500 zagadek matematycznych [PDF]

Zitiervorschau

Stanisław Kowal

hatycznych

Stanisław Kowal

50 zagadek matematycznych

Wiedza Powszechna W arszaw a 1969

P r o j e k t s e r y jn e j o k ła d k i J . CZ. B IE N IE K

K.

O k ła d k a , k a r t a ty tu ło w a T A R K O W S K A -G E U S Z E C K A

R ysunki Z B IG N IE W L EN G R EN

SPIS TREŚC I

Z am iast przedm ow y . Do C zytelnika . 1. N iezw ykłe w yw iady . 2. Z anim zrodziły się. cyfry 3. N arodziny cyfry 4. C yfry, k tó re opanow ały św ia t . ■ ■ • • • • 5. Liczby i u kłady n u m e ra cji 6. L iczba liczbie nierów na . 7. Jeszcze o liczbie 8. Liczby olbrzym y 9. L iczby k a rły 10. O dpocznijm y i zabaw m y s i ę .................................... 11. M agiczna siódem ka . 12. Z ad an ia historyczne i le ­ g en d a rn e . . . . 13. K to to był? 14. N iem atem atycy w m a tę - • m a ty ce . . . . 15. K to to pow iedział? . 16. P olonica . . . . 17. K to tę książkę naipisał? . 18. Z życia m atem atyków 19. T ru d n e s ta rty . 20. D ru g a dekada za nam i . 21. Co to jest? . 22. Z różnych szuflad . 23. Q u i z .................................... 24. Nieco geom etrii an a li­ tycznej • 25. G robow ce-sym bole i gro­ bow ce z sym bolam i i *

PYTANIA 7 8 12 18 20

ODPO­ WIEDZI

.• 142 . 142 . 144

23 25 27 29 31 35

. . . . , .

145 147 148 150 152 153

38 40

. 155 . 157

42 44

. 159 , 163

46 49 .50 52 55 57 58 61 62 65

. . . . . . . . .

164 166' 167 168 170 172 174 175 181 184

67

.

185

70

.

189

PYTA1 NIA

20. Do czego może doprow adzić h az ard . . . . 27. P arad o k s czy sofizm at? 28. M ieszanka m atem atyczna 29. J a k się um iędzynarodow ił język m atem aty k i 30. To i owo na liczbowo 31. G dzie tu je st logika? . 32. W ielokąty i w ielościany . 33. P ele - m ele . . . . 34. M ia ra i w aga 35. W polu, w lesie, nad rzeką... 36. Rozm aitości m atem atyczne 37. A naliza i synteza 38. In d u k c ja i dedukcja . 39. Ł am igłów ki geom etryczne 40. O w szystkim po trosze 41. Bez ty tu łu 42. W iększe czy m niejsze 43. Sezam ciekaw ostek, zaga­ dek i żartów 44. Bigos m atem atyczny 45. Rozm aitości rozryw kow e 46. O w ielu rzeczach w nie­ w ielu słow ach . 47. N ie z jed n ej beczki . 48. D la każdego coś ciekaw ego 49. P ons eru d ito ru m 50. Potęga rów n an ia L ite ra tu ra . . . . Skorow idz . . . .

O D PO ­

WIEDZI

73 75 79

. I 9l - 192 . 195

81 83 86 88 90 92 94 96 99 102 105 103 110 112

. . . . . . . . . . . . . .

114 117 120

. 230 . 232 . 237

124 127 131 134 137

. . . . .. . .

197 198 201 202 205 207 208 214 216 218 220 223 225 227

240 243 245 248 251 257 259

ZA M IA ST PRZEDM O W Y

'M atem atyka je st najbardziej oszczędna 10 słowach. M oże n a w e t obejść się zupełnie bez słów . Nie istnieje; d la n ie j p rze g ro d y języko w e, bow iem je j ję zy k je st ja k ję z y k m u z y k i — zro zu m ia ły dla w szy stk ic h ludzi św ia ta . O łó w e k m a te m a ty k a w idzi głębiej niż m ikro sko p y i d a le j n iż te lesko p , bow iem d o stę p n y m u jest n ie­ w id z ia ln y d la m ikro sko p ó w św ia t atom ów i św iat n a jd a ls zy c h g a la k ty k . M a tem a tyka zobaczyła nie do­ str ze żo n ą p rze z te lesko p y planetę N eptun. Z obaczył ją w ro k u 1846 ołów ek m a te m a ty k a Leuerricra. G d y b y n ie pom oc m a te m a ty k i, nie byłoby a uto m a ­ t y k i , „m ó zg ó w ” elektro n o w ych , ra k ie t i lotów k o s­ m iczn ych. P rzodow ać w naukach będzie te n naród, k tó ry n a j­ le p ie j opan uje m a te m a ty k ę . N arody obojętne dla m a ­ te m a ty k i skazane są na pozostaw anie w tyle. K u lty w o w a ć m a te m a ty k ę pow inna przede w s z y s t­ k im m łodzież.

I

DO CZYTELNIKA

P rzystęp u ją c do czytania ie j ksią żki, n a le ży m ieć pod ręką a rku sz papieru i ołówek. N a w szelk i w y ­ padek. T rzeba je d n a k pam iętać, że odpow iedź na p y ­ ta n ia zaw arte w te j książce ty lk o w nieliczn ych w y p a d ka c h w ym aga układania rów nań, zaw sze n a to ­ m ia st w ym aga skupienia i logicznego 'm yślenia. W y ­ ją tk ie m je st rozdział 50, całkow icie pośw ięcony ró w ­ naniom . R ozdziały następują po sobie w kolejności pragm a­ ty czn e j: od pojęć najprostszych (liczba, rach u n ek u s tn y , cyfra, sy ste m y rachunkow e itd.) do coraz b a rd ziej złożonych. D rugi, rów noległy bieg rozdziałów i p y ta ń do tyczy czło w ieka — tych, k tó rzy naukow ą pracą sw oją d źw i­ g n ęli m a te m a ty k ę na te w y ży n y , na któ ryc h dziś się zn a jd u je. Nie zignorow aliśm y także w y s iłk u naszych, p o lsk ic h uczonych. W reszcie trzeci n u rt p y ta ń — to k r ó tk ie p roblem y m atem a tyczn e, ale nie zagadki. W m a tem a ty ce nie m a zagadek, są zagadnienia, tr u d ­ n ie js z e i łatw iejsze, któ re rozw iązuje się nie droga ■odgadywanek, ale drogą logicznego rozum ow anie. Z n a jd zie też C zyte ln ik w tekście te j k sią żk i dość znaczną ilość niesko m p liko w a n ych sztu cze k, ła m i­ g łó w ek i żartów . Dla odpoczynku. C zy te ln ik w in ien pam iętać, że z konieczności k r ó ­ tk ie odpow iedzi n a p ro b le m y i p yta n ia postaw ione w te j książce nie m ogą całkow icie w yczerpać tem a tu . N a to potrzeba b y było znacznie ro zszerzyć je j o b ję­ tość. A u to r pragnie tą ksią żką zainteresow ać C zy­ te ln ik a i skłonić go do sam odzielnego uzupełn ien ia

podanych w n ie j odpow iedzi na podstaw ie litera tu ry, k tó re j w y k a z po d a n y je st na str. 257. P rzy ro zw ią zy­ w a n iu n ie któ rych problem ów (bardzo nielicznych) p o słu g u jem y się w zoram i i przepisam i, któ re poda­ je m y „gotowe", bez w yprow adzania. P ostąpiliśm y ta k z w ielu w zględów , m ięd zy in n y m i dlatego, że nie chcieliśm y zam ieniać tej k s ią żk i w szk o ln y p o d ­ rę czn ik m a te m a ty k i i że ścisłe w ypro w a d zen ie n ie ­ któ ry c h w zorów je st dość tru d n e i m ogłoby C zyte i--m n ik a zniechęcić do spraw y głów nej, którą w cale nie je st w yprow adzanie w zorów . Zresztą korzysta n ie z g otow ych w zo ró w je st dozw olone i szeroko rozpo­ w szechnione, szczególnie w technice. AUTOR

Iłozd/.lnl pierw szy zajm uje się problem em , którego nio m ożna pom inąć: problem em isto ty sam ej m atem a­ tyki. Ona jest 'p rz e c ie tem atem całej te j książki. C zytelnik m a praw o zapytać: Co to je s t m atem aty k a? Co to jest m atem atyka... P y tan ie dość kłopotliw e. M atem atyka w ciąż się rozw ija i ro zrasta. Je st ja k d ąb o potężnych rozgałęzieniach i m łodych k rze p n ą­ cych pędach. R ośnie ju ż ponad 2500 la t. Na p rze­ strze n i tego czasu różnie określano m atem atykę. W ypow iedzi na ten te m a t filozofów i m atem aty k ó w różnych epok i k ra jó w są bardzo różne. W yobraźm y sobie (w yobraźnia nie zna ograniczeń), że jesteśm y w posiadaniu czarodziejskiego pierścienia. Jed en obrót tego p ierścienia w lew o przenosi n as o sto la t w przeszłość, jeden o b ró t w praw o — o sto lat w przyszłość. W kładam te n pierścień n a palec, o b ra­ cam go 24 raz y w lew o i zaczynam podróż przez w iek i i k raje . W y w iad u udzielili m i filozofow ie i uczeni różnych czasów, k tó ry ch w ypow iedzi u staw iliśm y w porządku chronologicznym : n a js ta r­ szy żył i tw orzył w V I—V w. p.n.e., najm łodszy zaś żyje' i tw orzy po dzień dzisiejszy. Je st znanym p olskim m atem atykiem ; zaszyfrow ałem go pod m ia­ n em Doctor M irabilis, co po polsku znaczy „uczony godny podziw u”. N a p odstaw ie w skazów ek za w arty ch w w ypow ie­ dziach na te m at, co to je s t m atem aty k a, należyodgadnąć, kto m ógł być ich auto rem . 1. Filozofa zastałem w K rotonie, w ielkim m ieście na P ółw yspie A penińskim , w k o ­ lonii greckiej, k tó ra n azy w ała się W ielką G recją. Na ’ pytanie, co to je st m a tem a­ ty k a, filozof odpow ie­ dział:

— M ówisz p ły n n ie po grecku, a pytasz, co to zn a­ czy m a tem aty k a. M athem atike, m a th cm a , m a th isis — znaczy w iedza, poznanie. Poza ty m słowo to nie m a innego znaczenia. 2. Z nalazłem filozofa n ad rzeczką K efissos w gaju, w k tó ry m m ieściła się jego sławm-a uczelnia — A kadem ia. S iedział ze sw ym znak o m i­ ty m uczniem pod p la tan e m . P ozdrow i­ łem ich i zapytałem : — Co to je st m a te ­ m aty k a? — O dpow ie­ dzi udzielił m i sam m istrz A kadem ii. — M atem aty k a — to w stęp do filozofii, to a r y t m e t y k a , nauczana n ie tylko dla m arn y ch p otrzeb praktycznych, lecz. d la k o n tem p lacji liczb, i g e o m e t r i a . G eom etr ia w naszym pojęciu nie pow inna służyć m ie r n ictw u a n i sztuce w o jennej, a le po w in ­ n a być środkiem do zrozum ienia idei do­ b ra. M yśli te szerzej ro zw inięte znajdziesz w m oim tra k ta c ie R epublika. 3 . Młodszy z dw u f ilo ­ zofów, gdy m u z a ­ dałem to sam o p y ta ­ nie. z uszanow aniem ośw iadczył, że po dzieła zdanie swrego m istrza.

ą.

N astępny uczony, którego odw iedziłem , był bardzo zajęty, bo w łaśnie m iał w y­ k ład w jed n ej z sal M uzeum w A leksan­ drii. O taczała go g ru ­ p a słuchaczy z róż­ ny ch krajów . P ow ie­ dział m i ty lk o tyle: •— M atem atyka... to ■raczej m etoda. P o­ znasz ją należycie po przeczy tan iu mego dzieła Stoicheia (E le­ m enty).

5. B ył już rok 210 hedżry*. Z aw ędrow ałem do B agda­ du, stolicy k alifatu A bbasydów . P an o w ał wówczas n astęp ca H a ru n a al Raszida, św ia tły k alif A l. M am un. W yw iadu udzielił mi n ad w o rn y m a te ­ m aty k kalifa. Z apytałem go, co to je st m atem a­ tyka. T en długo się nam yślał, w reszcie z dostoj­ nością pow iedział: — M atem atyka to a l-d żeb r w ’al-m ukabała. — Co to znaczy? — D osłow nie a l-dżebr znaczy odtw arzanie, p rze­ n iesienie odejm ow anych w yrazów na d rugą stro n ę; a l-m ukabała — znaczy przeciw staw ienie, red u k cja w yrazów podobnych... — W ięc w edług ciebie m a tem aty k a to n au k a o ró w naniach? — Nie tylko. Do tego trzeb a dołączyć jeszcze a r y t­ m etykę i geom etrię... — D ziękuję ci, nauczycielu. Spieszę się, m am przed sobą jeszcze 11 stuleci... Salem a le jku m . Do w idze­ nia. * H ed żra — rok 622 n.e., początek ery m uzułm ańskiej (d ata ucieczki M ahom eta z M ekki do M ędyny).

6. Po k olejny w yw iad m usiałem się udać pod P rag ę, bo fra n cu sk i uczony, o którego m i chodziło, p rz e ­ b yw ał ta m z w ojskiem cesarza F e rd y n a n d a I I (rok 1619). N a m oje p y ta n ie odpow iedział: — G dy sk ru p u la tn ie sp raw ę zw ażym y, p rzy jd z ie­ m y do przekonania,- że w szy stk ie nauki, k tó re m a ją do czynien ia z poznaniem p o rząd k u i m iary , n ależą do m a tem aty k i bez w zględu n a to, czy te j m iary sz u k ają w liczbach, fig u rach , dźw iękach czy in n y ch obiektach. D latego m usi być u n iw e r­ saln a n a u k a , o pracow ująca w szystko, co dotyczy m ia ry i porządku, zupełnie niezależnie od tego czy innego zastosow ania... M a tem aty k a to sw oista m etoda bad an ia. 7. N astępny uczony pow iedział m i, że m a tem aty k a to n a u k a o funkcjach... — F unkcja... Co to takiego': — Tego te rm in u użyłem po raz p ierw szy w ro k u 1694. W m oim rozum ieniu te rm in te n oznacza p o ję cie , zm ienności jednej w ielkości w zależności od drugiej, określone pew nym p raw em (wzorem).

8. G dy się zw róciłem do żyjącego p ra w ie 100 la t później in n eg o uczonego, te n ośw iadczył m i: — Ja k ik o lw ie k bądź pogląd w y zn ajem y w sto ­ su n k u do otaczającej nas p rzyrody, isto ta zjaw isk w życiu w szechśw iata w y ra ż a się podstaw ow ym pojęciem : z m i e n n o ś ć . Coś zm ienia się, po n ie­ w aż m y odczuw am y zm ianę naszego w łasnego ja. A naliza w szelkiego zjaw isk a doprow adza do je ­ dnego podstaw ow ego su b stra tu — zm ienności w e­ dług p ra w a fu n k cjo n a ln ej zależności. W ykryć m echanizm zjaw iska, w yrazić leżące u jego p o d ­ staw zależności w postaci fu n k c ji m atem atyczn ej — w zoru i w ta k i sposób przenieść bad an ie w dziedzinę nieom ylnej d edukcji m atem atycznej — oto cel każdego bad an ia .naukow ego. Jak k o lw iek w iele n a u k posunęło się już bardzo daleko w

k ie ru n k u ich m atem atyzacji, to je d n ak nie w tym je s t w arto ść m atem atyki, lecz w tym , żę p rzed ­ m iot jej b ad a n ia jest identyczny z istotą każdego zjaw iska. 9. R ozm yślając

o tych w yw iadach, pow róciłem do naszej epoki i udałem się na egzam in m a tu raln y do jednego z liceów . P rzed kom isją egzam inacyjną odpow iadał w łaśnie a b itu rie n t ob. N iew ym ierny. Z ap y tałem go: — Co to je st m atem aty k a? N iew ym ierny utk w ił w e m nie w ystraszony w zrok i zaczął m am ro tać: „M atem atyka... m atem atyka... m atem aty k a...” W reszcie p rze łk n ął ślinę i spojrzał pytająco na swego profesora. Jego zachęcający gest dodał m u w idocznie odwagi, bo niepew nie w y jąk a ł: — te g o .. ary tm ety k a , algebra, geom etria, try g o ­ nom etria... tego... rów n an ia, tw ierdzenia... — Ale dlaczego ary tm ety k a , algebra, geom etria i trygonom etrią, m a ją w spólną nazw ę m a te m a ty ­ k a? N iestety, n a to p y ta n ie nie dostałem odpowiedzi.

10. P ro feso r Doctor M irabilis b y ł o statnim , którego odw iedziłem . Z nalazłem go w p ięknym u n iw ersy ­ teckim m ieście n a D olnym Ś ląsku. P rzed pół w ie­ k iem niem al czytałem jego pracę pośw ięconą za­ g a d n ie n iu isto ty m atem atyki. — P an ie profesorze, czym jest, a czym nie je st m atem aty k a ? — N a p ań sk ie p y ta n ie n a jła tw ie j byłoby odpo­ w iedzieć, gdybyśm y w iedzieli, co je st przedm io­ tem m atem aty k i. Dziś w iem y, że jej przedm iotem n ie zaw sze je st liczba. Z resztą pojęcie liczby je st sta le zm ienne i .już nie zaw iera ty ch cech, k tó re p rzy w y k liśm y liczbie nadaw ać. Do isto ty m a te ­ m a ty k i chyba n ajb ard zie j zbliżył się E uklides w sw oim dziele Stoicheia, w k tó ry m podzielił

zdania na aksjom aty, postulaty, definicje i te o re­ m aty oraz tw ierd zen ia pom ocnicze (lem m aty). Z niew ielkiej ilości pew ników i p o stu lató w E u k li­ des zbudow ał całą w spółczesną sobie m atem a­ tykę, podając ją w form ie geom etrycznej. Isto ta m a tem aty k i tk w i nie w liczbach, nie w fig u rach geom etrycznych i nie w sym bolach, lecz w m eto­ dzie. M etoda je j nazyw a się d e d u k c j ą , a p o ­ lega na w y sn u w an iu logicznych w niosków w y ­ łącznie ty lk o z uw idocznionych n a w stępie da­ n ej te o rii pew ników , definicji oraz zdań i pojęć pierw otnych, takich ja k „ p u n k t”, „k ą t prosty", „ tró jk ą t” itp. ...Tak zbudow ana teo ria nazyw a się system em dedukcyjnym . M atem atykę m ożna określić jako zbiór w szystkich system ów d eduk­ cyjnych,

2 — 500 z a g a d e k m a te m a ty c a n y c lr

17

2.

ZANIM ZRO D ZIŁY SIĘ CYFRY

K ie d y ludzie zaczęli liczyć? N a to p y ta n ie tru d n o odpow iedzieć. Ju ż przed 6000 la t egipscy k ap łan i u k ła d ali k alen d a rz e o p a rte o w schody S yriusza i r u ­ chy Słońca. A w ięc um ieli ju ż liczyć. Z ajrzy jm y jeszcze p a rę tysięcy la t wstecz... Oto ry b acy znad N ilu w iążą sw oje sieci, u k ła d a ją oczka ty ch sieci w rów noliczne rzędy. A w ięc i oni um ieli już liczyć, Cofriijm y się jeszcze głębiej w m ro k i dziejów lu d z­ kości..-. M ożna tw ierdzić, że przed 10 000 la t już się odbyw ał „ h a n d el” w ym ienny sztuka za sztukę albo głow a za głowę. N ie m am y je d n ak żadnych zn ale­ zisk czy pom ników ż ta m ty c h odległych czasów. Na czy m w ięc będziem y opierać naszte rozum ow ania i w nioski? W iem y, że nie cała ludzkóść ro zw ijała się w jednakow o szybkim tem pie. G dy je d n e n aro d y szybko się cyw ilizow ały, inne nie w yszły jeszcze ze sta n u „dzikości”. W chw ili obecnej „dzikich” n arodów ju ż p raw ie n ie m a, ale do nied aw n a zam ieszkiw ały jeszcze n ie k tó re te ry to ria . O bszerne w iadom ości o ich k u ltu rz e dostarczyły n am opisy podróżników i geo­ g rafó w . Będziem y z nich ko rzy stali przy opracow aniu p y ta ń tego rozdziału. 1. E ncyklopedia staropolska w y jaśn ia, że karb o w y to jest to sam o co gospodarz g um ienny albo w ło­ darz. Ja k ie je st pochodzenie słow a „k a rb o w y ”? 2. W ja k i jeszcze in n y sposób ludzie p ie rw o tn i ozna­

czali p o siadane zbiory przedm iotów ? t 3. M ikłucho-M akłaj (1846—1888), ro sy jsk i podróżnik, k tó ry w iele la t spędził w śród m ieszkańców Nowej G w inei, opisuje, ja k liczą P apuasi. A by pow iedzieć 1, P ap u asi zag in ają palec i m ów ią be; dla w y ra ­ żenia. liczby 2 m ów ią be-be, 3 — b e-be-b e i ta k ąz do 5. 5; oznaczają słow em „ rę k a ” (ibon), 6 — „ rę k a je d ćn ” (ibon-be), 10 — „dw ie rę c e ” (ibon-ali), 11 — „dw ie ręc e — je d e n ” (ibon-ali-be), 12 — ib o n -a li-b e-b e itd. aż do liczby „jed n a n oga”

(sam ba-be), czyli 15, i dalej „dw ie nogi” (sarnba-ali) = 20. W ja k im układzie n u m e ra c ji liczyli? 4. W jakim europejskim języku pozostały ślady dw u­

dziestkow ego u k ła d u n um eracji? 5. O czym św iadczą ta k ie słow a polskie, ja k „kopa”,

„m endel”, „tu zin ”?

6. P rzysłow ia są w yrazem m ądrości ludow ej. Z apew ­ ne nie jedno przysłow ie pow stało, zanim narodziły się cyfry. Są przysłow ia, w k tó ry ch głów nym elem entem je st liczba. Czy m ożecie je w ym ienić? 7. W staropolskim języku istniało słowo, k tó re ozna­

czało liczbę b ard zo m ałą, b lisk ą zeru. Ja k ie tc słowo? 8. Jakiego liczebnika używ a się w naszych n a js ta r­ szych b ajk ac h do oznaczenia, że coś lu b ktoś je s t bardzo, bardzo d-aleko? 9. Czy tajem nicze słow a: igin, andras, orm is, arbas, ąuim as, calctis, zenis, tem en ivs, calentis są zaklę­ ciam i jakiegoś szam ana? Czy istn ieje jak iś zw ią­ zek m iędzy ty m i słow am i a m a tem aty k ą ? 10. Od kiedy pojęcie liczby zaczyna się rozw ijać i ro z­

szerzać, w ychodząc poza ra m y liczby n a tu ra ln e j?

2*

19

3 . NARODZINY

CYFRY

/

D okładną m e try k ę cy fry u stalić tru d n o . T ak samo ja k tru d n o je st u stalić m e try k ę pochodzenia p ierw ­ szego alfabetu. C yfram i posługiw ały się w za­ m ierzchłej przeszłości i n aro d y A zji .(H indusi, C hiń­ czycy, Babilończycy), i n aro d y A m ery k i (np. M a­ jow ie), i naro d y A fry k i (Egipcjanie). D la nas n a j­ w ażniejsze są te cyfry, z k tó ry m i zw iązane są dzie­ je naszej k u ltu ry : babilońskie, egipskie, fenickie, greckie, rzy m sk ie i przede w szystkim hinduskie (arabskie). C yfra niew ątpliw ie je st’ albo córką, albo bliską k re w n ą (siostrą) litery . Św iadczy o ty m fak t, że u w ielu narodów cyfry w yrażano lite ra m i alfab etu (cyfry heb rajsk ie, babilońskie, greckie, częściowo rzym skie). C yfry egipskie są praw dopodobnie h ie­ rog lifam i odpow iednich słów. C yfry zn ajd u jem y w n ajsta rsz y ch dokum entach (pom nikach) pisanych. A w ięc d ata urodzenia cyfry odnosi się p raw d o p o ­ dobnie do IV—III tysiąclecia p.n.e.

1. P odstaw ow ym i cyfram i egipskim i są:

n e i /10 102103

1 0 41

Ile to je st ?

leceeeeeeennnnnnfflii 2. M ieszkańcy p ięknej k rain y m iędzy dw iem a rze­ k am i w padającym i do Z atoki P ersk iej, któ rą G recy nazw ali... jak? — posługiw ali się trzem a zasadniczym i znakam i: ^ i ^ , p rzy po­ mocy k tó ry ch w oparciu o sw oistą kom binację u k ład u dziesiątkow ego z 60-kow ym .system em

pozycyjnym ich znaki:

p o trafili napisać

k ażd ą

W

liczbę.

Oto

f —100

« ? -= ! 000 (10x100) =10000(10x1000)

3.

A te ra z ile to je s t:

U ff

A co znaczy to:

W

? /,!

?

G recy posługiw ali się dw om a ro d zajam i znaków cyfrow ych: ateńskim i i jońskim i. P itag o ras, P la ­ ton i A rystoteles używ ali cyfr ateńskich. Z naki n, A, H, X, M są początkow ym i lite ra m i odpo­ w iednich słów: pentc (5), deka (10), h eka to n (100), chilios (1000) i m yrias (10 000). P rócz tego G recy stosow ali sk ró ty :

P -5 0 M )

r*-50Q R -5 0 0 0 Ri=50 000 (5x10 000) Ja k w ygląda zapis roku tra n sk ry p c ji ateń sk iej? 4*

1967

4. Jo ń skim i cy fram i były lite ry

P = 2; q

y — 3 ...

i = 10;

w

addytyw nej

a lfa b etu : a '= 1; x — 20; l = 30..

= 100; a = 200; x = 300; ^

= 900; ,a = 1000;

,fl = 2000; ,y — 3000 itd. N ad całą liczbą pisano k resk ę poziomą, żeby ją odróżnić od słowa, np. H eron, 1967?

C yfram i jońskim i p isali E uklides, D iofantos... Ja k w yrazić ty m i cyfram i

5. C yfry rzy m sk ie znam y wszyscy. Do dziś w id zim y je na tarczach zegarów . Ile to je st M CM LXV III? 6. T ych cyfr nie znam y, chociaż posługuje się n im i

p onad 700 000 000 obyw ateli i są to cyfry przyjaźnionego z nam i narodu. Jakiego? —

^

£

1 2

3

4

•k

5

S

*= n

fi

i-

iet

7

9

10

100 7000

8

za­

7. Słow ianie w schodni, Rusow ie, m ieli dw a rac h u n ­ k i: „m ały” i „duży”. Sym bol @ nazyw ał się. „ćm a” i oznaczał liczbę dla szarego człow ieka n ie p o jętą cy fra

(10 000 ).

(id)

C yfra

rt

oznaczała

1000;

nazyw ała się „legion” ( = 100 000);

cy fra „w oron” (kruk) ,'A) ró w n ała się 10 000 000. Do oznaczenia innych liczb •u żyw ano lite r a lfa ­ b etu , tzw . „cy ry licy ”. Od kogo zapożyczyli R usow ie „cyrylicę” ? J a k i sta ro ż y tn y n aró d był dla nich w ty m w zględzie w zorem ? 8. C yfry M ajów, n aro d u w ytępionego przez kryw ców A m eryki, p rze d staw ia ją się ta k : •

••

____*

1 2 3 4 / 5

iii*

6

7

8

9

od­ „___

18

15

Ja k im układem n u m eracji — dw ójkow ym , tr ó j­ kow ym , piątkow ym czy dziesiątkow ym — posługi­ w ali się M ajow ie? 9. Czy P olacy p isali kiedykolw iek sw oim i w łasnym i

cyfram i? 10 10. Ja k ich cyfr używ ał Bolesław' C hrobry, a jak ich

Z ygm unt A ugust?

4 C yfry, k tó re będą głów nym te m atem p y ta ń tego rozdziału, przyw ęd ro w ały do E u ro p y w późnym średniow ieczu razem z system em pozycyjnym . Mimo niezw ykłych w alorów tych cy fr i system u pozycyj­ nego nie uznaw ano ich przez długi czas, zwłaszcza w sferach ludzi in teresu , a je d n a z ita lsk ich re p u ­ blik, F lorencja, w ydała naw et w 1299 d ek ret, by na w ekslach i n a rac h u n k ach obok liczb napisanych now ą m etodą te sam o liczby w pisyw ać cyfram i rzym skim i. T a ostrożność b y ła uspraw iedliw iona, gdyż graficzna postać nowrych cy fr nie była jeszcze ostatecznie ustalona. P ra w ie dw a stulecia trw a ła w alk a tych cy fr o panow anie n a d św iatem .

1. J a k się n azy w ają cyfry, o k tó ry ch m ow a w e w stę­ pie, kto i w k tó ry m w iek u zapoznał z nim i E uropę? 2. Ja k ie je st pochodzenie słów „c y fra ” i „zero” ?

3. K iedy te cy fry zadom ow iły się u nas? 4. K iedy i kto stw orzył słow a: m ilion, m iliard , bi­

lion, try lio n itd .? 5. N a czym polega przew aga n u m e ra cji h in d o -a ra b -

skiej n ad in n y m i num eracjam i? #. Ja k nazyw am y i piszem y liczby w iększe od k w adrylionów , kw intylionów , sekstylionów ... decylionów? 7 7. W naszym języku m am y tylko trz y rdzennie pol­

skie słow a do w yrażenia potęg 10; są to IG1 = dzie­ sięć; 102 = sto; 103 = tysiąc. Czy istn iały łu b

istn ieją narody posiadające nazw y dla dalszych potęg 10?

8. Ile to jest: -

\ f • ■ ■1 |

i o —log ,„1000

?

‘ 9. W łaściwość k w a d ra tó w liczb w yrażonych trz e ­ m a kolejnym i cy fram i 3, 4, 5 je st zn an a: 32 -{- 42 = = 52. J a k a je st w łaściw ość czterech, k olejnych liczb w yrażonych cyfram i: 3, 4, 5 i 6? 10. M aszynistka pisze n a m aszynie ko lejn e liczby n a tu ra ln e bez odstępów : 12345678910111213... itd . J a k a cy fra p rzypadnie n a setne uderzenie w k la ­ w isz?

5.

LICZBY I UKŁADY N U M ERA CJI

K ażda liczba w ielocyfrow a je st w ielom ianem upo­ rząd k o w an ym w edług potęg liczby 10, np. 3075 = - 3 • 103 + 0 • 102 + 7 • 101-j- 5 • 10°. Z asad a pozycyjności pozw ala nam skrócić te n zapis; zam iast pisać np. 2 • 102 + 5 • 101 + 8 • 10° piszem y po p ro stu 253. Pozycyjność nie je st przy w ilejem tylko u k ład u dzie­ siątkow ego. N a zasadzie tej o p a rte są rów nież inne układy: dw ójkow y, trójkow y, p iątk o w y itd. T ak sam o w szystkie sym bole m atem atyczne ( + , —, \f , lg...) i p ra w a działań m ogą być przeniesione do każdego innego układu. M atem atycy w spółcześni w iedzą o w szy stk ich zaletach i niedogodnościach u k ład u dziesiątkow ego, a tak że innych u kładów n u ­ m eracji, ale m im o t o ' w szystkie n aro d y k u ltu ra ln e posługują się u k ład em dziesiątkow ym . Dlaczego? Czy z przyzw yczajenia? Czy w sk u te k jak ich ś przy ­ czyn organicznych? N iech na te p y ta n ia odpowie sobie C zytelnik sam po rozw iązaniu n astępujących pytań. 1 . W układzie dziesiątkow ym posłu g u jem y się 10 cy fram i; w ja k im układzie posłu g u jem y się n a j­ m niejszą liczbą cyfr? 2. Czy m oże być u k ład n u m e ra cji w ym agający w ię­ cej niż dziesięciu cyfr? 3. J a k p rze d staw ia się w u kładach: dw ójkow ym , tró jk o w ym i p iątkow ym k ażd a z liczb: 20, 50 i 100?4 4. A by p osługiw ać się układem dw unastkow ym , m usim y obm yślić dw ie dodatkow e cyfry: dzie­ sięć i jedenaście. S korzystam y z sym boliki sta ro g reck iej i n iech cy frą dziesięć będzie i, a cyfrą jedenaście -z. L iczba 12xi je st n ap isan a w układzie dw unastkow ym . J a k się p rze d staw ia w układzie dziesiątkow ym ?

5. W języku polskim m am y nazw y tylko dla trzech

pierw szych potęg liczby 10. D alsze potęgi 10 są słow am i złożonym i -albo obcymi, stw orzonym i sto­ sunkow o niedaw no (w XV w.). W układzie dw unastkow ym istn ieją słow a „tuzin” (12l) i „gros” (122). Do tych słów m ożna by dodać: „m egagros” (123 = 1728) i „m akrogros” (124 = 20 736). Ja k w oparciu o te now e liczebniki odczytać liczby zapisane w u kładzie z poprzedniego p y ta n ia: a) x5i8; b) 8i6x5? 6. W jakim układzie n apisane są rów ności: a) 300 — 233 =

1; b) 3 X 3 =

14?

7. Rów nanie:

llOa:10 — l i l a : + 10 = 0 je st n apisane w układzie dw ójkow ym . Ja k je odczytać? Ile w ynoszą p ie rw ia stk i tego rów nania?

8. T abliczka m nożenia w układzie dziesiątkow ym przed staw ia się jako k w a d ra t o 100 k ratk a ch z liczbą w każdej kratce. J a k p rze d staw ia się tabliczka m nożenia w układzie dwójkowwm? 9. O dpow iednio

do ułam ków dziesiętnych w u k ła­ dzie dw ójkow ym istn ieją u łam ki „b in arn e” (o m ianow nikach 2, 4, 8, 16...). J a k odczytać ułam ki b in arn e: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,11;. 0,010101? f

10. W skaźnik

kosztu p ro d u k cji elektronow ych m a­ szyn cyfrow ych je st proporcjo n aln y do p o d staw y u kładu n u m e ra cji (p), w' k tórym liczy m aszyna, i do ilości cyfr w liczbach, k tó ry m i o p eru je m a­ szyna (c). Zależność m iędzy w skaźnikiem kosztu pro d u k cji oraz p i c w y raża się w zorem : w skaźnik kosztu » pc. Ja k ie w nioski m ożna w yciągnąć z tego w zoru?

6.

LICZBA L IC Z B IE NIERÓW NA

Pojęcie liczby n a tu ra ln e j pow stało w zw iązku z potrzebą liczenia już na najw cześniejszym stopniu rozw oju ludzkiego społeczeństw a, n a długo przed pojęciem liczby ułam kow ej i ujem nej. Liczbam i n a ­ tu ra ln y m i nazyw am y liczby: jeden, dw a. trzy, czte­ ry, pięć, sześć itd. W spółczesny człow iek poznaje liczby n a tu ra ln e ju ż w w ieku przedszkolnym . W późniejszych la tac h spotykam y się ze zjaw isk a' mi, któ re nie d ają się już opisać za pomocą liczb n atu raln y ch . P o w staje w ów czas potrzeb a rozszerze­ nia pojęcia liczby. Z aznajam iam y się z liczbam i ułam kow ym i, ujem nym i... Ten rozdział pośw ięcony .jest rozw ojow i pojęcia liczby.

1 . Czy istn ieje najw ięk sza liczba n a tu ra ln a ? 2. Czy istn ieje n ajm n iejsza liczba n a tu ra ln a ? 3. Ja k ie liczby nazw ano algebraicznym i? 4. Czy istn ieją liczby niealgebraiczr.e? J a k je nazy ­ w am y? 5. W ym ień n ajb ard zie j znane liczby niealgebraiczne. 6. Ja k ą liczbę oznaczam y sym bolem e? 7. W szkolnym k u rsie m atem aty k i m ów i się o tym , co to je st oś liczbow a. M iędzy p u n k ta m i osi liczbowej i liczbam i rzeczyw istym i istn ieje w za­ jem nie jednoznaczna odpow iedniość, to znaczy •każdemu punktow i osi liczbow ej odpow iada jed -2 ----------------------- 1----- 1-----1-----1-----1----- 1-------------------- >O > 2 3 oś liczbowa

na, i tylko jed n a liczba rzeczyw ista i, o d w ro t­ nie, każdej liczbie rzeczyw istej odpow iada tylko jeden p u n k t osi liczbow ej. Czy są ta k ie liczby, k tó ry m nie odpow iada żaden p u n k t osi liczbo­ w ej? Jeżeli ta k ie liczby są, to ja k je odw zoro­ w ujem y? 8. K to pierw szy urojona?

użył

te rm in u

liczba

(jednostka)

9. Liczbę 5 m ożna przedstaw ić jako iloczyn dwóch

czynników 1 i 5 (5 = 1 .5 ). Czy są jeszcze in n e sposoby p rz e d s ta w ie n ia . 5 jako iloczynu liczb, w k tó ry ch w y stę p u ją tylko 2 cyfry? 10. Co to są k w ate rn io n y i kto je w prow adził do m a­

tem aty k i?

