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Zitiervorschau

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Vibrations de flexion des poutres N. Rémy-Martin, D. Royer, N. Trappler Résumé : on propose une réalisation en Mathematica de programmes pour le calcul des régimes vibratoires libres de poutres homogènes. Mots-clés : poutre, vibration, régime libre, mode propre, déformée. Abstract : a Mathematica implementation is put forward in order to compute the vibratory behaviour of homogeneous beams. Keywords : beam, vibration, free vibrations, eigen mode, blucking.

ü Introduction Nous nous proposons de réaliser un programme permettant de trouver les modes propres des vibrations de flexion d'une poutre homogène. Nous verrons par ailleurs que cette détermination se fera en introduisant quelques hypothèses simplificatrices. Dès lors le problème consiste en la résolution d'une équation aux dérivées partielles. Nous verrons que la résolution du problème se fait grâce à la connaissance des conditions aux limites. La démarche adaptée amène deux possibilités de détermination des solutions : le calcul exact ou approché. Des rencontres avec des mécaniciens et des spécialistes de Mathematica ont permis de déterminer l'ergonomie souhaitable du programme. La réalisation est simplifiée par le langage symbolique de Mathematica avec lequel on programme directement des formules mathématiques.

ü Etude préliminaire : modélisation de la poutre Lors de l'étude d'une poutre en flexion, divers paramètres interviennent, ceux-ci pouvant être liés au matériau utilisé ainsi qu'aux dimensions de la poutre. Le module de Young (E) et la masse volumique (r) sont les caractéristiques propres au matériau. La section (S), le moment quadratique (I) et la longueur de la poutre (L) sont les paramètres géométriques à prendre en compte pour la résolution du problème. Rappelons la définition du moment quadratique : I=Ÿ ŸS y2 dS

Figure 1 : calcul du moment quadratique y y

G

Æy

x

x

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ü Mouvement de flexion Considérons une poutre vibrant en régime libre dans son plan. L'équation de mouvement fait intervenir de nombreux paramètres : Ü l'altitude de la fibre neutre au point d'abscise x à l'instant t notée y[x,t]. Ü l'effort tranchant T ainsi que l'effort extérieur par unité de longueur Tex ; dans l'étude en régime libre l'effort extérieur est nul : Tex = 0. Ü le moment fléchissant M. Ü la pente de la fibre neutre due au moment fléchissant (y). Figure 2 : équilibre d'un élément de la poutre y

T M T+ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ dx M+ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ dx x x

-T -M Æ W@xD

x

x

x+dx

Appliquons les théorèmes généraux de la dynamique à un élément infinitésimal dx de la poutre. Cela nous conduit à deux équations. ⁄ Fext = M gHtL T 2 w Soit : -T + HT + ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ dxL = rSdx ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅ x  t2

⁄ !HxL = dHtL 2 y ! T T dx Soit : -! + H! + ÅÅÅÅ Å ÅÅÅxÅÅ L + ÅÅÅÅ 2Å dx + HT + ÅÅÅÅ  ÅxÅÅÅÅ dxL ÅÅÅÅ 2ÅÅ = rIdx ÅÅÅÅ ÅtÅÅÅ2ÅÅ Après simplification on obtient le système suivant à résoudre. 9

 w T rS ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ  t2 x 2

2

 y M rI ÅÅÅÅ ÅtÅÅÅ2ÅÅ = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ xÅ + T

Il nous faut maintenant utiliser les relations classiques de la résistance des matériaux. y M ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ ÅÅ x EI

et

T w y - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ aSG x 2

 y Dans les cas usuels, certains termes de ces équations peuvent êtres négligés; il s'agit de rI ÅÅÅÅ ÅtÅÅÅ2ÅÅ qui représente l'effet T d'inertie en rotation et de ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ qui représente l'effet de cisaillement. Une fois ces simplifications opérées, on dit que l'on aSG M résout le problème d'une poutre d'Euler-Bernouilli. Après élimination entre T, M et y on obtient : ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ x Å = -T donc T 2 M 2 w ÅÅÅÅÅxÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅÅÅÅÅ Å ÅÅÅ Å et M = EI ÅÅÅÅÅÅÅÅ Å ÅÅ , soit en supposant la section et le module de Young constants le long de la poutre : 2 x 2 x  w  w EI ÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 xÅÅÅ + rS ÅÅÅÅÅÅÅÅ  t 2ÅÅÅÅ = 0 4

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ü Résolution Pour résoudre cette équation aux dérivées partielles d'ordre quatre, on utilise la technique de séparation des variables (x et t). On pose alors w@x, tD = @xD.B@tD. En fait sachant que l'on traite un problème de vibration, on supposera B[t] être une fonction sinusoïdale de pulsation w. Ainsi l'équation devient : 2 EI ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 ÅÅÅÅÅÅÅ - rSw W Hx L = 0

d 4 W Hx L dx

Pour simplifier les calculs on pose un changement de variable qui consiste à remplacer H ÅÅÅÅrS ÅÅÅ L par c. On cherche des EI solutions de la forme : Y (x, t) = W(x).cos (wt). L'équation devient : W H4L HxL - cw2 WHxL = 0. Enfin, on pose a4 = c w2 . Le but est de trouver une fonction de variable x et de paramètre a telle que : W H4L HxL = a4 WHxL autrement dit, de résoudre une équation differentielle d'ordre 4 à coefficient constant. f@x_, a_D := HW@xD ê. Flatten@DSolve@8W ''''@xD - a ^ 4 * W@xD ã 0