2xp XHF Bac Mai 1980 [PDF]

Zitiervorschau

Baccalauréat marocain historique Epreuve de mai 1980

~ Examens historiques ~

Baccalauréat sciences expérimentales mai 1980 Problème 1 : Soit P l’application de ℂ dans ℂ définie par : P ( z ) = z 3 − (1 − 2sin α ) z 2 + (1 − 2sin α ) z − 1

α étant un paramètre réel appartenant à l’intervalle [ 0, π ] 1. a) Calculer P (1)

b) En déduire trois nombres réels a,b ,c tels que : P ( z ) = ( z − 1) ( az 2 + bz + c )

c) Résoudre dans ℂ l’équation P ( z ) = 0 On obtient trois solutions qu’on notera z 1; z 2 ; z 3 tel que z 1 = 1 . 2. a) Déterminer le module et l’argument de chacune des solutions z 1 ; z 2 ; z 3 b) Pour quelles valeurs de α les modules : z 2 + 1 ; z 1 ; z 3 − 1 pris dans cet ordre , forment une progression géométrique.

Problème 2 : Première partie  2 2x  Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par : f ( x ) = ln  2   1+ x  1. Etudier la fonction f : ensemble de définition, limites, variations .

(

2. Soit (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé O , i , j

)

a) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de (C ) avec l’axe des abscisses. b) Vérifier que pour tout nombre réel x appartenant à l’ensemble de définition de f : f (x ) 1  1   = ln 2 2 − ln ( x ) − ln 1 + 2   x x   x  Préciser les branches infinies de (C ) c) Montrer que la courbe (C ) admet un point d’inflexion dont on calculera l’abscisse

(

)

d) Tracer (C ) . ( On prendra ln 2 ≃ 0,7 )

3. Soit g la restriction de f à l’intervalle ]0,1] .

Montrer que g admet une fonction réciproque g −1 dont on précisera l’ensemble de définition et l’ensemble des valeurs. 1/8

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(

)

Tracer dans le même repère O , i , j la courbe représentative de g −1 . Calculer g −1 ( x ) Deuxième partie

 π 1. Soit α un nombre réel appartenant à l’intervalle 0,  ,  2 1 − cos ( 2α ) Montrer que : tan 2 (α ) = 1 + cos ( 2α ) π  Vérifier que tan   = 2 − 1 8  3π  En déduire la valeur de tan    8  2. a) Trouver deux nombres réels a et b tels que pour tout x réel :

1− x 2 b =a+ 2 1+ x 1+ x 2

1− x 2 dx 2 −1 1 + x 2 3. A l’aide des résultats précédents et en utilisant une intégration par parties , calculer l’aire de la surface limitées par la courbe (C ) et l’axe des abscisses et les droites d’équation :

b) Calculer l’intégrale I = ∫

2 +1

x = 2 − 1 et x = 2 + 1 N.B. On rappelle que : Arc tan′ ( x ) =

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1 1+ x 2

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Corrigé : Problème 1 P ( z ) = z 3 − (1 − 2sin α ) z 2 + (1 − 2sin α ) z − 1;α ∈ [ 0, π ]

1. a) P (1) = 0

b) P ( z ) = ( z − 1) ( az 2 + bz + c ) = az 3 + (b − a ) z 2 + (c − b ) z − c par identification on trouve : a = 1,b = 2sin (α ) ,c = 1

c) P (z ) = 0 ⇔ ⇔ ⇔

(z

(

)

− 1) z 2 + ( 2sin (α ) ) z + 1 = 0

z 2 + ( 2sin (α ) ) z + 1 = 0

z − 1 = 0 ou z = 1 ; ∆′ = ( i cos α )

2

d 'ou ′ : z ′ = − sin α + i cos α z ′′ = − sin α − i cos α

D’où S = {1, − sin α + i cos α , − sin α − i cos α } 2. a) z 1 = 1 = 1.e

i ( 0)

π



i  +α  π  π  z 2 = − sin α + i cos α = cos  + α  + i sin  + α  = 1.e  2  2  2 

z 3 = − sin α − i cos α = z 2 = 1.e

 π  i  − −α   2 

b) ( z 2 + 1 , z 1 , z 3 − 1 ) forment une suite géométrique si et seulement si z 1 = z 2 +1 . z 3 −1 2