-

OCP

- - O -------+

1 . JESZC ZE O LIC ZB IE

„Co je st n ajm ąd rze jsz e? —• Liczba. Co je st n ajp ięk ­ niejsze? — H arm onia. Czym je st cały św iat? — Liczbą i h arm o n ią.” T ak pouczał .katechizm ta je m ­ nego, na w pół naukow ego b rac tw a pitagorejczyków . P rzytoczyliśm y te n w erset nie tylko ze w zględu na jego piękno poetyckie, ale i dlatego, żeby w y k a­ zać, ja k w ielkie znaczenie przypisyw ano liczbie już pięć w ieków przed naszą erą. P ita g o re jsk ie „igrasz­ k i” z liczbą nie by ły jałow e, bo obok cudacznych sp ek ulacji pitagorejczycy poczynili odkrycia, któ re do dziś nie stra c iły sw ojej w artości. Oni pierw si po­ dzielili w szystkie liczby na p arz y ste i nieparzyste, o dkryli liczby k w ad rato w e, sześcienne, doskonałe, zaprzyjaźnione. Oni w reszcie o d k ry li liczby niew y­ m ierne. Je żeli dziś uw ażam y, że je d n ą z n ajp ięk ­ niejszych dyscyplin m atem atycznych je st teoria liczb, to m usim y pam iętać, że p re k u rso ra m i jej byli p ita ­ gorejczycy.

1. M atem atyka — to w ielka rod zin a n au k d edu k • cyjnych; do n a jsta rsz y ch członków te j rodziny n a­ leży teo ria liczb, k tó rą G-auss pasow ał na królow ą m atem aty k i. Czym zajm u je się te o ria liczb? 2. Co to je st liczba doskonała? 3. P itagorejczycy w ysoko cenili przy jaźń i w ier­ ność w p rzyjaźni. To praw dopodobnie spraw iło, że n iek tó ry m liczbom n ad ali m iano zaprzyjaź­ nionych. Ja k ie to sa liczby? 4. W iadomo,

że nasza p la n eta i w szystko, co na niej istn ieje, sk ła d a się z p ie rw ia stk ó w chem icz­ nych (zbudow anych z atom ów ) i że tych p ie r­ w iastków — cegiełek m a te rii znam y dziś 104*

* W przyrodzie w y stę p u ją tylko 92, pozostałe uzyska­ no sztucznie.

Czy istn ieją ta k ie p ierw iastk i — cegiełki liczbowe, z których m ożna otrzym ać dow olną liczbę n a tu ­ ra ln ą ? 5. P rócz podziału liczb na p arzyste i n ie p arzy ste już w starożytności był dokonany także podział liczb na pierw sze i złożone. Kto w starożytności dowiódł, że liczb pierw szych je st nieskończenie w iele? 0. J a k się nazyw a podana przez E rato sten esa m e­ toda w yznaczania kolejnych liczb pierw szych? 7. N a przestrzeni w ieków było dużo usiłow ań w y ­ k ry c ia ogólnego w zoru, na p odstaw ie którego m ożna byłoby w yznaczać liczby pierw sze. Kto podał w zór 22"-f- 1? 0. Prócz w zoru 2 2'1 + 1 istn ieją jeszcze inn e „w zory” do w yznaczania liczb pierw szych. E uler (1707—178:1) podał w zór: x 2 4- x + 41 (I); L eg en d re (1752— 1833) : a:2 + te + 17 (II); M ersenne (1588—1648): 2 " - l , gdzie n je st liczbą pierw szą. Dla ja k iej w artości xdrugi wzór p rzestaje„d ziałać”? 9. Czy istn ieje w zór, n a podstaw ie któreg o m ożna by obliczyć o kreśloną liczbę pierw szą, ta k ja k np. istn ieje w zór (2n—1) do określenia dowolnej liczby- n ie p arzy stej (np. tysięczna liczba n iep a­ rz y sta w ynosi 2 . 1000 — 1 = 1999)? 10. K io ze w spółczesnych m atem atyków polskich je st au to re m w ybitnych p rac naukow ych z dziedziny te o rii liczb?

8 . LICZBY OLBRZYM Y

7 . liczb am i-o lb rzy m am i spotykam y się nie ty lk o W bajk ach , legendach (np. o nagrodzie za w y n ale­ zienie g ry w szachy) i rozw ażaniach naukow y ch , nie i w przyrodzie, zarów no w m ikrośw iecie, w św ię­ cie atom ów , ja k w m akrośw iecie, w Kosmosie, w św iecie g alak ty k . L iczba fizyczna je st w yn ik iem p o ró w n a n ia ja k ie jś w ielkości z inną, jed n o ro d n ą, p rz y ję tą za je d n o stk ę m iary. N asze lud zk ie jed n o stk i są zb y t duże w św iecie atom ów i zbyt m ałe w św ie­ cie galak ty k . S tą d pochodzą, z je d n e j stro n y , liczb y -k a rły , z d ru g ie j— liczby-olbrzym y. O peru jem y ty m i liczbam i, chociaż nasze zm ysły nie m ogą nam dać k o n k retn eg o w y o b rażen ia ani o m ik ro -, an i o m akrośw iecie.

1. Ja k ie w y m ia ry m u si m ieć u rn a m a ją c a k sz ta łt sześcianu, ab y w n ie j m ógł zm ieścić się m ilion k u le k o śred n icy 1 cm?

Z . Z iem ia k r ą ż y dokoła Słońca z p rz e c ię tn ą p rę d ­ k o śc ią około 30 km /sek. Ile k ilo m e tró w p rz e ­ bieg n ie Z iem ia w swTojej w ędrów ce dokoła S łoń­ c a od początku, naszej ery do ro k u 2000? 3. Co to je st p arse k ? 4. Przypow ieść o groszu w dow im je st pow szech­ nie znana. G dyby ow a litościw a w dow a sw ój grosz złożyła nie n a tacę, lecz do ów czesnego PK O , to do jak iej k w o ty w zrósłby on po 1000 lat, je ż e p P K O płaci 4°/o sk ład an e od każdej setki*? 5. S tw ierdzono, że liczba 2 2i ‘ + 1 sk ład a się z p rz e * P r z y tzw. w k ład ach unieruchom ionych n a 6 m ie­ sięcy, n o rm aln ie PK O p ła ci 3%.

szło 20 m iliard ó w cyfr. T ak olbrzym iej liczby nie um iem y nazw ać, poniew aż nie m am y odpo­ w iednich słów. A le pojecie o jej w ielkości m ożna m ieć odpow iadając na ta k ie p y ta n ie: J a k ą d łu ­ gość pow inna m ieć w stęga, aby n a niej m ożna było napisać liczbę o 20 m iliard ach cyfr, jeżeli n a w stędze długości 1 m e tra m ożna nap isać 300 cyfr? B. U czeni oceniają, że ciało ludzkie składa się z 1028 ątom ów , Z iem ia m a ich 1052, a św iat w idocznych gw iazd 1087. Są to liczby, k tó ry ch o garn ąć nie m ogą nie tylko nasze zm ysły, ale na-wet nasza w yobraźnia. A jed n ak , spróbujm y... Oto silniczek elektryczny, k tó ry ro b i 33 obroty na sekundę. L iczba 1012 je st 10 000 000 000 000 000 ( = 1016) razy m n iejsza od 1028. Ile la t m usi się ob racać bez zatrzy m a n ia nasz silniczek elektryczny, ab y się obrócić 1012 razy? 7. N ajw iększą liczbą n ap isan ą przy pom ocy 3 dzie­ w iątek je st 99’ , czyli 9387420489. Z g rubsza m ożna pow iedzieć, że do n ap isan ia tej liczby p o trzeb a około 380 m ilionów cyfr. Ile czasu p o trzeb a do n a p isa n ia tej liczby, jeżeli w ciągu dziesięciogodzinnego roboczego dnia m ożna napisać około 38 000 cyfr? 8. Chcąc udow odnić, że każdą, n aw e t n ajw ięk szą, ja k ą sobie m ożem j’ w yobrazić, w ielkość m ożem y w yrazić przy pom ocy liczby, A rchim edes n ap isał ro zp raw ę pt. P sa m m ites (po łacinie A ren a riu s). w< k tó re j obliczył, ile z iarn ek p iask u m oże się zm ieścić w k u li o pro m ien iu rów nym odległości Z iem i od gw iazd. A by w ym ów ić tę liczbę, m u siał stw orzyć specjalny system rachunkow y , k tó reg o p odstaw ow ą je d n o stk ą b y ła m iriada*. P ierw sza * 1 m iria d a = iO4, p a trz str. 21.

klasa — czyli o k ta d a — zaw ierała m iria d ę m iriad (10s); d ru g a o k ta d a zaw ierała liczby od 108 do 10lc; •trzecia — od 101* do 1021 itd. aż do siódm ej oktady (liczby od 1018 do 1054). Ilość ziaren p ia sk u w edług A rchim edesa w y ra ża się liczbą nie przek raczającą tysiąca m iria d jednostek siódm ej klasy, czyli 103 • 101 • (10s)7 = 1083. W arto podkreślić, że A rchim edes nie w yznacza tu dokładnej liczby ziaren piasku, ale m ów i, że nie p rze k ra cza ona pew nej -liczby, u w ięc p o d aje tylko rzą d je j w ielkości. A rchim edes nie zatrzy m u je się n a liczbie ziaren p iasku w k u li o prom ieniu ró w n y m odległości Ziem i od gw iazd, lecz rozszerza sw oją n u m e ra cję dalej i dochodzi do liczby, k tó rą w n u m e ra cji' dziesiątkow ej m ożna zapisać ta k : .

10*'11)16

a w ięc w yraża, się jednością z osiem dziesięciu tysiącam i bilionów zer. G dybyśm y chcieli n a­ pisać tę liczbę na w stędze, pom ieszczając 500 zer na jednym m etrze, czyli na jed n y m kilom etrze w stęgi 500 tysięcy zer, to długość naszej w stę g i m usiałaby w ynosić 160 m iliard ó w kilom etrów , czyli cztery razy w ięcej niż długość o rb ity P lu to ­ na, p la n e ty n ajb ard zie j oddalonej od Słońca. Czy liczba A rchim edesa lO3’101" je st w iększa czy m niejsza od liczby 9°° ? 9. Jak się n azyw a liczba (n!)? Ile to je st (20!)?

1B. Dla uczczenia jakiegoś św ięta do stolicy pew nego p ań stw a p rzy je ch a ła jednocześnie nieskończona liczba gości. G oście zjaw ili się w jedynym w stolicy h o te lu i zażądali, by udzielono im nocle­ gów. B ardzo u p rze jm y d y rek to r hotelu pow iedział oblegającym go gościom, że m oże każdem u dać oddzielny pokój, bo m a w sw oim h o te lu nieskoń­ czoną ilość pokoi. Służbie d y rek to r n ak a za ł p ie rw ­ szego gościa pom ieścić w p okoju n r X, drugiego

3 — 500 z a g a d e k m a te m a ty c z n y c h

23

11*11 .i 111 ni li .1 rlri',i) w pokoju n r 3 itd., aż do nlmUiidi /omiAcl. Z n lrd w lr iilużba hotelow a ro zm ie­ ściła klientów , gdy p rzy je ch a ła now a p a rtia gości, k tó ry c h była rów nież nieskończona ilość. U dali się oni do tego sam ego hotelu i zażądali udziele­ n ia każdem u osobnego pokoju. T en sam d y rek ­ to r hotelu bardzo uprzejm ie zgodził się dać k ażd e­ m u z now o przybyłych oddzielny pokój. J a k to zrobił?

e i i

i i .

» i '

9.

LICZBY KARŁY

Człowiek — ja k już pow iedzieliśm y — stoi n a granicy dw u św iatów : „nieskończenie” m ałego i „nieskończe­ nie” w ielkiego. Na szczęście najw ażn iejsze nasze zm y­ sły: w zrok, słuch i 'powonienie są bardzo słabo rozw i­ nięte. G dyby oko człow ieka było zdolne widzieć b akterie, życie jego byłoby nieznośne. Z obrzydze­ niem spożyw ałby swmje codzienne pożyw ienie, k tó re przecież m row i się od żyjących na nim i w nim m ikroorganizm ów roślinnych i zw ierzęcych: b ak terii, w irusów , grzybów , pierw otniaków . W ypicie szklanki wody w odociągow ej rów nież nie byłoby łatw e, bo­ w iem w każdym je j centym etrze sześciennym u w ija­ ją się dziesiątki tysięcy drobnoustrojów . N au k a bada te m ikrośw iaty. Do tych badań p o trze b n e są nie tylko m ikroskopy zw ykłe i elektronow e, ale i odpow iedni rachunek, odpow iednie jednostki m iary, poniew aż nie tylko cen ty m etr, ale i m ilim etr je st jed n o stk ą zbyt dużą, aby nią posługiw ać się w m ikrośw iecie. To sa ­ mo dzieje się w fizyce atom ow ej, w b ad an iach nad atom em , którego w y m iary są n iew yobrażaln ie m ałe N iedoskonałość ucha ludzkiego i słabość naszego w ę­ chu są dla nas dobrodziejstw em , bow iem św iat roz­ brzm iew a niesłyszalnym i dźw iękam i i szum am i oraz je st w ypełniony drażniącym i zapacham i. G dybyśm y byli w stanie je odbierać, nie b yłby dla nas możliwy ani sen, ani odpoczynek. W zam ian za niedoskona­ łość zm ysłów o trzy m ał człowiek rozum . D zięki rozu­ mowi w ynalazł przy rząd y i ap a raty , k tó re w zm acniają jego zm ysły setki tysięcy razy. l.C o to je st m ik ro n (ja)? Ja k m ożna go sobie uzm y­ słowić? 2. Co to jest angstrem ? Ja k m ożna go sobie uzm y­ słowić? 3.

Ja k a je st m asa elektronu? J a k ją sobie uzm ysło­ wić? 4

4. Uczeni tw ierdzą, że średnica elek tro n u w stanie spoczynku w ynosi

2,8 • 1 0 -13 cm

_____2.8 cm ___ 10 000 000 000 000

J a k sobie uzm ysłow ić tę w ielkość? 5. We w rześniu 1962 r. rad io obwieściło, że dzięki am ery k ań sk iem u sa telicie „T e lsta r” m ożna reg u ­ low ać czas z dokładnością do — --—

100 000

odległość przeleci w7 ciągu — 1—

100 000

sek. Ja k ą

sek n addżw ię-

kow y sam olot odrzutow y lecący z prędkością śred ­ nio 2 400 km /godz ?

8. P asa że rsk i sam olot, o drzutow y leci z prędkością. 1000 km /godz. 1 mm?

W ciągu ilu sekund p rz e la tu je on

7. A rkusz p ap ieru w aży 1 g; dzielim y go n a połowę, o trzy m an ą połów kę dzielim y jeszcze n a połowę, o trzy m an ą ćw ia rtk ę z kolei dzielim y na pół itd.' Ile razy należy przepołow ić ten arkusz, ab y o trzy ­ m ać „k aw ałek ” p a p ie ru odpow iadający m niej w ię­ cej m asie atom u, ró w n ej około 10—24 g? W ska zó w ka . W obliczeniach m ożna p rzy jąć, 2910 ró w n a się w przy b liżen iu 103.

że

8. F a rm a c e u ta w ziął 1 cm 3 n alew ki leczniczej i w lał ją do 99 cm 1 sp iry tu su . Po dokładnym p rzem ie­ sz an iu w ziął 1 cm 3 tego ro ztw o ru i znów w lał go do 99 cm 3 sp iry tu su . T en drugi roztw ó r znów przem ieszał, znów w ziął 1 cm 3 m ieszaniny i znów w lał go do 99 cm 3 sp iry tu su . O perację tę fa rm a ­ ce u ta pow tórzył 10 razy. He n a le w k i. je st w ro z­ tw orze, k tó ry fa rm a c e u ta otrzym ał po dziesiątej operacji? 9. G dyby całą su b stan cję u k ład u słonecznego: m a te ­ rię Słońca, p lan et, księżyców , p lanetoid i kom et

rozprow adzić rów n o m iern ie po całym obszarze, k tó ry za jm u je u k ła d słoneczny, pow stałby, ja k u trzy m u ją n ie k tó rz y uczeni, gaz 230 000 000 razy rzadszy od pow ietrza. Ile w ażyłby 1 m e tr sześcien­ n y tego gazu, jeżeli gęstość po w ietrza w ynosi 1,2928 g/dcm 3?

10. Z. odległości najlepszego w idzenia (25 cm) m ożna jeszcze rozróżnić dw a p u n k ty , m iędzy nim i n ie je st m niejsza dd p ow inien pow iększać m ikroskop, rozróżnić dwa- p u n k ty , k tó ry ch się 1 m ikronow i?

jeżeli odległość 0,2 m m . Ile razy aby m ożna było odległość rów na

1 0 . O D PO CZN IJM Y

I ZABAWMY SIĘ

K ończym y p ierw szą dziesiątkę rozdziałów naszych z a ­ gadek. P oprzed n ie rozdziały były problem ow e — ten pośw ięcim y rozryw ce m atem atycznej. R ozryw k a nie tylko przynosi odprężenie, ale i — w pew nym sensie — kształci. Z araz się przekonam }'.

1. P roszę się przyjrzeć tym rów nościom : 102 122 132 1122 1132

— = = = =

100 144 169 12 544 12 769

( 0 , 1)2 =

212 312 2112 3112

0,01

= .4 4 1 = 961 = 44 521 = 96 721

a) Ja k ą ciekaw ostkę dostrzegam y w nich? b) Ja k tę ciekaw ostkę w ytłum aczyć? 2. P ień długości 12 m rozpiłow ano na 2 części w ta k i sposób, że jed n a z nich m a 2 razy w ięcej ce n ty ­ m e tró w niż druga decym etrów . Ja k a je st długość każdej części? 3. N a ścianie ty k a zegar. Po jego tarczy p rze su w a ją się w skazów ki. D łuższa w skazów ka m a 1 dcm długości. Jaka. drogę zrobi jej koniec w ciągu ro-ku? 4. O godzinie pierw szej w skazów ka m in u to w a w sk a ­ zu je liczbę X II, a w skazów ka godzinow a I. M ię­ dzy godzinam i p ierw szą a drugą w skazów ka m i­ n u to w a p o k ry je godzinową. K iedy to n astąp i? 5 5. Jeżeli pew ną liczbę podzielim y przez 3 i do ilo­ razu dodam y dzielną i dzielnik, otrzym am y 163. Co to za liczba?

G. Z kw ad rato w eg o to rtu odcięto n a jp ie rw cz w artą część, ja k po­ kazano n a ry su n k u . J a k pozostałą część podzielić na cztery ró w n e części?

--------------

--------------

7. W k red e n sie sto ją 24 jed n ak o w e b u te lk i w i­ na, z k tó ry ch 8 je st pustych, 5 pełnych, 11 — w y­ pełnionych do połow y. N ależy zarów no butelki, ja k i w ino podzielić m iędzy 3 osoby tak, aby k ażd a o trzy m ała po 8 b utelek z jed n ak o w ą łącz­ n ą zaw artością w nich w ina. P rzelew ać w in a z bu­ te lk i do b u te lk i nie wolno. 8. Ile tró jk ą tó w , sześciokątów fo re m ­ n ych i rom bów m oż­ n a zobaczyć n a tym ry su n k u ? 9. Na stacji h y d ro m e te ­

orologicznej sp o strze­ żono, że w czerw cu śred n ia te m p e ra tu ra dobow a w z ra sta co dzień o 0,25°. Ś red n ia te m p e ra ­ tu r a za cały czerw iec (tzn. śred n ia arytm etyczn a z 30 obserw acji) w ynosiła 16,125°. J a k a była śred n ia te m p e ra tu ra dzienna 20 czerw ca? 10 10. N azw isko jednego z angielskich m atem atyk ó w X V II w. m ożna zaszyfrow ać pod postacią rebusu: r J a k brzm i to nazw isko? Co on w ynalazł?

1 I , M AGICZNA SIÓDEMKA

K iedy P itag o ra s opuszczał w yspę Samos, by udać się dla pogłębienia sw ej w iedzy filozoficznej do E giptu. B abilonii i innych k ra jó w M ałej Azji, m iał ju ż 40 lat. P lonem - te j podróży był n iew ątp liw ie jego m istyczny stosunek do liczb. Za pośrednictw em uczniów- P ita ­ gorasa te n m istycyzm liczbow y rozpow szechnił się po całej G recji i w szczątkow ej postaci p rz e trw a ! aż do naszych czasów. S tąd na przy k ład my m am y fe ra ln ą trzy n a stk ę . Je d n a k najw ięk szą moc m agiczną p rzy p i­ syw ano w starożytności liczbie 7. W iele fa k tó w h i­ storycznych i k u ltu ra ln y c h , w iele dzieł r ą k lu d zk ich pow iązano z siódem ką. Oto n ie k tó re z nich-. 1. S ied e m cudów św ia ta starożytnego. cuda? G dzie się znajdow ały?

Co

to

ia

2. S iedm iu m ędrców starożytności. J a k się n azy w ali? 3. S iedem k ry ształo w y ch sfer, Ja k ie to sfery ? 4. Siedem dni w tygodniu. K to je u stanow ił? 5. Siedem tonów gam y. J a k ie są ich »nazw y? J a k pow stały? 8. S iedem k ró w tłu sty ch i siedem chudych. K to o nich opow iedział? 7. Siedem sztuk w yzw olonych: artes liberales. J a k ie sztuki nazyw ano w yzw olonym i? 8. Za siedm iu góram i, za siedm iu lasam i... jest. te n k raj? 9

G dzie

9. S iedem pięknych dziew cząt i siedm iu chłopców ateń sk ich składanych ro k rocznie n a pożarcie M inotaurow i, potw orow i w postaci pól b y k a, pół

człowieka, k tó reg o kró l Minos, jego ojciec, zam ­ k n ął w lab iry n cie na w yspie K recie, żeby nie m ógł w ydostać się stam tąd. K to zw yciężył i zabił M inotaura? 10. W sta re j polszczyźnie siódem ka b yła otoczona nim bem tajem niczości, m iała szczególne znacze­ nie. Św iadczy o tym chociażby K ro n ika polska, litew ska, żm u d zk a i w s zy stk ie j Rusi, w k tó rej je st m iędzy in n y m i zapis: ....W ziął Jagiełło księciu opolskiem u za 7 dni 7 zamków, ale pod zam kiem Bolesław em 7 la t leżeli Polacy, aż im się p o d ­ dał...”. K to był au to rem tej K roniki?

1 2 . ZADANIA H ISTO RY CZN E I LEGENDARNE D la niejednego ucznia zadania m atem atyczne, zw ła­ szcza te na klasów kach — to zm ora. A le są um ysły subtelne, k tó re zn a jd u ją w rozw iązyw aniu zad ań za­ dow olenie estetyczne, a w pokonyw aniu zdaw ałoby się niepokonanych trudności, ja k ie n apotyka się p rzy tym — triu m f zwycięzcy. Są zadania, k tó re zw róciły n a siebie uw agę nie ty lk o poszczególnych 'filozofów czy uczonych, ale całych pokoleń m atem aty k ó w . N a­ leżą do nich np. zadania w y su n ięte przez g reck ich sofistów : o k w a d ra tu rz e koła, podw ojeniu sześcianu i try se k c ji kąta. I chociaż m im o p o nad 1500-letnich usiłow ań zadania te n ie zostały rozw iązane (lub w y ­ kazano, że są nierozw iązalne), pożytek z ich sfo rm u ­ łow ania b y ł dla m a tem aty k i ogrom ny. Są in n e zad a­ nia, k tó re — chociaż zostały rozw iązane -— n ie u le­ gły zapom nieniu, a to ze w zględu na in te re su ją c y problem lu b piękno czy prostotę rozw iązania. Z ad ań tak ich je st dużo. P rzypom nim y tylko te, k tó re są n ajb ard zie j p o p u la rn e oraz k tó ry ch au to ra m i b y li znakom ici m atem atycy.

1. Dlaczego zadanie o k w a d ra tu rz e koła je st n ie ­ rozw iązalne przy pom ocy k o n stru k cji p la to ń sk ie j (cy rk la i linijki)? ?. K to z polskich m atem aty k ó w dokonał p rzy b liżo ­ nej k w a d ra tu ry koła przy pomocy jednej ty lk o ro zw arto ści cyrkla? 3. K to dokonał dokładnej „m echanicznej” k w a d ra ­ tu r y koła? Ja k to zrobił? 4. Istn ie je k ilk a staro ży tn y ch legend o p od w o jen iu sześcianu. Z jakim i nazw iskam i są zw iązane? 5 5. D laczego nie m ożna zbudow ać przy pom ocy sa ­ m ego cy rk la i lin ijk i sześcianu o objętości 2 raz y w iększej od danego?

6. Podział dow olnego k ą ta na 3 rów ne części jest; ró w nież n ie w y k o n aln y cyrklem 5 lin ijk ą. Dlaczego? 7. Z n an a je st le g en d a o w ynalezieniu g ry w szachy. Z jak im problem em m atem atycznym łączy się? 8. W ielki m a te m a ty k L eonhard E u le r (1707—1733) p rzy tacza w sw oim W stępie do algebry n a s tę p u ją ­ ce zadanie: „D w ie gospodynie przyniosły n a sprzedaż razem 100 ja j; je d n a przyniosła w ięcej od drugiej, ale k ażda z nich za sprzedane ja ja otrzym ała ta k ą sam ą k w otę pieniężną. P ierw sza gospodyni po­ w iedziała do dru g iej: «Gdybym ja m iała tw o je ja ja , n ta rg o w a łab y m 15 grejcarów ». D ruga odpo­ w iedziała jej na to: «A gdybym ja m iała tw o je ja ja ,to b y m u ta rg o w a ła 6% grejcara» . Ile ja j m ia ­ ła k aż d a z gospodyń?” J a k rozw iązać to zadanie za pom ocą ró w n a n ia i bez pom ocy ró w n an ia? S. Ja k ie je st brzm ien ie tzw. „w ielkiego tw ierdzen ia F e rm a ta ” ? Czy zostało ono udow odnione? IB. Z adanie, k tó re N apoleon przedłożył fra n cu sk im m a tem aty k o m , brzm i: „D any o k rą g należy podzie­ lić n a cztery ró w n e części. P ołożenie środka o k rę­ gu je st podane. P rz y rozw iązyw aniu zadania nie w olno posługiw ać się lin ijk ą ”. J a k je rozw iązać?

1 3 . KTO

TO BYŁ?

W arto o nich wiedzieć. P racow ali dla nau k i, a n ie ­ którzy z n ich złożyli na jej ołtarzu sw oje życie, lub n aw et ponieśli śm ierć m ęczeńską. L ista ich je st d łu ­ ga. O graniczeni rozm iaram i książki, w y b raliśm y ty lk o niew ielu. K to oni?

1.

W ielki geom etra alek sa n d ry jsk i pochodzący Z m iasta P erg e (w M. Azji). B adał p rze k ro je stożka.

2. W ielki rac h m istrz z Gerazy*. Jeżeli o kim ś ch c ia­ no pow iedzieć,' że szybko i dobrze liczy, m ów iono — liczy jak... z G erazy. 3. H ypatia, córka aleksandryjskiego m a tem aty k a i astro n o m a Teona. Dlaczego p rzeszła do h isto rii m atem aty k i? 4. Filozof i m atem atyk. P oseł cesarza rzym skiego T eodoryka W ielkiego do B izancjum . N iesłusznie posądzony o zdradę, był skazany n a śm ierć. W w ięzieniu nap isał ro zp raw ę Consolatio philosophicie (O pocieszeniu, ja k ie daje filozofia). 5. W ielka tró jk a m atem aty k ó w greckich. 6. R egiom ontanus. J a k brzm i jego p raw d ziw e n a ­ zw isko? Z jakiego m ia sta pochodził? W ja k ie j dziedzinie m a tem aty k i zasłynął? 7. Z nakom ity m atem aty k , astro n o m i pedagog, n a u ­ czyciel K opernika. 8 . Ż ył. w X III w ieku. 12 la t przesiedział w k la sz to r­ * G erasa — m iasto w M ałej Azji.

nym w ięzieniu. N adano m u przydom ek doctor m irubilis — „doktor (uczony) godny podziw u”.

9. Kogo nazw ano K opernikiem geom etrii?

ID. U rodził się w K rakow ie, w ychow ała go domowa praczka, bow iem rodzice nie in te reso w ali się nim . S tudiow ał na U niw ersytecie Jagiellońskim i n a P o litech n ice L w ow skiej, ale nie ukończył ani u n i­ w ersy te tu , an i politechniki. D la m a te m a ty k i został o d k ry ty przypadkow o przez znanego m atem aty k a, do dziś jeszcze żyjącego w e W rocław iu. M im o że n ie m iał dyplom u żadnej w yższej uczelni, został asy sten tem n a Politechnice L w ow skiej i w dwa la ta później profesorem nadzw yczajnym , a po dalszych pięciu la tac h profesorem zw yczajnym . W ro k u w ybuchu dru g iej w ojny św iatow ej o trzym ał w ielką nag ro d ę P o lskiej A kadem ii U m iejętności. W szedł do h isto rii m a tem aty k i jako głów ny w sp ó ł­ tw órca p ew n ej dyscypliny m atem atycznej, k tó rej p odstaw ow e pojęcie nazw ano „p rz estrze n ią”... (czy­ ją?), Był au to re m doskonałych podręczników n ie ty lk o dla szkół w yższych, ale ta k że i szkolnictw a średniego. Po w kroczeniu hitlero w có w do Lw ow a został aresztow any, siedział w w ięzieniu; ab y nie um rzeć z głodu, m usiał stać się karm icielem w szy w In sty tu c ie B akteriologicznym niem ieckiego p ro ­ fesora. Z m arł w 1945 roku.

1 4 . NIEM ATEM ATYCY W MATEMATYCE

M atem atyka zaw dzięcza im bardzo dużo, często epo­ kow e odkrycia. Służyli jej bezinteresow nie, oczaro­ w ani jej pięknem . W arci są w spom nienia. K to to taki?

1. A gent handlow y rep u b lik i Pizy; k iero w n ik fa k to ­ r ii w A lgierze; w sp raw ach handlow ych dużo podróżow ał po B liskim W schodzie; a u to r działa, k tó re stało się p u n k te m zw rotnym w m atem aty ce średniow iecza. 2. F rancuz z pochodzenia (z A urillac); był papieżem , m im o to posądzano go o konszachty' z diabłem ; jed en z n ajb ard zie j św iatłych ludzi sw ojej epoki. N apisał L ibellus de N um ero ru m D ivisione (K siąż­ ka o dzieleniu liczb) i L ibellus geom etriae (K siąż­ k a geom etrii). 3. L ekarz, m atem atyk, filozof, astrolog' epoki O d ro ­ dzenia, znany z burzliw ego, aw anturniczeg o życia. W spółodkryw ca w zoru na p ie rw ia stk i ró w n an ia trzeciego stopnia. L egenda mówi, że sam przepo­ w iedział datę sw ojej śm ierci, a gdy śm ierć w oznaczonym dniu nie przyszła, odebrał sobie ży ­ cie. 4. P raw n ik , ekonom ista, pom agał H enryko w i IV w uporządkow aniu finansów państw a. O dszyfrow ał ta jn e pism o w ielkorządcy N iderlandów do k ró la hiszpańskiego w czasie w ojny fra n cu sk o -h isz p ań ­ skiej. U m arł w P ary żu jako rad ca prawmy p a rla ­ m entu. 5 5. W ielki a rty sta , m alarz i budow niczy w łoski epoki

O drodżenia. D okonał w ielu w ybitnych w yn alaz­ ków w dziedzinie inżynierii, hy d ro tech n ik i i me^ chaniki. 6. Z nakom ity niem iecki rysow nik i drzew o ry tn ik epoki O drodzenia. Z am iłow any m a tem aty k , in te re ­ sow ał się zagadnieniam i p ersp ek ty w y geom etrycz­ nej. 7. D yplom ata, teolog, historyk, p raw n ik i języko­ znaw ca. P ró b o w ał ułożyć język m iędzynarodow y, udoskonalił paskalow ską m aszynę rachunk o w ą; w m atem atyce b y ł w spółtw órcą ra c h u n k u m a ją ­ cego w ielkie zastosow anie w technice i stano­ w iącego podstaw ę now oczesnej an alizy m a tem a­ tycznej. 8. D uńczyk urodzony w Norw egii, zaw odow y m ie rn i­ czy; p ra c a jego uszła uw adze uczonych, poniew aż była n a p isan a po duńsku; przyczynił się do u zn a­ nia liczb zespolonych, był p re k u rso re m idei o kw aternionach*, w ynalezionych później przez ir ­ landzkiego m a tem aty k a H am iltona. 9. Bogaty szkocki baron, w ykształcony w teologii i astrologii, w ynalazł niezw ykle uproszczony spo­ sób rachunkow y, o k tó ry m L ap laee pow iedział, że przynosząc ulgę w obliczeniach — d w uk ro tn ie w ydłużył życie astronom om . 10. U rodził się w w ęgierskim m ieście K olozsvar. Jego ojciec był profesorem m a tem aty k i. Od dw udzie­ stego roku życia był inżynierem i oficerem arm ii au striack iej. P ro w ad ził żyw ot zw ykłego oficera, ale jednocześnie z zam iłow aniem zajm ow ał się m atem aty k ą. Szczególnie interesow ało go zag ad ­ nienie, czy pew n ik E uklidesa o prostych rów no­ ległych je st zależny czy nie od pozostałych p ew n i* Por. rozdział 6, zagadka 10.

k ó w g eom etrii, i stra w ił n ad nim dużo lat. W yniki sw oich dociekań zam ieścił w form ie dodatku do książki swego ojca, w yd an ej w 1832. M imo ogrom ­ nej w agi odkrycia dokonanego przez genialnego W ęgra, nie zw róciło ono niczyjej uw agi. Z łam any niepow odzeniem , porzuca m atem aty k ę i u m iera rozczarow any i zgorzkniały.

1 5 . KTO T© P©W IEDZIA Ł?

W ypowiedzi te niezaw odnie obiły się o W asze uszy. Są dobitne ja k w zory m atem atyczne. W form ie e sen cjonalnej za w ierają praw'dy, któ re m ożna by rozw i­ nąć w całe re fe ra ty . K to je st ich auto rem ?

1. W m atem atyce nie m a drogi sp e cjaln ej dla k ró ­ lów. 2. Daj mi p u n k t oparcia, a poruszę Ziem ię. (Da m ik i ubi consistam et terram loco dim ovebo.) 1. Nie dotykaj meos.)

moich

kół.

(Noli

tu rb a re

circulos-

4. Daj mu trz y •bole, on chce, by n au k a daw ała m it dochody. 5*7910 5. T yle jest w każdym poznaniu nauki, ile jest w nim m atem atyki. G. Myślę, w ięc jestem . (Cogito, ergo sum .) 7. Jeśli m a tem aty k a je st królow ą nauk, to królową, m atem aty k i jest te o ria liczb. I. P rzede w szystkim m iara. 9. M atem atyka je st drzw iam i i kluczem

do n auki-

10. Liczby całkow ite stw orzył dobry Bóg, resztę w y ­ m yślili ludzie.

POLONICA

L os um iejscow ił nas w sam ym niem al śro d k u E uropy. O d 1001) la l istn ieje nasza państw ow ość. B yliśm y i je s­ te śm y nie tylko k onsum entam i obcego dorobku cy­ w ilizacyjnego. W nieśliśm y do niego niem ały w łasn y w kład. Z łe je st być zarozum iałym , ale n ie wolno ulegać kom pleksow i niższości, który u nas pod w p ły ­ w e m niepow odzeń politycznych je st dość rozpow sze­ chniony. P o eta W incenty Pol (1807—1872) w p o em a­ cie „P ieśń o ziem i n asze j” pow iedział: „C udze chw a­ licie, swego nie znacie, sam i nie w iecie, co p osiada­ c ie ”. W arto w ięc pam iętać i o w łasnych osiągnię­ ciach.

I .K to to był Tom asz Kłos? .2. K to nap isał pierw szy oryginalny podręczn ik geo­

m e trii w języku polskim ? 3. K to b y ł rek to rem A kadem ii K rakow skiej., znak o ­

m ity m m atem aty k iem , m edykiem , astronom em , au to rem dzieła A rith m etica In tegrorum (A rytm e­ ty k a liczb całkow itych), w ydanego w K rak o w ie w 1620? ■4wK tó ry

polski uczony, m a tem aty k i astronom , pierw szy w ykładał w języku polskim w A kadem ii K rakow skiej?

5. J a k i

głośny polski m atem aty k był jednocześnie sław nym zeg arm istrzem -am atorem ?

§. K to zbudow ał pierw sze naukow e o b se rw ato riu m astronom iczne w Polsce? 7 7. K to n ap isał po polsku pierw szy podręcznik geo­

m e trii analitycznej?

8. Co to jest polska (w arszaw ska) szkoła m a tem a­ tyczna? 9. N azw iska k tó ry ch Polaków logii m atem atycznej?

w eszły do te rm in o ­

10. Był Ślązakiem , urodził się pod W rocław iem . Ż y ł i tw orzył w X III—X IV w. M atem atyczne dzieła jego zaginęły, ale przechow ało się jego dzieło o optyce, za ty tu ło w a n e O optyce... ksiąg dziesię­ cioro. P rzez k ilk a stuleci cieszyło się ono dużym a u to ry te te m w śró d uczonych. W ielki astro n o m niem iecki Jo h a n n K epler (1571—1630) je d n ą ze sw oich p rac naukow ych n azw ał n aw e t Ad... p a ra lipom ena, tzn. U zupełnienia do... (do jakiego uczo­ nego?).

BI

K siążki, ja k ludzie, m a ją sw ój los. Je d n e giną z cza­ sem w niepam ięci, inne żyją tysiąclecia, przynosząc n ieśm iertelność swoim tw órcom . Są tak że k siążk i b a rd z o sław ne, lecz niew iadom ego albo zbiorow ego pochodzenia, ja k n a przy k ład w ielkie eposy n ie k tó ­ rych naro d ó w (np. Pieśń o Rolandzie, Kalewala...). (Niżej podane ty tu ły książek należą do znanych a u to ­ rów . N iektóre z tych książek m iały epokow e zn a­ czenie w dziejach naszej cyw ilizacji, inne są b ard ziej sp e c ja ln e i dlatego m niej znane szerokiem u ogółowi. S p ró b u jm y odpow iedzieć n a p y tanie: kto nap isał tę .książkę?

