A ​tudományok királynője - A matematika fejlődése 9632793021 [PDF]

Zitiervorschau

© Typotex Kiadó

Filep László

A tudományok királyn˝oje A matematika fejl˝odése

Budapest, 1997

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Tartalom Bevezets

9

lland jellsek I.

A matematika trtneti fejldse

1.

A matematika elvi krdsei

2.

Az empirikus matematika

11 13

1.1. A matematika, mint tudomny s tantrgy 1.2. A matematika sajtossgai . . . . . . . . . 1.3. A matematika loz ja . . . . . . . . . . . 1.4. A matematika fejldsnek szakaszai . . . . Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

15 16 19 25 30

2.1. A matematika keletkezse . . . . . . . . . . . . . . 2.2. A szmrendszerek kialakulsa, a szmrs kezdetei 2.3. Egyiptom matematikja . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. A babilniai matematika . . . . . . . . . . . . . . . Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

33 37 41 48 56

A grg matematika

4.

A kzpkor s a renesznsz matematikja

3.1. A grgk szmrsa . . . . . . . . . . 3.2. A grg matematika Euklidsz eltt . 3.3. A hellnizmus kornak matematikja . 3.4. Matematika a rmai korban . . . . . . Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. A hindu matematika . . . . . . . . . 4.2. Az arab hegemnia kora . . . . . . . 4.3. Matematika a kzpkori Eurpban . 4.4. A matematika renesznsza . . . . . . 4.5. Szmrsmdok . . . . . . . . . . . . Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . .

15

. . . . .

3.

. . . . .

33

59

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

61 63 78 97 103

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

110 118 125 132 144 152

109

5

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó 5.

Az jkori matematika

6.

A magyar matematika trtnete

5.1. Az jkori s a modern matematika f vonsai . 5.2. A geometria algebrizlsa . . . . . . . . . . . . 5.3. A matematikai analzis kialakulsa s fejldse 5.4. A szmelmlet nllsodsa . . . . . . . . . . . 5.5. A matematika egyb gainak jkori fejldse . Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

157

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

157 161 165 180 183 188

6.1. A kezdetektl a XIX. szzadig . . . . . . . . . . . 6.2. A XIX. szzadi reformkor s fellendls . . . . . 6.3. A XX. szzadi magyar matematika . . . . . . . . 6.4. Fbb kutatsi irnyok a magyar matematikban Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

193 203 212 216 221

193

II.

A modern matematika fbb fejezetei

223

7.

Halmazelmlet s matematikai logika

225

8.

Topolgia

249

9.

Absztrakt algebra

10.

Analzis

11.

Geometria

Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 8.1. Ler topolgia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 8.2. ltalnos topolgia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 9.1. Kialakulsa s fejldse 9.2. Csoportelmlet . . . . . 9.3. Gyr- s testelmlet . . 9.4. Hlelmlet . . . . . . . Gyakorlatok . . . . . . . . . .

265

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

265 271 281 290 294

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

297 320 324 328

11.1. A modern geometria kialakulsa 11.2. Az euklidszi geometria . . . . . 11.3. Nemeuklidszi geometrik . . . . 11.4. Projektv geometria . . . . . . . Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

331 334 341 351 356

10.1. Vals analzis . . . 10.2. Fourier-analzis . . 10.3. Funkcionlanalzis Gyakorlatok . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

297

331

6

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó 12.

Szmelmlet

357

13.

Kombinatorika s grfelmlet

371

14.

Valsznsgszmts

12.1. Algebrai szmelmlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 12.2. Analitikus szmelmlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 13.1. Kombinatorika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 13.2. Grfelmlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 14.1. Valsznsgszmts . . 14.2. Matematikai statisztika 14.3. Jtkelmlet . . . . . . . Gyakorlatok . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

393

394 410 422 434

letrajzi jegyzetek

437

Fggelk

487

1.

Staar Gyula interj ja Sznssy Barna professzorral

489

2.

Milyen a matematika? (Idzetek)

503

7

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

8

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Bevezets A tanknyv matematika szakos tanrjelltek s tanrok szmra kszlt, de haszonnal forgathatjk mindazok, akik rdekldnek a matematika irnt s legalbb kzpfok vgzettsggel rendelkeznek. Megrsakor a szerz igyekezett hasznostani A matematika fejldse trgy oktatsa sorn szerzett tapasztalatait, valamint a trgyhoz korbban rt kt jegyzet (Szsz, Szernyi) ernyeit. Ezek kzl az utbbi 1975-ben jelent meg s ez nmagban indokoltt teszi egy j tanknyv rst. Elg csak  a trgy ideolgikus jellegt is tekintve  a rendszervltsra utalni. Ma mr nem ktelez egyetlen loz a szemlletnek s terminolgijnak hasznlata sem. E tren igyekeztnk a soksznsgre, a tnyek s loz ai nzetek sztvlasztsra, ltalban a dezideolgizlsra trekedni. Az elz jegyzethez kpest jobban igyeksznk szem eltt tartani azt, hogy hasznli nem csupn matematikusok, hanem leend matematikatanrok. Teht a szraz matematikai anyagot a kulturlis s trtneti httr felvzolsval mutatjuk be s kitekintnk a mdszertani vonatkozsokra is. Ez klnsen a knyv els felre jellemz. Remljk sikerlni fog meggyzni az olvast arrl, hogy a trgy tanulsa hasznos szmra. A fontosabb matematikai fogalmak, mdszerek trtneti fejldsnek bemutatsval a tanr ltni fogja, hogyan merlt fel a fogalom bevezetsnek szksgessge, mik okoztak nehzsgeket a fejlds sorn, milyen mdszereket alkalmaztak a nehzsgek lekzdsre, melyek az alkalmazsi lehetsgek. A tanulsgokat hasznosthatja sajt oktat munkjban. A pusztn logikai trgyals, a trtneti t tapasztalatainak gyelmen kvl hagysa lervidtheti ugyan a tants idejt, de nem hatkony. Pldul a fggvny tantsakor a legmodernebb hozzrendelses fggvnyfogalmat akarjuk kialaktani a trtneti fejlds lpcsfokainak kihagysval. Ez a tisztn deduktv megkzelts srti azt a genetikai elvet, amely szerint az egyedfejlds nagy vonalakban kveti a fajfejldst. Vagyis az egyes ember ismereteinek fejldse lervidtett, letiszttott megismtlse az emberisg ismeretfejldsnek. A trtneti t gyelmen kvl hagysnak veszlyeire az j matematikai tantervekben, mr 1962-ben memorandumban hvta fel a gyelmet hatvant neves amerikai matematikus (kztk Plya Gyrgy), gy tnik hiba. Nevelsi szempontbl is nagyon fontos lenne a trtneti t sznes, rdekes bemutatsa. 9

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Felhasznlhat a trgy megszerettetsre, a motivcis bzis erstsre, az rk lnktsre. gy mg a humn belltottsg gyerek is tallhat ktdst a matematikhoz. A nagy matematikusok letnek bemutatsa is komoly nevel hats. Vgezetl: minden szaktanrnak illik ismerni szaktrgya trtnett. Ez humn trgyaknl mr rgen nem vitatott krds. A knyv elszr trtneti korszakokknt trgyalja a matematika fejldst a modern matematika korig. Kln fejezet szl a magyar matematikrl. Ebben a rszben trgyaljuk a matematika ltalnos elvi krdseit s loz jt. A msodik rszben a modern matematika legfontosabb fejezeteinek fbb fogalmait, eredmnyeit mutatjuk be, a szzadunk kzepig bezran. A kivlaszts szempontjai kztt a tanrkpzs anyaghoz val ktds, a magyar vonatkozs eredmnyek bemutatsa s a szerz egyni rdekldse is szerepeltek. Az egyes fejezetek utn gyakorlatokat, magyar nyelv irodalmat, a knyv vgn pedig letrajzi jegyzeteket s kt fggelket tallhatunk. A trgyalsmd igyekezett a legjobb kompromisszumot megtallni az rthetsg s a pontossg kztt. Nem akart a rszletekben elmerlni, hanem a meglv ismeretekre pl ttekintsre, szintetizlsra trekedett. A knyv clja nem csupn egy vizsgra val felkszls segtse. Ez annl is nehezebb, mert a trgy helyzete vltozban volt s van a tanrkpzsben. A trgyat tant tanr zlse szerint vlogathat a trgyalt anyagbl, amely remnyeink szerint tartalmazza egy matematikatanr szmra legfontosabb ismeretanyagot, gy a tanri tovbbkpzsek kziknyve is lehet. A nem matematikus olvas gyelmt bizonyra jobban lektik a trtneti rdekessgek, a korszakok tfog rtkelsei, az letrajzok. Nagy matematikusok nagy baklvseinek s nagy vitinak bemutatsa szolgljon nemcsak tanulsgul, hanem vigasztalsul is szmra. A lektorok tfog rtkelseikkel, hasznos tmutatsaikkal s a hibk gondos feltrsval nagymrtkben hozzjrultak a knyv jobbttelhez. A tipogr ai munkrt s a szp brkrt Kovcs Zoltn kollgmat illeti ksznet. A megmaradt hibkrt nem ket, hanem egyedl a szerzt terheli a felelssg. Ksznetem fejezem ki a kt kiad munkatrsainak, klnsen Votisky Zsuzsnak, a TYPOTEX gyvezet igazgatjnak, akinek btortsa, szervez munkja nlkl e knyv nem kszlt volna el. Nyregyhza, 1997 Filep Lszl

10

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

lland jellsek Jel

Jelents

jH j

H halmaz szmossga H halmaz hatvnyhalmaza

P (H )

2   \  n

H



R   H  K ':H!K

^ _ e 8 9 9!

=)

()  =

NZ QR CN Z Q R NZQR + + 0

+ + 0

+ + 0

+ + 0

eleme rszhalmaz valdi rszhalmaz metszet (kzs rsz) uni (egyests) klnbsg H komplementere Descartes-szorzat H s K kztti (binr) relci H lekpzse K -ba konjunkci (logikai s) diszjunkci (logikai vagy) negci (tagads) minden (univerzlis kvantor) van olyan (egszisztencilis kvantor) pontosan egy kvetkezik (implikci) akkor s csak akkor (logikai ekvivalencia) halmazok ekvivalencija, struktrk izomor zmusa termszetes szmok halmaza egsz szmok halmaza racionlis szmok halmaza vals szmok halmaza komplex szmok halmaza az illet halmazok pozitv tartomnya az illet halmazok pozitv tartomnya s a nulla

11

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

12

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

I. rsz

A matematika trtneti fejldse  : : : ha a tudomny valamelyik terlett (vagy elmlett, vagy fogalmt) tantjuk, akkor az emberpalntknak nagy lpsekkel nyomon kell kvetnik az emberisg szellemi fejldst. (Plya Gyrgy, 1962)

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

14

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

1. fejezet

A matematika elvi krdsei 1.1. A matematika, mint tudomny s tantrgy A matematika sajtos helyet foglal el a tudomnyok rendszerben. Nem sorolhat sem a termszet-, sem a trsadalomtudomnyokhoz, hanem nll kategria s ugyanakkor minden tudomny segdtudomnya. Rgebben a termszettudomnyokhoz soroltk, hiszen csak ott tudtk alkalmazni. Ahogy Galilei kifejezte: A termszet knyve a matematika nyelvn rdott. Ksbb a matematikai mdszerek ms tudomnyokba is behatoltak, gy Galilei mondsa ma mr a trsadalomra is kiterjeszthet. Nem tlzs azt sem lltani, hogy a matematika  elssorban a szmtgpek rvn  bevonult nemcsak a tudomnnyal foglalkozk, hanem az tlagember mindennapi letbe is. Ennek vetleteknt a felsoktats minden gban egyre inkbb helyt kap a matematika. Ezen bell fleg a valsznsgi-statisztikai s szmtgptudomnyi alapismeretek, valamint a matematikai modellalkots s optimumszmts mdszerei vlnak egyre fontosabbakk. A matematiknak ezt a fontos szerept elszr az USA-ban ismertk fel 1957-ben az n. szputnyik sokk utn. Az els szovjet mhold fellvse meglepte, a tudomnyos s technikai flnye tudatban lv Amerikt. A lemarads okait elemezve rjttek, hogy elssorban a matematika oktatst kell megjtani. Kialakult s vilgmretv vlt egy oktatsi reformmozgalom: az j matematika (new math). A legtbb orszgban ma hasznlatos tantervek s tanknyvek e mozgalom termkei, termszetesen eltr vonsokkal. A matematikaoktats reformja hrom forrsra tmaszkodott. Szakmai oldalrl a francia Bourbaki csoport munkssgra, amely Euklidszhez hasonlan igyekezett megteremteni a mai matematika szintzist halmazelmleti-logikai alapokon. Didaktikai oldalrl Plya Gyrgy felfedezses (heurisztikus) mdszere s Dienes Zoltn cselekedtetses (manipulatv) eszkzei voltak a meghatrozak. k is felhasznltk mdszereik kidolgozsban a harmadik forrst: Piaget francia pszicholgus eredmnyeit, aki megteremtette a matematikatants pszicholgijt. Az j matematika meghonostsban nagy szerepe volt Varga Tamsnak, Peller Jzsefnek, Szendrei Jnosnak s msoknak. 15

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Mivel az UNESCO ltal is elismerten mindenfle mveltsg kt alappillre az anyanyelvi s a matematikai mveltsg, ezrt a matematika oktatst ennek megfelelen kell(ene) az egsz trsadalomnak kezelnie.

1.2. A matematika sajtossgai A matematiknak ms tudomnyoknl jobban jellemz, ezektl rszben eltr mdszerbeli sajtossgai vannak. Ezek a kvetkezk: Magasfok absztrakci

Mr a legegyszerbb matematikai fogalmak is tbbszrs absztrakci eredmnyei. Ebben a vonatkozsban a loz a hasonlthat leginkbb a matematikhoz. Nem vletlenl oktattk sokig a (tiszta) matematikt a loz a rszeknt. Az absztrakcinak kt alaptpust alkalmazza a matematika. Az ltalnost absztrakci sorn konkrt dolgokbl a kzsen meglv ltalnos vonst ragadja ki. gy alakult ki pldul a kett fogalma, mint a 2 l, 2 alma, stb. konkrt dolgokban meglv kzs vons, tudniillik az, hogy ugyanannyian vannak. Ilyenkor a dolgok ms tulajdonsgaitl eltekintnk. Matematikai nyelven szlva: amikor a gyerek kialaktja a kett fogalmt, akkor elvonatkoztatja (absztrahlja) azt, ami ezekkel az egymssal ekvivalens halmazokban kzs, vagyis a szmossgot. Ezrt de niljuk a termszetes szmokat halmazelmletileg gy, mint a vges halmazok szmossgait. A kett, t stb. szmok fogalma teht konkrt dolgokbl alakult ki elsdleges ltalnost absztrakcival. Ezekbl a fogalmakbl msodlagos absztrakcival addik a termszetes szm, majd jabb (tbbszrs) absztrakcikkal pldul a vals szm fogalma. Az absztrakci msik fajtjt egyszerst absztrakcinak nevezzk. Ez a fogalomalkotsnak az a mdja, amikor eltekintnk az illet konkrt dolognak a valsgban meglv bonyolultsgtl, csak egyszerstett formjt vesszk gyelembe. gy alakult ki pldul az egyenes szakasz fogalma, a termszetben meglv egyenes trgyak egyszerstett formjaknt. Az egyszerst absztrakci jabb alkalmazsval kapjuk a pont, az egyenes s a sk fogalmaibl a lineris altr fogalmt. Az absztrakci mellett a matematikban alkalmazunk ms fogalomalkotsi eszkzket is. Gyakori az osztlyozs klnleges formjnak, a specializlsnak hasznlata. gy kapjuk a csoport fogalmbl az Abel-csoport, az egyszer csoport, a torzi csoport, stb. fogalmakat. Deduktv jelleg

A matematikai lltsokat deduktv ton kell bizonytani, azaz mr ismert ttelekre logikailag visszavezetni. A ksrleti zikban gyakori induktv bizonyts viszont konkrt esetekben val kiprblssal igazol. A matematikban nem elgsznk meg azzal, hogy lltsunkat minden konkrt esetre beltjuk. 16

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Gondoljunk pldul egy termszetes szmokra vonatkoz llts teljes indukcis bizonytsra. Az indukcis mdszernek a matematikban csak a ttelek megsejtsben van (fontos!) szerepe. A matematikai bizonyts kt alaptpust szoks megklnbztetni. 1. Direkt bizonyts. A krdses lltst logikailag visszavezeti ismert lltsokra. Smja: Az A llts igaz, mert kvetkezik az igazaknak tekintett B1  B2  : : :  Bn lltsokbl. 2. Indirekt bizonyts. A harmadik kizrsnak elvn alapul. Felteszi, hogy a bizonytand A llts nem A tagadsa (nem ellenkezje!) igaz, s megmutatja, hogy ez a feltevs ellentmondsra vezet, vagyis nem A hamis llts. Mivel egy llts s tagadsa kzl pontosan egy igaz, ezrt ha nem A hamis, akkor A igaz. Smja: Az A llts igaz, mert tagadsa nem lehet igaz. Az indirekt bizonytst gyakran alkalmazzuk valami ltezsnek igazolsra. Megmutatjuk, hogy a ltezs tagadsa ellentmondsra vezet, teht az illet dolognak lteznie kell (egzisztencia bizonyts). Ennl termszetesen meggyzbb valami ltezsnek igazolsra az illet dolog megkonstrulsa (konstruktv bizonyts). Indirekt ton szoktuk bizonytani valami ltezsnek egyrtelmsgt (unicitst) is. Az indirekt bizonyts sorn gyakran az llts kontrapozcijt igazoljuk. Emlkeztetnk r, hogy egy ha A, akkor B llts logikailag egyenrtk kontrapozcis formja: ha nem B , akkor nem A. A bizonytsok egy msfajta osztlyozsa szerint egy bizonyts lehet szintetikus, vagy analitikus. Az elz igaz ttelekbl kiindulva igazol, az utbbi pedig az igaznak tekintett lltst visszavezeti igaz lltsokra s hivatkozik a lpsek megfordthatsgra. A matematika termszetesen ismer bizonythatatlan lltsokat is, vagyis olyanokat amelyeket nem lehet mg egyszerbb lltsokra visszavezetni. Ezek az aximk, vagy alapttelek, amelyeket bizonyts nlkl elfogadunk. Az egyb matematikai lltsok (bizonytott ttelek) mindig ha-akkor felptsek. Egy akkor s csak akkor llts mindig kt lltsra bonthat s kln-kln bizonytand. Egy matematikai llts teht azt tartalmazza, hogy ha ezek s ezek az lltsok igazak, akkor a krdses llts ezekbl logikailag kvetkezik, teht ennyiben igaz. Az aximk igazsgnak krdse nem matematikai, hanem

loz ai problma. A deduktv jelleg leginkbb az axiomatikus mdszerben mutatkozik meg, ami a modern matematika f jellemzje. Egy matematikai tudomnyg axiomatikus felptsnek sematikus vzlatt a 1.1. bra szemllteti. A modern axiomatikban az alapfogalmaknak mr nincs szemlletes jelentsk. Az aximk szabta korltok kzt gy egy aximarendszernek tbbfle interpretcija lehet. Sajtos szimbolika

A matematikai fogalmakat s tteleket betk, logikai s egyb jelek segtsgvel, formulk s kpletek formjban fejezzk ki. A szimbolika fejldse ma mr ott tart, hogy elvileg lehetsges a szavak teljes kikszblse a matematikbl. 17

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Alapfogalmak

Logikai elvek

Aximk

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

Denilt fogalmak

Bizonytott ttelek

1.1. bra. Az axiomatikus felpts smja.

A magasfok absztrakci s fejlett szimbolika klcsnsen felttelezik egymst. A megfelel szimbolika hinya gyakran akadlyozta a fejldst, egy szerencss jells bevezetse pedig nagyban elmozdtotta. Ms oldalrl pedig: egy j fogalom kialakulsa j jellsekre tmaszt ignyt. A mai fejlett szimbolika hossz trtneti fejlds termke. Kezdetben mindent szavakban fejeztek ki (retorikus matematika), majd szrvidtseket kezdtek alkalmazni, amelyekbl jabb s jabb jelek alakultak ki. Dnt lkst jelentett a halmazelmleti-logikai jelrendszer bevezetse e szzad elejn, ami a matematika minden gban elterjedt. Egy plda a retorikus s szimbolikus kifejezsmd klnbzsgre: Retorikus: Az A halmazt akkor nevezzk a B halmaz valdi rszhalmaznak, ha A minden eleme eleme B -nek is, de B -nek van olyan eleme, ami A-nak nem eleme. Szimbolikus:

A  B := (8x : x 2 A =) x 2 B ) ^ (9x : x 2= A ^ x 2 B )] Ez a nagyfok szimbolizls elkerlhetetlensge mellett kros is. Nehzz teszi a kvlll szmra a matematika megrtst. Nemcsak a matematikai tartalommal kell megbrkznia, hanem az azt kdol formanyelvvel is. Az oktatsban is kerlni kell a jellsek tlzott hasznlatt, amire az oktatsi reformok sorn volt tendencia. A matematika egyre tbb rszterletre bomlsa azzal is jrt, hogy minden egyes g kifejlesztette sajt szimblumrendszert, ami nagyon megneheztette a matematikusok szmra is egyms megrtst. Mr Hilbert tartott ettl, 18

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Neumann Jnos pedig kereken bevallotta, hogy tizedt sem rti a matematikai

konferencin elhangzott eladsoknak. A matematikai szimbolika fejldsben j vons a szmtstechnikai jellsrendszer kialakulsa (folyamatbra, gpi nyelvek, stb.) A szmtgptudomny nllsulsa miatt, azonban nem biztos, hogy ezt a matematika fejldshez fogja sorolni a jv trtnetrsa.

1.3. A matematika lozja A matematikval kapcsolatos loz ai problmk trgyalsa nem vlaszthat el a matematiktl, annak trtnettl. Ahogy Kant rta: A matematika trtnete loz ja nlkl vakk, loz ja trtnete nlkl skett vlik. A loz a azokra a krdsekre igyekszik vlaszt adni, hogy mi a matematika trgya, mi a matematikai fogalmak eredete, mi biztostja a matematikai lltsok igazsgt s alkalmazhatsgt, teht egyszval: mi a matematika? Szzadunkban ezek a krdsek j megvilgtst kaptak s visszahatottak a matematikra a halmazelmleti ellentmondsok (antinmik) kapcsn, amelyek a vgtelen halmazoknl jelentkeztek. A matematikrl val lozoflshoz (a metamatematikhoz) a nyersanyagot a matematika trtnete biztostja. Szzadunkban a matematika loz jnak hrom irnyzata kristlyosodott ki s vlt uralkodv: az intuicionizmus, a logicizmus s a formalizmus. A magyar szrmazs Lakatos Imre munkssga a tudomny loz a j irnyzatnak kezdett jelenti, ezen irnyzatok tagadsaknt. A marxizmus Engels mlt szzadbeli alaptteleinek korszerstsre s az idealista irnyzatok kritikjra sszpontostott, gy elmaradt a fejlds f irnytl. Engels szerint a matematika a valsgos vilg mennyisgi viszonyainak s trbeli forminak tudomnya, ami egy nav materialista de ncinak elfogadhat, de ma mr tlhaladott. Kolmogorov szovjet matematikus ezt a valsgos vilg mennyisgi s trbeli viszonyairl s formirl szl tudomnny korszerstette, de ezt sem tudta megtlteni kell konkrt s korszer matematikai tartalommal. Intuicionizmus (konstruktivizmus)

Az irnyzat megalapozja a holland Brouwer, de gykerei Kantig s mg messzebb, Platnig nylnak vissza. Platn szerint ltezik a valsgos dolgok vilga s az idek vilga. A matematika fogalmai a vltozatlan, tkletes idek vilgba tartoznak, szemben az esetleges s vltoz valsgos dolgok vilgval. Ltezik pldul a derkszg hromszg ideja (fogalma) s lteznek a konkrt derkszg hromszgek, amelyek klnbz mrtkben hasonltanak a derkszg hromszg idejra. Az idek megismerse nem az rzkels, hanem az rtelem dolga, amely szksgszer s vltozatlan viszonyokat llapt meg az idek kztt. Ilyenek a matematika ttelei is. Ezek a valsgban annyira igazak, amennyire az illet dolgok hasonltanak ideikra. A Pitagorasz-ttel szksgszeren igaz a derk19

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

szg hromszgekre, mint idekra, de csak kzeltleg s esetlegesen a konkrt derkszg hromszgekre. Platn gondolataihoz kapcsoldik Kant is, akinek ma is meghatroz szerepe van a matematika minden loz ai irnyzatban. Csak annyi a klnbsg, hogy van, aki hivatkozik r s van, aki vitatkozik vele. Kant szerint a matematikai fogalmak nem a tapasztalatbl szrmaznak (nem a posteriori ak), hanem a tapasztalatot megelzen (a priori ) keletkeztek bels beltssal, azaz intuitv ton. Pldul a tr s id fogalmai velnk szletett szemlleti formk. Segtsgkkel a tudat a trgyakat trben levknek gondolja, s idben egymsutn rendezi el. Ez az elgondols Kant ismeretelmletn alapszik, amely szerint a vilg ketts termszet. Egyrszt van a jelensgvilg, amely rzkels tjn megismerhet, msrszt van a lnyegvilg, amelyhez az rzkelssel meg nem ismerhet gynevezett magban val dolgok tartoznak. Ezeknek lteznik kell, hisz a jelensgek mgtt lenni kell valaminek, klnben jelensg van, de nincs semmi, ami megjelenik. A matematika fogalmai is e lnyegvilghoz tartoznak. Az tleteket a kvetkezkppen csoportostja Kant: 1. Analitikus tletek, amelyek a dolgokrl nem adnak j ismeretet, alanyuk tartalmazza az lltmnyt. Pldul: minden test kiterjedt. 2. Szintetikus tletek, amelyek jat mondanak a dolgokrl, akr a jelensgekrl, akr a magbanvalkrl. Kant szerint ltezik a priori szintetikus tlet, amely a magbanval dolgokrl ad j ismeretet, ms szval ltezik tiszta matematika. A matematikai ttelek, vagyis az a priori szintetikus tletek igazsgt a bels belts (intuci) biztostja, amely velnk szletett kpessg. A tiszta matematika trgyt a trre s idre vonatkoz intuitv s a priori konstrukcik adjk. Ms szval a tiszta matematika a tr s id struktrjt vizsglja a tapasztalattl fggetlenl. A tiszta matematika alkalmazhatsgt az biztostja, hogy ami a priori intuitv ton elgondolhat, az a posteriori ton, azaz tapasztalatilag megkonstrulhat. Pldul egy hromdimenzis gmb gondolatilag, s ezrt gyakorlatilag is konstrulhat. Egy ngydimenzis gmb logikailag ellentmondstalan fogalma viszont csak posztullhat, de intuitve, s ezrt gyakorlatilag sem konstrulhat. Brouwer tovbbfejlesztette Kant elbbi gondolatait. Mg a posztullhatsgt is tagadta azon fogalmaknak, amelyek tudatilag nem konstrulhatk. gy nem lteznek a vgtelen halmazok sem, ami egyttal megoldja a krkben fellp ellentmondsok problmjt is. Az ember el tud kpzelni akrmilyen nagy termszetes szmot, teht el tudja fogadni, hogy szmuk potencilisan vgtelen. De a termszetes szmok halmazt, mint lezrt egysget, vagyis az aktulis (tnyleges) vgtelent senki sem tudja elkpzelni, teht vgtelen halmazok nem lteznek. Szerinte a matematika a tapasztalattl fggetlen, nyelv nlkli tudattevkenysg. A ttelek igazsgt a bels belts (nevidencia) biztostja. Ezrt 20

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

csak a konstruktv bizonytsok fogadhatk el, az egzisztencia bizonytsok nem, mivel ezek a harmadik kizrsnak elvre (a trichotmia trvnyre) plnek, ami nem rvnyes az intuicionista matematikban. Ezrt annak eldntsre, hogy egy A llts s tagadsa kzl melyik igaz, nem elg csak az egyiket bizonytani vagy cfolni: mindkettt kell konstruktvan igazolni, illetve cfolni. Brouwer a kvetkez pldval illusztrlta rvelst. Tekintsk a 0123456789 sorozatot s a  (vgtelen nem szakaszos) tizedestrt alakjt. Ez a sorozat vagy elfordul valahol  tizedestrt alakjban, vagy nem. Legyen n = 1, ha a sorozat elfordul s legyen n = 0, ha nem. Semmilyen mdszer nem ll rendelkezsre annak eldntsre, hogy n = 0 vagy 1. Teht n nem konstrulhat. Ezrt sem az az llts, hogy a 0123456789 sorozat elfordul  tizedestrt alakjban, sem az llts tagadsa nem igazolhat. A tr s id a priori szerkezetre (amelyet az euklidszi geometria r le) pl kanti intuicionista matematika alapjait a nemeuklidszi geometrik felfedezse ingatta meg. Megdlt a geometriai intuiciba vetett hit s ezutn igyekeztek a matematikt nem a geometriai szemlletre, hanem az aritmetikra, vagyis a termszetes szmokkal val szmolsra visszavezetni. Ezt a trekvst Kronecker nmet matematikus gy fogalmazta meg: A termszetes szmokat Isten teremtette, minden ms az ember mve. Egy msik nmet matematikus, Jacobi szerint pedig: Isten mindig aritmetizl, mintegy visszautalva Platn hres mondsra: Isten mindig geometrizl. Ehhez kapcsoldva Brouwer is a termszetes szmokat tekintette a matematikai konstruls alapjnak, s az egsz matematikt az aritmetikra igyekezett visszavezetni. A termszetes szmok alapintuci rvn mindenki szmra adottak, s ez az egsz matematika kiindulpontja. Teht az egsz matematikt a termszetes szmokbl kell konstruktve felpteni. A matematikai objektumok mindaddig nem tekinthetk lteznek, amg nincsenek vges sok lpsben megkonstrulva a termszetes szmokbl kiindulva. Annak kimutatsa, hogy nemltezsk ellentmondsra vezet, nem elegend. A felpts megtehet szemlletesen az egysgnyi mennyisg ismtelt duplzsval, illetve az idegysg ismtelt felezsvel. Az intuicionista szmra a matematikai analzis j rsze eldoband, mert egyrszt vgtelen halmazokkal dolgozik, msrszt sok benne a trichotmia trvnyre pl egzisztencia bizonyts. Brouwer megksrelt felpteni egy intuicionista analzist vgtelen halmazok s egzisztencia bizonytsok nlkl. Ebben az analzisben pldul minden vals fggvny folytonos. Logicizmus

Megalapozi az angol Russell s a nmet Frege, akik Leibniz munkssgbl indultak ki. Leibniz a logikt olyan egyetemes tudomnynak tekintette, amely minden ms tudomnyt magban foglal, teht a matematika is a logika rsze. Ktfle igazsgot klnbztetett meg: 1. Tnyigazsgok. Ezek a zikai valsg igazsgai. Vletlenszerek, ellenttk is lehet igaz. Pldul: a papr, amire rok fehr. Az ilyen igazsgok csak a mi vilgunkban rvnyesek. 21

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó 54  43: `: :  2 1: :  \  = :  :   2 2

Dem.

` : 54  26:

`: : = `x: = `y: :    2 2:  :x 6= y:

 51  23]

 :`x \ `y = :

 13  12]

 : \  = 

(1)

`: :(9x y ): = `x: = `y: :    2 2:  : \  = 

(2)

` :(1): 11  11  35: 

` :(2): 11  54: 52  1: ` :Prop

1.2. bra. Az 1+1=2 llts logikai levezetse A matematika alapjai 362. oldaln.

2. #szigazsgok. Logikai alapelvekre plnek, s minden lehetsges vilgban szksgszeren igazak. Ilyenek a matematikai ttelek. A matematika alkalmazhat a mi vilgunkra, mert azt Isten gy teremtette, hogy arra a tiszta matematika ttelei alkalmazhatk legyenek. Ezrt a mi vilgunk a lehetsges vilgok legjobbika. Ezt az lltst parodizlja Voltaire Candide cm regnyben. Leibniz megteremtette a mai logikai jellsrendszer alapjait is. St megksrelt kidolgozni egy egyrtelm logikai nyelvet a homlyos, flrerthet kznapi nyelv helyett. A logicista loz a Leibnizhez kapcsoldva a matematikt nem az aritmetikra, hanem a logikra akarja felpteni a hamisnak bizonyult geometriai szemllet helyett. Azt kvntk megmutatni, hogy a matematika pusztn a logika trvnyeinek alkalmazsa. Akkor mr tudtk, hogy a matematika visszavezethet a halmazelmletre, amit azonosnak tekintettek a logikval. Pldul az A rszhalmaza B -nek logikai megfelelje egy implikci: ha A, akkor B . A halmaz helyett az osztly megnevezst hasznltk, ami logikai fogalom. Russell gy fogalmaz egy helyen: a tiszta matematika kizrlag olyan fogalmakkal foglalkozik, amelyek kevs szm alapvet logikai fogalommal de nilhatk. A tiszta matematika minden lltsa levezethet kevs szm logikai alapelvbl. Ezt a logicista programot Russell s Whitehead dolgoztk ki A matematika alapjai cm mvkben, amely 1910-ben jelent meg. Ebben pldul az 1+1=2 lltst is logikailag vezettk le (1.2. bra). A logicista program kudarct a halmazelmleti antinmik felfedezse jelentette, amelyek kzl az elst ppen Russell tallta meg. Elkerlskre kidolgozta a tpusok elmlett. Az alapobjektumok, amelyeket nem vetnk logikai vizsglat al, 0 tpusak. Ezek tulajdonsgai 1 tpusak. Az 1 tpus objektumok tulajdonsgai 2 tpusak, s gy tovbb. Azok a matematikai objektumok, amelyek egyetlen tpusba sem tartoznak (pl. az sszes halmaz halmaza) elhagyandk, gy az ellentmondsok elkerlhetk. Ksbb talltak olyan ellentmondsokat, amelyek a tpusok elmletvel sem kszblhetk ki. A kudarc ellenre a logicistk risi munkt vgeztek a matematikai logika kiptsben s az axiomatikus mdszer tovbbfejlesztsben. 22

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Formalizmus

Ez az irnyzat az intuicionizmussal s a logicizmussal val vitban szletett. F clja szintn az antinmik kikszblse s ezltal a matematika ktsgbevonhatatlan megalapozsa volt. Legfbb kpviselje Hilbert. A formalista loz a szerint a matematika a formlis rendszerek tudomnya. Fogalmainak s a bellk logikailag levezetett tteleknek nem kell jelentst tulajdontani. Ezeknek nincs tartalmuk, nem lehet krdezni, hogy igazak-e. Csak azt lehet krdezni, hogy formailag helyes kvetkeztetsekkel addtak-e. A matematika gy egy formlis axiomatikus rendszerr vlik, amellyel szemben csak az ellentmondsmentessg a kvetelmny. (Ezzel kapcsolatban Brouwer a kvetkezket jegyezte meg: hiba bizonytja be Hilbert, hogy pl. a halmazelmlet ellentmondstalan, ez nem vltoztat azon, hogy rtelmetlen. Hilbert replikja: Senki nem zhet ki bennnket abbl a Paradicsombl, amit Cantor teremtett szmunkra.) A hagyomnyos matematikban az ellentmondsok azrt keletkeztek, mert az alapfogalmaknak s aximknak jelentst tulajdontottak. Pldul a skgeometriban lv pont s egyenes alapfogalmaknak s mondjuk a Brmely kt ponton t egy egyenes h zhat aximnak nem szabad szemlletes jelentst adni. Az llts logikai rtke nem fgg attl, hogy milyen szemlletes tartalmat adunk a benne szerepl fogalmaknak. Nem fontos, hogy pont s egyenes alatt mit rtnk, helyettk akr ms szavakat is hasznlhatunk. Pldul mondhatjuk, hogy brmely kt izn t egy miz h zhat . Teht brmely matematikai elmlet trhat egy jelekbl s jtkszablyokbl ll formlis rendszerr. A matematika nem ms, mint ilyen formlis rendszerek tudomnya. &gy is mondhatjuk, hogy a formalista szmra a matematika a formlis levezetsek tudomnya, amely aximkbl logikai kvetkeztetsekkel tteleket kszt. Ezeknek mindaddig nincs tartalma, amg nem interpretljuk ket. Pldul a pont s egyenes szavakat a szoksos mdon. Ekkor mr lehetnek igazak vagy hamisak az adott interpretciban. A szzad kzepre ez az irnyzat vlt uralkodv a matematika loz jban. Hatsa kimutathat az j matematika tanknyveiben is. Ezekben tltengett a halmazelmleti-logikai formanyelv, a formlis logikai megkzelts, gyakran mgttes tartalom nlkl. A bizonytsok mellett httrbe szorult a pldkon s ellenpldkon val fejlds bemutatsa, ami pedig az l matematika fontos sajtossga. A formalizmus ma visszaszorulban van, amit az is elsegtett, hogy sorra szlettek olyan eredmnyek, amelyek megmutattk a formlis axiomatikus mdszer, vagyis a matematika biztos alapokra val helyezsnek korltait. Nem sikerlt az aximarendszerek ellentmondsmentessgt bizonytani, megmutattk eldnthetetlen problmk ltezst, s gy tovbb. A Lakatos-fle irnyzat

A magyar szrmazs Lakatos Imre az tvenes vekben Angliban dolgozta ki tudomny loz jt, amelyet a Bizonytsok s cfolatok cmmel magyarul is megjelent knyvben publiklt. 23

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Nzetei szorosan kapcsoldnak Karl Popper tudomny loz ai s Plya Gyrgy mdszertani gondolataihoz. Elvetette a biztos alapok s ktsgbevon-

hatatlan bizonytsok keressre irnyul trekvseket, azok kudarca miatt. Kritikja elssorban a formalizmus ellen irnyul, mert az elszaktja a matematikt annak trtnettl. Lakatos az l, fejld, nemformlis matematikt vizsglta, nem a formlis rendszerekbe beknyszertett, halott, formlis matematikt. A nemformlis matematika nem a ktsgbevonhatatlanul bebizonytott ttelek szmnak nvekedse rvn fejldik, hanem a feltevsek szntelen helyesbtsvel, az elmlkeds s a kritika, a bizonytsok s cfolatok logikja segtsgvel. Filoz ai httrl az a popperi felfogs szolglt, hogy a tudomny trvnyeit nem lehet bizonytani  s ez all a matematika sem kivtel. Egy elmlet feltevsekbl, tallgatsokbl indul ki, majd prbra teszik, ktsgbevonjk, s ha kill minden prbt, akkor tmenetileg megalapozott vlik, de soha nem bizonytott. Lehet, hogy egy tudomnyos elmlet objektve igaz, de ezt teljes bizonyossggal soha nem tudhatjuk. Ezen pesszimista nzet alapjul az elmleti termszettudomnyokban s a matematikban felbukkant ellentmondsok, illetve kikszblskre irnyul trekvsek kudarca szolglt. Sokan gy fejeztk ki ktelyket, hogy a matematikban csak azrt hihetnk, mert mkdik. gy az rdeklds a formlis matematiktl az empirikus matematika fel fordult. Lakatos felfogsban a matematika nem tvedhetetlen, ppen a kritiktl s helyesbtsektl fejldik. Egy sejtsbl kiindulva prhuzamosan keressk a bizonytsokat s ellenpldkat, amelyek sszefggenek: az j bizonytsok rgi ellenpldkat magyarznak, az j ellenpldk rgi bizonytsokat ingatnak meg. Ez az elemzs nem a formlis matematikra alkalmazhat, amelyet nem sikerlt senkinek felptenie, hanem az l, fejld matematikra, amivel az iskolban a tanroknak s dikoknak tallkozni kell(ene). Lakatos knyvben a kifejts mdjul - nem vletlenl - egy tanr-dik dialgust vlasztott. A Bizonytsok s cfolatok megadja a matematikai felfedezsnek, vagyis a nemformlis matematikai elmletek fejldsnek smjt is. Ez a kvetkez szintekbl ll: 1. Primitv sejts. 2. Bizonyts. Egy durva gondolatksrlet vagy rvels, amely a primitv sejtst rszsejtsekre vagy lemmkra bontja. 3. Globlis ellenpldk (a primitv sejtssel szembeni ellenpldk) merlnek fel. 4. A bizonyts ismtelt vizsglata: azonostjk a bns lemmt, amelynek a globlis ellenplda helyi ellenpldja. Ez a bns lemma korbban esetleg rejtett maradt, vagy tvesen azonostottk. Most explicitt teszik ezt a lemmt s felttelknt beptik a primitv sejtsbe. A ttel  a helyesbtett sejts  felvltja a primitv sejtst. Ennek legfbb j jellemzje az j, bizonytsbl szrmaz fogalom. Ez a ngy alapszint, amelyre mg tovbbi szintek plhetnek: 24

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

5. Megvizsgljk ms ttelek bizonytsait, hogy megnzzk, elfordul-e bennk az jra megalapozott lemma vagy az j, bizonytsbl ered fogalom. Esetleg megllaptjk, hogy ez a fogalom klnbz bizonytsok metszspontjban tallhat, s ennlfogva alapvet jelentsg. 6. Ellenrzik az eredeti s most megcfolt sejts mindeddig elfogadott kvetkezmnyeit. 7. Az ellenpldkat j pldkk vltoztatjk, ami rvn j vizsglati terletek trulnak fel (1.3. bra). Sejts Nav prba

Bizonyts Cfolat

Loklis ellenplda gyelembevtelvel

jrafogalmazs

Globlis ellenplda gyelembevtelvel 1.3. bra. A matematikai felfedezs Lakatos-fle smja.

1.4. A matematika fejl dsnek szakaszai A matematika trtnett tbben s tbbfle szempont szerint osztottk korszakokra. Az itt kzlt feloszts kzel ll a leginkbb elfogadotthoz. Empirikus matematika (Kr. e. VI. szzadig)

Ez a korszak az emberr vls kortl (a kkorszakoktl) a grg matematika megjelensig tartott. Ekkor alakultak ki hossz folyamatok sorn a legegyszerbb matematikai fogalmak, mindenekeltt a szm s az alak fogalma. Majd ezekbl kifejldtt egy egyszer aritmetika s geometria. Megjelentek az algebra csri is. Az empirikus jelz arra utal, hogy a matematikt az induktv tapasztalatszerzs jellemezte, a megoldand feladatok zmmel gyakorlatiak voltak. Kialakulnak bizonyos eljrsok (tgy gy s gy, akkor kapod az eredmnyt), de nincse25

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

nek ltalnos, elmleti jelleg megllaptsok, s fleg nincsenek bizonytsok. A matematika mg nem nll, szemlyekhez kthet tudomny. A legfontosabb eredmnyek a folyammenti civilizcikban szlettek, vagyis Egyiptomban (Nlus), Babilniban (Tigris s Eufrtesz), valamint Indiban (Indus s Gangesz) s Knban (Hoang-ho s Jangce). A korszak vgn mr ismert volt a hagyomnyos ltalnos iskolai anyag. Az elemi matematika kora (XVII. szzadig)

A grg matematikban megtrtnt a mig legnagyobb fordulat a matematika trtnetben: gyakorlati, induktv tudomnybl elmleti, deduktv tudomnny vlt. Megjelentek az ltalnos ttelek s bizonytsok. Euklidsz pedig megadta az akkori matematika egysges axiomatikus felptst. Tbbszrs absztrakcikkal tovbb folytatdott a matematikai fogalomrendszer kiplse. A grg geometria hegemnijt tvette az arab algebra, amelynek jellsrendszert az itliai matematikusok alaktottk ki. Egy egyenletben az x ismeretlen, de lland mennyisget jellt, ezrt szoks ezt a korszakot az lland mennyisgek matematikjnak nevezni. A matematika nll tudomnny vlt s megsznt szemlytelen volta. Az els nv szerint ismert matematikus Thalsz volt. A korszak tleli az antik (grg-rmai) kort, a kzpkort s a renesznszt. A fejlds fldrajzi tja a grg vilgtl Perzsin t Indiba, majd onnan arab kzvettssel elszr Itliba, vgl Nyugat-Eurpba vezetett. A kor f eredmnyei kz sorolhat a helyirtkes hindu-arab szmrs elterjedse, a trigonometria nllsulsa, az algebrai jellsrendszer kialakulsa, a logaritmus felfedezse, a harmad- s negyedfok egyenletek megoldsa. Termszetesen a grg matematika mr emltett nagy teljestmnye mellett. 'sszessgben vve kialakult a hagyomnyos kzpiskolai tananyag. jkori matematika (XIX. szzad kzepig)

Kezdett az jelzi, hogy Descartes bevezeti a vltoz mennyisgek, majd a fggvny fogalmt. Egyszeren szlva az egyenlet x s y ismeretleneibl egy fggvny vltozit kpezte. A fggvnyek s az ltaluk lert jelensgek vizsglatra Newton s Leibniz megteremtette a matematikai analzist, kzelebbrl a di(erencil- s integrlszmtst. Ezutn kialakult a di(erencilegyenletek elmlete, mint a termszeti jelensgek matematikai elemzsnek eszkze. Ahogy egykor a grgk geometrizltk az algebrt, Descartes koordintarendszere lehetv tette a geometria algebrizlst. 'nll tudomnny vlt a szmelmlet, folytatdott a magasabbfok egyenletek vizsglata, bevezettk a valsznsgszmts alapfogalmait. Mgis elssorban az analzis fejldtt s di(erencildott. A logikai szigorsg nem jtszott elsdleges szerepet, az igazolst inkbb a gyakorlat oldalrl vrtk. Az analzis fogalmi megalapozatlansga csak ksbb okozott problmkat. A korszaknak szinte jelkpe Euler, aki mveiben sszefoglalta kora matematikai ismereteit. 26

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A tudomny kzpontja ekkor mr Nyugat-Eurpa. Elszr Anglia, majd Franciaorszg, vgl Nmetorszg tekinthet centrumnak. Ez a kor a klasszikus kapitalizmus korszaka, amely az angol polgri forradalomtl, a felvilgosodson s a nagy francia forradalmon keresztl, a XIX. szzad kzepi forradalmakig vel. A korszak vgre kialakult a hagyomnyos (mszaki) felsoktatsi tananyag. A modern matematika korszaka

Kialakulsa sszefgg a matematika egyfajta vlsgval. Ez elssorban a nemeuklidszi geometrik felfedezsben nyilvnult meg, amely kihzta a szemlletessget, mint biztos alapot a matematikusok lba all. Az analzis megalapozatlansga is egyre tbb ellentmondsra vezetett. Kialakult egy igny az alapok jragondolsra, a nagyobb szabatossgra. Igyekeztek mindent axiomatikusan felpteni, s a geometria helyett az aritmetikra visszavezetni. Ksbb a halmazelmletre (logikra) val alapozs vlt a jellemzv. Mg ma is ez a f tendencia a halmazelmleti antinmik, illetve az axiomatikus mdszerrel kapcsolatos problmk ellenre is. Egy igen magas fok absztrakci keretben megvalsulban van a matematika halmazelmleti egysge, fleg a Bourbaki csoport munkssga nyomn. A matematika egysges abban az rtelemben, hogy minden gban halmazokkal s halmazok kztti relcikkal foglalkozik. A halmazok lehetnek ponthalmazok, fggvnyhalmazok, szmhalmazok, stb., a relcik lehetnek specilisan lekpezsek, opertorok, mveletek stb. Ha egy halmazon mveleteket rtelmeznk, amelyek bizonyos tulajdonsgokkal rendelkeznek, akkor klnbz algebrai struktrkhoz jutunk. Ezeknl ltalnosabb a relcis struktra fogalma, amikor a halmazon valamilyen tulajdonsg relcik adottak, mivel a mvelet specilis relcinak tekinthet. Pontosabban: egy n-r mvelet meghatroz egy (n + 1)-r relcit. Egy halmaz absztrakt trr is tehet, ha benne geometriai jelleg tulajdonsgokat rtelmeznk bizonyos lekpezsek (funkcionlok, opertorok) segtsgvel. gy jutunk a metrikus tr s topologikus tr fogalmhoz. A jelenlegi matematikai fogalomalkots cscsainak tekinthetk a mveletekkel, relcikkal s trszerkezettel egyarnt elltott halmazok. Pldul egy rendezett topologikus csoport egy olyan halmaz, amin adott egy relci, amelyre nzve a halmaz rendezett, egy binr mvelet, melyre nzve csoport, valamint egy nmagba val topologikus lekpezs, amelyre nzve topologikus tr. A modern matematika tovbbi jellemz vonsai: a) nagyfok di(erencilds s integrlds, b) ltalnoss vlik az axiomatikus mdszer, c) sztvlik a tiszta s alkalmazott matematika, d) kibvl a matematika alkalmazsi kre, e) halmazelmleti-logikai jelrendszer elterjedse. 27

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A tudomnyos kutatsok centruma ma az USA, de bizonyos rszterleteken ms orszgok is jtszanak vezet szerepet. A matematikai kutatsok egyik alcentruma Magyarorszg. A kutatsok nemzetkziv vlsval egyre nehezebb sztvlasztani egy-egy eredmnyben az orszgok, sokszor mg az egyes tudsok szerept is. Korunk latinja, vagyis a tudomnyok nemzetkzi nyelve az angol. A gpi nyelvek fejldse taln valra vltja egyszer Leibniz lmt: egy egyrtelm tudomnyos nyelv kialakulst. De errl majd egy ksbbi kor tudomnytrtnszei fognak rni. Vgezetl soroljuk fel a mai matematika fbb gait, megjegyezve, hogy nhny rszg besorolsa s elnevezse vitatott: 1. matematikai logika, 2. halmazelmlet, 3. szmelmlet (elemi, algebrai, analitikus, geometriai), 4. algebra (klasszikus, absztrakt, lineris) 5. geometria (euklidszi, nemeuklidszi, analitikus, projektv, brzol, di(erencil), 6. analzis (vals, komplex, Fourier, funkcionl), 7. topolgia (ler, kombinatorikus, ltalnos), 8. kombinatorika s grfelmlet, 9. valsznsgszmts (matematikai statisztika, jtkelmlet, informcielmlet), 10. matematikai optimalizls (matematikai programozs, kibernetika, vezrlselmlet). Ez utbbi g elnevezse s besorolsa a legvitatottabb, lvn a leg atalabb. Szoks opercikutatsnak is nevezni s idesorolni a jtkelmletet, valamint a kibernetika rsznek tekintve az informcielmletet. A szmtgptudomnyt ma mr nll gnak tekintik (de sokan a matematikai optimalizls rsznek tartjk) s hozz soroljk a numerikus, gra kus s gpi mdszerek elmlett.

1.4. bra. A rgi s az j harca a matematikban. Az abakuszos s az rsbeli szmolsi mdszer versenye egy rgi metszeten.

28

www.interkonyv.hu

© Filep László

www.interkonyv.hu

folyammenti civilizcik (Mezopotmia, Egyiptom)

3 3 + 2 3 =?

aritmetikai mveletek szmokkal

szm

Kr. e. VI. szzadig Aritmetika

Empirikus

x

y

x

 x

x

x y

XIX. sz. kzepig Analzis

jkori

f ggvny (lekpezs) egyenlet megoldsa f ggvnyvizsglat (derivls, integrls sorbafejts segtsgvel) 2 + 2 = 15 =? = 2+2 max =? grgk, Anglia, hinduk, Franciaorszg, arabok, Itlia Nmetorszg

Elemi

XVII. szzadig Geometria Algebra egyenlet

1.5. bra. A matematika fejldsnek szakaszai.

plda Tudomnyos centrumok

Legfontosabb fogalom Fproblma

Ftrgy

Korszak

a tudomny internacionalizldik

/

/

napjainkig Topolgia Absztrakt algebra strukt ra (topologikus, algebrai) strukt ravizsglat

Modern

© Typotex Kiadó

29

© Filep László

© Typotex Kiadó

Empirikus

Elemi

jkori

Kr. e. VI. szzadig XVII. szzadig elsdleges 3

l

1

3

baltaLL

3

alma

LL LL

2 3

0123 7654

XIX. sz. kzepig

szm

bet

vltoz

1=2

a

y

55 55 5 2=3 55 b HH 55 HH 5 H

;2 v x vv p vvv y

0123 7654

t tt tt t t

2

Modern

napjainkig

x

0123 7654

z

vals f ggvny y = sin x 1 x 2 =Q 0 x 2 Q

y=

tetszleges fv. k kkk kkk

y = f (x)

f ggvnytr (topolgia)

y = x2 + 2xU

egyenlet

UUUU UUUU

x : ismeretlen

*

f ggvny

f (x) = x2 + 2x x : vltoz

/

T (x)

polinomgyr (algebra) x: hatrozatlan

1.6. bra. Nhny plda absztrakcira.

Gyakorlatok 1. Gy jts nk pldkat az ltalnos t s egyszer s t absztrakci ra, valamint egyb fogalomalkotsi m dszerekre a matematikban. 2. Bizony tsuk be analitikus s szintetikus m dszerrel a kvetkez ll tst: egy

30

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

derkszg hromszgben

3. 4.

5. 6. 7. 8. 9.

1 1 1 m2c = a2 + b2 : (a, b: befog k mc: tfog hoz tartoz magassg). Keress nk tovbbi pldkat az analitikus s szintetikus bizony tsra. Fogalmazzuk meg az albbi ll tsok kontrapoz ci jt s tagadst: (a) Minden s kngyszg ngyzet. (b) A kilenccel oszthat egsz szmok hrommal is oszthat k. (c) Tetszleges derkszg hromszgben c2 = a2 + b2 . A 4. gyakorlat melyik pontjban lesz a felttel sz ksges, elegend, sz ksges s elegend. Keress nk pldkat arra, amikor egy ll ts kontrapoz ci jt bizony tjuk indirekten. Gy jts k ssze, hogy fiskolai tanulmnyaink sorn milyen axi marendszerekkel tallkoztunk. Formalizljunk szvegesen megadott den ci kat s tteleket az ltalnos iskolai s fiskolai anyagb l. Mutassuk ki a kapcsolatokat Lakatos Imre s P lya Gyrgy m dszertani elvei kztt.

Irodalom I. ltalnos matematikatrtneti mvek

)1] Bitay Lszl: Matematikatrtneti mozaik. Dacia Knyvkiad, 1984. )2] Ko+er, E.: Fejezetek a matematika trtnetbl. Gondolat, 1965. )3] Lvrdi Lszl,Sain Mrton: Matematikatrtneti feladatok. Tanknyvkiad, 1982. )4] Ribnyikov, K. A.: A matematika trtnete. Tanknyvkiad, 1968. )5] Sain Mrton: Nincs kirlyi t! (Matematikatrtnet). Gondolat, 1986. )6] Sain Mrton: Matematikatrtneti ABC. Tanknyvkiad, 1987. 5. kiads. )7] Struik, D. I.: A matematika rvid trtnete. Gondolat, 1958. )8] Szernyi Tibor: A matematika fejldse. Tanknyvkiad, 1975. Jegyzet. )9] Szsz Gbor: A matematika fejldse. Tanknyvkiad, 1968. Jegyzet. 31

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

II. A matematikval foglalkoz mvek

)10] )11] )12] )13] )14] )15] )16] )17]

Davis, P. I.,Hersh, R.: A matematika lmnye. Mszaki Knyvkiad, 1984. Frege, G.: Logika, szemantika, matematika. Gondolat, 1980. Kalmr Lszl: Integrllevl. Gondolat, 1986. Radamacher, H.,Toeplitz, O.: Szmokrl s alakzatokrl. Tanknyvkiad, 1953. Rnyi Alfrd: Ars mathematica. Magvet Kiad, 1973. Russell, B.: Miszticizmus s logika. Magyar Helikon, 1976. Ruzsa Imre: A matematika s loza hatrn. Gondolat, 1968. Vekerdi Lszl: A matematikai absztrakci trtnetbl. Kriterion Knyvkiad, 1972.

32

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

2. fejezet

Az empirikus matematika Nem tlzs azt lltani, hogy a matematika egyids az emberisggel. Mr az emberr vlssal egytt kezdtek kialakulni olyan kpessgek, mint klnbsgttel klnbz halmazok s alakok kztt, amelyek a szm s alak fogalmak kialakulsnak elfelttelei. A matematika keletkezsnek errl a korai korszakrl ismereteink nincsenek, csak feltevseink. Teht megllaptsainkkal nagyon vatosan kell bnni s semmikppen sem szabad ket beleerltetni valamilyen ideolgiai prekoncepciba. A kkorszakokbl mr vannak kzvetett forrsaink, a ksbbi rott trtnelem korbl pedig rott dokumentumok is llnak rendelkezsre.

2.1. A matematika keletkezse Az emberr vls kora a csiszolatlan kkorszak (paleolit) idejre tehet, ami krlbell Kr. e. 500 000-tl Kr. e. 10 000-ig tartott. Ekkor jn r az ember a tz hasznlatra, gyjtget, majd vadsz letmdot folytat. Valamilyen vallsi rtus meglte is felttelezhet. Ekkor kezddtt meg a szm s alak fogalmnak kialakulsa. Ebbl a korbl kzvetlen forrsaink nincsenek. Az rsbelisg eltti idk matematikjnak vizsglatban az albbi kzvetett forrsokra tmaszkodhatunk: a) rgszeti leletek, barlangrajzokb) kkorszakbeli viszonyokat tkrz trzsek meg gyelsec) a matematika kialakulsa a gyerekeknl (az egyedfejlds s a fajfejlds kapcsolata)d) a szmnevek s egyb elnevezsek etimolgiai elemzse. 33

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Az ember valsznleg mg a tz hasznlatnak felismerse eltt, kb. 300 000 vvel ezeltt tett szert a halmazok kzti klnbsgttel, majd a klnbz halmazokban lev kzs vons (az azonos szmossg) felismersre. Ez is tbb lpsben trtnt. Elszr az egy s sok kztt tudott az ember klnbsget tenni. #szrevette, hogy klnbsg van egy s sok ember, egy s tbb trgy, stb. kztt. Ezek prba lltsval rjtt a megfeleltets fogalmra. Ezutn felismerte, hogy megfeleltethetk egymsnak ktelem halmazok is. Kt kz prba llthat a kt szemmel, kt kaviccsal stb. Kvetkez fokozatknt rjtt, hogy mindezek prba llthatk mondjuk kt ujjunkkal. Egy ilyen ltalnos egyenrtkes felismerse mr tkrzi annak megsejtst, hogy ezekben a halmazokban van valami kzs: az azonos szmossg. De ennek explicit megjelensig mg hossz id telt el. Az 1  sok, illetve 1  pr (2)  sok megklnbztetsnek fokozatn minden np tment. Ezt nyelvi emlkek is rzik, br a szmnevek csak jval ksbb jelentek meg. Sok mai nyelv is megklnbzteti az egyes, a kettes s a (kettnl tbb) tbbesszmot. Ilyenek a smi nyelvek (hber, arab, stb), valamint rokon nyelveink kzl a vogul. Grgl az llam polisz, a kt llam polei, a kettnl tbb llam poleisz. Arabul a tanr mudarrisz, kt tanr mudarriszni, tbb tanr mudarriszna. Ez a megklnbztets az igeragozsban is megmaradt: jaktub  valaki r- jaktubni  (ketten) rnak- jaktubna  (kettnl tbben) rnak. Primitv trzsek letnek meg gyelse is altmasztja a fentieket. Mungo Park angol utaz a XVIII. szzadban tallkozott olyan afrikai trzzsel, amelynek tagjai  ahogy rja  valsggal knnyeztek a megerltetstl, ha valamirl azt akartk mondani, hogy tbb kettnl. Kezdetben a gyerek is szvesebben mond kett meg egyet, mint hrmat, ha hrom trgyat lt. A szmsor kialakulsban az 1  sok, 1  pr  sok utn dnt lps volt a 3 megjelense, mint nll szm. A hrom megszntette a pr szemlletes egysgt, amelyet a magyar nyelv is riz: egyesszmot hasznl a pros testrszekre. Ezutn a pr mr ugyanolyan szmm (kettv) vlik, mint a hrom, vagy az egy. Ez lehetv tette a tovbbszmllst, ami kezdetleges kettes, illetve hrmas szmrendszerek kialakulshoz vezetett. A kettes rendszerben a kett, a hrmasban a hrom a kitntetett egysg, a tovbbszmlls alapja. A hrom ilyen szerept is rzik nyelvi emlkek, mesk. A francia a nagyon jt hromszorosan j (tr.s bien) alakban fejezi ki. A magyar meskben mindig hrom  van, hrom a magyar igazsg, s gy tovbb. Az ausztrliai trzsek kztt talltak pldt, mind a kettes, mind a hrmas szmrendszerre: kettes hrmas 1 = enea 1 = mal 2 = petcheval 2 = bulan 3 = petcheval-enea 3 = guliba 4 = petcheval-petcheval 4 = bulan-bulan 5 = bulan-guliba 6 = guliba-guliba 34

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A rendszert tovbb nem ptettk ki, ezek utn mr a sok kvetkezett. A szmols termszetesen nem fejbl, hanem ujjak segtsgvel manipulatv ton trtnt. A szmfogalom kialakulsa jval megelzte a szmnevek megjelenst. Az elvont szm fogalma mr megvan, amikor kialakul a halmazok sszehasonltsnak (kevesebb  tbb), majd az 1  1 megfeleltetsnek kpessge, fggetlenl a megnevezs s a megszmlls kpessgtl. Egy trzsnl az a szoks, hogy az lesz a trzsfnk, akinek a legtbb kecskje van. Szemre kivlasztjk a kt legeslyesebbet, majd egy karmba egyenknt felvltva beengedik a kecskiket. Akinek elbb fogy el a kecskje, az vesztett. Egy cejloni si npcsoport tagja gy szmllja meg kkuszdiit. Sorba rakja a dikat, mindegyik mell tesz egy plcikt s mindig mondja: az egy. Szmnevei ugyanis nincsenek, nem tud szmolni, mgis megszmllta diit: lekpezte ket a plcikk szmra. Ha megkrdezik tle, hny dija van, akkor rmutat a plcikkra s azt mondja: ennyi. A hinyt hasonlan llaptja meg. &jabb lpcsfok a fejldsben az, amikor a plcikk, ujjak, kavicsok szerept tveszik a csomk s rovsok, amelyek mr a szmrs elzmnyei. Szakmdszertani kifejezssel lve: ekkor ttrnek a manipullsrl a szemlltetsre. Erre a legrgibb bizonytk egy 30 000 ves farkaslbszrcsont (2.1 bra), amit a csehorszgi Vestonicben talltak 1937-ben. A csontra 55 rovs van felvsve, ebbl 25 ts csoportokban, amit lezr egy hossz rovtka, majd j sorozat kezddik 30 rovtkval. Hasonl csontot talltak nemrgiben Zaire-ban is, amely 8000 ves. A csontok rendeltetst nem ismerjk, de a leletekbl kiderl, hogy a szmadatok rgztsre szolgl igny korn megjelent az emberisg trtnetben, bizonyosan az egyb informcik rgztsre tmasztott igny eltt.

2.1. bra. A legrgebbi szmrovsos lelet, 30 000 ves farkaslbszrcsont 55 = 25 + 30 rovtkval.

A szmrovs megelzte a szmok elnevezst is. Ez nem is meglep: knnyebb rovsokat vsni (1 trgy = 1 rovs), mint klnbz szmokat nevekkel pontosan azonostani. Ez csak jval ksbb, a csiszolt kkorszakban (neolit) trtnt meg. Azt is llthatjuk, hogy a szmrovs s szmfogalom rgebbre datlhat, mint az els technikai tallmnyok: a fmek, illetve a kerk alkalmazsa (a kerk feltallinak a sumrokat tartjk). Felmerlhet mg az az inkbb loz ai problma, hogy mirt alakult ki a szmfogalom? Materialista alapllsbl erre a vlasz az, hogy az ember gyakorlati szksgletei miatt. A csere s termels megindulsval szksglett vlt a 35

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

szmols, ezrt kialakult a szmfogalom. A mirteket persze lehetne folytatni, pldul mirt alakult ki a termels? Van olyan elmlet is, amely szerint a szmols ritulis eredet. Az si rtusokban a trtnsek s a szereplk meghatrozott sorrendben kvettk egymst. Ebbl keletkezett a szmols (sorszmozs) szksgessge, vagyis a sorszm elbb keletkezett, mint a tszm. Indoklsul azt szoktk felhozni, hogy a vilg minden ismert rgi civilizcijban megklnbztettk a fr s ni (termszetes) szmokat. A pratlanok mindentt a fr , a prosak pedig a ni szmok voltak. A Biblia szerint is Isten elbb teremtette a fr t, majd utna msodiknak a nt. Ez az elmlet nem zrja ki, hogy a szmfogalom a Fld egy adott pontjn keletkezett, majd innen terjedt el. A ma legelfogadottabb humngenetikai elmlet szerint az emberisg egy trl, valahol Afrikbl ered. A mai genetikai mdszerekkel ki lehet mutatni, hogy a fejlds sorn hogyan osztdott az emberisg. Szba jhet mg az idszmts is, mint a (sor-) szmfogalom kialakulsnak elmozdtja. Minden primitv np igyekezett valahogy idt szmolni, a napok egymsutnisgt megragadni, s naptrt kszteni. A geometriai alapfogalmak kialakulsa is a paleolit korban kezddtt alakfelismersekkel (egyenes fa, kerek hold, stb.) s trbeli tjkozdssal (alatta, felette, kztte). Ezekbl a neolit korban alakult ki a geometriai alakzat fogalma, valamint az egyb geometriai alapismeretek. Az akkori leletek (barlangrajzok, hasznlati trgyak) mutatjk az egybevgsg, a szimmetria s a fontosabb geometriai alakzatok ismerett. Ezek a valsgban meglv dolgok meg gyelsbl absztrahldtak. Feltehet itt is a hogyan keletkezett a geometria? loz ai problmja. Keletkezhetett gyakorlati szksgszersgbl, de a rend s a harmnia irnti eszttikai rzkbl, valamint a szp lvezetbl, amelyek a mai napig inspirljk a matematikusokat. A ritulis eredet sem kizrt. A rgi vallsokban az oltrak, templomok, srok (lsd a piramisokat) ptsre pontos elrsok voltak. Ngyzet, tglalap, trapz, kr alapaknak kellett lennik, st mreteikre megadott arnyok voltak elrva. Az alapleknek sokszor valamilyen gtj irnyba kellett mutatniuk. A csiszolt kkor (neolit) krlbell Kr. e. 10 000-tl az els civilizcik megjelensig tartott, azaz krlbell Kr. e. 3500-ig. Ebben a korszakban mr szervezett lelemtermels s csere folyik. Kialakul a beszd, ezzel egytt a szmnevek, majd az igazi szmrendszerek. Ennek a folyamatnak is tbb fokozata van. Kezdetben nemcsak a szm absztrakt fogalmnak, hanem ms fogalmaknak szbeli kifejezje sem volt meg. Ezrt hasonlatokkal ltek. Ha azt akartk mondani, hogy egy trgy fekete, akkor azt mondtk, olyan mint a korom. Hasonlan, ha valamibl t volt, akkor azt mondtk: annyi, mint a kz. Ksbb a szmnevet mellknvknt hasznltk: kt fa. Ms szt hasznltak a szmra, aszerint, hogy mire vonatkozott. Ennek emlkei a mai magyar nyelvben s gondolkodsban is megvannak. Hogy kett van valamibl azt tbb szval is ki tudjuk fejezni, s ezek csak bizonyos dolgokhoz illenek: kt, dupla, ketts, pr, iker, duett. Cip esetn pr ciprl, kvnl dupla kvrl, ketts 36

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

szlsnl ikrekrl, neklsnl duettrl beszlnk. De furcsa lenne az ikerkv, a dupla gyerek, a cip duett stb. szkapcsolat. Hasonl jelensget tallunk ms nyelvekben is. Vgl valamilyen egyenrtkes nevvel azonostottk a szmokat. Az sumrban az 1 neve fr , a 2 neve n. Az indben az 1=holl, 2=szem. Vgl a szm absztrakt fogalmval egytt ezek az elnevezsek mdosultak, jelentsk elhomlyosult s megjelent az absztrakt szmnv. A szmnevek eredeti jelentst csak elmlylt etimolgiai kutatsokkal lehet valsznsteni. Sok esetben a szmnevek a testrszek neveibl szrmaznak a testrszeken (fleg ujjakon) val szmols miatt. A neolit korszak vgnek matematikai sznvonalt lemrhetjk a braziliai bakairi indinok pldjn, akiknl a mlt szzad vgn egy nmet expedci jrt. Szmneveik a kvetkezk voltak: 1 = tokle 2 = ahge 3 = ahge tokle (vagy ahevo)

4 = ahge ahge 5 = ahge ahge tokle 6 = ahge ahge ahge

Ha egy kukoricaszemet tettek eljk, rgtn rmondtk: tokle, s megrintettk a szemet bal kezk kisujjval. Ha kt szemet kellett megszmllniuk, akkor elbb sszetoltk azokat, megfogtk jobb kezkkel a bal kz kis- s gyrsujjt, s csak azutn mondtk: ahge. Hrom kukoricaszemet elszr kettre s egyre osztottak, megrintettk a kt szemet az elbbi kt ujjukkal, s mondtk: ahge, majd a magnyos szemet megrintettk a bal kezk kisujjval, a msik ketthz tolva mondtk, hogy tokle majd rgtn utna ahge tokle. Ujjaik hasznlatval gy el tudtak szmolni hatig, a tbbire azt mondtk mra (sok). A bakairi indinnak annak elmondshoz, hogy kivgott 5 ft, hrom mondatra volt szksge: Kivgtam 2 ft. &jra kivgtam 2 ft. Kivgtam mg egyet. Hogy hny napig tartott egy t, azt gy magyarztk. A jobb kz lassan emelkedve egyenletes haladssal vet rt le keletrl nyugatra, aztn hirtelen a bal arcra nyomdott, egy darabig ott maradt, kzben a szem fradtan lehunydott. Majd az egsz kezddtt elrl a msodik nappal. Ha kzbekrdezssel vagy ms mdon megzavartk a meslt, akkor az egszet kezdte ellrl.

2.2. A szmrendszerek kialakulsa, a szmrs kezdetei A kettesre s hrmasra pl kezdetleges szmrendszerek utn az kori civilizciban igazi szmrendszerek alakultak ki. Nagyobb szmok megszmllsa mr csak tbbszrs csoportostssal volt lehetsges, ami minden szmrendszer kzs alapelve. Az alapszm (csomszm) megvlasztsa mr lehet eltr. A szmrendszerek tbbnyire a testrszeken val szmolsbl alakultak ki, ami magyarzza a tizes, hszas, ts szmrendszerek gyakorisgt. Nehezebb magyarzni a tizenkettes, a hatos s a hetes szmrendszerek eredett. 37

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Tekintsk t most rviden, milyen szmrendszerek alakultak ki a trtnelem sorn a tizes mellett. Megjegyezzk, hogy ugyanazon np egyidben tbb szmrendszert is hasznlhatott klnbz clokra. Az ts szmrendszer tisztn csak egyes dlamerikai trzseknl tallhat meg, az egy kzen val szmlls rksgeknt. k gy szmolnak: 1, 2, 3, 4, kz, kz, s egy, kz s kett, stb. Ms npeknl az ts rendszer keveredik a tizessel vagy hszassal. A rmai szmjegyek is az ts s a tzes szmrendszerek keveredst mutatjk. A hatos szmrendszer egyes szak-afrikai trzseknl hasznlatos, helyenknt keverve a tizenkettessel. A nyelvszeti kutatsok szerint a nnugorok is hatos szmrendszerben szmoltak valamikor. Ezt az 1,6 szmnevek kzs gykere igazolja ezeknl a npeknl. A tizenkettes szmrendszer emlkeit tbb nyelv rzi a klnbz mrtkegysgek elnevezsben. Az angol mellett ms germn nyelvek szmnevei is mutatjk a tizenkett kitntetett szerept. A tizenegynek s tizenkettnek kln neve van s csak tizenhromtl kezddik a tztl val szmols az elnevezsben. A tizenkt csillagkp, tizenkt hnap s tizenkt ra sem vletlenl szletett meg. A magyar nyelvben a tucat s a nagytucat utal erre a szmrendszerre. A h szas alap szmrendszer a kzp-amerikai mayknl fejldtt ki leginkbb. Logikjt megtrte az, hogy rendszerk a naptrjukon alapult. Ebben egy v 360 = 20  18 napbl, vagyis 18 hsznapos hnapbl llt. Teht a 20 alapszmot nem 202 , hanem 20  18 kvette, utna mr rendesen ment a dolog. gy pldul a 1231 nluk az 1  202  18+2  20  18+3  20+1 szmot jellte  termszetesen ms szmjegyekkel. A hszas rendszer emlkeit a francia, dn, angol, gael s walesi nyelv is rzi a rgi keltk nyomn. A franciban pldul 80 neve ngy-hsz (quatrevingt). A hatvanas szmrendszer kzismerten a babiloniaknl alakult ki. Erre a rendszerre utal az idszmtsban az 1 ra= 60 perc =602 msodperc, valamint a geometriban a teljes kr 360 rszre osztsa (360 fok). A legklnsebb a hetes szmrendszer gyakorisga Afrikban s a KzelKeleten, valamint szigor kivtelknt az ugor npeknl, kztk az smagyaroknl. A hetes szm szmos afrikai trzsnl ma is misztikus szerepet tlt be. Neve tabu alatt ll. Inkbb 6 + 1 alakban mondjk ki, vagy egy 6 + 1 jelents szval helyettestik. Nemcsak nyelvszeti, hanem ptszeti emlke is van a hetes egykori kitntetett szerepnek Afrikban. A sivatagi berberek (tuaregek) si, fldbe ptett agyagvrosa a lbiai Gadameszben magn viseli a hetes szm jegyt: ht kapuja, ht bstyja, ht tere stb. van. A hberek egykori hetes szmrendszert vallsi kultuszuk s a Biblia rzi. A ht a teljessget jelkpezte: ht llek = minden llek. Eskdni hberl nisba, jelentse: magt meghtszerezni. Valamit htszer vgezni annyi, mint tkletesen vgrehajtani (htszeres bossz, htszeres megbocsts). A nagy nnepek ht napig tartanak (pszkaszentels, templomszentels, storos nnep). Engesztel ldozatnl ht llatot ldoztak s a vrt htszer hintettk. A Bibliban klnsen a Jelensek knyvben szerepel gyakran a hetes. Istennek ht szeme, a Brnynak ht szeme s ht szarva van- ht van a pecstbl 38

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

(lsd ht pecstes titok), a haragpohrbl, a trombitbl, a szentsgbl. Isten ht nap alatt teremtette a vilgot, ht szk s ht b esztend van. Hsvt s Pnksd kztt ppen 49 = 72 nap van. Az ugorok kzs hetes szmrendszerre a nyelvi bizonytk az 1,7 szmnevek kzs gykere, valamint a ht ketts jelentse: jelenti a hetes szmot s a ht napbl ll egysget. Csak kevs ms nyelvben van gy. A magyar mesk s regk nem vletlenl beszlnek htmrfldes csizmrl, htfej srknyrl, ht vezrrl, hetedht (azaz 49) orszgrl. Szlsainkban is gyakori a ht, nha egytt a hattal: hete j, hete megyen- tbb a ht a nyolcnl. Tovbb: Akkort hazudik, mint ide hat ht (nagyot hazudik). Azt sem tudja hny ht hat ht (elvesztette a fejt). A magyar s ugor nphagyomnyban, az si hitvilgban is sokkal gyakrabban szerepel a hetes mint ms npeknl. Jelentse ltalban a dolgok nagy szmra, mretre, hossz idre vonatkozik. Ez sszefgg azzal, hogy a hetes szmrendszerben ht az els csomszm, vagyis egy befejezett szakasz a szmolsban. A hetes tbbszri ismtlse pedig a tlz foknak felel meg. A legfbb isten a hetedik menyorszgban lakik. A pokol is ht rteg. A nagyon rossz gyerekbe ht rdg bjik bele. tkozdsban gyakori volt a htrt grcs, a hetvenht fle hideglels s a hetvenht istennyila emlegetse. Az rdg reganyja pedig htszzhetvenht ves. Az ajt htt nyitsa a nagyon kinyitst, a htt ll tz a sokfel terjed nagy tzet fejezi ki. A nagyon nagy mlysgre hasznltk a ht krges fld hetedik kze kifejezst. A ht nap ht jjel vrakoztunk kifejezs nagyon hossz vrakozst jelent. A szmrs elzmnyeirl, vagyis a szmrovs rl s csomzs rl elmondhat egyrszt, hogy kezdetei nagyon messzire nylnak vissza, msrszt, hogy tbb npnl szinte napjainkig fennmaradtak. A legrgebbi rovsos lelet  a mr emltett farkaslbszrcsont  mg nem tekinthet igazi szmrovsnak, amelyben kln jel van 1-re, 5-re, 10-re, esetleg mg nagyobb szmokra. A rovsplct, amire a jeleket vstk, tbb orszgban adssgok feljegyzsre, illetve nyugtaknt elszmolsra hasznltk. A sok van a rovsn szls arra utal, hogy rgen a fogadsok a mestergerendra jegyeztk, jobban mondva rttk fel a tartozsokat. A hortobgyi szmad psztorok is sokig hasznltk az n. pros rovsft. Erre annyi jelet vstek, ahny llatot a gazda rbzott a szmadra. Ezutn a ft hosszban ketthastottk s egyik fele a gazdnl, a msik a psztornl maradt. Hasonl szerepet tlttt be a rovsfa Angliban. Ott a bankok is hasznltk folyszmla vezetsre. Az angol hagyomnytiszteletre jellemz, hogy mg a XIX. szzad elejn is alkalmaztk ket. Vgl az angol parlament 1826-ban betiltotta hasznlatukat s a rovsplckat elgettette. Az esetrl Dickens (angol r) is megemlkezett egy mvben. A rovsplckat ms npeknl is megtalljuk, igen vltozatos formban. Az Indiai-cenban fekv Nicobar-szigetek bennszltt laki pldul a kkuszdik megszmllsra egy kb. fl mter hossz bambuszrudat hasznltak. Ennek egyik vgt felhasogattk s ezekre vstk a jeleket. Az oroszok az adssgokat 39

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

olyan rovsfkra vstk fel, amelyeket egy lyukon keresztl drtkarikra fztek fel. Az adssg trlesztse utn a jeleket vagy lefaragtk, vagy elgettk a ft. Hasonlan hasznltk a rovsft Svjcban is, ahol igen elterjedt volt hasznlatuk (2.2. bra).

2.2. bra. Svjci rovsfk a szmrovs jeleivel.

A szmadatok rgztsnek msik nem rsos mdszere a csomzs, amelyet taln a knaiak alkalmaztak elszr. A csomkat ndbl vagy kkbl ksztett zsinegekre tettk, gy, hogy ezekre gabonaszalmval vagy kkval csomt ktttek. A csomzs Afrikban is igen elterjedt volt, sokszor egytt a rovssal. A Kilimandzsr lbainl l vadsz trzseknl, ha a frj vadszatra indult, akkor kt plmarostra annyi csomt kttt, ahny napig tvol akart lenni. Egyet magval vitt, egyet a felesgnl hagyott. Mindennap kibontva egy-egy csomt, mindketten tudtk, mikor kell vget rnie a vadszatnak. A felesg viszont fakanalt hasznlta rovsplcaknt. Ha frje megverte, akkor egy rovst vsett r. Ha a fakanl nyele betelt, akkor joga volt elvlni frjtl. A legmagasabb szintre az inkk fejlesztettk a csomzst. A mai Peru terletn l inkk a XIII. szzadban fejlett civilizcij s kzpontostott birodalom urai voltak. Birodalmukat a spanyol hdtk semmistettk meg. Az inka birodalom llamigazgatsi feladatait kipu nak nevezett csomzott zsinrok segtsgvel vgeztk. A kipu egy alapzsinrbl s klnbz szn rktztt fonalakbl llt (2.3. bra). Az alapzsinron fggtek a csomzott zsinrok. A csomk elrendezse tkrzte a helyi rtket. A tartzsinrhoz legkzelebb voltak a legnagyobb helyi rtkek, majd tvolodva a kisebbek, vgn az egyesek. Tbb zsinr adatait sszegezni tudtk. Az sszegezend zsinrok azon hurkain, amelyekkel ket az alapzsinrhoz erstettk, jabb zsinrt bjtattak t, s ezen sszegeztk az sszefogott zsinrok adatait. Ez vezette r egybknt a kutatkat arra, hogy a kipu szmadatok megrzsre szolglt. 40

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

2.3. bra. Inka kipu kpe.

A kipun a sznnek, a csomk formjnak, a hosszsgnak mind jelentse volt. ltalban sznnel klnbztettk meg a fr (pratlan) s a ni (pros) szmokat rgzt zsinrokat. A srga szn az arannyal, a fehr az ezsttel, a zld a gabonval, a kk a vallssal kapcsolatos adatokat jellte. A kipuk olvassa nem volt knny. Erre egy kln hivatalnokrteg alakult, ami a minden vrosban meglv kipu hivatalokban dolgozott s rizte a kipukat. Az inka kipu mai utda a perui indinok kimpuja. Ez kilyukasztott gymlcsmagokkal sszefogott zsinrokbl ll. A helyirtket a zsinrok szma, az alaki rtket pedig a gymlcsmagok szma adja. A kipu (s kimpu) mr lnyegben helyirtkes szmrgzts, amely azonban nem hasznl szmjegyeket gy nem tekinthet szmrsnak. A szmrs ms civilizcikban alakult ki.

2.3. Egyiptom matematikja Az kori Egyiptom egyike volt azoknak a nagy folyammenti kultrknak, ahol az emberi civilizci megszletett, s amelyek trtnelme sok hasonlsgot mutat. A Kr. e. IV. vezredben ezekben a kultrkban fejldtt ki az rs s szmrs, kezddtt meg a fmek felhasznlsa, s a kerk alkalmazsa. Egyiptomot a Nlus ajndknak szoks nevezni, ahol az let szinte minden terlete kapcsoldik valahogyan a sivatagos krnyezetben az letet jelent, vizet 41

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

ad folyhoz. A terlet minden oldalrl vdett, kivve a Sinai flszigetet, ezrt Egyiptomot alig rtk kls tmadsok. Ez lehetv tette hossz ideig fennll birodalmak kialakulst, de egyttal a stagnls lehetsgt is magban hordozta. Az egyiptomi kultra megrekedt egy kezdetben elrt sznvonalon. Az kori Egyiptom trtnete hrom korszakra oszthat: /birodalom (Kr. e. 3000,Kr. e. 2000), Kzpbirodalom (Kr. e. 2000,Kr. e. 1700), &jbirodalom (Kr. e. 1200,Kr. e. 700). Ezutn perzsa hdts, majd a perzskat legyz Nagy Sndor uralma kvetkezett Kr. e. 332-tl. Ez mr egy j civilizci, a grg kultra korszaka. Az birodalom korban pltek a nagy piramisok s alakult ki a kprs s szmrs, amelyet hieroglikusnak neveznk. A hieroglifa grg sz, szent bevsst jelent, ami arra utal, hogy az egyiptomi kprs s szmrs jeleit piramisok belsejben, templomok falban, kbe vsve talltk meg (2.4. bra).

2.4. bra. Az egyiptomi hieroglikus szmrs jegyei.

A hieroglif szmrs jegyei a papiruszon tollal val rsra trtn ttrskor kurzvabb, hieratikus (papi) szmjegyekk mdosultak. A Kr. e. VII. szzadban jabb vltozat alakult ki: a demotikus (npi) szmrs. Az egyiptomi szmrs tzes szmrendszerbeli, de nem helyirtkes. Ugyanazon jegy mindig ugyanazt a szmot jelli, s a szmokat az sszeadsi elv szerint kell leolvasni, rendszerint jobbrl balra. A hieroglifk nem tartalmaztak matematikt csak szmjegyeket. Az egyiptomi matematikt ksbbi, hieratikus jegyekkel rott papirusztekercsekbl ismerhetjk meg. A papirusz nem maradand anyag, gy kevs maradt fenn bellk. Matematikai szempontbl a kt legfontosabb a Rhind-papirusz s a moszkvai papirusz. Mindkett kzpbirodalombeli s az rnokiskolai oktats cljait szolgltk. Az rnokok voltak a papok mellett a kultra hordozi. Nlklzhetetlenek voltak a fra birodalmnak igazgatsban. k szmoltk a piramisok ptsekor a breket, a szksges anyagmennyisget. A Rhind papiruszt Henry Rhind skt rgsz vsrolta 1858-ban s a British Mzeumnak ajndkozta. A papiruszt egy Ahmesz nev rnok msolta 42

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Kr. e. 1650 krl egy korbbi eredetirl, ezrt Ahmesz papirusznak is nevezik. A moszkvai papiruszt Golenyisov orosz keresked vsrolta 1893-ban. A Rhind papirusz 84, a moszkvai 25 feladatot tartalmaz. Ezekbl 26 geometriai, a tbbi aritmetikai-algebrai. Indoklsok, bizonytsok nincsenek a papiruszokon, csak gyakorlati pldk s megoldsaik. Az egyiptomi hieratikus rst a kutatk sokig nem tudtk megfejteni. Ez vgl a francia Champollionnak sikerlt a rosette-i k alapjn, amelyet Napleon zskmnyolt egyiptomi hadjrata sorn 1799-ben. Ezen a fekete ktbln hrom felrat van grg, hierogli kus s demotikus rssal, de azonos tartalommal. Ismerve a grg rst s a hieroglif kprst meg lehetett fejteni a demotikus s ezen keresztl a hieratikus rst. A papiruszok matematikai elemzst Neugebauer nmet matematikus vgezte el. A Rhind papirusz egy tblzattal kezddik, amely tartalmazza a 2=n alak trtek trzstrtek (1 szmllj trtek) sszegre bontst minden pratlan n-re 5 s 101 kztt. A trtek ismerete s hasznlata az egyiptomi aritmetika leg gyelemremltbb vonsa. A trtek jellse (2.5. bra) mutatja az 1=2 klnleges szerept a trtfogalom kialakulsban.

2.5. bra. Egyiptomi hieroglif trtek. Rendre: 1=2, 1=3, 2=3, 1=4, 3=4, 1=6, 1=10.

Az 1=2-nek kln jele s elnevezse van minden nyelvben, ami mutatja, hogy nem kt szm osztsbl, hanem a mrsbl szrmazik. A fl, half, polovina stb. elnevezseknek semmi kzk az egy s kett nevhez az illet nyelvekben. A trtek mr csak azrt sem szrmazhattak az osztsbl, mert az egyiptomiak nemhogy az osztst, hanem mg a szorzst sem ismertk, csak az sszeadst. Az 1=2 mellett az egyiptomiak mg az 1=3, 2=3, 1=4 s 3=4 trteket tekintettk termszetes trteknek, valamely egysg rszeiknt. A 2=3 neve kt rsz, az 1=3- harmadik rsz volt. Hasonlan fogtk fel az 1=4 s 3=4 trteket is. Az egyszer trtek fogalma teht a mrsbl, pontosabban a mrsi egysg rszekre bontsbl szrmazott. Ha hosszsg, a trfogat, stb. mrsekor az egysg nem pontosan jtt ki, akkor a maradk rszt kezdetben elhanyagoltk. Ksbb szmbavettk az egysg felt, nevet s jelet adtak neki. Majd vettk ennek felt (1=4) s az egysg harmadt. Vgl kialakult a tetszleges trzstrtek, vagyis az egysg tetszleges rszekre val osztsnak fogalma. A tbbi trtet a szorzs fogalmnak hinya miatt, nem egy trzstrt tbbszrseknt, hanem trzstrtek sszegeknt fogtk fel. A 2=97 pldul nem a 2  1=97 szorzat, hanem 43

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

az albbi sszeg volt nluk: #rdekes, hogy a

2 1 1 1 97 = 56 + 679 + 776

2=1+1 n n n felbontsokat nem alkalmaztk, hanem az elz pldhoz hasonl bonyolult felbontsokat kpeztek. Pldul: 2=1+ 1 2=1+ 1 2 = 1 + 2 + 1 + 1 : 5 3 15 7 4 28 101 101 202 303 606 A kutatk nem tudtak magyarzatot adni arra, hogy mirt pont ezeket a felbontsokat hasznltk a sok lehetsges kzl. ltalnos formult sem talltak a felbontsokra. Egyes tpusok kpzsben felismerhet bizonyos szablyossg. A legtbb esetben az 1=n trtbl kiindulva, sorozatos felezst s harmadolst vgeztek. Alkalmaztk az albbi kpletet is: 2=1+ 1 + 1 + 1 : n n 2n 3n 2  3  n Ez a mdszer vilgosan kvethet a 2=101 felbontsban. Gyakran indultak ki az 1=2, 1=3, 1=4 termszetes trtekbl, majd ezeket igyekeztek felezni s harmadolni. A papiruszon a trzstrtekre bontst egy rvid n=10 tblzat kveti, ahol n 1-tl 9-ig terjed. A tblzatok utn feladatok kvetkeznek, amelyek kzl az els 6 kenyr elosztsval foglalkozik klnbz szm ember kztt. E feladatok megoldsban, miknt a tovbbiakban is, az ismeretlen szerz alkalmazza a trttblzatokat. Pldul ht kenyr elosztsa nyolc ember kztt a 7=4+2+1=1+1+1 8 8 8 8 2 4 8 felbonts szerint megy. gy elegend ngy kenyeret flbevgni, kt kenyeret negyedelni s egy kenyeret nyolc rszre vgni. A vgsok szma gy kevesebb mint ht kenyeret nyolc,nyolc rszre vgni, teht a megolds igen gazdasgos, msrszt mutatja, hogy a 7=8 fogalma nlkl is lehet ilyen feladatokat megoldani. A pldbl val didaktikai kvetkeztetsek levonst az olvasra bzzuk. Tbb feladatban a szorzs s oszts sszeadsra (ktszerezsre) val visszavezetst ltjuk, ami szintn nem tanulsg nlkli. A 32-es feladat a 13  12 szorzst szmtja ki a kvetkezkppen: 1 12 2 24 4 48 8 96 13 156 44

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Teht mindig ktszereztek s a csillaggal jellt rszsszegeket sszeadtk. Ezt az egyiptomi szorzst mg a kzpkorban is tantottk Eurpban a szmoltbla segtsgvel, ami a mai golys szmoljtk se. Mg rdekesebb az oszts sszeadsra val visszavezetse. Nem azt krdezik, hogy mennyi 45 osztva 5-tel, hanem  Szmolj tsvel mg 45-t nem kapsz. Megolds: 1 2 4 8 9

5 10 20 40 45

Teht 9-szer kell szmolni 5-svel, hogy 45-t kapjunk, vagyis 45-ben az 5 megvan 9-szer. Ha nem egsz szm volt az eredmny, akkor a trttblzatukat hvtk segtsgl. Pldul: Szmolj tsvel mg 43-ig jutsz. Megolds: 1 2 4 8 8

5 10 20 40 40

Itt azonban maradt mg 3. Itt felhasznljk a szmolj tsvel mg egyet kapsz problma megoldst, vagyis az 1=5 trzstrtet: 1 1 5 2=1+ 1 2 5 3 15 3 Teht:

1+2=1+ 1 +1 5 5 3 15 5

43 = 8 + 1 + 1 + 1 : 5 3 5 15 Az egyiptomiak ezzel a mdszerrel trtet trttel is tudtak szorozni, valamint egszet trttel osztani. Mdszerket pldul arnyos osztsra vezet feladatokban alkalmaztk. Ilyen a Rhind papirusz 63. feladata, amely 700 kenyr elosztst krdezi ngy ember kztt 2=3 : 1=2 : 1=3 : 1=4 arnyban. Az arnyszmok sszege 1 34 , a 700-at szorozzuk ennek reciprokval (4=7 = 1=2 + 1=14), ami 400-at ad. Ennek megfelel rszei adjk a megoldst. 45

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Az aritmetikai feladatok mellett egyszer egyismeretlenes egyenletekre vezet algebrai feladatok is vannak a papiruszon. Ezeket nem algebrai ton oldottk meg, hanem a hamis feltevs mdszervel (hamis helyzet szablyval) aritmetikai ton. Teht az algebrai absztrakcis szintrl visszamentek az aritmetikai szintre. Lssuk ezt a mdszert a Rhind papirusz 26-os feladatn: Egy sokasg s negyede sszesen tizent, mennyi a sokasg? Vegynk egy prbamegoldst, vagyis tegynk egy valsznleg hamis feltevst. Legyen a sokasg 4, mert ennek knny a negyedt venni. Negyede 1, ez sszesen 5. De minthogy az 5-t 3-szor kell venni, hogy a kvnt 15 sszeget kapjuk, ezrt a 4-et is hromszor kell venni. Teht a sokasg 12. A mveletek rgztse a prblgatsok sorn rvezetheti a gyereket az egyenlet struktrjra, majd az egyenlet fellltsra: 4 + 41 = 5 =) x + x4 = 15: A hamis feltevs szablyt a mai elektrotechnika is alkalmazza. Ha egy hlzatban keresett az ram adott feszltsg mellett, akkor sokszor knnyebb gy megoldani a feladatot, hogy az ram rtkre valamilyen szmot felvesznk. Ez az egyiptomi egyenletmegoldsi mdszer regula falsi nven a rgi didaktika fontos rsze volt. 'sztnsen ma is sok tanr alkalmazza a knnyebb szmokkal, mint x-szel elvet kvetve. A Rhind papiruszon van egy mrtani sorozatra utal jtkos feladat is, amely sok ksbbi feladatgyjtemnyben s npi tallskrdsben felbukkan: 7 hz, 49 macska, 343 egr, 2 401 kalsz, 16 807 bzazem, sszesen: 19 607. A papirusz nem kzli a feladat szvegt, de a szmokbl knny kitallni. A feladat megtallhat az els magyar aritmetikban is nmi vltoztatssal. Npi trfs vltozata a kvetkez: Jank elment Piripcsra. Tallkozott hrom tttal. Minden ttnak hrom zskja, minden zskban hrom macska. Hnyan mentek Piripcsra? Az ismertetett aritmetikai-algebrai eredmnyek mellett az egyiptomi matematikra mgis a geometriai jelleg a jellemz. A grgk Egyiptomot tartottk a geometria blcsjnek. Dmokritosz szerint azrt szletett Egyiptomban a geometria, mert a Nlus vi radsa utn jra kellett mrni a fldeket (geometria= fldmrs). Az egyiptomi geometria s csillagszat fejlettsgnek mig l bizonytkai a piramisok s templomok. A piramisok kt le mindig szak-dli irny, igen kis eltrssel- alakjuk pedig szablyos ngyoldal csonkagla. Ezeket nehz gyakorlati szksgszersggel magyarzni, inkbb kultikus elrsokra utalnak. Ki tudtk szmtani a tglalapok terlett. A hromszgek, trapzok terlett tdarabolssal tglalapra vezettk vissza. Ezt a krnl is megksreltk. A Rhind papirusz 50. feladatban Ahmesz azt lltja, hogy egy 9 tmrj kralak mez terlete ugyanannyi, mint egy 8 oldal ngyzet, teht 4 52 = 64. Innen  = 256=81 = 3:166 : : : , ami j kzelts. Egy msik feladatban ezt az eredmnyt ms ton kapta: a krbe rhat szablyos nyolcszg segtsgvel. 46

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A  egyiptomi kzeltse jval pontosabb az addigi 3-as rtknl, ami abbl addott, hogy a kr kerlett az tmr hromszorosnak vettk. Ez a rgi meg gyels a Bibliban is szerepel: s csinla egy nttt tengert, mely egyik szltl fogva a msik szlig tz sing volt, krskrl kerek, s t sing magas, s a kerletit harmincz sing zsinr rte vala krl. (Kirlyok I. knyve, 7.23.) Az egyiptomiak tudtk azt, hogy a 3,4,5 oldal hromszg derkszg. A ktlfesztk ezt hasznltk derkszg kijellsre fldmrsnl s templomok, oltrok stb. ptsnl. Ez nem jelenti azt, hogy ismertk a Pitagorasz-ttelt, csak konkrt esetben felismertk s alkalmaztk. Legkiemelkedbb geometriai eredmnyk az, hogy ki tudtk szmtani a ngyzetes csonkagla trfogatt a helyes

V = m3 (a2 + ab + b2 )

kplettel. Ezt a moszkvai papirusz 14-es feladata mutatja (2.6. bra). A megoldsi utasts szszerinti fordtsa soronknt a kvetkez: 1. Add ssze ezt a 16-ot 2. ezzel a 8-cal s ezzel a 4-gyel 3. Kijn 28. Szmtsd ki 4. egyharmadt a 6-nak. Kijn 2. Szm5. llj 28-asval ktszer. Kijn 56. 6. Nzd, ez 56. Jl szmoltl. Vgezetl ismertetjk az egyiptomi naptrt, mert ez a mai naptrunk se. Idszmtsuk valsznleg abbl indult ki, hogy a Nlus vi radsa mindig rviddel azutn kezddtt, hogy a Sziriusz a (kutyacsillag) ppen napfelkelte eltt jelent meg Keleten. Kt megjelens kzt ppen 365 nap van, ezrt az vet tizenkt harminc napos hnapra osztottk, megtoldva t nnepnappal. Az v, vagyis egy teljes napciklus azonban 365,25 nap, gy vente negyed nap eltolds keletkezik, ami 1460 v utn ll vissza. Egy rmai tuds feljegyzse szerint a naptr Kr. e. 139-ben szinkronban volt, gy a naptr kezdete hrom ciklussal korbbra Kr. e. 4241-re (pontosabb szmtsok szerint Kr. e. 4228-ra) datlhat. Az egyiptomi naptrt Julius Caesar rmai uralkod reformltatta meg, minden negyedik vben egy szknap hozzvteleivel s a hnapok napjainak megvltoztatsval. Ez a julianus naptr volt rvnyben Eurpban a XVI. szzad vgig, Oroszorszgban viszont az 1917-es forradalomig. Ezrt esett oktber 25-e november 7-re. A mai n. gregorinus naptr Gergely ppa reformjnak eredmnye. 47

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

b=2

V

h=6

= h3 (a2 + ab + b2 ) = = 63 (16 + 8 + 4) = 2 28 = 56

a=4

2.6. bra. Fenn: a csonkag la trfogatnak kiszmtsa a moszkvai papiruszon. Alul: a szmtsok magyarzata.

2.4. A babilniai matematika A matematika fejldsben mg Egyiptomnl is fontosabb szerepet jtszott a msik nagy folyammenti civilizci a Tigris s Eufrtesz folyk mentn, illetve kztt. A terletet szoktk Mezopotmia (folyamkz) nven is emlegetni (2.7. bra). Egyiptom s Babilnia adottsgaiban sok a hasonlsg, de lnyeges klnbsgek is vannak. Babilnia terlete nyitott, ezrt sok hdt vltotta egymst e tjon. Kvek s papirusznd nincs, de sok az agyag. #pletek nem maradtak fenn, viszont rengeteg kigetett krsos agyagtbla vszelte t az id viszontagsgait. Geometriai jelleg helyett a babilniai matematikban az aritmetikai-algebrai jelleg dominlt. A termkeny folytorkolatok vidkn az els kultrnp a sumr volt Kr. e. 4000 krl, akik megalaptottk els vrosaikat (Ur, Uruk, Kis), csatornkat ptettek az ntzshez s az radsok megfkezsre. A sumr mitolgiban is szerepel egy, a bibliai vzznhz hasonl nagy rads, valamint a teremts 48

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

2.7. bra. Babilnia (Mezopotmia) trkpe.

lersa is megegyezik. A Biblia szerint brahm, a zsidk s arabok (tgabb rtelemben a smi npek) kzs sapja a sumr &r vrosbl jtt. A sumr nyelv ismeretlen eredet, klnbzik a krnyez npektl s ragoz nyelv, mint a magyar. Ez az egyik alapja a sumr-magyar rokonsg elmletnek, amely az itthoni hivatalos tilts miatt fleg az emigrciban kapott publicitst. Sok kutat a sumr kprst tartja minden rs snek. A sumrok fontos kultrtrtneti szerepe egyre jobban megvilgosodik a kutatsok elrehaladtval. Sok, korbban a grgknek tulajdontott eredmnynek kimutattk mezopotmiai eredett. Nhny kutat egyenesen azt lltja, hogy a civilizci a sumrokkal kezddtt. A sumr vrosokat Kr. e. 2400 krl a smi eredet akkdok, majd a szintn smi amoritk (amurruk) hdtottk meg. A hdtk (a ksbbiek is) tvettk a sumrok fejlettebb kultrjt, a tudomnyban megmaradt a sumr nyelv, gy biztostva volt egyfajta kulturlis folyamatossg a trsgben. Az amoritk hoztk ltre az babiloni birodalmat, amely nevt Babilon vrostl kapta. Fnykort e birodalom Hammurbi (Kr. e. 1728,1686) uralkodsa idejn lte. Az babiloni birodalomnak az asszr hdts vetett vget a Kr. e. XIII. szzadban. Az asszr birodalom fvrosa Ninive volt. Itt trtk fel az angolok az asszr uralkodk tbb mint 150 000 agyagtblbl ll knyvtrt. A terlet jabb urai a kaldeusok (kldok) lettek a Kr. e. VII. szzadban. Az elpuszttott Ninive helyett ismt Babilon lett a fvros s ltrejtt az jbabiloni birodalom. Ennek legnagyobb uralkodja Nabukodonozor volt, aki tmogatta a tudomnyok, elssorban a csillagszat mvelst. A kaldeusok osztottk be a Nap ltszlagos plyjt (az ekliktikt) tizenkt llatvre s neveiket is k adtk. Ezzel megalapoztk a horoszkpia tudomnyt is. A kaldeusok utn a md s perzsa hdts kvetkezett. Vgl a perzskat legyz Nagy Sndor tett pontot Babilnia trtnetnek vgre. 49

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Megjegyezzk, hogy a Bibliban nemcsak Egyiptom szerepel, hanem gyakran tallkozhatunk babilniai vrosok s uralkodk neveivel is. Az egyiptomi rabsg mellett a zsidk ugyanis tbbszr szenvedtek babilniai rabsgot. Az krsos agyagtblkbl a rgszek tbb, mint 450 000-et hoztak felsznre, amelyek kzl kb. 250 matematikai jelleg. Az krs megfejtsben szintn egy hromnyelv ktbla segtett, az n. behisztuni k. A tbla perzsa, elmi s babiloni (akkd) szvegbl a nmet Grotefend s az angol Rawlinson hmozta ki az krsos jelek rtelmt. A matematikai tblk elemzst Neugebauer s a holland van der Waerden vgezte el. A sumrok kezdetben kerek rnddal nyomtk rsjeleiket az agyagba s valsznleg hatos szmrendszert hasznltak. Az els rsos emlkek mr a tzes s hatvanas szmrendszerek keveredst mutatjk nem helyirtkes szmrsban. A kerek rnddal kisebb-nagyobb krket, illetve flkrket lehetett a puha agyagba nyomni (a megrzsre szntakat ezutn kigettk). Ksbb az rndat a hromszglet rplca vltotta fel, amivel ll s fekv keket lehetett az agyagba nyomni. gy alakult ki az krs. Az sumr szmjegyek s az krs kezdeti formi a helyirtkrendszer csrit mutatjk (2.8. bra).

2.8. bra. sumr szmjegyek. Rendre: 1, 10, 60, 10 60, 602 , 10 602 , 603 .

A babilniaik ezt teljes rtk hatvanas szmrendszerr fejlesztettk, amely kiterjedt a hatvanados trtekre is. Az ll k (1) s a fekv k (10) jelvel gy brmilyen szmot le tudtak rni. Hinyzott az egyrtelmsghez a hatvanados vessz s a nulla. A nullra ksbb bevezettek egy specilis jelet helyptlknt, de a szm vgn nem tettk ki, gy a szmok kiolvassa ezutn sem volt egyrtelm, csak a szvegsszefggsbl lehetett behatrolni rtkket. Tekintsk pldul a 2.9. bra szerinti szmot! Ez a szm egyarnt jellhetett 60 ^

1  602 + 0  60 + 4 =1 0 4= 3604-et, vagy s gy tovbb.

60 1 + 0  1 + 4  1 =0 1^ 1  60  0 4= 3604 602 603 603 -t

50

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

2.9. bra. Egy szm felrsa babiloni krsban: 1, 0, 4.

A helyirtk elvnek a trtekre val alkalmazsa a babilniai matematika nagy teljestmnye. A hatvanados trtek tlltk a hatvanas szmrendszert. Eurpban csak a XVII. szzadban szortottk ki ket a tizedes trtek, holott egsz szmokra rgen a tzes szmrendszert hasznltk. Van der Waerden hrom krdst tesz fel knyvben a babilniaiak szmrsval kapcsolatban: 1. Hogyan jutott eszkbe 1 s 10 utn ppen 60-at vlasztani kvetkez lpcsfoknak? 2. Hogyan jutott eszkbe 60-at nagy egyes-nek tekinteni, s az 1 jelvel brzolni? 3. Hogyan jutott eszkbe, hogy a trteket is 60-as szmrendszerben rjk, 1/60-at kis egysg-nek fogva fel? Az els krdsre kt valsznsthet vlasz is van. A hatvanas rendszer a sumr hatos s az akkd tzes szmrendszer egyestsbl jhetett ltre. Msok a sumr s akkd sly, illetve pnzegysgek tszmtsi szmaibl szrmaztatjk. A msodik s harmadik krdsre azonban egyik sem szolgl magyarzatul. Az egyszer trtek neve s jele itt is mutatja, hogy a trtek nem az osztsbl, hanem a mrsbl szrmaztak. Az 1=2 jele valami felezsre utal. Kprsos jelentse valban az: olyan ednyt jelent, amelynek trfogatt feleztk (2.10. bra).

2.10. bra. Sumr s babilniai trtek. A fels sorban: rgebbi sumer kori. Az als sorban: jabb sumer kori. A trtek rendre: 21 , 13 , 23 .

51

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A babilniaiak szmtsaikat tblzatok segtsgvel vgeztk. Voltak reciprok, szorzs, ngyzet, ngyzetgyk, kb s kbgyk tblzataik. Volt egy n3 + n2 tblzatuk is, ami fontos szerepet jtszott algebrjukban. Szorozni tudtak, az osztst a reciproktblzat segtsgvel szorzsra vezettk vissza. Csak olyan szmok reciprokait kpeztk, amelyek vges hatvanados trteket adtak, vagyis amely szmok prmtnyezs felbontsban csak a 60 prmtnyezi fordulhattak el. Az ilyen szmokat szablyosaknak neveztk. Pldul: 1 = 1 = 23 = 6 : 600 23  3  52 24  32  52 602 Egy oszts ezutn gy vgezhet el: 91 = 91  1 = 91  6 = 9  60 + 6 = 9 + 6 : 600 600 602 602 60 602 A szorzs ilyen mdja mutatja, hogy a trtfogalom fejldsben egy lpssel elbbre tartottak, mint az egyiptomiak. Valamely tetszleges szmllj trtet nem trzstrtek sszegeknt, hanem egy trzstrt tbbszrseknt fogtk fel. Kt szm hnyadosaknt azonban mg nem rtelmeztk. Algebrai ismereteik is fejlettebbek voltak az egyiptomiaknl. Meg tudtak oldani msodfok egyenleteket s egyenletrendszereket. A megolds sorn alkalmaztk az (a  b)2 s a2 ; b2 kifejezsekre ismert azonossgokat. Ez nem azt jelenti, hogy ezeket ltalnosan fel tudtk volna rni, plne bizonytani. Maga a megolds is receptszer volt. Pldul: Terlethez add hozz az oldal ktszerest, ez 35. Mennyi az oldal? (x2 + 2x = 35) Adj 35-hz 1-et, ez 36. 36 az 6  6. Vegyl el 1-et, az oldal 5. Valban:

x2 + 2x + 1 = 35 + 1 =) (x + 1)(x + 1) = 6  6 =) x + 1 = 6 =) x = 5: Negatv gykkrl, vagy az ismeretlen betvel jellsrl termszetesen sz sem lehetett. Annl is inkbb, mert sem a negatv szm fogalma nem alakult mg ki, sem az bct nem talltk mg fel. Nzznk egy egyenletrendszerre vezet feladatot. Megoldsa sorn a babilniaiak is alkalmaztk a hamis feltevs egyiptomi mdszert. Feladat: 1 b r (1800 sar) terletrl 4 g r (1200 sila) gabont arattam. Egy msik b rrl 3 g r (900 sila) gabont arattam. A gabona 820 (500) silval haladja meg a gabont. A fldjeimet sszeadva 30 (1800) sart kapok. Mekkork a fldjeim? Mai jellsekkel az albbi kt egyenlet rhat fel:

x + y = 1800 1200 x ; 900 y = 2 x ; 1 y = 500 1800 1800 3 2 x = 600 y = 1200: 52

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A babilniai megolds: Trd az 1800-at, a fldek terletnek sszegt kett: 900. Vgy teht 900-at s mg 900-at (x-nek s y-nak). Ekkor a j (az els) fldn 2=3  900 = 600 sila, a rossz (a msodik) fldn 1=2  900 = 450 sila gabona terem. A klnbsg 150 sila lenne. De a klnbsgnek 500-nak kell lenni, teht a 150-et 350-nel nvelni kell. Ha a j fldet 1 sarral nveljk, a rosszat 1 sarral cskkentjk, akkor a terms n 2=3 silval, illetve cskken 1=2 silval, vagyis a termsklnbsg 2=3 + 1=2 = 7=6 sila. Mit kell 7=6-dal szoroznom, hogy megkapjam a 350-et? Vgy 300-at, mert 300-szor 7=6 az 350. gy a j fld 900-rl 1200 sarra szaporodik, s a rosszabb 900-rl 600-ra cskken: y = 1200, x = 600. Msodfok egyenletrendszert azonossgok gyes alkalmazsval oldottak meg: Feladat: A szlessg meg a hossz sg 30. A terlet 221. Mekkora a szlessg s a hossz sg? Trd a 30-at kett: 15. A 15-szr 15 egyenl 225-tel. Vond ki ebbl a terletet. 225-bl 221 az 4. Ngyzetgyke 4-nek: 2. Add ezt 15-hz: 17. Megkaptad a hosszsgot. Vond ki a 2-t a 15-bl: 13. Ez a szlessg. Mai jellsekkel: x + y = 30, x  y = 221 =) x + y = 15 2 x + y 2 = 225 2

x+y 2

2



2 ; xy = x ;2 y = 225 ; 221 = 4 x;y =2

2

x + y + x ; y = x = 15 + 2 = 17 2

2

x + y ; x ; y = y = 15 ; 2 = 13:

2 2 Az azonossgokkal meg nem oldhat msodfok egyenleteket a megoldkplet receptszer alkalmazsval oldottk meg. A negatv szmok hinya miatt kln recept volt az x2 + px = q, x2 = px + q, x2 + q = px tpusokra. Ms feladatokat ezekre a tpusokra vezettek vissza gyes helyettestsekkel. Pldul: 11x2 + 7x = 6 15 =) (11x)2 + 7  (11x) = 1 8 45: A harmadfok egyenletek kzl az x3 + x2 = p alakra visszavezethetket tudtk megoldani a megfelel tblzat segtsgvel. Megoldsaikat prbnak vetettk al, ami fontos lps a bizonytsi igny kialakulsa fel. p A babilniai algebra egyik cscsteljestmnye a 2 pontos megkzeltse itercival. Az amerikai Yale egyetem gyjtemnynek 7289-es szm agyagtbljn olvashat az albbi kzelts (2.11. bra): 1 24 51 10 = 1 414222 53

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

2.11. bra. A Yale 7289 tbla a 2 kzeltsvel. p

ami p hossza olvashat (30), az tlra a p 5 szmjegyig pontos. Balra fent az oldal 2 rtke, alul pedig az tl hossza (30  2) : 42 25 35 van rva. A ngyzetgyk szmtsra alkalmazott kzelt mdszerk a newtoni iterp cihoz hasonl volt. Legyen x = 2. Abbl indultak ki, hogy ha az els kzelts p (x1 ) tl kicsi a 2 -hz kpest, akkor 2=x1 tl nagy, s viszont. Ekkor szmtani kzepk mr elg j kzelts. Pldul:  x1 = 1 5 x2 = 12 5 = 43 x2 = 21 x1 + x2  1 415: 1 1 Mr ez a kzelts is kt jegyre pontos. Az eljrs folytatsval tetszleges kzeltst rhetnk el. Ha ezt a mdszert az a2 + b sszeg ngyzetgyknek kiszmtsra alkalmazzuk, akkor a

p

a2 + b  a + 2ba

kzelt kplethez jutunk, amit szintn hasznlnak babilniai szvegekben. A babilniai geometrit sokig sokkal fejletlenebbnek tartottk az egyiptominl. A legjabb leletek ezt cfoljk. Az aritmetikai-algebrai jelleget azonban nem, mert a geometriai eredmnyek is algebrai kntsben jelentek meg. Ismertk a Thalsz-ttelt. Helyes terletkpletk volt nemcsak a sokszgekre, hanem a krre is: terlet = 12  (kerlet  sugr) = k 2 r : Erre a kr cikkekre osztsval s kitertsvel jttek r. gy a kr terlete egy K alap s r magassg tglalap terletnek feleknt addik. 54

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A  rtkt eleinte 3-nak vettk, de 1936-ban talltak Szszban olyan agyagtblt egy ksbbi korbl, amelyen a szablyos hatszg s a krrhat kr kerletnek arnyra 0 57 35 van megadva. Ebbl -re 3 7 30, azaz 3 81 addik, ami jobb az egyiptomi rtknl. A csonkagla trfogatval hasonl a helyzet: kezdetben rossz kplettel szmoltak, de ksbb rjttek a helyes kpletre is. Valsznleg tdaraboltk a csonkaglt glkk s tglatestekk (kockkk), amelyek trfogatt mr ki tudtk szmtani. Az egyiptomiak csak a 3, 4, 5 pitagoraszi szmhrmast ismertk, a babilniaiak viszont a kpzsk ltalnos szablyt is:

a = p2 ; q2  b = 2pq c = p2 + q2 (p > q): Ezt az amerikai Columbia egyetem Plimpton 322 jel tblja tanstja. A rekonstrult s kiegsztett tbla szmadatai a 2.12. brn lthatk (mai jellsekkel).

b

120 3456 4800 13500 72 360 2700 960 600 6480 1 2400 240 2700 90

c2 : b2

a

c

1-59,0,15 119 169 1-56,56,58,14,50,6,15 3367 4825 1-55,7,41,15,33,45 4601 6649 1-53,1,0,29,32,52,16 12709 18541 1-48,54,1,40 65 97 1-47,6,41,40 319 481 1-43,11,56,28,26,40 2291 3541 1-41,33,59,3,45 799 1249 1-38,33,36,36 481 769 1-35,10,2,28,27,24,26,40 4961 8161 1-33,45 0,75 1,25 1-29,21,54,2,15 1679 2929 1-27,0,3,45 161 289 1-25,48,51,35,6,40 1771 3229 1-23,13,46,40 56 106

p

q

1 12 5 2 64 27 3 75 32 4 125 54 5 9 4 6 20 9 7 54 25 8 32 15 9 25 12 10 81 40 11 1 0,5 12 48 25 13 15 8 4 50 7 15 9 5

2.12. bra. A Plimpton 322 tbla adatai.

