Aérodynamique Appliquée, (Th. FAURE) [PDF]

Zitiervorschau

Master Sciences de l’Ingénieur 1e année Parcours Mécanique et Ingénierie des Systèmes

Module d’option MS 154

AÉRODYNAMIQUE APPLIQUÉE Th. FAURE 2006

Université Pierre et Marie Curie – Paris 6

École Normale Supérieure de Cachan

Aérodynamique Appliquée − Th. FAURE − Master SDI Parcours MIS − Module MS 154

Ce cours est exclusivement destiné aux étudiants du Master Sciences de l’Ingénieur parcours Mécanique et Ingénierie des Systèmes de l’Université Pierre et Marie Curie − Paris 6 et de l’École Normale Supérieure de Cachan.

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Table des matières I EFFORTS AERODYNAMIQUES APPLIQUES A UNE AILE.................................................................... 7 I-1 INTRODUCTION .............................................................................................................................................. 7 I-1-1 Les trois approches de l’aérodynamique.............................................................................................. 7 I-1-2 Différents régimes d’écoulement .......................................................................................................... 7 I-1-3 Fonction d’une aile............................................................................................................................... 8 I-2 DEVELOPPEMENTS HISTORIQUES (LES PRECURSEURS) ................................................................................... 9 I-2-1 Leonardo da Vinci (1452-1519) ........................................................................................................... 9 I-2-2 George Cayley (1773-1857) ................................................................................................................. 9 I-2-3 Horatio Frederick Phillips (1845-1926)............................................................................................. 10 I-2-4 Clément Ader (1841-1925) ................................................................................................................. 11 I-2-5 Otto Lilienthal (1848-1896)................................................................................................................ 12 I-2-6 Étienne-Jules Marey (1830-1904) ...................................................................................................... 13 I-2-7 Samuel Pierpont Langley (1834-1906)............................................................................................... 14 I-2-8 Wilbur (1867-1912) et Orville Wright (1871-1948) ........................................................................... 15 I-2-9 Évolution de la distance parcourue .................................................................................................... 16 I-3 DEFINITION D’UNE AILE ............................................................................................................................... 18 I-3-1 Profil 2D............................................................................................................................................. 18 I-3-2 Aile 3D................................................................................................................................................ 18 I-4 DEFINITION DES FORCES ET MOMENTS ......................................................................................................... 19 I-4-1 Portance, traînée et moment de bord d’attaque ................................................................................. 19 I-4-2 Forces et moments appliqués à un profil 2D...................................................................................... 19 I-4-3 Efforts surfaciques.............................................................................................................................. 19 I-4-4 Efforts aérodynamiques et moments 3D ............................................................................................. 21 I-5 COEFFICIENTS AERODYNAMIQUES ............................................................................................................... 22 I-5-1 Coefficients d’une aile ........................................................................................................................ 22 I-5-2 Coefficients d’un profil....................................................................................................................... 22 I-5-3 Coefficients de pression et de frottement............................................................................................ 23 I-5-4 Finesse d’un profil ou d’une aile........................................................................................................ 23 I-5-5 Calcul des coefficients de portance et de traînée ............................................................................... 23 I-6 CENTRE DE PRESSION .................................................................................................................................. 24 I-7 MOMENT QUART DE CORDE ......................................................................................................................... 24 I-8 CENTRE AERODYNAMIQUE .......................................................................................................................... 25 II ÉCOULEMENT POTENTIEL AUTOUR D’UN PROFIL ........................................................................ 27 II-1 INTRODUCTION ........................................................................................................................................... 27 II-2 POTENTIEL DE VITESSE ............................................................................................................................... 27 II-3 NAPPE TOURBILLONNAIRE ......................................................................................................................... 27 II-4 MODELISATION D’UN PROFIL ..................................................................................................................... 30 II-5 CONDITION DE KUTTA................................................................................................................................ 31 II-6 CIRCULATION AUTOUR D’UN PROFIL .......................................................................................................... 32 II-7 DEVELOPPEMENTS HISTORIQUES (LES PREMIERES THEORIES) .................................................................... 34 II-7-1 Martin Wilhelm Kutta (1867-1944)................................................................................................... 34 II-7-2 Nicolaï Egorovich Joukowski (1847-1921) ....................................................................................... 34 II-7-3 Max Munk (1890-1986)..................................................................................................................... 34 III THEORIE DES PROFILS MINCES .......................................................................................................... 37 III-1 INTRODUCTION ......................................................................................................................................... 37 III-2 ÉQUATION FONDAMENTALE DE LA THEORIE DES PROFILS MINCES ............................................................ 37 III-2-1 Hypothèses ....................................................................................................................................... 37 III-2-2 Champ de vitesse autour du profil ................................................................................................... 37 III-3 PROFILS MINCES SYMETRIQUES ................................................................................................................. 40 III-4 PROFILS MINCES CAMBRES ........................................................................................................................ 42 IV THEORIE DES PROFILS EPAIS............................................................................................................... 47 IV-1 INTRODUCTION ......................................................................................................................................... 47 IV-2 FONCTION POTENTIELLE ET FONCTION DE COURANT ................................................................................ 47

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Aérodynamique Appliquée − Th. FAURE − Master SDI Parcours MIS − Module MS 154 IV-3 ÉCOULEMENTS ELEMENTAIRES ................................................................................................................. 47 IV-3-1 Écoulement uniforme ....................................................................................................................... 47 IV-3-2 Source et puits.................................................................................................................................. 48 IV-3-3 Dipôle............................................................................................................................................... 49 IV-3-4 Tourbillon......................................................................................................................................... 49 IV-4 DESCRIPTION D’UN PROFIL EPAIS SYMETRIQUE A INCIDENCE NULLE ........................................................ 50 IV-5 DESCRIPTION D’UN PROFIL MINCE CAMBRE A INCIDENCE NON NULLE ...................................................... 53 IV-6 PRINCIPE DE SUPERPOSITION ..................................................................................................................... 54 V AILES D’ENVERGURE FINIE .................................................................................................................... 55 V-1 INTRODUCTION .......................................................................................................................................... 55 V-2 TOURBILLONS DE BOUT D’AILE ET TRAINEE INDUITE ................................................................................. 55 V-3 DEVELOPPEMENTS HISTORIQUES (LES THEORIES TRIDIMENSIONNELLES)................................................... 57 V-3-1 Frederick William Lanchester (1868-1946) ...................................................................................... 57 V-3-2 Ludwig Prandtl (1875-1953) ............................................................................................................. 57 V-3-3 Hermann Glauert (1892-1934).......................................................................................................... 58 V-4 RAPPELS DE DYNAMIQUES TOURBILLONNAIRES ......................................................................................... 58 V-4-1 Loi de Biot et Savart .......................................................................................................................... 58 V-4-2 Théorème de Helmholtz..................................................................................................................... 59 V-5 THEORIE DE LA LIGNE PORTANTE ............................................................................................................... 59 V-6 DISTRIBUTION ELLIPTIQUE DE PORTANCE .................................................................................................. 64 V-7 DISTRIBUTION DE PORTANCE QUELCONQUE ............................................................................................... 67 V-8 EFFET DU FACTEUR DE FORME ................................................................................................................... 70 VI METHODE DES SINGULARITES............................................................................................................. 73 VI-1 INTRODUCTION ......................................................................................................................................... 73 VI-2 DISTRIBUTION DE SOURCES ET DE PUITS ................................................................................................... 73 VI-3 DISTRIBUTION DE TOURBILLONS ............................................................................................................... 76 VII ÉCOULEMENT REEL AUTOUR D’UNE AILE..................................................................................... 81 VII-1 INTRODUCTION ........................................................................................................................................ 81 VII-2 ÉVOLUTION DE LA PORTANCE AVEC L’INCIDENCE ................................................................................... 81 VII-2-1 Profil très mince.............................................................................................................................. 81 VII-2-2 Profil mince .................................................................................................................................... 83 VII-2-3 Profil épais...................................................................................................................................... 84 VII-3 VOLET ET BEC ......................................................................................................................................... 85 VII-4 AILES TRIDIMENSIONNELLES ................................................................................................................... 87 VII-5 ÉVOLUTION HISTORIQUE DES AILES AERONAUTIQUES ............................................................................. 89 VIII ÉCOULEMENT COMPRESSIBLE SUBSONIQUE AUTOUR D’UN PROFIL................................. 93 VIII-1 INTRODUCTION ...................................................................................................................................... 93 VIII-2 ÉQUATION DU POTENTIEL DE VITESSE .................................................................................................... 93 VIII-2-1 Rappels sur les écoulements compressibles................................................................................... 93 VIII-2-2 Équation du potentiel de vitesse .................................................................................................... 94 VIII-3 DISTRIBUTION DE PRESSION ................................................................................................................... 96 VIII-4 CORRECTION DE LA COMPRESSIBILITE DE PRANDTL-GLAUERT .............................................................. 98 VIII-5 NOMBRE DE MACH CRITIQUE ................................................................................................................. 99 VIII-6 NOMBRE DE MACH DE DIVERGENCE DE TRAINEE ................................................................................. 102 VIII-7 CONCEPTION D’UNE AILE D’AVION EN ECOULEMENT TRANSSONIQUE .................................................. 103 VIII-8 REGLE DE L’AIRE ................................................................................................................................. 105 VIII-9 PROFIL SUPERCRITIQUE ........................................................................................................................ 107 VIII-10 DEVELOPPEMENT HISTORIQUES (LES ECOULEMENTS COMPRESSIBLES) .............................................. 108 VIII-10-1 Ernst Mach (1838-1916) ........................................................................................................... 108 VIII-10-2 Theodor von Kármán (1881-1963)............................................................................................ 109 VIII-10-3 Richard Travis Whitcomb (1921-) ............................................................................................. 110 IX ÉCOULEMENT SUPERSONIQUE AUTOUR D’UN PROFIL............................................................. 111 IX-1 INTRODUCTION ....................................................................................................................................... 111 IX-2 DEFINITION D’UN ECOULEMENT SUPERSONIQUE ..................................................................................... 111 IX-2-1 Angle de Mach ............................................................................................................................... 111

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IX-2-2 Grandeur totale.............................................................................................................................. 112 IX-2-3 Grandeur critique........................................................................................................................... 112 IX-3 CHOC DROIT ........................................................................................................................................... 113 IX-3-1 Équations d’une onde de choc droit............................................................................................... 113 IX-3-2 Relations de Rankine-Hugoniot ..................................................................................................... 114 IX-4 CHOC OBLIQUE ....................................................................................................................................... 114 IX-4-1 Équations d’une onde de choc oblique........................................................................................... 114 IX-4-2 Relation de Rankine-Hugoniot ....................................................................................................... 115 IX-4-3 Diagramme θ - β - M ..................................................................................................................... 116 IX-4 ONDE DE DETENTE .................................................................................................................................. 118 IX-5 APPLICATION DE LA THEORIE DES CHOCS AUX PROFILS SUPERSONIQUES ................................................ 121 IX-6 THEORIE LINEARISEE D’ECOULEMENT SUPERSONIQUE ............................................................................ 123 IX-7 APPLICATION DE LA THEORIE LINEARISEE AUX PROFILS SUPERSONIQUES ............................................... 125 X AERODYNAMIQUE DES HELICOPTERES........................................................................................... 127 X-1 INTRODUCTION ........................................................................................................................................ 127 X-2 DEVELOPPEMENTS HISTORIQUES.............................................................................................................. 127 X-2-1 Leonardo da Vinci (1452-1519) ...................................................................................................... 127 X-2-2 George Cayley (1773-1857) ............................................................................................................ 128 X-2-3 Robert Edmund Froude (1846-1924) .............................................................................................. 129 X-2-4 Paul Cornu (1881-1944) ................................................................................................................. 129 X-2-5 Juan de la Cierva (1895-1936)........................................................................................................ 129 X-2-6 Louis Charles Bréguet (1880-1955) ................................................................................................ 131 X-2-7 Henrich Focke (1890-1979) ............................................................................................................ 132 X-2-8 Igor Ivanovitch Sikorsky (1889-1972) ............................................................................................. 133 X-3 THEORIE DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT ............................................................................................. 135 X-3-1 Vol stationnaire ............................................................................................................................... 135 X-3-2 Montée verticale .............................................................................................................................. 136 X-3-3 Descente verticale ........................................................................................................................... 139 X-3-4 Autorotation..................................................................................................................................... 142 X-4 THEORIE DE L’ELEMENT DE PALE ............................................................................................................. 143 X-5 AERODYNAMIQUE DU ROTOR EN VOL HORIZONTAL ................................................................................. 145 X-5-1 Mécanisme de la tête du rotor ......................................................................................................... 145 X-5-2 Théorie de la quantité de mouvement pour le vol horizontal .......................................................... 148 X-5-3 Théorie de l’élément de pale pour le vol horizontal........................................................................ 149 XI AERODYNAMIQUE DES VEHICULES AUTOMOBILES .................................................................. 153 XI-1 INTRODUCTION ....................................................................................................................................... 153 XI-2 SOURCES DE TRAINEE D’UN VEHICULE.................................................................................................... 154 XI-3 REDUCTION DE LA TRAINEE D’UN VEHICULE .......................................................................................... 156 XI-3-1 Traînée de pression ........................................................................................................................ 156 XI-3-2 Traînée due au soubassement et aux accessoires........................................................................... 160 XI-3-3 Traînée interne............................................................................................................................... 160 XI-4 METHODES EXPERIMENTALES ................................................................................................................ 160 XI-4-1 Essais sur route .............................................................................................................................. 160 XI-4-2 Essais en soufflerie......................................................................................................................... 161 XI-5 VEHICULES AUTOMOBILES DE COMPETITION ......................................................................................... 162 XI-5-1 Aileron arrière ............................................................................................................................... 163 XI-5-2 Ailerons avant ................................................................................................................................ 164 XI-5-3 Diffuseur......................................................................................................................................... 164 XII THEORIE DES SURFACES PORTANTES ........................................................................................... 165 XII-1 INTRODUCTION ...................................................................................................................................... 165 XII-2 FONCTION POTENTIELLE ........................................................................................................................ 165 XII-3 CONDITION LIMITE SUR L’AILE .............................................................................................................. 165 XII-4 ÉCOULEMENTS TRIDIMENSIONNELS ELEMENTAIRES .............................................................................. 167 XII-4-1 Source et puits tridimensionnels ................................................................................................... 167 XII-4-2 Dipôle tridimensionnel ................................................................................................................. 168 XII-5 DESCRIPTION D’UNE AILE EPAISSE SYMETRIQUE A INCIDENCE NULLE ................................................... 168 XII-6 DESCRIPTION D’UNE AILE MINCE CAMBREE A INCIDENCE NON NULLE − SURFACE PORTANTE ............... 170

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XII-6-1 Distribution de dipôles.................................................................................................................. 171 XII-6-2 Distribution de tourbillons............................................................................................................ 172 XII-7 CHAMP DE PRESSION ............................................................................................................................. 173 XIII THEORIE DES AILES ELANCEES ..................................................................................................... 175 XIII-1 INTRODUCTION .................................................................................................................................... 175 XIII-2 POTENTIEL DE VITESSE......................................................................................................................... 175 XIII-3 AILE ELANCEE EN POINTE..................................................................................................................... 177 XIII-4 METHODE DE JONES ............................................................................................................................. 181 XIV THEORIE DES CORPS ELANCES....................................................................................................... 185 XIV-1 INTRODUCTION .................................................................................................................................... 185 XIV-2 POTENTIEL DE VITESSE ........................................................................................................................ 185 XIV-3 ÉCOULEMENT LONGITUDINAL .............................................................................................................. 186 XIV-4 ÉCOULEMENT TRANSVERSAL ............................................................................................................... 188 ANNEXE 1 : INTEGRALE DE GLAUERT .................................................................................................. 191 ANNEXE 2 : MECANIQUE DU VOL............................................................................................................ 193 A2-1 DEFINITION D’UN AVION ........................................................................................................................ 193 A2-2 DEFINITION DES FORCES ET MOMENTS APPLIQUES A L’AVION ................................................................ 193 A2-3 POLAIRE DE L’AVION ............................................................................................................................. 195 A2-4 STABILITE .............................................................................................................................................. 196 A2-5 VOL HORIZONTAL .................................................................................................................................. 197 A2-6 DESCENTE PLANEE ................................................................................................................................. 200 A2-7 MONTEE ................................................................................................................................................. 201 REFERENCES D’AERODYNAMIQUE APPLIQUEE................................................................................ 203

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I Efforts aérodynamiques appliqués à une aile I-1 Introduction I-1-1 Les trois approches de l’aérodynamique L’observation de la nature et de ses phénomènes est à la base de toute démarche scientifique. Comme toute branche de la physique, l’aérodynamique s’articule aujourd’hui autour de trois axes : − l’expérimentation ; − la théorie ; − la simulation numérique. Depuis le XVIIe siècle et les travaux de Newton, les études aérodynamiques se limitaient à l’expérimentation et à la théorie. Ce n’est que depuis les années 1960 que s’est adjoint à ce schéma la simulation numérique. Ces trois approches conservent de fortes interactions entre elles et ont chacune un rôle essentiel dans le développement scientifique et technologique. Ce schéma demeure le même pour les applications de l’aérodynamique, avec, comme nous le verrons par la suite, des dates d’apparition plus récentes : − l’expérimentation depuis 1804, − la théorie depuis 1902, − la simulation numérique depuis 1960.

observation

expérimentation

théorie

simulation numérique

Figure 1 : Les trois approches de l’aérodynamique I-1-2 Différents régimes d’écoulement L’aérodynamique couvre différents régimes d’écoulement, en fonction du nombre de Mach M, caractéristique des effets de compressibilité du fluide : U M= a où U est la vitesse de l’écoulement et a la célérité du son. On considère ces effets de compressibilité à travers deux types d’écoulement : dρ = cst ; − incompressible (M < 0,3) où dt

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dρ ≠ cst . dt Il convient également de distinguer les régimes d’écoulement : − subsonique (M < 1) où les perturbations de l’écoulement se propagent aussi bien en amont qu’en aval ; − sonique (M = 1) ; − transsonique (0,8 < M < 1,2) qui présente des zones d’écoulement subsonique et des zones d’écoulement supersonique ; − supersonique (1 >M > 5) où les perturbations de l’écoulement ne peuvent pas se propager en amont, cet écoulement est aussi marqué par des zones de discontinuité (ondes de choc) ; − hypersonique (M > 5) avec des ondes de choc très intenses et de très hautes températures près des parois, ce qui entraine des réactions chimiques (dissociation des molécules) et la création d’un plasma. − compressible (M > 0,3) où

incompressible

compressible

transsonique

0

0,3

1

0,8

1,2

5 supersonique

subsonique

M hypersonique

sonique

Figure 2 : Différents régimes d’écoulement I-1-3 Fonction d’une aile

La fonction d’une aile, dans le cadre d’applications aéronautiques, est de générer une portance, c’est à dire une force verticale permettant d’équilibrer la pesanteur de l’avion. Cette force est due à la différence de pression qui s’établit entre les deux côtés de l’aile.

extrados −

p

−

−

−

−

−

−

−

−

−

+

V

V−

+ p+

+

+

+

+

+

+ +

intrados

Figure 3 : Principe de la création de portance par une aile 8

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Pour remplir cette fonction, il y a deux possibilités : − soit déplacer un grand volume d’air à petite vitesse : c’est le principe de l’aile battante qui est le mode de vol des oiseaux et des insectes, qui a été la première approche suivie en aéronautique et qui redevient d’actualité ces dernière années pour des applications au vol de drones miniatures en espace clos ; − soit déplacer un petit volume d’air à grande vitesse : c’est le principe de l’aile fixe, qui est le principe de vol de tous les avions. I-2 Développements historiques (les précurseurs)

L’homme a toujours rêvé d’imiter le vol des oiseaux, et ceci depuis l’Antiquité comme le prouve le mythe d’Icare. Dans ce paragraphe, nous allons aborder l’évolution historique de l’aérodynamique appliquée au vol d’appareils plus lourds que l’air, des origines au premier vol d’un avion. I-2-1 Leonardo da Vinci (1452-1519)

Le premier à imaginer un système mécanique permettant d’atteindre cet objectif est Leonardo da Vinci qui réalisa dans ses cahiers, plusieurs croquis de machines volantes fondées sur le principe de l’aile battante. Il eu également l’idée d’un système s’apparentant à l’hélicoptère. Aucune de ses idées n’eut de réalisation pratique, du fait de l’absence, à l’époque, de matériaux suffisamment légers et résistants ainsi que d’une source de puissance suffisante.

Figure 4 : Croquis d’une machine volante I-2-2 George Cayley (1773-1857)

George Cayley est le véritable père de l’aérodynamique et de ses applications à l’aéronautique. Il fut le premier à énoncer les efforts aérodynamiques (portance, traînée) en

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1799, et réalisa en 1804 une maquette de planeur qu’il fit voler, dont la forme remarquable présente tous les éléments des avions actuels. Il fabriqua un planeur de grande dimension et réussit le premier vol plané avec un enfant de 10 ans à son bord en 1849, puis en 1853 fit faire un vol de 130 m à son propre cocher, dans un modèle plus grand et d’une envergure de 2 m. Il faut remarquer la présence de stabilisateurs horizontaux et d’un aileron vertical sur ce planeur.

Figure 5 : Modèle de 1804

Figure 6 : 1e vol d’un planeur (1853) I-2-3 Horatio Frederick Phillips (1845-1926)

Horatio Phillips fut le premier en 1884 à utiliser une soufflerie aérodynamique pour tester les performances de profils d’aile. Il fit d’ailleurs déposer plusieurs brevets pour ces formes de profils. Il conçut par la suite en 1893 une machine motorisée munie d’une aile multiplan se déplaçant sur une piste circulaire et retenue par une longe au centre du cercle, pour le test de profils. Cette machine sans pilote s’éleva de 90 cm sur une distance de 610 m.

Figure 7 Schéma de la première soufflerie d’essais de profils d’aile (1884)

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Figure 8 : Profils d’aile brevetés

Figure 9 : Machine motorisée pour les essais de profils sur une piste circulaire I-2-4 Clément Ader (1841-1925)

Clément Ader réalisa une machine volante dénommée Éole utilisant comme source de puissance un moteur à vapeur bicylindre d’une puissance de 20 cv entrainant une hélice quadripales et qui se souleva de 20 cm sur une distance de 50 m en 1890. Cet essai, gardé secret, intéressa l’armée française qui finança les travaux d’Ader. Il s’orienta alors vers la fabrication d’un bimoteur pour éliminer les instabilités de l’appareil, liées aux effets de couple de l’hélice unique. Aucun de ces appareils ne possédait de réel système de contrôle de direction ni de stabilisation aérodynamique. De nouveaux essais eurent lieu en 1897 mais se soldèrent par une sortie de piste de l’Avion III qui se brisa.

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Figure 10 : L’Éole (1890)

Figure 11 : L’Aquilon ou Avion III (1897) I-2-5 Otto Lilienthal (1848-1896)

Otto Lilienthal réussit le premier vol plané contrôlé en 1891. Il réalisa plusieurs types de planeurs (aile battante, aile monoplan, aile biplan) et mit en évidence l’importance du rôle de la cambrure. Il effectua plus de 2000 vols entre 1891 et 1896 et possédait une bonne maîtrise de l’aérodynamique de ses engins. Lors d’un vol avec une aile biplan, la partie supérieure se détacha et déstabilisa le planeur qui s’écrasa. Lilienthal se brisa le cou et succomba le lendemain. Il était en train de travailler à un moteur pour placer sur son planeur et aurait peut être réussi le premier vol motorisé s’il avait survécu à cet accident.

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Figure 12 : Différents types de planeurs testés par O. Lilienthal (1891-1896) I-2-6 Étienne-Jules Marey (1830-1904)

Ce médecin s’intéressa à la décomposition et à l’enregistrement des phases du mouvement et inventa en 1882 un « fusil photographique » permettant la prise de 12 images par secondes puis le « chronophotographe » où les images étaient enregistrées sur une même plaque photographique. Il appliqua son système à la décomposition du vol des oiseaux et s’orienta vers des études aérodynamiques. Ainsi il inventa une machine à fumée en 1901 lui permettant de réaliser des visualisations d’écoulements autour de différents obstacles et en particulier des profils d’aile. Néanmoins, bien qu’ayant travaillé à la décomposition du mouvement en images successives, il ne fit pas la distinction, sur ses visualisations d’écoulements, entre une image instantanée et une image moyenne au cours du temps.

Figure 13 : Machine à fumée

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Figure 14 : Visualisations d’écoulements par émission de fumée autour de différents obstacles I-2-7 Samuel Pierpont Langley (1834-1906)

Il s’intéressa à l’astronomie, plus particulièrement au soleil, et effectua des travaux en aérodynamique. En 1887, il fut nommé à la tête de la Smithsonian Institution tout en poursuivant ses recherches en dynamique du vol. Il construisit plusieurs modèles motorisés, nommés Aerodrome, utilisant deux ailes en tandem. En particulier en 1896, l’Aerodrome no 6 vola 1280 m et s’éleva à une hauteur de 18 m. Langley s’orienta alors vers une machine volante pouvant embarquer un homme. Ses travaux obtinrent d’importants financements, notamment du Département de la Guerre américain, afin de réaliser l’Aerodrome A qui fut achevé en 1903. Le décollage s’effectuait d’une plate-forme flottant sur le Potomac, et l’appareil était catapulté. Mais les deux essais furent des échecs et à chaque fois l’Aerodrome A s’écrasa dans le fleuve, ce qui permit au pilote de s’en sortir sans dommage.

Figure 15 : Aerodrome no 6 (1896)

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Figure 16 : Schéma de l’Aerodrome A et premier essai de vol (1903) I-2-8 Wilbur (1867-1912) et Orville Wright (1871-1948)

Les frères Wright travaillaient dans la fabrication et la réparation de bicyclettes. Ils commencèrent à s’intéresser à l’aéronautique en 1899, en étudiant les travaux de leurs prédécesseurs, et financèrent leurs recherches sur leurs propres fonds. Ils testèrent en particulier différents types de profils d’aile en soufflerie et commencèrent en 1900 la réalisation et les essais de cerfs-volants munis d’une aile biplan, puis de planeurs de plus grande dimension. Cette démarche rationnelle les amena en 1903 à la réalisation du Flyer muni d’un moteur moins puissant que ses prédécesseurs mais disposant d’une aile plus performante, de stabilisateurs avant et d’un gouvernail de direction arrière. Il effectua le 17 décembre 1903 un premier vol de 36 m, puis la même journée trois autres vols dont un de 260 m. Leur savoir faire s’affirma dans la possibilité de répéter des vols de plus en plus longs. Les Wright poursuivirent leurs travaux et améliorèrent leur modèle jusqu’à aboutir au premier vol circulaire sur une distance de 1240 m en 1904. Leur troisième modèle d’avion motorisé permis un vol de 30 tours en circuit fermé couvrant une distance de 39,4 km en 1905. Ils déposèrent alors un brevet et recherchèrent un acheteur pour leur invention qui fut commercialisée sous le nom de Wright Flyer model B et équipa l’armée américaine en 1911.

Figure 17 : Soufflerie d’essais des frères Wright

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Figure 18 : Essais d’un cerf-volant biplan et d’un planeur biplan

Figure 19 : Wright Flyer

Figure 20 : 1e vol du 17 décembre 1903 à Kitty Hawk (Caroline du Nord) I-2-9 Évolution de la distance parcourue

Le tableau ci-dessous présente les principales caractéristiques techniques de quatre « plus lourds que l’air » motorisés. Il faut mettre en évidence l’importance de l’aérodynamique dans la réalisation d’un vol car ce n’est pas la machine disposant du moteur le plus puissant qui réussit ce défi.

