13 CHAPITRE IV - Calcul Des Planchers [PDF]

Zitiervorschau

Chapitre IV

Calcul des planchers

IV-Calcul des planchers : IV-1-Introduction : Les planchers sont des éléments de la structure portante, destinée essentiellement à recevoir les actions variables d’exploitation afin de reporter sur les éléments porteurs verticaux qui les descendront aux fondations. Ils sont soit : En corps-creux constitué par des poutrelles sur lesquelles reposent les corps-creux, l’ensemble est recouvert par une dalle de compression en béton légèrement armé. A dalle plaine en béton armé.

b

h0

b1

b1

b0

l1

ht

FigureIV-1-Schéma d'un plancher à corps creux Les poutrelles sont des poutres de section en T associées à des planchers. Ils ont une épaisseur faible par rapport à leurs dimensions en plan ; leur fonction principale est de résister et supporter les charges et surcharges afin de les transmettre aux éléments porteurs. Dans notre structure, on a deux types de plancher : 1-plancher a corps-creux 2-dalle plaine

Un plancher à corps creux

Donc on a des poutrelles de :

ht =20cm :¿ {16 cm: corps creux¿¿¿

{ht=20 cm ¿{b0=12 cm ¿ ¿ 86

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Choix de b1 :le calcul de la largeur « b » ce fait à partir des conditions suivantes :

(l1−b0 ) ¿

{ {

b1=min ¿ b1≤

2

l b1≤ ¿¿¿ 10

Soit : b1 =26 . 5 cm Pour avoir

b=2b 1 +b 0 ⇒2×26 .5+12=65 cm

IV-2-Méthode de calcul des poutrelles : Il existe plusieurs méthodes pour le calcul des poutrelles, Le règlement BAEL 91 propose une méthode simplifiée dite" méthode forfaitaire", pour le calcul des moments, cette méthode s'applique pour les conditions courantes. IV-2-1-Les conditions d’application de la méthode forfaitaire : Cette méthode est applicable si les 4 conditions suivantes sont remplies : La charge d’exploitation Q≤ max (2G ; 5KN/m²) Les moments d’inertie des sections transversales sont les même dans les différentes travées. Le rapport des portées successives est compris entre 0,8 et 1,25 0,8 ≤ li/li+1 ≤ 1,25 - la fissuration est considérée comme non préjudiciable. IV-2-2-Principe de calcul : Il exprime les moments maximaux en travée et sur appuis en fonction des moments fléchissant isostatiques "M0" de la travée indépendante. M0Mw

Me Mt

Travée isostatique

Travée hyperstatique

Selon le BAEL 91, les valeurs de Mw, Mt, Me doivent vérifier les conditions suivantes: Mt ≥ max [1,05 M 0; (1+0,3 α ) M 0]−( Mw+ Me)/2 Mt≥ (1+0,3 α ) M 0 /2 dans une travée intermédiaire Mt≥ (1,2+0,3 α ) M 0 /2dans une travée de rive M0 : moment maximal dans la travée indépendante Mt : moment maximal dans la travée étudiée Mw : moment sur l’appui gauche de la travée

87

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Me : moment sur l’appui droit de la travée α

 : Q / (G+Q) rapport des charges d’exploitation à la somme des G et Q.

IV-2-3-Valeurs des moments aux appuis : Les valeurs absolues des moments sur appuis doivent être comme suit : Cas de deux travées : Cas de trois travées :

0,6M0 0,5M0 0,5M0

Cas de plus de trois travées :0,5M0 0,4M00,4M0 0,5M0 IV-2-4-Effort tranchant : L'étude de l'effort tranchant permet de vérifier l'épaisseur de l'âme et de déterminer les armatures transversales et l'épure d’arrêt des armatures longitudinales Le règlement BAEL 91, prévoit que seul l'état limite ultime est vérifié : Tw=(Mw−Me) /l +Ql /2 Te=( Mw−Me)/l−Ql /2 IV-3-Calcul des poutrelles : IV-3-1-Type de poutrelles : Notre construction comporte trois types de poutrelles ; ces poutrelles sont identiques au niveau de tous les planchers de la construction. Qu

Type 01

4,00 m

4,20 m

3,40 m

4,20 m

Type 02

Qu

4,00 m

4,20 m

3,40 m 88

4,10 m

1,88 m

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Calcul des planchers

Type 3

Qu

4,20 m

4,10 m

IV-3-2-Les combinaisons de charges : Les charges par mètre linéaire /ml IV-3-2-1-Plancher 1ére au 7éme étages : G = 5,01×0,65 = 3,26 KN/ml

Qu = 1,35G +1,5Q = 5,87 KN/ml.

