5.1 File D'attente MM1-MM1N [PDF]

Zitiervorschau

Faculté de mathématiques -Processus (3LIC.RO)-Section A- File d’attente M/M/1-(17/05/2020)

File d’attente M/M/1 (système ouvert) Introduction Les files d’attente apparaissent naturellement dans beaucoup de situations : un guichet desservant des usagers, une piste d’aéroport sur laquelle des avions atterrissent, un serveur informatique répondant à des requêtes. Les clients arrivent à des temps aléatoires et attendent leur tour devant le (ou les) guichet(s). Le serveur met un temps aléatoire pour servir chaque client. La file a une capacité d’accueil éventuellement limitée. Suivant la notation de Kendall, une file d’attente est donc déterminée par les paramètres suivants : (A/B/c),(D/N/K) – A (lettre) indique la loi des temps inter-arrivés des clients, – B (lettre) indique la loi des temps de service. – c (nombre) indique le nombre de serveurs. – D indique la discipline de la file. – N (nombre) indique la capacité maximale de du système. – K (nombre) indique la capacité maximale de la source, 〈𝐾 ≤ 𝑁〉. Les symboles sont omis dans les cas des files d’attente infinis et les sources sont inépuisables. Voici quelques codes utilisés pour A et B : – M pour la loi exponentielle (memoryless). – U pour la loi uniforme. – 𝐸 pour la loi d’Erlang d’ordre k. – D pour une mesure de Dirac (déterministe), – G pour une loi quelconque (générale). Une fois le serveur devient libre, il choisit un client de la file suivant une politique ou discipline adoptée au sein su système. Les règles les plus familières sont : -

FCFS (First Come First Served) FIFO (First in First Out). LCFS (Last Come First Served) LIFO (Last in First Out). 1

Faculté de mathématiques -Processus (3LIC.RO)-Section A- File d’attente M/M/1-(17/05/2020)

-

SIRO (Service In Random Order). File d’attente avec priorité. …

File d’attente M/M/1 C’est une file d’attente Memoryless inter-arrival / Memoryless service times / One server. Des clients se présentent à un guichet unique, les temps entre les arrivées successives (Ti) sont des v.a.i.i.d de loi exponentielle de paramètre 𝜆. Les clients sont servis un par un, dans leur ordre d’arrivée dans la file d’attente. Les temps de service (Vi) sont des v.a.i.i.d de loi exponentielle de paramètre μ. Un client reste dans la file pendant qu’il se fait servir, puis s’en va. Exprimer les quantités suivantes : • 𝑁 (𝑡) le nombre de clients dans le système à l’instant t (y compris la personne en service). • 𝑁 (𝑡) le nombre de clients dans la file d’attente à l’instant t. Soit 𝑃 (𝑡) = 𝑃𝑟𝑜𝑏(𝑁 (𝑡) = 𝑛). Soit n le nombre de clients dans le système on : 𝜆 =

𝜆 =

𝜆 𝑠𝑖

𝑛𝜖ℕ  

0 𝑠𝑖 𝑛𝑜𝑛 𝜇 𝑠𝑖

𝑛𝜖ℕ∗  

0 𝑠𝑖 𝑛𝑜𝑛

Équation de Kolmogorov (Forward) ; 𝑃 (𝑡 + ℎ) =

𝑃 (𝑡)𝑃 (ℎ)

Si 𝑛 ≥ 1 on a : 𝜆ℎ + 0(ℎ) 𝑠𝑖 𝑘 = 𝑛 − 1 𝜇ℎ + 0(ℎ) 𝑠𝑖 𝑘 = 𝑛 + 1  𝑃 (ℎ) = 1 − (𝜆 + 𝜇)ℎ + 0(ℎ) 𝑠𝑖 𝑘 = 𝑛 0(ℎ) 𝑠𝑖 𝑛𝑜𝑛 𝑃 (𝑡 + ℎ) = 𝑃