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Éole

Avion III

Aerodrome A

Flyer

année

1890

1897

1903

1903

inventeur

C. Ader

C. Ader

S.P. Langley

O. & W. Wright

moteur

vapeur 20 cv

vapeur 20 cv

explosion 52 cv

explosion 12 cv

hélices

1 quadripale

2 quadripales

2 bipales

2 bipales

masse totale avec pilote

295 kg

400 kg

340 kg

341 kg

envergure

14 m

16 m

14,8 m

12,3 m

aucun

gouvernail

gouvernail

gouvernail

aucun

aucun

aucun

présent

soulèvement sur 50 m

-

-

260 m

système de direction système de stabilisation distance du vol

Tableau 1 : Caractéristiques techniques de quelques pionniers du vol motorisés La figure suivante montre l’évolution de la distance parcourue aux débuts de l’aéronautique, pour des machines motorisées ou non. De nombreuses tentatives de vol furent entreprises dans la période 1890-1903, sans véritable progrès (droite horizontale). L’apport des frères Wright fut prépondérant avec le passage à une pente positive dans l’évolution de la distance parcourue, qui permit le passage à l’ère du développement de l’aéronautique. Leur modèle de Flyer, muni d’une aile biplan, fut largement copié par la suite et servit de base à tous les avions jusque dans les années 1930. distance

ln (distance)

premières tentatives vols des frères Wright développement de l’aéronautique

O. Wright (1903)

C. Ader (1890)

S.P. Langley (1903)

année

Figure 21 : Évolution de la distance parcourue pour différents types de machines volantes (motorisées ou non) avec un pilote

17

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I-3 Définition d’une aile

Nous allons tout d’abord donner les principales définitions utiles par la suite, pour les profils 2D et pour les ailes 3D. I-3-1 Profil 2D z

z (x) ligne de cambrure moyenne s bord d’attaque

α

e bord de fuite c

U∞

Figure 22 : Profil d’aile On définit pour un profil : c : la corde ; e : l’épaisseur ; z(x) : la ligne de cambrure moyenne ou squelette ; U∞ : la vitesse à l’infini amont ; α : l’angle d’incidence ; s : l’abscisse curviligne. I-3-2 Aile 3D y

ct

c(y)

U∞ cos α

cr

b x

S

Figure 23 : Aile complète

18

x

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On définit pour une aile : b : l’envergure ; cr : la corde en pied ; ct : la corde en bout d’aile ; S : la surface de l’aile. I-4 Définition des forces et moments I-4-1 Portance, traînée et moment de bord d’attaque z R

N

D L MBA

α

A U∞

Figure 24 : Efforts et moment aérodynamiques On définit les efforts aérodynamiques suivants : A : la force axiale ; N : la force normale ; R : la force résultante ; D : la traînée ; L : la portance ; MBA : le moment de tangage de bord d’attaque. La portance et la traînée peuvent être déterminées à partir des forces axiale et normale connaissant l’angle d’incidence du profil. L = N cos α − A sin α D = N sin α + A cos α

I-4-2 Forces et moments appliqués à un profil 2D

Dans le cas d’un profil 2D, ou d’une aile d’envergure infinie, on définit les forces et moments par unité d’envergure (b = 1 m), et on note ´ les forces et moments correspondants. I-4-3 Efforts surfaciques

On définit p(s) la distribution surfacique de pression et τ(s) la distribution surfacique de frottement par contrainte de cisaillement visqueux, sur l’intrados (indice i) et l’extrados (indice e) du profil.

19

x

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z

p

τ

s

x

α

U∞

Figure 25 : Distribution d’efforts surfaciques Examinons les efforts appliqués sur un élément de profil, situé côté extrados puis côté intrados. z

pe(s)

τe(s) MBA > 0 dse

θ>0 τi(s) θ>0

dsi

α

x

U∞ pi(s)

Figure 26 Efforts surfaciques côté intrados et côté extrados Il vient : - sur l’extrados, pour un élément dse : dN ′e = −p e cos θ ds e + τ e sin θ ds e dA ′e = p e sin θ ds e + τ e cos θ ds e -

sur l’intrados, pour un élément dsi : dN ′i = p i cos θ ds i + τ i sin θ ds i

dA ′i = − p i sin θ ds i + τ i cos θ ds i

Les forces normale et axiale totales par unité d’envergure s’obtiennent en intégrant les forces élémentaires côté extrados et intrados entre le bord d’attaque et le bord de fuite : N′ = ∫

BF

BA

(− p e cos θ + τ e sin θ)ds e + ∫BA (p i cos θ + τ i sin θ)ds i BF

20

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(p e sin θ + τ e cos θ)ds e + ∫BA (− p i sin θ + τ i cos θ)ds i BA

A′ = ∫

BF

BF

On en déduit la portance et la traînée : L ′ = N ′ cos α − A ′ sin α D ′ = N ′ sin α + A ′ cos α

Si l’on décompose les forces normale et axiale en une partie provenant de la distribution de pression et une partie provenant de la distribution de frottement :

N ′ = N ′p + N ′τ A ′ = A ′p + A ′τ On en déduit une décomposition similaire de la traînée : D′ = D′p + D′τ où D′p est la traînée de pression et D′τ la traînée de frottement. De même que pour les efforts, on peut calculer le moment de tangage au bord d’attaque : - sur l’extrados, pour un élément dse : dM ′BA,e = (p e cos θ − τ e sin θ)x ds e + (p e sin θ + τ e cos θ)z ds e -

sur l’intrados, pour un élément dsi : dM ′BA,i = −(p i cos θ + τ i sin θ)x ds i + (− p i sin θ + τ i cos θ)z ds i

Le moment résultant des efforts appliqués au profil, calculé au bord d’attaque est alors : M ′BA = ∫

BF

BA

+∫

[(p e cos θ − τ e sin θ)x + (p e sin θ + τ e cos θ)z]ds e

BF

BA

[− (p i cos θ + τ i sin θ)x + (− p i sin θ + τ i cos θ)z]ds i

I-4-4 Efforts aérodynamiques et moments 3D

Dans l’espace, on définit les efforts aérodynamiques et les moments suivants : D : la traînée ; L : la portance ; T : la dérive ; MR : le moment de roulis ; MT : le moment de tangage ; ML : le moment de lacet. Dans le cas 2D, il ne reste, comme nous l’avons vu précédemment, que deux forces (traînée et portance) et un moment (moment de tangage). Ce moment pourra être appliqué, par exemple, au bord d’attaque du profil.

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z L MR

ML y

x

D

T MT

Figure 27 : Efforts et moments aérodynamiques 3D I-5 Coefficients aérodynamiques

Les différents coefficients aérodynamiques sont définis à partir de la pression dynamique 1 q ∞ = ρU ∞2 . 2 I-5-1 Coefficients d’une aile

Pour une aile 3D, on définit les coefficients par rapport à la surface de l’aile : A - le coefficient d’effort axial : CA = q ∞S N - le coefficient d’effort normal : CN = q ∞S L - le coefficient de portance : CL = q ∞S D - le coefficient de traînée : CD = q ∞S M C M ,BA = BA - le coefficient de moment : q ∞ Sc I-5-2 Coefficients d’un profil

Pour un profil 2D, on définit les coefficients par rapport à la corde du profil (pour une longueur d’aile unité) : A′ - le coefficient d’effort axial : C A′ = q∞c N′ - le coefficient d’effort normal : C N′ = q∞c L′ - le coefficient de portance : C L′ = q∞c D′ - le coefficient de traînée : C D′ = q∞c

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-

le coefficient de moment

C M′,BA =

:

M ′BA q∞c2

I-5-3 Coefficients de pression et de frottement

On définit également le coefficient de pression et le coefficient de frottement pariétal : p(s ) − p ∞ C p (s ) = : - le coefficient de pression q∞ τ(s ) - le coefficient de frottement : C f (s ) = q∞ Contrairement aux coefficients d’effort et de moment, qui sont globaux, ces deux coefficients sont locaux et sont fonction de la position sur le profil. I-5-4 Finesse d’un profil ou d’une aile

La finesse f d’un profil ou d’une aile est le rapport entre le coefficient de portance et le coefficient de traînée : f =

CL L = CD D

La finesse est fonction de la forme du profil ou de l’aile, mais également de l’angle d’incidence. Pour une aile d’avion, elle est de l’ordre de 25 et atteint 50 pour une aile de planeur. La finesse f correspond aussi au rapport entre la distance parcourue horizontalement et la distance parcourue verticalement pour un vol plané sans vent extérieur. I-5-5 Calcul des coefficients de portance et de traînée

D’après les notations précédentes, Cp,e est le coefficient de pression sur l’extrados et Cp,i le coefficient de pression sur l’intrados. De même l’on désigne par Cp,1 le coefficient de pression sur la partie amont aux maxima d’épaisseur de l’aile (ze côté extrados et zi côté intrados) et Cp,2 le coefficient de pression sur la partie aval aux maxima d’épaisseur de l’aile. z Cp,e 0

α

c

x

Cp,2 c

x

Cp,i U∞ z Cp,1 0

α

ze zi

U∞

Figure 28 : Distribution du coefficient de pression

23

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En négligeant l’effet du frottement, on peut, connaissant la distribution du coefficient de pression Cp sur le profil, obtenir les coefficients d’effort axial et d’effort normal : 1

1

ze c

ze

c

c

⎛x⎞ ⎛x⎞ ⎛x⎞ ⎛x⎞ C N ′ = ∫ C p , i ⎜ ⎟d ⎜ ⎟ − ∫ C p , e ⎜ ⎟d ⎜ ⎟ ⎝c⎠ ⎝c⎠ 0 ⎝c⎠ ⎝c⎠ 0

C A′

c ⎛z⎞ ⎛z⎞ ⎛z⎞ ⎛z⎞ = ∫ C p ,1 ⎜ ⎟d⎜ ⎟ − ∫ C p , 2 ⎜ ⎟d⎜ ⎟ ⎝ c ⎠ ⎝ c ⎠ zi ⎝c⎠ ⎝c⎠ zi

d’où l’on déduit l’expression des coefficients de portance et de traînée : C L′ = C N′ cos α − C A′ sin α C D′ = C N′ sin α + C A′ cos α I-6 Centre de pression

Le centre de pression d’un profil est le point autour duquel le moment résultant des efforts aérodynamiques appliqués au profil est nul : M′cp = 0 Par rapport au moment des efforts calculé au bord d’attaque du profil, la position du centre de pression est donnée par la relation : x cp = −

M ′BA N′

M ′BA . L′ Remarque : la position du centre de pression dépend de l’angle d’incidence du profil. Pour de faibles angles d’incidence, sin α ≈ 0 et cos α ≈ 1 donc N′ ≈ L′ et x cp ≈ −

I-7 Moment quart de corde

On définit le moment quart de corde d’un profil comme le moment résultant des efforts aérodynamiques appliqués à x = c / 4. c M ′BA = − L′ + M′c / 4 = − x cp L′ 4 efforts appliqués au bord d’attaque M′BA≠0 L′ M′BA

•

efforts appliqués au quart de corde M′c/4≠0 L′ M′c/4

D′

•

D′

efforts appliqués au centre de pression M′cp=0 L′

•

D′

xcp

c/4

Figure 29 : Différents points d’application des efforts aérodynamiques Remarque : pour un profil mince symétrique, le centre de pression est situé au quart de corde.

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I-8 Centre aérodynamique

Le centre aérodynamique d’un profil est le point du profil pour lequel le moment est indépendant de l’angle d’incidence :

M′ca (α ) = cst

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II Écoulement potentiel autour d’un profil II-1 Introduction

Dans ce chapitre, nous étudions l’écoulement potentiel autour d’un profil, c’est à dire dont le champ de vitesse dérive d’un potentiel, satisfaisant les hypothèses d’écoulement : ∂ - stationnaire : =0 ; ∂t - non visqueux : ν négligeable ; r divV = 0 ; - incompressible : r r - irrotationnel : rotV = 0 . En pratique, cette démarche pourra être mise en œuvre pour les écoulements dont la couche limite reste attachée sur le profil, c’est à dire pour des incidences faibles. U∞

U∞

forte incidence écoulement décollé

faible incidence écoulement attaché

Figure 30 : Effet de l’incidence du profil sur le type d’écoulement II-2 Potentiel de vitesse

Dans un écoulement potentiel, il vient : → r V = grad Φ

avec les conditions limites : r r - lim V = U ∞ x → −∞

-

sur le profil (imperméabilité)

r r V⋅n = 0

⇔

∂Φ =0 ∂n

L’équation de continuité s’écrit alors : ⎛ → ⎞ r divV = div⎜ gradΦ ⎟ = ΔΦ = 0 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

La fonction potentielle Φ est donc solution de l’équation de Laplace ΔΦ = 0. II-3 Nappe tourbillonnaire r On rappelle que la circulation d’un champ de vecteur V autour d’un contour fermé C est définie par : r r Γ = −∫ V ⋅ d l C

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C

r V r dl

Figure 31 : Contour fermé pour le calcul de la circulation d’un champ de vecteur D’après le théorème de Stokes :

r r r r Γ = − ∫ V ⋅ d l = − ∫∫ rotV ⋅ n dS Σ

C

où Σ est une surface quelconque s’appuyant sur le contour C. On définit une nappe tourbillonnaire comme étant la distribution de tourbillons suivant une ligne (a, b). P(x,y) •

z

r

z

γ(s)

y x

x

a

dV

θ

ds s

b

Figure 32 : Nappe tourbillonnaire Si l’on considère un élément de longueur ds de la ligne (a, b) d’intensité tourbillonnaire γ(s), on peut calculer la vitesse induite par ce tourbillon, supposé ponctuel, au point P(x,z). En effet, par définition d’un écoulement tourbillonnaire irrotationnel : V=

cst r

La constante cst est déterminée par la circulation autour d’une ligne de courant circulaire de rayon r entourant l’élément ds. r r dΓ = γ (s )ds = − ∫ dV ⋅ d l = −2πr dV C

d’où : dV = −

γ ds 2πr

Par ailleurs, comme en coordonnées polaires Vθ = dΦ = −

1 ∂Φ on a : r ∂θ

γ ds θ 2π

28

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Par intégration sur toute la longueur de la ligne tourbillonnaire, il vient : b

1 Φ=− θγ ds 2π ∫a

La circulation autour de la ligne tourbillonnaire est l’intégrale curviligne des tourbillons élémentaires : b

Γ = ∫ γ ds a

Cette ligne tourbillonnaire est une discontinuité de l’écoulement à travers laquelle se produit un saut de vitesse. Examinons ce qui se passe pour un rectangle élémentaire entourant une portion de ligne tourbillonnaire. u1 w2

w1

dn

u2 ds

Figure 33 : Discontinuité de la vitesse autour d’un élément de nappe tourbillonnaire La circulation autour du rectangle est : r r dΓ = − ∫ dV ⋅ d l = −(w 2 dn − u 1ds − w 1dn + u 2 ds ) C

dΓ = (u 1 − u 2 ) ds + (w 1 − w 2 ) dn

Or, comme l’on considère un élément ds de la ligne tourbillonnaire, la circulation autour du rectangle est :

dΓ = γ ds d’où : γ ds = (u 1 − u 2 )ds + (w 1 − w 2 )dn

Par passage à la limite quand dn → 0, les vitesses u1 et u2 sont les composantes de vitesse tangentielle immédiatement dessus et dessous la ligne tourbillonnaire. γ ds = (u 1 − u 2 )ds γ = u1 − u 2

Le saut de vitesse local de part et d’autre de la nappe tourbillonnaire est égal à l’intensité tourbillonnaire locale de la nappe. Examinons maintenant la variation de pression de part et d’autre d’un élément de nappe tourbillonnaire.

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p1 u1

u2 p2

Figure 34 : Discontinuité de la pression autour d’un élément de nappe tourbillonnaire D’après le théorème de Bernoulli appliqué entre l’infini amont et les deux côtés de la ligne : 1 1 1 p ∞ + ρU ∞2 = p1 + ρU 12 = p 2 + ρU 22 2 2 2 avec U 1 = U ∞ + u 1 et U 2 = U ∞ + u 2 d’où : p 2 − p1 = p 2 − p1 =

[

1 2 2 ρ ( U ∞ + u 1 ) − (U ∞ + u 2 ) 2

]

1 ρ( U ∞2 + 2U ∞ u 1 + u 12 − U ∞2 − 2U ∞ u 2 − u 22 ) 2 { ordre 2

{ ordre 2

p 2 − p1 = ρU ∞ (u 1 − u 2 )

Or, on sait que : γ = u1 − u 2

d’où : δp = p1 − p 2 = ρU ∞ γ

II-4 Modélisation d’un profil

L’écoulement incompressible autour d’un profil sera modélisé à partir de la notion de nappe tourbillonnaire. Pour cela on considère un profil de forme et d’épaisseur quelconques, placé dans un écoulement incident de module U∞. Le profil est modélisé en remplaçant sa surface matérielle par une nappe tourbillonnaire d’amplitude γ(s), de telle sorte que la vitesse induite par cette distribution soit la même que celle générée par l’écoulement de module U∞ autour du profil réel. U∞

U∞

Figure 35 : Modélisation d’un profil La circulation autour du profil est par définition :

Γ = ∫ γds

30

s

γ(s)

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et la portance est donnée par le théorème de Kutta-Joukowski (1906) : la force aérodynamique qui s’exerce sur un profil dans un écoulement incompressible, irrotationnel où les effets de la viscosité sont négligeables est dirigée dans une direction normale à l’écoulement incident et d’amplitude : L′ = ρU ∞ Γ

Cette approche de la modélisation de l’écoulement autour d’un profil n’est pas nouvelle, puisqu’elle a été développée par Ludwig Prandtl et Max Munk dans les années 1912 − 1920. Cependant, il n’y a pas de solution analytique au problème ainsi posé pour un profil de forme et d’épaisseur quelconque. La distribution d’intensité tourbillonnaire peut néanmoins être déterminée numériquement, comme nous le verrons au chapitre VI. Ainsi la mise en œuvre générale et directe de cette approche a dû attendre le milieu des années 1960 et l’avènement des gros calculateurs. Remarque : pour un profil mince, on peut assimiler la distribution de tourbillons autour du profil à une distribution de tourbillons le long de la ligne de cambrure moyenne du profil. U∞

U∞

s

γ(s)

ligne de cambrure moyenne

profil mince

Figure 36 : Modélisation d’un profil mince II-5 Condition de Kutta

La théorie de l’écoulement potentiel autour d’un profil n’admet pas une solution unique. Ainsi, on peut obtenir les deux solutions ci-dessous pour le même profil et le même angle d’incidence.

•

•

•

• Γ2

Γ1

Figure 37 : Deux solutions potentielles possibles pour l’écoulement autour d’un profil Il faut une condition supplémentaire pour savoir quelle est la solution qui a un sens physique. Pour cela, il faut connaître la nature de l’écoulement au bord de fuite du profil, où la vitesse doit être tangente au profil. Celui-ci peut soit former un angle fini, soit posséder une tangente identique côté intrados et côté extrados. V2 χ • BF V1 • V1 BF V2 bord de fuite formant un angle fini

bord de fuite en point de rebroussement

Figure 38 : Écoulement au bord de fuite d’un profil

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Dans le cas d’un bord de fuite formant un angle fini, si la vitesse au point a est finie alors il y a deux vitesses avec des directions différentes au même point, ce qui n’est pas possible d’un point de vue physique, donc : V1 = V2 = 0 Dans le cas d’un point de rebroussement au bord de fuite, V1 et V2 ont la même direction, donc peuvent êtres finies. Cependant, la pression statique au bord de fuite est unique, or d’après le théorème de Bernoulli : 1 1 p BF + ρV12 = p BF + ρV22 2 2 d’où : V1 = V2 Cette condition impose le tourbillon au bord de fuite qui vaut : γ (BF) = V1 − V2 = 0

II-6 Circulation autour d’un profil

Soit un écoulement de fluide non-visqueux, incompressible, en l’absence de forces extérieures. Considérons le déplacement de particules fluides le long d’un contour fermé qui se trouve : en C1 ; - à l’instant t1 - à l’instant t2 > t1 en C2. t2 t1 C2 C1

r V

r V

Figure 39 : Déplacement au cours du temps d’un contour fermé dans l’écoulement La circulation autour du contour C1 est :

r r Γ1 = − ∫ V ⋅ d l C1

Comme nous considérons le déplacement des mêmes particules fluides entre les instants t1 et t2, la circulation autour du contour C2 vaut : r r Γ2 = − ∫ V ⋅ d l C2

32

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On rappelle également le théorème de Kelvin qui s’obtient facilement en écoulement potentiel irrotationnel à partir du théorème de Stokes. Il énonce la conservation de la circulation au cours du temps : dΓ =0 dt Donc Γ1 = Γ2. On montre ainsi qu’une nappe tourbillonnaire présente dans un écoulement à un instant t demeurera une nappe tourbillonnaire quelque soit t. Considérons maintenant un profil plongé dans un fluide au repos, et un contour C1 entourant ce profil. C1

Γ1 = 0

C2

Γ2 = 0 Γ3

Γ4

C4 r r V = 0

C3

U

Figure 40 : Création du tourbillon du démarrage par conservation de la circulation r r Le fluide étant au repos, le champ de vitesse vaut V = 0 partout d’où : r r Γ1 = − ∫ V ⋅ d l = 0 C1

Un écoulement s’établit autour du profil, et le contour C1 évolue sous l’effet de cet écoulement, en un contour C2. D’après la conservation de la circulation autour du profil : Γ1 = Γ2 = 0

Cependant, pendant les tous premiers instants de démarrage de l’écoulement, il se produit une région de fort gradient de vitesse au bord de fuite et par conséquent s’établit une circulation autour du profil sur un contour C4 tel que : r r Γ4 = − ∫ V ⋅ d l ≠ 0 C4

Si l’on choisit un contour tel que C2 = C4 ∪ C3 alors on peut écrire la conservation de la circulation : Γ2 = Γ3 + Γ4 = 0 Γ3 = −Γ4 Il y a donc une circulation autour du contour C3 qui se traduit par la présence d’un tourbillon de démarrage lors de l’établissement de l’écoulement autour du profil.

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II-7 Développements historiques (les premières théories) II-7-1 Martin Wilhelm Kutta (1867-1944)

Ce mathématicien allemand s’intéressa à l’aérodynamique à la suite des vols d’Otto Lilienthal. Il essaya de calculer théoriquement la portance sur un profil d’aile employé par Lilienthal et supposa, à partir des données expérimentales, que l’écoulement quittait bien le profil en son bord de fuite et que ce processus fixait la circulation autour du profil. Il était réticent à publier cette idée et attendit 1902 pour rédiger une courte note où il ne donnait pas la relation quantitative entre la circulation et la portance. II-7-2 Nicolaï Egorovich Joukowski (1847-1921)

Ce mathématicien et physicien russe s’intéressa à l’aérodynamique à la fois expérimentale et théorique. Il construisit la première soufflerie de Russie en 1902. Il publia en 1906 le théorème qui porte son nom en n’ayant pas connaissance des travaux de Kutta. II-7-3 Max Munk (1890-1986)

Il travailla dans l’équipe de Ludwig Prandtl à Göttingen où il présenta une thèse de doctorat. Ses travaux concernaient l’aérodynamique théorique, et sa contribution majeure fut la théorie des profils minces en 1917. Il est intéressant de remarquer que cette théorie, permettant le dessin de forme de profils, ne fut établie que bien après les débuts de l’aéronautique. Après la Première Guerre Mondiale il partit travailler aux Etats-Unis ou il poursuivit ses travaux au sein du National Advisory Committee for Aerodynamics (1921). Il contribua à la réalisation de la première soufflerie subsonique à masse volumique variable (Variable Density Tunnel, 1922) qui fournit les données des profils NACA pour différents nombres de Reynolds.

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Figure 41 : Variable Density Tunnel (1922) espace vide annulaire

redresseur de l’écoulement

moteur

hélice section d’essais

Figure 42 : Schéma du Variable Density Tunnel

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36

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III Théorie des profils minces III-1 Introduction

La théorie des profils minces fut développée par Ludwig Prandtl et Max Munk pendant la Première Mondiale. C’est une approche quantitative des efforts qui s’exercent sur un profil dans un écoulement potentiel. Elle est fondée sur une méthode de petites perturbations du champ de vitesse dues à la présence du profil dans l’écoulement. III-2 Équation fondamentale de la théorie des profils minces III-2-1 Hypothèses

Les hypothèses de la théorie des profils minces considèrent : - un profil de faible épaisseur, décrit par sa ligne de cambrure moyenne ; - un profil faiblement cambré ; - un angle d’incidence faible (en pratique −15° ≤ α ≤ 15°). z ligne de cambrure moyenne z(x)

α

c

0

x

U∞

Figure 43 : Profil mince Le profil mince est donc défini par sa ligne de cambrure moyenne. Dans le cadre des hypothèses précédentes : dz petit ⇒ cos α ≈ 1 sin α ≈ tan α ≈ α α petit et dx dz ⎛ dz ⎞ ⇒ arctan⎜ − ⎟ ≈ − dx ⎝ dx ⎠ III-2-2 Champ de vitesse autour du profil

Nous avons vu précédemment que pour un profil mince, on peut assimiler la distribution de tourbillons autour du profil à une distribution de tourbillons le long de la ligne moyenne du profil. Dans le cadre de cette théorie de profil mince faiblement cambré, nous allons remplacer la distribution de tourbillon sur la ligne de cambrure moyenne par une distribution de tourbillons sur la corde du profil, en conservant le fait que la ligne de cambrure moyenne est une ligne de courant (condition limite) et que la condition de Kutta soit vérifiée. z z Vn Vn γ(s) s s α

α

x U∞

U∞

γ(s)

Figure 44 : Équivalence entre une distribution de tourbillons sur la ligne de cambrure moyenne du profil ou sur sa corde 37

x

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Pour que la ligne de cambrure moyenne soit une ligne de courant, il faut que la composante de vitesse normale à cette ligne soit nulle sur toute sa longueur. On décompose le champ de vitesse en une partie liée à l’écoulement incident et une partie liée à la présence du profil (générée par la distribution de tourbillons) : r r r V (x , z ) = U ∞ + v (x , z ) r r r r r V(x , z ) = U ∞ (cos α e x + sin α e z ) + u e x + w e z où les perturbations induites par le profil u(x, z) et w(x, z) sont petites devant U∞. r U∞

z

α

r v r V

x

r U∞

Figure 45 : Perturbation de vitesse induite par le profil Comme la ligne de cambrure moyenne est une ligne de courant, explicitons le fait que la vitesse normale soit nulle.

w

V∞,n

⎛ dz ⎞ arctan⎜ − ⎟ ⎝ dx ⎠

⎛ dz ⎞ arctan⎜ − ⎟ ⎝ dx ⎠ vn u U∞

α ⎛ dz ⎞ arctan⎜ − ⎟ ⎝ dx ⎠

z

z(x) x

Figure 46 : Vitesse normale au profil La composante de vitesse normale à la ligne de cambrure moyenne est donc : Vn = V∞ ,n + v n avec : ⎡ ⎛ dz ⎞⎤ V∞ ,n = U ∞ sin ⎢α + arctan⎜ − ⎟⎥ ⎝ dx ⎠⎦ ⎣ ⎡ ⎡ ⎛ dz ⎞⎤ ⎛ dz ⎞⎤ v n = w cos ⎢arctan⎜ − ⎟⎥ + u sin ⎢arctan⎜ − ⎟⎥ ⎝ dx ⎠⎦ ⎝ dx ⎠⎦ ⎣ ⎣ 38

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d’où : ⎡ ⎡ ⎡ ⎛ dz ⎞⎤ ⎛ dz ⎞⎤ ⎛ dz ⎞⎤ ⎟⎥ + u sin⎢ arctan⎜ − ⎟⎥ + w cos⎢ arctan⎜ − ⎟ Vn = U ∞ sin⎢α + arctan⎜ − ⎝ dx ⎠⎦ ⎝ dx ⎠⎦ ⎝ dx ⎠⎥⎦ ⎣ ⎣ ⎣

144244 3 dz − dx

14442444 3 1

144424443 ordre 2

⎛ ⎛ dz ⎞ dz ⎞ ⎟ + w = U ∞ ⎜α − ⎟+ w Vn = U ∞ sin⎜α − ⎝ ⎝ dx ⎠ dx ⎠

1 424 3 petit

comme Vn = 0 il vient : dz ⎞ ⎛ w = −U ∞ ⎜ α − ⎟ dx ⎠ ⎝ Déterminons maintenant la perturbation w induite par la nappe tourbillonnaire répartie suivant la corde, en considérant un élément d’intensité γ dξ. z

ré l

w

x

ξ x

Figure 47 : Vitesse induite par un élément de la nappe tourbillonnaire La vitesse induite en x par le tourbillon élémentaire est : dw = −

γ (ξ ) dξ 2π(x − ξ )

La vitesse induite en x par l’ensemble de la nappe tourbillonnaire est alors simplement : c

w (x ) = − ∫ 0

γ (ξ ) dξ 2π(x − ξ )

On obtient ainsi l’équation fondamentale de la théorie des profils minces : dz ⎞ 1 γ (ξ ) ⎛ U∞ ⎜α − ⎟ = dξ dx ⎠ 2π ∫0 x − ξ ⎝ c

39

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III-3 Profils minces symétriques

Un profil symétrique n’a pas de cambrure, donc

dz = 0 et l’équation fondamentale de la dx

théorie des profils minces devient : 1 γ (ξ ) dξ 2π ∫0 x − ξ c

U∞α =

On effectue le changement de variable suivant : c ξ = (1 − cos θ* ) 2 dξ =

c sin θ* dθ* 2

x=

c (1 − cos θ) 2

avec θ tel que :

θ 0

c

c 2

θ=0

x

θ=π

bord d’attaque

bord de fuite

Figure 48 : Schéma du changement de variable L’équation fondamentale des profils minces s’écrit alors : π

U∞α =

( )

1 γ θ * sin θ * dθ * 2π ∫0 cos θ * − cos θ

On montre que cette équation intégrale admet comme solution : γ (θ) = 2αU ∞

1 + cos θ sin θ

ce que l’on peut vérifier en remplaçant la solution dans l’équation intégrale :

( )

π U ∞ α π 1 + cos θ * 1 γ θ * sin θ * * d θ = dθ * * * ∫ ∫ 2π 0 cos θ − cos θ π 0 cos θ − cos θ

40

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or d’après l’intégrale de Glauert (souvent utile et dont la démonstration est donnée en annexe 1) : π

cos nθ * π sin nθ * ∫0 cos θ* − cos θ dθ = sin θ

on obtient : π ⎞ U ∞ α π 1 + cos θ* U∞α ⎛ π 1 cos θ* * * * ⎜ d d d θ = θ + θ ∫0 cos θ* − cos θ ⎟⎟⎠ π ⎜⎝ ∫0 cos θ* − cos θ π ∫0 cos θ* − cos θ U α = ∞ (0 + π) π = U∞α

Connaissant la distribution de tourbillons sur le profil, il est maintenant possible de calculer la circulation et la portance : c

Γ = ∫ γ (ξ )dξ 0

en utilisant le changement de variable précédent : π

( )

c Γ = ∫ γ θ * sin θ * dθ * 20 π

(

)

Γ = αcU ∞ ∫ 1 + cos θ * dθ * = παcU ∞ 0

D’après le théorème de Kutta-Joukowski : L′ = ρU ∞ Γ = παcρU ∞2 on en déduit le coefficient de portance : C L′ =

L′ παcρU ∞2 = q∞c 1 ρ U2 c ∞ ∞ 2

d’où : C L′ = 2πα

et la pente du coefficient de portance vaut donc : a0 =

dC L′ = 2π dα

Calculons le moment de bord d’attaque à partir d’un tourbillon élémentaire d’intensité γ(ξ) dξ.

