Aero 2006 Supersonic [PDF]

Zitiervorschau

Table des matières 1 Ecoulements 1-D 1.1 Vitesse du son et nombre de Mach . . 1.1.1 Phénoménologie . . . . . . . . . 1.1.2 Expression de la vitesse du son 1.1.3 Définition du nombre de Mach . 1.2 Onde de choc 1-D . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Position du problème . . . . . . 1.2.2 Grandeurs soniques . . . . . . . 1.2.3 Relation de Prandtl . . . . . . . 1.2.4 Explication phénoménologique . 1.3 Relations de choc . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Grandeurs d’arrêt . . . . . . . .

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5 5 5 5 7 8 8 9 10 11 12 14

2 Ecoulements bidimensionnels 2.1 Chocs obliques . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Position du problème . . . . . . . . 2.1.2 Méthode de résolution . . . . . . . 2.1.3 Relations de choc . . . . . . . . . . 2.1.4 Interprétation physique . . . . . . . 2.2 Choc faible . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Description . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Relation θ − β − M du choc faible 2.2.3 Relations de choc faible . . . . . . 2.3 Compression supersonique . . . . . . . . . 2.4 Détente supersonique . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Description . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Fonction de Prandtl-Meyer . . . . .

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23 23 23 23 24 26 28 28 29 30 32 34 34 34

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39 39 41 41 42 44 52

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3 Calcul de forces aérodynamiques 3.1 Calcul exact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Calcul approché : cas des profils minces . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Expression du coefficient de pression . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Expression de la portance et de la traînée . . . . . . . . . 3.3 Optimisation des performances aérodynamiques d’un profil d’aile . 3.4 Simulation numérique de l’écoulement sur un profil losangique . . 1

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4 Ecoulements dans les tuyères 4.1 Relations fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Relation section-vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Analyse de l’écoulement isentropique dans une tuyère . . . . . . . . . . 4.4 Analyse des différents régimes d’écoulement d’une tuyère . . . . . . . . 4.5 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Ecoulement isentropique dans une tuyère convergente-divergente 4.5.2 Ecoulement dans une tuyère amorcée . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Ecoulement dans un divergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Statoréacteur à combustion supersonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Problèmes 5.1 Choc droit / choc oblique et pression d’arrêt . . . . . . . . . 5.2 Ecoulement à grand Mach sur une rampe . . . . . . . . . . . 5.3 Etude d’un dispositif plaque / volet en régime supersonique 5.4 Etude de la poussée d’un moteur-fusée . . . . . . . . . . . . 5.5 Relation section critique / pression totale . . . . . . . . . . . 5.6 Calcul de la position d’un choc dans une tuyère . . . . . . . 5.7 Description d’un écoulement en sortie de tuyère . . . . . . . 6 Annexe

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57 57 58 61 62 68 68 68 69 71

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77 77 78 82 84 87 88 89 93

Introduction Le premier vol supersonique - officiellement reconnu comme tel - remonte au 14 octobre 1947. Ce jour-là, le Bell XS1 piloté par Chuck Yeager atteignait M = 1.06 et ouvrait la voie à un nouveau régime de vol, dans lequel les ondes de choc dominent l’écoulement. A M = 1.06, l’avion profilé comme une balle de fusil créait un arc de choc en amont de son nez, détaché du fuselage ; un peu plus tard l’année suivante, le même pilote dans le même avion atteignait M = 1.45. Dans cette configuration de vol, un choc oblique attaché au nez de l’avion se formait (voir figure 1 ci-dessous).

M=1.06

M=1.45

Fig. 1 – Exemples de structures de choc dans un écoulement en régime supersonique. Voici donc 2 exemples d’écoulements supersoniques. Le présent cours vise à vous donner les connaissances nécessaires pour comprendre les caractéristiques essentielles de ce type d’écoulements. Pour ce faire, nous allons adopter la démarche suivante : • dans un premier temps, nous allons étudier le phénomène d’onde de choc 1-D afin de cerner précisément ses caractéristiques. • nous nous intéresserons ensuite à des écoulements externes 2-D et nous parlerons d’ondes de choc obliques en nous appuyant sur l’étude 1-D ainsi que d’ondes de détente supersoniques. Nous montrerons comment, en combinant simplement chocs et détentes, on peut évaluer quantitativement les performances aérodynamiques de profils. • enfin, nous concluerons ce chapitre en traitant le cas d’écoulements internes dans des tuyères. Des éléments de simulation numérique d’écoulements supersoniques externes sont également donnés ; des notes complémentaires, notamment sur la simulation numérique d’écoulements internes, seront distribuées lors de la dernière séance du cours.

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TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1 Ecoulements 1-D 1.1 1.1.1

Vitesse du son et nombre de Mach Phénoménologie

Considérons l’air ambiant. Il est formé de molécules en mouvement. Supposons maintenant que nous introduisions une petite perturbation dans ce milieu sous forme d’un apport ponctuel d’énergie. Cette énergie est absorbée par les molécules voisines de la source qui se déplacent alors avec une vitesse accrue ; ces molécules un peu plus rapides interagissent avec des molécules plus éloignées de la source de perturbation initiale et modifient leur vitesse ; le phénomène se reproduit de place en place, l’énergie produite initialement étant ainsi transmise à travers l’espace. Cette onde d’énergie se déplace à une vitesse que l’on peut naturellement relier à la vitesse moléculaire : une telle aproche relève de la cinétique des gaz. Dans ce cours, nous choisissons une approche plus macrocospique en nous intéressant aux effets de cette onde. Il est clair que la variation d’énergie qu’elle crée entraîne également une variation de la pression, de la densité, de la température du milieu de propagation ; ces variations restent faibles dans la mesure où l’apport d’énergie est une perturbation (il ne s’agit pas d’un pic d’énergie correspondant par exemple à une explosion). Si un observateur se place dans ce milieu de propagation, son oreille percevra en particulier la faible variation de pression sous la forme d’un son, d’où le nom d’onde sonore ou acoustique pris par cette onde faible et de vitesse du son pour sa vitesse de propagation.

1.1.2

Expression de la vitesse du son

Notons a cette vitesse du son et cherchons à la relier aux propriétés locales du fluide : pression p, masse volumique ρ et température T . Dans un repère absolu la situation est illustrée sur la figure 1.1 (a). Plaçons-nous maintenant dans un repère relatif à l’onde : l’écoulement en avant de celle-ci se dirige alors vers elle à une vitesse a et nous supposons que l’état uniforme de l’air dans cette région est caractérisé par p, ρ, T (cf. Fig. 1.1 (b)). A travers l’onde, de faibles variations se produisent de sorte que l’état derrière l’onde est caractérisé par ρ + dρ, T + dT , p + dp, a + da où les d· sont des variations infinitésimales. Dans ce repère local, l’ensemble de l’écoulement peut être considéré comme stationnaire. 5

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CHAPITRE 1. ECOULEMENTS 1-D

a + da p + dp ρ + dρ T + dT

a p ρ T

a onde acoustique

(b)

(a)

Fig. 1.1 – Propagation d’une onde acoustique. (a) En repère absolu. (b) Dans un repère lié à l’onde. Dans ce chapitre on considère l’air comme un fluide idéal (fluide non visqueux, non conducteur de la chaleur). L’écoulement ci-dessus peut donc être décrit par les équations d’Euler ; la forme intégrale de ces équations a été établie dans le premier chapitre de ce cours. Dans le cas d’un écoulement stationnaire, les relations - rappelées dans le cours introductif consacré aux équations modélisant les écoulements de fluides compressibles - pour traduire la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie s’écrivent respectivement 1 :  Z   ρV · ndS = 0    S     Z  Z ρV (V · n)dS = −pndS  S S     Z Z      ρE(V · n)dS = − p(V · n)dS S

S

où n désigne la normale unitaire extérieure à la surface de contrôle S. En appliquant ces équations au volume de contrôle indiqué sur la figure 1.2, on obtient de façon immédiate les équations qui régissent l’écoulement d’un fluide idéal :   ρ 1 u1 = ρ 2 u2 ρ1 u21 + p1 = ρ2 u22 + p2 (1.1)  ρ1 u1 H1 = ρ2 u2 H2 où on rappelle que l’enthalpie totale H est définie par H = E + p/ρ. Appliquons maintenant ces équations aux 2 états de part et d’autre de notre onde acoustique : u1 = a, ρ1 = ρ et p1 = p d’une part, u2 = a + da, ρ2 = ρ + dρ et p2 = p + dp d’autre part. Après injection dans les deux premières relations de (1.1) et en négligeant les termes d’ordre deux (du type d · ×d·) on trouve (voir l’exercice proposé en fin de section pour plus de détails) : a2 =

dp dρ

1 Dans le cas d’un écoulement d’air, on peut en général négliger les forces gravitationnelles devant les forces de pression

1.1. VITESSE DU SON ET NOMBRE DE MACH

u1

7

p1 ρ1

u2

p2

ρ2

Fig. 1.2 – Volume de contrôle dans le cas d’un écoulement stationnaire formé de deux états constants. En fait, les variations des propriétés du fluide étant supposées faibles, le passage de l’état 1 à l’état 2 peut être considéré comme réversible ; le phénomène étant en outre adiabatique (il n’y a pas de transfert de chaleur puisque le modèle retenu est celui d’un fluide idéal) le passage de l’onde acoustique peut être considéré comme isentropique. Donc : a2 = (

∂p )S ∂ρ

où (·)S signifie que la variation est évaluée à entropie constante ; on a vu précédemment que pour un p gaz parfait s = cste équivaut à γ = cste. Donc : ρ r γp a= (1.2) ρ ou aussi, compte tenu de la loi d’état thermique retenue pour l’air (p = ρrT ) : p a = γrT

(1.3)

Remarque : au niveau de la mer T ≈ 293K, r = 287J/kg − K et γ = 1.4 donc a ≈ 340m/s.

1.1.3

Définition du nombre de Mach

On peut maintenant définir une grandeur physique importante, le nombre de Mach, rapport de la vitesse locale de l’écoulement et de la vitesse du son au même point : M=

u a

Les différents régimes d’écoulements liés à cette définition sont : pour M < 1, régime subsonique ; pour M > 1, régime supersonique. Le nombre de Mach est le paramètre de similitude essentiel des écoulements compressibles. Pour reproduire en soufflerie, à température ambiante (T ≈ 300K), un écoulement à nombre de Mach égal à 2, il faut mettre l’air en mouvement à la vitesse U∞ ≈ 2×340 = 680 m/s soit environ 2500 km/h. En fait, on peut atteindre le même nombre de Mach pour une vitesse moins élevée en diminuant la vitesse du son de l’écoulement ; cette diminution de la vitesse du son peut être obtenue en abaissant la température√T . Ainsi, à une température de −150 degrés Celsius, soit T = 123 K, la vitesse du son vaut a = γrT = 222 m/s et par conséquent un nombre de Mach égal à 2 peut être atteint pour une vitesse d’écoulement de seulement U∞ ≈ 444 m/s soit environ 1600 km/h. Cette idée est mise en application dans les souffleries cryogéniques (où l’abaissement de la température a aussi une incidence sur la viscosité du fluide et donc sur la valeur du nombre de Reynolds, paramètre de similitude essentiel pour les écoulements de fluide visqueux) ; elle a également été

8

CHAPITRE 1. ECOULEMENTS 1-D

utilisée en 1947 pour atteindre un régime d’écoulement supersonique avec une poussée limitée puisque le vol du Bell-XS1 s’est effectué à très haute altitude. Un exemple de soufflerie cryogénique est la soufflerie transsonique dite T 2 de l’ONERA à Toulouse (voir le site http ://www.onera.fr/dmae/t2/ ). L’injection d’azote liquide permet d’y atteindre une température minimale de l’ordre de 100 K.

Exercice : Calcul de la vitesse du son • Etablir la relation a2 =

dp . dρ

¤ On part des équations d’Euler entre deux états, indicés 1 et 2 :   ρ 1 u1 = ρ 2 u2 ρ1 u21 + p1 = ρ2 u22 + p2  ρ1 u1 H1 = ρ2 u2 H2 L’état 1 est choisi comme l’état de référence u1 = a, ρ1 = ρ et p1 = p, l’état 2 comme l’état perturbé par le passage de l’onde acoustique : u2 = a + da, ρ2 = ρ + dρ et p2 = p + dp. En injectant ces quantités dans la relation qui exprime la conservation de la masse, on obtient : ρa = ρa + ρda + adρ + T.O.S où T.O.S. désigne les termes d’ordre supérieur à l’ordre 1 (ici le produit du · dρ), que l’on néglige. La relation ci-dessus peut donc se réécrire : ρda + adρ = 0. En procédant similairement, la conservation de la quantité de mouvement nous donne : 2ρada + a2 dρ + dp = 0 En remplaçant alors dans la relation ci-dessus ρda par −adρ, on obtient immédiatement : a2 =

1.2 1.2.1

dp ¤ dρ

Onde de choc 1-D Position du problème

Nous nous intéressons à présent au cas d’un écoulement dans lequel on a une brusque variation finie des propriétés du fluide à la traversée de l’onde ; on parle alors d’onde de discontinuité ou d’onde de choc. Nous supposons donc une configuration de la forme indiquée sur la figure 1.3. Nous nous plaçons dans le cas où l’état 1 est connu et nous cherchons à évaluer l’état 2 derrière le choc. Les équations d’Euler 1-D stationnaires s’appliquent : avec 3 inconnues, par exemple ρ2 , u2 et p2 , pour 3 équations, on peut résoudre le système (1.1) et trouver les (·)2 en fonction des (·)1 . Cependant, d’un point de vue physique, il est plus fructueux de procéder différemment en utilisant des variables bien choisies.

1.2. ONDE DE CHOC 1-D

9 Etat 1

ρ1

u1 p 1

Etat 2 ρ2

T M a1 1 1

u2

p2

T2

M 2 a2

Fig. 1.3 – Discontinuité des propriétés d’un fluide à la traversée d’une onde de choc.

1.2.2

Grandeurs soniques

Considérons un élément de fluide caractérisé par ρ, p, T , a, M . . . et imaginons que nous l’amenons adiabatiquement à l’état sonique M = 1 (le fait que le processus soit adiabatique, i.e. se fasse sans échange de chaleur ne pose pas de problème en fluide √ parfait). Dans ce nouvel état virtuel, le fluide est caractérisé par des propriétés p∗ , ρ∗ , T∗ , a∗ = γrT∗ ; on définit aussi un nombre de Mach dit nombre de Mach caractéristique tel que u M∗ = (1.4) a∗ Note : il est inutile de définir un “Mach sonique” puisque par définition le nombre de Mach à l’état sonique vaut 1. On affecte donc la notation M∗ à la quantité u/a∗ . Les variables soniques peuvent être calculées en fonction des variables réelles u, p, T , ρ, a . . . que l’on qualifie de statiques (p : pression statique, T : température statique) - par référence au fait qu’elles correspondent à l’état en lequel on se trouve (stare en latin) -. Ce calcul s’effectue tout simplement en appliquant les équations d’Euler (1.1) entre l’état réel du fluide et l’état sonique. On va s’intéresser ici uniquement au calcul de la vitesse du son à l’état sonique afin d’en déduire une expression pour le nombre de Mach caractéristique. La conservation de l’énergie entre deux états donnés du fluide nous donne : ρ1 u1 H1 = ρ2 u2 H2 soit, compte tenu de la conservation de la masse ρ1 u1 = ρ2 u2 , H1 = H2 Autrement dit, H = cste dans l’écoulement. La constante dans cette relation peut en particulier être déterminée en choisissant l’état sonique comme état de référence . On a alors : H = H∗ En revenant à la définition de l’enthalpie, on peut exprimer H en fonction de la vitesse et de la vitesse du son a : γ p u2 a2 u2 p + = + H=E+ = ρ γ −1ρ 2 (γ − 1) 2 La conservation de l’enthalpie peut donc aussi s’écrire : u2 a2∗ u2 a2 + = + ∗ (γ − 1) 2 (γ − 1) 2 et comme u∗ = a∗ par définition de l’état sonique on a finalement : a2 =

γ+1 2 γ−1 2 a − u 2 ∗ 2

ou

a2∗ =

2 2 γ−1 2 a + u γ+1 γ+1

(1.5)

10

CHAPITRE 1. ECOULEMENTS 1-D

Remarque : a∗ est calculable par (1.5) en tout point d’un écoulement même si celui-ci n’est pas réellement adiabatique : l’état sonique, même virtuel, peut toujours servir d’état de référence. En divisant (1.5) par u2 on obtient : 2

M2 = [

γ+1 ] − (γ − 1) M∗2

ou bien

M∗2 =

(γ + 1)M 2 2 + (γ − 1)M 2

(1.6)

On remarque que si M∗ = 1 alors M = 1, et de même, si M∗ < 1 alors M < 1, et si M∗ > 1 alors M > 1.

1.2.3

Relation de Prandtl

Refermons maintenant cette parenthèse sonique et revenons à notre problème d’onde de choc, i.e. à la résolution de (1.1) pour trouver l’état 2 en fonction de l’état 1. En partant de l’équation de conservation de la quantité de mouvement : ρ1 u21 + p1 = ρ2 u22 + p2 puis en faisant apparaître la vitesse du son grâce à a2 = γp/ρ et en exprimant respectivement a1 en fonction de u1 et a∗ et a2 en fonction de u2 et a∗ , on obtient la relation dite de Prandtl (voir l’exercice proposé ci-dessous pour le détail de la démonstration de cette relation) : a2∗ = u1 u2

(1.7)

que l’on peut aussi écrire, en tenant compte de la définition du nombre de Mach caractéristique : (M∗ )2 =

1 (M∗ )1

(1.8)

Cette relation est pleine d’intérêt puisqu’elle nous dit que si (M∗ )1 > 1 alors (M∗ )2 < 1 et similairement, si (M∗ )1 < 1 alors (M∗ )2 > 1. Comme on sait de plus que le Mach réel varie comme le Mach caractéristique (cf. b)), ceci est également vrai pour M1 et M2 . On a donc 2 cas de figures possibles a priori, illustrés sur la figure 1.4 ci-dessous. Seul le premier cas de figure est physiquement possible, comme nous allons l’expliquer dans le paragraphe qui suit.

M1 > 1

M1 < 1

M2 < 1

M2 > 1

ou

Fig. 1.4 – Configurations de l’écoulement a priori possibles de part et d’autre d’une onde de choc.

1.2. ONDE DE CHOC 1-D

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Exercice : Relation de Prandtl • Etablir, à partir des équations d’Euler entre les états 1 et 2 de part et d’autre d’une discontinuité, la relation de Prandtl : a2∗ = u1 u2 ¤ On part de l’équation de la quantité de mouvement : p1 + ρ1 u21 = p2 + ρ2 u22 Puisque l’on veut établir une relation qui fait intervenir la vitesse du son a, on exprime la pression à l’aide de la définition de la vitesse du son : a2 = γp/ρ. On en tire donc : ρ1 u1 (u1 +

a21 a2 ) = ρ2 u2 (u2 + 2 ) γu1 γu2

qui peut naturellement se simplifier en tenant compte de la conservation de la masse ρ1 u1 = ρ2 u2 . On introduit alors la vitesse du son à l’état sonique associé aux états statiques 1 et 2 ; elle vérifie : a2 =

γ+1 2 γ−1 2 a − u 2 ∗ 2

où (a, u) peuvent être pris dans l’état 1 ou 2. On en déduit : γ+1 a2 γ+1 a2 (u1 + ∗ ) = (u2 + ∗ ) 2γ u1 2γ u2 Cette relation peut se réécrire : a2∗ (u2 − u1 ) = (u2 − u1 )u1 u2 et comme u1 6= u2 (si on avait u1 = u2 il n’y aurait pas de choc), on en déduit la relation de Prandtl. ¤

1.2.4

Explication phénoménologique

Imaginons un obstacle placé dans un écoulement subsonique (cf. Fig. 1.5(a)). Si on reprend notre explication initiale sur l’onde acoustique, on imagine bien ce qui se passe : les premières particules de fluide qui rencontrent l’obstacle voient leur vitesse modifiée ; cette modification/perturbation est transmise de façon isotrope dans tout le fluide en particulier vers l’amont ; comme la vitesse de cette information, la vitesse du son, est supérieure à celle de l’écoulement l’information peut “remonter” et ainsi le fluide est “prévenu” de la présence de l’obstacle de sorte que les lignes de courant sont de la forme indiquée sur la figure 1.5(b). Supposons maintenant l’écoulement supersonique. Puisque a∞ < u∞ , les ondes acoustiques informant l’écoulement en amont de la présence de l’obstacle ne peuvent pas remonter l’écoulement ; elles tendent alors à former une onde de choc légèrement en amont de l’obstacle : devant l’onde de choc, l’écoulement est uniforme avec les conditions à l’infini amont, derrière, il est subsonique (pas forcément partout comme on le verra ultérieurement, mais en tout cas là où le choc est à peu près 1-D ou droit) et on retrouve le phénomène de contournement précédent (cf. Fig. 1.6). Dans le cas de l’écoulement 1-D, nous “sentons” donc que le seul cas possible d’onde de choc 1-D est : M1 > 1, M2 < 1. Le second principe de la thermodynamique est la raison profonde qui justifie que

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CHAPITRE 1. ECOULEMENTS 1-D

M1

M 1 est compatible avec un accroissement de l’entropie à la traversée du choc. On montrera ce résultat ultérieurement, une fois établies les relations de saut qui permettent d’évaluer le rapport entre les valeurs prises par une grandeur physique de part et d’autre du choc en fonction du nombre de Mach de l’écoulement en amont du choc.

