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Robotique Modélisation et commande des robots manipulateurs Bernard BAYLE Télécom Physique Strasbourg

Plan 1

Transformations et des mouvements rigides Notations et définitions Rotations Transformations rigides Mouvements rigides

2

Description des bras manipulateurs Chaîne cinématique d’un bras manipulateur Paramètres de Denavit-Hartenberg modifiés Relations géométriques Relations cinématiques

3

Modélisation des bras manipulateurs Configuration et situation d’un bras manipulateur Modèle géométrique direct Modèle géométrique inverse Modèle cinématique direct

Plan 1

Transformations et des mouvements rigides Notations et définitions Rotations Transformations rigides Mouvements rigides

2

Description des bras manipulateurs Chaîne cinématique d’un bras manipulateur Paramètres de Denavit-Hartenberg modifiés Relations géométriques Relations cinématiques

3

Modélisation des bras manipulateurs Configuration et situation d’un bras manipulateur Modèle géométrique direct Modèle géométrique inverse Modèle cinématique direct

Points Notations R = (O, x, y , z) repère orthonormé direct cartésien, selon la convention de Gibbs.

Points Notations R = (O, x, y , z) repère orthonormé direct cartésien, selon la convention de Gibbs. Position d’un point M : vecteur m de coordonnées 2 R3 : 0 1 mx @ m = my A mz

Points Notations R = (O, x, y , z) repère orthonormé direct cartésien, selon la convention de Gibbs. Position d’un point M : vecteur m de coordonnées 2 R3 : 0 1 mx @ m = my A mz Mouvement d’un point : courbe paramétrée m(t) de R3

Points Notations R = (O, x, y , z) repère orthonormé direct cartésien, selon la convention de Gibbs. Position d’un point M : vecteur m de coordonnées 2 R3 : 0 1 mx @ m = my A mz Mouvement d’un point : courbe paramétrée m(t) de R3 Trajectoire d’un point : support du mouvement

Solides Solide indéformable : pour toute paire de points de ce solide de coordonnées m et n : ||m(t)

n(t)|| = ||m(0)

n(0)|| = constante

Solides Solide indéformable : pour toute paire de points de ce solide de coordonnées m et n : ||m(t)

n(t)|| = ||m(0)

n(0)|| = constante

Hypothèse Les solides considérés seront tous indéformables.

Solides Solide indéformable : pour toute paire de points de ce solide de coordonnées m et n : ||m(t)

n(t)|| = ||m(0)

n(0)|| = constante

Hypothèse Les solides considérés seront tous indéformables. Mouvement rigide d’un solide : mouvement de chacun de ses points

Solides Solide indéformable : pour toute paire de points de ce solide de coordonnées m et n : ||m(t)

n(t)|| = ||m(0)

n(0)|| = constante

Hypothèse Les solides considérés seront tous indéformables. Mouvement rigide d’un solide : mouvement de chacun de ses points Situation d’un solide : position et orientation dans R d’un repère lié à ce solide

Transformations rigides Transformation rigide : résultat d’un mouvement rigide amenant un solide d’une situation initiale à une situation finale.

Transformations rigides Transformation rigide : résultat d’un mouvement rigide amenant un solide d’une situation initiale à une situation finale. Application qui transforme les coordonnées des points du solide de leur position initiale vers leur position finale.

Transformations rigides Transformation rigide : résultat d’un mouvement rigide amenant un solide d’une situation initiale à une situation finale. Application qui transforme les coordonnées des points du solide de leur position initiale vers leur position finale. Application = transformation rigide ? Ssi elle conserve à la fois les distances et l’orientation.

Transformations rigides Transformation rigide : résultat d’un mouvement rigide amenant un solide d’une situation initiale à une situation finale. Application qui transforme les coordonnées des points du solide de leur position initiale vers leur position finale. Application = transformation rigide ? Ssi elle conserve à la fois les distances et l’orientation. Conséquence Un repère orthonormé direct reste orthonormé direct par application d’une transformation rigide.

Matrices de rotation Notations R0 = (O, x 0 , y 0 , z 0 ) orthonormé direct

x 0 , y 0 , z 0 : coordonnées de x 0 , y 0 et z 0 dans R : 1 0 0 1 0 0 1 y .x x 0 .x z .x 0 0 x = @x 0 .y A , y = @y 0 .y A et z = @z 0 .y A . x 0 .z y 0 .z z 0 .z 0

0

Matrices de rotation Notations R0 = (O, x 0 , y 0 , z 0 ) orthonormé direct

x 0 , y 0 , z 0 : coordonnées de x 0 , y 0 et z 0 dans R : 1 0 0 1 0 0 1 y .x x 0 .x z .x 0 0 x = @x 0 .y A , y = @y 0 .y A et z = @z 0 .y A . x 0 .z y 0 .z z 0 .z 0

0

Définition R = (x 0 y 0 z 0 ) de dimension 3 ⇥ 3 est appelée matrice de rotation du repère R vers le repère R0 . . . . ou encore matrice de passage ou matrice de changement de base.

Matrices de rotation Intérêts :

Matrices de rotation Intérêts : rend compte du changement de base des coordonnées d’un point

z0

z y0

O x

y M

x0

Matrices de rotation Intérêts : rend compte du changement de base des coordonnées d’un point rend compte de la rotation d’un repère lié à un solide de R en R0 z z0

y0 O x

y M

x0

Rotation d’un point appartenant à un solide Notations m = (mx my mz )T et m0 = (mx0 my0 mz0 )T : coordonnées de M respectivement dans R et R0 .

Rotation d’un point appartenant à un solide Notations m = (mx my mz )T et m0 = (mx0 my0 mz0 )T : coordonnées de M respectivement dans R et R0 . Alors : m = mx0 x 0 + my0 y 0 + mz0 z 0

Rotation d’un point appartenant à un solide Notations m = (mx my mz )T et m0 = (mx0 my0 mz0 )T : coordonnées de M respectivement dans R et R0 . Alors : m = mx0 x 0 + my0 y 0 + mz0 z 0 0 01 mx 0 0 0 @ my0 A = x y z mz0

Rotation d’un point appartenant à un solide Notations m = (mx my mz )T et m0 = (mx0 my0 mz0 )T : coordonnées de M respectivement dans R et R0 . Alors : m = mx0 x 0 + my0 y 0 + mz0 z 0 0 01 mx 0 0 0 @ my0 A = x y z mz0 Conséquence Formule de changement de base (rotation) : m = Rm0

Rotation d’un point appartenant à un solide z

z0

Première analyse

y0 O

y

x

z0

Changement de repère des coordonnées du point

x0

M

z

Seconde analyse y0

O x

y M

x0

Rotation d’un solide S autour de O, de matrice R . . . alors m0 = coordonnées initiales de M dans R et m =coordonnées finales dans R.

Rotation d’un point appartenant à un solide Exemple M y

x0

y0 ✓ O

z = z0

x

p M de coordonnées initiales ( 3 0 1)T . Coordonnées du point transformé par une rotation R(z, ✓) ?

Rotation d’un point appartenant à un solide

Solution

0

cos ✓ m = @ sin ✓ 0

1 0p 1 0p 1 sin ✓ 0 3 p3 cos ✓ cos ✓ 0A @ 0 A = @ 3 sin ✓ A . 0 1 1 1

Application numérique : à titre d’exemple, pour ✓ = ⇡3 , on trouve m=(

p

3 3 2 2

1)T .

Rotation d’un vecteur Remarque Coordonnées d’un vecteur = différence des coordonnées de deux points de R3 . On peut appliquer la rotation à un vecteur de coordonnées v = m n dans R : m

n = Rm0

soit, en posant v 0 = m0

Rn0 = R(m0

n0 : v = Rv 0 .

n0 ),

Propriétés des rotations Notation Les matrices identités, quel que soit leur ordre sont notées I.

Propriétés des rotations Notation Les matrices identités, quel que soit leur ordre sont notées I. Orthogonalité : R T R = I et det R = 1.

