2021 2022 TD2 Mecanique Des Fluides [PDF]

Zitiervorschau

Année académique 2021 - 2022

Université Marien Ngouabi de Brazzaville Ecole Nationale Supérieure Polytechnique - ENSP Département des Formations Doctorales          TD N˚2 DE MÉCANIQUE DES FLUIDES ECUE : Thème : Date : Durée : 05h00

Mécanique des fluides Statique des fluides - hydrostatique - Poussée d’Archimède lundi 24 janvier 2022 à 07h30 Niveau : 1ère année Master GPI & IMSA



Crédits : 4/1 

Documents & Calculatrice autorisées



Exercice 1 : Etude d’un tube en U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 minutes Le fond d’un tube en U (Figure 1) est rempli de mercure (Hg) de masse volumique ρHg = 13, 6 g.cm−3 . La branche de gauche du tube contient un liquide de masse volumique ρ inconnue et celle de droite de l’eau de masse volumique ρeau = 1000 kg.m−3 . A l’équilibre, on constate que la hauteur du liquide inconnu est h0 /h1 = 1, 5 et celle de l’eau est h1 = 14, 7 cm. Les points A et A0 sont en contact avec l’air environnent, la pression qui y règne est donc égale à la pression atmosphérique P0 = 1, 03×105 Pa. On prendra g = 9, 81 m.s−2 .

z

P0

P0

Eau

zA= zA’ h1 h0

zC

h2 zB= zD Liquide inconnu

Mercure (Hg)

o Figure 1 – Tube en U.

1. Calculer en Pascals et en mbar, la pression du fluide au point C et au point D. 2. Détermination de la masse volumique du liquide inconnu. a) Etablir l’expression littérale de la masse volumique ρ du liquide inconnu puis donner sa valeur numérique. b) Que peut-on en conclure sur la densité de ce liquide par rapport à celle de l’eau ? c) Recalculer la valeur numérique de la masse volumique ρ du liquide inconnu si la hauteur d’eau à l’équilibre est h1 = 18, 7 cm. Commenter. 3. Montrer que, le rapport de dénivellations χ entre le liquide inconnu (h0 ) et l’eau de la branche de droite (h1 ), s’écrit : 1 − dHg h0 χ= = h1 dinconnu − dHg où dHg est la densité du mercure et dinconnu celle du liquide inconnu. Dr. Adolphe Kimbonguila, Maître-Assistant CAMES A, UMNG/ENSP

Tournez la page s.v.p. . .

TD n˚2 de Méca. des fluides

Semestre 1 – Master 1 GPI1 & IMSA1

Page 2 sur 7

Exercice 2 : Etude des réservoirs ouverts et fermés sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . 30 minutes 1. Dans un réservoir, 90 cm d’huile reposent sur 60 cm d’eau. L’eau est à 15˚C (masse volumique de l’eau ρeau = 999 kg.m−3 ) et la densité de l’huile est de 0, 80. Déterminer la pression au fond du réservoir ainsi que la distance x indiquée sur la figure 2.a.

a)-Réservoir ouvert à l’air libre

Réservoir fermé et sous pression

Figure 2 – Etude des réservoirs ouvert à l’air libre et fermé sous pression. 2. Un réservoir fermé et sous pression contient de l’eau à 20˚C (masse volumique de l’eau ρeau = 997 kg.m−3 ) jusqu’à la hauteur de 3, 60 m et, par dessus, de l’huile jusqu’à 6, 70 m. Sur le réservoir, un manomètre mécanique affiche une pression de 70 kPa (figure 2.b). Calculer l’élévation des liquides dans chacun des conduits sur lesquels ils débouchent.

Exercice 3 : Etude des pressions dans des vases communicants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 minutes En utilisant les données reportées sur la Figure 3. — Exprimer et calculer la différence de pression pA − pB entre les deux réservoirs A et B.

Figure 3 – Pression dans des réservoirs. On prendra pour les applications numériques : h1 = 2 cm

h2 = 8 cm h3 = 5 cm h4 = 1 cm ρ1 = 1, 225 kg.m−3 ρ2 = 1000 kg.m−3 g = 10 m.s−2

Dr. Adolphe Kimbonguila, Maître-Assistant CAMES A, UMNG/ENSP

Tournez la page s.v.p. . .