1.3

Relations de choc

D’un point de vue quantitatif maintenant, la relation entre M2 et M1 est obtenue très facilement, à partir de (1.6) et (1.8) ((1.6) donne la relation entre M∗ et M , (1.8) entre (M∗ )1 et (M∗ )2 ) ; on trouve : γ−1 )M12 1+( 2 2 M2 = (1.9) γ−1 2 γM1 − ( ) 2 Ces relations dites de choc droit sont bien sûr tabulées et on a par exemple : M1 = 2 ⇒ M2 ≈ 0.577. Le nombre de Mach amont M1 est un paramètre extrêmement intéressant pour exprimer les rapports des grandeurs physiques de part et d’autre du choc (et être donc en mesure de calculer l’état 2 en fonction de l’état 1).

1.3. RELATIONS DE CHOC

13

Ainsi, l’équation de conservation de la masse nous donne : ρ1 u1 = ρ2 u2 qui peut se réécrire

En utilisant alors (1.6) on a :

ρ2 u1 u2 u2 = = 1 = 21 = (M∗ )21 ρ1 u2 u1 u2 a∗ u1 ρ2 (γ + 1)M12 = = u2 ρ1 2 + (γ − 1)M12

(1.10)

Cette quantité est plus grande que 1, donc la densité augmente à la traversée du choc tandis que la vitesse diminue. Le rapport des pressions de part et d’autre du choc est obtenu à partir de l’équation qui dans (1.1) traduit la conservation de la quantité de mouvement. On obtient après calcul (voir l’exercice ci-dessous pour les détails de calcul) : p2 2γ =1+ (M 2 − 1) p1 γ+1 1

(1.11)

Cette quantité est plus grande que 1 donc la pression augmente à la traversée d’un choc : le choc comprime l’écoulement. Enfin, le rapport des températures est obtenu grâce à la loi d’état thermique : p = ρrT . La température augmente à la traversée d’un choc. Remarque : Il est intéressant d’examiner les limites des relations de saut qui viennent d’être établies. Lorsque M1 tend vers 1, on constate de façon immédiate que tous les rapports de la forme (·)2 /(·)1 tendent vers 1 : il n’y a plus de discontinuité dans l’écoulement, le choc est dit évanescent. A l’opposé, lorsque M1 → ∞, on constate que les sauts de pression et de température tendent eux-aussi vers l’infini alors que le saut de masse volumique tend vers γ−1 soit 6 lorsque γ = 1.4 et le nombre de γ+1 q Mach M2 en aval du choc tend vers la valeur limite γ−1 soit 0.378 pour γ = 1.4. Si on se place par 2γ exemple sur un point de la trajectoire de rentrée dans l’atmosphère d’un véhicule hypersonique, on peut se trouver typiquement en présence d’un écoulement incident à M1 = M∞ = 20 et T∞ = 280 K. Si on applique directement les formules ci-dessus on trouve comme température derrière la portion "droite" de l’arc de choc qui se forme devant le nez de ce véhicule T2 ≈ 22000 K ! Fort heureusement cette valeur n’est jamais atteinte en pratique (on ne saurait pas fabriquer des protections thermiques efficaces à de telles températures) car en écoulement hypersonique l’hypothèse initiale de gaz caloriquement parfait n’est plus valable et les effets dits de gaz réel qui se produisent alors tendent à "pomper" de l’énergie et à abaisser notablement la température au nez du véhicule.

Exercice : Saut de pression à travers un choc 1-D • Montrer que le saut de pression à travers un choc 1-D est donné par (11) : 2γ p2 =1+ (M 2 − 1) p1 γ+1 1 ¤ La conservation de la quantité de mouvement entre l’état 1 et l’état 2 de part et d’autre du choc s’écrit : p1 + ρ1 u21 = p2 + ρ2 u22

14

CHAPITRE 1. ECOULEMENTS 1-D

soit

p2 − p1 1 = (ρ1 u21 − ρ2 u22 ) p1 p1

donc

p2 ρ1 u21 u2 =1+ (1 − ) p1 p1 u1

On utilise alors d’une part la relation (10) qui donne u2 /u1 en fonction de M12 : 2 + (γ − 1)M12 u2 = u1 (γ + 1)M12 et d’autre part

On en tire :

ρ1 u21 u2 = γ 21 = γM12 p1 a1 (γ + 1)M12 − 2 − (γ − 1)M12 p2 = 1 + γM12 ( ) p1 (γ + 1)M12

d’où, après simplification, la relation attendue. ¤

1.3.1

Grandeurs d’arrêt

Considérons un élément de fluide de propriétés statiques u, p, T et imaginons que nous amenions cet élément à l’arrêt de façon isentropique : la température et la pression - virtuelles - de cet élément sont appelées température et pression totales (ou d’arrêt) et notées dans ce cours T0 , p0 (elles sont parfois notées pi , Ti dans la littérature). Dans le cas du problème de l’onde de choc, nous nous trouvons dans la configuration indiquée sur la figure 1.7.

Etat 1

Etat 2

Grandeurs statiques : S1 p1 T1 M 1

Grandeurs statiques : S2 p2 T2 M 2

Grandeurs d’arrêt associées S1 (évolution isentropique) p01 T01 (u=0)

Grandeurs d’arrêt associées S2 (évolution isentropique) p02 T02 (u=0)

Fig. 1.7 – Grandeurs statiques et totales de part et d’autre d’une onde de choc. Pour déterminer ces grandeurs d’arrêt en fonction des grandeurs statiques (ou réelles) on utilise à nouveau les équations d’Euler (1.1) entre ces deux états. On a donc pour la conservation de l’énergie : H = H0

1.3. RELATIONS DE CHOC

15

La particularité de l’enthalpie d’arrêt est que, par définition de l’état d’arrêt en lequel la vitesse de l’écoulement est nulle, elle ne dépend en fait que de la température à l’état d’arrêt T0 . Par conséquent dire que l’enthalpie d’arrêt est une constante de l’écoulement adiabatique d’un fluide parfait est équivalent à dire que la température d’arrêt est une constante de cet écoulement. En utilisant la définition de l’enthalpie, on déduit de la relation ci-dessus l’égalité suivante : Cp T +

u2 = Cp T0 2

(1.12)

qui peut aussi se mettre sous la forme d’une relation entre température statique en un point de l’écoulement et nombre de Mach en ce même point, faisant également intervenir la température d’arrêt ou température totale constante dans cet écoulement : T0 γ−1 2 =1+ M T 2

(1.13)

Insistons sur le fait que cette importante relation est valable dans tout écoulement adiabatique, donc y compris dans un écoulement avec génération d’entropie du moment qu’il n’y a pas échange de chaleur. Ainsi, dans le cas qui nous intéresse ici d’un écoulement présentant une onde de choc à travers laquelle l’entropie augmente, la température totale T0 reste constante à travers cette onde de choc, soit (T0 )1 = (T0 )2 où (T0 )1 (respectivement (T0 )2 ) désigne la température totale constante associée à l’écoulement isentropique en amont (respectivement en aval) de l’onde de choc.

Exercice : Utilisation de la notion de température d’arrêt • Déterminer une approximation de la température au nez du missile en vol supersonique représenté ci-dessous. choc ‘‘1D’’

M inf =2

Missile

T inf Niveau de la mer

Fig. 1.8 – Missile en vol au ras de l’eau. ¤ Le nez du missile étant un point d’arrêt de l’écoulement, la température au nez Tnez est la température totale associée à l’état 2, derrière le choc détaché, T02 , elle-même égale à la température totale associée à l’état 1 en amont du choc, T01 , puisque la température totale se conserve à travers une onde de choc, et T01 est connue en fonction de T∞ et M∞ par la relation (13) du cours. On a donc : γ−1 2 M∞ )T∞ Tnez = T02 = T01 = (1 + 2 On suppose la température au niveau de la mer égale à environ 300K, d’où Tnez = 540K soit Tnez ≈ 270◦ C. ¤

16

CHAPITRE 1. ECOULEMENTS 1-D

Pour définir la pression et la densité totale (ou d’arrêt) l’hypothèse d’isentropie est indispensable. Comme on l’a vu dans la partie du cours consacrée aux rappels sur les équations permettant de modéliser les écoulements de fluide compressible, un écoulement isentropique de gaz parfait est tel que : p = cste ργ Par ailleurs, l’équation d’état p = ρrT est satisfaite pour l’état local comme pour l’état d’arrêt. En notant (p0 )1 , (ρ0 )1 (respectivement (p0 )2 , (ρ0 )2 ) l’état d’arrêt associé à l’état 1 (respectivement 2) dans l’écoulement isentropique considéré, on déduit des relations précédentes :  (p0 )1 (ρ0 )1 (T0 )1   = ×   (p0 )2 (ρ0 )2 (p0 )2  et   (p0 )1 (ρ0 )1 γ   =( )  (p0 )2 (ρ0 )2 d’où, comme (T0 )1 = (T0 )2 , on a nécessairement (p0 )1 = (p0 )2 et (ρ0 )1 = (ρ0 )2 . Dans un écoulement isentropique, la pression et la masse volumique d’arrêt sont donc constantes. En écrivant l’équation d’état et la relation d’isentropie pour l’état local (p, ρ) et pour l’état d’arrêt caractérisé par (p0 , ρ0 ), on en déduit immédiatement : γ p0 T0 γ − 1 =( ) p T d’où, compte tenu de la relation (1.13), l’expression extrêmement importante qui permet de relier, dans un écoulement isentropique, la pression locale au nombre de Mach local par l’intermédiaire de la pression totale (constante) associée à cet écoulement isentropique : γ p0 γ−1 2 γ−1 = (1 + M ) p 2

(1.14)

On établit similairement :

1 ρ0 γ−1 2 γ−1 = (1 + M ) (1.15) ρ 2 Dans le cas d’un écoulement présentant une onde de choc, la pression d’arrêt et la masse volumique d’arrêt sont donc constantes dans l’écoulement isentropique en amont du choc et constantes dans l’écoulement isentropique en aval du choc mais les valeurs de ces constantes sont modifiées à la traversée de la discontinuité. Les quantités p0 et ρ0 varient donc à travers l’onde de choc pour passer respectivement de (p0 )1 à (p0 )2 et de (ρ0 )1 à (ρ0 )2 .

Exercice : Grandeurs d’arrêt, grandeurs soniques • Dans l’écoulement sur une aile d’avion, on effectue les mesures suivantes de Mach, pression et température : M = 0.7, p = 0.9 atm, T = 250 K. En supposant l’écoulement isentropique, calculer p0 , T0 , p∗ , T∗ et a∗ . On prendra r = 287 J kg −1 K −1 et γ = 1.4.

1.3. RELATIONS DE CHOC

17

¤ Rappelons qu’il n’est pas nécessaire de supposer l’écoulement isentropique pour évaluer la température d’arrêt : dans un écoulement adiabatique (sans échange de chaleur mais avec possibilité d’augmentation de l’entropie en raison de phénomènes irréversibles), T0 est une constante de l’écoulement (ce résultat a été utilisé ci-dessus pour évaluer de façon rapide la température au nez d’un projectile en régime supersonique) et on a la relation suivante entre la température d’arrêt et la température statique (formule (13) du cours) : γ−1 2 T0 = (1 + M ) T 2 d’où T0 = 1.098 T = 274.5 K.

γ−1 2 M . 2 L’écoulement étant supposé isentropique (cette hypothèse est bien nécessaire ici pour pouvoir ajouter p = cste × ργ à la loi d’état p = ρrT ), on peut alors écrire (formule (14) du cours) : Note : dans la suite de ce problème, on note f (M ) = 1 +

(

p0 T0 γ ) = ( ) γ−1 p T

d’où p0 = 1.387 p = 1.25 atm. Dans le cas particulier où M = 1, on est à l’état sonique ; la température à l’état sonique est donc liée à la température d’arrêt par la relation : T0 γ+1 = f (1) = T∗ 2 et on constate naturellement que dans un écoulement adiabatique la température sonique est elleaussi une constante de l’écoulement (en particulier, à la traversée d’un choc, la température T∗ se conserve). On trouve : T∗ = 0.833T0 = 229 K. En vertu de l’hypothèse d’isentropie, la pression à l’état sonique est donnée par : p0 T0 γ ( ) = ( ) γ−1 p∗ T∗ soit p∗ = 0.528 p0 = 0.66 atm. √ Enfin, on calcule a∗ en écrivant simplement : a∗ = γrT∗ soit a∗ = 317m s−1 . ¤ On revient maintenant à la variation de pression d’arrêt à la traversée d’une onde de choc. On peut montrer plus précisément, en utilisant le second principe de la thermodynamique, que l’on doit nécessairement avoir p02 < p01 , soit une perte de pression d’arrêt à la traversée d’un choc. Si nous revenons en effet à la relation de Gibbs classique : de = T ds +

p dρ ρ2

celle-ci peut aussi s’écrire pour un gaz caloriquement parfait tel que de = Cv dT et p = ρrT : ds = Cv

dρ dT −r T ρ

Cette relation peut être intégrée entre les états 1 et 2 de part et d’autre d’un choc pour donner : s2 − s1 = Cv ln(

T2 ρ2 ) − rln( ) T1 ρ1

18

CHAPITRE 1. ECOULEMENTS 1-D

ou encore, en utilisant à nouveau la loi d’état des gaz parfaits et la relation de Mayer Cp − Cv = r valable pour un gaz caloriquement parfait : s2 − s1 = Cp ln(

T2 p2 ) − rln( ) T1 p1

Puisque l’état d’arrêt associé à l’état local en amont du choc a, par définition, la même entropie s1 que cet état statique, et que, similairement, l’état d’arrêt associé à l’état local en aval du choc a la même entropie s2 , on peut aussi écrire la relation ci-dessus en faisant apparaître les températures et pressions totales de part et d’autre de la discontinuité : s2 − s1 = Cp ln(

(p0 )2 (T0 )2 ) − rln( ) (T0 )1 (p0 )1

Puisque la température totale se conserve à travers le choc, cette relation se simplifie en : s2 − s1 = −r ln (

p02 ) p01

D’après le second principe de la thermodynamique, le saut d’entropie à travers le choc est positif p02 donc le rapport est nécessairement inférieur à 1. La pression totale décroît donc à travers un choc p01 et on note que le saut de pression totale est une mesure directe de la variation d’entropie. On peut enfin évaluer la perte de pression d’arrêt à la traversée d’une onde de choc 1D. On écrit en effet : (p0 )2 (p0 )2 p2 p1 = × × (p0 )1 p2 p1 (p0 )1 Or les rapports pression statique / pression totale associée sont connus de part et d’autre du choc en fonction des seuls nombres de Mach M2 et M1 (relation 1.14) : γ γ (p0 )1 γ−1 2 γ−1 (p0 )2 γ−1 2 γ−1 = (1 + M1 ) et = (1 + M2 ) p1 2 p2 2 De plus, le saut de pression à travers le choc est donné en fonction de M1 par la relation 1.11 et le nombre de Mach aval M2 est donné en fonction du nombre de Mach amont M1 par la relation 1.9. En rassemblant ces éléments, on obtient donc pour expression du saut de pression totale à travers un choc 1D : γ 1 2γ 1 (p0 )2 2 = [1 + (M12 − 1)]− γ−1 [1 − (1 − 2 )]− γ−1 (1.16) (p0 )1 γ+1 γ+1 M1 On peut en déduire de façon immédiate l’expression du saut d’entropie et observer que ce saut est bien supérieur à 1 (i.e. conforme au second principe de la thermodynamique) pour M1 > 1. Les relations de saut sont rassemblées dans une annexe placée à la fin de ce document de cours.

Exercice : Mesure de vitesse par un tube de Pitot • On considère une navette spatiale en phase de rentrée dans l’atmosphère ; l’écoulement autour de la navette est supersonique. Sur le nez de cette navette se trouve un tube de Pitot qui mesure la pression d’arrêt au point A (voir figure ci-dessous) ; on suppose en outre qu’un thermocouple permet de mesurer la température en ce même

1.3. RELATIONS DE CHOC

19

A

B

Fig. 1.9 – Mesure de vitesse en régime supersonique par un tube de Pitot. point. En régime supersonique, un choc détaché se forme en amont du tube ; un capteur de pression situé en B permet de mesurer la pression statique avant ce choc. Montrer que ce dispositif permet de connaître la vitesse de la navette. On vous suggère de suivre la démarche suivante : 1/ En introduisant l’état 1 et l’état 2 respectivement en amont et en aval du choc, poser le problème en termes de grandeurs connues et inconnues. 2/ Montrer que la vitesse de la navette peut s’exprimer en fonction du nombre de Mach amont comme unique inconnue. 3/ Expliquer comment la valeur du Mach amont peut être déterminée à partir de la pression totale en aval du choc et de la pression statique en amont du choc. En déduire le processus d’obtention de la vitesse désirée à partir des grandeurs mesurées. Note : on rappelle que des valeurs tabulées du rapport (pression totale en aval du choc) / (pression statique en amont du choc) sont fournies dans la table annexée à ce problème. 4/ Calculer la vitesse de la navette pour les données mesurées suivantes : pression statique en B égale à 2.83 P a ; pression d’arrêt en A égale à 92.42 P a ; température d’arrêt en A égale à 1200 K. A cet instant du vol, la constante r de l’air, définie comme le rapport de la constante universelle des gaz parfaits, R, et de la masse molaire de l’air dans les conditions considérées, est égale à 280 J kg −1 K −1 . Table d’écoulements : ondes de chocs droites (γ = 1.4) M1 4.50 4.60 4.70 4.80 4.90 5.00 5.10 5.20 5.30 5.40 5.50

M2 0.42355 0.42168 0.41992 0.41826 0.41670 0.41523 0.41384 0.41252 0.41127 0.41009 0.40897

p02 /p1 26.539 27.710 28.907 30.130 31.379 32.653 33.954 35.280 36.631 38.009 39.412

1/ Si on indice 1 l’état en amont du choc détaché devant le tube de Pitot et 2 l’état en aval de ce choc :

20

CHAPITRE 1. ECOULEMENTS 1-D

1

2

on constate que l’on connaît la pression p1 grâce à la mesure faite en B ; en aval du choc (que l’on peut assimiler localement à un choc droit 1-D), on connaît la température d’arrêt et la pression d’arrêt associées à l’état 2, T02 et p02 , grâce aux mesures effectuées en A. La vitesse de la navette est donnée par u1 ; le problème consiste donc à déterminer u1 , connaissant p1 , p02 et T02 . 2/ Compte tenu de la définition du nombre de Mach : M = u/a, la vitesse u1 peut se calculer comme : u1 = a1 M1 √ Par ailleurs, la vitesse du son est donnée par : a = γrT , soit : p a1 = γrT1 On ne connaît pas directement la température T1 mais on dispose de la température d’arrêt derrière le choc, T02 . Or, on sait que la température d’arrêt reste constante à travers le choc : T01 = T02 ; en γ−1 2 T0 = 1+ M . Donc : outre, la température d’arrêt associée à un état statique est donnée par : T 2 p M1 u1 = γrT02 r (1.17) γ−1 2 1+ M1 2 Pour déterminer u1 il suffit donc de parvenir à calculer M1 . 3/ On cherche à déterminer M1 à partir des pressions mesurées p02 et p1 . Dans la mesure où on dispose en général de relations du type “rapport de pression exprimé en fonction d’un nombre de Mach”, on va plutôt chercher à calculer le rapport p02 /p1 en fonction de M1 et on inversera la relation obtenue pour en tirer M1 connaissant le rapport de pression. Naturellement, on ne dispose pas directement d’une formule nous permettant de relier pression statique en amont du choc et pression totale en aval de ce choc ; par contre, on est capable de relier la pression totale et la pression statique dans un écoulement isentropique et de relier la pression statique en aval d’un choc à la pression statique en amont de ce choc. On choisit donc d’écrire : p0 p2 p02 = 2 · p1 p2 p1 L’écoulement en aval du choc étant isentropique, on a la relation : γ γ p02 T02 γ − 1 γ−1 2 γ−1 =( ) M2 ) = (1 + p2 T2 2 Le nombre de Mach aval M2 peut s’exprimer en fonction du nombre de Mach amont M1 grâce aux relations de choc droit : γ−1 )M12 1+( 2 2 M2 = γ−1 γM12 − ( ) 2

1.3. RELATIONS DE CHOC

21

p02 en fonction de M1 . p2 Par ailleurs, ces mêmes relations de choc droit nous permettent d’écrire :

et on dispose alors d’une expression de

p2 2γ =1+ (M 2 − 1) p1 (γ + 1) 1 Après quelques calculs et simplifications, on obtient pour expression du rapport des deux quantités mesurées p02 et p1 :   1 γ+1 2 γ−1 M1  γ +1 2 p02 2  = (1.18) M1   2γ γ −1 p1 2 2 M1 − γ+1 γ+1 On constate alors qu’inverser cette relation pour en tirer M1 connaissant le rapport de pression du membre de gauche n’est pas une mince affaire. Heureusement, des valeurs tabulées de cette relation sont fournies, qui permettent de déterminer M1 pour un rapport de pression donné. Le processus de calcul de u1 est donc le suivant : en inversant la relation ci-dessus, on détermine M1 , que l’on injecte dans la relation donnant p02 /p2 en fonction de M1 , d’où u1 connaissant T02 . Dans la pratique, le rapport p02 /p1 est tabulé et l’inversion de la relation ci-dessus se fait par simple lecture d’une table de valeurs. 4/ Application numérique : On trouve : p02 /p1 ≈ 32.65, donc, après lecture de la table fournie : M1 = 5. √ 5 = 1400 m s−1 ( ≈ 5000 km / h). ¤ D’où : u1 = 1.4 × 280 × 1200 × √ 1 + 0.2 × 25

22

CHAPITRE 1. ECOULEMENTS 1-D

Chapitre 2 Ecoulements bidimensionnels 2.1 2.1.1

Chocs obliques Position du problème

On se place maintenantµ dans¶le cadre d’écoulements µ ¶ supersoniques bidimensionnels. On considère u1 u2 donc 2 états (ρ1 , p1 , V 1 ) et (ρ2 , p2 , V 2 ) et on cherche à déterminer les relations entre v1 v2 ces deux états pour qu’ils puissent être séparés par une onde de choc oblique (cf. Fig. 2.1). t n Etat 1 ρ1 p1 M 1 =|| V1 || a1

u2

v1

θ

V1 u1

v2

β

V2

Etat 2 ρ2 p2 M 2 =|| V2 || a2

onde de choc oblique

Fig. 2.1 – Configuration d’un choc oblique séparant deux états constants d’un écoulement. Les variables β et θ désignent respectivement l’angle d’inclinaison du choc et l’angle de déflection du choc. Dans le repère (n, t) lié au choc on a : ½ V 1 = u1 n + v1 t V 2 = u2 n + v2 t

2.1.2

Méthode de résolution

Pour établir des relations entre les états supposés uniformes de part et d’autre de la discontinuité, on applique les équations d’Euler stationnaires sous forme intégrale qui ont été rappelées précédemment. 23

24

CHAPITRE 2. ECOULEMENTS BIDIMENSIONNELS

On choisit le volume de contrôle indiqué sur la figure 2.2. Le vecteur N désigne le vecteur normal unitaire extérieur à la surface de contrôle et n est l’un des vecteurs de base du repère lié au choc précédemment défini. V.N=0 V.N=0 N=-n

V1

V2

N=-n

Fig. 2.2 – Choix d’un volume de contrôle dans l’étude d’un choc oblique. On obtient aisément les relations suivantes :    ρ1 u1 = ρ22 u2  p1 + ρ1 u1 = p2 + ρ2 u22 v1 = v2    ρ1 u1 H1 = ρ2 u2 H2

(2.1)

On constate donc qu’à travers un choc oblique : • la composante tangentielle v de la vitesse est conservée • la composante normale de la vitesse u vérifie exactement les lois de conservation établies en 1D. On va donc pouvoir traiter le choc oblique comme un choc unidimensionnel dans la direction n. Ainsi, on va appliquer les formules du cas 1-D en prenant comme nombre de Mach incident (amont) le “nombre de Mach normal” défini par : u1 (Mn )1 = a1 p u21 + v12 w1 = (où w désigne la norme à distinguer du nombre de Mach “standard” défini par M1 = a1 a1 du vecteur vitesse : w = ||V ||).