Az eredeti tblzatban termszetesen hatvanas szmrendszerbeli szmok szerepeltek hatvanados vessz nlkl. A szmok gy vannak vlasztva (lsd a c2 : b2 oszlopt), hogy az oldalrtkek egy kivtelvel egsz szmok legyenek. A tblzat csak olyan p s q rtkeket alkalmaz, melyek szablyos szmokat eredmnyeznek b-re, gy minden c2 : b2 arnyos vges hatvanados trtekkel fejezhet 55

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

ki. A szmadatok pontossga a babilniaiak bmulatos szmolsi kszsgrl tanskodik. Egy bagdadi mzeumban rztt tbln lthat albbi bra felttelezi a hasonlsg ismerett (2.13. bra).

C

E

B CB = 60 AC = 45 AB = 75

F D A 2.13. bra. Babilniai tbla brja.

Adott volt a ngy kis hromszg terlete is. Ezekbl ki tudtk szmtani a hinyz oldalhosszakat, felhasznlva, hogy hasonl skidomok terletnek arnya megegyezik megfelel oldalaik ngyzeteinek arnyval. Sok mai pldatrban is megtallhat a kvetkez feladat, amelynek megoldsa a Pitagorasz-ttel segtsgvel trtnik: Feladat: Egy gerenda 0,30 hossz . Fentrl 06-tal lecs szott. Mennyivel toldott el lent? A kr 360 rszre osztsa is a babilniaiaktl ered, aminek magyarzata Neugebauer szerint a kvetkez: A sumr mrfldbl jtt az idegysg. Ez annyi id, amennyi id alatt egy mrfldet meg lehet tenni. A mrfld kisebb rszre volt osztva. A Nap teljes krlfordulsa alatt (egy nap alatt) tizenkt mrfldet lehetett megtenni. Teht egy teljes kr 12  30 = 360 rszre oszthat, ms szval a teljes szg 360 . Termszetesen ms magyarzat is elkpzelhet.

Gyakorlatok 1. (a) Igazoljuk a 2=n alak trtek trzstrtekre bontsra szolgl albbi kpletek helyessgt: 2 1 1 1 1 n = n + 2n + 3n + 6n

2 1 1 2k 1 = k + k(2k 1)

2 1 1 3k = 2k + 6k : ;

;

56

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

(b) Keress nk kt trzstrt sszegre bont kpletet olyan 2=n alak trtekre, ahol n = 5k, illetve n = 7k. (c) Adjuk meg a 2=7, 2=35, 2=9, 2=21 trtek lehetsges trzstrtekre bontsait. 2. (a) Igazoljuk az albbi kplet helyessgt: 1 1 p+q m p q = p k + q k  ha k = m egsz szm. (b) Bontsuk fel a 2=99-et hromflekppen kt trzstrt sszegre. (c) Bontsuk fel a 13=42-t kt trzstrt sszegre a lehet legtbbflekppen. 3. Szm tsuk ki egyiptomi m dszerrel a kvetkez szorzsokat s osztsokat: (a) 26 33, (b) 63 : 7, (c) 47 : 7, (d) 13 : 42, (e) 42 : 13, (f) 101 : 16. 4. Oldjuk meg a hamis helyzet szablyval az albbi egyenleteket s egyenletrendszereket (a szorzsokat s osztsokat is egyiptomi m dszerrel vgezz k). (a) x + x7 = 16, (b) x + x7 = 9, (c) x + x8 = 12, (d) x2 + y2 = 100 y = 34x .

5. Hamis feltevs szablyval szm tsuk ki, mennyi az a mennyisg, amelynek 2=3a, 1=2-e s 1=7-e sszesen 33. 6. Egyiptomi m dszerrel szm tsuk ki mennyit kap egy ember, ha (a) 7 cip t elosztunk 10 ember kztt, (b) 8 cip t elosztunk 10 ember kztt, (c) 9 cip t elosztunk 10 ember kztt. 7. rjuk fel 0 0862-t, illetve 1=7-et hatvanados trtekben! 8. Vgezz k el az albbi m veleteket 60-as szmrendszerben. (b) 4 17 14 8 (a) 37 44 50 33 24 38 12 42+ 9. Szm tsuk ki iterci s m dszerrel a 3-at s 5-t 4 tizedes pontossggal. 10. Oldjuk meg azonossgok seg tsgvel a kvetkez egyenletrendszert: x + y = 20 xy = 36: 11. Oldjuk meg az x = 2b z y = 2b + z helyettes tssel az x2 + y2 = a x+y = b egyenletrendszert, ahol a = 1300, b = 50. 12. A fal mell ll tott ndszl lecsszott gy, hogy az als vge a falra merleges irnyban 9 knyknyit tvolodott el, s a nd teteje 3 knykkel ker lt lejjebb. Milyen hossz a ndszl? p

p

;

57

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Irodalom )1] )2] )3] )4]

Filep Lszl,Bereznai Gyula: A szmrs trtnete. Gondolat, 1982. Neugebauer, O.: Egzakt tudomnyok az korban. Gondolat, 1984. Waerden, B. L.: Egy tudomny bredse. Gondolat, 1977. Zaslavsky, C.: Afrika szmol. Gondolat, 1984.

58

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

3. fejezet

A grg matematika Az egyiptomi s babilniai kultra hanyatlsval szinte egyidben egy j, ms tpus kultra alakult ki a Fldkzi-tenger keleti medencben: a grg (3.1. bra). Az szakrl tbb hullmban rkez grg trzsek fokozatosan vettk birtokukba a trsget s fejlesztettk ki civilizcijukat. Mg a nagy birodalomban megtelepedett folyammenti kultrnpek a tuds megrzsre, addig a kis vrosllamokban l, mozgkony grgk az lland tovbbfejlesztsre, j utak keressre trekedtek. Ismeretanyagukat jrszt Egyiptombl s Babilnibl vettk t, de azt minsgileg j szintre emeltk: a konkrt gyakorlati pldk s eljrsok szintjrl az ltalnos eljrsok, lltsok s bizonytsok szintjre. &gy is szoks mondani, hogy az /kori Kelet hogyanja helyett a grgk krdse a mirt lett. A grg loz ai gondolkods teremtette meg a logika tudomnyt, amely lehetv tette a matematika szigoran logikai, deduktv felptst. Ezzel a matematika trtnetnek j szakaszba lpett: a deduktv elemi matematika korszakba. Trsadalmi oldalrl a zikai s szellemi munka sztvlsa, egy kln tudsrteg kialakulsa mozdtotta el a fejldst. Megsznt a tudomny szemlytelen volta is. Az eredmnyek nv szerint ismert tudsokhoz ktdnek. Az els igazi grg kultrt a Kr. e. 1900 krl szakrl benyomul akhj trzsek hoztk ltre. Ez a mknei kultra, amely a rgebbi krtai kultrra plt. Az jabb grg trzsek (ionok, aiolok) hullma utn, a Kr. e. XIII. szzad krl utolsnak rkez drok rombadntttk a mknei kultrt. A fejlds azonban nem szakadt meg. A hajz s keresked fniciaiak (Karthag megalapti) az egyiptomi demotikus rsbl kifejlesztettk az bct, de csak a mssalhangzkat. Ezt tvettk a hberek s ksbb a grgk, akik kiegsztettk magnhangzkkal. Ez a grg bc lett minden eurpai rs alapja. A fejlds sorn a bronzot lassanknt a vas vltotta fel, ami forradalmastotta a hadviselst s a szerszmksztst. A hajzs s kereskedelem rvn a grgk fokozatosan birtokba vettk a Fldkzi-tenger keleti medencjt. Kialakult a grg vilg, ami soha nem alkotott egysges llamot. A Kr. e. VIII. szzadban megszletett a grg irodalom s megtartottk az els olimpit. A loz a s 59

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

3.1. bra. Az kori grg vilg.

a matematika kt vszzaddal ksbb jelent meg a kiszsiai ion vrosokban s a kzeli szigeteken. A Kr. e. VII,V. szzad a perzsa hbork s Athn hegemnijnak korszaka. Itt mkdtt Platn akadmija, amely a grg tudomny kzpontja lett. A perzsk legyzse utn a grg vrosllamok egyms ellen kezdtek harcolni, fknt Athn s Sprta versengett a vezet szereprt. A kultra kzpontja ttevdtt Dl-Itliba, amit akkoriban Nagy-Grgorszgnak neveztek. Az egymssal hadakoz grg vrosok knny prdi lettek a makedn hdtsnak Kr. e. 338-ban. Nagy Sndor makedn uralkod risi birodalmat hozott ltre. Eljutott Indiig s meghdtotta Egyiptomot, ahol megalaptotta a rla elnevezett Alexandrit. Halla utn (Kr. e. 323) hadvezrei felosztottk egyms kztt a birodalmat. Egyiptom Ptolemaiosznak jutott. Ezutn a grg kultra kzpontja Alexandria lett, amely hamarosan nagy vross fejldtt krlbell flmilli lakossal s egy tbb mint 600 000 papirusztekercsbl ll knyvtrral rendelkez egyetemmel. Ez az idszak a grg kultra fnykora, amit a hellnizmus kornak neveznk. Egyiptom Kr. e. 30-ban ldozatul esett a rmai hdtsnak. A rmaiak tvettk s a magukba integrltk a grg kultrt, gy az tovbb lhetett. A 60

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

kzpont ezutn is Alexandria maradt. A grg kultra s matematika rmai korszaknak a kt nagy vilgvalls: a keresztnysg s az iszlm trhdtsa vetett vget. Ezen vallsok vakbuzg hvei  korntsem hitk igazi szellemben  nem nztk j szemmel a pogny tudsok tevkenysgt. A rombolst az Alexandrit 641-ben elfoglal arabok fejeztk be. Vezrk, Omar kalifa elrendelte a knyvtr minden mg megmaradt knyvnek elgetst. Indoklsa: E knyvek tartalma vagy megegyezik a Kornnal, s akkor feleslegesek, vagy ellenkezik vele, akkor pedig krosak. Elgetsk teht mindenkppen indokolt. Ha visszagondolunk a kzelmlt trtnelmre, akkor az rvels logikjt meglepen ismersnek talljuk. Az athni akadmit 529-ben a keresztny biznci csszr zratta be, ahonnan a tudsok Szriba s Perzsiba menekltek. gy a grg kultra rtkei tovbb lhettek s jabb kultrkat termkenytettek meg. A tovbbiakban a grg szmrst, valamint a grg matematika albbi 3 korszakt fogjuk trgyalni: 1. Euklidsz eltti grg matematika (Kr. e. VI,III. sz.) 2. Hellnisztikus kor (Kr. e. 323  Kr. e. 30). 3. Rmai kor (Kr. e. 30  Kr. u. 641).

3.1. A grgk szmrsa Az els szmrsos emlkek a mknei kultra idejbl valk a Kr. e. 1500 krli vekbl. A rgszek ltal feltrt agyagtblkon a kvetkez grg szmjegyek voltak olvashatk (3.2. bra).

3.2. bra. grg szmjegyek.

A szmjegyek tzes szmrendszerre utalnak. A szmok kpzse ugyanolyan elv szerint trtnt, mint az egyiptomiaknl, illetve a rmai szmrsban. Egyms mell rtk a jegyeket, balrl kezdve a legnagyobbal. A jegyek rtkt ssze kellett adni (3.3. bra). Az ilyen rendszer szmrsokat az egyiptomi nyomn hierogli kusoknak nevezzk. Az els igazi grg szmrs az attikai volt. A nv arra utal, hogy az kori Attika (Athn krnyke) terletn talltk meg emlkeit. Ez az rsmd is 61

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

3.3. bra. 2466 felrsa grg szmjegyekkel.

hierogli kus volt, termszetesen ms szmjegyekkel, amelyek az ts s tzes rendszer keveredst mutatjk:

3.4. bra. Attikai szmjegyek.

Az els attikai szmjegyes leletek a Kr. e. VIII. szzadbl valk s a kznapi letben idszmtsunk elejig hasznlatban maradtak. Elnye volt a kevs szmjegy, de a szmok felrsa hossz volt. Az egyes szmjegyek a megfelel szmnevek els beti voltak, gy ez a szmrs mr egy lps az n. alfabetikus szmrsmd fel. Az bc kifejldse utn kialakult egy olyan szmrs a grgknl, amely az bc betivel jellte a szmokat (3.5. bra).

egyesek

1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B ;  E V Z H

tizesek

I







"

v







K M N  O     o   szazasok P  T   X    ezresek





      !    " v   

3.5. bra. Grg alfabetikus szmjegyek.

A tudomnyban Kr. e. 500 utn ez a szmrs terjedt el. Hogy a szavakat a szmoktl megklnbztessk, egy vonalat hztak a szm fl. Pldul:  "  = 5231. A szmok felrsa rvidebb lett, viszont a mveletek rsbeli elvgzse nagyon bonyolult volt. Nzzk meg pldul a 25  43 kiszmtst grg szorzssal (3.6. bra). 62

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

25 43 25 40 = 800 20

3 = 60

 = !R

RRRR R  = N p   TTTT NNpNpp  o" ppp NNN ii "  = kk o" ii kkkk "  = " )

7

*

4

5 40 = 200 5

3 = 15

'

5

1075

3.6. bra. A 25 43 szorzs grg szmrsban.

Ltjuk, hogy a mveletek kt rszre bomlanak: a bzisszmokkal vgzett tnyleges szorzsra s a helyirtk meghatrozsra. A bonyolultsgot a helyirtk s a nulla hinya okozza. Nem csoda, hogy a htkznapi letben inkbb a szmoltbla (abakusz ) segtsgvel szmoltak, attikai szmjegyekkel s egyiptomi szorzssal. A szmoknak a szmoltbln val kiraksa tulajdonkppen a helyirtk szerinti elrendezst jelenti. Kln vonalak (mlyedsek) szolglnak ugyanis az egyesek, tzesek, szzasok, stb. kiraksra. Az egybknt zsenilis grg matematikusok valsznleg azrt nem jttek r a helyirtk elvre, mert nem volt r szksgk. Geometriai szemlletmdjuk miatt ugyanis a szmokat is szakaszoknak fogtk fel, gy nem kellett azokat felrniuk.

3.2. A grg matematika Euklidsz el tt A grg matematika s loz a a Kr. e. VI. szzadban szletett meg. Els nagy alakjai a miltoszi Thalsz s a szamoszi Pitagorasz voltak. Munkssgukat csak ksbbi kommentrokbl s utalsokbl ismerjk, mert eredeti mveik nem maradtak fenn. F forrsul a biznci Proklosz (410,485) kommentrjai szolglnak, aki viszont gyakran hivatkozik Eudmosz Kr. e. 335 tjn rt (elveszett) matematikatrtnetre. Thalszt joggal nevezhetjk a grg matematika s loz a atyjnak. az els nv szerint ismert matematikus a matematika trtnetben, akinek nevhez valamilyen eredmny ktdik. Abban is els, hogy eredmnyeit ltalnosan fogalmazza meg s bizonytja is ket. Minden grg gondolkodhoz hasonlan Thalsz is prblt valamilyen kzs forrst tallni a vilg jelensgeinek eredetre. selemnek a vizet tartotta, amibl minden szrmazik. Thalsz keresked volt, aki utazsai sorn megfordult Egyiptomban s Babilniban. Az egyiptomi papokat mulatba ejtette azzal, hogy egy fldbeszrt bot segtsgvel megmrte egy piramis magassgt. Ehhez ismernie kellett a hasonlsg fogalmt, legalbb specilis esetekre. Nevhez fzd matematikai eredmnyek: 63

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

1. Az tmr felezi a krt. 2. Egyenlszr hromszg alapon fekv szgei egyenlek. 3. Kt hromszg egybevg, ha kt szgk s egy oldaluk megegyezik. 4. A cscsszgek egyenlek. 5. A flkrbe rt hromszg derkszg (Thalsz-ttel). lltsainak egy rszt demonstrlssal, azaz szemlltetssel bizonytotta. Megjelenik nla a tiszta logikai bizonyts is, pldul a cscsszgek egyenlsgre (3.2. bra):  



+  = 180  +  = 180

=) = 

3.7. bra. A cs csszgek egyenlsgnek bizonytsa Thalsznl. Thalsz nem vetette meg az alkalmazsokat sem. A hasonlsgot piramis magassgnak megmrsre, az egybevgsgot egy hajnak a parttl val tvolsgnak meghatrozsra alkalmazta. Ksbb a grgk Znon aprii hatsra (lsd ott) elfordultak az alkalmazstl s a szemllettl, csak a tiszta logikra szortkoztak. A Miltoszhoz kzeli Szamosz szigetn szletett Pitagorasz szintn lozfus s matematikus volt. Nem kizrt, hogy Thalsz tantvnya volt. Filoz jnak kzpontjban a (termszetes) szmok lltak. Nla az selem az egysg, amelybl minden szm, azaz minden dolog ered. Minden lteznek ugyanis szma van, minden viszony szmviszonyokkal fejezhet ki. Felfedezte, hogy a zenei harmnia kifejezhet szmviszonyokkal, s ezt kiterjesztette az egsz vilg harmnijra. Orfeusz azrt tudott hatni zenjvel elevenekre s holtakra, mert az egsz vilg harmonikusan van felptve. Pitagorasz nevezte el a vilgegyetemet kozmosznak (=szp rend). Ennek a rendnek a forrsa Isten. Ahogyan a szmok az egysgbl szrmaznak, ugyangy a vilg dolgai is egyetlen eredetbl keletkeztek. A vilgban az isteni harmnia teremt rendet, az foglalja egysgbe a vilgot. Ez a harmnia ugyanaz, ami a szmok kztt s a zenben fellelhet. Az emberi boldogsg ezen isteni harmnia megismersn, azaz a matematika mvelsn keresztl rhet el. A zene mellett, a csillagszatot is szmviszonyokra ptettk. Szerintk a trben mozg testek hangot adnak, a gyorsabban mozgk magasabbat. Minl

64

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

tvolabb van egy gitest a fldtl, annl gyorsabban mozog. A keletkez hangok adjk a szfrk zenjt, amelyek szintn harmniban vannak s ez a harmnia szmarnyokkal fejezhet ki. A szfrk zenjt azrt nem halljuk, mert szletsnktl kezdve hozzszoktunk. A pitagoreusok szmra gy ngy tudomny ltezett: aritmetika, geometria, csillagszat, zene. Ezek alkottk a kzpkor iskoliban oktatott ht szabad mvszet kzl a fels ngyet, a quadriviumot. Pitagorasz egy titkos szektt alaptott a dl-itliai Krotonban loz ja s a matematika mvelsre. Az elrt matematikai eredmnyekrl nem llapthat meg melyik az  s melyik kveti felfedezse, ezrt szoktak sszefoglalan a pitagoreusok matematikjrl beszlni  kivve a Pitagorasz-ttelt. Ezt Pitagorasz bizonytotta be elszr, valsznleg terlettalaktssal. A pitagoreusok

loz jukbl kvetkezen behatan foglalkoztak a szmokkal  amin mindig termszetes szm rtend , gy a szmelmlet megalapozi lettek. Az egyes szmoknak klnleges jelentst tulajdontottak. Az egy nem igazi szm, hanem az egysg, amelybl a tbbi szm szrmazik. Az egy a lnyeg szma s fr

szm. A kett az els ni szm, az ellentt (a mssg) szma. A hrom a harmnia jelkpe, mert az egysg s klnbzsg sszege, valamint az els igazi fr szm. A ngy az igazsg szma, mert a klnbzsg nmagval val szorzata. Az t a hzassg jelkpe, mert az els ni s fr szm sszege. A hat a teremts szma, mert Isten ennyi nap alatt teremtette meg a vilgot. Mint ltjuk, a pratlan szmok nluk is fr , a pros szmok pedig ni szmok. A legszentebb, a legtbb jelentst hordoz szm a pitagoreusok szmra a tz volt. 'sszege volt a vilg gykereinek tekintett 1,2,3,4 szmoknak, gy a vilg teljessgt jelkpezte. Hromszgalakban val felrsa egyik titkos jelkpk volt: a szent tetraktsz.

3.8. bra. A szent tetraktsz.

Tz bolygt, valamint tz ellenttprt tteleztek fel, gymint: pros  pratlan, hatrolt  hatrtalan, j  rossz, jobb  bal, egyenes  grbe, ngyzet  tglalap, fny  sttsg, nyugalom  mozgs, egy  sok, fr  n. A tz az sszege a lehetsges geometriai dimenziknak, valamint az els olyan szm, amelynl kisebbek kzt ugyanannyi prm van, mint sszetett. Az elmondottakbl az is kiderl, hogy a pitagoreusok ismertk a prmszm s sszetett szm, a pros s pratlan szm fogalmt, valamint tbb szmelmleti sszefggst. Mdszerk a szmoknak klnbz formban val kiraksa volt kavicsokkal, ami a szmoltbla hasznlatval volt sszefggsben. gy jutottak el pldul a gurlis szmokhoz. Mdszerk tovbbfejlesztett vltozata ma is 65

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

fontos eszkze lehetne a szmelmlet elemei tantsnak. A pros s pratlan szmok fogalmhoz gy jutottak, hogy fehr s fekete kavicsokkal felvltva raktk ki kt sorban a fr s n szmokat. Azokat, amelyek kirakhatk voltak egy-egy ugyanannyi kavicsot (pontot) tartalmaz sorba felezhetknek (prosoknak) neveztk. A tbbit nem felezhetnek (pratlannak) neveztk el, mert nluk az egyik sorban az egyik fajta szmbl tbb volt. E mdszer folytatsaknt addnak a vonalszmok, illetve skszmok. Az elzek nem bonthatk tnyezikre, ezrt csak egy sorban rakhatk ki (prmszmok). A skszmok kt (valdi) tnyezre bonthatk, ezrt tglalap alakban rakhatk ki (sszetett szmok, 3.9. bra). 24 = 2 12

24 = 3 8

24 = 4 6

3.9. bra. Tglalap szmok (sszetett szmok).

A tglalap szmok kzl azokat, amelyek kt egyenl tnyez szorzatra is bonthatk, ngyzetszmoknak neveztk, mert csak ezek rakhatk ki ngyzet alakban. Hasonlan addott a kbszm elnevezs is a hrom egyenl tnyezre bonthat szmokra, amelyek kocka alakban rakhatk ki. A ms alakzatban kirakott szmok, azaz a hromszgszmok, ngyszgszmok, tszgszmok, gnomon szmok tanulmnyozsa rdekes szmelmleti sszefggsek megsejtst teszi lehetv (3.10. bra). Figurlis mdszerrel kerestek pitagoraszi szmhrmasokat is. rjuk egyms al a ngyzetszmokat s a pratlan szmokat: 1

4

8

16

100 121 144 169 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 Az als sor minden ngyzetszma a fltte lev kettvel egytt pitagoraszi szmhrmast alkot. Az eljrs az albbi kpleten alapul, ami nem ad meg minden ilyen szmhrmast:

m2 ; 1 2

2

25

36

49

2 + m2 = m 2+ 1

64

2

81

 ahol m pratlan.

66

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

1 + 2 + 3 +    + n = n(n2+ 1)

n2 + 2n + 1 = (n + 1)2

1 + 3 + 5 +    + 2n ; 1 = n2

n(n + 1) + n + 1 (n + 2) = (n + 1)2 2

13 + 23 + (1 + 2 +

2

+ n3 + n)

2

= =

1 n(n + 1) 2

2

3.10. bra. Figurlis szmok s bellk megsejthet sszefggsek.

A pitagoreusok vezettk be a tkletes szmok s a bartsgos szmprok fogalmt. Tkletes az a szm, ami elll rszeinek, azaz osztinak sszegeknt, a szmot nem belertve. A gurlis mdszerben a rsznek szemlletes jelentse van, amibe a szm nyilvnvalan nem tartozik bele. A legkisebb ilyen szm a 6(= 1 + 2 + 3), gy a tkletes elnevezst azzal indokoltk, hogy Isten hat nap alatt teremtette meg a vilgot. Mr emltettk a sumroknl, hogy a hat napos teremts mtosza nemcsak a Bibliban van meg. Egy ksbbi matematikus szerint a mai fldi let tkletlensge abbl addik, hogy No brkjbl nyolc ember kezdte jra kipteni, s a nyolc nem tkletes, hanem hinyos szm (1 + 2 + 4 < 8). A 6 utn kvetkez tkletes szm a 28. Euklidsz bebizonytotta, hogy ha 2n ; 1 prm, akkor 2n;1(2n ; 1) tkletes. Ksbb Euler megmutatta, 67

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

hogy minden pros tkletes szm ilyen alak. Ma is nyitott krds, hogy van-e pratlan tkletes szm. Mr az korban ismertk Euklidsz kplete alapjn a 6, 28, 496, 8128 tkletes szmokat. A szmtgpek megjelensig mg nyolcat talltak, a legutolst E. Lucas francia matematikus 1876-ban. Ez 2126 (2127 ; 1) volt, ami egy 77 jegy szm. Szmtgpek rvn jabb 15 tkletes szmot talltak, gy ma sszesen 27-et ismernk. A legnagyobb 13 395 jegy. Egy szmprt bartsgosnak neveztek a pitagoreusok, ha egyik elll a msik rszeinek sszegeknt s viszont. Az els ilyen szmpr 220 s 284. Azt tartottk, hogy ha kt ember kicserl egy-egy ilyen szmot visel talizmnt, akkor az rk bartsgot ltest kztk. A kvetkez szmprt (17 296 s 18 416) Fermat francia (XVII. szzad) s al-Banna arab (XIII. szzad) matematikusok talltk meg egymstl fggetlenl. Euler jabb 60 szmprt tallt. #rdekes, hogy a 220 s 284 utn nagysgban kvetkez 1184 s 1210 prt egy 16 ves olasz dik tallta meg 1866-ban. Ma mr minden 109-nl kisebb bartsgos szmprt ismernk. A pitagoreusok jttek r arra, hogy a hrom fontos zenei arny kifejezhet az els ngy szmmal: oktv (2:1), kvint (3:2), kvart (4:3). Tanulmnyozva ezeket a 12 egyenl rszre osztott hron (a knonon), bevezettk a klnbz kzepeket s az arnypr fogalmt, amibl a geometriai hasonlsg ltalnos fogalma szrmazott. Vizsgltk, hogyan lehet az oktvot (a hron a 12 s 6 kztti rszt) kisebb egysgekre bontani. Legegyszerbb felezni: 9. Ez lett a szmtani kzp. A kapott szakaszok hossza egyenl lett, de a zenei intervallumok nem, a kvart (12 : 9) kisebb mint a kvint (9 : 6). A msik kzp a 8 lett, amit harmonikusnak neveztek. Zeneileg a 12 : 8 arny a kvintet, a 8 : 6 arny a kvartot jelli, matematikailag pedig a 12 ; 8 = 4 ugyanannyiszor van meg 12-ben, mint 8 ; 6 = 2 a 6-ban. Ebbl a kt kzpbl szletett az els arnypr, ami zeneileg s matematikailag is helyes: 12 : 9 = 8 : 6. Ezt az arnyprt zeneinek neveztk, mert mindkt oldal a kvintet adja. Valsznleg fllel fedeztk fel. &jabb kzphez jutottak, amikor az oktv egyenl arnyban trtn felosztst, vagyis a 12 : x = x : 6 arnyprt kerestk. Mivel x csak szerkesztssel kaphat meg, ezrt geometriai (mrtani) kzpnek neveztk. Segtsgvel bevezettk a 9 : x = x : 8 tkletes arnyprt. Legnevezetesebb arnypruk az aranymetszs volt. Ez egy szakasz olyan kt rszre val osztsakor keletkezik, mikor a kisebb rsz gy arnylik a nagyobbhoz, mint a nagyobb az egsz szakaszhoz. Ilyen arnyban metszik egymst a szablyos tszg tli. Az tlkbl szerkesztett tg csillag volt a pitagoreusok msik titkos jelvnye. Az aranymetszs valban sokszor megtallhat a termszetben s a mvszetben. Meglte az arnyos s harmonikus rzett kelti. Gyakori az antik s renesznsz pleteken, szobrokon, de Bartk zenjnek idbeosztsban is. A pitagoreusok ltal bevezetett kzepek s arnyprok teht a kvetkezk voltak: 68

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

H = 4. Zenei arnypr: m A n

1. Szmtani kzp: A = m 2+ n

p

A=G 5. Tkletes arnypr: G H n m 6. Aranymetszs: m = n + m 3. Harmonikus kzp H = m2mn +n A knon rszekre osztsa, vagyis szmarnyoknak szakaszok arnyval val azonostsa a kiindul pontja a geometriai algebrnak, ami  ksbb vzoland okok miatt  jellemzje lett a grg matematiknak. A szmokat szakaszok reprezentltk, a szmok arnyt pedig szakaszok arnyval fejeztk ki. Oszts alatt azt az eljrst rtettk, amikor kt klnbz szakaszhoz keresnk olyan szakaszt, amelynek mindkt szakasz tbbszrse, azaz egsz szmszor mrhet r mindkt szakaszra. Ekkor a kt szakaszt sszemrhetnek, a kapott szakaszt pedig a kt szakasz kzs mrtknek neveztk. Ha a kzs szakasz hosszt tekintjk egysgnek, akkor gy minden szakasz hossza (termszetes) szmmal adhat meg. A ma euklidszi algoritmusnak nevezett eljrs teht a kvetkez volt. A kisebbik szakaszt (b) felmrjk a nagyobbikra (a) mindaddig mg b-nl kisebb szakaszt nem kapunk (3.11. bra): 2. Mrtani kzp: G = m  n

b

b

q b

r

a=q b+r r m : n. A fenti kt esetet egybevetve teht brmely kt a, b szakaszra s minden m, n szmra az albbi hrom eset kzl pontosan egy fordul el:

a : b = m : n a : b < m : n a : b > m : n illetve tszorozva

na = mb na < mb na > mb: Felteheten a fenti gondolatmenetet kvetve jutott el Eudoxosz kt mennyisg arnynak, illetve az arnypr fogalmhoz. A szbanforg mennyisgeknek egynemeknek kellett lennie, vagyis szakaszt szakaszhoz, terletet terlethez, trfogatot trfogathoz lehetett arnytani. Ezt neveztk ksbb homogenitsi elv nek, amit elsknt Descartes haladott meg a geometria algebraizlsval, csak szmokban gondolkozva. Kt mennyisg (a s b) arnyban llhat, ha klcsnsen tlhaladhatja egymst, vagyis lteznek olyan m s n szmok, hogy ma > b s nb > a. Ezzel Eudoxosz az egynemsg fogalmt hatrozta meg, ezrt de ncijt egynemsgi aximnak is nevezik. Az a b c d egynem mennyisgekre az a : b = c : d arnyegyenlsg (arnypr) akkor ll fenn, ha minden m n szmra

na T mb =) nc T md

az a : b > c : d arnyegyenltlensg pedig akkor, ha lteznek olyan m n szmok, hogy na > mb s nc  md. Ebbl kvetkezik, hogy c : d  m : n < a : b, vagyis kt nem egyenl arny kztt van racionlis szm. 'sszemrhet egynem mennyisgekre (racionlis szmokra) az egyenlsg ll fenn. Az irracionlis szm fogalmt a grgk soha nem hasznltk, helyette irracionlis mennyisgekrl beszltek. Ez a felfogs csak a XIX. szzad msodik felben vltozott meg vglegesen. Arnyelmletben Eudoxosz egyetlen mveletet vezetett be, az arnyok sszevetst, amely lnyegben a vals szmok szorzsnak felel meg. Ha a s b sszemrhetetlenek (irracionlis szmok) akkor Eudoxosz de ncija a racionlis szmok m : n halmazt kt idegen rszhalmazra bontja: I. m : n < a : b II. m : n > a : b ahol az I. osztly minden eleme kisebb a II. osztly minden elemnl. A racionlis szmoknak ilyen felbontst ma Dedekind-szelet nek nevezzk. Tbb 75

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

mint 2000 vvel ksbb Dedekind ilyen szeletknt de nilta az irracionlis (ltalnosabban a vals) szmot. Az Elemek ben is lesen elklnl a szm s a mennyisg, valamint a velk kapcsolatos szhasznlat. Pldul szmokkal kapcsolatban a legnagyobb kzs oszt, mennyisgekre viszont a legnagyobb kzs mrtk megjellst talljuk. Az sszemrhetsg problmja csak mennyisgekre vonatkozva merl fel: VII. 2. Ttel: Keressk meg kt adott nem relatv prmszm legnagyobb kzs osztjt! X. 2. Ttel: Keressk meg kt adott sszemrhet mennyisg legnagyobb kzs mrtkt! A X. knyv 1. de ncija fogalmazza meg kt mennyisg sszemrhetsgt (ha ugyanazon mrtkkel mrhetk), illetve sszemrhetetlensgt (ha nem tallhat hozzjuk kzs mrtk). A ksbbiekben azt olvashatjuk, hogy adott szakasszal vgtelen sok sszemrhet s sszemrhetetlen szakasz ltezik. Az adott szakaszt racionlisnak, a vele sszemrhetket szintn racionlisoknak, a vele sszemrhetetleneket pedig irracionlisaknak nevezzk. Szm teht nem, csak szakasz lehet irracionlis, de az sem nmagban, hanem egy msik szakaszhoz val viszonyban. #rdekes, hogy az Elemek a szmot de nilja (az egyesekbl sszetevd sokasg), de a mennyisget nem. Ennek valsznleg az az oka, hogy az utbbit ltalnosabbnak tekinti. Eudoxosznak az arnyra adott fenti de ncijt arkhimdszi aximnak is szoks nevezni. A kimertsi axima ennek megfordtsa: Kt egynem mennyisg (a s b) kpes egymst klcsnsen alulmlni, azaz ha az egyikbl elvesznk a felnl tbbet, majd a maradkbl a felnl tbbet, s gy tovbb, akkor bizonyos szm lps utn a msik mennyisgnl kisebb fog maradni. Knnyen belthat, hogy a kt axima egymssal ekvivalens s egyszerbben gy fogalmazhatk: Arkhimdszi axima: Ha egy mennyisget (szmot) elg nagy szmmal szorzunk, akkor brmely elre megadott mennyisgnl (szmnl) nagyobb tehet. Kimertsi axima: Ha egy mennyisgbl (szmbl) elvesszk tbb mint a felt, majd ismt tbb mint a felt, s gy tovbb, akkor olyan mennyisg (szm) marad, amely brmely elre megadott mennyisgnl (szmnl) kisebb. A kimertsi aximn alapul kimertsi mdszer illusztrlsra vzoljuk Eudoxosz bizonytst arra, hogy a kr terlete arnyos tmrjnek ngyzetvel. Elszr megmutatta, hogy egy kr s a bert szablyos sokszg terleteinek klnbsge tetszlegesen kicsiv tehet. Tekintsk a 3.15. brt! A krszelet s a hromszg klnbsge fejezi ki (n-nel szorozva) a kr s a bert sokszg terletnek klnbsgt. Ha az oldalszmot ktszeresre nveljk az M ponttal, akkor a klnbsg az elzek szerint tbb mint a felvel cskken, gy az oldalszm nvelsvel a kimertsi axima alapjn tetszlegesen kicsiv tehet. Ezzel belttuk, hogy a bert sokszgek terletvel kimerthet a kr terlete, vagyis helyettesthet vele. Ha kt kr terlete t1 , illetve t2 , tmrik d1 s d2 , akkor be kell ltnunk a t1 : t2 = d21 : d22 arnyossgot. Tegyk fel, hogy ez nem igaz, hanem pldul 76

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

R A

M

O

S B

AB : a bert n oldal szablyos sokszg

oldala. M : az AB krv felezpontja. Az brrl leolvashat, hogy az AMB hromszg ter lete fele az ABSR tglalap ter letnek, ezrt nagyobb mint az AMB krszelet ter letnek fele.

3.15. bra. Eudoxosz kimertsi mdszere.

t1 : t2 > d21 : d22 . rjunk a krkbe olyan hasonl szablyos sokszgeket, amelyek oldalszma elg nagy ahhoz, hogy p1 s p2 terletk az elzek szerint oly kevss klnbzik a krk terlettl, hogy fennllnak a p1 : t2 > d21 : d22 s t1 : p2 > d21 : d22 egyenltlensgek. A hasonlsgbl viszont tudjuk, hogy p1 : p2 = d21 : d22 , kvetkezskppen pldul fennll a p1 : t2 > p1 : p2 , azaz p2 > t2 egyenltlensg, ami lehetetlen. Hasonlan ellentmondsra vezet a t1 : t2 < d21 : d22 feltevs is.

Ezzel ttelnket belttuk. Ttelnk segtsgvel igazolhat a kr T terletnek Kr=2 kplete is, amire  mint korbban utaltunk r  mr a babiloniak is rjttek a kr cikkekre osztsval s kitertsvel, de bizonytsra nem is gondoltak. Tegyk fel, hogy T 6= Kr=2, hanem mondjuk T > Kr=2. Legyen " = T ; Kr=2 s vlasszunk egy olyan szablyos n-oldal krbe rt P sokszget, hogy TP > T ; " = Kr=2. (Az elz ttel miatt ilyen P sokszg ltezik.) Legyen P egy oldalnak hossza p, a kzppontbl az oldalra bocsjtott merleges hossza q. Ekkor knnyen belthat, hogy egyrszt q < r, msrszt np < K . Mivel P n darab p alap s q magassg egyenlszr hromszgbl ll, ezrt TP = n 12 pq = 21 qnp < Kr 2  de ez ellentmonds, gy csak T  Kr=2 llhat fenn. Hasonlan kvetkezik a T < Kr=2 indirekt feltevsbl krlrt sokszgek segtsgvel, hogy T  Kr=2. Kvetkezskppen T = Kr=2, ami bizonytand volt. A grg gyakorlati geometria fejlettsgt a Szamosz szigetn Kr. e. 530 krl ptett alagt illusztrlja, amely 1000 m hossz volt s egy hegyen keresztl vezetett. Nem a szoksos mdon ptettk, vagyis egy oldalrl elkezdve s fggleges aknkkal ellenrizve a haladst, hanem egyszerre mindkt oldalrl elre kiszmtott irnyban. Az sszerskor mindssze 5m magassgi s 2m oldalirny eltrs volt a vjatok kztt. Az alagtrl Herodotosz grg 77

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

trtnsz szmolt be s ltezsben sokig ktelkedtek. 1882-ben azonban nmet rgszek feltrtk az alagtat s teljes psgben megtalltk, gy ahogy Herodotosz egykor lerta. Ez arra int, hogy a rgi forrsokat nem lehet pusztn legendknak tekinteni, valsgmagva mindegyiknek van. Sokig ktsgbe vontk Trja ltezst is, mg nmet rgszek Homrosz Ilisza alapjn fel nem trtk.

3.3. A hellnizmus kornak matematikja Ez a korszak a grg matematika aranykora, amit hrom nagy nv fmjelez: 1. Az alexandriai Euklidsz, az Elemek szerzje. 2. A szirakuzai Arkhimdsz, az kor legnagyobb matematikusa, a modern analzis elfutra. 3. A pergai Apollniosz, a kpszeletek elmletnek kidolgozja. Mellettk relatve eltrpl a krnei Eratoszthensz s a szamoszi Arisztarkhosz neve. Az elbbi szitjrl, az utbbi csillagszati eredmnyeirl nevezetes. A matematika ebben a korszakban olyan fejlettsgi fokot rt el, amit csak a XVI. szzadi Eurpa tudott tlhaladni. A kutatsok kzpontja az I. Ptolemaiosz egyiptomi kirly ltal alaptott alexandriai muszeion lett. Ezt az intzmnyt egyetemnek tekinthetjk, hiszen hatalmas knyvtra mellett tanszkei s eladtermei voltak, falai kztt oktats s kutats egyarnt folyt. A kirly igyekezett a legnevesebb grg tudsokat s mvszeket megszerezni intzmnye szmra. gy kerlt a matematikai rszleg lre Euklidsz (Kr. e. 365?,300?) valsznleg az athni akadmirl. F mvt, az Elemek et az els egyetemi tanknyvnek tekinthetjk. Tartalmaz korbbi eredmnyeket, forrs megjells nlkl, de egysges felptsben. A szigoran logikai, deduktv felpts tette a mvet halhatatlann, nem pedig az eredeti felfedezsek nagy szma. Nem tartalmazza a kor minden ismert eredmnyt sem, ahogy korbban feltteleztk, csak az egyetemi tananyag egy jl behatrolhat rszt. Hinyoznak belle a szmtsi mdszerek, mert azok nem voltak rszei az oktatsnak, csak a gyakorlati matematiknak. Viszont tfogja egy bevezet jelleg trgy elemeit: geometria, szmelmlet, algebra (az utbbi kett is geometriai kntsben). Az Elemek nek risi hatsa volt a tudomnyos gondolkodsra, ksbbi korok sok nagy matematikusa neveldtt rajta. A knyv alapjn tantottk az iskolkban a geometrit szinte napjainkig. Axiomatikus mdszernek szigorsgt csak 2000 v mlva tudtk fellmlni. Ez a m sem maradt fenn eredetiben. Sokig az alexandriai Theon ltal kommentlt msolatot tartottk a legrgebbinek, ami 700 vvel Euklidsz utn kszlt. Mikor Napleon csapatai 1808-ban elfoglaltk Rmt, megparancsolta, hogy a knyvtrak legrtkesebb darabjait vigyk Prizsba. gy 78

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

bukkantak r a Vatikn knyvtrban az Elemek egy korbbi kiadsnak msolatra. #rdekessg mg, hogy az els latin nyelv fordts nem az eredeti grgbl, hanem arab fordtsbl trtnt (Abelard, 1126). Nyomtatsban elszr Velencben jelent meg a m 1482-ben. Ma mr tbb mint 1000 kiadst tartanak szmon klnbz nyelveken, amit (taln) csak a Biblia kiadsainak szma ml fell. Magyarul kt fordts ltott napvilgot: Brassai Smuel 1865-ben, Mayer Gyul 1983-ban. Egy rszleges fordts is megjelent 1905ben Baumgartner Alajos tollbl (els hat knyv). Tekintsk t most tartalmilag az Elemek 13 knyvt. Az 1. knyvben tallhatk azok az alapfogalmak s aximk, amelyekre a deduktv rendszer pl s amelyben minden lltsrl (kivve az aximkat) meg kell mutatni, hogy logikai kvetkezmnye mr bebizonytott lltsoknak. Ennek a lncolatnak a vgpontjai az aximk, amelyeket az Elemek posztultumoknak nevez, aximk alatt logikai alapelveket rt. Euklidsz nem ismerte fel, hogy a fogalmak lncolatban is lenni kell de nilatlan alapfogalmaknak, ezrt minden fogalmat de nilni akart. Msik hibja az, hogy a szemlletbl fogadott el olyan rendezsi tulajdonsgokat, amelyeket aximaknt kellett volna kimondania. Az euklidszi geometria axiomatikus felptsnek ezen hibit Hilbert javtotta ki a XIX. szzad vgn. Euklidsz t aximja s t posztultuma a kvetkez: A1. Egy s ugyanazzal egyenlk egymssal is egyenlk. A2. Egyenlkhz egyenlket adva, az sszegek is egyenlk lesznek. A3. Egyenlkbl egyenlket kivonva, a maradkok is egyenlk lesznek. A4. Az egymssal egybevgk egyenlk egymssal. A5. Az egsz nagyobb a rsznl. P1. Kt ponton t egyenes hzhat. P2. Az egyenes szakasz korltlanul meghosszabbthat. P3. Brmely kzppontbl brmely sugrral kr rhat. P4. A derkszgek mind egyenlk egymssal. P5. Ha kt azonos skban fekv egyenest egy harmadik metsz, akkor a kt egyenes a harmadiknak azon az oldaln metszi egymst, amelyiken a keletkez bels szgek sszege kt derkszgnl kisebb. A felsoroltak kzl klnsen az A5. axima s a P5. posztultum jtszott nagy szerepet a matematika trtnetben. A halmazelmlet kialakulsakor az A5. aximval rveltek azok, akik nem tudtk elfogadni, hogy egy vgtelen halmaz ekvivalens egy valdi rszhalmazval. A P5. posztultum alapjn pedig a nemeuklidszi, vagyis a teret mskpp ler geometrik jogosultsgt vontk 79

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

ktsgbe. A tr eleve adott szerkezete, amit az euklidszi geometria r le, sokak szmra a szemlletnek egyedl megfelel s elkpzelhet volt. Az 1. knyv elejn a pontot, egyenest, skot megad de ncik, nem tekinthetk igaziaknak. Inkbb csak lersok. Pldul: Pont az, aminek nincs rszeA vonal szlessg nlkli hosszsg- Egyenes vonal az, amely a rajta lev pontokhoz viszonytva egyenlen fekszik- Fellet az, aminek csak hosszsga s szlessge van- Skfellet az, amely a rajta lv egyenesekhez viszonytva egyenlen fekszik- A fellet vgei vonalak. Euklidsz knyvnek mind a 465 ttelt a tz alaplltsbl logikailag helyesen vezeti le. Ez mg akkor is bmulatos teljestmny, ha a ttelek s bizonytsok egy rsze mr eltte is ismert volt, s tekintetbe vesszk a mr emltett hinyossgokat. A felpts logikai szigorsgnak illusztrlsra idzzk az 1. knyv els hrom ttelt (nem szszerinti fordtsban). I. 1. Ttel: Az adott AB szakasz fl lehet egyenl oldal hromszget szerkeszteni. Rajzoljunk ugyanis az A kzppont krl B -n tmen krt, azutn a B krl egy A-n thalad krt. A kt kr C metszspontja a kvnt hromszg harmadik cscsa, mert AC = AB = BC . I. 2. Ttel: Az adott A ponthoz, mint az AD szakasz vgpontjhoz illeszthet az adott BC szakasszal egyenl hossz szakasz. Az 1. ttel szerint szerkeszthet az ABD egyenl oldal hromszg. Hosszabbtsuk meg a DA s DB oldalt A, illetve B fell. Ezutn rajzoljunk a B kzppont krl a C ponton tmen krt. Ez kimetszi a BD egyenesbl az E pontot. Rajzoljuk meg vgl a D kzppont krl az E ponton tmen krt. Ez kimetszi az AD egyenesbl az F pontot. Az gy nyert szakaszra AF = BE = BC . I. 3. Ttel: A nagyobb AB tvolsgra az A kezdpontbl rfektethet a kisebb CD szakasz. A 2. ttel alapjn az A ponthoz hozzilleszthet a CD-vel egyenl hossz AF szakasz. Vgl az A pont krl rajzolt, F ponton tmen kr kimetszi az AB szakasz H pontjt, amikor is: AH = AF = CE = CD. Figyeljk meg, hogy Euklidsz a 3. ttelnl nem engedte meg a CD tvolsg krznylsba vtelt s az AB szakaszra rmrst, hanem ragaszkodott az aximkbl val levezetshez. Az 1. knyv sszesen 48 ttelt tartalmaz, amelyek a skgeometria alapjait adjk: hromszgek s paralelogrammk, valamint specilis eseteik tulajdonsgait, terletk kiszmtst. A ktet utols kt ttele a Pitagorasz-ttel s megfordtsa. A 2. knyv 14 ttele a geometriai algebra krbe sorolhat. Vagyis algebrai problmkat vizsgl szakaszok s arnyaik, valamint terletek segtsgvel. Az 1. ttel a disztributivitst fejezi ki geometriai formban: II. 1. Ttel: Ha van kt szakasz, s az egyikket valahny rszre osztjuk, akkor a kt szakasz ltal kzrefogott tglalap egyenl a flosztatlan szakasz s az egyes rszek ltal kzrefogott tglalapok sszegvel. 80

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Ebben a geometriai algebrban fontos szerepet jtszik az 5. ttel, ami az (a + b)(a ; b) = a2 ; b2 azonossgot igazolja.

A

C b D a;b B

a

AC = CB = BF = a CD = LH = LE = b

,

a;b

,

L

K

H

E

G

F

2 2 M a(a ; b) + b(a ; b) + b2 = a2 =) (a + b)(a ; b) = a ; b

3.16. bra. Az (a + b)(a b) = a2 b2 azonossg geometriai igazolsa. ;

;

A 3.16. bra segtsgvel oldotta meg Euklidsz  s eltte ms grg matematikusok is  az ax ; x2 = b2 , ax + x2 = b2 , ax = b2 egyenleteket, amelyek termszetesen geometriai formban jelentek meg. Az els pldul a kvetkezkppen: Illessznk az adott AB = a szakaszhoz olyan adott x(a ; x) = b2 terlet tglalapot, hogy a szakasz kimaradt rszhez mg egy x oldal ngyzetet lehessen illeszteni (3.17. bra). Teht itt egy adott terlet tglalapnak az AB szakaszhoz hinnyal (grgl: elliptikus) illesztsrl van sz. A megoldsi eljrs, vagyis x megszerkesztsnek neve: elliptikus illeszts. A 3.16. brrl leolvashat, hogy ha AB = a, DB = x, akkor a 3.17. bra a feladat megoldst adja:

 2  2  2  2 (|a ;{zx)x} + a2 ; x = a2 =) b2 + a2 ; x = a2 b2

Innen x szerkesztse elvgezhet a Pitagorasz-ttel alapjn.

a;x

x

b2 = (a ; x)x A

x B

b

T

= b2 b

a

a 2

;x

2

x

b

3.17. bra. Az ax x2 = b2 egyenlet geometriai megoldsa s a megolds szerkesztse. ;

Az x szakasz az egyenletnek csak pozitv gykt adja, de a negatv szm fogalmnak hinya miatt ez nem okozott problmt a grgknl. Hasonlan oldja meg az Elemek ben az ax + x2 = b2 egyenletet, vagyis a felesleggel val (hiperbolikus) illeszts- tovbb a b2 = ax egyenletet, vagyis az illeszthetsg (parabolikus illeszts) problmjt. Az a specilis eset, amikor ax + x2 = a2 , ppen az aranymetszs szerkesztst adja. 81

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Mai szemmel s a mai algebrai jellsek birtokban a vzolt geometriai mdszer nehzkesnek tnik. Ismerve azonban a tanulk nehzsgeit az algebrai azonossgok megrtsben, taln vissza lehetne nylni a szemlltets geometriai eszkzeihez. Pldul (a + b)2 = a2 + b2 geometriailag nyilvnval kptelensg, de algebrailag sok tanul nem rzi annak. A 2. knyvben megtallhat mg a Pitagorasz-ttel ltalnostsa tetszleges hromszgre, vagyis a koszinusz-ttel. Ebben b cos  helyett az a oldalnak a b oldalra val vetlete szerepel. A 3. knyv ttelei krkre hrokra s szgmrsre vonatkoznak. A 4. knyv a 3, 4, 5, 6 s 15 oldal szablyos sokszgek, valamint az ezekbl felezssel kaphatk szerkesztsi eljrst tartalmazva. Ezzel rszben vlaszt ad az gynevezett krosztsi problmra: hny egyenl rszre oszthat a kr, azaz milyen oldal szablyos sokszgek szerkeszthetk. A teljes vlaszra itt is 2000 vig kellett vrni. Gauss megmutatta, nhogy csak azok a szablyos sokszgek szerkeszthetk, amelyek oldalszma 22 + 1 alak n. Fermat-fle prm (a vlaszt nyilvnvalan elg prmoldal sokszgekre megadni). Eddig 5 ilyen alak prmet ismertnk: 3, 5, 17, 257, 65537. Tovbbiak ltezse nyitott krds. Az Elemek kvetkez kt knyve Eudoxosz arnyelmlett alkalmazza hasonlsgi problmkra. Az eredmnyek korbban is ismertek voltak, de csak sszemrhet szakaszokra voltak bizonytva. Nzznk egy pldt (6. knyv 1. ttel): VI. 1. Ttel: Az ugyanazon magassg hromszgek s paralelogrammk gy arnylanak egymshoz, mint alapjaik. Korbbi bizonyts sszemrhet szakaszokra. Tekintsk a 3.18. brt! A

A

B

p-szer

C

D

q-szor

E

3.18. bra.

BC s DE szakasz kzs mrtke euklidszi algoritmussal megkereshet. Tegyk fel, hogy ez a kzs mrtk BC -re p-szer, DE -re q-szor mrhet fel. A kapott

kis hromszgek terlete mr egyenl lesz, hiszen alapjuk egyenl, magassguk kzs, teht tABC 4 : tADE4 = p : q = BC : DE: Euklidsz bizonytsa Eudoxosz arnyelmletvel tetszleges szakaszokra igaz, nemcsak sszemrhetkre (3.19. bra). 82

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A

Bm

B2

B

C

D E E2

En

3.19. bra.

Mrjk fel BC -t m-szer, DE -t n-szer az brn lthat mdon. Ekkor

Bm C = m  BC DEn = n  DE

tABm C 4 = m  tABC 4 tADEn = n  tADE :

Mivel itt kzs magassg hromszgekrl van sz, ezrt annak van nagyobb terlete, amelyiknek nagyobb az alapja (1. knyv 38. ttel), ezrt

tABm C S tADEn () Bm C S DEn 

azaz

m  tABC S n  tADE () m  BC S n  DE:

Eudoxosz arnyelmlete szerint ez ppen az albbi arnyok egyenlsgt jelenti:

tABC 4 : tADE4 = BC : DE: A ttel mai bizonytsa annyiban tr el Euklidsztl, hogy szeletek helyett racionlis szmok sorozatnak hatrrtkeknt fogja fel a vals (irracionlis) szmokat (3.20. bra). Osszuk fel a BC szakaszt n egyenl rszre,

A

B

C

D

FE

3.20. bra.

majd ezeket a rszeket mrjk fel DE -re. Ha m-szeri rmrs utn ppen E -be rnk, akkor az alapok arnya n : m. Ha nem rnk E -be, akkor legyen F az az 83

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

osztspont, amelyre FE < n1  BC . Ekkor tABC 4 : tADF 4 = BC : DF = n : m Ha n ! 1, akkor DF ! DE , ADF 4 ! ADE 4. Ezrt hatrrtkknt kapjuk, hogy tABC 4 : tADE4 = BC : DE . A kvetkez 3 knyv (7., 8., 9.) szz ttele az elemi szmelmletet tartalmazza geometriai kntsben. Tbbek kztt a szmelmlet alapttelt, a mr idzett kpletet a tkletes szmokra, a legnagyobb kzs oszt tulajdonsgait stb. A 9. knyv 20. ttele bizonytja a prmszmok vgtelensgt. Ezt a klasszikus indirekt bizonytst illik ismerni minden matematikatanrnak. Tegyk fel, hogy csak vges sok prmszm van s legyenek ezek p1  p2  : : :  pn . Tekintsk a kvetkez szmot: N = p1 p2    pn + 1: Kt eset lehetsges: 1. N prmszm s nyilvn nem egyenl egyetlen pi -vel sem. Teht a feltevssel ellenttben nem p1  p2  : : :  pn az sszes prmszm. 2. N sszetett szm. Ekkor van prmosztja, ami az oszthatsg additv tulajdonsga miatt, nem lehet egyetlen pi sem. Teht ismt ellentmondsba jutunk azzal a feltevssel, hogy p1  p2  : : :  pn az sszes prmszm. &jabb prmszmok kpzse a fenti mdon korltlanul folytathat, vagyis vgtelen sok prmszm van. A 10. knyv sszemrhetetlensgi problmkkal foglalkozik. Vizsglja pldul, hogy ha a s b sszemrhetk, akkor mikor lesz velk sszemrhet az ax ; x2 = b2 egyenlet (az elliptikus illeszts egyenlete) gyke. Ennek kritrip umaknt Euklidsz az a s a2 ; 4b2 szakaszok sszemrhetsgt adja meg. Sokan ezt a ktetet tartjk az Elemek leg gyelemremltbb rsznek. Az utols hrom ktet trgeometrit tartalmaz. A kimertsi mdszerrel vezeti le glk, kpok, hengerek s gmbk trfogatnak kplett, majd az t szablyos test tulajdonsgait vizsglja. Az Elemek utols ttele azt bizonytja be, hogy nem ltezhet tnl tbb szablyos test. Euklidsz nemcsak egymves szerz, kb. tizenkt egyb mvrl tudunk, amelyekbl ngy maradt az utkorra. Ezen mvek tmja a zentl, a kpszeleteken keresztl, a mechanikig s optikig terjed. Kzlk kett alkalmazott matematikai tmj. A korszak msik nagy alakja Apollniosz (Kr. e. 262,190) is tbb mvet rt klnbz tmkrl. Neve  akrcsak Euklidsz  mgis csak egy mhz kapcsoldik: a kpszeletekrl rott nyolc ktetes Knikhoz. Grgl az els ngy ktet maradt fenn, tovbbi hrom arab fordtsban, az utols ktet pedig elveszett. Ms mveivel mg ennyire sem volt szerencss, nagy rszk teljesen elveszett. Kortrsai t neveztk nagy geomternek s nem Euklidszt, amibl kvetkeztethetnk elveszett mveinek sznvonalra s tartalmra. A kpszeletekkel nem Apollniosz foglalkozott elszr a grg matematikusok kzl, de  rtelmezte elszr ket egysgesen egyetlen ketts krkp skmetszeteiknt (3.21. bra). Eltte klnbz tpus egyenes krkpokbl szrmaztattk ket. Apollniosz megmutatta, hogy a kpszeletek tulajdonsgai fggetlenek attl, hogy egyenes vagy ferde kpbl vannak szrmaztatva. Tteleit mindig kt alkalmasan vlasztott egyenesre (konjuglt tmrkre) vonatkoztatta, vagyis ferdeszg koordinta-rendszerben gondolkodott. A 84

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

3.21. bra. Ketts krk p klnbz skmetszetei.

koordinta-geometrit tulajdonkppen Apollniosz alkotta meg, Descartes ezt a mai jellsrendszerrel egsztette ki. Nemcsak a kpszeletek szrmaztatsa, hanem egyenleteik felrsa is egysges elv szerint trtnik a Knikban. Egyenlet (szmptoma) alatt a grgk olyan felttelt rtettek, aminek a grbe tetszleges pontja eleget tesz. A felttel ltalban terletek egyenlsge volt. A kr esetben pldul a kvetkezkppen jrtak el (3.22. bra).

P Q

A

P

O

A

0

0

Q

A P pont az AB tmrj kr tetszleges pontja, ha a PQQ P ngyzet ter lete megegyezik a QA B B tglalap ter letvel, azaz ha PQ2 = AQ QB . 0

0

B B

0

0

0

0

3.22. bra.

Mai jellseket hasznlva ez a szmptoma valban a kr egyenlett adja:

AB AQ = AB 2 ; QO = r ; x QB = 2 + QO = r + x PQ = y y2 = (r ; x)(r + x) =) x2 + y2 = r2 :

A Knika I. knyvben a 11,13 oldalakon levezette a kpszeletek egyenlett, majd kapcsolatba hozta ket az Euklidsznl mr trgyalt terletillesztsi feladatokkal. Vizsgljuk mdszert az ellipszis esetben! A 3.23. brn a kpot oldalnzeti metszetben ltjuk. A metszs a T cscsot az alaplap kzppontjval sszekt tengely mentn trtnt. Messe most egy 85

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

T

E

P

Z

T

E



B H

;

A K



P M



Z

3.23. bra. Az ellipszis egyenletnek levezetse Apollniosznl.

tetszleges sk az alapot az EZ tengely mentn: Erre merleges a ; tmr. A kpszelet skja a rajz T ; skjt az AB egyenes mentn metszi. Legyen ez az egyik tengely (mai jellssel az x tengely). A kpszelet tetszleges P pontjnak P ordintjt EZ -vel (az y tengellyel) prhuzamosan hztuk meg. Ez az ordinta illeszkedik mind az AB kpszelet skra, mind a P ponton keresztl az alapkrrel prhuzamosan rajzolt K kr skjra. A kr egyenlete ekkor, mint tudjuk P 2 =   K: Az AB -vel prhuzamos T szakaszt meghzva igazak 86

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

a kvetkez arnyok:  : B = ; : T K : A =  : DT amelyeket sszeszorozva kapjuk, hogy (  K ) : (B  A) = (;  ) : DT 2 : Innen a kr egyenlett felhasznlva s a jobb oldali arnyt -val jellve P 2 =  (A  B ) addik, vagyis mai jellsekkel: y2 = xx1 (A = x B = x1  P = y): Ha az AB szakasz hosszt a, az  a szorzatot p jelli (ami a grbre jellemz lland), akkor az egyenlet gy mdosul: y2 = x(a ; x) = ax ; x2 = px ; x2 : Hasonlan kapja Apollniosz a hiperbola, illetve parabola egyenleteit: y2 = xx1 = x(a + x) = ax + x2 = px + x2  y2 = ax = px: Ezutn visszanylva a terletillesztsi feladatokhoz, ezeket az egyenleteket trtelmezi terletek viszonyra. brinl derkszg rendszert hasznl (3.24. bra). Terletillesztsknt az egyenletek gy rtelmezhetk, hogy ellipszisnl az xx1 (= y2 ) tglalap a p szakaszhoz az x2 hinnyal, hiperbolnl pedig x2 tbblettel van illesztve. Euklidsznl lttuk ezen problmk megoldst s az elnevezsek magyarzatt. Ennek nyomn adta Apollniosz a kpszeleteknek az ellipszis, a hiperbola s a parabola neveket. A Knika msodik ktete a kpszeletek konjuglt tmrit s rintit vizsglja. A harmadik knyvben megtallhat az albbi, Newton-ttelknt idzett eredmny: Ttel: Ha a vltoz Z ponton t egy k pszeletbe adott irnyokban kt EK , DT h rt h zunk, akkor a (ZD  ZT ) : (ZE  ZK ) arny lland. Apollniosz megoldotta a ktetben a kvetkez hres problmt is: Mi a mrtani helye azon pontoknak, amelyeknek 4 adott egyenestl mrt x, y, z , u tvolsga eleget tesz az x  z =  y  u egyenletnek, ahol adott arnyt jelent. A megoldst a kpszeletek adtk. Descartes e problmt tanulmnyozva dolgozta ki az analitikus geometrit, mert abban a megolds egyszeren addik. A Knikban Apollniosz olyan alaposan kidolgozta a kpszeletek elmlett, hogy azokat ksbb csak t kellett rni az analitikus geometria jelrendszerre, ahogy mi is tettk rvid ismertetsnkben. Apollniosz nevhez fzdik mg egy szerkesztsi problma, valamint az n. Apollniosz-kr: 87

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

x

A

P

P y y p = a

x1

y

y x

B A

p = a

ellipszis

parabola y2 = px

y2 = px ; x2 =) y2 < px

P

y

y B

x1

A

x

p = a

hiperbola

y2 = px + x2 =) y2 > px 3.24. bra. A k pszeletek egyenletei terletillesztssel.

1. Szerkesztend adott krket rint kr. 2. Azon pontok mrtani helye a skban, amelyeknek kt adott ponttl mrt tvolsgainak arnya egy k lland: a) kr, ha k 6= 1- b) egyenes, ha k = 1. Arkhimdsz (Kr. e. 287?,212) nemcsak a hellnisztikus kor, hanem az egsz kor legnagyobb matematikusa s zikusa volt. Eltren a grg matematikusok tbbsgtl, t rdekeltk a matematika alkalmazsai s a szmtsi mdszerek is. Nevezhetjk a matematikai zika megteremtjnek, aki vizsglataiban a matematikai analzis mdszereit alkalmazta. Nevhez nem egyetlen f m ktdik. Eredmnyei tbb knyvben tallhatk meg. Hrom munkja geometriai: A krmrsrl, A parabola kvadraturjrl,

88

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A spirlisokrl. Tovbbi kt mve trgeometrival foglalkozik. A homok megszmllsrl cm mve aritmetikai jelleg. Kt munkja pedig a zika szmra alapvet jelentsg: A skidomok egyens lyrl, Az sz testekrl. Eratoszthenszhez rt Mdszer cm levelben, amelyre csak 1906-ban bukkantak r egy isztambuli kolostor knyvtrban, lerja Arkhimdsz, hogy kpleteit rendszerint az ltala felfedezett emeltrvny alkalmazsval sejtette meg. Kpleteit ezutn a kimertsi aximval indirekt ton igazolta. Matematikai szempontbl Arkhimdsz legfontosabb eredmnye a kimertsi mdszer olyan pontos kidolgozsa, ami tulajdonkppen az integrlszmts korai felfedezsnek tekinthet. Ehhez tbb lpsben pjutott el. Elszr csak kzelt p rtkeket szmtott vges kzeltssel, pldul 3 s a  rtket. A 3 kzelt rtkeit valsznleg a babilnihoz hasonl itercis mdszerrel kapta a kvetkez lpsekben: p 3 = 1 + x =) 3 = 1 + 2x + x2 =) x = 2 +2 x :

x1 = 1 x2 = 2 +2 x  x3 = 2 +2 x  : : :  xn = 2 + 2x 1

2

n;1

19  26  71  97  265  368  981  1351 : 1 + xn : 2 53  74  11 15 41 56 153 289 571 780 p A 3 rtkt Arkhimdsz 265=153 s 1351=780 kzttinek vette s a  kzeltsnl hasznlta. Egy r sugar kr kr rt szablyos hatszg kerletbl indult ki. Felrajzolta a kvetkez brt:

Z x1 H

y2 x2 M

z2

z1 r

15 15

E

3.25. bra.

Itt x1 apkrlrt hatszg, x2 pedig a tizenktszg oldalnak fele. Tovbb: r : x1 = 3 : 1 > 265 : 153, z1 : x1 = 2 : 1 = 306 : 153 r : z1 = x2 : y2 =) (z1 + r) : (x2 + y2 ) = r : x2 : Ezekbl kapjuk, hogy r : x2 = (z1 + r) : x1 > (306 + 265) : 153 = 571 : 153: 89

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Ezutn Arkhimdsz gy folytatta: z22 : x22 = (r2 + x22 ) : x22 > (5712 + 1532) : 1532 = 349 450 : 23 409 s mivel 349 450 ngyzetgyke nagyobb, mint 591 81 , ezrt z2 : x2 > 591 18 : 153: Most felezi a MEH szget s hasonlan megkapja az r : x3 , z3 : x3 arnyokat. Folytatva az eljrst eljut az r : x5 > 4673 12 : 153 arnyhoz, ahol x5 a kr kr rt szablyos 96 oldal sokszg oldalnak fele. Teht az tmr s a kerlet arnya nagyobb, mint r : x5 = 2r : 96  2x5 > 4673 5 : (96  153) = 4673 5 : 14 688: De az utols szm kevesebb, mint az eltte lev 3 17 -szerese, gy a sokszg kerlete, mginkbb a kr, kisebb, mint 3 71 d, azaz d   < 3 17 d =)  < 3 71 : Vgl Arkhimdsz hasonlan megmutatja a bert 96-szg vizsglatval, hogy 10 1 a kr kerlete nagyobb mint 3 10 71 d, vagyis 3 71 <  < 3 7 . Arkhimdsz tudta, hogy a  rtkt nem lehet pontosan kiszmtani, hiszen a  a kr kerletnek s tmrjnek hnyadosa, gy csak bert s krlrt sokszgek segtsgvel kzelthet. A pontos rtk megszerkesztse pedig csak a kr ngyszgestsvel, vagyis krrel egyenl kerlet ngyzet euklidszi szerkesztsvel lenne lehetsges. Ksbb kiderlt, hogy csak kzelt szerkesztseket lehet konstrulni. Kvetkezskppen a  tizedestrt alakja vgtelen nem szakaszos, vagyis a  irracionlis szm. Itt nem is az eredmny pontossga a fontos, hanem a mdszer, amit tovbbfejlesztett a gmb trfogatnak s a parabolaszelet terletnek meghatrozsakor. Az emeltrvnnyel megsejtette a kpletet mechanikai ton. Ezt vges kzeltssel matematikailag is megerstette. Vgl az eredmny helyessgt a kimertsi axima alapjn indirekt ton bebizonytotta. A hagyomny szerint Arkhimdsz a gmb trfogatkpletnek levezetsre volt a legbszkbb, amelynek brjt srkvre vsette. Tekintsk a 3.26. brt! Az bra az OA = 2r tmrj gmb, az OA tengely 2r sugar krhenger, valamint a belrhat kp tengelymetszett mutatja. Az OA tmr tetszleges T pontjban merlegest emelve, a TK , TG s TH szakaszokra rvnyesek a kvetkezk: OT 2 + TG2 = OG2  OG2 = OT  OA OT = TK OA = TH

 OA = OT  TH =    OA TK 2 + TG2 = OT  OA = OTOA OA 2

2

(  TK 2 +   TG2)  OA =   TH 2  OT: 90

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

H G

2r

K O

T C

r

A 2r

3.26. bra. A gmb trfogatkpletnek levezetse Arkhimdsznl.

Vegyk szre, hogy   TK 2,   TG2,   TH 2 rendre a T pontban az OA tmrre merleges skkal a kpbl, a gmbbl s a hengerbl kivgott kr terlett adja. Ezeket azonos anyagbl kszlt vkony szeleteknek elkpzelve alkalmazzuk az emeltrvnyt: az OT kar hengerszelet tart egyenslyt az OA0 = 2r karon fgg gmb- s kpszelettel (3.27. bra).

A

0

O T

VG = 43 r3

VK = 13 VH = 83 r3 VH = (2r)2 2r = 8r3 2r(VG + VK ) = VH r

VG = 12 VH ; VK = 16 VH = 43 r3 3.27. bra. A gmb trfogata az emeltrvnybl.

Ha a T pont befutja az OC = r tvolsgot, akkor a 2r kartvolsg kp s gmb tart egyenslyt a slypontjban felfggesztett hengerrel, azaz (a fajslyt 1-nek vve): 2r(VG + VK ) = r  VH  91

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

ahonnan

VG = 12 VH ; VK : Mivel

VK = 13 VH = 31 (2r)2 2r = 8r3  ezrt 3 4r3 VG = 12 VH ; 13 VH = 16 VH = 8r 6 = 3 :

A ktoldal kzeltst s a kplet indirekt igazolsnak mdszert a parabolaszeletnl mutatjuk be. Arkhimdsz az emeltrvny segtsgvel az elbb vzolt mdon megmutatta, hogy a parabolaszelet terlete egyenl a bert hromszg terletnek 4=3-szorosval. Egy zikus szmra itt vget is rhetne az eljrs, de egy matematikus szmra csak most kezddik igazn.

C D

E

CF H G HDkGE kCF

: a parabola tengelye : felezpontok

H

A

L

G

F

K

B

3.28. bra. A parabolaszelet terlete.

A 3.28. brbl belthat, hogy a C pontban a parabolhoz hzott rint prhuzamos az AB hrral. Ennek segtsgvel igazolhatk a GK = 2GE , LH = 2HD egyenlsgek. Tovbb: tGEC 4 = tGBE4 = 12 tGKB4 = 14 tFBC 4 vagyis tBEC 4 = 14 tFBC : Hasonlan tACD4 = 14 tAFC 4. Kvetkezskppen: tACD4 + tBEC 4 = 14 tABC 4 = 41 t: 92

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Ezt az eljrst, vagyis a hrok ilyen mdon val felezst kvetve a parabolaszelet T terlete alulrl gy kzelthet: T > t + 4t + 4t2 +    + 4tn = t(1 + 14 + 412 +    + 41n ): Ha n-et nveljk, akkor a klnbsg mindig felnl tbbel cskken, gy a kimertsi axima szerint tetszleges kicsiv tehet: T ; t(1 + 14 + 412 +    + 41n ) < " (" > 0): Mr csak a mrtani sorozat sszegre van szksgnk, amit Arkhimdsz gy becslt, hogy ahhoz hozzadva az utols tag harmadt ppen az els tag 4=3-t kapjuk. Ha pldul az a1 , a2 , a3 , a4 , a5 mennyisgek 1=4 hnyados mrtani sorozatot alkotnak, akkor a2 + 13 a2 = 34 a2 = 43  a41 = a31  a3 + 13 a3 = 34 a3 = 43  a42 = a32  a4 + 13 a4 = 34 a4 = 43  a43 = a33  a5 + 13 a5 = 43 a5 = 43  a44 = a34 : Ezeket az egyenlsgeket sszeadva kapjuk, hogy a2 + a3 + a4 + a5 + 13 (a2 + a3 + a4 + a5 ) = 13 (a1 + a2 + a3 + a4 ): Innen egyszerstssel s a1 hozzadsval addik a bizonytand a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + 13 a5 = 34 a1 egyenlsg. Alkalmazzuk ezt a parabolaszelet esetre: t(1 + 14 +    + 41n ) + 4tn = 43 t: () Vgl Arkhimdsz megmutatja, hogy a parabolaszelet terlete sem nagyobb, sem kisebb nem lehet 4=3  t-nl. Ha T > 4=3  t, akkor a kimertsi axima alapjn elg nagy n-re valamely rszletsszeg nagyobb lesz 4=3  t-nl, hiszen a T ; 4=3  t klnbsg tetszleges kicsiv tehet. Ez pedig ellentmond ()-nak. Ha pedig T < 4=3  t, akkor addig folytatnnk a bert hromszgek kpzst, amg az utols tag (t=4n ) kisebb nem lenne, mint 4=3  t ; T , azaz t 4 4n < 3 t ; T: 93

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Ebbl



t < t 1 + 1 +    + 1 + t ; T 4n 4 4 4n

vagyis



T < t 1 + 14 +    + 41n kvetkezne, ami lehetetlen. Ezzel lltsunkat belttuk. Arkhimdsz egyetlen aritmetikai mve Arisztarkhosz (Kr. e. 310?, 230?) csillagszati munkssghoz kapcsoldik, aki azt a mersz hipotzist lltotta fel, hogy a Fld krplyn kering a Nap krl. Kortrsai kt f ellenrvet hoztak fel ez ellen. Ha a Fld nagy sebessggel mozogna, akkor minden mozdthat lereplne rla ellenttes irnyban. Ez az rv akkor logikusnak tnt, hiszen a tehetetlensgi trvnyt Newton jval ksbb fedezte csak fel, s a grgk minden mozgs mgtt valamilyen ert kerestek. A msik ellenrvet viszont, hogy ha a Fld mozogna, akkor a csillagokat is mozogni ltnnk, Arisztarkhosz igyekezett cfolni. Szerinte a csillagok nagyon messze vannak s mretk a fldplyhoz kpest is nagy. Ennek kimutatshoz igyekezett a Fld, Nap,Hold tvolsgot, illetve a Nap sugart kiszmtani. Meg gyelte, hogy amikor a Holdnak a felt ltjuk, akkor a szemnkbl a Hold s a Nap fel mutat irnyok szge a derkszgnl annak harmincad rszvel kisebb (magyarn 87 , ld. 3.29. bra). Hold 87 Nap

Fld

3.29. bra. Arkhimdsz a FldNapHold tvolsgrl. (Az bra torztott).

Ezutn megmutatta, hogy az ilyen derkszg hromszgben az tfog s a kisebbik befog arnya nagyobb, mint 18, de kisebb, mint 20. Vagyis megbecslte a sin 3 rtket 1=20 < sin 3 < 1=18 pontossggal, ami nem rossz becsls. Becslshez felhasznlta az akkor mr ismert tg > > sin tg   sin  egyenltlensget, termszetesen nem szgfggvnyek, hanem egysgsugar kr rintinek, kreinek s hrjainak arnya formjban. A szgfggvnyek bevezetsre csak ksbb kerlt sor, ppen a csillagszati problmkkal sszefggsben. A szinuszt a hinduk, a tangenst s cotangenst az arabok vezettk be. Arisztarkhosz becslse azt fejezi ki, hogy a Nap,Hold tvolsg s a Fld, Hold tvolsg arnya nagyobb 18-nl, de kisebb 20-nl. Mivel a Napot s Holdat 94

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

krlbell ugyanolyan nagynak ltjuk, ebbl az is kvetkezik, hogy a Nap s a Hold sugarainak arnya is ugyanannyi. A becsls mrtkt rontotta az, hogy a krdses szg nem 87 , hanem 89 500 pontosabb mrsek szerint. A tvolsgok arnya utn a sugarak arnyra igyekezett becslst adni Arisztarkhosz. Meg gyelte, hogy a Fld rnyka a Holdon (teljes krr kiegsztve) ktszer akkora tmrj, mint a Hold. A hrom gitest egyttltsa esetn felrajzolhatjuk a 3.30. brt.

A

B

D

C

E TN

TH

Hold

Fld Nap

3.30. bra. Arisztarkhosz a Nap s a Hold tvolsgrl.

Az ABD s BCE hromszgek hasonlsgbl felrhat az (RF ; 2RH ) : (RN ; RF ) = TH : TN arny. Ha ebbe behelyettestjk a kzparnyos TN = 19TH s RN = 19RH rtkeket, akkor RH = 20=57RF lesz az eredmny. Arisztarkhosz pontosabb szmtsaibl a 108 < RF < 60 s 19 < RN < 43 43 RF 19 3 RF 6 arnyok jttek ki. (Mai mrsek szerint: RH = 0 27RF , RN = 109RF .) Mr csak a Fld sugarnak megbecslse hinyzott. Arkhimdsz a Fld kerlett 3  106 stadionnak (kb. 3  105 mrfldnek) becslte s az ebbl add sugrral szmolt. Arkhimdsz ezutn rtrt a vilgegyetemben lev homokszemek megszmllsra. Arisztarkhosz a vilgegyetem kzppontjnak a Napot, sugarnak a Nap s az llcsillagok tvolsgt tekintette. Arkhimdsz szerint ez a sugr annyiszor nagyobb a Nap,Fld tvolsgnl, mint ahnyszor az utbbi nagyobb a Fld sugarnl. A vilgegyetem sugarra gy 1010 stadiont kapott. Becslst adott egy homokszem nagysgra s kiszmtotta, hogy a vilgegyetemben 1063 homokszem fr el. Ennek az risi szmnak a kifejezsre felptett egy oktdokbl, azaz 10 nyolcadik hatvnyaibl ll szmrendszert, amelynek rjtt a korltlan folytathatsgra. Ez volt a munka legnagyobb rdeme: a vgtelen nagy szm gondolata. Eltte a geomter grgk nem lptk tl a 10 000-et, utna mr a megszmllhatatlan birodalma kvetkezett. Ilyen szmok kifejezsre csak hasonlatokkal voltak kpesek. 95

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A Fld kerletnek pontos megmrst Eratoszthensz (Kr. e. 276?,196?) vgezte el, akinek ez a legjelentsebb eredmnye. Mdszere a grgkre jellemz meg gyelkpessgre s tletessgre pl. Meg gyelte, hogy Sznben (a mai Asszunban) dlben a nyri napjegyenlsg idejn a Nap besttt egy mly kt legaljra, azaz ppen zeniten llt. Ugyanakkor Alexandriban a Nap llsnak eltrse a fgglegestl a teljes kr 50-ed rsze volt. Felttelezte, hogy a kt napsugr A Sz

3.31. bra. Eratoszthensz megmri a Fld kerlett.

vros azonos dlkrn van (3 az eltrs), teht ugyanakkor van dl. Tovbb megbecslte az Alexandria,Szne tvolsgot az egyenletesen halad tevekaravnok tjbl, ignybe vve a hivatsos lpsszmllk segtsgt. Az eredmny 5000 stadion volt, teht a Fld kerlete ennek 50-szerese, azaz 25 000 stadion (25 000 mrfld  40 000 km). Ez az adat mai szemmel is elg pontos, s sokkal pontosabb a korabeli becslseknl. Eratoszhensz gy sokkal pontosabban ki tudta szmtani a Nap s a Hold sugarait tovbb az gitestek tvolsgait. A matematikusok szmra leginkbb szitja rzi Eratoszthensz nevt. A szita prmszmok megkeressre szolgl. Felrjuk egyms utn a pratlan szmokat, majd 3-tl indulva minden harmadikat, 5-tl indulva minden tdiket, stb. kihzzuk. Vgl a ki nem hzott szmok lesznek a prmek, hozzjuk vve az egyetlen pros prmszmot a 2-t. Az 50-nl kisebb prmszmok a 3.32. brn tallhatk. Szmtblzatt Eratoszthensz egy pergamenlapra rta fel, amit egy keretre fesztett s tszrta a kies szmokat. A laikus szomszdok azt gondoltk, hogy valami klnleges szitt kszt gy, ezrt elneveztk az eszkzt Eratoszthensz szitjnak. 3

5

7

9

11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

37 39 41 43 45 47 49

3.32. bra. Eratoszthensz szitja.

96

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

3.4. Matematika a rmai korban A grg matematika trtnetnek a rmai hdts korra es szakaszt hanyatlknt szoktk jellemezni. Ez valban igaz az elmleti geometria terletn, ahol Apollniosz utn nem trtnt elrelps. Viszont a matematiknak a gyakorlathoz kzelebb es gaiban szlettek j eredmnyek, de ezek igazolsa nem a korbban megszokott logikai szigorsggal trtnt. Elrelps fleg a trigonometriban s az algebrban trtnt, annak rn, hogy feladtk az irracionalits problmjnak megoldst. Az irracionlis szmokat racionlisokkal kzeltettk, de termszetket nem vizsgltk. Ezt az utat kvettk a ksbbi korokban is, mintegy a tovbblpsrt zetend rknt. A matematika csak a XIX. szzad vgn jutott el arra a fokra, hogy az irracionlis szm fogalmt tisztzni tudja. A tiszta matematika visszaessnek okai sszetettek. Kls okknt kzrejtszott a rmai hdtk rdektelensge, az anyagi tmogats hinya, teht ltalnossgban vve a trsadalmi-gazdasgi viszonyok. Ez elegend magyarzat lehetne a stagnlsra, de nem a visszafejldsre. Msrszt pldul az elmleti csillagszat ugyanabban a trsadalmi krnyezetben gyorsan fejldtt. A visszaessnek dnten bels okai voltak. Az irracionalits megkerlhetetlensge egy deduktv rendszerben oda vezetett, hogy az gy kialakult geometriai trgyalsmd tl bonyolultt vlt. Ezt tovbb neheztette a megfelel szimbolika hinya. Illusztrlsul idzzk Apollniosznak a parabolra adott de ncijt: De nci (Knika I. 11.): Ha a k pot a tengely mentn skkal metszem el, s ugyancsak elmetszem egy msik skkal, amely a k p alapjt a tengelymetszethromszg alapjra merleges egyenesben metszi, tovbb ha ezenkvl a metszet tmrje prhuzamos a tengelymetszet-hromszg kt oldala kzl valamelyikkel, akkor minden, a metszettl  a metsz sk s a k palap metszsvonalval prhuzamosan  az tmrig h zott egyenesnek a ngyzete egyenl lesz azzal a tglalappal, amelyet az tmrbl a metszet cs csig levgott egyenes s egy bizonyos msik egyenes zr be, amely a k p szge s a metszet cs cs kztt h zd egyeneshez gy arnylik, mint ahogy a tengelymetszet-hromszg alapjnak ngyzete, ahhoz a tglalaphoz, amelyet a hromszg msik kt oldala zr kzbe. Az ilyen metszetet parabolnak nevezzk. Nem csoda, hogy a rmai kor jellegzetes alakjai a kommenttorok lettek, akik sszefoglal gyjtemnyeikben kzztettk s kzrthet mdon magyarztk a klasszikusok eredmnyeit, kiegsztve a bizonytsokat, egyszerstve a gondolatmenetet. A tudomny fejlesztse helyett annak elterjesztse, tantsa kerlt eltrbe. A kommenttorok jelentsgt az is alhzza, hogy nagyon sok korbbi munkt csak mveikbl ismernk. A tovbblpshez szksg lett volna egy algebrai jellsrendszer s egy ttekinthet szmrs kidolgozsra. Ezt a munkt mr nem a grgk, hanem a hinduk, arabok s olaszok vgeztk el, engedve a grg tudomnyossgbl, ahogy egy arab matematikus kifejezte. A rmai korban a grg matematika kzpontja tovbbra is Alexandria, vagyis az ottani egyetem s knyvtr volt. Az athni akadmia is folytatta mkd97

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

st, de szerepe msodlagos volt. Az e korban szletett matematikai eredmnyek hrom f alakhoz s tmakrhz ktdnek: 1. Ptolemaiosz (II. szzad) trigonometriai tblzata a csillagszathoz kapcsoldan. 2. A geometribl fggetlen algebra megteremtse Diophantosz (III. szzad) ltal. 3. A grg matematika utols nagy alakjnak Papposznak (IV. szzad) projektv geometriai s kommenttori munkssga. Ptolemaiosz elssorban csillagsz volt, nevhez fzdik a geocentrikus vilgkp kidolgozsa. Ehhez volt szksge a matematikra, ezen bell a trigonometrira. F mve a 13 ktetes Matematikai Gy!jtemny. Arab fordtsban maradt rnk Almageszt cmmel s gy vlt kzismertt. Az Almageszt matematikai szempontbl legrdekesebb rsze az 1. ktetben kzlt hrtblzat (szinusztblzat), ami a csillagszok nlklzhetetlen segdeszkze lett tbb mint 1000 ven keresztl. Ksbbi kommenttorok szerint Ptolemaiosz sokban tmaszkodott Hipparkhosz (Kr. e. 180?,125) grg csillagsz eredmnyeire. Mivel Hipparkhosznak egyetlen mve sem maradt fenn, gy ezek az lltsok nem ellenrzhetk. A grgk egy szg szinuszt nem a ma szoksos mdon rtelmeztk, hanem az egysgsugar krben a szghz tartoz hr hosszaknt. Kis szgnl ez alig tr el a mai szinusz rtktl, amit a szghz tartoz krv ktszeresnek flhrjaknt is lehet de nilni (egysgsugar krben). A babilniaiak nyomn Ptolemaiosz 360 rszre osztja a teljes krt s hatvanados trtekkel szmol. Elszr az egysgsugar (r = 60) krbe rt szablyos hatszg, ngyszg, hromszg, tzszg s tszg oldalt szmtja ki, megkapva ebbl a 60, 90, 120, 36 s 72 fokos szgek hrjait. Ezekbl ki tudta szmtani a kiegszt szgek hrjait is, mert a kt hr feletti ngyzetek sszege egyenl az tmr fltti ngyzettel. Ez valban igaz a Thalsz- s Pitagorasz-ttel kvetkeztben. A tovbblpshez bebizonytja a Ptolemaiosz-ttelt: Ttel: A h rngyszg tli ltal ltrehozott tglalap egyenl a szemkzti oldalak ltal ltrehozott tglalapok sszegvel. A ttel alapjn ki tudta szmtani kt szg sszegnek s klnbsgnek hrjt a szgek hrjbl. A ttel ugyanis egysgsugar krben s mai jellskkel a sin(   ) = sin cos   sin  cos azonossgnak felel meg. Ezzel kapta meg pldul a 72 ; 60 = 12 s a 120 + 36 = 156 szgek hrjait. Ezutn a Pitagorasz-ttelbl levezetett egy felezsi szablyt, vagyis a 2 sin2 2 = 1 ; cos 98

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

azonossgot. Ezzel egy szg hrjbl ki tudta szmtani a szg felnek hrjt, teht a 12 -bl a 6 , 3 , 3=2 , 3=4 hrjait. Az 1 hrjnak kiszmtshoz felhasznlta azt, hogy egy krben kt klnbz hosszsg hr arnya kisebb, mint a hozzjuk tartoz vek arnya, vagyis sin < sin   Az 1 hrjbl felezssel kapta a 0 5 , sszegzssel pedig a 2 , 2 5  ::: 180 szgekhez tartoz hrokat, teht tblzata 0 5 -tl flfokonknt tartalmazta 180 -ig a szgek hrjait, vagyis kzeltleg szinuszait. Gyjtemnynek tovbbi kteteiben Ptolemaiosz fleg csillagszattal foglalkozik, nha rintve csak matematikai krdseket. A 4. knyvben szerepel a nevezetes hrom pont feladat: Feladat: Hatrozzuk meg azt a pontot, amelybl hrom adott pont pronknt adott szg alatt ltszik. A 6. knyvben a  rtkt szmtja ki 4 tizedesig a hrtblzatbl: az 1 hrjt szorozza 360 -nal, majd osztja a kr tmrjvel:  = 377 120 = 3:1416 : : : A Krisztus szletse utni els kt szzadbl mg kt nv rdemel emltst: Menelaosz s Hron, hiszen nevket fontos ttelek rzik. Menelaosz Szphairika cm knyve a gmbhromszgtant trgyalja. Ebben szerepel a Menelaosz-ttel sk- s gmbhromszgekre, amelyet Ptolemaiosz is gyakran alkalmazott. A skbeli Menelaosz-ttel szerint, ha egy ABC hromszg oldalegyeneseit valamely RQP egyenessel metszk, akkor a keletkezett irnytott szakaszokra teljesl, hogy

AP BQ CR PB  QC  RA = ;1:

Hron nemcsak matematikus, hanem zikus s feltall is volt (Hronlabda). Kt matematikai trgy mvet rt: a Geometrit s a Metrikt. Az elsben szerepel a hromszg terlett ad Hron-kplet bizonytssal egytt:

p t = s(s ; a)(s ; b)(s ; c) s = k2 :

A Metrikbl idzett albbi de nci jl mutatja a kor matematikai felfogst: Mennyisg az, amit vgtelenl meg lehet nagyobbtani s vgtelen kis rszekre lehet osztani. A mennyisg fajti: a szakasz, a terlet s a test. Az euklidszi felfogs felismerhet, de annak agglyoskodsa nlkl az sszemrhetetlensget s irracionalitst illeten. A szakasz brmilyen szmot jelenthet, az irracionlis szmot pedig a gyakorlatban kzelti. Mint a kvetkezp pldban: Egy hromszg oldalai 7, 8, 9. Mekkora a terlete?. Kpletbl 720 jn ki. Tudja, hogy 99

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó



=egyenl (iszosz) =ismeretlen (az arithmosz utols betje) o o M vagy  =egysg  =az ismeretlen ngyzete (dnamisz) K =az ismeretlen kbe   =az ismeretlen a negyediken (dnamo dnamisz) K =az ismeretlen az tdiken (dnomokbosz) K K =az ismeretlen a hatodikon (kbokbosz) =kivons (fordtott ) 

3.33. bra. Diophantosz jellesei.

ez nem racionlis szm, ezrt azt mondja, hogy szmtsuk ki a lehet legkisebb hibval. Ezt egy itercival meg is teszi. Trtekhez jutva nem a hatvanodos, hanem az egyiptomi trzstrteket alkalmazza: p 720  26 + 21 + 13 : A rmai kor legnagyobb matematikusa Diophantosz volt, akit a matematikatrtnet az algebra atyjaknt ismer. Szaktott a geometriai algebrval, hatrozatlan egyenletek megoldsval foglalkozott s megkezdte az algebrai jellsrendszer kidolgozst. Szmelmleti eredmnyei is gyelemremltak. Fmve a 13 ktetes Aritmetika, amelybl az els 6 ktet maradt fenn. Ezek 189 egyenlet megoldst tartalmazzk, fleg hatrozatlan egyenletekt, amelyeket ma diophantoszi egyenleteknek neveznk. Diophantosz megengedett (pozitv) racionlis megoldsokat, ma azonban csak egsz szmok krben keressk a gykket. A knyv a ksbbi korok sok matematikusnak szolglt forrsmunkaknt. Knyvben Diophantosz vgig hasznl szrvidtseket, amelyek rvn megtette az els lpst a pusztn szavakat hasznl retorikus algebrtl a mai szimbolikus algebra fel. t nevezhetjk a trtvonal feltalljnak is. A trteket a maihoz hasonl mdon jellte, fellre rva a nevezt, alulra a szmllt, pldul  = 23 . A sorrendet ksbb a hinduk fordtottk meg. Jellseit a 3.33. brn lthatjuk (rendszerint az illet szavak els grg betit hasznlta). Volt mg jele az ismeretlen reciprokra s annak hatvnyaira. Az sszeadsnak nincs jele, azt egyszeren az egymsutn rs fejezi ki. Diophantosz a 4x3 + 3x2 ; 2x + 12 = 5 egyenletet gy rta volna fel: o K    M " 

Egy szm el mindig odateszi az egysg jelt. Ksbb hasonlan gondolkodtak az arabok is: valamilyen egysget jelent szt rtak a szmokhoz. A 100

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

kivons jele nem jelenti azt, hogy Diophantosz ismerte volna a negatv szmokat. Ennek hinyban a msodfok egyenletek mind a 6 tpust trgyalta knyvben. A hatrozatlan egyenletekre nem adott ltalnos megoldsi mdszert. Az egyes egyenleteket gyes egyni tletekkel oldotta meg. Sokszor alkalmazta a hamis feltevs egy mdostott formjt. Olyan szmokat vagy kifejezseket adott meg az ismeretlenekre, amelyek a felttelek egy rsznek eleget tesznek. Ezutn megvizsglja, mirt nem teljesl a tbbi felttel s eszerint korriglja a feltevst. Lssunk erre a mdszerre kt pldt mai jellsekkel: II. 20. Feladat: Keressnk kt olyan szmot, hogy brmelyiknek a ngyzete a msikkal megnvelve mindig ngyzetet adjon. (x2 + y = a2  y2 + x = b2 ) Az els szm legyen x. Hogy ngyzete a msik szmmal megnvelve szintn ngyzet legyen, vegyk a msik szmot 2x + 1-nek. A msodik szm ngyzete az elsvel megnvelve 4x2 + 5x + 1 lesz. Ennek kell ngyzetnek lennie. Vegyk a ngyzet oldalnak 2x ; 2-t. Akkor a ngyzet 4x2 + 4 ; 8x, s a 4x2 + 5x + 1 = 4x2 + 4 ; 8x egyenletbl x = 3=13 addik. IV. 31. Feladat: Bontsd az egysget kt rszre, s adj mindegyik rszhez egy adott szmot gy, hogy a szorzatuk ngyzet legyen. Az adott szmok legyenek 3 s 5. Az egyik rszt vegyk x-nek, a msikat (1 ; x)-nek. Ha ezekhez a rszekhez 3-at, illetve 5-t hozzadunk, gy (x +3)-at s (6 ; x)-et kapunk. A szorzat teht 3x + 18 ; x2 lesz. Legyen ez ngyzetszm, mondjuk 4x2 . Ha most mind a kt oldalhoz hozzadunk x2 -et, kapjuk, hogy 3x +18 = 5x2 . Ez az egyenlet nem oldhat meg racionlisan. Az 5 egytthat 1gyel volt nagyobb egy ngyzetszmnl. Ahhoz, hogy ez az egyenlet racionlisan megoldhat legyen, az egytthat 18-szorosnak, megnvelve a 3 felnek ngyzetvel, ngyzetszmnak kell lennie. 4 helyett teht egy msik ngyzetet kell keresnnk, gy, hogy ha azt 1-gyel megnveljk, 18-cal megszorozzuk s 2 41 hozzadjunk, az eredmny ngyzetszm legyen. A keresett ngyzet legyen y2 . Akkor (y2 + 1)-szer 18 plusz 2 14 , vagyis 18y2 + 1 20 4 ngyzetszm kell legyen. Az egszet ngyszer veszem: akkor (72y2 + 81)-et kell teljes ngyzett tenni. Ha ezt a ngyzetet (8y + 9)2 alakban veszem fel, akkor azt kapom, hogy y = 18. A keresett szm teht 324. Most visszatrek az eredeti problmra. 3x + 18 ; x2 legyen teljes ngyzet. Ezt (324x2)-nek vlasztom, akkor x = 78=325 = 6=25 lesz. Kvetkezskppen az els szm 6=25, a msodik 19=25. E feladatokbl az is lthat, hogy Diophantosz nem trekszik az sszes megolds megkeressre, vagy annak megmutatsra, hogy tbb megolds nincs. Megelgszik egy megolds megtallsval. Diophantosz msik gyakran alkalmazott mdszere hatrozatlan egyenletek megoldsra a ketts egyenlet mdszere volt. Ha x kt kifejezsnek kell egyidejleg ngyzetnek lennie, akkor klnbsgk szorzatt alakthat, majd kt 101

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

egyenletre bonthat. A mdszert elszr a II. knyv 11. feladatban alkalmazta a hamis feltevssel kombinlva: II. 11. Feladat: Kt adott szmhoz hozzadand ugyanaz a szm gy, hogy mindkettbl ngyzet legyen. Legyenek az adott szmok 2 s 3- mindegyikhez adjunk x-et. Az x +2 s x +3 sszegnek teht ngyzetnek kell lennie. Itt gynevezett ketts egyenlettel van dolgunk. Ezt a kvetkezkppen lehet megoldani. Kpezd a klnbsget (x + 3 s x + 2 klnbsgt), s keress kt szmot, amelyek szorzata egyenl ezzel a klnbsggel, pl. 4 s 1=4. Tedd e kt tnyez fl klnbsgnek ngyzett egyenlv (x + 2)-vel, vagy fl sszegk ngyzett (x + 3)-mal, mindkt esetben x = 97=64-et kapsz. Eszerint a szm, amit hozz kell adni, 97=64. Ez lthatan eleget is tesz a feltteleknek. Az Aritmetika VI. ktete pitagoraszi szmhrmasokkal, vagyis az x2 + y2 = 2 z diophantoszi egyenletekkel foglalkozik. Ennek ltalnos megoldst ismeri a szerz, feladataiban tovbbi kiktseket tve (az oldalakra vagy a terletre) keresi a megoldsokat. A grg matematika trtnete Papposszal zrul. Nyolc ktetes Gy!jtemnye nemcsak rszletes ttekintst ad szinte az egsz grg matematikrl, hanem nll eredmnyeket is tartalmaz. Ngy j kzepet de nilt, majd megmutatta, hogy a 10 lehetsges kzp a mrtani kzpbl szrmaztathat. &j eljrst adott a gmbbe rhat 5 szablyos test szerkesztsre. Megadta a Pitagorasz-ttel egy rdekes ltalnostst. Bebizonytotta a Papposz,Guldin-ttelt forgstestekre (Guldin XVII. szzadi olasz matematikus volt): Ttel: Ha egy skidomot megforgatunk a skjban fekv valamely olyan tengely krl, amely a skidomot nem metszi, akkor a lert forgstest trfogatt gy is kiszmthatjuk, hogy a skidom terlett megszorozzuk annak a krnek a kerletvel, amelyet a megforgatott skidom s lypontja r le. Papposz legfontosabb eredmnyei lnyegben a projektv geometria alaptteleit fejezik ki koordinta-geometriai nyelvezet nlkl. A Gy!jtemny 7. ktetben tallhat Papposz-ttel a kvetkezt lltja: Ttel: Ha az AB s CD egyeneseken felvesszk az E , illetve Z pontot s megh zzuk az AD, AF , BC , BF , ED s EC egyeneseket, akkor az AF ;EC , BC ;AD s BF ; ED metszspontok egy egyenesen fekszenek. A ttel a Pascal-ttel specilis esete, amely szerint egy kpszeletbe rt hatszg szemben fekv oldalainak metszspontjai egy egyenesen fekszenek. Megtallhat Papposz mvben Desargues ttele s a teljes ngyszg ttele is. Papposz utn mr csak kommenttorok tallhatk a grg matematikban. Kzlk Hiptia neve rdemel emltst. volt az els ismert matematikusn a matematika trtnetben. Diophantosz s Apollniosz mveihez rt kommenttorokat, emellett a platni loz a professzora volt az alexandriai egyetemen. Fanatikus keresztnyek boszorknysggal vdoltk s 415-ben megkveztk. 102

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Hiptia halla az alexandriai matematika vgt jelentette. Az athni akadmia mg egy ideig mkdtt, de aztn azt is bezrtk. Az ezer ven t virgz grg tudomny magvai ezutn a formld arab (iszlm) kultrban talltak termkeny talajra.

V

Rmai kor (Alexandria)

IV III II I

Hiptia Papposz (projekt v geometria) Diophantosz (algebra) Ptolemaiosz (h rtblzat) Hron, Menelaosz

kor

Euklidsz eltti

Hellnizmus (Alexandria)

0 I

IV

Eratosztensz (szita) Apollniosz (k pszeletek) Arkhimdsz (kimer ts) Euklidsz (Elemek) Eudoxosz (arnyelmlet) Platn (Akadmia)

V

Znon (aporik)

VI

Pitagorasz (szmelmlet) Thalsz

II III

3.34. bra. A grg matematika korfja.

Gyakorlatok 1. Hogyan mrhette meg Thalsz egy piramis magassgt hasonl sg, egy haj partt l val tvolsgt egybevg sg alapjn?

103

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20.

Keress nk minl tbb bizony tst a Pitagorasz ttelre! Az els hrom tszgszm 1, 5, 12. Melyik a negyedik? rjuk fel az els ngy hatszgszmot! Mutassuk meg, hogy minden pros tkletes szm egyttal hromszgszm is. Igazoljuk Euklidsz tkletes szmokra vonatkoz formuljt. Bizony tsuk be aritmetikai s geometriai ton, hogy egy hromszgszm nyolcszorosnl egyel nagyobb szm ngyzetszm! Melyik tglalapszm hatrozza meg azt a tglalapot, amelynl a ter let s ker let mrszma egyenl? Bizony tsuk be, hogy brmely pratlan szm kt szomszdos ngyzetszm k lnbsge. Igaz-e a ttel megford tsa? Mutassuk meg, hogy egy tkletes szm oszt i reciproknak sszege 2! Igazoljuk, hogy egy pr mszmhatvny mindig hinyos szm! Mutassuk meg, hogy tkletes szmok szorzata bvelked szm! Igazoljuk a zenei s a tkletes arnyprt! Mutassuk meg, hogy c az a s b szmok harmonikus kzepe, ha van olyan n szm, hogy a = c + na  c = b + nb . Bizony tsuk be, hogy minden pitagoraszi szmhrmasb l (a) legalbb egy oszthat 3-mal (b) legalbb egy oszthat 5-tel (c) legalbb az egyik befog oszthat 4-gyel! Igazoljuk, hogy brmely n-re, ahol n 33, ltezik olyan pitagoraszi szmhrmas, amelynek egyik tagja n! Mutassuk meg, hogy nincs olyan pitagoraszi szmhrmas, amelyben valamelyik szm a msik kett mrtani kzepe! Igaz-e, hogy ha m, m + 1, n pitagoraszi szmhrmasok, akkor 3m + 2n + 1, 3m + 2n + 2, 4m + 3n + 2 is az? Bizony tsuk be, hogy a 4k 1 alak pr mszmok szma vgtelen! (a) Igazoljuk az euklidszi algoritmus seg tsgvel, hogy (a b) = 1 p q Z : pa + qb = 1: (b) Keress nk olyan k, m, n egsz szmokat hogy 65 k m n 273 = 3 + 7 + 13 : Bizony tsuk be, hogy n N akkor s csakis akkor ngyzetszm, ha oszt inak szma pratlan. Hippiasz kvetkezkppen denilta a kvadratrixot: Az ABCD tglalap CD oldala essen lefel egyenletes sebessggel, m g AB -val fedsbe nem ker l. Ugyanakkor AD forogjon az A kr l egyenletesen m g szintn egybeesik AB -vel CDvel egyidej leg. A kt egyenes metszspontjai adjk a kvadratrixnak nevezett grbt. 

;

()

9

21. 22.

2

2

104

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

23. 24.

25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32.

(a) Milyen helyzet kvadratrix egyenlete lesz = x tg y 2 (b) Rajzoljuk meg a kvadratrix nhny pontjt s hatrozzuk meg seg tsg kkel  rtkt! (c) Ngyszges ts k a kvadratrix seg tsgvel a krt! (d) Osszuk 3, illetve 5 egyenl rszre a 60 -os szget a kvadratrixszal! (a) Igazoljuk, hogy a 45 -os szg nem harmadolhat euklidszi szerkesztssel! (b) Harmadoljuk euklidszi szerkesztssel a 90 -os szget! (a) Mutassuk meg, hogy annak a derkszg hromszgnek, amelyben az egyik befog a msik ktszerese, az tfog s a kisebbik befog nem sszemrhet! (b) Igazoljuk, hogy a szablyos tszg tfog ja s oldala nem sszemrhet! (c) Bizony tsuk be, hogy a szablyos t zszg oldala nem sszemrhet a krje rhat kr sugarval! (d) Milyen szmok irracionlis voltt igazoljk az (a), (b), (c) pontban fellp sszemrhetetlen szakaszok? Igazoljuk a szmok irracionalitst aritmetikai ton is. Bizony tsuk be, hogy egy termszetes szm ngyzetgyke vagy egsz, vagy irracionlis szm! Egysgnyi szakaszt osszunk fel az aranymetszs szerint szerkesztssel, majd szm tsuk ki az aranymetszs arnyt! Mutassuk meg, hogy a szablyos tszg tl i az aranymetszs arnyban metszik egymst! Mutassuk meg, hogy lg 2 irracionlis szm! Bizony tsuk be, hogy a (0 0) s (1 2) pontokon thalad egyenes ms rcsponton nem haladhat t! Igazoljuk, hogy egy nemzrus racionlis s egy irracionlis szm sszege s szorzata irracionlis! Adott szakaszhoz illessz nk olyan tglalapot, amelynek ter lete egyenl a b oldal ngyzet ter letvel! Oldjuk meg Euklidsz m dszervel az albbi ter letillesztsi feladatokat! (a) x2 7x + 12 = 0 (b) x2 + 4x 21 = 0: Adott tglalaphoz szerkessz nk vele egyenl ter let ngyzetet! Adott hromszghz szerkessz nk vele egyenl ter let ngyzetet! Adott ngyszget alak tsunk t vele egyenl ter let hromszgg! Szerkessz nk szablyos tszget, ha adott az tl ja! Igazoljuk, hogy sin  <  < tg  sin   tg  p

;

33. 34. 35. 36. 37.

;

38. (a) Bizony tsuk be Arkhimdsz kvetkez trthrttelt:

105

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

B M F

A AB > BC

Ha s krvnek, akkor trthrnak.

C

(b) A ttel alapjn bizony tsuk be a sin(  ) = sin  cos  cos  sin  azonossgokat hegyesszgekre! Arkhimdsz m dszervel szm tsuk ki 5 s 6 rtkt 4 tizedes pontossgra! Alak tsuk t az ellipszis s hiperbola egyenletnek Apollniosz ltal levezetett formjt a kzpiskolban tanult formv! Szerkessz k meg az A s B pontokhoz tartoz Apoll niosz-krt, ha a : b = 3 : 2, ha a : b = 1, ha a : b = 2 : 3! Oldjuk meg az Apoll niosz-fle szerkesztsi feladat albbi specilis esett: szerkessz nk krt, amely kt adott ponton tmegy s adott egyenest rinti! Mutassuk meg, hogy az egyenl oldal henger, a bel rhat gmb s a hengerbe rhat kp trfogatnak arnya 3 : 2 : 1. (Arkhimdsz eredmnye). Bizony tsuk be a s kbeli Menelaosz-ttelt! (a) Igazoljuk Hron kplett! (b) Keress nk olyan hromszgeket, amelyek oldalai s ter lete egsz szmok! Bizony tsuk be a Ptolemaiosz-ttelt s seg tsgvel igazoljuk a sin(  ) = sin  cos  cos  sin  azonossgot! Igazoljuk a Ptolemaiosz-ttel albbi kvetkezmnyeit: (a) Ha P az AB kr vn van egy krbe rhat egyenl oldal hromszgnek, akkor PC = PA + PB . (b) Ha P az AB kr vn van egy krbe rhat ngyzetnek, akkor (PA + PC ) PC = (PB + PD) PD: 

39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46.

M felezpontja az ABC F felezpontja az ABC



p

p





47.

48. Szm tsuk ki Diophantosz letkort s rfeliratb l: E csodaszp emlk fdi szent porait Diophantnak S veinek szmt hirdeti a flirat. letnek hatodt boldog gyermekkora kapta, Tizenkettedt mg ifj arca kivirult. Majd hetedt tlt el, mennyegzje mikor ln:

106

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

S az tdik tavaszon kis a is szletett. Hajh, de szegny ppen csak mg flannyi idt lt, Mint b s apa, kit ... bnata srba vive ... Ngy vig hordvn gytrelmt a szeret szv. lete hosszt m: ! ltod e blcs sorokon. 49. Oldjuk meg Diophantosz kvetkez problmit az  m dszervel (pozit v racionlis szmok krben): (a) Bontsuk fel a 13-at, 20-at, 25-t kt szm ngyzetnek sszegre minl tbbflekppen. (b) Keress nk 4 szmot amelybl brmely hromnak az sszege adott, mgpedig rendre 22, 24, 27, 30. (c) Bizony tsuk be az (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ac db)2 +(ad bc)2 azonossgot, s seg tsgvel ll tsuk el 481-et kt ngyzetszm sszegeknt ktflekppen! (d) Mutassuk meg, hogy ha m n = 1, x + a = m2 , y + a = an2 , akkor xy + a ngyzetszm! (e) Tekints k az ABC derkszg hromszg AD szgfelezjt. Keress k meg azokat a legkisebb egsz szmokat a DC , CA s AD szakaszokra, hogy DC : CA : AD = 3 : 4 : 5 teljes ljn! 50. Szm tsuk ki a Papposz-Guldin ttellel a t rusz trfogatt! 



;

Irodalom )1] )2] )3] )4] )5] )6]

Bereznai Gyula: Pitagorasz ttele. Tanknyvkiad, 1970. Euklidsz: Elemek. Gondolat, 1983. Falus Rbert: Az aranymetszs legendja. Magvet Kiad, 1978. Neugebauer, O.: Egzakt tudomnyok az korban. Gondolat, 1984. Szab rpd: A grg matematika kibontakozsa. Magvet Kiad, 1978. Waerden, B. L. van der: Egy tudomny bredse. Gondolat, 1977.