Propriétés des rotations Notation Les matrices identités, quel que soit leur ordre sont notées I. Orthogonalité : R T R = I et det R = 1. Elément neutre : matrice identité d’ordre 3.

Propriétés des rotations Notation Les matrices identités, quel que soit leur ordre sont notées I. Orthogonalité : R T R = I et det R = 1. Elément neutre : matrice identité d’ordre 3. Inverse unique : R

1

= RT .

Propriétés des rotations Notation Les matrices identités, quel que soit leur ordre sont notées I. Orthogonalité : R T R = I et det R = 1. Elément neutre : matrice identité d’ordre 3. Inverse unique : R

1

= RT .

Combinaison de deux rotations successives R1 et R2 : rotation R1 R2 .

Combinaison de rotations Notations Soient R0 et R00 les repères résultant des deux rotations successives R1 et R2 du repère fixe R. Non-commutativité de la rotation R1 R2 6= R2 R1 . Deux cas se présentent pour combiner deux rotations :

Combinaison de rotations Notations Soient R0 et R00 les repères résultant des deux rotations successives R1 et R2 du repère fixe R. Non-commutativité de la rotation R1 R2 6= R2 R1 . Deux cas se présentent pour combiner deux rotations : seconde rotation par rapport au repère résultant de la première rotation : (R00 résulte de la rotation de R0 autour d’un axe lié à R0 )

Combinaison de rotations Notations Soient R0 et R00 les repères résultant des deux rotations successives R1 et R2 du repère fixe R. Non-commutativité de la rotation R1 R2 6= R2 R1 . Deux cas se présentent pour combiner deux rotations : seconde rotation par rapport au repère résultant de la première rotation : (R00 résulte de la rotation de R0 autour d’un axe lié à R0 ) seconde par rapport au même repère, fixe (R00 résulte de la rotation de R0 autour d’un axe lié à R)

Premier cas Problème de changement de base Seconde rotation par rapport au repère résultant de la première rotation : problème de changement de base.

Notations M de coordonnées respectives m, m0 , m00 dans R, R0 et R00

Combinaison : premier cas Comme m = R1 m0 et m0 = R2 m00 , alors : m = R1 R2 m00 .

Premier cas Problème de changement de base Seconde rotation par rapport au repère résultant de la première rotation : problème de changement de base.

Notations M de coordonnées respectives m, m0 , m00 dans R, R0 et R00

Combinaison : premier cas Coordonnées m de M dans R = résultat des deux rotations successives appliquées à un point de coordonnées initiales m00

Premier cas Exemple

z M

z0

⇡

y0

x 00 O

x0 x

⇡ 4

z 00

p m00 = ( 2 0 0)T dans R00 : coordonnées de M dans R ?

Premier cas

Solution

m=

0p

2 B p22 @ 2

0

p

2 p2 2 2

0

10 0 1 0 C@ 0A 0 1 0 0 1

1 0p 1 0 1 0 1 2 A @ A @ 0 1A . = 0 1 0 0

Soit la combinaison des deux rotations suivantes : une première rotation d’un angle

⇡ 4

autour de z

une seconde rotation d’un angle ⇡ autour de l’axe y 0

Second cas Rotations successives Problème de rotations successives d’un point : la transformation d’un point de coordonnées initiales m00 dans R donne un point intermédiaire, qui, transformé par la seconde rotation donne un point de coordonnées m dans R par R2 . Notations M de coordonnées respectives m, m0 , m00 dans R, R0 et R00 Combinaison : second cas Conséquence : m = R2 (R1 m00 )

Second cas Exemple

z

z0 ⇡ O

x x0

x

00

M

y

⇡ 4

z 00

p m00 = ( 2 0 0)T dans R00 : coordonnées de M dans R ?

Second cas Solution 0

1 0 m=@ 0 1 0 0

1 0 p2 0 B p2 0 A@ 2 2 1 0

p

2 p2 2 2

0

1 0p 1 0 1 0 1 2 C@ A @ A 1 = . 0 A 0 0 0 1

Soit la combinaison des deux rotations suivantes : une première rotation d’un angle

⇡ 4

autour de z

une seconde rotation d’un angle ⇡ autour de l’axe y

Orientation d’un solide dans l’espace Matrice de rotation et cosinus directeurs Notation Rotation d’un repère R vers un repère R0 de matrice de rotation R, de dimension 3 ⇥ 3, à valeurs dans R. 0

xx @ R = xy xz

yx yy yz

1 zx zy A zz

Définition Eléments de R=cosinus directeurs . . . ils représentent les coordonnées des trois vecteurs de la base R0 exprimés dans R.

Orientation d’un solide dans l’espace Cosinus directeurs incomplets Remarque Les colonnes de R sont orthogonales entre elles et par conséquent la connaissance de deux colonnes suffit : 0 1 xx ⇤ zx R = @xy ⇤ zy A . xz ⇤ zz Définition Six paramètres restants = cosinus directeurs incomplets.

Orientation d’un solide dans l’espace Repérage minimal Remarque Six paramètres liés entre eux par trois relations : xx zx + xy zy + xz zz xx2 zx2

+ xy2 + zy2

+ xz2 + zz2

= 0 = 1 = 1

Conclusion Jeu de trois paramètres : angles d’Euler, angles de roulis, tangage, lacet, etc.

Orientation d’un solide dans l’espace Angles d’Euler classiques Définition Angles d’Euler classiques = trois rotations successives : R(z,

), R(x , ✓) puis R(z ✓ , ')

avec , ✓ et ' : précession, nutation et rotation propre. z

z

y

y

'

✓ x

x

z'

z✓

x✓

y✓

y'

x'

Orientation d’un solide dans l’espace Angles d’Euler classiques Chaque nouvelle rotation effectuée par rapport à un repère ayant tourné : R = R(z, ) R(x , ✓) R(z ✓ , ') soit : R

=

=

0

10 10 1 cos sin 0 1 0 0 cos ' sin ' 0 @ sin A @ A @ cos 0 0 cos ✓ sin ✓ sin ' cos ' 0A 0 0 1 0 sin ✓ cos ✓ 0 0 1 0 1 cos cos ' sin cos ✓ sin ' cos sin ' sin cos ✓ cos ' sin sin ✓ @sin cos ' + cos cos ✓ sin ' sin sin ' + cos cos ✓ cos ' cos sin ✓ A sin ✓ sin ' sin ✓ cos ' cos ✓

Orientation d’un solide dans l’espace Angles d’Euler classiques Transformation inverse = angles d’Euler à partir des cosinus directeurs : si zz 6= ±1 : = atan2(zx , zy ) ✓ = acos zz ' = atan2(xz , yz ) si zz = ±1 : ✓ = ⇡(1 zz )/2 + zz ' = atan2( yx , xx ) et donc

et ' sont indéterminés.

Orientation d’un solide dans l’espace Angles de roulis, tangage et lacet Définition Angles de roulis, tangage et lacet : trois rotations successives : R(x, ), R(y , ) puis R(z, ↵) avec ,

, et ↵ angles de roulis, tangage et lacet. z

↵

y x

Orientation d’un solide dans l’espace Angles de roulis, tangage et lacet Chaque nouvelle rotation étant effectuée par rapport à un axe du repère fixe R : R = R(z, ↵) R(y , ) R(x, ) soit : R

=

=

0

10 10 1 cos ↵ sin ↵ 0 cos 0 sin 1 0 0 @ sin ↵ A @ A @ cos ↵ 0 0 1 0 0 cos sin A 0 0 1 sin 0 cos 0 sin cos 0 1 cos ↵ cos sin ↵ cos + cos ↵ sin sin sin ↵ sin + cos ↵ sin cos @ sin ↵ cos cos ↵ cos + sin ↵ sin sin cos ↵ sin + sin ↵ sin cos A sin cos sin cos cos

Orientation d’un solide dans l’espace Angles de roulis, tangage et lacet Transformation inverse = angles de roulis, tangage et lacet à partir des cosinus directeurs : si

6= ± ⇡2 : ↵ = atan2(xy , xxq ) = atan2( xz , xx2 + xy2 ) = atan2(yz , zz )

si

= ± ⇡2 : ↵ ou ↵

et donc ↵ et

signe( ) signe( )

= atan2(zy , zx ) = atan2(yx , yy )

sont indéterminés.