2.1.3

Relations de choc

Compte tenu de la géométrie du problème : sin (β) =

u1 u1 a1 (Mn )1 = = ||V 1 || a1 ||V 1 || M1

2.1. CHOCS OBLIQUES

25

soit (Mn )1 = M1 sin (β) On en déduit immédiatement, par un simple coup d’oeil aux résultats obtenus en 1-D dans lesquels on remplace M1 par M1 sin (β), les relations de choc oblique : u1 ρ2 (γ + 1)M12 sin2 (β) = = u2 ρ1 (γ − 1)M12 sin2 (β) + 2

(2.2)

p2 2γ =1+ (M12 sin2 (β) − 1) p1 (γ + 1)

(2.3)

On a toujours pour la température (T2 /T1 ) = (p2 /p1 ) · (ρ1 /ρ2 ). Quelques remarques peuvent être faites à ce niveau : • Comme on l’a établi dans le cas 1-D, pour qu’il y ait présence d’un choc il est nécessaire que le Mach normal à l’amont soit supérieur à 1 soit : M1 sin(β) ≥ 1 ; ceci nous donne donc l’expression 1 de l’inclinaison minimale du choc : β ≥ sin−1 ( ). M1 π L’inclinaison maximale du choc correspond au choc normal ou droit : β = . 2 • Puisque (Mn )1 ≥ 1, il est clair que u1 /u2 > 1, ce qui signifie que la déflection de l’écoulement se fait toujours vers le choc. On en déduit également que, à la traversée du choc, on a une augmentation de la pression, de la densité et de la température. • En termes de nombre de Mach, on déduit de la formule (1.9) obtenue en 1-D, avec dans le cas d’un choc oblique M1 → (Mn )1 = u1 /a1 et M2 → (Mn )2 = u2 /a2 , la relation : γ−1 )(Mn )21 2 (Mn )22 = γ−1 γ(Mn )21 − ( ) 2 1+(

(2.4)

Compte tenu de la géométrie du problème, (Mn )2 = M2 sin(β−θ). et on peut donc calculer M2 (< M1 ) par (2.4) sous réserve de connaître l’angle de déflection θ. Pour calculer cet angle, on remarque que : tan(β) =

u1 v1

et

tan(β − θ) =

u2 v2

En exploitant alors le fait que v1 = v2 et la relation (2.2) qui donne u2 /u1 en fonction de M1 sin(β) on établit : (γ − 1)M12 sin2 (β) + 2 tan(β − θ) = tan(β)[ ] (2.5) (γ + 1)M12 sin2 (β) La relation (2.5) est connue sous le nom de relation θ − β − M puisqu’elle relie l’angle de déflection θ, l’angle d’inclinaison β et le nombre de Mach incident M1 ; elle est essentielle dans l’analyse des

26

CHAPITRE 2. ECOULEMENTS BIDIMENSIONNELS

ondes de choc obliques et heureusement tabulée pour permettre une analyse plus aisée.

2.1.4

Interprétation physique

La configuration d’un choc oblique est rappelée sur la figure 2.3(a). Pour un écoulement de fluide parfait, une ligne de courant peut être remplacée par une paroi (la condition de paroi étant que la vitesse y est purement tangentielle) ; aussi, cette configuration peut aussi être vue comme indiquée sur la figure 2.3(b), ce qui nous fournit la solution de l’écoulement supersonique sur un coin et va nous permettre de mieux illustrer l’exploitation de la relation θ − β − M .

M β

M1

2 M2

θ M1

(a)

β

θ

(b)

Fig. 2.3 – Configuration de choc oblique et configuration équivalente. On notera à ce niveau la démarche à suivre la plus classique pour évaluer l’état à l’aval d’un choc oblique, connaissant l’état à l’amont du choc et l’angle de déflection formé par le coin et la direction incidente de l’écoulement : les quantités θ et M1 étant connues, on se réfère à une abaque traduisant (2.5) pour déterminer graphiquement l’angle β (cf. Annexe II de ce chapitre) ; on peut alors former le produit M1 sin(β) et évaluer ainsi l’état 2 grâce aux relations de saut du type (.)2 /(.)1 = f (M1 sin(β)). Si on trace maintenant la relation (2.5) pour un nombre de Mach M1 donné, on obtient typiquement une courbe de la forme présentée sur la figure 2.4. Cette courbe appelle quelques commentaires : • pour tout angle de déflection inférieur à l’angle de déflection maximal θmax , il existe deux valeurs possibles de β : β1 < β2 . Sur l’intervalle [sin−1 (1/M1 ), π/2], sin(β) est une fonction croissante de β et le rapport p2 /p1 qui caractérise la force du choc croît avec β ; la solution correspondant à β1 est donc qualifiée de choc “faible”, tandis que celle qui correspond à β2 est dite choc “fort” (cf. Fig. 2.5). Dans la solution de choc “fort”, on a toujours M2 < 1. Dans la solution de choc “faible”, on a généralement M2 > 1 sauf lorsque θ est proche de θmax . En règle générale, d’après l’expérience, la Nature favorise le choc “faible” ; il est possible d’obtenir une solution de choc “fort” pour certains cas particuliers dans lesquels on peut jouer par exemple sur la pression aval. Sauf contexte spécifique, on pensera donc à sélectionner la plus petite des deux valeurs de β données par la lecture de l’abaque.

2.1. CHOCS OBLIQUES

27

Déflection du choc θ

M 2 =1

θmax

Μ1 donné

Μ2 > 1

0

Μ2 < 1

β1

β2

sin -1 ( 1/M1 )

π/2 Inclinaison β

Fig. 2.4 – Représentation de la relation θ − β − M pour un nombre de Mach amont M1 donné

M2 < 1

Choc fort

M1 > 1

β2

θ < θmax

Choc faible

M1 > 1

M >1 2 β1

Fig. 2.5 – Configuration d’un choc “fort” et d’un choc “faible”.

θ < θmax

28

CHAPITRE 2. ECOULEMENTS BIDIMENSIONNELS

• pour θ > θmax , il n’existe pas de solution physique avec une onde de choc oblique ; dans la réalité le choc sera incurvé et détaché du coin. L’écoulement en aval de l’onde de choc n’est plus uniforme dans ce cas : en particulier une poche subsonique se forme au voisinage de la paroi. Le calcul d’une telle solution fait appel à des techniques de résolution approchée des équations d’Euler. On établit facilement que l’angle de choc βmax qui correspond à la déflection θmax est donné par : q 1 2 2 sin (βmax ) = [(γ + 1)M1 − 4 + (γ + 1)((γ + 1)M14 + 8(γ − 1)M12 + 16)] 4γM12 Il n’existe pas relation donnant θmax explicitement mais on peut évaluer cet angle par la formule suivante : 4 (M12 − 1)3/2 θmax ≈ √ M12 3 3(γ + 1)

Choc détaché

M1 > 1

M>1

θ > θmax

M 1

µ = sin-1 (1 / M ) 1

Fig. 2.7 – Ligne de Mach

2.2 2.2.1

Choc faible Description

On suppose l’angle de déflection θ petit. Dans ce cas de figure, le choc généré par l’arrivée d’un écoulement supersonique sur un plan incliné de l’angle θ peut être qualifié de faible au sens absolu

2.2. CHOC FAIBLE

29

du terme, i.e. les variations des propriétés de l’écoulement à travers ce choc sont faibles (on ne doit pas confondre le qualificatif de choc faible employé dans ce contexte avec le choc “faible” précédemment défini en opposition à un choc “fort” comme la solution physiquement produite par la relation θ − β − M , et qui peut conduire à des variations importantes des propriétés de l’écoulement). Dans le cas où θ est petit, on sait que l’inclinaison β du choc est proche de l’angle de Mach µ = sin−1 (1/M1 ). Cette situation est illustrée sur la figure 2.8. On cherche ici à établir une relation simplifiée entre θ, β et M1 en exploitant les particularités propres à ce cas de choc faible : θ 1

θ

β β’

2.4 2.4.1

θ’

Détente supersonique Description

Dans le cas d’une paroi concave une onde de choc se crée qui fait tourner l’écoulement vers le choc. Dans le cas d’une paroi convexe, la présence d’un choc oblique est thermodynamiquement impossible. En fait, le mécanisme que l’on vient de décrire dans le cas de la compression supersonique se produit à nouveau mais engendre le contraire d’une compression, i.e. une détente. A travers chacune des lignes de Mach, on a une variation infinitésimale des grandeurs caractéristiques de l’écoulement : très petite augmentation de la vitesse, très petite diminution de la pression (le fluide se détend). Globalement, on a donc : M2 > M1 et p2 < p1 . L’ensemble du processus peut être considéré comme isentropique. Dans le cas d’un coin, la détente est centrée sur ce coin (cf. Fig. 2.10). On souhaite maintenant connaître l’état 2 derrière la détente en fonction de l’état 1 en amont de cette détente.

2.4.2

Fonction de Prandtl-Meyer

L’état 2 résulte de la superposition des variations infinitésimales correspondant à chaque ligne de Mach. La relation (2.10) établie précédemment en 2.3 s’applique dans le cas du processus isentropique de détente en adoptant une convention de signe adéquate ; si on compte θ positivement dans le cas

2.4. DÉTENTE SUPERSONIQUE

35 µ 1 Μ1

M1

µ1

µ 2

µ 2

M2 M2

Fig. 2.10 – Détente sur une paroi convexe et détente centrée sur un coin convexe. d’un coin convexe (cf. Fig. 2.11), on aura une augmentation infinitésimale de la vitesse w liée à une déflection élémentaire dθ par la relation : dw dθ =√ w M2 − 1 On peut aussi écrire cette relation sous la forme : dθ =

√

M2 − 1

dw w

Pour traiter le cas d’un angle fini θ, il faut pouvoir intégrer la relation ci-dessus, ce qui suppose que l’on puisse exprimer dw/w en fonction de dM et de M . On pourra alors intégrer entre un angle de déviation nulle correspondant à M1 et l’angle θ associé au coin, correspondant à M2 . Connaissant l’angle θ et M1 nous pourrons déterminer le nombre de Mach M2 derrière la détente. Pour y parvenir, nous cherchons donc à exprimer dw/w en fonction de M et de dM . On peut établir - la démonstration de ce résultat fait l’objet de l’exercice ci-dessous - la relation suivante : √ M 2 − 1 dM dθ = γ−1 2 M 1+ M 2 Z √ 2 M − 1 dM , et ν(M ) est définie comme étant la fonction de Prandtl-Meyer. On note ν(M ) = γ−1 2 M M 1+ 2 En intégrant la relation ci-dessus entre l’état 1 et l’état 2 on obtient : ν(M2 ) = θ + ν(M1 )

(2.11)

La fonction ν(M ) peut être définie analytiquement - elle s’exprime à partir de fonctions du type arctg - ; elle est de toute façon tabulée (cf. Annexe III de ce cours). Connaissant M1 , on trouve ν(M1 ) dans la table ; connaissant l’angle θ, on peut calculer ν(M2 ) par

36

CHAPITRE 2. ECOULEMENTS BIDIMENSIONNELS µ1 Μ1

θ (>0) M2

Fig. 2.11 – Configuration de l’écoulement à travers une détente centrée sur un coin. (2.11) ; connaissant ν(M2 ) on en déduit M2 par “lecture inverse” de la table. Définir complètement l’état 2 est alors très simple : 1) la température totale étant une constante de l’écoulement on a (cf. (1.13)) : T0 γ−1 2 =1+ M1 T1 2

et

T0 γ−1 2 =1+ M2 T2 2

d’où

γ−1 2 1+ M1 T2 2 = (2.12) γ−1 2 T1 1+ M2 2 On note que T2 < T1 ; la température diminue à la traversée d’une détente. 2) La détente étant un phénomène isentropique, on peut utiliser la loi d’état et la relation p/ργ = cste pour établir : p2 T2 γ = ( ) (γ−1) (2.13) p1 T1 On note que p2 < p1 : le fluide se détend. Exercice : Fonction de Prandtl-Meyer • Montrer que la relation transformer en

dw dθ = √ peut se w M2 − 1

√

M 2 − 1 dM γ−1 2 M 1+ M 2 ¤ Pour aboutir à la relation souhaitée il est clair qu’il faut exprimer dw/w en fonction de dM et de M . Pour ce faire, on part de : w = aM ; on en tire : dθ =

da dM dw = + w a M On souhaite maintenant exprimer da/a en fonction de dM et de M . On utilise : T γ − 1 2 −1 a2 = = (1 + M ) 2 a0 T0 2

2.4. DÉTENTE SUPERSONIQUE

37

où (·)0 désigne une propriété aux conditions d’arrêt. Posons pour simplifier la démarche : f (M ) = γ−1 2 1+ M . De a2 /a20 = 1/f (M ), on tire facilement : 2 1 f 0 (M ) da =− dM a 2 f (M ) donc

dw 2f (M ) − M f 0 (M ) dM = w 2f (M ) M

et on obtient la relation désirée en remplaçant f (M ) et f 0 (M ) par leur expression en fonction du nombre de Mach. ¤

38

CHAPITRE 2. ECOULEMENTS BIDIMENSIONNELS

Chapitre 3 Calcul de forces aérodynamiques 3.1

Calcul exact

La théorie sur les chocs obliques, les compressions et les détentes supersoniques précédemment établie permet de calculer de façon exacte les forces aérodynamiques exercées sur des profils placés dans des écoulements supersoniques. Afin d’illustrer la démarche à suivre, considérons par exemple le profil en losange de la figure 3.1 ci-dessous.

Etat 2 Etat 1

p2 A

t

ε

p2 Etat 2

C Etat 4

c

ε

M1 > 1

Etat 3 p 3

B

D

p3 Etat 3

j

i Fig. 3.1 – Profil en losange dans un écoulement supersonique. D’après ce que nous avons appris sur les écoulements supersoniques au cahpitre précédent, il y a : formation d’un choc oblique attaché au bord d’attaque supérieur, en raison de la présence d’un coin concave formé par la ligne de courant qui arrive au nez du profil et le segment AB de ce profil, et d’un choc oblique symétriquement attaché au bord d’attaque inférieur, au niveau du coin concave formé par cette même ligne de courant et le segment AD du profil ; création d’une onde de détente supersonique centrée sur le sommet B du coin convexe formé par les segments AB et BC, et d’une 39

40

CHAPITRE 3. CALCUL DE FORCES AÉRODYNAMIQUES

onde symétrique centrée sur le sommet D ; enfin, création de chocs obliques au bord de fuite du profil. Dans le contexte de fluide parfait qui est celui de ce chapitre, les forces aérodynamiques exercées sur un profil proviennent exclusivement des contraintes de pression et s’écrivent donc : Z F =− pndl (3.1) profil où on rappelle que n désigne la normale unitaire au profil pointant vers l’extérieur de celui-ci. Classiquement, on décompose F en une composante de traînée ou drag, notée D et une composante de portance ou lift, notée L : F = Di + Lj (3.2) où i et j sont les vecteurs de base d’un repère cartésien direct de référence (i est aligné avec la direction d’avancement du profil et j est normal à cette direction). Pour calculer F , on peut définir les normales aux faces µ du profil ¶ en fonction de l’angle ² : il est clair −sin(²) que la normale à la face AB a pour composantes et similairement pour les normales cos(²) aux autres faces. On peut donc écrire : µ ¶ ¶ ¶ ¶ µ µ µ Z −sin(²) sin(²) sin(²) −sin(²) − pndl = −[p2 d + p3 d + p3 d + p2 d] cos(²) cos(²) −cos(²) −cos(²) profil où p2 (respectivement p3 ) désigne la pression uniforme dans l’état 2 derrière le choc oblique attaché au nez du profil (respectivement dans l’état 3 derrière la détente centrée attachée aux sommets du profil) ; d désigne la longueur des segments AB, BC, CD et DA. On obtient après simplification : µ ¶ −2sin(²)(p3 − p2 )d F = 0 et comme sin(²) = (t/2)/d (avec t l’épaisseur du profil), on en tire finalement : ½ D = (p2 − p3 )t L=0

(3.3)

La portance d’un profil symétrique placé dans un écoulement sans incidence est naturellement nulle : les efforts exercés sur les faces supérieure et inférieure s’annulent. La traînée dépend des pressions p2 et p3 : l’état 1 en amont du profil étant connu, l’état 2 est déterminé par les relations de choc oblique ; l’état 3 derrière la détente est alors déterminé en fonction de l’état 2 en utilisant la fonction de Prandtl-Meyer. On travaille souvent avec des efforts adimensionnés : on définit ainsi le coefficient de traînée ou de portance en divisant la traînée ou la portance par la quantité q1 c où c désigne la corde du profil 1 étudié et q1 est la pression dynamique, définie par q1 = ρ1 w12 (on rappelle que w1 désigne la norme 2 1 de la vitesse à l’infini amont). En notant que l’on peut réécrire q1 = γp1 M12 , on en déduit finalement 2 l’expression suivante des coefficients de portance et de traînée : CL =

2L γp1 M12 c

CD =

2D γp1 M12 c

(3.4)

Application : On considère un écoulement à M1 = 3 sur le profil en losange précédemment étudié ; on suppose que

3.2. CALCUL APPROCHÉ : CAS DES PROFILS MINCES

41

la pression à l’infini amont vaut p1 = 1 atm, et que l’angle ² est égal à 3◦ . L’état 2 est donc l’état derrière un choc oblique défini par un Mach amont égal à 3 et un angle de déflection de 3◦ . La lecture de l’abaque qui traduit la relation θ −β −M du choc oblique nous fournit : β = 22◦ (on rappelle que la solution dite de choc “faible” doit être retenue). On en déduit donc : M12 sin2 (β) = 1.263. En appliquant alors la relation (17), on obtient : p2 = 1.307 atm ; la relation (18) permet de déterminer M2 = 2.745 (on note au passage que dans le cas d’un choc oblique l’écoulement derrière le choc reste en général supersonique). La lecture des tables de la fonction de Prandtl-Meyer permet de déterminer ν(M2 ) = 44.5◦ . L’état 3 est l’état en aval d’une détente supersonique définie par un Mach amont égal à 2.745 et un angle de déviation de 2² = 6◦ . On détermine le Mach aval M3 en utilisant la relation de PrandtlMeyer (25) ; on en tire ν(M3 ) = 50.5◦ d’où par lecture des tables M3 = 3.039. Puisque le processus qui permet de passer de l’état 2 à l’état 3 peut être considéré comme isentropique la relation (27) permet de déterminer p3 connaissant p2 , M2 et M3 ; on trouve : p3 = 0.837 atm. On conclut en utilisant la formule du coefficient de traînée : D (p2 − p3 ) tan(²) CD = = q1 c q1 1 où la pression dynamique q1 est donnée par q1 = γp1 M12 . 2 On trouve finalement : CD = 3.91 × 10−3 .

