3-Ecoulement À Travers Les Milieux Poreux [PDF]

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Chapitre1 : ECOULEMENT DES FLUIDES A TRAVERS LES MILIEUX POREUX :

I-Loi de DARCY II-loi de KOZENY III-Régime d’écoulement IV-Conclusion

Nous appelons « MILIEUX POREUX » un système constitué de deux phases, l’une solide et géométriquement continue, l’autre fluide et plus ou moins continue. Nous nous intéresserons uniquement au cas des milieux poreux perméables, c’est à dire aux milieux poreux qui peuvent être traversés par un fluide : empilages de particules, tissus, feutres ou assemblages mécaniques. Etudions les lois qui régissent l’écoulement des fluides à travers ces milieux.

I - LOI DE DERCY I-1 : VITESSE EN FUT VIDE - LOI DE DARCY P1

qV

P2

Milieu poreux Z

SS

Soit un tube dont l’aire de la section est

S

rempli sur une

longueur Z par un milieu poreux, par exemple du sable. Ce milieux poreux est traversé en régime permanent par un débit volumique de liquide q V .Nous appelons vitesse en fût vide :

um = qV / S La vitesse en fût vide est la vitesse moyenne qu’aurait le liquide dans le tube en absence de milieu poreux. C’est aussi la vitesse moyenne d’approche du liquide. Deux manomètres placés respectivement à l’entrée et à la sortie du milieu poreux indiquent les pressions P 1 et P 2 . Lorsque le régime d’écoulement est laminaire la loi de DARCY s’écrit :

Um= B



1 

P Z



P = . Z u m/B

: est la viscosité dynamique du liquide exprimé en Pl.

P = P 1 - P 2 : est la chute de pression exprimée en pascal.

Um

: la vitesse en fût vide est exprimée en m.s -1

Z

: la longueur du milieu poreux s’exprime en m.

B

: est la caractéristique du milieu poreux, c’est la perméabilité du milieu.

La dimension de la perméabilité est :

B = L2

Les valeurs des perméabilités rencontrées en filtration varient autour de 1 à 10 -2 micromètre carré ( m2 ). Le m2 correspond à peu prés à 1 Darcy, unité de perméabilité réalisée à partir d’un système non homogène (voir exercices)

1 Darcy = 0,986 10 -12 m2

I-2 : NOTION DE RESISTANCE A L’ECOULEMENT La loi de Darcy peut encore s’écrire :

P = R  q V

ou

R=

or,

1

Z

B

S

P =  Z U m/B =  Z . q V / S.B

R : est la résistance à l’écoulement, sa dimension est : [R] = L

-3

L’expression de la résistance à l’écoulement en fonction de la perméabilité, de la longueur et de la section d’un milieu poreux est analogue à l’expression de la résistance électrique d’un fil en fonction de sa résistivité , de sa longueur l et de la section s.

R =  l/s Le rapport P /  est analogue à une différence de potentiel et q V à un débit d’électricité, c’est à dire à l’intensité électrique I. Il est alors facile de montrer que les lois de combinaison de résistances électriques s’appliquent à la combinaison des résistances à l’écoulement.

* RESISTANCES EN SERIE : Le fluide traverse successivement plusieurs milieux de résistance R = R 1 + R 2 + ......... R n =  R i

* RESISTANCE EN PARALLELE : R1 , R2 ,

, R n . La résistance globale est R :

1

=

R

1 R1

+

1

+ ……+

R2

1 Rn

N/B : En pratique, on utilise souvent une notion de résistance à travers l’unité de surface :



Rs = R . S

[R s ] = L -1

P = R s  qV / S = R s  Um

I-3 : CAS DES FLUIDES COMPRESSIBLES (GAZ) L’équation de DARCY n’est pas directement applicable aux fluides compressibles puisque dans ce cas le débit volumique est variable. Par contre, la loi des gaz parfaits P.V = cte = n RT

Signifiant que le produit de la pression locale absolue d’un gaz par son volume reste constant à température constante, peut s’appliquer dans une conduite ou dans un milieu poreux au produit de la pression locale par le débit volumique local. On aura :

 = qV1 P1 = qV2 P2 = qV . P

L’indice 1 correspond à l’entrée du gaz dans le milieu poreux, l’indice 2 à la sortie. La chute de pression est :

P = P 1 - P2

La pression moyenne du gaz :

P=

P1 + P2 2

Dans ces conditions, la loi de Darcy devient :

Z

=B

P

 K0

P

+ K0

q V est un débit par unité de surface



: est la viscosité du gaz. :

une constante permettant de tenir compte du fait que

l’écoulement d’un gaz aux pressions ordinaires est un écoulement glissant et non visqueux.

K 0 peux être calculée à partir de la relation proposée par CARMAN :

K0 = 0,15 .  . d P

8 RT M

ou : * R : la constante des gaz parfaits R = 8,31 joule (°K) -1 (mole) -1 *  : la porosité du milieu poreux (sans unité) * M : la masse molaire du gaz * T : la température en degré KELVIN * d P : Diamètre moyen des pores

I-4 : CAS DE L’ECOULEMENT RADIAL

r Z

L

Filtrat qV

qV  P=  L B

Dans le cas d’écoulement radial, tel que la filtration à travers une cartouche de l’extérieur vers l’intérieur. La loi de Darcy ne peut plus être utilisée puisque la vitesse u m varie avec la position du liquide dans la cartouche. En Solution effet à débit constant q V la à filtrer vitesse d’entrée est plus faible que la vitesse de sortie puisque la surface d’entrée (c’est-à-dire la surface latérale externe) est plus grande que la surface de sortie ( c’est-à-dire la surface latérale interne). Dans ces conditions on peut calculer la perte de charge à travers la cartouche par la relation :

Ln (1+

Z ) r

 : Correspond à l’angle exprimé en radian du secteur de cylindre où a lieu la filtration. Si la totalité du cylindre est utilisée radians. Lorsque :

Z/r < 10%

;

ln (1 + Z / r ) ~ Z / r



= 2

et l’on retrouve la loi de Darcy :

P=

qV  2 L B qV

= 2 L r

=

P =

Z r

Z B

qV S

Z B

Um .