(𝑡)𝑃

𝑃 (𝑡 + ℎ) = 𝑃

(𝑡)[𝜆ℎ + 0(ℎ)] + 𝑃 (𝑡)[1 − (𝜆 + 𝜇)ℎ + 0(ℎ)] + 𝑃

,

(ℎ) + 𝑃 (𝑡)𝑃 , (ℎ) + 𝑃

(𝑡)𝑃

2

,

(ℎ) + 0(ℎ) (𝑡)[𝜇ℎ + 0(ℎ)] + 0(ℎ)

Faculté de mathématiques -Processus (3LIC.RO)-Section A- File d’attente M/M/1-(17/05/2020) (

)

( )

= 𝜆𝑃

𝑑𝑃 (𝑡) = 𝜆𝑃 𝑑𝑡

(𝑡) − (𝜆 + 𝜇)𝑃 (𝑡) + 𝜇𝑃

(𝑡) − (𝜆 + 𝜇)𝑃 (𝑡) + 𝜇𝑃

(𝑡) +

( )

(𝑡) 𝑠𝑖 𝑛 ≥ 1

Si 𝑛 = 0 on a : 𝜇ℎ + 0(ℎ) 𝑠𝑖 𝑘 = 1 𝑃 (ℎ) = 1 − 𝜆ℎ + 0(ℎ) 𝑠𝑖 𝑘 = 0  0(ℎ) 𝑠𝑖 𝑛𝑜𝑛 𝑃 (𝑡 + ℎ) = 𝑃 (𝑡)𝑃 (ℎ) + 𝑃 (𝑡)𝑃 , (ℎ) + 0(ℎ) 𝑃 (𝑡 + ℎ) = 𝑃 (𝑡)[1 − 𝜆ℎ + 0(ℎ)] + 𝑃 (𝑡)[𝜇ℎ + 0(ℎ)] + 0(ℎ) (

)

( )

= −𝜆𝑃 (𝑡) + 𝜇𝑃 (𝑡) +

( )

𝑑𝑃 (𝑡) = −𝜆𝑃 (𝑡) + 𝜇𝑃 (𝑡) 𝑠𝑖 𝑗 = 0 𝑑𝑡 Donc 𝜆𝑃 (𝑡) − (𝜆 + 𝜇)𝑃 (𝑡) + 𝜇𝑃 𝑑𝑃 (𝑡) = 𝑑𝑡 −𝜆𝑃 (𝑡) + 𝜇𝑃 (𝑡) On suppose que lim Donc lim

→

  𝑠𝑖 𝑛 = 0

𝑃 (𝑡) existe et ne dépend pas de t.

𝑃 (𝑡) = 𝑃 . Aussi 〈lim

→

(𝑡) 𝑠𝑖 𝑛 ≥ 1

→

𝑁 (𝑡) = 𝑁 〉 𝑒𝑡 〈lim

𝑁 (𝑡) = 𝑁 〉

→

C'est-à-dire, le comportement du processus est stable asymptotiquement. On prend

lim

( ) →

= 0.

D’où 𝜆𝑃

− (𝜆 + 𝜇)𝑃 + 𝜇𝑃

= 0 𝑠𝑖 𝑛 ≥ 1

−𝜆𝑃 + 𝜇𝑃 = 0

 

𝑠𝑖 𝑛 = 0

〈−𝜆𝑃 + 𝜇𝑃 = 0〉 ⟺ 〈𝑃 = 𝑃 = 𝜌𝑃 〉 〈𝜆𝑃

− (𝜆 + 𝜇)𝑃 + 𝜇𝑃

= 0 𝑠𝑖 𝑛 ≥ 1〉 ⟺ 𝑃

𝑃 = 𝜌𝑃 𝑃

= (𝜌 + 1)𝑃 − 𝜌𝑃

𝑠𝑖 𝑛 = 0

= (𝜌 + 1)𝑃 − 𝜌𝑃 3

(1)

𝑠𝑖 𝑛 ≥ 1 (2)

 

𝑠𝑖 𝑛 ≥ 1

Faculté de mathématiques -Processus (3LIC.RO)-Section A- File d’attente M/M/1-(17/05/2020)