3.2 3.2.1

Calcul approché : cas des profils minces Expression du coefficient de pression

Dans le cas où le profil étudié est mince (son épaisseur est faible devant sa corde) et faiblement en incidence, il n’existe pas d’angles importants dans l’écoulement et on peut exploiter les relations établies dans le cas du choc faible (en négligeant les pertes d’entropie) ou de la détente supersonique. On écrit donc que la variation de pression générée par une faible déviation d’angle ∆θ est donnée par : ∆p γM 2 =√ ∆θ p M2 − 1 où p et M désignent respectivement la pression et le nombre de Mach en amont de la déflection. Dans l’approximation développée ici, on suppose que la déflection de l’écoulement est faible : on peut donc estimer que la pression p ne sera jamais très différente de la pression à l’infini amont p1 , ni le nombre de Mach M très différent du nombre de Mach à l’infini amont M1 , de sorte que l’on peut écrire en raisonnant uniquement sur des termes de perturbation d’ordre 1 : γM 2 ∆p = p 2 1 ∆θ p1 M1 − 1 Si on prend alors comme valeur de référence pour les variations de pression la pression à l’infini amont p1 et comme valeur de référence pour les changements de direction de l’écoulement la direction supposée horizontale de cet écoulement à l’infini amont, on peut écrire : γM12 p − p1 =p 2 θ p1 M1 − 1

(3.5)

42

CHAPITRE 3. CALCUL DE FORCES AÉRODYNAMIQUES

où θ désigne l’inclinaison locale de l’écoulement par rapport à la direction de l’écoulement à l’infini amont. On définit alors le coefficient de pression par : Cp =

p − p1 q1

(3.6)

En tenant compte maintenant des formules (3.5) et (3.6) ci-dessus et de l’expression de la pression 1 dynamique q1 = γp1 M12 , on obtient la relation fondamentale suivante entre le coefficient de pression 2 et l’inclinaison locale de l’écoulement : 2θ

Cp = p

(3.7)

M12 − 1

Dans la théorie des profils minces, le coefficient de pression est donc proportionnel à l’inclinaison locale de l’écoulement.

3.2.2

Expression de la portance et de la traînée

On suppose que le profil étudié est représenté comme indiqué sur la figure 3.2 ci-dessous :

yU (x)

y x

x=c

x=0 yL (x)

Fig. 3.2 – Description d’un profil mince. La relation y = yU (x) (respectivement y = yL (x)) désigne l’équation de la ligne supérieure - upper en anglais - (respectivement inférieure - lower en anglais -) du profil. Z pndl et on va s’efforcer Pour évaluer les forces s’exerçant sur ce profil on écrit toujours : F = − profil maintenant d’exprimer les différentes composantes de cette expression (vecteur normal, élément de longueur et pression) en fonction de yU (x) et yL (x). p dx2 + dy 2 , et sur la face supérieure on a localeL’élément de longueur infinitésimal dl s’écrit dl = r dyU dyU 2 dy = d’où dl = (1 + ( ) )dx (similairement pour le profil inférieur). ment dx dx dx

3.2. CALCUL APPROCHÉ : CAS DES PROFILS MINCES

43

Par ailleurs, la normale unitaire à la courbe d’équation y = yU (x) peut s’écrire : Ã

1

n= r

−(

1+(

dyU 2 ) dx

dyU ) dx 1

!

et de même sur le profil inférieur. On en tire donc finalement : Z c à dyU ! Z 0 à dyL ! − − F = −[ pU dx + pL dx] dx dx 0 c 1 1 où pU et pL désignent respectivement les distributions de pression sur la partie supérieure et inférieure du profil. On en déduit : Z c  dyU dyL  D= (pU − pL )dx    dx dx 0 Z c     L= (pL − pU )dx 0

Pour obtenir les expressions souhaitées (en termes des fonctions yU et yL seulement), il ne reste plus qu’à introduire les coefficients de pression : (Cp )U =

pU − p1 q1

(Cp )L =

pL − p1 q1

On a alors d’une part : pL − pU = q1 (Cp )L + p1 − q1 (Cp )U − p1 = q1 ((Cp )L − (Cp )U ) soit

Z

c

L = q1

[(Cp )L − (Cp )U ]dx 0

D’autre part :

dyU dyL dyU dyL dyU dyL − pL = q1 [(Cp )U − (Cp )L ] + p1 ( − ) dx dx dx dx dx dx Le dernier terme de cette expression ne contribue pas à la traînée puisque son intégrale de 0 à c est nulle en raison de la fermeture du profil ; on obtient donc finalement : Z c dyU dyL D = q1 [(Cp )U − (Cp )L ]dx dx dx 0 pU

On applique alors la théorie des profils minces en remarquant que l’inclinaison locale de l’écoulement dyL dyU et − (les signes de ces sur le profil supérieur et inférieur est donnée respectivement par dx dx quantités sont en accord avec l’orientation du profil) : 2

(Cp )U = p

M12

dyU ) − 1 dx (

2 dyL (Cp )L = p 2 ) (− dx M1 − 1

44

CHAPITRE 3. CALCUL DE FORCES AÉRODYNAMIQUES

On obtient finalement les expressions suivantes pour la portance et la traînée du profil : Z c −2q1 dyL dyU L= p 2 + ]dx [ dx M1 − 1 0 dx D=p

2q1 M12 − 1

Z

c 0

(3.8)

dyL 2 dyU 2 [( ) +( ) ]dx dx dx

On peut déduire des relations ci-dessus les expressions des coefficients de portance et de traînée en divisant respectivement L et D par q1 c. Application : On applique la théorie du profil mince développée ci-dessus au calcul du coefficient de traînée du profil en losange plongé dans un écoulement supersonique, dont les caractéristiques ont été précisées dans l’application relative à la théorie exacte. dyL 2 dyU 2 Dans le cas du profil en losange, on a de façon évidente : ( ) =( ) = tan2 (²). dx dx On déduit donc de (3.8) : Z c 2 4tan2 (²) D = p 2 2tan2 (²)dx = p 2 CD = q1 c c M1 − 1 0 M1 − 1 et on trouve après calcul : CD = 3.88 × 10−3 soit un résultat qui approche avec moins de 1% d’erreur le résultat donné par la théorie exacte. Cette excellente performance de la théorie approchée est naturellement conditionnée par la validité de l’approximation de profil mince : dans le cas présent ² = 3◦ assure que le profil considéré est effectivement mince. Remarque : On trouvera au chapitre 5 d’autres exemples détaillés relatifs à la mise en œuvre de la théorie choc / détente et de la théorie des profils minces pour l’analyse des performances de profils aérodynamiques en régime supersonique.

3.3

Optimisation des performances aérodynamiques d’un profil d’aile

Ce problème est tiré de l’examen final ECOUL1 de janvier 1996. Considérons un profil en losange tel que celui défini par la figure 3.3 ci-dessous : Dans toute la suite du problème on supposera A1 fixe en (0, 0), A2 fixe en ( 2c , 2t ). On prendra A3 mobile le long de (∆1 ) et A4 mobile le long de (∆2 ). Plongeons maintenant ce profil dans un écoulement supersonique de fluide parfait. Il se forme : • un choc attaché au bord d’attaque A1 du profil, • une détente supersonique à partir du sommet A2 et une autre à partir du sommet A4 , • un choc attaché au bord de fuite A3 . On a donc la configuration suivante :

3.3. OPTIMISATION DES PERFORMANCES AÉRODYNAMIQUES D’UN PROFIL D’AILE 45

y ( ∆ 1) t/2

A2

A1 c/2

0 - t/2

A3 x c ( ∆ 2)

A4

j i

Fig. 3.3 – Profil losangique

y Etat 2

Etat 3

M2, p 2

M3, p 3 ε

M1> 1

x

p1 Etat 1

Etat 2’ M 2’, p’2

Etat 3’ M’3 , p’3

Fig. 3.4 – Ecoulement supersonique autour du profil

46

CHAPITRE 3. CALCUL DE FORCES AÉRODYNAMIQUES

On rappelle que la résultante des forces aérodynamiques exercées sur le profil est donnée par : Z ~ F = −p~ndl (3.9) profil où p désigne la pression, ~n le vecteur unitaire normal au profil et pointant vers l’extérieur de celui-ci et dl est un élément de longueur infinitésimal. F~ se décompose classiquement sur la base orthonormée (~i, ~j) en une composante de traînée D et une composante de portance L : F~ = D~i + L~j (3.10) Ces grandeurs sont généralement normalisées pour obtenir les coefficients de portance et de traînée sans dimension : D L CL = ; CD = (3.11) q1 c q1 c avec q1 = γp1 M12 /2 où γ = 1.4 désigne le rapport des chaleurs spécifiques. Optimiser les performances aérodynamiques du profil va alors consister à rendre le rapport CD /CL le plus proche possible de zéro de façon à minimiser la résistance à l’avancement exprimée par la traînée tout en maximisant la portance favorable au vol. Notons que dans le cadre du présent problème où les effets visqueux sont négligés (fluide parfait), la traînée du profil est réduite à la traînée d’onde. 1) Dans le cas où A3 est en (c, 0) et A4 en (c/2, −t/2), calculer l’expression exacte de CD et CL en fonction de p2 , p3 , q1 et (t/c). Compte tenu de la valeur de CD /CL , commenter les performances aérodynamiques de ce profil. 2) On cherche maintenant à modifier le profil de façon à améliorer le résultat précédent. On déplace le point A3 le long de (∆1 ) jusqu’à la position (c, −αt), où α ∈ [0, 1], comme indiqué sur la figure 3.5 ci-dessous. y (∆ 1) t/2 M1 >1

A2 A1

p1

0 -t/2

χ

ε c/2 A4

c

x

A 3 −α t χ’

(∆ 2)

Fig. 3.5 – Profil modifié a) On définit les rapports de pression : r = p2 /p3 ; s = p03 /p2 . Montrer que : CD t 2r − (2α + 1) − rs(1 − 2α) = φ(r, s, α) × ( ) avec φ(r, s, α) = CL c rs − 1

(3.12)

b) Montrer que, dans le cas particulier où α = 1, on a exactement : φ(r, s, α) = 3. c) Décrire dans le cas général la procédure de calcul de r et s en supposant M1 , p1 , c, t et α connus. On détaillera successivement : • l’obtention de p2 , M2 en fonction de l’état 1,

3.3. OPTIMISATION DES PERFORMANCES AÉRODYNAMIQUES D’UN PROFIL D’AILE 47 • l’obtention de M3 , p3 en fonction de l’état 2 puis celle de r, 0 0 • l’obtention de M3 , p3 en fonction de l’état 2 puis celle de s. d) On suppose maintenant : M1 = 1.7, p1 = 1, c = 1 et t = 7/100. √ Calculer φ(r, s, α) pour ces conditions et α = 1/2 puis α = 1/ 2. Compte tenu de b), que peut-on supposer quant à l’évolution du rapport CD /CL ? 3) On se place maintenant dans le cadre de la théorie des profils minces pour préciser le comportement de CD /CL en fonction de α. On rappelle que si yU (x) (resp. yL (x)) désigne l’équation de la partie supérieure (resp. inférieure) du profil, c’est-à-dire de la ligne A1 A2 A3 (resp. A1 A4 A3 ), on a alors dans l’approximation des profils minces : Z Z −2 1 c dyU dyL 2 1 c dyU 2 dyL 2 CL = p 2 ( + )dx et CD = p 2 (( ) +( ) )dx (3.13) dx dx dx M1 − 1 c 0 dx M1 − 1 c 0 a) On considère à nouveau le profil de la figure 3.5. Exprimer à l’aide des relations (3.13) ci-dessus CD /CL en fonction de α et (t/c). √ b) Montrer que, pour (t/c) fixé, CD /CL est minimal pour α = 1/ 2. Comparer alors la valeur de CD /CL à celle obtenue en 2) ; commenter. 4) On déplace maintenant A3 le long de (∆1 ) jusqu’à la position (c, −αt), mais aussi A4 le long de (∆2 ) jusqu’à la position (c/2 + βc, −t/2), avec α ∈]1/2, 1[ et β ∈]0, 1/2[ (voir figure 3.6 ci-après). y t/2 M1 >1

(∆ 1) A2

A1

p1

0 -t/2

c c/2

x

A 3 −α t βc

A4

(∆ 2)

Fig. 3.6 – Profil général. On se place toujours dans le cadre de la théorie des profils minces. a) En appliquant les formules (3.13), montrer que CD /CL est donné par : CD t 1 1 (2α − 1)2 = ψ(α, β) × ( ) avec ψ(α, β) = (1 + − + (2α + 1)2 ) CL c 4α (2β + 1) (2β − 1)

(3.14)

b) On suppose (t/c) fixé et on suppose également dans un premier temps α constant. Trouver alors la valeur de β qui minimise ψ(α, β). Donner pour cette valeur l’expression de CD /CL en fonction de√α et (t/c). √ En supposant maintenant α variable, montrer que CD /CL est minimal pour : α = 1/ 3 et β = ( 3 − 1)/2. Donner cette valeur minimale. 5) Sur le modèle de ce qui a été fait en 2), calculer de façon exacte CD /CL pour le profil correspondant aux valeurs optimales de (α, β) déterminées en 4)b), avec toujours c = 1, t = 7/100, M1 = 1.7 et p1 = 1.

48

CHAPITRE 3. CALCUL DE FORCES AÉRODYNAMIQUES

Comparer la valeur obtenue avec celle, approchée, de 4) ; commenter. ¤ 1) Le profil est symétrique donc les états 2 et 2’ sont identiques, et similairement pour les états 3 et 3’. Le vecteur unitaire normal à la face A1 A2 a pour composantes (− sin(²), cos(²))t . Similairement, le vecteur unitaire normal à la face A2 A3 a pour composantes (sin(²), cos(²))t , celui normal à la face A3 A4 , (sin(²), − cos(²))t , et celui normal à la face A4 A1 , (− sin(²), − cos(²))t . Lorsqu’on écrit : Z ~ F =− p~ndl profil on a donc immédiatement (en notant A1 A2 =A2 A3 =A3 A4 = A4 A1 =d) : µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ sin(²) − sin(²) sin(²) − sin(²) ~ F = −[p2 d + p3 d + p2 d + p3 d] cos(²) − cos(²) − cos(²) cos(²) d’où :

· F~ =

2d sin(²)(p2 − p3 ) 0

¸

Compte tenu de sin(²) = (t/2)/d, on a donc finalement : CL = 0 et CD =

(p2 − p3 ) t ( ) q1 c

Le rapport CD /CL est donc infini d’où de très médiocres performances aérodynamiques à prévoir. 2) On introduit maintenant une cambrure dans le profil en se donnant un degré de liberté sur la position du point A3 . a) En tenant compte des nouvelles définitions des normales unitaires aux faces du profil en fonction des angles χ et χ0 , on peut écrire : ¶ ¶ ¶ ¶ µ µ µ µ 0 sin(χ ) − sin(²) − sin(²) sin(χ) 0 A3 A4 + p2 A4 A1 ] F~ = −[p2 A1 A2 + p3 A2 A3 + p3 − cos(χ0 ) − cos(²) cos(²) cos(χ) Comme, par ailleurs, on a des relations du type : sin(²) = (t/2)/A1 A2 , sin(χ) = (t/2 + αt)/A2 A3 , sin(χ0 ) = (t/2 − αt)/A3 A4 et similairement pour les cosinus de ces angles, on peut réécrire F~ en fonction de p2 , p3 , p03 , t, c et α, d’où après simplification : · ¸ p2 t − p3 ( 2t + αt) − p03 ( 2t − αt) ~ F = (p03 − p3 ) 2c 2(p2 − p3 ( 12 + α) − p03 ( 21 − α)) t CD D = = ( ). Il suffit ensuite de diviser le CL L (p03 − p3 ) c numérateur et le dénominateur de cette expression par p3 , d’introduire les rapports r et s définis, et d’utiliser p03 /p3 = rs pour obtenir la relation demandée. b) Dans le cas où α = 1, A1 , A4 et A3 sont alignés donc p03 = p2 , soit s = 1, d’où le résultat. c) Procédure de calcul des différents états : • on passe de l’état 1 à l’état 2 par un choc oblique d’angle de déflection ² connu à partir de t et c. On dispose de la relation de choc oblique : On peut alors évaluer :

p2 2γ =1+ (M 2 sin2 (β) − 1) p1 γ+1 1

3.3. OPTIMISATION DES PERFORMANCES AÉRODYNAMIQUES D’UN PROFIL D’AILE 49 Connaissant M1 , on détermine l’inclinaison du choc β à l’aide de l’abaque donnée en annexe d’où p2 (p1 est connu). Pour connaître M2 on utilise : M22

1 + γ−1 M12 sin2 (β) 2 sin (β − ²) = γM12 sin2 (β) − γ−1 2 2

• on passe de l’état 2 à l’état 3 par une détente supersonique, d’angle de déviation associé ² + χ, où χ est donné par tan(χ) = (t/2 + αt)/(c/2). En notant ν la fonction de Prandtl-Meyer, on a donc : ν(M3 ) = ν(M2 ) + ² + χ M2 est connu donc on peut déterminer ν(M2 ) par tabulation ; on en déduit la valeur de ν(M3 ) d’où M3 par tabulation. Pour obtenir le rapport de pression p3 /p2 , il suffit d’écrire : γ Ã ! γ−1 2 1 + γ−1 M 1 2 2 = γ−1 r 1 + 2 M32 • on passe de l’état 2 à l’état 3’ par une détente supersonique d’angle de déviation associé ² + χ0 , avec χ0 donné par tan(χ0 ) = (t/2 − αt)/(c/2). On a ν(M30 ) = ν(M2 ) + ² + χ0 d’où M30 par tabulation M22 )/(1 + γ−1 (M30 )2 )]γ/(γ−1) . et s = [(1 + γ−1 2 2 d) Une remarque générale sur les applications numériques dans ce problème : il est nécessaire d’être très précis dans leur mise en oeuvre ; lors d’une lecture d’abaque ou de table de données, il ne faut pas hésiter à interpoler linéairement entre des valeurs connues pour obtenir une valeur plus correcte dans le cas considéré. Calcul de l’état 2 : on calcule tout d’abord l’angle de déflection ² = tan−1 (t/c) = 4.00 deg - par lecture de l’abaque fournie en annexe du cours, on détermine l’inclinaison du choc (on retient la valeur correspondant au choc faible) β = 40 deg - on peut alors calculer M12 sin2 (β) = 1.194 - on en tire p2 = 1.226 et M2 = 1.561. Ce résultat ne dépend pas de la valeur de α. On suppose α = 1/2. Calcul de l’état 3 : on calcule l’angle χ = tan−1 ((2α+1)(t/c)) = 7.97 deg - on a alors ν(M3 ) = ν(M2 )+ ² + χ et ν(M2 ) est déterminé par lecture de la table fournie en annexe du cours : par interpolation linéaire entre ν(1.554) = 13.5 deg et ν(1.571) = 14.0 deg, on trouve ν(M2 ) = ν(1.561) = 13.67 deg - on a donc ν(M3 ) = 25.646 deg - une lecture des valeurs tabulées nous fournit ν(1.968) = 25.5 deg et ν(1.986) = 26.0 deg d’où par interpolation linéaire M3 = 1.973 - on en tire 1/r = 0.5345 soit r = 1.8708. Calcul de l’état 3’ : on calcule l’angle χ0 = tan−1 ((1 − 2α)(t/c)) = 0 deg - on a alors ν(M30 ) = ν(M2 ) + ² + χ0 = 17.67 deg - on√en tire M30 = 1.695 - d’où s = 0.819. On trouve alors : φ = 3.2725. On suppose maintenant α = 1/ 2. Calcul de l’état 3 : χ = 9.59 deg - ν(M3 ) = 27.27 deg d’où M3 = 2.03 - r = 2.05. Calcul de l’état 3’ : χ0 = −1.66 deg - ν(M30 ) = 16.02 deg d’où M30 = 1.64 - s = 0.89. On trouve alors : φ = 2.96. On rappelle qu’il a été démontré en 2)b) que pour α = 1, φ = 3. La théorie exacte choc/détente nous a donc permis d’établir : α 1/2 √ 1/ 2 1

CD CL

3.27( ct ) = 0.2291 2.96( ct ) = 0.2072 3.00( ct ) = 0.2100

50

CHAPITRE 3. CALCUL DE FORCES AÉRODYNAMIQUES

On peut penser qu’il existe une valeur minimale de CD /CL pour α ∈ [1/2, 1] (et √ avec un peu d’audace on peut même envisager que cette valeur ne soit pas très éloignée de α = 1/ 2). 3) On se place maintenant dans le cadre de la théorie des profils minces qui permet une étude systématique de la forme du profil. a) On a, dans le cas considéré, les équations suivantes pour l’extrados (Upper part) et l’intrados (Lower part) du profil : ½ t ½ ( c )x 0 ≤ x ≤ 2c −( ct )x 0 ≤ x ≤ 2c yU (x) = (x) = ; y L (α + 1)t − (1 + 2α)( ct )x 2c ≤ x ≤ c (α − 1)t + (1 − 2α)( ct )x 2c ≤ x ≤ c Z

