jele: r HDR (X). Egy E vektorér (E) = (E) külső algebrájának analógiájára (lásd az 5. 12. példáját) képezhetjük az X összes differenciálformájának Lfejezet r Ω(X) = Ω fokszámozott L gyűrűjét. A külső szorzás művelete az Ω(X) gyű∗ r rűről átvihető a HDR (X) = HDR (X) csoportra is, ami ezáltal fokszámozott gyűrűvé (és szuperalgebrává) válik. Az 1. és a 2. példa kapcsolata azon a műveleten alapszik, amit a differenciálformák lánc menti integrálásának neveznek. Részletesebben kifejtve, az X sokaságnak mindig található egy olyan triangulaciója, ami elég finom ahhoz, hogy minden σi szimplex benne legyen egyetlen lokális koordinátázási tartományban, és elég sima ahhoz, hogy az fi : σ i → σi leképezés a σi és az euklideszi tér stanlegyen, amennyire éppen dard szimplexe, σ i közöttRannyiszor R P differenciálható P szükségünk van. Ekkor az σ ϕ = ni σi ϕ definícióval, ahol σ = n σ ∈ Cr , R i i r és ϕ ∈ Ω , az integrál σ menti integráljának a kiszámítását az σi ϕ integrál definícójára redukáljuk, ahol egyetlen szimplex mentén kell integrálnunk. Másrészt, ha használjuk az fi : σ i → σi diffeomorfizmust, akkor az egészet az fi∗ ϕ forma integrálására redukálhatjuk az euklideszi térben levő σ i szimplex mentén, azaz egy közönséges többváltozós integrált kell kiszámítanunk. Stokes-tétel (általános alak). Tetszőleges ϕr−1 ∈ Ωr−1 formára és cr ∈ Cr láncra Z Z r−1 ϕ = dϕr−1 . ∂Cr

Cr

224

21. fejezet Homologikus algebra

Mivel a lánc menti integrál additívan függ a lánctól, a tételt elegendő arra az esetre bizonyítani, amikor Cr egy szimplex az euklideszi térben. Ez pedig r = 1, 2 és 3 esetén Green és Stokes közimert tételeire vezethető vissza, és ugyanígy R bizonyítható az általános esetben is. Vezessük be a (c, ϕ) = c ϕ jelölést c ∈ Cr re és ϕ ∈ Ωr -re, és terjesszük ki a (c, ϕ) definícióját c ∈ Cr ⊗ R-re is. Ekkor a Stokes-tétel azzal az állítással lesz ekvivalens, hogy a Cr ⊗ R-en megadott ∂, illetve az Ωr -en megadott d operátorok duális leképezések. Ha (c, ϕ)-t a ∂c = dϕ = 0 esetre nézzük, akkor ebből az következik, hogy (c, ϕ) akkor tűnik el, ha r vagy c = ∂c′ , vagy ϕ = dϕ′ , és így egy dualitást kapunk Hr (X, R) és HDR (X) között. de Rham tétele. Az előbb megkonstruált (c, ϕ) hozzárendelés egy dualitást ad a megfelelő terek között, úgyhogy a de Rham-kohomológia analitikus eszközt ad egy sokaság homológiájának a kiszámolására. Vagy ezzel ekvivalensen, r HDR (X) izomorf H r (X, R)-rel. Ez az izomorfizmus lehetőséget ad arra, hogy a 2. példában gyűL definiált ∗ ∗ r rűstruktúrát átvigyük a HDR (X) gyűrűről a H (X, R) = H (X, R) csoportra. Így ismét egy gyűrűt kapunk, az X kohomológiagyűrűjét. Természetesen a H ∗ (X, R)-en úgy is definálhatnánk egy szorzást, hogy nem használjuk ki a differenciálformákkal való kapcsolatot, és ekkor nem kellene arra az esetre szorítkoznunk, amikor az X differenciálható sokaság. Térjünk most vissza a komplexusok algebrai elméletére, elsősorban a kolánckomplexusok esetére szorítkozva; a lánckomplexusok elmélete ebből a nyilak megfordításával kapható meg. A K = {C n , dn } komplexus részkomplexusán egy olyan K1 = {C1n , dn } komplexust értünk, amelyben a C1n csoport a C n csoport részcsoportja minden n-re, és a közöttük menő differenciálokat a C n -eken értelmezett differenciálok megszorításával kapjuk; így tehát dn (C1n ) ⊂ C1n+1 . Ilyenkor a dn leképezések a C2n = C n /C1n csoportokon is differenciálokat indukálnak, és egy új komplexust kapunk, a K-nak a K1 szerinti faktorát; ezt a komplexust K/K1 jelöli. A K, K1 és K2 = K/K1 komplexusok kohomológiacsoportjait fontos relációk kapcsolják össze. Ha Ker dn jelöli a dn leképezés magját C n -ben, akkor definíció szerint H n (K) = Ker dn /dn−1 (C n−1 ) és H n (K1 ) = (Ker dn ∩ C1n )/dn−1 (C1n−1 ). Mivel C1n−1 ⊂ C n−1 , és dn−1 (C1n−1 ) ⊂ dn−1 (C n−1 ), ezért ha a (Ker dn ∩ C1n−1 )/ dn−1 (C1n−1 ) egy elemét a nagyobb részcsoport, dn−1 (C n−1 ) szerinti mellékosztályába küldjük, egy in : H n (K1 ) → H n (K) homomorfizmust kapunk. A C n → C2n = C n /C1n homomorfizmusokat hasonlóan fölhasználva egy hasonlóképpen nyilvánvaló jn : H n (K) → H n (K2 ) homomorfizmust kapunk. Van egy másik homomorfizmus is, ami már kevésbé nyilvánvaló. Tegyük föl, hogy x ∈ H n (K2 ); ekkor x a Ker dn egy y elemének felel meg C n /C1n -ben. Vegyük az y-nak egy y inverz képét C n -ben. Mivel dy = 0 a C n+1 /C1n+1 csoportban, azt kapjuk, hogy dy ∈ C1n+1 , és a komplexus definíciójából az következik, hogy dy ∈ Ker dn+1 . Könnyű megmutatni, hogy a dy + dn C1n mellékosztály a

225

21. fejezet Homologikus algebra

H n+1 (K1 ) egy elemét adja meg, ami csak az eredeti x elemtől függ, azaz nem függ a menetközben választott y-tól és y-tól; ezzel egy δn : H n (K2 ) → H n+1 (K1 ) homomorfizmust adtunk meg. Az így megkonstruált homomorfizmusok egy végtelen sorozatba köthetők:

in

···

jn−1

δn−1

jn

δn

− −−→ H n−1 (K2 ) −−−→

(1)

H n (K1 ) − −−→ H n (K) − −−→ H n (K2 ) −−−→ in+1

−−→ H n+1 (K1 ) −

···

Ennek a sorozatnak van egy rendkívül fontos tulajdonsága, melyet legegyszerűbben az alábbi igen kényelmes algebrai fogalommal fejezhetünk ki. Csofn−1

fn

portoknak és köztük menő homomorfizmusoknak egy · · · −→ An−1 −→ An −→ fn+1

An+1 −→ · · · sorozatát egzaktnak nevezzük, ha az fn−1 leképezés képe megegyezik az fn leképezés magjával minden n-re. Ez a feltétel azzal ekvivalens, hogy az {An , fn } sorozat egy olyan kolánckomplexus, amelynek minden kohomológiacsoportja 0. Megfordítva, egy komplexus kohomológiája azt méri, mennyire f nem egzakt az adott komplexus. A 0 −→ A −→ B sorozat egzaktsága azt jeg lenti, hogy f az A beágyazása B-be, míg a B −→ C −→ 0 sorozat egzaktsága azt jelenti, hogy g képe az egész C. Végezetül, a 0 → A → B → C → 0 sorozat egzaktsága annyit jelent, hogy A ⊂ B, és C = B/A; az ilyen típusú egzakt sorozatokat nevezik rövid egzakt sorozatoknak . Most már igen tömören ki tudjuk mondani az (1)-es sorozat alaptulajdonságát. Tétel. (Kohomológiacsoportok hosszú egzakt sorozata.) Ha 0 → K1 → K → K2 → 0 kolánckomplexusok rövid egzakt sorozata (azaz K1 ⊂ K, és K2 = K/K1 ), akkor az (1)-es sorozat egzakt. A bizonyítás triviális számolás. Az (1)-es sorozatot nevezik a kohomológiacsoportok hosszú egzakt sorozatának . Legyen X egy triangulálható topologikus tér, Y pedig egy zárt altere X-nek, mely úgy áll elő, hogy X triangulációjából néhány szimplexet teljesen beveszünk Y -ba. Ekkor az Y ⊂ X mellé olyan KX és KY lánckomplexusokat rendelhetünk, melyekre KY ⊂ KX . Így lánckomplexusoknak egy rövid egzakt sorozatát nyerjük: 0 → KY → KX → KX /KY → 0, és amint azt bárki könnyen ellenőrizheti, tetszőleges A Abel-csoportra kolánckomplexusoknak is kapjuk egy egzakt sorozatát: 0 → Hom(KX /KY , A) → Hom(KX , A) → Hom(KY , A) → 0 . A Hom(KX /KY , A) komplexus kohomológiáinak az értelmezése már inkább geometriai, mint algebrai tartalmú: n 6= 0-ra H n (KX /KY , A) ∼ = H n (X/Y, A) ,

226

21. fejezet Homologikus algebra

ahol X/Y az a tér, amit úgy kapunk, hogy Y -t egyetlen pontra húzzuk öszsze. A fönti összefüggés igaz lesz H 0 -ra is, ha az n = 0 dimenzióban egy kicsit módosítjuk a KX komplexus P definícióját (X, Y és X/Y mindegyikénél); P ilyenkor C0 -t azon 0-dimenziós ni σi láncokra szorítjuk meg, amelyeknél ni = 0. 0 e (X, A)-val. A kohomolóiAz így kapott kohomológiacsoportokat jelöljük H acsoportok hosszú egzakt sorozatáról szóló tisztán algebrai tételből azt kapjuk, hogy az alábbi sorozat egzakt: e 0 (X/Y, A) → H e 0 (X, A) → H e 0 (Y, A) → · · · 0 → H e n−1 (Y, A) → →H ··· e n (X/Y, A) → H e n (X, A) → H e n (Y, A) → · · · , H

(2)

e n (X, A) = H n (X, A), ha n > 0. Ebből pl. az következik, hogy ha és itt H e n (X, A) csoport nulla, akkor a H e n (Y, A) és a H e n+1 (X/Y, A) csoportok minden H izomorfak. Ezt az eredményt a következőképpen is szemlélhetjük. A H 0 (X, A) egy funktort definál a H ot kategóriából az Abel-csoportok kategóriájába. Az X, Y és X/Y terek esetében ez a funktor az alábbi egzakt sorozatot adja: e 0 (X/Y, A) → H e 0 (X, A) → H e 0 (Y, A), 0→H

de ez a sorozat nem maradna egzakt, ha megpróbálnánk a jobb oldalon egy → 0 hozzáadásával lezárni. Ezzel szemben, ha bevezetünk végtelen sok újabb funke n (X, A) funktorokat, akkor a sorozatunkat a (2)-esben tort, nevezetesen a H szereplő hosszú egzakt sorozattá terjeszthetjük ki. Ez a helyzet igen gyakran fordul elő, és az általunk vizsgált speciális eset egy általános elvet sejtet: ha valamilyen fontos F (A) funktornál, mely az Abel-csoportok kategóriájába képez, az egzakt sorozatok természetesen bukkannak föl, pl. 0 → F (B) → F (C) → F (A) alakban, akkor érdemes eltűnődnünk, nem lehetséges-e egy olyan F n (A) funktorcsaládot definiálni, amelyre F 0 = F , és amelyeket egy, az (1)-eshez vagy (2)-eshez hasonló hosszú egzakt sorozat köt össze egymással. Így egy teljesen új módszert kapunk funktorok konstruálására. A fejezet hátralevő részében két szemléltető példát adunk erre a meglehetősen rugalmas elvre. Egy harmadik megvalósulásról a 22. fejezetben lesz szó.

B. Modulusok és csoportok kohomológiája A 20. fejezet 11. példájában már láttuk, hogy tetszőleges R gyűrűre egy rögzített A és egy „változó” M modulus mellett az F (M ) = HomR (M, A) hozzárendelés egy kontravariáns funktort definiál az R-modulusok kategóriájából az Abel-csoportok kategóriájába. Így, ha adva van R-modulusoknak egy f

g

0 −→ L −→ M −→ N −→ 0

(3)

227

21. fejezet Homologikus algebra

egzakt sorozata, akkor ebből egy F (g) : HomR (N, A) → HomR (M, A), és egy F (f ) : HomR (M, A) → HomR (L, A) leképezést kapunk. Könnyen ellenőrizhetjük, hogy a F (g)

F (f )

0 −→ HomR (N, A) − −−→ HomR (M, A) −−−→ HomR (L, A)

(4)

sorozat egzakt, de nem lesz egzakt, ha a jobb végéhez egy → 0-t adunk hozzá. Ez azt jelenti, hogy az F (f ) leképezés nem feltétlenül ráképezés: ez jól látható például Z-modulusoknak a 0 → pZ/p2 Z → Z/p2 Z → Z/pZ → 0 egzakt sorozatánál, ha A = Z/pZ. A (4)-es sorozatnak azonban van egzakt folytatása. Ehhez a 12. fejezet 2. példájában bevezetett ExtR (A, B) csoportokra van szükségünk. Meg lehet mutatni, hogy hasonlóan a HomR (A, B)-hez, az ExtR (A, B) csoport is funktorokat definál a M od R kategóriából A b-ba: rögzített A esetén egy kovariáns G(B) = ExtR (A, B) funktort, rögzített B esetén pedig egy kontravariáns E(A) = ExtR (A, B) funktort. A (3)-as sorozat alapján az M modulusra úgy is tekinthetünk, mint ExtR (N, L) egy elemére, másrészt tetszőleges ϕ ∈ HomR (L, A) homomorfizmus megad egy G(ϕ) : ExtR (N, L) → ExtR (N, A) homomorfizmust. Így tehát G(ϕ)(M ) ∈ ExtR (N, A), és ez a hozzárendelés mint ϕ-nek függvénye egy ∂ : HomR (L, A) → ExtR (N, A) homomorfizmust ad meg. Megmutatható, hogy a F (g)

F (f )

∂

0 −→ HomR (N, A) − −−→ HomR (M, A) − −−→ HomR (L, A) − −−→ ExtR (L, A) sorozat egzakt. Valójában ezt belefoglalhatjuk egy még hosszabb sorozatba: F (g)

F (f )

E(g)

E(f )

0 −→ HomR (N, A) − −−→ HomR (M, A) − −−→ HomR (L, A) ∂

(5)

−→ ExtR (L, A) − −−→ ExtR (M, A) −−−→ ExtR (L, A), ahol E(g) és E(f ) az E(M ) = ExtR (M, A) funktor által definált homomorfizmusok, és ez a sorozat szintén egzakt lesz! Ez természetesen megerősítheti a reményünket, hogy sikerül a sorozatot egy végtelen sorozattá kiegészíteni. A következőkben Abel-csoportoknak egy rendszerét konstruáljuk meg; jelölje ezeket ExtnR (A, B). Rögzített n-re és rögzített B-re ezek az első változó kontravariáns funktorai lesznek, és bármely 0 → L → M → N → 0 rövid egzakt sorozat esetén a következő egzakt sorozattal lesznek összekötve (minden n > 0-ra): ···

−→ Extn−1 R (L, A) −→

ExtnR (N, A) −→ ExtnR (M, A) −→ ExtnR (L, A) −→ Extn+1 ··· R (N, A) −→

(6)

Itt most Ext0R valójában a HomR funktorral, Ext1R pedig az ExtR funktorral egyenlő. Ennek a funktorrendszernek a megkonstruálása nagyon egyszerű ötleten alapszik. Tegyük föl, hogy már megoldottuk a problémát, és hogy emellett ismerünk olyan modulusokat (jelöljük ezeket P -vel), amelyeken a funktorok eltűnnek, azaz ExtnR (P, A) = 0 minden A modulusra és minden n > 1-re.

228

21. fejezet Homologikus algebra

Tegyük föl továbbá, hogy N -et sikerül valamilyen P kiválasztott modulussal egy 0 → L → P → N → 0 rövid egzakt sorozatba beillesztenünk, azaz N előáll mint egy P modulus homomorf képe. Ekkor a (6)-os egzakt sorozatból már következik, hogy ExtnR (N, A) izomorf Extn−1 R (L, A), és így egy induktív definíciót kapunk a funktorainkra. A feladatunk most tehát az, hogy azonosítsuk azokat a P modulusokat, amelyeken a még ismeretlen ExtnR funktoroknak el kell tűnnie. Persze, ezeknek a funktoroknak egy részét már ismerjük: Ext1R = ExtR , így azokkal a modulusokkal kell kezdenünk, amelyeken ez a funktor eltűnik. Egy P modulust projektívnek nevezünk, ha ExtR (P, A) = 0 minden A modulusra. Egyszerűbben fogalmazva ez azt jelenti, hogy amennyiben P előáll egy A modulus homomorf képeként, akkor van olyan B ⊂ A részmodulus, melyre A ∼ = P ⊕ B (és az A → P projekció megegyezik a megadott A → P homomorfizmussal). Azaz amikor projektív modulusokkal foglalkozunk, akkor olyan, mintha visszakerültünk volna a féligegyszerű esethez. Projektív modulusra a legegyszerűbb példa egy szabad modulus. Legyen ugyanis F szabad modulus egy R gyűrű fölött, és legyen x1 , . . . , xn szabad generátorrendszer F -ben (az egyszerűbb jelölés kedvéért föltesszük, hogy f

g

ez a generátorrendszer véges). Ha a 0 −→ L −→ M −→ F −→ 0 sorozat egzakt, akkor g szürjektíven képez F -re, így vannak olyan yi ∈ M elemek, amelyekre g(yi ) = xi . Legyen M ′ = Ry1 + · · · + Ryn az általuk generált részmodulus M -ben. Abból, hogy a {xi = g(yi )} halmaz szabad generátorrendszert alkot, az következik, hogy ugyanez igaz a {yi } halmazra is. Ebből viszont már könnyen következik, hogy g izomorfan képezi az M ′ modulust F -re, és M = L ⊕ M ′ , ahol L = Ker g. Az derül ki, hogy a projektív modulusok osztálya már megfelel a céljainknak. Minden modulus előáll mint egy szabad modulus homomorf képe, így tehát homomorf képe egy projektív modulusnak is. Legyen 0→L→P →N →0

(7)

az N modulus egy előállítása valamely P projektív modulus homomorf képeként. Tegyük föl, hogy az ExtrR (L, A) funktorokat már definiáltuk minden r 6 n − 1→ L′ re, és legyen ExtnR (N, A) = Extn−1 R (L, A). Tekintsünk most el a ϕ : L leképezésnek megfelelő ExtnR (ϕ) : ExtnR (L′ , A) → ExtnR (L, A) homomorfizmus megadásától; ennek megkonstruálása egyébként nem túl nehéz feladat. Be lehet bizonyítani, hogy sem az így megadott ExtnR (N, A) csoport, sem az ExtnR (ϕ) homomorfizmus nem függ attól, hogyan választottuk N -hez a (7)-es sorozatot, azaz mindkettő jól van definiálva. Ilyen módon (rögzített n-re és A-ra) olyan kontravariáns funktorokat konstruáltunk, amelyeket a (6)-os egzakt sorozat kapcsol össze. Ha összerakjuk az n lépést, az ExtnR funktoroknak egy olyan definícióját kaphatjuk, ami nem induktív. Ehhez a (7)-es sorozatban szereplő L modulust is egy hasonló sorozattal reprezentáljuk, azaz keresünk egy 0 → L′ → P ′ → L → 0 egzakt sorozatot valamilyen P ′ projektív modulussal, majd megismételjük az eljárást L′ -re stb. Ekkor a következő végtelen egzakt sorozatot kapjuk: ϕn

ϕ2

ϕ1

· · · −→ Pn −→ · · · −→ P2 −→ P1 −→ P0 −→ N −→ 0,

(8)

229

21. fejezet Homologikus algebra

ahol a Pn modulusok projektívek; ezt nevezik az N modulus egy projektív föloldásának . Ha most alkalmazzuk erre a sorozatra a HomR (P, A) funktort, és kihagyjuk az első tagot, az alábbi sorozatot kapjuk: ψ0

ψ1

ψn

HomR (P0 , A) −→ HomR (P1 , A) −→ · · · −→ HomR (Pn , A) −→ · · ·

(9)

Ez a sorozat nem feltétlenül lesz egzakt, de kolánckomplexust kapunk (mivel a (8)-as sorozatban ϕn ◦ ϕn+1 = 0, a funktor definícójából következik, hogy a (9)-esben ψn+1 ◦ ψn = 0). A (9)-es komplexus kohomológiái megegyeznek az ExtnR (N, A) csoportokkal. 3. példa. Csoportkohomológia. Az ExtnR (N, A) csoportok számos algebrai és általános matematikai alkalmazása közül a legfontosabb az az eset, amelyben R = Z[G], azaz amikor a gyűrű egy G csoportnak az egészek fölött vett csoportalgebrája, az R-modulusok kategóriája pedig a G-modulusok kategóriájával egyezik meg. Ha A egy G-modulus, akkor az ExtnZ[G] (Z, A) csoportot (ahol Z-n a G-modulus-struktúrát a triviális G-hatás adja meg) a G csoport A-beli együtthatós n-edik kohomológiacsoportjának nevezik, és H n (G, A)-val jelölik. A Z egy projektív föloldásának a megkonstruálása (vagy akár egy olyan föloldásé, amelyben csak szabad modulusok szerepelnek) pusztán technikai probléma, mely nem is túl nehéz feladat. Ennek eredményeképpen a (8)-as és (9)-es komplexusokat teljesen explicit alakban kapjuk meg. Írjuk most föl a másodikat ezek közül. Az ebben szereplő C i (= HomG (Pi , A)) csoportok az összes olyan f (g1 , . . . , gn ) függvényekből állnak, melyek n darab G-beli elemhez rendelnek egy A-beli értéket. A dn : C n → C n+1 differenciál az alábbi módon van értelmezve: (d f )(g1 , . . . , gn+1 ) = g1 f (g2 , . . . , gn+1 ) +

n P

i

(−1) f (g1 , . . . , gi gi+1 , . . . , gn )

i=1 n+1

+ (−1)

f (g1 , . . . , gn ) .