41

Aérodynamique Appliquée − Th. FAURE − Master SDI Parcours MIS − Module MS 154

dL´

dΓ=γ(ξ)dξ γ(ξ)

bord d’attaque • dξ

ξ

Figure 49 : Moment induit par un élément de la nappe tourbillonnaire Ce tourbillon élémentaire génère une portance dL´ telle que : dL ′ = ρU ∞ dΓ

d’où un moment par rapport au bord d’attaque : dM ′BA = −ξdL′

Le moment total créé par la nappe tourbillonnaire est : c

c

0

0

M ′BA = − ∫ ξdL ′ = −ρU ∞ ∫ ξγ (ξ )dξ

d’où, après le changement de variables précédent : M ′BA = −q ∞ c 2

πα 2

Le coefficient de moment est donc : C M′,BA =

M ′BA C πα =− = − L′ 2 2 4 q∞c

De même, calculons le moment quart de corde : C M′,c / 4 = C M′′,BA +

C L′ 4

donc, pour un profil mince symétrique : C M′,c / 4 = 0 ce qui signifie que le centre de pression est au quart de corde, tout comme le centre aérodynamique. Remarque : la théorie potentielle ne permet pas de prédire la traînée du profil. III-4 Profils minces cambrés

dz ≠ 0 et on utilise la forme générale de l’équation dx fondamentale de la théorie des profils minces : Pour un profil mince cambré

42

Aérodynamique Appliquée − Th. FAURE − Master SDI Parcours MIS − Module MS 154

dz ⎞ 1 γ (ξ ) ⎛ dξ U∞ ⎜α − ⎟ = dx ⎠ 2π ∫0 x − ξ ⎝ c

Utilisons à nouveau le changement de variable : ξ=

c (1 − cos θ* ) 2

d’où :

( )

π

dz ⎞ 1 γ θ * sin θ* ⎛ U∞ ⎜α − ⎟ = dθ * * ∫ dx 2 π cos θ − cos θ ⎝ ⎠ 0

Cette équation admet pour solution : ⎛ 1 + cos θ ∞ ⎞ γ (θ) = 2U ∞ ⎜ A 0 + ∑ A n sin nθ ⎟ sin θ n =1 ⎝ ⎠

où le premier terme est semblable à ce que l’on obtient pour le profil non cambré plus une décomposition en série de Fourier. On peut vérifier que cette relation est solution de l’équation de départ, sachant que : π

cos nθ * π sin nθ * ∫0 cos θ* − cos θ dθ = sin θ π

sin nθ * sin θ * * ∫0 cos θ* − cos θ dθ = −π cos nθ

Si l’on réintroduit cette solution dans l’équation de départ, il vient : π

α−

π

dz 1 1 + cos θ * 1 ∞ sin nθ * sin θ * * * = ∫ A0 θ + d A ∑ n cos θ* − cos θ dθ dx π 0 π n =1 ∫0 cos θ * − cos θ

d’où : α−

∞ dz = A 0 − ∑ A n cos nθ dx n =1

donc : ∞ dz = α − A 0 + ∑ A n cos nθ dx n =1

On montre ainsi que l’on peut écrire la fonction

dz sous la forme d’une série de Fourier du dx

type : ∞

f (θ) = B 0 + ∑ B n cos nθ n =1

avec les coefficients B0 et Bn : π

( )

1 B 0 = ∫ f θ * dθ * π0 43

Aérodynamique Appliquée − Th. FAURE − Master SDI Parcours MIS − Module MS 154 π

( )

2 B n = ∫ f θ* cos nθ * dθ * π0

Les coefficients de Glauert A0, An correspondent donc à un développement en série de dz cosinus de entre 0 et π : dx π

B0 = α − A 0 =

1 dz * dθ π ∫0 dx

π

Bn = A n =

2 dz cos nθ * dθ * ∫ π 0 dx

dz fonction de θ. dx Connaissant la ligne de cambrure moyenne z(x) du profil, on pourra donc calculer les coefficients de Glauert A0, An et en déduire la distribution de tourbillons γ(θ) : c’est la méthode directe. Au contraire, connaissant la répartition de tourbillons γ autour d’un profil, on pourra dz effectuer un développement pour obtenir et donc la ligne de cambrure moyenne : c’est la dx méthode inverse. À partir de la distribution de tourbillons, il est maintenant possible de déterminer les coefficients aérodynamiques du profil. La circulation totale est : avec

c

Γ = ∫ γ (ξ )dξ = 0

π

c γ (θ ) sin θdθ 2 ∫0

d’où : π ∞ ⎡ π ⎤ Γ = cU ∞ ⎢A 0 ∫ (1 + cos θ)dθ + ∑ A n ∫ sin nθ sin θdθ⎥ n =1 0 ⎣ 0 ⎦

or : π

∫ (1 + cos θ)dθ = π 0

⎧⎪ π ∫0 sin nθ sin θ dθ = ⎨ 2 ⎪⎩0 π

si n = 1 si n ≠ 1

donc : π ⎞ ⎛ Γ = cU ∞ ⎜ πA 0 + A 1 ⎟ 2 ⎠ ⎝ On en déduit la portance par unité d’envergure :

44

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π ⎞ ⎛ L′ = ρU ∞ Γ = ρU ∞2 c⎜ πA 0 + A 1 ⎟ 2 ⎠ ⎝ et le coefficient de portance : CL′ =

L′ = π(2A 0 + A1 ) q ∞c

En remplaçant A0 et A1 par leur expression, il vient : π ⎤ ⎡ 1 dz C L′ = 2π ⎢α + ∫ (cos θ − 1)dθ⎥ π 0 dx ⎦ ⎣

1442443 cst donc la pente du coefficient de portance vaut : a0 =

dC L′ = 2π dα

tout comme pour un profil symétrique. La théorie des profils minces prédit que la pente du coefficient de portance par rapport à l’angle d’incidence est indépendante de la forme du profil. Si on note αL'=0 l’angle d’incidence pour lequel la portance est nulle, il vient : C L′ =

dC L′ (α − α L′=0 ) = 2π(α − α L′=0 ) dα

avec la définition de CL' sous forme intégrale on a : π

α L′ = 0

1 dz = − ∫ (cos θ − 1)dθ π 0 dx

Remarque : αL'=0 dépend de la forme du profil, car pour un profil symétrique on a αL'=0 = 0. Tout comme pour un profil symétrique, on peut calculer maintenant le moment de bord d’attaque : c

c

0

0

M ′BA = − ∫ ξdL ′ = −ρU ∞ ∫ ξγ (ξ )dξ M ′BA = −ρU ∞

c2 4

π

∫ (1 − cos θ)sin θ γ(θ)dθ 0

d’où le coefficient de moment : C M′,BA

1 =− 2U ∞

π

∫ (1 − cos θ)sin θ γ(θ)dθ 0

En remplaçant γ(θ) par son expression et en calculant les intégrales il vient : A ⎞ π⎛ C M′,BA = − ⎜ A 0 + A 1 − 2 ⎟ 2 ⎠ 2⎝

45

Aérodynamique Appliquée − Th. FAURE − Master SDI Parcours MIS − Module MS 154

π ⎤ ⎡C C M′,BA = − ⎢ L′ + (A 1 − A 2 )⎥ 4 ⎦ ⎣ 4 Remarque : pour un profil symétrique

dz = 0 et A1 = A2 = 0 et l’on retrouve l’expression dx

C L′ . 4 Le coefficient de moment au quart de corde est :

C M′,BA = −

C M′,c / 4 =

π (A 2 − A1 ) 4

Ce coefficient n’est pas nul pour un profil cambré, donc le quart de corde n’est pas le centre de pression. Par contre, comme les coefficients A1 et A2 ne dépendent pas de l’angle d’incidence α, CM′,c/4 est indépendant de α, et par conséquent le quart de corde est la position théorique du centre aérodynamique. D’après sa définition, la position du centre de pression est : x cp = −

C M′,BA c M ′BA =− L′ C L′

d’où : x cp =

⎤ π c⎡ (A1 − A 2 )⎥ ⎢1 + 4 ⎣ C L′ ⎦

46

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IV Théorie des profils épais IV-1 Introduction

Nous allons caractériser l’influence de l’épaisseur d’un profil sur le champ aérodynamique autour de ce profil. On restera toujours dans le cadre d’un écoulement potentiel. IV-2 Fonction potentielle et fonction de courant

On rappelle que dans un écoulement potentiel, le champ de vitesse s’écrit : → r V = grad Φ

avec la fonction potentielle solution de ΔΦ = 0 De même on définit la fonction de courant Ψ telle que : ΔΨ = 0 En coordonnées cartésiennes : U= W=

∂Φ ∂Ψ = ∂z ∂x ∂Φ ∂Ψ =− ∂x ∂z

Ces deux fonctions Φ et Ψ sont donc solutions de l’équation de Laplace, qui est une équation aux dérivées partielles du deuxième ordre linéaire. Ce résultat est important, car la somme de solutions particulières d’une équation différentielle linéaire est aussi solution de l’équation. On pourra donc décomposer un écoulement potentiel en plusieurs écoulements potentiels simples, et sommer les différentes solutions : Φ = Φ1 + Φ2 +…+ Φn IV-3 Écoulements élémentaires

Nous allons présenter les fonctions potentielles et les fonctions de courant associées à différents écoulements élémentaires 2D. IV-3-1 Écoulement uniforme

z

Φ = cst ligne équipotentielle M •

r U∞

Ψ = cst ligne de courant

θ

x

Figure 50 Écoulement uniforme

47

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Pour un écoulement uniforme, on montre que : Φ = U∞ x = U∞ r cos θ Ψ = U∞ z = U∞ r sin θ le champ de vitesse étant : u = U∞ w=0 IV-3-2 Source et puits

z

z

Ψ = cst

Φ = cst

Ψ = cst

Φ = cst Σ

Σ

•

x

source Σ > 0

•

puits Σ < 0 Figure 51 : Source et puits

Pour une source ou un puits 2D d’intensité Σ centré à l’origine on a : Φ=

Σ Σ ln r = ln x 2 + z 2 2π 2π

Ψ=

Σ Σ ⎛z⎞ θ= arctan⎜ ⎟ 2π 2π ⎝x⎠

avec le champ de vitesse : u=

Σ x 2 2π x + z 2

w=

Σ z 2 2π x + z 2

48

x

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IV-3-3 Dipôle

z

Ψ = cst

Φ = cst Σ Λ

−Σ

•

•

x

l

Figure 52 : Dipôle Un dipôle 2D est constitué d’un puits d’intensité -Σ et d’une source d’intensité Σ séparés entre eux d’une distance l → 0 ; l’amplitude Λ du dipôle est telle que :

Λ = lim lΣ l→0

La fonction potentielle et la fonction de courant associées à ce dipôle sont : Φ= Ψ=−

x Λ cos θ Λ = 2 2π x + z 2 2π r z Λ sin θ Λ =− 2 2π x + z 2 2π r

avec le champ de vitesse : Λ x2 − z2 u=− 2π x 2 + z 2 2

(

w=

)

xz Λ π x2 + z2

(

)

2

IV-3-4 Tourbillon

z

Φ = cst Ψ = cst

•

x

Figure 53 : Tourbillon

49

Aérodynamique Appliquée − Th. FAURE − Master SDI Parcours MIS − Module MS 154

Un tourbillon centré sur l’origine du repère est tel que : Φ=− Ψ=

Γ Γ ⎛z⎞ θ = − arctan⎜ ⎟ 2π 2π ⎝x⎠

Γ Γ ln r = ln x 2 + z 2 2π 2π

avec le champ de vitesse : u=

z Γ 2 2π x + z 2

w=−

x Γ 2 2π x + z 2

IV-4 Description d’un profil épais symétrique à incidence nulle

L’écoulement potentiel autour d’un profil épais symétrique à incidence nulle est modélisé par une répartition de sources et de puits σ(x) sur la surface du profil. Par raison de symétrie, on peut aussi considérer une distribution de sources ou de puits le long de la corde du profil. U∞

U∞

σ(s)

s

σ(x)

s

Figure 54 : Équivalence entre une distribution de sources ou du puits sur la surface du profil et le long de la corde

z

σ(x) U∞

c

0

x

Figure 55 : Modélisation d’un profil épais symétrique à incidence nulle Cet écoulement admet pour solution une fonction potentielle telle que : ΔΦ = 0 Or, pour une source (ou puits) d’intensité σ(x0)dx0 placé sur l’axe des abscisses en x0, on a : Φ x0 = Φ x0 =

σ(x 0 )dx 0 ln r 2π

σ(x 0 )dx 0 ln 2π

50

(x − x 0 )2 + z 2

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Pour une distribution linéique de sources le long de la corde du profil : c

1 Φ= σ(x 0 ) ln 2π ∫0

(x − x 0 )2 + z 2 dx 0

⎛ z 1 Ψ= σ(x 0 ) arctan⎜⎜ ∫ 2π 0 ⎝ x − x0 c

⎞ ⎟⎟dx 0 ⎠

avec le champ de vitesse : c 1 σ(x 0 )(x − x 0 ) dx 0 u= 2π ∫0 (x − x 0 )2 + z 2 c σ(x 0 )z 1 dx 0 w= ∫ 2 π 0 (x − x 0 ) 2 + z 2

et la condition limite, le long de la corde : w (x, z = ±0) = ±

σ( x ) 2

Si on note e(x) la répartition d’épaisseur le long du profil, on a la relation de vitesse normale à la paroi Vn = 0, démontrée au paragraphe III-2-2, qui s’explicite par : dz ⎞ ⎛ w = −U ∞ ⎜ α − ⎟ dx ⎠ ⎝

z

+e/2 −e/2

x c

Figure 56 : Distribution d’épaisseur d’un profil symétrique d’où : w = U∞

U de dz =± ∞ dx 2 dx

en reportant cette expression dans la condition limite précédente, il vient : σ( x ) = U ∞

de (x ) dx

ce qui donne pour les fonctions potentielle et de courant : Φ=

U∞ 2π

c

de ∫ dx (x ) ln (x − x ) 0

0

0

51

2

+ z 2 dx 0

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U Ψ= ∞ 2π

⎛ z de ∫ dx (x ) arctan⎜⎜⎝ x − x

0

⎞ ⎟⎟dx 0 ⎠

2

dx 0

c

0

0

et pour le champ de vitesse : U u= ∞ 2π U w= ∞ 2π

c

x−x de ∫ dx (x ) (x − x ) + z 0

0

2

0

0

c

z de ∫ dx (x ) (x − x ) 0

0

0

2

+ z2

dx 0

On remarque que la composante u est symétrique par rapport à l’axe des abscisses, et la composante w est antisymétrique. Le champ de vitesse autour du profil est alors : U = U∞ + W=

∂Φ ∂x

∂Φ ∂z

avec : 2

V 2 = U 2 + W 2 = U ∞2 + 2 U ∞

∂Φ ⎛ ∂Φ ⎞ ⎛ ∂Φ ⎞ +⎜ ⎟ ⎟ +⎜ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂z ⎠

2

En appliquant le théorème de Bernoulli, et en ne conservant que les termes du 1e ordre : p − p∞ =

∂Φ 1 ρ U ∞2 − V 2 ≈ −ρU ∞ 2 ∂x

(

)

p − p ∞ = −ρU ∞ u (x ,0 )

Le coefficient de pression est alors : Cp =

p − p∞ u (x ,0 ) = −2 1 U∞ ρU ∞2 2

d’où : c

1 de 1 C p = − ∫ (x 0 ) dx 0 x - x0 π 0 dx

La distribution de pression est donc identique sur les deux faces du profil d’où : δp = p i − p e = 0 Ce qui donne pour la portance : c

L′ = ∫ δpdx = 0 0

52

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IV-5 Description d’un profil mince cambré à incidence non nulle

L’écoulement potentiel autour d’un profil mince cambré à incidence non nulle est modélisé par une répartition de tourbillons γ(x) le long de la ligne de cambrure moyenne que l’on peut ramener à une distribution de tourbillons le long de la corde (cf. paragraphe III-2-2). z γ(s) α

U∞

0

x

c

Figure 57 : Modélisation d’un profil mince cambré à incidence non nulle Cet écoulement admet pour solution une fonction potentielle telle que : ΔΦ = 0 Or, pour un tourbillon d’intensité γ(x0)dx0 placé sur l’axe des abscisses en x0 : Φ x0 = − Φ x0 = −

γ (x 0 )dx 0 θ 2π

⎛ z γ (x 0 )dx 0 arctan⎜⎜ 2π ⎝ x − x0

⎞ ⎟⎟ ⎠

Pour une distribution linéique de tourbillons le long de la corde du profil : c ⎛ z 1 Φ=− γ (x 0 ) arctan⎜⎜ ∫ 2π 0 ⎝ x − x0 c

1 Ψ= γ (x 0 ) ln 2π ∫0

⎞ ⎟⎟dx 0 ⎠

(x − x 0 )2 + z 2 dx 0

avec le champ de vitesse : c γ (x 0 )z 1 u= dx 0 ∫ 2 π 0 (x − x 0 ) 2 + z 2 c 1 γ (x 0 )(x − x 0 ) w=− dx 0 2π ∫0 (x − x 0 )2 + z 2

et la condition limite, le long de la corde : u ( x , z = ±0 ) = ±

γ (x ) 2

Par ailleurs, la distribution de tourbillons γ(x) doit vérifier la condition de vitesse normale à la paroi qui est nulle qui s’écrit : dz ⎞ ⎛ w = −U ∞ ⎜ α − c ⎟ dx ⎠ ⎝ avec zc la ligne de cambrure moyenne du profil. On obtient ainsi l’équation fondamentale de la théorie des profils minces :

53

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dz c ⎞ 1 c γ (x 0 ) ⎛ U∞ ⎜α − dx 0 ⎟= dx ⎠ 2π ∫0 x − x 0 ⎝

Comme cette équation n’admet pas une solution unique, on doit par ailleurs vérifier la condition de Kutta : γ (x = c ) = 0

Par ailleurs, on a montré au paragraphe II-3 que l’élévation de pression entre l’intrados et l’extrados du profil était donnée par : δp = ρU ∞ γ (x )

d’où la portance : c

L′ = ρU ∞ ∫ γ (x )dx 0

C’est donc la distribution de tourbillons (liée à la cambrure) qui impose la portance du profil. IV-6 Principe de superposition

On s’intéresse à présent au problème complet de l’écoulement autour d’un profil épais cambré avec une incidence non nulle. Le principe de superposition consiste à séparer le problème de l’épaisseur du problème de la cambrure, c’est à dire de la portance. Comme l’écoulement potentiel autour d’un profil est un problème linéaire on peut décomposer le problème complet en trois sous problèmes : - l’écoulement autour d’un profil épais symétrique à incidence nulle ⇒ solution Φ1 ; - l’écoulement autour d’un profil mince symétrique à incidence non nulle ⇒ solution Φ2 ; - l’écoulement autour d’un profil mince cambré à incidence nulle ⇒ solution Φ3. La solution de l’écoulement potentiel complet est alors : Φ = Φ1 + Φ 2 + Φ 3

U∞

Φ1

U∞

Φ2

U∞

Φ3

U∞

Φ = Φ1 + Φ2 + Φ3

α

α Figure 58 : Principe de superposition

Remarque : en pratique, on peut traiter simultanément, comme nous l’avons vu dans la théorie des profils minces, le problème de la cambrure et de l’incidence non nulle.

54

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V Ailes d’envergure finie V-1 Introduction

Nous avons jusqu’à présent étudié l’écoulement 2D autour d’un profil. Cependant, les ailes réelles sont 3D et donc l’écoulement autour d’une aile est également 3D c’est à dire qu’il y a une composante de vitesse dans la direction de l’envergure. V-2 Tourbillons de bout d’aile et traînée induite

Examinons l’écoulement autour d’une aile d’envergure finie. Le mécanisme de création de portance implique une face de l’aile en surpression et une face en dépression. Aux extrémités, il y a donc enroulement de l’écoulement de l’intrados vers l’extrados.

wi

wi

wi < 0 est la perturbation induite le long de l’envergure par les tourbillons de bout d’aile

ligne de courant côté extrados ligne de courant côté intrados U∞

Figure 59 : Génération des tourbillons de bout d’aile

55

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Cette déviation de l’écoulement autour des extrémités de l’aile se traduit par deux tourbillons de bout d’aile contrarotatifs, qui se propagent, par convection de l’écoulement incident, en aval de l’aile. L’intensité de ces tourbillons est suffisamment forte pour qu’un avion de tourisme soit déstabilisé au décollage s’il suit de trop près un avion de ligne. C’est pour cette raison qu’il faut espacer les décollages des appareils sur les pistes d’envol, afin de laisser un temps suffisant pour la dissipation de ces tourbillons de bout d’aile. Les tourbillons de bout d’aile vont donc générer une perturbation −wi du champ de vitesse, qui a pour effet d’incliner la vitesse relative de l’écoulement incident. Di L wi < 0 αeff αi > 0 αi U∞ α αi w i extrémité de l’aile vitesse relative αi

Figure 60 : Traînée induite par les tourbillons de bout d’aile On appelle incidence induite αi l’angle formé entre l’écoulement amont et la vitesse relative. Ainsi, le profil voit l’écoulement incident avec un angle effectif αeff par rapport à l’incidence réelle, tel que : α eff = α − α i La portance du profil est perpendiculaire à la vitesse relative vue par le profil, par conséquent il y a une composante de la portance dans la direction de l’écoulement incident, qui est la traînée induite par la portance. Cette traînée induite provient de l’écoulement 3D qui modifie la distribution de pression le long de l’envergure de l’aile ; pour cette raison, la traînée induite est de type « traînée de pression ». Si Di est la traînée induite, Dτ la traînée de frottement et Dp la traînée de pression due au décollement, la traînée totale d’une aile d’envergure finie sera : D = Di + D τ + D p On appelle traînée de profil la contribution des deux derniers termes, qui sont liés aux effets visqueux : la traînée de frottement est due au frottement pariétal et la traînée de pression au décollement de couche limite. On définit ainsi le coefficient de traînée de profil : Cd =

Dτ + Dp q ∞S

qui est déterminé à partir des données du profil de l’aile. Le coefficient de traînée induite est alors défini par : C D ,i =

Di q ∞S

et il est calculé par la théorie des ailes d’envergure finies. Le coefficient de traînée totale est : C D = C d + C D ,i Ces tourbillons de bout d’aile ont été identifiés par Lanchester en 1907.

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V-3 Développements historiques (les théories tridimensionnelles) V-3-1 Frederick William Lanchester (1868-1946)

Frederick Lanchester fut un des premiers constructeurs automobiles britanniques : il fabriqua avec son frère la première automobile anglaise utilisant un moteur à essence en 1895 et fonda sa compagnie en 1899. Il fut l’inventeur d’un moteur à trois rapports de vitesse à engrenages épicycloïdaux, d’un système d’embrayage original et d’un système de freinage semblable aux freins à disques actuels en 1902. Il publia également un système de photographie en couleur en 1895. Parallèlement à ces activités, il s’intéressa à l’aérodynamique dès 1892. Il fut le premier à relier la notion de circulation d’un champ de vitesse à la portance dès 1894. Il montra également l’existence des tourbillons de bout d’aile : un premier article sur le sujet fut rejeté et ce concept ne fut publié qu’en 1907 dans son ouvrage Aerodynamics. Sa manière de rédiger était confuse et difficile à comprendre, aussi ses écrits ne furent pas pris en considération par la communauté scientifique de l’époque. L’accueil de ses travaux par le public le rendit amer et il ne se consacra plus désormais qu’à l’automobile.

Figure 61 : Dessin original de Lanchester illustrant un tourbillon de bout d’aile (1907) V-3-2 Ludwig Prandtl (1875-1953)

C’est le véritable fondateur de l’aérodynamique tant incompressible que compressible. Il obtint en 1900 une thèse de doctorat en mécanique des solides puis s’intéressa à la mécanique des fluides. Un an plus tard, il fut nommé professeur à Hanovre où il publia, en 1904, la théorie de la couche limite. Cette même année, il partit pour Göttingen où il resta jusqu’à la fin de sa vie et mit en place un des meilleurs laboratoires de recherche en aérodynamique au

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monde. Entre 1905 et 1908 il réalisa un grand nombre d’expériences sur les écoulements supersoniques à travers des tuyères et développa la théorie des ondes de choc oblique et des ondes de détente. Il réalisa les premières visualisations photographiques d’écoulements à travers des tuyères, en utilisant un système strioscopique. Pendant la période 1910-1920, il s’intéressa à l’aérodynamique incompressible, et développa la théorie des profils et la théorie de la ligne portante pour les ailes d’envergure finie (1918). Puis il retourna à l’étude des écoulements compressible dans les années 1920 et énonça la règle de correction des effets de compressibilité de Prandtl-Glauert (1922). En 1929 il mit au point avec Adolf Busemann une méthode de conception de tuyères supersoniques. Il eut de nombreux étudiants de grande renommée parmi lesquels Max Munk et Theodore Von Kármán. V-3-3 Hermann Glauert (1892-1934)

Cet aérodynamicien britannique participa grandement à la diffusion et à la synthèse des travaux de Prandtl. Il démontra, en écoulement incompressible, la forme que devait posséder une aile pour éprouver une traînée induite minimale et mit en évidence l’effet du vrillage en 1926. Dans le domaine des écoulements compressibles, il donna en 1928 la formulation complète de la correction des effets de compressibilité précédemment énoncée par Prandtl. V-4 Rappels de dynamiques tourbillonnaires V-4-1 Loi de Biot et Savart

On considère un fil tourbillonnaire infini d’intensité Γ placé dans un écoulement potentiel. r dl Γ r r •

P

r dV

Figure 62 : Vitesse induite élémentaire par un élément de fil tourbillonnaire r r La vitesse induite élémentaire dV au point P par l’élément d l du fil tourbillonnaire est donnée par la loi de Biot et Savart : r r r Γ dl ∧ r dV = 4π rr 3 Remarque : cette loi est obtenue par analogie avec l’électromagnétisme, c’est un résultat général de la théorie potentielle.