Z c dyU 2 dyL 2 2t2 dyU dyL 2 On établit alors facilement : ( ) +( ) dx = (1 + 2α ) et ( )+( )dx = [yU + dx dx c dx dx 0 0 yL ]c0 = −2αt, d’où CD /CL = (1/α + 2α)(t/c). d(CD /CL ) b) On établit ensuite que le signe de est celui de (−1/α2 + 2) d’où on peut affirmer, après dα √ quelques considérations élémentaires, que CD /CL est minimal pour α = 1/ 2. La théorie approchée des profils minces nous donne donc : c

α 1/2 √ 1/ 2 1

CD CL

3.00( ct ) = 0.2100 2.83( ct ) = 0.1980 3.00( ct ) = 0.2100

On observe que la théorie approchée fournit une approximation du minimum entachée d’un peu moins de 5% d’erreur, ce qui reste raisonnable ; cette erreur serait plus faible si le profil était plus mince, i.e. si ² était plus petit. 4) Pour optimiser les performances du profil, on se donne maintenant deux degrés de liberté : les sommets A3 et A4 sont désormais mobiles. a) L’équation de l’extrados du profil est inchangée. Par contre, l’intrados est décrit maintenant par :  1 t 1   ( )x 0 ≤ x ≤ (β + )c  − (1 + 2β) c 2 yL (x) = α − 1/2 t 1   )( )(x − c) − αt (β + )c ≤ x ≤ c  ( β − 1/2 c 2 (attention aux intervalles de variation de x ! Noter également que le paramètre β introduit ici n’a rien à voir avec une inclinaison de choc.) Puisque yU et yL fournissent les mêmes valeurs en x = 0 et en x = c que dans le cas 3), on conserve la même valeur du coefficient de portance. Pour la traînée, quelques calculs sont nécessaires pour aboutir à : Z c dyL 2 t2 1 1 1 1 (α − 1/2)2 dyU 2 ) +( ) dx = ( )[ + (1 + 2α)2 + − ] ( dx dx c 2 2 4 β + 12 (β − 1/2) 0 d’où le résultat demandé. b) Si α est supposé constant alors ψ peut être vue comme une fonction de β seul ; si on calcule la dérivée de ψ par rapport à β, on constate qu’elle varie comme l’expression (2α − 1)2 (2β + 1)2 − (2β − 1)2 donc ψ est minimale lorsque cette expression s’annule c’est-à-dire quand |2α − 1||2β + 1| = |2β − 1| ;

3.3. OPTIMISATION DES PERFORMANCES AÉRODYNAMIQUES D’UN PROFIL D’AILE 51 compte tenu des intervalles de variation des paramètres α et β donnés dans l’énoncé, ceci est équivalent à (2α − 1)(2β + 1) = 1 − 2β ce qui conduit finalement à : β = (1 − α)/(2α) comme valeur de β minimisant ψ à α fixé. On peut calculer le rapport CD /CL pour cette valeur de β ; après simplification on trouve : CD 3 1 t =( α+1+ )( ) CL 2 2α c Pour (t/c) donné, on trouve immédiatement que le rapport ci-dessus est minimal pour 1/α2 = 3 √ soit α = 1/ 3 et β est obtenu en utilisant son expression en fonction de α. On trouve pour valeur √ minimale du rapport traînée/portance : CD /CL = ( 3 + 1)( ct ) ≈ 2.732( ct ) = 0.1912 et on constate avec plaisir qu’en se donnant un degré de liberté supplémentaire pour définir la cambrure du profil on a réussi à réduire encore un peu plus ce rapport (en 3), on avait 0.1980 comme minimum ; le gain est de l’ordre de 3.5%). 5) On exprime les normales à chaque face à l’aide des sinus et cosinus d’angles bien choisis : ², χ, χ0 et ²0 , angle entre A1 A4 et l’axe des x ; on utilise ensuite des relations du type : sin(²0 ) = (t/2)/A1 A4 (similairement pour les autres angles). On peut alors écrire : ¶ ¶ µ ¶ µ ¶ µ µ 0 0 sin(χ ) − sin(² ) − sin(²) sin(χ) 0 0 F~ = −[p2 A1 A2 + p3 A2 A3 + p3 A3 A4 + p2 A4 A1 ] − cos(χ0 ) − cos(²0 ) cos(²) cos(χ) en fonction des pressions dans les différents états, de t, c et des paramètres α et β ; en faisant le rapport de la composante suivante x et de celle suivant y on obtient : CD t p2 − p3 (1 + 2α) − p03 (1 − 2α) + p02 = ( )( ) CL c −p2 − p3 + p03 (1 − 2β) + p02 (1 + 2β) Pour calculer exactement le rapport CD /CL , il faut évaluer pressions. L’état 2 est √ les différentes √ inchangé par rapport à 2). On suppose maintenant α = 1/ 3 et β = ( 3 − 1)/2. Calcul de l’état 3 : on évalue χ = 8.58 deg - ν(M3 ) = 26.25 deg d’où M3 = 2.0 - 1/r = p3 /p2 = 0.513 d’où p3 = 0.63. 1 Calcul de l’état 2’ : l’angle de déflection du choc est donné par ²0 = tan−1 ( 1+2β ( ct )) = 2.31 deg l’angle d’inclinaison du choc vaut donc à peu près β 0 = 38.3 deg - on en tire p02 = 1.13. Calcul de l’état 3’ : on constate facilement (par l’évaluation des pentes des faces) que, dans le cas considéré, A1 , A4 et A3 sont alignés d’où p03 = p02 . √ 3 et La théorie exacte permet donc d’établir : C /C = 2.924(t/c) = 0.2047 pour α = 1/ D L √ β = ( 3 − 1)/2, ce √ qui représente bien un gain (de 1.2%) par rapport à la valeur minimale obtenue pour α = 1/ 2 et β = 0 : 0.2072. La théorie approchée fournit une prédiction de la valeur minimale de CD /CL entachée de 7% d’erreur environ mais permet une détection rapide de l’existence de ce minimum. ¤ Théorie Exacte Approchée Exacte Approchée

α β √ 1/√2 0 1/ 2 0 √ √ 1/√3 (√3 − 1)/2 1/ 3 ( 3 − 1)/2

CD CL

2.96( ct ) = 0.2072 2.83( ct ) = 0.1980 2.92( ct ) = 0.2047 2.73( ct ) = 0.1912

52

3.4

CHAPITRE 3. CALCUL DE FORCES AÉRODYNAMIQUES

Simulation numérique de l’écoulement sur un profil losangique

La théorie choc / détente ou la théorie des profils minces permet un calcul analytique des efforts exercés sur un profil ou une aile en régime supersonique, du moins tant que les géométries considérées restent simples. Pour des géométries plus complexes, on doit avoir recours à une simulation numérique de l’écoulement. Nous donnons succinctement le principe de mise en oeuvre d’une méthode d’approximation des équations d’Euler dans un maillage non-cartésien. On présente sur la figure 3.7 un exemple de maillage utilisé pour calculer l’écoulement autour d’un profil losangique. Numériquement, on va appliquer la formulation intégrale des équations d’Euler à chacune des cellules élémentaires de ce maillage.

0.5 0.4 0.3 0.2

Y

0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 0

0.5

1

X

Fig. 3.7 – Vue partielle du maillage utilisée pour calculer une solution numérique approchée de l’écoulement supersonique sur un profil en losange. Les équations d’Euler bidimensionnelles s’écrivent sous forme intégrale : Z I d w dΩ + (f nx + gny ) dΓ = 0 dt Ω ∂Ω

(3.15)

où Ω est un domaine fermé dont la frontière est notée ∂Ω, ~n, de composantes nx , ny est la normale extérieure à cette frontière, w est le vecteur des variables conservatives et f, g désignent les flux physiques dont l’expression n’est pas rappelée ici. Dans une approche dite volumes finis, la cellule Ω est une cellule Ωi,j , du maillage, de surface |Ωi,j,k |, et la formulation intégrale ci-dessus peut aussi s’écrire : |Ωi,j,k |(wt )i,j +|Γi+ 1 ,j |F i+ 1 ,j − |Γi− 1 ,j |F i− 1 ,j 2 2 2 2 (3.16) +|Γi,j+ 1 |Gi,j+ 1 − |Γi,j− 1 |Gi,j− 1 = 0 2

2

2

2

où les quantités surlignées représentent les moyennes exactes suivantes : Z 1 d (wt )i,j = w dxdy |Ωi,j | dt Ωi,j

3.4. SIMULATION NUMÉRIQUE DE L’ÉCOULEMENT SUR UN PROFIL LOSANGIQUE

F i+ 1 ,j = 2

53

Z

1

|Γi+ 1 ,j | Γi+ 1 ,j 2

(f nx + gny ) dΓ

2

Construire un schéma en formulation VF signifie alors que l’on approche le bilan exact (3.16) par : |Ωi,j |(wt )i,j +|Γi+ 1 ,j |Fi+ 1 ,j − |Γi− 1 ,j |Fi− 1 ,j 2 2 2 2 +|Γi,j+ 1 |Gi,j+ 1 − |Γi,j− 1 |Gi,j− 1 = 0 2

2

2

(3.17)

2

où les flux numériques Fi+ 1 ,j et Gi,j+ 1 approchent les flux physiques à travers les faces Γi+ 1 ,j , Γi,j+ 1 2 2 2 2 correspondantes (voir figure 3.8).

Γj,k+1/2 Γj+1/2,k j,k j-1,k j,k-1

Fig. 3.8 – Cellule de contrôle pour la formulation VF. Il reste bien sûr à choisir une formule de flux numérique (flux de Roe, de Lax-Wendroff, de Van Leer, de Jameson ...) qui offre des propriétés satisfaisantes en termes de précision et de robustesse. Nous ne détaillerons pas ici le flux numérique utilisé ; nous indiquons simplement que le schéma mis en oeuvre est d’ordre 2 en espace - lorsque l’on étudie son erreur de troncature obtenue par des développements de Taylor effectués en maillage cartésien -. Ce schéma a été appliqué au calcul de l’écoulement supersonique sur un profil en losange de corde unitaire et d’épaisseur t = 0.07 c. Le nombre de Mach de l’écoulement incident a été pris successivement égal à M∞ = 1.5, M∞ = 2 et M∞ = 3. Les isovaleurs de pression obtenues pour chacun de ces cas de calcul sont présentées sur la figure 3.9. Ces calculs sont effectués sur un maillage contenant 120 points dans la direction i de l’écoulement et 25 points dans la direction perpendiculaire j. Le fait que le maillage suivant j soit grossier est bien visible sur la représentation des chocs obliques qui se forment au nez du profil : dès que l’on s’éloigne du profil (où le maillage est assez fin suivant j) la dissipation numérique "étale" fortement ces discontinuités. Lorsque ces mêmes calculs sont effectués dans un maillage raffiné suivant j (on utilise 3 fois plus de points dans cette direction), on réduit les effets de cette dissipation numérique comme cela peut être observé sur les isovaleurs présentées Fig. 3.10. Notons que la pression qui apparaît dans les légendes de la figure 3.9 est une pression adimensionnée telle que la pression 1 . dans l’écoulement incident soit égale à p1 = γM12 La simulation numérique permet de connaître les valeurs des grandeurs conservatives et primitives dans toute cellule du maillage et donc en particulier la valeur de la pression sur le profil, de laquelle on peut déduire la traînée d’onde du profil. On rassemble dans le tableau ci-dessous les valeurs du coefficient de traînée fournies par les calculs dans le maillage 120 × 150 ainsi que les valeurs déduites

54

CHAPITRE 3. CALCUL DE FORCES AÉRODYNAMIQUES

M=1.5

Y

0.5 Pression 0.39269 0.3829 0.37311 0.363321 0.353531 0.343741 0.333952 0.324162 0.314372 0.304583 0.294793 0.285003 0.275214 0.265424 0.255634

0

-0.5

0

0.5

1

1.5

X

M=2

Y

0.5 Pression 0.227189 0.220782 0.214375 0.207968 0.201561 0.195154 0.188747 0.18234 0.175933 0.169525 0.163118 0.156711 0.150304 0.143897 0.13749

0

-0.5

0

0.5

1

1.5

X

M=3

Y

0.5 Pression 0.110409 0.106364 0.102319 0.0982735 0.0942285 0.0901834 0.0861383 0.0820933 0.0780482 0.0740032 0.0699581 0.065913 0.061868 0.0578229 0.0537778

0

-0.5

0

0.5

1

1.5

X

Fig. 3.9 – Isovaleurs du nombre de Mach sur un profil losangique de rapport épaisseur / corde 0.07 pour un nombre de Mach incident égal à (haut) 1.5, (milieu) 2 et (bas) 3 ; le calcul est effectué dans un maillage 120 × 50.

3.4. SIMULATION NUMÉRIQUE DE L’ÉCOULEMENT SUR UN PROFIL LOSANGIQUE

55

Y

0.5

0

-0.5

0

0.5

1

1.5

1

1.5

1

1.5

X

Y

0.5

0

-0.5

0

0.5

X

Y

0.5

0

-0.5

0

0.5

X

Fig. 3.10 – Isovaleurs du nombre de Mach sur le profil losangique dans un maillage 120 × 150 raffiné suivant j.

56

CHAPITRE 3. CALCUL DE FORCES AÉRODYNAMIQUES

de la théorie des profils minces. On observe le très bon accord entre les deux approches. On peut également étudier graphiquement l’inclinaison calculée pour les chocs obliques qui se forment au nez du profil suivant la valeur du nombre de Mach incident. Si l’on se reporte à l’abaque fournie en annexe, on constate que pour une déflection de 4◦ l’inclinaison du choc (faible) décroît avec le nombre de Mach pour passer de β ≈ 46.5◦ à M1 = 1.5 à β ≈ 33.5◦ à M1 = 2 et à β ≈ 22.25◦ à M1 = 3. On peut évaluer maintenant l’inclinaison β des chocs de tête fournis par la simulation numérique à partir des isovaleurs de pression de la figure 3.10. On trouve pour M1 variant de 1.5 à 3 les valeurs successives β ≈ 46.5◦ , β ≈ 33.6◦ et β ≈ 21.8◦ en très bon accord avec la théorie. M1 1.5 2.0 3.0

(CD )profil mince 0.01128 0.01750 0.00693

(CD )simulation 0.01118 0.01742 0.00687

Chapitre 4 Ecoulements dans les tuyères 4.1

Relations fondamentales

On s’intéresse à l’écoulement isentropique dans un conduit de section variable tel que celui représenté sur la figure 4.1.

M

A(x)

x

Fig. 4.1 – Configuration générale d’un écoulement quasi 1-D On suppose pour simplifier l’étude que les propriétés décrivant cet écoulement sont uniformes dans une section donnée. Pour établir les équations de l’écoulement, on peut appliquer les équations de conservation (équations d’Euler) sous forme intégrale au volume de contrôle indiqué sur la figure 4.2. N Etat 1

v.N=0 Etat 2

v.N=0

Fig. 4.2 – Volume de contrôle utilisé pour établir la forme intégrale des équations d’Euler quasi-1D. 57

58

CHAPITRE 4. ECOULEMENTS DANS LES TUYÈRES

On établit alors aisément les équations suivantes traduisant respectivement la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie pour le fluide s’écoulant dans le conduit :  ρ1 u1 A1 = ρ2 u2 A2   Z A2  2 (4.1) pdA = p2 A2 + ρ2 u22 A2 p1 A1 + ρ1 u1 A1 +  A  1  H1 = H2 Afin d’être exploitées de façon plus fructueuse, ces relations peuvent se mettre sous forme différentielle en choisissant par exemple u, p, T et A pour état 1, et u + du, p + dp, T + dT et A + dA pour état 2. On obtient alors les égalités différentielles suivantes :   d(ρuA) = 0 dp = −ρudu (4.2)  dh + udu = 0 où on rappelle que l’enthalpie h est définie par h = e + p/ρ avec e l’énergie interne spécifique. En combinant les relations différentielles ci-dessus nous allons obtenir une nouvelle relation très utile dans l’analyse des écoulements avec changement de section.

4.2

Relation section-vitesse

La relation d(ρuA) = 0 peut aussi s’écrire : dρ du dA + + =0 ρ u A Puisque l’écoulement est supposé isentropique, on peut définir la vitesse du son par : a2 =

dp . En dρ

dρ u2 du = − 2 , d’où finalement la relation section-vitesse : ρ a u dA du = (M 2 − 1) (4.3) A u Cette relation peut s’interpréter comme suit : utilisant alors dp = −ρudu, on obtient

a) Cas d’un écoulement subsonique : M < 1 du dA et sont de signe opposé : une diminution de section induit une accélération Les quantités A u de l’écoulement alors qu’un élargissement de la section du conduit induit une décélération de l’écoulement - on rencontre par exemple ce type de comportement en hydrodynamique lorsque l’on observe le cours d’une rivière - (cf. Fig. 4.3). b) Cas d’un écoulement supersonique : M > 1 du dA et sont de même signe. Ceci a pour conséquence un comportement inverse Dans ce cas, A u du précédent : en supersonique, un élargissement de section du conduit induit une augmentation de

4.2. RELATION SECTION-VITESSE

u augmente M1

Fig. 4.4 – Evolution de la vitesse d’un écoulement supersonique dans un conduit à section variable.

c) Cas où M = 1 dA = 0 ce qui signifie que A atteint un extremum : la section A en laquelle M = 1 A est minimale ou maximale. Compte tenu des points a) et b) précédents, le seul cas possible est celui où l’aire A est minimale. Ainsi, si M = 1 en un point de l’écoulement dans un conduit de section variable, cette valeur est nécessairement prise en un col du conduit. Attention ! on n’a pas nécessairement M = 1 en un col ; si l’écoulement reste par exemple subsonique dans le conduit, on a simplement un extremum (en l’occurence un maximum) de vitesse qui est atteint au col. Si M = 1 alors

On peut déduire de ce qui précède que, pour détendre de façon isentropique un gaz en l’accélérant d’une vitesse subsonique à une vitesse supersonique, on doit nécessairement se trouver dans la configuration indiquée sur la figure 4.5. Exemple d’un moteur fusée : Similairement, pour comprimer de façon isentropique un gaz en le décélérant du régime supersonique au régime subsonique, on a nécessairement une configuration du type convergent-divergent (on parle aussi de tuyère De Laval, du nom d’un ingénieur suédois de la fin du 19ème siècle) (cf. Fig. 4.6).

60

CHAPITRE 4. ECOULEMENTS DANS LES TUYÈRES

M=1

u augmente M1

col

Fig. 4.5 – Détente isentropique d’un gaz dans une tuyère convergente-divergente.

poussée chambre de combustion M1

M=1

u diminue M>1 M (Me )1 ). Le rapport de pression p0 /pe étant plus élevé entre l’entrée et la sortie l’accélération de l’écoulement va être plus importante : on va “monter plus haut” le long de la branche subsonique. Le nombre de Mach (respectivement la pression) au col sera plus élevé (respectivement plus faible) (cf. Fig. 4.9). On notera qu’il existe une infinité de solutions subsoniques isentropiques dans la tuyère ; elles sont contrôlées par le rapport de pression pe /p0 et par la donnée géométrique A/Ac . Il est clair que si l’on continue de diminuer la pression d’éjection pe , on va atteindre une valeur de cette pression, notée (pe )3 - (Me )3 désigne le nombre de Mach correspondant dans la section d’éjection -, pour laquelle l’écoulement devient tout juste sonique au col ; dans ce cas la section au col est la section critique : Ac = A∗ . Evaluons l’état critique. γ−1 2 T0 M , donc en particulier pour M = 1, On sait que dans un écoulement isentropique : = 1 + T 2 2 T0 /T∗ = (γ +1)/2 soit encore Tc = T∗ = γ+1 T0 = 0.833T0 . Pour déterminer la pression on utilise le fait γ γ T0 γ − 1 p0 2 =( ) d’où pc = p∗ = ( γ+1 que l’écoulement considéré est isentropique : ) γ − 1 p0 = 0.528p0 . p∗ T∗ Lorsque l’on passe de la configuration 1 à la configuration 2 puis à la configuration 3, le débit-masse

64

CHAPITRE 4. ECOULEMENTS DANS LES TUYÈRES

Mach

p/p0

1

1

Me

entrée

col

pe1 pe2

2

Me 1 x sortie

entrée

col

sortie

x

Fig. 4.9 – Ecoulements subsoniques isentropiques dans la tuyère.

Mach

p/p0

1

1 pe3 0.528 Me

entrée

col

sortie

3

x

entrée

col

Fig. 4.10 – Ecoulement dans une tuyère amorcée.

sortie

x

4.4. ANALYSE DES DIFFÉRENTS RÉGIMES D’ÉCOULEMENT D’UNE TUYÈRE

65

m ˙ = ρuA augmente : m ˙1 1 et que φ est croissante pour M > 1, on en déduit M2 < M1 .