107

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

108

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

4. fejezet

A kzpkor s a renesznsz matematikja A trtnelmi kzpkort a nyugat-rmai birodalom bukstl (476) szmtjk. A tudomnytrtnetben inkbb az athni akadmia bezrst (529) tekintik fordulpontnak. Eurpban ezutn a stt kzpkor kvetkezett. A tudomny s kultra fejldsben a hinduk, majd az arabok vettk t a vezet szerepet, amit Eurpa csak a renesznsz korban hdtott vissza. Az itliai renesznsz (jjszlets) kort Bizncnak a trkk ltal trtn elfoglalstl (1453) szmtjuk, br a mvszetben mr korbban megkezddtt az antik grg-rmai rksg jrafelfedezse. Az angol polgri forradalom a XVII. szzad els felben mr az jkor kezdett jelzi a matematikban is. A hindu matematika elssorban a tzes helyirtkes rsmddal s a trigonometria megalapozsval jrult hozz a matematika fejldshez. Tlk az arabok vettk t a fejlds zszlvivi szerept a VIII. szzadban. Az j kultrkzpont Bagdad, a tudomnyok nyelve az arab lett. Rendszeres fordtmunkval mentettk t a grg mveket az utkornak s segtettk az j szmrs elterjedst. Kidolgoztk az algebrt, ami nevben is rzi arab eredett. A csillagszattal sszefggsben jelentsen tovbbfejlesztettk a trigonometrit. Eurpa a XI. szzadtl kezdte a felzrkzst, szintn fordtmunkval az j tudomnyos nyelvre, a latinra. Ezutn fokozatosan fejlesztettk a szimbolikus algebrt s a XVI. szzadban a harmad- s negyedfok egyenletek megoldkpletnek felfedezsvel fellmltk az kori grg s a kzpkori arab matematikt. A tizedestrtek s a logaritmus felfedezse a szmtstechnikban jelentett forradalmi vltozst. Az kori grg geometrit Eurpa mg ekkor sem tudta fellmlni. Egyedl a trigonometriban szlettek j eredmnyek. Az egsz korszakban jellemz az algebra tlslya, szemben a grg matematika geometriai jellegvel. Az elvi megalapozs, a deduktv felpts irnti igny cskkent, de a grg matematikban fellp ellentmondsok miatt ez a tovbblps felttele volt. Az elvi tisztzsra a matematika csak a XIX. szzadban tr vissza. 109

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

4.1. A hindu matematika Az Indus foly vlgyben a rgszek megtalltk a nyomt az egyik nagy folyammenti civilizcinak, amely a Kr. e. IV. vezredben alakulhatott ki, szinte egyidben az egyiptomi, mezopotmiai s knai kultrkkal. Az utbbival azrt nem foglalkozunk, mert br rtkes eredmnyeket rtek el, de kimutathat hatsuk nem volt a fejldsre. A legrgebbi indiai civilizcit az szakrl betr rjk semmistettk meg Kr. e. 2500 krl. A hdtk nyelve, a szanszkrit lett ksbb a tudomny nyelve. k alaktottk ki a kasztrendszert, amelyben a legmagasabb kasztot Brahma isten papjai, a brahminok alkottk. A Kr. e. VI. szzadban lt a vallsalapt Buddha, s ebbl az idbl valk az els matematikai iratok, a Szulvaszutrk (Zsinrszablyok) is. A hindu kultrban s a vallsi kultuszban a matematika s a csillagszat fontos szerepet jtszott. Az adatok s szablyok megtanulsnak megknnytsre a matematikai knyveket s tblzatokat versformban rtk. Ez gy vlt lehetv, hogy a szmokat nevekkel helyettestettk: olyan nvvel, amelybl annyi szm van (1=Nap, 2=szem, stb.) gy lehetett pldul verses szinusztblzatot kszteni. A rvid let perzsa s grg (Nagy Sndor) hdtsok utn a Maurja dinasztia egyestette India nagy rszt a Kr. e. III. szzadban. A dinasztia legnagyobb uralkodja Aska (Kr. e. 272,232) volt, akinek halla utn a birodalom sztesett. Ezutn az idegen hdtsok s a kis llamokra szakads korszaka kvetkezett India trtnetben. A tudomny fejldse azonban nem szakadt meg. Kialakult a tzes, nem helyirtkes brahmi szmrs. A Szulvaszutrk at a II. szzadtl felvltottk a Sziddhntk (Rendszerek), vagyis a csillagszatimatematikai sszefoglal mvek. Megjelensktl szmtjuk a hindu matematika virgzst, amely a XII. szzadig tartott. A Gupta birodalom (320,450) kzpindiai fvrosa Udzsain Alexandrihoz mrhet kulturlis kzpont lett, knyvtrral s egyetemmel. Az V. szzad kzepn Attila hunjai sztzztk a Gupta birodalmat. A hunok utn az arab s a mongol hdtsok vszzadai kvetkeztek, Udzsain kulturlis kzpont szerepe azonban megmaradt. Itt mkdtt a kt legnagyobb hindu matematikus: Brahmagupta (VII. szzad) s Bhszkara (XII. szzad). Az indiai s ms kultrk kapcsolatnak tisztzsa nem lezrt krds. Felfogs krdse, hogy mit tekinthetnk eredeti felfedezsnek s mit tvtelnek. A hindu matematika mindenesetre kevsb kimutathatan plt a babilon-grg rksgre, mint az arab. A hindu matematika legnagyobb hats eredmnye a tzes, helyirtkes szmrs volt. Tekintsk t ennek kialakulst. A szmrs els nyomai a Kr. e. III. szzadbl, Aska kirly idejbl valk. Az akkori ktfle rsnak megfelelen ktfle szmrs alakult ki: a brahmi s a kharoszti. Mindkett tzes alapszm, de nem helyirtkes (alfabetikus) volt. Bennk kln jele volt az 1-tl 9-ig terjed szmoknak s tz tbbszrseinek. A jelek a megfelel abck beti voltak. Az bct valsznleg a fniciaiaktl vettk t szriai (armi) kzvettssel. A brahmi szmrs jegyeibl alakultak ki 110

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

a mai indiai (szanszkrit-devangari), arab s eurpai szmjegyek. (Lsd a 4.5. szakaszt.) A brahmi szmrsban megvolt a helyirtk kialakulsnak elfelttele, az, hogy az 1,9 szmoknak kln jelk volt. A kvetkez fontos lps a helyirtk s a nulla megjelense volt a Sziddhntk verses szinusztblzataiban. Pldul az 1201 esetben: sasi-paksa-kha-k, azaz Hold(1)-szrny(2)-lyuk(0)-egy(1). A nulla jelnek bevezetse 500. krl trtnhetett meg. A nullt jelent szunja (ressg) sz mr a IV. szzadban megjelent, az azt jell kis kr els rsos emlke 595-bl val. Ezzel a hindu tzes helyirtkes szmrst kialakultnak tekinthetjk. Egyszersge s elnyei ellenre elterjedse mgis 1000 vig tartott. Eurpa csak a XVI. szzad vgre fogadta el teljesen a trtekre is kiterjed helyirtkes rsmdot. A helyirtk elvnek felismersvel a hindu matematika tlhaladta a grgt. Joggal rta a grg tudomny bvletben l kortrsainak Severus Sebokt szriai keresztny pspk a VII. szzadban: vannak msok is, akik tudnak valamit. Az j szmrs lehetv tette az aritmetika, majd az algebra tovbbfejlesztst, amit a hinduk s ket kveten az arabok el is vgeztek. Az els hindu matematikai rsok, a Zsinrszablyok, a hindu valls szent knyveivel (Vdk) egyidben keletkeztek. Azt tartalmaztk, hogy a templomok s oltrok ptsnl milyen mrsekkel s szmtsokkal lehet eleget tenni a vallsi elrsoknak. Az elrsok szerint az alaplapoknak szablyosaknak (ngyzet, trapz, stb.) kellett lennik, az oldalleknek az gtjak irnyban kellett mutatniuk. Az oltroknl megfelel arnyoknak is kellett teljeslnik, ami vonatkozhatott alakjukra, illetve terleteikre. Matematikailag teht, derkszg kijellse, alakzatok szerkesztse, terlettalakts, ngyzetbl n-szer akkora terlet ngyzet szerkesztse volt a feladat. Felismerhet az analgia az egyiptomi piramisptkezsekkel, vagy a grg szerkesztsi problmkkal. Egyiptomhoz hasonlan Indiban is voltak ktlfesztk, akik mr tfle derkszg hromszget tudtak kifeszteni: 3, 4, 5- 5, 12, 13- 8, 15, 17- 7, 24, 25- 12, 35, 37. Ezekbl, vagy ezek szmszorosaibl tudtak egyenl szr trapzt szerkeszteni. A Pitagorasz-ttelt ltalnosan is ismertk, de termszetesen nem bizonytottk. Segtsgvel ngyzetet ktszereztek, tglalapot ngyzett alaktottak. Utbbi eljrsuk klnbzik az Euklidsz ltal adottl. Az egysgoldal ngyzet tlja a Zsinrszablyok szerint,

p

2 = 1 + 13 + 3 1 4 ; 3  41 34 = (1 4142157)

ami 5 tizedesjegyre pontos. A trzstrtek hasznlata egyiptomi hatsra, illetve a trtfogalom fejldsnek kzs tjra utal. Az idzett rtket a babiloniakhoz hasonlan itercival kaphattk meg: 3  4 a1 = 32  b1 = 2 : 32 = 34  a2 = 2 2 3 = 1 + 13 + 3 1 4  b2 = 2 : a2 = 2 17 3

+4

111

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

+ 288 = 2  289 ; 1 a3 = a2 +2 b2 = 2289  3  4  17 2  3  4  17 2  3  4  17 = 1 + 13 + 3 1 4 ; 3  41 34 : A hindu matematika fejldsben a Zsinrszablyok utni kvetkez lpcst a csillagszati Sziddhantk jelentettk. Ezek sok hasonlsgot mutatnak Ptolemaiosz mveivel. A szinusztblkban lnyeges eltrs a hrnak a ktszeres szg hrja felvel val helyettestse (4.1. bra). Ez mr a mai szinuszfogalom-

 

r

h 2

h 2

sin = 2hr

4.1. bra. A szinuszfogalom kialakulsa.

nak felel meg. Kis szgeknl ez nem sok eltrst jelent a korbbi rtkektl, de lehetv teszi az gy kialakul derkszg hromszgben ms szgfgvnyek (ms arnyok) bevezetst is. Mr a hinduk bevezettk a koszinuszt, a tbbi szgfggvnyt pedig az arabok. A szinusz hindu neve jiva (=hr) volt, az arabok is a megfelel fordtst jiba (=hr) hasznltk. Az arab mssalhangzrsban ez jb-knt jelent meg, amit lehet jaib-nak (blnek) is olvasni. A latinra fordtk ez utbbi olvasatot fordtottk le : sinus = bl. A mai szinusz szavunk teht egy fordti tveds eredmnye. A hindu matematika s csillagszat addigi eredmnyeit a 499-ben megjelent Arjabhatija foglalja ssze, amit Arjabhatta (476,550?) rt, termszetesen versformban. A knyv tkrzi a hindu matematika egyik jellegzetes vonst, a helyes s helytelen lltsok egyttest. Ahogy egy arab tuds megllaptotta: a hindu matematika igazgyngyk s rtktelen kavicsok keverke. Tanulsgosak lehetnek a hindu szmolsi mdszerek: 1. 'sszeads. Pldul 345+488 egyesek sszege 5+8=. 1 3 tzesek sszege 4+8=1 2 . szzasok sszege 3+4=7 . . sszegek sszege 833 2. Rcsos szorzs. Pldul 9 876  6 789 = 67 048 164 112

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

9 6 7 0 4

e re d

m

5

8

7

4 4

6

4 8

5 3

7 2 8

4

4

8

4

1

2 4

6 6

2

6

9 5

7 1

3 2

6 6

6

8 5

3 6

4

6 7 8 9

4

ny

3. thzsos oszts. Pldul: 9413 : 37 = 9413 = 37  254 + 15 9413 j2 37

2 3=0 =94=12j2 =3=7

1 25= =3=06 =9=41=3j25 =37==7 3=

11 25==4 =3=0=65= =9=4=13=j254 ; 15 =3=7=7=7 =3=3

Szmtsaikat a hinduk nem papron, hanem porral vagy homokkal meghintett tblkon vgeztk s az thzott szmokat letrltk. Sokig a szorzst is hasonlkppen csinltk. A szmjegyek trlse lehetetlenn tette a rszeredmnyek ellenrzst. Ezrt dolgoztak ki klnbz utlagos prbkat, amelyek kzl a legnpszerbb a kilences prba volt. Ennek alapja az, hogy egy szmnak kilenccel val osztsakor a maradk ugyanaz, mint amit jegyeinek sszege ad kilenccel osztva. Ezt a maradkot a szm ellenrz szmnak neveztk. Szorzskor a szorzat ellenrz szmnak meg kellett egyeznie a tnyezk ellenrz szmainak szorzatval. Ez szksges felttele az eredmny helyessgnek. A kilences prbt ksbb az arabok, majd az eurpaiak is tvettk. Az Arjabhatija geometriai rszben sok a helytelen terletkplet. A helyes eredmnyek sincsenek igazolva, legfeljebb egy brval, ami mell oda van p rva: Lsd!. A verses szinusztblzat viszont pontos. A  rtkt a knyv 10-nek veszi, amit ksbb hindu rtknek neveztek el. Az Arjabhatija utn 125 vvel ksbb szletett meg Brahmagupta nagy mve, Brahma tannak tkletestse. A verses formban rt 20 ktetbl 12 matematikai, a tbbi csillagszati. 113

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Szmtsi feladataiban Brahmagupta alkalmazta a hrmasszablyt, vagyis egy arnyprbl valamelyik tag kiszmtst a tbbi hrom segtsgvel. Eurpban a XX. szzadig ezt tartottk a legfontosabb aritmetikai szablynak s az iskolban verses formban tantottk. Ksbb a szablyt ltalnostottk tbbes arnyokra is. A hrmasszablyt a hinduk pldul a kvetkez gyakorlati feladatok megoldsra alkalmaztk: Feladat: Ha a szm munks egy munkt b nap alatt vgez el, akkor hny nap alatt vgzi el ugyanazt a munkt c szm munks? Feladat: A 100 sszeg kamatlba legyen havi 5 szzalk. Mekkora a kamat 16, illetve 12 hnapra? (y : 5 = 12 : 1 x : y = 16 : 100) Feladat: Ha t 16 ves lny 200-ba kerl, akkor  matematikus, mondd meg, mibe kerl kt 20 ves lny? ("r s letkor fordtott arnyban van feltve.) Brahmaguptnl tallhat az els ismert utals a negatv szmokra. Nevk adssg vagy cskkents volt, a pozitvak pedig tulajdon. Negatv szmokat egy fljk tett ponttal klnbztette meg. Mg fontosabb, hogy szmegyenesen brzolta ket s rjtt a velk vgezhet mveletek szablyaira is. A nullval val szmolsra is helyes szablyokat llaptott meg, kivve a nullval val osztst: Nulla osztva nullval nulla. Pozitv vagy negatv szm osztva nullval egy trt, amelynek nevezje nulla. A negatv szm fogalmnak s a mveleti szablyok megrtetsnek valban j modellje a vagyont s adssgot szembellt vagyonmrleg, aminek alkalmazsa ma mr ideolgiai agglyokat sem breszthet. Nlklzhetetlen a szmegyenesen val szemlltets is. Tudatban kell lennnk a nullval val szmols fogalmi nehzsgeinek. A kivons, mint mvelet fogalma ismert volt a grgknl is, de ez nem azonos a negatv szm fogalmnak megltvel. Ne tvesszen meg bennnket a mveleti s az eljel azonossga. Az (a ; b)(c ; d) = ac + bd ; ad ; bc azonossg a grgknl csak egy geometriai azonossg szakaszok klnbsgre s szorzatra, de nem negatv szmokkal val mveletekre. Brahmagupta viszont ezt az azonossgot eljeles szmokra rtelmezte. A msodfok egyenletek ltalnos trgyalst is Brahmagupta vgezte el elszr a matematika trtnetben. Mivel elfogadta a negatv szmokat, trgyalhatta az ax2 + bx + c = 0 ltalnos egyenletet. Termszetesen nem ezekkel a jellsekkel s csak numerikus pldkkal. Az arabok s az eurpaiak (Stifelig, XVI. szzad) visszatrtek a hat klnbz alak vizsglathoz, mivel nem fogadtk el a negatv egytthatkat s ltalban a negatv szmokat. Brahmagupta mdszere msodfok egyenlet megoldsra a teljes ngyzett kiegszts volt, amit hindu mdszernek neveztek, megklnbztetsl a grg geometriai mdszertl. Pldit a kamatszmts krbl vette: Feladat: A kamatra kiklcsnztt 100 sszeg havonta ismeretlen kamatot hoz. A kamatokat ezutn 6 hnapra ismt kamatoztatjk. Az eredeti kamat s az jabb kamat egyttesen legyen 16. Hatrozzuk meg a kamatlbat! ((6x + 100)x = 100  16). 114

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A gykvonsnak csak egy rtkt ismerte, gy negatv gykt nem kapott. A msodfok egyenleteket mg XVIII. szzadi szerzk is ilyen feladatokkal vezettk be. A hindu matematikusok mindegyike foglalkozott hatrozatlan egyenletekkel, amelyekre naptrszmtsi s csillagszati problmk vezettk ket. Pldul bolygk egyttllst vizsglva, a feladat olyan egsz szmok keresse, amelyeket megadott szmokkal osztva megadott maradkokat kapunk:

N = ax + r1 = by + r2 =) ax + by = c Diophantosz is oldott meg ilyen egyenleteket, de  megelgedett egy megolds megtallsval. Brahmagupta volt az els, aki megadta az ilyen egyenletek

megoldhatsgnak kritriumt s ltalnos megoldst. Geometriai eredmnyei kzl megemltjk a Hron-kplet ltalnostst ngyszgekre:

p

T = (s ; a)(s ; b)(s ; c)(s ; d) s = K2 : Ksbb megmutattk, hogy a kplet csak hrngyszgekre igaz. A helyes ltalnos kplet:

r

T = (s ; a)(s ; b)(s ; c)(s ; d) ; abcd cos2 +2  : A hindu matematika utols s egyben legnagyobb alakja a XII. szzadban lt Bhszkara volt. F mvnek cme A tudomnyok koszor ja (Sziddhntasironmi). A ngy rszbl ll m nagyrszt przban rdott, megtartva a klti szhasznlatot. Az els rsz cme Lilavati (Elb!vl) s rdekes feladatokat tartalmaz. A msodik rsz az algebrt, az utols kett pedig a csillagszatot trgyalja. Az els rsz cme a legenda szerint a szerz lnynak nevt rejti. Mint a hinduk ltalban, Bhszkara is nagyon hitt a csillagjslsban. Kiszmtotta lnya eskvjnek egyetlen szerencss pillanatt. Lnya a vzra fl hajolva vrta a kedvez pillanatot. Fejdszbl egy gyngy a vzbe pottyant, elzrta a kifolynylst, gy a szerencss pillanat szrevtlenl elmlt. Vigasztalsul az apja rt neki egy matematikai feladatgyjtemnyt. A gesztust ma szokatlannak tartannk, de a hindu kultrban nem szmtott annak. Aritmetikjban Bhszkara kzelebb kerlt a nulla termszetnek megrtshez. Szerinte az a trt, amelynek nevezje nulla, egy vgtelen mennyisget jelent: Egy ilyen mennyisgben, amelynek nevezje nulla, semmi vltozs nem trtnik brmennyit vonunk le belle, vagy adunk hozz- ahogy semmit sem vltozik a vgtelen s vltoztathatatlan Isten. A nullval val szorzst is helyesen magyarzza. Minl kisebb a szorzand, annl kisebb a szorzat. Ha a szorzandt a vgletekig (azaz nullig) cskkentjk, akkor a szorzat is nulla lesz. A nullnak nullval val osztsval azonban  sem boldogult. 115

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Az oktats sorn is legknnyebb a nullval val szorzs problmjt kezelni. A nullval val osztskor jobb azt mondani kezdetben, hogy vgtelen nagy szmot ad, mint azt, hogy nincs rtelmezve. A vgtelenn vlst a nevez fokozatos cskkentsvel lehet rzkeltetni. A 0 : 0 megkzeltse az lehet, hogy ez azrt nem mvelet, mert egy mveletnek egyetlen eredmnye lehet, ennek pedig vgtelen sok van, amit szorzsprbval tudunk megmutatni: 0 : 0 = 0, mert 0  0 = 00 : 0 = 1, mert 1  0 = 0- 0 : 0 = 2, mert 2  0 = 0, stb. A tudomnyok koszorjban sok els- s msodfok egyenlet tallhat. Az utbbiaknl a negatv gykt is megkapta, mert tudta, hogy pozitv szm ngyzetgyke pozitv is, meg negatv is. Negatv szm ngyzetgyke viszont nem ltezik, mert az termszetnl fogva nem ngyzetszm. Megadta a megoldhatsg feltteleit is a diszkriminnsbl. Az irracionlis szmok termszetvel sem Bhszkara, sem ms hindu matematikusok nem foglalkoztak. A gykk kzelt rtkeinek kiszmtsra ismertek itercis eljrsokat s gyks azonossgokat. Bhszkara pldul a kvetkezket:

q

q p

p

a b =

a + a2 ; c2 =

s

p

ra + c 2 ra ; c + :

2

s

p

a + a2 ; b  a ; a2 ; b 

2 2 Ezek kzl az els az Elemek X. knyvben is szerepel. Bhszkara mdszereket adott szveg alapjn egyenletek fellltsra. Szveges feladatnl a negatv gykt nem vette gyelembe, mert mint rja: Az embereknek nincs bizodalmuk abban a tnyben, hogy ismert mennyisg negatvv vlik. Az egyenletek megoldsa sorn alkalmazta a hamis feltevs s a megfordts (visszapergets) mdszert. Nzznk ezekre nhny pldt: Feladat: Tiszta ltuszvirgok ktegbl egyharmad, egytd, illetve egyhatod Siva, Visnu, illetve Szurja isteneknek van szentelve, egynegyede pedig Bhavni istenn. A megmaradt hat virgot egy nagy tekintly! tisztvisel kapja. Mondd meg gyorsan a ltuszvirgok szmt! Vlasszunk olyan szmot, aminek knny a harmadt, negyedt, stb. venni. Legyen ez 60. Ekkor 20, 12, 10, 15 jut az isteneknek, de a maradk csak 3, ami ppen fele a kvnt maradknak. gy a helyes megolds 60  2 = 120. A hamis feltevs segthet az egyenlet fellltsban az algebrai szinten mg gondolkodni nem tud tanulknl:



60 + 60 + 60 = 3  x ;  x + x + x + x  = 6: + 60 ; 60 3 5 6 4 3 5 6 4

Feladat: Ragyog szem! szp lny mondd meg nekem, mivel ismered a megfordts mdszert, melyik az a szm, amely 3-mal szorozva, azutn a szorzat 3/4-ed rszvel nvelve, majd 7-tel osztva s a hnyados harmadrszvel

116

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

cskkentve, ezutn nmagval szorozva, 52-vel cskkentve, vgl az eredmny ngyzetgyknl nyolccal nagyobb szmot 10-el osztva, ppen kettt ad?

2 ! 2  10 ! 20 ; 8 = 12 ! 122 ! 144 + 52 = 196 ! p 196 = 14 ! 14  32 ! 21  7 ! 147  74 ! 84 : 3 = 28:

Teht az utols szmbl kiindulva sorban elvgezzk a szvegben megadott mveletek ellenkezjt. Egyenlettel sokkal komplikltabban oldhat meg a feladat. Termszetesen Bhszkara oldott meg egyenleteket s egyenletrendszereket megoldkpletekkel s a Pitagorasz-ttel alkalmazsval, amire egybknt szp geometriai bizonytst adott. Feladat (Letrt bambusznd): Egy szl letrte a 32 lb magas bambuszndat gy, hogy a trs fltti rsz lehajlott s vge a vz alatt a talajt a nd tvtl 16 lb tvol ri. Milyen magasan trt el? Feladat (Futrfeladat): Egy oszlop tetejn pva lt. Az oszlop tvben lakott egy kgy. A pva megltta a hazaigyekv kgyt, amely az oszlop tvtl hromszor olyan tvol volt, mint az oszlop magassga. A pva egyenes vonalban lecsapott a kgyra s elrte, mieltt elb jhatott volna. Ha a pva s a kgy tallkozsig mindkett ugyanakkora utat tett meg, akkor milyen messze voltak az oszlop tvtl a tallkozs pillanatban? (Eredetileg gitestek mozgsra vonatkozott.) 1gyes mdszerrel oldotta meg az xy = ax + by + c s y2 = ax2 + b alak msodfok diophantoszi egyenleteket. Az elst pldul a kvetkezkppen! a

Az brrl leolvasta, hogy ; ; + = ( ; )( ; ) teht ( ; )( ; ) = + . Ez pedig ekvivalens az eredeti egyenlettel. Ugyanis = + + + ; ; + = = + xy

ax

b x

x

y

xy

by

b

y

ax

xy

ax c

ab

a

x

c

by

by

b

y

a 

ab

c

=

ab

ab

ab

Vgl a jobb oldalon ll szmot is tnyezkre bontotta s a tnyezkre felrt egyenlsgekbl megkapta x s y rtkeit. Az y2 = ax2 + b egyenlettel sokan foglalkoztak a ksbbiekben is, de csak Lagrange-nak sikerlt jra felfedezni Bhszkara megoldsi mdszert 1769ben. 117

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Bhszkara algebrai jellsrendszere Diophantoszhoz hasonl volt, amennyiben  is szrvidtseket hasznlt. Pldul a ngyzetgykre: m (mla =gykr), tovbb az egyenlsgre, a hatvnyra stb. Sajnos ez a jellsi mdszer nem maradt fenn, az arabok visszatrtek a csak szavakban kifejezett retorikus algebrra. Geometriai eredmnyei kzl emltst rdemelnek az n. rnykszmtsok, azaz egy fggleges bot segtsgvel a hasonlsg alapjn vgzett tvolsg- s magassgmrsi feladatok. Ezek kt f tpusa a kvetkez: Feladat: Hatrozzuk meg az rnyk hosszt a bot hosszbl, a fnyforrs magassgbl, tovbb a bot s a fnyforrs talppontjai kzti tvolsgbl. Feladat: Hatrozzuk meg a fnyforrs magassgt egy bot kt klnbz helyzetben vetett rnyknak a hosszbl.

4.2. Az arab hegemnia kora A hindu tudomny virgzsval egyidben kezdett kialakulni egy msik kultra Inditl nyugatra, amely hamarosan tvette tle a vezet szerepet. Ezt a kultrt, s benne a matematikt iszlm jelzvel is szoktk illetni, arra hivatkozva, hogy mveli kztt sok nem arab volt. Ha ezt tekintenk, akkor az iszlm jelz is vitathat lenne, hiszen sok keresztny s zsid tuds is ehhez az arab nyelv kultrkrhz tartozott. Az kori grg matematikusok kztt is sok volt a nem grg szrmazs, mgis a grg matematikhoz soroljuk ket. Teht az arab matematika megjellst helyesnek tartjuk, br a matematika az iszlm orszgokban cm is elfogadhat lenne. A perzsa kultra kzvett szerept is mutatja az, hogy ebben a matematikban sok a Perzsibl szrmaz tuds. Az Arab-flszigeten l arab trzsek letben az iszlm valls hozott gykeres vltozst. A vallsalapt Mohamed prfta a zsid s keresztny valls elemeinek tvzetbl egy j egyistenhv vilgvallst formlt. 632-ben bekvetkezett halla utn utdai, a kalifk, hdt szent hbork sorn hatalmas birodalmat hoztak ltre. Az arab hdtk engedtk mkdni a zsid s keresztny egyhzakat, de kezdetben nagy buzgalommal puszttottk a pogny knyveket, szobrokat s templomokat. Az Arab Birodalom hamarosan kettszakadt egy keleti s nyugati kaliftusra. A nyugati kzpontja Cordoba, a keleti pedig az al-Mansz r kalifa ltal 750 krl Babilon kzelben alaptott Bagdad lett. Az arabok igyekeztek tvenni a meghdtott npek magasabb kultrjt. Perzsiban s Szriban mr elbb sok grg mvet lefordtottak perzsa s szr (armi) nyelvre. Az arabok rendszeress tettk ezt a fordt munkt. Elssorban a grg mveket fordtottk (eredetibl vagy msodforrsbl), de a hindu csillagszat s matematika alapmveirl sem feledkeztek meg. Pldul Euklidsz Elemeit mintegy 50 arab matematikus fordtotta le a VIII. szzadtl a XV. szzadig tart arab hegemnia korszakban. Mr al-Mansz r kalifa (754,775) lefordttatta Brahmagupta mveit s a Sziddhantkat. Fia, az Ezeregyjszaka mesibl ismert Harun al-Rasid kali118

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

4.2. bra. Az Arab Birodalom trkpe.

fa (786,809) nagy knyvtrat alaptott s grg mveket fordttatott. St egy Biznccal gyztesen megvvott hbor utni bkektsben grg kziratokat szerzett knyvtra szmra. Rasid a, Mam n (809,833) csillagsz is volt. Lefordttatta Ptolemaiosz fmvt, s alexandriai mintra egy Tudomny Hzat pttetett, amelynek nagy knyvtra s csillagvizsglja volt. Lnyegben egyetemknt funkcionlt. Itt mkdtt al-Hvrizmi (780?,850?) is, akinek mveibl Eurpa az algebrt s a helyirtkes szmrst tvette. A trtnelmi viharok ellenre Bagdad tudomnyos kzpont volta s az arab tudomny vezet szerepe sokig fennmaradt. Az algebrt s a helyirtkes rsmdon alapul szmolsi mdszereket al-Hvrizmi utn al-Karhi (X. szzad), Omar Khajjam (XI. szzad), valamint al-Ksi (XV. szzad) fejlesztettk tovbb. Al-Ksi az arab matematika utols nagy alakja volt, aki fontos trigonometriai eredmnyeket rt el. Mellette mg Abul-Vafa (X. szzad) s Nasz raddin atT szi (XIII. szzad) jrult hozz jelentsen a trigonometria fejldshez. Az arab tudomnyos hegemnia szinte egyidben sznt meg az Arab Birodalommal. A mongolok 1258-ben elfoglaltk Bagdadot. Ezutn Kzp-zsia lett egy idre a tudomnyok mvelsnek kzpontja mongol uralom alatt. Az arabok fokozatosan elvesztettk Spanyolorszgot is (1492-re teljesen), amely f szntere volt az arab tudomny eurpai tvtelnek. Az arab matematika legnagyobb hats mve al-Hvrizmi algebrja. Pontos cme: Al-kitb al-muktaszr -hiszb al-dzsabr valmukabala, azaz Rvid knyv a helyreraksrl (al-dzsabr) s az sszevonsrl. Az al-dzsabr szt a nyugati arabok al-gebr-nek mondtk. Ebbl alakultak ki a latinra fordt119

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

sok sorn az algebra s algebrista kifejezsek. Mivel az al-gebr az eltrt csontok helyrerakst is jelentette, ezrt az algebrista sz Spanyolorszgban sokig csontkovcs jelents volt. Cervantes Don Quijotjban is az algebristhoz viszik a fhst, hogy az eltrt csontjait helyrerakja. Al-Hvrizmi algebrja hindu hatst is mutat, de lnyeges eltrsekkel: 1. Teljesen retorikus volt, mg szrvidtsek sem voltak benne. Nha mg a szmokat is betkkel rta ki. 2. Nem jelent meg benne a negatv szmok fogalma. Mindezek ellenre al-Hvrizmi mve a klasszikus algebra els tanknyve, amely a geometritl fggetlen tudomnny tette az algebrt, mint az egyenletek megoldsnak tudomnyt. Ettl kezdve a grg geometria helyett az arab algebra lett az igazi matematika. Knyvnek elejn al-Hvrizmi lerja, hogy mg az aritmetikban kznsges szmokkal van dolgunk, addig az algebrban hromfle szm van: &gy talltam, hogy a dzsabr s mukabala szmolshoz (rtsd: egyenletek megoldshoz) hrom fajta szmra van szksg: gyk (dzsizr), ngyzetrtk (mal) s az egyszer szm, amely nincs kapcsolatban sem a gykkel, sem a ngyzetrtkkel. Mai jellsekkel teht a hromfle szm: 1. Gyk, vagyis a dolog (x)2. Ngyzet, vagyis x2 3. Dirham (=pnzegysg), vagyis a kznsges (pozitv) szm. A szerz ezutn az els s msodfok egyenletek hat tpust vizsglja, amelyek megklnbztetsre a negatv szmok hinya miatt van szksge: 1. a gyk egyenl egy szmmal (x = b), 2. a ngyzet egyenl egy szmmal (x2 = b), 3. a ngyzet egyenl a gykkel (x2 = bx), 4. a ngyzet s a gyk egyenl egy szmmal (ax2 + bx = c), 5. a ngyzet s a szm egyenl a gykkel (x2 + c = bx), 6. a gyk s a szm egyenl a ngyzettel (bx + c = x2 ). Ezt kveten pldkkal mutatja meg, hogyan vezethetk vissza ms egyenletek erre a hat tpusra a rendezs szablyaival. Pldul: 3x2 + 22 = (10 ; x)2 3x2 + 22 = 100 ; 20x + x2 : 120

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Elszr a kivonand tagtl szabadult meg a helyreraks (al-dzsabr) segtsgvel: 3x2 + 20x + 22 = 100 + x2 : Most az sszevons s egyszersts (mukabala) kvetkezik:

x2 + 10x = 39: Ezzel egy tdik tpus egyenlethez jut. A megoldst jellsek hjn, szavakban rja le: Egy ngyzet s 10 gyk egyenl 39 dirhammal, azaz, ha hozzadsz 10 gykt egy ngyzethez, akkor az sszeg 39. A megolds gy megy. Vedd a gykk szmnak felt, teht ebben az esetben tt, szorozd meg ezt a szmot nmagval, s a szorzat 25. Add ezt hozz 39-hez, ez 64-et tesz ki. Vonj ngyzetgykt, vagyis 8, s vondd ki belle a gykk szmnak felt, mrmint tt, marad 3. Ez a megolds. Grg hatst mutat, hogy szksgesnek tartja a megolds geometriai igazolst, amit a hinduk sohasem csinltak (4.3. bra). A nagy ngyzet terlete

x2 + 4  2 5  x + 4  2 52 = 39 + 4  2 52 = 64 teht az oldal x + 2  2 5 = 8, azaz x = 3. 2 5

x

2 5 2 5

x

2 5

4.3. bra. al-Hvrizmi feladata.

Az esetleges negatv s nulla gykt egyik megolds sem rinti. Ha kt pozitv gyk volt, akkor azokat al-Hvrizmi megtallta. Pldul az x2 + 21 = 10x egyenletnl. A geometriai megoldshoz kt brt ksztett, a kt pozitv gyknek megfelelen. A megoldsok utn diszkusszit is csinlt, vagyis kitrt az egyetlen megolds s megoldhatatlansg felttelre. Al-Hvrizmi tudatban volt annak, hogy gykvonskor nemcsak egszet, vagy trtet kaphat. Az ilyen (irracionlis) gykket nmknak, vagy sketeknek nevezte. Ms arab matematikusok a kimondhatatlan kifejezst hasznltk. A gyakorlatban kzelt rtkekkel szmoltak. 121

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Nagyon sok rdekes szveg feladat tallhat al-Hvrizmi knyvben. Ezek zme vgrendeletekkel kapcsolatos, amelynek magyarzata a muzulmn rksdsi jog bonyolultsga. Kzismert az a tevs rksdsi feladat, amit csak egy teve klcsnkrsvel lehet megoldani. Nzznk egy hasonl feladatot alHvrizmitl. Feladat: Valaki, haldokolvn, a vagyonbl ngy ra egyenl rszeket, egy emberre pedig annyit hagyott, amennyi a ak mindegyiknek rsze, s mg annak negyedt, ami a vagyon harmadbl e rsz elvtele utn marad, s mg egy dirhamot. Mai jellsekkel a megolds a kvetkez. Legyen a vagyon z , a ak rsze x, az ember rsze y, a dirhamot jellje d. Ekkor:   z = y + 4x y = x + 14 z3 ; x + d 2 + 1 1 dirham: z = 5 11 11

Ezt a bonyolult megoldst a szerz jellsek nlkli algebrai ton oldja meg. Tovbblps mr csak megfelel szimbolikval lett volna lehetsges. A knyv mindenesetre a retorikus algebra cscsteljestmnye. Al-Hvrizminek fmvn kvl mg ngy knyve maradt meg, kztk egy aritmetikai, pontatlan latin fordtsban. Ez a dixit Algorithmi, azaz alHvrizmi mondja szavakkal kezddik, ami magyarzza algoritmus mszavunk eredett. A knyv eredeti cme valsznleg Knyv az sszeadsrl s kivonsrl a hinduk szmtsi mdszere szerint volt, s a mveleteket ismerteti helyirtkes rsmdban. A kettzst s felezst kln mveletnek tekinti. Osztskor hatvanados trteket, vagy trzstrteket hasznl. Szorzsnl elmondja, hogy hozz kvlrl meg kell tanulni az egyszeregyet, majd ismerteti a nulla (kis kr) szorzsi szablyait. A szorzst a kilences prbval ellenrzi. #rdekes a trtek trgyalsa a knyvben. Ezeket egysgtrtek sszegeknt fogta fel, amit a szmnevek kpzse is tkrz. Pldul 3/14 neve hrom rsz tizenngy rszbl volt, ami a 3  1=14 logiknak felel meg. Egy ksbbi arab szerz mr azt rja, hogy a trtek a kisebb szmoknak a nagyobbakhoz val viszonybl keletkeznek. Minden szmnak egy nagyobbhoz val viszonya a nagyobbik szm egy vagy tbb rszt jelenti (1=n vagy m=n). Legtbbszr igyekeztek a kznsges trteket (szmnak szmhoz val viszonytst) egysgtrtek sszegeknt, vagyis az egysghez, mint egszhez val viszonytott mennyisgknt kifejezni. Omar Khajjam tekintette elszr az arnyokat minden agglyoskods nlkl egyetlen szmnak, azaz trtszmnak (nem pedig klnbz szmok kijellt osztsnak). A trtek elfogadsa a gyakorlati szmtsokban mg ennyire sem ment simn. Igyekeztek ezeket elkerlni, amint azt egy XII. szzadi arab feladat is mutatja: Feladat: 100 font b zt kell 11 szemly kztt felosztani. Mindenki kap 9$9 fontot. A maradk font b zt elcserlik 91 tojsrt. Mindenki kap 8$8 tojst, a fennmarad 3 tojst pedig a szerz szerint annak kell adni, aki az elosztst vgezte. 122

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A IX. szzad msik nagy bagdadi matematikusa Szbit ibn Kurra (826, 901) volt. Amellett, hogy fontos grg mveket fordtott s kommentlt, nll felfedezseket is tett. Formult adott bartsgos szmprok keressre s bebizonytotta a Pitagorasz-ttel egy ltalnostst. Knn kvl  volt az els, aki bvs ngyzetekkel foglalkozott s eljrst adott ksztskre. A kvetkez kt vszzadbl Abul-Vafa (940,998) s al-Karhi (1029 krl) szintn bagdadi matematikusok neve rdemel emltst. Az elbbi bevezette a tangens szgfggvnyt s bebizonytotta a gmbhromszgtan szinusz ttelt. Az utbbi j algebra knyvet rt, amelyben elsknt oldott meg msodfokra visszavezethet magasabbfok egyenleteket. Mg tovbb fejlesztette az algebrt Omar Khajjam (1048,1131), aki egyben hres perzsa klt is volt. Harmadfok egyenleteket oldott meg kpszeletek segtsgvel, mert rjtt, hogy ms skbeli geometriai megoldsi mdszer nem lehetsges. Lehetetlennek tartotta az algebrai megoldst is. Negyedfok egyenletekkel azrt nem foglalkozott, mert azok a valsgban nem lteznek (negyedik dimenzi nincs). Negatv szmokat  sem ismert, gy a harmadfok egyenleteknek 27 tpust kellett trgyalnia. Az

x3 + ax2 + b2 x + c3 = 0 alaknl pldul x2 = 2py helyettestst alkalmazott, majd a (pozitv) megoldst a kapott 2pxy + 2apy + b2 x + c3 = 0 hiperbola s az x2 = 2py parabola metszspontjaknt nyerte. Eltren a grgktl, akiknl az egyenletek geometriai formban voltak adva, Omar Khajjam  s ms arab matematikusok  konkrt numerikus egytthatj egyenleteket rt fel. Az arabok elmleti geometriai problmkkal nem foglalkoztak. Egyetlen kivtel Euklidsz V. posztultuma volt. Egyikk (Alhazen) a Lambertngyszget, Omar Khajjam pedig a Saccheri-ngyszget alkalmazta vizsglataiban. Ezek a ngyszgek nevket ksbbi jrafelfedezjkrl kaptk. Omar Khajjam ezirny vizsglatait Nasz raddin at-T szi (1201,1274) folytatta. Emellett elsknt trgyalta a skbeli s gmbi trigonometrit a csillagszattl fggetlenl. A szgfggvnyeket derkszg hromszgben de nilta s hromszgek megoldsra alkalmazta. Pontos tblzatot ksztett mind a hat szgfggvnyre. Az arab matematika utols kiemelked alakja al-Ksi volt a XV. szzadban. Perzsa szrmazs volt, Szamarkandban lt Ulugbek udvarban. Ulugbek a nagy mongol hdt, Tamerln unokja s egyben neves csillagsz volt. Al-Ksi fknt a szmolsi mdszerek fejlesztsben rt el sikereket. Sajnos Eurpa az  mveit is tl ksn, az eredmnyek jrafelfedezse utn ismerte meg. F mve, Az aritmetika kulcsa 1427-ben jelent meg. rt mg kt msik jelents matematikai rtekezst s sok csillagszati mvet. 123

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Az aritmetika kulcsa t knyvbl ll: 1. Az egszek aritmetikja- 2. A trtek aritmetikja- 3. A csillagszok szmtsairl- 4. A mrsekrl- 5. Az ismeretlen mennyisgek keressrl az algebra, a kt hamis feltevs szablya s egyebek segtsgvel. A mvet vszzadokon keresztl tbbszr lemsoltk, nyomtatsban is megjelent 1889-ben Tehernban. Ebben a knyvben tallhat az els rsos ismertets a tizedes trtekrl s a velk val szmols szablyairl. A tizedes trteket a hatvanados trtekkel prhuzamosan trgyalja a knyv. A hatvnyalakban val szmolshoz megadja a negatv kitevkkel val szorzs-oszts szablyait. Ezzel egysgess tette az egsz s trtszmok rsnak, valamint a velk vgezhet mveletek mdjt. Megadta al-Ksi a tizedes s hatvanados trtek egymsba val tszmtsnak szablyait is. Arkhimdsz mdszert kvetve kiszmtotta  kzelt rtkt mind hatvanados, mind tizedes trtekben. Elszr hatvanados trtekkel szmolt, majd tszmolta ket tizedesekbe. A  szm trtrsze 0- 8, 29, 44 volt. Ezutn felrta, hogy 8 + 29 + 44 = x + y + z + : : : =  10 60 602 603 10 102 103 24 57 20 y + z +::: 1 + 60 + 602 + 603 = x + 10 102

teht x = 1. Hasonlan folytatva: y = 4, z = 1, stb. Vgl kapta az albbi eredmnyt: 0- 8, 29, 44 = 0,141592. Egy msik munkjban 3  228 oldal sokszg segtsgvel olyan pontosan adta meg 2 rtkt, amit Eurpa csak a XVI. szzad vgn tudott fellmlni. Al-Ksi tudta, hogy rtkei nem pontosak. Megjegyezte, hogy kzelebb llnak az igazsghoz, mint Arkhimdsz rtke, majd gy folytatta: de ezen dolgok teljes igazsgt nem ismeri senki Allahon kvl. Al-Ksi 9 jegyre pontos trigonometriai tblzatokat is ksztett. A nagyobb pontossg annak volt ksznhet, hogy a kvetkez itercis eljrssal szmolta ki sin 1 rtkt. Elszr Ptolemaiosz mdszervel eljutott sin 3 -ig. Ezutn levezette a szgharmadols kplett Ptolemaiosz ttelbl s Euklidsz azon ttelbl, amely szerint a kr kt, egymst metsz hrja szeleteinek szorzata egyenl. A kplet mai jellsekkel sin 3 = 3 sin ; 4sin3 : Ha sin = x s sin 3 = 0 0523, akkor x3 + p = qx, ahol p = 0 013075, q = 0 75. Innen: 3 3 x = x q+ p  x1  xq  x = x1 + y x1 + y = (x1 + qy) + p  Mivel y sokkal kisebb x1 -nl, ezrt elhanyagolhat, teht 3 3 x2 = x1 q+ p  x = x2 + z x2 + z = (x2 + qz ) + p  stb.

Ennek az itercinak mr a msodik lpse 0 0174737 rtket ad. 124

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

J itercis mdszert dolgozott ki egyenletek gykeinek meghatrozsra s azt harmadfok egyenletek megoldsra alkalmazta. Mdszert ma Hornerfle eljrsknt ismerjk. Szmtsaiban alkalmazta a binomilis ttelt, az egytthatkat Pascal-hromszgben rva fel. A ketts hamis feltevs szablyval egyenletrendszerek megoldsa sorn tallkozhatunk. Ebbl alakult ki ksbb az n. hrmdszer egyenletek kzelt megoldsra. Al-Ksi munkssga a szmolsi mdszerek olyan fejlettsgt tkrzi, amellyel messze megelzte kort. Eredmnyei rtkt nveli, hogy azokat jellsek hasznlata nlkl rte el. Meggyorstotta volna a fejldst, ha eredmnyei eljutnak Eurpba.

4.3. Matematika a kzpkori Eurpban Eurpnak a korai kzpkorban (VI-XI. szzad) megszakadt a kapcsolata a Kelettel, ahol a tudomny tovbbfejldtt, mg Eurpban visszafejldtt. Egyedl a kelet-rmai (biznci) birodalomban lt tovbb szmottev grg nyelv kultra. A rmai birodalom nyugati, latin nyelv rsznek az iskolai oktats megszervezse a f mveldstrtneti rdeme. Az eurpai iskolarendszer az ott lefektetett alapokbl fejldtt ki. A pedaggia trtnetnek els llamilag kinevezett s zetett tanra a rmai Quintilianus (35?,96?) volt. A retorikrl rt kziknyvt egszen a XIX. szzadig hasznltk. alkotta meg az els iskolai tantervet is, amit a kzpkorban ht szabad m!vszet nven ismertek. Ezek als csoportjt a grammatika, retorika s a dialektika (trivium) alkottk. Rjuk plt a quadrivium: aritmetika, geometria, asztronmia, zene. A trivilis jelz mig rzi ennek a felosztsnak az emlkt, mint az egyszernek a szinonimja. Quintilianus mig rvnyes sorokat rt le a matematika tantsnak rtelmrl: lesti az elmt, elmozdtja a felfogs gyorsasgt- nem akkor hasznl, amikor mr megtanulta valaki, hanem azonkzben, amg megtanulja. Tanrknt kezdte plyjt Szent goston (354,430), a keresztnysg legnagyobb hats lozfusa. Matematikatrtneti jelentsgt az adja, hogy az egyhzatyk kzl  hangslyozta leginkbb a matematika fontossgt. Szerinte a keresztny tudsnak ismernie kell a szmok jelentst, klnben sok misztikus vons rejtlyes marad eltte a Bibliban:  : : : legalbb ama szmok rtelmt kifejtenk s sszernk, amelyekrl az rs megemlkezik. A matematika eredetrl gy vall A keresztny tudomnyrl cm mvben: Hogy pedig a szmtant sem az emberek hoztk ltre, hanem csak rjttek s kipuhatoltk szablyait: akrmelyik gyengeelmj eltt is kzzelfoghat : : : senki sem teheti tetszse szerint, hogy hromszor hrom ne legyen kilenc. goston hatsra nemcsak a matematika irnt bredt fokozott gyelem, hanem kialakult a keresztny szmmisztika (gnzis), ami a zsid kabbalhoz hasonlan Pitagorasz tanaibl ntt ki. A napjainkban ismt j erre kapott szmmisztika rk motvcija az, hogy az ember mindig szeretn valamilyen jelekbl kiolvasni a jvt. 125

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A szmmisztika sszefgg a matematikval, elsegtette a szmok tulajdonsgainak jobb megismerst. Mr goston felvetette, hogy mirt ppen 153 halat fogott ki Szent Pter? A krdst vizsglva ksbb sok rdekes tulajdonsgt fedeztk fel a 153-nak: 153 = 3  3  17, 153 = 13 + 33 + 53 , 153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5!, 153 = 3(7  7 + 1) + 3, 153 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17. Ez utbbi sszefggs azt jelenti, hogy a 153 hromszgszm, vagyis kirakhat egy 17 oldal szablyos hromszg alakban. A Fld klnbz rszeirl szrmaz vallsi iratok nagy hasonlsgot mutatnak a szmok jelentst illeten. Klnbz formban ugyan, de a vilgot mindegyik az Egybl szrmaztatja. Ezen teremtsmtoszok tudomnyos megfogalmazsnak tekinthet a ma mr ltalnosan elfogadott srobbans elmlet. Taln a knai vallsban fogalmazdott meg legkifejezbben a szmokbl val teremts: Az rkkval Taobl keletkezett az Egy. Az Egybl szrmazott a Kett. A Kettbl lett a Hrom. A Hrombl pedig alakot lttt az egsz mindensg.

A hrom, majd ksbb a ngy jabb egysgnek val tekintse sszefgghet a hrmas, illetve ngyes szmrendszerrel. Minden vallsban istenhromsgok fordulnak el. A keresztny valls pedig kifejezetten Szenthromsgrl beszl, ami egyttal egysg is: Atya, Fi, Szentllek, teljes Szenthromsg, egy rk Isten. A ngyes hasonl szerepe az egyiptomi vallsban gyelhet meg leginkbb. A ngyes szerept ksbb ott is a hetes vette t, ami minden valls legszentebb szma. A ht szakrlis szerept nehz megmagyarzni. Taln sszefgg a 28 napos holdhnappal, amely ngy 7 napos ciklusra oszlik. Msok szerint a Gncl szekr ht csillaga lehet a magyarzat. Elkpzelhet a korbbi kt szent szm, a hrom s a ngy sszegeknt val szrmaztats is. Mindenesetre emberi testrszek (pl. ujjak) nem jhetnek szmtsba. A sumrban a hetes jele fejezte ki a vilgmindensget is, ami a hetes misztikumnak srgi kozmolgiai eredett valsznsti. A vilgot horizontlisan mindig ngy gtjra, vertiklisan pedig hrom szintre (g, fld, alvilg) osztottk, ami sszesen ppen ht. A vallsos szvegekben gyakori a hetes tbbszrseinek szerepeltetse, ami kezdetleges hetes szmrendszerre utal: ht s megint ht, illetve htszer ht. A 126

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

ht alapszm valaminek a teljessgt, befejezettsgt jelenti. A bibliai teremts is ht napos ciklust lel t. A hberek tlz rtelemben szvesebben hasznltk a hetvenhetet, mint a htszer hetet. Az &jszvetsgben maga Jzus is hasznlja ilyen rtelemben: Ekkor hozzmenvn Pter mond: Uram, hnyszor lehet az n atymnak ellenem vtkezni s neki megbocstanom? Mg htszer is? Monda neki Jzus: Nem mondom nked, hogy mg htszer is, hanem mg hetvenhtszer is. (Mt 18:21,22) A hetes hromszor egyms mell rsa a 777 volt a hberek szemben a legtkletesebb, a legszentebb szm. Valsznleg a korbbi teljessg (3) alkalmazsa az j teljessgre (7) logikval okoskodva. Hasonlan juthattak arra, hogy a befejezetlensget jelent hatos hromszor egyms mell rsa (666) viszont a leggonoszabb szm volt szmukra. gy lehetett a Stn szma 666 a Jelensek knyvben. A hetes szm a termszetben is gyakran elfordul. A ms fajtkkal nem keresztezett virgoknak mindig ht kls szirma van. Az emberi test sejtjei kb. ht venknt julnak meg. A tizenkettes majd a tzes szmrendszer nyomai is fellelhetk az jabb vallsi iratokban, illetve a rgebbiek ksbbi trsaiban. Izraelnek 12 trzse, Jzusnak 12 tantvnya volt. A tzes tbbszrsei kzl a negyven idbeli teljessget fejezett ki, pl. egy nemzedk letkort. A zsidk 40 vig vndoroltak a pusztban. Dvid, Saul s Salamon 40 vig uralkodnak. A vzzn 40 napig tartott. Mzes 40 napig volt a Sinai-hegyen, Jzus pedig 40 napig bjtlt. A stt kzpkorban a kolostorok voltak a kultra fnyei, ahol rendszeres oktats folyt a keresztny egyhz egyetemes latin nyelvn. A kolostori iskolkban a ht szabad mvszetet tantottk. A kzpkor iskolit a magols, a gpies memorizls jellemezte. A szmok rsa rmai szmjegyekkel trtnt. Aritmetika tanknyvnek Boethius (480?,524?) rmai lozfus s matematikus knyvt hasznltk, geometribl pedig ksbb Euklidsz Elemeinek els kteteit. A matematikt gyakorlati clokbl tanulmnyoztk, pldul egyhzi nnepnapok kiszmtshoz. Boethius volt a kzpkor uralkod loz ai irnyzatnak, a skolasztiknak a megalapozja is. Az egyhz mveldsi monopliuma folytn az els tudsok s matematikusok a szerzetesek, illetve a fpapok kzl kerltek ki. Angol szerzetes volt Alcuin (735,804), akit az arab hdtst megllt frank uralkod, Nagy Kroly hvott udvarba. Feladata iskolk szervezse, a papok s furak tantsa volt. rt egy hossz idn keresztl hasznlt feladatgyjtemnyt Feladatok az ifjak elmjnek lestsre cmmel. Ebben sok, ma is ismert feladat tallhat, amelyek megoldsa nemcsak formlis matematikai ismereteket felttelez. Jellemzsl kzljk az egyiket (6. feladat): Feladat: Ketten vsroltak 100 solidusrt egy disznkondt gy, hogy minden 5 disznrt 2 solidust zettek. Utna megfeleztk a kondt s elkezdtk rulni ismt, 5 disznrt 2 solidus ron. Az zleten jl kerestek. Hogy lehetsges ez? 127

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A megvett 250 disznt gy feleztk el, hogy az egyik kondba 125 kvr, a msikba 125 sovny diszn kerljn. Az elsbl eladtak 120-at, kettesvel 1 solidusrt, a msikbl szintn 120-at, hrmasval 1 solidusrt. gy visszakaptk a 100 solidust s mg maradt 10 disznjuk. A X. szzad vgn az arabok elvesztettk az Ibriai-flsziget szaki rszt (Katalnit), majd ksbb Sziclit, gy kt csatorna is nylt az arab tudomny elsajttshoz. A Katalnit felkeres tudsok kzl taln a legels volt Gerbert (950?, 1003) francia szerzetes, akibl ksbb rmai ppa lett. Barcelonban tanulmnyozta az arab matematikt. Hazatrve tantotta is a hindu-arab szmrst, elsknt a Pireneusokon tli Eurpban. Az j szmjegyek Gerbert abakuszn jelentek meg. &jtsa az volt, hogy az egyes vjatokba nem megfelel szm kavicsot rakott, hanem egy zsetont, amelyre rrta az j szmjegyet. Hasonltsuk ssze pldul a 2104 kirakst egy kznsges abakuszon s Gerbert abakuszn (4.4. bra). Az abakuszon a jelzetteknl sokkal tbb vjat volt, pldul volt v-

M C X

I

Kznsges abakusz

M C X

I

2

4

1

Gerbert abakusza

4.4. bra. Kznsges abakusz s Gerbert abakusza

jat a trtek szmra is (Gerbertn sszesen 27). #rdekes, hogy a mveleti eredmnyeket nem az j szmjegyekkel helyirtkesen rta ki, hanem rmai szmjegyekkel a hagyomnyos mdon. Mindenesetre abakusza mr egy lps az j szmrsra val ttrs fel. A XI. szzadban nem sok elrelps trtnt. A XII. szzadot kt fontos fejlemny is jellemzi: 1. Megindult az egyhzi iskolk egyetemekk fejldse. Elsknt Bologna, Prizs s Oxford egyetemei nyltak meg (4.5. bra.) 2. Lefordtottk a legfontosabb arab s grg mveket latinra. A latin nyelv fordtsokat fleg az egyetemi oktats ignyelte. Az egyetemek lettek a kutatsok bzisai is. A legtbb fordtst a spanyolorszgi Toledban vgeztk, ahol valsgos fordtiskola mkdtt. Emellett Sziclia szerepe sem 128

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

=XV. szzad eltt,

= XV. szzad,

=XVI. szzad.

4.5. bra. Eurpa kzpkori egyetemei.

elhanyagolhat, ahol az egymst vlt hdtk grg, latin s arab nyelve egyarnt ismert volt. Az els fordt az angol Adelard (1090?,1160) szerzetes volt, aki lruhban ltogatta az arab egyetemeket s tanulta az arab nyelvet. fordtotta le elsknt Euklidsz Elemeit. A legtermkenyebb fordt az olasz Cremonai Gherardo (1114,1187) volt, aki azrt ment Spanyolorszgba arabul tanulni, hogy elolvashassa Ptolemaiosz Almageszt jt. Letelepedett Toledban s egsz lett a fordtsnak szentelte. Tbb mint 85 mvet fordtott le, kztk elsknt al-Hvrizmi algebrjt. Fordtott ms arab szerzket is, valamint a legfontosabb grg munkkat. A XIII. szzadot az olasz Fibonacci (1170?,1250?) neve fmjelzi, aki a kzpkor legnagyobb matematikusa volt. #szak-afrikai s biznci utazsai sorn ismerkedett meg az arab algebrval s gyzdtt meg a hindu helyirtkes szmrs elnyeirl. Hazatrte utn, 1202-ben rta meg az Abakusz knyvt (Liber abaci), ezt a nagyhats sszefoglal mvet. Ez a knyv olyan rendszeressggel s mlysggel fejti ki a hindu-arab szmrson alapul aritmetikt s algebrt, amit 200 vig senki sem tudott fellmlni. Knyvben elszr az j szmrs elnyeit mutatja be Fibonacci. 'sszehasonltsul ler nhny szmot rmai s hindu szmrsban (mg kiss ms alak jegyekkel): MMM  3000, MCCXXXIIII  1234, MMMMCCCXXI  4321. Ezutn kifejti az egsz s trt szmok aritmetikjt az j szmrsban. Tizedes trtet mg nem hasznl. Egsz szmok szorzsra s osztsra a hin129

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

duk mr ismertetett eljrst ajnlja. Ellenrzsl a kilences prbt alkalmazza. Trtek sszevonsnl tkletesti a kzs nevezre hozst, az addig alkalmazott sszeszorzs helyett a legkisebb kzs tbbszrs keressvel. Vegyes szmnl a trt rszt arab szoks szerint balra rta, pldul 31 2. A mveletek elmagyarzsa utn gyakorlati pldk kvetkeznek az Abakusz knyvben: arnyossgi s tbbszrs arnyossgi feladatok (hrmasszably, lncszably, trsasgi szably), keversi feladatok, pnztvltsi feladatok. A szerepl trtek hatvanados vagy trzstrtek. A 12. fejezetben rdekes feladatok szerepelnek. Pldul a Rhind papiruszrl ismert mrtani sorozatos feladat egyik vltozata. Itt tallhat meg elszr az a kzismert feladat, hogy legkevesebb hny mrlegsllyal lehet megmrni egy olyan testet, amelynek slya egy adott rtknl kisebb termszetes szm. A fejezet legnevezetesebb feladata a kvetkez: Feladat: Hny pr ny l szletik vente egy prtl, ha minden pr havonta ellik egy prt, ez a pr egy hnap m lva maga is szaporodni kpes, s egyetlen ny l sem pusztul el? A megolds a1 = a2 = 1, an = an;1 + an;2 alakban adhat meg, amit Fibonacci-sorozat nak neveznk, s az els plda rekurzv sorozatra. Ez a sorozat a termszetben s a technikban is elfordul. Pldul egy elektromos ltrakapcsols elemein fellp feszltsgek rendre a Fibonacci-sorozat elemeit adjk, ha mindegyik ellenlls 1  s az utolsn foly ram 1 A. A sorozat sok rdekes tulajdonsga kzl az egyik leg gyelemremltbb a kvetkez

p

lim an+1 = 52+ 1  n!1 an ami ppen az aranymetszs arnyszma. A sorozat tanulmnyozsa ma is folyik. Az eredmnyeket a Fibonacci Quarterly folyirat publiklja. Nagy teret szentel Fibonacci knyve az algebrnak, vagyis az els s msodfok egyenletek, egyenletrendszerek megoldsnak. Ennek sorn az egy s kt hamis feltevs szablyt is alkalmazza. Jellseket nem hasznl, algebrja retorikus. Az ismeretlenre az arab sajj (dolog) sz fordtst (res) hasznlja. A fractio (trt) sz szintn az arab kaszr sz fordtsa. Nhny megoldhatatlan feladat kapcsn Fibonacci, Eurpban elsknt, eljut a negatv szm adssgknt val rtelmezshez. Olyan feladatokat vizsglt, amelyekben klnbz vagyonokkal rendelkez emberek gy tudnak megvenni egy adott rut, hogy vagyonukhoz hozzteszik a tbbiek vagyonnak bizonyos rszt. Egy feladatnl x = 4029 ; 4038 rtket kapott, gy a problma megoldhatatlan volt. De hozztette, ha elfogadjuk, hogy ennek az embernek 9 egysgnyi adssga keletkezik a feladat kapcsn, akkor a problma megoldhatv vlik. A XIV. szzad a fekete hall (pestis) vszzadaknt rdott be Eurpa trtnetbe, amikor a npessg egyharmada elpusztult. A gondolkods viszont kezdett kiszabadulni a skolasztika bklyjbl, sajnos  mint a XX. szzadi trtnelem is igazolja  nem vglegesen. Elfogadott vlt a ktkeds, az 130

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

rvekkel val bizonyts. A tudomny mg rszben a hittudomny szolglatban llt (ancilla teologiae). Aquini Tams (1226,1274) bizonytkokat keresett Isten ltnek igazolsra. Swineshead (1350 krl) angol hittuds az isteni kegyelemmel foglalkozva megprblta kiszmtani a kegyelem vgllapott a kegyelem pillanatnyi rtkeibl, feltve, hogy a szletskor Istentl kapott kegyelem folyamatosan vltozik. Mdszere primitv gra kus integrls volt, amit ksbb Galilei is alkalmazott az t kiszmtsra szabadessnl. Hasonl teolgiai problmk vezettk a korabeli tudsokat, pldul a folytonossg vizsglatra. Gondolataik a XIX. szzad vgn a vgtelen halmazok elmletben keltek j letre. A sebessgek arnyval foglalkozva, az angol Bradwardine (1290,1349) bevezette a feles arny fogalmt, ami az 1/2 kitevj hatvnyoknak felel meg. Ehhez kapcsoldva, a francia Oresme (1320?,1382) fejtette ki a trtes arnyok tant, vagyis a trtkitevj hatvnyok elmlett p az Arnyok algoritmusa cm p arnylik mvben. Pldul, mivel 8 = 64 s 4 = 3 64, ezrt 8 msfelesen p 4-hez, azaz 8 = 43=2. A 16 = 42 arnyt ktszeresnek, a 4 = 16 arnyt pedig felesnek nevezte. Oresme jellse a kvetkez volt 43=2 -re (4.6. bra): p 1 1 2

4

4.6. bra. Oresme jellse 43=2 -re. p=proportio (arny).

Kidolgozta a trtes arnyok mveleti szablyait, vagyis a pozitv trtkitevj hatvnyokra vonatkoz azonossgokat. Irracionlis kitevkre is kitrt, sszemrhetetlen arnyok formjban. Ezeket az arnyokat elg kzeli egsz, vagy trtes arnyokkal gondolta kzrefogni. Oresme bizonytotta be elszr az 1 + 21 + 13 + : : : + n1 +    harmonikus sor divergens voltt a kvetkezkppen:

Sn = 1 + 21 + Sn > 1 + 21 +





1 + 1 + + 1 + 1 ++ 1 : n ; 1 3 4 2 + 1 2n;1 + 2 26n   1 + 1 + + 1 + 1 ++ 1 = 4 4 2n 2n 2n = 1 + 12 + 12 +    + 12 = 1 + n 12 

teht Sn brmely szmnl nagyobb vlik n nvelsvel. A kzpkori matematika bemutatsa nem lenne teljes, ha meg nem emlkeznnk a hindu-arab szmrs fokozatos trhdtsrl. Ez elsegtette a racionlis szmok s a trtkitevs hatvnyok aritmetikjnak kidolgozst, ami a korszak legfontosabb eredmnye s egyben jelzi a sznvonaltalansgot is. 131

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Hrom vszzadba kerlt mg a szmolsi technikt sikerlt leegyszersteni. A kettzst s felezst pldul csak a XV. szzad vgn trltk, mint nll mveletet. A trtnek trttel val osztst sokig az

a : c = acd : c  vagy a : c = ad : bc b d bcd : d b d bd bd szablyok szerint vgeztk. A mai aritmetika csak a XVI. szzad vgre alakult ki a tizedestrtek bevezetsvel.

4.4. A matematika renesznsza A XV. szzad kzepn Regiomontanus (1436,1476) munkssga j fejezetet nyit a matematika trtnetben, a renesznsz kori matematikt. A kzpkorban fleg az aritmetika fejldtt, a renesznsz korban az algebra kerlt eltrbe. A fejldst elsegtettk az j technikai tallmnyok is. Olcsv vlt a papr, gy az j szmrssal vgzett rsbeli szmols gyzhetett az abakusz fltt. Ezzel a szorzs s oszts mvelete sokak szmra vlt elsajtthatv. Korbban csak a legtehetsgesebbek tudtk megtanulni az osztst. A knyvnyomtats feltallsa a szzad kzepn mg inkbb felgyorstotta a mveltsg elterjedst. Kialakult a sokoldalan kpzett, nyitott gondolkods renesznsz ember tpusa. Sorra nyltak meg az egyetemek Eurpa-szerte. A matematika sem volt mostohagyermek, a klnbz szmolversenyek az let rszv vltak, klnsen a fejld itliai kereskedvrosokban. Megsznt a latin nyelv egyeduralma is a tudomnyban, egyes mveket mr nemzeti nyelveken (olasz, nmet) rtak meg. A matematika s a tudomnyok kzpontja az angol s francia egyetemekrl a skolasztiktl kevsb fertztt szak-itliai (Bologna, Milano) s kzpeurpai (Nrnberg, Bcs, Prga, Krakk) egyetemekre tevdik t. Haznk sem maradt mg le ekkor a fejlds lvonaltl. Mtys kirly egyetemet alaptott Pozsonyban 1467-ben, ahol 4 vig Regiomontanus is tantott. Regiomontanus f mve az &t knyv mindenfle hromszgekrl cmet viseli. Benne a trigonometrit hromszgek megoldsra alkalmazza, gy fggetlenti azt a csillagszattl. Ettl kezdve szmt a trigonometria a matematika nll gnak. Az arab at-T szi hasonl felfogsa nem jutott el Eurpba. A mben sok feladatot tallunk hromszgeknek 3 adatbl val meghatrozsra. A megolds algebrai eszkzkkel trtnik, de jellsek alkalmazsa nlkl. Ezzel indul az a grgkkel ellenttes folyamat, amely a geometriai algebrizlsra, vgs soron az analitikus geometria kialakulsra vezet. Mutassuk be a mdszert egy pldn (4.7. bra). Adottak: a, h, c=b = k. Legyen m ; n = 2x. Ekkor: 4n2 = (a ; 2x)2  4m2 = (a + 2x)2  4c2 = 4h2 + (a ; 2x)2  132

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

4b2 = 4h2 + (a + 2x)2  k2 4h2 2 + (a + 2x)2 ] = 4h2 + (a ; 2x)2 : A felrt msodfok egyenletet megoldva kapjuk x-et, majd a c s b oldalak hosszt, vgl a szgeket szgfggvnyekkel. Megjegyezzk, hogy a keresett hromszg knnyen szerkeszthet Apollniosz krrel.

c n

h a

b m

4.7. bra. Regiomontanus feladata.

A szgfggvnyek mellett Regiomontanus a szinuszttelt s koszinuszttelt is alkalmazta. A szinuszttelre elegns bizonytst adott (4.8. bra):

E C

A



F G



B

AE = BC sin  = EG AE CF sin  = BC

4.8. bra. Regiomontanus szinuszttelre adott bizonytsa.

Mivel AE = BC , ezrt sin : sin  = EG : CF . Az AFC s AGE hromszgek hasonlak, ezrt: EG : CF = AE : AC = a : b, teht sin : sin  = a : b. Regiomontanus percenknti lptk s 7 jegy pontossg szinusztblzatot is ksztett. A tizedes trteket nem ismerte, gy a kr sugart 107nek vlasztotta. tallta meg az tdik tkletes szmot: 33 550 336. Bevezette a tetszleges gykmennyisgek fogalmt, megmutatta kapcsolatukat a trtkitevs hatvnyokkal, valamint rtelmezte a velk val mveleteket. Ezzel lehetv tette a logaritmus felfedezst, valamint az egyenletek gykkifejezsekkel (radiklokkal) val megoldhatsgnak vizsglatt. A gykkpletek 133

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

keresse vszzadokra az algebra kzponti krdse lett. Mindezek utn joggal tarthatjuk Regiomontanust a XV. szzad legnagyobb matematikusnak. A tovbblpshez mg egy fontos mozzanat hinyzott, az algebrai jellsrendszer kifejlesztse. Ezen a tren kt matematikus rt el jelents haladst: az olasz Luca Pacioli (1445?,1517) s a francia Nicolas Chuquet (1445?, 1500?) Pacioli olasz nyelven rta meg Az aritmetika, a geometria, az arnyok s arnyossgok summzata cm mvt. Tartalmt tekintve a Summzat ban kevs eredeti felfedezs van. A m jelentsgt a fleg szrvidtsekbl ll algebrai jelrendszer adja meg. Hatvnyok: ce. (ngyzet), cu. (kb), ce. ce. (negyedik hatvny). 'sszeads: p (piu=tbb). Kivons: m (meno= kevesebb). Egyenlsg: ae. (aequalis = egyenl). Gykk (radix=gyk) Rx(Rx2, Rx3, Rx4, vagy RxRx) Az ismeretlen jele co. volt, az olasz cosa (dolog) szbl. Az irracionlis gykket Pacioli a surdi (sketek) nvvel illette. Az algebra neve, megklnbztetsl az aritmetiktl nagy mvszet (latinul ars magna) volt. Nzznk egy pldt Pacioli jellseire:

q 3

p

x2 ; 36 ! Rx3v:ce:co:m~ :Rx36 (v.: univerzlis):

A negatv szmot nll fogalomknt nem ismerte, gy a msodfok egyenleteknek hat tpust vizsglta. A negatv szmokat csak mint kivonsban szerepl tagokat fogadta el (pl. ;4 = 0 ; 4). Megfogalmazta rjuk a szorzsi szablyokat is. A mnusz szorozva mnusszal, pluszt ad szablynl megjegyezte, hogy az rtelmetlennek tnik, de mgis igazolhat: 10 ; 2 = 8, teht (10 ; 2)(10 ; 2) = 8  8 = 64. Elvgezve a keresztbeszorzst, 10  10 = 100, amibl kivonva 4  10-et, 60-at kapunk, teht (;2)  (;2) 4-et kell hogy adjon. Pacioli ismerteti mvben a ketts knyvels szablyait is, ami olasz kereskedk tallmnya volt. Az egyes tpusokra vonatkoz egyenletmegoldsi szablyokat latin versekbe foglalta. A harmadfok egyenletekrl azt rta, hogy azok megoldsa lehetetlen. Chuquet 1484-ben rta meg A szmok tudomnya hrom rszben cm knyvt. Jellseiben kimutathat az olasz hats. Pldul az sszeads jele p, a kivons m volt. #rdekes jellse volt az ismeretlen hatvnyaira: 40 (4), 41 (4x), 42 (4x2 ). A gykk jellsben hasonl logikt kvetett: Rx2 (ngyzetgyk), Rx3 (kbgyk). A  v: (v.) (univerzlis) jel helyett zrjelknt alhzst alkalmazott. Pldul:

q

p

4x2 + 3 2 ! Rx2 42 pRx3 20 :

134

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Oresme nyomn Chuquet foglalkozott a negatv arnyokkal, azaz bevezette a negatv kitevj hatvnyokat s a velk vgezhet mveleteket. Pldul egy helytt azt rja, hogy 721 osztva 83-al 92m -et ad, vagyis 72x : 8x3 = 9x;2 . Szablyait alkalmazva rjtt a logaritmus alapgondolatra. Felrta 2 els 20 hatvnyt s fljk a kitevket

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 : : : 18 19 20 : 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 : : : 218 219 220 Rjtt, hogy az als mrtani sorozatban kt szm szorzata (hnyadosa) a fels szmtani sorozatban sszeadsnak (kivonsnak) felel meg. Ezutn az eredmnyt visszakeresssel kapjuk. Pldul: 8  128 = 23  27 = 23+7 = 210 = 1024 262 144 = 218 = 218;8 = 210 = 1024: 256 28 A negatv szmokat mr nll szmknt is elfogadta, nemcsak mint mveleti eredmnyeket, de megjegyezve, hogy habr ilyen szmokat ms matematikusok lehetetlennek tartanak. A XVI. szzadban tovbb folytatdott az algebrai szimbolika kiplse, valamint a negatv szmok s a nulla teljes rtk szmokknt val elismersnek folyamata. Hoecke holland matematikus 1514-ben bevezette a + s ; mveleti jeleket, miutn 1489-ben a nmet Widman mr eljelknt alkalmazta ket. A mveleti jeleknek s az eljeleknek az azonossga sok gondot okozott s okoz ma is az oktatsban. Nehezti az eljeles szmokkal val mveletek tantst. A zrjelek alkalmazsa sem sokat segtett, gy az j matematika didaktikjban egy msfajta megklnbztetst alkalmazunk: + 2 ; ; 3 ;4  + 2: A gykjelet a nmet Rudolf vezette be 1525-ben. Ez a jel a radix (= gyk) sz els betjbl fejldtt ki. A szintn nmet Michael Stifel (1487,1567) tartalmi s formai szempontbl egyarnt hozzjrult a matematika fejldshez. 'sszefoglal jelleg mve Teljes aritmetika cmmel jelent meg Nrnbergben 1544-ben. A knyv jelentsgt elssorban a trtek, a hatvnyok s a negatv szmok krben elrt j eredmnyek adjk. A trttel val osztst elsknt de nilja reciprokkal val osztsknt. A negatv szmokat kivons eredmnyeinek tekinti s abszurdoknak nevezi, de elfogadja ket egyenletek egytthatinak. Ezzel elszr vizsglja az addigi hat tpus helyett a msodfok egyenletek egyetlen (ax2 + bx + c = 0) alakjt s ad egysges eljrst megoldsukra. Stifel tovbbfejlesztette Chuquet szmolsknnyt mdszert azzal, hogy kiterjesztette negatv kitevkre is. Az gy nyert tblzatot alkalmazta nemcsak a szorzs s oszts, hanem a hatvnyozs s gykvons egyszerstsre is. Ezzel a logaritmus kzvetlen elksztje lett. Az algebra jelrendszert is gazdagtotta j jelekkel. A szorzst m (multiplicatio=szorzs), az osztst d (divizio=oszts) betvel jellte. Az ismeretlent 135

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

R betvel, hatvnyait az R ismtlsvel fejezte ki. Stifel jellsei mr kzel llnak a maihoz. Pldul:

r

p 3x2 + x4 = 0 ! 3RR + 4dx aequantur 0:

A matematika trtnetben az egyik jelents fordulpontot az 1545-s v hozta. Ekkor jelent meg Nrnbergben az olasz Girolamo Cardano (1501, 1576) mve A nagy m!vszet, avagy az algebra szablyai cmmel. Ezzel a knyvvel az eurpai matematika elszr haladta tl a grg s az arab matematikt. A Nagy M!vszet (Ars Magna) tartalmazza a harmad- s negyedfok egyenletek megoldsi mdszereit, amelyekre korbban nem tudtak rjnni. A m megjelense utn az algebrai kutatsok a magasabbfok egyenletek megoldkpleteinek keressre sszpontosultak. E kutatsokbl szletett meg az absztrakt algebra. Ezrt sokan 1545-t tekintik az jkori matematika kezdetnek. A harmadfok egyenlet megoldkplete (Cardano-kplet) megszletsnek trtnelmi elzmnyei a kvetkezk. A komoly pnzdjakkal s dicssggel jr szmolversenyeken gyakran kellett harmadfok egyenleteket megoldaniuk a versenyzknek. gy rthet, hogy amikor del Ferro (1465,1526), a bolognai egyetem professzora felfedezett egy megoldsi mdszert, azt senkinek sem rulta el. Ksbb Tartaglia (1500?,1557) bresciai szmolmester jra felfedezte a mdszert s titoktarts mellett elrulta Cardanonak. Del Ferro halla utn a htrahagyott iratok kzt Cardano megtallta a mdszert, gy felmentve rezte magt a titoktarts all s publiklta az eredmnyt. Knyvben  szintn lerta az elzmnyeket, elismerte Tartaglia elsbbsgt, aki mgis eskszegssel vdolta. Nyilvnos vitra s versenyre is sor kerlt Tartaglia s Cardano tantvnya Ferrari kztt. A dntbizottsg Tartaglit nyilvntotta vesztesnek. Ennek az is lehetett az oka, hogy Cardanok tovbbfejlesztettk az eljrst. Kvessk most Cardano gondolatmenett kplete levezetsben. Elszr is kikszblte a msodfok tagot a ma is alkalmazott helyettestssel. Ezutn, negatv egytthatkat nem ismerve, numerikus pldkon mutatta be az egyes pozitv egytthatj tpusok megoldst. Pldul az x3 + px = q tpust a cubus p6 rebus aequalis 20, azaz x3 + 6x = 20 egyenleten keresztl, amit Cardano szavakban gy fogalmazott meg  Legyen egy kb (kocka) s hatszoros le egyenl 20-szal. A megfogalmazsban benne van a grgk geometriai szemllete. Ez segtette Cardanot a tovbblpsben: a msodfok egyenletben alkalmazott teljes ngyzett kiegsztst a teljes kbb (kockv) val kiegsztssel helyettestette a kvetkezkppen: Legyen x = u ; v, tovbb legyen u  v az x egytthatjnak harmada (u  v = 2), gy kikszblhet a 6x tag s a bal oldal teljes kb (teljes kocka) lesz. Valban, behelyettests utn u3 ; v3 = 20 majd v = 2 gyelembevtelvel u6 = 20u3 + 8

u

136

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

addik, ami u3 -re msodfok. Megoldsa

p

p

u3 = 108 + 10 v3 = 108 ; 10: x=

qp

108 + 10 ;

3

qp 3

108 ; 10

(Rx Vcu Rx1082p10/mR 2 xVcu Rx108m10) 2 : A plda megoldsa utn Cardano szavakban lerja az ltalnos eljrst. Mai jellsekkel:

x = u ; v uv = p3  (u ; v)3 + p(u ; v) = q

u3 ; v3 ; 3uv(u ; v) + p(u ; v) = q u3 ; v3 = q p3

u6 = qu3 + 27  x =

sr

s  q 2  p 3 q r q 2  p 3 q + + ; + ;

3

2

3

2

3

2

3

2

Hasonl mdszerrel oldhatta meg Cardano az x3 = px+q (kb egyenl dologgal s szmmal) egyenletet x = u + v helyettestssel. Amikor mdszert az x3 = 15x + 4 egyenletre alkalmazta, akkor kplete az

x=

qp 3

;121 + 2 ;

qp 3

;121 ; 2

eredmnyt adta. Ezzel megoldhatatlannak tn ellentmondshoz jutott, amit casus irreducibilis nek, azaz (kpletre) visszavezethetetlen esetnek nevezett. Tudta, hogy az egyenletnek x = 4 megoldsa, msrszt tudta, hogy negatv szmnak nincs ngyzetgyke, gy kplete nem adja ezt a gykt. Az ellentmonds feloldsra irnyul vizsglatok vezettek ksbb a kpzetes, majd a komplex szm fogalmnak bevezetsre, ezzel a szmfogalom bvtsre. A matematikusok korbban is tudtk, hogy pldul az x2 + 1 = 0 egyenletnek nincs megoldsa, de ebbe knnyen belenyugodtak. A fenti ellentmondsba azonban nem! Az Ars Magnban megtallhat a negyedfok egyenlet megoldsi mdszere is, amire Ferrari jtt r a kvetkez feladat kapcsn, amit Cardano nem tudott megoldani: Feladat: Osszuk 10-et hrom rszre gy, hogy a rszek mrtani sorozatot alkossanak s az els kt rsz szorzata 6 legyen. Ha a kzps szmot x jelli, akkor: 6 + x + x3 = 10 =) x4 + 6x2 + 36 = 60x: x 6 137

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A megoldsban nem segt a geometriai szemllet, a mdszer analg a harmadfokval, de tisztn algebrai. Ferrari megoldsnak lpsei: 1. Elszr adjunk mindkt oldalhoz olyan x-es tagokat s szmokat, hogy a bal oldal teljes ngyzet legyen: x4 + 6x2 + 36 + 6x2 = 60x + 6x2 (x2 + 6)2 = 6x2 + 60x: 2. Adjunk az egyenlethez olyan y-os tagokat, hogy a bal oldal teljes ngyzet maradjon: (x2 + 6 + y)2 = 6x2 + 60x + y2 + 12y + 2yx2 (x2 + 6 + y)2 = (2y + 6)x2 + 60x + y2 + 12y: 3. Vlasszuk y-t gy, hogy a jobb oldal teljes ngyzet legyen. Ennek felttele a diszkriminns zrus volta: 602 ; 4(2y + 6)(y2 + 12y) = 0: 4. Oldjuk meg a kapott harmadfok egyenletet, amelyet az eredeti egyenlet rezolvensnek (megoldjnak) neveznk: y3 + 15y2 + 36y = 450

sr

sr

80449 41 + 287 14 ; 3 80449 14 ; 287 14 : y= 5. Helyettestsk y-t vissza a 2. pont egyenletbe, majd vonjunk mindkt oldalbl gykt. 6. Oldjuk meg a kapott msodfok egyenletet x-re. Megjegyezzk, hogy Ferrari ismerte az esetleges harmadfok tag kikszblsnek mdszert is. Az Ars Magna mellett Cardano egy msik jelents mvet is rt, A kockajtkokrl cmmel. Ebben a szerencsejtkok matematikai elemzst kezdte meg, amivel elindtotta a valsznsgszmts kialakulsnak folyamatt. A casus irreducibilis problmjt Rafaello Bombelli (1526-1572) bolognai matematikus oldotta meg Algebrjban, kort jval megelz mdon. Megmutatta, hogy ha Cardano kpletben a ngyzetgykjel alatt negatv szm ll, akkor az egyenletnek hrom vals gyke van, amelyek szo sztikus minuszokon keresztl addnak. Ezeken a negatv szmok ngyzetgykeit rtette. Az x3 = 15x + 4 egyenlet esetn pldul felttelezte, hogy 3

q

p

q

p

x = 3 2 + 11 ;1 + 3 2 ; 11 ;1 felvehet

p

p

x = 2 + b ;1 + 2 ; b ;1 138

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

alakban (tudvn, hogy x = 4). Ekkor a

q

p

p

2  11 ;1 = 2  b ;1

3

egyenlsgekbl b = 1 addik. Teht

p p A dnt lps itt az volt, hogy Bombelli a b ;1 alak kifejezseket is szmp

x = 2 + ;1 + 2 ; ;1 = 4:

nak tekintette s kidolgozta a velk val szmols szablyait. A nehzsget az okozta, hogy b meghatrozshoz elre kellett tudni a gykt. Enlkl a

q 3

p

p

m + n ;1 = a + b ;1

egyenlet harmadfokra vezet, amelyben szintn fellphet a casus irreducibilis. A problma vgleges tisztzsa Gauss nevhez fzdik. Bombelli volt a renesznsz kor utols nagy olasz algebristja, aki a szimbolika fejldshez is hozzjrult. sem alkalmazta azonban mg az egyik legfontosabb matematikai jelet: az egyenlsgjelet. Ezt az angol Robert Recorde (1510-1558) vezette be 1557-ben. Mint rta, az egyenlsget azrt jelli kt vonallal, mert kettnl tbb dolog (egyszerre) nem lehet egyenl. Az egyre tbb jel alkalmazsa ellenre az algebra mg mindig csak specilis eseteket tudott vizsglni. Egy egyenlettpus megoldst konkrt pldn tudta bemutatni, majd szavakban lerni az ltalnos eljrst. A geometriban fel lehetett venni egy tetszleges hromszget, de az algebrban nem lehetett felrni egy ltalnos egyenletet. Ezrt volt nagyon jelents a francia Francois Vite (1540-1603)munkssga, aki bevezette a betegytthatkat s kidolgozta az algebrai mennyisgekkel val szmols szablyait, a betszmtant. Az ismeretleneket magnhangzkkal, az ismert mennyisgeket mssalhangzkkal jellte. Jellsei segtsgvel ltalnosan tudott foglalkozni az x3 + 3ax = b alak egyenlettel (mg nem ezekkel a jellsekkel). Megoldsra j mdszert adott. Az x = ay ; y helyettestssel az y6 + by3 = a3 msodfokra reduklhat egyenlethez jutott. Ezt megoldotta y3 -re, majd y-t, vgl x-et szmtotta ki. Felismerte a gykk s egytthatk sszefggst is (Vite-formulk), de csak pozitv gykket vett gyelembe. A casus irreducibilisre Vite trigonometrikus megoldst javasolt, az ltala levezetett trigonometrikus azonossgokat is alkalmazva. Helyettestsnk az

x3 + 3px + q = 0 egyenletbe y = mx-et, ahol m egy ksbb meghatrozand paramter. A kapott egyenlet

y3 + 3m2py + m3 q = 0: 139

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

'sszehasonltva ezt a cos 3 = 4 cos3 ; 3 cos azonossgbl nyert cos3 ; 34 cos ; 41 cos 3 = 0

egyenlettel, szrevehetjk, hogy y = cos s 3m2 p = ; 34 helyettestssel az 1 cos 3 = m3 q 4 egyenlethez jutunk. Mivel p adott, ezrt m is ismert. Tovbb m vals, ha mindhrom gyk vals (a gykk s egytthatk kztti sszefggsbl). Teht q ismeretben cos 3 , majd cos = y kiszmthat, amibl vgl x-et kapjuk meg. Trigonometrikus tblzatbl j kzeltssel meghatrozhat minden egyes szg, gy az egyenlet mindhrom vals gykt megkaphatjuk. gy sikerlt megkerlni a negatv szmbl vonand ngyzetgyk problmjt. Ltjuk, hogy Vite milyen gyesen alkalmazta a betjellsvel lehetv vlt hatrozatlan egytthatk (paramterek) mdszert a casus irreducibilis esetn. Valsznleg ppen a problma vizsglata vezette r a betjells hasznlatra. Ksbb a hatrozatlan egytthatk mdszert sok ms esetben (pl. di(erencilegyenletek megoldsban) alkalmaztk. A renesznsz kori algebra fejldse a holland Albert Girard (1593-1632) munkssgval zrhat le. 1629-ben publiklta 'j felfedezsek az algebrban cm knyvt, amely fknt Vite gondolataihoz kapcsoldik. A negatv szmokat a pozitvakkal egyenrangakknt kezelte, elszr a matematika trtnetben. #rtelmezskre lnyegben a szmegyenest alkalmazta. A negatv a geometriban visszafel val haladst, mg a pozitv elrehaladst jelent. Ezzel elkerlte a semminl kisebb felfogst, ami elfogadhatatlan volt mg a matematikusok szmra is. A negatv s kpzetes gykket is beszmtva ltalnosan tudta felrni a gykk s egytthatk sszefggseit. gy megsejthette az algebra alapttelt: egy egyenletnek legfeljebb az egyenlet fokszmval egyez szm gyke lehet. #rdemes felidzni azokat az ellenvetseket, amelyeket a negatv s kpzetes szmokkal szemben a matematikusok felhoztak. Vite-ig senki sem fogadta el a negatv szmokat, mint egyenletek gykeit. Descartes csak azrt ismerte el ket, mert az egyenlethez egy adott mennyisget adva igazi, pozitv gykkk vlnak. Pascal teljes lehetetlensgnek nevezte 4 kivonst 0-bl. Bartja, A. Arnauld (1612,1694) pedig gy rvelt a negatv szmok ellen: hogy lehet (;1) : 1 = 1 : (;1), hiszen ;1 kisebb, mint 1 s egy kisebb arnya nagyobbhoz nem lehet egyenl egy nagyobb kisebbhez val arnyval. A (;1)  (;1) = 1 egyenlsget Euler gy bizonytotta. A (;1)  (;1) szorzat rtke 1 vagy ;1, de mivel megmutattuk, hogy 1  (;1) = ;1, ezrt (;1)  (;1) csak 1 lehet. A negatv szm fogalmt Wallis is ellentmondsosnak 140

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

tallta. Ha a trt nevezjt cskkentjk, akkor a trt rtke n. Mivel 1=0 = 1, ezrt 1= ; 1 = ;1 > 1. A ;1 teht egyszerre kisebb, mint 0 s nagyobb, mint vgtelen. Euler vgtelen sorokat alkalmazva ugyanarra a kvetkeztetsre jutott, mint Wallis. Helyettestsnk az 1 2 3 1;x = 1+x +x +x + sorba x = 2-t:

;1 = 1 + 2 + 4 + 8 +     majd az 1 2 3 (1 + x)2 = 1 ; 2x + 3x ; 4x +    sorba x = ;1-et:

1 = 1+2+3+4+ : Mivel 1+2+4+8+ > 1+2+3+4+  ezrt ;1 > 1, teht a 1 ppgy elvlasztja a pozitv s negatv szmokat, mint a zr. Leibniz egyenesen megijedt, mikor rjtt a

q p q p p 1 + ;3 + 1 ; ;3 = 6

egyenlsgre: kt rthetetlen,pimaginrius kifejezs sszege megfoghat eredmnyt ad. Szerinte nemcsak ;1, hanem a ;1 sem ltezik, mert csak azok a szmok lteznek, amelyeknek van logaritmusuk. Girard, rezve a negatv s kpzetes szmokkal szembeni ellenrzseket, gy rvelt mellettk: Valaki krdezheti: mi rtelme ezeknek a lehetetlen megoldsoknak? Egyrszt az ltalnos szablyok szerint lehet velk szmolni, msrszt sok clra hasznlhatk s vgl mert nha nincsenek ms megoldsok. Az algebrai szimblumrendszer tkletestsben nagy rdemei vannak kt angol matematikusnak: Harriot-nak (1560-1621) s Oughtrednek (15741660). Descartes 1637-ben rott geometrija mr a folyamat lezrst jelzi. Benne a ma is hasznlt jellsekkel tallkozunk, ilyen rtelemben ez az els olyan knyv, amit egy mai kzpiskols minden nehzsg nlkl el tudna olvasni (feltve, hogy franciul is tud). A renesznsz kor kt fontos szmtstechnikai felfedezssel is hozzjrult a matematika fejldshez: a tizedes trtekkel (Stevin) s a logaritmussal (Napier, Briggs, Brgi). 141

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A tizedes trteket mr Vite ta hasznltk egyes matematikusok, de a holland Simon Stevin (1548-1620) volt az, aki kidolgozta elmletket a Tizedes egysg cm, 1585-ben megjelent mvben. Ebben azt gri, hogy megmutatja hogyan lehet elvgezni mindenfle szmtst knnyen, pusztn egsz szmokkal trtek nlkl. Nem is hasznlta a tized, szzad stb. elnevezseket, hanem helyettk az els, msodik stb. jelzvel klnbztette meg a tizedestrteket. Ebben taln az is kzrejtszott, hogy az emberek nem szerettk a trteket. Egy nmet monds pldul a trtek kz kerlni mdon fejezte ki a bajba juts fogalmt. Stevin jellsei a kvetkezk voltak. 0 3,1416= 3 0 1 1 4 2 1 3 6 4 vagy 3

1 1

2 4

3 1

4 6

A tizedespontot Napier, a tizedesvesszt pedig Kepler vezette be. Az elbbi ma is hasznlatosabb az angolszsz orszgokban. Ezzel a tzes helyirtkes rsmd kiterjedt a trtekre is, ami teljess tette a helyirtk elvnek alkalmazst s kiszortotta a hasznlatbl a hatvanados trteket. A tizedestrtek tettk lehetv a szintn holland Ludolph Van Ceulen (1540-1610) szmra, hogy minden eddiginl pontosabban kzeltse meg a  rtkt. Krberhat 262 oldal sokszg segtsgvel (amihez sorozatos felezssel jutott) sikerlt 35 tizedesjegy pontossgig eljutnia. Ez a teljestmny annyira mulatba ejtette a kortrsakat, hogy a -t Ludolph-fle szmnak neveztk el. Megjegyzsre verseket rtak a klnbz nyelveken. Az albbi magyar nyelv rigmusban a szavak betinek szma adja az els 30 jegyet: Nem a rgi s durva kzelts 3,14159 mi sztl szig gy kijn 26535 bet!iket szmllva 89 Ludolph eredmnye mr, 793 ha itt vgezzk, h sz jegyen. 23846 De rendre kij mg tz pontosan 264338 azt is bzvst grhetem 3279

A tovbblpst  kzeltsben s megismersben a vgtelen sorok felfedezse jelentette. A skt James Gregory (1638-1675) felfedezte az arctg x hatvnysort: 3

5

7

arctg x = x ; x3 + x5 ; x7 +    (;1  x  1) amibl x = 1 helyettestssel addik, hogy  = 1; 1 + 1 ; 1 + 4 3 5 7 Ezzel a lassan konvergl sorral eljutottak egszen 808 tizedesjegyig (Ferguson s Wrench, 1948). A szmtgpes rekord 106 tizedesjegy (Guilloud, 1974). A 142

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

-rl Lambert mutatta meg, hogy irracionlis (1767), Lindemann pedig, hogy

transzcendens szm (1882). A logaritmus szintn a szmtsok megknnytse vgett szletett s fleg a csillagszok lttk hasznt. Kepler szerint felfedezse megduplzta a csillagszok lett. A logaritmus alapgondolatra mr Stifel rjtt: ha a szmokat valamely alap hatvnyaknt rjuk fel, akkor a kitevkkel (a szmok logaritmusaival) eggyel alacsonyabb rang mveleteket kell vgezni, mint magukkal a szmokkal (pl. szorzs  sszeads). Ennek alapja az, hogy a szmok (a hatvnyok) mrtani, a kitevk a szmtani sorozat szablya szerint vltoznak. A mveleti eredmny visszakereshet a tblzatbl. Megjegyezzk, hogy napjainkban a logaritmus vesztett szmtsknnyt szerepbl. A mrnk jelkpe ma mr nem a logarlc, hanem az elektronikus zsebszmtgp. A logaritmus-fggvny azonban tovbbra is az egyik legfontosabb fggvnytpus maradt. A skt John Napier (1550-1617) 20 vi munka utn publiklta A csodlatos logaritmustblzat lersa cm mvt 1614-ben. Olyan alapot igyekezett vlasztani, amelynek hatvnyai elg kzel esnek egymshoz, ugyanis Stifel kettes alapszmnl ez nem teljeslt. Tudta, hogy az alapnak egyhez kzel kell esnie. Regimontanus nyomn 107 -nel kezdett. A 0 s 107 kzti szmrtkeket egy AZ egyenesen brzolta:

A

A

B

B

C

E

Z

D Felttelezte, hogy egy pont mozog A-bl Z fel olyan cskken sebessggel, amely arnyos a pont Z -tl val tvolsgval. Jellje ezt az arnyossgi tnyezt k. Egy kis t id alatt a pont fussa be az AB , BC , CD, DE tvolsgot. Ezen kis t id alatt a sebessg llandnak tekinthet. Teht pldul CD = k  CZ  t, vagyis DZ = CZ ; CD = CZ (1 ; kt). gy az AZ , BZ , CZ , : : : sorozatban brmelyik tag (1 ; kt)-szerese az elznek, vagyis mrtani sorozatot alkotnak. 0

C

D

0

0

Napier A-bl egy msik pont egyidej lland sebessg mozgst is felttelezte. Ez a pont B 0 , C 0 , D0 , : : : -be r, amikor a msik B , C , D, : : : -be r. Teht az AB 0 , AC 0 , AD0 , : : : tvolsgok szmtani sorozatot alkotnak. Az AB 0 , AC 0 , AD0 , : : : tvolsgokat a BZ , CZ , DZ , : : : tvolsgok logaritmusainak nevezte. Az AZ = 107 logaritmusa nulla volt. gy a logaritmusok szmtani sorozatban nnek, maguk a szmok pedig mrtani sorozatban cskkennek. A logaritmus alapja 1 ; kt, amelyben Napier elszr a k = 10;7, t = 1 rtkeket vlasztotta. Az alap gy valban nagyon kzel esett egyhez s alkalmas volt szinusz rtkek logaritmusainak kiszmtsra. Maga a logaritmus elnevezs Napiertl szrmazik. Jelentse: harmonikus arny (a szmok s logaritmusaik kztt). Ez a felismers, hogy tudniillik a

143

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

logaritmus kt vltoz mennyisg kzti sszefggst fejez ki, elksztette a fggvnyfogalom kialakulst. Hasonl tblzatot ksztett a svjci Joost Brgi (1552-1632) is, amit azonban csak 1620-ban kzlt Aritmetikai s geometriai hatvny-tblzatok cmmel. Nla az alapszm szintn 1-hez kzeli volt: (1 + 10;4)10 . Meg gyelhetjk, hogy mindkt alapszm valahogyan ktdik az (1 + 1=n)n tnyezhz, amely elszr a kamatoskamat-szmtsokban fordult el. Knnyen lthat, hogy n nvelsvel e tnyez rtke stabilizldik. Elszr Euler jellte a n 1 lim 1 + n!1

n

hatrrtket e-vel. Lambert bebizonytotta rla, hogy irracionlis, Hermite pedig, hogy transzcendens szm. Ma az e szm a termszetes logaritmus alapszma. A gyakorlatban a tzes alap logaritmus terjedt el, amelynek tblzatt Henry Briggs (1561-1630) angol matematikus ksztette el. Clszersgt abban ltta, hogy ekkor lg 1 = 0, lg 10 = 1, valamint erre az alapra egyszerbb azonossgok teljeslnek, mint Napier alapjra. Ez tbb elnyt jelent, mint az, hogy 1-hez kzeli alap esetn az rtkek kevsb szrdnak. Tblzata elksztsekor Briggs a lg 1 = 0, lg 10 = 1 alaprtkekbl indult ki, a kzbens rtkeket sorozatos gykvonsokkal kzeltette. Nzzk pldul a lg 4 kiszmtst: p 1 < 4 < 10 lg 1  10 = 12 lg 10 = 0 5 = lg 3 162 p 3 162 < 4 < 10 lg 10  3 162 = 21 (lg 10 + lg 3 162) = 1 (1 + 0 5) = 0 75 = lg 5 623 2 3 162 < 4 < 5 623

p lg 3 162  5 623 = 12 (0 5 + 0 75) = 0 625 = lg 4 217:

Az eljrs tetszleges pontossgig folytathat. A renesznsz kor csak a perspektva tannak kidolgozsval jrult hozz a geometria fejldshez, ami a projektv s az brzol geometria alapjait vetette meg. Ezt a munkt a renesznsz festk vgeztk el, elssorban a nmet Albrecht Drer (1471-1528), aki szerepet jtszott a szmjegyek mai alakjnak megformlsban is.

4.5. Szmrsmdok A szmok rsnak hrom klnbz fajtja alakult ki a fejlds sorn: a hieroglikus, az alfabetikus s a helyirtkes szmrsmd. 144

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A hieroglikus szmrs

A hierogli kus szmrsban kln jel van minden csomszmra, vagyis az alapszm (pozitv) egsz kitevj hatvnyaira. A szmok felrsa az addicis elv szerint trtnik, ltalban a legnagyobb szmon kezdve a felrst. Ilyen elv volt az egyiptomi, az sumr s a korai grg szmrs. Szmunkra legismertebb pldjt a rmai szmok, vagyis az kori rmaiak szmrsa adja. A rmai szmjegyek eredett nem ismerjk. Alakjuk egyesek szerint a szmrovs jegyeire, msok szerint klnbz kztartsokra emlkeztetnek. Ismt msok a grg bc betibl szrmaztatjk ket. A jegyek az ts s tzes szmrendszer keveredst mutatjk, mert nem csak tz hatvnyaira, hanem tre, tvenre s tszzra is kln jel van (5=V, 50=L, 500=D). A rmai szmrson keresztl lthatjuk a hierogli kus rendszer htrnyait. Nagy szmok lersa problematikus, mert vagy jabb s jabb jeleket kell bevezetni, vagy a meglvket sokszor ismtelni. Hasonl nehzsg merlt fel trtek rsakor is. A msik problmt a mveletek elvgzse jelenti. Az sszeads, kivons s a ktszerezsre alapozott (egyiptomi) szorzs szmoltbla segtsgvel lehetsges ugyan, de az oszts mg azzal sem. A rmai szmrst alkalmaz kzpkori Eurpban az osztst csak a legnevesebb egyetemeken tantottk. Gerbertet ellenfelei egyenesen az rdggel val cimborasggal vdoltk, mert kpes volt brmilyen kt szmot elosztani egymssal. A 4.9. bra rmai

4.9. bra. Rmai abakusz az I. szzadbl.

szmoltblja, azaz abakusza az I. szzadbl val, levelezlap nagysg. A tbln az 5, 50, 500 rtk golykat a megfelel vlyatok kz tettk. #rdekes, hogy a fels rvid vlyatokba tett golyk 5 egysgnyiek voltak. A trtek jellse esetleges volt, nem alkotott egysges rendszert. 'sszeadskor kiraktk a kt sszeadand szmot, egyestettk ket, majd amit lehetett bevltottk nagyobb egysgre. A kivons mg egyszerbb volt (ha nem vezetett negatv szmra!) A szorzst ltalban egyiptomi mdszerrel ktszerezsre vezettk vissza. 145

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Trtneti rdekessge mellett  ami a motivls szempontjbl sem elhanyagolhat  az abakusz ma is hasznos segdeszkz lehet a klnbz szmrendszerekben val szmols tantsakor. A negatv szmok problmjt ms szn golykkal lehet megoldani. Az abakusz klnbz npeknl sok vltozatban volt megtallhat: szcsoti (oroszok), szoroban (japnok), szuan pan (knaiak). Szerept a helyirtkes szmrsban tvette az rsbeli szmols, de hasznlata a mai napig fennmaradt az oroszoknl s knaiaknl, pldul ruhzakban. Legjabban jra bevonult az iskolai oktatsba. Az alfabetikus szmrs

Az alfabetikus szmrs kialaktsa azutn vlt lehetv, miutn a fniciaiak feltalltk az bct, ami azutn ms npeknl is elterjedt. Az egyes szmokat bcjk betivel jelltk, valamilyen megklnbztet jellel elltva ket. A grgkn kvl ilyen szmrsa volt a hbereknek, a szlvoknak, az rmnyeknek, a grzoknak, az egyiptomi keresztnyeknek (a koptoknak). A szlv alfabetikus szmrs emlkei ikonokon, egyhzi iratokban haznkban is fellelhetk. Az anyaknyvezst a hajddorogi pspksgen mg a mlt szzadban is cirill bets szmrssal vgeztk. A betk fl megklnbztetsl az n. titlt (2) tettk. A hber szmrssal srkveken s a zsinaggkban tallkozhatunk. A szmok betkkel val jellse egyttal minden szhoz egy szmrtket is rendelt, gy pldul minden nvhez egy szm is tartozott: az illet nv beti szmrtkeinek sszege. Ebbl kialakult egy sajtos szmmisztika, az gynevezett gematria. A Bibliban a kvetkezket olvashatjuk: s hogy senki se vehessen, se el ne adhasson semmit, hanem csak akin a fenevad blyege van, vagy neve, vagy nevnek szma. Itt van a blcsessg. Akinek rtelme van, szmllja meg a fenevad szmt mert emberi szm: s annak szma hatszzhatvanhat. (Jelensek knyve, 13: 17,18.) A 666 szm napjainkban is feltnik a stnos szektknl, s taln a keresztnyldz Nr csszrra utal. Nevnek szmrtke a hber gematriban ugyanis ppen 666. A grg szmrsban az men sz szmrtke 99 ( " = 1+40+8+50 = 99), ezrt gyakran rtak imdsgok vgre mg a kzpkorban is 99-et. Az Isten hber nevnek (Jahve) szmrtke 15 volt (jah = 10, ve = 5), amit tilos volt kimondani. Helyette inkbb a 9+6 kombincit mondtk, vagy felmutattk a 4.10. bra szerinti bvs brt. Ha kt ember nevnek szmrtke bartsgos szmprt alkotott, akkor ez nagyon szoros kapcsolatot jelentett kzttk  a gematria hvei szerint. A helyirtkes szmrs

A helyirtkes szmrsmdban egy szmjegynek alaki s helyirtke is van. Ugyanaz a szmjegy jellheti az alapszm brmilyen hatvnynak tbbszrst, 146

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

9 3

5

7

1

4.10. bra.

helytl fggen. gy kevs jeggyel brmilyen nagy szmot fel lehet rni, valamint knnyen lehet az gy felrt szmokkal szmolni. Egymstl fggetlenl hrom helyen jutottak el a helyirtk gondolatig: 1. Babilniban Kr. e. 2500 krl. Az alapszm 60 volt, a szmok vgn nem rtk ki a nulla jelt s mindssze hrom jelet hasznltak (1, 10, 0). Pozitvum volt a helyirtk kiterjesztse a (hatvanados) trtekre. 2. A kzp-amerikai Yucatn-flszigeten a majk idszmtsunk kezdete krl. Szmrendszerk huszas volt, de mivel a 360 napos (18 hnap, mindegyike 20 nap) naptrjukbl szrmazott, egy helyen srlt a helyirtk elve: 1, 20, 20  18, 202  18, 203  18, : : : A majk hrom jelet hasznltak (1,5,0) s a helyirtk fggleges elrendezs volt (4.11. bra).

6 20 18 + 0 20 + 2 = 2162 1

5

0

4.11. bra. A majk szmrsa.

A maja szmrendszert s naptrt S. G. Morley amerikai kutat ismertette elszr 1913-ban. A maja rst ma sem sikerlt teljesen megfejteni. A legnagyobb elrelpst e tren J. V. Knorozov szovjet matematikus rte el 1955ben, aki egy pozcis statisztiknak nevezett szmtgpes eljrst dolgozott ki ismeretlen rsok megfejtsre. 3. Indiban 500 krl a hindu matematika egyestette a helyirtk elvt a tzes szmrendszerrel. Tz jelet hasznlt, belertve a legfontosabbat: a nullt. Szmrsuk arab kzvettssel kerlt Eurpba, innen a kzkelet arab szmok elnevezs, ami mind trtneti, mind etimolgiai szempontbl helytelen. Pontosabb a hindu-arab szmrs elnevezs. Az j szmjegyek elszr Spanyolorszgba s Szicliba jutottak el az arab hdts rvn. Elterjedskben kzrejtszhattak a kereskedk is, de fontosabb 147

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

szerepk volt egyes knyveknek, illetve matematikusoknak. Itt elssorban alHvrizmi knyvt kell megemlteni a hindu szmrsrl, amely ismerteti a helyirtk elvt s a nullt: Ha nem marad semmi (a szmolsnl vagy a szmllsnl), akkor tegyl oda egy krcskt, hogy a hely (a helyirtkrendszerben) ne legyen res, hanem a krcske tltse be, nehogy a helyirtkek cskkenjenek s pldul a msodik helyet elsnek vld, s emiatt tvedj szmtsaidban. A gobr, azaz nyugati arab szmjegyek elszr Gerbert abakusznak zsetonjain (apices) jelentek meg elszr a Pireneusokon tli Eurpban. Fontos szerepe volt az j szmjegyek megismertetsben Fibonacci knyvnek (Liber abaci) is, aki gy vezeti be ket: Van kilenc hindu jel: 9,8,7,6,5,4,3,2,1 (mg nem ilyen formban!). Ezeknek a jeleknek s a 0 jelnek a segtsgvel, amelyet arabul szifr-nek neveznek, brmilyen szmot fel lehet rni, amit csak akarunk. Megjegyzi, hogy ehhez a szmrshoz kpest minden ms eljrs (mg Gerbert abakusza is) rtktelen. Az elterjeds egyik akadlya ppen a nulla (a kis krcske) volt. Neve a semmit jelentette a klnbz nyelvekben. Eurpban a cifra nv vltozatai terjedtek el az arab al- szifr (ressg) szbl. A nulla teht semmi, de egy szm utn rva mgis megtzszerezi azt. Ez a problma neheztette az j szmrssal szmol algoristk dolgt az abakusszal szmol abacistkkal szemben. Az algoritmus  cifra kifejezs kromkods volt a XV. szzadi Franciaorszgban. A kereskedk sem szerettk az j szmrst a knny hamisthatsg miatt. Egy nulla beiktatsval rgtn tzszeresre vltozott a szm, amellett knny volt 6-ot, vagy 9-et nullra hamistani. A papr elterjedse, valamint az a tny, hogy a szmolversenyeken rendre az algoristk gyztek, nagyban segtettk a helyirtkes szmrs elterjedst s a rmai szmjegyek visszaszorulst. Elterjedsk foka lemrhet a pnzrmken val megjelenskkel: Sziclia 1138, Svjc 1424, Ausztria 1485, Franciaorszg 1485, Nmetorszg 1485, Magyarorszg 1499, Anglia 1551, Oroszorszg 1654. Az olasz zleti letben 1494-tl lett ktelez a hasznlatuk. A szmjegyek alakja sokat vltozott s sokfle formt lttt a knyvnyomtats feltallsa eltt. Ugyanarra a szmra tbbfle jegy is volt hasznlatban. A vgleges formk kialaktsban a legnagyobb szerepe Drernek volt, egyik hres rzmetszetn (Melanklia) mr az j formk lthatk egy 4  4-es bvs ngyzetben, amelynek als sorban az elkszts vszma (1514) is kiolvashat (4.12. bra). Bvs ngyzeteknek nevezzk n2 termszetes szm olyan ngyzetalak elrendezst, amelynl ugyanaz a szmok sszege a ngyzet minden sorban, oszlopban s tljban. Ezt a kzs sszeget bvs sszegnek, az els n2 szmbl ll bvs ngyzetet pedig normlis bvs ngyzetnek nevezzk. A vilg legrgebbi bvs ngyzete egy Kr. e. VIII,VII. szzadi knyvben tallhat. (4.13. bra) Eredetrl Konfucius (Kung-fu-ce) knai lozfus a kvetkezket rja: Az bra J csszrnak jelent meg Kr. e. 2200-ban a Lo folyban sz teknsbka htn. A fr s a ni szmok megklnbztetse s az egsz knai szmmisztika nagy hasonlatossgot mutat a pitagoreusok szmmisztikjval. Knn kvl elszr Tbit ibn Kurra arab matematikus rt a bvs ngyzetekrl, eljrst adva ksztskre. Eurpban Drer mellett Cardano, Kepler, Fermat 148

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

4.12. bra. B"vs ngyzet Drer rzmetszetn.

4 9 2 3 5 7 8 1 6

4.13. bra. A legrgibb ismert b"vs ngyzet kpe: (Kna, Kr. e. 2200). Fekete krk = pros (ni) szmok# vilgos krk = pratlan (fr) szmok.

s Napier ksztett ilyeneket. Amerikban Benjamin Franklin foglalkozott velk a legintenzvebben. A kzpkorban valban hittek bvs voltukban. Azt hittk, hogy egy lemezbe vsett bvs ngyzet viselse mg a pestist is tvoltartja. A bvs szmngyzetek mintjra kszltek bvs betngyzetek is, amelyek soraiban s oszlopaiban ugyanazok a szavak olvashatk. A leghresebb az ldztt skeresztnyek titkt rejtette (4.14. bra). Ilyen ngyzetet talltak Pompeii romjai kztt, de elfordult kszereken s ms trgyakon is. Titkt akkor sikerlt megfejteni, mikor a keresztny katakombkbl elkerlt az bra eredetije, egy betkereszt, amelyet az A PATERNOSTER O 149

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó S

A

T

O

R

A

R

E

P

O

T

E

N

E

T

O

P

E

R

A

R

O

T

A

S

4.14. bra. A Pompeii romjai kztt tallt b"vs ngyzet.

szbl alkottak. Jelentses: miatynk, az rkkval (alftl az omegig). Ebbl ll ssze a betngyzet, amelynek P betjbl lugrsokban haladva kiolvashat a PATER sz. Az els magyar betngyzeteket Arany Jnos ksztette. Eurpban a tzes helyirtkes rsmd a tizedestrtek bevezetsvel lett teljes a XVI. szzad, vagyis a renesznsz kor vgre. Hasonl elv, de ms szmjegyeket hasznl szmrsok ma is lteznek. A szmjegyek csaldfja azonban kzs trl fakad.