Si l’on considère maintenant un tourbillon rectiligne semi-infini, on montre que le champ de vitesse induit au point P distant de h par rapport à l’origine du tourbillon est : V=−

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Γ 4πh

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r dl

Γ

r •

h

•

P

V

Figure 63 : Vitesse induite par un tourbillon semi-infini V-4-2 Théorème de Helmholtz

Dans un écoulement potentiel : - l’intensité d’un fil tourbillonnaire est constante selon sa longueur, - un fil tourbillonnaire ne peut pas se terminer dans un fluide, mais soit à la frontière du fluide, soit former un chemin fermé. Remarque : d’après le théorème de Helmholtz, les deux tourbillons de bout d’aile forment en fait un seul et même tourbillon qui se boucle à l’infini aval : cette ligne tourbillonnaire correspond au tourbillon de démarrage que l’on avait identifié dans le cadre d’une théorie potentielle bidimensionnelle. V-5 Théorie de la ligne portante

La première théorie pratique pour prédire l’aérodynamique d’une aile d’envergure finie a été développée par Ludwig Prandtl dans les années 1911−1918. Cette théorie est toujours utilisée de nos jours pour des calculs préliminaires au dessin d’une aile d’envergure finie. La théorie de la ligne portante considère les hypothèses d’un écoulement potentiel. Elle est basée sur la distribution de portance le long de l’envergure de l’aile. L ′(y ) = ρU∞ Γ(y )

−

b 2

b 2

y Figure 64 : Distribution de portance le long de l’envergure de l’aile La première idée de Prandtl consista à remplacer l’aile d’envergure finie par un fil tourbillonnaire d’intensité Γ. Comme ce fil tourbillonnaire ne peut pas s’achever dans le fluide, il se prolonge en deux tourbillons qui s’enroulent à partir des extrémités de l’aile jusqu’à l’infini.

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z

z

b 2

y

U∞

U∞ x

b 2 y x

⇔ −

b − 2

Γ

b 2

aile d’envergure finie

tourbillon en fer à cheval

Figure 65 : Modélisation d’une aile d’envergure finie par un tourbillon en fer à cheval On appelle « tourbillon en fer à cheval » cet enroulement du fil tourbillonnaire, constitué de la ⎛ b b⎞ partie centrale limitée par l’envergure ⎜ − ; ⎟ et des deux tourbillons de bout d’aile. ⎝ 2 2⎠ Calculons maintenant la vitesse induite w(y) par ce fil tourbillonnaire le long de l’axe y. ⎛ b b⎞ On remarque que la partie centrale ⎜ − ; ⎟ n’a aucune contribution. Par contre, les deux ⎝ 2 2⎠ tourbillons d’extrémité génèrent une vitesse induite le long de l'axe y : w (y ) = −

Γ Γ − ⎛b ⎛b ⎞ ⎞ 4π⎜ + y ⎟ 4π⎜ − y ⎟ ⎝2 ⎝2 ⎠ ⎠

w (y ) = −

Γ b 2 4π ⎛ b ⎞ 2 ⎜ ⎟ −y ⎝2⎠

z −

b 2

b 2 y Γ

Γ

w(y) Figure 66 : Distribution de vitesse induite obtenue pour une modélisation de l’aile par un tourbillon en fer à cheval

60

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On remarque que cette distribution de vitesse induite n’est pas réaliste physiquement, car w (y ) → −∞ aux extrémités de l’aile. Pour résoudre cette difficulté, et après plusieurs années d’efforts, Prandtl eut l’idée de modéliser l’aile non pas par un seul fil tourbillonnaire, mais par une superposition de fils tourbillonnaires le long de l’envergure. b dΓ1 + dΓ2 + dΓ3 dΓ1 2 dΓ2 dΓ1 + dΓ2 dΓ3 dΓ1

−

dΓ3 dΓ2 dΓ1

b 2

Figure 67 : Modélisation d’une aile d’envergure finie par une superposition de tourbillons en fer à cheval Avec une infinité de fils tourbillonnaires, on retrouve la distribution de portance que l’on cherche, c’est à dire que l’on a une distribution continue de fils tourbillonnaires le long de l’envergure. On remarque que l’intensité totale de la nappe tourbillonnaire ainsi formée est nulle, car en intégrant la distribution tourbillonnaire le long de l’envergure on a, pour chaque tourbillon élémentaire en fer à cheval, deux tourbillons élémentaires d’extrémité d’intensité égale mais de signe opposés. On appelle ligne portante la ligne tourbillonnaire selon laquelle il y a la superposition des b b fils tourbillonnaires, c’est à dire la ligne comprise entre − et . 2 2 Si l’on considère un élément dy de la ligne portante situé en y, la circulation en ce point vaut Γ(y) et la variation de circulation le long de l’élément dy est alors : dΓ =

dΓ (y )dy dy

z dw

Γ(y)

y0

y

b 2

dy

dx

U∞

dΓ x

−

b 2 Figure 68 : Ligne portante

61

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Considérons maintenant le tourbillon d’extrémité d’intensité dΓ qui coupe la ligne portante en y, et un point y0 quelconque de la ligne portante. Pour tout élément dx de ce tourbillon, la vitesse induite par le fil tourbillonnaire semi-infini d’intensité dΓ situé en y est donnée par la loi de Biot et Savart : dΓ (y )dy dy dw = − 4π(y 0 − y ) Le signe − est justifié par rapport au schéma précédent, car Γ est décroissant selon y, donc dΓ < 0 ce qui donne bien dw > 0, c'est-à-dire dans le sens positif selon z. dy La vitesse induite w en y par la nappe de tourbillons d’extrémité est alors : dΓ * * y dy 1 dy w (y ) = − 4π ∫b y − y *

( )

b 2

−

U∞

2

αi

w(y) vitesse relative

Figure 69 : Angle d’incidence induite L’incidence induite pour une section du profil située en y selon l’envergure de l’aile est alors : ⎡ w (y ) ⎤ α i (y ) = arctan ⎢− ⎥ ⎣ U∞ ⎦

Comme la vitesse induite w est orientée vers les z < 0 donc w(y) < 0. Par ailleurs, puisque αi > 0 par définition, il faut un signe négatif dans l’expression de αi. Par ailleurs, la perturbation w est très petite devant la vitesse U∞, il vient : α i (y ) = −

w (y ) U∞

On obtient donc l’expression de l’angle d’incidence induit à partir de la distribution de circulation le long de l’aile : 1 α i (y ) = 4πU ∞

b 2

∫ −

b 2

dΓ * * y dy dy y − y*

( )

Comme l’angle d’incidence vu par une section du profil située en y est αeff(y), le coefficient de portance de ce profil, dans le cadre de la théorie des profils minces, est donc : C L′ = a 0 [α eff (y ) − α L =0 ] = 2π[α eff (y ) − α L =0 ]

62

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avec la pente du coefficient de portance a0 qui est indépendante de la forme du profil. Remarque : pour une aile vrillée, on a également dans la formule précédente α L=0 (y ) variable selon l’envergure de l’aile. Par ailleurs le coefficient de portance s’exprime en fonction de la circulation Γ(y) autour du profil : 2Γ(y ) U ∞ c( y )

C L′ =

En identifiant les deux expressions du coefficient de portance, on obtient : Γ(y ) + α L =0 πU ∞ c(y )

α eff =

D’après la définition de l’angle effectif αeff = α − αi on a : 1 Γ(y ) α(y ) = + α L =0 (y ) + 4πU ∞ πU ∞ c(y )

b 2

∫ −

b 2

dΓ * * y dy dy y − y*

( )

Cette relation est l’équation fondamentale de la théorie de la ligne portante, qui est une équation intégro-différentielle par rapport à Γ. Connaissant Γ, on en déduit la portance et le coefficient de portance de l’aile complète : b 2

L = ρU ∞ ∫ Γ(y )dy −

CL =

b 2

b 2

2 Γ(y )dy U ∞ S ∫b −

2

De même, la traînée induite par la portance par unité d’envergure : D′i = L′ sin α i

or, comme αi est petit sin α i ≈ α i et on a : D′i = L′α i

La traînée induite et le coefficient de traînée induite pour l’aile complète sont : b 2

D i = ρU ∞ ∫ Γ(y )α i (y )dy −

C D ,i =

b 2

b 2

2 Γ(y )α i (y )dy U ∞ S ∫b −

2

63

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V-6 Distribution elliptique de portance

Soit la distribution de circulation elliptique :

⎛ 2y ⎞ Γ(y ) = Γ0 1 − ⎜ ⎟ ⎝ b ⎠

2

qui fournit une distribution elliptique de portance le long de la ligne portante de l’aile : ⎛ 2y ⎞ L′(y ) = ρU ∞ Γ0 1 − ⎜ ⎟ ⎝ b ⎠

2

Calculons la vitesse induite associée : 4Γ dΓ (y ) = − 20 dy b

y ⎛ y2 ⎜⎜1 − 4 2 b ⎝

1

⎞2 ⎟⎟ ⎠

d’où : Γ w (y ) = 02 πb

b 2

∫ −

b 2

y* *2 ⎛ ⎜1 − 4 y ⎜ b2 ⎝

1 2

dy *

⎞ ⎟ y − y* ⎟ ⎠

(

)

Afin de calculer l’intégrale, effectuons le changement de variable : b y = − cos θ 2 d’où : dy =

b sin θ dθ 2

θ −

b 2

0

θ=0

b 2

y

θ=π

Figure 70 : Schéma du changement de variable selon l’envergure de l’aile

64

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Ce qui donne : w (θ) =

Γ0 πb 2

⎛ b⎞ * ⎜ − ⎟ cos θ ⎝ 2⎠

π

∫ 0

1 2

⎛ ⎞ ⎛ b 4 b2 b ⎞ ⎜⎜1 − 2 cos 2 θ* ⎟⎟ ⎜ − cos θ + cos θ* ⎟ 2 ⎠ ⎝ b 4 ⎠ ⎝ 2

b sin θ* dθ* 2

d’où : Γ0 π cos θ * w (θ) = − dθ * * ∫ 2πb 0 cos θ − cos θ

On reconnaît ici l’intégrale de Glauert en cosinus pour n = 1. D’où la valeur de la vitesse induite : w (θ) = −

Γ0 2b

Par conséquent, la vitesse induite par une distribution elliptique de portance est constante le long de l’envergure de l’aile. L’incidence induite est alors : αi = −

Γ0 w = U ∞ 2bU ∞

Calculons maintenant la portance de l’aile : L = ρU ∞ Γ0

b 2

∫ −

b 2

⎛ 4y 2 ⎜⎜1 − 2 b ⎝

1

⎞2 ⎟⎟ dy ⎠

En utilisant le changement de variable précédent, il reste : π

b sin 2 θ dθ ∫ 20

L = ρU ∞ Γ0

L = ρU ∞ Γ0

b π 4

d’où : Γ0 =

2U ∞ SC L 4L = ρU ∞ bπ πb

en remplaçant Γ0 dans l’expression de αi : αi =

2U ∞ SC L 1 πb 2bU ∞ αi =

SC L πb 2

65

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On définit le facteur de forme d’une aile par le rapport du carré de son envergure sur sa surface réelle : b2 S

AR = d’où : αi =

CL πA R

Comme αi est constant selon y, on en déduit le coefficient de traînée induite : b 2

C Di

2α i Γ0 b π 2 2α i ( ) = Γ y dy = sin θ dθ U ∞ S ∫b U ∞ S 2 ∫0 −

C Di =

2

πα i Γ0 b πb C L 2 U ∞ SC L = 2U ∞ S 2 U ∞ S πA R bπ

C D ,i =

C 2L πA R

Le coefficient de traînée induite est donc proportionnel au carré du coefficient de portance, pour une aile à distribution de portance elliptique. Remarque : C D,i est inversement proportionnel au facteur de forme ; néanmoins des ailes à très grand facteur de forme sont difficiles à réaliser pour des raisons de tenue mécanique des structures.

b AR élevé

b Di faible

AR faible

Di élevé

Figure 71 : Traînée induite selon l’envergure de l’aile En pratique, pour les avions subsoniques actuels, les facteurs de forme sont compris entre 6 et 8, à l’exception des planeurs pour lesquels ils sont compris entre 10 et 22. Si l’on revient au cas particulier de l’aile à distribution de portance elliptique, comme αi C est constant selon l’envergure de l’aile et que α i = L′ donc CL' est constant selon πA R l’envergure. Comme L'(y) = q c CL' on en déduit la répartition de corde selon l’envergure : c( y ) =

L′(y ) q ∞ C L′

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Donc pour une aile à distribution de portance elliptique, la corde varie elliptiquement selon l’envergure. Comme la distribution de tourbillons est fixée le long de la ligne portante, c’est à dire le quart de corde, le bord de fuite et le bord d’attaque de l’aile évoluent selon deux distributions elliptiques. z y

Γ(y) U∞ x

w(y) = cst

Figure 72 : Aile à distribution de portance elliptique V-7 Distribution de portance quelconque

Avec le changement de variable : b y = − cos θ 2 nous avons pour une distribution elliptique de portance la circulation : Γ(θ) = Γ0 sin θ Supposons maintenant que pour une distribution de portance quelconque, on fasse le développement en série de Fourier : N

Γ(θ) = 2bU ∞ ∑ A n sin nθ n =1

Les coefficients An sont inconnus, mais doivent vérifier l’équation fondamentale de la théorie de la ligne portante, donc : N dΓ dΓ dθ dθ = = 2bU ∞ ∑ nA n cos nθ dy dθ dy dy n =1

d’où : N

nA n cos nθ* π 2b N 1 ∑ =1 α(θ) = dθ* ∑ A n sin nθ + α L=0 (θ) + π ∫ ncos * πc(θ) n =1 θ − cos θ 0 On reconnaît dans le troisième terme du membre de droite l’intégrale de Glauert en cosinus, d’où :

67

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N 2b N sin nθ ( ) A sin n θ + α θ + nA n ∑ ∑ L =0 n πc(θ) n =1 sin θ n =1

α(θ) =

Cette équation est valable pour une position θ le long de l’envergure de l’aile. Si l’on écrit N fois cette équation pour N positions le long de l’envergure, on a un système de N équations à N inconnues An que l’on peut résoudre numériquement et qui assure que la circulation Γ(θ) vérifie l’équation fondamentale de la théorie de la ligne portante. On en déduit alors le coefficient de portance : b 2

2b 2 2 ( ) Γ = y dy S U ∞ S ∫b

CL =

−

N

π

n =1

0

∑ A n ∫ sin nθ sin θ dθ

2

or : ⎧⎪ π ∫0 sin nθ sin θdθ = ⎨ 2 ⎪⎩0 π

si n = 1 si n ≠ 1

d’où : C L = A1π

b2 = A 1 πA R S

ne dépend que du premier coefficient du développement en série de Fourier. Néanmoins, il faut résoudre simultanément les N équations pour obtenir tous les An et en particulier A1. En reportant l’expression de Γ(θ) dans la définition du coefficient de traînée induite : C D ,i

2 = U ∞S

b 2

∫ −

π

b 2

2b 2 ⎛ N ⎞ Γ(y )α i (y ) dy = ⎜ ∑ A n sin nθ ⎟α i (θ ) sin θ dθ ∫ S 0 ⎝ n =1 ⎠

L’incidence induite est donnée par : b 2

1 α i (y ) = 4πU ∞

∫ −

b 2

dΓ * y dy dy * * y−y

( )

π

1 N cos nθ* α i (θ) = ∑ nA n ∫ dθ* * π n =1 0 cos θ − cos θ 1 4442444 3 intégrale de Glauert N

α i (θ) = ∑ nA n n =1

sin nθ sin θ

En reportant cette expression dans le coefficient de traînée induite :

68

Aérodynamique Appliquée − Th. FAURE − Master SDI Parcours MIS − Module MS 154 π

C D ,i

2b 2 ⎛ N ⎞⎛ N ⎞ = θ A sin n ⎜ ⎟⎜ ∑ mA m sin mθ ⎟ dθ ∑ n ∫ S 0 ⎝ n =1 ⎠⎝ m =1 ⎠

or : ⎧⎪ π ∫0 sin nθ sin mθdθ = ⎨ 2 ⎪⎩0 π

si n = m si n ≠ m

donc le produit des termes n ≠ m est nul et il vient : C D ,i

C D ,i

N 2b 2 ⎛ N ⎞π = ⎜ ∑ nA 2n ⎟ = πA R ∑ nA 2n S ⎝ n =1 n =1 ⎠2

N N ⎡ ⎛A ⎛ ⎞ = πA R ⎜ A 12 + ∑ nA 2n ⎟ = πA R A 12 ⎢1 + ∑ n ⎜⎜ n ⎢⎣ n = 2 ⎝ A 1 n =2 ⎝ ⎠

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎤ ⎥ ⎥⎦

on a fait apparaître CL dans cette expression, et on peut écrire : C D ,i =

C 2L (1 + δ ) πA R

2

⎛A ⎞ avec le facteur δ = ∑ n⎜⎜ n ⎟⎟ appelé facteur de traînée induite tel que 1 + δ ≥ 1 . On définit n =2 ⎝ A1 ⎠ le facteur d’efficacité de l’aile par : N

e=

1 1+ δ

d’où finalement : C D ,i =

C 2L πeA R

Remarque : pour une aile elliptique, on a :

C D ,i =

C 2L πA R

donc δ = 0 et e = 1. La distribution de portance qui donne le minimum de traînée induite est la distribution elliptique. Cette forme d’aile fut choisie pour certains avions (par exemple le Supermarine Spitfire, chasseur britannique de la Seconde Guerre Mondiale). Cependant, cette forme d’aile est beaucoup plus difficile à fabriquer qu’une aile rectangulaire, dont la distribution de portance est loin d’être optimum. Un bon compromis en termes de facilité de réalisation mécanique et de performances aérodynamiques est l’aile à variation linéaire de corde.

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Figure 73 : Supermarine Spitfire (1936)

ct

cr

Figure 74 : Aile à variation linéaire de corde Dans ce cas, on définit le rapport entre la corde en tête d’aile et la corde en pied d’aile V-8 Effet du facteur de forme

On définit pour une aile d’envergure finie la pente du coefficient de portance : a=

dC L dα

Pour un profil mince, on avait (paragraphe III-4) : a0 =

dC L dC L = dα eff d(α − α i )

d’où pour une aile à répartition de portance elliptique : C L = a 0 (α − α i ) + cst ⎛ C C L = a 0 ⎜⎜ α − L πA R ⎝

70

⎞ ⎟⎟ + cst ⎠

ct . cr

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en dérivant par rapport à α on obtient : a dC L dC L = a0 − 0 dα πA R dα

d’où la relation entre la pente du coefficient de portance pour une aile d’envergure finie a et la pente du coefficient de portance du profil associé a0 : a=

a0 a 1+ 0 πA R

dC L = dα

pour une aile à répartition de portance elliptique. Pour une aile d’envergure finie à répartition de portance quelconque, on obtient : a0

a= 1+

a0 (1 + τ) πA R

où le facteur correctif τ est appelé facteur de portance. Il est fonction des coefficients de Fourier An. En pratique, les valeurs de τ varient entre 0,05 et 0,25. CL′

a0

profil 2D

α

αL′=0

CL

a

aile d’envergure finie

α

αL=0

Figure 75 : Évolution de la portance selon l’incidence pour un profil et une aile

71

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VI Méthode des singularités VI-1 Introduction

Nous avons vu dans les chapitres précédents que l’on pouvait modéliser l’écoulement incompressible non visqueux autour d’un profil en remplaçant la surface du profil par une répartition de sources et de puits (dans le cas d’un écoulement sans portance) ou par une répartition de tourbillons (dans le cas d’un écoulement portant). Néanmoins, il n’est pas toujours évident de trouver cette répartition de façon analytique pour un profil ou un corps de forme quelconque. C’est pourquoi des méthodes numériques ont été développées depuis la fin des années 1960, et qui permettent de calculer l’écoulement autour d’un corps de forme quelconque en ne recherchant une distribution de singularités que sur la surface du corps. Cette approche est plus économique, en terme de temps de calcul, que des méthodes de type différences finies nécessitant un calcul dans tout le domaine fluide. La méthode consiste à mailler la surface du profil par des segments (2D) ou des panneaux (3D). Nous verrons successivement les deux approches possibles : - la modélisation du profil par une distribution de sources ; - la modélisation du profil par une distribution de tourbillons. VI-2 Distribution de sources et de puits

On considère l’écoulement potentiel autour d’un corps de forme arbitraire, et l’on recherche la distribution de sources et de puits le long du profil qui génère cet écoulement. Comme nous l’avons vu au paragraphe IV-4, cette méthode ne permet pas de calculer la portance. Il s’agit ici d’une méthode directe : à partir d’une géométrie connue, on cherche la distribution de sources σ représentative de l’écoulement. On remplace donc la surface du profil par une distribution de sources (σ > 0) ou de puits (σ < 0). P

•

r

U∞

U∞

⇔

s

θ

ds

σ(s) Figure 76 : Distribution de sources sur un profil Si l’on considère un élément ds de la surface du profil, d’intensité de source σ ds, on peut déterminer le potentiel dΦ généré au point P par cet élément de source : dΦ =

σds ln r 2π

Le potentiel de vitesse en P généré par l’ensemble de la distribution σ sur le profil est donc : Φ (P ) =

σds ln r 2π profil

∫

Nous allons maintenant modéliser le profil par des éléments (segments en 2D ou panneaux en 3D) sur lesquels l’intensité de la source σ est constante, σ variant d’un élément à l’autre. 73

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P(x,z) • rPj

direction du ième segment

θ σ2 α

σ1 • U∞

• •

•

• σj

• σi (xi, zi)•

βi

•

•

direction de l’écoulement amont

ni point de contrôle

Figure 77 : Maillage d’un profil avec une distribution de sources On considère n éléments d’intensité de source σ1, σ2, …, σn tels que la surface du profil soit une ligne de courant de l’écoulement. Cette condition limite sera déterminée au point de contrôle de chacun des éléments (c’est à dire leur milieu), en imposant que la vitesse normale à l’élément soit nulle. Comme l’intensité de source σj est constante sur un élément, la contribution du jème élément au potentiel de vitesse au point P est donc : δΦ j =

σj

2π ∫j

ln rPj ds j

Le potentiel Φ au point P du à l’ensemble des éléments est alors : n

n

j=1

j=1

Φ (P ) = ∑ δΦ j = ∑

σj

2π ∫j

ln rPj ds j

avec : rPj =

(x − x ) + (z − z ) 2

j

2

j

et (xj, zj) les coordonnées d’un point courant le long du jème élément. Si l’on place maintenant le point P au point de contrôle du ième élément, de coordonnées (xi, zi), on a : Φ (x i , z j ) = ∑ n

j=1

σj

2π ∫j

ln rij ds j

avec : rij =

(x

− x j ) + (z i − z j ) 2

i

2

Appliquons à présent la condition limite aux points de contrôle, à savoir que la vitesse normale à l’élément est nulle en chacun de ces points. La composante de vitesse de l’écoulement amont, normale au ième élément étant : r r V∞ ,n = V∞ ⋅ n i = U ∞ cos β i

74

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r r où βi est l’angle formé entre les vecteurs V∞ et n i . La composante de vitesse générée par la distribution de sources, normale à l’élément en (xi, zi) est :

vn =

∂ Φ (x i , z i ) ∂n i

Lorsque l’on dérive le potentiel Φ(xi, zi), il apparaît rij au dénominateur d’où un point singulier pour i = j. On montre que la contribution du ième élément à la vitesse normale est σ simplement i d’où : 2 vn =

n σ σi ∂ j (ln rij ) ds j +∑ ∫ 2 j=1 2π j ∂n i

( j≠ i )

La composante normale au ième point de contrôle est la somme de la vitesse due à l’écoulement incident et de la perturbation du champ de vitesse due à la distribution de sources, d’où la condition : Vn = V∞ ,n + v n = 0 U ∞ cos β i +

n σ σi ∂ j (ln rij ) ds j = 0 +∑ ∫ 2 j=1 2π j ∂n i

( j≠ i )

Les intégrales qui apparaissent dans cette expression ne sont fonction que de la géométrie de maillage. La résolution de cette équation pour les n éléments conduit à un système linéaire de n équations à n inconnues σ1, σ2, …, σn que l’on peut résoudre numériquement. On connaît ainsi la distribution de sources σ le long du profil qui permet de décrire l’écoulement réel. On peut alors calculer la vitesse tangentielle à chaque élément. Pour l’écoulement incident, la composante tangentielle s’écrit : V∞ , t = U ∞ sin β i De même, la composante de vitesse tangentielle au point de contrôle du ième élément est : vt =

n σ ∂Φ ∂ j (ln rij ) ds j = 0 =∑ ∫ ∂s j=1 2π j ∂s

Ici, la contribution du ième élément est nulle, il n’y a donc pas de point singulier. La vitesse tangentielle globale au ième élément est donc : n

Vt ,i = Vi = V∞ , t + v t = U ∞ sin β i + ∑ j=1

σj

∂

(ln r ) ds 2π ∫ ∂s ij

j

j

Comme l’écoulement est incompressible, on peut appliquer la relation de Bernoulli entre l’infini amont et le ième élément : 1 1 p ∞ + ρU ∞2 = p i + ρVi2 2 2 Le coefficient de pression s ‘écrit alors :

75

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C p ,i

1 1 ρU ∞2 − ρVi2 ⎛ V p − p∞ 2 2 = i = = 1 − ⎜⎜ i 1 q∞ ⎝ U∞ ρU ∞2 2

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

La méthode des panneaux avec une distribution de sources permet donc de calculer la distribution de pression sur une surface non portante de forme quelconque. Par ailleurs, si Sj est la longueur du jème élément, son intensité de source vaut σj Sj. Comme la surface du corps est une surface fermée, la somme de toutes les sources pour tous les panneaux doit être nulle, d’où : n

∑σ S j=1

j

j

=0

Cette condition supplémentaire permet de tester la validité numérique du maillage utilisé. Remarque : cette méthode est excellente pour déterminer les distributions de pression, il suffit de 8 éléments pour mailler un cylindre et entre 50 et 100 éléments pour la plupart des profils. VI-3 Distribution de tourbillons

La théorie des profils minces (chapitre III) permet de déterminer analytiquement les caractéristiques aérodynamiques de profils portant de rapport d’épaisseur sur corde emax / c ≤ 12 %. Les résultats ainsi obtenus sont confirmés par les confrontations aux résultats expérimentaux. Néanmoins, certains profils d’ailes d’avions basse vitesse (comme les avions de voltige aérienne par exemple) possèdent des épaisseurs supérieures à 12 % de corde. Enfin, on peut être intéressé par le calcul de la portance autour d’un corps de forme quelconque (automobile, sous-marin, …). C’est pourquoi la méthode des panneaux avec une distribution de tourbillons s’est développée depuis le début des années 1970. L’idée de cette méthode numérique consiste à mailler entièrement la surface du corps étudié avec une nappe tourbillonnaire γ(s) afin que cette surface soit une ligne de courant. Si le maillage est constitué de n éléments, à chacun de ces éléments est associé une intensité tourbillonnaire γ1, γ2, …, γn qui sont les inconnues du problème. Par ailleurs, l’écoulement doit vérifier la condition de Kutta. Pour chaque panneau (maillage 3D) ou segment (maillage 2D), on affecte l’intensité γi au point de contrôle de l’élément, situé en son centre. Si l’on considère un élément dsj de la surface du profil, d’intensité tourbillonnaire γj, la contribution de cet élément au potentiel de vitesse au point P distant de rPj de l’élément sera : δΦ j = −

1 θ Pj γ j ds j 2π ∫j

avec : ⎛ z − zj ⎞ ⎟ θ Pj = arctan⎜ ⎜x−x ⎟ j ⎝ ⎠ Le potentiel Φ au point P du à l’ensemble des éléments du maillage est alors : n

n

j=1

j=1

Φ (P ) = ∑ δΦ j = −∑

76

γj

2π ∫j

θ Pj ds j

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P(x,z) •

• α

• • •

γi

θPj

γj •

•

direction de l’écoulement amont

•

•

•

direction du ième segment

•

βi

U∞ ni point de contrôle

Figure 78 : Maillage d’un profil avec une distribution de tourbillons Si l’on place maintenant le point P au point de contrôle du ième élément, de coordonnées (xi, zi), on a : n

Φ (x i , z i ) = − ∑ j=1

γj

2π ∫j

θ ij ds j

avec : ⎛ zi − z j ⎞ ⎟ θ ij = arctan⎜ ⎜x −x ⎟ j ⎠ ⎝ i et (xj, zj) les coordonnées d’un point courant le long du jème élément. Aux points de contrôle, la vitesse normale est nulle : Vn = V∞ ,n + v n = 0 où V∞,n est la composante normale à l’élément de l’écoulement incident et vn la vitesse normale générée par la distribution tourbillonnaire. Sur le ième élément du maillage, la composante normale de l’écoulement incident vaut : r r V∞ ,n = V∞ ⋅ n i = U ∞ cos β i La vitesse normale générée par la distribution de tourbillons est : vn =

∂ Φ (x i , z i ) ∂n i n

v n = −∑ j=1

γj

∂θ ij

2π ∫j ∂n i

ds j

Si l’on reporte ces expressions dans la condition limite, il vient : n

U ∞ cos β i − ∑ j=1

γj

∂θ ij

2π ∫j ∂n i

77

ds j = 0

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Les intégrales qui apparaissent dans cette expression ne sont fonction que de la géométrie de maillage. La résolution de cette équation pour les n éléments conduit à un système linéaire de n équations à n inconnues γ1, γ2, …, γn que l’on peut résoudre numériquement. Cette analyse est semblable à la méthode des panneaux pour une distribution de sources qui permet de décrire l’écoulement autour d’un corps sans portance. Néanmoins, pour la méthode des panneaux avec distribution de tourbillons, permettant le calcul de la portance, il faut vérifier une condition supplémentaire à savoir la condition de Kutta : γ (BF) = 0

•

i−2

• •

•

i−1 i

i+1

Figure 79 : Maillage du bord de fuite du profil Cette condition se traduit numériquement, si les éléments i−1 et i sont de part et d’autre du bord de fuite, par : γ i = − γ i −1

Ainsi, les intensités tourbillonnaires des deux éléments voisins du bord de fuite s’annulent exactement et imposent la condition de Kutta. On dispose à présent d’un système de n inconnues et de n+1 équations, pour le résoudre, il faut donc ne pas évaluer l’expression de départ pour l’un des points de contrôle, ce qui conduit bien à n-1 équations plus la condition de Kutta, soit n équations à n inconnues. On a maintenant déterminé les valeurs de γ1, γ2, …, γn telles que la surface du profil soit une ligne de courant et qui vérifient la condition de Kutta. Nous allons à présent écrire le saut de vitesse induite par la nappe tourbillonnaire qui constitue le profil et imposer une vitesse nulle à l’intérieur de ce profil, d’où : γ = u1 − u 2 = u1 − 0 = u1 = v t La vitesse vt tangente à la surface du profil est donc l’intensité tourbillonnaire γ au point considéré. La vitesse tangentielle au ième élément étant Vt ,i = Vi = V∞ , t + v t = U ∞ sin β i + γ i on obtient facilement la distribution de pression en écrivant la relation de Bernoulli entre l’infini amont et le ième élément : 1 1 p ∞ + ρU ∞2 = p i + ρVi2 2 2 Le coefficient de pression s’écrit alors : C p ,i

⎛V p − p∞ = i = 1 − ⎜⎜ i q∞ ⎝ U∞

78

2

⎞ ⎛ γ ⎟⎟ = 1 − ⎜⎜ sin β i + i U∞ ⎠ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

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Par ailleurs, connaissant la distribution γi on obtient la circulation globale autour du profil : n

Γ = ∑ γ jS j j=1

d’où la portance par unité d’envergure : n

L ′ = ρU ∞ ∑ γ jS j j=1

Remarque : cette méthode permet de déterminer à la fois la distribution de pression et la portance d’un profil, avec un nombre restreint d’éléments (entre 50 et 100 éléments) ; néanmoins, on obtient une meilleure résolution numérique en plaçant beaucoup de petits éléments près du bord d’attaque et près du bord de fuite avec des éléments plus larges au milieu du profil.