76

CHAPITRE 4. ECOULEMENTS DANS LES TUYÈRES

Si l’écoulement dans la section 2 est à l’état critique, i.e. M2 = 1 alors φ(M2 ) = φ(1) ≈ 1.61 (cf. Fig. 3) et par conséquent : φ(M1 ) qmax = Cp T01 ( − 1) 1.61 3) On connaît l’état (M1 , p1 , T1 ) dans la section d’entrée du compresseur A1 . a) Entre les sections A1 et A2 le fluide est comprimé isentropiquement de M1 = 5 à M2 = 3. On connaît T1 et M1 donc T01 = T1 /τ (M1 ) soit T01 = 3900 K. On connaît p1 et M1 donc p01 = p1 /π(M1 ), soit p01 = 52.9 atm. Comme l’écoulement est isentropique entre A1 et A2 , p02 = p01 et on peut donc calculer p2 = p02 π(M2 ), soit p2 = 1.44 atm. Pour calculer le rapport des sections A1 et A2 on écrit : A1 A1 A∗ σ(M1 ) = ∗× 1 = = 5.9 A2 A1 A2 σ(M2 ) où A∗1 désigne la section critique associée à l’écoulement isentropique entre les sections 1 et 2 (on a utilisé la table IV du poly pour évaluer σ(M1 ) et σ(M2 )). b) On sait que le nombre de Mach dans la section de sortie de la chambre de combustion vaut M3 = 2. La quantité de chaleur produite par la combustion est donnée par (cf. 2) b) ) : q = C p T0 1 (

φ(M2 ) − 1) φ(M3 )

γr = 1004.5 J kg −1 K −1 , T01 = 3900 K (par a) ), φ(M2 ) = φ(3) ≈ 2.46 et φ(M3 ) = (γ − 1) φ(2) ≈ 2.02. On en déduit q = 853.3 kJ kg −1 . On a vu (cf. 2) a) ) que T03 /T02 = φ(M2 )/φ(M3 ) ; comme T02 = T01 = 3900 K, on en déduit T03 = 4749.5 K. Connaissant M3 et T03 , on en tire T3 = T03 τ (M3 ) soit T3 = 2638.6 K. Les pressions p2 et p3 aux extrémités de la chambre de combustion à section constante sont reliées par p3 /p2 = α(M2 )/α(M3 ) soit p3 = 2.97 atm. c) On a calculé en a) le rapport A1 /A2 ; on en déduit donc A4 /A3 = 5.9. Par ailleurs : avec Cp =

A4 A∗ σ(M4 ) A4 = ∗× 2 = A3 A2 A3 σ(M3 ) où A∗2 désigne la section critique associée à l’écoulement isentropique entre les sections 3 et 4. On a donc σ(M4 ) = 5.9 × σ(M3 ) avec σ(M3 ) = σ(2) = 1.6875 (par lecture de la table IV du poly), soit σ(M4 ) = 9.956 et, par lecture inverse de la partie supersonique de la table (M4 > 1), M4 ≈ 3.92. La pression statique p4 est connue en fonction de la pression d’arrêt associée p04 et du nombre de Mach M4 . Comme l’écoulement est isentropique entre les sections 3 et 4, p04 = p03 et la pression d’arrêt p03 est connue à partir de p3 et M3 calculés en b). On a donc : p04 = p03 = p3 /π(M3 ) = 23.24 atm, d’où p4 = p04 π(M4 ) = 0.170 atm. On sait par b) que T03 = T04 = 4749.5 K donc T4 = T04 τ (M4 ) = 1166 K. La vitesse du fluide dans la section d’éjection est telle que : p u4 = M4 a4 = M4 γrT4 = 2683 m s−1 .

Chapitre 5 Problèmes Ce dernier chapitre fournit des exemples d’applications des notions présentées dans les chapitres précédents du cours. Ces applications correspondent en général à des sujets d’examens des années passées et doivent vous permettre d’évaluer votre compréhension des notions présentées dans ce cours. Si vous rencontrez des difficultés pour traiter en un temps raisonnable ces différents problèmes, n’hésitez pas à venir demander des explications supplémentaires !

5.1

Choc droit / choc oblique et pression d’arrêt

Ce problème est tiré de l’examen de revalidation ECOUL1 de juin 2000. • Soit une ligne de courant le long de laquelle M1 = 4 et p1 = 1 atm. On envisage la rencontre de cette ligne de courant avec 2 structures de choc différentes : a) un choc normal, b) un choc oblique d’inclinaison β = 40◦ , suivi d’un choc droit. Déterminer dans les 2 cas le rapport (p0 )amont /(p0 )aval où (p0 )amont (resp. (p0 )aval ) est la pression totale avant (resp. après) la structure de choc. choc droit choc oblique

choc droit M1 p1

M1 p1

Etat 2

β Etat 2

(a)

(b)

¤ Déterminons tout d’abord (p0 )amont = (p0 )1 . On a : γ (p0 )1 γ−1 2 γ−1 = f (M1 ) = (1 + M1 ) p1 2 77

Etat 3

78

CHAPITRE 5. PROBLÈMES

d’où (p0 )1 = 152 p1 = 152 atm. a) On cherche à calculer (p0 )2 ; cette grandeur est donnée par : (p0 )2 /p2 = f (M2 ). Il nous faut donc p2 et M22 . On a :  2γ p2 2    p = 1 + γ + 1 (M1 − 1) = g(M1 ) 1 1 + γ−1 M12  2 2  = h(M1 )  M2 = γM12 − γ−1 2 d’où p2 /p1 = 18.5 soit p2 = 18.5 atm, et M22 = 0.189. On en tire (p0 )2 = 21 atm. La perte de pression (p0 )1 (p0 )amont totale est donc donnée par : = = 7.2. (p0 )2 (p0 )aval b) L’état 2 derrière le choc oblique est donné par : ( p2 = g(M1 sin(β)) p1 M22 sin2 (β − θ) = h(M1 sin(β)) où θ désigne l’angle de déflection. Pour déterminer M2 on a donc besoin de connaître (β − θ) ; cet angle est obtenu par la relation : tan(β − θ) = tan(β)

(γ − 1)M12 sin2 (β) + 2 (γ + 1)M12 sin2 (β)

On trouve : p2 = 7.5 p1 = 7.5 atm et (β − θ) = 13.8◦ d’où M2 = 2.1. On passe ensuite de l’état 2 à l’état 3 par un choc droit, d’où les relations : ( p3 = g(M2 ) p2 M32 = h(M2 ) (p0 )amont (p0 )1 = = 3.2. (p0 )3 (p0 )aval On observe donc que l’association d’un choc oblique et d’un choc droit produit une perte de pression d’arrêt bien moins importante que celle générée par un unique choc droit. ¤

On trouve finalement p3 = 38 atm, M32 = 0.31 d’où (p0 )3 = 47 atm et

5.2

Ecoulement à grand Mach sur une rampe

Ce problème est tiré de l’examen final ECOUL1 de février 1997. • On considère l’écoulement à incidence nulle sur un coin formant un angle θ avec l’horizontale (on supposera θ petit) :

M1 p 1

p 2 β θ

5.2. ECOULEMENT À GRAND MACH SUR UNE RAMPE

79

On observe la formation d’un choc oblique, incliné d’un angle β par rapport à l’horizontale. On souhaite simplifier l’évaluation de l’état 2 derrière ce choc oblique dans le cas où le Mach amont M1 est grand devant 1 (i.e. l’écoulement incident est hypersonique). 1) • Montrer que l’on peut écrire de façon approchée : M12 β 2 − 1 =

γ+1 2 M1 θβ 2

(5.1)

2) • En déduire la relation permettant de calculer β en fonction de θ et M1 . p2 − p1 où p1 , ρ1 et V1 désignent respectivement la 1 ρ V2 2 1 1 pression, la densité et la norme de la vitesse dans l’écoulement en amont du choc, et p2 la pression en aval du choc. Montrer que Cp peut s’écrire : 3) • On définit le coefficient de pression : Cp =

s Cp = 2θ2 [k1 +

k12 +

1 γ+1 ] , k1 = 2 (M1 θ) 4

(5.2)

4) On suppose maintenant θ = 3◦ et on considère un gaz parfait tel que γ = 1.4. • Dans le cas où M1 = 5 puis M1 = 10, comparer le résultat donné par (5.2) avec celui fourni par la démarche exacte, que l’on détaillera. Note : une abaque de la relation θ − β − M du choc oblique est fournie page suivante. • Conclure quant à la validité de l’approximation (5.2).

¤ 1) Puisque l’angle de déflection θ est supposé petit et que le nombre de Mach incident M1 est supposé grand, l’angle d’inclinaison du choc β peut être supposé petit. La relation θ − β − M générale s’écrit : (γ − 1)M12 sin2 (β) + 2 ] tan(β − θ) = tan(β)[ (γ + 1)M12 sin2 (β) Puisque les angles β et θ sont supposés petits, on peut écrire plus simplement : (β − θ) ≈ β

(γ − 1)M12 β 2 + 2 (γ + 1)M12 β 2

Après développement et simplification, on obtient la relation demandée : M12 β 2 − 1 ≈

(γ + 1) 2 M1 βθ 2

2) La relation ci-dessus constitue une équation du second degré en l’inconnue β ; l’angle d’inclinaison du choc étant positif on retient la racine : s 1 (γ + 1)2 2 (γ + 1) θ+ + θ β= 4 M12 16

80

CHAPITRE 5. PROBLÈMES CHOC OBLIQUE * gamma=1.4 15 14.5 14 M1 = 5 13.5 13

Angle d inclinaison : beta (en degres)

12.5 12 11.5 11 10.5 10 9.5 9 8.5 8

M1 = 10

7.5 7 6.5 6 2

2.5 3 3.5 Angle de deflection : theta (en degres)

4

Fig. 5.1 – Représentation graphique de la relation θ − β − M : vue détaillée pour θ petit. que l’on peut aussi mettre sous la forme : s β = θ[k1 +

k12 +

γ+1 . 4 3) Compte tenu de :

1 ] (M1 θ)2

en posant k1 =

ρ1 V12 = ρ1 a21 M12 = ρ1

γp1 2 M1 = γp1 M12 ρ1

on peut réécrire le coefficient de pression Cp sous la forme : Cp =

2 p2 ( − 1) γM12 p1

Le saut de pression à travers un choc oblique d’inclinaison β et de nombre de Mach amont M1 est donné par : p2 2γ −1= (M12 sin2 (β) − 1) p1 γ+1 Dans le cas présent, β est supposé petit et on peut donc remplacer l’expression (M12 sin2 (β) − 1) par γ+1 2 (M12 β 2 − 1) soit encore M1 βθ compte tenu de 1). Après simplification on obtient donc : 2 Cp = 2θβ

5.2. ECOULEMENT À GRAND MACH SUR UNE RAMPE

81

qui correspond bien à la formule demandée compte tenu de l’expression de β établie en 2). 4) On a obtenu en 3) une relation qui permet de calculer - de façon approchée - le coefficient de pression Cp associé à un choc oblique à grand nombre de Mach sur une rampe faiblement inclinée sans recourir à une abaque pour déterminer l’inclinaison de ce choc. La valeur exacte de Cp est donnée par (cf. 3)) : Cp =

4 1 (sin2 (β) − 2 ) γ+1 M1

où β doit être déterminé à l’aide d’une abaque traduisant graphiquement la relation implicite θ − β − M. Dans le cas où θ = 3◦ , on obtient de façon immédiate (en pensant bien à exprimer l’angle θ en radians pour le calcul approché) :

M1 = 5 M1 = 10

(Cp )exact

(Cp )approché

Erreur

2.55 × 10−2 (β ≈ 13.6◦ ) 1.403 × 10−2 (β ≈ 7.8◦ )

2.45 × 10−2 1.427 × 10−2

4% 1.7%

On constate naturellement que plus le nombre de Mach incident est élevé, plus la formule approchée est précise puisque, à angle de déflection θ donné, l’hypothèse β faible est d’autant plus vérifiée que M1 est grand.¤

82

5.3

CHAPITRE 5. PROBLÈMES

Etude d’un dispositif plaque / volet en régime supersonique

Ce problème est tiré de l’examen final ECOUL1 de février 1998. 1) On considère une plaque plane de longueur c placée dans un écoulement supersonique de fluide parfait avec une incidence α faible. L’état infini amont est caractérisé par un nombre de Mach M∞ et une pression p∞ . y 8

Μ >1 x α>0 c

On cherche à estimer la portance et la traînée de cette plaque. • Justifier l’utilisation de la théorie des profils minces et donner les valeurs des coefficients de portance CL et de traînée CD fournis par cette approche, en fonction de α et M∞ . Note : la tangente d’un angle petit pourra être assimilée à cet angle. 2) On munit maintenant cette plaque d’un volet de bord de fuite inclinable d’un angle ξ par rapport à la plaque et dont l’articulation se situe à une distance e × c du bord de fuite de la plaque toujours supposée de longueur c : y ec

α=0

x c

y

y volet levé

volet abaissé Μ >1

8

8

Μ >1 x α>0

x α>0 ξ0 • Calculer les coefficients de portance et de traînée de ce dispositif en fonction de α, ξ, e et M∞ . • Expliquer l’influence de ξ sur les performances aérodynamiques du dispositif.

5.3. ETUDE D’UN DISPOSITIF PLAQUE / VOLET EN RÉGIME SUPERSONIQUE

83

3) On suppose maintenant que l’incidence α et la localisation e du volet sur la plaque sont fixées. On note f (ξ) = CL /CD la finesse du dispositif aérodynamique étudié. • Montrer que s’il existe un angle ξopt d’inclinaison du volet qui permet de maximiser f pour α et e donnés, cet angle vérifie la relation : 2 eξopt + 2αξopt + α2 = 0

(5.1)

• En supposant maintenant que e est un petit paramètre et que α et ξ restent du même ordre de grandeur, trouver une expression très simple pour ξopt et montrer que le gain de finesse procuré par l’inclinaison du volet par rapport au cas de la plaque seule s’écrit : fopt − fps e ≈ fps 4

(5.2)

où fopt = f (ξopt ) et fps est la finesse correspondant au cas 1). • Expliquer comment est obtenu ce gain de finesse (en termes de gain ou de perte de portance ou de traînée). 4) On suppose e = 1/10 et α = 1◦ . • Calculer le gain de finesse (en %) offert par la plaque munie d’un volet relevé d’un angle ξ = −0.5◦ par rapport au cas de la plaque simple. ¤ 1) Les angles qui interviennent dans l’écoulement sont supposés faibles de sorte que la théorie des profils minces peut s’appliquer. Celle-ci stipule que portance et traînée s’expriment directement en fonction de la pente locale du profil considéré ; par exemple : Z c −2q∞ dyU dyL L= p ( )+( )dx 2 −1 dx dx M∞ 0 où q∞ désigne la pression dynamique de référence, et yU et yL désignent respectivement l’équation de la partie supérieure et inférieure du profil de corde c. Dans le cas de la plaque à incidence α on a tout simplement yU = yL = −tan(α)x ≈ −αx soitp dyU /dx = dyL /dx = −α de sorte que le coefficient L 2 − 1. On établit tout à fait similairement : de portance CL = q∞ c est donné par CL = 4α/ M∞ p 2 − 1. CD = 4α2 / M∞ 2) Munir la plaque d’un volet orientable revient à introduire des variations de pente dans la définition du profil : dy/dx = −α pour x ∈ [0, c − ec] et dy/dx = −α − ξ pour x ∈ [c − ec, c]. On en déduit donc : Z c(1−e) Z c −2 [ −2αdx + −2(α + ξ)dx] CL = p 2 −1 c M∞ 0 c(1−e) 4(α+eξ) soit par intégration immédiate CL = √ . On observe donc que la configuration “volet abaissé” 2 M∞ −1

(ξ > 0) entraîne une augmentation de la portance alors que la configuration “volet levé” (ξ < 0) diminue la portance du dispositif. Un calcul similaire conduit à : CD = √ 42 (α2 + 2eαξ + eξ 2 ). M∞ −1

On observe que ξ > 0 conduit nécessairement à une augmentation de la traînée alors que ξ < 0 peut entraîner une diminution de cette traînée (si ξ est tel que 2eαξ + eξ 2 < 0 i.e. ξ > −2α). La question

84

CHAPITRE 5. PROBLÈMES

à se poser maintenant est bien sûr de savoir s’il existe une valeur de ξ qui permet de gagner en finesse par rapport au cas sans volet soit par une diminution de traînée supérieure à l’augmentation de portance associée (ξ < 0) soit par une augmentation de portance supérieure à l’augmentation de traînée associée (ξ > 0). 3) Pour répondre à la question ci-dessus, on exprime le rapport CL /CD comme une fonction de ξ (e et α sont supposés fixés) et on calcule la variation de cette fonction par rapport à ξ : on constate très 2 facilement que df /dξ s’annule (donc atteint un extremum) pour ξ = ξopt tel que eξopt +2αξopt +α2 = 0. 2 Si on suppose que α et ξopt sont du même ordre et que e est un petit paramètre, on peut négliger eξopt devant αξopt et α2 de sorte que ξopt vérifie simplement 2αξopt ≈ −α2 soit ξopt ≈ −α/2. En donnant alors à ξ la valeur −α/2 dans l’expression de CL et CD , on obtient très facilement la relation : fopt =

α(1 − 2e ) α2 (1 − 3e ) 4

Compte tenu de fps = 1/α, on en déduit - en utilisant le fait que e est un petit paramètre - : fopt = fps (1 − 2e )(1 + 3e + O(e2 )) = fps (1 + 4e + O(e2 )) ≈ fps (1 + 4e ). On constate que le gain de finesse 4 est obtenu par une diminution de traînée (CD ∝ α2 (1 − 3e ) au lieu de CD ∝ α2 ) supérieure à la perte 4 e de portance associée (CL ∝ α(1 − 2 ) au lieu de CL ∝ α). Puisque ξ = −0.5◦ = ξopt pour α = 1◦ , on peut directement écrire var(f ) ≈ 1/40 soit un gain de finesse de 2.5%. ¤

5.4

Etude de la poussée d’un moteur-fusée

Ce problème est tiré de l’examen final ECOUL1 de février 1997. 1) On considère la tuyère convergente-divergente d’un moteur-fusée. Cette tuyère est telle que sa section au col est Ac = 1 cm2 . Les conditions en amont de la section d’entrée sont les conditions d’arrêt : p0 = 100 atm, T0 = 2000 K. Le gaz de combustion est un gaz parfait tel que r = 415.7 J kg −1 K −1 et γ=1.25. On supposera dans toute la suite du problème que la tuyère est amorcée. • Calculer m ˙ = ρuA, le débit-masse de la tuyère. 2) La poussée du moteur fusée est donnée par la formule : P = mu ˙ e + Ae (pe − pa )

(5.1)

où ue désigne la vitesse dans la section d’éjection, pe est la pression dans la section d’éjection et pa la pression ambiante. On admettra ici que la poussée est maximale quand la tuyère est adaptée à la pression ambiante, c’est-à-dire quand la pression dans la section d’éjection est égale à la pression ambiante, avec un écoulement isentropique dans toute la tuyère, y compris dans la section d’éjection. Au cours d’un vol, la pression ambiante va naturellement varier avec l’altitude et il n’est donc pas possible d’avoir une tuyère adaptée à tout moment. On se pose ici la question de savoir s’il est préférable d’adapter la tuyère aux conditions au sol ou à grande altitude.