𝑠𝑖 𝑛 = 1 𝑜𝑛 𝑎 ∶ 𝑃 = (𝜌 + 1)𝑃 − 𝜌𝑃 = (𝜌 + 1)(𝜌𝑃 ) − 𝜌𝑃 = 𝜌 𝑃 𝑠𝑖 𝑛 = 2 𝑜𝑛 𝑎 ∶ 𝑃 = (𝜌 + 1)𝑃 − 𝜌𝑃 = (𝜌 + 1)(𝜌 𝑃 ) − 𝜌 𝑃 = 𝜌 𝑃 …. 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑃 = 𝜌 𝑃 〈∀𝑛 ∈ {0, 1, … , 𝑛}〉 𝑒𝑡 𝑜𝑛 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝑃 𝑑𝑒 (2) 𝑜𝑛 𝑎 ∶ 〈 𝑃

= (𝜌 + 1)(𝜌 𝑃 ) − 𝜌(𝜌

𝑃) =𝑃

= 𝜌(

= 𝜌(

)

)

𝑃

𝑃〉

Méthode (2), 𝑃

= (𝜌 + 1)𝑃 − 𝜌𝑃

𝑠𝑖 𝑛 ≥ 1

(2)

Une équation aux différences homogène d’ordre 2, son polynôme caractéristique est donné par : 𝑥 − (𝜌 + 1)𝑥 + 𝜌 = 0 Cette fonction a deux racines réelles différentes 𝑥 = 1 𝑒𝑡 𝑥 = 𝜌 𝑜ù 𝜌 ≠ 1 La solution de (2) est donnée par : 〈𝑃 = 𝐴(𝑥 ) + 𝐵 ( 𝑥 ) = 𝐴 + 𝐵𝜌 〉 𝐴𝑣𝑒𝑐 〈 𝑃 = 𝜌𝑃 〉 𝑃 =𝐴+𝐵 𝑃 = 𝐴 + 𝐵𝜌 = 𝜌𝑃 = 𝜌(𝐴 + 𝐵 ) 〈𝐴 + 𝐵𝜌 = 𝜌𝐴 + 𝐵𝜌〉 ⇒ 𝐴 = 𝜌𝐴 ⇒ (𝜌 − 1)𝐴 = 0 ⇒ 𝐴 = 0 (𝑝𝑢𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒 𝜌 ≠ 1 ) Donc, 𝑃 = 𝐵𝜌 𝑃 =𝐵

𝜌

=𝐵

∀𝑛 ∈ ℕ 1 = 1 〈𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜌 < 1 〉 1−𝜌

D’où, 𝐵 = 1 − 𝜌 La solution générale de (2) est donnée par :

Pour la stabilité 𝜌 =

𝑃 = 𝑃 (𝑁 = 𝑛 ) = (1 − 𝜌)𝜌 < 1 i.e 𝜆 < 𝜇.

n = 0, 1, 2, … n = 0, 1, 2, …

𝑃 = 𝑃(𝑁 = 𝑛 ) = 1 −

(Loi géométrique de paramètre (1 − 𝜌) = 𝑃 ) 4

Faculté de mathématiques -Processus (3LIC.RO)-Section A- File d’attente M/M/1-(17/05/2020)

L’intensité de trafic 𝜌 1 𝐸 (𝑉 ) 𝜆 𝜇 𝜌= = = 1 𝐸 (𝑇 ) 𝜇 𝜆 𝜌=

𝑙𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑒 𝑑 𝑢𝑛 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣é𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠é𝑐𝑢𝑡𝑖𝑣𝑒𝑠

Soient : • 𝑁

le nombre de clients dans le système (y compris la personne en service). {𝑂𝑛 𝑛𝑜𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒: 〈lim

• 𝑁

→

𝑁 (𝑡) = 𝑁 〉}

le nombre de clients dans la file d’attente, 𝑂𝑛 𝑛𝑜𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒: 〈lim

→

𝑁 (𝑡) = 𝑁 〉

• 𝐸 (𝑁 ) est le nombre moyen de clients dans le système (y compris la personne en service). • 𝐸 𝑁

est le nombre moyen de clients dans la file d’attente.