1 . Stoicheia (po łacinie: E lem enta). Całe dzieło sk ła­ da się z 15 ksiąg, przy czym autentyczność k siąg X IV i XV je st kw estionow ana. P rzetłum aczone n a w iększość języków św iata były chyba jed n ą z najczęściej drukow anych i czytanych książek n a p rze strzen i w ieków . 'l.M e g a le S y n ta x is (po polsku: W ielka w ykład n ia;, b ard z iej zn an a pod ara b sk im ty tu łem A lm agest. B yła podstaw ą poglądu n a budow ę w szechśw iata do X V I w. 3. K ita b al-dżebr w ’al piukabała (po polsku: K sięga o przeciw staw ien iu i odbudow ie). T reść dzieła n a ­ w iąz u je do A r y tm e ty k i D iofantosa, zapoczątkow a­ ła w E uropie now y dział m atem atyki. A. De revolu tio n ib u s orbium coelestium (po p o lsk u : O ob ro tach sfer niebieskich). D odatkow ych w y ­ ja śn ie ń n ie potrzeba. 5 5. Dialogo ''śopra i due m a s s im i, sistem i del m ondo

(po polsku: Dialog o dw u n ajw ażniejszych u k ła­ dach św iata), w yd an a w 1632 w języku włoskim . K siążka ta sta ła się pow odem do pociągnięcia jej au to ra przed sąd inkw izycji. 6. D iscours de la m eth o d e pour hien conduire sa raison... (po polsku: R ozpraw a o metodzie...). 16-stronicow y dodatek do tego dzięki pt. La geo m etrii (G eom etria), k tó ry ukazał się łącznie z Rozpraw ą w 1637, otw orzył now ą epokę w dziejach m a te ­ m atyki. l.P h ilo so p h ia c naturalis principia m ath em a tica (po polsku: M atem atyczne zasady filozofii przyrody), dzieło, k tó re stało się podstaw ą "klasycznej m echa­ niki i jednocześnie zaw ierało w ykład now ej m e ­ tody m atem atycznej, nazw anej przez au to ra m e ­ todą flu k sji (1687). 8. Nova m eth o d u s pro m a xim is ct m in im is, item ą u e tangentibus... (ipo polsku: 17owa m etoda m ak si­ mów i m inim ów , a także stycznych...). R ozpraw ę tę, w y d ru k o w an ą w 1684 w „A cta e ru d ito ru m ” (Rozpraw y uczonych), uw aża się za epokow ą, za pierw sze opracow anie zasad ra c h u n k u różniczko­ w ego i całkow ego. 8. 0 podstaw ach geom etrii i G eom etria w yob ra źn i — dwie bliźniacze rozpraw y tego sam ego au to ra, k tó re rozstrzygnęły problem V p o stu latu E u k li­ desa (o p ro stej rów noległej do danej prostej). W ydrukow anie w 1830 tych ro zp raw nie zw róciło niczyjej uw agi, doniosłości idei tam zaw artych n ik t w ów czas nie zrozum iał i nie ocenił. A utor rozpraw zm arł nie zyskaw szy u znania naw et u sw ych rodaków . 10 10. A p p en d ix scientiam spatii absolute vera m e x h ibens (po polsku: D odatek, w k tó ry m przedstaw io -

n a jest absolutnie p raw dziw a nau k a o przestrzen i). A u to r D odatku (ogłoszonego w 1832) p isał doswego ojca, profesora m atem aty k i: „S tw orzyłem now y św iat z niczego”. N iestety, idee, k tó re roz­ w in ął autor, nie zostały zrozum iane. W ob aw ie przed „krzykiem B eotów ” odsunął się od nich. n a w e t sam w ielki G auss.

W Ł

D roga życiow a m atem atyków , n aw et sław nych, nie zaw sze b y ła u słan a kw iatam i. B ył czas, kiedy sam a n azw a „ m a te m a ty k ” była synonim em złoczyńcy. Ce­ sa rz rzym ski Ju sty n ia n w ydał n aw e t w 529 sp ecjaln y edykt przeciw ko m atem atykom . Nosił on ty tu ł: De m athem a ticis, m aleficiis et ceteris sim ilibus. . (O m atem aty k ach , złoczyńcach i tem u podobnych typach), a było w nim w y ra źn ie n apisane: A rs autem m a th em a tica interdicta est om nino — S ztuka m a te ­ m a ty c z n a je st zakazana przede w szystkim . Dziś m a te ­ m atyków nie tr a k tu je się jak złoczyńców, ale uw aża się ich albo za ludzi niezw ykłych, albo za dziwaków . Ż ycie n iek tó ry ch sław nych i podziw ianych m a tem a­ ty k ó w je st otoczone legendam i. Istn ie ją je d n ak zapi­ sa n e przez h isto rię fak ty z ich życia, k tó re też z a k ra ­ w a ją na legendy. P o starajm y się odgadnąć, o kim mowa. 1. Z adziw ił k ap łan ó w egipskich tym , że zm ierzył w ysokość p iram id y i obliczył odległość od brzegu płynących po m orzu statków , posługując się ty lk o la sk ą, oraz przepow iedział zaćm ienie słońca w 585 p.n.e. 2. Biegł przez m iasto nago, krzycząc: „IIeureka, h e n ręka!” („Z nalazłem ! Z nalazłem !”). 3. U rodził się na w yspie Sam os, nauczał w tzw. „W ielkiej G re cji”, w m ieście K rotonie w Italii i zginął w edług jednej legendy w nocnej w alce z pow stańcam i, a w edług in n ej zam orzył się gło­ dem w św iąty n i Zeusa w M etapontion. A. Był k ierow nikiem B iblioteki A leksandry jsk iej, e ru d y tą — encyklopedystą; pierw szy zm ierzył długość łu k u południka Ziem i, a gdy strac ił w zrok i nie m ógł dalej pracow ać, zam orzył się głodem.

5. B ył półsierotą, sam oukiem , bow iem m a tk a n ie m iała środków , aby posyłać go do szkoły. Od 23 ro k u życia był profesorem m a tem aty k i w W eronie i w W enecji. Zgodnie ze zw yczajam i sw ojej epoki b ra ł udział w tu rn ie ja c h m atem atycznych w W e­ ro n ie (1535) i w M ediolanie (1548), m ając za p rz e ­ ciw nika nie przebierającego w środkach w alk i sław nego m atem aty k a, astrologa, filozofa i le k a ­ rza C ardana. W m atem atyce je st znany pod sw oim przezw iskiem , któ re po polsku znaczy „ J ą k a ła ”. 8. B ył N orw egiem , au to rem epokow ych p rac m a te ­ m atycznych, ale przez w spółczesnych m u uczo­ nych nie był uznany; u m a rł w nędzy, m ając 27 la t. 7. B ył genialnym m atem atykiem , F rancuzem ; zginął

w po jed y n k u m ając 21 lat. Pow ieść o jego życiu pt. W yb ra ń cy bogów n ap isał w yb itn y polski fizyk Leop«ld Infeld. 8. M ając 16 la t napisał ro zp raw ę o p rze k ro ja ch stóżka, w ynalazł m aszynę do obliczania sum , o d k ry ł p raw o rozchodzenia się ciśnienia w cieczy, b ył w sp ó łtw ó rcą podstaw te o rii praw dopod o b ień ­ stw a, jego im ieniem nazw ano „ tró jk ą t a ry tm e ­ tyczn y ”. 9. Jak o uczeń szkoły podstaw ow ej rozw iązał w ciągu

m in u ty zadanie: „Znaleźć sum ę liczb -od jednego do s tu ”, n a którego rozw iązanie nauczyciel w y ­ znaczył 10 m inut. 10 10. U rodził się i k ształcił w S zw ajcarii, gdy m iał 24

la ta , był już ad iu n k tem m a tem aty k i w A kad em ii P e te rsb u rsk ie j, dziesięć razy o trzym ał nagro d y od A kadem ii P ary sk iej, przez 25 lat był profesorem A kadem ii B erlińskiej, potem w rócił do P e te rs ­ burga, ale w krótce ociem niał, niem niej je d n ak przez 17 jeszcze la t pracow ał tw órczo i naukow o.

N ow e idee, choćby n ajb ard zie j płodne, nie zaw sze b y ły przy jm o w an e od razu. D otyczy to także now ych id e i w m atem atyce. M ożna zaryzykow ać tw ierdzenie, że m atem aty cy są szczególnie ko n serw aty w n i. Tem u k onserw atyzm ow i pośw ięcono niniejsze p y tan ia.

1 . Co w pojęciu sta ro ży tn y ch było liczbą?

2. P ierw szy in tru z — liczba n iew y m iern a. K to ją odkrył? 3. D rugi in tru z — liczba ujem na. K to ją o d krył?

4. K to pierw szy p o trak to w a ł ją w E u rop ie rzeczow o? 5. K to podał p ra w id ła działań n a liczbach u jem n y ch ? 6. K iedy zostały przez m a tem aty k ó w uznane? 7. Co to je st je d n o stk a urojona, k to ją w prow adził?

8. Ja k ą liczbę nazw ano „liczbą zespoloną” ? K iedy została o d k ry ta? K iedy uznana? 9. K iedy po jaw iły się znaki + , —, X, -, :, > i —-? iO. Kto w prow adził do m a tem aty k i znak co?

W tym rozdziale nie będzie żadnych problem ów . Z a­ gadka, szarada, pro sty rac h u n ek , n ie tru d n e p rz e ­ k ształcenie geom etryczne i jeszcze coś w tym ro d za­ ju — oto, co zaw ierają nasze n astęp u jące p y ta n ia:

1. S zarada: pierw sze — p odstaw a logarytm ów , d ru ­ gie — stosunek długości okręgu do średnicy, trz e ­ cie — je d n o stk a m asy. Całe słowo — rodzaj u tw o ­ ru literackiego. 2. K ry p to g ram nasz składa się z dwóch kw adratów ?

N

O W kw ad racie ABCD zaszyfrow ano sześć w yrazó w Z naczenia ich są następ u jące: 1) W ybitny polski m atem aty k i pisarz, był re k to ­ rem A kadem ii K rakow skiej, zm arł w połowieX V II w. 2) P rz ek ró j stożka prostego, k tó ry nie je st kołem,, choć może być bardzo do niego podobny. 3) S ław ny m atem atyk, au to r pierw szego sy stem a­ tycznego kursu geom etrii, pracow ał i nauczał, w IV w. p.n.e. w A leksandrii.

4) D ziesiąta część procentu. 5) Je d n a z liczb pierw szego dziesiątka. 6) Sym bol m atem atyczny używ any ju ż- w szkole podstaw ow ej. W kw ad racie M NOP zaszyfrow any je st tym i sa­ m ym i znakam i aforyzm dotyczący m atem aty k i, w ypow iedziany przez R ogera B acona (1214—1292), franciszk an in a, uczonego i filozofa angielskiego. J a k brzm i?

3. Co to je st p en tag ram ? 4 . Jakiego słow a b ra k w zdaniu: „O dległość od p u n k ­ tu A do p u n k tu B ró w n a się odległości od p u n k ­ tu B do p u n k tu A ’”! -5. N a ja k ą n ajm n ie jszą liczbę części należy roz­ ciąć fig u rę p o d aną na ry su n k u , aby otrzym ać z nich k w a d ra t?

'3. Podczas szlifow ania diam ent w ażący 4 k a ra ty roz­ łu p a ł się na dw ie części: o w adze 1 k a ra ta i 3 k a ­ ratów . Ile w ynosi stra ta na w artości diam entu, jeżeli w artość diam entu je st w p ro st p ro p o rcjo ­ n a ln a do k w a d ra tu jego m asy (ciężaru)? K iedy s tra ta je st najw iększa? 7

7 . D ługość jed n ej zapałki w ynosi około 5 cm. Ile z a ­ p a łe k trzeba na k ilom etr?

8. B ary łk ę w ina o pojem ności 120 litró w m am y po­ dzielić na 4 rów ne części, rozlew ając je do 15 n a ­ czyń o różnych pojem nościach, od 1 do 15 litrów . P ierw sza część pow inna m ieścić się w 3 naezyniach, dalsze w 4 naczyniach. J a k to zrobić? . 9. P ew n a czterocyfrow a liczba jest podzielna przez 3 i 5. D w ie pierw sze jej cyfry tw orzą liczbę 4 razy m n iejszą od liczby utw orzonej przez dw ie d rugie cyfry. Co to za liczba? 10 10. Istn ie je ta k a staro d aw n a gadka: N a ja rm a rk pod K rak ó w szła niew iast grom adka. N iew iast było siedem , an i jednej w ięcej. K ażda z niew iast niosła siedem koszów w ręce. N ie p u ste były ow ych n ie w iast kosze: W każdym było po siedem kokoszek — P od każdą kokoszką siedem jaj leżało, A pod każdym ja jk ie m siedem piórek białych. Ile razem było, pow iedzcie mi, proszę, N iew iast, piór i ja jek , koszy i kokoszek?

Czasem dziw nie to się nazyw a, czasem o ty m sły ­ szałeś, ale nie w iesz dokładnie, o co chodzi, czasem przypom inasz sobie coś niecoś, a czasem może n ig d y nie obiło Ci się o uszy... Z astanów m y się, co mogą. oznaczać podane w yrazy.

1. R abdologia? 2. Złoty podział odcinka? 3. R eductio ad absurdum ? 4. K rzyżak P lato n a? 5. T ró jk ą t P ascala?

8 . K om b in ato ry k a? 7. B rachistochrona? 8 . T ra k try sa ? 9. P seudosfera? ID. L em niskata?

Dużo zapom nianych szpargałów m ożna znaleźć w g łę­ bokich szufladach starego profesora m atem aty k i. Są ich ta m całe złoża. Z aglądnijm y do tych szuflad i po­ sz p erajm y w sta ry c h papierzyskach. Może znajdzierąy coś ciekaw ego? Oto pierw sza szuflada. Na niej pożółk­ ły nap is: ..G eom etria”. W yciągam y na chybił tra fił 10 k a rte k z ry su n k am i i pytan iam i: 1. R ysunek je st ilu ­ stra c ją tw ie rd z e­ n ia . P itagorasa. J a k należy rozciąć n a 4 części k w a ­ d ra t B, aby tym i częściam i i .kw a­ d rate m C m ożna było pokryć pole k w a d ra tu A t 2. J a k rozciąć k w a­ d ra t na 8 tró jk ą ­ tów o strokątnych? 3. R ysunek obok p rzedstaw ia dzban. K o n tu r jego składa się z łuków okręgu o tym sam ym prom ieniu. Jajc ro z­ ciąć tę figurę, żeby z o trzy ­ m anych części m ożna było ułożyć dw a rów ne k w a ­ d ra ty ? 4 4. Ja k rozciąć figurę z p y ta ­ nia 3, aby z otrzym anych części ułożyć jeden k w a ­ d rat?

5. T rzy w sie: A , B i C leżą nie na jed n ej lin ii p ro ­ stej. P rzez A poprow adzono szosę ta k , że n a jk ró t­ sze odległości w si B i C od szosy są rów ne. Ja k poprow adzono szosę? 6. Na ry su n k u m am y połączone ze sobą odcinkam i p ro ste j 8 krążków . J a k w pisać w każdy z k rążków jed n ą z liczb: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, aby żad­ na p ara liczb n a s tę ­ pujących, po sobie w kolejności n a tu ra ln e j nie sta ła w k rąż k ach złączonych ze sobą odcinkiem p ro stej? 7. Ja k ą n ajw ięk szą liczbę tró jk ą tó w m ać z 10 lin ii prostych?

m ożna o trzy ­

8. Szkoła p osiada ćw iczebny globus (kulę) z m asy papierow ej. N a tym globusie uczniow ie w ylepili z p lastelin y m apę Polski. G iew ont (1900 m) m a na te j m apie 3 m m w ysokości. Czy je st u trz y ­ m ana skala, jeżeli średnica globusu w ynosi 1 m ? 9 9. Linie jednobicżne (unikursalne) są to linie,- k tó re m ożna w ykreślić nie o d ry ­ w ając ołów ka od p a ­ pieru i nie p ro w a ­ dząc drugi raz linii już naryso w an ej. Na ry su n k u m am y k w a ­ d ra t z p rze k ątn y m i AD i BC. .Czy fig u ra ta je st lin ią u n ik u rsalną?

10. J a k ą w spólną nazw ą m ożna objąć w szy stk ie po­ dane na ry su n k u b ry ły ?

Jeżeli na w szystkie 10 p y ta ń odpow iesz w ciągu 30 m in u t — tw o ja spraw ność rach u n k o w a je st bardzo dob ra; jeżeli w ciągu 30 m in u t odpow iesz na 8 p y tań — spraw ność tw o ja je st dobra; jeżeli ty lk o n a 6 — do­ stateczna. Jeżeli zdobędziesz się tyiko na 4 odpow ie­ dzi... Jeżeli na w szy stk ie p y ta n ia odpow iesz, nie robiąc żadnych obliczeń n a piśm ie — tw o ja spraw n o ść r a ­ chunkow a je st su p er bardzo dobra.

1 . N a jednej szalce w agi położono tabliczk ę czeko2

lady, na dru g iej — tak iej sam ej tabliczki i 12 akg. 5 N astąpiła rów now aga. Ile w aży tabliczka czeko­ lady? 2. Chłopiec m a dw a razy w ięcej b raci niż sióstr, a jego sio stra pięć razy w ięcej b raci niż sióstr. Ile synów i ile córek m a ją ich rodzice? 3. Co je st w iększe:

r—

5 ,—

j 2czy y 4 ?

4. 2 jabłka, 2 g ruszki i 2 3 jabłka, 2 g ruszki i 2 2 jabłka, 2 gru szk i i 3 Ile kosztuje 1 jabłko, oddzielnie?

pom arańcze pom arańcze pom arańcze 1 gruszka i

kosztu ją 20 zł, k o sztu ją 22 zł, kosztu ją 25 zł. 1 pom arańcza

5. T rzy zespoły o rk iestro w e sta n ęły do konkursu. W e w szystkich trzech zespołach razem je st 36 m uzyków , p rzy czym w drugim zespole je st o 4 więcej, a w trzecim o 4 m niej niż w pierw szym zespole. Ilu m uzyków je st w każdym zespole? 6 6. M amy 6 m onet i w agę szalkow ą, ale bez odw aż­ ników . J a k a je st najm niejsza liczba w ażeń, jak ie

trz e b a w ykonać n a tej w adze, aby w y k ry ć f a ł­ szyw ą m onetę, k tó ra je st m iędzy tym i 6 m o n e­ ta m i, i dow iedzieć się, czy je st ona lżejsza, czy cięższa od praw dziw ej? 7. Ja k ic h

liczb m ożna ułożyć w ięcej — trzy c y fro ­ w ych czy czterocyfrow ych — z czterech cy fr: i, 2, 3, 4? (W każdej liczbie każda cy fra może w y ­ stępow ać tylko raz.)

8. L iczba 321,5j je st n a p isa n a w układzie p ią tk o ­ w ym , liczba 111111,2) — w układzie d w ó jk o -w ym . K tóra z nich je st w iększa? 9. R zęsa p o k ry w a pow ierzchnię całego staw u w cią­

gu 30 dni. W ciągu ilu dni rzęsa p o k ry je połow ę pow ierzchni staw u, jeżeli w ciągu każdego dnia rzęsa podw aja p o k ry w a n ą przez siebie p o w ierzch ­ nię? 10 10. J a k a

najm n iejsza liczba dw ucyfrow a podzielona przez 3 daje resz tę 2, a podzielona przez 4 •— resz tę 3?

G eom etria an a lity cz n a to gałąź w iedzy m atem aty cz­ n ej, k tó rą m ożna uw ażać za w nuczkę ary tm ety k i, zrodzoną z m ałżeń stw a geom etrii z algebrą. Je j podstaw ow a idea, ja k w szystkie w ielkie idee, je st bardzo p ro sta: 1) położenie p u n k tu — czy to n a płaszczyźnie, czy w przestrzen i — m ożna w yznaczyć z pomocą liczb (jednej, dw u lu b trzech), tzw. „w spółrzędnych”, a te w spółrzędne, k tó re na ogół są w ielkościam i zm iennym i, m ożna — 2) pow iązać ze sobą w zorem albo rów naniem . E uklides operow ał cyrklem i lin ijk ą, geom etria an a lity cz n a op eru je ró w n aniam i. G eom etria anality czn a w brew sw ojej niecodziennej nazw ie nie je st w cale tru d n a . Je ste ś­ my przekonani, że na w iele niżej zam ieszczonych p y tań , k tó re m a ją zw iązek z geom etrią analityczną, C zytelnik odpow ie bez tru d u . 1. M atem atycy n azy w a­ ją stożkiem ob ro to ­ wymi fig u rę ta k ą jak na ry su n k u , złożoną z dw u części i n ie ­ ograniczoną. Jak ie figury otrzym am y p rzecinając ta k i sto ­ żek rozm aicie n ach y ­ lonym i do jego osi płaszczyznam i’ 2. W szystkie p u n k ty okręgu są jednakow o oddalone od środka. Czy w łaściw ość tę m a któ ry ś z innych przekrojów stożka? 3 3. Na jak iej k rzy w ej leżą p unkty, k tó ry ch w spół­ rzęd n e sp e łn iają ró w n an ie a:2 + y- = r 2?

4. O grodnik

w ykreśla eliptyczny klom b (elipsą) w ten sposób, że w b ija dw a paliki i n ap in a na nieb sznur (dłuższy od ich odległości), u n astęp ­ nie w etk n ięty m w szn u r kołkiem kreśli elipsę. Z jak iej w łaściw ości pu n k tó w elipsy ko­ rz y sta przy tej k onstrukcji?

5. P u n k ty p arab o li są jednakow o odległe od jej o gniska F i kierow nicy K iff2 (iprcfetej prostopadłej do jej osi OF). Ja k m ożna zbudow ać p arab o lę w oparciu o tę w łaściw ość?

K, y

8. P o lin ii prostej toczy się bez poślizgu koło. J a k ą krzy w ą w y k reśla dow olny p u n k t obw odu toczą­ cego się koła? 7 7. M ucha posuw a się je d n o sta jn ie po płycie g ra ­ m ofonow ej w zdłuż jej prom ienia od śro d k a ku p ery ferii. Po jakiej lin ii porusza się ta m ucha, gdy p ły ta je st puszczona w ruch?

8. Na dw óch sk a listy c h w ysepkach F, i Fj na peł­ nym m orzu św iecą dw ie la ta rn ie m orskie. O kręt w ojenny o trzy m ał polecenie płynąć w ten spo­ sób, aby jego odległość od la ta rn i Fl była zaw sze o 10 mil m orskich w iększa od odległości od la ­ ta rn i F2. Czy k u rs o k rętu będzie lin ią prostą, ła ­ m aną czy lu k iem . ja k iejś krzyw ej? 9. K tó ry z przedstaw ionych na ry su n k u przekrojó w sześcianu m a 'w iększe pole?

j(^ R y su n e k p rz e d sta w ia m odel k o m ó rk i ŚTak w ygląda je j siatka?

Hf

pszczelej.

OC GROBOW CE-SYM BOLE U. z s y m b o l a m i

I GROBOWCE

ł

F araonow ie egipscy, p rag n ąc przekazać potom nym w ieczną pam ięć o sobie, k az ali się grzebać w spec­ ja ln ie w zniesionych grobow cach-piram idach, czyli czw orokątnych forem nych ostrosłupach. S łow ianie sypali dla sw oich w odzów k u rh a n y w kształcie stożków ściętych, rów nie trw a łe ja k piram id y . Dla m atem aty k ó w nie budow ano piram id i nie sypano kopców, jed n ak grobow ce niektórych z nich p rz y ­ ozdobiono sym bolam i i w zoram i m atem atycznym i, k tó re przypom inają żyjącym , nad czym tru d zili się spoczyw ający w tych grobow cach uczeni, co było ich najw iększym ' osiągnięciem . S próbujm y więc od­ gadnąć:

I .J a k i sym bol w y ry to na grobow cu A rchim cdesa? ,2. Na grobow cu D iofantosa pom ieszczono ta k i tek st: „Przechodniu! Pod tym kam ieniem spoczyw ają prochy D iofantosa, k tó ry zm arł w głębokiej s ta ­ rości. P rzez szóstą część swego życia b ył on chłopcem ; przez dw u n astą m łodzieńcem . N astęp ­ ną, siódm ą część sw ego życia b y ł nieżonaty. W pięć la t po pojęciu m ałżonki urodził m u się syn, k tó ry dożył do w ieku dw akroć m niejszego -od la t ojca. W cztery la ta po śm ierci sy n a Diofantos, opłakiw any przez sw ych najbliższych, za­ snął snem wiecznyhn. Pow iedz, jeśli um iesz obliczać, ile on m iał lat, kiedy zm arł?” Obliczm y i my. 3 3. P rzez w iele stuleci m atem aty cy szukali liczby ,-r (stosunku długości okręgu do jego średnicy). Ze szczególnym zam iłow aniem pracow ał n ad ty m zagadnieniem m a tem aty k holenderski z L ejdy, zm arły w X V II w. N a jego grobow cu obok n a ­ zw iska i daty urodzenia i śm ierci w y ry to : n -•-

= 3,141592653,589793238... m atem atyk?

Jak

się

nazyw ał

ten

4. N iektórzy historycy m atem aty k i podają, że na jednym z grobow ców w O pactw ie W estm in sterskim w L ondynie je st w ypisany w zór: (a + x)n = an + nan—,x + —-& L=cil nn—s x - + 1. 2 +

w f a — l ) ( w — 2 ) a„_3xZ

1 .2 .3 -f- ”

~~ V..-" (>i ~ m 1 • 2 • 3 ... m

a“- " i a-m + • ••+ nax n~ ' ■ a "

Czyj to grobow iec i ja k się nazyw a ten w zór? 5. W Szw ajcarii, w m ieście Basel (Bazylea), jest po­ chow any znakom ity m atem atyk, n a którego gro­ bow cu w idnieje sp irala logarytm iczna, niestety, bez te j łacińskiej sentencji, k tó rą zm arły sam uło­ żył: Eadem m u ta ta resurgo (Chociaż p rzek ształ­ cona, pow staję n a nowo ta k a sam a). Czyj to grobow iec? 6. C arl F. G auss, jeden z najw iększych m a tem aty ­ ków św iata, n ak a za ł w testam encie, by pom nik n a jego grobow cu m iał kształt... Ja k ie j figury geom etrycznej? Dlaczego? 7. Na cm en tarzu w N euilly pod P ary żem jest pocho­ w any zm arły w 1853 filozof i m a tem aty k polski. Na jego grobow cu w id n ieje w y ry ty napis: L e x suprema* F x — A q(2q + rl< .0 ; 4- AnOn + ... Telcusis** P roblema universalc*** * Po polsku: najw yższe praw o. ** Po polsku: doskonałość. *** Po polsku: zagadnienie ogólne.

O=

fX

+ aą/j X + x 2fax 4-... A. M. D. G.

J a k się nazyw ał te n m atem aty k ? 8. G dybyś na cm en ta­ rzu w M etapontion (południow a Italia) znalazł grobow iec z ta k im rysunkiem , p o ­ w iedziałbyś, że w grobow cu ty m p o ­ chow any jest... K to? 9. J a k i sym bol n ary so ­ w ałbyś na grobie D escartes’a? 10. Na sta re j płycie grobow cow ej m ożna odczytać ty lk o dw ie lite ry A... A..., ale dobrze zachow ał się ry su n ek

A

o ra z d a ty urodzenia i śm ierci 1631—1700. J a k i polski m a tem aty k spoczyw a pod tą p ły tą?

26 . DO CZEGO M OŻE DOPROW ADZIĆ HAZARD H azard nie zaw sze m a zgubne skutki. Z am iłow anie, p ew nego francuskiego szlachcica do gry w kości dopro­ w adziło do w ynalezienia b ard zo -w ażn ej teorii m a te­ m atycznej, teo rii praw dopodobieństw a. Ów nałogowy gracz zapragnął poznać naukow e pod staw y sw ojej g ry i w tym celu zw rócił się do znakom itego f r a n ­ cuskiego m a te m a ty k a B laise P asc ala (1623—1662) z prośbą o obliczenie praw dopodobieństw a zdobycia w ygranej w obm yślonej przez siebie odm ian ie gry w kości. P ascal spełnił prośbę owego szlachcica. Jego obliczenia o k a z a ły 's ię praw idłow e, szlachcic w y g ry ­ wał.. T aki był niechw alebny początek te o rii p raw d o ­ podobieństw a, k tó ra dziś rozrosła się w w ażną d y ­ scyplinę naukow ą i m a w ielo stro n n e zastosow ania w technice, w rac h u n k ach ekonom icznych, w sta ty ­ styce, a naw et w biologii, i k tó ra dała początek innym teoriom . Do je j ro zw o ju przyczynili się znakom ici m atem atycy: B ernoulli, L aplace, Poisson, G auss i inni. Oto kilka p ro sty ch problem ów z dziedziny teorii praw d opodobieństw a:

1. R zucam y m onetę. J a k ona u p ad n ie? O rłem czy reszką do góry? Praw dopodobieństw o, że w ypad ­ n ie orzeł, je s t ta k ie sam o ja k to, że w y p ad n ie reszka, czyli 50% dla orła, 50% dla reszki. Z apisu­ je się to ta k : P r (Orz.) = - |- ^praw dopodobieństw o, że w ypadnie orzeł, w y n o si— ). J a k należy ro zu 2' o m ieć zapis: Pr(A ) = — , jeżeli przez lite rę "A b ę­ dziem y rozum ieli jak ieś oczekiw ane zdarzenie? 2. Jeżeli w iem y, że oczekiw ane zdarzenie A n astąp i n a pew no (np. że po nocy n astąp i dzień), zapisu­ jem y to Pr(A) = 1. J a k zapiszem y, że zdarzenie A na pew no n ie n astąp i?

3. Kość do gry je st tego sześcianu je st 3, 4, 5, 6 (w postaci dobieństw o, że po do góry?

sześcianem . Na każdej ścianie n ap isan a jedna z 6 liczb: 1, 2, oczek). Ja k ie jest p raw d o p o ­ rzuceniu kość upadnie p ią tk ą

4. Ja k ie je st praw dopodobieństw o, że kość n ie u p ad ­ nie p ią tk ą do góry? 5. Ja k ie je st praw dopodobieństw o, że w yp ad n ie licz­ ba parzy sta? 6 . Rzucam y dw ie jednakow e kości do gry. J a k ie jest praw dopodobieństw o, że obie upadną tró jk ą do góry? 7. Ja k ie je st praw dopodobieństw o, że po rzuceniu dwu kości dw ie tró jk i nie znajdą się n a górze? 8 . Ja k ie je st praw dopodobieństw o, że po rzu cen iu dw u kości sum a liczb, k tó re znajdą się n a górze, będzie 6? Będzie 12? Będzie 15? 9. D w aj gracze G( i Go rzu cają kości. Gt ośw iadcza, że dw om a kostkam i w yrzuci na raz 9 oczek. S taw ­ ka ogólna, któ rą w całości w ygryw a Gt alb o G2, w ynosi 90 zł. Ile p o w in n a wynosić uczciwa sta w k a każdego z graczy z osobna? (Pojęcie „uczciw a sta w k a” należy rozum ieć w ten sposób, że staw ka je st tym m niejsza, im m n ie j­ sze je st praw dopodobieństw o w ygrania, i tym w iększa, im to praw dopodobieństw o je st większe.) IB. Dwóch kolegów g ra w orła i reszkę. R zuca się dw ie jednakow e m onety. G racz A staw ia na orła, gracz B na reszkę. Ja k ie je st praw dopodobieństw o, że _p rzy n ajm n iej je d n a m oneta upadnie orłem do góry?

27 . PARADOKS

CZY SOFIZM AT?

N auczanie m a tem aty k i w szkole m a dw a głów ne cele: 1) — nauczyć w y konyw ania działań rachunkow ych, w yprow adzić pew ien zasób w zorów oraz w drożyć w a rk a n a sztuki u k ła d an ia i rozw iązyw ania ró w n ań ; 2) — nauczyć popraw nego rozum ow ania i w nioskow a­ nia. M ateriałem , na k tó ry m uczym y się w szkole rozu­ m ow ać, są m. in. tw ie rd z en ia geom etryczne. T w ier­ dzenia byw ają różnorakie. N iektóre w y d ają się pozor­ n ie sprzeczne z pow szechnie p rzy ję ty m i sądam i, tym niem niej są praw dziw e. N azyw am y je paradoksam i. In ne, k tó re nazyw am y sofizm atam i, ty lk o pozornie w y d ają się praw dziw e, w rzeczyw istości zaś są fałszyw e. Są w reszcie takie, k tó re pozornie w’y d ają się praw dziw e zarów no w danych w aru n k ach , jak i w w aru n k ach sprzecznych z danym i; nazyw am y je antynom iam i. P odajem y niżej różnego ro d zaju rozum ow ania. N ależy określić, k tó re z nich jest p a­ radoksem , k tó rę sofizm atem , k tó re antynom ią, k tó re zaś zw ykłą ciekaw ostką.

I.M a m y

ciąg

rozum ow ań:

16 — 3 6 = 2 5 — 45; 16 —

4 ---- —= 5 ---- 4 = 5 albo 2 -2 = 5 (dw a razy 2 2 dw a je st pięć). P arad o k s czy sofizm at? Jeżeli sofizm at, to gdzie je st błąd? 2. Niech a > b i niech a = b + c. Rów ność tę m n o ­ żym y przez a — b; a (a — b) = (b + c) (a — b); stąd : a - a — a * b = a - b + a - c — b - b — b*c; p rze­ nosim y w yrazy: a * a — a - b — a - c = a - b — b - b —■ — b - c ; stąd a(a — b — c) = b(a — b — c). S k ra c a ­ jąc ostatn ią rów ność przez (a — b — c) o trzy m u je­ m y: a — b w b re w założeniu, że a > b.. Sofizm at czy paradoks? G dzie błąd?

3. Koło toczy się bez poślizgu od p u n k tu A do p u n k tu B po odcinku AB, k tó reg o długość ró w n a się o b ­ w odow i toczącego się k o ła. Rzecz zrozum iała, że na tym odcinku koło obróci się tylko jed en raz. Jeżeli je d n ak z odcinka A B zrobić k w a d ra t, to nasze koło, toczone bez poślizgu po obw odzie tego k w a d ra tu , obróci się n ie raz , ale dw a razy. P a r a ­ doks czy sofizm at? 4. Jeżeli k rą ż e k .o p ro m ien iu r = 10 cm opaszem y nicią stalow ą i zm ierzym y je j długość, stw ie rd z i­ m y, że w ynosi 2jtr = 62,8 cm. Długość ró w n ik a ziem skiego w ynosi, ja k w iadom o, około 40 000 k m =» = 4 000 000 000 cm. J e ż e li te ra z opaszem y n asz k rą ż e k nicią o 10 cm dłuższą, o długości 72,8 cm, to m iędzy k rążk iem a nicią p ow stanie luz. To sam o n astąpi, jeżeli ró w n ik ziem ski opaszem y ta ś ­ m ą długości 4 000 000 010 cm ; p o w stan ie ró w n ież luz. O kazuje się, żc W o b u przy p ad k ach szerokość luzu będzie ta k a sam a. P a ra d o k s czy sofizm at?

5. O dcinek AC = - i o d cinka A B , a le liczba p u nktów 1 zn a jd u ją cy c h się n a odcinku A C je st ta k a sam a ja k liczba p u n k tó w .AB. M atem aty cy m ó w ią: zbiór p u n k tó w odcinka A C m a ta k ą sa m ą m oc ja k zbiór p u n k tó w odcinka A B . S ofizm at czy parad o k s? 6 6. M am y dw ie m asyw ne m ied zian e kule, je d n ą o p ro m ien iu R, drugą o p ro m ien iu r ( R > r ) . Jeżeli

w każdej \ tych kul w yw iercim y na w ylot otw ór tak, aby pow stał pierścień o w ysokości h (h < 2ii i h < 2r), tov oba te pierścienie będą m iały je d n a ­ kowy ciężar Vnasę). P aradoks czy sofizm at?

7. Zapis 36 X 84 czytany z p raw a na 48 X 63, ale o k a z u je -się , ż.e 36 X sam o m ożna pow iedzieć o zapisie 23 X 96 — 69 X 32. Co to je st — antynom ia?

lewro m a postać 84 = 48 X 63. To 23 X 96. Istotnie, ciekaw ostka czy

8. Filozof grecki, Zenon z Elei (ok. 460 p.n.e.) dowodził w sposób 'n a stę p u ją c y , że bystronogi A chilles nie przegoni powmlnego żółw ia: A chilles m usi dojść do m iejsca, z którego żółw ruszył;w tym czasie żółw posunie się naprzód. A chilles m usi przebyć tę nową drogę, a żółw znów po su ­ nie się naprzód itd Tak wdęc A chilles zbliża się ciągle do żółwia, nie doganiając go nigdy. Czy to jest p rzy k ła d paradoksu, czy sofizm atu? 9.

