2 Le Champ Éléctrostatique Et Le Potentiel Éléctrostatique PDF [PDF]

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Potentiel électrique. A. Circulation du champ électrostatique: potentiel électrique 1. Potentiel électrostatique: a. Cas d’une seule charge ponctuelle Considérons une charge ponctuelle q (>0) fixée en P et un point M de l’espace. La charge ponctuelle q fixée en P crée en tout point M de l’espace un champ électrostatique donné par :

: vecteur unitaire dirigé de P vers M. La circulation élémentaire dC du champ du point M sur la courbe AB est :

correspondant à un déplacement élémentaire

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Or:

et

Puisque :

et on a

La circulation élémentaire dC s’écrit alors : Posons alors: V est le potentiel électrostatique V(M) crée par la charge q fixée en M : champ scalaire défini à une constante près. En général on choisit la valeur de la constante de telle sorte que le potentiel soit nul lorsque le point M est infiniment éloigné de la charge : V(r →∞) = 0. Dans ce cas, la constante est nulle et le potentiel s’écrit : 2

b. Cas d’une distribution de n charges ponctuelles Soient n charges ponctuelles q1, q2, ..., qi, ...,qn fixés aux points P1, P2, ..., Pi, ...,Pn. Soit M un point de l’espace. Calculons la circulation élémentaire dCi du champ Ei crée par la charge qi seule :

et Ainsi, le potentiel électrostatique Vi(M) dû à la charge qi. avec Le potentiel V(M) dû à l’ensemble des n charges est la somme des potentiels en application du principe de superposition Dans cette relation, nous avons choisi la constante nulle pour chaque potentiel Vi crée par la charge qi. 3

c. Cas d’une distribution continue de charges. 1. Lorsque la charge Q est répartie sur un fil avec une densité linéique:

2. Dans le cas d’une distribution continue superficielle de charges :

3. Dans le cas d’une distribution volumique de charges

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2. Relation entre champ et potentiel électrostatique Le potentiel électrostatique a été défini à partir de la circulation élémentaire du champ or et

Par définition le gradient d’une fonction scalaire en coordonnées cartésienne :

On trouve que

d’où :

Définition :

Le potentiel électrostatique V est relié au champ électrostatique

par:

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2. Surfaces équipotentielles On appelle surface équipotentielle, une surface S dont tous les points sont au même potentiel V, c’est-à-dire V=cste. Soit un petit déplacement sur une surface équipotentielle on trouve:

Ce qui montre que

En général le champ est normal aux surfaces équipotentielles et dirigé vers les potentiels décroissants Exemple:

Dans le cas d’une charge ponctuelle, les surfaces équipotentielles sont des sphères concentriques de centre O et les lignes de champ sont radiales 6

Exemple : Soit une boucle circulaire de centre O, de rayon R, uniformément chargée avec une densité linéique λ = λ (figure 1). Calculer le champ crée par cette distribution de charges, en un point M de l’axe z' z de la boucle : • A partir du potentiel électrostatique

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Théorème de Gauss 1. Notion de Flux (rappel): a. Flux du champ électrique à travers une surface quelconque On considère une charge ponctuelle q en O et une surface élémentaire dS quelconque : Le flux élémentaire dφ de E à travers la surface dS est défini par la relation : avec donc

soit :

D’où finalement : avec Le flux de

ne dépend que de l’angle solide sous lequel est vue la surface,

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a. Flux total du champ électrique créé par une charge ponctuelle à travers une surface quelconque fermée i. Cas où la charge se trouve à l’extérieure d’une surface fermée Σ On considère un angle solide élémentaire dΩ. Il intercepte la surface fermée en deux endroits, définis par les surfaces élémentaire dS et dS’ Remarque : les normales à une surface fermée sont toujours orientées dans le sens sortant par convention On place une charge q en M, à l’endroit d’observation des surfaces dS et dS’. la charge est à extérieure à la surface fermée.

d’ est positif car cos( ,

d est négatif car cos( ,

) est positif : compris entre 0 et /2

) est négatif : compris entre /2 et 3/2

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i. Cas où la charge se trouve à l’extérieure d’une surface fermée Σ (suite) dS et dS’ correspondent au même angle solide : mais compte tenue de l’orientation relative des surfaces dS et dS’ on a :

Toute la surface peut être décomposée en somme de surfaces élémentaires complémentaires pour lesquelles le flux total sera nul.