On trouve : 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑁 ~𝐺 (1 − 𝜌), 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠, 𝔼(𝑁 ) = 𝐸 (𝑁 ) = ∑

𝑛𝑃 = (1 − 𝜌) ∑

𝑛𝜌 = (1 − 𝜌)𝜌 ∑

𝜌

= (1 − 𝜌)𝜌

𝜌

𝑛𝜌

= …=

= (1 − 𝜌)𝜌

Soient : • 𝑇

le temps d’attente d’un client dans le système.

• 𝑇

le temps d’attente d’un client dans la file d’attente.

• 𝐸(𝑇 ) est le temps moyen d’attente d’un client dans le système. • 𝐸 𝑇

=

.

= (1 − 𝜌) .

𝑃 = 𝑃(𝑁 = 0) = 𝑃〈𝐿𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡è𝑚𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑣𝑖𝑑𝑒〉 = 1 − 𝑃(𝑁 ≥ 𝑘) = (1 − 𝜌)

𝜌 𝜌 𝑒𝑡 𝑣𝑎𝑟 (𝑁 ) = (1 − 𝜌) 1−𝜌

est le temps moyen d’attente d’un client dans la file d’attente.

5

𝜌

= (1 − 𝜌)𝜌

1 = 𝜌 (1 − 𝜌)

Faculté de mathématiques -Processus (3LIC.RO)-Section A- File d’attente M/M/1-(17/05/2020)

On utilise les relations de Little on aura : 𝐸 (𝑁 ) = 𝜆 𝐸 (𝑇 ) 𝐸 𝑁 𝑇 =𝑇

+𝑉

= 𝜆𝐸 𝑇

⇒ 𝐸 (𝑇 ) = 𝐸 𝑇 + 𝐸 (𝑉 ) ⇒ 𝐸 (𝑇 ) = 𝐸 𝑇 + ⇒ 𝜆𝐸 (𝑇 ) = 𝜆𝐸 𝑇 + ⇒ 𝐸 (𝑁 ) = 𝐸 𝑁

+ 𝜌

File d’attente M/M/1/N. (système fermé) C’est une file d’attente Memoryless inter-arrival / Memoryless service times / One server / System size = N. Des clients peuvent rejoindre le système uniquement si ce dernier n’est pas plein, les temps entre les arrivées successives (Ti) sont des variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées (v.a.i.i.d) de loi exponentielle de paramètre 𝜆. Les clients sont servis un par un, dans leur ordre d’arrivée dans la file d’attente. Les temps de service (Vi) sont des v.a.i.i.d de loi exponentielle de paramètre μ. Soit n le nombre de clients dans le système on : 𝜆 =

𝜆 𝑠𝑖 0 = 𝑛 ≤ 𝑁 − 1   0 𝑠𝑖 𝑛𝑜𝑛

𝜇 =

𝜇 𝑠𝑖 1 = 𝑛 ≤ 𝑁 0 𝑠𝑖 𝑛𝑜𝑛  

• 𝑁 (𝑡) le nombre de clients dans le système à l’instant t (y compris la personne en service). • 𝑁 (𝑡) le nombre de clients dans la file d’attente à l’instant t. Soit 𝑃 (𝑡) = 𝑃𝑟𝑜𝑏(𝑁 (𝑡) = 𝑛)

𝑁 (𝑡) ∈ {0, 1, 2, … , 𝑁} 6

Faculté de mathématiques -Processus (3LIC.RO)-Section A- File d’attente M/M/1-(17/05/2020)

Équation de Kolmogorov (Forward) ;

𝑃 (𝑡 + ℎ) =

𝑃

,

𝑃 (𝑡)𝑃 (ℎ)

𝜆ℎ + 0(ℎ) 𝜇ℎ + 0(ℎ) (ℎ) = 1 − (𝜆 + 𝜇)ℎ + 0(ℎ) 0(ℎ)