4.15. bra. Szmjegyeink csaldfja.

150

www.interkonyv.hu

© Filep László

1500 (szmtstechnika, tizedes trtek)

1400 1300

at-Tszi

(trigonometria, prhuzamossg) Omar Khajjam

(harmadfok egyenletek) al-Karhi

(diophantoszi egyenletek) AbulVafa (tangens, gmbhromszgtan, ibn Kurra (bartsgos szmok, bvs ngyzetek) al-Hvarizmi

(algebra, szmrs)

1200

Drer

(szmjegyek, perspektva) Pacioli, Chuquet

(jellsek)

Regiomontanus

Fibonacci

(Liber abaci, sorozat) Bhszkara

(Lilavati, algebra, zrus )

1100

Gerbert

(abakusz)

1000 900 800 700 600 500

Arab matematika

Napier, Briggs (logaritmus) Viete (szimbolikus algebra) Stevin (tizedes trtek) Ludolph ( ) Stiefel (negatv szm) Cardano (Ars Magna)

(trigonometria, gykk)

Alcuin

Helyirtkes szmrs

al-Kshi

Hinduarab szmrs

1600

Algebrai szimbolika

© Typotex Kiadó

(feladatgyjtemny)

Brahmagupta

(algebra, negatv szmok) Arjabhata

(verses szinusztblzat, aritmetika) Hindu s eurpai matematika

4.16. bra. A kzpkor s renesznsz matematikjnak korfja.

151

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Gyakorlatok Hindu feladatok 1. Egy hattycsapatb l annyi hatty rep lt a t irnyba, mint a csapat ltszmb l vont ngyzetgyk t zszerese. A csapat nyolcadrsze elrejtztt a ny l v zinvnyek kz s 6 kiszott merszen a v zre. Mondd meg, te pomps haj lnyka, hny hatty volt sszesen a csapatban? 2. Egy vmos 4 kereskedt egyenknt kikrdez ruik rtke fell. A kereskedk  elhallgatva sajt ruik rtkt  rendre bevalljk az ruk sszrtkt: az els 22-t, a msodik 23-at, a harmadik 24-et, a negyedik 27-et. Mekkora az egyes kereskedk ruinak rtke? 3. Majmok jtszottak egyszer. Nyolcadrsz k ngyzetre emelve mr ugrl az erdben. A fennmarad 12 tncolva s nagy zajjal a zld lombok kztt szalad. , mondd meg szp hlgy, hnyan voltak sszesen? 4. Mondjtok meg, hny mh alkotja a mhrajt, ha a raj ltszmnak felbl vont ngyzetgyk mennyisg mh a jzminbokrokra szllt, a raj 8/9-ed rsze otthon maradt, s egy mhecske a l tuszvirg fel rep lt, hogy seg tse kiszabad tani trst a virg kelyhbl! 5. Egy pvacsapat egytizenhatod rsze egy mang fn l, a tbbi pva kilenced rsznek a ngyzete s mg tizenngy pva pedig egy tamlafn. Hny pva van a csapatban? 6. Egyazon egyenes mentn ll egy gyertya, valamint a gyertya kt oldaln egyegy h magassg plca. A kt plca egymst l val tvolsga d, a gyertya ltal vetett rnykok hossza a s b. Milyen magas a gyertya? 7. Egy l tuszvirg 4 lbnyira emelkedett a t sz ne fl a szl nyomsra a v z al bukott 16 lbnyira att l a helytl, ahol azeltt a v z fl emelkedett. Milyen mly a t ? 8. Oldjuk meg Bhszkara m dszervel az xy = 3x+2y+34 diopantoszi egyenletet. 9. Igazoljuk Bhszkara ngyzetgyks azonossgait p p(4.1. szakasz) s seg tsg kkel ll tsuk el kt ngyzetgyk sszegeknt a 17 + 240 kifejezst. 10. Egy vendglbe 3 fradt vndor rkezik s rendelnek egy tl gomb cot. Mire elksz l, a vendgek elalszanak, ezrt a fogad s leteszi a tlat az asztalra s elmegy. Az egyik vndor felbred, megszmolja a gomb cokat, egyharmadt megeszi, majd visszafekszik aludni. Hasonl an cselekszik a msodik s harmadik vndor is. Reggelre 8 gomb c marad a tlban. Hny gomb c volt benne eredetileg? Arab feladatok 11. Egy keresked 17 tevt hagyott 3 gyermekre. A legidsebbre a felt, a kzpsre a harmadt, a legkisebbre a kilencedt hagyta az llatoknak. Hogyan lehet a vgrendeletet vgrehajtani? 12. Vndor rkezik rabl kt l kifosztva egy fogad ba. Csak egy 7 rmbl ll kapcsos aranylnca maradt. Napi egy rmrt kap szllst s mindennap kell zetnie. Ht napig maradt s mindssze kt helyen vgta el az rtkes lncot. Hogyan oldotta meg gy a naponknti zetst?

152

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

13. Tbit ibn Kurra a kvetkez kpletet adta bartsgos szmok elll tsra: Ha p = 3 2n 1, q = 3 2n;1 1, r = 9 22n;1 1 pratlan pr mszmok, akkor 2n pq s 2n r bartsgos szmok. Igazoljuk a kpletet n = 2 s n = 4 esetn! 14. Bizony tsuk be ibn Kurra kvetkez ttelt, ami a Pitagorasz-ttel egyfajta ltalnos tsa: Ha az ABC hromszg C cscsb l hzott CD s CE szakaszok az AB oldallal akkora szget zrnak be, mint az ABC hromszg szge, akkor AC 2 + BC 2 = AB (AD + EB ) 15. Oldjuk meg a al-Hvrizmi m dszereivel a 2x2 + 10x = 48 1 2 2 x + 5x = 28 ;

16.

17. 18. 19. 20.

;

;

egyenleteket! Egy 50 knyk szlessg foly ellenttes partjain  pontosan egymssal szemben  kt, 20 s 30 knyk magassg plmafa van. A plmk tetejn l kt madr, amelyek egy halat pillantanak meg a v z sz nn. Mindketten egyidben indulnak a hal fel, s egyszerre rik el a plmk tvt sszekt egyenesen. Mennyi utat tett meg a kt madr s hol tallkoztak? (al-Karhi feladata) Valaki 100 d nrrt tehenet, birkt s tykot vett, sszesen 100 darabot. A tehn ra 10, a birk 1, a tyk pedig fl d nr. Hny darabot vett az egyes fajtkb l? (Abu Kamil feladata) Igazoljuk at-Tszi ttelt: Ha egy kr csszs nlk l grd l egy msik, ktszer akkora sugar kr belsejben, annak ker letn, akkor brmelyik pontja a nagyobb kr valamelyik tmrjt rja le! Kpezz k 478 s 993 sszegt, illetve szorzatt. Ellenr zz k az eredmnyek helyessgt kilences pr bval! Keress k meg Omar Khajjam m dszervel az x3 + 2x + 8 = 5x2 egyenlet pozit v gykeit. M dos tsuk a m dszert gy, hogy alkalmas legyen a negat v gyk megtallsra is.

Feladatok a kzpkori Eurpbl 21. Oldjuk meg Alcuin feladatgy jtemnybl a kvetkez feladatokat: (a) Egy kutya nyulat kergetett. A nyl a kutyt l 150 lbnyira volt. A nyl egy ugrssal 7, a kutya pedig 9 lbnyit haladt elre. Hny ugrssal rte utol a kutya a nyulat? (b) Ha 100 vka bzt gy osztunk el 100 szemly kztt, hogy a frak 3, a nk 2, a gyerekek 1/2 vkt kapnak, akkor hny fr, n illetve gyerek volt a 100 szemly kztt? (c) Harminc palackot, amelybl 10 tele van borral, 10 flig, 10 pedig teljesen res, gy kell elosztani 3 testvr kztt, hogy mindegyik ugyanannyi palackot s bort kapjon. Hogy lehetsges ez? (d) Egy embernek t kellett vinni cs nakjval a foly n egy farkast, egy kecskt s egy kposztt. Ezek kz l egyszerre csak egyet vihetett t. Hogyan oldotta meg a problmt, tekintettel arra, hogy a kecske megeszi a kposztt, illetve a farkas a kecskt, ha egyed l maradnak?

153

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

(e) Egy haldokl gy rendelkezik, hogy ha vrand s felesge t sz l, akkor a  kapja az rksg 3/4-t, az zvegy pedig 1/4-t. Ha lny sz letik, akkor 7/12 rsz a lny, 5/12 rsz az zvegy. Hogyan kell elosztani az rksget, ha egy -lny ikerpr sz letik? 22. Oldjuk meg Fibonaccinak a nyulak szaporodsra vonatkoz feladatt. 23. Igazoljuk a Fibonacci sorozat kvetkez tulajdonsgait: (a) n!1 lim aan+1 = 52+ 1 . n (b) (an  an+1 ) = 1. an+1 an;1 = a2n + ( 1)n , n 2. n n (c) an = (1 + 5) 2n (1 5) 5 24. Oldjuk meg az Abakusz knyve albbi feladatait (nem csak egyenlettel!): (a) Egy ember gy sz lt a msikhoz: Adj nekem 7 dnrt, akkor n nlad tszr gazdagabb leszek. A msik gy felelt: Inkbb te adj nekem 5 dnrt, gy n htszer gazdagabb leszek, mint te. Mennyi pnz k volt? (b) Valaki 30 madarat vsrolt 30 montrt. 3-3 verbrt 1 montt, 2-2 gerlrt szintn 1 montt, vg l 1-1 galambrt 2 montt zetett. Hny madarat vett az egyes fajtkb l? (c) Ha 30 ember 9 nap alatt 1000 ft ltet el, akkor hny nap alatt ltet el 36 ember 4400 ft? (d) A kirlyi gy mlcsskertbe 7 kapun t lehet bejutni s mindegyik kapunl r ll. Egyszer valaki bejutott a kertbe s ott almkat lopott. Hogy baj nlk l kijusson mindegyik rnek odaadta az ppen meglv alminak felt s mg egyet. A kertet egy almval a zsebben hagyta el. Hny almt lopott eredetileg? p

;

p

p

;

;



p

Renesznsz kori feladatok 26. A kvetkez problmk Regiomontanust l szrmaznak: (a) A Fld felsz nnek melyik pontjban ltszik egy f ggleges felf ggesztett rd a leghosszabbnak, azaz a legnagyobb lt szg alatt? (b) Hatrozzuk meg a hromszget, ha adott kt oldal k lnbsge 3, a harmadik oldalhoz tartoz magassga 10 s annak a kt rsznek k lnbsge, melyekre ez a magassg a harmadik oldalt osztja 12! (c) Szerkessz nk hrngyszget 4 oldalb l! 27. Keress k meg az albbi egyenlet egyik gykt Cardano s Vite m dszervel: x3 + 63x = 316. 28. Oldjuk meg a x3 ; 7x + 6 = 0 egyenletet faktorizlssal s Cardano-kplettel! 29. Oldjuk meg a Vite-fle helyettes tssel az x3 ; 9x2 + 14x + 24 = 0 egyenletet! 30. Szm tsuk ki Briggs m dszervel lg 5 rtkt 4 tizedesjegy pontossgra! 31. Keress nk m dszereket b vs szmngyzetek ksz tsre!

154

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Irodalom )1] )2] )3] )4]

Cimpan, F. T.: A  trtnete. Albatrosz, 1971. Filep Lszl,Bereznai Gyula: A szmrs trtnete. Gondolat, 1982. Juskevics, A. P.: A kzpkori matematika trtnete. Gondolat, 1982. Kuzmiscsev, V. A.: A maja papok titkai. Kossuth, 1977.

155

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

156

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

5. fejezet

Az jkori matematika Ebben a fejezetben a matematika XVII.,XVIII. szzadi fejldst mutatjuk be s kitekintst adunk a tovbbfejlds f tendenciira a modern matematika korszakban.

5.1. Az jkori s a modern matematika f vonsai Az jkor kezdett a trtnelemben az angol polgri forradalom jelzi, ami utn kibontakozott az ipari forradalom s j trsadalmi rend szletett. A matematika trtnetben szintn forradalmi vltozst hozott a XVII. szzad kzepe, a grg matematika megszletse ta a legnagyobbat. Kialakult az analitikus geometria, majd annak nyomn a matematikai analzis. Ezzel a matematikai absztrakci magasabb szintre lpett: az egyenletek ismeretleneit kiszmt elemi matematika tadta helyt a vltozkat tartalmaz fggvnyek vizsglatnak, ms szval az algebrt felvltotta az analzis. Ez azzal a kvetkezmnnyel is jrt, hogy a XVII. szzad vgre a matematikt mr nem lehetett komoly eltanulmnyok nlkl megrteni. Lejrt a matematikval kedvtelsbl foglalkoz amatrk ideje. A matematika utols, egyben legnagyobb amatrje a francia Pierre Fermat (1601,1665) volt. Maguk a matematikusok is egyre nehezebben tudtk tfogni a matematika egszt, egyre inkbb szakosodtak. A matematika trtnetnek taln utols matematikusa a nmet K. F. Gauss (1777,1855) volt, akit kortrsai joggal neveztek a matematikusok fejedelmnek. A XVII. szzadban a matematikai kutats szervezeti formi is megvltoztak. Az egyetemek szerept tvettk a tudomnyos akadmik- Npoly 1560, Rma 1603, London 1662, Prizs 1666, Berlin 1700, Szentptervr 1725. A XVIII. szzad nagy felvilgosult uralkodi is tmogattk a tudsokat s mvszeket, ezzel is emelni akarvn kirlyi udvaruk rangjt. Ennek pozitv hatsa volt az, hogy a tudomnyokkal val foglalkozs nemcsak a gazdagok kivltsga maradt. Az j eredmnyek kzlsnek formja eleinte a tudsok egyms kzti levelezse, illetve a knyvben val megjelens volt. Ksbb a folyiratokban val 157

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

publikls vlt  s maradt  a kzzttel f formjv. Az els folyiratot G. W. Leibniz (1646,1716) alaptotta Lipcsben 1682-ben Acta Eruditorum (Tudsok Folyirata) cmmel. A fejlds kzpontja Franciaorszg lett, mellette a XVII. szzadban Anglia jtszott fontos szerepet. A XVIII. szzadot a francia felvilgosods eszmi uraltk. Hittek az sz erejben, a vilg megismerhetsgben, a jelensgek kiszmthatsgban. E nzetek alapjul az gi s fldi mechanika, illetve az ezek sztnzsre gyorsan fejld matematika szolglt. A szzad vgn nhnyan mr gy gondoltk, hogy a matematikban mr nem is nagyon maradt felfedezni val. A XIX. szzad alaposan rcfolt erre a nzetre. A megjuls azonban nem a francia matematikusoktl, hanem a nmet Gausstl indult ki. A XVII. szzadban kezdtek kialakulni a modern matematika legfontosabb gai, amelyek a XVIII. szzadban tovbbfejldtek s jakkal is kibvltek. A legnagyobb jelentsg eredmny a geometria algebrizlsa (analitikus geometria) volt, ami lehetv tette a fggvnyfogalom kialakulst (Descartes, Fermat). Az jkori matematika kzponti fogalma a vltozkat tartalmaz fggvny lett, az elz korok ismeretleneket tartalmaz egyenlete helyett. A fggvnyek vizsglatra ltrejtt a matematikai analzis, azon bell elsknt a di(erencil- s integrlszmts (Newton, Leibniz). Az analzis eszkztra a XVIII. szzadban jabbakkal bvlt: sorelmlet, di(erencilegyenletek, komplex fggvnytan. A legfejlettebb matematikai g az analzis lett, amelynek mdszerei bevonultak a tbbi gba, pl. di(erencilgeometria, analitikus szmelmlet. Hasonlan trtnt ez korbban az algebrval, illetve a grgknl a geometrival. A fggvnyeknek a matematikai analzis segtsgvel trtn vizsglata olyan termszeti folyamatok matematikai elemzst tette lehetv, amelyek korbban megkzelthetetleneknek bizonyultak. Ilyenek voltak pldul a vltoz sebessg mozgsok, a rezg hr alakja, a hvezets problmja. Ezen problmkat ltalban di(erencilegyenletek formjban rtk fel, amelyek megoldsa adta a folyamatokat ler fggvnyt. Az analzis trhdtst az sem akadlyozta, hogy az alapjul szolgl vgtelen kicsiny fogalma tisztzatlan, illetve ellentmondsos volt. Az eredmnyek helyessge kell igazolsul szolglt a korabeli matematikusoknak. A fogalmi tisztzsra csak a logikai szigorsg magasabb fokt kvetel modern matematika korban kerlt sor a hatrrtk fogalmnak bevezetsvel, majd az irracionlis szm pontos de ncijval. Az jkorban lett nll tudomny a szmelmlet (Fermat, Euler, Gauss). Ekkor indult meg a projektv geometria (Desargues, Pascal), az brzol s a di(erencilgeometria (Monge), valamint a valsznsgszmts s kombinatorika (Pascal, Fermat, J. Bernoulli, Laplace) fejldse. Ide nylnak vissza  fleg Euler s Lagrange munkssghoz  sok, ksbb kifejld matematikai g gykerei: csoportelmlet, variciszmts, topolgia, grfelmlet. Ekkor kszltek el az els szmolgpek (Leibniz, Pascal), a mai elektronikus szmtgpek sei. 158

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A XVII. szzadot Descartes, Fermat, Newton, Leibniz s Pascal nevei fmjelezik, a XVIII. szzad kt legnagyobb matematikusa a svjci L. Euler (1707,1783) s a francia J. L. Lagrange (1736,1813) voltak. Mellettk a svjci Bernoulli csald tagjai, valamint a francia P. S. Laplace (1749, 1827) s G. Monge (1746,1818) rtek el kiemelked eredmnyeket a matematika klnbz terletein. A XVIII. szzad adta a matematika trtnetnek msodik jelents nalakjt Hiptia ta, az olasz Maria G. Agnesi (1718, 1799) szemlyben. volt az els ni egyetemi tanr is. XIV. Benedek nevezte ki a bolognai egyetem matematika tanszkre. Nevt rzi az Agnesi-fle boszorknygrbe. Az jkori s a modern matematika hatrn egy risi alak ll: Gauss. ltalnos vlekeds szerint Arkhimdsz s Newton mellett Gauss a matematika trtnetnek legnagyobb alakja. Gauss sok rgi megoldhatatlannak tn problmt oldott meg, elssorban a szmelmlet s az algebra terletn. A bizonytsi ignyt s a logikai szigorsgot magasabb fokra emelte, ezzel elksztette a talajt egy j korszak kialakulshoz, amelyet a szemllettl val elszakads s az axiomatikus mdszer jellemez leginkbb. A fordulat a nemeuklidszi geometrik felfedezsvel, vagyis Bolyai Jnos s Lobacsevszkij munkssgval kvetkezett be. Ezzel a geometria megszabadult az euklidszi szemllet korltaitl, ami j gondolkodsmdra vezetett az algebrban s az analzisben is. Az j gondolkodsmd forradalmisgt Gauss mr nem merte vllalni, pedig  maga is hasonl eredmnyekre jutott kziratos hagyatknak tansga szerint. A XIX. szzadban a matematikai kutatsok kzpontjai ismt az egyetemek lettek. Az els j tpus egyetem a prizsi #cole Polytechnique volt, amelyet 1794-ben alaptottak. Els igazgatja Monge volt, akit Lagrange vltott fel. Monge tantvnya, Gergonne indtotta tjra az els tisztn matematikai folyiratot 1810-ben (Annales de Mathematiques), amelynek cikkei fleg az elemi matematika krbe tartoztak. A fels matematiknak szentelt els folyiratok a nmet Crelle Journal (1826) s a francia Liouville Journal (1836) voltak. Ma mr a folyiratok sokasga ll a matematikusok rendelkezsre. ttekintskre 1868-ban megindult az els referl folyirat, a Fortschritte der Mathematik (ma Zentralblatt fr Mathematik cmmel jelenik meg). 1940-ben angol nyelv (Mathematical Reviews), majd orosz nyelv referl folyirat is indult. A legrgibb matematikai mdszertani folyirat a nmet Archiv der Mathematik und Physik (1841), amit egy vvel ksbb egy hasonl francia folyirat kvet. A vezet szerepet a franciktl fokozatosan a nmet egyetemek veszik t a XIX. szzadban: Gauss munkssga nyomn elssorban a gttingeni, majd Weierstrass kinevezse utn a berlini. Nmet matematikusok vgeztk el a geometria s az analzis modernizlst, az algebra megjtsa viszont a cambrigde-i egyetem kutatinak monopliuma lett. A XIX. szzadi matematika hrom legfontosabb esemnye a geometria, az algebra s az analzis felszabadulsa volt a korbbi gondolkodsmd uralma all. 159

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A nemeuklidszi geometrik felfedezse megmutatta, hogy nemcsak egyfle geometria ltezhet, illetve, hogy a geometriai szemllet nem ad biztos tmpontot a matematikban. Ezutn hasonl fejlds indult meg az algebrban s az analzisben: klnbz algebrk felttelezse az absztrakt algebra kialakulshoz, a szemlletre val tmaszkods elvetse az analzis aritmetizlshoz vezetett. Az algebra fejldsben fontos lps volt a permanencia elv kimondsa (Peacock, 1830), majd pontostsa Hankel ltal. Ez lehetv tette a kznsges aritmetika mveleteinek tgabb szmhalmazokra, st akrmilyen halmazra val kiterjesztst (szimbolikus algebra). A kvaternik algebrjnak megalkotsa (Hamilton, 1843) pedig megmutatta, hogy nemcsak a kznsges aritmetika szablyai szerint lehet szmolni. A kvaternik algebrjban ugyanis a szorzs nem kommutatv. Ezek a gondolatok, vagyis, hogy nemcsak az aritmetika szablyai szerint s nemcsak szmokkal lehet szmolni, ugyanolyan rltsgnek tntek, mint korbban a prhuzamossgi axima elvetse (grbe egyenesek felttelezse) a geometriban. Lassanknt azonban megnyltak a kapuk, fknt angol algebristk (Cayley, Boole) munkssga nyomn, a klnbz algebrk (csoportok, testek, hlk) ltezsnek elfogadsa, vgs fokon az absztrakt algebra kialakulsa eltt. Az analzis alapfogalmainak tisztzst ugyan Cauchy megoldotta a XIX. szzad elejn a hatrrtk fogalmnak segtsgvel, de ez a fogalom a vals szm szemlletes fogalmra plt. Weierstrass megmutatta, hogy a szemlletre nemcsak a geometriban, hanem az analzisben sem lehet tmaszkodni. Pldt adott olyan fggvnyre, amely minden pontban folytonos, de sehol sem derivlhat (sehol nincs rintje). Szerinte elbb meg kell alapozni a vals (irracionlis) szmok elmlett, majd az analzis fogalmait ebbl kell levezetni, hiszen azok a vals szmok tulajdonsgaitl fggenek. Ezt a programot Weierstrass az analzis aritmetizlsnak nevezte. A program a vals szm szabatos de nciival (Dedekind, Cantor), valamint az analzis fogalmainak (" )-s megfogalmazsval vgl is megvalsult. Ezzel az analzis megalapozsnak kzel hrom vszzados folyamata lezrult, valamint megolddott a matematiknak a msodik nagy vlsga, amit a vgtelen kicsiny fogalmnak tisztzatlansga okozott. A XX. szzadi matematikrl mg nehezebb valamifle tfog elemzst adni, mint a XIX. szzadirl. Ezt a trtneti tvlat hinya s a fejlds bonyolultt vlsa indokolja. Nhny jellemz vons azonban mr kirajzoldott. A modern matematika centrlis fogalma a fggvny helyett a strukt ra lett, amelynek f fajti a kvetkezk:  algebrai struktrk  relcis (rendezett) struktrk  topologikus struktrk (absztrakt terek) A struktrk klnbz fajtj lekpezsek (fggvnyek) segtsgvel de nilhatk, gy a struktra fogalma a fggvny fogalmra pl. (Tgabb rtelemben a relcira). 160

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A struktrk a matematika minden gban elfordulnak, kzs tulajdonsgaik jelzik a (tiszta) matematika egysgt. A mai matematika trgyt a klnbz halmazokon rtelmezett klnbz struktrk tanulmnyozsa adja. Ennek megfelelen a modern matematika alapvet gai a halmazelmlet-logika, az absztrakt algebra (az algebrai struktrk elmlete) s a topolgia (a topologikus struktrk elmlete). A jelenkori matematika fontos jellemzi az ltalnosts s absztrahls, valamint az axiomatikus mdszer. Korbban a matematikai fogalmak valamilyen kls szksgszersgbl keletkeztek s hossz folyamat sorn tisztzdtak. Ma a fejlds rendszerint a matematika bels szksgleteibl indul, az j fogalmak logikai folyamat tjn nyerik el vgs formjukat, a valsggal val sszevetsk msodlagos. A vgtelen halmazok elmletben ellentmondsok kerltek felsznre, amelyeket az axiomatikus mdszerrel sem sikerlt kikszblni. Az axiomatikus vizsglatok egyedl a termszetes szmok Peano-fle aximarendszernek abszolt ellentmondstalansgt tudtk igazolni. gy eltrbe kerlt a matematika tbbi gnak a termszetes szmokra val visszavezetse (aritmetizlsa). Ez mg egyik g esetn sem sikerlt, gy a matematiknak ez a harmadik nagy vlsga mg nem olddott meg.

5.2. A geometria algebrizlsa Az algebrai mdszerek s szimbolika fejldse lehetv tette, hogy kopernikuszi fordulat kvetkezzen be a geometria s az algebra viszonyban. A grgk az algebrt geometrizltk, Descartes s Fermat pedig az algebrai geometrit teremtettk meg a koordinta-rendszer segtsgvel. Maga a koordinta-fogalom nem volt j, voltak trtneti elzmnyei (Apollniosz, Ptolemaiosz), de alkalmazsa geometriai alakzatok egyenletnek felrsra, majd ezzel geometriai problmk megoldsra viszont j tlet volt. Fermat elbb alkalmazta a koordinta-mdszert, mint Descartes. Mr 1629-ben megrta errl szl munkjt, amit elkldtt bartainak, de nyomtatsban csak 1679-ben kzlte. Emellett jellsei is elavultak voltak. Descartes Geometria cm munkja 1637-ben jelent meg, gy a kortrsak eltt elbb vlt ismertt. Jellsei megfeleltek a maiaknak, ami knnyebb tette megrtst. Descartes egyetemes matematika ltrehozst jellte meg clknt mvben, vagyis a geometria s algebra egyestst. Elszr megmutatta, hogy szakaszok szorzst s osztst is el lehet vgezni egy egysgszakasz segtsgvel, az n. negyedik arnyos szerkesztssel: Ezzel megmutatta, hogy szakasz hossza nemcsak x, hanem x2 , xy, x3 , stb. is lehet, amivel megszntette a homogenits elvt, vagyis hogy x mindig szakaszt, x2 (xy) mindig terletet, x3 mindig trfogatot jelent. A szakaszok kzti mveletek segtsgvel a geometriai feladatok algebraiakk tehetk, mivel minden geometriai problma visszavezethet szakaszok hosszsgnak meghatrozsra. Ezutn felvett egy x tengelyt, majd r adott szgben egy y tengelyt (5.2. bra). Negatv rtk egyik tengelyen sem volt. Ebben a rendszerben brmely 161

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

x

x 1

y

1

y

xy

y

xy

5.1. bra. Kt szakasz szorzatnak s hnyadosnak szerkesztse a negyedik arnyos szerkesztssel.

pont egy szmprral adhat meg. Erre lltlag akkor jtt r, amikor az gyon fekve egy lgy mozgst gyelte a mennyezeten egy sarok kzelben. Az egyes xekhez tartoz y rtkeket adott egyenlet esetn a fent lert szerkesztssel hatrozta meg. y y 

= x2

P (  )



x

5.2. bra. Ferdeszg" koordinta-rendszer.

Mdszert Apollniosz hrom egyenes problmjra (lsd ott) alkalmazta elszr. A felttelekbl felrt egyenletrl kimutatta brzolssal, hogy az egy kpszelet egyenlete. Descartes tudta, hogy analitikus mdszervel olyan feladatok is knnyen megoldhatk, amelyek tiszta szintetikus geometriai mdszerekkel nem, vagy nehezen oldhatk meg. A Geometria msodik rszben a grbket osztlyozta Descartes az ket meghatroz ktismeretlenes egyenlet (fggvny) alakja, illetve csukls szerkezettel val megszerkeszthetsgk szerint. Ha az egyenlet algebrai volt, akkor a megfelel grbt geometriainak, egybknt mechanikainak nevezte. Ma az algebrai, illetve transzcendens elnevezs hasznlatos. Fermat ms oldalrl kzeltve jutott el a koordinta-rendszer hasznlathoz. Descartes geometriai problmk algebrai megoldst kereste, Fermat pedig adott ktismeretlenes egyenlethez kereste a megfelel grbt. Az sszetartoz rtkprokat brzolva rjtt, hogy ha az egyik ismeretlennek valamilyen rtkt adunk, akkor az egyenlet egyismeretleness, gy megoldhatv vlik. Megmutatta, hogy elsfok ktismeretlenes egyenlet gra konja mindig egyenes, msodfok pedig kpszelet. A negatv szmok, illetve koordintk hinya miatt a grbknek csak a pozitv rszt rajzolta meg. Eljrsa sorn koordinta162

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

transzformcikat is alkalmazott. &j grbkhez j egyenletek felrsval jutott, mg Descartes a csukls szerkezete mozgsval, a nyert grbhez utlag keresett egyenletet. A Descartes s Fermat ltal magalapozott analitikus geometria lnyege gy foglalhat ssze. Minden skbeli geometriai alakzatot rendezett vals szmprok (binris relcik) halmazaknt fog fel. Az alakzatot de nil tulajdonsgokat olyan egyenletek s egyenltlensgek formjban fejezi ki, amelyek alaphalmaza . Ezek segtsgvel a geometriai bizonytsok algebrai eljrsokk vlnak. A skbeli pontok vals szmprokkal val kifejezse koordinta-rendszerek segtsgvel trtnik, amely tbbfle lehet: derkszg, polr, stb. A koordinta-mdszer felhasznlhat fordtva is: algebrai egyenletek gra kus megoldsra. Az elmondottak illusztrlsra tekintsk az 5.3. bra emberfej alakzatt.

R

y

1 1

x

Alakzat Egyenlet arc x2 + y 2 = 16 jobb szem (x ; 2)2 + (y ; 2)2 = 1=4 bal szem (x + 2)2 + (y ; 2)2 = 1=4 szj y = ;3 (;1 x 1) orr x = 0 (;1 y 1) jobb fl (x ; 4)2 + y2 = 1 (x > 31=8) bal fl (x + 4)2 + y2 = 1 (x < ;31=8)

5.3. bra. Emberfej.

A kortrsak hamar felismertk a koordinta-geometriai mdszer jelentsgt, ami lehetv tette geometriai problmk egyszer s egysges kezelhetsgt. Az angol Wallis 1655-ben a kpszeleteket mr egy kzs egyenlettel de nilta (y2 = 2px + "x2 ) s ebbl vezette le geometriai tulajdonsgaikat. hasznlt elszr negatv koordintkat is. A koordinta-rendszert tovbb tkletestette Newton s Euler, mg vgl elnyerte ma ismert alakjt. A negatv szmokat kerlend Newton bevezette a polrkoordinta-rendszert, amelyben egy pont helyzett egy tvolsg s egy forgsszg hatrozza meg (5.4. bra). Polrkoordintkkal sok grbe egyenlete egyszerbben adhat meg, klnsen a klnbz spirlisok. Pldul a kr: r = c. A felletek analitikus geometriai trgyalshoz szksg volt a trbeli koordinta-rendszerre, amelyet Monge s Laplace alkalmaztak elszr rendszeresen. A trbeli brzols lehetv tette nemcsak egy-egy alakzat, hanem 163

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

P (r ) r

O



x

y

Kapcsolat kztt:

a

ktfle

x = r cos  y = r sin 

$

koordintapr

p

r = x2 + y 2 = arctan ab

5.4. bra. Kapcsolat a derkszg"- s polrkoordintk kztt.

klnbz alakzatok kapcsolatnak vizsglatt (pl. hajlsszg, tvolsg). A felletek kzl a legfontosabbak a msodrend felletek voltak, amelyek a kpszeletek trbeli ltalnostsai. Specilis eseteik a msodrend forgsfelletek, amelyeket egy msodrend grbe (kpszelet) tengely krli forgatsval kapunk. Az analitikus geometrit Euler rendszerezte elszr, aki a hasonlsgot s a3nitst is algebrailag rtelmezte. Egy grbe akkor a3n kpe valamely msiknak, ha P (x y) s P 0 (x0  y0 ) pontjaikra fenll az x0 = ax + by y0 = cx + dy (a b c d 2  ad ; bc 6= 0) sszefggs. Az analitikus geometria fejldst Lagrange 1788-ban megjelent Analitikus mechanika knyve zrja le. A geometria algebrizlst illusztrlva szerzje ezeket rja: Ebben a knyvben nincsenek brk, csupn algebrai mveletek. Lagrange mvben megtallhat a msodrend algebrai grbk s felletek analitikus geometriai trgyalsa. Newton viszont a harmadrend algebrai grbk tanulmnyozsval elindtotta az algebrai geometrit. Ennek trgya az algebrai grbk s felletek vizsglata. Egy algebrai skgrbe egyenlete f (x y) = 0 alak, ahol f vals egytthats ktvltozs polinom. Fokszma adja a grbe fokszmt. A harmadrendeket Newton tpusokba sorolta s megllaptotta, hogy mindegyikk elllthat centrlis vettssel az y2 = ax3 + bx2 + cx + d grbbl. Ez az llts annak analgja, hogy minden msodrend grbe, azaz kpszelet elll egy kr centrlis vetleteknt. Ismert volt mr az is, hogy egy msodrend grbt 5 pontja meghatrozza, mivel ltalnos egyenletben 6 egytthat van: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0: Megfordtva: brmely 5 ponthoz van olyan kpszelet, amire az 5 pont illeszkedik. A harmadfok skgrbe egyenletben 10 egytthat van, gy 9 pont kellene, hogy meghatrozza. Maclaurin megmutatta, hogy 9 pont nem mindig elg, 10 pont viszont sok: 9 ponton tbb ilyen grbe is tmehet, 10 ponthoz viszont nem mindig tallhat mindegyikkn tmen grbe. A harmad, s negyedfok skgrbk rendszeres trgyalst Cayley vgezte el a XIX. szzadban. Osztlyozsukat nevezetes pontjaik (csompont, visszafordulsi pont, izollt pont) alapjn s az analzis eszkzeivel oldotta meg.

R

164

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Az analzis mdszereinek alkalmazsa az analitikus geometrinak j gt hozta ltre: a di(erencilgeometrit. Euler gondolataibl kiindulva, megalapozja Monge volt, akinek 1804-ben jelent meg Az analzis alkalmazsa a geometriban cm mve. Monge a trgrbk jellemzsre a grblet s a csavarods fogalmt vezette be, derivlt segtsgvel de nilva ket. Szemlletesen egy adott pontbeli grbletet a grbleti sugr reciproka adja. Egyenes grblete zrus. A csavarods az rint s grbleti sugr ltal meghatrozott simulsk irnyvltoztatst mri az adott pont mozgsnak fggvnyben. Skgrbk csavarodsa nulla. Ksbb a grblet s csavarods fogalmt kiterjesztettk felletekre is. Az analitikus geometria fjnak jabb hajtsai a XIX. szzadban a tbbdimenzis vektorgeometria s a homogn koordintkkal analitikuss tett projektv geometria voltak. A fenti rvid ismertetsbl is lthat milyen nagy fejldst indtott el a geometriban a koordinta-fogalom bevezetse. Igazi jelentsge azonban az volt, hogy lehetv tette sszefggsek s folyamatok fggvnyek formjban val felrst, majd e fggvnyek elemzst a matematikai analzis eszkzeivel.

5.3. A matematikai analzis kialakulsa s fejl dse A matematikai analzis trtnete Arkhimdsszel kezddtt, akinek integrlmdszere gondosan kidolgozott s a kimertsi aximval kellen megalapozott is volt. A terlet, trfogat, s vhossz szmtsra vonatkoz mdszerek a XVII. szzadban keltek j letre. Lnyegk az volt, hogy grbevonal idomokat kis rszekre osztva egyenes vonal darabokbl ptettek fel, majd az gy kapott rtkeket sszegeztk. Kepler forgstestek trfogatra dolgozott ki ilyen eljrst egy 1615-ben megjelent knyvben, amelynek pontos cme: A boroshordk j trmrtana  klnsen az ausztriaiak, amelyeknek a legelnysebb alakjuk van, s a kbzlc rendkvl knyelmesen alkalmazhat rjuk  az arkhimdszi trmrtanhoz f!ztt kiegsztsek csatolsval. A cm elrulja Kepler egyik motivcijt. Nagy borterms grkezett, hordkat akart gyrtani, ezrt kereste a legkevesebb anyagbl a legnagyobb trfogatot ad hordalakot. A knyvben 92 forgstest trfogatt szmtotta ki, kztk a truszt. Mdszere a vgtelen kicsiny (in nitezimlis) hengerszeletekre val feldarabols, majd ezekbl olyan testek felptse volt, amelyeknek mr tudta a trfogatt szmtani. Mdszere helyessgt nem bizonytotta. Kepler eljrsnl elmletileg sokkal megalapozottabb volt Cavalieri mdszere, amelyet az oszthatatlanok geometrijnak nevezett s terlet-, illetve trfogatszmtsra alkalmazott. Az alakzatokat eggyel alacsonyabb dimenzij tovbb nem oszthat rszekbl sszetetteknek kpzelte. Pldul skidomot vonalakbl, testeket lapokbl. Kimondta a ma is alkalmazott Cavalieri-elv et: kt skidom terletnek, illetve kt test trfogatnak arnya megegyezik sszes oszthatatlanaik arnyval. Egyenlsg az sszes oszthatatlan egyenlsge esetn ll fenn. Ez knnyen szemlltethet pldul egy krtyacsomval, amelynek trfoga165

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

ta vltozatlan marad, ha a krtykat vzszintesen eltoljuk. Cavalieri mdszert kt pldn mutatjuk be: az ellipszis terletnek, illetve a gmb trfogatnak levezetsn (5.5. bra). y

b a

x

5.5. bra. Az ellipszis terlete a Cavalieri-elvvel.

Osszuk fel a krt (egyttal az ellipszist) oszthatatlanokra, vagyis az y tengellyel prhuzamos hrokra. Ezek arnya adja a kt terlet arnyt a Cavalierielv szerint: p p yk+ = a2 ; x2  ye+ = ab a2 ; x2 

ye : yk = b : a: Teht a kt terlet arnya is b : a, ahonnan te : (a2 ) = b : a, te = ab.

Tekintsnk egy kzs skon ll flgmbt s egy krhengert. A hengerbl legyen kivgva egy kp az 5.6. brn lthat mdon. Messk el a kt testet azonos m magassgban. Knnyen belthat, hogy a kt skmetszet terlete mindkt testnl egyenl, nevezetesen (r2 ; m2 ). Teht a Cavalieri-elv szerint a kt test trfogata is egyenl:  Vg = V ; V =) V = 2 r3  ; r3  = 4r3  : h k g 2 3 3 Az oszthatatlanok mdszert Wallis fejlesztette tovbb, Gregory pedig visszatrt az arkhimdszi mdszerhez. Ezzel szmtotta ki pldul a parabola alatti terletet (5.7. bra). n 1  k 2 X n + 1) = T =  n = n13  n(n + 1)(2 n 6 k=1 2 = 2n +6n32n + 1 = 13 + 21n + 6n1 2 : Ha a beosztsok szmt (n-et) nveljk, akkor a msodik s harmadik tag rtke elhanyagolhat, gy T = 1=3. 166

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

m m

r

m r

r

5.6. bra. Gmb trfogatnak levezetse Cavalieri-elvvel. y y

k n

= x2

2 k n

1

x

5.7. bra. A parabola alatti terlet Gregorynl.

167

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Di(erencilmdszerek alatt a grbk rintinek s szlsrtkeinek meghatrozsra szolgl eljrsokat rtjk. Trtnetk rvidebb mltra tekint vissza, mint az integrlmdszerek. Kepler gyelte meg elszr, hogy egy fggvny rtkeinek vltozsa a szlsrtkhelyek kzelben csaknem megsznik. Ezt hasznlta fel Fermat annak a problmnak a megoldsakor, hogy mikor lesz maximlis kt adott sszeg szm szorzata, ms szval hol lesz az f (x) = x(a ; x) fggvny maximuma. Vgtelen kicsiny "-ra a maximum hely kzelben f (x ; ") = f (x) azaz (x ; ")(a ; x + ") = x(a ; x) =) 2x" ; a" ; "2 = 0 = : " 2x ; a ; " = 0: Mivel " vgtelen kicsiny  ezrt 0-nak vve , a megolds: x = a=2. Ez a gondolat, vagyis egy vltoz megnvelse egy vgtelen kicsiny mennyisggel, majd nullnak nyilvntsa, lett az analzis alapja egszen a XIX. szzadig. Ezrt is neveztk innitezimlis calculus nak, vagyis vgtelen kicsinyekkel val szmolsnak. A vgtelen kicsiny fogalmnak ellentmondsossgt az adja, hogy amikor osztunk vele, akkor nem tekintjk nullnak, elhanyagolsakor viszont igen. Mrpedig ha a vgtelen kicsiny nulla, akkor nem lehet vele osztani, ha pedig nem nulla, akkor nem lehet elhanyagolni. Ezt az ellentmondst a Cauchy ltal bevezetett hatrrtkfogalom fogja feloldani: a vgtelen kicsiny olyan vltoz mennyisg, amelynek hatrrtke nulla. Fermat ltalnostotta mdszert grbk rinti irnytangensnek (derivltjnak) meghatrozsra (5.8. bra). y

Q(x

+ " b)

P (x y )

t rin

" y

b

 a

x

5.8. bra. Az rint irnytangensnek meghatrozsa Fermatnl.

Legyen az 5.8. brn a grbe egyenlete f (x y) = 0. Hasonl hromszgekbl felrhat, hogy

y = b ; y =) b = y  " + 1 : a " a Ha " elg kicsi, akkor a Q pont is a grbn van, gy meghatrozhat a kvetkez egyenletbl:

   f x + " y a" + 1 = 0:

168

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A hatrrtk-fogalom bevezetse szmtsi szempontbl nem hozott jat

Fermat mdszerhez kpest, csak fogalmi szempontbl. Pldaknt hasonltsuk ssze az y = x2 fggvny derivltjnak kiszmtst Fermat mdszervel

s modern mdszerrel: Fermat-mdszer

  y a" + 1 y" + ya y" y a

= = = = =

Modern mdszer (x + ") ; x = y0 = "lim !0 " 2 + 2"x + "2 ; x2 x = "lim = !0 " 2"x + "2 = = "lim !0 " = "lim (2 x + ") = 2x !0 2

(x + ")2 ax2 + 2a"x + a"2 2a"x + a"2 2ax + " y = y 2x + " 2x

y0 = ay = 2x

2

A di(erencilszmtshoz vezet kvetkez lpst Barrow tette meg, aki Newton tanra volt. Mdszere hasonl volt Fermathoz, de kiegsztette azt a karakterisztikus hromszg bevezetsvel. Kvessk Barrow mdszert az

y = x3 fggvny pldjn (5.9. bra). Ha ismerjk a TN szakaszt, akkor az y

y

=

3

x

Q(x P (x y )

a R

"

T

N

+ " y + a)

M

x

5.9. bra. Az rint irnytangensnek meghatrozsa Barrow mdszervel.

rint mr megszerkeszthet. Vegynk fel egy P -hez elg kzeli Q pontot az rintn. Ekkor PTN 4  PRQ4, teht y : TN = a : ", vagyis TN = y  "=a . Helyettestsk Q koordintit a grbe egyenletbe:

y + a = (x + ")3 a = (x + ")3 ; x3 = 3"x2 + 3"2 x + "3 169

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

a = 3x2 + 3x" + "2 " y = a = 3x2 + 3x" + "2 : TN " Innen az "-t tartalmaz tagok elhagysval s rendezssel kapjuk, hogy TN = y = 3x2 , amibl az rint egyenlete y : 3x2 . Vgl az rint irnytangense TN felrhat, illetve az rint megszerkeszthet. Visszatekintve az ismertetett integrl- s di(erencilmdszerekre, lthatjuk, hogy minden lnyeges alapgondolat megszletett mr Newton s Leibniz eltt. Mirt tekintjk mgis ket az analzis megalapozinak? Azrt, mert nekik sikerlt a meglv tredkekbl egysges elmletet felptenik. Ennek sorn dnt volt a terletszmts (integrls) s az rintszerkeszts (derivls) kzti kapcsolat felismerse. A nehzkes ktoldal kzelts helyett ezutn az integrls elvgezhet volt olyan fggvny segtsgvel, amelynek derivltja az integrland fggvny. Ezt fejezi ki a ma Newton$Leibniz ttel nven ismert formula:

Zb a

f (x) dx = F (b) ; F (a) ahol F 0 (x) = dFdx(x) = f (x):

Newton els fontos matematikai felfedezse a binominlis ttel ltalnostsa Z 1 p volt racionlis kitevkre. Az alapfeladat  meghatrozsa volt az  ; x2 dx integrl segtsgvel, amire a krngyszgests problmja 0 sztnzte (5.10. bra). y

p

1

y = 1 ; x2 T

=4 1 x

5.10. bra.  meghatrozsa az

R 1 1 x2 dx segtsgvel. 0 p

;

A megoldssal Gregory s Wallis is sikertelenl prblkozott. Newton kiterjesztette a problmt az

Zx 0

(1 ; t)n dt n 2

Q

integrl kiszmtsra. Felrta az albbi sorozatot a binomlis ttel segtsgvel: (1 ; x2 ) 02 = 1 (1 ; x2 ) 22 = 1 ; x2  (1 ; x2 ) 42 = 1 ; 2x2 + x4  : : : 170

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Meg gyelte, hogy a hatvnyok els tagja mindig 1, a msodik tag egytthati pedig szmtani sorozatot alkotnak. Terjesszk ki ezt a szablyt trtkitevkre is, azaz: (1 ; x2 ) 12 = 1 ; 0 +2 1 x2 ;    (1 ; x2 ) 23 = 1 ; 1 +2 2 x2 ;    (1 ; x2 ) 25 = 1 ; 2 +2 3 x2 ;    A tbbi egytthatra Newton 11 hatvnyaibl kvetkeztetett: 110 = 1 111 = 11 112 = 121 113 = 1331 114 = 14641 : : : Ezekben a szmjegyek (a+b)n egytthatinak felelnek meg. Ha a msodik szmjegyet n jelli, akkor a kvetkez szmjegyeket, illetve hatvnyegytthatkat az n;0  n ;1  n;2  n;4  1 2 3 4 kplet adja. Newton azutn gy folytatja: Legyen pldul n=4, akkor a harmadik egytthat 4  4 ;2 1 = 6, a negyedik egytthat 6  4 ;3 2 = 4, az tdik egytthat 4  4 ;1 3 , a hatodik egytthat 1  4 ;5 4 = 0, ami azt jelenti, hogy a hatvnynak vge van. Trtkitev esetn viszont a hatvnynak sohasem lesz vge, vagyis vgtelen sor keletkezik, n = 1=2 esetn pldul a kvetkez: 1  ; 5 ::: 1 ; 12  ; 81  16 128 vagyis 1 x6 ; 5 x8 ;    : (1 ; x2 ) 12 = 1 ; 21 x2 ; 18 x4 ; 16 128 A sor tagonknti integrlsa megadja az alapfeladat megoldst:

Zx 0

1 x5 ; 1 x7 ; 5 x9 ;    : (1 ; t2 ) 12 dt = x ; 61 x3 ; 40 122 1152 171

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Newtonnak ez a felfedezse vezetett a vgtelen sorok alkalmazshoz. Ha ugyanis ismert volt egy fggvny sora, akkor integrlja kiszmthat volt vgtelen (binomlis) hatvnysora segtsgvel. Binomlis ttelt alkalmazta Newton )uxielmletnek megalapozsra is. Fluenseknek egy folyamat (pl. mozgs) vltozit, +uxinak pedig egy +uens vltozsnak sebessgt nevezte: A folyamat vltozit x, y, z -vel jelljk, s a sebessget, amelyekkel a +uensek mozgsuk kzben megnvekszenek (s amelyeket n +uxiknak, vagy egyszerbben sebessgeknek nevezek) ugyanazokkal a betkkel jellm, felettk ponttal x_ , y_ , z_ . Velk kapcsolatban kt problma vethet fel: 1. A +uensek kzti kapcsolatbl keressk a +uxik kzti kapcsolatot (derivls). Legyen y = x mn . Ha o egy vgtelen kicsiny idintervallum, akkor kzben az x, y +uensek x_ , y_ +uxii llandak, ezrt

y + oy_ = (x + ox_ ) m n:

Innen a binomilis ttellel kapjuk, hogy

;

m

m m ; 1 n ;2 m n ;1 ox_ + n n y + oy_ +m x ox2 +    : n x Egyszerstve, o-val osztva, majd az o-kat tartalmaz tagokat elhagyva: m n ;1 x y_ = m x _ n

= x mn

vagyis mai jellsekkel azaz

dy = m x mn ;1 dx  dt n dt dy = m x mn ;1 : y0 = dx n

2. A +uensek kzti kapcsolatbl keressk a grbe alatti terletet (integrls). Ha egy grbe egyenlete y = x mn , akkor az arkhimdszi mdszerrel megkaphat, hogy a grbe alatti terlet az o s x hatrok kztt m n +1 T = xm + 1 = m n+ n x mn+n : n

Newton ennl a pontnl nem llt meg, hanem gy folytatta: Legyen valamely grbe alatti terlet T = m n+ n x mn+n = p1 xp alak (5.11. bra). Ha x rtkt megnveljk egy vgtelen kicsiny o mennyisg-

172

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

y

T x o

5.11. bra. A fggvnygrbe alatti terlet vltozsa.

gel, akkor a terlet nvekedse oy, teht

p(T + oy) = (x + o)p pT + poy = xp + pxp;1 o + p(p 2; 1) xp;2 o2 +    : Egyszersts s az o-t tartalmaz tagok elhagysa utn innen y = xp;1 = m x n addik. Ms szval, ha a fggvny alatti terletet meghatrozzuk, majd annak vltozst vizsgljuk, akkor visszajutunk az eredeti fggvnyhez. Ezt Newton csak hatvnyfggvnyre igazolta, a tbbi fggvnyt pedig igyekezett hatvnysorban felrni. Leibniz ms ton s ms  szerencssebb  jellseket hasznlva jutott ugyanezen eredmnyekre, amelyeket 1684-ben publiklt folyiratban. #rintszerkesztshez, azaz derivlshoz a grbhez illesztett karakterisztikus hromdy hnyados, szg et hasznlta (5.12. bra). Ekkor az rint irnytangenst a dx egy vgtelen kicsiny grbedarab vhosszt a (ds)2 = (dx)2 + (dy)2 sszefggs adja. A vgtelen kicsiny dx, dy, ds, ... mennyisgekkel formlisan gy lehetett szmolni, mint kznsges szmokkal. Segtsgkkel a derivlsi szablyok, valamint a derivls s integrls kapcsolata szemlletesebben volt kifejezhet. Pldul: 1. Lncszably:

dy dy du dx = du  dx : 173

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

y

dy dx

x

5.12. bra. A karakterisztikus hromszg

2. vhossz: (ds)2 = (dx)2 + (dy)2

Zs 0

ds dx = ds =

s

dy 1 + dx

Z ss 0

2

dy 1 + dx

2

dx =

Z sp 0

1 + (y0 )2 dx:

Integrlskor Leibniz is sorbafejtshez folyamodott az albbi eljrssal:

y=

Z a dy = a  dx = ) a+x dx a + x

teht

ady + xdy ; a = 0 dx dx y = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 +     dy = a + 2a x + 3a x2 +    : 1 2 3 dx Behelyettestve az elz egyenletbe:

aa1 + 2aa2 + 3aa3 x2 +    + a1 x + 2a2 x2 + 3a3 x3 +    ; a = 0 aa1 ; a + (2aa2 + a1 )x + (3aa3 + 2a2 )x2 +    = 0 174

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

azaz

aa1 ; a = 0 =) a1 = 1 2aa2 + a1 = 0 =) a2 = ; 2aa1 = ; 21a 3aa3 + 2a2 = 0 =) a3 = ; 23aa2 = 31a2 :

Teht:

y=

Z a x2 + x3 ; x4 +    dx = x ; a+x 2a 3a2 4a3

A felfedezs elsbbsgt illeten komoly vita bontakozott ki Newton s Leibniz, illetve elssorban hveik kztt. Ennek eredmnyeknt az angol mate-

matikusok kapcsolata megromlott a kontinensen mkd trsaikkal s az angol matematika fejldse visszaesett. Az analzist a Leibniz tantvnyok fejlesztettk tovbb s alapoztk meg jabb gait. Klnsen kiemelked szerepk volt ezekben a svjci Bernoulli csald tagjainak. Mint mr Newtonnl emltettk, a sorelmlet fejldse az integrlszmtssal kapcsolatban indult meg. Az els sorbafejtsek vgtelen osztsokkal, illetve gyes talaktsokkal trtntek. Pldk: 1+x;x x 1 1+x = 1+x =1; 1+x = 2 x2 x2 = = 1 ; x +1x+ ; = 1 ; x + x 1+x 3 2 + x3 ; x3 x = 1 ; x + 1 + x = 1 ; x + x2 ; 1 x+ x = : : : : 1 1 + x2 ; x2 = 1 ; x2 = = 1 + x2 1 + x2 1 ; x2 4 2 4 4 = 1 ; x +1 +x x;2 x = 1 ; x2 + 1 +x x2 = 4 6 6 6 = 1 ; x2 + x +1 +x x;2 x = 1 ; x2 + x4 ; 1 +x x2 = : : : :

Ksbb Newton binomilis ttele lett a sorbafejtsek egyik fontos eszkze. Leibniz szintn dolgozott ki sorbafejtsi mdszert, amint mr lttuk. Arkhimdsz mdszervel mr korbban kiszmtottk az albbi integrlokat:

1 dt = ln(1 + x) Z x 1 dt = arctg x: 0 1+t 0 1 + t2 gy a fenti sorbafejtsekbl tagonknt integrlssal addnak a kvetkez nevezetes hatvnysorok:

Zx

175

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

1. Mercator-sor: ln(1 + x) = 2. Gregory-sor: arctg x =

1 X

n+1

(;1)n+1 nx + 1 :

n=0 1 X

2n+1

(;1)n 2xn + 1 :

n=0

Az els hatvnysort Leibniz is megkapta ismertetett mdszervel, a msodik pedig Newton binomilis ttelbl is nyerhet. Newton s Leibniz talltk meg a trigonometrikus fggvnyek hatvnysorait is a kvetkezkppen (5.13. bra). Ha dx elg kicsi, akkor az AB rintdarab helyettesthet az AB = d'

y A d' '

P (x y) B y

x = cos ' dx

ri

nt 

x

5.13. bra. A trigonometrikus fggvnyek hatvnysorai meghatrozsa.

vvel. Hasonl hromszgekbl AB d' 1 sin ' = AC = dx 2 ); 12 dx: p 1 2 = d' = ) d' = (1 ; x dx 1;x Ebbl Newton binomilis ttelt alkalmazva, majd tagonknt integrlva kapjuk, hogy 5 3 x7 +    : ' = arcsin x = x ; x6 + 3x6 ; 5112 Legyen most x = sin y azaz y = arcsin x, s legyen x hatvnysora x = a0 + a1 y + a2 y2 +    176

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

alak. Az ismeretlen egytthatk ezutn Leibniz mdszervel (lsd ott) kaphatk meg. A sin x hatvnysorbl a tbbi szgfggvny hatvnysora levezethet a szgfggvnyek kzti sszefggsekbl. A sorbafejts egyedi mdszereit az angol Brook Taylor (1685-1731) tette ltalnoss a derivlt segtsgvel. Vizsglta, hogyan konstrulhat olyan Pn (x) polinom, amely egy f (x) fggvnyt valamely pontja krnyezetben a legjobban kzelti. A kzelts mrtknek azt vlasztotta, hogy hnyadik derivltjaikig egyeznek meg az illet pontban. A kzelts teht n-ed rend az x0 pontban, ha

Pn (x) = a0 + a1 (x ; x0 ) +    + an (x ; x0 )n =) Pn (x0 ) = a0 Pn0 (x) = a1 + 2a2 (x ; x0 ) +    + nan (x ; x0 )n;1 =) f 0 (x0 ) = Pn0 (x0 ) = a1

.. . ( n ) Pn (x) = n!an =) f (n)(x0 ) = Pn(n) (x0 ) = n!an :

Ha az egyszersg kedvrt x0 = 0, akkor az f (x)-et n-ed rendben kzelt Taylor-polinom: 00 (n) 0 f (x)  f (0) + f 1!(0) x + f 2!(0) x2 +    + f n!(0) xn : Akrhnyszor derivlhat f (x) fggvny esetn a kzelts vgtelenl folytathat, gy Taylor-polinom helyett Taylor-sort (x0 = 0 esetn Maclaurin-sort)

kapunk:

1 0 (n) (n) X f (x) = f (0) + f 1!(0) x +    + f n!(0) xn +    = f n!(0) xn : n=0

A hatvnysorokkal kapcsolatban kezdetben fel sem merlt a konvergencia problmja, a fggvnyekkel val egyenlsgket minden x-re termszetesnek tekintettk. Ez a tisztzatlansg hibk forrsv vlt mg olyan kivl matematikusok estn is, mint Leibniz s Euler. Leibniz az 1 = 1 ; x + x2 ; x3 +    1+x sort vizsglva jutott ellentmondsra. Ha x = 1, akkor a sorbl az 1 = 1;1+1;1+ 2 egyenlsg addik. Ha viszont az

; x2 = 1 + x 1 ; x2 + x3 ; x5 +    = (1 ; x2 )(1 + x3 + x6 +    ) = 11 ; x3 1 + x + x2 177

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

egyenlsgbe runk x = 1-et, akkor az eredmny:

1 ; 1 + 1 ; 1 +    = 32 :

A hibaforrs az, hogy mindkt sor csak jxj < 1 esetn konvergens, teht x = 1 esetn nem adnak vges sszeget. Hasonl ellentmondsra vezetett az eredeti sor tzrjelezse is x=1 esetn: (1 ; 1) + (1 ; 1) +    = 0 1 ; (1 ; 1) ; (1 ; 1) ;    = 1: Ezt a paradoxont akkoriban a semmibl val teremts jelkpnek is tekintettk. Euler szerint az x s x + x2 +    = ; x 1 + x1 + x12 +    = x ; 1 1;x sorokat sszeadva az 1 X    + 1 + 1 + 1 + x + x2 +    = xn = 0

x2

x

n=;1

eredmny addik minden x-re, amit  is lehetetlennek tartott, de nem tudott megmagyarzni. A problma az, hogy az els sor jxj > 1, a msodik jxj < 1 esetn konvergens, gy nem szabad ket sszeadni. A fentiekhez hasonl ellentmondsok vezettek a vgtelen sorok sszegzsi elmletnek kialakulshoz, a konvergencia s abszolt konvergencia fogalmnak bevezetshez. A sorok konvergencijnak vizsglata fel az els lpst Lagrange tette meg, aki bevezette a Taylor-sor Lagrange-fle maradktagjt. Ennek vgtelen kicsiny volta lett a konvergencia felttele. A megolds itt is a Cauchy-fle hatrrtkfogalom segtsgvel szletett meg. A sorbafejtst ksbb nemcsak integrlsra, hanem ms clokra is kezdtk alkalmazni: fggvnyek vizsglatra, illetve di(erencilegyenletek megoldsra. Integrlssal meg nem oldhat egyenleteknl a megoldst gyakran hatvnysor formjban kerestk. Ekkor vizsgltk, hogy a kapott sor milyen tulajdonsg fggvnyt llt el. A XIX. szzad elejn Fourier ilyen clra trigonometrikus sorokat kezdett alkalmazni, ami forradalmastotta a sorelmletet s a fggvnyrl alkotott elkpzelseket. Di(erencilegyenletek elszr a newtoni mechanikban merltek fel (pl. mozgsegyenlet). Leibniz mr nemcsak a legegyszerbb, (sztvlaszthat vltozj), hanem a homogn egyenletek megoldsi mdjt is ismerte. Johann Bernoulli s D'Alembert jabb tpusok megoldst dolgozta ki, Euler pedig rendszerezte a kznsges di(erencilegyenletek megoldsi mdszereit. Szintn  kezdte meg klnbz zikai problmk kapcsn a parcilis di(erencilegyenletek vizsglatt, amelyek mr egynl tbb fggetlen vltozt tartalmaznak. 178

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Az egyik nevezetes problma, amely parcilis di(erencilegyenletre vezet, a rezg hr problmja. Ha megpendtnk egy mindkt vgn rgztett l hossz hrt, akkor keressk a hr tetszleges pontjnak mozgst a t idpontban ler y(x t) fggvnyt. A mozgsegyenletbl erre felrhat az

@2y = F @2y @t2  @x2 egyenlet. Megoldsa a kezdeti felttelektl (a hr alakja a t = 0 idpontban) fggen ms s ms lehet, pl. vgtelen trigonometrikus sor. A hasonl egyenletek sorokban trtn megoldsa, illetve fggvnyek sorokban val ellltsa vezetett a fggvny fogalmnak tovbbfejldshez. A fggvnyfogalom kezdetben vltoz mennyisgek kztti egyszer algebrai sszefggsekre korltozdott (arnyossgok, lineris fggvny, kpszeletek egyenlete). Ksbb brmilyen algebrai mveletet tartalmaz sszefggst fggvnynek tekintettek, amely valamilyen algebrai grbt hatroz meg. Az ilyen elemi fggvnyek kre az analzis kialakulsval tovbb bvlt olyan transzcendens fggvnyekkel, amelyek hatvnysorral elllthatk voltak. gy kerltek be a fggvnyek kz a trigonometrikus s exponencilis fggvnyek, valamint inverzeik. Ezzel kialakult az analitikus fggvnyek csaldja. Ebbe beletartoznak a vltozk kzti olyan sszefggsek (kifejezsek), amelyekben algebrai mveleteken kvl derivls, integrls s hatvnysorba-fejts is szerepelhet. Az analitikus fggvnyek fogalmhoz teht hozztartozik a derivlhatsg, integrlhatsg s sorbafejthetsg. Ezeket a fggvnyeket brmilyen kis darabjuk meghatrozza, ebbl egyetlen sszefggs rhat fel rjuk. Nincsenek trspontjaik s szakadsaik. Ebben az rtelemben pldul az y = jxj sszefggs kt fggvnyt fejez ki. Az analitikus fggvnyek uralmt egyes zikai problmk kapcsn fellp parcilis di(erencilegyenletek ingattk meg. A rezg hr mellett ilyen volt pldul a hvezets problmja. Ezen egyenletben szerepl ismeretlen fggvnyeket bizonyos peremfelttelek esetn nem lehetett megkapni sem integrlssal, sem hatvnysorok alkalmazsval. A trigonometrikus sorok formjban kapott megoldsok viszont nem fggvnyeket lltottak el: nem voltak mindentt derivlhatk, ms intervallumokban ms-ms volt a grbjk, stb. A gyakorlatban viszont jl alkalmazhatknak bizonyultak. gy nem lehetett azt a knyelmes megoldst vlasztani, hogy ezen egyenleteknek nincs megoldsuk, hiszen a megoldsnak fggvnynek kellene lenni, a kapott sorok viszont nem fggvnyek. A megolds csak a fggvnyfogalom bvtse lehetett, ami nem ment knnyen. Klnsen a derivlhatsg hinyt vettk zokon a matematikusok. A norvg N. H. Abel (1802,1829) pldul gy rt egy bartjnak: El tudsz-e kpzelni szrnybb dolgot, mint egy fggvnyt, amelynek nincs derivltja. Lassanknt azonban a fggvny fogalma elszakadt a kplettl, derivlhatsgtl s gy tovbb, egyedl a lekpezs fogalmhoz ktdtt. A XVIII. szzadban kialakult a komplex fggvny fogalma, annak ellenre, hogy a komplex szm fogalma mg nem volt teljesen tisztzva. Megkezddtt 179

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

vizsglatuk is a matematikai analzis eszkzeivel. Ezzel az analzis jabb ga jtt ltre: a komplex fggvnytan. Egy w = f (z ) komplex fggvnyben a w s z rtkei komplex szmok. Ha ezeket algebrai alakban rjuk fel, akkor kapjuk, hogy w = f (z ) = f (x + iy) = u(x y) + iv(x y): Teht egy komplex fggvny vizsglata visszavezethet ktvltozs vals fggvnyek vizsglatra. Pldul: w = z 2 = (x + iy)2 = x2 ; y2 + i2xy u = x2 ; y2  v = 2xy: A derivlt s integrl fogalma gy tvihet komplex fggvnyekre. A matematikai analzis teht nagy fejldsen ment keresztl a XVII. s XVIII. szzadban alapfogalmainak tisztzatlansga ellenre is. Euler s Lagrange tettek ksrleteket a szabatos megalapozsra, de sikertelenl. A megalapozs munkja gy Cauchyra maradt, aki a XIX. szzad elejn a hatrrtk segtsgvel a kornak megfelel szabatossggal de nilta az analzis legfontosabb fogalmait.

5.4. A szmelmlet nllsodsa A grgk utn semmi rdemleges eredmny nem szletett a szmelmlet terletn, egszen Fermat sznrelpsig. Ennek jrszt az az oka, hogy br a szmelmleti problmk s sejtsek knnyen megfogalmazhatk, megoldsuk viszont rendkvli tletessget s/vagy szmelmleten kvli eszkzket ignyel. A szmelmlet nll tudomnygg vlshoz gy Fermat, Euler s Gauss zsenijre, valamint az egyb gak (elssorban az analzis) megfelel fejlettsgre volt szksg. Fermat mg csak elemi szmelmleti eszkzket hasznlt. Diophantosz mveit tanulmnyozva jutott alapvet felfedezseihez, amelyek egy rszt a knyv margjra rta, ms rszket levelezs tjn kzlte bartaival. Tbb sejtse ksbb beigazoldott, fleg Euler vizsgldsai nyomn. Fermat legfontosabb eredmnyei a kvetkezk: 1. Kis Fermat-ttel: ha p prm s (a p) = 1, akkor ap;1 ; 1 oszthat p-vel (Euler bizonytotta s ltalnostotta). 2. Minden pratlan prm kifejezhet kt ngyzetszm klnbsgeknt. 3. A 4k + 1 alak prmek kt ngyzetszm sszegeknt rhatk fel (Euler bizonytotta be). 4. A 4k +1 alak prmek egyetlen, ngyzeteik kett, kbeik hrom stb. derkszg hromszg tfogi, ahol a hromszgek oldalai egsz szmok. 5. Minden termszetes szm legfeljebb ngy ngyzetszm sszegeknt ll el (a bizonytst Lagrange adta meg). 180

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

6. Egsz oldal derkszg hromszg terlete nem lehet ngyzetszm (szintn Lagrange igazolta). 7. Az x2 + 2 = y3 egyenletnek csak egy, az x2 + 4 = y3 egyenletnek pedig csak kt megoldsa van a pozitv egsz szmok krben. 8. Az x4 + y4 = z 2 egyenletnek nincsenek pozitv egsz megoldsai. 9. Nagy Fermat-ttel: az xn + yn = z n egyenlet megoldhatatlan a pozitv egsz szmok krben, ha n > 2. Fermat azt rta, hogy a ttelre egy csodlatos bizonytst tallt, de kevs a hely a margn ahhoz, hogy lerja azt. 1879-ben Huygens kziratai kztt rbukkantak egy Fermat levlre, amelyben megtallhat a vgtelen leszlls bizonytsi mdszernek lersa: Legyen T (n) egy termszetes szmokra vonatkoz llts. Ha megmutatjuk, hogy T (n) igazbl T (n ; 1) igaza kvetkezik, akkor ez az eljrs vgtelensgig folytathat, holott a termszetes szmok kztt van legkisebb. Ez az ellenmonds T (n) hamis voltt igazolja. Lthat, hogy ez a bizonytsi mdszer a Pascal ltal kidolgozott teljes indukcis bizonyts indirekt vltozata. p Feladat: Bizonytsuk be a vgtelen leszlls mdszervel, hogy 2 irracionlis szm. p p Tegyk fel, hogy 2 racionlis, azaz 2 = p=q, ahol p q 2 + s p > q. Mivel p 2+1= p 1  2;1 ezrt p +1= 1 = q  p ;1 p;q q q azaz p p 2 = = q ; 1 = 2q ; p :

N

N

q p;q p;q p Legyen 2q ; p = p1 , p ; q = b1 2 + . Mivel 1 < 2 < 2, azaz 1 < p=q < 2, amit q > 0-val szorozva q < p < 2q addik. Vlasszuk szt a kt egyenltlensget: 1. q < p =) 2q < 2p =) p1 = 2q ; p < p =) p1 < p 2. p < 2q =) 0 < 2q ; p = p1 . p A kt egyenltlensg sszevetsbl 0 < p1 < p addik. Teht a 2 = p=q p feltevsbl 2 = p1 =q1 kvetkezik, ahol p > p1 > 0. Az eljrst folytatva kapjuk, hogy

p > p1 > p2 > : : : > 0 181

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

ami termszetes szmok szigoran monoton cskken p (vgtelen) sorozata. Ilyen sorozat pedig nem ltezhet. Az a feltevs teht, hogy 2 racionlis szm ellentp mondsra vezet, gy 2 irracionlis. Fermat azt is lerja levelben, hogy a vgtelen leszlls mdszervel igazolta ttelt n = 4 esetre. Ez a bizonyts sem maradt fenn. Ksbb ezzel a mdszerrel sikerlt Eulernek igazolni a ttelt n = 3 s n = 4 esetre. Az n = 3 esetre Gauss adott egy msik bizonytst. Legendre n = 5, Kummer n < 100 kitevkre vgezte el az igazolst. Elektronikus szmtgpek alkalmazsval a ttel igazsgt mr minden 105-nl kisebb kitevre bizonytottk. Kummer a problma ltalnos vizsglatra trekedve bevezette az idel fogalmt, valamint Gauss-szal egytt megalapozta az algebrai szmelmletet. A nagy Fermat-ttel vonzotta  s vonzza  az amatr matematikusokat is, klnsen a szzad elejn, amikor egy nmet folyirat nagy jutalmat tztt ki a helyes bizonytsrt. A helytelen bizonytsok szmt illeten ez a ttel mg a krngyszgests s a szgharmadols problmjt is fellmlja. 1993-ban megszletett a ttelre egy valsznleg helyes bizonyts. Nevezetes Fermat-nak az a sejtse is, hogy 22n + 1 minden n-re prmszm. A sejts igaz n =0, 1, 2, 3, 4 esetn (3,5,17,257, 65 537). A sejts hamis voltt n = 5-re Euler mutatta meg: 232 + 1 = 4 294 967 297 = 641  6 700 417. Azta megmutattk, hogy a sejts hamis az 5 < n  16 esetekre. Nyitott krds, hogy vannak-e tovbbi Fermat-fle prmek, amelyek fontos szerepet jtszanak a krosztsi problmban. Euler nemcsak Fermat munkssgnak tovbbfejlesztje volt, hanem a szmelmlet j gnak, az analitikus szmelmletnek a megalapozja. Elszr vezetett be szmelmleti fggvnyeket, amelyeket az analzis eszkzeivel vizsglt. Ezek a fggvnyek a ' s  (zta) fggvnyek voltak: '(n) a 0 1 2 : : :  n ; 1 sorozatban az n-hez relatv prmek szma. Pl. '(10) = 4. A msik fggvny:

 (n) =

1 X

k=1

1 =Y kn

1 : 1

p 1 ; pn

A '-fggvny segtsgvel Euler ltalnostotta a kis Fermat-ttelt:

nja'(n) ; 1 ha (a n) = 1: A zta fggvnyre vonatkoz azonossg segtsgvel pedig analitikus bizonytst adott a prmszmok szmnak vgtelen voltra. Az elemi szmelmlet kiptst Gauss fejezte be a kongruencia fogalmnak bevezetsvel s tulajdonsgainak megllaptsval. A kongruencia hasznos eszkz volt a msodfok diophantoszi egyenletek vizsglatban is. Az elsfok ktismeretlenes diophantoszi egyenletek megoldhatsgnak kritriumt s megoldsi mdjt mr a hinduk ismertk. Az ltalnos msodfok eset krdse, amelynek egyenlete ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, azonban mg ma sem lezrt. Euler s Gauss az ax2 ; y2 = 1 s x2 + qy + p = 0 specilis eseteket vizsgltk. Az els Pell-fle egyenlet nven ismert, a msodik 182

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

kongruencia formban gy rhat fel x2  p (q). Euler az ltalnos esetet egy (x0  y0 ) megolds ismeretben a Pell-egyenletre vezette vissza. Tovbb rdekes sszefggst llaptott meg az x2  p (q) s x2  q (p) kongruencik megoldhatsga kztt, ha p s q klnbz pratlan prmszmok: Ha p s q kzl legalbb az egyik 4k + 1 alak, akkor vagy mindkt kongruencia megoldhat, vagy egyik sem. Ha mindkett 4k +3 alak, akkor az egyik megoldhat, a msik nem. Euler nem tudta bizonytani ezt a kvadratikus reciprocitsi ttel nek nevezett lltst. Els bizonytst Gauss adta meg 19 ves korban. Ksbb mg 8 jabb bizonytst adott a ttelre, ami mutatja, hogy milyen fontosnak tartotta. A XVIII. szzadban tbb olyan szmelmleti sejts szletett, amelyek napjainkig foglalkoztatjk a matematikusokat: 1. Pros Goldbach-sejts: minden 4-nl nagyobb pros szm elll kt prmszm sszegeknt. 2. Pratlan Goldbach-sejts: minden 5-nl nagyobb pratlan szm elll hrom prmszm sszegeknt. 3. Waring-problma: minden termszetes szm elll legfeljebb k darab nedik hatvny sszegeknt, ahol k csak n-tl fgg. Specilisan: ha n = 3, akkor k = 9- ha n = 4, akkor k = 19. Mr Euler szrevette, hogy a pratlan Goldbach-sejts kvetkezik a prosbl. Maga a problma mg a XX. szzad elejn is megkzelthetetlennek ltszott. Az els eredmnyt 1931-be rte el Schnirelmann szovjet matematikus, aki megmutatta, hogy minden pozitv egsz szm elllthat legfeljebb 3  105 prmszm sszegeknt. Nhny vvel ksbb a szintn szovjet Vinogradov bebizonytotta, hogy minden elg nagy termszetes szm elllthat legfeljebb 4 prmszm sszegeknt, de nem adott mdszert e szm becslsre. A Waring-problma Lagrange azon ttelnek ltalnostsa, amely szerint minden pozitv egsz szm elll legfeljebb 4 ngyzetszm sszegeknt. Az ltalnos esetet s az n = 3-ra vonatkoz specilis sejts Hilbert igazolta 1909ben. Az ltalnos sejtst J. V. Linnik szovjet matematikus elemi ton igazolta 1945-ben.

5.5. A matematika egyb gainak jkori fejl dse Az ismertetett gakon tl lnyeges fejldsen ment t a XVII. s XVIII. szzadban a klasszikus algebra, valamint olyan j gak alapozdtak meg, mint a lineris algebra, a projektv geometria, a valsznsgszmts, a kombinatorika s a grfelmlet. Az algebrai kutatsok Cardano utn a ngynl magasabb fok egyenletek vizsglatra sszpontosultak. Algebrai megoldst igyekeztek tallni rjuk a negyedfok egyenletnl sikeresnek bizonyult mdszerrel. Ferrari a negyedfok 183

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

egyenlet megoldst gyes helyettestssel visszavezette egy harmadfok egyenlet megoldsra. 'tdfok egyenletnl hasonl mdon keresett egy alacsonyabb fok megold (rezolvens) egyenletet Euler, de sikertelenl. Lagrange ellltott egy ltalnos alak rezolvenst, de azt negyedfoknl magasabb fok egyenletre alkalmazva nem kapott alacsonyabb fok egyenletet. vetette fel ezek utn, hogy egyltaln megadhat-e ltalnos gykkplet n > 4 fokszm esetn. Sejtette azt is, hogy a vlasz az egyenlet gykeibl kpezhet racionlis fggvnyek vizsglatn keresztl adhat meg. E fggvnyek kzl klnsen fontosak azok, amelyek invarinsak a gykk permutciival szemben. Ilyenek pldul msodfok egyenletnl a Vite-formulk: x1 + x2 = ;p, x1 x2 = q. Lagrange kzben felismerte a vges csoportok nhny tulajdonsgt is ( Lagrange-ttel). A vgleges vlaszt a problmra a Ru3ni-Abel ttel adta meg: n  5 esetn nem adhat meg ltalnos gykkplet. Az a problma pedig, hogy milyen specilis alak egyenletek oldhatk meg mgis algebrai ton, a Galois-elmlet keretben vizsglhat. A gykkplet keressre irnyul sikertelen prblkozsok termszetesen vetettk fel azt a krdst, hogy van-e egyltaln minden algebrai egyenletnek megoldsa. Az algebra alapttele erre igenl vlaszt ad: minden vals egytthats algebrai egyenletnek van gyke (kvetkezskppen pontosan n gyke van) a komplex szmok testben. A ttelt mg a XVII. szzad elejn megsejtette Girard, bizonytsval azonban Newton, Euler, Lagrange s D'Alembert is sikertelenl prblkozott. Gauss viszont sszesen ngy helyes bizonytst adott r. Gauss els bizonytsa a komplex szmok elmletn alapult, amit szintn  dolgozott ki. A Pn (z ) = 0 egyenletben z = x + iy helyettestssel lt, majd az egyenletet

Pn (z ) = u(x y) + iv(x y) alakra hozta. Ezutn az u(x y) = 0 s v(x y) = 0 egyenleteket gra kusan brzolva megmutatta, hogy van legalbb egy (x0  y0 ) kzs pontjuk. Ekkor a Pn (z ) = 0 egyenletnek z0 = x0 + iy0 gyke. Egy n-ed fok algebrai egyenletnek teht lteznek gykei, amelyek azonban nem kaphatk meg gykkplettel n  5 esetn. gy eltrbe kerlt nem-algebrai, illetleg kzelt megoldsok keresse. A Sturm-ttel segtsgvel meghatrozhatk azok az intervallumok, amelyekben a vals egytthatj polinomnak egyetlen vals zrushelye van. Ekkor az intervallum vgpontjaiban a polinomnak ellenkez az eljele. A gyk kzeltsre ezutn leggyakrabban a hrmdszer, vagy az rintmdszer hasznlatos. Az jkorban vlt mdszeress a lineris s a magasabbfok egyenletrendszerek vizsglata. Ennek sorn Leibniz bevezette a determinns fogalmt, amit Cramer alkalmazott szablya megfogalmazsban. A determinnsok elmlett rszletesen Laplace (lsd kifejtsi ttel) s a belga Vandermonde dolgozta ki. A magasabbfok egyenletrendszerek megoldsra kialakult az n. eliminci elmlet, amelyet Euler indtott el s a francia Bezout dolgozott ki. Az 184

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

eliminci elmlet szoros kapcsolatban ll az algebrai geometrival, vagyis az algebrai grbk s felletek elmletvel. A valszn!sgszmts trtnete a renesznsz korban kezddtt a szerencsejtkok vizsglatval. Cardano mr knyvet is rt a jtkok matematikai elemzsrl. A Cardano s msok ltal felvetett problmkat 1654-ben oldotta meg Pascal s Fermat egymstl fggetlenl. Levelezskben megalapoztk a vletlenek matematikjnak elmlett. Az ltaluk megoldott kt legnevezetesebb problma a kvetkez volt. Pontosztozkodsi problma: Hogyan osztozkodjon kt egyformn kpzett jtkos egy jtk ttjn a jtk flbeszaktsa esetn, ha ismerjk a jtk megnyershez mg elrend pontszmaikat? Fermat azt a specilis esetet oldotta meg, amikor az egyik (A) jtkosnak 2, a msiknak (B) 3 pont hinyzik a nyershez. Egy jtszma 1 pontot jelent, ezrt 4 jtszma alatt a jtk biztosan befejezdik. rjuk fel a lehetsges kimeneteleket a nyer jtkos feltntetsvel (16 lehetsg van): AAAA BAAA ABAA AABA

AAAB BBAA BABA BAAB

ABBA ABAB AABB BBBA

BBAB BABB ABBB BBBB

Azok az esetek, amelyben A legalbb ktszer szerepel, szmra kedvezbbek (11). Ahol B szerepel legalbb hromszor, azok az esetek B szmra kedvezbbek (5). gy a tten 11:5 arnyban kell megosztozniuk. ltalban, amikor A-nak m, B-nek n pont hinyzik a nyershez, fel kell rni A s B (m + n ; 1)-ed osztly ismtlses variciit, amelyek szma 2m+n;1. Az osztozkods arnyt a : b adja, ahol a azon varicik szma, ahol A legalbb m-szer , b pedig azok, ahol B legalbb n-szer szerepel. Pascal ismtlses varici helyett kombincival oldotta meg a problmt, vve a Pascal-hromszg tdik sort (1,4,6,4,1). Itt C44 = 1 adja a 4 db A-t tartalmaz kombincik szmt, C43 = 4 a 3 db A-t tartalmazkt, stb. A helyes osztozkods: (C44 + C43 + C42 ) : (C41 + C40 ) = (1 + 4 + 6) : (4 + 1) = 11 : 5: Az ltalnos eset hasonl mdon oldhat meg. Meg gyelhetjk, hogy a kombinatorika alapesetei is megjelentek e problma megoldsa kapcsn. de Mr lovag problmja: Mirt van az, hogy elnys arra fogadni, hogy egy kockval dobva az els 4 dobs kztt lesz hatos, viszont elnytelen az a fogads, hogy kt kockval dobva az els 24 dobs kztt lesz 2 hatos? A lovag ezt jtkosi tapasztalataibl szrte le, de szerinte az eslyeknek egyen1 . Pascal s Fermat megoldsukban lknek kellene lenni, mert 4  16 = 24  36 185

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

a komplementer esemnnyel szmoltak s felhasznltk az esemnyek 4 24 fggetlen5 35 sgt. Az els esetben 1 ; 6  0 52 a msodikban 1 ; 36  0 49 volt a nyers valsznsge. Ez megmagyarzta mirt volt rdemes fogadni az elsre, a msodikra pedig nem. Maga a valsznsg sz elszr Jacob Bernoulli A tallgats m!vszete cm knyvben (1713) szerepelt elszr, mint a kedvez s sszes esetek hnyadosa. Megfogalmazza itt Bernoulli a valszn!sgszmts alapttelt : a nagy szmok (gyenge) trvnyt. E trvny kimondja, hogy nagy szm ksrlet esetn egy esemny relatv gyakorisga stabilitst mutat, egy szm krl ingadozik. A binomilis eloszls is e knyvben jelenik meg. A XVIII. szzadban a valsznsgszmts trgya kibvl. A szerencsejtkok mellett kiterjed a biztostsra s a npesedsi problmkra. Fejldsnek els szakaszt Laplace sszefoglal mve zrja le 1812-ben. Ezutn a fejlds slypontja Oroszorszgba tevdtt t (Csebisev, Markov). A szmelmlethez hasonlan a tiszta, szintetikus geometriban sem szlettek fontos eredmnyek a grgk (Papposz) utn. 1639-ben azonban Prizsban megjelent egy knyvecske G. Desargues tollbl, amely a projektv geometria alapjait tartalmazta. Alapgondolata az volt, hogy centrlis vettsnl is megmaradnak az alakzatok bizonyos tulajdonsgai, hiszen felismerhetk maradnak. Prhuzamos skra val centrlis vetts hasonl alakzatot ad, egybknt perspektv kp keletkezik. A perspektvt mr a renesznsz festk is tanulmnyoztk. Desargues a kpszeleteket a kr klnbz helyzet skokra val vetleteiknt de nilta (prhuzamos skra val vettskor ismt kr keletkezik). Olyan tteleket keresett, amelyek minden perspektv, azaz egymsbl centrlis vettssel elll alakzatban rvnyesek. Meg gyelte, hogy a Napbl rkez sugarakat prhuzamosaknak (henger alkotknak), egy fldi fnyforrs sugarait viszont kp alkotknak ltjuk. Ezrt egy henger olyan kpnak kpzelhet el, amelynek cscsa a vgtelen tvoli pont. Szemnk is sszefutknak ltja a prhuzamos sneket. A centrlis vetts geometrijban teht nincs rtelme klnbsget tenni prhuzamos s metsz egyenesek kztt. A prhuzamosak a vgtelen tvoli pontban metszik egymst. gy a ttelek kimondsa is leegyszersdik. Mr Papposz tudta, hogy a centrlis vetts egyenestart s kettsviszonytart transzformci. Egy egyenes A, B , C , D pontjainak kettsviszonyn az AC : BC AD : BD arnyt rtjk. Desargues az involuci fogalmt vezette be az egyenesen. Az A, B , C , D, E , F pontok involucit alkotnak az O ponttal, ha OA  OB = OC  OD = OE  OF . Ezutn megmutatta, hogy az involuci s a kettsviszony egymsbl levezethet, gy az involuci is projektv invarins. Legnevezetesebb eredmnye a Desargues-ttel: Ttel: Perspektv hromszgek megfelel oldalainak egyenesei egy-egy pontban metszik egymst, s ez a hrom metszspont egy egyenesre illeszkedik. 186

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Desargues eredmnyeire a kortrsak kzl csak Pascal gyelt fel, akinek 16 ves korban felfedezett hres ttele kimondja, hogy: Ttel: Egy k pszeletbe rajzolt h rhatszg szemkzti oldalainak egyenesei egy-egy pontban metszik egymst, s e hrom metszspont egy egyenesre illeszkedik. Megjegyezzk, hogy a ttel metsz egyenesekre vonatkoz specilis esett Papposz is ismerte. Desargues s Pascal utn csaknem 100 vig a projektv geometrival senki sem foglalkozott. Az rdeklds kzppontjban az algebra s az analzis eszkzeinek geometriai alkalmazhatsga llt, a tiszta geometria httrbe szorult. A projektv geometria elemei azonban hamarosan megtalltk gyakorlati alkalmazsukat az brzol geometriban, amelyet Monge alapozott meg. Monge erdtmnyek s gpek tervezsvel foglalkoz mrnk volt. Az elvgzend hosszadalmas szmtsok helyettestsre kezdte alkalmazni a projektv geometribl klcsnztt vettsi mdszert. Ezzel sikerlt a nehezen kezelhet trbeli problmkat skbeliekre visszavezetni. Alaptlete egyszer volt. Vegynk kt, egymsra merleges skot, s vettsk az brzoland trgyat erre a kt skra. Ezutn az egyik skot a msikba forgatva a 3 dimenzis trgy kpe 2 dimenzis skokon jelenik meg. A ktkpskos brzols mellett Monge alkalmazta az axonometrikus brzolst is. Mdszervel felletek skmetszeteit is meg tudta szerkeszteni, nagyon lervidtve ezzel a tervezsi munkkat. Eredmnyeit katonai titokknt kezeltk, "brzol geometria cm! fmve csak a forradalom alatt, 1794,95-ben jelenhetett meg. Az brzol geometria ezutn a mrnkk nlklzhetetlen segdeszkze lett. A grfelmlet, illetve a ler topolgia fejldse kiindulpontjnak Euler kvetkez kt eredmnyt tekintjk: 1. Euler polider ttele: Ha egy egyszer! polider cs csainak szma c, lapjainak szma l, leinek szma pedig e, akkor c ; e + l = 2. Ez a ttel topolgiai jelleg, azaz rvnyes minden olyan felletre, amely topolgiailag ekvivalens a poliderrel. Kt alakzat akkor topolgiailag ekvivalens (homeomorf), ha egymsbl krnyezettart transzformcival szrmaztathat. Szemlletesen teht olyan transzformcival, amelyben a szaktson s ragasztson kvl minden ms deformci megengedett. Pldul egy krlap s egy sokszg homeomorf egymssal. Euler polider ttele teht modern nyelvezetben gy mondhat ki: Ttel: Legyen adott egy gmbfellettel homeomorf felleten egy olyan grf, amely a felletet a krrel homeomorf darabokra vgja szt. Ha a darabok szma l, a grf leinek szma e, cs csainak szma c, akkor c ; e + l = 2. 2. A kningsbergi hidak problmja: Knigsberg polgrai azzal a krdssel fordultak Eulerhez, hogy be lehet-e jrni a vrost tszel Pregel foly ht hdjt gy, hogy mindegyik hdon pontosan egyszer megynk vgig. A problma matematikailag gy is fogalmazhat, hogy folyamatos vonallal megrajzolhat-e (unikurzlis-e) az 5.14. bra alakzata. Euler nemcsak a felvetett problmt vlaszolta meg, hanem ltalnostst is:

187

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

5.14. bra. A knigsbergi hidak problmja.

Ttel: Egy grf akkor s csakis akkor unikurzlis, ha vagy nem tartalmaz pratlan fokszm pontot, vagy pontosan kt ilyen pontja van. (Az eredeti problma nem oldhat meg, mert abban minden pont fokszma 3, illetve 5.) #rdekes, hogy ez a grfelmleti problma Afrikban is felmerlt. Torday Emil magyar utaz a szzad elejn a kongi busongo trzsnl tallkozott vele. Megkrtk, hogy homokba rajzoljon adott brkat gy, hogy kzben ne emelje fel az ujjt, s egy vonalat se hzzon meg ktszer. Pldul:

Torday gy r az esetekrl: A gyerekek rajzoltak , s azonnal megkrtek bizonyos lehetetlen dolgokra- nagy volt az rmk, amikor lttk, hogy a fehr embernek ez nem sikerl.

Gyakorlatok 1. Adott az egysgszakasz, valamint az x s y hosszsg szakaszok. Szerkessz k meg az 2 x2  xy xy  xy  x xy hosszsg szakaszokat! 2. Mi azon pontok mrtani helye a s kban, amelyeknek kt adott pontt l val (a) tvolsgaik sszege, p

p

188

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

3.

(b) tvolsgaik ngyzetsszege lland ? A Descartes-fle eljelszably seg tsgvel vizsgljuk az albbi egyenletek gykeinek eljelt (a) x9 + 3x8 5x3 + 4x + 6 = 0, (b) 2x7 3x4 x3 5 = 0, (c) 3x4 + 10x2 + 5x 4 = 0. Mutassuk meg, hogy az x5 + x2 + 1 = 0 egyenletnek 4 kpzetes gyke van. A Descartes-fle f lia egyenlete a kvetkez: x3 + y3 = 3axy. (a) #brzoljuk a grbt! (b) rjuk fel egyenlett polrkoordintkban! Oldjuk meg az x4 2x2 + 8x 3 = 0 egyenletet a Descartes-fle hatrozatlan egy tthat kkal val szorzatt bontssal. Szm tsuk ki a Cavalieri-elv seg tsgvel a t rusz trfogatt! #brzoljuk az albbi grbt majd szm tsuk ki ter lett a Cavarieri-elvvel 9y2 = (3 + x2 ) (4 x2 ). Hatrozzuk meg az x2 + y2 = 25 kr (3 4) pontjban hzott rintjnek irnytangenst (a) Fermat m dszervel, (b) Barrow m dszervel, (c) Newton $uxi elmletvel, (d) modern m dszerrel. A Mercator sor seg tsgvel szm tsuk ki ln 3 rtkt 4 jegy pontossgig. Maclaurin sorok seg tsgvel bizony tsuk be, hogy (a) eix = cos x + i sin x, (b) x! lim0 sinx x = 1 Igazoljuk hromfle m dszerrel, hogy az egyenl ker let tglalapok kz l a ngyzet ter lete a legnagyobb! (a) Kzepek kzti egyenltlensggel. (b) Parabolaegyenlet felhasznlsval. (c) Derivls seg tsgvel. Igazoljunk Fermat idzett 8 sejtsbl minl tbbet! A vgtelen leszlls m dszervel igazoljuk, hogy 3 irracionlis szm! Sejts megfogalmazsval, majd a sejts teljes indukci s bizony tsval oldjuk meg a kvetkez feladatokat: (a) Legfeljebb hny rszre oszthat a s k n egyenessel? (b) Legfeljebb hny rszre oszthat a tr n s kkal? ;

;

;

;

;

4. 5. 6. 7. 8.

;

;

;

9.

10. 11.

12.

13. 14. 15.

p

189

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

16. de Meziriac slyfeladata. Egy keresked slymrsre hasznlt egy 40 fontos kvet. Egyszer a k leesett s ngy darabra trt. A keresked meglepdve vette szre, hogy minden darab egsz fontot nyom, s a 4 k seg tsgvel 40 fontig minden egsz fontnyi slyt meg tud mrni. Mekkora az egyes darabok slya? 17. Newton feladata. Hrom legeln mindig egyformn gazdagon s gyorsan n f . Az egyik mez ter lete 3 13 , a msik 10, a harmadik pedig 24 hektr. Az elst 12 tehn legeli 4 ht alatt, a msodikat 21 tehn 9 ht alatt. Hny tehn legeli le a harmadik legelt 18 ht alatt? 18. Szm tsuk ki az x3 2x 5 = 0 egyenlet (2 3) intervallumba es gykt 5 tizedes pontossggal (a) hrm dszerrel, (b) rint m dszerrel! 19. Gaussnak az algebra alapttelnek els bizony tsban alkalmazott m dszervel mutassuk meg, hogy a (a) z2 4i = 0, (b) z2 + 2iz + i = 0. egyenleteknek van komplex gyke! 20. Igazoljuk, hogy egy hromszgben a kr l rt kr kzppontja, a hromszg slypontja s magassgpontja egy egyenesen van! (Euler-egyenes) 21. Bizony tsuk be Euler polider ttelt! 22. Legyenek ABCDE egy kpszeletbe rt tszg cscsai. Bizony tsuk be, hogy az AB s DE , a BC s EA oldalaik, valamint a CD oldal s az A-beli rint metszspontjai egy egyenesre esnek. 23. Ha adott egy kpszelet 4 pontja s egy rintje ezen pontok valamelyikben, akkor szerkessz k meg a kpszelet tovbbi 2 pontjt. 24. Oldjuk meg a pontosztozkodsi problmt Fermat, illetve Pascal m dszervel, ha (a) az A jtkosnak 1, a B jtkosnak 4 pont kell a nyershez, (b) az A jtkosnak 3, a B -nek 4 pont kell a nyershez! 25. Mutassuk meg, a ztaf ggvnyre vonatkoz azonossg seg tsgvel, hogy a pr mszmok szma vgtelen. ;

;

;

Irodalom )1] )2] )3] )4]

Courant, R.,Robbins, H.: Mi a matematika? Gondolat, 1966. Drrie, H.: A diadalmas matematika. Gondolat, 1965. Lnczos Kornl: A geometriai trfogalom fejldse. Gondolat, 1976. Ore, O.: Bevezets a szmelmlet vilgba. Gondolat, 1977.

190

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

)5] Rnyi Alfrd: Levelek a valszn!sgrl. Akadmiai Kiad, 1967. )6] Sawyer, W. W.: Mi a matematikai analzis? Gondolat, 1973.

191

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

192

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

6. fejezet

A magyar matematika trtnete 6.1. A kezdetekt l a XIX. szzadig A honfoglals eltti idkbl csak kzvetett forrsokbl kvetkeztethetnk seink matematikai ismereteire. Ilyen forrsokknt a nyelvszet s a rgszet szolgl. A szmnevek etimolgiai vizsglata nemcsak a szmfogalom kifejldsre, hanem a magyarsg eredetnek ma sem lezrt krdsnek megvlaszolsra is nyjt bizonytkokat. A rgszeti leletekbl seink szmrovst s embertani sszettelt ismerhetjk meg. A magyar nyelv nnugor eredete igaz vitatott, de a legvalsznbb. Ehhez a szmnevek kzs gykere adja az egyik legdntbb bizonytkot. A nnugor nyelvek mindkt gban: az ugor (vogul, osztjk) s a nn ( nn, szt, lapp) nyelvekben kzs gykere van a 2, 3, 4, 5, 6 s 100 szmneveknek (6.1. bra). magyar kt hrom ngy t hat szz

vogul kit churum nyila at cht szt

osztjk kat chulem nyal wet chut szot

nn kakszi kolme nelje vszi kszi szata

6.1. bra. Kzs gyker" szmnevek nhny nnugor nyelvben.

Az egyezsek azt is mutatjk, hogy a legrgibb idkben a nnugor npek a hatos szmrendszert hasznltk. Egyes feltevsek szerint ez a sumrok hatos szmrendszerre vezethet vissza. A ht sz eredete s ketts jelentse mr csak a magyarral legkzelebbi nyelvrokonsgban ll vogul s osztjk nyelvekben azonos. E hrom nyelvben a 193

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

ht nemcsak a hetes szmot, hanem a hetet, vagyis a ht napbl ll idkzt is jelenti. Tbbek szerint a ht sz ugor kori irni tvtel s a szanszkrit sapta szbl szrmazik. A ht vogul neve (sat) is ezt ltszik igazolni. A hetes szmrendszernek a magyar regkben, npmeskben s szlsokban fellelhet nyomairl mr szltunk a II. fejezetben. A kvetkez fokozat a tzes rendszerre val ttrs volt, amit szintn az sirniaktl vettnk t. Ezt a legjobban a tz szmnv igazolja. E sznak sirni jelentse dekd, vagyis 10 napbl ll idkz. A tovbbszmlls mdja is azt tkrzi: tizen-egy, tizen- kett, stb. Az 1000 neve is irni, kzelebrl aln eredet. A szm sz ksbb keletkezett s a trkktl (bolgr-trkktl) vettk t. A szmnevek eredetnek krdse mr sszetettebb problma. A legtbb nyelvben a szmnevek vagy ujjak neveibl, vagy az n, te, stb. szemlyes nvmsokbl keletkeztek. A magyar szmnevekrl egyik eredet sem mutathat ki. Az egy szmnv vagy az ez itt mutatnvmsbl, vagy az els ell lev szavak el tvbl alakulhatott ki. A nyolc szmnv nyol-rsze ugor kori rksg, jelentse orr, esetleg nyalb. A c elem vitatott eredet. Egyesek a rgi nyoltz rsmdbl kvetkeztetve a tz mssalhangzit ltjk benn. A kilenc eredeti jelentse kvl tz, vagyis tz eltt. A sz elejn lv kil (korbban: kl) teht a kvl szt sejteti. A vogul ontollou (kilenc) sz eredeti jelentse pedig oldal a tzhez. A magyarsg eredete mg vitatottabb problma. A korbban hivataloss tett nnugor eredet mellett ms elmletek is lteznek. Lszl Gyula ketts honfoglals elmlete szerint rpd magyarjai mr itt talltk a korbban rkez avar-magyarokat. Szerinte a magyarsg embertani sszettelben nem a nnugor elem a dnt, hanem a trk. A nnugor nyelvrokonsgot nem vitatja, de azt az rintkezskor tvett nyelvcsernek tulajdontja. Az avar-magyar folytonossggal magyarzza, hogy a kis ltszm nomd honfoglal magyarsg mirt nem olvadt fel az itt tallt npekben, mirt nem vette t azok nyelvt, ahogy ez ms nomd npek esetben trtnt. Vannak hvei a sumr-magyar rokonsgnak is. Az sumr nyelvben az egy jelentse fr , a kett n, minden ezeknl nagyobb szmnak sok. A sumrhoz hasonlan a magyar nyelv 1 s 2 szmneve is egy ellenttprbl szrmazott, de ez nem a fr -n, hanem valsznleg az ez-az ellenttpr volt. #rvknt szoktk mg felhozni, hogy a sumr nyelv a magyarhoz hasonlan ragoz nyelv. A szkely-magyar rovsrs s szmrovs vizsglata is adalkokat szolgltat a magyarsg eredetnek krdshez. Bizonyos, hogy ezt a magyarsg mr a honfoglals eltt is ismerte. A magyar rovsrs s szmrovs si eredett az is igazolja, hogy tbb vele kapcsolatos sz kzs a magyar, a szlv, az j-grg s a romn nyelben: rovs, prja, parjl, paril. A szmrovst a magyarok fknt az elszmoltats eszkzeiknt hasznltk az llattartsban, a kereskedelemben s az adztatsban. Jegyeit rovsfkra, rovsplckra, ritkbban balta vagy ostor nyelre vstk (6.2. bra). A magyarorszgi matematika els rsos emlke Szent Gellrt (980?1046) pspk nevhez fzdik. Deliberatio cm latin nyelv mvt csandi 194

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

6.2. bra. A legelterjedtebb, illetve a hortobgyi szmrovsos jelek.

pspksge idejn, 1044 krl rta. Benne tbb zben foglalkozik az egysg s a szm fogalmval, valamint szmmisztikval, bizonyra Szent goston hatsra. A kzirat XI. szzadi msolatt a mncheni Bayerische Staatsbibliothek rzi. A magyar llam megszervezse utn, mr Szent Istvn idejben kezdtek megalakulni az els kptalani iskolk, amelyekben szerzetesek (elsknt bencsek) oktattk a ht szabad mvszetet a nyugati egyhzi iskolkhoz hasonlan. Az itt foly oktats fontos emlke egy kziratos tanuli fljegyzs, amit Szalkai Sndor (ksbb esztergomi rsek) jegyzett fel srospataki iskols korban (1490) Kisvrdai Jnos tanr eladsai nyomn. Ebben a matematikt a naptrszmts kpviselte. A XIII. szzadtl szervezd vrosi iskolkban mr rudasmestereket (mai szval fldmrket) is kpeztek. Nekik fldmrsen kvl trkpksztsi s tervezsi feladatokat is el kellett ltni. A felsfok iskolk szervezsben elg gyorsan kvettk a Nyugatot. IV. Bla 1250 krl a veszprmi kptalani iskolt emelte magasabb szintre, de ezt Csk Pter fr csapatai 1276-ban sztdltk. Nagy Lajos 1367-ben ppai jvhagyssal ltestett egyetemet Pcsett, ami ksbb szintn megsznt. 1389 krl Zsigmond kirly kapott ppai engedlyt az budai kptalani iskola egyetemm fejlesztsre, de az intzmny tovbbi sorsrl keveset tudunk. Mtys kirly idejn Magyarorszg a renesznsz kultra egyik kzpontja lett. 1467-ben Pozsonyban ltestett egyetemet ngy fakultssal (1491ben megsznt). Az egyetem rangjt jelzi, hogy ngy vig itt tantott a szzad legnagyobb matematikusa s csillagsza, Regiomontanus is. Mtys emellett nyomdt s tudomnyos trsasgot is alaptott. #rdekessg, hogy Regiomontanus haznkban sszelltott csillagszati tblzatait hasznlta ksbb Kolumbusz Amerika felfedezsekor a naviglsra. Sajnos a felsfok oktats nem tudott gykeret verni Magyarorszgon, fknt a kedveztlen trtnelmi krlmnyek miatt. A hrom rszre szakadt orszgban sem sznt meg azonban a tanulsra val igny. Fiataljaink kzl sokan mentek tanulni a klfldi egyetemekre (Krakk, Prga, Bcs, Bologna, Utrecht, stb.). A Nyugathoz val ismtelt felzrkzs azonban csak a XIX. szzad vgn kvetkezett be. A XV. szzad a hindu-arab szmrs hazai elterjedsnek kora is. Legkorbbi emlke 1408-bl val. Az vszmot Tth Sndor fedezte fel a kalotaszegi 195

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Magyarvalk (V4leni) templomn. 1436-ban egy selmecbnyai szmadsknyv, 1470-bl egy orszgcmer tartalmazza az j szmjegyeket. Pnzrmken val megjelensk 1499-ben pedig mr vgleges gyzelmket mutatja. Az 1499-es vszm az els magyar szerztl szrmaz matematika knyv megjelenst is jelzi. Szerzje Magyarorszgi Gyrgy Mester (1422?1502), cme Aritmetika volt. Latin nyelven rdott s a hollandiai Utrechtben jelent meg. Szerzje dik volt (a pozsonyi egyetemen?), amikor a trkk elhurcoltk. Hossz rabsg utn trt haza. Ksbb Hollandiban lt domonkosrendi szerzetesknt. Rmban halt meg. Knyvt 1965-ben jra kiadtk Hollandiban, mint az els nyomtatott knyvek egyikt. Gyrgy Mester knyve 3 rszbl ll s mindssze 30 oldalas. A hinduarab szmjegyekkel val szmols kilenc fajtjt ismerteti: szmlls, sszeads, kivons, ktszerezs, felezs, szorzs, oszts, haladvnyok, gykvons. Emellett lerja az abakuszon val szmolst is, amely ppen gy, mint a szmjegyekkel val szmols, szinte egyedlll, hallatlanul rvid s a szmolsnak legjtkosabb mdja. A harmadik rsz 15 feladatot tartalmaz a hrmasszablyra, arnyos osztsra, pnztszmtsra, szveges elsfok egyenletre s trfogatszmtsra. A hazai oktats jjledse a reformcinak volt ksznhet. Az orszg kzepe trk megszlls alatt volt, gy a Felvidken s Erdlyben lteslt tbb iskola. Iskolacentrum lett a trk hdoltsgban lev, de kivltsgokat lvez nhny vros is, elssorban Debrecen. A protestnsok elsknt Srospatakon (1531), majd Debrecenben (1538) alaptottak fiskolt. Ugyanebben az idben Erdlyben hat hasonl intzmny lteslt: Nagyenyed, Kolozsvr, Marosvsrhely, Szkelyudvarhely, Szszvros, Zilah. Ezekhez csatlakozott ksbb a fejedelmi szkhelyen Gyulafehrvron, a Bethlen Gbor ltal alaptott fiskola. A protestns iskolk hatsnak ellenslyozsra Pzmny Pter egyetemet alaptott Nagyszombaton (1635), melyet ksbb tbb ms katolikus (jezsuita) iskola kvetett, elssorban a Felvidken. Az j iskolk igyekeztek dikjaikat hazai tanknyvekkel elltni. A jezsuitk magasabb szint, de idegen nyelv (latin, nmet) knyvekkel, a protestnsok viszont magyar nyelvekkel is. A magyar nyelv aritmetikkat a kollgiumokhoz tartoz kzpfok iskolkban (partikulkban) is hasznltk, gy hatsuk szlesebb kr volt. Az els hazai jezsuita tanknyvet (szorztblt) Berzevitzi Henrik rta 1687 krl Nagyszombaton Arithmetica practica (Gyakorlati aritmetika) cmmel. Nhny vvel ksbb szintn Nagyszombaton kszlt egy trigonometriai tblzat, melynek szerzi Dubovszky Jnos s Szkely Ferenc jezsuita tanrok voltak. Hasonl tblzatot adott ki Kolozsvron 1737-ben Jnosi Mikls, amelyet J. Gooden angol jezsuita ksztett. Az els magyarorszgi algebra Lipsicz Mihly (1703,1765) kolozsvri, kassai s nagyszombati tanr munkja volt, 1738-ban Kassn jelent meg latinul. Ezt az algebrt tovbbi latin nyelv jezsuita algebrk kvetik. Kzlk a legjobb Hell Miksa (1710,1792) kolozsvri akadmiai tanr mve, amely 1755-ben je196

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

lent meg Kolozsvron. Mai szemmel nzve ez kzpfok algebra knyv, pontos de ncikkal, kevs pldval. Kerekgedei Mak Pl (1724,1793) mr igazi felsfok algebrt adott ki 1770-ben Bcsben latinul. Ebben egszen a negyedfokig bezrlag trgyalja az egyenletek elmlett, benne a Descartes-fle eljelszablyt, a tbbszrs gykket, stb. Mak algebrjt mg kt hasonl kveti a XVIII. szzadban. Az egyik szerzje Martinovics Ignc (1755,1796), a jakobinus sszeeskvs vezetje, aki kmikusknt is berta nevt a tudomnytrtnetbe. A msikat Horvth Jnos (1732,1799) nagyszombati, majd budai professzor rta. Mak Plt nevezhetjk az els, eurpai rtelemben vett magyar matematikusnak. Sznvonalas egyetemi tanknyvet rt nemcsak algebrbl, hanem analzisbl is. Ez utbbi elszr latinul Bcsben (1768), majd nmetl Lipcsben (1799) jelent meg. Mveinek pozitv hatsa sajnos inkbb az osztrk, mint a hazai felsoktatsban mutatkozott meg. Rszt vett az els oktatsi trvny elksztsben. Mikor Mria Terzia a nagyszombati egyetemet a jezsuita rend feloszlatsa utn Budra helyezte (1777),  lett a blcsszeti kar dknja. A protestnsok ltal kiadott magyar nyelv aritmetikk krl az els Debrecenben jelent meg 1577-ben. Ezt tovbbiak kvettk (6.3. bra). Szerz ? ?

Megnevezs Debreceni Aritmetika Kolozsvri Aritmetika Apczai Csere Jnos Magyar Encyklopaedia Paduai Julius Caesar Aritmetika Meny i Tolvaj Ferenc Aritmetika Onadi Jnos Aritmetika Marthi Gyrgy Aritmetika

Els kiads Debrecen, 1577 Kolozsvr, 1591 Utrecht, 1655 Lcse, 1668 Debrecen, 1674 Kassa, 1693 Debrecen, 1743

6.3. bra. Az els magyar nyelv" aritmetikk.

