1 Limites Et Continuite [PDF]

Zitiervorschau

Limites et continuité Les

notions de limite et de continuité étaient considérées comme intuitives par les math~maticiens du XVfIB et du XVlfIB siècles. Certains mathématiciens tels que Gauss, Cauchy et Abel attirèrent l'attention sur la nécessité de produire des définitions et des démonstrotions rigoureuses, inaugurant ainsi une ère nouvelle de l'Analyse qui eut son aboutissement au )(Xe siècle sur la topologie. L'Allemand Karl Weierstrass, par les brillants résultats sur ses recherches en analyse, devint l'un des plus célèbres analysteseuropéens de son temps. À la stupeur de ses contemporains, il définit une courbe continue n'admettant de tangente en aucun point!

Karl Weierstrass mathématicien allemand -1815-1897.

1. 2. 3.

Limites et continuité en a

8

Continuité sur un intervalle

17

Fonctions continues strictement monotones

23

'

si n est pair si n est impair

00

00

=0

1

lim ~=-oo x-t0X'

+ -

1

X---7a

{

(x- a)n

= e io::> =-

00.

=+00

Calcul de limite à l'infini de fonctions polynômes et rationnelles Hm

X---7-00

lim

X---7+

OO

lim X---7-OO

lim

X---7+OO

•

{

Hm ~=O X-4+=X'

>

•

X'=

X---7-OO

HmX'=O Pour n pair:

lim

X---7+OO

(a nX' + a n_1X'-1 + ... + a1x + ao) (a nX' + a n _1X'-1 + ... + a1x + ao)

lim = X---7+

apxP + ap-rlP""l + ... + a1x + ao br + bq-1:x'1-1 + ... + b1x + bo

lim = X---7-

a pxP .+ a p- lxP-1 + ... + a1x + ao br + bq_1:x'1-1 + ... + b1x + bo

= lim

OO

aX' n apxP

OO

bq:x'1 apxP

X---7+OO

bq:x'1

Critères de continuité en a • [étant

une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a, [est continue en a Ç::} Hm [(x) = [(a) X---7a

• Toute fonction qui est somme, produit ou quotient de fonctions élémentaires tout élément de son ensemble de définition.

8

Limites et continuité

est continue en

_~_

Limites de référence et continuité en a

••• _

Limite à gauche - Limite à droite

• Tableau récapitulatif

[(x)

= [(a)

>

• Exemple Étudions la limite et la continuité en 1de la fonction pour x E ]-

00 ;

{ pour x E ]1; +

00[,

~1-

X-41

=

lim (x2 - x + 2)

• Calculons la limite à droite en 1 de f

=

lim [(x)

2

1 X-41

X-41

lim [(x) X-41





0

t, 1 < 0

00

ou

+

+00

+00

-

00

+00

-

-

00

00

0 +00

+00

+00

-

00

-

00

00

ou -

alors [g a pour limite en a

@

ll'

+00

-

00

-

00

+00

+00

-

00

00

on ne peut pas conclure

+00

Limites d'un inverse

f est

une fonction ; 1 un nombre réel ; a un nombre réel, -

00

ou

+

00

"

Si 9 a pour limite en a

l', l' * 0

0 (g étant positive

0 (g étant négative

sur K)

sur K)

-

00

ou

1

alors ~ a pour limite en a

+00

-

+

00

0

00

l'

® Limites d'un quotient [ et 9 sont des fonctions ; 1 et l' des nombres réels': a un nombre réel, Si [ a pour limite en a et si 9 a pour limite en a

,-

1

1',1'*0

1 l'

alors.L a pour limite en a 9 (

1

1

+00

-

0

00

0

+00

+00

-

00

-

00

-

00

-

00

+

00

0

00

l',1'>O l', l' < 0 l',1'>O l', l' < 0

+00

ou

0

+ouoo _

00

+00

ou -

00

on ne peut pas conclure

+00

Dans le tableau « Limite d'un inverse », K désigne un intervalle contenu dans l'ensemble de définition de 9 et est l'un des types suivants: a

- lorsque x tend vers le nombre réel a -lorsque

x tend vers -

00

(resp.

+

00)

•

j-

00

;

a

----0----

A[ (resp. [B ; +ooD

-a

a

------0

-

a

a ~

Limites et continuité

5 11

Exemples d' utilisation des opérations sur les limites

•••

• Limite d'une somme lim x2 = + 00

lim

et

lim

~

• Limite d'un produit lim (- 2) = - 2 ---? -

lim

et

= 0

X-t-ooX

x

,x

=

+

00

X---7+OO

X~+OQ

lim

et

x---t-oo

00

lim

X=+oo

X---7+OO

(- 7)

X---7-oo

7

lim

donc

lim

(x2 + [x) = +

x3

=-

(~-

(-

[x=+oo

donc

X---7+OO

lim

X---t+oo

donc

.1:'---7+00

=+

~

= O.

lim

.JX

OO

1, (x -

IF

>0

lim (x - 1)2

et

x ...•1

=0

donc

et

Iim sinx

x ...•0

donc

= 0

. 1lm

---

lim

-2Slnx

x ...• 0
-

+ 2x

x

X~+OO

cc

3x + 2 --J x2 + 1

16 Limites et continuité

. 1lm ee

x--> +

x

-+_00

x --> -

. 1lm

~+2x

lim X

Jx

x +

1

+ 3- 2

. 1lffi x-->-}

co

3x + 2 --+ 1

Jx2

sinx-1 ---

x-.1L 2

. 1lm x --> +

. 1lm

x-+o

x + 1

cc

Jx + 3 -

tanx -x .

