Acoustique Le Mans Potel & Bruneau [PDF]

Zitiervorschau

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0

k"L

k"3L = ± k 12 − k 2L

k 3L = i k"3L

ω

ˆ e k" 3 L x 3 e −i (k 1 x −ω t ) ˆ =A ψ L

→

→

θ Ttr

T

k1

1/VL

k'L x1

>

k 12 + k 32L = k 2L ⇒ k 32L = k 2L − k 12 < 0

x1

2

T

ω

k ω

Relation de dispersion :

1

L

θ Ltr

T

→

→

vecteur lenteur : m =

x3

→

critère de rayonnement à l'infini

k"L

x3

x3

Coefficients de réflexion et de transmission en amplitude de déplacement

1 Veau

θc1 θ

réf

eau

θ 2QL

QL QT1

QT2 QL

QT1

θ2

QT1

QT 2

θ2

QT2 QT1

θ2

QT θ2 2

2ème angle critique θc2

3ème angle critique

θréf

θc3

phase (degré)

carbone-époxyde

1.2

5

1 0.8

4

2ème angle critique

0.6

1er angle critique

0.4

1 0 180

angle de Rayleigh

90 0 -90

QL

QT2

QL

10 20 30 40 50 60 70 80 90 L angle d'incidence (degré)

QT1

ρ = 1000 kg/m3

QT 2

θ2

C. Potel, Université du Maine

L

90

TV

0

L

-90 -180

0

QT2

TV

2

0 180

Eau QT1

3

0.2

-180

θréf

module

θinc θréf

module

1er angle critique

phase (degré)

Milieux anisotropes : angles critiques - ondes évanescentes

VL = 1480 m/s

0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 angle d'incidence (degré)

L

Aluminium

eau L

alu TV

ρ = 2786 kg/m3 VL = 6650 m/s VT = 3447 m/s

17

Exemple (Tzz/µ) : f(X) = cos(kX), ka = 4, θ Vg = 4800 m/s

figures extraites de : J.L. Rose, "Ultrasonic waves in solid media",Cambridge Univ. Press, 1999

34

Montage en transmission ou en réflexion

Détection de défaut par ondes de Lamb (1/6) -3

2.5

x 10

2

8 plis

(1)

1.5 1

(2)

3 plis

8 plis

(4)

(3)

(1)

V

0.5 0

5 plis

-0.5 -1 -1.5

plaques en carbone/époxyde : défaut entre le 3ème et le 4ème pli

90

90

80

80

70

70 Incidence (°)

60 50 40 30

1.0 2.0 3.0 Fréque nce (MHz)

4.0

10

(3)

1.0 2.0 3.0 Fréquence (MHz)

4.0

0.0

1.0 2.0 3.0 Fréquence (MHz)

Montage en échographie défaut

4.0 3

5 plis 135°/135°/90°/45°/0°

Conversion du mode (1) en (2) et (3) puis (4)

(2) (1)

θ

0 0.0

3 plis 0°/45°/90°

(1)

8 plis

10

défaut

8 plis [0°/45°/90°/135°]2s 8 plis

30

3 plis (4)

5 plis

Défaut entre le 3ème et le 4ème pli

C. Potel, Université du Maine

Si mode (2) ou mode (3) proches du mode (1) alors mode (4) ≈ mode (1) défaut non détecté Si mode (2) ou mode (3) différents du mode (1) alors mode (4) ≠ mode (1) défaut détecté

2

amplitudes (mV)

0.0

40 20

0

8

Transducteur récepteur

Transducteur émetteur

50

10

6

Détection de défaut par ondes de Lamb (3/6) : cartographie en ondes de Lamb

60

20

4

{0°/45°/90°/135°}0° en carbone/époxyde, comportant 8 plis en symétrie miroir. Incidence de 10,3°, fréquence de 2 MHz. bleu : plaque saine rouge : plaque avec défaut

Détection de défaut par ondes de Lamb (2/6)

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

2

10e-6 s

propagation de l'onde perturbée

Incidence (°)

Incide nce (°)

défaut

0

1 0

4

3

-1

1 -2

2 -3 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

temps (µs)

1 :écho de surface 2 : rayonnement de l’onde de Lamb 3 : écho du défaut 4 : écho du bord de la plaque

0°/90° miroir comportant 8 plis f=1 MHz, θ=10°

35

Détection de défaut par ondes de Lamb (4/6)

3

amplitudes (mV)

2

5 couches 0°/90° miroir SCS-6 matrice Ti - 6 Al - 4 V

1

1.97 mm

Carbone-Epoxyde [0°/90°]2s, θ = 10°, f = 1 MHz

4

T. Kundu et al., Ultrasonics, 1996 et 1997

0 -1

L-Scan

-2

0.394 mm

5

Détection de défaut (5/6) : cartographie en ondes de Lamb

fibres manquantes de la 4ème couche

-3

couche 1 : 0° pas de défaut couche 2 : 90° décollement couche 3 : 0° fibres cassées couche 4 : 90° fibres manquantes couche 1 : 0° pas de défaut fibres manquantes de la 4ème couche

-4 -5 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

bleu : plaque sans défaut

100

fibres cassées de la 3ème couche

temps (µs)

rouge : plaque avec défaut

θ = 20° ; f = 5.05 MHz

décollement dans la 2ème couche

θ = 21° ; f = 5.15 MHz

Détection de défaut (6/6) : cartographie en ondes de Lamb fibres manquantes de la 4ème couche

fibres cassées de la 3ème couche

θ = 20° ; f = 5.05 MHz 1

2

3

4

5

fibres manquantes de la 4ème couche

décollement dans la 2ème couche

θ = 21° ; f = 5.15 MHz 1

2

3

4

5

répartition de la contrainte normale en fonction de l'épaisseur C. Potel, Université du Maine

36

Condition d'existence d'une onde de surface VI. LES ONDES MODALES : CAS PARTICULIER DES ONDES DE RAYLEIGH 1

3 4

Obtention des ondes de Rayleigh en milieu isotrope a) Rappels b) Existence de l'onde de surface c) Vecteur déplacements-contraintes d) Conditions aux frontières : méthodes géométrique et analytique Onde de Rayleigh "généralisée" Généralisation aux milieux stratifiés

z Peut-il exister des ondes se propageant le long d'une interface, sans apport permanent d'énergie (onde modale) ? z Fluide 1/Fluide 2

z Fluide 2/Miroir B1

F1 F2

Vide

Non : l'énergie part sans apport d'énergie

Vide

Tzz = -p = 0

F

S

x ˆ A L

S

AT

AL

Oui : ondes évanescentes ==> énergie véhiculée le long de l'interface.

2

⎛kL⎞ ⎟ = µ ; kx > kT > kL ;⎜ ⎜kT ⎟ λ + 2µ ⎠ ⎝

k z T = k T2 − k 2x = −i k"z T avec k"z T = k 2x − k T2 > 0

z ⎧uˆ x ⎪ ⎪uˆ z ⎪ ⎨ˆ ⎪T x z ⎪ˆ ⎪T z z ⎩

ω ω ; kL = VL VL

k z L = k 2L − k 2x = −i k"z L avec k"z L = k 2x − k 2L > 0

ˆ A T

⎫ ⎡ kx kL ⎪ ⎢ ⎪ ⎢ k zL kL ⎪ ⎢ ⎬= ⎪ ⎢− 2 i µ k x k z L k L ⎪ ⎢ 2 2 ⎪ ⎢⎣ i µ 2 k x − k T k L ⎭

⎤ ⎥ ⎥ kx kT ⎥ 2 2 − i µ 2 k x − k T kT ⎥ ⎥ − 2 i µ k x k z T kT ⎥ ⎦

−ik z L z ⎧ˆ ⎪A L e ⎨ −ik zT z ˆ e ⎪A T ⎩

⎫ ⎪ au facteur ⎬ exp[-i (k x - ωt) ] près x ⎪ ⎭

⎡ kx kL ⎢ ⎢ − i k"z k L L =⎢ ⎢ − 2 µ k x k"z k L L ⎢ ⎢i µ 2 k 2x − k T2 k L ⎣

⎤ ⎥ ⎥ kx kT ⎥ 2 2 − i µ 2 k x − k T kT ⎥ ⎥ − 2 µ k x k"z T k T ⎥ ⎦

− k" z L z ⎧ˆ ⎪A L e ⎨ − k" z T z ˆ e ⎪A T ⎩

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

(

(

C. Potel, Université du Maine

AL

AT

Non : AL et AT éloignent l'énergie de l'interface alors qu'il n'y a pas d'apport d'énergie

kL =

0

vide

Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University

Vide

Déplacements-contraintes en milieu isotrope vide

http://www.kettering.edu/~drussell

Oui : 1/2 onde plane qui se propage parallèlement à l'interface

z Vide/Solide

Non : p=0 imposé en z=0, donc également partout dans le fluide ==> pas d'acoustique

solide

B1

F1

A2

z Vide/Fluide

Onde de Rayleigh

B1

F1

Non : B1 et A2 éloignent l'énergie de l'interface alors qu'il n'y a pas d'apport d'énergie

z

z

)

)

−kzT kT

(

)

i k"z T k T

(

)

37

Déplacements en milieu isotrope (1/2) : OL z Vecteur déplacement, ondes longitudinales

[(

) ]

(

)

r r r ˆ uˆ L = A L k x k L e x − i k"z L k L e z e

(

ˆ exp i α A L L

uzL

e

x

z Vecteur déplacement, ondes transversales

[(

)

(

ˆ exp i α A T T

L

x

xL

L

zL

L

zL

x

L

− k" z L z i − k x x + ω t + α L

− k" z L z

L

zL

z

L

x

− k" z L z

)

u xT

x

uzT

L

2

k 2x = k 2L + k"z2 > k"z2 L L

θ=π/2 θ=0

θ=0 θ=π/2

θ=-π/2

uxL >0 ; uzL =0 uxL =0 ; uzL >0

[

(

(k"z

L

>0

(

]

zL

2

Tz T

2

k 2x = k 2L + k"z2 > k"z2 L

L

θ=-π/2

θ=0 θ=π/2

C. Potel, Université du Maine

)

Tx L < 0 ; Tz L = 0 Tx L = 0 ; Tz L < 0

)

u xT = 0 ; u zT > 0 u xL < 0 ; uzT = 0

(k"z

T

>0

)

θ=-π/2

θ=π

xT

zT

((

T

L

>0

)

) ) ( [( ( ˆ [µ (2 k − k ) k ] e = Re (Tˆ ) = A ˆ (2 µ k k" = Re (Tˆ ) = − A k )e

k 2x = k T2 + k"z2 > k"z2

(k"z

) ]

) ) (

) ] sin (− k cos(− k

T

T

2 x

x

2 T

T

zT

T

− k" z T z

− k" z T z

) x x + ωt + α T ) x x + ωt + α T

2

⎞ ⎞ ⎛ ⎛ Tx T Tz T ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ + ⎟ =1 ⎟ ⎜ ⎜ k " z − − k " z zT zT ˆ µ 2k 2 − k 2 k e ˆ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜A A 2 k k " k e µ x zT T T x T ⎠ ⎝ T ⎝ T ⎠

θ = −k x x + ω t + α L

θ=π θ=0 θ=π/2

θ=0

2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Tx L Tz L ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =1 + ⎜ ⎜ − k" z L z ⎟ − k" z L z ⎟ 2 2 ˆ 2 µ k k" ˆ µ 2k − k ⎜A ⎟ ⎟ ⎜ k e A k e L x x zL L T ⎠ ⎝ L ⎠ ⎝ L

(

T

2

rˆ − k"z T z i (− k x x + ω t + α T ) r r 2 2 ˆ TT = A e T − i µ 2 k x − k T k T e x − 2 µ k x k"z T k T e z e Tx T

zL

)

T

x

(

[( (

L

(

T

x

− k" z T z

rˆ − k"z T z i (− k x x + ω t ) r r 2 2 ˆ TT = A e T − i µ 2 k x − k T k T e x − 2 µ k x k"z T k T e z e

) − k" z cos(− k x x + ω t + α L ) ( ) ( − k" z ˆ [µ (2 k 2 − k 2 ) k ]e = Re (Tˆ z ) = − A sin (− k x x + ω t + α L ) L L x T

ˆ 2 µ k k" T x L = Re Tˆ x L = − A L x z L kL e

x

− k" z T z

T

)

(

)

T

zT

− k" z T z i − k x x + ω t + α T

z

z Vecteur contraintes, ondes transversales

rˆ − k"z L z i (− k x x + ω t + α L ) r r 2 2 ˆ TL = A e L − 2 µ k x k"z L k L e x + i µ 2 k x − k T k L e z e

Tz L

zT

ˆ exp i α A T T

(

T

T

Contraintes en milieu isotrope (2/2) : OT

)

[

x

θ=π/2

rˆ − k"z L z i (− k x x + ω t ) r r 2 2 ˆ TL = A e L − 2 µ k x k"z L k L e x + i µ 2 k x − k T k L e y e ˆ exp i α A L L

x

xT

)

]

)

T

θ=0

Contraintes en milieu isotrope (1/2) : OL z Vecteur contraintes, ondes longitudinales

zT

(

θ = −k x x + ω t + α L

θ=π

)

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ u xT uzT ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =1 + ⎜ ⎟ ⎜ − k" z T z − k" z T z ⎟ ˆ k" ˆ ⎜A ⎟ ⎜A ⎟ k e k k e T x T T z T T ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ θ=π/2 2 2 2 2 k x = k T + k"z > k"z θ = −k x x + ω t + α T T T

)

(

]

2

⎞ ⎞ ⎛ ⎛ uxL uzL ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ + =1 ⎜ ⎟ ⎜ − k" z L z − k" z L z ⎟ ˆ ˆ ⎟ ⎟ ⎜A ⎜A k x kL e k"z L k L e L L ⎠ ⎝ ⎝ ⎠

)

)

( ) [(i k" k )er + (k k ) er ] e e ˆ (k" = Re (uˆ ) = − A k )e sin (− k x + ω t + α ) ˆ (k k )e = Re (uˆ ) = A cos(− k x + ω t + α )

r ˆ uˆ T = A T

L

2

(

) (

− k"z T z i (− k x x + ω t ) r r r ˆ uˆ T = A e T i k"z T k T e x + k x k T e z e

)

( [(k k )er − (i k" k ) er ] e e ˆ (k k ) e = Re (uˆ ) = A cos(− k x + ω t + α ) ˆ (k" = Re (uˆ ) = A k )e sin (− k x + ω t + α )

r ˆ uˆ L = A L uxL

(

− k" z L z i − k x x + ω t

Déplacements en milieu isotrope (2/2) : OT

)

T

) )

θ=π

θ=-π/2

θ = −k x x + ω t + α T

θ=π/2 θ=0

)

(

θ=0 θ=π/2

Tx T = 0 ; Tz T < 0

Tx L > 0 ; Tz T = 0

(k"z

T

>0

)

38

Conditions aux frontières : raisonnement géométrique z Ellipses décrites par les particules

z Conditions aux frontières r r r r T = T L + TT = 0

x 0

z Ellipticité longitudinale : EL = bL/aL

( )

r

) ]

2 2 ˆ T z L = Re Tˆ z L = − A L µ 2 k x − k T kL e

r

Solide

z

− k" z L z

aL

[(

( )

TT

Vide 0

)

(

ˆ 2 µ k k" T x L = Re Tˆ x L = − A L x z L kL e

sur la surface

OT

OL

Vitesse de Rayleigh par raisonnement géométrique (1/2)

− k" z L z

(

EL =

z z Ellipticité transversale : ET = bT/aT

Les ellipses décrites par les vecteurs déplacement L et T ont des grands axes de même orientation.

- en module pour que ces ellipses deviennent égales

EL =

ET =

aL bT aT

=

=

2 k x k"z L 2 k x k"z T 2 k 2x

− k T2

=

=

k"z L =

2 2 V L 2 VT − Vϕ

2 V T2

V L2 − V ϕ2

avec

2 V T2

0.2 0 1500

2000

2500

3000

>0

) − k"

zT

z

3500

VR

4000

4500

Vϕ

aL

=

2 k 2x − k T2 2 k x k"z L

(

cos − k x x + ω t + α T − π 2

(

sin − k x x + ω t + α T − π 2 ET =

bT aT

=

)

)

2 k x k"z T 2 k 2x − k T2

ˆ A L

z

Tˆ x z (x , z = 0; t ) = 0 , ∀ x , z = 0 , ∀ t

x

0

k"z T = k 2x − k T2 > 0

La vitesse de l'onde de Rayleigh VR, est, comme attendu, indépendante de la fréquence, puisqu'aucune longueur de référence n'est présente dans le problème

EL

0.4

1000

− k 2L

Tˆ z z (x, z = 0; t ) = 0 , ∀ x , z = 0 , ∀ t

ˆ A T

système homogène d’ordre 2 − 2 µ k x k"z L k L

0.6

500

k 2x

k T = ω VT k L = ω V L

− V ϕ2

0.8

0

aT

bL

)

Conditions aux frontières : méthode analytique (1/2)

k x = ω Vϕ

2 V T V T2 − V ϕ2

1

-0.2

(

vide

ET

1.2

( )

− k" z T z

EL = E T

z Egalité des ellipticités 2 k 2x − k T2

) ]

bT

Vitesse de Rayleigh par raisonnement géométrique (2/2) bL

[(

ˆ T z T = Re Tˆ z T = A T 2 µ k x k"z T k T e

- en phase pour que les deux vecteurs contraintes soient opposés (et le demeurent au cours du temps). Il faut même ellipiticité :

( )

2 2 ˆ T x T = Re Tˆ x T = A T µ 2 k x − k T kT e

Pour répondre aux conditions aux frontières, il suffit d'ajuster AL et AT

)

sin − k x x + ω t + α L

bL

x

TL

(

cos − k x x + ω t + α L

− iµ

)

(

i µ 2 k 2x − k T2 k L

( 2k

2 x

− k T2

(

2 k 2x

déterminant (2 × 2) = 0

)

− k T2 k T

− 2 µ k x k"z T k T

)

2

4

− 4 k 2x k"z L k"z T = 0

2 2 ⎡ ⎡ ⎛ ⎛ ⎞ ⎤ ⎞ ⎤ ⎢ 2 − ⎜ V ϕ ⎟ ⎥ = 16 ⎢ 1 − ⎜ V ϕ ⎟ ⎥ ou encore ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎜ VT ⎟ ⎥ ⎝ V T ⎠ ⎦⎥ ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎣⎢ ⎝

avec

Vϕ = k x ω

=0

⎡ ⎛ V ⎞ 2⎤ ⎢1− ⎜ ϕ ⎟ ⎥ ⎢ ⎜ VL ⎟ ⎥ ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎝

Equation de Rayleigh

-0.4

VL = 5000 m/s ; VT = 3000 m/s C. Potel, Université du Maine

La solution Vϕ = VR (ou kx) de cette équation permet d'obtenir la vitesse de l'onde de Rayleigh

39

Conditions aux frontières : méthode analytique (2/2) z Formule approchée

Retour sur les déplacements : raisonnement géométrique z Ellipses décrites par les particules

ν=

Coefficient de Poisson :

c 12 c 11 + c 1 2

V R ≈ VT

si 0 < ν < 0.5 :

=

V L2 − 2 V T2

(

2 V L2 − V T2

)

0

0.87 + 1.13 ν 1+ ν

VT (m/s)

VR (m/s)

Acier

5970

3100

2883

Nickel

6040

3040

2827

Solide rigide

Condition aux frontières :

Aluminium

6380

3100

2900

Solide élastique

r r r r u = u L + u T = 0 sur la surface

Cuivre

4700

2260

2114

z Faisceau borné

Ces deux ellipses ne pourront jamais être identiques pour que les deux r r vecteurs u L et u T soient opposés (et le demeurent au cours du temps).

pas d'onde de surface possible

k0a = 60, kLa = 15, kTa=30, θ = θRayleigh

interférences destructives

θ=θR

onde de traîne ("leaky wave")

Fluide

module |R|

réflexion non spéculaire

x S ˆ A L

réflexion nulle

ˆ A T interférences destructives

1.2

phase (degré)

réflexion spéculaire

F

Solide

0.6 0.4

Les ellipses décrites par les vecteurs déplacement L et T ont des grands axes d'orientations différentes.

VL (m/s)

z Ondes planes

1 0.8

x

z

Onde de Rayleigh "généralisée"

z

OT

OL

2ème angle critique 1er angle critique

0.2 0 180 90

angle de Rayleigh

0 -90 -180 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90

angle d'incidence (degré)

C. Potel, Université du Maine

ρ 0 ρ 1 = 0,1

ρ 0 ρ 1 = 0,1

Programmes réalisés par Ph. Gatignol, Pr., Université de Technologie de Compiègne

40

k0a = 80, kLa = 15, kTa=30, θ = θRayleigh

Onde de Rayleigh : généralisation (1/3) z Milieux anisotropes La vitesse des ondes de Rayleigh ne dépend toujours pas de la fréquence, mais dépend de l'orientation du matériau c.à.d. pas de dispersion fréquentielle, mais dispersion angulaire vide y

0.80

x

0.60

µs/mm

0.40 0.20

Ox

0.00 -0.20

carbone/époxyde axe A6 // Ox

z

-0.40 -0.60 -0.80

ρ 0 ρ 1 = 0,02

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

Courbe des lenteurs de Oy Rayleigh (µs/mm)

Programmes réalisés par Ph. Gatignol, Pr., Université de Technologie de Compiègne

Onde de Rayleigh : généralisation (2/3)

0.60

0.80

µs/mm

Onde de Rayleigh : généralisation (3/3)

z Milieux multicouches anisotropes

vide

La vitesse des ondes de Rayleigh dépend de la fréquence (présence d'une échelle de longueur) et de l'orientation du matériau

vide x1

p=1

x1

p=1

p=2

p=2

c.à.d. dispersion fréquentielle ET angulaire

(1) (3)

vide

y

x3

x

x

f = 2.5 MHz

y

0°/45°/90°/135°

Courbe des lenteurs de Rayleigh (µs/mm) C. Potel, Université du Maine

milieu stratifié z

Š Ondes de Floquet

(2)

x3

9 modes de propagation du milieu multicouche périodique infini 9 solutions indépendantes liées aux valeurs propres et vecteurs propres de la matrice τ de transfert d'une période

Š Onde de Rayleigh multicouche 9 Onde modale de surface 9 Combinaison linéaire de 3 ondes de Floquet inhomogènes (en milieu multicouche anisotrope) 9 Onde dispersive

41

CND par ultrasons VII. INTRODUCTION AU CND PAR ULTRASONS 1

3 4

Introduction a) Les transducteurs b) Les différents types d'échographie Les transducteurs "conformables" Mesure de vitesses ultrasonores - Les précautions de réglage

BIBLIOGRAPHIE

défaut

λ=

Plus le défaut est petit, plus la fréquence doit être grande

V f

Différents types de transducteurs CONTRÔLE NON DESTRUCTIF

z Transducteurs

z Transducters à immersion focalisés

Présence ou non de défauts

http://www.ndt-ed.org 0.20 0.15

z Transducteurs d'angle Compréhension des phénomènes de propagation

0.10 0.05 0.00 -0.05

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

4.0

5.0

6.0

-0.10

Détermination des propriétés élastiques (ou viscoélastiques)

-0.15 µs 1.00 0.80

EVALUATION NON DESTRUCTIVE

0.60 0.40 0.20 0.00

C. Potel, Université du Maine

0.0

1.0

2.0

3.0 MHz

42

Transducteur ultrasonore d'angle

Champ ultrasonore généré par un transducteur ultrasonore plan lobes secondaire lobe principal

z

matériau absorbant

l0 =

y

élément sensible coin

p(0,z)

connexion boîtier masse arrière (backing) élément actif : lame piézoélectrique lame de protection

∆t=

dernier maximum

z=l0

A0 2

≈

l0

1 z

φ

z

ζ

y

Echographie A - Echographie B

z Echographie ultrasonore

Echographie A (A-Scan) transducteur

Z2 > Z1 t

e

c défaut

Echographie B (B-Scan) : correspond à une coupe du matériau

e d

trajet du transducteur

c

balayage

écho de face avant ou d'interface écho de fond

écho de défaut

t≡b t

2e

t

b

inversion de phase

V ∆t

C. Potel, Université du Maine

à z fixé y

p(y,l0)

A0

Principes du CND par ultrasons

Transforme un signal électrique en une vibration mécanique et inversement

champ lointain

faisceau ultrasonore

z Transducteur

λ sin γ = 1,22 D

a

temps

T

p(y,z)

γ

D 4λ

champ proche

L L

2

a

43

Echographie C (C-Scan)

Echographie C sur pièce de monnaie

Echographie C : correspond à une représentation d’une tranche de matériau trajet du transducteur

fenêtre temporelle ≡ épaisseur h

couleur

a

h c c

a

Echographie C sur poutre impactée

Modèle hybride Défauts de différents types pris en compte – Exemple (Bscan simulé) balayage

1

Écho d’entrée

Impact sur une poutre pultrudée

Interface glissante

3

Délaminage Délaminage, double réflexion

temps

Z IMPACT

5 Y

7 9

MAT 0.7mm 3 mm ROVING 0.6 mm MAT 3 mm ROVING 0.7mm MAT

X 1 3

Écho de fond Trou Inclusion

Comparaison simulation / expérience

11

50 mm

11 200 mm

CEA courtesy

C. Potel, Université du Maine

DETECS / Service simulation et systèmes pour la Surveillance et le Contrôle

44

Echographie B avec transducteur multi-éléments

Précautions de réglage (1/2) z

T.C.I.

Multiples réflexions dans une pièce

Profil mesuré

impulsion

décroissance exponentielle

h

Multiples réflexions dans la colonne d'eau impulsion

décroissance exponentielle

h

e

Champ calculé

z

t

τ1

Traducteur multi-éléments flexible au contact (T.C.I., CEA)

Expé Expérience

z

-13 dB -60.0

40.0 60.0

0.0

τ1

τ1

τ1

τ1

Conséquences d'un mauvais réglage de la colonne d'eau écho de fond

-10 dB -60.0

Balayage (mm)

∆t ∆t ∆t

impulsion

Amplitude

Amplitude

Temps

Temps

Simulation

t

intercalage d'un écho de fond entre les échos d'interface, qui pourrait être confondu avec un écho de défaut.

t

0.0

40.0

60.0

Balayage (mm)

CEA courtesy

échos d'interface

DETECS / Service simulation et systèmes pour la Surveillance et le Contrôle

Précautions de réglage (2/2) z

Exemple de signal d'excitation

Réglage de la fréquence de récurrence impulsion

0.20 0.15

décroissance exponentielle

h

0.10

e

0.05 0.00

t -0.05

τ1

τ1

τ1

τ1

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

τr

t

C. Potel, Université du Maine

eau θinc e

ser5.dav

intercalage d'échos d'interface ou de fond de la seconde récurrence entre les échos d'interface de la première récurrence, qui pourraient être confondus avec un écho de défaut.

eau

plaque

µs

1.00

Conséquences d'un mauvais réglage de la fréquence de récurrence

τr

30.0

-0.10 -0.15

z

25.0

0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 0.0

1.0

2.0

3.0 MHz

4.0

5.0

6.0

0°/45°/90°/135° carbon-epoxy plate 45

Plaque d’aluminium plongée dans l'eau (simulation en ondes planes) 0.15

Mesures de vitesses (1/2)

0.15

θinc = 0° signal réfléchi

0.10 0.05

0.05

0.00

Transducteur ultrasonore

θinc = 10° signal réfléchi

0.10

eau

Signal de référence

0.00 0.0

5.0

10.0

∆t

-0.05

15.0

20.0

25.0

30.0

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

θinc

-0.05

-0.10

eau

Signal transmis

-0.10 µs

eau

µs

0.06

θinc

0.04

θinc

= 0°

e

= 10°

τ

0.04 0.02

signal transmis

0.02

échantillon

signal transmis

0.00 0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

30.0 -0.02

-0.02

∆t

-0.04

V=

-0.04 µs

VL =

µs

e = 10 mm ; λL = 2.8 mm ; λT = 1.4 mm 1er angle critique = 13.5° VL = 6340.4 m/s 2ème angle critique = 28° VT = 3138.9 m/s

2e ∆t

z

fluide

t AB =

A

z t AB' =

e

θtr B

fluide

B'

z τ = t AB' − t AB V cos θ

MAIS...