Matrices de passage homogènes Définition Transformation rigide : combinaison d’une paire (p, R) avec p la translation de l’origine du repère lié au solide S en mouvement et R la rotation d’un repère lié à ce solide. z0 z

y0

O0 p O y x

x0 M

Matrices de passage homogènes Notations Soient m = (mx my mz )T et m0 = (mx0 my0 mz0 )T les coordonnées d’un point M respectivement dans R et R0 . Expression de la transformation Transformation rigide : translation p du repère R, puis rotation R du repère obtenu vers R0 : m = p + Rm0

Matrices de passage homogènes Définition Pour représenter la transformation rigide sous forme linéaire, on introduit les coordonnées homogènes du point M : ¯ = (mx my mz 1)T = (m 1)T . m ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ 0◆ m R p m = 1 0 1 1 Conséquence ¯0

¯ = T m avec T = m

✓

R p 0 1

◆

La matrice T est dite matrice de passage homogène.

Propriétés des transformations rigides Notations Soient T , T1 et T2 représentant les transformations rigides (p, R) (p1 , R1 ) et (p2 , R2 ).

Propriétés des transformations rigides Notations Soient T , T1 et T2 représentant les transformations rigides (p, R) (p1 , R1 ) et (p2 , R2 ). ✓ ◆ R1 R2 R1 p2 + p1 Combinaison : T1 T2 = . 0 1

Propriétés des transformations rigides Notations Soient T , T1 et T2 représentant les transformations rigides (p, R) (p1 , R1 ) et (p2 , R2 ). ✓ ◆ R1 R2 R1 p2 + p1 Combinaison : T1 T2 = . 0 1 Elément neutre : matrice identité d’ordre 4.

Propriétés des transformations rigides Notations Soient T , T1 et T2 représentant les transformations rigides (p, R) (p1 , R1 ) et (p2 , R2 ). ✓ ◆ R1 R2 R1 p2 + p1 Combinaison : T1 T2 = . 0 1 Elément neutre :✓matrice identité ◆ d’ordre 4. T Tp R R Inverse : T 1 = . 0 1

Vecteur vitesse de rotation Définition Prise en compte du temps : mouvement rigide. Vecteur vitesse de rotation ⌦ porté par l’axe instantané de rotation du solide S, dirigé suivant le principe du tire-bouchon ⌦

z0

z y0

O x

y OM

x0 M

vM

Vitesse d’un point lié à un solide Rotations pures Soit ⌦ le vecteur vitesse de rotation du solide S et v M la vitesse de M appartenant à S, de coordonnées vM . Expression de la vitesse vM soit vM avec :

0

= ⌦ ⇥ OM,

ˆ m, = ⌦⇥m =⌦

0 ˆ = @ ⌦z ⌦ ⌦y

⌦z 0 ⌦x

1 ⌦y ⌦x A 0

Vitesse d’un point lié à un solide Cas général Mouvement rigide : combinaison d’une translation et d’une rotation. Expression de la vitesse ˆ m. vM = p˙ + ⌦

Plan 1

Transformations et des mouvements rigides Notations et définitions Rotations Transformations rigides Mouvements rigides

2

Description des bras manipulateurs Chaîne cinématique d’un bras manipulateur Paramètres de Denavit-Hartenberg modifiés Relations géométriques Relations cinématiques

3

Modélisation des bras manipulateurs Configuration et situation d’un bras manipulateur Modèle géométrique direct Modèle géométrique inverse Modèle cinématique direct

Types de bras manipulateurs considérés Hypothèse On ne considère ici que les systèmes mécaniques composés de chaînes cinématiques polyarticulées ouvertes, appelés bras manipulateurs série.

Description des chaînes cinématiques ouvertes Définition Bras manipulateur : n corps mobiles rigides reliés par n liaisons rotoïdes et prismatiques corps C1

bâti (corps C0 ) liaison L1

corps C2

liaison L2

corps Cn 1

liaison L3

liaison Ln 1

corps Cn

liaison Ln

Paramètres de Denavit-Hartenberg modifiés Notations i-ème corps : repère Ri = (Oi , x i , y i , z i ), avec i = 0, 1, . . . , n.

↵i

zi

1

zi

zi

xi

Oi 1

ri Oi

1

xi

zi

1

ai

1

⌦i

xi 1

xi axe liaison Li 1

1

axe liaison Li

✓i

Placement des repères R1 à Rn ↵i

zi

1

zi

zi

1

xi

Oi 1

ri Oi

1

xi

zi

1

ai

1

⌦i

xi 1

xi axe liaison Li 1

1

✓i

axe liaison Li

Oi 1 est le pied de la perpendiculaire commune à Li 1 et Li sur Li 1 (axes parallèles, choix arbitraire de la perpendiculaire commune).

Placement des repères R1 à Rn ↵i

zi

1

zi

zi

1

xi

Oi 1

ri Oi

1

xi

zi

1

ai

1

⌦i

xi 1

xi axe liaison Li 1

1

✓i

axe liaison Li

x i 1 : vecteur unitaire de la perpendiculaire commune, orienté de Li 1 vers Li (axes concourants ou confondus : orientation arbitraire).

Placement des repères R1 à Rn ↵i

zi

1

zi

zi

1

xi

Oi 1

ri Oi

1

xi

zi

1

ai

1

⌦i

xi 1

xi axe liaison Li 1

z i 1 : vecteur unitaire de Li positifs et symétriques).

1

✓i

axe liaison Li

1,

librement orienté (débattements

Placement des repères R1 à Rn ↵i

zi

1

zi

zi

1

xi

Oi 1

ri Oi

1

xi

zi

1

ai

1

⌦i

xi 1

xi axe liaison Li 1

yi

1

: tel que le repère Ri

1

1

✓i

axe liaison Li

soit orthonormé direct.

Placement des repères R0 et Rn Convention Repère R0 : libre, en suivant des considérations de simplicité.

rn+1 zn

On+1

z On O y x

xn an

Placement des repères R0 et Rn Convention Repère R0 : libre, en suivant des considérations de simplicité. Point On+1 : associé à l’organe terminal (OT).

rn+1 zn

On+1

z On O y x

xn an

Placement des repères R0 et Rn Convention Repère R0 : libre, en suivant des considérations de simplicité. Point On+1 : associé à l’organe terminal (OT). Repère Rn : tel que On+1 2 (On , x n , z n ). rn+1 zn

On+1

z On O y x

xn an

Paramètres de Denavit-Hartenberg modifiés

↵i

zi

1

zi

zi

↵i 1 : angle algébrique entre z i et z i , mesuré autour de x i 1 . xi

Oi 1

ri Oi

1

xi

zi

1

ai

1

⌦i

xi 1

xi axe liaison Li 1

1

axe liaison Li

✓i

1

Paramètres de Denavit-Hartenberg modifiés

↵i

zi

1

zi

zi

↵i 1 : angle algébrique entre z i et z i , mesuré autour de x i 1 .

ai 1 : distance arithmétique de la perpendiculaire commune aux axes des liaisons Li 1 et Li mesurée le long de x i 1 .

xi

Oi 1

ri Oi

1

xi

zi

1

ai

1

⌦i

xi 1

xi axe liaison Li 1

1

1

axe liaison Li

✓i

Paramètres de Denavit-Hartenberg modifiés

↵i

zi

1

zi

zi

↵i 1 : angle algébrique entre z i et z i , mesuré autour de x i 1 .

ai 1 : distance arithmétique de la perpendiculaire commune aux axes des liaisons Li 1 et Li mesurée le long de x i 1 .

xi

Oi 1

ri Oi

1

xi

zi

1

ai

1

⌦i

xi 1

xi axe liaison Li 1

1

1

axe liaison Li

✓i

✓i : angle algébrique entre x i x i , mesuré autour de z i .

