Alapösszefüggések matematikából - Emelt szint [PDF]

Zitiervorschau

,*rutfiuuul

RL RP 0 S S Z f f UO G Mf T T MRT I Hf BOL tIIItLT s I|T

EA

(t) CD E!)

6

tn

r

Inf) (t[n KtfB0. szt0tD200

EL OSZO

Szer26. FRoHLICH I-UOS

Lektor: T6TH JULIANNA

Kiad6i k6d: MX-156 Kerettanterv:28,/2000(1X.21.)OM rend. Szerkeszt6:Dr. Mez6 Tamds T6meg: 428 g Tededelem:384 oldal (24 iv)

a mii b6vitett, Minden jog fenntartva,beledrwea sokszorositdst, illetve roviditett vdltozatakiaddsdnakjogdtis. A kiad6 irrisbeli engeddlyendlktil sem a teljesmii, sem annak rdszesemmilyen form6bannem sokszorosithat6.

rsBN 978 963 9489 9s O @ cop'.right Maxim Kiad6, Szeged

Ez a kijnw a k€tszintii 6retts6girendszeremelt szintfi matematikaerettsegij6re va16felk€sziilesbenkiv6n segits6getnyijte'ni. 'laftalmazzaaz elm'leti anyagot,a t6teleket6s ahol az sziiksegesa t6maktjralaposabbmegertes6hez a kidolgozottpeldakat.Tem6szetesenaz alaposbegyakorl6shoz nemelegenp6ld6k, p6ldattrakra d6ek ezeka ahhoz van sziiks€g.Sokj6 p6ldattuat[Gtdkorlo 6s dreusigire felkeszit6feladatgfrjtendny I-IIL (Tnkdnl.vkiad6), 15 pr6batrctbagi natenatikdb6l emelt szint - irdsbeli (N4axlrnKitn'.vkiad6), EgsAgesirettsigi.feladatgfijtenAny l 0 e s a + 1 , a; b ; c > 0 6 s b + 1 .

lgy a bizonyitard6elitAsigaz. c)

! rarddk t,

=k log"b log,bt =log.{al"&')i=log"o'1"E"t

llfm=19(1003)= lgl00+lg3= 2+1g3,

Amit felhaszneltunk: l: a logaritmusdefinici6ja, 2: a hatvinyoz6sazonossdgai (hatviny hatvAnyozasa).

hr, {2s = log.(5r ) =:,

igy a bizonyitand6 ,llitis igaz.

,,

t

11,12+2.1g5 -lg3 =lgl2+ 1g5': - lg3 = d) log.D=log.a'"9""=log,6log.d, aholc+1 Amit felhaszn6ltunk: l: a logaritmusdefinici6ja, 2: a c) azonossrig. A kezd66s vegs6kifejezestleostva log.c-val megkapjuka bizonyitando azonossagot. K6vetkezm6nyek Hab6r az 6retts€ginel6fordul6 feladatok megolddsrihozelegend6ekezek a7 azonossegok,m6gis im6k n6h6nyegyszerfikiivetkezn6nyt, melyek speci6lis helyzetekbenmegkdmyithetik az 6letiinket. Erdekl6d6 6s a szellemi kihivi sokt6l Demmenekiil6olvas6kle is vezethetikaz azonossegokb6l ez€ket.

c h : -: : 1 a 1 0 0 = 2 .

t, l .o o

t ^"r 9_

Irt,5 i log.g = logr5 r -:e-- - logr5- -b logr4 z

-

ll rhg)5+: log. q loR.5- lop.q, -lop.(5 -' 2 "

l,-logr15.

E t E TU S

2.5.BETiiS KIFEJEZf,SEK

KI FEJ EZES EK

P6ld6ul:

2.5.1.Definici6k

l; t: Vr r ,, , ,, V) - x egwRDalola . 5--'5

A szamokathelyettesit6 betfiket6s a sz6mokatalgebraimennyisegeknek nevezzi:&.

-:)r'y egyiinhal6ja -:. 3- ' ' 1

Algebraikif€jez6s Ha az algebraimennyis6geket, illetveazokeg6szkitev6jiihafieny6t€s gyiik6t a n6gyalapmfivelet v6gessziimiralkalmaz6saval kdtiinktjssze,aklor algebrai kifejez6sr6J besz€liink. P61d6kalgebraikifejez6seke:

r ^:va_

'l1o't , .t

(lP2) rr --V.r y -3

8xz-3ry + x'y

x'1 2ry+'lx'z+9xty= l4tz - 5ry+ l0x2y.

legnagyobb fokszamutagfokszameval A polinomfokszdmaa benneszerepl6

Nem algebraikifejez6sek: Ig("r'?+l)

A polinom 6sszege. A polinomegytagukifejez6sek Arokat a tagokat,melyekcsakaz egyiitthat6bant6mek el egym6st6,egynemii Ezekelv6gz6ligoknaknevezziik.Ezekkdzdttel lehetv6gezniaz dsszeadast. I iisszevonrsnak nevezziik. Pdlddul:

F,-sl

s"' r'y'

Egytagi kif€jez6s Olyanalgebraikifejezdsek, melyekbena szdmokat 6s a sziimokathelyettesit6 bettket,illetveazokpozitivegeszkitev6jrihatv6nyaitcsaka szolzismiivelet6velkiitjiik ijssze. P61d6k egytagirkifejezesre: 12xj y7 , Fokszdm

Eglagu kifejez6sekfoksziimaa benneszerepl6betiik kitev6inekiisszege.P€l d6ul a 3?.!y4dtitdfokt, a 9 nulladfokir.

P6ld6ul a -;a' -'lla'bc' polinomnyolcadfok-u. ogyenlri. 3

Algcbraitdrt Arokat a kifejezeseketnevezziikalgebmitdrteknek,melyek felirhat6k k6t polhlomhanyadosakenl ahola nevez6ben 16v6polinomlegalebbels6fokir(a nevozbben vanbet[). lloclouilis kifejez6s nem szerepel Azokataz algebraikifejez6seket, melyekben betffskifejez6sb6l gydkvones, vll6 mcion|ilis kifejezEsekneknevezziik. Pdldikracioniliskifejezeseke:

.li"'a 2'

Az algebraikifejez6sekbena betiiket a konket helyzett6lflig86ennevezhetjilk viiltoz6nak,hatiirozatlannak,ismeretlennek. A betflketszorz6szimokat egyiitthat6naknevezziik.

Ncrnraciondliskifejez6sek:

' V3x '+5y ',

(jr - l)'

lll rrgydkjelalall mrr betriskifejezesek is dllnak.

B ETI . J5 KI FEL, , EZE 5 EK

Eg6szkifejez6s Azokata racionelskifejez6seket, melyekbennemszerepel betfiskifejez6ssel val6 oszt6s,eg6szkifejez6seknek nevezziik. P6ldik eg€szkifejez6seke 1x'+'7voz'. 2'

3i' -lgsyl

r

Mindenracion6liseg6szkifejez6sfelirhat6tdbbtagu,azazpolinom,alakbanP6ldrul

:"#sr'=a1' 6J4r', -4bn -2oo,b-'7o,b Qa'z-4D(b3+sa1) "talb=2azb1+rca5 Nem egeszkifejez6s:

KIFEJEZESEK

Alrphalmaz A lilcjezesbenszerepl6betiikhely€rehelyettesithet6 szdmokazonhalmaz6t, nevezziik.Ez az 6relmezesi It|llycklea kifejez6stvjzsg6ljuk,alaphalmaznak Fft )m6nyegy r6szhalmaza. 6rt6k trltkk6szlet, helvettesit6si melyeketa betiikhelyebesz6mokat Aron6rt6kekhalrnazet, helyettesitve a miielv6gz6se utiD v0lctck kapunk,6 6kk6szletnek, az eftekekethelyettesit6si 6rlal.knek nevezziik. ladomAnya fdl(llul a 2&+ l, * € Z kifejezesefiehnez6si a val6ssz6mok,alapa paratlaneg6szszimokhalmaza. luknazaaz egeszsz6mok,6rt6kl6sz1ete azonoss{sok L1.2.Nevezetcs (a+ b)c= ac+ bc

.ll, u

I

c'' Kiildnbtjzd tipusi kifejez6sekis lehemekegyenl6ek.

Pdlddul (2x -r)1 =12.r-l], ahola bal oldali algebraikifejez€s,mig a jobb oldalinemalgebrai. Ertelme26sitartom6ny A kilejezesben szerepl6betiikhely6rehelyettesithet6 szimol azonhalmazit. melyeke a mfiveletekelv6gezhet6ek,6rtelnez6sitartomiinynaknevezziik. Leggyakrabban algebraitdrleknel,gydkdskifejezeseknel talrlkozunkertelmc z6si tartomiiry meghat6roz6s6val. Azokat a sziimokatki kell z6munk,melyeknel ezeka miiveleteknem6rtelmezhet6ek.

(a+b)(c+4=a(c+0+ b(c+ .r: ac +ad + bc+ bd U{hltljobbraaztfejeziki, hogyijsszegek szorzesiiniil mindentagotminden tagiissze kell pedig szorozni. Jobbr6l baLa olvasva letjuk, azt hogy ilyen tipulil I llsszegetcsopofiositi{sutin titbbszdriiskiemel6ssellehetszorzatti alakitani. (a+b)'1=a'z+b1+2ab, (a-b1'1=a'?a6z-2"6' (a +b\3 =a3 +3azb+hb2 +b1,

(a+ b\(a -b, = aL -b'z,

(.r- 2Xs+ t)

en e lm e zasitdrlominyaR\{ll7}\agy e g y s z e d b b e nir\ J ,t_.^._r, r + l;'1. Lithat6anszonatalak6llehetkdmyen leolvasnia nevez6z6rushelyeit. t 3 erelmezcsi tanominyax F (-

ll[116ljobbraolvasvaaz azonoss6g aztfejeziki, hogytisszeget tagonk6nt kell |||nI)zni.Jobbr6lbalraolvasvapedigazt,hogy egyiisszeg tagiainakkiiziis 0rrtdirt kiemelve- szorzatta alakithal6.

(o- br'=a' -3e'b+3ab'-b',

P6ldriul:

G l

BETUS

-i4]

\ agyegyverubben irva.r0 melyencsakaz 5 leszmegoldas. lll nldradottaz alaphalnaz, 1,t.2.Megolddsim6dszerek (ir{nkus m€gold6s kifejez€sek dltalmeghat6rozotr k6t fiiggvenytkdA/ cgyenletket oldal6n6116 tilr koordineta-rendszerben ribr6zoljuk.Az egyenletmegold6saia metsz6srk)k i koordin6t6i. Ezen 6rt6kek eseteniesza k6t oldalon6116 ftiggv6ny6rI lal cgyen16. I P6tda: | (x -2 \ ' = x -4 1 | 0sycn/(I) - 4 - (r - z)'zess(jr) : jr - 4.

EGYENL ETEK,

EG YEN LO TLEN

S EG;EK

E G Y E N L E T EK,

EGYE N L OTL EN

5 E6 E K

Az egyikaz 1, melyn€lmindketol A megoldasok itt pontosanleolvashat6ak. dal 3. a misik a 4. aholmindk6toldala 0 6rt6ketveszifel. A m6dszerhetranya,hogy eltahbanneh6z,lehetetlenpontosanleolvasniil megoldasokat. Ana viszontj6, hogy a megoldasok szamet6s kdzelit66rt6krl meg:illapitsunl.

sziikit66talakia gydkvesztes szintebiztos.Ez&t az alaphalmazt nrlchetetl€n, lirokat keri.ilnikell. b6viil,aHrorhamisgyitkijkjiihetnekbe. Ezeketellen6rzeslln uz alaphalmaz mi, ki lehet sz de van,hogyez el6gneh€zkes. rll viltozAsit. fthdt_j6,ha az ember€berenfigyeli az alaphalmaz

Algebrai megoldds Al€nyegeaz,hogyaz egyenletb6l el6ellitunkegyolya! egyenletet, melyvalr milyen szempontalapjanegyszerfibb, 6s amelymegoldisaib6lkijvetkeztelnl tudunkaz eredetiegyenletmegold6saim. A legszerencs6sebb dtalakitisok, ami kor az 6j egyenletmegoldrsaimegegyeznek az eredetievel. Azokataz egyen leteket,melyekalaphalrnaza, illetvemegold6shalmaza megegyezik, ekvivalens egyenletekneknevezziik.Ekkor a k6t egyenletmint logikai fiiggv6ny ugyanazt a fijggv6nytadja.Az olyanatalakit6sokat, melyekegy egyenletb6l vele ekvi valens€gy€nletet 6llitanakel6,ekvivalens 6talakit6soknak nevezziik. Ekvivalensatalakitisok: a)Az egyenletmindk6toldalihozugyanazt az 6rteket,vagy R Atelmezesi tar tomenyukifejezestadjuk. b) Az egyenletmindk6toldalit ugyanazzal a null6t6lkiilitnbitz66t6kkel,kifejez6sselszorozzuk.

Atonosslg mindenelemAeigamelyek6rtelmezesi tartomanyuk Arokataz egyenleteket, nevezziik, ,t!k,az adotthalmazonazonossignak ltld?lul: | 1.r+y)(r -1) =x'z-y'z ava16sszdmokhalmaz6n

Ha nem firdunkekvivalersiitalakitastv6gezni,akkor az alaphalma,b6vili; vagy szfikit6 6talakit6stv6gziink. Ha az alaphalmaz sziikiil,akkorvanes6ly16,hogymegold6st veszitiink.Tehhr mindig 6rdemesitvizsgihi (amennyibenez lehets6ges)a sziikitessorenkimrradt szimokat, hdthakiiaiik is van megoldiis.Ehhezpemzetudni kell, hogy a;, etalakitasmilyen szdmokkalszfikili az alaphalnazt. P6ld6ulha az

\s (x -2)'=2 egyenletnel nemodafrgyelve a kdvetkez6italakitistv6gezziik: 2lg(x-2)=2, jdn akkorcsaka 12 ki megoldesk6nt 6s a - 8 gyiikiit elvesztjiik,mivel az rit alakit6ssziikitetteaz alaphalm^zt. Ugyanisaz eredetiegyenlet)r = 2 kivete 16velmindensz6mon€rtelmezhet6, mig az atalakitasutAnkapott egyenler > csakaz.r 2 szimokra.Vegtelensok szemotzartunkigy ki, ezeket6tn6znl

hax)0. f (Ji)' =r azonoss6g,

l. f7=l!

a val6sszernok halmazdn.

Mcgoldisaz 6rtelmez6sitartom{ny vizsgdlatival tartom6n,'t mindigmegkell vizsgilni 6s az is el6fordul,hogy Ar drtelmez6si is megkapjuk. rrrcl a megold6st l'lldIul a .15-x='lx-'7 r|yenletn6lki kell kiihiinl (mivelgydkjelalattnegativsz6mnem6llhat),hogy 5-.I>0 6s i-7>0, x>7. 5 >.:r 6s nincs viszontegyszamsemfelelmeg,tehit az egyenletnek lircn feltetelekJtek lrcgoldasa,hisz az 6rtelnez6sitartom6nyaiires ha]naz. Mcgolddsaz 6rt6kk6szletvizsgdlativsl olyankifejez6seknel, melyek6rtekkeszlete szfikebbhalmaz,ennekvizsgdlata megoldrsihoz. kdzclebb vihet az egyenlet lr o P6ld6k i). , [ -5 = a --r lfl ki kell kdrniink,hogy x- 5>0,M zr>5.

EG YENLO TLENSEE i E K

ECiYENLEI EK,

hogymivel a bal oldalonnemnegativ kifejezt. Azonbanazt is 6szrevehetjiik, A[, ajobb oldalsemlehetnegativ,azaz4 -.r > 0, tehit 4 >.x kell legyen.Df sz6motkiz6ia, teh6taz egyenletDek ninrs ez a kikiitesselegyiittmir az dsszes megoldAsa. b ) l r 1 +4 lt( '+ 3 ) 4= 0 , tfinik,hiszk6t ismerellenvan bc. Az egyenletels6pillantdsra borzalmasnak hogynemnegativ tagokiisT ne,r6adesul negyedfoki.Azonbanesz€vehetjiik, szeg6nek kell o-naklennie.Ezpedigcsakakkorteljesiilhet,hamindentagnuI \a, azaz .! t+4=0 €s ir+3=0, ,14=y 6s r__3. a ( 3il) szdmpAr megolddst hat6roz,L Ak6t egyenletpedigm6regy6rtelm(en meg. c) VJ+V)

.r=V.(,anoln€

Z

Itt a kikiites: 5-t>0esr>0, 5 > .jr> 0. Mdr igy is csakhat darabszimotkellene6tnemiinl,de m6gaztis eszrevehet jnk, hogy a bal oldalona gydkjelalatti erteklegalabb3, hisz a 3-hoz eg! nemnegativ szimotadunk-igy ajobboldaligyiikjelalattiszim semlehet3-nirl kisebb.Teh6t: 5)r23. Az igy kapotthirom szamotgyorsanatnezvekideriil,hogya 4 a megoldes. MegoldAsszorzatti alakitissal bizonyosti Azt, hogy szorzatr6leltalibankiinnyiileolvasnia z€rushelyeket, pusliegyenlereknel felhaszn6lhatjuk. P6lddulaz xr-x=0 a cdlrdvezclo. egyenlcl cseldn rser a m6ds,,er jr(r'- l) = 0, r(x+1)(x-l)=0 i h6rommegoldas: Ez ut6bbir6lm6rkiinDyenleolvashat6 rl;0; L

E 6 Y E N L E T EK,

EGYE N L OTL EN

SEG E K

elveszithetjiik a0 A, x-eta mesikoldalrapakolva6sveleleoszivakdnnyeden 6sigy az emhkitisnelkizarjuk ln!!tolde$,hisz16az oszt6snem6rtelmezhet6, t, rkrphalnazb6l. l,?.3. Lineiris egyenletek ki kell fejezniaz ismerellent, vagyisel kell 6mi, hogy llt .Syenletrendezessel mag6ramaradjonaz egyik oldalon,mig a miisik oldalonegy l, isrneretlen lonstansiilljon. ! Pdtaa t +2 3 x 4 \.0 -_- = J _ r 36 hogya tdrt alakokatmegsziinhrrzunk a nevez6klegkisebbtijbbsziiriisevel lsrrilk. 2(t+ 2)- (3jr- 4) = 6(3- r) Tfrtszt6seketkeriilhetiinkel, haaz eredetiszrimlal6katzAr6jelbetessziil 6sirgy szorziist. Ez f6legakkorsegithet, hacsakel6jelvdltas van. Jtlllliiika sziiks6ges 2n+4-3n+4=I8-6r 5r=10 x=2 dsszevonisokat, rendez6seket kellettv6gezni. lll rndrcsakegyszerft ltr$m6teresline{ris egyenletek ismertnektekintettertek,amit akkorhasznahrnk, ha 6ltal6nosan A p0ram€ter vagyegykerdest. thtlrnk leimi egytjsszefiiggest llldnul .. 1 al t.,: -mr- , adjamegiltahnosan. ni u mozgesienergiameghatirczeset

6ltal6nos alakja,a parameterek megfelel6vAlaszt6s6ttli I linearisegyenletek megadhat6 fsl hirmelyikegyenes a koordinatasikon.