Semestre 1 – Master 1 GPI1 & IMSA1

TD n˚2 de Méca. des fluides

Page 3 sur 7

Execice 4 : Etude d’un manomètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 minutes On considère le manomètre représenté sur la Figure 4.

Figure 4 – Manomètre. On prendra pour les applications numériques : h1 = 20 cm

h2 = 8 cm

h3 = 40 cm

h4 = 14 cm

h5 = 9 cm

g = 10 m.s−2

En utilisant la méthode des branches vue en cours, exprimer et calculer la différence de pression entre les points A et B.

Exercice 5 : Etude d’un flotteur de débourbeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 mintes Un flotteur sphérique, de masse m = 50 g, permet de connaître le niveau atteint par les hydrocarbures dans un débourbeur et le moment où il faut les pomper. Sachant qu’il flotte sur la couche d’hydrocarbures en étant à moitié immergé : 1. Faire le schéma du problème étudié. 2. Déterminer le volume immergé Vimm de la sphère. 3. Déterminer et calculer le rayon du flotteur sphérique. On prendra pour les applications numériques : dh = 0, 85

g = 10 m.s−2 ρeau = 1000 kg.m−3

où dh est la densité des hydrocarbures, g est la constante de pesanteur et ρeau la masse volumique de l’eau.

Dr. Adolphe Kimbonguila, Maître-Assistant CAMES A, UMNG/ENSP

Tournez la page s.v.p. . .

TD n˚2 de Méca. des fluides

Semestre 1 – Master 1 GPI1 & IMSA1

Page 4 sur 7

Exerice 6 : Etude d’un manomètre différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 minutes Un manomètre différentiel est formé de deux récipients cylindriques de sections droites identiques S, réunis par un tube de section intérieure s, 100 fois plus petite que celle des récipients (Figure 5). Il contient deux liquides incompressibles non miscibles entre eux (l’eau de masse volumique ρ0 = 998 kg.m−3 et l’aniline de masse volumique ρ = 1024 kg.m−3 avec ρ > ρ0 ) dont la surface de séparation se trouve toujours dans la partie gauche du tube de section s. On étudie l’équilibre initial du manomètre, sachant que la pression P0 au-dessus des deux liquides est la même. On désigne par A, un point de la surface de séparation eau/aniline. On négligera dans cette étude, tout phénomène lié à la tension superficielle et l’accélération de la pesanteur sera prise égale à g = 9, 81 m.s−2 .

Figure 5 – Manomètre différentiel. 1. Etude de l’équilibre initial 1.1. Qu’est ce qu’un manomètre ? 1.2. Exprimer les pressions effectives peffA et peffB , respectivement aux points A et B. 1.3. Etablir la relation entre ρ, ρ0 , H et H0 . 2. Etude de l’équilibre final On provoque une surpression ∆p au-dessus de l’eau, la pression devient P0 + ∆p > p0 . On observe, alors, un déplacement ∆h de la surface de séparation eau/aniline (la pression au-dessus de l’aniline reste égale à la pression atmosphérique, P0 ). 2.1. Exprimer, en fonction de ∆h, s et S : a) L’abaissement z de la surface libre de l’eau dans la branche de gauche ; b) Le déplacement y de la surface libre de l’aniline dans la branche de droite. 2.2. Ecrire les expressions des nouvelles hauteurs d’eau H00 et d’aniline H 0 au-dessus de la nouvelle surface de séparation eau/aniline. 2.3. Montrer que la relation entre la surpression ∆p et le déplacement ∆h est donnée par :  

∆p = ∆h · g ρ 1 +

s S





− ρ0 1 −

s S



2.4. Etude de la sensibilité du manomètre et de l’influence de la taille du tube. a) Exprimer et calculer la sensibilité de ce manomètre définie par δ = ∆h/∆p. b) Quel est le rôle joué par la gravité sur la sensibilité du manomètre ? s c) Que devient la sensibilité δ du manomètre si