79

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80

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VII Écoulement réel autour d’une aile VII-1 Introduction

Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser à l’écoulement réel incompressible autour d’une aile, et abandonner l’hypothèse d’écoulement potentiel. Cela revient à considérer un fluide visqueux. La viscosité entraîne la présence de couches limites sur la surface du profil, et pour certains angles d’incidence de l’aile ces couches limites vont décoller, et mettre en défaut les résultats de la théorie potentielle. C’est ce que l’on observe sur les courbes expérimentales de l’évolution du coefficient de portance avec l’angle d’incidence.

CL

CM CL

αmax

αmin

α

CM CD CD

αmax

αmin

α

Figure 80 : Évolution des coefficients de portance, traînée et moment selon l’incidence On appelle décrochage cette perte de portance de l’aile qui est due à un décollement de la couche limite. Cependant, selon la forme du profil il y a plusieurs types de décrochages possibles. VII-2 Évolution de la portance avec l’incidence VII-2-1 Profil très mince

On considère un profil avec un rapport d’épaisseur sur corde emax / c ≤ 6 %. Pour de très faibles incidences apparaît une zone décollée sur le bord d’attaque, mais l’écoulement se 81

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rattache immédiatement après. Néanmoins cette bulle de décollement continue de croître lorsque l’incidence augmente, en direction du bord de fuite. Le profil atteint alors sa portance maximum, mais au-delà de cet angle, apparaît de grandes variations du coefficient de moment, même si la perte de portance reste faible.

U∞

U∞

U∞

U∞

CL

α

CM

Figure 81 : Décollement de profil très mince

82

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VII-2-2 Profil mince

On considère un profil avec 6 % < emax / c < 14 %. Pour une incidence faible, une zone décollée apparaît sur le bord d’attaque, mais cette zone est très limitée et n’a pas d’effet sur la portance. Cependant, pour un angle d’incidence plus élevé, il n’y a plus rattachement de l’écoulement sur le profil et une brusque chute de portance et de coefficient de moment.

U∞

U∞

U∞

U∞

CL

α

CM

Figure 82 : Décollement de profil mince

83

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VII-2-3 Profil épais

On considère un profil avec emax / c ≥ 14 %. La zone décollée apparaît cette fois ci du côté du bord de fuite pour un angle d’incidence d’environ 10°, puis s’étend progressivement du bord de fuite au bord d’attaque. Il n’y a pas de brusque décrochage, mais une diminution graduelle de la portance du profil, tandis que le moment ne varie que très peu. Ce type de profil permet donc un fonctionnement à des incidences élevées, c’est la raison pour laquelle les profils épais équipent les avions de chasse et les avions de voltige aérienne.

U∞

U∞

U∞

U∞

CL

α

CM

Figure 83 : Décollement de profil épais

84

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Enfin, si l’on compare l’évolution de la portance pour ces trois types de profil, on aura un coefficient de portance maximum avec un profil mince, mais avec une rapide chute de portance au delà de cette limite. profil mince CL (décrochage de bord d’attaque) profil épais (décrochage de bord de fuite)

profil très mince (décrochage de bord d’attaque)

α

Figure 84 : Comparaison de l’évolution du coefficient de portance selon l’incidence VII-3 Volet et bec

Pour un profil donné, il peut être intéressant d’augmenter la valeur du maximum du coefficient de portance CL,max. On peut ainsi utiliser un volet de bord de fuite qui permet d’augmenter la portance du profil pour une incidence donnée. • δ

CL

δCL

α

Figure 85 : Effet d’un volet de bord de fuite

85

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On peut également utiliser un bec, volet ou déflecteur de bord d’attaque, qui va non seulement augmenter la valeur de CL,max mais aussi augmenter la valeur de l’angle de décrochage. En fait, ce bec permet de modifier la distribution de pression sur l’extrados du profil et donc de retarder le décollement, par l’écoulement qui s’établit entre le bec et le profil.

U∞ avec bec de bord d’attaque

CL

δCL

sans bec de bord d’attaque

Δαmax

α

Figure 86 : Effet d’un bec de bord d’attaque En pratique, sur un profil d’aile réelle, on combine entre eux ces différents éléments, que l’on peut déplacer selon la phase du vol. Ainsi pour le décollage il faut une grande portance, pour le vol de croisière une traînée minimale et pour l’atterrissage une portance et une traînée maximales. vol de croisière

décollage

atterrissage

Figure 87 : Ouverture des volets d’une aile

86

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On atteint ainsi, pour l’ouverture maximale des volets, des angles d’incidence de 25°, avec un écoulement décollé sur le profil mais qui reste attaché sur la surface de l’extrados grâce à l’apport de fluide provenant de l’intrados par la fente entre le bec et le profil. Ces différents éléments permettent ainsi de contrôler la couche limite sur l’aile et constituent des dispositifs hypersustentateurs. écoulement décollé

écoulement attaché

Figure 88 : Dispositif hypersustentateur d’une aile VII-4 Ailes tridimensionnelles

L’analyse précédente est valable pour les profils 2D ou les ailes de facteur de forme élevé. Néanmoins pour les ailes usuelles, la nature 3D de l’écoulement modifie fortement le décollement des couches limites et le point de décrochage de l’aile. Nous avons vu au chapitre V que le facteur de forme modifie la pente du coefficient de portance de l’aile 3D par rapport au profil 2D. CL AR → ∞ (profil 2D) AR = 8 AR = 5 AR = 1

α

Figure 89 : Effet du facteur de forme sur le coefficient de portance Par ailleurs, pour une aile d’envergure finie apparaît une traînée induite par la portance, qui est minimale pour l’aile elliptique. Si l’aile elliptique est difficile à réaliser, un moyen de 87

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s’approcher de la distribution de portance minimale consiste à vriller l’aile. Ce vrillage permet également de diminuer le décrochage de bout d’aile. En pratique, le vrillage des ailes est compris entre 0° et 5°.

vrillage

Figure 90 : Vrillage d’une aile Un autre problème associé à une aile d’envergure finie est la production de tourbillons de bout d’aile, liée à la différence de pression entre l’intrados et l’extrados. Pour minimiser cet écoulement, il convient de faire attention à la forme de l’extrémité de l’aile. Ainsi, un bout d’aile arrondi permet à l’écoulement de contourner facilement l’extrémité, tandis qu’un bout d’aile tranchant rend cet écoulement plus difficile et réduit ainsi la traînée induite. Pour éviter un écoulement entre l’intrados et l’extrados en bout d’aile, une méthode consiste à fixer une plaque perpendiculaire à l’envergure ce qui supprime la traînée induite. Néanmoins, cette plaque va générer une traînée supplémentaire, mais ce dispositif est utilisé pour les ailes d’envergure réduite. Une version améliorée des plaques de bout d’aile est le « winglet » qui produit une réduction de la traînée supplémentaire en utilisant l’énergie du tourbillon de bout d’aile. En effet, le « winglet » est cambré et vrillé, de sorte que l’écoulement tourbillonnaire de bout d’aile crée une force de portance sur le « winglet » qui possède une composante orientée vers l’avant, et qui réduit la traînée totale. Néanmoins, le gain de traînée apporté par ce dispositif n’est appréciable que pour les gros porteurs et pour des vols longs courrier.

arrondi

tranchant

Horner

plaque d’extrémité

Figure 91 : Différentes formes d’extrémité d’aile

Figure 92 : MD 11 équipé de winglets en extrémité d’aile

88

winglet

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composante de poussée

Figure 93 : Principe de génération d’une composante de poussée par un winglet VII-5 Évolution historique des ailes aéronautiques

Les premiers profils d’aile utilisés au début de l’aéronautique étaient des profils minces : cette erreur s’est développée à la suite de l’observation des oiseaux et sur le principe (erroné) qu’au plus un profil est mince, moindre est sa traînée. En fait, les souffleries de l’époque fonctionnaient à des nombres de Reynolds bien inférieurs aux conditions réelles de fonctionnement d’une aile (Re ~ 100000 en soufflerie pour plusieurs millions autour d’une aile). Le premier avion à utiliser un profil épais fut en 1917 le Fokker Dr-1. Le profil de son aile était du type Göttingen 298 d’épaisseur maximum de 13 % de corde et permit d’obtenir un coefficient de portance supérieur. Par ailleurs, la structure de l’aile put être réalisée de façon interne, ce qui supprima tous les haubans de maintien des différents éléments, ce qui améliora la traînée de l’aile. Mais l’avantage majeur de l’introduction de ce profil en aéronautique fut un gain appréciable en maniabilité de l’appareil, qui fut un avantage décisif pour les phases de combat.

Figure 94 : Chasseur Spad XIII de la Première Guerre Mondiale (1917)

89

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Figure 95 : Chasseur Fokker Dr-1 de la Première Guerre Mondiale (1917) Une autre caractéristique des premiers avions, qui perdura jusque dans les années 1930 était l’utilisation d’aile biplans. Au départ, ce type d’aile fut utilisé car il permettait une meilleure résistance de la structure, constituée d’un profil mince, notamment pour le passage des haubans. Du point de vue purement aérodynamique, si l’on cherche à obtenir une portance L pour un avion, on peut : - soit utiliser une aile monoplan générant une portance L ; L - soit utiliser deux ailes générant chacune une portance . 2 Comme la traînée induite est proportionnelle au carré de la portance on a ainsi : - pour l’aile monoplan D i ∼ L2 ; -

pour chacun des plans de l’aile biplan D i ,1 = D i , 2 ∼

L2 donc une traînée induite 4

L2 L2 = . 4 2 Donc une aile biplan génère exactement la moitié de la traînée induite d’une aile monoplan. Cependant, l’interaction entre les deux surfaces de l’aile biplan et la présence des haubans ne permet pas d’espérer une amélioration supérieure à 30 % sur la traînée induite. Actuellement, cette configuration d’aile peut être envisagée lorsque les contraintes de masse de la structure sont plus importantes que des contraintes aérodynamiques, ou lorsqu’on recherche de basses vitesses d’évolution sans système élaboré de forte portance comme une aile de grande envergure. À partir des années 1930, le National Advisory Committee for Aeronautics (NACA) créé en 1915, développa une série de profils très largement utilisés par la suite. Leur nomenclature fut établie de façon rationnelle. Par exemple les profils de la série NACA à 4 chiffres sont codés de la façon suivante : - premier chiffre : cambrure maximum (en pourcentage de la corde) ; - deuxième chiffre : position du maximum de cambrure le long de la corde (en dixième de la corde) ; - troisième et quatrième chiffres : épaisseur maximum (en pourcentage de la corde). Ainsi, le NACA 0012 est un profil symétrique d’épaisseur maximum emax / c = 12%. De nos jours ces profils sont encore utilisés, en ce qui concerne leur version non cambrée, pour le dessin des empennages de queue d’avions subsoniques. Les profils de la série à 5 chiffres possèdent la même distribution d’épaisseur que ceux de la série à 4 chiffres mais sont construits à partir d’une ligne de cambrure moyenne redéfinie totale D i ∼ 2

90

Aérodynamique Appliquée − Th. FAURE − Master SDI Parcours MIS − Module MS 154

de telle sorte que le maximum de cambrure soit le plus en avant du profil. Leur nomenclature est la suivante : - premier chiffre : amplitude relative du coefficient de portance de dessin CL,des, ce coefficient étant 0,15 fois le premier chiffre ; - deuxième et troisième chiffres : double de la distance de la cambrure maximum le long de la corde (en pourcentage de la corde) ; - quatrième et cinquième chiffres : épaisseur maximum (en pourcentage de la corde). Par exemple, le NACA 23012 est un profil de coefficient de portance de dessin CL,des = 0,3, dont le maximum de cambrure est situé à x / c = 15% et d’épaisseur maximum emax / c = 12%. La série des profils NACA à 6 chiffres fut développée pendant la Seconde Guerre Mondiale. Ce furent les premiers profils à présenter une large zone où la couche limite reste laminaire, ce qui permet d’obtenir une traînée réduite. Cette grande zone d’écoulement laminaire est obtenue en repoussant le minimum de pression le plus près possible du bord de fuite, ce qui réduit la traînée de frottement et améliore les caractéristiques à haute vitesse. Leur nom se décompose comme suit : - premier chiffre : toujours un 6 qui précise qu’il s’agit d’un profil laminaire ; - deuxième chiffre : position du minimum de pression le long de la corde (en dixième de la corde) ; - troisième chiffre : gamme de CL au-dessous et au-dessus de CL,des (en dixième), - quatrième chiffre : coefficient de portance de dessin (en dixième) ; - cinquième et sixième chiffres : épaisseur maximum (en pourcentage de la corde). Ainsi, le NACA 651-012 est un profil laminaire dont le maximum de pression est situé à x / c = 5%, pouvant fonctionner dans la gamme CL,des − 0,1 < CL < CL,des + 0,1 avec CL,des = 0 et d’épaisseur maximum emax / c = 12%. Cp 2.0 Cp 2.0 1.5

1.5

1.0

1.0

0.5

0.5

0.0

0.0

-0.5

-0.5

-1.0

z/c

0.2 0.1 0.0 -0.1 -0.2

-1.0

minimum de pression maximum d’épaisseur

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

z/c

minimum de pression maximum d’épaisseur

0.2 0.1 0.0 -0.1 -0.2 0.0

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x/c

x/c

NACA 661-012

NACA 0012

Figure 96 : Comparaison entre deux profils NACA Les profils de la série à 6 chiffres présentent une large région d’écoulement laminaire en comparaison avec la série à 4 chiffres. Cela est du au minimum de pression qui apparaît plus près du bord de fuite que sur un profil des séries à 4 ou 5 chiffres ainsi que par la réduction de

91

Aérodynamique Appliquée − Th. FAURE − Master SDI Parcours MIS − Module MS 154

la valeur absolue du minimum de pression. Le frottement de paroi est ainsi diminué ce qui améliore les caractéristiques à haute vitesse des profils. Par ailleurs, un profil est caractérisé par sa courbe polaire, à savoir CL = f(CD). Avec cette représentation, les profils laminaires présentent une chute appréciable du coefficient de traînée dans une plage de coefficients de portance. CL

profil laminaire

profil conventionnel

CD

Figure 97 : Comparaison des polaires d’un profil conventionnel et laminaire Le NACA poursuivit ses activités de classification et travailla sur de nouveaux profils jusqu’en 1949. Pendant les années 1970, la National Aeronautics and Space Administration (NASA, qui fut créé en 1958 et prit la suite du NACA) dessina de nouveaux profils basses vitesses aux performances supérieures à celles des profils NACA. Ces profils étaient maintenant conçus par des méthodes numériques et non plus de façon empirique. Un de ces profils est le LS(1)0417, qui possède un grand rayon de courbure à son bord d’attaque afin d’aplatir le pic de pression sur le nez du profil, et un intrados recourbé vers le bord de fuite pour augmenter la cambrure et la charge aérodynamique dans cette zone. Ce profil permet de diminuer le décollement de la couche limite et donc d’augmenter le coefficient de portance maximum.

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VIII Écoulement compressible subsonique autour d’un profil VIII-1 Introduction

L’objectif de ce chapitre est d’étendre la théorie des profils à des nombres de Mach M > 0,3 tout en restant en écoulement subsonique (M < 1). Historiquement, l’intérêt pour la prédiction de tels écoulements est apparu dans les années 1930 où l’augmentation des vitesses en aéronautique s’est traduite par la prise en considération des effets de la compressibilité de l’air. Compte-tenu du nombre important de données disponibles en écoulement subsonique, il était important d’obtenir une formule pour corriger ces grandeurs par les effets de la compressibilité. Cette approche est ici réalisée pour des profils, c'est-à-dire dans le cadre des équations de la mécanique des fluides 2D, mais elle peut tout aussi bien être conduite avec les équations 3D. On considère ainsi un écoulement irrotationnel, stationnaire et isentropique c'est-à-dire une théorie potentielle linéarisée. VIII-2 Équation du potentiel de vitesse VIII-2-1 Rappels sur les écoulements compressibles

Un écoulement compressible subsonique autour d’un profil vérifie les hypothèses d’écoulement : - non visqueux : ν négligeable ; r r - irrotationnel : rotV = 0 ; - isentropique : s = cst. Dans ce cadre les équations nécessaires à la description du mouvement sont : - l’équation de continuité : ∂ρ ∂ (ρU ) ∂ (ρW ) + + =0 ∂t ∂x ∂z - les équations d’Euler : ∂U ∂U ∂U 1 ∂p +U +W =− ∂t ∂x ∂z ρ ∂x ∂W ∂W ∂W 1 ∂p +U +W =− ∂t ∂x ∂z ρ ∂z On rappelle également qu’un écoulement isentropique est un écoulement : - adiabatique : il n’y a pas de transfert thermique dans le fluide ; : il n’y a pas de phénomène dissipatif, c'est-à-dire pas d’effet - réversible visqueux, de conductivité thermique ou de diffusion de masse. Dans ce cas : dp ⎛ ∂p ⎞ =⎜ ⎟ = a 2 = γ RT dρ ⎜⎝ ∂ρ ⎟⎠ s =cst où γ est le rapport des chaleurs spécifiques à pression constante et à volume constant du gaz et r la constant spécifique du gaz : cp γ= cv R = cp − cv

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Pour l’air, γ = 1,4 et R = 287 J.kg-1.K-1. L’équation d’énergie pour un écoulement isentropique entre deux états 1 et 2 s’écrit alors : V12 V22 = h2 + h1 + 2 2 où h = cp T est l’enthalpie du fluide ce qui permet de réécrire l’expression précédente : V12 V2 = c p T2 + 2 2 2

c p T1 + comme c p =

γR il vient : γ −1 γ R T1 V12 γ R T2 V22 + = + γ −1 γ −1 2 2

par ailleurs, a2 = γ R T donc : a 12 V2 a2 V2 + 1 = 2 + 2 γ −1 2 γ −1 2

en particulier si V1 = 0 : a 02 a2 V2 = + γ −1 γ −1 2

D’autre part on montre également que pour un écoulement isentropique : p 2 ⎛ T2 =⎜ p1 ⎜⎝ T1

γ

⎞ γ −1 ⎟⎟ ⎠ 1

ρ 2 ⎛ T2 ⎞ γ −1 =⎜ ⎟ ρ1 ⎜⎝ T1 ⎟⎠ VIII-2-2 Équation du potentiel de vitesse

On se place dans un écoulement potentiel, c'est-à-dire que l’on recherche un champ de vitesse tel que : → r V = grad Φ

ce qui se traduit en coordonnées cartésiennes par : ∂Φ U= ∂x ∂Φ W= ∂z

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r V

W

U U∞

Figure 98 : Champ de vitesse autour d’un profil en écoulement compressible subsonique Pour un écoulement stationnaire, l’équation de continuité devient alors : ∂(ρU ) ∂ (ρW ) + =0 ∂x ∂z ∂ρ ∂ρ ⎛ ∂U ∂W ⎞ U +W = −ρ⎜ + ⎟ ∂x ∂z ∂z ⎠ ⎝ ∂x et les équations d’Euler : ∂U ∂U 1 ∂p +W U =− ∂x ∂z ρ ∂x ∂W ∂W 1 ∂p +W U =− ∂x ∂z ρ ∂z À partir de l’expression de la dérivée de la pression par rapport à la masse volumique en écoulement isentropique, on peut écrire : ∂p ∂p ∂ρ ∂ρ = = a2 ∂x ∂ρ ∂x ∂x ∂p ∂p ∂ρ ∂ρ = = a2 ∂z ∂ρ ∂z ∂z En multipliant la première équation d’Euler par U et la seconde par W et en en faisant la somme, il vient : ∂U ∂W a 2 ⎛ ∂ρ ∂U ∂W ∂ρ ⎞ U2 + W2 + UW + UW = − ⎜U +W ⎟ ∂x ∂z ∂z ∂x ρ ⎝ ∂x ∂z ⎠ En remplaçant le membre de droite par l’équation de continuité : ∂W ∂U ∂W ∂U ⎛ ∂U ∂W ⎞ U2 + W2 + UW + UW = a2⎜ + ⎟ ∂x ∂z ∂z ∂x ∂z ⎠ ⎝ ∂x d’où : ⎛ U 2 ⎞ ∂U ⎛ W 2 ⎞ ∂W UW ∂U UW ∂W ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ + ⎜1 − 2 ⎟⎟ − 2 − 2 =0 a ⎠ ∂x ⎜⎝ a ⎠ ∂z a ∂z a ∂x ⎝ Cette expression peut s’écrire en fonction du potentiel de vitesse : 2 2 ⎡ 1 ⎛ ∂Φ ⎞ ⎤ ∂ 2 Φ ⎡ 1 ⎛ ∂Φ ⎞ ⎤ ∂ 2 Φ 2 ∂Φ ∂Φ ∂ 2 Φ =0 ⎟ ⎥ 2 + ⎢1 − 2 ⎜ ⎟ ⎥ 2 − 2 ⎢1 − 2 ⎜ a ∂x ∂z ∂x∂z ⎢⎣ a ⎝ ∂z ⎠ ⎦⎥ ∂z ⎣⎢ a ⎝ ∂x ⎠ ⎦⎥ ∂x Cette relation est l’équation du potentiel de vitesse qui s’exprime uniquement par rapport à la fonction Φ puisque l’on a :

a 2 = a 02 −

2 2 γ −1 2 γ −1 2 γ − 1 ⎡⎛ ∂Φ ⎞ ⎛ ∂Φ ⎞ ⎤ + ( V = a 02 − U + W 2 ) = a 02 − ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎜ 2 2 2 ⎢⎣⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂z ⎠ ⎦⎥

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Si l’on remarque que : ∂Φ ∂Φ ∂ 2 Φ ∂U = UW ∂x ∂z ∂x∂z ∂z alors on peut réécrire l’équation en fonction des composantes U et W de vitesse : ⎛ U 2 ⎞ ∂U ⎛ W 2 ⎞ ∂W 2 UW ∂U ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ + ⎜1 − 2 ⎟⎟ − 2 =0 ∂z a ⎠ ∂x ⎜⎝ a ⎠ ∂z a ⎝ Si l’on se place dans le cadre de petites perturbations induites par le profil en écoulement compressible et pour un angle d’incidence nul, alors : U = U ∞ + uˆ ˆ W=w d’où : ⎛ U ∞2 ˆ ∂uˆ ˆ 2 ⎞ ∂w ˆ 2(U ∞ + uˆ )w uˆU uˆ 2 ⎞ ∂uˆ ⎛ w ⎜⎜1 − 2 − 2 2∞ − 2 ⎟⎟ + ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ − =0 2 ∂ x ∂ z ∂ z a a a a a ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ en négligeant les termes d’ordre 2 il reste : ⎛ U ∞2 ⎞ ∂uˆ ∂w ˆ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ + =0 ∂ x ∂ z a ⎝ ⎠ Si l’on pose alors : → r r r r ˆ V = U ∞ + vˆ = U ∞ + grad Φ

ce qui se traduit sur les perturbations de vitesse par : ˆ ∂Φ uˆ = ∂x ˆ ∂Φ ˆ = w ∂z On obtient l’équation linéarisée du potentiel de vitesse : 2 ˆ 2 ˆ (1 − M ∞2 ) ∂∂xΦ2 + ∂∂zΦ2 = 0 Cette équation linéaire aux dérivées partielles est l’équivalent, en écoulement compressible, de l’équation de Laplace dans le cas d’un écoulement incompressible. Mais contrairement au cas incompressible, cette équation n’est pas exacte, ce n’est qu’une approximation pour de petites perturbations autour d’un profil, c'est-à-dire : - un corps mince à faible angle d’incidence ; - un écoulement subsonique (M < 0,8) où supersonique (1,2 < M 1

M>1

choc faible

décollement

décollement plus faible profil supercritique

profil classique

Figure 112 : Comparaison entre un profil classique et un profil supercritique CD

profil classique NACA 642-A215

profil supercritique

M∞

Figure 113 : Comparaison de la divergence de traînée entre un profil classique et un profil supercritique VIII-10 Développement historiques (les écoulements compressibles)

Nous ne reparlerons pas ici des apports importants de Ludwig Prandtl et Hermann Glauert aux théories et à l’expérimentation de l’aérodynamique compressible. VIII-10-1 Ernst Mach (1838-1916)

Après un doctorat sur l’induction et les décharges électriques, il devint professeur de mathématiques à l’Université de Graz en 1864 et commença à s’intéresser à l’optique. Il partit à Prague comme professeur de physique expérimentale en 1867. Ses expériences d’aérodynamique supersonique couvrent la période 1873−1893 où il s’intéressa aux 108

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projectiles supersoniques, aux explosions et à la propagation des ondes acoustiques et des ondes de choc dont il réalisa des photographies. Il améliora les techniques expérimentales pour rendre visible ces phénomènes. En particulier, il fut le premier à utiliser le principe de la strioscopie en aérodynamique. En 1887 il publia pour la première fois une photographie d’un écoulement supersonique autour d’un projectile et donna la relation de l’angle qui sera appelé angle de Mach par Ludwig Prandtl en 1907. Mach fut également le premier à identifier les changements d’un écoulement lorsque le rapport de la vitesse sur la célérité du son passe d’une valeur inférieure à une valeur supérieure à 1. Ce rapport ne sera baptisé nombre de Mach qu’en 1929 par l’aérodynamicien suisse Jakob Akeret. En 1895, Mach s’installa à Vienne et poursuivit ses activités de recherche tout en s’intéressant à la philosophie des sciences et à la perception.

Figure 114 : Visualisation de l’écoulement supersonique autour d’un projectile par ombroscopie, photographie originale d’E. Mach (1887) VIII-10-2 Theodor von Kármán (1881-1963)

Après des études en Hongrie, Theodor von Kármán travailla à Gottingen sous la direction de L. Prandtl à la théorie de la couche limite et à la théorie des profils et des ailes. Il donna également en 1911 la formulation mathématique des tourbillons qui portent son nom. Il devint professeur en aéronautique et en mécanique en 1913 à l’Institut d’Aérodynamique d’Aix la Chapelle dont il devint rapidement le directeur. Von Kármán partit en 1930 aux Etats-Unis pour prendre la direction du laboratoire d’Aérodynamique de Caltech. En 1932 il s’intéressa à l’aérodynamique supersonique. Après 1945, il dépêcha une équipe de scientifiques pour comprendre les avancées réalisées en Allemagne pendant la Seconde Guerre Mondiale et qui initièrent les développements de la turbopropulsion. Il fut à l’origine de la création de l’Advisory Group for Aeronautical Research and Development (AGARD) au sein de l’OTAN.

