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Zitiervorschau

Module : Structure Calcul des structures hyperstatiques

Responsable : M. N. AZIEZ

Méthode Bertrand de Fontviolant Exercice N1 : On étudie la poutre représentée sur la figure suivante. Celle-ci est encastrée en A, repose sur un appui simple en B et soumise à une charge uniformément répartie sur toute la longueur de la poutre. La rigidité EI est constante. Avec la méthode Bertrand de Fontviolant déterminer les réactions aux points A et B. A

B q

L

Solution : Equation de Bertrand de Fontviolant : ̅ 1 TT ̅1 NN ̅1 1 MM u = ̅̅̅ ∫( + + )ds = 0 EI GA EA X1 Rendre la structure isostatique, en remplaçant les réactions hyperstatique par les inconnu X 1,

Système (1) : A Ma

B q

Rax

X1

Ray Système (2) :

𝑋̅1

1

Module : Structure Calcul des structures hyperstatiques

Responsable : M. N. AZIEZ

On détermine l’équation de M(x) dans le système (1) :

M(x)

q.L2/2 –X1L x

q.L q.L – –X1X1 𝐌(𝐗) = (𝐪. 𝐋 − 𝐗 𝟏 ) 𝐱 – (𝐪 𝐋²/𝟐 − 𝐗 𝟏 𝐋) − 𝐪𝐱²/𝟐 ̅ (x) dans le système (2) : On détermine l’équation de M ̅1 . L X 𝑋̅1

̅ (x) M x ̅ X1 ̅ (𝐱) = 𝐗 ̅ 𝟏 (𝐋 − 𝐱) 𝐌

Equation de Bertrand de Fontviolant : ̅ 1 (x) TT ̅1 NN ̅1 1 M(x)M u = ̅̅̅ ∫( + + )ds = 0 EI GA EA X1 On néglige

̅1 TT GA

+

̅1 NN EA

1 ̅ 𝟏 (𝐋 − 𝐱) ds = 0 u = ̅̅̅ ∫(( 𝐪𝐋 − 𝐗 𝟏 ) 𝐱 – (𝐪 𝐋²/𝟐 − 𝐗 𝟏 𝐋) − 𝐪𝐱²/𝟐)). 𝐗 X1 u = ∫(( qL − X1 ) x – (q L²/2 − X1 L) − qx²/2)). (L − x) ds = 0 u = ∫( qL²x − X1 Lx –

q L3 qLx² qL²x qx 3 + X1 L² − − qLx² + X1x² + − X1Lx + ) ds = 0 2 2 2 2 L

x² x² q L3 qLx 3 x3 x 3 qL²x² x 2 qx 4 ⌋ u = ⌊qL² − X1 L – x + X1 L²x − − qL + X1 + − X1L + 2 2 2 6 3 3 4 2 8 0 u (x) = u(L) − u(0) 1 1 1 1 1 1 1 u (L) = X1 L3 (− + 1 + − ) + qL4 (− − + + ) = 0 2 3 2 6 3 4 8 X1 L3 3 4 = qL 3 24 9 3 3 X1 = qL = qL 24 8 2

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Responsable : M. N. AZIEZ

Exercice 02 : Déterminer les réactions aux points A et B selon les méthodes de : 1- Bertrand de Font violant. 2- L’hypothèse de Navier – Bernoulli. 3- Théorème de Castiguiliano. q

L Solution

X2

Ma Système M

X3

R

X1

Système ̅̅̅̅ M1

X1 X2

Système ̅̅̅̅ M2

Système ̅̅̅̅ M3

X3

3

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Responsable : M. N. AZIEZ

On détermine L’équation de M (x) en fonction de X1, X2 X3 : Ma=X2+X1L- q L²/2 R+X1= q L M(X)=R x + Ma –q x²/2………………(1) ̅̅̅̅̅ : On détermine L’équation de Système 𝑴𝟏 ̅̅̅̅ M1 = (L − x)̅ X1 ………………..(2) On détermine L’équation de Système ̅̅̅̅̅ 𝑴𝟐 : ̅̅̅̅ = X ̅ 2 ……………………….(3) M2 Bertrand de Font violant 1 ̅ 1 dx = 0 u = ̅̅̅ ∫ MM X̅

1 ̅ 2 dx = 0 θ = X̅̅̅̅ ∫ MM

1

u=

2

1 ̅1 dx = 0 ∫(R x + Ma – q x²/2 ) (L − x)X ̅̅̅ X1

u = ∫(R L x + Ma L– qL x²/2 − Rx 2 − Ma x + u = ⌊RL. u(l) = R.

qx 3 )=0 2

x2 ql R x2 q + Ma L x − x 3 − x 3 − Ma + x 4 + C1⌋ 2 6 3 2 8 L2 3

qL3

= −ML2 +

12

=0 (equation1)

1 ̅ 2 dx = 0 θ = ̅̅̅ ∫ MM X2 x2 θ = ∫ R x + Ma – q dx = 0 2 θ(l) = R.

L2 3

= −ML +

qL3 12

……………… (equation2)

A partir de l équation 1et 2 on aura qL3 L2 ML = − R. 12 3 qL3 L2 ML = − R. 6 2

R=ql/2

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