3 Determinanti [PDF]

Zitiervorschau

Cap II . DETERMINANŢI Fiecărei matrice pătrate i se asociază un număr ce depinde de coeficienţii matricei, numit determinant. Determinanţii îşi vor dovedi utilitatea în problema inversabilităţii matricelor, în rezolvarea sistemelor şi în aplicaţii geometrice.

DETERMINANTUL DE ORDINUL DOI Şl TREI. PROPRIETĂŢI. 1. Determinantul de ordinul doi Să considerăm un sistem format din două ecuaţii liniare cu două necunoscute. Forma generală a unui astfel de sistem este

în ipoteza că :

 a11 x1  a12 x2  b1  a21 x1  a22 x2  b2

a11a22  a, 21a12  0

folosind metoda reducerii sau substituţiei, găsim soluţia unică:

Observăm că x1 şi x2 au acelaşi numitor. Considerăm matricea coeficienţilor (matricea sistemului):

x1 

b1a22  b2 a12 b a b a , x2  2 11 1 21 a11a22  a21a12 a11a22  a21a12

 a11 a12   A   a a 22   21

şi observăm că expresia ce apare la numitori este egală cu diferenţa dintre produsul elementelor diagonalei principale şi produsul elementelor diagonalei secundare a acestei matrice. Acest număr

Prof:Ciocotişan Radu

a11a22  a21a12

reprezintă, prin definiţie, determinantul matricei A.

Definiţie: Determinantul matricei

se mai notează:

a11 det A  a21

Regula lui Cramer

 a11 a12   A   a a 22   21

detA, definit prin relaţia: este numărul complex,notat complex

a12  a11a22  a12 a21 a22

det A  a11a22  a21a12 numit determinant de ordinul 2

(pentru sistemul de două ecuaţ ecuaţii liniare cu două necunoscute) necunoscute)

Folosind noţiunea de determinant ataşat unei matrice pătrate de ordinul al doilea, rezultă următoarea:

dacă

det A 

a11 a12 0 a21 a22

atunci sistemul:

 a11 x1  a12 x2  b1  a21 x1  a22 x2  b2

are soluţie unică (x1,x2) dată de formulele:

b1 x1 

a12

a11

b2 a22 a b ; x2  12 2 a11 a12 a11 a12 a21 a22 a21 a22

Pentru a reţine regula, remarcăm că la numitori se află determinantul matricei sistemului, sistemului iar la numărători, numărători, determinanţii matricelor ce se obţin din matricea sistemului înlocuind prima, respectiv respectiv a doua coloană prin coloana termenilor liberi. liberi

Prof:Ciocotişan Radu

b1

Probleme rezolvate: 1.) Calculaţi:

2i 5 3 2i

Soluţ Soluţie:

2i 5  2  i 2  i   (5)  3  20. 3 2i 2.) Folosind regula lui Cramer, rezolvaţi sistemul:

Soluţ Soluţie: Determinantul matricei coeficienţilor este

 x 2  3y  5  3 x  y 2  2 2

det A 

2

3

3

 2

 11  0

x 3.) Fie X, o matrice pătrată de ordinul doi. Demonstraţi că:

putem aplica regula lui Cramer şi obţinem:

5

3

2 2

 2

2 3

3

 2; y 

 2

2 3 2 3

X 2  (TrX ) X  (det X ) I 2  O2 Soluţ Soluţie:

a b   a b  a b  a b  1 0   X 2  (TrX ) X  (det X ) I 2      (a  d )   ad  bc    X   c d  c d  c d  c d  0 1 0  0 0  a 2  bc ab  bd   a 2  ad ab  bd   ad  bc          O2     2   2   ad bc 0 0 0     ca dc bc d ca dc ad d        

Observaţ Observaţie. Relaţia demonstrată este un caz particular al unei teoreme importante a algebrei liniare, teorema lui Hamilton-Cayley.