Q = 1,5× 0,65 = 0,98KN/ml Qser= G+Q = 4,24 KN/ml. IV-3-2-2-Plancher terrasse : G = 6,48×0,65 =4,21 KN/ml

Qu =1, 35G+1,5Q = 6,66 KN/ml.

Q =1× 0, 65 = 0,65 KN/ml

Qser= G+Q = 4,86 KN/ml.

IV-3-3-Vérification des conditions d’application de la méthode forfaitaire : La charge d’exploitation Q ≤ max (2G, 5KN/m²) a- Plancher 1ére au 7éme étages :G = 5,01 KN/m², Q = 1,5 KN/m² Q = 1,5 KN/m² < 2G = 10,02 KN/m².........................condition vérifiée b- Plancher terrasse :G = 6,48 KN/m², Q = 1KN/m² Q = 1KN/m² < 2G = 12,96 KN/m².........................condition vérifiée 1- Poutrelle à inertie constante (I = Cte)……………...…….condition vérifiée 2- Fissuration peu préjudiciable. Plancher du 1er au 7éme étage, la fissuration est considérée comme peu préjudiciable. Pour le plancher terrasse la fissuration est préjudiciable …………………. condition non vérifié. Donc dans le cas du plancher terrasse, on applique la méthode des trois moments 3- 0,8 ≤ Li/ Li +1≤ 1,25…………………………….condition non vérifiée. Puisque le rapport 0,8 Li /Li +1 1,25 n'est pas satisfait ; on utilise la méthode forfaitaire modifiée pour la travée particulière ; et on utilise toujours la méthode forfaitaire pour les restes travées.

89

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IV-3-4-Type (01) IV-3-4-1-Calcule des moments de la travée particulière : Q 'u=1.35 G=1,35 × 3,26=4,40 KN /ml  a) Le moment minimal de la travée particulière :

E

F travée particulière G

 b) Moment isostatique et moments sur appuis : Q 'u ×l 2 4,40 ×1,882 M FG = = =1,94 KN . m 8 8 M F =0,5 max ( M EF ; M FG )=0,5 max (12,33 ; 1,94 )=6,17 KN .m M G=0,2 M FG =0,2 ×1,94=0,39 KN . m  c) Moment en travée particulière FG : x=

L FG 2

+

M G−M F 1,88 0 , 39−6 , 17 = + =0 , 24 m Q'G . L FG 2 4,40x1,88 '

M tmin ( x )=Q u

(

LFG−x 2

=4 , 40

) (

−M G 1−

x x −M F . L FG L FG

) ( )

0,24 −6 ,17 ( .=2,48 KN . m (12 , 88−0 ,24 )−0 , 39(1−0,24 ) 1,88 1 ,88 )

IV-3-4-2-Cas des charges maximales sur la travée AB

E F travée particulière G

90

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 a) Moment isostatique et moments sur appuis : Q u ×l 2 5,87× 1,882 M FG = = =2,59 KN . m 8 8 M F =0,5 max ( M EF ; M FG )=0,5 max ( 9,25 ; 2,59 )=4,63 KN . m M G=0,2 M FG =0,2 ×2,59=0,52 KN . m  b) Moment en travée particulière FG :

x=

L FG M G−M F 1,88 0 , 52−4 ,63 + = + =0 ,57 m 2 Q'G . L FG 2 5,87x1,88

M t max

( x ) =Q

'

u

(

=5 , 87

LFG−x 2

) (

−M G 1−

x x −M F . L FG L FG

) ( )

0,57 −4 ,63 ( .=2,08 KN . m (12 , 88−0 ,57 )−0 , 52( 1−0,57 ) 1,88 1 ,88 )