Trajet dans le fluide

(

)

(

AB' AB cos θ tr − θ inc e cos θ tr − θ inc = = V0 V0 V 0 cos θ tr inc V0 sin θ V0 = avec n = V= V sin θ tr n 1 tr inc sin θ = sin θ et n 1 tr cos θ = n 2 − sin 2 θ inc n

( tr − θ inc )− VV0 ⎤⎥ = V cose θ tr [cos θ tr cos θ inc + sin θ tr sin θ inc − n]

⎡ ⎣

⎦

2

⎞ ⎛ τ V0 ⎜⎜ − cos θ inc ⎟⎟ = n 2 − sin 2 θ inc ⎠ ⎝ e

C. Potel, Université du Maine

V=

V0 n

= V0

Š Longueur d'onde >> etotale difficile de séparer les différents échos

AB e = V V cos θ tr

θinc

cos θ tr ⎢

Constantes élastiques réelles

Trajet dans la pièce

plan d'onde

e

V eau τ V eau ⎛ τ V eau ⎞ ⎜ − 2 cos θ ⎟⎟ 1+ e ⎜⎝ e ⎠

Mesures de vitesses (2/2)

θinc

=

Vitesse de propagation d'une onde dans le matériau, pour une direction donnée

1+

τ V0 ⎛ τ V0 ⎞ ⎜ − 2 cos θ inc ⎟⎟ e ⎜⎝ e ⎠

)

Š Déformation des échos difficile évaluation des temps surface des lenteurs A6//x1

Š Influence de l'anisotropie

0.80

0.60

Š Problème inverse temps de vol vitesse

0.40

µs/mm

0.0

0.00

0.20

0.00

-0.20

-0.40

inverse de la vitesse (lenteur) constantes élastiques

-0.60

-0.80 -0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

µs/mm

0.40

0.60

0.80

46

Matériaux composites (2/2) : exemple des composites de type carbone-époxyde

Matériaux composites (1/2) : exemple des composites de type carbone-époxyde

θ ω

Š coefficient(s) de réflexion R

R

Š coefficient(s) de transmission T

m

x1

p=1

Š caractéristiques de toutes les ondes 1.00

p=2

0.80

|R|

0.60

p=P

0.40 0.20 N+1

x3

0°/90°

0°/45°/90°/135°

T

0.00 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

fréquence (MHz)

0°/45°/90°/135° P=5 ; θ = 10°

Plaque composite plongée dans l'eau (simulation en ondes planes) 0.12

0.08

θinc = 0° signal réfléchi

0.08 0.04

θinc = 10°

0.06 0.04

signal réfléchi

0.02 0.00

0.00 0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

-0.02

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

-0.04 -0.04 -0.08

-0.06 µs

µs

0 .1 5

0.10

θinc = 0°

0 .1 0

0.06

signal transmis

0 .0 5

θinc = 10° signal transmis

0.08

0.04 0.02 0.00

0 .0 0 0 .0

5 .0

1 0 .0

1 5 .0

2 0 .0

2 5 .0

3 0 .0

-0.02 0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

-0.04

-0 .0 5

-0.06 -0 .1 0

-0.08 µs

µs

0°/45°/90°/135° ; 5 périodes (20 plis) ; carbone/époxyde

C. Potel, Université du Maine

47

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

LE DECIBEL (1/2) dB

9 La sensibilité de l'oreille humaine dépend de la fréquence 9 La sensation auditive évolue comme le logarithme de l'intensité acoustique I de l'onde

( )

L = 10 log 10 I I s

100 80 60 40 20

avec I s = 10 −12 W.m − 2

ULTRASONS

120

INFRASONS

Chapitre 2

Limite supérieure de perception, seuil de douleur

140

Champ auditif

Zone conversationnelle Seuil de perception

0 1 Hz

20 Hz

1 kHz 2 kHz

20 kHz

fréquence

L'unité retenue pour le niveau sonore est le décibel (dB), sous multiple du bel, ainsi nommé en l'honneur du physicien Alexandre Graham Bell. Cette unité présente l'avantage de bien se calquer sur la sensibilité différentielle de l'ouïe, puisqu'un écart de 1 décibel entre deux niveaux de bruit correspond sensiblement à la plus petite différence de niveau sonore décelable par l'oreille humaine.

L'acoustique physiologique, le décibel

Alexandre Graham Bell (1847-1922, inventeur américain d'origine anglaise) http://fr.wikipedia.org/wiki/Alexandre_Graham_Bell

NIVEAUX SONORES (1/2) dB

9 La sensibilité de l'oreille humaine dépend de la fréquence 9 La sensation auditive évolue comme le logarithme de l'intensité acoustique I de l'onde

( )

L = 10 log 10 I I s

INFRASONS

120 100 80 60 40

avec I s = 10

W.m

−2

p T

r p r m s (r ) =

PE

Zone conversationnelle

0 1 Hz

(

Ptot

Champ auditif

)

20 Hz

1 kHz 2 kHz

20 kHz

fréquence

p s = ρ 0 c 0 I s = 400 ⋅10 −12 = 2 ⋅10 −5 Pa

moyennes temporelles sur une période T acoustique : r r r r r r ∀r p (r ) = 0 v ( r ) = 0 ρ (r ) = 0

[p(rr ; t )] 2

avec

[p(rr ; t )] 2

1⌠  T →∞ T  ⌡

+T 2

[p(rr ; t )] 2 d t

= lim

−T 2

100 000 000

130

réacteur (distance : 25 m)

décollage (distance : 100 m)

120

10 000 000

110 100

orchestre pop

1 000 000

marteau-piqueur

90 80

poids lourd

100 000

trafic routier

)

3

Lres-L1 (dB) 2.5

2

1.5

1

0.5

0 -10

(

-9

-8

)

L res = L res − L 1 + L 1

LE DECIBEL Niveau de pression acoustique dB 140 seuil de la douleur

10

L2-L1 (dB) 2

[p(rr ; t )] 2 ≠ [p(rr ; t )]

temps (s)

Pression acoustique µPa

(

 I1 + I 2   = 10 log 10 10 L 1 10 + 10 L 2 L res = 10 log 10   Is   

Seuil de perception

L = 20 log 10 p r m s p s

I ∝ p 2rms

ULTRASONS

140

20

−12

NIVEAUX SONORES (2/2) z Niveau sonore résultant de deux sources décorrélées

Limite supérieure de perception, seuil de douleur

-7

-6

avec

-5

-4

-3

(

-2

L res − L 1 = 10 log 10 1 + 10

-1

(L 2 −L 1 ) 10

)

0

COURBES ISONIQUES seuil de douleur Pa

dB

200 20 2 0,2 0,02 0,002 0,0002 0,00002

140 120 100 80 60 40 20 0

70

conversation

60 10 000

40 1 000

+

= 2 X

40 dB et 40 dB =

salon

30

bibliothèque

20 100

chambre à coucher

bureau

50

10 montagne

20 bruit

0 seuil d'audibilité

=

+ 40 dB et

43 dB

140 dB

=

140 dB

seuil d'audibilité sonie : intensité subjective d'un son ; unité : le phone Exemple : Un son de 70 phones provoque la même sensation auditive qu'un son de fréquence 1000 Hz dont le niveau physique est de 70 dB

1

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

COURBES DE PONDERATION : dB(A) sons aigus et graves

STRUCTURE DE L'OREILLE marteau

lobe temporal du cerveau

enclume

canaux semi-circulaires fenêtre ovale nerf auditif

moins bien perçus

cochlée (limaçon) pavillon os temporal conduit auditif externe

tympan

trompe d'Eustache étrier

fenêtre ronde

Oreille externe Oreille moyenne Oreille interne

CHAINE DES OSSELETS

LE TYMPAN

D’après Robier

Transfert des pressions acoustiques (ondes sonores) du milieu aérien aux fluides et aux structures de l'oreille interne (cochlée)

"petit" déplacement (liquide peu compressible) force plus "élevée" et S plus petite ==> pression plus grande

enclume marteau

Transfert des pressions acoustiques (ondes sonores) du milieu aérien aux fluides et aux structures de l'oreille interne (cochlée) Les vibrations sont transmises par le tympan et la chaîne des osselets. L'étrier, plaqué sur la fenêtre ovale transfère la vibration au compartiment périlymphatique de la rampe vestibulaire et aux structures de l'oreille interne. En fonction de sa fréquence, la vibration a un effet maximal en un point différent de la membrane basilaire : c'est la tonotopie passive.

étrier platine de l'étrier pivot osselets tympan

tympan

"grand" déplacement (gaz compressible) force moins "grande" et S plus grande ==> pression plus petite

un son de fréquence grave affecte une un son de fréquence élevée affecte portion plus apicale de la cochlée une portion basale de la cochlée Texte et images extraits du site pédagogique "Promenade autour de la cochlée" (http://www.cochlee.info) par R Pujol et al., Université Montpellier 1 et INSERM http://www.iurc.montp.inserm.fr/cric51/audition/fran%E7ais/ear/fear.htm

2

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

FONCTIONNEMENT SCHEMATIQUE DU TYMPAN

oreille

COCHLEE - ORGANE DE CORTI - CELLULES CILIEES

tympan

nez

équilibre des pressions

cellules saines

http://ile-de-france.sante.gouv.fr/santenv/bruit/notions/celcil.htm http://ile-de-france.sante.gouv.fr/santenv/bruit/notions/corti.htm

LES CELLULES CILIEES

TROP DE SILENCE ? • Danger – au travail (port du casque) – dans la rue (véhicules silencieux) • Privation de l'information sonore – bruit du moteur – fonctionnement d'une machine – manque d'agrément (le bon bruit !)

cellules endommagées

AUDIOGRAMMES

normal

baisse atteint 2000 Hz

baisse à 4000 Hz

surdité importante et irréversible

NIVEAUX SONORES - GENE SONORE

Les sons audibles se situent entre 0 dB (seuil d'audition) et 140 dB . Le seuil de la douleur se situe aux alentours de 120 dB . La gêne, notion subjective, est ressentie de manière très variable d'un individu à l'autre. En conséquence, aucune échelle de niveau sonore objective, si élaborée soit-elle, ne peut donner une indication absolue de la gêne occasionnée.

• Inconfort – transports en commun (rames de TGV) – bureaux paysagés http://www.acnusa.fr/bruit_et_mesure/bruit_et_mes_echelle.asp

3

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

TRANSPORTS TERRESTRES

CARTES DE BRUIT (PARIS)

Exposition des populations au bruit : nombre de points noirs routiers

Leq ≥ 70 dB(A) entre 8 h -20 h

Nord Pas-de-Calais

Picardie

Haute Normandie

Lorraine Ile de-France

Basse Normandie Bretagne

Champagne Ardenne

Alsace

Pays-de-Loire Centre

Bourgogne

Franche Comté

Poitou Charentes Limousin

Auvergne

Rhône-Alpes

100 Aquitaine

Provence Alpes Côte d'Azur

Extrait de la Banque de données informatisée du LRPC Strasbourg (bilan 1998)

1er arrondissement

Midi-Pyrénées

Languedoc Roussillon

16ème arrondissement www.paris.fr/FR/Environnement/bruit/carto_bruit/default.ASP

PLAN DE GENE SONORE (PGS)

PLAN DE GENE SONORE (PGS)

document prévu par la loi 92-1444 du 31 décembre 1992 (Article 19) permettant de définir les zones dans lesquelles les riverains peuvent prétendre à l'aide à l'insonorisation

Roissy CDG (1999)

PLAN D'EXPOSITION AU BRUIT (PEB)

http://www.adp.fr/labo/web/surenv/bruit/index.html

PLAN D'EXPOSITION AU BRUIT (PEB)

Orly Orly document prévu par la loi 85-696 du 11 juillet 1985 qui réglemente l'urbanisme au voisinage des aéroports de façon à ne pas exposer de nouvelles populations aux nuisances de bruit. Des mesures spécifiques permettent de prendre en compte les spécificités du contexte préexistant.

principe de précaution http://www.adp.fr/labo/web/surenv/bruit/index.html

4

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

PEB - PGS : FUSION ?

EXEMPLE DE SOLUTION : LA GESTION DU TRAFIC • nombre maximum des mouvements d'avions (ORLY : 200.000 par an) • limitation des horaires (ORLY : 7 h à 23 h) • choix des couloirs aériens • optimisation des trajectoires de décollage

Un groupe de travail interministériel s’est penché sur la question du rapprochement entre les procédures relatives aux plans d’exposition au bruit et aux plans de gêne sonore. Un rapport rendu public en décembre 2007 pèse les avantages et inconvénients propres à une fusion totale des deux zonages et fait des propositions.

ou

Rapport du groupe de travail « Rapprochement des procédures PEB et PGS » - Rapport n°004577-01 - juin 2007 (format pdf - 784,9 Ko) - Auteurs : Gilles Rouques (CGPC) et Annick Helias (IGE) http://publications.ecologie.gouv.fr/publications/IMG/pdf/Rapport_GT_Rapprochement_PE B_et_PGS.pdf

Perception et acoustique des salles (1/10)

Perception et acoustique des salles (2/10)

z Les sons

z La perception 3 Localisation : comparaison par le cerveau des • intensités aux deux oreilles • temps d'arrivée

3 le bruit (gêne, fonction d'alerte) 3 la parole (intelligibilité) 3 la musique (esthétique) organisation des sons • temporelle (rythme, mélodie) • spatiale (remplir l'espace) espace perçu

3 Attributs : - visuellement - auditivement

• écoute monaurale • écoute binaurale

sonie, tonie, timbre (timbre), espace sonore ∆L d B ∆t ms

0dB 0 ms

3 spectre 3 intensité 3 durée

3 Continus : formants pour la voix 3 Transitoires : consones, attaques musicales

Perception et acoustique des salles (3/10) z L'espace sonore 3 Repérage d'une source • binaurale • pavillon • diffraction

0dB 0 ms

3 Repérage deux sources • sources cohérentes : impossible • sources incohérentes : distinctes

Perception et acoustique des salles (4/10) ∆L d B ∆t ms

z Paysage sonore : intelligibilité et bruit 3 Bruit masquant la parole • Exemple : effet pernicieux de la réverbération 3 Réverbération permettant au locuteur de s'entendre 3 Réverbération trop élevée : fatigue | h(t) |

3 Retard entre deux sources cohérentes • effet de sommation (~ 1ms) • effet d'antériorité (sonie + effet d'espace) • effet d'espace (3D) 3 Les trois effets peuvent être perçus simultanément (réflexions dans une salle) 3 grand nombre de réflexions, effets tardifs : réverbération

son direct

≈ 100 ms

premières réflexions (géométriques)

temps réverbération (statistique)

5

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Perception et acoustique des salles (5/10) z Paysages sonores, acoustique des salles (1/6) ¾ Attente de l'auditeur ¾ Attente de l'exécutant

Perception et acoustique des salles (6/10) z Paysages sonores, acoustique des salles (2/6) ¾ Les auditeurs

épanouissement, plaisir esthétique interprétation de la musique

Son ample Orchestre : 10 à 100 W (dans les faits < 110 dB) 9 bonne répartition de l'énergie sonore 9 augmenter le nombre de réflexions

L'auditeur cherche à : 9 bénéficier d'un son ample (éviter la fatigue) 9 profiter de ses deux oreilles (effet d'espace) 9 bien comprendre la musique (mais petit "flou") 9 avoir un bon réglage de la sonorité (équilibre instrumental, équilibre tonal, …)

augmenter le volume de la salle (6 à 11 m3 par auditeur)

Usage des deux oreilles 9 réflexions latérales initiales (proche de l'auditeur) améliorer la netteté

Bonne compréhension 9 réverbération limitée (compromis avec l'ampleur)

Le musicien cherche de surcroît à : 9 bien entendre ce qu'il joue 9 un bon contact avec les autres musiciens

favoriser le léger "flou"

Bon réglage de la sonorité (délicat) 9 éviter les réflecteurs frontaux (au-dessus et derrière l'orchestre), car coloration si les réflecteurs existent, les fractionner

Perception et acoustique des salles (7/10) z Paysages sonores, acoustique des salles (3/6)

Perception et acoustique des salles (8/10) z Paysages sonores, acoustique des salles (4/6) ¾ Réponse impulsionnelle

¾ Les Musiciens

p r (t ) = h (t )* p anéchoïque (t )

entendre ce qu'ils jouent 9 renvoi du son vers la scène 9 bon couplage scène/salle bon contact entre eux 9 réflecteurs au-dessus de l'orchestre

| h(t) |

¾ La salle Acoustique des salles ≡ affaire de géométrie 9 agencement des volumes 9 agencement des parois • contact auditeurs / musiciens • couplage scène / salle

Traitement acoustique absorbant n'améliore rien 9 (permet éventuellement de remédier à échos voire coloration)

Perception et acoustique des salles (9/10) z Paysages sonores, acoustique des salles (5/6) ¾ Caractérisation subjective 9 9 9 9 9 9 9

son direct

premières réflexions (géométriques)

temps réverbération (statistique)

Perception et acoustique des salles (10/10) z Paysages sonores, acoustique des salles (6/6) ¾ Caractérisation objective (exemples)

⎛ ⎜ 10 log10 ⎜ ⎜⎜ ⎝

9 amplitude sonore

clarté (précision) réverbérance (réverbération) enveloppement (effet d'espace) intimité amplitude (niveau) balance tonale (timbre) bruit de fond

9 durée de réverbération à -60 dB 9 early decay time (1ères réflexions)

¾ Questionnaire

9 timbre

⎛ ⎜ ⌠ 80 ms 10 log10 ⎜ ⎮ p 2 (t ) d t ⎜⎜ ⌡ 0 ⎝

⎡ ⎛ 5000 Hz ⎢ ⎜⌠ 10 log10 ⎢ ⎜ ⎮ M(f ) d f ⎢ ⎜⎜ ⌡ 500 Hz ⎣⎝

¾ Ecoute binaurale 9 simulation numérique 9 maquette

≈ 100 ms

⎞ ⎟ 4500 ⎟ ⎟⎟ ⎠

∞

⌠ 2 2 ⎮ p (t ) d t p ref ⎮ ⌡0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠

⎞ ∞ ⎟ ⌠ 2 ⎮ p (t ) d t ⎟ ⎟⎟ ⌡ 80 ⎠

⎛ 500 Hz ⎜⌠ ⎜⎮ M(f ) d f ⎜⎜ ⌡ 50 Hz ⎝

⎞ ⎟ 450 ⎟ ⎟⎟ ⎠

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

¾ Simulation numérique ¾ Maquette

6

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Exemple d'erreur (1/2) écran sur un mur parfaitement réfléchissant

McKinnon Theater, Kettering University, Flint, MI

Exemple d'erreur (2/2) z flutter écho

échos successifs

mur parfaitement réfléchissant

400 places http://www.kettering.edu/acad/scimath/physics/acoustics/McKinnon/McKinnon.html

McKinnon Theater, Kettering University, Flint, MI http://www.kettering.edu/acad/scimath/physics/acoustics/McKinnon/McKinnon.html Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University

7

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Transparents basés sur

C. POTEL, M. BRUNEAU, Acoustique Générale - équations différentielles et intégrales, solutions en milieux fluide et solide, applications, Ed. Ellipse collection Technosup, 352 pages, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

8

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Problème acoustique bien posé z

Les trois équations fondamentales Š Mouvement acoustique 1) inertie du système

Chapitre 3

→ div v ≠ 0 : équation Equation de conservation de la de masse propagation Š Nature du coefficient de compressibilité transformations adiabatiques, 3) loi de "comportement" relation entre p et ρ (et s) 2) élasticité du système (compressibilité)

http://www.kettering.edu/ ~drussell/Demos/demos.html

FORMULATION ANALYTIQUE DE PROBLEMES FONDAMENTAUX DE L'ACOUSTIQUE EN MILIEU FLUIDE : LES LOIS FONDAMENTALES

z

Limites du domaine Š Domaine spatial 9 conditions aux frontières 9 condition de Sommerfeld Š Domaine temporel 9 conditions initiales

z z

Paramètres et variables thermomécaniques (1/2) z Les paramètres thermodynamiques d'un fluide

µ η λ Cp, Cv γ = Cp/Cv α β χS = χT/γ

→

Tous ces paramètres dépendent du point r et du temps t Si les paramètres du fluide ne dépendent ni du point ni du temps, indice "E"

indice "0"

Variation élémentaire - Ecart instantané

Paramètres et variables thermomécaniques (2/2) 9 9 9 9 9

pression masse volumique vitesse particulaire entropie température

r p (r ; t ) r ρ (r ; t ) r r v (r ; t ) r r s (r ; t ) r τ (r ; t )

r r

déplacement particulaire ξ (r ; t )

Variations autour d'un état de référence "E" : r r p ( r ; t ) = P tot ( r ; t ) − r r ρ ( r ; t ) = ρ tot ( r ; t ) − r r r r v ( r ; t ) = v tot ( r ; t ) − r r s ( r ; t ) = S tot ( r ; t ) − r r τ ( r ; t ) = T tot ( r ; t ) −

r P E (r ; t ) r ρ E (r ; t ) r r v E (r ; t ) r S E (r ; t ) r T E (r ; t )

p

Ptot P0 ρ0 r v0

PE

S0 T0

temps (s)

fluide homogène dont les caractéristiques ne dépendent pas du temps

Hypothèses dans la suite du cours z Fluide homogène, dont les caractéristiques ne dépendent pas du temps

z Variation élémentaire d t →0

Loi de conservation de l'énergie Sources

z Les variables fondamentales (écarts instantanés)

Š Propriétés du fluide 3 masse volumique ρE 3 pression "statique" PE 3 température TE Š Nature du fluide 3 coefficient de viscosité de cisaillement 3 coefficient de viscosité de volume 3 coefficient de conduction thermique 3 capacités calorifiques massiques 3 coefficient γ du fluide 3 coefficient de dilatation isobare 3 coefficient d'augmentation de pression isochore 3 coefficients de compressibilité isotherme et adiabatique

d F = lim [F (t + d t ) − F (t )]

PFD : équation d'Euler

r r p ( r ; t ) = P tot ( r ; t ) − r r ρ ( r ; t ) = ρ tot ( r ; t ) − r r r r v ( r ; t ) = v tot ( r ; t ) − r r s ( r ; t ) = S tot ( r ; t ) − r r τ ( r ; t ) = T tot ( r ; t ) −

C

F(t + d t) ∆F F(t)

dF

t

t+ dt

z Ecart instantané par rapport à une origine donnée FE, à un instant donné f F F f (t ) = ∫ F d F = F (t ) − FE (t )

P0 ρ0 r v0

fluide au repos

S0 T0

z Viscosité du fluide et conduction thermique négligées 3 coefficient de viscosité de cisaillement 3 coefficient de viscosité de volume 3 coefficient de conduction thermique

µ η λ

négligés

E

car transformations acoustiques (quasi) adiabatiques Application : r r r P p ( r ; t ) = ∫ P tot d P = P tot ( r ; t ) − P E ( r ; t ) E

FE

z Acoustique linéaire

t

3 petites fluctuations autour d'un état d'origine 3 équations limitées à l'ordre un des quantités acoustiques

1

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Etat thermodynamique d'un fluide (1/2)

Etat thermodynamique d'un fluide (2/2)

Exemple : loi des gaz parfaits constante des GP R P tot Vtot − T tot = 0 pression température M volume massique : Vtot=1/ρtot masse molaire

z Loi d'état

(

)

f P tot , Vtot , Ttot = 0

d S tot =

  Cv 1 d ρ tot  d P tot − T tot P tot β  ρ tot χ s 

entropie

pression

d S tot =

ou

Cp T tot

d T tot −

Cp −Cv T tot P tot β

masse volumique

or δ Qtot = Ttot d Stot d P tot =

c.à.d

c.à.d

d P tot = c 2 d ρ tot

avec

c2 =

P tot − P E =

γ 1 = ρ tot χ T ρ tot χ s

(

γ ρ tot − ρ E ρE χT

)

ρ

p

9 cas de l'acoustique linéaire + fluide homogène ne dépendant pas du temps

δ Qtot = 0

d Stot = 0

1 d ρ tot ρ tot χ s

ρ

P

γ ⌠ tot ⌠ tot  d P tot =  d ρ tot ρ E χ T ⌡ ρE ⌡ PE

d P tot

χS = χT/γ = - (∂ V/ ∂ P)S / V z Transformations adiabatiques : pas d'échanges de chaleur

γ 1 = ρ tot χ T ρ tot χ s

célérité adiabatique

pression

température

c2 =

avec

9 cas de l'acoustique linéaire γ γ ≈ constante = ρ tot χ T ρE χT

z Milieu bivariant : 2 variables thermodynamiques indépendantes

d P tot = c 2 d ρ tot

z Transformations adiabatiques

ρE = ρ0

p=

p = c 02 ρ

γ ρ ρ0 χT

c0 =

γ ρ0 χT

célérité adiabatique du son ≈ 344,8 m/s dans l'air

célérité adiabatique

Types de sources (1/3) : sources volumiques z

z

sources de forces

sources de débit

Phénomène adiabatique

r q (r ; t )

instant t0

débit massique

r F (r ; t )

molécules ajoutées ou ôtées

force fluctuante par unité de masse

V

τmax

P

τmax π/ω

~ δV > 0

~ δ V 0

r h (r ; t )

τmin

τmax

P

τmax π/ω

~ δV > 0

λ/2

δW < 0

τmin

instant t0 + π/ω

τmin= -τmax ~ > δP 0

~ δ τ >0

la particule restitue plus d'énergie sous forme de travail qu'elle n'en a reçu

la particule récupère moins d'énergie sous forme de travail qu'elle n'en a restitué

Energie échangée entre la particule et la source, sous forme de travail (force, débit) ou de chaleur

V

γ −1 p γ βˆ

V

Schéma de principe de l'effet d'une source de chaleur particule détendue

particule comprimée

Qc>0

Qh>0 ~ δ V 0

~ δP > 0

P

En présence de sources :

~ δ τ 0

T d S = h dt

1 d ρ tot χ T d P tot α = − h ρ tot d t γ dt Cp

~ δP > 0

~ < δP 0

~ δ τ >0

~ δ τ 0

ρ tot χ s

T tot d S tot = h dt

  γ d ρ tot  d S tot = d P tot − ρ tot χ T T tot P tot β   α = β χ T P tot Cp = γCv

Phénomène adiabatique (rappel) instant t0

=

γ ρ0 χT

c0 =

Cv

Equation de conservation de la masse hors des sources r r r div(ρ tot v tot ) = ρ tot div v tot + v tot ⋅ grad ρ tot

avec

avec

z En présence d'une source de chaleur

Equation de conservation de la masse avec sources r ∂ ρ tot + div(ρ tot v tot ) = 0 ∂t

ρ tot χ T

9 cas de l'acoustique linéaire + fluide homogène ne dépendant pas du temps

r d ρ tot + ρ tot div v tot = ρ tot q dt

c.à.d.

c2 =

TdS = 0

δEa = 0

δW > 0

p = c 02 ρ

τmin

τ=

δEa < 0

γ −1 p γ βˆ

V

V

Synthèse des trois lois fondamentales de l'acoustique z En présence de sources r r d v tot + grad P tot = ρ tot F dt r ∂ ρ tot + div(ρ tot v tot ) = ρ tot q 3 ∂t 1 d ρ tot χ T d P tot α 3 = − h ρ tot d t γ dt Cp

3

ρ tot

z En dehors des sources r r d v tot + grad P tot = 0 3 ρ tot dt r ∂ ρ tot + div(ρ tot v tot ) = 0 3 ∂t γ 3 d P tot = ρ χ d ρ tot tot T

c2

fluide homogène, indépendant du temps, au repos, acoustique linéaire r r ∂v éq. d'Euler + grad p = ρ 0 F 3 ρ0 ∂t ∂ρ r éq. de conservation de 3 ∂ t + ρ 0 div v = ρ 0 q la masse ∂ρ 1 ∂ p αρ 0 = − h loi de "comportement" 3 ∂t c2 ∂t Cp 0 γ 2 avec c 0 = ρ0 χT

éq. d'Euler éq. de conservation de la masse loi de "comportement"

r r ∂v + grad p = 0 3 ρ0 ∂t r ∂ρ + ρ 0 div v = 0 3 ∂t

3

d Stot = 0

1

célérité adiabatique

r ⌠⌠⌠ =  [− div(ρ tot v tot ) + ρ tot q ]dV , ∀ V ⌡⌡⌡ V

⌠⌠⌠  ∂ ρ tot  r − [− div(ρ tot v tot ) + ρ tot q ]  dV       ⌡⌡⌡ V  ∂ t

avec

γ

∂ρ 1 ∂p 2 c.à.d. p = c 0 ρ = ∂ t c 02 ∂ t

Dérivée particulaire (1/2) z

Particule repérée par le point M M

z

9 volume suffisamment grand pour que l'aspect moléculaire soit ignoré 9 volume suffisamment petit par rapport à λ pour que les grandeurs physiques puissent être considérées comme (quasi) constantes

Représentation de Lagrange

→

9 Variables liées à la particule considérée : position initiale a, et temps t 9 Suivi du mouvement d'une particule au cours du temps t t0 r G (a; t ) grandeur g →

a

z

→

r

Représentation d'Euler (en usage en acoustique classique) →

→

9 Les variables sont liées au point géométrique r (à d r près au besoin) 9 Suivi de l'évolution d'une grandeur en ce point géométrique, au cours t du temps

t+dt

r g (r ; t )

→

r

5

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Dérivée particulaire (2/2)