Z B

2 L r = S (si on considère que Z est très faible devant r donc l’épaisseur est assez petite pour considérer que S = cste)



Loi de Darcy

II - LOI DE KOZENY La chute de pression (ou perte de charge) subie par un liquide à la traversée d’une longueur Z de milieu poreux peut être calculée si le régime d’écoulement est laminaire, par la loi de KOZNEY :

P Z

= hK

a g ² ( 1 -  )² U m 3 

*  : est la porosité du milieu  =

volume occupé par le fluide en mouvement volume apparent du milieu poreux

 est un nombre sans dimension compris entre 0 et 1. * a g : est l’aire spécifique de grain, c’est l’aire de la surface en contact avec le liquide correspondant à un volume unité de solide. Si le volume de solide constituant le milieu poreux est la surface de contact correspondante est

V g et si

A g , l’aire spécifique est :

ag = Ag / Vg

h K : est la constante de KOZENY, c’est un nombre sans dimension déterminé de façon expérimentale et qui tient compte de la forme sinueuse et mal définie des pores. Lorsque la porosité est inférieure à

0,6

la constante de KOZNEY

ne varie pas beaucoup avec la forme des grains, on peut admettre : h K = 4,5 + 1 Par contre, dans les garnissages (anneaux RASCHIG, selles de BERL, etc...........) la porosité est très forte et la constante de KOZNEY varie d’un garnissage à l’autre. Elle prend des valeurs supérieures à 10.

En résumé, la porosité  , l’aire spécifique de grain, la constante de KOZNEY sont trois caractéristiques du milieu poreux. Bien que souvent difficile à déterminer, elles permettent de prévoir la valeur de la perméabilité d’un milieu poreux. En comparant la loi de DARCY

U m=

B 

P Z



P  = Z B

Um

et la loi de KOZNEY

P a ² ( 1 -  )² U = hK g m Z 3 On obtient l’expression de la perméabilité

3

B =

h K . a g ² ( 1 -  )²

Remarque :

Lorsque la forme des grains ne s’éloigne pas trop de

la forme sphérique, on peut définir leur dimension par une seule grandeur que l’on appellera souvent diamètre d g . Si cette dimension ne varie pas beaucoup d’un grain à un autre, on pourra par approximation définir un diamètre moyen de grain

ag = 6 / dg ag = Ag / V g =

4  r² 3 6 = 3 = 4/3  r r dg

d g et calculer :

Dans ces conditions :

B =

3 dg² 36 h K ( 1 -  )²

L’intérêt de cette relation est de montrer qu’en gros, la perméabilité augmente comme le carré de la dimension des grains constituant le milieu poreux. Comme R = Z/B , à épaisseur égale, un milieu poreux constitué de grains 10 fois plus petits qu’un autre, présentera une résistance à l’écoulement 100 fois plus grande.

RS =

Z Z . 36 h K ( 1 -  )² = B 3 dg²

P = R  q V

III - REGIME D’ECOULEMENT

De la même façon que l’on définit un critère de Reynolds pour une canalisation de diamètre D

 um D Re = 

On peut définir un critère de Reynolds de pores

R′ep =

 um ag ( 1 -  ) 

Dans une partie rectiligne d’une conduite cylindrique à section circulaire, le régime d’écoulement commence à être perturbé par des tourbillons quand le critère de Reynolds atteint 2000

à

2500, le

régime turbulent s’établissant définitivement vers R e = 4000. Ces valeurs ne sont pas transposables au critère de Reynolds de pores. En effet, même à faible vitesse, le fluide traversant un milieu poreux subit une multitude de changements de direction et de vitesse.

Toutes ces perturbations créent une turbulence pour des valeurs du critère de Reynolds bien inférieures à 2000.

On peut admettre de façon approximative :

Pour

R′ep < 1

L’écoulement est laminaire

Pour

1 < R′ep < 10

L’écoulement est intermédiaire

Pour

R′ep > 10

L’écoulement est turbulent

REMARQUE : En filtration l’écoulement se fait presque toujours en régime laminaire.

IV - CONCLUSION : Nous avons vu dans ce chapitre comment calculer la chute de pression subie par un fluide à sa traversée d’un milieu poreux. En régime laminaire, nous pouvons utiliser : - La loi de DARCY :

P =  Z U m B

ou

P =  RS U m

( R S = R.S )

Il nous faut alors connaître la perméabilité ou la résistance à l’écoulement. - La loi de KOZENY :

P = h K

a g ² ( 1 -  )²  Z U m 3

Il nous faut connaître alors la constante de KOZNEY, l’aire spécifique de grain et la porosité qui sont trois caractéristiques du milieu poreux.

Comme ces trois grandeurs sont souvent difficiles à obtenir, nous utilisons plus souvent la loi de DARCY que la loi de KOZENY.