(A jobb oldal első tagjának megértéséhez arra kell visszaemlékeznünk, hogy f (g2 , . . . , gn+1 ) ∈ A, és A-nak G-modulus-struktúrája van; ez megmagyarázza, mit jelent a g1 f (g2 , . . . , gn+1 ) kifejezés.) Írjuk föl részletesen is az első néhány esetet. n=0:f =a∈A

és (d f )(g) = ga − a;

n = 1 : f (g) ∈ A és (d f )(g1 , g2 ) = g1 f (g2 ) − f (g1 g2 ) + f (g1 ); n = 2 : f (g1 , g2 ) ∈ A és (d f )(g1 , g2 , g3 ) = g1 f (g2 , g3 ) + f (g1 , g2 g3 )

− f (g1 g2 , g3 ) − f (g1 , g2 ).

Így H 0 (G, A) azoknak az a ∈ A elemeknek a halmaza, amelyekre ga − a = 0 minden g ∈ G elemre, vagyis nem más, mint a G-invariáns elemek halmaza. H 1 (G, A) azoknak az A-értékű f (g) függvényeknek a csoportja (g ∈ G-re), amelyek kielégítik az f (g1 g2 ) = f (g1 ) + g1 f (g2 ) (10)

230

21. fejezet Homologikus algebra

feltételt, modulo azoknak a függvényeknek a csoportja, amelyekre viszont f (g) = ga − a , ha a ∈ A .

(11)

Ha G hatása az A-n triviális, akkor H 1 (G, A) = Hom(G, A). Végül H 2 (G, A) azoknak az A-értékű f (g1 , g2 ) függvényeknek a csoportja (g1 , g2 ∈ G), amelyek kielégítik az f (g1 , g2 g3 ) + g1 f (g2 , g3 ) = f (g1 g2 , g3 ) + f (g1 , g2 )

(12)

feltételt, modulo azon függvényeknek a csoportja, amelyekre f (g1 , g2 ) = h(g1 g2 ) − h(g1 ) − g1 h(g2 )

(13)

teljesül, ahol h(g) tetszőleges függvénye a g ∈ G elemeknek, amely értékeit A-ból veszi föl. Most ezeknek a csoportoknak a megjelenésére mutatunk néhány példát. 4. példa. Csoportbővítések. Tegyük föl, hogy a Γ csoportnak van egy N normális részcsoportja, s a szerinte vett faktor G = Γ/N . Hogyan rekonstruálhatjuk Γ-t a G és az N csoportokból? Ezzel a problémával már találkoztunk a 16. fejezetben; emlékeztetőül: ilyenkor azt mondjuk, hogy a Γ csoport a G csoport bővítése az N -nel. Most azzal az esettel foglalkozunk részletesebben, amikor N Abel-csoport; ilyenkor N helyett az A jelölést fogjuk használni. Tetszőleges γ ∈ Γ-ra és a ∈ A-ra γaγ −1 szintén benne lesz A-ban. Az is igaz, hogy az a 7→ γaγ −1 hozzárendelés automorfizmusa lesz A-nak. Mivel A kommutatív, a γaγ −1 elem nem változik, ha γ-t kicseréljük az A szerinti mellékosztályának valamely másik elemére; így γaγ −1 csak a γ-t tartalmazó g ∈ G = Γ/A mellékosztálytól függ. Jelöljük tehát ezt az elemet g(a)-val. Ez azt jelenti, hogy a G csoport hat az A-n, tehát A egy G-modulussá válik (de az A-beli csoportműveletre továbbra is a multiplikatív írásmódot használjuk, mint Γ-nál, nem pedig az additívat). Minden g ∈ G = Γ/A mellékosztályra kiválasztunk egy tetszőleges s(g) ∈ Γ elemet. Általában s(g1 )s(g2 ) 6= s(g1 g2 ), de az egyenlőtlenség két oldalán szereplő elemek ugyanazon A szerinti mellékosztályba tartoznak. Ez azt jelenti, hogy van olyan f (g1 , g2 ) ∈ A elem, amellyel s(g1 )s(g2 ) = f (g1 g2 )s(g1 g2 ) .

(14)

Az f (g1 , g2 ) elemeket már nem választhatjuk tetszőlegesen. A szorzás asszociativitásából kapjuk az (s(g1 )s(g2 ))s(g3 ) = s(g1 )(s(g2 )s(g3 )) összefüggést, ez pedig a (14)-es képlet alapján kirészletezve azt adja, hogy: f (g1 , g2 g3 )g1 (f (g2 , g3 )) = f (g1 g2 , g3 )f (g1 , g2 ) ,

(15)

ez pedig nem más, mint a (12)-es összefüggés, multiplikatív írásmóddal. Könynyen ellenőrizhetjük, hogy A-nak a G-modulus-struktúrája, valamint a minden g1 , g2 ∈ G-re értelmezett f (g1 , g2 ) ∈ A elemeknek egy olyan rendszere, mely

231

21. fejezet Homologikus algebra

kielégíti a (15)-ös relációt, már meghatározza G-nek egy A-val való bővítését, Γ-t. Volt azonban a konstrukcióban egy bizonytalanság, nevezetesen az s(g) reprezentánselemek kiválasztásánál. Bármely másik választás esetén egy s′ (g) = h(g)s(g) reprezentánsrendszert kapnánk, ahol h(g) ∈ A. Könnyű utánaszámolni, hogy az új reprezentánsokat használva olyan új f ′ (g1 , g2 ) elemrendszert kapunk, melyet a régivel az alábbi összefüggés kapcsol össze: −1

f ′ (g1 , g2 ) = f (g1 , g2 )h(g1 )g1 (h(g2 ))h(g1 g2 )

.

A (13)-as összefüggés fényében tehát azt mondhatjuk, hogy a G csoportnak az A-val vett tetszőleges bővítését egyértelműen meghatározza az A-n megadott G-modulus-struktúra, valamint a H 2 (G, A) egy eleme. Maradjunk egy pillanatra annál az esetnél, amikor a bővítésnek megfelelő 2 H (G, A)-beli elem nulla. A (14)-es képlet alapján ez azt jelenti, hogy a Γ/A elemeinek megfelelő s(g) reprezentánselemeket választhatjuk úgy, hogy s(g1 g2 ) = s(g1 )s(g2 ) teljesüljön. Vagyis a mellékosztályok reprezentánselemei maguk is egy G′ csoportot alkotnak, amely izomorf G-vel, és tetszőleges γ ∈ Γ elem egyértelműen írható γ = ag ′ alakban valamilyen a ∈ A és g ′ ∈ G′ elemekkel. Azt mondjuk ilyenkor, hogy a bővítés fölhasad , és Γ szemidirekt szorzata A-nak és G-nek, továbbá G′ egy komplementuma A-nak a Γ-ban. Így pl. a sík mozgáscsoportja szemidirekt szorzata az eltolások csoportjának, valamint egy forgáscsoportnak, és az eltolások csoportjának komplementumakánt választhatjuk egy rögzített pont körüli forgatások csoportját. Fölmerül a kérdés, hogy fölhasadó bővítés esetén általában mennyire egyértelmű ez a komplementum. A mellékosztályok reprezentánsait könnyen megváltoztathatjuk: s′ (g) = f (g)s(g), ahol f (g) ∈ A. Könnyen látható annak egy szükséges feltétele, hogy az így kapott reprezentánsok részcsoportot alkossanak: f (g1 g2 ) = f (g1 )g1 (f (g2 )) , és ez éppen a (10)-es képlet, multiplikatívan írva. De van egy „triviális” módja annak hogy az egyik komplementumból egy másikat kapjunk: nevezetesen egy a ∈ A elemmel való konjugálás; ez egy G′ komplementumot G′′ = aG′ a−1 -be visz. Könnyen látható, hogy eközben f (g) az f (g)ag(a)−1 elembe megy át. A (11)-es képlet fényében arra következtethetünk, hogy A és G szemidirekt szorzatában az A komplementumait H 1 (G, A) írja le az A elemeivel való konjugálás erejéig. 5. példa. Diszkrét csoportok kohomológiája. Legyen X topologikus tér, melynek homotópiatípusa megegyezik a pontéval, és tegyük föl hogy egy Γ csoport szabadon és diszkréten hat X-en (lásd a 14. fejezetet). Tegyük föl még azt is, hogy meg tudjuk konstruálni X-nek egy olyan triangulációját, amelyen Γ szabadon hat. Így az X-beli n-láncok Cn csoportja szabad Γ-modulus lesz, és a {Cn , ∂n } lánckomplexus Z-nek egy projektív föloldását adja (ez a föloldás valójában csupa szabad Γ-modulusból). A definíciókat egyszerűen összerakva azt kapjuk, hogy ha veszünk egy tetszőleges A Abel-csoportot, s ezt a triviális hatással Γ-modulusnak tekintjük, akkor a H n (Γ, A) kohomológiacsoportoknak

232

21. fejezet Homologikus algebra

van egy geometriai jelentésük: izomorfak a Γ\X faktortér H n (Γ\X, A) kohomológiacsoportjaival (lásd az 1. példát). Bármely csoportot megkaphatunk a fönti feltételeknek eleget tevő transzformációcsoportként, ezért ily módon a H n (Γ, A) csoportok egy geometriai értelmezését kapjuk. Speciálisan, ez a helyzet áll elő, ha X = G/K, ahol G összefüggő Lie-csoport, K pedig maximális kompakt részcsoport G-ben; ilyenkor ugyanis X homeomorf egy euklideszi térrel. Legyen Γ ⊂ G diszkrét csoport, melyben nincsenek (nemtriviális) véges rendű elemek. Ekkor Γ a bal eltolásokkal szabadon hat a G/K faktortéren, és láttuk az előbbiekben, hogy ilyenkor H n (Γ, A) ∼ = H n (Γ\G/K, A). Így, mivel Γ\G/K véges dimenizós tér, azt kapjuk, hogy valamilyen kitevőtől kezdve H n (Γ, A) = 0 minden n-re. A H n (Γ, A) csoportok segítsegével bevezethetjük az Euler-karakterisztika fogalmát: χ(Γ, Z) =

P

n

(−1) rank H n (Γ, Z).

Látható, hogy χ(Γ, Z) = χ(Γ\G/K), ahol a jobb oldal a topologikus Euler-karakterisztikát jelöli; ezt a következő képlettel definiálhatjuk egy X térre: χ(X) = P q (−1) dimR H q (X, R). Az előbbiek alkamazhatók pl. arra az esetre, amikor G algebrai csoport Q fölött, Γ ⊂ G(Z) pedig véges indexű aritmetikai részcsoport G(Z)-ben (lásd a 15. fejezet C. részét). Ebben az esetben χ(Γ, Z) gyakran igen fontos számelméleti tartalommal bír; pl. ki lehet fejezni a Riemann-féle ζ-függvény egészeken fölvett értékei segítségével. Így például tetszőleges véges indexű Γ ⊂ SL(2, Z) részcsoportra, mely nem tartalmaz véges rendű elemeket, χ(Γ, Z) = (SL(2, Z) : Γ) · ζ(−1) = −

(SL(2, Z) : Γ) . 12

Végezetül említsük meg a csoportkohomológia még egy nagyon fontos alkalmazását. Legyen K test, és L | K egy Galois-bővítése K-nak, melynek a Galois-csoportja G (lásd a 18. fejezet A. részét). Az L-beli nemnulla elemek L∗ csoportja a szorzásra nézve G-modulus lesz, és a H n (G, L∗ ) kohomológiacsoportoknak számos alkalmazása van algebrai kérdéseknél, ill a számelméletben (amikor K-t algebrai számtestnek választjuk).

C. Kévék kohomológiája Legyen X topologikus tér, C pedig az a kategória, melynek objektumai az X nyílt részhalmazai, a morfizmusok pedig a köztük menő (természetes) beágyazások (20. fejezet, 2. példa). Abel-csoportok előkévéje X-en egy olyan kontravariáns funktor, mely C-ből az Abel-csoportok kategóriájába képez. Ez azt jelenti, hogy egy F előkéve minden U ⊂ X nyílt halmazhoz egy F(U ) Abel-csoportot, ill. bármely két V ⊂ U nyílt halmazhoz egy ρU V : F(U ) → F(V ) homomorfizmust U V U rendel úgy, hogy ρU = 1F (U ) , és ha W ⊂ V ⊂ U , akkor ρU W = ρW ρV .

233

21. fejezet Homologikus algebra

6. példa. Az X-en értelmezett folytonos függvények OC előkévéje. Definíció szerint OC (U ) az U -n értelmezett összes folytonos függvény halmaza, ρU V pedig a függvények megszorítása U -ról V -re. Az itteni példa mintájára U a ρV leképezéseket az általános esetben is megszorításnak szokás nevezni. Egy F előkévét akkor nevezünk kévének , ha tetszőleges U ⊂ X nyílt halS mazra és az U bármely U = Uα nyílt halmazok uniójaként való előállítására teljesül az alábbi két feltétel: 1. Bármely s ∈ F(U )-ra, ha ρU Uα s = 0 minden Uα -ra, akkor s = 0. α 2. Ha adva van sα ∈ F(Uα ) elemeknek egy rendszere, amelyekre ρU Uα ∩ Uβ sα = U

ρUβα ∩ Uβ sβ teljesül minden α-re és β-ra, akkor van olyan s ∈ F(U ), melyre sα = ρU Uα s minden α-ra. Egy adott X tér fölötti kévék összessége maga is kategóriát alkot. Egy F kévének egy G kévébe menő homomorfizmusán homomorfizmusoknak egy olyan fU : F(U ) → G(U ) rendszerét értjük (itt U ⊂ X tetszőleges nyílt halmaz), melyre tetszőleges V ⊂ U tartalmazás esetén az alábbi diagram kommutatív: F (U )

fU

ρU V

? F (V )

fV

- G(U )

ρ eU V

? - G(V )

Itt ρU eU V és ρ V az F-beli, ill. a G-beli megszorítások. Azt mondjuk, hogy F részkévéje G-nek, ha F(U ) minden U ⊂ X nyílt halmazra részcsoportja G(U )-nak. A kéve definíciója jelzi, hogy az F(U ) csoportokat lokális feltételek határozzák meg. Így pl. a folytonos függvények OC előkévéje kéve is, és ha X differenciálható sokaság, akkor a differenciálható függvények Odiff ⊂ OC kévéje az az előkéve, amelyre Odiff (U ) az U -n differenciálható függvényekből áll (azaz amelyeknek létezik akárhányadik deriváltja egy bizonyos rögzített n 6 ∞ rendig). Hasonlóképpen, ha X komplex analitikus sokaság, akkor az analitikus függvények Oan kévéje az az előkéve, amelyre Oan (U ) az U -n értelmezett analitikus függvényekből áll. Mindezek a példák egy általános nézőpontot sugallnak, amely számos különböző tér definícióját egységesítené. A definíció alkotóelemei a következők lehetnének: egy X topologikus tér, az X-en értelmezett folytonos függvények O kévéjének egy részkévéje, valamint modelleknek egy M halmaza (mint amilyen pl. a Rn -beli kocka a rajta értelmezett differenciálható függvények kévéjével, vagy a Cn -beli policilinder az analitikus függvények kévéjével), és azt követelnénk meg, hogy tetszőleges x ∈ X pontnak legyen egy olyan U környezete, hogy az U az O kéve U -ra vett megszorításával együtt valamelyik megadott modellel legyen izomorf. Ez a fölfogás lehetővé teszi, hogy egyes objektumokra olyan természetes definíciót találjunk, amit egyébként nehéz lenne megfogalmazni; ilyen pl. a szingularitásokkal rendelkező komplex analitikus varietások (komplex terek) fogalma. Megfelelő módosításokkal eljuthatunk a tetszőleges test fölötti algebrai varietások definíciójához, ill. a messzemenő általánosításukhoz, a sémákhoz.

234

21. fejezet Homologikus algebra

További példák kévékre: egy X differenciálható sokaság differenciálformáinak a kévéje, Ωr (itt Ωr (U ) az U -n megdahtató differenciálformák halmaza) vagy a vektormezők kévéje. 7. példa. Legyen X egy Riemann-felület (azaz egy 1-dimenziós komplex analitikus sokaság), x1 , . . . , xk ∈ X pontoknak egy tetszőleges halmaza, n1 , . . . , nk pedig tetszőleges pozitív egészek. A D = n1 x1 + · · · + nk xk formális lineáris kombinációt divizornak nevezik (az ni > 0 feltételt általában nem szokás föltenni). A D-hez tartozó FD kévét a következőképpen definiálhatjuk: FD (U ) legyen azon meromorf függvények halmaza U -n, amelyeknek csak az x1 , . . . , xk pontokban lehet pólusuk U -n, és az xj -beli pólus rendje legföljebb nj . Ha f : F → G kévéknek egy homomorfizmusa, akkor H(U ) = Ker fU egy részkévét határoz meg, melyet az f magjának nevezünk. Nem lenne célszerű a képet is ugyanilyen módon értelmezni: a J ′ (U ) = Im fU előkéve általában nem lesz kéve. Ezzel szemben beágyazható a G-nek egy J minimális részkévéjébe: J (U ) azokból az s ∈ G(U ) elemekből áll, melyekre az igaz, hogy tetszőleges x ∈ U ponthoz van olyan Ux környezet, melyre ρU Ux s ∈ Im fUx . Ezt a kévét nevezik az f képének . Miután megvan a leképezés magjának és képének a fogalma, definiálhatjuk kévék egzakt sorozatait, szó szerint megismételve, amit a modulusoknál megadott definíciónál mondtunk. Minden F kévéhez és annak minden G részkévéjéhez megkonstruálhatunk egy H részkévét, mellyel a 0 → F → G → H → 0 sorozat egzakt lesz; a H kévét hányadoskévének nevezzük: H = F/G. Egy X téren értelmezett F kéve legfontosabb invariánsa az F(X) csoport. Ez rendszerint nem más, mint a lokális feltételekkel megadott globális objektumok összessége. Így pl. a differenciálformák kévéje esetén ez az egész sokaságon értelmezett differenciálformák halmaza, a vektormezők kévéjénél pedig a globális vektormezőké. A 7. példában megadott kéve esetén ez azoknak a függvényeknek a halmaza, melyek az egész X-en meromorfak, pólusuk legföljebb az x1 , . . . , xk pontokban lehet, és az xi -beli pólus rendje legföljebb ni (i = 1, . . . , k). A kévék homomorfizmusának definíciójából következik, hogy ha egy F kévéhez hozzárendeljük F(X)-et, így egy kovariáns funktort kapunk a kévék kategóriájából az Abel-csoportok kategóriájába. Legyen 0→G →F →H→0 kévéknek egy egzakt sorozata. Könnyen ellenőrizhető, hogy Abel-csoportoknak a 0 → G(X) → F(X) → H(X) sorozata egzakt, de nem marad egzakt, ha a jobb végére hozzáteszünk még egy → 0-t. Következzen a jelenségre egy példa. Legyen X a Riemann-gömb, Oan pedig az X-en értelmezett analitikus függvények kévéje. Értelmezzünk egy H kévét a következőképpen: vegyünk egy Φ = {x1 , . . . , xk } ⊂ X véges ponthalmazt, majd minden xi ponthoz rendeljükL hozzá a komplex számok csoportjának egy Ci példányát; legyen ekkor H(U ) = Cj , ahol a direkt összeget azokra az indexekre vesszük, melyekre L xj ∈ Φ ∩ U . Ha minden f ∈ Oan (U ) függvényhez hozzárendeljük az {f (xj )} ∈ Cj ponthalmazt az xj ∈ Φ ∩ U pontokra, akkor

235

21. fejezet Homologikus algebra

így egy Oan → H homomorfizmust kapujnk, aminek a képe az egész H. Ha G jelöli az előbbi leképezés magját, akkor a következő egzakt sorozatot kapjuk: 0 → G → Oan → H → 0. Liouville tétele miatt Oan (X) = C, viszont a definíció alapján H(X) = Ck , így k > 1 esetén az Oan (X) → H(X) → 0 sorozat nem lehet egzakt. Olyan helyzetbe kerültünk tehát, amilyenről korábban már szó volt, és a feladatunk most az, hogy olyan F n funktorokat konstruáljunk az X-beli kévék kategóriájából a csoportokéba, hogy F 0 (F) = F(X) teljesüljön, és kévék 0 → G → F → H → 0 rövid egzakt sorozatánál az alábbi hosszú egzakt sorozatot kapjuk: · · · −→ F n−1 (H) −→ (16) F n (G) −→ F n (F) −→ F n−1 (H) −→ F n+1 (G) −→

···

Ugyanazt a gondolatmenetet használjuk, mint az Extn funktorok megkonstruálásánál. Tegyük föl, hogy már sikerült megkonstruálnunk a kívánt tulajdonságú F n funktorokat, és ismerjük kévéknek egy olyan osztályát (az ilyen kévéket I-vel fogjuk jelölni), amire F n (I) = 0 minden n > 1 esetén, továbbá melyre egy tetszőleges F kévét megkaphatunk egy ilyen I kéve részkévéjeként. Ekkor egy 0 → F → I → H → 0 egzakt sorozatot kapunk, valamint a hozzá tartozó (16)-os hosszú egzakt sorozatot. Az F n (I) = 0 feltételből azt kapjuk, hogy F n (F) = F n−1 (H), és így induktívan definiálhatjuk az F n funktorokat. Most nekilátunk megkonstruálni a kívánt tulajdonsággal rendelkező I kévéket. Mivel egy ilyen I kévének speciálisan teljesítenie kell az F 1 (I) = 0 feltételt ϕ ψ is, ebből az következik, hogy ha I szerepel egy 0 → I −→ F −→ G → 0 egzakt sou v rozatban, akkor a 0 → I(X) −→ F(X) −→ G(X) → 0 sorozat szintén egzakt (ezt kapjuk akkor, ha a (16)-osban szereplő sorozatnak csak az első négy tagját nézzük). Ismeretes kévéknek egy ilyen osztálya, ezek az ún. laza kévék . Egy I kévét lazának (angolul flabby vagy flasque) nevezünk, ha a ρX U : I(X) → I(U ) megszorítások minden U ⊂ X-re ráképezések. Elemi gondolatmenet mutatja, ϕ ψ hogy ha I laza kéve, és 0 → I −→ F −→ G → 0 egy egzakt sorozat, akkor a u v 0 → I(X) −→ F(X) −→ G(X) → 0 sorozat is egzakt. Laza kévére tipikus példa az az I kéve, melynél I(U ) az összes U -n értelmezett (valós vagy komplex értékű) függvény; az OC , a Odiff és a Oan kévék ennek részkévéi. Hasonlóképpen általánosan is, tetszőleges kéve részkévéje egy laza kévének. Most a 21. fejezet B. részében vizsgált helyzettel analóg körülmények közé jutottunk, úgyhogy az új F n funktoroknak a definícióját indukcióval adhatjuk meg: ha egy F kéve szerepel egy 0 → F → I → G → 0 egzakt sorozatban, ahol I laza kéve, akkor F n (F) = F n−1 (G), továbbá F 0 (F) = F(X). Meg lehet mutatni, hogy az F n (F) csoportok nem függnek a 0 → F → I → G → 0 egzakt sorozat konkrét kiválasztásától. Ezeket nevezik az F kohomológiacsoportjainak , és H n (X, F)-fel jelölik őket. Ha a H n (X, F) definiálásában szerepet játszó n darab lépést összerakjuk, akkor egy neminduktív definíciót kaphatunk. Kévéknek egy 0 → F → I0 → I1 → · · · → In → · · ·