S kracanie u łam k a je st prostą i znaną operacją. Mamy ułam ek — . S k reślając w liczniku i m iano64 w niku cyfrę 6, o trz y m a m y -1-, czyli ułam ek rów ny 4 lf i. Czy to znaczy, że skracać RA • m ożna nie tylko

dzieląc licznik i m ianow nik przez tę /s a m ą liczbę, lecz ta k że sk reślają c w liczniku i m ian o w n ik u ta k ą sam ą cyfrę? Czy to je st ciekaw ostka, czy an ty n o m ia? Czy są poza tym ułam ki, dla k tó ry ch sk reślen ie jednakow ych cy fr je st rów noznaczne ze skracaniem ? 10. Ze szkolnego k u rsu m a tem aty k i w iem y, że sum a nie zm ieni się, jeżeli sk ła d n ik i je j połączym y w g ru p y (praw o łączności) lub zm ienim y kolejność ich następ o w an ia (praw o przem ienności). P a m ię ­ ta ją c o tym , rozw ażm y nieskończony ciąg liczb: 1; — 1; 1; — 1; 1; — 1; 1 ... U tw órzm y sum ę S tego ciągu liczb: S = 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1 + 1 —... W artość te j sum y w b rew p raw u łączności zalc-ży od sposobu łączenia jej składników w g r u p y : 1) S = (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1) + ... = 0 2) S = l — (1 — 1) — (1 — 1) — (1 — 1) — ... = 1 3) S = 1 — (1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1 + ..,) = 1 — S, skąd S = y . C o

to je s t— p ara d o k s czy anty n o m ia?

1. T rzech pracow ników naukow ych (jeden z nich — to kobieta): chem ik — p. Siw ek, h u m a n ista — p. C zarnota i histo ry k — p. B lond — siedzi przy sto le i rozm aw ia. — Czy nie je st to dziw ne — zauw aża kobieta — że nasze nazw iska brzm ią C zarnota, Blond i Siw ek i że jeden z nas m a w łosy czarne, drugi blond, trzeci siw e? — To p ra w d a — pow iedziała osoba m ająca włosy c z a rn e -a le nie m niej ciekaw e, że nazw isko żadne­ go z nas nie odpow iada kolorow i jego włosów. — Isto tn ie — w ykrzy k n ął p. Siw ek. Jeżeli kobieta nie je st blondynką, to ja k i je st kolor jej w łosów i ja k b rzm i jej nazw isko? 2. Siedzim y n a dachu 15 p ię tra w arszaw skiego w ie­ żowca (około 40 m). P rzed nam i p ię k n a panoram a. J a k daleko sięga nasz w zrok? 3. R ysunek p rze d staw ia fra g m e n t klin k iero w ej jezd ­ ni. P oprow adź jednobieżną lin ię w te n sposób, b y przecięła tylko raz każdy zaznaczony na ry su n ­ ku odcinek: A B , BC, CD, DE, EF, FC, CH, HI, IE, IC, HA. 4

4. Dwóch szachistów złożyło do, p uli po 100 zł. Całą kwmtę (200 zł) m iał w ziąć ten, kto pierw szy w ygra 5 partii. W skutek pew nych nieporozum ień szachiś-

ci m usieli przerw ać sw ą grę w chw ili, gdy jeden z nich m iał 4 w ygrane gry, a drugi fi. J a k należy podzielić złożone do p u li 200 zł? 5. W skrzynce je st 100 gwoździ, z' k tó ry ch 10 je st niezdatnych 'do użycia. Ze skrzynki w zięto n a c h y b ił-tra fił 10 gwoździ. Ja k ie je st praw d o p o d o ­ bieństw o, że m iędzy tym i gw oździam i n ie m a niezdatnych do użycia, że w szystkie są dobre? 6. R ysunek na lew o jest geom etryczną in te rp re ta c ją w zoru (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. In te rp re ta c ją j a ­ kiego w zoru jest ry su n ek n a praw o?

7. Ja k a je st najw iększa liczba n apisana z pom ocą czterech jedynek? 8. Jeżeli do pew nego ułam k a dodam y trzecią część tego ułam ka, otrzym am y całość. Co to za u łam ek ? 3. Boki tró jk ą ta A B C m a ją długość 18 Cm, 23 cm i 41 cm ; boki tró jk ą ta DEF m a ją długość 25 cm , 33 cm i 58 cm. K tóry z tych tró jk ą tó w m a w ięk sze pole? 10 10. W ja k i sposób, m ając do dyspozycji 40 m sz n u ra , 3 d rew niane kołki i kółko m etalow e, m ożna um o­ cow ać kozę tak , aby pasła się ty lk o w o b ręb ie półkola o p ro m ien iu 10 m i nie w ychodziła poza jego obręb?

JA K SVĘ UM IĘDZYNARODOW IŁ JĘZY K MATEMATYKI

c \ zdziałała przyroda, je st doskonałe, Nie w szystko, cd czy n aw e t dobre. W iele z tego, co otrzym aliśm y od przyrody, człow iek m u siał udoskonalać i n ap raw iać: chociażby sw ój w zrok (lunety i m ikroskopy), słuch (m ikrofony) i dotyk (wagi analityczne). To, że na globie naszym m ieszkające o m iedzę ludy m ów ią różnym i językam i, że się w zajem nie nie rozum ieją, rów nież je st m a n k am en tem przyrody. P otrzeb a po­ w szechnego języka ju ż daw no za jm u je um ysły uczo­ nych. P olski p ro je k t języka m iędzynarodow ego — esp efan to — zyskał św iatow e uznanie. A le jeżeli m ów iony język pow szechny j e s t .. m im o w szystko jeszcze dalekim m arzeniem , to pow szechny język p i­ sany, p rzy n a jm n ie j w jednej dziedzinie — m a tem a­ tyce, je st ju ż faktem . Gdy m a tem aty k napisze 3 + + 2 = 5 albo (a + b )2 = a 2 + 2ab + b2, zrozum ie go każdy obyw atel naszego globu bez w zględu n a kolor skó ry i język, k tó ry m się posługuje. T akich p ro sty ch „słów " m atem atycznych, ja k + ; — ; - ; : ; = ; > i < używ ają w szyscy, nie zdając sobie spraw y , z jakim m ozołem „słow a” te zostały stw orzone i kim byli ich tw órcy. P rzy p o m n ijm y w ięc n ie k tó re szczegóły

1. K iedy po ra z pierw szy użyto znaków 2. Kto i kiedy pierw szy znakiem rów ności? 3. Czy K o p ern ik

połączył

zrozum iałby

dw a w y rażen ia

zapis

4. W ja k i sposób rad z ili sobie m atem atycy , nie m ając

do dyspozycji ta k i =?

w ażnych

znaków ja k

+, —

5. R ysunek p rze d staw ia rów nanie, k tó re- ułożono p raw ie dw a tysiące la t przed naszą erą. A u to r 6

6 — 500 z a g a d e k m a te m a ty c z n y c h

81

I ii ' 4—^ III 4-—,

nnn

rów nania, A hm es, był pisarzem królew skim . V*' jakim k ra ju żył i tw orzył A hm eś? 6. To ró w n an ie zostało ułożone ponad dw a ty siące la t później. Jego autorem był G rek z A leksandrii.

ra m * l6c\ p°c Ja k się nazyw ał: A rchim edes, E uklides. D iofantos. A polloniusz czy H eron? 7. T w órcą sym bolizow anej ?'g e b ry , czyli ta k iej a l­ gebry, k tó ra w yraża sw oje zdania znakam i m a te ­ m atycznym i, był F ran ciszek V ieta. Ja k w y g ląd a­ łoby w sym bolizacji w spółczesnej tak ie jego ró w nanie:

8. Kto pierw szy do w yrażenia niew iadom ych użył li­ te r a:, y, z? 9. Kto w pro w ad ził sym bole ji, i, e, sina:, cosa:, tga: i 1(x)? Było to w X V III w.10 10. Kto w prow adził do m a tem aty k i sym bol S'n i co on oznacza?

Tl

30 . TO

I O

NA LICZBOWO

\\

K ażdą dekadę kończym y rozryw ką. P y ta n ia zam ie­ szczone w tym rozdziale nie k o n ce n tru ją się wokół żadnego problem u m atem atycznego, nie dotyczą ża­ dnego w ybranego działu m atem atyki. Są to raczej ciekaw ostki.

t.W pew nym sta ry m m ieście na zachodzie Polski, n a w ysokiej w ieży jest w m urow any zegar. Z egar chodzi niezm ordow anie od 1362 r. Jego w ielka w skazów ka (m inutow a) m a m etr długości. .Jaką drogę przebyło ostrze tej w skazów ki? 100, 200, 300 kilom etrów ? A może w ięcej? 2. Któż nie zna b allad y M ickiewicza Pani T w a rd o w ­ ska? P am iętacie? „Z kielicha n a podłogę pada, ro śnie na dw a łokcie. Nos ja k haczyk, kurze nogi i krogulcze m a paznokcie...” I dalej: „G dy mu T w ardow ski dokucza, od drzw i, od okien odpycha, czm ychnąw szy dziu rk ą od klucha...” Ile razy m usiał się zm niejszyć M efisto, by m óc czm ychnąć dziu rk ą od klucza? 3. O bchodziliśm y niedaw no m ilenium ... Ile dni m i­ nęło od M ieszka I do dziś? D la uproszczenia za­ g adnienia m ożna nie b rać pod uw agę refo rm y k alendarzow ej przeprow adzonej u nas w XVI w. w zw iązku z w prow adzeniem k alen d a rz a grego­ riańskiego. 4. Ja k ie fig u ry geom etryczne m ożna otrzym ać p rze­ cinając sześcian płaszczyzną? 5 5. S tate k przybił do portu po długim pływ aniu po oceanach. P o przycum ow aniu sta tk u kap itan -po-

, j zwolił 10 m arynarzom załogi udać się' do m iasta. M ary n arze w rócili w szyscy razem , alg byli w s ta ­ nie zam roczenia alkoholow ego. P ragnąc u kryć sw ój stan, m ary n arze w zupełnej ciem ności ze­ szli do nieośw ietlonej k a ju ty , gdzie stały ich koję (10 koj). Ja k ie je st praw dopodobieństw o, że każdy m a ry n a rz znajdzie się w sw ojej koi? 6. W ciągu jednej m in u ty serce kurczy się p rz e ­ ciętnie 70 razy. W ciągu jednej doby ponad 100 000 razy, w ciągu roku 100 000 X 365, czyli 36 500 000 razy. B iorąc 60 la t jako długość życia przeciętnego P olaka, znajdziem y liczbę skurczów jego serca: 36 500 000-60 = 2 190 000 000. Je d en skurcz serca w ytłacza przeciętnie 60 cm 3 krw i. Ile m etrów sze­ ściennych k rw i w ytłacza serce przeciętnego czło­ w ieka w ciągu 60 lat? T ysiąc? Sto tysięcy czy w ięcej? 7. Ile 50-tonow ych cystern p otrzeba by było na przew iezienie k rw i w ytłoczonej przez serce je ­ dnego człow ieka w ciągu 60 la t? Sto, pięćset, ty siąc czy w ięcej? (Dla uproszczenia przyjm ujem y, że ciężar w łaściw y krw i w ynosi 1.) 8. P ew ien ślim ak, zam ieszkały gdzieś w okolicach W arszaw y, w y b ra ł się na pieszą w ycieczkę do Szczecina. Szedł reg u la rn ie po 8 godzin dziennie z p rzeciętną sw ą ślim aczą prędkością 0,002 m /sek. Ile czasu potrzebow ał /ów ślim ak na dojście do Szczecina (około 520 km)? Rok? Pięć lat? Dziesięć la t? 9 9. W w spom inanym ju ż przez nas rękopiśm ien n y m dziele L iber Abaci z roku 1228, m a tem aty k a L eo ­ n a rd a z Pizy, jest ta k ie zad an ie; „K toś pom ieścił p arę królików w pew nym m iejscu ogrodzonym ze w szystkich stro n ścianą, żeby dow iedzieć się, ile p a r królików przyjdzie na św iat w ciągu jednego roku, jeżeli króliki posiadają taką n atu rę ,

\

\

jednego roku, jeżeli -króliki posiadają ta k ą natu rę, że po upływ ie m iesiąca p ara królików w ydaje n a św iat now ą parę, a rodzić króliczki zaczynają w drugim m iesiącu sw ojego życia”. 10. P ielęgniarka m iała k w ad rato w y k aw ałek czerw o­ nego m a teria łu , k tó ry chciała w całości zużyć na uszycie krzyża. Po nam yśle dw om a cięciam i ro z­ cięła m a teria ł na trz y części i zszyła z nich czer­ w ony krzyż. J a k to zrobiła? Ja k ie j szerokości i długości były ram io n a uszytego przez nią czerw o ­ nego krzyża?

b2? 5. Jak przy pomocy jednego znaku m atem atycznego w yrazić, że przy n ajm n iej jed n a z trzech liczb a, b, c ró w n a się zeru? 6. Czy fig u ry podobne są rów ne? Czy podobieństw o pociąga za sobą rów ność? 7 7. O dcinki a, b, c są bokam i tró jk ą ta ABC, ci, e, 1 — bokam i tró jk ą ta DEF; a ^ d ; b ^ Ą e ; c f. a mimo to te tró jk ą ty są rów ne (przystające). Czy to jest możliwe?

8 . Ja k i je st w zajem n y stosunek pojęć rów now ażności* i podobieństw a dw u płaskich fig u r geom etrycznych? 9. T w ierdzenie p ro ste: w k w ad rac ie p rz e k ą tn e są ró w n e i do siebie prostopadłe. Czy tw ierdzenie odw roine: czw orokąt, w k tó ry m p rze k ątn e są rów ne i do siebie prostopadłe, je st k w ad ratem — je st praw dziw e? 10. Trzy zaprzyjaźnione m ałżeństw a udały się razem po zakupy do dom u tow arow ego. K ażda z 6 osób k upiła k ilk a przedm iotów , płacąc za każdy p rze d ­ m iot ty le złotych, ile przedm iotów kupiła. Każdy m ąż w ydał o 45 zł w ięcej od sw ojej żony. P an K asper w y d ał o 525 zł w ięcej od p a n i D anki. P an M elchior w ięcej o 13 zł od p an i A nki. Im iona dw u pozostałych osób są B altazar i Ja n k a . Kto z kim b y ł ożeniony, k to ile w ydał i ile przedm iotów k u p ił? * P rzypom inam y, że dw ie fig u ry ' nazyw am y ró w n o ­ w ażnym i, gdy ich pola są rów ne.

W ielościany i w ielokąty były b a d a n e ju ż przez P ita ­ gorasa, k tó ry w idział w nich sym bole żyw iołów . Euklides podał m etodę obliczania ich pow ierzchni i objętości, a dla P lato n a były one nie tylko p ita g o rejskim i sym bolam i, ale ta k że w cieleniem h arm o n ii i piękna form . B adanie w ielościanów m a je d n ak ta k ­ że w ażne zastosow ania praktyczne, np. w k ry sta lo ­ grafii. A te ra z garść w iadom ości:

1. K tóre w ielościany forem ne nazyw am y p ita g o re jskim i albo platońskim i? Co one sym bolizow ały? ?.Z a n ajp ięk n iejszy w ielościan czycy sześcian. Dlaczego?

uw ażali p ita g o re j-

3. Ja k ie tw ierdzenie, w y rażające zależność m iędzy liczbą ścian, kraw ędzi i w ierzchołków w ielościanu, zaw dzięczam y L eonhardow i E ulerow i? 4. J a k i w ielościan forem ny m ożna zbudow ać z tr ó j­ k ą ta rów nobocznego? J a k w ykonać tę k o n s tru k ­ cję? s 5. G dy p a ją k siedzi na środku k raw ędzi ściany izby (sześcianu) i spostrzeże w n ajd alej odd alonym

kącie m uchę, posuw a się ku niej po najk ró tszej drodze (po p rostej) i, jak łatw o obliczyć, m usi przekroczyć k raw ęd ź „sufitow ą” A B w jednej trzeciej części je j długości. J a k a je st długość jego drogi do m uchy? iS. M ucha, siedząca w pobliżu kraw ędzi izby (sześ­ cianu), chcąc spraw dzić, czy nie m a p ająk a na k tó rejś z jego ścian, posuw a się ta k , by ja k n a j­ szybciej obejść w szystkie ściany. Z jakiego p u n k tu pow inna w yruszyć?

7. Jak im i w ielo k ątam i forem nym i m ożna płaszczyznę dokoła jednego p u n k tu ?

p o k ry ć

8 . Czy m ożna ją pokryć w ielokątam i niefof err.nymi o jakim ś jednym kształcie? 9- Ile co n ajm n iej kolorów potrzeb a do pom alow ania sia tk i dw unastościanu tak, by sąsiednie ściany różniły się kolorem ? 10 10. Dlaczego pszczoły do „w y p a rk ieto w an ia” p la stra m iodu u ży w ają nie tró jk ą tó w i nie kw ad rató w , lecz sześciokątów forem nych?

33 . PELE - MfiLE czyli o w szystkim po trosze albo po staropolsku: groch z k ap u stą. To nie znaczy, że p y ta n ia tego rozdziału są błahe. Są one z różnych dziedzin: z logiki, n aw ig a­ cji, ra c h u n k u ..arytm etycznego, algebry, geom etrii, naw et z m iłej k ra in y żartu.

1. S praw iedliw ego (czyli pragm atycznego) podziału na dw ie części dokonuje się w ten sposób, że je ­ den dzieli, a drugi w ybiera. Ja k ' dokonać s p r a ­ w iedliw ego podziału na trz y części? 2. Masz dw ie zapałki; ile zapałek potrzeba do nich dodać, żeby było cztery? (żart) 3. A rm ato r u trzy m u je kom u n ik ację pom iędzy w y s­ pą a lądem . Z lą d u na w yspę sta te k odchodzi o godz.: 8, 10, 12, 14, 16, 18 i 20. W tych sam ych godzinach sta te k odchodzi z w yspy n a ląd. P odróż z ląd u n a w yspę i z w yspy n a lą d trw a po 6 godz. Ja k a je st n ajm n iejsza liczba statków , k tó re m ogą obsłużyć tę linię? 4. K tóre ze sta tk ó w z w ysp ą i w yspy sta tk ó w sw ojego a k tó re n ajm n ie j? ta k ie sam e ja k w

u trzy m u jąc y ch ' łączność ląd u z lą d em sp o ty k ają n ajw ięcej a rm a to ra n a pełnym m orzu, R ozkład i w a ru n k i n aw igacji poprzednim pytaniu.

5. P ew na liczba m a tę w łaściw ość, że jeżeli po do­ dan iu do n ie j jej połow y w yciągnąć z niej p ie r­ w iastek k w ad rato w y , to otrzym am y jej połowę. Ja k a to liczba? 6 6. Dziewięć logarytm ów (przy podstaw ie 10) pew nej liczby ró w n a się 9. Co to za liczba?

7. W ym ieniany już w tej książce L eonardo z Pizy (X II w.) p rzytacza ta k ie zadanie: „Jak ie odw aż­ n ik i m usi m ieć handlarz, by m ógł zw ażyć każdy ciężar do, 30 kg, jeżeli odw ażników m usi być pięć i m ożna je kłaść tylko na je d n ą szalkę?”

8. P rzedstaw iony na rysu n k u zarys f i­ gury został w y ­ konany ro z w a r­ tością cy rk la ró w ­ n ą 5 cm. Obliczyć, ile w ynosi pole tej figury!

9. Rysunek p rz e d sta ­ w ia k ró lik a. Ja k ą operację geom e­ try cz n ą należy wy­ konać, aby ten królik zam ienił się, w kaczkę? (żart) 01

10. Ja k należy zgiąć w stęgę papierow ą 7 cm długą i l cm szeroką, aby z niej otrzym ać sześcian o kraw ędzi ró w ­ nej 1 cm?

I W starożytności rozpow szechnione były sen ten cje, k tó re przypisyw ano siedm iu m ędrcom . N ajw iększą popularnością obok; ,.Poznaj siebie sam ego” cieszyła się m aksym a: „We w szystkim zachow uj m ia rę”. L udzie n ie u stan n ie m ierzą i ważą. Bez m iary i w agi nie by­ łoby nauki. By móc w ażyć i m ierzyć, w ynaleziono tysiące p recyzyjnych przyrządów . A w tych w y p ad ­ kach, gdzie zaw odzi m ikroskop elektronow y i n a j­ silniejszy teleskop, stosujem y m etodę m ierzen ia po­ średniego — rac h u n ek i w zory m atem atyczne.

1. K tóre z trzech podobnie brzm iących słów: m e te ­ orologia, m arty ro lo g ia i m etrologia ■ — m a zw ią­ zek z ty tu łem niniejszego rozdziału, z m a tem a­ ty k ą? Co to słow o oznacza? 2. Stadion, to nie ty lk o m iejsce zaw odów sp o rto ­ w ych, ale i je d n o stk a m iary... Jakiej? 3. Kto m a w iększą stopę —• A nglik czy Polak? ł . Co to je st uncja? 5. D ługa je st droga od an g stre m a do parsek u ... A le co to je st parsek, a co angstrem ? 678 6. N a czułej w adze analitycznej zważono k ro p k ę (znak p isarski). J a k sądzicie, ile w aży k rop k a? Ile w aży M ickiew icz? Dlaczego nie w ażą p u n k tu geo­ m etrycznego? 7. Co to za m ia ry ta len t i m ina? 8 . Ja k obliczono długość stopy polskiej?

3. Wielkość, k tó rą n a jsk ru p u la tn ie j m ie r z m y , nie posiada ani długości, ani szerokości, ani koloru, ani zapachu, .ani żadnej substancji m aterialn ej... Co to za w ielkość? 10. Co p rzy jm u jem y w spółcześnie za jed n o stk ę d łu­ gości — ce n ty m e tr czy,..?

35 . W POLU, W LESIE, NAD RZEKĄ... Ś w iat je st piękny, szczególnie w iosną i latem . W arto opuścić rozpalone ulice m ia sta i w yruszyć do lasu, na pola, nad rzekę, nad jeziora. Ś w iat je st piękny, ale ileż 10 problem ów w ysuw a każda w ycieczka. S potkaliśm y w ysoką strze listą sosnę — ja k a je st jej w ysokość? J a k szybki je st p rą d rzeczki, k tó ra p rze­ gradza nam drogę? Na jeziorze w idzim y w ysepkę — ja k a też je st jej długość? N a sąsiednim polu w idzim y ste rty i stogi — jak obliczyć m asę siana w nich ułożonego? S próbujm y zastanow ić się:

1. Ja k zm ierzyć w ysokość drzew a? 2. Jak obliczyć objętość drzew nego p nia; p rzy d ro ż­ nej k u p y tłuczki? 3. Ja k zm ierzyć szerokość rzeczki? 4. J a k obliczyć prędkość p rą d u rzeczki?

—

5. Na polu stoją stogi; ja k obliczyć ich objętość? 6. Ja k obliczyć objętość s te rty siana? 7. Sam ochód jechał z W arszaw y do Łodzi z p rze­ ciętną prędkością rv l km /godz. Z pow rotem jech ał z pow odu m gły z m niejszą prędkością v 2 km /godz. J a k a 1 b yła jego., średnia- prędkość n a tra sie W a rsz a w a -Ł ó d ź —W arszaw a? Czy do rozw iązania zadania potrzebna je st znajom ość odległości m ię­ dzy W arszaw ą a Łodzią? 8. Ze sta tk u odchodzącego z W arszaw y do G dańska ktoś rzucił korek, k tó ry popłynął z prąd em , nie n a tra fia ją c po drodze na przeszkody. Po ilu dniach

S-ł

k orek dopłynie do G dańska, jeśli sta te k przebyw a tę drogę (bez zatrzym yw ania się) w ciągu 2 dni, a drogę p o w rotną (też bez postojów ) w ciągu 3 dni? 3. J a k będąc z w ycieczką w P ałacu K u ltu ry i N auki zm ierzyć te rm o m etre m jego w ysokość? (żart) 10. Ł ąka m a k sz ta łt tró jk ą ta . T rzej bracia, w łaścicie­

le te j łąki: P io tr, J a n i W it m a ją sw oje domy w w ierzchołkach tego tró jk ą ta . W spólna stu d n ia, z k tó rej k o rzy sta ją w szyscy trze j gospodarze, zn ajd u je się n a lin ii łączącej dom y J a n a i P io tra. Poniew aż chodzący po w odę w y d ep ty w ali w spólną łąkę, b rac ia postanow ili podzielić ją n a 3 ró w n e części, ale tak, aby każdy m iał dostęp do stu d n i n ie w k raczając na te re n obcy. J a k to zrobić? Czy zaw sze ta k i podział je st m ożliw y?

36.

RO ZM A ITO ŚCI

MATEMATYCZNE

W rozdziale tym C zytelnik znajdzie do w yboru różne zagadnienia. Ci, którzy m ają w yobraźnię g r a ­ ficzną i p rzestrzenną, znajdą tu zadania z dziedziny geom etrii, ci, co skłonni są do rozw ażań a n a lity cz­ nych — znajdą zadania o ch a rak te rz e algebraicznym ; w reszcie ci, k tó ry ch in te re su ją zagadnienia treści ogólnej, k tó rzy in te resu ją się histo rią m a tem aty k i i w idzą w m atem atyce w artości hum anistyczne, z n a j­ dą też coś niecoś dla siebie.

1. F igurę podaną na ry su n k u należy pociąć n a n a j­ m niejszą liczbę takich części, żeby z nich m ożna było ułożyć: a) dw a k w a d ra ty różnej w ielkości; b) jeden k w ad rat.

2. Ja k a je st objętość n afty, k tó ra w aży ty le sam o, co 1 dcm 3 wody, jeżeli ciężar w łaściw y n a fty w ynosi 0,8 g/cm 3? 3. W naczyniu było 40 kg wody' m orskiej o z a w ar­ tości 5% soli. Po ulew nym deszczu w naczyniu okazało się 50 kg płynu. Ja k i procent soli zaw iera pow stała m ieszanina w ody m orskiej i w ody desz­ czow ej? 4* 4. R achm istrz egipski A hm es, żyjący około X V II w. p.n.e., podał w zór, na podstaw ie którego każdy ułam ek m ożna przedstaw ić w postaci sum y u łam -

ków prostych, czyli ułam ków , o liczniku rów nym 1. W naszej sym bolizacji w zór ten ma postać: «_ _ 1 , (n 4- 1) • a—b b n + 1 ' (n + 1) • b gdzie a i b są' liczbam i całkow itym i (a < b), n zaś je st całkowńtą częścią ilorazu b : a. J a k się w y­ ra z i w postaci egipskiej (w postaci sum y ułam ków 19 pro sty ch) u ła m ek — ? 5. J a k napisać liczbę 1 używ ając do tego w szystkich dziesięciu cy fr (bez pow tórzeń)? 6. Co je st w ięk sze : 1 czy 0,9999...? 1 7. Co jest w iększe: a) — czy

4 0,121212...; b) — czy

0,158888...? 8. U łam ek 0,012 je st nap isan y w trójkow ym u k ła­ dzie n um eracji. Czy m ożna go p rzed staw ić w p o ­ staci skończonego ułam k a dziesiętnego? 9. Do b an k u przyw ieziono 10 jednakow ych skrzyń 'm o n e t jed n ej w artości. W yw iad doniósł, że w cza­ sie tra n s p o rtu jed n a sk rzynia została w ym ieniona p rzez fałszerzy bilonu. U dało się stw ierdzić, że fałszy w e m on ety różnią się od praw dziw ych tylko w agą. M oneta w ytw orzona przez m ennicę w ażyła 20. g, a fałszyw a — 18 g. Z naleźć sk rzynię z fa ł­ szyw ym i m on etam i m ożna było tylko w ażeniem . A le ile raz y potrzeb a w ażyć, żeby spraw dzić za­ w arto ść 10 skrzyń? G łów ny k a s je r rozw ażył to zagadnienie i znalazł sposób w y k ry c ia sk rzy n i z fałszyw ym i m onetam i p rzy pom ocy jednego w a­ żenia. J a k to zrobił? tfl. A utobus w iozący w ycieczkę jech ał ze sta łą p rę d ­ kością. W zdłuż szosy — ja k w iadom o — sto ją 7

7 — 500 z a g a d e k m a te m a ty c z n y c h

97

słupy kilom etrow e. O godz. 12 w p ołudn ie a u to ­ bus m in ą ł słup z pew ną liczbą dw ucyfrow ą. O godz. 13 m in ął słup z liczbą n ap isan ą ty m i sam ym i cyfram i, a le w odw rotnym porządku. O godz. 14 auto b u s m in ął słup z liczbą trzycyfrow ą n ap isan ą, ty m i sam ym i cyfram i, k tó re były na pierw szym słupie, ale przedzielonym i cy frą 0 (zero). Ja k ie liczby były n ap isan e na tych trzech słupach? Ja k a była prędkość autobusu?

/

Chęć poznania ja k iejś rzeczy czy przedm iotu, np, ro ­ w eru, skłania nas do ro zeb ran ia go na części i do złożenia go z ty ch części z pow rotem . Te dw ie te n ­ d encje — ro zk ła d an ia i sk ład an ia — sto su je się niem al w każdym w y padku, gdy zachodzi potrzeba poznania jakiegoś przedm iotu. Z tych dw u prak ty czn y ch czyn­ ności praw dopodobnie zrodziły się dw ie podstaw ow e m etody bad an ia: analiza i synteza. W naszych cza­ sach pojęcie „a n aliza” m a ró żn o rak i sens, m ów im y an aliza literac k a, analiza chem iczna, analiza spek­ tra ln a , analiza m atem atyczna itd. To sam o dotyczy pojęcia „synteza”. N ajdaw niej znana była analiza geom etryczna starożytnych. Je j w ynalezienie p o d a­ n ie przy p isu je filozofow i P latonow i (427—347 p.n.e.). Synteza, k tó ra je st ściśle zw iązana z analizą, m iała sw ój początek praw dopodobnie rów nież w A kadem ii P latona. A nalizą geom etryczną je st ta k ie rozum o­ w anie, k tó re od niew iadom ej prow adzi do w iado­ m e j, zakładam y więc na pew ien czas, że to, czego m am y dowieść, je st praw dziw e, i p rzez szereg w nio­ skow ań dochodzim y dc praw d znanych, poprzednio ju ż dow iedzionych, co św iadczy o praw dziw ości n a ­ szego założenia. S yntezą je st ta k ie rozum ow anie, k tó re rozpoczyna się tw ierdzeniem w iadom ym i po­ przez szereg w nioskow ań doprow adza do w niosku p rzed tem niew iadom ego, do rozw iązania zagadnienia.

1. M am y dowieść, że a - ^-> \ ' a b ; dane: a > 0, b > 0, a ^ ó b . Dowód: I. Z akładam y na chw ilę, że n ieró w ­ ność a t b > \ / ab jest praw dziw a. II. Jeżeli tak, to

^ —j > ab, czyli

m.

g , t -2ab + b'j > ab, stąd 4 IV. a- + 2ab + b- > 4ab, stąd V. a2 + 2ab + b2 — 4ab > 0, albo VI. a2 — 2ab + b2 > 0, albo VII. ( a — b)2 > 0. N ierów ność V II je st nam dobrze

i*

99

zn an a i zaw sze praw dziw a. S tąd nierów ność I je st praw dziw a. J a k a to b yła m e to d a rozum ow ania? 2. M am y dow ieść,że aII. III. IV: V.

b. Dowód: a2— 2ab + a2— 2ab + a2 + 2ab + a2 + 2ab +

a + b \> V , / -ab; r dane: a > 0; b > 0;

I. (a — b)2 > 0 ; b2 > 0; b2 + 4ab > 4ab; b2 > 4ab; b2 > ab;

VI. «Ł± b ł 2> a b ; 22

a + b ^ . /~ r VII. > V ab, co było do udow odnienia. J a k a to b yła ^metoda rozum ow ania? 3. U dow odnić m etodą analizy m atem atyczn ej, że su m a k ażdej liczby dod atn iej (z w y jątk iem 0 i 1) i jej odw rotności je st w iększa od 2. W skazów ka: TfL

TT

o b ran ą liczbę oznaczyć — , a jej odw rotność — . n m 4. U dow odnić to sam o m eto d ą syntezy m a tem aty ­ cznej. 5. M am y pro p o rcję — = — ; czy z tej proporcji m ob d żna w yprow adzić w niosek: jeżeli a < b, to c < d? Jeżeli takiego w niosku w yciągnąć nie m ożna —• ja k ie w inno być dodatkow e założenie, k tó re w Cl c połączeniu z założeniem — = — i a < b pozw ala w yw nioskow ać, że c < d? B. U żyw ając w szystkich dziew ięciu cyfr 1, 2, 3... 9 ułożyć ta k ie trz y liczby, żeby trzecia liczba b y ła różnicą dw u pierw szych. 7 7. J a k rozciąć p ro sto k ąt przed staw io n y na ry su n k u (o w y m ia ra ch 6 X 10) w zdłuż czarnych lin ii-w ten

sposób, aby p o złożeniu otrzym ać p ro sto k ą t o w ym ią racn 7 X 9 ?

8 . Rozm ieścić 12 fig u r, z k tó ry ch sk ład a się p ro sto ­ k ą t n a ry su n k u , w te n sposób, by n a d a l tw orząc p ro sto k ąt 6 X 10, k ażd a z 12 fig u r składow ych n a d a l d otykała obw odu tego p ro sto k ą ta i w żad ­ n y m p u n k cie n ie sty k a ły się w ięcej niż 3 figu ry .

9. F ig u rę p rzedstaw ioną n a ry su n k u należy rozciąć n a ta k ie trzy części, żeby z nich m ożna było ułożyć tró jk ą t rów noboczny. 10 10. D any je st k w a d ra t o boku 4, podzielony n a 16 k ra te k . J e s t 6 sposobów podzielenia go jed n ą lin ią p ro ­ stą lub je d n ą lin ią łam aną, poprow adzoną w yłącznie po k o n tu rze k r a ­ tek, na dw ie części o jednakow ych pow ierzchniach. J a k to zrobić?

O prócz syntezy i analizy, om ów ionych w poprzednim rozdziale, m a tem aty k a sto su je tak że induk cję i d e­ dukcję. In d u k cja je st taką m etodą rozum ow ania, przy k tó re j od tw ierd zeń szczegółow ych dochodzim y do tw ie rd z en ia ogólnego. In d u k cja m atem atyczn a nazy ­ w a się inaczej in d u k cją zupełną w odróżnieniu od np. in d u k cji dośw iadczalnej, k tó ra nie je st zupełna. M etodą w p ro st przeciw ną do in d u k cji je st dedukcja. D edukcja z tw ierdzenia ogólnego w ysnuw a w n io sk i szczegółowe. Indukcj-a o p a rta n a dośw iadczeniach je st rozum ow aniem zaw odnym , istn ieją bow iem p rzy k ła d y błędnego w niosku w yprow adzonego z bezbłędnych przesłanek. D edukcja je st rozum ow aniem n iezaw o d ­ nym : p rz y popraw nym rozum ow aniu nigdy z p r a ­ w dziw ego p ra w a ogólnego nie w y n ik a błędny w n io ­ sek.

1. N iech będzie dany ciąg: — ; —— ; — — 1---- 1 -2 2 - 3 3 -4 n ( n + 1) J a k znaleźć sum ę szeregu utw orzonego ze 100 w y ­ razów tego ciągu? Rozwiązanie: U tw órzm y k o le jn e sum y w yrazów szeregu: -S =

1 1- 2

1 2 -3

i-

3 -4

_ j_ _________ -Ł

100-101

= —i — = S2 = Si + = — ; S-i = 1 -2 2 2 -3 3 3 I 3 • o - l . c - 2 . „ _ 4 1 2 3 czyli że każde kolejne S ró w n a się którego licznikiem je st w skaźnik przy 4 w nikiem liczba o 1 w iększa: S - = —, 5 W niosku, że Sioo =

Sn + — •=• ' 3 -4 3 4 ułam kow i, a m ian o 5 Sr, —— itd. 6

n ie m am y jeszcze p ra w a

postaw ić. N ależy p rzedtem dowieść, że jeżeli po-

=

t0 s , k + , ) = ! r r i s dopiero po ud0'

w odnieniu tego m ożem y napisać: S10o- -— 1

+ — x_ + - i . . +

3 -4

4 -5

... + — -1—

1

99-100

+ .—

*

+ 2*

2a % o

*-------- = 1 2 2 . .

100-101

101

Ja k ie to było rozum ow anie? 2. N a każde ciało zanurzone w w odzie w oda w y ­ w iera parcie sk iero w an e do góry i ró w n e cięża­ row i w ody w y p a rte j p rzez to ciało, a w ięc i na k ad łu b sta tk u w oda w yw iera jsarcie skierow an e do góry i ró w n e ciężarow i w ody w y p arte j przez k ad łu b sta tk u . J a k ie to było rozum ow anie? 3 .1. K ażdy gaz je st ściśliw y. II. P o w ietrze jest m ie­ szaniną gazów. III. P ow ietrze je st ściśliw e. Ja k ie to je st rozum ow anie? 4. J a k a now a p ra w d a została w y k ry ta w rozum ow a­ niu przytoczonym w p u nkcie 3? 5. R ozum ow ania m atem atyczne są dedukcyjne, więc niezaw odne. K to pierw szy opracow ał m etodę de­ dukcyjną? 6. K to

opraco\yał m etodę indu k cji dośw iadczalnej?

7. M am y p ostęp arytm etyczny, k tó reg o pierw szy w y raz at = a, różnica zaś w ynosi d. W yprow adzić drogą m atem aty czn ej in d u k c ji w zór n a dow olny w y raz tego postępu (an + 1 = a + nd). 8. K toś pow iedział: „w szystko, co pow iedziałem , jest k łam stw em ”. Co sądzisz o lej w ypow iedzi? Czy te n „ktoś” n a p ra w d ę zawsze kłam ie? 9 9. Z ilu części sk ład a się dowód m etodą indu k cy jn ą?