Donc M t FG=2,08 KN . m M F =¿ 4,63 KN . m M G=0,52 KN . m IV-4-Plancher 1ére au 7éme étages : Le calcul se fait à l'E.L.U  a) Moments fléchissant (isostatiques) : MAB = 11,74KN.m MBC = 12,94KN.m MCD= 8,48KN.m MDE= 12,94 KN.m MEF= 12,33 KN.m MFG= 2,59 KN.m  b) Moments En appuis: En appui (A) : MA=0,2 MAB= 2,53 KN.m En appui (B) : MB = 0,5max (MAB ; MBC) = 6,47 KN.m 91

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En appui (C) : MC =0,4 max (MBC ; MCD)= 5,18 KN.m En appui (D) : MD = 0,5max (MCD ; MDE)= 5,18 KN.m En appui (E) : ME = 0,4max (MDE ; MEF)= 5,18 KN.m En appui (F) : MF = 4,63 KN.m En appui (G) : MG = 0,52 KN.m  c) Moments En travées : α

  =Q / (G+Q) =0,23

(1+0,3 α )=1,07>1,05donc on doit tenir compte de 1,07 (1,2+0,3 α)/2 = 0,63 (travée de rive). (1+0,3 α)/2 = 0,53 (travée intermédiaire)

Travée (A-B)

Travée (B-C)

Travée (C-D)

Travée (D-E)

Travée (E-F)

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

( FG) Travée (F-G) ⇒ M T =2 , 08 KN . m

92

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

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 d) Efforts tranchants : Les valeurs des efforts tranchants de chaque travée étant calculées selon la formule suivant :

M i−M i+1 Li Tw= +qu ¿ ¿¿¿ Li 2

{

Travée (A-B)

Travée (B-C)

Travée (C-D)

Travée (D-E)

Travée (E-F) 

Avec :

{Tw:effort tranchant a droit¿¿¿¿

2,35−6,47 4,00 Tw= +5,87 =10,71KN ¿ ¿¿¿ 4,00 2

{ 6,47−5,18 4,20 T{ w= +5,87 =12,63KN ¿ ¿¿¿ 4,20 2 5,18−5,18 3,40 {Tw=3,40 +5,872 =9,98KN ¿¿¿¿ 5,18−5,18 4,20 {Tw=4,20 +5,872 =12,33KN ¿¿¿¿ 5,18−4,63 4,10 {Tw=4,10 +5,872 =12,17KN ¿¿¿¿

Travée (F-G)

: (particulière)

 Tmax (travée chargé)

4,63−052 1,88 Tw= +5,87 =7,70KN ¿ ¿¿¿ 1,88 2

{

93

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 Tmin (travée déchargée)

6,17−,039 1,88 Tw= +5,87 =7,21KN ¿ ¿¿¿ 1,88 2

{

Tableau- IV-1-récapitulatif des résultats obtenus aux planchers étages Type ELU

ELS

1ere étage au 7eme

MA

MA (KN.m)

Mt(KN.m) Tu(KN) MA

MA (KN.m)

Mt(KN.m)

(KN.m) (intermédiaire) (Travée)

(KN.m) (intermédiaire

(Travée)

01

(rive) 2,35

6,47

8,67

12,77

(rive) 1,70

) 4,68

5,95

02

2,35

6,47

8,15

12,71

1,70

4,68

5,88

03

2,59

7,76

8,67

13,56

1,87

5,61

6,26

Max

2,59

7,76

8,67

13,56

2,90

5,61

6,26

-6,47

-5,18

-5,18

-5,18

-4,63

- 2,53

-0,52 4,49

8,15

2,08

8,02

8,29

8,67

FigureIV-2- Diagramme des moments fléchissant planchers étages [KN.m] 12,05

10,71

12,33 9,98

+

+

+

-

-

12,17

+

7,7

+

-

-

+

-

-3,33

-9,98 -12,77

-12,33

-12,02

-11,9

FigureIV-3-Diagramme des efforts tranchants planchers étages [KN]

94

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Calcul des planchers

IV-5-Etude des poutrelles Plancher terrasse : IV-5-1-Méthode de calcul : Vu que la 3éme condition de la méthode forfaitaire n'est pas vérifiée c.à.d la fissuration est préjudiciable ou très préjudiciable (cas du plancher terrasse), on propose pour le calcul des moments sur appuis la méthode des trois moments. IV-5-2-Principe de calcul de la méthode des trois moments : Pour les poutres continues à plusieurs appuis, Mn