236

21. fejezet Homologikus algebra

egzakt sorozatát, amelyben mindegyik Ii kéve laza, az F kéve egy laza föloldásának nevezzük. Ha alkalmazzuk erre a sorozatra az F (F) = F(X) funktort, és elhagyjuk az első tagot, akkor egy kolánckomplexust kapunk: I0 (X) → I1 (X) → · · · → In (X) → · · · Ennek a komplexusnak a kohomológiái adják a H n (X, F) csoportokat. A kévék kohomológiáinak az alkalmazásai gyakran kapcsolódnak egyes rájuk vonatkozó végességi tételekhez. Az első ilyen eredmény azt mutatja, hogy egy kévének igen gyakran mindössze véges sok nemnulla kohomológiacsoportja létezhet. Tétel. Ha X egy n-dimenziós sokaság, F pedig tetszőleges kéve X-en, akkor H (X, F) = 0 minden q > n-re. q

A második végességi tétel ahhoz az esethez kapcsolódik, amikor az F(U ) csoportok valamennyien vektorterek is (R vagy C fölött), és a ρU V megszorítáq sok lineáris leképezések. Ekkor a H (X, F) csoportok szintén vektorterek lesznek, és fölmerül a kérdés, mennyi ezeknek a dimenziója. Különösen érdekes lehet a H 0 (X, F) = F(X) dimenziója; rendszerint ez a legfontosabb invariáns. Általában ez a dimenzió még a legegyszerűbb esetekben is végtelen; ez lesz a helyzet például az OC vagy az Odiff kévéknél, ahol H 0 (X, OC ) az öszszes folytonos, H 0 (X, Odiff ) pedig az összes differenciálható függvény tere Xen. Vannak azonban fontos esetek, amikor ezek a terek véges dimenziósak. Tegyük föl például, hogy X a Riemann-gömb. Ekkor H 0 (X, Oan ) a minden pontban (így a végtelenben is) holomorf függvények tere. A Liouville-tétel miatt az ilyen függvény konstans, tehát a H 0 (X, Oan ) = C tér 1-dimenziós. Ugyanez igaz lesz tetszőleges kompakt összefüggő komplex analitikus sokaságra X-en: ilyenre H 0 (X, Oan ) = 0. Be lehet bizonyítani, hogy a H q (X, Oan ) kohomológiacsoportok szintén véges dimenziósak C fölött. Ugyanez igaz marad egy kompakt komplex analitikus sokaságon értelmezett holomorf differenciálformák vagy a holomorf vektormezők kévéjére is, továbbá a 7. példa FD kévéjére is, ha az X Riemann-felület kompakt. Mi most a fenti esetekre szorítkozunk, és nem mondjuk ki az ezzel kapcsolatos általános tételt. Azokban az esetekben, amikor X véges dimenziós sokaság, és a H q (X, F) terek valamennyien véges dimenziósak, definiálhatjuk az F kéve Euler-karakterisztikáját: P q χ(X, F) = (−1) dim H q (X, F) (17) (a korábban kimondott első végességi tétel alapján ez az összeg csak véges sok tagból áll). Ennek az új invariánsnak a szerepe kettős. Először is, egyes standard kévéknél, melyek valamilyen módon szervesen kapcsolódnak a sokasághoz, az Eulerkarakterisztika magának a sokaságnak adja egy invariánsát. Így például, ha X kompakt Riemann-felület, akkor χ(X, Oan ) = 1 − p ,

237

21. fejezet Homologikus algebra

ahol p az X neme; vegyük észre, hogy 1 − p éppen fele az X topológiai Eulerkarakterisztikájának, χ(X, R)-nek. Ehhez hasonlóan, ha X kompakt komplex analitikus sokaság, akkor a χ(X, Oan ) szintén egy fontos invariánssal, az X aritmetikai nemével egyenlő. Másfelől viszont az Euler-karakterisztika meglehetősen „durva” invariáns, és könnyű kiszámolni. Az esetek többségében leginkább a (17)-es összeg első tagjára, azaz dim H 0 (X, F)-re vagyunk kíváncsiak. Ez már kényesebb kérdés, de ezt is meg lehet válaszolni, ha például meg tudjuk mutatni, hogy az összes többi tag nulla. Így például a 7. P példában szereplő FD kévénél, amely egy X kompakt Riemann-felület D = ni xi divizorához tartozik, a χ(X, FD ) EulerP karakterisztika nem függ az xi pontok konkrét kiválasztásától, csak a d = ni számtól: χ(X, FD ) = χ(X, Oan ) + d = 1 − p + d . (18) Másrészt meg lehet mutatni, hogy H q (X, FD ) = 0, ha q > 2, és d > 2p − 2 esetén H 1 (X, FD ) = 0 is teljesül, így dim FD (X) = 1 − p + d,

ha d > 2p − 2 .

(19)

Emlékeztetőül: FD (X) azoknak a függvényeknek a tere, amelyek meromorfak X-en, és legföljebb az xi pontokban lehet pólusuk, az is maximum ni -rendű. A (19)-es egyenlőséget először is és leginkább az ilyen függvények létezésére vonatkozó egzisztenciatételnek tekinthetjük. Ha vannak ilyen függvényeink, akkor segítségükkel leképezéseket konstruálhatunk különböző Riemann-felületek között, és megvizsgálhatjuk például, hogy izomorfak-e ezek a felületek. Legegyszerűbb példaként tekintsük a p = 0 és D = x, vagyis az egyetlen kiválasztott pont esetét. A (19)-es képletből azt kapjuk, hogy FD (X) jelen esetben 2-dimenziós. Mivel a konstans függvények 1-dimenziós alteret alkotnak, láthatjuk, hogy léteznie kell egy f meromorf függvénynek X-en, melynek elsőrendű pólusa van x-ben. Nem nehéz bebizonyítani, hogy az f által meghatározott leképezés izomorfizmus X és a Riemann-gömb között; vagyis ez azt jelenti, hogy egy 0 nemű Riemann-felület analitikusan izomorf a Riemann-gömbbel (másképp kifejezve, konform ekvivalens vele). 8. példa. A 7. példában szereplő FD kéve analogonja tetszőleges n-dimenziós komplex analitikus sokaságra is megkonstruálható. E célból cseréljük ki az xi pontokat valamilyen Ci (n − 1) dimenziós komplex analitikus részsokaságokra, P legyen D = ni Ci , és legyen FD (U ) azoknak a függvényeknek a halmaza, amelyek meromorfak U -n, pólusuk legföljebb az U ∩ Ci ⊂ U részsokaságokban lehet, és ezeknek a rendje 6 ni . Még ebben az általánosabb helyzetben is ugyanaz az elv érvényes: a Ci részsokaságokat tekinthetjük (2n − 2) dimenziós ciklusokP nak, úgyhogy a D egy ni Ci homológiaosztályt definiál H2n−2 (X, Z)-ben, és a χ(X, FD ) Euler-karakterisztika csak ettől a homológiaosztálytól függ (az n = 1 P esetben ni xi -nek a homológiaosztálya Pa szóbanforgó 0-dimenziós ciklusnak, ad= ni szám). Az Euler-karakterisztika „durva” természetét az a tény jelzi, hogy ez egy topológiai invariáns, mely csupán a H2n−2 (X, Z) diszkrét csoport egy elemétől függ. Ebben az esetben is létezik egy képlet, ami a (18)-asnak analogonja, csak természetesen sokkal komplikáltabb. A (18)-as összefüggést nevezik

238

22. fejezet K-elmélet

Riemann–Roch-tételnek , és ugyanez a neve az előbb említett általánosításának is.

22. K-elmélet A. Topologikus K-elmélet Ismét használni fogjuk az X topologikus tér fölötti f : E → X vektortércsalád fogalmát, melyet az 5. fejezet végén vezettünk be. Egy f : E → X vektortércsaládnak egy f ′ : E ′ → X vektortércsaládba menő ϕ : E → E ′ homomorfizmusán egy olyan folytonos ϕ leképezést értünk, amely az f −1 (x) fibrumot az (f ′ )−1 (x) fibrumba viszi minden x ∈ X-re, és minden fibrumon lineáris. Ha ϕ izomorfizmust ad meg a fibrumokon, akkor ϕ-t izomorfizmusnak nevezzük. Bármely U ⊂ X nyílt halmazra és bármely f : E → X vektortércsaládra az −1 f (U )-ra való megszorítás egy vektortércsaládot definiál U -n. Vektortércsaládra legegyszerűbb példa az X × Cn család, ahol f az X-re való vetítés; ezt nevezik triviális családnak . Az általunk vizsgált családok közül a legfontosabb példát az ún. (komplex) vektornyalábok adják. Ezen egy olyan vektortércsaládot értünk, amely lokálisan triviális, azaz minden x ∈ X pontnak van egy olyan U környezete, amelyre az f −1 (U ) vektortércsalád izomorf a triviális családdal, U ×Cn -nel. Tetszőleges ϕ : Y → X folytonos függvény és tetszőleges X-en megadott E vektornyaláb esetén értelmezhetjük az E visszahúzottját, ϕ∗ (E)-t; ilyenkor ϕ∗ (E)-nek egy y ∈ Y pontban vett fibruma megegyezik az Enek y fölötti fibrumával. Ennek a fogalomnak a precíz definíciója a következő: ϕ∗ (E) azokból az (y, e) ∈ Y × E pontokból áll, amelyekre ϕ(y) = f (e). Egy adott tér fölötti vektornyalábok izomorfiaosztályainak a halmazát Vec(X) jelöli. A ϕ∗ előbb megadott értelmezésével Vec egy kontravariáns funktort ad meg a topologikus terek kategóriájából a halmazok kategóriájába. Vec(X)-ben értelmezhetjük az E ⊕ F és E ⊗ F műveleteket; ezeknél az X egyes pontjai fölött az adott pont fölötti fibrumok direkt összegét és tenzorszorzatát kell venni. A ⊕ művelet kommutatív és asszociatív, de nem definiál csoportstruktúrát, mivel az elemeknek általában nyilván nincs ellentettjük. Azaz Vec(X) kommutatív félcsoport (additívan írva), melynek 0-eleme az X × 0 nyaláb (lásd a 20. fejezet 9. példáját). Megpróbálhatunk ugyanolyan módon csoportot csinálni belőle, mint ahogy az egészeket megkapjuk a nemnegatív egészekből kiindulva, vagy pl. a racionálisakat az egészekből. Vegyük azonban észre a Vec(X)-beli összeadás egy „patologikus” tulajdonságát: a ⊕ c = b ⊕ c-ből itt nem következik, hogy a = b. Ennek fényében a keresett csoport az összes (a, b) párból fog állni, ahol a, b ∈ Vec(X), és itt az (a, b), ill. (a′ , b′ ) párokat azonosítjuk, ha van olyan c, melyre a ⊕ b′ ⊕ c = a′ ⊕ b ⊕ c. A párok összegét komponensenként értelmezzük. Könnyen látható, hogy ilyen módon a párok ekvivalenciaosztályainak halmazán egy csoportot definiáltunk, és ebben az (a, b) pár egyenlő lesz az (a, 0) − (b, 0) különbséggel. A kapott csoportot K(X)-szel jelöljük. Ha az

239

22. fejezet K-elmélet

a ∈ Vec(X) nyalábhoz az (a, 0) párt rendeljük hozzá, akkor egy Vec(X) → K(X) homomorfizmust kapunk, melynél az a, b ∈ Vec(X) elemek csak akkor képződnek ugyanarra az elemre K(X)-ben, ha létezik olyan c ∈ Vec(X) nyaláb, melyre a ⊕ c = b ⊕ c, Könnyen látható, hogy K(X) egy kontravariáns funktort definiál a topologikus terek Top kategóriájából az Abel-csoportok kategóriájába. Ha pl. X egy pont, akkor Vec(X) a véges dimenziós vektorterek halmaza; így Vec(X) egy elemét már meghatározza a dimenziója, n > 0, és K(X) ∼ = Z. Az általános esetben a K(X) csoport vizsgálata nem más, mint „lineáris algebra az X topologikus tér fölött”. Mostantól fogva a kijelölt bázisponttal ellátott kompakt topologikus terek C0 kategóriájára szorítkozunk. Ezen terek esetén meg lehet mutatni, hogy amenynyiben ϕ : Y → X homotopikus ekvivalencia, akkor ϕ∗ izomorfizmust indukál a K(X) és K(Y ) csoportok között. Így a K(X) funktor értelmezhető a bázisponttal ellátott kompakt terek homotópiakategóriáján, HC0 -n is. Ha x0 ∈ X a kijelölt bázispont, és f : E → X egy vektornyaláb, akkor az E-hez hozzárendelve az f −1 (x0 ) fibrum dimenzióját, egy Ψ : K(X) → Z homomorfizmust kapunk. (Azt is mondhatjuk, hogy Ψ = ϕ∗ , ahol ϕ : x0 ֒→ X e a beágyazás.) A Ψ leképezés magját K(X) jelöli. Ez a konstrukció azzal ana0 e lóg, ahogyan a H (X, A) csoportokat vezettük be a 21. fejezet (2)-essel jelölt sorozatával kapcsolatban. Könnyű bebizonyítani, hogy e K(X) = Z ⊕ K(X) .

Ha Y ⊂ X zárt részhalmaz, melyre x0 ∈ Y , akkor az f : (Y, x0 ) ֒→(X, x0 ) beágyazás, valamint az Y -nak az egy pontra húzása a g : X → X/Y leképezéssel (ahol az Y képe lesz az X/Y kijelölt bázispontja) homomorfizmusoknak az alábbi sorozatát adja: e e e ), → K(Y K(X/Y ) → K(X)

és nem túl nehéz igazolni, hogy ez a sorozat egzakt. Így a 21. fejezetben már tárgyalt kérdéshez érkezünk, nevezetesen ahhoz, hogy miképpen terjeszthetjük ki ezt a sorozatot egy végtelen sorozattá. Jelen esetben a következőképpen oldhatjuk meg a problémát. Legyen SX az X tér redukált szuszpenziója (a definíciót lásd a 20. fejezet 17. példájában). e 0 (X) = K(X), e e −n (X) = K e −n+1 (SX). Ekkor Indukcióval, legyen K és legyen K az alábbi sorozat egzakt lesz: e −n−1 (Y ) → → K ··· e −n (Y ) → e −n (X) → K e −n (X/Y ) → K K e −n+1 (X/Y ) → K ···

240

22. fejezet K-elmélet

e −n (Y ) → K e −n+1 (X/Y ) leképezé(Itt még megfelelően kellene értelmeznünk a K seket, de ettől most eltekintünk.) Ezt a definíciót a következőképpen magyarázhatjuk meg. Cseréljük ki az X redukált szuszpenzióját a ΣX szuszpenzióra (a definíciót illetően ismét a 20. fejezet 17. példájára hivatkozhatunk), ennek ugyanaz a homotópiatípusa. Jelölje CX az X fölötti kúpot, azaz az (X ×I)/(X ×1) teret. X-et az X × 0 ⊂ CX beágyazással a kúp alapjának tekintve azt mondhatjuk, hogy ΣX = CX/X. A CX kúp homotópiatípusa megegyezik a pontéval, mivel ráhúzható a csúcsára; így az X ֒→ CX beágyazás annak az analogonja, mint amikor egy M modulust egy f : P → M leképezéssel egy projektív modulus homomorf képeként állítunk elő; CX/X pedig Ker f -nek felel meg. Így a definíciónk az Extn funktorok induktív definíciójához hasonlít, melyekről a 21. fejezet B. részében volt szó; pontosabban, annak inkább duálisa (az X beágyazása, ill. e −n (X)-ben a negatív index. az M -re való szürjekció helyet cseréltek); ezt jelzi K Ennek a „kohomológiaelmélet”-nek egy igen figyelemreméltó tulajdonsága, hogy periodikus: e −n (X) ∼ e −n+2 (X) . K (1) =K

Sajnos, itt most nem állhatunk meg, hogy megtárgyaljuk a periodicitási tée n (X) funktorainkat tel bizonyítását. A periodicitás lehetővé teszi, hogy a K természetes módon kiterjesszük pozitív n értékekre is úgy, hogy közben az (1)-es feltétel megőrződjön. Az ily módon létrejövő kohomológiaelméletet nevezik K-elméletnek. Természetesen lényegében csupán két különböző funktore 0 (X)-ről és K e 1 (X)-ről. Definíció szerint K e 0 (X) = K(X), e ról van it szó: K és 1 e (X) = K(SX). e K e 1 (X) funktor egy másik értelmezését adjuk. Ehhez cseréljük ki Most a K ismét az SX redukált szuszpenziót a ΣX szuszpenzióra; emlékezzünk rá, hogy azt úgy kaphatjuk meg, ha két kúpot, a C1 X = (X × [0, 1/2])/(X × 0) és a C2 X = (X × [1/2, 1])/(X × 1) kúpokat az X × 1/2 alapjuknál fogva összeragasztjuk. Egy E vektornyaláb bármelyik kúpon izomorf a triviális nyalábbal (mivel a kúp egy pontra húzható). Így az E nyalábot a ΣX-en úgy kaphatjuk meg, hogy a Cn ×C1 X és a Cn ×C2 X nyalábokat a Cn ×X részüknél összeragasztjuk. Ezt a ragasztást a Cn fibrumoknak egy-egy ϕx izomorfizmusa adja meg a kúp alaplapjának megfelelő pontjai fölött, azaz leképezéseknek egy ϕx ∈ GL(n, C) családja minden x ∈ X-re, vagyis egy X → GL(n, C) folytonos leképezés, melyet x 7→ ϕx ad meg. Ezekből a megfontolásokból nyerjük a keresett értelmezést: e 1 (X) = K(SX) e K = H(X, GL) .

(2)

Itt H( , ) a morfizmusok halmazát jelöli a H ot kategóriában, a kissé meghatározatlan GL szimbólum pedig azt jelenti, hogy GL(n, C)-be menő leképezéseket kell vennünk akármilyen nagy n-re; a GL(n, C) csoportok egymásba à !ágyazhatók: A0 vegyük a GL(n, C) → GL(n + 1, C) leképezést, melynél A 7→ , és vegyük 0 1 ezeknek a csoportoknak az unióját; így kapjuk meg a GL teret.

241

22. fejezet K-elmélet

A K-elmélet, miként bármely másik kohomológiaelmélet, a homotopikus topológia egy vetületét adja meg az algebrába. Jelen esetben ez a vetület igen hűen tükrözi az eredeti objektumot, mivel a vektorterek külső, ill. szimmetrikus hatványainak a megkonstruálása egy csomó műveletet ad a K-funktorokra, és ezek funktoriálisak, azaz kompatibilisek az f : Y → X leképezéseknek megfee n (X) → K e n (Y ) leképezésekkel. Igen gyakran az történik, hogy mindezen lelő K információkat egymás mellé rakva ellentmondást kapunk; ezek azok a tételek, amelyek valamilyen típusú leképezés nemlétezéséről szólnak. Így pl. a K-elmélet adja a legegyszerűbb bizonyítást a 19. fejezet végén kimondott tételre, amely szerint a valós számtestek fölötti véges rangú ferdetestek rangja csak 1, 2, 4 vagy 8 lehet. A K-elmélet alkalmazásának másik nevezetes példája annak a régi kérdésnek a megoldása, amely arról szólt, hogy az n-dimenziós gömbön hány lineárisan független vektormező adható meg (azaz, hány olyan θ1 , . . . , θk vektormező, melynél bármely x pontra a θ1 (x), . . . , θk (x) vektorok lineárisan függetlenek). Ha 2r a legnagyobb 2-hatvány, mely osztja n + 1-et, akkor 2r darab ilyen mező létezik, amennyiben 4 | r, továbbá 2r − 1 darab van, ha az r szám 4k + 1 vagy 4k + 2 alakú, végül pedig 2r + 1 darab van, ha az r szám 4k − 1 alakú. A K-elmélet legszebb alkalmazása mégis az elliptikus operátorok indexének kérdéséhez kapcsolódik. A 7. fejezet 3. példájában defináltuk egy X differenciálható sokaságon megadott tetszőleges véges rendű lineáris differenciáloperátorokat. Lokális koordinátákban megadva ezek a következő alakúak: D=

P

i1 +···+in 6k

ai1 ...in (x)

∂ i1 +···+in , ∂xi11 . . . ∂xinn

(3)

ahol ai1 ...in (x) komplex értékű differenciálható függvények. Differenciáloperátoroknak egy m1 × m2 -es mátrixa, (Dij ) egy differenciáloperátort határoz meg a triviális vektornyalábok között: D : X × Cm1 → X × Cm2 .

(4)

A lokális trivialitást kihasználva nem nehéz ezt a definíciót tetszőleges differenciálható vektornyalábok közötti D : E → F operátorokra kiterjeszteni, de a rövidebb tárgyalásmód kedvéért a (4)-es esetre szorítkozunk a továbbiakban. Határozzuk meg, mit ad a (4)-es operátor az X sokaság egy pontjában. Ehhez először a (3)-asban kell rögzítenünk egy x pontot, úgyhogy az ai1 ...in (x) együtt∂ = ξi operátorok az X fölötti Tx érintőtérnek hatók konstanssá válnak. A ∂xi P az elemei (lásd az 5. fejezet 13. példáját), és D egy P (ξ, x) = ai1 ...in ξ1i1 · · · ξnin ∗ polinomot ad a TX kotangenstérben. A (4)-es operátor ilyen polinomoknak adja egy m1 ×m2 -es mátrixát, (Pij (ξ, x))-et. Legyen k a Pij (ξ, x) polinomok fokainak maximuma, és jelölje Peij (ξ, x) ezeknek a polinomoknak a homogén k-adfokú részét. Ha m1 = m2 = m, és det(Peij (ξ, x)) 6= 0 minden ξ 6= 0-ra, akkor a (4)-es operátorra azt mondjuk, hogy elliptikus x-ben, ha pedig ez minden x ∈ X-re igaz, akkor ez egy elliptikus operátor az X-en.