Prof:Ciocotişan Radu

5 2 2 3  2

1

2. Determinantul de ordinul trei

Definiţie: Determinantul matricei

definit prin relaţia:

 a11  A   a21 a  31

a11 det A  a21 a31

a12 a22 a32

a12 a22 a32

a13   a23  a33 

este numărul complex ,

detA

a13 a23  a11a22 a33  a21a32 a13  a31a12 a23  a13 a22 a31  a23 a32 a22  a12 a21a33 a33

Observaţ Observaţie. Definiţia este motivată de următoarele consideraţii legate de rezolvarea sistemului de trei ecuaţii cu trei necunoscute

 a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1  a21 x1  a22 x2  a23 x3  b2 a x  a x  a x  b 3  31 1 32 2 33 3 Se obţine pentru x1 valoarea:

x1 

Sistemul se rezolvă prin metoda reducerii. Se reduce x3 între primele două ecuaţii şi între ultimele două ecuaţii. Se obţin astfel două ecuaţii liniare în x1 şi x2, care se rezolvă prin metoda reducerii.

b1a22 a33  b2 a32 a13  b3a12 a23  a13a22b3  a23 a32b1  a12b2 a33 a11a22 a33  a21a32 a13  a31a12 a23  a13 a22 a31  a23a32 a22  a12 a21a33

cu condiţia ca numitorul să fie nenul. Expresia de la numitor este, prin definiţie determinantul matricei A a sistemului. Observând că, formal, numărătorul se obţine din numitor înlocuind a11 , a21, a31 respectiv prin b1 , b2 şi b3, tragem concluzia că numărătorul reprezintă determinantul matricei ce se obţine din matricea sistemului, înlocuind prima coloană cu coloana termenilor liberi. Procedând asemănător se obţin x2 şi x3.

Prof:Ciocotişan Radu

Regula lui Cramer Dacă:

a11 det A  a21 a31

a12 a22 a32

sistemul de trei ecuaţ (sistemul ecuaţii liniare cu trei necunoscute) necunoscute

a13 a23  0 a33

,atunci sistemul:

are soluţ soluţie unică (x1,x2,x3) dată de formulele:

b1

a12

a13

a11

b2 a22 a23 a21 b a32 a33 a x1  3 ; x2  31 a11 a12 a13 a11 a21 a22 a23 a21 a31

Prof:Ciocotişan Radu

 a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1  a21 x1  a22 x2  a23 x3  b2 a x  a x  a x  b 3  31 1 32 2 33 3

a32

a33

a31

b1

a13

a11

a12

b1

b2 a23 a21 a22 b2 b3 a33 a a32 b3 ; x3  31 a12 a13 a11 a12 a13 a22 a23 a21 a22 a23 a32

a33

a31

a32

a33

Reguli de calcul pentru determinanţii de ordinul 3 Deoarece formula prin care s-a definit determinantul de ordinul trei nu poate fi memorată cu uş uşurinţ urinţă, există reguli practice, uşor de aplicat, pentru calculul acestui determinant.

1 • Regula lui Sarrus a11 a21 a31

Pentru a calcula determinantul

a12 a22 a32

a13 a23 a33

alcătuim un tablou în care adăugăm dedesubtul celor trei linii ale determinantului, primele

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

a11 a21

a12 a22

a13 a23

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

a11 a21

a12 a22

a13 a23

Prof:Ciocotişan Radu

două linii.

Scriem, cu semnul +, produsul elementelor de pe diagonala principală a11∙a22∙a33 şi încă două produse a21∙a32∙a13 şi

a31∙a12∙a23 , corespunzând direcţiilor paralele cu diagonala principală.

Scriem apoi, cu semnul - , produsul elementelor de pe diagonala secundară a13∙a22∙a31 şi încă două produse a23∙a32∙a11 şi a33∙a12∙a21 corespunzând direcţiilor paralele cu diagonala secundară.

În practică ,procedăm direct:

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

a11 a21

a12 a22

a13 a23

= + a11∙a22∙a33 + a21∙a32∙a13 + a31∙a12∙a23 - a13∙a22∙a31 - a23∙a32∙a11 - a33∙a12∙a21

2∙ Regula triunghiului

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

Scriem, cu semnul +, produsul elementelor de pe diagonala principală a11∙a22∙a33 şi încă două produse

a21∙a32∙a13 şi a12∙a23∙a31, care se obţin alcătuind două triunghiuri

care au câte o latură paralelă cu diagonala principală şi celălalt vârf, în colţul opus al determinantului.

Scriem apoi cu semnul - , produsul elementelor de pe diagonala secundară a13∙a22∙a31 şi încă două produse a12∙a21∙a33 şi a23∙a32∙a11 , care se obţin alcătuind două triunghiuri, care au câte o latură paralelă cu diagonala secundară şi celălalt vârf, în colţul opus al determinantului.