I

ECYENL ETEK,

EG YENLO TLENSEEiE K

)

Param6teres probl€mdkmegold6sa eset€n ket f6 elv van: - a param6terek iisszeslehets6ges ert6keeset€n megkell adnia megoldesokal, - ha az emter ittletetakarkapni a megoldasifolyamatkdvetkezAl6p6s6vel kalcsolatban, akkor6demesgondolatban a parameterek hely6bekon'kr6t6r, t6kekethelyeftesiteni 6sigy etgondolnia teend6ket. o P6ld6k a) Oldjamega kdvetkez6egyenletet az eg6szszemokhalrnazanl a(x+2)-2a=.7(x+.t), ahol d eg6szparam6ter. Megold:is A ztu6jelekfelbontrisit es a tagokmegfelel6rendez6s6ttegyiil meg. ar+Za_2a-i:t_j, (a-7b = 7. Ekkor"r egyiilthat6jival oszta!6nk,kiv6ve, ha l1= 7. Ha a = 7, aklor az egyenleta 0. x =,1 alakot6lti, melyneknincsmegold6sa. Haa+?,akkoramegoldas 7 alakbanszrmithat6a parameter6rt6k6b6l. Mjvel azeg6szmegold6sokat keressiik, megkell hataroznia azonertekeit,me lyeke ez a tiirt egeszsz6m.Teh|t a -7-nek j oszt6j6nakkell lennie: Az a-7 = 1,ha a = 0, ekkori : -1; a-'7 = -l,ha a = 6, ekor x - 7; d 7: 1,ha.' = 8, ekkorr = 7; d 7 = 7, ha.a: 14, ekkorx = l. Ezeket.z egyenletbe visszahelyettesitve megkapjuk,hogy val6bal kiel6gitik az egyenletet. V{lasz: Ha a : 0, akkorir = 1; haa = 6 , a l k or .r =- 7 ; h a a = 8 , a k l or y=7 ;

E G Y E N I . E - TEK, E6 YE N L OTL EN

S EC i E K

hr d = 14,atlcor.r: l; Itna + 0; 6; 8; 14,aktor nincseg6szmegoldis. h) Oldjameg a val6ssz6mokhaLnazan a kijvetkez6egyenletet, aholp val6s pirom6terl 8+2x p'+5p

I p

r p+5

Mcgoldds l,/lthat6,hogyp + 5; 0 kikdtestkell tenniink. llrorozzukmegmindk6toldaltp(P+5)-te1:

8+2x =p+ 5+ px . llcndezztrkaz egyenletet:

( 2- p) x =p- 3. l h /, = 2, akkor az egyenlet 0 . ; r= - l rl[kot ijlti, mel]neknincsmegoldrsa. lh p + 2, akkor oszthatunkaz egyiitthat6val: D -3 7-h

llllen6rzes ut6nkideriil,hogyez val6banmegoldis. Vllasz: lllp = -5 vagyp = 0, akkornem6rtelmezhet6 az egyenlet; hrp = 2, akkornincsmegold6s; ,_ 1

h n z + 5 : 0 l2 . a k lo r x = a mesoldis. 2- p 1.7.4,Linedris egyenletrendsz€r K6tismeretlen€s linedrisegyenletrendsz€r A 2-Y van.Ezeketkoordi -), = 3 egyenlehekv€gtelensoksz6mp&megold6sa nlla-rendszerben lehetabdzolni, azy = 2r - 3 fliggv€nygrafikonjiira illeszked0 pontokkoordir6t6i.

EciYEN LE TEK,

E 6YE N LO TLEN

S E EiEK

E 6 Y E N L E T EK,

EEYEN

L 6 TL EN

5 E6 EK

h) vtgtelensokmegolddsvar,haae = bd 6saf= dc; Paldal 3 x- Y = ) 9 x- 3 Y = 6 van,ha de + rd; e) c8ymegoldAs !6kh: 3x-Y=) 9x-4Y=5 Altcbrai m€goldds algebraiiton is meglehetoldani.Errek6t m6dszervan. Ar cgyenletrendszert

Az egy6 elrniimegoldishoz kell m6gegyegyenlet. Ha az is linetuisegyenlct, aklor a k6t egyenletegy linefuis egyenlehendszert alkot. Crafikus megfontol6sok Grafikusangondolkozva a meSoldesok lehets6g€s sz6m6tkiinnyii kideriteni piirhuzamosak, Ha az egyenletek meghat6rozott akkor nincs eltal egyenesek megoldds. Ha egybeesnek, akkorv6gtclensok van. Ha metsz6ek,akkor egy megoldas van. Algebrailag Ha az egyenlerendszer dx+by -., dx+eY =f alaku,aholab * 0 6sde+ 0, aklor a) nincsmegoldis,ha ae= bd esaf+ dc; p6lda: 3x-Y =2 9r-Jt'-5

t) !)gyenlde$/iitthat6k m6dszere van olyan ismeretlen,melynekaz egyiitthat6ie$/enl6ek, lh M egyenletekben Vigy egymAsellentettjei,akkor az egyenleteketegym6sb6lkivonva vagydsszekiesilq6segyegyisme.etlenes tdvaezazismeretlen linefuisegyerilethezjuhrnk. , P6ldal x-2!:5 3x + Zy=,1 llrl a ket egyenletet iisszeadva azy kiesik,6sa kijvetkez6tkapjuk: 4x=12 visszahelyettesitve azl ert6k6tis megkapjuk. lirt valamelyikegyenletbe 1- t.,= < y=-1 kideriil,hogya (3; -l) rcndezettszimpir val6banmegold6s. Ellcn6rz6ssel llfl az egyiitthat6kktizittt nincs ilyen szepkapcsolat,akkor az egyenletekszorti|ival el lehetazt6mi. h) llchclyettesitdm6dszer lllkor az egyik egyenletb6lkifejezzik az egyik ismeretlent6s ezt a misik r$ycnletbe behely€ttesitjiik. Az igy kapottegyismeretlenes eSyenletet megoldj0l, majda mesikismeretlent is meglatdrczzuk.

EGYEN L ETEK,

Ec iYEN L6TLEN

S EG EK

0 P6lda: Lr - y:7 +t=\x-7 x+2y=6 x+2(2x-7)=6 5x=20 x:4 y-2.4-7 -1 Teh6ta (4; 1) szampira megoldis,amitellen6rz6ssel igazolhatunk. Az egyenleteketgyakrankiildn-kiilijn 6demes egyszer[bbalaha homi, mie l6tt b6melyikm6dszertalkalmazndnk. gl P6lda:

2 x-3 3 r+1 2)' 5 '3))-4' 3 b ,+2 )-2 (r-3 ) =1 6 . 15 Liithald.hosv v +l: :. Hozzuk egyszeriibb alaka mindk6t egyenleret:

(2i - 3X3r- 4) = (3jr+lX2r- 5), 3 r-2 x=4 3 y- 2x=4 Mostaz els6egyenletk6tszercsehez adjukhozzea masodikh6tszeres6t: -y= 6' j=6. = Visszahelyettesitve kapjuk,hogy.r 7. Az egyenlebendszer megoldesa a (7: 6) s7emp6r.

E E i Y E N L E TEK,

EC i YEN L 6 TL EN

5 € Ei E K

param6tereslinedris€gy€nletrendszer X6llsmeretl€n€s A mdremlitettelvekethasznosalkalmazniitt is.

3 P6rd{k t) Oldjamega kiivetkez6egyenletendsze( a va16ssz6mpdrok halmaz6n, haa ar , val6sparam6terek ! ax- j +2= 0, t+l-D=0. M|tgoldis hogyaz egyenletek tisszeadisival [,tlthat6, azl kiesik: (a+l)x+2 b=0. lnncn

(a+1>(=b-2. lh d = I 6s, : 2, akkorazonoss6got kapunt,melynekmindenval6sr megolddsa. \4sszahelyettesitve megkapjuk, ho$/ ekkorJ/= 2-jr. ll( r, = -t es, +2, akkornincsmego1d6s. lh a + l, akkorosrhatunkaz egyiitthat6val 6saz r=-

meeoldest kaDiuk.

ab+2 Vrsszahelyettesitve kapjuk, hogr ekkor .y= 6 - 4-2 = d+l a+l Vllasz: lh d = I 6sb = 2, aklor az (i; z-jr) sz6mpiroka megold6sok, aholr € lR; hla= 16sr+2, ak*ornincsmegold6s; (h-)

.A-7

\

hd,, -1. aklora l-:= a megolddsok. _- ls,,empiiLrok ' d+ l . J l4 + t llllcn6z6sseligazolhat6, hogyezeka megold6sok.

EGYENLE TEK,

E6YENLO TLENSEC E K

b) A, pamm6termely6rtekemellettvan a 3r+J,=1' 6r+b!=2 egyenietr€ndszemek egy6rteimii megoldisa? Megoldis Ha azels6egyenletet szorozzuk 2-vel,€skivonjukazegyenleteket egymdsb6l. akkor az .r kiesik: (2-b)t' =0 ' Ha , - 2, aklor azonossrigot kapunj y1=25- x'1 x'Y' = 144 x' (25- x') =tu, r'-25x'+t44=o Ezt pedigmir megoldottuk az els6m6dszem6l. b) A kdvetkez6tipussala koordinita-geometriiban talekozhatunk:k6r ki)l metszespontj6t hatdrozzukmeg. (.r+5)r + () -1)'z= 25 (x-4)/ +(y +2)'1=25 Megoldis x2+|Ox+25+ y'1-2y+1=25 x'z-8x+16+!1+4!+4=25

x=0 j=1 a (0; l) 6sa (-l; Tchhta megolddsok

i=-l j= 2 2) szemprrok.

t,7.7,sziivegesfeladatok 'lllbbf6leszdveges feladatvan,kdzdsmegoldlsim6dszernincs.Azonbanvan fl6hinyelv,ami segithet. a feladat! pr6b6ljukmegerteni, mivel is kapcsolatos r) lils6olvasesra I)Masodik olvasdsragyiijtsiik ki az adatokat,kiildn az ismerteketlAdjunk nekik ezeknekis adjunkneveketl ncvet6siduk ki 6ketlCyiitsiik ki azismeretleneket, az adatokkijzdtt. A n6vaddsn6l miir felhasm6lhahrnlegyveri kapcsolatokat az adatokat!Ez lehett6bHzatis. Ugyeljiinka m6rtekc) l)oglaljukrendszerbe hogy K6szitsiinksegit6iibrit vagymessegits6get, cgys6gek egyeztetes6rel .iobbanl6ssuka problemaszerkezet6t! (l) Irjuk l€ az adatokkiizdtti kapcsolatokat! Bzeketiltalrban egyenletekkel adat! legyen, ah6nyismeretien egyenletiink szoktuk.Lehet6legannyi s)Oldjukmegaz egyenleteket! a sziivegalapj6nellen6rizziikl l) Az eredm6nyekei viilaszt! u)Adjunksziiv€ges O P6lda egyszereindula 960 m hosszlitivon. Az a venenyz6,akinek Kdl versenyz6 el6bbert c6lba. 0,2 nvs-malnagyobbvolt, 20 mesodperccel ltllgsebessege alatt 6rtek celba? 6s mennyi id6 sebess6ge a ket versenyz6 l.,lckkora

EEYEN

Megold6s Az adatok: versenyz6k

LETEK,

EEYEN

L6TLEN

giEEi EK

r6ld{k id6[s]

ut [m]

l.

960

2.

960

sebesseg [m/s]

960 x+0.2

Tudjuk,hogy tt= t2+20.

zolrit 6rtekbenl6v6 kifejez6s csak 7 vagy -7 lehet. Teh6t k6t )unk: 2t+3=7 vagy 2t+3=-:7 2x=-10 2x=4 vagy x= -5 x=2 vagy kideriil, hogy ezekval6banm€goldAsok.

TehAt: 960_ 960 ,"^ x x+0,2 960 960.5 ^^ r 5.r+l =960 5r+20{5, +l) 960(5"r+l) 48(5.r +l) =48.5r+ t(5t+1)

0=5r'?tx-48

13- 2r l =4r +l fel kell bontani az abszolut6rt6ket,ami a bennel6v6 kifejez6sel6jel6ftigg.Kitnnyenkiderithel6,hogyha r (;.

akkora kifejez6snemnegaliv.

abszolitenekednmaga.Ha .r >:. akkorpedignegarjv6s igy abszolit

48 5ir+48= 48.5r+ 5r'z+"r D=1+ 4 . 5 . 4 8 = 9 6 1 = 3 1 7

-1! 31 * l0 A k6t sz6rnkitziil a negativnem felel meg,igy a megoldiis: r:3. Teh6taz egyik versenyz6sebess6ge 3 rnls, mig a mesik€3,2 m/s. 2.7,8,Abszolit 6rt6kes€gyenlet Egy szim abszolit 6rt6k€nekdefinici6ja:

a ,h a a >0 .. I l a l =1 0 , h a a =0 . l -a ,h a a :.. - 3+2x =4t+t L_____L

-4=2x x=1 cls6 esetbena megold6smegfelela kikiit6snek,igy az eredetiegyenletnek az eredetiegyenncgoldAsa.A masodikesetbenkapott6tt6knemmegoldAsa lli a felt€tel. hisz nem teUesiil

EEiYEN LETEKJ

ECiYEN L6TLEN

S EEtEK

c) l3x- 7l ='7 - 3x

/(.r) = l3-r+ 2l 6sg(x)= r - l.

Megold{s Itt (az e16z6hitzhasonl6an)nemkell az abszolirt&tekjelet felbontani,hisz 1rr hat6,hogy ajobb oldalonaz abszolit &t6kenbelili kifejez6sellentettje6ll. igy az egyenl6s€gakkor teljesiil, ha a bels6kifejez6snem pozitiv, azaz 3x-7 :

?

2 gyiike? a krivetkez6 egyenlemek a ]4i 7l intervallumon

J'+e*J'rr=Jt"+t.

EGYEN L ETEK,

ECYENLO TLENS

EG EK

Megoldlis

A kikiit6sek alapi6n "7 .r> -1. Mindk6toldalnerlregatlv,lgy n6gyzetre emelhetiink. xr+7x+6=7x+ 4 , x?+7xt6=5,r-3. 1

f erbar6.hogv .r>: --5

lell legyen.Emeliiinkijra n6gyTetre.

4(x2+ 7x + 6) = 25xz- 30x + 9, D=58t +4.21 . 1 5 = 6 8 ' z 2 lr '? - 5 8 r -15 =0 , 58168 29134 . ir.:=-lr-= r Tehet

, , = 36 . a = - 1

21 Ez ut6bbi a kikittes miatt nem lehet gydk. Ellendrizvekiderail,hogy a 3 va16ban gy6ke az egyenletnek. V{lasz Az adott intervallumonnincs gyiike az egyenlebek, 2,?.10.Dxponencldlls egyenlet A hatv4nyozAs ismeret€revan sziiks6g.Altalabanaz a c6l, hogy azonossegainak alaprihatvAnyoklegyenekaz e$/enletket oldalin. Mvel az exponenci6lis ^zonos kell lenniiik. friggvenykiilcs.iiniisen egyertelrnff, a kitevdknekilyenkoregyenl6nek

o Pdldtk t7

a)

t .L

t __L

4 8' 2'z

az exponenci6lisfiiggv6ny l-1 ertelrniisegemiatt I ^" 2 5 6 ez val6banmegoldes.

2 5 . 2 ' -8 . 5 ' t = 0

2 s.2 ' = 8 . L

5 . 5' . 2 ' = 2 3 51

/s J / 5)' l. 2 . / l. 2 . / miatt fiiggv6nyl-t eltelmiis6ge I azexponenci6lis x= 3. ezval6banmegold6s. 2,'-3+4' 1_24=0 2"4 4" +2 4" =192 3.4' =r92 4' =64 miatt $ azexponencillisfiiggv€nyl-1 ertelmfis6ge lln6rizve ez val6banmegold6s.

EEiYENL ETEK,

EC|YE N LTJ TLEN S € C i E K

E G Y E N L E 'EK,

EGYE N L OTL EN

5 EEi EK

d) Oldja meg a kiivetkez6egyenletetaz egeszszamokhalmaziln! 2".' -3" 1=102.

a temeszetes sztmokhalmaz6n! f) Oldjamega kitvetkez6egyenletet

Megoldds Mivel az egyenletbal oldalankiilitnbs6gvan, 6s az alapokki.il6nbdz6ek,nenr tudunkazonoss6gokat alkalmazni.Azonban6szrevehetjiik, hogy a 2't'? egy 702-n6lnagyobbp6rosszrimnakkell lennie,ha r egeszszAm.A 3' ' viszonr nemp6rosszem,igy kiildnbs6giik nemlehetpAros. Az egyenletnek nincsmeg, oidesaaz eg6szszrmokkiireben.

Mcgold{s

e) 10 2'-4'=16. Megoldds Lethat6,hogynz egyenlet2'-re n6zvem6sodfoki,igy helyettesitsiik a-val. l\a-a'z=16 d':-i0d+l6=0, a t = 2 a t= 8

TehAt

vagy 2 ',= 8, fiiggv6nyl-l 6rtelmiisege miaft $ az exponenci6lis .n - 3 . Ellen6rz6sutiin kideriil, hogy a k6t megoldesaz I 6s a 3.

5, I j +4' _ 5r i _4r . .

:- + 4' 5

= 25 _4 4:. A

J+---LJ.

5

( 4\

4

\2 s)

2s miatt fiiggv6ny1-l €rtelmiis6ge I az exponenci6lis

llllen6rizveez val6banmegoldis. l) Oldja meg a kitvetkez6egyenletet: 352*t.5t =.7!,.43j5. Mcgoldds (-'tlszer[az egyenletet igy alakitani,hogymindentenyez65-nekvagy7-nek l!8yena hatvinya: 7'*1 .s'1*t 5] -12' 4375, mivel 4375=54.7, igy 7?r! .5,'+' sr: - ?,,+r .51 .

Mivel??"*1nem0, igy aztkapjuk,hogy 5"u .5| =5n, azaz monoton,ezortebb6lkijverkezik,hogy Mivelaz.r' fiiggvenyszigoruan x' +2x+l=4,

tehit

xt +2t -3= 0,

-ztJi+n

-z: c

E E Y E N L ET E K, E 6 YE N L IJ T L E N S E C i E K

Eredetiegyenletiinkmegold6saitehrt (6s ezekval6banmegold6sok): .x!=1 6s 4=-3.

G !Et2t -1t=t1t4x-2t

2.7.11,Logaritmikus€gy€nletek Itt a definici6 6s az azonossegok ismeret6revan sziiksdg.MegoldAsukataz ar telmez6sitartomanyvizsgAlatevalkell kezdeni.AltaHban 6rdemesrigy alakl tani az egyenletet,hogy mindk€t oldalonugyanazonalaprilogmitmuslegyc Ekkor a logarihrusfiiggv6nykiilcsiintisen egy6rtelmfivolta miatt a k€t arSu mentumnakegyenl6nekkell lennie. tt P6ld{k a)

2r-l>0

es 4t-2 >0

ll

t", 2+lg(2x-r,=2 lggx -2) +lg(2t-1)=lg(4r-2)'? lg10O leIoo(2' -1)]=ls(a'-2) ? l-l 6rtelrniis6ge miatt a logaritmusfiiggv6ny to}(zr-t)=(4x-2)'?.

l g2 - r+le(5r-15)=2

5.r-15 > 0

le[2ir(5-r-15)]=lsl0'

lx>3

Teh6ta logaritmusfiiggveny1-1 ertelmiisdgemiatt 2'r(5-r-15)=100 Ezt pedig a szokisosm6donoldjuk meg.

pedigm6ra szokasos m6donmegoldhatjuk. 200,-100= 16.x'z-16r+4 l6x' - 216x +104=o 2x1- 27x +13=o D =272- 4.2.13=25'z 27X25

b) 3 l og r + 1o g r r =7

lr>0

3'on.r1-199{=7 -" log525

;r =13

2 "=! a kiktit6seknek, mig a 13-16lellen6rzesut6n D6sodik sz6mnem felel meg hogy val6banmegoldasaaz eredetiegyenletnek.

31o ^ .r*J9 E:l =7 - '2 6 l og 5 r +lo g 5 r =14

logsfi+1oe,(1+ 3logl)] = 1

7logst=14 logrx=2 log, x = log,5'?

1-1ertelmffsdge miatt 0 a logaritrnusfiiggveny Ellen6rizveezval6ban megoldiis.

@

likiitds itsszetett,igy inkebbellen6rz6sselkivdltjuk.

E G Y E N L ET E K, E C i YE N L 6 T L EN SE C i E K

A definici6t alkalmazzuk: 1+ logz(l+3log, jr) = 3, log,(l + 3log, r) = 2, l+3log2x=4, Iog2.n=1,

el igazolhat6,hog5ra megoldSsoka 27 €s az ] a meg a kiivetkez6egyenletet,ahol 11> 0 val6s sz6m: log- at +log","al'1=2.

Ez val6bangydke az egyenlenrek.