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VIII-10-3 Richard Travis Whitcomb (1921-)

Après avoir reçu son diplôme d’ingénieur en mécanique, Richard Whitcomb intégra le NACA en 1943 en tant qu’ingénieur de soufflerie. Il commença à travailler au développement du B-29. Il eu l’idée de la loi de l’aire en 1951 et la testa dans la soufflerie transsonique du Langley Research Center. Les résultats furent tellement prometteurs qu’ils changèrent complètement les méthodes de conception aéronautique. La règle de l’aire fut classifiée « secret » entre 1952 et 1954. Au cours des années 1960, Whitcomb s’intéressa à la forme des profils, toujours avec l’objectif de diminuer l’augmentation de la traînée vers M = 1, ce qui l’amena à la conception du profil supercritique. Cette découverte eut également de grandes retombées sur l’industrie aéronautique ce qui valu à Whitcomb de recevoir un prix de la NASA en 1974.

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IX Écoulement supersonique autour d’un profil IX-1 Introduction

Dans ce chapitre nous allons aborder l’étude de l’écoulement supersonique autour d’un profil. Pour cela deux approches sont possibles : − la théorie des ondes de choc ; − la théorie linéarisée d’écoulement supersonique. IX-2 Définition d’un écoulement supersonique IX-2-1 Angle de Mach

Considérons une source ponctuelle de perturbations acoustiques (par exemple un émetteur), se déplaçant dans un fluide au repos. Si l’émetteur se déplace à une vitesse subsonique, sa vitesse V < a. À l’instant t0 = 0, l’émetteur est au point A et à l’instant t = t0 + δt il se trouve au point B. Pendant son déplacement entre les points A et B, le front de l’onde émise en t = 0 s’est déplacé de a t, mais l’émetteur reste toujours à l’intérieur des ondes qui ont été émises entre ces deux instants. Si maintenant la vitesse de l’émetteur est supersonique V > a. La célérité des ondes émises est toujours a, et au cours de son déplacement entre les points A et B l’émetteur va générer plusieurs ondes acoustiques mais il est maintenant en permanence à l’extérieur de la famille des ondes acoustiques émises. L’émetteur se déplace toujours devant ces fronts d’ondes formant une enveloppe de perturbations qui défini l’onde de Mach. L’angle formé par cette enveloppe par rapport à la direction de propagation est appelé angle de Mach μ. subsonique V < a supersonique V > a

C at

μ

at

Vt B

A

Vt

B

A

Figure 115 : Propagation des perturbations de l’écoulement en régime subsonique et supersonique On a la relation dans le triangle ABC : at 1 = Vt M L’angle de Mach est donc déterminé par le nombre de Mach local : 1 μ = arcsin M sin μ =

111

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IX-2-2 Grandeur totale

Par définition, une grandeur totale est la grandeur qu’aurait une particule fluide si elle était ralentie de manière adiabatique jusqu’à une vitesse nulle. Ainsi on peut écrire en écoulement isentropique la relation précédente : U2 cpT + = c p T0 = c p Tt 2 d’où : Tt U2 U2 U2 = 1+ = 1+ = 1+ γR T 2c p T 2a2 2 T γ −1 γ −1 Tt γ −1 2 = 1+ M T 2

Comme : γ

γ

⎛ T ⎞ γ −1 p2 ⎛ ρ2 ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ p 1 ⎝ ρ1 ⎠ ⎝ T1 ⎠ on en déduit : γ

p t ⎛ γ − 1 2 ⎞ γ −1 = ⎜1 + M ⎟ p ⎝ 2 ⎠ 1

ρ t ⎛ γ − 1 2 ⎞ γ −1 = ⎜1 + M ⎟ ρ ⎝ 2 ⎠

IX-2-3 Grandeur critique

De même que la définition d’une grandeur totale, on définit une grandeur critique comme la grandeur qu’aurait une particule fluide si elle était accélérée de façon adiabatique jusqu’à des conditions soniques. Ainsi la conservation de l’énergie, en écoulement isentropique, entre deux états 1 et 2 peut s’écrire : a 12 U2 a2 U2 + 1 = 2 + 2 γ −1 2 γ −1 2 Si l’on considère pour l’état 2 que U2 = 0, on obtient la grandeur totale : a 02 a2 U2 = + γ −1 γ −1 2 De même, la vitesse du son critique est définie par : a2 U2 a ∗2 a ∗2 + = + γ −1 2 γ −1 2 d’où : a2 U2 γ + 1 ∗2 + = a γ −1 2 2(γ − 1) Si l’on prend M = 1 dans les équations précédentes on obtient les rapports des grandeurs critique à totale : T∗ 2 = Tt γ + 1

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γ

p ∗ ⎛ 2 ⎞ γ −1 ⎟ =⎜ p t ⎜⎝ γ + 1 ⎟⎠ ∗

⎛ 2 ⎞ ρ ⎟ = ⎜⎜ ρ t ⎝ γ + 1 ⎟⎠

1 γ −1

IX-3 Choc droit IX-3-1 Équations d’une onde de choc droit

Les hypothèses pour un écoulement présentant une onde de choc droit sont les suivantes : − écoulement stationnaire ; − écoulement adiabatique en dehors des chocs ; − absence d’effet visqueux ; − absence de forces volumiques ; − écoulement monodimensionnel. Ce choc droit est une zone de discontinuité de l’écoulement. Comme l’écoulement est monodimensionnel, les composantes de vitesse de part et d’autre du choc sont : V1 = U 1 V2 = U 2 b

c

M1 > 1 U1 p1 ρ1 T1 pt,1 ht,1

M2 < 1 U2 < U1 p2 > p1 ρ2 > ρ1 T2 > T1 pt,2 < pt,1 ht,2 = ht,1 a

d choc droit

Figure 116 : Schéma d’un choc droit Si l’on écrit sous forme intégrale les équations de conservation sur le domaine Σ = (a,b,c,d) il vient : r r ρ V − pour la conservation de la masse ∫ ⋅ dS = 0 Σ

− pour la conservation de la quantité de mouvement

r r r ( ) ρ V ⋅ d S V = − p d S ∫ ∫ r

Σ

Σ

⎛

r r ⎞r r ⎟⎟V ⋅ dS = − ∫ p V ⋅ dS ⎠ Σ Σ p avec la définition de l’enthalpie h par rapport à l’énergie interne h = e + pv = e + . ρ En projetant ces relations selon la direction de l’écoulement : ρ U1 = ρ U 2 − conservation de la masse

∫ ρ⎜⎜⎝ e +

− pour la conservation de l’énergie

113

2

V 2

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− conservation de la quantité de mouvement

p1 + ρ U 12 = p 2 + ρ U 22

U 12 U2 = h 2 + 2 ou h t ,1 = h t , 2 2 2 Pour un gaz calorifiquement parfait, h = c p T d’où la conservation de l’énergie : h1 +

− conservation de l’énergie

c p T1 +

U 12 U2 = c p T2 + 2 2 2

IX-3-2 Relations de Rankine-Hugoniot

De part et d’autre d’un choc droit on a la relation de Prandtl : a ∗2 = U 1 U 2 On en déduit l’expression du nombre de Mach de part et d’autre du choc droit : γ −1 2 1+ M1 2 2 M2 = γ −1 γM 12 − 2 De même pour les autres grandeurs :

(γ + 1)M12 ρ 2 U1 = = ρ1 U 2 2 + (γ − 1)M 12 p2 2γ (M12 − 1) = 1+ p1 γ +1 T2 p 2 ρ1 = T1 p1 ρ 2 Tt ,1 = Tt , 2

IX-4 Choc oblique IX-4-1 Équations d’une onde de choc oblique

Dans la plupart des cas, les ondes de choc sont des ondes de choc obliques, les chocs droits sont des cas particuliers pour un angle de 90°. Les hypothèses sont les mêmes que pour une onde de choc droit, sauf que l’écoulement est bidimensionnel.

114

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e d

a

V2

V1 f b M1 > 1 p1 ρ1 T1

W1

c M 2 < M1 p2 > p1 ρ2 > ρ1 T2 > T1

U2

W2 U1

θ β

choc oblique

Figure 117 : Schéma d’un choc oblique Si l’on écrit sous forme intégrale les équations de conservation sur le domaine Σ = (a,b,c,d,e,f) et en les projetant sur les directions normale et tangentielle il vient : ρ U1 = ρ U 2 − conservation de la masse − conservation de la quantité de mouvement

p1 + ρ U 12 = p 2 + ρ U 22 W1 = W2

U 12 U 22 = h2 + ou h t ,1 = h t , 2 − conservation de l’énergie h1 + 2 2 On remarque que la composante tangentielle n’apparaît pas dans ces équations. Ainsi, les variations à travers un choc oblique sont régies uniquement par la composante normale de vitesse. IX-4-2 Relation de Rankine-Hugoniot

Comme le nombre de Mach amont normal au choc oblique est : M n ,1 = M 1 sin β on en déduit l’expression du nombre de Mach normal en aval du choc oblique : γ −1 2 1+ M n ,1 2 2 M n,2 = γ −1 γM 2n ,1 − 2 De même pour les autres grandeurs :

(γ + 1)M n ,1 ρ 2 U1 = = ρ1 U 2 2 + (γ − 1)M 2n ,1 2

p2 2γ = 1+ M 2n ,1 − 1 p1 γ +1 T2 p 2 ρ1 = T1 p1 ρ 2

(

115

)

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IX-4-3 Diagramme θ - β - M

Le nombre de Mach en aval du choc oblique s’exprime en fonction de l’angle de déviation θ : M n ,2 M2 = sin (β − θ) On obtient également la relation entre θ, β et M : tan θ = 2 cot β

M 12 sin 2 β − 1 M 12 (γ + cos 2β) + 2

La relation précédente est tracé sur les deux figure suivantes : il s’agit des courbes θ, β et M de la NACA qui permettent de retrouver facilement l’un des trois paramètres connaissant les deux autres. Notons sur ce diagramme quelques particularités : 1. Pour chaque nombre de Mach amont, il y a un angle de déviation maximum θmax. Si la géométrie de l’écoulement impose θ > θmax alors il n’y a pas de solution pour un choc oblique : il s’établit un choc courbe détaché en amont de l’obstacle. 2. Pour θ > θmax il y a deux solutions de choc oblique : la valeur la plus faible de β correspond à un choc faible (ligne continue du diagramme NACA) et la valeur la plus forte à un choc fort (ligne pointillée du diagramme NACA). La dénomination choc fort/choc faible est liée à l’amplitude du rapport de pression. Dans la nature, la solution la plus fréquente est celle qui correspond au choc faible. La ligne continue qui relie toutes les valeurs de θmax est la limite entre choc faible et choc fort. Légèrement au-dessous de cette ligne, une seconde ligne discontinue correspond à la limite sonique, au dessus de cette ligne M2 > 1 et en dessous M2 < 1. 3. Si θ = 0 alors β = 90° (choc droit) où β = μ (onde de Mach). Dans un cas comme dans l’autre, il n’y a pas de déviation de l’écoulement. choc fort choc faible

M1 > 1

θ Figure 118 : Choc faible et choc fort

116

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β (°)

choc faible choc fort limite sonique (M2=1)

θ (°) Figure 119 : Variation de l’angle de choc en fonction de l’angle de déviation pour différents nombres de Mach

117

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β (°)

choc oblique ligne de courant

β

θ

θ (°) Figure 120 : Variation de l’angle de choc en fonction de l’angle de déviation pour différents nombres de Mach (suite) IX-4 Onde de détente

De même qu’il y a une augmentation de pression discontinue à travers un choc, un écoulement supersonique est aussi caractérisé par une onde de détente qui est une région de détente continue d’ondes de Mach, chaque onde de Mach formant un angle μ avec la direction de l’écoulement amont. La zone de détente est limitée par l’angle de Mach amont μ1 et l’angle de Mach aval μ2. Comme la détente est une succession continue d’onde de Mach,

118

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l’écoulement est isentropique. Les ondes de détente ont été étudiées par Ludwig Prandtl et son étudiant Theodor Meyer en 1907-1908. ligne de Mach amont ligne de Mach aval M1 > 1 p1 T1

μ1

M2 p2 T2

μ2 θ

Figure 121 : Détente de Prandtl-Meyer Considérons une onde de Mach très faible produite par une déflexion infinitésimale dθ. La vitesse en amont de cette onde de Mach est V et la vitesse en aval V + dV. D’après les équations de conservation, il n’y a pas de changement de la vitesse tangentielle de part et d’autre de l’onde de Mach, seule la vitesse normale varie. Donc [AB] = V et la ligne BC est perpendiculaire à l’onde de Mach sur la figure suivante. onde de Mach W2 = W1

μ

V A

W1

π −μ 2 dθ

V + dV

π +μ 2 B C π − μ − dθ 2

Figure 122 : Changement infinitésimal de vitesse à travers une onde de Mach On a donc dans le triangle ABC : ⎛π ⎞ sin ⎜ + μ ⎟ V + dV ⎠ ⎝2 = V ⎛π ⎞ sin ⎜ − μ + dθ ⎟ ⎝2 ⎠

Or comme : ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ sin⎜ + μ ⎟ = sin ⎜ − μ ⎟ = cos μ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ sin ⎜ − μ − dθ ⎟ = cos(μ + dθ ) = cos μ cos dθ − sin μ sin dθ ⎝2 ⎠ il vient : 119

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dV cos μ = V cos μ cos dθ − sin μ sin dθ Pour dθ petit on a sin dθ ≈ dθ et cos dθ ≈ 1 donc : dV cos μ 1 1+ = = V cos μ − dθ sin μ 1 − dθ tan μ Par ailleurs on peut faire le développement limité pour x < 1 de : 1 = 1+ x + x2 + x3 + ⋅⋅⋅ 1− x d’où en négligeant les termes d’ordre 2 : dV 1+ = 1 + dθ tan μ + ⋅ ⋅ ⋅ V ce qui peut également s’écrire : dV dθ = V tan μ 1+

M2 − 1 1

μ M

Figure 123 Triangle rectangle associé à l’angle de Mach Dans le triangle rectangle précédent, on a : tan μ =

1 M2 −1

En remplaçant μ par son expression il vient : dV V Cette relation est valable pour un changement infinitésimal de dV à travers une onde d’amplitude très faible. Pour une onde de Mach dV et dθ tendent vers 0. L’équation précédente est donc une approximation pour dθ petit mais devient exacte pour dθ tendant vers 0. Comme une zone d’onde de détente est une région comprenant une infinité d’ondes de Mach, cette relation décrit précisément l’écoulement dans une onde de détente. Il faut donc intégrer dθ entre M1 et M2. M2 θ dV 2 ∫0 dθ = θ = M∫ M − 1 V 1 dθ = M 2 − 1

Or comme : M=

V a

alors :

120

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Par ailleurs comme a2 = γRT alors :

dV dM da = + V M a 2

T γ −1 2 ⎛ a0 ⎞ M ⎜ ⎟ = t = 1+ 2 T ⎝ a ⎠ a0 a= γ −1 2 1+ M 2 γ −1 M da 2 =− dM γ −1 2 a 1+ M 2 dM dV 1 = γ −1 2 M V M 1+ 2

donc :

M2

M 2 − 1 dM θ= ∫ γ −1 2 M M1 1 + M 2 L’intégrale qui apparaît dans cette expression est appelée la fonction de Prandtl-Meyer : M 2 − 1 dM ν(M ) = ∫ γ −1 2 M 1+ M 2

Sa valeur est : ν(M ) = d’où l’angle de déviation :

γ +1 γ −1 2 (M − 1) − arctan M 2 − 1 arctan γ −1 γ +1 θ = ν(M 2 ) − ν(M 1 )

IX-5 Application de la théorie des chocs aux profils supersoniques

Dans le cas d’une paroi formant un coin concave, l’écoulement se replie sur lui-même, il y a donc compression et apparition d’une onde de choc oblique. Au contraire, pour une paroi formant un coin convexe, l’écoulement est déplié, il y a donc détente et présence d’une onde de détente.

121

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onde de détente

choc oblique

Figure 124 : Choc oblique et onde de détente Considérons maintenant l’écoulement sur une plaque plane formant un angle d’incidence α par rapport à l’écoulement incident supersonique. Sur l’extrados au niveau du bord d’attaque, l’écoulement est déplié par rapport à sa direction incidente, il y a donc une onde de détente. Au contraire, au bord de fuite, il revient pratiquement dans la direction de l’écoulement amont, il se replie donc et il y a une onde de choc. Le comportement s’inverse du côté intrados avec présence d’un choc oblique au bord d’attaque et d’une onde de détente au bord de fuite. Côté extrados, derrière l’onde de détente la pression statique diminue donc pe < p1 et côté intrados, derrière l’onde de choc oblique la pression statique augmente et pi > p1. onde de détente D’

M1 > 1 p1 α

L’

α

pe < p1

R’

pi > p1 c

choc oblique

Figure 125 : Écoulement supersonique sur une plaque plane Les efforts aérodynamiques par unité d’envergure sont alors : R ′ = (p i − p e )c L′ = (p i − p e )c cos α

122

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D′ = (p i − p e )c sin α Les valeurs de pi et pe sont déterminées par le calcul des chocs et des détentes vus précédemment. IX-6 Théorie linéarisée d’écoulement supersonique

L’équation linéarisée du potentiel de vitesse, établit au chapitre VIII pour un écoulement subsonique ou supersonique s’écrit : 2 ˆ 2 ˆ (1 − M ∞2 ) ∂∂xΦ2 + ∂∂zΦ2 = 0 Du point de vue mathématique, cette équation est une équation aux dérivées partielles elliptique en subsonique (car 1 − M ∞2 > 0 ) et au contraire une équation aux dérivées partielles hyperbolique en supersonique (car 1 − M ∞2 < 0 ). Nous allons traiter ici le cas supersonique. Posons λ = M ∞2 − 1 , l’équation linéarisée du potentiel de vitesse s’écrit alors : ˆ ∂ 2Φ ˆ ∂ 2Φ λ2 + 2 =0 2 ∂x ∂z qui admet une solution du type : ˆ = f (x − λ z ) Φ En effet : ˆ ∂Φ ∂ (x − λ z ) = f ′(x − λz ) = f′ ∂x ∂x ˆ ∂ 2Φ = f ′′ ∂x 2 ˆ ∂Φ ∂ (x − λz ) = f ′(x − λz ) = −λ f ′ ∂z ∂z ˆ ∂ 2Φ = λ2 f ′′ ∂z 2 d’où : ˆ ∂ 2Φ ˆ ∂ 2Φ = λ2 f ′′ − λ2 f ′′ = 0 + λ2 ∂x 2 ∂z 2 Néanmoins toute fonction de x − λz est solution de l’équation. Ce type de solution implique simplement que la fonction potentielle est constante le long des lignes : x − λz = cst d’où la pente des lignes équipotentielles : dz 1 1 = = dx λ M ∞2 − 1 Or comme par rapport à l’angle de Mach : tan μ =

1 M ∞2 − 1

on constate que les lignes équipotentielles sont donc des lignes de Mach.

123

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ˆ = cst Φ

M∞ > 1

θ θ>0

θ 1 L’

α

α

pe θ=α

R’

θ=−α

pi c Figure 128 : Écoulement supersonique sur une plaque plane en théorie linéarisée Le coefficient de pression côté intrados sera positif, puisque l’angle formé par le profil par rapport à l’écoulement incident est positif, est constant puisqu’il n’y a pas de changement d’inclinaison : 2α C p ,i = M ∞2 − 1 De même côté extrados, avec cette fois-ci un angle négatif : 2α C p ,e = − M ∞2 − 1 Le coefficient d’effort normal au profil sera :

125

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c

C N′

1 = ∫ (C p ,i − C p ,e )dx c0 4α

c

1 4α dx = ∫ M ∞2 − 1 c 0 M ∞2 − 1 De même pour le coefficient d’effort axial : BF 1 C A′ = ∫ (C p ,e − C p ,i )dz c BA Cependant, comme la plaque plane n’a théoriquement pas d’épaisseur, dy = 0 et : C A′ = 0 On en déduit les coefficients de portance et de traînée : C L′ = C N′ cos α − C A′ sin α C N′ =

C D′ = C N′ sin α + C A′ cos α Dans le cadre d’un angle d’incidence faible : C L′ = C N′ − C A ′ α C D′ = C N′ α + C A ′ d’où : C L′ = C D′ =

4α M ∞2 − 1 4α M ∞2 − 1

126

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X Aérodynamique des hélicoptères X-1 Introduction

Contrairement aux avions, où la portance est créée par les ailes, les hélicoptères sont des appareils à voilure tournante, c’est à dire que la portance est générée par le rotor principal. Par ailleurs, ce rotor permet aussi la propulsion horizontale en orientant son axe dans la direction voulue. Les moments nécessaires aux manœuvres de l’appareil sont obtenus en orientant le plan du rotor par rapport à son axe. La rotation du rotor principal engendre un couple de renversement, ou couple moteur, qu’il convient de compenser si l’on ne veut pas que la nacelle de l’hélicoptère se mette en rotation. Dans la plupart des cas, ce couple est annulé par un rotor vertical monté à l’extrémité de la queue et qui crée un couple opposé à celui dû à la réaction du rotor principal. Ce dispositif est absent des hélicoptères qui possèdent deux rotors contrarotatifs dont les couples opposés s’annulent mutuellement.

sens de rotation de la nacelle

sens de rotation du rotor principal couple de stabilisation (rotor anti-couple) Figure 129 : Stabilisation d’un hélicoptère X-2 Développements historiques

L’idée du vol vertical est très ancienne puisque 400 ans avant Jésus-Christ les Chinois avaient inventé un jouet constitué de deux hélices reliées par un axe, qui s’envolait lorsqu’on le faisait tourner entre les mains. Dans ce paragraphe, nous allons aborder l’évolution historique de l’hélicoptère. X-2-1 Leonardo da Vinci (1452-1519)

Comme dans de nombreux domaines, il eut l’idée du vol vertical à travers une vis aérienne permettant de s’élever et qui s’inspirait de la vis d’Archimède. Bien entendu, ce dispositif ne pouvait pas fonctionner et n’était qu’un dessin précurseur du fonctionnement de l’hélicoptère.

127

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Figure 130 : Vis aérienne X-2-2 George Cayley (1773-1857)

George Cayley fut l’inventeur du planeur mais il s’intéressa également au vol vertical et dessina l’Aerial Carriage en 1843. Cet appareil muni de deux doubles rotors aurait pu décoller verticalement, puis les rotors auraient joué le rôle d’ailes circulaires portantes lors de la propulsion horizontale par deux hélices verticales. La conception de cet appareil prenait en compte l’annulation du couple moteur du rotor en doublant ceux-ci. La seule source de puissance mécanique de l’époque était la machine à vapeur qui ne permettait pas d’obtenir une puissance suffisante pour faire fonctionner cet appareil.

Figure 131 : Aerial Carriage (1843)

128

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X-2-3 Robert Edmund Froude (1846-1924)

Robert Edmund Froude était le fils de l’ingénieur naval William Froude qui construisit le premier bassin hydrodynamique pour des essais de maquettes de navire et fut à l’origine du nombre qui porte son nom. Robert Edmund Froude fut d’abord l’assistant de son père puis prit la direction du bassin d’essais à la mort celui-ci en 1879. Il énonça en 1889 la théorie de la quantité de mouvement à travers une hélice pour des applications maritimes. Cette théorie est aussi la base des applications aux hélices d’hélicoptères. X-2-4 Paul Cornu (1881-1944)

Le premier essai de vol avec un hélicoptère fut réalisé par Paul Cornu en 1907 avec un appareil muni de deux hélices contrarotatives entrainées par un moteur de 24 cv. Cependant cette première tentative ne fut pas concluante à cause de la puissance insuffisante du moteur et de problèmes de stabilité qui ne trouvèrent pas de solution à l’époque.

Figure 132 : Hélicoptère de Paul Cornu (1907) X-2-5 Juan de la Cierva (1895-1936)

En 1923 Juan de la Cierva apporta de nouvelles solutions techniques qui furent appliquées avec succès à l’autogire, appareil muni d’un rotor horizontal qui tourne librement. De la

129

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Cierva inventa l’articulation de battement au niveau de la fixation des pales sur le moyeu, ce qui permit d’équilibrer la portance engendrée sur tout le rotor. L’autogire possède une hélice propulsive comme un avion. La vitesse acquise au moyen de cette hélice met en rotation le rotor horizontal qui assure la portance. Cet appareil ne peut bien entendu pas décoller ou atterrir verticalement ni effectuer de vol stationnaire, mais la distance nécessaire à son décollage ou à son atterrissage est fortement réduite par rapport à un avion traditionnel. La motivation du développement des autogires était l’amélioration de la sécurité aéronautique, à une époque où les accidents étaient nombreux. Pour commercialiser son invention, de la Cierva partit en Angleterre où le premier modèle commercial, le C-19 muni d’un moteur de 100 cv, fut fabriqué à partir de 1932. Il fut suivi en 1934 du C-30 qui incorpora un mécanisme de changement du pas collectif des pales. Juan de la Cierva mourut dans un accident d’avion de transport en 1936 et le développement de l’autogire s’arrêta rapidement au profit de l’hélicoptère.

Figure 133 : Premier autogire C-1 (1923)

Figure 134 : Autogire C-19 (1932)

Figure 135 : Autogire C-30 (1934) 130

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X-2-6 Louis Charles Bréguet (1880-1955)

Les frères Louis Charles et Jacques Bréguet travaillèrent dès 1905 à la construction d’un hélicoptère en reprenant les études du Professeur Charles Richet et furent les premiers à tester des profils d’ailes pour des applications à l’hélicoptère. Ils construisirent en 1907 le Gyroplane n°1 qui consistait en quatre rotors doubles montés en croix et entrainés par un moteur de 40 cv. Cet appareil s’éleva du sol en étant maintenu par des câbles car il ne disposait ni de système de contrôle, ni de système de stabilisation, mais il n’avait pas la puissance nécessaire pour réaliser un véritable vol en l’absence d’effet de sol. Après avoir créé une entreprise de construction aéronautique, Louis Bréguet s’intéressa à nouveau à l’hélicoptère à partir de 1933. Il réalisa avec René Dorand en 1936 un hélicoptère muni de deux rotors contrarotatifs avec un contrôle du pas cyclique des pales. Le contrôle de l’angle de lacet s’effectuait en appliquant une différence de couple sur l’un des rotors. Cet appareil réalisa un vol de 62 minutes sur une distance de 44 km.

Figure 136 : Gyroplane n°1 (1907)

Figure 137 : Bréguet-Dorand (1936)

131

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X-2-7 Henrich Focke (1890-1979)

Henrich Focke commença à travailler sur les appareils à voilure tournante en 1933 en acquérant une licence pour la fabrication d’autogires de la Cierva. Il réalisa en 1936 le Fa-61, construit à partir du fuselage d’un petit avion biplan muni de deux rotors contrarotatifs. Il n’y avait pas de contrôle du pas collectif et une modification de la portance s’obtenait en changeant la vitesse de rotation des rotors. Le contrôle longitudinal s’obtenait en inclinant les rotors en avant ou en arrière au moyen d’un plateau tournant. Le Fa-61 fut le premier hélicoptère à pouvoir réaliser un vol contrôlé et à fonctionner en autorotation. Il réalisa en 1937 les records de durée de vol (1 h 20 min), d’altitude (3 427 m), de vitesse (122 km.h-1) et de distance parcourue en ligne droite (233 km). Un autre modèle d’hélicoptère utilisant le principe des doubles hélices, le Fa-223, fut conçu en 1940. Il utilisait un moteur de 1000 cv et possédait deux rotors tripales de 12 m de diamètre. Cet hélicoptère atteint l’altitude de 7135 m et la vitesse de 185 km.h-1 et pouvait transporter, à vitesse réduite et basse altitude, une charge utile d’une tonne. Cependant, après la Seconde Guerre Mondiale, la configuration à deux rotors contrarotatifs n’eut plus guère de succès et la poursuite de l’évolution de l’hélicoptère s’effectua aux Etats-Unis.