În practică ,procedăm direct:

a11 a21 a31 Prof:Ciocotişan Radu

a12 a22 a32

a13 a23 a33

= + a11∙a22∙a33 + a21∙a32∙a13 + a31∙a12∙a23 - a13∙a22∙a31 - a23∙a32∙a11

- a33∙a12∙a21

Observaţ Observaţie: ie (determinantul de ordinul 1) O matrice pătrată de ordinul 1 este de forma A = (a (a11). Prin definiţie, determinantul ei este: detA = a11 Problema rezolvată. rezolvată.

Calculaţi determinantul matricei Soluţ Soluţie. a11 = 1 + 1-1 = 1, a

12

A  M 3 ( R ), A  aij , unde : aij  i  j  1, (i, j )  1,2,3x1,2,3 1 2 3

=1+2-1 = 2 etc.

det A  2 3 4 3 4 5

Obţinem :

folosind regula lui Sarrus sau regula triunghiului, avem

1 2 3 det A  2 3 4 3 4 5 1 2 3 2 3 4

Prof:Ciocotişan Radu

=1 ∙ 3 ∙ 5 + 2 ∙ 4 ∙ 3 + 3 ∙ 2 ∙ 4 - 3 ∙ 3 ∙ 3 - 4 ∙ 4 ∙ 1 - 5 ∙ 2 ∙ 2 = 0.

3.∙ Dezvoltarea unui determinant după o linie sau o coloană Vom arăta un procedeu prin care calculul unui determinant de ordinul 3 se reduce la calculul unor determinanţi de ordinul 2. Este necesar mai întâi să definim minorul corespunzător unui element al unui determinant şi complementul algebric al unui element al unui determinant.

Definiţie:

Fie determinantul de ordinul 3

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

şi aij , un element fixat al său.

• Se numeşte minor corespunzător elementului aij , determinantul dij , care se obţine înlăturând din determinantul dat, linia i şi coloana j.

• Se numeş numeşte complement algebric al elementului aij , numărul

Aij   1

i j

Exemplu. Minorul corespunzător elementului a 32 al determinantului

obţinut prin înlăturarea liniei a treia şi coloanei a doua.

Complementul algebric al elementului a 32 este A32

Prof:Ciocotişan Radu

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a a23 este : d 32  11 a21 a33

= (-1)3+2d32 = - d32.

a13 a23

 d ij

Teoremă: Determinantul unei matrice A  M3(C) este egal cu suma produselor dintre elementele unei linii (coloane) şi complemenţ complemenţii algebrici ai acestor elemente. Calculul determinantului prin procedeul dat de această teoremă se numeşte dezvoltarea determinantului după o linie sau coloană Astfel, considerând matricea A =

(aij), dezvoltarea determinantului său după linia i este: detA = ai1Ai1 +ai2Ai2+ai3Ai3 iar dezvoltarea după coloana j este:

detA = a1jA1j +a2jA2j+a3jA3j

Deci, calculul unui determinant de ordinul 3 revine la calculul unor determinanţi de ordinul 2. Evident, pentru uşurinţa calculului, dacă determinantul are elemente nule, este avantajos săsă-l dezvoltăm după o linie sau coloană care conţ conţine cât mai multe zerouri.

Problemă rezolvată. rezolvată. Calculaţi

1 2 1 D 0 0 1 1 2 3

Soluţ Soluţie. Dezvoltând determinantul după linia a doua, avem

Prof:Ciocotişan Radu

D  0   1

2 1



2 1 2 2 1 1 23 1 2  0   1   1   1   ...  0 2 3 1 3 1 2

EXERCIŢII DE INIŢIERE 1.) Se consideră matricele  A, B M2(R), 2.) Aflaţi valorile lui x astfel încât:

2 6  0 3 , B    A   1 7  1 4 x 2 3 1  1 x 2 4

  2 1  1 1     şi B  0 1 2 1    

3.) Fie matricele A  

Calculaţi detA, detB şi det(A +B)

Stabiliţi dacă există α, β reale astfel încât: det(αA +βB)

4.) Aplicând regula lui Sarrus, calculaţi determinanţii:

1 0 0

1

0 0 1; 0 1 0

2 1 4; 1 0 5

5.) Aplicând regula triunghiului, calculaţi determinanţii:

5 0

2 4 1

1 2 9

0 1 9; 3 1 0

2 1 3; 0 1 0

= αdetA + βdetB.