I

I a > 0 , e z 6 f ix > 0 , . t *]

e) 4b&*' -33.2bcr'+8 -0 Megoldds Kikdt6s:r>0. Alakitsuk az els6 tagot:

log*a1+log","mz=2

_33.2rocjr 4.4rocr. +8 =0. L6that6,hogy az egrenletm6sodfohia 2r"s,'-ren6zve,igy helyetlesitsiikd-val

megold.is't kezdjiik azzal,hogy a bal oldal mindk6t tagiat ,,sz6tszedclemeire.T6rjiid< Atmindk€t tagbantj, pl. a alapra,felt6ve,hogy a * l. is, ha a = 1, akkor eredetiegyenletiink log,I+1og,t'z=2 alaKl,

4 a '1 -33a+8=0, D=337-16 8= 3 1 2 33t3l &.. =-. Tehet

a =9,

pedig mindenpozitiv 6s egytdl kiilitnbdz6 val6s sziim megold6sa,teh6t egyenletiirkr > 0, r + 1 felteteleklel azonossig. mo s t 4 rl, e k k o r 1og.a2,log"axt _n

t " e " *- . ; E - ' log,r =3'

felhasznrlvaegyenletiinkigy irhat6 tofogatnet 6s azonossegait vagy I

7' I

T log, x =

2 ,I+2log,.t l+log,x 2 +1o9"x Ekkor be a log,x:, rij ismeretlent.

2

- +- =

I 9.

.

l +2b 2,

AZAZ

1+h 2+b (r 2(2+ b)+ | 2b)(t+ b)= 2(t+ b)(2+ b).

E E i Y E N L ETEK,

2x=!+2kn 3

4 +2b+ 2b'z+3b+1= 2b1+ 6b+ 4, b=t,

E6 YEN

L 6 IL EN

2x =4+2l n

5€C

EK

k .te Z

,rtlhdta megold6sok:

tehat

\ogax = I, azaz

L r t =- l k l l

x=4. A kapotteredm6nyt visszahelyettesitve: log a' + log,,a1= l + t = 2. ",

V6lasz Ha lz= 1, aklor.x> 0, i + l; ha a + 1 es.1>0, akkor.r= d a megolalasa az eredetiegyenletnek.

kJez.

,,=!+ t"

'{g/ $Agkdr segi tsAgtv eI -lfudjuk, hogy a szil\trszaz elforgatott egys6gvektorI koordjn6t6ja,igy egy kdriilbeliil a megadott€rteknelmetsziikaz egys6gkdrt. fiLszintes egyenessel ,

2.7,12. Tiigonomerrikus egyentetek A Itafikonokvagya dellnici6ban szerepld egys6gkdr segitsegiil hivesaajiinl.,r, mgonometfl kusegyenlelekn6l. O P6lda t; Gra,fikon segitstgivel

t

El6szdrkeressiikmeg,melyekazoka sz6gek,melyekaekszinusza.6 2

t6bliizatvagy szimol6gepsegits6g6& els6negyedbeliszdgetmeShatiirozzuk leirt m6don,majd az el6z6ekben perj6t a szokasos masodik negyedbeli a V!1, €rt6keit. r lehetseges ?g$donmegkapjuk

t

$l P6ld{k

:r)

Lethat6,hogy a keresettszdgaz€ls66sa mesodiknegyedbeeshet.A hegyessziil, 1l

(b0e.aza,/ ) illk tudni.Az isrudharo. meSoldast illene a graf*offol leohashi,., J bogymiisodrk negyedbeli piirjeval n-reeg6szilrk ki egymisl.A periodicil;.r r Irgyelembe vavea kereseftsztigek:

"lttx

l3

tr\

1

sr 2

E E Y E N L E T EK ,

E G IY EN L O T L E N9E C i E K

Megolddc El6szitr miit misodfokrl egyenletettekintjiit: lE x

ta\

x'ztl-2r=2k1t, |

- - " lr s J - J z

(x-I\'z--zktt,

Az erys6gkiirt haszn6ljuksegits6giil.

12+t+2, =(2t +t)lt,

(, +r)' = (21+lr1t. csakakkor van megoldAsa, hales/rcm, hogy az egyenl€teknek eg€szek.

l!.J2klt \agy t =l!.!2kn , ahol,t 6s/ nemnegatlv egesz€k

zsin']-l Ez alapjiina ker€settsztig: 3542

2 aholke Z. x-

Inretr

.ost+u, xI l k ---=-+-. 35 42 n3k x=:-:+ -::. keZ, 20 2'

b) + 1)=sin2r. sin(r'? Megoldds K6t kiiliinbitz6 sziig szinuszaakkor egyenl6,ha a k6t sziig kiilitnbsege k2n (keZ),vagy Ql +I)x (le Z) . 'sszegitk

x*7, +2k,, kE7, az egyenletet: 2sinnl-1 =2"*a I. 22 --= cos --sm 222

-.

n'I Y co.,I-.i n,lI - f = l*.'l +ri 2 2^ 2 2 l.

2)

a n6g),zetesdsszefiigg6st€s a megfeleldaddicidst6teltkapjuk,

EEiYENLETEKT

E G YEN L6TLEN

S EGEK

_1 2

.r +l t5

t- - - - >- ;- | x-5 -l+3 1^ +- >u .r- 5 .t-l / *- u (r -s)(r -l) (x -3Xx+ l) ^ -(r>u -s)(r -l)

\ szorzattiialaKtunk

nemtudjuk szofl atli alakitani,aktor a z6rushelyeita megold6Esz6m16l6t edemes vizsg6lni ettel is megkaphatjuk.Az el6jeleketsz6megyenesen 2,7.13.Egyenl6tl€trs6g€k Az egyenl6dens€gek megold6sim6dszerei6s elvei megegyeznekaz egyenle t6vel, csakarrakell iigyelni, hogy ha negativ6rt6klel szorozzukvagy osztjuk, akkor az egyenl6tlensegir6nya megvriltozik.Ez6rt az ismerctlenttartalmazo kfejez€sselval6 szorzr{st,oszt6stkeriiljiik. HelyetteErdemesebb nulldra redukalni 6s el6jelvizsgalatot v€gezni.El6jelvizsgiilatnrl is nagysegits6glehet grafrlus gondolkod6s. Az egj/enl6tlensegekmegoldashalmaza rltalrban v6gtelen(az egyenleteklel ellent6tben),ez6rta megoldasellen6rz6s6re nincslehet6s6giink,igy mindenki, kiit6st meg kell tenniink a megold6ssor6n.

(x-3xx+1)+ (x-5)(x-l) +

szerinl a megoldas: r 12-I2x +36, 0 > x'?-l3x+30. Meg kell keresnia kifejez6szerushelyeit , t r = 3 6 s I]= 10 . A kifejez6sgrafikonja egy felfel6 nyitott palabol4 mely a z6rushelyeikiiziill negativ.Teh6ta megoldashalmaz a [- 6; l0[ interyallum.

r .l u u- 'sv 2 "t1 4' 0 6sx+3 > 0, azazx > 0. Mivel a h6rmasalapirlogaritrnusfiiggv6nyszigoruanmonotonndv6, x+3>2x, 3>.r. a l0; 3[ intervallum. A megold6shalmaz h) Legyeneka 6s , eS/t6l kiiliinbiiz6 pozitiv val6s sz6mok,tovibb,l lo&, > logrc.Bizonyitsabe,hogyekkor loglb+logla r.1, log"b')-logoa'z 'M€goldds Alakitsuk et egyenl6s6giinlbal oldal6t:

logf,b+logla log"bz -logo a2

logf,b+logfa

>'r5' 2loE"b -zlogb a

teh6t azt kell megmutatnunk, hogy

logjb+tosia log" b -1ogba

>2.f2.

Pdbaljuk most a bal oldali tdrt sz6mld6jetngy alakitani, hogy megjelenje bennea t6rt nevez6je:

de

lo1l b +lo'l a = (log -log oa\zt2log ,b .logua, "b log"D.log,a =1 miatt

logl,b+logla =(log.b -log ua)'?+2 utdn az egyenl6tlens6gigy alakul: loglb+loElna rloe"b-loguar'-z -.6 loi" b -log,a log,b -log ba log,b-logba+

log, b -loEha

i---^

>2.8,

log,b-logba>O a feladatfelt6telemiatt. bizonyitand6egyenl6tlens6gut6bbi alakja er6seneml6keztetegy pozitiv ak 6s reciprok6nak6sszeg6re,amelyr6l nrdjulc,hogy mindig nagyobb €gyenl6mint 2. Mivel ajobb oldalon 2."6 szerepel,ez6rtc6lszerfinekl6telosztaniaz egyenl6tlens6get."6 -vel. EL*or t;

log. b -log

-1--

lo9" b -logb a

>2.

mtu tiszt.enl6tszik,hogy a b3l oldalonegy poziliv szAmnak6sreciprok6!z dsszegeszerepel,igy mivel algebrail6p6seinkmegfordithat6kvoltak bel6truk. tr eredetiegyenl6tlenseget sinrcos3r> cosr sin3.x. ns€get: 0 > sin3.rcosir- cos3.rsin.r addiciostetelekalapj6n:

0 > sin2.n. ha 1r+2kir 4"!ab= 4 .50= 2Un. 2 a szAmtani6s a mdrtanikdz6pkiiz6tti iisszefiiggesl hogy egyenl6s€g al:lor €s csakisaklor vaa, ha a ket oldal egyenl6,aziuk, n6gyzetalald a telek. 200m. ninimAliskedteshossz

Egyenl6s6g csakd =, eseteniill fenn. Egy gyakan hasm6lt kdvetkezm6nyeenneka kapcsolatnaka kdvetkez6tetel.

s;1'?-"4-1-=2'"

T6t€l: egy pozitlv sz6m6s reciprokinak iisszegenem kisebbmint 2. uhol o >0. o+]>2, a Egyenl6s€gakkor 6s csakisakkor van, ha c = I . Ebb6l a t6telb6l kitvetkezik, hogy egy negativ sz,m 6s reciprokiinakiisszegc sohasemnagyobbmint 2, T6tel! ga a 6s , pozitiv szimok, aklor 7

hogyegypozitivsz6mesreciprokdnak dsszege legal6bb2, dscsakak2. ha a szim az 1. A iobb oldal maximuma2. 6s ezt az €neketakkor veszi ha a ktev6 l. a k6t oldalcsakalCrorleszegyenl6,ha sinz,r= 1 6scosy= 1.

a m€goldasok * + ktti 2t/t I ta I

n+ h

___- < -t-A 0, aklor felfel6, ha c < 0. akkor 1efel6. A gEfikon az x tengellre ,/(-, -f(x) tiikriiz6dik. a./("r) A grafikonazy tengellyel f(a . x) p6rhuzamosan a-szorosara megnyulik.Ha a > 1, akkor n yilik,ha 0 2 )

A hamadiktagt6lkezdvemindentagaz 6t megel6z6k6r tag6sszege. Vannak sorozatok,melyekctmiDdk6tm6don meg lehet adni. P6ldriulr Fibonacci-sof ozatelemeinek expljcit alakja

Dcfinici6 ligy (a,,)sorozatalulr6lkorletos,ha van olyanva16sszem,melynEla sorczat 6gyiktagjasemkisebb.Ez a szt.rna sorozategy als6korl6tja.Van olyani, hogybinnely , eset6n, d^> f. P6lddulaz a, = z'?egyikals6korl6tjaaz l. Definici6 [gy (a,) sorozatkorl6tos.ha leliilrcil6s alulr6lis korl6tos_ Vanolyan(, hogy blrmelyn eset6n, lrz^l a,,*). Ha az egyenl6s6g nemmegengedeft, akkorszigonlanmonotoncsdkken6.

" r [ rr , . 6i r r - J si ] ""Jslt

Korl6toss6g Egy sorozatkorl6tossigszerintn6gyl61e lehet. Definici6 Egy (d,) sorozatfeliih6l korl6tos,ha van olyanval6sszdmmelynela soro/i egyiktagjascmnagyobb.Ez a sz6rna sorozatcgy fels6korlitja. Vanolyaul hogy bimely /?eseten,l], < r(. P'ldiLulaz a,,= -2' sgyikfe1s6korl6tjaa 2.

crgencra (a,) konvergens 6shatir6rtekec8y , sz6m,ha ,{ b6rmilyenkicsi kcimye6nkiviil a sorozatnak csakv€gessok elemevan. vcrgenssorozrttetsz6lcgesen kdzelkerill hadrerfek6hez. a") -e)h

(a,hn h hoz,h^ n tart a v6gtelenbe);

limdd =ft (limesz,] larl vegtelerfieza, egycnl6 l7).

S O RO ZATO

K

Azokata sorczatokal, melyekneknincshatir6fl6ke,divergensnek nevezziik. I

P6l di u ll i m:= 0;

l i m 4'=9,6x q ro, akkora, < 4. lcliil6se:a, +:

d) fi sorozatis konverg€ns, 6shatA#rt6ker,6, amennyiben (a,) egyetlen tagjasemnegativ esa > 0. o P6lddk

V6glelenbe tart6sorozatok Adivergenssorozatok kdzijttfbntoskiilijn emliteniazokat,melyekmindenl)il t6ronttl n6nek,ill€tvecsdlkennek.

Jel6l6se:d" -)

5 OR OZATOK

I,6),r

|

2 -?

) . - " 3 lim __r!=:. mivellim - -0 ds lm L=0. 4t€.

l

)

b) I

Halirozzameq - a l#

th-A

I

| sorozathatirenekerl

[Vn'+zJ

Megold{s

vagy limd,=.a.

3_! [m l:=fi m-+=3, ,-_Jn,+2 '-- L 2 '

P6ldriul:lim (-n'z)=*.

\i'*;

l{iiveletek konvergenssorozatokkal mrvel lrm-=u

Adott k6t konvergens sorozat(d^) 6s (4), haterertekeik legyenekrendrelr f! b. Ekkorigaz,hogy a) az (.a,+b,) soroza!is konvergens eshatiir€rteke a +D; b) ez (d,,0,)sorozatis konveryens 6shatiirertekc .rD; :. amennyiberr c) | '1 .oro/dlrs konvergen\;\hrr.rreneke tr-) eelerlI h lb ) t ag j a s c m0 6 sb +0 .

es lim

l1

3.2.3.Szdmtanisorozat Delinici6 A sz6mtanisorozatolyan szimsorczat,amelybena mdsodiktagt6l kezdvebermelyik tag 6s a kdzvetlentileldtte 6116kiil 2 .

soRoza.rtrK N6h6nyegyszeriitulajdonsag: Ha d > 0, akkora sorozatszigoruan monotonnijv6. lla d = 0, aklor a sorozat6lland6. Ha d < 0, aklor a sorozatszigoruanmonotoncsijkken6. Sziimlani sorozatbanbtmely h6rom egymesut6n 6116tag kiiztil a kdzeps6l ket szels6nek a sziimtanikijzepe. 4 =a "ta'*t "2

- ahol,?eN6sr>2.

Ez az dsszefi.igg6s iltalinosanis igaz:b1mely elema t6le szimmetrikusan el helyezked6 tagoknaka szimtaniktizepe. T6tel: egy szimtani sorozatbimely elemekiszAmithat6a kiivetkez6m6don a,=at+(n-l)d,

neZ'

Bizonyitis Teljesindukci6val. =dr +(l l)dAtetel igaz. a)n = I eset6nal b) Indukci6sfeltev6s Tegyilkfel, hogyaz illitis igazn : k eset6n, azaz at : at + ( k l) d. c) n : k + l e s et6n Tudjuk,hogya{*1= ar + d. Innenad6dikaz indukciosfeltev6sfelhasznalisi val,hogy a , = a L + t =ar +d = at+ ( k -lV +d =at+kd =at+@ lH. Teh6ta teteligaz. T6tel: Szdmtani sorozatban "2 ahol S, nz els6 n tag i;sszege,azaz S , = a , + a r +,.,+ a,, neZ'

S O R OZATO

K

Bizonyitis Irjuk fel az e1s6r elemdsszeg6t az els6elemes a differencia,majdforditott sorendbenaz ,r'edikelem6s a differcnciasegits6g6vel. S , = a t + a t + d + . . . + a t +( n - ) V ; S , = a " + a t -d + . . . + a " ( n - l V . Adjuk dsszea k6r egyenletet.Mivel a d-t tartalmaz6tagok pdronkentegym6s cllertettei,igy ezekkiesnek. 2 5 , = a t + a ^+ . . . + a j + a, = n ( a r+ a " ) .

lev + =-- 2 Ezzela teteltbebizonyitottuk. O P6ld:ik !) Az (d,) szdmtanisorozattagjai kdziitt az alrbbi itsszefligg6sekallnak fenn: 4 + a 6 + . r7 = ' 7 2 a s a $ +ar + a i = a 7 . Hatiirozza mega sorozatels6tagj6t! Megoldis Ttll sok az ismeretlen a k6t egyenlethez. Ez6rtk6t ismeretlennel kellenekifejezniaz dsszes ismeretlent. Errek6zenlekv6en ad6dika, 6sd. Ezektela kdvetkeziiegyenletrcndszert kapjuk. r\ + M + a t + 5 d + a t + 6 d = 7 2 a j + 9 d + a t + lo d + a t + lld = 8 7 ='72 3 a 1 + 1 5d 3at+30d =8'7 A" els6egyenletet szorozzulmeg2-vel. =144 6a1+30d 3ot+30d=8'7 Vonjukki az e1s6egyenletb6l a m6sodikal.

SO RO ZATO K

3a,: 51 a,= 19 Tehetaz els6 elem a 19. b) Egy sz6mtanisoroza!els6heromtagjanakiisszege30-calkisebb,mint a kiivel kez6h6romtag dsszege. Az els6hat tag dsszege 60.Melyik ez a sorozat? Megoldds Azt tudjuk, hogy

SE|R OZATOK

3.2,4,M6rtani sorozat Delinici6 I A m6rtanisorozatolyan szimsorozat,amelybena mesodiktagt6l kezdvebiir, (q-szorosa). ugyanannyiszorosa

tag a kiizvetleniil el6tte 6116elernnek I melyik jellemz6 6lland6szoE6tenyez6,nevekv6ciens. q

t

at + a 2 +ar +3 0 = a4 +a 5+a6 at + a 2 +a!+ aa +a 5 +a 6= 60 Ism€t ar-g'yel6s d-vel felirva az egyenletrendszert kapjul, at +q + d +a t+ U + 30 =at+U +at+ M +ai5d at +a t + d + at+ U + al+y +at+U +at+fr =60 3q +3d +30 =3at+lzd 6a1+l5d=60 30=9d zat+5d=20

|.

A a mertanisorozatra Tehina"=a"-t q, ahol nez es n>2.

N6h6nyegyszeriitulajdonseg: Ha a, = 0, akkor a sorozatmindentagja 0. Ha q = 0 6s aj + 0, akkor a mesodikelemt6lkezdvemindenelem 0. Ha q = I, akkor a sorozatmindentagja egyenl6. H^ at + 0 6s q pozrti'r, akkor a sorozatmindenta&iaazonosel6jeli; ha a q negativ,akkor a tagok v6ltakoz6el6jeliiek. Ha c, > 0, akkor 1 < q eset6na sorozatszigor(ranmonotonntiv6, 0 < g < I eset6benviszont szigoruanmonotoncsdkhen6.Ha dr < 0, akkor €ppenforditva. It P6ld6k

r) at=26sq=3 2 ; 6 ; 1 8 ; 5 4.;. . b)

Az els6 egyenletalapj6n rf =.19 . Ea a m6sodikbahelyettesitvekapjuk, h"gv

o t = 2 e s q = -3 :. 2;-6;18; -54; .