1

et

Paramètres de Denavit-Hartenberg modifiés

↵i

zi

1

zi

zi

↵i 1 : angle algébrique entre z i et z i , mesuré autour de x i 1 .

ai 1 : distance arithmétique de la perpendiculaire commune aux axes des liaisons Li 1 et Li mesurée le long de x i 1 .

xi

Oi 1

ri Oi

1

xi

zi

1

ai

1

⌦i

xi 1

xi axe liaison Li 1

1

1

axe liaison Li

✓i

✓i : angle algébrique entre x i x i , mesuré autour de z i .

1

ri : distance algébrique du point Oi à la perpendiculaire, mesuré le long de z i .

et

Exemple Ici commencent les travaux dirigés. . .

Tansformation rigide Transformation rigide paramétrée : 0

1 B0 Ti 1, i = B @0 0 |

0 cos ↵i 1 sin ↵i 1 0 R(x i

{z

0 sin ↵i 1 cos ↵i 1 0

1 , ↵i

1)

10 0 1 B 0C C B0 A @ 0 0 0 1 }|

0 1 0 0

0 0 1 0 {z

translation de ai

10 ai 1 cos ✓i B 0 C C B sin ✓i A @ 0 0 0 1 }| 1xi

1

sin ✓i cos ✓i 0 0 {z

0 0 1 0

10 0 1 B 0C C B0 A @ 0 0 1 0 }|

0 1 0 0

0 0 1 0 {z

1 0 0C C ri A 1 }

translation de ri z i

R(z i , ✓i )

soit :

Ti

1, i

0

cos ✓i Bcos ↵i 1 sin ✓i =B @ sin ↵i 1 sin ✓i 0

sin ✓i cos ↵i 1 cos ✓i sin ↵i 1 cos ✓i 0

0 sin ↵i cos ↵i 0

1 1

ai 1 ri sin ↵i ri cos ↵i 1

1

C A 1 1C

Tansformation rigide Transformation rigide paramétrée : 0

1 B0 Ti 1, i = B @0 0 |

0 cos ↵i 1 sin ↵i 1 0 R(x i

{z

0 sin ↵i 1 cos ↵i 1 0

1 , ↵i

10 0 1 B 0C C B0 A @ 0 0 0 1 }|

0 1 0 0

0 0 1 0 {z

translation de ai

1)

10 ai 1 cos ✓i B 0 C C B sin ✓i A @ 0 0 0 1 }| 1xi

sin ✓i cos ✓i 0 0 {z

10 0 1 B 0C C B0 A @ 0 0 1 0 }|

0 0 1 0

0 0 1 0 {z

qui prend la forme : Ti

1, i

=

✓

Ri

1, i

0

pi

1, i

1

◆

où Ri 1, i représente la rotation entre les repères Ri pi 1, i la translation entre ces mêmes repères.

1 0 0C C ri A 1 }

translation de ri z i

R(z i , ✓i )

1

0 1 0 0

1

et Ri et

Liaison prismatique p˙ i = q˙ i z i On q˙ i z i

Oi axe liaison Li

Vitesse du point On et vitesse de rotation de Rn : p˙ i ⌦i

= q˙ i z i , = 0.

Liaison rotoïde pi = q˙ i z i ⇥ pi,n On

pi,n

⌦i = q˙ i z i Oi axe liaison Li

Vitesse du point On et vitesse de rotation de Rn : p˙ i ⌦i

= q˙ i z i ⇥ pi,n , = q˙ i z i .

Relations cinématiques, cas général Notations Liaison identifiée par le paramètre i et son complément à 1 ¯i : ( 0, pour une liaison rotoïde, i = 1, pour une liaison prismatique. Vitesses du repère de l’organe terminal en On p˙ i

= (

⌦i

= (¯i z i ) q˙ i .

i

z i + ¯i z i ⇥ pi,n )q˙ i ,

Plan 1

Transformations et des mouvements rigides Notations et définitions Rotations Transformations rigides Mouvements rigides

2

Description des bras manipulateurs Chaîne cinématique d’un bras manipulateur Paramètres de Denavit-Hartenberg modifiés Relations géométriques Relations cinématiques

3

Modélisation des bras manipulateurs Configuration et situation d’un bras manipulateur Modèle géométrique direct Modèle géométrique inverse Modèle cinématique direct

Configuration Définition Configuration d’un système mécanique : repère la position de tous ses points dans un repère donné. Cas d’un bras manipulateur Configuration d’un bras manipulateur : vecteur q de n coordonnées indépendantes appelées coordonnées généralisées, appartenant à l’espace des configurations N . Coordonnées généralisées : angles de rotation pour les liaisons rotoïdes, valeurs des translations pour les liaisons prismatiques.

Situation Définition Situation d’un solide : position et orientation de ce solide dans un repère donné. Cas d’un bras manipulateur Situation de l’OT du bras manipulateur : vecteur x de m coordonnées opérationnelles indépendantes appartenant à l’espace opérationnel M, de dimension m 6 6. Définition de la situation selon le problème (plan, positionnement seul . . .) et le paramétrage choisi (orientation notamment).

Modèle géométrique direct Définition Modèle géométrique direct (MGD) d’un bras manipulateur : situation de son OT en fonction de sa configuration : f : N ! M q 7 ! x = f (q). Cas général On exprime x = (x1 x2 x3 x4 x5 x6 )T , avec (x1 x2 x3 )T coordonnées de position dans R0 et (x4 x5 x6 )T coordonnées d’orientation, en fonction de q = (q1 q2 . . . qn )T . . . . souvent on s’arrête aux cosinus directeurs incomplets

Calcul du MGD Orientation extraite de la matrice de rotation entre les repères bâti et OT.

Calcul du MGD Orientation extraite de la matrice de rotation entre les repères bâti et OT. Position (x1 x2 x3 )T du point On+1 déduite de la position (px py pz )T du point On dans R0 , compte tenu des coordonnées (an 0 rn+1 )T de On+1 dans Rn : x1 = px + an xx + rn+1 zx x2 = py + an xy + rn+1 zy x3 = pz + an xz + rn+1 zz

Règles pratiques Calcul de la position de On et des cosinus directeurs incomplets : T0,n (q) = T0,1 (q1 ) T1,2 (q2 ) . . . Tn Règles On note, pour i, j, . . . compris entre 1 et n : Si

=

sin qi

Ci

=

cos qi

Si+j

=

sin (qi + qj )

Ci+j

=

cos (qi + qj )

1,n (qn ).

Règles pratiques Calcul de la position de On et des cosinus directeurs incomplets : T0,n (q) = T0,1 (q1 ) T1,2 (q2 ) . . . Tn

1,n (qn ).

Règles Chaque nouvelle opération : une variable intermédiaire.

Règles pratiques Calcul de la position de On et des cosinus directeurs incomplets : T0,n (q) = T0,1 (q1 ) T1,2 (q2 ) . . . Tn

1,n (qn ).

Règles Calcul du produit à rebours : pas de calcul de la seconde colonne des différentes matrices.

Règles pratiques Calcul de la position de On et des cosinus directeurs incomplets : T0,n (q) = T0,1 (q1 ) T1,2 (q2 ) . . . Tn

1,n (qn ).

Règles Deux transformations se composent aisément : on effectue tout d’abord leur produit (exemple : deux rotations successives d’axes parallèles).

Exemple Suite des travaux dirigés. . .

Modèle géométrique inverse Définition Modèle géométrique inverse (MGI) : la ou les configurations correspondant à une situation de l’OT donnée : f

1

: M ! N x 7 ! q=f

1 (x).

Résolubilité Existence d’un nombre fini de solutions : Si n < m : pas de solution. Si n = m : nombre fini de solutions (en général). Si n > m : infinité de solutions.