242

22. fejezet K-elmélet

Egy D elliptikus operátor tehát minden x ∈ X pontban és minden ξ ∈ Tx∗ ra ξ 6= 0 esetén egy (Peij (ξ, x)) ∈ GL(m) lineáris transzformációt definiál; ezt σD (ξ, x)-szel fogjuk jelölni. A (ξ, x) 7→ σD (ξ, x) leképezés tehát minden ξ ∈ Tx∗ , ξ 6= 0 esetben értelmezve van. Másképpen fogalmazva ez azt jelenti, hogy a ∗ ∗ ∗ TX \ s sokaságon van értelmezve, ahol TX a kotangensnyaláb, s pedig a TX nulla szelése, ami minden fibrum nulla pontjából áll. Az Rn \ {0} homeomorf R+ × S n−1 -gyel, így homotópiatípusa megegyezik a gömbével, S n−1 -ével. Azt mondhatjuk tehát, hogy σD (ξ, x)-et egy olyan X fölötti SX fibrált nyalábon (nem vektornyalábon) értelmeztük, amelynek a fibrumai az S n−1 gömbök, és így egy σD : SX → GL(m, C) (5) leképezést kapunk. Ezt a leképezést nevezik a D elliptikus operátor szimbólumának , s ennek a homotópiaosztálya a legfontosabb topologikus invariánsa D-nek. e 1 (SX ), és ez már mutatja az összefüggést A (2)-es összefüggés alapján σD ∈ K a K-elmélettel. Most rátérünk az indexproblémára. A (4)-es operátor egy A(X)m1 → A(X)m2 leképezést ad meg, ahol A(X) a differenciálható függvények gyűrűje X-en. A magját Ker D ⊂ A(X)m1 jelöli, a képét pedig Im D ⊂ A(X)m2 ; az A(X)m2 / Im D faktort a leképezés komagjának nevezzük, és Coker D jelöli. Az elliptikus operátorok elméletében bebizonyítják, hogy a Ker D és Coker D terek véges dimenziósak. Ez azt jelenti, hogy f ∈ A(X)m1 -re a Df = 0 egyenletnek a megoldástere véges dimenziós, és véges azoknak a g-re kirótt feltételekenek a száma is, amelyekkel a Df = g egyenlet megoldható lesz. Ezen dimenziók közötti különbséget nevezik a D elliptikus operátor indexének : Ind D = dim Ker D − dim Coker D .

(6)

Az indextétel azt mondja ki, hogy egy D elliptikus operátor indexe csak a σD szimbólumtól függ, és explicit képletet ad Ind D-re σD függvényében. Kicsit pontosabban szólva azt mondhatjuk, hogy a GL térnek vannak olyan speciális kohomológiaosztályai, amelyek semmi mástól nem függnek. A σD leképezés segítségével ezeket átvihetjük SX -re. Másrészt SX -nek is vannak olyan speciális kohomológiaosztályai, amelyek teljesen függetlenek a D operátortól. Végül, a H ∗ (SX ) kohomológiagyűrűben megadható az eddig említett kohomológiaosztályoknak egy olyan polinomja, ami egy αD ∈ H 2n−1 (SX , Z) osztályt ad maximális, 2n − 1 = dim SX dimenzióval. Topológiából jól ismert, hogy H 2n−1 (SX , Z) = Z, így az αD osztály egy egész szám, amiről kiderül, hogy nem más, mint Ind D. Noha csak triviális nyalábokon értelmezett operátorokról beszéltünk, az indextétel tetszőleges fibrált nyalábokon megadott operátorokra is érvényes. Az a tény, hogy az index csupán a D operátor szimbólumától függ (és nem függ annak finomabb analitikus tulajdonságaitól) azt mutatja, hogy a (6)-os képletben szereplő különbség ugyanúgy „durva”, mint ahogy a 21. fejezet (17)-es képletében definiált Euler-karakterisztika is durva. Ez nem véletlen analógia. Ha az indextételt komplex analitikus sokaságokra és bizonyos nagyon egyszerű ope-

243

22. fejezet K-elmélet

rátorokra alkalmazzuk, megkaphatjuk belőle a 21. fejezet C. részében említett Riemann–Roch-tételt.

B. Algebrai K-elmélet Az 5. fejezetben már szóltunk arról a analógiáról, ami az f : E → X vektortércsaládok, illetve egy A gyűrű fölötti modulusok között fedezhető föl. Speciálisan, láttuk azt is, hogy egy E → X vektortércsalád egy modulust definiál az X-en értelmezett folytonos függvények gyűrűje, C(X) fölött. Fölmerül a kérdés, hogy ennél az analógiánál vajon mely modulusok felelhetnek meg a vektornyaláboknak. Sok érv szól amellett, hogy ezek a véges rangú projektív modulusok lesznek (vö. a 21. fejezet B. részével). A következő eredmény jól illusztrálja ezt a sejtést. I. tétel. Legyen X kompakt topologikus tér, és legyen E → X egy vektortércsalád. Az ennek megfelelő M modulus a C(X) gyűrű fölött pontosan akkor projektív, ha E egy vektornyaláb. Az E ←→ M kapcsolat egy-egy értelmű megfeleltetést ad meg az X fölötti vektornyalábok és a C(X) fölötti végesen generált projektív modulusok között. A végesen generált projektív modulusoknak néhány olyan algebrai tulajdonságára is rámutathatunk, amelyek a lokális trivialitás analogonjai. Az eddig elmondottak indokolják, hogy a 22. fejezet A. részéhez hasonlóan bevezessük a Π(A) félcsoportot; ennek az elemei egy A gyűrű fölötti végesen generált projektív modulusok osztályai, az összeadást pedig a modulusok direkt összege szolgáltatja. A 22. fejezet A. részében leírtakat szó szerint megismételve egy K(A) csoportot és egy ϕ : Π(A) → K(A) leképezést konstruálhatunk oly módon, hogy a ϕ(Π(A)) halmaz generálja K(A)-t, és tetszőleges P, Q ∈ Π(A) projektív modulusokra a ϕ(P ) és ϕ(Q) képeik pontosan akkor lesznek egyenlők, ha létezik egy olyan R ∈ Π(A) modulus, melyre P ⊕ R ∼ = Q ⊕ R. Tetszőleges I ⊂ A prímideálra az A/I gyűrű beágyazható egy k testbe, így létezik egy A → k homomorfizmus, melynek a magja I. Ezzel a k test Amodulussá válik, és értelmezhető az M ⊗A k modulus. Ha M végesen generált, akkor M ⊗A k véges dimenziós vektortér k fölött. Meg lehet mutatni, hogy ha A integritási tartomány, M pedig projektív modulus, akkor ennek a térnek a dimenziója nem függ az I választásától, I = 0 esetén pedig éppen az M rangját kapjuk (vö. az 5. fejezettel). A rank M függvény kiterjed K(A)-ra is, és egy e K(A) → Z homomorfizmust definiál, melynek a magját K(A) jelöli. Könnyen e látható, hogy K(A) = K(A) ⊕ Z. e Most néhány nagyon egyszerű gyűrűre vizsgáljuk meg a K(A) és K(A) csoportokat.

II. tétel. Ha A = k test, akkor Π(k) a k fölötti véges dimenziós vektorterekből áll, a K(k) → Z homomorfizmust a dimenziófüggvény indukálja, és nyile vánvalóan izomorfizmus, így K(k) = 0.

244

22. fejezet K-elmélet

III. tétel. Ha A kommutatív nullosztómentes főideálgyűrű, akkor tetszőleges végesen generált M modulus M ∼ = M0 ⊕ Ar alakban írható, ahol M0 torziómodulus (lásd 6. fejezet, II. tétel). Ha M projektív, akkor egy szabad modulus direkt összeadandója, így torziómentes. Ebből M0 = 0 és M ∼ = Ar adódik, ami ismét e azt jelenti, hogy K(A) = 0. √ Tekintsük most az a + b −5 típusú számok A gyűrűjét, ahol a, b ∈ Z egész számok (lásd 4. fejezet, VIII. tétel). A 4. fejezetben láttuk, hogy a P = (3, 2 + √ e −5) ideál nem főideál. Nem nehéz megmutatni, hogy ϕ(P ) − ϕ(A) ∈ K(A), e és ϕ(P ) 6= ϕ(A), így K(A) 6= 0. IV. tétel. Legyen A egy algebrai számtest egész elemeinek a gyűrűje (lásd e a 7. fejezet végét). Ekkor a K(A) csoport véges, és izomorf az adott test ideáljainak az osztálycsoportjával (lásd 12. fejezet, 1. példa). Speciálisan, ha A = ª © √ ∼ e a + b −5 | a, b ∈ Z , akkor K(A) = Z/2Z. V. tétel. Ha X kompakt topologikus tér, akkor a most definiált K(C(X)) csoport izomorf a 22. fejezet A. részében definiált K(X) csoporttal.

A magasabb K-funktorok, azaz Kn (A) konstrukciója a már ismerős forgatókönyv szerint történik. Először is tetszőleges I ⊂ A ideálra is definiálnunk kell K(I)-t (a gyűrűkre adott általános definíció most nem jó, mert mi mindig egységelemes gyűrűket tekintettünk az eddigiekben). Ezután megkosntruálhatjuk az alábbi egzakt sorozatot: K(I) → K(A) → K(A/I),

(7)

végezetül úgy definiáljuk a Kn (A) csoportokat, hogy K0 = K teljesüljön, és a (7)-es sorozatnak létezzen az alábbi végtelen kiterjesztése: · · · → Kn+1 (A/I) → Kn (I) → Kn (A) → Kn (A/I) → Kn−1 (I) → · · · (Az algebrai K-elméletben a Kn funktorok kovariánsak, így az indexeket alulra írjuk.) Nem fogjuk most mindezeket a definíciókat kimondani, ehelyett néhány így föllépő csoportnak szeretnénk megadni egy interpretációját. A K1 (A) csoport értelmezése azzal analóg, ahogyan a topologikus esetben a (2)-es összefüggést nyertük. Egy ϕ : X → GL(n) folytonos leképezés egy olyan invertálható mátrix, melynek elemei az X-en folytonos függvények, azaz GL(n, C(X)) egy eleméről van szó, ahol C(X) az X-en folytonos függvények gyűrűje. Így tehát a GL(n, A) csoport szolgálhat természetes kiindulópontként, ill. miként a 22. fejezet A. részében, ezek határértéke, GL(A), ahogy n → ∞. Most még értelmeznünk kell a (2)-es képletben szereplő H-t is; emlékezzünk rá, hogy ott az X → GL leképezéseket csak homotópia erejéig különböztettük meg egymástól. Ez annyit jelent, hogy a GL(A)/ GL(A)0 faktorcsoportot tekintjük, ahol GL(A)0 a GL(A) csoport egységelemét tartalmazó összefüggő komponens. Mi lesz ennek a részcsoportnak az algebrai analogonja? Számos esetben azok a mátrixok, amelyek a „triviálisan az identitásba transzformálható” leképezések szerepét játszák, az alábbi formában írhatók: E + aEij ,

(8)

245

22. fejezet K-elmélet

ahol Eij az a mátrix, amelynél 1 áll az (i, j)-edik helyen, és 0 egyébként. A (8)as képletben szereplő mátrixokat nevezik elemi mátrixoknak . Így például annak a bizonyítása, hogy az SL(n, R) csoport összefüggő, azon alapul, hogy minden elem fölírható elemi mátrixok szorzataként. Jelölje E(A) a GL(A) csoportnak az elemi mátrixok által generált részcsoportját. Egy meglepő, de elemien bizonyítható tény az, hogy E(A) a GL(A) kommutátor-részcsoportja. A bizonyítás során lényegesen ki kell használnunk azt a tényt, hogy itt most a GL(n, A) csoportok uniójáról van szó n = 1, 2, . . .-re; az egyes csoportokra az állítás általában nem igaz. Ebből mindenesetre következik, hogy a GL(A)/ E(A) csoport kommutatív. Ez éppen azt adja, amire szükségünk van: K1 (A) ∼ = GL(A)/ E(A) . Áttérve a determinánsra, egy GL(A)/ E(A) → A∗ homomorfizmust kapunk, sőt, egy fölbontást is: K1 (A) = A∗ ⊕ SK 1 (A) , ahol SK 1 (A) = SL(A)/ E(A) . (Itt meg kell jegyeznünk, hogy az additív és multiplikatív írásmód mostanra reménytelenül összekeveredett!) Elemi lineáris algebrai ismereteink alapján tudhatjuk, hogy ha k test, akkor SL(n, k) = E(n, k); ez következik a Gauß-féle kiküszöbölési eljárásból, amely során egyenletrendszereket sor- és oszlopműveletekkel oldunk meg. Így SK 1 (k) = 0. Amennyiben A integritási tartomány, amelyben van euklideszi algoritmus (azaz A euklideszi gyűrű), akkor a 6. fejezet fő lemmája alapján, mely a végesen generált modulusok struktúratételének alapját képezte, ugyanezt az eredményt kapjuk: SK 1 (A) = 0. A K1 csoport ott fordul elő (és először ott fordult elő) a topológiában, amikor az A = Z[G] csoportgyűrűt vizsgáljuk, ahol G egy véges Abel-csoport (és valamilyen sokaság fundamentális csoportja). Ebben az esetben K1 gyakran nem triviális. Általánosságban szólva a GL(A) → K1 (A) homomorfizmust egy fajta „univerzális determinánsnak” is tekinthetjük. Ebben az alakjában általánosítani is lehet arra az esetre, amikor A nemkommutatív gyűrű. A K2 csoportot csak az A = k test esetére írjuk le. Ilyenkor {a, b} típusú generátorokkal írhtajuk le, ahol a, b ∈ k tetszőleges elemek, melyekre a, b 6= 0. A definiáló relációk a következő alakúak: {a1 a2 , b} = {a1 , b} {a2 , b} ,

{a, b1 b2 } = {a, b1 } {a, b2 } , {a, 1 − a} = 1, ha a 6= 0, 1.

(91 ) (92 ) (93 )

A K2 (k) csoportnak különösen fontos alkalmazását találhatjuk a k fölötti véges rangú ferdetestek leírásánál (az itt előforduló fogalmak definíciójához a 11. fejezetre, valamint a 12. fejezet 3. példájára utalunk). Be lehet bizonyítani, hogy tetszőleges k testre a Br(k) Brauer-csoport elemei valamennyien véges rendűek: ha dimk D = n2 (lásd 11. fejezet, IV. tétel), akkor a Brauer-csoportban a D-nek megfelelő elem n-edik hatványa 1. Ez mutatja

246

22. fejezet K-elmélet

például azt is, hogy a 11. fejezetben bevezetett (a, b) általánosított kvaternióalgebrákhoz tartozó elemek rendje Br(k)-ban 2 vagy 1. Most csak a Br(k) Brauer-csoport, valamint a K2 (k) csoport másodrendű elemei közötti kapcsolat pontos leírását adjuk meg. Tetszőleges C Abel-csoportban a c2 = 1 összefüggésnek eleget tevő elemek nyilvánvalóan részcsoportot alkotnak: jelöljük ezt 2 C-vel. Hasonlóképpen részcsoportot alkotnak a c2 alakú elemek is c ∈ C-re; ezt a részcsoportot C 2 fogja jelölni. Rendeljük most hozzá a K2 (k) csoport egy {a, b} generátorelméhez (melyre egyébként a, b ∈ k nemnulla elemek, és teljesülnek a (9)-es összefüggések) az (a, b) általánosított kvaternióalgebrát. Nem nehéz igazolni, hogy a Brauer-csoport ezen elemeire szintén teljesülnek a (9)-es összefüggések: (91 ) és (92 ) ellenőrzése egyszerű rutinfeladat a tenzorszorzatokról, míg a (93 )-as összefüggés abból következik, hogy az (a, b) algebra pontosan akkor adja Br(k) egységelemét, ha az ax2 + by 2 = 1 egyenletnek van k-beli megoldása (lásd a 11. fejezet (4)-es összefüggését); de a · 12 + (1 − a) · 12 = 1! Így tehát egy ϕ2 : K2 (k) → Br(k) homomorfizmust kapunk. Amint láttuk, ϕ2 (K2 (k)) ⊂ 2 Br(k), és így ϕ2 (K2 (k)2 ) = 1. Következésképpen egy ϕ : K2 (k)/K2 (k)2 → 2 Br(k) (10)

homomorfizmushoz jutunk. A fő eredmény az, hogy ez itt egy izomorfizmus. Ez nagyon erős állítás: a K2 (k) csoport (9)-es leírása alapján 2 Br(k)-nak is egy leírását kapjuk generátorokkal és definiáló relációkkal, méghozzá teljesen tetszőleges k testre. Hasonló leírás adható a cn = 1 feltételt kielégítő c ∈ Br(k) elemekből Sálló n Br(k) csoportra is. Mivel Br(k) minden eleme véges rendű, ezért Br(k) = n Br(k), úgyhogy ilyen módon az egész csoportnak is megkapjuk egy explicit leírását. A K-elmélet egyre nagyobb szerepet játszik számelméleti kérdésekben is. A következő példák legföljebb csak sejtethetik a lehetséges alkalmazások egyik irányát: a K-elmélet, valamint a ζ-függvények közötti kapcsolatról szólunk pár szót. A klasszikus komplex változós Riemann-féle ζ-függvényt az alábbi végtelen sor adja meg: ∞ 1 P , ha Re s > 1, ζ(s) = s n=1 n

és ennek van egy analitikus folytatása az egész komplex számsíkra. A függvény kielégíti az ún. Euler-azonosságot: Q

1 , 1 − p−s

ζFq (s) =

1 . 1 − q −s

ζ(s) =

p

(11)

ahol a szorzatot minden p prímre kell venni. A q-elemű véges testnek, Fq -nak a ζ-függvényét az alábbi módon definiáljuk:

Ekkor a (11)-es összefüggés, azaz az Euler-azonosság a következő alakot ölti: Q ζ(s) = ζFp (s) . (12) p

247

Megjegyzések az irodalomhoz

Ez nagyon jól összecseng a „gyűrűk funkcionális fölfogásával”, melyről a 4. fejezetben beszéltünk: eszerint Z-re úgy kellene tekintenünk, mint olyan függvények gyűrűjére, amely a p prímszámok halmazán van értelmezve, és értékeit Fp -ből veszi föl. Ez a fölfogás lehetővé teszi, hogy a ζ-függvényt a gyűrűk igen széles osztályára értelmezzük a (12)-es képlettel analóg módon. Most visszatérünk a K-elmélethez. Az Fq véges testek esetén meg lehet mutatni, hogy a Kn (Fq ) csoportok végesek minden n > 1-re. A rendjükre vonatkozó információt az alábbi gyönyörű összefüggés írja le: ¯ ¯ |K2m (Fq )| = ¯ζFq (−m)¯ , |K2m+1 (Fq )|

ha m > 1.

Ami a Z gyűrű esetét illeti, a jelenlegi tudásunk alapján föltételezhetjük, hogy van valamilyen kapcsolat a Riemann-féle ζ-fügvény m > 0 esetén fölvett |K2m (Z)| ζ(−m) értékei és az hányadosok között. Ismeretes, hogy páratlan |K2m+1 (Z)| m > 0 számokra ζ(m) racionális szám, és 0, ha m > 0, és páros; azt is tudjuk, hogy a K2m (Z) és K2m+1 (Z) csoportok végesek. Az |K2m (Z)| = |ζ(−m)| , |K2m+1 (Z)|

ha m > 0, és páratlan

összefüggés már a legegyszerűbb m = 1 esetben is hamis, hiszen |K2 (Z)| = 2, és 1 . Nincs azonban kizárva, hogy az összefüggés |K3 (Z)| = 48, viszont ζ(−1) = − 12 2-hatvány szorzóktól eltekintve mégis teljesül. Azt mindenesetre már igazolták, hogy ζ(−m) nevezője osztja |K2m+1 (Z)|-t. Másrészt pedig, ha p > m prímszám, akkor p-nek nem kisebb hatványa osztja |K2m (Z)|-t, mint ζ(−m) számlálóját (föltéve még egy plusz feltétel teljesülését p-re, amelyről azonban azt sejtik, hogy mindig igaz, és p < 125 000-re már ellenőrizték is). Emlékeztetnénk rá, hogy már találkoztunk a ζ-függvény negatív egészeken fölvett értékeivel, amikor a 21. fejezet 5. példájában az aritmetikai csoportok kohomológiájával foglalkoztunk. Ez nem véletlen: valóban létezik ennek kapcsolata a Kn (Z) csoportokkal. A számelmélet és a K-elmélet között számos és sokféle kapcsolat létezik, de ezeket nem tárgyalhatjuk most részletesebben, mert ehhez bonyolult technikai eszközök bevezetésére lenne szükségünk.