Equation de propagation

dérivée particulaire : dérivée par rapport au temps de la grandeur g, attachée à une particule suivie dans son mouvement pendant le temps dt r z quantité scalaire g (r ; t ) ∂g ∂g ∂g ∂g dx1 + dx 2 + dx3 + dt ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂t dg ∂g dx1 ∂g dx 2 ∂g dx 3 ∂g c.à.d. + + + = dt ∂ x1 dt ∂ x 2 dt ∂t ∂x3 dt

z En présence de sources

dg =

(

)

ou

r terme de convection grad g ⋅ v tot r r z quantité vectorielle A (r ; t ) r r r r r dA ∂A dx1 ∂A dx 2 ∂A dx3 ∂A = + + + d t ∂ x1 d t ∂ x 2 d t ∂ x 3 d t ∂t

ou

(

(

div

∂ ∂t

)

r dg ∂g = grad g ⋅ v tot + dt ∂t ∂ d r = v tot ⋅ grad + dt ∂t

r r ∂v ρ0 + grad p = ρ 0 F ∂t

(

∂ρ r + ρ 0 div v = ρ 0 q ∂t

(

)

div grad p −

avec

∂A1 ∂ x2 ∂A 2 ∂ x2 ∂A3 ∂ x2

2    ∆ + ω  Pˆ (rr ; ω) = −Fˆ (rr ; ω) 2   c 0  

en présence de sources

 ∆ + ω  c 02 

en dehors des sources

2

 r  Pˆ ( r ; ω) = 0  

+∞

r r Pˆ ( r ; ω) = TF/ t [pˆ ( r ; t )]

+∞

r r 1 ⌠ −i ω t dt Pˆ ( r ; ω) =  pˆ ( r ; t ) e 2 π ⌡−∞ Transformée de Fourier / t

et

[

]

r r et Fˆ ( r ; ω) = TF/ t fˆ ( r ; t )

r ∂q α ∂h    − f = ρ 0  div F − −  ∂ t C p ∂ t  

avec

2   ∆ − 1 ∂ p = 0 2  c 0 ∂ t 2  

r r r v ( r ; t ) = grad ϕ ( r ; t )

r r ∂v + grad p = 0 ∂t

défini à une constante près K 1 (t )

(

)

r  ∂ϕ  r ∂ r grad ϕ + grad p = 0 + p  = 0 , ∀ ( r , t ) grad  ρ 0 ∂t ∂t   dK1 ∂ϕ + p = K 2 (t ) avec ρ 0 ρ0 = K 2 (t ) ∂t dt ∂ϕ ∂ϕ +p=0 ρ0 p = −ρ 0 ∂t ∂t

or

z Décomposition d'un signal en somme de signaux monochromatiques r r ⌠ pˆ ( r ; t ) =  Pˆ ( r ; ω) ei ω t d ω ⌡−∞ Transformée de Fourier / ω

r ∂q α ∂h   1 ∂ 2p  = ρ 0  div F − −  ∂ t C p ∂ t  c 02 ∂ t 2 

z Equation de propagation ρ0

équation de Helmholtz

2    ∆ − 1 ∂  pˆ = −fˆ  c 02 ∂ t 2  

∆p−

opérateur d'Alembertien noté

z Définition

forme complexe

z Champ monochromatique de pulsation ω r r pˆ ( r ; t ) = Pˆ ( r ; ω) e i ω t r r fˆ ( r ; t ) = Fˆ ( r ; ω) e i ω t

p

Potentiel des vitesses

r r p ( r ; t ) = Re [ pˆ ( r ; t ) ]

partie réelle

)

z En dehors des sources

Equation de Helmholtz z Représentation complexe

2 0

2

2    ∆ − 1 ∂  p = −f  c 02 ∂ t 2  

∂A1   ∂ x3  ∂A 2  ∂ x 3  ∂A 3  ∂ x 3 

αρ 0

( ∂∂ρt = c1 ∂∂ pt − C h ) ∂ 2ρ 1 ∂ 2 p α ρ 0 ∂ h = − ∂ t 2 c 02 ∂ t 2 C p ∂ t

∆p →

∂A1   ∂ x1 r  ∂ A 2   grad A  =    ∂ x1  ∂ A 3  ∂x 1 

)

r ∂q   ∂ ρ  = ρ 0  div F − ∂ t  ∂t2 

dérivée locale, en un point fixe r

r r r r ∂A dA  =  grad A  ⋅ v tot + dt  ∂t  d r ∂ = v tot ⋅ grad + dt ∂t

Loi de "comportement"

∂ ∂t

ρ0

∂ρ 1 ∂p = ∂ t c 20 ∂ t

ρ=−

r ∂ρ + ρ 0 div v = 0 ∂t

or

ρ0 ∂ϕ c 02 ∂ t

∆ϕ−

1 ∂ 2ϕ =0 c 20 ∂ t 2

z Equation de Helmholtz r ˆ (rr ; ω) e i ω t Champ monochromatique : ϕˆ (r ; t ) = Φ

vérifient l'équation de Helmholtz

Notation

Problèmes aux limites de l'acoustique z Domaine spatial limité ou infini 9 conditions aux frontières : Š frontière matérialisée par une surface de séparation entre deux milieux, Š frontière décrite par les propriétés vibratoires à l'interface entre le milieu considéré et la paroi constituant la frontière. 9 condition de Sommerfeld : condition de décroissance annulant le champ à l'infini (loin des sources) 9 NB : les conditions portent sur p et/ou ∂np

z Interface parfaitement rigide fluide

→

k0 =

ω c0

M

wtot(M;t)

paroi Σ mobile : r r r r v tot (M ∈ Σ; t ) ⋅ n = w tot (M ∈ Σ; t ) ⋅ n , ∀ M ∈ Σ , ∀ t paroi Σ fixe :

n

→

Σ : paroi vtot(M;t) parfaitement rigide

→

r r r v tot (x ∈ Σ; t ) ⋅ n = 0, ∀ M ∈ Σ , ∀ t

z Interface séparant deux fluides non visqueux fluide 2 →

égalité des composantes normales de la vitesse : r r r r r r v tot 1 (x ∈ Σ; t ) ⋅ n = v tot 2 (x ∈ Σ; t ) ⋅ n , ∀ M ∈ Σ , ∀ t

n

M

9 conditions initiales 9 NB : les conditions initiales portent sur p et ∂tp

2 0

Conditions aux frontières non linéarisées

fluide 1

z Domaine temporel

(∆ + k )Φˆ (rr ; ω) = 0

Σ

égalité des pressions acoustiques : r r Ptot 1 ( r ∈ Σ; t ) = Ptot 2 ( r ∈ Σ; t ) , ∀ M ∈ Σ , ∀ t

6

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Linéarisation des conditions aux frontières

Conditions aux frontières usuelles en acoustique linéaire, fluide homogène, indépendant du temps, au repos (1/3) z Interface parfaitement rigide

→

n

M →

→

rE

O

fluide

R

fluide 1 → r

→

fluide 2

nE

ME

paroi Σ mobile : r r r r v (M ∈ Σ; t ) ⋅ n = w (M ∈ Σ; t ) ⋅ n, ∀ M ∈ Σ , ∀ t

→

n

→

w(M;t)

M

Σ : paroi parfaitement rigide

→

v(M;t)

Σ ΣE

Conserver uniquement les grandeurs acoustiques du premier ordre conduit à écrire les conditions aux frontières pour les grandeurs fluctuantes sur la surface dans sa position de référence.

paroi Σ fixe : r r r v ( r ∈ Σ; t ) ⋅ n = 0, ∀ M ∈ Σ , ∀ t →

n.

or

(ρ

0

r r ∂v + grad p = 0 ∂t

)

ρ0

r r ∂ (v ⋅ n ) ∂ p + =0 ∂t ∂n

r ∂ p( r ∈ Σ; t ) = 0 , ∀ M∈Σ , ∀ t ∂n

Rappel mathématique z z

x

x

n

OM x u y= 0 B z B1 0

M

β

y

y

Conditions aux frontières usuelles en acoustique linéaire, fluide homogène, indépendant du temps, au repos (2/3) z Paroi parfaitement souple

x1

→ u

γ O α

champ à l'intérieur d'un tube ouvert sur l'espace infini r p( r ∈ Σ; t ) = 0 , ∀ M ∈ Σ , ∀ t

x = αu ; y = βu ; z = γ u

r Soient f(x,y,z) et n un vecteur unitaire n α β Bγ →

α

β

grad f ∂ x f ∂ yf B ∂zf

γ

fluide 1

→

v(M;t)

Σ : paroi à structure interne fixe, à réaction locale

fluide →

p (M;t) →

w(M;t)

n

M

→

v(M;t)

opérateur linéaire (fonction de réflexion). MAIS, paramètre de proportionnalité entre pression acoustique et vitesse particulaire (impédance de la paroi), n'est défini que pour une fréquence, dans le domaine complexe

r r r p (M ∈ Σ; t ) = FZ { [ v (M ∈ Σ; t ) − w (M ∈ Σ; t ) ]⋅ n }, Σ : paroi mobile ∀ M∈Σ , ∀ t à réaction locale

rˆ rˆ r Pˆ (M ∈ Σ; ω) = Zˆ (M; ω)  V (M ∈ Σ; ω) − W (M ∈ Σ; ω)  ⋅ n , ∀ M ∈ Σ , ω fixé   impédance de paroi

égalité des composantes normales de la vitesse : r r r r r r v 1 ( r ∈ Σ; t ) ⋅ n = v 2 ( r ∈ Σ; t ) ⋅ n , ∀ M ∈ Σ , ∀ t

→

n

M

égalité des pressions acoustiques :

Σ

r r p 1 (r ∈ Σ; t ) = p 2 ( r ∈ Σ; t ) , ∀ M ∈ Σ , ∀ t

Paroi à structure interne fixe, à réaction locale rˆ r Pˆ (M; ω) = Zˆ(M; ω) V(M; ω) ⋅ n

z Condition aux frontières

M

n ˆ (M; ω) Z ou βˆ (M; ω)

r r p (M ∈ Σ; t ) = FZ [v (M ∈ Σ; t ) ⋅ n ] , ∀ M ∈ Σ , ∀ t

M

Σ

fluide 2

→

n

Condition de Dirichlet

n

z Interface séparant deux fluides non visqueux

Conditions aux frontières usuelles en acoustique linéaire, fluide homogène, indépendant du temps, au repos (2/3) z Paroi à réaction locale - Notion d'impédance de paroi

→

M

r ∂f = grad f ⋅ n ∂n

p (M;t)

fluide 2, ρ2 t i

(

)

(

)

(

) (

)

ˆ M; t ; pˆ M; t = B ˆ M; t ; ∀ M ∈ V ; t = t ∂ t pˆ M; t i = A i i i i

Conditions initiales

]

 2   ∆ − c12 ∂ t t  pˆ (M; t ) = −fˆ (M; t ) , ∀ M ∈ V , ∀ t > t i 0  

Equation de propagation

+ i k 0 βˆ (M; t ) ∗ pˆ (M; t ) = uˆ (M; t ) ; ∀ M ∈ Σ ; ∀ t > t i

[

]

fonctions connues dans tout le domaine V, à l'époque initiales t = ti

r r i k 0 β( r ; t ) = TF/ ω i k 0 β( r ; ω)

avec

(∆ + k )Pˆ (M; ω) = −Fˆ (M; ω) , ∀ M ∈ V

Conditions aux frontières

Σ : paroi mobile à réaction locale

→

v(M;t)

dans le domaine temporel

z Domaine fréquentiel Equation de Helmholtz

→

p (M;t)

Problème acoustique bien posé

Densité totale d'énergie acoustique instantanée (1/2)

Densité totale d'énergie acoustique instantanée (2/2) z Densité d'énergie potentielle instantanée

z Densité d'énergie = énergie emmagasinée par unité de volume (Evolume dV / dV ) z Densité d'énergie acoustique totale

(

Ea = Ec + Ep densité d'énergie acoustique totale

densité d'énergie cinétique

r 1 acoustique ρ tot v 2 linéaire 2

densité d'énergie potentielle

variation d'énergie interne 9 densité d'énergie potentielle : ~p ρ ~ m él  1 ~ ~ 1 ~ 1 tot  pdρ p d (ρ 0 + ~ ρtot ~ ρtot ) = ~ ~ ρtot = ρ) = pd~ d  ~  = −~ p d (1 ~ ρtot ρ0 +~ ρ ρ0 +~ ρ m él  ρ tot  1 ~ ~ δW ≈ pdρ acoustique linéaire 1 2~ ~ ρ0 δW ≈ c 0 ρdρ 2 ~ ρ0 p = c0 ~ ρ loi de "comportement" : 2 ρ p2 c0 ⌠ ~ ~ c 02 ρ 2 Ep = 9 densité d'énergie potentielle instantanée : E p =  ρdρ = 2 ρ0 c 20 2ρ 0 ρ0 ⌡ 0

δ W = δ W él V él = −

r 1 Ec = ρ0 v2 2

z Densité totale d'énergie acoustique instantanée

Equation de conservation de l'énergie acoustique (1/4) Lors de la propagation acoustique particules adjacentes

dσ

M

→

n

→ v

V

Σ

emmagasine de l'énergie et la restitue aux particules adjacentes

L'énergie acoustique Ea présente localement dans la particule (Ec + Ep) résulte donc d'un apport et d'une perte d'énergie. flux d'énergie apporté et retiré au volume en permanence. r P = pv

:

r p v ⋅d σ d t :

)

énergie potentielle car transformations adiabatiques : d U = δ W él + δ Q él = δ W él

z Densité d'énergie cinétique instantanée Ec =

M M M état "courant" état "actuel" état au repos ~ ~ ~ =ρ +ρ ~ P = P P = P + p ; ρ P0, ρ0 tot 0 + p ; ρ tot = ρ 0 + ρ tot 0 tot 0 ~ 9 volume élémentaire : V él = m él ρ tot 9 travail élémentaire reçu par la particule (énergie emmagasinée) : δ W él = − ~ p d V él = − ~ p d m él ~ ρ tot

flux d'énergie acoustique instantané, ramené à l'unité de surface et à l'unité de temps (puissance instantanée traversant l'unité de surface dσ, transportée par l'onde acoustique) travail élémentaire fourni par une particule à son environnement pendant le temps dt.

Ea = Ec +Ep =

1  r 2 p 2  ρ0 v + 2  ρ0 c 02 

Equation de conservation de l'énergie acoustique (2/4) z En dehors des sources

(

)

∂ ⌠⌠⌠  E c + E p d V ∂ t ⌡⌡⌡ V

variation par unité de temps de l'énergie acoustique contenue dans un volume V

⌠⌠ r r = − p v ⋅ n d σ ⌡⌡ Σ

opposé de l'énergie sortante par unité de temps r ⌠⌠⌠ −  div (p v ) d V ⌡⌡⌡ V

⌠⌠⌠  ∂ r  E c + E p + div (p v )  d V       ⌡⌡⌡ V  ∂ t

(

)

(

)

r ∂ E c + E p + div (p v ) = 0 ∂t

Ea

(Th. d'Ostrogradsky)

=0 Equation de conservation l'énergie en dehors des sources

de

P

8

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Equation de conservation de l'énergie acoustique (3/4) z En présence de sources r 1 ∂ρ +q 3 div v = − ρ0 ∂ t

p ∂ρ r r r r v ⋅ grad p = div (p v ) − p div v = div (p v ) + − pq ρ0 ∂ t

r r v ⋅ grad p = div (p v ) + →

3 v.

z Bilan intégral

p ∂p α − ph − pq ρ0 c 02 ∂ t C p

∂t

( )

r r α + div P = ρ 0 v ⋅ F + ph + pq Cp

Equation de conservation de l'énergie en présence de sources

variation par unité de temps de l'énergie contenue dans le domaine V

M

→ v

V

Σ

(

grandeurs REELLES

() (

)

1 et pˆ + pˆ* 2 r 1 r r I = pˆ + pˆ* vˆ + vˆ* 4

p = Re (pˆ ) =

or

)(

(

)

énergie apportée par les sources par unité de temps

flux total d'énergie entrant dans le volume V par unité de temps

Vecteur intensité acoustique (2/2) 3

r r I ⋅ n d σ : quantité moyenne d'énergie acoustique qui traverse l'élément de surface d σ par unité de temps r I : vecteur densité surfacique de flux de puissance acoustique moyenne, en W.m-2

n

 r r α  ρ 0 v ⋅ F + p h + p qdV   C p  

z En dehors des sources :

r r I =P = pv

→

⌠⌠⌠ ⌠⌠ r r = − p v ⋅ n d σ +   ⌡⌡ Σ ⌡⌡⌡ V

∂ ⌠⌠⌠  E a d V ∂ t ⌡⌡⌡ V

volume supposé fixe

V

Σ

Vecteur intensité acoustique (1/2)

dσ

n

→ v

M

)

∂Ea

→

dσ

∂ρ 1 ∂ p αρ 0 h = − ∂ t c 20 ∂ t C p

r r r r ∂v r r r ∂v ρ0 + grad p = ρ 0 F + v ⋅ grad p = ρ 0 v ⋅ F ρ0 v⋅ ∂t ∂t r r ∂v r r r p ∂p α ph − pq = ρ0 v⋅F ρ0 v⋅ + div (p v ) + − ∂t ρ0 c 02 ∂ t C p r r r r α 1 ∂v2 1 ∂p2 ρ0 + + div (p v ) = ρ 0 v ⋅ F + ph + pq 2 ∂ t 2 ρ0 c 20 ∂ t Cp 2   r r r r α p  ∂ 1 + div (p v ) = ρ 0 v ⋅ F + ph + pq ρ0 v2 + Cp ∂ t  2 ρ0 c 20  → P Ec Ep

(

Equation de conservation de l'énergie acoustique (4/4)

r r 1 r r v = Re vˆ = vˆ + vˆ* 2

iωt et z Champ monochromatique : pˆ = Pˆ e

(

∂Ea

+ divP = 0

∂t

c.à.d.

∂Ea ∂t

or

∂Ea

+ divP = 0 ∂t r + div I = 0

∂t

2

=0

r div I = 0

)

( )

+ divP = 0 r I

T

∂Ea

3 ρ0

∂t

+ 1  T 1 ⌠ 2 ∂Ea  T  = lim  d t = lim  E a   − E a  −  = 0 T T →∞ T  → ∞ ∂t T ⌡ −T ∂ t  2  2

∂Ea

)

r rˆ vˆ = V e i ω t

∂Ea

c.à.d.

r r ∂v + grad p = 0 ∂t

En dehors des sources, le vecteur intensité acoustique est à divergence nulle →

amplitude de p proportionnelle à amplitude de v

r amplitude de P = p v proportionnelle au carré de l'amplitude de p r 2 amplitude I de I proportionnelle à p rms

( )

r 1  * rˆ rˆ r r r 1 r 1 1 I =  Pˆ V + Pˆ V *  = pˆ* vˆ + pˆ vˆ* = Re pˆ* vˆ = Re pˆ vˆ*  4 4 2 2

( )

(

niveau sonore : L = 10 log 10 I I s = 20 log 10 p r m s p s

Puissance moyenne d'une source (1/2) →

La puissance moyenne d'une source est indépendante de la surface Σ choisie qui l'entoure.

Σ

démonstration : ⌠⌠ r r ⌠⌠ r r Pm S / Σ 1 =  I ⋅ n 1 d σ et Pm S / Σ 2 =  I ⋅ n 2 d σ ⌡⌡ Σ 1 ⌡⌡ Σ 2

(

V 12 (S)

)

Σ2

→

r ⌠⌠ r ⌠⌠ r r Φ 1 2 =  I ⋅ n 1 d σ +  I ⋅ − n 2 d σ = 0 ⌡⌡ Σ 2 ⌡⌡ Σ 1

n1

)

)

→

Σ1

(

(

flux de puissance au travers de (Σ1+Σ2) limitant le volume clos V12 :

n2

(

Pm S / Σ 1 = Pm S / Σ 2

(

)

Puissance moyenne d'une source (2/2) z Cas particulier d'une source omnidirectionnelle (champ acoustique identique dans toutes les directions)

⌠⌠ r r Pm (S) =  I ⋅ n d σ ⌡⌡ Σ

n

dσ

(S)

)

)

intensité acoustique à divergence nulle en dehors des sources

(S)

r

r r I = I (r ) e r

→

er

Σ ⌠⌠ ⌠⌠ Pm (S) =  I (r ) r d θ r sin θ d ψ = I (r ) r 2  d θ sin θ d ψ ⌡⌡ Σ ⌡⌡ Σ Pm (S) = 4 π r 2 I (r )

I (r ) ∝

1 r2

et

p (r ) ∝

1 r

(caractère sphérique)

9

Transparents basés sur C. POTEL, M. BRUNEAU, Acoustique Générale - équations différentielles et intégrales, solutions en milieux fluide et solide, applications, Ed. Ellipse collection Technosup, 352 pages, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Solutions de l'équation de propagation z

z

Equation de propagation

Equation de Helmholtz 2    ∆ + ω  Pˆ (rr ; ω) = −Fˆ (rr ; ω) 2   c 0  

2    ∆ − 1 ∂  pˆ (rr ; t ) = −fˆ (rr ; t ) 2  c 0 ∂ t 2  

Chapitre 4 FORMULATION ANALYTIQUE DE PROBLEMES LINEAIRES FONDAMENTAUX DE L'ACOUSTIQUE EN MILIEU FLUIDE HOMOGENE, INDEPENDANT DU TEMPS ET AU REPOS : LES SOLUTIONS FONDAMENTALES EN COORDONNEES CARTESIENNES

3 Pas de solution générale connue en dehors du cas de propagation unidimensionnel 3 Si les frontières du domaine coïncident avec des surfaces de coordonnées curvilignes séparables solutions à variables séparées "base" sur laquelle toute solution peut être développée famille complète

Choix de système de coordonnées z

z

Coordonnées cartésiennes

0

L

a

y

fonctions de Bessel

z

Coordonnées sphériques

A cos ( ω t - k x )

y x

Source

S

proportionnel à la surface traversée et à l'amplitude de l'onde au carré 2

2

ˆ ˆ A 1 S1 = A 2 S 2

Φ = constante

z Onde plane ˆ A 2

ˆ A 1

S1

a

2

z

source S

x

A cos (ω t )

ˆ Φ∝ A

z Flux d'énergie

x

plan d'air

piston plan

AMPLITUDE DES ONDES EN COORDONNEES CARTESIENNES, CYLINDRIQUES ET SPHERIQUES (1/3)

Coordonnées cylindriques

ˆ = A ˆ A 1 2

S1 = S 2

S2

Toute onde dont l'amplitude est indépendante du point, dans un espace donné, a un caractère plan dans cet espace.

O fonctions circulaires

L

z

polynômes de Legendre

AMPLITUDE DES ONDES EN COORDONNEES CARTESIENNES, CYLINDRIQUES ET SPHERIQUES (2/3) z Onde cylindrique r1

ˆ Φ∝ A

r2

2

AMPLITUDE DES ONDES EN COORDONNEES CARTESIENNES, CYLINDRIQUES ET SPHERIQUES (3/3) z Onde sphérique

avec

S

ˆ Φ∝ A

2

r

et

2

ˆ r = constante A

S∝ 2πr

r2

2

avec

S

ˆ Φ∝ A 2

2

r2

S = 4πr 2

et

ˆ r 2 = constante A

ˆ ∝ 1 A r

Toute onde dont l'amplitude décroît en 1/√r dans un certain espace, a un caractère cylindrique dans cet espace.

En première approche, le bruit émis par l'autoroute peut être modélisé par un champ à caractère cylindrique

r1

Φ = constante

fil pulsant

Application : départ en vacances sur l'autoroute

ˆ Φ∝ A

source ponctuelle

angle solide Ω

Φ = constante

ˆ ∝1 A r

OU conservation du flux d'énergie dans un secteur d'angle solide Ω 9 si r Ò alors S Ò et amplitude Ô : onde divergente 9 si r Ô alors S Ô et amplitude Ò : onde convergente

Toute onde dont l'amplitude décroît en 1/r dans un certain espace, a un caractère sphérique dans cet espace. Application : voiture seule en rase campagne En première approche, la voiture est une source ponctuelle vis à vis de l'habitation (champ à caractère sphérique)

1

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Problèmes à 1 dimension z

Direction du vecteur vitesse (1D)

Toutes les variables du problème dépendent d'une seule coordonnée

z

Bon choix de repère R = (O, e x , e y , e z )

z

Equation d'Euler

r r r coordonnée x r r r rˆ ˆ ˆ ˆ v (x; t ) = v x (x; t ) e x + v y (x; t ) e y + v z (x; t ) e z

r pˆ (x; t ) , v (x; t ) , ϕˆ (x; t ) champs uniformes dans un plan perpendiculaire à la coordonnée

ρ0

champs d'ondes planes z

Exemples

ρ0

t fixé ρ0

c0

y

ρ0

A cos(-kx+ωt)

x r r r z Bon choix de repère R = (O, e x , e y , e z )

pˆ = c 02 ρˆ

3

z

3

ρ0

∂ vˆ (x; t ) ∂ pˆ (x; t ) + =0 ∂t ∂x

z

3

∂ vˆ (x; t ) ∂ ρˆ (x; t ) +ρ0 =0 ∂t ∂x

3

3

pˆ (x; t ) = c 02 ρˆ (x; t )

3

z

Equation de propagation 2    ∆ − 1 ∂  pˆ = 0  c 02 ∂ t 2  

3

∂ vˆ x (x; t ) ∂ pˆ (x; t ) + =0 ∂t ∂x

∂ vˆ y (x; t )

=0

ˆ (x ) vˆ y (x; t ) = K y

∂ vˆ z (x; t ) =0 ∂t

ˆ (x ) vˆ z (x; t ) = K z

∂t

∂ 2 pˆ ∂ 2 pˆ ∂ 2 pˆ ∂ 2 pˆ = + +2 ∂u∂v ∂t2 ∂u2 ∂v2

∂ pˆ ∂ pˆ ∂ u ∂ pˆ ∂ v ∂ pˆ ∂ pˆ = + = + ∂t ∂u ∂t ∂v ∂t ∂u ∂v ∂ pˆ ∂ pˆ ∂ u ∂ pˆ ∂ v 1  ∂ pˆ ∂ pˆ  −  = + = + ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x c 0  ∂ u ∂ v 

∂ 2 pˆ ∂ 2 pˆ  1  ∂ 2 pˆ ∂ 2 pˆ   = + −2 ∂ u ∂ v  ∂ x 2 c 20  ∂ u 2 ∂ v 2

Report dans l'équation de propagation

∂ 2 pˆ =0 ∂u∂v

Cas particulier : ondes planes progressives (1D) onde plane progressive propageant dans le sens valeurs croissantes de x

se des

à t1

) (

[(

)] [ (

)

ou pˆ (x; t ) = fˆ κ x − c 0 t + gˆ κ x + c 0 t

p (x ; t ) = X (x ) T (t )

à t2 x à t3

y

à t4

(

(

pˆ (x; t ) = fˆ x − c 0 t + gˆ x + c 0 t

ou

)]

Cas particulier (1D) : ondes planes stationnaires (1/2)

→

pˆ (x; t ) = gˆ x + c 0 t

pˆ = fˆ (u ) + gˆ (v )

Solution générale

p (x; t )

)

t fixé

)

 ∂2 1 ∂ 2   − p (x; t ) = 0 , ∀ x , ∀ t  ∂ x 2 c 02 ∂ t 2   

t fixé

x

notée vˆ (x; t )

 ∂2 1 ∂ 2   pˆ (x; t ) = 0 −  ∂ x 2 c 02 ∂ t 2    x x Changement de variables u =t− et v = t + c0 c0

  x  x  pˆ (x; t ) = fˆ  t −  + gˆ  t +   c0   c0     

c0

=0

∂ 2 pˆ  1  ∂ 2 pˆ ∂ 2 pˆ ∂ 2 pˆ  1  ∂ 2 pˆ ∂ 2 pˆ  −  =0 + −2 + +2 ∂ u ∂ v  c 02  ∂ u 2 ∂ v 2 ∂ u ∂ v  c 20  ∂ u 2 ∂ v 2

z

(

r r vˆ (x; t ) = vˆ x (x; t ) e x

Equation de propagation

 ∂2 1 ∂ 2   pˆ (x; t ) = 0 −  ∂ x 2 c 02 ∂ t 2   

3

pˆ (x; t ) = fˆ x − c 0 t

=0

Solution générale en unidimensionnel z

r r ∂ vˆ + grad pˆ = 0 ∂t r ∂ ρˆ + ρ 0 div vˆ = 0 3 ∂t

r r ∂ vˆ (x; t ) ∂ pˆ (x; t ) r + ex =0 ∂t ∂x

coordonnée x

Lois fondamentales 3 ρ0

ρ0

moyennes temporelles nulles

Equations de l'acoustique en unidimensionnel z

r r ∂ vˆ + grad pˆ = 0 ∂t

(pression réelle)

Succession de noeuds (ici zéros de pression) et de ventres (ici maxima de pression), qui évolue dans le temps suivant la loi imposée par la fonction T(t).

c 20

X" (x ) T" (t ) = , ∀x,∀t X (x ) T (t )

ne dépend ne dépend que de t que de x

c0 onde plane progressive propageant dans le sens valeurs décroissantes de x

se des

y

−ω2

T" (t ) + ω 2 T(t ) = 0

x

X" (x ) + k 2 X(x ) = 0

avec

k = ω c0

Méthode de séparation des variables

2

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Cas particulier (1D) : ondes planes stationnaires (2/2) 2 z X" (x ) + k X(x ) = 0

ou

X (x ) = A cos (k x ) + B sin (k x ) X (x ) = Cˆ e

ik x

ˆe +D

Ondes planes progressives et stationnaires z

p (x; t ) = A cos (k x ) cos (ω t ) =

−i k x

A [ cos (k x − ω t ) + cos (k x + ω t ) ] 2 onde plane progressive

onde plane stationnaire T(t ) = E cos (ω t ) + F sin (ω t )

z T" (t ) + ω 2 T(t ) = 0

ou

exemple :

z

e iωt

onde plane progressive

z

[

MAIS Re e i (k x +ω t )

n

(

→

R

) (

)

r r = OM

y

[ (

r r F κ c0 t −n⋅r

→ n

→ r

M

c0

r r n ⋅ r = constante

→ n

θ

)

soit

r r dr n⋅ = c0 dt

vitesse à laquelle doit se déplacer un point géométrique M pour suivre une valeur donnée de F

Š A 1 instant donné, en tout point M tel que

M0

(

r r d c0 t −n⋅r = 0

c.à.d.