Figure 138 : Focke Fa-61 (1936)

132

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Figure 139 : Focke Fa-223 (1940) X-2-8 Igor Ivanovitch Sikorsky (1889-1972)

En 1909 Igor Sikorsky construisit en Russie un premier hélicoptère de 204 kg, nommé S-1, constitué de deux rotors contrarotatifs entrainés par un moteur de 25 cv, puissance qui ne suffit pas à soulever la seule masse du moteur. L’année suivante il construisit un nouvel appareil baptisé le S-2, ne pesant plus que 181 kg et muni de deux rotors à trois pales. Cette fois, la machine s’éleva mais n’était pas suffisamment puissante pour embarquer un passager. Sikorsky s’orienta alors vers la conception d’avions. Il émigra en 1917, d’abord en France, puis l’absence de travail dans l’aéronautique après la Première Guerre Mondiale le força à partir aux Etats-Unis en 1919 où il fonda sa compagnie aéronautique dès 1923. Igor Sikorsky reviendra au développement d’hélicoptères en 1931 et aboutit à la conception du VS-300 en 1939, appareil qui intègre toutes les avancées technologiques mises en œuvre par ses prédécesseurs. Muni d’un moteur de 75 cv et d’un rotor tripales de 8,5 m de diamètre, cette version d’essais sera modifiée plus de 18 fois et verra l’implantation d’un moteur de 90 cv puis de 100 cv, jusqu’à son premier vol libre en 1940. En 1941, la nouvelle version VS-300A remporte le record mondial d’endurance détenu par le Focke Fa-61 en demeurant en vol stationnaire pendant 1 h 32 min 26 s. Cet appareil est le premier à pouvoir monter, descendre et voler dans toutes les directions. Sa configuration (rotor principal et rotor anti-couple de queue) sera la base pour la plupart des futurs hélicoptères. La société de Sikorsky ouvre alors la voie à la production industrielle avec le R-4 qui effectuera son premier vol en 1942 et sera mis en service dans l’armée et la marine américaine en 1944.

133

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Figure 140 : Sikorsky S-2 (1910)

Figure 141 : Igor Sikorsky aux commandes du VS-300 (1940) et du VS-300A (1941)

Figure 142 : Sikorski R-4 (1942)

134

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X-3 Théorie de la quantité de mouvement

Dans cette approche due à Froude (1889), le rotor est modélisé par un disque à travers lequel se produit une augmentation de pression équirépartie sur sa surface. Toute mise en rotation de l’écoulement est négligée. X-3-1 Vol stationnaire

On définit l’air aspiré par le disque par les lignes de courant qui passent sur le bord du rotor, l’air situé à l’extérieur de cette colonne n’étant pas perturbé.

v=0

p∞

δp

rotor

vi

pi

p∞ v∞

Figure 143 : Écoulement à travers le disque rotor en vol stationnaire Soit δp le saut de pression à travers le disque du rotor, qui constitue une surface de discontinuité de l’écoulement, et vi la vitesse induite par le rotor. Le théorème de Bernoulli, écrit entre l’entrée de la colonne d’air et le rotor, puis entre le rotor et la sortie de la colonne, conduit à : 1 p ∞ = p i + ρv i2 2 1 1 p i + δp + ρv i2 = p ∞ + ρv ∞2 2 2 d’où : δp =

1 2 ρv ∞ 2

Le débit massique à travers le rotor est alors : & = ρAv i m

où A est la surface du disque rotor. Par ailleurs, si l’on applique la conservation de la quantité de mouvement entre l’entrée et la sortie de la colonne d’air, on obtient la poussée T exercée par le rotor : & v∞ T=m T = ρAv i v ∞ 135

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Comme δp est la poussée par unité de surface du disque : δp =

T = ρv i v ∞ A

En identifiant les deux expressions de Δp, on obtient : v∞ = 2vi

On en déduit la relation entre la poussée et la vitesse induite par le rotor : T = 2ρAv i2

T 2ρA

vi = La puissance induite du rotor est :

Pi = Tv i =

T

3 2

2ρA

On peut écrire sous forme non dimensionnelle les relations précédentes ; si Ω est la vitesse de rotation du rotor et R son rayon, on définit : T CT = - le coefficient de poussée ρAR 2 Ω 2 P CP = - le coefficient de puissance ρAR 3 Ω 3 v λi = i - le coefficient de vitesse induite RΩ Les relations de la théorie de la quantité de mouvement pour un rotor en vol stationnaire s’écrivent alors : λi =

CT 2 3

C P ,i = λ i C T =

C T2 2

X-3-2 Montée verticale

On définit Va comme étant la vitesse ascendante du rotor.

136

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Va

rotor

Va+vi

Va+v∞

Figure 144 : Écoulement à travers le disque rotor en montée verticale Le théorème de Bernoulli, conduit à : 1 1 2 p ∞ + ρVa2 = p i + ρ(Va + v i ) 2 2 1 1 2 2 p i + δp + ρ(Va + v i ) = p ∞ + ρ(Va + v ∞ ) 2 2 d’où : v ⎞ ⎛ δp = ρ⎜ Va + ∞ ⎟ v ∞ 2 ⎠ ⎝ Le débit massique à travers le rotor est alors : & = ρA(Va + v i ) m

La conservation de la quantité de mouvement donne : & (Va + v ∞ ) − m & Va T=m

T = ρA(Va + v i )v ∞ Comme : δp =

T = ρ(Va + v i )v ∞ A

En identifiant les deux expressions de δp, on obtient : v∞ = 2vi

d’où la poussée : T = 2ρA(Va + v i )v i Soit vs la vitesse induite par le rotor en vol stationnaire qui donne la même poussée que pour la montée verticale :

137

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T = 2ρAv s2 La relation entre vs et vi est donc : v s2 = (Va + v i )v i Si l’on explicite le rapport entre la vitesse induite par le rotor en vol ascendant, et la vitesse induite par le rotor en vol stationnaire, il vient : ⎛V V vi = − a + ⎜⎜ a vs 2v s ⎝ 2v s

2

⎞ ⎟⎟ + 1 ⎠

Ainsi la vitesse induite par le rotor diminue lorsque la vitesse de montée augmente. vi vs 1

1−

1 Va 2 vs

0 0

1

2

3

Va vs

Figure 145 : Évolution de la vitesse induite par le rotor en fonction de la vitesse de montée Pour le vol en montée verticale, la puissance induite par le rotor est : Pi = T(Va + v i ) La relation entre la puissance induite en vol stationnaire Ps et la puissance induite en vol ascendant Pi est alors : ⎛V V Pi v i Va = + = a + ⎜⎜ a Ps v s v s 2 v s ⎝ 2v s

2

⎞ ⎟⎟ + 1 ⎠

Ainsi la puissance induite augmente avec la vitesse de montée.

138

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Pi Ps

5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5 Va

vs

Figure 146 : Évolution de la puissance induite par le rotor en fonction de la vitesse de montée X-3-3 Descente verticale

On définit Vd la vitesse de descente du rotor qui est orienté dans le sens inverse de la vitesse induite vi. Vd−v∞

Vd−vi rotor

Vd

Figure 147 : Écoulement à travers le disque rotor en descente verticale Le théorème de Bernoulli, conduit à : 1 1 2 2 p ∞ + ρ(Vd − v ∞ ) = p i + ρ(Vd − v i ) 2 2 1 1 2 p i + δp + ρ(Vd − v i ) = p ∞ + ρVd2 2 2 d’où : v ⎞ ⎛ δp = ρ⎜ Vd − ∞ ⎟ v ∞ 2 ⎠ ⎝ Le débit massique à travers le rotor est alors : & = ρA(Vd − v i ) m

139

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La conservation de la quantité de mouvement donne : & Vd − m & (Vd − v ∞ ) T=m & v∞ T=m

T = ρA(Vd − v i )v ∞ Comme : δp =

T = ρ(Vd − v i )v ∞ A

En identifiant les deux expressions de δp, on obtient : v∞ = 2vi

d’où la poussée : T = 2ρA(Vd − v i )v i Si vs est la vitesse induite par le rotor en vol stationnaire qui donne la même poussée que pour la descente verticale : T = 2ρAv s2 La relation entre vs et vi est donc : v s2 = (Vd − v i )v i En pratique, cette analyse du fonctionnement d’un rotor en vol de descente n’est valable que pour Vd > 2vi où l’écoulement est dans le sens opposé de vi sur tout le disque du rotor. Dans ce cas, le rotor fonctionne en moulinet, c’est à dire que la puissance est intégralement fournie par l’écoulement au rotor. Quand la vitesse de descente est de l’ordre de la vitesse induite par le rotor, Vd ~ vi, il n’y a pratiquement plus d’écoulement à travers le rotor. L’écoulement général est caractérisé par un échappement tourbillonnaire semblable à l’écoulement autour d’un disque. Dans ce cas le rotor fonctionne en sillage turbulent. Ce cas ne peut pas être traité par la théorie de la quantité de mouvement, à cause de la forte dissipation d’énergie dans les tourbillons.

sillage turbulent rotor

Figure 148 : Écoulement de sillage turbulent en descente verticale

140

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vi il se produit une interaction entre 2 l’écoulement ascendant autour du rotor et l’écoulement descendant induit par le rotor, ce qui produit un anneau tourbillonnaire sur la périphérie du rotor. Ce fonctionnement d’anneau tourbillonnaire présente un écoulement très instable où le rotor est soumis à de fortes vibrations. Le vol d’un hélicoptère dans ces conditions est extrêmement dangereux, et les 3 vs pires conditions sont atteintes pour Vd ~ . À cause de la dissipation d’énergie dans la 4 zone du bord du rotor, la théorie de la quantité de mouvement ne peut pas s’appliquer.

Pour une vitesse de descente encore plus faible Vd ~

anneau tourbillonnaire

rotor

écoulement instable

Figure 149 : Écoulement d’anneau tourbillonnaire en descente verticale Les données concernant le rotor fonctionnant en sillage turbulent et en anneau tourbillonnaire sont obtenues expérimentalement. Ainsi on peut déterminer la courbe de puissance induite en fonction de la vitesse. Pi 5 Ps 4 3

sans décrochage 2

autorotation réelle autorotation idéale • • 4 3 2 Vd 5 vs

1

1

0

1

2

3

4

5 Va

vs

Figure 150 : Évolution de la puissance induite par le rotor en fonction de la vitesse verticale La puissance nécessaire pour conserver de la portance en descente verticale diminue quand la vitesse de descente augmente, sauf pour le fonctionnement du rotor en anneau tourbillonnaire. Cette augmentation de puissance est due à un décrochage de la section des pales causé par l’interaction avec l’allée tourbillonnaire.

141

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Vd − vi = 0

anneau tourbillonnaire

sillage turbulent

autorotation réelle • • autorotation idéale

2

vol stationnaire et montée

1

moulinet

Vd 3 vs

vi vs

2

1

0

1

2

3

Va vs

Figure 151 : Évolution de la vitesse induite par le rotor en fonction de la vitesse verticale De même, la vitesse induite augmente plus rapidement en descente que ce qui est prédit par la théorie de la quantité de mouvement, lorsque le rotor fonctionne en anneau tourbillonnaire. Puis elle diminue jusqu’à la valeur du vol stationnaire pour un fonctionnement en moulinet. X-3-4 Autorotation

Le point d’intersection de la courbe de vitesse induite avec la droite Vd − vi = 0 définit le point d’autorotation idéale, pour lequel il n’y a pas d’écoulement à travers le rotor, donc une puissance induite nulle. Néanmoins, on parle de fonctionnement idéal car en pratique il faut continuer à fournir de la puissance au rotor pour compenser la traînée des pales. Par contre, il existe un point d’autorotation réelle, pour une vitesse de descente inférieure, qui permet de compenser cette puissance de profil P0, telle que : Vd − v i =

P0 T

la puissance totale étant : Pi − P0 = T(Vd − v i ) − T(Vd − v i ) = 0 Les valeurs de

Vd sont : vs

Vd = 1,8 vs Vd - pour l’autorotation réelle = 1,7 vs Par ailleurs, on peut écrire la traînée du rotor en faisant l’analogie avec un disque :

-

pour l’autorotation idéale

D=

1 ρVd2 AC D 2

Si l’on écrit D = T il vient : 1 ρVd2 AC D = 2ρAv s2 2 142

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d’où : ⎛v C D = 4⎜⎜ s ⎝ Vd

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

Pour l’autorotation réelle Vd / vs = 1,7 ce qui donne CD = 1,38. Cette valeur est proche du coefficient de traînée d’un parachute (CD = 1,42), donc un rotor en descente en autorotation se comporte comme un parachute. Ce mode de fonctionnement du rotor assure une portance pour permettre la descente de l’hélicoptère en cas de panne du moteur. X-4 Théorie de l’élément de pale

Cette approche n’est rien d’autre que l’application de la théorie des profils à une aile tournante, en supposant celle-ci parfaitement rigide, ce qui n’est bien entendu pas le cas dans la pratique. Nous allons dans ce qui suit calculer les efforts appliqués à un élément de pale de longueur dr et de corde c. RΩ

Ω R

c dr r

dL

α Va+vi

U

ϕ

dQ r dD

θ

rΩ

plan du disque rotor axe de la pale

Figure 152 : Élément de pale du rotor La pale est inclinée d’un angle θ par rapport au plan du rotor et voit l’écoulement avec un angle d’incidence α. La résultante de la vitesse U est alors : U=

(Va + v i )2 + r 2 Ω 2

L’angle d’entrée de l’écoulement dans le plan du disque rotor est : ⎛ V + vi ⎞ ϕ = arctan⎜ a ⎟ ⎝ rΩ ⎠ pour des angles faibles, on a donc : ϕ=

Va + v i rΩ 143

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avec : α=θ−ϕ Les efforts élémentaires de portance et de traînée appliqués à cet élément de pale sont : dL =

1 ρU 2 cC L dr 2

dD =

1 ρU 2 cC D dr 2

D’où l’expression de la poussée normale au plan du disque rotor : dT = dL cos ϕ − dD sin ϕ et du couple de l’élément de pale : dQ = r (dL sin ϕ + dD cos ϕ)

Si l’angle d’entrée de l’écoulement dans le plan du disque rotor ϕ est petit, alors : U ≈ rΩ

dT ≈ dL dQ ≈ r (ϕdL + dD )

On peut alors écrire : U rΩ = RΩ RΩ dC T =

dT ρAR 2 Ω 2

dC Q =

dQ ρAR 3Ω2

d’où l’expression du coefficient de vitesse d’entrée : λ=

Va + v i r = ϕ RΩ R

Le coefficient de poussée élémentaire s’écrit alors pour une pale : 1 2 ρU 2 cC L dr 1 c ⎛r⎞ 2 = C L ⎜ ⎟ dr dC T = 2 πR 2 ρπR 4 Ω 2 ⎝R⎠ Pour un rotor constitué de N pales : 2

1 Nc ⎛r⎞ dC T = C L ⎜ ⎟ dr 2 2 πR ⎝R⎠ Le coefficient de solidité est défini pour une pale à corde constante par : σ =

surface des pales NcR Nc = 2 = surface du disque πR πR

144

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d’où : dC T =

1 r2 σC L 3 dr 2 R

On obtient le coefficient de poussée du rotor en intégrant cette expression le long de l’envergure de la pale : R

CT =

1 r2 σ ∫ C L 3 dr 2 0 R

De même, le coefficient de couple élémentaire s’écrit pour une pale : 3

1 c (ϕC L + C D )⎛⎜ r ⎞⎟ dr dC Q = 2 πR ⎝R⎠ R Pour N pales de corde constante : 3

1 ⎛ r ⎞ dr dC Q = σ(ϕC L + C D )⎜ ⎟ 2 ⎝R⎠ R Par ailleurs, la puissance à fournir au rotor est : P=ΩQ d’où l’expression du coefficient de puissance : CP =

P = CQ ρAR 3 Ω 3

Ainsi, pour calculer les coefficients CT et CQ il faut connaître l’évolution de l’incidence α selon l’envergure de la pale. X-5 Aérodynamique du rotor en vol horizontal X-5-1 Mécanisme de la tête du rotor

Lorsqu’un hélicoptère est en vol horizontal, le bord d’attaque des pales est dans la direction de l’écoulement, ce qui n’est pas une situation habituelle pour une hélice propulsive.

145

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V vitesse d’avance

Ω V

RΩ pale reculant

pale avançant

V

ψ

RΩ

écoulement de retour

Ω

angle de battement

β

β

angle de battement

articulation de battement

Figure 153 : Mécanisme de la tête du rotor Le rotor possède une vitesse de rotation Ω et avance à la vitesse V. Son rayon est R. On définit le facteur d’avance : μ=

V RΩ

Généralement 0 ≤ μ ≤ 0,5. L’azimut ψ du rotor est mesuré à partir de la position aval d’une pale : la pale avance, - pour 0° ≤ ψ ≤ 180° - pour 180° ≤ ψ ≤ 360° la pale recule. Pour ψ = 90° la vitesse de bout de pale est maximum et vaut RΩ + V, tandis qu’elle est minimale pour ψ = 270° et vaut RΩ − V. Ainsi, si les pales tournaient avec une incidence constante, il y aurait plus de portance de créée sur la pale avançant que sur la pale reculant, d’où des efforts aérodynamiques importants sur les pales et un déséquilibre de l’hélicoptère. Pour résoudre ce problème, il faut équilibrer la portance des deux côtés du rotor. On procède donc à une variation cyclique de l’incidence de chacune des pales, de façon à conserver une portance constante tout au long du cycle. Le moyen le plus utilisé est l’articulation de battement de la pale, qui a été mise en œuvre pour la première fois par Juan de la Cierva en 1923. Ce système consiste à articuler chacune des pales du rotor, le plus près possible de leur pied. Ainsi, pour une pale qui avance, l’augmentation de vitesse relative accroît la portance et dévie la section de pale vers le haut. Ce mouvement a pour effet de réduire l’angle d’incidence effective, ce qui diminue la portance et permet à la pale de dévier vers le bas. On observe le processus inverse pour une pale qui recule.

146

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Par ailleurs, le contrôle de l’hélicoptère en vol nécessite un changement de l’amplitude et de la direction de la force de poussée, réalisé par le rotor principal. Le changement de la direction de cette poussée peut être simplement obtenu en inclinant l’arbre du moteur, ce qui est impossible à réaliser en pratique. La solution pour faire changer la direction de cette poussée consiste à changer l’angle d’incidence des pales, soit de façon globale, soit de façon cyclique sur une rotation du rotor. Pour cela, on utilise un système à double plateau : - le pas cyclique, qui n’est pas mis en rotation par rapport à l’arbre du rotor, mais peut être incliné afin d’imposer un changement cyclique de l’angle d’incidence des pales ; - le pas collectif, qui tourne avec l’arbre du rotor, en restant parallèle avec le plateau de commande du pas cyclique, pour augmenter globalement l’incidence des pales. Ω θ = θ0 pas collectif

axe rotor

pas cyclique pale avançant

θ = θ0 − χ1

pale reculant

Ω

Ω

θ = θ0 + χ1

axe rotor

axe rotor

Figure 154 : Pas collectif et pas cyclique Ainsi, une augmentation du pas collectif augmente la portance du rotor (pour le décollage ou la montée verticale) tandis qu’un changement du pas cyclique modifie la direction de la poussée.

147

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X-5-2 Théorie de la quantité de mouvement pour le vol horizontal

On utilise une modélisation du rotor par un disque de discontinuité, d’après une idée de Glauert qui proposa une analogie avec une aile circulaire à répartition de portance elliptique. La vitesse induite par le rotor s’écrit alors : vi =

T 2ρAV ′

avec la vitesse : V ′ = V 2 + v i2 où V est la vitesse d’avance de l’hélicoptère.

V V

V′

vi

V v∞ = 2vi

Figure 155 : Écoulement à travers le disque rotor en vol horizontal Cette modélisation revient à considérer un jet de même surface que le rotor, qui traverse celuici et qui est défléchi avec une vitesse vi au niveau du rotor, et une vitesse v∞ = 2 vi en aval de celui-ci. Ce modèle n’a pas de réalité physique, mais permet de retrouver le comportement du vol stationnaire pour V = 0, et au contraire pour V grand V ≈ V ′ ce qui donne la formule de la vitesse induite créée par une aile à distribution de portance elliptique. Si vs est la vitesse induite en vol stationnaire avec la même poussée, il vient : v s2 =

T 2ρA

d’où : 2

⎛ T ⎞ 1 ⎟⎟ v = ⎜⎜ 2 2 ⎝ 2ρA ⎠ V + v i 2 i

v i2 =

v s4 V 2 + v i2

l’équation de la vitesse induite en vol d’avance est alors : ⎛ vi ⎜⎜ ⎝ vs

4

⎞ ⎛V⎞ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎠ ⎝ vs ⎠

2

⎛ vi ⎜⎜ ⎝ vs

148

2

⎞ ⎟⎟ − 1 = 0 ⎠

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vi vs 1.0

0.5

0

2

4

6

8

V vs

Figure 156 : Évolution de la vitesse induite du rotor en fonction de la vitesse d’avance La vitesse induite vi diminue rapidement lorsque la vitesse d’avance V augmente et pour V > 2 l’analogie avec une aile fixe peut s’appliquer : vs vi vs ≈ vs V

La puissance induite vaut : Pi = Tv i =

T2 2ρA V 2 + v i2

ce qui donne, pour des vitesses d’avance usuelles : Pi =

T2 2ρAV

X-5-3 Théorie de l’élément de pale pour le vol horizontal

On définit l’angle de battement β comme étant l’angle formé entre la pale et le plan normal à l’axe du rotor. Ω

β

angle de battement

Figure 157 : Angle de battement d’une pale du rotor Comme nous l’avons vu précédemment, cet angle varie librement autour de l’articulation de battement au cours d’une révolution du rotor. On considère maintenant un rotor en vol horizontal, le plan perpendiculaire à l’axe du rotor faisant un angle αr petit avec l’écoulement incident.

149

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T

V cos αr

V

αr

pales du rotor

V sin αr vi

Figure 158 : Rotor en vol horizontal Par rapport au plan normal à l’axe du rotor, les composantes de vitesse sont V cos αr et V sin αr dans l’axe du rotor. On définit le paramètre d’avance : μ=

V cos α r V ≈ RΩ RΩ

L’écoulement total à travers le rotor est donc V sin αr + vi.

UP

ϕ

U UT

α θ

Figure 159 : Écoulement autour d’un élément de pale en vol horizontal La vitesse résultante pour un élément de pale dépend maintenant : - de la vitesse de rotation du rotor, - de la vitesse d’avance de l’hélicoptère, - de la vitesse induite, - du mouvement de battement de la pale. Les composantes de vitesse dans le plan de la section de pale sont UP et UT tandis que la composante de vitesse selon l’envergure est UR. Cette dernière composante est due au paramètre d’avance du rotor. V

UR UT

ψ

Figure 160 : Composantes de vitesse pour une position du rotor 150

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Ces composantes de vitesse sont : U T = rΩ + V sin ψ U R = V cos ψ

dβ dψ 1424 3 123 angle de angle battement autour de l' articulation de battement

U P = V sin α r + v i + β V cos ψ + rΩ 1442443 écoulement à travers le rotor L’angle d’incidence de l’aile est alors : α = θ−ϕ = θ−

UP UT

Tout comme pour le cas du vol vertical, le coefficient de poussée élémentaire pour une seule pale s’écrit : 1 ρU 2 cC L dr U T2 dr 1 c = dC T = 2 C L 2 πR ρπR 4 Ω 2 R 2Ω2 R Pour un rotor constitué de N pales : dC T =

U 2 dr 1 σC L 2 T 2 2 R Ω R

151

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152

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XI Aérodynamique des véhicules automobiles XI-1 Introduction

Les objectifs de l’aérodynamique appliquée aux véhicules automobiles sont doubles : - d’une part, diminuer la traînée globale ; - mais aussi (et ce critère est souvent oublié) augmenter l’adhérence, en particulier pour les voitures de compétition. Dans la conception d’un véhicule commercial, l’aérodynamique est un critère à prendre en compte parmi d’autres qui peuvent se révéler antagonistes : - au niveau de la géométrie du véhicule : - l’habitabilité, - la visibilité du conducteur, - la présence du sol, qui change le comportement d’une automobile par rapport à celui d’une aile d’avion ; - au niveau économique et esthétique, une ligne harmonieuse n’est pas nécessairement l’optimum aérodynamique, la forme idéale du corps aérodynamique parfait en « goutte d’eau » allongée (de coefficient de traînée minimum CD = 0,15), étant peu fréquente dans l’automobile.

Figure 161 : Corps aérodynamique parfait Néanmoins, depuis les chocs pétroliers des années 1970, des efforts importants ont été réalisés pour réduire la traînée des automobiles de série afin de diminuer la consommation en carburant. Un exemple d’évolution du coefficient de traînée CD et de la consommation en carburant est donné dans le tableau qui suit pour des véhicules haut de gamme Renault. Consommation pour année véhicule CD 100 km à 100 km/h (l) 1927 1951 1976 1984

P6 15 cv Frégate Renault 20 TS Renault 25 TS

0,60 0,54 0,41 0,28

17 12 7,6 5,9

Tableau 2 : Évolution du coefficient de traînée et de la consommation en carburant de véhicules Renault L’évolution du coefficient de traînée pour différents types de véhicules Citroën est donnée cidessous. année 1921 1935 1956 1970 1974 1982 1988 1990 1991 véhicule B2 Traction DS GS CX BX AX XM ZX CD 0,8 0,56 0,38 0,37 0,40 0,34 0,30 0,28 0,30 Tableau 3 : Évolution du coefficient de traînée de véhicules Citroën Il faut noter que la tendance actuelle est à une remontée des valeurs du coefficient de traînée, avec des valeurs de l’ordre de 0,35 due à l’intégration de nouveaux équipements et l’augmentation de la masse du véhicule (climatisation, …). L’objectif est néanmoins d’atteindre des valeurs de CD de l’ordre de 0,25 d’ici à cinq ans. La forme de corps 153

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aérodynamique parfait, de coefficient de traînée minimum, sert actuellement de corps de base (CD = 0,15) à la première étape d’optimisation dans tous les projets de conception d’un nouveau modèle automobile. Les modifications de forme qui suivent prennent en compte les contraintes d’encombrement (hors tout, moteur, habitacle, coffre, …) pour arriver à la forme de base (CD ~ 0,23). L’intégration des accessoires (rétroviseurs extérieurs profilés, enjoliveurs de roue, système d’échappement, raccords entre les parties fixes et mobiles, …) conduit au modèle de base (CD ~ 0,29). Enfin, le styliste apporte sa touche personnelle pour aboutir au modèle commercialisé (CD ~ 0,36). CD 0.8 0.6 0.4 0.2

corps aérodynamique parfait

1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 année

Figure 162 : Évolution du coefficient de traînée au cours du temps D’autres considérations que la baisse de la consommation en carburant sont également prises en compte par une étude aérodynamique : - l’amélioration de la sécurité, à travers l’étude de la répartition des efforts, de la stabilité longitudinale et latérale du véhicule ; - le confort de conduite, en jouant sur l’amélioration de l’écoulement à l’extérieur et à l’intérieur du véhicule (bruit, refroidissement du moteur, climatisation). XI-2 Sources de traînée d’un véhicule

Les sources de traînée aérodynamique d’un véhicule sont de deux types : - les sources externes, liées à l’écoulement sur la carrosserie ; - les sources internes, liées aux écoulements internes au véhicule. Pour un véhicule de tourisme, la traînée se répartie de la manière suivante : externe 90 % interne traînée de pression 60 % traînée de refroidissement traînée de frottement 5% traînée due à la ventilation traînée due aux accessoires 25 %

10 % 7% 3%

Tableau 4 : Différentes sources de traînée d’un véhicule La traînée de pression est donc la source principale de la traînée globale du véhicule. Pour une automobile de type berline, cette pression se répartie sur la carrosserie comme indiqué sur la figure suivante.