Mn+1

M1 ............... .Mn-1

0

1 L1

Mn+2

n-1 .Ln-1

n Ln

n+1 Ln+1

n+2 Ln+2

FigureIV-4-principe de calcul de la méthode des trois moments

Isolant deux travées adjacentes, elles sont chargées d'une manière quelconque ; c'est un système statiquement indéterminé, il est nécessaire de compléter les équations statiques disponibles par d'autres méthodes basées sur les déformations du système.

q

(Mn-1)

q'

(Mn)

Ln

Ln+1

(n-1)

(Mn-1)

q

(n)

(n+1)

(Mn)

(Mn)

' Rn-1

Ln

(Mn+1)

Rn

Rn

95

q'

Ln+1

(Mn+1)

''

Rn+1

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Mn , Mn-1 , Mn+1 : les moments de flexion sur appuis (n), (n-1), (n+1), ils sont supposés positifs, suivant les conditions aux limites et la condition de continuité, ( '= '')……(1) Les moments de flexion pour chacune des travées Ln, Ln+1 sous les charges connues q,q' peuvent être tracer selon la méthode classique. Mn, Mn-1, Mn+1 sont provisoirement omis.

Ln+1

Ln

Gn+1

Gn

an+1 an

bn+1

bn

Gn , Gn+1: les centres d'inertie des aires de diagramme des moments. an ,bn , an+1 ,bn+1 : sont la signification indiqué sur la figure. Sn et Sn+1 : les Aires des diagrammes des moments pour les travées Ln et Ln+1  '=  '(Mn-1) + '(Mn) + '(q) Selon le théorème des Aires des moments, on aura :

Sn .an Mn−1. Ln Mn. Ln θ'= + + Ln. EI 6. EI 3. EI S .b M .L M . L ¿ θ''= n+1 n+1 + n n+1 + n+1 n+1 Ln+1 .EI 3. EI 6. EI θ'=θ drar ow `M rSub {n - 1} . L rSub {n} +2M rSub {n} left (L rSub {n} +L rSub {n+1} right )+M rSub {n+1} . L rSub {n+1} = - 6 left [ { {S rSub {n} . a rSub {n} } over {L rSub {n} } } + { {S rSub {n+1} . b rSub {n+1} } over {L rSub {n+1} } } right ]} {} } } {¿ ¿ On a trois (03) types de poutrelles. IV-5-3-Exemple de calcul: On prend comme exemple de calcul le 1er type de poutrelle (avec 6 travées) : Pour La plancher terrasse : G = 6,48×0,65 =4,21 KN/mLQu =1, 35G+1,5Q = 6,66 KN/mL. Q =1× 0, 65 = 0,65 KN/mLQser= G+Q = 4,86 KN/mL.

96

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Calcul des planchers

6,66 KN/m

4,00 m

4,20 m

3,40 m

4,20 m

4,10 m

1,88 m

Le calcul se fait selon la formule :

M n−1 . Ln+ 2Mn ( Ln + Ln+1 ) + M n+1 . Ln +1=−6

[

Sn . an Sn +1 . bn +1 + Ln Ln+1

 a) En isolant deus travées adjacentes, on prend A-B et B-C (MA= Mn-1)

A

6,66 KN/m

(MB=Mn)

Ln=4m

B

Ln+1 =4,20m

Partie AB : M0AB = Ql ² /8=13,32 KN . m an = bn =2 m Sn=2/3.Ln. M0AB = 35,52 m² Partie BC : M0BC = Ql ² /8=14,69 KN . m an+1 = bn+1 = 2,1 m Sn+1 = 2/3.Ln+1 . M0BC = 41,13 m ² Donc (1) ( 4,00 ) M A +2 ( 8,20 ) . M B+ ( 4,20 ) M C=−229,98 Avec :MA = -0,2.M0AB = -2,66 KN.m 16,4 M B+ 4,2 M C+219,34=0. .......................(1)

97

C

(MC= Mn+1)

]

………(1)

Chapitre IV

Calcul des planchers

 b) En isolant deus travées adjacentes, on prend B-C et C-D : (MB= Mn-1)