2a. +! =20 ,3

i

f I

105

I

t

I Teh6taz els6 elem

c)

t

10

, a differcncia ;

''2 ".,

1 . I l. 2 4A

EI O RO ZATO K

d)

s, = at+at q +...+ar q"-'|'

at=-26s q

-1. -r. - ' -1. "

I

2 1l

2'

3 n .q = a r'Q+ a , 4 ' + . . . + a r .Q " ki a mAsodikegyenletb6l az els6t. t r 'q -

s n =a t

q

- at,

( q- t) 5,= a{ q' - r ) , T6tel: m€rtanisorczatbanbfumely elemmeghat6rozhat6 a kiivetkez6m6don: a^=a t4

'

n" -l

s, = 4,4,

neL

Bizonyltds Teljesindukci6val. a\ n = | eseteD at = atq' '. Az t6teligaz. b) Indukci6sfeltev€s Tegyiik fel, hogy az 6llitas,igaz n = k eset1n.azaz c)n = t r + 1e se ten Tndjuk,hogya*., = arq. Innenad6dikaz irdukci6sfeltev6sfelhasznales6val. hogy a^ = ao*,= arq = @,qL-')q= o,q, =",q^-' . Tehdta t€tel igaz. T6telr m6rtanisorozatban

q-L

kell m€g vizsgilnunk a bizonyitdsso n kizirt esetet. 4 = 0, aklor a m6sodikelemtdl kezdvemindenelem0, igy S = a1 Teh6ta ebbenaz esetben is helyes. a t6telt bebizonyitottuk.

Pozitiv szemokb6l6116mertani sorozatbanbalmely h6rome$,m6s uten 6116 kiiziil a kiizdpsoa ket sz€ls6nek a menanikdzepe.A7a7 , h a d , r ; d , * ,> o . Az 6llit6s 6ltalinosanis igaz: a pozitiv szrimokb6la 6 m6rtad sorozatbanbertnely tag a t6le szirnmetrikusanelhelyezked6kneka m6rtanikdzepe. I P6ld{k .^=J;.,\.

m6rtani sorozatharmadiktagja 6, hetedik tagja pedig 54. Hat6rozzameg els6 l0 tag ijsszeget! as

S.= a , \ , haq +I,n e Z* . S. itt is els6 r?tag iisszege. ^z Ha q = l, akkorS = r. dr. Bizonyitds Ha q = 1, a1po.*iod"o tag egyforfta,teh6tS"= n dr. Ha q + | (q 0), akkor i4uk fel az els6 a tag 6sszeg6t,majd szorozzut mctl " 4-va1. mindket oldalt

haq * 1.

I

EiO RO ZATO K

Teh6t

P6lddk Ha a mobilfelhaszfl6k sz6ma6vente20%-kal n6, akkor h6ny 6v alatt dupik meg?

Hat6rozzukmeg az els6 elemet! a,6^ 'q'3

igv ^

,tt^ =4,

"

q 'o-L ^ 2 1 3 -r I -=q- l rJ3 - r

ha mostlo felhasmAl6van, akkor n 6v mirlva lew 2lo.

=,c"[r*:q.). "\ r00J

3.2.5.Kam{toskamot-sz6mltds

/6 Y

Ha valamely.4o6rt6k 6ventepe lR* szezal6kkalniivekszik, aktor a meA ndvekedett6ft6k az ,-edik €v v6g6n

\5,/

'.=4('.,*-.i lesz.

2= nle: -5 )P2 ls2 tg6- tgs - - - ' ' "6J negyedik6vbendupl6z6dikmeg.

Mindenev \egdna megl6v6iisszeger t"-^nen".rrivet ke sz,, - .Lzf( r- 4l l00J lozni. Evente4 oZ-oscs6kken6seset6npedig az l0 az n-edikEv v6g6teaz

Ha 500 ezerforintot tesziinka bankba6vi 6%-oskamatra,akkor l0 6v milmennyi lesz a megtakaritAsunk?

L\ ,+=*(t "l

100j

ert6krecsdkLen. Az ilyentipusriszamltasokat nevezziikkamatoskamafszAmit6si feladatoknrl Perszea valtozasiitemenemcsak6veslehet,hanemnapi,havi stb.is. Az iisszefiigg6sben n6gyadatszerepel. Ezekmindegyikelehetfeladatk6rd6s(. Minda n6gyLipusra hodnk egy-egy p6lddr.

kiizel 900 ezerforintuak lesz 10 6v mulva a barkbar Mennyi p6nztkell betenniint a bankba,ha 2 milli6 forintot szereh€nk20 6v va 6s az €v€skamat4%?

SO RO ZATO K

Megoldrs Tudjuk,hogy .

|

4 \zo

"I

r00,

210 '= / 4 - l l + - l Innen

= grz'tj j.89. A^ = aY " 1,04'"

Az els6fi-szer,6sminn-edik6v v6g€rcr-szerhelyeztiikel az,.{odsszege!. kamatozil.igy a7utolso kiiverkezd befireleniisszegeggyelkevesebbszer csakegyszerEzek6sszege

.^('.#)' .,"(',6).+('.#)'. egy m6rtanisorozatels6 n elem6nekdsszege,amit az ismert m6donrigy is hogy

Tehit kitdilbeliil 913 ezerlorintot kell betenniink. d) Egy fert6z6 betegs6gbenszenved6kszAmal0 6v alatt megduphz6dott. HAnysz6zal6kosaz 6vesn6veked6s?

=L

Megoldis Tudjuk, hogy

'l

I+--L 100

az allitest bebizonyitottuk.

, : o| . 21,.= , 4 - l I+ - -"l

"

"[

100./

Innen

= ?.18. r = ('Vt-1).100 kitriilbeliil7,2 %-os. Az evesndveked6s 3.2.6.Gyiij t6j rradGk szimitds Tegyiikfel, hogy mind€n€v elejenugyanakkora(lJ €rt€kettesziinkbe a ban[' ba, ez pedi,geveI'tepyo-kal karnaiozik. l6v6penzmennyisdge Az r-edik dr v6gerea ban-kban ll+4 | _1 |\ 100 l p 100

P6lda kezdveminden6vben50000ezer GlazserBozs6fia sziilet6s6t6l el6rc1et6 kamatra-Mekkom dsszeggeltudja meglepintot helyezel a bankban6o%-os i fi6t a 18-adiksziilet6snapjin? Megold{s Ebbenaz esetben

= 50000,

t= 18.

lgv

A,=4li+-1-J

Az airnd6kI milli6 638ezerfodnt lesz.

EiO RO ZATO K

3.2.?,Tdrleszt6r6szletsz{rnltisr Tegyiik fel, hogy egyl0 nagysegri,p %-os kamatozesirkdlcsiint kell visszafizetniirk n 6v alatt ligy, hogy minden 6vbenA dsszegetfizetiinl vissza.Ilyenkor az A tiirleszt6 reszletna$/s6ga

llr

.p 100 100

I

*('1' *. - L \ - e* e(t * -L l* ...* ,r I r- 1Z0 0l"-', , r00J r 0 0 J ( I

fr*-L'i-t 100 J

| =A |

r00J

lr+ - 4 l-r \

r00J

- 80425,87 . -1

havontak€ll tdrlestenie 6s havontaf

Bizonyitis Gondolkozhatunkhasonl6an,mint a gJriijt6jamd€kndl.Itt minden 6vben ,'1,, iisszegetfizetiink be p %-os kamatoz6ssaltgt, hogy az uto1s6befizetesmau nem kamatozik,mivel azzalmegszfinil a tanozesunk.Az n-edik 6v v€gercil befizet6sekrekegyerl6nekkell lenniiik a kdlcsiin n ev ax p o/o-oskfnatozas sal megr6tt 6rtek€vel.T€hAt

"l

lI

802426 forintot kell tddesrenie.

ft*-rI-t ( 100l

Ll I + - ! -

Megold{s

100J

.p

%-os kamattalsziimolunk,akkor a

sztuna2072,esigy ahavitiirleszt6reszlet l+---1200

= 65995,57,

V6gtelen mdrtanl sor len sorok v6gtelensok tagb6l iill6 dsszegetvegtelensomaknevezziik. q+ a2+ '..+ an+...

v€gtelensor els6n tagj6b6la[6 itsszeget (s")r6szletdsszegnek, a,-t pediga dltaliinostagj6nal nevezziik.

100 100 Il+L|-l

|

100J

Ezzel az 6llitrst bebizonyitotnrk. O P6lda Gl6zserBozs6fia 25 6vesenlakestakarvenni6skenytelenfelvennil0 Inillrrl forintos ktilcsijnt, 20 6vreevi 5%-oskamattal.Mekkora lesz az 6vestdrleszlil 16szlet?

t, = q.1-a2+ ...+ an. v6gtelen sor ijsszeg6n a dszletiisszegek sorozatanak hat6r6rt6k6t 6fijiik,

az konvergens.Ekkor a sort is konvergensireknevezziit. 8 r6szletiisszegeksorozatanem konvergens,akkor a v6gtelensomak nem dsszege.

SO RE|ZATO K

V6gtelenm6rtani sorok Attahnos alakjuk

) iduk fel a 0,235 szemotkiiziinsegestitrt alakban

a + a q+ a q z+ ..- + aq "+ ... Az r'edik ftszlet6sszeg q" -l a,a" 4 s r -i ltiar+ -. , +4 ,-Ar q- L --:. -. q I t-q t-q Ezenutols6 alakr6l l6that6,hogya dszletdsszegeksorozataakkor 6scsakisat

235_+...+_+ 235 : ^'_=-235 235 + ,., 1000 1000' 1000' ghat6olyan v6gtelenm6rtani sork6nt melyben a=

kor konvergens,ha d konvergens,azaz lSl< 1. Ekkor a mrsodik tag hattu6(i. ke 0, igy

r ei_

1- q

Teh6tegy v6glelenm6rtanisor akkor 6s csakisakkor konvergens,ha hAnyad{) s6nakabszolut6d6kekisebb,mint 1, ekkorijsszege s= a + a a +a q 2+ ...=- L . l- q o P6ld{k a) Hatarozzukmeg az lllI - +-+ - + . . , + - + .,. 24 8 2" dsszeget. M€gold6s Ez egy olyan v6gtelenmertanisor, melyben d=

1 - r_ 1 " 2

1

t.

es 4 =-.lgv 2 2''

az osszeg

235 t000 _zr : 1 999 1000

235 1 es4= 1000 1000

A NALI Z I s

3.3.ANALiZIS

V€gesben vett v6geshatdr6rt6k

3.3.1.Fiigge6nyekhot{r6rt6ke

Definici6 Legyenazf foggvenyaz .r0pont valamelykaimyezet€ben 6rtelmezve,kiv6ve cbb6lesetlegaziropontot.Azjrfiiggv6nynek azirohelyenl6tezik hatiirefi6ke6s nzl, ha brirmelyolyan(.n,)sorozateset6n, melynekmindentagjaelemeaz;f trtelmezesi tartomanyiinak 6sr, -+ xo,(x, +:ro)aktor/(:r,) -+ l. lfa r, tartro-hoz,akkorf(x Ert A-hoz. ^) lcliildselehetmeg: Im /(.r) =A .

Kitrnyez€t Egy.n0val6ssz6megy k6myezeten 6rtiink egy olyan nyitott intervallumol. mel',nekelemex0.Ez lehetszimmetrilus 6snem szimmetrikus.Szimmetdku\ kiimyezetpeldrul jro a; r0 + €[ intewallum,melyetaz.iro€ sugankijr^z nyezet6nek neveziink.

Vizsg6ljuk meg a kiivetkez6fiiggv6nyt azonpontok kdmyezet6ben,aho) nenr enelmezetti .r'')

IIa barmelyolyan(r,) sorozateseten, a sorozatmindenta&jaelemeazl6rte1mezesitaftom6nyenak€s.n, -+ ,0, akkor azt rigy is irhatjuk, hogy r -r j0.

r' -b -t+ 9

r* i:L r-9 -:. Azon a helyeken, ahol a fiiggv6ny nem 6ielmezett, biztosan megszakadr grafikonja. fiigg€ny A k6rd6s,hogy hogyanviselkedik a fliggv6ny,ha egyft ktizelebbmegyiinka szakad6si helyekhez, ha.r kdzelit-3-hoz, illetve3-ho7'l Alakitsukiit a hozzdrendel6si szab6lyt megad6kifejezest:

r '- -6 r-s _ r* -J r'_=4=1__L...* _ 3 . (.r-3x .x +3)i r+3 r+3 ' x' 9

O P6lda A feladatban emlitettfiiggv6nynek vanv€geshattu6r€kea 3 helyen,megpedig

ligy nevezetes hat6r6ftek: .. sin.r .

r.

Ez itj al^k nfu 0 veszfel a 3 helyen,de -3-n6l ez sem ertelmezell ^z 'n6ket A k6t kifejezes6ltal felvett 6rtekeke ket kitikus hely kiv6tel6velmegegyezncl Ezek szerinta 3-hozkozeledvea fiiggv6ny6n6keka 0-hoz kiizclitenek.A .l hoz kiizeledveviszonta sz6ml6l6egy- 6 kiiriili szrim,a nevez6pedigegyrejol, illetvea ban kdzelito-hoz.Eziltal a hanyados 6rt6kea ,,niivcL --be --be jobbr6l kdzelitiink 3-hoz.A friggven\ szik", att6l fligg6en,hogy balr6l va$/ I^. az - tuggvenyranszlonnalqa,

V6gesben vett v6gtelenhat6r6rt6k Dofinici6 | ,c8yenazjr fiiggv€ny az r0 pont valamelykiimyezet€benertelmezve,kivEve rhb6lesetlegaz.r0pontot.Azjffiiggv6nynek az.r0helyenletezikhattu6rt6ke 6s (illetve (r,) nza a ha brirmelyolyan sorozateset6n, melynekminden -), trgja elemeaz jf 6rtelmezesi (:r, tartomeny6nak 6s r" -J r0, + ro), akkor (illetve/(r,) r,) + -, --). /l -

ANALI ZI S

Ha r" tart xo-hoz,aklor/(r,)

tafi a vegtelenbe(illetve a ---be)-hoz.

, Fiiggv6ny folytono!!{ga

Jeltilese lehetmeg: lim /(.r) =- .

tban vrl6 folytonossfg i6 6s /fiiggv6ny egy.r0portbanfolyonos,ha az:rohelyenvanhat6r6rt6ke, egyenl6. /(ro)lal

Ha p6ld6ul az els6 definici6banazt is kikittjiik, hogy r, < r0, akkor bal oldali hrtdr6rt6k6l, harn > x0, aLlor Jobb oldali hatir6rt6k6l beszeliink. Egy fiiggv€n1'nekletezik egy xo helyen hat6r6rt6keakkor 6s csakisaklo! ha mindk6t oldali hat6r6rt6keldtezik 6s az egyenl6.

legyen az / fiiggv6ny az r0 pont valamely kiimyezet6ben6rtelmezve. /fiiggv€ny az r0 helyenfolltonos, ha az, -+ r0, aktor/(r) +/(x").

A feladatbanszerepl6fiiggv6nynek-3-ban a bal oldali halir6rt6ke 6sjobb -, oldali hattu€rt6ke--.

va16fol''tonossdg /fiiggv6ny egy 1 intervallumon folytonos, ha azf az I intervalllm minpontjabaofolytonos. ez az intervallum a fiiggv6ny 6rteL[ez6sitartomanya,akkor azt mondjuk, gy a fiiggv€ny folt'tonos.

V6gtel€nbetrvett v€€s hat{r6rt6k Definici6 ertelnezve.Azlfiiggvenynek I Legyenazlfiiggv6ny egy [a; felegyenesen -[ akkor vett hatir6rt6ke ,4, ha minden r" sorozatesetdn,ha (r,) -, -, --ben f(x^) ) A.

I s ftggv6ny: polinom fiiggv6nyek; Syitkfiiggv6ny;

Ahogy a v6ltoz6 6n6k€tegyrejobban niiveljiil, a fi.iggv6ny&t6kekaz ,4 egyre kisebb sugarukiimyezetebekeriilnek. Bzt rigy is mondhatjuk,hogy azlfiiggv€ny a vdgtelenbenl-hoz konverg6l.

cxponencialis fiiggv6ny; szinuszftggv6ny.

Pl.: limlt +11' = s

folytonos fiiggvdny: r€ciFok fiiggveny (o-banvan szakadasa); eg€szreszfiiggvdny (mindeneg6szhelyenvan szakad6sa).

Az el6z6ekalapjin meg lehet fogalnazni a kiivetkez6definlci6kat is: a)/hattu6rt6ke ---ben l; b)/hat6r6rt6ke --ben -;*; c)/hat{r6rt6ke --ben d)/hattuert6ke ---ben -; e)/hat6rert6ke---ben -; Az ut6bbiak a v6gtel€nbenyett v€gtelenhatdr6rt6lce vonatkoz6definici6k

mesa kitvetkezdhatar€rtdkeket I

.. t-

4t2 -7x+5

Un--

3x-2x'

ANALI Z

IS

Megoldis /) _ 4 - -+4)(- lx+> -. lrm-=lrm -----=-2. J. 3 x - 2x' '- '-

.. tsJx _. sm)r /.r cos/_r 5 rlotg7x '-r, 5j sinT_rcossr 7

J 7

Dilferencla-6sdiff€r€nci6lh{nyados Felhaszniltuk,hogy ciah{nyrdos

.. t^

hogy a lineiris fiiggveny eset6na meredeks6g(n=11)

niivekedds

fejezi ki. Ezt a tipusl haDyadost mAsfiiggv6nyekesetenis el66llithal

b)

k6tpontasegits6g6vel. l|m r r0 r-5

M€goldds Mivel a fiiggyeny fol}{oios 0-bana hat5r6rt6kegyenl6a helyetteslt6siert6kkel: rr0 r-5

5

ncl{lh{nyados

Megoldis . . s i n 3 x ,. 3 sin 3 x= ^,. sin3r= J^. J |lm eo

3x

Felhaszniltuk,hogy d)

.. ts5.r 'a tg1x

e lai bl6sx + ro,

a fiiggv6tryminden.' helyenaz (x;f(x)) es az (xl;.(.ro)) pontok 6ttal megegyenesmeredeks6ge.

.. sin3r

r

dG\= !9:JJ!:i,,

azf fi1ggrenyx d-hozt^ttoz6 differenciahanyados6nak nevezz0k.

c)

rro

egy/fiiggveny€nelmezve vanx0 egy la: b[ kiimyezeteben, akkora

'+o 3x

fiiggvenyro-hoz tartoz6diferenciah6nyados6nak rn-baDvett haterertek6t, iben az l6tezik 6s v€ges,a fiiggvenyr0 helyen vett diferenciilh6nya(deriv{ltjrnak) nevezziik.

/(""), +l (r')-f Go\_ ,6). l'Jnf f re& I-xt

ANALiZ I S

Ha egy fiiggvenynekegy helyen van deriv6ltja, akkor azt mondjuk, hogy r fiiggv6nyaz sdott helyetrderivilhat6, differenciiilhat6. Ha/fiiggv6ny az ro helyenderiviilhat6,akkor grafikonj6nakaz (r0;/('I,,)) pontbanvan 6rint6je,€s /'(jro) ezen eint6 meredeks6ge. igy az 6rinr" egyenlet / =/(jroXr --ro) +/(-ro) . Ha azfftggvbny b[ intervallummindenpontjaban deriviilhat6, akkorut ^zla; Ha r/ mondjuk,hogy/az la; b[ intervrllumon derivdlhat6,differenciehat6. az adottpontbelidiflr hozzarendeljiik ld; ,[ interyauumminden.,relemehez rencielh6nyados 6rt6ket,ak*or kapjuk a differencialh6nyados-fiiggv6nyt. deriv tfiggv6nyt (azldedvaltjdt az adott intervallumon). Ha azjffiiggv6nyertelmez6si tanom6nyaegynyitottinteflallumvagynyinnl uni6ja €s ezenfaz efielmezesibrlomenyenakmindenpontjib , intervallumok dedv6lhat6, akkorl derivdlhat6fiiggveDy. a deriv6ltfiiesv6nv iele:"dr /'. t

3. Szorzatfiiggveny helyen,akkoraz/ g fiiggv6nyis, 6sdeHa/es I iiiggv6nyekdedvalhat6ak.n0 riv6ltja: (/('.).s(.r.))' =/1r0).s(ro) +/('0) c('0). 4. Fiiggv6nyek hanyadosa Ha/6s g fliggv6nyekderivelhat6akx0 helyen,akkor az I fiiggv6ny is, 6s deI riv6ltja:

I rt',tI - /'(-v")s(-r")-/(.{").8'(rJ , (8(,J)'

I'GrI

ha g(,ro)+ 0.