5.4. ETUDE DE LA POUSSÉE D’UN MOTEUR-FUSÉE

85

Supposons la pression ambiante connue et la tuyère adaptée. • Donner les relations qui permettent de calculer le Mach Me , la température Te et la vitesse ue dans la section d’éjection ; préciser également la relation permettant de calculer l’aire de la section d’éjection. 3) On considère tout d’abord le cas d’une tuyère adaptée à la pression ambiante au sol : pa = 1 atm. • Déterminer l’aire de la section d’éjection d’une telle tuyère. • Calculer la poussée développée au sol et à une altitude de 23.5 km, à laquelle la pression ambiante vaut pa = 0.03 atm. 4) On considère maintenant le cas d’une tuyère adaptée à la pression ambiante à l’altitude de 23.5 km : pa = 0.03 atm. • Déterminer l’aire de la section d’éjection d’une telle tuyère. • Calculer la poussée développée à l’altitude de 23.5 km. • Montrer que pour une valeur de la pression ambiante très proche de 1 atm, un choc droit apparaît dans la section d’éjection de la tuyère. • Calculer la poussée développée dans ces conditions (on assimilera le résultat obtenu à la valeur de la poussée exactement au sol). 5) • Comparer les résultats obtenus en b) et c) - que l’on pourra regrouper dans un tableau du type ci-dessous - et tirer une conclusion argumentée quant au choix de telle ou telle tuyère (tenant compte des poussées prévues et de la dimension de la tuyère). Tuyère Adaptée au sol Adaptée à h = 23.5 km

Poussée au sol (N)

Poussée à h = 23.5 km (N)

Aire de Ae (cm2 )

¤ 1) Le débit étant constant dans l’écoulement, il est en particulier égal à sa valeur au col : m ˙ = ρc uc Ac Puisque la tuyère est amorcée, l’état sonique est atteint au col donc uc = ac = de plus la loi d’état pour exprimer ρ en fonction de T et p on peut réécrire : √ pc γ m ˙ = √ Ac rTc

√ γrTc ; en utilisant

On utilise alors les relations liant état sonique (ou au col) et état d’arrêt (obtenues comme cas particulier (M = 1) des relations générales des écoulements isentropiques) : γ p0 γ + 1 γ−1 =( ) pc 2

et

T0 γ+1 = Tc 2

Après calcul, on obtient finalement : r m ˙ =

γ+1 γ 2 2(γ−1) p √ 0 Ac ( ) r γ+1 T0

86

CHAPITRE 5. PROBLÈMES

L’application numérique conduit (si on pense bien à convertir les pressions exprimées en atm en pressions exprimées en P ascal ; on rappelle que 1 atm = 101325 P a) à m ˙ = 0.731 kg s−1 . 2) Si la tuyère est adaptée, on a un écoulement isentropique dans toute la tuyère et on peut écrire en particulier au niveau de la section d’éjection : γ p0 γ − 1 2 γ−1 = (1 + Me ) pe 2

Comme la tuyère est adaptée on sait que la pression dans la section d’éjection est exactement égale à la pression ambiante soit pe = pa ; la pression totale est constante dans cet écoulement isentropique et donc égale à sa valeur en entrée de la tuyère. p0 et pa étant connues, on déduit de la relation ci-dessus la valeur du nombre de Mach Me dans la section d’éjection. Pour déterminer la température, on applique la relation : T0 γ−1 2 = (1 + Me ) Te 2 T0 et Me étant connus, on peut calculer Te . √ On déduit de Me et Te la vitesse dans la section d’éjection en écrivant : ue = ae Me = γrTe Me . Enfin, l’aire Ae de la section d’éjection est obtenue en appliquant la relation section-nombre de Mach des écoulements isentropiques dans des conduits de section variable (en tenant compte du fait que la section critique est la section au col, d’aire connue, puisque la tuyère est amorcée) : γ+1 Ae 1 2 γ − 1 2 2(γ−1) = [ (1 + Me )] Ac Me (γ + 1) 2

3) Dans le cas où la tuyère est adaptée à la pression ambiante au sol, on a : pe = pa = 1 atm ; on en tire Me = 3.48. Cette valeur du Mach nous permet alors d’établir : Ae /Ac = 10.67 soit Ae = 10.67 cm2 . On trouve par ailleurs Te = 795 K d’où l’on déduit ue = 2237.6 m/s. La poussée au sol de cette tuyère adaptée au sol est égale au produit du débit masse m ˙ calculé en 1) par la vitesse d’éjection qui vient d’être déterminée (puisque pe = pa on n’a pas de contribution du second terme qui compose la poussée) ; on trouve Psol = 1635.7 N . La poussée en altitude de cette tuyère adaptée au sol se calcule très simplement : la pression ambiante en altitude (pa = 0.03 atm) étant inférieure à la pression au sol pour laquelle la tuyère a été adaptée, l’écoulement dans la tuyère en altitude reste inchangé par rapport à l’écoulement dans la tuyère au sol ; il se forme simplement une détente en sortie de tuyère afin d’abaisser la pression de sa valeur pe = 1 atm dans la section d’éjection à la valeur ambiante pa = 0.03 atm. La vitesse d’éjection n’est donc pas modifiée par rapport au cas précédent ; il faut par contre tenir compte de la contribution Ae (pe − pa ) à la poussée. Ae , pe et pa étant connus, on trouve sans difficulté : Palt = 1740 N . 4) Supposons maintenant la tuyère adaptée à l’altitude. Dans ce cas : pe = pa = 0.03 atm donc Me = 5.7 et on en déduit Ae = 152 cm2 . On trouve également Te = 395 K d’où ue = 2583 m/s. La poussée en altitude de cette tuyère adaptée en altitude est donnée par Palt = mu ˙ e soit Palt = 1888 N . On s’intéresse maintenant à ce qui se passe dans cette tuyère lorsqu’elle est utilisée au sol. La pression ambiante au sol étant plus élevée que la pression ambiante en altitude, la tuyère ne peut rester adaptée que s’il existe un phénomène de recompression de l’écoulement qui permette de faire passer la pression de la valeur 0.03 atm dans la section d’éjection à la valeur 1 atm dans l’atmosphère ambiante. En fait, comme l’énoncé le laisse entendre, cette recompression est assurée par un choc droit localisé

5.5. RELATION SECTION CRITIQUE / PRESSION TOTALE

87

dans la section d’éjection de la tuyère. Pour vérifier ce point, on va supposer que l’écoulement dans la tuyère reste isentropique jusque dans la section d’éjection où un choc droit se forme ; les valeurs du nombre de Mach et de la pression juste en amont de ce choc sont donc les valeurs déterminées ci-dessus dans le cas de l’écoulement en altitude, i.e. Mamont = 5.7 et pamont = 0.03. On peut alors utiliser les relations de choc droit pour déterminer la pression d’éjection dans le cas de cet écoulement au sol ; cette pression d’éjection est en effet égale à la pression en aval du choc droit. Compte tenu 2γ 2 aval = 1 + γ+1 de ppamont (Mamont − 1), on établit paval ≈ 1.1 atm donc la pression derrière le choc droit est sensiblement égale à la pression atmosphérique. Ainsi, en inversant la proposition, pour une pression ambiante pratiquement égale à la pression au sol (1 atm), la tuyère adaptée à l’altitude présente bien un choc dans sa section d’éjection. Pour calculer la poussée développée dans de telles conditions il faut calculer la vitesse d’éjection, donnée par les relations de choc droit sur la vitesse : 2 uamont (γ + 1)Mamont = 2 uaval 2 + (γ − 1)Mamont

où uamont = 2583 m/s, Mamont = 5.7 et uaval est la vitesse d’éjection cherchée. On trouve ue = 358 m/s. La pression dans la section d’éjection pe est égale à la pression atmosphérique pa puisque la tuyère est adaptée aux conditions au sol par le choc droit ; la poussée au sol de cette tuyère adaptée à l’altitude vaut donc P = 262N . 5) On tire le bilan de l’étude précédente en rassemblant dans le tableau ci-dessous les principales caractéristiques (poussée au sol, poussée en altitude, aire de la section d’éjection) de la tuyère adaptée au sol ou à l’altitude. Tuyère Adaptée au sol Adaptée à h = 23.5 km

Poussée au sol (N) 1636 262

Poussée à h = 23.5 km (N) 1740 1888

Aire de Ae (cm2 ) 10.67 152

On constate que les avantages d’une tuyère adaptée à l’altitude sont bien minces : la poussée en altitude est certes un peu plus élevée (8.5%) que celle développée par une tuyère adaptée au sol mais au prix d’une tuyère particulièrement volumineuse (donc pesante) ; en outre, la poussée au sol est extrêmement médiocre. Le choix de l’adaptation au sol, qui assure un niveau de poussée correct au sol comme en altitude pour une taille de tuyère raisonnable s’impose donc. ¤

5.5

Relation section critique / pression totale

• On considère une tuyère convergente-divergente ; une onde de choc est située dans le divergent. On note (.∗ )1 l’état critique associé à l’écoulement isentropique en amont de ce choc droit : (ρ∗ )1 , (p∗ )1 , (T∗ )1 , (u∗ )1 , (A∗ )1 sont donc respectivement la densité, la pression, la température, la vitesse et la section critique (ou sonique) en amont du choc. On introduit similairement (.∗ )2 , l’état critique associé à l’écoulement en aval du choc. (ρ∗ )2 , (p∗ )2 , (T∗ )2 , (u∗ )2 , (A∗ )2 désignent alors respectivement la densité, la pression, la température, la vitesse et la section critique (ou sonique) en aval du choc. On notera également (p0 )1 la pression d’arrêt

88

CHAPITRE 5. PROBLÈMES

isentropique associée à l’écoulement avant le choc et (p0 )2 la pression d’arrêt isentropique associée à l’écoulement après le choc. En écrivant la conservation de la masse entre l’état (.∗ )1 et (.∗ )2 , démontrer la relation : (A∗ )2 .(p0 )2 = (A∗ )1 .(p0 )1 ¤ La conservation de la masse entre l’état critique associé à l’écoulement en amont du choc et l’état critique associé à l’écoulement en aval du choc s’écrit : (ρ∗ )1 (u∗ )1 (A∗ )1 = (ρ∗ )2 (u∗ )2 (A∗ )2 √ A l’état critique, u∗ = a∗ = γrT∗ . Par ailleurs, ρ peut s’exprimer en fonction de la pression et de la température à l’aide de la loi d’état : p = ρrT . On peut donc réécrire la relation ci-dessus : s (p∗ )2 (T∗ )1 · · (A∗ )2 = (A∗ )1 (p∗ )1 (T∗ )2 La température sonique est une constante de l’écoulement (pour un écoulement adiabatique) donc (T∗ )2 = (T∗ )1 . La relation précédente se simplifie donc pour donner : (p∗ )2 (A∗ )2 = (p∗ )1 (A∗ )1 On sait que dans un écoulement isentropique : (p∗ )2 (p∗ )1

(p0 )2 . (p0 )1

p p0

= f (M ) ; donc, en particulier

p∗ p0

= f (1) = cste. On

en déduit donc : = Comme la pression totale associée à l’écoulement en amont du choc est la pression p0 , on en tire la relation souhaitée : (A∗ )2 · (p0 )2 = (A∗ )1 · (p0 )1

5.6

¤

Calcul de la position d’un choc dans une tuyère

• On considère une tuyère convergente-divergente de section au col et de section d’éjection d’aire respective 0.25 m2 et 0.5 m2 . Dans la section d’entrée, la pression est la pression d’arrêt p0 = 1 atm, la pression de sortie est pe = 0.6 atm. Pour ce rapport de pression, l’écoulement est supersonique dans une partie du divergent puis un choc droit se positionne dans le divergent. Déterminer la position de ce choc. ¤ La tuyère est amorcée ; la section au col est donc la section critique associée à l’écoulement isentropique en amont du choc droit : (A∗ )amont = Ac = 0.25 m2 . On connaît également la pression d’arrêt en amont du choc (p0 )amont = 1 atm. Si (p0 )aval est connue alors la valeur de (p0 )aval /(p0 )amont permet de déterminer Mamont , le Mach juste devant le choc, par lecture des tables I de choc droit , et grâce à la valeur de Mamont , par lecture des tables IV d’écoulement isentropique avec changement de section, on détermine As /(A∗ )amont , où As est l’aire de la section de la tuyère au niveau du choc que l’on cherche précisément à déterminer. Malheureusement, (p0 )aval n’est pas connue ; qu’à cela ne tienne, supposons sa valeur connue. Le rapport des sections critiques associées respectivement à l’écoulement isentropique en amont et en aval du choc, (A∗ )amont /(A∗ )aval , est égal au rapport (p0 )aval /(p0 )amont comme on vient de le démontrer dans le problème précédent. Une fois (A∗ )aval connue, on peut évaluer par tabulation le rapport

5.7. DESCRIPTION D’UN ÉCOULEMENT EN SORTIE DE TUYÈRE

89

pression d’éjection / pression d’arrêt isentropique associée : pe /(p0 )aval ; pe étant connue, on obtient une nouvelle valeur de (p0 )aval et on peut itérer ce processus jusqu’à obtention d’une valeur convergée de (p0 )aval , qui nous fournira alors As comme décrit plus haut. Puisque derrière le choc droit l’écoulement est subsonique, la pression statique n’est pas très différente de la pression d’arrêt et on peut initialiser le processus ci-dessus par (p0 )aval = pe . Itération 1 : si (p0 )aval = 0.6 atm alors (p0 )aval /(p0 )amont = (A∗ )amont /(A∗ )aval = 0.6 donc Ae /(A∗ )aval = (Ae /(A∗ )amont ) × (A∗ )amont /(A∗ )aval = 2 × (A∗ )amont /(A∗ )aval = 1.2 d’où (l’écoulement étant subsonique derrière le choc droit, on cherche la valeur de Ae /(A∗ )aval associée à un nombre de Mach inférieur à 1) pe /(p0 )aval = 0.79 et (p0 )aval = 0.76 atm. Itér. 2 : (A∗ )amont /(A∗ )aval = 0.76 ; Ae /(A∗ )aval = 1.52 ; pe /(p0 )aval = 0.88 ; (p0 )aval = 0.68 atm. Itér. 3 : (A∗ )amont /(A∗ )aval = 0.68 ; Ae /(A∗ )aval = 1.36 ; pe /(p0 )aval = 0.85 ; (p0 )aval = 0.71 atm. Itér. 4 : (A∗ )amont /(A∗ )aval = 0.71 ; Ae /(A∗ )aval = 1.41 ; pe /(p0 )aval = 0.86 ; (p0 )aval = 0.70 atm. Itér. 5 : (A∗ )amont /(A∗ )aval = 0.70 ; Ae /(A∗ )aval = 1.39 ; pe /(p0 )aval = 0.86 ; (p0 )aval = 0.70 atm. On peut donc considérer que (p0 )aval = 0.7 atm est la valeur convergée de notre processus itératif. On a alors : (p0 )aval /(p0 )amont = 0.7 d’où Mamont = 2.04 d’où As /(A∗ )amont = 1.745 et As = 1.745 × 0.25 = 0.436 m2 . Le choc droit est donc situé dans la section du divergent d’aire 0.436 m2 (on vérifie au passage que ceci est réaliste puisque Ac < As < Ae ). ¤

5.7

Description d’un écoulement en sortie de tuyère

• On considère une tuyère convergente-divergente. L’écoulement est supersonique dans le divergent. Le rapport de section entre la sortie et le col est égal à 10 ; la pression d’arrêt est p0 = 10 atm et la pression ambiante pa = 0.04 atm. Décrire précisément l’écoulement à la sortie de la tuyère. ¤ La tuyère est amorcée donc la section au col est la section critique : Ac = A∗ . On a par conséquent Ae /A∗ = Ae /Ac = 10 où Ae désigne l’aire de la section de sortie. L’écoulement est supersonique en sortie d’où par tabulation : Me = 3.92. La pression dans la section d’éjection est donnée par : γ p0 γ − 1 2 γ−1 = (1 + Me ) pe 2 d’où pe = 0.0733 atm. En sortie, on a donc une détente supersonique (phénomène isentropique) qui permet de diminuer la pression de sa valeur dans la section d’éjection à sa valeur dans l’atmosphère environnante. Précisément, le Mach dans l’atmosphère est tel que : γ γ − 1 2 γ−1 p0 = (1 + Ma ) pa 2

soit Ma = 4.38. La détente supersonique fait donc tourner l’écoulement d’un angle θ tel que : ν(Ma ) = θ + ν(Me ), où ν désigne la fonction de Prandtl-Meyer. Compte tenu de ν(3.92) ≈ 64.75 deg et ν(4.38) ≈ 70.5 deg on en déduit θ = 5.75 deg. ¤

90

CHAPITRE 5. PROBLÈMES

Bibliographie [1] J.D. Anderson Jr, Modern compressible flow, McGraw-Hill (1995) [2] J.J. Bertin, M.L. Smith, Aerodynamics for engineers, Prentice Hall (1988) [3] S. Candel, Mécanique des Fluides, Dunod (1995) [4] J. Délery, Cours d’Aérodynamique, Université de Versailles-Saint-Quentin-en -Yvelines (2001). [5] A.M. Kuethe, C.Y. Chow, Foundations of Aerodynamics - Bases of Aerodynamic Design, Wiley (1998) [6] H.W. Liepmann, A. Roshko, Elements of Gas Dynamics, Wiley (1957) [7] R. Ouziaux, J. Perrier, Mécanique des fluides appliquée, Dunod (1978) [8] I.L. Ryhming, Dynamique des Fluides, Presses polytechniques et universitaires romandes (1985)

91

92

BIBLIOGRAPHIE

Chapitre 6 Annexe On fournit en annexe de ce document : I) un tableau des relations de choc. Pour une valeur donnée du nombre de Mach normal en amont du choc (ce Mach normal (Mn )1 est égal au nombre de Mach M1 dans le cas du choc droit), sont fournies (en supposant γ = 1.4) les valeurs du saut de pression statique à la traversée du choc, du saut de pression totale et du Mach M2 en aval du choc (cette donnée n’est valable que dans le cas d’un choc droit). Le saut de pression est calculé grâce à la relation (1.11). Le Mach aval dans le cas du choc droit est donné par la relation (1.9). Le saut de pression totale est obtenu par le raisonnement suivant : la pression totale (p0 )1 associée à l’écoulement isentropique en amont du choc est liée à la pression statique p1 par la relation (1.14) : γ (p0 )1 γ − 1 2 γ−1 = (1 + M1 ) = f (M1 ) p1 2

Similairement :

(p0 )2 = f (M2 ). On peut alors écrire : p2 (p0 )2 (p0 )2 p2 p1 p2 1 = · · = f (M2 ) · · (p0 )1 p2 p1 (p0 )1 p1 f (M1 )

p2 est connu en fonction de M1 par (1.11) ; M2 est connu en fonction de M1 par (1.9) ; le p1 (p0 )2 rapport peut donc être évalué en fonction de la seule donnée de M1 . (p0 )1 Le rapport

II) une abaque de la relation θ − β − M (2.5) : tan(β − θ) = tan(β)[

(γ − 1)M12 sin2 (β) + 2 ] (γ + 1)M12 sin2 (β)

On trace les courbes β = β(θ, M1 ) où le Mach amont M1 est fixé. III) un tableau des valeurs de la fonction de Prandtl-Meyer. 93

94

CHAPITRE 6. ANNEXE

Pour une valeur donnée de la fonction de Prandtl-Meyer ν(M ) : r r Z √ 2 √ M − 1 dM γ+1 γ−1 −1 ν(M ) = = tan ( (M 2 − 1)) − tan−1 ( M 2 − 1) γ−1 2 M γ−1 γ+1 1+ M 2 la table III fournit la valeur du nombre de Mach M correspondant et de l’angle de Mach associé sin−1 ( M1 ). IV) un tableau regroupant les rapports pression statique/pression totale (p/p0 ) et aire de la section locale/aire de la section critique (A/A∗ ) pour un nombre de Mach donné. Ces rapports sont déduits de la relation fondamentale (4.4), valable pour les écoulements isentropiques. On notera bien que pour une même valeur du rapport A/A∗ on a deux entrées possibles au niveau du nombre de Mach : l’une en régime subsonique, l’autre en régime supersonique. Le choix de l’une ou l’autre de ces valeurs est fonction de la connaissance de l’écoulement dans la tuyère considérée.

95 (M1 )n 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35

p2 p1

(p0 )2 (p0 )1

1.0000 1.0235 1.0471 1.0710 1.0952 1.1196 1.1442 1.1691 1.1941 1.2195 1.2450 1.2708 1.2968 1.3230 1.3495 1.3763 1.4032 1.4304 1.4578 1.4855 1.5133 1.5415 1.5698 1.5984 1.6272 1.6562 1.6855 1.7150 1.7448 1.7748 1.8050 1.8354 1.8661 1.8970 1.9282 1.9596

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999 0.9998 0.9996 0.9994 0.9992 0.9989 0.9986 0.9982 0.9978 0.9973 0.9967 0.9961 0.9953 0.9946 0.9937 0.9928 0.9918 0.9907 0.9896 0.9884 0.9871 0.9857 0.9842 0.9827 0.9811 0.9794 0.9776 0.9758 0.9738 0.9718 0.9697

M2 (choc droit) 1.0000 0.9901 0.9805 0.9712 0.9620 0.9531 0.9444 0.9360 0.9277 0.9196 0.9118 0.9041 0.8966 0.8892 0.8820 0.8750 0.8682 0.8615 0.8549 0.8485 0.8422 0.8360 0.8300 0.8241 0.8183 0.8126 0.8071 0.8016 0.7963 0.7911 0.7860 0.7809 0.7760 0.7712 0.7664 0.7618

(M1 )n 1.36 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 1.50 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1.60 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67 1.68 1.69 1.70 1.71

p2 p1

(p0 )2 (p0 )1

1.9912 2.0230 2.0551 2.0874 2.1200 2.1528 2.1858 2.2190 2.2525 2.2863 2.3202 2.3544 2.3888 2.4234 2.4583 2.4934 2.5288 2.5644 2.6002 2.6363 2.6725 2.7090 2.7458 2.7828 2.8200 2.8575 2.8951 2.9330 2.9712 3.0096 3.0482 3.0870 3.1261 3.1654 3.2050 3.2448

0.9676 0.9653 0.9630 0.9607 0.9582 0.9557 0.9531 0.9504 0.9476 0.9448 0.9420 0.9390 0.9360 0.9329 0.9298 0.9266 0.9233 0.9200 0.9166 0.9132 0.9097 0.9062 0.9026 0.8989 0.8952 0.8915 0.8877 0.8838 0.8799 0.8760 0.8720 0.8680 0.8639 0.8599 0.8557 0.8516

I - (1) Relations de choc

M2 (choc droit) 0.7572 0.7527 0.7483 0.7440 0.7397 0.7355 0.7314 0.7274 0.7235 0.7196 0.7157 0.7120 0.7083 0.7047 0.7011 0.6976 0.6941 0.6907 0.6874 0.6841 0.6809 0.6777 0.6746 0.6715 0.6684 0.6655 0.6625 0.6596 0.6568 0.6540 0.6512 0.6485 0.6458 0.6431 0.6405 0.6380

96

CHAPITRE 6. ANNEXE (M1 )n 1.72 1.73 1.74 1.75 1.76 1.77 1.78 1.79 1.80 1.81 1.82 1.83 1.84 1.85 1.86 1.87 1.88 1.89 1.90 1.91 1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 2.00 2.01 2.02 2.03 2.04 2.05 2.06 2.07

p2 p1

(p0 )2 (p0 )1

3.2848 3.3250 3.3655 3.4062 3.4472 3.4884 3.5298 3.5714 3.6133 3.6554 3.6978 3.7404 3.7832 3.8262 3.8695 3.9130 3.9568 4.0008 4.0450 4.0894 4.1341 4.1791 4.2242 4.2696 4.3152 4.3611 4.4071 4.4534 4.5000 4.5468 4.5938 4.6410 4.6885 4.7362 4.7842 4.8324