𝑠𝑖 𝑘 = 𝑛 − 1 𝑠𝑖 𝑘 = 𝑛 + 1   𝑠𝑖 𝑘 = 𝑛 𝑠𝑖 𝑛𝑜𝑛

Si 𝑛 = 0 on a : 𝜇ℎ + 0(ℎ) 𝑠𝑖 𝑘 = 1 𝑃 (ℎ) = 1 − 𝜆ℎ + 0(ℎ) 𝑠𝑖 𝑘 = 0  0(ℎ) 𝑠𝑖 𝑛𝑜𝑛 𝑃 (𝑡 + ℎ) = 𝑃 (𝑡)𝑃 (ℎ) + 𝑃 (𝑡)𝑃 , (ℎ) + 0(ℎ) 𝑃 (𝑡 + ℎ) = 𝑃 (𝑡)[1 − 𝜆ℎ + 0(ℎ)] + 𝑃 (𝑡)[𝜇ℎ + 0(ℎ)] + 0(ℎ) (

)

( )

= −𝜆𝑃 (𝑡) + 𝜇𝑃 (𝑡) +

( )

Donc, 𝑑𝑃 (𝑡) = −𝜆𝑃 (𝑡) + 𝜇𝑃 (𝑡) 𝑠𝑖 𝑛 = 0 𝑑𝑡 Si 0 < 𝑛 < 𝑁 on a :

𝑃

,

𝜆ℎ + 0(ℎ) 𝜇ℎ + 0(ℎ) (ℎ) = 1 − (𝜆 + 𝜇)ℎ + 0(ℎ) 0(ℎ)

𝑃 (𝑡 + ℎ) = 𝑃

(𝑡)𝑃

𝑃 (𝑡 + ℎ) = 𝑃

(𝑡)[𝜆ℎ + 0(ℎ)] + 𝑃 (𝑡)[1 − (𝜆 + 𝜇)ℎ + 0(ℎ)] + 𝑃

(

)

( )

= 𝜆𝑃

,

(ℎ) + 𝑃 (𝑡)𝑃 , (ℎ) + 𝑃

(𝑡) − (𝜆 + 𝜇)𝑃 (𝑡) + 𝜇𝑃

(𝑡)𝑃

𝑠𝑖 𝑘 = 𝑛 − 1 𝑠𝑖 𝑘 = 𝑛 + 1   𝑠𝑖 𝑘 = 𝑛 𝑠𝑖 𝑛𝑜𝑛

(𝑡) + 7

( )

,

(ℎ) + 0(ℎ) (𝑡)[𝜇ℎ + 0(ℎ)] + 0(ℎ)

Faculté de mathématiques -Processus (3LIC.RO)-Section A- File d’attente M/M/1-(17/05/2020)

Donc, 𝑑𝑃 (𝑡) = 𝜆𝑃 𝑑𝑡

(𝑡) − (𝜆 + 𝜇)𝑃 (𝑡) + 𝜇𝑃

(𝑡) 𝑠𝑖 0 < 𝑛 < 𝑁

Si 𝑛 = 𝑁 on a : 𝜆ℎ + 0(ℎ) 𝑃 (ℎ) = 1 − 𝜇ℎ + 0(ℎ) 0(ℎ) 𝑃 (𝑡 + ℎ) = 𝑃

(𝑡)𝑃

𝑃 (𝑡 + ℎ) = 𝑃

(𝑡)[𝜆ℎ + 0(ℎ)] + 𝑃 (𝑡)[1 − 𝜇ℎ + 0(ℎ)] + 0(ℎ)

(

)

( )

= 𝜆𝑃 ( )

Donc,

(𝑡) − 𝜇𝑃 (𝑡) +

(

On suppose que lim →

→

,

(ℎ) + 0(ℎ)

( )

⎧ ⎪ ) = 𝜆𝑃 ⎨ ⎪ ⎩

−𝜆𝑃 (𝑡) + 𝜇𝑃 (𝑡)

𝑠𝑖 𝑛 = 0

(𝑡) − (𝜆 + 𝜇)𝑃 (𝑡) + 𝜇𝑃

(𝑡) 𝑠𝑖 0 < 𝑛 < 𝑁 

(𝑡) − 𝜇𝑃 (𝑡)

𝑠𝑖 𝑛 = 𝑁

𝜆𝑃

𝑃 (𝑡) existe et ne dépend pas de t.