10. M am y 5 rów nej w ielkości' krążków , u staw ionych ja k pokazano w lew ej części ry su n k u . N ależy zm ienić kolejność krążków , aby uzyskać k o n fig u ­ ra c ję pokazaną w części p raw ej, przy czym p rze­ sunięcia pow inny być dokonane z pom ocą dw óch palców : w skazującego i średniego, k tó re k ła d zie­ m y na dwóch sąsiednich sty kających się k rążk ach ; 1 7

3

4

5

1 3

5

4

2

jeden z nich pow inien być zaw sze kolorow y, a drugi biały. P a rę krążków przesuw am y n a nowo m iejsce i ustaw iam y na lin ii p rzedstaw io n ej na ry su n k u . O bydw a krążk i pow inny się przez cały czas dotykać, krążek, k tó ry był z lew ej stro n y , m usi pozostać z lew ej strony, krążek, k tó ry był z p raw ej strony, m a pozostać z praw ej. Ile trz e b a dokonać przesunięć?

W łaściw ie nie łam igłów ki, lecz p roblem y i p ro b le­ m iki, k tó ry ch rozw iązanie w ym aga n ie ty lk o znajo ­ m ości pew nych w zorów geom etrycznych, ale i za­ stanow ienia.

1. Ja k zbudow ać koło o polu dokładnie rów nym su m ie pól dw u danych kół o różnych prom ieniach? 2. H ippokrates z Chios dowiódł, że sum a pól księ­ życów A m C i C«B rów na się polu pow ierzchni tró jk ą ta ABC. J a k tego dowiódł?-

3. Sześciokąty P i Q są forem ne. J a k zbudow ać sześciokąt forem ny, którego pole ró w n a się do­ k ła d n ie różnicy pól danych w ielokątów ?

4. R ysunek przedstaw ia k w a d ra t o boku 3 cm, którego o d w ro tn a strona jest zaczerniona. W olno przeprow adzić cięcie ty l­ ko w zdłuż g ru b ej linii, poza tym w olno kw a­ d r a t tylko zginać w zdłuż cienkich linii. Ja k uzy­ skać w ten sposób cał­ kow icie czarny sześcian o kraw ędzi rów nej 1 cm? 5. Pięć kół przedstaw io­ nych na ry su n k u należy obiec w całości jednym pociągnięciem ołów ka, idąc po każdym z nich ty lk o raz i nie p rzecina­ jąc łuków . S . S. D ziałka w kształcie k w a d ra tu je s t w użytkow aniu 4 działkow iczów , którzy pobudow ali sobie a lta n y i odgrodzili je płotem z fu rtk a m i, jak pokazano na ry su n k u . W środku działki je st w spóln a s tu ­ dnia, dookoła k tó re j w pew nej odległości od niej ro sn ą 4 drzew a. Ja k podzielić działkę na 4 ró w n e części, by każdy działkow icz m iał dostęp do s tu ­ dni oraz dostał jedno drzew o i jedną fu rtk ę ?

7.

F ig u ra A C B D A na ry su n k u p rze d staw ia arbelon (po polsku — nóż garbarski). A rchim edes dow iódł, że pole jego p ow ierzchni rów ne je st polu kola o średnicy CD. J a k to udow odnić?

8. F ig u ra B D G C A F n a ry su n k u p rze d staw ia salinon (po' po lsk u — solniczka). A rchim edes dow iódł, że p o le je j pow ierzch n i ró w n a się po lu k o ła o śre ­ d n ic y FG. J a k to udow odnić? B

9 . D w ie

m u rzy ń sk ie w ioski leżą n a rów niku. N a j­ k ró tsz a odległość m iędzy nim i w ynosi 2 km . Ja k a je s t n ajw ięk sza odleg­ łość w lin ii p ro stej (geo­ dezyjnej) ty c h dwóch ■wiosek?10

10. G dzie leży śro d ek ciężko­ ści te j oto fig u ry ?

I znów na zakończenie cz w artej dziesiątki, ab y się nieco rozerw ać, om ów im y tu po trosze, to znaczy w skrócie, różne problem y. W yjaśnim y dziw ne t e r ­ m iny, niecodzienne podziały, łam igłów ki zegarow e i d etektyw istyczne i in n e n ie m niej ciek aw e zag a­ dnienia. A więc: 1. L oksodrom a... O rtodrom a... Co to jest? 2. WT koszu je st 10 buiek. N ależy podzielić je m iędzy 10 osobam i tak, by każda osoba otrzym ała l b u łk ę i by 1 bułka została w koszu, (żart) 3. Kij m a dw a końce. Ile końców m a trz y i pół kija? Czy m oże być pom yślany ja k iś „teorety czn y ” k ij, k tó ry m a tylko jeden koniec?

4. W skutek nieurodzaju i k lę sk żyw iołow ych w p e ­ w nym k ra ju podw yższono ceny na w szy stk ie to ­ w ary n a jp ie rw o 20%, a później jeszcze o 25%. O ile zm alała siła nabyw cza pieniądza w ow ym k ra ju ? 5. D w óch ojców i dw óch synów podzieliło m iędzy sobą 600 zł, p rzy czym każdy otrzym ał po 200 zł. Czy to je st możliwe?, 6 6. Z egar chodzi dobrze, ale źle w ybija godziny — nie w y b ija godziny d w u n astej, lecz po wrybiciu je d en a stej b ije godzinę pierw szą. W skutek tego z bicia zeg ara rzadko m ożna dow iedzieć się, k tó ra godzina je st w rzeczyw istości. A le czasem zdarza się, że zegar w ybije p raw d ziw ą godzinę. T ak było w poniedziałek o dziesiątej rano: zegar u d erzy ł 10 razy. K iedy znów zegar w y b ije godzinę p r a ­ w dziw ą?

7 . Żelazny p rę t o długości 2 m zgięto dokładnie p o ­ środku tak . że m iędzy jego połów kam i pow stał k ą t 120°. J a k a je st odległość m iędzy końcam i po zgięciu? 8. D la w y b ra n ia spośród trzech detektyw ów n a j­ zdolniejszego poddano ich n astę p u ją c e j próbie. P okazano im 6 kapeluszy: 3 czarne i 3 brązow e, n astęp n ie zgaszono św iatło, w zupełnej ciem ności w łożono każdem u z nich na głow ę jeden z ty ch kapeluszy i pow iedziano: „K tó ry z w as po za p a­ len iu św iatła zobaczy na głow ie kolegi brązow y kapelusz, podniesie ręk ę do góry, a gdy domyśli się, jakiego k o lo ru k apelusz m a n a w łasnej gło­ wie, ręk ę opuści. Tem u, k to p ierw szy zgadnie, jakiego k oloru kapelusz m a n a głowie, będzie pow ierzona w ażna m isja". G dy ty lk o na nowo roz­ błysło św iatło, w szyscy trze j podnieśli rękę; po p aru sekundach jeden ręk ę opuścił. Jakiego ko­ loru k apelusze były na głow ach detektyw ów i jak rozum ow ał ten, k tó ry ręk ę opuścił? 9. W bukiecie je st w ięcej niż 10 i m niej niż 25 tulip an ó w i narcyzów razem . S um a liczby tu li­ panów i n arcy zó w postaw iona „do góry nogam i" (obrócona o 180°) rów na się iloczynow i tych liczb. Ile k w iató w było w bukiecie? 10 10. Uczeń m iał dodać n apisane w słupek trzy trz y ­ cyfrow e liczby. M iał on niedobry zw yczaj przed rozw iązaniem zaglądać do odpow iedzi. Z ajrzał i zobaczył 2553. Z aglądając do odpow iedzi, uczeń przypadkow o obrócił do góry nogam i k a rtk ę z n a ­ pisanym ćwiczeniem . N ie zauw ażyw szy tego. w y ­ konał dodaw anie i otrzym ał 2553. Ja k ie liczby uczeń dodał?

41. BEZ

TYTUŁU

A u to r nie znalazł ty tu łu dla tego rozdziału, po n ie­ w aż nie m a w nim ani problem u w prow adzającego, an i prow adzącego. Z adania, k tó re w ystępują, są je d n a k w y starczająco ciekaw e i bliskie sp raw życio­ w ych, aby je przedłożyć uw adze C zytelnika. A p rz y ty m n ie są an i łatw e, an i b analne.

1. Z egar spóźnia się. O godzinie 12 pok azu je l t godzinę 48 m inut, a o godzinie 18 pokazuje 17 go­ dzinę i 30 m in u t. K iedy w skazyw ał w ty m dniu* godzinę praw idłow ą? 2. P olski m a te m a ty k

S tan isław . Solski (1622—1701), a u to r dzieła Geometra Polski, w ydanego w 1683, po d ał ta k ie sw oje oryginalne tw ierdzen ie: „P o le koła, którego prom ień je st śred n ią p ro p o rc jo n aln ą m iędzy tw orzącą stożka i prom ieniem p o d sta w y tegoż stożka, je st ró w n e pow ierzchni bocznej tę g a sto ż k a”. J a k to w ykazać?

3.

P ew ien o ry g in ał — sta ry m a te m a ty k n a p isa ł W sw oim n o ta tn ik u : „W yszedłem n a w ycieczkę w ro k u 2200002, w dniu 200 lip c a o godzinie 109 m in u t 22 i w róciłem w ty m sam ym dniu o go­ dzinie 22 m in u t 20 p o p o łu d n iu ”. Czy ta n o ta tk a m a sens?

4. P olsk a je s t podzielona n a 17 w ojew ództw . N a m ap ie k aż d a p a r a sąsiad u jący ch ze sobą w o je ­ w ództw m a in n e b arw y . Ilu n a jm n ie j b a rw trz e b a użyć do praw idłow ego sp orządzenia ad m in istra­ cy jn ej m a p y P olski? 5 5.

K lom b m a k s z ta łt trzech p rzecin ający ch się o k rę -

gów, k tó re dzielą go na 7 kw iatow ych sektorów . J a k obejść gran ice tych sektorów , przechodząc po każdej g ranicy ty lk o jeden raz?

6 . T rzyw agonow y sk ła d tram w ajow y m ija przechod­ nia na początku w ysepki w ciągu 4 sek, a w y ­ sepką tram w ajo w ą, m ającą 90 m długości, m ija w ciągu 10 sek. J a k a je st długość tego składu tram w ajow ego? 7. K tó ra z dw u liczb zespolonych je st w iększa: 5 — 2i czy 3 + 4t? 8. Jednym cięciem to r t można podzielić na 2 części; dw om a cięciam i n a 4 części (części nie m uszą być rów ne); trzem a cięciam i na 7 części itd. N a ile (co najw yżej) części m ożna podzielić to rt 10 cię­ ciam i? 9. K ropla w ody jest ku lk ą o średnicy m niej w ięcej 1 mm. Ile k ro p ele k w ody zm ieści się w b u telce o pojem ności — 1? 410 10. Co je st w iększe: sin 1470° czy sin

49 6 n?

T akie p y ta n ie n asu w a się nie ty lk o p rzy rozw iązy­ w aniu zadań m atem atycznych, ale i w życiu co­ dziennym . O dpow iedź na nie nie je st łatw a. T rudności w y n ik ają stąd, że albo nasze m yślenie logiczne jest niedostatecznie spraw ne, albo zaw odzą nasze zm ysły (najczęściej w zrok, dotyk, słuch). Jeżeli odpow iedź n a pytanie: „W iększe czy m niejsze?" zależy od n a ­ szej in tu ic ji czy od spostrzegaw czości, to jej p r a ­ w dziw ość je st rów nież w ątpliw a. Z aw odność in tu icji je st znana; in tu ic ja to p rzek o n an ie nie p o p arte do­ w odem , o p a rte na dośw iadczeniu, k tó re z kolei zdobyw am y za pośrednictw em naszych nied o sk o n a­ łych zm ysłów . K to nie był o fiarą złudzenia o pty­ cznego? W reszcie p rzykład, którego w y jaśn ien ie za­ w iera jedno z p y ta ń tego rozdziału: gdzie je st w ięcej p u n k tó w —na polu k o ła o pro m ien iu 1 cm czy na polu koła o pro m ien iu 1 km ? T ak, odpow iedź na pytanie, co w iększe, a co m niejsze, nie zaw sze jest łatw a.

(nieskończenie w iele razy pow tórzone)

je st

pew ną

liczbą

skończoną;

2 ... (też nieskończenie w iele razy pow tórzone) — je st rów nież pew ną liczbą skończoną. K tó ra z tych liczb je st w iększa? l 2. Szachow nica zaw iera 64 k r a tk i i m a k sz tałt k w a ­ d ratu . G dzie je st w ięcej p u n k tó w — na całej szachow nicy czy na jed n ej kratce? 3. K aw ałek m ydła m a k ształt kuli. Po upływ ie 7 dni używ ania średnica k u li-m y d ła zm niejszyła się do połow y. N a ile jeszcze dni w ystarczy tego m ydła, jeżeli będzie się go używ ać ta k sam o inten sy w n ie ja k dotąd?

i. Chłopczyk b aw ił się w ydm uchiw aniem b an iek m ydlanych. Je d n a szczególnie m u się udała. P r a ­ gnąc ją pow iększyć, dm uchał dalej, aż pękła. W chw ili pęknięcia średnica bańki zw iększyła siędw ukrotnie. Ile r a 2y cieńsza była pow łoka? 5. K tóry z prostokątów o danym obw odzie l m a n a j­ w iększe pole? 6. Z pro stokątnego a rk u sz a blachy szerokości l trz e ­ ba zrobić rynnę. J a k i kształt należy n ad ać p rze­ krojow i tej ry n n y , aby była stateczna i m iała jak najw iększą przepustow ość? 7. N iedaleko szosy, po tej sam ej jej stronie, zn a jd u ją się dw a osiedla A i B. P rzy szosie postaw iono w p u n k cie P sklepik tak, aby łączna długość drogi do niego z A i B, czyli długość P A + P B była najm n iejsza. G dzie m usi leżeć p u n k t P ? 6. Ja k a jest najw ięk sza długość łódki, k tó ra możejeszcze przejść przez k an a ł szerokości a, sk ręc a­ jący pod kątem prostym ? 9. P ółproste A C i BC A tw o rzą k ą t 60°. M ię­ dzy ram io n am i tego k ą ta poprow adzono odcinek PQ pro sto ­ p adły do BC i ła m a ­ ną QRSTUWZ... w ten sposób, że k ażd j je j odcinek je st p ro ­ stopadły do jednego z ram ion k ą ta ABC. Co je st w iększe: odcinek PQ czy sum a w szystkich pozostałych n odcinków łam anej (w—>.oo)? 10. Co je st w iększe: ułam ek okresow y 0,3383... czy sum a p ostępu geom etrycznego - - - f i - f 1 -f 1 . l gd y 3 a 27 81 liczba jego w yrazów dąży do nieskończoności?

fs — 500 zag ad e k m a t e m a t y c z n y c h

115

/JO SEZAM CIEKAW OSTEK, W . ZAGADEK I ŻARTÓW

Z agadki i ciekaw ostki logiczne od n ajd aw n iejszy ch ■czasów były w ypoczynkiem kształcącym . Szczególnie zagadki. W daw nych czasach um iejętność rozw iązy ­ w an ia zagadek podnosiła znaczenie człow ieka. C za­ sem rato w a ła mu życie, ja k o tym św iadczy g reck i m it o S finksie, k tó ry każdem u przechodniow i za d a­ w ał zagadki, a tego, k to nie um iał ich rozw iązać, strą c a ł w przepaść. E dypa, idącego do Teb, zap y tał: k to z ra n a chodzi n a czw orakach, w p o łu d n ie na dw u nogach i w ieczorem n a trzech? E dyp o dpow ie­ dział: „człow iek”, bo n a jp ie rw raczk u je, p o tem cho­ dzi n a dw óch nogach i w starości p o d p ie ra się k osturem . P rzysłow ia i zagadki św iadczą o m ąd ro ści ludu. N ie uw ażajm y w ięc za stracony czas, k tó ry spędzim y n a odgadyw aniu zagadek, ciek aw o stek i rżartów. Sezam ie zagadek, otw órz się!.

1. F ra n c u sk i m a tem aty k S. P oisson (1781—1840) b ły ­ skaw icznie rozw iązał ta k ie zagadnienie. K u p io ­ no gąsior w in a o pojem ności 8 k w a rt. K u p io n e w ino trzeb a było podzielić n-a dw ie ró w n e części. J a k to zrobić, kiedy w zajeździe b yły ty lk o dw a n ac zy n ia — jedno o pojem ności 5 k w art, a d ru g ie o pojem ności 3 k w a rt? .2. Sześć szklanek u staw iono w szeregu ja k n a ry ­ sunku. S zklanki oznaczone n u m eram i 1, 2, 3 są nap ełn io n e w inem . S zklanki 4, 5, 6 są p u ste . J a k poruszyć tylko je d n ą szklankę, aby po k ażdej szklance z w inem n astęp o w ała szk lan k a p u sta ?

3.

Z 12 zapałek należy ułożyć figury w ta k i sposób,, by m iały rów ne obw ody (12 zapałek)', a pola — 9 zapałek „k w a d ra to w y ch ”, 8z2, 7z2, 6z2, 5z'ń 4z2, 3ż2 Ja k to zrobić?

4. Jak ustaw ić liczby 0. 1, 2, 3, 4 na polu szachow ni­ cy o 25 k ratk ach , aby sum y liczb zamieszczonych, w każdym w ierszu i w każdej kolum nie równamy się 10 i aby żadna cy fra nie p o w tarz ała się w żadnym w ierszu poziomym ani w żadnej ko lu ­ m nie pionow ej’ 5.

T u rysta w stąpił do leśniczów ki i poprosi! o sprze­ d a n ie -M itra śm ietany. L eśniczyna pow iedziała, że ch ętn ie by mu sprzedała, ale nie ma odpow iedniej m iarki, bow iem przechow uje śm ietanę w d okład­ nie litrow ych g linianych dzbanuszkach. „P roszę m i dać jeden tak i dzbanuszek, a sam sobie o d leję do m enażki d o k ła d n ie - -litra". Ja k to zrobił? 2

G, W jednej ze sw oich bajek b ajk o p isarz greck i Ezop przytacza ta k ą rozm ow ę m iędzy m ułem a osłem : — S p raw iedliw iej byłoby zdjąć ze m nie je d en w orek i nałożyć go na ciebie, w tedy byśm y m ieli po rów no — m ów i m uł. Na to osioł: — S praw iedliw iej byłoby zrobić odw rotnie, z d jąć ze m nie jeden w orek i włożyć na ciebie, abyś jakosiln iejszy dźw igał dw a razy w ięcej ode mnie. i Ile w orków niósł na grzbiecie m uł. a ile osioł? 7 7. W polskim podręczniku ary tm ety k i z X V II w ieku z n a jd u je się ta k ie zadanie: „K aw alerow i, chcącem u się dowiedzieć, ile było p an ien na pew nej zabaw ie, jedna z nich pow ie­ działa: G dyby nas było jeszcze 2 razy tyło, co nasjest, i połowa tyło i trzecia część tyło, i jeszcze 2. toby n as spełna było 25". Z ap y tan a pani dołożyła jeszcze te słow a:

„Chciey, a zgaduy, M ości P anie, N ajpiękniejszać się dostanie: T ra fił i zgadł, że ich było ... w szystkich. A w ięc się spełniło To, co było obiecano, G dy m u słow a dotrzym ano. P anien było...” Ile? ^Podręcznik, z którego w zięto to zadanie, m iał t y ­ t u ł n a całą stronicę. O to jego początek: A r ith m e t y k a To iest N au k a R a c h u n k u Na T rzy Podzielona Xięgi. W Pierw szey Doskonałe y skuteczne, a do rozum ienia łatw e, ie d n e m u Principiantowi, m a sz opisane A r ith m e ty k i Species... A to koniec: P rzez K .S. pilnie napisana y w y d a n a w K rakow ie u S che dlów J.K.M. Typogr. 8. K ostka sześcienna je st pom alow ana n a czarno. K raw ęd ź k o stk i w ynosi 3 cm. K ostkę tę rozcięto n a 27 k o ste k o k raw ęd z i 1 cm. Ile w śród ty ch 27 ko stek m a 3 ściany czarne, ile dwie, ile jed n ą, a ile an i jednej ściany czarnej? '9. N a N ow y Rok pew ien fa rm e r dał każd em u z trze ch sw oich synów ty le dolarów , ile k ażd y z nich m iał lat, razem 24 dolary, ale p rzy ty m w y ra ził ta k ie żądanie: „Niech najm łodszy z w as połow ę otrzym anych ode m nie pieniędzy za trzy ­ m a sobie, a resztę podzieli w rów ności między sw ych dw óch braci. Po ty m podziale niech śred n i syn połowę pieniędzy, k tó re ma, zostaw i sobie, a resztę podzieli w rów ności i da najm łodszem u i n ajsta rsz em u b ra tu . W reszcie niech to sam o zrobi n a jsta rsz y z w as”. W rezu ltacie każdy o trzy m ał jednakow ą kw otę. Ile,k aż d y z b raci m iał lat? 10 10. P ew n a gospodyni m iała podsm ażyć z dw u stro n 3 jednakow e skibki Chleba na patelni; k tó ra może zm ieścić ty lk o dw ie ta k ie skibki. Podsm ażenie z jednej stro n y trw a m inutę. Po ilu n a jm n ie j m i­ n u ta c h m ożna podsm ażyć te 3 skibki o b u stro n n ie?

44. BIG O S

MATEMATYCZNY

P rzepis: do łu ta geom etrii euklidesow ej dodaj dobrze utłuczoną łam igłów kę i k ilk a szczypt te o rii praw d o ­ podobieństw a, w szystko to zm ieszaj z rachun k iem algebraicznym i po p o lan iu sokiem sp ry tu i dociekli­ w ości sm aż przez k ilk a godzin, aż sta n ie się ru m ia n e i lekko straw ne. P odaw ać do stołu m ożesz na zimno •i n a gorąco. 1. Co otrzym am y, jeżeli pole k w a d ra tu o boku a po­ m nożym y przez ji (pi)? 2. N a ry su n k u m am y 3 okręgi, na k tó ry ch rozm iesz­ czono 9 k rąż k ó w tak, że na każdym okręgu je st 5 krążków . J a k rozm ieścić w k rąż k ach 9 liczb od 1 do 9, by su m a każdej p ią tk i liczb z n a jd u ją ­ cych się w k rąż k ach n a każdym z trzech okręgów w ynosiła 25?

3. T ort m a k sz ta łt sześcioboku forem nego. Ja k po­ dzielić ten. to rt n a 8 geom etrycznie rów nych porcji? 4* 4. Ile je st sposobów podzielenia pow ierzchni k w a ­ d ra tu n a 5 p rzy sta ją cy c h do siebie części?

5,

N a ogólnej sali pew nego schroniska turystycznego' zam ieszkało. 6. pań, k tó re p a ra m i albo ze sobą sy m ­ p aty zu ją , albo się nie znoszą. W śród ty ch 6 pań nie m a gru p y złożonej z 3 osób, k tó re by ze sobą. w zajem nie, sym patyzow ały. J a k w ykazać, że istn ie ­ je w śród nich g ru p a złożona z 3 osób, k tó re sięw zajem n ie nie znoszą? Uwaga: p ro b lem należy rozw iązać graficznie, b io rą c 6 p u n k tó w np. n a okręgu i łącząc je lin iam i c ią ­ głym i (sym patyzują) lub p rzery w an y m i (nie znoszą, się).

B.Dwie jednakow e ru ry p ro ste o w ew nętrznym p ro ­ m ieniu r p rze n ik ają się w zajem n ie tw orząc k rzy ż. J a k . óbliczyć objętość ich w ew nętrznej w sp ó ln e j części? 7

7.

W pew nej rodzinie sk ła d ające j się z 3 osób: sy n a , ojca (p ro fe so ra m a te m a ty k ir i m a tk i — w szyscy byli zapalonym i graczam i w szachy. N ajm o cn iej­ szym graczem był ojciec, najsłab szy m m atk a. P ew nego d nia syn poprosił ojca o 100 zł n a so b o t­ n ią zabaw ę. P o nam yśle ojciec ta k pow iedział sy ­ now i: dziś je st środa, ju tro czw artek, p o ju trz e piątek. W ciągu tych 3 dni zagrasz ze m n ą i z m a t­ k ą n a przem ian 3 p a rtie (każdego d n ia jed n ą).

Jeżeli w ygrasz 2 n astęp u jące po sobie p artie, otrzym asz 100 zł. — A od kogo m am zacząć, od ciebie czy od m atk i? — zapytał syn. — To zależy od ciebie — pow iedział ojciec z ta ­ jem niczym uśm iechem . J a k syn m iał grać 2 p artie, by m ieć jak najw ięcej szans w y g ran ia 2 kolejnych p a rtii — czy w k o lej­ ności ojciec — m a tk a — ojciec, czy m atk a —• ojciec — m atk a? 8 . Z naleźć n ajm n ie jszą liczbę, przez 2 — daje resztę ró w n ą 1 3 — „ 4 — „ 5 — „ 6 —

„

9 —

„

k tó ra

podzielona

„ 8

9. F otograf chce przerobić k w ad rato w e okno sw ojej pracow ni na in n e okno tak sam o kw adrato w e, o tak iej sam ej szerokości i w ysokości co obecne, lecz o polu dw a razy m niejszym . J a k to zrobić? 10 10. Przed w yruszeniem na w ycieczkę nauczyciel zebrał uczniów i chciał ich ustaw ić param i, ale jeden uczeń został bez pary. To samo było, gdy chciał ich ustaw ić tró jk a m i albo czw órkam i; zawsze po­ zostaw ał jeden uczeń bez przydziału. D opiero 'gdy ^nauczyciel u staw ił uczniów piątk am i, żaden z uczniów nie pozostał poza p iątk ą. Ilu było uczniów ?

45 . ROZM AITOŚCI

ROZRYW KOW E

I znów ro zryw ka! Czy nie za dużo ty ch ro zry w e k ? Nie, n ie za dużo, bo ro zry w k a rozryw ce n ie ró w n a . N asza k o le jn a p o rcja rozrywkj. zaw iera nieco histo rii, np. angielskie zadanie o T u rk ach i ch rześcijan ach , k ilk a odgadyw anek liczbow ych, bad an ie sp raw n o ści spostrzegaw czej i k ilk a innych drobiazgów . ,.G łow ie­ n ie się” nad ta k im i pro b lem am i je st w praw d zie ro z ­ ryw ką, ale ro zry w k ą in stru k ty w n ą , w y m ag ającą do­ ciekliw ości m atem atycznej. A w ięc zabaw m y się.

1. F. C ajori w sw ej Historii elem entarnej m a te m a ­ t y k i podaje zadanie przedłożone rzekom o w p ie rw ­ szej połow ie X V III w. przez A nglika W in g ate’a. Oto ono: ,,15 chrześcijan i 15 T u rk ó w płynęło n a ty m sa­ m ym sta tk u przez m orze. K tóregoś dnia m orze gw ałtow nie w zburzyło się i zagroziło k a ta stro fą . W idząc niebezpieczeństw o, k ap itan sta tk u o z n a j­ m ił, że będzie zm uszony .w yrzucić za b u rtę 15 osób, by uratow ać pozostałych 15. W szyscy zgo­ dzili się na to, by osoby, k tó re m ają być w rz u ­ cone do m orza, w ybrać losow aniem w sposób n a­ stę p u ją cy : w szystkie 30 osób ustaw'i się w koło (na k sz tałt pierścienia); potem licząc od k tó reg o ­ kolw iek z ustaw ionych 30 ludzi w p o rząd k u cy­ klicznym co dziew iątego w yrzucać za b u rtę, aż n a sta tk u z 30 pasażerów zostanie tylko 15. P y ta ­ nie: ja k należy ustaw ić tych 30 pasażerów , by los sk-azujący na w yrzucenie do m orza padł w yłącznie n a 15 T urków i nie p ad ł an i n a jednego ch rześci­ ja n in a ? ” 2. W sklep ie je st w aga szalkow a, nie używ ana je d n a k jako n iedokładna — jej ram io n a są nierów ne. M i­ mo to dokładne zw ażenie tow aru na te j w adze je st m ożliwe. J a k należy w ażyć?

3. K toś zadziw iał zebranych zdolnością odgadyw ania pom yślanej liczby. S ztuczka w y g ląd ała tak. O d­ g ad u jący m ów ił: „Pom yśl ja k ąś liczbę dodatnią i całkow itą. Pom nóż ją przez 4. Z otrzym anego iloczynu w yciągnij p ie rw ia ste k kw ad rato w y , ten pierw iastek podziel przez 2 i jeszcze raz podziel przez 4. Ile o trzy m ałeś?” Z ap y tan y odpow iedział: 1. O dgadujący po pew nym nam yśle pow iedział: „P om yślałeś liczbę 16. Czy ta k ? ” — „ T a k ”. W jaki sposób osoba p y ta jąc a odgadła pom yślaną liczbę? 4. Ja k ie cyfry należy podstaw ić za x i y, aby p ra w ­ dziw y był n astęp u jący zapis: x v y y v v v y v

M

V V V V v y v v x

y y v v

5. Dwie liczby dw ucyfrow e różnią się od siebie o 5; obie są podzielne przez 5, a ich sum a podniesiona do k w a d ra tu je st liczbą, k tó rą o trzy m am y pisząc te dw ie liczby obok siebie (jedną po drugiej). Co to za lic z b y ? 6. Na załączonej tablicy je st 51 liczb (od 0 do 50).

N ależy je odszukać i w skazać w kolejności 0, 2, 3, 4... Ile czasu zużyje ich odszukanie? Je że li w y starczą 3 m inuty, spostrzegaw czość je st b a r ­ dzo dobra. 7.Poniżej m am y pięć słupków z liczbam i od 1 do 31. Ilość i w ielkość ta k ich słupków m ożna przedłużyćdo dow olnej liczby, je d n ak z b ra k u m iejsca o g ra­ niczam y się do podanych. M ożna te ra z zapropo­ now ać kom uś, by pom yślał dow olną liczbę sp o śró d 1 — 31 i pow iedział, w k tó ry ch słupkach ona fig u ­ ru je. N a te j podstaw ie m ożna odgadnąć, ja k a licz­ ba b y ła pom yślana. Na czym polega ta jem n ica t e j m etody? I 1 3 5 7 9 11

11

111

>7 1 1 2 1 1* 19 19 3 1 6 22 21 23 25

7

23

10

26 27

13

27 29

1 11 U

1 15

31

1 15 1 31

30

IV

V 24 1

16

24

17

25

18

12

25 26 27 28

19 20

26 27 28

30

13 14

29 30

21 22

29 30

15 1 31

1 15

31

4 5 6 7 12 13 14

20 21 22 23 28 29

8 9 10 11

1 23 1 31

8. N ad m orzem z n a jd u ją się 3 przy stan ie: A, B, C nie leżące n a jednej jorostej. W yznaczyć n a w y ­ b rze żu 2 p u n k ty D i E, -w k tó ry ch należy p o sta ­ w ić kioski z nap o jam i chłodzącym i tak, aby od­ ległość: a) AD — BD — CD i b) CE = BE = DE. 9 9. S ą 3 u rn y . W każdej u rn ie są 2 gałki: czarn a •— czarna, b ia ła — b ia ła i b ia ła — czarna. N a u rn a c h są odpow iednie etykietki, ale w iadom o, że w szy st­ kie' ety k ie tk i są poprzekładane. Ile p o trzeb a zrobić

ciągnięć, aby się dowiedzieć, ja k ie gałki są w ja ­ k ie j urnie? 10. R ysunek p rze d staw ia b anderę pirackiego żaglow ­ ca. 12 pasów, k tó re w idać na niej, oznacza, że w niew oli z n a jd u je się 12 osób. Jeżeli liczba je ń ­ ców zm ieni się, to i liczba pasów zm ieni się. P e ­ w nego dnia p irac i stra c ili 2 jeńców . J a k rozciąć b an d e rę na 2 części, aby po ich zszyciu, nie o drzu ­ ca ją c an i k aw a łk a m ateriału , m ożna było otrzy ­ m a ć b anderę o 10 pasach? O

-------------------------------- :_________________ ______ 123

AO O W IELU RZECZACH W N IEW IELU SŁOW ACH

a m ianow icie o p an u Jan ie, k tó ry lu b ił spacery,' jesz­ cze o spiralach, o w ęzłach, o kry p to g rafach , o sza­ chistach i o innych drobiazgach Z akończeniem tego rozdziału je st szarad a — „zakończenie”.

I.P a n J a n m ieszka n a P rad ze, a m iristerstw o , w k tó ry m pracuje, zn a jd u je się w okolicy p lacu U nii L ubelskiej. Mimo ta k znacznej odległości p an Ja n zaw sze chodzi do p rac y pieszo. P o p rzejściu trzeciej części drogi m ija p rzy sta n ek tram w ajo w y , przy k tó ry m je st zegar. Z eg ar wówczas w sk azu je godzinę 745. Idąc dalej pan J a n w połow ie drogi do m in iste rstw a przechodzi obok b a ru m lecznego; je st w ów czas 755. P an J a ń w stęp u je n a śn iad an ie do baru. Z jedzenie śn iad an ia zajm u je m u 15 m i­ nut. O k tó re j godzinie pan J a n przyjdzie do m i­ n isterstw a, jeżeli w dalszym ciągu będzie szedł z ta k ą sam ą prędkością? O k tó rej w ychodzi z dom u? 2 .0 sp irali A rchim edesa i sp irali logarytm icznej b y ła już m owa. Czy istn ieją jeszcze jak ieś in n e spirale? 3. Co łączy sp iralę logarytm iczną z loksodrom ą? 4.

Z aw iązyw anie i rozw iązyw anie w ęzłów je st w n a ­ szych czasach nie tylko rozryw ką, ale i n au k ą. Są w ęzły o trzech, czterech, pięciu i w ięcej skrzyżo­ w aniach. K tóry z przedstaw ionych n a ry su n k u n a następ n ej stronie różnych typów w ęzłów m a n ajm n ie j (ile?) skrzyżow ań, a k tó ry najw ięcej (ile?) skrzyżow ań?

5.Ten w ęzeł przypom ina precelek. J a k a je st ró żn i­ ca m iędzy ry su n k am i a i b?

o

ó

6. J a k śą złączone 3 pierścien ie p rzed staw io n e n a ry su n k u ? Co się stanie, jeżeli rozetniem y jeden z ty ch pierścieni?

7.

M iędzy, m iastam i A , B, C i D istn ieją lin ie lo tn i­ cze. Odległość m iędzy m iastam i A i B w ynosi 370 km , m iędzy m iastam i A i C — 272 km , m ię-

dzy m iastam i A i D — 236 km , m iędzy m iastam i B i C — 642 km, m iędzy m iastam i B i D — 656 km . J a k a je st odległość m iędzy m iastam i D i C? 8.

C zterech panów : X, Y, Z, W um ów iło się n a sp o t­ k a n ia w klu b ie dla gry w szachy. X p rzychodził do k lu b u co dzień, Y — co drugi dzień, Z — co trz e c i dzień, W — co czw arty dzień. J a k często w szyscy czterej spotykali się w k lu b ie razem ?

,9. Pism o tajem n e, czyli k ry p to g ra fia je st n ie tylko ro zry w k ą , ale m a czasem znaczenie p rak ty czn e. N iżej podajem y zaszyfrow ane zdanie sk ład ające się z dw u słów i k lu cz do jego odczytania. DDABFQ QMNVNL A oto klucz: 142857142857142857... 0 A BCDEFGH IJK LM N OPQ RSTU W XY Z 1 BCD EFG H IJK LM N O PQ RSTU W X Y ZA 2 CD EFG H IJK LM N O PQ RSTU W X Y ZA B 3 D EFG H I JKI.MNOPQRSTXJWXYZABC 4 EFGHTJKEM NOPQRSTUW XYZABCD 5 FG H IJK RM N O PQ RSTU W X Y ZA BCD E 6 G H lJK LM N O PQ RSTU W X Y ZA BCD EF 7 H IJK LM N O PQ R STU W X Y ZA B CD EFG 8 IJK LM NO PQRSTU W X Y ZA BCD EFG H 9 JK LM N O PQ RSTUW X YŻA BCDEFG HI Ja k ie zdanie zaszyfrow ano? 10. D wie pierw sze sylaby tego słow a to sym bole n a j­ b ard z iej znanych sta ły c h m atem aty czn y ch ; trz e ­ cia sy lab a to nazw a p rzy rzą d u do p o m ia ru p rę d ­ kości okrętu . R azem — słow o to je st synonim em „zakończenia”. Co to za słowo?

J a k dobre w ino dojrzew a, zależnie od g atu n k u , w ró ż­ n ych beczkach, ta k też i różne „ g a tu n k i” m atem aty k i fe rm e n tu ją i n a b ie ra ją m ocy w różnych — w y ra ża jąc się m etaforycznie — beczkach. Na „beczkach” ty c h w id n ie ją napisy: A ry tm ety k a, A lgebra, G eom etria,... L ogika, Topologia... itd., itd., bow iem tych beczek je st p o n ad pięćdziesiąt. Z apraszam y więc C zytelnika na d eg u stację. Je d n ak uprzedzam y, że nie sięgniem y pa n ajw y ższe gatu n k i, bo te dla nie przygotow anych żo­ łą d k ó w m ogłyby się okazać n ie straw n e, ale po g atu n k i p ro ste, szerokiem u ogółow i znane.