⇔ ⇔

1 = z 2z 3 − z 2 + z 3 − 1 1 = 1 − z 2 + z 2 −1

1 = −2i cos α 1 = 2 cos α 1 −1 ⇔ cos α = ou cos α = 2 2 π 2π α= ⇔ ou α = 3 3 ⇔ ⇔

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Corrigé : Problème 2

Première partie

 2 2x f ( x ) = ln  2  1+ x 1. Ensemble de définition de f :

   D f = ]0, +∞[

Limites aux bornes de D f : lim+ f ( x ) = −∞; lim f ( x ) = −∞ x →+∞

x →0

f ′( x ) =

1− x 2 ; tableau de variation de f : x (1 + x 2 )

2. a) Intersection de (C ) avec l’axe des abscisses f (x ) = 0 ⇔

 2 2x  =0 ln  2   1+ x 

2 2x =1 1+ x 2 ⇔ x 2 − 2 2x + 1 = 0 ⇔

∆′ = 1 ; d’où x ′ = 2 − 1 et x ′′ = 2 + 1 Donc (C ) ∩ (Ox ) = {A , B } avec A

(

)

2 − 1,0 et B

(

2 + 1,0

)

b) 4/8

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Baccalauréat marocain historique Epreuve de mai 1980

f (x ) x

1  2 2x  ln   x  1+ x 2     1  2 2x  = ln  x  2 1   x  x 2 + 1     =

   1 2 2    = ln  x   1  x  x 2 + 1       1 1   ln 2 2 − ln  x  2 + 1   x     x 1  1  = ln 2 2 − ln ( x ) − ln  2 + 1  x  x 

(

=

(

)

)

Branches infinies de (C )

• La droite d’équation x = 0 est asymptote à (C ) •

f (x ) 1 ln x 1  1  = lim  ln 2 2 − − ln  2 + 1  = 0 x →+∞ x →+∞ x x x x x   Donc (C ) admet une branche parabolique de direction l’axe (Ox )

c) f ′′ ( x ) =

5/8

(

lim

x 4 − 4x 2 − 1 x 2 (1 + x 2 )

2

;I

(

)

2 + 5 ,f

(

2+ 5

)) est un point d’inflexion

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Baccalauréat marocain historique Epreuve de mai 1980 d) Représentation graphique de f : y 3 2 1

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

3. g est définie , continue et strictement croissante sur sur ]0,1] et g ( ]0,1]) =  −∞,ln 

( 2 )

( 2 ) de  −∞,ln ( 2 )  sur ]0,1]  

Donc g est une bijection de ]0,1] sur  −∞,ln  g admet une bijection réciproque g −1

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Baccalauréat marocain historique Epreuve de mai 1980 Représentation graphique de g −1 : y 4 3 2 1

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

x

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

On a :  2 2x  y = ln  ⇔ 2  1 + x  

ey =

2 2x 1+ x 2

⇔ e y x 2 − 2 2x + e y = 0 ∆′ = 2 − e 2 y d’où : x ′ =

2 + 2 − e 2x > 1 à rejeter ex x ′′ =

D’où g −1 ( x ) =

2 − 2 − e 2x >1 ex

2 − 2 − e 2x ex

Deuxième partie 7/8

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Baccalauréat marocain historique Epreuve de mai 1980

1 − cos ( 2α ) 2sin 2 (α ) 1. = = tan 2 (α ) 2 1 + cos ( 2α ) 2cos (α ) π   3π tan   = 2 − 1 ; tan  8  8 2. a) On trouve a = −1 et b = 2 b)

I

  = 2 +1 

1− x 2 =∫ dx 2 −1 1 + x 2 2 +1  2  = ∫  −1 +  dx 2 −1 1+ x 2   2 +1

= [ −x + 2Arc tan x ] = −2 + 2Arc tan

(

)

2 +1 2 −1

2 + 1 − 2Arc tan

(

)

2 −1

 3π   π  = −2 +  2 ×  −  2 ×  8   8  I = −2 +

π 2

つづく

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