)]

c0

la valeur de la variable de champ (grandeur physique) est la même.

c0 Les plans d'onde qui véhiculent une valeur donnée de la variable de champ F, se déplacent parallèlement à eux-mêmes dans → la direction n qui leur est perpendiculaire, et avec la vitesse de propagation c0.

Ces points sont situés dans un même plan, appelé plan d'onde (surface d'onde → plane), perpendiculaire à la direction de n :

Les ondes planes (3/4)

Les ondes planes (4/4)

Cas particulier d'une onde plane périodique : F périodique de période U

[ (

u λ

)]

r r dr =c0 n dt

→ →

si r // n

→ n

r r r n ⋅ r = n ⋅ O M = OM cos θ = OM 0

r r F κ c0 t−n⋅r

i ωt

(c 0 t − nr ⋅ rr ) = constante

Š Lorsque le temps varie, suivre une valeur donnée de F

x

z

i kx

Les ondes planes (2/4)

r r r r r pˆ ( r ; t ) = fˆ n ⋅ r − c 0 t + gˆ n ⋅ r + c 0 t

r

O

] = cos (k x + ω t ) ≠ Re (e )Re (e )

→

O

z

e i (k x +ω t ) = e i k x e i ω t

z

Les ondes planes (1/4) M

onde plane stationnaire

onde plane stationnaire

e −i ω t

ou

L'une ou l'autre convention conduit au même résultat réel.

z

x

p^b

p (x; t ) = A cos (k x − ω t ) = A cos (k x ) cos (ω t ) + A sin (k x ) sin (ω t )

Une onde stationnaire est nécessairement sinusoïdale en t.

En pratique, choix d'une convention temporelle

p^a

0

ˆ e i ωt + H ˆ e −i ω t T (t ) = G

onde plane progressive

z

Validité de l'hypothèse d'onde plane

r r F(u) avec u = κ (c 0 t − n ⋅ r )

λ

A un instant t donné, et pour deux → → → valeurs r1 et r2 du vecteur position r telles que r r r κ n ⋅ (r 2 − r1 ) = U

λ

→ n

λ

alors

M

F = constante

deux plans d'onde distants l'un de l'autre d'une longueur égale à U/κ véhiculent la même valeur de champ

λ=

U κ

r

longueur d'onde

r r cas particulier des champs monochromatiques : C cos ( ω t − k n ⋅ r + α ) λ=

≈ onde plane

Approximation "onde quasi plane" d'un champ au voisinage d'un point d'observation M : cas d'un champ sphérique en hypothèse de champ lointain (r >> λ). U = 2π

2π k

3

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Les ondes planes monochromatiques (1/4) z

Onde monochromatique : propagation à 1 fréquence (pulsation ω donnée)

Les ondes planes monochromatiques (2/4) z

Recherche de solutions

fréquence imposée par une source émettant en permanence

équation mise sous la forme :

mouvement forcé, régime établi, acoustique linéaire

z

pˆ (x; t ) = Pˆ (x ) e i ω t

z

ˆ (x ) e i ω t uˆ (x; t ) = U

Toute grandeur peut s'écrire

r

, vrˆ (x; t ) = Vˆ (x ) e i ω t ,

Equation de Helmholtz  ∂2 1 ∂ 2   − pˆ (x; t ) = 0 ∂x 2 c2 ∂t 2  0  

Notation : k 0 = ω c 0

(∂

2 xx

, ...

 2  2  ∂ + ω   ∂x 2 c0    

  Pˆ (x ) e i ω t = 0 , ∀ x, ∀ t  

 2  2  ∂ + ω   ∂x 2 c0    

  Pˆ (x ) = 0 , ∀ x  

Notation

k 2 = k 20

[ (

r r F κ c0 t −n⋅r

c0 = γ ρ0 χT

masse volumique Š

)]

de la forme

)

compressibilité

U κ

λ=

2π k

longueur d'onde

r r k =kn

ou vecteur d'onde

plan d'onde ≡ plan équiphase

équation de dispersion

Interaction d'une onde plane monochromatique avec une paroi d'admittance non nulle, en incidence normale (2/5) z

y

A cos (ω t )

^ A onde incidente

^ B onde réfléchie

O

x matériau d'impédance ^ Z

y

incident  2  2  ∂ + ω   ∂ y 2  c 0  

Equation de Helmholtz

z

Conditions aux frontières

^ B onde réfléchie

Equation de propagation

 ∂2 1 ∂ 2   − pˆ(y; t ) = 0 , ∀ y ≥ 0 , ∀ t  ∂ y 2 c 02 ∂ t 2    z Champ monochromatique pˆ (y; t ) = Pˆ (y )e i ω t

z

O

  Pˆ (y ) = 0 , ∀ y ≥ 0  

 ∂ ˆ ˆ  ∂ n + i k 0 β P (0) = 0 avec  

ˆ et nr = − er y βˆ = ρ 0 c 0 Z

 ∂ ˆ ˆ  − ∂ y + i k 0 β P ( y ) = 0 , y = 0  

x matériau d'impédance ^ Z

λ=

Vecteur nombre d'onde

)

source monochromatique à l'infini

onde incidente

r r C cos ( ω t − k n ⋅ r + α )

λ

Interaction d'une onde plane monochromatique avec une paroi d'admittance non nulle, en incidence normale (1/5)

^ A

et e i k x

onde plane progressive vers les x Ì

→ n

λ

∂ pˆ Š Exemple : terme dissipatif de la forme R ∂t  ∂2 ∂ 1 ∂2  ˆ ( ) + − p x ; t = 0, ∀ x , ∀ t R   2 ∂ t c 02 ∂ t 2   ∂ x 2  2     ∂ + i ω R +  ω   Pˆ (x ) = 0 , ∀ x ˆ e −i k x + B ˆ e ikx Pˆ (x ) = A c0    ∂x2     2 − k + i ω R + k 2 Pˆ (x ) = 0 , ∀ x k 2 = k 02 + i ω R

redondant avec e −i k x

λ

le nombre d'onde k n'est pas toujours égal à k0

0

ou k = − k 0

fonction périodique de période U = 2 π

équation de dispersion en fluide non dissipatif : k = k 0

(

k =k 0

k 0 = ω c0

Les ondes planes monochromatiques (4/4)

source

(

)

+ k 02 Pˆ (x ) = 0 , ∀ x avec

équation de dispersion soit

onde plane progressive vers les x Ê

milieu de propagation

2

ˆ e i (−k x + ω t ) + B ˆ e i (k x +ω t ) pˆ (x; t ) = A

)

ω c0

(− k

choix : k = k 0

+ k 02 Pˆ (x ) = 0 , ∀ x

k0 =

(facteur indépendant de x) (fonction de x) = 0 , ∀ x

Report dans l'équation de Helmholtz :

Les ondes planes monochromatiques (3/4) z

  Pˆ (x ) = 0 , ∀ x  

ˆ e −i k x + B ˆ e ikx Pˆ (x ) = A

convention temporelle

ˆ (x ) e i ω t ϕˆ (x; t ) = Φ

 2  2  ∂ + ω   ∂x 2 c0    

z

^ Onde retour B se propage à l'infini

4

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Interaction d'une onde plane monochromatique avec une paroi d'admittance non nulle, en incidence normale (3/5) y ^ A

z

^ B

onde incidente

Solutions du problème

x matériau d'impédance ^ Z



(

Š

∂ Pˆ (y ) ˆ e ik y − B ˆ e −i k y = ik A ∂y

(

)

^ A onde incidente

Pˆ (y )

Š Equation d'Euler

)

(

)

ˆ −B ˆ +B ˆ + i k βˆ A ˆ =0 −ik A 0

matériau d'impédance ^ Z

vˆ (y; t ) =

(

) [ ( cos (k y ) + (1 − Rˆ )e ] e

Š Pression acoustique

) ]

vˆ (y; t ) =

ˆ e i k y + Rˆ e −i k y = A ˆ 2Rˆ cos (k y ) + 1 − Rˆ e i k y Š Pression acoustique Pˆ (y ) = A p p p

[

ˆ 2Rˆ pˆ(y; t ) = A p

p

r vˆ (y; t ) =

i grad pˆ (y; t ) ρ0 ω

i ∂ pˆ (y; t ) i ∂ Pˆ (y ) i ω t = e ρ0 ω ∂y ρ0 ω ∂ y

(

ˆ e i k y + Rˆ e −i k y Pˆ (y ) = A p

(

)

)

(

)

ˆ ˆ ik y −A −kA e i k y − Rˆ p e −i k y e i ω t − Rˆ p e −i k y e i ω t = e ρ 0 c0 ρ0 ω

iωt

ik y

r r ∂ vˆ (y; t ) + grad pˆ (y; t ) = 0 ∂t

rˆ r vˆ (y; t ) = V (y ) e i ω t

Š

( ) ( )

^ Si β=0 (matériau parfaitement rigide) : réflexion totale

ρ0

onde réfléchie

O

ˆ 1 − βˆ = B ˆ 1 + βˆ A

ˆ 1 − βˆ B Rˆ p = = ˆ 1 + βˆ A

Vitesse particulaire

^ B

x

(



∂

équation de dispersion : k = k 0 Š Coefficient de réflexion

)

Š

Š Conditions aux frontières : − + i k 0 βˆ  Pˆ (y ) = 0 , y = 0  ∂y 

z

y

ˆ e ik y + B ˆ e −i k y e i ω t pˆ(y; t ) = pˆ a (y; t ) + pˆ b (y; t ) = A

onde réfléchie

O

Interaction d'une onde plane monochromatique avec une paroi d'admittance non nulle, en incidence normale (4/5)

équation de dispersion : k = k 0 = ω c 0

partie stationnaire partie propagative

Interaction d'une onde plane monochromatique avec une paroi d'admittance non nulle, en incidence normale (5/5) z

y ^ A

^ B

onde incidente

ici

I=

onde réfléchie

x

[(

)

(

)

vˆ (y; t ) =

ˆ −A e i k y − Rˆ p e −i k y e i ω t ρ 0 c0

)(

)(

)(

soit

z t < 0 : sources acoustique dans le tube

)]

z t = 0 : extinction des sources

2

 1 − Rˆ p 2ρ 0 c 0 

z solutions sont cherchées sous la forme d'une superposition d'ondes planes monochromatiques qui vérifient les conditions aux limites aux deux extrémités en x=0 et x=L



I=0

 ∂2 1 ∂2 Equation de propagation  2 − 2 2 x ∂ c 0 ∂t 

Conditions aux frontières

x

paroi parfaitement rigide

paroi parfaitement rigide

Champ acoustique dans un tube de longueur finie (1/D) (2/5)

z

L

2

ˆ − A

Si la réflexion est totale, Rˆ p = 1

z

p^b

0

ˆ *A ˆ −A e −i k y + Rˆ *p e i k y e i k y − Rˆ p e −i k y + e i k y + Rˆ p e −i k y e −i k y − Rˆ *p e i k y 4ρ 0 c 0

I=

p^a

)

(

avec

matériau d'impédance ^ Z

(

1 * pˆ vˆ + pˆ vˆ* 4

)

ˆ e i k y + Rˆ e −i k y e i ω t pˆ (y; t ) = A p

O

I=

(

r 1 *r r I = pˆ vˆ + pˆ vˆ* 4

Intensité acoustique

Champ acoustique dans un tube de longueur finie (1/D) (1/5)

vˆ x (0; t ) = 0

  pˆ(x; t ) = 0 , ∀ x ∈ [0, L] , ∀ t ≥ 0   0

p^ a p^ b

L x

vˆ x (L; t ) = 0 ∀t≥0

∀t≥0 → → n n ∂ pˆ (x; t ) = 0 , ∀ t ≥ 0 en x = 0 et x = L ∂n ∂ ∂ n = − ∂ ∂ x en x = 0 et ∂ ∂ n = + ∂ ∂ x en x = L avec

Champ acoustique dans un tube de longueur finie (1/D) (3/5) z

Source éteinte à t = 0

z

Solution cherchée à caractère harmonique

z

Equation de Helmholtz

z

Conditions aux frontières

[

(

pˆ (x; t ) = Pˆ(x ) e i ω t

)]

 2 2  ∂ xx + ω c 0 Pˆ (x ) = 0 , ∀ x ∈ [0, L],  ˆ ∂ x P (x ) = 0 , x = 0 et x = L ,

p^ a L x

p^ b

(

ˆ −ik x + B ˆe Š pˆ (x; t ) = pˆ a (x; t ) + pˆ b (x; t ) = A e

ikx

)e

iωt

, ∀ x ∈[0, L]

avec équation de dispersion : k = k 0

vˆ x =

Š Vitesse particulaire

Pˆ (x ) −1 −1 ˆ e −i k x + B ˆ e i k x ei ω t −A ∂ x pˆ = ρ0 c0 i ωρ 0

(

)

Š Conditions aux frontières  2 2 ˆ +B ˆ e iωt = 0 , ∀ t , −A  ∂ xx + ω c 0 Pˆ (x ) = 0 , ∀ x ∈ [0, L],  ˆ −i k L ˆ i k L i ω t  ˆ + Be =0 , ∀ t . e −Ae ∂ x P (x ) = 0 , x = 0 et x = L , ˆ =B ˆ , A , m ∈ ² k L = m π c.à.d. soit 2 i sin (k L ) = 0 ˆ −i k L + e ikL = 0 . A − e mπ , m ∈² km = valeurs propres 2 i sin (k L ) L

[

z

0

Solutions du problème

(

(

( (

)]

)

)

)

ˆ =0 , ∀ m Š Solution triviale A m

SAUF SI ωm mc 0 m πc 0 = ; fréquences propres f m = pulsations propres ω m = k m c 0 = 2π 2L L

5

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Champ acoustique dans un tube de longueur finie (1/D) (4/5) z

z

z

Champ complexe porté par chaque mode m

(

)

(

ˆ e −i k m x + e i k m x ei ω m t = 2 A ˆ cos k x e i ω m t pˆ m (x; t ) = A m m m

Š vitesse

vˆ x m (x; t ) =

ρ0 c0

(− e

−i k m x

+e

ik m x

)e

iω m t

=

Champ réel porté par chaque mode m Š pression

)

Š pression

ˆ −A m

Champ acoustique dans un tube de longueur finie (1/D) (5/5)

ˆ − 2i A m ρ0 c0

(

)

∞

m =0

m =0

(

ˆ cos k x ei ω m t pˆ (x; t ) = ∑ pˆ m (x; t ) = ∑ 2 A m m

Š vitesse

vˆ x (x; t ) = ∑ v x m (x; t ) = ∑

∞

∞

ˆ − 2i A m

m =0

m=0

ρ0 c0

(

) iω

sin k m x e

∞

∞

m=0

m=0

∞

0.4 0.2 0.25

L/4

0.5

L/2

3L/4

0.75

-0.2

m=2

Equation de propagation

z

Equation de Helmholtz

z

) (

0.25

L

3L/4

0.5

L/4

0.75

L/2

1

vitesse

m=2

-0.8 -1

Equation de propagation  ∂2 1 ∂ 2  ∂2 ∂2  pˆ (x , y, z ; t ) = 0 , ∀ (x , y, z ) ∈ V , ∀ t + − +  ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z 2 c 02 ∂ t 2   

z

Solutions à variables séparées pˆ (x , y, z; t ) = Xˆ (x ) Yˆ (y ) Zˆ (z ) Tˆ (t ) ˆ 1 ∂ 2Y ˆ 1 ∂ 2 Zˆ 1 ∂ 2X 1 1 ∂ 2 Tˆ + + = , ∀ (x , y, z ) ∈ V , ∀ t ˆ ∂x2 Y ˆ ∂ y 2 Zˆ ∂ z 2 Tˆ c 2 ∂ t 2 X 0

Pas de solution générale connue à l'équation de Helmholtz en dehors du cas de propagation unidimensionnel :

(

0

Solutions de problèmes à 3 dimensions (2/5)

2    ∆ − 1 ∂  pˆ (rr ; t ) = 0 , ∀ rr ∈ V , ∀ t  c 02 ∂ t 2      2 ∆ +  ω   Pˆ (rr ; ω) = 0 , ∀ rr ∈ V   c 0    

r r r r r pˆ ( r ; t ) = fˆ n ⋅ r − c 0 t + gˆ n ⋅ r + c 0 t

0

-0.6

-1

z

m=1

-0.4

-0.8

Solutions de problèmes à 3 dimensions (1/5)

0

L

1

-0.4 -0.6

)

0.6

0.2

0

(

0.8

pression

0

)

1

0.4

0

(

2 ∑ Aˆ m sin k m x sin (ωm t + α m ) ρ 0 c 0 m =0

v ( x; t ) = ∑ v m ( x; t ) =

0.6

-0.2

)

∞

m=1

0.8

t

(

sin k m x sin (ω m t + α m )

ρ0 c0

1

ˆ = A ˆ e iα m A m m

avec

]

m =0

m

)

ˆ cos k x cos (ω t + α ) p ( x; t ) = ∑ p m ( x; t ) = 2 ∑ A m m m m

Š vitesse

)

Š pression

(

ˆ 2A m

Champ total réel : superposition de modes propres Š pression

Champ total : superposition de modes propres ∞

[

iω m t

z

]

v m (x; t ) = Re vˆ m (x; t ) =

Š vitesse

sin k m x e

[

ˆ cos k x cos (ω t + α ) p m (x; t ) = Re pˆ m (x; t ) = 2 A m m m m

)

fonction de x,y,z

Solutions à variables séparées ou représentation intégrale

fonction de t

= − k 02

Š Coordonnées cartésiennes

ˆ (x ) Y ˆ (y ) Zˆ (z ) Tˆ (t ) pˆ (x , y, z; t ) = X

Š Coordonnées cylindriques

ˆ (ψ ) Zˆ (z ) Tˆ (t ) pˆ (r , ψ, z; t ) = Rˆ (r ) Ψ

Š Coordonnées sphériques

ˆ (θ ) Ψ ˆ (ψ ) Tˆ (t ) pˆ (r , θ, ψ; t ) = Rˆ (r ) Θ

∂ Tˆ + ω 2 Tˆ = 0 , ∀ t ∂t2 2

on pose k 02 c 20 = ω 2

e

i ωt

choix d'une convention temporelle

e −i ω t

ˆ e iωt Tˆ (t ) = G

Solution à variables séparées ≡ Base sur laquelle toute solution de problème peut être exprimée

Solutions de problèmes à 3 dimensions (3/5) z

Solutions de problèmes à 3 dimensions (4/5) z

Solutions à variables séparées - solution en x

ˆ 1 ∂ 2 Zˆ 1 ∂ 2Y =− − k 02 + k 2x , ∀ (y, z ) ∈ V ˆ ∂z2 ˆ ∂y2 Z Y

ˆ ˆ 1 ∂ 2Z ˆ 1 ∂ 2Y 1 ∂ 2X =− − − k 02 , ∀ (x , y, z ) ∈ V ˆ ∂ y 2 Zˆ ∂ z 2 ˆ ∂x2 Y X

fonction de x

fonction de y

ˆ ∂ 2X ˆ =0 , ∀ x + k 2x X ∂x2

fonction de z = − k 2y

fonction de y,z = − k 2x

Solutions à variables séparées - solution en y

ˆ e −i k x x + B ˆ (x ) = A ˆ e ik x x X ˆ ˆ ˆ ' sin k x ou X (x ) = A ' cos k x x + B x

(

)

(

(

ˆ '= A ˆ +B ˆ ˆ et B ˆ '= i B ˆ −A avec A

)

ˆ ∂ 2Y ˆ =0 , ∀ y + k 2y Y ∂y2

)

z

ˆ (y ) = Cˆ e y + D ˆe y Y ˆ ' cos k y + D ˆ (y ) = C ˆ ' sin k y Y y y −i k y

ou

(

ik y

)

(

)

Solutions à variables séparées - solution en z ˆ 1 ∂ 2Z = − k 20 + k 2x + k 2y , ∀ z ∈ V Zˆ ∂ z 2

fonction de z

constante

= − k 2z ∂ 2 Zˆ + k 2z Zˆ = 0 , ∀ z ∂z2

ˆ (z ) = Eˆ e z + Fˆ e z Z ˆZ (z ) = Eˆ ' cos k z + Fˆ' sin k z z z −i k z

ou

(

ik z

)

(

)

6

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Ondes en espace 3D infini

Solutions de problèmes à 3 dimensions (5/5) z

Solutions à variables séparées

(

ˆ e pˆ (x, y, z; t ) = A 0

)(

)(

)

ˆ Rˆ e +A 0 1

ˆ e −i k x x + B ˆ e −i k y y + D ˆ e ik x x C ˆ e i k y y Eˆ e −i k z z + Fˆ e i k z z e i ω t pˆ (x , y, z; t ) = A

X(x)

[

(

Y(y)

)

Z(z)

) ] [Cˆ' cos (k y y ) + Dˆ' sin (k y y ) ] ⋅ [Eˆ ' cos (k z z ) + Fˆ' sin (k z z ) ] cos (ω t ) .

(

ou

(

)(

)(

)

ˆ e −i k x x + Rˆ e i k x x e −i k y y + Rˆ e i k y y e −i k z z + Rˆ e i k z z e i ω t pˆ (x, y, z; t ) = A 0 1 2 3

[ ( )

(

) ] [ cos (k y y) + Rˆ'2 sin (k y y) ] ⋅ [ cos (k z z ) + Rˆ'3 sin (k z z ) ] cos (ω t ) .

ˆ ' cos k x + Rˆ' sin k x pˆ (x , y, z; t ) = A 0 x 1 x

ou

sous réserve que : − k 2z = − k 02 + k 2x + k 2y

soit

→

na

milieu 2 ρ2, c2

^ B1

z

z

Milieu 1 : problème bien posé

 ∂2 ∂2 1 ∂ 2   pˆ (x , y; t ) = 0 , − +  ∂ x 2 ∂ y 2 c 22 ∂ t 2  2   ∀ x , ∀ y ≥ 0, ∀ t

^ A1

θ1 θ' 1

^ B1

Š Conditions aux frontières

^ p b onde réfléchie

pˆ 1 (x , y; t ) = pˆ 2 (x , y; t ) , ∀ x , y = 0 , ∀ t r r r r vˆ 1 (x , y; t ) ⋅ n = vˆ 2 (x , y; t ) ⋅ n , ∀ x , y = 0 , ∀ t

x

O

onde transmise θ2

^ p 2

1

z

∂ pˆ 1 ∂ pˆ 1 (x, y; t ) = 1 2 (x, y; t ), ∀ x , y = 0 , ∀ t ρ1 ∂ y ρ2 ∂y

(

a

1

Š Conditions de rayonnement à l'infini

)

z

Milieu 1 : solution

Milieu 2 : solution r r  n2⋅r   pˆ 2 (x, y; t ) = fˆ 2  t −  c 2  

r r r r  na ⋅r   n ⋅r   + gˆ 1  t − b  pˆ 1 (x , y; t ) = fˆ 1  t −    c 1  c1   

pˆ 1 (x ,0; t ) = pˆ 2 (x ,0; t ) , ∀ x , y = 0 , ∀ t

Milieu 2 : problème bien posé

 ∂2 ∂2 1 ∂ 2   − pˆ (x, y; t ) = 0 , +  ∂ x 2 ∂ y 2 c 12 ∂ t 2  1   ∀ x , ∀ y ≤ 0, ∀ t

Š Champ incident entretenu r r fˆ t − n ⋅ r c

^ p 2

)

Š Equation de propagation

x

factorisation d'une fonction de x et de t r r r r r r  n2⋅r   na ⋅r   n ⋅r  ˆ   + gˆ 1  t − b  pˆ 1 (x , y; t ) = fˆ 1  t − et pˆ 2 (x, y; t ) = f 2  t −     c 2  c c 1  1     fonctions égales : fˆ 1 = gˆ 1 = fˆ 2 r r r r r r na ⋅r nb⋅r n2 ⋅r et arguments égaux : t − =t− =t− , ∀ x , y = 0, ∀ t c1 c1 c2 n xax n xbx n x2x milieu 1 ^ A1 ^ = = , ∀ x , y = 0 ρ1, c1 θ1 θ' B1 1 ^ c1 c1 c2 p ^ a p b onde incidente n xa n xb n x2 onde réfléchie = = c1 c1 c2 x O milieu 2 onde transmise sin θ 1 sin θ'1 sin θ 2 ρ2, c2 = = θ2 ^ c1 c1 c2 p 2 θ 1 = θ'1

(

r −i k i ⋅ OM − ω t

Š Equation de propagation

soit

Lois de Snell-Descartes

avec

y

Réflexion et transmission à l'interface entre deux milieux fluides différents (2/3)

Réflexion et transmission à l'interface entre deux milieux fluides différents (3/3) Š Conditions aux frontières

(8) y

y

ˆ e pˆ i (x , y, z; t ) = A i

y

y

z

y

x e −i (k x x − k y y− k z z −ω t ) z

(7)

y

onde transmise

θ2

y

(6)

(5)

milieu 2 ρ2, c2

^ p b onde réfléchie

O

(4)

(3)

x e −i (k x x + k y y + k z z −ω t ) x e −i (− k x x − k y y− k z z −ω t ) x e −i (−k x x + k y y+ k z z −ω t ) z z z

^ p a onde incidente

θ1 θ' 1

ˆ Rˆ Rˆ e −i (k x x − k y y −k z z −ω t ) +A 0 2 3

y

y

milieu 1 ρ1, c1

^ p a onde incidente

)

(2)

(1)

k 0 = ω c0

Réflexion et transmission à l'interface entre deux milieux fluides différents (1/3) r r source à l'infini : fˆ 1 (t − n a ⋅ r c 1 )

^ A1

ˆ Rˆ Rˆ Rˆ e −i (−k x x −k y y− k z z −ω t ) + +A 0 1 2 3

ˆ Rˆ Rˆ e −i (−k x x + k y y− k z z −ω t ) + A ˆ Rˆ e −i (k x x − k y y + k z z −ω t ) , +A 0 1 3 0 2 z z z

z

équation de dispersion

milieu 1 ρ1, c1

)

x e −i (k x x + k y y −k z z −ω t ) x e −i (−k x x −k y y+ k z z −ω t ) x e −i (−k x x + k y y −k z z −ω t ) x e −i (k x x − k y y + k z z −ω t )

k 2x + k 2y + k 2z = k 02

avec

(

−i − k x x + k y y + k z z − ω t

ˆ Rˆ e −i (k x x + k y y− k z z −ω t ) + A ˆ Rˆ Rˆ e −i (− k x x − k y y+ k z z −ω t ) +A 0 3 0 1 2

T(t)

ˆ ' cos k x + B ˆ ' sin k x pˆ (x , y, z; t ) = A x x

ou

(

−i k x x + k y y + k z z − ω t

Surfaces des lenteurs cas où c1 < c2

θ1 θ'1

1 c1

fluide 1 x fluide 2 sin θ 1 c1

θ2 1 c2

sin θ'1 sin θ 2 = c1 c2

y

y

7

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Réflexion et transmission à l'interface entre deux milieux fluides différents - régime harmonique (1/12) r r r r ωr k a = k 1 n a = n a = k x e x + k y1 e y c1 r ^ ˆ e −i (k a ⋅ OM−ω t ) pˆ (x, y; t ) = A a

A1

1

θ1

θ '1

^p

Réflexion et transmission à l'interface entre deux milieux fluides différents - régime harmonique (2/12)

^ B1

b

∂ pˆ 1 ∂y

1

ˆ e pˆ 2 (x, y; t ) = A 2

z

^ p

a

ˆ e −i (k x x + k y 1 y−ω t ) + B ˆ e −i (k x x − k y 1 y−ω t ) pˆ 1 (x, y; t ) = pˆ a (x, y; t ) + pˆ b (x, y; t ) = A 1 1

z

r r r r ωr k b = k 1 n b = n b = k x e x − k y1 e y c1 r ˆ e −i (k b ⋅ OM−ω t ) pˆ (x, y; t ) = B

onde réfléchie

z

milieu 2 ρ2, c2

z

θ2

i k y1 ρ1 k y1 ρ1

Réflexion et transmission à l'interface entre deux milieux fluides différents - régime harmonique (3/12)