Megjegyzések az irodalomhoz Az egész könyv két téma szövevényes összekapcsolódására épül: az egyik az algebrai fogalmak és elméletek rendszerezett tárgyalása, a másik pedig a kulcsfontosságú példák bemutatása. Az ezekre a témákra való irodalmi utalásokkal külön foglalkozunk. Az a benyomásom, hogy a könyvek első kiadásai rendszerint frissebbek és érdekesebbek, mint a későbbiek, még ha az utóbbiak technikailag alaposabbak is. Ezért az egyes művek általam ismert első kiadására hivatkozom. Az algebra olyan alapfogalmai, mint a csoportok, a gyűrűk, a modulusok vagy a testek, valamint az ezekkel foglalkozó legfőbb elméletek, ideértve a féligegyszerű modulusok és gyűrűk elméletét és a Galois-elméletet, mind megtalálhatók van der Waerden klasszikus kétkötetes

248

Megjegyzések az irodalomhoz

monográfiájában [104 (1930, 1931)]. Noha több mint fél évszázad telt el a megjelenése óta, ez a csodálatos könyv korántsem tekinthető elavultnak, s azokhoz a kérdésekhez, melyeket a könyv is tárgyal, mind a mai napig nemigen lehet jobb forrást találni. Majd egy évszázad kellett a legfontosabb algebrai fogalmak kiválasztásához, valamint az elmélet axiomatikus szellemben való újratárgyalásához; ebben a munkában többek között Gauß, Galois, Jordan, Klein, Kronecker, Dedekind és Hilbert vettek részt. Ennek az évszázados folyamatnak az eredményeit azonban már alig egy évtized alatt, 1920 és 1930 között sikerült az algebra standard nyelvén formába önteni; ebben kiemelkedő szerepe volt E. Noethernek. Ebben az időszakban jelent meg van der Waerden könyve. Hogy valamennyire érzékelhessük az algebra szellemében és tárgyalásmódjában végbement változást, érdemes összehasonlítanunk van der Waerden könyvét Weber munkájával [105 (1898, 1899)], amelyből az előző generációk tanulták az alegbrát. Az újabb munkák közül meg kell említenünk a Bourbaki-sorozat (Éléments de mathématiques) algebrának szentelt részeit [16 (1942–1948)], [17 (1959)]. Ezek a könyvek első látásra azt a benyomást kelthetik, hogy kezdők számára is jó tankönyvként szolgálhatnak, mivel a tárgyalásmódjuk minden részletre kiterjed, és a legegyszerűbb definíciókat is tartalmazzák. Ez a benyomásunk azonban teljesen téves: egyrészt ugyanis ezeknek a könyveknek egyik alapelvük, hogy minden kérdést a maximális általánosságban tárgyaljanak, másrészt hiányoznak belőlük az olyan részek, melyek az új fogalmak bevezetését vagy az elmélet fejlődési irányait motiválnák. A szakértő olvasó számára azonban értékes részletek gazdag lelőhelyét kínálják ezek a kötetek. A szakosodottabb könyvek közül megemlítjük Atiyah és Macdonald kommutatív algebráról szóló munkáját [5 (1969)], melynek megírásakor a nem algebrista olvasók érdeklődésére is gondoltak. A ferdetestek szerkezetére vonatkozó speciális eredményeknek, amelyek a 11. fejezetben szerepelnek, rendszerezett tárgyalását találhatjuk Deuring áttekintő művében [33 (1935)], illetve A. Weil könyvében [106 (1935)]. Az eddig idézett forrásmunkák nagyrészt lefedik a 2–11. fejezetek anyagát. A 12. fejezettől csoportelméletre térünk át; az alapokhoz ismét van der Waerden könyvét ajánlhatjuk, valamint (a szemléletünk kiszélesítése érdekében) H. Weyl klasszikus monográfiájának [107 (1928)] csoportelmélettel foglalkozó fejezeteit. Noha az olyan intuitív fogalmak, mint pl. a transzformációcsoportok, természetes példát adnak csoportokra, a csoportok általános fogalmának, valamint a csoportelméletnek mint külön témának a kifejlődésére a legnagyobb hatással a véges halmazokon, ill. még pontosabban, egy polinom gyökein ható permutációcsoportok fogalma volt. A Lagrange-ig és Abelig visszanyúló ötletek Galois munkájában öltöttek először konkrét formát [45 (1951)]. Ebben nagyon világosan kimutatható annak a fokozatos megértése, hogy a testelméleti kérdések a Galois-csoporthoz mint absztrakt csoporthoz kapcsolhatók annak ellenére, hogy az konkrét permutációcsoportként jelenik meg. (Lagrange ezt úgy fejezte ki, hogy azt mondta, „a permutációk adják az egyenletek metafizikáját”.) További ösztönzést adott az, ahogyan Gauß módszeresen használta a kongruenciaosztályokat, illetve a kvadratikus alakok osztályait, s ahogyan műveleteket definiált ezeken [46 (1870)]; ez azt az érzést keltette, hogy a felszín alatt egy általános fogalom van elrejtve. Az első ismert csoportelméleti könyv Jordantól származik [70 (1870)]; a könyv példák és ötletek gazdag tárháza, és értéke a mai napig megmaradt. A könyv csak véges transzformációcsoportokkal foglalkozik. Klein és Lie munkásságával a végtelen diszkrét és folytonos csoportok is előtérbe kerültek. Itt előszöris Klein csodálatos könyvére hivatkozhatunk („Előadások a matematika fejlődéséről a XIX. században” [73 (1926)]); a csoportelmélet adott időszakban végbement fejlődését annak egyik legnagyobb hatású kutatója szemszögéből ismerhetjük itt meg. A könyvnek azonban számos egyéb érdekes vonatkozása is van az algebra más ágainak fejlődéséről, illetve a matematika egészéről. Az első könyv, amely absztrakt csoportelmélettel foglalkozik, Burnside munkája [21 (1897)], melyben csak véges csoportokról esik szó. A későbbi munkák hosszú időn keresztül csupán ezen a mű tökéletesítéseinek tekinthetők; a legteljesebb tárgyalást Speiser könyvében találhatjuk [98 (1937)]. A véges csoportok modern tárgyalását adja Huppert és Blackburn háromkötetes munkája [67 (1967), 68 (1982)]. A végtelen csoportok Kuros könyvében kerülnek leginkább előtérbe [77 (1955, 1956)]. A csoportok generátorokkal és definiáló relációkkal való megadásának érdekes történeti áttekintését találhatjuk Chandler és Magnus könyvében [24 (1981)]. Az ennek során fölmerülő logikai problémákról olvashatunk például Manyin könyvében [81

249

Megjegyzések az irodalomhoz

(1977)]. A Lie-csoportok elméletében az első könyv Lie és Engel háromkötetes munkája [79 (1883– 1893)]; a könyv egy új tudományág születésének figyerelmre méltó dokumentuma. A legfontosabb fogalmak korszerűbb tárgyalását találhatjuk Pontrjagin munkájában [90 (1938)], illetve egy még korszerűbbet (azaz ahol csak lehetséges, koordinátáktól független tárgyalásmódot) Chevalleynál [25 (1946)]. A témát szépen tárgyalja Hochschild munkája is [64 (1965)]. Az algebrai csoportoknál Chevalley áttekintő munkáját kell megemlítenünk [28 (1958)], valamint A. Borel [12 (1969)], Humphreys [66 (1975)] és Springer [99 (1981)] könyveit. Az egyszerű Lie-csoportok osztályozását az alábbi helyeken találhatjuk meg: kompakt csoportokra Zselobenkónál [111 (1970)] és Pontrjaginnál [90 (1938)], komplex csoportokra a Séminaire Sophus Lie című könyvben [95 (1955)], valós Lie-csoportokra pedig Goto és Grosshans munkájában [50 (1978)]. Az egyszerű algebrai csoportok osztályozása megtalálható a Chevalley szemináriumáról megjelent könyvben [27 (1958)], valamint Humprheys [66 (1975)] és Springer [99 (1981)] könyvében. A véges egyszerű csoportokhoz Tits áttekintését említjük meg [103 (1963)], valamint Gorenstein könyvét [49 (1982)] (noha a könyv nem tartalmazza a klasszifikációs tétel bizonyítását — ennek egységes, kompakt leírása ma még nem is létezik). A véges csoportok reprezentációelméletének megalapozása Frobeniustól származik; ezt pl. az összegyűjtött munkáit tartalmazó kötetekben [44 (1968)] is megtalálhatjuk. A téma újabb tárgyalása szerepel H. Weyl könyvének [107 (1928)] megfelelő részében, ill. Serre könyvének [96 (1967)] az elején (az első nyolc fejezetben). A kompakt csoportok reprezentációihoz érdemes még megnéznünk Weyl [107 (1928)], Pontrjagin [90 (1939)], Chevalley [25 (1946)] és Zselobenko [111 (1970)] könyvét. Lie-csoportok reprezentációinak széles áttekintését találhatjuk Kirillov könyvében [72 (1972)]. Aktuálisabb problémákba ad bevezetőt az Atiyah szerkesztette konferenciakötet [6 (1979)]. A reprezentációelméletben klasszikusnak számít H. Weyl könyve [109 (1939)]. Megjelenése nagyban befolyásolta a téma további fejlődését. Így például megtalálhatjuk itt a „koordinátázás” fogalmát is, valamint a szimmetriák és a reprezentációk közötti összefüggés gondolatát, amelyet ebben a könyvben is használtunk. A Lie-elmélet gyakorlatilag bármelyik általunk idézett, Lie-csoportokról szóló tankönyvben megtalálható. A fejlődés különböző szakaszait figyelhetjük meg Lie és Engel könyvében [79 (1883, 1888, 1893)], valamint Pontrjagin [90 (1939)], Chevalley [25 (1946)] és Hochschild [64 (1965)] munkáiban. A Cayley-számokról szól Freudenthal áttekintése [43 (1951)]. A geometriai alkalmazásoknál Lawson összefoglaló munkájára utalunk [78 (1985)]. A valós számtest fölötti nemasszociatív ferdetestek fő tételének bizonyítását megtalálhatjuk Atiyah könyvében [4 (1967)] A kategóriák és a funktorok fogalma Eilenberg és MacLane munkáiban jelent meg először [38 (1942)], [39 (1945)]; itt a szerzők részletesen kifejtik, hogyan használhatjuk ezeket az új fogalmakat a matematika új nyelveként a matematika axiomatizálásában. A kategóriaelmélet alapfogalmainak rendszerezett tárgyalását találhatjuk Hilton és Stammbach könyvének [61 (1971)] második fejezetében. Grothendieck cikkének [51 (1957)] első részében az elmélet egyes aspektusairól olvashatunk. A kategóriák csoportobjektumainak részletes leírását találhatjuk könyvének [53 (1961)] 0. fejezetében (8.§). A homologikus algebra rendszeres megalapozását adja Hilton és Stammbach könyve [61 (1971)]. A téma klasszikusának számít Cartan és Eilenberg könyve [22 (1956)], de ennek a szemléletmódja absztraktabb. A csoportkohomológia elméletét Brown könyve [20 (1982)] hasonló szemlélettel tárgyalja, mint ez a könyv. A kévék kohomológiájának alapfogalmait megtalálhatjuk Tennison könyvében [102 (1975)]. Hirzebruch könyve [62 (1956)] klasszikus tankönyv, mely elsősorban a Riemann–Roch-tétel főbb alkalmazásaival foglalkozik. A K-elméletnek azon részeit, melyek szerepelnek a könyvünkben, két áttekintő munkában találhatjuk meg: a topologikus K-eméletet Atiyah könyvében [4 (1967)], míg az algebrai K-elméletet Milnornál [85 (1971)]. A 22. fejezet végén tárgyalt kérdések kapcsán Szuszlin áttekintő cikkére [101 (1984)] utalunk, noha ez nem szélesebb olvasóközönség számára íródott. Végezetül, mivel számos esetben használtunk fogalmakat és eredményeket a topológia tárgyköréből (különösen a kategóriaelméletről, valamint a homologikus algebráról szóló fejezetekben), megadunk néhány topológiai hivatkozást is. A 20. fejezetéhez hasonló szemlélettel íródott Dold [36 (1980)] és Switzer [100 (1975)] könyve. Az olyan esetekben viszont, ahol a ge-

250

Megjegyzések az irodalomhoz

ometriai intuíciónak nagyobb szerepe van (mint pl. a felületek topológiájával kapcsolatban), Seifert és Threlfall [94 (1934)] régi könyve pótolhatatlan marad. A differenciálható sokaságokról, illetve a rajtuk megadott differenciálformák integrálásáról olvashatunk Chevalley [25 (1946)] és de Rham [92 (1955)] könyvében. Most áttérünk az egyes példákkal kapcsolatos irodalom ismertetésére. Az egész könyvben újra és újra fölbukkanó témák közül a leggazdagabb példaanyaga talán annak a gondolatnak van, amely az algebrai és funkcionális szemlélet közötti „dualitásról” szól: ilyen pl. a gyűrűelemeknek a (maximális vagy a prím) ideálok halmazán értelmezett függvényekként való értelmezése, ill. a számok és a függvények közötti analógia. Ez a gondolatkör egyáltalán nem újkeletű. A valós függvényeknek a komplex számsíkra való analitikus kiterjesztése már fölveti azt a kérdést, hogy van-e valamilyen „természetes” halmaz, amelyen egy függvényt értelmezhetünk. Nagy előrehaladást jelentett ebben az irányban a Riemann-felületek fogalmának a megalkotása. Dedekind és Weber cikkében [31 (1882)] egy egyváltozós algebrai függvénytestnek (a mi jelölésünkkel a K(C) testnek, ahol C egy algebrai görbe) a Riemann-felületét tisztán algebrai úton definiálják mint a K(C)-ből (a ∞ szimbólummal kiegészített) K-ba menő „homomorfizmusok” halmazát. Kronecker cikke [76 (1882)], mely ugyanazon folyóirat ugyanazon számában jelent meg, mint az előbbi cikk, olyan programot terjeszt elő, amely egyesítené az algebrai számok, illetve az akárhány változós algebrai függvények elméletét. A számok és függvények közötti párhuzamok tárgyalását Klein munkájában is megtalálhatjuk [73 (1926)]. Az egyváltozós algebrai függvények elméletét Dedekind és Weber cikkének szellemében fejti ki Chevalley könyve [26 (1951)]. Az általános topológia és a logika kérdéseivel kapcsolatban igazolható, hogy egy Boolegyűrű előáll mint egy adott típusú topologikus téren értelmezett F2 -értékű folytonos függvények gyűrűje (ezzel kapcsolatban lásd Birkhoff könyvét [10 (1940)]). Ugyanezen ötleteknek a folytonos valós vagy komplex értékű függvényekre való alkalmazásáról olvashatunk Gelfand, Rajkov és Silov munkájában [47 (1960)]; a C ∞ -függvényekre lásd Bröcker könyvét [19 (1975)], analitikus függvényekre pedig Hoffmanét [65 (1962)]. Végezetül, a sémák fogalmát Grothendieck vezette be: ez a fogalom, mely mind a számelmélethez, mind az algebrai geometriához kapcsolódik, lehetővé teszi, hogy számelméleti kérdésekben geometriai intuíciót alkalmazhassunk. Ezzel kapcsolatban Groethendieck áttekintő cikkére utalhatunk [52 (1960)], valamint Manyin előadásainak jegyzetére [83 (1970)], illetve Safarevics könyvének 5. fejezetére [93 (1972)]. Ebbe a körbe tartozik az infinitezimális módszerek alkalmazása a számelméletben, speciálisan a p-adikus számok konstrukciója. Ehhez, valamint az algebrai egészek gyűrűinek elméletéhez találunk elemi bevezetőt Borevics és Safarevics könyvében [15 (1964)]; az elmélet mélyebb eredményeihez lásd Weil könyvét [106 (1967)]. A könyvet átszövő másik gondolat a „koordinátázás” gondolata, szűkebb értelemben a sík és a projektív terek koordinátázása. Erről (s különösképpen a Desargues- és a Papposzaxiómák szerepéről) olvashatunk Hilbert könyvében [59 (1930)]; a téma algebraibb jellegű tárgyalását találhatjuk E. Artin [3 (1957)], illetve Baer [7 (1952)] könyvében. A folytonos geometriák képezik a tárgyát Neumann könyvének [87 (1960)]. Igen gyakran találkoztunk véges testekkel; ezeket Galois fedezte föl, s teljes elméletük már az ő munkáiban is megtalálható [45 (1951)]. A véges testeknek (és különösképpen a véges testek fölötti algebrai geometriának) a kódelméletben való alkalmazásairól olvashatunk Goppa [48 (184)], illetve Manyin és Vlehduts [82 (1984)] áttekintő cikkeiben. Az algebrai módszereknek a fölcserélhető differenciáloperátorok elméletében való alkalmazása azokkal az eredményekkel kezdődött, melyekről Ince könyvének [69 (1927)] 5.5. részében olvashatunk. Ezeket az eredményeket elfelejtették, majd néhány évtizeddel később újra fölfedezték. Modern áttekintést találunk Mumford cikkében [86 (1977)]. Az ultaszorzatokról lásd Barwise többedmagával írott kézikönyvét [8 (1970)]. Modulusok tenzorszorzatának, külső és szimmetrikus hatványainak a definícióját megtalálhatjuk pl. Kosztrikin és Manyin könyvében [75 (1980)] vagy a Bourbaki-kötetekben [16 (1942–1948)]. A teljessé tétel tulajdonságairól olvashatunk pl. Atiyah és Macdonald könyvében [5 (1969)]. A Clifford-algebrák számos példában megjelennek. A fogalmat Clifford vezette be a XIX. században (lásd az összegyűjtött munkáit [29 (1982)]), és (egy speciális esetben) Dirac fedezte föl újra a XX. században [35 (1930)], mikor egy másodrendű differenciáloperátort egy mátrixegyütthatós elsőrendű differenciáloperátor négyzeteként próbált előállítani. A téma modern

251

Megjegyzések az irodalomhoz

tárgyalását találhatjuk a Bourbaki-könyvben [17 (1959)]. Most rátérünk a csoport fogalmával kapcsolatos példákra. A szimmetria fogalmával foglalkozik H. Weyl könyve [110 (1952)]. A szimmetriák és a megmaradási törvények közötti kapcsolatot (ill. E. Noether tételét) illetően lásd Courant és Hilbert [30 (1931)], valamint Arnold [2 (1974)] könyvét. A fizikai törvények szimmetriáit tárgyalják Feynman érdekes előadásai [40 (1965)]. Azon csoportok közül, melyek nem transzformációcsoportokként állnak elő, az Ext(A, B) csoportokról bármely idézett homologikus algebrai könyvben olvashatunk, a Brauer-csoportról Deuring könyvében [33 (1935)], az ideálok osztálycsoportjáról pedig Atiyah és Macdonald könyvében [5 (1969)] találunk leírást. Hadamard könyve [54 (1908)] részletesen tárgyalja a platóni testeket és kapcsolatukat a véges mozgáscsoportokkal. A komplex számsík törtlineáris transzformációinak véges részcsoportjaival foglalkozik Hadamard egy másik könyve [55 (1951)]. Hálók szimmetriáinak az elemzését találhatjuk Klemm könyvében [74 (1982)]. A tükrözésekkel generálható véges csoportok részletes elemzése található a Bourbakikönyvben [18 (1968)]. Megdöbbentő módon azok a 13. fejezetben szereplő diagramok, melyek segítségével ezeket a csoportokat osztályozni lehet, egy sereg más klasszifikációs problémában is előbukkannak (a legfontosabb ezek között az egyszerű kompakt vagy komplex Lie-csoportok osztályozása). Ezekről az összefonódásokról ad áttekintést a Hazewinkel és mások által írt cikk [58 (1977)]. A geometriai kristálytan a témája Delone, Padurov és Alekszandrov könyvének [32 (1934)]. A téma modernebb tárgyalását találhatjuk Klemmnél [74 (1982)], ahol találkozhatunk a díszítéscsoportokkal és az n-dimenziós kristálycsoportokkal is. Hilbert és Cohn-Vossen könyvének [60 (1932)] egyik fejezete szintén ennek a témának van szentelve. Malcev cikkében [80 (1956)] megtalálhatjuk azoknak a díszítéseknek a teljes leírását, amelyek mind a 17 síkcsoportot jellemzik. E.S. Fjodorov 1889-ben, Schoenflies pedig 1890-ben (egymástól függetlenül) osztályozták a kristálycsoportokat. A következő évben Fjodorov a síkbeli díszítéscsoportokat osztályozta [41 (1981)], tanúbizonyságot adva a probléma geometriai jellegének (egy kristálytudóshoz képest) igen mély szintű megértéséről. Megdöbbentő, hogy egy olyan széles körben ismert és olvasott matematikus, mint H. Weyl a következőt írhatta le a [110 (1952)] munkájának 103–4. oldalán: „. . . a transzformációcsoportok matematikai fogalmát csak a tizenkilencedik században alkották meg; és csak ennek alapján lehet bebizonyítani, hogy az a 17 szimmetria, melyet már az egyiptomi kézművesek is (implicite) ismertek, kimeríti az összes lehetőséget. Különös, hogy ezt csak 1924-ben bizonyította be G. Pólya, aki ma a Stanford Egyetemen tanít.” Még különösebb az a tény, hogy Weyl föntebb idézett sorai képezték a tárgyát a Mathematical Intelligencer több számában megjelent cikksorozatnak (Pederson és mások tollából [89 (1983– 1984)]). A vita azonban arról folyt, hogy vajon valóban ismerték-e az egyiptomi kézművesek mind a 17 szimmetriát, és a résztvevők egyike sem figyelt föl arra a hamis állításra, hogy ki oldotta meg az osztályozás matematikai feladatát. A Bolyai–Lobacsevszkij-féle hiperbolikus sík mozgásainak diszkrét csoportjairól, valamint a Riemann-felületekkel fönnálló kapcsolatukról lásd Hadamard könyvét [55 (1951)]. A fundamentális csoport, az univerzális fedő, valamint a csomók csoportjainak fogalmáról olvashatunk Seifert és Threlfall régies stílusú, de geometriai szemléletű könyvében [94 (1934)]. A topológia, illetve a csoportelmélet algoritmikus jellegű problémainak kapcsolatáról olvashatunk Fomenko könyvében [42 (1983)]. Bár a mai megnevezést még nem használta, a fonatcsoportokat először Hurwitz vizsgálta mind geometriai formájukban (ahogy ma rendszerint definiáljuk őket), mind pedig fundamentális csoportokként; sokkal később mindkét előállításukat külön-külön újra fölfedezték. Erről olvashatunk Chandler és Magnus könyvében [24 (1982)]. A tóruszoknak a Liouville-tételben játszott szerepét illetően lásd Arnold könyvét [2 (1974)]. A klasszikus kompakt csoportok elméletének gondos kidolgozását találhatjuk Chevalley könyvében [25 (1946)]. Kosztrikin és Manyin könyvében [75 (1980)] más Lie-csoportok is szerepelnek, a speciális dimenziókban közöttük fönnálló fontos relációkkal egyetemben. Algebrai csoportokról és a diszkrét csoportokkal fönnálló kapcsolatukról A. Borel áttekintő cikkében olvashatunk [13 (1963)].

252

Irodalomjegyzék

A 17. fejezetben a reprezentációelmélet kapcsán példaként szereplő Helmholtz–Lie-elmélet a témája H. Weyl vonzó, de kissé nehéz könyvének [108 (1923)]. Az O(4) csoport reprezentációival, valamint a négydimenziós Riemann-sokaságok görbületi tenzorával kapcsolatban lásd a Besse által szerkesztett kötetet [9 (1981)]. Az SU (2) reprezentációinak és a kvatummechanikának a kapcsolatával foglalkozik H. Weyl könyve [107 (1928)]. A csoportelmélet alkalmazásaiként szereplő példák közül a Galois-elmélet egy tárgyalását megtalálhatjuk van der Waerden könyvében [104 (1930, 1931)]. Kaplansky könyve [71 (1957)] rövid bevezetőt ad a differenciál Galois-elméletbe. Cassels és Fröhlich könyvében [23 (1967)] olvashatunk azokról a csoportokról (az ún. Gyemuskin-csoportokról), melyek a padikus számtestek bővítéseivel foglalkozó Galois-elméletnél állnak elő, s amelyeknél titokzatos párhuzamokat fedezhetünk föl a felületek fundamentális csoportjaival. Az invariánselmélet alkalmazásairól lásd Deudonné és Carrell könyvét [34 (1971)]. Ami a csoportreprezentációknak az elemi részecskék osztályozásánál játszott szerepét illeti, a szerző csak azokat a munkákat tudja fölsorolni, melyekből ő is megismerte a témát. A legfőbb forrás Bogoljubov munkája volt [11 (1967)]. Érdekes bevezetőt ad Dyson áttekintő cikke [37 (1964)]. Ugyancsak hasznos lehet Zselobenko könyvének [111 (1970)] harmadik függeléke. A merev testek mozgásegyenleteinek értelmezéséről a Lie-csoportokkal és a Lie-algebrákkal öszefüggésben, valamint mindezek általánosításairól lásd Arnold [2 (1974)] és Fomenko [42 (1983)] könyveit. A formális csoportok teljesebb tárgyalását adja Hazewinkel könyve [57 (1978)]. A kategóriaelméleti példák topologikus konstrukcióit megtalálhatjuk Dold [36 (1980)] és Switzer [100 (1975)] könyvében. Komplexusok homológiájával és kohomológiájával kapcsolatban Hilton és Stammbach könyvére utalunk [61 (1971)]. A de Rham-kohomológiáról és de Rham tételéről de Rham könyvében [92 (1955)] olvashatunk, noha de Rham tételét manapság legegyszerűbben kévék segítségével bizonyíthatjuk. A kévék kohomológiájánál a legfontosabb példa a Riemann–Roch-tétel. Ez a témája Hirzebruch könyvének [62 (1956)]. A topologikus K-elméletnél a legfontosabb példa az indextétel volt. Ebbe a témába ad gyönyörű bevezetőt Hirzebruch áttekintő cikke [63 (1965)]. A tétel teljes bizonyítását Palais könyvében [88 (1965)] találhatjuk meg. Az algebrai K-elméletben a K2 csoport és a Brauer-csoport kapcsolatáról szóló tétel Merkurjevtől és Szuszlintól származik (lásd [101 (1984)]). A véges testek Kn -csoportjának rendjére vonatkozó eredmények Quillentől származnak [91 (1972)]. Az egészek Kn -csoportjának rendjére vonatkozó sejtések és eredmények tekintetében lásd Soulé cikkét [97 (1979)]. Az algebra egészének fejlődésébe és a matematika egyéb részeivel való kölcsönhatásokba nyerhetünk jó betekintést Klein fölbecsülhetetlen értékű „Előadásain” keresztül [73 (1926)]. Számos érdekes megjegyzést találhatunk a Bourbaki-kötetek történeti megjegyzései között. Érdekes, noha speciális kérdéssel foglalkozó könyv Chandler és Magnus munkája [24 (1982)].