I. P odaną fig u rę podzielić na 9 p rzy sta ją cy c h sieb ie i podobnych do danej figury części.

dO'

2. O jciec pow iedział sw oim synom : „D am w am dorów nego podziału pudełko czekoladek, jeżeli ten p o dział p o traficie przeprow adzić w te n sposób, aby jeden z w as w ziął sobie

1 czekoladkę i część reszty, drugi 2 czekoladki i I część now ej 6 2 resz ty , trzeci — 3 czekoladki część dalszej 6

re sz ty i ta k do końca, aż pudełko będzie pusteT S ynow ie zgodzili się i podziału dokonali. Ile cze­ k o la d ek było w p u d ełk u i ilu synów m ia ł ojciec? 3. W ogrodzie siedziały 4 p a ry narzeczonych i za ja­ dały śliw ki. A ndzia zjad ła 2 śliw ki, B eata — 3. C elina — 4, D anusia — 5. Ich narzeczeni rów nież

nie próżnow ali. A ndrzej zjad ł tyle, co jego n a rz e ­ czona, B ogum ił 2 razy tyle, co jego narzeczona, C ezary 3 razy tyle, co jego narzeczona, w reszcie D am ian 4 razy tyle, co jego narzeczona. W szyscy razem zjedli 44 śliw ki. J a k ie są im iona p a r n a rz e ­ czonych?

4. Po p raw ie trzech la tac h p ływ ania, dnia 10 lipca 1522 roku, pow rócił do S antiago w H iszp an ii z pierw szej w ypraw y dokoła św iata statek „V ictoria”, jedyny, k tó ry pozostał z flo ty lli M a­ gellana. S tatk iem dow odził w zastępstw ie zabitego M agellana Del-Cano, a dziennik pokładow y b a r ­ dzo sk ru p u la tn ie p row adził A ntonio P ig afetta. M i­ mo sk ru p u la tn y c h codziennych zapisów . P ig a fe tty w dzienniku pokładow ym dzień pow rotu „V ictorii" b y ł zapisany jako środa 9 lipca, gdy w ty m d n iu k a le n d a rz w S antiago w skazy w ał czw artek 10 lip ­ ca. Dlaczego? 5. Ile okrągłych, pieńków porąbano, aby podane n a ry su n k u szczapy drzew a?

o trzym ać

6. Co to jest? • • • •

• • • •

• 6 • •

$9 • •

7

2

3

4

G © 19 ® o9 ® •

«® ®e

5 i 6 i /

• * ® •

• • • •

8 1 9

0

• • 09

7. Na kierm aszu książkow ym zakupiono książek za 94 zł. Ceny poszczególnych książek były różne: 13 zł, 15 zł i 17 zł za egzem plarz. Ile książek każdego ty tu łu kupiono, jeżeli liczba kupionych książek była p arzy sta?

8. J a k i

je st o bszar prostokątnego ogródka, jeżeli liczba krzew ów rosnących w zdłuż jego obw odu je st rów na liczbie krzew ów rosnących w jegow n ętrzu , przy czym odległość m iędzy krzew am i n a obw odzie ogródka w ynosi 1 m, a w jego w n ę­ trz u każdy k rzew zajm u je pow ierzchnię 1 m 2?

9. O ddział piechoty uform ow any w kształcie k w a ­ d ra tu o boku b = 20 m m aszeru je w lin ii pro stej ze sta łą prędkością. W środku ostatniego szeregu (w punkcie A) b iegnie pies, k tó ry je st m ask o tk ą oddziału. W pew nym , m om encie pies pobiegł (z s ta ­ łą prędkością) z A do B, do pierw szego szeregu od­ działu (patrz rysunek). D obiegłszy do pierw szego szeregu (do p u n k tu B), pies n atychm iast' w ra ca z pow rotem do ostatniego szeregu (do A). W tym sam ym czasie, g dy pies biegł z A do B i z B do A poprzez m a szeru jący oddział, oddział p rze su n ął się o s — 20 m. J a k ą drogę (ile m etrów ) przebył pies biegnąc od A do B i z pow rotem ?

B

A9

9 — 500 zag ad e k m a t e m a t y c z n y c h

129

10. R am iona sześcioboku gw iaździstego p rze cin a ją się w 12 p u n k ta c h oznaczonych n a ry su n k u k ółkam i. J a k rozm ieścić w tych k ó łk ach liczby od 1 do 12 ta k , b y su m a liczb n a k ażd ej z 6 p ro sty ch tw o ­ rzących fig u rę w ynosiła 26?

48 .

d l a k a ż d e g o c o ś c ie k a w e g o

czyli k ró tk ie n o ta tk i z różnych działów : o trzech zegarach, o działaniach arytm etycznych, o złotym tró jk ą cie , o w ojsku A lek san d ra M acedońskiego, o po­ dziale w ygranej, o roztarg n io n y m rac h m istrzu i o in ­ nych spraw ach pom niejszych.

1 . U zegarm istrza w iszą 3 zegary. Je d en idzie dobrze (ani spieszy się, an i późni), drugi spieszy się o 10 m in u t na je d n ą godzinę, trzeci późni się o 10 m in u t na je d n ą godzinę. W p ew n ej chw ili w szystkie 3 zegary w sk azu ją tę sam ą godzinę. Po upływ ie jakiego czasu w szystkie 3 zegary znów w sk ażą praw dziw ą godzinę? 2.

M iędzy podanym i cyfram i należy postaw ić znaki działań i naw iasy tak , by spełniły się rów ności, k tó re tu są n ap isan e: 1 2 3 4 ■*= 2 1 2 3 4 5 = 2 1 2 3 4 5 6 = 2 1 2 3 4 5 6 7 = 2 1 2 3 4 5 6 7 8 = 2 R ozw iązując to zad an ie m ożna dw ie lu b trzy ko­ le jn e cyfry, uw ażać za jed n ą liczbę. 3

3.

J a n Brożek, p ro feso r A kadem ii K rakow sk iej, za­ proponow ał około r. 1625 sw oim słuchaczom tak ie zadanie zaczerpnięte z pism D iofantosa: A lek san ­ der W ielki rozdzielił sw oje w ojsko, liczące 30 228 w ojow ników , m iędzy 12 wodzów. W ódz I otrzy ­ m ał 2 razy ty le w ojska, co II; I II — 3 razy tyle, co IV; V — 4 razy tyle, co VI; V II — 5 raz y tyle, co V III; IX — 6 ra z y tyle, co X; X I — 7 razy tyle, co XII.' Ilu w ojow ników przydzielił A lek san d er W ielki każdem u w odzow i?

4.

O dcinki a i b są bokam i p ro sto k ąta ABCD, przy czym b je st w iększą częścią odcinka a podzielone­ go podziałem złotym, to znaczy że a : b = b : (a—b). U m ów m y się nazyw ać tak i p ro sto k ąt złotym . Od p ro sto k ąta złotego ABCD odjęto k w ad rat EECD = == b2. Czy p ro sto k ąt A B F E je st też złoty? W jaki sposób m ożna otrzym ać dalsze złote p ro sto k ąty ?

5. Ja k i tró jk ą t nazw alibyśm y złotym ? 8 . O dcinek R je st prom ieniem okręgu. Czym jest w ię k ­ sza część R podzielonego podziałem złotym ? 7 .T rzy p a ry (każda p ara składa się z b ra ta i sio­ stry) w y g rały na L oterii P ań stw o w ej 100 000 zł. W ygraną podzielono na ti części (nierów nych) stosow nie do w ysokości udziału w k u p n ie losów. D ziew częta otrzym ały razem 39 600 zł w ten spo­ sób, że K ry sia otrzym ała o 1000 zł w ięcej niż Ewa, zaś H ala o 1000 zł w ięcej niż K rysia. Bolek B ulski o trzym ał dw a razy tyle, co jego siostra,

S tasiek S tac h u rsk i — tyle, co jego siostra, a Ł u ­ k asz Ł ukaw ski o 50% w ięcej niż jego siostra. J a k brzm ią nazw iska dziew cząt? 8. K w ota pieniężna posiad an a przez A w y raża się k w ad ratem pew nej liczby; kw ota p o siadana przez B — p ierw iastk iem k w adratow ym z tejże sam ej liczby. A le jeżeli A odda B 310 zł, k tó re jest mu w inien, to A i B będą m ieli ta k ie sam e kw oty Ile m a A, a ile B? 9. D w aj bracia uczą się w tej sam ej szkole. S tarszy b r a t drogę z dom u do szkoły przebyw a w 30 m i­ n u t, a m łodszy — w 40 m inut. M łodszy b ra t w y ­ szedł z, domu do szkoły o 5 m in u t w cześniej od starszego. Po ilu m inutach i w ja k iej odległości od szkoły starszy b r a t dopędzi m łodszego? 10. P ew ien roztarg n io n y człowiek m iał odjąć od sześcianu danej liczby 255, zam iast to jednatc uczynić, dodał do p ie rw ia stk a sześciennego z tei liczby 255. Mimo to ostateczny w ynik obliczenia b ył praw idłow y. J a k to była liczba?

W średniow iecznej szkole był tzw. „Ośli m o st’’ (Pons Asinorum), przez k tó ry m usiał p rzejść żak, aby zdobyć stopień m agistra. C zytelnik, p rag n ący od­ pow iedzieć na p y ta n ia rozdziału 50 (n a jtru d n ie jsz e ­ go), m usi się poddać próbie: m usi przejść przez m ost erudytów . N apotka na tym moście różne przeszkody, k tó ry ch pokonanie w ym aga dociekliw ości i sp ry tu , o rien tacji geom etrycznej, zdolności anality czn y ch i um iejętności w ykonyw ania prostych op eracji alg e­ braicznych. A w ięc śm iało przez m ost do rozdziału o ty tu le „P otęga ró w n a n ia”.

1. R ebus. Ja k ie pojęcie m atem atyczne je st w nim zaszyfrow ane?

2. K w a d ra t składa się z 25 jednakow ych k ra te k . Ś rodkow ą k ra tk ę wycięto. P ole pozostałych 24 k r a ­ te k m ożna 7 sposobam i podzielić n a 4 ró w n e części po 6 k ra te k w każdej. W ja k i sposób to zrobić? 3. P an X posiada m ały ogródek i 3 piękne ęw ocow e sadzonki. P a n X chce je posadzić tak , ab y ro sły w 3 lin iach pro sty ch , ale po 2 drzew a w k ażdej linii. J a k to zrobić? 4* 4. P ew ien bibliofil m iał w sw oim księgozbiorze 3-tom ow e dzieło, do którego nie zaglądał przez k ilk a lat. G dy przy p ad k iem zajrzał n a półki, z p rzerażen iem stw ierdził, że mól w y jad ł drogę od p ierw szej k a rtk i tom u pierw szego do o statn iej

k a rtk i tom u trzeciego. Ja k długi był tu n el w y je­ dzony przez m ole (prostopadle do okładzinek każ­ dej książki), jeżeli grubość każdego tom u w ynosi 3 cm, przy czym na okładziny każdej książki 'w y p ad a po 0,25 cm (na górną i dolną), a na kartki, po 2,5 cm? 5. L iczb rozpoczynających się jed y n k ą je st n ie­ skończenie w iele, ale są w śród nich tak ie, k tó re zw iększają się trzy k ro tn ie , jeżeli cyfrę stojącą na końcu przenieść na początek. Czy p o trafisz zna­ leźć ta k ą liczbę? B. W ychow aw ca

dzieci K arola W ielkiego, angielski m nich A lkuin (V III w.) w ydał zbiór zadań pt. Propońtiones ad acuendos iuvenes (Z adania dla w yćw iczenia um ysłu młodzieży). W śród tych za­ dań je st ta k ż e tak ie: „D w aj h a n d larze kupili w spólnie stado w ieprzy liczące 250 sztuk i zap ła­ cili za nie ogółem 100 solidów (solid — jedn o stk a m onetarna). G dy h a n d larze chcieli sprzedać w ie­ prze, n ik t nie chciał im dać w ięcej ponad cenę, ja k ą oni sam i dali: po 2 solidy za 5 sztuk. Ja k tu sprzedać bez zarobku? Podzielili w ięc stad o na ' 2 części i — chociaż sprzedali po 2 solidy za 5 sz tu k — coś p rzy ty m jeszcze zarobili. Ja k to uczynili? 7. Boisko sportow e m a k sz tałt p ro sto k ąta o bokach długości 80 m i 60 m. Dookoła boiska (w jego w n ę­ trzu) biegnie droga w szędzie jednakow o szeroka. J a k a je st szerokość drogi, jeżeli jej pow ierzchnia ró w n a się połow ie pow ierzchni boiska? 8 8. J a k obliczyć objętość puszki z k onserw am i w k ształcie w alca, jeśli oklejająca ją ety k ieta jest k w a d ra te m o boku a cm? Uwaga: e ty k ieta nie o k leja an i dolnego, an i górnego dna puszki.

9. Ja k ie chybił ta k ich , dzielną

.iest (praw dopodobieństw o w yciągnięcia n a tra fił spośród 10 cyfr od 0 do 9 trzech żeby z nich m ożna było ułożyć liczbę poprzez 9?

10. Ja k ustaw ić 10 osób w ten sposób, by pow stało 5 szeregów po 4 osoby w każdym , tw orząc p rzy tym p ię k n ą fig u rę geom etryczną?

N ajw ażniejsze to ułożyć rów nanie. P otem ró w n an ie już m yśli za r.as, pozostaw iając nam ty lk o m echa­ niczne przeróbki. R ów nanie, to zloty klucz, k tó ry o tw ie ra w szystkie sezam y m atem atyczne. R ó w n an ia u k ła d a ją nie tylko specjaliści różnych w spółczesnych n au k , układali je rozw iązując sw oje p ry m ity w n e problem y ludzie przed tysiącam i lat, choć w in n e j form ie, niż my to czynim y. Rodzina ró w n ań tak się rozrosła, że trzeb a je było poklasyfikow ać. P osegre­ gow ano je w edług liczby tzw. niew iadom ych (ró w n a­ n ia z jedną, z dw iem a, z trzem a i w ięcej n iew ia­ dom ym i), w edług potęg, w k tó ry ch w y stę p u ją n ie­ w iadom e (rów nania pierw szego, drugiego itd. stopnia), w yróżniono rów nania algebraiczne, trygonom etry czn e, w ykładnicze, lo garytm iczne i jeszcze inne, k tó re w y ­ stę p u ją w m atem aty ce w yższej. W tym rozdziale C zytelnik o trzy m a do rozw iązania 10 zadań. Czy­ je rozw iąże? N ajw ażniejsze to: w ybór niew iadom ej, k tó rą najczęściej oznaczam y lite rą x, i ułożenie rów n an ia. i. i. P rzy szkole je st koło przyrodników . K oło u p ra ­ w ia dw ie działki dośw iadczalne. Je d n a z tych działek je st 3 razy m niejsza od drugiej. Gdy trz e b a było je opleć, członkow ie koła postanow ili, że w szyscy w ezm ą w tym udział i będą p raco w ali jednakow o in ten sy w n ie i rów nom iernie. W ozna­ czonym dniu w szyscy przyszli i zaczęli opielac w iększą działkę. A le po upływ ie l/3 części dnia roboczego trzecia część członków koła zw olniła się do domu, pozostali podzielili się na 2 rów ne części, przy czym je d n a z tych części praco w ała n ad a l na w iększej działce, a d ruga poszła n a m niejszą działkę. W końcu roboczego dnia okazało się, że m niejsza działka została całkow icie opielona, a na w iększej działce p raca nie b yła zakoń­ czona. Aby ją dokończyć, 2 członków koła m usiało jeszcze pracow ać przez cały dzień. Ilu członków należy do koła?

2. L otnik leciał w lin ii p ro stej na w ysokości a = = 2000 m. W m om encie gdy p rzelatyw ał nad wieża, puścił w ruch stoper. Po upływ ie t = 15 sck spostrzegł, że k ą t depresji* w ieży w ynosi a = 75°. Z ja k ą prędkością poruszał się sam olot? Lecąc dalej z je d n o sta jn ą prędkością lotn ik zm ierzał do siedziby swego pułku, n a któ rą m iał zrzucić pocztę. Ja k i pow inien być k ą t depresji siedziby p u łk u w chw ili, gdy lo tn ik zrzucał pocztę? U w aga: nie uw zględnia się oporu pow ietrza i za­ k ład a się, że nie m a w iatru . 3. Pew ien chłopiec, k o rzy stając z nieuw agi dozorcy, zab aw iał się na ruchom ych schodach. Raz biegał po schodach w znoszących się do góry, to znów po schodach poruszających się w dół. G dy schody szły do góry, n a przebiegnięcie po nich 9 m w górę i pow rót do p u n k tu w yjścia chłopiec p o trz e ­ bow ał 25,2 sek. Na schodach idących w dół po­ trzebow ał na przebieg 9 m w górę i z p ow rotem — 42 sek. Z ja k ą p rędkością poruszały się schody, jeżeli prędkość, z ja k ą chłopiec zbiegał w dół, b y ła o y3 w iększa od te j, z k tó rą biegł w górę? Z ja k ą prędkością chłopiec biegł po stopniach w górę? 4. Z działa zenitow ego w ystrzelono pionow o do góry. P ręd k o ść początkow a pocisku vg — 600 m /sek. Po ilu sekundach pocisk: a) osiągnie w ysokość 5,5 km ? b) osiągnie m ak sy m aln ą w ysokość? Dla uproszczenia obliczeń m ożna założyć, że p rz y ­ spieszenie g raw ita cy jn e g = 10 m /sek. 5. P atro l w ojskow y w ciągu t m inut p rzep raw ił się przez rzekę, k tó ra w m iejscu p rze p ra w y m a sze­ rokość a m etrów , a jej brzegi biegną po linii * K ąt m iędzy płaszczyzną poziom ą przechodzącą przez oko obserw ato ra a p ro stą łączącą p u n k t, położony poniżej tej płaszczyzny, z okiem .

p ro ste j i są d o ' siebie rów noległe. P a tro l w y ­ ląd o w ał o b m e tró w niżej w zględem m iejsca rozpo­ częcia p rzepraw y. P rędkość łodzi, w k tó re j odby­ w ała się p rzepraw a, w ynosi v m /m in w w odzie sto jącej. Ile w ynosi prędkość p rąd u rzek i i pod ja k im k ątem w zględem p rą d u płynął patrol?

8. R ysunek przed staw ia krzyż lo tary ń sk i. S kłada się on z 15 jednostkow ych kw adracików . P rzez p u n k t A przeprow adzono p ro stą BG, k tó ra dzieli po­ w ierzchnię krzyża n a dw ie ró w n e części. W jak im sto su n k u p u n k t B dzieli odcinek FC?

7. W spom niany już w poprzednim rozdziale -mnich A lkuin w sw oim zbiorze zadań d aje ta k ie zadanie:. P ies w ypłoszył zająca, lecz zanim zaczął go ści­ gać, zając zdążył już oddalić się o 10 swoich, zajęczych susów. Pies je d n ak szybko się opam ię­ ta ł i zaczął biec w tro p za zającem . Pościg b y ł n ie ­ łatw y , ale ostatecznie pies zająca schw ytał. Oblicz, ile skoków zrobił pies, zanim pochw ycił zająca, jeżeli 3 jego skoki są ró w n e 5 susom zająca, ale zając robi 12 susów w tym sam ym czasie, w k tórym pies robi 8 skoków . 8. W pew nej szkole była k asa oszczędności, do k tó re j w kładało ty lk o 12 osób. P ew nego dnia księgow y te j k asy ułożył listę osób w kolejności w ielkości ich w kładów i zauw ażył, że I osoba m a tyle, co II i III razem , II m a tyle, co III i IV razem , III m a ty le, co IV i V razem itd. IX m a tyle, co X i X I razem , w reszcie X ma. tyle, co X I i X II razem . Od pierw szej osoby dow iedzieliśm y się, że m a na książeczce 100 zł. Czy m ożna u stalić listę oszczędności poszczególnych osób? 9. Dla odm iany to p y ta n ie n ie posiada te k stu sło­ wnego. P o d an e ró w n an ie w ygląda bardzo sk ro ­ m nie, ale jego rozw iązanie nie je st łatw e: x — ^ a—

Va

+ x

Z naleźć a:. 18. Liczba L je st czterocyfrow a innej liczby całkow itej l: L — l!

i je st k w a d ra te m

D wie pierw sze cyfry L są jednakow e i dw ie ostatnie- cy fry są rów nież jednakow e. Z naleźć liczbę L i liczbę Z.

odpowiedzi

1 . N IEZW YKŁE WYWIADY

1. P itag o ra s z Sam os (582—ok507 p.n.e.), filozof-m isty k i m atem aty k grecki. • 2. P lato n (427—347 p.n.e.), jed en z n a jw y b itn ie j­ szych filozofów greckich. 3. A rystoteles ze S tag iry (384—322 p.n.e.), en cy ­ klop ed y sta starożytności, jed en z najw ięk szy ch filozofów greckich. ł. E uklides (ok. 365—300 p.n.e), sław ny m a te ­ m a ty k grecki; tw órcze la ta spędził w A le­ k sandrii. 5. M uham m ed ibn M usa A l-chw arizm i (ur. ok. 800 r. n.e.) — M uhammed,- syn M usy z Chr>rezm u (dziś U zbekistan), m a tem aty k i a s tro ­ nom arabski.

6 . R ene D escartes (K artezjusz, 1596—1650), filo ­ zof i m a tem aty k fran cu sk i. 7. G ottfried W ilhelm L eibniz m iecki filozof i m atem atyk.

(1646—1716),

n ie ­

8. P ic rre Sim on L aplace (1749—1827), fra n c u sk i m a tem aty k , fizyk i astronom . tO .Prof. d r H ugo S teinhaus (ur. 1887).

ZANIM NARODZIŁY SIĘ CYFRY I 1. K ażdy karb o w y m iew ał daw niej laskę czw orokanciastą, aby n a czterech je j k a n ta c h m ógł zacinać karby. P rz y pom ocy ty ch k arb ó w karb o w y znaczył liczby snopów zboża. W ten sposób pow staw ał zbiór karbów rów noliczny ze zbiorem snopów . Sposób ten był w użyciu u w ielu ludów pierw otnych. 2. Innym sposobem oznaczania liczby p o siad a­ nych przedm iotów było posługiw anie się sznurem

z naw iązanym i nań w ęzełkam i. T akie sznurki z w ę­ zełkam i w iązało się w pęki. W reszcie najczęściej spotykanym sposobem ,,reje stro w an ia” liczby posia­ danych przedm iotów było tw orzenie zbioru patyków' lu b pręcików , k tó re łączyło się w pęki. 3. W piątkow ym , w idać to ze sposobu tw orzenia ta k ic h ’liczebników , jak 5, 6, 11, 15, 20. 4. W języku fran cu sk im . Św iadczą o tym słow a ąuatre vingts — 80 (4 X 20); ąuatre vingt u n — 81 (4 X 20 + 1); ąuatre v i n g t douzó — 92 (4 X 20 + 12) itd. 5. Słow a tuzin, kopa (5 tuzinów ) i m endel (7 kopy) św iadczą o tym , że kiedyś liczyliśm y w układzie dw unastkow ym . N a tuziny liczym y n ie k tó re przed­ m ioty jeszcze i te ra z (np. talerze, krzesła, guziki itp.). G.Do trzech razy sztuka. G ada ni w pięć, ni w dziewięć. N atrę tn y prędzej w skóra, choć trz y po trzy plecie. 7,K rta albo krzta, a także ,,z k re te se m ”. „Nie zostało ani k rz ty ” znaczy to sam o; co nic nie zostało. „S tracił w szystko z k rete sem ” — zn a cz y strac ił w szy­ stko, co posiadał. 8 Siedem . „Za siedm iom a góram i, za siedm iom a la sam i”. Siedem oznaczało „bardzo w iele”, „m nó­ stw o ”. 9. Były to dziw aczne nazw y ta k zw anych apelesózo. Znaczyły to sam o co jeden, dw a, trzy, cztery, pięć... aż dó dziewięciu. P isano je n a liczm anach rachunkow ych, używ anych przy liczeniu na przy ­ rządzie rachunkow ym — abaku. Z am iast .kłaść np. trzy liczm any puste, . kładziono jeden z napisem ormis. 01 10. B adania językoznaw cze d ają podstaw ę do p rzy ­ puszczenia, że p ierw o tn i ludzie posługiw ali się różny­ m i liczebnikam i do oznaczania zbiorów ta k iej sam ej liczności: inne było słowo dwa, jeżeli chodziło o dw ie owce, a inne, jeżeli chodziło o dw a kam ienie. Ś w iadczj o tym chociażby istnienie dw u różnych słów (liczebników) dla oznaczenia „w ielkiej ilości” owiec i .w ielkiej ilości” kam ieni. P ierw szy zbiór

nazw ano „stad em ” albo „kierdelem ”, a drugi ..k u p ą” G dy liczebnik p rze stał być liczbą m ianow aną i stal się pojęciem oderw anym , a zw łaszcza gdy to pojęcie stało się przedm iotem rozw ażań m atem atyki, n a s tą p i­ ło jego rozszerzenie i szybki rozw ój.

3 . NARODZINY

CYFRY

1. 1967.

2. M ezopotam ia. 42, czyli 10 + 10 + 10 + 10 -i- 1 -+• + 1; ten sposób zapisu liczb nwzywa się a d a y ty w nym ; polega na dodaw aniu poszczególnych sk ła d n i­ ków. T ak tw orzono i zapisyw ano liczby m niejsze od 60. Z apisy liczb w iększych od 60 składały się z dwu części: pierw szą część pisano na zasadzie pozycyjnej, a drugą na zasadzie ad dytyw nej, np. druga liczba to 85 = 60 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1. 3.

X r* H H H H R A m i

4. 5. 1968. G. Chińczyków . 7. C yrylica (nazw a pochodzi od im ienia greckiego zakonnika C yryla, którego uczniow ie utw orzyli a lfa ­ betyczne pism o słow iańskie) je st o p a rta na alfabecie greckim , gdyż Ruś była w /o w y ch czasach w zasięgu k u ltu ry bizan ty jsk iej. C yfry — lite ry alfab etu sło­ w iańskiego (cyrylicy) naśladow ały cyfry — litery greckie. 8910 8. P iątkow ym . W idać to choćby ze sposobu w y ra­ żenia liczb 5, 10 i 15. 9. P olacy sw oich cy fr nie stw orzyli. 10. B olesław C hrobry używ ał cyfr rzym skich, bow iem cy fr h in d u sk o -arab sk ich E uropa jeszcze nie znała. Z ygm unt A ugust używ ał ju ż cyfr arabskich.

1. C yfry hinduskie. E uropę zapoznali z nim i A ra ­ bowie, którzy te cyfry zapożyczyli od H indusów . Rozpow szechnili je n a jp ie rw w Egipcie, później, po­ su w ając się ku zachodow i, w k ra ja c h położonych n a południow ych brzegach M orza Śródziem nego, w końcu w H iszpanii. Do k ra jó w zachodniej i środko­ w ej E uropy: Wioch, Niemiec, F ran cji, A nglii, Polski cy fry h in d u sk o -ara b sk ie zaw ędrow ały dzięki m a te­ m atykow i (w łaściw ie przedsiębiorcy handlow em u) L eonardow i z Pizy (ok. 1170-—1250), k tó ry w sp ra­ w ach handlow ych odw iedzał fak to rie kupców p izań skich wr m iastach M alej A zji i północnej A fryki. Po pow rocie do W łoch L eonardo napisał dzieło m a te­ m atyczne w ydane w 1202 pod ty tu łem Liber abaci (K sięga abaku), w k tó ry m podał 10 cyfr hinduskich i o p arty na nich system n u m eracji w'raz z p ra w i­ dłam i działań. 2. W yraz cy fra pochodzi od arabskiego słow a as-sifr albo sifr — co znaczy pusty; nazw ą tą o k re ­ ślano nasze zero. W daw nej Polsce cy frą nazywanosposób tajem nego p isan ia („przejęto list cyfrą p isa­ n y ”). Rówmież i zero nazyw ano w daw nej Polsce cy frą: „Nie idzie w liczbę cyfra przez się sam a, bo nic n ie w aży ja k plew a do m ia ry ”. Pochodzenie zera dotąd nie je st o statecznie w y ja ­ śnione. Są poszlaki, że idea zera, jako znaku n ie­ istn ien ia jednostek jakiegoś rzędu, b yła znana już G rekom i że z greckiej A leksandrii została w y ek s­ p o rto w an a na w schód do S yrii i P ersji, a stam tąd do Indii. Pow szechnie uw aża się, że zero dostało się do E uropy dopiero w X III w. i rozpow szechniło się dzięki tem u sam em u m atem atykow i w łoskiem u Leo­ n ard o w i z Pizy Fibonacciem u. W Polsce zero w y stę p u je już w końcu X IV w. w ro zp raw ie pt. A lgorismus vulgaris, n apisanej po łacinie przez Jo h n a z H clyw ood (Jan a Sacrobosco). 3. P od w zględem ad a p ta cji h induskiej num eracji P o lska przodow ała in n y m krajo m E uropy. C yfry h in ­ d u skie znajdujem y już w pew nej rozpraw ce m a te­ m atycznej z roku 1397, R ozpraw kę tę przechow uje się w bibliotece U n iw ersy te tu Jagiellońskiego w K ra- 10

10 — 500 z a g ad e k m a te m a ty c z n y c h

145

kow ie. W drugiej połow ie w. X V I już b yły w p o ­ w szechnym użyciu. 4. L iczebnik m ilion, jak o „g ruba tysiączka” od słow a m ille — tysiąc, pow stał w e W łoszech w X IV w. L iczebniki bilion = m ilion m ilionów ; try lio n = m ilion bilionów ; kw ad ry lio n itd. w ym yślił 1 o p u b li­ kow ał (1434) w sp ecjalnej ro zp raw ie fra n cu sk i m a ­ te m a ty k N icolas C huąuet. L iczebnik m iliard = tysiąc m ilionów pow stał w A m eryce w X IX w. M ilion, bilion, trylion itd. w eszły u nas w użycie dopiero w X V II w. 5. N ie n a kształcie cyfr, bo cyfry h in d u sk ie nie są lepsze od innych, ale na system ie pozycyjnym i na w prow adzeniu zera. G. W yrażam y je jako potęgi 10. N ie m am y słow a dla liczby w yrażonej np. je d y n k ą z 70 zeram i, więc piszem y i m ów im y 10T0 (dziesięć do potęgi sied em ­ dziesiątej). 7. G recy m ieli na oznaczenie 10a słow o miriacla. S taro ży tn i H indusi w języ k u literack im , który- n az y ­ w a się sa nskrytem . posiadali w y rażen ia dla nazw dziesięciu k olejnych potęg liczby 10-. 8. 10, poniew aż 3 , ----j/ 1000 10.

log10 1000 — 3,

9. 33 + 43 + . 53 ~ 63; tę zilustrow ać geom etrycznie: 10

1 zaś —r j — 1000. 10 zależność

m ożna

10. C y fra 5. Do w ypisania w szystkich liczb je d n o cyfrow ych trze b a 9 uderzeń. P ozostaje 91 u d erzeń na liczby dw ucyfrow e. P oniew aż 91 = 2 '4 5 + 1, m a ­ szynistka w ypisze 45 liczb dw ucyfrow ych (od 10— —54) i setn y p i uderzeniem będzie cy fra 5 — p ierw sza w liczbie 55.

ł

. LICZBY I UKŁADY N U M ERA CJI

1.

W dw ójkow ym ; dw iem a cyfram i: 0 i 1.

2. Może, np. układ 3.

dw unastkow y.

W układzie 10-kowvm w układzie 2-kow ym w układzie 3-kow ym w układzie 5-kow ym

20 10100 202 40

50 100 110010 1100100 1212 10201 200 400

4. Liczba 12xi = 1 • 123 + 2 • 122 + x • 12l + i • 12° ~ = 1728 + 288 + 132 + 10 = 2158 5. a) k a p a m egagrosów 5 grosów jota tuzinów 8 b) 8 m akrogrosów jo ta m egagrosów 6 grosów k a p a tu zinów 5. 6. a) w czw órkow ym 300(4)— 233(4j= 4 8 — 47 = 1 b) w piątkow ym 3 X 3 = 14j; j = 9 7. Sześć x - — siedem x 4- dw a = z e r o ___ n i ± y i i u ^ - i o o ■IIP • 10 __ ........' 10 • 110

x

* ' " ! i (ciy11 ! ) ■

111 + l 1100

x---T«iani I )

0 1

0 0 0

1 0 1

*>•0.1 (2) = y

albo

1 X 0= 0

0,001

: o,oi(2) : ( 10)

z (10)

0,0001(2) = ^

;

0,11,2)= - f - ( ż

~ T

(2)=

—

8 ( 10 )

0.010101,2)

( 10)

( 10 )

_ 1

0 X 1= 0 1X1= 1

0X0 = 0

1 _j_ JL To 64

64(|0)

10, W skaźnik kosztu zm niejszy się, jeżeli p będzie m o ż liw ie najm niejsze, czyli jeżeli m aszy n a liczy w u k ładzie dw ójkow ym . D latego większość m aszyn k o n stru u je się w u k ładzie dw ójkow ym . J e s t ty lk o jedno zastrzeżenie: m aszyna dw ójkow a n o tu je ty lk o dw a sygnały: 0 i 1; im pulsu elektrycznego nie ma: (0), lub im puls je st: (1). U dow odniono, że n ajb ard zie j ek o ­ nom iczny je st u k ład trójkow y, k tó ry n o tu je trzy sygnały: 0, 1, 2; im pulsu nie m a, im puls je st do d atn i i im puls je st ujem ny. Je d n a k trud n o ści k o n stru k cy jn e stoją n a drodze rozpow szechnienia m aszyn tró jk o w y ch .

8 . LICZBA L IC Z B IE NIERÓW NA 123

1. Nie, bo n aw et do najw ięk szej pom yślanej licz­ by N m ożna dodać 1 i w ów czas N + 1 > N. f 2. Istn ieje. 1 ję śt n ajm n ie jszą liczbą n a tu ra ln ą . 3. Liczby, k tó re m ogą być p ie rw ia stk a m i ró w n a ­ nia algebraicznego o całkow itych w spółczynnikach, czyli ró w n an ia postaci: a0x n + alx n~ 1 + ... + a n_j x + + an = 0, gdzie n je st liczbą n a tu ra ln ą , zaś a0, cą ... an — jakim ikolw iek liczbam i w ym iernym i (mnożąc obie stro n y ró w n a n ia przez w spólny m ian o w n ik •tych liczb m ożem y zawsze, uzyskać ró w n a n ie o w sp ó łczy n ­ nikach całkow itych).

Tstnieją. T akie liczby nazyw ają się p rze stęp n y ­ m i. L iczby p rzestępne nie mogą być p ierw iastk am i ró w n a n ia algebraicznego. 5. N a p rzykład st (pi), log 2... 8 . Sym bolem e nazw ano podstaw ę ta k zw anych lo g a ry tm ó w n atu ra ln y ch . Liczba e w przybliżeniu ró w n a się 2,71828182 (stała m atem atyczna). Tę przy ­ b liż o n ą w artość otrzy m u jem y ze w zoru e = lim fl+ — n- —>ooy

gdzi e n je st liczbą n a tu ra ln ą .

n /

O to przybliżone w arto ści e dla niek tó ry ch w artości n: n

i

2

3

4

5

...

e

2

2,25

2,3703

2,4414

2,4880

...

10 2,5937

7. S ą , ta k ie lic z b y n a z w a n o z e s p o lo n y m i. S k ła ­ d a j ą s i ę o n e z d w u c z ę śc i, c z ę ś c i r z e c z y w is te j i c z ę śc i u r o jo n e j. C zęść u r o jo n a z a w ie r a p ie r w ia s te k p o tę g i p a rzy stej

z lic z b y u je m n e j.

N p. 3 + V — 1; — ~

—

— 2 V — 5. P o s ta ć o g ó ln a lic z b y z e sp o lo n e j jest: a + b i ( i = V — 1; is = — 1). L ic z b y z e sp o lo n e są o d w z o r o w y w a n e p u n k ta m i n a p ła s z c z y ź n ie . 8. C h r o n o lo g ic z n ie D e sc a r te s. A le p r a w o o b y w a ­ t e l s t w a w m a te m a ty c e , z z a c h o w a n ie m s w o je j n ie ­ a k tu a ln e j ju ż nazw y „ u r o jo n a ”, o tr z y m a ły on e w k o ń c u X V II I w . po o p u b lik o w a n iu p r a c z n a k o m i­ t e g o n ie m ie c k ie g o m a te m a ty k a G a u ssa , k tó r y p o d a ł r e g u ły d z ia ła n ia n a n ic h i ic h g e o m e tr y c z n ą in t e r ­ p r e ta c ję . 9

9. Są^ I lo c z y n (2 + V — 1) • (2 — V — 1) = 5 oraz C l + V — 4) - (1— V — 4) = 5, p o n ie w a ż n a p o d s ta w ie w z o ­ r u : (a + b) • (a — b) = a2 — b2 m o ż e m y n a p is a ć oraz < (w iększe i m niejsze) w prow adził an g ielski m a tem aty k Tom asz H a rrio t (1560—1621), n ato m iast znak rów ności = in n y m a tem aty k an -

gielski, R o b ert Recorde (1510—1558). W szystkie te sym bole n ie od raz u w eszły w pow szechne użycie, m im o że są dogodne i przejrzyste. Z anim zostały p rz y ję te przez ogół m atem atyków , m usiały p rzeb y ć długi now icjat. 10. M atem atyk angielski Jo h n W allis (1616—1703). W a rto zauw ażyć, że R ene D escartes, w ielk i filozof i m a te m a ty k fran cu sk i, proponow ał użycie zn ak u oo ja k o znaku rów ności, je d n ak że nie zyskało to u zn a­ nia.

20.

DRUGA DEKADA ZA NAM I

1 . e — p i — gram . 2. W k w ad rac ie ABCD: 1) B rożek 2) E lipsa 3) E uk lid 4) P ro m il 5) C ztery 6) N aw ias W k w ad rac ie M ONP: „M atem atyka to klucz n a u k i”.

do

3. G w iazda pięcioram ienna, znak porozum iew aw ­ czy pitagorejczyków , ta je m n y sym bol alchem ików , godło pań stw o w e w ielu w spółczesnych p ań stw . 4. B rak słow a „ n a jk ró tsz a ”. P ow inno być: „N a j­ k ró tsza odległość... ró w n a się n ajk ró tsze j odległoś­ ci...” 5. N a 5 części.