B

6,66 KN/m

(MC=Mn)

Ln=4,20m

C

(MD= Mn+1)

Ln+1 =3,40m

D

Partie BC: M0BC = Ql ² /8=14,69 KN . m an = bn = 2,1m Sn= 2/3.Ln . M0BC = 41,13 m² Partie CD : M 0CD¿ Ql ² /8=9,62 KN . m an+1=bn+1=1,7 m Sn+1= 2/3.Ln+1 . M0CD =21,81 m² Donc (2)4,20MB+15,20MC+3,40MD=-188,82 4,20MB+15,20MC+3,40MD +188,82= 0............ (2)  c) En isolant deus travées adjacentes, on prend C-D et E-F : (Mc= Mn-1)

C

(MD=Mn)

Ln=3,40m

D

6,66 KN/m

Ln+1 =4,20m

Partie CD: M0CD = Ql ² /8=9,62 KN .m an = bn = 1,7 m Sn = 2/3. Ln . M0CD = 21,81m²

98

E

(ME= Mn+1)

Chapitre IV

Calcul des planchers

Partie DE: M0DE¿ Ql ² /8=14,69 KN . m an+1=b n+1=2,1 m Sn+1= 2/3.Ln+1 . M0DE =41,13 m² Donc (3) 3,40 MC+15,2 MD + 4,2ME + 188,82=0  d) En isolant deus travées adjacentes, on prend D-E et E-F : (MD= Mn-1)

D

(ME=Mn)

Ln=4,20m

E

6,66 KN/m

Ln+1 =4,10m

(MF= Mn+1)

F

Partie DE: M0DE = Ql ² /8=14,61 KN . m an = bn = 2,1m Sn = 2/3. Ln . M0DE = 41,13m² Partie EF: M0EF¿ Ql ² /8=13,99 KN . m an+1=b n+1=2,05 m Sn+1= 2/3.Ln+1 . M0EF = 38,24 m² Donc (4)  4,20 MD+16,6 ME + 4,10 MF +238,11=0  e) En isolant deus travées adjacentes, on prend E-F et F-G : (ME= Mn-1)

E

(MF=Mn)

Ln=4,10m

F

6,66 KN/m

Ln+1 =1,88m

99

G

(MG= Mn+1)

Chapitre IV

Calcul des planchers

Partie EF: M0EF = Ql ² /8=13,99 KN . m an = bn = 2,05m Sn = 2/3. Ln . M0EF = 38,24m² Partie FG: M0FG¿ Ql ² /8=2,94 KN . m an+1=b n+1=0,94 m Sn+1= 2/3.Ln+1 . M0FG = 3,68 m² Donc (5) 4,10 ME+11,96 MF + 1,88 MG+ 125,76=0 Avec :MG = -0,2.M0FG = -0,59 KN.m Donc (5)  4,10 ME+11,96 MF + 124,65 =0 Après résoudre des 5 équations (1’ ; 2’ et 3’) on aura : MA¿−2,66 KN . m MB¿−11,41 KN . m MC¿−7,53 KN . m MD¿−7,81 KN . m ME¿−10,69 KN . m MF¿−6,78 KN . m MG¿−0,59 KN . m IV-5-4-L’effort tranchant : 

Travée (AB) :

Tw = (−2,66+ 11,41)/4,00+6,66.4,00/2=15,51 KN Te = (−2,66+ 11,41)/4,00−6,66.4,00 /2=−11,13 KN

100

Chapitre IV 

Calcul des planchers

Travée (BC) :

Tw = (−11,41+7,53)/ 4,20+ 6,66.4,20/2=13,06 KN Te = (−11,41+7,53)/ 4,20−6,66.4,20/2=−14,90 KN 

Travée (CD) :

Tw = (7,53+7,81)/3,40+6,66.3,40/2=11,40 KN Te = (7,53+7,81)/3,40−6,66.3,40/ 2=−11,24 KN 

Travée (DE) :

Tw =(7,81+10,69)/4,20+6,66.4,20/2=14,67 KN Te = (7,81+10,69)/4,20−6,66.4,20/2=−13,20 KN 

Travée (EF) :