5. Osszetettfiiggv6ny helyen,6s/dedv6lhat6a g(iro) helyen,akkor lla g fiiggv6nyderivehat6.n0 /"g fliggv6nyis az,€sderivrltja:

(/.s)'('0) =(/(s('J))' = / (s(rJ) s(xJ.

.

3.3.4,A deriv{l6s16l

N6h{ny fiiggv6nyderiv{ltja !) Konstansfi.iggveny derivdliaaz .r F.0 fiiggveny. Az .r Fj c fi.iggvcny

Derivildsi szabilyok

llizonyit{s

fiiggv6ny l. Konstansszorcs Halfiiggv6ny dedv6lhat6 ro helyen,akkorc /fiiggv6ny is dedvdlhat66s(1. riv6ltja:

, , , n" f (" )-" f r-ro

k f G))'= c J'(.xo\. 2. Osszegfriggv6ny is iLl derivalhat6ak to helyen, akkorazl+ g fliggveny Ha/€s g fiiggv6nyek 6sderiv6ltja: (/(iro)+ g (ro))'=/(.ro) + s(ro)

(* o ) .- c - u_

=rm0=0,

.r+r0.

: b) Lineriris fiiggv6ny l\z x t) ax + b fiiggv6ny deriv6ltja az r F-ta fiiggv6ny. Blzonyit{s , _ / (r) / (ro ) J -ro

, -. L \ + b - t a L o t b ) t- xo

.. a(t' x"\ = l l m-= d. i 'ro,t-J0

. r +. t o,

c) Hatvatryfiiggv€ny

d) Szinuszfiiggv6ny

Az .r F, x' fiiggv6ny,ahol rt egy I -n6l DagJ'obbpozitlv eg6szszim, derivelf ja az xtrn.x'-r

fliggv6ny.

x ft cos.r fiiggvenyderiv6ltjaaz xF'-sinr

fiiggveny.

Tangensfiiggveny

r'-.ror _ ,,. "f(r)-"f(.ro)-,.* ')'o

fliggvenyderiviiltjaaz r t-. cosx fiiggv6nY.

Koszinuszfiiggv6ny

Bizonylt{s ,?szerintiteljes indukci6val. LAz n = 24 e X- Io

rDsinx

rrr tgr fliggv6ny dedvilgu , -f - -

x - xo

= lim(r+,ro)= 2ro, r+ro,

fiiggu6ny (r*l*rr,

Kotangensfiiggv6ny

Mivel minden val6s ro eset€n igaz, oz xt+ x2 fiiggveny derivehat6 es (x7>'=2x (ez egytiifliirebbjeliil6s). Teh6taz 6llitas igaz. 2. Tegyiik fel, hogy az Al|jll6sn = k-raigaz,azaz

I -rFrclg.r liiggv6nyderivSltjaaz r H --:--- frJggvinytx + wt. ne Zt. su .r P6lddk iviljuk a kiivetkez6fiiggv6nyeket:

/(,)=V, sin'.

3. Vizsg6ljuk z = t+ 1-reaz 6lliti.st, (r ' ) ' = ( rt't) ' =( r .r r ) ' =''. x' + x (t' )' = = 1 . xk+ x.k. tt- t = (k +t)xk= n. x*l

f,trr= 1{it'sin.r+i/i(sinxi=jE +VJcos.r. 5Vx"

Felhaszniiltukaz indulci6s feltev6st6s a b) pontot. Az 6[it6s tehat igaz. Megieglz6s Ez a derivausi szabdlyigaz akkor is, ha, negativeg€szvagy lacionrilis tdrt. P6ld{ul (:)

= 1x'1'=-2. x'=-\,

(J;t = ( x) )

n.u).

ha

t'Q)= 'io;

=:.;r I =-L. ha x>0. z z\l x

(cosx)',r? -cos-r.(.r!)' _ -xtsin x -2 xcosx

(r')' isini +2cos.r

c)

lliggv6n''vizsgdlat

/r(x)=611n-r1, r tO.

,f (x) = cos5(t3-2./) .

L Monotonitis azf fuggviayaz lar 6[ rntenallummindenponljebanderiv6lhal6.Ha intervallummindenir ponrjrban > 0, alfJf.otMf az la; 6[ intervallumonszigoruanmonotonndv6; - f'(x) monotonndv6; - f'(x)>0, ak*ot azf az ld;,[ intervallumon - f'(x) < 0, al&or azfaz la; Dl inteffallumon szigoruanmonotoncs6kken6; azfzz la; ,[ inteflallumon monotoncsdkken6. - f'(x) < 0, akJKor

Megoldds Ez egy tiibbszairaiserl itsszetettfiiggvdny.Iaiviildl haladva:egy hatv6nyfiiggv6ry, trigonometrikusfiiggv6ny 6s legbeliil polinom fiiggv6ny.

. Sz6ls66rt6k azf fuggvtnyaz la: bl intervallummindenpontjtrban deririlhat6.Ha lz intewallum egy,yopontjAbana derivrlEa 0 6s ott a deriviltfliggv6ny elEe-

Megoldds

ft'(r)= sin(J,).(\lr)'= c;f). o)

-2xz).(-sin(rr -2r 1) .(3i' -4x) f'(x) = 5ccsoQt] = -5r(3r - 4)sin(-rI - 2 cosn(x' - 2x') . "') 3,3.5.Deriv{l{s slkalmaz{sai Erintd eg/enl€t6nek m€gad{sa Ha / fliggv6ny az ro helyen deriv6lhat6,al*or grafikonjanakaz (xo: f(xr)l pontbanvan 6rint6je,€s/(xo) ezen6rint6meredeks6ge. lgy az 6rint6 egyenlct ) = /,('o)(r -'Io) + /('o ) . P6lddul Adja meg az/(r) =.r'?fiiggv6ny gafikonjanak 6rint6j6t az xo : 3 helyen. Megoldfs Mrvel f'(x:)=2t,

f'G)= ^z lgy az 6rint6 egyenlete 1= 6 ( r t 3 ) + 9, y = 6x-9 .

f'(3)=6 .

van.HanegaFt velt, akkor.r0pontbanazlfiiggvelynek lokalissz6ls66rt6ke tlvb6lpozilivbavrlt a derr!dllnigg\enyel6jele(az/szrgomanmonoloncsdk61 velt szigoruan monoton niiv6re), akkor lokilis minimuma, ha gozitivb6l negativbavel! akkor lokahs maxrmuna van. 3. KonYexit{s,konkdvitis Legyen azf figgv'ny egy [a; ,] intervallumondedv6lhat6,Es legyen az f' ffiggv6nyis deriv6lhat6ezenaz intervallumon.

Haaz [a; b] intervallummindenpontjeban/"(x) > 0, ak*orazadott lumon/fliggv6nykonvex. fia az [a; ,] intewallummindenpontj6ban/'(x) < 0, akkorazadott /fiiggveny konl6v InIlexi6spont A fiiggv6nygdrbeazonpontj6t,ahol konvexb6lkonkivba vagykonkivb6l konvexbemegy 6t, inflexi6s pontnaknevezziik.Itt a giirb6hezhrizott 6dnt6 belemetsza gitrb6be. L.gyen M f frggv'ny egy [a; D] intervallumon deriv6lhat6,6s legyei azf' fiiggv6nyis derivehat6 ezenaz intervallumon.Ha az intervallum egy.x0pont6ban/'(r) = 0, 6sitt azl" friggvenyel6jeletvel! akkor.r0pontbanazlfiiggv6nFek inflexi6spontjavan.

AN AL I

Z IS

P6lda

Lokalisminimumerteke:'ll r.l 2al l l =- M =- 6.3s 3) e pont:/(2):0 lDflexi6s

Y'gezzeel az f(x\ - 13- 6x'1+lLx - 6 polinomfiiggveny vizsgdatetl Megold!is Deriv6ljuk a fi.iggvenyt6s keressiikmeg a derivilt z6mshelyeita monotonitiis 6s a sz6ls66rt6k vizsg6lat6hoz. f'(x)=3xz -l2rc+11. A z6nrshelyekl f'(t)=3x2 -l2x +ll , x\! =

12!2.1,= ^ . .!t 2!-' 6

Mivel a giirbe felfel6 nltott parabola,a z6rushelyekkiiziitt negativ a derivilt fiiggv6ny. Allitsuk el6 a m6sodikderivaltatis, es keressiikmegz6rushelyeitaz alak €s a7 inflexi6spontvizsgalalihoz.

Az abrezol6s ut6nb$at6, hogyjellemz6siinlj6.

f"(x)=6x-tz. A zerushelye:

3,3.6.Pdmitiv fiiggv6ny,hatdrozatlonintegrdl Foglaljuktiblizatbaaz informeci6inkat:

.6 .,6

E =2

a

+

3

.,6

J

r

3

3

l

+ +

0 0 ma-x.

csiikken6 inflex.

konliiv

Lokilismaximum 6rt6k.,f

[,

-f

)= f

=r,,t.

min. konvex

Delinici6 Legyen/ egy nyitott intenallumon ertelmezettfiiggv6ny. Ekkor azt a fiiggv6nyt,melynekderiviltj a azJfrtggv1ny,azfprimitiv fiiggv6ny6neknevezziik.

li

t

P6ld6ul .r H 3r: fiiggv6ny deriv6ltjaaz .r D 6r fiiggv6ny igy az .r H 6t ^z fiiggv6nyprimitiv fiiggv'r\ye az xrr3rz fijggv6ny.Azonbanaz .r H 3.n'? +8 niggvenyis pdmitiv fiiggv€nye,hisz

^z

6 deriv6ltjais az r H 6-! fiiggv6ny

T6tel Egy nyitott intewallumon enelmezettfiiggv6ny bdrnely k6t primitiv fiiggveDyecsakegykonstans tagbant6rhetnek el eglm6st6l. Tehetaz rH 6.r fiiggvenydsszes primitivfiiggv6nyexr+ 3x'z+c alakri.

@

ANAL IZ IEi

Hatdrozatlanintegr6l Definici6 Egy/fiiggv6ny tisszes primitiv liiggveny6nek halmaz6tazl fijggv6nyhatdro zatlanintegriilj6naknevezziik.

3.3.7.Hatdrozottintegrdl Giirbe alatti teriilet Legyenfegy [a; bl intervallumon6rtelmezettfol]'lonos higgv6ny,melynekert6keipozitivak. Ekkor aDnaka sikesznek a tefiilet6t,melyet a fiiggv6ny grafikonja,azr tengely6saz a illetve, pontokbanaz.),tengellyelhrizottperhuzamosokhaterohak, gii e alatti teriiletneknevezziik.

tete:J/ vaerJ/tr)dr. Halfiiggv6ny egyprimitiv fiiggvenye4 aktor

J/t'la'=rt,l *..

Kctoldalikiizelit6sm6dszcrc Ezt a m6dszerta gdrbealafti teriilet meghat6roz6s6ra haszntljuk. Legyenfegy la; b) rnteNallumon6rtelmezettfol',tonos fiiggveny,meiynek6rlekeipozitivak.Osszukfel az [d; b] intervallumot M a = xa,r; . .; x,= b ponlokkal reszre.Ezt az intervallum egy felosztes6naknevezziik.Tekintsiik az 'r Legyenn, azlfiiggvenylegnagyobb cgyik[rr_r;.r,]intervallumot. als6kor16r ja (als6hatira) az intervallumon, 6s,,{ a legkisebbfels6korldtja(le1s6hatim). Rajzoljunkmegaz dsszes[r, ]; ril szakasz ldl6 az ,'r, magassagir teglalapot.Ezekegyiittalkotj6ka rartom6nybekt sokszdget, mivel mindenteSlalap a tar_tominyban lcljeseg6sz6ben van.Ha ugyanigyM magassdgi t6glalapokat akkor a kapott rajzolunk, sokszdga tartomenykdriilirt sokszdge,mivel a tartomlny a sokszdgben van.A beirtsoksztjgtedilet6tr,-neljeliilj iik, 6sals6kiize1116 ijsszegnek hivjuk. A kririilirt soksz6gteriileteS,, fels6kdzelit6iisszeg. az 6sszesek: lizek

Fontostudatositani, hogyez nemeS/ fiiggv6ny,hanemegy fiiggv€nyhalmaT Nehanyfiiggvenyhat6rozatlan integreta: g

Jadr

= ax +c ;

b) J r ^ d x = - + c,

ne Z\{

t};

c) Jsin,rdr= -cosx+c ; d) J c o s x dr =sin r +c;

"; [f,

a, = tg ; '+.

0 f'l-a*=-",s-"*..

s, = n\(\ - xi +...+m,(r^- x. ) Szabalyok: Ha f 6sg fliggvenyeknek l6tezikhaterozatlan integr.{lja,akkor

=,

ml]- -x,1,

s" = M,(r,-.ro)+...+ M,(tt,- x, , t':Flw - -^ , t t .' J ,-' t \ ^ i

l"y61a,=,IfoF,.

lla ezenoszt6pontokhoz irjakatvesziinkfel, akkor azt a beosztisfinomitAsinak ncvezziik. Abeosztrsfinomitaseval az als6kdzelit6dsszesek nemcsdkkennek. ib1s6 kdzelitd I dsszegek nemn6nek. Haegyetlenolyansztmvan,amelynemkisebbegyetlenals6kdzelit6iisszegn0l6snemnagyobbegyetlenfels6k6zelit6iisszegn6l, azlfdggv6n)'tezenaz Intervallumonintegdlhat6naknevezziik,€sezt a sz6motaz ezenaz inteflallumonvett hat{rozott integr6lj6naknevezziik.

J,rt'l * st'l a' =Jl f') dr+ Is(r)dr.

i .I

- , r r r f r / r i | / 3 t 'r r, "' -" u . _ + | _ I . _ r t _ I . _ t | _ I . _=

Je r eJ: , r( x r or va g yJt. T6tel Az [a; 6] zrrt intervallumon6rtelmezettkorlitos/fiiggv€ny integralhat6srgi nak sziikseges6s el6gs6gesfeltetele,hogy az intervallumtetsz6leges,minden tartoz6 als6 6s fels6 kiizelit6 tissze halircn tul finomod6 beoszt6ssozat6hoz tartson. gek sorozataugyanahhoza hat6rertekhez

r.r ; + loJ t \ z ) t l +J +- o +- u ' I r r t'| .-lr r|- : 1' r l-, -r- - - -ro r: ^ = l/- r \': J_ | .- l l | .-+ . '

4 64 32 f 4] 4 12) 414 ) 4 abeosztrst, felezziik Finomitsuk megazeddigiintewallumokat. igy 8 inteflalI lumotkaDunk. melvek ' 8 ho..ru . T"hat

Ha/egy [a; ,] intewallumon6rtelrnezettfol]'tonos fiiggvent mel]'nek6rt6kcl pozitivak,akkorazJ =/(i) gdrbealattiteriileteCyenl6J/(r)dr -szel. O P6ldr allitsunke16als66s fels6kiizeli Legyelf(x) = x2,es [0; 1] intervallumon ^z t13 r,= t Legyen .r0= 0. .r.: -. ir)= 16dsszeget. ;.r.= ;

/1 ll

r" = u^-.,r-+ l - I

"

8 l\ 8 1 8

-" /r\'l

/7\':r

+ , . ,+ t - t , - = - .

3s

l 8 .J 8 r 2 8

/iIr

.,r

( 8 1 8 l\ 4 1 8

sr

8 r28

L6that6,hogyaz als6kiizelit6iisszegn6tt,a fels6pedigcsdkkent. Hogy mi a hatar€rtekiik,azt innenm6g nem lehet tudni, de bizonyithat6,hogy I .

1

Haf egy fa; bl ntery^llumon 6rtelmezettfolt'tonos fiiggv6ny,mel)'nekertekei

0,8

aklor az negativalq Ift'lax

0,6

A tengelyalattitefiiletetnegativel6jellelszimitja.

azt=fG)

e6$e felettiteri.iletellentettjelesz.

0,4 0,2 0,250,5 0,?5 I Eklor minden intervallum

;

tehet hosszusacri,

lntegrilfiiggv€ny Definfci6 Legyen/inte$ilhat6 az [a; b] intervallumon,6s legyel [a: xl e [a; bl . Azf(x) integrdlfiiggvenyeaz r(r) = J / O )d r. (a ! t

3b\.

AN AL i Z I S

T6tel Ha/(x) folytonos[a; 6] intervallumo!, ak]or az intervallummindenpontjaba F(r) differcncialhar6,6s ai

\

t;

/

r1 n=l If r 1ar| =f v t .

A NALI 2I 5

r) I f { . r)d r= o : tl) Hal6s g integr6lhat6[a; D]-rl,akkor/ + g is integdlhat6, es ,b

t ^. . , (r' a

. ; 8r,r,or= J"/{rrdr t J8(.r)d-t

Tehdt/integrdlfiiggv6nyeF(r) elyben e8tl pi:r.itiv fiiggv6ny€isy'nek.

JJ

Newton-L€lbniz-t6tel Haf intega,lhat' lo;,l intervallumban6s F azy'nek egy p mitiv fiiggvc ^z nye, akkor

c) Halintegnihat6[a; ,] €s[b; c] intervallumon, akkoridtegnilhat6 az[a; c]-n is,6s

( = ] f x\dx F(b\- F\a).

= (rr(rt+ J {.r)dr. JJ {r)4{ J,r J o P6ld6k

AzF(D)-r(a) hilonbs eget az lF(x)l:atakbanis szokisimi.

E)

o P6rd{k

{| ----i-.r

,r L' a-. = l { l = r ' - o'=l i

L 3 .Jo 3 3 I

..

f = [-cosrlo =-cos,I + cos0= l+ l= 2; b) J sln,ro.r

c)

J sin.rdr=[-cosr]- =-cos2r.+cos,'=-l - I=-2.

l J4-.'

""

Megold6s q r --Jl l-+dr=l-J4-r' i V 4 -r' b)

| =-r+z=r.

Ldthat6,hogy giirbe feletti tedilet, tehiit negarv.

J srnr'cos- x(tx

IDtegrildsitulajdotrstigok a) Haf inte$6hat6la; bl-n, al*or c/is integr6lhat6,6s

Megoldds ., . cos'z costo 2 | .or'rl" I s |n I ' c o 5 x o r= |_ -|= _ - + - = _ .

=cl Jcf(x)d,t f (xrdx: o)

= J"rr.rro{ -J / {.r)dr:

i

L

3 .1 "

3

I

l

c) Mekkoratediletet hat6rolaz x tengelyes azy =/(x) gitrbe,ha f(x)= x' + 4x .

ANAL iZI S

G EO M ETR IAI

Megoldis El6sziir keressiikmeg a fiiggv6nyzemshelyeit,hogy integrAl6siintervallu, ^z mot megkapjuk.A z6rushelyek Mivel a grirbeaz adottintervallumon az, tengelyalattvan,a giirbefelettito riilet:

e.,,t li., - - l d.,,,1" u , -**l=ll j-ll-lo-i ll3--/ llr

32 3

d) Szimitsa ki a k6t parabola6ltal kiizrefogonteriiletet! = -ir'?+I lt -10: -f(r) g ( x \ = - 2x'+2 2 x- 2 8 . Megold:is Haterozzukmeg a k6t parabolametsz6spontjait: -rz + \ 1x - l0 = -2 x2+ 22x- 28, r' ? - l l r +18 =0 ,

K

4, GEOMETRIA 4.1.GEOMETRIAI ALAPOK

Alaplogalmak:pont,egyenes, sik,illeszked6s. Mivel ezekalapfogalnak, nemdefini6ljuk6ket,hanema szeml6letilnkben k! llakultjelendsiike hagyatkozunk. Az ill€szked6shez azonbanegykis magyarrzatot fliziint. Ha egy pont rajta van egv egyenesen, aklor azt rigy mondjuk, hogyapontilleszkedikazegyenesre. Misrk6nt:az egyenes illeszkedika pontra. Jcleik Pontokjelei a nyomtatottnagybetfik, peld6ul:l;B; ... jeleia kisben;l'. l:-gyeneqel peldiul:e: /: gr ... Sikokjeleigcirc;g kisbetfik,p€ldeul:a; p; ..., vagyS j Illeszked6sele:€ , p6ldedP e e, P pontilleszkedikaz e egyenesre. A pontot,az egyenest 6sa sikott€relcmcknek nevezziik. A t6relemeket a rejuk pontokhalnazak€nt illeszkedd fogjuk fel. F6legyencs: eS/ eg/cnestegy ri illeszkedSpont k6t lelegyenesrc oszt.Ez a pontmindketl6legyenes kezd6pontja.

l ' = 8 v' =8 . A metszespontok az i! tengelyfdli;ftvannak,igy a gdrbefelettiteriiletetnell) kell szamitani. Egy6bkenterdemes lennekonstans hozz6adiis6val a grafrkon(, kat megemelni. A g fiiggv€nyg90"

I'

C[ +L

-t+ \a) d Tehetegy

d f+ byz+ cry+ dx+ et'+J:O alalai k6tismerctlenesmesodfokir egyenlet akkor 6s csakis akkor lesz egyenlete, ha a=b + 0 6 s c- 0 6 sd +e z>4afesakkor

k

u= -;r= - t ;

I

. . ,-k + t,- +m 4

o P6ldnk a) Adjuk meg annaka kdmek az egyenletet,melynekktjz6ppontja es '(-3; 5) sugara /:7! Megoldds A keresett kdr egyenlete:

(r| :+3f+(y -s f=4e.