6. Część diam en tu o w adze — całości m a w arto ść 4 1 3 9 — całości, część o w adze — całości m a w arto ść — 16 4 16 całości. O bie części razem J L + J L = JA. = A ; 16 16 16 8 s tr a ta w ynosi — p ie rw o tn e j w artości diam entu. N aj8

w iększa stra ta , gdy diam ent rozłupie się n a dw ie ró w n e części, w ów czas jego w artość sp ad a do poło-

8.9 + 10 + 11 =30 4 + 5 + 6 + 15 = 30 7 + 8 + 1 2 + 3 = 30 1 + 2 + 13 + 14 = 30 9 . 1560.

10. 7 + 49 + 343 + 2401 + 16 807 = 19 607

21.

CO TO JE ST?

1. R achunek w y k o nyw any n a p rzyrządzie sko n ­ stru o w an y m p iz e z Jo h n a N epera (w ynalazcę lo g a ry tm ó w , 1550—1617), służącym do u ła tw ien ia m noże­ n ia i dzielenia. P rz y rz ąd składa się z 10 sztabek (la­ seczek: rabdos po g rec k u znaczy laska). K ażda sztab k a je st podzielona n a 10 kw adracików , a każdy k w a ­ d racik podzielony je st p rze k ątn ą n a połow y. S ztab k i są ruchom e (prócz p ierw szej m ającej u góry 0) i m ogą by ć u staw ian e zależnie od potrzeby. N a ry su n k u je st p rzed staw iony sam p rzyrząd (a), m nożenie 615 X X 84 (b) i oddzielna sztabka (c).

2. P odział odcinka na ta k ie dw ie n ieró w n e części, z k tó ry ch w iększa (x) je st śred n ią p ro p o rc jo n aln ą m iędzy całym odcinkiem a i jego m niejszą częścią (a—x) : __ a : x — x : (a—x), skąd x a + a x — a- = 0; x (V5 — 1) K o n stru k cję odcinka x pod aje rysunek .

N azw ę „złoty podział” nadano te j pro p o rcji dopiero w początkach X IX w. W średniow ieczu nazyw ano ją „boską p ro p o rcją”. M atem aty k wło_ski Luea Pacioli w ydał w 1509 tr a k ta t zatytułow any"”O b o skiej p ro ­ porcji z ilu stra cjam i sam ego L eonarda da Vinci. K a ­ non złotego podziału był często stosow any w a rc h i­ te k tu rz e i rzeźbie, m. in. przez greckiego rzeźb iarza L eocharesa (IV w. p.n.e.) w posągu A polla tzwi belw ederskiego.

3. M etoda dow odu polegająca na „sprow adzeniu do niedorzeczności” przez dopuszczenie założenia sprzecznego z tezą, k tó re j należy dowieść. M am y np. udow odnić, że istn ieje nieskończenie w iele liczb pierw szych. P o słu g u jąc się m etodą reductio ad absur­ d u m zakładam y, że lic z b . pierw szych je st tylko skoń­ czenie w iele i p ew n a liczba pierw sza N je st n ajw ięk ­ szą liczbą pierw szą. W ychodząc z tego założenia i ro ­ zu m ując p o praw nie dochodzim y do w niosku, że licz­ b a N(N—1) (N— 2)... • 2 • 1 + 1 m usi być liczbą pierw szą, oczyw iście w iększą od N, a w ięc do w niosku sprzecz­ nego z naszym poprzednim założeniem . Istn ie je za­ te m nieskończenie w iele liczb pierw szych. M etodę reductio ad absu rd u m w prow adził P laton. 4 . P rzy rząd skonstru o w an y w A kadem ii P lato n a, pozw alał w yznaczyć dw a odcinki (x i y) śred n ie p ro -

B

D

p orcjonalne m iędzy odcinkam i a i 2a, dając ty m s a ­ m ym m ożność rozw iązania zadania o podw ojeniu sześcianu. Schem at k o n stru k cji krzyżaka w idać z ry ­ sunku. BD i AE są pro sto p ad łe do A B . P ro sto p ad łe listew ki PACBD , ustaw ione n a k sz tałt krzyża, m ogą się p rzesuw ać w zdłuż boków A E i BD. U staliw szy odcinki a i 2a ustaw ia się krzyżak tak jak n a ry su n ­ ku. O trzy m an e w ten sposób odcinki x i y sp ełn iają n astęp u jące zależności: x 3 = ay (z tró jk ą ta ABC ) oraz y 2 = 2a x (z tró jk ą ta ABD). Z rów nań ty ch m am y x 3 = 2a3, a w ięc odcinek x je st k raw ędzią szukanego sześcianu. 5. B a d ając w spółczynniki potęg dw um ianu: (a + b)» = 1 (a + b y = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

rozw inięcia

k o lejn y ch

P ascal zauw ażył, że d ają się o n e ustaw ić w postaci tró jk ą ta : 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 K ażda liczba w tym tró jk ą cie , prócz jedności, jest sum ą dw u liczb stojących bezpośrednio n ad nią. T ró jk ą t P ascala pozw ala od raz u napisać dow olną całkow itą potęgę dw um ianu, np. (a + b)4 = 1 ■a4 + + 4 • a3b + 6 • a2b2 + 4 • ab 3 + 1 • b 1. W spółczynniki ro z­ w inięcia (1, 4, 6, 4, 1) zn a jd u jem y w odpow iednim czw artym w ierszu tró jk ą ta . S . S. D ział algebry, k tó ry za jm u je się w y znacza­ n iem liczby różnego rodzaju połączeń (ugrupow ań elem entów ), ja k ie m ożna uzyskać z danych n elem en ­ tów zbioru skończonego. W kom b in ato ry ce rozróżnia się trz y ro d za je połączeń: rozm ieszczenia albo w a ­ ria c je (sym bol V™), p rzem iany albo p e rm u ta c je (sym ­ bol P n) i k om binacje C™. R o z m i e s z c z e n i a to ta ­ kie połączenia po m elem entów spośród danych n (w > m), Ijtóre różnią się m iędzy sobą albo sam ym i elem entam i, albo ich kolejnością. Liczba rozm ieszczeń z n elem entów po m w ynosi V™= n (n — 1) (n — 2)... X

X (n — m + 1); np. V, = 7 • 6 • 5 = 210. P r z e m i a n y (perm utacje) — połączenia z n elem entów po n, k tó re ró żn ią się m iędzy sobą kolejnością elem entów . Liczba p e rm u ta c ji n elem entów P = 1 • 2 • 3 . . . • n = «!, np. P g'§= 1 • 2 • 3 . .. • 8 = 40320. K o m b i n a c j e — połącze.nia z n elem entów po m (n > m), k tó re ró żn ią się od siebie p rzy n a jm n ie j jednym elem entem . Liczba w szj-stkich kom binacji z n elem entów po m w ynosi \ *

_ vn

\' n
. Długość w zorca m e tra w y ­ nosi 1 650 763,73 długości fali prom ieniow ania 86K r.

»

35.

W POLU, W LESIE, NAD RZEKĄ...

I.N a ry su n k ac h a i b pokazano, jak zm ierzyć w ysokość drzew a, do którego dostęp je st m ożliw y, przy czym n a ry su n k u a posługujem y się żerdzią (tyką), zaś na ry su n k u b notesikiem z w ysuw anym

ołów kiem ED. W ysokość drzew a BC 4- O A obliczam y z podobieństw a tró jk ą tó w ODE i OCB. O dcinki DE, BO i OE m ierzym y bezpośrednio. Na ry su n k u c p o ­ kazano, ja k dokonać pom iaru w ysokości drzew a, do którego dostęp je st niem ożliw y. U żyw a się do tego p rzyrządu składającego się z dw u listew ek Im i sn tw orzących k ą t prosty, przy czym im = m n = = 2sm. Oko m ierzącego zn a jd u je się raz w n, a ra z w l'. M am y BC = B n i 2BC = BV, skąd BC = B I ' — — B n — A A ',, co m ierzym y bezpośrednio. C

14

— 500 z a g a d e k m a te m a ty c z n y c h

209

o

2. O bjętość pnia drzew a, n aw e t ściętego i leżącego n a ziemi, oraz k u p y tłuczki m ożna obliczyć ty lk o w przybliżeniu. Istn ie je w zór, tzw. w zór Sim psona, k tó ry n a d a je się do obliczenia objętości p ro sto p ad ło ■ ścianu, w alca, ostrosłupa, stożka, stożka ściętego i kuli. W zór Sim psona m a postać: V = —(bx + 4b2 + 63) ,.gdzie h je st w ysokością (długością) b ry ły (pnia); Łą — polem dolnego p rze k ro ju ; b2 — środkow ego p rze k ro ju ; • górnego p rzek ro ju . Je śli p rze k ro je są kolam i, ich ob­ wód m ożna zm ierzyć z pom ocą sznurka, a dzieląc go 22 p rz e z — znajdziem y w przybliżeniu śred n icę p rze­ k ro ju . M ając średnicę, łatw o obliczyć pole p rz e k ro ju z w zoru — jtd 2 (d — średnica okręgu). 4 f 3. S taje m y tw arzą do rzeki; nad czołem dłonią lu b notesem robim y coś w ro d zaju daszka (jak w ów ­ czas, gdy p atrzym y pod słońce) i u staw iam y te n d a­ szek tak, b y jego dolny brzeg „d o ty k ał” p rzeciw leg ­ łego brzegu rzeki. N astępnie, zachow ując ściśle tę sa m ą postaw ę,-.obracam y się dokoła siebie o ta k i k ąt, b y _zobaczyć jakiś przedm iot n a brzegu, n a k tó ry m stoim y. N asza odległość od tego przedm iotu ró w n a się szerokości rzeki, bow iem obracając się z a k re śli­ liśm y łu k koła, którego prom ieniem je st szerokość rzeki.

4. Do zm ierzenia prędkości p rąd u rzek i p o trzeb n e są dw ie osoby. N ależy w ybrać taki odcinek brzegu rzeki, k tó ry je st prostoliniow y. Jeden z m ierzących u staw ia się w A , drugi w B, w odległości np. 50 m od p u n k tu A . P ierw szy w rzuca do w ody splaw ek (pustą butelkę, drew ienko) i gdy splaw ek przepływ a na w prost A , d aje znak ręką. Drugi p atrz y na zega­ rek. Gdy splaw ek przepływ a na w p ro st B, drugi znów p atrz y na zegarek. P rzypuśćm y, że na przepłynięcie 50 m spław ek potrzebow-ał 60 sek. P rędkość p rą d u w ynosi w ów czas — J I L . = J 5. m _ j e s t to jed n ak 60 sek 6 sek. prędkość p rąd u na pow ierzchni rzeki. P od pow ierzch­ nią je st ona m niejsza. P rędkość przepływ u całej m asy wody je st rów na m niej w ięcej — prędkości powderzch5 n k w e j, czyli w naszym przy p ad k u prędkość p rą d u rzek i w ynosi

5 • - - = - - . P o m iar należy pow tó6 5 3 sek rzyć k ilk a k ro tn ie , bow iem prędkość p rą d u w róż­ nych pu n k tach rzeki je st różna. 5. O bjętość stogu (patrz rys.) oblicza się w edług r 2

w zoru:

I

V = - j- I

rr

\

—- J , gdzie L je st długością

obw odu podstaw y, — w ysokością te j części stogu, k tó ra m a kształ w alca, H-> — te j części stogu, k tó ra m a k sz tałt stożka. G dy g órna część stogu m a k sz tałt półkuli (patrz rys. na str. 212), V = x R 2H + — n i e ­ gdzie H je st w ysokością części o kształcie w alca, a R — prom ieniem podstawmy w alca.

6. O bjętość ste rty p rzedstaw io n ej na ry su n k s k ła d a się z sum y objętości prostopadłościanu, k tó ­ rego podstaw ą je st p ro sto k ąt ABDE i w ysokością EEU o ra z objętości g ran iasto słu p a trójkątneg o o p o d sta­ w ie BCD i w ysokości DD, = £ £ , . W szystkie elem enty w ym iaro w e s te rt m ożna znaleźć bezpośrednio, m ając k a w a ł sznura. M asę siana (ciężarj znajdziem y mno­ żąc ciężar 1 m :i suchego siana (około 110 kg) przez o b jęto ść ste rty .

7. P rzypuśćm y, że odległość W arszaw a—Łódź, czy ■a km , sam ochód przejechał w ciągu t, godzin, zaś od­ ległość Łódź—W arszaw a w ciągu U godzin. W ówczas: — , bow iem .0,121212 .. . = — , 11 99 a — =_ _9_ 11 99 144 „ » 4 — > 0, 25 900 ’ 25 8 15 , 1000 ■15_- _8_ . . 15 8 _ 8 __ + ....= 100 'T o o ' lo o o io o o o i - J L 100 900 10 ©

:l i i

’ 900 ' 8. Nie, poniew aż 0,012(3j = i + ^ , czyli , zaś 5 u łam ek — nie da się zam ienić na skończony ułam ek dziesiętny. 9. K asjer ponum erow ał w szystkie skrzynie." N a­ stę p n ie z pierw szej skrzyni w ziął jedną m onetę, z d ru ­ giej — 2, z trzeciej — 3, z czw artej — 4 itd. aż do. dziesiątej. W szystkie te m onety — 55 sztuk — k asjer zw ażył i stw ierdził, że ciężar ich w ynosi nie 1100 g (20 g X 55), ale tylko 1088 g. Różnica 1100 — 1088 (12 g) pow stała stąd, że w śród w ażonych 55 m onet były fa ł­ szywe. Fałszyw ych m onet było 1 2 :2 , czyli 6 sztuk. Tych 6 m onet m usiało pochodzić ze sk rzy n i szóstej. L 10. Na pierw szym słupie w idniała liczba 10x + y (godz. 12); na drugim słupie w idniała liczba lOy + x (godz. 13); na trzecim słupie w idniała liczba 100x + y (godz. 14). Poniew aż autobus jechał ze sta łą prędkością, zachodzi rów ność: lOy + x — (10x + y) = 100x + y — — (lOy + x). Z tego rów n an ia znajdziem y: y — 5x. Poniew aż x i y są cyfram i, x może ró w n ać się tylko 1, a y rów nać się (i. G dyby za x w ziąć 2, y byłoby już rów ne 12, co je st niem ożliw e. Na słupach stały liczby:^ 16, 61, 106; prędkość au tobusu w ynosiła 45 km/godz.

. ANALIZA I SYNTEZA 1. A naliza. 2. Synteza, bow iem zaczynam y z tw ie rd z e n ia znanego: k w a d ra t każdej liczby ró żn ej od z e ra je s t w iększy od zera. 3 . ™ + 2 L > 2; — -l — — 2 > 0; n ' m n ‘ m m - + n 2— 2 m n y Q. (m — n)2 y 0 mn ’ mn O sta tn ia nierów ność je st praw dziw a, bow iem (m— n}2 i m • n są w iększe od zera. 4

\n

mI

o; / — ] 2 + / — \ 2— 2 > 0 ; \n ) \m j

/ ™ V + / M 2 > 2; / —] 2+ / — ] 2 + 2 > 4; / ™ + 2 l Y > 22; \n J \m I \nI \m.y \n mj — + — > 2, c. b. d. o. n m 5. Z proporcji: — = — i a < b nie' m ożna w y w n io 5 d skow ać, że c < d. Np. w p ro p o rc ji — ; —6 < — 3, 3 3 ale 6 nie je st m niejsze od 3; ta k sam o n ie m ożna w y ciągnąć takiego w niosku z pro p o rcji y 1 = - y . D o­ datkow ym założeniem w inno być: w szy stk ie w y ra z y pro p o rcji pow inny m ieć ten sam znak. 6. Np. 567, 438 i 129; 567 — 438 = 129. 7.

3.

10.

38.

IN D U K CJA i DEDUKCJA

f. Indukcyjne. O bliczenia S t , S 2, S-, d ają p odstaw ę do w ysnucia hipotezy, że w ogóle dla każdego n sum a n 5° n = Dla udow odnienia tego załóżmy, że w zór n + 1 n Sn = 'n + 1 c -k — k + 1 rów nież praw dziw y dla n = k + 1. M am y _ „ 1

k

______ 1 _______ k + 1 (k + 1) (k + 2) fc + 1 ' (fc + 1) (k + 2)

'k(fc + 2) + 1 . (fc + 1 ) (fc + 2)

fc2 -1-2fc + 1 _ (fc + l ) 2 (fc 4- 1) (fc + 2) (fc + 1) (fc + 2) _

fc + 1

fc * 2 a w ięc nasza hipoteza okazała się słuszna i m ożemy napisać S = — - — ■ dla każdego n. ■ n n - 1-1 2. D edukcyjne. Z ogólnego p raw a A rchim edesa w yciągnęliśm y w niosek dotyczący w yporności s ta t­ ków. 3. D edukcyjne. 4. Now ą p raw d ą je st: „P ow ietrze je st ściśliw e”. N ie było je j an i w zdaniu „każdy gaz jest ściśliw y”, an i w zd aniu „pow ietrze je st m ieszaniną gazów ”. D edukcja zaw sze doprow adza do jakiegoś now ego tw ierdzenia. 5. A rystoteles o sylogizmie.

(384—322 p.n.e.) w

sw ojej

n au ce

G. F ra n c is Bacon (1561—1626), filozof angielski. 7. di = a + d • 0; a2 — ai + d ■1 = a + d; c!;] = a2 44- d = a + 2d; itd. M ożna przypuścić, że każdy w y raz

p o stęp u rów na się pierw szem u w yrazow i plus różnica d pom nożona przez liczbę o 1 m niejszą od w skaźnika w yrazu: ą-, = a + 4cJ; a6 = a + ócl itd. Załóżm y, że ten w zór jest słuszny dla • Jc-tego w y razu ; w ykażem y jego praw dziw ość dla w yrazu (k + l)-ego. A w ięc ak = a + (k — 1) • cZ; a fc+1 = a fc+. d = a + ( fc — 1) • d + d — = a + kd. Z tego w idać, że jeżeli w zór je st praw d zi­ wy dla Jc-tego w yrazu, to je st on też praw dziw y dla w y razu (fc + l)-ego. B iorąc liczbę n zam iast k, o trzy ­ m am y w zór an _ l = a + nd. 8. Jeżeli „ktoś” zaw sze kłam ie, to pow iedzenie „w szystko, co pow iedziałem , je st k ła m stw e m ” je st zgodne z praw dą, a zatem „ktoś” w brew założeniu pow iedział tym razem praw dę. Jeżeli ktoś zawsze m ów i praw dę, to pow iedzenie je st kłam stw em , a w ięc znow u sprzeczność. J e s t to tzw . antynom ia. 9. Z dwóch części, z dowodów dw óch niezależnych tw ierdzeń: 1. teza je st praw dziw a dla n — 1 (lub n 1, 2 . . . ) ; 2. jeśli teza je st praw dziw a dla n — k, gdzie k je st dow olną liczbą n atu ra ln ą, to p raw dziw a je st ró w ­ nież dla n = k + 1. Jeśli o b y d w a te tw ierdzenia zosianą udow odnio­ ne, to w m yśl zasady indu k cji m atem atycznej teza jest p raw d ziw a dla każdego n atu raln eg o n. IB.N ależy w ykonać 4 przesunięcia ta k , jak to po­ k azu je załączony rysu n ek . I •— przesuw am y k rąż k i 3 i 4 na praw o. I I — p rzesuw am y krążki 1 i 2 na praw o. I II — przesuw am y k rą ż k i 4 i 1 na lewo. IV — przesuw am y k rąż k i 5 i 4 do lu k i m iędzy 3 i 2, >1

2

5

5

3

4

1 3

4

2

1. N ależy zbudow ać tr ó jk ą t p ro sto k ątn y o p rzy p ro sto k ątn y ch D i d. Koło, zbudow ane n a przeciw p ro sto k ątn ej tego tró jk ą ta jako na średnicy, ma pole ró w n e su m ie pól kół o średnicach D i d .

2. Z odpow iedzi n a poprzednią zagad k ę w ynika* że pole półkola A C B ró w n a się sum ie pól A m C 4- C n B . Jeżeli od obu stron tej rów ności odejm iem y o d c in k i kołow e A k C i CsB, to po lew ej stro n ie zo stan ie pole tró jk ą ta prostokątnego ACB, po p ra w e j dw a k się ­ życe: Am C \kA i BnCsB. W niosek; pole A C B - - pole A m C k A + pole BnCsB, 3. N ależy zbudow ać tr ó jk ą t p ro sto k ą tn y , k tó re g o p rze ciw p ró sto k ątn a .i je d n a Z p rz y p ro sto k ą tn y c h są

odpow iednio rów ne bokom danych sześciokątów . S ześciokąt forem ny o boku rów nym drugiej p rzy p ro sto k ą tn e j je st szukaną różnicą. 4.

K o le jn e . etap y

rozw iązania

ukazu ją

ry su n k i

5. Rozw iązanie p rze d staw ia rysunek. O bieg m o żn a rozpocząć z p u n k tu 1 i iść kolejno przez 1—2—3—4: —5—6—7—8—7—2—8—3—8—4—8—5—8—6.

G. Rozw iązanie p rzed staw ia ry su n ek .

7. P ole arbelonu rów na się polu półkola o śre d ­ n ic y A B = a + b m inus pola półkoli o śred n icy a i o śred n icy b, a w ięc P = — . |(a -)- b)2 — a2 — b2] — 8

=

.

Ś rednica CD, ja k o w ysokość tr ó jk ą ta p ro -

4 sto k ą tn e g o (k ąt w półkolu), jest śred n ią p ro p o rcjo n aln ą odcinków a i b, a w ięc CD2 = ab. S tąd P — = — . CD2, co było do udow odnienia. 8. P ole części zakresk o w an ej n a ry su n k u o trzy ­ mamy' dodając do półk o la o średnicy A B półkole o śred n icy CD i o d ejm u jąc dw a półkola o średnicy C A (CA = DB). Dowód podobny ja k w zagadce po­ przed n iej. 9. P oniew aż ró w n ik je st lin ią przechodzącą przez te dw ie w ioski, najw ięk sza odległość m iędzy nim i w „lin ii p ro ste j” w ynosi około (40 000 — 2) km , czyli około 39 998 km.

10. N ajp ierw należy podzielić fig u rę ABCD EF n a dw ie części: KBCD i K E F A i znaleźć śro d k i cięż­ kości Si i Si każdej z ty ch figur. Ś rodek ciężkości fig u ry ABCD EF m usi leżeć n a lin ii łączącej S, i S2. N astęp n ie dzielimy' fig u rę ABCDEF n a dw ie inne fig u ry : A B L F i ELCD i z kolei zn ajd u jem y śro d k i ciężkości' tyrch figur, oznaczając je lite ra m i Ą i Sr,, P u n k t, w k tó ry m lin ia S?,Sr, przecina linię S ąS2, czyli p u n k t S je st szukanym środkiem ciężkości fig u ry ABCD EF.

i.L o k so d ro rria („ukośnobieżna”) je st to lin ia k rz y ­ w a p rzestrzenna, poprow adzona na k uli i przecin a­ ją ca w szystkie je j p o łudniki pod sta ły m kątem (róż­ nym od prostego). S zlaki okrętów dalekobieżnych oraz sam olotów w pow ietrzu lecących prosto „przed jilcbie” m ają postać zbliżoną do loksodrom y. Nazwa „loksodrom a” została w prow adzona w 1624 przez.

uczonego holenderskiego S nelliusa. O rtodrom a je s t rów nież krzyw ą p rze strzen n ą ; je st to linia n ajk ró tszej odległości m iędzy dw om a p u n k ta m i na p ow ierzch n i Ziem i. W naw igacji m orskiej i pow ietrzn ej Ziemięp rz y jm u je się za k ulę; w ykreślona na niej ortodrom a je st lu kiem w ielkiego koła. O kręt (czy sam olot) pły­ n ący po ortodrom ie (różnej od południka) m usi wciąż, zm ieniać swój kurs. W skutek tego p arow ce p ły n ą n ie ściśle po ortodrom ie, lecz po pew nej- lin ii ła ­ m an ej, będącej połączeniem lokso- i ortodrom y. Sło­ wo o rto d ro m a m ożna przetłum aczyć jako ,'p ro sto b ieżn a”. 2.9 osób o trzy m u je tylko po bułce. O sta tn ia osoba otrzym uje kosz z leżącą w koszu bułką. 3. T yle co 4 k ije — osiem. K ij nieskończenie d łu g i m iałb y tylko jeden koniec. " 4. O jedną trzecią. Po pierw szej podw yżce za to ­ w ar, za który płacono 100 jednostek m onetarnych, m u ­ siano płacić 120 jednostek. Po drugiej — 150 (120 + 30)-

je d n o ste k . Siła nabyw cza jednostk i m o n e tarn ej zm n iejszy ła się ty le razy, ile razy 100 je st m n iej9 sze od 150, czyli stan o w i ty lk o — daw nej siły n a ­ byw czej. 5. Tak. D zielili m iędzy sobą ojciec, i syn jego syna (wnuk), czyli 3 osoby.

jego

6. Bicie zegara m ożna uw ażać rów nież za w sk a­ zów kę (dźw iękową), k tó ra całą ta rc zę „obiega” w ciągu 11 godzin (nie w y b ija godziny 12). D źw ię­ kow a w skazów ka w skaże praw idłow ą godzinę po w y p rzedzeniu w zrokow ej w skazów ki (godzinnej) o 11 godzin, czyli po upływ ie 5,5 doby. U w zględnia­ jąc, że zegar bił p raw idłow o w poniedziałek o godzi­ n ie 10 ran o (a więc bił praw idłow o ju ż od godziny pierw szej w poniedziałek w nocy), znajdziem y, iż (poza godziną je d en astą w poniedziałek rano) zegar będzie po raz pierw szy bił praw idłow o w sobotę o p ierw szej po p ołudniu i dalej aż do godziny je d e­ n a s te j w nocy. 7. A B = A C \ /3 = V 3 m

(jako bok

tr ó jk ą ta fo ­

re m n e g o w pisanego w o k rąg o prom ien iu .4C ~ 1 xn).

8. M ożliw e są 4 ko m b in acje nałożenia k ap elu s a) w szy stk ie 3 były czarne; b) 2 były czarne, 1 b r ą ­ zow y; c) 1 czarny, 2 brązo w e i d) w szystkie 3 b rązo ­ w e. W ypadki a) i b) nie w chodzą w rach u b ę, bow iem w ów czas nie w szyscy podniosą ręce. Mógł zajść ty lk o w y p ad e k c) albo d). W w yp ad k u c) w y g rał d etek ­ tyw , k tó ry w idząc przed sobą 1 kapelusz czarn y i 1 b rąz o w y opuścił ręk ę i pow iedział: „m am n a głow ie

kapelusz brązow y, bo gdybym m iał czarny, w ówczas d etektyw , którego w idzą w brązow ym kapeluszu, nie podniósłby rę k i do g ó ry ”. W ypadek d) pozo­ staw iam y do rozstrzygnięcia Czytelnikom . S. 9 tulipanów i 9 narcyzów , razem 18 kw iatów . 18 postaw ione ,,do góry nogam i” d a je 8 1 = 9 X 9 . 10. +

41.

666 888 999 2553

albo

+

696 969 888 2553

BEZ TYTUŁU

1 .0 godzinie 12 spóźnienie zegara w ynosi 12 m i­ n u t, o godzinie 18 —• 30 m inut, a w ięc w ciągu 6 go­ dzin zegar spóźnił się o 18 m inut. S późnienie o 1 m in u tę n astęp u je w ciągu 6 : 18 = -|-g o d z in y (20 m i­ nut). Spóźnienie o 12 m in u t nastąpiło p o - ig o d z X 12, czyli po 4 godzinach. W niosek: zegar w skazyw ał w łaściw y czas przed 4 godzinam i, czyli o godzinie 8. 2. N iech R będzie prom ieniem okręgu, l — tw o ­ rzącą stożka, r — prom ieniem podstaw y stożka. J e r P żeli — == -y , czyli R2 = Ir, to po pom nożeniu obu stro n te j rów ności przez .t uzyskam y szukan ą za­ leżność zcR2 = .-rrl. 3 Z treści n o ta te k w idać, że m a tem aty k nie uży­ w ał u k ład u dziesiątkow ego. B rak w n o ta tk ac h cyfr pow yżej 2 n ap ro w ad za na m yśl, że sta ry oryginał użvw ał układu trójkow ego. W u k ładzie trójk o w y m liczba 2200002,-i, = 2 - 3« + 2 • 3* + 0 • 3* + 0 • 33 + 0 • 3* + + 0 • 3i + 2 = 1946 (rok). Liczba 200(3) = 2 • 3* + 0 • 31 + -t- 0 = 18; 100,3) = 1 • 3* + 0 • 31 + 0 = 9; 22(3)= 2 • 31 + 2 = = 8; 2 0 , = 2 ■3> t 0 = 6. M atem atyk w yszedł n a w y ­ cieczkę 18 lipca 1946 roku o godzinie 9 m in u t 8, a w ró ­ cił w tym sam ym dniu o godzinie 8 m in u t 6 po po­ łu dniu.

4. C zterech. N ie w ym aga się, by k ażd e w o je­ w ództw o było pom alow ane in n ą barw ą, w ystarczy, b y sąsiednie, m ające w spólną granicę, b yły pom alo­ w a n e różnie. T akie pom alow anie nazyw a się p ra w i­ dłow ym . Z agadnienie, ilu b a rw potrzeba do p ra w i­ dłow ego pom alow ania m ap, w chodzi w zakres g a ­ łęzi m a te m a ty k i zw anej topologią. D ośw iadczenie w ykazało, że w ystarczą 4 barw y, ale dotychczas n ie m a m atem atycznego dow odu tego tw ierd zen ia. 5. R ozw iązanie p rze d staw ia rysunek . K olejność obchodzenia klom bów : 1—2—3—4—5—6—1—4—2-~6— —3—5—1.

B. 10 — 4 = 6; 90 : 6 = 15; 15 • 4 = 60. D ługość s k ła - . du tram w ajo w eg o w ynosi 60 m. 7. Liczby zespolone są nieporów nyw aln e p rzy p o ­ mocy znaku > lub < . Na to py tan ie nie m a odpo­ w iedzi w takim sensie, ja k to rozum iem y dla liczb rzeczyw istych. 8. Na 56 części. Liczbę tę d aje nam w zór em p i­ ryczny, otrzy m an y drogą prób: y — ~ ns + — n 4- 1 2 2 gdzie n oznacza liczbę cięć. Jeżeli do tego w zo ru p o d ­ staw im y n = l . (jedno cięcie), otrzym am y y — 2 (2 części); gdy n — 2, y = 4 (części); gdy n '= 3 , y = 7 it.d. W reszcie gdy n = 10, y — 56. 9. K ro p elk a w ody m a o b ję to ść—n m m 3 » 0,5236 m m 3. 6

a

w ięc

w aży

około

0,5236

— 1 w ody w aży 4 250 000 mg; 250 000 : 0,5236 » 477 463. W butelce zm ieś­ ci się zatem około 477 500 kropelek. fO. sin 1470° = sin-^5 jr, 6

m g;

poniew aż sin 1470° =

= sin (360° • 4 + 30°) = sin 3 0 °= -- i podobnie sin -49 Jl = 2

6

= sin |8 .t + 2 - j = sin 12 jt• 4 + ^ - j = s i n

42. W IĘKSZE 1.1. N iech

i-.

CZY M N IEJSZ E

V 2 \ ' 2 y ' 2 ........ — a;

w ów czas

a?—

— 2 V 2 V 2 j/ 2 . . . , czyli a 23*= 2a, skąd a = 2. II.

Niech y

2 + V7 2 + ]/2 + . . . = b; wówczas ba —

= 2 -f \‘ 2 + j y 2 + \ / 2 + ........ czyli b2 = 2 -f b, sk ą d b2— b — 2 = 0, a z tego b = 2. W niosok: a = b. 2. P u n k tó w je st jednakow o w iele. Dla dow odu ro zp a tru jem y ostrosłup, o p odstaw ie kw ad rato w ej o boku 8 jednostek, i jego p rzek ró j k w ad rato w y o boku rów nym 1 jednostce. K ażdem u p unkto w i p o d ­ staw y P m ożna przyporządkow ać p u n k t p rze k ro ju P', w którym p ro sta P S przebija p rzekrój, i na odw rót — p unktom P' przyporządkow ujem y w te n sam spo­ sób p u n k ty P. W idzimy, że każdem u p unkto w i je d ­ nego k w a d ra tu odpow iada przy ty m jeden i tylko jeden p u n k t drugiego, a więc ilości ich są rów ne. (Pozorny p ara d o k s tk w i tu w tym , że w obu p rzy ­ p adkach m am y do czynienia ze zbioram i nieskończo­ nymi.) 3. P rzy zm niejszeniu średnicy k u li do połowy, jej objętość zm niejszyła się do — części objętości 8

7 p ierw o tn ej. Zużyto zatem — m ydła. W niosek: m ydła 8

zostało jeszcze tylko na jeden dzień. 4. C zterokrotnie, poniew aż pow ierzchnia m a jąc ej k sz ta łt k uli zw iększyła się czterokrotnie.

bań k

5. K w a d ra t o boku — . O znaczam y długości bo4 ków szukanego p ro sto k ąta przez a: i ■ — — x, w ów czas jego pole P = x

— a:j = — x 2 + ^ x . J a k w iadom o

z nau k i szkolnej, fu n k cja k w ad rato w a m a m aksim um (albo m inim um ) dla w artości x rów nej śred n iej a r y t­ m etycznej jej pierw iastków , czyli x = — — . W na2a ■szym p rzy p a d k u b a - - — 1, więc x maj. Szu­ k an y p ro sto k ąt je st zatem kw adratem . G. K ształt trapezu rów nobocznego o k ą ta c h p rzy p o d staw ie 120°. P rzek ró j ry n n y m usi m ieć k sz tałt albo p ro sto k ąta, albo trapezu, jako że figury te są n a j­ bard ziej stateczn e (rys.). G dyby przek ró j zrobiono p ro sto k ątn y , m usiałby on być połową k w a d ra tu (pro­ sto k ą t o najw iększym polu) o obwodzie 21. P ole ta 72 kiego k w a d ra tu w ynosi — ; w tym w y p ad k u pole p rz e k ro ju ry n n y w ynosiłoby

G dyby p rzek ro jo w i

n ad a n o k sz ta łt trapezu, w szystkie trzy jego boki m usiały b y być sobie rów ne, czyli p rzek ró j b yłby po­ łow ą sześciokąta forem nego o obw odzie 2 I. Pole ta k ieg o trap e zu , a w jęc i p rzek ro ju ry n n y , w ynosi 7* \ / o

J2 \ / o

J2

---------; — — > - 77-, bow iem stosunek ty ch liczb jest 12

12

o

7. R ozw iązanie podaje rysu n ek . P u n k t C je st sy ­ m etryczny w zględem B (PB, jest osią sym etrii), a więc PC — PB. D roga od A do B z ..odbiciem ” w P je st zatem najkrótsza.

8. R ozw iązanie pod aje ry su n ek . Ł ódka przejd zie przez za k ręt k a n a łu tylko wówczas, gdy je j długość je st m niejsza od 2 a \/2 .

9. Są rów ne. Oznaczm y PQ = o. P oniew aż k o lej­ n e ogniw a ła m an e j są zaw sze p rostopadłe do ram io n A C lub BC, a k ą t m iędzy nim i w ynosi zaw sze 60°, stosunek ich długości je st ja k 2 :1 . M am y zatem Q R -i-R S + ST + . . . = - - + £_ + _ ! + . . . = 2 4 8 = a I—+ — + — + . . . 1 = a, gdyż sum a postępu geo\2 4 8 7 m etrycznego w n aw iasie w ynosi 1.

10.

S um a postępu je st w iększa, w ynosi ona 3 n ato m ia st u łam ek okresow y 0,3333 . . . =

yjO

_3 9

SEZAM CIEKAW OSTEK, ZAGADEK I ŻARTÓW 1.

Rozw iązanie' p rze d staw ia rysu n ek .

iOoGioGOi i

/

|

J

J

j

*

T

fiOa Qia Gi« S

0

■2

1

0

£

/ “™

J

2. N ależy w ziąć szk lan k ę n r 2 i zn a jd u jące w niej w ino przelać do sz k lan k i n r 5. N astęp n ie p o ­ sta w ić ją na d aw ne m iejsce. 3. R ozw iązanie p rz e d sta w ia ją ry su n k i a — g. W i-

(lać z nich, że ró w n e obw ody fig u r płaskich w aru n k u ją rów nego ich pola. R ozw iązanie p rze d staw ia

5. T u ry sta na rysunku.

nie

ry su n ek .