Tw = (−10,69+6,78)/4,10+ 6,66.4,10/2=12,69 KN Te =(−10,69+6,78)/4,10−6,66.4,10/2=−14,61 KN 

Travée (FG) :

Tw = (−6,78+ 0,59)/1,88+6,66.1,88 /2=2,97 KN Te = (−6,78+ 0,59)/1,88−6,66.1,88/2=−9,55 KN Les moments en travées : MtAB=[(MA+MB)/2]+ M0AB= 6,29 KN.m MtBC=[(MB+MC)/2]+ M0BC=5,22 KN.m MtCD=[(MC+MD)/2]+ M0CD=1,95 KN.m MtDE=[(MD+ME)/2]+ M0DE=5,44 KN.m MtEF=[(ME+MF)/2]+ M0EF= 5,26 KN.m MtFG=[(MF+MG)/2]+ M0FG= -0,75 KN.m

101

Chapitre IV

Calcul des planchers

Terrasse inaccessible

Usage

Tableau- IV-2-Résultats obtenus (plancher terrasse) Type ELU

ELS

MA

MA (KN.m)

Mt(KN.m)

(KN.m

(intermédiaire

(Travée)

)

)

01

(rive) 2,66

11,41

6,29

02

2,66

11,00

03

2,94

Max

2,94

Tu(KN)

MA

MA (KN.m)

Mt(KN.m)

(KN.m

(intermédiaire

(Travée)

)

)

15,51

(rive) 1,94

8,73

3,97

6,49

15,41

1,94

8,47

4,52

12,91

11,82

16,11

2,14

9,42

8 ,63

12,91

11,82

16,11

2,14

9,42

8,63

-11,41 -7,53 -

- 2,66

-7,81

-10,69

-

-

-

+

+

6,29

5,22

-6,78 -

-0,59 +

+

+

+

1,95

0,75 5,26

5,44

FigureIV-5-Diagramme des moments fléchissant plancher terrasse [KN.m]

12,05

15,51

14,67

12,69

11,4 +

+

-

+

-

2,97

+

- +

-

+

-

-

-11,24 -11,13

-13,2

-14,9

-14,61

-9,55

FigureIV-6-Diagramme des efforts tranchants plancher terrasse [KN]

102

Chapitre IV

Calcul des planchers

IV-6-Calcul du ferraillage des poutrelles :(à l’ELU) : Les moments maximaux en travée tendent à comprimer les fibres supérieures et à tendre les fibres inférieures et par conséquent les armatures longitudinales seront disposées en bas pour reprendre l'effort de traction puisque le béton résiste mal à la traction. Pour le calcul du ferraillage des poutrelles on prend le cas le plus défavorable. Les poutrelles sont des sections en "T" dont les dimensions sont données comme suit : 65cm

4cm

16cm

12cm

FigureIV-7-Section de calcul de la poutrelle Données : 

Largeur de la section en T¿ 65 cm .



Largeur de la b 0¿ 12 cm.



Hauteur de la section h t¿ 20 cm .



Hauteur de la section h 0¿ 4 cm.



Hauteur utile des aciers tendus d=0,9 h=18 cm



contrainte des aciers utilisés fe=400 Mpa .



contrainte du béton à 28 jours fc28=25 Mpa .



Contrainte limite de traction du béton ft 28=2,1 Mpa .



Fissuration peu préjudiciable.

Et on a :

103

Chapitre IV

Calcul des planchers

IV-6-1-Plancher étage courant (1ere étage au 7eme )  a) Sollicitations de calcul: Mtravée= 8,67 KN.m E.L.U

Mappui-rive = 2,59 KN.m

Mtravée = 6,26 KN.m E.L.S :

Mappui-inter = 7,76 KN.m

Mappui-rive = 2,90 KN.m Mappui-inter = 5,61 KN.m

Tmax =13,56 KN

 b) Calcul des armatures longitudinales à (l'E.L.U): Moment équilibré par la table « Mt » Mt=b.h0.Fbc(d-h0/2) Mt = 65x4x14,17(18-4/2)x10-3 = 58,95 KN.m Mt-max = 8,67 KN.m < 58,95KN.m Donc l'axe neutre tombe dans la table de compression, la section en T sera calculée en flexion simple comme une section rectangulaire de dimension (bxh) = (65 x20) cm².