€dnt6 kiirdk egyenlet€tc) Adjuk meg a i, = 4 sugaru,a koordinetarcngelyeket Megoldis A kdr akkor fog egy tengel).t6rinteni,ha kiiz6ppontj6nakt6vols6gaa tengelyt6l €ppena sugrir.igy a kiiz6ppontkoordin6t6i egyenl6eka sug6ral vagy annak ellentettjei,att6l fiigg6en,hogy melyik negyedbenvagyunk. L negyedben (x r)' 1 + 6 , )' z : f , a z a z ( x q ' 1 + O - q ' = r c . IL negyedben (x + r)'1+ (y - lz = l, azL (x + 4)'.+ 0 - 4)')= 16. IIl. negyedben (r + r)z + O + iz : I, azaz(x + 4)2+ (J + 4)z: 16. IV negyedben (x - r)' + 0 + i7 : I, Maz (x - 4)'1+ 0 + 4)z= 16.

K c | OR D IN ATA- G

KOO RO I NATA. G EO M ETRI A

Ec|M EIR IA

(jr- ll (2r'l)'2-25 Ezt pediga szokisosm6donmegoldjuk. 5 r ' ? + l 0 r - 1 5= 0 r'1+2r-3=O (i +3Xt-l) =0 A megold.isoktehet Y :_1

;."r

:t

EzekJrczo:'egbat|roz.raazy-t: Y t : - 5 e s a zi z = 3 ' teh6ta ( 3; 5) 6saz (1; 3) pontok A metszespontok Kdr 6segyenes metszete A k6t gdrbemetsz6spontjai azoka pontok,melyekmindkett6rcilleszkednek, azazmelyek koordin6tii mindkett6egyenlet6tigazzercszik.A metszespontok koordineteittehetigy kapjuk meg,hogy a kiir 6s az egyenesegyenletealkotta egyenlehendszert megoldjuk. Egyenes6s kdr kdlcs6niishelyzetehitomf6lelehet.Lehet,hogynincskdzds pontjuk,vagyaz egyenes erintia kdrt,vagyaz egyenes metszia kdrt.Ez alap j6n az egyenletendszemek vagynincsmegoldisa,vagyegyszAmpiir, vagyktl sz6mpAr megoldasa van. o P6lddk Hat6rozzukmeg a kiivetkez6egyenesek6skdrdk metsz6spontjait! a) A kiir egyenlete k: (x - 1\' + b, + 2\' :25. AZ egyenese e ' . 2 x Y - I. Megold{s (x -r)')+(Y +2)' =25 2x- Y =-1 Kezenfekv6, hogy az egyenesegyenlet€b6l fejezzik ki az egyikismeretient. y{, mondjuk €shelyettesitsiit be a kdr egyenletebe. Tehatt: } + I 6sigy

b) A kijr egyenlete k: (x+ Dz+ (Jr }'z:25. AZ egyenese e:3x 4!:10. Megoldds (x + l)' + O -2 \ z = 2 5 3-r+ 4)' = -20 --t ) = /i

t r + t r 2+ l - : r

34

\z

7l=25 J

xz+ 2x+I+ Lt" + 4x+49=25 162

fs, 16

r . z s - o \ '1 6 - 4, 25 2 . r' z + 8r + 1 6 = 0 (t + 4 ) z= 0

Ha valakinemveszi6sae,hogy teljesn6gyzetr6lvan sz6,annaka diszkdmin6nsvizsg6latakorkideriil, hogy az 0 6s igy egy megold,savan

KOO RDI NATA. G EO M ETRTA

Az egyenletmegoldAsaaz

K O O R D I N AYA.GEC JM ETR IA

Megoldds A kiir egyenletealapjena ktjzeppoDta -K(-2; 3) pont. Az egyik norm6lvektor

A.hozz6t^r1oz6y 6rt6ke r=-)

Teh6tegy kiizds pont van a (4:

]3hetn,=Kp=i-8,

azazi"(6',-8').

2), az egyenes6rint6je a kiimek.

c) A kiir egyenlete =9. kt (x l)'z+(y + 3)'1 Az egyenese e: t x - 5 . Megold{s ( r - l )r +(}'+3)'z=9 ]-I =5+ )=r+5 (i - t)'z+(r +8), =9 zxz+t4x+56 =O :tz+i x +28=O Ennekaz egyenletnek a diszkrimin6nsa, D = '72_ 4. 28 - 49 _ 112= 63 . Tehdtnegativ,ami aztjelenti,hogy nincsval6smegoldesa. Az egyenesnek 6s a kdmektehetnincskdziispontja. Kiirhiiz egypontj{ban hfzott 6rint6 Adott egykdr 6s egy flontja.Meg kell adni az ezenpontonethalad66dnt6t.Azl a fontost6te1t lehetfelhasznalni, hogy6int6sipontbahtzon sugrrmedlegesaZ erint6re.Ez a mer6legessugfuiriinyitva az 6rint6 egy normdlvekton.Egy nor malvektor6segy pont ismeret6benpedig az 6rint6 egyenletekiinnyen felirhal6 O P6lda A kilr egyenlete(.I + 2)' + (:r, 3)' : 100, esa pontjalegyenP(4; 5)

Ehelyettv6laszthatjukegy skalenzorosAtis, p6ldiul n', (3; - 4) vekort lgy az 6rint6 egyenlet€ e.3x 4Y=32 K6t k6r kiilcsiirds helyzete Ket kitr k6tcsdniish€lyzet6ta kiirdk kdz6ppontjainaktdvols6giivales a sugarakkal lehet gyorsanmeghat6roai. Ha d(K; K) > \ + \, a!*.or a ket k6mek nincs kdziis pontja €s egyik sincsa mesikbelsej6ben. Ha Il(Ki 4) = rt + rz' aklor a k€t k& erinti egym6st6s egyik sincs a m6sik belsej6ben. Ha I r, - ,) < d(Ki K) < \ + rz, akkora ket kiimek k6t kiiziis pontja van' ua l1 r, L = d(K; K), akkor a k6t kiir 6rinti egvmast6s az egyik a masik van. belsej6ben na lr, - r. | > d(K,; Kr), aklor a kdt kaimeknincskdzdspontja€s az egyika van. mesikbelsej6ben O P6lda = Milyen az.l + f + 6r - 4y 23 :0 EsazI + 1? 2.I- 101+ 25 0 egyenletii kijriik kiilcsiinijs helyzete? Megoldrs Az egyenleteketa megfelel6alaka hozvameghatArozzuka kijzeppontjukat€s sugarul€t.

K O c|R D I N ATA.6

(x +3\, +(j -2)x -g -4-23 =O , (r+3)r +()-2)'1=36. Tehiit az els6 kiir kdzeppontjar(r(-3; 2), sugarar"1= 6. (r- 1)'z + () -5)'?-l -2s +25 =0 , (i-l)']+()-5)'?=1. Tehit a miisodikkdr kdzeppontja (r(l; 5), sugara,",= t. Hat6rczzukmeg a kiiz€ppontoktavolsaget: d ( K.: K.t -,lt-3-ttr +(2 5)'7= !t6'q -5 . Lethat6,hogy rt- \= d(Ki K). Teh6ta masodikkdr az els6tbeliilr6l6 nri. K6t kiir m€tsz6spontjai Ket kiir metsz6sponta illeszkedikmindk€tkdrre,azazkoordin6tiikieldgirik mindket kijr e$/enletet. TehdtmeghatAroz6sAhoz a k6t ktt egyenletealtotla egyenlehendszert kell megoldad. O P6lda llattuozza,J'negaz (x + 5), + 0 D, : 25 es az (x 4)2+ Ly+ 2)z= 25 egyen letii ktirdk mersz6sponrjait ! Megold:is Alakitsuk6t az egyenleteket 6svonjukki egymesb6l 6ket:

x?+ l'+ l0.r- zy + I =O l, -r']+ y'z-8r + 4y-5 = OJ-' l8.I-6)+6=0, 3r-;Y =-1 igy egy egyenes egyenlet6t kaptuk,mel'.reilleszkednek a metsz6spontok. Ilrr egy metsz6spontvan, akkor a kdziis 6rint6 egyenleteez. Tekintsiikezenegyenesegyenlet6t6s az egyik kdr egyenlet6ttj rcndszemek

EOM EfR IA

y-t kifejezvebehelyettesithetiink Az egyenes egyenletdb6l a kdr egyenletebe: .r':+ (3.'+ 1)z+ 10r-2(3r +1)+l =0, lOr'?+l0x=0, -I(.r+ 1)=0. :0 = Ennekgydkeixl esirz -1. Ametszespontok: P(0; l) 6sg( l; 2). Kairhozkiilsd pontb6l hrizott6rint6 Kdrhiiz egy kiils6 pontb6l hizott €rint6it titbb m6dszenelis meghatiirozhatjuk. a) M€glat6rozzuk a kiils6 pont 6s a kajr ktjz6ppontja6ltal meghatirozottThal6sz-kdrt,melya kdrb6lkimetsziaz erint€sipontokat. Az Aint6sipontokkales az adott ponttal mer felifiat6ak az 6rint6k. b) Az adottpont6s a kiiz6ppontt6volsagiival, illetvea kdr sugadvala Pitagorasz{€tel segitseg6velmeghat6rozzukaz adottpont 6s az 6rint6siponlok t6volseg6t.igy m6r megtrat6rozhat6ak az 6int6si pontok, ezaltalaz 6 nt6kponton c) Feliiuk M adott ithalad6egyenesek parameteresen, egyenletet majd a parameterekefi6keit meghat6rozzukrigy, hogy az egyenes6rintsea k6rt. E P6lda Adjamega P(9; 3) pontb6la k: (-r-3)'?+0,+l)?:4egyenlettkijfidzhuzhat6 6rint6k egyenlet6t! Megoldds A c) m6dszerrel dolgozunk.A kdr kiizeppontja tr(3; -l) es sugara/ : 2. Lat(a ponti koodinitija nem 5 6s hat6,hogy egyikerint6semleszfiigg6leges nem 1),igy egyenletet felirhaUuk &\r y= c alakban. Mivel P pontilleszkedikfi\9a - 3 = c, azazaz egyenlet 4x+ y:9a - 3 alaku.

KO c |RO I NAI A- G EO

K Oc'R D IN ATA.GEOM ETR IA

M EARI A

Alkor lesz ez az egyenesa kdr €gyenlete,ha a kitz6pponh6lmert t6vols6ga egyenl6a sugerral:

la 3-I ea+31^

-------_:-=2.

.l a" +I

2 6 . 1 = 2 \ 1 7.l :

Ezzelaz 6llit6stbeleftuk.

Emeljiink n6gyzetre: 1-24a+36a2=4(a7+1), 32(i7-24a =O 8a(44-3\ =O Haa= 0, akkoraz6rint6eS/enletey- 3. (Eztegyponiosiibnir6lle lehetolvasni_) 3 i rs Ha d=:, akkoraz6rint6egyenlete Maz3r+4y=15. fj+1=::, -' 4 4 4' 4.9,4,Parabola€gyenlete

Ekkor a parabolacstcspontjavagy m6sk6nttengel)pontja(a parabola6s a metsz6spontja)az odg6, I(0; 0). A fiiggv6nytranszforszimmetriatengely6nek m6ci6k ismeretebenkapjuk a k6veikez6ket A.p patum'ter3, T(u; v) tengelyportu, - az .1,tengellyel p6rhuzamosteng€lyii, felf€16 nyitott parabola egyenlete (x u)z= 2p(y v). -az ./ tengellyel piirhuzamos tengelyii, lefel6 nyitott pambola egyenlete (x -u)2 = -2pO -r). az r tengellyel p6rhuzamostengelyfi, jobbn nyitott pambola egyenlete

0-r)z=zp?-u).

Aparabolaegyegyenest6l (vez6regyenes) 6segyrAnemilleszked6 pontt6l(f6kuszpont)egyenl6t6vols6gra1ev6pontokhalnaza a sikban,ahol a f6l:uszponl 6s a vez6regyenes livols6gap (param6ter). Arlit6s Haa fokuszponr Fl 0; 4 L a uez6reerenes u ' )o- __ egyenlele ' I i I parabolaegyenlete

D a Uo t u t

f :zpt. Bizonyitris Asik egytetsz6leSes P(i; l, pontjaakkor6scsaksakkorilleszkedikaparabol6m,ha

de:n=d@;t).

az r tengellyeiparhuzamostengelyt, balra nyitott parabolaegyenlete 0 v)z:2p(x u). g P6ldnk parabolaegyenletet! a)Adja megazF(4; 1) f6kuszLi, -r : 2 vez&egyenesii Megold{s L6drat6,hogya f6kuszpont t6vols'g 6,Mazp:6.Azlsl6I6sa vezeregyenes tenhat6,hogya tengelypont f(l; l), a pambolaazjr tengellyelp6rhuzamos jobbra gelyii 6s nyitott, Maz egyenlete LY-v)'1:2P(x ) alakt. A pambolaegyenlete teh6t (y + lf = 12(i

l).

KO O RDI NATA. G i EO M ETRI A

A paraboladefinici6j6valis dolgozhatunk:

K O E,R O I N ATA.C EO

A k6t egyenletetelosztvakapjuk, hogy | -,, -- r+t'

d(Pt F) =d(Pt v),

(i - 4)'z+() + 1)'z = lr + 21, (x- 4\'z+ ( y + l)z= (t +2)2, (y +1)z=l2r-12. b) irja fel annaka parabolAnak az egyenlet6t, melyilleszkedika (5; -l), (l; 1) 6s( 1;2) pontoka6stengelyep6rhuzamos azy tengellyel! Megold{s Mivel a parabolatengelyeprirhuzamosazy tengellyel,egyenlet6taz (x u),=2p(y-\, alakbankercssiik. Mivel hiirompontjaadott,azokkoordinetaikiel€gitikaz egyenletet. igy kap juk a kiivetkez6 egyenlehendszert:

(5-ur'=2p( | r),

M ETR IA

kapjuk,hogyp - 2. Enneksegitsegevel A kercsettparabolaegyenlete (x 3)'1-4(y+2). c) Hatiirozzameg,hogy azy = (x 3)2 2 egyenletf parabolamely pontjavan 2. Iegktjzelebb a7 ) =- r-6

egyenled egleneshez:

Megoldis 2 .,,. ._ parhuzamos, - mereoeKsegu errnMeg kell hateroznia parabolaegyenessel pont. t6j6t.Az erintesiponta keresett Az 6dnt6 egyenlete

(I-u)'1=2p(-l-v\,

y = -2r + r '3

( I-u'1'z=2p12,7 alahl. Az els6k6t egyenletalapjdr (5-u)'z=(l-u:)'1,

Aktor erinti a parabol6t,ha a k6t egyenletalkottaegy€nletrendszemek megoldisavan.Tehit a 2 ^ , - 2^ 3 egyenletnek egymegoldasa van.Alakitsukaz egyenletet 3 x ' z 2 0 x + 2 1 -3 c = 0 . Aktor van egy megolddsa,ha diszkriminrinsa0, azaz - ) , 1t =l) ( - J,

igy kapjuk,hogy 4=2p(-t-v\, t6 =2 p(2 - v)

_2= p(v+r,, -8 = p(v_ 2)

20'12(21-3c)=0, .=-".

9

K o o R o t N i t_ a -6 Eo M

ET R l a

3 " ,- 2 6 ' 1 l ! 9 = e ,

3 (3 r-1 0 )2 =0 , 10. ,= 3 Behelyettesitve ezeket az6dnt6eg/enlet6be kapjuk,hogy t'7 9 / tn l? \ A parabolaI -::-: ponljdleszlegtdrelebbaz eglene)hez. koordin;Leju 91 \J

Emeltszinten:az 6rint6meredeks6ge no-banmegegyezik/(.r0), ez6rtaz 6rintai pont fo koordinetiija:

.. /Io 17\ A keresctt Dont:| : 9 ) t3

1'7 s.

STATISZTIKA

s.LEiROsrArrszrlK4 fg vAl-osziNiisfc-

Ezt beirva a m6sodfokt egyenletbe

2 l0 _ -=rn^ o - o = r o=t + to=

L EIR O

SZAMITAS

5.1.LEiRO STATISZTIKA 5,1.1.Fogalmak A statisztikanagymennyis6gfitargy vagy egy embercsoportj ellemzesetvegzi elemz6s6vel. a r6luk szerzett, eltaleban szamszedadatokfeldolgozris6val, Egyedek:a vizsgeltcsoporttagiai,elemei. Statisztik4isokas6g:a vizsg6ltcsoport. az egyedeksz6ma. Statisztikaisokasdgm6rete:a sokasegban szerzeltinformici6. Adal: a soLas;gegyedei16l szemszerii Mutat6: a vizsgdltegyedekbizonyoskdr6tdsszess6gebenjellemz6 l6te bizonyossz6mitdsok utj6n. infomdci6,melyekadatokb6ljdnnek melyeketa sokas6g egyedeinvizsg6lurk. Ism6n: azoka hrlajdonsagok, Ism6rvfaj t6k: - teriileti, id6beli, - min6s6gi, - mennyisegi. t6rbeli(fdl&ajzi) vagyid6belielA tefiileti6sazid6beliism6rvekaz egys6gek vona&oz6informeci6k. A min6s6giism6rvekleztartoz6infbrhelyezked6sere jellemzik, P6ldeula nev, leirjdkaz egyedekhrlajdonsagait. rn"ici6kverbiilisan a foglalkozds.A mennyis6gi ism6flek sz6mlalesvagy m6r6s utj6n kapott 6rt6kekkeljellemzik az €gyedeket. O P6lda Konk6t Adat Ism6rvfajta Sokasfg Ism6rv egys6g teriileti tak6h€ly Szeged A magyar 1955 id6beli iziil. ev nepesseg Troppauer +9dv mennyrsegl Hiim6r 2004.jan. min6s6gi loglalkozdsbir6 I -J6n mlnosegl 1em ferfi

LEI Rc | STATI SZTI KA

Diszkr6t ism6rvektrek nevezziikazokata mennyis6giism6rveket,melyekhez tartoz6adatokcsakvegessok vagy felsorolhat66rt6kek€tvehetnekfel. Ilyenekp6ldeula szrmlilissalkapottadatok. ism6rvek,mely€kheztartoz6adatok Folytonosism6Nek azoka meDnyisegi Ilyenp6ldrula tevokAgvagya viz t6mege. btumilyen6rteketfelvehetnek. Egy adatgyakoris6gamegmutata,hogyegykonkr6tadathinyszorfodul el6 az dsszes adatokkdzdtt.Jelear t: l; ...;tr,ahol* azegymist6lkiiltjnbdz6adaHt+ Hz+...+ H t=LH tok szama.

azdsszes adatokszema.