A XVI.,XVIII. szzadi magyar nyelv aritmetikk a kornak megfelel sznvonalon rdott elemi szmtanknyvek. Trgyaljk az alapmveletek szablyait (regulit), a kilences prbval, s a lustk szablyval egytt. Szerepel bennk az abakuszon val szmols, amit az rsban szmolni nem tudk is elsajtthattak. Sok bennk a gyakorlati feladat, a sokfle mrtk- s pnzegysg tszmtst szolgl tblzat. Szveges egyenleteket a hamis helyzet szablya segtsgvel oldanak meg. Legtbbjk trgyalja a trsasgi szablyt, amellyel ki lehet szmolni egy vllalkozsba klnbz tkvel beszllk haszonrszesedst. Ez utbbi a Debreceni Aritmetikban nem szerepel, mert mint szerzje rja: Magyar orszgban ennec a regulanac ign nagy haszna nintsen, mert a Magyaroc ign kemeny nyakuac es egyarnt az zetst restellic. Debrecen lnk kereskedelmi lett tkrz feladatokat viszont tallunk benne: 197

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Feladat: Mass fl sing posztot veszc tuen pnzen, vallyon negyed fl singt hogy vehetc? A szerz igyekszik kzvetlen, nha trfs stlusban szlni az olvashoz s motivlsra is trekszik: azrt valamelly ember szmllni nem tud, nem klnbez az oktalan llattul. Egy helytt a kilences prba bemutatsra rossz sszeadst r fel, amit gy indokol: Ezt csak azrt rtam, hogy meg ismerjed az prbnak hasznos voltt. A Kolozsvri Aritmetika szerzjt szintn nem ismerjk. A m nagyon hasonl a Debreceni Aritmetikhoz, annak zes magyar nyelvben is. Szerepel benne a Rhind papirusz mrtani sorozatos feladatnak albbi vltozata: Feladat: Vagyon 12 Bart, mindenicnec vagyon 12 bottya, mindenic btban vagyon 12 Tska, mindenic Tskban vagyon 12 kenyr darab, mindeninc kenyr darabban vagyon 12 lyuc s mindenic lyucban vagyon 12 egr s mindenic egrnek vagyon 12 a. Vallyon mennyi egeret tszen somma szernt? A magyar matematikai szaknyelv kialakulsban fontos szerepe volt Apczai Csere Jnos (1625,1659) Magyar Encyclopaedia cm mve A dolgoknak megszmllsrl (aritmetika), s az A mennyisgeknek megmrsrl (geometria) fejezeteinek. Ez utbbi egyben az els magyar nyelv geometria. Magyarorszgi szerztl mr korbban is jelent meg egy nmet nyelv geometria, amelyet a siklsi szrmazs Phler Kristf rt s Dillingenben adtk ki 1563-ban. Apczai a gyulafehrvri, majd a kolozsvri fiskola tanra volt. Fiatal korban Hollandiban tanult sztndjjal. Szvgynek tekintette az oktats sznvonalnak emelst, a magyar tudomnyos szaknyelv megteremtst. Klnsen a matematikt tartotta fontosnak: Matzis nlkl nincs igazi tudomny, csak medd, elmefraszt szellemi torna. tette az els ksrletet a geometria szaknyelvnek kialaktsra. Mindent magyarul akart kifejezni, szljegyzetben megadva a latin kifejezst is:

A test szles s magas vonsbl ll dolog, azon rtelemmel mondathatik temrdek dolognak is. A temrdeknek hatra a szn. : : : A temrdek sima vagy grbe. : : : A sima temrdek lngszabs avagy lngszabs bl val. A lngszabs (pyramis) az igyenesvons fenktl fogva hromszegeletekkel megtetztetett sima temrdek. Annak okrt a lngszabs nak skjai a feneken val szegeleteknl eggyel tbbek. : : : A ngysk (tetrahedrum) ngy rendes egyenl hromszegeletektl bfoglaltatott rendes lngszabs forma. Ha a tetrader elbbi magyarostsa nem is bizonyult idtllnak, sok geometriai kifejezsnket Apczainak ksznhetjk: kzppont, egyenes, grbe, szg, tompaszg, hegyesszg, test, sk, stb. A legtbbszr kiadott aritmetika Meny i Tolvaj Ferenc, akinek letrl csak annyit tudunk, hogy a debreceni Kollgium gyngysi particuljnak volt az igazgatja, majd Losoncon tantott. Knyvt elszr Debrecenben adtk ki (1674), majd hromszor Kolozsvron, ktszer Lcsn, vgl egyszer Pozsonyban

198

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

(1727). Meny i aritmetikja versbe foglalva kzli a szmolsi szablyokat, hasonlan Onadi Jnoshoz. A legjobb aritmetika szerzje Marthi Gyrgy (1715,1744) debreceni professzor. Debrecenben szletett, 16 ves korban klfldre ment tanulni. Ht v utn visszatrve a debreceni Kollgium tanra lett. Igyekezett az oktatst megreformlni, az letbl mg htralv hat rvid v alatt. Srgette a magyar nyelv oktats bevezetst, a tantsi mdszerek korszerstst, a matematika slynak nvelst. Eurpai sznvonalon ll, korszer aritmetikai knyvnek megrsa utn egy vvel, 29 ves korban azonban meghalt. Egy pestisjrvny legyengtette szervezett, amely nem brta a megfesztett munkt. Marthi knyve nem tartalmban, hanem a feldolgozs sznvonalban mlja fell eldeit. Cljt jl kifejezi a m teljes cme: Aritmetica, vagy szmvetsnek mestersge, melyet rt, kznsges haszonra, fkpen a Magyarorszgon elfordul dolgokra alkalmaztatni igyekezett Marthi Gyrgy, D. P. Az elszban brlja az elz aritmetikkat, fleg Meny i s Onadi knyvnek verses regulit. Marthi mindent rtheten s vilgosan akar elmagyarzni, de nem mese forma versekbe foglalt regulkkal, hanem vilgos foly beszddel A fogalmakat, eljrsokat olyan magyar szavakkal akarja lerni, amelyeket mg az Asszonynp is megrthessen. Ehhez meg hozzteszi:  : : : br tbben kvetnnek, gy nem lenne ilyen szk s szegny a Magyar nyelv. Tle ered szavak a szmlls, sszeads, kivons, oszts, oszt, maradk, kerlet, sokszorozs (ebbl rvidlt le a szorzs). Kifejti a knyv elejn pedaggiai nzeteit is Marthi. Fontosnak tartja a fokozatossg elvt, a gyakorlati pldkat, a pontossgot, a tants sorn a jtkossgot. Szerinte az aritmetika tantst hamar kell kezdeni:  : : : arra t s hat esztends korban alkalmas a gyermek, csak hogy nem drrel - durral, hanem jtk mdjra kell aprdonknt elejbe adni. A matematika hasznrl pedig gy vlekedik: gy szokik meg legjobban a gyermek arra is, hogy minden dolgban magra vigyz, rendszeret s amint hvjuk punctulis legyen- mellyre igen nagy szksge van a mi embereinknek. Mg Gyrgy Mester aritmetikja kilenc, Marthi mr csak ngy alapmveletet trgyal: sszeads, kivons, szorzs, oszts. Ez megfelel a szmolsi szablyok egyszersdsnek a kzben eltelt idben. Ellenrzsl a kilences prbt ajnlja, de gyelmeztet annak nem elgsges voltra, fleg ha ms szmtsait ellenrizzk: Ha valaki nem maga vetn ssze a szmokat, hanem mssal vettetn szve- s tsak erre a kilentzes Prbra bznk- knnyen meglehetne tet nagyon tsalni. A szorzsnl ismerteti a lustk szablyt, aminl elegend a szorztblt csak 5  5-ig megtanulni. A nagyobb szmokat az albbi mdon szorozhatjuk ssze (pl. 6  8):

ab helyett (10 ; a)(10 ; b)

6  8 helyett 4  2 ab = 10 (a ; (10 ; b)) + (10 ; a)(10 ; b) 68 = 10(6 ; 2) + 4  2 = 46: 199

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Nem maradhatott ki Marthi knyvbl az abakuszon val szmols, vagy ahogy  nevezi: a paraszt szmvets. Valamilyen lapra vzszintes (vagy fggleges) vonalakat hzunk, majd ezekre korong alak fadarabokbl (fabatkkbl) kirakjuk az sszeadand, kivonand, stb. szmokat. A legals vonalra az egyesek, fl a tzesek stb. kerlnek (kzjk pedig az tszrsk). Trteknek is lehetsges vonalakat hzni. A mvelet elvgzse utn tisztzs kvetkezik, azaz pl. 10 egyest bevltunk egy tzesre. Szveges egyenletek megoldsa mg itt is az egyiptomi eredet hamis helyzet szablyval trtnik, algebrai eszkzk hasznlatval mg nem tallkozunk. Pldul: Feladat: Edgy Leanytl krdik a Leanyt-krk, hny Esztends Ama felel: Az Anym, ugymond, harmad-fl annyi ids, mint n az Atym pedig hrom annyi ids, A hrmunk ideje tszen mind szve 117 Esztendt. Krds, hny esztends vlt?  Fogjuk r, hogy 14 esztends vlt : : : Az arabok ltal kedvelt ketts hamis helyzet szablyt is alkalmazza az f (x) = c alak egyenletek megoldsakor Marthi. Vlasszunk kt a s b szmot gy, hogy f (a) < c < f (b) Ezutn az x gyk lineris interpolcival kzelthet: + b(c ; f (a)) : x = a(f (b) f;(bc)) ; f (a) A feladatok szvege tkrzi az akkori trtnelmi viszonyokat is. Sok szl kzlk portyzsrl, dzsmrl, uzsorrl, klnbz adnemekrl. A sokfle mrtks pnzrendszer indokolta az tszmtsi tblzatok kzlst. Akkoriban 17 fle pnznem, 12 sly s 9 rmrtk volt forgalomban (cseber, veder, vka, kanta, itce, ak, fertly, kbl, ejtel). A kpet tovbb bonyoltotta, hogy szmos mrtknek megvolt a rgi s j, als- s fels-magyarorszgi, vrosi s vidki vltozata. Nem vletlen, hogy Debrecen krnykn mg a XIX. szzad elejn is gy zrtak le egy sikeres zletktst: gy van ez Marthi szerint. A nyomtatott mvek mellett sok informcit nyjtanak a korabeli matematikaoktatsrl a XVII. szzadi matematikai kziratok. Ezek kzl hrom fontosat ismertetnk. Az els francia nyelven rdott s geometrit tartalmaz. Egyik lapjn tallhat a szerz neve: Gnczy Gyrgy, valamint a lejegyzs dtuma: Gyulafehrvr, 1625. Sok latin nyelv bejegyzs is tallhat az rtkes geometria anyagot tartalmaz kziratban. Lehetsges, hogy a szerz csak valakinek az eladst lejegyz s kommentl dik volt. Gresi Istvn nagybnyai tant kziratos aritmetikja 1626-bl val s magyar nyelv. Szerzje is igyekezett megtallni a latin szakkifejezsek magyar megfelelit. Az sszeadsra pldul a kvetkez szavakat hasznlja: esve adni, egy sommaba hozni, hozza adni, esve szmllni, esve tenni, ahoz zamlalni, summalni. #rdekes, hogy egyes szmnevek Nagybnya krnyki elnevezse eltrt az ltalnostl (10 = tzvan, 20 = huszvan, 30 = harmincvan). A kzirat ltalnossgban kzeli rokonsgot mutat a korabeli nyomtatott aritmetikkkal. 200

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A harmadik kzirat rja Porcsalmi Andrs, a gyulafehrvri fiskola dikja volt. A 600 oldalas kzirat az 1638,1642. tanvek anyagait tartalmazza latin nyelven. Az aritmetikai rsz mindssze 16 oldal s 77 ttelt, vagyis az aritmetika szablyainak, fogalmainak felsorolst tartalmazza. A XVIII. szzad vge fel megszletett az els magyar nyelv algebra is. Szerzje Dugonics Andrs (1740,1818) professzor, piarista szerzetes. A Budra, majd Pestre kltztetett egyetem elemi matematika tanszknek volt a professzora. Az internacionalista jezsuita rend utn a nemzeti szellemisg piarista lett a vezet hazai tant rend. A horvt szrmazs Dugonics is a magyarostst tartotta feladatnak, klnsen II. Jzsef nmetest trekvseivel szemben. Knyvnek megrsakor is e cl vezrelte: #n ezen igyekezetnek ellen llvn, csak azrt is az algebrt s a geometrit magyar nyelven kiadtam, hogy megmutassam az orszg eltt, hogy a nmet nyelv soha sem oly alkalmatos a tanulmnyoknak kimagyarzsban, mint a magyar nyelv. : : : azon kt tudkos knyveimben semmi ms szavakkal nem ltem, hanem tiszta magyar szavakkal. Dugonics Tudkossg a (Pozsony s Pest, 1798) ngy ktetnek 600 oldaln a summa szt leszmtva egyetlen idegen sz sem szerepel. A 4 ktet cme s anyaga a kvetkez: 1. A Tudkossgnak els knyve, melyben foglaltatik a bt-vets (algebra). Matematikai alapfogalmak (axima, de nci, ttel, feltevs, stb.), mveletek (gykvons s logaritmus is), algebra (els s msodfok egyenletek, hatrozatlan egyenletek). 2. A Tudkossgnak msodik knyve, melyben foglaltatik a fld-mrs (geometria). Ebben a ktetben Dugonics a Pitagorasz-ttel olyan kurta s knny bizonytst kzli, amelyet, lltsa szerint, eltte mg senki sem adott meg. 3. A Tudkossgnak harmadik knyve melyben foglaltatnak a hrom-szgellsek (trigonometria). 4. A Tudkossgnak negyedik knyve, melyben foglaltatnak a cs csos-szelsek (kpszeletek). A 3. s 4. ktet az els magyar sszefoglal munka az illet trgykrkbl. Dugonics kb. 300 j magyar szt alkotott knyvben, gy a nyelvjts egyik elfutra volt. Ma is hasznlt szakkifejezsei: derkszg, egyenlet, hatrozott s hatrozatlan egyenlet, gmb, hromszg, egyenl szr-, egyenl oldal-, derkszg-, tompaszg hromszg, hatszg, kr, krnegyed, lap, maradk, ngyszg, osztand, oszt, pont, sugr, szg, a szg szrai, derk-, mellk-, kls-, bels-, vlt-, tompaszg, vgtelen, henger. Dugonics Tudkossgnak ktetei egysges egszet alkotnak, egymsra plnek. Nemcsak feladatok s megoldsok tallhatk benne, hanem ttelek (vtelek), bizonytsok (vittatsok), de ncik (magyarzatok), aximk (tudtomok) s posztultumok (kremnyek) is. A bevezetben a szerz lerja 201

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

gondolatait a Tudkossg tanulsnak mdgyrl e szavakkal: E' knyvemnek elejrl utllyra, osztn kzepre senki se hgdicsllyon: hanem, a'-mint rva vagyon, a' rend szernt lpdegellyen : : : A' Tudkossg meg-tanulsban azt is javaslom, a'-mit a' Magyarok kz-beszdben mondanak: lassan jrj, tovbb rsz. Algebrjban a kornak megfelel felfogsban r a negatv szmbl vont ngyzetgykrl (vak-gyk) s az irracionlis gykrl (veszett gyk). Ez utbbirl a kvetkezkppen: A' veszett gyk az, mellyet csak a' szmba p fel nem tallhatni, hanem hozzja vg nlkl lehet kzelteni. Pldul: 5: mert egy bizonyos szm sincs, melly maga-magt sokszorozvn e kart adn. Az alapoz algebrai rszt mindazonltal sok kritika rheti a fogalmak pontossgt s a bizonytsok szigorsgt illeten, de ne felejtsk el, hogy ez elmondhat a kor legnagyobb matematikusairl is. Dugonics knyve nemcsak nyelvi, hanem szakmai szempontbl is rtkes munka. Szent Gellrt: Deliberatio

A magyarorszgi matematika els rsos emlke Magyarorszgi Gyrgy Az els magyar szerztl szrMester: Aritmetika maz aritmetika (latin nyelv) Utrecht, 1499 Phler: Geometria Az els magyar szerztl szrDillingen, 1563 maz geometria (nmet nyelv) Debreceni Aritmetika Az els magyar nyelv aritmetiDebrecen, 1577 ka Apczai Csere Jnos: Magyar Az els magyar nyelv geometria Encyclopaedia Utrecht, 1655 Lipsicz: Algebra Az els magyarorszgi algebra Kassa, 1738 (latin nyelv) Marthi: Aritmetika Az els igazi matematika Debrecen, 1743 tanknyv Mak Pl: Analzis Az els magyarorszgi felsfok Bcs, 1768 analzis s algebra (latin nyelv) Mak Pl: Algebra Bcs, 1770 Dugonics: Tudkossg Az els magyar nyelv algebra s Pozsony s Pest, 1798 trigonometria 1044 krl

6.4. bra. Elsk a magyar matematikban I.

202

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Szintn a felsbb matematikhoz sorolhat tmrl rt Hatvani Istvn (1718,1786) debreceni professzor. A ngrdi Rimaszombaton szletett. Alsfok iskoli elvgzse utn 20 vesen kerlt a debreceni Kollgiumba, ahol Marthi tantvnya lett. Ksbb Debrecen vros, Ngrd s Szabolcs megye sztndjval eljutott Bzelbe s a Bernoulliak eladsait ltogatta. Hazatrte utn, 1749-ben lett a kollgium matematika- zika professzora, de csillagszatot,

loz t, geolgit s kmit is adott el. Egy loz ai trgy latin nyelv mvben (Debrecen, 1757) pontos sszefoglalst adta a valsznsgszmts eddigi eredmnyeinek, belertve a nagy szmok trvnyt, amit Jacob Bernoulli alig 40 vvel azeltt fedezett fel. A trvnyt hazai statisztikai adatokkal illusztrlta. Kitrt a biztostsi matematika alapfogalmaira, a hallozs valsznsgre s az tlagos letkorra. rsa a hazai valsznsgszmts s matematikai statisztika legrgibb emlke. Az els magyar matematikus, aki nll felfedezssel gazdagtotta tudomnyt Sipos Pl (1759,1816) srospataki professzor volt. Tanulmnyait a nagyenyedi Bethlen-kollgiumban vgezte, majd Szszvroson tantott. 1791tl egy fr tmogatsval klfldn tanult. Visszatrve a srospataki fiskola tanra lett. Visszavonulva Tordason lett reformtus lelkipsztor. Ott halt meg tfuszban. Sipos kornak egyik legmveltebb s legsokoldalbb alakja volt. Filoz ai mveket, verseket, teolgiai tanulmnyokat rt, trigonometriai tblzatot szerkesztett. Nevt a matematikban a Sipos-fle grbe rzi, amelynek segtsgvel pontos kzelt eljrst dolgozott ki az ellipszis kerletnek meghatrozsra. Errl szl nmet nyelv rtekezst a Berlini Tudomnyos Akadmia adta ki 1796-ban s aranyremmel is jutalmazta. A XVIII. szzadban matematikusaink emigrcija is megkezddtt. Segner Jnos Andrs (1704,1777) Pozsonyban szletett, Gyrtt s Debrecenben tanult, majd 1725-ben a jnai egyetemre iratkozott be. Ksbb a jnai, a gttingeni, vgl a hallei egyetem professzora lett. Nevt a zikban a Segnerkerk rzi. Elsknt bizonytotta be a Descartes-fle elszablyt, valamint kidolgozott egy gykkzelt eljrst. az els magyar szrmazs matematikus, akit szmon tart az egyetemes matematikatrtnet. A ppai szlets Csernk Lszl (1740,1816) is a debreceni kollgiumban tanult. Husznt vesen ment sztndjjal klfldi tanulmnytra. Ksbb a hollandiai Deventerben telepedett le, az ottani gimnzium tanra lett. Ott adta ki 1811-ben hatalmas trzsszmtblzatt, amely 1 020 000-ig tartalmazta az sszes szmok prmtnyezs felbontst. Tblzata hasznos segdeszkze lett a szmelmleti kutatsoknak s neves matematikusok (Gauss, Legendre, Crelle) rtak rla elismeren.

6.2. A XIX. szzadi reformkor s fellendls A magyar matematika a kt Bolyai munkssgval nemcsak behozta elmaradst, hanem egy idre a nemzetkzi lvonalba kerlt a XIX. szzad els 203

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

felben. Sajnos, a matematiknak ezt a reformkort ismt visszaess kvette a szzad kzepn, fleg a kedveztlen trtnelmi esemnyek miatt. A kiegyezs utn jabb, most mr tarts fellendls kvetkezett. A szzad vgre a magyar matematika egsze elrte az eurpai sznvonalat. A kt Bolyai, a szkelysgnek ez a kt zsenije nem elzmnyek nlkl robbant be a matematika lvonalba. A XIX. szzad els felre haznkban megalapozdtak az oktatsi s szervezeti felttelei ilyen tehetsgek felbukkanshoz, de  mint ltni fogjuk  elismerskhz mg nem. A debreceni kollgiumban 1798-ban a felsbb matematika levlt a loz tl, nll tantrgy lett. Szintn Debrecen volt ttr a magyar oktatsi nyelv 1797. vi bevezetsben. A II. Jzsef ltal alaptott megyetemen egyre sznvonalasabban folyt a mrnk-matematikusi oktats. 1830-ban megkezdte tnyleges mkdst a Magyar Tudomnyos Akadmia, amely 1834-ben Mathematikai Msztrt adott ki. A sztr Apczai s Dugonics szellemben a magyar matematikai szaknyelv megteremtst volt hivatott szolglni. A mindenron val magyarostsnak voltak azonban tlzsai is. Pldul: klzelki hnyls (di(erencils), kapcsolati hnylat (kombinatorika), ktszaki oktatmny (binomilis ttel), kebel (szinusz), ptkebel (koszinusz), visszsptkebel (arkusz koszinusz). A bztat jelek ellenre az ltalnos sznvonal gyenge volt, amit a hibktl hemzseg tanknyvek, valamint a magyar krngyszgestk s szgharmadolk nagy szma is jelez. Az MTA vgl a szzad kzepn kimondta (100 vvel a francia akadmia utn):  : : : a kr ngyszegtst, a szg hromfel metszst, s rk mozgony feltallst elad rtekezsek vizsglatlanul visszautasttatnak. Bolyai Farkas (1775,1856) s a, Bolyai Jnos (1802,1860) nevhez az nll eredmnyek sokasga fzdik. Bolyai Jnos nemeuklidszi geometrija pedig korszakhatrt jelent a matematika trtnetben. A hazai tlagos matematikai mveltsg alacsony sznvonala miatt letkben nem kaptak elismerst s nem talltak kvetkre. A ksbbi fellendls azonban rszben az  eredmnyeikhez ktdik. Bolyai Farkas tanulmnyait Nagyenyeden s Kolozsvron kezdte. Egy fr tmogatsval Jnban s Gttingenben tanulhatott. Itt ismerkedett meg Gauss-szal, akivel szoros barti kapcsolatba kerlt. Hazatrse utn a marosvsrhelyi kollgium tanra lett. F mve, a latin nyelv ktktetes Tentamen (Ksrlet), amely 1832,33-ban jelent meg. A knyv a fels matematiknak a kor sznvonaln ll tanknyve, benne sok eredeti felfedezssel s rtkes didaktikai gondolatokkal. Megjelent egy kimondottan didaktikai cl munkja is, elszr 1829-ben az Aritmetica eleje cmmel, amely tbb kiadst rt el. Utols munkjban (Kurzer Grundriss, 1852) sszefoglalja fbb matematikai gondolatait s sszeveti a s Lobacsevszkij munkssgt. Bolyai Farkas felfedezseinek nagy rsze nem vlt ismertt, annak ellenre, hogy a Tentamen t elkldte Gaussnak. Nhny eredmny azonban ma is nevhez ktdik. Elssorban a vgszer terletegyenlsg fogalma s az erre vonatkoz hrom ttel. Kt skterlet akkor vgszeren egyenl, ha vges szm, klcsnsen egybevg darabokra oszthat. 204

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Ttel: Kt  egyenes vonalakkal hatrolt  egyenl terlet! sokszg vgszer!en egyenl. Ttel: Kt egybevg, egymst csak rszben fed sktartomny nem kzs rszei vgszer!en egyenlk. Ttel: Kt egybevg sktartomnybl ll pronknt egybevg tetszleges rszeket elvve, a maradkok vgszer!en egyenlk. A Bolyai-algoritmus az xm = a + x egyenlet egyik megoldst adja az

x1 =

pa : : : m

 xn =

r

m

a+

q

m

p

a + m a +   ( n db. gykjel)

itercis sorozat segtsgvel. Bolyai Farkas bebizonytotta, hogy ha a gykknek mindig a pozitv vals rtkt vesszk, akkor limn!1 xn az egyenlet egyik megoldsa. Kilenc helyettest aximt adott az euklidszi prhuzamossgi aximra. Kzttk van az, amelyet az sszes helyettest axima kzl a legszemlletesebbnek tartanak: Hrom pont vagy egyenesen vagy krn van. Bolyai Farkas a kvetkez kritriumot adta pozitv tag vgtelen sorokra: Ha a n ; m(n) = a  azaz m(n) = n ; m an  n;1

n

n

an;1

akkor: 1. Ha elg nagy n-tl kezdve m(n)  3k > 1, akkor a sor konvergens. 2. Ha m(n) < 1, gy a sor divergens. 3. Ha m(n) > 1, de limn!1 m(n) = 1 , akkor a sor viselkedsrl semmi sem mondhat. A Bolyai-kritrium ekvivalens az ismert s sokat alkalmazott Raabekritriummal. Nhny ms, kort megelz gondolata: 1. Az aritmetika s a geometria kzs axiomatikus felptst ksrli meg. Ezzel Peano s Hilbert elfutra lett. 2. Eljut a fels hatr s a Dedekind-szelet fogalmhoz. 3. Hangslyozza a permanencia elvet, ami ksbb Hankel nevhez fzdik. Az elvet alkalmazza a komplex szmok algebrjnak felptsben. 4. Megadja a fggvny ltalnos (Dirichlet-fle) fogalmt. 5. De ncit ad a hatrrtkre (szj-becs) Cauchytl fggetlenl. 205

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Ez utbbit idzzk az Aritmetica eleje 1843-as kiadsbl: Ha a vges mennyisg, vagy 0 s z kzneve oly vges edjmsutn kvetkez mennyisgeknek, melyek kztt az elst ms, s azt megint ms, s mindeniket ms-ms kvet s a-hoz egyenl z nincs, de akrmely a z -vel sszegezhet w adassg meg (zrn kvl), van olyan z , amelynek a-rai ptja kisebb w-nl: akkor a mondatik z -nek szjbecsnek. Matematikai munkssgt itthon sem ismerik el. Jobban ismert volt drmarknt s feltallknt. A Magyar Tudomnyos Akadmia a termszettudomnyi szakosztlyba vlasztotta meg levelez tagnak, nem a matematikaiba. Bolyai Jnos elszr Marosvsrhelyen tanult. Apja ismertette meg vele a prhuzamosok problmjt. Ezutn a Monarchia legsznvonalasabb matematikai kpzst nyjt bcsi hadmrnki akadmira kerlt. Mr hallgat korban foglalkozott egy j geometria megteremtsnek gondolatval. Ennek vzlatt mr tisztknt ksztette el Temesvrott. Innen rta apjnak hres sorait 21 ves korban, 1823-ban: semmibl egy ujj, ms vilgot teremtettem. A kidolgozott elmlet a Tentamen egyik fggelkeknt jelent meg s Appendix (Fggelk) nven vlt ismertt. A 43 fejezetbl ll 26 oldalas latin nyelv Appendix az abszolt geometria alapjait tartalmazza, amelynek lnyegt kifejezi a m teljes cme: A tr abszol t igaz tudomnya a XI. Eukleidszi-fle axima (a priori, soha el nem dnthet) helyes vagy tves volttl fggetlen trgyalsban: annak tves volta esetre, a kr geometriai ngyszgestsvel. Teht Bolyai Jnos beltta az eddigi prblkozsok sikertelensgt, vagyis a prhuzamossgi aximnak a tbbi axima segtsgvel val bizonytst. Abbl, hogy az indirekt bizonytsi ksrletek sem vezettek ellentmondsra, a XI. aximnak (az V. posztultumnak) a tbbitl val fggetlensgre kvetkeztetett. Eszerint az axima tagadsval is felpthet egy ellentmondsmentes geometria, hiszen az axima igazsga a priori soha el nem dnthet. Ez a gondolat a kanti loz nak s a szemlletnek is ellentmondott, gy nem lehet csodlkozni a nem-euklidszi geometria kezdeti elutastsn. A kvetkezkben az Appendix gondolatmenett igyeksznk felvzolni (6.5. bra). Legyen adott az e egyenes s rajta kvl egy O pont. Forgassunk kt (e O) skbeli flegyenest az O pont krl az brn jelzett irnyban. A forgs kzben elll az a helyzet, amikor a flegyenesek mr nem metszik e-t, elpattannak tle. Ezeket az egyeneseket nevezzk prhuzamosaknak e-vel. Jellje az ekkor keletkez prhuzamossgi szget (x), amelyre (x)  90 . Ha (x) = 90 , akkor a kt flegyenes egybeesik, gy e-vel csak egy prhuzamos hzhat az euklidszi aximnak megfelelen. Ha (x) < 90 , akkor vgtelen sok nem metsz egyenes hzhat, de ekkor is felpthet egy ellentmondsmentes geometria. Ezt a nem-euklidszi geometrit hiperbolikus geometrinak nevezzk. Ha a 6.5. brt gy kpzeljk el, hogy elszr gumilapra felrajzoltuk a rendes euklidszi esetet, majd a lapot az O pontnl meghztuk, akkor valamilyen nem-euklideszi 206

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

O (x) (x) x A 6.5. bra. Elpattan flegyenesek.

geometrihoz jutunk. Ebben az egyenes ugyan grbe lesz a mi szemlletnk szerint, de ez a modern zika ltal igazolt grblt gravitcis terekben nem is olyan kptelensg. Ksbb Riemann nmet matematikus a (x) > 90 esettel is foglalkozott, megalapozva egy msik nem-euklidszi geometrit, az elliptikusat, amely egy gmbfelleten modellezhet. Az alapfogalmak tisztzsa s nhny bevezet ttel bizonytsa utn Bolyai Jnos ezt rja az Appendix ben: A 13. s 14. *. eredmnyeinek birtokban nevezzk a geometrinak azt a rendszert, mely Euklidsz XI. igaz voltnak felvetsn pl, -nak, az ellenkez feltevsre pttetett pedig S -rendszernek. Mindazok a ttelek, amelyeknl nem emltjk kifejezetten, hogy vajon a  vagy az S rendszerben rvnyesek, abszol t igazak, vagyis lltjuk, hogy rvnyesek, akr , akr S teljesl a valsgban. Bolyai Jnos igyekezett tteleit a prhuzamossgi aximtl fggetlenl bizonytani, gy olyan abszolt geometriai tteleket kapott, amelyek minden geometriban rvnyesek. Levezette az abszolt szinuszttelt, tovbb a kr s hromszg terletnek abszolt kplett: tk = k2  t4 = k2 ( ; ( +  +  )) = k2 : Ezekben a ttelekben k az illet hiperbolikus geometria paramtere, k = 1 az euklidszi geometrit adja. Pldul a kr kerletnek abszolt kpletben:



2 4 Kk = 2r 1 + 3!rk2 + 5!k4r+     k = 1 =) K ; k = 2r:

A fenti abszolt kpletekbl nhny meglep hiperbolikus geometriai eredmny kvetkezik: Ttel: Van legnagyobb terlet! hromszg Mivel 0 <    , ezrt  =  esetn a terlet maximlis lesz. Az ilyen hromszg minden szge 0, oldalai nem metszik egymst, terlete k2 . 207

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

t = k2 

6.6. bra. Maximlis terlet" hiperbolikus hromszg.

Ttel: Van ngyszgesthet kr. A ngyzet a hiperbolikus geometriban is olyan ngyszg, amelynek oldalai s szgei egyenlk. A 6.7. bra egy hromszgnek terlete

  k2 4 ; !2 

teht a ngyzet:

    8k2 4 ; !2 = 4k2 2 ; ! : A kr s a ngyzet terletnek egyenlsgbl ! = =4 addik. A geometriai !

4

6.7. bra. Hiperbolikus ngyzet.

szerkesztsek elmletbl s az Appendix nhny ttelbl levezethet, hogy ez a ngyzet megszerkeszthet. 208

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A kortrsak (klnsen Gauss) meg nem rtse nagy csaldst okozott Bolyai Jnosnak. Foglalkozott ugyan tovbbra is matematikval, htraha-

gyott kziratai tkrzik zsenialitst, de jabb sszefgg elmlet kidolgozsig nem jutott el. &jabb csaldst jelentett szmra egy plyzaton val sikertelen szereplse 1837-ben. Az erre bekldtt 8 oldalas Responsio (Felelet) cm munkja a komplex szmok algebrjt trgyalta, kort megelz magas sznvonalon. Munkjt a korabeli zsri rthetetlennek tartotta s nem djazta. A Bolyaiak utn a magyar matematika fejldse ismt megtorpant. Ebben szerepet jtszott az is, hogy a szabadsgharcban val rszvtele miatt matematikus akadmikusaink slyos ldztetst szenvedtek. lljon itt megemlkezsl nevk: Brassai Smuel (bujkl, majd nem kap llst), Csnyi Dniel (hat v vrfogsg), Holln Ern (emigrlt), Nagy Kroly (brtn, majd emigrci), Vllas Antal (emigrlni knyszerlt). Az jabb fellendlst az osztrk uralkodhzzal val kiegyezs (1867) tette lehetv. A kvetkez vtizedekben a magyar gazdasg, tudomny s kultra minden terletn igen gyors fejlds ment vgbe. Megteremtdtt az az intzmnyi s infrastrukturlis hlzat, amelyre a XX. szzadi tovbbfejlds plt. Nem vletlenl neveztk ezt a korszakot a ksbbi hborkat, forradalmakat s vlsgokat meglt nemzedkek tagjai boldog bkeidknek. A matematika jjledse is a kiegyezshez ktdik. Els jeleinek a magyar nyelv fels matematikai tanknyvek megjelenst tekinthetjk, amelyek rvn kialakult a magyar matematikai szkincs. Az elsk kztt jelent meg Petzval Ott (1809,1883) Felsbb mennyisgtan a (Pest, 1867). A knyv elszavban a szerz sajnlkozott azon, hogy nlunk milyen kevs a matematikval foglalkozk szma, jllehet a magyarsg matematikai adottsga kzismert. Fontos lps volt a tovbbhaladsban az ltalnos tanktelezettsg bevezetse (1868), a gimnziumi s reliskolai hlzat kiptse, egyetemek s fiskolk alaptsa. Ezzel a matematikaoktats bzisa is szlesedett, sznvonala emelkedett. A hazai matematiknak hamarosan kt kzpontja lett: az 1871-ben egyetemi rangra emelt pesti megyetem s az 1872-ben alaptott kolozsvri tudomnyegyetem. A megyetem neves professzorai Hunyady Jen , K nig Gyula, Krschk Jzsef s Rados Gusztv voltak. A kolozsvri egyetemen Brassai Smuel, Rthy Mr, Farkas Gyula, Schlesinger Lajos s Vlyi Gyula teremtettk meg az eurpai sznvonal kutatst s oktatst. A felttelek lassan megrtek folyiratok indtsra, a matematikusok szervezetbe tmrlsre, a tehetsgkutats megszervezsre is. Elsknt a Magyar Tudomnyos Akadmia indtotta el az rtekezsek a Mathematikai Tudomnyok Krbl cm sorozatot, amely 1867 s 1894 kztt klnll fzetekben adta ki az akadmikusok tanulmnyait. Ez mg nem volt igazi folyirat, de az 1882-ben indult s 1941-ben megsznt Mathematikai s Termszettudomnyi rtest mr igen. Nmet nyelv vltozata pedig az els, vilgnyelven megjelen hazai folyirat volt, amely kiemelte a magyar tudomnyt nemzetkzi elszigeteltsgbl. Cikkeire egyre tbbszr hivatkoztak. Az rtest t megelzen a megyetem tanrai is prblkoztak egy matematikai s zikai folyirat megindtsval. A M!egyetemi Lapok azonban csak 209

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

hrom vig, 1876 s 1878 kztt jelent meg. Megsznsnek okt az utols szmban olvashatjuk: E fzettel a Megyetemi Lapok befejezi plyafutst. Mathematikai folyirat gy ltszik, nlunk mg nem lhet meg anyagi segly nlkl. Persze, ha a mathematiknak nlunk csak flannyi olvasja lenne, mint amennyi tantja van, mskpp llna a dolog. Fontos dtum a magyar matematika (s zika) trtnetben 1891. november 5. Ekkor alakult meg Budapesten a Mathematikai s Physikai Trsulat 298 taggal. Elnk Etvs Lornd, alelnk K nig Gyula, titkr Rados Gusztv lett. A trsulat hamarosan kt olyan kezdemnyezst tett, amelyek dntnek bizonyultak a hazai matematika s zika fejldsnek szempontjbl. Mr 1891-ben megindtotta a Mathematikai s Physikai Lapok at, amely csak 1944-ben sznt meg. A folyirat clja nemcsak az j eredmnyeket kzl cikkek megjelentetse, hanem a trsulati let esemnyeinek bemutatsa, olyan sszefoglal s ismertet rsok kzlse volt, amelyek segtik a tanrok tovbbkpzst. A matematikai rsz szerkeszti Rados Gusztv (1891,1914), Fejr Lipt (1914,1932), s K nig Dnes (1932,1944) voltak. A vlasztmny hatrozatot hozott orszgos tanulverseny indtsra minden v szn az illet vben hazai nyilvnos kzpiskoln rettsgi vizsglatot tett tanulk kztt Budapesten s Kolozsvrott. Az els versenyt 1894-ben tartottk Budapesten 48, Kolozsvron 6 rszvevvel. A ma Krschk Jzsef nevt visel verseny kezdettl fogva magas sznvonal volt s nagy szerepe lett a tehetsgek kivlasztsban. E versenyen tnt fel tbbek kztt Fejr Lipt, Krmn Tdor, K nig Dnes, Haar Alfrd, Kalmr Lszl, Rdei Lszl, Teller Ede s Schweitzer Mikls. A versenyre val felkszlst is szolglta az Arany Dniel gyri freliskolai tanr ltal 1894-ben elindtott Kzpiskolai Mathematikai Lapok, amelynek szerkesztst hrom v mlva Rtz Lszl vette t. Ezek a kezdemnyezsek vilgviszonylatban is az elsk kztt voltak s nagyban hozzjrultak ahhoz, hogy a XX. szzadban Magyarorszg valsgos matematikai nagyhatalomm vlhasson. A tereblyesed kzpiskolai hlzat tanrutnptlsnak biztostst egy 1870-es rendelkezs az egyetemek feladatv tette. Kezdetben a gimnziumok szmra a tudomnyegyetemek blcsszkara mellett, a reltanodk szmra pedig, a megyetem kebelben lltottak fel kzptanodai tanrkpzt. Ksbb a kt intzmnyt egyestettk. Az egyetemek f feladatuknak a tudomnyos kutatst s kpzst tekintettk. A kutatsok kiterjedtek a matematika legjabb gaira. A megyetemen fleg a lineris algebra, a komplex fggvnytan, a szmelmlet, ksbb a halmazelmlet s a geometria kutatsa llt eltrben. Kolozsvron ugyancsak a szmelmlet s a lineris algebra, tovbb a di(erencilegyenletek elmlete, a komplex fggvnytan, a vektoralgebra s az analzis voltak a kedvelt kutatsi terletek. Kln kell szlni a kolozsvri matematikusok szereprl a Bolyai kultusz kialakulsban. A dnt s kezdemnyez szerepet a kt Bolyai munkssgnak elismersben klfldiek jtszottak. Nem elszr trtnt s trtnik ez meg tudsaink 210

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

esetben, ami egyenes kvetkezmnye a tudomnytrtnet (s a tudomnytrtnszek!) lebecslsnek a hazai tudomnyos letben. A vilg elszr Richard Baltzer 1860-ban kiadott knyvbl rteslhetett a Bolyaiak matematikai tevkenysgrl. ismerte fel elszr az Appendix jelentsgt is, Bolyai Jnost a nem-euklidszi geometria egyik megalapozjnak tekintve. Korbban ezt csak az orosz N. I. Lobacsevszkij (1792,1856) rdemnek tekintettk. Hamarosan itthon is megindult a Bolyai hagyatk feldolgozsa s eredmnyeik tovbbfejlesztse, amelyben fleg a kolozsvri egyetem matematikusai jeleskedtek. 1886-ban hangzik el Brassai Smuel gyszbeszde Bolyai Farkasrl (30 vet ksve). Rthy Mr, Farkas Gyula, Vlyi Gyula, Schlsinger Lajos cikkei rvn egyre tbb eredmnyk vlt ismertt. Vgl sikerlt elrni, hogy egy eredetileg Lobacsevszkij-geometria cmmel Prizsban 1894-ben rendezend konferencia cme Bolyai,Lobacsevszkij-geometrira vltozzk, s ez az elnevezs vljon ksbb is elfogadott. A Magyar Tudomnyos Akadmia a Lobacsevszkij-dj mintjra Bolyai-djat ltestett 1902-ben Bolyai Jnos hallnak centenriumn. A djat mindssze ktszer adtk ki: 1905-ben Poincar, 1910-ben Hilbert kapta. A magyar egyetemek egyre jobban megfeleltek a tudomnyos utnptls kpzse feladatainak. Ennek egyik jele az, hogy megszletett az els olyan, magyar egyetemen benyjtott doktori rtekezs (Kolozsvr, 1881), amely jelents j eredmnyt tartalmazott. A dolgozat szerzje Vlyi Gyula, tmja a hajcsavar matematika elmlete volt. Vlyi vizsglatait Krschk fejlesztette tovbb. A fellendls msik mutatjnak tekinthetjk, hogy egyre tbb cikk jelent meg magyar matematikusoktl neves klfldi folyiratokban, sszesen kb. 120 rtekezs. A legtbbet publiklk K nig Gyula, (algebra, analzis), Farkas Gyula (komplex fggvnytan, lineris algebra), Krschk Jzsef (variciszmts), Schlsinger Lajos (di(erencilegyenletek), Hunyady Jen (determinnsok), Beke Man, Klug Lipt, Vlyi Gyula voltak. A francia akadmia Comptes Rendus-jben 1900-ban megjelent rvid tanulmny a Fouriersorokrl, (szerzje Fejr Lipt), pedig mr egy j korszak kezdett jelzi a magyar matematika trtnetben. Nagyon fontos mozzanata volt a XIX. szzadi fejldsnek az, hogy a szzad vgre kialakult egy egysges, korszer matematikai szaknyelv. A magyar matematikai mnyelv kialakulsa a Debreceni Aritmetikval (1577) kezddtt. Ebbl a szempontbl a legfontosabb munka, mert elzleg nem matematikai rtelemben hasznlt szavakat emelt t a szaknyelvbe. A kvetkez jelents lpst Apczai Csere Jnos tette meg enciklopdijban (1655), megkezdve a geometriai szaknyelv kialaktst. Sok j szt alkotott az addig szoksos krlrsok helyett, br nhnyat maga is alkalmazott. Akkoriban pldul a matematikt csak hat magyar szval tudtk kifejezni: bizonyos erssgbl s megmutatsbl ll tudomny. Az aritmetika tern a legnevesebb nyelvjt Marthi volt, aki knyvben (1743) sok j szt alkotott, amelyek legtbbje mig fennmaradt. Nem mondhat el ez a legtermkenyebb magyarostrl, Dugonics Andrsrl, akinek 211

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

viszonylag kevs szava maradt fenn eredeti formjban. Viszont nagyon sok mai mszavunk az vibl fejldtt ki. Azonkvl megrta az els magyar nyelv algebrt s trigonometrit. A mindent magyar szval kifejezni trekvse azonban itt is tlzsokra ragadtatta. Dugonics j szavait fleg Barczafalvi Szab Dvid (1752,1828) srospataki tanr, a nyelvjts kezdemnyezje igyekezett terjeszteni. volt az, aki elsknt kezdett az orszgban matematikt s zikt magyarul tantani 1792ben. Szaknyelvi szempontbl rtkes ktktetes mvet adott ki Bcsben Pethe Ferenc (1762,1832). Matematikai nyelvjt tevkenysge mellett  vetette meg a mezgazdasgi szaknyelv alapjait. #rdeme, hogy nem akart mindent magyarostani, meghagyta a nemzetkzileg hasznlt szavakat. A nyelvjtk f hibja az volt, hogy egyms munkjt gyelmen kvl hagyva, mindegyikk sajt szaknyelv megteremtsre trekedett. Ebbe a hibba esett maga Bolyai Farkas is. Az egysgesebb mnyelv megteremtst szolglta a Magyar Tudomnyos Akadmia ltal kiadott matematikai msztr, amirl korbban mr szltunk. A szzad kzepre majdnem teljesen kialakult az elemi matematika egysges szkincse. Az albbiakban megadunk nhny ma is hasznlt szt az eltte hasznlatosokkal egytt (6.8. bra). A fels matematika legfontosabb nyelvjtja Gy ry Sndor (1795,1870) volt, az els magyar nyelv analzis knyv szerzje. Az  s msok munkjnak mintegy megkoronzja volt K nig Gyula, akinek tekintlye nagyban elsegtette a fels matematika szaknyelvnek egysgeslst. K nig beltta a teljes magyarosts lehetetlensgt. tvette s vgzds, helyesrs szempontjbl a magyar nyelvbe illesztette a nemzetkzileg elfogadott szakkifejezseket. Ezek a szavak sem egyszerre szlettek meg, hanem csak hossz ksrletezsek, prblkozsok utn. Mutassuk ezt meg nhny pldn, idrendi sorrendben megadva az elzmnyeket (6.9. bra).

6.3. A XX. szzadi magyar matematika A magyarorszgi matematika a XIX. szzad vgre elrte az eurpai sznvonalat, jrszt K nig Gyula s Krschk Jzsef tudomnyos, szervez s oktat munkssga rvn. A XX. szzadban a fejlds folytatsaknt pedig a nemzetkzi lvonalba kerlt, a hbork s a szinte folyamatos emigrci okozta vesztesgek ellenre is. Ez kt f tnyeznek ksznhet: 1. Az egyre szlesebb krben foly versenyeknek, ami a tehetsgek kivlasztst tette szervezett. 2. Fejr Lipt, valamint Riesz Frigyes s Haar Alfrd iskolateremt egynisgnek. A matematikai let kt kzpontja a szzadfordul utn is a kolozsvri egyetem s a budapesti megyetem maradt. Kolozsvr tovbb ersdtt Fejr 212

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

hatvnykitev (Gy ry, 1836) hapozitv (Bolyai F., 1832) vagyonos, talomjel, mutat , karjegy, szmc m, ll t , keresztmennyisg, tettleges, rangjel, tarj, hat sgjegy, hatvnyigenleges, tti, clirnyos, tevleges, jegy, cimzeti jel, hatvnyz igenleg, ll t lagos, szapor t  gykvons (Brassai, 1857) gykr negatv (Bolyai F., 1832) hnos, kivons, gykr kifejts, rangozs, puszta (Pethe), tagad , vonsemeltezs, gykrvers, gykr kimennyisg, ellenes, nemleges, ttelleni, hzs, gykr-fejts, gykr-hzs, clellenes, vevleges, tagad lagos, gykkivons, cimtlenezs, gykfejts apaszt szorz (Gy ry, 1836) tev, m ves, szinusz (Abel, 1872) kzbl munks, sokszorosztat , mr, sok(Dugonics), kebel, vgtv, felhr, szoroz , tettmrtk, nemz, tnyez, bl, cs ngny, f ggny szorz trs koszinusz (Arenstein, 1854) szorzat (Vllas, 1838) tett, sokas tkzbl-mssa (Dugonics), mstatott, sokas tts, m v, sokasg, kebel, p tvgtv, p tkebel, p tbl, tkeszm, sokszorozat, sokszorozmny, p tf ggny szorozat, mrt, szerezet, szrmazat, kr (Dugonics, 1784) ker let, karika, szorozmny, munklat, tny, szorazk kerk, kerekded, cirkalom, kereksg, hnyados (Pethe, 1812) osztattott, krzet, krzk rszes, hnyada, osztly, kikeresett henger (Dugonics, 1784) grg fa, rsz, hnyszoroz , mrtrs, przat, kerek oszlop, gr, krded osztalk, osztalom, osztat, osztmny tmr (Nagy, 1838) kzp has t , kerlet (Bitnitz, 1834) bker ts, ltal r, ltal-has t linea, kerek prkny, karima, krnyk, kr lmr reg hrja (Dugonics), kzpszel (Pethe), ltaloz , kettl, kzpl terlet (Pethe, 1812) odvar, udvar, lapfoglalat, szr, trsz n, terjedsgi krsugr (Kmeth, 1834) fl vons, foglalat k ll, fl ltalaz , krfesz t, krjegyz, flmr, kzpponti egyen 6.8. bra. Az elemi matematika szkincsnek kialakulsa. Lipt, Riesz Frigyes s Haar Alfrd odakerlsvel. A budapesti tudomnyegyetem Beke Man (1900), majd Fejr Lipt (1911) egyetemi

tanrr trtnt kinevezsvel jabb kutatsi kzpontt vlt. E hrom egyetemrl a kivl tanrok s kutat matematikusok sora kerlt ki. A kutatv vlsnak mr nem volt tbb elengedhetetlen felttele a valamely neves klfldi egyetemen val tanuls, mint korbban. A kzpiskolai oktats sznvonalt is igyekeztek emelni. Az Orszgos Kzpiskolai Tanregyeslet Beke Man kezdemnyezsre 1906-ban megalaktotta a Matematikai Reformbizottsgot. Elnke Beke Man, ismertebb tagjai: Kopp Lajos, Rados Ignc, Rtz Lszl s Goldziher Kroly voltak. A bizottsg a formalizmus elleni harcot tekintette f feladatnak. A tananyag kzpontjba a fggvnyt kvnta helyezni, ezrt ismt bevezette a di(erencils integrlszmts kzpiskolai oktatst, de ez elhamarkodottnak bizonyult. 213

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

di$erencilszmts (K nig, 1884) k lketudksg, k lnbz ts vagy vltoz szmvets (Pethe), di%erentilis szmvets, null t szmvets, leszll nullszmvets, nvetizkp vizsglat (Bolyai F.), k lzelk hnyls, k lzels, k lnzki hnyls, szrmazkvets, k lzelki hnylat, k lnbzki hnylat, k lmbzki hnyols, k lzelsi szmols, k lnbzki szmols integrlszmts (K nig, 1884) tellem tudksg, lland szmvets, egsz ts (Pethe), egen t szmvets, felmen szmvets,

felhg szmvets, summa-kp keress (Bolyai F.), kiegsz ts, egszleti hnylat, egszelsi szmols, egszleti szm ts ellipszis (Vlyi, 1892) apadt karika, kerekdk, cscsharntk, krkr, hossz tott kr, cscskr, krny, ker lk, krny parabola (K nig, 1887) hajtalk, lkanyar, egy tv s kt kar kzepetlen csp vgat (Bolyai F.), haj nt vonal, kp vonal, egyenlk, hajt v, haj tk.

6.9. bra. Nhny szakszavunk kialakulsa.

Az els vilghbor megszaktotta az addig tretlennek mondhat fejldst. Sokan haltak hsi hallt, kzlk Ge cze Zord (1873,1916) s Zempln Gy z (1879,1916) eleste volt tudomnyos letnk szempontjbl a legfjbb. A hbor eltti szrvnyos emigrci (Schlesinger Lajos, Riesz Marcell) szinte tmeges mreteket lttt a hbor utn. Ennek f oka az llstalansg volt. A harmadrszre zsugorodott orszgban az utdllamokbl meneklt rtelmisgiek gyakran vagonokban lve vrtk sorsuk jobbrafurdulst. Ekkor vndorolt ki Dienes Pl, Fekete Mihly, Krmn Tdor, Lengyel Bla, Neumann Jnos, Plya Gyrgy, Rad Tibor, Szsz Ott, Szeg Gbor, Szekeres Gyrgy, Szilrd Le, Wald brahm, Wintner Aurl s sokan msok. Kzlk sokan voltak Fejr Lipt tantvnyok, a krltte szervezd els magyar matematikai iskola tagjai. Klfldn egyetemi katedrhoz juthattak, amihez itthon nem sok remnyk lehetett. A pozsonyi, kolozsvri, valamint ms egyetemek s fiskolk elvesztse utn, csak lassan kezddtt meg jraszervezsk a trianoni Magyarorszgon. Az 1919ben bezrt kolozsvri egyetem Szegeden kelt j letre s maradt tovbbra is a matematikai let egyik kzpontja Riesz Frigyes, Haar Alfrd s Sz kefalvi Nagy Gyula vezetsvel. Az ltaluk 1922-ben elindtott Acta Scientiarum Mathematicarum lett az els vilgsznvonal magyar folyirat. A msik kzpont Fejr Lipt rvn a budapesti tudomnyegyetem lett. Fontos szerepe volt a atal matematikus tehetsgek erklcsi s anyagi elismersben a Knig Gyula djnak, amelyet K nig Gyula kt a, Dnes s Gyrgy alaptott s ktvenknt osztottak ki 1922 s 1944 kztt. A djazottak kztt sok ksbbi neves matematikusunk nevt tallhatjuk meg: Bauer Mihly (1922), Szeg Gbor (1924), Sz kefalvi Nagy Gyula (1926), Jordn Kroly (1928), Szsz Ott (1930), Egervry Jen (1932), Veress Pl (1934), Kalmr 214

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Lszl (1936), Lipka Istvn (1938), Rdei Lszl (1940), Hajs Gyrgy s Sz kefalvi Nagy Bla (1942), Varga Ott (1944).

A trtnelem kereknek fordultval Kolozsvron ismt magyar egyetem lteslhetett 1940-ben. A visszatrt Sz kefalvi Nagy Gyula irnytsval a rgi hagyomnyok mlt folytatsaknt jabb matematikai centrum kezdett kialakulni. Kiemelked volt Dvid Lajos matematikatrtneti s geometriai, Sz kefalvi Nagy Bla geometriai, Borbly Samu alkalmazott matematikai s Gspr Gyula csoportelmleti munkssga. Sajnos tbbsgk a hbor utn Magyarorszgra teleplt, gy a fejlds megszakadt, br az nll magyar egyetem mg 1959-ig megmaradt. A msodik vilghbor s a fajldzs ismt sok ldozatot kvetelt: Arany Dniel, Bauer Mihly, Csillag Pl, Farag Andor, Grnwald Gza, Jelitai Jzsef, Kerkjrt Bla, Klug Lipt, K nig Dnes, Lzr Dezs , Rados Gusztv, Schweitzer Mikls, Sidon Simon, Szcs Adolf, Veress Pl, Waldapfel Lszl, s msok. Kzlk sokan plyjuk elejn ll gretes tehetsgek voltak. A hbor utni jrakezds Szegedhez ktdik. Elsknt a szegedi Acta indult meg (1947). A trsulati let is 1947-ben kelt letre a Bolyai Jnos Matematikai Trsulat megalakulsval. A trsulat hrom szakosztlyra tagoldott: oktatsi, tudomnyos, alkalmazsi (1963-tl). Az oktatsi szakosztly a tanri tovbbkpzst igyekszik segteni. #vente rendez vndorgylst tanrok szmra, amit ksbb Rtz Lszlrl neveztek el. A mveldsi minisztriummal kzsen 1953-ban elindtotta A Matematika Tantsa mdszertani folyiratot. 1952-ben Beke Man djat alaptott a matematika oktatsban s npszerstsben elrt eredmnyek elismersre. A tudomnyos szakosztly rendszeresen szervez nemzetkzi kollokviumokat, amelyek anyagt megjelenteti. A hazai tudomnyos kutatst neves klfldi eladk meghvsval segti. Tbb djat alaptott a klnbz tudomnyos teljestmnyek elismersre: 1. Grnwald Gza dj (1952): atal kutatk sztnzsre. 2. Rnyi Kat emlkdj (1977): nll eredmnyt elrt hallgatk rszre. 3. Szele Tibor emlkrem (1975): a tudomnyos utnptls nevelsben elrt eredmnyekrt. Az alkalmazsi szakosztly Farkas Gyula djjal jutalmazza a alkalmazott matematika terletn elrt eredmnyeket. tmenetileg zavarlag hatott a tudomnyos let szovjet mintra trtn tszervezse. Az egyetemektl elvettk a tudomnyos fokozatok odatlsnek jogt s azt egy orszgos szerv, a Tudomnyos Minst Bizottsg kezbe adtk. Az j minstsi rendszer (kandidtus, nagydoktor) nem felelt meg a nemzetkzi normknak. A tudomnyos kutatsok slypontja az egyetemekrl fokozatosan ttevdtt az akadmiai kutatintzetekre. Napjainkban folyik a nemzetkzi normkhoz val visszaigazts nem knny munkja. 215

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A problmk ellenre folytatdott a magyar matematikai iskolk kialakulsa s mkdse: sorelmlet (Fejr Lipt), funkcionlanalzis (Riesz Frigyes), di(erencilgeometria (Varga Ott), valsznsgszmts (Rnyi Alfrd), absztrakt algebra (Rdei Lszl). Rdei tantvnya volt Szele Tibor, aki 1950-ben Debrecenben elindtotta a msodik nemzetkzi sznvonal folyiratunkat Publicationes Mathematicae cmmel. Azta hasonl rangot vvtak ki maguknak az MTA idegen nyelv folyiratai is (Studia, Acta, Periodica). A magyar nyelv Matematikai Lapok s Alkalmazott Matematikai Lapok ltal biztostott publiklsi lehetsg szerepe sem elhanyagolhat, fleg a kezd kutatk szempontjbl. Az 1956-os forradalom s szabadsgharc leverse jabb trst okozott a fejldsben, de ennek pontos felmrse a kutatkra vr. Klnsen nagy krt okozott az egyetemistk s atal kutatk tmegesnek mondhat meneklse. Emellett az itthoni megtorls is sokakat rintett idlegesen. A kros kvetkezmnyek kz sorolhat a kolozsvri nll magyar egyetem megszntetse 1959-ben. Ellene csak az egyetem ngy tanra tiltakozott ngyilkossgval. Pozitv hatsnak a szovjet minta kvetsnek lazulsa tekinthet, pldul az egyetemi (kis-) doktori fokozat visszalltsa. A magyar matematika leterejt bizonytja, hogy a slyos trtnelmi csapsok, a szinte folyamatos emigrci ellenre tartja a nemzetkzi lvonalban elfoglalt helyt. Ebben nagyon fontos szerepe volt s van az itthon s klfldn dolgoz matematikusaink egyttmkdsnek.

6.4. F bb kutatsi irnyok a magyar matematikban A kvetkezkben enciklopdikus ttekintst adunk a kt Bolyai ta eltelt idszak fontosabb matematikai eredmnyeirl. Igyeksznk az itthon mkd matematikusaink munkssgt eltrbe helyezni, csak befejezett letmveket trgyalva. Kivtelt az utbbi all csak nhny, mr klasszikusnak tekintett eredmny esetben tesznk. Az letrajzi adatokat illeten utalunk a jegyzet vgn tallhat letrajzi jegyzetekre, vagy Sain Mrton Matematikatrtneti ABC-jre. Megjegyezzk, hogy nhny eredmny tbb gba is besorolhat, illetve egyes gak besorolsa vitathat. Analzis

A matematika f gai kzl ezt nevezhetjk a magyar matematikusok ltal leginkbb mveltnek. Elsknt Ge cze Zord nevt kell megemltennk, aki a vals fggvnytan megalapozja, a francia Lebesgue munkssghoz kapcsoldott. A felsznmrsnek volt az ttrje. Felsznde ncii a ksbbiekben alapvetknek bizonyultak. Sajnos korai halla megakadlyozta elmlete kiptsben. Munkssgt Rad Tibor folytatta s tette ismertt. Riesz Frigyes egyik fontos eredmnye szintn a vals fggvnytan krbe sorolhat. Elsknt ismerte fel a Lebesgue-integrl jelentsgt s megadta azt 216

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Sipos Pl (1759,1816)

Az els olyan magyar matematikus, aki nll felfedezst tett (Sipos-fle grbe) Segner Jnos Andrs (1704, Az els magyar szrmazs ma1777) tematikus, akit szmon tart az egyetemes matematikatrtnet. Gy ry Sndor: A felsbb Az els magyar nyelv analzis. analysis elemei Pest, 1836,40 Bolyai Jnos (1802,1860) Az els, korszakalkot felfedezst tett magyar matematikus. Vlyi Gyula (1855,1913) Az els olyan, magyar egyetemen benyjtott doktori rtekezs, amely jelents j eredmnyt tartalmazott (Kolozsvr, 1881). Arany Dniel (1863,1945) Az els hazai (a vilgon msodik) kzpiskolsoknak sznt matematikai (s zikai) folyirat megalaptja (1894) Fehr Lipt (1880,1959) Az els magyar matematikai iskola (analzis) ltrehozja. Sznssy Barna (1913,1995) Az els magyar matematikatrtneti monogr a szerzje. 6.10. bra. Elsk a magyar matematikban II.

a felptst, ami ma ltalnosan elfogadott. Felismerte, hogy a Lebesgue szerint ngyzetesen integrlhat fggvnyek halmaza geometriai tulajdonsgokkal lthat el. gy alakult ki a fggvnytr fogalma (az elbbi neve Hilbert-tr lett), majd a fggvnyterek elmlete, az n. funkcionlanalzis. Ennek egyik alapvet ttele Riesz s a nmet E. Fischer nevt viseli. A Riesz,Fischer-ttel azt fejezi ki, hogy a Hilbert-tr teljes, vagyis tetszleges fn fggvnysorozatra teljesl a Cauchy-fle konvergenciakritrium. A funkcionlanalzis alapvet monogr jt Riesz Frigyes rta meg tantvnyval Sz kefalvi Nagy Blval kzsen. A m elszr 1952-ben jelent meg franciul, azta szmos nyelvre lefordtottk (knaira is) s tbb kiadst rt meg. A Hilbert-terek vizsglatban fontos eredmnyeket rt el Neumann Jnos is. A funkcionlanalzis rsznek tekintett variciszmtsban Haar Alfrd s Rad Tibor rtek el alapvet eredmnyeket. Haar Alfrd legnagyobb hats eredmnye nehezen sorolhat be valamilyen gba, hiszen az n. Haarmrtk bevezetse topologikus csoportokba (1933) egyszerre sorolhat az abszt217

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

rakt algebra, a topolgia s az analzis (vals fggvnytan) krbe. Modern jellegt ppen ez a komplexits adja. A Fejr Lipt ltal elindtott sorelmleti vizsglatok mg tbb magyar matematikus rdekldst keltettk fel. A kiindulpont a Fourier-sorok j sszegzsi eljrsa volt, amelynek lnyege, hogy a rszletsszegek sorozata helyett a rszletsszegek szmtani kzept vizsgljuk. Ha ez a sorozat konvergens, akkor a sort Fejr-fle rtelemben sszegezhetnek nevezzk. Ezzel kapcsolatban Fejr Lipt tbb ttelt bizonytott be. Megmutatta, hogy a hagyomnyos s az j sszegzs ugyanahhoz az sszeghez vezet, ha mindkett ltezik. Bebizonytotta, hogy minden 2 szerint periodikus, integrlhat s folytonos f (x) fggvny Fourier-sora ellltja a fggvnyt. Ezekbl a gondolatokbl alakult ki az ortogonlis fggvnysorok elmlete, a konstruktv fggvnytan s az approximci-elmlet. Ortogonlis fggvnyrendszerekkel elszr Haar Alfrd foglalkozott 1909-ben. Olyan rendszert vizsglt ami normlt s teljes, valamint olyan fggvnyekbl ll, hogy valamely folytonos rendszernek e rendszerre vonatkoz Fourier-sora egyenletesen konvergl a fggvnyhez. A di(erencilegyenletek elismert kutatja volt mr a szzadfordul krl Schlsinger Lajos s Beke Man. Munkssguk folytati itthon Egervry Jen s tantvnyai voltak, de ksbb msok is bekapcsoldtak e diszciplna kutatsba. Az analzis egyik leg atalabb gnak, a fggvnyegyenletek elmletnek kidolgozsa az 50-es vekben kezddtt el, jrszt magyar matematikusok munkjaknt. Algebra

A lineris algebrban mr a szzadfordul krl szlettek jelents eredmnyek. Kzjk sorolhat a Hunyady,Scholtz-fle determinns-ttel, Krschk Jzsef irreducibilitsi ttelei a determinnsok s a mtrixok krben, valamint a Farkas-ttel. Ez utbbi homogn lineris egyenltlensgekre vonatkozik s ksbb a lineris programozs egyik alapttele lett. Szintn a lineris programozsban tallt alkalmazst K nig Dnes egy fontos grfelmleti ttele, amelyet Egervry Jen mtrixokra ltalnostott. E ttelen alapszik a szlltsi problma megoldsra szolgl magyar mdszer. Az absztrakt algebrai kutatsok Krschk testrtkelsi elmletvel (1913) s Haar Alfrdnak a topologikus csoportok krben folytatott vizsglataival kezddtek. Rdei Lszl vezetsvel Szegeden, majd tantvnya Szele Tibor krl Debrecenben alakult ki algebrai iskola. Mindkettjk nevhez fzdik egyegy sznvonalas monogr a megrsa. Az tvenes vek kzepig a csoportelmleti kutatsok dominltak. Rdeinek az ikozaderekre vonatkoz eredmnye a Burnside-sejts bizonytst tette lehetv. A vges Abel-csoportok elmletre Szele Tibor s Hajs Gyrgy munkssga volt nagy hatssal. A gyrelmletben ugyancsak Rdei, valamint Kertsz Andor neve emelhet ki. A hlelmlet egyik els monogr jt is magyar kutat rta meg. &jabban az univerzlis algebrai kutatsok kerltek eltrbe. 218

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Szmelmlet

A szzad elejre datlhat az els kt fontos eredmny. Krschk leegyszerstette a Waring-sejts Hilbert ltal adott bizonytst. A Knig,Rados-ttel pedig a prmmodulus magasabb fok kongruencik megoldhatsgra adott felttelt. A harmincas vekben Bauer Mihly az algebrai szmelmletben folytatott eredmnyes vizsglatokat. A kutatsok f terlete azutn az analitikus szmelmlet lett. Turn Pl kidolgozta az ltala tallt hatvnysszeg-ttelek prmszmelmleti alkalmazsnak mdjait. Erd s Pl a svd A. Selberggel egytt megadta a prmszmttel elemi bizonytst (1947). Ugyanebben az vben Rnyi Alfrd a Linnikfle nagy szita segtsgvel a Goldbach-sejts megoldsa fel tett fontos lpst. #rtkes eredmnyek szlettek a szmelmleti fggvnyek rtkeloszlsa terletn is. Geometria

Az euklidszi (elemi) geometria aximarendszernek vizsglatban Szsz Pl rt el jelents eredmnyeket. A diszkrt geometrinak, mint a geometria egyik gnak megalapozsa a Fejes Tth Lszl vezette iskola rdeme. Mdszereivel sikerlt megoldani szmos geometriai szlsrtkfeladatot (n. izoperimetrikus problmkat). A di(erencilgeometriai kutatsok fellendtse Varga Ott rdeme, aki aktv iskolt teremtett e terleten. Az jabb kutatsok a di(erencilgeometriai terek, valamint a geometriai objektumok problminak vizsglatra irnyulnak. A ler topolgia els monogr jt Kerkjrt Bla rta meg 1923-ban. Nevhez szmos topolgiai alapttel bizonytsa fzdik. Sajnos munkssgnak nem akadt itthon folytatja. &jabban sikeres kutatsok folynak az nll diszciplnv vlt ltalnos topolgia terletn az n. szintopogn terek elmletben. A trgykr egyik monogr ja is magyar szerztl szrmazik. Grfelmlet, kombinatorika

A grfelmlet els monogr jt is magyar szerz rta: K nig Dnes. Nmetl jelent meg 1936-ban s ma is alapvet mnek szmt. Knig-ttel nven ismert a grfelmlet egyik alapttele. A grfokra vonatkoz extremlis problmk megfogalmazsban Turn Pl, megoldsuk megkeressben Erd s Pl jrt az len. A sztochasztikus grfok elmletnek Rnyi Alfrd volt egyik megalapozja. A grfelmlettel szoros kapcsolatban ll kombinatorika egyik fontos ttelt Plya Gyrgy bizonytotta be 1937-ben. Erd s Pl s Szekeres Gyrgy a Ramsey-ttellel kapcsolatban rtek el jelents eredmnyt. Az tvenes vekben kialakult kombinatorikus algebrnak is Erd s Pl a legnagyobb kpviselje. 219

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A krltte kialakult magyar kombinatorikai iskola egyre nagyobb elismerst vv ki vilgszerte. Valsznsgszmts s alkalmazsai Els hazai mvelje Jordn Kroly volt, aki a klasszikus irnyzatot kpviselte. A modern valsznsgelmletet Rnyi Alfrd honostotta meg.

1954-ben kiadott egyetemi tanknyvbl sajttjk el a tudomnyg alapjait az egyetemi hallgatk napjainkig. A knyv sznvonalt jelzi, hogy vilgnyelveken is megjelent. A Rnyi Alfrd krl kialakult valsznsgszmtsi iskola foglalkozott a valsznsgelmlet j megalapozsval, a sztochasztikus halmazfggvnyek s a sorbanlls elmletvel. Az alkalmazsokra ttrve, a modern matematikai statisztika egyik megalapozja Wald brahm. Ugyancsak az  s Neumann Jnos nevhez fzdnek a jtkelmlet legfontosabb eredmnyei. A hazai kutatsokban a jtkelmlet mg ma sem szerepel kell sllyal. A matematikai statisztikai kutatsok mr intenzvebben folynak, fleg a Rnyi Alfrd ltal elindtott irnyokban. &j terletnek szmt az informcielmlet, amelynek matematikai statisztikai alkalmazst is vizsgljk a hazai kutatk. Halmazelmlet s matematikai logika

A halmazelmletnek vilgviszonylatban is els mveli kz tartozik K nig Gyula. Tle szrmazik a kardinlis szmokra vonatkoz Knig-fle egyenltlensg. Eredmnyei szolgltattk a kiindulpontot Neumann Jnos szmra a halmazelmlet egyik aximarendszernek kidolgozshoz. A matematikai logika krbe tartozik a Knig-fle rtkels mdszer, amellyel aximarendszerek abszolt ellentmondstalansga dnthet el. Az eldntsproblma ma is a logikai vizsglatok fontos trgya. Clja olyan mdszer megtallsa, amellyel brmely matematikai llts igaz, vagy hamis volta eldnthet. Gdel s Church ttelei szerint ilyen mdszer megadsa lehetetlen. Kalmr Lszl s Pter Rzsa vizsglatai ezekhez a ttelekhez kapcsoldtak. Vizsgltk jelentsgket, leegyszerstettk a bizonytsukat, Pter Rzsa az egyik megalapozja a szmos terleten alkalmazhat rekurzv fggvnyek elmletnek. rta meg a trgykr monogr jt is. Opercikutats

Ennek a viszonylag j alkalmazott matematikai gnak mg az egysges elnevezse sem alakult ki. Szoks optimumszmts, vagy szkebb rtelemben matematikai programozs nven is emlegetni. A lineris programozsban fontos szerepet jtsz Farkas-ttelrl s a Knig, Egervry-ttelrl mr szltunk. A dualits ttelt, amelyet a lineris programozs alapttelnek nevezhetnk, Neumann Jnos bizonytotta be. A hiperbolikus programozssal elszr Martos Bla foglalkozott. 220

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Napjainkban az opercikutats az egyik legintenzvebben mvelt kutatsi g Magyarorszgon. Fokozd elismertsgt jelzi, hogy mr akadmikus reprezentnsa is van. Matematikatrtnet

Szervezett kutatsok e terleten soha nem folytak, de mindig akadt nhny olyan szemlyisg, akik fontosnak tartottk a magyar matematika trtnetnek kutatst, vllalva azt, hogy arnytalanul tbb munkrt arnytalanul kevesebb elismersben rszeslnek. Ligeti Bla egy szakkri fzetben megrta a magyarorszgi matematika trtnett. Dvid Lajos volt az els magyar kutat, aki tudomnyos ignyessggel dolgozta fel a Bolyaiak munkssgt. Dvid Lajos tantvnya, Sznssy Barna pedig megrta a magyarorszgi matematika XX. szzadig tart trtnetnek monogr jt. Emellett tbb matematikusunk lett s munkssgt dolgozta fel. Szab rpd a grg matematika trtnetnek nemzetkzileg elismert kutatja. Erdlyben tbben foglalkoznak Bolyai-kutatssal s ltalban az erdlyi magyar matematika trtnetvel (Benk Samu, Weszely Tibor, Kiss Elemr s msok).

Gyakorlatok 1. Oldjuk meg a hamis feltevs szablyval Marthi kvetkez feladatt: Edgy valaki ruht akarvn tsinltatni, tall ktfle poszt ra. Edgyiknek singit tartjk 9 mrison msikt tizen. Ebbl a t z mrisosb l akarna venni de nem rn meg a pnzvel hanem 8 mris hijja lenne. Ha pedig az lts bbikb l vszen mg megmarad 3 mrisa. Krds, hny singet akar venni? s mennyi pnze van? 2. Oldjuk meg hasonl m dszerrel Marthinak a 6.1. pontban kzlt feladatt. 3. Oldjuk meg Marthi knyvnek albbi feladatait: (a) 30 Katona, kimenvn portyzni, edgy Kapitnnyal, kt Strsa-Mesterrel s kt Kplrral, nyertek 950 forintot mellyet gy akarnak elosztani, hogy a kapitny vegyen 6 annyit, mint a kz-Katona mindenik Strsa-Mester 4 annyit mindenik Kplr 2 annyit annak felette hrom katona, j maga viselsrt, vgyen 3 annyit, mint a tbbi kz-Katonk. Krds, mennyi jut mindeniknek? (b) Egsz Magyar Orszgnak vagyon 5405 12 portja. Ebbl Debretzen Vrosra ttetett 46 Budra 30, Pestre 13, Posonra 40, Egerre 9, Bihar Vrmegyre 200 Szab lts Vrmegyre 78 s at. Ha mr p. o. az egsz Orszg a Kirlynak akarna adni ajndkba 200-ezer Forintot mennyi esnk ebbl Debretzenre, mennyi Budra s Pestre? 4. Feladat Dugonics Tudkossgbl

221

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Hrom ifjakat (x,y,z) fogtak meg tolvajok gyannt: I-szer: Az elsnek tolvajsgt a msodik kt-annyival szve-advn, tett 90 aranyat: II.-szor Az elsejtl elvvn a harmadiknak hrom-annyit, a maradk egyenl 60 arannyal. III.-szor: A msodikhoz advn a harmadikt, tett 10-aranyat. A legnagyobb tolvajt fel-akasztk Az utna val t meg-botoztk, egy kz lk szrazon el-mehetett. Kerestetik kit felejtettek-fent a fn? kit botoztak meg? ki ment el szrazon? 5. Hatvani Istvn feladat. Tegy k fel, hogy egy hadvezr a tbor rzsre 100 embert k ld ki ezek kz l 12 nmet, 4 magyar, 84 horvt. Azonban egy kz lk megszkik: tudni akarom, hogy mi a val sz n sge, vajon horvt vagy magyar az illet? 6. Keress nk tovbbi rdekes feladatokat rgi tanknyvekbl!

Irodalom )1] Benk Samu: Bolyai levelek. Kriterion Knyvkiad,1975. )2] Dvid Lajos: A kt Bolyai lete s munkssga. Gondolat, 1979. )3] Keresztesi Mria: A magyar matematikai m!nyelv trtnete. Debrecen, 1935. )4] Ligeti Bla: A magyar matematika trtnete a XVIII. szzad vgig. Tanknyvkiad, 1953. )5] Szab rpd: A grg matematika kibontakozsa. Magvet Kiad, 1978. )6] Sznssy Barna: A magyarorszgi matematika trtnete. Akadmiai Kiad, 1970. )7] T. Tth Sndor,Szab rpd: Matematikai m!veltsgnk keretei. Gondolat, 1988. )8] Weszely Tibor: Bolyai Jnos matematikai munkssga. Kriterion Knyvkiad, 1981.

222

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

II. rsz

A modern matematika fbb fejezetei Azon fogalmak, mdszerek s eredmnyek ismerete nlkl, amelyeket a megelz genercik hoztak ltre egszen a grgkig visszamenleg, nem lehet megrteni az utbbi fl vszzad matematikai kutatsainak cljait s eredmnyeit. (Hermann Weyl, 1951)

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

224

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

7. fejezet

Halmazelmlet s matematikai logika A halmazelmlet a matematiknak az az ga, amely a (vgtelen) halmazok ltalnos tulajdonsgait vizsglja, eltekintve a halmazok s elemeik konkrt mibenlttl. Megalapozja a nmet Georg F. Cantor (1845,1918) volt a mlt szzad vgn. A XIX. szzad vgre a matematikusok gyelmt konkrt halmazok tulajdonsgai tetszleges halmazok tulajdonsgainak vizsglathoz vezettk. Kialakult pldul az absztrakt csoport fogalma. Msrszt megjelentek a vgtelennek azok a paradoxonjai, amelyek sejtetni engedtk, hogy a vgesben rvnyes tulajdonsgok nem felttlenl vihetk t vgtelenre. Az els ellentmonds megtallsa mg Galilei nevhez fzdik. Egyms al rta a ngyzetszmokat s a termszetes szmokat. 12 22 32 : : : n2 : : : 1 2 3 ::: n ::: Ezzel a prba lltssal mintegy megszmllva a ngyzetszmokat, ellentmondsra jutott: ugyanannyi termszetes szm van, mint ngyzetszm. Ez ellentmond a jzan sznek, valamint Euklidsz V. aximjnak: az egsz nagyobb a rsznl. Szintn ilyen ellentmondsra jutott a cseh Bernard Bolzano (1781,1848) is, aki szerint a 0 5] s 0 12] intervallumban lv pontok szma egyenl, hiszen prba llthatk az y = 12=5  x invertlhat fggvny (bijektv lekpezs) segtsgvel. Dedekind egy fokkal mg tovbb ment: a vgtelen halmazok sajtossgnak tekintette a fenti ellentmondsokat. Ilyen elzmnyek utn jelent meg 1874-ben Cantor korszakalkot cikke a Crelle Journal ban. Ebben szaktott kt korbbi dogmval: Euklidsz V. aximjval s a tnyleges vgtelen ltezsnek tagadsval. A termszetes szmok halmazt pldul, mint ltez egysget tekintette, nemcsak mint a tovbbszmlls korltlansgbl fakad lehetsget. A halmazelmlet teljes felptst az 1895,97-ben megjelent Adalkok a transznit szmok elmlethez cm ktktetes mvben fejtette ki. 225

www.interkonyv.hu

© Filep László

www.interkonyv.hu

De nci

Nv

Azonossgok Formulk

7.1. bra. Halmazalgebrai m"veletek s azonossgok

A \ B = fxjx 2 A ^ x 2 B g Kommutativits

A\B =B\A AB =BA ( A \ B ) \ C = A \ (B \ C ) Uni A  B = fxjx 2 A _ x 2 B g Asszociativits ( A  B )  C = A  (B  C ) A\A=A Komplementer A = fxjx 2= A ^ x 2 U g Idempotencia AA=A A \ ( B  C ) = (A \ B )  (A \ C ) Klnbsg A n B = A \ B Disztributivits A  ( B \ C ) = (A  B ) \ (A  C ) A \ (A  B ) = A Szimmetrikus di(erencia A 4 B = (A n B )  (B n A) Elnyelsi trvnyek A  (A \ B ) = A A \ B = A  B Rszhalmaz A  B () A \ B = A De Morgan trvnyek A  B = A \ B

Metszet

Nv

Mveletek, relcik

© Typotex Kiadó

226

© Filep László

© Typotex Kiadó

A XX. szzadi matematikt forradalmast halmazelmlet ppgy egy euklidszi axima tagadsbl indult ki, mint a XIX. szzadi fejldst elindt nemeuklidszi geometria. A felfedezk kzs sorsa is a megnemrts s a mellzs volt. Tekintsk t a cantori halmazelmlet legfontosabb eredmnyeit. Cantor a halmazra a kvetkez de ncit adta: Halmazon a gondolkodsunk ltal jl meghatrozott s jl elklnl objektumok valamely sszessgt rtjk. Ezen objektumokat a halmaz elemeinek nevezzk. Teht egy halmaznak brmi lehet az eleme, s egy halmaz akkor adott, ha brmilyen dologrl el tudjuk dnteni, hogy eleme-e az illet halmaznak, vagy nem. A K s H halmazok sszehasonltsa elemeik prba rendezsvel trtnik. Ha ez megvalsthat, akkor a K s H halmazokat ekvivalensek nek nevezzk. (K  = H - Cantor a K  H jellst hasznlta.) Az ekvivalencia fogalmval megmagyarzhat a Galilei-fle paradoxon: vgtelen halmaz lehet ekvivalens valdi rszhalmazval, ha elemeik prba rendezhetk. Cantor megmutatta a termszetes szmok s a racionlis szmok halmaznak ekvivalencijt is. Tekintsk a 7.2. bra szerinti elrendezst!

Q

N

1 1 2

/

2 2 

A

   

2 3 





    

2 4

3 /

3 2 

C

1 3 1 4

2

4 2 

3 3  3 4

:::

   

4 3 

C

    

:::

C

    

4



    

4 4

:::

:::



. . .

7.2. bra. A pozitv racionlis szmok sorbarendezse.

Ebben minden pozitv racionlis szm megtallhat (esetleg tbbszr) s a nyilak ltal mutatott mdon sorbarendezhet: 1 2 12  31  22  3 4 32  23  14  : : : :

Ha ezt a sorozatot fr1  r2  r3  : : : g jelli, akkor a f0 r1  ;r1  r2  : : : g sorozat az sszes racionlis szm sorbarendezhetsgt, vagyis a termszetes szmok halmazval val ekvivalencijt igazolja. 227

www.interkonyv.hu

© Filep László

R

© Typotex Kiadó

N

Mg meghkkentbb eredmny volt annak bizonytsa a Cantor-fle tls mdszerrel, hogy a vals szmok halmaza nem ekvivalens -el. Elegend ezt a ttelt a 0 s 1 kz es vals szmokra igazolni. Tegyk fel, hogy e szmok sorbarendezhetk. rjuk fel e sorozat sszes elemt vgtelen tizedestrt alakban:

a1 = 0 a11 a12 a13 : : : a2 = 0 a21 a22 a23 : : : a3 = 0 a21 a22 a23 : : : ahol aij szmjegyeket jell. De niljuk a 0 b1 b2b3 : : : szmot a kvetkezkppen:

(

bk = 1 ha akk 6= 1 2 ha akk = 1 (k = 1 2 3 : : : ): Ez a 0 s 1 kz es szm nem egyenl a sorozat egyetlen elemvel sem. gy ellentmondsra jutottunk, ami igazolja lltsunkat. Ezzel a ttellel megdlt az a hiedelem, hogy csak egyfle vgtelen ltezhet, s felvetette a vgtelen halmazok sszehasonltsnak krdst. A krds megvlaszolsa a szmossg fogalmnak bevezetsvel sikerlt. Knnyen lthat, hogy a halmazok ekvivalencija re+exv, szimmetrikus s tranzitv, vagyis ekvivalencia relci. Segtsgvel osztlyokba sorolhatk az egymssal ekvivalens halmazok, amelyekrl azt mondjuk, hogy egyenl a szmossguk (kardinlis szmuk). Az s halmazok j j-rel, illetve j j-nel jellt szmossga teht klnbz. Nagysg szerinti sszehasonltsuk az albbi de nci alapjn lehetsges. A H halmaz szmossgt kisebbnek nevezzk a K halmaz szmossgnl, ha K -nak ltezik H -val ekvivalens valdi rszhalmaza, de H nem ekvivalens K -val. Logikai jelekkel:

RN

N R

R

N

jH j < jK j () 9G  K : (G = H ^ H =6 K ): E de nci szerint j j < j j. Belthat, hogy minden vgtelen halmaznak van a termszetes szmokkal ekvivalens szmossg rszhalmaza, ezrt j j a legkisebb transznit szm (vgtelen szmossg) amit Cantor @0-al jellt s megszmllhatan vgtelennek nevezett (@ a hber bc els betje, @0 kiejtse: alef nulla). A jlrendezhet (ld. ksbb) halmazok sorban a kvetkezket @1 -gyel, @2 -vel, stb. jellte. Az j j szmossgnak a kontinuum nevet adta a vals szmegyenes folytonos volta miatt, s megfogalmazta a kontinuumhipotzis t: j j = @1 . Va-

R

N R

gyis: nincs a megszmllhatnl nagyobb s a kontinuumnl kisebb szmossg. 1963-ban P. J. Cohen (1939 , ) amerikai matematikus megmutatta, hogy e krds nem dnthet el, ami azt jelenti, hogy a kontinuumhipotzis a matematika egszben hasonl szerepet jtszik, mint a prhuzamossgi axima a geometriban. A kontinuummal kapcsolatban Cantor a szemllet szmra mg nehezebben elfogadhat dolgokat is bizonytott. Pldul azt, hogy az egysgszakaszban, 228

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

vagyis a 0 1] intervallumban ugyanannyi pont van, mint az egysgngyzetben. Felfedezse mg t magt is meglepte, ami kiderl egy Dedekindnek rott levelbl: Ltom, hogy gy van, de mgsem hiszem. A ttel szemlletes igazolst G. Peano adta meg 1890-ben: olyan grbt konstrult, amely thalad egy ngyzet minden pontjn (7.3. bra).

:::

7.3. bra. Peano ngyzetet kitlt vonala.

A kvetkez krds ezutn az volt, hogy van-e kontinuumnl nagyobb szmossg. A vlasz igenl. Ilyen pldul a vals rtk fggvnyek F halmaza. Ugyanis, egyrszt a

R

g : c $ cx (c 2  cx 2 L  F )

R

R

RR

 ahol L a cx alak lineris fggvnyek halmaza  lekpezs bijektv s L kztt, teht  = L. Msrszt viszont nem ltesthet bijekci F s kztt. Ezt indirekt ton ltjuk be. Tegyk fel, hogy h : $ F bijekci. Legyen fc (x) az a fggvny, amely c-nek felel meg: h(c) = fc(x). Ekkor a kvetkez fggvny

(

f (x) = 1 ha fx(x) 6= 1 2 ha fx(x) = 1 mindegyik fc(x) fggvnytl klnbzik, mert az x = c helyen: f (c) 6= fc(c). gy feltevsnk ellentmondsra vezet. Cantor ehhez hasonlan azt is bebizonytotta, hogy minden H halmazra H sszes rszhalmaznak P (H ) halmaza (P hatvnyhalmaza) H -nl nagyobb szmossg, azaz jH j < jP (H )j. Tekintsk P (H )-nak azt a K rszhalmazt, mely H sszes egyelem rszhalmazbl ll. K az albbi mdon bijektv megfeleltetsbe hozhat H -val:

H = fa b c : : : g K = ffag fbg fcg : : : g: Ezzel belttuk, hogy K  P (H )-ra : K  = H . Mivel nyilvnvalan K 6= P (H ), gy valban jH j < jP (H )j. Szoks jP (H )j-t 2jH j -val jellni.

R

R

A ttelbl kvetkezik, hogy nincs legnagyobb szmossg halmaz. Belthat tovbb, hogy egy H megszmllhat halmaz hatvnyhalmaza kontinuum szmossg, azaz 2jH j = j j vagy 2@0 = j j. Ezzel a jellssel a kontinuumhipotzis alakja: 2@0 = @1 . 229

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A szmossg fogalma lehetv teszi a termszetes szmoknak, mint a vges halmazok szmossgainak de nilst. A 2 pldul a ktelem halmazok kzs szmossga, a 0 pedig az res halmaz: jj = 0. A szmossgok kzti

jH j  jK j () (jH j < jK j) _ H = K ] relci re+exv, antiszimmetrikus s tranzitv, teht rendezsi relci. Ez a termszetes szmok, vagyis a vges szmossgok (vges kardinlis szmok) kztt trichotm is: jH j < jK j, jH j = jK j, s jH j > jK j kzl pontosan egy teljesl. Ekkor a rendezst teljesnek nevezzk. A szmossgok rendezsnek teljessge a jlrendezsi ttellel, illetve a kivlasztsi aximval ekvivalens. A termszetes szmok aritmetikja kiterjeszthet a vgtelen kardinlis szmokra is, nhny eltrssel:

R R

Q

@0 + @0 = @0  j j + @0 = j j @0  @0 = @0 : Az utols egyenlsg a halmaz megszmllhatsgt jelenti, a racionlis szmokat szmprokknt felfogva. A mveletek kiterjesztse azt mutatja, hogy a vgtelen kardinlis szmok a termszetes szmok ltalnostsaiknt foghatk fel. A rendezsek vizsglatra a szmossgsszehasonlts trichotmijnak problmja vezetett. Egy olyan halmazt, amelyben rendezsi relci van rtelmezve rendezettnek neveznk. Kt rendezett halmaz hasonl, ha kzttk bijektv s rendezstart lekpezs ltesthet. Jelekben: (H )  (K )] () 9' : H $ K : (8x1  x2 2 H : x1  x2 =) '(x1 )  '(x2 ))]: A hasonlsg ekvivalenciarelci a rendezett halmazok kztt. Ha kt rendezett halmaz hasonl, azt mondjuk, azonos a rendtpusuk. Azok a teljesen rendezett halmazok, amelyek brmely nemres rszhalmaznak van els eleme, jlrendezett halmazok. Ilyen a szoksos rendezsre: vagyis (  ). Nem jlrendezett pldul a fordtott rendezsre. A (  ) rendezett halmaz szintn nem jlrendezett, mert pldul a (2 1) rszhalmaznak nincs els eleme. Ez abbl kvetkezik, hogy a rendezs mindentt sr (br nem folytonos): brmely kt racionlis szm kztt vgtelen sok racionlis szm van. Mg kevsb jlrendezett az halmaz a szoksos rendezsre. Ezek a pldk azt is mutatjk, hogy egy teljesen rendezett halmaz nem mindig jlrendezett. A jlrendezett H halmaz valamely h elemt megelz (nla kisebb) elemek halmazt h szeletnek nevezzk H -ban. Jele: H=h. Nyilvnval, hogy H=h is jlrendezett. Jlrendezett halmazok rendtpusait rendszmok nak nevezzk. A rendszmok sszehasonltsa a kvetkezkppen trtnik: ha az (A ) jlrendezett halmaza rendszma a, a (B ) jlrendezett halmaz pedig b, akkor a < b, ha van olyan y 2 B , amelyre (A )  = (B=y ).

N

R

N

Q

N

230

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Rendszmok brmely A halmaza a  rendezsi relcira jlrendezett. Ha a 2 A, akkor az Aa szelet egy a rendszm jlrendezett halmaz. gy minden H jlrendezett halmaz, amelynek rendszma a ilyen alakban vehet fel: H = fh0  h1  : : :  hn  : : : g ahol n vgigfut az a-nl kisebb rendszmokon. A felrs azt is mutatja, hogy a rendszmok a sorszmok ltalnostsai, a termszetes szmok pedig az (   ) jlrendezett halmaz szeletei. Neumann Jnos 1923-ban adta meg a rendszmok ma ltalnosan elfogadott fenti de ncijt. Ebbl kvetkezik, hogy minden rendszm a nla kisebb rendszmok halmaza. Ez a termszetes szmokra is ad axiomatikus halmazelmleti de ncit. Jelentse a 0 szmot az res halmaz, az 1 szmot az a halmaz, amelynek egyetlen eleme az res halmaz, a 2 szmot az a halmaz, amelynek eleme az elbb rtelmezett 0 s 1 stb. Jelekben: 0 =  1 = fg 2 = f fgg = f0 1g 3 = f fg f fggg = f0 1 2g : : : .. . n = f1 2 : : :  n ; 1g .. . ! = f0 1 2 3 : : : g ahol ! jelli az (N ) halmaz rendszmt, amely az els transz nit rendszm. Az eljrs tovbb is folytathat. Az ! utni rendszmok: ! + 1 = f0 1 2 : : :  !g ! + 2 = f0 1 2 : : :  ! ! + 1g .. . ! + ! = !  2 = f0 1 2 : : :  ! ! + 1 : : : g !  2 + 1 = f0 1 2 : : :  ! ! + 1 : : :  !  2g A rendszmok kztti rendezs trichotm, st majdnem jlrendezs (csak azrt nem, mert a rendszmok nem alkotnak halmazt.) A (transz nit) rendszmokra kiterjeszthet a termszetes szmokra rvnyes teljes indukci ttele is (transz nit indukci ttele): Ttel: Legyen T (x) rendszmokon rtelmezett tulajdonsg. Tegyk fel, hogy minden a rendszmra, aminl kisebb sszes b rendszmra T (b) igaz, T (a) is igaz. Ekkor a T (x) tulajdonsg minden rendszmra igaz. Az egyre jobban kipl halmazelmletet alapjaiban rendtettk meg azok az antinmik (ellentmondsok), amelyek kzl az elst ppen Cantor tallta meg, jabb kettt pedig Russell, illetve Richard.

N

231

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A legnagyobb szmossg antinmija. Jellje U az sszes dolgok halmazt. Ennek nyilvnvalan P (U ) is rszhalmaza, teht jP (U )j  jU j. Msrszt viszont jP (U )j > jU j minden halmaz esetn, ami ellentmonds. Russell-fle antinmia. A halmazok kztt vannak olyanok, amelyek nmagukat elemknt tartalmazzk. Ilyen pldul a Trsadalmi Egyesletek Szvetsge (TESZ), amelynek mint egyeslet, maga a TESZ is tagja. Jellje az ilyen tartalmazkod halmazok halmazt M . Ekkor brmely X halmazra: X 2 M () X 2 X . A rendes nem tartalmazkod halmazok N halmazra, hasonlan: X 2 N () X 2= X . Ha specilisan X = N , akkor N 2 N () N 2= N , ami ellentmonds. Az antinmia egyik npszer formja a kaszrnya borblya nven ismeretes. A szablyzat szerint a borbly csak azokat a katonkat borotvlhatja, akik magukat nem borotvljk, viszont tilos azokat borotvlnia, akik magukat borotvljk. Krds: megborotvlkozhat-e a borbly, aki maga is katona? Richard-fle antinmia. A termszetes szmokat szavakkal is meghatrozhatjuk. Pldul a 6-ot lehet az els tkletes szmnak, a negyedik pros termszetes szmnak, stb. nevezni. Ezek a meghatrozsok lerhatk rgpen. Tekintsk azokat, amelyek legfeljebb 100 jel (bet, rsjel, szkz) segtsgvel lerhatk. Ezek szma vges, gy van olyan termsztes szm, amely nem de nilhat ily mdon. Mivel a termszetes szmok halmaza jlrendezett ezrt ezek kztt ltezik legkisebb, amely teht: A legkisebb, magyar nyelven legfeljebb 100 jellel nem denilhat termszetes szm. Ez a de nci azonban 100 jelnl kevesebbl ll, gy az illet szm mgis de nilhat legfeljebb 100 jellel. Ez pedig ellentmonds. A ma Russel-fle antinmia knt ismert ellentmondst Russel elszr egy G. Fregehez rt levelben kzlte, aki ppen egy terjedelmes m befejezse eltt llt, amelyben az aritmetikt ptette fel a halmazelmlet alapjn. Frege utiratban reaglt a levlre: Tudomnyos szerzvel aligha trtnhet kellemetlenebb dolog, mint az, hogy ppen befejezett munkja egyik alapjt megrendtik. Ebbe a helyzetbe hozott engem Bertrand Russel r egyik levele, amikor mr a jelen ktet nyomtatsa a vghez kzeledett. A halmazelmleti antinmik kikszblsre irnyul trekvsek vezettek a matematikai loz a hrom f irnyzatnak elklnlshez (intuicionizmus, logicizmus, formalizmus), valamint a matematikai logika s az axiomatikus mdszer kifejldshez. A matematikai logika irnti igny mr korbban megjelent a matematika trtnetben. Szksgessgt elszr Leibniz ismerte fel. Az egyre absztraktabb matematikai elmletek igazolst nem lehetett a gyakorlattl vrni, mint korbban, hiszen az alkalmazsig vtizedek is eltelhettek. Az esetleges ellentmondsok feldertshez azonban az ltalnos logika kevs volt. Nem elgtette ki a matematiknak a kznapi gondolkodsnl s az induktv jelleg tudomnyoknl sokkal szigorbb kvetelmnyeit. Olyan logikra volt szksg, amely a helyes matematikai gondolkods forminak s trvnyeinek

232

www.interkonyv.hu

© Filep László

www.interkonyv.hu

Nv

pkq =ep^eq

Sem-sem mvelet

7.4. bra. %ttelalgebrai m"veletek s azonossgok.

p 5 p =e(p () q) Kontrapozci

De Morgan trvnyek

p igaz, q hamis (p () q) = (p =) Elnyelsi trvnyek q) ^ (q =) p)

ep igaz () p hamis Idempotencia p =) q hamis () Disztributivits

Kommutativits mindkettjk igaz p _ q igaz () lega- Asszociativits lbb egyikk igaz

p ^ q igaz ()

De nci

Zsegalkin mvelet

Ekvivalencia

Implikci

Negci

Diszjunkci

Konjunkci

Nv

Mveletek Formulk

(p =) q) = (eq =) ep)

p^q =q^p p_q =q_p ( p ^ q ) ^ r = p ^ (q ^ r ) ( p _ q ) _ r = p _ (q _ r ) p^p=p p_p=p p ^ ( q _ r ) = ( p ^ q ) _ (p ^ r ) p _ ( q ^ r ) = ( p _ q ) ^ (p _ r ) p ^ (p _ q ) = p p _ (p ^ q ) = p e(p ^ q) =ep_eq e(p _ q) =ep^eq

Azonossgok

© Typotex Kiadó

233

© Filep László

© Typotex Kiadó

vizsglatban matematikai mdszereket s szimblumokat alkalmaz. Ilyen szimbolikus, illetve matematikai logika kiptse a mlt szzad kzepn kezddtt el. Az els lps az tletalgebra kidolgozsa volt, amely az angol G. Boole nevhez fzdik. Bevezette a halmazok s az tletek kzti mveleteket, megllaptotta tulajdonsgaikat (7.4. bra). Az gy kapott struktrk lettek a ma Boole-algebra nven ismert struktrafajta els pldi. Az tletalgebra vagy tletkalkulus azt vizsglja, hogyan fgg egy sszetett tlet logikai rtke (igaz vagy hamis volta) a tekintett tletet alkot egyszer tletek logikai rtktl, valamint az ket sszekapcsol mveletektl. Az ilyen vizsglatokban egyre tbb jelet kezdtek alkalmazni, ami az tletek formalizlshoz vezetett. A vltozkat is tartalmaz tleteket prediktumoknak nevezzk. Pldul az  x prmszm egyvltozs prediktum, az 1 prmszm tlet. Teht a vltoz valamely konkrt interpretcijt vve a prediktum igaz vagy hamis tlett vlik. Az j matematikban a nyitott s zrt mondat elnevezs vlt hasznlatoss. gy pldul az x + 2 = 5 egyenlet nyitott mondat, amelynek igazsghalmaza x = f3g. A prediktumok vizsglata a logikai fggvny fogalmnak segtsgvel trtnik. A logikai fggvnyekre pl a matematikai logika legmlyebb ga, a matematika mdszereit elemz bizonytselmlet. A formalizls lehetv teszi a kvetkezmny olyan de nilst, amely nem hivatkozik a formulkkal kifejtett tletek tartamra: (A1 ^ A2 ^ : : : ^ An ) =) B: A kvetkezmny fogalma gy ezen formula igaz voltval fejezhet ki. Egy formalizlt tudomnygban fontos problma az, hogy megadhat-e olyan eljrs, amellyel a logikai fggvnykalkulus egy adott formuljrl el lehet dnteni, hogy azonosan igaz-e (vagyis a benne szerepl vltozk rtktl fggetlenl mindig igaz-e). Ezt a problmakrt eldntsproblmnak nevezik. A halmazelmleti antinmik kikszblsben az axiomatikus mdszer bizonyult viszonylag a legsikeresebbnek. Ebben a logika adja azokat a gondolkozsi szablyokat, amelyek segtsgvel az aximkbl felpthet egy ellentmondsmentes elmlet. A modern matematika els aximarendszernek megalkotsa Peano nevhez fzdik (1889). A termszetes szmok Peano-fle aximarendszerre a tovbbiakban sokat fokunk hivatkozni, gy rviden ismertetjk azt. Alapfogalmai : nulla, termszetes szm, rkvetkezs. Aximi : 1. A nulla termszetes szm. (Peannl a 0 helyett 1 szerepelt.) 2. Ha a termszetes szm, akkor rkvetkezje is az. 3. A nulla egyetlen termszetes szmnak sem rkvetkezje. 4. Ha kt termszetes szm rkvetkezje egyenl, akkor a kt szm is egyenl. 234

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

5. Ha termszetes szmok egy S halmaza tartalmazza a nullt s minden S -beli szm rkvetkezjt, akkor S minden termszetes szmot tartalmaz. (Teljes indukci aximja.) Hogy a szoksos aritmetika felpthet legyen, a rendszert ki szoktk bvteni az sszeads s a szorzs aximival. Meg gyelhet, hogy a Peano-fle aximarendszer is felhasznlja a halmaz fogalmt. #ppen ez adja meg a halmazelmlet s a halmazelmleti antinmik jelentsgt. Mivel az egsz matematika a halmazelmletre pl, gy annak antinmii az egsz matematika ellentmondstalansgt teszik ktsgess. Egy ellentmondst tartalmaz rendszerben pedig brmely lltssal egytt annak tagadsa is bizonythat, gy az egsz rendszer hasznlhatatlann vlik. A halmazelmlet els aximarendszert a nmet Ernst Zermelo (1871, 1953) alkotta meg 1908-ban, mintnak a Peano-fle aximarendszert vve. Ezt ksbb A. Fraenkel jeruzslemi matematikus egsztette ki, gy ma ZermeloFraenkel aximarendszer nven ismert (rvidtve: ZFC, ahol C a kivlasztsi aximt jelli). A rendszer alapfogalmai a halmaz s a halmaz elemnek lenni, aximi pedig a kvetkezk: 1. A meghatrozottsg aximja. Kt halmaz akkor s csak akkor egyenl, ha elemeik ugyanazok. 2. Az res halmaz aximja. Van egy halmaz, amelynek nincs eleme. (Az elz axima biztostja, hogy csak egy ilyen halmaz van.) 3. Praxima. Brmely kt X s Y halmazbl kpezhet egy olyan harmadik halmaz, amelynek csak X s Y eleme. Ezt a halmazt fX Y g jelli. (Ebbl s az elz aximbl vgtelen sok egy- s ktelem halmaz ltezse kvetkezik.) 4. Az egyests aximja. Akrhny halmaz egyestse is halmaz, ha az egyestend halmazok mr eleve egy halmaznak elemei. (Mivel a praxima alapjn kt halmaz befoglalhat egy halmazba, ezen axima szerint kt halmaz egyestse mindig ltezik. gy teht akrmilyen sok elem vges halmazt lehet kpezni.) 5. A vgtelen halmaz aximja. Ltezik egy olyan Z halmaz, amelynek eleme az res halmaz s brmely A elemre fAg 2 Z is igaz. (Teht fg ffgg fffggg : : : mind elemei Z -nek, vagyis Z vgtelen.) 6. A ptls aximja. Ha az F hozzrendels rtelmezsi tartomnya halmaz, akkor rtkkszlete is az. Pontosabban, ha R(x y) a halmazelmlet eszkzeivel lert relci, A halmaz, tovbb minden x 2 A-hoz pontosan egy olyan y van, amelyre R(x y) igaz, akkor fyj9x 2 A R(x y)g halmaz. 7. Hatvnyhalmaz-axima. Minden X halmazhoz ltezik olyan halmaz, amely Y sszes rszhalmazt tartalmazza, vagyis ltezik H hatvnyhalmaza. 235

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

8. Rszhalmaz-axima. Minden X halmazhoz s brmely az X -en rtelmezett T tulajdonsghoz ltezik olyan HT halmaz, amelynek elemei pontosan H nak T tulajdonsg elemei. 9. Kivlasztsi axima. Ha egy X halmaz elemei pronknt diszjunkt, nem res halmazok, akkor ltezik olyan B halmaz, amelynek X minden elemvel pontosan egy kzs eleme van. Ms szval B kpzshez minden halmazbl kivlaszthat pontosan egy elem. 10. A korltozottsg (fundltsg) aximja. Minden nemres X halmaznak van olyan Y eleme, hogy X \ Y = , azaz X -nek s Y -nak nincs kzs eleme. Az ismertetett aximarendszerben levezethet a korbbi n. naiv halmazelmlet minden eredmnye, de az ismert antinmik nem lpnek fel. A 10. axima pldul olyan vgtelen X1  X2  : : : halmazlncok ltezst kvnja kizrni, amelyekre X2 2 X1 - X3 2 X2  : : : . Specilisan egyetlen halmaz sem lehet nmagnak eleme, vagyis a Russell-fle antinmia nem lp fel. Az aximt Neumann Jnos javasolta csatolni az aximarendszerhez. (Megjegyezzk, hogy az aximk s alapfogalmak kifejezhetk pusztn logikai szimblumokkal is.) A halmazelmlet msik aximarendszert Neumann Jnos, valamint a svjci P. Bernays s az osztrk K. Gdel dolgoztk ki a 20-as vekben. A Neumann$Bernays$Gdel aximarendszer ben (NBG) az osztly s az elemnek lenni az alapfogalmak. Egy osztly akkor halmaz, ha valamely osztlynak eleme. Azokat az osztlyokat, amelyek nem halmazok valdiaknak nevezzk. Az alapgondolat, vagyis hogy nem mindenfle halmaz lehessen elem, K nig Gyultl ered. Ebben a rendszerben sem lpnek fel azok a tl nagy halmazok, amelyek az ellentmondsokat okoztk: itt nem halmazok, hanem valdi osztlyok. Az NBG aximi biztostjk osztlyok s halmazok ltezst, sok tekintetben hasonlatosak a ZFC aximihoz, de azoknl egyszerbbek. Megmutattk, hogy a ZFC minden ttele ttel a NBG-ban. Megfordtva: az NBG minden olyan ttele, amely csak halmazokrl szl, ttel a ZFC-ban is. gy a ZFC a NBG specilis esetnek tekinthet. Mint lttuk, a halmazelmlet keretben de nilhatk a termszetes szmok, valamint felpthet aritmetikjuk. Megmutathat az is, hogy a ZFC megfelel kiegsztssel az egsz mai matematika alapjul szolgl. Minden matematikai ttel trhat halmazelmletiv s bizonythat a ZFC, vagy megfelel bvtse keretben. Ezrt voltak nagyon jelentsek a velk s ms aximarendszerekkel kapcsolatos vizsglatok. Egy aximarendszerrel szemben tmasztott legfontosabb kvetelmny az ellentmondsmentessg (konzisztencia), amelynek bizonytsa leggyakrabban az n. modellmdszerrel trtnik. A vizsgland fAg aximarendszer alapfogalmainak s aximinak megfeleltetjk egy msik fBg aximarendszer fogalmait, illetve lltsait (aximit vagy tteleit). Ha az gy kapott lltsok a fBg rendszerben igazak s a fBg rendszer ellentmondsmentes, akkor az fAg rendszer 236

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

is az. Rviden: ha az fAg aximarendszernek van modellje a fBg aximarendszerben s fBg ellentmondsmentes, akkor fAg is az (relatv konzisztencia). A modellmdszerrel elszr a nemeuklidszi geometria relatv ellentmondsmentessgt sikerlt igazolni, megalkotva modelljt az euklidszi geometriban. Az euklidszi geometria az analitikus geometrin t modellezhet a vals szmok elmletben, aminek ellentmondsmentessgt mg nem sikerlt bizonytani. Egy aximarendszer abszol t ellentmondsmentessgnek bizonytsa, vagyis bels konzisztencijnak megmutatsa ms aximarendszerek ellentmondstalansgnak felhasznlsa nlkl, eleinte elkpzelhetetlennek ltszott. Ksbb a Hilbert ltal megalapozott bizonytselmlet keretben erre is lehetsg nylt. Egy elmlet, akkor konzisztens, ha nem fogalmazhat meg benne olyan T llts, hogy T s nem T egyarnt bizonythat. Ennek megmutatsa cljbl meg kell adni az elmlet formlis axiomatikus felptst. Jellje az gy kapott formalizlt rendszert S . Ebben T kifejezhet az alapfogalmakat reprezentl szimblumok (bc) s megfelel logikai formulk segtsgve. Ezen a nyelven T egy mondat, amely az bcbl a nyelv szablyai szerint kpzdtt. Az a remny, hogy a bizonytselmlet keretben igazolni lehet egy aximarendszer ellentmondstalansgt, hamar megdlt. Gdel 1931-ben bebizonytotta, hogy ha egy S formlis rendszer lefordthat az aritmetika bcjre, akkor a benne megfogalmazhat  S konzisztens llts bebizonythatatlan, ha S konzisztens. Ms szval: ha S konzisztens, akkor az nem bizonythat S -ben. Mivel a ZFC s a NBG eleget tesz a Gdel szabta felttelnek, ezrt (ha ellentmondsmentesek) abszolt ellentmondsmentessgk nem bizonythat. 'sszefgg ezzel a problmval egy aximarendszer kategoricitsa (teljessge), vagyis, hogy minden benne megfogalmazhat problma eldnthet legyen benne. Meglep, hogy ennek a termszetes kvetelmnynek egyetlen hasznlhat aximarendszer sem tesz eleget. A hasznlhat aximarendszerek mind eleget tesznek a Gdel-fle felttelnek, gy a bennk megfogalmazhat konzisztencia problmja sem eldnthet. Gdel egy msik ttele tovbbiakat is llt a ZFC esetre (s a NBG megfelel rszre). Ha a ZFC konzisztens, akkor 1. tartalmaz olyan lltst, amely benne nem eldnthet (sem az llts, sem a tagadsa nem bizonythat)2. nincs olyan algoritmus, amellyel egy formuljrl eldnthet, hogy az igaz-e3. Az 1. s 2. lltsok igazak minden olyan aximarendszerre, amelyet ZFC-bl vges sok axima hozzadsval kapunk. Mint mr utaltunk r, minden matematikai ttel megfogalmazhat a ZFC rendszerben, vagy annak bvtsben, gy Gdel ttele az egsz axiomatikusan felptett matematikt rinti. Egyben megmutatja az axiomatikus mdszer korltait. Alkalmazsa esetn lteznek relatv eldnthetetlen problmk, vagyis olyanok, amelyek aximarendszerekben sem vges, sem vgtelen eljrssal nem dnthetk el. 237

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A. Church amerikai matematikus 1936-ban aximarendszerektl fggetlen abszolt eldnthetetlen problmk ltezst bizonytotta be. Ttele szerint mr a termszetes szmok elmletnek keretben megadhat olyan problmasereg, amelyre kzs megold algoritmus nem ltezik. Pldul nincs olyan algoritmus, amely minden diofantoszi problmt megoldana (Davis,Putnam, Robinson,Matyijaszevics ttel.) Gdel s Church ttelei nagy viharokat vltottak ki a matematikn kvl is. Filoz ai interpretciik szerint a vilg megismerhetetlensgt, illetve a megismers folyamatnak vgtelensgt bizonytjk. A matematika sem tud adni biztos mdszert, egyetemes eljrst minden problma megoldsra. A problmakr vizsglatba Kalmr Lszl s Pter Rzsa is bekapcsoldott. Church ttelrl Pter Rzsa rekurzv fggvnyek segtsgvel bebizonytotta, hogy kvetkezmnye Gdel ttelnek. Kalmr Lszl pedig azt mutatta meg, hogy a Church-ttel a Gdel-ttel specilis esete. Fontos krds az aximarendszerekkel kapcsolatban az, hogy klnbz modelljei milyen kapcsolatban vannak egymssal. Ha egy aximarendszer brmely kt modellje izomorf, akkor az aximarendszert monomorf nak, ellenkez esetben polimorf nak nevezzk. A modern axiomatikban az alapfogalmak bck, az aximk formulk alakjban jelennek meg. A ttelek az aximknak megfelel formulkbl a matematikai logika szablyai szerint kpezhetk. Ekkor egy aximarendszer valamely modellje gy jelenik meg, mint olyan matematikai objektumok sszessge, amelyek bizonyos formulkat kielgtenek. A Lwenheim,Skolem-ttel szerint, ha adott formulk vges vagy megszmllhatatlan vgtelen sokasghoz van olyan modell, amely ezeknek a formulknak mindegyikt kielgti, akkor tallhat olyan, legfeljebb megszmllhatan vgtelen sok elembl ll modell is, amely ugyanezeket a formulkat szintn kielgti. Pldul az euklidszi geometria Hilbert-fle aximarendszere polimorf. Ugyanis vges szm aximarendszerbl ll s van nem megszmllhat szmossg modellje: az euklidszi tr. A ttel szerint van legfeljebb megszmllhat szmossg modellje is. A kt modell viszont nyilvnvalan nem izomorf. Azta konstrultak is vges geometrikat. A Lwenheim,Skolem-ttel megfordtsnak is felfoghat A. Tarski albbi ttele: Ttel: Ha egy aximarendszernek van legfeljebb megszmllhatan vgtelen sok elembl ll modellje, akkor van nem megszmllhatan vgtelen modellje is. A ttel rtelmben polimorf a Peano-fle aximarendszer is. Ha egy aximarendszernek izomor zmustl eltekintve csak egy modellje van (vagyis az aximarendszer monomorf), akkor ez a modell vges. Megemltjk mg, hogy a monomor zmus a kategoricitsnl is ersebb kvetelmny. Egy axiomatikusan felptett s konzisztens S rendszerben fontos krds a fggetlensg krdse. Legyen T egy formula (ttel vagy axima) S -ben. Ekkor T fggetlen S -tl, ha akr T , akr T tagadsnak S -hez aximaknt val hozzvtelvel ismt konzisztens rendszert kapunk.