0.8474 0.8431 0.8389 0.8346 0.8302 0.8259 0.8215 0.8171 0.8127 0.8082 0.8038 0.7993 0.7948 0.7902 0.7857 0.7811 0.7765 0.7720 0.7674 0.7627 0.7581 0.7535 0.7488 0.7442 0.7395 0.7349 0.7302 0.7255 0.7209 0.7162 0.7115 0.7069 0.7022 0.6975 0.6928 0.6882

M2 (choc droit) 0.6355 0.6330 0.6305 0.6281 0.6257 0.6234 0.6210 0.6188 0.6165 0.6143 0.6121 0.6099 0.6078 0.6057 0.6036 0.6016 0.5996 0.5976 0.5956 0.5937 0.5918 0.5899 0.5880 0.5862 0.5844 0.5826 0.5808 0.5791 0.5774 0.5757 0.5740 0.5723 0.5707 0.5691 0.5675 0.5659

(M1 )n 2.08 2.09 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30 2.31 2.32 2.33 2.34 2.35 2.36 2.37 2.38 2.39 2.40 2.41 2.42 2.43

p2 p1

(p0 )2 (p0 )1

4.8808 4.9295 4.9783 5.0275 5.0768 5.1264 5.1762 5.2263 5.2765 5.3271 5.3778 5.4288 5.4800 5.5314 5.5831 5.6350 5.6872 5.7396 5.7922 5.8450 5.8981 5.9514 6.0050 6.0588 6.1128 6.1670 6.2215 6.2762 6.3312 6.3864 6.4418 6.4974 6.5533 6.6094 6.6658 6.7224

0.6835 0.6789 0.6742 0.6696 0.6649 0.6603 0.6557 0.6511 0.6464 0.6419 0.6373 0.6327 0.6281 0.6236 0.6191 0.6145 0.6100 0.6055 0.6011 0.5966 0.5921 0.5877 0.5833 0.5789 0.5745 0.5702 0.5658 0.5615 0.5572 0.5529 0.5486 0.5444 0.5401 0.5359 0.5317 0.5276

I - (2) Relations de choc

M2 (choc droit) 0.5643 0.5628 0.5613 0.5598 0.5583 0.5568 0.5554 0.5540 0.5525 0.5511 0.5498 0.5484 0.5471 0.5457 0.5444 0.5431 0.5418 0.5406 0.5393 0.5381 0.5368 0.5356 0.5344 0.5332 0.5321 0.5309 0.5297 0.5286 0.5275 0.5264 0.5253 0.5242 0.5231 0.5221 0.5210 0.5200

97

(M1 )n 2.44 2.45 2.46 2.47 2.48 2.49 2.50 2.51 2.52 2.53 2.54 2.55 2.56 2.57 2.58 2.59 2.60 2.61 2.62 2.63 2.64 2.65 2.66 2.67 2.68 2.69 2.70 2.71 2.72 2.73 2.74 2.75 2.76 2.77 2.78 2.79

p2 p1

(p0 )2 (p0 )1

6.7792 6.8362 6.8935 6.9510 7.0088 7.0668 7.1250 7.1834 7.2421 7.3010 7.3602 7.4196 7.4792 7.5390 7.5991 7.6594 7.7200 7.7808 7.8418 7.9031 7.9645 8.0262 8.0882 8.1504 8.2128 8.2754 8.3383 8.4014 8.4648 8.5284 8.5922 8.6562 8.7205 8.7850 8.8498 8.9148

0.5234 0.5193 0.5152 0.5111 0.5071 0.5030 0.4990 0.4950 0.4911 0.4871 0.4832 0.4793 0.4754 0.4715 0.4677 0.4639 0.4601 0.4564 0.4526 0.4489 0.4452 0.4416 0.4379 0.4343 0.4307 0.4271 0.4236 0.4201 0.4166 0.4131 0.4097 0.4062 0.4028 0.3994 0.3961 0.3928

M2 (choc droit) 0.5189 0.5179 0.5169 0.5159 0.5149 0.5140 0.5130 0.5120 0.5111 0.5102 0.5092 0.5083 0.5074 0.5065 0.5056 0.5047 0.5039 0.5030 0.5022 0.5013 0.5005 0.4996 0.4988 0.4980 0.4972 0.4964 0.4956 0.4949 0.4941 0.4933 0.4926 0.4918 0.4911 0.4903 0.4896 0.4889

(M1 )n 2.80 2.81 2.82 2.83 2.84 2.85 2.86 2.87 2.88 2.89 2.90 2.91 2.92 2.93 2.94 2.95 2.96 2.97 2.98 2.99 3.00 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90 4.00 5.00

p2 p1

(p0 )2 (p0 )1

8.9800 9.0454 9.1111 9.1770 9.2432 9.3096 9.3762 9.4430 9.5101 9.5774 9.6450 9.7128 9.7808 9.8490 9.9175 9.9862 10.0552 10.1244 10.1938 10.2634 10.3333 11.0450 11.7800 12.5383 13.3200 14.1250 14.9533 15.8050 16.6800 17.5783 18.5000 29.0000

0.3895 0.3862 0.3829 0.3797 0.3765 0.3733 0.3701 0.3670 0.3639 0.3608 0.3577 0.3547 0.3517 0.3487 0.3457 0.3428 0.3398 0.3369 0.3340 0.3312 0.3283 0.3012 0.2762 0.2533 0.2322 0.2129 0.1953 0.1792 0.1645 0.1510 0.1388 0.0617

I - (3) Relations de choc

M2 (choc droit) 0.4882 0.4875 0.4868 0.4861 0.4854 0.4847 0.4840 0.4833 0.4827 0.4820 0.4814 0.4807 0.4801 0.4795 0.4788 0.4782 0.4776 0.4770 0.4764 0.4758 0.4752 0.4695 0.4643 0.4596 0.4552 0.4512 0.4474 0.4439 0.4407 0.4377 0.4350 0.4152

98

CHAPITRE 6. ANNEXE

90 80

M1=5.0

Inclinaison du choc β

70 1.1

1.3

1.5

2.0

1.7

2.5

3.0

4.0

60 50 40 30 20 10 0

0

4

8

12

16

20

24

28

32

Angle de deflection θ

36

40

44

II - Variation de l’inclinaison β du choc en fonction de l’angle de déflection θ pour différentes valeurs du nombre de Mach amont M1

48

99 ν(deg) 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

M 1.000 1.051 1.082 1.108 1.133

µ(deg) 90.000 72.099 67.574 64.451 61.997

ν(deg) 17.5 18.0 18.5 19.0 19.5

M 1.689 1.706 1.724 1.741 1.758

µ(deg) 36.293 35.874 35.465 35.065 34.673

ν(deg) 35.0 35.5 36.0 36.5 37.0

M 2.329 2.349 2.369 2.390 2.410

µ(deg) 25.430 25.196 24.965 24.736 24.510

2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

1.155 1.177 1.198 1.218 1.237

59.950 58.180 56.614 55.205 53.920

20.0 20.5 21.0 21.5 22.0

1.775 1.792 1.810 1.827 1.844

34.290 33.915 33.548 33.188 32.834

37.5 38.0 38.5 39.0 39.5

2.431 2.452 2.473 2.495 2.516

24.287 24.066 23.847 23.631 23.418

5.0 5.5 6.0 6.5 7.0

1.256 1.275 1.294 1.312 1.330

52.738 51.642 50.619 49.658 48.753

22.5 23.0 23.5 24.0 24.5

1.862 1.879 1.897 1.915 1.932

32.488 32.148 31.814 31.486 31.164

40.0 40.5 41.0 41.5 42.0

2.538 2.560 2.582 2.604 2.626

23.206 22.997 22.790 22.585 22.382

7.5 8.0 8.5 9.0 9.5

1.348 1.366 1.383 1.400 1.418

47.896 47.082 46.306 45.566 44.857

25.0 25.5 26.0 26.5 27.0

1.950 1.968 1.986 2.004 2.023

30.847 30.536 30.229 29.928 29.632

42.5 43.0 43.5 44.0 44.5

2.649 2.671 2.694 2.718 2.741

22.182 21.983 21.786 21.591 21.398

10.0 10.5 11.0 11.5 12.0

1.435 1.452 1.469 1.486 1.503

44.177 43.523 42.894 42.287 41.701

27.5 28.0 28.5 29.0 29.5

2.041 2.059 2.078 2.096 2.115

29.340 29.052 28.769 28.491 28.216

45.0 45.5 46.0 46.5 47.0

2.764 2.788 2.812 2.836 2.861

21.207 21.017 20.830 20.644 20.459

12.5 13.0 13.5 14.0 14.5

1.520 1.537 1.554 1.571 1.588

41.134 40.585 40.053 39.537 39.035

30.0 30.5 31.0 31.5 32.0

2.134 2.153 2.172 2.191 2.210

27.945 27.678 27.415 27.155 26.899

47.5 48.0 48.5 49.0 49.5

2.886 2.910 2.936 2.961 2.987

20.277 20.096 19.916 19.738 19.561

15.0 15.5 16.0 16.5 17.0

1.605 1.622 1.639 1.655 1.672

38.547 38.073 37.611 37.160 36.721

32.5 33.0 33.5 34.0 34.5

2.230 2.249 2.269 2.289 2.309

26.646 26.397 26.151 25.908 25.668

50.0 50.5 51.0 51.5 52.0

3.013 3.039 3.065 3.092 3.119

19.386 19.213 19.041 18.870 18.701

III - (1) Fonction de Prandlt-Meyer ν(M ), nombre de Mach M et angle de Mach µ

100

CHAPITRE 6. ANNEXE ν(deg) M µ(deg) 87.5 6.390 9.003 88.0 6.472 8.888 88.5 6.556 8.774 89.0 6.642 8.660 89.5 6.729 8.546

ν(deg) 52.5 53.0 53.5 54.0 54.5

M 3.146 3.174 3.202 3.230 3.258

µ(deg) 18.532 18.366 18.200 18.036 17.873

ν(deg) 70.0 70.5 71.0 71.5 72.0

M 4.339 4.382 4.426 4.470 4.515

µ(deg) 13.325 13.191 13.059 12.927 12.795

55.0 55.5 56.0 56.5 57.0

3.287 3.316 3.346 3.375 3.406

17.711 17.551 17.391 17.233 17.076

72.5 73.0 73.5 74.0 74.5

4.561 4.608 4.655 4.703 4.752

12.665 12.535 12.406 12.277 12.149

90.0 90.5 91.0 91.5 92.0

6.819 6.911 7.005 7.102 7.201

8.433 8.320 8.207 8.095 7.983

57.5 58.0 58.5 59.0 59.5

3.436 3.467 3.498 3.530 3.562

16.920 16.765 16.611 16.458 16.306

75.0 75.5 76.0 76.5 77.0

4.801 4.852 4.903 4.955 5.009

12.021 11.894 11.768 11.642 11.517

92.5 93.0 93.5 94.0 94.5

7.302 7.406 7.513 7.623 7.735

7.871 7.760 7.649 7.538 7.428

60.0 60.5 61.0 61.5 62.0

3.594 3.627 3.660 3.694 3.728

16.155 16.005 15.856 15.708 15.561

77.5 78.0 78.5 79.0 79.5

5.063 5.118 5.174 5.231 5.289

11.392 11.268 11.145 11.022 10.899

95.0 95.5 96.0 96.5 97.0

7.851 7.970 8.092 8.218 8.347

7.318 7.208 7.099 6.989 6.881

62.5 63.0 63.5 64.0 64.5

3.762 3.797 3.832 3.868 3.904

15.415 15.270 15.126 14.983 14.840

80.0 80.5 81.0 81.5 82.0

5.348 5.408 5.470 5.532 5.596

10.777 10.656 10.535 10.414 10.294

97.5 98.0 98.5 99.0 99.5

8.480 8.618 8.759 8.905 9.055

6.772 6.664 6.556 6.448 6.340

65.0 65.5 66.0 66.5 67.0

3.941 3.979 4.016 4.055 4.094

14.698 14.557 14.417 14.278 14.140

82.5 83.0 83.5 84.0 84.5

5.661 5.727 5.795 5.864 5.935

10.175 10.056 9.937 9.819 9.701

100.0 100.5 101.0 101.5 102.0

9.210 9.371 9.536 9.708 9.885

6.233 6.126 6.019 5.913 5.806

67.5 68.0 68.5 69.0 69.5

4.133 4.173 4.214 4.255 4.297

14.002 13.865 13.729 13.593 13.459

85.0 85.5 86.0 86.5 87.0

6.006 6.080 6.155 6.232 6.310

9.584 9.467 9.350 9.234 9.119

III - (2) Fonction de Prandlt-Meyer ν(M ), nombre de Mach M et angle de Mach µ

101 M 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.40

p/p0 0.999930 0.999720 0.999370 0.998881 0.998252 0.997484 0.996577 0.995533 0.994350 0.993032 0.991576 0.989985 0.988260 0.986400 0.984408 0.982284 0.980030 0.977647 0.975135 0.972497 0.969733 0.966845 0.963835 0.960703 0.957453 0.954085 0.950600 0.947002 0.943291 0.939470 0.935540 0.931503 0.927361 0.923117 0.918773 0.914329 0.909790 0.905156 0.900430 0.895615

A/A∗ 57.873840 28.942123 19.300543 14.481482 11.591443 9.665911 8.291526 7.261608 6.461342 5.821829 5.299228 4.864317 4.496858 4.182399 3.910343 3.672738 3.463508 3.277926 3.112258 2.963520 2.829294 2.707602 2.596811 2.495563 2.402710 2.317287 2.238470 2.165553 2.097927 2.035065 1.976507 1.921851 1.870745 1.822876 1.777969 1.735778 1.696086 1.658696 1.623433 1.590140

M 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.50 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.70 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 0.80

p/p0 0.890711 0.885722 0.880651 0.875498 0.870267 0.864960 0.859580 0.854128 0.848607 0.843019 0.837367 0.831654 0.825881 0.820050 0.814165 0.808228 0.802241 0.796206 0.790127 0.784004 0.777841 0.771640 0.765402 0.759131 0.752829 0.746498 0.740140 0.733758 0.727353 0.720928 0.714485 0.708025 0.701552 0.695068 0.688573 0.682070 0.675562 0.669050 0.662536 0.656022

A/A∗ 1.558673 1.528905 1.500718 1.474005 1.448672 1.424629 1.401795 1.380097 1.359468 1.339843 1.321168 1.303388 1.286454 1.270321 1.254948 1.240295 1.226326 1.213007 1.200308 1.188200 1.176654 1.165645 1.155151 1.145148 1.135616 1.126535 1.117887 1.109654 1.101822 1.094373 1.087293 1.080571 1.074192 1.068144 1.062417 1.056999 1.051881 1.047053 1.042505 1.038230

IV - (1) Ecoulement isentropique avec changement de section (γ = 1.4)

102

CHAPITRE 6. ANNEXE M 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 0.90 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20

p/p0 0.649509 0.643000 0.636496 0.630000 0.623512 0.617034 0.610569 0.604117 0.597680 0.591260 0.584858 0.578476 0.572114 0.565775 0.559460 0.553170 0.546905 0.540668 0.534460 0.528282 0.522134 0.516018 0.509935 0.503886 0.497872 0.491894 0.485952 0.480047 0.474181 0.468354 0.462567 0.456820 0.451115 0.445451 0.439829 0.434251 0.428716 0.423225 0.417779 0.412377

A/A∗ 1.034219 1.030464 1.026959 1.023696 1.020669 1.017871 1.015297 1.012941 1.010798 1.008863 1.007131 1.005597 1.004257 1.003108 1.002145 1.001364 1.000763 1.000337 1.000084 1.000000 1.000083 1.000330 1.000738 1.001305 1.002029 1.002907 1.003938 1.005119 1.006449 1.007925 1.009547 1.011312 1.013219 1.015267 1.017454 1.019779 1.022242 1.024840 1.027573 1.030439

M 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 1.50 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1.60

p/p0 0.407021 0.401711 0.396446 0.391229 0.386058 0.380934 0.375857 0.370828 0.365847 0.360914 0.356029 0.351192 0.346403 0.341663 0.336971 0.332328 0.327733 0.323187 0.318690 0.314241 0.309840 0.305488 0.301185 0.296929 0.292722 0.288563 0.284452 0.280388 0.276372 0.272403 0.268481 0.264607 0.260779 0.256997 0.253262 0.249573 0.245930 0.242332 0.238779 0.235271

A/A∗ 1.033439 1.036572 1.039835 1.043229 1.046753 1.050406 1.054189 1.058100 1.062138 1.066304 1.070598 1.075018 1.079565 1.084238 1.089038 1.093964 1.099015 1.104193 1.109496 1.114926 1.120481 1.126162 1.131969 1.137903 1.143963 1.150149 1.156463 1.162903 1.169471 1.176167 1.182991 1.189943 1.197023 1.204234 1.211574 1.219044 1.226644 1.234376 1.242239 1.250235

IV - (2) Ecoulement isentropique avec changement de section (γ = 1.4)

103 M 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67 1.68 1.69 1.70 1.71 1.72 1.73 1.74 1.75 1.76 1.77 1.78 1.79 1.80 1.81 1.82 1.83 1.84 1.85 1.86 1.87 1.88 1.89 1.90 1.91 1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 2.00

p/p0 0.231808 0.228389 0.225014 0.221683 0.218395 0.215150 0.211948 0.208788 0.205670 0.202593 0.199559 0.196564 0.193611 0.190697 0.187824 0.184990 0.182195 0.179438 0.176720 0.174040 0.171398 0.168792 0.166224 0.163691 0.161195 0.158734 0.156309 0.153918 0.151562 0.149240 0.146951 0.144696 0.142473 0.140283 0.138126 0.135999 0.133905 0.131841 0.129808 0.127805

A/A∗ 1.258364 1.266625 1.275021 1.283553 1.292219 1.301021 1.309960 1.319037 1.328252 1.337606 1.347100 1.356735 1.366512 1.376430 1.386492 1.396698 1.407049 1.417546 1.428190 1.438982 1.449923 1.461013 1.472254 1.483648 1.495194 1.506894 1.518749 1.530761 1.542929 1.555256 1.567744 1.580390 1.593200 1.606172 1.619309 1.632611 1.646080 1.659717 1.673523 1.687500

M 2.02 2.04 2.06 2.08 2.10 2.12 2.14 2.16 2.18 2.20 2.22 2.24 2.26 2.28 2.30 2.32 2.34 2.36 2.38 2.40 2.42 2.44 2.46 2.48 2.50 2.52 2.54 2.56 2.58 2.60 2.62 2.64 2.66 2.68 2.70 2.72 2.74 2.76 2.78 2.80

p/p0 0.123888 0.120087 0.116399 0.112823 0.109353 0.105988 0.102726 0.099562 0.096495 0.093522 0.090640 0.087846 0.085139 0.082515 0.079973 0.077509 0.075122 0.072810 0.070570 0.068399 0.066297 0.064261 0.062288 0.060378 0.058528 0.056736 0.055000 0.053319 0.051692 0.050115 0.048589 0.047110 0.045679 0.044292 0.042950 0.041650 0.040391 0.039172 0.037992 0.036848

A/A∗ 1.715971 1.745139 1.775016 1.805614 1.836943 1.869015 1.901843 1.935437 1.969810 2.004974 2.040944 2.077731 2.115348 2.153811 2.193130 2.233323 2.274402 2.316380 2.359275 2.403100 2.447870 2.493602 2.540309 2.588010 2.636719 2.686453 2.737228 2.789063 2.841972 2.895975 2.951088 3.007330 3.064719 3.123274 3.183011 3.243952 3.306113 3.369515 3.434179 3.500123

IV - (3) Ecoulement isentropique avec changement de section (γ = 1.4)

104

CHAPITRE 6. ANNEXE M 2.82 2.84 2.86 2.88 2.90 2.92 2.94 2.96 2.98 3.00 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90 4.00 4.10 4.20 4.30 4.40 4.50 4.60 4.70 4.80 4.90 5.00 5.10 5.20 5.30 5.40 5.50 5.60 5.70 5.80 5.90 6.00

p/p0 0.035741 0.034669 0.033631 0.032625 0.031651 0.030708 0.029795 0.028910 0.028054 0.027224 0.023449 0.020228 0.017477 0.015125 0.013111 0.011385 0.009903 0.008629 0.007532 0.006586 0.005769 0.005062 0.004449 0.003918 0.003455 0.003053 0.002701 0.002394 0.002126 0.001890 0.001683 0.001501 0.001341 0.001200 0.001075 0.000964 0.000866 0.000779 0.000702 0.000633

A/A∗ 3.567368 3.635934 3.705841 3.777113 3.849770 3.923830 3.999319 4.076255 4.154664 4.234569 4.657311 5.120959 5.628648 6.183700 6.789621 7.450110 8.169066 8.950586 9.798974 10.718751 11.714651 12.791640 13.954907 15.209865 16.562197 18.017792 19.582827 21.263721 23.067127 25.000004 27.069584 29.283327 31.649059 34.174816 36.868961 39.740196 42.797436 46.050018 49.507496 53.179802

IV - (4) Ecoulement isentropique avec changement de section (γ = 1.4)