Calcul Résolution du MGI Pas de méthode analytique systématique pour calculer le MGI. Le mieux est de reprendre les équations du MGD et de mener le calcul à l’envers. Dans le cas où n = 6, l’existence d’un poignet sphérique permet de débuter la résolution par : px

= x1

an xx

rn+1 zx ,

py

= x2

an xy

rn+1 zy ,

pz

= x3

an xz

rn+1 zz .

Ensuite résolution au cas par cas pour exprimer les qi , pour i = 1, 2, . . . , n en fonction de px , py , pz et des cosinus directeurs.

Exemple Suite des travaux dirigés. . .

Modèle cinématique direct Définition Modèle cinématique direct (MCD) : relation entre les vitesses opérationnelles x˙ et les vitesses généralisées q˙ : x˙ = J q˙ où J est matrice jacobienne de la fonction f , de dimension m⇥n : J : Tq N ! Tx M @f ˙ où J = q˙ 7 ! x˙ = J q, . @q

Modèle cinématique direct Calcul Dérivation du MGD pour les structures simples sinon . . . Premier temps : vitesse de On et vitesse de rotation de Rn

p˙ =

n X i=1

⌦ =

n X i=1

(

i

z i + ¯i z i ⇥ pi,n )q˙ i ,

(¯i z i ) q˙ i .

Modèle cinématique direct Calcul Dérivation du MGD pour les structures simples sinon . . . Premier temps : vitesse de On et vitesse de rotation de Rn Sous forme vectorielle :

✓ ◆ p˙ = J g q˙ ⌦ Jg =

✓

1z1

+ ¯1 z 1 ⇥ p1,n ¯1 z 1

2z2

+ ¯2 z 2 ⇥ p2,n ¯2 z 2

... ...

nzn

+ ¯n z n ⇥ pn,n ¯n z n

◆

Modèle cinématique direct Calcul Dérivation du MGD pour les structures simples sinon . . . Premier temps : vitesse de On et vitesse de rotation de Rn Dans R0 :

✓ ◆ p˙ = Jg q˙ ⌦

Modèle cinématique direct Calcul Dérivation du MGD pour les structures simples sinon . . . Second temps : calcul de la vitesse du point On+1 et des dérivées des paramètres d’orientation du repère Rn Position de On+1 : 0 1 0 1 0 1 0 1 x1 px xx zx @x2 A = @py A + an @xy A + rn+1 @zy A x3 pz xz zz

Modèle cinématique direct Calcul Dérivation du MGD pour les structures simples sinon . . . Second temps : calcul de la vitesse du point On+1 et des dérivées des paramètres d’orientation du repère Rn

Vitesse de On+1 : 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 11 x˙ 1 p˙ x ⌦x xx zx @x˙ 2 A = @p˙ y A + @⌦y A ⇥ @an @xy A + rn+1 @zy AA x˙ 3 p˙ z ⌦z xz zz

Modèle cinématique direct Calcul Dérivation du MGD pour les structures simples sinon . . . Second temps : calcul de la vitesse du point On+1 et des dérivées des paramètres d’orientation du repère Rn 0 1 0 1 0 1 x˙ 1 p˙ x ⌦x @x˙ 2 A = @p˙ y A + D @⌦y A x˙ 3 p˙ z ⌦z

avec : 0

0

D = @ an xz rn+1 zz an xy + rn+1 zy

an xz + rn+1 zz 0 an xx rn+1 zx

1 an xy rn+1 zy an xx + rn+1 zx A . 0

Modèle cinématique direct Calcul Dérivation du MGD pour les structures simples sinon . . . Second temps : calcul de la vitesse du point On+1 et des dérivées des paramètres d’orientation du repère Rn Dérivées des paramètres d’orientation du repère Rn : 0 1 0 1 x˙ 4 ⌦x B x˙ 5 C B C = C @⌦y A @. . . A ⌦z x˙ m

Modèle cinématique direct Finalement : MCD : x˙ =

✓

I D 0 C

◆✓ ◆ ✓ ◆ p˙ I D ˙ = J q, ⌦ 0 C g

matrice jacobienne : J=

✓

◆ I D J . 0 C g

Règles pratiques Pour les calculs analytiques, on utilise (sans le montrer) : Jg

=

avec :

✓

R0,1 0

0 R0,1

◆✓

R1,2 0

0 R1,2

◆

...

✓

Rk 1,k 0

0 Rk 1,k

◆✓

I 0

ˆk +1,n |R p k I

◆

Jk +1 |R

k

Règles pratiques Pour les calculs analytiques, on utilise (sans le montrer) : Jg

=

✓

R0,1 0

0 R0,1

◆✓

R1,2 0

0 R1,2

◆

...

✓

Rk 1,k 0

avec : k = Ent( n2 ) : indice préférentiel

0 Rk 1,k

◆✓

I 0

ˆk +1,n |R p k I

◆

Jk +1 |R

k

Règles pratiques Pour les calculs analytiques, on utilise (sans le montrer) : Jg

=

✓

R0,1 0

0 R0,1

◆✓

R1,2 0

0 R1,2

◆

...

✓

Rk 1,k 0

0 Rk 1,k

avec : k = Ent( n2 ) : indice préférentiel ˆ4,6 = 0 robot à poignet sphérique : p

◆✓

I 0

ˆk +1,n |R p k I

◆

Jk +1 |R

k

Règles pratiques Pour les calculs analytiques, on utilise (sans le montrer) : Jg

=

✓

R0,1 0

0 R0,1

◆✓

R1,2 0

0 R1,2

◆

...

✓

Rk 1,k 0

0 Rk 1,k

◆✓

I 0

ˆk +1,n |R p k I

◆

Jk +1 |R

k

avec : k = Ent( n2 ) : indice préférentiel ˆ4,6 = 0 robot à poignet sphérique : p ˆk +1,n |Rk : matrice anti-symétrique associée à la projection p de pk +1,n dans Rk

Règles pratiques Pour les calculs analytiques, on utilise (sans le montrer) : Jg

=

✓

R0,1 0

0 R0,1

◆✓

R1,2 0

0 R1,2

◆

...

✓

Rk 1,k 0

0 Rk 1,k

◆✓

I 0

ˆk +1,n |R p k I

◆

Jk +1 |R

k

avec : k = Ent( n2 ) : indice préférentiel ˆ4,6 = 0 robot à poignet sphérique : p ˆk +1,n |Rk : matrice anti-symétrique associée à la projection p de pk +1,n dans Rk Jk +1 |Rk : projection dans Rk de J k +1 =

1z1

+ ¯1z1 ⇥ p ¯1z1

1,k +1

2z2

+ ¯2z2 ⇥ p ¯2z2

2,k +1

... ...

n zn

+ ¯n zn ⇥ p ¯n zn

n,k +1

!

Exemple Fin des travaux dirigés.

Plan

4

Génération de mouvements Les différents problèmes Système de commande d’un robot

5

Technologie Motorisation Mesure de position Variateurs de vitesse

6

Commande Commande point-à-point Commande à mouvement opérationnel imposé

Plan

4

Génération de mouvements Les différents problèmes Système de commande d’un robot

5

Technologie Motorisation Mesure de position Variateurs de vitesse

6

Commande Commande point-à-point Commande à mouvement opérationnel imposé

Problèmes point-à-point

Tâche Atteindre une position et une orientation désirées xf , à partir d’une configuration de départ q0 .

Problèmes point-à-point Tâche Atteindre une position et une orientation désirées xf , à partir d’une configuration de départ q0 = ? Génération de mouvements dans l’espace articulaire.

xf

MGI

qf

génération de mouvement q0

qr (t)

variateur

robot

q(t) capteur

Problèmes point-à-point Avantages Moins de calculs en ligne car pas besoin des modèles Aucun problème au passage des configurations singulières Contraintes butées/vitesses/accélérations maximales prises en compte lors de la génération de la consigne

xf

MGI

qf

génération de mouvement q0

qr (t)

variateur

robot

q(t) capteur

Problèmes point-à-point Inconvénients Prise en compte des contraintes géométriques impossible Gestion des collisions

Problèmes à mouvement opérationnel imposé

Tâche Calcul des commandes articulaires du robot permettant de suivre une trajectoire opérationnelle au cours du temps.