238

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A nemeuklidszi geometria a prhuzamossgi aximnak a tbbitl val fggetlensgnek megmutatsval szletett meg. Hasonl szerepet jtszik a halmazelmletben a kontinuumhipotzis. A kutatsok sorn kimutattk az albbi lltsok ekvivalencijt: 1. Jlrendezsi ttel : minden halmaznak van olyan rendezse, amelyre jlrendezett. 2. A szmossgok halmaza teljesen rendezett, azaz a kardinlis szmok kzti egyenltlensg trichotom. 3. Kivlasztsi axima (KA): pronknt idegen halmazok tetszleges rendszernek mindegyikbl kivlaszthat egy elem. Ezeken kvl fontos szerepet jtszik mg a vizsglatokban az ltalnostott kontinuumhipotzis (KH): nem lteznek olyan vgtelen H s K halmazok, amelyekre jH j < jK j < jP (H )j illetve rendszmokra megfogalmazva: 2@a = @a+1 : Jellje ZF a kivlasztsi axima elhagysval keletkez maradk Zermelo, Fraenkel aximarendszert, mg KH a kontinuumhipotzist. A fggetlensget illeten a kvetkez eredmnyek szlettek: 1. Ha ZF konzisztens, akkor ZF + KA + KH is az. (Gdel, 1938). 2. Ha ZF konzisztens, akkor ZF + KA + nem KH is az (Cohen, 1963). 3. Ha ZF konzisztens, akkor ZF + nem KA is az (Cohen, 1963). A teljes ZFC rendszerben (ZF+KA) belthat, hogy az KH impliklja a KH-t. Ezzel egytt Gdel s Church ttelei a kivlasztsi axima s a kontinuumhipotzis fggetlensgt bizonytjk a maradk ZF aximarendszertl. Teht hasonlan a geometrihoz, a halmazok krben is kt logikailag egyenrtk elmlet pthet fel: egy cantori (ZF + KA) s egy nem-cantori (ZF + nem KA). Az axiomatizlssal prhuzamosan folyt egy msik ksrlet is a halmazelmlet ellentmondsainak kikszblsre a matematikai logikn bell. Ez fknt Russell s Poincar nevhez fzdik. Szerintk az axiomatizlssal az antinmik elkerlhetk ugyan, de fellptk nem magyarzhat meg. Az okot a logikailag nem megfelel de ncikban kerestk. A halmaz s a halmaz eleme cantori de ncii impredikatvak: felhasznljk magt a de niland fogalmat. Pldul a kaszrnya borblya de ncija felhasznlja a katona fogalmt, s maga a borbly is katona. A impredikatv de ncik kizrsval a halmazelmlet ismert ellentmondsai valban kikszblhetk, de egyrszt nem biztostott jabbak esetleges fellpsnek kizrsa, msrszt a matematika ms gaiban is vannak ilyen de ncik. Pldul az analzisben a legkisebb fels korlt (fels hatr) de ncija. 239

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

H. Weyl megksrelte az analzisnek impredikatv de ncik nlkli felptst,

de ennek keretben nem tudta bebizonytani azt a fontos ttelt, hogy minden olyan nemres vals szmhalmaznak, amelynek van fels korltja, van fels hatra is. A matematiknak ez a harmadik, legslyosabb vlsga teht mg nem olddott meg. Az els vlsg az irracionalits felfedezse volt a grgknl, amelyet az algebra geometrizlsa csak megkerlt, de nem oldott meg. A msodik vlsgot a vgtelen kicsinyek vlsgnak nevezhetnnk, ami az analzis megalapozatlansgra utal. Mindkt vlsgot az irracionlis szm fogalmnak tisztzsa oldotta meg, amely felhasznlta a tnyleges (s folytonos) vgtelen fogalmt. A harmadik vlsg is a vgtelennel kapcsolatos. A folytonos vgtelen problmja pedig visszakszn a kontinuum-hipotzisben. A vlsg megoldsaknt nyilvnvalan nem fogadhat el az aktulis vgtelen tagadsa, amit az intuicionistk javasoltak. Az axiomatikus mdszer, azaz aximarendszerek alkotsa s mdostgatsa sem bizonyult eddig jrhat tnak. Maradt mg egy lehetsg, ami szintn az intuicionistk javaslata volt: a logika mdostsa. Az ellentmondsok mindegyike a ktrtk logikn, kzelebbrl a harmadik kizrsnak elvn alapul. Egyesek (pl. A. Heyting) csak a harmadik kizrsnak elvt tagadtk, msok az egsz ktrtk logikt. Tbbrtk logikt elszr a lengyel J. Lukasiewicz dolgozott ki. A tbbrtk logika jl formalizlhat az igazsgrtk bevezetsvel. A ktrtk logikban csak az 1 (igaz) s a 0 (hamis) rtkek, mg a tbbrtk logikban brmely 0 s 1 kztti szm hasznlhat. A logika s a halmazelmlet szoros kapcsolatnak kvetkeztben a tbbrtk logika gondolata bevonult a halmazelmletbe is. L. A. Zadeh amerikai matematikus 1969-ben bevezette a fuzzi rszhalmaz fogalmt, a kvetkezkppen. Egy U halmaz kznsges Y rszhalmaza megadhat k karakterisztikus fggvnyvel:

(

k : U ! f0 1g k(x) = 1 ha x 2 Y 0 ha x 2= Y: Az U halmaz Y fuzzy rszhalmazt viszont az albbi f lekpezs de nilja: f : U ! 0 1] (fuzzy = elmosdott, bolyhos, nem les hatr). A karakterisztikus fggvny a ktrtk, a fuzzy rszhalmaz viszont a tbbrtk logiknak felel meg. Az utbbi esetben f (x) 2 0 1] az x tagsgi rtkt adja Y -ban. Az Y -t szoks fuzzy halmaznak is nevezni az U alaphalmazon. A fuzzy halmaz fogalmn felpthet egy teljes fuzzy matematika. Megoldatlan problmi ellenre a halmazelmleti szemlletmd uralkodv vlt a XX. szzadi matematikban. A matematika egysges nyelve lett a halmazelmlet. Minden fogalma kifejezhet halmazok, rszhalmazok, lekpezsek (fggvnyek) s relcik segtsgvel. A legfontosabb fogalmak egysges 240

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

kezelst pedig az a felismers teszi lehetv, hogy mindegyikk valamilyen struktra, amely az axiomatikus mdszerrel vizsglhat. Bourbaki matematikai struktrn olyan dolgokat rt, amelyek halmazokbl Descartes-szorzat s rszhalmaz-kpzs tjn keletkeznek (7.5. s 7.6. bra). Nv

De nci Plda

Descartes szorzat Plda:

A = f0 1 2g B = fa bg A  B = f(0 a) (0 b) (1 a) (1 b) (2 a) (2 b)g B  B = f(a a) (a b) (b a) (b b)g

Relci (binr) Plda: Ekvivalencia relci Plda: Rendezsi relci Plda:

A  B = f(x y)jx 2 A ^ y 2 B g

 R f  A  B ha A = B :  homogn   A  B  = f(0 a) (2 b)g   A  A  = f(0 0) (1 2) (2 2)g  homogn, reflexv, szimmetrikus, tranzitv

(x y) 2   A  A () 2ja ; b  = f(0 0) (0 2) (1 1) (2 0) (2 2)g

 homogn, re+exv, antiszimmetrikus, tranzitv

(x y) 2   A  A () xjy  = f(0 0) (1 1) (1 2) (2 2)g

7.5. bra. Relci.

A mai matematika kzponti fogalma teht a struktra, amely egy adott halmazon ltestett szervezds. Egy halmazon struktrt lekpezsek, relcik 241

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Nv

De nci Plda

Lekpezs (fggvny) Plda: szrjektv Plda: injektv Plda: bijektv Plda:

f  A  B lekpezs: 8x 2 A 9!y 2 B : (x y) 2 f f : A ! B (x 7! f (x) = y) f : A ! B f = f(0 a) (1 0) (2 a)g f (A) = B f : A ! B f = f(0 a) (1 a) (2 b)g x 6= y =) f (x) 6= f (y) f : B ! A f = f(a 0) (b 1)g injektv s szrjektv, (A = B : permutci)

f : B ! B f = f(a b) (b a)g

7.6. bra. Lekpezs (az A s B halmazok a 7.5. bra halmazai).

megadsval, vagy rszhalmazok kijellsvel ltestnk, amelyekre elrunk bizonyos aximkat, szablyokat. Az egyes struktrafajtkat a ltestsi md s az elrt aximk hatrozzk meg. Hrom f struktratpust klnbztethetnk meg: algebrai, topolgiai, relcis. A gyakorlatban ezek kombincival is tallkozhatunk. Kt matematikai struktrt nem tekintnk klnbznek, ha ltesthet kztk olyan bijektv lekpezs, amely megrzi a struktrt. Egy ilyen lekpezs neve algebrai struktrk esetn izomor zmus, topologikus struktrk esetben homeomor zmus. A struktratart lekpezsek ekvivalenciarelcit, illetve osztlyozst ltestenek a struktrk halmazn. Algebrai strukt rn legalbb egy mvelettel elltott nemres halmazt rtnk. A mvelet fogalma a lekpezs fogalma segtsgvel de nilhat. Leggyakrabban a ktvltozs (binr) mvelet fogalmval tallkozunk, ami nem ms, mint egy halmaz nmagval vett Descartes szorzatnak lekpezse a halmazba. Az algebrai struktrkat a mveletek szma, vltozja, tulajdonsgai alapjn klnbztetjk meg. A csoport pldul olyan egymveletes struktra, amelynl a (binr) mvelet asszociatv s invertlhat. 242

www.interkonyv.hu

© Filep László

www.interkonyv.hu

Szimmetria (a b) 2  =) (b a) 2  8a b : i szimmetrikus e8a b : i nem szimmetrikus 9a b : h (asszimmetrikus) e9a b : i szigoran 8a b : h antiszimmetrikus 8a b : (a b) 2  ^ (b a) 2 ) =) a = b 8a b : (a 6= b) =) e((a b) 2  ^ (b a) 2 ) antiszimmetrikus



7.7. bra. Homogn relcik tulajdonsgai ( A A, i: igaz, h: hamis).

8a : i e8a : i 9a : h e9a : i 8a : h

Re+exivits (a a) 2  re+exv nem re+exv (irre+exv) antire+exv

Tranzitivits ((a b) 2  ^ (b c) 2 ) =) (a c) 2  8a b c : i tranzitv e8a b c : i nem tranzitv 9a b c : h e9a b c : i antitranzitv

© Typotex Kiadó

243

© Filep László

Struktrakpzsi m dszerek

Tudomnyg s alapfeladata

Legfontosabb invarinsok

Strukturlis tulajdonsg

Struktratart Alapfogalom Alapgondolat lekpezs

© Typotex Kiadó

Algebrai struktra (egymveletes) (S ) A kznsges algebra ltalnos that brmilyen halmazra s tetszleges mveletre (nemcsak szmokkal lehet szmolni az aritmetika szablyai szerint).

Topologikus struktra (metrikus tr)(S d) A klasszikus anal zis ltalnos that minden olyan halmazra, amelyben megfelel tvolsg rtelmezhet.

mvelet (binr) :SS !S (x y ) 7! x y

tvolsg (metrika) d : S  S ! R+0 (x1  x2 ) 7! d(x1  x2 )

Izomorzmus: bijekt v s mvelettart

' : (S ) ! (T ) '(x y) = '(x)  '(y) Ami csak a mvelettl fgg, ezrt izomorf struktrkban megegyezik (izomorf invarins).

Homeomorzmus: bijekt v s klcsnsen folytonos ' : (S d) ! (T m) 8x0 2 S 8 > 0 9 : d(x x0 ) <  =) m('(x) '(x0 ) < ) Ami csak a tvolsgt l fgg ezrt homeomorf terekben megegyezik (topologikus tulajdonsg).

Kommutat vits, asszociativits, neutrlis elem, inverz elem.

Folytonossg, konvergencia, kompaktsg.

Absztrakt algebra: izomorf invarinsok keresse, seg tsgkkel a klnbz struktrk felkutatsa.

Topol gia: topologikus tulajdonsgok keresse, seg tsgkkel a klnbz metrikus terek felkutatsa.

Rszstruktra, faktorstruktra, direkt szorzat.

Altr, faktortr, szorzattr.

7.8. bra. Algebrai s topologikus strukt ra.

244

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Kt algebrai struktra izomorf, ha ltesthet kzttk egy bijektv s mvelettart lekpezs. A mvelettarts azt fejezi ki, hogy a lekpezs s a mvelet sorrendje felcserlhet. Teht pldul egy szorzsnak nevezett mvelet esetn: elemek szorzatnak kpe egyenl az elemek kpeinek szorzatval. A mveletek segtsgvel kifejezhet tulajdonsgokat algebrai tulajdonsgoknak nevezzk. Mivel ezek izomorf struktrkban megegyeznek, izomorf invarinsoknak is nevezzk ket. A matematiknak az algebrai struktrkkal foglalkoz gt absztrakt algebrnak nevezzk. Feladata a klnbz struktrk felkutatsa s szerkezetk vizsglata. Kt struktra sszehasonltsa az izomorf invarinsok segtsgvel trtnhet: ha ezek mind megegyeznek, akkor a kt struktra algebrai szempontbl azonos (izomorf). A klnbz struktrk felkutatst segtik az adott struktrbl jakat kpez mdszerek: rszstruktra, direkt szorzat, faktorstruktra. Topologikus strukt rt gy kpeznk, ha egy halmaz rszhalmazaibl kijellnk egy bizonyos elrsnak eleget tev rszhalmazrendszert. E rendszer elemeit nylt halmazoknak, a kapott struktrt pedig topologikus trnek nevezzk. Pldul topologikus teret alkot a vals szmegyenes a nylt intervallumokkal, mint nylt halmazokkal. Az egyes trfajtk az elrt tulajdonsgok szerint klnlnek el: szeparbilis, sszefgg, kompakt, stb. tr. Kt topologikus tr homeomorf (topolgiailag ekvivalens), ha ltesthet kztk egy bijektv s klcsnsen folytonos lekpezs. Folytonos a lekpezs, ha benne minden nylt halmaz kpe nylt halmaz. A nylt halmazokkal kifejezhet tulajdonsgokat topologikus tulajdonsgoknak nevezzk. Az ilyen tulajdonsgok homeomorf terekben megegyeznek, ezrt topologikus invarinsak. A topolgia f feladata a klnbz terek felkutatsa a topologikus invarinsak s az adott terekbl jakat kpez mdszerek (altr, szorzattr, faktortr) segtsgvel. Relcis struktrt akkor kapunk, ha egy H halmaz elemei kztt valamilyen relcit rtelmeznk. Relci alatt ltalban ktvltozs (binris) relcit rtnk, ami egyszeren a H  H Descartes-szorzat valamely rszhalmaza. F tpusai az ekvivalencia s a rendezsi relci. A relcis struktrk elmlete mg kiforratlan. Leggyakrabban valamilyen topolgiai vagy algebrai struktrval egytt vizsgljk ket. A vals szmok halmazn mindhrom struktrafajta megszervezhet: 1. Algebrai struktra. (  + ) test az elemek sszekapcsolsval ltestett kt mveletre. 2. Relcis struktra. (  ) rendezett halmaz az elemek sszehasonltsval ltestett rendezsi relcira. 3. Topologikus struktra. (  T ) topologikus tr a nylt intervallumok T -vel jellt nylt halmazainak rendszerre. Ekkor rtelmezhet -ben a sorozat konvergencijnak fogalma.

R R

R

R

R

245

www.interkonyv.hu

© Filep László

R

© Typotex Kiadó

A hrom struktra vizsglhat kln-kln, de egyszerre is. Ez esetben -et tbbszrs struktrnak tekintjk, amely hrom alapstruktrbl ll. Fentiek alapjn megllapthatjuk, hogy a modern matematika kt legalapvetbb ga a topolgia s az absztrakt algebra. A kvetkez kt fejezetben ezeket fogjuk trgyalni.

Gyakorlatok 1. Ksz ts k el a konjunkci , diszjunkci s negci rtktblzatt ktrtk s hromrtk logikban. Hnyfle rtktblzat ksz thet az ut bbiban? 2. Melyik den ci hatroz meg hagyomnyos, illetve fuzzy halmazt az U = x N 0 x 9 alaphalmazon: (a) pros szmok, (b) nagy szmok. Adjuk meg a megfelel karakterisztikus, illetve valamely fuzzy lekpezst. 3. Tekints k a kvetkez axi mkat: A1. Minden iz mizk sszege. A2. Ltezik legalbb 2 miz. A3. Ha p s q miz, akkor pontosan egy olyan iz ltezik, amely p-t is q-t is tartalmazza. A4. Ha H egy iz, akkor ltezik olyan miz, amely nincs H -ban. A5. Ha H iz s p miz, amely nincs H -ban, akkor pontosan egy olyan iz ltezik, amely tartalmazza p-t s egyetlen mizt sem tartalmaz, ami H -ban van. (a) Melyek a rendszer alapfogalmai? (b) Bizony tsuk be a rendszer abszolt ellentmondsmentessgt. (c) Igazoljuk az A3 s A5 axi mk f ggetlensgt. (d) Vezess k le az axi mkb l az albbi tteleket: T1. Minden mizt legalbb 2 iz tartalmaz. T2. Minden iz tartalmaz legalbb 2 mizt. T3. Ltezik legalbb 4 idegen miz. T4. Ltezik legalbb 6 idegen miz. (e) Adjuk meg az axi marendszer egy modelljt. 4. Mutassuk meg az albbi 4 ll ts inkonzisztencijt, ahol p, q, r elemi tleteket jellnek: (a) Ha q igaz, akkor r hamis. (b) Ha q hamis, akkor p igaz. (c) r igaz. (d) p hamis. f





2

g

246

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

5. Tekints k a kvetkez axi marendszert, amelyben a mh s a mhkas alapfogalmak: A1. Minden mhkas mhek egy ttese. A2. Brmely kt nem egyenl mhkashoz, ltezik olyan mh, amely mindketthz hozztartozik. A3. Minden mh pontosan 2 mhkashoz tartozik. A4. Pontosan 4 mhkas ltezik. (a) Formalizljuk az axi marendszert. (b) Mutassuk meg az A2, A3 s A4 axi mk f ggetlensgt. (c) Bizony tsuk be az axi marendszer konzisztencijt. (d) Vezess k le az axi mkb l az albbi tteleket. T1. Pontosan 6 mh ltezik. T2. Minden mhkasban pontosan 3 mh van. T3. Minden mhhez pontosan egy olyan mh van, amely nincs vele azonos mhkasban. 6. A ha p, akkor q implikci val kapcsolatban 3 ll ts fogalmazhat meg: (a) megford ts: ha q, akkor p (b) inverz: ha nem p, akkor nem q (c) kontrapoz ci : ha nem q, akkor nem p. Mutassuk meg, hogy f gg ssze ezek logikai rtke az eredeti implikci val. Mikor kapunk sz ksges, illetve elgsges felttelt? 7. Vizsgljuk az albbi mondatokat logikai szempontb l! (a) Minden szably al l van kivtel. (b) Tud-e a mindenhat Zeusz olyan kvet alkotni, amit nem tud felemelni. (c) Bizony that -e az az ll ts, hogy n nem vagyok bizonythat ? (d) n mindig hazudok  mondja magr l valaki. (e) Hogyan menek lhet meg az a kanniblok fogsgba esett utaz , akinek azt mondjk, ha egy igaz ll tst mond, akkor megfzik, ha hamisat, akkor megs tik?

Irodalom )1] Grke, L.: Halmazok, relcik, fggvnyek. Tanknyvkiad, 1969. )2] Hajnal Andrs,Hamburger Pter: Halmazelmlet. Nemzeti Tanknyvkiad, 1995. )3] Halmos, P. P.,Sigler, L. E.: Elemi halmazelmlet. Halmazelmleti feladatok. Mszaki Knyvkiad, 1981. 247

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

)4] )5] )6] )7] )8]

Northrop, E. P.: Rejtlyek a matematikban. Gondolat, 1960. Pter Rzsa: Jtk a vgtelennel. (6. kiads) Tanknyvkiad, 1978. Ruzsa Imre,Urbn Jnos: Matematikai logika. Tanknyvkiad, 1966. Speranza, F.: Relcik s strukt rk. Tanknyvkiad, 1980. Szsz Gbor: Az axiomatikus mdszer. Tanknyvkiad, 1972.

248

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

8. fejezet

Topolgia A topolgia a geometria leg atalabb gaknt szletett meg mintegy szz vvel ezeltt, de gykerei egszen Eulerig nylnak vissza. Megalapozsa fknt a francia H. Poincar nevhez fzdik. Mg az elemi geometria ttelei rvnyket vesztik az alakzatok brmilyen kis deformcija esetn, a topolgiai ttelek viszont csak szakts, vagy sszeragaszts esetn vltoznak meg, egyb mindkt irnyban folytonos transzformcik esetn nem. A halmazelmlet s a nyomban megszlet axiomatikus mdszer a topolgit is tformlta. Vizsglatnak trgya s mdszerei kibvltek. A konkrt euklidszi tr helyett geometriai tulajdonsgokkal felruhzott tetszleges halmazok (absztrakt terek) mindkt irnyban folytonos transzformcival szembeni invarins tulajdonsgait vizsglja az analzis, vagy az absztrakt algebra eszkzeivel. Ma a topolginak hrom f gt klnbztetjk meg: 1. Ler topolgia. Az euklidszi tr alakzatainak olyan tulajdonsgait vizsglja, amelyek topologikus, azaz bijektv s krnyezettart transzformcikkal szemben invarinsak. A ler topolgia szorosan kapcsoldik a geometrihoz. 2. Az ltalnos vagy halmazelmleti topolgia trgyt a metrikus s a topologikus terek vizsglata kpezi. Ezekre a terekre ltalnostja az analzis fogalmait s tteleit. Kutatja a topolgiai invarinsokat s a klnbz trfajtkat. 3. Algebrai vagy kombinatorikus topolgia. Kezdetben a ler topolgia eredmnyeit ltalnostotta n-dimenzira. F trgya az n-dimenzis poliderek kombinatorikus struktrja volt. Napjainkban az algebrai topolgia trgya gy fogalmazhat meg: topologikus terek invarins tulajdonsgainak vizsglata az absztrakt algebra eszkzeivel, pl. homolgiacsoportokkal. Mi csak a topolgia els kt gval foglalkozunk. 249

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

8.1. Ler topolgia Elsknt a 6. fejezetben trgyalt Euler-fle poliderttelrl s az unikurzalitsrl derlt ki, hogy minden olyan alakzatra rvnyesek, amelyek egymsbl olyan transzformcival szrmaztathatk, ami minden mretes tulajdonsgot megvltoztathat, csak a folytonossgot nem. Az ilyen transzformci neve topologikus lekpezs s tetszleges halmazokra ltalnostott de ncija a kvetkez: De nci: Az A halmaz B halmazba val f lekpezst topologikusnak nevezzk, ha klcsnsen egyrtelm! (bijektv) s minden x 2 A esetn krnyezettart, vagyis f (x) brmely V krnyezethez megadhat x-nek olyan U krnyezete, hogy U brmely x pontjnak f (x) kpe V -be essen (szemlletesen: kzel es pontok kpei is kzel esek legyenek), s viszont, x minden U krnyezethez van f (x)-nek olyan V krnyezete, hogy y 2 V esetn f ;1 (y) 2 U . Az egymsba topologikus lekpezssel tvihet alakzatokat topolgiailag ekvivalensnek vagy homeomorf nak nevezzk. Egyszeren szlva kt alakzat homeomorf, ha a szaktst s sszeragasztst kivve brmilyen ms transzformcival egymssal fedsbe hozhatk. Ilyen transzformci lehet a centrlis vagy prhuzamos vetts, forgats stb. Teht az egybevgsg, hasonlsg, perspektivits a homeomor a specilis esetei.

f : A ! B x 7! f (x)

x Ux  A

f (x) Vf (x)  B

8.1. bra. A folytonos lekpezs smja.

A ler topolgit Pter Rzsa tallan a gumilap geometrijnak nevezte, amely a mrettl s alaktl fggetlen tulajdonsgokat kutatja. A gumilap szakads s ragaszts nlkli hzogatsa, hajltgatsa sorn a mretek vltoznak, az egyenesbl grbe lesz s viszont, de a gumilapra rajzolt alakzat mgis felismerhet marad. Ez azt mutatja, hogy mg ilyen transzformcik esetn is vannak vltozatlan (invarins) tulajdonsgok. A topolgiai invarinsok segtsgvel lehet a legknnyebben eldnteni kt alakzatrl azt, hogy homeormorfak-e. Homeomor a esetn ugyanis a kt alakzat invarinsai megegyeznek. A legfontosabb topolgiai invarinsok vges sok vonalszakaszbl ll alakzat (grf) esetn a kvetkezk: 1. Az alakzat komponenseinek szma, vagyis az alakzatot alkot sszefgg rszek szma. 250

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

2. Az elvlaszt pontok szma. Elvlaszt pont brmely krnyezett elhagyva nem sszefgg alakzatot kapunk. 3. A pontok fokszma, azaz az egyes pontokban tallkoz vonalszakaszok szma. 4. Az alakzat unikurzalitsa, vagyis egy vonallal val megrajzolhatsga. 5. Az alakzat skbelisge, ahol skon a kznsges skkal homeomorf felletet rtnk.

B (4) A (4) 8.2. bra. Egy komponens" unikurzlis alakzat, kt elvlaszt pont (A s B ), fokszmaik 4 s 4.

A krrel homeomorf skbeli grbket egyszer zrt grbknek nevezzk. Velk kapcsolatos a francia C. Jordan (1838,1922) szemlletesen nyilvnvalnak ltsz, de nehezen bizonythat ttele: Ttel: Egy egyszer! zrt grbe a skot kt tartomnyra osztja, a grbe belsejre s a klsejre, amelyeknek nincs kzs pontja, s kzs hatruk a grbe. A Jordan-ttel segtsgvel oldhat meg a hres hrom hz, hrom k t problma: Lehet-e hrom hzbl hrom kthoz gy utakat csinlni, hogy minden hzbl minden kthoz vezessen t, de az utak ne keresztezzk egymst. Topolgiailag a problma gy fogalmazhat meg: skbeli-e a hat pontbl s kzlk brmely hrmat-hrmat sszekt, egymst nem metsz vonalbl ll alakzat? A skbelisg is topolgiai invarins gy a pontok brhogy felvehetk. Kt hz H1 , H2 , kt kt K1 , K2 s a megfelel utak egy egyszer zrt grbt, mondjuk krt alkossanak. Ha H3 a kr belsejben van, akkor sszekthet a kt kttal a felttelnek megfelelen, de akkor a kr kt zrt grbre osztdik, gy brmelyikbe is helyezzk K3 -at, a Jordan-ttel rtelmben a H1 , vagy H2 hztl el lesz zrva. Hasonl a helyzet, ha H3 -at a krn kvl vesszk fel. A kr kerletn pedig nyilvnvalan nem vehet fel H3 . A vlasz a felvetett problmra teht tagad. A problma fontos szerepet jtszik bizonyos elektromos hlzatok tervezsben (8.3. bra). A ler topolgia msik lnyeges terlete a felletekre rajzolt grfok vizsglata, amely Euler poliderttelnek ltalnostsbl indult ki. Egy (egyrteg) fellet lehet zrt, vagy nylt. Zrt fellet pldul a gmbfellet, nylt fellet pldul a krlap. Egyszer felletnek nincs elgazsi pontja. 251

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

H1 H1

K1

H2

K2

H3

H3

K3 K2

K1 H2

8.3. bra. A hrom hz, hrom k t problma s bizonytsa.

A francia L. Poinsot (1777,1859) vezette be egy fellet Euler-fle karakterisztikjt: c ; e + l = p, ahol c, e, l a felletre rajzolt grf cscsainak, leinek szmt, ill. a grf ltal a felleten ltrehozott, a krlappal homeomorf tartomnyok szmt jellik. Gmb esetn p = 2, trusz esetn pedig p = 0, amirl szemlletesen knnyen meggyzdhetnk. Ha a truszbl egy krlapot kivgunk, majd meghzzuk, akkor fogantyt kapunk, amelynek Euler-fle karakterisztikja p = c;e+l = ;1. Nevezetes fellet a Mbius-szalag, amit egy paprszalag megcsavarsval s vgeinek sszeragasztsval kapunk. A szalag egyoldal, nylt fellet. Ha a szalagon ceruznk hegyt elindtjuk a szalag szleivel prhuzamosan, akkor visszajutunk az elindulsi pontra anlkl, hogy ceruznkat fel kellett volna emelnnk. A Mbius-szalagnak ezt a tulajdonsgt meghajt szjknt val alkalmazsaknt hasznljk ki. Az ilyen szjnak ugyanis mindkt oldala egyformn kopik. #rdekes, hogy a szalagot hosszban kettvgva egyetlen ktoldal szalagot kapunk megcsavarodva. Hosszban harmadolva viszont kt gyr addik: egyik Mbius-szalag, a msik ktoldal fellet. A Mbius-szalag Euler-fle karakterisztikja nulla. Felix Klein egyoldal zrt felletre adott pldt. A Klein-palack egy cskken tmrj csbl kszthet gy, hogy a vastagabb rsz oldalbl kivgunk egy krlapot, s azon tvezetjk a cs vkonyabb rszt, majd az egyms mell kerlt csvgeket sszeforrasztjuk. gy egyoldal fellet keletkezik, amelynek nincs belseje, sem klseje. Euler-fle karakterisztikja p = 0 (8.4. bra). Mbius s Jordan vizsgltk, hogy melyek a topolgiailag klnbz zrt felletek. Rjttek, hogy ezek a gmbfelletbl lyukak kivgsval s azok beragasztsval konstrulhatk. Felhasznltk, hogy egy fellet Euler-fle karakterisztikja topolgiai invarins, teht topolgiailag ekvivalensek csak azok lehetnek, amelyeknl ez megegyezik. 252

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

8.4. bra. Nevezetes felletek s Euler-fle karakterisztikik. Foganty : p = 1, Mbius-szalag: p = 0, Klein palack: p = 0. ;

A gmbfellet Euler-fle karakterisztikja, mint ismeretes 2. Ha belle k lyukat kivgunk, akkor ez k-val cskken. Legyen ugyanis a lyukas gmbfelleten c ; e + l = p. A kivgott krlapokat visszaragasztva a lapok szma k-val n, s p rtke 2-re vltozik. Teht c ; e + l + k = 2 =) p = c ; e + l = 2 ; k: A gmbfelleten egy lyuk nemcsak krlappal, hanem fogantyval, st Mbius-szalaggal is beragaszthat. Az utbbi egyetlen hatrvonala homeomorf ugyanis a krrel, br a beragasztskor a szalag thatol sajt magn. Fogantyval val beragasztskor a karakterisztika eggyel cskken, Mbius-szalag esetn pedig nem vltozik. A felletek topolgijnak alapttele (Mbius,Jordan-ttel): Ttel: Ha G0 a gmbfellet, Gm a gmbfellet m foganty val, Fk pedig a gmbfelletbl k lyuk kivgsval s Mbius-szalaggal val beragasztsval keletkez fellet, akkor G0  G1  : : :  Gm  F1  : : :  Fk az sszes topolgiailag klnbz zrt fellet. A topolgia fejldsben a kvetkez lpcst a magasabb dimenzikra val ttrs jelentette. Maga a dimenzi fogalma is pontosabb de ncira szorult. Azt a szemlletes fogalmat, hogy a vonal egydimenzis, a sk pedig ktdimenzis, megingatta Peano ngyzetet kitlt vonala (lsd. 7. fejezet), amely tbb dimenzira is ltalnosthat. Eszerint egy vonalnak is lehet terlete, a vonal nemcsak szlessg nlkli hosszsg. A dimenzikat teht ms mdon kell megklnbztetni, hogy topolgiai invarins legyen: nem homeomorf alakzatok dimenzija ne egyezhessen meg. Ennek megfelel dimenzifogalmat adott Poincar 1912-ben. Egy alakzat akkor egydimenzis, ha kt klnll alakzatt vltoztathat egy nulla dimenzis rsznek (pl. egy nem szls pontnak) elhagysval. Ez valban igaz a szakaszra s az egyenesre. Hasonl tulajdonsg teljesl a skra, melynek sztvlasztshoz valamely egydimenzis alakzatot kell kivgni, nulldimenzis nem elegend. 253

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Erre a dimenzifogalomra ptve P. Sz. Uriszon (1898,1924) orosz matematikus megadta a grbe elfogadhat de ncijt: egydimenzis zrt sszefgg halmaz. Ezek utn sor kerlhetett az n-dimenzis felletek vizsglatra, amelynek megindtsa Riemann rdeme. A tbbdimenzis tr topolgijban a felletek az n. Betti-szmok segtsgvel csoportosthatk egyszeresen, illetve tbbszrsen sszefggkre.

8.2.

ltalnos topolgia

A XX. szzad elejre az elemi analzis teljesen kiplt. Befejezdtt az analzis aritmetizlsnak programja. Megszlettek a folytonossggal s a konvergencival kapcsolatos fontos eredmnyek egy- s ktvltozs vals fggvnyekre. Az ilyen fggvnyek rtelmezsi tartomnyt geometriai szemszgbl nzve a vals szmegyenes, illetve sk pontjai alkotjk. Az ltalnos topolgia megszletst az a cl motivlta, hogy a folytonossg s a konvergencia fogalmait, illetve a rjuk vonatkoz eredmnyeket tetszleges halmazokra lehessen ltalnostani. Ezek elemeit pontoknak szoks nevezni, de brmilyen matematikai objektumok lehetnek, pl. fggvnyek, sorozatok, vektorok s gy tovbb. Az ltalnossg miatt a mdszer csakis axiomatikus lehetett: tetszleges halmazok struktrjt gy kellett megadni, hogy beszlhessnk bennk folytonossgrl s konvergencirl. A kznsges konvergencia (s folytonossg) a kzelsg szemlletes fogalmn alapul: az x pont elegenden kzel fekszik az y ponthoz. Ez pontoss tehet, ha van tvolsg, mert akkor a kzelsg egy szmmal fejezhet ki. A francia M. Frchet vette szre elszr, hogy a konvergencia minden olyan halmazra ltalnosthat, amelyben egy megfelel tvolsgfogalom rtelmezhet. Ezzel elindtja lett a metrikus terek elmletnek (1903), amelynek els tovbbfejlesztje Riesz Frigyes volt (1908). Ksbb kiderlt, hogy nem minden halmaz szervezhet metrikus trr: nem rtelmezhet bennk egy megfelel tvolsgfogalom. A nmet F. Hausdorff nevhez fzdik az a felismers, hogy a kzelsg (s ezzel a konvergencia) fogalma felpthet nemcsak a tvolsg, hanem az annl ltalnosabb krnyezet fogalmra is. Tanulmnyainkbl emlkezhetnk r, hogy valban, a sorozat konvergencija krnyezettel is de nilhat: a hatrrtk brmely krnyezetbl a sorozatnak csak vges sok tagja marad ki. Hausdorff 1914-ben vezette be a metrikus trnl ltalnosabb topologikus tr fogalmt. Ezzel az ltalnos topolgia megalapozja lett. A topologikus terek elmlete a metrikus terekre, az pedig a kznsges euklidszi trre pl. Ismertetsnket ennek gyelembevtelvel ptettk fel. Elszr emlkeztetnk az analzis legfontosabb fogalmaira s eredmnyeire. A n-dimenzis euklidszi teret n -nel fogjuk jellni. Specilisan: 3 a teret, 2 a skot, pedig a (vals) szmegyenest jelli. n pontjai az 254

R

www.interkonyv.hu

R

R

R R

© Filep László

© Typotex Kiadó

x = (x1  x2  : : :  xn ) vals szmokbl ll rendezett szm n-esek. Az x s y pontok (euklidszi) tvolsgt a

p

R

d(x y) = (x1 ; y1 )2 +    + (xn ; yn)2 kplet adja. -ben a tvolsg egyszeren: d(x y) = jx ; yj. A tvolsg ren-

delkezik az albbi tulajdonsgokkal: M1. A tvolsg nem-negatv: d(x y)  0, d(x y) = 0 () x = y. M2. A tvolsg szimmetrikus: d(x y) = d(y x). M3. Hromszg egyenltlensg: d(x z )  d(x y) + d(y z ). Az M1, M2, M3 tulajdonsgokat tvolsgaximk nak nevezzk. A kvetkez fogalmakat is n -ben de niljuk, br szemlletes jelentsk csak n  3 esetn van. Illusztrciikat skban ( 2 -ben) s a szmegyenesen ( -ben) adjuk meg (8.5. bra).

R

R

x

"-krnyezet

x

x

R

;c x x+d (x ; c x + d)

krnyezet x

"

R

;" x x+" (x ; " x + ")

8.5. bra. "-krnyezet s krnyezet R2 -ben s R-ben.

R

Egy n -beli x pont "-krnyezete: N (x ") = fy 2 n jd(x y) < "g (" > 0): Skban az "-krnyezet egy nylt krlapnak, egyenesen egy nylt intervallumnak felel meg (x kzpponttal, " sugrral). n -ben az "-krnyezetet n-dimenzis nylt gmbnek nevezzk. Az x pont Ux krnyezet n n olyan rszhalmazt rtjk, amely tartalmazza x egy "-krnyezett. Egy U krnyezet mindig elllthat "-krnyezetek unijaknt.

R

R

255

www.interkonyv.hu

© Filep László

R

© Typotex Kiadó

n valamely X rszhalmazt nylt halmaz nak nevezzk, ha brmely x 2 X -

re X tartalmazza x valamely K krnyezett. Vagyis egy nylt halmaz minden pontjnak krnyezete, teht "-krnyezete is. Lthat, hogy a nylt halmaz s a krnyezet rokon fogalmak. A krnyezet is de nilhat a nylt halmaz segtsgvel: n egy U rszhalmaza akkor krnyezete az x pontnak, ha van olyan X nylt halmaz, amelyre x 2 X  U . Pldul egy "-krnyezet is nylt halmaz. Ezek utn megadjuk a sorozat konvergencijnak kt ekvivalens de ncijt -ben: 1. Tvolsggal: Az fang sorozat hatrrtke az A szm, ha A brmely "krnyezethez megadhat olyan N egsz, hogy ha n  N , akkor d(an  A) < " , azaz jan ; Aj < ". 2. Krnyezettel: Az fang sorozat hatrrtke az A szm, ha A brmely krnyezetbl a sorozatnak csak vges sok tagja marad ki. Megjegyezzk, hogy a msodik de nci megfogalmazhat "-krnyezetekre is, de ekkor ismt a tvolsg fogalmt hasznltuk volna fel. A hatrrtk jellsre a limn!1 an = A szimblum hasznlatos. n -ben az fxi g = f(xi 1  : : :  xi n )g sorozat akkor tart az x0 = (x0 1  : : : x0 n ) ponthoz, ha limi!1 xi k = x0 k minden k = 1 2 : : :  n esetn. Egy X  halmaz valamely a pontja bels pont, ha ltezik olyan krnyezete, amely rszhalmaza X -nek. A b pont X torldsi pont ja, ha minden krnyezetnek van b-tl klnbz X -beli pontja. Ha a torldsi pontok halmazt X 0 jelli, akkor az X  X 0 = X~ halmazt X lezrtjnak nevezzk. Ezekkel a fogalmakkal a nylt s a zrt halmaz jabb jellemzshez jutunk. Egy halmaz nylt, ha minden pontja bels pont, zrt, ha tartalmazza minden torldsi pontjt. Pldul a szmegyenesen egy nylt intervallum nylt, egy zrt intervallum pedig zrt halmaz. #rdekessg, hogy az res halmaz s n egyszerre nylt s zrt. Egy X halmaz X~ lezrtja zrt halmaz. Az n tr egy X rszhalmaza korltos, ha ltezik olyan K > 0 szm, hogy d(x y)  K minden x y 2 X esetn. Ilyen pldul a szmegyenesen egy korltos sorozat. Legyen X  n . Az fXi gi2I halmazrendszert X lefeds nek nevezzk, ha X  i2I Xi . Ha minden Xi nylt halmaz, akkor nylt, ha pedig I vges, akkor vges lefeds rl beszlnk. Pldul I = 1 2 ::: n esetn a vges lefeds formja: X  X1  X2  : : :  Xn . Az n euklidszi tr egy X rszhalmazt kompakt nak nevezzk, ha minden nylt lefedsbl kivlaszthat egy vges lefeds. A kompakt halmazok n -ben a kvetkez tulajdonsgokkal jellemezhetk: Ttel (HeineBorel): Az n egy rszhalmaza akkor s csak akkor kompakt, ha korltos s zrt. Ttel (BolzanoWeierstrass): n minden korltos vgtelen ponthalmaznak van legalbb egy torldsi pontja. Az eddig ismertetett fogalmak s az elz alapvet ttelek mind trhatk metrikus terekre. Egy M halmaz metrikus tr, ha rtelmezett benne egy d

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

256

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

tvolsg (metrika), azaz egy

d:M M !

R

+

(x y) 7! d(x y)

lekpezs, amely eleget tesz az M1, M2, M3 tvolsg-aximknak. Egy metrikus tr jellsre az (M d) szimblumot hasznljuk. Pldk metrikus terekre: 1. ( n  d). Az n-dimenzis euklidszi tr a szoksos euklidszi tvolsggal. 2. ( n  m). n az albbi maximum-metrikval:

RR R R R

m(x y) = maxfjxi ; yi j ji = 1 ::: ng:

3. ( n  s). n a kvetkez sszeg-metrikval:

s(x y) = jx1 ; y1 j +    + jxn ; yn j:

4. Hilbert-tr (H d). H elemei azok a vals fxi g szmsorozatok, amelyekre P x2 vgtelen a 1 sor konvergens. Ebben a trben kt pont (x = fxi g, i=1 i y = fyi g) tvolsgt gy rtelmezzk:

d(x y) =

X 1 i=1

(xi ; yi

)2

!

1 2

:

E specilis Hilbert-tr szoksos jele: `2 . 5. (C  d), ahol C a 0 1]-on folytonos fggvnyek halmaza, a tvolsg pedig:

d(f g) =

Z1 0



(f (t) ; g(t))2 dt

1 2

:

6. (C  m), ahol C az elz plda halmaza, de a tvolsg:

d(f g) = 0max jf (t) ; g(t)j: t 1 7. (X d), ahol X tetszleges nemres halmaz s

(

d(x y) = 1 ha x 6= y 0 ha x = y: A metrikus tr fogalma elg ltalnosnak tnik, mgis vannak olyan halmazok, amelyekben nem lehet olyan metrikt bevezetni, amelybl a konvergencia fogalma szrmaztathat lenne. Mint lttuk, a konvergencia de nilhat a krnyezet fogalmval is. A krnyezetet ugyan egy metrikus fogalom 257

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

("-krnyezet) segtsgvel de niltuk, de tekinthetjk de nilatlan alapfogalomnak is. Ha erre az alapfogalomra elrunk bizonyos aximkat, akkor a metrikus trnl ltalnosabb topologikus tr fogalmhoz jutunk. Lttuk azt is, hogy a krnyezet, a nylt halmaz s a halmaz lezrtja rokon fogalmak, brmelyikk tekinthet alapfogalomnak. Valban, a fejlds sorn a topologikus tr felptsnek hrom ekvivalens formja alakult ki: De nci: (Alapfogalom a krnyezet.) Egy T halmaz topologikus tr, ha minden x elemhez hozzrendeljk T valamely Ux rszhalmazainak egy nemres rendszert (x krnyezeteit) s feltesszk, hogy ez eleget tesz az albbi krnyezetaximknak: U1. x minden krnyezetnek eleme. U2. Kt krnyezet metszete is krnyezet. U3. Ha Ux az x krnyezete s Ux  V , akkor V is krnyezete x-nek. U4. Ha Ux krnyezete x-nek s y 2 Ux , akkor van y-nak olyan Uy krnyezete, amelyre Uy  Ux: A fenti aximkhoz Hausdorff hozzvett mg egy sztvlasztsi aximt: U5. Kt klnbz pontnak lteznek diszjunkt krnyezetei. De nci: (Alapfogalom a nylt halmaz.) Egy T halmaz topologikus tr, ha meg van adva rszhalmazainak egy rendszere, amelyre teljesl, hogy: N1. Az res halmaz s T nylt. N2. Kt nylt halmaz metszete is nylt. N3. Tetszleges sok nylt halmaz egyestse is nylt. De nci: (Alapfogalom a halmaz lezrtja.) Egy T halmaz topologikus tr, ha hatvnyhalmazn rtelmezett egy zrsi opertor, amely minden X rszhalmazhoz a lezrtjt (X~ ) rendeli. A lezrsra teljeslnek a kvetkezk: Z1. Az res halmaz lezrtja nmaga, azaz ~ = .

^

Z2. A lezrs additv, azaz X  Y = X~  Y~ . Z3. A lezrs extenzv, azaz X  X~ . Z4. A lezrs idempotens, azaz X~ = X~ .

Ha egy T halmazra brmelyik (ekvivalens) felptst alkalmazzuk, akkor azt mondjuk, hogy T -t egy t topolgival lttuk el. A kapott topologikus struktrt, azaz topologikus teret (T t)-vel jelljk. A kvetkezkben a msodik felptsi mdot vesszk alapul, teht a nylt halmazt tekintjk alapfogalomnak. A zrt halmazt a nylt halmaz komplementereknt de niljuk. Egy X halmaz lezrtjn az X -et tartalmaz sszes zrt halmaz metszett rtjk. Ez teht az 258

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

a legkisebb olyan zrt halmaz, amely tartalmazza X -et. Mint korbban lttuk, ekkor a krnyezetet is a nylt halmaz segtsgvel de niljk. Egy (T t) topologikus tr bzis n nylt halmazok olyan N 0 rendszert rtjk, amely elemeinek unijaknt a tr minden nylt halmaza elllthat. A bzist teht a legegyszerbb nylt halmazok alkotjk. Megmutathat, hogy egy T halmaz rszhalmazainak minden olyan rendszere, amely zrt a metszet mveletre s unija T , bzis T valamely topolgija szmra. Minden (M d) metrikus tr egyben topologikus tr is. A tvolsg segtsgvel de nilhat benne a nylt halmaz fogalma (lsd elbb). A nylt halmazok rendszere topolgit de nil M -en. Ezt a metrikbl szrmaztatott topolgit metrikus topolginak nevezzk s td -vel jelljk. A td topolgia bzist az "-krnyezetek adjk, hiszen, mint lttuk, minden nylt halmaz "-krnyezetek unijaknt llthat el egy metrikus trben. Pldk topologikus terekre:

R R R R R

1. ( 2  td ) A sk metrikus topolgija, amely az euklidszi tvolsgbl szrmaztathat. Bzist a nylt krlapok adjk. Ezt a topolgit a sk szoksos topolgijnak is nevezik. 2. ( 2  tm ) A sk egy msik metrikus topolgija, amely a metrikus terekre adott 2. plda tvolsgbl szrmaztathat. Bzist a koordintatengelyekkel prhuzamos oldal nylt ngyzetlapok adjk. 3. ( 2  ts ) A sknak az a metrikus topolgija, amely a 3. plda sszeg metrikjbl szrmazik. Bzist a 45 -kal elforgatott nylt ngyzetlapok adjk. 4. ( 2  t) A sk n. svtopolgija, amelynek bzist egy adott e egyenessel prhuzamos kzpvonal nylt svok alkotjk. A nylt halmazok az ilyen nylt svok egyestseiknt addnak. 5. (  t) A szmegyenes szoksos metrikus topolgija, amelynek bzist a nylt intervallumok adjk. A sorozat konvergencijnak szoksos de ncija erre a topolgira vonatkozik. 6. A H = fa b c dg halmazon a kvetkez rszhalmazrendszerek mind topolgikat de nilnak, ha ket tekintjk nylt halmazoknak. (a) (b) (c) (d)

f H g (trivilis topolgia)f fag fcg fa bg fa cg fa b cg H gf fag fa bg fa cg fa b cg H g-

P (H ), vagyis H sszes rszhalmazainak halmaza (diszkrt topolgia). A trivilis s a diszkrt topolgia brmely nemres H halmazra de nilhat. A diszkrt topolgiban brmely A  H esetn A~ = A, valamint A minden pontjnak krnyezete is.

259

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Nd ((0 0) 1)

d(x y) = jx ; yj (R2  td )

m(x y) = maxfjx1 ; y1 j jx2 ; y2 g (R2  tm )

I.

s(x y )

=

j 1 ; 1j + j 2 ; x

III.

R

y

( 2  ts )

x

Nm ((0 0) 1)

II.

y2 IV.

R

( 2  t)

8.6. bra. A sk nhny topolgija s bziselemeik.

Pldink is mutatjk, hogy egy halmazon tbb topologikus struktrt (teret) lehet rtelmezni, teht felmerl sszehasonltsuk problmja. Kt matematikai struktrt nem tekintnk klnbznek, ha megadhat kzttk egy olyan bijektv lekpezs, amely megrzi a struktrt. Topologikus terek esetben az ilyen lekpezst topologikus lekpezsnek, vagy homeomor zmusnak nevezzk. De nci: Kt topologikus teret homeomorfnak, vagy topologikusan ekvivalensnek neveznk, ha ltesthet kztk egy bijektv s klcsnsen folytonos lekpezs. Topologikus terek kztti folytonos lekpezs megadhat a krnyezet, a nylt halmaz, vagy a halmaz lezrtja fogalmak segtsgvel a felptstl fggen. A 8.1. szakaszban a folytonossgot a krnyezettel de niltuk, most pedig nylt halmazokkal adjuk meg. De nci: Egy f : (T t) ! (T 0 t0 ) bijektv lekpezs folytonos a kt tr kztt, ha T 0 brmely nylt halmaznak inverz kpe nylt halmaz T -ben. Az f klcsnsen folytonos, ha bijektv s inverze is folytonos. Valamely topologikus trbeli tulajdonsgot topologikusnak neveznk, ha kifejezhet csak nylt halmazok (krnyezetek, lezrtak) segtsgvel. Kvetkezskppen ezek a tulajdonsgok homeomorf lekpezs esetn nem vltoznak meg, azaz homeomorf (topologikus invarins) tulajdonsgok. Ilyen tulajdonsg pldul a kompaktsg vagy a konvergencia. Az ltalnos topolgia egyik fontos feladata teht, a topologikusan invarins tulajdonsgok felkutatsa. gy lehetv vlik az sszes klnbz tr meg260

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

tallsa. Ebben segtsget jelentenek az egy adott trbl jabbakat konstrul mdszerek is: altr, szorzattr, faktortr kpzse. A topologikus terekre adott pldk kzl az 1., 2. s 3. homeomorfak, ami a 8.1. szakasz alapjn nyilvnval. Mivel a konvergencia topologikusan invarins tulajdonsg, ez azt is jelenti, hogy ha egy sorozat konvergens az egyik topolgira nzve, akkor a msikra is az. A 4. tr viszont klnbzik tlk, mivel van olyan topologikusan invarins tulajdonsg, amely az elbbieknek megvan, az utbbinak azonban nem. Ez a tulajdonsg a Hausdor(-flesg lesz. De nci: Egy topologikus tr Hausdor(-fle, ha brmely kt klnbz pontjnak vannak diszjunkt krnyezetei (lsd az U5. aximt). Ez teljesl az 1., 2. s 3. terekre, de a 4. trre nem. ltalban is igaz, hogy egy metrikus topolgij tr mindig Hausdor(-fle. Az 6. plda terei kzl csak a (d) diszkrt tr Hausdor(-fle, a tbbi nem az. Pldul a (c) esetben az egyes pontok krnyezetei a kvetkezk:

a : fag, fa bg, fa cg, fa dg, fa b cg, fa b dg, fa c dg, H b : fa bg, fa b cg, fa b dg, H c : fa cg, fa b cg, fa c dg, H d : H. A d pontnak egyetlen msik ponttal sincs diszjunkt krnyezete. A tr albbi nmagra val bijekcija (permutcija) homeomor zmus, mert nylt halmazokat nylt halmazokba visz t:

f (a) = a f (b) = c f (c) = b f (d) = d: Egy sorozat konvergencijnak fogalma termszetes mdon kiterjeszthet tetszleges topologikus trre. Valamely (T t) topologikus tr fan g sorozata konvergl az A 2 T ponthoz, ha minden olyan U nylt halmaz esetn, amely tartalmazza A-t ltezik olyan N pozitv szm, hogy an 2 U minden n  N esetn. Hasonl mdon de nilhat a torldsi pont is. Termszetesen mindkt fogalom de nilhat krnyezetek, vagy halmazlezrtak segtsgvel is. A problma az, hogy tetszleges topologikus trben egy sorozat tbb ponthoz is konverglhat. A konvergencia szempontjbl csak a Hausdor(- (specilisan a metrikus-) terek viselkednek normlisan: bennk egy sorozat legfeljebb egy ponthoz konverglhat. Ez a problma kt kutatsi irny kialakulshoz vezetett: 1. Melyek azok a topologikus terek, amelyek metrizlhatak, azaz de nilhat bennk olyan metrika, amely megrzi a tr topologikus struktrjt? Metrikus terekben ugyanis a konvergencia rendelkezik a szoksos tulajdonsgokkal. 261

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

2. Mivel tetszleges topologikus terekben a sorozat konvergencijnak fogalmra nem pthet fel egy kielgt konvergenciaelmlet, ezrt ltalnostani kell a sorozat fogalmt. Az gy ltalnostott sorozatokra, az n. lterek re mr de nilhat egy megfelel konvergenciafogalom. Tetszleges topologikus trben a kompaktsg nem ekvivalens a Heine,Borelttel vagy a Bolzano,Weierstrass-ttel lltsban szerepl tulajdonsggal. Topologikus trben nincs is rtelme a korltossgnak, de mg metrikus terekben (amelyekben a fenti ttelek megfogalmazhatk) sem mindig igazak. Az ltalnos topolgia egyik fontos kutatsi irnya a fenti tulajdonsgok viszonynak vizsglata klnbz trtpusokban (sszefgg, regulris, normlis, stb. terek). Az analzisben fontos szerepet jtszanak a loklisan kompakt terek. Egy (T t) topologikus tr loklisan kompakt, ha minden pontjnak van kompakt krnyezete. Ilyen tr n is, mert minden pontjnak van n-dimenzis zrt intervallum alak krnyezete.

R

Gyakorlatok 1. Ksz ts k el s tanulmnyozzuk a Mbius-szalag modelljt. 2. Mutassuk meg, hogy brmely halmaz metrikus trr tehet az albbi tvolsgden ci val: ( d(x y) = 1  ha x = y 0  ha x = y: 6

3. Bizony tsuk be, hogy az euklideszi s k R2 halmaza metrikus tr az albbi tvolsgf ggvnnyel: d(x y) = x y . 4. Bizony tsuk be, hogy R2 metrikus tr az albbi tvolsgf ggvnyekkel: (a) d(x y) = (x1 x2 )2 + (y1 y2 )2 , (b) d(x y) = max( x2 x1  y2 y1 ), (c) d(x y) = x1 x2 + y1 y2 5. Legyen x M , ahol M metrikus tr, tovbb legyen r R+ . Nevezz k a d(c x) = r egyenlsggel meghatrozott x-ek halmazt krnek, amelynek kzppontja c, sugara r. #brzoljuk a 4. feladat tvolsgainak megfelel krket koordinta-rendszerben. 6. Csoportos tsuk az bc nagybet it egymssal topol giailag ekvivalens osztlyokba. 7. Szm tsuk ki e, f , s l rtkt minden szablyos sokszgre. 8. Bizony tsuk Euler-polider ttelvel, hogy nem ltezhet tnl tbb szablyos test. 9. Adjunk pldt 6 l , illetve 8 l egyszer zrt polideres fel letre. Mutassuk meg, hogy 7 l nem ltezhet. j

;

;

j

j

j

2

;

;

;

j

j j

j

;

;

j

j

2

262

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

10. Bizony tsuk be, hogy minden halmaz Hausdor%-trr tehet, ha ny lt halmazoknak a tr pontjait nevezz k. 11. Legyen H az euklideszi s k. Keress k meg az albbi ponthalmazok torl dsi pontjait (a pontokat a trre tvitt koordinta-rendszerben adjuk meg): (a) (x y) x > 0 , (b) (x y) x2 + y2 < 9 , (c) (1 1), (1=2 1=2), (1=3 1=3), : : : , (d) (x y) y = sin(1=x) 0 x 1 , (e) (m n) m Zn Z+ . f

j

f

j

g

g

f f f

j



j

2

2



g

g

Irodalom )1] Alekszandrov, P. Sz.: A topolgia egyszer! alapfogalmai. Akadmiai Kiad, 1971. )2] Benk Jzsef: A topolgia elemei. Dacia Knyvkiad, 1975. )3] Boltyanszkij, V. G.,Jefremovics, V. A.: Szemlletes topolgia. Tanknyvkiad, 1971. )4] Chinn, W. G.,Steenrod, N. E.: Bevezets a topolgiba. Gondolat, 1980. )5] Csszr kos: Bevezets az ltalnos topolgiba. Akadmiai Kiad, 1980. )6] Papy: Ismerkeds a topolgival. Mszaki Knyvkiad, 1973. )7] Patterson, E. M.: Topolgia. Tanknyvkiad, 1974. )8] Schubert, H.: Topolgia. Mszaki Knyvkiad, 1986. )9] Szederknyi Antal: Topolgia. Tanknyvkiad, 1975.

263

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

264

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

9. fejezet

Absztrakt algebra 9.1. Kialakulsa s fejl dse Az absztrakt algebra megszletse sszefgg a XIX. szzadi matematikt forradalmast nem-euklidszi geometrik felfedezsvel, kifejldse pedig a XX. szzadi matematikt megjt halmazelmlet nyomn kialakul axiomatikus mdszerrel. Bolyai s Lobacsevszkij munkssga megmutatta, hogy fel lehet pteni egy ellentmondsmentes geometrit az euklidszitl eltr aximkbl. Teht j algebrkat is lehet konstrulni az elemi aritmetika szablyaitl eltr szablyok alapjn. Ehhez jrult mg az a felismers, hogy az j algebrk nemcsak szmokra, hanem tetszleges matematikai objektumokra vonatkozhatnak. gy az algebra elszakadt az aritmetiktl s formlis deduktv rendszerr vlt. Az algebra talakulsa nem ment olyan gyorsan vgbe mint a geometri. Hasonlsg fedezhet fel viszont abban, hogy mindkt talakuls a matematika centrumaitl tvolabb szletett meg: a geometri Magyarorszgon s Oroszorszgban, az algebr pedig fknt Angliban. A konzervatv szellemisg Angliban mg a XIX. szzad elejn is a negatv szmok ltjogosultsgt vitattk, az j szemllet algebra megalapozsa mgis angol algebristk nevhez fzdik. A dnt szemlletbeli fordulat Peacock algebra knyvnek megjelensvel kvetkezett be 1830-ban. A szerz magt az algebra Euklidsznek nevezte, ami ha tlzs is volt, de a knyv rdemei vitathatatlanok. Szerepel benne az ekvivalens formk permanencia elve, amit ksbb klnsen a szmfogalom ltalnostsa sorn a mveletek kiterjesztsnl alkalmaztak. Az elv szerint egy algebrai rendszer ltalnostsrl csak akkor beszlhetnk, ha az j fogalom tartalmazza a rgit s a mveleti szablyok rvnyben maradnak. Trtneti rdekessg, hogy az elvet a nmet Hankelnek az angol algebristk munkssgt ismertet mvbl ismerte meg Eurpa, gy lett a neve Hankel-fle permanencia elv. Peacock munkssgval az algebra tlhaladt az egyenletek megoldsnak vizsglatn, vagyis azon, hogy algoritmusokat keressen ismeretlen szmok, az 265

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

egyenlet gykeinek meghatrozsra. Fokozatosan teret nyert az a felismers, hogy nemcsak szmokkal lehet szmolni s nemcsak az aritmetika szablyai szerint. Ezt az j lehetsget elszr Hamilton (1843) s Grassmann (1844) tltttk meg tartalommal. Hamilton abbl indult ki, hogy a komplex szmok hasznosak a skbeli forgsok tanulmnyozsra, ezrt prblta ket kiterjeszteni trre. A komplex szmokat vals szmprokknt fogta fel s rtelmezte a velk val mveleteket. Szmhrmasokra nem sikerlt a kiterjeszts a permanencia elv srelme nlkl. A ma kvaterniknak nevezett szmngyesekre viszont a szorzs kommutativitsnak kivtelvel igen. Olyan szorzst keresett a szmngyesekre, amelyek visszavezethetk a szmprok szorzsra: (a b 0 0)  (c d 0 0) = (ac ; db ad + bc 0 0) illetve (a + bi)  (c + di) = (ac ; db) + (ad + bc)i: A megfelel szablyra egy hdon stlva jtt r. A hdon ma emlktbla rkti meg az esetet. A szably a kvetkez: (a b c d)  (e f g h) = = (ae ; bf ; eg ; dh af + be + ch + dg ag + ce + df + bh ah + bg + de + cf ) ami az i, j , k kvaterni egysgek szorzsi szablybl vezethet le az

a + bi + cj + dk felrst hasznlva:

ijk = i2 = j 2 = k2 = ;1 ij = k jk = i ki = j: A kvaternik nem kommutatv testet alkotnak, amelyben pldul az x2 + 1 = 0 egyenletnek vgtelen sok megoldsa van:

p

p

i j k 22 j + 22 k : : : mg a komplex szmtestben csak kett (i), a valsban pedig egy sem. A kvaternik valsggal sokkoltk a korabeli matematikusokat: ltezik egy gyakorlatban hasznlhat algebra, amely nem rendelkezik az aritmetikban megszokott kommutativitsi tulajdonsggal. Ksbb (1857-ben) Cayley mg furcsbb algebrt vezetett be, a 22-es mtrixokt, amelyben a szorzs nemcsak, hogy nem volt kommutatv, hanem kt mtrix szorzata gy is lehetett zrus, hogy egyikk sem volt az. Magt a mtrix fogalmt s mveleti szablyait is Cayley vezette be. 266

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Grassmann az ltala bevezetett n-dimenzis vektor fogalmt felhasznlva nem szmngyeseket, hanem szm n-eseket tanulmnyozott. Bellk kpezte az e1  : : :  en egysgek segtsgvel a hiperkomplex szmokat: (x1  : : :  xn  ) ! x1 e1 +    + xn en  ei = (0 : : :  1 0 : : : ): Kt ilyen szmot az egysgek polinomjaiknt szorzott ssze az egysgekre fellltott klnbz szorztblk szerint. Mivel a szorzsi szablyok n 6= 1 2 4 esetn nem feleltek meg a permanencia elvnek Peacock de ncija rtelmben, ezrt a hiperkomplex szmok nem tekinthetk a szmfogalom ltalnostsnak. Viszont bellk ntt ki a hiperkomplex rendszerek elmlete. Trtnetileg megelzi a fentieket a csoport- s szmtestfogalom fokozatos kialakulsa a magasabbfok egyenletek megoldhatsgnak vizsglata kapcsn. Mr Lagrange szrevette, hogy a gykk permutlsnak egyms utni elvgzse (szorzsa) esetn ismt a gykk egy permutcijt kapjuk. St az sszes permutcin bell is tallunk kisebb egyttmarad csoportokat. A permutcicsoportok sok tulajdonsgt felfedezte Cauchy, Abel s Galois a XIX. szzad elejn. Galois alkalmazta ket egy fontos problma, az (algebrai) egyenletek gykkplettel val megoldhatsgnak vizsglatra. A csoport elnevezs is Galoistl szrmazik. Egyikk sem gondolt arra, hogy a permutcikon kvl ms halmazokban is be lehet vezetni hasonl tulajdonsg mveleteket. Ms szval nem jttek r, hogy klnbz rendszereknek lehet kzs algebrai szerkezete (struktrja) s ennek vizsglata sorn nem maguk az elemek, hanem a mveleti tulajdonsgok a fontosak. Az angol algebristk vezettk be az ltalnos mveleti tulajdonsgok megnevezsre a kommutativits, asszociativits, stb. szavakat. Boole mr segtsgkkel vizsglta a halmazok s a logikai tletek algebrjt, ami megmutatta, hogy algebrai vizsglat trgyv lehet tenni minden matematikai objektumot. Ilyen elzmnyek utn szletett meg a csoportnak a permutciktl fggetlen absztrakt fogalma. Ez Cayley rdeme, akinek nevhez fzdik tbbek kztt a Cayley-fle mvelettblzat s a Cayley-ttel, amely szerint minden vges csoport azonos szerkezet (izomorf) a teljes permutcicsoport valamely rszcsoportjval. Galois s Cayley eredmnyeibl kiindulva Dedekindnek volt a legnagyobb szerepe az absztrakt algebra megteremtsben. Pontostotta a csoport de ncijt, kiterjesztve azt kommutatv csoportra is. Kummer algebrai szmai alapjn megalkotta a szmtest, az idel, tovbb a hl fogalmait. 'sszefoglalsul elmondhatjuk, hogy Galois s trsai voltak az absztrakt algebra Kolumbuszai, akik nem voltak tudatban annak, hogy j vilgrszt fedeztek fel. Az els tudatos felfedez (Amerigo) viszont Cayley volt, aki a csoport nevet is Galois tiszteletre tartotta meg. Dedekindet pedig joggal nevezhetjk az j terlet els gyarmatostjnak. A csoportelmlet gyors fejldsnek indult a mlt szzad msodik felben. Kialakult a vgtelen csoport fogalma s a matematika minden gban fedeztek fel jabb s jabb csoportokat. Fontossgukat legjobban Felix Klein s Sophus Lie rtettk meg. Klein erlangeni programjban a csoportelmlet segt-

267

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

sgvel osztlyozta a klnbz geometrikat, Lie pedig bevezette a folytonos transzformci-csoportokat a mechanika di(erencilegyenleteinek ttekintsre. A csoportelmlet klnsen alkalmasnak bizonyult a szimmetria tanulmnyozsra. Segtsgvel oldottk meg az sszes lehetsges trbeli kristlyrcs osztlyozsnak feladatt. Megllaptottk, hogy 230 trbeli szimmetriacsoport van, amelyek a kristlyszerkezetek egybevgsgi transzformciibl llnak. Itt jegyezzk meg, hogy a Rubik-kocka matematikja is a csoportelmleten alapszik. A csoport utn jabb struktrk fogalma alakult ki: szmtest (Dedekind, 1879), hl (Dedekind, 1897,1900), absztrakt test (Steinitz, 1910), gyr (Frankel, 1914). A tovbbi specializlds eredmnyeknt ma kb. 200 struktrafajtt ismernk. Szmtestre az els nem hagyomnyos pldt Kummer konstrulta 1881p ben, megmutatva, hogy az a + b 2 (a b 2 ) alak szmok testet alkotnak. Szintn Kummer vezette be az idel fogalmt a nagy Fermat-ttellel kapcsolatban. A gyrelmletet Emmy Noether (1882,1935) nmet matematikusn dolgozta ki, aki a matematika trtnetnek legnagyobb nalakja volt. A gyrk funkcionlanalizisbeli alkalmazhatsgt Neumann Jnos vette szre. Az absztrakt algebra nll matematikai tudomnygknt val elklnlse 1910-ben trtnt meg a Steinitz-fle izomor aelv kimondsval: Az izomorf algebrai struktrkat azonosoknak tekintjk. Az absztrakt algebra feladata a klnbz (nem izomorf) struktrk felkutatsa, valamint az izomorf invarins tulajdonsgok vizsglata. Az izomor t Steinitz a kvetkezkppen fogalmazta meg: De nci: Kt ketts kompozcij absztrakt rendszert S1 -et s S2 -t izomorfnak, vagy azonos kompozcis tpus nak neveznk, ha elemeik klcsnsen egymsra lekpezhetk gy, hogy az egyik rendszer brmely kt elembl kpzett sszegnek s szorzatnak a msik rendszerben az illet kt elem kpnek sszege s szorzata feleljen meg. (Mai jellsekkel: (S + )  = (S 0  +0  0 ) () 9' : S $ S 0  ahol ' bijektv s m!velettart.) A homomorzmus fogalma annyival ltalnosabb az izomor zmusnl, hogy a ' lekpezsnek nem kell bijektvnek lenni, de ugyangy meg kell riznie az eredeti struktra szerkezett, azaz 8a b 2 S : '(a + b) = '(a) +0 '(b) '(a  b) = '(a) 0 '(b): Az izomor aelv serkentette az egyes struktrk mlyebb vizsglatt, tovbb adott struktrkbl jabbak kpzst a rszstruktra, a faktorstruktra s a direkt szorzat fogalmnak segtsgvel. A direkt szorzattal lehetv vlt adott struktra egyszerbbekre val sztbontsa is. Igyekeztek analgik kimutatsra, pldul a normlis rszcsoportok s a gyrk ideljai kztt. Sor kerlt jabb struktrafajtk bevezetsre (flcsoport, flhl), valamint az absztrakt tr s az algebrai struktra fogalmnak sszekapcsolsra: topologikus csoportalgebra (vektortr s gyr egyestse).

Q

268

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

&jabb absztrakcis lpcsknt az amerikai G. Birkhoff a 40-es vekben bevezette a mvelet s a struktra ltalnos fogalmt: Egy S nemres halmaz S n = S  S      S Descartes-szorzatnak valamely ! lekpezst S -be nvltozs m!velet nek nevezzk S -ben. Klnsen fontosak a ktvltozs (binris) s az egyvltozs (unris) mveletek. Az utbbiak egyszeren a fggvny (lekpezs) szinonmi. Szoks nullvltozs mveletekrl is beszlni, amelyek az res halmaznak (S 0 = ) S -be val lekpezsei. Ez egyszeren egy elem kijellst jelenti S -ben. Algebrai strukt rn a legalbb egy mvelettel elltott S halmazt rtjk, ms szval az (S !1  !2  : : : ) rendszert. A struktrafajtkat a mveletek szma s a mveleti tulajdonsgok szerint klnbztetjk meg. Legfontosabbak az egy, illetve kt ktvltozs mvelettel alkotott struktrafajtk. Ktvltozs mveletek megnevezsre tbbnyire a szorzst () s sszeadst (+) szoks hasznlni. Az elbbi esetben multiplikatv rsmdrl s struktrrl, az utbbiban additv rsmdrl s struktrrl beszlnk. A szorzs s az sszeads itt termszetesen brmilyen mvelet lehet, nemcsak a hagyomnyos. Egy (S ), illetve (S  +) stuktrban az albbi mveleti tulajdonsgokat vezetjk be: T1. Kommutativits: 8x y : x  y = y  x. T2. Asszociativits: 8x y z : (x  y)  z = x  (y  z ): T3. Idempotencia: 8x : x  x = x. T4. Invertlhatsg: 8x y 9!u v : x  u = y v  x = y. T5. Egysgelem ltezse: 91 8x : x  1 = 1  x = x. T6. Inverzelem ltezse: 8x9x;1 : x  x;1 = x;1  x = 1. T7. Zruselem ltezse: 908x : x  0 = 0  x = 0. T8. Zrusosztmentessg: 8x y : x  y = 0 =) x = 0 _ y = 0. T9. Disztributivits (szorzs az sszeadsra).

8x y z : x  (y + z ) = x  y + x  z (y + z )  x = y  x + z  x: T10. Elnyelsi tulajdonsg (szorzs az sszeadsra).

8x y : x  (x + y) = x (x + y)  x = x: Kommutatv mvelet esetn elg a tulajdonsgokat csak egy irnyban megfogalmazni s bizonytani. Additv rsmdban az egysgelem neve additv zrus (nullelem) s jele: 0. Hasonlan, az inverzelem neve additv inverz s jele: ;x. Belthat, hogy brmely struktrban legfeljebb egy egysgelem, valamint brmely asszociatv strukturban minden elemnek legfeljebb egy inverze ltezhet. 269

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Nv Flcsoport Csoport Abel-csoport Flhl

De nci Egymveletesek (S )

T2 T2, T4 () T2,T5,T6 csoport+T1 T1, T2, T3 Ktmveletesek (S + ) Gyr (S +) Abel-csoport (S ) flcsoport, T9 Integritstartomny gyr + (S ): T1,T5,T8 Test (S +) Abel-csoport (S n f0g ) Abel-csoport, T9 Hl (S _) flhl, (+ = _  = ^) (S ^) flhl, T10 klcsnsen Boole-algebra (S _ ^) hl, (_ ^ kompl.) T9 klcsnsen S komplementumos

ZZ Z Z ZQ RC N

ZQ N QN Pldk

(  ), (  +), (  +) (  +), ( n f0g ) (  +), ( n f0g ) (P (H ) \), ( +  lnko) (  + ), mtrixgyr (  + ), polinomgyr (  + ), (  + ), (  + ) (P (H )  \), ( +  lnko lkkt) (P (H )  \ )

9.1. bra. Fontosabb algebrai strukt rk.

Asszociatv mvelet esetn az inverzkpzsre igaz, hogy (x  y);1 = y;1  x;1 . Az egyes struktrk a mveleti tulajdonsgok alapjn klnbztethetk meg (9.1. bra.) Egyszeren szlva a test olyan struktra, ahol a kt mvelet rendelkezik az sszeads s szorzs szoksos tulajdonsgaival. Gyrben mr nem teljesl a szorzs invertlhatsga (nincs oszts). A hlban rvnyesl a dualits elve: a metszet s uni, illetve a 0 s 1 jelt felcserlve, egy azonossgbl ismt azonossgot kapunk. A hl legegyszerbb modellje egy halmaz hatvnyhalmaza, a szoksos unira s metszetre. Az egyes struktrafajtk vizsglata mellett az tvenes vekben kialakult a struktrk ltalnos tulajdonsgaival foglalkoz univerzlis algebra. Feladatai kz tartozik a konkrt struktrkra rvnyes fogalmak s ttelek ltalnostsa tetszleges struktrra (pl. direkt szorzat, rszstruktra, homomor zmus). Msrszt olyan mdszerek s ttelek keresse, amelyek minden struktrra alkalmazhatk, illetve rvnyesek. Az univerzlis algebra kialakulsban jelents szerepk volt s van a magyar kutatknak. Az univerzlis algebrval szoros kapcsolatban ll a kategriaelmlet. Kategrit alkotnak ltalban valamilyen matematikai objektumok, a struk270

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

turlis tulajdonsgaikat megrz lekpezsekkel (mor zmusokkal). Pldul beszlhetnk csoportok s homomor zmusok, illetve a topologikus terek s folytonos lekpezsek alkotta kategrirl. A legjabb kutatsok krbe tartoznak a funktorok. A struktrk kztti mor zmusok megrzik a kategrit alkot objektumok szerkezett. Pldul csoportok homomor zmusa a csoportszerkezetet. A funktorok kt kategria kztt ltestenek hasonl kapcsolatokat. A topologikus terek kategrijbl a csoportok kategrijba irnyul funktor egy topologikus trhez egy csoportot (objektumhoz objektumot), egy homeomor zmushoz csoportizomor zmust rendel (mor zmushoz mor zmust). gy homeomorf terek izomorf csoportokba mennek t.

9.2. Csoportelmlet Ha egy (S ) struktra csoport, akkor szoksos jellse (G ) vagy (G +). A G halmaz jGj szmossgt a csoport rendjnek nevezzk. Vges rend csoportra plda a permutcicsoport, amelynek rszcsoportjaiknt fejezhet ki egy geometriai alakzatot nmagba tviv transzformcik csoportja. Vgtelen csoportot alkot az egsz szmok halmaza az sszeadsra, vagy a 2n (n 2 ) alak szmok halmaza a szorzsra. A kvetkez tblzat a vges rend csoportok szmt mutatja jGj = 15-ig:

Z

Z

G 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 csoport 1 1 1 2 1 2 1 5 2 2 1 5 1 2 1 szma ebbl kommutat v 1 1 1 2 1 1 1 3 2 1 1 2 1 1 1 j

j

9.2. bra. A vges rend" csoportok szma G = 15-ig. j

j

Trtnetileg elszr a permutcicsoport fogalma alakult ki. Egy permutci valamely halmaz nmagra val bijektv lekpezst jelenti, ezrt gyakran gy jelljk, hogy fellre rjuk az elemek alapsorrendjt, alulra pedig a kpeiket. Ha pldul a halmaz f1 2 3g, akkor sszes permutcii:



p1 = 1 1 p4 = 1 2

2 2 2 3

!



3  p2 = 1 3 ! 1 3  p5 = 1 1 3

2 3 2 1

!



3  p3 = 1 2 ! 2 3  p6 = 1 2 3

2 1 2 2

!

3  3 ! 3 : 1

Az alapsorrendtl val eltrst inverzinak, egy permutcit pedig prosnak vagy pratlannak neveznk aszerint, hogy benne az inverzik szma pros vagy pratlan. A p1 , p4 , p5 permutcik prosak, a p2 , p3 , p6 permutcik pedig 271

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

pratlanok. Belthat, hogy a pros s pratlan permutcik szma mindig megegyezik. Permutcik szorzst egyms utni elvgzskkel de niljuk. Erre a szorzsra csoportot alkotnak, amelynek mvelettblja n = 3 esetn a kvetkez:

 p1 p2 p3 p4 p5 p6

p1 p2 p3 p4 p5 p6

p1 p2 p3 p4 p5 p6

p2 p1 p5 p6 p3 p4

p3 p4 p1 p2 p6 p5

p4 p3 p6 p5 p1 p2

p5 p6 p2 p1 p4 p1

p6 p5 p4 p3 p2 p4

A csoport neve n-ed (esetnkben harmad-) fok szimmetrikus csoport, amely nem kommutatv. Jele Sn , rendje n! Neutrlis eleme a p1 identikus lekpezs. Egy G csoport rszcsoport jn olyan H  G halmazt rtnk, ami maga is csoport a G-beli mveletre. Ez teljesl akkor, ha H zrt a szorzsra s az inverzkpzsre, hiszen a mveleti tulajdonsgok teljeslse trivilis. A pros permutcik rszcsoportjt alkotjk Sn -nek, amelyet n-ed fok alternl csoportnak neveznk. Jele An , rendje n!=2. Az f1g s a G rszcsoportokat trivilis rszportoknak nevezzk, a tbbi rszcsoportot pedig valdiaknak. Vges csoportokra rvnyes Lagrange-ttele : rszcsoport rendje osztja a csoport rendjnek. A ttel megfordtsa nem igaz: ha egy szm osztja a csoport rendjnek, nem biztos, hogy van ilyen rend rszcsoport. Prmhatvny szmossgokra igaz viszont az albbi ttel, amit L. Sylow norvg matematikus bizonytott be 1872-ben: Ttel: Ha pr az a legmagasabb hatvny, ami osztja a csoport n rendjnek, akkor ltezik egy pr -ed rend! P rszcsoport. Ezt a csoport p-Sylow rszcsoportjnak nevezzk. Igaz tovbb, hogy ha P1 egy msik p-Sylow rszcsoport, akkor P1 = x;1 Px valamely x 2 G-re. Egy H rszcsoport esetn a

' : H ! x;1 Hx h 7! x;1 hx konjuglsnak nevezett lekpezs izomor zmus, ugyanis

'(h1 )  '(h2 ) = x;1 h1 x  x;1 h2 x = x;1 h1 h2 x = '(h1 h2 ) ; ; ; '(h)];1 = x;1 hx ;1 = (hx);1  x;1 ;1 = x;1  h;1  x = ' h;1 : Ebbl az kvetkezik, hogy brmely kt p-Sylow rszcsoport izomorf.

Lagrange s Sylow ttelei megknnytik rszcsoportok keresst vges csopor-

tokban. Pldul jGj = 12 estn 2, 3, 4, 6 rend valdi rszcsoportok ltezhetnek. Biztosan ltezik negyed s harmad rend rszcsoport. Ha tbb negyed, illetve harmad rend rszcsoport van, akkor azok izomorfok. 272

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Ha G egy N rszcsoportjra N = x;1 Nx minden x 2 G esetn, akkor N -et invarins rszcsoport nak nevezzk. Ez a fogalom megkzelthet a mellkosztly fogalmnak segtsgvel is. Egy H rszcsoport bal oldali mellkosztly nak nevezzk az xH = fxhjh 2 H g halmazt valamely x 2 G esetn. Hasonlan de nilhat a jobb oldali mellkosztly is. Knnyen lthat, hogy jx  H j = jH j = jH  xj, tovbb kt bal oldali (jobb oldali) mellkosztly vagy egybeesik, vagy diszjunkt. Pldul minden x 2 H -ra x  H = H  x = H . Ha x vgigfut G elemein, akkor a mellkosztlyok unija egyenl lesz G-vel. gy a klnbz bal vagy jobb oldali mellkosztlyok G egy osztlyozst adjk. Nem kommutatv G-ben az x  H s H  x bal, illetve jobb oldali mellkosztly nem felttlenl egyenl, de szmossguk igen. Ugyanis egy x  H -beli x  h elem (x  h);1 = h;1  x;1 inverze eleme H  x;1 -nek s viszont. Teht ltesthet egy klcsnsen egyrtelm megfeleltets kzttk. A diszjunkt bal s jobb oldali mellkosztlyok kzs szmossgt a H rszcsoport G-beli index nek nevezzk s G : H ]-val jelljk. Tovbb vges csoport esetn igaz, hogy jGj = jH j  jG : H ]j. A rszcsoportok kztt klnleges szerepet jtszanak azok, amelyek bal s jobb oldali mellkosztlyai megegyeznek, azaz amelyekre x  H = H  x minden x 2 G-re. Ezeket normlis rszcsoport oknak, vagy G normlosztinak nevezzk s N -nel jelljk. Nyilvnval, hogy egy Abel-csoport minden rszcsoportja normlis, tovbb G s f1g mindig normlisak. Pldul Sn -nek An is normlis rszcsoportja. Azokat a csoportokat, amelyeknek nincs valdi normlis rszcsoportjuk, egyszereknek nevezzk. Knny beltni, hogy az invarins s a normlis rszcsoport fogalma egybeesik. Ugyanis

H = x;1 Hx =) xH = xx;1 Hx =) xH = Hx: Megfordtva:

xH = Hx =) x;1 xH = x;1 Hx =) H = x;1 Hx: A rszcsoportok mellkosztlyai ltal alkotott osztlyozsok kzl kitntetett szerepet jtszanak a normlis rszcsoport szerinti osztlyozsok. Ezek ugyanis n. kompatibilis osztlyozsok, ami azt jelenti, hogy kt osztly elemeinek szorzata mindig ugyanabba az osztlyba esik: (a 2 xN ^ b 2 yN ) =) ab 2 zN ahol z = xy: Az llts megfordtsa is igaz: csoport brmely kompatibilis osztlyozsa egy normlis rszcsoport szerinti osztlyozs. Az gy keletkezett osztlyok halmazt G=N jelli. A kompatibilits megfogalmazhat a relcik nyelvn is. A mellkosztlyok ltal ltestett osztlyozs mindig indukl G-n egy R ekvivalenciarelcit a kvetkez de ncival: (a b) 2 R () 9x 2 G : (a 2 xN ^ b 2 xN ): 273

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Teht kt elem akkor s csak akkor legyen relciban, ha ugyanabba az osztlyba tartoznak. Kompatibilis osztlyozs esetn ennl tbb is igaz. Egymssal relciban lv elemek szorzata is relciban marad, vagyis R n. kongruenciarelci: (a b) 2 R ^ (c d) 2 R] =) (ac bd) 2 R: Mivel ez csak ms megfogalmazsa a kompatibilitsnak, gy a kongruenciarelci s a kompatibilis osztlyozs fogalma lnyegben egybeesik. Megjegyezzk, hogy a kongruenciarelci az egsz szmok krben megismert kongruencia fogalmnak ltalnostsa. A normlis rszcsoport fontos szerepet jtszik csoportok homomor zmusaiban. Az izomor zmus minden algebrai tulajdonsgot megriz, ezrt az izomorf algebrai struktrkat nem klnbztetjk meg (izomor a-elv). A homomor zmus is megrzi a lnyegeseket. Pldul egysgelem kpe egysgelem, inverzelem kpe inverzelem. Megrzdnek a mveletek alaptulajdonsgai is. Tekintsk egy G csoport homomor zmust valamely H rszcsoportjra (vagy egy msik kisebb csoportra). Ekkor a G tbb eleme is kpzdhet le H egyetlen elemre. Az egysgelemre lekpezett elemek E halmaza normlis rszcsoportja G-nek. Az elzek szerint ugyanis 1 2 E , tovbb tetszleges e 2 E s x 2 G esetn

'(x;1 ex) = '(x;1 )  '(ex) = '(x)];1  '(e)  '(x) = '(x)];1  '(x) = 1 2 E: teht x;1 Ex = E , ami igazolja lltsunkat. Az E normlis rszcsoportot a ' : G ! H homomor zmus mag jnak nevezzk. Az ltala ltrehozott kompatibilis osztlyozs osztlyai kztt szorzst rtelmezhetnk a kvetkezkppen:

xTyT = x(Ty)T = xyTT = xyT: Ha az osztlyok halmazt G=T jelli, akkor G=T csoportot alkot erre a szorzsra a homomor zmus tulajdonsgai miatt. Az gy kapott (G=T ) csoportot a (G ) csoport faktorcsoport jnak nevezzk. Megfordtva, minden N normlis rszcsoport tekinthet egy ' : G ! G=N homomor zmus magjnak (' neve: termszetes homomor zmus). Teht a normlis rszcsoport, kompatibilis osztlyozs, kongruenciarelci s homomor zmus egymssal szoros kapcsolatban ll fogalmak. Segtsgkkel adott csoportbl jabb csoportokat kpezhetnk a rszcsoportokon kvl, valamint megismerhetjk az illet csoport szerkezett s felptst. Az elmondottak illusztrlsra tekintsnk egy-egy pldt a vgtelen, illetve a vges csoportok krbl:

Z

Az egsz szmok additv csoportja, (  +)

Ez a csoport kommutatv, gy minden rszcsoportja normlis. Additv zrus (egysgelem): 0. Normlis rszcsoport (N4 ): 4 tbbszrsei, vagyis a 4k alak szmok. 274

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A ' S ! S   lekpezs homomorzmus, ha mvelettart, vagyis az albbi diagram kommutatv: : (

)

(

0

0

)

':S !S 0

x y)

(

/

'(x) '(y))

(

mvelet S -ben

mvelet S -ben 0

xy

':S !S 0

'(xy) = '(x)'(y)

'& /

%$

!

"#

A homomor zmus specilis esetei:

' injektv monomor zmus ' sz rjektv epimor zmus ' bijektv izomor zmus

endomor zmus

' : (S ) ! (S 0  0 ) ' : (S ) ! (S )

automor zmus

A   S  S kongruenciarelci S  -on, ha ekvivalenciarelci s az ltala ltrehozott osztlyozs kompatibilis a mvelettel. (

)

ab) ^ (cd)]

) + )

(

(

a b) 2 Si ^ (c d) 2 Sj ]

=

acbd

=

(

ac bd) 2 Sk = Si  Sj

Faktorhalmaz: S= fS  S  : : : g fa  a  : : : g Faktorstrukt ra: S=   ai aj ai aj Termszetes homomor zmus:  S  ! S=i  a 7! a =

(

1

1

=

2

1

2

)   =

: (

)

(

)



9.3. bra. Homomorzmus, kongruenciarelci, kompatibilis osztlyozs, faktorstrukt ra.

Z Z

Kompatibilis osztlyozs ( =N4): a diszjunkt z + N4 (vagy N4 + z ) alak halmazok, ahol z 2 .

N4 + z1 + N4 + z2 = 4k1 + 4k2 + z1 + z2 = = 4k1 + 4k2 + 4k3 + r = = 4k + r = N4 + r 275

www.interkonyv.hu

© Filep László

Z Z

© Typotex Kiadó

ahol r = 0 1 2 3: Teht =N4 4 klnbz osztlybl ll:

Z

=N4 = N4  N4 + 1 N4 + 2 N4 + 3] = = 4k 4k + 1 4k + 2 4k + 3 k 2 ] = = 0 1 2 3]:

Azonos maradkokat ad szmok osztlyai teht ugyanazok. Pldul: 5 = ;3 = 4k + 1 = 1. Kongruenciarelci (R): (a b) 2 R () a 2 N + r ^ b 2 N + r () a = 4k + r ^ b = 4k + r () 4j(a ; b) () a  b(4):

Z

Faktorcsoport ( =N4 +): + 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

Z Z

Termszetes homomor zmus: ' : (  ) ! ( =N4 ) a 7! a: A szablyos hromszg transzformci-csoportja

C t2

f2

t1

f1 A

t3

B

9.4. bra. A szablyos hromszg transzformcicsoportja.

Identits (1)



A B C A B C

!

forgs 23 -mal (f1 )



A B C B C A

!

276

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

forgs 43 -mal (f2 ) tkrzs t2 -re

(t2 )



!



!

A B C C A B A B C C B A

tkrzs t1 -re (t1 ) tkrzs t3 -ra (t3 )



!



!

A B C A C B A B C A B C

A lekpezsek (permutcik) egyms utn val elvgzsre, mint szorzsnak nevezett mveletre a T = f1 f1 f2  t1  t2  t3 g halmaz csoportot alkot, a (T ) csoport mvelettblzata a kvetkez:



f1 f2 t1 1 f1 f2 t1 f1 f1 f2 1 t2 f2 f2 1 f1 t3 t1 t1 t3 t2 1 t2 t2 t1 t3 f1 t3 t3 t2 t1 f2 1 1



!

t2 t2 t3 t1 f2

t3 t3 t1 t2 f1 1 f2 f1 1

!

f2 t1 = A B  A = C

B C B B

C A B C = A A C B ! C =t 2 A

A = C A = B

B B B C

C = A ! C =f : 1 A

;1

f2



!;1

A csoport nem kommutatv. Mvelettblja n. latin ngyzet, amelynek minden sorban s oszlopban minden elem pontosan egyszer fordul el. Lagrange s Sylow ttelbl kvetkezik, hogy vannak kt- s harmadrend valdi rszcsoportjai: f1 t1g, f1 t2g, f1 t3 g  ezek izomorfak- N = f1 f1 f2 g, ami normlis, mivel t;1 1 Nt1 = t1  f1 f1 f2g  t1 = ft1  t3  t2 g  t1 = f1 f2 f1 g = N t;2 1 Nt2 = t2  f1 f1 f2g  t2 = ft2  t1  t3 g  t2 = f1 f2 f1 g = N t;3 1 Nt3 = t3 f1 f1 f2g  t3 = ft3 t2  t1 g  t3 = f1 f2 f1 g = N: A T=N faktorcsoport elemeit, vagyis az N ltal ltestett kompatibilis osztlyozs klnbz osztlyait hasonl mdon kaphatjuk meg: T=N = N t1 N ]. Az 277

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

osztlyozs kompatibilis volta leolvashat a (T ) mvelettblzat blokkjaibl. De nilhat a megfelel kongruenciarelci is. A faktorcsoport mvelettblzata:



N t1 N N N t1 N t1 N t1 N N: A ' termszetes homomor zmus:

g : (T ) ! (T=N ) x 7! x osztlya: Egy G csoport valamely N normlis rszcsoportjnak is lehet normlis rszcsoportja s gy tovbb. Ezek mindegyike tartalmazza a kvetkezt. Az gy kapott lnc elejn G, a vgn f1g ll. Ha ez az n. normllnc vges, akkor rhatjuk, hogy

G = G0 ! G1 !    ! Gn = f1g: A lnc n hosszt a benne szerepl normlis rszcsoportok szma adja. Maximlis normllncrl beszlnk, ha kt szomszdos eleme kz jabb nem iktathat be. Ez ekvivalens azzal, hogy benne minden Gi;1 =Gi faktorcsoport egyszer. Egy csoport ilyen felbontsa analgit mutat egy sszetett szm egyszerbb szmok (prmtnyezk) szorzatra val felbontsval. A felbonts ltezst s egyrtelmsgt fejezi ki a Jordan$Hlder-ttel, amely a szmelmlet alapttelnek csoportelmleti megfelelje: Ttel (JordanHlder): Vges csoportnak van maximlis normllnca. Ha kt (vagy tbb) normllnca van, akkor azok hossza egyenl s a bennk szerepl egyszer! faktorcsoportok pronknt izomorfak. Legyenek a1  a2  : : :  an a G csoport elemei. Ekkor az x1 x2    xm alak szorzatok, ahol minden xj egyenl valamely ai elemmel vagy inverzvel, egy H rszcsoportot alkotnak. H -t az a1  a2  : : :  an elemek ltal generlt rszcsoportnak nevezzk. Jele: H = ha1  : : :  an i. Belthat, hogy H az fa1  : : :  ang = A halmazt tartalmaz legszkebb rszcsoport s egyenl az A-t tartalmaz rszcsoportok metszetvel. Topolgiai analgira H -t az A halmaz lezrtjnak nevezzk. (Lsd a VIII. fejezetet.) Ismeretes, hogy a rszcsoportok algebrai lezrsi rendszert adjk G-nek, ami azt jelenti, hogy G egyenl (lefedhet) az sszes vges rszhalmaza ltal generlt rszcsoportok unijval. A H = hai rszcsoport, vagyis egyetlen elem hatvnyaibl ll rszcsoport neve ciklikus rszcsoport. Ha G vges, akkor valamely m  1 esetn am = 1. A legkisebb ilyen m szmot az a elem rend jnek nevezzk (1 rendje 1). Ha ilyen m kitev nincs, akkor a vgtelen rend. Vgtelen csoportban ltezhetnek vges rend elemek is. A krds meg is fordthat: hny elem generl egy G csoportot? Az egy elem ltal generltat (vges vagy vgtelen) ciklikus csoportnak, vges szm 278

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

elem ltal generltat vgesen generltnak nevezzk. Nyilvnval, hogy minden vges csoport vgesen generlhat. Egy G vges ciklikus csoport G = fa a2 : : :  am;1 am = 1g alak. Belthat, hogy minden ciklikus rszcsoport kommutatv. Vges ciklikus csoport pldul az n-edik komplex egysggykk multiplikatv csoportja. Egy csoportbl jabbak kpzsnek, illetve egyszerbbekre val felbontsnak a rszcsoportok s a homomor zmusok mellett fontos eszkze a direkt szorzat. A (G1  ) s (G2  ) csoportok direkt szorzatn (Descartes-szorzatn) a (G1  G2  ) csoportot rtjk, amelyben a szorzs de ncija (x1  x2 )  (y1  y2 ) = (x1 x2  y1 y2 ) (xi  yi ) 2 G1  G2  i = 1 2: Az (x1  1) alak rendezett prok a G1  G2 csoportnak egy rszcsoportjt adjk, amely izomorf G1 -gyel. Hasonlan: az (1 x2 ) alak rendezett prok G2 vel izomorf rszcsoportjt alkotjk G1  G2 -nek. Teht G1 s G2 tekinthet a G1  G2 rszcsoportjnak, amelyek segtsgvel G1  G2 elemei generlhatk: (x1  1)  (1 x2 ) = (x1  x2 ) 2 G1  G2 : A direkt szorzat fogalma termszetes mdon terjeszthet ki n tnyezre. A direkt szorzat megrzi a tnyezk algebrai tulajdonsgait, pldul a szorzs kommutativitst, az egyszersget, a ciklikussgot, stb. Flvethet az a krds, hogy milyen rszcsoportok direkt szorzatra bonthat fel egy adott csoport. Pldul a G = G1  G2 - G1  G2  G gy rtend, hogy (x1  1)  (x2  1) = (x1 x2  1) = (x 1) 8x1 2 G1  8x2 2 G2  8x 2 G: Az Abel-csoportok alapttele szerint minden vgesen generlhat G = hg1  : : :  gn i Abel-csoport ciklikus csoportok direkt szorzatra bonthat, azaz G = C1  C2      Cm  Ci = hci i m  n: Ez a felbonts ltalban nem egyrtelm, de ha a Ci ciklikus csoportok vagy prmhatvny- vagy vgtelen rendek, akkor igen (sorrendtl s izomor zmustl eltekintve). Vges Abel-csoportok egyrtelmen felbonthatk prmhatvnyrend ciklikus csoportok szorzatra, gy esetkben az alapttel a szmelmlet alapttelnek analogonja. A Jordan-Hlder ttel azt mutatja, hogy az egyszer csoportok a csoportok ptkvei. Az sszes egyszer csoport megtallsa gy nagyon fontos problmja a csoportelmletnek. Ez sokig csak a vges s bizonyos tpus vgtelen csoportok esetben sikerlt. 1906-bl szrmazik W. Burnside angol matematikusnak az a hres sejtse, hogy a prmrend ciklikusokon kvl minden vges egyszer csoport pros rend. Ezt a sejtst csak 1963-ban igazolta kt amerikai matematikus, W. Feit s J. Thompson. A 250 oldalas bizonytsnak azonban mg a vzlatos ismertetsre sem vllalkozhatunk. 279

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A Burnside-sejts bebizonytsa utn jabb s jabb egyszer csoportokat talltak az n. csaldok mellett, egyre jobban alkalmazva a szmtgpeket is. #rdekes, hogy a legtbb gondot okoz 246 320 5976 112133 17  19  23  29  31  41  47  59  71 rend ris csoportot szmtgp nlkl sikerlt megkonstrulnia R. Griessnek 1982-ben, mint a 196 883 dimenzis tr forgatsainak egy csoportjt. A vges egyszer csoportok teljes listjnak elksztse vekig tartott egy kutatsi program keretben, amelyet D. Gorenstein vezetett. Az elkszlt teljes bizonyts 10 000 nyomtatott oldalt tesz ki, s tbb szz matematikus munkjnak termke. A vges egyszer csoportok vges, a vgtelenek pedig vgtelen, st folytonos transzformci-csoportokkal hozhatk kapcsolatba. A szablyos hromszget, ngyzetet, kockt stb. nmagba tviv transzformcik (szimmetrik) szma vges, de kr, gmb, stb. esetn ez nincs gy. A krt pldul kzppontja krli brmilyen szg elforgats nmagba viszi t. A kr transzformcicsoportja kontinuum szmossg. Egy ilyen folytonos csoport bonyolultsgt a dimenzinak nevezett paramterrel lehet mrni. A kr transzformci-csoportja 1-dimenzis: a forgats szge meghatrozza. A gmb 3-dimenzis: a forgstengelyt megad hosszsgi s szlessgi fok, valamint a forgats szge. Ezeket a folytonos csoportokat Lie vezette be, ezrt Lie-csoportok nven ismertek. Szerepk hasonl a di(erencilegyenletek elmletben a Galois-csoportokhoz az egyenletek elmletben. Szerkezetk szabja meg, hogy melyek oldhatk meg integrlssal. Az egyszer Lie-csoportokat mr Lie-nek sikerlt osztlyoznia. Ngy csaldjukat fedezte fel, amelyeket az n-dimenzis tr lineris transzformcii segtsgvel hatrozott meg. Ezek vges analogonjai adtk a vges egyszer csoportok csaldjt. Ma mr tbb matematikus kitart egyttmkdse rvn az sszes egyszer csoport ismert. Sokan ezt tartjk a XX. szzad legfontosabb algebrai eredmnynek. A Lie-csoportokbl fejldtt ki a folytonos csoport fogalma, amely rtelmezhet metrikus, illetve topologikus trben. Az utbbi esetben topologikus csoport a neve. Mindkt esetben a csoport elemeit, mint absztrakt tr pontjait fogjuk fel. Egy G halmaz topologikus csoport, ha 1. G csoport, 2. G topologikus tr, 3. a G-beli szorzs s inverzkpzs, mint lekpezs folytonos. A 3. felttel rszletezve a kvetkezket jelenti. Ha U , V , W az x, y, xy pontok krnyezetei (az ket tartalmaz nylt halmazok), akkor (xn 2 U ^ yn 2 V ) =) xn yn 2 W x 2 U =) x;1 2 U: 280

www.interkonyv.hu

© Filep László

R

R

© Typotex Kiadó

Pldul az (  +) csoport topologikus csoport az topologikus trben, ahol a nylt halmazok a nyitott intervallumok s ezek egyestsei. Az f (x y) = x + y ktvltozs vals fggvny ugyanis folytonos. Hasonlan az a g(y) = ;y fggvny is. Egy msik pldn azt mutatjuk meg, hogy egy halmazon csoport s topologikus struktra egyarnt ltezhet, mgsem kapunk topologikus csoportot, mert a kt struktrt nem kti ssze a folytonossg. Legyen adva a H = fa b cg halmazon az albbi mvelettblval illetve a , fag, fbg, fa bg, H nylt halmazokkal adott csoport, illetve topologikus tr

 a b c a a b c b b c a c c a b Az inverzkpzst megad g lekpezs: g(a) = a g(b) = c g(c) = b: Ez azonban nem folytonos, mert g(b) = c esetn egy nylt halmaz (fbg) kpe nem nylt halmaz (fcg). A tbbrtk logikbl kintt fuzzy matematika behatolt a csoportelmlet terletre is. 1971-ben A. Rosenfeld de nilta egy csoport fuzzy rszcsoport jnak fogalmt. A mveletekre val zrtsg fogalmt azzal helyettestette, hogy a mveletek elvgzse utn a fuzzy halmazhoz val tartozs tagsgi rtkei ne cskkenjenek. Pontosabban fogalmazva: De nci: Legyen G csoport s H a G halmaz fuzzy rszhalmaza, amit a

h : G ! 0 1] lekpezs hatroz meg. H fuzzy rszcsoportja G-nek, ha 1. h(xy)  min(h(x) h(y)) 8x y 2 G 2. h(x;1 )  h(x) 8x 2 G. Egy kznsges s fuzzy rszcsoport kapcsolata az n. -szeletek segtsgvel vizsglhat. A fuzzy rszcsoport fogalma azta ktirny ltalnostson ment keresztl: 1. A 0 1] intervallum helyettestse ms, teljesen vagy rszben rendezett halmazzal. 2. A min mvelet helyettestse ms hasonl tulajdonsg mvelettel.

9.3. Gyr- s testelmlet A gyrk s a testek egyik, illetve mindkt mveletkre nzve csoportok is, teht csoportstruktrt hordoznak. Vizsglatuk a csoportokbl indult ki: az ottani 281

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

fogalmakat, tteleket igyekeztek ltalnostani rjuk. Egy (O + ) gyrben az sszeads 0-val jellt neutrlis eleme (additv zrus) a szorzs zruseleme. Mivel egy testben ezen kvl a szorzsnak van egysgeleme (1), ezrt egy test legalbb kt elembl ll. A test specilis esete a gyrnek, azon bell az integritstartomnynak. A gyrben hrom mvelet van rtelmezve: az sszeads s inverze a kivons, valamint a szorzs. A testben ezeken kvl rtelmezve van a szorzs inverze (oszts) a zrustl klnbz elemekre. Az egsz szmok halmaza gyrt (integritstartomnyt), a racionlis szmok halmaza pedig testet alkot az sszeadsra s szorzsra nzve. Egy gyr (test) rszgy!r! jn (rsztest n) olyan rszhalmazt rtnk, amely maga is gyr (test) az adott mveletekre. Egy rszgyr egyttal normlis rszcsoportja is az additv Abel-csoportnak. Gyrk (testek) homomor zmusnl a mvelettartst mindkt mveletre megkveteljk. Hasonlan jrunk el a kompatibilis osztlyozs de nilsakor. A rszgyrk kztt kitntetett szerepk van azoknak az I rszgyrknek, amelyek zrtak az O gyr minden elemvel val szorzsra, azaz y 2 I x 2 O =) xy 2 I yx 2 I: Ezek a gyr n. ideljai. Ez a fogalom az oszthatsg elmletnek a gyrkre val kiterjesztse sorn szletett meg, abbl a clbl, hogy segtsgvel a nagy Fermat-ttel bizonythat legyen. Ismert, hogy az a s b egsz szmok (a b) = d legnagyobb kzs osztja felrhat ax + bd = d x y 2 alakban. Tekintsk most az sszes ax + by alak szmok I halmazt. Megmutatjuk, hogy (I + ) idelja a (  + ) gyrnek. A mveleti tulajdonsgok rvnyessgt nem kell igazolni, hiszen azok brmely rszhalmazn igazak, ha -ben igazak. Elg a kt mveletre val zrtsgot megmutatni, a szorzsnl a fent emltett ersebb rtelemben: ax1 + by1 + ax2 + by2 = a(x1 + x2 ) + b(y1 + y2 ) 2 I zd = z (ax + by) = axz + byz 2 I 8z 2 : Az I idel elemeit teht d tbbszrsei adjk, ha x, y vgigfut a halmazon. Ilyen rtelemben I egy idelis szm, amely helyettesti d-t az ax + by alak szmok halmazval. ltalban az a1  : : :  an egsz szmokbl kpzett a1 x1 + a2 x2 +    + an xn (xi 2 ) szmok halmazt az a1  : : :  an szmok ltal generlt idelnak nevezzk. Jele: ha1  : : :  an i. Az egyetlen a szm ltal generlt idelt, amely a tbbszrseibl ll, fidel nak nevezzk. Ha a gyr nem-kommutatv, akkor kln kell a bal-, illetve jobbidelt de nilni. Az idelok hasonl szerepet tltenek be a gyrkben, mint a normlis rszcsoportok a csoportokban. Egy idel a gyr kompatibilis osztlyozst hozza ltre, s megfordtva: minden kompatibilis osztlyozs egy idel szerinti mellkosztlyra bonts. Az osztlyok ismt gyrt alkotnak az osztlyok reprezentnsai ltal rtelmezett sszeadsra s szorzsra. Az gy kapott

Z

Z

Z

Z Z Z Z

282

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

gyrt az eredeti faktorgy!r! jnek nevezzk. Jele: O=I . Ha ' az O gyr homomorf lekpezse az S gyrre (S lehet O rszgyrje), akkor O azon elemei, amelyek kpe S zruseleme, egy I idelt alkotnak. Az I idelt a ' homomor zmus magjnak nevezzk. Megfordtva: az O gyr minden I idelja magja a ' : O ! O=I termszetes homomor zmusnak. Pldul tekintsk a (  + ) gyr esetn az I4 = h4i fidelt. Az ltala ltrehozott kompatibilis osztlyozs a 4k + z alak elemekbl ll, amelyek ngy osztlyt alkotnak:

Z

Z

4k 4k + 1 4k + 2 4k + 3:

A =I4 faktorgyr elemei teht a 4k = 0 4k + 1 = 1 4k + 2 = 2 4k + 3 = 3

Z Z ZZ

maradkosztlyok. A ' : (  + ) ! ( =I4 + ) termszetes homomor zmus magja a h4i fidel. Meg gyelhetjk, hogy a zrusosztmentessg nem homomorf invarins tulajdonsg: a gyr zrusosztmentes, de a =I4 gyr nem. Ugyanis: 2  2 = 0 s 2 6= 0. A ( =Ik + ) faktorgyr specilisan test, ha k prmszm. A =In faktorgyr mvelettblzatai:

Z

Z

+ 0 1 2 3

Z

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

Q

3 3 0 1 2

Z

 0 1 2 3

0 1 2 3

0 0 0 0

0 1 2 3

0 2 0 2

0 3 2 1

A (  + ) gyr integritstartomny, vagyis kommutatv, egysgelemes, zrusosztmentes gyr. A (  + ) test is integritstartomny, amelynek (  + ) rszgyrje. Minden ms integritstartomnyra is igaz, hogy valamely test rszgyrje. Az illet testet ekkor a gyr hnyadostestnek nevezzk. Az egsz szmok gyrjnek hnyadosteste a racionlis szmok teste, amelynek elemeit a kvetkezkppen kapjuk. Tekintsk az (a b) szmprokat, ahol a b 2 s b 6= 0. Tovbb:

Z

(a b) = (a0  b0 ) () ab0 = a0 b: Az gy de nilt egyenlsg ekvivalenciarelci az (a b) szmprok halmazn. Jellje (a b) osztlyt a=b, amit trtnek neveznk. A rajtuk rtelmezett sszeadsra s szorzsra a trtek halmaza testet alkot, a racionlis szmok testt. A szmelmleti alapfogalmak (oszthatsg, lnko, prmszm, stb.) tetszleges K integritstartomnyban de nilhatk. Azokat az integritstartomnyokat, amelyekben rvnyes a szmelmlet alapttelnek megfelel egyrtelm irreducibilis faktorizci ttele, Gauss-fle vagy faktorizlhat gy!r!k nek nevezzk. Gauss bebizonytotta, hogy ha K faktorizlhat, akkor a K x] polinomgyr is az. K x] elemei az an xn +    a1 x + a0 alak polinomok, ahol x hatrozatlan, 283

www.interkonyv.hu

© Filep László

Z

© Typotex Kiadó

az ai egytthatk pedig K elemei. Magt K x]-et a K gyr fltti polinomgyrnek nevezzk. Specilisan: az egsz egytthats polinomok x] gyrje is faktorizlhat. Faktorizlhat gyrkben mindig ltezik a lnko s a lkkt is. Egy K integritstartomnyban megadhat egy, az abszolt rtknek megfelel norma, vagyis egy ' : K ! +0 , k 7! '(k) lekpezs, ahol '(0) = 0 c'(k) = '(ck) '(k + m)  '(k) + '(m): Ha K -ban ezen kvl mg rvnyes a maradkos oszts ttele, azaz 8a b 2 K (b 6= 0) 9q r 2 K : a = bq + r '(r) < '(b) akkor K -t euklidszi gy!r!nek nevezzk. Ilyen az egsz szmok gyrje s egy T test feletti T x] polinomgyr. Minden euklidszi gyr faktorizlhat, de ez fordtva nem igaz. A bvtsek elmlete fontos szerepet jtszik a magasabbfok p egyenletek gykkplettel val megoldhatsgnak vizsglatban. Az a + b 2 (a b 2 p ) p alak szmok teste a racionlis szmok testnek 2-vel val bvtsvel ( 2 adjunglsval) keletkezett. A komplex szmok teste pedig a vals szmok p testnek ;1 = i-vel val bvtsnek foghat fel. Ez a bvts gykkplettel megoldhatv tesz minden vals egytthats algebrai egyenletet, kztk az x2 + 1 = 0 egyenletet is. Gykkpleten az egyenlet egytthatibl ll olyan kifejezst rtnk, amelyben az alapmveleteken kvl a hatvnyozs s a gykvons van megengedve, s amelyek megadjk az egyenlet gykeit. Ilyen kifejezs ltezse esetn az egyenletet radiklokkal megoldhatnak nevezzk. Ilyen kifejezs pontosan akkor ltezik, ha az egytthatkat tartalmaz szmtest az egytthatk vges szm gykkifejezsvel (radikljval) gy bvthet, hogy a bvtett test mr tartalmazza az egyenlet gykeit. Ha az egyenlet egytthati racionlis szmok, akkor bellk a testbeli mveletekkel (pl. oszts, hatvnyozs) kpzett racionlis kifejezsek is azok, gykk azonban ltalban nem. Egy megolds (gyk) megadsa gykkplettel azt jelenti, hogy az illet megolds benne vanpa racionlis szmok p megfelel gykkkel bvtett testben. ha x = 1+ 3 2, akkor az a + b 3 2 p3 Pldul, p3 bvts nem lesz test, de az a + b 2 + c 4 bvts mr igen. Megmutathat, hogy a kvnt bvtshez mindig el lehet jutni egy adott irracionlis szm hatvnyainak sorozatos adjunglsval. A gyakorlatban ennek a megoldsi testnek a megtallsa nehz. Galois nagy felfedezse az volt, hogy a krdst vissza lehet vezetni az egyenlet n. Galois-csoportjnak vizsglatra, ami vges. A Galois-csoport konstrulsnak vzlatos menete a kvetkez. Egy egyenlethez mindig hozzrendelhet egy T test, amelyhez az egyenlet egytthati tartoznak. p Ha az x6 + a = 0 egyenletnl ez a test , akkor a nem lehet pldul 2. Az els krds: megoldsi test-e T , vagyis az egyenlet gykei benne vannak-e T -ben? Ha az egyenlet pldul x2 ; 2 = 0 s T = , akkor nem megoldsi test, mert racionlis gykei csak 1 s 2 lehetnnek, p de nem azok. Vlasszuk p most az x2 ; 2 = 0 egyenlethez a T = fa + b 2ja b 2 g testet, amely -nak 2 adjunglsval val bvtse. Ez a test mr megoldsi test.