Mt 8,67 .10 3 = =0,029≺0,392→A's=0 f bc . d² . b 14,17 .(18 )² .65 μ=0,029⃗ Tableau β=0,986 fe 400 σ S= = =348MPa δ s 1,15 μ=

3

Mt 8,67 . 10 As= = =1 , 40 cm² β .d . σ S 0,986 .18 .348  c) Condition de non fragilité : 

En Travée :

Astmin ≥ 0,23.b.d.

ft 28 fe

Astmin ≥ 0,23.65.18.

2,1 = 1,41 cm2 400

Le choix : 3T10 = 2,36 cm².

104

Chapitre IV



Calcul des planchers

Sur appuis :

La section de calcul est une section rectangulaire de dimension (b0 x h) = (12 x 24) cm²

Ma 7,76 . 103 = =0,026≺0,392→A's=0 f bc . d² . b0 14,17 .(18 )² . 12 μ=0,199⃗ Tableau β=0,987 fe 400 σ S= = =348MPa δ s 1,15 μ=

3

Mt 7,76 . 10 As= = =1,71 cm² β . d . σ S 0,987 . 18 .348  d) Condition de non fragilité : Astmin ≥ 0,23.b0.d.

ft 28 fe

Astmin ≥ 0,23.12.18.

2,1 = 0,26 cm2 400

Le choix : 1T12+1T10 = 1,92 cm². IV-6-2-Vérification des contraintes à l’E.L.S :  a) En travées : Mser= 6,26 KN.m a-1) Position de l'axe neutre : Soit «y» la distance entre le centre de gravité de la section homogène «S» et la fibre la plus comprimée. 2

by +ηA '( y−c ' )−ηA (d− y )=0 . 2 b=65cm ; η = 15 ; A'= 0 , A= 2,36 cm2. 32,5.y2 + 35,4y – 637,2 = 0 ⇒

y = 3,92 cm

y = 3,92 cm < 4cm Donc L'axe neutre tombe dans la table de compression.

105

Chapitre IV

Calcul des planchers

a-2) Le moment d'inertie:

b . y3 +ηA '( y−c' )+ηA (d− y )2 . 3 65 I G = y 3 +ηA(d− y)2 . 3 65 I G = (3 ,92)3 +15×2 ,36.(18−3,92 )2=8323 ,04 cm4 . 3 IG =

a-3) Calcul des contraintes : a-3-1) Contrainte maximale dans le béton comprimé s bc :

M ser

6,26 .103 σ bc = . y= .3, 92=2,95 MPa IG 8323 ,04 σ bc =0,6 f c 28=15 MPa . σ bc =2,95 MPa< σ bc =15 MPa...... .. ..... .condition vérifiée .  b) En appuis: Mser= 5,61KN.m b-1) Position de l'axe neutre :

by 2 +ηA '( y−c ' )−ηA (d− y )=0 . 2 b=65cm ; η = 15 ; A'= 0 , A= 2,36 cm2. 32,5.y2+ 35,4y -637,2 = 0 ⇒

y = 3,92 cm

y =3,92cm < 4cm ; Donc L'axe neutre tombe dans la table de compression. b-2) Le moment d'inertie:

b . y3 IG = +ηA '( y−c' )+ηA (d− y)2 3 65 I G = (3,92)3 +15 x2,36(18−3,92)2=8323,04 cm4 . 3

106

Chapitre IV

Calcul des planchers

b-3) Calcul des contraintes : b-3-1) Contrainte maximale dans le béton comprimé s bc :

M ser 5 ,61.103 σ bc = . y= .3,92=2,64 MPa IG 8323 ,04 σ bc =0,6 f c 28=15MPa . σ bc =2 ,64 MPa T u =13 , 59 KN 0,9 .18 . 10−2

Les armatures longitudinales inférieures ne sont pas soumises à un effort de traction. IV-6-7-2-Compression de la bille d'about : La contrainte de compression dans la biellette est:

109

Chapitre IV

σ b=

D’où

Calcul des planchers

Fb S

Avec

σ b=

{Fb=T √2¿¿¿¿

2T ab 0

a: la longueur d'appuis de la biellette On doit avoir

σ b