Problèmes à mouvement opérationnel imposé Tâche à mouvement opérationnel imposé Calcul les commandes articulaires du robot permettant de suivre une trajectoire opérationnelle au cours du temps = ? xr (t) résulte d’une génération, ou bien est défini par la tâche, puis calcul de qr (t) par inversion de modèle.

xf

génération de mouvement

xr (t) +

cinématique qr (t) variateur inverse

x(t) x0

robot

q(t) MGD

capteur

Problèmes à mouvement opérationnel imposé Avantages Réaliser des tâches plus complexes Reformuler les problèmes de commande selon une approche référencée capteur

Problèmes à mouvement opérationnel imposé Inconvénients Difficile de prendre en compte des contraintes telles que butées, limites de vitesse, évitement des obstacles, . . . Requiert les modèles du robot Problème en cas configuration singulière

xf

génération de mouvement

xr (t) +

cinématique qr (t) variateur inverse

x(t) x0

robot

q(t) MGD

capteur

Système de commande d’un robot Synoptique Puissance : alimentation/asservissement des actionneurs Contrôle : consignes, supervision, communication

Système de commande d’un robot Adept Viper s650

Contrôleur de robot Module Adept SmartController CX Génération et supervision du mouvement Système d’exploitation dédié, langage programmation Connectique importante Générique

Contrôleur de robot : programmation ; Define a simple transformation SET loc_a = TRANS(300,50,350,0,180,0) ; Move to the location MOVE loc_a BREAK ; Move to a location offset -50mm in X, 20mm in Y, ; and 30mm in Z relative to "loc_a" MOVE loc_a:TRANS(-50, 20, 30) BREAK ; Define "loc_b" to be the current location relative ; to "loc_a" HERE loc_a:loc_b ;loc_b = -50, 20, 30, 0, 0, 0 BREAK ; Define "loc_c" as the vector sum of "loc_a" and "loc_b" SET loc_c = loc_a:loc_b ;loc_c = 350, 70, 320, 0, 180, 0 ; ; ; ; ;

Once this code has run, loc_b exists as a transformation that is completely independent of loc_a. The following instruction moves the robot another -50mm in the x, 20mm in the y, and 30mm in the z direction (relative to loc_c): MOVE loc_c:loc_b

Contrôleur de robot : communication Communications Adept SmartController CX IEEE 1394 (FireWire) privilégiée : transferts à hauts débits (800 Mb/s), cadencée à 8kHz, temps-réel Fast Ethernet, DeviceNet=bus terrain CAN, liaisons séries RS-232, XDIO=entrées/sorties tout ou rien, etc. Fonctionnalités dédiées : commande par vision, pilotage coordonné avec automate

Contrôleur de robot : communication Communications Adept SmartController CX Connecteur XMPC : boîtier de commande manuelle Apprentissage : enregistrement des variables utilisables dans les programmes Sécurité : arrêt d’urgence/interrupteur puissance

Variateur de vitesse Fonctionnalités principales du variateur MotionBlox-60R Alimentation des moteurs par une tension variable Asservissement courant/vitesse/position des axes Autres fonctionnalités : Communications avec le contrôleur pour la supervision du robot (à 1kHz : références, valeurs codeurs, statuts) Diagnostic du bon fonctionnement des moteurs : statuts, erreur d’asservissement, chauffe moteur Contrôle des freins des axes : électrique/manuel Arrêt d’urgence pour couper la puissance du robot Puissances mises en jeu Variables, fonctions des masses en mouvement et des vitesses. Viper s650 : 2kW max pour 5 kg utiles.

Plan

4

Génération de mouvements Les différents problèmes Système de commande d’un robot

5

Technologie Motorisation Mesure de position Variateurs de vitesse

6

Commande Commande point-à-point Commande à mouvement opérationnel imposé

Motorisation Commande d’axe Mécanique : association moteur+réducteur de vitesse Capteur de position/vitesse Electronique de puissance : variateur de vitesse

Moteurs électriques pour la robotique Moteurs dédiés à la robotique = moteurs à courant continu, avec ou sans balais. Quelques cas plus exotiques : asynchrones, pneumatiques, hydrauliques, piézoélectriques, pas à pas, . . .

Moteurs à courant continu (avec balais)

Moteurs à courant continu (avec balais)

Avantages Simple et très répandu Commande très simple Electronique peu coûteuse Inconvénients Usure des balais Vitesse limitée Etincelles

Moteurs à courant continu sans balais Principe Moteurs synchrones auto-pilotés, commande basée sur l’analogie avec le moteur à courant continu. Avantages Meilleur rendement, meilleures propriétés mécaniques Meilleur couple massique Vitesse de rotation maximale plus grande Moins de bruit de commutation, pas d’étincelles Inconvénients Plus cher Electronique plus complexe (numérique) Effets d’ondulation de couple aux basses vitesses

Réducteurs Intérêt Moteur adapté à des vitesses de rotation élevées Augmentation du couple Inconvénients Augmentation de l’inertie de l’axe, et surtout des frottements. . .

Réducteurs conventionnels et planétaires Réducteurs à dentures droites ou hélicoïdales

Réducteurs à étages ou train épicycloïdal

Réducteurs planétaires Principe Deux arbres coaxiaux : les planétaires (extérieur=couronne) + des satellites qui engrènent avec les planétaires, reliés entre eux par un porte-satellites.

Réducteurs Harmonic Drive Principe Utilisation d’une cloche déformable, entrainée par une partie mobile légèrement elliptique, qui engrène sur une couronne circulaire possédant deux dents de plus que la cloche.

Plan 4

Génération de mouvements Les différents problèmes Système de commande d’un robot

5

Technologie Motorisation Mesure de position Variateurs de vitesse

6

Commande Commande point-à-point Commande à mouvement opérationnel imposé

Capteurs Intérêt Mesure de la position ou de la vitesse de l’arbre moteur Asservissement Inconvénients Pas mal de défauts potentiels. . .

Codeurs incrémentaux Principe Emission de lumière par une photodiode : signaux lumineux qui perçus sur les récepteurs donnent des signaux logiques déphasés A, B et le signal d’index I (ou Z).

Codeurs incrémentaux Avantages Bonne résolution, de loin la solution la plus classique ¯ B ¯ pour la redondance Signaux A, Très bonne compacité du capteur Inertie négligeable, pas de frottement Inconvénients Quantification (basses vitesses, dérivation) Pas de position absolue de l’axe

maxon tacho

Codeur HEDL 5540, 500 impulsions, 3 canaux, avec Line Driver RS 422

Programme Stock Programme Standard Programme Spécial (sur demande!)