𝑃 (𝑡) = 𝑃 .

C'est-à-dire, le comportement du processus est stable asymptotiquement. On prend

lim

( ) →

= 0. −𝜆𝑃 + 𝜇𝑃 = 0

D’où

 

(𝑡) − 𝜇𝑃 (𝑡) 𝑠𝑖 𝑛 = 𝑁

= 𝜆𝑃

D’où :

Donc lim

,

(ℎ) + 𝑃 (𝑡)𝑃

𝑠𝑖 𝑘 = 𝑁 − 1 𝑠𝑖 𝑘 = 𝑁 𝑠𝑖 𝑛𝑜𝑛

𝜆𝑃

− (𝜆 + 𝜇)𝑃 + 𝜇𝑃 𝜆𝑃

Clair on trouve : 𝑃 = 𝜌 𝑃

𝑠𝑖 𝑛 = 0 =0

− 𝜇𝑃 = 0

0≤𝑛≤𝑁⇒∑

𝑠𝑖 0 < 𝑛 < 𝑁   𝑠𝑖 𝑛 = 𝑁

𝑃 = 𝑃 〈∑ 8

𝜌 〉=1

Faculté de mathématiques -Processus (3LIC.RO)-Section A- File d’attente M/M/1-(17/05/2020)

𝑠𝑖 𝜌 ≠ 1   ⇒ 𝑃 = 𝜌 = (𝑁 + 1) 𝑠𝑖 𝜌 = 1

1−𝜌 1−𝜌 = ⎨ 1 ⎩ 𝑁+1

𝑠𝑖 𝜌 ≠ 1

⎧

𝜌

𝑠𝑖 𝜌 = 1

La solution générale est donnée par : (

)

𝑠𝑖 𝜌 ≠ 1

  𝑠𝑖 𝜌 = 1

𝑃 = 𝑝𝑟𝑜𝑏 (𝑁 = 𝑛 ) =

Où : • 𝜌= • 𝑁

le nombre de clients dans le système (y compris la personne en service).

• 𝑁

le nombre de clients dans la file d’attente.

• 𝐸(𝑁 ) est le nombre moyen de clients dans le système (y compris la personne en service). • 𝐸 𝑁

est le nombre moyen de clients dans la file d’attente.

𝐸 (𝑁 ) = ∑

=

(

)

(

𝑛𝑃 = (

)

(

)

(

)

𝐸(𝑁 ) =

)

(

∑

𝑛𝜌 )

=

=

(

)

𝜌 (1 − 𝜌)(1 − 𝜌 ( 𝑁 2

(

)

(

))

[∑

)

𝜌 ] =

(

)

[1 − (𝑁 + 1)𝜌 + 𝑁𝜌

[1 − (𝑁 + 1)𝜌 + 𝑁𝜌

].

] 𝑠𝑖 𝜌 ≠ 1   𝑠𝑖 𝜌 = 1

• 𝑇

le temps d’attente d’un client dans le système.

• 𝑇

le temps d’attente d’un client dans la file d’attente.

• 𝐸 (𝑇 ) est le temps moyen d’attente d’un client dans le système.

9

 

Faculté de mathématiques -Processus (3LIC.RO)-Section A- File d’attente M/M/1-(17/05/2020)

• 𝐸 𝑇

est le temps moyen d’attente d’un client dans la file d’attente.