− cos θ 2 Z 2 + cos θ 1 Z 1 Rˆ p = cos θ 2 Z 2 + cos θ 1 Z 1

Tˆp =

2 cos θ 1 Z 1 cos θ 2 Z 2 + cos θ 1 Z 1

Tˆp =

Rˆ p =

2 k y1 ρ1 k y 2 ρ 2 + k y1 ρ1

Z 2 cos θ 2 − Z 1 cos θ 1 Z 1 cos θ 1 + Z 2 cos θ 2

ou

Tˆp =

2 Z 2 cos θ 2 Z 1 cos θ 1 + Z 2 cos θ 2

Z1 = ρ1 c1 ; Z 2 = ρ 2 c 2 impédances caractéristiques k y 1 = k 1 cos θ 1 ; k y 2 = k 2 cos θ 2

Exemple : ρ1=3000 kg/m3, c1=750 m/s, ρ2=1000 kg/m3, c2=1500 m/s

)

ˆ e +B 1

Rˆ p +

k y2 ρ2

(

−i k x x −ω t

Tˆp =

)

=

−ik y2 ρ2

)

ˆ e −i (k x x −ω t ), ∀ x , y = 0 , ∀ t A 2

k y1 ρ1

en

coefficient de transmission en amplitude de pression

1.2

1.2

1 0.8

1 0.8

0.6 0.4

0.6 0.4

0.2

0.2

0 180

0 180

90

90

0

0

-90

-90 -180

avec

1

module

ρ1

k y 2 ρ 2 + k y1 ρ1

(− Aˆ

phase (degré)

Tˆp =

− k y 2 ρ 2 + k y1 ρ1 module

ρ2

k y1

ˆ e −i k y 2 y e −i (k x x −ω t ) A 2

ˆ e x =A , ∀x,∀t 2 ˆ A ˆ ˆ et Tˆp = A ˆ A ˆ − R p + Tˆp = 1 avec Rˆ p = B 2 1 1 1

+ B1 e

coefficient de réflexion amplitude de pression

phase (degré)

ou

Rˆ p +

Rˆ p =

(

−i k x −ω t

2

Exemple : ρ1=2000 kg/m3, c1=750 m/s, ρ2=2500 kg/m3, c2=1500 m/s

Coefficients de réflexion et de transmission en amplitude de pression − Rˆ p + Tˆp = 1

(x, y; t ) = −i k y

Egalité des vitesses normales en y = 0

^

r r r r ω r k2 =k2n2 = n 2 = k x e x + k y2 e y c2 r − i ( k ⋅ OM − ω t ) 2 ˆ e pˆ 2 (x, y; t ) = A 2

pulsation ω

ρ1

∂ pˆ 2

ˆ +B ˆ ˆ =A A 1 1 2

onde transmise

y

k y2

)

∂y

A1 e

p2

k y1

− A ˆ e −i k y 1 y + B ˆ e i k y 1 y  e −i (k x x −ω t ) 1 1  

Egalité des pressions en y = 0 ˆ −i (k x x −ω t ) ˆ −i (k x x −ω t )

x

O

z

(

−i k x x + k y 2 y − ω t

1

b

onde incidente milieu 1 ρ1, c1

r r OM = xex + yey

(x, y; t ) = i k y

0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 angle d'incidence (degré)

-180 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 angle d'incidence (degré)

angle critique : 30°

Exemple : ρ1=3000 kg/m3, c1=750 m/s, ρ2=1000 kg/m3, c2=1500 m/s coefficient de transmission en amplitude de pression

coefficient de réflexion amplitude de pression

angle critique : 30°

en

angle critique : 30°

8

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Réflexion et transmission à l'interface entre deux milieux fluides différents - régime harmonique (4/12)

Exemple : ρ1=3000 kg/m3, c1=750 m/s, ρ2=1000 kg/m3, c2=1500 m/s z

Ondes évanescentes (1/4)

coefficient de réflexion en énergie

1 c1

θ1 θ'1

θc

fluide 1

fluide 1

x

fluide 2

1 c2

y

coefficient de transmission en énergie

x

fluide 2

1 c2

θ2

θ'1

θ1

fluide 1

sin θ c = c 1 c 2

x

angle critique : 30°

y

Réflexion et transmission à l'interface entre deux milieux fluides différents - régime harmonique (5/12) Ondes évanescentes (2/4) m a θ1

θ1

kx

1 k2 mx = > = ω c2 ω

mb

z

k ω

vecteur lenteur : m =

→

Réflexion et transmission à l'interface entre deux milieux fluides différents - régime harmonique (6/12)

→

→

1 c1

Ondes évanescentes (3/4) rˆ ˆ nr = V ˆ V2 = V 2 2 2

y

1 c2

mx=

k +k

kx

2 y2

=k

2 2

ˆ Tˆ e pˆ 2 (x, y; t ) = A 1 p

2 y2

e

(

−i k x x −ω t

y

critère de rayonnement à l'infini

θc

coefficient de transmission en énergie

9

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Réflexion et transmission à l'interface entre deux milieux fluides différents - régime harmonique (9/12)

Exemple : ρ1=2000 kg/m3, c1=750 m/s, ρ2=2500 kg/m3, c2=1500 m/s coefficients en énergie

z

1.2 1 0.8

milieu 1 ρ1, c1

réflexion

0.6

Conservation de l'énergie →

→

Ib

Ia

→

n1

→

0.4

n3

0.2

σ milieu 2 ρ2, c2

0 1.2 1 0.8

transmission

0.6

(Σ1)

→

n4 O

x

→

I2

y

10 20 30 40 50 60 70 80 90 angle (degré)

(S) = Σ1+Σ2+σ ∞

0

⌠⌠ r r ⌠⌠ r r c.à.d.  I 1 ⋅ n 1 d Σ 1 +  I 2 ⋅ n 2 d Σ 2 = 0 ⌡⌡ Σ 1 ⌡⌡ Σ 2

(

)

⌠⌠ ⌠⌠ c.à.d.  − I y a + I y b d Σ 1 +  I y 2 d Σ 2 = 0 ⌡⌡ Σ 1 ⌡⌡ Σ 2

0.2 0

avec

(Σ2)

→

n2

0.4 0

⌠⌠ r r Φ tot =  I ⋅ n d S = 0 ⌡⌡ S

r div I = 0

(− I )+ I

− I ya − I yb + I y2 = 0

yb

y2

= I ya

angle critique : 30°

Réflexion et transmission à l'interface entre deux milieux fluides différents - régime harmonique (11/12) z

Flux d'énergie transmis I y2

(

)

1 ˆ 1 = pˆ *2 vˆ y 2 + pˆ 2 vˆ *y 2 = A1 4 4

2

Tˆ p

2

1 ρ2 ω

1 c1

θ1 θ'1

(

fluide 1

fluide "léger " Fo /fluide "lourd " F1

Wo ( x )

)

kˆ y 2 + kˆ *y 2 e

θc

Faisceau gaussien incident sur une interface (1/6)

−i  kˆ y 2 − kˆ *y  y 2  

 x2  2  a 

Emetteur gaussien : Wo ( x ) = Wo exp  − 1 c1

θc

x

a

fluide 1

x

fluide 2 θ2

θ < θc

1 c2

y 1 ˆ 2 ˆ 2 cos θ 2 A1 T p I y2 = 2 Z2 conservation de l'énergie : 2 cos θ 2 k 2 ρ 1 2 1 = Rˆ p + Tˆ p cos θ 1 k 1 ρ 2 ou 2 2 Z 1 cos θ 1 ˆ 1= Rp + Tˆ p Z 2 cos θ 2

x

fluide 2

θ > θc

1 c2

Fluide ("léger") 1/2 infini

Fo

y I y2 = 0

Incidence sous-critique, haute fréquence (k0a = 40)

ρ 0 ρ 1 = 0,5

Programmes réalisés par Ph. Gatignol, Pr., Université de Technologie de Compiègne

Fluide ("lourd") 1/2 infini

F1

Programmes réalisés par Ph. Gatignol, Pr., Université de Technologie de Compiègne

Incidence sous-critique, basse fréquence (k0a = 10)

ρ 0 ρ 1 = 0,5

Programmes réalisés par Ph. Gatignol, Pr., Université de Technologie de Compiègne

10

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Incidence presque critique, haute fréquence (k0a = 40)

ρ 0 ρ 1 = 0,5

Incidence presque critique, basse fréquence (k0a = 10)

ρ 0 ρ 1 = 0,5

Programmes réalisés par Ph. Gatignol, Pr., Université de Technologie de Compiègne

Programmes réalisés par Ph. Gatignol, Pr., Université de Technologie de Compiègne

Incidence critique, haute fréquence (k0a = 40)

ρ 0 ρ 1 = 0,5

Incidence critique, basse fréquence (k0a = 10)

ρ 0 ρ 1 = 0,5

Programmes réalisés par Ph. Gatignol, Pr., Université de Technologie de Compiègne

Programmes réalisés par Ph. Gatignol, Pr., Université de Technologie de Compiègne

Incidence sur-critique, haute fréquence (k0a = 40)

Incidence sur-critique, basse fréquence (k0a = 10)

ρ 0 ρ 1 = 0,5

Programmes réalisés par Ph. Gatignol, Pr., Université de Technologie de Compiègne

ρ 0 ρ 1 = 0,5

Programmes réalisés par Ph. Gatignol, Pr., Université de Technologie de Compiègne

11

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Réflexion et transmission à l'interface entre deux milieux fluides différents - régime harmonique (12/12) z

Interface air - eau Z 1 >Z1

x Source S monochromatique ω

zs

^ A

l 0

^ B z

ρ 0 ρ 1 = 500

Programmes réalisés par Ph. Gatignol, Pr., Université de Technologie de Compiègne

12

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Guide bidimensionnel (2/8)

Guide bidimensionnel (3/8)

x

x

z ^ A

l

z

Equation de propagation

 ∂2 ∂2 1 ∂ 2   pˆ(x, z; t ) = 0 , ∀ x ∈ [0, l ] , ∀ z ≥ 0 , ∀ t + −  ∂ x 2 ∂ z 2 c 02 ∂ t 2    z z Champ monochromatique pˆ(x , z; t ) = Pˆ (x , z )e i ω t

^ B

^ A

l

Forme du champ

[

z

Equation de dispersion k 2x + k 2z = k 20 avec k 0 = ω c 0

z

incident imposé (non précisé)  2 2    ∂ + ∂ + ω   ∂ x 2 ∂ z 2  c 0  

z

Equation de Helmholtz

z

Conditions aux frontières

2

  Pˆ (x, z ) = 0 , ∀ x ∈ [0, l ] , ∀ z ≥ 0  

∂ pˆ (x, z; t ) = 0, ∀ z ≥ 0, ∀ t ∂n

en x = 0 et

z

[

(

)

ˆ −B ˆ e −i k z z e i ω t , en x = 0, ∀ z ≥ 0 , ∀ t ik x A

(

x=l

ˆ =B ˆ A

ˆ −B ˆ =0 A ˆe A

ik x l

ˆe −B

k xm =

mπ , m∈² l m

k

2 xm

=k −k

c.à.d.

k

dépend de m

2 cas :

k

2 zm

>0

ou k

2 zm

2 zm

 ω = c0 

(

ik x m x

+e

−i k x m x

parois du guide

vˆ x m (x, z; t )

z

dépend de m

y

λzm/2

0 c.à.d. ω > l

mπ , m∈² l

[

Š

(

)

∞ −i k z m z  i ω t  ∞ ˆ pˆ (x, z; t ) = ∑ pˆ m (x , z; t ) = 2  ∑ A e m cos k x m x e m=0  m=0 

z

ˆ cos k x cos ω t − k z + α et p m (x, z; t ) = Re pˆ m (x , z; t ) = 2 A m xm zm m

−i k z m z  i ω t 2i  ∞ ˆ vˆ x (x , z; t ) = ∑ vˆ x m (x , z; t ) = −  ∑ A m k x m sin k x m x e e ρ 0 ω  m =0 m =0 

vˆ z (x, z; t ) = ∑ vˆ z m (x , z; t ) =

λzm/2

0

Guide bidimensionnel (7/8)

Champ de vitesse total ∞

)

t fixé

k xm = m (x , z; t ) =

(

2

Vitesse portée par chaque mode m

i

k x l = m π , m∈²

champ d'ondes stationnaires à caractère modal suivant Ox, et qui se translate suivant Oz.

Guide bidimensionnel (6/8)

r vˆ

)

ˆ cos k x e −i k z m z e i ω t pˆ m (x , z; t ) = 2 A m xm

 e −i k z m z e i ω t 

x

z

(

Pression portée par chaque mode m

ˆ  e pˆ m (x , z; t ) = A m 

2   −  m π   l   

ne dépend pas de m

)

ˆ e i k x l − e −i k x l = 0 A

=0

Guide bidimensionnel (5/8) z

à laquelle est associée (équation de dispersion) une suite de nombres d'onde kz tels que

2 0

−i k x l

2 i sin k x l

Solutions du problème

2 zm

)

ˆ eik x l − B ˆ e −i k x l e −i k z z e i ω t , en x = l, ∀ z ≥ 0 , ∀ t ik x A

Champ propagatif dans le sens des z croissants (pas d'onde retour)

ˆ = 0, ∀ m SAUF SI k prend une suite de valeurs propres A m x

]

∂ pˆ (x , z; t ) ˆ e −i (− k x x + k z z ) − B ˆ e −i (k x x + k z z ) e i ω t = ik x A ∂x

avec

Guide bidimensionnel (4/8) z

∂ Pˆ (x, z ) = 0 , ∀ z ≥ 0 , ∀ t , en x = 0 et x = l ∂x

Conditions aux frontières

∂ Pˆ (x, z ) = 0 , ∀ z ≥ 0 , ∀ t , en x = 0 et x = l ∂x

z

]

ˆ e −i (−k x x + k z z ) + B ˆ e −i (k x x + k z z ) e i ω t pˆ (x, z; t ) = A

^ B

0

(m + 1) π c mπ c0 0 l l ω

source

modes évanescents

13

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Guide bidimensionnel (8/8) z

Vitesse de phase (modes propagatifs) : 1/4 [

Mode plan k x m=0 = 0 k z m=0

(

ˆ cos ω t − k z + α p m =0 (x , z; t ) = 2 A 0 z0 0

ω = c0

)

(m − 1) π c

2π 3π c0 c0 l l

l

vˆ x m (x , z; t )

z

π c0 l

0

0

source

(m − 1) π c

2π 3π c0 c0 l l

l

y λzm/2

x

m

c ϕm

z

l

section d'onde

(m + 1) π c mπ c0 0 l l

dz ω = d t k zm

→

cϕ

y 0

ω t − k z m z + α m = constante

λzm

λzm

λzm

modes évanescents

z vitesse de déplacement d'un observateur particulier pour lequel l'onde apparaît immobile (observateur lié à une "section d'onde") :

λzm/2 0

x

)

(ω c 0 ) 2 − (m π l) 2

λ zm = 2π k zm = 2π

parois du guide

(m + 1) π c mπ c0 0 l l ω

modes propagatifs

mode plan propagatif

) (

(

t fixé

onde plane progressive dans la direction des z croissants

π c0 l

0

]

ˆ cos k x cos ω t − k z + α p m (x, z; t ) = Re pˆ m (x , z; t ) = 2 A m xm zm m

c ϕm =

ω =ω k zm

(ω c 0 )2 − (m π l) 2

modes évanescents

ω source

Vitesse de phase (modes propagatifs) : 2/4 ω =ω k zm

→

cϕ

x

kz

m

→

→

cϕ

m

ν2 −m2

c ϕm c 0 = ν

ν = ω ωc

et

ω c = π c0 l

8

plan d'onde

k

z

ou encore

→∞

→

k

(ω c 0 ) 2 − (m π l ) 2

=ω

10

→

m

c0 n

→

c0 n

k zm

avec

k z =0

x

m

c ϕm =

(ω c 0 )2 − (m π l) 2

z

cϕm/c0

c ϕm =

Vitesse de phase (modes propagatifs) : 3/4 ω

6

4

m=1

m=0

2

m=4

m=3

m=2

m=5

m=6

1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ω/ωc

Vitesse de phase (modes propagatifs) : 4/4 z

Vitesse de groupe (1/2)

Généralisation direction d'observation quelconque

r ω cϕ m ≥ = c 0 k

r r ω n ⋅ cϕ m = k

M

k zm r r cgm = c0 n⋅ez = c0 k

plans d'onde direction perpendiculaire aux plans d'onde

→

cϕ

O

→ k

m

→ n

ω k

onde guidée : x

m

kz

r ω r n =c0 n k

Vitesse de phase appréciée parallèlement au guide

m

→

c0 n

=

cgm =

∂ω =1 ∂k zm

 ∂k zm   ∂ω 

→

→

x

c ϕm =

→

k

z

ω

c 02 ω

(ω c 0 ) 2 − (m π l ) 2

   

cg

m

cϕ

m

kz

m

→

c0 n

→

cϕ

r

cϕ cano Vitesse de phase "canonique" ou intrinsèque : évaluée dans la direction perpendiculaire aux plans d'onde

et

cgm =

→

k

z

k zm

14

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Vitesse de groupe (2/2) cgm =

c 02 ω

(ω c 0 ) 2 − (m π l ) 2

Faisceau gaussien incident sur une couche fluide

c gm c0 = ν 2 − m 2 ν

ou encore

couche fluide ("lourd") immergée dans un fluide "léger"

avec ν = ω ω c et ω c = π c 0 l

c ϕm c 0

m=0

k zm

x

m=2

m=4

m=3

m=5

0 1

2

3

4

5

k xm =

m=6 6

7

8

9

sin θm =

plus m augmente, plus θm diminue

k zm k0

=

1 k0

2

 ω   mπ2   −  c 0   l   

modes propagatifs

ρ 2 ρ 1 = 0,2

haute fréquence (k0a = 40), θ = θm4

ρ 0 ρ 1 = 0,2

Programmes réalisés par Ph. Gatignol, Pr., Université de Technologie de Compiègne

Les pavillons (2/2) z

Gramophone N° 9 (1904) http://perso.wanadoo.fr/jlf/phonos.htm

ρ 2 ρ 1 = 0,2

Programmes réalisés par Ph. Gatignol, Pr., Université de Technologie de Compiègne

Les pavillons (1/2) Les phonographes

http://perso.wanadoo.fr/jlf/phonos.htm

 ω   mπ2 k zm =   −   c 1   l   

Programmes réalisés par Ph. Gatignol, Pr., Université de Technologie de Compiègne

haute fréquence (k0a = 40), θ = θm5

Edison Home Phonograph (1910)

2

mπ , m∈² l

10

ω/ωc

ρ 0 ρ 1 = 0,2

condition de pression nulle

Fo

c gm c0

0

F1

Fluide ("léger") 1/2 infini

m=1

1

condition de pression nulle

z

Couche fluide ("lourd")

x

a

Fo

Fluide ("léger") 1/2 infini

2

z

 x2  Wo ( x ) = Wo exp − 2   a 

θm

3

z

Wo ( x )

Emetteur gaussien :

Les cornets acoustiques

http://www.inrp.fr/she/instruments/ lyc_bdb/acoustique.htm

Expériences faites en 1826 sur le lac de Genève par les physiciens Colladon et Sturm

Les porte-voix

http://www.beethoven-france.org/Beethoven/ Luwig-van-Beethoven.html

15

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Propagation dans les pavillons, théorie à 1 paramètre (1/6) z

Propagation dans les pavillons, théorie à 1 paramètre (2/6) z

Hypothèses

Conservation du débit à la discontinuité δS

9 loi de conservation de la masse : S2

r

x

Σ = S1 + S 2 + δS

9 surfaces équiphases quasi-planes 9 lente variation du rayon en fonction de x 9 vitesse particulaire orientée suivant x

z

⌠⌠ ⌠ ∂ ρ ⌠⌠ r r d V = − ⎮⎮ ρ v ⋅ n d σ ⎮⎮ ⎮ ⌡⌡ Σ ⌡⌡ ⌡ V ∂ t

S1

x

∂ρ →0 ∂t avec h→0

≈ hS2

δS

Discrétisation sous la forme d'une succession de guides cylindriques élémentaires à parois parfaitement rigides

h r ⌠⌠ r r ⌠⌠ ⌠⌠ r r ⌠⌠ r r ⎮ ⎮ ρ v ⋅ n dσ = ρ 0 ⎮ ⎮ v ⋅ n dσ + ρ 0 ⎮ ⎮ v ⋅ n d σ + ρ 0 ⎮ ⎮ v ⋅ n d σ ⌡⌡ Σ ⌡⌡ S 1 ⌡⌡ S 2 ⌡⌡ δ S

x

Propagation dans les pavillons, théorie à 1 paramètre (3/6) z

9 Conservation du débit à la discontinuité dv = −

c.à.d.

9 Utilisation du potentiel des vitesses v =

⎡ S' 1 ∂ 2ϕ ⎤ d ϕ' = d ϕ'1 +d ϕ'2 = ⎢− ϕ'+ 2 ⎥dx 2 S c 0 ∂t ⎥ ⎣⎢ ⎦

∂ϕ ∂x

ϕ"+

d ϕ'1 = −

∂ ϕ 1 ∂ ϕ = ∂ x 2 c 02 ∂ t 2

soit

d ϕ'2 =

(

× −1 ρ 0

1 ∂ ϕ dx c 02 ∂ t 2 2

en posant

Solutions de l'équation des pavillons exponentiels infinis

Or

p = −ρ 0

S (x ) = S 0 e

2α x

∂ϕ ∂t

Propagation dans les pavillons, théorie à 1 paramètre (6/6) z

Solutions de l'équation des pavillons exponentiels infinis ω ω2 − α2 c 02

2

ω2 =0 c 02

k = ± iα ±

: 9 Vitesse de groupe :

ω −α2 c 02 2

9 Solutions physiques non divergentes du problème e −α x e

i

ω2 c 02

−α 2 x

ei ωt

et

e −α x e

−i

ω2 c 02

ei ω t

Si f ≤ f c Si

x amplitude croît cornets acoustiques

cg =

=

⎛f ⎞ 1− ⎜ c ⎟ ⎝f ⎠

∂ω ⎛f ⎞ = c0 1 − ⎜ c ⎟ ∂k ⎝f ⎠

x amplitude décroît porte-voix

2

fc =

*

2 ⎞ ⎛f ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ + 1− ⎜ c ⎜ f ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ ⎠

⎛fc ⎞ e −2 α x 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ 2 ρ0 c 0 ⎝ f ⎠

densité d'énergie : E =

(

I = c 0 1− f c / f E

fréquence de coupure :

2

⎧⎛ ⎛fc pˆ pˆ * ⎪ ⎜ ⎨ 1 − ⎜⎜ 4 ρ 0 c 0 ⎪ ⎜⎜ ⎝ f ⎩⎝ : I=0

f >fc : I=

S (x ) = S 0 e 2 α x

c0

9 Intensité acoustique : I = −α 2 x

2

Equation dite de Webster (proposée en premier lieu par Lagrange et Bernoulli)

9 Vitesse de phase : c ϕ =

S' 1 ∂ ϕ =0 9 Report dans l'équation de propagation ϕ"+ ϕ'− 2 S c0 ∂t 2

)

∂ p 1 ∂ p ∂ ln S ∂ p − + =0 ∂x ∂x ∂ x 2 c 02 ∂ t 2 2

∂ϕ ϕ'2 = ∂x

9 Forme des solutions : e ± ikx eiωt

k2 m 2i α k −

∂ ∂ 2ϕ S' ∂ ∂ ϕ 1 ∂ 3ϕ =0 + − ∂t ∂x 2 S ∂t ∂x c2 ∂t3 0

S' ϕ' d x S

Propagation dans les pavillons, théorie à 1 paramètre (5/6) z

∂ ∂t

S' 1 ∂ 2ϕ ϕ'− 2 =0 S c0 ∂t 2

9 Entre deux changements de section 2

v S = constante

soit

Equation de propagation - suite

v dS dx S dx

"responsabilité" du changement de section dans la variation élémentaire de la dérivée dϕ'1 du potentiel des vitesses

2

v 1 S1 = v 2 S 2

c.à.d.

9 Variation totale dϕ' sur la longueur dx

dv dS =− v S

⎛∂ϕ⎞ dS d x ⎛ ∂ ϕ ⎞ ⎟d x ⎜ ⎟⎟ = − d ⎜⎜ S ⎜⎝ ∂ x ⎟⎠ ⎝∂x⎠ ∂ϕ dS En posant ϕ'1 = et S' = ∂x dx

)

Propagation dans les pavillons, théorie à 1 paramètre (4/6) z

Equation de propagation

v S = constante

(

≈ ρ0 − v 1 S 1 + v 2 S 2

⌠⌠ r ⎮⎮ v ⋅ d S = 0 ⌡⌡ Σ

dx

→0

≈ +v 2 S 2

≈ −v 1 S 1

αc0 2π

2 ⎫ ⎞ ⎪ ⎟ ⎬ ⎟ ⎠ ⎪ ⎭

2

ρ0 pˆ pˆ * e −2 α x = vˆ vˆ * + 4 4 ρ 0 c 02 2 ρ 0 c 02

)2 = c g

16

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Exemple d'un pavillon replié (1/2)

Exemple d'un pavillon replié (2/2)

Figure extraite de Mario Rossi, Traité d'électricité, Volume XXI, Electroacoustique, Presses Polytechniques Romandees, 1986

Exemple du tuba

Exemple du cor des Alpes

http://www.gleblanc.com/

17

Transparents basés sur C. POTEL, M. BRUNEAU, Acoustique Générale - équations différentielles et intégrales, solutions en milieux fluide et solide, applications, Ed. Ellipse collection Technosup, 352 pages, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

18

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Solutions de l'équation de propagation z

z

Equation de propagation

Equation de Helmholtz 2    ∆ + ω  Pˆ (rr ; ω) = −Fˆ (rr ; ω) 2   c 0  

2    ∆ − 1 ∂  pˆ (rr ; t ) = −fˆ (rr ; t ) 2  c 0 ∂ t 2  

Chapitre 5 FORMULATION ANALYTIQUE DE PROBLEMES LINEAIRES FONDAMENTAUX DE L'ACOUSTIQUE EN MILIEU FLUIDE HOMOGENE, INDEPENDANT DU TEMPS ET AU REPOS : LES SOLUTIONS FONDAMENTALES EN COORDONNEES CYLINDRIQUES

3 Pas de solution générale connue en dehors du cas de propagation unidimensionnel 3 Si les frontières du domaine coïncident avec des surfaces de coordonnées curvilignes séparables solutions à variables séparées "base" sur laquelle toute solution peut être développée famille complète

Choix de système de coordonnées z

z

Coordonnées cartésiennes

z

a

y 0

Coordonnées cylindriques

Equation de propagation

z

Equation de Helmholtz

Pas de solution générale connue à l'équation de Helmholtz en dehors du cas de propagation unidimensionnel :

fonctions de Bessel

z

(

A cos ( ω t - k x )

x L

fonctions circulaires

z

polynômes de Legendre

z

z

z

y

O x

r

ψ

y

→

ez

x

Bc

→

eψ →

er

Les principaux opérateurs en coordonnées cylindriques grad U =

z

∂U r 1∂U r ∂U r er + eψ + ez ∂r ∂z r ∂ψ

(

(

)

∂2 U 1 ∂U 1 ∂2 U ∂2 U + + + ∆ U = div grad U = ∂ r2 r ∂ r r 2 ∂ ψ 2 ∂ z2

et

( )

r r r ∆ A = grad div A − rot rot A

Equation de propagation

2    ∆ − 1 ∂  pˆ (r, ψ, z; t ) = 0  c 20 ∂ t 2  

ˆ (ψ ) Zˆ (z ) Tˆ (t ) pˆ (r, ψ, z; t ) = Rˆ (r ) Ψ

Solutions à variables séparées 2

fonction de r,ψ,z

)

)

Equation de propagation

ˆ 1 ∂ 2 Zˆ 1 ∂ Rˆ 1 ∂ Rˆ 1 1 ∂ Ψ 1 1 ∂ 2Tˆ + + = , ∀ (r, ψ, z ) ∈ V , ∀ t + ˆ ∂ ψ 2 Zˆ ∂ z 2 Tˆ c 2 ∂ t 2 Rˆ ∂ r 2 r Rˆ ∂ r r 2 Ψ 0

)