Numéros de commande 110512

110514

110516

110518

500 3 100 3

500 3 100 4

500 3 100 6

500 3 100 8

Type Nombre d'impulsions par tour Nombre de canaux Fréquence impulsionnelle max. (kHz) Diamètre de l'arbre (mm)

longueur totale

longueur totale

Combinaison + Moteur RE 25, 10 W* RE 25, 10 W* RE 25, 10 W* RE 25, 10 W* RE 25, 20 W* RE 25, 20 W* RE 25, 20 W* RE 25, 20 W* RE 26, 18 W* RE 26, 18 W* RE 26, 18 W* RE 26, 18 W* RE 35, 90 W* RE 35, 90 W* RE 35, 90 W* RE 35, 90 W* RE 35, 90 W* RE 35, 90 W* RE 36, 70 W* RE 36, 70 W* RE 36, 70 W* RE 36, 70 W* RE 40, 150 W* RE 40, 150 W* RE 40, 150 W* RE 40, 150 W* RE 40, 150 W* RE 40, 150 W* RE 75, 250 W RE 75, 250 W RE 75, 250 W RE 75, 250 W

Page 77 77 77 77 78 78 78 78 79 79 79 79 81 81 81 81 81 81 82 82 82 82 83 83 83 83 83 83 84 84 84 84

+ Réducteur

Page

GP 26, 0.5 - 2.0 Nm GP 32, 0.75 - 6.0 Nm GP 32, 0.4 - 2.0 Nm

216 218/220 222

+ Frein

Page

Longueur totale [mm] / 75.3

voir: + Réducteur

● ● ●

75.3 GP 26, 0.5 - 2.0 Nm GP 32, 0.75 - 6.0 Nm GP 32, 0.4 - 2.0 Nm

216 218/220 222

GP 26, 0.5 - 2.0 Nm GP 32, 0.75 - 6.0 Nm GP 32, 0.4 - 2.0 Nm

216 218/220 222

GP 32, 0.75 - 6.0 Nm GP 42, 3.0 - 15 Nm

219/220 224

GP 32, 0.75 - 6.0 Nm GP 42, 3.0 - 15 Nm

AB 40 219/220 AB 40 224 AB 40

● ● ●

77.2 ● ● ●

91.9 ● ●

279 279 279

124.1 ● ●

92.2 GP 32, 0.75 - 6.0 Nm GP 32, 0.4 - 2.0 Nm GP 42, 3.0 - 15 Nm

219/220 222 224

GP 42, 3.0 - 15 Nm GP 52, 4.0 - 30 Nm

224 227

GP 42, 3.0 - 15 Nm GP 42, 4.0 - 30 Nm

224 227

GP 81, 20 - 120 Nm

230

GP 81, 20 - 120 Nm

230

● ● ●

91.7 ● ●

AB 40 AB 40 AB 40

279 279 279

AB 75 AB 75

282 282

124.2 ● ●

241.5 ●

281.4 ●

*Connectique voir page 245

Recepteur de ligne Circuits utilisables: - MC 3486 - SN 75175 - AM 26 LS 32

Codeur Line Driver DS26LS31

Canal R

Connectique Type SOURIAU 8GM-QL2-12P 1 VCC 2 N.C. (non utilisé) 3 GND 4 N.C. (non utilisé) 5 Canal I (Index) 6 Canal I 7 Canal B 8 Canal B 9 Canal A 10 Canal A 11 N.C. (non utilisé) 12 N.C. (non utilisé) Connecteurs connseillés Type SOURIAU 8GM-DM2-12S (métal sortie droite: maxon Art. No. 2675.538) ou 8G-V2-12S ((plastique, angle à 90°: maxon Art. No. 2675.539)

Exemple de connexion

Canal A Canal R

Connectique pour moteur RE 75

Canal B Canal R

Données techniques Tension d'alimentation 5 V ! 10 % Signal de sortie EIA Standard RS 422 Drives utilisée: DS26LS31 Déphasage # (nominal) 90°e Distance entre flancs s min. 45°e Temps de montée du signal 180 ns (typique avec CL = 25 pF, RL = 2.7 k", 25°C) Temps de descente du signal 40 ns (typique avec CL = 25 pF, RL = 2.7 k", 25°C) Largeur (nominale) d'impulsion d'index 90°e Plage de températures 0 ... +70°C Moment d'inertie du disque $ 0.6 gcm2 Accélération angulaire max. 250 000 rad s-2 Courant par canal min. -20 mA, max. 20 mA Option 1000 impulsions, 2 canaux

Canal I

Résistance terminale R = typique 100 "

244

maxon tacho

Edition Juillet 2005 / Modifications réservées

Génératices tachymétriques et résolveurs Génératrice tachymétrique = machine à courant continu utilisée en génératrice : mesure continue et absolue de la vitesse de l’axe plus encombrant, beaucoup plus coûteux

Résolveur = dispositif avec un bobinage primaire tournant, et deux bobinages secondaires diphasés, dont le couplage dépend de la position du rotor : robustesse et longue durée de vie signaux mesurés transmis sans perturbations fournit potentiellement position et vitesse

Génératrice DCT 22, 0.52 Volt Informations importantes ● ●

maxon tacho

●

●

●

●

●

Programme Stock Programme Standard Programme Spécial (sur demande!)

Génératrice équipée du rotor sans fer maxon. Génératrice avec commutation en métaux précieux. Inertie du système = inertie rotor moteur + inertie rotor génératrice. Le rotor génératrice tourne dans le même sens que le rotor moteur (la rotation du moteur en sens horaire, vu en bout d’axe, fournit une tension positive sur la cosse marquée +). Il est recommandé d’utiliser un amplificateur à haute impédance d’entrée. La génératrice ne doit pas être trop chargée en courant. La fréquence de résonance donnée provient des systèmes rotor-moteur et rotor-TG.

Numéros de commande 118908

118909

118910

2

3

4

Type Diamètre de l'arbre (mm)

longueur totale

longueur totale

Combinaison + Moteur RE 25, 10 W RE 25, 10 W RE 25, 10 W RE 25, 10 W RE 25, 10 W RE 25, 20 W RE 25, 20 W RE 25, 20 W RE 25, 20 W RE 25, 20 W RE 26, 18 W RE 26, 18 W RE 26, 18 W RE 26, 18 W RE 26, 18 W RE 35, 90 W RE 35, 90 W RE 35, 90 W RE 35, 90 W RE 36, 70 W RE 36, 70 W RE 36, 70 W RE 36, 70 W RE 36, 70 W

Page 77 77 77 77 77 78 78 78 78 78 79 79 79 79 79 81 81 81 81 82 82 82 82 82

+ Réducteur

Page

GP 26, 0.5 - 2.0 Nm GP 32, 0.75 - 4.5 Nm GP 32, 1.0 - 6.0 Nm GP 32, 0.4 - 2.0 Nm

216 218 220 222

Longueur totale [mm] /

voir: + Réducteur 76.8 ● ● ● ●

76.8 GP 26, 0.5 - 2.0 Nm GP 32, 0.75 - 4.5 Nm GP 32, 1.0 - 6.0 Nm GP 32, 0.4 - 2.0 Nm

216 218 220 222

● ● ● ●

79.8 GP 26, 0.5 - 2.0 Nm GP 32, 0.75 - 4.5 Nm GP 32, 1.0 - 6.0 Nm GP 32, 0.4 - 2.0 Nm

216 218 220 222

GP 32, 0.75 - 4.5 Nm GP 32, 1.0 - 6.0 Nm GP 42, 3.0 - 15 Nm

219 220 224

GP 32, 0.75 - 4.5 Nm GP 32, 1.0 - 6.0 Nm GP 32, 0.4 - 2.0 Nm GP 42, 3.0 - 15 Nm

219 220 222 224

● ● ● ●

89.0 ● ● ●

89.3 ● ● ● ●

Données techniques Tension de sortie par 1000 tr / min 0.52 V Résistance connectée tachymètrique 56.6 ! Ondulation moyenne effective crête à crête #6% Nombre d'ondulations par tour 14 Linéarité entre 500 et 5000 tr / min à vide " 0.2 % Linéarité avec résistance de charge de 10 k! " 0.7 % Erreur d'inversion " 0.1 % Coefficient de température de la FEM (aimant) -0.02 % /°C Coefficient de temp. sur résistance d'induit +0.4 % /°C

Exemple de connexion Courant max. conseillé 10 mA Tolérance de la tension de sortie " 15 % Inertie du rotor génératrice < 3 gcm2 Fréq. de résonance avec le mot. des p. 77 - 79 > 2 kHz avec le moteur des pages 86, 88 > 3 kHz avec le moteur des pages 81, 82 > 4.5 kHz Plage de températures -20 ... +65°C

180 W

T

1 kW

Option: également livrable avec des fils de connexion. Rippel =

252

maxon tacho

x 100 (%)

Edition Juillet 2005 / Modifications réservées

Secondaire b32

jaune / blanc

Programme Stock Programme Standard Programme Spécial (sur demande!)