R

Z

284

Q

www.interkonyv.hu

Q

Q

Q Q Q

© Filep László

R

C

C

R

R

© Typotex Kiadó

p

Hasonlan, ha az x2 + 1 = 0 egyenlethez T = -et, illetve T = fa + b ;1ja b 2 g-et, azaz a komplex szmok testt vlasztjuk, akkor nem megoldsi test, de bvtse ( ) az. Megoldsi test minden egyenlethez ltezik az algebra alapttele szerint. E testben az egyenlet felrhat gyktnyezs alakban, ezrt felbontsi testnek is nevezik. Tekintsk most az ltalnos, valamint egy konkrt harmadfok egyenletet valamely T testbeli egytthatkkal. rjuk fel rjuk a gykk s egytthatk kzti sszefggseket: x3 + ax2 + bx + c = 0 x3 + 3x ; 1 = 0 x1 + x2 + x3 = ;a x1 + x2 + x3 = 0 x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = b x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = 3 x1 x2 x3 = c x1 x2 x3 = 1: Fenti sszefggseket a gykk elemi szimmetrikus fggvnyeinek nevezzk. Formjuk mellett rtkk is vltozatlan marad a gykk brmely permutcijval szemben. #rtkeik nyilvnvalan T -beliek. Kpezhetk a gykknek az elemieknl bonyolultabb racionlis szimmetrikus fggvnyei, rviden racionlis kifejezsei. Bennk a ngy alapmvelet, a hatvnyozs s T -beli egytthatk szerepelhetnek. #rtkk mr nem felttlenl marad vltozatlan a gykk minden permutcijnl. A Galois-elmlet fttele szerint viszont mindig kifejezhetk elemi szimmetrikus fggvnyek segtsgvel, gy rtkk mindig T -ben marad, br numerikusan vltozhat a gykk permutlsakor. Pldk: 1. A fenti harmadfok egyenletekre A = (x1 ; x2 )2 (x1 ; x3 )2 (x2 ; x3 )2 A = ;4b3 ; 27c2 A = 81 3 3 3 3 B = 4x1 x2 x3 ; x32x1+x2x2;+3xx22x3 ; 3x3 x1 B = ;a42c ;;2b3b B = 13 6: 1 2 3 2. Az ltalnos msodfok egyenletre x2 + ax + b = 0 x1 + x2 = ;a x1 x2 = b x21 + x22 = (x1 + x2 )2 ; 2x1 x2 = b2 ; 2c x31 + x32 = (x1 + x2 )3 ; 3x1 x2 (x1 + x2 ) = ;a3 + 3ab : 3x21 x22 3b2 3b2 A Galois-csoport ot a gykk azon permutcii adjk, amelyek a gykk minden racionlis rtk racionlis kifejezst vltozatlanul hagyjk. Mondhatjuk, hogy a benne lev permutcik szempontjbl a gykk megklnbztethetetlenek. A Galois-csoport vagy maga Sn (ahol n az egyenlet fokszma), vagy annak egy rszcsoportja. Az x4 ; 2 = 0 egyenlet ngy gyke p x1 = 4 2 x2 = ix1  x3 = ;x1  x4 = ;ix1 : 285

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Az x1 x3 + x2 x4 racionlis p kifejezs rtke 0. Ezt az (x2  x1  x3  x4 ) permutci megvltoztatja (;2i 2) mg az (x2  x1  x4  x3 ) nem. Megmutathat, hogy ez utbbi permutci nem vltoztatja meg egyetlen racionlis kifejezs rtkt sem s hogy 8 ilyen permutci van. Ezek alkotjk az egyenlet Galois-csoportjt. Az x3 + 3x ; 1 = 0 egyenletet s az (x1 ; x2 )(x1 ; x3 )(x2 ; x3 ) = 9 kifejezst tekintve a kvetkezket kapjuk. A p2 = (1 3 2) permutci megvltoztatja a kifejezs eljelt, azaz rtkt. A Galois-csoport teht nem lehet S3 . Rszcsoportjai csak az A3 alternl csoport s a p1 identikus lekpezs. A Rolle-ttel szerint az egyenletnek nem lehet racionlis gyke, ezrt p1 nem lehet Galois-csoport. Marad teht az A3 lehetsg. ltalnos alak egyenletre igaz a fttel megfordtsa is: Ttel: Ha a gykk T -beli egytthatkkal kpzett racionlis kifejezsnek rtke T -beli szm, akkor ez vltozatlan marad a Galois-csoport minden permutcijval szemben. Egy egyenlet gykkplettel akkor s csakis akkor oldhat meg, ha Galoiscsoportjnak maximlis normllnca olyan, hogy benne minden Gi;1 =Gi faktorcsoport prmrend. A jGi;1 =Gi j szmokat kompozcis indexeknek, magt a csoportot pedig feloldhatnak nevezzk, ha mindegyikk prm. A gykkplettel val megoldhatsg kritriuma teht rviden a Galois-csoport feloldhatsga. Galois megmutatta, hogy ha n > 4, akkor ltalnos egyenletre a maximlis normllnc elemei: Sn , An , p1 - a kompozcis indexek pedig 2 s s!=2. Mivel ez utbbi nem prm, ha n > 4, ezrt a ngynl magasabbfok ltalnos algebrai egyenletre nem adhat megoldkplet. A Galois-elmlet keretben teht eljutottunk a Ru3ni,Abel-ttelhez. Ha n = 2 3 4 5 6 7, akkor a kompozcis indexek rendre a kvetkezk: 2- 2, 3- 2, 3, 2, 2- 2, 60- 2, 360- 2, 2520. Egyes algebrai struktrk tarthalmaza lehet egyttal rendezett halmaz is. Ha a rendezs mvelettart, akkor rendezett algebrai struktrrl beszlnk. Adjuk meg ezt a fogalmat pontosabban rendezett test esetre. De nci: Egy (T + ) testet rendezett testnek neveznk, ha T -n rtelmezve van egy  rendezsi relci, amelyre teljeslnek a kvetkezk: 1. (T ) teljesen rendezett halmaz 2. (a  b ^ c  d) =) a + c  b + d 3. (a  b ^ c  0) =) ac  bc. (Az utbbi kt tulajdonsgot izotonitsnak is nevezik.) Egy rendezett testben az abszolt rtk a szoksos mdon de nilhat: ( a0 jaj = ;aa ha ha a < 0: A de ncibl knnyen levezethetk az abszolt rtk tulajdonsgai: 1. jaj > 0, ha a 6= 0 s j0j = 0, 2. ja + bj  jaj + jbj, 3. jabj = jaj  jbj. 286

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Q

R

Rendezett testben rtelmezhet a pozitv elemek P rszhalmaza, amelynek

p elemeire p > 0 teljesl.

Rendezett test a racionlis szmok s a vals szmok teste. Az analzis szabatos megalapozsnak szempontjbl alapvet fontossg a vals szmok fogalmnak tisztzsa a racionlis szmokbl kiindulva. Ennek egyik eszkze a racionlis szmokbl ll Dedekind-szelet, amivel az Analzis fejezetben foglalkozunk rszletesen. Egy msik mdszer is lehetsges: a racionlis szmok rendezett testbl kiindulva, felhasznlva az abszolt rtk fogalmt, tisztn algebrai ton eljutni a vals szmtesthez. Valamely racionlis szmokbl ll an sorozatot Cauchy-tulajdonsg nak, vagy rviden Cauchy-sorozatnak neveznk, ha minden pozitv "-ra ltezik olyan N kszbindex, hogy ha n m > N , akkor jan ; am j < ". Ezt Cauchy azrt vezette be, mert tudta, hogy egy sorozat konvergens voltt a de nci alapjn ltalban nem lehet igazolni, mert az eleve felttelezi a hatrrtk ismerett. Ezrt adta meg a konvergencinak ezt a msik, bels felttelt. Vals szmok krben a Cauchy-tulajdonsg s a konvergencia ekvivalensek. Ezt fejezi ki a jl ismert Cauchy-fle konvergencia kritrium: egy an vals sorozat akkor s csakis akkor konvergens, ha Cauchy-tulajdonsg. A konvergencibl p-ban is kvetkezik a Cauchy-tulajdonsg, de ez fordtva nem igaz. Pldul egy 2-hz tart racionlis szmokbl ll sorozat Cauchytulajdonsg, de ( -ban) nem konvergens. A hatrrtk ugyanis nem eleme -nak. Ezt a klnbsget gy fejezzk ki, hogy nem teljes, viszont teljes test (9.5. bra).

Q

Q

Q

Konvergencia

lim a = A : n!1 n 8" > 0 9N : jan ; Aj < " ha n > N:

Q R

=-ban )

-ben ()

Q

R

Cauchy-tulajdonsg

8" > 0 9N : jan ; am j < "

ha n m > N:

9.5. bra. A Cauchy-fle konvergencia kritrium.

A racionlis szmtest teljess tehet a Cauchy-sorozatok segtsgvel. Halmazuk a sorozatok sszeadsra s szorzsra gyrt alkot, amely gyrnek a nullhoz tart sorozatai (nullsorozatok) egy ideljt alkotjk. Ezen idel segtsgvel kpezett faktorgyr ppen a vals szmok teste, amit teljes burknak nevezzk. A vals szmok konstrulsra azokat a Cauchy-sorozatokat hasznljk, amelyeket a vals szmok vgtelen tizedestrt alakjai fejeznek ki. A most ismertetett gondolatok s a p-adikus szmok K. Hensel ltali bevezetse inspirltk Krschk Jzsefet, hogy 1913-ban megteremtse az rtkelselmlet et. Ez az elmlet napjainkban renesznszt li s joggal nevezhet a legjelentsebb magyar algebrai felfedezsnek. A testek ltalban nem elrendezhetk, pldul a komplex szmok teste sem az. Teht nem vezethet be bennk az abszolt rtk szoksos fogalma, gy nem trgyalhatk bennk a fenti problmk sem.

Q

287

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Krschk az abszolt rtk fogalmnak ltalnostsaknt bevezette egy test rtkelsnek fogalmt. Ez egy olyan ' lekpezs, amely az adott T testbl egy rendezett V testbe irnyul s rendelkezik az abszolt rtk szoksos tulajdonsgaival. Pontosabban fogalmazva: De nci: Egy ' : T ! V a 7! '(a) lekpezst a T test rtkelsnek neveznk, ha teljeslnek r a kvetkezk: 1. '(a) > 0, ha a 6= 0 s '(0) = 0,

2. '(a + b)  '(a) + '(b), 3. '(ab) = '(a)'(b). Ekkor T -t rtkelt testnek nevezzk. #rtkelt testekben mr de nilhat lesz egy sorozat konvergencija s Cauchy-tulajdonsga. Konvergencia:

lim a = A : n!1 n

8" > 0 9N : '(an ; A) < " ha n > N:

Cauchy-tulajdonsg:

8" > 0 9N : '(an ; am ) < " ha n m > N:

Q

Ha T nem teljes, akkor teljess tehet az elzekben lert mdon, azaz megkonstrulhat T teljes burka. T = V = esetn az rtkelsnek kt fontos tpusa van: 1. Az abszolt rtkkel val rtkels, amit mr ismertettnk. Ekkor teljes burka lett. 2. p-adikus rtkels. Ha p egy rgztett prmszm, akkor minden r racionlis szm egyrtelmen felrhat

R

 r=m np

Q

Q

alakban, ahol (m n) = (m p) = (n p) = 1. A '(r) =  szmot az r racionlis szm p-adikus rtkelsnek nevezzk. Ekkor teljes burka a p-adikus szmok Qp teste lesz. Ezek a szmok

a0 + a1 p + a2 p2 +    + an pn +    alakban rhatk, ahol a0  a1  : : :  an  : : : p-nl kisebb nem negatv egszek. Felismerhet, hogy a p-adikus szm egy p alap szmrendszerben helyirtkesen felrt szm ltalnostsa. Az elbbi kt rtkelstpus Krschk Jzsef nevhez fzdik. trgyalta elszr az rtkelst axiomatikusan is. Ksbb az rtkels fogalmt ms struktrkra s terekre is ltalnostottk. Ilyen ltalnosts pldul a norma fogalma Banach-terekben. (Lsd az Analzis fejezetet.) 288

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A test, a gyr s a vektortr tulajdonsgait egyesti az algebrnak (hiperkomplex rendszernek) nevezett struktra fogalma, ami az absztrakt algebrt a geometrihoz s az analzishez kapcsolja. De nci: Egy T test feletti algebrn olyan A strukt rt rtnk, amelyre teljeslnek a kvetkezk: 1. A-ban rtelmezett az sszeads s szorzs, amelyre nzve A gy!r!t alkot. 2. Az sszeadsra s a T -beli skalrral val szorzsra A vektorteret alkot, azaz (A +) Abel-csoport, tovbb 8t1  t2 2 T , 8a b 2 A: (t1 + t2 )a (t1 t2 )a t1 (a + b) 1a

t1 a + t2 a t1 (t2 a) t1 a + t1 b a

= = = =

3. 8t 2 T , 8a b 2 A: t(ab) = (ta)b = a(tb).

Mivel T test feletti vektortren olyan (A +) kommutatv csoportot rtnk, amelyre teljesl 2. is, ezrt az algebra olyan vektortrnek is felfoghat, melyen mg egy 3. tulajdonsggal rendelkez asszociatv szorzsmvelet is rtelmezett. Legyen T a vals szmok teste, A pedig a vals szmokbl kpzett rendezett szm n-esek (n-dimenzis vektorok) halmaza. Ekkor az albbi sszeadsra s skalrral val szorzsra A vektorteret alkot felett:

R

R

(a1  : : :  an ) + (b1  : : :  bn ) = (a1 + b1  : : :  an + bn ) (a1  : : :  an ) = ( a1  : : :  an ) Az A vektortrnek bzist alkotjk az e1  : : :  en vektorok, ahol ^i

ei = (0 : : :  0 1  0 : : :  0) (i = 1 : : :  n): Az A halmaz elemei felrhatk a = a1 e1 +    + an en alakban. #rtelmezhet a vektortr a s b elemeinek a + b (   2 ) lineris kombincija, valamint szorzata is:

R

ab = (a1 e1 +    + an en)(b1 e1 +    + bnen ) =

X ij

ai bj (ei ej )

ahol (ei ej ) a bziselemek valamely lineris kombincijt jelli. Ez a szorzs akkor s csak akkor asszociatv (A akkor gyr), ha a bziselemek szorzsa is az. Kt, illetve ngy dimenziban (kvaterniknl) ez teljesl, hrom dimenziban (trvektoroknl) azonban nem. Az utbbi esetben nem-asszociatv algebrkrl szoks beszlni. A vektortr dimenzijt az algebra rangjnak nevezzk. Ha az algebra nemcsak gyr, hanem test vagy ferdetest (a szorzs esetleg nem kommutatv, de 289

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

R

invertlhat), akkor neve divizialgebra (divisio = oszts). A komplex szmok halmaza 2 rang (kommutatv) divizialgebra a vals szmtest fltt. A kvaternik pedig 4 rang (nem kommutatv) divizialgebrt alkotnak felett. A szmfogalom tovbbi ltalnostsnak lehetetlensgt mutatja Frobenius albbi ttele: Ttel: Ha A a vals szmtest feletti divizialgebra, akkor A vagy a vals szmtesttel (rangja 1), vagy a komplex szmtesttel, vagy a nem kommutatv kvaternitesttel izomorf.

9.4. Hlelmlet A hl fogalmban sszekapcsoldik az algebrai s a relcis struktra fogalma. Valamely L hl egyrszt ktmveletes algebrai struktra, msrszt specilis rendezett halmaz. Hlk esetben ezrt egyarnt hasznlatos az (L _ ^), illetve (L ) jells, s beszlhetnk mveletekkel, illetve rendezssel megadott hlrl. Az (L _ ^) hlban bevezethet egy  rendezsi relci az

x  y () (x ^ y = y vagy x ^ y = x) elrssal gy, hogy L-ben brmely kt elemnek van in numa s szuprmuma: inf(x y) = x ^ y, sup(x y) = x _ y. Msrszt egy (L ) rendezett halmaz hl, ha brmely kt elemnek van inmuma (legnagyobb als korltja), illetve szuprmuma (legkisebb fels korltja). Ezek segtsgvel bevezethet L-ben az uni s metszet mvelete az

x _ y = sup(x y) x ^ y = inf(x y)

QR

de ncikkal. A hl de nciibl kvetkezik, hogy egy teljesen rendezett (L ) halmaz (lnc) mindig hlt alkot. Pldul hlk a s halmazok a szoksos rendezsre. Az is igaz, hogy egy hlban brmely vges rszhalmaznak van in muma s szuprmuma. Ha ez minden rszhalmaz esetn teljesl, akkor a hlt teljesnek nevezzk. Az (  ) hl nem teljes, de a (0p 2]   ) hl igen. Nem teljes viszont a (0 2]   ) hl, mert pldul a 2-nl kisebb elemeibl ll rszhalmaznak nincs szuprmuma -ban. Nyilvnval, hogy minden vges hl teljes, tovbb minden teljes hlnak van legkisebb (0) s legnagyobb (1) eleme. Hlk a matematika minden terletn elfordulnak, legtipikusabb pldk a kvetkezk: Rszhalmazhl. Egy H halmaz rszhalmazainak P (H ) halmaza (hatvnyhalmaza) a metszetre s unira, illetve a halmazok kzti tartalmazsi relcira: (P (H )  \) Rszcsoporthl. Egy G csoport rszcsoportjainak (ltalban egy struktra rszstruktrinak) halmaza a tartalmazsi relcira.

RQ

Q

R

290

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Ekvivalencia, illetve osztlyozs hl. Egy halmazon rtelmezett ekvivalenciarelcik, illetve egy struktrn rtelmezett kongruenciarelcik halmaza a tartalmazsra. Ez a hl rtelmezhet egy halmaz osztlyozsainak, illetve egy struktra kompatibilis osztlyozsainak hljaknt is. Oszthatsghl. Valamely termszetes szm pozitv osztinak halmaza az oszthatsgra, mint rendezsi relcira, illetve a lnko s lkkt mveletekre. Vges hlk megadsa ltalban a rendezst tkrz diagramokkal trtnik, nem a kevsb szemlletes mvelettblzatokkal. A 9.6. brn nhny hl diagramjt lthatjuk, (legalul a 0, legfell az 1 elem ll). A 9.6. a. diagram egy hromelem halmaz rszhalmazainak, illetve ekvivalenciarelcinak (osztlyozsainak) hljt szemllteti. A szablyos hromszg transzformci-csoportjnak rszcsoporthljt mutatja 9.6. b. Utna a 12 oszthatsg hlja (c.) s egy teljesen rendezett hromelem halmaz diagramja lthat (d.).

a.

c.

b.

d.

e.

f.

9.6. bra. Vges hlk diagramjai.

A hlk egyik fontos tulajdonsga a dualits, ami azt jelenti, hogy bennk a rendezs irnyt, illetve a metszet s uni mveleteket felcserlve ismt hlt kapunk: az eredeti hl dulist. A hlelmletben teht minden fogalom s tulajdonsg prosval fordul el, mindegyiknek megvan a dulis prja. Pldul a 0-nak (ha ltezik) a dulisa 1, s megfordtva. Hlk izomor zmusnl a mvelettartst mindkt mveletre megkveteljk. Ha a hlt specilis rendezett halmazknt fogjuk fel, akkor a rendezstartst rjuk el. Pontosabban, hlizomorzmus (L  = L0 ) esetn:

' : L $ L0 '(x _ y) = '(x) _ '(y) '(x ^ y) = '(x) ^ '(y) tovbb, ha L Boole-algebra '(x) = '(x). Mg rendezsizomorzmus nl

' : L $ L0 x  y =) '(x)  '(y): #rdekes, hogy a kt fogalom nem esik egybe: ha ' hlizomor zmus, akkor rendezsizomor zmus is, de megfordtva csak akkor, ha inverze is rendezs-

291

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

izomor zmus. Hasonlan de nilhat s vizsglhat hlknl a homomor zmus fogalma is. Minden hlban igaz az n. minimax ttel:

0m 1 m n ! _n @ ^ ^ _ Ttel: aij A  akl , ahol aij s akl a hl tetszleges elemt i=1 j =1

k=1 i=1

jellik. E ttel egyik specilis esete gy mondhat ki: Ttel: Ha egy hlban az a1  a2  : : :  an s b1  b2  : : :  bm elemekre minden szbajhet ai , bj pr mellett fennll az ai  bj egyenltlensg, akkor

a1 _ a2 _ : : : _ an  b1 ^ b2 ^ : : : ^ bm: Ebbl az egyenltlensgbl knnyen addnak a kvetkezk: 1. disztributv egyenltlensg: (a ^ b) _ (a ^ c)  a ^ (b _ c) 2. modulris egyenltlensg: a  c =) (a ^ b) _ c  a ^ (b _ c) 3. medin egyenltlensg: (a ^ b) _ (b ^ c) _ (c ^ a)  (a _ b) ^ (b _ c) ^ (c _ a): A hlt disztributvnak illetve modulrisnak nevezzk, ha 1.-ben illetve 2.ben egyenlsg teljesl. A modularits kvetkezik a disztributivitsbl, annl gyengbb kvetelmny. gy minden disztributv hl modulris, de ez fordtva nem igaz. A 9.6. brn az a. c. d. hlk disztributvak, de d. e. s f. nem az. Birkhoff bebizonytotta, hogy egy hl akkor s csak akkor disztributv, ha nincs sem e.-vel, sem f.-el, sem d.-vel izomorf rszhlja. A 9.6. f. diagram modulris, mg a 9.6. e. diagram modulris, de nem disztributv hlt mutat. Dedekind ttele szerint egy hl akkor s csakis akkor modulris, ha nincs 9.6. e.-vel izomorf rszhlja. Modulris hlt alkotnak pldul egy csoport normlis rszcsoportjai a tartalmazsi relcira nzve. A csoportok f strukturlis tulajdonsgai megllapthatk e hl szerkezetbl. A Boole-algebrkat a 9.1. pontban mr de niltuk. A komplementum csak olyan hlban de nilhat, amelynek van legnagyobb s legkisebb eleme, ezrt a Boole-algebrk szoksos jellse: B = (B _ ^  0 1). M. H. Stone (1903, ) amerikai matematikus megmutatta, hogy minden vges Boole-algebra izomorf egy vges halmaz rszhalmazhljval. Teht algebrai szempontbl egyetlen fajta vges Boole-algebra ltezik. Szintn Stone vette szre, hogy a Boole-algebrk olyan gyrknt foghatk fel, amelyben a szorzs idempotens, azaz ha minden x elemre x2 = x teljesl. 292

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Ilyen gyrt akkor kapunk egy Boole-algebrbl, ha a gyrmveleteket az albbi mdon de niljuk:

x + y = (x ^ y) _ (x ^ y) xy = x ^ y ;x = x: Ezzel lehetv vlt az idel fogalmnak bevezetse Boole-algebrban is, a szorzatot metszettel helyettestve: Egy B = (B _ ^  0 1) Boole-algebra nemres I rszhalmaza idel, ha 1. x y 2 I =) x _ y 2 I , 2. (x 2 I s y 2 B ) =) x ^ y 2 I . A msodik kvetelmny mginkbb teljesl, ha y 2 I , gy I rszhl is, mert zrt a B -beli metszetre s unira. Az idel teht specilis rszhl, ahogy a gyr idelja specilis rszgyr volt. Mivel a Boole-algebra egyben egy (B ) rendezett halmaz is, amelyben x  y () x ^ y = x, ezrt a msodik kvetelmny helyettesthet az albbival: 2'. (x 2 I s y  x) =) y 2 I . Bevezethet a valamely rszhalmaz ltal, illetve egyetlen elem (a) ltal generlt idel fogalma is Boole-algebrkban. Az utbbit gyrelmleti analgira szintn fidelnak nevezzk, s az a-nl kisebb elemekbl ll: a] = fxjx  ag. A hlbeli dualitsnak megfelelen rtelmezhet a dulis idel ( lter, szr) fogalma is B -ben: A   F  B rszhalmaz lter a B Boole-algebrban, ha 1. x y 2 F =) x ^ y 2 F 2. (x 2 F y 2 B ) =) x _ y 2 F illetve 2'. (x 2 F s y  x) =) y 2 F: Az idelok hasonl szerepet jtszanak Boole-algebrkban, mint gyrkben: hlhomomor zmusok magjai, tovbb klcsnsen megfelelnek a kongruenciarelciknak s kompatibilis osztlyozsoknak. Az idel fogalma tetszleges hlban is de nilhat, de ott nem rendelkeznek ezekkel a tulajdonsgokkal. A rendezett algebrai struktrk fontos tpust alkotjk a hlszeren rendezett S struktrk, amelyekre teljesl, hogy 1. S algebrai struktra, 2. S rendezett halmaz s a rendezsre hl, 3. a rendezs izoton a mveletekkel. Megjegyezzk, hogy az izotonits a hl metszet s uni mveleteire is teljesl. Ha egy hlszeren rendezett halmazban mg egy ktvltozs mvelet is van rtelmezve, amely asszociatv s van egysgeleme (monoid), akkor a struktrt 293

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

hlszeren rendezett monoidnak nevezzk. Egy halmaz binris relcii, egy gyr ideljai, az egyvltozs folytonos vals fggvnyek mind ilyen struktrk. A vals szmtest fltti n-dimenzis vektortr is hlszeren rendezett monoid (vektorhl), ha benne a rendezst a komponensenknti egyenltlensggel de niljuk: a  b () ai  bi , a mvelet pedig az sszeads. A pozitv elemek P halmaza hrom dimenzis esetben a trbeli koordinta-rendszer els nyolcadt adja. A vektorhlk fogalmt Riesz Frigyes vezette be az 1928-ban a Nemzetkzi Matematikai Kongresszuson tartott eladsban. A vektorhlkat ezrt Riesztereknek is nevezik.

Gyakorlatok 1. Szorozzuk ssze az (1 0 2 3) s (1 1 2 2) kvaterni kat mindkt sorrendben. 2. Igazoljuk, hogy az a + b 2 (a b Q) alak szmok testet alkotnak. 3. Tekints k a val s szmokb l ll rendezett (a b) szmprok halmazt a kvetkez tulajdonsgokkal: (a b) = (c d) a = c s b = d (a b) + (c d) = (a + c b + d) (a b)(c d) = (0 ac) k(a b) = (ka kb): (a) Mutassuk meg, hogy a szorzs kommutat v, asszociat v s az sszeadsra disztribut v. (b) Bizony tsuk be, hogy kettnl tbb tnyez szorzata mindig (0 0). (c) Ksz ts k el az (1 0) s (0 1) egysgek szorzstblzatt. 4. Legyenek P Q R : : : a s k pontjai. Deniljuk pontok sszegt gy, hogy P + Q=R Q R P szablyos hromszg cscsai pozit v forgsirnyban. (a) Mutassuk meg, hogy az sszeads nemkommutat v s nemasszociat v. (b) P + Q = R = Q + R = P . (c) Igazoljuk az albbi azonossgokat: (P + (P + (P + (P + (P + (P + Q)))))) = Q P + (P + (P + Q)) = (Q + P + (P + Q)) (P + Q) + R + (P + (Q + R)) + Q ; p

;

2

()

()

)



!

5. (a) Igazoljuk, hogy az a b (ad bc = 0 a b Q) alak mtrixok halmaza c d nem kommutat v csoportot alkot a szorzsra.  ! 2 1 (b) Szm tsuk ki az A = mtrix A;1 inverzt s mutassuk meg, 3 1 hogy AA;1 egyenl az egysgmtrixszal. ;

6

2

;

294

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

6. Bizony tsuk be, hogy a ' : (R+  ) (R +) x ln x lekpezs izomorzmus a kt csoport kztt. 7. (a) Mutassuk meg, hogy a negyedik egysggykk multiplikat v csoportja ciklikus. (b) Keress k meg a vele izomorf permutci csoportot. 8. Hatrozzuk meg egy tglalap egybevg sgi csoportjnak elemeit. Ksz ts k el a m velettblzatot. Keress k meg a normlis rszcsoportokat s ksz ts k el a faktorcsoportok m velettblzatait. Rajzoljuk fel a rszcsoporthl diagramjt. 9. Tekints k a Gauss-egszek G halmazt, ahol G = a + bi a b Z . (a) Mutassuk meg, hogy (G + ) gy r . (b) Keress nk rszgy r ket s idelokat G-ben 10. Igazoljuk, hogy a 6 pozit v oszt inak oszthat sgi hl ja Boole-algebra, de a 12 pozit v oszt i nem az. 11. Ksz ts k el egy ngyelem halmaz osztlyozshl jnak diagramjt. !

7!

f

j

2

g

Irodalom )1] Birkho(, B.,Bartee, T. C.: A modern algebra a szmtgptudomnyban. Mszaki Knyvkiad, 1974. )2] Fried Ervin: Absztrakt algebra elemi ton. Mszaki Knyvkiad, 1972. )3] Kaluzsnyin, L. A.: Bevezets az algebrba. Tanknyvkiad, 1979. )4] Maurer Gyula,Virg Imre: Bevezets a strukt rk elmletbe. Dacia Knyvkiad, Kolozsvr, 1976. )5] Maurer Gyula: A relcielmlet elemei. Dacia Knyvkiad, Kolozsvr, 1972. )6] Gyapjas Ferenc: Csoportelmlet. Tanknyvkiad, 1974. )7] Szsz Gbor: Hlelmlet. Tanknyvkiad, 1978. )8] Varecza Lszl: Konkrt s absztrakt strukt rk. Tanknyvkiad, 1970.

295

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

296

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

10. fejezet

Analzis Az jkorban az analzis lett a vezet matematikai tudomnyg. Alapfogalma a vgtelen kicsiny volt. Az erre pl in nitezimlis szmts, azaz derivls s integrls segtsgvel fggvnyeket vizsglt. Fggvnyen olyan kifejezst rtettek, amelynek segtsgvel valamely mennyisg vltoz szmrtkeibl ki lehetett szmtani egy msik vltoz szmrtkeit. Ez a fggvnyfogalom kezdetben elegendnek bizonyult a zika szmra, amelynek szinte minden fogalma a derivlt, vagy integrl segtsgvel de nilhat. A termszeti jelensgek zme pedig di(erencilegyenletek segtsgvel vizsglhat. #ppen a di(erencilegyenletek vezettek a fggvnyfogalom kiterjesztshez a Fourier-sorokkal kapcsolatban. A fggvny brmilyen kt halmaz kzti lekpezs lett, nem ktdtt semmilyen ms tulajdonsghoz. A fggvnnyel egytt az integrl fogalmt is ltalnostottk, valamint bevezettk a mrtk fogalmt. Az egyes fggvnyek vizsglata helyett eltrbe kerlt fggvnyek bizonyos sszessgnek, az n. fggvnytereknek a vizsglata. Ezzel az analzisnek j ga alakult ki: a funkcionlanalzis, szoros kapcsolatban a topolgival s az absztrakt algebrval. A mai analzis  a matematika tbbi ghoz hasonlan  kiterjedten alkalmaz halmazelmleti s logikai eszkzket. A modern analzisnek nagyon sok ga ltezik, amelyek egymssal, ms matematikai gakkal, st ms tudomnyokkal is kapcsolatban vannak. gy az analzisnek elklnl gakra osztsa nehz feladat. A kvetkezkben az albbi f terleteket fogjuk ismertetni: Vals analzis, Fourier-analzis, funkcionlanalzis.

10.1. Vals analzis Az analzisnek ez a terlete a vals szmok tulajdonsgaira pl fogalmakra s eredmnyekre terjed ki. Ide tartozik a vals vltozj s rtk fggvny fogalma, az ilyen fggvnyek derivlsa, integrlsa, sorbafejtse. Mindezek szoros kapcsolatban vannak a hatrrtk fogalmval s a vals szmok folytonossgra plnek. 297

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A XX. szzad elejn a vals fggvnyek integrljnak fogalma nagyfok ltalnostson ment keresztl egy ponthalmaz mrtknek a segtsgvel. Az gy megszlet modern vals analzis a vals fggvnytan nevet kapta. A XVII. szzadban ltrejtt analzis a vgtelen kicsiny fogalmra plt, amivel ugyan jl lehetett szmolni, de logikailag ellentmondsos volt. A vele val szmols sorn hol nullnak tekintettk (mikor elhanyagoltk), hol pedig nem nullnak (mikor osztottak vele). Az ellentmondst Cauchy oldotta fel a hatrrtkfogalom segtsgvel: a vgtelen kicsiny olyan vltoz mennyisg, amelynek hatrrtke nulla. Megemlthetjk, hogy a vgtelen kicsinyek ma renesznszukat lik, mert a velk val szmols lefordthat a szmtgpek nyelvre. A szmfogalom fejldse

A szm fogalmt kezdetben a szmlls sal kapcsoltk ssze,vagyis szmon csak pozitv egsz szmot rtettek. A pitagoreusok gy gondoltk,hogy minden dolog kifejezhet szmokkal, vagy szmok arnyval. Kt szakasz arnynak meghatrozst (sszemrst) a ma euklidszi algoritmusnak nevezett eljrssal vgeztk. Az sszemrhetetlen szakaszok felfedezse nem a szmfogalom bvtsre sztnzte a grgket, hanem a szm s a (geometriai) mennyisg megklnbztetsre. A grgk nem szerettek olyan fogalmakkal dolgozni, amelyeket nem rtettek meg teljesen s nem tudtak pontosan de nlni. Inkbb elfogadtk,hogy vannak olyan szakaszok,amelyek hossza nem fejezhet ki szmmal. A grgk utn kvetkez arabok szerencsre nem voltak ennyire agglyosak. Szmoknak tekintettk a (pozitiv) trteket is. gy a szm mr nemcsak szmllsra, hanem mrs re is alkalmas fogalomm vlt. Az arabok egyenleteiket sem geometriailag rtk mr fel s algebrailag oldottk meg azokat, br a geometriai szemlltetst mg szksgesnek tartottk. A negatv szmokat az ellenttes eljel mennyisgek megklnbztetsnek ignye fogadtatta be a szmok csaldjba, amely a nulla teljes rtk szmknt val elfogadsval vlt egyidre teljess, azaz a racionlis szmok halmazv. A szmegyenes bevezetsepelsegtette az irracionlis gykk szmknt val felfogst, hiszen pldul a 2-nek megfelel pont knnyen megszerkeszthet rajta. Ezutn a szmegyenes a vals szmok (akkori szhasznlattal ltalnos szmok) egy modelljv vlt. Br az irracionlis szm fogalma mg nem volt tisztzva, elfogadtk, hogy minden szakasz hossza kifejezhet szmmal (racionlissal vagy irracionlissal). Az irracionlis szmokat sokig csak a gykvonssal hoztk kapcsolatba. Ez a felfogs megdlt, amikor Lambert megmutatta, hogy er irracionlis, ahol r pozitv racionlis szm. Bonyolult bizonytsban lnctrteket hasznlt. Mi Hermite egy ksbbi egyszer bizonytst mutatjuk be r = 1 esetre. rjuk fel az y = ex fggvny x = 0 krli Taylor-sort: 2 n ex = 1 + 1!x + x2! +    + xn! +   

298

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

majd ebbe helyettestsnk x = 1-et: ex = 1 + 1!1 + 2!1 +    + n1! +    : Ezutn indirekt ton bizonytott. Tegyk fel, hogy e racionlis, teht e = p=q (p q 2  q 6= 0). Mivel 2 < e < 3, ezrt q  2. Szorozzuk meg az e-re felrt egyenlsg mindkt oldalt q!-sal:

Z

p(q ; 1)! = (q! + q! + 3  4    q +    + (q ; 1)q + q + 1) + + q +1 1 + (q + 1)(1 q + 2) +    : Mivel a bal oldal egsz szm, ezrt a jobb oldalnak is egsznek kell lenni. A zrjelben lev tagok valban egszek, de a tbbi tag sszege egy 1/2-nl nem nagyobb pozitv trt. Ugyanis: 1 1 + 1 +    +    = 13 = 1 : 1 + +     q + 1 (q + 1)(q + 2) 3 32 1 ; 13 2 Ellentmondsra jutottunk, teht e irracionlis szm. Ez volt az els egzakt plda arra, hogy egy racionlis szmsorozat hatrrtke irracionlis szm is lehet. Az irracionlis szmok pontos de nilsnak ignye azonban a XIX. szzad kzepig nem merlt fel. Weierstrass volt az els, aki rmutatott, hogy egy irracionlis hatrrtk logikailag nem ltezik mindaddig, amg az irracionlis szm nincs de nilva. Termszetesen a hatrrtk fogalmnak felhasznlsa nlkl. Weierstrass azt is hangslyozta, hogy a folytonos fggvnyek tulajdonsgait nem lehet a szmegyenes folytonossgnak szemlletes, intuitv elfogadsra alapozva egzaktan bizonytani. A geometriai szemlletben val hit megingshoz dnt mdon jrult hozz a nemeuklidszi geometrik felfedezse. Ersdtt az a meggyzds, hogy csak az aritmetika trvnyei szksgszerek s igazak. Az analzist is rjuk kell alapozni. Ezt a programot Weierstrass hirdette meg s az analzis aritmetizlsnak nevezte. Elszr az irracionlis szm fogalmnak tisztzsn keresztl egysges de ncit kell adni a vals szmokra. Ezutn szabatosan be kell ltni folytonossgukat, majd felpteni aritmetikjukat. Vgl az analzis minden fogalmt jra kell de nilni, tteleit jra bebizonytani. A vals szmok egzakt de ncijnak ve 1872 volt, amikor t olyan dolgozat jelent meg egymstl fggetlenl, amelyek mindegyike e tmval foglalkozott. Kzlk a Dedekind-szeletekkel s a Cauchy-sorozatokkal val rtelmezs vlt a legismertebb. Az els Dedekind, a msodik Cantor nevhez fzdik,s mindkettben  de a tbbiben is  kimutathat Weierstrass hatsa, aki eladsaiban a vals szmokat pozitiv racionlis tag sorozatok segtsgvel vezette be. Szoks mg a vals szmokat intervallumskatulyzssal is de nilni. Ezt a mdszert elszr B. Bachmann (1837,1920) alkalmazta egy hsz vvel ksbb, 1892-ben megjelent knyvben. 299

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Dedekind szeletei mr Eudoxosz arnyelmletben is megjelentek, mint arra korbban rmutattunk. A szeletekkel s a sorozatokkal val bevezets br formailag klnbzik, de lnyegileg nem, amire Dedekind is utal cikke elszavban: Midn e sorokat rom (1872 mrcius 20-n) megkaptam G. Cantor : : : rdekes dolgozatt, melyrt az les esz szerznek ksznetemet fejezem ki. Amint a gyors tolvass utn ltom, a Cantor dolgozatnak 2.6-ban bevezetett axima kls formjtl eltekintve teljesen megegyezik azzal, amelyet n albb a 3.6-ban a folytonossg lnyegeknt jellk meg. Dedekind eltt a szmegyenes folytonossgn azt rtettk, hogy brmely kt szm kztt legyen szm. Dedekind ezt a racionlis szmokra igaz tulajdonsgot srsgnek nevezte, de nem fogadta el folytonossgnak. Gondoljunk p pldul a 2 helyre a szmegyenesen. Ezutn abbl indult ki, hogy a szmegyenes pontjainak minden olyan osztlyozsa, amelyben az egyik osztly minden pontja balra van a msik minden pontjtl, egyetlen pontot hatroz meg, mgpedig azt, ami ezt az osztlyozst ltrehozta. Ez a tny teszi az egyenest folytonoss. Egyenesre ez axima, de tvitte szmokra s megalkotta a racionlis szmokbl ll Dedekind-szelet fogalmt. Tekintsk a racionlis szmok halmaznak felosztst kt nemres A s B halmazra gy, hogy: I. Az A, B rszhalmazokra oszts partcija legyen: = A  B s A \ B = . Ms szval minden racionlis szm az A s B rszhalmazok pontosan egyikbe tartozzk. II. 8a 2 A 8b 2 B : a < b vagyis A minden eleme kisebb legyen B minden elemnl. Ha -t a fenti kvetelmnyeknek megfelel mdon osztottuk kt rszre, azt mondjuk, hogy szeletet alkottunk -ban, amit A=B -vel fogunk jellni. Az A rszhalmazt a szelet als, B -t a szelet fels osztlynak nevezzk. Brmely A=B szeletre logikailag ngy lehetsg addik: 1. A-ban van legnagyobb racionlis szm, de B -ben nincs legkisebb. 2. A-ban nincs legnagyobb racionlis szm, de B -ben van legkisebb. 3. A-ban nincs legnagyobb s B -ben nincs legkisebb racionlis szm. 4. A-ban van legnagyobb s B -ben van legkisebb racionlis szm. A 4. lehetsg a racionlis szmok mindentt sr volta miatt nem fordulhat el. Ha ugyanis x a legnagyobb elem A-ban, y pedig a legkisebb B -ben, akkor a II. tulajdonsg miatt x < y. Viszont x < r = x +2 y < y s r racionlis, gy r 2 A vagy r 2 B az I. tulajdonsg miatt. Ez azonban x s y de ncija miatt lehetetlen. Pldul r 2 A esetn nem x lenne A legnagyobb eleme. Az 1. s 2. lehetsg teljeslse esetn az A=B szelet racionlis szmot hatroz meg: az A legnagyobb, illetve B legkisebb elemt. Pldul az A=B

Q

Q

Q

Q

Q

300

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

szelet, ahol A az 1-nl kisebb vagy egyenl, B pedig az 1-nl nagyobb racionlis szmokat tartalmazza, az 1 szmot de nilja. Ha az A=B szeletre a 3. lehetsg teljesl, akkor a szelet nem hatroz meg racionlis szmot. Soroljuk pldul az A osztlyba az sszes negatv racionlis szmot s a nullt, a pozitvak kzl pedig azokat, amelyek ngyzete kisebb, mint 2. Ekkor a B osztlyt a tbbi racionlis szm alkotja. Megmutatjuk, hogy A-nak nincs legnagyobb, B -nek pedig nincs legkisebb eleme. Keressnk olyan n 2 -et, hogy

N



2 x + n1 2 A azaz x + n1 < 2 teljesljn, ahol x 2 A s x > 0. Ekkor talaktsokkal kapjuk a kvetkezket: x2 + 2 x + 1 < 2

n n2 x 1 2 n + n2 < 2 ; x2 :

Mivel 2 nx + n12 < 2 nx + n1 = 2xn+ 1  ezrt a kvnt egyenltlensg biztosan teljesl, ha 2x + 1 < 2 ; x2  illetve n > 2x + 1 : n 2 ; x2

Valban, pldul x = 1 4 esetn, ha n > 95, mondjuk n = 100, akkor

x+ 1

2

2 n = 1 41 < 2: Ezzel megmutattuk, hogy minden x 2 A-hoz megadhat olyan x + 1=x racionlis szm, amely szintn A-hoz tartozik. Teht A-nak nincs legnagyobb eleme. Hasonlan mutathat p meg, hogy B -nek pedig legkisebb eleme nincs. Ez a sze-

letalkots ppen a 2 nem racionlis szmot de nilja. Az ilyen szeletek teht semmilyen racionlis szmot nem de nilnak. Az ltaluk meghatrozott jabb szmfajtt nevezzk irracionlis szmoknak, a racionlis s irracionlis szmok egyestett halmazt pedig vals szmoknak. A Dedekind-szeleteknek kt tpusa van. Az egyik racionlis szmot hatroz meg (1. vagy 2. lehetsg). Az ilyen szeleteket elsfajaknak, mg az irracionlis szmokat meghatrozkat (3. lehetsg) msodfajaknak nevezzk. A msodfajak segtsgvel sikerlt a szmegyenesen lv irracionlis lyukakat betmni. Felmerlhet a krds, hogy nincsenek-e ms lyukak a szmegyenesen. Ha a vals szmok halmaza nem folytonos, akkor a vals szmokkal vgzett szeletalkots jabb szmfajtt hatrozhat meg, ha a szeletek kztt olyanok is 301

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

vannak, amelyekben sem az als szeletnek nincs legnagyobb, sem a fels szeletnek nincs legkisebb eleme (msodfaj vals Dedekind-szelet). Az elsfaj vals szeletekkel nincs problma: vals szmokat hatroznak meg. A msodfaj vals szeletek ltezst tagadja s egyben a vals szmhalmaz folytonossgt bizonytja Dedekind albbi ttele: Ttel: Minden, a vals szmok halmazban vgzett A=B szeletalkotsban, vagy az als osztlyban van legnagyobb vals szm, vagy a fels osztlyban van legkisebb. Bizonyts. Egy vals szmokbl ll szeletalkots a racionlis szmok krben is egy szeletet rtelmez. Az elzek szerint ez a racionlis szelet meghatroz egy vals szmot. Az szm beletartozik az eredeti vals szeletnk valamelyik osztlyba, mondjuk az alsba. Ekkor lesz az als osztly legnagyobb eleme. Ha ugyanis nem a legnagyobb elem lenne, akkor lenne egy nla nagyobb  elem az als osztlyban. De akkor s  kztt lenne egy r racionlis szm is, amely kisebb lvn  -nl, szintn az als osztlyban lenne. Ekkor viszont kisebbnek kellene lennie -nl, ami ellentmonds. Hasonl gondolatmenettel lthat be, hogy ha a fels osztlyba tartozna, akkor annak lenne legkisebb eleme. A Dedekind-szeletek s a vals szmok kzti egy-egy rtelm megfeleltets most mr jogosan tvihet a szmegyenes pontjaira is, amelyet a vals szmok lyukak nlkl, folytonosan betltenek. Ezrt nincs rtelme a vals s racionlis Dedekind-szelet megklnbztetsnek sem. A Dedekind-szeletekbl szabatosan pthet fel egy, a vals szmok algebrjval izomorf struktra. De nilhatk a mveletek, bebizonythatk a mveleti tulajdonsgok. A kapott struktra teljesen rendezett test, amelynek folytonossgbl kvetkezik az albbi fontos ttel: Ttel: Brmely korltos vals szmhalmaznak van szuprmuma s inmuma, vagyis legkisebb fels korltja s legnagyobb als korltja. A szuprmumot szoktk mg fels hatrnak, az in mumot pedig als hatrnak is nevezni. A ttel trivilis vges halmazokra, vagy olyan vgtelenekre, amelyeknek van legnagyobb s legkisebb eleme. Ekkor a legnagyobb elem a szuprmum, a legkisebb pedig az in mum. Viszont pldul az   1 1 1 X = ;1 ; 2  ; 3  : : :  ; n  : : : halmaznl nem trivilis a szuprmum ltezse. Osszuk az ilyen X halmazok esetben -et kt osztlyra: az X halmaz fels korltainak halmaza alkossa B -t, az sszes tbbi vals szm pedig A-t. Lthat, hogy az gy megadott kt halmaz egy (vals) A=B Dedekind-szeletet alkot. Hatrozza meg ez a szelet az vals szmot. A Dedekind-ttel szerint vagy A legnagyobb, vagy B legkisebb eleme, attl fggen, hogy melyikhez tartozik. Mivel minden A-beli szm, specilisan X elemei is kisebbek -nl, ezrt X egy fels korltja, teht de nci szerint B -hez tartozik. Ott viszont a legkisebb elem, azaz a legkisebb fels korlt: = sup X . Hasonlan igazolhat az in mum ltezse is.

R

302

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

R

A vals szmok folytonossgt igazol Dedekind-ttel msik fontos kvetkezmnye a Cauchy-fle konvergenciakritrium teljeslse -ben. (E kritriumot mr trgyaltuk a IX. fejezetben.) Teht az analzis eszkzeivel is belthat a vals szmok rendezett testnek teljessge. Az is megmutathat, hogy brmely kt (ilyen rtelemben) teljes rendezett test izomorf. Teht algebrai szempontbl csak egy ilyen test ltezik: a vals szmok teste. A vals szmok elmletnek msik szabatos felptse Cantor rdeme. Elszr az alapsorozat fogalmt de nilta: Egy racionlis szmokbl ll fang sorozatot alapsorozatnak neveznk, ha minden pozitv " 2 -hoz ltezik olyan N termszetes szm, hogy minden n m > N indexre jan ; am j < ". Minden ilyen sorozat de nci szerint vals szmot ad. A racionlis szmokat a konstanssorozatok adjk. Kt alapsorozat akkor adja ugyanazt a vals szmot, ha egy bizonyos indextl kezdve a kt sorozat azonos index tagjai klnbsgnek abszolt rtke brmilyen pozitv racionlis szmnl kisebb tehet. Alapsorozatok (vals szmok) sszegt s szorzatt az

Q

fan g + fbng = fan + bn g fan g  fbn g = fanbn g szablyokkal de niljuk. Megmutathat, hogy erre a kt mveletre az alapsorozatok halmaza zrt s (rendezett) testet alkot. Cantor bebizonytotta, hogy ha vals szmokbl kpeznk alapsorozatokat, azok nem vezetnek jfajta szmokhoz, ismt vals szmokat hatroznak meg. Ez a Dedekind-ttelhez hasonl eredmny biztostja a vals szmhalmaz teljessgt, illetve a vals szmegyenes folytonossgt. A vals szmhalmaz racionlis-irracionlis felosztsa mellett ltezik a vals (ltalnosabban a komplex szmok) msfajta osztlyozsa is, ami algebrai megfontolson alapul. A racionlis szmok felfoghatk a qx + p = 0 egyenlet gykeiknt, ahol p q egszek s q 6= 0. ltalban algebrai szm nak nevezzk az olyan vals vagy komplex szmot, amely valamely egsz egytthats algebrai egyenlet gyke. Algebrai szm pldul az i, ugyanis gyke az x2 + 1 = 0 egyenletnek. Sokig gy gondoltk, hogy minden vals (s komplex) szm elllthat valamely egsz egytthats egyenlet gykeiknt. J. Liouville (1809,1882) francia matematikus azonban 1851-ben megmutatta, hogy nemcsak ilyen tulajdonsg szmok lteznek. Az jfajta szmokat transzcendens eknek nevezte. Ha egy z komplex szm kielgti az

an z n + an;1 z n;1 +    + a1 z + a0 = 0 (an 6= 0) egsz egytthats n-ed fok egyenletet, de nem elgt ki egyetlen alacsonyabb p fokt sem, akkor z -t n-ed fok algebrai szmnak nevezzk. Pldul a 2 s i msodfok algebrai szmok. Mivel minden racionlis szm elsfok, ezrt minden magasabbfok vals algebrai szm csak irracionlis lehet. Teht egy vals szm csak akkor lehet transzcendens, ha irracionlis.

303

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Liouville abbl indult ki, hogy minden z irracionlis szm tetszleges pontossggal megkzelthet racionlis szmokkal. Vagyis megadhat racionlis szmok olyan sorozata, amely z -hez tart. Ezutn kimondta ttelt: Ttel: Brmely z n(> 1)-ed fok vals algebrai szmra csak vges sok olyan p=q racionlis szm ltezik, amelyre

 p  1 z ;  < n+1 : q q p

A ttel rvnyessgt csak z = 2 esetn mutatjuk meg. Be kell ltnunk, hogy csak vges sok olyan p=q trt ltezik, amelyre

p p  1  2 ;  < 3  q q

p

p

ahol nyilvnvalan 2 ; 1 < p=q < 2 + 1. Tovbb

p p  p p  p  2 +    2 ;  + 2 2 < 1 + 2p2: q q

Szorozzuk ssze a kapott kt egyenltlensget

 p2   2q2 ; p2  1 + 2p2 2 ; 2  =  2  < 3 : q q q

Ekkor j2q2 ; p2 j  1 miatt mginkbb igaz, hogy

p

p 1 1+2 2 q2  q3 =) q  1 + 2 2: p

p

Mrpedig csak vges sok olyan p p=q trt eshet 2 ;p1 s 2 + 1 kz, amelynek nevezje kisebb, mint 1 + 2 2. Ezzel a ttelt z = 2 esetre belttuk. Ttele alapjn Liouville a kvetkez transzcendens szmokat konstrulta

z =

1 X ak

k! k=1 10

a1 + a2 + a3 + a4 +    = = 10 102 106 1024 = 0 a1a2 000a300000000000000000a40 : : : ahol ak 1 s 9 kztti szmjegyeket jell. Tekintsk z -nek azt a zm kzelt trtjt, amely az am 10;m!-ig vett tagokbl ll pldul z3 = 0 a1a2 000a3. Ekkor 1 0 < z ; zm = a(mm+1 + : : :  (m+1)! ;1 : 10 +1)! 10 304

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Tegyk fel, hogy z algebrai s n-ed fok. Mivel 1 < 1  10(m+1)!;1 10(n+1)m! ha m > n s z nevezje 10m!, gy ellentmondsra jutottunk Liouville ttelvel, hiszen talltunk vgtelen sok olyan p=q racionlis szmot (nevezetesen a zm szmokat), amelyekre

 p  1 z ;  < n+1 : q q

A Liouville ltal konstrult els transzcendens szmok utn jabbakat talltak. A nmet Lindemann a , a francia Hermite pedig az e transzcendens voltt bizonytotta be (1882, ill. 1873). E kiemelked sikerek sem gyztek meg azonban mindenkit az irracionlis szmok ltjogosultsgrl. A konzervativok vezralakja, Kronecker szerint csak olyan fogalomalkots engedhet meg, amely vges sok termszetes szmbl vges sok lpsben megkonstrulhat. Racionlis szmok, mint trtek, teht lteznek, de irracionlisak nem. Kronecker gy kommentlta Lindemann eredmnyt: Mire val az 'n szp bizonytsa a -re vonatkozlag? Minek egyltaln ilyen problmkat vizsglni, mikor irracionlis szmok nem lteznek? Cantor egy lpssel tovbb ment a transzcendens szmok vizsglatban. Megmutatta, hogy kontinuum szmossg halmazt alkotnak, teht sokkal tbben vannak, mint az algebrai szmok. Az algebrai szmokat elllt minden

Z

an z n + an;1 z n;1 +    + a1 z + a0 = 0 (ak 2 ) egyenlethez hozzrendelt egy

h = jan j + jan;1 j +    + ja1 j + ja0 j + n szmot. Minden rgztett h 2 N rtkhez csak vges sok egyenlet tartozhat s minden n-edfok egyenletnek legfeljebb n klnbz gyke lehet. Ezrt a minden egyes h-hoz tartoz algebrai szmok halmaza vges. Az sszes algebrai szm halmaza teht megszmllhat sok vges halmaz egyestse, gy szmossga a megszmllhatan vgtelen (@0 ). Viszont a komplex szmok halmaza kontinuum (c) szmossg, s ebbl levezethet, hogy a transzcendens szmok szmossga csak c lehet. A fggvnyfogalom fejldse

A szmfogalom fejldse utn trjnk t most a fggvnyfogalom fejldsnek bemutatsra. Ismertetsnkben csak vals fggvnyekre szortkozunk, komplex vltozs fggvnyekkel nem foglalkozunk. A fggvnyfogalom kialakulsa a XVII. szzadban kezddtt, elssorban Descartes munkssga nyomn. Alatta olyan algebrai sszefggst rtettek, 305

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

p

algebrai 2

C

transzcendens

R

Q Z

i

N

e

010

00 0 11

::

:

10.1. bra. A szmfogalom felptse.

amely segtsgvel egy vltoz mennyisg (x) rtkeibl ki lehetett szmtani egy msik vltoz mennyisg rtkeit. Grbiket elssorban mozgsok segtsgvel de niltk s az analzis eszkzeivel tanulmnyoztk. Ezt az algebrai fggvnyfogalmat tbbvltozra is kiterjesztettk. Leibniz szerint a fggvny olyan mennyisg, amely egy algebrai egyenlettel megadott grbn pontrl pontra vltozik, mint pldul az ordinta hossza. Nyilvnval, hogy  fggvnyen, mai szhasznlattal lve fggvnyrtket rtett. Hasonl rtelemben hasznlta a fggvny szt Gregory is, a fggvnyfogalom els kiterjesztje: A fggvny olyan mennyisg, amely ms mennyisgekbl addik algebrai mveletek vagy vgtelen sor segtsgvel. A sorokbl kapott fggvnyeket transzcendens fggvnyek nek nevezte. Akkoriban ezek a trigonometrikus s az exponencilis fggvnyek, valamint inverzeik voltak. Soraik segtsgvel ezek is algebrai fggvnyekbl lltak el. Fogalmukhoz tovbbra is hozztartozott a derivlhatsg s integrlhatsg. &jabb lpst jelentett a fggvnyfogalom fejldsben egy specilis hatvnysor, a Taylor-sor felfedezse. Egy meghatrozott feltteleknek eleget tev f (x) fggvny valamely x0 pontja krl az albbi vgtelen sorral llthat el:

f (x) =

1 X

(n) an (x ; x0 )n  an = f n(!x0 ) : n=0

Akkoriban minden fggvnyt Taylor-sorba fejthetnek gondoltak. A sor konvergencijnak, illetve a fggvnyhez val konverglsnak krdse akkor mg fel sem merlt. A derivlhatsg s integrlhatsg mellett a hatvnysorba fejthetsggel bvl fggvnyfogalmat Euler vezette be s analitikus fggvny nek nevezte: Fggvnyen egy analitikus kifejezst rtnk, amely vltozkbl s konstansokbl van valamilyen mdon sszetve. 306

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A valamilyen md a Taylor-sorra utal, amely egytthatinak kiszmtshoz elg ismerni a fggvnyt az x0 pont krli akrmilyen kis intervallumban, hiszen ekkor mr meg tudjuk hatrozni az x0 pontbeli derivlt rtkt. Ebbl kvetkezik, hogy egy fggvnyt (illetve sort) brmilyen kis intervalluma meghatrozza. Ms szval csak egy kplete lehet. Ha kt fggvny brmilyen kis intervallumban megegyezik, akkor mindentt megegyezik. Analitikus fggvnyek derivltja, integrltja ismt analitikus fggvnyt ad. Az analitikus fggvnynek grbje is van, amelyben nem lehetnek trsek, ugrsok. Pldul az y = jxj formula kt fggvnyt hatroz meg. Ksbbi rtelmezsei: egy fggvny, de x = 0-nl szakadsa van (XIX. szzad eleje)egy fggvny, amely mindentt folytonos. (Sok tanul ragad meg az eredeti rtelmezsnl!) A XVIII. szzad nagy matematikusai (Lagrange, Euler) gy gondoltk, hogy az analitikus fggvnyek elegendek a termszeti jelensgek lersra. A rezg hr s a hvezets problmja azonban megmutatta, hogy ez nincs gy. A rezg hr problmjt (10.2. bra) D'Alembert, Daniel Bernoulli, Euler s msok vizsgltk. Euler elszr a ma is hasznlatos mdszerrel megkereste a

@ 2 y = a2 @ 2 y  t > 0 0  x  l @t2 @x2 egyenlet ltalnos megoldst, (y(x t)-t), amely megadja a hr brmely x pontjnak kitrst brmely t idpontban. Kezdeti- s peremfelttelek: 1. @y @t = 0  a hr kezdeti sebessge (nyugalombl indul), 2. y(0 t) = y(l t) = 0  a rgztett vgek kitrse nulla, 3. y(x 0) = f (x)  a hr kezdeti alakja. Legyen

y(x t) = 12 F (at + x) + 12 G(at ; x) ahol F s G tetszleges fggvnyek. E fggvnyek meghatrozst a kezdeti s peremfelttelek alapjn vgezte. Az y(0 t) = 0 felttelbl az F (at) = ;G(at) egyenlsget kapta. A msik peremfelttel az F (at + l) = G(at ; l) sszefggst adja, ami azt jelenti, hogy F s G 2l szerint periodikus fggvnyek. Az els felttelbl F 0 (x) = F 0 (;x), majd integrls utn F (x) = ;F (;x) kvetkezik, ami azt jelenti, hogy F pratlan fggvny. Vgl a msodik felttel az F (x) = f (x) (0  x  l) egyenlsgre vezet. D'Alembert, mr Eulert megelzen erre a megoldsra jutott hasonl mdszerrel. A kt matematikus vlemnye azonban eltrt a hr kezdeti alakjt ler f (x) fggvny rtelmezsben. 307

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

f (x) f (x) = y (x 0)

y (x t) l = 2

x

10.2. bra. A rezg h r di$erencilegyenlete. D'Alembert a megolds menetbl kvetkezen megkvetelte f (x) ktszeri di(erencilhatsgt. Tovbb lerta, hogy f (x) egyetlen olyan formulval legyen megadhat, amelyben csak algebrai mveletek, valamint a derivls s integrls szerepelhetnek. Euler szknek tartotta ezt a fggvnyfogalmat, tllpve sajt korbbi felfogsn. Rmutatott, hogy a hr kezdeti alakja klnbz grblet grbk rszeibl is llhat, ami lehetetlenn teszi az egy formulval val megadst. Az ilyen grbket, megklnbztetsl az analitikusoktl, szabadon rajzolhatknak, vagy Descartes nyomn mechanikusoknak nevezte. Daniel Bernoulli tl egyszernek tartotta Euler megoldst, ami nem adott magyarzatot arra, hogy adhat ki ugyanaz a hr klnbz hangokat. &gy vlte, hogy az ltalnos megoldsnak az egyes megoldsok lineris kombincijaknt (szuperpozcijaknt) kell elllni. A kiadott hang az egyes felhangok szuperpozcija. Matematikailag is igazolhat, hogy homogn lineris di(erencilegyenleteknl az egyes megoldsok lineris kombincija is megolds. Bernoulli szerint a hr kezdeti alakjnak egyenlete a csompontok (felhangok) n = 0 1 2 3 : : : szmtl fggen

2x y = sin x a  y =  sin a  : : : E fggvnyek vgtelen sszege adja a hr kezdeti alakjt. Euler nem fogadta el ezt az rvelst, mert szerinte nem minden fggvny (grbe) llthat el szinuszfggvnyek vgtelen sszegeknt. Akkoriban Eulernek adtak igazat, de a ksbbi fejlds Bernoullit igazolta. A rezg hr problmjnak az a jelentsge, hogy a matematika kzponti krdsv tette a fggvnyfogalom tisztzst. Msrszt felvetette egy fggvny vgtelen trigonometrikus sorral val reprezentlhatsgt. Mindkt problma a Fourier-sorokkal kapcsolatos vizsgldsokban tisztzdott. 308

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Fourier a hvezets di(erencilegyenlett ksrelte megoldani (10.3. bra):

@ 2 y = a2 @y  t > 0 0  x  l: @x2 @t y(x t)  a keresett fggvny  megadja a hmrskletet a rd minden x f (x)

x

l = 2

10.3. bra. A hvezets di$erencilegyenlete.

pontjban s minden t idpontban. Kezdeti felttel: y(x 0) = f (x)  kezdeti heloszls a rdban. Peremfelttelek: y(0 t) = y(l t) = 0  a rd vgeinek hmrsklete mindig lland. Els dolgozatt 1807-ben nyjtotta be a Francia Akadmira. A javtott vltozat 1811-ben, a vgleges pedig 1822-ben jelent meg. Ennek cme a H analitikai elmlete volt s a benne kifejtett Fourier-sorok risi hatst gyakoroltak a matematika fejldsre. A Fourier-sorok tanulmnyozsa sorn nemcsak a modern fggvnyfogalom alakult ki, hanem megszletett az ltalnos fggvnyek elmlete s a halmazelmlet, valamint tovbbfejldtt az integrl fogalma. Fourier j mdszerrel oldotta meg a hvezets egyenlett. A keresett fggvnyt y(x t) = F (x)  G(t) alakba rta, behelyettestette az egyenletbe, majd sztvlasztotta a vltozkat: 00 0 a2 G(t)  F 00 (x) = F (x)G0 (t) =) aF2 F((xx)) = GG((tt)) : Mivel a bal oldal csak x-tl, a jobb oldal csak t-tl fgg, a kt oldal csak gy lehet egyenl, ha mindkett ugyanazt a konstanst (;) adja. A kapott kt egyenlet s megoldsa a kvetkez:

p

F 00 (x) + a2 F (x) = 0 =) F (x) = B sin(a x + c) G00 (t) + G(t) = 0 =) G(t) = Ae;t : 309

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A felttelek gyelembevtelvel s a szuperpozcis elv alkalmazsval a megoldsra kapjuk, hogy

y(x t) =

1 X

n=0

an e2 nt sin 2n l x:

Innen t = 0, l = 2 helyettestsvel addik a kezdeti helosztst megad fggvny:

y(x 0) = f (x) =

1 X

n=0

an sin nx:

Teht hasonlan a rezg hrhoz, a kezdeti llapot itt is szinuszfggvnyek vgtelen sorval adhat meg. Ehhez mg meg kell hatrozni az an egytthatkat. Fourier-nek ez vgl sikerlt a kvetkezkppen: szorozzuk meg az albbi egyenlet mindkt oldalt sin nx-szel, majd mindkt oldalt integrljuk 0 s 2 kztt.

f (x) = a0 + a1 sin x +    + an sin nx +    =  sin nx f (x) sin nx = a0 sin nx + a1 sin x sin nx +    + an sin2 nx +   

Z 2 0

f (x) sin nx dx = an = 1

Z 2

Z 2 n

0

an sin2 nx dx =  =)

f (x) sin nx dx:

#szrevette ugyanis, hogy ha n 6= m akkor

Z 2 0

sin mx  sin nx dx = 0:

Ugyanez rvnyes a koszinuszfggvnyre, st a szinusz s koszinusz fggvnyek szorzatra is. A krds most mr az volt, hogy mikor szmthat ki az an egytthatkat megad integrl. Fourier szerint f (x) nemcsak analitikus grbe, hanem brmilyen grbe lehet, pldul olyan, amit a 10.3. bra mutat. Ez a grbe hrom analitikus rszbl ll, amelyekre kln-kln megadhat kplet s hrom klnbz Taylor-sorral fejezhet ki. Fourier-sora viszont egyetlen van, teht felfoghat egyetlen (nem analitikus) fggvnynek is. Fourier tovbblpve azt lltotta, hogy a kezdeti heloszls (amelynek grbje brmilyen lehet) szinusz- s koszinuszsorok vgtelen sszegvel egyenl, amit ma Fourier-sornak neveznk. A szinusz sor pratlan, a koszinusz sor pros fggvnyekre j. De minden f (x) fggvny felfoghat egy f1(x) pros s egy f2 (x) pratlan fggvny sszegeknt, ahol f1 (x) = 12 f (x) ; f (;x)]  f2 (x) = 21 f (x) + f (;x)] : 310

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Teht nemcsak az igaz, hogy minden fggvnynek van grbje, gra konja, hanem tetszleges grbnek is van fggvnye: Fourier-sora. Fourier maga egyik lltst sem bizonytotta be, br azok utlag helyesnek bizonyultak, ami j zikusi s matematikusi sztnt dcsri. A bizonytsok, pldul a konvergencira adott felttelek a nmet P. Dirichlet (1805,1859) nevhez fzdnek. Az analitikus fggvny fogalmt mr elemeztk: hatvnysorral, Taylorsorral reprezentlhatk. Fourier megmutatta, hogy olyan grbk, amelyeknek szakadsai vannak, s intervallumonknt eltr az alakjuk, trigonometrikus sorral reprezentlhatk, gy fggvnynek tekintendk. Fourier teht nem egyetlen analitikus kifejezshez (kplethez vagy Taylorsorhoz) kttte a fggvny fogalmt, hanem a Fourier-sorral val reprezentlhatsghoz. Teht nem szakadt el a kifejezstl, csak annak rtelmezst bvtette a Fourier-sorral. Megengedte azonban, hogy a fggvnygrbnek egy intervallumon bell vges sok trse, ms-ms alakja legyen. Ilyen grbk alatt szerinte van terlet, gy integrljuk rtelmezhet. Dirichlet mg egy lpssel tovbb ment a Fourier-fle fggvnyfelfogsnl. A fggvny fogalmt nem kttte sem a grbhez, sem kifejezshez, sem kpletekhez, csak az egyrtelm hozzrendelshez. Egy f (x) fggvny megadshoz elegendnek tartott brmilyen olyan szablyt, elrst, amely egy bizonyos szmhalmaz minden x elemhez egyetlen meghatrozott y = f (x) rtket rendel. Idzzk Dirichlet szavait: Nem szksges, hogy y-t az x-bl ugyanaz a szably hatrozza meg az egsz intervallumon, valjban elfordulhat, hogy nem is tudjuk matematikai m!veletekkel kifejezni ezt a kapcsolatot. ... Nem szmt, ha valaki gy gondolja, hogy ez (a megfeleltets) olyan, hogy a klnbz rszeket klnbz szablyok adjk meg, vagy ha gy rtkeli, hogy (a megfeleltets) teljesen szablytalan ... Ha egy fggvnyt egy intervallumnak csak egy rszn adtunk meg, akkor folytatsnak mdja az intervallum maradk rszn teljesen tetszleges. Dirichlet pldt is adott j fggvnyfogalma illusztrlsra 1828-ban:

RR

(

QR Q

f : !  x 7! 0 ha x 2 1 ha x 2 n : Ennek a Dirichlet-fggvnynek a grbjt lehetetlen megrajzolni. Tovbb nincs alatta terlet, nem integrlhat. A fggvny s a grbe fogalmnak elvlasztsval az analzis elszakadt a geometritl. Ezutn mr nem volt tovbb tarthat az a korbbi meggyzds sem, hogy minden fggvny az algebrai, illetve trigonometrikus fggvnyekre vezethet vissza a hatvnysorba (Taylor-sorba), illetve trigonometrikus sorba (Fouriersorba) val fejtssel. Tulajdonsgaik teht nem vihetk t minden fggvnyre. gy jra kellett gondolni a folytonossg, a derivlt, az integrl, stb. fogalmait. A folytonossgot Bolzano s Cauchy de nciit tovbbfejlesztve Weierstrass fogalmazta meg mig hat rvnnyel. Elhagyta a vltoz kzelt egy 311

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

hatrrtkhez tpus megfogalmazsokat, mert az szerinte idt s mozgst ttelez fel, gy zikai jelleg. A vltozt egyszeren egy betnek fogta fel, amely egy halmaz brmely rtkt felveheti. Az x vltoz akkor folytonos x0 -ban, ha brmely  > 0 esetn x-nek ms rtkei is vannak az (x0 ;  x0 + ) intervallumban. Az f (x) fggvny pedig akkor folytonos x0 -ban, ha minden " > 0hoz van olyan  > 0, hogy x rtkeit a fenti intervallumbl vlasztva f (x) az (f (x0 ) ; " f (x0 ) + ") intervallumba esik. A folytonossg korbbi de ncijbl (ami megfelel a mai analitikussgnak) kvetkezett a derivlhatsg, legfeljebb 1,1 pontot kivve. Az jabb fggvnyfogalomra vonatkoz els ellenpldt Riemann konstrulta 1854-ben, felhasznlva sajt integrlfogalmt is. Fggvnye minden pontban folytonos volt, de vgtelen sok pontban nem volt derivlhat. Weierstrass 1861-ben olyan fggvnyre adott pldt, amely mindentt folytonos, de sehol sem derivlhat. A kortrsak nagyon idegenkedve fogadtk az ilyen patologikus fggvnyeket, amelyeknek semmi normlis tulajdonsga s semmi haszna nincs. A szzadvg vezet matematikusa, Poincar szavai szerint: Rgebben, ha egy j fggvnyt felfedeztek, azt valami gyakorlati clbl tettk, ma kimondottan azrt talljk fel ezeket, hogy atyink kvetkeztetseire rcfoljanak, s soha nem is fogjk ezeket msra hasznlni. Egy msik jelents francia matematikus, Hermite pedig gy rt: Rmlettel s borzalommal fordulok el ettl a siralmas feklytl: fggvnyek, amelyeknek nincs derivltjuk! Nemcsak az akkori matematikusok, hanem a mai dikok j rsze is idegenkedik ezektl a mesterklt fggvnyektl. Sokak fejben mg a XVIII. szzadi fggvnykp l. Ezrt rtik nehezen a XX. szzadi fggvnyekre megfogalmazott de ncikat. A francia matematikusok egy rsznek ellenkezse dacra az j fggvnyek hasznlhatsgt ppen francia matematikusok (Baire, Borel, Lebesgue) mutattk meg, rtelmezve az integrl s derivlt fogalmt rjuk is. Szintn francia matematikus (Frechet) terjesztette ki a Dirichlet-fle fggvnyfogalmat szmhalmazokrl tetszleges halmazokra. Egy tetszleges halmaz elemeihez vals szmot hozzrendel fggvnyt funkcionl nak nevezett. Ilyen pldul az a b]-on integrlhat fggvnyek F halmazn a hatrozott integrl. Valamely metrikus trben a tvolsgfggvny ktvltozs funkcionl, amely brmely kt elemhez a tvolsgukat rendeli hozz. Ha egy fggvny rtelmezsi tartomnya s rtkkszlete is valamely tetszleges halmaz (pl. fggvnyhalmaz), akkor a fggvnyt opertor nak nevezzk. Legnevezetesebb pldja a di(erencilopertor, amely a derivlhat fggvnyek halmazn egy fggvnyhez a derivlt-fggvnyt rendeli. 'sszefoglalva: valamely f : X ! Y lekpezsben X az shalmaz vagy rtelmezsi tartomny (D), Y pedig a kphalmaz. Az f (D)  Y rtkek adjk az f fggvny rtkkszlett (R). 312

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Ebben a felfogsban a klasszikus egyvltozs vals fggvny egy nagyon specilis fggvnyosztlyt ad: azokat a fggvnyeket, amelyek vals szmokhoz vals szmokat rendelnek. Az analitikus fggvnyek pedig mg szkebb osztlyt alkotnak. A mrtk- s integrlfogalom fejldse

A hatrozott integrl fogalmnak ltalnostsa eleinte csak az egyvltozs vals fggvnyekre szortkozott. Cauchy folytonos fggvnyekre rtelmezte a hatrozott integrlt, mint az n rszre osztott a b] intervallumon vett fels s als sszegek (Sn s sn ) kzs hatrrtkt n ! 1 esetn (10.4. bra).

f (x) M m

a = x0

b = xn x

10.4. bra. A hatrozott integrl fogalma folytonos fggvnyekre.

Sn = T=

Zb a

n X i=1

Mi xi  sn =

n X i=1

mi xi  Sn  T  sn

f (x) dx = nlim Sn = nlim sn  max jxi j ! 0: !1 !1

A hatrozott integrl ltezse nemcsak szemlletesen nyilvnval, de be is bizonythat folytonos fggvnyek esetben. A folytonossg durvn azt jelenti, hogy ha x1 s x2 elg kzel esnek egymshoz, akkor f (x1 ) s f (x2 ) szintn kzel vannak egymshoz. A fggvnygrbe alatti terlet azonban nem folytonos fggvnyeknl is elkpzelhet, br ezeknek szakadsaik, ugrsaik, stb. vannak. Ilyen fggvnyek a Fourier-sorok egytthatit meghatroz integrlokban is szerepelnek, ami az alkalmazs oldalrl is indokolja az integrlfogalom kiterjesztst. A kiterjesztst Riemann vgezte el 1854-ben, megalkotva az ismert Riemann-integrl fogalmat:

I=

Zb a

f (x) dx = nlim !1

X i

f (i )xi  max jxi j ! 0 313

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

minden beoszts s brmely f (i ) vlasztsa esetn a xi intervallumbl. Az integrlhatsg kritriuma az, hogy f (x) korltos legyen a b]-ban s a kzelt sszegek eltrse n nvelsvel nullhoz tartson. Riemann szerint integrlhat pldul egy olyan fggvny is, amely megszmllhatan vgtelen pontban nincs ugyan rtelmezve, de a fggvnyrtkek minden kis rszintervallumban elg kzel esnek egymshoz. A Dirichletfggvny viszont nem integrlhat mondjuk a 0 1]-ban, pedig mindentt rtelmezve van. Minden kis rszintervallum tartalmaz ugyanis racionlis s irracionlis pontot. Az elzeken vgigfut kzelt sszeg nulla, az utbbiakon vgigfut pedig 1, gy klnbsgk nem tart nullhoz. Intuitve viszont elkpzelhet terlet a Dirichlet-fggvny alatt a 0 1] intervallumon, amelynek rtkt 1-nek rezzk. A lyukakat jelent racionlis szmok megszmllhat vgtelensge mellett, az irracionlis szmok kontinuum vgtelensge befedi az intervallumot. Halmazuk hosszt 1-nek, a racionlis szmokt 0-nak rezzk. A krdsek teht a kvetkezk: Hogyan lehet egy nem sszefgg ponthalmaz hosszt is rtelmezni gy, hogy specilisan egy racionlis ponthalmaz hossza 0 legyen? Hogyan kell a kzelt sszegeket gy mdostani, hogy a Dirichlet-fggvny is integrlhat legyen, tovbb az integrl rtke 1 legyen a 0 1]-on? Ahhoz, hogy az vals szmegyenes valamely H ponthalmaznak m mrtkt a hosszsg ltalnostsnak tekinthessk, teljeslni kell az albbi termszetes kvetelmnyeknek:

R

1. de nitsg: m(H )  0, 2. additivits: m(H  K ) = m(H ) + m(K ), ha H \ K = , 3. m() = 0, m(a b]) = m( (a b) ) = b ; a. Ezeken kvl mg azt is elrjuk, hogy kongruens (egybevg) halmazok mrtke megegyezzen. Ms szval: a mrtk legyen invarins az egybevgsgi transzformcicsoporttal (mozgsokkal) szemben. Legyen H a szmegyenes egy korltos nylt vagy zrt rszhalmaza (lsd a VIII. fejezetet). Pldk korltos halmazra: vges sok pont, konvergens sorozat, vges nylt s zrt intervallumok, valamint az elzek bizonyos egyestsei, metszetei. Egy korltos halmaz mindig befoglalhat egy vges intervallumba. Egy vges nylt halmaz mindig elllthat megszmllhatan sok pronknt diszjunkt nylt intervallum egyestseknt, amit a halmaz norml ellltsnak neveznk. Termszetesen egy nylt halmaznak nemcsak norml ellltsa ltezhet. Sok esetben vges sok nylt intervallummal is lefedhetk. A szmegyenesen teht csak a nylt intervallumok vagy egyestseik a korltos nylt halmazok. A szmegyenes korltos s zrt, azaz kompakt halmazai nem mindig llthatk el zrt intervallumok egyestseknt, ellenttben a nylt halmazokkal. Erre elszr G. Cantor konstrult ellenpldt, az n. Cantor-fle triadikus halmazt. 314

www.interkonyv.hu

© Filep László

  



© Typotex Kiadó

Hagyjuk el 0 1]-bl az 13  23 intervallumot. A megmaradt 0 13 , 23  1 , intervallumok mindegyikbl ismt hagyjuk el a kzps nylt harmadot, azaz   1  2 -et s 7  8 -et. Ezt az eljrst folytassuk a vgtelensgig. A vgtelen 9 9 9 9 sok lps utn kapott halmazra igaz, hogy zrt, korltos, szmossga kontinuum, nem tartalmaz egyetlen intervallumot sem. Az -beli korltos zrt halmazok teht bonyolultabb struktrjak, mint a nyltak. Gondoljunk pldul az elz pldra, vagy egy konvergens sorozatra. A mrtket ezrt gyakran csak nylt halmazokra vezetik be. Zrt halmaz mrtke akkor gy kzelthet meg, hogy komplementere nylt. Ezek utn ktfle mrtkfogalmat ismertetnk: a Jordan-mrtk et (Jordan, Peano-mrtk) s a Lebesgue-mrtk et (Lebesgue,Borel-mrtk). Mindkett a szzadfordul krl szletett Franciaorszgban s a msodik az els ltalnostsa. Legyen H korltos ponthalmaz -ben s tekintsnk egy H -t lefed vges sok intervallumbl ll rendszert. Vegyk az sszes ilyen rendszert s szmtsuk ki mindegyiknl az intervallumok hossznak sszegt (sszmrtkt). Az sszmrtkek halmaznak als hatrt H kls Jordan-mrtk nek nevezzk. Jele: jk (H ). Ha az elz de nciban vges sok helyett vges vagy megszmllhatan vgtelen sok intervallumbl ll lefed rendszert mondunk, akkor H kls Lebesguemrtk t kapjuk. Jele: lk (H ). Ekkor az sszmrtkek hatrtmenettel kaphatk meg. Pldk: (1.) Legyen H diszjunkt intervallumok vges rendszere. Ekkor jk (H ) = lk (H ) = az intervallumok hossznak sszege. (2.) Jellje E1 a 0 1] racionlis, E2 pedig irracionlis pontjainak halmazt. Ekkor jk (E1 ) = 1. Egy vges lefedrendszer ugyanis szksgkppen tartalmazza a 0 1] sszes pontjt a racionlis szmhalmaz sr volta miatt, teht sszmrtkk 1. Viszont, ha a megszmllhat szmossg, teht sorozatba rendezhet racionlis pontok kzl az elst lefedjk egy "=2, a msodikat egy "=4, az n-ediket egy "= 2n hosszsg intervallummal, akkor az intervallumok sszhossza  1 X " = " 1 + 1 ++ 1 + = "  1 = " n 2 4 2n 2 1 ; 0 5 n=1 2 lesz. A keresett als hatr, vagyis E1 kls Lebesgue-mrtke teht 0. Megmutathat viszont, hogy jk (E2 ) = lk (E2 ) = 1. Megadjuk a kls Lebesgue-mrtk egy ekvivalens rtelmezst is: lk (H ) = Hinf flk (S )g

S

R

R

ahol S egy tetszleges H -t lefed nylt halmaz. Ugyanis a norml ellltst alkalmazva lk (S ) kzvetlenl rtelmezhet az ellltst alkot intervallumrendszer sszhosszaknt. Hasonl alternatv de nci adhat a kls Jordanmrtkre is.

315

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Valamely H korltos halmaz bels Jordan-mrtk n a csak H pontjaibl ll sszes vges s diszjunkt intervallumrendszer sszhossznak fels hatrt rtjk. Jele: jb (H ). Egyszerbb alternatv de nci:

jb (H ) = b ; a ; jk (a b] n H ) H  a b]: Egy H halmazt Jordan-mrhetnek neveznk, ha jk (H ) = jb (H ) = j (H ). Ekkor a j (H ) szmot H Jordan-mrtk nek nevezzk. A Jordan-mrtkre teljeslnek a mrtkre korbban elrt tulajdonsgok, gy pldul az additivits. Megmutathat az is, hogy Jordan-mrhet halmazok klnbsge s egyestse is Jordan-mrhet halmaz, vagyis n. Boole-gyrt ( gyrt) alkotnak. Minden vges ponthalmaz vagy konvergens sorozat Jordan-mrtke 0, vagyis ezek nullmrtk halmazok. Vannak megszmllhat s nem megszmllhat nullmrtk halmazok is, pldul a Cantor-fle triadikus halmaz (T ), amely kontinuum szmossg. Konstrukcijnak n-edik lpse utn, a 0 1]-bl megmarad rszt lefed intervallumnak sszhossza ugyanis

  2 n 2 n 1 1 1 n ;1 1 1 ; 3 + 2 9 + 4 27 +    + 2 3n = 1 ; 1 ; 3 = 3 

ami n nvelsvel nullhoz tart. Teht a halmaz kls mrtke nulla. Szintn nulla a bels mrtk is: jb (T ) = 1 ; 0 ; jk (0 1] ; T ) = 1 ; 0 ; 1 = 0, teht T Jordan-mrhet s mrtke valban 0. Nem Jordan-mrhet viszont az E1 halmaz. Kls mrtke 1 volt, bels mrtke viszont: jb (E1 ) = 1 ; 0 ; jk (0 1] ; E1 ) = 1 ; jk (E2 ) = 1 ; 1 = 0. Hasonlan mutathat meg, hogy E2 sem Jordan-mrtk halmaz. (A jb (T ) = jb (E1 ) = 0 egyenlsg abbl is kvetkezik, hogy sem T , sem E1 nem tartalmaz szakaszt, gy bels Jordan mrtkk de nci szerint 0.) De niljuk ezutn a Lebesgue-mrtkre a bels mrtk, a mrhetsg s a mrtk fogalmt.

lb (H ) = b ; a ; lk (a b] ; H ) H  a b]: H Lebesgue-mrhet, ha: lb (H ) = lk (H )- H Lebesgue-mrtke: l(H ) = lb (H ) = lk (H ). A Lebesgue-mrtk is rendelkezik a mrtktl megkvnt tulajdonsgokkal ezeken kvl a teljes ( -) additivits sal. Legyenek H1  H2  : : :  Hn  : : : pronknt diszjunkt s Lebesgue-mrhet halmazok. Ekkor H -val jellt egyestsk is mrhet s mrtke:

l(H ) =

1 X

n=1

l(Hn ):

Brmely Jordan-mrhet halmaz Lebesgue-mrhet s ez esetben a ktfle mrtk megegyezik. A megfordts nem igaz: vannak olyan nem Jordan-mrhet 316

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

halmazok, amelyek Lebesgue-mrhetk. Ilyenek az E1 s E2 halmazok 0 1]-ben. Kls Lebesgue-mrtkk 0, ill. 1, bels mrtkeik pedig:

lb (E1 ) = 1 ; 0 ; lk (0 1] ; E1 ) = 1 ; lk (E2 ) = 1 ; 1 = 0 lb (E2 ) = 1 ; 0 ; lk (0 1] ; E2 ) = 1 ; lk(E1 ) = 1 ; 0 = 1: Teht l(E1 ) = 0, l(E2 ) = 1, ami megfelel a mr vzolt szemlleti elvrsainknak. A vals szmegyenesen nem korltos halmazok Lebesgue-mrtke is rtelmezhet. Belthat tovbb, hogy a Lebesgue-mrhet halmazok Borel-fle halmaztestet ( -algebrt) alkotnak. Ez azt fejezi ki, hogy halmazuk zrt a klnbsgkpzsre s megszmllhatan sok halmaz egyestsre. A Lebesgue-mrtk olyan ltalnos fogalom, hogy sokig azt hittk az egyenes brmely ponthalmaza mrhet ezzel a mrtkkel. Az els ellenpldt G. Vitali adta meg 1905-ben: Osztlyozzuk a 0 1]-ot gy, hogy kt pont akkor kerljn egy osztlyba, ha tvolsguk racionlis szm. Vlasszunk ki minden osztlybl egy pontot. Az gy kapott ponthalmaz nem mrhet. Nem teljes volta ellenre a Lebesgue-mrtkre felpthet egy igen ltalnos integrlfogalom (Lebesgue-integrl), ami alapvet jelentsgv vlt az analzis tovbbfejldsben. Megalkotja H. Lebesgue (1875,1941) francia matematikus joggal rdemelte ki a modern Arkhimdsz nevet. Lebesgue az ltala bevezetett mrtkfogalom segtsgvel vizsglta s ltalnostotta a Riemann-integrlt. Megllaptotta, hogy egy fggvny akkor s csak akkor Riemann-integrlhat, ha korltos s szakadsi helyei (diszkuntinuitsai) nullmrtk halmazt alkotnak, ms szval ha a fggvny majdnem mindentt folytonos. A Dirichlet-fggvny Riemann szerint nem integrlhat, mert minden pontban szakadsa van. Ha kt Riemann-integrlhat fggvny egy nullmrtk halmaz kivtelvel megegyezik, akkor Riemann-integrljuk s gy Fourier-sor kifejtsk megegyezik. A Dirichlet-fggvny s ms fggvnyek integrlhatsgt Lebesgue egy jfajta sszegzsi eljrs bevezetsvel biztostotta. Tl sok szakadsi helynl nem biztos, hogy a xi = xi ; xi;1 intervallumbl P kivlasztott f (i ) rtkek az intervallum kicsinytsvel kzel esnek, gy a f (i )xi kzelt sszegek nem ugyanahhoz a szmhoz konverglnak, vagy nem is konverglnak. Tekintsk ezrt a fggvny f a b] rtkkszlett. Osszuk be ezt yi = yi ; yi;1 intervallumokra, vagyis vegyk az egymshoz kzeli fggvnyrtkeket. A megfelel a b]-beli x rtkek halmazt jellje Hi , ami ltalban nem egy intervallum. Tegyk fel, hogy Hi mrhet s jellje mrtkt m(Hi ). Minden intervallumbl vlasszunk ki egy i szmot s kpezzk a n X i=1

i m(Hi ) i 2 yi = yi ; yi;1

Lebesgue-sszeget. Ha ez minden beoszts s i vlaszts esetn konvergens, akkor a kapott rtket f (x) Lebesgue-integrljnak nevezzk a b]-n. Pldul a 317

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó f (x) yi i yi;1

a x1

x2

x3

x4

x5

=

b

x

10.5. bra. Egy fggvny Lebesgue-integrlja.

10.5. bra szerint:

Zb

aL

f (x) dx = nlim !1

1 X

i=1

i m(Hi ) max jyi j ! 0:

i 2 yi = yi ; yi;1 2 f (a b]) Hi = fx1  x2  x3  x4 ] x5 g Ln =

n X i=1

i m(Hi ):

Riemann teht a fggvny rtelmezsi tartomnyt osztja az x-tengelyen balrl jobbra haladva rszintervallumokra, majd veszi az egyes rszintervallumokban lev fggvnyrtkeket, vgl ezeket szorozza a rszintervallumok hosszval. Lebesgue viszont az rtkkszletet osztja az y tengelyen alulrl felfel haladva rszintervallumokra, ezekbl vesz egy rtket, kigyjti a megfelel x-ek halmazt, vgl a fggvnyrtkeket szorozza az x-ek halmaznak mrtkvel. Lebesgue Riemann eljrst ahhoz a kereskedhez hasonltotta, aki pnzt gy szmolja meg, ahogy ppen egymsutn jn. Sajt eljrst pedig azhoz, aki elbb csoportostja az azonos rtkeket, megszmolja mennyi van bellk s csak utna sszegez. A Dirichlet-fggvnynek van Lebesgue-integrlja. #rtkkszlete ugyanis csak ktelem: 1 = 0, 2 = 1. Az els rtket a fggvny az E1 , a msodikat pedig az E2 ponthalmazban veszi fel, amelyek mrtke m(E1 ) = 0, m(E2 ) = 1, gy

Z1 0

L

f (x) dx = nlim !1

n X i=1

i m(Hi ) = 1 m(E1 ) + 2 m(E2 ) = 0  0 + 1  1 = 1:

Teht a 0 1]-on a Dirichlet-fggvny alatt is van terlet s van a fggvnynek Fourier-sora is, amelynek egytthatit a Lebesgue-integrl adja. Fourier-sora egyenl az f (x) = 1 fggvnyvel. 318

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Belthat az is, hogy ha egy fggvnynek van Riemann-integrlja is, akkor az megegyezik a Lebesgue-integrllal. A derivlsi ttelek is levezethetk a Lebesgue-integrlra vonatkoz ttelek kvetkezmnyeiknt. Pldul az, hogy minden monoton fggvny legfeljebb nullmrtk halmaztl eltekintve mindentt di(erencilhat. Ksbb erre a ttelre Riesz Frigyes kzvetlen bizonytst adott. A Riemann-integrl msfle ltalnostst vgezte el a holland T. Stieltjes (1856,1894). Az f (i )(xi ; xi;1 ) kifejezsekben (xi ; xi;1 )-et a g(x) = x fggvny vltozsnak fogta fel s kiterjesztette tetszleges g(x) fggvnyre: Legyen rtelmezve az a b]-on az f (x) s a g(x) fggvny. Osszuk fel a b]-t n rszintervallumra s vlasszunk P ki mindegyik xi = xi ;xi;1 rszintervallumbl egy i pontot s kpezzk a ni=1 f (i )g(xi ) ; g(xi;1 )] sszeget. Ha ez az sszeg minden feloszts s minden i vlaszts esetn ugyanahhoz a szmhoz konvergl, akkor a hatrrtket az f (x) fggvnynek a g(x) fggvnyre vonatkoz Stieltjesintegrl jnak nevezzk, azaz

Zb

aS

f (x) dg(x) = nlim !1

n X i=1

f (i )g(xi ) ; g(xi;1 )] max xi ! 0:

Ezt az integrlfogalmat K nig Gyula Stieltjest megelzen alkalmazta egyetemi eladsaiban. A Lebesgue-integrl fogalma a Stieltjes-integrlra is alkalmazhat, gy ma Lebesgue,Stieltjes-integrlrl beszlnk. Ez az integrlfogalom a modern analzis s az elmleti zika egyik ers fegyvere. A XX. szzadi matematikra jellemz ltalnostsi s axiomatizlsi tendencia nem kerlte el a mrtk s az integrl fogalmait sem. Szemlletes tartalmuktl megfosztva tetszleges halmazokra ltalnostottk ket. Szoksos tulajdonsgaik teljeslst aximk elrsa biztostja. Az ltalnos de ncik mgtt azonban mindig ott rejlik a vals szmegyenes s az ottani Lebesguemrtk s integrl. Valamely X (6= ) halmaz H rszhalmazainak egy H csaldjt (H  P (X ))

-algebrnak, vagy Borel-fle halmaztest nek neveznk, ha 1. X 2 H, 2. H 2 H =) X n H 2 H, 3. Hi 2 H (i = 1 2 : : : ) =) 1 i=1 Hi 2 H Ekkor az (X H) prt mrhet tr nek nevezzk. Legyen (X H) mrhet tr. Ha minden H 2 H-ra rtelmezve van egy m(H ) vals szm, amelyre teljesl, hogy 1. m(H )  0, 2. H  K =) m(H )  m(K ), 3. H \ K =  =) m(H  K ) = m(H ) + m(K ), 319

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

R

akkor m(H )-t a H halmaz mrtknek nevezzk. Rviden: a mrtk egy olyan m : H !  H 7! m(H ) halmazfggvny, amely nemnegatv, monoton s additv. Ha az additivits megszmllhat esetre is teljesl, akkor a mrtket teljesen additvnak nevezzk. Az (X H m) hrmast mrtktr nek, m-et az (X H) mrthet trhez tartoz mrtk nek, a H -algebra elemeit pedig mrhet halmaz oknak nevezzk. Egy f (x) vals fggvny mrhet az (X H m) mrtktren, ha tetszleges c vals szmra az X (f > c) = fx 2 X jf (x) > cg nvhalmaz mrhet. Ha f (x) mrhet s korltos, akkor ltezik Lebesgue-integrlja az adott m mrtkre vonatkoztatva, ha az egsz tr mrtke vges. A mrtk s integrl fenti absztrakt rtelmezse lehetv teszi a Lebesguemrtk s integrl tbbfle ltalnostst. A legjelentsebb ltalnosts Haar Alfrd nevhez fzdik. Legyen X = G, ahol G egy loklisan kompakt s szeparbilis kommutatv topologikus csoport, amelynek van megszmllhat bzisa. Ha (G H) egy mrhet tr, akkor mindig ltezik G-n egy invarins m mrtk, ami konstans szorztl eltekintve egyrtelm (Haar-ttel, 1933). A szbanforg mrtket Haar-mrtk nek, a r pl integrlt pedig Haar-integrl nak nevezzk. Valamely m mrtk invariancija a G csoportbeli mvelettel szemben azt jelenti, hogy m(H ) = m(Hx) 8c 2 G 8H 2 H, illetve az m-re pl integrlra fogalmazva

Z

G

f (yx) dm(y) =

Z

G

xf (y) dm(y):

A vals szmok additv csoportja s topologikus tere eleget tesz a Haar-ttel feltteleinek (lsd VIII. fejezet). Ekkor a Haar-mrtk s integrl megfelel a Lebesgue-mrtknek s integrlnak. A Haar-mrtk segtsgvel oldotta meg Neumann Jnos Hilbert 5. problmjt: hogyan lehet felpteni a topologikus csoportok elmlett a csoportot meghatroz fggvnyek (a csoport karakterei) di(erencilhatsgnak felttelezse nlkl.

10.2. Fourier-analzis Az elz pontban mr vzoltuk a Fourier-sorokkal kapcsolatos alapismereteket s megmutattuk jelentsgket a fggvnyfogalom s az integrlfogalom fejldsben. Most rszletesebben foglalkozunk a Fourier-sorokkal s bemutatjuk azt a velk kapcsolatos kt eredmnyt, amelyek a magyar matematika bszkesgei kz tartoznak, nevezetesen a Fejr-fle alapttelt s a Riesz,Fischer-ttelt. Egy f (x) fggvny Fourier-sorn az albbi vgtelen sort rtjk: 1 a0 + X (an cos nx + bn sin nx) 2

n=1

320

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

ahol

a0 = 1

Z 2 0

f (x) dx an = 1

Z 2 0

f (x) cos nx dx bn = 1

Z 2 0

f (x) sin nx dx:

Az egytthatkra felrt integrlformulk, mint lttuk, abbl addnak, hogy a szinusz s koszinusz fggvnyek ortogonlisak brmely 2 hosszsg intervallum. Ez azt jelenti, hogy az 1 cos x sin x cos 2x sin 2x : : : fggvnyrendszer brmely kt klnbz index eleme szorzatnak integrlja valamely 2 hosszsg intervallum zrus. Ha az integrlst a ; ]-on vgezzk, akkor knnyen lthat, hogy egy pros f (x) fggvny Fourier-sorban minden bn nulla, pratlan fggvnyben pedig minden an s a0 nulla (tiszta koszinusz, illetve szinusz sor). Az ortogonalitsbl levezethet egy rdekes sszefggs f (x) Fourier-sornak egytthatira. Emeljk az

f (x) = a20 + (a1 cos x + b1 sin x) + (a2 cos 2x + b2 sin 2x) +   

egyenlsg mindkt oldalt ngyzetre s integrljuk 0 s 2 kztt. Mivel a sin mx cos nx szorzatokat tartalmaz tagok integrlja zrus lesz, az a2n cos2 nx s b2n sin2 nx tagok pedig a2n  s b2n , ezrt kapjuk, hogy 1 1 Z 2 f 2 (x) dx = a20 (a2 + b2 ) + (a2 + b2 ) +    = a20 + X (a2n + b2n ): 2 2  2 1 1 2

0

n=1

A kapott sszefggst Parseval-formulnak nevezzk. Ez a formula minden ngyzetesen integrlhat fggvnyre rvnyes s rirnytotta a gyelmet az ilyen fggvnyek halmazra. A formula bal oldaln vges szm ll, ezrt a jobb oldali sszegnek is vgesnek kell lenni.PMs szval: ngyzetesen integrlhat 2 2 fggvnyek Fourier-sorra igaz, hogy a 1 n=1 (an + bn ) sor konvergens. Fourier-sorokkal kapcsolatban a legfontosabb krds az, hogy mikor lltja el a sor a fggvnyt. Elsknt Dirichlet adott erre elgsges felttelt: f (x) legyen szakaszonknt monoton a 0 2] intervallumban. Ekkor a Fourier-sor konvergl f (x)-hez a folytonossgi pontokban. A szakadsi pontokban a sor a bal s jobb oldali hatrrtkek szmtani kzephez konvergl. A Dirichlet-ttel csak a fggvnyek egy szk osztlyra biztostotta a Fouriersorral val ellltst. Egyre tbb pldt konstrultak olyan fggvnyekre, kztk folytonosokra is, amelyek Fourier-sora divergens volt. Az elllthatsg szksges s elgsges felttelt is hiba kutattk. gy a matematikusok gyelme kezdett elfordulni a Fourier-soroktl, amelyek azonban egycsapsra megint rdekess vltak, amikor Fejr Lipt 1900-ban j sszegzsi eljrst dolgozott ki rjuk, a szmtani kzepekkel val sszegzst. 321

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A szmtani kzepekkel val sszegzst numerikus sorokra mr rgebben alkalmaztk. A n X

n=0

(;1)n = 1 ; 1 + 1 ; 1 + 1 ;   

sor divergens, hiszen rszletsszegeinek Sn sorozata 1 0 1 0 : : : nem konvergens. A sort mgis sszegezhetnek rezzk, az sszeget pedig 1=2-nek gondoljuk. Valban, ha a rszletsszegek sorozata helyett a rszletsszegek szmtani kzepeinek n sorozatt vesszk, akkor a sor sszege 1=2 lesz:

n = 1 12  23  12  53  12  : : : =) = nlim

n = 21 : !1 A hagyomnyos sszegzs S = limn!1 Sn alakban rhat, ahol Sn a sor els n tagjnak rszletsszegt jelli. Teht Fourier-sor esetben:

Sn (x) = a20 + a1 cos x + b1 sin x +    + an cos nx + bn sin nx = # Z "1 X n 1 =  f (t) 2 + (cos kt cos kx + sin kt sin kx) dt = ;

1Z

"

#

k=1 n X

=  f (t) 12 + cos(kt ; kx) dt: ; k=1

Trigonometrikus azonossgokkal s t ; x = u helyettestssel innen kapjuk, hogy ; Z sin n + 21 u 1 du: Sn (x) =  f (x + u) 2 sin 12 u ; A Fejr-fle sszegzsben Sn helyett a rszletsszegek szmtani kzepe ( n ) szerepel. A sor Fejr-fle sszege pedig = limn!1 n . Fejr Lipt a kvetkez formult vezette le n -re:

# ; Z "nX nX ;1 ;1 sin k + 12 (t ; x) 1 1

n (x) = n Sk (x) = n f (t dt 2 sin 1 (t ; x) k=0

;

k=0

2

ismt az u = t ; x helyettestst alkalmazva. &jabb trigonometrikus azonossgokkal addik a vgs formula:

Z

sin2 12 n(t ; x) dt 2 sin2 12 (t ; x) ; Az integrandusban szerepl trigonometrikus kifejezst Fejr-mag nak nevezik. Segtsgvel bizonythat a Fejr-fle alapttel : n (x) egyenletesen konvergl f (x)-hez, ha f (x) folytonos. Tovbb, ha egy f (x) fggvnyre ltezik S (x), akkor ltezik (x) is, valamint S (x) = (x) = f (x). 1

n (x) = n

f (t)

322

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

R

Trjnk t most a msik klasszikus eredmny ismertetsre. Riesz Frigyes az elsk kztt vette szre, hogy n geometriai tulajdonsgai tvihetk bizonyos fggvnyhalmazokra. Skalris szorzat segtsgvel a merlegessg, a hosszsg stb. szemlletes fogalmai kiterjeszthetk 2 -rl magasabb dimenzikra. Skbeli vektorok merlegessgt mg lehet gy rtelmezni, hogy hajlsszgk 90 , ez azonban hromnl tbb dimenziban nem mond semmit. Tudjuk viszont, hogy kt vektor akkor s csak akkor merleges, ha skalris szorzatuk nulla. Ez a meghatrozs minden tovbbi nlkl tvihet n-dimenzira.

R

R

2 tr Tulajdonsg neve Elemek: vektorok  a b : : : fggvnyek Dimenziszm 2

Skalris szorzat  bels szorzat Merlegessg  ortogonalits Hossz  norma Tvolsg Hajlszg koszinusza Koordints elllts

L2 a b] tr f (x) g(x) : : :

1

Rb

ab = a1 b1 + a2 b2

(f g) = L (f (x)g(x)) dx a

ab = 0

(f g) = 0

p

jaj = pa  a n(f ) = kf k = (f f ) d(a b) = ja ; bj d(f g) = n(f ; g) = kf ; gk cos  = jajab  jbj a = a1 i + a2 j

g) cos  = n(f(f )  n(g) Fourier-sor

10.6. bra. Az R2 s az L2 a b] tr geometriai tulajdonsgai.

Egy n-dimenzis vektor mindig elllthat egymsra merleges n szm vektor lineris kombincijaknt. Hasonl ezzel egy fggvny Fourier-sorral val ellltsa. A komponens szinusz s koszinusz fggvnyek egymsra merlegesek (ortogonlisak), ha szorzatuk integrljt tekintjk skalris szorzatnak. A dimenziszm azonban vgtelen, hiszen a sor vgtelen sok tagbl ll. A vzolt gondolatmenettel az euklidszi tr geometrija felpthet bizonyos fggvnyhalmazokra, st ms halmazokra is. Elszr D. Hilbert s Riesz Frigyes ptett ki kt konkrt teret. Az egyik a Hilbert-fle L2 a b] fggvnytr, a msik a Hilbert-fle `2 sorozattr volt. L2 a b] az a b] zrt intervallumon Lebesgue szerint ngyzetesen integrlhat f (x) fggvnyek halmazt jelli. Az `2 tr elemeit pedig azok az an sorozatok alkotjk, amelyekre az a21 + a22 +    + a2n +    sor konvergens. Ebben az sszefggsben a terek elemeit vektoroknak s nem pontoknak nevezzk. Mivel az L2 a b] trben tvolsgot is rtelmeztnk a norma segtsgvel, ezrt a tr metrikus is. Teht rtelmezhet benne a konvergencia s a Cauchysorozat fogalma: 323

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Konvergencia: lim f = f : 8" > 0 9N : kfn ; f k < " ha n > N: n!1 n

Cauchy-sorozat (Cauchy-tulajdonsg): 8" > 0 9N : kfn ; fm k < " ha n m > N: Ezutn felvethet a tr teljessgnek problmja, vagyis, hogy rvnyes-e benne a Cauchy-fle konvergenciakritrium: egy sorozat akkor s csak akkor konvergens L2a b]-ben, ha Cauchy-sorozat. Az igenl vlaszt Riesz Frigyes s E. Fischer osztrk matematikus adta meg erre a krdsre egymstl fggetlenl. Eredmnyk Riesz$Fischer-fle konvergenciakritrium nven ismert. Szintn kettejk nevhez fzdik a Parseval-formula megfordtsnak igazolsa. Vagyis: egy konvergens ngyzetsszeg szmsorozathoz megadhat-e egy olyan L2 a b] trbeli fggvny, amely Fourier-sornak egytthati ppen a krdses sorozat tagjai? Az igenl vlasz benne van Riesz$Fischer-ttel ben: Egy c1  c2  : : :  cn  : : : vals szmsorozathoz akkor s csak akkor tallhat olyan f (x) 2 L2 a b] fggvny, amelynl a sorozat elemei f (x) Fourier-sornak egytthati, ha a c21 + c22 +    + c2n +    sor konvergens. Kznsges trben a ttel trivilis mert azt fejezi ki, hogy tetszleges derkszg koordintkkal rendelkez vektor ltezik. A Riesz,Fischer-ttel az L2 a b] s `2 terek izomor jt is kifejezi. Jelentsge elssorban ebben ll. Ha az L2 a b] tr de ncijban a Lebesgueintegrlt Riemann-integrllal helyettestjk, akkor a Riesz,Fischer-fle konvergenciakritrium s ttel elveszti rvnyessgt. #ppen ez a tny irnytotta a

gyelmet a frissen megszletett Lebesgue-integrlra.

R

10.3. Funkcionlanalzis Az elz pontban trgyalt n , `2 s L2 a b] terek az albbi kzs tulajdonsgokkal rendelkeznek: Lineris (algebrai) szerkezet. #rtelmezve van bennk az sszeads s a szmmal val szorzs, amely mveletekre rvnyesek a vektoralgebra szoksos tulajdonsgai. Ezrt a terek elemeit absztrakt vektoroknak foghatjuk fel. Metrikus (topologikus) szerkezet. #rtelmezve van brmely kt elem tvolsga, teht metrikus terek is. Elemeiket tekinthetjk absztrakt pontoknak is. (Ezt a kettssget n -ben egy pont s a hozz mutat helyvektor azonostsa fejezi ki.) Teljessg. Mint metrikus terekben rvnyes bennk a Cauchy-fle konvergenciakritrium. Ezen meg gyelsekbl alakult ki az absztrakt Hilbert-tr fogalma. Ksbb a lineris terek jabb tpusait de niltk: Banach-tr, normlt lineris tr, stb. Az e terekben bevezetett fogalmak felfoghatk a tereken rtelmezett funkcionlokknt (opertorokknt). Vizsglatuk az analzis j gaknt klnlt el funkcionlanalzis nven a harmincas vekben.

R

324

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

M. Frechet szereprl a metrikus tr fogalmnak kialakulsban mr szltunk. volt az is, aki mr 1906-ban hangoztatta, hogy az analzis nem fejldhet tovbb a halmazelmlet alkalmazsa nlkl. Frechet mellett elssorban Riesz Frigyes neve emelend ki a funkcionlanalzis megalapozi kzl. Rajtuk kvl mg D. Hilbert s E. Schmidt nmet matematikusok ttrmunkja jelents. A klnbz terek de nilsa s j mdszerek kidolgozsa Neumann Jnos, valamint az amerikai N. Wiener s a lengyel S. Banach nevhez fzdik, aki vezetje volt a kt vilghbor kztt a varsi s lembergi egyetemen mkd lengyel iskolnak. Neumann Jnos a Hilbert-terek elmlett a kvantummechanika matematikai megalapozsra alkalmazta. Az absztrakcis fokozatok nyomonkvetse mg a legjobb matematikusoknak sem volt knny. Hadd illusztrljuk ezt egy anekdtval. Az ids Hilbert rszt vett egy tancskozson, amelyen az (absztrakt) Hilbert-tereket trgyaltk. A vgn Hilbert felllt s gy szlt: Uraim, elmagyarzn nekem valaki, mi az a Hilbert-tr? A bevezetett trtpusok mindegyike a lineris tr valamilyen fajtja volt: De nci: Egy L halmaz lineris teret alkot egy T test felett, ha rtelmezett benne egy m!velet (+), valamint a T elemeivel val szorzs s teljeslnek az albbi tulajdonsgok: 1. az (L +) strukt ra Abel-csoport 2. 8x x1  x2 2 L 8t t1 t2 2 T : (a) (t1 + t2 )x = t1 x + t2 x, (b) (t1 t2 )x = t1 (t2 x), (c) t(x1 + x2 ) = tx1 + tx2 , (d) 1x = x (1 2 T x 2 L). Az L elemeit (pontjait) vektoroknak, a T elemeit pedig skalrisoknak szoks nevezni. T rendszerint a vals vagy a komplex szmtest. A lineris terek kzl azokra vihetk t a geometria s az analzis fogalmai s ttelei, amelyek egyidejleg metrikusak s teljesek is. A funkcionlanalzis felptsben s alkalmazsban kt ilyen trfajta tett szert klns jelentsgre: a Hilbert-tr s a Banach-tr. A klnbsg az, hogy Hilbert-trben a metrikt skalris szorzatbl, Banach-trben (mivel ott nincs skalris szorzat) pedig a normbl szrmaztatjuk. Valamely L lineris trben a skalris (bels) szorzat egy olyan

R

f : L  L !  (x y) 7! f (x y) = (x y) funkcionl, amely eleget tesz a vektorok skalris szorzata szoksos tulajdonsgainak: 1. (x x)  0 (x x) = 0 () x = 0, 325

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

2. (x y) = (y x), 3. (x + y z ) = (x z ) + (y z ), 4. (ax y) = a(x y) a 2 . Egy L-beli norma pedig egy olyan

R

RR

n : L !  x 7! n(x) = kxk funkcionl, amelyre teljeslnek az -beli abszolt rtk ismert tulajdonsgai: 1. n(x)  0 n(x) = 0 () x = 0, 2. n(x + y)  n(x) + n(y), 3. n(ax) = jajn(x) a 2 . Az absztrakt Hilbert-tr fogalmt Neumann Jnos vezette be 1929-ben. Valamely H halmaz Hilbert-teret alkot, ha: H lineris tr, H -ban rtelmezett a skalris szorzs- H -ban rtelmezett a norma s a tvolsg a skalris szorzattalH teljes metrikus tr. Lthat, hogy az absztrakt Hilbert-tr fogalma az n , `2 s L2 a b] terek kzs ltalnostsa. Megmutathat, hogy nemcsak az L2a b] tr, hanem minden megszmllhatan vgtelen dimenzis Hilbert-tr izomorf `2 -tel. A skalris szorzat segtsgvel tetszleges Hilbert-trre ltalnosthatk az ortogonalits, a hajlsszg, stb. fogalmai, valamint a Fourier-sorral kapcsolatos eredmnyek. Neumann Jnosnak a Hilbert-tr segtsgvel sikerlt megmutatni a kvantummechanika ktfle matematikai lersnak ekvivalencijt, valamint kidolgozni egysges matematikai elmlett. A kvantummechanika egyik lersa a Heisenberg-fle mtrixmechanika (1925), amelyben az `2 tr mtrixreprezentcija jtszik kulcsszerepet. A msik lers, Schrdinger hullmmechanikja (1926) egy parcilis di(erencilegyenletbl, a hullmegyenletbl indul ki s a msik lerssal hasonl kvetkeztetsekre jut. A hullmegyenlet megoldsai ngyzetesen integrlhat fggvnyek, amelyek egy L2a b] teret alkotnak. Ez a tr a Riesz,Fischer-ttel alapjn izomorf a mtrixmechanikai lersban szerepl `2 trrel. Ez az izomor a biztostja a ktfle lers ekvivalencijt. Neumann Jnos ms fontos eredmnyeket is elrt a Hilbert-tr tanulmnyozsa sorn. Bebizonytotta az n. spektrl ttelt, amely egy Hilbert-fle fggvnytr bizonyos opertoraira vonatkozik s amely az energiamegmarads matematikai kifejezje. Tanulmnyozta a Hilbert-tr feletti lineris opertorok halmazt. Ennek bizonyos rszhalmazait ksbb Neumann-algebrnak neveztk el. A metrikus teljes lineris terek egy msik fontos osztlyt a Banach-terek alkotjk. Egy B halmaz Banach-tr, ha B lineris tr, normval elltott tr,

R

R

326

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

metrikus tr a d(x y) = kx ; yk tvolsggal, valamint teljes tr. A Banach-terek els rendszeres trgyalsa S. Banach egy 1932-es monogr jban tallhat. Prototpusai a Riesz-fle Lp a b] terek voltak, amelynek elemei komplex fggvnyek. Pldk Banach-terekre: 1. Az a b]-ban folytonos fggvnyek tere az albbi normval:

n(f ) = amax jf (x)j: x b

R

P

2. n a kvetkez normval: n(x) = ni=1 jxi j. A Banach-tr a Hilbert-tr ltalnostsa, benne  skalris szorzs hjn  nem beszlhetnk ortogonalitsrl s hajlsszgekrl. Dimenziszmuk sem hatrozhat meg. Lineris tr (vektortr)

Metrikus tr

NL B

E

H

10.7. bra. Metrikus s lineris trtpusok. NL: normlt lineris tr# normval, gy metrikval elltott. B: Banach-tr# teljes NL tr. E: Euklidszi tr# skalris szorzattal elltott B tr. H: Hilbert-tr# teljes E tr, normja a skalris szorzatbl szrmazik.