(

ˆ (θ ) Ψ ˆ (ψ ) Tˆ (t ) pˆ (r , θ, ψ; t ) = Rˆ (r ) Θ

2

r 1 ∂ rAr 1 ∂Aψ ∂Az + + div A = r ∂r r ∂ψ ∂z

(

ˆ (ψ ) Zˆ (z ) Tˆ (t ) pˆ (r , ψ, z; t ) = Rˆ (r ) Ψ

Š Coordonnées sphériques

 ∂2 1 ∂ 1 ∂2 1 ∂ 2  ∂2  pˆ (r, ψ, z; t ) = 0 , ∀ (r, ψ, z ) ∈ V , ∀ t + + + −  ∂ r 2 r ∂ r r 2 ∂ ψ 2 ∂ z 2 c 02 ∂ t 2   

r 1 ∂ A z ∂ A ψ  r  ∂ A r ∂ A z  r 1 ∂ r A ψ 1 ∂ A r  r − − − rot A =  er +  eψ +  ez ∂z  ∂r  r ∂ψ  r ∂ ψ  ∂z r ∂ r

z

z

r r r r A (r , ψ, z ) = A r e r + A ψ e ψ + A z e z

M

ˆ (x ) Y ˆ (y ) Zˆ (z ) Tˆ (t ) pˆ (x , y, z; t ) = X

Š Coordonnées cylindriques

Solutions de problèmes à 3 dimensions (2/6)

r r r r d r = dOM = dr er + r dψ eψ +dz ez

r r r r = OM = rer +zez

Š Coordonnées cartésiennes

Solution à variables séparées ≡ Base sur laquelle toute solution de problème peut être exprimée

Equation des ondes en coordonnées cylindriques z

)

Solutions à variables séparées ou représentation intégrale a

O

) (

r r r r r pˆ ( r ; t ) = fˆ n ⋅ r − c 0 t + gˆ n ⋅ r + c 0 t

Coordonnées sphériques

y

Source

2    ∆ − 1 ∂  pˆ (rr ; t ) = 0 , ∀ rr ∈ V , ∀ t  c 02 ∂ t 2      2 ∆ +  ω   Pˆ (rr ; ω) = 0 , ∀ rr ∈ V   c 0    

source S

x

A cos (ω t )

z

x

plan d'air

piston plan

Solutions de problèmes à 3 dimensions (1/6)

 ∂2 1 ∂ 1 ∂2 1 ∂ 2  ∂2  pˆ (r, ψ, z; t ) = 0 − + + +  ∂ r 2 r ∂ r r 2 ∂ ψ 2 ∂ z 2 c 02 ∂ t 2   

fonction de t = −k 02

∂ 2 Tˆ + ω 2 Tˆ = 0 , ∀ t ∂t2

on pose k 02 c 20 = ω 2

e i ωt

choix d'une convention temporelle

e −i ω t

ˆ e iωt Tˆ (t ) = G

1

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Solutions de problèmes à 3 dimensions (3/6) z

Solutions de problèmes à 3 dimensions (4/6) z

Solutions à variables séparées - solution en z

Solutions à variables séparées - solution en ψ ˆ 1 ∂ 2 Rˆ 1 ∂ Rˆ 1 1 ∂ 2Ψ + + = k 2z − k 02 ˆ ∂ψ 2 Rˆ ∂ r 2 r Rˆ ∂ r r 2 Ψ

ˆ ⎛ 1 ∂ 2 Rˆ ⎞ 1 ∂ 2 Zˆ 1 ∂ Rˆ 1 1 ∂ 2Ψ + k 02 ⎟⎟ = + 2 − ⎜⎜ + , ∀ (r, ψ, z ) ∈ V 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ r r Ψ ∂ψ rR ⎝R ∂r ⎠ Z ∂z

fonction de r,ψ constante = − k 2w

fonction de z

fonction de r,ψ

k 2w = k 02 − k 2z

ˆ ⎛ r 2 ∂ 2 Rˆ r ∂ Rˆ ⎞ 1 ∂ 2Ψ ⎟ , ∀ (r, ψ ) ∈ V + = − k 2w r 2 − ⎜⎜ 2 ˆ ∂ψ 2 ˆ Rˆ ∂ r ⎟⎠ Ψ ⎝ R ∂r

= − k 2z

Zˆ (z ) = Eˆ e z + Fˆ e z ˆ ou Z (z ) = Eˆ' cos k z z + Fˆ' sin k z z −i k z

avec

fonction de ψ

ik z

(

∂ 2 Zˆ + k 2z Zˆ = 0 , ∀ z ∂z2

)

(

Eˆ ' = Eˆ + Fˆ et

(

Fˆ ' = i Fˆ − Eˆ

)

fonction de r = −ν 2

)

ˆ (ψ ) = Cˆ e −i ν ψ + D ˆ e iνψ Ψ ν

ˆ ∂ 2Ψ ˆ =0,∀ψ +ν2 Ψ ∂ψ 2

Solutions de problèmes à 3 dimensions (5/6) z

Solutions de problèmes à 3 dimensions (6/6) z

Solutions à variables séparées - solution en r

Solutions à variables séparées

[

)

(

)

(

ou

Fonction de Hankel Fonction convergente Fonction divergente quand r→∞ en quand r→∞ en exp(+ikwr) exp(-ikwr)

(

)

) ][ Cˆ e −i ν ψ + Dˆ e i ν ψ ][ Eˆ e −i k

[

(

ˆ 'J k r + B ˆ 'N k r Rˆ ν (r ) = A ν w ν w

)

Ψν(ψ)

Fonction de Neumann : comportement d'un sinus quand r→∞

z

+ Fˆ e

ik z z

]e

Z(z)

T(t)

ou ou

ˆ J k r + Rˆ N k r pˆ ν (r , ψ, z; t ) = A 0 ν w 1 ν w

(

)

z

iωt

(

ˆ 'J k r + B ˆ 'N k r pˆ ν (r, ψ, z; t ) = A ν w ν w

z

[ ( )

(

) ][ e −i ν ψ + Rˆ 2 e i ν ψ ][e −i k

k 2w = k 02 − k 2z soit k 2w + k 2z = k 02 avec r r r r Nombre d'onde local k = k r (r ) e r + k ψ (r ) e ψ + k z e z

sous réserve que : Fonction de Bessel de 1ère espèce : comportement d'un cosinus quand r→∞

z

) ][ Cˆ' cos (ν ψ ) + Dˆ' sin (ν ψ ) ] ⋅ [ Eˆ' cos (k z z ) + Fˆ' sin (k z z ) ] e i ω t . ( 1 ) ( 2 ) ˆ H (k r ) + B ˆ e −i ν ψ + D ˆ H (k r ) ][ C ˆ e i ν ψ ][ Eˆ e −i k z + Fˆ e i k pˆ ν (r , ψ, z; t ) = [ A ν w ν w

ou

Equation de Bessel

(

)

Rν(r)

d 2 Rˆ 1 d Rˆ ⎛ ν 2 ⎞ ˆ ⎟R = 0 + + ⎜1 − d s 2 s d s ⎜⎝ s 2 ⎟⎠

s=kwr

ˆ H (1) k r + B ˆ H ( 2) k r Rˆ ν (r ) = A ν w ν w

(

ˆ 'J k r + B ˆ 'N k r pˆ ν (r, ψ, z; t ) = A ν w ν w

∂ 2 Rˆ 1 ∂ Rˆ ⎛ 2 ν 2 ⎞ ˆ + + ⎜ k w − 2 ⎟⎟ R = 0 , ∀ r ∈ V ∂ r 2 r ∂ r ⎜⎝ r ⎠

en posant

ˆ (ψ ) = Cˆ' cos (ν ψ ) + D ˆ ' sin (ν ψ ) Ψ ν

ou

2

avec

⎛ν⎞ k 2r (r ) = k 2w − ⎜ ⎟ = k 2w − k ψ2 (r ) ⎝r⎠

soit

z

z

+ Rˆ 3 e

k0 = ω c0

z

z

ik z z

]e ]e

iωt

iωt

équation de dispersion

k 2r (r ) + k ψ2 (r ) + k 2z = k 02

k 2w = k 2r (r ) + k ψ2 (r ) = k 02 − k 2z

∞

z

Solution générale

Fonctions de Bessel Jν (1/5) d y 1 dy ⎛ ν ⎞ ⎟y = 0 + + ⎜1 − d x 2 x d x ⎜⎝ x 2 ⎟⎠ 2

(1)

2

avec ν ∈ 

k⎛

Γ(x + 1) = x!

2k

(− 1) ⎜ x ⎞⎟ ν ⎛x⎞ ∞ ⎝2⎠ J ν (x ) = ⎜ ⎟ ∑ ⎝ 2 ⎠ k =0 k! Γ(k + ν + 1) ≈

⎧ x →∞ ⎡ 2 1⎞⎤ π⎛ cos ⎢ x − ⎜ ν + ⎟ ⎥ quand ⎨ 2⎝ 2⎠ ⎦ πx ⎣ ⎩Re(x ) > 0

N ν (x ) =

≈ J1/4

J3/4

J3/2

J-3/4

J-1/4

z ν ∈² (ν entier) : Jν et J−ν ne sont plus linéairement indépendants autre solution

avec x ∈ ²

z ν ∈ (ν quelconque, entier ou non) :

Z ν (x ) = A J ν (x ) + B N ν (x )

ou Z ν (x ) = A H (ν1) (x ) + B H (ν2) (x )

cos (π ν ) J ν (x ) − J −ν (x ) sin (π ν )

N0

fonction de Neumann

comportement d'un cosinus fonctions de Bessel cylindriques de 1ère espèce d'ordre ν

ν =0

Fonctions de Bessel Jν (2/5)

solution de (1) : Zν(x)

z ν ∉² (ν non entier) : Z ν (x ) = A J ν (x ) + B J −ν (x )

pˆ (r, ψ, z; t ) = ∑ pˆ ν (r, ψ, z; t )

N1

⎧ x →∞ ⎡ 2 1⎞⎤ π⎛ sin ⎢ x − ⎜ ν + ⎟ ⎥ quand ⎨ 2⎝ 2⎠⎦ πx ⎣ ⎩Re(x ) > 0

N2 N3 N4

comportement d'un sinus ⎫ ⎪ ⎪ ⎬x → 0 n ( n − 1) ! ⎛ 2 ⎞ ⎪ N n (x ) ≈ − ⎜ ⎟ , n > 0⎪ π ⎝x⎠ ⎭ N 0 (x ) ≈

γ = ln C = 1,781...

2 ⎛γx⎞ ln ⎜ ⎟ π ⎝ 2 ⎠

N5

lim N n (x ) = −∞

x →0

C : constante d'Euler

2

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Fonctions de Bessel Jν (3/5)

Application

z Fonctions de Hankel H (ν1) (x ) =

[

z Onde cylindrique

]

i e − i ν π J ν (x ) − J − ν (x ) = J ν (x ) + i N ν (x ) sin (π ν )

H (ν2) (x ) =

[

]

ˆ Φ∝ A

r2

r1

−i e i ν π J ν (x ) − J −ν (x ) = J ν (x ) − i N ν (x ) sin (π ν )

2

ˆ Φ∝ A

S∝ 2πr

avec

S 2

Φ = constante

et

r

ˆ ∝ 1 A r

2

ˆ r = constante A  π  1   2 i  x − 2  ν + 2    e  πx  x →∞  quand   π  1  − i  x −  ν+   Re(x ) > 0 2 H ν( 2) (x ) ≈ e  2  2   πx 

fil pulsant

H (ν1) (x ) ≈

Toute onde dont l'amplitude décroît en 1/√r dans un certain espace, a un caractère cylindrique dans cet espace. Application : départ en vacances sur l'autoroute

fonctions convergentes ou divergentes (suivant la convention temporelle) En première approche, le bruit émis par l'autoroute peut être modélisé par un champ à caractère cylindrique

utilisation en milieux semi-infinis

Fonctions de Bessel Jν (4/5) J1

J2 J 3 J4 J5

J1/4

J3/4

J-3/4

m

0 1 2 3 1/2 3/2

x

y

0

1

2

3

0

3.83

7.02

10.17

1.84

5.33

8.54

3.05

6.71

9.97

11.71 13.17

4.20

8.02

1.40

4.60

11.35 14.59 7.70 11.00

2.50

6.00

9.50

0.5

J3/2

J-1/4

J0(x)

J0

ν

Fonctions de Bessel Jν (5/5) 1

χ νm : (m+1)-ième zéro de J’ν

0

χ00

z

*

2π χ02

*

χ03

3π

*

*χ

06

*

χ07

*χ

χ09

08

*

(m+1)-ième extremum de J ν -1

0

5

10

15 x

12.40

z

χ05

*χ 4π 04

-0.5

Rayonnement d'un cylindre infiniment long (1/4)

R

χ01

*

π

Vitesse vibratoire radiale imposée

(

) (

20

25

30

Rayonnement d'un cylindre infiniment long (2/4) x

)

ˆ r (ψ, z; t ) = V 0 cos ν 0 ψ cos k z 0 z ei ω t w y

z

R

z

z

Vitesse vibratoire radiale imposée

(

) (

)

ˆ r (ψ, z; t ) = V 0 cos ν 0 ψ cos k z 0 z ei ω t w ˆ (ψ, z ) W r

Equation de propagation

 ∂2 1 ∂ ∂2 1 ∂2 1 ∂ 2   + + + − pˆ (r, ψ, z; t ) = 0 , ∀ r ≥ R , ∀ ψ ∈[0 , 2 π], ∀ z , ∀ t.  ∂ r 2 r ∂ r r 2 ∂ ψ 2 ∂ z 2 c 02 ∂ t 2    pˆ (r , ψ , z; t ) = Pˆ (r , ψ , z ) e i ω t z Equation de Helmholtz

ν0 = 0

ν0 = 1

ν0 = 2

ν0 = 3

z

 ∂2 1 ∂ ∂ 2 ω 2  ˆ 1 ∂2  + + + + P (r, ψ, z ) = 0 , ∀ r ≥ R , ∀ ψ ∈[0 , 2 π], ∀ z  ∂ r 2 r ∂ r r 2 ∂ ψ 2 ∂ z 2 c 02    r r Conditions aux frontières vˆ (R , ψ, z; t ) ⋅ e r = wˆ r (ψ, z; t ) , r = R , ∀ ψ ∈[0 , 2 π], ∀ z , ∀ t

) (

)

i ∂ Pˆ (r = R , ψ, z ) = V 0 cos ν 0 ψ cos k z 0 z , r = R , ∀ ψ ∈[0 , 2 π], ∀ z k0 c0ρ0 ∂r

(

z ν0 = 4

ν0 = 5

Condition de Sommerfeld (r→∞)

ν0 = 6

3

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Rayonnement d'un cylindre infiniment long (3/4) x

z z

R

y

z z

Forme du champ

−i k z z

+ Fˆ e

ik z z

k 2w = k 02 − k 2z

Conditions aux frontières

∂ Pˆ i (r = R , ψ, z ) = V 0 cos ν 0 ψ cos k z 0 z , r = R , ∀ ψ ∈[0 , 2 π], ∀ z k 0 c0 ρ0 ∂r

(

( 2) ∂ Pˆ ˆ ∂ H ν k w r =B ∂r ∂r

) [ Cˆ e −i ν ψ + Dˆ e i ν ψ ][ Eˆ e −i k

z

z

+ Fˆ e

ik z z

)

)[

(

−i k z ik z Eˆ e z + Fˆ e z = cos k z 0 z ˆC e −i ν ψ + D ˆ e i ν ψ = cos ν ψ

(

pˆ (r, ψ, z; t ) =

0

)

][ Eˆ e

−i k z z

+ Fˆ e

ik z z

pˆ (r, ψ, z; t ) = ν0 = 1

] = V cos (ν 0

0

) (

)

ν =ν0

ˆ= B

− i k 0 c 0 ρ 0 V0

)

∂ H ν( 20) k w R ∂ R

et

(

)

ψ cos k z 0 z ,

Š

(

k w R > 1

Š Basses fréquences k 0 R 0 , ∀ t.

z z

z

z

⎛∂ ∂ 1 ∂ 1 ∂ ⎜ 2+ + k 02 + + ⎜∂r r ∂ r r 2 ∂ ψ 2 ∂ z2 ⎝

z

(

Champ monochromatique pˆ (r, ψ, z; t ) = Pˆ (r, ψ, z ) ei ω t incident imposé (non précisé) Equation de Helmholtz 2

2

2

∂ pˆ (r, ψ, z; t ) = 0 , r = a , ∀ ψ ∈[0 , 2 π], ∀ z > 0 , ∀ t avec ∂ ∂ n = ∂ ∂ r ∂n ∂ Pˆ (r, ψ, z ) = 0 , r = a , ∀ ψ ∈[0 , 2 π], ∀ z > 0 ∂r

z

Champ acoustique borné en r = 0

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (3/16) z

ν

z

à laquelle est associée (équation de dispersion) une suite de nombre d'ondes kzνm tels que 2

k 2z ν m = k 02 − k 2w ν m

⎛ ω ⎞ ⎛ χ νm ⎞ ⎟⎟ k 2z ν m = ⎜ ⎟ − ⎜⎜ ⎜c0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ a ⎠

c.à.d.

dépend de ν,m 2 2 cas : k z ν m > 0

z

z

7.02 8.54 9.97

3 1/2 3/2

4.20 1.40

8.02 4.60

11.35 14.59 7.70 11.00

2.50

6.00

9.50

)

∞

∞

(

)(

)

)

k w a = χ ν m , (ν, m ) ∈ ²2

0

χ01

χ00

*

*

*

2π χ02

π

χ03

3π

*χ 4π 04

χ05

*

*χ

*

χ07

06

*χ

χ09

* 08

-0.5

-1

12.40

0

χ νm

5

10

a

2

, (ν, m ) ∈ ²2

15 x

⎛ ω ⎞ ⎛ χ νm ⎞ k 2z ν m = ⎜ ⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜c0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ a ⎠

avec

2 modes (ν,m) tels que k z ν m > 0 c.à.d.

Š

modes (ν,m) tels que k 2zν m < 0 et

ω>

e

−i k z ν m z

=e

ω
0 ⎟ ⎠

z

Equation de dispersion k

2 0

2 w

∂ Pˆ (r, ψ, z ) = 0 , r = a , ∀ ψ ∈[0 , 2 π], ∀ z > 0 Conditions aux frontières ∂r ∂ Pˆ (r, ψ, z ) ˆ −i k z −i ν ψ = A k J ' k r e + Rˆ e i ν ψ e z w ν w avec ∂r

z

z

)(

(

ˆ J k r e −i ν ψ + Rˆ e i ν ψ e −i k z z Pˆ (r, ψ, z ) = A ν w

Forme du champ

J0(x)

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (1/16)

χ 00 c 0 χ 01 c 0 χ 02 c 0 a a a

modes propagatifs

χ ν ,m −1 a

2

c0

χν m a

ω

c0

modes évanescents

source

5

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (5/16) z

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (6/16) Le champ a toujours un caractère propagatif en ψ.

Mode plan

k w ν =0, m =0 =

k zν =0,m =0 =

χ 00

a ω c0

=0

(

)

ˆ −i k 0 z e i ω t ˆ pˆ ν =0, m =0 (r , ψ, z; t ) = A ν =0, m =0 1 + R e

z

Cas particulier des modes stationnaires en ψ

onde plane progressive dans la direction des z croissants

1,84 c0/a 0

χ 01 χ c 0 02 c 0 a a

mode plan ω propagatif source

χ ν ,m −1 a

c0

χν m a

ou

( J (k

) r ) sin (ν ψ ) e

ˆ pˆ ν m (r, ψ, z; t ) = A ν m J ν k w ν m r cos (ν ψ ) e

−i k z ν m z

e iωt

ˆ pˆ ν m (r, ψ, z; t ) = A νm

−i k z ν m z

e iωt

ν

w νm

ν = n entier

c0

modes évanescents

Si V permet de contourner l'axe Oz lorsque ψ varie : ν est entier z Si V ne permet pas de contourner l'axe Oz lorsque ψ varie : ν n'est pas nécessairement entier z

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (7/16) z

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (8/16)

Cas particulier des modes stationnaires en ψ, ν = n = 0

z

z

Cas particulier des modes stationnaires en ψ, ν = n = 1

z

n=0 ; m=0

n=1 ; m=0

n=0 ; m=1

n=0 ; m=2

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (9/16) z

n=1 ; m=2

n=0 ; m=3

n=1 ; m=3

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (10/16)

Cas particulier des modes stationnaires en ψ, ν = n = 2

z

n=1 ; m=1

z

Cas particulier des modes stationnaires en ψ, ν = n = 3

z

n=2 ; m=0

n=2 ; m=2

n=2 ; m=1

n=2 ; m=3

n=3 ; m=0

n=3 ; m=2

n=3 ; m=1

n=3 ; m=3

6

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (11/16)

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (12/16) z

z

Conduit avec demi paroi méridienne z

z

Champ monochromatique pˆ (r, ψ, z; t ) = Pˆ (r, ψ, z ) ei ω t incident imposé (non précisé) Equation de Helmholtz

z

⎛χ N m ⎜ ˆ pˆ N m (r, ψ, z; t ) = A N m J N ⎜ 2 a 2⎜ ⎝ ν = N/2

z

⎞ ⎟ ⎛ N ⎞ −i k z Nm z iωt e r ⎟ cos ⎜ ψ ⎟ e ⎝2 ⎠ ⎟ ⎠

⎛ ∂2 1 ∂ 1 ∂2 ∂2 ⎜ 2+ + k 02 + + ⎜∂r r ∂ r r 2 ∂ ψ 2 ∂ z2 ⎝

z

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (13/16)

)(

(

z

Equation de dispersion k 2w = k 02 − k 2z

)(

)

z Solutions du problème 9 Aˆ ν m = 0, ∀ m SAUF SI kwνm prend une suite de valeurs propres

avec

k 0 = ω c0

(

9

z

)

) (

)

, (ν, m ) ∈ ²2

a

z

Pression portée par chaque mode (N,m) ⎞ ⎟ ⎛ N ⎞ −i k z Nm z iωt e r ⎟ cos ⎜ ψ ⎟ e ⎝2 ⎠ ⎟ ⎠

Pression totale ∞

∞

∞

∑ pˆ ν m (r, ψ, z; t ) = ∑

ν =0 m =0

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (15/16)

comme dans le tuyau sans paroi méridienne

ˆ (ψ ) = 2 cos ⎛⎜ N ψ ⎞⎟ caractère stationnaire en ψ Ψ ν = N/2 ⎝2 ⎠ N pair : modes stationnaires du conduit infini ordinaire N impair : modes antisymétriques par rapport à la demi paroi méridienne

pˆ (r, ψ, z; t ) = ∑

ν =0

⎛χ N ⎜ 2m ˆ A Nm J N ⎜ a 2⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎛ N ⎞ −i k z Nm z iωt e r ⎟ cos ⎜ ψ ⎟ e ⎝2 ⎠ ⎟ ⎠

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (16/16)

Cas particulier des modes stationnaires en ψ, ν = 0,5

z

χ νm

⎛χ N ⎜ 2m ˆ pˆ N m (r, ψ, z; t ) = A Nm J N ⎜ a 2⎜ ⎝

N ν = , N∈ ² 2

z

k w νm =

z

)

)(

(

Champ propagatif dans le sens des z croissants (pas d'onde retour) Champ acoustique borné en r = 0

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (14/16)

∂ Pˆ (r, ψ, z ) = 0 , r = a , ∀ ψ ∈[0 , 2 π], ∀ z > 0 z Conditions aux frontières ∂r ∂ Pˆ (r, ψ, z ) ˆ −i k z avec = A k w J 'ν k w r e −i ν ψ + Rˆ e i ν ψ e z k w a = χ ν m , (ν, m ) ∈ ²2 ∂r ∂ Pˆ (r, ψ, z ) = 0 , ∀ r ∈ [0 , a ], ψ = 0 et ψ = 2 π , ∀ z > 0 z Conditions aux frontières ∂ψ ∂ Pˆ (r, ψ, z ) ˆ −i k z −i ν ψ avec = A k w Jν k w r − i ν e + i νRˆ e i ν ψ e z ∂ψ ∂ Pˆ (r, ψ, z ) ˆ −i k z = A k w J ν k w r i ν − e −i ν ψ + Rˆ e i ν ψ e z = 0 , ∂ψ ∀ r ∈ [0 , a ], ψ = 0 et ψ = 2 π , ∀ z > 0 −1 +R = 0 R =1 ⎧ ⎪⎧ 2 πν = N π, N ∈ ² ⎨ −i ν 2 π ⎨ ⎪⎩− e + Rˆ e i ν 2 π = 0 ⎩sin (2 π ν ) = 0

(

z z

ˆ J k r e −i ν ψ + Rˆ e i ν ψ e −i k z z Pˆ (r, ψ, z ) = A ν w

Forme du champ

Conditions aux frontières ∂ pˆ (r , ψ, z; t ) = 0 , r = a , ∀ ψ ∈[0 , 2 π], ∀ z > 0 , ∀ t avec ∂ ∂ n = ∂ ∂ r ∂n 1 ∂ ∂ pˆ (r , ψ, z; t ) = 0 , ∀ r ∈ [0 , a ], ψ = 0 et ψ = 2 π , ∀ z > 0 , ∀ t avec ∂ ∂ n = 9 r ∂ψ ∂n

N impair : modes antisymétriques par rapport à la demi paroi méridienne

z

⎞ ˆ ⎟ P (r, ψ, z ) = 0 , ∀ r ≤ a , ∀ ψ ∈[0 , 2 π], ∀ z > 0 ⎟ ⎠

9

N pair : modes stationnaires du conduit infini ordinaire

z

Equation de propagation

⎛ ∂2 1 ∂ 1 ∂2 ∂2 1 ∂ 2 ⎞⎟ ⎜ pˆ (r, ψ, z; t ) = 0 , + + + − ⎜ ∂ r 2 r ∂ r r 2 ∂ ψ 2 ∂ z 2 c 02 ∂ t 2 ⎟ ⎝ ⎠ ∀ r ≤ a , ∀ ψ ∈[0 , 2 π], ∀ z > 0 , ∀ t.

z

Cas particulier des modes stationnaires en ψ, ν = 1,5

z

ν=0.5 ; m=0

ν=0.5 ; m=2

ν=0.5 ; m=1

ν=0.5 ; m=3

ν=1.5 ; m=0

ν=1.5 ; m=2

ν=1.5 ; m=1

ν=1.5 ; m=3

7

Transparents basés sur C. POTEL, M. BRUNEAU, Acoustique Générale - équations différentielles et intégrales, solutions en milieux fluide et solide, applications, Ed. Ellipse collection Technosup, 352 pages, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Solutions de l'équation de propagation z

z

Equation de propagation

Equation de Helmholtz 2    ∆ + ω  Pˆ (rr ; ω) = −Fˆ (rr ; ω) 2   c 0  

2    ∆ − 1 ∂  pˆ (rr ; t ) = −fˆ (rr ; t ) 2  c 0 ∂ t 2  

Chapitre 6 FORMULATION ANALYTIQUE DE PROBLEMES LINEAIRES FONDAMENTAUX DE L'ACOUSTIQUE EN MILIEU FLUIDE HOMOGENE, INDEPENDANT DU TEMPS ET AU REPOS : LES SOLUTIONS FONDAMENTALES EN COORDONNEES SPHERIQUES

3 Pas de solution générale connue en dehors du cas de propagation unidimensionnel 3 Si les frontières du domaine coïncident avec des surfaces de coordonnées curvilignes séparables solutions à variables séparées "base" sur laquelle toute solution peut être développée famille complète

Choix de système de coordonnées z

z

Coordonnées cartésiennes piston plan

Coordonnées cylindriques

z

a

y

Equation de propagation

z

Equation de Helmholtz

Pas de solution générale connue à l'équation de Helmholtz en dehors du cas de propagation unidimensionnel :

fonctions de Bessel

z

(

A cos ( ω t - k x )

x

fonctions circulaires

L

z

polynômes de Legendre

+

+ + + +

-

ˆ (ψ ) Zˆ (z ) Tˆ (t ) pˆ (r , ψ, z; t ) = Rˆ (r ) Ψ

Š Coordonnées sphériques

ˆ (θ ) Ψ ˆ (ψ ) Tˆ (t ) pˆ (r , θ, ψ; t ) = Rˆ (r ) Θ

Equation des ondes en coordonnées sphériques M

dipôle

-

r r r = OM = rer

z

θ

+ +

aval

-

ˆ (x ) Y ˆ (y ) Zˆ (z ) Tˆ (t ) pˆ (x , y, z; t ) = X

Š Coordonnées cylindriques

z

monopôle -

Š Coordonnées cartésiennes

Solution à variables séparées ≡ Base sur laquelle toute solution de problème peut être exprimée

Modélisation d'une surface active

amont

r

z

eψ

-

Bs

r rot A =

Toute surface active peut être modélisée par une répartition continue de monopôles et de dipôles

(

(

er

→

eθ

grad U =

(

∂U r 1∂U r 1 ∂Ur er + eθ + eψ ∂r r ∂θ r sin θ ∂ ψ

)

(

)

r 1 ∂ r 2A r 1 ∂ sin θ A θ 1 ∂Aψ div A = 2 + + r sin θ r sin θ ∂ ψ ∂r ∂θ r

)

(

)

(

)