{𝑢𝑛 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑢𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑗𝑜𝑖𝑛𝑑𝑟𝑒 𝑙𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡è𝑚𝑒} ≡ {𝑁 = 𝑁} 𝑃𝑟𝑜𝑏{𝑢𝑛 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑢𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑗𝑜𝑖𝑛𝑑𝑟𝑒 𝑙𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡è𝑚𝑒} ≡ 𝑝𝑟𝑜𝑏 {𝑁 = 𝑁} = 𝑃 . 𝑃 = 𝑃𝑟𝑜𝑏 { 𝑙𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡è𝑚𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑙𝑒𝑖𝑛} ≡ 𝑝𝑟𝑜𝑏 {𝑠𝑦𝑠𝑡è𝑚𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑟é} 1 − 𝑃 = 𝑃𝑟𝑜𝑏{ 𝑙𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡è𝑚𝑒 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑝𝑙𝑒𝑖𝑛 } 𝜆

= 𝜆(1 − 𝑃 )

On utilise les relations de Little on aura : 𝐸 (𝑁 ) = 𝜆

𝐸 (𝑇 ) = 𝜆(1 − 𝑃 ) 𝐸 (𝑇 )

𝐸 𝑁

𝐸 𝑇

𝑇 =𝑇

= 𝜆 +𝑉

⇒ 𝐸 (𝑇 ) =

= 𝜆(1 − 𝑃 )𝐸 𝑇

⇒ 𝐸 𝑇

=

( (

) )

(

)

(

)

⇒ 𝐸 (𝑇 ) = 𝐸 𝑇 + 𝐸 (𝑉 ) ⇒ 𝐸 (𝑇 ) = 𝐸 𝑇 +

⇒ 𝜆

𝐸(𝑇 ) = 𝜆

⇒ 𝐸 (𝑁 ) = 𝐸 𝑁 ⇒ 𝐸 𝑁 𝜆

= 𝐸 (𝑁 ) −

𝐸 𝑇 + = 𝐸 𝑁

+ (

)

⇒

+

𝐸 𝑁

= 𝐸 (𝑁 ) − 𝜌(1 − 𝑃 )

: est le nombre moyen de clients qui passent par le système, dans une unité de temps.

𝜆𝑃 : est le nombre moyen de clients perdus par le système, dans une unité de temps.

10

Faculté de mathématiques -Processus (3LIC.RO)-Section A- File d’attente M/M/1-(17/05/2020)

Série1 (File d’attente) Exercice 1 Dans un supermarché un caissier satisfait en moyenne 30 clients par heure. Des clients arrivent au taux moyen de 25 clients par heure. (1) (2) (3) (4)

Calculer la probabilité que le caissier est libre. Calculer la longueur moyenne de la file d’attente. Calculer le temps moyen d’attente dans la file d’attente. Quelle amélioration doit-on apporter au temps de service, si l’on veut réduire la longueur de la file à un seul client ?

Exercice 2 Des taxis arrivent au hasard à une station, au taux moyen de deux taxis toute les 5 minutes. Si un taxi ne trouve aucun client à la station, il la quitte immédiatement pour une autre station. Les clients arrivent également au hasard à la station au nombre moyen d’un client toutes les 3 minutes. (1) Quelle est la proportion de taxis qui quitte la station sans clients. (2) Calculer le nombre moyen de clients dans la station. (3) Quel est le temps d’attente moyen dans la station par client. Exercice 3

Soit le modèle de file d’attente de type M/M/1/5, avec la politique FIFO. On suppose les hypothèses suivantes : Le nombre moyen de clients arrivants dans 20 minutes a été estimé à clients. Le temps moyen de service d’un client a été estimé à minute. Trouver à l’état d’équilibre: 1- La proportion du temps où le système est oisif. 2- Le nombre moyen de clients dans le système et dans la file d’attente. 3- Le temps moyen d’attente d’un client dans le système et dans la file d’attente. 4- Le nombre moyen de clients perdus dans ce système dans une heure. Exercice 4 Soit le modèle de file d’attente de type M/M/1/9, avec la politique FIFO. On suppose les hypothèses suivantes : Le nombre moyen de clients arrivants dans 30 minutes a été estimé à clients. Le temps moyen de service d’un client a été estimé à minute. Trouver à long terme : 1234-

La proportion du temps où le système est plein. Le nombre moyen de clients dans le système et dans la file d’attente. Le temps moyen d’attente d’un client dans le système et dans la file d’attente. Le nombre moyen de clients perdus dans ce système dans une heure. 11