154

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− ⇒ p − patm < 0 + ⇒ p − patm > 0 − −

+

+

−

+ −

−

Figure 163 : Distribution de pression sur une automobile Nous verrons par la suite que le dessin de la partie arrière d’un véhicule peut changer radicalement la distribution de pression dans cette zone. Cette répartition des zones de surpression et de dépression indique également les régions les plus favorables pour l’aménagement d’ouïes d’entrée d’air (zones en surpression) ou de sortie (zone en dépression). amont maître couple aval maître couple z z

l

− −

+

+

h0

+ −

h1 h0

−

h2

− x

y

Figure 164 : Intégration de la distribution de pression Si l’on connaît cette distribution de pression ou du coefficient de pression Cp sur l’ensemble de la carrosserie, il est alors possible de calculer la traînée de pression du véhicule. Compte tenu de la forme du véhicule, une pression positive génère une contribution de traînée positive sur la partie avant du véhicule, tandis qu’elle génère une contribution de traînée négative sur la partie arrière. Pour calculer la traînée de pression, il faut donc distinguer l’amont de l’aval du maître couple, c’est à dire la plus grande section de la voiture vue par l’écoulement. Ainsi, l’intégration du coefficient de pression conduit à : - à l’amont du maître couple h

C D′, amont =

1 C p , amont dz h ∫0

C D′, aval =

1 C p , aval dz h ∫0

- à l’aval du maître couple h

On obtient ainsi les évolutions de CD′, amont et CD′, aval en fonction de la direction y selon la largeur du véhicule. 155

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−CD′, aval

−CD′, amont

−

−

− +

y

y

Figure 165 : Intégration du coefficient de traînée L’intégration de CD′, amont et CD′, aval selon la largeur du véhicule permet d’obtenir la traînée de pression : C Dp

l l ⎞ 1⎛ ⎜ = ⎜ ∫ C D′, amont dy − ∫ C D′, aval dy ⎟⎟ l⎝0 0 ⎠

XI-3 Réduction de la traînée d’un véhicule

La réduction de la traînée globale d’un véhicule résulte de compromis au niveau de la conception du dessin du véhicule. Par ailleurs, il faut garder à l’esprit que l’obtention d’une traînée minimale ne signifie pas seulement un coefficient de traînée CD minimum, mais aussi un maître couple S minimum, puisque : CD =

D q ∞S

Ainsi, pour un coefficient de traînée identique, la force de traînée s’exerçant sur une automobile (S petit) sera plus faible que celle s’exerçant sur un camion (S grand). Nous allons à présent examiner les différentes sources de traînée et les actions correctives qui peuvent être apportées. XI-3-1 Traînée de pression

Comme nous l’avons vu précédemment, la forme aérodynamique idéale est la « goutte d’eau » allongée ; cependant elle est peu pratique au niveau de l’habitabilité (mauvaise visibilité du conducteur, espace réduit pour les passagers arrières, …) et de l’encombrement (partie arrière longue et profilée). Des solutions peuvent néanmoins améliorer l’aérodynamique d’une automobile de forme plus traditionnelle. Pour cela, on cherche à éviter les décollements sur la carrosserie. La partie avant de l’automobile doit être la plus profilée possible ; la portance et la traînée peuvent être diminuées en facilitant l’écoulement sur les faces latérales plutôt que sur le pavillon. Il faut donc éviter les arrêtes vives. Ainsi, depuis le milieu des années 1950, la plupart des constructeurs ont opté pour le pare-brise enveloppant. Pour faciliter l’écoulement, il faut aussi éliminer tout obstacle tel que les gouttières de pluie. Au niveau de la partie amont d’un véhicule, l’ajout d’un déflecteur sous le bas de caisse permet de diminuer la portance du véhicule.

156

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0.1

δCD

0.0 -0.1

δCL

-0.2

h

300 mm

-0.3 0

100

200

300

h (mm)

Figure 166 : Effet d’un déflecteur avant sur les coefficients d’adhérence et de traînée La partie arrière de l’automobile doit théoriquement présenter une forme fuselée pour éviter un décollement de la couche limite. Mais cette forme est peu pratique du fait de son encombrement comme nous l’avons vu précédemment. Trois types de décollement peuvent se produire, selon la forme de l’arrière du véhicule : - partie arrière non profilée (break) : La variation brusque de la courbure du pavillon provoque un décollement de la couche limite localisé le long de cette ligne de rupture. Il y a création de tourbillons d’axe perpendiculaire à la direction de l’écoulement incident dont l’énergie est rapidement dissipée en chaleur. Dans ce sillage la vitesse du fluide est faible et la pression presque constante. La dissipation locale de l’énergie entraîne une forte traînée de pression. - partie arrière profilée (véhicule bi-corps) : La différence de pression entre le bas du véhicule et le pavillon provoque un écoulement secondaire qui interagit avec l’écoulement principal et génère deux tourbillons d’axe parallèle à la ligne de décrochement latéral du pavillon. Ces tourbillons sont du même type que ceux mis en évidence sur les ailes élancées. Cependant, sur la surface arrière du véhicule, l’écoulement reste attaché. La recompression partielle de l’écoulement se traduit par de faibles pertes énergétiques et un gain sur le coefficient de traînée δCD ~ 0,1. L’inconvénient majeur de cette forme de véhicule est un habitacle, et surtout un coffre de volume réduit. La Citroën DS est un exemple de véhicule bi-corps. - partie arrière de berline (véhicule tri-corps) : Les deux types précédents de décollement peuvent avoir lieu simultanément. L’écoulement est essentiellement tridimensionnel et il n’y a pas de théorie actuelle satisfaisante. La Peugeot 605 est un exemple de véhicule tri-corps.

157

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break

sillage

tourbillons

bi-corps

sillage tourbillons

tri-corps

sillage

Figure 167 : Différents types d’arrière corps de véhicules Ainsi il faut, dans la phase de conception d’une automobile, favoriser l’écoulement sur les côtés afin de faciliter la formation des tourbillons latéraux. Ces tourbillons ont un effet stabilisant sur le sillage qui se développe en aval du véhicule, en enserrant ce fluide dans une zone appelée écoulement de culot. Le dessin de la partie aval d’un véhicule est donc essentiel pour réduire la traînée, mais a également son importance dans la réduction de la portance de l’automobile. Prenons le cas d’un break. On remarque que le fait de profiler la partie arrière ne réduit pas nécessairement la traînée ni la portance.

158

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B fixe

A fixe

ϕ • A fixe

0.5

CD

0.4 0.3

B fixe •

CL

0.2

ϕ

0.1

20

30

40

50

60

ϕ (°)

Figure 168 : Effet de l’angle d’inclinaison de l’arrière-corps d’un véhicule sur les coefficients aérodynamiques Par contre, l’utilisation d’un déflecteur arrière a peu d’influence sur la traînée mais permet de diminuer fortement la portance. Par exemple, l’ajout d’un déflecteur sur la Porsche Carrera 911 permet de diminuer le coefficient de portance sur la partie arrière (en aval du maître couple) de 0,25 à 0,02.

Figure 169 : Effet d’un déflecteur arrière sur les coefficients d’adhérence et de traînée Cette diminution de la portance (augmentation de l’adhérence) est due à une modification de la distribution de pression sur la partie arrière du véhicule.

159

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Figure 170 : Modification de la distribution de pression due à la présence d’un déflecteur XI-3-2 Traînée due au soubassement et aux accessoires

Le fond rugueux des automobiles est un facteur très important de traînée aérodynamique. Cette partie du véhicule est souvent mal étudiée du point de vue aérodynamique, et différents organes mécaniques sont laissés exposés à l’air pour des raisons d’accessibilité (essieux, système de freinage, suspensions, réservoirs, pot d’échappement, …). Néanmoins, l’adoption d’un fond lisse permet une réduction du coefficient de traînée δCD ~ 0,1 à 0,3. Ce type de fond plat est largement utilisé par les véhicules de compétition. Une autre source de traînée est l’ensemble des accessoires montés sur le véhicule (rétroviseurs, antenne, pare-chocs, …). Des gains de traînée ont pu être obtenus ces dernières années en procédant à une meilleure intégration de ces éléments dans la carrosserie. Enfin, l’ouverture des vitres d’un véhicule produit une augmentation du coefficient de traînée δCD ~ 0,03 à 0,04 (pour les vitres avant seules). Un toit ouvrant produit une augmentation δCD ~ 0,1. Mais le pire cas aérodynamique est celui des voitures décapotables avec une augmentation δCD ~ 0,2 ou davantage entre la configuration fermée et la configuration sans toit. XI-3-3 Traînée interne

Les systèmes de refroidissement et de ventilation du moteur et de l’habitacle nécessitent un apport d’air extérieur, ce qui constitue une source de traînée supplémentaire. Le dessin et la position de ces entrées d’air doivent être optimisés pour créer une traînée minimale. Ainsi, elles sont en général placées dans les zones en surpression, à l’avant du véhicule pour faciliter la pénétration de l’écoulement. L’air de refroidissement est souvent rejeté par le fond ouvert du véhicule. Cependant, si cet air est envoyé dans la direction de l’écoulement extérieur au moyen d’une buse convenablement dessinée, on peut obtenir une composante de traînée négative grâce à l’énergie récupérée par l’écoulement lors du passage à travers le moteur. XI-4 Méthodes expérimentales

Il existe plusieurs méthodes de mesure de traînée d’une automobile, soit sur un véhicule réel, soit sur une maquette. XI-4-1 Essais sur route

La méthode de la décélération consiste à mesurer la décélération d’un véhicule sur une route plane, à masse m connue, ce qui donne la traînée totale : D t = mγ

160

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Cette traînée globale est la somme de la traînée de roulement Dr et de la traînée aérodynamique : Dt = Dr + Da Sous l’hypothèse que la traînée de roulement est indépendante de la vitesse, on en déduit : D a = mγ − D r XI-4-2 Essais en soufflerie

Pour comparer des mesures effectuées sur une maquette aux phénomènes physiques présents sur le modèle réel, il faut se placer dans des conditions de similitude de Reynolds ; c’est à dire que le nombre de Reynolds du modèle réel doit être identique à celui de la maquette. Néanmoins on peut omettre de vérifier cette condition tant qu’il n’y a pas d’effet de Reynolds sur le coefficient de traînée. CD 102

10

1 10−1 1

10

3 4 6 7 102 10 10 105 10 10 Re

Figure 171 : Évolution du coefficient de traînée en fonction du nombre de Reynolds Sol fixe La représentation la plus simple de l’écoulement autour d’un véhicule consiste à placer la maquette dans une soufflerie, fixée sur une paroi qui simule la route. Cependant, la formation d’une couche limite sur ce sol peut, par interaction, modifier considérablement le type d’écoulement par rapport au cas réel.

couche limite

Figure 172 : Écoulement en soufflerie avec sol fixe

161

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Méthode de l’image Afin d’éliminer la couche limite, on supprime le sol mais on place une seconde maquette symétrique à la première pour représenter la route. Théoriquement, du fait de la symétrie du système, aucune particule fluide ne traverse la surface imaginaire de la route. En pratique, l’écoulement est turbulent entre les deux maquettes et il se crée un système de tourbillons qui peut affecter la symétrie, donc les mesures.

Figure 173 : Écoulement en soufflerie par la méthode de l’image Sol mobile La meilleure reproduction de la surface de la route en soufflerie est celle obtenue avec un tapis roulant se déplaçant dans la même direction et à la même vitesse que l’écoulement incident. La principale difficulté expérimentale réside dans les vibrations de la courroie qui peuvent affecter la distance entre la maquette et le sol.

•

courroie mobile

•

Figure 174 : Écoulement en soufflerie avec tapis roulant XI-5 Véhicules automobiles de compétition

Les exigences des véhicules de compétition sont assez différentes de celles des automobiles du commerce. Du fait de leur vitesse élevée, l’aérodynamique prend une place prépondérante. Comme pour les véhicules de tourisme, les objectifs à atteindre sont : - une faible traînée, facile à obtenir étant donnée la faible surface frontale du véhicule, en particulier en Formule 1 ; - mais surtout une bonne adhérence afin de conserver le contrôle du véhicule à grande vitesse où pendant les manœuvres délicates (virage, déventage, dépassement, ...).

162

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XI-5-1 Aileron arrière

Jusqu’au milieu des années 1950 les voitures de compétition étaient de forme arrondie et profilée afin de minimiser leur résistance au vent, et ceci en partie pour palier aux faibles puissances des moteurs de l’époque. Cependant ces dessins permettaient à l’écoulement de circuler sous le véhicule, provoquant une dangereuse portance sur la partie avant qui fut la cause de nombreux accidents. En 1956, l’ingénieur Michael May eut l’idée de fixer un profil d’aile inversé au dessus du véhicule afin de produire une force dirigée vers le sol pour augmenter l’adhérence. Ce système ne fut néanmoins pas homologué sous le prétexte de gêner la visibilité du pilote. En 1966, Jim Hall fit fixer un profil à l’arrière de sa Chaparral et remporta l’année suivante les 24 heures du Mans. Ces ailerons arrières connurent alors du succès et s’implantèrent en Formule 1 un an après. Les ailerons de compétition ont depuis évolués et constituent maintenant de véritables canaux aérodynamiques permettant d’ajuster l’adhérence du véhicule au type de circuit. À lui seul, l’aileron arrière d’une Formule 1 produit environ le tiers de l’adhérence totale du véhicule.

aileron arrière de 1968

aileron arrière de 2001

Figure 175 : Ailerons de Formule 1 Cependant, le choix d’un aileron fortement chargé augmente l’adhérence du véhicule mais est pénalisant en terme de traînée. Ainsi pour un circuit rapide (type Monza) avec de longues lignes droites, on choisit un aileron peu chargé, qui présente de faibles incidences, tandis que pour un circuit lent (type Monaco) qui présente de nombreux virages et où l’adhérence est essentielle, on opte pour un aileron chargé.

aileron type Monaco

aileron type Monza

Figure 176 : Type d’aileron selon la charge aérodynamique souhaitée

163

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XI-5-2 Ailerons avant

De même qu’à l’arrière de la voiture, des ailerons peuvent être ajoutés à l’avant du véhicule (en Formule 1 essentiellement), ce qui permet de créer 25 % de l’adhérence totale. Ce gain d’adhérence est réduit à 10 % quand une voiture est dans le sillage immédiat de celle qui la précède. Chaque aileron latéral est constitué d’un profil dont l’envergure couvre toute la demi-largeur du véhicule, suspendu au nez de la voiture. Des volets amont et aval sont fixés et permettent un réglage pour ajuster l’adhérence désirée. Des plaques d’extrémité permettent un guidage de l’écoulement à travers l’aileron.

Figure 177 : Déviation de l’écoulement autour des roues par des ailerons avant XI-5-3 Diffuseur

Un autre dispositif permet d’augmenter l’adhérence du véhicule ; il s’agit du diffuseur. L’air qui pénètre à l’avant de la voiture est accéléré. Le col se situe au niveau des roues avant. Le diffuseur constitue une section de sortie plus grande, il y a donc décélération et recompression de l’écoulement et un effet d’aspiration vers le sol de l’arrière du véhicule. Par ailleurs, cet air rempli l’espace constitué par le sillage de la voiture. Ce système permet donc d’augmenter l’adhérence et de réduire la traînée.

Figure 178 : Diffuseur

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XII Théorie des surfaces portantes XII-1 Introduction

La théorie des surfaces portantes est la généralisation aux ailes tridimensionnelles de la théorie des profils épais bidimensionnels. On restera toujours dans le cadre d’un écoulement potentiel. XII-2 Fonction potentielle

On considère une aile d’envergure finie en mouvement dans un fluide au repos. Dans un système de coordonnées cartésiennes attachées à l’aile, les composantes de l’écoulement incident sont U∞,x, U∞,y et U∞,z. z y

U∞

U∞,y α

n

U∞,z

U∞,x x

Figure 179 : Surface portante On suppose U∞,y = 0 pour simplifier le simplifier le problème. L’écoulement autour de l’aile est un écoulement potentiel tel que : → r V = grad Φ

avec la fonction potentielle Φ solution de : ΔΦ = 0

avec les conditions limites : r r - limV = U ∞ , r →∞

→ r ∂Φ sur le profil grad Φ ⋅ n = 0 ⇔ = 0. ∂n Remarque : la fonction de courant Ψ n’est pas définie pour un écoulement tridimensionnel.

-

XII-3 Condition limite sur l’aile

On définit la surface matérielle de l’aile par la fonction : z = η (x, y)

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e (x, y ) où e(x, y) est la distribution d’épaisseur et zc(x, y) la surface 2 de cambrure moyenne de l’aile. r On recherche la normale extérieure au profil n , pour cela on définit la fonction :

avec η(x, y ) = z c (x, y ) ±

F(x , y, z ) = z − η(x , y ) = 0

d’où : → r grad F 1 n= = → → grad F grad F

⎛ ∂η r r ⎞ ∂η r ⎜⎜ − ex − e y + e z ⎟⎟ ∂y ⎝ ∂x ⎠

Par ailleurs, le potentiel de vitesse du à l’écoulement extérieur est : Φ ∞ = U ∞ , x x + U ∞ ,z z

Le potentiel de vitesse global est la somme de celui dû à l’écoulement extérieur et de celui dû aux perturbations créées par la présence du profil soit Φ∞ + Φ. La condition limite sur le profil s’exprime alors : → r grad(Φ ∞ + Φ ) ⋅ n = 0

⎛ ∂Φ ⎞ ⎛ ∂η ⎞ ⎜ U ∞,x + ⎟ ⎜− ⎟ ∂x ⎟ ⎜ ⎜ ∂x ⎟ ∂Φ ⎜ ⎟ ⋅ 1 ⎜ − ∂η ⎟ = 0 ⎜ ⎟ → ⎜ ∂y ⎟ ∂y ⎜ ∂Φ ⎟ grad F ⎜ 1 ⎟ ⎜ U ∞ ,z + ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂z ⎠ ⎝ d’où la relation : ∂Φ ∂η ⎛ ∂Φ ⎞ ∂η ∂Φ = − U ∞ ,z ⎜ U ∞,x + ⎟+ ∂z ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ∂y

pour z = η(x, y)

or, pour des angles d’incidence faibles : U ∞ , x = U ∞ cos α ≈ U ∞ U ∞ ,z = U ∞ sin α ≈ U ∞ α et d’après la théorie des petites perturbations : ∂Φ x0) ont une influence sur l’aile tandis que l’influence des sections situées en aval (x < x0) est négligeable. Ainsi l’influence du sillage est faible pour les ailes élancées.

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La condition limite précédente s’écrit alors sur la surface de l’aile (z = 0) : 1 2π

b (x ) 2

λ (x 0 , y 0 )

∫( ) (y − y )

b x − 2

2

dy 0 = − U ∞ α(x )

0

XIII-3 Aile élancée en pointe

Comme une distribution de dipôles peut être remplacée par une distribution équivalente de dλ (y ) = − γ (y ) , nous allons utiliser les résultats de la tourbillons, par exemple en prenant dy théorie des profils minces pour étudier l’écoulement bidimensionnel qui se développe dans un plan perpendiculaire à l’aile. Pour cela, on réalise une distribution de tourbillons en fer à cheval sur la surface de l’aile delta. γ(y) Γ(y)

Figure 188 : Modélisation de l’aile par une distribution de tourbillons et extraction d’un plan perpendiculaire Dans une section x = cst on obtient une distribution 2D de tourbillons comprise entre b(x ) b (x ) − 0 orienté selon l’axe x > 0. Le champ de vitesse dans le plan x = cst est : ∂Φ γ (y ) =m 2 ∂y

v(x , y, z = ±0 ) =

w (x , y, z = ±0 ) =

∂Φ 1 = ∂z 2π

b(x ) 2

dy ∫( ) γ(y ) y − y 0

0

−

b x 2

0

La condition limite sur l’aile s’écrit : ∂Φ (x, y, z = ±0) = − U ∞ α(x ) ∂z d’où : 1 2π

b(x ) 2

dy ∫( ) γ(y ) y − y

= − U ∞ α (x )

0

0

b x − 2

0

avec la condition de circulation nulle dans le plan x = cst : b(x ) 2

∫ γ(y ) dy = 0

b(x ) − 2

L’équation intégrale étant similaire à l’équation fondamentale de la théorie de la ligne portante, on recherche une distribution de circulation elliptique : Γ(y ) = Γmax

⎡ 2y ⎤ 1− ⎢ ⎥ ⎣ b(x ) ⎦

2

La distribution de tourbillons selon l’envergure est alors : γ (y ) = −

4Γ dΓ (y ) = 2 max dy b (x )

y ⎡ 2y ⎤ 1− ⎢ ⎥ ⎣ b (x ) ⎦

2

en remplaçant γ(y) dans l’équation intégrale :

1 2π

b(x ) 2

4Γmax

∫( ) b (x ) 2

−

b x 2

y0

dy 0 = − U ∞ α (x ) 2 y−y 0 ⎡ 2y ⎤ 1− ⎢ 0 ⎥ ⎣ b(x ) ⎦

ce qui conduit à (cf. paragraphe V-5) : b(x ) 2

−

∫( )

b x 2

dy 0 πb(x ) =− 2 2 ⎡ 2y 0 ⎤ y − y 0 1− ⎢ ⎥ ⎣ b (x ) ⎦ y0

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d’où : Γmax = U ∞ α (x ) b (x ) Γmax = U ∞ b(x )α(x ) Écrivons maintenant la relation entre le potentiel Φ et la circulation Γ en prenant un chemin d’intégration le long de l’axe y (pour x = cst) : y

Φ ( x , y, z = ± 0 ) = −

∫( ) m

b x 2

γ (y 0 ) Γ( y ) dy 0 = ± 2 2

Le saut de potentiel à travers l’aile est donc : Φ (x , y, z = +0 ) − Φ (x , y, z = −0 ) = 2Φ (x , y, z = +0 ) = Γ(y )

c’est donc une fonction elliptique, tout comme la portance L = ρ U∞ Γ(y) z y Γ(y) = Φ(y, +0) − Φ(y, −0)

x

Figure 190 : Distribution de portance dans une section de l’aile Remarque : Γ(y) est égal à la somme de tous les éléments tourbillonnaires situés en amont de la section x. Les expressions du potentiel et du champ de vitesse sont :

⎡ 2y ⎤ b(x ) Φ(x, y, z = ±0) = ± U ∞ α(x ) 1− ⎢ ⎥ 2 ⎣ b(x ) ⎦ = ± U ∞ α (x )

2

⎡ b (x ) ⎤ 2 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ − y 2

2 ⎫ ∂Φ ∂ ⎧⎪ ⎡ b (x ) ⎤ (x, y, z = ±0) = ± U ∞ ⎨α(x ) ⎢ ⎥ − y 2 ⎪⎬ u (x, y, z = ±0 ) = ∂x ∂x ⎪ ⎣ 2 ⎦ ⎪⎭ ⎩

v(x, y, z = ±0 ) =

∂Φ (x, y, z = ±0) = m γ(y ) = m U ∞ yα2(x ) ∂y 2 ⎡ b(x ) ⎤ 2 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ − y

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w (x, y, z = ±0) =

∂Φ (x, y, z = ±0) = − U ∞ α(x ) ∂z

Le saut de pression à travers l’aile s’écrit : δp = p(x, y, z = −0 ) − p(x, y, z = +0 ) = ρU ∞

∂ [Φ(x, y, z = +0) − Φ(x, y, z = −0)] ∂x

2 ⎧ ⎡ 2 y ⎤ ⎫⎪ ∂ ⎪ δp = ρU ⎨α(x )b(x ) 1 − ⎢ ⎬ ∂x ⎪ b(x ) ⎥⎦ ⎪ ⎣ ⎩ ⎭ 2 ∞

pour un angle d’incidence constant α(x) = α alors : δp =

b (x )

db (x ) dx

1 ρU ∞2 α 2 2 ⎡ b(x ) ⎤ 2 ⎢ 2 ⎥⎦ − y ⎣

z

y

δp

x

Figure 191 : Saut de pression dans une section de l’aile Remarque : la condition de Kutta n’est pas vérifiée le long du bord de fuite réel de l’aile. Pour une aile à distribution de portance elliptique : b(x ) 2

−

∫( Γ) (y )dy =

b x 2

πb(x ) Γmax 4

d’où : b(x ) 2

∫

−

b(x ) 2

⎡ 2y ⎤ πb(x ) 1− ⎢ dy = ⎥ 4 ⎣ b(x ) ⎦ 2

La variation longitudinale de la portance de l’aile est : b(x ) 2

b(x ) ⎫ ⎧ 2 2 ⎡ 2y ⎤ dL ⎪ 2 ∂ ⎪ dy⎬ = ∫ δp dy = ρU ∞ ⎨α(x )b(x ) ∫ 1 − ⎢ ⎥ dx ∂x ⎪ ⎣ b(x ) ⎦ b(x ) b(x ) ⎪ − − 2 2 ⎭ ⎩

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[

]

dL πρU ∞2 ∂ α(x )b 2 (x ) = dx 4 ∂x

Si, pour une section x = cst donnée, il n’y a pas de variation de α(x) et de b(x) alors il n’y a pas de portance créée par cette section. De même, pour une aile où b(x)varie de façon linéaire (aile delta) et avec une incidence α(x) = cst alors la variation longitudinale de portance est linéaire. La portance de l’aile générée entre son extrémité (x = 0) et une section x donnée vaut : x

π dL dx = ρU ∞2 α(x )b 2 (x ) dx 4 0

L (x ) = ∫

et pour l’aile complète : L=

π ρU ∞2 α max b 2max 4

Remarque : ce modèle ne prend pas en compte la contribution à la portance de la partie de db (x ) < 0 ). l’aile située en aval de l’envergure maximum (pour laquelle dx De même, la variation selon l’envergure de la portance de l’aile est :

⎡ 2y ⎤ dL = ρU ∞ Γ(y ) = ρU ∞2 α(x )b(x ) 1 − ⎢ ⎥ dy ⎣ b(x ) ⎦

2

qui est une distribution elliptique de portance selon l’envergure. On retrouve pour la portance de l’aile à une section x donnée : L (x ) =

b(x ) 2

−

dL π ∫( ) dy dy = 4 ρU α(x )b (x ) 2 ∞

2

b x 2

Le coefficient de portance de l’aile est alors : CL =

π b 2max π α max = A R α max 2 S 2

et le coefficient de traînée induite : C D ,i =

α 1 S C 2L = C L max 2 π b max 2

XIII-4 Méthode de Jones

Les résultats de la théorie des ailes élancées ont été obtenus en 1945 par R. T. Jones par une analyse purement physique du problème. On observe l’écoulement créé par une aile élancée en mouvement dans un plan fixe perpendiculaire à l’aile.

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plan d’observation fixe

U∞

aile en mouvement

Figure 192 : Illustration de la méthode de Jones Lorsque l’aile se déplace, la section comprise dans le plan d’observation augmente. Puisque l’écoulement reste attaché à l’aile, il peut être assimilé à un écoulement normal sur une plaque plane. La différence de potentiel de vitesse de part et d’autre de la plaque est alors : ⎛ 2y ⎞ δΦ = bw 1 − ⎜ ⎟ ⎝ b ⎠

2

w = U∞α(x) Figure 193 : Écoulement dans un plan perpendiculaire à l’aile Cet écoulement bidimensionnel ne génère aucune force à cause de la symétrie entre la face supérieure et la face inférieure. Le seul moyen d’obtenir une force est de créer une variation temporelle. Ce modèle propose donc que la portance est créée uniquement si les particules fluides sont accélérées par rapport à un observateur fixé au sol. Considérons pour cela une plaque plane accélérée vers le bas, ce qui implique une vitesse induite w orientée vers le haut.

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z y

b x δx

accélération de la plaque

accélération de la plaque

Figure 194 : Vitesse induite créée par l’accélération de la plaque La force résultante par unité de longueur δx est alors : b

δL ∂ 2 ∂ = ρ ∫ δΦ dy = ρ δx ∂t b ∂t −

2

b 2

2

∂ ⎛ 2 π⎞ ⎛ 2y ⎞ ∫b bw 1 − ⎜⎝ b ⎟⎠ dy = ρ ∂t ⎜⎝ wb 4 ⎟⎠ − 2

Ce résultat peut être vu comme une « masse ajoutée » de fluide qui est accélérée par la plaque en mouvement. La force créée par le fluide accéléré de masse ajoutée m′ est : δL d (m ′w ) = dt δx On suppose ici que la plaque n’a pas de masse. On en déduit : π m′ = ρb 2 4 qui est la masse d’un cylindre fluide de diamètre b. Si l’on utilise cette approche pour une aile élancée en pointe, la portance sur le segment de l’aile qui traverse le plan d’observation sera due à l’accélération de la masse de fluide : dm ′ δL d (m ′w ) d(m ′w ) dx = = = U ∞2 α(x ) dx δx dt dx dt dα (x ) est négligeable et dx = U ∞ . En remplaçant l’expression de la dx dt masse ajoutée m′ il vient :

avec w (x ) = U ∞ α(x ) ,

π db 2 (x ) π db δL 2 = ρU ∞ α(x ) = ρU ∞2 α(x ) b(x ) (x ) dx δx 4 dx 2 Par passage à la limite, on retrouve donc l’expression de paragraphe XIII-3.

183

dL obtenue précédemment au dx

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XIV Théorie des corps élancés XIV-1 Introduction

Un corps est dit élancé lorsque sa dimension longitudinale, comptée dans la direction de l’écoulement incident, est beaucoup plus grande que ses dimensions transversales. On se place dans le cas d’un corps à symétrie de révolution en faible incidence, dont la surface est donnée par la relation : F = r − R(x) = 0

z

r y θ

U∞ α

R(x)

U∞,z

U∞,x

0 l

x

Figure 195 : Corps élancés On a donc pour un corps élancé : R (x )