A normlt lineris tr fogalma a Banach-tr ltalnostsa: olyan, normval elltott lineris tr, amely nemR felttlenl teljes. Ilyen teret alkotnak egy a b]-ben folytonos fggvnyek az ab jf (x)j dx normval. A funkcionlanalzis egyik fontos eredmnye szerint minden normlt lineris tr teljess tehet, vagyis Banach-trr bvthet. A bvts a Krschk Jzsef ltal ltrehozott rtkelselmlet eszkzeivel lehetsges (lsd a IX. fejezetet). A klasszikus analzishez hasonlan a funkcionlanalzis fejldse sszefgg a

zikval. A fggvnyfogalom legjabb ltalnostst a zika sztnzte. Egy ramkr bekapcsolsa eltt az ram erssge nulla, bekapcsols utn valamilyen konstans rtk. Az ramerssg vltozst tekintve, az mindentt nulla, kivve a bekapcsols pillanatt, amikor vgtelen nagy. Ezt a zikai jelensget fejezi ki 327

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

matematikailag a Dirac-fle delta fggvny:

R

(

(x) = 1 ha x = 0  s 0 ha x 2 n f0g

Z1 ;1

(x) dx = 1:

Az ilyen impulzusfggvnyek matematikai elemzst a francia

L. Schwartz vgezte el a 40-es vek vgn a funkcionlanalzis eszkzeivel.

De nilta derivltjukat, integrljukat, amelyek ismt ilyen ltalnostott fggvnyek lesznek. Segtsgkkel megadhat Fourier-sor kifejtsk is. Az ltalnos fggvnyek elmlete mutatja, hogy a fggvnyfogalom fejldse napjainkban sem zrult le.

Gyakorlatok 1. Mutassuk meg, hogy brmely val s szmhalmaznak legfeljebb egy szuprmuma, illetve inmuma lehet. 2. Keress k meg az albb szmhalmazok szuprmumt s inmumt:   (a) xn = ( 1)n 2 24n , n = 1 2 : : : . (b) yn = ( 1)n + n1 , n = 1 2 : : : . 3. Bizony tsuk be, hogy minden r val s szmhoz van olyan legkisebb z egsz szm, amelyre z > r teljes l. 4. rjuk fel a Dirichlet-f ggvny Fourier-sort a 0 2] intervallumon. 5. Adjuk meg az f (x) = x s f (x) = x f ggvnyek Fourier-sort a   ] intervallumon. 6. Mutassuk meg, hogy a 10.3. szakasz pldiban megadott normk teljes tik a normaaxi mkat. 7. Igazoljuk, hogy ha egy lineris trben x + z = x + y, akkor z = y. 8. Mutassuk meg, hogy az egszrsz f ggvnyek a szoksos pontonknti sszeadssal s val s szmmal szorzssal val s lineris teret alkotnak. 9. Banach-teret alkotnak-e a nullhoz konvergl szmsorozatok az n(an ) = supn an normval? ;

;

;

j

j

j

;

j

Irodalom )1] Csszr kos: Vals analzis I$II. Tanknyvkiad, 1983. )2] Halmos, P. R.: Mrtkelmlet. Gondolat, 1984. )3] Kirillov, A. A.,Gvisiani, A. D.: Feladatok a funkcionlanalzis krbl. Tanknyvkiad, 1985. )4] Mt Lszl: Funkcionlanalzis m!szakiaknak. Mszaki Knyvkiad, 1976. 328

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

)5] Mikols Mikls: Vals fggvnytan s ortogonlis sorok. Tanknyvkiad, 1978. )6] Neumann Jnos: A kvantummechanika matematikai alapjai. Akadmiai Kiad, 1980. )7] Plya Gyrgy,Szeg Gbor: Feladatok s ttelek az analzisbl I$II. Tanknyvkiad, 1980,81. )8] Rudin, W.: A matematikai analzis alapjai. Mszaki Knyvkiad, 1978. )9] Szkefalvi,Nagy Bla: A mrtk s integrl modern fogalmnak kialakulsa. Tanknyvkiad, 1962. )10] Szkefalvi,Nagy Bla: Vals fggvnyek s fggvnysorok. Tanknyvkiad, 1965.

329

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

330

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

11. fejezet

Geometria 11.1. A modern geometria kialakulsa A grg matematikusok olyan eredmnyeket rtek el a geometriban, amelyek csaknem ktezer vig fellmlhatatlanoknak bizonyultak. Axiomatikusan ptettk fel a trgyat, megllaptottk az alakzatok minden lnyeges tulajdonsgt. Mondhatjuk, hogy alig maradt felfedezni val utnuk. A XVII. szzadban trtnt az els jelents tovbblps az analitikus, valamint a projektv geometria megalapozsval. Az elbbi Descartes s Fermat, az utbbi Desargues s Pascal rdeme. Az analitikus geometria megjelensvel a hagyomnyos geometria a tiszta vagy szintetikus megklnbztet jelzt kapta. Az analitikus mdszer a di(erencilgeometria kialakulst eredmnyezte (Monge). A tiszta geometria az alakzatok projektv tulajdonsgainak vizsglata irnyban fejldtt, de lnyeges halads csak a XIX. szzad elejn trtnt e tren. A projektv geometria rendszeres felptst a francia J. V. Poncelet (1788,1867) vgezte el. Bevezette a dualitsi s kontinuitsi elvet. A vgtelen tvoli pont mellett a komplex koordintj virtulis pontokat is alkalmazta vizsglataiban. Poncelet utn a geometrinak a francik kezdemnyezte megjtst a nmet matematikusok folytattk. Jakob Steiner (1796,1863) svjci-nmet matematikus nevhez egsz sor geometriai eredmny fzdik. Sokan t tartjk a modern kor legnagyobb geomternek. Megadta a projektv geometria szintetikus felptst, egyetlen mretes (euklidszi) elemet tartva csak meg: a pontok kettsviszonyt. Bevezette az inverzi fogalmt s vizsglta az euklidszi szerkesztsek csak vonalzval val elvgezhetsgt. A projektv geometrinak az euklidszitl fggetlen s szintetikus felptst ksrelte meg C. von Staudt (1798,1867) is. A kettsviszony helyett a harmonikus pontngyes fogalmra ptett, amely pusztn szerkesztssel is megkaphat. Descartes negyedik arnyos szerkesztsi mdszervel ezutn tisztn projektv ton projektv koordintkat vezetett be. 331

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Julius Plcker (1801,1868) analitikus projektv geometrit ptett fel. Homogn koordinti segtsgvel szmtsi mdszereket alkalmazott. Mdszerbl knnyen addik a dualitsi elv, valamint a pont s az egyenes egyenrangsga. A mdszer elnyei nem gyztk meg a tiszta geometria hveit, akik nagy ellenkezssel fogadtk a projektv geometrinak ezt az aritmetizlst. Az igazi fordulatot a modern geometria, st az egsz modern matematika kialakulsban, a nemeuklidszi geometrik felfedezse jelentette. Ez a matematika centrumaitl tvol mkd Bolyai Jnos, valamint N. Lobacsevszkij rdeme. Munkssguk hatsa az els modellek megszletse utn bontakozott ki: Beltrami, Cayley,Klein, Poincar modellek. A XIX. szzad kzepig elrt geometriai eredmnyek szintetizlja s ltalnostja G. F. B. Riemann (1826,1866) volt. A gttingeni egyetemen 1854ben bemutatott habilitcis dolgozatban a geometria alapkrdseivel foglalkozva kifejtette a tr ltalnos elmlett. Az gy kapott Riemann-tr specilis eseteknt addnak az euklidszi s a klnbz nemeuklidszi geometrik. Az n-dimenzis geometria els rendszeres kifejtse Cayley rdeme, aki Grassmann s Hamilton munkssgra tmaszkodott. Megmutatta, hogy az euklidszi s nem euklidszi geometrik a projektv geometria specilis eseteiknt foghatk fel. A tbbdimenzis projektv geometria elmlett viszont olasz geomterek dolgoztk ki. A klnbz geometriknak a csoportelmlet segtsgvel trtn osztlyozst Felix Klein vgezte el (11.1. bra). A matematikatrtnet erlangeni program nven tartja ezt szmon, mivel Klein erlangeni professzori szkfoglaljban hangzott el 1872-ben. Egy adott geometrit valamely transzformci-csoport invarinsainak elmleteknt de nilta. Kleint idzve: Adva van egy sokasg s benne egy transzformci-csoport, megvizsglandk a sokasghoz tartoz alakzatoknak oly tulajdonsgai, amelyek a csoport transzormcii mellett nem vltoznak. A tblzatban szerepl transzformci-csoportok termszetesen nem fggetlenek egymstl: mindegyiknek rszcsoportja az elz. Az izometriacsoportot az eltolsok, a forgatsok s a cssztatva tkrzsek alkotjk. Kzlk az els kett irnytart s a mozgsok rszcsoportjt adja. A hasonlsgok kz tartoznak a kzppontos hasonlsgok mellett a tkrzve nyjtsok is. A csoportmvelet minden esetben a lekpezsek szorzsa. A halmazkzpont szemllet s az axiomatikus mdszer a XIX. szzad vgre a geometrira is kiterjedt. Hilbert megalkotta az euklidszi geometria korszer s szabatos aximarendszert. Pasch s msok pedig a projektv geometria axiomatikus megalapozst dolgoztk ki. Az n-dimenzis tr geometrijt egyre jobban thatottk az algebrai mdszerek. Pldul az n-dimenzis vektorok ltal kifesztett paralelepipedon trfogata determinns segtsgvel volt de nilhat. Hasonl szemlletmentes algebrai rtelmezst kapott a tvolsg, a szg, a merlegessg, stb. Az gy felptett n-dimenzis geometria egy olyan algebrai rendszerr vlt, amely geometriai terminolgit alkalmaz. Ezzel kialakult a vektortr, majd az absztrakt tr fogalma, amely az analzisben is alkalmazst nyert. A modern geometriai trfoga-

332

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A skgeomet- Transzform- Transzformci kplete ria neve cicsoport Euklidszi Egybevgsgi (Izometria)

x = x cos ' ; y sin ' + c y = x sin ' y cos ' + d 0

0

Hasonlsgi

Legfontosabb invarinsok Tvolsg, sz g, egyenes, metszs, prhuzamossg

Hasonlsgok Tvolsgok (pl. k zpponarnya, sz g, x = a( x cos ' ; y sin ') + b egyenes, tos) y = a( x sin ' y cos ') + c metszs, prhuzamossg a 6= 0 Egyenestart Egyenes, transzforosztvisx = ax + by + c mcik (pl. zony, metszs, prhuzamos prhuzamossg y = dx + ey + f vetts) ae ; bd 6= 0 Projektv Kett sviszony, transzforegyenes, metax + by + c mcik (pl. szs x = dx + ey + f centrlis vetts) y = Ax + By + C 0

0

A n

0

0

Projektv

0

0

dx + ey + f a b c A B C 6= 0 d e f

11.1. bra. Klein erlangeni programja a geometrik osztlyozsra.

lom teht, nemcsak a kznsges euklidszi teret foglalja magban, hanem tetszleges olyan halmazt, amely geometriai tulajdonsgokkal van felruhzva. Az absztrakt vektortr (lineris tr) fogalmnak megalapozi s tovbbfejleszti kztt Hilbert, Frechet, Riesz Frigyes s Banach nevt kell kiemelnnk. Az elz fejezetben ismertettk a legfontosabb trtpusokat (Hilbert-tr, Banachtr). Az erlangeni programot a XX. szzadban a francia E. Cartan fejlesztette tovbb a kvetkezkppen: Legyen G valamely geometria transzformci-csoportja. Ha H olyan rszcsoportja G-nek, amelynek x0 xpontja, akkor brmely x pont jellemezhet azon G-beli transzformcikkal, amelyek x0 -t x-be viszik. Ezek a transzformcik a G csoport H rszcsoport szerinti mellkosztlyt alkotjk. G elll az sszes mellkosztly unijaknt. Valamely geometria tanulmnyozsa teht G egy H rszcsoportja szerinti mellkosztlyainak vizsglatra redukldik, amely csoportelmleti eszkzkkel vgezhet el. Ez is mutatja az absztrakt algebra jelentsgt a mai matematikban. 333

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

11.2. Az euklidszi geometria Egszen a XIX. szzad vgig a geometria volt az egyetlen matematikai tudomnyg, amely deduktv, axiomatikus felpts volt Euklidsznek ksznheten. Ttelei rvnyesek minden egymssal egybevg alakzatban s lerjk az alakzatok legfontosabb tulajdonsgait. A grgk szinte minden fontos tiszta geometriai ttelt felfedeztek. Euklidsz utn ktezer vig kellett vrni igazn jelents geometriai ttelek felfedezsre. A legszebb Karl Feuerbach (1800,1834) nmet matematikus nevhez fzdik: Ttel: Egy hromszg oldalfelez pontjai, magassgtalppontjai s a magassgpontot a cs csokkal sszekt szakaszok felezpontjai egy krn vannak. Ezt a krt Feuerbach-kr nek, vagy kilenc pont krnek nevezzk. Tovbbi rdekes tulajdonsga, hogy kzppontja az Euler-egyenesen van. Nem jelentsge, hanem trtneti rdekessge miatt rdemel emltst az albbi ttel. Ttel: Ha egy hromszg oldalaira kvlrl egyenl oldal hromszgeket szerkesztnk,akkor ezek kzppontjai egyenl oldal hromszget alkotnak. Az idzett ttelt a hagyomny Bonaparte Napleonnak tulajdontja, ezrt Napleon-ttel a neve. A kzppontok ltal alkotott hromszg pedig a kls Napleon-hromszg. Analg mdon kaphat meg a bels Napleon-hromszg is. Ismeretes, hogy Napleon, mint volt tzrtiszt, rendelkezett matematikai ismeretekkel, klnsen a geometria rdekelte. Szvesen beszlgetett matematikai problmkrl hres matematikusokkal. Egyszer, mg tbornok korban, nagy vitba keveredett Lagrange-zsal s Laplace-szal, amiben nem neki volt igaza, de mindaddig kitartott llspontja mellett, amig Laplace ingerlten gy nem szlt: Tbornok r, geometriai eladst csak a legvgs esetben krnk 'ntl. Ennek ellenre Napleon ksbb vezet hadmrnkv nevezte ki Laplacet. A kritikai szellem fejldsvel egyre inkbb felsznre kerltek az euklidszi felpts hinyossgai. Euklidsz sokmindent elfogadott a szemlletbl, amit alaprelciknt vagy aximaknt kellett volna elrnia. A modern kvetelmnyeknek megfelel aximarendszert Hilbert alkotta meg 1899-ben A geometria alapjai cm mvben. Az euklidszi skgeometria Hilbert-fle aximarendszere 3 alapfogalombl, 3 alaprelcibl s 15 aximbl ll. Alapfogalmak: pont, egyenes, sk Alaprelcik: 1. Illeszkeds (rajta van): pont s egyenes kzti relci. 2. Kzttisg (kzte van): egy pont s egy pontpr kzti relci. 3. Egybevgsg (kongruencia): pontprok, illetve szgek kzti relci. 334

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Aximk: I. Illeszkedsi aximk (2). 1. Kt klnbz ponthoz ltezik pontosan egy rjuk illeszked egyenes. 2. Minden egyenesen legalbb kt (klnbz) pont van. Brmilyen egyeneshez ltezik legalbb egy r nem illeszked pont. II. Rendezsi aximk (4). 3. Ha egy B pont az A s C pont kztt van, akkor A, B , C egy egyenesnek hrom klnbz pontja, s akkor B a C s A pontok kztt van. 4. Kt klnbz ponthoz, A-hoz s C -hez az AC egyenesnek van olyan B pontja, hogy C az A s B pontok kztt van. 5. Ha A, B , C klnbz pontok egy egyenesen vannak, akkor valamelyikk a msik kett kztt van. 6. (Pasch axima ) Egy olyan egyenes, amely metszi egy hromszg valamely oldalt, de nem megy t egyetlen cscsn sem, kell, hogy messe a hromszg egy msik oldalt is. III. Egybevgsgi aximk (6). 7. Ha A s B klnbz pontok s A0 egy e egyenes pontja, akkor pontosan kt olyan klnbz B 0 s B 00 pont van e-n, hogy az A0  B 0 pontpr egybevg az A B pontprral, az A0  B 00 egybevg az A B pontprral, tovbb A0 a B 0 s B 00 pontok kztt van. 8. Ha kt pontpr ugyanazzal a pontprral egybevg, akkor egymssal is egybevgak. 9. Ha C az A s B pontok kztt, C 0 pedig az A0 s B 0 pontok kztt van, valamint az A C pontpr egybevg az A0  C 0 pontprral, a C B pontpr egybevg a C 0  B 0 pontprral, akkor az A B pontpr egybevg az A0  B 0 pontprral. 10. Ha BAC ^ olyan szg, amelynek szrai nem egy egyenesre illeszkednek, s ha A0 , B 0 klnbz pontok, akkor pontosan kt olyan klnbz A0 C 0 , A0 C 00 flegyenes ltezik, hogy a B 0 A0 C 0 ^ s a B 0 A0 C 00 ^ szgek egybevgak a BAC ^ szggel. Tovbb, ha D0 az A0 C 0 flegyenes, D00 pedig az A0 C 00 flegyenes valamely pontja, akkor a D0 D00 szakasz metszi az A0 s B 0 pontok ltal meghatrozott egyenest. 11. Minden szg egybevg nmagval. 12. Ha egy hromszg kt oldala s az ltaluk kzbezrt szg egybevg egy msik hromszg kt oldalval s megfelel szgvel, akkor a kt hromszg tbbi szge is megegyezik (vagyis a kt hromszg egybevg).

335

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

IV. Prhuzamossgi axima. 13. Adott e egyeneshez s egy rajta kvli A ponthoz legfeljebb egy olyan egyenes ltezik, mely tmegy A-n s nem metszi e-t. V. Folytonossgi aximk (2). 14. (Arkhimdszi axima.) Ha A, B , C , D klnbz pontok, akkor az AB flegyenesen lteznek olyan A1 , A2 , : : : , An klnbz pontok, hogy (a) minden A1  A2 - A2  A3 - : : : - An;1  An pontpr egybevg a C D pontprral(b) s B az A s An pontok kztt van. 15. (Teljessgi axima.) Egy egyenest alkot pontok halmaza nem egszthet ki jabb pontokkal az 1.,8. s 14. axima srelme nlkl. Erre a 15 aximra szabatosan felpthet az egsz euklidszi skgeometria. A trgeometria felptshez mg szksgesek a skot s a dimenzit meghatroz aximk. Emlkeztetnk r, hogy Euklidsz Elemeibl hinyoztak az alapfogalmak, valamint a rendezsi s a folytonossgi aximk. Az arkhimdszi axima garantlja, hogy ha egy pontbl elindulva egyenl tvolsgokat vesznk fel, akkor brmely ponton tlhaladunk elg sok lps utn. Az axima ekvivalens a kimertsi aximval, annak mintegy fordtottja. Az utols axima nem szksges a skgeometriai ttelek levezetshez, de biztostja az egy-egy rtelm megfeleltetst az egyenes pontjai s a folytonos vals szmhalmaz kztt. Teht szksges a koordintageometriai mdszerek alkalmazsnak megalapozshoz. Hilbert mr nem azt kvetelte meg aximitl, hogy igazak, hanem hogy ellentmondsmentesek, fggetlenek s teljesek legyenek. Az alapfogalmaknak sem tulajdontott szemlletes jelentst, azt remlte, hogy az aximk implicite meghatrozzk ket. A 7. fejezetben lttuk, hogy ezeknek a kvetelmnyeknek egyetlen hasznlhat aximarendszer sem tehet eleget. Ennek ellenre ma is az axiomatizls a legjrhatbb t egy matematikai tudomnyg szabatos megalapozshoz. A hilberti aximarendszer tovbbfejlesztsvel sokan foglalkoztak. Szsz Plnak jelents szerepe volt az egybevgsgi aximk (klnsen a 10.) egyszerbbekkel val helyettestsben. Euklidszi szerkeszts nek olyan, krzvel s egyenes vonalzval vges szm lpsben elvgezhet szerkesztseket neveznk, amelyek az aximarendszerrel sszhangban vannak, abbl levezethetk. Egy ilyen szerkeszts sorn az albbi lpsekkel kapunk adott pontokbl jakat: 1. Kt kr metszspontjnak kijellse. 2. Egyenes s kr metszspontjnak kijellse. 3. Kt egyenes metszspontjnak kijellse. 336

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Az euklidszi szerkesztsekkel kapcsolatban kt fontos problma vetdtt fel: 1. Milyen szerkesztsek vgezhetk el csak krzvel, illetve csak vonalzval? 2. Mi az euklidszi szerkeszthetsg felttele? Specilisan: megoldhatak-e az kor nevezetes szerkesztsi problmi? Mr a XVIII. szzadban megmutatta L. Mascheroni (1750,1800) olasz geomter, hogy minden euklidszi szerkeszts elvgezhet csak krz segtsgvel. Termszetesen egyenes nem rajzolhat meg krzvel, de brmely kt pontja  amelyek megadjk az egyenest  kijellhet vele. Ksbb kiderlt, hogy a ttelt mr 1672-ben publiklta Georg Mohr (1640,1697) dn matematikus, ezrt ma Mohr$Mascheroni ttel a neve. Mascheroni eredmnytl inspirlva Poncelet vizsglta a csak vonalzval val szerkeszthetsg problmjt. Ezzel kapcsolatos sejtst Steiner bizonytotta be 1833-ban: Ttel: Ha skon adott egy kr kzppontja s a kr egy tetszleges ve, akkor minden euklidszi szerkeszts elvgezhet csak vonalzval (Poncelet-Steiner ttel). A ksbbiekben vizsgltk az adott nyls krzvel, adott hosszsg  nem felttlenl prhuzamos l  vonalzval val szerkeszthetsget is. Yanagyhara japn matematikus 1931-ben megmutatta, hogy minden euklidszi szerkeszts elvgezhet r1 < r < r2 sugar krk rajzolsra kpes krzvel. A vges vonalzval val szerkeszthetsget pedig 1890-ben igazolta A. Adler bcsi matematikus. Bizonytsa a Desargues-ttelen alapult. A kvetkezkben azokat az eredmnyeket ismertetjk, amelyek megadjk az euklidszi szerkeszthetsg kritriumt. Az analitikus geometria eszkzeivel brmely geometriai szerkesztsi problma tfogalmazhat algebrai problmv. Ha egy x szakaszt akarunk megszerkeszteni, akkor elszr sszefggst keresnk x s az ismert a b c : : : mennyisgek kztt, majd ebbl kifejezzk x-et. Ezutn megnzzk, hogy az x-re kapott algebrai kifejezs megszerkeszthet-e. Ha adott az egysgszakasz, valamint az a s b szakaszok, akkor az a  b, ab, a : b, s pa szakaszok szerekeszthetk (11.2. bra.) Az egysgszakaszbl kiindulva, ezrt minden olyan szakasz megszerkeszthet, amelynek hossza racionlis szm. Mskppen fogalmazva: az egysgbl kiindulva az egsz racionlis szmtest megszerkeszthet. Egy racionlis szm ngyzetgyknek szerkesztse bizonyos esetekben irracionlis szmokhoz p vezet. Legyen pldul a = 2. Ekkor megszerkeszthetjk az sszes p + q 2 (p q 2 ) alak szmot is. Az ilyen alak szmok ismt szmtestet alkotnak, ugyanis sszegk, klnbsgk, szorzatuk s hnyadosuk p (kivve a nullval val osztst) ismt p + q 2 alak lesz. gy egy jabb megszerkeszthet szmtestet kapunk, amely bvebb -nl. Jellje ezt a szmtestet T1 , a racionlis szmtestet pedig T0(=p ). Szoks T1 -et a T0 test ngyzetgyks bvtsnek p is nevezni, amely T0-bl 2 adjunglsval keletkezett. Termszetesen 2 helyett minden olyan a = k0 racionlis szm vlaszthat a bvtshez, p amelynek ngyzetgyke nem racionlis szm. Ekkor T1 -et a p + q k0 alak szmok alkotjk. (A testbvtsekrl lsd mg a 9. fejezetet.)

Q

Q

Q Q

337

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó 1 x

=

b a

 x =

a

a

b

1

a

=

x b

 x

= ab

x

a

x 1

1

b

a : b

szerkesztse

ab x a

p 1

b

=

1 x

 x

=

p

szerkesztse

a

a

a

p

a

szerkesztse

11.2. bra. Szorzat, hnyados s ngyzetgyk szerkesztse.

Geometriai szemszgbl nzve az eddig elmondottakat mskppen is megfogalmazhatjuk. A racionlis szmtestbl csak akkor juthatunk ki szerkesztssel, ha kt kr vagy kr s egyenes metszspontjt kell megkeresnnk. Mindkt problma ugyanis msodfok egyenletre vezet egyenletrendszer megoldst ignyli. A kapott gyk szerkesztse kivezethet p T0 = -bl. Az a  b, ab, a : b szakaszok szerkesztse nem vezet ki -bl, de a szerkesztse bizonyos esetekben igen. A kapott T1 testbl szintn csak a fenti mdon lphetnk ki. A lert ngyzetgykspbvts tovbb folytathat. Vlasszunk egy olyan k1 2 T1 szmot amelyre pk1 2= T1 . Ekkor az jabb, bvtett megszerkeszthet szmtest p elemeit az a + b k1 (a b 2 T1 ) alak szmok alkotjk. Ha mondjuk k1 = 2, akkor T2 elemei

Q

Q

p

p

p p

Q

a + b 4 2 = (p + q 2) + (r + s 2) 4 2 (p q r s 2 T0 = )

p

p

alakak lesznek (pl. 1 + 2 + 4 2). Az jabb szmtest minden eleme erre az alakra reduklhat. Geometriailag a bvts a kvetkezket jelenti. A megszerkeszthet szakaszok T1 testt kibvthetjk egy bvtett T2 testt gy, hogy vlasztunk T1 -bl egy k1 szmot, majd megszerkesztjk vonalzval s krz egyszeri hasznlatval 338

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

p

az a + b k1 (a b 2 T1 ) alak szmokbl ll bvtett T2 testet, amelynek elemei szintn megszerkeszthetk. A megfordts is bizonythat: krz egyszeri hasznlatval csak ilyen alak szmokat kaphatunk. A bvtsi eljrs tovbb folytathat s ltalnosthat. Tekintsk a megszerkeszthet szmok egy Tn testt, ahol n = 0 1 2 : : : . Krzvel p s vonalzval megszerkeszthetjk brmely kn 2 Tnpszm ngyzetgykt. Ha kn 2= Tn akkor megszerkeszthetjk az sszes a + b kn alak szmot, amelyek szintn testet alkotnak: a Tn test Tn+1 bvtett testt. Most mr vlaszt adhatunk arra a krdsre, hogy melyek a megszerkeszthet szmok : azok s csak azok, amelyek valamely, a lert konstrukcival kapott Tn szmtesthez tartoznak. Pldul megszerkeszthet szm a kvetkez, ms szval tudunk ilyen hosszsg szakaszt szerkeszteni euklidszi szerkesztssel:

p

6+

srq

p

p

1+ 2+ 3+5

p

Q

Az 1 + 2 szm szerkeszthet, mert a T0 = ptestbl p a k0 = 2 bvtssel kapott T1 testbe tartozik. Szintn szerkeszthet a 1 + 2 szm is, mert eleme p a T1 -bl k1 = 1 + 2 adjunglsval kapott T2 testnek. A T3 testhez k2 = 3 vlasztsval jutunk, hiszen 3pelemepT0 -nak, p pelemepT2-nek. Mg p gy mginkbb kt bvtst elvgezve a k3 = 1 + 2+ 3 s a k4 = 1 + 2+ 3+5 szmok segtsgvel kapjuk a T4 , majd a T5 testet. A krdses szm T5p-ben van, p pmivel p 6 is eleme T5 -nek. Ugyanis T5 test, teht zrt a p szorzsra ( 6 = 2 3) s az sszeadsra. Nem szerkeszthet szm pldul a 3 2 mert nincs benne egyik lehetsges ngyzetgyks bvtsi lncban sem (s termszetesen nem racionlis szm). Mint ismeretes, algebrai szmoknak nevezzk azokat a vals vagy komplex szmokat, amelyek valamely egsz egytthatj algebrai egyenlet gykei. A megszerkeszthet s az algebrai vals szmok kapcsolatt tisztzza a kvetkez fontos ttel: minden megszerkeszthet szm algebrai szm. A ttel megfordtsa nem igaz. Vannak p olyan algebrai szmok, amelyek nem megszerkeszthetk. Pldul az x = 3 2 algebrai szm, hiszen gyke az x3 ; 2 = 0 egyenletnek, viszont  mint lttuk  nem megszerkeszthet. Kiss pontatlanul azt is mondhatjuk, hogy azok az algebrai szmok szerkeszthetk csak meg, amelyek ngyzetgykkbl felpthetk. A T0 = megszerkeszthet szmtest elemei elsfok, T1 elemei msodfok, Tn elemei 2n -edfok algebrai szmok, azaz ilyen fok racionlis egytthatj algebrai egyenletek gykei. Az elz ttel igazsgt csak a T2 test esetre igazoljuk. p Legyen x = a + b k1 tetszleges eleme T2 -nek, ahol teht a b k1 2 T1 , azaz

Q

p

p

p

Q

a = p + q k0  b = r + s k0  k1 = t + v k0  (p q r s t v k0 2 T0 = ):

www.interkonyv.hu

339

© Filep László

© Typotex Kiadó

Rendezs s ngyzetreemels utn kapjuk, hogy

x ; 2ax + a = b k1 p p 2 2

2

2

p

x2 ; 2(p + q k0 )x + (p + q k0 ) (t + v k0 ): A mveleteket elvgezve, megfelel jellseket bevezetve, vgl ngyzetreemelve egyenletnk

p

x2 + cx + d = k0 (ex + f ) 2 (x + cx + d)2 = k0 (ex + f )2 alak lesz, ami egy racionlis egytthatj egyenlet. Teht x p pnegyedfok p valban algebrai szm. Ha pldul x = 2 + 3 + 2 2 T2 akkor

p

p

(x ; 2)2 = 3 + 2 p x2 ; 1 = 2(2x + 1) (x2 ; 1)2 = 2(2x + 1)2 : Racionlis egytthatj harmadfok egyenlet gykeinek szerkeszthetsgre vonatkozik az albbi ttel: ha az egyenletnek nincs racionlis gyke, akkor egyetlen gyke sem szerkeszthet. Tegyk fel, hogy az x3 + ax2 + bx + c = 0 (a b c 2 T0 = ) egyenlet valamely x gyke megszerkeszthet. Ekkor x eleme a T0  T1 : : :  Tn testbvtsek sorozatban az utolsnak, ahol n > 0, mivel x nem racionlis. Feltehetjk, hogy n az a legkisebb szm, amelyre az egyenletpegy gyke valamely Tn bvtett testbe tartozik. p Ha x 2 Tn, akkor x = p + q kn;1 alakba rhat, ahol p q kn;1 2= Tn;1 s kn;1 2= Tn : Behelyettestvepx-et az egyenletbe s a szksges talaktsokat elvgezve kapjuk, hogy P + Q kn;1 = 0 ahol

Q

P = p3 + 3pq2 kn;1 + ap2 + aq2 kn;1 + bp + c Q = 3p2q + q3 kn;1 + 2apq + bq: Mivel P Q 2 Tp P = Q = 0, n , ezrt az egyenlsg csak gy teljeslhet, pk hahelyettestssel ahonnan P ; Q kn;1 = 0 is kvetkezik. Az x = p ; q n ; 1 p p az eredeti egyenlet bal oldala P ; Q kn;1 alak lesz, teht y = p ; q kn;1 (x 6= y) is gyke az egyenletnek. Ha z jelli a harmadik gykt, akkor a gykk s egytthatk kzti sszefggsbl

z = ;a ; x ; y = ;a ; (x + y) = ;a ; 2p p kvetkezik. Itt nem szerepel kn;1 , vagyis z eleme Tn;1 -nek. Teht z megszerkeszthet s z 2 Tn;1 , ami ellentmond n minimlis voltnak. Ezzel lltsunkat belttuk. Most mr elegend ismerettel rendelkeznk az kor hres szerkesztsi problminak megvlaszolshoz. 340

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A kocka kettzse: egysgnyi l kocknl ktszer nagyobb trfogat kocka megszerkesztse. A problma algebrai alakjt az x3 = 2 egyenlet fejezi ki, amelyp3 nek megoldsa x = 2. Ez a szm viszont, mint lttuk, nem megszerkeszthet, gy a problma megoldhatatlan. Megjegyezzk, hogy a megoldhatatlansg indirekt ton szabatosan is bizonythat. Szgharmadols: tetszleges szg harmadrsznek megszerkesztse. A problmhoz tartoz egyenletet a cos 3 -ra ismert azonossgbl cos = x helyettestssel kapjuk: 4x3 ; 3x + cos 3 = 0: Elegend a megoldhatatlansgot 3 = 60 esetre megmutatni. Ekkor egyenletnk 8x3 ; 6x ; 1 = 0, illetleg 2x = y helyettestssel y2 ; 3y ; 1 = 0 alak lesz. A Rolle-ttel szerint csak 1 lehetne gyk, de sem +1, sem ;1 nem az. Egyenletnknek teht nincs racionlis gyke, gy az elz ttel szerint cos 20 s vele egytt 20 sem szerkeszthet. A szgharmadols problmja teht szintn megoldhatatlan. A kr ngyszgestse: Az egysgsugar krrel egyenl terlet ngyzet szerkesztse az x2 =  egyenlet formjban rhat fel. A krds teht  szerkeszthetsge, amelyrl tudjuk, hogy transzcendens szm. Mivel minden megszerkeszthet szm algebrai, ezrt  nem szerkeszthet. Nem oldhat meg teht egyik klasszikus szerkesztsi problma sem.

11.3. Nemeuklidszi geometrik Euklidsz hres V. posztultuma az Elemek els knyve albbi 17-es szm

ttelnek megfordtsa: egy hromszg kt szgnek sszege mindig kisebb kt derkszgnl (180 -nl). A fordtott llts: Ha kt (egysk) egyenes metsz egy harmadikat s e harmadik egyenes egyik oldaln a kt (bels) szg sszege kisebb 180 -nl, akkor a hrom egyenes hromszget hatroz meg. A bizonyts nehzsgeit lekzdend Euklidsz ezt az lltst bevette posztultumai kz. Magt a posztultumot a 29. ttel bizonytsnl hasznlta elszr, gy az Elemek els 28 ttele abszolt ttelnek tekinthet. Az V. posztultumot mr a kortrsak is a tbbibl levezethet ttelnek gondoltk. Megerstette ezt az is, hogy a tbbitl eltren ez a posztultum nem volt a vgesben szemlletesen ellenrizhet. A direkt bizonytsokat az araboknl, majd a XVIII. szzadi Eurpban felvltottk az indirektek: a posztultum tagadst vve ellentmondsra akartak jutni. Ellentmondst nem talltak ugyan, de a helyes kvetkeztetst nem vontk le: ennek oka az, hogy nincs ellentmonds. Ms szval az V. posztultum fggetlen a tbbitl, tagadst vve is ellentmondsmentes geometria pthet fel. Ismeretes, hogy erre a gondolatra elszr Bolyai Jnos s Lobacsevszkij jutott, akik fel is ptettk az j, nemeuklidszi geometrit. A bizonytsi ksrletek sorn nagyon sok helyettest, az V. posztultummal ekvivalens axima szletett. Soroljuk fel a legnevezetesebbeket, a skbelisget mindenhol feltve: 1. Prhuzamossgi axima (Ptolemaiosz). Egy egyeneshez valamely r 341

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

nem illeszked ponton t csak egyetlen prhuzamos hzhat. (Megjegyezzk, hogy legalbb egy prhuzamos (nem metsz) egyenes ltezse igazolhat a maradk aximarendszerbl, az egyenes vgtelensgt feltve.) 2. Ltezik kt olyan egyenes, amelyek tvolsga mindentt egyenl. (Egyenes ekvidisztns grbje egyenes.) 3. Lteznek hasonl hromszgek. (Saccheri, Wallis). 4. Ha egy ngyszg hrom szge derkszg, akkor a negyedik szge is az. (Lambert). 5. Ltezik olyan hromszg, amely szgeinek sszege 180 . (Legendre). 6. Hrom pont vagy egyenesen, vagy krn van (Bolyai Farkas, Legendre). 7. Nincs legnagyobb terlet hromszg. (Gauss) Eurpban akkor vettek lendletet az V. posztultummal kapcsolatos kutatsok, miutn Wallis latinra fordtotta Nasiraddin at-Tuszi s Omar Khajjam mveit. A bizonytsokban az ltaluk bevezetett ngyszgeket alkalmaztk, de nem direkt, hanem indirekt bizonytsokra trekedtek. Az olasz G. Saccheri (1667,1733) Omar Khajjam ngyszgbl indult ki, elfogadva az Elemek els 28 ttelnek rvnyessgt. Elszr megmutatta,

D

C

A

B

11.3. bra. Saccheri-ngyszg.

hogy a 11.3. bra ngyszgben a C s D cscsnl lv szgek egyenlk (). A szg nagysgra vonatkozlag 3 felvetst vizsglt meg: 1.  = 90 , 2.  > 90 , 3.  < 90 . Saccheri szmos ttelt (13-at) vezetett le ezekre a feltevsekre vonatkozlag, kzttk az albbi ngyet: 1. A  = 90 feltevs ekvivalens az V. posztultummal,  < 90 pedig annak tagadsval ( > 90 ms abszolt geometriban is hamis). 2. Ha valamelyik feltevs igaz egy ngyszgre, akkor minden ilyen ngyszgre igaz. 342

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

3. A derkszg, a tompaszg, a hegyesszg feltevsekbl rendre kvetkezik, hogy a hromszg szgeinek sszege 180 , nagyobb 180 -nl, kisebb 180 nl. 4. A hegyesszg feltevsbl kvetkezik, hogy van kt, egymst nem metsz egyenes, amelyek egymstl val tvolsga  az egyik egyenesen valamelyik irnyban haladva  tetszleges kicsinny vlik. Ez utbbi llts szerinte indirekten igazolja az V. posztultumot, hiszen ellentmond az egyenes vonal termszetnek. A tompaszg feltevsbl s az egyenes vgtelensgnek hallgatlagos felttelezsbl szintn ellentmondsra jutott. A hromszg szgeinek sszege ekkor egyrszt 180 , msrszt nagyobb 180 -nl. Ksbb ltni fogjuk, hogy az ellentmondst az egyenes vgtelensgnek elvetse oldja fel ez esetben. Ekkor azonban nem abszolt geometrit kapunk. Az e s  irracionlis voltt is bebizonyt J. H. Lambert (1728,1777) Nasziraddin ngyszgbl indult ki, amely a Saccheri-ngyszg fele: A ngyszg C cscsnl lev  szgre itt is hrom feltevs addik. 1.  = 90 , 2.  > 90 , 3.  < 90 (11.4. bra). Lambert sokkal tovbb jutott kvetkeztetseiben,

D

C

A

B

11.4. bra. A Lambert-ngyszg.

mint Saccheri. Megmutatta azt is, hogy a tompaszg esetben a hromszg terlete arnyos a tbblettel, illetve hinnyal, azaz: t = k( +  +  ; 180 ), t = k(180 ; ;  ;  ). A tompaszg esetet a gmbfelleten ltta megvalsthatnak, ahol az egyenes nemcsak, hogy nem egyenes, hanem nem is vgtelen. Megmutatta, hogy ekkor nem lteznek hasonl, de nem egybevg hromszgek. A hegyesszg feltevsbl szrmaz geometrirl gy gondolta, hogy az a kpzetes sugar gmbn valsul meg. Lambert azt is lerta, hogy a keresett ellentmondst nem tallta meg az V. posztultum tagadsnak feltevsekor. Ennl tovbb azonban nem jutott. A harmadik indirekt bizonytsi ksrlet a francia A. M. Legendre (1752, 1833) nevhez fzdik. Kt szgttele nevezetes: Ttel (Legendre 1. szgttele): A hromszg szgeinek sszege nem lehet nagyobb 180 -nl. 343

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Ttel (Legendre 2. szgttele): Ha ltezik olyan hromszg, amelyben a szgek sszege 180 , akkor minden hromszg szgeinek sszege 180 . Legendre hallgatlagosan feltette bizonytsaiban az egyenes vgtelensgt. Olyan hromszg ltezst, amelyben a szgek sszege 180 , nem tudta bizonytani az V. posztultum nlkl, de beltta az llts s a posztultum ekvivalencijt. Az olyan nemeuklidszi geometria rendszeres felptst, amely tbb nem metsz egyenes, illetve a hromszg szgsszege 180 -nl kisebb voltnak felttelezsre pl, Bolyai Jnos s Lobacsevszkij vgezte el. Fbb gondolataikat a 6. fejezetben mr ismertettk. A nemeuklidszi geometrik fejldsben j szakaszt nyitott Riemann munkssga. A nem metsz egyenes ltezsnek tagadsbl, illetve a hromszg szgsszegnek 180 -nl nagyobb voltbl indult ki. Geometrijt elliptikusnak, a Bolyai-Lobacsevszkij flt pedig hiperbolikusnak nevezte. Az elliptikus geometria a gmbfelleten valsul meg, ahol megsznik az egyenes vgtelensge a kznapi rtelemben. Ebben a geometriban Euklidsz I., II. s V. posztultumt az albbiak helyettestik: P1' : Kt klnbz ponton keresztl legalbb egy egyenes hzhat. P2' : Az egyenes vonal hatrtalan. P5' : Brmely kt skbeli egyenes metszi egymst. Riemann Gauss kutatsai nyomn jutott el a nemeuklidszi geometrikhoz. Gauss di(erencilgeometriai eszkzkkel dolgozva fedezett fel tbb fontos nem-

euklidszi ttelt. Mgsem tekinthet az j geometria egyik felfedezjnek, mert Bolyaitl s Lobacsevszkijtl eltren nem ptette fel rendszeresen az j geometrit. Emellett eredmnyeit nem is publiklta, csak egy noteszben jegyezte fel azokat. Metrikus skgeometria nemcsak a kznsges skon, hanem ms, grblt felleteken is felpthet. Ennek felttele kt kzeli pont tvolsgnak, az n. velemnek (ds) a megadsa. Az 5. fejezetben megmutattuk hogyan addik egy y = f (x) skgrbe ds vhossza (veleme) a karakterisztikus hromszgbl: ds2 = dx2 + dy2 - majd ebbl integrlssal a teljes vhossz a grbe kt pontja kztt. Ha egyenesnek azt a grbt tekintjk, amelyre ez az vhossz minimlis kt pont kztt, akkor belthat, hogy ez a grbe a kznsges egyenes. A derkszg (x y) koordintk helyett az (r ') polrkoordintkat vve az velem kplete ds2 = dr2 + r2 d' lesz, ami knnyen megkaphat a ktfle koordintk kztti x = r cos ', y = r sin ' sszefggsbl. A polrkoordintk adtk az tletet Gaussnak a felleti koordintk bevezetsre. A polr koordintk a skot nem ngyzetekre, hanem egymssal nem egybevg skidomokra osztjk fel. Tetszleges fellet is feloszthat hasonlan, a felleten lev vonalakkal (11.6. bra).

344

www.interkonyv.hu

© Filep László

www.interkonyv.hu

gmbfellet

paraszfra gmbi fkr

geodetikus vonal

euklideszi sk egyenes

Megvalsulsi egyenes helye

11.5. bra. Az euklidszi s a klasszikus nemeuklidszi skgeometrik.

> 180

< 180

 < 90

hiperbolikus (Bolyai-

Lobacsevszkij) elliptikus (Rie-  mann)

180

 = 90

Hromszg szgsszege

euklideszi

Klnbz sk- Prhuzabeli geometrik mossgi szg

brmely kt egyenes metsz

Skbeli egyenesek metszse (adott ponton keresztl rgztett egyeneshez) egyetlen nem metsz egyenes vgtelen sok nem metsz egyenes

© Typotex Kiadó

345

© Filep László

© Typotex Kiadó

Skon (polrkoordintk)

x y

=

=

x

=

x(u v )

x(u v )

=

u

cos v

y

=

y (u v )

y (u v )

=

u

sin v

z

=

z (u v )

u

=

=

Tetszleges felleten

r v

'

11.6. bra. Gauss-fle felleti koordintk skon s tetszleges felleten.

A felleti koordintk bevezetsre Gausst egy gyakorlati dolog is motivlta. A hannoveri kormny megbzta a tartomny dimbes-dombos felletnek geodziai felmrsvel. A derkszg koordintk erre alkalmatlanoknak bizonyultak. gy jutott arra a gondolatra, hogy a felletet ne a trben vizsglja, hanem, mint nmagban ltez dolgot, amelynek sajt bels geometrija van, msfle tvolsggal. A derkszg s felleti koordintk kzti sszefggseket ler x = x(u v), y = (u v), z = z (u v) fggvnyek a fellettl fggenek, arra jellemzek. Tovbb folytonosaknak s ktszer di(erencilhataknak kell lennik. Megjegyezzk, hogy egy felleten nagyon sok Gauss-fle felleti koordinta-rendszer vezethet be. Trben az velem alakja ds2 = dx2 + dy2 + dz 2. Felleti koordintkban val megadshoz elszr szmtsuk ki a dx, dy, dz di(erencilokat az x = x(u v), y = y(u v), z = z (u v) fggvnyekbl:

dx = @x + @x dv =) dx = @x du + @x dv du @u @v du @u @v dy = @y + @y dv =) dy = @y du + @y dv du @u @v du @u @v dz = @z + @z dv =) dz = @z du + @z dv: du @u @v du @u @v Behelyettestve az velem kpletbe s a szmtsokat elvgezve kapjuk, hogy

ds2 = E du2 + 2F du dv + G dv2  346

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

ahol

@x 2 + @y 2 + @z 2  @u @u @u @x @y @y @z @z @x F = @u @v + @u @v + @u @v  2 @y 2 @z 2 @x G = @v + @v + @v :

E =

Az E , F s G kifejezseket els fmennyisgeknek, vagy Gauss-fle egytthatknak nevezzk. Grblt felleten a fenti velemekre felpthet a fellet bels geometrija, ami szintn ellentmondsmentes. Felleten a kt pont kztti tvolsgot ad egyenes szerept a geodetikus vonalak veszik t, pldul gmbfelleten a gmbi fkrk. Teht kt pont kztti tvolsg a felleten, illetve a trben mrve nem egyenl. Gauss egy fellet valamely P pontja krli grbleti viszonyok tanulmnyozsa cljbl megszerkesztette az rntskra merleges N normlist. Ezutn a felletet elmetszette egy N -en tmen skkal. E sk forgatsakor a P pontbeli grbleti sugr vltozik, azonban kt egymsra merleges helyzetben felveszi maximumt (r1 ) s minimumt (r2 ). A k1 = 1=r1 s k2 = 1=r2 rtkeket a fellet P pontbeli fgrblet einek nevezzk. Szorzatuk adja a k-val jellt Gauss-grblet et. Gauss bebizonytotta, hogy k rtke nem fgg a felleti koordintk vlasztstl, csak magtl a fellettl (pontosabban csak az els fmennyisgektl). Ezt a felfedezst Gauss olyan fontosnak tartotta, hogy kiemelked ttelnek (theorema egregium) nevezte. A Gauss-grblet egy fellet bels geometrijnak legfontosabb invarinsa, a fellet legjellemzbb tulajdonsga. #rtke megkaphat az E , F , G fmennyisgek, valamint derivltjuk segtsgvel. A k rtk tetszleges felleten ltalban pontrl pontra vltozik. Azokon a rszeken, ahol k = 0, a fellet sk, s az euklidszi geometria valsul meg. Ahol k < 0, ott a fellet nyeregalak (11.7. bra). Legfontosabbak azok a felletek, amelyek minden pontjban a k Gaussgrblet lland. Ezeket lland grblet! felletek nek nevezzk. Ilyen pldul a gmbfellet, a sk, viszont nem lland grblet az ellipszoid. lland grblet felleten egy alakzat mozgatsakor az alakzat nmagval egybevg marad (a fellet izometrikus), egyb felleteken ez nincs gy. lland grblet felleteken hrom lehetsg van a Gauss-grbletre: k > 0, k = 0, k < 0. Az els eset gmbfelletnek, a msodik sknak, a harmadik n. hiperbolikus sknak felel meg. Geometrijuk az velem segtsgvel pthet fel. Az velem konstrulst gmbfelleten mutatjuk be:

x = r sin cos  y = r sin sin  z = r cos : 347

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

11.7. bra. Nyeregfellet f grbleti irnyai egy pontjban.

Felrhatjuk a Gauss-fle egytthatkat: E = r2 cos2 cos2  + r2 cos2 sin2  + r2 sin2 = r2 F = r cos r sin sin  ; r cos sin  r sin sin  + 0 = 0 G = r2 sin2 sin2  + r2 sin2 cos2  + 0 = r2 sin2  a gmbfellet veleme teht:



2 2 2 dv ds2 = r2 d 2 + r2 sin2 d 2 = r2 du r + r sin  2 r u 2 2 2 ds = du + sin r dv :

2

 (u = r  v = r )

Ha ebbe a kpletbe 1=r2 helyett ;1=r2-et runk, akkor egy lland negatv grblet fellet velemt kapjuk meg:

  ds2 = du2 + r2 sh2 ur dv2 :

Ebben a gmbi geometria szinuszfggvnye helyett a hiperbolikus szinuszfggvny szerepel, ezrt nevezik az ilyen felletek geometrijt hiperbolikusnak. Kznsges sk velemt mr korbban megadtuk polrkoordinkban, amelyet tekinthetnk a k = 0 grblet fellet u v felleti koordintinak. Ezzel a jellssel a sk veleme: ds2 = du2 + u2 dv2 : Az ismertetett eljrssal Gauss di(erencilgeometriai ton jutott el a klasszikus nemeuklidszi geometrikhoz. Ezek a geometrik a hromdimenzis trben az albbi lland grblet felletek bels geometrijaknt valsthatk meg: 348

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

1. Gmbi (elliptikus) geometria a gmbfellet egy rszn (szfrikus skon)

  k = r2  ds2 + sin2 ur dv2 :

2. Euklidszi geometria a kznsges skon k = 0 ds2 = du2 + u2 dv2 : 3. Hiperbolikus geometria a hiperbolikus sk (pszeudoszfra) egy rszn   k = ; 1  ds2 = du2 + sh2 u dv2 :

r2

r

Riemann kiterjesztette Gauss vizsglatait tetszleges n dimenzira. Az velemet derkszg, illetve felleti koordintkban a kvetkezkppen adta meg:

ds2 = dx21 + dx22 +    + dx2n  illetve ds2 =

n X

ik=1

gik dxi dxk :

Innen hromdimenzis esetben visszakapjuk a Gauss-fle egytthatkat: g11 = E , g12 = F , g22 = G, x1 = u, x2 = v. Trben egy felleti geometria jellegt egyetlen szm, a Gauss-grblet hatrozza meg, mg n dimenziban ltalban n4 adat, amelyek egy Rijkm negyedrend tenzor komponensei. Segtsgkkel klnbztethetjk meg az egyes Riemann-geometrikat, amelyek lnyegben a felletek bels geometriinak ltalnostsai n-dimenzira. Riemann a geometrit forradalmast gondolatait 1854-ben fejtette ki a gttingeni egyetemre benyjtott habilitcis dolgozatban. Gondolataibl fejldtt ki a tenzoralgebra s tenzoranalzis, fleg olasz matematikusok munkssga nyomn. A zika relativitselmlete ezekre a matematikai eredmnyekre pl. A Riemann-geometrik ltalban nem az erlangeni program rtelmben vett geometrik. Ugyanis nem mindig ltezik olyan transzformcicsoport, amely invarinsan hagyn az illet geometria bizonyos tulajdonsgait, alakzatait. Egyes specilis Riemann-geometrik, pldul az elliptikus s a hiperbolikus nemeuklidszi geometrik viszont megfelelnek az erlangeni program feltteleinek. A projektv geometria keretben egysgesen trgyalhatk olyan projektv transzformcicsoport invarinsainak elmleteknt, amelyek valamely msodrend grbt invarinsan hagynak. Hiperbolikus geometriban ez a grbe egy nem elfajul vals kpszelet, elliptikusban pedig egy nem elfajul kpzetes msodrend grbe. A nemeuklidszi geometrik elfogadtatsban s relatv ellentmondsmentessgk igazolsban fontos szerepet jtszottak a klnbz modellek. Kzlk a Beltrami, a Cayley-Klein s a Poincar modellekkel fogunk foglalkozni. Az olasz E. Beltrami (1835,1900) elsknt mutatta meg, hogy a BolyaiLobacsevszkij-fle hiperbolikus skgeometria egy lland negatv grblet felleten, az n. pszeudoszfrn (pontosabban annak egy rszn) valsul meg. 349

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Ez a fellet a traktrix, ms nven a vontatsi grbe forgatsval keletkezik. A pszeudoszfra Gauss-grblete minden pontban lland, rtke negatv szm. Ezen a felleten Beltrami le tudta vezetni a hiperbolikus geometria minden sszefggst az velem segtsgvel. nevezte el az egyenesek szerept tvev legkisebb tvolsgot ad vonalakat geodetikus vonalaknak. A Cayley-Klein-fle modell Cayley albbi tvolsgde ncijra pl:

d(P Q) = cj ln(ABPQ)j ahol (ABPQ) a ngy pont kettsviszonyt jelli s c > 0 (11.8. bra). Megmutathat, hogy az gy de nilt tvolsg eleget tesz a tvolsgaximknak. Biztostva van, hogy az egyenes vgtelen hosszsg legyen. Az (A B ) egyeneshez a rajta kvli F pontbl kt prhuzamos egyenes hzhat: (B H ) s (A K ). Ezeken kvl mg vgtelen sok nem metsz egyenes is hzhat F -en keresztl az AFH ^, illetve BFK ^ szgtartomnyban.

B A

Q

P F H

K

11.8. bra. Cayley-fle tvolsg s Cayley-Klein-fle modell.

Az euklidszi sk egy krben teht a Cayley-tvolsgra ptve megvalsthat egy geometria, amely a hiperbolikus skgeometria modellje. Logikailag teht a kt geometria ekvivalens: ha ez egyik ellentmondsmentes, akkor a msik is az. Ezzel igazoldott a Bolyai-Lobacsevszkij geometria relatv ellentmondsmentessge. A Poincer-fle krmodellben a pontokat szintn egy kr bels pontjai adjk. Egyenesek alatt viszont az adott krt merlegesen metsz krknek az adott kr belsejbe es krveit rtjk. Egy AB krven lev P s Q pontok tvolsgn (a PQ szakasz hosszn) a cj ln(ABPQ)j szmot rtjk. Ezen a modellen is belthat az euklidszi aximarendszer teljeslse, kivve a prhuzamossgi aximt. 350

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

11.4. Projektv geometria A projektv geometria a projektv transzformcikkal szembeni invarins tulajdonsgokat tanulmnyozza, amelyek legegyszerbb formja a centrlis vetts. Ttelei pontok s egyenesek illeszkedsre vonatkoznak, gy rvnyesek maradnak minden perspektv alakzatban. Egy centrlis vetts vgesben lev pontot vgtelenbe vihet t s viszont. A metszsre vonatkoz ttelek is egyszersdnek, ha nem tesznk klnbsget metsz s prhuzamos egyenes kztt. Mondhatjuk, hogy a prhuzamosok a vgtelen tvoli pontban metszik egymst. Ha az euklidszi skot kiegsztjk a vgtelen tvoli pontokkal, akkor a projektv skot kapjuk. A projektv geometria megalapozja Poncelet volt, aki a vgtelen tvoli pont mellett bevezette a virtulis pontok fogalmt. Ezek olyan kpzetes koordintj pontok, amelyekben brmely kr s egyenes metszi egymst. Poncelet fogalmazta meg a skbeli dualitsi elvet is (van trbeli dualits is): Ha a projektv skgeometria valamely ttelben a pont s egyenes, sszekts s metszs szavakat felcserljk, akkor ismt igaz ttelhez jutunk. Steiner vette szre, hogy a legfontosabb projektv invarins egy egyenes A, B , C , D pontngyesnek (ABCD) kettsviszony a. Ha specilisan (ABCD) = ;1, akkor a 4 pont harmonikus pontngyes t alkot. Staudt a projektv lekpezst olyan lekpezsknt de nilta, amely megrzi a harmonicitst. A projektv geometria fogalmai s ttelei egysgesen trgyalhatk a Plcker bevezette homogn koordintk segtsgvel. Egy skbeli pontnak szmpr helyett szmhrmassal val megadsnak tlete Mbiustl szrmazik. Egy P pont helyzett valamely ABC alaphromszg cscsaiban elhelyezett x1 , x2 , x3 slyokkal adta meg, gy vlasztva a slyokat, hogy P legyen a slypont.

C x3

P = (x1  x2  x3 ) = = (kx1  kx2  kx3 ) k = 0 A = (x1  0 0) B = (0 x2  0) C = (0 0 x3 ) 6

P A x1

B x2

11.9. bra. M bius baricentrikus (s lyponti) koordinti.

A slyponti koordintk csak egy k(6= 0) konstanstl eltekintve egyrtelmen meghatrozottak. Ennek magyarzata az, hogy egy tmegrendszer slypontja nem vltozik, ha mindegyik slyt ugyanannyiszorosra vltoztatjuk. Megjegyezzk, hogy a cscsokban negatv slyok is szerepelhetnek, ha P a hromszgn kvl van. Mbius baricentrikus koordintibl alakultak ki Plcker ltalnos homogn koordinti. Ha (x y) a sk P pontjnak derkszg koordinti, akkor 351

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

azokat a kx1  kx2  kx3 (k 6= 0) szmhrmasokat, amelyekre

x : y : 1 = kx1 : kx2 : kx3 = x1 : x2 : x3 a P pont homogn koordintinak nevezzk. Bellk a derkszg koordintk osztssal kaphatk meg:

x = xx1  y = xx2  (x3 6= 0): 3

3

Hasonlan de nilhatk a homogn koordintk trben is:

P (x y z ) ! P (x1  x2  x3  x4 ) x : y : z : 1 = x1 : x2 : x3 : x4 : A sk vgtelen tvoli pontjainak homogn koordinti: (x1  x2  0), a k = 1 alaprtket vve. Az egyenes s a kr ltalnos egyenlete is trhat homogn koordintkba:

ax + by + c = 0 ! a xx1 + b xx2 + c = 0 ! ax1 + bx2 + cx3 = 0 3 3 ax2 + ay2 + bx + cy + d = 0 ! ax21 + ax22 + bx1 x3 + cx2 x3 + dx23 = 0:

Az egyenes vgtelen tvoli pontjnak koordintit gy kapjuk meg, ha egyenletbe behelyettestjk a sk vgtelen tvoli pontjnak koordintit:

ax1 + bx2 + cx3 = 0 ! ax1 + bx2 = 0 ! xx1 = ; ab : 2 Teht az egyenes vgtelen tvoli pontja (;b a 0). A sk vgtelen tvoli egyenesnek egyenlete pedig

ax1 + bx2 + cx3 = 0 ! a(;b) + ba + cx3 = 0 ! cx3 = 0 ! x3 = 0: Ezutn megkaphatjuk a kr s a vgtelen tvoli egyenes metszspontjait is:

ax21 + ax22 = 0 ! x21 = ;x22 =) x1 = 1 x2 = i x3 = 0: A kt kpzetes metszspont teht a kvetkez: (1 i 0), (1 ;i 0). Ezek a pontok a sk minden krn rajta vannak, gy egy egyenesnek s egy krnek is mindig van metszspontja. A metszspont termszetesen lehet vges pont is igazi metszs esetn. A dualits elve is knnyen addik a homogn koordintkbl. Az ax1 + bx2 + cx3 = 0 egyenlet (skbeli) egyenest hatroz meg, ha a, b, c-t rgztjk s x1 , x2 , x3 -at vltoztatjuk. Ha viszont x1 , x2 , x3 -at rgztjk s a, b, c-t vltoztatjuk, akkor egy rgztett ponton tmen egyenessereget (sugrsort) kapunk. Az egyenes s pont (sugrsor) teht skbeli dulis s egymssal egyenrang fogalmak. Mint alapfogalomra mindkettre felpthet a projektv skgeometria. Hasonlan trgyalhat homogn koordintkkal a trbeli dualits is. A homogn elnevezs 352

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

magyarzata az, hogy ezekkel a koordintkkal felrva az alakzatok egyenleteit, bennk minden tag azonos fokszm, vagyis homogn lesz. Tekintsk t most a projektv geometria legfontosabb tteleit: Ttel (Alapttel): Az egyenes 3 pontjt helybenhagy projekci az egyenes minden pontjt helybenhagyja. Ms szval 3 pont meghatroz egy projektv lekpezst. A ttel a kettsviszony invariancijt fejezi ki. Ttel (Harmonicits ttele): Ha A, B , C egy egyenes pontjai, akkor egyrtelm!en megszerkeszthet az a D pont, amellyel A, B , C harmonikus pontngyest alkot (11.10. bra). (Dulisa a harmonikus sugrngyes.)

E

H

F G

A

D

B

C

11.10. bra. A harmonicits ttele.

Ttel (Desargues ttele skban  van trbeli vltozata is ): Ha ABC s A0 B 0 C 0 olyan hromszgek a skban, hogy AA0 , BB 0 s CC 0 egy pontban metszik egymst, akkor BC s B 0 C 0 , CA s C 0 A0 , AB s A0 B 0 metszspontjai egy egyenesre esnek (11.11. bra). Ttel (Papposz (Pascal) ttele): Ha A B C , illetve A0  B 0  C 0 egy-egy skbeli egyenesen vannak, akkor BC 0 s B 0 C , CA0 s C 0 A, AB 0 s A0 B metszspontjai egy egyenesre esnek (11.12. bra). Pascal a ttelt ltalnostotta egy kpszelet hat pontjra. A Pascal-ttel dulist pedig Brianchon fedezte fel. A XX. szzadban a projektv geometria is egyre inkbb elszakadt a szemllettl s kzelebb kerlt az absztrakt algebrhoz. Ebben a felfogsban egy projektv tr pontjai valamilyen T testbeli elemekbl kpzett rendezett n-esek, megllapodva abban, hogy (x1  : : :  xn ) s (kx1  : : :  kxn ) ugyanazt a pontot jelli, ha k 6= 0. A geometriai ttelek pedig nem msok, mint homogn egyenletekre vonatkoz algebrai eredmnyek. Egy absztrakt n-dimenzis projektv geometria (projektv tr) egy P = f(x1  : : :  xn )jxi 2 T g halmazbl s P bizonyos, egyeneseknek nevezett rszhalmazaibl ll olyan rendszer, amely eleget tesz az albbi aximknak:

353

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A

C

C

0

A B

B

0

O

0

11.11. bra. Desargues ttele.

A

0

A

B

B

0

C

0

C

11.12. bra. Papposz ttele.

P1. Kt pont egy s csakis egy egyenesen van. P2. Ha egy egyenes metszi egy hromszg kt oldalt, akkor metszi a harmadikat is. P3. Minden egyenesen legalbb hrom klnbz pont van.

354

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Ha P egy H rszhalmaza olyan, hogy brmely kt pontjval egytt tartalmazza az ltaluk meghatrozott egyenes minden pontjt, akkor H -t altrnek nevezzk. Egy projektv tr alterei hlt alkotnak a halmazok kztti tartalmazsi relcira nzve. Az alapul szolgl T test lehet vges is. Pldul a T = (f0 1g + ) vges test fltti projektv geometria mindssze 7 pontbl s 7 egyenesbl ll. Mindegyik egyenesen 3 pont van s minden ponton 3 egyenes megy t. Ez az gynevezett Fano-sk. Pontjai: (0 0 1) (0 1 0) (0 1 1) (1 0 0) (1 0 1) (1 1 0) (1 1 1): Egyenesei azon pontokbl llnak, amelyek kielgtik az a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = 0 homogn relcit, ahol a1 , a2 , a3 is pontokat jellnek. Minden vges projektv skra jellemz, hogy ha egy egyenesen k pont van, akkor a sk minden egyenesn is k pont van s minden ponton k egyenes megy t. A pontok n szma megegyezik az egyenesek szmval, amit az n = k2 ;k +1 kplet ad meg. A Fano-skon k = 4, n = 13. Mig eldntetlen, hogy milyen k rtkekre szerkeszthet vges projektv sk. Olyan vges projektv trgeometria konstrulhat, amelynek 15 pontja, 35 egyenese s 15 skja van. Egy projektv geometria algebrizlhat, ha egy OE egysgszakasz kijellse utn az OA s OB szakaszok OC szorzatt az

OC = OA  OB () OC : OA = OB : OE arnnyal de nilhatjuk. Ha a szorzst megad arnyt nzzk, szrevehetjk, hogy Papposz ttele a szorzs kommutativitst jelenti. Hasonlan, Desargues ttele megfelel a szorzs asszociativitsnak. A harmonicits ttele pedig a szorzs gyenge asszociativitst fejezi ki:

8a b : a(ab) = (aa)b (ab)a = a(ba) a(bb) = (ab)b: Az alapvet geometriai tulajdonsgokat kifejez Papposz-, Desargues- s harmonicits-ttelek teht megfelelnek a szorzs alaptulajdonsgainak: kommutativits, asszociativits, gyenge asszociativits. Attl fggen, hogy milyen tulajdonsgok rvnyeslst kveteljk meg, klnbz tpus geometrikhoz jutunk, amelyek n. Hurwitz-algebrkon realizldnak. A Hurwitz-algebrk a komplex szmok ltalnostsain vannak rtelmezve, megrizve a komplex szmok abszolt rtknek (normjnak) albbi tulajdonsgt:

jabj = jaj jbj: A vals szmok, a komplex szmok, a kvaternik s az oktnok (nyolc egysges szmok) adjk az sszes klnbz Hurwitz algebrt. A vals s komplex szmok kommutatv s asszociatv, a kvaternik asszociatv, az oktnok gyengn asszociatv algebrt alkotnak. Flttk konstrulhatk meg az albbi tpus projektv geometrik: 355

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

1. #rvnyes bennk a Papposz- s a Desargues-ttel. A vals s a komplex szmok teste, illetve ms test fltt rtelmezhetk. Szerkezetket a test szerkezete hatrozza meg. 2. A Papposz-ttel nem, de a Desargues-ttel rvnyes bennk. Ferde testek (divizi algebrk) fltt konstrulhatk, pldul a kvaternitest fltt. Mindig vgtelen sok pontjuk van. 3. Csak a harmonicits ttele rvnyesl bennk. Legfontosabb pldjuk az oktnok Hurwitz-algebrja fltt konstrulhat.

Gyakorlatok 1. Bizony tsuk be a prhuzamossgi axi ma nlk l, hogy a Saccheri-ngyszg kt fels szge egyenl! 2. Mutassuk meg, hogy a szablyos kilencoldal sokszg nem szerkeszthet meg! 3. Bizony tsuk be a kvetkez tteleket a Hilbert-fle axi marendszer alapjn: (a) Ha a B pont az A s D pontok, a C pont a B s D pontok kztt van, akkor C az A s D pontok kztt van. (b) Kt k lnbz pont kztt vgtelen sok pont van. (c) Ha az e s f k lnbz egyenesek egyike sem metszi a g egyenest akkor e s f nem metszik egymst. 4. Mutassuk meg, hogy a kettsviszony invarins az inverzi val szemben. 5. Egy kpszelet adott 5 pontjb l szerkessz k meg a hatodikat! 6. Legyen adott egy kpszelet 3 pontja, valamint valamelyik kettben az rint. Szerkesssz k meg az rintt a harmadik pontban! 7. Igazoljuk tblzat seg tsgvel, hogy a Fano-s k kielg ti a projekt v geometria axi mjt. 8. #ll tsunk merlegest egy szakaszra csak krz seg tsgvel. 9. Szerkessz k meg csak krz seg tsgvel egy adott a hosszsg szakaszb l az a 2 szakaszt. p

Irodalom )1] Bolyai Jnos: Appendix. Akadmiai Kiad, 1952. )2] Coxeter, H. S. M.: A geometrik alapjai. Mszaki Knyvkiad, 1973. )3] Coxeter, H. S. M.,Greitzer, S. L.: Az jra felfedezett geometria. Gondolat, 1977. )4] Hajs Gyrgy: Bevezets a geometriba. Tanknyvkiad, 1979. )5] Hilbert,Cohn-Vossen: Szemlletes geometria. Gondolat, 1982. )6] Lnczos Kornl: A geometriai trfogalom fejldse. Gondolat, 1976. 356

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

12. fejezet

Szmelmlet A szmelmlet sok szempontbl kitnik a matematikai diszciplink kzl. Itt tallhat a legtbb megoldatlan sejts, amelyek vonzerejt csak nveli egyszer megfogalmazhatsguk. Ez az egyetlen ga a matematiknak, amelyben tbb, mint 1400 ven keresztl nagyon kevs rdemleges fejlemny trtnt, Diophantosztl egszen Fermatig. Gauss ismert mondsa szerint a matematika a tudomnyok kirlynje, s a szmelmlet a korona a kirlyn fejn. Trgyt tekintve a szmelmlet az egsz szmok tulajdonsgaival foglalkozik. Rszekre osztsa ltalban az alkalmazott mdszerek szerint trtnik. Az elemi szmelmlet tisztn szmelmleti, az algebrai, az analitikus, illetve a geometriai szmelmlet alkalmazott eszkzeire pedig az elnevezsk utal. Az elemi szmelmletet mr ttekintettk az V. fejezetben. A kvetkezkben az algebrai s az analitikus szmelmlettel fogunk foglalkozni. Mindkett megalapozsban Euler s Gauss jtszottk a legnagyobb szerepet.

12.1. Algebrai szmelmlet Az algebrai mdszerek alkalmazsnak eredete a magasabb fok diophantoszi egyenletek vizsglatra nylik vissza. Egyes msodfok diophantoszi egyenletek mg trgyalhatk elemi eszkzkkel. Az x2 + y2 = z 2 s x2 ; y2 = n egyenletek mindegyike megoldhat az a2 ; b2 = (a ; b)(a + b) azonossg, majd a szmelmlet alapttele szerinti prmtnyezs felbonts segtsgvel. Az x2 + y2 = n, illetve xn + yn = z n (n > 2) egyenletek azonban mr ms mdszereket ignyelnek. Az elbbi megoldhatsga a Gauss-egszek, az utbbi az algebrai szmelmlet segtsgvel vizsglhat. Gauss az x2 + y2 = n alak egyenletek megoldst az x2 ; y2 = n egyenleteknl alkalmazott mdszerrel igyekezett megkapni. Az utbbi esetben az (x ; y)(x + y) = n szorzatt alaktsa utn n trzstnyezs felbontsaibl kapjuk a megoldsokat, illetve a megoldhatsg felttelt. Az els esetben az (x + iy)(x ; iy) = n szorzatt bonts vezet clra, ha n-et is fel tudjuk bon357

www.interkonyv.hu

© Filep László

Z

Z

© Typotex Kiadó

tani ilyen alakban. Ehhez szksges, hogy az a + bi (a b 2 ) alak szmok G halmazban is kipthet legyen a -beli szmelmlet analogonja. G elemeit Gauss-egszek nek nevezzk. Specilisan minden egsz szm Gauss-egsz (Z  G). Knny beltni, hogy (G + ) szintn integritstartomny, teht az oszthatsggal kapcsolatos fogalmak mindegyike tvihet G-re. Az 1 oszti adjk a G-beli egysgeket (e): 1 ;1 i ;i. Egy 2 G Gauss-egsz asszociltjn az e Gauss-egszet rtjk. Bevezethet a norma fogalma is G-ben:

= a + bi =) k k =  = a2 + b2 = j j2 : A norma segtsgvel de nilhat a maradkos oszts s bizonythat a maradkos oszts ttele G-ben. Ekkor ltezik euklidszi algoritmus s lnko is. A prmelem s irreducibilis elem fogalma is egybeesik. Ezutn knnyen bizonythat a szmelmlet alapttelnek (az egyrtelm irreducibilis faktorizci ttelnek) albbi analogonja G-ben: Ttel: Brmely, egysgtl klnbz Gauss-egsz  sorrendtl s egysgtnyeztl eltekintve  egyrtelm!en felbonthat vges sok Gauss-fle prmszm szorzatra. (Ha Gauss-fle prm, akkor a szorzat egytnyezs.) 'sszegezve az eddigieket megllapthatjuk, hogy (G + ) Gauss-fle, specilisan euklidszi gyr. Most mr rtrhetnk az x2 + y2 = n egyenlet megoldhatsgnak vizsglatra, ms szval annak a krdsnek a megvlaszolsra, hogy mely termszetes szmok rhatk fel kt ngyzetszm sszegeknt. Tekintsk n prmtnyezs felbontst -ben. Ismert, hogy minden pratlan prmszm 4k ; 1, vagy 4k + 1 alak. A 4k + 1 alak prmek nem prmek G-ben, amit a 13 = (2 + 3i)(2 ; 3i) faktorizls is mutat. Megmutatjuk, hogy a 4k ; 1 alakak viszont G-ben is prmek. Tegyk fel, hogy p = 4k ; 1 nem prm G-ben. Ekkor ltezik p =  valdi faktorizcija ( 6= e,  6= e). A normk szorzatra kpk = k k  k k. Mivel s  normja 1-nl nagyobb termszetes szm s p normja p2 , innen kapjuk, hogy k k = k k = p. Ha = x + iy, akkor k k = x2 + y2 = p, ami lehetetlen, mert kt ngyzetszm sszege nem lehet 4k ; 1 alak. (Ennek beltst az olvasra bzzuk.) G-ben a 4k ; 1 alak szmok mellett mg az 1 + i s 1 ; i Gauss-egszek a prmek. A 4k + 3 akak egszek mindig felbonthatk kt konjuglt Gauss-egsz szorzatra, ami esetnkben az x2 + y2 = n egyenlet megoldhatsgt jelenti. Megmutathat, hogy az x2 + y2 = n egyenlet akkor s csakis akkor oldhat meg -ben, ha n -beli prmtnyezs felbontsban minden elfordul 4k ; 1 alak prmszm pros hatvnyon szerepel. Ekkor n a kvetkez alakban rhat: n = 2k n1 n22 , ahol n1 az n szm 4k + 1 alak prmtnyezinek szorzata (ha ilyen prmtnyez nincs, akkor n1 = 1), n22 pedig a 4k ; 1 alakak. Bizonythat, hogy n-et ebben az alakban rva, az egyenlet megoldsszma 4d(n1 ), ahol d(n1 ) az n1 pozitv osztinak szmt jelli. Az egyenlet G-ben mindig megoldhat. Egy termszetes szm kt ngyzetszm sszegeknt val ellltsnak problmja mellett nevezetes a hrom, illetve ngy ngyzetszm sszegeknt val

Z

Z

Z

358

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

elllts problmja is. Az elbbit Gauss, az utbbit Lagrange oldotta meg. Gauss megmutatta, hogy csak a 4k(8m + 7) alak szmok nem llthatk el hrom ngyzetszm sszegeknt. A Lagrange-ttel szerint pedig minden termszetes szm elllthat legfeljebb ngy ngyzetszm sszegeknt. A Gauss-egszek segtsgvel vizsglhat az x2 +1 = y3 diophantoszi egyenlet megoldhatsga is. Az x2 + 1 = (x + i)(x ; i) felbontsban a kt tnyez relatv prm kell legyen. Ha lenne kzs osztjuk, akkor az osztan a klnbsgket (2i-t) is. Ekkor y pros s y3 8-cal oszthat, mg x pratlan s x2 +1 = 2(2k +1) alak lenne. Ez az ellentmonds igazolja x + i s x ; i relatv prm voltt. Az egyenlsg fennllsbl ekkor x + i = (a + bi)3 , x ; i = (c + di)3 kvetkezik. Az elbbit talaktva kapjuk, hogy x + i = a3 + 3a2 bi ; 3ab2 ; b3 i x = a3 ; 3ab2 1 = b(3a2 ; b2 ) b = 1 1 = (3a2 ; 1) =) 3a2 = 0 vagy 3a2 = 2 a = 0 x = 0: Teht az egyetlen megolds: x = 0, y = 1. Az eredmnyt mr Euler sejtette, de a fenti teljes bizonyts a francia Pepintl szrmazik (1875). A mr Fermat ltal is vizsglt x2 + 2 = y3 diophantoszi egyenlet nem G-ben, hanem az p fa + b 2ija b 2 g alak szmok halmazban oldhatk meg. Ezen szmok ugyanis szintn euklidszi gyrt alkotnak. p p Tekintsk az y3 = (x + 2i)(x ; 2i) faktorizcit. Megmutathat, hogy a kt tnyez relatv prm, ezrt kln-kln kbszmok. Az p p x + 2i = (a + b 2i)3 egyenlsgbl x = a3 ; 6ab2 s 1 = b(3a2 ; 2b2 ) kvetkezik. Tovbb: 1 = b(3a2 ; 2b2) =) b = 1 3a2 ; 2 = 1 =) 3a2 = 3 =) a = 1: Megoldsok: x = 5, y = 3- x = ;5, y = 3. Ezt a Fermat sejtette eredmnyt szintn Pepin igazolta 1875-ben. A vzolt mdszer alkalmazhat ms magasabb fok diophantoszi egyenletek, specilisan a nagy Fermat-ttel (mai terminolgival: Fermat-sejts) esetn is. Euler az n = 3 esetben a bal oldal albbi felbontst vgezte el: x3 + y3 = z 3 2 (x + y)(x ; xy + y2 ) = z 3 (x + y)(x + "y)(x + "2 y) = z 3

Z

359

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

ahol " az egyik harmadik egysggyk. p3 1 = cos k 23 + i sin k 23 = ek 23 i  k = 0 1 2 "0 = 1 = e0 p 2 i 2  2  1 " = "1 = cos 3 + i sin 3 = e 3 = ; 2 + i 23 p 4  4  4 i 1 2 3 " = "2 cos 3 + i sin 3 = e = ; 2 ; i 23 "21 = "2  "31 = "0 = 1 "2 = ;1 ; "1  1 + " + "2 = 0:

Z

A bal oldalon minden tnyez a + b" (a b 2 ) alak. (Az els tnyezben a = x + y, b = 0.) Az ilyen alak szmokat Euler-egszek nek nevezzk. Jellje halmazukat E . Az (E + ) struktra szintn integritstartomny. Benne teht de nilhatk az oszthatsggal kapcsolatos fogalmak. Az egysgek a 1 " "2 Euler-egszek. A -beli prmek nem mindegyike prm E -ben. Pldul: 3 = (1 ; ")(2 + "). Az egyrtelm prmfaktorizci ttele E -ben is rvnyes, teht (E + ) is Gauss-fle gyr. A nagy Fermat-ttel az n = 3 esetre ezrt Euler-egszek felhasznlsval bizonythat. Az xn + yn = z n diophantoszi egyenlet megoldatlansga n = 5 s n = 7 esetn is belthat a fenti mdon. ltalnos esetben (pratlan n-ekre) az

Z

(x + y)(x + "y)(x + "2 y)    (x + "n;1 ) = z n

Z

alak felbonts vizsgland, ahol " egy primitv n-edik egysggyk. A felbontst az a0 +a1 "+a2"2 +  +an;1"n;1 (ai 2 ) alak szmok krben kell keresni. Az ilyen alak szmok is specilis gyrt, integritstartomnyt alkotnak. Ha halmazukban rvnyes a szmelmlet alapttele, akkor a nagy Fermat-ttel minden n-re bizonytva van. Kummer ezt termszetesnek vette, de ksbb Dirichlet megmutatta, hogy n = 23-ra nem igaz az egyrtelm prmfaktorizci, teht a ttel bizonytsa p csak n < 23 esetn helyes. A Gauss- s Euler-egszek, az a + b 2i alak szmok mind specilis esetei egy ltalnostott egsz szm fogalomnak: az algebrai egsz szmok nak. Az algebrai egszek egy egsz egytthats fpolinom zrushelyeiknt de nilhatk, vagyis az albbi mdon.

Z Z

Z

Racionlis Algebrai szm a px + q = 0, p q 2  p 6= 0 az an xn +    + a1 x + a0 = 0, egyenlet gyke ai 2 , an 6= 0 egyenlet gyke egsz szm az x + b = 0 b 2 egyenlet az xn + an;1 xn;1 +    + a1 x + gyke a0 = 0, ai 2 egyenlet gyke Az algebrai egszek integritstartomnyt alkotnak, ezrt krkben is felvethet a szmelmlet alapttelnek megfelel egyrtelm irreducibilis faktorizci problmja. Ez azonban mr azon megbukik, hogy ebben a gyrben nincs

Z

360

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

p

irreducibilis elem. Ha ugyanisp palgebrai egsz s nem egysg, akkor is az (s nem egysg), gy = valdi faktorizci. Ezzel a Fermat-ttel ltalnos bizonytsa is lehetetlenn vlt ezen a mdon. Bizonyos diophantoszi egyenletek megoldshoz elegend a racionlis szmtest valamely algebrai szmmal val ( ) egyszer testbvtsben az algebrai egszek gyrjt vizsglni. A ( ) testet k-ad fok testnek nevezzk, ha k-ad fok algebrai egsz szm, vagyis ha zrushelye egy k-ad fok egsz egytthats fpolinomnak, de nem zrushelye egyetlen k-nl alacsonyabb foknak sem. Egy k-ad fok ( ) szmtest elemei elllthatk a0 + a1 +    + ak;1 k;1 alakban, ahol az ai egytthatk racionlis szmok. A ( ) test algebrai egszei gyrt (integritstartomnyt) alkotnak. (i) pldul msodfok szmtest, mert i gyke az x2 + 1 = 0 egyenletnek (elsfoknak nyilvnvalan nem gyke). Elemei a + bi (a b 2 ), algebrai egszei pedig a + bi (a b 2 ) alakak. gy teht a Gauss-egszek G halmazhoz jutottunk. Egy a + bi Gauss-egsz az x2 ; 2ax + a2 ; b2 = 0 (a b 2 ) egyenlet (egyik) gykeknt rhat. Mint lttuk a (i) test algebrai egszeinek gyrjben rvnyes a szmelmlet alapttele, gy segtsgvel trgyalhat azpx2 + y2 = n diophantoszi egyenlet megoldhatsga. Hasonl a helyzet a ( 2i) bvts s az x2 + 2y2 = n egyenlet esetben. Azonban nem minden ( ) bvts algebrai egszeinek p p gyrjben igaz az egyrtelm prmfaktorizci. Pldul a ( 5i) test a+b ;5 (a b 2 ) alak egszeinek gyrjben nem rvnyes a szmelmlet alapttele. Ez annak kvetkezmnye, hogy p benne a prmelem s irreducibilis elem fogalma nem esik p egybe.p A 2 + 5i szm pldul p irreducibilis, de nem prm. A 9 = (2 + 5i)(2 ; 5i) felbonts miatt 2 + 5i osztja 9 = 3  3-nak, p de pnem osztja 3-nak. A febonts nem egyrtelm voltt a 9 = 3  3 = (2+ 5i)(2 ; 5i) ellenplda igazolja. E gyr segtsgvel teht az x2 + 5y2 = n diophantoszi egyenlet a fenti mdon nem trgyalhat. Dedekindnek sikerlt kiterjeszteni a szmelmlet alapttelt egy ( ) test algebrai egszei gyrjnek elemei helyett a gyr ideljaira. Mint a 9. fejezetben emltettk, az idel a kzs oszt fogalmnak ltalnostsa. Az idel olyan rszgyr, amely zrt a gyr brmely elemvel val szorzsra. Az a1  : : :  an elemek ltal generlt I = ha1  : : :  an i idel a generl elemek legnagyobb kzs osztjnak tbbszrseibl ll, azaz minden eleme kd = k(x1 a1 + x2 a2 +    + xn an ) alak. Egy I = hai fidel elemeit pedig a tbbszrsei adjk. Az h1i fidel megegyezik ( ) algebrai egszeinek gyrjvel. A h0i idel a legszkebb idel, egyetlen eleme a 0. Az I = ha1  : : :  an i s J = hb1  : : :  bk i

Q

Q

Q

Q

Q

Z

Z

Q

QQ

Q

Q

Z

Q

Q

Q

361

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

idelok szorzatn az albbi IJ idelt rtjk:

IJ = ha1 b1  a1 b2  : : :  a1 bk  a2 b1  : : : : : :  an bk i: Az idelok kztt sszeads is rtelmezhet s megmutathat, hogy szintn integritstartomnyt alkotnak. gy krkben is megksrelhet egy szmelmlet kiptse. Az idelok kztti oszthatsgra rvnyes a kvetkez rdekes tulajdonsg: I jJ () J  I . Az h1i idel teht minden idel osztja. Egy P idelt prmidelnak neveznk, ha P jIJ =) I  P vagy J  P . Az egyrtelm irreducibilis faktorizci ttelt az biztostja ( ) ideljai halmazban, hogy benne a prmidel s az irreducibilis idel fogalma egybeesik: Egy idel akkor s csak akkor prmidel, ha csak h1i-gyel s nmagval oszthat. Dedekind bebizonytotta, hogy ( ) minden h1i-tl klnbz idelja sorrendtl eltekintve egyrtelmen felbonthat vges sok prmidel szorzatra. (Az idelelmlet alapttele.) Ha egy gyrben minden idel fidel (a gyr fidelgy!r!), akkor a szmelmlet alapttele mr az elemeire is igaz, teht nincs szksg az idelokra val kiterjesztsre. Fidelgyr pldul p az egsz szmok, a Gauss-egszek, az Euleregszek gyrje, valamint a ( p2i) gyr. ltalban is igaz, hogy minden euklidszi gyr fidelgyr. A ( 5i) gyr viszont nem az, benne az egyrtelm faktorizci csak az idelokra igaz. Kummernek sikerlt a Fermat-sejtst az idelelmlet (illetve az algebrai szmelmlet) segtsgvel minden 100-nl kisebb n. regulris prmre igazolni. 100-ig csak 37, 59 s 67 nem regulris. Ezekre a kivtelekre is sikerlt bizonytst tallnia. Belthat, hogy a Fermat-sejtst elg prmekre s n = 4 esetn igazolni, gy Kummer megoldotta a problmt minden 100-nl kisebb kitevre. Ennl tovbb azonban nem jutott. Az idelok teht nem eredmnyeztk a Fermat-sejts teljes igazolst, br bevezetsk azzal volt kapcsolatos. Viszont igen hasznosnak bizonyultak ms szmelmleti s algebrai vizsglatokban. Kummer munkassga ta a Fermat-sejtst szmos tovbbi kitevre igazoltk. A teljes sejtst azonban csak a kzelmltban igazolta Willes angol matematikus algebrai geometriai eszkzkkel. A bizonyts rendkvl kompliklt s gondos elemzst ignyel. Ma mr a szakrtk tbbsge elfogadja, de mg korai lenne Fermat-sejts helyett igazi Fermat-ttelt rni.

Q

Q

QQ

12.2. Analitikus szmelmlet Az analzis mdszereinek szmelmleti alkalmazhatsgt Euler vette szre. vezette be az els szmelmleti fggvnyeket s dolgozta ki az n. genertor362

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

fggvny mdszert. A zta-fggvnyre bebizonytotta az albbi azonossgot1:

 (n) =

1 X

k=1

1 =Y kn

1 : 1

p 1 ; pn

Ugyanis n  1 esetn a 0 < 1=pn < 1 hnyados vgtelen mrtani sor konvergens s sszege 1 X

1 = 1 : sn 1 ; 1n p p s=0

Ha itt p helybe behelyettesthetjk a 2, 3, 5, : : : prmszmokat s sszeszorozzuk a kapott egyenletek megfelel oldalait, akkor kapjuk, hogy 1 X

1 1 X 1  = 1  1  : sn sn 1 ; 21n 1 ; 31n s=0 2 s=1 3

A bal oldalon vgtelen sok pozitv tagot tartalmaz sszeget kell sszeszoroznunk. A szorzat minden tagjnak szmllja 1, nevezje pedig (2 1 3 2 5 3    )n alakban rhatk fel. Az sszes ilyen alak szorzat a szmelmlet alapttele kvetkeztben megadja az sszes termszetes szmot (azok n-edik hatvnyt), teht a bal oldal egyenl az 1 + 21n + 31n + 41n +    vgtelen sszeggel, vagyis ppen  (n)-nel. Ha a kapott egyenlsgbe n = 1-et helyettestjk, akkor 1 X 1 Y

1 = 1 p 1; p k=1 k addik. A bal oldalon ll harmonikus sor divergencijbl kvetkezik a prmszmok szmnak vgtelensge. Hasonl mdszerrel lehet klnbz szmelmleti problmkhoz genertorfggvnyeket rendelni. Ismert, hogy a

 (1) =

1 X

n=0

an xn = a0 + a1 x +    + an xn +   

hatvnysorhoz mindig van olyan A  0 szm, hogy jxj < A esetn a sor konvergens. (Ha P A = 0, csak x = 0 esetn.) Jellje a sor sszegfggvnyt '(x). n 2 n Specilisan a 1 n=0 x = 1 + x + x +    + x +    vgtelen mrtani sor esetn A = 1 s '(x) = 1=(1 ; x). 1 Ma mr a zta fggvnyt tetszleges 1-nl nagyobb vals szmokra rtelmezik, de mi megmaradunk az eredeti felfogsnl.

363

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A genertorfggvnyek klnsen hasznosak n. additv szmelmleti problmk megoldsban. Az additv szmelmletben azt vizsgljuk, hogy egy egsz szm elllthat-e s hnyflekppen sszeg alakban. A kvetkezkben nhny ilyen problmt ismertetnk. 1. Lineris felbonts (pnzvltsi problma). Hnyflekppen oldhat meg a c1 x1 + c2 x2 +    + ck xk = n egyenlet a termszetes szmok krben? Gyakorlati problmaknt fogalmazva: hnyflekppen lehet egy n forintos bankjegyet c1  c2  : : :  ck cmletekre felvltani? 2. Partciproblma. Hnyflekppen oldhat meg az n1 + n2 +    + nk = n, n1  n2  : : :  nk > 0 diophantoszi egyenlet, vagyis hnyflekppen bonthat fel egy termszetes szm termszetes szmok sszegre? 3. Kvadratikus felbonts. Hnyflekppen bonthat fel egy termszetes szm kt ngyzetszm sszegre, azaz hnyflekppen oldhat meg az x2 + y2 = n egyenlet? (A megoldhatsgot mr trgyaltuk a 12.1. pontban.) Az 1. problmt az x1 + 2x2 + 4x3 = n konkrt pldn keresztl vizsgljuk. A megoldsok szma csak n-tl fgg, gy jellhetjk f (n)-nel. Hagyomnyos mdszerrel az f (n) rtkeket csak az egyes n-ekre kln-kln lehet meghatrozni, viszont a genertorfggvny segtsgvel minden f (n) rtk egyszerre kiszmthat. Mivel jxj < 1 esetn x2 < 1 s x4 < 1 is igaz, ezrt az albbi mrtani sorok konvergensek s sszegk a kvetkez: 1 X = 1 + x + x2 + x3 +    = 1 ;1 x = F1 (x) n=0 1 X x2n = 1 + x2 + x4 + x6 +    = 1 ;1 x2 = F2 (x) n=0 1 X x4n = 1 + x4 + x8 +    = 1 ;1 x4 = F3 (x) n=0 ahol a kitevk az egyenlet c1 = 1, c2 = 2, c3 = 4 egytthatinak tbbszrsei. A hrom egyenletet sszeszorozva a jobb oldal F (x) = F1 (x)F2 (x)F3 (x) = (1 ; x)(1 ;1x2 )(1 ; x4 ) lesz, a bal oldalon pedig minden tag xx1 x2x2 x4x3 = xx1 +2x2 +4x3 = xn alak lesz. Ilyen tag annyi lesz, ahny megoldsa van az x1 + 2x2 + 4x3 = n egyenletnek. Teht xn egytthatja minden n-re megadja f (n) rtkt. Ezrt a bal oldal gy rhat fel: 1 + f (1)x + f (2)x2 +    + f (n)xn +    =

1 X

n=0

f (n)xn :

364

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Ez a vgtelen sor jxj < 1 esetn konvergens s sszegfggvnye valban a jobb oldalon ll F (x). Az F (x) fggvnyt az f (n) additv szmelmleti fggvny genertorfggvnynek nevezzk. A genertorfggvnybl f (n) az albbi lpssorozattal kaphat meg: 1. Parcilis trtekre bonts. 9  1 + 1  1 + F (x) = 18  (1 ;1 x)2 + 14  (1 ;1 x)2 + 32 1 ; x 16 (1 + x2 ) 5  1 + 1  1+x : + 32 1 + x 8 1 + x2 2. Derivltakkal val felrs. (Az 1. lpsben kapott 1=(1 + ax)2 alak racionlis trtfggvnyek felrhatk 1=(1 + ax) k-adik derivltjnak konstansszorosaknt.)   1  1 00 + 1  1 0 + 9  1 ; F (x) = 16 1;x 4 1;x 32 1 ; x  0 ; 161  1 +1 x + 325  1 +1 x + 18  11++xx2 : 3. A trtfggvnyeket hatvnysorba fejtjk, a hatvnysorokat tagonknt derivljuk, vgl az egyes hatvnysorokat tagonknt sszeadjuk. gy f (n)-re a kvetkez kpletet kapjuk. n + 1) + n + 1 + 9 + (;1)n n + 1 + f (n) = (n + 2)( 16 4 32 16 n(n;1) 5 1 n = + (;1) 32 + 8 (;1) 2 :

Ha pldul n = 7, akkor f (n) = 6. Teht 7 forintrt hatflekppen vehetnk 1,2, s 4 forintos blyeget. Az ismertetett mdszer ltalnos kpletet ad ugyan f (n)-re, de kiss hosszadalmas. Ms eljrsok is ismertek f (n) megadsra, amelyek kis n-ek esetre rvidebbek az elznl. rjuk fel a genertorfggvnyt elllt hatvnysort hatrozatlan egytthatkkal: F (x) = (1 ; x)(1 ;1x2 )(1 ; x4 ) = = 1 ; x ; x2 + x3 ;1x4 + x5 + x6 ; x7 = = a0 + a1 x + a2 x2 +    + an xn +    : Szorozzunk a nevezvel s rjuk fel xn egytthatjt. Ha m = ;1 ;2 : : : esetn am = 0-t runk, kapjuk, hogy xn egytthatja minden n nemnegatv egsz szmra an ; an;1 ; an;2 + an;3 ; an;4 + an;5 + an;6 ; an;7 : 365

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A bal oldalon xn egytthatja 0, ha n  1, teht n  1 esetn

f (n) = an = an;1 + an;2 ; an;3 + an;4 ; an;5 ; an;6 + an;7 : Figyelembe vve mg, hogy a0 = 0 s an = 0, ha n < 0, ebbl a rekurzv sszefggsbl megkaphatjuk az an = f (n) rtket:

a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7

= = = = = = = =

1

a0 = 1 a1 + a0 = 1 + 1 = 2 a2 + a1 ; a0 = 2 + 1 ; 1 = 2 a3 + a2 ; a1 + a0 = 2 + 2 ; 1 + 1 = 4 a4 + a3 ; a2 + a1 ; a0 = 4 + 2 ; 2 + 1 ; 1 = 4 a5 + a4 ; a3 + a2 ; a1 ; a0 = 4 + 4 ; 2 + 2 ; 1 ; 1 = 6 a6 + a5 ; a4 + a3 ; a2 ; a1 + a0 = 6 + 4 ; 4 + 2 ; 2 ; 1 + 1 = 6:

ltalnos lineris felbonts esetben a megoldsok szma k-tl is fgg, ezrt f (a1  : : :  ak  n)-nel, rviden fk (n)-nel clszer jellni. Ekkor az f (x) genertorfggvny kplete: 1 X

n=0

fk (n)xn = (1 ; xc1 )(1 ; x1c2 )    (1 ; xxk ) = F (x):

A partciproblma genertorfggvnye pedig 1 X

n=0

fk (n)xn =

1 Y

1

n=1 (1 ; x)

n = F (x):

Innen az fk (n) egytthatk adott k esetn a vzolt eljrsokkal kaphatk meg. A partcikra a kvetkez fejezetben mg visszatrnk. A vgtelen sorok alkalmazhatk multiplikatv problmk megoldsra is, amikor egy n szm n = k1 k2    ks alak felbontsainak szmt keressk. Pldul keressk n pozitv osztinak d(n) szmt, vagyis n sszes lehetsges n = ks (k s 2 N + ) alak felbontsait. A megoldst a zta-fggvny segtsgvel kapjuk az elzekhez hasonl lpsekben:

 (m) =  (m) =

1 X

1 = 1+ 1 + 1 +  m k 2m 3m k=1 1 X

s=1

1 = 1+ 1 + 1 +  sm 2m 3m

366

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

 2 (m) = =

1 X

1

1 X

1 = m m k s s=1 k=1

1 + 21m + 31m +   





1 + 21m + 31m +    =

1 X 1 : = 1 + 22m + 32m + 43m +    = m ks=1 (ks)

Az n;m tagoknak a szorzatban val elfordulsainak szma adja az n = ks alak felbontsok szmt, azaz d(n) rtkeit. Teht

X  2 (m) = d(n)n;m : n=1 1

Pldul d(2) = 2, d(3) = 2, d(4) = 3, stb. ltalban egy g(n) multiplikatv szmelmleti fggvnyhez hozzrendelhet a

g(m) =

1 X

n=1

g(n)n;m

sor, amelyet a g(n)-hez tartoz Dirichlet-sor nak neveznk. &j korszak kezdett jelezte az analitikus szmelmlet fejldsben 1859, amikor Riemann kiterjesztette a zta-fggvny fogalmt  ezzel a Dirichlet-sort is  komplex vltozra. Ezutn a komplex fggvnytani eszkzk vltak a vizsglatok legersebb fegyvereiv. A prmszmok eloszlsnak bonyolult problmja is analitikus eszkzkkel volt megkzelthet. Mr Euklidsz ta ismert, hogy a prmszmok szma vgtelen, de eloszlsuk a termszetes szmok kztt rendkvl szablytalan. Pldul a 107 ; 102 107] intervallumba es 100 szm kzl 9 prmszm van, a kvetkez 100-as intervallumban pedig csak 2 a prmek szma. Knnyen belthat, hogy az (n + 1)! + 2 (n + 1)! + 3 ::: (n + 1)! + (n + 1) szmok egyike sem prm, teht brmilyen n-hez van olyan n darab egymsutni szm, amelyek kztt nincs prm. Csebisev ttele szerint az n 2n] intervallumban viszont mindig van prm. Ez volt az els nemtrivilis eredmny a prmszmok eloszlsval kapcsolatban. A ttel legegyszerbb bizonytst Erd s Pl adta meg. Jellje (n) az n-nl kisebb vagy egyenl prmek szmt. A (n) fggvny a prmszmok eloszlst mri a termszetes szmok kztt. Az elzek szerint remnytelen kplet megadsa (n)-re. Eddig olyan hasznlhat formult sem sikerlt tallni, amely csupa prmszmot adna, ha nem is az sszeset. 367

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

A (n) fggvnyre vonatkoz els becslst a 15 ves Gauss adta. Sejtse szerint n=(n) egyre jobban kzelthet az ln n fggvnnyel azaz

(n) ln n = 1: lim n!1 n Ez a nevezetes prmszmttel, amit a Riemann-fle (komplex) zta-fggvny segtsgvel 1896-ban bizonytott be kt francia matematikus, Hadamard s de la Valle-Poussin. A ttelre 1949-ben elemi bizonytst is sikerlt adni Erd s Plnak s a norvg A. Selbergnek. A prmszmttel sok fontos kvetkezmnye kzl emltsnk meg kettt: 1. pn  n ln n, ahol pn az n-edik prmszmot jelli. 2. e(1;e)n
0-ra, n > n0 (") esetn.

n

(n)

10 4 2 10 25 3 10 168 4 10 1 229 5 10 9 592 106 78 498 107 664 579 8 10 5 761 455 9 10 50 847 534 10 10 455 052 512

n (n) 2 5 4 0 6 0 8 1 10 4 12 7 15 0 17 4 19 7 22 0

ln n (nn) ln n 2 3 0 92 4 6 1 15 6 9 1 15 9 2 1 13 11 5 1 10 13 8 1 08 16 1 1 07 18 4 1 05 20 7 1 05 23 0 1 04

12.1. bra. (n) vizsglata nhny n rtkre.

#rdekes problmja az addtiv prmszmelmletnek a dn = pn ; pn;1 prmdifferencik vizsglata. A prmszmttelbl (1 ; ") ln m < dm s dn < (1 ; ") ln n kvetkezik vgtelen sok m-re, illetve n-re. Erd s Pl nevhez fzdik a kvetkez eredmny: Ltezik olyan c > 0, hogy vgtelen sok n-re

dn < (1 ; c) ln n: 368

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Nem tudjuk azonban a vlaszt ma sem arra a krdsre, hogy dn = 2 teljesl-e vgtelen sok n-re? Mskppen fogalmazva: vgtelen sok ikerprmszm van-e? A sejts az, hogy igen. Euklidsz ttele ltalnostsnak tekinthet Dirichlet 1837-bl szrmaz azon eredmnye, amely szerint minden olyan szmtani sorozatban, amelynek els eleme s klnbsge relatv prm, vgtelen sok prmszm van. Az analitikus szmelmlet diadalt jelentettk Hardynak s Ramanujannak a partciproblmval, majd Hardynak s Littlewoodnak, ksbb Vinogradovnak a Waring-, illetve Goldbach-problmval kapcsolatban elrt eredmnyei. A Goldbach-sejts teljes igazolsa azonban mg analitikus ton sem sikerlt eddig. (Lsd mg az 5. fejezet.) A szmelmlet sok problmjnak megoldst segten el a Riemann-sejts igazolsa: A Riemann-fle ztafggvny azon z = x + iy zrushelyei, amelyekre 0 < x < 1 teljesl, a z = 12 + iy egyenlet egyenesre esnek.

Gyakorlatok 1. Mutassuk meg, hogy a Gauss-egszek gy r jben 1 s i az sszes egysg. 2. Oldjuk meg elemi, algebrai s analitikus m dszerekkel az albbi diophantoszi egyenleteket (a) x2 + 4 = y3 (b) x + 3y + 4z = 8. 3. (a) Igazoljuk, hogy (E + ) integritstartomny, ahol E az Euler-egszek halmazt jelli. (b) Mutassuk meg, hogy az E -beli egysgek multiplikat v csoportot alkotnak. 4. Adjuk meg a Gauss-egszek gy r jnek egy ideljt. 



Irodalom )1] Erds Pl,Surnyi Jnos: Vlogatott fejezetek a szmelmletbl. Tanknyvkiad, 1960. )2] Farag Lszl: A szmelmlet elemei. Tanknyvkiad, 1954. )3] Niven, I.,Zuckerman: Bevezets a szmelmletbe. Mszaki Knyvkiad, 1978. )4] Ore, O.: Bevezets a szmelmlet vilgba. Gondolat, 1977. )5] Rademacher, H.,Toeplitz, O.: Szmokrl s alakzatokrl. Tanknyvkiad, 1953. )6] Srkzy Andrs: Szmelmlet. Mszaki Knyvkiad, 1976. )7] Vinogradov, I. M.: A szmelmlet alapjai. Tanknyvkiad, 1968. 369

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

370

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

13. fejezet

Kombinatorika s grfelmlet A modern matematika nagyon sok, egymst rszben tfed gra oszthat. A klasszikus fgak (algebra, analzis, geometria, valsznsgszmts) mellett sok rszterlet nyert nllsgot az utbbi vtizedekben. Ez a helyzet a kombinatorikval s a grfelmlettel is. Mindkett a vges matematikhoz sorolhat, amely a vges halmazok elmletvel foglalkozik s jelentsge nagyon megntt a szmtgpek korban. A kombinatorikt vges halmazokban rtelmezett elrendezsek s kivlasztsok elmleteknt lehet de nilni. Egy kombinatorikai problmban bizonyos kivlasztsok, sorbaraksok lehetsges mdjait, azok szmt kell meghatrozni. A kombinatorikt teht nevezhetjk a lehetsgek mdszeres sszeszmllsa tudomnynak is. A grfelmlet grfok, azaz pontokbl s az ket sszekt vonalakbl ll alakzatok ltalnos tulajdonsgait vizsglja. Alkalmazsi terletei messze tl nylnak a matematikn, pl. elmleti zika, mszaki tudomnyok, stb. Kombinatorikai problmk a matematika minden gban fellelhetk, leggyakrabban a ler topolgiban, a diszkrt geometriban, a szmelmletben, az informcielmletben s a grfelmletben. A grfelmlet felfoghat a kombinatorika rsznek is, amely modelll szolgl kombinatorikai problmk tanulmnyozsra. A gyakorlatban sokszor felmerl valamilyen szempontbl optimlis lehetsg kivlasztsnak krdse. gy a kombinatorika szoros kapcsolatban ll a matematikai optimalizlssal (opercikutatssal) is. A kombinatorikt a XVII. szzadban alapozta meg Fermat s Pascal a valsznsgszmtssal kapcsolatban. Egyes kombinatorikai problmk s eredmnyek azonban mr korbban ismertek voltak. A grfelmlet atyjaknt pedig Eulert tisztelhetjk, a knigsbergi hidak s a latin ngyzetek problmjval kapcsolatos kutatsai miatt. A XIX. szzadban sok olyan rdekes, eredetileg szrakoztat rejtvnynek sznt kombinatorikai problma fogalmazdott meg, amelyek ksbb fontos kutatsi irnyokk vltak. A XX. szzadban eltrbe kerltek a gyakorlati problmk, elssorban a tervezs statisztikai elmletben. 371

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

1937-ben szletett meg a kombinatorikai s grfelmleti problmk megoldsnak egyik leghatsosabb eszkze, a Plya-ttel. Szintn magyar szerz, K nig Dnes rta meg a grfelmlet els monogr jt, valamint bebizonytotta tbb fontos ttelt. Tbb mint 20 vig K nig knyve volt az egyetlen tfog tudomnyos igny grfelmleti munka. A klasszikus eredmnyek kz sorolhat mg a Turn-ttel s a Ramsey szmokkal kapcsolatos Erds-Szekeres-ttel. A kombinatorika ma is az egyik legeredmnyesebb kutatsi ga a magyar matematiknak.

13.1. Kombinatorika A kombinatorikai problmk alaptpusai a permutcik, a kombincik s a varicik. Egy rendezett n elem halmaz permutcijn az elemek valamely elrendezst (sorrendjt) rtjk. Ha az elemekbl kivlasztunk k( n) elemet, majd azok egy elrendezst vesszk, akkor az n elem k-ad osztly varicijt kapjuk. Az adott n elem halmaz k elem rszhalmazai pedig az n elem k-ad osztly kombinciit adjk. Ha egy elemet tbbszr is kivlaszthatunk, akkor ismtlses esetekrl beszlnk. Az sszes lehetsges permutci, kombinci s varici kiszmtsnak mdjt az albbi tblzat mutatja: Ismtls nlkl Ismtlses Permutcik Pn = n! Pnk1 ::: kr = k ! :n:!: k ! 1 r n ! k k k Varicik Vn = (n ; k)! Vni = n  k = Ck Kombincik Cnk = nk = (n ;nk! )!k! Cni n+k;1 Az ismtls nlkli kombincik knnyen megkaphatk a Pascal-hromszgbl s a binomlis ttel egytthatit adjk:

X (a + b)n = k=0 1



n an;k bk : k

Ha a binomilis ttel kpletbe a = 1-et s b = x-et helyettestnk, akkor az (1 + x)n =











n n n + n x + n x2 +    + n xn = X xk 0 1 2 n k k=0

sszefggst kapjuk. Ez gy is rtelmezhet, hogy a bal oldalon ll fggvny a binomilis egytthatk genertorfggvnye. Az sszegzs formlisan a vgtelenig is kiterjeszthet, de akkor k > n indexekre a sor minden tagja zrus lesz. A tbbtag sszeg hatvnyra ltalnostott polinomilis ttel szoros kapcsolatban van egy specilis partcival. Az sszes n1 + n2 +    + nk = n alak 372

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

felbontsok szma, ahol az n elemet k skatulyba kell elhelyezni gy, hogy azok rendre n1  : : :  nk szm elemet tartalmazzanak, a kvetkez: Pnn1 ::: nk = n ! n ! n ! : 1 k Ezek adjk a polinomilis ttel egytthatit: (a1 + a2 +    + ak )n =

X

Pnn1 ::: nk an1 1 an2 2    ank k 

ahol az sszegzs azokon a nem-negatv n1  : : :  nk egszeken fut vgig, amelyekre n1 + n2 +    + nk = n. A partcikat mr a 12.2. pontban is trgyaltuk a genertorfggvny segtsgvel. A kombinatorikban a rekurzv formulval val megads is gyakori. A k-elem partcik Pk (n) szmra a

Pk (n) = Pk (n ; k) + Pk;1 (n ; k) +    + P1 (n ; k) Pk (k) = 1 Pk (n) = 0 (1  k  n) rekurzv kplet vezethet le az elz fejezetben ismertetett mdszerrel. A partcik tanulmnyozsnak fontos eszkze a Ferrer-diagram. Pldul a 13 kt partcijnak diagramja a kvetkez (13.1. bra):

13 = 6 + 4 + 2 + 1 13 = 4 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1

13.1. bra. Egy partci Ferrer-diagramja.

A diagramot tljra tkrzve az adjunglt partcit kapjuk. Ebbl a megfeleltetsbl rdekes kombinatorikai azonossgok kvetkeznek. Pldul: 1. Egy n szmot k rszre oszt partcik szma egyenl n azon partciinak szmval, amelyben k a legnagyobb rsz (tag). 2. Az nadjunglt partcik szma egyenl azon partcik szmval, amelynek minden tagja klnbz s pratlan. 3. A csupa klnbz tagbl ll partcik szma egyenl a pratlan tagbl ll partcik szmval. 373

www.interkonyv.hu

© Filep László

© Typotex Kiadó

Partcis problmhoz nem csak pnzvltskor vagy blyegvsrlskor jutunk, hanem kockadobskor is, Hnyflekppen dobhatunk hrom kockval 14et? Itt a 14-et kell felbontanunk hrom szm sszegre az 1,2,3,4,5,6 szmokbl. 'sszesen ngy felbonts van: 2+6+6=3+5+6=4+4+6=4+5+5. Ha hat kockval dobunk, akkor mr 90 partcit kapunk. Ha a felbontsban brmilyen pozitv egsz szmot megengednk, akkor a felbontsok szma 135-re nvekszik. Ha mg a sorrendet is gyelembe vesszk, akkor 213 partcit kapunk. A kombinatorikai problmk megoldsban, az ismertetett alaptpusok formuli mellett, kt mdszer jtszik fontos szerepet: a szita formula s a skatulya elv. Legyenek H1  H2  : : :  Hn vges halmazok, amelyek nem felttlenl diszjunktak. Venn-diagrammal knnyen igazolhatk az albbi kpletek kt, illetve hrom halmaz unijnak szmossgra:

jH1  H2 j = jH1 j + jH2 j ; jH1 \ H2 j jH1  H2  H3 j = jH1 j + jH2 j + jH3 j ; ; jH1 \ H2 j ; jH1 \ H3 j ; jH2 \ H3 j + jH1 \ H2 \ H3 j: Ezekbl teljes indukcival igazolhat az ltalnos kplet, amit szita formulnak neveznk:

 n  X    Hi  = n jHi j ; X jHi \ Hj j +    + (;1)n;1  \n Hi   i=1  i=1 i=1  1 i