Irodalomjegyzék [1] A növények élete, 5. kötet, 2. rész. Proszvescsenyije, Moszkva, 1981 (oroszul) [2] Arnold, V.L: A klasszikus mechanika matematikai módszerei. Nauka, Moszkva, 1974 (oroszul). Angol fordításban: Mathematical methods of classical mechanics. Graduate Texts in Mathematics 60, Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York 1978, Zbl. 386.70001 [3] Artin, E.: Geometric algebra. Interscience, New York 1957, Zbl. 77, 21. Orosz fordításban: Nauka, Moszkva 1969, Zbl. 174, 294 [4] Atiyah, M.F.: K-theory. Benjamin, New York–Amsterdam 1967, Zbl. 159, 533 [5] Atiyah, M.F., Macdonald, M.F.: Introduction to commutative algebra. AddisonWesley, Reading, Mass. 1969, Zbl. 175, 36

253

Irodalomjegyzék

[6] Atiyah, M.F. et al: Representation theory of Lie groups. Lond. Math. Soc. Lect. Notes 34, Cambridge Univ. Press, Cambridge–New York 1979, Zbl. 426.22014 [7] Baer, R.: Linear algebra and projective geometry. Pure Appl. Math. Vol. II, Academic Press, New York 1952, Zbl. 49, 381 [8] Barwise, J. et al: Handbook of mathematical logic. Stud. Logic, Found. Math. 90, North-Holland, Amsterdam 1978, Zbl. 443.03001 [9] Besse, A.: Geometrie riemannienne en dimension 4, Séminaire Arthur Besse 1978/ 1979. CEDIC, Paris 1981, Zbl. 472.00010 [10] Birkhoff, G.: Lattice theory. Amer. Math. Soc., New York 1940, Zbl. 33, 101 [11] Bogoljubov, N.N.: Az elemi részecskék szimmetriájának elmélete. Nagyenergiájú fizika és az elemi részecskék elmélete, Naukova Dumka, Kijev 1967, 5–112 (oroszul) [12] Borel, A.: Linear algebraic groups. Benjamin, New York–Amsterdam 1969. Zbl. 186, 332 [13] Borel, A.: Arithmetic properties of linear algebraic groups. Proc. Int. Congr. Math., Stockholm, 1962, Inst. Mittag-Leffler, Djursholm 1963, 10–22, Zbl. 134, 165 [14] Borel, A., Serre, J-P.: Le théorème de Riemann-Roch. Bull. Soc. Math. Fr. 86, (1959) 97–136, Zbl. 91, 330 [15] Borevics, Z.L, Safarevics, I.R.: Számelmélet. Nauka, Moszkva 1964, Zbl. 121, 42 (oroszul). Angol fordításban: Academic Press, New York–London 1966, Zbl. 145, 49 [16] Bourbaki, N.: Éléments de mathématiques, Algèbre, Chap. 1-3. Hermann, Paris 1942– 1948. I: 1942, Zbl. 60, 68, III: 1948, Zbl. 33, 259 [17] Bourbaki, N.: Éléments de mathématiques, Algèbre, Chap. 9. Hermann, Paris 1959, Zbl. 102, 255 [18] Bourbaki, N.: Éléments de mathématiques, Groupes et algèbres de Lie, Chap. 4–6. Hermann, Paris 1968, Zbl. 186, 330 [19] Bröcker, Th.: Differentiable germs and catastrophes. Cambridge Univ. Press, Cambridge–New York 1975, Zbl. 302.58006 [20] Brown, K.S.: Cohomology of groups. Graduate Texts in Mathematics 87, SpringerVerlag, Berlin–Heidelberg–New York 1982, Zbl. 584.20036 [21] Burnside, W.: Theory of groups of finite order. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1897. Új kiadás: Dover, New York 1955, Zbl. 64, 251 [22] Cartan, H., Eilenberg, S.: Homological algebra. Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey 1956, Zbl. 75, 243 [23] Cassels, J.W.S., Fröhlich, A.: Algebraic number theory. Academic Press, London 1967, Zbl. 153, 74 [24] Chandler, B., Magnus, W.: The history of combinatorial group theory. Stud. Hist. Math. Phys. Sci. 9, Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York 1982, Zbl. 498.20001 [25] Chevalley, C.: Theory of Lie groups. Princeton Mathematical Series 8, Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey 1946. [26] Chevalley, C.: Introduction to the theory of algebraic functions of one variable. Am. Math. Soc., New York 1951, Zbl. 45, 323 [27] Chevalley, C.: Classification des groupes de Lie algébriques. Séminaire C. Chevalley 1956-58, Secrétariat mathématique, Paris 1958.

254

Irodalomjegyzék

[28] Chevalley, C.: La théorie des groupes algébriques. Proc. Int. Congr. Math., Edinburgh 1958. Cambridge Univ. Press, Cambridge–New York 1960, 53–68, Zbl. 121, 378 [29] Clifford, W.K.: Mathematical papers. Macmillan, London 1882. [30] Courant, R., Hilbert, D.: Methoden der mathematischen Physik, Bd. I. SpringerVerlag, Berlin 1931 Zbl. 1, 5. Angol fordításban: Methods of mathematical physics, Vol. I. Interscience, New York 1953. Zbl. 53, 28 [31] Dedekind, R., Weber, H.: Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen. Crelle J. Reine Angew. Math. 92 (1882), 181–291. Jrb. 14, 352 [32] Delone, B., Padurov, N., Alekszandrov, A.: A kristályszerkezettan matematikai alapjai és a fundamentális parallelepipedon definíciója röntgensugár-diffrakcióval. ONTI-GTTI, Moszkva–Leningrád 1934 (oroszul) [33] Deuring, M.: Algebren. Springer-Verlag, Berlin 1935. Zbl. 11, 198 [34] Dieudonné, J.A., Carrell, J.B.: Invariant theory, old and new. Academic Press, New York–London 1971. Zbl. 258.14011 [35] Dirac, P.A.M.: The principles of quantum mechanics. Oxford Univ. Press, Oxford 1930, Jrb. .56, 745 [36] Dold, A.: Lectures on algebraic topology. Grundlehren Math. Wiss. 200, SpringerVerlag, Berlin–Heidelberg–New York 1980, Zbl. 434.55001 [37] Dyson, F.J.: Mathematics in the physical sciences. Scientific American 211 (1964), 129–146. [38] Eilenberg, S., MacLane, S.: Natural isomorphisms in group theory. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 28 (1942), 537–543, Zbl. 61, 92 [39] Eilenberg, S., MacLane, S.: General theory of natural equivalence, Trans. Am. Math. Soc. 58 (1945), 231–294, Zbl. 61, 92 [40] Feynman, R.P.: The character of physical laws. Messenger Lectures, Cornell 1964, Cox and Wyman (BBC publications), London 1965. [41] Fjodorov, E.S.: Síkszimmetriák. Zapiszki imperatorszkogo Szankt-Peterburgszkogo mineralogicseszkogo obscsesztva) (A szentpétervári cári ásványtani társulat közleményei), 28(2) (1891), 345–390, (oroszul), Jrb. 23, 539 [42] Fomenko, A.T.: Differenciálgeometria és topológia. Kiegészítő fejezetek. Moszkvai Egyetem kiadványai, Moszkva 1983 (oroszul), Zbl. 517.53001 [43] Freudenthal, H.: Octaven, Ausnahmegruppen und Octavengeometrien. Math. Inst. Rijksuniversitet, Utrecht 1951, Zbl. 56, 259 [44] Frobenius, G.: Gesammelte Abhandlungen, Bd. 1–3. Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York 1968, Zbl. 169, 289 [45] Galois, É.: Œuvres mathématiques d’Évariste Galois. Gauthier-Villars, Paris 1951, Zbl. 42, 4 [46] Gauß, C.F.: Disquisitiones arithmeticae, Werke, Bd. 1. Springer-Verlag, Berlin 1870. Angol fordításban: Yale, New Haven, Conn.–London 1966 Zbl. 136, 323 [47] Gelfand, I.M., Rajkov, D.A., Silov, G.E.: Kommutatív értékelésgyűrűk. Fiz. Mat. G. Iz., Moszkva 1960, Zbl. 134, 321. Angol forditásban: Chelsea, New York 1964. [48] Goppa, V.D.: Kódok és információ. Uszp. Mat. Nauk 39 No. 1, (1984) 77–120. Angol fordításban: Russ. Math. Surv. 39 No. 1, (1984), 87–141, Zbl. 578.94011

255

Irodalomjegyzék

[49] Gorenstein, D.: Finite simple groups. An introduction to their classification. Univ. Series. in Math., Plenum Press, New York–London 1982, Zbl. 483.20008 [50] Goto, M., Grosshans, F.D.: Semisimple Lie algebras. Lect. Notes. Pure Appl. Math. 38 Marcel Dekker, New York–Basel 1978, Zbl. 391.17004 [51] Grothendieck, A.: Sur quelques points d’algèbre cohomologique. Tôhoku Math. J. II. Ser. 9 (1957), 119–221, Zbl. 118, 261 [52] Grothendieck, A.: The cohomology theory of abstract algebraic varieties. Proc. Int. Congr. Math., Edinburgh 1958, Cambridge Univ. Press, Cambridge–New York 1960, 103–118, Zbl. 119, 369 [53] Grothendieck, A., Dieudonné, J.: Éléments de géométrie algébrique, III, Étude cohomologique des faisceaux cohérents. Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 11 (1961), 1–167, (1962), Zbl. 118, 362 [54] Hadamard, J.: Leçons de géométrie élémentaire, II, Géométrie dans l’espace. Armand Colin, Paris 1908. [55] Hadamard, J.: Nemeuklideszi geometria és az automorf formák elmélete. Gos. Izdat. Tekhn.-Teor. Lit., Moszkva–Leningrád 1951 (oroszul), Zbl. 45, 361 [56] Hamermesh, M.: Group theory and its application to physical problems. AddisonWesley, Reading, Mass.–London 1964, Zbl. 151, 341 [57] Hazewinkel, M.: Formal groups and applications. Pure Appl. Math. 78, Academic Press, New York–London 1978, Zbl. 454.14020 [58] Hazewinkel, M., Hesselink, W., Siersma, D., Veldkamp, F.D.: The ubiquity of Coxeter–Dynkin diagrams (an introduction to the A-D-E problem). Nieuw Arch. Wisk. III. Ser. 25 (1977), 257–307, Zbl. 377.20037 [59] Hilbert, D.: Grundlagen der Geometrie. Teubner, Leipzig–Berlin 1930, Jrb. Jrb. 56, 481 [60] Hilbert, D., Cohn-Vossen, S.: Anschauliche Geometrie. Springer-Verlag, Berlin 1932, Zbl. 5, 112. Angol fordításban: Geometry and the imagination. Chelsea, New York 1952, Zbl. 47, 388 [61] Hilton, P.J., Stammbach, U.: A course in homological algebra. Graduate Texts in Mathematics 4, Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York 1971 Zbl. 238.18006 [62] Hirzebruch, F.: Neue topologische Methoden in der algebraischen Geometrie. Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York 1956, Zbl. 70, 163. Angol fordításban: Topological methods in algebraic geometry. Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York 1966, Zbl. 138, 420 [63] Hirzebruch, F.: Elliptische Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten. Arbeitsgemeinschaft für Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen 33, (1965), 563–608, Zbl. 181, 103 [64] Hochschild, G.: The structure of Lie groups. Holden-Day, San Francisco–London– Amsterdam 1965, Zbl. 131, 27 [65] Hoffman, K.: Banach spaces of analytic functions. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 1962, Zbl. 117, 340 [66] Humphreys, J.E.: Linear algebraic groups. Graduate Texts in Mathematics 21, Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York 1975, Zbl. 325.20039 [67] Huppert, B.: Endliche Gruppen, Bd.I. Grundlehren Math. Wiss. 134, Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York 1967, Zbl. 217, 72

256

Irodalomjegyzék

[68] Huppert, B., Blackburn, N.: Finite groups, Vol. II-III. Springer-Verlag, Berlin– Heidelberg–New York 1982, II: Grundlehren Math. Wiss. 242, Zbl. 477.20001, III: Grundlehren Math. Wiss. 243, Zbl. S 14.20002 [69] Ince, E.L.: Ordinary differential equations. Longmans-Green, London 1927, Jrb. 53, 399 [70] Jordan, C.: Traité des substitutions des équations algébriques. Gauthier-Villars, Paris 1870. [71] Kaplansky, I.: An introduction to differential algebra. Hermann, Paris 1957, Zbl. 83, 33 [72] Kirillov, A.A.: A reprezentációelmélet elemei. Nauka, Moszkva, 1972 (oroszul), Zbl. 264.22011. Angol fordításban: Elements of the theory of representations. Grundlehren Math. bliss. 220, Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York 1976, Zbl. 342.22001 [73] Klein, F.: Vorlesungen uber die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. Grundlehren Math. bliss. 24, Springer-Verlag, Berlin 1926, Jrb. 52,22 [74] Klemm, M.: Symmetrien von Ornamenten und Kristallen. Hochschultext, SpringerVerlag, Berlin–Heidelberg–New York 1982, Zbl. 482.20034 [75] Kosztrikin, A.I., Manyin, Ju.I.: Lineáris algebra és geometria. Moszkvai Egyetem kiadványai, Moszkva 1980 (oroszul), Zbl. 532.00002. Angol fordításban: Linear algebra and geometry. Gordon and Breach, New York–London 1989 [76] Kronecker, L.: Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen. J. Reine Angew. Math. 92, (1882) 1–123, Jrb. 14, 38 [77] Kuros, A.G.: Csoportelmélet. Gosz. Izdat. Teor.-Tekn. Lit. 1944 (oroszul). Angol fordításban: The theory of groups, Vol. I, II. Chelsea, New York 1955, 1956, Zbl. 64, 251 [78] Lawson, H.B. Jr.: Surfaces minimales et la construction de Calabi-Penrose, Séminaire Bourbaki, Exp. 624. Astérisque 121/122 (1985), 197–211 [79] Lie, S., Engel, F.: Theorie der Transformationsgruppen, I-III. Teubner, Leipzig I. 1883, II. 1888, III. 1893 [80] Malcev, A.L: Csoportok és más algebrai rendszerek, Matematika, annak tartalma, módszerei és jelentése, 3. kötet, 248–331. Szovjet Tudományos Akadémia, Moszkva 1956 (oroszul) [81] Manyin, Ju.I.: A course in mathematical logic. Graduate Texts in Mathematics 53, Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York 1977, Zbl. 383.03002 [82] Manyin, Ju.I., Vlehduts, S.G.: Lineáris kódok és moduláris görbék. Itogi Nauki Tyeh., Szer. Szovrem. Probl. Mat. 25, (1984) 209–257, Zbl. 629.94013. Angol fordításban: Linear codes and modular curves. J. Sov. Math. 30, (1985) 2611–2643 [83] Manyin, Ju.I.: Előadások az algebrai geometriáról, I. rész, Affin sémák. Moszkvai Egyetem kiadványai, Moszkva, 1970 (oroszul) [84] Michel, L.: Symmetry defects and broken symmetry configurations, hidden symmetry. Rev. Mod. Phys. 52, (1980) 617–652 [85] Milnor, J.: Introduction to algebraic K-theory. Ann. Math. Stud., Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey 1971, Zbl. 237.18005 [86] Mumford, D.: An algebro-geometric construction of commuting operators and of solutions to Toda lattice equations, Korteweg-de Vries equations and related non-linear equations. Proc. int. symp. on algebraic geometry Kyoto 1977, Kinokuniya, Tokyo (1977) 115–153, Zbl. 423.14007

257

Irodalomjegyzék

[87] von Neumann, J.: Continuous geometry. Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey 1960, Zbl. 171,280 [88] Palais, R.S.: Seminar on the Atiyah-Singer index theorem. Ann. Math. Stud. 57, Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey 1965, Zbl. 137, 170 [89] Pedersen, J.: Geometry: The unity of theory and practice. Math. Intell. 5 No. 4, (1983) 37–46, Zbl. 536.54008, B. Grünbaum: The Emperor’s new clothes: full regalia, G string, or nothing?. Math. Intell. 6 No. 4, (1984) 47–53, Zbl. 561.52014, és P. Hilton, J. Pedersen: Comments on Grünbaum’s article. Math. Intell. 6 No. 4, (1984) 54–56, Zbl. 561.52015 [90] Pontrjagin, L.S.: Topologikus csoportok. Redak. tekh.-teor. lit., Moszkva–Leningrád 1938 (oroszul). Angol fordításban: Topological groups. Oxford Univ. Press, London– Milford–Haven, Conn., Zbl. 22, 171 [91] Quillen, D.: On the cohomology and K-theory of the general linear groups over a finite field. Ann. Math. 96(2), (1972) 552–586, Zbl. 249.18022 [92] de Rham, G.: Variétés différentiables, Formes, courants, formes harmoniques. Hermann, Paris 1955, Zbl. 65, 324 [93] Safarevics, I.R.: Az algebrai geometria alapjai. Nauka, Moszkva 1972 (oroszul). Angol fordításban: Basic algebraic geometry. Grundlehren Math. Wiss. 213, Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York 1974, Zbl. 284.14001 [94] Seifert, H., Threlfall, W.: Lehrbuch der Topologie. Teubner, Leipzig–Berlin 1934, Zbl. 9, 86 [95] Séminaire Sophus Lie, Théorie des algèbres de Lie, Topologie des groupes de Lie. Paris 1955 [96] Serre, J-P.: Représentations linéaires des groupes finis. Hermann, Paris 1967. Angol fordításban: Linear representations of finite groups. Graduate Texts in Mathematics 42, Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York 1977, Zbl. 355.20006 [97] Soulé, K.: K-théorie des anneaux d’entiers de corps de nombres et cohomologie étale. Invent. Math. 55, (1979) 251–295, Zbl. 437.12008 [98] Speiser, A.: Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung. Springer-Verlag, Berlin 1937, Zbl. 17, 153 [99] Springer, T.A.: Linear algebraic groups. Prog. Math. 9, Birkhäuser, Boston 1981, Zbl. 453.14022 [100] Switzer, R.M.: Algebraic topology — homotopy and homology. Grundlehren Math. Wiss. 212, Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York 1975, Zbl. 305.55001 [101] Szuszlin, A.A.: Algebrai K-elmélet és a normamaradékos homomorfizmus. Itogi Nauki Tyeh., Szer. Szovrem. Probl. Mat. 25, (1984) 115–207, Zbl. 558.12013. Angol fordításban:: Algebraic K-theory and the norm residue homomorphism. J. Sov. Math. 30, (1985) 2556-2611 [102] Tennison, B.R.: Sheaf theory. Lond. Math. Soc. Lect. Notes 20, Cambridge Univ. Press, Cambridge–New York 1975, Zbl. 313.18010 [103] Tits, J.: Groupes simples et géométries associées. Proc. Int. Congr. Math., Stockholm, 1962, Inst. Mittag-Leffler, Djursholm 1963, 197–221, Zbl. 131, 265 [104] van der Waerden, B.L.: Moderne Algebra, I-II. Springer-Verlag, Berlin 1930, 1931, I.: Jrb. 56, 138, II.: Zbl. 2, 8. Angol fordításban: Algebra I, II. Ungar, New York 1970 [105] Weber, H.: Lehrbuch der Algebra, 1, 2. Vieweg, Braunschweig 1898, 1899

258

Irodalomjegyzék

[106] Weil, A.: Basic number theory. Grundlehren Math. Wiss. 144, Springer-Verlag, Berlin– Heidelberg–New York 1967, Zbl. 176, 336 [107] Weyl, H.: Gruppentheorie und Quantenmechanik. Hirzel, Leipzig 1928. Angol fordításban: The theory of groups and quantum mechanics. Princeton 1930, Jrb. 54, 954 [108] Weyl, H.: Mathematische Analyse des Raumproblems. Springer-Verlag, Berlin 1923, Jrb. 49, 81. Új kiadás: Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1977 [109] Weyl, H.: The classical groups. Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey 1939, Zbl. 20, 206 [110] Weyl, H.: Symmetry. Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey 1952, Zbl. 46, 4 [111] Zselobenko, D.P.: Kompakt Lie-csoportok és reprezentációik. Nauka, Moszkva 1970. Angol fordításban: Compact Lie groups and their representations. Am. Math. Soc., Providence 1973, Zbl. 228.22013 Az angol fordításban szereplő további hivatkozások: [112] Cohn, P.M.: Algebra 1, 2. J. Wiley, London–New York–Sidney 1974,1977, 1: Zbl. 272.00003, 2: Zbl. 341.00002, 2. kiadás: J. Wiley 1982, Zbl. 481.00001 [113] Curtis, C.W., Reiner, I.: Methods of representation theory, I, II. Pure and Applied Mathematics, J. Wiley, London–New York–Sidney 1981, 1987, I: Zbl. 469.20001, II: Zbl. 616.20001 [114] Jacobson, N.: Lectures in abstract algebra, I–III. Van Nostrand, Princeton, New Jersey 1951, 1953, 1964, I: Zbl. 44,260, II: Zbl. 53,212, III: Zbl. 124,270 [115] Matsumura, H.: Commutative ring theory. C.U.P, Cambridge–New York–Melbourne 1986, angol fordítás a japán kiadásból (Kyoritsu, Tokyo 1980), Zbl. 603.13001