Conclusion : le flux envoyé par une charge dans une surface fermée est nul lorsque cette charge se trouve à l’extérieure de la surface en question

…et si la charge se trouve à l’intérieure de la surface fermée Σ?

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ii.

Cas où la charge se trouve à l’intérieure d’une surface fermée Σ

On considère une charge ponctuelle q à l’intérieur d’une surface fermée Σ. On cherche à calculer le flux élémentaire de l’angle solide dΩ.

à travers la surface Σ vue sous

L’angle solide en question intercepte la surface fermée Σ en définissant trois ⃗ ayant pour normales respectives surfaces élémentaires ⃗ , ⃗ n2,et n3 (normales sortantes).

Dans ce cas, le flux de

est la somme de trois flux élémentaires: 11

Sachant que les 3 surfaces définissent le même angle solide. donc

Le flux total de à travers Σ et dans toutes les directions s’obtient en intégrant l’expression précédente sur les 4π stéradian :

Remarque : On peut généraliser ce résultat à un ensemble de n charges. 12

Théorème de Gauss : Le flux du champ électrique à travers une surface fermée orientée Σ est égal, dans le vide, à la charge électrique Qint contenue dans le volume défini par la surface divisée par ε0.

où Qint représente la charge totale contenue dans V : ou

Remarque a. Le théorème de Gauss fournit une méthode très utile pour calculer le champ celui-ci possède des propriétés de symétrie particulières. b. Il convient évidemment d’utiliser une surface de Gauss Σ possédant les mêmes propriétés de symétrie que le champ et/ou la distribution de charges

lorsque

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2. Exemples d’application du théorème de Gauss a. Charge ponctuelle Déterminer l’expression du champ rayonné par une charge ponctuelle? On considère une charge ponctuelle q placée en O. Le problème a une symétrie sphérique ; on sait par ailleurs que le champ est radial : La surface de Gauss à considérer est une sphère centrée en O et de rayon r. En chaque point M de Σ :  Le champ est perpendiculaire à Σ,  Le champ a même norme que E(r) Le théorème de Gauss implique :

avec :

et

d’où :

sous forme vectorielle :

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b. Distribution linéique rectiligne On considère un fil rectiligne infini chargé avec la densité linéique λ. Calculer le champ et le potentiel par la méthode la plus rapide ? Le problème a une symétrie cylindrique; on sait que le champ perpendiculaire au fil : = ( )⃗

est

La surface de Gauss Σ à considérer doit avoir les symétries du problème. On choisit donc un cylindre fermé (de rayon r et de longueur L) constitué des 3 surfaces Σ1, Σ2 et Σ3.

Calculons le premier membre de l’égalité :

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En chaque point M de Σ2 :  Le champ est perpendiculaire à Σ,  Le champ a même norme que E(r) Donc, on arrive à :

Par ailleurs, le second membre de l’égalité est déduit de la charge totale contenue dans le cylindre défini par Σ:

d’où l’expression de la norme du champ rayonné par un fil infini :

Ou sous forme vectorielle : 16

On en déduit l’expression du potentiel à partir de la relation :

=−

avec : En coordonnées cylindriques

Dans notre cas, (r) n’a de composantes que selon ⃗r cela signifie que le potentiel ne dépend pas de ϕ et de z. Le gradient de V se résume donc à :

d’où l’expression du champ électrostatique :

et du potentiel :

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c. Distribution surfacique On considère un plan infini chargé avec la densité surfacique σ. Donner l’expression du champ et le potentiel électrique V i.

Analyse des symétries

 La distribution de charge est invariante par translation de tout vecteur parallèle au plan.  Tout plan perpendiculaire au plan contenant les charges est un plan de symétrie.  La distribution est invariante par rotation autour de tout axe perpendiculaire au plan.

⇒ Le problème a une symétrie cylindrique  Le champ 

est perpendiculaire au plan chargé.

est dirigé vers le haut pour le demi-espace z>0 et dirigé vers le bas pour le demi-espace z R  La surface de Gauss est une surface sphérique de rayon r et centrée en O  Le premier terme de l’égalité de Gauss s’écrit :

Le deuxième vaut :

À l’extérieur de la sphère, tout se passe comme si on avait une charge ponctuelle centrée en O. 24

Calcul du potentiel On utilise la relation:

On suppose que :

La constante K2 est déduite de la condition de continuité du potentiel qui impose :

Ce qui permet d’en déduire la valeur du potentiel à l’intérieur de la sphère :

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