U

z32

SIN

jaune

rouge z30

360°e

COS

R es ro olv to er r -

rouge / blanc d30 b30

SIN

bleu

Primaire

noir

COS

Angle rotor #

d32

Numéros de commande 166488

133405

268912

216287

4

6

6

6

Type Diamètre de l'arbre (mm)

longueur totale

longueur totale

Combinaison + Moteur EC 32, 80 W EC 32, 80 W EC 32, 80 W EC 40, 120 W EC 40, 120 W EC 40, 120 W EC 45, 150 W EC 45, 150 W EC 45, 150 W EC 45, 250 W EC 45, 250 W EC 45, 250 W EC 45, 250 W EC 60, 400 W EC 60, 400 W

Page 159 159 159 160 160 160 161 161 161 162 162 162 162 165 165

+ Réducteur

Page

GP 32, 0.75 - 4.5 Nm GP 32, 1.0 - 6.0 Nm

219 221

GP 42, 3.0 - 15 Nm GP 52, 4.0 - 30 Nm

224 227

GP 42, 3.0 - 15 Nm GP 52, 4.0 - 30 Nm

224 227

GP 42, 3.0 - 15 Nm GP 52, 4.0 - 30 Nm GP 62, 8.0 - 50 Nm

225 227 229

GP 81, 20 - 120 Nm

230

Longueur totale [mm] / 80.1

voir: + Réducteur

●

96.6

111.2 ●

144.0 ●

●

177.3 ●

Données techniques Tension d'entrée Transformation Erreur électrique

Edition Juillet 2005 / Modifications réservées

10 V peak, 10 kHz Moment d'inertie du rotor 0.5 Poids ! 10 minutes Plage de températures

6 gcm2 40 g -55 """ +155°C

maxon tacho

253

maxon tacho

Résolveur Res 26, 10 Volt

Plan 4

Génération de mouvements Les différents problèmes Système de commande d’un robot

5

Technologie Motorisation Mesure de position Variateurs de vitesse

6

Commande Commande point-à-point Commande à mouvement opérationnel imposé

Variateurs de vitesse Objectifs et hypothèses principe de fonctionnement des variateurs de vitesse

Variateurs de vitesse Objectifs et hypothèses principe de fonctionnement des variateurs de vitesse cas du moteur à courant continu (mcc)

Variateurs de vitesse Objectifs et hypothèses principe de fonctionnement des variateurs de vitesse cas du moteur à courant continu (mcc) bibliographie : Techniques de l’Ingénieur

Variateurs de vitesse Objectifs et hypothèses principe de fonctionnement des variateurs de vitesse cas du moteur à courant continu (mcc) bibliographie : Techniques de l’Ingénieur Définition Variateur de vitesse : dispositif permettant de réaliser l’alimentation et la commande d’un moteur.

Schéma de principe

F IGURE: Schéma général d’un variateur de vitesse [Louis2002]

Principe et modélisation du convertisseur statique Convertisseurs statiques Alimentation du moteur à partir d’un réseau électrique alternatif :

Principe et modélisation du convertisseur statique Convertisseurs statiques Alimentation du moteur à partir d’un réseau électrique alternatif : redresseur (conversion alternatif/continu)

Principe et modélisation du convertisseur statique Convertisseurs statiques Alimentation du moteur à partir d’un réseau électrique alternatif : redresseur (conversion alternatif/continu) hacheur (conversion continu/continu).

Principe et modélisation du convertisseur statique Convertisseurs statiques Alimentation du moteur à partir d’un réseau électrique alternatif : redresseur (conversion alternatif/continu) hacheur (conversion continu/continu). différents cas

Principe et modélisation du convertisseur statique Convertisseurs statiques Alimentation du moteur à partir d’un réseau électrique alternatif : redresseur (conversion alternatif/continu) hacheur (conversion continu/continu). différents cas source d’énergie : monophasé, triphasé

Principe et modélisation du convertisseur statique Convertisseurs statiques Alimentation du moteur à partir d’un réseau électrique alternatif : redresseur (conversion alternatif/continu) hacheur (conversion continu/continu). différents cas source d’énergie : monophasé, triphasé technologie des convertisseurs statiques : pont redresseur commandé ou non ; hacheur 1, 2 ou 4 quadrants

Cas triphasé, redresseur non commandé, hacheur 4Q

F IGURE: Schéma du convertisseur statique [Louis2002]

Choix pour la variation de vitesse Alimentation source d’alimentation : dépend des besoins en termes de puissance systèmes embarqués : (réseau+redesseur) remplacé par des batteries

Choix pour la variation de vitesse Alimentation source d’alimentation : dépend des besoins en termes de puissance systèmes embarqués : (réseau+redesseur) remplacé par des batteries

Hacheur choix le plus important pour la variation de vitesse hacheur 4Q : fonctionnement possible dans les différents modes moteur, freinage (attention à la réversibilité de la source)

F IGURE: Fonctionnement 4 quadrants du hacheur [Louis2002]

Modèle du hacheur Aspect échantillonné Le hacheur fournit une tension de valeur moyenne réglable par le biais de son rapport cyclique ↵ 2 [0 1] : système échantillonné. Fréquence de commutation élevée en faibles puissances (typiquement 50 kHz pour P < 1kW ).

Modèle du hacheur Aspect échantillonné Le hacheur fournit une tension de valeur moyenne réglable par le biais de son rapport cyclique ↵ 2 [0 1] : système échantillonné. Fréquence de commutation élevée en faibles puissances (typiquement 50 kHz pour P < 1kW ).

Modèle en continu Première approximation : source de tension continue de valeur réglable : relation tension d’alimentation du moteur/tension de commande du rapport cyclique = simple gain.

Modélisation du mcc i

c

v

B !

i

R

L e

v

Equations di V = Ri + L dt + e, e = Ke ⌦, J d⌦ = c c0 f ⌦, dt c = Km i.

Mise en équation du mcc i

c

v

B !

i

R

L e

v

Equations V (s) E(s) Js⌦(s) C(s)

= = = =

(R + Ls)I(s) + E(s), Ke ⌦(s), C(s) C0 (s) f ⌦(s), Km I(s).

Remarque : Ke ' Km . On pose Kem = Ke = Km .

Schéma-bloc Analyse mcc = système à contre-réaction

C0 (s) V (s)

+ E(s)

1 R + Ls

I(s) Kem

C(s) +

1 B + Js

Kem

F IGURE: Schéma de principe d’un moteur à courant continu

⌦(s)

Modèle En combinant les équations : ⌘ R L ⇣ (f ⌦(s) + Js⌦(s))+ fs⌦(s) + Js2 ⌦(s) +Kem ⌦(s) = V (s). Kem Kem

Fonction de transfert en vitesse Kem ⌦(s) LJ G(s) = = R V (s) s2 + ( L + Jf )s +

ordre 2, classe 0

2 Rf +Kem LJ

.

Modèle en vitesse d’ordre un Hypothèse On néglige l’influence de l’inductance d’induit.

Fonction de transfert en vitesse G(s) =

⌦(s) K = , V (s) 1 + ⌧em s

avec la constante de temps électromécanique du système et le gain statique : RJ Kem ⌧em = etK = . 2 2 Rf + Kem Rf + Kem

ordre 1, un pôle stable p =

1/⌧em

Modèle en vitesse d’ordre deux Première expression G(s) =

s2 +

Kem LJ ( RL + Jf )s

+

2 Rf +Kem LJ

Identification de la forme canonique : G(s) =

K ⌦2n . s2 + 2⇠⌦n s + ⌦2n

.

Modèle en vitesse d’ordre deux Seconde expression G(s) =

K , 1 + (⌧em + µ⌧el )s + ⌧el ⌧em s2

avec la constante de temps électrique du système : ⌧el =

L R.

Modèle en vitesse d’ordre deux Seconde expression G(s) =

K , 1 + (⌧em + µ⌧el )s + ⌧el ⌧em s2

avec la constante de temps électrique du système : ⌧el =

Comme µ =

Rf 2 Rf +Kem

L R.