259

Tárgymutató

Tárgymutató Abel-csoport, 39, 46, 47, 107, 160, 168, 175, 208, 219 — , véges, 46, 47 — , végesen generált, 48, 158 — reprezentációja, 168, 175, 178 Abel-féle Lie-algebra vagy Lie-gyűrű, 197 abszolút érték (norma), kvaternióé (|q|), 70 absztrakt csoport, 106, 111, 156, 248 adèle-csoport, 156 adjungált csoporthatás, 112 alaptest kiterjesztése, 99, 203 algebra, 8, 68, 80 — , centrális, 97, 110 — , centrális egyszerű, 98, 110 — centruma, 68, 97 — , differenciálformáké, 76 — generátorrendszere, 50, 73 — , gyűrű fölötti, 68, 80, 209 — rangja, 68, 98 — reprezentációja, 80 algebrai — bővítés, 52 — csoport, egyszerű, 162 — egész, 66 — elem, 52 — mátrixcsoport (= lináris algebrai csoport), 155, 160, 162, 164, 186, 231 — számtest, 36, 66, 109, 243 algebrai műveletek geometriai megadása, 17, 54, 91 algebrai sokaság dimenziója, 52 algebrai típusú csoport, 164 algebrai típusú véges csoport, 164 algebrailag — majdnem zárt test, 97 — összefüggő elemek, 51 — zárt test, 34, 54, 94, 97 általános egyenlet, 185 általános lineáris csoport (GL(n, K), GL(V )), 103, 105, 121, 152, 155, 165, 166, 173, 174, 188, 200, 239 — , véges test fölötti (GL(n, Fq )), 108, 130, 155

általános lineáris Lie-algebra (gl(n, K)), 195, 200, 201 általánosított Cayley-algebra, 206 általánosított kvaternióalgebra, 99, 245 alternáló csoport (An ), 116, 162, 164 alternatív gyűrű, 205 antiizomorfizmus, 72, 77 aritmetikai csoport, 137, 139, 155, 231, 246 aritmetikai nem, 236 asszociativitás, 15, 107, 193, 194, 201, 204, 229 Atiyah–Singer-indextétel, 241, 251 automorf függvény, 136, 182 automorfizmus, 105 — , testbővítésé, 105, 182 automorfizmuscsoport, szabad modulusé, 105, 243 axiomatikus projektív geometria, 90, 206 azonosságprobléma (= szóprobléma) csoportokra, 141 Banach-tér korlátos operátorainak a gyűrűje, 68, 74, 93 barion, 190, 191 bázis, szabad modulusé, 39 Bolyai–Lobacsevszkij-sík (= hiperbolikus sík), 112, 136, 154, 174 Boole-gyűrű, 26, 29, 249 bozon, 167 bővítéscsoport (ExtR (L, M )), 109, 226 bővítések ekvivalenciája, 110 Brauer-csoport (Br K), 99, 110, 245 Bravais-rács és Bravais-csoport, 122, 133 Brouwer-féle fixponttétel, 221 Burnside tételei, 95, 168, 172 Cayley-algebra (O), 204, 205 Cayley–Klein-modell, 112, 137, 154 Cayley-számok (= oktávok), 204, 205 Cayley-táblázat, 107, 156 centrális algebra, 97, 110 centrális egyszerű algebra, 98, 110 centrum, algebráé vagy gyűrűé, 68, 97

260

Chevalley tétele (a véges testek algebrailag majdnem zártak), 97 ciklikus — csoport vagy részcsoport, 114–116, 118, 184 — modulus, 47 ciklus, 221 ciklusszerkezet, permutációé, 115 Clebsch–Gordan-formula (SU (2) reprezentációiról), 178, 190 Clifford-algebra (C(L)), 75–77, 79, 93, 150, 154, 250 csomó csoportja, 144 csoport, 106 — , ≤ 10 rendű, 156 — általános lineáris csoport (GL(n, K), GL(V )), 103, 105, 121, 152, 155, 165, 166, 173, 174, 188, 200, 239 — , alternáló (An ), 116, 162, 164 — , aritmetikai, 137, 139, 155, 231, 246 — , ciklikus, 114–116, 118, 184 — , csomóé, 144 — , egyszerű, 159, 160, 163 — Euler-karakterisztikája, 231 — , feloldható, 160, 185 — fölötti integrál (I(f )), 173 — , fundamentális, 142, 145, 148, 187, 214 — generátorrendszere, 108, 111 — invariánsa, 188 — , klasszikusak, 149, 162, 178 — kommutátor-részcsoportja (G′ ), 161, 163 — , lineáris algebrai, 155, 160, 162, 164, 186, 231 — megadása definiáló relációkkal, 108, 115, 129, 140, 145 — , moduláris (P SL(2, Z)), 138 — , mozgásoké, 103, 114, 161 — ortogonális (O(n), SO(n), P SO(n), O(p, q), SO(p, q), SO+ (p, q)), 103, 114, 147, 149, 150, 153, 174–176, 200 — rendje, 107 — részcsoportja, 111 — , speciális lineáris (SL(n, K)), 149, 154, 200

Tárgymutató

— , sporadikus egyszerű, 164 — , szabad (Fn ), 139, 140, 142, 143, 208 — , szimmetrikus (Sn ), 115, 125, 128, 145, 167, 185 — , szimplektikus (Sp(2n, C)), 153 — , tükrözésekkel generált, 128, 250 — , unitér szimplektikus (SpU (n)), 150 — , unitér (U (n), SU (n), SU (p, q), P SU (n)), 150, 163 — , véges, 69, 107, 112, 114, 115 — , véges egyszerű, 163, 164 — , véges hosszúságú, 158 — , végesen generált, 141 — , végesen prezentálható, 141 — , végtelen, 69, 130 csoportábrázolás vagy csoportreprezentáció, 81, 165 csoportalgebra vagy csoportgyűrű (Z[G], K[G]), 69, 81, 168, 228, 244 csoportelem rendje, 114 csoporthatás, 111, 138, 197 — , adjungált, 112 — , bal- vagy jobbreguláris, 112, 198 — , szabad, 131, 143 — , tranzitív, 106, 113, 148, 174 csoporthomomorfizmus, 111 csoportkarakter, 167, 172 csoportkohomológia, 228, 249 csoportobjektum kategóriában, 215, 216 csoportok — bővítése, 160, 229 — direkt szorzata, 114, 157, 175, 212 — szabad szorzata, 208, 212 — szemidirekt szorzata, 230 csoportreprezentáció vagy csoportábrázolás, 81, 165 de Rham tétele, 223 r de Rham-kohomológia (HDR (X)), 222 definiáló relációk, 108, 115, 129, 140, 145 deriválás, 58, 193 Desargues tétele vagy axiómája, 91, 97, 206, 249 diagram, kommutatív, 207 diédercsoport (Dn ), 116, 118, 124, 130, 157

261

differenciál Galois-csoport, 186 differenciálautomorfizmus, 186 differenciálegyenlet megoldása kvadratúrával, 186 differenciálegyenlet monodrómiája, 121, 167 differenciálforma, 38, 39, 41, 58, 222, 233 — integrálja, 222 differenciálformák algebrája, 76 differenciálformák modulusa, 38, 39 differenciáloperátor, 23 — , elsőrendű lineáris, 57, 60, 68, 193 — , lineáris, 23, 38 — — , 6 r-edrendű, 60 — sokaságon, 57, 198 — vektornyalábokon, 240 differenciáloperátorok (deriválások) kommutátora, 194 differenciáloperátorok gyűrűje, 68, 74, 78, 193 differenciáloperátorok i gyűrűje h ∂ ∂ (R ∂x1 , . . . , ∂xn , h i C ∂x∂ 1 , . . . , ∂x∂n ), 23, 37, 38, 47, 76 dimenzió, 45, 211 — , algebrai sokaságé (dim C), 52 — , Lie-algebráé (dim L), 196 Dirac-egyenlet, 77, 250 direkt összeg — , gyűrűké, 23, 212 — , modulusoké, 39, 80, 85, 212 — , reprezentációké, 82, 94, 95, 167 direkt szorzat — , csoportoké, 114, 157, 175, 212 — , testeké, 36 Dirichlet-karakter, 170 díszítéscsoport, 103, 134, 250 diszkrét csoport a hiperbolikus síkban, 136, 251 diszkrét csoport fundamentális tartománya, 123, 131 diszkrét (nem folytonos) csoport, 131 diszkrét részcsoport Rn -ben, 131 diszkrét sorozat, 182 diszkrét transzformációcsoport, 131, 143 disztributivitás, 15

Tárgymutató

divízióalgebra (= ferdetest), 72, 78, 83, 84, 89, 94, 96, 205, 245 divizor, Riemann-felületé, 233, 236 dodekaéder, 117, 163 duális — kategória (C ∗ ), 212 — modulus (M ∗ ), 44 — poliéder, 117 — reprezentáció (b ρ), 170, 171, 177, 193 egész együtthatós háromváltozós kvadratikus alak szimmetriacsoportja, 137 egész számok gyűrűje (Z), 21, 26, 30, 33, 35, 59, 61 egzakt sorozat, 224, 233, 238, 243 — , hosszú, 224, 226, 234, 239, 243 — , kohomológiacsoportoké, 224, 226, 234, 239, 243 — , rövid, 224 egyenlet megoldása gyökjelekkel, 184 egyértelmű faktorizáció, 26, 66 egyértelmű prímfaktorizációs tartomány vagy UFD, 26, 31 egypontos egyesítés, topologikus tereké (X ∨ Y ), 142, 212 egységelem, 15, 107 egységelemes félcsoport, 212, 237 egyszerű — algebrai csoport, 162 — csoport, 159, 160, 163 — gyűrű, 78, 79, 87, 89, 90 — kompakt Lie-csoport, 162 — komplex Lie-csoport, 162, 181 — Lie-algebra, 197, 202 — Lie-csoport, 162, 202 — — , kivételesek (E6 , E7 , E8 , G2 , F4 ), 163, 202 — modulus, 83, 88 egyszeresen összefüggő, 142, 147 ekvivalens — bővítések, 110 — funktorok, 215 — rácsok, 122 — reprezentációk, 82 elemi részecskék, 163, 167, 179, 189 elfajuló magfüggvény, 42 elliptikus — függvény, 132

262

— operátor, 240, 241 — — indexe (Ind D), 241 — — szimbóluma (σD ), 241 előkéve, 231 eltolás Lie-csoportban, 147, 200 endomorfizmusgyűrű (EndA M ), 67, 68, 72, 74, 78, 80, 84, 85, 171 érintőtér, 56 értékelés, 62 értékelt test, 62 euklideszi algoritmus, 26, 48, 244 Euler-egyenletek merev testek mozgására, 203 Euler-helyettesítések, 20 Euler-karakterisztika, 231 — , csoporté, 231 — , kévéé, 235, 242 (ExtR (L, M )), 109, 226 faktor, kompozícióláncé, 83, 159 faktoralgebra, Lie-algebráé, 197 faktorcsoport (G/N ), 113 faktorgyűrű, 32 faktorizáció, 26, 27, 66 faktorkomplexus, 223 faktormodulus, 40, 47, 80, 82 faktorreprezentáció, 81, 82 Fano-axióma a projektív geometriában, 92 fedés — , nem elágazó, 131, 147, 187 — , univerzális, 143, 147, 187, 202 — , véges rétegű, 187 félcsoport, egységelemes, 212, 237 féligegyszerű gyűrű, 87, 89, 96, 110, 171 féligegyszerű modulus, 85, 87, 172, 174, 180, 189 feloldható csoport, 160, 185 ferdetest, 72, 78, 83, 84, 89, 94, 96, 205, 245 — invariánsa (µp (D)), 99, 110 — , R fölötti, 97, 206, 240, 247, 248 fermion, 167 fokszámozott (= graduált) algebra vagy gyűrű, 50, 68, 73, 189 folytonos függvények gyűrűje, 24, 28, 241 folytonos geometria, 93, 250 fonatcsoport (Σn ), 144, 251

Tárgymutató

forgatás, 116, 118, 146 forgatáscsoport — , a 3-dimenziós téré (SO(3)), 118, 146, 200 — , ikozaéderé (Y ∼ = A5 ), 117, 130 — , oktaéderé (O ∼ = S4 ), 117, 172 — , reguláris poliéderé, 117, 163 — , tetraéderé (T ∼ = A4 ), 117 formális csoportok kategóriája, 211 formális hatványsorok gyűrűje (K[[t]]), 24, 60 formális Laurent-sorok teste (K((t))), 20, 24, 61 formális szorzásszabály vagy csoportszabály, 202, 211 Fourier-együtthatók, 169 Fourier-sor, 29, 148, 175, 181 Fourier-transzformáció mint modulusok közötti izomorfizmus, 40 főideál, 30, 32, 40 főideálgyűrű, nullosztómentes, 31, 47, 243 fölcserélhető differenciáloperátorok, 37 Fredholm-operátor, 43, 74 Frobenius tétele (R fölötti ferdetestekről), 97 fundamentális csoport (π(X), π1 (X), π1 (X, x0 )), 142, 145, 148, 187, 214 funktor, 213, 221, 225, 233, 238 — , kontravariáns, 213, 237, 238 — , kovariáns, 212–214 — , reprezentálható (hA , hA ), 215 függvénycsíra, 25, 26, 31, 49, 56, 61 függvénytest (K(C)), 18, 35, 51, 52, 54, 97 Galilei–Newton-csoport, 106 Galois-bővítés, 105, 183, 231 Galois-csoport, 183, 231 Galois-elmélet, 55, 109, 182, 247 Gauß-egészek, 27 Gauß-módszer (sor- és oszlopműveletek), 48, 244 generált részmodulus, 40 generátorok és relációk, 75, 108, 115, 129, 140, 145 generátorrendszer — , algebráé vagy gyűrűé, 50, 73 — , csoporté, 108, 111

263

— , modulusé, 40, 47 görbe racionális függvényteste (K(C)), 18, 35, 51, 52, 54, 97 görbe (= út), ill. hurok (= zárt görbe), 142, 214 görbék (hurkok) kompozíciója, 142, 216 görbületi tenzor, 177 graduált (= fokszámozott) algebra vagy gyűrű, 50, 68, 73, 189

Tárgymutató

gyűrű, 21, 67 — , Banach-tér korlátos operátoraié, 68, 74, 93 — centruma, 68, 97 — , differenciáloperátoroké, 68, 74, 78, 193 — , egyszerű, 78, 79, 87, 89, 90 — , féligegyszerű, 87, 89, 96, 110, 171 — , fokszámozott, 50, 68, 73, 189 — , funkcionális nézőpontból, 21, 29, 35, 44, 58, 66, 246, 249 — ideálja, balideálja, jobbideálja, 74, 78, 89 — involúciója (∗ ), 72, 77, 195 — , kommutatív, 21 — , nemkommutatív, 67 — részgyűrűje, 21, 68 — , végesen generált egy részgyűrű fölött, 50 gyűrűaxiómák, 67 gyűrűhomomorfizmus, 28, 33, 35, 68, 197

Hilbert bázistétele, 49 hiperbolikus sík — Cayley–Klein-modellje, 112, 137, 154 — Poincaré-modellje, 112, 136 hiperbolikus sík vagy tér, 112, 136, 154, 174 Hom( , A), Hom(A, )), 213, 215 homológia (Hn (K), Hn (X), Hn (X, A)), 109, 214, 219, 221 homomorf kép (faktor), 47, 50, 73 homomorfizmus — csoportok között, 111 — , gyűrűk vagy algebrák között, 28, 33, 35, 68, 197 — , kanonikus, 33, 40, 113 — képe (Im f ), 30, 41, 68, 80, 113, 233 — , kévék között, 232 — magja (Ker f ), 30, 35, 41, 68, 73, 80, 113 — modulusok között, 40, 79 — , természetes, 33, 40, 113 — vektortércsaládok között, 45, 237 homomorfizmustétel, 33, 41, 74, 113 homotópiaelmélet, 109, 142, 210, 214, 221, 225, 238 hosszú egzakt kohomológiasorozat, 224, 226, 234, 239, 243 — , altéré, 225 hosszúság vagy kompozícióhossz, 82, 85, 158 hurok (= zárt görbe), 142, 187, 214 huroktér (ΩX), 214, 216

hányadoskéve, 233 hányadostest, 23, 35 harangvirág, 135 hasonló rácsok, 138 Hasse tétele (Q fölötti ferdetestekről), 101 Hasse tétele (Qp fölötti ferdetestekről), 99 Hasse–Brauer–Noether-tétel (Q fölötti ferdetestekről), 101 határ, 221, 222 határleképezés, 219 Helmholtz–Lie-tétel, 173, 251 hermitikus skalárszorzás, 86, 173 hibajavító kód, 34 Higman tétele, 141

ideál — , elemek által generált ((a1 , . . . , an )), 30, 40, 74 — , kommutatív gyűrűé, 30, 32, 40 — , Lie-algebráé, 197 — , maximális, 33, 37, 44, 56 ideál, balideál, jobbideál, 74, 78, 89 identitásmorfizmus, 210 ikozaéder, 117, 163 illeszkedési axiómák, 12 impulzusmomentum, 105, 203, 250 — megmaradása, 105, 203, 250 index — , elliptikus operátoré (Ind D), 241 — , részcsoporté (|G : H|), 112, 116 indextétel, 241, 251

264

infinitezimális mennyiség, 55, 59, 197 integrál, csoport fölött, 173 integráloperátor magfüggvénye, 43 integritási tartomány, 23 invariáns — altér, 81, 167, 179 — , csoporté, 188 — differenciálforma, 147, 173, 181 — , ferdetesté (µp (D)), 99, 110 — hermitikus skalárszorzás, 86, 153, 170, 173 — kvadratikus alak, 120, 121 — Riemann-metrika, 147, 203 — vektormező, 147, 198 invariánselmélet, 165, 188 — alaptétele, 189 invertálható elem vagy egység, 26 inverz (x−1 ), 15, 72, 78, 107, 139, 168, 171 — , kvaternióé, 70 involúció gyűrűben (∗ ), 72, 77, 195 irreducibilis polinom, 18, 26 irreducibilis reprezentáció (= egyszerű modulus), 83, 93, 94, 167, 168, 174, 175, 181 irreducibilis reprezentációk száma, 94, 168, 170 izomorfizmus, 17 — , csoporthatásoké, 111 — , csoportok közötti, 107 — kategóriában, 212 — , Lie-algebrák közötti, 196 — , modulusok vagy ideálok közötti, 39, 40 — , testek vagy gyűrűk közötti, 17, 21, 28, 33, 68 izomorfizmusprobléma csoportokra, 141, 144 izotóp spin, 177, 191 Jacobi-azonosság, 194 jet, 59 Jordan tétele (GL(n, Z) véges részcsoportjairól), 124, 130, 132 Jordan tétele (O(n) véges részcsoportjairól), 124 Jordan-féle normálalak, 47, 86, 109 Jordan–Hölder-tétel, 83, 159

Tárgymutató

kanonikus homomorfizmus faktorra, 33, 40, 113 karakter, 95, 168, 172, 178 — , az SU (2) csoporté, 177, 190 — , csoporté, 167, 172 b 168, 175 karaktercsoport (G), karakterek ortogonalitása, 169, 172, 174 karakterisztika, 35 kategória, 207, 209, 231, 248 — duálisa (C ∗ ), 212 — , formális csoportoké, 211 — morfizmusai, 209 — objektumai (Ob(C)), 209 kategóriák (A b , Set , M od R , Top , Top 0 , H ot , H ot 0 ), 210, 211, 221, 225, 238 K-elmélet, 237 e — , K(A), K(A), Kn (A), SK1 (A), 242 — , Kn (Z), 246 e e n (X), 238 — , K(X), K(X), K — , test K2 -csoportja (K2 (k)), 244 képzetes rész, kvaternióé (Im q), 70 kéve, 232 — Euler-karakterisztikája, 235, 242 — , laza („flasque”), 234 — , Riemann-felület divizorához tartozó, 233, 236 kévehomomorfizmus magja, 233 kévék homomorfizmusa, 232 kévék kohomológiája (H n (X, F )), 231 kiértékelés mint homomorfizmus, 28, 31, 56 kivételes egyszerű Lie-csoportok (E6 , E7 , E8 , G2 , F4 ), 163, 202 klasszikus csoportok, 149, 162, 178 kocka, 117, 163 kohatárleképezés, 219 kohomológia — , csoportoké, 228, 249 r — , de Rham-féle (HDR (X)), 222 n — , kévéké (H (X, F )), 231 kohomológia (H n (K), H n (K, A), H n (X, A)), 109, 214, 218, 219, 222 kohomológiacsoportok hosszú egzakt sorozata, 224, 226, 234, 239, 243 kohomológiagyűrű (H ∗ (X, R), H ∗ (X, C), 223, 241 kolánckomplexus, 219

265

kommutátor ([ , ]), 194, 199 — , differenciáloperátoroké, 194 kommutátor-részcsoport (G′ ), 161, 163 kommutatív — csoport, 39, 46, 47, 107, 160, 168, 175, 208, 219 — diagram, 207 kommutatív gyűrű, 21 — , algebrai számtestbeli egészeké, 66, 109, 243 — , C ∞ -függvénycsíráké (E), 31, 49, 56, 61 — , differenciáloperátoroké i h (R ∂x∂ 1 , . . . , ∂x∂n , h i ∂ ∂ C ∂x1 , . . . , ∂xn ), 23, 37, 38, 47, 76 — , egész számoké, 21, 26, 30, 33, 35, 59, 61 — , folytonos függvényeké, 24, 28, 241 — , görbén értelmezett polinomfüggvényeké (K[C]), 25, 37, 44, 50, 61 — , holomorf függvénycsíráké (On ), 25, 26, 31 — , p-adikus egészeké, 61 kommutatív Lie-algebra vagy Lie-gyűrű, 197 kommutativitás, 15 kompakt Lie-csoport, 148, 172 komplementum (normális részcsoporté), 230 komplex — Lie-csoport, 152 — sokaság, 52, 153, 233, 235, 236 — tórusz, 52, 148 komplexifikáció, 42 komplexus, 220 komplexus differenciálja, 219 kompozícióhossz, 82, 85, 158 kompozíciólánc, 83, 159 — faktora, 83, 159 kongruencia modulo I, 32 konjugált elem vagy részcsoport, 112, 115 konjugált, kvaternióé (q), 70, 99, 204 konjugáltosztály, 112, 116, 170 kontragrediens (= duális) reprezentáció (b ρ), 170, 171, 177, 193

Tárgymutató

konvolúció, 69 konyhasó (NaCl), 104 koordiátagyűrű (K[C]), 25, 37, 44, 50, 61 „koordinátázás”, 10, 17, 21, 25, 29, 54, 91, 109, 165, 248, 249 kovariáns vagy kontravariáns tenzor, 43, 44 körzővel és vonalzóval való szerkesztés, 54 kristálycsoport, 104, 132, 160, 250 kristálycsoport a hiperbolikus síkban, 136 kristályosztály, 122–124, 130 külső — algebra, modulusé vagy vektortéré V ( M ), 75V — hatvány ( r M ), 43 — szorzat (x ∧ y), 43 kvadratikus reciprocitás, 101 kvantummechanika, 12, 177, 179, 190 — szótára, 12, 43, 190 kvark, 193 kvaternió (q ∈ H), 70, 97, 151, 157, 176, 204 — , 1 abszolút értékűek csoportja (SpU (1)), 146, 147, 150 — abszolút értéke (normája) (|q|), 70 — , inverze (q −1 ), 70 — , képzetes része (Im q), 70 — konjugáltja, 70, 99, 204 — , tisztán képzetes, 70, 146, 176 — valós része (Re q), 70 kvaternióalgebra vagy kvaterniótest (H), 70 kvaternióalgebra, általánosított, 99, 245 kvaterniók fölötti projektív egyenes (P1 (H)), 71 Lagrange tétele (négy négyzetszám összegéről), 71 láncfeltételek, 45, 49, 82 lánckomplexus, 219 Laurent-sor, 20, 24, 62, 64 laza („flasque”) kéve, 234 laza föloldás, 235 Legendre tétele (az ax2 + by 2 = c egyenlet racionális megoldásairól), 65, 101, 137