2 0 1

2 5 1

1 4 1

1 2 4

1 0 2; 0 1 0

2 0 4; 1 3 5

0 3

2 4 8; 0 1 0

0 1

9; 0

6.) Rezolvaţ Rezolvaţi sistemele următoare, următoare, folosind regula lui Cramer: Cramer:

3 x  7 y  4 5 x  4 y  2 4 x  5 y  0  2 x  3 y  1 3x  2 y  5 3 x  10 y  26 ;  ;  ;  ;  ;  ;  x y x y x y x y x y x y 2 2 5 11 2 1 10 3 26 2 3 1 6 5 3                  

Prof:Ciocotişan Radu

PROBLEME ♦ PROBLEME ♦ PROBLEME , ( i2= - 1)

1.) Calculaţi determinanţii de ordinul 2

1

2

4 10

,

1 i i

1

log 2 3 log 2 5 1

log 2 5

,

3 2

6

2

3 2

1 i 2  i

,

i

 2i

  sin log 2 3 1 12 12 , , 2 log 3 4 sin  cos  12 12

2

cos

,

,

cos

 2 cos x 8 , sin x  i cos x , xR 2 cos x sin x  i cos x 0

sin

 8

2.) Calculaţi determinanţii (în două moduri):

1 2 3

1 2 3

1

1 4 7, 1 5 9

0 1 2, 3 0 1

1 i i , 1 1 1

1 2 1

1 1

0

2 1 2,

0

1

1,

i

3

0

1

3.) Dacă

i ε2

i

2

0

3

0 1 i

1 i 0 0

+ε +1 = 0, calculaţi determinanţii:

i

0 , 0

 1 , 1 2

1  2 1 -1 0 , 0  -

1 2 

 2 1  , 2 1

4.) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţiile

a) Prof:Ciocotişan Radu

x -1

3

1

x 1

 0; b)

1- x

1

-2

x

x -3  0; c) x 2 x4

0 x

0

x

0

1

x  1  0; 0 x  1 0  0

x 2 x 3

1

0

x

5.) Fie matricea

1 A 0 

0 1 .  2

 8 k Calculaţi : det( A ) şi det   A   k 1 

6.) Calculaţi determinantul matricei

10

A  (aij )  M 3 R  dacă : a )aij  i  j , i, j  1,3; d )aij  min(i, j ), i, j  1,3;

b)aij  i  j , i, j  1,3;

c)aij  max(i, j ), i, j  1,3;

e)aij  2i  j , i, j  1,3;

7.) Folosind regula lui Cramer, rezolvaţi în RxR, sistemele:

 2 x  3 y  1 ; a)   3 x 2 y 1 

 ( 3  2) x  y  3  4  x cos a  y sin a  1 b) ;  3x  ( 3  2) y  3  2 3  x sin a  y cos a  1

8.) Folosind regula lui Cramer, rezolvaţi în CxC, sistemele:

 ix  y  2 a) ; 3x  iy  0

 2 x  7 y  i  (1  i ) x  y  i b)  ;  3 x  10 y  0 3 x  (1  2i ) y  i

9.) Se consideră matricea:

2007   2006  A     2005  2006  10.) Fie

 2  7  A   1 3  

a) c)

a) Aflaţi urma şi determinantul matricei. b) Calculaţi A2 şi A2007.

Arătaţi că: A2 -A +I2 = O 2 Calculaţi : det (A6)

b) Deduceţi că: A3 = - I2 d) Calculaţi: A2007

11. 11 ) Notăm cu M - mulţimea tuturor matricelor pătrate de ordinul doi, care au ca elemente, numere distincte din mulţimea {1, 2, 3, 4}. a) Câte matrice există în mulţimea M ? b) Aflaţi valoarea maximă pe care o poate avea determinantul unei matrice din mulţimea M. c) Demonstraţi că toate matricele din mulţimea M au determinantul diferit de zero. d) Daţi exemplu de matrice X  M cu proprietatea X2 - 7X + 10I2 = 02

Prof:Ciocotişan Radu

12. ) Demonstraţi că dacă o matrice A e M3(R) are toate elementele de pe diagonala principală egale cu 1, iar suma elementelor de pe flecare linie şi fiecare coloană este egală cu 3, atunci : detA ≥ 0

Prof:Ciocotişan Radu