 1 ∂ 2U  + 2 2 r sin θ ∂ ψ2  r r r ∆ A = grad div A − rot rot A

∂U ∂  ∂ 2U 2 ∂ U 1  sin θ + + ∂θ ∂ r 2 r ∂ r r 2 sin θ ∂ θ 

Equation de propagation ∂ ∂ ∂  2 ∂ 1   sin θ + +  ∂ r 2 r ∂ r r 2 sin θ ∂ θ  ∂θ  2

2 sources ponctuelles en opposition de phase

)

→

Les principaux opérateurs en coordonnées sphériques

1  ∂ sin θ A ψ ∂ A θ  r 1  1 ∂ A r ∂ r A ψ  r 1  ∂ r A θ ∂ A r  r − − −  er +  eθ +  eψ ∂θ r  sin θ ∂ ψ r sin θ  ∂ψ  r  ∂r ∂r  ∂θ  ∆ U = div grad U =

z

y

→

ψ

x

r r r r d r = d O M = d r e r + r d θ e θ + r sin θ d ψ e ψ r r r r A (r , θ, ψ ) = A r e r + A θ e θ + A ψ e ψ

y

O

x

sources ponctuelles

)

Solutions à variables séparées ou représentation intégrale a

O

) (

r r r r r pˆ ( r ; t ) = fˆ n ⋅ r − c 0 t + gˆ n ⋅ r + c 0 t

Coordonnées sphériques

y

Source

2    ∆ − 1 ∂  pˆ (rr ; t ) = 0 , ∀ rr ∈ V , ∀ t  c 02 ∂ t 2      2 ∆ +  ω   Pˆ (rr ; ω) = 0 , ∀ rr ∈ V   c 0    

source S

x

A cos (ω t )

z

x

plan d'air

0

Solutions de problèmes à 3 dimensions (1/6)

et

(

)

( )

 1 1 ∂  ∂  + 2 pˆ (r, θ, ψ; t ) = 0 − 2 2 2 c 0 ∂ t 2   r sin θ ∂ ψ 2

2

1

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Solutions de problèmes à 3 dimensions (2/6) z

Solutions de problèmes à 3 dimensions (3/6) z

Equation de propagation

 ∂2 2 ∂ 1 ∂ ∂    sin θ + +  ∂ r 2 r ∂ r r 2 sin θ ∂ θ  ∂θ 

z

Solutions à variables séparées - solution en r ˆ  1 ∂Θ ∂   sin θ −  ˆ ∂θ  Θ sin θ ∂ θ 

 1 ∂ 1 ∂   + 2 pˆ (r, θ, ψ; t ) = 0 , ∀ (r, θ, ψ ) ∈ V , ∀ t − 2 2 2 2  r sin θ ∂ ψ c  0 ∂t  2

ˆ (θ ) Ψ ˆ (ψ ) Tˆ (t ) pˆ (r, θ, ψ; t ) = Rˆ (r ) Θ

Solutions à variables séparées

ˆ 1 ∂ Rˆ 2 ∂ Rˆ 1 ∂  ∂Θ  sin θ + + ˆ r 2 sin θ ∂ θ  ∂ θ Rˆ ∂ r 2 Rˆ r ∂ r Θ 

2

2

fonction de r,θ,ψ

∂ Tˆ + ω 2 Tˆ = 0 , ∀ t ∂t2 2

= n (n + 1) ∂ 2 Rˆ n ∂ r2

fonction de t = −k 02

on pose k 02 c 20 = ω 2

e

i ωt

en posant ∂ 2 Rˆ n 2 ∂ Rˆ n  n (n + 1)  2 ∂ Rˆ n  2 n (n + 1)  ˆ + 1 − +  Rˆ n = 0 + k 0 − +  R n = 0, ∀ r 2 s ∂r  s2  ∂ s2 r ∂r  r  s=k0r Equation de Bessel sphérique

( )

e −i ω t

sin θ ˆ  1 ∂ Ψ   + n (n + 1)sin 2 θ = , ∀ (θ, ψ ) 2  ˆ   Ψ ∂ ψ 2

en posant µ = cos θ 2

2

nm 2

ˆ ∂Θ ∂  nm sin θ ∂ θ  ∂θ

− 2µ

ˆ ∂Θ nm ∂µ

imψ

où

(1)

( ) ][ Cˆ e −i m ψ + Dˆ e i m ψ ] P n m (cos θ)e i ω t

ˆ'j k r +B ˆ 'n k r pˆ n m (r, θ, ψ; t ) = A n 0 n 0

ou

^ ^ Θnm(θ) T(t)

^ Ψm(ψ)

[ ( ) ( ) ][ Cˆ' cos (m ψ ) + Dˆ' sin (m ψ ) ] P (cos θ) e ˆe (r, θ, ψ; t ) = [ Aˆ h (k r ) + Bˆ h (k r ) ][ Cˆ e +D ] P (cos θ)e (r, θ, ψ; t ) = Aˆ [ j (k r ) + Rˆ n (k r ) ][ e ] P (cos θ)e + Rˆ e

ˆ'j k r +B ˆ 'n k r pˆ n m (r, θ, ψ; t ) = A n 0 n 0

ou

pˆ n m

ou

pˆ n m

0

(1) n

0

n

0

( 2) n

0

n

0

1

nm

−i m ψ

imψ

−i m ψ

2

imψ

avec Y n(1m) = cos (m ψ ) P n m (cos θ ) et Y n( 2m) = sin (m ψ ) P n m (cos θ ) harmoniques sphériques

z

Nombre d'onde local k (r ) 2 r

avec k 2r (r ) = k 02 −

n (n + 1) ; r2

r r r r k = k r (r ) e r + k θ (r , θ ) e θ + k ψ (r , θ ) e ψ

+ k θ2

(r, θ)

+ k ψ2

(r, θ) = k

2 0

avec

m2 1  k θ2 (r, θ) = 2 n (n + 1) − r  1− µ 2

(

)

et

équation de dispersion

k ψ2 (r, θ) =

);

(

Polynômes de Legendre

)

1 P 2 = 3 cos 2 θ − 1 2 P4 =

(

)

1 35 cos 4 θ − 30 cos 2 θ + 3 8

d 2 y 2 d y  ν (ν + 1)  + + 1 −  y = 0 , ν∈  dx2 x dx  x2 

;

etc...

m2 r 2 sin 2 θ

solution de (1) : yν(x) 2 d 2 Z 1 d Z  (ν + 1 2 )  + + 1− Z = 0 , ν∈  d x 2 x d x  x 2 

équation de Bessel (cylindrique) Z ν (x ) = A J ν + 1 (x ) + B N ν + 1 (x ) 2

y ν (x ) =

2

A B J ν + 1 2 (x ) + N ν + 1 2 (x ) x x

z fonctions de Bessel et de Neumann sphériques j ν (x) =

k 0 = ω c0

  

(

1 5 cos 3 θ − 3 cos θ 2

avec P 0 = 1

i ωt

iωt

nm

;

Fonctions de Legendre, pour m et n entiers

, n , m = 0,1,2,3, L et n > m

z changement de variables : y = x −1 / 2 Z

i ωt

nm

d (cos θ )m

ˆ Θ n m (θ ) = P n m (cos θ )

)

Fonctions de Bessel sphériques jn et nn (1/2)

Solutions de problèmes à 3 dimensions (6/6) Solutions à variables séparées

^R (r) n

d m P n (cos θ )

(m + 1) P m +1 = (2 m + 1)cos θ P m − m P m−1

P3 =

( )

]

(

P n m (cos θ ) = sin m θ

ˆ (ψ ) = Cˆ e ˆe Ψ +D m ˆ ' cos (m ψ ) + D ˆ (ψ ) = C ˆ ' sin (m ψ ) ou Ψ m

ˆ =0,∀ ψ +m2Ψ m

[

[

 m2  ˆ + n (n + 1) − Θ nm = 0 1 − µ 2  

Fonctions de Legendre

P1 = cos θ

z

  + n (n + 1)sin 2 θ − m 2 Θ ˆ nm = 0  

Equation de Legendre associée ou généralisée

z

∂ψ 2

ˆ

(1 − µ ) ∂ ∂Θµ

fonction de ψ = −m 2

ˆ ∂ 2Ψ m

Fonction de Neumann sphérique : comportement d'un sinus quand r→∞

Solutions à variables séparées - solution en θ

z

−i m ψ

( )

Solutions de problèmes à 3 dimensions (5/6)

Solutions à variables séparées - solution en ψ

fonction de θ

( )

ˆ'j k r +B ˆ 'n k r Rˆ n (r ) = A n 0 n 0

ou

Fonction de Hankel Fonction convergente Fonction divergente Fonction de Bessel sphérique : quand r→∞ en quand r→∞ en comportement d'un exp(+ik0r) exp(-ik0r) cosinus quand r→∞

Solutions de problèmes à 3 dimensions (4/6)

ˆ  sin θ ∂  ∂Θ  sin θ −  ˆ ∂θ  Θ ∂ θ 

( )

ˆ h (1) k r + B ˆ h ( 2) k r Rˆ n (r ) = A n 0 n 0

choix d'une convention temporelle

ˆ e iωt Tˆ (t ) = G

z

fonction de r

fonction de θ,ψ

ˆ 1 1 ∂ 2Tˆ  1 ∂ Ψ + = , ∀ (r, θ, ψ ) ∈ V , ∀ t  Ψ ˆ r 2 sin 2 θ ∂ ψ 2 Tˆ c 2 ∂ t 2 0 

2

ˆ  r 2 ∂ 2 Rˆ 2 r ∂ Rˆ  1 ∂ 2Ψ + + r 2 k 02 , ∀ (r, θ, ψ ) ∈ V = +  Ψ ˆ sin 2 θ ∂ ψ 2  Rˆ ∂ r 2 Rˆ ∂ r  

z solution de (1)

π J 1 (x) 2 x ν+ 2

n ν (x) =

π N 1 (x) 2 x ν+ 2

y ν (x ) = A j ν ( x ) + B n ν ( x ) = A ' h (ν1) ( x ) + B' h (ν2 ) ( x )

2

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Fonctions de Hankel sphériques h(1)n et h(2)n (1/2)

Fonctions de Bessel sphériques jn et nn (2/2) j ν (x) =

z

j0

π J 1 (x) 2 x ν+ 2

z j1

j2

j3

j4

n +1  1  π quand x → ∞ : j n ( x ) ~ cos  x − 2  x 

j5

h (n2) ( x ) = j n (x ) − i n n (x ) =

π ( 2) e −i x f n (i x ) H 1 ( x ) = (i ) n +1 x 2 x n+ 2

h (n1) ( x ) = j n (x ) + i n n (x ) =

e ix π (1) H 1 ( x ) = (i ) n +1 f n (− i x ) 2 x n+ 2 x

(n + s )!  1    s =0 (n − s )!s !  2 z  n

f n (z ) = ∑

avec

n0

π n ν (x) = N 1 (x) 2 x ν+ 2

z

quand x → ∞ : n n ( x ) ~

    x →∞ x   quand   π  Re(x ) > 0 − i  x − (n +1)   e  2  h (n2) (x ) ≈  x 

h (n1) (x ) ≈

z

n +1  1  π sin  x − 2  x 

n3

n2

n1

n4 n5

z ordre 1

h (01) ( x ) = i

e ix x

h (02 ) ( x ) = i

e −i x x

h 1(1) ( x ) = −

e ix  1 1 −  x  i x 

h 1( 2) ( x )

z ordre 2

e −i x =− x

h (21) ( x ) = −i

e ix x

h (22) ( x ) = −i

e

e

 π  i  x − (n +1)  2 

fonctions convergentes ou divergentes (suivant la convention temporelle) utilisation en milieux semi-infinis

Fonctions de Hankel sphériques h(1)n et h(2)n (2/2) z ordre 0

Simulation

Expérience

 3 3  1 − − 2   ix x 

−i x

 3 3  1 +  − x  i x x 2 

Les harmoniques sphériques (1/3)

Écoulement qui se développe au-dessus d'une cavité

n=1 ; m=0

=1

n=2 ; m=1

Y1(11) = sin θ cos ψ

harmoniques "zonaux" m=0

n=2 ; m=0

Y 2(10) =

Y n(1m) = P n m (cos θ ) cos (m ψ )

n=1 ; m=1

Y1(01) = cos θ

Simulation 3D du bruit rayonné par un jet à Mach 0.9

Les harmoniques sphériques (2/3)

Y n(1m) = P n m (cos θ ) cos (m ψ )

Y 0(10)

AÉROACOUSTIQUE

 1 1 +   ix

Sources

n=0 ; m=0

s

(

n=3 ; m=0

)

1 3 cos 2 θ − 1 2

Y 3(10) =

(

Y 2(11) = 3 sin θ cos θ cos ψ

harmoniques "sectoriaux" m=n

n=3 ; m=1

)

1 5 cos 2 θ − 3 cos 2 θ 2

Y 3(11) =

(

harmoniques "tesséraux" 0 t i 0  

Equation de propagation

[∂

Conditions aux frontières

n

]

+ i k 0 βˆ (M; t ) ∗ pˆ (M; t ) = uˆ (M; t ) , ∀ M ∈ Σ , ∀ t > t i

(

)

(

)

(

) (

)

ˆ M; t ; pˆ M; t = B ˆ M; t , ∀ M ∈ V , t = t ∂ t pˆ M; t i = A i i i i

Conditions initiales

fonctions connues dans tout le domaine V, à l'époque initiales t = ti

Formules mathématiques préliminaires

( (

) )

( )( ) ( )( ) div (Pˆ grad G − G grad Pˆ ) = Pˆ ∆ G − G ∆ Pˆ

z  div Pˆ grad G = Pˆ ∆ G + grad G ⋅ grad Pˆ   div G grad Pˆ = G ∆ Pˆ + grad Pˆ ⋅ grad G

→ V z Théorème d'Ostrogradsky

(

)

Formulation intégrale (domaine de Fourier) : démonstration

(

)

r r r r V ⋅ n 0 = Pˆ grad G ⋅ n 0 − G grad Pˆ ⋅ n 0

z

∂ Pˆ ∂G −G = Pˆ ∂ n0 ∂ n0

(

)

(

z z

x

γ O α

→ u

n

β

α

y

y

z Démonstration grad f ∂ x f ∂ yf B ∂zf

{ ( )

) ( )

(3)

r r ∆ G = −k G − δ r − r 0

source S

Σ

r n0

M

V r r e −i k R G r , r0 = 4πR r r R = r − r0

(

)

r n0

⌠⌠  {L }d σ 0 → 0 ⌡⌡ Σ R

) ]}d σ 0

{ (

)

∆G

(

]

)

[ ]

r ⌠⌠⌠ = − Pˆ( r ; ω) +  G Fˆ d V 0 ⌡⌡⌡ V

(

(6)

)

{ ( )

) ( )

[

]

r r Fˆ( r ; ω) = TF/ t fˆ ( r ; t ) ˆ (rr ; ω) = TF [uˆ (rr ; t )] U /t

sources volumiques

r n0

borné

lim R ∂ n 0 Pˆ + i k Pˆ

)} = 0

r uˆ (r ; t )

(

r fˆ (r ; t )

source S

( )

R →∞

[

^ ∆P

[ ]

−i k R

( ) ( )

négligeable

si

)]

)) (

( ) ( ) [ (

) ]}d σ 0

Formulation intégrale (domaine de Fourier)

r 1 r  ⌠⌠   =   ∂ n 0 Pˆ r 0 +  i k +  Pˆ r0  R e −i k R sin θ d θ d ψ R  ⌡⌡ Σ R   R →∞

(

(7)

⌠⌠  e e   r r ∂ n 0 Pˆ r 0 − Pˆ r 0 ∂ n 0    d σ 0     4 π R   ⌡⌡ Σ R  4 π R

( )

)

r ⌠⌠⌠ ⌠⌠ − Pˆ ( r ; ω) +  G Fˆ d V 0 =  Pˆ ∂ n 0 G − G ∂ n 0 Pˆ d σ 0 ⌡⌡⌡ V ⌡⌡ Σ

(

( ) ( ) [ (

−i k R

(

2

⌠⌠ ⌠⌠  {L }d σ 0 +  {L }d σ 0 ⌡⌡ Σ ⌡⌡ Σ R

ΣR

(

r r r r r r r r r r ⌠ ⌠⌠ ⌠⌠ Pˆ ( r ; ω) =  G r , r 0 Fˆ r0 d V 0 +  G r , r0 ∂ n 0 Pˆ r0 − Pˆ r0 ∂ n 0 G r , r 0 ⌡ ⌡⌡ V ⌡⌡ Σ

r r r r r r r r r r ⌠ ⌠⌠ ⌠⌠ Pˆ ( r ; ω) =  G r , r 0 Fˆ r0 d V 0 +  G r , r0 ∂ n 0 Pˆ r0 − Pˆ r0 ∂ n 0 G r , r 0 ⌡ ⌡⌡ V ⌡⌡ Σ

R

]

)

[ (

∆ Pˆ = −Fˆ − k 2 Pˆ

Condition de Sommerfeld à l'infini (

)

r r ⌠⌠⌠ ⌠⌠⌠ 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ r r ˆ  P − k G − δ r − r0 − G − F − k P d V 0 =  − P δ r − r 0 + G F d V 0 ⌡⌡⌡ V ⌡⌡⌡ V

(1)

(6) dans (5) :

γ

r ∂f = grad f ⋅ n ∂n

x = αu ; y = βu ; z = γ u

x

β

(

( ) ( )

(

r Soient f(x,y,z) et n un vecteur unitaire n α β ∂f ∂f ∂f ∂x ∂f ∂ y ∂f ∂z B γ + = + = ∂u ∂y { ∂n ∂u ∂x { ∂u ∂z { ∂u

M

V

Vc

(2)

⌠⌠⌠ ⌠⌠ z Théorème d'Ostrogradsky  Pˆ ∆ G − G ∆ Pˆ d V 0 =  Pˆ ∂ n 0 G − G ∂ n 0 Pˆ d σ 0 (5) ⌡⌡⌡ V ⌡⌡ Σ

→

x1

) ( )

[

)

)

OM x u y= 0 B z B1 0

(1)

]

(

⌠⌠  ˆ ∂ G ∂ Pˆ  ⌠⌠⌠ ˆ ˆ  dσ0 −G  P ∆ G − G ∆ P d V 0 =   P ∂ n 0  ⌡⌡⌡ V ⌡⌡ Σ  ∂ n 0

z Rappel

)

[

r r r r r  ∆ + k 2 G r , r0 = − δ r − r 0 , r ∈ V c V ⊂Vc (3)  z Problème élémentaire  conditions aux r r r r ˆ (4)  ∂ n c + i k 0 ζ( r ; ω) G r , r0 = 0 , r ∈ Σ c frontières ad libitum

r ⌠⌠⌠ ⌠⌠ r r  div V d V 0 =  V ⋅ n 0 d σ 0 ⌡⌡⌡ V ⌡⌡ Σ

(

(

r r r  ∆ + k 2 Pˆ ( r ; ω) = − Fˆ( r ; ω) , r ∈ V  z Problème  r r r r ˆ ˆ ˆ  ∂ n 0 + i k 0 β( r ; ω) P ( r ; ω) = U ( r ; ω) , r ∈ Σ

Σ

]

répartition de monopôles

r n0

(

[

Σ

V

:

sources surfaciques

)

 ∆ + k 2 Pˆ (rr ; ω) = − Fˆ(rr ; ω) , rr ∈ V ,  r r  ˆ (rr ; ω) , rr ∈ Σ ,  ∂ n 0 + i k 0 βˆ ( r ; ω) Pˆ ( r ; ω) = U   Condition de Sommerfeld éventuelle , 

{ ( )

) ( )

dipôles

( ) ( ) [ (

) ]}

r r r r r r r r r r ⌠⌠ ⌠ ⌠⌠ Pˆ ( r ; ω) =  G r , r 0 Fˆ r0 d V 0 +  G r , r0 ∂ n 0 Pˆ r0 − Pˆ r0 ∂ n 0 G r , r 0 d σ 0 ⌡⌡ Σ ⌡ ⌡⌡ V r r ∈ V Champ "direct" des sources Champ provenant des sources de frontières, effets réelles (+ éventuellement réactifs et dissipatifs des frontières (non contenus champ de sources images) dans G) ρ 0 c0   r r r r ˆ  ˆ ˆ Condition aux frontières  βˆ = ∂ n 0 + i k 0 β( r ; ω) P ( r ; ω ) = U ( r ; ω) , r ∈ Σ

[

] lim {R (∂

R →∞

ˆ ˆ n0P + i k P

)} = 0



Z 

Condition de Sommerfeld éventuelle

4

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Cas où la fonction de Green satisfait aux mêmes conditions aux frontières que ^ P r r r

Monopôle et dipôle M 0 (x0,y0,z0)

(S)

r r r R = M0 M = r − r0

r r 0 = O M0

r r r0 + d u

M(x,y,z)

O

ϕˆ (R ; t ) = −

4π

e

−ik 0 R

ϕˆ (r; t ) =

e iωτ

4πR

D 0 ∂  e − i k 0 r 4 π ∂ z  r 

]

) (

)

(

] ( )

)

(

 −i k 0 r   e iωt = D 0 ∂  e  4 π ∂ r  r  

{ ( )

) ( )

(

ˆ − i k β Pˆ G ∂ n 0 Pˆ = G U 0

G (2) ^ P (9)

  cos θ e i ω t  

(

Pˆ ∂ n 0 G = Pˆ − i k 0 β G

( ) ( ) [ (

)

)

source S r n0

r uˆ ( r ; t )

(

)

r r r  ∆ − ∂ t2t c 02 pˆ ( r ; t ) = −fˆ ( r ; t ) , r ∈ V , t > t i  r r r r   ∂ n 0 + i k 0 β( r ; t ) ∗ pˆ ( r ; t ) = uˆ ( r ; t ) , r ∈ Σ , t > t i  r r r r r ˆ ˆ ∂ t pˆ r ; t i = A r ; t i ; pˆ r ; t i = B r ; t i , r ∈ V , t = t i

[

Σ Σ

V

( )

:

(9) dans (7) :

(

( )

(

)(

)

r r r r ⌠⌠⌠ ⌠ pˆ ( r ; t ) =  d t 0  G r , r0 ; t , t 0 fˆ r0 ; t 0 d V 0 ⌡⌡⌡ V ⌡t i

(

) (

(

) (

{(

)

(

z=0

)

) [ (

Ω

[∂

n0

)

(

) ( ) [ (

(Σ)

)]

y

)

Problème sous forme intégrale

{ ( )

( ) ( ) [ (

) ]}

r r r r  ˆ r ⌠⌠ ˆ r ˆ r  P ( r ) =  − G r , r0 ∂ z 0 P r0 + P r0 ∂ z 0 G r , r0 d σ 0 ⌡ ⌡ Σ   ∂ Pˆ (x, y, z ) = − i ρ ω W ˆ (x, y ) , ∀ (x, y ) ∈ Ω , z = 0, 0 0   z0  ˆ  ∂ z 0 P (x, y, z ) = 0 , ∀ (x , y ) ∉ Ω , z = 0,   Condition de Sommerfeld, 

, ∀ x, y , ∀ z ≥ 0 ,

r n0

sources surfaciques

rˆ rˆ iωt w 0 (x , y; t ) = W 0 (x , y ) e

M

r r

ˆ (x , y ) z W 0 r ez x

r n0

Rappel : Formulation intégrale (domaine de Fourier)

[

  ∆ + k 2 Pˆ (x, y, z ) = 0 , ∀ x, y , ∀ z ≥ 0, (Σ) y  M r r  r r ˆ  ∂ Pˆ (x, y, z ) = − i ρ ω W   n0 0 0 (x , y ) ⋅ n 0 , ∀ (x , y ) ∈ Ω , z = 0, Ω  ˆ (x , y ) z W  ∂ n 0 Pˆ (x, y, z ) = 0 ; ∀ (x, y ) ∉ Ω , z = 0, 0 r  r n0 ez  x  Condition de Sommerfeld,  r r n 0 = −e z

(

z

Ω

]

Problème sous forme différentielle

Σ

V

:

z

) ]}d σ 0

Intégrale de Rayleigh (2/14) z

r uˆ ( r ; t )

V

O

r r r r 1 ⌠⌠⌠  r r   G r , r0 ; t, t 0 ∂ t 0 pˆ r0 ; t 0 − pˆ r0 ∂ t 0 G r , r0 ; t, t 0 t 0 = t i  d V 0 , c 02 ⌡⌡⌡ V  Effet des conditions initiales ρ 0 c0   r r r r  + i k 0 β( r ; t ) ∗ pˆ ( r ; t ) = uˆ ( r ; t ) , r ∈ Σ , t > t i Condition aux frontières  β = Z  

(

Σ

r n0

z>0

x

Réaction de la frontière

+

source S

)

r r pˆ ( r ; t ) = Pˆ ( r ) e i ω t

r ; r ∈V ; t > t i

) (

r fˆ ( r ; t )

sources volumiques

(Σ)

Paroi

y

Champ "direct" des sources réelles (+ éventuellement des sources images) t

(7)

Le problème

]

r r r r r r ⌠ ⌠⌠ +  d t 0  G r , r0 ; t , t 0 ∂ n 0 pˆ r0 ; t 0 − pˆ r0 ; t 0 ∂ n 0 G r , r0 ; t , t 0 ⌡ti ⌡⌡ Σ

) ]}d σ 0

Intégrale de Rayleigh (1/14) z

( ) ( )

[

t

)

)

r r ˆ r ⌠⌠ +  G r , r 0 U r0 ; ω d σ 0 ⌡⌡ Σ

r r i k 0 β( r ; t ) = TF/ ω i k 0 β( r ; ω)

r n0

sources surfaciques

]

≡ Vc

ˆ G ∂ n 0 Pˆ − Pˆ ∂ n 0 G = G U ˆ ˆ ˆ d σ (9) G ∂ P − P ∂ G d σ 0 = ∫∫Σ G U ∫∫Σ n0 n0 0

r r r r ⌠ ⌠⌠ Pˆ ( r ; ω) =  G r , r0 Fˆ r0 ; ω d V 0 ⌡ ⌡⌡ V

Formulation intégrale (domaine temporel) r fˆ ( r ; t )

(V

r r r r r r r r r r ⌠⌠ ⌠ ⌠⌠ Pˆ ( r ; ω) =  G r , r 0 Fˆ r 0 d V 0 +  G r , r 0 ∂ n 0 Pˆ r0 − Pˆ r0 ∂ n 0 G r , r 0 ⌡⌡ ⌡ V ⌡⌡ Σ

  e iωτ  

simple ajout des sources

sources volumiques

V

Vc

z Formulation intégrale

M0 (S-)

r r n = ez ϕˆ (R; t ) = −Q 0

)

[

[

r R

D 0 ∂  e − i k 0 R ϕˆ (R ; t ) = 4 π ∂ n  R 

R

(

 ∆ + k 2 Pˆ ( r ; ω) = − Fˆ( r ; ω) , r ∈ V (1) z Problème  r r ˆ r ˆ r (2)  ∂ n 0 + i k 0 β( r ; ω) P ( r ; ω) = U ( r ; ω) , r ∈ Σ r r r r r  ∆ + k 2 G r / r0 = −δ r − r0 , r ∈ V (8)  z Problème élémentaire  r r r r  ∂ n 0 + i k 0 βˆ ( r ; ω) G r / r0 = 0 , r ∈ Σ (9)

(

r r

r du

r n

r r0

Q 0 δ (τ − R c 0 )

M

0

O

r= r OM

r+ r r R =R− d u

(S+) M +

]

r r Fˆ( r ; ω) = TF/ t fˆ (r ; t ) ˆ (rr ; ω) = TF [uˆ (rr ; t )] U /t

sources volumiques

source S r n0

r uˆ ( r ; t )

(

r fˆ (r ; t )

Σ

]

répartition de monopôles

r n0

(

[

Σ

V

:

sources surfaciques

)

 ∆ + k 2 Pˆ (rr ; ω) = − Fˆ(rr ; ω) , rr ∈ V ,  r r  ˆ (rr ; ω) , rr ∈ Σ ,  ∂ n 0 + i k 0 βˆ ( r ; ω) Pˆ ( r ; ω) = U   Condition de Sommerfeld éventuelle , 

{ ( )

) ( )

dipôles

( ) ( ) [ (

) ]}

r r r r r r r r r r ⌠ ⌠⌠ ⌠⌠ Pˆ ( r ; ω) =  G r , r 0 Fˆ r0 d V 0 +  G r , r0 ∂ n 0 Pˆ r0 − Pˆ r0 ∂ n 0 G r , r 0 d σ 0 ⌡ ⌡⌡ V ⌡⌡ Σ r r ∈ V Champ "direct" des sources Champ provenant des sources de frontières, effets réelles (+ éventuellement réactifs et dissipatifs des frontières (non contenus champ de sources images) dans G) ρ 0 c0   r r r r ˆ  ˆ ˆ Condition aux frontières  βˆ = ∂ n 0 + i k 0 β( r ; ω) P ( r ; ω ) = U ( r ; ω) , r ∈ Σ

[

] lim {R (∂

R →∞

ˆ ˆ n0P + i k P

)} = 0



Z 

Condition de Sommerfeld éventuelle

5

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Intégrale de Rayleigh (3/14) z

Intégrale de Rayleigh (4/14)

Problème élémentaire associé

(

)

z

3 ∆ + k 2 G = −δ (r − r0 ) , ∀ r ∈ V r r

r

r

3 conditions aux frontières AD LIBITUM , ∀ r ∈ Σ or

{ ( )

(Σ)

y

Ω

r r

M

connu

Fonction de Green

R'

) ]}d σ 0

, ∀ x, y , ∀ z ≥ 0

V )im

→

r'0

∂n

choix judicieux ici :

0

[(

r r G r , r0

→

r

(

−i k R

r r R ' = r − r '0 =

(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 + (z + z 0 ) 2

r r e −ik R e −i k R' G r , r0 = + 4πR 4 π R'

(

espace physique

)

)

−i k R '

(

(

(

)

G x , y, z; x 0 , y 0 , z 0 = 0 =

e 2π

−ik

)

G x , y, z; x 0 , y 0 , z 0 = 0 =

)

(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 + z 2

(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 + z 2

→ W0 →

r

α θ

e

(x − x 0 ) + (y − y 0 ) 2

2

+z

2

(

ξ

M

)

ˆ x ,y dx dy W 0 0 0 0 0

Pˆ (r , θ) =

r r O M 0 = ξ cos α e x + ξ sin α e y r r O M = r sin θ e x + r cos θ e z

z

ˆ ⌠ iρ 0 ωW 0 ⎮ 2π ⎮ ⌡0

2π

⌠ ⎮ ⎮ ⌡0

e

M 0 M − ξ sin α B r cos θ

− i k r 2 + ξ 2 − 2 r ξ sin θ cos α

r + ξ 2 − 2 r ξ sin θ cos α 2

ξdξdα

9 Calcul exact lorsque M ∈ (Oz) 9 Calcul approché en champ lointain 9 Calcul exact en z = 0, puis approché en basses et hautes fréquences (impédance de rayonnement)

Intégrale de Rayleigh : champ sur l'axe z (8/14) a/λ=0.2

M

Applications : enceintes, transducteurs, ...