-n, eloszlis a lehetsegesadatokat€s . A gyakorisAgitablazatvagy gyakorisegi hozzAjuktartoz6gyakods6gokattartalmazza. O P€lda a kdvetkez6mennyrA fedettprly6s palacsintaev6versenykeriileti dajnt6j6ben s6gekfogytak: t5,16, t't, t9,19,17,18,t7 ,2r,22, 1'7 , 19,21,19,16,15,16,20,20,r7,22, 1 ' 7 , 2 3 , 1 8,2r . A gyakorisigi t{blizat Palacsinta l5

2

l6 t7 18 1 9 20 2I 22 23 2 4 2 3 2 3

LEiR6 srarrsz.rtKA

val6 ibi{zol6set hisztogrrmnak is nevezzirk. A gyakorisagokoszlopdiagrammal Ha nagymennyis6gi 6ssokfeleadatvan, aklor 6ttekinthet6bb,ha a lehetseges adatokategym6st6lidegenr6szekre,tgynevezett osztdlyokra osztjuk Mivel az osztelyoknakidegeneknekkell lenniiik, egy oszt6ly fe1s6hattuenak kisebbrck kell le ie, mint a kijvetkezdoszlely als6hat6ra.Hogy mindenadat egy6rtelmiienosztalyozhat6legyen, az osrelykdziik hattuainakolyar pontosaknakkell lenniiik, mint az adatoknak.Az ilyen hatarokatkiizajlt hrt6roknak nevezz0k. Ha az adataint kerekitett 6rt6kek,el6fordulhat,hogy a val6di adatok osz^z telykiiziik hateraikiiziitti ,,r6sbe"esnek.Ezenirgy lehet segiteni,hogy az intervallumokat h6zagmentesenadjuk me8. Ezek l6nyegebenbalr6l zArt intervallumok, tehet als6hat6r6valegyenl6adathozzetafiozik, a fels6 hatar6val ^z egyenl6mfu nem. Az oszt{lykiiziis gyakorisdgi eloszlis az oszt6lyokonalapul6gyakoris6gielaz adatokatosztiilyokba osz16s. Az egymeshozkdzeli €rt6kekdsszevones6val rendezziik. P61d6ulaz el6z6 versenyadataitrcndszerezziikosrrlyokba. Az osztalyktizds gyakoris6gi eloszlasa k6vetkez6lesz: Osztaly

t5 l 7 l8-20 21 23

8

6

Az osztilykdzds gyakoris6gieloszl6sval6di hat6rokkala kijvetkez6leszOszt6ly t4,5-l'7,5 17,5-20,5

20,523,5

8 6

6s az 6sszesadatok Relativ gyakoris6g:egy konkr6ladatgyakorisig6nak szem6lrakar6nya.

LEI RO

STATI SZI I

KA

Hr

i, = j ' . a h o l

l- l :...:ie s 4 | ...1h, -f

h=l

Ez megmutatja,hogy eg1,nd"t .re.u hunyuLOszeaz dsszesadatokszimenak, amit szezalekban is szok6smegadniPalacsinta

15 I6

2 3

0,08(8 %) 0,t2(t2 %)

t]

6 2 4 2 l 2

0,24 (24 o/.) 0,08(8 %)

18 l9

20 2l 22

23 Osszesen

0 ,t6(t6 % ) 0,08(8 %) 0 ,t2(1 2% ) 0,08 (8 %)

L EI R O

5 TA'TISZTIKA

5.1.3.Adatok {br{zohsa kve. Az adatokgfafikusmegjelenit6s6re tijbb 1ehet6s6g van, a diagramtipus laszt6s6t a feladathatarozza meg. Oszlopdiagram Akkor 6rdemes hasznihi, ha gyakoris6gokat vagyvalamilyenmemyis6geket palacsintaev6 versenygyakoisigi tlibhzaakarunkdsszehasonlitani. LAsd:a tat. Nemerdemes hasznehi,ha az adatokkiiziittvankiug6 6rt6k,vagyhaazdn6kek kiiziitti eltereskicsi. 1000 800 600

0.04(4 o/.)

400

1 0 0 0 %)

200 0

5.1.2.Mintav6tel jellemz€s6hez A statisztikaimunkaegyik fontosl6p6sea sokasdg sziiksdgcs adatokbegy{jt6se.Az adatszerz6s eszkiizeitmintav6telielj6r6soknaknevezzilt Az alapjin,hogya mintavetela sokasigmekton reszereterjedki a mintalt tel lehet teljesvagy - reszleges, jellemzesea c€l irl Amikor r6szleges mintaveteleset6na sokasegegesz€nek egy r6sz6rckiteded6adatfelv6tel alapjAn,aktor reprezentativ megfigyel6s'i'l beszeliink. A sokas6gkivdlasztoftr6szetmintrnak nevezziik. A mintaelemek kivelasztesa alapelv6t tekintvelehet - v6letlenvagy nemv61etlen. V6letlenkivrlasztis eseteDa sokas6grnindenegyesegys€g€re n6zveel,,r megadhat6 az adottelemmintebakeriiles6nek val6szinfis6ge.

15 t6

11 lrJ l 9

2

l4

l

20 2T 22

17 20 15 t001

jelijf az egyesadatfajt6knak megfelel6intewallumokat A vizszintes tengelyen jiik ki, ezek fti16olyan t€glalapokatszerkesztiink,melyek teriilete arrnyosaz adatfajtagyakodseg6val. Ha nz oszlopokh6zagn6lkiil helyezkednekel, akkor hisztogranr6l beszelimk Peldiul ha a palacsintaev6 ve$enybebenevezett volnaa 3. parittyiseatdis parancssz6ra mindenkinekugyanannyitkellett volna ennie,akkor az ezledteljesitm6ny6n infom6ci6tnyemi a fogyasztdsokkiviil nemlehetneerdemleges Iol az oszlopdiagram segitsegevel. Vonaldiagram ha egy mennyis6g id6beliveltozeset akatukszemAkkor szoktukhasznelni, gyakorisigi poligonnaknevezziiL l6ltetni.A gyakorisigokvonaldiagramjlit

LEI RO

LEiR6 srATrszrr KA

STA' I I SZI I KA

5.1.4.Statisztikaimutat6k

>--*--l---5-

-..--

Pdldiul ribnizoljukGlizser Bozs6palacsintaev6 treningjeinekteljesitmenyal napibonusban.L6that6,hogya gyorsteljesitmenyniiveles milyentdGstokozott a felk6sziil6sifolyamatban. Folytonosism6rvekesetena gyakoris6gipoligon folytonos gdrb6bemegy tll (nem tiiftjtt vonal), melyet gyakorisigi giirb6nek neveziink. K6rdiagram Kitrdiagramnel 6brizoland6 adatok gyakorisagaa kiircikkek kiiz6pponll ^zAltaleban szdgevelar6nyos. a sokas6gszerkezetetszedeltetjiik igy. 418%

D 14%

4 430/a

P6ld6ulaz egyikve$enyenm€gk6rdeztek a r6sztvev6ket, milyentijltel€ketliil na szivesen a palacsinlajiban. A v6laszokeloszlesat mutatjaa kiirdiagram.

A tortadiagramon a sziigekar6nyamegv6ltozik, torzul.Hi6baletvanyosabb. dr nemlehetj6l leolvasniaz adatokarenyet.

Helyzetikiiz6p6rt6kek: M6dusz Az adalhalmazbanlegragyobbgyakoris6ggale16fordul6adatdiszk6t ism6rv g6rbema-rimumhelye. Jele:M". eset6n. Folytonosismervn6la gyakoris6gi Nem mindig l6tezik.Ha a gyakorisigokkcizijtta legnagyobbcsakegyszerfordul e16,akkor egym6duszu, ha riibbszdris el6fordul,akkortijbbm6duszueloszhsr6l besz6liink.Nem fligg kiizvetleniil sem az dsszesadatt6l, sem a sz6ls6s6ges p6ldaeset6na m6dusza I 7. ert6kekt6l.A palacsintds Medi{n A nagysegszerintrendezettadatokk6zdii a k6z6ps6,p6ratlansok adateset6n. Ha nincs k6zeps6adat,p6rossok adateset6n,akkor a k6t kiiz6ps6adatetlagat nevezziikmedi6nnak. Jele:M. van,mint neh nagyobb.Nem fiigg kdzvetleni.il N6la kisebb6rt€kugyanannyi A p6ld6bana medi6n18. semaz dsszesadatt6l,sema sz6ls6seges ertek€kt61. itlag vagy szimtani 6tlag Sz6mit6s6elosztjuka darabszemuklalUgy kapjuk,hogyaz adatokijsszeg6t szerepelnek, akkor n6l mindenadatotfelhaszn6lunk. Ha egyesadatoktdbbsz6r (isszegben gyakoa tz szoroznikell 6ket a gyakorisagukkal es az dsszeget ris6gokiisszegevel kell osztani.Ezt sl'tlyozoltsz6mtanikdz6pneknevezziik, hisz az egyesadatoka gyakoisigukrak megfelel6srillyal szerepelnekaz dsznagy6rt6keke, szegben. A sz6mtanikdz6pnagyon6rz6kenya szels6s6gesen eset6n. f6legkisebbadathalmaz p6ldriban Az 1. srilyozott,tlagotkell hasmdlni: 2.15+316+6 l'7+2.18+4 19+2 20+3 2l 2+3 +6+2+ 4+2+3+ 2+ 1 2 22+l 23 462 -^ .^

LEI RO

STATI EiZTI KA

O P6lda Peldaaz itlagok viszonyita Aladdinazontiin6dik,hogybelepjen-ea 40 rabl6kijz6. Ismeda havi zs6k 5 aranyat,a 16 A 19 alrabl6-helyettes miinyokb6laz egy f6re es6r6szeket. 800aranyatzsekmanyol alrabl67 aranyat,a4 f6rab16l0 amnyat,a rabl6vez6r havonta. Aladdinkjszemitjaaz6tlagot,ami 26,175aranyhavonta.Ez igensztll surnma,a gondcsakannyi,hogy ennyitigazrb6lsenkisemzsrkminyol.llir AladdinerreszAmitana, akkorcsal6dniakellene.A medien7 arany,a m6dus/ pedig5 arany.Val6szindleg legnagyobb val6sziniis€g ezenut6bbiraszamithat jobban gel, ezjellemzi a rabl6bandiban a keresetilehet6s6geket. Mds p6lda: 6ste iszol2 dl bort,6npedig2 dl szn Ha mi kettenbemegyiinka kocsmeba, kisfriiccstit. dit, akkordtlagbanitturk 1-l Tiibb adathalmazegyesit6se szilmlrrrl Az egyesitettadathalrnaz sz6mtanik6zepeaz egyesadathalmazok kijzepeib6lkisz6mlthat6. melyekm6retclegyenrendrenr, ...,nt, aholcz.l' Legyen& darabadathalmaz, rendrel',. .... {. r. esezenddalbalna/ok dtlagailegyenek dssrege Eklor az egyesitett adathalmaz 6tlaga v--= L

n,V ,l... - n,V , \+ ...+

nk

Az ilyen tipususz6mtani kiizepetsflyozott dtlagnakis nevezziik. 52616disimutat6k a sz6r6d6si mutat6k.E7 l,f Az adatokv6ltoz6konyseg6t, sz6r6d6s6tjellemzik vagyaz adatokegy kitilnl(rLrr teniet az adatokegymeskiizdttikiilijnbs6gein, keresztiil. ert6kt6lval6 elter6sein

L EIR O

=i TATI=i ZTIKA

Terjedelem Annakaz intervallumnak a teljeshossza,amelybenaz adatokelhelyezkednek. Jele:R (az angolrangesz6b6l) adary*. a legkisebbf",,. igy legyen a legnagyobb R- Y*, | ^,, Ez a legsz€ls6s6gesebb adatok6lnigg,igy nemfelt6deniiljellemzij6l a vizsgtltjelens6get, mivel ezenszels66rtekeket a v6letlenszesz€lyei alakitbatjlrkAz L peld6ban R=23 =8 A 2. peld6ban R:800-5:795. Athgos (abszohit)elt6r6s Ez az adatokszdmtani6tlagukt6ival6 elt6r6sein keresztiiljellemzia sz6resl Jele:6 (delta) pedigrendre{; Y2;...; y,. Az 6t1.aLegyena sz6mtani etlagjele1, azadataink goselt6r6s

t1...' l t, tJ -r1,l t," l r, abszohlit&t6keineksz6mtani Teh6taz adatokszamtanik6zep6t6lval6 e1t6r6sek 6tlaga,azazazt mutatja meg, hogy az adatoketlagosarmenrlyirc t6mek el az 6tlagukt6l.Az6rt kell az abszolirt6ft6ket venni, mel1 egy6bk6ntaz elteresek dsszeg€ 0. Az l. p6ld.{ban az ethgoselteres

LEI RO

"

L E I R O STATI SZTI KA

9TATI SZTI KA

2 ' 1 5 - l 8 .a 8l lJl o 1 8 .4 8 ',6 t7 r 8.481

s-ts,qt]+q ltq rs.+sl+zPo-rs,qsl r.zlt 25

3l2r- r s . a 82l +1 2- 21 8 . 4+8P13- 18 .4I s 25

_

"=\, ^ Ez a sz6_ hanemannaknegyzetea fontosjellemzd. Sokesetben nema sz6res, rrsn6gyzet,masnevenvariancia. Az l. p6ldibana sz6r6s

= l'94

l5 (r5 -l 8 / 8 / + l l 6 - | s 3 8 ) :

2(18-18,48)?+4(19- 18,48)'?+2(20 -18,48)'z

r s5- 2 br.T s lt+6f /- 2 0r.7 sI 40

-26,17s . 411o26,17s1+Foo I 40 = 38,69 Pe6ze nem csaka szemtani6tlagt6lval6 elt6r6stlehet meghatarczni. Egy adott a szdmt6l va16,tlagos abszolit elteres az adatok a szilmt6l elt6r6sei abszoltt6(dkeinek a sz6mtani kdzepe.

t

I b r t T - 1 8 . 4r8]

25

"=!

A 2. p6ldebanaz itlagos elt6r6s

"

r | .r v,- l t' + ...+ r r , ft' lv, ------

- al - al+...+lr. _)v,- al+lv" n

Ez akkor lesz a legkisebb,ha az a sz6m6ppena medii:r (a = Me\ Szdr{s Az el6z6hdzhasonl6mutat6,csakaz elt6r6seknek nem abszolit6n6k6tkell ven ^z amitmajda negyzetgytjkvones ni, hanema n6gyzet6t, ,,teszj6v6".Jele:o (sziglnfl) jeliil6sekethasznAlva: Az e1626

+2(22-18,43)'l+(23 -18,18)'? 3(21-18,48)'1 25 A2. p6ldebana sz6res i l a ( 5- 2 6 , 1 7 5 )+/ I o ( 7 2 0 . 1 7 5 ) ' 40 \l +(800-26,1?5)' 4(10- 26,175)'z 40 =123,92 Kicsit szerencs6tlen, hogy egy gyiikvonistt6bb sorbakelletttiimi, de rcm6lhet6legigy is itlrthat6. Relativ sz6ris Pozitiv6rtekiiismewekeset6na rclativ sz6ds: Y Ez egy m6rt6kegysegn6lkiili sz6m,melyet kiiliinbdzo alapadatokvagy ism6rhasznelnak. vek sz6r6ddsanak dsszehasoDlitas6ra

LEiR6

STATI SZTI KA

5.2.VAL6SZiN6Sf,G-SZAMiTAS

Az l. p€ldabana relativsz6r6s:

r =31 =0,122 vasY rz,zN 18,48 Az 2. p6ld6bana rclativsz6ras:

v =3*

vA.L6sziNii siG-szAMiTAs

= 4,734vasyqtz,qn

26,1,7 5

5.2.1.Alapfogalrnak A val6sziniis€g-szimitisveletlenttjmegjelensegek vizsg6htevalfoglalkozik. Kis6rlet Altalanos6rtelemben kis6rletnekneveziinkmindenolyan vizsgalatot,mely olyanjelens6gre vonatkozik,ami azonoskijriilmenyekkijzatnmegism6tl6dik, illetvemegism6telhet6. Aval6sziniis6gi kiserletnek aiapvet6en ket ism6rvevan.Amelyikkiserletteljesiti ezta k6t kivenalmat,aztval6sziniisdgi kis6rleheknevezhetjtik. 1. A val6sziniis6gi kis6rletlefoly.isa(eredm6nye) veletlenszerfi, nemme&i6solhat6. 2. A val6szinfsegi kis6rletazonoskdriilm6nyekkdzdttakarhdnyszor megism6telhet6. O P6lda Vajon aHbbikis6rletekkilziil melyektekinthet6kval6sziniisegikiserlerekrek? ^z A. Feldobunk egy 6lmet B. EldobuDkegyhatoldalidob6kocket. C. Leejtiink eg] i. e.6. s/;zadikinaivi2al. D. Hagyom6nyos g)'ufAsdobozban megsz6moljuk, mennyiszil vanberme. E. Kdrdke osztottcelt6bl6ladobunk(tavalymi nyertiika vilrgbajnoksegot). F. Kiirdke osztottc6ltAblAm dobunl (f616ravalezel6ttaztsemtudtuk,van-e ilyenj nt6k). C. Egy Fl-s versenyaut6n igazitdrestesztet vegziink. H. EgyF1-sve.senyaut6n sziimit6g6pes tdr6s-szimulaci6t v€gziink. I. Megszrimoljuk,hogy egy kockanakhar tapja van-e. J. fgy pakli k.inyibol kjbuzunkeg) Iapol. Megold{s AzA. 6s B. p6ldaval6szinfisegi kis6rletnek min6sithet6. C. Nemval6szinfis6gi probl6miik kiserlet,mivel lenn6nekaz ,,akirhrinyszor" megismetehet6s6ggel (kiveve,ha mi vagyunka kinai csAszit6ssziikcsal6di kttre).

vAL6 sziN 6 66o-szAM i.rAs

D. Ez val6sziniis6gi kiserlet. E. Ha tavaly viligbajnokok voltunk, aklor nagyonj6l tudjuk, hogyar kell igy dobni, hogy mindig oda repiiljrin a nyil, ahovaszer€tnenk.igy viszont l6t, tek az els6felt6telnek. F. Ez val6sziniis6gikiserlet. G. Meginia megism6telh€t6s6ggel vannaka probl6m6k_ H. A sz6mit6g6p,,ak6rhrinyszoi' futtathat egy progtamot, a v6letlenszenls6getpedig bizrositanileheta felt6teleknagyonpici v6ltoztat6s6val(becsa_ p6dessebessege, sziige,alkatr6szek kopAsaanyag4stb.) t. Egy kockanakmindig hat Iapja van.Ak6rhdnyszormegism6telhet6, dc nemigazenvdletlenszerii a kimenetel. J, Ez megint egy klasszik:usval6szints6gikis6rlet. Elemi esem6ny A kisErletegy tehets€ges kimenetel6telemi esem€n).nek nevezziik.p6ld6ul kockadobisn6la 4-esdobdsegy elemi esem6ny.Egy kis6rletheztartoz6 elemi esemenyekt6l a kiivetlez6ketvdduk el: - mindig egy&telmfienel lehessenddntenibarmelyik elemi esem6nyr6l,hog] bekdvetkezettvagy nem, - egyszerrek6t elemi esem6nynemkiivetkezhetbe, - valarnelyik elemi esem6nynek be keII kdvetkeznie. Esem6nlt6r Az tisszeslehets€geselemi esemenyhalmazatesem6n''t6meknevezziik.pil deul a kockadobdsn6laz halmaz. Esem6dy Az elemi €sem6nyekegy h^lfiaz|t, azazaz esem6n),t6r egy r6szhalrnazetesc menlnek nevezziik. P6ld6ula pfuossz6mdobesiinak esemenye a 2-es,4-es€s 6-osdob6sokelenrr esem6nyeib6l 6ll. Az esem6nyeket jeliilji&, p6ld6ul,4,B, C... . nagybetiivel

vA'L6 szlN Liseri-szAMiTAs

f, sem6nybekiivetkez6s€ Egy esemenyaklor kiivetkezit be,ha valamelyikhozz, tartoz6elemi esemeny val6sul meg. Egy esem€nytiibbfelek€ppenis bekdvetkezhet.P6ld6ula p6ros kdvetkezhetbe. sziim dobdsenakesemenyeharomf6lekeppen Azt esem6nyt,ami biztosanbekitvetkezikbiztos esem6nyneknevezziik,je^z le I P6ld6ulkockadobesn6l,hogy intewallumbaes6szamotdobunk. Azt az esem6n,4,ami nem kdvetkezhetbe, lehetetlen esem6tryn€knevezziik, jele 0 vagy O. P6ld6ulkockadobesn6llehetetlenesemeny,hogy tizest dobunk. 0 P6lda: Haterozzulmeg,hogyaz abbbi val6sziniis6gikis6rleteknekmilyen kimenetelei, elemiesem6nyeilehetnek,illetve milyen esemenlertanozik hozzijuk! hogylapjeraesik). K. P6nzfeldob6s: feldobunkegy6rm€t(feltetelezznk, L. Kockadobes:eldobunk egy hatoldali dob6kocket(feltetelezziik,hogy nem a sarkemesik). M. Glufaszil: hagyomenyosglufasdobozbanmegszamoljuk,menni szil van beme. N. C6lba dob6s1.: kitriikre osztotttebleradobunk(felt6telezziik,hogy a t6b-

16reltaleuuk). hogya tabO. C6lbadob6s2.: beosztrsnelknlitebl{radobunl (felt6telezziik, 16teltal6ljuk). P T6voluges: lem6rjiik az ugr6snagyseg6t(feltessziik,hogy az ugds 6ry6nyes). Megoldf s K. P€nz6rme:a kis6rlet kimenetele,hogy az €rme valamelyik lapj6m esik. A lapokatmegkiildnbiiaetjijk: egyik fej. mesikires.Allatiban erekeltekintjiik elemi esem6nlmek.(Vehetn6nkazt is, hogy memyire fordul el megflHs ut.in a fligg6legest6l.) L. Dob6kocka:a kis6(leteredmenye,hogy a kockamegiill egyik oldalin, 6s a szem-kdzti oldalelmutalja. aminegysziimtalilhat6:1,2. ....6. Altaleban ezt a szAmottekintjiik elemi esemenynek.(Tekinthetnenkazt is, hogy az asaalonhol6llt mega kocka!)