0

7

2

3

4

7

2

3

4

0

3

4

0

1

3

4

0

7

2

4

0

1

2

3

p rzechylił dzbanuszek, ja k

pokazano

6 . M ul m iał n a sobie 7 w orków , osioł 5 w orków . Jeżeli założyć, że m u ł dźw igał x w orków , zaś osioł y, otrzym am y u k ła d dw u rów n ań : x — l = j / + l ; x + l = 2(i/ — 1). z którego znajdziem y: y = 5, x = 7 7. P anien było 6. Z założenia i treści zadania w y ­ nika: x + 2 x + — x + — x + 2 = 25; 3-5- x = 23; x = 6. 2 3 6

8. K ostkę rozcięto, prow adząc 6 płaszczyzn. W re ­ zultacie otrzym ano: 8 kostek o 3 czarnych ścianach (na narożnikach rozcinanego sześcianu); 12 kostek o 2 czarnych ścianach (na kraw ędziach m iędzy 8 naro ża­ mi); 6 kostek o 1 czarn ej ścianie (w środkach 6 ścian rozcinanego sześcianu) i 1 k ostkę białą (w ew nątrz rozcinanego sześcianu). 9. W w yn ik u podziałów każdy z b rac i m iał 8 dola­ rów. Z anim n a jsta rsz y podzielił drugą połow ę swoich

pieniędzy, m ia ł 16 dolarów ; śred n i m iał 4 d o lary i najm łodszy 4 dolary. Z an im śred n i podzielił d rugą połow ę sw oich dolarów , m ia ł 8 dolarów ; n ajsta rsz y m iał 14 dolarów , a n ajm łodszy 2 dolary. Z anim n a j­ m łodszy podzielił, połow ę sw oich pieniędzy, m iał on 4 dolary, śred n i m iał 7 dolarów , a n a jsta rsz y 13 do­ larów . Z tego w nioskujem y, że n a jsta rsz y syn f a r ­ m e ra m iał 13 lat, śre d n i 7 la t, a najm łodszy 4 lata.

10. K ładziem y n a p a te ln ię 2 skibki. P o 1 m inuc są one podsm ażone z je d n e j strony. W ówczas jed n ą ze skibek leżących na p a te ln i zdejm ujem y, a d rugą p rze w rac am y n a d ru g ą stro n ę. N a .m iejsce zd jętej skibki kładziem y trzecią skibkę. Po d ru g iej m inucie zdejm ujem y z p a te ln i skibkę podsm ażoną z obu stro n (drugą), trzecią skibkę o bracam y n a d ru g ą stronę, a na m iejscu zdjętej sk ib k i dosm ażam y pierw szą skibkę. Po trzeciej m in u c ie zd ejm u jem y z. p ateln i skibki pierw szą i trzecią. S m ażenie 3 sk ib ek trw ało 3 m inuty.

'44. BIG O S

MATEMATYCZNY

1 . P ole k oła o p ro m ien iu a, czyli na2. 2. R ozw iązanie p rze d staw ia ry su n ek .

3. R ozw iązanie p rze d staw ia ry su n ek .

4. Jed y n e ro zw iązan ie p rze d staw ia rysu n ek .

5. N iech G kro p ek sym bolizuje 6 pań (rys.). W szyst­ kie m ożliw e p a ry są w ykazane przy pom ocy lin ii p rze­ ryw anych, łączących osoby, k tó re albo się lubią, alb o 'ilę n ie znoszą. W yobraźm y sobie, że lin ie łączące oso­ by, k tó re się lubią, są niebieskie, a lin ie łączące osoby, które się nie znoszą, są czerw one. Z p u n k tu A wychodzi 5 linii do p u n k tó w B, C, D, E, F. Z tych 5 linii p rzy n a jm n ie j 3 m uszą być w tym sam ym kolo­ rze. P rzypuśćm y, że są to lin ie czerw one (na ry s u n ­ ku oznaczone g rubą linią). G dyby boki tró jk ą ta BCE były niebieskie, w ów czas istn iałab y g ru p a złożona ■ 3 osób, k tó re się w zajem n ie lubią, co w założeniu .•/ulania je st w ykluczone. W obec tego przy n ajm n iej leden z boków tró jk ą ta BCE m usi być czerw ony. Nic m a znaczenia, k tó ry bok oznaczym y kolorem czerw onym , poniew aż je ste śm y pew ni, że zawsze-

A

p ow stanie tró jk ą t, którego w szystkie 3 boki będą czerw one, będzie zatem istn iała g ru p a 3 osób nie znoszących się. G dybyśm y z p u n k tu A w y p ro w a­ dzili nie 3 czerw one, lecz 3 niebieskie lin ie, w szystkie trz y boki tró jk ą ta BCE m usiałyby być czerw one, bo gdyby choć jeden bok tego tró jk ą ta b y ł niebieski, p o w stałby tr ó jk ą t o 3 bokach niebieskich, co jest sprzeczne z założeniem . K rótko: m usi być. p rz y n a j­ m niej jeden tró jk ą t albo o 3 bokach czerw onych, albo o 3 bokach niebieskich. P oniew aż niebieski tr ó jk ą t je st w ykluczony, pozostaje tró jk ą t czerwony. G łębsza analiza tego zagadnienia w y kazuje, że przy w yłączeniu tró jk ą ta niebieskiego, w w y p ad k u 6 p u n k ­ tów (pań) są p rzy n a jm n ie j 2 tró jk ą ty czerw one. W w y p ad k u 7 p u n k tó w są co n ajm n ie j 4 tró jk ą ty czerw one. W w ypadku 8 p unktów , (tró jk ą ty niebieskie są w yłączone) je st 8 tró jk ą tó w czerw onych.

6. W yobraźm y sobie k u lę w e w spólnej części o ru r, k tó re j prom ień je st r, a środek z n a jd u je się na przecięciu obu osi r u r tw orzących krzyż. D alej w y ­ obraźm y sobie, że obie r u r y i k u la są p rzecięte płasz­ czyzną przeprow adzoną przez środek k u li i obie osie r u r (rys. a). P rz ek ro jem w spólnej części r u r będzie k w a d ra t o boku 2r, przek ro jem kuli — koło w ielkie w p isan e w ten k w ad rat. Jeżeli n astęp n ie poprow adzi­ m y in n ą płaszczyznę, rów noległą do poprzedniej i p rze­ cinającą obie ru ry i kulę (rys. b), otrzy m am y równieżk w a d ra t i w pisane w eń koło. W ogóle każdy przekrój obu r u r, ze zn a jd u ją cą się w e w spólnej ich części

kulą, płaszczyzną rów noległą do pierw szej płaszczy­ zny p rzek ro ju Pędzie kołem w pisanym w kw ad rat. S tosunek pół tych kół i k w ad rató w będzie zaw sze tuki sam ja k w pierw szym p rze k ro ju przecho­ dzącym przez środek kuli: n r2 : 4r2, czyli — . 4 Jeżeli ta k jest, to i stosunek sum y pól w szystkich kół, otrzym anych w p rzekrojach, do sum y w szystkich kw adratów , a w ięc stosunek objętości kuli do objętości w spólnej części obu r u r (x) je st rów nież — , czyli 4 nr* : x — -5-, skąd x r3. W ynik ten je st w zgo­ dzie z w ynikiem , do którego doszedł w ielki A rchim edes 2 tw ierdząc, że objętość ta sta n o w i— objętości sześcia16 2 nu, w k tó ry je st w p isan a k u la: — r3 : 8r3 = — . Rozw iązując to zadanie, A rchim edes zastosow ał w u k ry tej fo rm ie ra c h u n e k całkow y, którego wówczas Jeszcze nie znano. P odobną m etodą posłużyliśm y się I m y w naszym rozum ow aniu su m u jąc pola kół 1 k w ad ratów , k tó ry ch grubość je st nieskończenie m ała, ale liczba je st nieskończenie duża. 7. W rozw iązaniu tego problem u tzw. chłopski rozum nic, niestety, dopomóc nie może. W obec tego uciekam y się do teorii praw dopodobieństw a. N iech pt w yraża praw dopodobieństw o w y g ran ia syna w grze z ojcem I Pj — w grze z m atk ą. Rozum ie się, że p j < p2. P ra w ­ dopodobieństw o niew y g ran ia syna z ojcem je st 1—p h n praw dopodobieństw o niew y g ran ia syna z m atką

je st 1—p2. (Pewność jakiegoś zdarzenia, np. że po nocy n astąp i dzień, w y rażam y w artością p = 1. Jeżeli p w y ra ża praw dopodobieństw o, że jak ieś zdarzenie n astąp i, to 1—p w y raża praw dopodobieństw o, że to zdarzenie nie nastąpi.) Je żeli syn w yb ierze kolejność g ier O-M -O , to istn ieją 3 ró żn e m ożliw ości w y g ra n ia 2 n astęp u jący ch po sobie gier: a) S yn w ygryw a w szystkie 3 p artie. P raw d o p o d o ­ bieństw o tego zjaw iska w y ra ż a się liczbą P i ' P o - p i , czyli p2] • po. b) Syn w ygryw a 2 p ierw sze p a rtie i p rze g ry w a trzecią. P raw dopodobieństw o tego w y ra ża się -liczbą P i 1Pi :d — Pi), czyli pj p2—p*i Pi. c) Syn przegryw a p ierw szą p a rtię i w y g ry w a 2 o statnie. P raw dopodobieństw o tego zd arzen ia je st (1—p,) ■p2 -pj, czyli p2Pi—p2Pn- Po dodaniu do siebie praw dopodobieństw tych gier, otrzym am y Pi p2 (2—p :). T ak ie je st praw dopodobieństw o, że syn w ygra 2 ko lejn e p artie, g rają c w kolejności O-M -O. Roz­ w aż an ia podobne do tych, k tó re były p rzep ro w ad za­ n e w yżej, w w ypadku w y b ra n ia przez syna k olejnoś­ ci gier M -O-M , doprow adzą do następ u jący ch w y n i­ ków : a) P raw dopodobieństw o w y g ra n ia w szystkich 3 gier je st: pt p22. b) P raw dopodobieństw o w y g ran ia tylko 2 p ie rw ­ szych gier je st p 2p l (1—p2) = Pi p2—Pi P.2 . c) P raw dopodobieństw o w y g ra n ia ty lk o 2 o sta t­ nich gier je st (1—P2) • Pi • p2 = PiP2 — Pi P22. S um a ty ch p raw dopodobieństw w ynosi PiP2 (2—p2). T ak ie jest praw dopodobieństw o w y g ra n ia 2 n astęp u jący ch po so­ b ie gier przy grze w kolejności M -O-M . P o ró w n u jąc ogólne praw dopodobieństw o w ygrania w kolejności O -M -O z praw dopodobieństw em w y g ra n ia w k o lej­ ności M -O-M , czyli liczby P|P2 (2-—p t ) i PiP2 (2—p>) dojdziem y do w niosku, że PiP2 (2—p Ł) je st w iększe o d PiP2 (2—p2),bo (2—p ^ je st w iększe od (2—p2). P o d ­ sum o w u jąc te rozw ażania, m ożna pow iedzieć, że w ięk sza je st dla syna szansa w y g ran ia 2 ko lejn y ch p a r tii przy w yborze k o lejności rozgry w ek n a jp ie rw z silniejszym graczem , później ze słabszym i znów 2 silniejszym , czyli O-M -O . 8. D la rozw iązania tego zadania nie m usim y-układać żad n y ch rów nań. Rozw iązać je m ożna ta k im ro zu ­ m ow aniem . Załóżmy, że najm n iejsza liczba, k tó ra je s t podzielna bez resz ty przez 9, 8, 7, .6, 5, 4, 3 i 2, ró w n a się N. P oniew aż N je st -podzielne przez 9, m ożem y napisać: N = 9A (A ró w n a się N : 9). P onie-

waż N je st podzielne tak że i przez 8, m am y: A — 8B ( A : 8 ~ B ) , wobec czego N = 9 - 8 - B = 3 - 3 ' 4 - 2 - B . Iloczyn 3 - 3 - 4 - 2 - B je st podzielny przez 2, 3, 4, 6, 8, 9 i B. P oniew aż N je st podzielne także przez 5 i 7, to B = 5 • 7. W obec tego liczba podzielna bez reszty przez 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 w ynosi N = 2 - 3 - 3 - 4 - 5 - 7 = 9 • 8 • 7 • 5 = 2520. S zukaną liczbą, o k tó re j m ow a w zadaniu, jest, ja k łatw o spraw dzić, 2520—1, czyli 2519. 9. Rozw iązanie p rzed staw ia rysunek. O tw ór y^BiCjDj jest d w u k ro tn ie m niejszy od otw oru ABCD.

tO. U czniów było 25. Liczba uczniów m usi być po­ dzielna przez 5, n a to m ia st podzielona przez 3 i 4 daw ać resztę 1, być zatem postaci 3- 4- f c + l = 12?c + l. P o ­ dzielne przez 5 są liczby, których o sta tn ią cyfrą je st 0 lub 5. W naszym p rzy p ad k u m oże to być tylko liczba kończąca się na 5 (jako sum a 1 i liczby parzystej). N a j­ m niejszą ta k ą liczbą bedzie 12-2 + 1 = 2 5 (dalsze: 12 • 7 + 1 = 85, 12 • 12 + 1 = 145 itd.).

45.

ROZM AITOŚCI ROZRYW KOW E

t.O to rozw iązanie przedłożone przez A nglika K erseya. K ersey za stę p u je cyfry 1, 2, 3, 4, 5 odpo-w iednio lite ra m i a, e, i, o, u i podaje w ierszyk, k tó ry w spolszczeniu p rzed staw ia się ta k : Los — n u m e r da im szatan, Jeżeli ta k chce Ewa.

Sam ogłoski w zięte w tej kolejności, w ja k ie j w y stę­ p u ją w przytoczonym w ierszyku, w yznaczają, po ilu należy ustaw ić na przęm ian chrześcijan i T urków , zaczynając od chrześcijan. A więc n a jp ie rw należy ustaw ić 4 ( o = 4 ) chrześcijan, potem 5 (u = 5) T urków , potem 2 (e — 2) chrześcijan... itd. (patrz rys.). O dliczać należy od pierw szego chrześcijanina (nad krzyżykiem ).

chrześcijanin O Turek

$

2. N ależy to w ar zw ażyć 2 razy: n a jp ie rw kładąc go na lew ą szalkę, a odw ażniki na praw ą, n astęp n ie odw rotnie: tow'ar na p raw ej szalce, a odw ażniki na lew ej. Ś rednia propo rcjo n aln a (nie’ śred n ia a ry tm e ­ tyczna) z w yników obu w ażeń d aje d okładny ciężar tow aru. Np. przy pierw szym w ażeniu otrzym ano 2,5 kg; p rzy drugim — 1,60 kg. D okładny ciężar tow a- 3 (kg). Dowód: x - a = b ■2,5; a __ x . 2,5 _ X , x2 _ _ a ■ 1,6 = b • x; b 1,6 ’ x 1,6 ’ x = 2 kg.

i

£ X k6

b

I J T 3 1,6kG

1

xku

3. L iczba została o d g adnięta na podstaw ie in w ersji działań i ich kolejności: m nożenie należy zastąpić dzieleniem , dzielenie m nożeniem , w yciąganie p ie r­ w iastk a potęgow aniem i te działania w ykonać w. od-

ui ni noj kolejności: 1.1 . 4 16. 4. .r = 1, y = 3;

1 X 4 — 4;

4 X 2 = 8;

82 = 64;

x = 2, y -- 6 ; x = 3; y = 9.

5.30 i 25; (30 — 25)2 = 3025. Niecił pierw sza liczba In,.izic 5a, a d ruga 5b (jako podzieine przez 5). M am y w tedy: 5a — 5b = 5; 5b = 5a — 5; (5a + 5b)2 — 100-5a + 5b: (10a — 5)2 = 505a— 5; 100a2— lOOa + 25 = 505n — 5; 100a2 — 605a + 30 = 0; 20a2—- 1 2 1 a+ ł-6

0: n =

m

± \ ' l 2 1 2-

40 5b - 5n — 5 = 30 — 5 = 25; 20 i 25.

480 ,

121 ± U 9_. c = 6;

40 b = 5.

In n e

rozw iązanie:

7. T ajem nica odgadnięcia pom yślanej liczby p o ­ lega na tym , że każda liczba może być przedstaw iona Jako sum a potęg liczby 2 (w układzie dw ójkow ym ): 2", 21, 22, 2 ' \ . . . 2 n, czyli 1, 2, 4, 8, . . 21*. Te w laśniej w artości potęg liczby 2 stoją na pierw szych m iejscach słupków . K ażdy słupek zaw iera .te w szystkie spośród liczb nd 1 do 31, k tó re w rozw inięciu dw ójkow ym za­ w iera ją 2 do potęgi rów nej num erow i słupka m niej jeden. Jeżeli pom yślana liczba (np. 23) zn ajd u je się w słupkach I, II, III i.V , to je st nią su m a odpow ied­ nich potęg dw u: 1 + 2 + 4 + 16 = 23. 8. Rozw iązanie podaje ry su n ek : m je st sy m e tra lną odcinka AD, n je st sy m e traln ą odcinka BC, ich p u n k t przecięcia D spełnia w aru n ek AD = BD = CD; P jest sy m e traln ą odcinka DC; p u n k t E jest śro d ­ kiem okręgu BCD, zatem ED — E B — EC. 9

9. Tylko jedno. Jeżeli np. z u rn y z ety k ietk ą czar­ n o -białą w yciągniem y gałkę białą, m ożem y pow ie-

dzieć, że tam są 2 gałki białe, w k o n sek w en cji — w te j, na k tó rej je st e ty k ietk a b ia ła-b ia ła, m uszą być 2 gałki czarne, a w trzeciej urnie: b iała-czarn a. A nalogicznie rozum ujem y dla pozostałych p rz y p a d ­ ków .

10. Rozw iązanie p rze d staw ia rysu n ek . Po rozcięciu b a n d e ry dolną część należy przesunąć n a p raw o o je ­ den stopień. O trzym am y b an d e rę w yznaczoną linią p rze ry w an ą .

/[P O W IELU RZECZACH W N IEW IELU O- s ł o w a c h

t

1. P om iędzy p rzy stan k iem tram w ajo w y m a b arem — część drogi. W obec tego na c z .------ cz. 3 6 p rzejście z dom u do m in iste rstw a pan J a n p o trz e ­ bow ał 10 m in. X 6 = 60 m in. Do m in iste rstw a p rz y ­ szedł o godzinie 755 + 15 m in. + 30 m in, a w ięc o 8-1". Z dom u p an J a n w yszedł o 75S— 30 m in., czyli o 725.2 jest

2. P rócz archim edesow ej i logarytm icznej są jesz­ cze sp irale: hiperboliczna, paraboliczna, sp ira la C ornu i inne. R ysunek a) p rze d staw ia spiralę h iperboliczną, b) parab o liczn ą i c) C ornu. W spom inaliśm y już w cześ­ niej, że sp irala A rchim edesa je st stosow ana w te ch ­ nice (w zegarach, w urządzeniach p rzek ształcający ch ru c h obrotow y n a prostoliniow y itp.), ■w a rc h ite k tu ­ rze, np. w ornam en tach itd. K ształt sp irali lo g a ry t-

m icznej je st stosow any w technice, ale spotyk a się go też w dziełach n a tu ry : w budow ie skorupy ślim a­ ków i konch, w układzie nasion, np. słoneczników , sto k ro tek czy szczeżujek szyszek sosnow ych, a także w pajęczynie n ie k tó ry ch pająków , k tó re zw ojom sw o­ je j przędzy n a d a ją k sz tałt sp irali logarytm icznej. N a­ leży pam iętać, że sp iraln y dom ek m ieszkającego w nim ży jątk a ro śn ie w raz ze w zrostem jego m iesz­ kańca, nie za tra c a ją c sw ojego k sz ta łtu spirali. S p i­ r a la lo garytm iczna m oże rosnąć do nieskończoności. W łoski m a tem aty k T orricelli (1608— 1647) pierw szy obliczał długości łuków spirali logarytm icznej. R ów ­ nania sp irali w e w spółrzędnych biegunow ych są: A rchim edesa r = acp\ hiperbolicznej r = — ; lo g a ry t u sin a u

= -£ -■ ■ ! = tv c tv

skąd

x = a rc sin ——; tv 4) V2 _ s in [180° — (x + aj] __ sin (x + a) _ sin x sin x sin x cos a + cos x sin a sin x -----------------------------

= cos a + t v s i n a V l — a

_______ 1/

1

—

—

b_+ t u . _ ą f ____ t h ł = c c a

= — -f V t2u2 — a2 skad „2 — » i (b + C C c = b — a2 _ &_ + i t | t2 '

a*) =

6. P oniew aż całe pole m a 15 jednostek, w ięc k a ż da z części m usi m ieć 7‘/2 jednostki. W obec tego pole tró jk ą ta BDG m usi w ynosić 2'/a k w ad rac ik a je d n o st­ kowego. O znaczam y BC = x; EG — y. W ówczas B P ■DG _ (x + 1) {y + 1) _ x y + y + x + 1 _ _5^ albQ 2

2

"

2

2

x y + x + y — 4. Pole tr ó jk ą ta B C A + p o le tró jk ą ta A E G = V /2 k w ad rac ik a jednostkow ego. W obec tego: JŁ li. = ii/,; x + y = 3. R ozw iązując u kład ró w 2

nań:'

2

x y i_ y + x = 4

x = -5-HI^kJL. 2

Punkt B

i

x + y = 3 dzieli zatem

znajdziem y odcinek

FC

w

stosu n k u x : ( l — x ) = 3 'Ł- 5- : — -----1 = _ _ , 2 2 = (3 — \ / 5) : ( V 5 — 1). J a k łatw o spraw dzić, p u n k t B dzieli odcinek FC podziałem złotym. 7. Z ałożenia: długość skoku psa w ynosi a, długość 3 skoku zająca b, przy czym 3a = 5b, a w ięc b = •— a. 5 P ies zrobił x skoków od chw ili spłoszenia zająca do * Na podstaw ie tw ierd zen ia sinusów : w każdym tró jk ą c ie stosunek boków rów na się stosunkow i si­ nusów przeciw ległych im kątów .

II

chw ili jego schw ytania. Z ając zrobił (10 + y) skoków, zanim został schw ytany. W obec - tego: a ■x = b X X (10 y) = JL a (10 + y), czyli x = — (10 + y). Jeśli 5 5 pies zrobi 1 skok w t sek, to 8 skoków zrobi w 81 sek, a w tym czasie zając zrobi 12 skoków ; 1 skok zająca Oj f) trw a zatem sek, czyli — t sek. N a y skoków zając 12 3 2 zużył — t • y sek. T yle sam o sekund zużył pies na zro2

2

hienie x skoków, czyli x • t = —t • y albo x = - y. Z porów2 3 1 n an ia tych dw u ró w n ań m am y - y — y + 6; — y = 6; 3 5 15 2 2 y = 90 (skoków); x — V — — 90.= 60 (skoków). Od 3 3 chw ili spłoszenia zając zrobił 90 + 10 = 100 skoków, a pies ścigający zająca zrobił 60 skoków . 8. N iech X II osoba m a XI „ „ „ Wówczas X „ „ IX „ V III „ „ V II

a zł b zł a+ b a + Zb 2a 4- 3b 3a + 5b

zł zł zł zł

II osoba m a 34a + 55b zł I „ „ 55a + _89b zł W iadomo, że 55a + 89b = 100 zł == 10 000 gr. Z ró w n an ia 55a + 89b = 10 000 w yznaczam y a; a = *5 10 000 — 89b P oniew aż a jest liczbą, całkow itą, 55 10 000 — 89b m usi być podzielne przez 55, czyli przez 5-11. P oniew aż 10 000 je st ppdzielne przez 5, 89 zaś n ie je st przez 5 podzielne, liczba b m usi być podzieln a przez 5. K ładziem y zatem b = 5c i otrzym am y 10 000 — 8 9 - 5c „„ __ . . . ___ 2000 — 8 9 - c Po skróceniu a : 5 • 11 11 Z tego w ynika, że różnica 2000 — 89 • c m usi być podzielna przez 11. D rogą prób znajdziem y, że 2000 — 89- 9 je st podzielne przez 11, bow iem 2000 — — 801 = 1199 je st podzielne przez 11 (1199:11 = 109). S tąd w niosek: c = 9, zaś b = 5c = 45. W obec tego a —

10 000 — 89b = 109. T eraz m ożem y ustalić listę 55 oszczędności. Oto ona: 5,52 ,. VII — I — 100,00 zł V III — 3,53 „ II — 61,81 „ 1,99 „ IX — I I I — 38,19 „ X 1,54 „ IV — 23,62 zł XI — 0,45 „ V — 14,57 „ 1,09 „ X II — VI — 9,05 „ R ów nanie 55a + 89b = 10 000 rozw iązaliśm y drogą p ró b ; m a ono jeszcze in n e rozw iązania, np. c = 20; b = 100; a = 20. W ówczas lista oszczędności p rz e d sta ­ w ia się następująco: 20; 100; 120; 220 ; 340: 560; 900: 1460; 2360; 3820; 6180. 9. x — \ Q— \ / a + x;

x 2 = a — \ / a + x; a — x 2 — V a + x ; a 2 — 2ax2 + x* = a 4- x; a 2 — (2x2 + 1) a - f x J — x = 0. Z ró w n a n ia tego obliczam y a. _ 2x2 + 1 ± V 4 x 2 + 4x + 1 _ 2x* + 1 ± (2x + 1) a I ,2---2 ' 2 stą d % = x 2 — x; a2 = x 2 + x + 1; _____ x 2 — x — a = 0; x, 2 = 1 —V .^ ffl.~h .1 ; x2+ x + l — a = 0 ; x 14= 3-4

2

---- ?.

10.1000 < < 10 000; 31 < l < 99. O znaczm y cy fry szu k an ej liczby L przez x i y. W ówczas 1000x + 100x + + 10v + V = l1; 1100x + U y = i2; y = —— 100x. W nio­ sk u jem y z tego, że l je st podzielne p rzez 11, czyli I m oże być jedną z n astęp u jący c h liczb: 33, 44, 55, 66, 72 77 i 88. P oniew aż — — 100x oznacza cy frę (jest liczbą jednocyfrow ą), okaże się po spraw d zen iu , że w a ru ­ nek ró w n an ia spełn ia ty lk o l = 88, stą d l2 = 7744 'i L — 7744.

LITERATURA

J. D ianni Jan Brożek, PZW S, 1949 J. D ianni i A. W achułka Tysiąc lat polskiej myśli m a ­ tem atycznej, PZW S, 1963 L. H ogben M a tem a ty ku dla m ilionów , KiW , 1952 S. Jeleński Lilayati, PZW S, 1956 S. Jeleński Siadam i Pitagorasa, PZW S, 1956 W. W ilkosz Liczę — m yślę, PZW S, 1951 W. S ierpiński C zym się zajm uje teoria liczb, W P, 1957 W. S ierpiński T r ó jk ą ty pitagorejskie, PW N, 1954 W. S ierp iń sk i O rozkładach liczb w y m ie rn y c h na u łam ki proste, PWN, 1957 H. S teinhaus Kalejdoskop m a tem a ty cz n y, PZW S, 1954 H. S teinhaus Sto zadań, PWN, 1958 H. S teinhaus Orzeł czy reszka, PWN, 196L R. Courantr i H. R obbins Co to jest m a te m a ty k a , PWN, 1962 ' li, W ilkow ski E le m e n ty m a te m a ty k i w y ższe j dla po­ czątkujących i sam ouków , C zytelnik, 1947 S. Kulczycki Geometria nieeuklidesowa, PWN, 1956 II. R aedem acher i O. T oeplitz O liczbach i figurach, PWN, 1956 ,1. D ynkin i W. U spienski Ciekawe zagadnienia m a te ­ m atyczne, PWN, 1956 l P. N atanson Su m o w a n ie nieskończenie małych, PWN, 1957 I, P. N atanson Najprostsze zadania na m a k sim a i m i yijna, PWN, 1955

A. M arkuszew icz Ciągi rekurcncyjne, PW N, 1955 A. M arkuszew icz O szeregach w m atem atyce, WP, 1967 J. S. Som iński M etody in duk cji m atem atycznej, PWN, 1955 S. Jaśk o w sk i M atem atyka ornam entu, PW N, 1957 i L. S znirelm an Liczby pierwsze, PZW S, 1954 A. E h re n feu ch t C iekaw y sześcian, PWN, 1963 D. I. S tru ik K rótki zarys historii m atem a ty ki, PWN. 1963 W. S taszew ski Przybliżenia rachunkowe, PZW S, 1960 W. Bieńko Z yg za k iem przez m atem a ty kę , PZW S, 1964 E. K ofler Z dziejów m a te m a ty k i, WP, 1962 E. K ofler Od liczby do nieskończoności, WP, 1964 Mały słow nik m a tem a ty cz n y, WP, 1967 B. G niedenko i A. C hinczyn E lem entarny w stęp do rac hunku prawdopodobieństwa, PWN, 1963 M a tem a ty ka w świecie w spółczesnym , PW N, 1966 M. K line M atem aty ka a św iat fizyczny, PWN, 1964 C. V. N ew son Istota m a te m a ty k i, PWN, 1967 K. P e te r Gra z nieskończonością, PWN, 1962

)

SKO RO W IDZ

ab ak 143, 145, 164 A bel Niels H en ry k 171 A hm es 82, 96 A l-chw arizm i (A l-C horezmi) M uham m ed ibn M usa 142, 168, 172 alg eb ra 168 alg o ry tm 168 A lkuin 135, 140 am p litu d a 187 analiza 99, 100, 216 an ty n o m ia 75, 77, 78, 195. 219 apeksy 19, 143 A polloniusz z P erge 82. 163, 164 A rchim edes 32, 33, 70, 82. 107, 161, 164, 166, 170. 189, 235 A rch y tas z T aren tu 160 A rgand Je a n R o b ert 165 A rystoteles 21, 142, 189. 218 asy m p tota 180 Bacon F ra n cis 218 Roger 59, 164, 166 B ańach S tefan 164, 168 B crnoulli Ja k u b 73, 181 190 J a n 179, 180 biegun 187

B oethius (Boecjusz) M anlius T o rą u atu s S everin u s 164 Bolyai Jan o s 165, 169 K om belli R afael 173 b rach isto ch ro n a 179 Brożek (Broscius) Jan 131, 151, 167 C ajori F lorian 120 C antor G eorg 198 C ardano G irolam o 56, 165. 173 C huquet Nicolas 146 ciąg Fibonacciego 200 cyfra 145 cyfry ara b sk ie 23, 144, ' 146, 164 babilońskie 20, 144 chińskie 22, egipskie 20 fenickie 20 greckie 20, 21 M ajów 22 ru sk ie 22, 144 rzym skie 20, 22, 144 cykloida 179, 186 czw orościan 203 d edukcja 17, 102, 103, 218 D escartes (K artezjusz) R ene 72, 142, 149, 16(1, 169, 173, 174, 198,

D iofantos 21, 52, 70, 02, 131, 162, 172, 198 D irich let P e te r G ustav L ejeu n e 162 D u re r A lbrecht 165 d w um ian N ew tona 190 e 27, 149, 190, 198 elipsa 63, 185, 186 E ra to sten es z C yreny 30, 151, 160, 171 E u k lid es 21, 67, 82, 88, 142, 151, 164, 166, 168, 1.72 E u le r L eo n h a rd 30, 43, 88, 150, 151, 162, 171, 198 ew o lu ta 180 ew o lw en ta 180, 190

F e rm a t P io tr 151, 162 F ibonacci (Leonardo z Pizy) 84, 91, 145, 164, 172, 173, 197, 200 E o n ta n a Nicolo patrz T a rta g lia fu n k c ja k w ad rato w a 228 G alileo G alilei (Galileusz) 169, 486 G alois E w ary st 171 G auss C arl F rie d rich 29. 54, 71, 73, 149, 166, 171. 173, 190 g eo m etria analityczna 169. 185 nieeuklidesow a 169 G e rb e rt 164 G oldbach C h ristian 151 G rzep sk i S tan isław 167 H am ilto n W illiam R ow an 47, 150 ' H a rrio t T om asz 173 H ero n 21, 82 h ip erb o la 185, 188 H ippiasz z E lidy 161 H ip p o k rate s z Chios 105, 160

H oene-W roński Józef M aria 168, 190 H uyghens C h ristian 180 H y p atia 44, 163 in d u k c ja m atem aty czn a 102, 103, 218, 219 In feld Leopold 56 Jo h n z H olyw cod patrz Sacrobosco K a n t Im m an u el 166 K ep ler Jo h a n n 51 kierow nica (paraboli) 186 K łos Tom asz 50 K ochański A d a m . A dam andy 159, 167, 191 kom binacje 178, 179, 196, 250 k o m b in a to ry k a 178 Kopernik- M ikołaj 168, 169 K ronecker L eopold 166 k rzyw izna 180 k rzy żak P la to n a 61, 177, 178 księżyce H ip p o k rate sa 105 k u la 189, 194 K u m m er E rn s t E d u ard 162 k w a d ra try sa 161 k w a d ra tu ra k o ła 42, 159 191 k w ate rn io n y 28, 47, 150 L aplace P ie rre Sim on, de 47, 73, 142 L eg en d re A d rien M arie 30 L eibniz G o ttfried W il­ helm 142 165, 169 le m n isk a ta 181 c L eonardo z P izy patrz Fibonacci liczba algeb raiczn a 27 doskonała 29, 150, 151

liczba n a tu ra ln a 27 niep arzy sta 29, 30 n iew y m iern a 57, 172 p arz y sta 29, 30 p ierw sza 30, 150-152, 177 F e rm a ta 190 p rzestęp n a 149, 159 rzeczyw ista 27, 226 u jem na 57, 172, 173 u ro jo n a 27, 57, 149, 173 złożona 30 liczby zaprzyjaźnione 29. 151 zespolone 47, 57, 111, 149, 150, 173. 226 L in d e m an n F e rd y n a n d 159 lin ie jednobieżne (unik u rsalne) 63, 79, 106 lo g a ry tm n a tu ra ln y 149 loksodrom a 124, 223, 242 L u d olf von C eulen 190 lu d o lfin a 190 łańcuchow a 180 Ł obaczew ski M ikołaj 164, 169 m ak sim u m fu n k c ji 228 M enechm os 160 M ersenne M arin 30 m etrologia 207 m in im um fu n k cji 228 m iria d a 33, 34, 146 m oc zbioru 76, 198 M u ller Jo h a n n p a trz R egiom ontanus N ap ier (Neper) Jo h n 157, 165, 175 N ew ton Isaac 165, 169, 173, 190 N ikom achos 163 ognisko 186, 188 o krąg 185

oktada 33 o rtodrom a 223 ostrosłup 70 O ughtred W illiam 173 Pacioli L uca 172, 176 P appus z A leksandrii 189 parabola 63, 160, 185, 186 p aradoks 75-78, 193, 194 P ascal B laise 73, 171, 178 p e n ta g ra m 59 p e rm u tacje 178, 179 . pew nik E uklidesa 47, 53 pi (re) 70, 117, 149, 190, 198 p ie rw ia stn ik i 171 P itag o ra s 21, 40, 88, 142, 170, 172, 190 pitag o rejczy cy 29 P la to n 21, 88, 99, 142, 160, 177 P oczobut M arcin 168 podobieństw o fig u r 86, 87, 201, 209 podw ojenie sześcianu 42, 160, 161, 178 P oisson Sim eon D enis 73, 114 po stęp ary tm ety c zn y 219 geom etryczny 154, 162, 229 praw dopodobieństw o 73, 74, 80, 136, 191, 192, 235. 236, 250 p ro b lem delijsk i 160 pro m ień w odzący 187 p ro p o rc ja harm oniczna 203 prosto p ad ło ścian forem ny 190 p rze m ian y 178, 179 przem ienność działań 150 p rze strzeń B anacha 168 p rzy sta w an ie fig u r 86 p se u d o sfe ra 180 P tolem eusz K laudiusz 168 p u n k t 208

rabdologia 61, 175 rac h u n ek różniczkow y i całkow y 169, 235 w ariacy jn y 179 R ecorde R obert 174, 197 rcductio ad absurdum 61. 177 R egiom ontanus (Johann M uller) 44, 150, 164 rozm ieszczenia 178 rów n an ie algebraiczne 149, 171 biegunow e 187 drugiego stopnia 252 trzeciego stopnia 171, 173 rów now ażność figur 87, 201

R y ll-N ardzew ski Cze­ sław 205 rz u t stereograficzny 242 Sacrobosco Ja n (John z Holywood) 145 S ierp iń sk i W acław 152 silnia (!) 153 S nelliu s (Snęli) W illeb ro rd 223 sofizm at 75-78, 192, 19? 194 Solski S tanisław 110 sp irala A rchim edesa 124, 187, 240 Cornu 240, 241 hiperboliczna 240, 241 logarytm iczna 71, 124, 190, 240 paraboliczna 240, 241 S tein h au s Hugo 142, S tifel M ichael 173 stożek 62 obrotow y 62 ścięty 70 sy m e traln a odcinka 239 synteza 99, 100, 216 sześcian 183 sześciokąt 188, 204

Śniadecki Ja n 167, 168 średnia h arm o n iczn a 203, 213 T ales z M iletu 170. 172 T artag lia (Nicolo F cn tana) 171 teoria g ru p 171 liczb 150 m nogości 198 p raw d o p o d o b ień ­ stw a 73, 235 topologia 226 T orricelli E vange!ista 241 tra k try sa 180 trapez 228 tró jk ą t P ascala 61, 178 trysekcja k ą ta 42, 43, 161 tw ierdzenie F e rm a ta (wielkie) 43, 162 P itag o ra sa 62 sinusów 245 układ dziesiątkow y 146 rów n ań 252 układy n u m e ra cji 25, 26, 143, 144, 147, 148 ułam ki okresow e 215 p ro ste 96 V ieta F ran ciszek 82, 165 Vinci L eonardo, da 160, 165 w alec 189, 194 W alFs Jo h n 174 w aria cje 178 w arstw a k u lista 194 Wessel G asp ar 165 w ęzły 124, 125 W idm an J a n 173, 197 w ielokąty 88, 89, 202, 205 forem n e 89. 190 w ielościany 88, 89, 202, 203 forem ne 88 pitag o rejsk ie (p la­ tońskie) 88 W itelo (W iteliusz) 168

W ojciech z B rudzew a 164 w rońskian 190 w spółrzędne biegunow e 187 p ro sto k ątn e 191 w zór Sim psona 210

zbiór nieskończony 227 przeliczalny 198 Zenon z Elei 77 zero 145, 146 złotv podział 61, 132, 176, 246, 253

/