266

Lie tétele (Lie-csoport Lie-algebrájáról), 201 Lie-algebra — , általános lineáris (gl(n, K)), 195, 200, 201 — dimenziója (dim L), 196 — , egyszerű, 197, 202 — , kommutatív, 197 — , Lie-csoporté, 199 — , ortogonális (o(n, K), o(p, q)), 195, 200, 201 — , speciális lineáris (sl(n, K)), 195, 200, 201 — , unitér szimplektikus (spu(n)), 196, 201 — , unitér (u(n), su(n)), 196, 201 Lie-algebra vagy Lie-gyűrű, 193 Lie-csoport, 131, 145, 147, 148, 197, 216, 248 — , egyszerű, 162, 202 — , egyszerű kompakt, 162 — , egyszerű komplex, 162, 181 — , kompakt, 148, 172 — , komplex, 152 — , Lie-részcsoportja, 148 — , lokális, 201 Lie-csoport Lie-algebrája, 199 Lie-elmélet, 197, 211, 248 Lie-részcsoport, 148 lineáris — algebrai csoport (= algebrai mátrixcsoport), 155, 160, 162, 164, 186, 231 — differenciáloperátor, 23, 38 — — , 6 r-edrendű, 60 — leképezés, 40 lineárisan — független elemek, 46 — összefüggő elemek, 46 Liouville tétele (integrálható rendszerekről), 149, 251 lokális Lie-csoport, 201 Lorentz-csoport, 106, 154, 181 majomkenyérfa, 135 maradékosztály modulo I, 32 maradékosztálygyűrű, 32 mátrixalgebra (Mn (K), Mn (D)), 68, 72, 78, 81, 84, 89, 95, 195 maximális ideál, 33, 37, 44, 56

Tárgymutató

maximális kompakt részcsoport, 153, 163 maximumfeltétel, 49 megmaradási törvény — , impulzusmomentumé, 105, 203, 250 — , momentumé, 105, 250 mellékosztály (jobb vagy bal oldali), 112 mellékosztály vagy maradékosztály (ideál vagy részmodulus szerinti), 32, 40 merev test mozgása, 146, 200, 203 meromorf függvények, 20, 52, 186, 233, 236 mezon, 190 minimálpolinom, 52 Minkowski–Hasse-tétel (másodfokú egyenletek racionális megoldásairól), 65 moduláris csoport (P SL(2, Z)), 138 modulus, 38, 79 — , 0-rangú, 46 — , ciklikus, 47 — , differenciálformáké, 38, 39 — duálisa (M ∗ ), 44 — , egyszerű, 83, 88 — endomorfizmusgyűrűje (EndA M ), 67, 68, 72, 74, 78, 80, 84, 85, 171 — , féligegyszerű, 85, 87, 172, 174, 180, 189 — generátorrendszere, 40, 47 — kompozícióhossza, V 82, 85, 158 — külső algebrája (V M ), 75 — külső hatványa ( r M ), 43 — , K[x] fölötti, 38, 47, 83, 85 — , nullosztómentes főideálgyűrű fölötti, 47, 243 — , projektív, 227, 243 — rangja, 39, 46, 47 — , szabad, 39, 46, 47, 227 — szimmetrikus hatványa (S r M ), 43, 188 — szimmetrikus négyzete (S 2 M ), 43 — , végesen generált, 46, 48 — , Z fölötti (Abel-csoport), 39, 107, 211 modulus (abszolút érték, norma), kvaternióé (|q|), 70 modulusbővítések összege, 110

267

modulushomomorfizmus, 40, 79 modulusok bővítése, 109 momentum (= mozgásmennyiség), 105 momentum megmaradása, 105, 250 Monster (Monstrum), 164 morfizmus, 209 mozgáscsoport, 103, 114, 161 mozgásegyenlet integrálja, 105 mozgások, 103, 200 muskátli, 135 művelet, 15 műveletekkel ellátott halmaz, 21, 106 nem elágazó fedés, 131, 147, 187 nemasszociatív (divízió)algebra, 204 nemkommutatív gyűrű, 67 nemkommutatív polinomalgebra (Khξ1 , . . . , ξn i), 73 nemszinguláris pont, 59 nemsztenderd analízis, 37 Noether tétele (a szimmetriákról és a megmaradási törvényekről), 105, 250 Noether-modulus vagy Noether-gyűrű, 49 normálosztó (N ⊳ G), 113, 116, 199 normálosztó, Sn -é és An -é, 116 norma (abszolút érték), kvaternióé (|q|), 70 növőláncfeltétel vagy maximumfeltétel, 49 nukleon, 190 nullelem, 15 nyom, 95, 96 objektum, kategóriában (Ob(C)), 209 oktaéder, 117 oktávok (= Cayley-számok), 204, 205 Ω− -hiperon, 193 oppozitgyűrű, 72, 80, 84, 88 orbit (Gx), 106, 112 orbittér (= faktortér) (G\X), 106, 112, 113, 131, 132, 174 ortogonális csoportok (O(n), SO(n), P SO(n), O(p, q), SO(p, q), SO+ (p, q)), 103, 114, 147, 149, 150, 153, 174–176, 200

Tárgymutató

ortogonális Lie-algebra (o(n, K), o(p, q)), 195, 200, 201 ortogonális transzformációk véges csoportja, 116, 118, 122 ortogonalitás, karaktereké, 169, 172, 174 Ostrowski tétele (Q értékeléseiről), 64 osztálycsoport (Cl A), 40, 66, 109, 243 osztályszám, 40 osztálytestelmélet, 101 oszthatóságelmélet gyűrűben, 26, 27 összeg — kategóriában, 207, 212 — , modulusbővítéseké, 110 p-adikus egészek gyűrűje, 61 p-adikus számok teste (Qp ), 62, 64, 99, 155, 188, 249 Papposz tétele vagy axiómája, 92, 97, 249 páratlan permutáció, 116 paritásmegmaradás törvénye, 106 páros Clifford-algebra (C 0 (L)), 77–79, 150, 154 páros permutáció, 116, 118 p-csoport, 161 periodicitási tétel a K-elméletben, 239 permutáció — ciklusszerkezete, 115 — , páratlan, 116 — , páros, 116, 118 permutációcsoport, 104, 109, 115, 125, 183, 247 pillanatnyi szögsebesség, 201 platóni testek, 117, 163, 174 Poincaré–Koebe-féle uniformitási tétel, 137 Poincaré-modell, 112, 136 Poisson-zárójel, 11, 149, 194 poliéder, 117, 118, 124, 220 — , reguláris, 117, 163, 174 — duálisa, 117 polinom, 22 — , irreducibilis, 18, 26 — szimmetriacsoportja, 105 polinomalgebra, nemkommutatív (Khξ1 , . . . , ξn i), 73 polinomfüggvény, görbén értelmezett, 25

268

polinomgyűrű (A[x], K[x1 , . . . , xn ]), 21, 30, 49, 59, 60 polinomiális konvex burok, 29 Pontrjagin-dualitás, 175 prímideál, 35, 66 primitív elem, 53 prímtest, 35, 53 projektív föloldás, 228, 239 projektív geometria alaptétele, 91 projektív limesz, gyűrűké, 60 projektív modulus, 227, 243 projektív tér (Pn ), 91 — axiómái, 90 — , ferdetest fölötti (Pn−1 (D)), 90 Puiseux-kifejtés, 64 racionális — függvény, 16 — függvénytest (K(x), K(x1 , . . . , xn )), 17, 23, 52, 54, 63, 185 — törtfüggvény, 16 rács (C ⊂ Rn ), 121, 132, 148 √ radikálbővítés (K( n a)), 185 rang — , modulusé, 39, 46, 47 — , test fölötti algebráé, 68, 98 redukált szorzat (X ∧ Y ), 216 redukált szuszpenzió (SX), 216, 238, 239 reguláris — csoporthatás, 112, 198 — poliéder, 117, 163, 174 — reprezentáció, 82, 84, 167, 174, 181, 214 rend — , csoporté, 107 — , csoportelemé, 114 reprezentáció — , Abel-csoporté, 168, 175, 178 — , algebráé, 80 — , az S3 csoporté és az oktaéder forgatáscsoportjáé, 172 — , az SO(3) csoporté, 179 — , az SO(4) csoporté, 176 — , az SU (2) csoporté, 177, 190 — , csoporté, 81, 165 — , féligegyszerű gyűrűé, 87, 94 — , irreducibilis, 83, 93, 94, 167, 168, 174, 175, 181

Tárgymutató

— karaktere, 95, 168, 172, 178 — , klasszikus komplex Lie-csoportoké, 180 — , kompakt Lie-csoporté, 172, 189 — , reguláris, 82, 84, 167, 174, 181, 214 — , unitér, 174, 181 — , véges csoporté, 124, 168, 248 — , véges dimenziós, 81 — , végtelen dimenziós, 86, 181 reprezentációk tenzorszorzata, 171, 172, 175 reprezentálható funktor (hA , hA ), 215 részbenrendezett halmaz, 90 részcsoport, 111 — , normális, 113, 116, 199 — indexe (|G : H|), 112, 116 részgyűrű, 21, 68 részkéve, 232 részkomplexus, 223 részmodulus, 39 részreprezentáció (= invariáns altér), 81, 82, 167, 180 részsokaság, 36, 206 résztest, 16, 35 Ricci-féle nyommentes tenzor, 177 Riemann-féle ζ-függvény, 245 Riemann-felület, 36, 63, 132, 136, 143, 233, 236, 249 — uniformizálása, 132, 137 Riemann-metrika, 147, 203 Riemann–Roch-tétel, 236, 237, 242, 249 rövid egzakt sorozat, 224 Schur-lemma, 83 sokaság, 44, 52, 57, 60, 61, 131, 136, 147, 153, 187, 193, 197, 206, 216, 220, 222, 232, 235, 236, 240 sokaságok homeomorfizmusproblémája, 143 sor- és oszlopműveletek, 48, 244 speciális lineáris csoport (SL(n, K)), 149, 154, 200 speciális lineáris Lie-algebra (sl(n, K)), 195, 200, 201 spinor csoport (Spin(n), Spin(p, q)), 151, 154 sporadikus egyszerű csoport, 164 stabilizátor (Gx ), 106, 111, 112, 134

269

Stokes-tétel, 222 struktúrakonstans, 68, 197, 199 szabad — csoport (Fn ), 139, 140, 142, 143, 208 — csoporthatás, 131, 143 — generátorrendszer — — , modulusé, 39 — modulus, 39, 46, 47, 227 — — automorfizmuscsoportja (GL(n, A)), 105, 243 — — bázisa, 39 — szorzat, csoportoké, 208, 212 szelés, vektortércsaládé, 45 szemidirekt szorzat, csoportoké, 230 szerkesztés körzővel és vonalzóval, 54 szimbólum, elliptikus operátoré (σD ), 241 szimmetria, 103, 163, 166, 179, 182, 250 szimmetria sérülése, 179, 190 szimmetriacsoport — , díszítésé, 103, 134, 250 — , kirstályé, 104, 132 — , molekuláé, 103, 119 — , n-dimenziós kockáé, 129 — , polinomé, 105 — , rácsé (Bravais-csoport), 122, 133 — , tetraéderé, 104, 172 — , fizikai törvényeké, 105, 106, 250 szimmetrikus — csoport (Sn ), 115, 125, 128, 145, 167, 185 — függvény, 105, 185 — hatvány (S r M ), 43, 188 — négyzet (S 2 M ), 43 szimplektikus csoport (Sp(2n, C)), 153 szimplex, 220 szinguláris pont, 58 szó, 139 szóprobléma, 141 szorzás, modulusokon, 41 szorzat — , ideáloké, 31 — , karaktereké, 171 — , kategóriában, 207, 212, 222 — kohomológiagyűrűben, 223 szuperalgebra (= Z/2-fokszámozott algebra), 75, 222

Tárgymutató

szuszpenzió (ΣX), 216, 239 Tamagawa-szám, 156 tarka dögvirág, 135 b L), b 60, 63 teljessé tétel (A, tenzor — , kovariáns vagy kontravariáns, 43, 44 — , (p, q) típusú, 44 tenzoralgebra, vektortéré (T (L)), 73, 188 tenzorhatvány (T r (M ), T r (ρ)), 43, 73, 171, 213 tenzorszorzat — , algebráké vagy gyűrűké, 98, 110, 212 — , modulusoké, 41, 42, 171, 213 — , reprezentációké, 171, 172, 175 természetes homomorfizmus faktorra, 33, 40, 113 test, 15, 30, 33, 78, 243 — , algebrailag majdnem zárt, 97 — , algebrailag zárt, 34, 54, 94, 97 — , értékelt, 62 — , (formális) Laurent-soroké (K((t))), 20, 24, 61 — karakterisztikája, 35 — , meromorf függvényeké (M(X)), 20, 52 — , racionális (Q), valós (R), komplex (C), 16, 34, 35, 51, 64, 100 — részteste, 16, 35 — , trigonometrikus függvényeké, 20 — , véges (Fq ), 14, 16, 33, 34, 51, 53, 92, 97, 130, 164, 246, 250 testbővítés (L | K), 16, 34, 51, 53, 182 — , algebrai, 52 — automorfizmusa, 105, 182 — foka ([L : K]), 53, 105, 187 — transzcendenciafoka, 52 — , véges, 53, 68, 109 — , végesen generált, 51 testek direkt összege, 89, 168 testek ultraszorzata, 37 tetraéder, 104, 117, 163 tiltott kölcsönhatások törvénye, 191 tisztán képzetes kvaternió, 70, 146, 176 topológia, topologikus tér, 109, 131, 142, 219, 231, 232

270

topologikus tér — , egyszeresen összefüggő, 142, 147 — univerzális fedése, 143, 147, 187, 202 tórusz, 148, 251 torzióelem, ill. torziómodulus, 46, 47 törtlineáris transzformációk csoportjának véges részcsoportjai, 121 transzcendenciafok — , testbővítésé (tr deg L | K), 52 transzformációcsoport, 103, 106, 197, 214, 248 — , diszkrét, 131, 143 — , tranzitív, 106, 113, 148, 174 tranzitív — hatás, 106, 113, 148, 174 — transzformációcsoport, 106, 113, 148, 174 trianguláció, 220 trigonometrikus függvénytest, 20 triviális vektortércsalád, 237 Tsen tétele (K(C) fölötti ferdetestekről), 97 tükrözés, 103, 104, 125 tükrözésekkel generált véges csoport, 125, 128, 129 tvisztortér, 71 UFD, 26, 31 ultraszorzat, 37 unitér csoportok (U (n), SU (n), SU (p, q), P SU (n)), 150, 163 unitér fogás, 181 unitér Lie-algebra (u(n), su(n)), 196, 201 unitér reprezentáció, 174, 181 unitér szimplektikus csoport (SpU (n)), 150 unitér szimplektikus Lie-algebra (spu(n)), 196, 201 univerzális fedés, 143, 147, 187, 202 univerzális leképezési tulajdonság, 41, 207, 209 üres halmaz, 90 valós rész, kvaternióé (Re q), 70

Vec (X) funktor, 237 véges — Abel-csoport, 46, 47

Tárgymutató

— — — —

csoport, 69, 107, 112, 114, 115 — , algebrai típusú, 164 — reprezentációja, 124, 168, 248 — szorzástáblája (Cayley-táblázat), 107, 156 — dimenzió, 46, 196 — dimenziós reprezentáció, 81 — egyszerű csoport, 163, 164 — geometria, 13, 92, 97 — hosszúság, 82, 85, 90, 158 — hosszúságú csoport, 158 — rétegű fedés, 187 — rang, 46, 68 — testbővítés, 53, 68, 109 végesen generált — Abel-csoport, 48, 158 — csoport, 141 — gyűrű A fölött, 50 — modulus, 46, 48 — testbővítés, 51 végesen prezentálható csoport, 141 végobjektum (kategóriában), 215 végtelen — csoport, 69, 130 — dimenziós reprezentáció, 86, 181 végtelenül kis (= infinitezimális) mennyiség, 55, 59, 197 vektormező, 38, 41, 44, 57, 149, 193–196, 198, 233, 240 vektornyaláb, 237 vektortér — , kijelölt lineáris transzformációval, 38, 47, 83, 85, 109 — komplexifikációja, 42 vektortércsalád, 44, 237 — szelése, 45 Wedderburn tétele (féligegyszerű gyűrűkről), 89, 110 Wedderburn tétele (véges ferdetestekről), 97 Wedderburn–Remak–Schmidt-tétel, 158 Weierstraß approximációs tétele, 175 Weierstraß előkészítési tétele, 27 Weyl-tenzor, 177 Z/2-fokszámozás, 75 zászló, 117, 173 ζ-függvény, 245

271

Névmutató

Névmutató Abel, N.H. 39, 107, 247 Arnold, V.I. 149, 250, 251 Atiyah, M. 241, 247, 248, 249, 250 Banach, S. 43 Bianchi, L. 177 Bierbach, L. 132 Bogoljubov, N.N. 251 Boole, G. 25 Borel, A. 248, 251 Borel, É. 61 Bose, S.N. 167 Bourbaki, N. 247, 250, 252 Brauer, R.D. 101, 110, 245 Bravais, A. 122 Brouwer, L.E.J. 221 Brown, K.S. 249 Burnside, W.S. 94, 95, 168, 248 Cartan, É. 202 Cartan, H. 249 Cauchy, A.L. 62, 77 Cayley, A. 107, 109, 112, 137, 154, 156, 205, 206, 248 Chandler, B. 248, 251, 252 Chevalley, C. 97, 248, 249, 251 Clebsch, R.F.A. 178, 190, 191 Clifford 76, 150 Clifford, W.K. 250 Dedekind, J.R.W. 247, 249 Delone, B.N. 124 Desargues, G. 91, 97, 206, 249 Descartes, R. 11 Deuring, M.F. 247, 250 Dirac, P.A.M. 77, 167, 250 Dirichlet, P.G.L. 170 Dold, A.E. 249, 251 Dyson, F.J. 179, 251 egyiptomi kézművesek 134, 250 Eilenberg, S. 248, 249 Einstein, A. 167 Engel, F. 248 Eukleidész 26, 39, 163 Euler, L. 20, 27, 71, 99, 146, 170, 203, 231, 235, 237, 242, 246

Fano, G. 92 Fermat, P. 27 Fermi, E. 167 Feynman, R.P. 250 Fjodorov, E.S. 250 Fourier, J-B-J. 29, 40, 148, 169, 175, 181 Fredholm 43, 74 Freudenthal, H. 248 Frobenius, F. 97, 248 Galileo, G. 10, 106 Galois, É. 97, 109, 182, 183, 186, 247, 250, 251 Gauß, C.F. 27, 48, 101, 244, 247 Gordan, P.A. 178, 190, 191, 251 Gorenstein, D. 248 Green, G. 223 Grothendieck, A. 249 Gyemuskin, S.P. 251 Hadamard, J.S. 250 Hamilton, W.R. 71, 179, 192 Hasse, H. 65, 99, 101, 156 Hausdorff, F. 131 Heisenberg, W.K. 190 Helmholtz, H. 173, 174, 251 Hermite, C. 152, 153, 170, 177, 180, 195 Higman, G. 141 Hilbert, D. 12, 49, 86, 93, 189, 247, 249, 250 Hilton, P.J. 249, 251 Hirzebruch, F.E.P. 249, 251 Hochschild, G.P. 248 Hölder, O. 83, 85, 159 Huppert, B. 248 Hurwitz, A. 251 Jacobi, C.G.J. 194, 196 Jordan, C. 47, 83, 85, 86, 109, 124, 132, 159, 247, 248 Kaplansky, I. 251 Kirillov, A.A. 248 Klein, F. 112, 137, 154, 247, 248, 249, 251

272

Koebe, P. 137 Kronecker, L. 247, 249 Kuros, A.G. 248 Lagrange, J.L. 27, 71, 105, 247 Laplace, P.S. 77 Laurent, P.A. 20, 24, 37, 61 Legendre, A.M. 65, 100, 137 Lie, M.S. 147, 158, 163, 167, 172, 173, 174, 175, 180, 194, 195, 201, 231, 248 Liouville, J. 149, 234, 235, 251 Lobacsevszkij, N.I. 112, 251 Lorentz, H.A. 106, 154, 181 Macdonald, I.G. 247, 250 MacLane, S. 248 Magnus, W. 248, 251, 252 Malcev, A.I. 134, 250 Manyin, Ju.I. 248, 249, 250, 251 Merkurjev, A.S. 251 Milnor, J.W. 249 Minkowski, H. 65, 156 Neumann, J. 250 Newton, I. 106 Noether, A.E. 49, 50, 84, 101, 105, 189, 247, 250 Ostrowski, A. 64 Papposz, (Alexandriai Papposz) 92, 97, 249 Picard 186 Platón 117, 163, 250 Poincaré, H. 112, 136, 137 Poisson, S.D. 11, 149, 194, 198 Pólya, Gy. 250 Pontrjagin, L.S. 175, 248 Puiseux, V.A. 64 Quillen, D.G. 251 Remak, R. 158 de Rham, G-W. 222, 223, 249, 251 Ricci, C.G. 177 Riemann, G.F.B. 10, 36, 63, 77, 121, 132, 138, 147, 174, 203, 231, 233, 237, 242, 249, 251 Roch, G. 237, 242, 251 Schmidt, O.Ju. 158, 159

Névmutató

Schoenflies, A.M. 250 Schur, I. 83 Seifert, H. 249, 251 Serre, J.P. 248 Singer, I.M. 241 Soulé, C. 251 Speiser, A. 134, 248 Stammbach, U. 249 Stokes, G.G. 222, 223 Switzer, R.M. 249, 251 Szuszlin, A.A. 249, 251 Tamagawa, T. 156 Taylor, B. 55, 56, 61 Threlfall, W. 249, 251 Tsen, C.T. 97 Vessiot, E. 186 van der Waerden, B.L. 247, 251 Weber, H.F. 247, 249 Wedderburn, J.H.M. 158 Weierstraß, K.T.W. 26, 175 Weil, A. 247, 249 Weyl, C.H.H. 10, 177, 198, 247, 248, 250 Zeeman, P. 179 Zorn, M.A. 33 Zselobenko, D.P. 248, 251