2

2

_"""""""~ Définition - Propriétés ._

Continuité d'une -fonction sur un intervalle

Une fonction [est dite continue sur un intervalle K lorsque sa restriction à K est continue en tout élément de K. Î

~ , , ,

b

1est continue

_

sur [a ; hl

o

a

o

b

lest con!inue sur [a ; hl

v ,,

,,

a

b

In'est pas continue sur [a; hl 1est continue sur la ; h[

~, ,

,,

a

b

,

o

,

fn'est pas continue sur [a; hl est continue sur la ; hl

f

Image d'un intervalle par une fonction continue

Exemple introductif On considère la fonction [défin3e sur [- 2 ; 3[ par :[(x) = x E(x). Pour chaque intervalle K ci-dessous, étudions graphiquement la continuité de [sur K et déterminons graphiquement l'image [(K) de K par f : l- 2 ; - 1[ ; l- 1 ; 1[ ; l- 1 ; 1[ ;, ]0; 1[ l- 1 ; 0] ; [1; 3[ ; [0; 2[ ; [- 1 ; 1].

Formules explicites. de la fonction [ -2

x

-1

o

2

E(x)

o

[(x)

o

{

pour pour pour pour pour

x E x E xE x E x E

[- 2; - 1[, [-1; 0[, [0; 1[, [1 ; 2[, [2; 3[,

[(x) = - 2x [(x) = - x [(x) = 0 [(x) = x [(x) = 2x

3

1

1

1

i

/

1 i

/ !

Représentation graphique de [

1

Le plan est muni du repère orthonormé (0, I, J)

1 !

i

i 1

-14

Ï\ \

r-, V

l

j

-13 -12 - ,1 01 1

1

1

i

1

1

1

1

1

1 1

1

Xl 7: x2

f(x1)

7: f(xz)

Si f est strictement croissante

Si f est strictement décroissante

Xl

< x2

=>

f(x1)

< f(xz)

Xl

< Xz

=>

f(x1)

> f(xz)

Xl

> Xz

=>

f(xl)

> f(xz)

Xl

> Xz

=>

f(xl)

< f(xz)

d'où:

f est

L'application

donc injective.

On déduit aisément de la propriété précédente

la conséquence suivante:

Propriété Toute fonction

f

continue et strictement monotone sur un intervalle K détermine une bijection de K

dansf(K).

La continuité de f est une hypothèse superflue dans la propriété précédente. Cependant elle permet de

déterminer f(K). Exemples Démontrons que la fonction par f(x}

= .:x ~ 13 détermine

3

l- 2"; + =[ dans l-

f

de IRvers IRdéfinie

une bijection de

1

oo ;

-il.

Démontrons que l'application ] ~ ;+

oo[

9 de

l-

00

;

définie par g(x) = 2.r - lx + 3 est bijec-

tive.

Étude des variations de f

Étude des variations de g

On obtient le tableau de variation suivant:

On obtient le tableau de variation suivant:

X

-

3

J'Cx)

X

-2

00

+

00

gCx)

~2

f étant

1-

continue et strictement croissante sur 3 . 3 1 on a : f(J- z; + =[) = l- cc ;

Z; +

11·

00[,

une bijection de]-

1 ]-=;z['

26

-----'[E

9 étant continue et strictement croissante sur 115 ]- oo ; Z[, on a : 9 (J- co ; z[) = ]z ; + =[.

Conclusion

Conclusion

f déte~mine

2 -

+00

1 -

1

00

g'Cx)

+

1 ~

2

-

+00

+00

fCx)

{r dans

Limites et continuité

~ ; + =[ dans

9 est une bijection de

l- =;

~[ dans]

~ ; + =[.

.__

Réciproque d'une bijection continue strictement monotone

_ Activité introductive [(x) = 3x -21. X+ - démontrer que [détermine une bijection

-7 x2 + 1 ; h: x >-7 --1 .

41 [est

Détermination de l'image d'un intervalle par une fonction continue

rationnelle

définie par :

Bijection continue strictement monotone

1 n- 2) =b

371.

polynôme

= (x + 2)2 - 47.

41 Les

__ 1_ 4x2 + 3

[(0) = a

En déduire

la fonction

Applications bijectives, injectives, surjectives

[(-1) = a [(1) = b

pour xE [-1 ; 1]\{0 ; - 1 },[(x)

de balayage (ou de dichotode ex à 10-2 près.

Fonctions continues strictement monotones

[-1; 1] :

l- 1 ; 1],

~~.~ •••• g. r.

f!!!!I

1. Justifier que [est une fonction continue strictement croissante sur IRet qu'elle admet un unique zéro ex. 2. À l'aide d'une calculatrice programmable, déterminer un encadrement de ex par deux nombres consécutifs. 3. Déterminer par la méthode de balayage (ou de dichotomie) une valeur approchée de ex à 10-2 près.

35 Dans chacun des cas suivants, déterminer a et b pour que [soit une-fonction continue sur l'intervalle pour x E

la méthode approchée

[(x)

[(1) = a

pour x E IR \ {7},

consécutifs..

ex ce zéro de f.

a

8x-13 -4--1x +

=

[(x)

{

graphiquement un encadrement du zéro la plus petite partie entière positive par deux

45

Écrire sous la forme la plus simple des nombres réels suivants :

chacun (1)

3[36 3

(2)

[z x 3/25 ~

possible

2

(3)

2i3'

(5) 2 x

j3 X 31;3

3[9