M

r sin θ − ξ cos α

→ W0 O

(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 + z 2

(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 + z 2

θ

O

y

Intégrale de Rayleigh (7/14) Champ sur l'axe Oz

−ik

r

M0

z

a

(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 + z 2

−ik

(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 + z 02

e 2π

(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 + z 02

Disque ayant une vitesse vibratoire indépendante du point x

ˆ (x , y ) ; ∀ (x , y ) ∈ Ω , z = 0, ⎧⎪∂ z Pˆ (x , y, z ) = − i ρ 0 ω W 0 0 ⎨ ˆ ⎪⎩∂ z 0 P (x , y, z ) = 0 ; ∀ (x , y ) ∉ Ω , z = 0.

⌠⌠ i ρ 0 ω ⎮⎮ Pˆ (x , y, z ) = 2 π ⎮⎮ ⌡⌡ Ω

2π

−i k

)

Intégrale de Rayleigh (6/14) z

)

e

ou

r r e e + ,∀ z≥0 G r , r0 = 4 π R 4 π R'

(

z

(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 + (z − z 0 ) 2

z

(

⌠⌠ Pˆ (x , y, z ) = −⎮⎮ G x , y, z; x 0 , y 0 ,0 ∂ z 0 Pˆ x 0 , y 0 ,0 d x 0 d y 0 ⌡⌡ Σ

et

M(x,y,z)

r r R = r − r0 =

G x , y, z = 0; x 0 , y 0 , z 0 =

Champ acoustique rayonné

avec

R

r0

O

r n0

)] = 0

V

→

→

Intégrale de Rayleigh (5/14) z

M 0 (x0,y0,z0) (S)

→

inconnu

ˆ (x , y ) z W 0 r ez x

r n0

z

( ) ( ) [ (

r ⌠⌠ r r r r r r Pˆ ( r ) = ⎮⎮ − G r , r0 ∂ z 0 Pˆ r0 + Pˆ r0 ∂ z 0 G r , r0 ⌡⌡ Σ

Expression de la fonction de Green sur la paroi (R = R')

M'0 (x0,y0,-z0)

Pˆ (z ) ⎡ a = 2 sin ⎢ π ˆ ρ 0 c 0W ⎣ λ 0

(ξ

2

)

⎤ + 1 − ξ ⎥ avec ξ = z / a ⎦

z a/λ=2.8

i ⎛⎜ − k pˆ (z; t ) ˆ ˆ e ⎝ = W 0 e i (− k z + ω t ) − W 0 ρ0 c0

onde plane progressive forcée qui serait émise par l'ensemble du plan Σ, animé de la vitesse W0

z 2 + a 2 + ω t ⎞⎟ ⎠

a/λ=0.6

facteur de diffraction du bord du piston

⎛ z 2 + a 2 − z ⎞⎟ Pˆ (z ) ⎡ a = 2 sin ⎢ π = 2 sin ⎜ π ˆ ⎟ ⎜ λ ρ 0 c 0W ⎣ λ 0 ⎠ ⎝

a/λ=5

(ξ

2

)

⎤ + 1 − ξ ⎥ avec ξ = z / a ⎦

a/λ=1 a2 position du dernier maximum (si a >> λ) : z ≈ λ a 2 D 2 distance de = l0= λ 4 λ champ proche

6

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Zones de Fresnel

zones de Fresnel

Champ acoustique émis par un transducteur ultrasonore plan lobes secondaire lobe principal

Découpage du disque en N zones de Fresnel telles que : λ R n = z + n = σ 2n + z 2 2 λ R n +1 = R n + 2

Rn+1 σn+1

Rn

σn

z l0 =

y

D2 4λ

champ proche

zM

Rn = zM

z a

sur l'axe z :

λ D

à z fixé y

p(y,l0)

dernier maximum

A0

ξdξ

⌠ 2 2 ˆ ⎮ e − i k z +ξ Pˆ (z ) = i ρ 0 ω W 0⎮ ⌡0

a

sin γ = 1,22

champ lointain

p(0,z)

0

p(y,z)

γ

z=l0

A0 2

2

≈

2

z +ξ

1 z

l0

Pˆ (z ) = e −i k z ∑ e −i n π ˆ ρ0c0 W 0 n =0

φ

z

ζ

y

N

9 Termes de rang pair de la somme = +1 9 Termes de rang impair de la somme = -1

les contributions de 2 zones de Fresnel successives s'annulent

9 Si a et z tels que le disque contient N zones de Fresnel (N pair), alors P(z) = 0 9 Si a et z tels que le disque contient N zones de Fresnel (N impair), alors P(z) max

z

Intégrale de Rayleigh (9/14) →

Intégrale de Rayleigh (10/14)

En champ lointain et si la vitesse W0 est indépendante du point (piston oscillant) → W0 →

r

ˆ k ρ c Pˆ (r, θ) ≈ i 2 π a 2 W 0 0 0 0

θ

−ik 0 r

e

(

2 J 1 k 0 a sin θ

4πr

Pˆ (r, θ) p a λ p S λ

)

ˆ = −ω 2 ξˆ Pˆ (r, θ) p i ω W 0 (accélération)

et

k 0 a sin θ

z

M

caractère monopolaire

facteur de directivité → 1 si ka petit

ˆ et Pˆ (r, θ) p i ω W 0

Pˆ (r, θ) p a λ p S λ

f (Hz)

(accélération)

λ

enceinte

ka p a λ

f (Hz) λ

34

340

3400

10 m

1m

10 cm

aigu ordre du cm

Intégrale de Rayleigh : courbes de directivité (11/14) I r ∞ (r ) =

Intensité

Grave

Medium

Aigu

≈ 20-200

200-2000

> 2000

quelques m

quelques 10 cm

ordre du cm

HP

Boomer

Medium

a

> 10 cm

ξ

quelques cm

(

r2

90°

)2

ka=1

quelques mm

Intégrale de Rayleigh : courbes de directivité (12/14) ka=1

60°

z ka petit (basses fréquences)

(

k 0 a sin θ

) ≈1

r e Pˆ( r ; ω) p

90°

k a = 10

ka=5

(

2 J 1 k 0 a sin θ

60°

est d'autant plus variable en

-30 -30

-30°

-20

-10 dB0

-10 dB

0

fonction de θ que ka est élevé.

flux d'énergie en fonction de θ (en dB)

-60°

-30°

-90°

θ -20

-20

-10 dB0

-10 dB0

-20

-30°

30° -60°

) -30

-30

-60°

ka = 20

k 0 a sin θ

30°

-10 dB 0

caractère omnidirectionnel de l'enceinte (monopolaire)

z ka plus élevé (hautes fréquences) le facteur de directivité

4πr

-20

30°

60°

60°

30°

−ik 0 r -30

quelques 100 µm

grand déplacement impossible

30°

2 J 1 k 0 a sin θ

≈ 1 cm

90°

60°

k 0 a sin θ

8

Tweeter

≈ 10 cm

compensation par un grand déplacement

http://fr.audiofanzine.com/apprendre/ glossaire/index,popup,,id_mot,49.html

ˆ 2 2 J k a sin θ ρ0 c 0 k 02 a 4 W 0 1 0

ka p a λ

-90° -60°

-30°

k a = 20 30°

60°

-90° -30

-60°

k a = 30 30°

60°

-20

-10 dB0

-30

-20

-10 dB0

-30°

l'amplitude du son dépend beaucoup de l'angle θ. ka = 1 à 30

-60°

-30°

-60°

-30°

7

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Intégrale de Rayleigh (13/14) z

1 ⌠⌠ ˆ ˆ Z ray = ˆ  P (r, θ) d σ W 0 ⌡⌡ Ω

ˆ Z ray

Zˆ ray πa

image de la pression moyenne du ^ = 1) champ acoustique normalisée (W 0

Impédance de rayonnement (suite) 8k 0 a  8k 0 a 1 2 2 ˆ Z k0 a 2 +i ray 0 ≈ π a ρ 0 c 0   ≈ iπ a ρ 0 c 0 3π  3π 2 à l'ordre 0 : pression nulle 1 I = Re pˆ vˆ* p Re i vˆ vˆ* = 0 à l'ordre 1 : pression et vitesse en quadrature à l'ordre 2 : pression rayonnée non nulle, mais très faible 2

2

 J 1 (2 k a ) S 1 (2 k a )  = π a ρ0 c 0 1 − +i  ka  ka  2

fonction de Struve

^ : pression moyenne sur le piston Ω pour une vitesse W0 unitaire

 2  ˆ  Z ≈ π a 2ρ 0 c 0 Š ka →∞, a>> λ ray ∞ ≈ π a ρ 0 c 0 1 + i π k 0 a   surface de l'émetteur >> λ2 2

cloison mitoyenne entre deux appartements rayonnement maximal...

(

Š ka →0, a 0

z

Etude du champ amont (indice "u") dû à la réflexion compte tenu de la surface vibrante = champ incident pinc + champ réfléchi pr

plaque

y

z

x0

= Ξˆ x 0 , y 0 e i ω t

z 0 : chaque mode oscille dans le temps à sa fréquence propre (on entend toutes les fréquences ωm) • après extinction de la source, ce sont les modes de fréquences très voisines de ωg qui ont la plus grande amplitude, et que l'on entend principalement. ^ • on entend tous les ωm, mais la mémoire de ωg est contenue dans Ωm²-ωg².

Acoustique des espaces clos : interprétation (14/18) écran sur un mur parfaitement réfléchissant

m Fˆ ˆ = A m

Σ

m

et

Couplage du mode µ avec le mode m (échange d'énergie entre les modes) d'autant plus important que l'intégrale est importante. Si β est non uniforme et si défauts géométriques, cette intégrale devient relativement importante : distribution de l'énergie par les modes. Si β uniforme sur chaque paroi et si géométrie compatible, ≈ik0β≈δmµ≈0, peu ou pas de couplage de mode.

Transfert d'énergie des sources ^ F et ^ U pour créer la contribution du mode m au champ acoustique. Si la ^F est fonction source "orthogonale" au mode m, pas de transfert d'énergie de cette source au mode m.

McKinnon Theater, Kettering University, Flint, MI

9 plus de résonance autour des fréquences de source 9 énergie transmise à tous les modes : tous les modes sont générés 9 aucun mode n'est particulièrement privilégiée (en raison de la largeur "infinie" du spectre de fréquence de la source), seuls étant éventuellement absents les modes pour lesquels σ^m=0 (transfert d'énergie source-mode → nulle, soit, pour une source ponctuelle, ψm(r0)=0).

Acoustique des espaces clos : interprétation (15/18) z flutter écho

échos successifs

mur parfaitement réfléchissant

400 places http://www.kettering.edu/acad/scimath/physics/acoustics/McKinnon/McKinnon.html

McKinnon Theater, Kettering University, Flint, MI http://www.kettering.edu/acad/scimath/physics/acoustics/McKinnon/McKinnon.html Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University

17

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Acoustique des espaces clos : interprétation (16/18) z flutter écho entre sol et plafond

Acoustique des espaces clos : interprétation (17/18) z flutter écho

tambour_sans_traitement

vitesse d'écoute normale

vitesse d'écoute divisée par deux (1 strie = passage devant le microphone) ≈ 17 stries en 0.1 s ≈ 170 stries en 1 s 170 * d (ou 2d) = 340 d = 2 m

tambour avec traitement

http://www.allchurchsound.com/ACS/R_D/kitchen/ http://www.allchurchsound.com/ACS/R_D/nov42001tests/

Acoustique des espaces clos : interprétation (18/18) z flutter écho

clap_sans_traitement

clap_avec_traitement

http://www.allchurchsound.com/ACS/R_D/nov42001tests/

18

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Analyse modale d'une cymbale (1/5)
Le problème : source ponctuelle "explosive" à l'époque t = 0 (dirac)  Espace clos "cylindrique"  Analogie avec un espace clos parallélépipédique : Sˆ m (t ) = σˆ m δ(t ) r  t ≤ 0 , p( r ; t ) = 0  r r σˆ m  e − γ m t cos ω m t + ϕm ψ m ( r )  t ≥ 0 , p( r ; t ) = ∑ − 2 i Ω ˆ m m 

(

Analyse modale d'une cymbale (2/5)
Les modes propres  En toute première approximation (épaisseur non constante, disque non plan, plaque et non membrane), les modes sont tels que

(

)

Jν k w a = 0 , k w = k 0

)

J0 J1

 plus de résonance autour des fréquences de source  énergie transmise à tous les modes : tous les modes sont générés  aucun mode n'est particulièrement privilégié (en raison de la largeur "infinie" du spectre de fréquence de la source), seuls étant éventuellement absents les modes pour lesquels σ^m=0 (transfert d'énergie source-mode → nulle, soit, pour une source ponctuelle, ψm(r0)=0).
But de l'analyse  Montrer l'importance du transfert d'énergie source-mode  suivant l'étendue spatiale de la source  suivant la position spatiale de la source

Analyse modale d'une cymbale (3/5)
Influence de l'étendue spatiale de la source

J2 J 3 J4 J5

 Raisonnement très qualitatif ==> analogie avec un espace parallélépipédique de géométrie cartésienne valable  Plus la fréquence est élevée, plus la longueur d'onde spatiale est petite

clos

Analyse modale d'une cymbale (4/5)
Influence de la position du point d'impact (1/2)

( )

( )

r r r r  source ponctuelle en r0 : ψ m r0 si r0 est tel que ψ m r 0 = 0 pas de transfert d'énergie de la source (ponctuelle) vers ce mode (évite de déclancher un mode) Se souvenir de l'allégorie, "le son ne passe pas la rampe" ˆ p m Fˆ A m

baguette "quasi-ponctuelle"

baguette non ponctuelle

sons plus riches en aigus

sons beaucoup moins riches en aigus (les sons graves dominent)

mode (2,1)

Ψ21(x,y)

D

J0 J1

J2

J3 J 4

J5

Analogie avec l'exemple d'une onde plane incidente sur une plaque vibrant sur le mode (2,1)

0 y b b/2 0

a/4

a/2

3a/4

a

x

ˆ p m Fˆ A m

D

a

a

0

0

= ∫ Fˆ(x ) ψ m (x ) d x ≈ Fˆ ∫ ψ m (x ) d x = 0

Analyse modale d'une cymbale (5/5)
Influence de la position du point d'impact (2/2)

baguette non ponctuelle

baguette "quasi-ponctuelle" Avec la participation active de Michel et Anne-Marie Bruneau...

19

Transparents basés sur C. POTEL, M. BRUNEAU, Acoustique Générale - équations différentielles et intégrales, solutions en milieux fluide et solide, applications, Ed. Ellipse collection Technosup, 352 pages, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Onde mécanique (1/5) z

Chapitre 8 ONDES ELASTIQUES DANS LES SOLIDES ISOTROPES

Une onde mécanique est un mouvement oscillatoire qui se transmet de proche en proche dans un milieu matériel, par voisinage, comme une information, un changement de position que l'on transmet à son voisin.

http://www.kettering.edu/~drussell Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University

APPLICATION AU CONTROLE NON DESTRUCTIF PAR ULTRASONS

Onde mécanique (2/5)

La particule d'eau au centre bouge et transmet son mouvement aux autres

Onde mécanique : onde de compression (3/5)

dans un gaz http://www.kettering.edu/~drussell Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University

molécule dans un ressort

Représentation schématique de matière constituée de molécules (de masses données) en interactions élastiques.

Onde mécanique : onde de cisaillement (4/5)

système discret

système continu : propagation d'une impulsion le long d'un ressort. Les sections du ressort se déplacent de haut en bas à mesure que le pulse se déplace de la gauche vers la droite

Onde mécanique : onde de flexion (5/5)

http://www.kettering.edu/~drussell Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University

ondes de flexion dans une corde vibrante

1

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Vitesse de propagation GAZ

LIQUIDE

V air = 340 m/s

V eau = 1500 m/s

De la matière discontinue... ONDE DE CISAILLEMENT

SOLIDE

V métal ≅ 6000 m/s

Seul mouvement autorisé

Aucune information n'est transmise

L'information est transmise d'autant plus vite que la raideur des ressorts est grande

ONDE DE COMPRESSION

Aspect schématique des trois états fondamentaux de la matière et ordre de grandeur de la vitesse propagation des ondes de compression pour chacun d'eux

... à la matière continue

Différents types d'onde polarisation propagation

λ

particule

polarisation propagation λ http://www.ens-lyon.fr/Planet-Terre/Infosciences/Geodynamique/Structure-interne/Sismologie/pendulum.html

Allongement d'un fil extensible M x

∆x M'

x + u(x)

N x+∆ x

L

u(x+∆ x) N'

x + ∆ x + u(x+∆ x) u(x+∆ x) - u(x) + ∆ x

variation relative de longueur du petit élément MN :

[u (x + ∆ x ) − u (x ) + ∆ x ] − ∆ x = ∆ u ∆x

∆x

r u (M ) M '

déplacement particulaire :  → r u (x) = M M' → F L'

u(x)

Vecteur déplacement particulaire

x3

M

O x2

M'

O x1

M

N

( ) ( ) B u 3 (x 1 , x 2 , x 3 ) u 1 x 1, x 2 , x 3 u 2 x 1, x 2 , x 3

CISAILLEMENT (distorsion ou glissement)

DILATATION

x1 x3

∆ u = u ( x + ∆x ) − u ( x ) ∆ u = 0 simple translation ∆ u ≠ 0 déformation

r u (M ) = M M ' =

P2

N'

α

→ N2

→

dx2

n

n2

N'1

M ' dx1+du1 P1 →

x2 r M ' N '− M N S(M, n ) = lim N→M MN

N'2

M

dx1

N1

n1

r r  ∂u 2 ∂u1 π + γ M, n 1 , n 2 ≈ lim  − α  ≈ d x 1 →0  2  ∂ x1 ∂ x 2

(

)

d x 2 →0

2

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Déplacement M'

Tenseur des déformations S

r u (M ) = M M ' =

N'

x3 M

O

r u (N ) = N N ' =

N

x2

x1 du1 = du 2 = du3 =

∂u1 ∂ x1 ∂u 2 ∂ x1 ∂u3 ∂ x1

∂u1

dx1 +

∂ x2

dx1 + dx1 +

∂u 2 ∂ x2 ∂u3 ∂ x2

dx2 + dx2 + dx 2 +

∂u1 ∂ x3

∂ x3

) ) )

(

 ∂u1  ∂ x1    ∂u ∂u 2  1 1  S =   + 2  ∂ x 2 ∂ x 1      u u3 ∂ ∂ 1  1  + 2 ∂ x  x ∂ 3 1   

u1 +d u1 u2 +du2 B u3 +du3

)

(

( ) = (grad u )⋅ d O M

)

Interprétation (1/3) Si

Ω=0

et

S=0

alors

)

du

M

r

S=0

alors ur (N ) = Ω ⋅ d O M

 0 − ω3 r  u (N ) = d u 2 =  ω 3 0 B d u 3  − ω 2 ω1 du1

z

Si

( )

1  ∂ u i ∂ u j  + 2  ∂ x j ∂ x i 

Si j =

r u ( N) N

N"'

ω

M

ω

N' N

M=M '

r u (M ) + Ω ⋅ d O M : déplacement du solide au sens mécanique r r r u (M ) = 0 et Ω = 0 alors u (N ) = S ⋅ d O M déformation

r dx r r x+dx

r x

N

simple rotation

M'

M

déformation pure

mécanique

N"

N IV

r u (N)

N

translation + déformation + rotation r r r r )

N'

u (N = u ( M ) + d u S + d u Ω r du

r du

M'

N"

N"

r u (N)

r r u (N ) = u (M ) + Ω ⋅ d O M + S ⋅ d O M rotation

M

simple translation

O

N'

du Ω M'

r r u (N) = u ( M )

→

simple translation

O

r

duS

r r du

N'

M'

N

OM + d OM

ω1 d x1 ω2 d x1 r  − ω1 d x 2 = ω 2 ∧ d x 2 = ω ∧ M N  0 B d x 3 B ω 3 B d x 3

translation

)

r r u (N) = u ( M ) d OM

r

(

u i x j + d x j = u i x j +Si j d x j + Ω i j d x j N'

N'

M' M

Si u (M ) = 0 et

antisymétrique

Interprétation (2/3) : déplacement local de deux points

r r u (N ) = u (M ) + Ω ⋅ d O M + S ⋅ d O M r r u (N ) = u (M )

1  ∂ u 1 ∂ u 3   −  2  ∂ x 3 ∂ x 1    1  ∂ u 2 ∂ u 3   − 2  ∂ x 3 ∂ x 2     0  

r r u (N ) = u (M ) + Ω ⋅ d O M + S ⋅ d O M

r du

M'

r u ( M)

OM

z

∂x 2

 1  ∂ u 1 ∂ u 2  − 0  2  ∂ x 2 ∂ x 1     ∂u ∂u2  1 1   − Ω = − 0  2∂ x 2 ∂x1      1  ∂ u 1 ∂ u 3  1  ∂ u 2 ∂ u 3  − − − −  2∂x ∂ x 1  2  ∂ x 3 ∂ x 2  3  

r r r u (N ) = u (M ) + d u

r r r u (N ) = u (M ) + grad u ⋅ d O M 1442r 44 3

z

∂u2

1  ∂ u 2 ∂ u 3  + 2  ∂ x 3 ∂ x 2 

3

(

1  ∂ u 1 ∂ u 3   +  2  ∂ x 3 ∂ x 1    1  ∂ u 2 ∂ u 3  + 2  ∂ x 3 ∂ x 2   ∂u3   ∂x3 

1  ∂ u 1 ∂ u 2  + 2  ∂ x 2 ∂ x 1 

r grad u =S + Ω

avec

symétrique r r d u = grad u ⋅ d O M

d x 3 = grad u 2 ⋅ d O M dx3

)

r r r r ∂u r r ∂u ∂u du = dx1 + dx2 + d x 3 = grad u ⋅ d x ∂x3 ∂ x1 ∂x2

d x 3 = grad u 1 ⋅ d O M

∂u 2 ∂ x3 ∂u3

(

( ( (

u 1 x 1, x 2 , x 3 u 2 x 1, x 2 , x 3 B u 3 x 1, x 2 , x 3

M N

translation + rotation

r d u N' r u (N)

N

translation + déformation

Interprétation (3/3)  ∂u1  ∂ x1    ∂u ∂u  1 1 2 S =   + 2  ∂ x 2 ∂ x 1      1  ∂ u 1 ∂ u 3  2 ∂ x + ∂x  3 1   

Sii : déformation dans la direction xi

1  ∂ u 1 ∂ u 2  1  ∂ u 1 ∂ u 3   + +  2  ∂ x 2 ∂ x 1  2  ∂ x 3 ∂ x 1    ∂u2 1  ∂ u 2 ∂ u 3  + 2  ∂ x 3 ∂ x 2  ∂x2  ∂u3  1  ∂ u 2 ∂ u 3  +  ∂x3 2  ∂ x 3 ∂ x 2  

Sij : demi distorsion dans les directions → xi et xj

xj

Nj

)

d x 2 →0

x2

plan de coupure fictif (P) M

M

(E2)

(E1)

M

N'i Ni

partie (E2) à droite de la coupure

partie (E1) à gauche de la coupure

→

xi

solide (E)

→

t

→

x3

b a V = abc

(

V' ≈ V 1 + ∂ u 1 ∂ x 1 + ∂ u 2 ∂ x 2 + ∂ u 3 ∂ x 3

→

b'

M

)

a' V' = a ' b' c'

(V'−V ) V ≈ div ur = trace S

G

I

M

→

T(M,n) →

T

c'

x1

→

dF

déformation supposée sans cisaillement

c

M

(P)

(E1)

α

r r  ∂u 2 ∂u1 π + γ M, n 1 , n 2 = lim  − α  = d x 1 →0  2  ∂ x1 ∂ x 2

(

N'j

section droite (S)

→ dS

τ

n

M

→

σ

→

n

II (P)

3

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Tenseur des contraintes T (1/2) →

→

Tenseur des contraintes T (2/2)

→

r r dF T (M, n ) = lim = T.n d S→0 d S

dF

 T11 T12  T = T 21 T 22 T 31 T 32 

→

T

T i = Ti k n k

M

→

I

dS

n

∆ F3

→

∆F

∆ s k →0

∆ F2 x2

→

∆ F1

x1

T i k = lim

→

→

(

∆ Fi ∆Sk

)

r r T M, e x 2 = T ⋅ e x 2 =

∆ S2

traction ou compression

→

→

n3

d l2

d l1

M3 M'2

M

→

d l3

M'1

→

(

x3

)

(

→

→

dF

A

→ → -F

→

x2

F

σ= S

→ F

AA

rupture section S ≈ S 0

L

L

A

B

A

B

→ F

BB

AA

section S < S 0

section S ≈ S 0

Eprouvette sollicitée après l'apparition de la striction

→

A

n2

τ12

d F2

section S 0

Eprouvette sollicitée avant l'apparition de la striction

→

T ( M , n1 )

→

→

d F1

→

dS3

T33

AA

L0

A

n1

cisaillement

x1

)

d F3

O

→ -F

n2

→ r r r r T M , n i ⋅ n j = T M, n j ⋅ n i , i ≠ j

x2

A2

Eprouvette non sollicitée

→

T ( M , n2 )

- n3 →

A

→ τ12 τ21

dS1

Essai de traction

n2

M'3

τ 12 = τ 21

T12 T 22 B T 32

T13

A1

x1

A

→

T23

dS2

→

→

M2

M1

n1

T12

= Tk i

n1

- n1

T21

M O

T ( M , n1 )

→

T31 T11

II

→

cisaillement

→

A3

T32

T22

x3

- n2

x3

T13   T 23  T 33 

A

τ21

→

→

d S2

II

III ∆L

ε= L 0

AA

section Su

kL 1 = VL ω

k ω

⇒ k1 > k L

ω

k 12 + k 32L = k 2L ⇒ k 32L = k 2L − k 12 < 0

k 3L = i k"3L

k"3L = ± k 12 − k 2L

ˆ e k" 3L x 3 e −i (k 1 x −ω t ) ˆ =A ψ L

x1

→

x1

k1 > kL

→

k'L

k"3L< 0 k"3L> 0

→

k"L

θ Ttr

T

plan équiamplitude

k1

1/VL

k'L x1

ω

→

m=

Relation de dispersion :

1

L

θ Ltr

k1

→

x3

critère de rayonnement à l'infini

→

x3

k"L

x3

5

1 0.8

4

module

1.2

2ème angle critique

0.6

1er angle critique

0.4

3

0.2

1 0 180

angle de Rayleigh

90 0 -90

TV

2

0 180

phase (degré)

phase (degré)

module

Coefficients de réflexion et de transmission en amplitude de déplacement

L

90

TV

0

L

-90 -180

-180 0

Eau

10 20 30 40 50 60 70 80 90 L angle d'incidence (degré)

ρ = 1000 kg/m3 VL = 1480 m/s

0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 angle d'incidence (degré)

L

Aluminium

eau L

alu TV

ρ = 2786 kg/m3 VL = 6650 m/s VT = 3447 m/s

7

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

Exemple (Tzz/µ) : f(X) = cos(kX), ka = 4, θ