VALc |SZI N

U s | EG . SZAM

I TAS

M. G)ufaszil: egy dobozbankb. 40 szilat tal6lunk.Lehet,hogy egyesesetek, ben valamiveltiibbet vagy kevesebbet.Eredm6nynekvehetjiik a dobozban 1ev6glufiik sz6m6tvagy az 6tlagt6l val6 elt€ftsiiket is. Mi most ez ut6bbit tekintiik, az elt6ftsmondjukmaximuml0 sz6l. N. Cdlbadob6sl: a kiiritknek akkor van 6rtelne, ha az egyeskdrdkert adunk valamennyipontot. igy a dobessalpontokatszerziink,pl. 10 a kiils6, 30, 50. 70. a telitalalat 100.Ezt az 6rt6ketvessziikkimenetelnek. O. C6lba dobAs2: mivel a tibla sima, ez&t tekintsiik eredm6nFek a ta16laru eltal kijettiltponlot.Az elemiesem6nyek a c6lrrblaponrjai.(Enek p61dru1 k6ntme&jeliilhetjnk a celteblakdzeppontj6t6l val6 t6vols6got.) P T6volugr6s:6 m6ter alatti ugrassalne foglalkozzunk, 6s 1l m6ter feletl igysem uglik senki.Az elemi esemeny,az ugdshosszvalahol a kett6 kiiziitt van de ott lehetbirmi. Vsl6szints6gi kis6rlet Elemi esem6nyek K) pEnzfeldob6s fej vagy ir6s L) kockadobas 1,2,3,4,5vaqy6 M) gtrufasz,l 10€s+10 kdziittiegesz Nr)c€lbadob6sI O) c6lbadob6s2. P) t6volugr6s

Esem6nyt6r {fej, il.is}

{ l; 2 ; 3 ; 4 ; 5 : 6 } {-10;-9; ...;9; l0}

10,30,50, 70 vagy 100 {10;30;50;70; 100} pontjai c6ltAbla az egeszceh bla 6,006s I1,00kdzdttival6s(o; tr )

Figyeuiik meg a t6bldzatutols6 oszlopatlAz els6 n6gy kis6rlet esem6n)'terc megszdmlelhat6halmaz. Veliik ellent6tbena tiibbi esem6nyttuintervallunr vagytedilet,azaznemmegsz6mlrlhat6! Az els6n6gykis6rlethez tartoz6valosziniis6geket ez6rt ,diszk6tnek', az ut6bbi kett6 eset6benviszont ,,folytonosnak"nevezziik.

vAL6sziN66E6-szAM["lAs

Mfveletek esem6ny€kkiizijtt a) Esem6nyekszorzata Az A . B az az esem6ny,amely akkor kiivetkezik be, ha I 6s , esemenyis bekiivetkezik. a ktt esemeny€gym{st kizdr6 esem6nyek, Ha A . B - A, ^kkot b) Esem6nyekdssz€ge mely akkor krivetkezikbe, ha,4 6sB esem6nyekkiiAz A + R az zz esemeny, ziil legal6bbaz egyik bekiivetkezik. c) Es€m6ny€kkiil6nbs6g€ mely akkor kiiv€tkezik be, haI esem6nybek6vetkeAz A - B az az eserneny, zit, deB nem. d) Esem6nyellentettje Az i eserrdnyaz az esem6ny,mely aklor kiivetkezik be, ha I nem, vagyis nem,4kiivetkezikbe. 6llfogalmaia halmazelmdlettel szorcskapcsolatban A val6szinffs6g-szamitis nak. K6szltsiink,,sz6ttaf' a ket t6makijr kilziittl Induljunk ki a val6szinfis6gelemiesemeny, esemeny, biztos szimitdsfogalmaib6l!(Pl. mi az esem€nt'16! megfogalnaz6sa?) esem6ny stb.halmazelm6leti €semeny, leheteden

VALc lSZI

N U5 EG . s |ZAM

Val6szinffs6g-szdmitis fogalmai

I TAS

V AL E,SZI

Hslmazelm6leti megfelel6k 1.Alapfogalrnsk

l, O esem6nyt6r

U (univerzum)

2.r elemiesem6ny

re U (univerzumegy eleme)

3. ,, esem€ny I g U (univerzumegy r6szhalmaza) 4. I esem6nybekiivetlezik(A-beli r e I (r a halnaz egy eleme) elemiesemeny kijvetkezikbe) 5. ,4 biztosesem€ny(b6rmilyenelemi (A tafiahrnza U-t), Altalrban U esem6nykiivelkezikbe,az,4-relr, 6l- sA 4= U taleban

(nincsolyan 6.,4lehetetlen esem6ny 4 U : A (A-nak nlncs kitzds eleelemi esem6ny, amiA-belr, elral - ^ ne U-'/al), tal b^n A = o banl-ba nemesikesem6ny. 2, Milvelet€k€sem6nyekkel L A 6s B egyszenekiivetkezikbe ( e A B(x A, B k6ziis r6szdb6lva^ (AB) 16elem) 2.I 6sB kizArjaeglrnrst I n B = O (nincs kiiziis elemiik) 3. A, B kitznl legaHbb az egyik x e A v B (x A, B egyesit6s6b6l vabekitv.(l + ,B) 16elem) 4. I nemkiivetkezik be, azaz kiivetkezikbe

A (= U\l)

(r l-n kiviilt

Vegyiikp6ldanaka kockadob6st. Ekkoraz €sem€nlt6r:U: {l; 2; 3; 4; 5; 6}. = pl. x 4. Esem6nypl.l = {p6rosdob6s}. Biaos esem6ny Elemiesem6ny maga U, de biztosesem6ny a kiive&ez6is: ,B= {7-n6lkisebbdob6s}.Lehetetlen esemeny: C: {8-n6lnagyobbdobds}. A mfiveletekhezmaradjunka kockadob6snal

N IJ9 E6 .SZAM ITAS

o P6ld{k A : ll;2:3\, B = l2;3; 4|; hz x:2 esemenye*Jet Egyiittbektjvetkez6 teh't A B:12;3]'. 3, akkor,4 is 6s19is bekaivetkezik,

vagy

EgyrnAstki-zir6 esemenyeke:,4 : {parosdob6s},B = {piradan dob6s};metszetehet,4 B : O. lehetetlenesemeny, tiik iircs, az egyszereval6 megval6sulasuk I = {Ii 2l , B = {4; 5l i ha bekiiv€tkez6s6re: Legalibbaz egyikesemeny tA+ B = {lt2;4;5\. x = 1,2,4 vagy5, aklorI vagyB bekdvetkezik,teh I = {prros dobes}6s.r = 1, 3 vagy 5, teh6t Be nem kdvetkez6esem6nyre:

A = It;l;sl I = tl: 2; 3; 4l , B : {3; 4: 5: 6J: ha Egyik bejiln,rnisit nemesem6nyekre: de, nem,teh tA- B: lll'2), x = | vagy2, at&otA bekiiv€tkezett, I = {l:,2;3\, B : 12;3;41],ha egyikesem6ny bekdvetkezesere: Pontosan .n= lvagy 4, aklor vagyI kiivetkezikbe,vagyB, (A + B) - (A B): {l; a}. Egyik esemenyb6lkiivetkez6mesik esem6nlre:I : {p6rosdobes}, B : {2; 3; 4; 5; 6}; ekkor ha,4 bekiivetkezik,akkor B is bekijvetkezik.Az ,4 az z A c B . esem6nymagautan vonja B ese'Jrbnyl, teljes esem6nyrendsz€rtalkotnak,ha p6ronk6nt Az Ar Az, ..., A^ esellrl1nyek €s,41+... + A,= dr. kiz1{6k egymAst

vAL6 szfN [i s E6.szAM fTAs 5.2,2.ValdsziniisEg Tapasztalatimegkiizelit6s Ha sz6milkiserlet folyamAnegy,4 esem6nyf-szor k6vetkezikbe, aklor & 'l ^z k pedigazl es€mdnyrehdv gyakoris{ga. ,4 esem6nygyakoris{gr, a - hAnyados A relativ gyakorisSg6rtdkea v61et1ent6l Iiigg, azazha a kls6rletsorozatotazonoskijdilm6nyek kiiz6tt megism6teljiik,akkor 6kalebanaz ij eftekaz e16z6l6l kiilitnbdzni fog. Ha a kis6rletsorozatotsokszormegism6teljiik,aktor a kapott relativ gyakorisAg6rt6kekm6r egy konstans&tek kiiriil fognak ingadozni 6s min6l nagyobbaz r, az ingadoz6sanndlkisebb.Azt M erteke\ melyhezegyre kitzelebbkeriil a relativ gyakorisega kis6rleteksz6m6nakn6'rel6styel, az A esem6nytapasztalati val6szinfis6g6neknevezziik €s P(,4)-valjeliiljiik (a ,n betii a latin Fobabilitas : val6szinfis6gsz6b6l szArm^zik).Mivel a /. gyakoripedig 0 < P(,4)< 1. sAglegkisebb6rt€ke0, legnagyobb 'l, Azt a megfigyele$pedig,hogyaz esemenyek relativgyakoris6ga a kis6rletek szdmdnakn6vel6s6velegy meghattuozott6rt6k kitriil stabilizal6dik, a nagy szdmoktaprsztalatitiirv6ny6nekrcvezziik Matematikaimegkiiz€llt6s Minden I €sem6nyhez rendeljiink egy val6s szAmot,amit az,4 esemdnyval6 sziniis€g6neknev€ziint 6sP(l)-val jeldliink, a kitvetkez6kikiitesekkel: 1. 0 < P(l) < l; 2. P(0 : 1, a biztosesem€ny 1, val6szinis6ge : P(O) 0, a lehetetlen esemeny6 0; 3. haI esem6ny6s-Resem6nyegym6st6lfiiggetlenA . B = A, azazegyszerrc hogy valamelyik megnemval6sulhatnakmeg, akkor annakval6szinffs6ge, + + val6sul:P(A B): P(A) P(B).

VALO SZI N U 5 EG . SZAM I TA9

Ezekb6lkitv€tkeznekaz al6bbi iisszefiigg6sek: a) Ha A 6s B kel teEz6leges esem6ny. alkoP(A + B) = P(A) + P(B) - P(ABI. b) Ha,trbekitvetkez6sevel , is bekiivetkezik, aktor P(A) < P(B). c) Ha ArAz, ...,A^teljesesemenyrendszert alkobah aktor P(A) + P(A,) + ... + P(4,) = t. d) Az I esem€ryre €s A -re (ellentettjere) P ( A )+ P ( A ) = r . e) Ha van ket tetsz6leges esemeny: I €s 8, aktor annakval6sziniis6ge, hogy egymesut6n bekiivetkezze$ek \|ltozatlan feltetelekmellett: P(l) P(r). Nagy szdmok tiirv6trye A nagy sz6moktapasztalatitiirv6ny6tigy mArpontosmatematikaieszk6ziikkel is le tudjukimi. Annak val6szints6ge,hogy egy n-szer\legzettkis6rlet sodn egy I esem6ny relativ gyako s6ga6sa val6szinfis6gkiiliinbseg6nekabszolirt6rt6kekisebblegyen egy adott,tetsz6legesen kicsi pozitiv szemn6l,anniil nagyobb,min6l nagyobba kis€rletekszima, azazannakval6szinfis6ge,hogy az elt6r6sb6rmilyen kis pozitivszirnn6lnagyobblegyen,egyrekisebb. Ha e 6s 6 tetszdlegesen kis pozitiv sz6mok,akkor van olyan elegend6ennagy n0,hogyha a kis6rletek sziimanagyobb,mint ro, akkor annakval6sziniis€ge, (p) e-n6l titbbel t6rjen el, kisebb, hogy a relativ gyakorisAga val6szidfis6gt61 mint 5-

,,,, *"|i_,1,, J.,

V€,6(>0),1,'0:

vaL6 sziN ii sE 6-szAM lTAs

vAr-o 9zi N 6 s € 6-s zAM iTAs

Teh6ta nagy szAmoktdrv6nyenem azt 6l1jtja,hogy ha p€nz6rmevelegym6s utiin 100-szorfejet dobtunk,aklor a kiiverkez6dob6snagyobbval6sziniisEggel Ieszir6s, minthacsak2o-szordobtunl volna. Minden dob6sn6la fej dobasanak I

valoszinfisege ;, fijggerleniilan6l. bogy el6trehinyszor ds mir dobtunl. A p6nznem,,eml6kszik' alra, hogyhrinyszordobtunkvele.A nagysz6moktdr_ vdnye azt mondja, hogy min61tdbbsztir dobunk 100-assorozatot,ann61na, gyobbval6szints6ggellesz a sorozatokbana fejek 6s ir6sok sz6maegyenl6. 5.2.3.Vsl6sziniis6g klasszikuslogalma (Laplace-modell) Klasszikusval6sziniis6gimez'nek nevezfik azt azesem6nyteret, melyetv6ges szimt, egyenl6en val6szintesem6nyek teljesrendszere alkot,azaza mez6tal_ kot6 elemi esem6ny€kval6sziniis6gemind ugj/anaz6s valamelyik biztosan bekiivetkezik.Ilyen p6ldiiul a kockadobis, a lott6sorsol6s.Ha minden elemi esem6nyugyanolyanval6szinris6gii,legyen ll damb, €s valam€lfk biztosan ]. Az olyanesemeny bekdvelkezik. akkoregy elemiesemeny val6szinrls6ge val6szinfis6ge,mely i darabkedvez6elemi esem6nyb6le[, !. Tehatkhsszikusval6szinfis6gi mezdbenegy esem6nyvat6sziniis6g6t tgy kapjuk,hogya kedvez6elemiesem6nyek sz6m6telosztjukazdsszes elemiese_ m6nyeksziim6val.

5.2.4.Geometriaival6szinfi s6g E P6lda Legyen egy 50 cm oldali n€gyzetala.ki celtebh 6s a kdzep6negy 10 cm sugaru kiirl Ha veletlenszedenldviink 6smidig a c6ltibl6ba tablunl, mekkom a val6szinis6ge,hogy a kitrbe l6viink? Ez egy tipikus p6ldaebbena probl6makiirben.A l6nyege,hogy adottegy pontok alkotta geometriaialakzat,€s az elemi esem6ny,ezenponthalmazb6l,az eglk pont ,,eltal6l6sa",kl'r6la;sz:.jsa, pontokarfeazaz elemiesem€nyeknek ^z leltetiink meg. Egy esem6nypedig azt jelenti, hogy a kivelasztott pont beletartozik egy bizonyoskijeliilt resztartomAnyba, azazaz esem6nyeketponthalnazokkal, ta(omaryokkal j elenitjiik meg. Ha az esem6nybekiivetkez€s€nek va16szinfis6ge arAnyosa r6szhalnazmert€kszAmeval(teriilet, terfogat),aklor geometriai val6szinfis6gr6lbesz6liinkTeh6titt az esemenyteregy geometriaialakzat,az esem6nyaz ezenpontok egy r6szhalmaza,az elemi esemenypedig egy pontnakfelel meg. Ezzela m6dszerel olyantor is tudonkval6sziniisegetmeghatarozni,ha az elemi esem6nyeksziimav6gtelen. A p6lda megold6sa Az el6z6ekalapj6na kifbe talelfu val6sziniis6gea kdr teriilet6nek6s a n6gyzet teriilet6nekarinyeval egyenl6.Ez emlEkeztethetminket a ,,kedvez6esem6nyekper tisszesesem6ny" m6dszene. Tetlit, ha a ktlrbe talfles esem6nye,4, a kiir sugara/ 6sa n€gyz€toldalaa, akkor rztr ll'1tt tr r(nr - - = . . - = - = u . t z o , ^.^. a' 50' 25 Nyolcb6l egy liivds val6szinr&leg a kdrbetalal

I P6ld6utkockadobdsn6lamak a val6szinffs6ge, hogy p6rossz6motdobunk,

,,

mivel a kedvez6eseteksz6mah6rom,mikot 2-t, 4-et illetve6-ot dobunk.az osszeseseteksziimapedighat.

Tovdbbip6ldr K6t embermegbeszali,hogyegyadottnapon16€s 176rakiizdtt talilkoznak Budapestena Oktogonnal.Az adottid6i$ervallumbanv6ledenszerien6rkezneka helysziffe. Meklora a val6sziniisege, hogy egyikiik sem\atu10percneltdbbet?

VALO SZI N U S EG . SZAM

Megoldis Legyen.nazonperceksz6m4 ameturyivelaz egyik ember 16 6ra ut6n 6rkezik a helyszinre, 6sy amennyivel k6s6bba m6sik6rkezik.A k6t adatotrendezett piirok fom6j6ban koordinata-rendszeften ebdzolhatjuk. Ekkor az elemi esem6nyekegy 60x60-asn6gyzetpontjailesznek.Legyen,4esem6ny, hogy l0 percn6l kevesebbetkell vhrakozniuka misika. Teh6tkedvez6esetbena ket be6rkez6skiizijtt elt€lt id6 kisebb,mint l0 perc,azazlr ),1< 10.Az ezenfeltetelnekmegfelel6pontok a kitvetkez6k:

A keresettval6szinfteg igy a satirozottreszteiileienek 6s a n6gyzettediletenek adnya. A satirozottr6szteriilet6tmegkapjulqha a n6gyzetteriiletebdlkivonjuk a k€t h6romsziigteriilet6t, melyek egyiitt egy 50 oldalhossdsagrin6gyzetet alkotnak.Teh6t

I| 69-g' =|Io P , A )= J o- = 0 .:o o . 60'

60'

VAL A SZI N U S EE.SZAM ITAS

I TAEi

36

5,2.5.Felt6t€lesval6sziniis6g, fiiggetlens6g€ esem6nyek LegyenI 6sB egy kiserlettelkapcsolatos k6t esem6ny, aholB esemeny val6szints6genemnulla. EyJ